Situación de Aprendizaje
Llenado de Recipientes
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En este documento mostramos un ejemplo de un diseño basado en prácticas, que pone en uso el conocimiento matemático, diferenciando las fases: apertura, desarrollo y cierre. En particular, trabajaremos en el Eje del Pensamiento y Lenguaje Variacional (PyLV), el componente cambio y predicción: elementos del Cálculo.
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Aprendizaje esperado: Analiza las regiones de crecimiento y decrecimiento de una función (nos centramos en las regiones de crecimiento).
Contenido específico: El tratamiento de las representaciones del cambio en diferentes contextos. Tablas, gráficas, texto, expresión oral, movimiento físico, funciones y derivadas. ¿Cómo represento el cambio?, ¿puedo representar mi posición en una gráfica dependiente del tiempo?, ¿qué es el cambio y qué es la variación?
Contenido central: Introducción a las funciones algebraicas y elementos de las funciones trascendentes elementales.
Al verter agua en una cubeta, un garrafón o un tinaco notamos que la cantidad de agua aumenta hasta llenar el recipiente. Ahora, si nos fijamos en la altura que tiene el cuerpo del agua vemos que también crece y podríamos preguntarnos ¿cuánto tiempo tardarán en llenarse estos recipientes? Para ello, necesitamos diferenciar entre ¿cómo es el crecimiento de la altura al llenar una cubeta?, ¿y al llenar un garrafón? Un recipiente vacío de forma cilíndrica es llenado mediante una llave a flujo constante. En la imagen siguiente se muestra la altura que alcanza el cuerpo del líquido al
transcurrir un segundo.
Recipiente 1
¿Cuántos segundos tardará en llenarse el recipiente? Justifique su respuesta. No se conoce que cantidad del recipiente es la que incremento en este segundo, por lo que se decir un tiempo seria solo adivinar la cantidad que se llena ¿Cómo crece la altura del cuerpo del líquido al paso del tiempo? De manera constante Proporcione la gráfica que muestre la altura del cuerpo del líquido al paso del tiempo.
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Considere recipientes cilíndricos con diferentes dimensiones y con la misma
capacidad , que serán llenados con el mismo flujo constante .
¿En qué se diferencia el crecimiento de la altura del cuerpo del líquido en el recipiente B respecto del recipiente A? Justifique su respuesta. El crecimiento del recipiente B será mas rápido en cuanto a la altura que el crecimiento de la altura
Proporcione la gráfica para cada recipiente en el mismo sistema coordenado. Verde A Rojo B
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Considere recipientes con forma de “cono” y “cono invertido”, como los que se muestran a continuación, que son llenados al mismo flujo constante.
Para el recipiente A, ¿cómo es el crecimiento de la altura en la parte inferior respecto a la parte superior? La parte inferior la altura incrementara de manera mas rapida en cuanto mas vaya subiendo la altura incrementara de manera mas lenta.
Para el recipiente B, ¿cómo es el crecimiento de la altura en la parte inferior respecto a la parte superior? En la parte inferior se llenara de manera mas lenta mientras que en la parte superior se llenara de manera mas rápida.
Para cada recipiente, proporcione la gráfica que muestre la altura del cuerpo del líquido al paso del tiempo.
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RECIPIENTE A
RECIPIENTE B
Durante el llenado a flujo constante de dos recipientes cilíndricos con las mismas dimensiones se registraron los siguientes valores de la altura del cuerpo del
líquido. Recipiente C Altura (cm) Tiempo (s) 1 3.3 2 4.6 3 5.9 4 7.2 a.
Recipiente D Altura (cm) Tiempo (s) 1 1.8 2 3.6 3 5.4 4 7.2
Analizando las tablas, ¿qué diferencias observa entre el llenado del recipiente C y el recipiente D? Justifique su respuesta.
El recipiente C se llena a una relación de 1.3 cm cada segundo, y el recipiente b se llena en una relación de 1.8 cm cada segundo, lo que indica que el recipiente C estaba ya lleno por que no parte de 0, mientras que el recipiente D si parte de 0.
b.
Si ambos recipientes miden 15 cm de alto, ¿cuál de los dos se llenará primero? Justifique su respuesta.
El recipiente D ya que se velocidad de llenado en mayor a la del recipiente C, y en el segundo 4 ambos están en la misma altura. La velocidad de llenado de C es 1.3 cm/s y la de D es 1.8cm /s
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Las siguientes tablas muestran los valores de la altura del cuerpo del líquido en tres recipientes llenados a flujo constante, ¿cuál de los tres recipientes es un cilindro? Justifique su respuesta. Recipiente E Tiempo Altura (cm) (s) 1.7 2 3.2 4 4.6 6 5.7 8 6.5 10
Recipiente F Tiempo Altura (cm) (s) 1.1 1 3.4 3 6.3 5 9.8 7 13.7 9
Recipiente G Tiempo Altura (cm) (s) 2.7 3 5.4 6 8.1 9 10.8 12 13.5 15
El recipiente G ya que la relación entre el tiempo y la altura es constante, lo que nos arroja una función Lineal, en el recipiente E y F nos arroja una función cuadrática ya que su relación entre el tiempo y la altura no es constante. Ahora, considere los siguientes recipientes que son llenados al mismo flujo constante.
Nota. El recipiente A cabe totalmente en el recipiente B. a.
Para cada recipiente, bosqueje la gráfica de la altura respecto al tiempo. Recipiente A
Recipiente B
¿Qué diferencia hay en la forma de crecimiento de la altura del recipiente A respecto al recipiente B?
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El crecimiento de A al principio es mas lento que el de B pero después se vuelve constante, mientras que el de B se vuelve mas lento el crecimiento después de un tiempo. Las siguientes gráficas corresponden al llenado al mismo flujo constante de dos recipientes.
a.
Bosqueje el recipiente que le corresponde a cada una. Recipiente A
Recipiente B
¿Cuáles son las diferencias en las dimensiones de los recipientes que bosquejó? La base del recipiente B es mas grande por lo que tarda mas en elevar la altura que del recipiente A
Describa ampliamente:
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a.
¿Cómo es el crecimiento de la altura si llenamos un cilindro? Constante
¿Cómo es el crecimiento de l a altura si llenamos recipientes con forma de “cono” y “cono invertido” ?
En el cono el crecimiento de la altura es lento al principio y después conforme va avanzando se vuelve mas rápido el crecimiento de la altura, en el cono invertido el crecimiento de la altura es primero muy rápido y después va incrementando de manera mas lenta. Bosqueje un recipiente que corresponda a cada una de las siguientes gráficas.
Recipiente A
Recipiente B
¿Cómo clasificaría el crecimiento para el llenado de recipientes? Entre mayor área tenga que cubrir el crecimiento de la altura será mas lento, mientras que si el volumen es menor tardara menos tiempo en aumentar su altura, cuando el recipiente
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tiene una forma cilíndrica el aumento de altura es constante, pero cuando tiene forma de cono la altura va de menor a mayor velocidad, en un cono invertido pasa lo contrario.
Complete la siguiente tabla con la descripción del comportamiento en la altura del cuerpo de un líquido durante el llenado de un recipiente cilíndrico o con la expresión algebraica correspondiente.
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Descripción
Expresión algebraica
En un recipiente vacío la altura del cuerpo del líquido se incrementa tres unidades y media por cada segundo.
() = 3.5 () = 1.5 + 3 () =
La altura inicial del cuerpo del líquido es de ocho unidades y el incremento de la altura es de siete unidades cada segundo.
() = 7 + 8
Un recipiente es llenado de tal forma que la altura crece cinco unidades cada segundo, y a los tres segundos registra una altura de diecisiete unidades y media.
() = 5 + 2.5
Dada la siguiente tabla de valores, decida y argumente ampliamente cuáles intervalos corresponden a una relación lineal y cuáles a una relación no lineal (¿de qué tipo?). X
Y
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1.7 3.2 4.6 5.7 6.5 7 7.5 8 9.1 10.5 12 13.7
Del intervalo 2 al 4 en x, se da una relación lineal, del intervalo -3 al 0 y del intervalo 5 al 8 la relación que se da es del tipo cúbica.
Esboce en un gráfico las funciones que cumplan con las características dadas y completa la tabla según corresponda:
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Características de la función
() > 0, ´() >0 ´´() > 0
ℎ() > 0, ℎ´() >0 ℎ´´() = 0
() > 0,´() > 0 ´´() > 0
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Características del crecimiento de la altura en el llenado de recipientes
La altura es lenta primero despues es rápido el crecimiento hasta que al final es constante
La altura es lenta primero despues es rápido el crecimiento
La altura es lenta primero despues es rápido el crecimiento hasta que al final es constante
Esbozo de gráfica
Características del comportamiento en otro fenómeno Ritmo de caminata de una persona
Al principio empieza lento a caminar despues acelera el paso y al final su paso es constante
Al principio empieza lento a caminar despues acelera el paso
Al principio empieza lento a caminar despues acelera el paso y al final su paso es constante
