Resolucion Taller No 5 Estadistica

Ministerio de Educación y Justicia Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael

Cátedra: Probabilidad y Estadística

Profesor: Lic. Oscar Raúl Zapata JTP: Lic. Andrea Roldán ATP: n!. "aleria Cordero

Taller # $ % &'estreo

Ciclo Lecti(o: )*+,

E-ercicio #$ + +. adas las in(esti!aciones /'e se indican a contin'aci0n1 se pide deter2inar para cada caso: a3 Poblaci0n de est'dio. b3 4nidad de análisis. c3 "ariable. d3 Tipo de 2'estreo 5probabilístico1 no probabilístico6 a3 T7cnica de 2'estreo 'tili8ada. I.

A efecto efectos s de realizar realizar un un estudio estudio sobre sobre el comporta comportamien miento to dentro dentro de la clase, clase, el profes profesor or ha solicita solicitado do a todos los alumnos que escriban en un papel su nombre, a continuación extrae al azar 4 papeles con los cuales forma un grupo y así sucesivamente hasta concluir con todos los papeles. a3 Poblaci0n de est'dio: alumnos de la clase b3 4nidad de análisis: alumno c3 "ariable: comportamiento dentro de la clase d3 Tipo de 2'estreo 5probabilístico1 no probabilístico6: probabilístico. a3 T7cnica de 2'estreo 'tili8ada: uestreo aleatorio simple !A"#

II.

$ara $ara estud estudiar iar las infracc infraccion iones es cometid cometidas as en una una esqui esquina, na, ante un cartel cartel de %$are&, %$are&, un equip equipo o de observación ha permanecido de ' de la ma(ana a ' de la tarde, durante tres días consecutivos, registrando una de cada tres de las infracciones observadas en ese tiempo. a3 Poblaci0n de est'dio: vehículos que pasan por una esquina b3 4nidad de análisis: vehículo c3 "ariable: infracciones cometidas d3 Tipo de 2'estreo 5probabilístico1 no probabilístico6: muestreo no probabilístico a3 T7cnica de 2'estreo 'tili8ada: uestreo intencional !I#

III.

)on el fin de investigar los coeficientes coeficientes intelectuales intelectuales de los estudiantes estudiantes de una universidad universidad,, se obtiene obtiene un listado listado de los

estudian estudiantes tes matricula matriculados, dos, numerad numerados os del * al +, +, de los cuales cuales se extrae extrae una

muestra de *, mediante un generador de n-meros aleatorios. a3 Poblaci0n de est'dio: estudiantes matriculados de una universidad b3 4nidad de análisis: estudiante c3 "ariable: coeficiente intelectual d3 Tipo de 2'estreo 5probabilístico1 no probabilístico6: probabilístico sin reposición. a3 T7cnica de 2'estreo 'tili8ada: uestreo aleatorio simple !A"#

I.

/n ingeniero ingeniero que supervi supervisa sa la calidad de producc producción ión en una f0brica f0brica de laminados, laminados, desea desea determinar determinar la proporción de fallas en el producto final. 1ecide tomar una muestra de 2 l0minas en un día, para lo 3aller 5 2

*


cual, durante cinco horas seguidas, toma las -ltimas diez l0minas producidas y cuenta el n-mero de fallas. a3 Poblaci0n de est'dio: l0minas producidas b3 4nidad de análisis: l0mina c3 "ariable: fallas d3 Tipo de 2'estreo 5probabilístico1 no probabilístico6: no probabilístico. a3 T7cnica de 2'estreo 'tili8ada: uestreo intencional !I#

.

$ara observar observar el comportamiento comportamiento de una red de distribución distribución el6ctrica el6ctrica de media media tensión tensión en una una ciudad, se toman * muestras de igual cantidad de viviendas con una superficie cubierta similar, similar, posteriormente posteriormente a las mismas se miden los 78. )onsumidos durante la primer semana de un mes. a3 Poblaci0n de est'dio: viviendas de una ciudad con superficie similar b3 4nidad de análisis: vivienda c3 "ariable: comportamiento de la red el6ctrica 9 consumo en :8. d3 Tipo de 2'estreo 5probabilístico1 no probabilístico6: no probabilístico. a3 T7cnica de 2'estreo 'tili8ada: uestreo intencional !I#

I.

"e desea desea conocer conocer la inserción inserción profesi profesional onal,, de los egresado egresados s de las carreras carreras de ingenie ingeniería ría de la /3 ;<"<, por lo cual, se realiza una encuesta en feceboo7 a los estudiantes de -ltimo a(o de cada especialidad, cuantificando a aquellos que han recibido alg-n ofrecimiento laboral. a3 Poblaci0n de est'dio: egresados de ingeniería de la /3 b3 4nidad de análisis: estudiante de -ltimo a(o c3 "ariable: ofrecimiento laboral d3 Tipo de 2'estreo 5probabilístico1 no probabilístico6: no probabilístico. a3 T7cnica de 2'estreo 'tili8ada: uestreo intencional !I# E-ercicio #$ ) +. 9obre los datos presentados en la tabla si!'iente1 indicar: a= b= c= d=

$obl $oblac ació ión n de de estu estudi dio o /nid /nida ad de de an0l an0lis isis is ariable9s 3ipo 3ipo y clasi clasific ficaci ación ón de de varia variable ble9s 9s 4ni(ersidad Tecnol0!ica #acional Est'diantes de n!eniería se!ún condici0n laboral Especialidad Total Traba-an )ivil '.4 *.>?@ Aeron0utica Aeron0utica 4.+ *.'2 Blectromec0nica 2.4> @4 Industrial **.>? +.?>* Cuímica ?.''4 *.4@? Blectrónica ?.> *.?2 ;uenteD inisterio de Bducación de la ación. Anuario de Bstadísticas /niversitarias, /niversitarias, +'.

a3 Poblaci0n de est'dio: estudiantes de ingeniería b3 4nidad de análisis: estudiante c3 "ariables: Bspecialidad9 condición laboral 3aller 5 2

+


d3 Tipo y clasificaci0n de (ariables: C'alitati(a no2inal  C'alitati(a no2inal ). Para reali8ar 'n 2'estreo /'e incl'ya a todas las especialidades1 s'!iera la t7cnica a 'tili8ar y los pasos a se!'ir1 f'nda2entando. Aunque no sabemos el par0metro que vamos a estimar a partir de la muestra, la t6cnica adecuada para realizar un muestreo de esta población, que incluya a todas las especialidades, sería uestreo estratificado, porque tenemos cierto conocimiento de la población a estudiar. $asos a seguirD *= 1eterminar la cantidad por especialidad de los estudiantes que no trabaEan. += 1eterminar la cantidad de estratos que formar0n parte de la muestraD en este caso ser0n ' estratos, en primer lugar las ? especialidades, y + estratos m0s, porque deseamos incluir a los Eóvenes seg-n su condición laboral !contamos con esta información# a= seis estratosD Bspecialidad b= 1os sub=estratosD 3rabaEan = o trabaEan = Bstablecer el nivel de confiabilidad con el cual se va a trabaEar. 4= )alcular el tama(o de la muestra, asignando las proporciones adecuadas a cada estrato. "i la consigna no hubiese especificado incluir todas las especialidades, podría haber realizado previamente un muestreo al azar de las especialidades, en vez de incluirlas a todas, pero siempre calculando la cantidad de especialidades que deberían incluirse en la muestra de forma probabilística. E-ercicio #$ ; 4na poblaci0n consta de los nú2eros )1 ;1 <1 y ++. Considere2os todas las posibles 2'estras de ta2a=o ) /'e p'edan to2arse con reposici0n1 de esa poblaci0n. Fas muestras posibles son 4!4#G *? +,+ +, +,? +,** ,+ , ,? ,**

?,+ ?, ?,? ?,** **,+ **, **,? **,**

a. Hallar la media de la población

μ=

2 + 3 + 6 + 11 4

=

22 4

=5,5

b. Fa desviación típica de la población 2

σ = 2

σ =

( 2−5,5 )2+ ( 3 −5,5 )2 +( 6 −5,5 )2+ ( 11−5 )2 4 12,25 + 6,25 + 0,25+ 30,25

3aller 5 2

4

=

49 4

=¿

=12,25




σ =√ 12,25 =3,5 c. Fa media de la distribución de muestreo de medias )alculamos la media a cada muestraD +,+ +, +,? +,** ,+ , ,? ,**

+, +,2 4, ?,2 +,2 , 4,2 >,

?,+ ?, ?,? ?,** **,+ **, **,? **,**

4, 4,2 ?, ',2 ?,2 >, '.2 **,

Fa media de la distribución muestral de medias esD

μ x´

=

Suma detod aslas medias muestrales 16

88

=

16

= 5,5

d. Fa desviación típica de la distribución de muestreo de medias

x´ − μ x´

∑ (¿) / n 2

2

σ x´ =¿ Med 2

(x- med)

(xmed)^2

-3,5

12,25

2,5

-3

9

2,5

-3

9

3

-2,5

6,25



-1,5

2,25



-1,5

2,25

,5

-1

1

,5

-1

1

0,5

0,25

!,5

1

1

!,5

1

1

"

1,5

2,25

"

1,5

2,25

3

9

5,5

30,25

3

9

!

#,5 $$ #,5

98

2

σ x´ =¿

3aller 5 2

98 16

=¿ 6,125 =

2

σ 12,25 =6,125 = 2 n

4


σ x´ =√ 6,125 ≅ 2,47 =

σ

3,5

=

√ n

√ 2

e. Cu6 conclusión obtenemos al observar estas medidasJ $or teorema del límite central, el comportamiento de la distribución de muestreo de medias, tendr0 comportamiento normal. "e cumple entonces queD

μ= μ x´

K que la varianza del muestreo de medias es igual a la varianza de la población 9n

E-ercicio #$ , A contin'aci0n se presenta 'na tabla con datos de 'na poblaci0n de est'diantes.

Peso en >!. ?=?+ ?=?2 ??=?' ?@=>* >+=>4

#ú2ero de est'diantes 2 *' 4+ +> '

a. )onstruir  muestras por muestreo aleatorio simple de tama(o 4. !Bn Bxcel# Fas muestras posibles son 4!4#G *? +,+ +, +,? +,** ,+ , ,? ,**

?,+ ?, ?,? ?,** **,+ **, **,? **,**

a. Hallar la media de la población

μ=

2 + 3 + 6 + 11 4

=

22 4

=5,5

b. Fa desviación típica de la población 2

σ = 2

σ =

( 2−5,5 )2+ ( 3 −5,5 )2 +( 6 −5,5 )2+ ( 11−5 )2 4 12,25 + 6,25 + 0,25+ 30,25 4

=

49 4

=¿

=12,25

σ =√ 12,25 =3,5 c. Fa media de la distribución de muestreo de medias )alculamos la media a cada muestraD

3aller 5 2

2


+,+ +, +,? +,** ,+ , ,? ,**

+, +,2 4, ?,2 +,2 , 4,2 >,

?,+ ?, ?,? ?,** **,+ **, **,? **,**

4, 4,2 ?, ',2 ?,2 >, '.2 **,

Fa media de la distribución muestral de medias esD

μ x´

=

Suma detod aslas medias muestrales 16

88

=

16

= 5,5

d. Fa desviación típica de la distribución de muestreo de medias

x´ − μ x´

∑ (¿) / n 2

2

σ x´ =¿ Med 2

(x- med)

(xmed)^2

-3,5

12,25

2,5

-3

9

2,5

-3

9

3

-2,5

6,25



-1,5

2,25



-1,5

2,25

,5

-1

1

,5

-1

1

0,5

0,25

!,5

1

1

!,5

1

1

"

1,5

2,25

"

1,5

2,25

3

9

5,5

30,25

3

9

!

#,5 $$ #,5

98

2

σ x´ =¿

98 16

2

σ 12,25 =6,125 = n 2

=¿ 6,125 =

σ x´ =√ 6,125 ≅ 2,47 =

σ

√ n

=

3,5

√ 2

e. Cu6 conclusión obtenemos al observar estas medidasJ

3aller 5 2

?


$or teorema del límite central, el comportamiento de la distribución de muestreo de medias, tender0 a un comportamiento normal.

μ= μ x´

"e cumple entonces queD

K que la varianza del muestreo de medias es menor a la varianza de la población.

E-ercicio #$ , A contin'aci0n se presenta 'na tabla con datos de 'na poblaci0n de est'diantes.

Peso en >!. ?=?+ ?=?2 ??=?' ?@=>* >+=>4

#ú2ero de est'diantes 2 *' 4+ +> '

a. )onstruir  muestras por muestreo aleatorio simple de tama(o 4. !Bn Bxcel# $ara realizar un A" de tama(o cuatro, debemos tener en cuenta que los datos est0n agrupados. )onsideramos primero el tama(o de la población G *, lo cual exige que asignemos un n-mero de  a @@ a cada uno de los valores de variable, de acuerdo a las frecuencias que conforman los intervalos. !ver tabla#. Marcas (eso de clase )g* %&c'

en N+ero de -signao estudiante s un s n+ero

61

60-62

5

00 a 04

64

63-65

18

05 a 22

67

66-68

42

23 a 64

70

69-71

27

65 a 91

73

72-74

8

92 a 99

N

100 $osteriormente utilizando el generador de n-meros aleatorios, extraemos conEuntos de cuatro n-meros, entre  y @@. $or eEemploD el primer conEunto est0 formado por !'2L 4+L '+L **#. Mbservo ahora en qu6 intervalos est0n incluidos. Fa muestra estar0 formada por las marcas de clase correspondientesD Marcas (eso de clase )g* %&c'

en N+ero de -signao estudiante s un s n+ero

61

60-62

5

00 a 04

64

63-65

18

05 a 22

67

66-68

42

23 a 64

70

69-71

27

65 a 91

73

72-74

8

92 a 99 3aller 5 2

11 42

82;85

>


N

100 Así la primera muestra estar0 formada porD !?4L ?>L >L >#. )omo el problema me pide, voy a construir de la misma manera las treinta muestras. $ara facilitar el trabaEo, puedo construir una tablaD Números

?%@ ,)@ ?)@ ++

26;68;72;57 77;13;55;29 85;77;76;61 41;40;2;37 90;55;81;96 54;63;89;17 79;31;68;68 71;10;75;62 41;3;97;56 19;1;41;31 37;71;91;47 12;33;71;90 27;80;49;86 38;35;91;13

Muestras 6 4

6 7 7 0 7 0 6 7 7 0 6 7 7 0 7 0 6 7 6 4 6 7 6 4 6 7 6 7

Media

Número s

68;30;28; 57 73;13;97; 73 66;41;18; 37 37;43;80; 35 80;89;29; 87 63;29;50; 10 69;99;72; 36 14;41;56; 39 60;50;56; 54 40;41;29; 10 50;18;72; 95 27;82;8;7 8 15;16;17; 92 94;97;46; 25 40;57;99; 98

67 73 73

70 70 67 64 67 67 70 70 67 67 61 67 67 70 73 67 70 64 67 70 70 64 70 67 61 73 67 61 67 67 70 70 67 67 70 70 70 67 70 67 70 64

Muestras

Media

70 67 67 67 70 64 73 70 70 67 64 67 67 67 70 67 70 70 67 70 67 67 67 64 70 73 70 67 64 67 67 67 67 67 67 67 67 67 67 64 67 64 70 73 67 70 64 70 64 64 64 73 73 73 67 67 67 67 73 73

b. )alcular la media y la desviación típica de la distribución muestral. )alculamos ahora la media aritm6tica a cada una de las muestras. $odemos hacerlo r0pidamente en Bxcel, utilizando la misma tabla.

3aller 5 2

Muestras

Medi a

64 67 73 73

69,25

70 67 67 67 67,75

67 70 70 67

68,5

70 64 73 70 69,25

70 64 67 67

67

Muestras

70 67 64 67

Medi a

67

70 70 70 67 69,25

67 67 70 67 67,75

67 67 61 67

65,5

70 70 67 70 69,25

70 67 70 73

70

67 67 67 64 66,25

'


67 67 70 64

67

70 73 70 67

70

70 67 70 70 69,25

64 67 67 67 66,25

70 64 70 67 67,75

67 67 67 67

67 61 73 67

67 67 67 64 66,25

67

67

64 61 67 67 64,75

67 64 70 73

67 70 70 67

67 70 64 70 67,75

68,5

68,5

64 67 70 70 67,75

64 64 64 73 66,25

67 70 67 70

68,5

73 73 67 67

70

67 67 70 64

67

67 67 73 73

70

Ahora calculamos la media de la distribución muestral de mediasD

μ x´

=

Suma de todaslas medias muestrales 30

=

2036,25 30

= 67,9

$or teorema del límite central, sabemos que NG?>,@ :g. )alculamos la desviación est0ndarD

x´ − μ x´

∑ (¿) / n 2

2

σ x´ =¿ 2

σ x´ =¿

59,718 30

=¿ 1,99Kg2

σ x´ =√ 1,99 ≅ 1,41 Kg c. ;ormular las conclusiones de los resultados obtenidos. $or teorema del límite central, sabemos que la media de la distribución del muestreo de medias, es un estimador insesgado de la media de la población, la cual ser0 NG?>,@ :g. K la desviación est0ndar de la distribución de medias, ser0 menor a la poblacional.

E-ercicio #$ %

Para anali8ar el creci2iento de ciertas al!as1 se eli!e 'na 2'estra piloto de +; plantas y se 2iden obteniendo 'na talla pro2edio de la 2'estra de %.; centí2etros y 'na (arian8a 2'estral de +.) El in(esti!ador desea deter2inar el ta2a=o de 2'estra 2íni2o necesario1 'sando la t7cnica &A91 para esti2ar la talla pro2edio de las al!as en la poblaci0n1 con 'na confian8a de %B y 'n error de esti2aci0n1 no 2ayor a ) centí2etros@ si en la poblaci0n ay )** plantas de al!as DC'ántas deben ele!irse para constit'ir la 2'estra

3aller 5 2

@


Primero, Identifcar la variable en estudio y los parámetros involucrados

.

2

O G 3alla de las algas !en centímetros#. Bn este caso se debe suponer que involucrados son dosD

μ ; σ # y los par0metros X N ¿

2 μ ; σ donde P es la talla promedio de las algas en la población y Q es la

desviación est0ndar de la talla de las algas.

Segundo, Estimar los parámetros

.

Bn este caso se tiene, del enunciado del problema, que *@.+

cm

2

2

es un estimador de

σ

´ G 2. cm. es un estimador de P y X

S

2

.

Tercero, sabemos que debemos utilizar MAS para determinar la muestra mnima necesaria para estimar la talla media de la poblaci!n de alga, y" Bl problema define una confiabilidad de @2RD $ara *=S9+G @2R T UG *.@? K un error de estimación no mayor a + cm.

#uarto, $eterminar el tama%o de muestra&

[ Z ( / 2)/ ε ]2 S x2´

n0 =

∝

n0 =

[1.96 / 2 ]2 19.2=18.42

→n0

´

19

Si n0 / N ≤ 0.05

= 19/200 = 0.095 ≥ 0.05 →

N

n=

≅

n0 1+

n0

N

19

=

1+

19

=

19 1 + 0.095

=17.35

≅

18

200

$ara estimar la talla media de las algas en la población, usando un dise(o A" con una confianza de @2R y un error de estimación no mayor a + centímetros, el investigador debe elegir al menos *' algas en la muestra.

E-ercicio #$ < En el proceso de fabricaci0n de ciertos cel'lares1 !eneral2ente el +*B de los 2is2os1 presenta al!ún defecto de fabricaci0n. Para anali8ar la calidad del prod'cto se desea esti2ar la proporci0n de artíc'los defect'osos de 'n lote de )*** cel'lares1 listo para ser e2barcado. DC'ántos cel'lares deben ser ele!idos del lote si se desea 'na confian8a de %B y 'n error de esti2aci0n no 2ayor a *.*% Pri2ero1 dentificar la (ariable en est'dio y los pará2etros in(ol'crados.

3aller 5 2

*


O G artículos defectuosos. Bn este caso el par0metro de inter6s es p!x#G proporción de artículos defectuosos y el par0metro involucrado es

ρ G ,* !*R# el cual estima a ^

P

9e!'ndo1 deter2ina2os la t7cnica de 2'estreo /'e debe2os 'tili8ar 5&A96 para deter2inar la 2'estra 2íni2a necesaria y esti2ar la proporci0n de poblaci0n. Bl problema define una confiabilidad de @2RD $ara *=S9+G @2R T UG *.@? K un error de estimación no mayor a ,2. K conocemos que el lote completo !la población de estudio# es G + celulares. Tercero1 deter2inar el ta2a=o de 2'estra.

[ ]

2

Z α ¿ 2

n0 =

ε

ρ ( 1 − ρ ) ^

^

[1.96 / 0.05 ]2 0.1∗0.9 =138.2976

n0 =

≅

139

Si n0 / N ≤ 0.05 ó

si no conocemos el tama(o

de la población.

→n0

= 139/2000 = 0.695 ≥ 0.05 →

N

´

n=

n0 1+

n0

139

=

N

1+

139

=

139 1 + 0.695

= 82.0059

≅

83

2000

$ara estimar la proporción de celulares con fallas en la población, usando un dise(o A" con una confianza de @2R y un error de estimación no mayor a .2, el investigador debe elegir al menos ' celulares del lote.

E-ercicio #$F 9e desea esti2ar en 'na estaci0n de piscic'lt'ra1 el ta2a=o 2edio de tr'cas y la proporci0n de tr'cas /'e c'2plen las nor2as para el cons'2o1 sabiendo /'e la poblaci0n1 está for2ada por ;+* tr'cas1 distrib'idas en tres estan/'es con la si!'iente infor2aci0n. Estan/'e + ) ; Total

N

σ2

p

+%% <) ; ;+*

)% ))% +**

*.?* *.)% *.%*

a6 DC'ántas tr'cas se debe ele!ir en la 2'estra del c'lti(o y por estan/'e para esti2ar el ta2a=o 2edio1 si se desea 'na confian8a de %B y 'n error no 2ayor a ) centí2etros 9i 'sa2os la t7cnica &AE con asi!naci0n proporcional. Pri2ero1 dentificar la (ariable en est'dio y los pará2etros in(ol'crados.

3aller 5 2

**


2

O G 3ama(o de las truchas !en centímetros#. Bn este caso se debe suponer que

μ ; σ # y los X N ¿

2 μ ; σ donde P es el tama(o promedio de las truchas en la

par0metros involucrados son dosD

población y Q es la desviación est0ndar. 9e!'ndo1 Esti2ar los pará2etros. Bn este caso se desconoce la media poblacional pero se conoce 2

2

2

2

2

2

σ

para cada estanque.

2

σ 1= 25 cm σ 2= 225 cm σ 3 = 100 cm

Tercero1 sabe2os /'e debe2os 'tili8ar &AE para deter2inar la 2'estra 2íni2a necesaria para esti2ar el ta2a=o 2edio de la poblaci0n de tr'cas: Bl problema define una confiabilidad de @2RD $ara *=S9+G @2R T UG *.@? K un error de estimación no mayor a + cm. G * truchas, de las cuales *22 corresponden al estanque *L ?+ al estanque + y @ al estanque . C'arto1 deter2inar el ta2a=o de 2'estra1 para el c'al tendre2os /'e calc'lar 'na 2'estra por cada estan/'e:

[ Z ( / 2)/ ε ]2 S x2´

n0 =

∝

[1.96 / 2 ]2

n0 =

[ ] [ ] [ ] 155

25 +

62

310 310 conocemos el tama(o de la población.

→

´

n0

= 85/310 = 0.2742

N

n=

n0 1+

85

=

n0

N

´

n1

=

n

´

=

n

n2

´ 155

310 ´ 62 310 ´ 93

1+

= =

85

=

225 +

93

310

100= 84.035 ≅ 85

Si n0 / N ≤ 0.05 ó

si no

≥ 0.05 → 85

=66.7085

1 + 0.2742

≅

67

310 67∗155 310 67∗62 310 67∗ 93

=33.5

=13.4

≅

≅

34

13

=20.1 ≅ 20 = 310 310 $ara estimar el tama(o medio de la población de truchas, usando un dise(o AB con una confianza de ´

n2

=

n

@2R y un error de estimación no mayor a + centímetros, el investigador debe elegir una muestra de ?> truchas, de las cuales, 4 deben ser del primer estanqueL * deben ser del segundo y + del tercero.

3aller 5 2

*+


b6 DC'ántas tr'cas se debe ele!ir en la 2'estra del c'lti(o y por estan/'e para esti2ar la proporci0n de tr'cas /'e c'2ple la nor2a si se desea 'na confian8a de %B y 'n error no 2ayor a *.*% 9i 'sa2os 'n dise=o &AE con Asi!naci0n proporcional Pri2ero1 dentificar la (ariable en est'dio y los pará2etros in(ol'crados. O G truchas que cumplen la norma. Bn este caso el par0metro de inter6s es p!x#G proporción de truchas que cumplen la norma y el par0metro involucrado es

ρ el cual estima a P ^

Bn este caso, conocemos la proporción estimada de cada estanqueD

p1 = 0.80 ^

p2=0.25 ^

p3 = 0.50 ^

9e!'ndo1 sabe2os /'e la t7cnica de 2'estreo /'e debe2os 'tili8ar es &AE para deter2inar la 2'estra 2íni2a necesaria y esti2ar la proporci0n de poblaci0n. Bl problema define una confiabilidad de @2RD $ara *=S9+G @2R T UG *.@? K un error de estimación no mayor a ,2. K conocemos que el lote completo !la población de estudio# es G * truchas. Tercero1 deter2inar el ta2a=o de 2'estra.

[ ] Z α ¿ 2

n0 =

ε

2

ρ ( 1 − ρ ) ^

^

[1.96 / 0.05 ]2

n0 =

[

155 310

0.8∗ 0.2+

62 310

0.25∗0.75 +

93 310

0.5∗0.5

]

=295.8032

≅

296

Si

n0 / N ≤ 0.05 ó si no conocemos el tama(o de la población. →n0

= 296/310 = 0.9548 ≥ 0.05 →

N

´

n=

n0 1+

296

=

n0

N

´

n1

=

n

n2

´

=

n

´

=

n

n2

3aller 5 2

´ 155

310 ´ 62 310 ´ 93 310

1+

= = =

296

=

296 1 + 0.9548

=151.4221

≅

152

310 152∗155 310 152∗62 310 152∗93 310

≅

76

=30.4

≅

30

= 45.6

≅

46

*


$ara estimar la proporción de truchas que cumplen con la norma de consumo en la población, usando un dise(o AB con una confianza de @2R y un error de estimación no mayor a .2, el investigador debe elegir al menos *2+ truchasL >? del estanque *L  del estanque + y 4? del estanque .

E-ercicio #$ ? El peso de ;*** est'diantes (arones de 'na 4ni(ersidad está nor2al2ente distrib'ido con 2edia !. y des(iaci0n típica ; >!. 9i se to2an ?* 2'estras de )% est'diantes cada 'na: a. cu0les ser0n la media y la desviación típica esperadas de la resultante distribución de muestreo de medias, si el muestreo se hizo con y sin reposiciónJ $or teorema del límite central, el comportamiento de la distribución de muestreo de medias, tender0 a un comportamiento normal. "e cumple entonces queD

μ= μ x´ G !#)g*

uestreo con reposiciónD

σ x´ =

σ

=

√ n

3 K !

√ 25

= .,! )g*

uestreo sin reposiciónD

σ x´ =

σ √ n

√( ) N −n N −1

=

√(

3 K !

3000 − 25

√ 25

3000 −1

)=

.,5/5$ )g

≅

0 " 6 K !

b. Bn cu0ntas de las muestras se esperaría encontrar que la media estuviera entre ??,' :g.y ?', :g.J $ara calcular la cantidad de muestras debemos primero estimar la probabilidad, para ello estandarizamos, calculando el valor U para cada valor de mediaD

Z 1= Z 2=

´ − μ x´ X σ x´

´ − μ x´ X σ x´

G

G

66,8 K !−68 K ! 0,6 K! 68,3 K !−68 K ! 0,6 K!

G 02,.

G .,5

Bstimamos el 0rea baEo la curva normal entre z * y z+ Fa probabilidad acumulada para z * G =+

p!z*#G.,.22"5.$32

Fa probabilidad acumulada para z + G,2

p!z+#G.,!/$!2!$

Fa probabilidad entre z * y z+ G ,?@*4?+4?* = ,++>2*+ G .,!!#"$232/ )alculamos la probabilidad de encontrar que la media estuviera entre ??,' :g.y ?', :g., sólo resta calcular la cantidad de muestras. "abemos que en total, las muestras son ', entoncesD uestras G 'VpG 'V,??'>*++@ G 2,4@?@'?2

≅

54 muestras

9e espera encontrar la 2edia entre <<1?>! y !1 en %, 2'estras.

3aller 5 2

*4


c. )u0l sería el n-mero de muestras esperadas con media menor a ??,4:g. J $ara calcular la cantidad de muestras debemos primero estimar la probabilidad, para ello estandarizamos, calculando el valor U para este valor de mediaD

Z =

´ − μ x´ X

66,4 K ! −68 K !

G

σ x´

0,6 K !

G 02,!"

'1 .,..3"/25!2 P (z

"abemos que en total, las muestras son ', entoncesD uestras G 'VpG 'V,>@+2?+G ,

≅

0 ó 1 muestras

9e espera encontrar co2o 2'co1 'na 2'estra donde la 2edia sea 2enor a <<1,>!.

E-ercicio #$  eter2inar el ta2a=o de 2'estra adec'ado para /'e1 con 'n ni(el de confian8a del %B1 se co2eta co2o 2áGi2o 'n error del %B al esti2ar la 2edia poblacional de 'na distrib'ci0n1 si se sabe /'e la des(iaci0n estándar poblacional es de *1;.

Identifcar, los datos que presenta el enunciado, y los parámetros involucrados

.

2

Bn este caso se debe suponer que

μ ; σ # y los par0metros involucrados son dosD X N ¿

2 μ ; σ donde

P es la media y Q es la desviación est0ndar de la población. Bn este caso se tiene, del enunciado del problema, que

μ es desconocida. "ólo se conoce

σ =¿

,.

Tercero, sabemos que debemos utilizar 'MAS( para determinar la muestra necesaria para estimar la media de la poblaci!n" Bl problema define una confiabilidad de @2RD $ara *=S9+G @2R T UG *.@? K un error de estimación de ,2.

#uarto, $eterminar el tama%o de muestra &

n0 =

n0 =

[ Z ( / 2)/ ε ]2 S x2´ ∝

[ ]( 1.96 0,5

2

0,3 )

2

=¿ 138,2976

≅

139

Si n N 0 ≤ 0.05

W  es desconocida

Bn este caso no conocemos el tama(o de la población, por lo cual no realizamos el aEuste nX Para esti2ar la 2edia en la poblaci0n1 'sando 'n dise=o &A9 con 'na confian8a de %B y 'n error de esti2aci0n del %B1 el ta2a=o adec'ado de la 2'estra1 es de +; ele2entos.

3aller 5 2

*2


E-ercicio #$ +* Antes de iniciar 'n proceso !anadero1 se desea esti2ar la poblaci0n de !anado bo(ino1 para lo c'al se capt'ra 'na 2'estra de ;** (acas1 se 2arcan y se re!resan al ca2po. os se2anas desp'7s se eli!en )** (acas1 de las c'ales <) (enían 2arcadas. Esti2e el total de (acas en el ca2po y deter2ine 'n inter(alo de %B de confian8a para dico pará2etro. Pri2ero: dentificar los pará2etros in(ol'crados Bn este caso el par0metro a estimar es el n-mero de vacas de la poblaciónD  $ara ello se elige una muestra aleatoria de t elementos. 1e esta forma se tiene queD

p=

t dónde p N

#ar$metro : N =

G es la proporción de marcadas en la población.

→

t p

%stimador : "e elige una segunda muestra de tama(o n en la cual se encuentran !aleatorio# s marcadas, luego

p= ^

s es la proporción estimada de marcadas en la segunda muestra, así un estimador puntual del n

tama(o de la población esD

N = ^

t nt = p s ^

arianza estimadaD !en este caso s es aleatoria y n es fiEa#

t n ( n −s ) 2

2

σ =

s

3

=¿

"abemos queD tG  nG+ sG ?+

N = ^

t nt = G p s ^

t n ( n −s ) 2

2

σ =

s

3

=¿

10422.61086 =¿

σ =√ ¿

200∗300 62

G 967.74

≅

( 300 )2 200 ( 200 −62 ) 3

62

968 vacas

=¿ 10422.61086 vacas 2

102.091 &acas

Fa población estimada es de @?' vacas, con una desviación est0ndar de *+ vacas. $ara estimar el intervalo de confianza, sabemos queD

[ N -Z_ (α/2) √(σ2)! ^

3aller 5 2

N "Z_(α/2) √(σ2)# ^

*?


[ 968 -1,96$ 102,091!

968 "1,96$ 102,091#

[ 767.901269669756 ; 1168.09873033024 ] [ 768 ; 1168 ] ≅

$odemos decir que para un @2R de confianza la población, estar0 comprendida entre >?' y **?' vacas.

E-ercicio #$ ++ En 'na a'topista es de inter7s esti2ar el nú2ero total de (eíc'los de 'n deter2inado ta2a=o /'e por allí circ'lan en orario pico1 para lo c'al se selecciona 'na 2'estra inicial de +%* (eíc'los y se 2arcan. En el 2is2o 2es se controla asta encontrar ;% (eíc'los 2arcados1 c'antificando +** (eíc'los para lo!rar esto. Esti2e el nú2ero total de (eíc'los /'e circ'lan en la a'topista en orario pico y 'n inter(alo de %B de confian8a para dico total. Pri2ero: dentificar los pará2etros in(ol'crados Bn este caso el par0metro a estimar es el n-mero de vehículos de la poblaciónD  $ara ello se elige una muestra aleatoria de t elementos. 1e esta forma se tiene queD

p=

t dónde p N

#ar$metro : N =

G es la proporción de marcados en la población.

→

t p

%stimador : "e elige una segunda muestra asta lograr 35 veculos arcados %s fi4o' de tama(o n, luego

p= ^

s es la proporción estimada de marcados en la segunda muestra, así un estimador puntual del n

tama(o de la población esD

N = ^

t nt = p s ^

Bste caso difiere del problema anterior en que arianza estimadaD

t n ( n −s ) 2

2

σ =

2

s ( s+1 )

=¿

!Bn este caso n es aleatoria y s es fiEo#

"abemos queD tG *2 nG* sG 2

N = ^

t nt = G p s ^

t n ( n −s ) 2

2

σ =

2

s ( s+1 )

3aller 5 2

=¿

1 00∗15 0 35

G 428.57

≅

429 vehículos

( 15 0 )2 1 00 ( 1 00−35 ) =¿ 3316.3265 vehículos 2 2 35 ( 35 + 1 ) *>


3316.3265 =¿

σ =√ ¿

57.587 ≅ 58 &e'(culos

Fa población estimada es de 4+@ vehículos, con una desviación est0ndar de 2' vehículos. $ara estimar el intervalo de confianza, sabemos queD

[ N -Z_ (α/2) √(σ2)!

N "Z_(α/2) √(σ2)#

[ 429 -1,96$ 57,587!

429 "1,96$ 57,587#

^

^

[ 316.12948 ; 541.87052 ] [ 316 ; 542 ] ≅

$odemos decir que para un @2R de confianza la población, estar0 comprendida entre *? y 24+ vehículos.

E-ercicio #$ +) 9e conoce /'e el coeficiente intelect'al '2ano se distrib'ye en for2a nor2al. El pro2edio del H de la poblaci0n es +** y la des(iaci0n estándar es i!'al a +*: a. )u0l es la probabilidad de encontrar personas con coeficiente intelectual superior a *+2J Bn este caso, la consigna nos pide estimar la probabilidad, de halar ciertos valores en una población normal, para ello estandarizamos, calculando el valor U para *+2D

Z 1=

´ − μ x´ X σ x´

G

125 −100 10

G 2,5

Bstimamos la probabilidad el 0rea baEo la curva normal par valores superiores a +,2 Fa probabilidad acumulada para z * G +,2

p!z*#G .,//3"/.335

Bntonces *= p!z *# G*= ,@@>@2 G .,..!2./!!5 La probabilidad de allar personas con 'n H s'perior a +)% es *1**<)*<<%. b. )u0l es la probabilidad de encontrar un individuo con coeficiente intelectual entre *2 y **2J

Z 1= Z 2=

´ − μ x´ X σ x´

´ − μ x´ X σ x´

G

G

105 −100 10 115−100 10

G .,5

G $,5

Fa probabilidad acumulada para z * G,2

p!z*#G.,!/$!2!$

Fa probabilidad acumulada para z + G*,2

p!z+#G .,/33$/2"//

Fa probabilidad entre z * y z+ G ,@*@+>@@ = ,?@*4?+4?*G .,2$"3.33" La probabilidad de encontrar 'n indi(id'o con H entre +*% y ++% es *1),+F;*;;F c. )u0l es la probabilidad de encontrar un individuo con coeficiente intelectual entre ' y @2J

3aller 5 2

*'


Z 1= Z 2=

´ − μ x´ X

G

σ x´

´ − μ x´ X

G

σ x´

80−100 10 95−100 10

G 02

G 0.,5

Fa probabilidad acumulada para z * G =+

p!z*#G .,.22"5.$32

Fa probabilidad acumulada para z + G=,2

p!z+#G .,3.#53"53/

Fa probabilidad entre z * y z+ G ,'2>2@ = ,++>2*+G .,2#5"#"." La probabilidad de encontrar 'n indi(id'o con H entre ?* y % es *1)?%F?F,*F

E-ercicio #$ +; %** bolillas de r'le2án tienen 'n peso 2edio de %.*) ! y 'na des(iaci0n típica de *.; !. Iallar la probabilidad de /'e 'na 2'estra al a8ar de +** bolillas de ese con-'nto1 ten!an 'n peso total1 2ayor de %+* !. Pri2ero: dentificar los pará2etros y estadísticos in(ol'crados G 2

μ=5,02  σ =0,3  nG*

´= X

pesototal 510  = =5,1  100 n

ecesitamos hallar la probabilidad para una muestra, entonces, estandarizamosD

Z =

´ − μ x´ X σ x´

G

( 5,1  −5,02  )/ 0,3  √ 100

G 2,!!

$!z#Gp!+,??#G .,..3#3.3#$ La probabilidad de encontrar 'na 2'estra al a8ar de +** bolillas1 con 'n peso total 2ayor a %+*! es *1**;?;*;?+.

E-ercicio #$ +, 4n in!eniero /'iere esti2ar el peso pro2edio de ciertos en(ases con fr'ta. 4n est'dio anterior de +* en(ases1 re(ela /'e la des(iaci0n estándar de s's pesos es de +)1) >!. De /'7 ta2a=o debe ser la 2'estra con el %B de confian8a y 'n error de esti2aci0n 2áGi2o de , >! Pri2ero: dentificar los pará2etros y estadísticos in(ol'crados G desconocido

μ= desconocida 3aller 5 2

*@


σ =12,2 K nG* Bl problema define una confiabilidad de @2RD $ara *=S9+G @2R T UG *.@? K un error de estimación de 4 :g.

n0 = n0 =

[ Z ( / 2)/ ε ]2 S x2´ ∝

[ ] 1.96 4

%&'*&+ & ε =

2

(12,2 )2 =¿ 35,736

≅

36

)σ

√ n

2

→n =( )σ / ε )

Si n N 0 ≤ 0.05

W  es desconocida

Bn este caso no conocemos el tama(o de la población, por lo cual no realizamos el aEuste nX Para esti2ar la 2edia en la poblaci0n1 con 'na confian8a de %B y 'n error de esti2aci0n de ,>!1 el ta2a=o adec'ado de la 2'estra1 es de ;< en(ases.

3aller 5 2

+

Resolucion Taller No 5 Estadistica

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