Resumo Sobre Cônicas e Quádricas

1. CÔNICA 1.1 Definição

Uma seção cônica ou, simplesmente cônica é obtida cortando-se qualquer cone de duas folhas por um plano que não passa pelo vértice, chamado de plano secante. 1.2 Nomenclatura

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Se o plano secante secante é paralelo paralelo a uma geratriz do cone, a cônica é uma uma parábola .

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Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz geratri z e corta só uma das

duas folhas do cone, a cônica é uma elipse.

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Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta ambas folhas do cone, a cônica é uma hipérbole .

1.3 Equação Geral da Côni ca

Além da equação reduzida, toda cônica também possui uma equação geral. O formato a seguir é utilizado qualquer cônica.

Ax2 + Bx + C 2 + Dx + E + F = Se você tem uma equação reduzida e quer chegar na equação geral, basta desenvolver os produtos e deixar todos os termos em um mesmo lado da equação. Como a equação geral não é tão clara quanto às equações reduzidas, existe o cálculo de um discriminante para saber se a equação representa uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.

<0  Δ = 0  Δ > 0  Δ

Elipse Parábola Hipérbole

 Δ =

B2−4*A*C

1.4 Gráficos

Gráfico da Elipse

y 2 = 4 . f  . x

Gráfico da Parábola

Gráfico da Hipérbol e

Equação d a Superfície Cônica

2. QUÁDRICA 2.1 Definição

Seja a equação de 2º grau a três variáveis: Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Entende-se que uma equação geral do segundo grau costuma possuir três variáveis (x,y,z), sendo que um dos coeficientes da equação (a,b,c,d,e ou f) deve ser diferente de zero, sendo assim obtém-se uma superfície quádrica. Mediante uma rotação ou translação de eixos, ou até mesmo através dos dois movimentos simultaneamente, se transforma em um dos dois tipos de equações: 1)  2 + 2 + 2 = D 2)  2 + 2 +  = 0 No momento em que a quádrica for cortada em planos coordenados ou em planos paralelos a eles, a curva que se formará é reconhecida como a cônica.

2.2 Nomenclatura •

Superfície Cilíndr ica

É a superfície gerada por uma reta móvel que se desloca ao longo de uma curva plana ou cônica mantendo-se paralelamente a uma reta fixa não pertencente ao plano da curva plana ou cônica. A curva plana ou cônica é denominada diretriz da superfície cilíndrica e a reta móvel é chamada de geratriz da superfície. •

Superfície Cônica

É a superfície gerada por uma reta que gira em torno de um dos eixos coordenados, passando sempre por um mesmo ponto, denominado de vértice da superfície cônica. •

Superfície de revolução

É a superfície gerada pela rotação ou revolução de uma curva plana ou cônica em torno de um de seus eixos ou em torno de uma reta fixa pertencente ao plano da curva plana ou cônica. A superfície é um hiperboloide de revolução de 2 folhas.

2.3 Equação Reduzida da Quádrica

2.4 Gráficos

→ Hiperboloide

de revolução de 2 folhas

Hiperboloide de revolução de 1 folha

→ Hiperboloide

→

circular

Elipsoide Circular →

→ Paraboloide

circular