RESOLUÇÃO SARGENTO AERONÁUTICA 1/2011 Profo.: Waldomário Melo
Prezados concursandos! Meu nome é Profº Waldomário Melo, 13 anos de experiência em concursos, gostaria de externar a todos a grande satisfação de poder estar tendo esta oportunidade, muito gentilmente proporcionada pela Direção do Curso Hertz, a qual faço parte apresentar-lhes a resolução, comentários e dicas sobre a resolução da PROVA EEAR 1/2011, de forma inédita em Belém. Agradeço primeiramente a Deus, a minha família e a diversos parceiros. Meus queridos, sem mais delongas, passemos aos comentários. Ah! Continuamos matriculando para nossas turmas preparatórias do Soldado Polícia e Sargento Exército.
CONCURSO DE SARGENTO AERONÁUTICA 1/2011
PROVA TIPO 08 REALIZADO EM 13 DE JUNHO DE 2010 GABARITO: B 51. O número complexo z = (a - 4) + (b - 5)i será um número imaginário puro se: a) a = 4 e b = 5. b) a = 4 e b ≠ 5. c) a ≠ 4 e b = 5. d) a ≠ 4 e b ≠ 5.
TÓPICO: NÚMEROS COMPLEXOS Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: PELA APOSTILA HERTZ, temos: g) CASOS ESPECIAIS Tomemos o número complexo em sua forma algébrica: Z = a + bi. a) Quando b = 0, então o número Z = a + bi é um número real, pois Z = a + 0.i ⇒ Z = a. Isso significa que todo número real é também um número complexo, portanto, podemos afirmar: ℜ⊂ ℜ⊂ C. b) Quando a ≠ 0 e b ≠ 0, então o número Z = a + bi é dito um número imaginário. c) Quando a = 0 e b ≠ 0, então o número Z = a + bi é denominado imaginário puro, ou seja, Z = 0 + bi ⇒ Z = bi. Para a questão, temos: z é imaginário puro quando a - 4 = 0 e b - 5 ≠ 0, isto é, quando a = 4 e b ≠ 5. GABARITO: D 52. A razão entre o logaritmo de 16 e o de 4, numa mesma base b, sendo 0 < b ≠ 1, é: a) 1/4. b) 1/2. c) 4. d) 2.
TÓPICO: LOGARITMOS Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: Propriedades vista na aula de Logaritmos, temos: a
log b
log bc
GABARITO: C 53. Considere a distribuição:
A freqüência relativa da 3ª classe dessa distribuição é: a) 40%. b) 35%. c) 30%. d) 25%.
TÓPICO: ESTATÍSTICA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: Fabs. = Peso = Números de Pacientes da 3ª linha = 27 Facum. = ∑Fabs = 8 + 12 + 27 + 31 + 10 + 2 = 90 Frel. =
Fabsoluta
Facumulada 27 × 100 = 30% Frel. = 90
GABARITO: A 54. Seja M(4,a) o ponto médio do segmento de extremidades A(3,1) e B(b,5). Assim, o valor de a + b é: a) 8 b) 6 c) 4 d) 2
TÓPICO: GEOMETRIA ANALÍTICA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: O ponto médio do segmento AB , sendo A(xA, y A) e B(xB, y B), é dado pelo par ordenado: M = ( x M , y M ) , onde:
x + x2 y + y 2 e y m = 1 x m = 1 2 2 x + x2 y1 + y2 , M 1 2 2
Note que as coordenadas do Ponto Médio de um segmento qualquer, são a Média Aritmética das coordenadas dos extremos desse segmento.
a
= log c
3 + b 1 + 5 , 2 2
( 4, a ) =
n
log ba = n log ba
3+b
log aa = 1
Pela questão temos:
2
log16 b
16 42 = log 4 = log 4 = log b4
1+ 5 4 2 log 4 =
2.(1) = 2
2
=4→b=5 =a→a=3
a + b = (3) + (5) = 8
GABARITO: B 55. A função definida por y = m(x - 1) + 3 - x, x , m ∈ℜ, será crescente, se a) m ≥ 0. b) m > 1. c) -1 < m < 1. d) -1 < m ≤ 0.
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TÓPICO: FUNÇÃO CRESCENTE Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: A função dada por y = ax + b, será crescente se a > 0. Logo, temos: y = m(x - 1) + 3 – x y = mx – m + 3 – x y = mx – x + 3 y = (m – 1)x + 3 a=m–1 Pela condição: a > 0 m–1>0 m>1 GABARITO: B 56. Formato, tamanho e cor são as características que diferem as etiquetas indicadores de preço dos produtos de uma loja. Se elas podem ter 2 formatos, 3 tamanhos e 5 cores, o número máximo de preços distintos dos produtos da loja é a) 24. b) 30. c) 32. d) 40.
c) pontos médios – limites superiores. d) limites superiores – pontos médios.
TÓPICO: ESTATÍSTICA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: O polígono de freqüências é um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. O polígono de freqüência acumulada ou ogiva de Galton é traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe. GABARITO: D 2 1 3 2 3 . O valor de (detA) 60. Sejam as matrizes A = 0 5 1 e B = 0 9 3 2 1 ÷ (detB) é: a) 4. b) 3. c) -1. d) -2.
TÓPICO: ANÁLISE COMBINATÓRIA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 3 etapas: T = 2 x 3 x 5 = 30 preços distintos.
TÓPICO: DETERMINANTE Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: Aplicando Regra de Sarrus: 2
1
3 21
GABARITO: A 57. Para dar 10 voltas completas em volta de um jardim circular, uma pessoa percorrerá 2198m. Considerando π = 3,14, a medida, em metros, do diâmetro desse jardim é: a) 70. b) 65. c) 58. d) 52.
det A = 0
5
1 05
3
2
1 32
TÓPICO: GEOMETRIA PLANA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: Para 1 volta temos o comprimento da circunferência 2 πR 1volta
R ( 2 × 3,14 × R ) 2π
10voltas
2198m
R =
2198 62,8
det A = (2.5.1 + 1.1.3 + 3.0.2) − (3.5.3 + 2.2.2 + 1.0.1) = −36 det B =
2
3
0
9
det B = (2.9) − (3.0) = 18 det A det B
=
− 36
18
= −2
GABARITO: B 61. No triangulo, o menor valor que x pode assumir é: a) 4. b) 3. c) 2. d) 1.
= 35m
D = 2 R D = 2(35) = 70 m
GABARITO: D 58. A cuba de uma pia tem a forma de uma semi-esfera de 3dm de raio. A capacidade dessa cuba é ____ π litros. a) 12. b) 14. c) 16. d) 18.
TÓPICO: GEOMETRIA ESPACIAL Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: 3
Sabemos que 1 dm = 1 litro. O volume de uma esfera de raio R é V =
4 3
π R
3
.
O volume da semi-esfera é metade do volume da esfera, então a V =
capacidade da cuba é:
4 3
π (3)
Vcuba =
3
= 36π dm
36π 2
3
= 36π l
= 18π l
GABARITO: C 59. Considere o Polígono de Frequência e a Ogiva, ambos representativos de uma distribuição de frequência com classes. As abscissas dos pontos que orientam as construções do Polígono e da Ogiva são, respectivamente, os ________________ e os (as) _______________ das classes. a) limites superiores – freqüências absolutas. b) pontos médios – freqüências absolutas.
TÓPICO: LEI DOS COSSENOS Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática (7)2 = (x)2 + (8)2 – 2.(x).(8).cos60o (cos60o = 1/2) x2 – 8x + 15 = 0 x = 3 ou x = 5 (não convém, pois é o maior valor) GABARITO: A 62. O perímetro da base de um prisma quadrangular regular é 8cm. 2 Se a altura desse prisma é 3cm, então sua área total, em cm , é: a) 32. b) 34. c) 36. d) 38.
TÓPICO: GEOMETRIA ESPACIAL Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: Base quadrada Perímetro: P = 4a (a = aresta da base) 8 = 4a → a = 2cm 2 2 2 Abase = a = (2) = 4cm Alateral = n.Aface (n = número de faces = 4 faces) 2 Alateral = 4.(H.a) = 4x3x2 = 24cm Atotal = 2.Abase + Alateral = 2x(4) + 24 = 32cm2
2
www.cursohertz.com GABARITO: C 63. Na figura, O é o centro da circunferência e PA é tangente a ela, em P. Se P Aˆ O = 30 0 e OA = 12 3cm , então a medida do raio da circunferência, em cm, é: a) 8 3 b) 8 2
GABARITO: B 66. Se MNOPQR é um hexágono regular inscrito na circunferência, então a + b – c é igual: a) 150°. b) 120°. c) 100°. d) 90°.
c) 6 3 d) 6 2
TÓPICO: GEOMETRIA PLANA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ:
TÓPICO: GEOMETRIA PLANA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: Os ângulos a, b e c são ângulos inscritos na circunferência e medem metade do arco por eles determinado. O hexágono regular divide a O circunferência em 6 arcos de 60 . a= b=
AP reta tangente a circunferência, logo AP ⊥ OP. Neste caso, temos um triângulo retângulo em P. Pela relação trigonométrica: sen30 o =
1 2
R
=
OP OA → R = 6 3cm
c=
MN + NO + OP
=
60 0 + 60 0 + 60 0
2 NO + OP
2 =
60 0 + 60 0
2 MR
=
2 60 0
2
= 30
2
= 60
= 90
0
0
0
a + b − c = (90 0 ) + (60 0 ) − (30 0 ) = 120 0
GABARITO: B 67. Sejam as retas r e s de equações y = 2x – 3 e y = -3x + 2. A tangente do ângulo agudo formado pelas retas r e s é:
12 3
GABARITO: A 2 64. Os números que expressam as medidas, em cm ou em cm , do lado, da superfície e do perímetro de um quadrado, dados nessa ordem, formam uma PA. O lado desse quadrado, em cm, mede a) 5/2. b) 5/3. c) 3/4. d) 3/2.
TÓPICO: PROGRESSÃO ARITMÉTICA e GEOMETRIA PLANA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: Quadrado Lado = L Área = Superfície = L 2 Perímetro = 4L 2 A seqüência será: (Lado, Perímetro, Área) = (L, L , 4L) 2 L =
L + 4 L
2
→ L = 5 / 2cm
GABARITO: D 3 65. Seja r a maior raiz da equação x.(x+2).(x-1) = 0. Se m é a multiplicidade de r, então r.m é igual a: a) 6. b) 5. c) 4. d) 3.
TÓPICO: EQUAÇÕES POLINOMIAIS Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: 3
A equação x.(x+2).(x-1) = 0 possui raízes 0, -2 e 1. A maior raiz é 1 que tem multiplicidade 3 (basta olhar o expoente do fator x - 1 ), então r = 1 e m = 3. r × m = (1)× (3) = 3
a) 0.
b) 1.
c) 3
c)
3 3
TÓPICO: GEOMETRIA ANALÍTICA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: O coeficiente angular da reta r é mr = 2 e o coeficiente angular da reta s é ms = -3. A tangente do ângulo agudo formado pelas retas r e s é dada por: mr − ms
tgθ =
1 + mr .ms
=
(2) − ( −3) 1 + (2).(−3)
=
5 −5
= −1 =1
GABARITO: D 68. O número de valores inteiros de x para os quais se verifica a 2 inequação x < 7x - 6 é: a) três. b) seis. c) cinco. d) quatro.
TÓPICO: INEQUAÇÃO DO 2º GRAU Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: 2
x < 7x – 6 2 m/a c/a m/a x - 7x + 6 < 0 2 x - 7x + 6 = 0 6 1 x’ = 1 x” = 6 S = {x∈ℜ/ 1 < x < 6} ={2, 3, 4, 5} GABARITO: A 69. Na figura, AB e CD são cordas tais que AP = 2PB, CD = 10cm, e
CP
=
2
PD
3
. A medida de AB , em cm, é:
a) 6 3 b) 7 3 c) 8 2 d) 9 2
3
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TÓPICO: GEOMETRIA PLANA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ:
O segmento DM corresponde a altura do triângulo eqüilátero DCE dado por: H = DM =
l.
3
=
4. 3
2
2
=2 3
O segmento BE = BC + CE → BE = 4 + 4 = 8 A =
Logo, temos: A =
GABARITO: A 3 2 70. Se o polinômio P(x) = ax – 3x – bx – 3 é divisível por (x – 3) (x + 1), então o valor de a + b é: a) 10. b) 8. c) 7. d) 5.
TÓPICO: POLINÔMIOS Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: DIVISÃO DE POLINÔMIO POR (x – a).(x – b), a ≠ b. Teorema Se P(x) for divisível por (x - a) e por (x - b), com a ≠ b, também será divisível por (x - a).(x - b). Generalizando, temos: Se um polinômio P(x) for divisível por um produto de binômios da forma (x – a).(x – b).(x – c)...., então ele será divisível individualmente por (x – a), (x – b), (x – c),.... Em conseqüência: P(a) = P(b) = P(c) =....= 0. x – 3 = 0 → x = 3 → P(3) = 0 3 2 a.(3) – 3.(3) – b.(3) – 3 = 0 9a – b = 10 x + 1 = 0 → x = -1 → P(-1) = 0 3 2 a.(-1) – 3.(-1) – b.(-1) – 3 = 0 -a + b = 6 9a − b = 10 → a = 2 / b = 8 Resolvendo o sistema: − a + b = 6
base × altura
2 BE × DM
=
8× 2 3
2
2
=8 3
GABARITO: D 72. O número de anagramas da palavra SOLEIRA que começam com vogal é a) 2720. b) 2780. c) 2860. d) 2880.
TÓPICO: ANÁLISE COMBINATÓRIA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: Deve-se inicialmente tratar a condição mais restritiva. Assim, temos 4 opções para a vogal que inicia o anagrama e, então, os 6 elementos restantes devem ser permutados. Logo, o número de anagramas da palavra SOLEIRA que começam com vogal é 4 × 6! = 4 × 720 = 2880. GABARITO: C 73. O raio da base de um cone equilátero mede 2 3cm. . O volume 3 desse cone, em cm , é: a) 42 3π
b) 38 3π
d) 18π
c) 24π
TÓPICO: GEOMETRIA ESPACIAL Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática Sendo cone eqüilátero a geratriz vale: g = 2R. g = 2 R → g = 2.( 2 3 ) = 4 3cm
a + b = (2) + (8) = 10
GABARITO: C 71. Na figura, BC e CE são segmentos colineares de 4cm cada um. Se os triângulos ABC e DCE são eqüiláteros, a área do triângulo BDE é:
Pelo teorema de Pitágoras calculamos a altura do cone:
a) 4 3
g
b) 6 3
( 4 3 ) 2 = H 2 + (2 3 ) 2
c) 8 3
H = 6cm
d) 10 3
Vcone =
TÓPICO: GEOMETRIA PLANA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ:
2
= H (VO)
1 3
2
+ R
2
. Abase. H =
1 3
.(π R 2 ). H =
1 3
.π .(2 3 ) 2 .6 = 24π cm 3 .
GABARITO: B 2 74. A parábola y = x intercepta a circunferência de centro (0,0) e raio 2 nos pontos a) (-1,1) e (2,4). b) (-1,1) e (1,1). c) (-2,4) e (2,4). d) (-2,4) e (1,1).
TÓPICO: GEOMETRIA ANALÍTICA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: 2
Equação Reduzida da Circunferência: ( x − a ) + ( y − b) = r Se o centro da circunferência coincide com a origem do sistema cartesiano, então a = 0 e b = 0. Nesse caso, a equação reduzida da 2
2
circunferência é: x 2 + y 2 = r 2 A =
A Área do triângulo BDE será dado por: A =
base × altura
2 BE × DM
2 2 2 x + y = r
x 2 + y 2 = 2 2 2 2 x + y = 4
2
4
www.cursohertz.com A interseção entre a parábola e a circunferência é a solução do sistema:
GABARITO: B 75. Se a e sena =
a) c)
2 2
b
e cosb = -
2 .( − 3 +
são 1 2
arcos
do
2º
quadrante
tais
que
, então sen(a+b) é:
2)
−
b)
4 3 .( 2 + 1)
4 3.(3 − 2 )
d)
4
2 .(1 + 3 )
4
TÓPICO: TRIGONOMETRIA Professor: Waldomário Melo – Marca forte da Matemática RESOLUÇÃO HERTZ: 2
2
sen a + cos a = 1
Pela relação fundamental
2 2
2
+ cos
2
cos a = ±
2
a =1
(a ∈ IIQ )
2
cos a = − 2
2
2 2
sen b + cos b = 1
1 =1 2
sen 2 b + −
3
senb = ± senb =
2
(b ∈ IIQ)
3 2
Pela Fórmula da Adição e Subtração de arcos temos: sen(a + b) = sena. cos b + senb. cos a
2 1 3 2 . − + . − 2 2 2 2
sen(a + b) =
sen(a + b) =
−
2 (1 + 3 ) 4
Boa sorte!
5
