Ekstrapolasi Richardson Dan Ekstrapolasi Aitken
LAPORAN
Untuk Memenuhi Tugas Matakuliah Analisa Numerik Yang diampu oleh Avita Ayu Permanasari, S.T., M.T.
Disusun Oleh : Mahendra Nara Sukarno
160514610095 160514610095
Malik Abdurrahman
160514601788 160514601788
Maulana Ahsanul Mubarok
160514610076 160514610076
Moh. Dedy Indra Setiawan
160514610063 160514610063
UNIVERSITAS NEGERI MALANG MALANG 2017
BAB VI. Integrasi Numerik (Ekstrapolasi Richardson) Penggunaan Ekstrapolasi untuk integrasi
Misalkan
I (h )
adalah perkiraan nilai integrasi dengan jarak antara titik
data adalah h(h<1). Dari persamaan galat kaidah integrasi (trapesium, Simpson 1/3, dll) yang dinyatakan dalam notasi orde :
p E O h
dapat dilihat bahwa galat E semakin kecil bila digunaka h yang semakin kecil, seperti yang ditunjukkan oleh diagram garis berikut:
Nilai integrasi adalah bila h=0, tetapi pemilihan h=0 tidak mungkin kita lakukan didalam rumus integrasi numerik sebab akan membuat nilai integrasi sama dengan 0. Yang dapat kita peroleh adalah perkiraan nilai integrasi yang lebih baik dengan melakukan ekstrapolasi ke h= 0. Ada dua macam metode ekstrapolasi yang digunakan untuk integrasi: 1. Ekstrapolasi Richardson 2. Ekstrapolasi Aitken
Ekstrapolasi Richardson
Pandang kembali kaidah trapesium b
n
h
f ( x)dx 2 ( f
0
2 i 1
a
(b a) f " (t ) 2 f i f n) h 12
Yang dapat ditulis sebagai b
f ( x)dx I (h) Ch
2
a
Dengan I (h) adalah integrasi dengan menggunakan kaidah trapesium dengan jarak antar titik selebar h dan C
(b a) f " (t )
12
Secara umum, kaidah integrasi yang lain dapat kita tulis se bagai b
f ( x)dx l (h) Ch
q
a
Dengan C dan q adalah konstanta yang tidak bergantung pada h. nilai q dapat ditentukan langsung dari orde galat kaidah integrasi, misalnya: Kaidah trapesium
2
O h
2
Kaidah titik tengah
O h
Kaidah 1/3 simpson,
4
O h
q=2 q=2
q = 4
Tujuan ekstrapolasi Richardson ialah menghitung nilai integrasi yang lebih baik (improve) dibandingkan dengan I. Misalnya J adalah nilai integrasi yang lebih baik dari pada I dengan jarak antar titik h: J = I(h)+ C h q
…(1)
Ekstrapolasikan h menjadi 2h, lalu hitung integrasi numeriknya J = I(2h)+ C 2 h
q
…(2)
Eliminasikan C dari kedua persamaan dengan menyamakan persamaan (1) dan persamaan (2): I ( h ) +
q C h = I(2h)+ C
Sehingga diperoleh
2h
q
...(3)
C
I (h) I (2h)
(2
q
…(4)
1)hq
Masukkan persamaan (4) kedalam persamaan (3) untuk memperoleh:
J = I(h) +
I (h) I (2h) (2q 1)
... (5)
Yang merupakan Persamaan Ekstrapolasi Ricahrdson. Ekstrapolsi Ricahrdson dapat kita artikan sebagai berikut: “Mula – mula hitung nilai itegrasi dengan kaidah yang sudah baku dengan jarak antara titik selebar h untuk mendapatkan I (h), kemudian hitung kembali nilai itegrasi dengan jarak antara titik selebar 2h untuk memperoleh I (2h). Akhirnya, hitunglah nilai itegrasi yang lebih baik dengan menggunakan persamaan (5).” Perhatikan bahwa jika pernyataan di atas dibalik, kita telah menggunakan ekstrapolasi menuju h=0, yaitu kita hitung I (2h) lalu hitung I (h). Urutan pengerjaan ( I (2h) atau I (h) lebih dulu) tidak mempengaruhi solusi akhirnya. Sebagai contoh perhatikan bila I (h) dan I (2h) di hitung dengan kaidah trapesium (q=2), maka ekstrapolasi Ricahrdson-nya adalah
J = I (h) +
1 3
l (h) l (2h)
Dan bila I (h) dan I (2h) dihitung dengan kaidah 1/3 Simpson ( q = 4), maka ekstrapolasi Ricahrdson-nya adalah
J = I (h) +
1 15
l (h) l (2h)
Perhatikan bahwa suku 1/3 [ I (h)- I (2h)] dan suku 1/15 [ I (h)- I (2h)] merupakan faktor koreksi. Artinya, nilai taksiran integrasi I (h) dapat ditingkatkan menjadi nilai yang lebih baik/akurat dengan menambahkan faktor koreksi tersebut.
Ekstrapolasi Aitken
Kita telah membahas ekstrapolasi Richardson yang dapat diringkas sebagai berikut: b
I
f ( x)dx l (h) Ch
q
a
Yang dalam hal ini : h
= Lebar tiap upaselang atau pias (atau jarak antara titik)
C
= Konstanta dengan q diketahui (C dapat dieliminir)
q
= Konstanta dengan q diketahui (C dapat dieliminir)
I (h) = Hampiran nilai I Ch q = Galat dari hampiran nilai I
Maka J
I ( h)
1 2
q
1
[ I ( h) I (2 h)]
Adalah perkiraan nilai integrasi yang lebih baik (improve) dari pada I . Apabila nilai q tidak diketahui maka kita gunakan tiga buah perkiraan nilai I, yaitu I(h),I(2h),I(4h); J
I ( h) Chq
J
I (2h) C (2h)q
J
I (4h) C (4h)q
C
C
J
J
…(6)
I (2h)
…(7)
(2h)q J
I ( h)
hq
C
I (4h)
…(8)
(4h) q
Untuk kasus ini kita gunakan tiga buah perkiraan nilai
I ,
yaitu
I (h ) , I (2 h) ,
dan
I (4 h ) :
J I ( h) hq
J
=
(2 h) q
hq
I (h)
J 1(2h)
J I (2h)
2
q
1 h
q
2q
Dan menyamakan persamaan (7) dan (8)
…(9)
J
J
2hq
I (2h) I (4h)
(4h)q
1
…(10)
2q
Persamaan (9)sama dengan persamaan (10) J J
I (h)
I (2h)
J
I (2h)
J
I (4h)
…(11)
Kali silangkan kedua persamaan (11) J
2
J
JI (h) JI (4h) I (h) I (4h)
J
2
2JI (2h ) [I (2h )]2
I (h) I (4h) [ I (2h)]2 I (h) 2I (2h) I (4h)
atau
J
I ( h)
[ I (h) I (2h)]2 I ( h) 2I (2h) I (4h)
…(12)
Persamaan (12) ini dinamakan persamaan ekstrapolasi Aitken. Sekarang tinjau kembali:
J
I (h) Ch q
J
I (2h) C (2h) q
0 I (h) I (2h) Chq C (2h) q I ( h)
I (2h)
C (2h)q
Chq
J
I (2h) C (2h) q
J
I (4h) C (4h) q
0 I (2h) I (4h) C (2h) q I (2h)
I (4h)
C(4h) q
…(13)
C (4h) q
C(2h) q
Bagi persamaan (14)dengan persamaan (13)
…(14)
C (2h) q
I (2h) I (4h)
I (h) I (2h)
q
Ch
C(4h) q
C(2h)
q
2q
…(15)
Besaran C pada persamaan (15)dapat dihilangkan menjadi
t
I (2h) I (4h)
I (h) I (2h)
2q
…(16)
Tinjau kembali persamaan (12) yang dapat ditulis ulang sebagai
J
I ( h) I (2h)
I (h)
I ( h) 2 I (2 h) I (4 h) I ( h) 2 I ( h)
I
I (h) I (2h)
(h)
I
I (2h) I (4h)
I (h) I (2h)
I
(h )
I
I ( h ) I (2h )
1 t
( h)
I (h) I (2 h)
1 t
Jadi J
I (h )
I ( h ) I (2h ) t 1
…(17)
Yang mirip dengan persamaan ekstrapolasi Richardson. Aitken akan tepat sama dengan ekstrapolasi Richardson jika nilai teoritis t 2q
Tepat sama dengan niai empirik
t
I (2h)
I (h)
I (4h)
I (2h)
CONTOH SOAL EKSTRAPOLASI RICHARDSON
Hitunglah kembali integral
∫ +
dx
Dengan menggunakan ekstrapolasi Richardson yang dalam hal ini I (h) dan I (2h) dihitung dengan kaidah trapesium dan h = 0.2 Penyelesaian:
Jumlah upaselang n = (2-0) / 0.2 = 10 Tabel titik-titik didalam selang [0,2] dengan h = 0.2 r
xr
f r
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
0.50000 0.45455 0.41667 0.38462 0.35714 0.33334 0.31250 0.29412 0.27778 0.26316 0.25000
I (h) adalah nilai integrasi dengan kaidah trapesium menggunakan h = 0.2
I (h ) =
∫ +
dx
= h/2 (f 0+2f 1+2f 2+2f 3+2f 4+2f 5+2f 6+2f 7+2f 8+2f 9+f 10) = 0.2/2 [0.50000 + 2(0.45455) + 2(0.41667) + 2(0.38462) + 2(0.35714) + 2(0.33334) + 2(0.31250) + 2(0.29412) + 2(0.27778) + 2(0.26316) + 0.25000] = 0.69378
I (2h) adalah nilai integrasi dengan kaidah trapesium menggunakan 2h = 0.4 I (2h) =
∫ +
dx
= (2h)/2 (f 0 + 2f 2 + 2f 4 + 2f 6 +2f 8 + f 10) = 0.4/2 [0.50000 + 2(0.41667)+2(0.35714)+2(0.31250) +2(0.27778)+ 0.25000] = 0.69564
Nilai integrasi yang lebih baik, J , diperoleh dengan ekstrapolasi Richardson:
J =
I
(h) +
I (h) I (2h) (2q 1)
Yang dalam hal ini, q= 2, karena I (h) dan I (2h) dihitung dengan kaidah trapesium yang (yang mempunyai orde galat = 2) J = 0.69377 + 0.69377 – 0.69563 = 0.69315 22-1 Jadi, taksiran nilai integrasi yang lebih baik adalah 0.69315 Bandingkan dengan nilai integrasi sejatinya:
∫ +
dx = ln(2 + x)
= =
= ln(4) – ln(2) = 0.69314718
Yang jika dibulatkan menjadi ketelitian 5 angka di belakang koma menjadi 0.69315, hasilnya tepat sama dengan nilai integrasi yang dihitung dengan
menggunakan metode ekstrapolasi Richardson.
CONTOH SOAL EKSTRAPOLASI AITKEN
Hitung
∫ √ 2sampai lima angka benar dengan menggunakan kaidah 1/3
Simpson (Gunakan h = 1/8)! Penyelesaian :
4h = 4 . 1/8 = 1/2
I (4h)
/ (f 4f / f )
= I (1/2h) = = 1/6(0+4
√1+√2)
= 0,90236
2h = 2 . 1/8 = 1/4
I (2h) = I (1/4h) =
f )
/ (f 4f / 2f / 4f /
= 1/12 (0+4
√ 2√14√ ( 3/2)√2 )
= 0,92846
h = 1/8
I (h) = I (1/8h) =
4f 5/ 2f / 4f / f )
/ (f 4f / 2f / 4f / 2f /
2 4 2√ 1 4 5 2 4 √ 2)
= 1/24 (0+4
= 0,93773
− (ℎ)−(ℎ) 2,815533981 Empirik t (ℎ)−(ℎ) − −I I J = I (1/8) + ,55− [0,93773 0,92846] = 0,93773 + ,55 = 0,94283
