ANALISIS RESPON TRANSIEN
PENDAHULUAN
Respon sistem adalah tanggapan sistem atas energi yang dikenakan padanya. Dalam konteks ini, ada 2 asal energi, yaitu energi dari luar sistem, yang dibawa oleh sinyal input, dan energi dari dalam sistem, yaitu keadaan awal sistem. Respon sistem meliputi respon natural (alami), respon transien, dan respon steady respon steady state. state. Respon Respon natural natural (alami) (alami) adalah respon yang disebabkan oleh energi dari dalam yang disimpan oleh komponen dalam sistem (keadaan awal). Respon transien (respon peralihan) adalah respon sesaat sistem saat sistem dikenai energi. Resp Respon on steady state state (respon keadaan keadaan tunak) tunak) adalah respon respon sistem untuk untuk waktu waktu yang lama lama (tak terhingga) Untuk mempermudah analisa sistem, pada pembahasan ini keadaan awal sistem dianggap bernilai nol. Untuk respon transien dan respon keadaan tunak tunak diilustrasikan oleh Gambar 1.
Step Response 1.4
1.2
1
e d 0.8 u t i l p m A 0.6
Respon keadaan tunak Error steady state
Respon transien
0.4
0.2
0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Tim e (sec) (sec)
Gambar 1. Respon transien dan respon keadaan tunak Dalam respon transien dan respon keadaan tunak, ada beberapa persyaratan yang harus dipenu dipenuhi hi agar agar unjuk unjuk kerja kerja sistem sistem dikatak dikatakan an baik. baik. ersyar ersyarata atan n terseb tersebut ut menyes menyesuai uaikan kan dengan dengan keadaan dan penggunaan sistem yang sebenarnya (penggunaan di lapangan). Untuk mengetahui 1
apakah unjuk kerja sistem berjalan sesuai dengan harapan, maka digunakan beberapa sinyal uji. emilihan sinyal uji ini juga terkait dengan bentuk masukan sistem yang sesungguhnya. !da beberapa bentuk sinyal uji, yaitu sinyal step, sinyal ramp, sinyal impuls, dan sinyal sinusoidal. Dalam materi ini akan dianalisis respon sistem untuk masukan sinyal step, sinyal ramp, dan sinyal impuls. "entuk masing#masing sinyal ditunjukkan oleh gambar 2.
Sinyal ramp
amplitudo
Sinyal step Sinyal impulse t 0
Gambar 2. $ungsi sinyal step, sinyal ramp, dan sinyal impuls. SISTEM
ada pembahasan sebelumnya kita telah mengenal beberapa bentuk sistem, seperti sistem motor D% dan sistem le&el tangki (tinggi muka 'airan). istem#sistem tersebut memiliki transer un'tion sebagai berikut * istem motor D% *
G ( s )
( s )
E a ( s )
K m
T m s 1 ++++++++. 1)
Dimana * K m
T m
K Ra f KK b
Ra J Ra f KK b
gain
kons tan ta waktu motor
istem le&el tangki *
G ( s )
H ( s ) Qi ( s )
R RCs 1 +++++++++++..++++++ 2)
2
R dan % adalah parameter sistem. ekarang akan kita lihat bentuk sistem se'ara umum, yaitu ditunjukkan oleh persamaan berikut *
G ( s)
B( s ) A( s )
s m bm 1 s m 1 bm 2 s m
2
s n a n 1 s n1 a n 2 s n 2
.... b1 s b , nm .... a1 s a +++++++. -)
rde sistem ditunjukkan oleh pangkat tertinggi dari s pada bagian penyebut. ada sistem tersebut dideinisikan parameter pole dan ero. !ole adalah akar#akar persamaan karakteristik bagian penyebut, sedangkan er o adalah akar#akar persamaan bagian pembilang. m m 1 bm 2 s m 2 .... b1 s b "ero * B ( s ) s bm 1 s
n n 1 n2 .... a1 s a !ole * A( s ) s a n 1 s a n 2 s
Untuk 'ontoh sistem di atas termasuk kategori sistem orde#1.
RESPON SISTEM ORDE-1
e'ara umum, sistem orde#1 dinyatakan sebagai berikut * G ( s )
C ( s ) K R ( s ) T # s 1
+++++++++.++++. /)
0 dan ' adalah parameter sistem, yaitu gain dan konstanta waktu. 1. tep respon sistem orde#1 Untuk masukan sinyal step, maka R( s ) aka C ( s )
K
.
1
T # s 1 s
1 s
.
, dalam bentuk parsial *
Step Response
1
K KT s Ts 1 0.9 0.8 diperoleh Dalam domain waktu C ( s )
0.7
3 T =K ) ++++++++++++++. K (1 e t Amplitudo 4) 0.6 e d ditunjukkan oleh gambar -. Dalam bentuk kur&a u t
#(t ) K Ke
i 0.5 l p m A 0.4
t 3 T
Time constan (T c)
0.3 0.2
3
0.1 0 0
2
4
6
8
10
Time (sec)
12
14
16
18
Gambar -. tep response sistem orde#1 aat t 5 ' maka amplitude keluaran '(t) 5 ,6-2. aat t 5 / ' maka '(t) 5 ,782. aka kondisi steady state diperoleh untuk t 95 / '. 2. Ramp response sistem orde#1 1 Untuk masukan sinyal ramp, R( s ) 2 s C ( s )
1
1
Ts 1 s 2
1
s
2
T s
T 2 Ts 1
#(t ) t T Te t 3 T
++++++++++++++. 6)
-. $mpulse response sistem orde#1 Untuk masukan sinyal impulse, R ( s ) 1 C ( s )
K
Ts 1 K t 3 T # (t ) e T
Untuk masukan sinyal impuls, keluaran sistem merupakan sistem itu sendiri (ingat transormasi lapla'e sinyal impuls adalah 1). :al ini menunjukkan bahwa karakter sistem dapat diketahui dengan mengamati respon sistem untuk masukan sinyal impuls. ;ika impuls respon diketahui, maka respon sistem terhadap masukan lain merupakan hasil kon&olusi antara impuls respon dengan masukan yang lain.
RESPON SISTEM ORDE-2
e'ara umum, sistem orde#2 dinyatakan sebagai berikut *
G ( s )
C ( s ) R ( s )
n
s
2
2
2 n s n
2
++++++++++++++.. <)
=n
* rekuensi alamiah tak teredam
>
* rasio redaman sistem, yaitu rasio antara redaman yang sebenarnya dengan redaman kritis. 4
> =n
* aktor atenuasi
Dengan mengubah bentuk persamaan sistem orde#2 menjadi bentuk persamaan umum sistem orde#2, maka dapat di'ari nilai parameter sistem, yaitu rekuensi alamiah tak teredam dan rasio redaman. elanjutnya, perilaku dinamik sistem orde#2 dapat dijelaskan melalui kedua parameter. ;ika 1 , maka pole#pole lup tertutup tersebut merupakan konjugasi kompleks dan terletak disebelah kiri sumbu khayal bidang s. istem sema'am ini disebut redaman kurang, dan respon transiennya berosilasi. ;ika
1 , disebut redaman kritis. istem redaman lebih jika
transien redaman kritis dan redaman lebih tidak terjadi osilasi. ;ika
1 . Respon
, maka respon transien
akan berosilasi terus menerus tanpa redaman. 1. tep response sistem orde#2 Untuk kasus redaman kurang 1
C ( s )
n
s
2
2
1
2 n s n
s
s 2 n
1
s
2
s
s
2 n s n s n
1
2
2
n
s 2 2 s 2 2 n
d
n
d
'os t sin t # (t ) 1 e d d 2 1 2 t e 1 1 1 sin d t tan , (t ) 2 1
++++++++ 8)
n
n
Dimana *
d
n 1 2
Dari persamaan 8) dapat dilihat bahwa rekuensi osilasi transien adalah rekuensi alamiah teredam
d
, sehingga harganya dipengaruhi oleh rasio redaman
. inyal kesalahan dari
sistem ini adalah selisih antara masukan dan keluaran, yaitu
e(t ) r (t ) #(t ) e
nt
'os t d
1 2
sin d t ?
(t )
+++++++ 7)
inyal ini menunjukkan suatu osilasi sinusoida teredam. ada keadaan tunak (t 5 takterhingga), tidak terdapat kesalahan antara masukan dan keluaran. Dalam bentuk kur&a ditunjukkan oleh gambar /. 5
Step Response 1.8 1.6 1.4
1.2
e d 1 u t i l p m A 0.8 0.6 0.4 Gambar /. tep respon sistem orde#2 dengan
,1
0.2
;ika rasio redaman
sama dengan nol, respon menjadi tak teredam sehingga berosilasi 0
terus. ;ika kita terapkan ke persamaan 8) maka * e
sin n t 1 ++++++++++++. 1) 1 sin n t
#(t ) 1
ersamaan 1) menunjukkan nilai '(t) akan berosilasi terus#menerus akibat komponen
n
,
yaitu rekuensi sistem yang berosilasi pada redaman nol. Dalam bentuk kur&a ditunjukkan oleh gambar 4.
Step Response 2 1.8 1.6 1.4 1.2
e d u t i l 1 p m A
0.8
Gambar 4. tep respon dengan a'tor redaman Untuk kasus redaman kritis ( 1 ) 0.6 0.4
G( s )
C ( s ) R ( s)
2 0.2
n
s
2
System sys Time (sec) 0.238 Amplitude 0.116
0 0
2 n s n
2
n
5
s
Untuk masukan sinyal step maka * 1 C ( s ) #(t )
n
2
( s 2 )
System sys Time (sec) 12.4 Amplitude 0.0489
2 n s n 10
15
2
n
2
( s n ) 2 20
Time sec
25
Step Response
1 0.9 2
s 0.8
1 e t (1 n t ) n
2
2
0.7
? (t )
0.6
e d Dalam bentuk kur&a ditunjukkan oleh gambar 6. u t i l 0.5 p m A 0.4 0.3 0.2
0.1 0 0
1
2
3 Time (sec)
4
5
6
7
Gambar 6. tep respon sistem orde#2 dengan
1
0asus redaman lebih ( 1 ) Untuk kasus ini diilustrasikan dengan simulasi matlab sebagai berikut *
Step Response 1 0.9 0.8 0.7 0.6 e d u t i l 0.5 p m A 0.4 0.3 0.2
Gambar <. tep respon sistem orde#2 untuk
2
0.1
ada kasus ini dua pole dari G(s) mempunyai harga nyata negati&e dan berbeda. ;ika kedua 0 0
2
4
6
8
10
12
pole memiliki perbedaan yang 'ukup besar, maka sistem akan mendekati sistem orde#1. Time (sec) uatu rumpun kur&a '(t) dengan berbagai harga ditunjukkan oleh gambar 8, dimana absisnya adalah &ariable tak berdimensi ungsi dari
n
t . 0ur&a tersebut hanya merupakan
. Dari gambar 8, kita lihat bahwa redaman kurang dengan ,4 ,8
men'apai harga akhir lebih 'epat dari sistem redaman kritis atau redaman lebih. Diantara sistem#sistem yang responya tidak berosilasi, sistem redaman kritis menunjukkan respon yang ter'epat. Dalam beberapa kasus praktis, karakteristik perormansi sistem 'ontrol yang diinginkan dinyatakan dalam bentuk besaran wawasan waktu. istem yang mempunyai elemen penyimpan energy tidak dapat merespon se'ara seketika dan akan menunjukkan respon transien jika dikenai masukan atau gangguan.
!
Gambar 8. tep respon sistem orde#2 untuk berbagai nilai
eringkali, karakteristik perormansi sistem 'ontrol dinyatakan dalam bentuk respon transien terhadap masukan tangga satuan karena mudah dibangkitkan dan 'ukup radikal (;ika respon terhadap masukan tangga diketahui, maka se'ara matematis dapat dihitung respon terhadap setiap masukan). Respon transien sistem 'ontrol praktis sering menunjukkan osilasi teredam sebelum men'apai keadaan tunak. Dalam menentukan karakteristik respon transien sistem 'ontrol terhadap masukan tangga satuan, biasanya di'ari parameter berikut * 1. @aktu tunda (delay time), td 2. @aktu naik (rise time), tr -. @aktu pun'ak (peak time), t p /. Aewatan maksimum (maBimum o&ershoot), p 4. @aktu penetapan (settling time), ts
Dalam bentuk kur&a ditunjukkan oleh gambar 7.
"
Gambar 7. 0ur&a respon tangga satuan yang menunjukkan parameter respon transien
Transmisi roda &i&i %lant lok alat ukur
.asukan (+in)
Keluaran(
R1KASUS SISTEM STUDI SERVOMEKANISME R1$ R2
R2
+out)
*0
/eed ack
$
- Ra R2$ e
%en&uat (op'amp)
a ,a
T
R2
,-
lok kendali lok aktuator
#
Gambar 1. istem ser&omekanisme ujuan dari plant adalah didapatkan suatu posisi (C out) sama dengan nilai posisi yang diharapkan (C in atau posisi reerensi). ;ika Cout tidak sama dengan C in maka % R 2
D
% R 2 , sehingga blok kendali
(penguat) membangkitkan sinyal kendali yang akan menggerakkan blok a'tuator sedemikian sehingga Cout 5 Cin. istem ini akan membuat keluaran posisi akan mengikuti perubahan masukan. "erdasarkan hasil pemodelan diperoleh out in
G( s)
K . K 1 . K 2 .n 3 Ra
K K 2 J s f 2 - s Ra
Dimana * 0 5 konstanta kesebandingan antara E R2 atau ER2F dengan Cin atau Cout. 0 1 5 enguatan oleh blok kendali (proporsional) 0 2 5 0onstanta torsi motor 0 - 5 konstanta gaya gerak listrik balik dari motor ; 5 inersia total (motor, beban, rangkaian transmisi roda gigi) 5 koeisian gesekan gabungan (motor, beban dan rangkaian transmisi roda gigi) n 5 konstanta kesebandingan antara posisi poros beban dengan posisi poros motor akibat transmisi roda gigi. ranser un'tion tersebut dapat di sederhanakan menjadi
10
out in
G ( s )
C ( s ) R( s )
K Js 2 's
dim ana *
K K K 1 K 2 3 nRa J J 3 n 2 momen inersia pada poros keluaran ' f K 2 K - 3 Ra 3 n 2 koefisien gesek &iskos pada poros keluaran
Respon angga istem 0ita tinjau sistem ser&omekanisme * C ( s ) R( s )
K Js 's K 2
K 3 J ' K +++++++++++++. 1) s 2 s J J
2 0ita lihat bagian penyebut s
' K menggunakan rumus !"% maka diperoleh nilai akar# s J J
akar persamaan karakteristik (pole) sebagai berikut * 2
2
' ' K ' K s1 ? s 2 2 J 2 J J J 2 J 2 J '
ehingga persamaan 1) dapat ditulis dalam bentuk * C ( s ) R( s)
K J 2 2 ' ' K ' ' K s s 2 J 2 J J 2 J 2 J J
!kar#akar persamaan karakteristik (pole#pole) akan kompleks jika ' / JK , dan 2
nyata jika
2 ' / JK
ilai pole'pole ini terkait den&an kestailan sistem
11
%ontoh soal * 1. ;elaskan perbedaan antara sistem kendali open#loop dan sistem kendali 'losed#loop 2. uatu sistem memiliki transer un'tion sbb * 2 G ( s ) s 2 "erapa nilai parameter#parameter sistem Gambar step respon sistem dan tunjukkan nilai parameter respon sistem tersebutH -. uatu sistem memiliki transer un'tion sbb * G ( s )
24
s 6 s 24 "erapakah nilai parameter#parameter sistem Gambar step respon sistem dan tunjukkan nilai 2
parameter respon sistem tersebutH
Ingat rumus * t r
d
tan 1
t p
? dim ana n
d
) p e
d
d
( 3 d )
(1J
n 1 2
@aktu penetapan (ts) Untuk kriteria 2 J t s
/
Untuk kriteria 4 J 12
t s
/. ;ika sistem pada soal no. 2 diberikan 'ontroller D ( Kp K d s ), dengan nilai 0p50d51, berapakan nilai a'tor redaman sistem 'losed loop#nya (untuk memahami jawab soal ini, lihat penjelasan dalam buku ogata hal. -/<)
Konsep Pole-Zero Pada Sise!
0ita ingat deinisi transer un'tion sistem adalah ungsi yang menunjukkan perbandingan antara keluaran dan masukan sistem (dalam domain rekuensi). e'ara umum, transer un'tion sistem dinyatakan sebagai berikut * 1 C ( s ) b s m b1 s m .... bm 1 s bm , nm G ( s ) R ( s ) a s n a1 s n 1 .... an 1 s an
+++++++++++++ 1)
a s n a1 s n 1 .... an 1 s an
Untuk menentukan respon transien sistem ini terhadap setiap masukan yang diberikan, kita perlu menguraikan polynomial penyebut atas aktor#aktornya. arilah kita uji perilaku respon sistem ini terhadap masukan tangga satuan. !. ;ika pole#pole lup tertutup adalah nyata dan berbeda satu sama lain p1 p2 ....... pn . etelah polynomial penyebut diuraikan atas aktor#aktornya, persamaan di atas dapat ditulis * C ( s ) K ( s 1 )( s 2 )....( s m ) ? nm ( s p1 )( s p2 ).....( s ! n ) R ( s ) ++++++++++++++. 2) m * Kero pn * pole Untuk masukan tangga satuan, persamaan 2) diatas dapat ditulis * C ( s )
a s
n
i 1
ai s pi +++++++++++++++++++. -) 13
ai * residu dari pole di s 5 # pi aka domain waktu dari step respon sistem adalah # (t ) a
n
a e i 1
p i t
i
+++++++++++++++++++++ /)
ersamaan /) menunjukkan bahwa sistem akan stabil jika nilai pole#pole sistem adalah negati&e (terletak di sebelah kiri sumbu imajiner).
,n&at raian peca6an parsial yan& meliatkan pole ereda
G( s )
B ( s ) A( s )
a1 ( s p1 )
a2 ( s p2 )
a( s p- )
.....
an ( s pn )
7imana a1 , a2 , a- ,......., an * adala6 residu /(s) ke'18 28 38 98 n pada s = 'p18 s = 'p28 s= 'p38 98 s = 'pn 7an nilai'nilai residu terseut dapat dicari den&an 6uun&an
B( s) a1 ( s p1 ) A( s) s p
1
B( s) a2 ( s p2 ) A( s) s p
2
. .
B( s) an ( s pn ) A( s) s p
". ;ika pole#pole dari %(s) terdiri dari pole#pole nyata dan pasangan#pasangan pole konjugasi n
kompleks, maka tiap pasangan pole konjugasi kompleks menghasilkan bentuk orde kedua dalam s. Dalam hal ini, sistem dapat tuliskan dalam bentuk berikut * 7an domain :aktu dari sistem
f (t ) a1e
p1t
a2e p t a-e p t ... ane p t 2
-
n
14
m
! ( s )
K C ( s )
*
s
i
i 1 r
! ( s p )! ( s +
+ 1
2
2 k k s k ) +++++++++. 4) 2
k 1
LM2r5n. ;ika pole#pole memiliki harga yang berbeda maka, dapat dinyatakan dalam pe'ahan parsial sebagai berikut *
C ( s )
a s
*
a +
+ 1 s p +
r
bk ( s k k ) #k k 1 k 2
k 1
s 2 2 k k s k 2
++++++++++ 6)
ersamaan 6) menunjukkan bahwa respon orde tinggi terdiri dari beberapa bentuk yang melibatkan ungsi#ungsi sederhana yang dijumpai pada respon sistem orde pertama dan kedua. Domain waktu dari sistem tersebut adalah * *
#(t ) a
+ 1
a + e
p + t
r
bk e
k k t
'os k 1 k 2 t
k 1
r
# e k
k 1
k k t
sin k 1 k 2 t
+++++
<) !nalisa diatas menunjukkan bahwa kestabilan suatu sistem dapat ditentukan dari letak pole dalam bidang s. ;ika terdapat pole yang terletak di sebelah kanan sumbu khayal bidang s, maka dengan bertambahnya waktu, pole tersebut akan memberikan pengaruh yang dominan, sehingga respon transien akan monoton naik atau berosilasi dengan amplitude yang semakin besar. Ini merupakan suatu sistem yang tidak stabil. Untuk sistem sema'am ini, segera setelah penggeraknya diaktikan, keluaran akan membesar terhadap waktu. ;ika tidak terjadi saturasi dalam sistem atau tidak terdapat penahan mekanik, maka sistem tersebut akhirnya akan rusak karena respon suatu sistem isik sebenarnya tidak mungkin membesar se'ara tidak tentu. leh karena itu, pada sistem 'ontrol linear yang laKim, tidak diperbolehkan terdapat pole terletak disebelah kanan sumbu imajiner ( + ), maka setiap respon transien akhirnya akan men'apai kesetimbangan. Ini merupakan suatu sistem yang stabil
KONSEP METODA TEMPAT KEDUDUKAN AKAR
Dari pembahasan di atas dikatakan bahwa kestabilan sistem ditunjukkan oleh letak pole dalam bidang s. Dalam desain sistem lup tertutup, kita ingin mnegatur pole dan Kero lup terbuka 15
sedemikian rupa sehingga pole dan Kero lup tertutup pada bidang s terletak pada posisi yang diinginkan. ole#pole lup tertutup adalah akar#akar persamaan karakteristik. Untuk men'arinya, kita perlu menguraikan polynomial karakteristik atas a'tor#aktornya. Dalam hal ini, tempat kedudukan akar merupakan suatu metoda untuk men'ari akar#akar persamaan karakteristik. injau transer un'tion lup tertutup berikut ini * C ( s ) R( s )
G( s ) 1 G ( s ) H ( s )
++++++++++++++ 8)
ersamaan karakteristiknya adalah * 1 G ( s ) H ( s ) ++++++++++++++ 7)
Untuk G( s ) H ( s ) adalah besaran kompleks, maka persamaan 7) dapat dipisahkan menjadi 2 persamaan dengan menyamakan masing#masing sudut dan besar kedua ruas persamaan tersebut, untuk mendapatkan yarat sudut * #G ( s ) H ( s) "18o (2k 1)
(k ,1,2,.....)
yarat besar * G ( s ) H ( s )
1
:arga#harga s yang memenuhi syarat sudut dan syarat besar adalah akar#akar persamaan karakteristik, atau pole#pole lup tertutup. Untuk ilustrasi, tinjau sistem orde 2 berikut * C ( s ) R ( s )
K 2 s s K
0 adalah a'tor penguatan ( K $ ) . ersamaan karakteristiknya adalah s 2 s K
Dengan rumus !"%, akar#akar persamaan adalah sebagai berikut * s1
1 2
1 2
1 / K ,
s2
1 2
1 2
1 / K
!kar#akar akan nyata jika 1#/0 95, akan di'apai untuk K 1 3 / , dan akan imajiner jika 1#/0 N , akan di'apai untuk K 1 3 / . ;ika nila 0 5 maka *
1
s1 dan
s 2 1
;ika 0 5 O maka * s1 s 2 1 3 2
!rtinya, jika nilai 0 bergerak dari menuju O, maka pole akan bergerak menuju koordinat (#132, ). Untuk K 1 3 / maka pole#pole terletak pada sumbu nyata bidang s, seperti ditunjukkan oleh gambar 1. Dalam hal ini, sistem dalam kondisi redaman lebih (tidak terjadi osilasi). ada nilai 0 5 O, kedua pole menyatu, dalam hal ini sistem dalam kondisi redaman kritis. ;ika nilai nilai 0 9 O, maka pole#pole menjadi bilangan kompleks. 0arena bagian nyata bernilai konstan, maka pole# pole tersebut bergerak sepanjang garis s 5 #132. Untuk 0 9 O, sistem dalam kondisi redaman kurang (terjadi osilasi). emakin besar nilai 0, letak pole semakin menjauh dari sumbu nyata, sehingga redaman sistem semakin berkurang. Untuk suatu harga 0 yang diberikan, satu pole konjugasi bergerak ke s
1 1 +$ , sedangkan yang lain bergerak menuju s +$ . %ontoh untuk 0 5 2 2
1, maka s1 s 2
1 2 1 2
1 2 1 2
- -
1 2 1 2
-
2 2
+ +
K1<4
+ idan& s
K=0
; K=1<4
K1<4
Gambar 1. osisi pole 'ontoh sistem pada bidang s
1!
1"
