a ; 2± 2 2¼ ± (x ¡ a ) f X (x ) = > : 0 si x · a : En este caso,
E X [X ] = a + e º + 2º + ±2
1 2
±2
E X [ln(X ¡ a ) ] = º ;
;
±2
Var X [X ] = e (e ¡ 1) y Var X [ln(X ¡ a ) ] = ± 2 : En el caso particular de que º tenga distribuci¶o n lognormal con media ¡ 1 + e ° , es decir, 1 + E º [º ] = e ° ;
¶o
° = ln (1 + E º [º ] )
y si
Var º [ln(º + 1) ] = ± 2 ; entonces Y n se distribuye tambi¶e n lognormal con E Y n [Y n ] = e n ° = expf n ln(1 + E º [º ] ) g y Var Y n [ln(Y n ) ] = n ± 2 , entonces el precio de la opci¶o n est¶a dado por c(S t ;t; T ) =
X1
¸ 0(T ¡ t) (¸
e¡
n= 0
donde
¡ ¢ (T ¡ t) ) n c B S S t ;t; ¾ n2 ;r n ;T ; n!
0
(34:20)
¸ 0 = ¸ (1 + E º [º ] ) ; n ±2 T ¡ t
¾ n2 = ¾ 2 + y
n ln(1 + E º [º ] ) : T ¡ t En efecto, el n -¶e simo sumando, » n , de la f¶o rmula de Merton, (34.20) , satisface h i e ¡ ¸ (T ¡ t) [¸ (T ¡ t) ] n »n = E Y n c B S (S t Y n e ¡ ¸ E º [º ](T ¡ t) ;t; ¾ 2 ;r ) n! e ¡ ¸ (T ¡ t) [¸ (T ¡ t) ] n ¡ r (T ¡ t) = e £ ·Z n ! ¸ r n = r ¡ ¸ E º [º ] +
= = = = = =
1
e
max(s Y n e ¡ ¸ E º [º ](T ¡ t) 0 ¡ ¸ (T ¡ t) ¡ ¸ E º [º ](T ¡ t) n
e
¡ ¸ 0(T ¡ t)
EY n
¡ K ;0) f S T jS t (s jS t ) ds ·Z 1 ¸ [¸ (T ¡ t) ] ¡ r (T ¡ t) (n ) e EY n (s Y n ¡ K 0) f S T jS t (s jS t ) ds
e
n!
e¡ e¡ e¡ e
0
¸ (T ¡ t) ¸ 0(T ¡ t)
n
[¸ (T ¡ t) ] ¡ e n!
r (T ¡ t)
[¸ (T ¡ t) ] n ¡ e n!
r (T ¡ t)
[¸ (T ¡ t) ] n n ° ¡ e e n!
K
0
K
0
μZ 1
r (T ¡ t)
K
0
(E Y n [s Y n ] ¡ K
0
¡ ¸ 0(T ¡
(n )
μZ 1 K
n
(s ¡ K
[¸ (T ¡ t) ] n (1 + E º [º ] ) n ¡ r (T ¡ t) e n! μZ 1 t) 0 [¸ (T ¡ t) ] n ¡ r (T ¡ t) e (s ¡ K n! K n K
0
(n ) ) f S T jS t (s jS t ) ds
(s e n ° ¡ K 0) f S T jS t (s jS t ) ds
¸ 0(T ¡ t)
donde
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μZ 1
= K e ¸ E º [º ](T ¡
t)
K
n
(s ¡ K
y
K
¶
(n )
n ) f S T jS t (s jS t ) ds
(n ) n ) f S T jS t (s jS t ) ds
n
¶
(34:21)
¶
(n ) n ) f S T jS t (s jS t ) ds
μZ 1
¶
¶
;
= K 0e ¡
n°
:
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388
3 4 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n p ro ceso s d e d ifu si¶o n co n sa lto s
Claramente, la integral de (34.21) , tra¶³da a valor presente, es la f¶o rmula de valuaci¶o n de BlackScholes con precio de ejercicio K n , es decir, Z1 (n ) c B S (S t ;t; K n ) = e ¡ r (T ¡ t) (s ¡ K n ) f S T jS t (s jS t ) ds : K
n
Observe tambi¶e n que el principio de valuaci¶o n de una opci¶o n, en equilibrio, no se modi¯ca, es decir, la prima de la opci¶o n es igual al valor presente del pago esperado. En este caso, (n )
d1
ya que
) + r (T ¡ t) + Var[ln(S T Y n ) ] p Var[ln(S t Y n ) ] ln(S t = K ) ¡ ¸ E º [º ] (T ¡ t) + n ln(1 + E º [º ] ) + r (T ¡ t) p = (¾ 2 + (n ± 2 = (T ¡ t) ) ) (T ¡ t) p + (¾ 2 + (n ± 2 = (T ¡ t) ) ) (T ¡ t) ln(S t = K ) + (r ¡ ¸ E º [º ] + (n ln(1 + E º [º ] ) = (T ¡ t) ) (T ¡ t) p = (¾ 2 + (n ± 2 = (T ¡ t) ) ) (T ¡ t) p + (¾ 2 + (n ± 2 = (T ¡ t) ) ) (T ¡ t) ;
=
ln(S t = K
n
Var[ln(S T Y n ) ] = Var S T [ln(S T ) ] + Var Y n [ln(Y n ) ] = ¾ 2 (T ¡ t) + n ± 2 :
Por u¶ ltimo, observe que (n )
d2
(n )
= d1
¡
p
(¾ 2 + (n ± 2 = (T ¡ t) ) (T ¡ t) :
Por lo tanto, de acuerdo con (34.20) , el precio de la opci¶o n, c(S t ;t) , se calcula como el valor medio, con respecto a la distribuci¶ de los precios de las opciones que cubren ¡ o n de Poisson, ¢ secuencialmente los saltos, c B S S t ;t; ¾ n2 ;r n , n = 0;1;2;::. Dicha ecuaci¶o n permite, para n su¯cientemente grande, calcular soluciones aproximadas en forma sencilla. Con el prop¶o sito de obtener aproximaciones num¶e ricas de (34.20) para el precio de una opci¶o n sobre el t¶³tulo GCARSO A1, se utilizan los precios y las estimaciones de los par¶ametros del Cuadro 34.1. Precios y par¶ametros relevantes S K r ¾ T ¡ t cB S 42.00 41.00 0.11 0.13 0.25 2.436 Cuadro 34.1. Valores de los par¶ametros y precio de la opci¶o n. En el Cuadro 34.2 se muestran valores aproximados de la valuaci¶o n de la opci¶o n baj o difusi¶o n y saltos para distintos valores de ¸ manteniendo ¯j o E º [º ] , con n = 100, baj o el supuesto de que º sigue una distribuci¶o n lognormal con media 0.01 y varianza 0.001. Los valores S , K , r , ¾ y T ¡ t se toman como en c B S del Cuadro 34.1. Como puede esperarse, ante la presencia de saltos en el subyacente, la opci¶o n se vuelve m¶as cara.
¸ c ¸ c
Valuaci¶o n baj o difusi¶o n y saltos E º [º ] =0.01, Var[º ] =0.001 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 2.506 2.575 2.641 2.706 2.747 (Continuaci¶o n) 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 2.830 2.890 2.896 3.006 3.061
Cuadro 34.2 Precios de la opci¶o n en funci¶o n de ¸ . Baj o el supuesto anterior de que º sigue una distribuci¶o n lognormal con varianza 0.001, el Cuadro 34.3 muestra el comportamiento del precio de la opci¶o n de compra en funci¶o n de E º [º ] . En este ejercicio los valores S , K , r , ¾ y T ¡ t se toman como en c B S del Cuadro 34.1.
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3 4 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n p ro ceso s d e d ifu si¶o n co n sa lto s
E º [º ] c E º [º ] c
Valuaci¶o n baj o difusi¶o n y saltos Var[º ] =0.001 ¸ =0.1 0.01 0.02 0.03 0.04 2.506 2.514 2.523 2.532 (Continuaci¶o n) 0.06 0.07 0.08 0.09 2.551 2.561 2.571 2.581
0.05 2.542 0.1 2.591
Cuadro 34.3 Precios de la opci¶o n en funci¶o n de E[º ] . Los supuestos sobre el comportamiento de la sucesi¶o n f Y n g pueden ser muy restrictivos para determinar soluciones de (34.10) , la siguiente secci¶o n presenta una alternativa de cobertura en donde la prima de la opci¶o n se determina a trav¶e s de la minimizaci¶o n de la varianza del cambio en el valor del portafolio.
3 4 .1 0 C o b e rtu ra c o n v a ria n z a m ¶³n im a En la secci¶o n anterior se estudiaron estrategias de cobertura de naturaleza no-local. Otra posibilidad para cubrir la difusi¶o n y los saltos, a partir de la ecuaci¶o n (34.8) , tanto como sea posible, es ¯j ar ® 2 = 1 y, posteriormente, obtener ® 1 de tal manera que se minimice la varianza del cambio en el valor en el portafolio. En virtud de (34.8) , el cambio en el valor del portafolio tomando en cuenta s¶o lo los factores de riesgo, con ® 1 arbitraria, es μ ¶ @c d¦ t = ® 1 + ¾ S t dW t + [c(S t (1 + º ) ;t) ¡ c(S t ;t) + ® 1 º S t ] dN t + ¢¢¢: @St La varianza de este cambio, la cual mide el riesgo en el portafolio, est¶a dada por Var[d¦ t ] = Var º [E[d¦ t ] jº ] + E º [Var[d¦ t ] jº ]
= Var [¸ (c(S t (1 + º ) ;t) ¡ c(S t ;t) + ® 1 º S t ) dt] μ ¶2 h i @c 2 + ®1 + ¾ 2 S t2 dt + ¸ E º (c(S t (1 + º ) ;t) ¡ c(S t ;t) + ® 1 º S t ) dt @St = ¸ 2 (dt) 2 Var [(c(S t (1 + º ) ;t) ¡ c(S t ;t) + ® 1 º S t ) ] μ ¶2 h i @c 2 + ®1 + ¾ 2 S t2 dt + ¸ E º (c(S t (1 + º ) ;t) ¡ c(S t ;t) + ® 1 º S t ) dt @St μ ¶2 h i @c = ®1 + ¾ 2 S t2 dt + ¸ E º (c(S t (1 + º ) ;t) ¡ c(S t ;t) + ® 1 º S t ) 2 dt; @St
(34:22)
ya que (dt) 2 = 0. Observe que la varianza Var[d¦ t ] , es de hecho condicional Var[d¦ t jS t ] . Por simplicidad, se omitir¶a el condicionante. Observe ahora que μ ¶ @ Var[d¦ t ] @c =2 ®1 + ¾ 2 S t2 dt @®1 @St + 2S t ¸ E º [º (c(S t (1 + º ) ;t) ¡ c(S t ;t) + ® 1 º S t ) ] dt y @ 2 Var[d¦ t ] = 2¾ 2 S t2 dt + 2S t2 ¸ E º [º 2 ] dt > 0: @ ® 12 Esta u¶ ltima condici¶o n, su¯ciente, asegura la existencia de un m¶³nimo. Por lo tanto, el valor de ® 1 que minimiza (34.22) , el cual se obtiene de @ Var[d¦ t ] = @ ® 1 = 0, satisface ¸ E º [º (c(S t (1 + º ) ;t) ¡ c(S t ;t) ) ] + ¾ 2 S t @ c @St £2¤ 2 ®1 =¡ : ¸ S t Eº º + ¾ S t
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(34:23)
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3 4 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n p ro ceso s d e d ifu si¶o n co n sa lto s
Si se val¶u a la opci¶o n en t¶e rminos de la esperanza sobre la mej or estrategia de cobertura. Es decir, si en (34.8) se sustituye ® 1 y se calcula E[d¦ t ] para igualarse con el retorno libre de riesgo del portafolio inicial con una tasa de inter¶e s constante a todos los plazos, se llega a que μ ¶ @c @ 2c @c ¾2 + 21 ¾ 2 S t2 + S ¹ ¡ (¹ + ¸ E [º ] ¡ r ) ¡ rc t º @t @ S t2 @St ¸ E º [º 2 ] + ¾ 2 · μ ¶¸ º + ¸ E º (c(S t (1 + º ) ;t) ¡ c(S t ;t) ) 1 ¡ (¹ + ¸ E [º ] ¡ r ) = 0: º ¸ E º [º 2 ] + ¾ 2
(34:24)
Cuando ¸ = 0, se obtiene, de nuevo, la ecuaci¶o n diferencial parcial de Black-Scholes. En este punto surge una pregunta natural, por qu¶e no se determinan ® 2 y ® 1 que minimicen Var[d¦ t ] , en lugar de ¯jar ® 2 = 1 y determinar s¶o lo ® 1 . La respuesta es simple, en este caso, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones simult¶aneas: μ ®2
¶2 @c ¾ 2 S t2 + ¸ E º [(c(S t (1 + º ) ;t) ¡ c(S t ;t) ) 2 ] @St + ® 1 = 0; @ c ¾ 2 S 2 + ¸ S E [º (c(S (1 + º ) ;t) ¡ c(S ;t) ) ] t º t t t @St
(34:25)
@c 2 2 @ S t ¾ S t + S t ¸ E º [º (c(S t (1 + º ) ;t) ¡ c(S t ;t) ) ] ®2 + ® 1 = 0; ¾ 2 S t2 + S t2 ¸ E º [º 2 ] y la u¶ nica soluci¶o n es ® 2 = ® 1 = 0, lo que no resuelve el problema de cobertura de una venta en corto del subyacente. Observe, por u¶ ltimo, que en el caso extremo cuando no existe difusi¶o n, es decir, si ¾ = 0, entonces dS t = ¹ S t dt + º S t dN t , y (34.22) se transforma en h i Var[d¦ t ] = ¸ E º (c(S t (1 + º ) ;t) ¡ c(S t ;t) + ® 1 º S t ) 2 dt:
(34:26)
En este caso, se tiene que @ Var[d¦ t ] = 2S t ¸ E º [º (c(S t (1 + º ) ;t) ¡ c(S t ;t) + ® 1 º S t ) ] dt @®1 y £ ¤ @ 2 Var[d¦ t ] = 2S t2 ¸ E º º 2 dt > 0: @ ® 12 Por lo tanto, el valor de ® 1 que minimiza (34.26) satisface ®1 =¡
E º [º (c(S t (1 + º ) ;t) ¡ c(S t ;t) ) ] : S t E [º 2 ]
(34:27)
Si se sustituye ® 1 en (34.8) y el resultado se iguala con el retorno libre de riesgo del portafolio, se obtiene que 0=
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@c @c +¹St ¡ rc @t @S · t μ + ¸ E º (c(S t (1 + º ) ;t) ¡ c(S t ;t) ) 1 ¡
º ¸ E º [º 2 ]
¶¸ (¹ + ¸ E º [º ] ¡ r ) :
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3 4 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n p ro ceso s d e d ifu si¶o n co n sa lto s
3 4 .1 1 L im ita c io n e s d e lo s m o d e lo s Es importante resaltar las limitaciones de los supuestos de los modelos estudiados: 1) la tendencia, ¹ , la volatilidad, ¾ , y el par¶ametro de intensidad, ¸ , del proceso que gu¶³a al subyacente son constantes; 2) no se consideran costos de transacci¶o n (comisiones e impuestos) ; 3) los t¶³tulos de capital son divisibles en cualquier fracci¶o n; 4) no hay pago de dividendos durante el periodo de cobertura; 5) la cotizaci¶o n y negociaci¶o n en el mercado de contado es continua; 6) la tasa de inter¶e s libre de riesgo es constante para todos los plazos y; 7) la estimaci¶o n de los par¶ametros ¹ y ¾ est¶a suj eta a la disponibilidad de observaciones. En este marco, y considerando s¶o lo los supuestos que merecen m¶as atenci¶o n, el trabaj o se puede extender en varias direcciones. Primero, es posible considerar, sin cambios sustanciales, que la tendencia, volatilidad e intensidad del proceso que gu¶³a al subyacente sean funciones del tiempo. Segundo, se requiere considerar una estructura de plazos de la tasa de inter¶e s; estructuras modeladas a trav¶e s de procesos estoc¶asticos que est¶an disponibles en la literatura. Por u¶ ltimo, es importante, incluir en el an¶alisis presentado el pago de dividendos y el caso de opciones americanas.
3 4 .1 2 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Ball, C. A. and W. N. Torous (1985) . \On Jumps in Common Stock Prices and Their Impact on Call Option Pricing" . T h e J o u rn a l o f F in a n ce, Vol. 40, No. 1, pp. 155-173. Cox, J. and S. Ross (1976) , \The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes." J o u rn a l o f F in a n cia l E co n o m ics, Vol. 3, No. 2, pp. 145-166. Merton, R. C. (1976) . \Option Pricing when Underlying Stock Returns are Discontinuous" . J o u rn a l o f F in a n cia l E co n o m ics, Vol. 3, No. 1-2, pp. 125-144. Venegas-Mart¶³nez, F. (2001) . \Opciones, cobertura y procesos de difusi¶o n con saltos: una aplicaci¶o n a los t¶³tulos de GCARSO" . E stu d io s E co n o¶ m ico s, Vol. 16, No. 32, pp. 203-226. Venegas-Mart¶³nez, F. (2001) . \Una gu¶³a completa para economistas en la valuaci¶o n de opciones" . G a ceta d e E co n o m ¶³a , A~n o 6, No. 12, pp. 155-212. Venegas-Mart¶³nez, F. (2002) . \Cobertura de °ujos ¯nancieros con instrumentos de renta ¯j a" . E stu d io s E co n o¶ m ico s, Vol. 17, No. 2, pp. 171-192.
3 4 .1 3 E je rc ic io s 3 4 .1 Si N
t
es un proceso de Poisson de¯nido en el espacio muestral IN [ f 0g , demuestre que ·Z t ¸ Zt Var g (s ) dN s = Var [g (s ) dN s ] : 0
0
S o lu ci¶o n : Sea tk 0 < tk 1 < ¢¢¢tk n una partici¶o n de [0;t] , entonces " ·Z t ¸ Xn Var g (s ) dN s =Var lim g (s tk ¡ 1 ) (N 0
= =
"
n! 1
lim
n! 1
Zt
Xn
k= 0
tk
k= 0
Var[g (s tk ¡ 1 ) (N
tk
¡ N ¡ N
tk ¡
1
tk ¡
)
1
#
)]
#
Var [g (s ) dN s ] :
0
La segunda igualdad se debe a la independencia de los incrementos en un proceso de Poisson. El l¶³mite, por supuesto, se toma en media cuadr¶atica. 3 4 .2 Suponga que Y = ln(X ¡ a ) » N (º ;± 2 ) , X > a , entonces X = a + e Y . Si º tiene distribuci¶o n lognormal con media ¡ 1 + e ° , cu¶al es la relaci¶o n entre (a ;° ) con (º ;± 2 ) . S o lu ci¶o n : a = ¡ 1 y ° = º + 12 ± 2 . 3 4 .3 De acuerdo con la secci¶o n 34.10, sobre la cobertura que minimiza a Var[d¦ t ] , muestre que μ ¶ @c @ 2c @c ¾2 + 21 ¾ 2 S t2 + S ¹ ¡ (¹ + ¸ E [º ] ¡ r ) ¡ rc t º @t @ S t2 @St ¸ E º [º 2 ] + ¾ 2 · μ ¶¸ º + ¸ E º (c(S t (1 + º ) ;t) ¡ c(S t ;t) ) 1 ¡ (¹ + ¸ E [º ] ¡ r ) = 0: º ¸ E º [º 2 ] + ¾ 2
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.
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C A P ¶IT U L O 35 V A L U A C IO¶ N D E O P C IO N E S C O N C O S T O S D E T R A N S A C C IO¶ N : M O D E LO D E LE LA N D ,H O G G A R D , W H A L L E Y Y W IL M O T T C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² Aproximaci¶o n discreta del movimiento geom¶e trico Browniano ² Valuaci¶o n local de opciones con costos de transacci¶o n ² Comisiones por volumen o por valor
3 5 .1 In tro d u c c i¶o n En este cap¶³tulo se generaliza la f¶o rmula de valuaci¶o n de Black-Scholes mediante la incorporaci¶o n de costos de transacci¶o n (comisiones) asociadas al rebalanceo de la cobertura Delta. Los efectos que estos costos de transacci¶o n tienen sobre los precios de las opciones es un tema central y apasionante en el desarrollo de las matem¶aticas ¯nancieras modernas. El presente cap¶³tulo se concentra en el modelo propuesto, inicialmente, por Hayne E. Leland en 1985 y, despu¶e s, extendido por T. Hoggard, A. Elizabeth Whalley y Paul Wilmott en 1994. El modelo produce f¶o rmulas de valuaci¶o n anal¶³ticas baj o costos de transacci¶o n que se realizan en tiempos discretos de magnitud constante. Con el prop¶o sito de concretar ideas, considere a continuaci¶o n una bolsa de opciones listadas. Las comisiones que cobran los socios de la bolsa a un cliente por operar consisten, usualmente, de una cantidad ¯j a m¶as un porcentaj e por volumen o por valor. Estos costos pueden tener variaciones signi¯cativas entre un socio y otro. Si las comisiones son altas, entonces el rebalanceo frecuente para cubrir un portafolio puede resultar costoso. Por otro lado, clientes con diferentes costos de transacci¶o n pueden asociar diferentes precios a un mismo contrato. Uno de los principales resultados de la metodolog¶³a de valuaci¶o n de Black-Scholes es que un portafolio, compuesto por una venta en corto de un subyacente y una posici¶o n larga sobre una opci¶o n de compra sobre el mismo subyacente, se cubre continua y perfectamente. Sin embargo, en tiempo discreto y en presencia de costos de transacci¶o n, la cobertura es imperfecta y se puede requerir un n¶u mero in¯nito de transacciones para mantener el portafolio cubierto hasta la fecha de vencimiento, lo que puede conducir a costos de transacci¶o n y precios de magnitud in¯nita.
3 5 .2 A p ro x im a c i¶o n d isc re ta El presente cap¶³tulo se concentra en el desarrollo de estrategias de cobertura en tiempos discretos de magnitud constante. A diferencia de las estrategias de cobertura en tiempo continuo en donde se emplea la regla \informal" (dW t ) 2 = dt;
dW
t
» N (0;dt) ;
una estrategia de cobertura en tiempo discreto utiliza la aproximaci¶o n p ( h ²) 2 = h ² 2 ;
(35:1)
(35:2)
en un intervalo de tiempo [t;t + h ] , con h ¯j a, y ² » N (0;1) . En este caso, ² 2 »  12 , as¶³ E[² 2 ] = 1. Observe que el lado derecho de (35.1) es una cantidad determinista, mientras que en (35.2) , el
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394
3 5 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n co sto s d e tra n sa cci¶o n ...
lado derecho, es una cantidad estoc¶astica. En el trancurso de este cap¶³tulo se ver¶a que, bajo la presencia de costos de transacci¶o n, el comportamiento estoc¶astico de (35.2) no permite coberturas perfectas.
3 5 .3 V a lu a c i¶o n d e o p c io n e s c o n c o sto s d e tra n sa c c i¶o n e n tie m p o d isc re to Considere un portafolio consistente de una venta en corto de ¢ = @ c= @ S t unidades del subyacente y una posici¶o n larga de una opci¶o n europea de compra con precio de ej ercicio K y vencimiento en T : @c ¦t = ¡ S t + c: (35:3) @St En virtud de (35.2) , el cambio en el valor del portafolio en [t;t + h ] ; t + h < T , con h ¯jo, est¶a dado por: μ ¶ @c 1 @ 2c 2 2 2 ¦ t+ h ¡ ¦ t = + ¾ S t ² h ¡ A jN h jS t ; (35:4) @ t 2 @ S t2 donde A > 0 es el porcentaj e por valor que cobra como comisi¶o n el socio operador por la venta en corto del activo subyacente, N h es el n¶u mero de acciones compradas o vendidas durante [t;t + h ] y A jN h jS t son los costos de transacci¶o n por volumen. Si N h > 0, se compran acciones, en caso contrario, N h < 0, se venden. Note ahora que ¯ ¯ ¯2 ¯ 2 ¯@ c ¯ ¯ ¯ ¯ (S t+ h ;t + h ) ¡ @ c (S t ;t) ¯= ¯@ c (S t+ h ¡ S t ) + @ c h + ¢¢¢¯; N h ¼ ¯ 2 ¯ ¯ ¯ @St @St @St @ t@ S t donde @ c= @ S t (S t+ h ;t + h ) y @ c= @ S t (S t ;t) son el n¶u mero de unidades que se cubren en t + h y t, con un call largo, respectivamente. Ahora bien, si r es la tasa de inter¶e s libre de riesgo, entonces baj o el supuesto de valuaci¶o n neutral al riesgo es posible escribir p p S t+ h ¡ S t = ¾ S t h ² + r S t h = ¾ S t h ² + O (h ) : (35:5) Observe que el t¶e rmino dominante de (35.5) es p p ¾ S t h ² = O ( h ); ya que S t+
ph
p ¡ St = ¾ S t² + r S t h ! ¾ S t² h
cuando h ! 0. Por lo tanto, N
h
¯2 ¯ p ¯@ c ¯ ¯ ¯j²j¾ S t h ; ¼ ¯ 2 ¯ @St
(35:6)
lo que signi¯ca, debido a la presencia de j²j, que N h es una cantidad aleatoria. Este resultado es de esperarse ya que la cobertura es imperfecta en [t;t + h ] . Despu¶e s de sustituir (35.6) en (35.4) , se tiene que ¯2 ¯ μ ¶ p ¯ ¯ @c 1 @ 2c 2 2 2 ¯@ c ¯j²j¾ S t2 h : ¦ t+ h ¡ ¦ t = + ¾ S ² h ¡ A (35:7) t 2 2 ¯ ¯ @t 2 @St @St Observe tambi¶e n que dado que E[² 2 ] = 1 y E[j²j] = 2
Z1 0
² ¡ p e 2¼
²2 = 2
d² =
r
2 ; ¼
entonces el valor esperado de (35.7) , condicional en S t , satisface E [¦ t+
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h
¡ ¦t j S t] =
μ
@c 1 @ 2c 2 2 + ¾ St @ t 2 @ S t2
¶
¯ ¯ r ¯@ 2 c ¯ 2 2 ¯ h ¡ A ¯ ¯@ S 2 ¯¾ S t ¼ h h : t
(35:8)
3/5/08 6:30:51 PM
395
3 5 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n co sto s d e tra n sa cci¶o n ...
Si se iguala (35.8) con el rendimiento proveniente de la tasa de inter¶e s libre de riesgo r , R
h
=r
μ ¶ @c ¡ St + c h; @St
con h visto como un par¶ametro, se sigue que, ¯2 ¯ r ¯@ c ¯ 2 @c 1 @ 2c 2 2 @c 2 ¯¾ S t + ¾ St + rS t ¡ A ¯ ¡ r c = 0; 2 2 ¯ ¯ @t 2 @St @St @St ¼h
t· T;
(35:9)
j unto con las condiciones, inicial y de frontera, c(0;t) = 0
c(S t ;t) = max(S t ¡ K ;0) ;
y
respectivamente. El t¶e rmino que contiene el valor absoluto, en (35.9) , representa el ajuste por costos de transacci¶o n. Claramente, la presencia del valor absoluto en (35.9) , indica que la ecuaci¶o n diferencial parcial no es lineal.
3 5 .4 C a so s p a rtic u la re s d e c o sto s d e tra n sa c c i¶o n A continuaci¶o n se analizan algunos casos particulares que simpli¯can la valuaci¶o n de una opci¶o n europea de compra en presencia de costos de transacci¶o n. Suponga, primero, que @ 2c > 0; @ S t2 entonces @c 1 + ¾2 @t 2
Ã
A 1¡ ¾
r
!
8 ¼h
@ 2c 2 @c St + r S t ¡ r c = 0: 2 @St @St
Si se de¯ne ahora la varianza ¾ h2
2
=¾ ¡ A¾
r
8 ; ¼h
(35:10)
(35:11)
se obtiene una ecuaci¶o n similar a la de Black-Scholes @c 1 @ 2c 2 @c + ¾ h2 S + r S t ¡ r c = 0; @ t 2 @ S t2 t @St
t· T:
(35:12)
Es importante destacar que para que (35.10) y el problema de valuaci¶o n tengan sentido, se debe cumplir r 8 ¾ > A : (35:13) ¼h Observe tambi¶e n que la varianza ¾ h2 es menor que la varianza sin costos de ajuste. Esto se debe a que cuando el precio del activo se incrementa, el propietario de la opci¶o n debe vender algunos activos para continuar con la cobertura delta. Sin embargo, el spread \bid-ask" sobre el subyacente reduce el precio al cual el activo es vendido y as¶³ el efecto neto en el precio del activo es menor que el incremento actual. Lo contrario se cumple para una opci¶o n en una posici¶o n corta. Por otro lado, note que (35.13) implica ¾
p
h > A:
(35:14)
Es decir, la volatilidad, en el horizonte h , es mayor que el porcentaj e de comisi¶o n por valor. En consecuencia, el precio de una opci¶o n europea de compra, c, baj o costos de transacci¶o n, est¶a dado por: p c = c B S (S t ;t; ¾ h ;A ) ´ S t ©(d h ) ¡ K e ¡ r (T ¡ t) ©(d h ¡ ¾ h T ¡ t) ; (35:15)
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396
3 5 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n co sto s d e tra n sa cci¶o n ...
donde
³ ´ ¡ ¢ ln SK t + r + 12 ¾ h2 (T ¡ t) p dh = ¾h T ¡ t
y © es la funci¶o n de distribuci¶o n acumulada de una variable normal est¶andar. Si diferentes clientes tienen distintos valores de A , entonces c B S (S t ;t; ¾ h ;A ) produce diferentes precios. En caso de que @ 2c < 0; @ S t2 se de¯ne ¾eh2
2
=¾ +A ¾
r
8 ; ¼h
(35:16)
y se obtiene una ecuaci¶o n similar a (35.12) con soluci¶o n c B S (S t ;t; ¾eh ) . En consecuencia, para una posici¶o n larga de una opci¶o n de compra @ 2 c= @ S t2 > 0, ya que cuando se considera la prima c B S (S t ;t; ¾ h ;A ) , la gamma est¶a dada por @2 © 0(d h ) 1 p c B S (S t ;t; ¾ h ) = = p e¡ 2 @St S t¾ h T ¡ t S t 2¼ ¾ h2 (T ¡ t)
¡h ´
d 2h = 2
> 0;
mientras que para una posici¶o n corta la gamma tiene signo negativo.
3 5 .5 C o sto s d e tra n sa c c i¶o n m ¶a s g e n e ra le s Se extiende ahora el modelo de la secci¶o n anterior a ¯n de considerar costos ¯j os y por volumen. En este caso, la ecuaci¶o n (35.4) se transforma en ¦ t+
h
¡ ¦t =
μ
@c 1 @ 2c 2 2 2 + ¾ St² @ t 2 @ S t2
¶
h ¡ (A
1
+ A 2 jN h j + A 3 jN h jS t ) ;
(35:17)
donde A 1 es una cantidad ¯j a que se cobra para comenzar a operar, A 2 y A 3 son porcentaj es que se cobran por volumen y valor de la operaci¶o n, respectivamente. As¶³, baj o el esquema de costos planteado en (35.17) , la ecuaci¶o n (35.8) se convierte ahora en E [¦ t+
h
¡ ¦t j S t] =
μ
@c 1 @ 2c 2 2 A 1 + ¾ St ¡ @ t 2 @ S t2 h
¶
h ¡ (A
2
¯2 ¯ r ¯@ c ¯ 2 ¯ + A 3 S t) ¯ ¯@ S 2 ¯¾ S t ¼ h h : t
(35:18)
Asimismo, la ecuaci¶o n (35.9) se transforma en @c 1 @ 2c 2 2 @c A1 + ¾ St + rS t ¡ ¡ (A 2 @t 2 @St @St h
2
¯2 ¯ r ¯@ c ¯ 2 ¯ + A 3 S t) ¯ ¯@ S 2 ¯¾ S t ¼ h ¡ r c = 0; t
t· T:
(35:19)
En particular, si la comisi¶o n que representa el porcentaj e por volumen es cero, A 2 = 0, y la gamma se mantiene positiva, entonces el valor de una opci¶o n europea de compra, para una posici¶o n larga, est¶a dada por c B S (S t ;t;¾ h ;A 3 ) ¡
A1 ³ 1 ¡ e¡ rh
r (T ¡ t)
´ ;
(35:20)
mientras que si la gamma se mantiene negativa para una posici¶o n corta, se sigue que c B S (S t ;t; ¾eh ;A 3 ) +
A1 ³ 1 ¡ e¡ rh
r (T ¡ t)
´ :
(35:21)
Observe que (35.19) puede producir precios negativos y que si h ! 0, entonces los precios (35.20) y (35.21) se tornan de magnitud in¯nita.
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3 5 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n co sto s d e tra n sa cci¶o n ...
3 5 .6 B ib lio g ra f¶³a Leland, H. E. (1985) . \Option Pricing and Replication with Transaction Costs" . J o u rn a l o f F in a n ce, Vol. 40, No. 5, pp. 1283-1301. Hoggard, T., A. E. Whalley, and P. Wilmott (1994) . \Hedging Option Portfolios in the Presence of Transaction Costs" . A d va n ces in F u tu res a n d O p tio n s R esea rch , Vol. 7, pp. 21-35.
3 5 .7 E je rc ic io s 3 5 .1 En el marco de costos de transacci¶o n, demuestre que, para una posici¶o n larga, c B S (S t ;t;¾ h ;A 3 ) ¡
A1 ³ 1 ¡ e¡ rh
r (T ¡ t)
´ ;
es soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial parcial @c 1 @ 2c 2 2 @c A1 @ 2c + ¾ S + r S ¡ ¡ A S ¾St t 3 t t @ t 2 @ S t2 @St h @ S t2
r
2 ¡ r c = 0: ¼h
3 5 .2 En el marco del problema de valuaci¶o n con costos de transacci¶o n, si el precio de contado de una acci¶o n es S t = 42, el precio de ejercicio es K = 43, la tasa de inter¶e s est¶a dada por r = 0:049, la vida de la opci¶o n, T ¡ t, es de 3 meses, la volatilidad satisface ¾ = 0:08, h es una semana, A 1 = 0:10 y A 3 = 0:01; encuentre el valor de una opci¶o n europea de compra. 3 5 .3 Calcule £ y encuentre su valor para los datos del ej ercicio anterior.
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.
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C A P ¶IT U L O 36 V A L U A C IO¶ N D E O P C IO N E S C O N P R O C E S O S D E L E¶ V Y C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ² ² ² ²
Funci¶o n caracter¶³stica Transformada inversa de Fourier Distribuciones in¯nitamente divisibles F¶o rmula de L¶e vy-Khinchin Valuaci¶o n Merton-Black-Scholes con funciones caracter¶³sticas Procesos regulares de L¶e vy Teorema de Cauchy Teorema del residuo
3 6 .1 In tro d u c c i¶o n El presente cap¶³tulo se concentra en la valuaci¶o n de una opci¶o n europea cuando el precio del activo subyacente es conducido por un proceso de L¶e vy. A diferencia de la metodolog¶³a de valuaci¶o n de Black-Scholes que utiliza funciones de densidad, en este caso la valuaci¶o n se lleva a cabo mediante el uso de funciones caracter¶³sticas. Se proporcionan f¶o rmulas expl¶³citas de valuaci¶o n de opciones sobre subyacentes guiados por procesos de L¶e vy.
F u en te: w w w .a n n a les.o rg
Paul L¶e vy (1886-1971)
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3 6 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n p ro ceso s d e L ¶e v y
3 6 .2 V a lu a c i¶o n c o n fu n c io n e s d e d e n sid a d Considere un proceso de Wiener f W t g t2 [0 ;T ] de¯nido sobre un espacio ¯jo de probabilidad con una ¯ltraci¶o n ( ;F ;f F t g t2 [0 ;T ];IP) . Se supone que el precio del subyacente al tiempo t, S t , es guiado por el movimiento geom¶e trico Browniano, en un ambiente neutral al riesgo, a trav¶e s de la siguiente ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica dS t = r S t dt + ¾ S t dW t :
(36:1)
Si f S T jS t (s jS t ) es la funci¶o n de densidad de S T condicional a S t y n c(S t ;t) = E e ¡
r (T ¡ t)
¯ o ¯ max(S T ¡ K ;0) ¯F t
(36:2)
es el precio de una opci¶o n europea de compra, entonces se satisface c(S t ;t) =e ¡ =e ¡
r (T ¡ t) r (T ¡ t)
Z1
max(s ¡ K ;0) f S T jS t (s jS t ) ds
¡ 1 Z1
(s ¡ K ) f S T jS t (s jS t ) ds
K
=e
¡ r (T ¡ t)
Z1
s f S T jS t (s jS t ) ds ¡ K e
K
=e ¡
r (T ¡ t)
£ E S T 1fS T >
K g
¡ r (T ¡ t)
¯ ¤ ¯S t ¡ K e ¡
(36:3)
Z
r (T ¡ t)
f s> K g
f S T jS t (s jS t ) ds
¯ ª © IP S T > K ¯S t :
El primer t¶e rmino representa el valor presente del valor esperado del subyacente cuando la opci¶o n est¶a dentro del dinero y el segundo el valor presente del precio de ej ercicio por la probabilidad de que la opci¶o n est¶e dentro del dinero. Si S t satisface (36.1) , una simple aplicaci¶o n del lema de It^o conduce a ¢ ¡ (36:4) d ln(S t ) = r ¡ 12 ¾ 2 dt + ¾ dW t ; lo que, a su vez, implica S T = S t e ¾ (W
T
¡ W
t )+
(r ¡
1 2
¾ 2 ) (T ¡ t)
(36:5)
:
Esta expresi¶o n lleva a dos hechos importantes. En primer lugar, el proceso f S t g t¸ 0 es adaptado a la ¯ltraci¶o n f F t g t¸ 0 , ya que (36.5) es invertible, en el sentido que es posible despej ar W t en dicha ecuaci¶o n. Por lo tanto, F
W
t
S
= ¾ (W t js · t) = ¾ (S t js · t) = F t :
En segundo lugar, la funci¶o n de densidad de S T , condicional a S t , est¶a dada por:
f S T jS t (s jS t ) = p
1 2¼ (T ¡ t) ¾ s
exp
8 > < > :
¡
1 2
³ ´ 12 9 > = ln Ss ¡ (r ¡ 12 ¾ 2 ) (T ¡ t) t A @ p : > ¾ T ¡ t ; 0
(36:6)
En cuyo caso, a partir de (36.3) se puede demostrar que c(S t ;t) = S t © (d 1 ) ¡ K e ¡ donde
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r (T ¡ t)
© (d 2 ) ;
³ ´ ln SK t + (r + 12 ¾ 2 ) (T ¡ t) p ; d1 = ¾ T ¡ t ³ ´ ln SK t + (r ¡ 12 ¾ 2 ) (T ¡ t) p p d2 = = d1 ¡ ¾ T ¡ t ¾ T ¡ t
(36:7)
(36:8)
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3 6 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n p ro ceso s d e L ¶e v y
y 1 © (d ) = p 2¼
Zd
e¡
1 2
x2
dx :
¡ 1
3 6 .3 F u n c io n e s c a r a c te r¶³stic a s y su s p ro p ie d a d e s Las funciones caracter¶³sticas han sido herramientas muy u¶ tiles en el desarrollo de la teor¶³a de probabilidad, sobre todo en lo que respecta al estudio de teoremas l¶³mite. En esta secci¶o n se presenta la de¯nici¶o n de funci¶o n caracter¶³stica de una variable aleatoria y se discuten algunas de sus principales propiedades. La funci¶o n caracter¶³sticap' X (u ) ; u 2 IR, de una variable aleatoria, X , se de¯ne como el valor esperado de e iu X , donde i = ¡ 1. Es decir, Z1 ¤ £ d ef ' X (u ) = E e iu X = e iu x dF X (x ) ¡ 1 Z1 Z1 = cos(u x ) dF X (x ) + i sen(u x ) dF X (x ) ; ¡ 1
(36:9)
¡ 1
donde F X (x ) es la funci¶o n de distribuci¶o n acumulada de X . La integral se interpreta en el sentido de Riemann-Stieltjes. En caso de que F X (x ) sea absolutamente continua con densidad F X0 (x ) = f X (x ) , entonces Z1 ' X (u ) = e iu x f X (x ) dx : (36:10) ¡ 1
Es decir, ' X (u ) es la transformada de Fourier de la funci¶o n de densidad, f X (x ) . La primera propiedad relevante de ' X (u ) es que ¶e sta siempre existe y j' X (u ) j · 1 con igualdad en u = 0. En efecto, observe primero que el m¶o dulo je iu x j satisface je iu x j2 = jcos(u x ) + isen(u x ) j2 = cos 2 (u x ) + sen 2 (u x ) = 1: En consecuencia, ¯Z 1 ¯ Z1 Z1 ¯iu x ¯ ¯ ¯ iu x ¯ ¯ ¯ j' X (u ) j = ¯ e dF e dF (x ) (x ) = dF X (x ) = 1: · X X ¯ ¯ ¡ 1
¡ 1
¡ 1
Se puede ver tambi¶e n, sin mucha di¯cultad, que ' X (u ) es absolutamente continua en todo IR. Otra propiedad de la funci¶o n caracter¶³stica es que ' X (¡ u ) = ' X (u ) . En particular, si X es sim¶e trica con respecto al origen, entonces ' X (u ) es una funci¶o n real par. Claramente, £ ' X (¡ u ) = E e ¡
iu X
¤ £ ¤ = E e iu X = E [e iu X ] = ' X (u ) :
(36:11)
Por otro lado, si X 1 ;X 2 ;:::;X n son variables aleatorias independientes, no necesariamente id¶e nticamente distribuidas, entonces la funci¶o n caracter¶³stica de su suma es igual al producto de las funciones caracter¶³sticas de cada uno de los sumandos. Esto se puede ver como sigue. Sea S n = X 1 + X 2 + ¢¢¢ + X n , entonces ¤ £ ' S n (u ) = E e iu S n ¤ £ = E e iu X 1 e iu X 2 ¢¢¢e iu X n ¤ £ ¤ £ ¤ £ = E e iu X 1 E e iu X 2 ¢¢¢E e iu X n = ' X 1 (u ) ' X 2 (u ) ¢¢¢' X n (u ) Yn = ' X i (u ) :
(36:12)
i= 1
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402
3 6 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n p ro ceso s d e L ¶e v y
La tercera igualdad se debe a la independencia de los sumandos. Por u¶ ltimo, sea X una variable aleatoria tal que los primeros n momentos E[ X k ] = M k , k = 1;2;:::;n , existen, es decir, E[ jX k j ] < 1 para k = 1;2;:::;n , entonces ¯ d ¯ ' X (u ) ¯ du u=
= ik M
0
(36:13)
k:
3 6 .4 F u n c io n e s c a ra c te r¶³stic a s d e a lg u n a s d istrib u c io n e s En esta secci¶o n se determinan expl¶³citamente las funciones caracter¶³sticas de algunas distribuciones u¶ tiles en el estudio de las ¯nanzas.
3 6 .4 .1 F u n c i¶o n c a ra c te r¶³stic a d e la d istrib u c i¶o n n o rm a l Sea X » N (0;1) , x 2 IR, es decir, f X (x ) = p entonces
1 ¡ e 2¼
x2
1 2
x 2 IR;
;
Z1 1 2 1 e iu x e ¡ 2 x dx 2¼ ¡ 1 Z 1 ¡ 1 u 2 1 ¡ 1 (x 2 ¡ = p e 2 e 2 2¼ Z¡ 1 1 2 1 ¡ 1u2 = p e 2 e ¡ 2 z dz ; 2¼ L
' X (u ) = p
2 iu x ¡ u 2 )
(36:14)
dx
j donde L es la l¶³nea horizontal z = x ¡ iu , x 2 IR, en el plano complejo C. Es usual denotar
Z
e
¡
1 2
z2
dz =
L
1
Z+
1 ¡ iu
1 2
e¡
z2
dz :
¡ 1 ¡ iu
2
La funci¶o n e ¡ 2 z es entera, es decir, es anal¶³tica (holomorfa) en todos los puntos ¯nitos del plano j complejo C. Por lo tanto, su integral en cualquier contorno cerrado simple es cero (teorema de Cauchy) y, en particular, en el rect¶angulo, R , determinado por los v¶e rtices ¡ x ¡ iu , x ¡ iu , x y ¡ x. μZ ¶ I Z Z Z e¡
1 2
z2
x ¡ iu
dz =
R
+
¡ x ¡ iu
Observe ahora que
¯Z x ¯ ¯ 0· ¯
e
x ¡ iu
1 2
¡
z2
x ¡ iu
lo cual implica que
¡ x
x
+
e
¡
1 2
x ¡ iu
e¡
1 2
z2
dz = 0:
¡ x
x
¯ ¯ ¡ ¯· e dz ¯
¯Z ¯ x ¯ lim jx j! 1 ¯
¡ x ¡ iu
+
1 2
x2
Z ju j
e¡
1 2
s2
ds ;
0
z2
¯ ¯ ¯ dz ¯= 0:
Es decir, los lados verticales del rect¶angulo, R , tienden a cero cuando jx j ! 1 . Por lo tanto, Zx¡
iu
e¡
1 2
z2
¡ x ¡ iu
De esta manera, p
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1 2¼
dz = ¡ Z
L
e¡
1 2
Z¡
x
e¡
1 2
x2
dx =
dz = p
e¡
1 2
x2
dx =
p
2¼ :
¡ x
x
z2
Zx
1 2¼
Z1
e¡
1 2
x2
dx = 1:
¡ 1
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403
3 6 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n p ro ceso s d e L ¶e v y
Consecuentemente, 1 2
' X (u ) = e ¡
u2
:
Ahora bien, en el caso general cuando Y » N (¹ ;¾ 2 ) , se tiene que Y = ¹ + ¾ X . Consecuentemente, ¤ £ ' Y (u ) = E e iu Y i h = E e iu (¹ + ¾ X ) ¤ £ = E e iu ¹ e iu ¾ X ¤ £ (36:15) = e iu ¹ E e iu ¾ X = e iu ¹ ' X (¾ u ) = e iu ¹ ¡
¾ 2u 2
1 2
= e iu ¹ e ¡ 1 2
¾ 2u 2
:
3 6 .4 .2 F u n c i¶o n c a ra c te r¶³stic a d e la d istr ib u c i¶o n P o isso n Sea X » P (¸ ) , x = 0;1;2;:::, es decir, IP X f X = x g = e ¡ entonces ' X (u ) =
¸
X1
¸x x!
x = 0;1;2;:::
e iu x e ¡
¸
x= 0
= e¡
¸
X1 (¸ e iu ) x x! x= 0
= e¡ ¸ e¸ e = e ¸ (e
¸x x!
iu
(36:16)
iu
¡ 1)
:
3 6 .4 .3 F u n c i¶o n c a ra c te r¶³stic a d e la d istr ib u c i¶o n G a m m a Sea X » G (® ;¯ ) , x ¸ 0, es decir, X tiene funci¶o n de densidad f X (x ) = entonces ' X (u ) = =
Z1
¡ 1 Z1 ¡ 1
=
μ
e iu x
¯x
¯ ® x ® ¡ 1 e¡ ¡(® )
¯x
¯ ® x ® ¡ 1 e (iu ¡ ¡(® ) ¶® Z 1
¯ ¯ ¡ iu
¶¡ μ iu = 1¡ ¯
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¯ ® x ® ¡ 1 e¡ ¡(® )
®
¡ 1
;
x > 0;
dx
¯ )x
dx (¯ ¡ iu ) ® x ® ¡ 1 e ¡ ¡(® )
(¯ ¡ iu )x
(36:17) dx
:
3/5/08 6:31:06 PM
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3 6 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n p ro ceso s d e L ¶e v y
3 6 .4 .4 F u n c i¶o n c a ra c te r¶³stic a d e la d istr ib u c i¶o n G a u ssia n a in v e r sa Sea ¿ a ;b la primera vez que un movimiento Browniano con tendencia b ¸ 0, f W t + btg t¸ 0 , visita un estado a > 0. En este caso, se dice que la variable aleatoria ¿ a ;b tiene una distribuci¶o n normal inversa con par¶ametros a y b, y este hecho se denota en forma simpli¯cada mediante ¿ a ;b » I G (a ;b) . La funci¶o n de densidad de ¿ a ;b est¶a dada por: a ab ¡ f ¿ a ;b (t) = p e t 2¼
3 2
½ μ ¶¾ 1 a2 2 exp ¡ ; +b t 2 t
x > 0;
(36:18)
y su funci¶o n caracter¶³stica satisface n ³p ´o ' X (u ) = exp ¡ a ¡ 2iu + b 2 ¡ b :
(36:19)
Otra forma de escribir (36.18) es como sigue ¾ ½ 1 (a ¡ bt) 2 ; exp ¡ f ¿ a ;b (t) = p 2 t 2¼ t3 a
t > 0:
(36:20)
En este caso, E[¿ a ;b ] = a = b y Var[¿ a ;b ] = a = b 3 . La densidad (36.20) se puede presentar en forma p alternativa a trav¶e s de la de¯nici¶o n de un conj unto nuevo de par¶ametros ¹ = a = b y a = 1= ¾ , ¾ > 0, de tal forma que f ¿ ¹ ;¾
¾ ½ (t ¡ ¹ ) 2 ; (t) = p exp ¡ 2t¹ 2 ¾ 2¼ ¾ t3 1
t > 0:
(36:21)
Observe que ahora E[¿ ¹ ;¾ ] = ¹ y Var[¿ ¹ ;¾ ] = ¹ 3 = ¾ . En particular, si b = 0, el tiempo de primera visita ¿ a a un estado a > 0 se de¯ne como: ¿ a = inf f t j W
= ag :
t
La continuidad en las trayectorias de f W t g t¸ 0 es esencial para que la de¯nici¶o n anterior tenga sentido. Observe que si M Wt = max W s ; 0· s· t
entonces ¿ a · t si y s¶o lo si M
W
t
¸ a:
(36:22)
Ahora bien, claramente, IP f M
W
t
¸ a g = IP f W
t
< a ;M
W
t
¸ a g + IP f W
t
¸ a ;M
W
t
¸ ag :
(36:23)
El primer sumando de (36.23) satisface IP f W
=IP f W
=IP f W
t
< a ;M
t
¡ W
t
=IP f W
t
¡ W
W
t
¿a ¿a
¸ a ;M
¸ ag
< 0 j ¿ a · tg IP f ¿ a · tg ¸ 0 j ¿ a · tg IP f ¿ a · tg W
t
(36:24)
¸ ag :
En la segunda igualdad se ha utilizado el hecho de que IP f W ¿ a = a g = 1; ya que la primera vez que W t visita al estado a > 0, es justamente en el instante ¿ a . La tercera igualdad se debe a la simetr¶³a de la variable aleatoria W t ¡ W ¿ a » N (0;t ¡ ¿ a ) . La u¶ ltima expresi¶o n en (36.24) es j ustamente el segundo sumando de (36.23) . Se sigue entonces de (36.24) que IP f M
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W
t
¸ a g =2IP f W =2IP f W
t t
¸ a ;M
¸ ag ;
W
t
¸ ag
(36:25)
3/5/08 6:31:08 PM
405
3 6 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n p ro ceso s d e L ¶e v y
ya que M
W
t
¸ W t . As¶³, IP f M
W
t
¸ a g =2IP f W =IP f W
t t
¸ ag
¸ a g + IP f W
=IP f jW t j ¸ a g μ ¶ 12 Z 1 2 = e¡ ¼t a
z2=2t
t
· ¡ ag
dz :
Es decir, la distribuci¶o n de M tW coincide con la de jW t j. Por lo tanto, la distribuci¶o n del tiempo de primera visita, ¿ y , se calcula como sigue: si a > 0, entonces F ¿ a (t) =IP f ¿ a · tg =IP f M
W
¸ ag
t
=IP f jW t j ¸ a g μ ¶ 12 Z 1 2 2 = e ¡ z = 2 t dz ¼t a μ ¶ 12 Z 1 2 2 = e ¡ v = 2 dv p ¼ a= t Zt 2 a p = e ¡ a = 2 u du ; 3 2¼ u 0
(36:26)
p donde en la pen¶u ltima integral se utiliz¶o la sustituci¶o n v = z = t, de esta forma el l¶³mite inferior p cambia de a a a = t, y el superior se mantiene. En pla u¶ ltima integral se emple¶o el cambio de p variable u = a = v , as¶³ el l¶³mite inferior cambia de a = t a cero, y el superior de 1 a t. Adem¶as, dv = ¡
1 2
a u 3=2
du ;
lo que permite intercambiar los l¶³mites de integraci¶o n. Despu¶e s de derivar (36.26) con respecto de t, se concluye que ½ 2¾ a a f ¿ a (t) = p exp ¡ t > 0: (36:27) 3 2t 2¼ t Otra forma alternativa de obtener (36.27) es como sigue. Sea X » N (0;1= a 2 ) y de¯na T = 1= X 2 , p entonces X = § 1= T . De esta manera, ¯ μ ¶¯ ¯ μ ¶¯ ½ 2¾ p ¯d p ¯ ¯ 1 ¯ a ¯+ f X (1= t) ¯d ¡ p1 ¯= p a p f T (t) = f X (1= t) ¯ exp ¡ : ¯dt ¯dt 2t t ¯ t ¯ 2¼ t3 Cuando b=0, este razonamiento motiva el nombre de distribuci¶o n Gaussiana inversa. Sin embargo, en el caso general, b > 0, dicho nombre podr¶³a ser inadecuado. Observe tambi¶e n que f ¿ a ;b (t) = e a b e ¡
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b2 = 2 t
f ¿ a (t) :
3/5/08 6:31:10 PM
406
3 6 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n p ro ceso s d e L ¶e v y
3 6 .5 T ra n sfo rm a d a in v e r sa d e F o u r ie r (d istr ib u c i¶o n ) Sea ' X (u ) la funci¶o n caracter¶³stica de una variable aleatoria X con distribuci¶o n F X (x ) . Si a y b, con a < b, son puntos de continuidad de F X (x ) , entonces se tiene la siguiente f¶o rmula de inversi¶o n de (36.26) : F X (b) ¡ F X (a ) =
1 2¼
Z1 μ e¡ ' X (u )
iu a
¡ 1
¡ e¡ 2iu
iu b
¡ ' X (¡ u )
e iu a ¡ e iu b 2iu
¶
du :
(36:28)
En virtud de que ' X (¡ u ) = ' X (u ) , se sigue que F X (b) ¡ F X (a ) =
· e¡ Re ' X (u )
Z1
1 2¼
¡ 1
iu a
¡ e¡ iu
iu b
¸ du :
(36:29)
3 6 .6 T ra n sfo rm a d a in v e r sa d e F o u r ie r (d e n sid a d ) Si la funci¶o n caracter¶³stica de una variable aleatoria X , ' X (u ) , satisface que Z1
¡ 1
j' X (u ) jdu < 1 ;
se tiene entonces que X tiene funci¶o n de densidad 1 f X (x ) = 2¼
Z1
e¡
iu x
' X (u ) du :
(36:30)
¡ 1
La expresi¶o n (36.30) es conocida como la transformada inversa de Fourier. La funci¶o n de densidad f X (x ) es uniformemente continua y acotada.
3 6 .7 D istr ib u c io n e s in ¯ n ita m e n te d iv isib le s Si ' X (u ) es la funci¶o n caracter¶³stica de una variable aleatoria X , se dice que la distribuci¶o n de X es in¯nitamente divisible si para todo n 2 IN la funci¶o n [' X (u ) ] n es, a su vez, la funci¶o n caracter¶³stica de alguna variable aleatoria.
3 6 .8 F o¶ r m u la d e L ¶e v y -K h in c h in La funci¶o n ' X (u ) es la funci¶o n caracter¶³stica de una distribuci¶o n in¯nitamente divisible si, y s¶o lo d ef si à X (u ) = log ' X (u ) tiene la forma Ã
X
(u ) = i° u ¡
1 2
2
2
¾ u +
¡ 1
donde 1 f jx j<
Z1
1g
=
(
1 0
¡ ix u e ¡ 1 ¡ iu x 1 f jx j<
1g
¢ º (dx ) ;
(36:31)
si x 2 (¡ 1;1) ;
si x 2= (¡ 1;1) :
Este resultado es conocido como la f¶o rmula de L¶e vy-Khinchin. Observe que en (36.31) el primer sumando es lineal en u , el segundo es la componente Browniana y el tercero es la componente de salto. La funci¶o n à X (u ) es, frecuentemente, llamada el exponente caracter¶³stico o funci¶o n caracter¶³stica de cumulantes, o simplemente la funci¶o n de cumulantes.
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407
3 6 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n p ro ceso s d e L ¶e v y
3 6 .9 E je m p lo s d e d istrib u c io n e s in ¯ n ita m e n te d iv isib le s A continuaci¶o n se presentan algunos ejemplos de distribuciones in¯nitamente divisibles con base en la f¶o rmula de L¶e vy-Khinchin. Cada distribuci¶o n in¯nitamente divisible tiene asociada una terna caracter¶³stica (° ;¾ 2 ;º (dx ) ) . Al primer elemento se le conoce como tendencia, al segundo como componente Browniana y al tercero como medida de L¶e vy. En ocasiones, la terna (° ;¾ 2 ;º (dx ) ) es llamada la terna de L¶e vy.
3 6 .9 .1 L a d istrib u c i¶o n n o rm a l e s in ¯ n ita m e n te d iv isib le Si X » N (¹ ;¾ 2 ) , entonces
Ã
X
(u ) = iu ¹ ¡
1 2
¾ 2u 2:
(36:32)
Basta tomar ° = ¹ y º (dx ) = ± (x ¡ 0) dx : Es importante recordar que la delta de Dirac satisface h (0) =
Z1
¡ 1
si
Z1
¡ 1
As¶³,
Z1
¡ 1
h (x ) ± (x ¡ 0) dx
jh (x ) jdx < 1
¡ ix u e ¡ 1 ¡ iu x 1 f jx j<
1g
¢ ± (x ¡ 0) dx = e 0 ¡ 1 ¡ 0 = 0:
En este caso, la Delta de Dirac es la densidad de L¶e vy. La terna caracter¶³stica de la distribuci¶o n normal es (¹ ;¾ 2 ;± (x ¡ 0) dx ) .
3 6 .9 .2 L a d istrib u c i¶o n d e P o isso n e s in ¯ n ita m e n te d iv isib le Si X » P (¸ ) , entonces
Ã
X
(u ) = ¸ (e iu ¡ 1) :
(36:33)
En este caso, se eligen ° = 0, ¾ = 0 y º (dx ) = ¸ ± (x ¡ 1) dx : As¶³, Z1
¡ 1
¡ ix u e ¡ 1 ¡ iu x 1 f jx j<
1g
¢ ¡ ± (x ¡ 1) dx = e iu ¡ 1 ¡ iu x 1 f jx j<
1g
¢ ¸ = ¸ (e iu ¡ 1) :
Observe que cuando x = 1, la funci¶o n indicatriz 1 f jx j< 1 g = 0. De esta manera, la terna caracter¶³stica de la distribuci¶o n Poisson es (0;0;± (x ¡ 1) dx ) .
3 6 .9 .3 L a d istrib u c i¶o n G a m m a e s in ¯ n ita m e n te d iv isib le Si X » G (® ;¯ ) , entonces
μ ¶¡ iu ' X (u ) = 1 ¡ ¯
®
(36:34)
:
En este caso, se puede mostrar que la terna caracter¶³stica est¶a dada por (® (1 ¡ e ¡ ¯ ) = ¯ ;0;® e ¡
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¯x
x ¡ 1 1fx >
0 g dx ) :
3/5/08 6:31:13 PM
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3 6 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n p ro ceso s d e L ¶e v y
3 6 .1 0 V a lu a c i¶o n M e r to n -B la c k -S c h o le s c o n fu n c io n e s c a r a c te r¶³stic a s A continuaci¶o n se generaliza la metodolog¶³a de Merton-Black-Scholes para valuar una opci¶o n europea de compra cuando el precio del subyacente no sigue un proceso Gaussiano. En esta generalizaci¶o n, la f¶o rmula de valuaci¶o n te¶o rica utiliza la funci¶o n caracter¶³stica del proceso, en lugar de la funci¶o n de densidad del proceso que conduce el precio del subyacente. Con el ¯n de motivar e ilustrar las ideas y conceptos centrales sobre los que descansa la extensi¶o n de la f¶o rmula de Merton-Black-Scholes, se partir¶a del supuesto de normalidad y se abandonar¶a justo en el momento en que la teor¶³a alternativa exija de nuevos y m¶as so¯sticados planteamientos. Se supone que el precio, S t , del activo subyacente, una acci¶o n que no paga dividendos, tiene una din¶amica estoc¶astica como la de¯nida en (36.1) , una simple aplicaci¶o n del lema de It^o produce ¢ ¡ (36:35) d (ln S t ) = r ¡ 12 ¾ 2 dt + ¾ dW t : Si se discretiza (36.35) con dt = T ¡ t, entonces ¡ ln S T = ln S t + r ¡
Por lo tanto, ln (S T ) » N
¢ ¾ 2 (T ¡ t) + ¾ (W
1 2
¡ ¡ ln (S t ) + r ¡
1 2
T
¡ W t) :
¢ ¢ ¾ 2 (T ¡ t) ;¾ 2 (T ¡ t) :
(36:36) (36:37)
En otras palabras, el rendimiento logar¶³tmico tambi¶e n tiene distribuci¶o n normal, pero con par¶ametro de tendencia menor que el del subyacente. La f¶o rmula de valuaci¶o n conduce a c(x ;t) = e ¡
r (T ¡ t)
¯¤ £ E g (ln(S T ) ) ¯s ;
(36:38)
donde x = ln(S t ) . Equivalentemente, c(x ;t) = e ¡ ¡¡ donde Y » N r¡ de Y , entonces
r (T ¡ t)
Z1
f Y (y ) g (x + y ) dy ;
(36:39)
¡ 1
1 2
¢ ¢ ¾ 2 (T ¡ t) ;¾ 2 (T ¡ t) . Por otro lado, si ' Y (u ) es la funci¶o n caracter¶³stica Z1 e iu y f Y (y ) dy : (36:40) ' Y (u ) = ¡ 1
En este caso, de acuerdo con (36.30) , la transformada inversa de Fourier est¶a dada por f Y (y ) = Si ahora se de¯ne X » N
¡¡ r¡
1 2
1 2¼
Z1
e¡
iu y
' Y (u ) du :
(36:41)
¡ 1
¢ ¢ ¾ 2 ;¾ 2 , se tiene que
f Y (y ) =
1 2¼
Z1
e¡
iu y + (T ¡ t)Ã
X
(u )
du :
(36:42)
¡ 1
3 6 .1 1 P r o c e so s re g u la r e s d e L ¶e v y (p r o p ie d a d e s h o lo m o¶ r ¯ c a s d e la fu n c i¶o n d e c u m u la n te s) Un proceso estoc¶astico (X t ) t¸ 0 de¯nido en un espacio ¯jo de probabilidad ( ;F ;IP) es un proceso de L¶e vy si cumple las siguientes propiedades: 1) X t tiene una distribuci¶o n in¯nitamente divisible para todo t; 2) (X t ) t¸ 0 tiene incrementos independientes, es decir, para cualquier conjunto ¯nito de tiempos f t0 ;t1 ;:::;tn g con t0 < t1 < ¢¢¢ < tn , las variables aleatorias X t0 ¡ X t1 , X t1 ¡ X t2 ,..., X tn ¡ 1 ¡ X tn son independientes; 3) (X t ) t¸ 0 tiene incrementos estacionarios, es decir, X t+ h ¡ X t y X h tienen exactamente la misma distribuci¶o n; 4) X 0 = 0 casi dondequiera; 5) X t es continua en probabilidad, es decir, lim h ! 0 IP f jX t+ h ¡ X t j ¸ ²g = 0 para todo ² > 0; y 6) existe 0 2 F
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409
3 6 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n p ro ceso s d e L ¶e v y
con IP( 0 ) = 1, tal que para todo ! 2 0 se tiene que si X t (! ) es vista como funci¶o n de t, entonces X t (! ) es continua por la derecha con l¶³mite por la izquierda. Un proceso regular de L¶e vy es un proceso con propiedades holom¶o r¯cas del integrando de la transformada inversa de Fourier. Sea h (z ) = e ® y e ¡
iy z + Ã
(z + i® )
X
z = u ¡ i® ;
;
donde à X (u ) es la funci¶o n de cumulantes de un proceso de L¶e vy (X t ) t¸ 0 , se dice que (X t ) t¸ 0 es regular si existen ¸ ¡ y ¸ + tales que h (z ) es anal¶³tica en una banda horizontal, B , determinada por z = u ¡ i® , u 2 IR, ® 2 (¸ ¡ ;¸ + ) . Adem¶as, se debe cumplir que ¯Z u ¯ lim ¯ ju j! 1 ¯
¯ ¯ h (z ) dz ¯ ¯= 0
u ¡ i®
® 2 (¸ ¡ ;¸ + ) :
para
Es importante destacar que el movimiento Browniano y el proceso Gaussiano inverso son procesos regulares de L¶e vy.
3 6 .1 2 D e sp la z a m ie n to d e la l¶³n e a d e in te g ra c i¶o n e n la tra n sfo rm a d a in v e rsa d e F o u rie r p a ra u n p ro c e so re g u la r d e L ¶e v y Sea h (z ) = e ® y e ¡ iy z + (T ¡ t)à X (z + i® ) , z = u ¡ i® , ® 2 (¸ ¡ ;¸ + ) y considere al rect¶angulo R determinado por los v¶e rtices ¡ u ¡ i® , u ¡ i® , u , ¡ u , entonces por el teorema de Cauchy I
h (z ) dz =
R
μZ u ¡
i®
+
¡ u ¡ i®
Zu
+
u ¡ i®
Z¡
u
+
Z¡
¶
u ¡ i®
¡ u
u
h (z ) dz = 0:
Por otro lado, las condiciones de regularidad conducen a ¯Z u ¯ ¯ ¯ ¯ lim ¯ h (z ) dz ¯ ¯= 0: ju j! 1
u ¡ i®
Es decir, cuando ju j ! 1 , las integrales sobre los lados verticales del rect¶angulo se anulan. De esta manera, Z 1 ¡ i® Z¡ 1 h (z ) dz = h (u ) du : ¡ 1 ¡ i®
1
En consecuencia, Z1
¡ i®
e® y e¡
iy (u ¡ i® )+ Ã
X
(u ¡ i® + i® )
du =
¡ 1 ¡ i®
Z1
e® y e¡
iy u + Ã
X
(u + i® )
du ;
¡ 1
lo cual implica que Z1
¡ i®
e¡
iy u + Ã
X
(u )
du =
¡ 1 ¡ i®
= =
Z1
e® y e¡
¡ 1 Z1 ¡ 1 Z1
iy u + Ã
X
e¡
iy (u + i® )+ Ã
e¡
iy v + Ã
X
(v )
(u + i® )
X
du
(u + i® )
du
dv :
¡ 1
Por lo tanto
1 f Y (y ) = 2¼ 1 = 2¼
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Z1
e¡
¡ 1 Z 1 ¡ i®
iu y + Ã
X
(u )
du (36:43)
e
¡ iu y + Ã
X
(u )
du :
¡ 1 ¡ i®
3/5/08 6:31:17 PM
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3 6 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n p ro ceso s d e L ¶e v y
3 6 .1 3 F o¶ rm u la d e v a lu a c i¶o n d e M e rto n -B la c k -S c h o le s p a ra p ro c e so s re g u la re s d e L ¶e v y En esta secci¶o n se obtiene la f¶o rmula de valuaci¶o n de Merton-Black-Scholes-L¶e vy. Despu¶e s de sustituir (36.43) en (36.39) se obtiene que c(x ;t) =
1 ¡ e 2¼
r (T ¡ t)
Z1 Z1 ¡ 1
¡ i®
e¡
iu y + (T ¡ t)Ã
(u )
X
g (x + y ) du dy :
(36:44)
¡ 1 ¡ i®
Observe que à X (u ) ha sido premultiplicada por T ¡ t a ¯n de introducir el plazo del instrumento. Si se lleva a cabo el cambio de variable de y a y ¡ x , y se utiliza el exponente caracter¶³stico à Y (u ) , entonces (36.44) se puede escribir como c(x ;t) =
1 ¡ e 2¼
r (T ¡ t)
Z1 Z1 ¡ 1
¡ i®
e¡
iu (y ¡ x )+ (T ¡ t)Ã
X
(u )
g (y ) du dy :
(36:45)
¡ 1 ¡ i®
Si, para ¯nes pr¶acticos, se de¯ne Z1
ge(u ) = entonces
e¡
iu y
g (y ) dy ;
¡ 1
Z 1 ¡ r (T ¡ t) 1 ¡ i® iu x + (T ¡ e e 2¼ ¡ 1 ¡ i® Z 1 ¡ i® 1 = e iu x + (T ¡ t)[¡ r + Ã X 2¼ ¡ 1 ¡ i®
c(x ;t) =
t)Ã
(u )
X
(u )]
ge(u ) du
(36:46)
ge(u ) du :
Observe ahora que si g (y ) es el valor intr¶³nseco de una opci¶o n europea de compra, entonces ge(u ) = =
Z1
¡ 1 Z1
=
¡ 1 Z1
=
Z1
e¡
iu y
g (y ) dy
e¡
iu y
max(e y ¡ K ;0) dy
ln (K )
¡¡ e e¡
(iu ¡ 1 )y
(iu ¡ 1 )y
ln (K )
=
e¡
(iu ¡ 1 ) ln (K )
(iu ¡ 1)
K e ¡ iu ln (K = i(u + i) = K e¡ =¡
¡
iu ln (K )
dy ¡ K K e¡
iu y
Z1
¢ dy e¡
iu y
dy
ln (K )
(36:47)
iu ln (K )
iu K e¡
)
¡ μ
¡ K e¡
iu ln (K )
iu ¶ 1 1 ¡ i(u + i) iu
K e ¡ iu ln (K ) : u (u + i)
Despu¶e s de sustituir (36.47) en (36.46) , y dado que x = ln(S t ) , se sigue que c(x ;t) = ¡
K 2¼
Z1
¡ i®
¡ 1 ¡ i®
e iu
ln (S t = K )+ (T ¡ t)[¡ r + Ã
u (u + i)
X
(u )]
du :
(36:48)
Sea » (u ) = exp f iu ln(S t = K ) + (T ¡ t) [¡ r + Ã
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X
(u ) ] g ;
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411
3 6 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n p ro ceso s d e L ¶e v y
entonces el integrando puede reescribirse como » (u ) » (u ) i + ¡i u u +i
» (u ) H (u ) = = u (u + i)
(36:49)
Claramente, u = 0 y u = ¡ i son dos polos de H (u ) . Considere el rect¶angulo R determinado por los v¶e rtices ¡ u ¡ i® , u ¡ i® , u ¡ i¯ , ¡ u ¡ i¯ , con ® 2 (1;¸ + ) , ¯ 2 (¸ ¡ ;0) y u 2 IR. Por el teorema del residuo, se tiene que μ ¶ I » (0) » (¡ i) H (u ) du = 2¼ i [Res(f ;0) + Res(f ;¡ i) ] = 2¼ i + : i ¡i R Observe tambi¶e n que I
H (u ) du =
R
à Z u¡
i®
+
¡ u ¡ i®
Zu¡
i¯
+
u ¡ i®
Z¡
u ¡ i¯
+
u ¡ i¯
Z¡
u ¡ i®
!
H (u ) du :
¡ u ¡ i¯
En virtud de las condiciones de regularidad, se tiene que las integrales sobre los lados verticales del rect¶angulo se anulan, en consecuencia μ ¶ Z 1 ¡ i® Z ¡ 1 ¡ i¯ » (0) » (¡ i) H (u ) du + H (u ) du = 2¼ i + : i ¡i ¡ 1 ¡ i® 1 ¡ i¯ Equivalentemente, c(x ;t) = ¡ Note ahora que r + Ã
X
μ
K 2¼
¶
2¼ i
(¡ i) = 0 y Ã
X
μ
» (0) » (¡ i) + i ¡i
¶
K ¡ 2¼
Z1
¡ i¯
H (u ) du :
¡ 1 ¡ i¯
(0) = 0, entonces
» (0) exp f 0 ¡ (r (T ¡ t) g e ¡ r (T ¡ = = i i i
t)
y » (¡ i) exp f ln(S t = K ) g St = =¡ : ¡i ¡i iK
As¶³
c(x ;t) = ¡ K i =¡K e
μ
e¡
¡ r (T ¡
¶
Z 1 ¡ i¯ K + H (u ) du i 2¼ ¡ 1 ¡ i¯ Z 1 ¡ i¯ K t) +St¡ H (u ) du : 2¼ ¡ 1 ¡ i¯
r (T ¡ t)
St ¡ iK
(36:50)
Esta expresi¶o n representa la condici¶o n de paridad put-call. Por lo tanto, el precio de una opci¶o n europea de venta satisface p (x ;t) = ¡
K 2¼
Z1
¡ i¯
¡ 1 ¡ i¯
e iu
ln (S t = K )+ (T ¡ t)[¡ r + Ã
u (u + i)
X
(u )]
du ;
¯ 2 (¸ ¡ ;0) :
(36:51)
3 6 .1 4 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Boyarchenko, S. I. and Levendorskii, S. Z. (2002) . Non-Gaussian Merton-Black-Scholes Theory. Advanced Series on Statistical Science & Applied Probability. World Scienti¯c Publishing Company, New Jersey, USA. Schoutens, W. (2003) . L¶e vy Processes in Finance (Pricing Financial Derivatives) . Wiley Series in Probability and Statistics. John Wiley & Sons Ltd, England. Venegas-Mart¶³nez, F. (2006) . \Valuaci¶o n de productos derivados con procesos regulares de L¶e vy" . P a n o ra m a E co n o¶ m ico , por aparecer.
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3/5/08 6:31:21 PM
412
3 6 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n p ro ceso s d e L ¶e v y
3 6 .1 5 E je rc ic io s 3 6 .1 Ecuaciones de Cauchy-Riemann y teorema de Cauchy. Sea f (x ;y ) = u (x ;y ) + iv (x ;y ) donde z = x + iy . De esta manera, dz = dx + idy . Observe que
de donde
z ¡ z¹ ; 2i
z + z¹ 2
y
y =
@x 1 = @z 2
y
@y 1 = : @z 2i
x =
Dado que @f @f @x @f @y = + ; @z @x @z @y @z muestre que @f 1 = @z 2
·μ
@u @v +i @x @x
¶
+
μ
@v @u ¡ i @y @y
¶¸ :
Observe ahora que sobre el ej e real @ f = @ y = 0, as¶³ μ
@f 1 = @z 2
@u @v +i @x @x
¶
:
Por otro lado, sobre el ej e imaginario @ f = @ x = 0, se sigue que @f 1 = @z 2
μ
@v @u ¡ i @y @y
¶
:
j Si f es diferenciable en C, la derivada tiene que ser la misma para un dz dado, sin importar la direcci¶o n. Pruebe que @u @v @v @u = y =¡ : @x @y @x @y
Asimismo, veri¯que que @ 2u @ 2u =¡ 2 @x @ y2
@ 2v @ 2v =¡ : 2 @x @ y2
y
En este caso, tambi¶e n pruebe que @f = 0: @ z¹ Suponga ahora que f (z ) satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann dentro de un contorno L que encierra una regi¶o n N . De esta forma, I I f (z ) dz = (u + iv ) (dx + idy ) L IL I = u dx ¡ v dy + i v dx + u dy : L
L
Aplique ahora el teorema de Green, I
g (x ;y ) dx + h (x ;y ) dy =
L
para demostrar ¯nalmente que
ZZ μ N
I
@h @g ¡ @x @x
¶
dx dy ;
f (z ) dz = 0:
L
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413
3 6 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n p ro ceso s d e L ¶e v y
3 6 .2 Demuestre que
¯Z ¯ x ¯ 0· ¯
e
¡
1 2
z2
x ¡ iu
y concluya que
¯ ¯ ¡ ¯ dz ¯· e
¯Z ¯ x lim ¯ jx j! 1 ¯
e¡
1 2
1 2
z2
x ¡ iu
x2
Z ju j
e¡
1 2
s2
ds
0
¯ ¯ dz ¯ ¯= 0:
3 6 .3 Obtenga, de la siguiente forma, la funci¶o n caracter¶³stica de una variable aleatoria X » N (0;1) . Observe primero que Z1 1 2 i ' 0X (u ) = p x e iu x e ¡ 2 x dx : 2¼ ¡ 1 Integre por partes la expresi¶o n anterior y veri¯que que ' 0X (u ) = ¡ u ' X (u ) ; Resuelva esta ecuaci¶o n diferencial ordinaria de primer orden.
' 0X (0) = 1:
3 6 .4 Teorema del residuo. Suponga que f (z ) satisface las condiciones de Cauchy-Riemann y considere la siguiente expansi¶o n en serie de Laurent: f (z ) =
nX = 1
n= ¡ 1
a n (z ¡ z 0 ) n :
Si L es un contorno cerrado que contiene a z 0 , muestre utilizando el teorema de Cauchy que I I 1 f (z ) dz = a ¡ 1 dz : z ¡ z0 L L Escriba ahora la parametrizaci¶o n z = e it + z 0 y pruebe que I 1 dz = 2¼ i: L z ¡ z0 Concluya que
I
L
En este caso, a ¡
1
f (z ) dz = 2¼ ia ¡ 1 :
es llamado el residuo de f en z 0 .
3 6 .5 Suponga que L es un contorno cerrado que contiene a z = i y z = ¡ i. Demuestre utilizando el teorema del residuo que Z 2z dz = 4¼ i: 2 + 1 z L 3 6 .6 Muestre que 1 F X (b) ¡ F X (a ) = 2¼
Z1 μ e¡ ' X (u ) ¡ 1
implica F X (b) ¡ F X (a ) =
1 2¼
Z1
¡ 1
iu a
¡ e¡ 2iu
iu b
· e¡ Re ' X (u )
e iu a ¡ e iu b ¡ ' X (¡ u ) 2iu iu a
¡ e¡ 2iu
iu b
¶
du
¸ du :
3 6 .7 Si X » G (® ;¯ ) , pruebe que la terna caracter¶³stica est¶a dada por ¡ ¢ ® (1 ¡ e ¡ ¯ ) = ¯ ;0;® e ¡ ¯ x x ¡ 1 1 f x > 0 g dx :
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3 6 . V a lu a ci¶o n d e o p cio n es co n p ro ceso s d e L ¶e v y
3 6 .8 De acuerdo con la ecuaci¶o n (36.50) , si (X t ) t¸ 0 es un proceso de L¶e vy con funci¶o n de cumulantes 1 Ã X (u ) = iu ¹ ¡ ¾ 2 u 2 ; 2 muestre que c(x ;t) = ¡ K i
μ
e¡
r (T ¡ t)
i
¡
St iK
¶
+
K 2¼
Z1
¡ i¯
e iu
ln (S t = K )+ (T ¡ t)[¡ r + Ã
X
(u )]
u (u + i)
¡ 1 ¡ i¯
du ;
donde ¯ 2 (¸ ¡ ;0) , conduce a la f¶o rmula de valuaci¶o n de Merton-Black-Scholes para una opci¶o n europea de compra, dada en (36.7) . 3 6 .9 Considere un proceso de L¶e vy, (X t ) t¸ 0 , con funci¶o n de cumulantes Ã
X
(u ) = ¸ (e iu ¡ 1) :
Determine una f¶o rmula de valuaci¶o n para una opci¶o n europea de compra. 3 6 .1 0 Sea (X t ) t¸ 0 un proceso de L¶e vy con funci¶o n de cumulantes à X (u ) . Pruebe, sin utilizar la condici¶o n de paridad put-call, que el precio de una opci¶o n europea de venta satisface p (x ;t) =
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K 2¼
Z1
¡ i¯
¡ 1 ¡ i¯
e iu
ln (S t = K )+ (T ¡ t)[¡ r + Ã
u (u + i)
X
(u )]
du ;
¯ 2 (¸ ¡ ;0) :
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V III. O P C IO N E S E X O¶ T IC A S
² 3 7 . O p cio n es a si¶a tica s ² 3 8 . T iem p o s d e p a ro , tiem p o s d e p rim era v isita y p rin cip io
d e re° ex i¶o n
² 3 9 . M ¶a x im o y m in im o d el m ov im ien to B row n ia n o , teo rem a d e
G irsa n ov y p rin cip io d e re° ex i¶o n
² 4 0 . M o d elo d e G o ld m a n -S o sin -G a tto d e o p cio n es lo o k b a ck I:
p recio s d e ejercicio ° o ta n tes
² 4 1 . M o d elo d e C o n ze-V isw a n a th a n d e o p cio n es lo o k b a ck II:
p recio s d e ejercicio ¯ jo s
² 4 2 . M o d elo d e M erto n d e o p cio n es co n b a rrera s
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.
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C A P ¶IT U L O 37 O P C IO N E S A S IA¶ T IC A S C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ²
Opciones asi¶aticas Media aritm¶e tica y media geom¶e trica del precio del activo subyacente Precio de ej ercicio ¯j o y °exible Ecuaciones diferenciales parciales Condiciones ¯nales y de frontera
3 7 .1 In tro d u c c i¶o n En este cap¶³tulo se caracteriza, en t¶e rminos de una ecuaci¶o n diferencial parcial, el precio de una opci¶o n cuando el valor intr¶³nseco del contrato no s¶o lo depende del precio del activo subyacente en la fecha de vencimiento, sino tambi¶e n del valor medio del subyacente durante la vida del contrato, ya sea aritm¶e tico o geom¶e trico. Este tipo de contratos son conocidos en la literatura como opciones asi¶aticas. As¶³, por ej emplo, en una opci¶o n asi¶atica de compra, con precio de ej ercicio constante, el pago en la fecha de vencimiento es la diferencia entre el precio promedio del activo durante la vida del contrato y el precio de ejercicio, o bien, si el precio de ej ercicio es variable (°otante) , el pago del contrato en la fecha de vencimiento es igual a la diferencia entre el precio de contado del subyacente y su promedio. En ambos casos, el empleo de la f¶o rmula de valuaci¶o n de Black-Scholes es inadecuada, pues diferentes realizaciones del precio del subyacente producen diferentes valores del contrato. Un tratamiento adecuado de este tipo de contratos, requiere de la consideraci¶o n de una nueva variable independiente que represente la trayectoria del subyacente durante la vigencia del contrato.
3 7 .2 O p c io n e s a si¶a tic a s c o n p re c io d e e je rc ic io v a ria b le ig u a l a la m e d ia a ritm ¶e tic a Considere un movimiento Browniano (W t ) t2 [0 ;T ] de¯nido sobre un espacio ¯jo de probabilidad W con su ¯ltraci¶o n aumentada ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;T ];IP) . Se supone que el precio del subyacente al tiempo t, S t , es conducido por el movimiento geom¶e trico Browniano dS t = ¹ S t dt + ¾ S t dW t ;
(37:1)
donde el par¶ametro de tendencia, ¹ 2 IR, representa el rendimiento medio esperado y ¾ > 0 es la volatilidad instant¶anea. En una opci¶o n asi¶atica de compra, con precio de ej ercicio variable, el pago del contrato en la fecha de vencimiento, T , es igual a max (S T ¡ K donde K
t;T
=
1 T ¡ t
t;T
ZT
;0) ;
(37:2)
S u du :
(37:3)
t
El precio de una opci¶o n asi¶atica de compra c a , con precio de ej ercicio variable K ca = e ¡
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r (T ¡ t)
£ E IP max (S T ¡ K
t;T
¯ ¤ ;0) ¯F t :
t;T
, satisface (37:4)
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3 7 . O p cio n es a si¶a tica s
3 7 .3 O p c io n e s a si¶a tic a s c o n p re c io d e e je rc ic io c o n sta n te En una opci¶o n asi¶atica de compra, con precio de ej ercicio constante, K , el pago del contrato en la fecha de vencimiento, T , es igual a max (K donde K por
t;T
t;T
¡ K ;0) ;
(37:5)
es de¯nido como (37.3) . El precio de una opci¶o n asi¶atica de compra c a K , est¶a dada ca K = e ¡
Si se escribe c = e¡
r (T ¡ t)
r (T ¡ t)
£ E IP max (K
t;T
¯ ¤ ¡ K ;0) ¯F t :
£ ¡ E IP ° max ® S T + (¡ 1) ¯ + 1 K
t;T
¡ ¯ K ;0
(37:6)
¢¯ ¤ ¯F t ;
(37:7)
con base en (37.4) y (37.6) , se tiene que si (® ;¯ ) = (1;0) , la opci¶o n asi¶atica es de precio de ej ercicio °exible, y si (® ;¯ ) = (0;1) , la opci¶o n es de precio de ejercicio constante. Si ° = 1 la opci¶o n es de compra, si ° = ¡ 1 la opci¶o n es de venta.
Gr¶a¯ca 37.1 Movimiento geom¶e trico Browniano y su media aritm¶e tica.
3 7 .4 E n fo q u e d e e c u a c io n e s d ife re n c ia le s p a rc ia le s, v a lu a c i¶o n d e o p c io n e s a si¶a tic a s c o n p re c io d e e je rc ic io ig u a l a la m e d ia a ritm ¶e tic a Considere una opci¶o n asi¶atica de compra con precio de ej ercicio °exible igual a la media aritm¶e tica y de¯na Zt It = S u du : (37:8) 0
De acuerdo con (37.1) , la historia del precio del activo subyacente es independiente del precio actual. Por lo tanto, S t e I t pueden tratarse como variables de estado independientes. Observe tambi¶e n que dI t = S t dt: (37:9) Si se denota el precio de una opci¶o n asi¶atica de compra con precio de ejercicio variable e igual a la media aritm¶e tica del precio del subyacente durante [t;T ] como c a = c a (S t ;I t ;t) , entonces el lema de It^o conduce dc a =
μ
@ ca @ 2 ca @ ca @ ca + 21 ¾ 2 S t2 +¹St +St 2 @t @St @St @ It
¶
dt + ¾ S t
@ ca dW t : @St
(37:10)
Es importante destacar que dI t no introduce otra fuente de riesgo distinta a dW t , por lo tanto, la opci¶o n puede ser cubierta utilizando s¶o lo al subyacente.
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3 7 . O p cio n es a si¶a tica s
3 7 .4 .1 A d m in istra c i¶o n d e l rie sg o d e m e rc a d o Si se conforma un portafolio con una opci¶o n asi¶atica de compra y una venta en corto de ¢ unidades del subyacente, ¢ := @ c a = @ S t , se tiene entonces que el valor marginal del portafolio est¶a dado por μ ¶ @ ca @ 2 ca @ ca (¢ ) d¦ t = + 12 ¾ 2 S t2 + S dt: (37:11) t @t @ S t2 @ It Esta ecuaci¶o n ser¶a utilizada para caracterizar a c a baj o condiciones de equilibrio.
3 7 .4 .2 E q u ilib rio g e n e ra l y c o n d ic i¶o n d e n o a rb itra je Si existe un mercado de cr¶e dito en donde los agentes pueden prestar o pedir prestado a una tasa constante libre de riesgo r , baj o argumentos t¶³picos de arbitraj e, se concluye que (¢ )
d¦ t
= (¡ ¢S t + c a ) r dt;
equivalentemente @ ca @ ca @ 2 ca @ ca +St + 21 ¾ 2 S t2 + rS t ¡ r c a = 0: 2 @t @ It @St @St
(37:12)
Observe que esta ecuaci¶o n tiene un t¶e rmino adicional comparada con la ecuaci¶o n diferencial parcial de Black-Scholes, a saber, S t (@ c a = @ I t ) . Como siempre, para que (37.12) tenga una u¶ nica soluci¶o n se requiere una condici¶o n ¯nal en la fecha de maduraci¶o n del contrato: μ ¶ It c a (S t ;I t ;T ) = max S t ¡ ;0 : (37:13) T
3 7 .5 O p c io n e s a si¶a tic a s c o n p re c io d e e je rc ic io ig u a l a la m e d ia g e o m ¶e tric a En esta secci¶o n se caracteriza el precio de una opci¶o n asi¶atica con precio de ej ercicio igual a la media geom¶e trica. Considere el proceso ½ Zt ¾ 1 ln(S u ) du ; t 0
exp
(37:14)
el cual es el l¶³mite cuando n ! 1 de la media discreta geom¶e trica Ã
Yn
i= 1
S ti
! n1
1 = exp n
(
Xn
log(S ti )
)
;
i= 1
donde los tiempos ti , i = 1;2;:::;n , representan una partici¶o n de (0;t] . En este caso, se de¯ne Jt =
Zt
ln(S u ) du ;
0
de tal manera que dJ t = ln(S t ) dt:
(37:15)
Si se sigue un argumento de arbitraje similar al de una opci¶o n asi¶atica de compra con precio de ej ercicio °exible igual a la media aritm¶e tica, la ecuaci¶o n diferencial parcial que caracteriza el precio, c g , de una opci¶o n asi¶atica con media geom¶e trica es @ cg @ cg @ 2 cg @ cg + ln(S t ) + 21 ¾ 2 S t2 + rS t ¡ r c g = 0: @t @Jt @ S t2 @St
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3 7 . O p cio n es a si¶a tica s
3 7 .6 R e d u c c i¶o n d e la d im e n si¶o n d e l p ro b le m a d e v a lu a c i¶o n d e u n a o p c i¶o n a si¶a tic a c o n m e d ia a ritm ¶e tic a El valor de una opci¶o n asi¶atica, de compra con precio de ejercicio °exible igual a la media aritm¶e tica, depende de tres variables S t , t e I t . Suponga que c a = S t® C a (H t ;t) ;
H
t
:=
It St
(37:17)
para alguna constante ® (usualmente igual a 0 o¶ 1) . Observe que las derivadas parciales de c a con respecto de sus argumentos est¶an dadas por: @ ca @C a = S t® ; @t @t @ ca =® S t® ¡ 1 C @St =® S t® ¡ 1 C =® S
a
a
®¡ 1 Ca t
@C @H @ C ¡ S t® @H
a
+ S t®
¡ S
®¡ 1 t
t a t
@H t @S μ t ¶ It S t2
@C a H t; @H t
@ 2 ca @C a @H t @C a =® (® ¡ 1) S t® ¡ 2 C a + ® S t® ¡ 1 ¡ (® ¡ 1) S t® ¡ 2 H t @ S t2 @H t @St @H t @ 2C a @ H t @C a @H t ¡ S t® ¡ 1 H t ¡ S t® ¡ 1 @ H t2 @ S t @H t @St @ C @C a a =® (® ¡ 1) S t® ¡ 2 C a ¡ ® S t® ¡ 2 H t ¡ (® ¡ 1) S t® ¡ 2 H t @H t @H t @ 2C a 2 @C a + S t® ¡ 2 H + S t® ¡ 2 H t @ H t2 t @H t @C a @ 2C a 2 =® (® ¡ 1) S t® ¡ 2 C a + 2(1 ¡ ® ) S t® ¡ 2 H t + S t® ¡ 2 H @H t @ H t2 t y @ ca @C =S t® @ It @H =S t® ¡
1
a t
@H t @ It
@C a : @H t
De esta manera, la sustituci¶o n de las derivadas parciales anteriores en la ecuaci¶o n (37.12) conduce a la siguiente ecuaci¶o n diferencial parcial: @C a + 21 ¾ 2 H @t
2 t
¡ ¢@ C @ 2C a + 1 + (¾ 2 (1 ¡ ® ) ¡ r ) H t 2 @H t @H
con la condici¶o n ¯nal C a (H ;T ) = S
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1¡ ® t
a t
¡ (1 ¡ ® )
¡1 2
¢ ¾ 2® + r C
a
= 0:
(37:18)
μ ¶ H t max 1 ¡ ;0 : T
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3 7 . O p cio n es a si¶a tica s
3 7 .7 V a lu a c i¶o n d e o p c io n e s a si¶a tic a s c o n su b y a c e n te s c o n d ifu si¶o n c o n sa lto s Sea b ca = b c a (S t ;I t ;t) el precio de una opci¶o n asi¶atica de compra con precio de ej ercicio °exible igual a la media aritm¶e tica. Como antes, denote Zt It = S u du : 0
Suponga que el precio del subyacente es conducido por dS t = S t (¹ dt + ¾ dW
t
+ º dN t ) ;
donde ¹ y ¾ representan, respectivamente, la media esperada y la volatilidad instant¶anea de S t , º es el tama~n o medio esperado del salto, W t es un movimiento Browniano y N t es un proceso de Poisson. El proceso N t es tal que ( 1 con probabilidad ¸ dt + o (dt) ; dN t = 0 con probabilidad 1 ¡ ¸ dt + o (dt) : La constante ¸ representa el n¶u mero medio esperado de saltos por unidad de tiempo y es llamada par¶ametro de intensidad. Suponga tambi¶e n, por simplicidad, que dW t y dN t no est¶an correlacionados entre s¶³. Se puede mostrar f¶acilmente, mediante el lema de It^o , que b c a satisface μ ¶ @b ca @ 2b ca @b ca @b ca db ca = + 21 ¾ 2 S t2 +¹St +St dt @t @ S t2 @St @ It @b ca +¾St dW t + [b c a (S t (1 + º ) ;t) ¡ b c a (S t ;t) ] dN t : @St Asimismo, se tiene que el precio de la opci¶o n es caracterizado por la siguiente ecuaci¶o n @b ca @b ca @ 2b ca @b ca +St + 21 ¾ 2 S t2 + rS t ¡ rb ca @t @ It @ S t2 @St @b ca + ¸ E º [b c a (S t (1 + º ) ;t) ] ¡ ¸ b c a (S t ;t) ¡ ¸ S t E º [º ] = 0: @St
3 7 .8 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Dewynne, J. N., A. E. Whalley, and P. Wilmott (1994) . \Path-Dependent Options and Transaction Costs" . P h ilo so p h ica l T ra n sa ctio n s: P h y sica l S cien ces a n d E n gin eerin g, Vol. 347, No. 1684, Mathematical Models in Finance, pp. 517-529. Hansen, A. T. and P. L. Jorgensen (2000) . \Analytical Valuation of American-Style Asian Options" . M a n a gem en t S cien ce, Vol. 46, No. 8, pp. 1116-1136. Venegas-Mart¶³nez, F. (2001) . \Opciones, cobertura y procesos de difusi¶o n con saltos: una aplicaci¶o n a los t¶³tulos de GCARSO" . E stu d io s E co n o¶ m ico s, Vol. 16, No. 32, pp. 203-226.
3 7 .9 E je rc ic io s 3 7 .1 Veri¯que que la sustituci¶o n de las derivadas parciales @ ca ; @t
@ ca @St
y
@ 2 ca ; @ S t2
calculadas en la secci¶o n 37.6, en la ecuaci¶o n (37.12) conduce a @C a + 21 ¾ 2 H @t
2 t
¡ ¢@ C @ 2C a + 1 + (¾ 2 (1 ¡ ® ) ¡ r ) H t @ H t2 @H
a t
¡ (1 ¡ ® )
¡1 2
¢ ¾ 2® + r C
a
= 0:
Discuta los casos cuando ® = 0 y ® = 1.
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3 7 . O p cio n es a si¶a tica s
S o lu ci¶o n : La ecuaci¶o n diferencial parcial anterior es m¶as complicada que la de Black-Scholes. En el caso particular de ® = 1, se simpli¯ca a @C a + 21 ¾ 2 H @t j unto con
2 t
@ 2C a @C + (1 ¡ r ) H t @ H t2 @H
a
= 0:
(37:19)
t
μ ¶ H t C a (H ;T ) = max 1 ¡ ;0 : T
3 7 .2 Suponga que el precio, S t , del subyacente es conducido por el movimiento geom¶e trico Browniano: dS t = ¹ S t dt + ¾ S t dW t ; donde ¹ 2 IR, ¾ > 0 y (W t ) t¸ 0 es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad equipado con su ¯ltraci¶o n aumentada ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;T ];IP) . Sea Zt It = S u du : 0
Utilice el lema de It^o para mostrar que μ ¶ @ ca @ 2 ca @ ca @ ca @c dc a = + 21 ¾ 2 S t2 + ¹ S + S dt + ¾ S t dW t : t t @t @ S t2 @St @ It @St 3 7 .3 Sea e ca = e c a (S t ;N t ;t) el precio de una opci¶o n asi¶atica de compra con precio de ejercicio °exible igual al cuadrado de la media aritm¶e tica donde μZ t ¶2 N t= S u du : 0
Encuentre la ecuaci¶o n diferencial parcial y la condici¶o n de frontera que caracteriza a e ca .
3 7 .4 Sea b ca = b c a (S t ;I t ;t) el precio de una opci¶o n asi¶atica de compra con precio de ejercicio Rt °exible igual a la media aritm¶e tica donde I t = 0 S u du : Suponga que el precio del subyacente es conducido por dS t = S t (¹ dt + ¾ dW t + º dN t ) ; donde ¹ y ¾ representan, respectivamente, la media esperada y la volatilidad instant¶anea de S t , º es el tama~n o medio esperado del salto, W t es un movimiento Browniano y N t es un proceso de Poisson. Muestre que b ca = b c a (S t ;I t ;t) satisface @b ca @b ca @ 2b ca @b ca +St + 21 ¾ 2 S t2 + rS t ¡ rb ca 2 @t @ It @St @St @b ca + ¸ E º [b c a (S t (1 + º ) ;t) ] ¡ ¸ b c a (S t ;t) ¡ ¸ S t E º [º ] = 0: @St
3 7 .5 Suponga que la tasa de inter¶e s es estoc¶astica y es gobernada por dr t = ® (r t ;t) dt + ¯ (r t ;t) dU t ; donde ® (r t ;t) y ¯ (r t ;t) son funciones conocidas y U mismo, suponga que el subyacente es guiado por
t
es un movimiento Browniano. As¶³
dS t = ¹ S t dt + ¾ S t dW t ; donde ¹ 2 IR, ¾ > 0 y W t es un movimiento Browniano con Cov(dU t ;dW t ) = ½ dt. Si c a = c a (S t ;r t ;t) es el precio de una opci¶o n asi¶atica de compra con precio de ej ercicio °exible igual a la media aritm¶e tica, encuentre la ecuaci¶o n diferencial parcial que caracteriza a c a .
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C A P ¶IT U L O 38 T IE M P O S D E P A R O , T IE M P O S D E P R IM E R A V IS IT A Y P R IN C IP IO D E R E F L E X IO¶ N C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ²
Tiempos de paro de un movimiento Browniano Distribuci¶o n del tiempo de primera visita a un estado Principio de re°exi¶o n del movimiento Browniano Distribuciones del m¶aximo y m¶³nimo de un movimiento Browniano
3 8 .1 In tro d u c c i¶o n En este cap¶³tulo se introducen los conceptos de tiempo de paro y de tiempo primera visita a un estado de un movimiento Browniano. Asimismo, se estudia el principio de re°exi¶o n. Este principio permite calcular la distribuci¶o n conj unta de un movimiento Browniano y de su valor m¶aximo o m¶³nimo en un intervalo ¯nito de tiempo en t¶e rminos s¶o lo de la distribuci¶o n marginal del movimiento Browniano. Esta propiedad es muy importante en la valuaci¶o n de opciones europeas con precio de ejercicio °otante dependiente del valor m¶aximo o m¶³nimo del precio del activo subyacente durante la vigencia del contrato; como se ver¶a en cap¶³tulos posteriores.
3 8 .2 T ie m p o s d e p a ro d e u n m o v im ie n to B ro w n ia n o Sea f W t g t¸ 0 un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio de probabilidad ¯jo ( ;F ;IP) y sea IF = f F t g t¸ 0 su ¯ltraci¶o n aumentada. Si se de¯ne el proceso W
(¿ ) t
=W
¿+ t
¡ W
¿;
t ¸ 0;
(¿ )
entonces f W t g t¸ 0 es tambi¶e n un movimiento Browniano de¯nido sobre el espacio de proba(¿ ) bilidad original, ( ;F ;IP) . Esto se veri¯ca f¶acilmente como sigue. Note primero que W 0 = W ¿ ¡ W ¿ = 0. Por otro lado, si 0 · t0 < t1 ¢¢¢ < tn , entonces los incrementos W
(¿ ) t1
¡ W
(¿ ) t0 ;
W
(¿ ) t2
(¿ ) (¿ ) t1 ;:::;W tn
¡ W
¡ W
(¿ ) tn ¡ 1
coinciden con los incrementos W
¿ + t1
¡ W
¿ + t0 ;
W
¿ + t2
¡ W
¿ + t1 ;:::;W ¿ + tn
¡ W
¿ + tn ¡
1
;
los cuales son independientes. Por u¶ ltimo, si s > 0, entonces W
(¿ ) t+ s
¡ W
(¿ ) t
=W
¿ + t+ s
¡ W
¿
¡ (W
¿+ t
¡ W
¿)
=W
¿ + t+ s
¡ W
¿+ t
» N (0;s ) :
(¿ )
Claramente, el proceso f W t g t¸ 0 es independiente de la ¾ -¶algebra F ¿ . Las propiedades ante(¿ ) riores de f W t g t¸ 0 se mantienen a¶u n en el caso de que ¿ sea una variable aleatoria que toma valores en [0;1 ) . En este contexto, se dice que ¿ es un tiempo de paro para f W t g t¸ 0 si f ¿ · tg 2 F
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t
para toda t:
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424
3 8 . T iem p o s d e p a ro , tiem p o d e p rim era v isita y p rin cip io d e re° ex i¶o n
Observe que si ¿ es un tiempo de paro para f W t g t¸ 0 y c una constante, entonces ¿ + c es un tiempo de paro para f W t g t¸ 0 . En efecto, si 0 · t < c, entonces f ¿ + c · tg = f ¿ · t¡ c < 0g = ; . Si, por el contrario, c ¸ t, entonces f ¿ + c · tg = f ¿ · t ¡ cg 2 F t¡ c μ F t .
3 8 .3 T ie m p o d e p rim e ra v isita a u n e sta d o d e l m o v im ie n to B ro w n ia n o Frecuentemente se est¶a interesado en el tiempo que toma un movimiento Browniano en visitar, por primera vez, un estado espec¶³¯co y . Sea f W t g t¸ 0 un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio de probabilidad ¯j o ( ;F ;IP) y sea IF = f F t g t¸ 0 su ¯ltraci¶o n aumentada. El tiempo de primera visita ¿ y al estado y 2 IR se de¯ne como: ¿ y = inf f t : W
t
= yg :
La continuidad en las trayectorias del movimiento Browniano es esencial para que la de¯nici¶o n anterior tenga sentido. Un resultado relevante es que ¿ y es un tiempo de paro de f W t g t¸ 0 . En efecto, observe primero que ¿ y · t si y s¶o lo si max W
0· s· t
o m¶as elocuentemente f ¿ y · tg =
n
s
¸ y;
max W
(38:1)
s
0 · s· t
o ¸ y :
En efecto, si ¿ y · t, entonces W t visit¶o , por primera vez, al estado y > 0 en alg¶u n instante en [0;t] , espec¶³¯camente la visita se realiz¶o en ¿ y , por lo tanto el valor m¶aximo de W t es al menos y durante [0;t] . Por la continuidad de las trayectorias, el m¶aximo es alcanzado. A partir de (38.1) , se tiene que sup W s + ± > y para toda ± > 0: 0· s· t
j (n¶ En consecuencia, si r;q 2 Q u meros racionales) , se sigue que ¾ \ ½ f ¿ y · tg = sup W s + r > y
r> 0
=
0 < s· t
\ \ ½
sup W
0< q· t
r> 0 q> 0
q
+r > y
¾
2 F t:
Es decir, f ¿ y · tg es la intersecci¶o n de una familia numerable de conj untos F t -medibles, ya que j el conj unto de n¶u meros racionales, Q, es numerable. Observe tambi¶e n que debido a la simetr¶³a de W t , los tiempos de primera visita ¿ y y ¿ ¡ y tienen la misma distribuci¶o n. Por u¶ ltimo, se cumple trivialmente que ¿ 0 = 0 casi dondequiera con respecto de IP. Se ver¶a en el transcurso de este cap¶³tulo que si y > 0, ¿ y tiene la siguiente funci¶o n de densidad: ½ 2¾ y y f ¿ y (t) = p exp ¡ ; t ¸ 0: (38:2) 2t 2¼ t3 Claramente, si y < 0, entonces y se sustituye por jy j en (38.2) .
3 8 .4 D istrib u c io n e s d e l tie m p o d e p rim e ra v isita y d e l v a lo r m ¶a x im o d e u n m o v im ie n to B ro w n ia n o El precio de muchos de los productos derivados que se encuentran en el mercado depende del valor m¶aximo observado durante la vigencia del contrato. En una primera aproximaci¶o n a este problema se de¯ne la variable M tW = max W s : (38:3) 0· s· t
Se ver¶a a continuaci¶o n que M densidad fM
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W
t
W t
tiene la misma distribuci¶o n que jW t j. Es decir, M (y ) =
μ
2 ¼t
¶
1 2
½ 2¾ y exp ¡ ; 2t
y ¸ 0:
W
t
tiene funci¶o n (38:4)
3/5/08 6:31:44 PM
425
3 8 . T iem p o s d e p a ro , tiem p o d e p rim era v isita y p rin cip io d e re° ex i¶o n
En efecto, observe primero que si y > 0, ¿ y · t si y s¶o lo si M
W
¸ y:
t
(38:5)
Ahora bien, claramente, IP f M
W
t
¸ y g = IP f W
t
W
< y ;M
¸ y g + IP f W
t
¸ y ;M
t
W
t
¸ yg :
(38:6)
El primer sumando de (38.6) satisface IP f W © =IP W © =IP W
=IP f W
t
< y ;M
t
¡ W
¡ W
t
W
¿y ¿y
ª < 0 j ¿ y · t IP f ¿ y · tg ª ¸ 0 j ¿ y · t IP f ¿ y · tg W
¸ y ;M
t
¸ yg
t
(38:7)
¸ yg :
t
En la segunda igualdad se ha utilizado el hecho de que © IP W
=y
¿y
ª
= 1;
ya que la primera vez que W t visita al estado y > 0, es justamente en el instante ¿ y . La tercera igualdad se debe a la simetr¶³a de la variable aleatoria W t ¡ W ¿ y » N (0;t ¡ ¿ y ) . La u¶ ltima expresi¶o n en (38.7) es j ustamente el segundo sumando de (38.6) . Se sigue entonces de (38.7) que W
IP f M ya que M
W
t
¸ y g =2IP f W
t
=2IP f W
t t
¸ yg
t
¸ yg ;
(38:8)
¸ W t . As¶³, W
IP f M
¸ y g =2IP f W
t
=IP f W
t t
¸ yg
¸ y g + IP f W
=IP f jW t j ¸ y g μ ¶ 12 Z 1 2 = e¡ ¼t y Es decir, la distribuci¶o n de M IP f M
W
t W
t
· y g =IP f jW t j · y g =IP f W
=2IP f W
2 =p 2¼ t
La media y la varianza de M
W
t
z2=2t
t
· ¡ yg
dz :
concide con la de jW t j. Claramente,
=IP f W
t t
· y g ¡ IP f W
t
· ¡ yg
· y g ¡ (1 ¡ IP f W
t
· y g)
t · yg ¡ 1 ½ 2¾ Z1 z exp ¡ dz ¡ 1: 2t y
est¶an dadas, respectivamente, por: E [M
W
t
] = E [ jW t j ] =
y Var [M
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W
¸ y ;M
W
t
] = Var [ jW t j ] =
p
2t= ¼
μ ¶ 2 1¡ t: ¼
3/5/08 6:31:46 PM
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3 8 . T iem p o s d e p a ro , tiem p o d e p rim era v isita y p rin cip io d e re° ex i¶o n
La distribuci¶o n del tiempo de primera visita, ¿ y , se calcula como sigue: si y > 0, entonces IP f ¿ y · tg =IP f M
W
t
¸ yg
=IP f jW t j ¸ y g μ ¶ 12 Z 1 2 2 = e ¡ z = 2 t dz ¼t y μ ¶ 12 Z 1 2 ¡ v2=2 = dv p e ¼ y= t Zt 2 y p = e ¡ y = 2 u du ; 2¼ u 3 0
(38:9)
p donde en la pen¶u ltima integral se llev¶o a cabo la sustituci¶o n v = z = t, de esta forma el l¶³mite p inferior cambia de y a y = t, y el superior se mantiene. En lap u¶ ltima integral se emple¶o el cambio p de variable u = y = v , as¶³ el l¶³mite inferior cambia de y = t a t, y el superior de 1 a cero. Adem¶as, y dv = ¡ 12 3 = 2 du ; u lo que permite intercambiar los l¶³mites de integraci¶o n. Por otro lado, el valor esperado del tiempo de primera visita al estado y > 0 se calcula como sigue: Z1
IP f ¿ y > tg dt Z0 1 ³ Z1 ´ 2 ¡ z2=2 = 1¡ p e dz dt 2¼ y = p t 0 Z 1 Z y=p t 2 2 =p e ¡ z = 2 dz dt 2¼ 0 0 Z 1 Ã Z y2=z2 ! 2 2 =p dt e ¡ z = 2 dz 2¼ 0 0 2 Z1 2y 1 ¡ z2=2 =p e dz 2¼ 0 z 2 Z 2y 2 e ¡ 1 = 2 1 1 ¸ p dz 2 2¼ 0 z =1 :
E[¿ y ] =
(38:10)
p Note que en la cuarta igualdad el l¶³mite superior en z se toma cuando z = y = t. Por lo tanto, 2 2 el l¶³mite superior en t se toma cuando t = y = z . En el c¶alculo de (38.10) se ha utilizado el siguiente hecho. La f¶o rmula de integraci¶o n por partes conduce a Zn 0
tf ¿ y (t) dt =
Zn
tdF ¿ y (t) ¯n Z n ¯ =tF ¿ y (t) ¯ F ¿ y (t) dt ¯¡ 0 0 Zn =n F ¿ y (n ) ¡ F ¿ y (t) dt 0 Zn £ ¤ ¡ ¢ = ¡ n 1 ¡ F ¿ y (n ) + 1 ¡ F ¿ y (t) dt Z0 n £ ¤ = ¡ n 1 ¡ F ¿ y (n ) + IP f ¿ y > tg dt: 0
0
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3/5/08 6:31:47 PM
427
3 8 . T iem p o s d e p a ro , tiem p o d e p rim era v isita y p rin cip io d e re° ex i¶o n
Sin embargo,
Z1
£ ¤ 0 · n 1 ¡ F ¿ y (n ) = n produce
Z1
f ¿ y (t) dt <
n
tf ¿ y (t) dt;
n
£ ¤ lim n 1 ¡ F ¿ y (n ) = 0:
n! 1
Por lo tanto, E[¿ y ] =
Z1
tf ¿ y (t) dt =
0
Z1
IP f ¿ y > tg dt:
0
Por u¶ ltimo, note que si a ¸ 0 y y > 0, entonces £ E e¡
a ¿y
Z1
¤ =
0
½ 2¾ y e¡ a u y p exp ¡ du = e ¡ 3 = 2 2u 2¼ u
p
2a y
(38:11)
:
Es decir, la densidad de ¿ y , f ¿ y , tiene transformada de Laplace dada por (38.11) .
3 8 .5 E v e n to s se g u ro s so b re e l m ¶a x im o o m ¶³n im o d e u n m o v im ie n to B ro w n ia n o En esta secci¶o n se estudian algunos eventos seguros relacionados con el m¶aximo o el m¶³nimo de un movimiento Browniano en un intervalo de tiempo ¯nito. Un resultado inmediato de (38.3) es que IP f M Wt > 0g = 1: Por otro lado, dado que ¹ tW = min W
s
0· s· t
=¡M
W
t
= ¡ max W s ; 0· s· t
se cumple que tambi¶e n que IP f ¹ Wt < 0g = 1: Por u¶ ltimo, note que IP f ¿ y < 1 g = 1:
3 8 .6 P rin c ip io d e re ° e x i¶o n d e l m o v im ie n to B ro w n ia n o Este principio permite calcular la distribuci¶o n conjunta de un movimiento Browniano y de su valor m¶aximo o m¶³nimo en un intervalo ¯nito de tiempo en t¶e rminos s¶o lo de la distribuci¶o n marginal del movimiento Browniano. Observe, primero, que a partir de (38.6) se tiene que IP f W
t
< y ;M
W
t
¸ y g = IP f W
t
¸ y ;M
W
t
¸ yg :
(38:12)
Asimismo, IP f W
t
¸ y ;M
W
t
¸ y g = IP f W
t
¸ y ;jW t j ¸ y g = IP f W
t
¸ yg :
(38:13)
Por simetr¶³a, IP f W
t
¸ y g = IP f W
t
· ¡ yg :
(38:14)
Conj untando las ecuaciones (38.12) -(38.14) , se tiene que IP f W
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t
< y ;M
W
t
¸ y g = IP f W
t
¸ y ;M
W
t
¸ y g = IP f W
t
¸ y g = IP f W
t
· ¡ yg :
(38:15)
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3 8 . T iem p o s d e p a ro , tiem p o d e p rim era v isita y p rin cip io d e re° ex i¶o n
3 8 .7 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Musiela, M. and M. Rutkowsky (1997) . Martingale Methods in Financial Modelling. Series, Applications of Mathematics, Stochastic Modelling and Applied Probability. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York. Karatzas, I. and S. E. Shreve (1997) . Brownian Motion and Stochastic Calculus, Second Edition. Series, Graduate Text in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York. Revuz, D. and M. Yor (1999) . Continuous Martingales and Brownian Motion, Third Edition. A Series of Comprehensive Studies in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York.
3 8 .8 E je rc ic io s 3 8 .1 Calcule E[ jW t j ] S o lu ci¶o n : Observe, primero, que IPf jW t j > w g = 2IPf W Por lo tanto, E[ jW t j ] =
Z1
=2
0
Z1 0
t
¸ w g:
IP f jW t j > w g dw IP f W
t
> w g dw
= 2E[W t ] Z1 2 1 =2 w p e ¡ w = 2 t dw 2¼ t r 0 Z1 2 4 = w e ¡ w = 2 t dw : 2¼ t 0 Considere el siguiente cambio de variable u = w 2 = 2t, de donde tdu = w dw . Al aplicar este cambio de variable en la ecuaci¶o n, se tiene r Z1 2 4 E[ jW t j ] = w e ¡ w = 2 t dw 2¼ t 0 r Z1 2 = e ¡ u tdu ¼t 0 r Zn 2t = lim e ¡ u du ¼ n! 1 0 r h in 2 2t = lim ¡ e ¡ w = 2 t ¼ n! 1 0 r h i 2 2t = lim 1 ¡ e ¡ n = 2 t ¼ n! 1 r 2t = : ¼ 3 8 .2 Calcule Var[jW t j] . S o lu ci¶o n : Observe que Var[jW t j] = E[W
2 t ]
2
¡ (E[ jW t j ] ) :
El valor esperado del valor absoluto de W t ya fue calculado en el ej ercicio (38.1) , por lo que s¶o lo falta calcular E[W t2 ] . En este caso, Z1 2 1 E[W t2 ] = w 2p e ¡ w = 2 t dw 2¼ t ¡ 1 Z1 2 1 = p w 2 e ¡ w = 2 t dw : 2¼ t ¡ 1
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3/5/08 6:31:52 PM
429
3 8 . T iem p o s d e p a ro , tiem p o d e p rim era v isita y p rin cip io d e re° ex i¶o n
Para resolver la integral se utiliza integraci¶o n por partes. Sean u = w y dv = w e ¡
w 2=2t
dw :
As¶³, d u = dw y v = ¡ te ¡
w 2=2t
:
Por lo tanto, E[W
2 t ]
Z1 2 1 w 2 e ¡ w = 2 t dw 2¼ t ¡ 1 Zn 2 1 = p lim w 2 e ¡ w = 2 t dw 2¼ t n ! 1 ¡ n · Z1 ¯ 2 1 ¯n = p ¡ lim w te ¡ w = 2 t ¯ + t e¡ n! 1 ¡ n 2¼ t ¡ 1 i 1 hp = p t 2¼ t 2¼ t = t: = p
w 2=2t
dw
¸
De esta manera, Var[jW j] = E[W
2 t ]
¡ (E[jW t j] ) Ã r !2 2t = t¡ ¼
2
2t = t¡ μ ¼ ¶ 2 = 1¡ t: ¼ 3 8 .3 Sea M
W
t
= max W s ; 0· s· t
donde f W t g t¸ 0 es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad ( ;F ;IP) . Muestre que IP f M
W
t
· yg =
μ
2 ¼t
¶1 = 2 Z y
e¡
u 2=2t
du :
0
3 8 .4 Sea ¿ y el tiempo de primera visita al estado y 2 IR, es decir, ¿ y = inf f t : W
t
= yg ;
donde f W t g t¸ 0 es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad ( ;F ;IP) . Veri¯que que p £p p ¤ E e a ( 2 y ¡ a ¿ y ) = 1:
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3/5/08 6:31:54 PM
.
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3/5/08 6:31:56 PM
C A P ¶IT U L O 39 M A¶ X IM O Y M ¶IN IM O D E L M O V IM IE N T O B R O W N IA N O , T E O R E M A D E G IR S A N O V Y P R IN C IP IO D E R E F L E X IO¶ N C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ²
Distribuci¶o n del m¶aximo y m¶³nimo de un movimento Browniano Teorema de Girsanov Derivadas de Radon-Nikod¶y m Regla de la cadena de derivadas de Radon-Nikod¶ym Principio de re°exi¶o n del movimiento Browniano
3 9 .1 In tro d u c c i¶o n A continuaci¶o n se estudian las distribuciones de los valores m¶³nimo y m¶aximo de un movimiento geom¶e trico Browniano en un intervalo ¯nito de tiempo. Asimismo, se establece el principio de re°exi¶o n del movimiento Browniano, el cual permite calcular la distribuci¶o n conj unta de un movimiento Browniano y de su valor m¶³nimo (o m¶aximo) en t¶e rminos s¶o lo de la distribuci¶o n marginal del movimiento Browniano. Este resultado desempe~n a un papel fundamental en la valuaci¶o n de opciones europeas con precio de ej ercicio °otante dependiente del valor m¶aximo o m¶³nimo del activo subyacente durante la vida del contrato.
3 9 .2 T e o re m a d e G irsa n o v El teorema de Girsanov es un resultado que permite simpli¯car sustancialmente los c¶alculos en la obtenci¶o n de las distribuciones de los valores m¶³nimo y m¶aximo de un movimiento Browniano con tendencia en un intervalo ¯nito de tiempo. Por supuesto, el teorema de Girsanov es tambi¶e n una herramienta fundamental en la valuaci¶o n neutral al riesgo de muchos y muy diversos productos derivados. Suponga que f W t g 0 · t· T es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio de probabilidad ¯j o ( ;F ;IP) y sea IF = f F t g 0 · t· T su ¯ltraci¶o n aumentada. Asimismo, suponga que el precio, S t , de un activo ¯nanciero es conducido por el siguiente movimiento geom¶e trico Browniano: dS t = ¹ S t dt + ¾ S t dW t ; 0 · t · T ; (39:1) donde ¹ 2 IR y ¾ > 0 son, respectivamente, el rendimiento medio esperado y la volatilidad del activo subyacente. Si se de¯ne Wf t = ¸ t + W t ; donde ¸ =
0· t· T;
(39:2)
¹ ¡ r ¾
representa el premio al riesgo de mercado, entonces la ecuaci¶o n (39.1) puede reescribirse como dS t = r S t dt + ¾ S t dWf t ;
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0· t· T:
(39:3)
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432
3 9 . M a¶ x im o y m ¶³n im o d el M ov im ien to B row n ia n o ...
e de¯nida en el En este caso, el teorema de Girsanov proporciona una medida de probabilidad IP, espacio muestral original , tal que e )= IP(A
Z
' (¸ ;T ;W
T
) dIP;
A
donde ' (¸ ;T ;W
T
© ) = exp ¡ ¸ W
T
A 2 F ;
(39:4)
ª :
(39:5)
1 2
¡
¸ 2T
e Wf t es un movimiento Browniano est¶andar. Note tambi¶e n que la ecuaci¶o n Baj o la medida IP, (39.4) puede expresarse como: e fT ) dIP(W = ' (¸ ;T ;W T ) : (39:6) dIP(W T ) e con respecto de IP. El valor esperado As¶³, ' (¸ ;T ;W T ) es la derivada de Radon-Nikod¶ym de IP f f e de una funci¶o n arbitraria g (W T ) de W T bajo IP se obtiene mediante la expresi¶o n e (Wf T ) ] =E[g (W T + ¸ T ) ' (¸ ;T ;W T ) ] E[g Z1 1 =p g (w + ¸ T ) e ¡ ¸ w ¡ 2¼ T ¡ 1
1 2
¸ 2T
e¡
w 2=2T
dw :
(39:7)
De esta manera, e ) = E[1 e A ] = E[' (¸ ;T ;W IP(A
donde
(
1A =
1
si
0
si
T
)1A ];
! 2 A;
! 2= A :
En particular, si A = f Wf T · x g , entonces
n o h e Wf T · x = E e ¡ IP
¸W
T
(39:8)
¡
1 2
¸ 2T
2
1fW
T
· x¡ ¸T g
i :
(39:9)
3 9 .3 V a lo r m ¶³n im o d e u n m o v im ie n to g e o m ¶e tric o B ro w n ia n o e n u n in te rv a lo ¯ n ito d e tie m p o En esta secci¶o n se discuten las propiedades del valor m¶³nimo de un movimiento geom¶e trico Browniano en un intervalo ¯nito de tiempo. Una simple aplicaci¶o n del lema de It^o , tomando como proceso subyacente al de¯nido en (39.3) , conduce a ¡ d ln(S t ) = r ¡
1 2
¢ ¾ 2 dt + ¾ dWf t ;
0· t· T;
(39:10)
lo que, a su vez, implica S u = S t e ¾ (Weu ¡ Wet )+ donde y
1 2
(r ¡
¾ 2 )(u ¡ t)
= S te ¡
Y u = ¡ ¾ Wf u + º u ; º ´
1 2
(Y u ¡ Y t )
;
0· t· u · T
¾ 2 ¡ r:
0· t· u · T;
(39:11)
(39:12) (39:13)
En consecuencia, se puede escribir que m
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S t;T
= min S u = S t e ¡ u 2 [t;T ]
M
Y t;T
;
(39:14)
3/5/08 6:31:58 PM
433
3 9 . M ¶a x im o y m ¶³n im o d el M ov im ien to B row n ia n o ...
donde M
Y t;T
= max (Y u ¡ Y t ) :
(39:15)
u 2 [t;T ]
Claramente, M Yt;T es independiente de F t , ya que Wf u ¡ Wf t es independiente de F t . Asimismo, Y e coincide con la distribuci¶o n de la distribuci¶o n de M t;T baj o IP Y T ¡ t
M e ya que M bajo IP, m
S T
donde S t y m
Y t;t
=0yM
¡ = min m S t
S t
;m
S t;T
Y t;T
=
max
u 2 [0 ;T ¡ t]
(39:16)
Yu S T
= Y T ¡ Y t = Y T ¡ t . A¶u n m¶as, m
³ ¢ = min m
son F t -medibles y M
S t
Y T ¡ t
;S t e ¡
M
Y t;T
´
³ = min m
S t
puede reescribirse como:
;S t e ¡
M
Y T ¡ t
´ ;
(39:17)
es independiente de la ¾ -¶algebra F t .
3 9 .4 D istrib u c i¶o n c o n ju n ta d e lo s v a lo re s a c tu a l y m ¶a x im o d e u n m o v im ie n to B ro w n ia n o c o n te n d e n c ia En el transcurso de esta secci¶o n se estudia la distribuci¶o n de probabilidad conj unta de los valores actual y m¶aximo de un movimiento Browniano con tendencia. Dicha distribuci¶o n conj unta se puede expresar en t¶e rminos s¶o lo de la distribuci¶o n marginal del movimiento Browniano. Espec¶³¯camente, se muestra que si y ¸ 0, entonces
donde
© e Y T ¡ t · y ;M IP
Y T ¡ t
¸ y
ª
= e (1 ¡
· )y
© ª e Y T ¡ t ¸ y + ¾ 2 (1 ¡ · ) (T ¡ t) ; IP
· =
2r : ¾2
(39:18)
(39:19)
Observe primero que ¾ ¡ 1 Y t = ¡ Wf t + Á t;
(39:20)
¾ ¡ 1 Y t = Vet + Á t:
(39:21)
Wc t ´ ¾ ¡ 1 Y t = Vet + Á t;
(39:22)
donde Á ´ ¾ ¡ 1 º : Ahora bien, dado que, por simetr¶³a, Vet = ¡ Wf t es tambi¶e n un movimiento e , se puede entonces reescribir (39.20) como: Browniano est¶andar en ( ;F ;IP) Si se de¯ne
b entonces a partir del teorema de Girsanov se sabe que existe una medida de probabilidad IP b Esta medida de probabilidad satisface, casi tal que Wc t es un movimiento Browniano bajo IP. e dondequiera con respecto de IP, n b c T ¡ t) dIP(W = exp ¡ Á VeT ¡ t ¡ e eT ¡ t ) dIP(V
1 2
o Á 2 (T ¡ t) :
(39:23)
Note tambi¶e n que si se invierte (39.23) se obtiene que
n o e eT ¡ t ) dIP(V = exp Á VeT ¡ t + 21 Á 2 (T ¡ t) b c T ¡ t) dIP(W n o = exp Á [Wc T ¡ t ¡ Á (T ¡ t) ] + 21 Á 2 (T ¡ t) n o = exp Á Wc T ¡ t ¡ Á 2 (T ¡ t) + 21 Á 2 (T ¡ t) n o = exp Á Wc T ¡ t ¡ 21 Á 2 (T ¡ t) ;
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(39:24)
3/5/08 6:32:00 PM
434
3 9 . M a¶ x im o y m ¶³n im o d el M ov im ien to B row n ia n o ...
b De esta manera, si y ¸ 0, entonces casi dondequiera con respecto de IP. © ª e Y T ¡ t · y ;M TY ¡ t ¸ y IP · n o b =E exp Á Wc T ¡ t ¡ 21 Á 2 (T ¡ t) 1
donde yb= ¾ ¡ 1 y :
f WbT ¡ t · b y ; MbTWb ¸ b y g ¡ t
¸ ;
(39:25)
3 9 .5 E l p rin c ip io d e re ° e x i¶o n d e l m o v im ie n to y la d istrib u c i¶o n c o n ju n ta d e lo s v a lo re s a c tu a l y m ¶a x im o d e u n B ro w n ia n o A continuaci¶o n se introduce el principio de re°exi¶o n del movimiento Browniano y su utilidad en la determinaci¶o n de la distribuci¶o n conj unta de los valores actual y m¶aximo de un Browniano. b establece que si yb¸ 0, entonces Este principio, en el contexto de IP, n o n o n o b Wc T ¡ t · yb;Mc WTb¡ t ¸ yb = IP b Wc T ¡ t · ¡ yb = IP b Wc T ¡ t ¸ yb : IP
(39:26)
La segunda igualdad se debe a la simetr¶³a de Wc T ¡ t . Este principio se demuestra f¶acilmente si se toma en cuenta que n o n o b Mc TWb¡ t ¸ yb = IP b jWc T ¡ t j ¸ yb : IP (39:27) ya que jWc T ¡ t j ¸ ybimplica Wc T ¡ t ¸ yb¶o Wc T ¡ t · ¡ yb. Ahora bien, si se utiliza el hecho de que
se sigue que
n o n o b Wc T ¡ t ¸ yb = IP b 2 yb¡ Wc T ¡ t · yb ; IP
(39:28)
© ª e Y T ¡ t · y ;M TY ¡ t ¸ y IP · n ¸ o b exp Á Wc T ¡ t ¡ 1 Á 2 (T ¡ t) 1 =E 2 f WbT ¡ t · b y ; MbTWb ¸ b y g ¡ t · n ¸ o ª b exp Á (2b =E y ¡ Wc T ¡ t ) ¡ 21 Á 2 (T ¡ t) 1 ©2 b y ¡ WbT ¡ t · b y · n ¸ o yb ª : =e 2 Á b E exp ¡ Á Wc T ¡ t ¡ 21 Á 2 (T ¡ t) 1 ©Wb ¸ b T ¡ t y
(39:29)
U¸ t = Wc t + Á t
(39:30)
Considere ahora el proceso
¸ tal que y de¯na otra medida m¶as de probabilidad IP,
n ¸ ¸ T ¡ t) dIP(U = exp ¡ Á Wc T ¡ t ¡ b c T ¡ t) dIP(W
1 2
o Á 2 (T ¡ t) :
(39:31)
¸ y De esta forma, U¸ t es un movimiento Browniano bajo IP © ª e Y T ¡ t · y ;M TY ¡ t ¸ y IP h n o i yb =e 2 Á b E exp ¡ Á Wc T ¡ t ¡ 21 Á 2 (T ¡ t) 1 f U¸ T ¡ t ¡ Á (T ¡ t)¸ b yg h n o i 2Á b yb 2 1 =e E exp ¡ Á Wc T ¡ t ¡ 2 Á (T ¡ t) 1 f U¸ T ¡ t ¸ b y + Á (T ¡ t)g n o y ¸ =e 2 Á b IP U¸ T ¡ t ¸ yb+ Á (T ¡ t) :
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3 9 . M ¶a x im o y m ¶³n im o d el M ov im ien to B row n ia n o ...
En virtud de (39.21) , el proceso ¾ ¡ 1 Y T ¡ t ¡ Á (T ¡ t) = Wc T ¡ t ¡ Á (T ¡ t) = VeT ¡ t es un movimiento e Por lo tanto, Browniano est¶andar en IP. © e Y T ¡ t · y ;M IP n y ¸ =e 2 Á b IP U¸ T ¡ t ¸ n y e e =e 2 Á b IP V T ¡ t ¸ © y e =e 2 Á b IP ¾ ¡ 1 Y T ¡ © y e =e 2 Á b IP ¾ ¡ 1 Y =e
2º ¾ ¡ 2y
T¡
Y T ¡ t
¸ y
ª
yb+ Á (T ¡ t)
yb+ Á (T ¡ t)
o
o
t ¡ Á (T ¡ t) ¸ yb+ Á (T ¡ t) ª t ¸ yb+ 2Á (T ¡ t)
(39:33)
ª
e f Y T ¡ t ¸ y + 2º (T ¡ t) g : IP
Ahora bien, la ecuaci¶o n (39.28) implica 2º = ¾ 2 (1 ¡ · ) ; se sigue que © e Y T ¡ t · y ;M IP
Y T ¡ t
¸ y
ª
= e (1 ¡
· )y
© ª e Y T ¡ t ¸ y + ¾ 2 (1 ¡ · ) (T ¡ t) : IP
(39:34)
Adem¶as, de acuerdo con (39.33) , se sigue que © ª e f Y T ¡ t ¸ y + 2º (T ¡ t) g =IP e ¾ ¡ 1 Y T ¡ t ¡ Á (T ¡ t) ¸ ¾ ¡ 1 y + Á (T ¡ t) IP n o e ¡ Wf T ¡ t ¸ ¾ ¡ 1 y + Á (T ¡ t) =IP n o e Wf T ¡ t · ¡ ¾ ¡ 1 y ¡ Á (T ¡ t) =IP μ ¶ ¡ y ¡ º (T ¡ t) p =© : ¾ T ¡ t Por lo tanto, © e Y T ¡ t · y ;M IP
Y T¡ t
¸ y
ª
= e (1 ¡
· )y
©
μ
¡ y ¡ º (T ¡ t) p ¾ T ¡ t
¶
:
(39:35)
(39:36)
Por u¶ ltimo, note que © e Y T ¡ t · y ;M IP
Y T ¡ t
ª © e Y T ¡ t · y ;M · y + IP
En consecuencia, la distribuci¶o n conj unta de (Y T ¡ t ;M
Y T ¡ t
¸ y
Y T ¡ t)
ª
ef Y T ¡ t · y g : = IP
est¶a dada por
© ª e Y T ¡ t · y ;M TY ¡ t · y IP © ª e f Y T ¡ t · y g ¡ IP e Y T ¡ t · y ;M YT ¡ t ¸ y =IP μ ¶ n o e VeT ¡ t · ¾ ¡ 1 y ¡ ¾ ¡ 1 º (T ¡ t) ¡ e (1 ¡ · )y © ¡ y ¡p º (T ¡ t) =IP ¾ T ¡ t μ ¶ μ ¶ y ¡ º (T ¡ t) ¡ y ¡ º (T ¡ t) p p =© ¡ e (1 ¡ · )y © : ¾ T ¡ t ¾ T ¡ t
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(39:37)
(39:38)
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3 9 . M a¶ x im o y m ¶³n im o d el M ov im ien to B row n ia n o ...
3 9 .6 D istrib u c i¶o n d e l v a lo r m ¶a x im o d e u n m o v im ie n to B ro w n ia n o c o n te n d e n c ia Por otro lado, es claro que para toda y ¸ 0 © e M IP
Y T ¡ t
¸ y
ª
© ª e f Y T ¡ t ¸ y g + IP e Y T ¡ t · y ;M TY ¡ t ¸ y =IP μ ¶ ¡ y ¡ º (T ¡ t) (1 ¡ · )y e p =IP f Y T ¡ t ¸ y g + e © : ¾ T ¡ t
(39:39)
Por lo tanto, © e M IP
Y T ¡ t
· y
ª
© e M =1 ¡ IP
Y T ¡ t
¸ y
ª
¶ ¡ y ¡ º (T ¡ t) p © ¾ T ¡ t μ ¶ ¡ y ¡ º (T ¡ t) (1 ¡ · )y e p =IP f Y T ¡ t · y g ¡ e © ¾ T ¡ t μ ¶ μ ¶ y ¡ º (T ¡ t) ¡ y ¡ º (T ¡ t) (1 ¡ · )y p p =© ¡ e © : ¾ T ¡ t ¾ T ¡ t e f Y T ¡ t ¸ y g ¡ e (1 ¡ =1 ¡ IP
μ
· )y
(39:40)
Este resultado era de esperarse de acuerdo con (39.38) .
3 9 .7 D istrib u c i¶o n d e l v a lo r m ¶³n im o d e u n m o v im ie n to B ro w n ia n o c o n te n d e n c ia Esta secci¶o n se concentra en la distribuci¶o n del valor m¶³nimo de un movimiento Browniano con tendencia. A partir de (39.38) se sigue que ¡M
Y T ¡ t
=¡
Por lo tanto, si x · 0, entonces © ª e Y T ¡ t ¸ x ;¹ TY ¡ t ¸ x = © IP
μ
max
u 2 [0 ;T ¡ t]
Yu =
¡ x + º (T ¡ t) p ¾ T ¡ t
min
u 2 [0 ;T ¡ t]
¶
¡ e
Y u = ¹ TY ¡ t :
(1 ¡ · )y
©
μ
x + º (T ¡ t) p ¾ T ¡ t
¶
:
(39:41)
Asimismo, en virtud de (39.40) , se tiene que © ª e ¹ YT ¡ t ¸ y = © IP
μ
¡ x + º (T ¡ t) p ¾ T ¡ t
¶
¡ e (1 ¡
· )y
©
μ
x + º (T ¡ t) p ¾ T ¡ t
¶
:
(39:42)
3 9 .8 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Karatzas, I. and S. E. Shreve (1997) . Brownian Motion and Stochastic Calculus, Second Edition. Series, Graduate Text in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin. Musiela, M. and M. Rutkowsky (1997) . Martingale Methods in Financial Modelling. Series, Applications of Mathematics, Stochastic Modelling and Applied Probability. Springer-Verlag, Berlin.
3 9 .9 E je rc ic io s b Demuestre que 3 9 .1 Sea Wc t un movimiento Browniano est¶andar sobre IP. n o n o b Mc TWb¡ t ¸ yb = IP b jWc T ¡ t j ¸ yb IP
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3 9 . M ¶a x im o y m ¶³n im o d el M ov im ien to B row n ia n o ...
y
o n o n o n b Wc T ¡ t · ¡ yb = IP b Wc T ¡ t ¸ yb : b Wc T ¡ t · yb; Mc WTb¡ t ¸ yb = IP IP
3 9 .2 Suponga que
n b Wc T ¡ t ) d IP( = exp ¡ Á VeT ¡ t ¡ e VeT ¡ t ) d IP(
y
n ¸ U¸ T ¡ t ) d IP( = exp ¡ Á Wc T ¡ t ¡ b Wc T ¡ t ) d IP(
donde
o
1 2
Á 2 (T ¡ t)
1 2
o Á 2 (T ¡ t) ;
Wc t ´ ¾ ¡ 1 Y t = Vet + Á t
y
U¸ t = Wc t + Á t = Vet + 2Á t:
¸ con respecto de IP, e es decir, aplique la regla Determine la derivada de Radon-Nikod¶y m de IP de la cadena en las derivadas de Radon-Nikod¶ym: b Wc T ¡ t ) ¸ U¸ T ¡ t ) d IP( ¸ U¸ T ¡ t ) d IP( d IP( = : e e e VeT ¡ t ) b c d IP( V T ¡ t ) d IP( W T ¡ t ) d IP( S o lu ci¶o n : Es su¯ciente observar que b Wc T ¡ t ) ¸ U¸ T ¡ t ) d IP( ¸ U¸ T ¡ t ) d IP( d IP( = e VeT ¡ t ) d IP( e VeT ¡ t ) b Wc T ¡ t ) d IP( d IP( n ³ o ´ = exp ¡ Á VeT ¡ t + Wc T ¡ t ¡ Á 2 (T ¡ t) n ³ ´ o = exp ¡ Á 2 VeT ¡ t + Á (T ¡ t) ¡ Á 2 (T ¡ t) ½ ¾ 1 2 e = exp ¡ (2Á ) V T ¡ t ¡ (2Á ) (T ¡ t) : 2 3 9 .3 Sea M
W
T ¡ t
= max W s ; t· s · T
donde f W t g t¸ 0 es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad ( ;F ;IP) . Muestre que © IP M
W T¡ t
¸ y
ª
= IP f jW
T ¡ tj ¸
yg :
3 9 .4 Con base en la notaci¶o n del ej ercicio anterior, pruebe que © IP M
Y T ¡ t
· y
ª
=©
μ
¾
p
¶ y ºp ¡ T ¡ t ¡ e (1 ¡ T ¡ t ¾
· )y
©
μ
¶ ¡y ºp ¡ T ¡ t ; ¾ T ¡ t ¾ p
y ¸ 0;
donde ©(¢) es la funci¶o n de distribuci¶o n acumulada de una variable aleatoria normal est¶andar.
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.
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C A P ¶IT U L O 40 O P C IO N E S C O N P R E C IO D E E J E R C IC IO F L O T A N T E (O P C IO N E S L O O K B A C K I): M O D E L O D E G O L D M A N , S O S IN Y G A T T O C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ² ²
Valuaci¶o n de opciones con precio de ej ercicio °otante Teorema de Girsanov Valuaci¶o n neutral al riesgo Principio de re°exi¶o n del movimiento Browniano F¶o rmulas de Goldman, Sosin y Gatto Opciones americanas con precio de ej ercicio °otante
4 0 .1 In tro d u c c i¶o n Una opci¶o n de compra con precio de ej ercicio igual al valor m¶³nimo del subyacente, otorga al propietario del instrumento el derecho de comprar el subyacente al menor precio observado durante la vida del contrato. Similarmente, una opci¶o n de venta con precio de ej ercicio igual al valor m¶aximo del subyacente, otorga al propietario del instrumento el derecho de vender el subyacente al mayor precio observado durante la vida del contrato. Los casos de una opci¶o n de compra con precio de ejercicio igual al valor m¶aximo del subyacente y una opci¶o n de venta con precio de ej ercicio igual al valor m¶³nimo del subyacente carecen de sentido, pues ning¶u n agente \racional" compra caro y vende barato. Las opciones con precios de ej ercicio dependientes del valor m¶aximo o m¶³nimo de un t¶³tulo de capital, o un ¶³ndice burs¶atil, fueron presentadas, por primera vez, en el trabaj o de Goldman, Sosin, y Gatto (1979) . En el proceso de valuaci¶o n de este tipo de opciones, el principio de re°exi¶o n de un movimiento Browniano con tendencia y el teorema de Girsanov desempe~n an un papel relevante. En este cap¶³tulo se obtienen las f¶o rmulas de valuaci¶o n de Goldman, Sosin y Gatto (GSG) y se estudia su relaci¶o n con la f¶o rmula de valuaci¶o n de Black y Scholes (1973) . Asimismo, se discute el caso de opciones americanas con precio de ej ercicio °otante.
4 0 .2 S u p u e sto s b ¶a sic o s d e l m o d e lo d e G o ld m a n , S o sin y G a tto Los supuestos b¶asicos del modelo de Goldman, Sosin y Gatto (GSG) para valuar opciones con precio de ej ercicio °otante, dependiente del valor m¶aximo o m¶³nimo del activo subyacente, que se utilizar¶an en este cap¶³tulo son: (i) El precio del activo subyacente, una acci¶o n, es conducido por un movimiento geom¶e trico Browniano, es decir, el precio es log-normal o el rendimiento es normal. Sea f W t g t2 [0 ;T ] un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad con su ¯ltraci¶o n aumentada, ( ;F ;f F t g t2 [0 ;T ];IP) . Se supone que la din¶amica del precio del activo subyacente es conducido por la siguiente ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica: dS t = ¹ S t dt + ¾ S t dW t ;
(40:1)
(ii) La volatilidad, ¾ , del precio de la acci¶o n se mantiene constante a trav¶e s del tiempo; (iii) Las ventas en corto del subyacente en cuesti¶o n son permitidas;
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4 0 . O p cio n es co n p recio d e ejercicio ° o ta n te...
(iv ) El mercado del subyacente es l¶³quido y divisible, es decir, el subyacente se puede comprar y vender en cualquier fracci¶o n de unidad; (v ) No hay costos de transacci¶o n (comisiones e impuestos) ; (v i) El mercado opera en forma continua; (v ii) Existe un mercado de cr¶e dito, un sistema bancario, en el que los agentes pueden prestar y pedir prestado a una tasa de inter¶e s constante para todos los plazos, y libre de riesgo r ; (v iii) No existen oportunidades de arbitraj e. Observe que los supuestos del modelo b¶asico de Black y Scholes (1973) se mantienen. Sin embargo, las opciones que a continuaci¶o n se estudian tienen precio de ejercicio °otante.
4 0 .3 V a lu a c i¶o n d e o p c io n e s c o n p re c io d e e je rc ic io ° o ta n te d e p e n d ie n te d e l v a lo r m ¶a x im o o m ¶³n im o d e l a c tiv o su b y a c e n te En esta secci¶o n se desarrolla una f¶o rmula para valuar opciones con precio de ejercicio °otante dependiente del valor m¶aximo o m¶³nimo del activo subyacente. Para ello, se emplear¶a la siguiente notaci¶o n: 0: tiempo en el que se emite la opci¶o n; t: fecha actual (hoy) ; T : fecha de vencimiento de la opci¶o n; y T ¡ t: periodo de vida que le resta al contrato. Una opci¶o n europea de compra con precio de ej ercicio igual al valor m¶³nimo del subyacente durante [0;T ] , otorga al propietario del instrumento el derecho de comprar el subyacente al menor precio observado, m ST , durante la vida del contrato: S T
m
= min S u : u 2 [0 ;T ]
De esta manera, el pago al vencimiento est¶a dado por ¡ max S T ¡ m
S T
¢ ;0 = S T ¡ m
S T
:
(40:2)
En este caso, el tenedor del instrumento estar¶a comprando el activo subyacente al menor precio realizado durante el intervalo [0;T ] . Similarmente, una opci¶o n de venta con precio de ejercicio igual al valor m¶aximo del subyacente durante [0;T ] , otorga al propietario del instrumento el derecho de vender el subyacente al mayor precio observado, M TS , durante la vida del contrato, es decir, M TS = max S u : u 2 [0 ;T ]
Por lo tanto, el pago, al vencimiento, de esta opci¶o n de venta es ¡ max M
S T
¢ ¡ S T ;0 = M
S T
¡ ST :
(40:3)
En este caso, el tenedor del instrumento estar¶a vendiendo el activo subyacente al mayor precio observado durante la vigencia del contrato. Suponga que una opci¶o n europea de compra con precio de ej ercicio igual al valor m¶³nimo del subyacente se emite al tiempo cero. que sigue se denotar¶a el precio actual, al tiempo t, de ¡ En lo ¢ dicha opci¶o n mediante c m ´ c m S t ;m St ;t . Es importante enfatizar que c m es el precio actual y no el precio en la fecha en que se emiti¶o la opci¶o n. Si se supone que el precio de la acci¶o n, S t , es conducido por el movimiento geom¶e trico Browniano de¯nido en (40.1) y si adem¶as se denota Wf t = ¸ t + W t ; donde ¸ =
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(40:4)
¹ ¡ r ¾
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4 0 . O p cio n es co n p recio d e ejercicio ° o ta n te...
es el precio que asigna el mercado al riesgo por unidad de volatilidad, entonces (40.1) se puede reescribir como dS t = r S t dt + ¾ S t dWf t : (40:5) El teorema de Girsanov proporciona una medida de probabilidad Z e IP(A ) = ' (¸ ;T ;W T ) dIP; A 2 F ; A
donde ' (¸ ;t;W t ) =
e f t) © dIP(W = exp ¡ ¸ W dIP(W t )
t
¡
1 2
ª ¸ 2t :
e neutral al riesgo, se encuentra de¯nida en el espacio muestral La medida de probabilidad IP, e y Wf t es que baj o IP, e Wf t es un movimiento Browniano. original, . La caracter¶³stica relevante de IP En este caso, el precio al tiempo t de una opci¶o n europea de compra con precio de ej ercicio igual al valor m¶³nimo del subyacente satisface cm = e ¡ As¶³,
£ E ST ¡ m
r (T ¡ t) e
S T
jF
t
¤ :
£ em E [S T j F t ] ¡ e ¡ r (T ¡ t) E £ ¤ e m ST j F t ; =S t ¡ e ¡ r (T ¡ t) E
c m =e ¡
r (T ¡ t) e
(40:6) S T
jF
t
¤
e[S T j F t ] = S t e r (T ¡ t) . Por otro lado, es posible veri¯car que ya que E " # ³ ´ 1 μ S ¶1 ¡ · ³ ´ p p £ S ¤ t S e E m T j F t =m t © d m ¡ ¾ T ¡ t ¡ © ¡ dm + · ¾ T ¡ t · m St μ ¶ 1 r (T ¡ t) +e St 1+ © (¡ d m ) ; · donde
dm
2r · = 2; ¾ ¡ ¢ ¡ ¢ ln S t = m St + r + 12 ¾ 2 (T ¡ t) p = ¾ T ¡ t
(40:7)
(40:8) (40:9)
y ©(¢) es la funci¶o n de distribuci¶o n acumulada de una variable aleatoria normal est¶andar. En efecto, una simple aplicaci¶o n del lema de It^o , tomando en cuenta el proceso (40.5) , conduce a ¡ d ln(S t ) = r ¡
1 2
lo que, a su vez, implica S u = S t e ¾ (Weu ¡ Wet )+
(r ¡
donde y
1 2
¢ ¾ 2 dt + ¾ dWf t ;
¾ 2 )(u ¡ t)
= S te ¡
(Y u ¡ Y t )
(40:10)
;
u > t > 0;
Y t = ¡ ¾ Wf t + º t
(40:11)
º = 21 ¾ 2 ¡ r:
(40:12)
En consecuencia, m
S t;T
= min S u = S t e ¡ u 2 [t;T ]
donde M
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Y t;T
M
= max Y u ¡ t : u 2 [t;T ]
Y t;T
;
(40:13)
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Claramente, M Yt;T es independiente de F t , ya que Wf u ¡ Wf t es indepediente de F t . Asimismo, la e coincide con la distribuci¶o n de distribuci¶o n de M Yt;T bajo IP Y T ¡ t
M ya que M
Y t;t
=0yM
Y t;T
=
max
u 2 [0 ;T ¡ t]
= Y T ¡ Y t = Y T ¡ t . Adem¶as, m m
¡ = min m
S T
S t
;m
S t;T
Yu; S T
³ ¢ = min m
S t
puede reescribirse como: ;S t e ¡
M
Y T ¡ t
´ ;
(40:14)
donde S t y m tS son F t -medibles y M TY ¡ t es independiente de la ¾ -¶algebra F t . Observe que en la ecuaci¶o n (40.14) , m ST se ha expresado en t¶e rminos de lo que se conoce hasta t, m St , y lo que no se conoce j ustamente despu¶e s de t, m St;T . Observe tambi¶e n que m St = m 0S ;t . Ahora bien, con el prop¶o sito de calcular (40.6) considere h ³ ´¯ i £ ¤ ¯ e m ST j F t = E e min m St ;S t e ¡ M YT ¡ t ¯ Lt´ E Ft : ¡ Si se de¯ne z = ¡ ln m
S t
Lt¡ m
¢ = S t ; entonces
h ³ ´¯ i e min 0;S t e ¡ M YT ¡ t ¡ m St ¯ =E ¯F t ·³ ¯ ¸ ´ ¯ ¡ M YT ¡ t S e =E S t e ¡ m t 1 ¯F t ¡ M Y T ¡ t· m S g f S te t ¯ i h³ ´ ¯ e S t e ¡ M YT ¡ t ¡ m tS 1 =E Y S f M T ¡ t ¸ ¡ ln ( m t = S t ) g ¯F t ¯ i h³ ´ ¯ e S t e ¡ M YT ¡ t ¡ S t e ¡ z 1 =E f M YT ¡ t ¸ z g ¯F t ¯ i h³ ´ ¯ e e ¡ M YT ¡ t ¡ e ¡ z 1 =S t E ¯ Y f M T ¡ t¸ z g F t Z1 © ª e M TY ¡ t ¸ y dy : =¡ St e ¡ y IP
S t
(40:15)
z
La u¶ ltima igualdad se j usti¯ca como sigue: observe primero que z ;a 2 IR, (e ¡ a ¡ e ¡ z ) 1 f a ¸ z g = R1 ¡ z e ¡ y 1 f a ¸ y g dy . Si a es una variable aleatoria no negativa, se tiene entonces que E[(e ¡ a ¡ R1 e ¡ z ) 1 f a ¸ z g ] = ¡ z e ¡ y IP a f a ¸ y g dy . Ahora bien, dado que © e M IP
Y T¡ t
¸ y
ª
e f Y T ¡ t ¸ y g + e 2 º ¾ ¡ 2 y IP e f Y T ¡ t ¸ y + 2º (T ¡ t) g ; = IP
se tiene que Lt¡ m
S t
=¡ St =¡ St ¡ St
Z1 Zz 1 z
Z1
© e M e ¡ y IP
Y T ¡ t
ª ¸ y dy
e f Y T ¡ t ¸ y g dy e ¡ y IP e¡
z
·y
(40:16)
(40:17)
e f Y T ¡ t ¸ y + 2º (T ¡ t) g dy ; IP
donde, de acuerdo con (40.8) , se ha utilizado el hecho de que 2º ¾ ¡ 2 ¡ 1 = ¡ 2r ¾ ¡
2
= ¡ ·:
Las integrales que aparecen en (40.17) se calcular¶an por separado, y para tal ¯n se denotar¶an como: Z1 (1 ) e f Y T ¡ t ¸ y g dy Lt ´ ¡ St e ¡ y IP (40:18) z
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4 0 . O p cio n es co n p recio d e ejercicio ° o ta n te...
y L
(2 ) t
´ ¡ St
Z1
e¡
·y
z
e f Y T ¡ t ¸ y + 2º (T ¡ t) g dy : IP
(40:19)
La primera integral puede expresarse, en virtud de (40.11) y (40.12) , de la siguiente manera: Z1 (1 ) e f Y T ¡ t ¸ y g dy Lt =¡ St e ¡ y IP z
¯ i ¢ ¯ ¡ e ¡ z 1 f Y T ¡ t ¸ z g ¯F t h n o t) e E exp ¾ Wf T ¡ t ¡ 12 ¾ 2 (T ¡ t) 1 f Y T ¡ t ¸
h¡ e e¡ =S t E
=S t e
r (T ¡
¡ m
S t
YT
¡ t
zg
ef Y T ¡ t ¸ z g : IP
¯ i ¯ ¯F t
(40:20)
Por el teorema de Girsanov, existe una medida de probabilidad IP (¾ ) de¯nida en ( ;F ) tal que n dIP (¾ ) (V T ) = exp ¾ Wf T ¡ e fT ) dIP(W (¾ )
donde
(¾ )
Vt As¶³, con base en (40.11) , se tiene que
1 2
¾ 2T
o
(40:21)
;
= Wf t ¡ ¾ t:
Y T ¡ t = ¡ ¾ Wf T ¡ t + º (T ¡ t) ³ ´ (¾ ) = ¡ ¾ V T ¡ t + ¾ (T ¡ t) + º (T ¡ t) ¡ ¢ (¾ ) = ¡ ¾ V T ¡ t + º ¡ ¾ 2 (T ¡ t) ¡ ¢ (¾ ) = ¡ ¾ V T ¡ t ¡ r + 21 ¾ 2 (T ¡ t) :
(40:22)
A partir de (40.20) , se sigue que L
(1 ) t
ef Y T ¡ t ¸ z g =S t e r (T ¡ t) IP (¾ ) f Y T ¡ t ¸ z g ¡ m St IP n ¡ ¢ ¡ ¢o (¾ ) =S t e r (T ¡ t) IP (¾ ) ¡ ¾ V T ¡ t ¡ r + 12 ¾ 2 (T ¡ t) ¸ ¡ ln m St = S t n ¡ ¢ ¡ ¢o e ¡ ¾ Wf T ¡ t ¡ r ¡ 1 ¾ 2 (T ¡ t) ¸ ¡ ln m tS = S t ¡ m St IP 2 n o ¡ ¢ ¡ ¢ (¾ ) =S t e r (T ¡ t) IP (¾ ) ¾ V T ¡ t · ln m St = S t ¡ r + 12 ¾ 2 (T ¡ t) n o ¡ ¢ ¡ ¢ e ¾ Wf T ¡ t · ln m tS = S t ¡ r ¡ 1 ¾ 2 (T ¡ t) ¡ m tS IP 2 à ! ¡ S ¢ ¡ 1 2¢ ln m t = S t ¡ r + 2 ¾ (T ¡ t) r (T ¡ t) p =S t e © ¾ T ¡ t à ! ¡ ¢ ¡ ¢ ln m tS = S t ¡ r ¡ 12 ¾ 2 (T ¡ t) S p ¡ m t© : ¾ T ¡ t
(40:23)
(2 )
Ahora bien, para el caso de L t , de¯nida anteriormente en (40.19) , se obtiene Z1 (2 ) e f Y T ¡ t ¸ y + 2º (T ¡ t) g dy Lt =¡ St e ¡ · y IP z
´ S t eh³ ¡ · (Y T ¡ t ¡ 2 º (T ¡ t)) = E e ¡ e ¡ · z 1 f Y T ¡ t ¸ z + 2 º (T ¡ · ¯ i S t eh ¡ · (Y T ¡ t ¡ 2 º (T ¡ t)) ¯ = E e 1 f Y T ¡ t ¸ z + 2 º (T ¡ t)g ¯F t · St e ¡ e ¡ · z IP f Y T ¡ t ¸ z + 2º (T ¡ t) g : ·
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t)g
¯ i ¯ ¯F t
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444
4 0 . O p cio n es co n p recio d e ejercicio ° o ta n te...
Asimismo, en virtud de (40.8) y (40.11) , se tiene que Y T ¡ t = ¡ ¾ Wf T ¡ t + º (T ¡ t) , lo cual implica e¡
· (Y T
¡ t¡
2 º (T ¡ t))
= e¡
2 r ¾ ¡ 2 (Y T
¡ t¡
2 º (T ¡ t))
= e r (T ¡ t) e ° WeT ¡ t ¡
1 2
° 2 (T ¡ t)
;
donde ° = 2r ¾ ¡ 1 : De esta forma,
L
(2 ) t
· ½ ¾ ¯ ¸ e r (T ¡ t) S t e 1 2 ¯ f = E exp ° W T ¡ t ¡ ° (T ¡ t) 1 f Y T ¡ t ¸ z + 2 º (T ¡ t)g ¯F t · 2 n o ¡ ¢ ¡ ¢ S t e ¾ Wf T ¡ t · ln m tS = S t + r ¡ 1 ¾ 2 (T ¡ t) : ¡ e ¡ · z IP 2 ·
En virtud, una vez m¶as, del teorema de Girsanov, existe una medida de probabilidad IP (° ) de¯nida en ( ;F ) tal que n dIP (° ) (U T ) = exp ° Wf T ¡ e fT ) dIP(W (° )
1 2
° 2T
o
;
(40:24)
donde U
(° ) t
= Wf t ¡ ° t:
Adem¶as, si se procede como en (40.22) , se sigue que YT ¡ t = ¡ ¾U
(° ) T ¡ t
+ (º ¡ ¾ ° ) (T ¡ t) :
De lo anterior, se concluye que
L
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(2 ) t
e r (T ¡ t) S t (° ) IP f Y T ¡ t ¸ z + 2º (T ¡ t) g · à ! ¡ ¢ ¡ ¢ ln m St = S t + r ¡ 12 ¾ 2 (T ¡ t) ¡ ·z S t p ¡ e © · ¾ T ¡ t o e r (T ¡ t) S t (° ) n (° ) = IP ¾ V T ¡ t · ¡ z ¡ (º + ¾ ° ) (T ¡ t) · à ! ¡ ¢ ¡ ¢ ln m St = S t + r ¡ 12 ¾ 2 (T ¡ t) ¡ ·z S t p ¡ e © · ¾ T ¡ t o ¡ ¢ ¡ ¢ e r (T ¡ t) S t (° ) n (° ) = IP ¾ V T ¡ t · ln m St = S t ¡ r + 12 ¾ 2 (T ¡ t) · à ! ¡ ¢ ¡ ¢ ln m St = S t + r ¡ 12 ¾ 2 (T ¡ t) ¡ ·z S t p ¡ e © · ¾ T ¡ t à ! ¡ ¢ ¡ ¢ ln m St = S t ¡ r + 21 ¾ 2 (T ¡ t) e r (T ¡ t) S t p = © · ¾ T ¡ t à ! ¡ ¢ ¡ ¢ ln m St = S t + r ¡ 12 ¾ 2 (T ¡ t) · ln ( m St = S t ) S t p ¡ e © : · ¾ T ¡ t =
(40:25)
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4 0 . O p cio n es co n p recio d e ejercicio ° o ta n te...
Por lo tanto, a partir de (40.17) , (40.23) y (40.25) , se obtiene que £ ¤ e m S j F t =m S + L t E T t =m
S t
+L
(1 ) t
+L
(2 ) t
Ã
! ¢ ¡ 1 2¢ = S ¡ r + ¾ (T ¡ t) t 2 p =m St + S t e r (T ¡ t) © ¾ T ¡ t à ! ¡ ¢ ¡ ¢ ln m tS = S t ¡ r ¡ 12 ¾ 2 (T ¡ t) S p ¡ m t© ¾ T ¡ t à ! ¡ ¢ ¡ ¢ ln m tS = S t ¡ r + 21 ¾ 2 (T ¡ t) e r (T ¡ t) S t p + © · ¾ T ¡ t à ! ¡ ¢ ¡ ¢ ln m tS = S t + r ¡ 12 ¾ 2 (T ¡ t) · ln ( m St = S t ) S t p ¡ e © : · ¾ T ¡ t ¡ ln m
S t
Si ahora se toma en cuenta la de¯nici¶o n de d m en (40.9) y se utiliza el hecho b¶asico de la distribuci¶o n normal acumulada: ³ ´ ³ ´ p p © dm ¡ ¾ T ¡ t = 1 ¡ © ¡ dm + ¾ T ¡ t ; se tiene que £ ¤ e m TS j F t =m E
³ ´ p © ¡ dm + ¾ T ¡ t μ ¶1 ¡ · ³ ´ p e r (T ¡ t) S t m St St + © (¡ d m ) ¡ © ¡ d + · ¾ T ¡ t m · · m St μ ¶ ³ ³ ´´ p 1 =e r (T ¡ t) S t © (¡ d m ) 1 + + m St 1 ¡ © ¡ d m + ¾ T ¡ t · μ ¶1 ¡ · ³ ´ S p m t St ¡ © ¡ dm + · ¾ T ¡ t S · m t μ ¶ ³ ´ p 1 =e r (T ¡ t) S t 1 + © (¡ d m ) + m tS © d m ¡ ¾ T ¡ t · μ ¶1 ¡ · ³ ´ S p m t St ¡ © ¡ d + · ¾ T ¡ t m · m St " # ³ ´ 1 μ S ¶1 ¡ · ³ ´ p p t =m tS © d m ¡ ¾ T ¡ t ¡ © ¡ dm + · ¾ T ¡ t · m St μ ¶ 1 + e r (T ¡ t) S t 1 + © (¡ d m ) : · S t
+ e r (T ¡ t) S t © (¡ d m ) ¡ m
S t
(40:26)
En conclusi¶o n, con base en (40.6) y (40.26) , el precio de una opci¶o n de compra europea con precio de ejercicio igual al valor m¶³nimo del subyacente ³ ´ p c m =S t ¡ e ¡ r (T ¡ t) m St © d m ¡ ¾ T ¡ t μ ¶¡ · ³ ´ p e ¡ r (T ¡ t) S t S t + © ¡ d + · ¾ T ¡ t m · m tS μ ¶ 1 ¡ St 1+ © (¡ d m ) · ³ ´ p =S t (1 ¡ © (¡ d m ) ) ¡ m St e ¡ r (T ¡ t) © d m ¡ ¾ T ¡ t "μ # ¶¡ · ³ ´ p S t e ¡ r (T ¡ t) St r (T ¡ t) + © ¡ dm + · ¾ T ¡ t ¡ e © (¡ d m ) : · m tS
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4 0 . O p cio n es co n p recio d e ejercicio ° o ta n te...
Dado que © (d m ) = 1 ¡ © (¡ d m ) , se tiene, ¯nalmente, que: c m =S t © (d m ) ¡ m +
S te ¡
r (T ¡ t)
·
³ ´ p e ¡ r (T ¡ t) © d m ¡ ¾ T ¡ t "μ # ¶¡ · ³ ´ p St r (T ¡ t) © ¡ dm + · ¾ T ¡ t ¡ e © (¡ d m ) : m tS
S t
(40:27)
4 0 .4 O p c i¶o n d e c o m p ra so b re u n a a c c i¶o n q u e p a g a d iv id e n d o s a u n a ta sa c o n tin u a c o n p re c io d e e je rc ic io ig u a l a l m ¶³n im o p re c io o b se rv a d o d e l su b y a c e n te En caso de que la acci¶o n pague dividendos a una tasa continua q . El precio del subyacente al tiempo t, S t , es conducido por un movimiento geom¶e trico Browniano de acuerdo con dS t = (¹ ¡ q ) S t dt + ¾ S t dW t ;
(40:28)
entonces la opci¶o n de compra con el m¶³nimo precio observado del subyacente como precio de ej ercicio tiene prima ³ ´ p © (d m ) ¡ m St e ¡ r (T ¡ t) © d m ¡ ¾ T ¡ t "μ ¶¡ · ³ ´ p S t e ¡ r (T ¡ t) St + © ¡ d + · ¾ T ¡ t ¡ e (r ¡ m · m tS
c m =S t e ¡
q (T ¡ t)
q )(T ¡ t)
#
(40:29)
© (¡ d m ) ;
donde · = y dm =
¡ ln S t = m
S t
2 (r ¡ q ) ; ¾2
(40:30)
¢ ¡ ¢ + r ¡ q + 21 ¾ 2 (T ¡ t) p : ¾ T ¡ t
(40:31)
Observe, como siempre, que la incorporaci¶o n de una tasa continua de pago de dividendos s¶o lo tiene efectos sobre la tasa de inter¶e s.
4 0 .5 O p c io n e s d e v e n ta so b re u n a a c c i¶o n q u e p a g a d iv id e n d o s a u n a ta sa c o n tin u a c o n p re c io d e e je rc ic io ig u a l a l m ¶a x im o p re c io o b se rv a d o d e l su b y a c e n te Si se denota el precio de una opci¶o n europea de venta valor m¶aximo observado del subya¡ con el ¢ cente como precio de ej ercicio mediante p M ´ p M S t ;M tS ;t , entonces p M =M +
S t
e¡
r (T ¡ t)
S te ¡
r (T ¡
·
³ ´ p © ¡ d M + ¾ T ¡ t ¡ S t e ¡ q (T ¡ t) © (¡ d M ) " μ ¶¡ · ³ ´ t) p St ¡ © d ¡ · ¾ T ¡ t + e (r ¡ M M tS
q )(T ¡ t)
#
(40:32)
© (d M ) ;
donde · se toma como en (40.8) y dM =
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¡ ln S t =M
S t
¢ ¡ ¢ + r ¡ q + 12 ¾ 2 (T ¡ t) p : ¾ T ¡ t
(40:33)
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4 0 . O p cio n es co n p recio d e ejercicio ° o ta n te...
4 0 .6 R e la c i¶o n d e la s f¶o rm u la s d e G o ld m a n , S o sin y G a tto c o n B la c k S c h o le s En esta secci¶o n se discute la relaci¶o n que existe entre las f¶o rmulas de Goldman, Sosin y Gatto (GSG) y la f¶o rmula de valuaci¶o n de Black-Scholes. En el caso particular de · = 1, es decir, cuando se cumple que r ¡ q = 12 ¾ 2 , se tiene que cm
¡ S t ;m
S t
³ ´ p © (d m ) ¡ m St e ¡ r (T ¡ t) © d m ¡ ¾ T ¡ t ³ ´ p + m St e ¡ r (T ¡ t) © ¡ d m + ¾ T ¡ t ¡ S t e ¡ q (T ¡ t) © (¡ d m ) ¡ ¢ ¡ ¢ =c B S S t ;t; m tS + p B S S t ;t; m tS ;
¢ ;t =S t e ¡
q (T ¡ t)
(40:34)
donde d m se toma como en (40.31) . El sub¶³ndice BS se re¯ere a la soluci¶o n est¶andar de BlackScholes del precio de una opci¶o n europea de compra con precio de ej ercicio m St . Similarmente, con · = 1, pM
¡ S t ;M
S t
³ ´ p © ¡ d M + ¾ T ¡ t ¡ S t e ¡ q (T ¡ t) © (¡ d M ) ³ ´ p + S t e ¡ q (T ¡ t) © (d M ) ¡ M tS e ¡ r (T ¡ t) © d M ¡ ¾ T ¡ t ¡ ¢ ¡ ¢ =p B S S t ;t; M tS + c B S S t ;t; M tS ;
¢ ;t =M
S t
e¡
r (T ¡ t)
S t
donde d M se toma como en (40.31) , pero en lugar de m
S t
se escribe M
(40:35)
.
4 0 .7 E c u a c i¶o n d ife re n c ia l p a rc ia l d e u n a o p c i¶o n d e c o m p ra e u ro p e a c o n p re c io d e e je rc ic io ° o ta n te e ig u a l a l m ¶³n im o p re c io o b se rv a d o d e l su b y a c e n te Al igual que en la secci¶o n anterior, en el trancurso de la presente secci¶o n se supone · = 1: Si se de¯ne un operador L B S como L
B S (¢)
@ @2 @ (¢) + 21 ¾ 2 S t2 (¢) + (r ¡ q ) S t (¢) ¡ r I (¢) ; 2 @t @St @St
=
donde I (x ) ´ x , se tiene, evidentemente, que L
B S (c B S
¡ S t ;t; m
¢ )=0
S t
En virtud de la linealidad del operador L L
BS
¡ ¡ c m S t ;m
S t
¢¢ ;t = L
BS
B S,
y
L
B S (p B S
¡ S t ;t; m
S t
¢ ) = 0:
se cumple que
¡ ¡ c B S S t ;t; m
S t
¢¢ +L
BS
¡ ¡ p B S S t ;t; m
S t
¢¢ = 0:
Es decir, @ cm @ 2 cm @ cm + 12 ¾ 2 S t2 + (r ¡ q ) S t ¡ r c m = 0: @t @ S t2 @St
(40:36)
Asimismo, las condiciones de frontera satisfacen ¡ c B S S t ;t; m y
S t
¢ ¡ = max S t ¡ m
¡ p B S S t ;t; m
S t
¢ ¡ = max m
S t
S t
¢ ;0 = S t ¡ m
S t
¢ ¡ S t ;0 = 0:
De esta manera, c m (S t ;m
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S t
¡ ;t) = c B S S t ;t; m
S t
¢ ¡ + p B S S t ;t; m
S t
¢ = St¡ m
S t
:
(40:37)
3/5/08 6:32:27 PM
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4 0 . O p cio n es co n p recio d e ejercicio ° o ta n te...
4 0 .8 C a ra c te riz a c i¶o n d e u n a o p c i¶o n d e c o m p ra a m e ric a n a c o n p re c io d e e je rc ic io ° o ta n te e ig u a l a l m ¶³n im o p re c io o b se rv a d o d e l su b y a c e n te Cuando la opci¶o n de compra con precio de ej ercicio °otante dependiente del valor m¶³nimo del subyacente es americana, en ocasiones puede ser ¶o ptimo ejercer antes del vencimiento. Suponga, como en las dos secciones anteriores que · = 1: En este caso, el rendimiento de un portafolio combinado del subyacente y la opci¶o n de compra no puede exceder el rendimiento de un dep¶o sito bancario, igual al valor del portafolio, con tasa libre de riesgo, r . Es decir, @ cm @ 2 cm + 12 ¾ 2 S t2 · r @t @ S t2
μ ¶ @ cm cm ¡ S t : @St
(40:38)
4 0 .9 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Black, F. and M. Scholes (1973) . \The Pricing of Options and Corporate Liabilities" . T h e J o u rn a l o f P o litica l E co n o m y, Vol. 81, No. 3, pp. 637-654. Goldman, M. B., H. B. Sosin, and M. A. Gatto (1979) . \Path Dependent Options: Buy at the Low, Sell at the High" . T h e J o u rn a l o f F in a n ce, Vol. 34, No. 5, pp. 1111-1127. Venegas-Mart¶³nez, F. (2001) . \Una gu¶³a completa para economistas en la valuaci¶o n de opciones" . G a ceta d e E co n o m ¶³a , A~n o 6, No. 12, pp. 155-212.
4 0 .1 0 E je rc ic io s 4 0 .1 Denote el precio de una opci¶o n europea de venta con ¡ el m¶aximo ¢ precio observado del subyacente como precio de ej ercicio mediante p M ´ p M S t ;M tS ;t . Muestre que pM = M +
S t
e¡
S te ¡
r (T ¡ t)
·
³ ´ p © ¡ d M + ¾ T ¡ t ¡ S t e ¡ q (T ¡ t) © (¡ d M ) " μ # ¶¡ · ³ ´ p St ¡ © d M ¡ · ¾ T ¡ t + e (r ¡ q )(T ¡ t) © (d M ) ; M tS
r (T ¡ t)
donde dM =
¡ ln S t =M
S t
y
¢ ¡ ¢ + r ¡ q + 12 ¾ 2 (T ¡ t) p ¾ T ¡ t
· =
2(r ¡ q ) : ¾2
4 0 .2 Si a es una variable aleatoria no negativa, demuestre que E[(e ¡
a
¡ e¡ z )1fa ¸
zg ]
=¡
Z1 z
e ¡ y IP a f a ¸ y g dy :
4 0 .3 Considere una opci¶o n americana de compra con precio de ej ercicio °otante dependiente del valor m¶³nimo del subyacente. Suponga que · = 1 y que el activo subyacente es una acci¶o n que paga dividendos de manera continua a una tasa q . Muestre que el precio de la opci¶o n satisface μ ¶ @ cm @ 2 cm @ cm @ cm + 12 ¾ 2 S t2 ¡ q S · r c ¡ S : t m t @t @ S t2 @St @St
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C A P ¶IT U L O 41 O P C IO N E S S O B R E E L M A¶ X IM O Y M ¶IN IM O P R E C IO O B S E R V A D O D E L S U B Y A C E N T E C O N P R E C IO D E E J E R C IC IO F IJ O (O P C IO N E S L O O K B A C K II): M O D E L O D E C O N Z E Y V IS W A N A T H A N C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² Opci¶o n de compra sobre el m¶aximo precio observado con precio de ejercicio ¯jo ² Opci¶o n de venta sobre el m¶³nimo precio observado con precio de ej ercicio ¯j o ² M¶aximo y m¶³nimo de un movimiento Browniano
4 1 .1 In tro d u c c i¶o n Las opciones europeas sobre el m¶aximo o m¶³nimo precio observado de un t¶³tulo de capital (o un ¶³ndice burs¶atil) con precio de ej ercicio ¯jo fueron estudiadas, por primera vez, en el trabaj o de Conze y Viswanathan (1991) . Este tipo de opciones se negocian fundamentalmente sobre divisas, t¶³tulos de capital e ¶³ndices burs¶atiles. En el presente cap¶³tulo, baj o el supuesto de que el activo subyacente sigue un movimiento geom¶e trico Browniano, se establecen varias f¶o rmulas cerradas para valuar opciones sobre el m¶aximo y el m¶³nimo precio observado del activo subyacente cuando el precio de ej ercicio es ¯j o.
4 1 .2 O p c io n e s so b re e l m ¶a x im o o m ¶³n im o p re c io o b se rv a d o d e l su b y a c e n te c o n p re c io d e e je rc ic io ¯ jo En el transcurso de este cap¶³tulo se emplear¶a la notaci¶o n siguiente: 0: tiempo en el que se emiten todas las opciones; t: fecha actual (hoy) ; T : fecha de vencimiento de las opciones; y T ¡ t: periodo de vida que les resta a las opciones. Una opci¶o n de compra sobre el m¶aximo precio observado del activo subyacente con un precio de ej ercicio ¯j o (predeterminado) paga en la fecha de vencimiento la diferencia entre M
S T
= max S u u 2 [0 ;T ]
(41:1)
y el precio de ej ercicio K siempre y cuando dicha diferencia sea positiva; en caso contrario el pago es cero. Es decir, el pago de este tipo de opci¶o n, en la fecha de vencimiento, est¶a dado por: ¡ ¢ max M TS ¡ K ;0 : (41:2) Similarmente, una opci¶o n de venta sobre el m¶³nimo precio observado del activo subyacente con un precio de ejercicio ¯j o (predeterminado) paga en la fecha de vencimiento la diferencia entre el precio de ej ercicio K y m ST = min S u (41:3) u 2 [0 ;T ]
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450
4 1 . O p cio n es so b re el m ¶a x im o o m ¶³n im o p recio o b serva d o d el su b y a cen te...
siempre y cuando dicha diferencia sea positiva. As¶³, el pago de esta opci¶o n, en la fecha de vencimiento, satisface ¡ ¢ max K ¡ m ST ;0 : (41:4)
4 1 .3 O p c io n e s d e c o m p ra so b re e l m ¶a x im o p re c io o b se rv a d o d e l su b y a c e n te c o n p re c io d e e je rc ic io ¯ jo En el caso de una opci¶o n de compra sobre el m¶aximo precio observado del subyacente con precio de ej ercicio ¯j o, K , se puede utilizar la siguiente aproximaci¶o n cuando K > M tS ¡ c t;S t ;M
donde B (t;T ) = e ¡
S t
r (T ¡ t)
³ ´ p ©(d M ) ¡ K B (t;T ) © d M ¡ ¾ T ¡ t · μ ¶° ³ ´ p S t B (t;T ) St ¡ ¡ © dM + °¾ T ¡ t ° K ¸ + exp f (r ¡ q ) (T ¡ t) g ©(d M ) ;
¢ =S t e ¡
q (T ¡ t)
, ° =
y dM = En caso de que K · M
S t
(41:5)
2(q ¡ r ) ¾2
(41:6)
£ ¤ ln (S t = K ) + r ¡ q + (¾ 2 = 2) (T ¡ t) p : ¾ T ¡ t
(41:7)
, se utiliza
¡ c t;S t ;M
S t
¢ =B (t;T ) (M
¡ K ) + S t e ¡ q (T ¡ t) © (d M ) ³ ´ p ¡ M tS B (t;T ) © d M ¡ ¾ T ¡ t · μ ¶° ³ ´ p S t B (t;T ) St ¡ ¡ © dM + °¾ T ¡ t S ° M t ¸ + exp f (r ¡ q ) (T ¡ t) g ©(d M ) ; S t
donde d M se de¯ne como en (41.7) , excepto que en lugar de K se escribe M
S t
(41:8)
.
4 1 .4 O p c io n e s d e v e n ta so b re e l m ¶³n im o p re c io o b se rv a d o d e l su b y a c e n te c o n p re c io d e e je rc ic io ¯ jo Para valuar una opci¶o n de venta sobre el m¶³nimo precio observado del subyacente con precio de ej ercicio ¯j o cuando K < m St , se utiliza la siguiente f¶o rmula: ¡ p t;S t ;m
S t
³ ´ p ¢ =K B (t;T ) © ¡ d m + ¾ T ¡ t ¡ S t e ¡ q (T ¡ t) © (¡ d m ) ·μ ¶° ³ ´ p S t B (t;T ) St ¡ © ¡ dm ¡ °¾ T ¡ t ° K ¸ ¡ exp f (r ¡ q ) (T ¡ t) g © (¡ d m ) ;
donde dm
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£ ¤ ln (S t = K ) + r ¡ q + (¾ 2 = 2) (T ¡ t) p = : ¾ T ¡ t
(41:9)
(41:10)
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451
4 1 . O p cio n es so b re el m ¶a x im o o m ¶³n im o p recio o b serva d o d el su b y a cen te...
Si K ¸ m
S t
, entonces se utiliza ¡ p t;S t ;m
S t
¢ =B (t;T ) (K ¡ m
) ¡ S t e ¡ q (T ¡ t) © (¡ d m ) ³ ´ p + m tS B (t;T ) © ¡ d m + ¾ T ¡ t ·μ ¶° ³ ´ p S t B (t;T ) St ¡ © ¡ dm ¡ °¾ T ¡ t S ° m t ¸ ¡ exp f (r ¡ q ) (T ¡ t) g ©(¡ d m ) ; S t
donde d m es tomada como en (41.10) , excepto que en lugar de K se escribe m
(41:11)
S t
.
4 1 .5 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Conze, A. and Viswanathan (1991) . \Path Dependent Options: The Case of Lookback Options" . T h e J o u rn a l o f F in a n ce, Vol. 46, No. 5, pp. 1893-1907. Venegas-Mart¶³nez, F. (2001) . \Una gu¶³a completa para economistas en la valuaci¶o n de opciones" . G a ceta d e E co n o m ¶³a , A~n o 6, No. 12, pp. 155-212.
4 1 .6 E je rc ic io s ¡ ¢ 4 1 .1 Considere el precio de una opci¶o n de compra, c t;S t ;M tS , sobre el m¶aximo precio observado del subyacente con precio de ejercicio ¯j o, K . Deduzca la f¶o rmula de valuaci¶o n para el caso K > M tS . 4 1 .2 Repita el ej ercicio anterior para el caso K · M
S t
.
¡ ¢ 4 1 .3 Considere el precio de una opci¶o n europea de venta, p t;S t ;m tS , sobre el m¶³nimo precio observado del subyacente con precio de ejercicio ¯j o, K . Obtenga la f¶o rmula de valuaci¶o n para el caso K ¸ m St . 4 1 .4 Repita el ej ercicio anterior para el caso K < m
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S t
.
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.
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C A P ¶IT U L O 42 O P C IO N E S C O N B A R R E R A S C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² Opciones europeas con barrera ² Ecuaci¶o n de calor ² Relaci¶o n entre opciones con barreras y la f¶o rmula de valuaci¶o n de Black-Scholes
4 2 .1 In tro d u c c i¶o n Este cap¶³tulo se concentra en el estudio de las opciones europeas con barreras y proporciona f¶o rmulas expl¶³citas de valuaci¶o n. Es importante destacar que en 1973, Robert Merton en el art¶³culo de \Theory of Rational Option Pricing" publicado en el \Bell Journal of Economics and Management Science" estudia y eval¶u a, por primera vez, este tipo de opciones. Las opciones con barreras son principalmente negociadas en los mercados OTC. Este tipo de opciones se han convertido en instrumentos muy populares y ciertamente entre las llamadas opciones ex¶o ticas son las m¶as negociadas. Asimismo, el CBOE (Chicago Board Options Exchange) y la AOE (American Options Exchange) tienen listadas opciones de compra up-and-out y de venta down-and-out sobre ¶³ndices accionarios en un mercado muy activo.
4 2 .2 T ip o s b ¶a sic o s d e o p c io n e s c o n b a rre ra s Los cuatro tipos de opciones europeas con barreras que m¶as se negocian en los mercados listados y sobre mostrador son: (i) (ii) (iii) (iv )
\down and out" , \down and in" , \up and out" , \up and in" .
El t¶e rmino \out" en una opci¶o n signi¯ca que ¶e sta pierde su vigencia cuando el precio del activo subyacente alcanza un nivel preestablecido B , mientras que el t¶e rmino \in" signi¯ca que la opci¶o n cobra vigencia cuando el precio del subyacente alcanza un nivel preestablecido B . La cantidad B es llamada la barrera de la opci¶o n. Por otro lado, el t¶e rmino \down" en una opci¶o n signi¯ca que el precio del activo subyacente cae por debaj o de un nivel preestablecido B , mientras que el t¶e rmino \up" signi¯ca que el precio del subyacente excede un nivel preestablecido B . As¶³, por ej emplo, en una opci¶o n europea de compra del tipo \down and out" , ¶e sta pierde su valor cuando el precio del subyacente cae por debaj o de un nivel preestablecido B , mientras que en una opci¶o n \up and out" ¶e sta pierde su valor j usto en el momento en que el precio de subyacente excede al nivel B . Los otros dos tipos de opciones \down and in" y \up and in" , j usto en el momento en que cruzan el nivel B , ya sea debajo o por arriba, se convierten en opciones europeas de compra.
4 2 .3 O p c i¶o n e u ro p e a d e c o m p ra d e l tip o \ d o w n a n d o u t" Si en una opci¶o n europea de compra del tipo \down and out" el precio del activo subyacente, S t , permanece por arriba de su barrera, B , es decir, S t > B en 0 · t · T , entonces la opci¶o n tiene un valor intr¶³nseco igual a max(S T ¡ K ;0) y en este caso, el precio de la opci¶o n satisface la ecuaci¶o n diferencial parcial parab¶o lica de segundo orden de Black-Scholes. Sin embargo, si para alg¶u n t0 2 (0;T ] , la barrera se activa, es decir, S t0 = B , entonces el precio de la opci¶o n es cero. Baj o supuestos t¶³picos, es posible encontrar una f¶o rmula expl¶³cita para el valor de una opci¶o n
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4 2 . O p cio n es co n b a rrera s
europea de compra del tipo \down and out" . Por el momento, se examina el caso K ¸ B , es decir, el precio de ej ercicio excede a la barrera. En lo que sigue, se denotar¶a el precio de una opci¶o n europea de compra del tipo \down and out" por c D O (S t ;t) . Para el desarrollo del presente cap¶³tulo, el activo subyacente puede pensarse como una acci¶o n que no paga dividendos. Mientras S t sea mayor que B , el valor de la opci¶o n c D O (S t ;t) satisface la ecuaci¶o n @ cD O @ cD O + rS t + @t @St
1 2
@ 2 cD O 2 2 ¾ S t ¡ r cD @ S t2
O
=0
con condici¶o n ¯nal cD
O
(S t ;T ) = max(S t ¡ K ;0) :
Sin embargo, si S t alcanza a B , entonces la opci¶o n pierde su valor, por lo cual cD
O
(B ;t) = 0:
Para encontrar c D O (S t ;t) que resuelva el planteamiento anterior, se utiliza, primero, el siguiente cambio de variable: S = K ex ;
t=
T ¡ ¿ 1 2 2¾
= K e® x +
y
cD
1 4
(k + 1) 2
O
¯¿
v (x ;¿ )
con ® =¡
1 2
(k ¡ 1) ;
¯ =¡
y
· =
2r : ¾2
(42:1)
De esta manera, la barrera se transforma en x 0 = ln
μ
B K
¶
y el problema de valuar una opci¶o n de compra del tipo \down and out" se transforma en @v @ 2v = ; @¿ @x2 con
x 0 · x · 1 ; ¿ ¸ 0;
³1 v 0 (x ) ´ v (x ;0) = max e 2 (k +
1 )x
1
¡ e 2 (k ¡
1 )x
´ ;0 ;
(42:2)
x0 · x · 1
y v 0 (x 0 ) = 0:
(42:3)
Esta u¶ ltima condici¶o n, que se a~n ade a la ecuaci¶o n de calor dada en (42.2) , puede tratarse a trav¶e s del m¶e todo de im¶agenes. La interpretaci¶o n ahora es que el calor se difunde en una barra semi-in¯nita con temperatura cero en el punto x = ln(B = K ) : La difusi¶o n del calor en una barra es independiente del sistema de coordenadas que se elij a para su estudio. Por lo tanto, la ecuaci¶o n (42.3) es invariante baj o traslaciones, de x a x + x 0 , o re°exiones, de x a ¡ x . En consecuencia, si v (x ;¿ ) es una soluci¶o n de (42.1) , entonces v (x + x 0 ;¿ ) y v (¡ x + x 0 ;¿ ) son tambi¶e n soluciones para cualquier constante x 0 . Se ver¶a ahora c¶o mo se resuelve un problema de difusi¶o n de calor en una barra semi-in¯nita con el m¶e todo de im¶agenes mediante los siguientes pasos. Primero, se resuelve el problema para una barra in¯nita hecha de dos barras semi-in¯nitas con distribuciones iniciales de temperaturas opuestas, pero de la misma magnitud, es decir, media barra es caliente y media barra es fr¶³a. De esta manera, la temperatura en el punto de uni¶o n de las barras es cero. Se re°ej an los valores iniciales, x ¸ x 0 , en el punto x = ln(B = K ) . Al mismo tiempo, con la re°exi¶o n se est¶an cambiando los signos lo que garantiza (42.3) . Por lo anterior, tenemos que, en lugar de resolver con (42.2) y (42.3) en el intervalo x 0 · x < 1 se resuelve (42.2) para todo x suj eto a: u (x ;0) = v 0 (x ) ¡ v 0 (2x 0 ¡ x )
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¡ 1 < x < 1 :
(42:4)
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4 2 . O p cio n es co n b a rrera s
En efecto, por el m¶e todo de im¶agenes, se tiene que: v 0 (¡ x ) =v 0 (¡ (x ¡ x 0 ) ) =v 0 (¡ x + x 0 ) :
En la segunda igualdad se ha utilizado una primera traslaci¶o n de x a x ¡ x 0 . Si adem¶as se hace otra traslaci¶o n de x a x ¡ x 0 , se tiene que v 0 (¡ x ) = v 0 (¡ (x ¡ x 0 ) + x 0 ) = v 0 (2x 0 ¡ x ) tambi¶e n es soluci¶o n. En conclusi¶o n, se obtiene la siguiente igualdad: u (x ;0) =v 0 (x ) ¡ v 0 (¡ x )
=v 0 (x ) ¡ v 0 (2x 0 ¡ x ) :
Esto es,
8 > <
³1 ´ 1 max e 2 (k + 1 )x ¡ e 2 (k ¡ 1 )x ;0 = u 0 (x ) ³ ´ u (x ;0) = 1 1 > : ¡ max e (k + 1 )(x 0 ¡ 2 x ) ¡ e (k ¡ 1 )(x 0 ¡ 2 x ) ;0
si x ¸ x 0 ;
(42:6)
si x < x 0 :
Evidentemente, u (x 0 ;0) = 0. De esta forma, u (x ;¿ ) satisface @u @ 2u = ; @¿ @x2
¡ 1 · x · 1 ; ¿ ¸ 0;
(42:7)
con u 0 (x ) ´ u (x ;0)
(42:8)
u 0 (x 0 ) = 0;
(42:9)
y la cual es una ecuaci¶o n t¶³pica de calor y su soluci¶o n est¶a dada por: Z+ 1 2 1 u (x ;¿ ) = p u 0 (s ) e ¡ (s ¡ x ) = 4 ¿ ds 2 ¼¿ ¡ 1 y
c D 0 (S t ;t) = K e ® x +
¯¿
(42:10)
u (x ;¿ ) ;
donde ® , ¯ se toman como en (42.1) . Se realiza a continuaci¶o n el siguiente cambio de variable: p x = s ¡ y 2¿ ;
s¡ x y = p ) 2¿ esto implica que ds =
p
2¿ dy :
Por lo tanto,
Z+ 1 (s ¡ x )2 1 p u (x ;¿ ) = u 0 (s ) e ¡ 4 ¿ ds 2 ¼¿ ¡ 1 Z+ 1 p 2 1 =p u 0 (x + 2¿ y ) e ¡ y = 2 dy : 2¼ ¡ 1 p Si se sustituye el valor de u 0 (x + 2¿ y ) dado en (42.6) , se tiene: u (x ;¿ ) · Z 2 xp 0 ¡ x ³ ´ p p 2¿ 1 1 1 =p ¡ max e (k + 1 )(x 0 ¡ 2 (x + 2 ¿ y )) ¡ e (k ¡ 1 )(x 0 ¡ 2 (x + 2 ¿ y ) ;0 e ¡ 2¼ ¡ 1 ¸ Z+ 1 ³1 ´ 2 p p 1 + max e 2 (k + 1 )(x + 2 ¿ y ) ¡ e 2 (k ¡ 1 )(x + 2 ¿ y ) ;0 e ¡ y = 2 dy :
y2=2
dy
(42:11)
2x 0 ¡ x p 2¿
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4 2 . O p cio n es co n b a rrera s
p p Ahora bien, dado que y < (2x 0 ¡ x ) = 2¿ para la primer integral y y > ¡ x = 2¿ para la segunda, la ecuaci¶o n (42.11) se puede reescribir como: 1 u (x ;¿ ) = p 2¼
μ Z ¡
2x 0 ¡ x p 2¿
e (k +
1 )(x 0 ¡
1 2
(x +
p
e (k ¡
1 )(x 0 ¡
1 2
(x +
p
2 ¿ y )) ¡
1 2
y2
2 ¿ y )) ¡
1 2
y2
e
dy
¡ 1
+ +
Z
2x 0 ¡ x p 2¿
¡ 1 Z1
e 2 (k +
Z1
e 2 (k ¡
1
1 )(x +
p
1
1 )(x +
p
¡ x p 2¿
¡
¡ x p 2¿
e
2¿ y) ¡
1 2
y2
2¿ y) ¡
1 2
y2
e
e
dy
dy dy
¶
= ¡ £(k + 1) + £(k ¡ 1) + ª(k + 1) ¡ ª(k ¡ 1) ; donde las funciones ª y £ se de¯nen, respectivamente, como: £(k + 1) = p
Z
1 2¼
2x 0 ¡ x p 2¿
1 2
1 )(x 0 ¡
e (k +
(x +
p
2 ¿ y )) ¡
e
1 2
y2
dy
(42:12)
¡ 1
y 1 2¼
ª(k + 1) = p
Z1
1
e 2 (k +
p
1 )(x +
¡ x p 2¿
2¿ y) ¡
e
1 2
y2
dy :
(42:13)
La integral £ se resuelve a continuaci¶o n: 1 £(k + 1) = p 2¼ 1 =p 2¼ 1 =p 2¼ =
e (k +
Z
2x 0 ¡ x p 2¿
1 2
e (k +
1 )(x 0 ¡
e (k +
1 )x 0 ¡
1 2
1 )x 0 ¡
1 2
(x +
p
2 ¿ y )) ¡
e
1 2
y2
dy
¡ 1
Z
2x 0 ¡ x p 2¿
1 2
(k + 1 )x ¡
e
p (k + 1 ) 2 ¿ y ¡
1 2
y2
dy
¡ 1
Z
2x 0 ¡ x p 2¿
¡ 1
1 2
1 )x 0 ¡
(42:14) e (k +
(k + 1 )x +
p
1 4
(k + 1 )x +
(k + 1 )2 ¿
2¼
Z
1 4
2
(k + 1 ) ¿ ¡
2x 0 ¡ x p 2¿
e¡
1 2
e
[y +
2
p
1 2
(y + (k + 1 ) 2 ¿ y +
1 2
p ((k + 1 ) 2 ¿ )]2
1 2
p
2
((k + 1 ) 2 ¿ ) )
dy
dy :
¡ 1
Se de¯ne ahora otro cambio de variable ²=y+
p 1 (k + 1) 2¿ ; 2
p se tiene que d² = dy . Observe ahora que cuando y = (2x 0 ¡ x ) = 2¿ , entonces ²=
p 2x 0 ¡ x 1 2x 0 ¡ x + (k + 1) ¿ p p + (k + 1) 2¿ = : 2 2¿ 2¿
Despu¶e s de sustituir la ecuaci¶o n anterior en (42.14) , se obtiene que:
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£(k + 1) =e (k +
1 )x 0 ¡
1 2
(k + 1 )x +
1 4
(k + 1 )2 ¿
=e (k +
1 )x 0 ¡
1 2
(k + 1 )x +
1 4
(k + 1 )2 ¿
Z 2 x 0 ¡ xp + (k + 1 )¿ 2¿ 1 2 1 e ¡ 2 ² d² 2¼ ¡ 1 Z 1 p e¡ 2¼ f ¡ 1 < ²< 2 x 0 ¡ xp +2(k¿ + 1 )¿ g p
(42:15) 1 2
²2
d²:
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4 2 . O p cio n es co n b a rrera s
Si se de¯ne
2x 0 ¡ x + (k + 1) ¿ p 2¿
d1 = y
Z d1
1 ©(d 1 ) = p 2¼
e¡
1 2
²2
(k + 1 )x +
1 4
(k + 1 )2 ¿
d²;
¡ 1
se tiene, ¯nalmente, que 1 )x 0 ¡
£(k + 1) = e (k +
1 2
©(d 1 ) :
(42:16)
Al seguir el mismo procedimiento para £(k ¡ 1) , se obtiene que 2x 0 ¡ x + (k ¡ 1) ¿ p : 2¿
d2 =
(42:17)
Consecuentemente, £(k ¡ 1) = e (k ¡
1 )x 0 ¡
1 2
(k ¡ 1 )x +
1 4
(k ¡ 1 )2 ¿
©(d 2 ) :
(42:18)
La integral ª(k + 1) se calcula como sigue ª(k + 1) = p
1 2¼
=p
1 2¼
=p
1 2¼
=p
1 2¼ 1
=
Z1
e 2 (k +
Z1
e 2 (k +
Z1
e 2 (k +
Z1
e 2 (k +
p
1 )(x +
1
1 )x ¡
1 2
y2+
1
1 )x ¡
1 2
p (y 2 ¡ (k + 1 ) 2 ¿ y )
2¿ y) ¡
e
¡ x p 2¿
¡ x p 2¿
¡ x p 2¿ 1
e e
1 )x +
¡ x p 2¿
e 2 (k +
1 4
1 )x +
p
1 4
2¼
¡ x p 2¿
Considere el cambio de variable ²=y¡
e
e¡
dy
p (k + 1 ) 2 ¿ y
1 2
(k + 1 )2 ¿ ¡
Z1
(k + 1 )2 ¿
1 2
y2
1
1 2
(y ¡
1 2
1 2
dy dy
(42:19)
p (y 2 ¡ (k + 1 ) 2 ¿ y + p (k + 1 ) 2 ¿ )2
1 2
(k + 1 )2 ¿ )
dy
dy :
p 1 (k + 1) 2¿ ; 2
p se tiene entonces que d² = dy . Observe que cuando y = ¡ x = 2¿ , se sigue que ²=¡ p
p x 1 ¡ x ¡ (k + 1) ¿ p ¡ (k + 1) 2¿ = : 2 2¿ 2¿
(42:20)
Si se sustituye el cambio de variable (42.20) en (42.19) se tiene que: 1
ª(k + 1) =
e 2 (k +
=e
1 )x +
p
1 4
(k + 1 )2 ¿
2 ¼ 1 2
(k + 1 )x +
1 4
(k + 1 )2 ¿
Z1 Z
¡ x p 2¿
f ²> ¡
1
=e 2 (k +
1 )x +
1 4
(k + 1 )2 ¿
Z
e¡
x + (k + 1 )¿ p 2¿
f ¡ 1 < ²<
Si ahora se de¯ne b1 =
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p (y ¡ (k + 1 ) 2 ¿ )2
1 2
g
p
x + (k + 1 )¿ p 2¿
1 ¡ e 2¼ g
p
dy 1 2
²2
1 ¡ e 2¼
d² 1 2
²2
d²:
x + (k + 1) ¿ p 2¿
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4 2 . O p cio n es co n b a rrera s
y ©(b 1 ) = p
Z b1
1 2¼
1 2
e¡
²2
d²;
¡ 1
se obtiene: 1
ª(k + 1) = e 2 (k +
1 )x +
1 4
(k + 1 )2 ¿
©(b 1 ) :
(42:21)
Al seguir el mismo procedimiento para ª(k ¡ 1) , se tiene que: x + (k ¡ 1) ¿ p 2¿
b2 = y 1
ª(k ¡ 1) = e 2 (k ¡
1 )x +
1 4
(k ¡ 1 )2 ¿
©(b 2 ) :
(42:22)
En vista del cambio de variable, x = ln
μ
St K
¶
Se concluye que:
;
1 ¿ = ¾ 2 (T ¡ t) ; 2
r · = 1 2 2¾
y
x 0 = ln
μ
B K
¶
:
³ 2 ´ ln SB K + (r + 12 ¾ 2 ) (T ¡ t) t p d1 = ; ¾ (T ¡ t) ³ 2 ´ ln SB K + (r ¡ 12 ¾ 2 ) (T ¡ t) t p d2 = ; ¾ (T ¡ t) ³ ´ ln SK t + (r + 12 ¾ 2 ) (T ¡ t) p b1 = ¾ T ¡ t
y
³ ´ ln SK t + (r ¡ 12 ¾ 2 ) (T ¡ t) p b2 = : ¾ T ¡ t
Finalmente, u (x ;¿ ) = ¡ £(k + 1) + £(k ¡ 1) + ª(k + 1) ¡ ª(k ¡ 1) = ¡ e (k + +e
1 2
1 )x 0 ¡
(k + 1 )x +
1 2
1 4
(k + 1 )x + 2
(k + 1 ) ¿
1 4
(k + 1 )2 ¿
©(d 1 ) + e (k ¡
©(b 1 ) ¡ e
1 2
(k ¡ 1 )x +
1 4
1 )x 0 ¡ 2
(k ¡ 1 ) ¿
1 2
(k ¡ 1 )x +
1 4
(k ¡ 1 )2 ¿
©(d 2 )
(42:23)
©(b 2 ) :
As¶³, el valor de la opci¶o n con barrera se calcula como c D O (S t ;t) = K e ® x +
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¯¿
u (x ;¿ ) :
(42:24)
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459
4 2 . O p cio n es co n b a rrera s
es decir, 1
2
1
c D O (S t ;t) =K e ¡ 2 (k ¡ 1 )x ¡ 4 (k + 1 ) ¿ μ 1 ¡ e (k + 1 )x 0 ¡ 2 (k + 1 )x + + e (k ¡ +e
1 2
1 )x 0 ¡
(k + 1 )x +
1 2 1 4
(k ¡ 1 )x + (k + 1 )2 ¿
1 4
1 4
(k + 1 )2 ¿
(k ¡ 1 )2 ¿
©(d 1 )
©(d 2 )
©(b 1 ) ¡ e
1 2
(k ¡ 1 )x +
= ¡ K e x 0 (k + 1 )¡ k x ©(d 1 ) + K e (k ¡ 1 )x 0 ¡ μ ¶ x k¿ + K e ©(b 1 ) ¡ K e ©(b 2 ) =¡
μ
B St
¶k
B ©(d 1 ) + K
μ
B St
¶(k ¡
1 4
(k ¡ 1 )2 ¿
(k ¡ 1 )x ¡ k ¿
©(b 2 )
¶
©(d 2 )
(42:25)
1)
e¡
r (T ¡ t)
©(d 2 )
+ c B S (S t ;t) μ ¶(k ¡ 1 ) μ 2 ¶ B B =c B S (S t ;t) ¡ ©(d 1 ) ¡ K e ¡ r (T ¡ t) ©(d 2 ) St St μ ¶¡ (k ¡ 1 ) μ 2 ¶ St B ¡ r (T ¡ t) =c B S (S t ;t) ¡ ©(d 1 ) ¡ K e ©(d 2 ) B St μ ¶¡ (k ¡ 1 ) St =c B S (S t ;t) ¡ c B S (B 2 = S t ;t) : B Observe, por u¶ ltimo, que si S t = B , entonces c D O (B ;t) = c B S (B ;t) ¡ c B S (B ;t) = 0:
(42:26)
4 2 .4 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Merton, R. C. (1973) . \Theory of Rational Option Pricing" . B ell J o u rn a l o f E co n o m ic a n d M a n a gem en t S cien ce. Vol. 4, No. 1, pp. 141-183. Musiela, M. and M. Rutkowski (1997) . Martingale Methods in Financial Modelling (Stochastic Modelling and Applied Probability) . Springer-Verlag; Berlin, Heidelberg, New York. Wilmott, P., Howison, S. and J. Dewynne (1995) . The Mathematics of Financial Derivatives (A Student Introduction) . Cambridge University Press.
4 2 .5 E je rc ic io s 4 2 .1 Discuta el caso de las opciones del tipo \knock-in" . 4 2 .2 Obtenga la ecuaci¶o n (42.26) utilizando el enfoque probabilista y el teorema de Girsanov. S o lu ci¶o n : El valor del c D O , para toda t 2 [0;T ] , est¶a dado por: cD O = e ¡
rT
E [max(S T ¡ K ;0) ] 1 f S t > B g · ½μ ¶ 1 = e ¡ r T E 1 f (S T > K )\ (S t > B )g S 0 exp r ¡ ¾2 T +¾W 2 £ ¤ ¡ rT ¡ K e E 1 f (S T > K )\ (S t > B )g :
T
¾¸
Observe primero que mediante el teorema de Girsanov se cambia la medida de probabilidad para el primer t¶e rmino, de modo que: · ½μ ¶ ¾¸ 1 2 c D O = S 0 E 1 f (S T > K )\ (S t > B )g exp ¡ ¾ T +¾W T 2 ¡ K e ¡ r T E[1 f S T > K \ S t > B g ] e f (S T > K ) \ (S t > B ) g ¡ K e ¡ = S 0 IP
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rT
IPf (S T > K ) \ (S t > B ) g :
3/5/08 6:32:50 PM
460
4 2 . O p cio n es co n b a rrera s
Al aplicar el lema de It^o a la variable x t = ln(S t = S 0 ) , se tiene que: μ ¶2 dS t 1 dS t ¡ St 2 St μ ¶ 1 2 = r¡ ¾ dt + ¾ dW 2
dx t =
t
en la medida de probabilidad original y de xt =
μ ¶ 1 r + ¾ 2 dt + ¾ dWf t 2
en la medida de probabilidad equivalente. Adicionalmente, si se calculan los valores de referencia de las desigualdades en las funciones indicadoras se satisface que: x b = ln
B S0
y
x k = ln
K : S0
Se de¯ne ahora (independientemente del espacio de probabilidad) el valor m¶³nimo observado del proceso x t durante [0;t] como: m
x t
= min x s ; para toda s 2 [0;t] :
En el caso particular de que K < B , es decir, x k < x b , se sigue que IPf (S T > K ) \ (S t > B ) g = IPf (x T > x k ) \ (m = IPf m
x T
> x bg:
x T
> x b)g
Se puede veri¯car f¶acilmente que IPf m
x T
> x bg = ©
μ
ºT ¡ xb p ¾ T
¶
¡ exp
½
2º xb ¾2
¾ μ ¶ xb + ºT p © ; ¾ T
donde ©(¢) es la funci¶o n de distribuci¶o n acumulada de una variable aleatoria normal est¶andar y º es la tendencia del movimiento Browniano que corresponda a la medida de probabilidad en cuesti¶o n. Si se de¯nen ºk ´ º = r ¡
1 2 ¾ 2
º S ´ ºe= r +
y
1 2 ¾ : 2
y se combinan los resultados anteriores, se tiene que cuando K < B , se cumple que ¶ μ ln(S 0 = B ) + (r + 12 ¾ 2 ) T ln(S 0 = B ) + (r ¡ p p ¡ K e¡ rT © ¾ T ¾ T μ ¶(2 r + ¾ 2 )= ¾ 2 μ ¶ ln(B = S 0 ) + (r + 12 ¾ 2 ) T B p ¡ S0 © S0 ¾ T μ ¶(2 r ¡ ¾ 2 )= ¾ 2 μ ¶ ln(B = S 0 ) + (r ¡ 12 ¾ 2 ) T B p + K e¡ rT © : S0 ¾ T
cD O = S 0 ©
μ
1 2
¾ 2 )T
¶
Por otro lado, cuando K > B , se tiene que IPf (S T > K ) \ (S t > B ) g = ©
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μ
ºT ¡ xk p ¾ T
¶
¡ exp
½
2º xb ¾2
¾ μ ¶ 2x b ¡ x k + º T p © : ¾ T
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461
4 2 . O p cio n es co n b a rrera s
Por lo anterior, se concluye que cD O
μ
¶ μ ln(S 0 = K ) + (r + 12 ¾ 2 ) T ln(S 0 = K ) + (r ¡ ¡ rT p p = S 0© ¡ K e © ¾ T ¾ T μ ¶(2 r + ¾ 2 )= ¾ 2 μ ¶ ln(B 2 = S 0 K ) + (r + 21 ¾ 2 ) T B p ¡ S0 © S0 ¾ T μ ¶ ³ B ´(2 r ¡ ¾ 2 )= ¾ 2 ln(B 2 = S 0 K ) + (r ¡ 21 ¾ 2 ) T ¡ rT p ¡ K e © : S0 ¾ T
1 2
¾ 2 )T
¶
4 2 .3 Con el prop¶o sito de obtener f¶o rmulas de valuaci¶o n de las diferentes opciones con barrera en forma sistem¶atica, se de¯nen las siguientes cantidades: A i (° ) = ° S t e ¡
q (T ¡ t)
B i (° ;´ ) =° S t e ¡
³ © (° X i ) ¡ ° K P (t;T ) © ° X q (T ¡ t)
(H = S t ) 2 (1 +
¡ ° K P (t;T ) (H = S t )
2¹
i
¡ °¾
p
´ T ¡ t ;
i = K ;H ;
¹)
© (´ y i ) ³ ´ p © ´ yi ¡ ´ ¾ T ¡ t ;
i = K ;H ;
h ³ ´ ³ ´i p p 2¹ E (´ ) = M B (t;T ) © ´ x H ¡ ´ ¾ T ¡ t ¡ (H = S t ) © ´ y H ¡ ´ ¾ T ¡ t y F (´ ) = M
h (H = S t ) ¹ +
¸
donde xK =
© (´ z ) ¡ (H = S t ) ¹ ¡
¸
³ ´i p © ´ z ¡ 2´ ¸ ¾ ¾ T ¡ t ;
p ln (S t = K ) p + (1 + ¹ ) ¾ T ¡ t; ¾ T ¡ t
p ln (S t = H ) p + (1 + ¹ ) ¾ T ¡ t; ¾ T ¡ t ¡ ¢ p ln H 2 = S t K p = + (1 + ¹ ) ¾ T ¡ t; ¾ T ¡ t
xH = yK
yH =
p ln (H = S t ) p + (1 + ¹ ) ¾ T ¡ t; ¾ T ¡ t
z =
p ln (H = S t ) p + ¸ ¾ T ¡ t; ¾ T ¡ t
¹ =¡
ln[B (t;T ) ] + q + (¾ 2 = 2) ¾2
y ¸ =
p
¹ 2 ¡ (2ln[P (t;T ) ] = ¾ 2 ) :
Como ya se sabe, las opciones \out" son similares a la opciones est¶andar europeas, excepto que la opci¶o n pierde vigencia y, por lo tanto, su valor cuando S t alcanza la barrera H antes de la fecha de vencimiento. El pago de una opci¶o n de compra del tipo \down-and-out" es max(S t ¡ K ;0) siempre y cuando S t nunca caiga por debaj o (siempre permanezca por arriba) de la barrera H durante la vida de la opci¶o n. En el momento en que S t alcanza la barrera H , la opci¶o n pierde su vigencia y por lo tanto su valor. En algunas ocasiones, se especi¯ca de antemano una cantidad adicional a pagar, M , si la opci¶o n no alcanza la barrera durante su periodo de vida. Muestre que las f¶o rmulas de valuaci¶o n para un call del tipo \down-and-out" , siempre y cuando S t > H con un pago en efectivo, M est¶an dadas por: c(down-and-out;K > H ) = A
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K
(1) ¡ B
K
(1;1) + F (1)
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462
4 2 . O p cio n es co n b a rrera s
y c(down-and-out;K < H ) = A H (1) ¡ B H (1;1) + F (1) : Similarmente, el pago de una opci¶o n de compra del tipo \up-and-out" es max(S t ¡ K ;0) siempre y cuando S t nunca exceda a H en el tiempo de vida de la opci¶o n. En caso de que S t alcance a H , la opci¶o n deja de tener valor. Muestre que los precios de este tipo de opciones est¶an dados por c(up-and-out;K > H ) = F (¡ 1) y c(up-and-out;K < H ) = A K (1) ¡ A H (1) + B K (1;¡ 1) ¡ B H (1;¡ 1) + F (¡ 1) : Asimismo, el pago de una opci¶o n de venta del tipo \down-and-out" es max(K ¡ S t ;0) siempre y cuando S t nunca caiga por debaj o de H en el tiempo de vida de la opci¶o n. Si S t alcanza a H , entonces la opci¶o n pierde todo valor. Muestre que en este caso p (down-and-out;K > H ) = A K (¡ 1) ¡ A H (¡ 1) + B K (¡ 1;1) ¡ B H (¡ 1;1) + F (1) y p (down-and-out;K < H ) = F (1) : De la misma manera, el pago de una opci¶o n de venta del tipo \up-and-out" es max(K ¡ S t ;0) siempre y cuando S t no exceda a H durante la vida de la opci¶o n. En el momento en que S t alcance a H , la opci¶o n pierde vigencia. Pruebe que p (up-and-out;K > H ) = A H (¡ 1) ¡ B H (¡ 1;¡ 1) + F (¡ 1) y p (up-and-out;K < H ) = A K (¡ 1) ¡ B K (¡ 1;¡ 1) + F (¡ 1) : Por u¶ ltimo, observe que cuando M = 0, entonces c(down-and-out;K > H ) + c(down-and-in;K > H ) = c B S (t;S t ; K ;T ;¾ ;q ) : Relaciones similares son v¶alidas para puts, as¶³ como para los casos \up-and out" y \up-andin" . Por otra parte, las opciones \in" entran en vigencia en el momento en que S t alcanza la barrera H . En otras palabras, si S t alcanza a H , entonces la opci¶o n se convierte en una opci¶o n europea. Si en alg¶u n momento S t · H , entonces el pago de un call del tipo \down-and-in" en el vencimiento est¶a dado por max(S t ¡ K ;0) . Pruebe que c(down-and-in;K > H ) = B K (1;1) + E (1) y c(down-and-in;K < H ) = A K (1) ¡ B K (1;1) + B H (1;1) + E (1) : Si S t ¸ H en alg¶u n momento, el pago que se obtiene por un call del tipo \up-and-in" es max(K ¡ S t ;0) . Muestre que el precio de este tipo de opciones satisface: c(up-and-in;K > H ) = A K (1) + E (¡ 1) y c(down-and-in;K < H ) = A H (1) ¡ B K (1;¡ 1) + B H (1;¡ 1) + E (¡ 1) : Si en alg¶u n momento S t · H , entonces el pago de un put del tipo \down-and-in" en el vencimiento est¶a dado por max(K ¡ S t ;0) . Demuestre que p (down-and-in;K > H ) = A H (¡ 1) ¡ B K (¡ 1;1) + B H (¡ 1;1) + E (1) y p (down-and-in;K < H ) = A K (¡ 1) + E (1) : Por u¶ ltimo, si S t ¸ H en alg¶u n momento, el pago que se obtiene por un put del tipo \up-and-in" es max(K ¡ S t ;0) . Muestre que una f¶o rmula para valuar esta opci¶o n es p (up-and-in;K > H ) = A K (¡ 1) ¡ A H (¡ 1) + B H (¡ 1;¡ 1) + E (¡ 1) y p (up-and-in;K < H ) = B K (¡ 1;¡ 1) + E (¡ 1) : 4 2 .4 >Una opci¶o n con barrera es m¶as barata que una sin barrera? 4 2 .5 Las opciones parisinas \out" son similares a la opciones con barrera \out" , excepto que la opci¶o n pierde vigencia y, por lo tanto, su valor cuando S t cruza la barrera H y permanece all¶³ cierto tiempo (especi¯cado en los t¶e rminos del contrato) antes de la fecha de vencimiento. Intente valuar este tipo de opciones.
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IX . T A S A S Y B O N O S
² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ²
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43. 44. 45. 46. 47.
V a lu a ci¶o n d e b o n o s cu p ¶o n cero : m a rco d eterm in ista E cu a ci¶o n d iferen cia l p a rcia l d e G a rm a n -V a sicek M o d elo d e ta sa co rta d e M erto n p a ra va lu a r b o n o s M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek p a ra va lu a r b o n o s (I) M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek p a ra va lu a r b o n o s (II): en fo q u e d e ecu a cio n es d iferen cia les p a rcia les 4 8 . M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek p a ra va lu a r b o n o s (III): en fo q u e p ro b a b ilista 4 9 . M o d elo d e ta sa co rta d e C ox -In g erso ll-R o ss p a ra va lu a r b o n o s (I): en fo q u e d e ecu a cio n es d iferen cia les 5 0 . M o d elo d e ta sa co rta d e C ox -In g erso ll-R o ss p a ra va lu a r b o n o s (II): resu lta d o s a d icio n a les 5 1 . M o d elo d e ta sa co rta d e H o -L ee p a ra va lu a r b o n o s: ca lib ra ci¶o n co n p recio s a ctu a les 5 2 . M o d elo d e ta sa co rta d e H u ll-W h ite p a ra va lu a r b o n o s: ca lib ra ci¶o n co n p recio s a ctu a les 5 3 . M o d elo d e ta sa co rta d e L o n g sta ® p a ra va lu a r b o n o s: m o d elo d e d o b le ra¶³z 5 4 . M o d elo d e ta sa co rta d e B ren n a n y S ch w a rtz p a ra va lu a r b o n o s: m o d elo d e d o s fa cto res 5 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e B la ck -D erm a n -T oy p a ra va lu a r b o n o ss 5 6 . M o d elo d e ta sa fo rw a rd d e H ea th -J a rrow -M o rto n p a ra va lu a r b o n o s 5 7 . T eo rem a d e G irsa n ov y va lu a ci¶o n d e b o n o s cu p ¶o n cero 5 8 . In m u n iza ci¶o n d e ° u jo s d e efectiv o esp era d o s m ed ia n te u n p o rta fo lio d e b o n o s: d u ra ci¶o n y co n v ex id a d
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.
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C A P ¶IT U L O 43 V A L U A C IO¶ N D E B O N O S C U P O¶ N C E R O : M A R C O D E T E R M IN IS T A C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ² ²
Valuaci¶o n de bonos cup¶o n cero Valor del dinero en el tiempo Estructura de plazos Tasa forward Tasa corta Convergencia de la tasa corta a un valor de largo plazo
4 3 .1 In tro d u c c i¶o n En este cap¶³tulo se presenta el marco te¶o rico determinista para la valuaci¶o n de los instrumentos de renta ¯j a m¶as simples que existen en el mercado: los bonos cup¶o n cero (bonos que no pagan cupones) . Asimismo, se discuten los conceptos de curva de rendimiento, tasa forward instant¶anea y tasa corta de inter¶e s, tambi¶e n llamada tasa \spot" o tasa instant¶anea.
4 3 .2 C o n c e p to s b ¶a sic o s d e b o n o s c u p ¶o n c e ro Un bono cup¶o n cero es una promesa de pago (impersonalizada) en la que el emisor se compromete a pagar incondicionalmente una cantidad preestablecida, el valor nominal (o principal) , en una fecha futura, la cual ser¶a referida como vencimiento del t¶³tulo. El interesado, en adquirir este pagar¶e entrega una cantidad inicial en una fecha previa al vencimiento; la fecha de colocaci¶o n. En general, la cantidad inicial que se paga por este certi¯cado es menor que la cantidad que se recibe al vencimiento, es decir, se compra a descuento. Cabe destacar que el propietario de este tipo de instrumentos se encuentra expuesto al riesgo de incumplimiento por parte del emisor. Sin embargo, en todo lo que sigue del presente cap¶³tulo se supondr¶a que todos los bonos son libres de riesgo cr¶e dito. Asimismo, si el tenedor de un bono cup¶o n cero requiere liquidez antes del vencimiento y desea vender este certi¯cado, entonces estar¶a suj eto al riesgo de mercado. Por supuesto, si se espera a la fecha de vencimiento para recibir la cantidad prometida, el riesgo de mercado ser¶a inexistente.
4 3 .3 V a lu a c i¶o n c o n in te r¶e s sim p le El precio, al tiempo t, de un bono cup¶o n cero que paga una unidad monetaria al vencimiento T , ser¶a denotado por B (t;T ) . El rendimiento al vencimiento, L (t;T ) , por unidad de tiempo, se de¯ne como 1 ¡ B (t;T ) 1 L (t;T ) = ; t< T; (43:1) B (t;T ) T ¡ t equivalentemente, B (t;T ) =
1 ; 1 + L (t;T ) (T ¡ t)
t· T:
(43:2)
En este u¶ ltimo caso, L (t;T ) puede verse como la tasa (anualizada) de inter¶e s de plazo T ¡ t asociada a B (t;T ) . La diferencia T ¡ t, en (43.2) , se interpreta como la proporci¶o n de a~n o a la que se aplica la tasa anualizada L (t;T ) . Por u¶ ltimo, observe que en la ecuaci¶o n (43.2) , la tasa L (t;T ) act¶u a como una tasa de inter¶e s simple en el c¶alculo del valor presente de una unidad monetaria disponible hasta T .
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4 3 . V a lu a ci¶o n d e b o n o s cu p ¶o n cero : m a rco d eterm in ista
Si se supone que el emisor cumplir¶a sus obligaciones y el tenedor del bono lo mantiene hasta la fecha de vencimiento, entonces L (t;T ) puede verse como una tasa de plazo T ¡ t anualizada y libre de los riesgos de incumplimiento y de mercado. Por supuesto, si el tenedor del instrumento tiene necesidad de liquidez y recurre al mercado para vender el t¶³tulo de deuda en una fecha ¿ 2 (t;T ) , entonces quedar¶a expuesto al riesgo mercado. Si muchos tenedores de bonos comparten la necesidad de liquidez y quieren deshacerse de su bono, en el tiempo ¿ , antes del vencimiento, T , entonces el precio, B (¿ ;T ) , disminuir¶a (existe un exceso de oferta) y la tasa, L (¿ ;T ) , aumentar¶a ya que ¶ μ 1 1 ¡ 1 ; t· ¿ · T: L (¿ ;T ) = B (¿ ;T ) ¿ Rec¶³procamente, si pocos tenedores de bonos comparten la necesidad de liquidez y quieren mantener sus bonos hasta el vencimiento (existe un exceso de demanda) , entonces el precio, B (¿ ;T ) , aumentar¶a y la tasa, L (¿ ;T ) , disminuir¶a.
4 3 .4 T a sa d e d e sc u e n to En esta secci¶o n se introduce el concepto de tasa de descuento de un bono cup¶o n cero. Si el bono se vende a una tasa (anualizada) de descuento, D (t;T ) , entonces se puede escribir B (t;T ) = 1 ¡ D (t;T ) (T ¡ t) :
(43:3)
De esta manera, al combinar (43.2) con (43.3) , se sigue que 1 ¡ D (t;T ) (T ¡ t) =
1 : 1 + L (t;T ) (T ¡ t)
(43:4)
Por lo tanto, si L (t;T ) es conocida, entonces a partir de la ecuaci¶o n anterior se determina D (t;T ) y viceversa.
4 3 .5 V a lu a c i¶o n c o n in te r¶e s c o n tin u a m e n te c a p ita liz a b le El precio de un bono cup¶o n cero, B (t;T ) , que se coloca en t y que paga una unidad monetaria al vencimiento T , con tasa de inter¶e s continuamente capitalizable de vencimiento en T , R (t;T ) , se de¯ne como: (43:5) B (t;T ) = e ¡ R (t;T )(T ¡ t) ; t · T : De esta manera, el rendimiento obtenido en el intervalo [t;T ] satisface: R (t;T ) =
¡ ln B (t;T ) ; T ¡ t
t· T:
La ecuaci¶o n (43.5) se puede justi¯car como el l¶³mite de la aplicaci¶o n de L (t;T ) en intervalos de tiempo que cada vez se hacen m¶as peque~n os. En efecto, suponga primero que T ¡ t = 1 (vencimiento en un a~n o) , entonces la aplicaci¶o n de la f¶o rmula de inter¶e s compuesto en n subintervalos, de igual longitud, conduce a 1n 1 A ¡! @ L (t;T ) 1+ n 0
e¡
L (t;T )
cuando n ! 1 . Si el vencimiento T ¡ t es arbitrario, se sigue que 1n 1 A ¡! @ L (t;T ) (T ¡ t) 1+ n 0
e¡
L (t;T )(T ¡ t)
(43:6)
cuando n ! 1 . Lo anterior equivale a que se aplique L (t;T ) en [t;T ] y, posteriormente, se subdivida este intervalo en un n¶u mero in¯nito de subintervalos de la misma longitud. Observe
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4 3 . V a lu a ci¶o n d e b o n o s cu p ¶o n cero : m a rco d eterm in ista
tambi¶e n que si se utiliza la aproximaci¶o n e x ¼ 1 + x v¶alida para x su¯cientemente peque~n a (e x = 1 + x + (x 2 = 2!) + (x 3 = 3!) + ¢¢¢) , se tiene que 1 ¼ e¡ 1 + L (t;T ) (T ¡ t)
L (t;T )(T ¡ t)
(43:7)
es v¶alida cuando L (t;T ) (T ¡ t) es su¯cientemente peque~n a. Es importante hacer una aclaraci¶o n esencial con respecto de la f¶o rmula (43.6) . Cuando se aplica inter¶e s simple durante [t;T ] , se supone que no hay pagos intermedios durante dicho periodo. Mientras que si se utiliza inter¶e s continuamente capitalizable, se producen pagos instant¶aneos que se reinvierten de manera instant¶anea (cuando n ! 1 ) . Para destacar esta distinci¶o n, en lugar de escribir L (t;T ) en el exponente de e , se utilizar¶a R (t;T ) cuando se haga referencia a una tasa de inter¶e s continuamente capitalizable.
4 3 .5 .1 U n p rim e r e je m p lo Sin duda, un ej emplo sencillo consiste en suponer que R (t;T ) = r es constante para cualquier plazo T ¡ t, entonces B (t;T ) = e ¡ r (T ¡ t) y r=
¡ ln B (t;T ) : T ¡ t
Es decir, la cantidad ¡ ln B (t;T ) es proporcional al plazo T ¡ t; siendo la constante de proporcionalidad, justamente, r .
4 3 .5 .2 V a lo r d e l d in e ro e n e l tie m p o Uno de los conceptos fundamentales en ¯nanzas es el valor del dinero en el tiempo. De hecho, todas las f¶o rmulas te¶o ricas de valuaci¶o n de activos utilizan este concepto impl¶³cita o expl¶³citamente. Si hoy, al tiempo t, se cuenta con M t unidades monetarias, son varias las cosas que se pueden hacer con ese dinero; por ej emplo, se puede guardar en una alcanc¶³a o depositarlo en una cuenta de ahorro. En el u¶ ltimo caso, el banco regresar¶³a posteriormente, en T , el principal, M t , m¶as una cantidad adicional, ¢M t > 0, conocida como el inter¶e s. Si se supone que la tasa de inter¶e s que paga el banco es constante e igual a r y M 0 es el dep¶o sito inicial, entonces el inter¶e s a un a~n o es ¢M 0 = r M 0 y el retorno de la inversi¶o n (capital m¶as intereses) , M 1 , calculado con inter¶e s simple al ¯nal del a~n o est¶a dado por M
1
=M
0
+ ¢M
0
=M
0
+ rM
0
=M
0 (1
+ r):
(43:8)
Si se aplica la f¶o rmula de inter¶e s compuesto a dos a~n os, entonces el retorno de la inversi¶o n al ¯nal del segundo a~n o est¶a dado por: M
2
=M
0
+ ¢M
=M
0 (1
0
+ ¢(M
+ r) + rM
+ ¢M
0
0 (1
0)
+ r) = M
=M 0 (1
0 (1
+ r ) + ¢(M
+ r ) (1 + r ) = M
0 (1 0 (1
+ r)) + r)2 :
(43:9)
En general, para n a~n os, se cumple que M
n
=M
0 (1
+ r)n :
(43:10)
Se supone ahora que durante el intervalo [t;s ] , s · T , se realizan m pagos de inter¶e s en m per¶³odos de longitud (s ¡ t) = m a una tasa de r (s ¡ t) = m . En este caso, al ¯nal de [t;s ] se tendr¶a un retorno igual a: μ ¶m r (s ¡ t) M s =M t 1+ : (43:11) m Si la frecuencia de estos m pagos de inter¶e s durante el a~n o se incrementa y, en consecuencia, la longitud de los per¶³odos de pago disminuye, entonces M
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s
¡ ! M t e r (s ¡ t) ;
(43:12)
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4 3 . V a lu a ci¶o n d e b o n o s cu p ¶o n cero : m a rco d eterm in ista
cuando m ! 1 , ya que lim n ! 1 (1 + (x = n ) ) n = e x . En este caso, el lado derecho de (43.12) representa el retorno (capital m¶as intereses) despu¶e s de un periodo de tiempo de longitud s ¡ t; a una tasa de inter¶e s continuamente capitalizable r . Una forma alternativa de obtener (43.12) consiste en utilizar ecuaciones diferenciales. Si se supone que se invierte una cantidad M s al tiempo s , el incremento en M s despu¶e s de un tiempo ds se calcula como dM s = r M s ds ; M t conocida; equivalentemente, dM M
s s
1 = r; ds
M
t
conocida:
En otras palabras, el rendimiento instant¶aneo de la inversi¶o n, por unidad de tiempo ds , es constante e igual a r . La soluci¶o n de esta ecuaci¶o n diferencial satisface M
s
= M t e r (s ¡ t) ;
s ¸ t:
(43:13)
De esta manera, las ecuaciones (43.12) ¶o (43.13) relacionan el valor que tiene el dinero hoy, t, con su valor en un tiempo futuro, s . As¶³, M s proporciona el valor futuro de M t . Rec¶³procamente, si M s estar¶a disponible hasta T , entonces su valor presente M t , en t < T , est¶a dado por M
t
=M
se
¡ r (s ¡ t)
:
4 3 .6 T a sa fo rw a rd in sta n t¶a n e a Uno de los conceptos m¶as importantes en el estudio de modelos de tasas de inter¶e s es el de tasa forward. Considere una inversi¶o n de una unidad monetaria en un plazo T ¡ t a una tasa de inter¶e s continuamente capitalizable, entonces el retorno (principal m¶as intereses) en este plazo es I (t;T ) = exp f R (t;T ) (T ¡ t) g : Si esta cantidad se reinvierte en el periodo [T ;T + ¢T ] , el retorno total de la inversi¶o n, en T + ¢T , est¶a dado por I (t;T ;T + ¢T ) = I (t;T ) expf f (t;T ;T + ¢T ) ¢T g
= expf R (t;T ) (T ¡ t) g expf f (t;T ;T + ¢T ) ¢T g ;
donde f (t;T ;T + ¢T ) es tasa forward instant¶anea referenciada en t y de¯nida en [T ;T + ¢T ] . De la misma manera, el retorno de una unidad monetaria en un plazo [t;T + ¢T ] est¶a dado por J (t;T + ¢T ) = expf R (t;T + ¢T ) (T + ¢T ¡ t) g : Si el mercado de este tipo de inversiones est¶a en equilibrio, es decir, si no existen oportunidades de arbitraj e para generar ganancias extraordinarias, entonces estas dos alternativas de inversi¶o n producen el mismo retorno, as¶³ I (t;T ;T + ¢T ) = J (t;T + ¢T ) , equivalentemente R (t;T ) (T ¡ t) + f (t;T ;T + ¢T ) ¢T = R (t;T + ¢T ) (T + ¢T ¡ t) : En consecuencia, ¡ ln B (t;T ) + f (t;T ;T + ¢T ) ¢T = ¡ ln B (t;T + ¢T ) ; lo cual implica, a su vez, que B (t;T ) = exp f f (t;T ;T + ¢T ) ¢T g : B (t;T + ¢T ) Equivalentemente, f (t;T ;T + ¢T ) = ¡
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μ
ln B (t;T + ¢T ) ¡ ln B (t;T ) ¢T
¶
:
3/5/08 6:33:04 PM
469
4 3 . V a lu a ci¶o n d e b o n o s cu p ¶o n cero : m a rco d eterm in ista
La tasa forward instant¶anea se de¯ne, a partir de la ecuaci¶o n anterior, como: f (t;T ) ´
lim f (t;T ;T + ¢T )
¢ T ! 0
@ ln B (t;T ) : @T
=¡
Observe que, en virtud, de esta u¶ ltima ZT ZT f (t;s ) d s = ¡ d ln B (t;s ) t
t
= ¡ ln B (t;T ) + ln B (t;t) : Ahora bien, dado que B (t;t) = 1, se sigue que ZT f (t;s ) d s = ¡ ln B (t;T ) :
(43:14)
t
En virtud de las dos u¶ ltimas expresiones para B (t;T ) , se puede concluir que ( Z ) T
B (t;T ) = exp
= exp
¡
f (t;s ) ds
( Ã
t
¡
1 T ¡ t
ZT
f (t;s ) ds
!
t
(T ¡ t)
)
:
Por otro lado, B (t;T ) = e ¡
R (t;T )(T ¡ t)
lo cual implica que R (t;T ) =
1 T ¡ t
ZT
;
f (t;s ) ds :
t
De la misma manera, la tasa instant¶anea r t , o tasa de inter¶e s del plazo m¶as corto posible, se de¯ne mediante el siguiente l¶³mite: r t = lim R (t;T ) ´ R (t;t) : T! t
Consecuentemente, r t = lim R (t;T ) T! t ZT 1 = lim f (t;s ) ds T! t T ¡ t t μ ¶ 1 = lim f (t;T ) (T ¡ t) + o (T ¡ t) T! t T ¡ t o (T ¡ t) = lim f (t;T ) + lim T! t T ! t T ¡ t = f (t;t) : La tasa r t est¶a asociada con un bono con vencimiento in¯nitesimal. Es com¶u n llamar, simplemente, a r t como tasa corta. Por supuesto, en los mercados no existen bonos de vencimiento instant¶aneo. Sin embargo, en la pr¶actica se toma a r t como la tasa de plazo m¶as peque~n o disponible en el mercado. Por u¶ ltimo, se proporciona una relaci¶o n que permite determinar la tasa forward instant¶anea, f (t;T ) , a partir la curva de rendimiento, R (t;T ) . Para ello, observe primero que la ecuaci¶o n (43.14) puede reescribirse como ZT f (t;s ) ds = ¡ ln B (t;T ) t
=R (t;T ) (T ¡ t) :
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4 3 . V a lu a ci¶o n d e b o n o s cu p ¶o n cero : m a rco d eterm in ista
En consecuencia, despu¶e s de derivar la expresi¶o n anterior con respecto de T , se sigue que f (t;T ) = R (t;T ) + (T ¡ t)
@ R (t;T ) : @T
4 3 .7 V a lu a c i¶o n d e b o n o s c o n e sp e c i¯ c a c i¶o n d e la ta sa c o rta Es importante destacar que muchos de los modelos que se encuentran en la literatura para valuar bonos utilizan una especi¯caci¶o n ex¶o gena sobre el comportamiento de la tasa corta, es decir, especi¯can ex¶o genamente una ecuaci¶o n diferencial que determina la din¶amica de r t . Si se supone que hay un mercado de cr¶e dito en el que los agentes pueden prestar y pedir prestado a la tasa corta, r t , entonces si se presta una unidad monetaria en t, M t = 1, el cambio en la cuenta de este mercado de dinero durante ds est¶a dado por dM
s
=M
s r s ds ;
(43:15)
t < s:
La cuenta acumulada en este mercado de dinero hasta el tiempo s , denotada por M soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial anterior,
M
s
= 1 ¢ exp
½Z s
r u du
¾
s,
es la
(43:16)
:
t
En otras palabras, la tasa r s es aplicada en forma continua al principal, o alternativamente, M
s
= exp
½μ
1 s¡ t
Zs
r u du
t
¶
(s ¡ t)
¾
(43:17)
;
es decir, el promedio de la tasa durante [t;s ] es aplicada al principal. Si no existen oportunidades de arbitraje entre el mercado de cr¶e dito con tasa r t y el mercado de t¶³tulos de deuda de plazo T , entonces el precio de un bono cup¶o n cero, que paga una unidad monetaria al vencimiento, est¶a dado por ( Z ) T B (t;T ) = exp ¡ r s ds : (43:18) t
Equivalentemente, B (t;T ) = exp
( Ã ¡
1 T ¡ t
ZT t
r s ds
!
(T ¡ t)
)
:
(43:19)
De esta manera, el precio del bono B (t;T ) se descuenta a la tasa corta promedio durante [t;T ] : Si se denota ZT 1 R (t;T ) = r s ds ; T ¡ t t entonces (43.19) se puede reescribir como B (t;T ) = exp f ¡ R (t;T ) (T ¡ t) g :
(43:20)
Evidentemente, B (t;t) = B (T ;T ) = 1:
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4 3 . V a lu a ci¶o n d e b o n o s cu p ¶o n cero : m a rco d eterm in ista
4 3 .8 T a sa c o rta d e in te r¶e s d e c o m p o rta m ie n to e x p o n e n c ia l En esta secci¶o n se presenta un modelo de tendencia (determinista) de la tasa corta con crecimiento exponencial. Este comportamiento aunque no es muy usual, se observa en periodos cortos de tiempo en pa¶³ses con crisis ¯nancieras (M¶e xico 1995, Argentina 2002) . Suponga que la din¶amica de la tasa corta, r s , dado un valor inicial r t > 0, es conducida por la siguiente ecuaci¶o n diferencial dr s = ¡ a rs ; ds
r t dado;
s > t:
En este caso, la soluci¶o n de la ecuaci¶o n anterior satisface r s = r te ¡
a (s ¡ t)
s > t > 0:
;
Es f¶acil veri¯car que la estructura de plazos est¶a dada por
R (t;T ) =
1 T ¡ t
ZT
r s ds
t
Z r te a t T ¡ a s e ds T ¡ t t μ ¶ 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) =r t : a (T ¡ t)
=
La Gr¶a¯ca 43.1 muestra la estructura de plazos asociada a una tasa corta exponencial. Como puede observarse, las tasas de inter¶e s a diferentes plazos crecen con el plazo cuando a < 0 y decrecen con el plazo cuando a > 0.
Gr¶a¯ca 43.1 Curva de rendimiento asociada a una tasa corta exponencial.
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4 3 . V a lu a ci¶o n d e b o n o s cu p ¶o n cero : m a rco d eterm in ista
4 3 .9 T a sa d e in te r¶e s c o n c o n v e rg e n c ia a u n v a lo r d e la rg o p la z o En esta secci¶o n se examina un modelo de tendencia de una tasa corta con convergencia hacia un valor, b, de largo plazo. Suponga que la tasa corta es conducida por una ecuaci¶o n diferencial (ordinaria) de la forma dr s = ¡ a r s + a b = a (b ¡ r s ) ; ds
s ¸ t;
r t > 0 dada,
donde a y b son constantes positivas y conocidas. La soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial anterior est¶a dada por Zs r s = r t e ¡ a (s ¡ t) + e ¡ a (s ¡ t) e a (u ¡ t) a bdu t ³ ´ ¡ a (s ¡ t) ¡ a (s ¡ t) = r te +e b e a (s ¡ t) ¡ 1 = (r t ¡ b) e ¡
a (s ¡ t)
+ b:
En este caso, se sigue, inmediatamente, que lims ! 1 r s = b; lo cual determina el valor de largo plazo de la tasa corta. Asimismo, observe tambi¶e n que la estructura de plazos (o curva de rendimiento) satisface
R (t;T ) =
1 T ¡ t
1 = T ¡ t
ZT
r s ds
(tZ
T
t
h (r t ¡ b) e ¡
a (s ¡
i t) + b ds
)
Z r t ¡ b T ¡ a (s ¡ t) = e ds + b T ¡ t t ´ rt ¡ b ³ = 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) + b (T ¡ t) a μ ¶ rt ¡ b 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) = + b: (T ¡ t) a Esta ecuaci¶o n se puede tambi¶e n escribir como
R (t;T ) =
D (t;T ) r t A (t;T ) ¡ ; T ¡ t T ¡ t
donde D (t;T ) =
1 ¡ e ¡ a (T ¡ a
t)
y A (t;T ) = ¡ b(T ¡ t) +
b ³ 1 ¡ e¡ a
a (T ¡ t)
´ :
La Gr¶a¯ca 43.2 muestra la curva de rendimiento asociada a una tasa corta con convergencia al valor de largo plazo b.
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4 3 . V a lu a ci¶o n d e b o n o s cu p ¶o n cero : m a rco d eterm in ista
Gr¶a¯ca 43.2 Curva de rendimiento asociada a una tasa corta con convergencia hacia b.
4 3 .1 0 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a James, J. and N. Webber (2000) . Interest Rate Modelling: Financial Engineering. John Wiley & Sons. Chichester, England. Rebonato, R. (1998) . Interest-Rate Option Models. Second edition. John Wiley & Sons. Chichester, England. Venegas-Mart¶³nez, F. (2005) . \Caracterizaci¶o n del precio de un bono cup¶o n cero en un modelo de equilibrio general" . R evista d e E sta d¶³stica , E co n o m etr¶³a y F in a n za s A p lica d a s, Vol. 3, No. 3, pp. 1-16.
4 3 .1 1 E je rc ic io s 4 3 .1 Demuestre, utilizando tasas de inter¶e s simples, que f (t;T ) = ¡
@ ln B (t;T ) : @T
4 3 .2 Pruebe que f (t;t) = R (t;t) = r t : 4 3 .3 Muestre que si la tasa corta es conducida por una ecuaci¶o n diferencial de la forma dr s = a (b ¡ r s ) ; ds
s ¸ t;
a ;b;r t > 0;
r t dada,
entonces la estructura de plazos se puede escribir como R (t;T ) = R (t;1 ) + (r t ¡ R (t;1 ) ) 4 3 .4 Suponga que
μ
1 ¡ e ¡ a (T ¡ a (T ¡ t)
· μ ¶¸ T ¡ t f (t;T ) = ¯ 0 + ¯ 1 + ¯ 2 e¡ ¿
t)
(T ¡ t)= ¿
¶
+ b:
;
donde ¯ 0 , ¯ 1 y ¿ son par¶ametros conocidos. Encuentre la estructura de plazos R (t;T ) .
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4 3 . V a lu a ci¶o n d e b o n o s cu p ¶o n cero : m a rco d eterm in ista
S o lu ci¶o n : Es f¶acil veri¯car que R (t;T ) = ¯ 0 + (¯ 1 + ¯ 2 )
1 ¡ e ¡ (T ¡ t)= ¿ ¡ ¯ 2 e¡ T ¡ t ¿
(T ¡ t)= ¿
:
4 3 .5 Suponga que la tasa corta es conducida por dr s = a (b ¡ r s ) ; ds
s ¸ t;
Si D (t;T ) =
a ;b;r t > 0;
1 ¡ e ¡ a (T ¡ a
r t dada.
t)
y A (t;T ) = ¡ b(T ¡ t) + bD (t;T ) ; muestre que B (t;T ) = e ¡
D (t;T )r t + A (t;T )
:
4 3 .6 Muestre que la tasa forward instant¶anea satisface f (t;T ) = ¡
² B ;T ; T
donde ² B ;T es la elasticidad de B (t;T ) con respecto de T , es decir, ² B ;T =
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μ
@ B (t;T ) @T
¶
T : B (t;T )
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C A P ¶IT U L O 44 E C U A C IO¶ N D IF E R E N C IA L P A R C IA L D E G A R M A N -V A S IC E K C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ²
Tasa de inter¶e s instant¶anea o tasa corta Equilibrio y condiciones de no arbitraje Ecuaci¶o n diferencial parcial del precio de un bono cup¶o n cero Premio al riesgo de mercado Tasa corta neutral al riesgo
4 4 .1 In tro d u c c i¶o n Un bono cup¶o n cero es una promesa, impersonalizada, de pago en el futuro. La cantidad que ser¶a pagada recibe el nombre de nominal o principal. Esta promesa se coloca en el mercado a diferentes plazos y, en la fecha de vencimiento, dicho nominal se entrega en una sola emisi¶o n. La promesa de pago se puede comprar en el presente con un descuento sobre el valor nominal. En este cap¶³tulo se caracteriza el comportamiento del precio de un bono cup¶o n cero mediante una ecuaci¶o n diferencial parcial de segundo orden parab¶o lica. Dicha ecuaci¶o n diferencial se debe a Vasicek (1977) y a Garman (1977) , quienes la obtuvieron de manera independiente.
4 4 .2 M o d e lo s e sto c ¶a stic o s d e ta sa d e in te r¶e s c o rta Muchos de los modelos disponibles en la literatura para valuar bonos cup¶o n cero se concentran en la evoluci¶o n de la tasa de inter¶e s instant¶anea, tambi¶e n llamada tasa \spot" o, simplemente, tasa corta. Es importante reconocer que el ob jetivo que persiguen los modelos de tasa corta no es el de elaborar pron¶o sticos precisos (adivinar el valor futuro) de su nivel, sino explicar en t¶e rminos estad¶³sticos su comportamiento en el mercado. As¶³ pues, estos modelos intentan describir esencialmente propiedades estad¶³sticas del mercado, por ej emplo, tendencia, reversi¶o n, sesgo, curtosis, colas pesadas, intervalos de con¯anza, probabilidades de ocurrencia, precios promedio, etc¶e tera. Dado que no existen tasas de inter¶e s instant¶aneas en el mercado, es importante contar con una de¯nici¶o n pr¶actica (operativa) de tasa corta. Se de¯ne la tasa corta como la tasa de inter¶e s de plazo m¶as corto disponible en el mercado asociada a un bono cup¶o n cero. El supuesto de que la tasa corta se mantiene constante, o bien que su din¶amica est¶a determinada por una funci¶o n conocida en el tiempo, dif¶³cilmente podr¶³a ser aceptado en la pr¶actica. En general, se observa que la tasa de inter¶e s corta tiene un comportamiento impredecible. La tasa de inter¶e s corta, que prevalece hoy en el mercado, asociada a un bono cup¶o n cero, no tiene por qu¶e ser la misma de ma~n ana o de la semana entrante, su nivel depender¶a de la oferta y la demanda por t¶³tulos de deuda al plazo m¶as corto disponible en el mercado. En vista de que no es posible predecir el comportamiento de la tasa corta, podr¶³a ser razonable modelarla a trav¶e s de un proceso estoc¶astico. Existen en la literatura un n¶u mero importante (varias docenas) de modelos de tasa corta ligados al movimiento Browniano. Al respecto, el movimiento Browniano no s¶o lo describe las °uctuaciones propias del mercado, sino tambi¶e n proporciona un conj unto de herramientas de an¶alisis.
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4 4 . E cu a ci¶o n d iferen cia l p a rcia l d e G a rm a n -V a sicek
Sea f W t g t¸ 0 un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad ( ;F ;IP) y sea IF = f F t g t¸ 0 su ¯ltraci¶o n aumentada, la cual representa la informaci¶o n del mercado disponible hasta el tiempo t. Se supone que la din¶amica estoc¶astica de la tasa corta, r t , es conducida por una ecuaci¶o n de la forma: dr t = ¹ (r t ;t) dt + ¾ (r t ;t) dW t ;
(44:1)
donde ¹ (r t ;t) y ¾ (r t ;t) son procesos adaptados a la ¯ltraci¶o n f F t g t¸ 0 . Como puede observarse, el proceso f W t g t¸ 0 modela el riesgo de mercado. En las siguientes secciones se estudiar¶an varias formas funcionales de ¹ (r t ;t) y ¾ (r t ;t) que determinan din¶amicas espec¶³¯cas de la tasa corta. Es importante prevenir al lector de la notaci¶o n simpli¯cada que se utiliz¶o en (44.1) , la expresi¶o n correcta es Zt Zt rt = r0 + ¹ (r u ;u ) du + ¾ (r u ;u ) dW u : (44:2) 0
0
De hecho, la ecuaci¶o n (44.1) es un abuso de notaci¶o n, ya que el ob jeto de estudio del c¶alculo estoc¶astico es la integral estoc¶astica. Sin embargo, la mayor parte del desarrollo de la teor¶³a ¯nanciera moderna utiliza como notaci¶o n simpli¯cada una ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica, teniendo, por supuesto, siempre en mente una integral estoc¶astica. Con el prop¶o sito de asegurar que (44.2) tenga una soluci¶o n u¶ nica, r t , adaptada a la ¯ltraci¶o n IF, se requiere que ¹ (r t ;t) y ¾ (r t ;t) satisfagan la condici¶o n global de Lipschitz j¹ (x ;t) ¡ ¹ (y ;t) j · K jx ¡ y j
para toda t 2 [0;1 ) y x ;y 2 IR;
donde K es una constante independiente de x y y , as¶³ como la condici¶o n de crecimiento ¹ 2 (x ;t) + ¾ 2 (x ;t) · K (1 + x 2 )
para toda t 2 [0;1 ) y x 2 IR:
Asimismo, para que la media y la varianza del proceso de¯nido en (44.2) est¶e n bien de¯nidas, se requiere que se satisfagan las siguientes condiciones de integrabilidad, casi dondequiera con respecto de IP, Z Z 1
0
j¹ (r t ;t) jdt < 1
1
y
0
¾ 2 (r t ;t) dt < 1 :
Baj o las condiciones anteriores existe un u¶ nico proceso r t , adaptado a la ¯ltraci¶o n IF, con media y varianza ¯nitas, condicionales en la informaci¶o n F 0 , dadas, respectivamente, por Zt Z1 E [r t j F 0 ] = r 0 + ¹ (r u ;u ) du · r 0 + j¹ (r t ;t) jdt < 1 0
0
y Var [r t j F 0 ] =
Zt
¾ 2 (r u ;u ) du :
0
4 4 .3 In m u n iz a c i¶o n d e l rie sg o d e m e rc a d o d e u n p o rta fo lio d e b o n o s En lo que sigue se denotar¶a al precio de un bono cup¶o n cero mediante las expresiones alternativas B (t;T ) o¶ B (r t ;t; T ) . Esta u¶ ltima har¶a ¶e nfasis, cuando sea necesario, en la dependencia de la tasa corta. La valuaci¶o n de un bono es, en cierto sentido, diferente a la valuaci¶o n de un producto derivado de una acci¶o n, pues no existe un activo subyacente con el cual se cubra el derivado, ya que, a diferencia de una acci¶o n, la tasa corta, r t , no tiene un precio. Una posibilidad de inmunizar un portafolio de dos bonos, consiste en cubrir un bono con otro bono pero de vencimiento diferente. Considere un portafolio con dos bonos con vencimientos diferentes T 1 y T 2 . De acuerdo con la notaci¶o n previamente introducida, el bono con vencimiento T 1 tiene precio B 1 (r t ;t; T 1 ) y el bono con vencimiento T 2 tiene precio B 2 (r t ;t; T 2 ) . El portafolio a cubrir consiste de w 1 unidades del bono de precio B 1 (r t ;t; T 1 ) y w 2 unidades del bono de precio B 2 (r t ;t; T 2 ) . Si se denota el valor de este portafolio en la fecha t por ¦ t , se tiene que: ¦t = w 1 B
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1
+ w 2B 2:
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4 4 . E cu a ci¶o n d iferen cia l p a rcia l d e G a rm a n -V a sicek
El cambio en el valor del portafolio en el instante dt, debido a °uctuaciones en los precios de los activos y no en el rebalanceo del portafolio (cambios en w 1 ¶o w 2 ) , se calcula mediante el lema de It^o . As¶³, por ej emplo, en el caso de B 1 se tiene que dB
1
=
μ
@B 1 @B 1 @ 2B 1 + ¹ (r t ;t) + 21 ¾ 2 (r t ;t) @t @ rt @ r t2
¶
dt +
@B 1 ¾ (r t ;t) dW t ; @ rt
en tal caso se encuentra que d¦ t =w 1 dB 1 + w 2 dB 2 μ ¶ μ ¶ @B 1 @ 2B 1 @B 2 @ 2B 2 1 2 1 2 =w 1 + 2 ¾ (r t ;t) dt + w 2 + 2 ¾ (r t ;t) dt @t @ r2 @t @ r2 μ ¶ t μ ¶ t @B 1 @B 2 @B 1 @B 2 + w1 +w2 ¹ (r t ;t) dt + w 1 +w2 ¾ (r t ;t) dW t : @ rt @ rt @ rt @ rt Si se eligen w 1 = 1 y w 2 = ¡ (@ B 1 = @ r t ) = (@ B 2 = @ r t ) , el coe¯ciente de dW t se anula y, como consecuencia, se elimina la componente aleatoria correspondiente a dW t , es decir, se elimina el riesgo de mercado. En este caso, se tiene que (w ) d¦ t
· μ Á ¶μ ¶¸ 2 2 @B 1 @B 1 @B 2 @B 2 1 2@ B 1 1 2@ B 2 = + 2¾ ¡ + 2¾ dt: @t @ r t2 @ rt @ rt @t @ r t2
(44:3)
4 4 .4 E x iste n c ia d e u n siste m a b a n c a rio Suponga ahora que, en el tiempo t, existe un sistema bancario en el que los agentes pueden prestar y pedir prestado a la tasa r t . Si se eligen w 1 = 1 y w 2 = ¡ (@ B 1 = @ r t ) = (@ B 2 = @ r t ) en el valor del portafolio, ¶e ste puede resultar positivo en cuyo caso se deposita ¦ t y se genera durante (r ) dt un ingreso adicional d¦ t = r t ¦ t dt > 0 o bien puede resultar negativo en cuyo caso se pide (r ) prestado ¦ t y se genera en dt un adeudo de monto d¦ t = r t ¦ t dt < 0. En cualquier caso, (r )
d¦ t
· = r t ¦ t dt = r t B
1
¡
μ
@B 1 @ rt
Á
@B 2 @ rt
¶
B
2
¸ dt:
(44:4)
4 4 .5 C o n d ic i¶o n d e e q u ilib rio Si el mercado est¶a en equilibrio, entonces no existen oportunidades de arbitraj e (libres de riesgo) y, por lo tanto, los rendimientos de inversiones alternativas tienen que ser iguales. Es decir, (w ) (r ) d¦ t = d¦ t . Si, por ej emplo, la alternativa de inversi¶o n en el portafolio generar¶a una ganan(w ) (r ) cia mayor que la de un dep¶o sito bancario, es decir, d¦ t > d¦ t , entonces se pide prestado al banco la cantidad ¦ t y se invierte en el portafolio de bonos. Depu¶e s de dt, se paga al banco el (r ) (w ) (r ) principal y los intereses d¦ t y se genera una ganancia d¦ t ¡ d¦ t > 0 libre de riesgo. Sin embargo, esta ventaj a no se podr¶a explotar inde¯nidamente ya que los rendimientos eventualmente se aj ustar¶³an, eliminando oportunidades de arbitraje. En consecuencia, si el mercado est¶a en equilibrio, entonces (44.3) y (44.4) tienen que ser iguales. Despu¶e s de agrupar t¶e rminos en B 1 en el lado izquierdo y t¶e rminos en B 2 en el lado derecho, se obtiene que μ
@B 1 ¾ 2 (r t ;t) @ 2 B 1 + ¡ r tB @t 2 @ r t2
1
¶Á
@B 1 = @ rt
μ
@B 2 ¾ 2 (r t ;t) @ 2 B 2 + ¡ r tB @t 2 @ r t2
2
¶Á
@B 2 : @ rt
Se observa que el lado izquierdo de la ecuaci¶o n anterior es funci¶o n s¶o lo de T 1 y la del lado derecho es funci¶o n s¶o lo de T 2 . Dado que ambos lados son iguales, se concluye entonces que los cocientes, de cada lado de la igualdad, son independientes de la fecha de vencimiento. Por lo tanto, ambos
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4 4 . E cu a ci¶o n d iferen cia l p a rcia l d e G a rm a n -V a sicek
lados son iguales a alguna funci¶o n que no depende del vencimiento, que por conveniencia se denota por m (r t ;t) . Despu¶e s de omitir los sub¶³ndices, se sigue que μ
@B @ 2B + 21 ¾ 2 (r t ;t) 2 ¡ r t B @t @ rt
¶Á
@B = m (r t ;t) : @ rt
(44:5)
Equivalentemente, @B @ 2B @B + 21 ¾ 2 2 ¡ m (r t ;t) ¡ r t B = 0: @t @ rt @ rt
(44:6)
La funci¶o n m (r t ;t) ser¶a llamada tendencia neutral (al riesgo de mercado) del precio del bono. Para resolver (44.6) se requiere una forma funcional espec¶³¯ca de m (r t ;t) , la cual se determinar¶a en la siguiente secci¶o n.
4 4 .6 E c u a c i¶o n d ife re n c ia l p a rc ia l d e l p re c io d e u n b o n o c u p o¶ n c e r o : v a lu a c i¶o n n e u tra l a l rie sg o En el transcurso de la presente secci¶o n se determina la ecuaci¶o n diferencial parcial que caracteriza el precio de un bono cup¶o n cero baj o el supuesto de neutralidad al riesgo. Si se aplica el lema de It^o a B 1 , se tiene que dB
1
=
μ
@B 1 @B 1 @ 2B 1 + ¹ (r t ;t) + 21 ¾ 2 (r t ;t) @t @ rt @ r t2
¶
dt +
@B 1 ¾ (r t ;t) dW t : @ rt
Equivalentemente, dB donde ¹ 1 (r t ;t) =
1
μ
= ¹ 1 (r t ;t) B 1 dt + ¾ 1 (r t ;t) B 1 dW t ;
@B 1 @B 1 @ 2B 1 + ¹ (r t ;t) + 12 ¾ 2 (r t ;t) @t @ rt @ r t2
y ¾ 1 (r t ;t) =
μ
@B 1 @ rt
¶
¶Á
B
1
¾ (r t ;t) : B1
(44:7)
(44:8)
Expresiones semej antes pueden derivarse para B 2 . Considere ahora el valor del portafolio ¦ t ¦t = μ 1 B
1
+ μ2 B 2 :
(44:9)
Si las cantidades μ 1 y μ 2 no se modi¯can ante variaciones en el mercado, entonces d¦ t = μ 1 dB
1
+ μ 2 dB 2 :
(44:10)
Tambi¶e n puede suponerse que B 1 dμ 1 + B 2 dμ 2 = 0: De esta manera, d¦ t = (μ 1 ¹ 1 (r t ;t) B
1
+ μ 2 ¹ 2 (r t ;t) B 2 ) dt + (μ 1 ¾ 1 (r t ;t) B
1
+ μ 2 ¾ 2 (r t ;t) B 2 ) dW t :
(44:11)
Si se eligen ahora μ1 = y μ2 = ¡
¾ 2 (r t ;t) B 1 (¾ 2 (r t ;t) ¡ ¾ 1 (r t ;t) ) ¾ 1 (r t ;t) ; B 2 (¾ 2 (r t ;t) ¡ ¾ 1 (r t ;t) )
entonces el coe¯ciente del factor de riesgo dW d¦ t =
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μ
t
se anula y
¾ 2 (r t ;t) ¹ 1 (r t ;t) ¡ ¾ 1 (r t ;t) ¹ 2 (r t ;t) ¾ 2 (r t ;t) ¡ ¾ 1 (r t ;t)
¶
dt:
(44:12)
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4 4 . E cu a ci¶o n d iferen cia l p a rcia l d e G a rm a n -V a sicek
Si la expresi¶o n anterior se iguala con el rendimiento de un dep¶o sito en el banco d¦ t = ¦ t r t dt = (μ 1 B
1
+ μ 2 B 2 ) r t dt = r t dt;
el cual es libre de riesgo al tiempo t, pues el nivel de la tasa r t es conocido, se tiene que ¹ 1 (r t ;t) ¡ r t ¹ 2 (r t ;t) ¡ r t = : ¾ 1 (r t ;t) ¾ 2 (r t ;t)
(44:13)
Es decir, el premio al riesgo, normalizado por la volatilidad, que ofrecen dos bonos de diferentes vencimientos es igual. En consecuencia, bonos de mayor volatilidad pagar¶an un mayor diferencial entre el rendimiento medio del bono y la tasa libre de riesgo. Dado que en la ecuaci¶o n (44.13) , el lado izquierdo s¶o lo depende del vencimiento T 1 y el derecho del vencimiento T 2 , se sigue que el premio al riesgo es independiente de la fecha de vencimiento del bono, el cual ser¶a denotado por ¸ (r t ;T ) . En virtud de (44.6) , (44.7) y (44.8) , se tiene que @B @B @ 2B + (¹ (r t ;t) ¡ ¸ (r t ;t) ¾ (r t ;t) ) + 21 ¾ 2 (r t ;t) 2 ¡ r t B = 0: @t @ rt @ rt
(44:14)
Se observa que a partir de (44.13) ¡ m (r t ;t) = ¹ (r t ;t) ¡ ¸ (r t ;t) ¾ (r t ;t) :
(44:15)
Es decir, la tendencia neutral al riesgo es funci¶o n de la tendencia y volatilidad de la tasa corta, as¶³ como del premio al riesgo. Para encontrar la soluci¶o n de (44.14) se tienen que especi¯car una condici¶o n ¯nal y dos de frontera. La condici¶o n ¯nal corresponde al pago en el vencimiento para un bono cup¶o n cero B (r T ;T ; T ) = 1. Las condiciones de frontera dependen de las formas funcionales de ¹ (r t ;t) y ¾ (r t ;t) .
4 4 .7 R e in te rp re ta c i¶o n d e l p re m io a l rie sg o En esta secci¶o n se proporciona una interpretaci¶o n alternativa del premio al riesgo de mercado. Para ello, observe que la ecuaci¶o n (44.14) y el lema de It^o conducen al siguiente sistema de dos ecuaciones: @B @ 2B @B + 12 ¾ 2 (r t ;t) 2 + (¹ (r t ;t) ¡ ¸ (r t ;t) ¾ (r t ;t) ) ¡ r t B = 0; @t @ rt @ rt · ¸ @B @ 2B @B @B dB = + 21 ¾ 2 (r t ;t) 2 + ¹ (r t ;t) dt + ¾ (r t ;t) dW t ; @t @ rt @ rt @ rt las cuales conducen a: dB ¡ r t B dt =¾ (r t ;t) ¸ (r t ;t)
@B @B dt + ¾ (r t ;t) dW @ rt @ rt
@B =¾ (r t ;t) (¸ (r t ;t) dt + dW t ) : @ rt
t
(44:16)
El t¶e rmino que contiene a dW t , dentro del par¶e ntesis del lado derecho de (44.16) , representa el riesgo de mercado del bono. El otro t¶e rmino dentro del par¶e ntesis expresa el incentivo para adquirir un instrumento con riesgo. As¶³, si se hiciera un dep¶o sito de M 0 unidades monetarias en un banco que paga la tasa corta de inter¶e s, el rendimiento durante el instante dt est¶a dado por dM t =M t = r t dt. Note que al tiempo t, la tasa r t es conocida. De esta manera, al comparar los diferenciales dM t ¡ r t M t dt y dB t ¡ r t B t dt, el primero tiene un valor cero, mientras que el segundo es igual a las variaciones del mercado modeladas a trav¶e s del t¶e rmino en dW t , as¶³ como el premio esperado por adquirir un instrumento con riesgo, representado por ¸ (r t ;t) .
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4 4 . E cu a ci¶o n d iferen cia l p a rcia l d e G a rm a n -V a sicek
4 4 .8 T a sa c o rta n e u tra l a l rie sg o Con base en las secciones anteriores se desarrolla, a continuaci¶o n, el concepto de tasa corta neutral al riesgo. Observe primero que a partir de (44.1) , se tiene que dr t = (¹ (r t ;t) ¡ ¸ (r t ;t) ¾ (r t ;t) ) dt + ¾ (r t ;t) (¸ (r t ;t) dt + dW t ) :
(44:17)
La expresi¶o n anterior se puede comparar con la ecuaci¶o n (44.16) reescrita como dB = r t B dt + ¾ (r t ;t)
@B (¸ (r t ;t) dt + dW t ) : @ rt
Como puede observarse, las componentes estoc¶asticas de las dos ecuaciones anteriores son id¶e nticas. Es decir, tanto la tasa corta como el precio del bono comparten el mismo factor de riesgo. Finalmente, en virtud de (44.14) , se sigue que la ecuaci¶o n diferencial parcial de segundo orden que caracteriza el precio de un bono cup¶o n cero asociado a r t est¶a dada por @B @B @ 2B + (¹ (r t ;t) ¡ ¸ (r t ;t) ¾ (r t ;t) ) + 21 ¾ 2 (r t ;t) 2 ¡ r t B = 0: @t @ rt @ rt
(44:18)
Es importante destacar la similitud de la expresi¶o n anterior con la ecuaci¶o n diferencial parcial de Black y Scholes. Observe tambi¶e n que la tendencia de (44.17) coincide con el coe¯ciente de @ B = @ r t en la ecuaci¶o n (44.18) .
4 4 .9 R e v isi¶o n d e su p u e sto s Por u¶ ltimo, en esta secci¶o n se enlistan los supuestos que se utilizaron para obtener la ecuaci¶o n diferencial parcial del comportamiento de un bono cup¶o n cero: (i) existe una especi¯caci¶o n ex¶o gena de la din¶amica estoc¶astica de la tasa corta; (ii) existe un mercado en el que se negocian bonos a todos los plazos comprendidos entre 0 y T ; (iii) existe un sistema bancario, o si se pre¯ere un mercado de cr¶e dito, en el que los agentes pueden prestar y pedir prestado a la tasa corta; (iv ) no existen costos de transacci¶o n (impuestos o comisiones) ; (v ) no existen oportunidades de arbitraj e (libres de riesgo) ; (v i) la informaci¶o n con que cuentan los agentes es sim¶e trica.
4 4 .1 0 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Garman, M. B. (1977) . A General Theory of Asset Valuation under Difussion State Processes. Working paper No. 50. January. Research Program in Finance. University of California, Berkeley. Vasicek, O. (1977) . \An Equilibrium Characterization of the Term Structure" . J o u rn a l o f F in a n cia l E co n o m ics, Vol. 5, No. 2, pp. 177-188.
4 4 .1 1 E je rc ic io s 4 4 .1 Suponga que ¿ = T ¡ t, ¹ (r t ;t) = ¹ , ¾ (r t ;t) = ¾ y ¸ (r t ;t) = 0. De esta manera, la ecuaci¶o n diferencial parcial parab¶o lica que satisface el precio de un bono cup¶o n cero, B (r t ;¿ ; T ) , est¶a dada por: @B @ 2B @B ¡ + 21 ¾ 2 2 + ¹ ¡ r t B = 0: @¿ @ rt @ rt La condici¶o n ¯nal que corresponde al pago en el vencimiento es B (r t ;0; T ) = 1. Resuelva la ecuaci¶o n anterior suponiendo una soluci¶o n de la forma B (r t ;¿ ; T ) = e A
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(¿ )¡ r t ¿
:
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4 4 . E cu a ci¶o n d iferen cia l p a rcia l d e G a rm a n -V a sicek
S o lu ci¶o n : Al derivar parcialmente con respecto del tiempo de vigencia y la variable de estado el candidato de soluci¶o n, se sigue que: μ ¶ @B @A = ¡ rt B ; @¿ @¿ @B = ¡ ¿B ; @ rt @ 2B = ¿2B : @ r t2 Despu¶e s de sustituir las ecuaciones anteriores en la ecuaci¶o n diferencial parcial del precio del bono, se tiene que @A = 21 ¾ 2 ¿ 2 ¡ ¹ ¿ : @¿ La soluci¶o n de esta ecuaci¶o n diferencial ordinaria est¶a dada por Z¿ Z¿ 2 1 2 A (¿ ) = 2 ¾ s ds ¡ ¹ s ds 0
= 16 ¾ 2 ¿ 3 ¡
0
1 2
¹ ¿2:
4 4 .2 Suponga que ¿ = T ¡ t, ¹ (r t ;t) = ¹ , ¾ (r t ;t) = ¾ y ¸ (r t ;t) = ¹ = ¾ , de tal suerte que, la ecuaci¶o n diferencial parcial parab¶o lica que satisface el precio de un bono cup¶o n cero, B (r t ;¿ ; T ) , est¶a dada por: @B @ 2B ¡ + 21 ¾ 2 2 ¡ r t B = 0 @¿ @r j unto con la condici¶o n ¯nal B (r t ;0; T ) = 1. Resuelva la ecuaci¶o n anterior suponiendo una soluci¶o n de la forma B (r t ;¿ ; T ) = e A (¿ )¡ r t ¿ : S o lu ci¶o n : En este caso,
μ ¶ @B @A = ¡ rt B ; @¿ @¿ @ 2B = ¿2B : @ r t2 Despu¶e s de sustituir las ecuaciones en la ecuaci¶o n diferencial parcial del precio del bono, se obtiene @A = 21 ¾ 2 ¿ 2 : @¿ La soluci¶o n de esta ecuaci¶o n diferencial ordinaria est¶a dada por Z¿ A (¿ ) = 12 ¾ 2 s 2 ds 0
= 16 ¾ 2 ¿ 3 : Observe tambi¶e n que A (0) = 0, lo que garantiza que B (r t ;0; T ) = 1. 4 4 .3 Suponga que dr t = ¹ dt, entonces r t = r 0 + ¹ t. En este caso, la ecuaci¶o n diferencial parcial del precio de un bono cup¶o n cero con tasa corta r t est¶a dada por @B @B +¹ ¡ r tB t = 0 @t @ rt j unto con la condici¶o n ¯nal B (r t ;T ; T ) = 1: Resuelva la ecuaci¶o n diferencial anterior. 4 4 .4 Suponga que la tasa corta sigue un proceso de la forma p dr t = a r t2 + ¯ r t dW t : Determine y resuelva la ecuaci¶o n diferencial parcial que caracteriza el precio de un bono cup¶o n cero asociado con r t .
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.
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C A P ¶IT U L O 45 M O D E L O D E T A SA C O R T A D E M E R T O N P A R A V A L U A R B O N O S C U P O¶ N C E R O C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ² ²
Modelo de Merton de tasa corta Valuaci¶o n de bonos cup¶o n cero Enfoque probabilista de valuaci¶o n Curva de rendimiento Tasa forward Enfoque de ecuaciones diferenciales parciales de valuaci¶o n
4 5 .1 In tro d u c c i¶o n En 1973, Robert C. Merton, en su art¶³culo \Theory of Rational Option Pricing" , en su nota 45 al pie de la p¶agina 163, propuso uno de los primeros modelos para explicar la din¶amica estoc¶astica de la tasa de inter¶e s instant¶anea, tambi¶e n llamada tasa corta. En esta nota de 17 l¶³neas se encuentran las bases de la teor¶³a moderna de tasas de inter¶e s en tiempo continuo, la cual se fundamenta en el movimiento Browniano. Este trabaj o de Merton, es uno de los art¶³culos m¶as fascinantes sobre matem¶aticas ¯nancieras que deben ser le¶³dos con gran atenci¶o n en todos sus detalles, ya que en ellos se guardan muchos de los puntos ¯nos de la teor¶³a de tasas de inter¶e s en tiempo continuo. Cuatro a~n os despu¶e s, en 1977, aparece la segunda contribuci¶o n m¶as importante a esta teor¶³a, el llamado modelo de Vasicek, el cual se revisar¶a en detalle en un cap¶³tulo posterior. A partir del comportamiento del promedio de la tasa corta, en el modelo de Merton, se calculan los factores de descuento para valuar un bono cup¶o n cero con diferentes vencimientos, de acuerdo con alguna hip¶o tesis sobre las expectativas de los agentes en el proceso de valuaci¶o n. Este primer intento de modelar el comportamiento de la tasa corta para valuar un bono, cuenta con varias limitaciones, entre las que se destacan: 1) existe una probabilidad positiva de que la tasa corta tome valores negativos; 2) no presenta reversi¶o n a la media, es decir, no existe un mecanismo que obligue a la tasa corta a regresar a un nivel de largo plazo conforme el tiempo transcurre; 3) la esperanza y la varianza condicionales de la tasa corta crecen sin l¶³mite al trancurrir el tiempo; y 4) la curva de rendimiento y la tasa forward decrecen sin cota conforme el tiempo aumenta >Cu¶al es entonces el bene¯cio o ventaj a de estudiar este modelo? A pesar de sus limitaciones, el modelo de Merton permite introducir de manera sencilla muchos de los conceptos fundamentales en el estudio de las tasas de inter¶e s y la valuaci¶o n de bonos cup¶o n cero. En cap¶³tulos posteriores se discutir¶an varios modelos m¶as realistas que, en esencia, corrigen las limitaciones antes mencionadas.
4 5 .2 D in ¶a m ic a e sto c ¶a stic a d e la ta sa c o rta Considere un movimiento Browniano (W t ) t¸ 0 de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad equipado con su ¯ltraci¶o n aumentada ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;T ];IP) . Como siempre, F t es toda la informaci¶o n relevante disponible en el tiempo t. Suponga que el comportamiento de la tasa corta es conducido por la siguiente ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica: dr t = bdt + ¾ dW t ; donde b y ¾ son cantidades positivas conocidas, entonces Zs r s = r t + b(s ¡ t) + ¾ dW u ;
(45:1)
s > t:
(45:2)
t
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4 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e M erto n ...
Claramente, r t se distribuye normalmente con media (condicional) £ ¯ ¤ E r s ¯F t = r t + b(s ¡ t)
(45:3)
y varianza (condicional)
£ ¯ ¤ Var r s ¯F t = ¾ 2 (s ¡ t) ; (45:4) ¯ ¤ £ Rs ya que t dW u = W s ¡ W t , E [W s ¡ W t jF t ] = 0 y Var W s ¡ W t ¯F t = s ¡ t: Observe tambi¶e n que a partir de (45.3) , se tiene que si s > t, ¯ ¤ £ E r s ¡ bs ¯F t = r t ¡ bt: En otras palabras, la tasa corta menos su tendencia es una martingala. En palabras m¶as simples, el mejor pron¶o stico de r£ , dada la o n disponible hasta el tiempo s > t, es r t ¡ bt. s ¡¯bs¤ ¯ ¤ £ informaci¶ Por u¶ ltimo, note que E r s ¯F t y Var r s ¯F t crecen sin cota conforme s aumenta.
4 5 .3 D e te rm in a c i¶o n d e l p re c io d e u n b o n o c u p o¶ n c e ro En esta secci¶o n se determina, mediante el enfoque probabilista, el precio de un bono cup¶o n cero asociado al modelo de tasa corta de Merton. El precio de un bono cup¶o n cero que se emite en t y que paga una unidad monetaria en el tiempo T est¶a dado por: ( Ã !¯ ) ZT ¯ ¯ B (t;T ) = E exp ¡ r s ds ¯F t : (45:5) ¯ t Cuando sea necesario enfatizar la dependencia del precio del bono sobre la tasa de inter¶e s se utilizar¶a la notaci¶o n alternativa B = B (r t ;t; T ) . Considere, primero, la suma de las tasas cortas instant¶aneas durante [t;T ] ZT I (t;T ) = r s ds t
y observe que, a partir de (45.2) , I (t;T ) =r t (T ¡ t) + 21 b(T ¡ t) 2 + ¾ =r t (T ¡ t) + 12 b(T ¡ t) 2 + ¾ =r t (T ¡ t) + 21 b(T ¡ t) 2 + ¾
ZT Zs
dW
ZT
¡ W t ) ds
t
u
ds
t
(W
s
t
à Z T
W
s ds
t
¡ W t (T ¡ t)
Al integrar por partes la u¶ ltima integral de (45.6) , se tiene que ZT ZT W s ds = T W T ¡ tW t ¡ s dW t
:
(45:7)
s:
t
Por lo tanto, despu¶e s de sustituir (45.7) en (45.6) , se sigue que à ZT 2 1 I (t;T ) =r t (T ¡ t) + 2 b(T ¡ t) + ¾ T W T ¡ tW t ¡ s dW 1 2
2
1 2
2
1 2
2
=r t (T ¡ t) + b(T ¡ t) + ¾ =r t (T ¡ t) + b(T ¡ t) + ¾ =r t (T ¡ t) + b(T ¡ t) + ¾
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(45:6) !
à Ã
s
t
T (W
T
ZT
T
à Z T t
t
ZT
¡ W t) ¡ dW
s
¡
(T ¡ s ) dW
s dW
t
ZT t
s
!
s dW
s
¡ W t (T ¡ t) s
!
!
!
(45:8)
:
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4 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e M erto n ...
En consecuencia, I (t;T ) =
RT t
r s ds es normal con media y varianza
¯ ¤ £ E I (t;T ) ¯F t = r t (T ¡ t) + 12 b(T ¡ t) 2
y Var [I (t;T ) jF t ] = ¾
2
ZT t
(T ¡ s ) 2 ds = 13 ¾ 2 (T ¡ t) 3 ;
(45:9)
(45:10)
respectivamente. Observe que en (45.10) se ha utilizado el hecho de que
Var
"Z T t
2Ã ¯ # ZT ¯ ¯ 4 f (s ) dW s ¯F t = E f (s ) dW ¯ t
!2 ¯ 3 Z ¯ T ¯ 5 f 2 (s ) ds ¯F t = s ¯ t
(45:11)
con f (s ) = T ¡ s . En virtud de las propiedades de la distribuci¶o n normal, en particular de la funci¶o n generatriz de momentos de dicha distribuci¶o n, se sigue que el precio del bono, B (r t ;t; T ) , satisface ¯ ¤ £ B (r t ;t; T ) =E exp f ¡ I (t;T ) g ¯F t ¯ ¯ ª © (45:12) = exp ¡ E[I (t;T ) ¯F t ] + 1 Var[I (t;T ) ¯F t ] : 2
Al sustituir (45.9) y (45.10) en (45.12) , se encuentra que
¾ ½ b ¾2 (T ¡ t) 3 : B (r t ;t; T ) = exp ¡ r t (T ¡ t) ¡ (T ¡ t) 2 + 2 6
(45:13)
En la Gr¶a¯ca 45.1 se muestra el precio de un bono cup¶o n cero, B , en funci¶o n de b y r t . Los otros par¶ametros permanecen ¯jos, T = 0:1 y ¾ = 0:1. En la Gr¶a¯ca 45.2 se muestra el precio del bono, B , en funci¶o n de T y r t . En este caso, b = 0:1 y ¾ = 0:1.
Gr¶a¯ca 45.1 Precio de un bono cup¶o n cero, B , en funci¶o n de b y r t .
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4 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e M erto n ...
Gr¶a¯ca 45.2 Precio de un bono cup¶o n cero, B , en funci¶o n de T y r t .
4 5 .4 D e te r m in a c i¶o n a lte r n a tiv a d e l p r e c io d e u n b o n o c u p o¶ n c e r o En esta secci¶o n se obtiene de manera alternativa la varianza de I (t;T ) para calcular el precio de un bono cup¶o n cero en el que la tasa corta corta es conducida por el modelo de Merton. En virtud de las ecuaciones (45.6) y (45.8) , se sigue que à Z ! Z T
t
T
r s ds =r t (T ¡ t) + 12 b(T ¡ t) 2 + ¾ 2
1 2
=r t (T ¡ t) + b(T ¡ t) + ¾
W
Ã
s ds
t
T (W
T
¡ W t (T ¡ t) ZT
¡ W t) ¡
s dW
s
!
:
t
Por lo tanto, 2
2
Var [I (t;T ) jF t ] =¾ T Var
"Z T t
¡ 2¾ 2 T Cov
"Z ¯ # T ¯ 2 dW s ¯ Var s dW + ¾ F ¯t
à Z T
dW
!
ZT
t
ZT
s dW
s
1 ¢ s ds =
1 2
s;
!
t
¯ # ¯ ¯F t s¯
:
t
Asimismo, observe que Cov
à Z T t
1dW s ;
ZT
s dW
s
=
t
t
¡ T
2
¢ ¡ t2 :
En consecuencia, £ Var [I (t;T ) jF t ] = ¾ 2 T 2 (T ¡ t) + 13 (T
3
¡ ¡ t3 ) ¡ T T
2
¡ t2
¢¤ 1 2 = 3 ¾ (T ¡ t) 3 :
Este resultado coincide con (45.10) , lo cual al combinarse con (45.9) produce (45.13) .
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4 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e M erto n ...
4 5 .5 D e te r m in a c i¶o n d e la c u r v a d e re n d im ie n to En esta secci¶o n se calcula la curva de rendimiento al vencimiento asociada a un bono cup¶o n cero, o simplemente la curva de ceros. Si se denotan D (t;T ) = T ¡ t y A (T ;t) = ¡
¾2 b (T ¡ t) 2 + (T ¡ t) 3 ; 2 6
(45:14)
entonces se puede escribir B (r t ;t; T ) = e A
(t;T )¡ r t D (t;T )
:
Por lo tanto, la estructura de plazos de la tasa de inter¶e s est¶a dada por R (t;T ) = ¡
ln B (t;T ) r t D (t;T ) ¡ A (t;T ) b ¾2 = = r t + (T ¡ t) ¡ (T ¡ t) 2 : T ¡ t 2 T ¡ t 6
(45:15)
Es decir, R (t;T ) como funci¶o n de T es una par¶abola que abre hacia abajo. Es importante destacar en (45.15) que cambios en r t conducen a movimientos paralelos en la curva de rendimiento. Asimismo, observe primero que ¾2 b @ (T ¡ t) R (t;T ) = ¡ 2 3 @T y ¾ @ R (t;T ) = ¡ (T ¡ t) 2 < 0: 3 @¾ En otras palabras, la curva de rendimiento R (t;T ) es una funci¶o n decreciente en T para T > t + (3b= 2¾ 2 ) y decreciente en la volatilidad ¾ . Por otro lado, observe que ¾2 @2 < 0 R (t;T ) = ¡ 2 @T 3 y 1 @2 R (t;T ) = ¡ (T ¡ t) 2 < 0; 3 @¾2 es decir, R (t;T ) es una funci¶o n c¶o ncava tanto del plazo, T , como de la volatilidad, ¾ . Claramente, el m¶aximo de R (t;T ) se alcanza en T = t + (3b= 2¾ 2 ) . Observe, por u¶ ltimo, que lim R (t;T ) = R (t;1 ) = ¡ 1 :
T! 1
La Gr¶a¯ca 45.3 muestra, en resumen, el comportamiento de la estructura de plazos de la tasa de inter¶e s R (t;T ) . La Gr¶a¯ca 45.4 muestra la curva de rendimiento, R (0;T ) , en funci¶o n de b y r t , con T = 0:1 y ¾ = 0:1. La Gr¶a¯ca 45.5 muestra la curva de rendimiento, R (0;T ) , en funci¶o n de T y r t , con b = 0:1 y ¾ = 0:1.
Gr¶a¯ca 45.3 Curva de rendimiento del modelo de tasa corta de Merton.
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4 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e M erto n ...
Gr¶a¯ca 45.4 Curva de rendimiento en funci¶o n de b y r t .
Gr¶a¯ca 45.5 Curva de rendimiento en funci¶o n de T y r t .
4 5 .6 D in ¶a m ic a d e la ta sa fo rw a rd A continuaci¶o n se examina la din¶amica de la tasa forward instant¶anea, asociada al modelo de Merton. La tasa forward se calcula a trav¶e s de la siguiente ecuaci¶o n: f (t;T ) = ¡
@ ln B (t;T ) : @T
En este caso, se sigue que f (t;T ) = r t + b(T ¡ t) ¡
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¾ 2 (T ¡ t) 2
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y @ @2 f (t;T ) = ¡ ln B (t;T ) = b ¡ ¾ 2 (T ¡ t) < 0: @T @T 2 Es decir, la tasa forward es una par¶abola que abre hacia abajo y es una funci¶o n decreciente para T > t + (b= ¾ 2 ) . Por u¶ ltimo, observe que lim f (t;T ) = f (t;1 ) = ¡ 1 ;
T! 1
el cual es un resultado esperado, ya que f (t;T ) es decreciente para valores grandes de T .
Gr¶a¯ca 45.6 Tasa forward asociada al modelo de Merton.
4 5 .7 D e te rm in a c i¶o n d e l p re c io d e u n b o n o m e d ia n te e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s p a rc ia le s En esta secci¶o n, baj o el supuesto de tasa corta neutral al riesgo, se obtiene el precio del bono cup¶o n cero mediante la soluci¶o n de una ecuaci¶o n diferencial parcial, de segundo orden y parab¶o lica. As¶³ pues, baj o el supuesto de tasa corta neutral al riesgo se tiene: @B @ 2B @B + 21 ¾ 2 2 + b ¡ r t B = 0: @t @ rt @ rt
(45:16)
La condici¶o n ¯nal corresponde al pago en el vencimiento, B (r t ;T ; T ) = 1. Las condiciones de frontera dependen de b, ¾ y r t . Dado que la expresi¶o n anterior no cuenta con derivadas parciales cruzadas, se supone una soluci¶o n en variables separables: B (r t ;t; T ) = e A
(t;T )¡ r t (T ¡ t)
:
(45:17)
Observe que A (T ;T ) = 0. Al derivar parcialmente B en (45.17) , con respecto de t y r t , se sigue que: μ ¶ @B @A = + rt B ; @t @t @B = ¡ (T ¡ t) B ; @ rt @ 2B = (T ¡ t) 2 B : @ r t2 Despu¶e s de sustituir las ecuaciones anteriores en (45.16) , se tiene que: @A = b(T ¡ t) ¡ @t
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¾ 2 (T ¡ t) 2 :
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4 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e M erto n ...
La soluci¶o n de esta ecuaci¶o n diferencial ordinaria, con condici¶o n ¯nal A (T ;T ) = 0, est¶a dada por A (t;T ) =
Zt T
=¡
1 2
¡ b(T ¡ t) ¡ 2
1 2 1 6
¢ ¾ 2 (T ¡ t) 2 dt 2
(45:19)
3
b(T ¡ t) + ¾ (T ¡ t) ;
resultado que, como era de esperarse, coincide con (45.14) . Vale la pena se~n alar que la selecci¶o n de una soluci¶o n de la forma (45.17) permiti¶o transformar una ecuaci¶o n diferencial parcial de segundo orden, dada en (45.16) , en una ecuaci¶o n diferencial ordinaria de primer orden, especi¯cada en (45.18) .
4 5 .8 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Merton, R. C. (1973) . \Theory of Rational Option Pricing" . B ell J o u rn a l o f E co n o m ics a n d M a n a gem en t S cien ce, Vol. 4, No. 1, pp. 141-183. Vasicek, O. (1977) . \An Equilibrium Characterization of the Term Structure" . J o u rn a l o f F in a n cia l E co n o m ics, Vol. 5, No. 2, pp. 177-188. Venegas-Mart¶³nez, F. y B. Gonz¶alez-Ar¶e chiga (2002) . \Cobertura de tasas de inter¶e s con futuros del mercado mexicano de derivados: un modelo estoc¶astico de duraci¶o n y convexidad" . E l T rim estre E co n ¶o m ico , Vol. 59(2) , No. 274, pp. 227-250.
4 5 .9 E je rc ic io s 4 5 .1 Veri¯que que las funciones B (t;T ) , R (t;T ) y f (t;T ) que se obtuvieron del modelo de Merton satisfacen las siguientes identidades: f (t;T ) = R (t;T ) + (T ¡ t) y
@ R (t;T ) @T
( Z ) T B (t;T ) = exp ¡ f (t;s ) ds : t
>Puede probar estas identidades? 4 5 .2 La sensibilidad del precio del bono B = B (r t ;t; T ) con respecto a la tasa corta est¶a dada por la cantidad @B : @ rt La duraci¶o n (de Macaulay) del precio del bono se de¯ne como ° (t;T ) = ¡
@B 1 : @ rt B
Asimismo, la convexidad de B se de¯ne como ³ (t;T ) =
@° 1 @ 2B 1 = : @ rt B @ r t2 B
De esta manera, se tiene una aproximaci¶o n en serie de Taylor del precio del bono hasta el t¶e rmino de segundo orden dada por: μ ¶ dB 1 @B 1 @ 2B ¼ dr t + 12 (dr t ) 2 B B @ rt B @ r t2 = ¡ ° (t;T ) dr t + 12 ³ (t;T ) (dr t ) 2 :
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4 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e M erto n ...
Demuestre que en el caso del modelo de Merton ° (t;T ) = T ¡ t
y
³ (t;T ) = (T ¡ t) 2 :
Es decir, ° (t;T ) proporciona el tiempo medio entre pagos y ³ (t;T ) la dispersi¶o n del tiempo entre pagos alrededor de la duraci¶o n. 4 5 .3 Considere una versi¶o n del modelo de Merton en donde dr t = b t dt + ¾ t dW t ; con b t y ¾ t funciones conocidas del tiempo. Determine B = B (r t ;t; T ) y R (t;T ) . Suponga, en particular, que bt = a + ¹ t y ¾ t = ¾ 0 e ¡ ± t; donde a ;¹ 2 IR y ¾ 0 ;± > 0 son constantes conocidas. Encuentre B = B (r t ;t; T ) y R (t;T ) y examine su comportamiento. 4 5 .4 Demuestre que si se tienen N + 1 observaciones r t0 ;r t1 ;r t2 ;:::;r tN de la tasa corta, entonces los estimadores de m¶axima verosimilitud de b y ¾ 2 en el modelo de Merton son, respectivamente, N 1 X b b= ¢r ti N i= 1 y N ´2 1 X ³ ¾c2 = ¢r ti ¡ b b ; N i= 1
donde ¢r ti = r ti ¡ r ti¡ 1 : 4 5 .5 Considere la ecuaci¶o n diferencial parcial del comportamiento del precio de un bono cup¶o n cero asociado al modelo de Merton @B @ 2B @B + 21 ¾ 2 2 + (b ¡ ¸ (r t ;t) ¾ ) ¡ r t B = 0; @t @r @ rt donde ¸ = ¸ (r t ;t) representa el precio de mercado del riesgo. Demuestre que en este caso ½ ¾ b + ¸¾ ¾2 B (r t ;t; T ) = exp ¡ r t (T ¡ t) ¡ (T ¡ t) 2 + (T ¡ t) 3 2 6 y R (t;T ) = r t +
b+ ¸¾ ¾2 (T ¡ t) ¡ (T ¡ t) 2 : 2 6
4 5 .6 Extienda el modelo de Merton de la siguiente forma. Suponga que la din¶amica de la tasa corta est¶a dada por dr t = b t dt + ¾ dW t ; con
bt = b0 e ® t
donde b 0 ; ® > 0 son constantes conocidas. Determine el precio de un bono cup¶o n cero que se coloca en t y paga una unidad monetaria en el vencimiento T . Obtenga tambi¶e n la curva de ceros (o curva de rendimiento) . S o lu ci¶o n : Observe que si s > t Zs rs ¡ rt = b u du + ¾ (W s ¡ W t ) : t
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4 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e M erto n ...
De esta manera, I (t;T ) = r t (T ¡ t) +
Z T μZ s t
®u
b0 e
du + ¾ (W
¡ W t)
s
t
¶
ds :
Posteriormente, proceda como en la secci¶o n 45.3. 4 5 .7 Resuelva el problema anterior con b t = ® + ¯ t:
4 5 .8 Demuestre, con base en el modelo de Merton, que h @B = E ¡ e¡ @T y
" @ 2B = E e¡ @T 2
I (t;T )
Ã
r t2
I (t;T )
(r t + b(T ¡ t) + ¾ (W
2
+ ¾ (T ¡ t) + 2b
ZT
T
¯ ¯ ¡ W t ) ) ¯F ZT
r s ds + 2¾
t
r s dW
t
S o lu ci¶o n : Es su¯ciente calcular
¯ i h @B ¯ = E ¡ e ¡ I (t;T ) r T ¯F t ; @T ¯ · ¯ @ 2B ¡ I (t;T ) 2 ¡ I (t;T ) @ r T ¯ =E e rT ¡ e F @T 2 @T ¯ r T = r t + b(T ¡ t) + ¾ (W
T
t
o
t
s
!¯ # ¯ ¯ ¡ b ¯F t : ¯
¸ ;
¡ W t)
y @ rT = b: @T Posteriormente, utilice el lema de It^o para calcular r T2 . Concluya que ¡ ¢ dr s2 = 2r u b + ¾ 2 du + 2r u ¾ dW es decir, r T2 = r t2 + ¾ 2 (T ¡ t) + 2b
ZT
r s ds + 2¾
t
u
;
ZT
r s dW
s:
t
4 5 .9 Con base en el problema anterior pruebe que ¯ @ 2B ¯ ¯ = r t ¡ b: @ T 2 ¯T = t
4 5 .1 0 Demuestre que si B (t;T ) = e ¡ @ 2B = B (t;T ) @T 2 En este caso,
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"μ
R (t;T )(T ¡ t)
, entonces
@R (T ¡ t) + R (t;T ) @T
¶2
¯ @ 2B ¯ ¯ = r t2 ¡ 2 @ R @ T 2 ¯T = t @T
@ 2R @R ¡ (T ¡ t) ¡ 2 @T 2 @T ¯ ¯ ¯ ¯
#
:
:
T= t
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4 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e M erto n ...
Concluya, utilizando el problema anterior que ¯ @R ¯ ¯ = 1 b: 2 @ T ¯T = t Obtenga este u¶ ltimo resultado directamente a partir de (45.15) >Cu¶al es la interpretaci¶o n de este resultado? 4 5 .1 1 Demuestre, en el modelo de Merton, que B (t;T + h ) ¡ B (t;T ) h ¡ ¼ E e ¡ I (t;T ) ¡ r T (T ¡ t + h ) +
1 2
¡2 ¢¯ ¢ ¯ r T ¡ b (T ¡ t + h ) 2 ¯F
t
i :
S o lu ci¶o n : Observe primero que la expansi¶o n en serie de Taylor de B (t;T + h ) hasta el t¶e rmino de segundo orden conduce a B (t;T + h ) ¡ B (t;T ) ¼
@B (T ¡ t + h ) + @T
@ 2B (T ¡ t + h ) 2 : @T 2
1 2
La primera y segunda derivadas parciales de B con respecto de T satisfacen h @B = E ¡ e¡ @T y
h @ 2B = E e¡ @T 2
I (t;T )
I (t;T )
¯ ¯ r T ¯F
t
i
¡2 ¢¯ ¯ r T ¡ b ¯F
t
i :
4 5 .1 2 Resuelva la ecuaci¶o n diferencial parcial @B @ 2B @B + 12 ¾ 2 2 + b ¡ r tB = 0 @t @ rt @ rt con condici¶o n ¯nal B (r t ;T ; T ) = 1 baj o el supuesto de que el precio del bono satisface B (r t ;t; T ) = e A
(t;T )¡ r t C (t;T )
;
donde A (t;T ) y C (t;T ) son funciones por determinar con condiciones ¯nales A (T ;T ) = C (t;T ) = 0:
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.
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C A P ¶IT U L O 46 M O D E L O D E T A S A C O R T A D E V A S IC E K P A R A V A L U A R B O N O S (I) C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ²
Modelos de equilibrio general para valuaci¶o n de bonos Ecuaci¶o n diferencial parcial del precio de un bono cup¶o n cero Curva de rendimiento Tasa forward Estimaci¶o n de par¶ametros
4 6 .1 In tr o d u c c i¶o n Oldrich Alfons Vasicek, de nacionalidad checa, fue fundador de la empresa KMV y actualmente es asesor de Moody's KMV. Tambi¶e n fue vice-presidente del Departamento de Ciencias Administrativas del banco \Wells Fargo" . Vasicek ha sido profesor de ¯nanzas en la Universidad de Rochester, la Universidad de California en Berkeley y en la \Ecole Sup¶e rieure des Sciences Economiques et Commerciales" (ESSEC) en Francia. El profesor Vasicek se dedica a las matem¶aticas ¯nancieras, particularmente al desarrollo de modelos de valuaci¶o n de empresas, valuaci¶o n de instrumentos ¯nancieros y an¶alisis de mercados ¯nancieros. El profesor Vasicek ha publicado m¶as de 30 art¶³culos en \Journals" ¯nancieros y matem¶aticos y ha recibido varios premios y reconocimientos por su destacada labor acad¶e mica. Su modelo de equilibrio para determinar la estructura de plazos de la tasa de inter¶e s (\An Equilibrium Characterization of the Term Structure" ) , publicado en 1977, es reconocido generalmente como pionero en la teor¶³a de tasas de inter¶e s en tiempo continuo. En el art¶³culo original de Vasicek (1977) se obtiene una estructura de plazos de la tasa de inter¶e s bajo los siguientes supuestos: 1) la tasa instant¶anea de inter¶e s sigue un proceso de difusi¶o n; 2) el precio de un bono cup¶o n cero depende solamente de la tasa corta y de su vigencia (periodo entre colocaci¶o n y vencimiento) ; y 3) no hay costos de transacci¶o n. Asimismo, mediante argumentos de arbitraj e se obtiene una ecuaci¶o n diferencial cuya soluci¶o n es el precio de un bono cup¶o n cero. Una de las contribuciones m¶as importantes del trabaj o de Vasicek es la determinaci¶o n de una ecuaci¶o n diferencial parcial parab¶o lica que caracteriza el precio de un bono cup¶o n cero en ausencia de oportunidades de arbitraj e. Baj o el supuesto de que la tasa instant¶anea de inter¶e s es conducida por un proceso de difusi¶o n, el lema de It^o y argumentos de arbitraje desempe~n an un papel fundamental en la obtenci¶o n de dicha ecuaci¶o n diferencial parcial.
4 6 .2 S u p u e sto s d e l m o d e lo Considere un mercado en donde los inversionistas compran y emiten promesas del pago de una unidad monetaria en el futuro, libres de riesgo cr¶e dito, que se compran a descuento. Estas promesas ser¶an llamadas bonos cup¶o n cero. Sea B (t;T ) el precio en el tiempo t de un bono que se compra a descuento con vencimiento en el tiempo T , T > t, y que paga una unidad monetaria al vencimiento, es decir B (T ;T ) = 1: (46:1) El rendimiento al vencimiento o estructura de plazos o curva de rendimiento o, simplemente, curva de ceros, en el tiempo t de un bono con vencimiento T , est¶a dada por R (t;T ) = ¡
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1 ln B (t;T ) ; T ¡ t
T > t:
(46:2)
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496
4 6 . M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek (I)
La tasa forward instant¶anea f (t;T ) es de¯nida por la siguiente ecuaci¶o n: 1 R (t;T ) = T ¡ t
ZT
f (t;s ) ds :
(46:3)
t
Equivalentemente, @ [(T ¡ t) R (t;T ) ] : (46:4) @T La tasa de inter¶e s instant¶anea o tasa de inter¶e s \spot" o, simplemente, tasa corta a la que los agentes pueden prestar o pedir prestado es f (t;T ) =
r t = R (t;t) = lim R (t;T )
(46:5)
r t = f (t;t) = lim f (t;T ) :
(46:6)
T ! t
¶o T ! t
Un cr¶e dito de monto M
t
a la tasa spot r t , aumentar¶a su valor, durante el instante dt, en dM
t
=M
t
r t dt:
(46:7)
Esta ecuaci¶o n es v¶alida con toda certeza en t, ya que r t es conocida en t. Sin embargo, despu¶e s de t el nivel de la tasa corta es incierto. En otras palabras r t es un proceso estoc¶astico, sujeto a dos requerimientos. Primero, r t es una funci¶o n continua del tiempo. Segundo, se supone que r t sigue un proceso Markoviano. Bajo este u ¶ ltimo supuesto, el comportamiento futuro de la tasa corta, dado su valor actual, es independiente del pasado. En otras palabras, la distribuci¶o n de r t+ u dado r s , s · u , s¶o lo depende de la informaci¶o n disponible en el tiempo u , es decir, s¶o lo depende del valor de r u . Los procesos que son continuos y Markovianos son llamados procesos de difusi¶o n. Estos procesos pueden ser descritos a trav¶e s de una ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica de la forma: dr t = ® (r t ;t) dt + ¯ (r t ;t) dW t ;
(46:8)
donde f W t g 0 · t· T es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad equipado con una ¯ltraci¶o n ( ;F ;f F t g t¸ 0 ;IP) . Las funciones ® (r;t) y ¯ 2 (r;t) son conocidas como la tendencia y la varianza instant¶aneas, respectivamente, del proceso r t . Asimismo, se supone que no existen costos de transacci¶o n, la informaci¶o n est¶a disponible para todos los agentes de forma simult¶anea, todos los inversionistas act¶u an de forma racional (pre¯eren m¶as riqueza que menos y utilizan toda la informaci¶o n disponible) , todos los inversionistas tienen expectativas homog¶e neas y el mercado est¶a en equilibrio, es decir, no hay oportunidades de arbitraj e. El precio del bono cup¶o n cero que se coloca en t y que al vencimiento T paga una unidad monetaria se denotar¶a mediante B = B (r t ;t; T ) , o en forma m¶as simple como B = B (t;T ) cuando no sea necesario destacar la dependencia con la tasa corta. As¶³, la tasa corta es la u¶ nica variable de estado de la estructura de plazos.
4 6 .3 E str u c tu ra d e p la z o s A partir de la ecuaci¶o n (46.8) y del hecho que B = B (r t ;t; T ) , se sigue del lema de It^o dB = B ¹ (r t ;t; T ) dt + B ¾ (r t ;t;T ) dW t ; donde 1 ¹ (r t ;t; T ) = B
μ
@B @ 2B @B +® + 12 ¯ 2 2 @ rt @t @ rt
¶
(46:9)
(46:10)
y ¾ (r t ;t; T ) =
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¯ @B : B @ rt
(46:11)
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497
4 6 . M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek (I)
Considere ahora un inversionista que al tiempo t emite una cantidad w 1 de bonos con fecha de vencimiento T 1 y precio B 1 , y simult¶aneamente compra una cantidad w 2 de bonos con vencimiento T 2 y precio B 2 . Considere el valor del portafolio ¦ t = w 2 B 2 ¡ w 1 B 1 . Si se denota W 1 = w 1 B 1 y W 2 = w 2 B 2 el lema de It^o conduce a d¦ t = (W
2¹
(r t ;t; T 2 ) ¡ W
Suponga que las cantidades W
1¹
(r t ;t; T 1 ) ) dt + (W
1 ;W 2
2¾
(r t ;t; T 2 ) ¡ W
1¾
(r t ;t; T 1 ) ) dW t :
(46:12)
se seleccionan de tal forma que
W
1
=
M t ¾ (r t ;t; T 2 ) ¾ (r t ;t; T 1 ) ¡ ¾ (r t ;t; T 2 )
W
2
=
M t ¾ (r t ;t; T 1 ) : ¾ (r t ;t; T 1 ) ¡ ¾ (r t ;t; T 2 )
y
En consecuencia, el segundo t¶e rmino en (46.12) , que modela el riesgo de mercado, es cero. Por lo tanto, la ecuaci¶o n (46.12) toma la forma d¦ t = M
t
μ
¹ (r t ;t; T 2 ) ¾ (r t ;t; T 1 ) ¡ ¹ (r t ;t; T 1 ) ¾ (r t ;t; T 2 ) ¾ (r t ;t; T 1 ) ¡ ¾ (r t ;t; T 2 )
¶
dt:
(46:13)
De esta manera, el portafolio es libre de riesgo. Si los mercados est¶an en equilibrio, el portafolio deber¶³a producir el mismo rendimiento que el que se obtiene por hacer un pr¶e stamo a la tasa r t . Si el rendimiento del portafolio fuera mayor, el portafolio puede ser comprado con fondos prestados a la tasa r t , en caso contrario el portafolio es vendido y las ganancias son prestadas, lo que produce oportunidades de arbitraj e. Al comparar las ecuaciones (46.7) y (46.13) , se sigue que: ¹ (r t ;t; T 2 ) ¾ (r t ;t; T 1 ) ¡ ¹ (r t ;t; T 1 ) ¾ (r t ;t; T 2 ) = rt ¾ (r t ;t; T 1 ) ¡ ¾ (r t ;t; T 2 ) ¶o
¹ (r t ;t; T 2 ) ¡ r t ¹ (r t ;t; T 1 ) ¡ r t = : ¾ (r t ;t; T 1 ) ¾ (r t ;t; T 2 )
(46:14)
Observe que los cocientes en cada lado de la ecuaci¶o n (46.14) son iguales para fechas de vencimiento arbitrarias T 1 y T 2 , se sigue que la raz¶o n (¹ (r t ;t; T ) ¡ r t ) = ¾ (r t ;t; T ) es independiente de T . Sea ¸ (r t ;t) el valor com¶u n de tal raz¶o n, entonces ¸ (r t ;t) =
¹ (r t ;t; T ) ¡ r t ; ¾ (r t ;t; T )
T ¸ t:
(46:15)
La cantidad ¸ (r t ;t) es llamada el precio de riesgo mercado, es decir, el valor que el mercado asigna al riesgo. La cantidad ¸ (r t ;t) tambi¶e n puede interpretarse como el rendimiento adicional, por la exposici¶o n al riesgo, por unidad de riesgo. La ecuaci¶o n (46.15) se puede reescribir como ¹ (r t ;t; T ) ¡ r t = ¸ (r t ;t) ¾ (r t ;t; T ) :
(46:16)
Si se sustituyen la ecuaciones (46.10) y (46.11) en (46.16) , se tiene que @B @B @ 2B + [® (r t ;t) ¡ ¸ (r t ;t) ¯ (r t ;t) ] + 12 ¯ 2 (r t ;t) 2 ¡ r t B = 0; @ rt @t @ rt
t· T;
(46:17)
j unto con la condici¶o n ¯nal B (r t ;T ;T ) = 1: Esta ecuaci¶o n permite valuar bonos descontados en un mercado caracterizado por los supuestos establecidos en la secci¶o n 46.2. Una vez que la forma de la din¶amica estoc¶astica de la tasa spot r t , expresada en (46.8) , ha sido determinada y el precio de riesgo mercado ha sido especi¯cado ¸ (r t ;t) , dada en la ecuaci¶o n (46.15) , el precio del bono,
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4 6 . M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek (I)
asociado a la din¶amica de r t , es obtenido como soluci¶o n de la ecuaci¶o n (46.17) . Posteriormente, la estructura de plazos R (t;T ) de las tasas de inter¶e s es calculada mediante R (t;T ) = ¡
1 ln B (t;T ) : T ¡ t
(46:18)
4 6 .4 R e p r e se n ta c i¶o n e sto c ¶a stic a d e l p re c io d e l b o n o La soluci¶o n a la ecuaci¶o n diferencial parcial (46.17) puede ser representada en forma integral como " ( Z ) ¯ # ZT ZT ¯ T ¯ 2 1 B (t;T ) = E exp ¡ r s ds ¡ 2 ¸ (r s ;s ) ds ¡ ¸ (r s ;s ) dW s ¯F t : (46:19) ¯ t t t
Para veri¯car que la ecuaci¶o n (46.19) satisface (46.17) , de¯na ¾ ½ Zu Zu Zu r s ds ¡ 12 ¸ 2 (r s ;s ) ds ¡ ¸ (r s ;s ) dW s ; Y (W u ;u ) = exp ¡ t
t
t
entonces el lema de It^o conduce a ¶ μ 2 @Y @Y 1 @ Y + 2 du + dW u dY = @ W u2 @u @W u ¢ ¡ =Y ¡ r u ¡ 12 ¸ 2 + 12 ¸ 2 du ¡ Y ¸ dW = ¡ Y r u du ¡ Y ¸ dW
u
u:
Los c¶alculos en la segunda igualdad se pueden obtener de manera sencilla si se utiliza directamente la de¯nici¶o n de integral estoc¶astica en el t¶e rmino que contiene al movimiento Browniano. Si ahora se aplica el lema de It^o al producto B (r u ;u ; T ) Y (W u ;u ) = B (u ;T ) Y (W u ;u ) , se tiene el siguiente resultado: d(B Y ) = Y dB + B dY + dB dY ¶ μ @B @B @ 2B @B +® + 12 ¯ 2 2 du + Y ¯ dW u + B Y (¡ ¸ dW u ¡ r u du ) =Y @ ru @u @ ru @ ru @B ¯ ¸ du ¡ Y @r ¶ μ u 2 @B @B @B 1 2@ B + (® ¡ ¸ ¯ ) + 2¯ ¡ r u B du ¡ B Y ¸ dW u + Y ¯ dW =Y @ r u2 @u @ ru @ ru @B = ¡ B Y ¸ dW u + Y ¯ dW u @ ru μ ¶ @B = ¡ B Y ¸ +Y ¯ dW u : @ ru
u
Si se integra la expresi¶o n anterior de t a T y se toma la esperanza se obtiene E [B (T ;T ) Y (T ) ¡ B (t;T ) Y (t) j F t ] = 0: Pero, B (T ;T ) = 1. Por lo tanto, E [B (t;T ) Y (t) j F t ] = E [Y (T ) j F t ] ¶o E [B (t;T ) j F t ] = E
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· Y (T ) Y (t)
¯ ¸ ¯ ¯F t ; ¯
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4 6 . M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek (I)
lo que conduce, inmediatamente, a la ecuaci¶o n (46.19) . En el caso especial en que ¸ ´ 0; se sigue que t· T ¹ (r t ;t; T ) = r t ; y
"
( Z ) T B (t;T ) = E exp ¡ r s ds
¯ # ¯ ¯F t : ¯
t
(46:20)
Se puede dar una interpretaci¶o n econ¶o mica de la ecuaci¶o n (46.19) . Para ello, construya un portafolio consistente de un bono cuyo vencimiento tiende a in¯nito y preste o pida prestado a la tasa corta, con proporciones ° (r t ;t; 1 ) y 1 ¡ ° (r t ;t; 1 ) , respectivamente, donde: ° (r t ;t) =
¹ (r t ;t; 1 ) ¡ r t : ¾ 2 (r t ;t; 1 )
El valor P t de este portafolio sigue la ecuaci¶o n: dB + (1 ¡ ° (r t ;t; 1 ) ) P t r t dt B =° (r t ;t; 1 ) P t [¹ (r t ;t; 1 ) dt + ¾ (r t ;t; 1 ) dW t ] + (1 ¡ ° (r t ;t; 1 ) ) P t r t dt:
dP t =° (r t ;t; 1 ) P t
Esta ecuaci¶o n puede integrarse calculando la diferencial estoc¶astica de ln(P t ) y utilizando el hecho que ° (r t ;t; 1 ) ¾ (r t ;t; 1 ) = ¸ (r t ;t) . Esto conduce al siguiente resultado: d(ln(P t ) ) = ° (r t ;t; 1 ) ¹ (r t ;t; 1 ) dt + ° (r t ;t; 1 ) ¾ (r t ;t; 1 ) dW ¡
1 2
2
t
2
° (r t ;t; 1 ) ¾ (r t ;t; 1 ) dt
= r t dt + 12 ¸ 2 (r t ;t) dt + ¸ (r t ;t) dW
+ (1 ¡ ° (r t ;t; 1 ) ) r t dt
t
y consecuentemente: Pt = exp PT
( Z T ¡ r s ds ¡ t
1 2
ZT t
¸ 2 (r s ;s ) ds ¡
ZT
¸ (r s ;s ) dW
s
)
:
t
As¶³, la ecuaci¶o n (46.19) puede reescribirse como: B (r t ;t; T ) = E
· Pt PT
¯ ¸ ¯ ¯F t ; ¯
t· T:
(46:21)
La ecuaci¶o n anterior establece que el precio de cualquier bono medido en unidades del valor del portafolio P t sigue una martingala, es decir, ¯ ¸ · B (r t ;T ; T ) ¯ ¯F t = B (r t ;t; T ) : E ¯ PT Pt En otras palabras, el mejor pron¶o stico de la raz¶o n entre el precio del bono y el portafolio es el valor actual de dicha raz¶o n.
4 6 .5 B ib lio g r a f¶³a su g e rid a Merton, R. C. (1973) . \An Intertemporal Capital Asset Pricing Model" . E co n o m etrica , Vol. 41, No. 5, pp. 867-887. Merton, R. C. (1974) . \On the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates" . J o u rn a l o f F in a n ce, Vol. 29, No. 2, pp. 449-470. Vasicek, O. (1977) . \An Equilibrium Characterization of the Term Structure" . J o u rn a l o f F in a n cia l E co n o m ics, Vol. 5, No. 2, pp. 177-188.
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4 6 . M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek (I)
4 6 .6 E je r c ic io s 4 6 .1 En la pr¶actica se requiere conocer la tendencia y la volatilidad, ® y ¯ , del proceso de la tasa corta, as¶³ como el precio de mercado del riesgo, ¸ . Las primeras dos cantidades pueden obtenerse a partir del an¶alisis estad¶³stico del proceso (observable) r t . Aunque ¸ puede ser estimado a partir de (46.15) , es deseable contar con al menos una forma m¶as directa de observar emp¶³ricamente ¸ . En cuyo caso, puede emplearse la siguiente igualdad: ¯ @R ¯ ¯ = @ T ¯T = t
1 2
[® (r t ;t) + ¸ (r t ;t) ¯ (r t ;t) ] :
De esta manera, si las funciones ® (r t ;t) y ¯ (r t ;t) son conocidas, entonces ¸ (r t ;t) puede determinarse a partir de la pendiente en el origen de la curva de rendimiento. Demuestre la ecuaci¶o n anterior derivando parcialmente dos veces la ecuaci¶o n (46.19) con respecto de T , as¶³ ¯ @ 2B ¯ ¯ = r t2 ¡ ® (t;r t ) ¡ ¸ (t;r t ) ¯ (t;r t ) : @ T 2 ¯T = t Por otro lado, a partir de (46.2) ,
¯ @ 2B ¯ ¯ = r t2 ¡ 2 @ R @ s 2 ¯T = t @T
¯ ¯ ¯ ¯
:
T= t
4 6 .2 En este ej ercicio se trata un caso espec¶³¯co, el cual es conocido en la literatura como el modelo de tasa corta de Vasicek. Suponga que ¸ (r t ;t) ´ ¸ . Asimismo, suponga que la tasa corta r t sigue un proceso de Ornstein-Uhlenbeck de la forma: dr t = a (b ¡ r t ) dt + ¾ dW t ; donde a , b y ¾ > 0. Esta forma funcional del proceso de la tasa corta ha sido propuesta por Merton (1971) . El proceso Ornstein-Uhlenbeck es algunas veces llamado caminata aleatoria el¶astica, el cual es un proceso de Markov con incrementos normalmente distribuidos. En contraste con la caminata aleatoria (el proceso de Wiener o movimiento Browniano, el cual es un proceso inestable que despu¶e s de un largo tiempo diverge a valores in¯nitos, el proceso Ornstein-Uhlenbeck posee una distribuci¶o n estacionaria. El t¶e rmino de tendencia a (b ¡ r t ) representa una fuerza que jala al proceso hacia su media de largo plazo b. La componente estoc¶astica, ¾ dW t , la cual tiene una varianza instant¶anea constante ¾ 2 , hace que el proceso °uct¶u e, continuamente, alrededor del nivel de largo plazo b en una forma err¶atica. Demuestre que la esperanza y varianza, condicionales, del proceso dado el nivel actual r t son, respectivamente. E [r T jr t ] = b + (r t ¡ b) e ¡ y Var[r T jr t ] =
¾2 ³ 1 ¡ e¡ 2a
a (T ¡ t)
2 ® (T ¡ t)
;
´ ;
t· T t· T:
4 6 .3 Evidentemente, el proceso dado en el ej ercicio anterior no representa la mej or descripci¶o n del comportamiento de la tasa corta. Esta especi¯caci¶o n s¶o lo sirve como un ej emplo para ilustrar la teor¶³a desarrollada en este cap¶³tulo. Demuestre, utilizando la tasa corta del ej ercicio anterior, que el precio del bono cup¶o n cero est¶a dado por: B (t;T ) = exp
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½ ³ ´ 1 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) (R (t;1 ) ¡ r ) ¡ R (t;1 ) (T ¡ t) a ´2 ¾ ¾2 ³ ¡ a (T ¡ t) ¡ 1 ¡ e 4a 3
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4 6 . M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek (I)
donde R (t;1 ) = b +
¾2 ¸¾ ¡ : a 2a 2
4 6 .4 Con base en el problema anterior, demuestre que la media ¹ (r t ;t; T ) y la desviaci¶o n est¶andar ¾ (t;T ; T ) del rendimiento instant¶aneo de un bono cup¶o n cero con vencimiento en T , de¯nidas en las ecuaciones (46.10) y (46.11) , satisfacen ¹ (r t ;t; T ) = r t +
¸¾ ³ 1 ¡ e¡ a
® (T ¡ t)
´
y
´ ¾ ³ 1 ¡ e ¡ ® (T ¡ t) a v¶alidas para t · T . Se observa que entre m¶as grande sea el plazo del bono, mayor es la varianza del rendimiento del bono. Para un plazo muy grande, es decir, cuando T ! 1 , la media y la desviaci¶o n est¶andar se acercan a los l¶³mites ¾ (r t ;t; T ) =
¹ (r t ;t; 1 ) = r t +
¸¾ a
¾ (r t ;t; 1 ) =
y
¾ : a
4 6 .5 Con respecto al problema anterior demuestre que la estructura de plazos de la tasa de inter¶e s tiene la siguiente forma: ³ 1 1 ¡ e¡ a (T ¡ t) ´2 ³ 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) :
R (t;T ) =R (t;1 ) + (r t ¡ R (t;1 ) ) +
¾2 4a 3 (T
¡ t)
a (T ¡ t)
´
4 6 .6 El premio de liquidez inducido por la estructura de plazos del problema anterior se de¯ne como ¼ (t;T ) = f (t;T ) ¡ E[r T ] . Demuestre que si la tasa corta es conducida por el proceso del ejercicio 46.2, entonces ³ ¾ ¼ (t;T ) = R (t;1 ) ¡ b + 2 e ¡ 2a
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a (T ¡ t)
´³ 1 ¡ e¡
a (T ¡ t)
´ :
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.
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C A P ¶IT U L O 47 M O D E L O D E T A S A C O R T A D E V A S IC E K (II): E N F O Q U E D E E C U A C IO N E S D IF E R E N C IA L E S P A R C IA L E S C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ² ²
Modelos de equilibrio general para valuaci¶o n de bonos cup¶o n cero Ecuaci¶o n diferencial parcial del precio de un bono cup¶o n cero Curva de rendimiento Tasa forward Estimaci¶o n de par¶ametros ¶ Arboles binomiales
4 7 .1 In tro d u c c i¶o n El art¶³culo de Oldrich Alfons Vasicek, \An Equilibrium Characterization of the Term Structure" , publicado en 1977, representa una de las contribuciones m¶as importantes a la teor¶³a de tasas de inter¶e s en tiempo continuo. En este cap¶³tulo se desarrolla una ecuaci¶o n diferencial parab¶o lica que caracteriza el precio de un bono cup¶o n cero cuando la tasa corta es conducida por un proceso Markoviano de difusi¶o n y el mundo es neutral al riesgo. Un aspecto curioso relacionado con el art¶³culo de Vasicek es que en la u¶ ltima secci¶o n de su trabajo se analiza un ej emplo espec¶³¯co para ilustrar c¶o mo se obtiene el precio de un bono cup¶o n cero mediante el uso de ecuaciones diferenciales parciales. Lo sorprendente es que el nombre de Vasicek ha sido asociado m¶as con el ejemplo que present¶o en su investigaci¶o n que con toda la teor¶³a desarrollada a lo largo del art¶³culo. Este ej emplo particular describe la din¶amica estoc¶astica de una tasa de inter¶e s instant¶anea que presenta reversi¶o n a la media. En dicho ej emplo, el movimiento Browniano desempe~n a un papel fundamental en el modelado del riesgo de mercado. En el presente cap¶³tulo se obtiene el precio de un bono cup¶o n cero como soluci¶o n de una ecuaci¶o n diferencial parcial parab¶o lica. Posteriormente, a partir de los precios del bono, con diferentes vencimientos, se genera la estructura de plazos de la tasa de inter¶e s, es decir, se determina la tasa de inter¶e s a todos los plazos. En este caso, la curva de rendimiento es funci¶o n de la tasa corta, del periodo de maduraci¶o n y de los par¶ametros del modelo.
4 7 .2 F u n d a m e n to s d e l m o d e lo d e V a sic e k En el modelo de Vasicek (1977) se estudia, como caso particular, la din¶amica de una tasa corta que presenta reversi¶o n a la media hacia un valor constante. Este comportamiento se observa, en muchos casos, cuando se analizan series de tiempo de tasas de corto plazo. A continuaci¶o n se formaliza la noci¶o n de reversi¶o n a la media a trav¶e s de un proceso de Ornstein-Uhlenbeck. Sea f W t g t¸ 0 un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad ( ;F ;IP) y sea IF = f F t g t¸ 0 su ¯ltraci¶o n aumentada, la cual representa la informaci¶o n del mercado disponible hasta el tiempo t. En el modelo de Vasicek, la tasa corta, r t es conducida por la siguiente ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica: dr t = a (b ¡ r t ) dt + ¾ dW t ;
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(47:1)
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4 7 . M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek (II): en fo q u e d e ecu a cio n es d iferen cia les p a rcia les
donde a ; b y ¾ son constantes positivas y conocidas. En este caso, como puede observarse, W t es la u¶ nica fuente de incertidumbre. En la especi¯caci¶o n ex¶o gena de la din¶amica estoc¶astica de la tasa corta, expresada en (47.1) , r t es forzada a moverse, en promedio, hacia un nivel de largo plazo b a una velocidad a . Si la tasa corta est¶a por arriba de b, ¶e sta es forzada a moverse, en promedio, hacia abaj o al nivel b y, viceversa, si la tasa corta est¶a por abaj o de b, ¶e sta es forzada a moverse, en promedio, hacia arriba al nivel b. Por u¶ ltimo, vale la pena mencionar que la ecuaci¶o n (47.1) es una notaci¶o n simpli¯cada de la integral estoc¶astica Zt Zt a (b ¡ r u ) du + ¾ dW u rt ¡ rs = s s (47:2) Zt Zt = a b(t ¡ s ) ¡ a r u du + ¾ dW u ; s
s
ya que el obj eto principal de estudio del c¶alculo estoc¶astico es, precisamente, la integral estoc¶astica. As¶³ pues, cuando se escribe (47.1) , se debe estar pensando en (47.2) .
4 7 .3 E c u a c i¶o n d ife re n c ia l p a r c ia l d e l c o m p o rta m ie n to d e u n b o n o c o n ta sa c o r ta c o n d u c id a p o r e l m o d e lo d e V a sic e k El modelo de Vasicek forma parte de los llamados modelos de equilibrio general debido al uso de condiciones de no arbitraje para caracterizar el precio de un bono cup¶o n cero a un plazo dado. En esta secci¶o n, baj o los supuestos de equilibrio general y tasa corta neutral al riesgo, se resuelve la ecuaci¶o n diferencial parcial parab¶o lica del comportamiento del precio de un bono cup¶o n cero. En lo que sigue, el precio de un bono cup¶o n cero que se coloca en t y que al vencimiento T paga una unidad monetaria se denotar¶a mediante B = B (r t ;t; T ) , o en forma m¶as simple como B = B (t;T ) . En el caso del modelo de Vasicek, el precio B de un bono cup¶o n cero satisface: @B @ 2B @B + 12 ¾ 2 2 + a (b ¡ r t ) ¡ r t B = 0: @ rt @ rt @t
(47:3)
La condici¶o n ¯nal corresponde al pago en el vencimiento del bono, B (T ;T ) = 1: Las condiciones de frontera dependen de a , b, ¾ y, por supuesto de, r t . Dado que la ecuaci¶o n (47.3) no cuenta con derivadas parciales cruzadas, se supone una soluci¶o n en variables separables de la siguiente forma: B (t;T ) = e A (t;T )¡ r t D (t;T ) : (47:4) Observe que en la fecha de vencimiento, necesariamente, A (T ;T ) = 0 y D (T ;T ) = 0, ya que B (T ;T ) = 1. Con base en (47.3) , las derivadas parciales de B con respecto de t y r t , as¶³ como la segunda derivada parcial con respecto de r t est¶an dadas por: ¶ μ @D @B @A B ; = ¡ rt @t @t @t @B =¡D B ; @ rt @ 2B = D 2B : @ r t2 Despu¶e s de sustituir las ecuaciones anteriores en (47.3) , se tiene que: @D @A + 12 ¾ 2 D ¡ rt @t @t ¶o @A + 12 ¾ 2 D @t
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2
2
¡ a (b ¡ r t ) D ¡ r t = 0
μ ¶ @D + a D ¡ 1 = 0: ¡ a bD + r t ¡ @t
(47:5)
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Si se deriva (47.5) con respecto a r t se obtiene ¡ ¶o
@D + aD ¡ 1 = 0 @t
(47:6)
@D = a D ¡ 1: @t
De hecho, la ecuaci¶o n diferencial anterior es ordinaria y el uso de derivadas parciales es un abuso de notaci¶o n. La soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial anterior con condici¶o n ¯nal D (T ;T ) = 0 est¶a dada por: Zt D (t;T ) =D (T ;T ) e ¡ a (T ¡ t) ¡ e ¡ a (T ¡ t) e a (T ¡ s ) ds T Zt (47:7) = ¡ e ¡ a (T ¡ t) e a (T ¡ s ) ds T
1 ¡ e ¡ a (T ¡ = a
t)
:
De esta manera, al sustituir (47.7) en (47.5) se obtiene @A ¡ r t (a D ¡ 1) + 12 ¾ 2 D @t @A = + 21 ¾ 2 D 2 ¡ a bD : @t
0=
2
+ (a r t ¡ a b) D ¡ r t
Equivalentemente, @A = a bD ¡ @t o bien,
³ @A = b 1 ¡ e¡ @t
a (T ¡ t)
´
¡
1 2
¾ 2D 2;
¾2 ³ 1 ¡ e¡ 2a 2
a (T ¡ t)
´2
:
(47:8)
La soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial ordinaria anterior, con condici¶o n de frontera A (T ;T ) = 0, est¶a dada por: Zt ¾2 A (t;T ) =b(t ¡ T ) ¡ b e ¡ a (T ¡ s ) ds ¡ (t ¡ T ) 2a 2 T Z Zt ¾ 2 t ¡ a (T ¡ s ) ¾2 + 2 e ds ¡ e ¡ 2 a (T ¡ s ) ds a T 2a 2 T ´ ¾2 b ³ ¡ a (T ¡ t) =b(t ¡ T ) ¡ e ¡ 1 ¡ (t ¡ T ) a 2a 2 ´ ¾2 ³ ´ ¾2 ³ ¡ 2 a (T ¡ t) + 3 e ¡ a (T ¡ t) ¡ 1 ¡ e ¡ 1 a 4a 3 ´ ¾2 b ³ ¡ a (T ¡ t) =b(t ¡ T ) ¡ e ¡ 1 ¡ (t ¡ T ) a 2a 2 (47:9) ´ ¾2 ³ ´ ¾ 2 ³ ¡ a (T ¡ t) + 3 e ¡ 1 + 3 e ¡ a (T ¡ t) ¡ 1 2a 2a ´ ¾ 2 ³ ¡ 2 a (T ¡ t) ¡ e ¡ 1 4a 3 ¡ ¢ 1 ¡ ¢ 1 = 2 (t ¡ T ) a 2 b ¡ 21 ¾ 2 + 2 D a 2 b ¡ 21 ¾ 2 a a ´ ¾2 ³ ´ ¾ 2 ³ ¡ a (T ¡ t) + 3 e ¡ 1 ¡ e ¡ 2 a (T ¡ t) ¡ 1 3 2a 4a ¡2 ¢ ¾ 2 D 2 (t;T ) 1 = 2 (D (t;T ) ¡ T + t) a b ¡ 21 ¾ 2 ¡ : a 4a
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Vale la pena resaltar que la selecci¶o n de una soluci¶o n de la forma (47.4) ha permitido transformar una ecuaci¶o n diferencial parcial de segundo orden, dada en (47.3) , en un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, dadas en (47.6) y (47.8) . El sistema est¶a acoplado de tal manera que primero se resuelve (47.6) y, posteriormente, con base en su soluci¶o n, se resuelve (47.8) .
4 7 .4 C u rv a d e r e n d im ie n to d e l m o d e lo d e V a sic e k En esta secci¶o n, a partir de los precios del bono para diferentes vencimientos, B (t;T ) , T ¸ t, se genera la estructura de plazos de la tasa de inter¶e s, R (t;T ) , mediante la relaci¶o n R (t;T ) = ¡
1 ln B (t;T ) : T ¡ t
(47:10)
Observe que la sustituci¶o n de (47.7) y (47.9) en (47.10) conduce a 1 ln B (t;T ) T ¡ t 1 = [r t D (t;T ) ¡ A (t;T ) ] T ¡ t · ¸ ¶ μ ¾ 2 D 2 (t;T ) ¾2 1 r t D (t;T ) ¡ (D (t;T ) ¡ T + t) b ¡ + = T ¡ t 4a 2a 2 ¶ μ ¶μ 2 2 2 D (t;T ) ¾ D (t;T ) D (t;T ) ¾ = rt + ¡ ¡ 1 b¡ T ¡ t 4a (T ¡ t) 2a 2 T ¡ t ¶ μ ¶μ ¡ a (T ¡ t) ¡ a (T ¡ t) 1¡ e ¾2 1¡ e = rt ¡ ¡ 1 b¡ a (T ¡ t) a (T ¡ t) 2a 2 ¡ ¢ 2 ¾ 2 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) + : 4a 3 (T ¡ t)
R (t;T ) = ¡
Claramente, la tasa de inter¶e s de plazo m¶as largo disponible en el mercado, tambi¶e n llamada tasa larga, R (t;1 ) , satisface R (t;1 ) = b ¡
¾2 : 2a 2
En consecuencia,
R (t;T ) = R (t;1 ) + [r t ¡ R (t;1 ) ]
μ
1 ¡ e ¡ a (T ¡ a (T ¡ t)
t)
¶
+
¾ 2 (T ¡ t) 4a
μ
1 ¡ e ¡ a (T ¡ a (T ¡ t)
t)
¶2
o, en forma m¶as breve, R (t;T ) = R (t;1 ) + [r t ¡ R (t;1 ) ] G (t;T ) +
¾ 2 (T ¡ t) 2 G (t;T ) ; 4a
(47:11)
donde G (t;T ) =
D (t;T ) : T ¡ t
De esta manera, la curva de rendimiento, R (t;T ) , es una funci¶o n cuadr¶atica de G (t;T ) . La Gr¶a¯ca 47.1 muestra la curva de rendimiento en funci¶o n de los par¶ametros a y b. En este caso se ¯j aron los valores de T ¡ t = 1, ¾ = 0:0239 y r t = 0:15:
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Gr¶a¯ca 47.1 Curva de rendimiento en funci¶o n de los par¶ametros a y b.
4 7 .5 P re c io d e u n b o n o c u p o¶ n c e r o e n e l m o d e lo d e V a sic e k A continuaci¶o n se expresa el precio de un bono cup¶o n cero en t¶e rminos de r t , R (t;1 ) y D (t;T ) . Observe primero que B (t;T ) = e ¡ R (t;T )(T ¡ t) : As¶³, en virtud de la ecuaci¶o n (47.11) , el precio de un bono cup¶o n cero que se coloca en t y que al vencimiento T paga una unidad monetaria, asociado al modelo de Vasicek de tasa corta, se puede reescribir como: ¾ ½ ¾2 2 D (t;T ) : (47:12) B (t;T ) = exp ¡ R (t;1 ) (T ¡ t) ¡ [r t ¡ R (t;1 ) ] D (t;T ) ¡ 4a En la Gr¶a¯ca 47.2 se muestra el precio de un bono cup¶o n cero en funci¶o n de los par¶ametros a y b. En este caso se consideraron ¯j os los siguientes valores T ¡ t = 1, ¾ = 0:0239 y r t = 0:15: Observe que a medida que la velocidad, a , con que el proceso se revierte hacia la media aumenta, el precio del bono, B , se incrementa y se estabiliza en valores cercanos a su nominal.
Gr¶a¯ca 47.2 Precio de un bono cup¶o n cero en funci¶o n de los par¶ametros a 2 [0;2] y b 2 [0; 12 ] .
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4 7 .6 T a sa fo r w a r d in sta n t¶a n e a d e l m o d e lo d e V a sic e k En esta secci¶o n se describe el comportamiento de la tasa forward asociada al modelo de Vasicek. La tasa forward instant¶anea se calcula mediante la siguiente expresi¶o n: f (t;T ) = ¡
@ @D @A ¡ : ln B (t;T ) = r t @T @T @T
A partir de (47.7) y (47.9) , se tiene que @D = e¡ @T
a (T ¡ t)
y @A = ¡ b + be ¡ @T
¾2 ¾2 ¾2 ¡ 2 e ¡ a (T ¡ t) + 2 e ¡ 2 a (T ¡ t) 2 2a a 2a ´ 2 ³ ¾ t) + 2 1 ¡ 2e ¡ a (T ¡ t) + e ¡ 2 a (T ¡ t) 2a ´2 ¾2 ³ t) + 2 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) : 2a
a (T ¡ t)
= ¡ b + be ¡
a (T ¡
= ¡ b + be ¡
a (T ¡
+
Por lo tanto, f (t;T ) = r t e ¡
a (T ¡ t)
+ b ¡ be ¡
= b ¡ (b ¡ r t ) e ¡
a (T ¡ t)
a (T ¡ t)
¡
¡
¾2 ³ 1 ¡ e¡ 2a 2
a (T ¡ t)
´2
¾2 2 D (t;T ) : 2
En este caso, se veri¯ca inmediatamente que f (t;1 ) ´ lim T !
1
(47:13)
f (t;T ) = b ¡ (¾ 2 = 2a 2 ) :
4 7 .7 A p lic a c i¶o n d e l m o d e lo d e V a sic e k En esta secci¶o n se lleva a cabo una aplicaci¶o n del modelo de Vasicek. Asimismo, se muestra c¶o mo los par¶ametros pueden ser estimados utilizando un modelo de regresi¶o n lineal simple con el supuesto est¶andar de errores normales no correlacionados, o bien con un proceso autoregresivo de orden uno con tendencia. Para ¯nes pr¶acticos, el modelo de Vasicek puede plantearse en t¶e rminos discretos como una ecuaci¶o n estoc¶astica en diferencias. Si se escribe ¯ 0 = a b y ¯ 1 = 1 ¡ a , una versi¶o n discreta de (47.1) es (47:14) r t = ¯ 0 + ¯ 1 r t¡ 1 + " t ; donde f " t g son variables aleatorias independientes y normalmente distribuidas con media cero y varianza ¾ 2 . La media (incondicional) de r t es E[r t ] = ¯ 0 = (1 ¡ ¯ 1 ) = b y su varianza (incondicional) est¶a dada por Var[r t ] = ¾ 2 = (1 ¡ ¯ 12 ) = ¾ 2 = [1 ¡ (1 ¡ a ) 2 ] : La varianza condicional de r t , dado r t¡ 1 , es por supuesto ¾ 2 . La Gr¶a¯ca 47.3 muestra el comportamiento de la tasa corta (rendimiento anualizado de CETES a un d¶³a) , entre el 3 de enero de 2000 y el 29 de octubre de 2000. Los resultados de la estimaci¶o n de los par¶ametros del modelo (47.14) , con errores est¶andar entre par¶e ntesis, son los siguientes: r t = 0:0289 + 0:8305r t¡ 1 : (0 .0 0 7 5 )
(47:15)
(0 .0 2 8 1 9 )
En este caso, se puede apreciar que las estimaciones son signi¯cativamente distintas de cero con un 95% de con¯anza. La Gr¶a¯ca 47.4 muestra la estructura de plazos de¯nida a trav¶e s de la
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ecuaci¶o n (47.10) con a =0.1695, b=0.1705, r t =0.15 y ¾ = 0:0239: Como puede observarse, la estructura de plazos es creciente y, en el largo plazo, se estabiliza en un valor cercano al 16%. Las Gr¶a¯cas 47.5-47.8 muestran el comportamiento de la estructura de plazos para diferentes valores del par¶ametro a , manteniendo los otros par¶ametros en los valores estimados. Se observa, primero, que R (t;T ) puede tener cualquier comportamiento (c¶o ncava, convexa, etc.) . En segundo lugar, R (t;T ) puede ser negativa para algunos valores de los par¶ametros. Cabe destacar que en el caso estimado, la funci¶o n R (t;T ) es siempre positiva y creciente.
Gr¶a¯ca 47.3 Comportamiento de la tasa corta anualizada (3 de enero de 2000 - 29 de octubre de 2000) .
Gr¶a¯ca 47.4 Estructura de plazos estimada (ej e horizontal en d¶³as) .
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Gr¶a¯ca 47.5 Estructura de plazos con a =0.0316.
Gr¶a¯ca 47.6 Estructura de plazos con a =0.0101.
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Gr¶a¯ca 47.7 Estructura de plazos con ¾ =0.0834.
Gr¶a¯ca 47.8 Estructura de plazos con ¾ =0.1414.
4 7 .8 M o d e lo d e V a sic e k y ¶a rb o le s b in o m ia le s En esta secci¶o n se presenta una versi¶o n discreta del modelo de Vasicek en donde, en t¶e rminos de ¶arboles binomiales, se determina la din¶amica de la tasa corta. En el modelo de Vasicek se cumple que Zh ¢ ¡ e ¡ a (h ¡ s ) dW s : (47:16) rh = r0 e¡ a h + b 1 ¡ e¡ a h + ¾ 0
Por lo tanto, la esperanza condicional de r h , dado r 0 , satisface ¢ ¡ E[r h jr 0 ] = r 0 e ¡ a h + b 1 ¡ e ¡ a h
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y la varianza (condicional) est¶a dada por Var[r h jr 0 ] = ¾
2
Zh
e¡
2 a (h ¡ s )
ds =
0
¾2 ¡ 1 ¡ e¡ 2a
2a h
¢ :
(47:18)
Suponga que h > 0 es su¯cientemente peque~n a de tal manera que se puede utilizar la aproximaci¶o n e ¡ a h ¼ 1 ¡ a h . De esta forma, se puede escribir r h ¼ r 0 (1 ¡ a h ) + ba h + ¾
Observe que
Zh 0
=r 0 + a (b ¡ r 0 ) h + ¾ W
h
=r 0 + a (b ¡ r 0 ) h + ¾ W
h
Zh
s dW
s
= hW
¡ ¾ ah W
Zh 0
W
+¾a
h
(1 ¡ a h ) + ¾ a
h
0
y, si h es su¯cientemente peque~n a,
(1 ¡ a (h ¡ s ) ) dW
s ds
¡
Zh
Zh
Zh
s
s dW
s
(47:19)
0
s dW
s:
0
s ds
W
0
! 0;
cuando h ! 0. En consecuencia, si h es su¯cientemente peque~n a, se sigue que r h ¼ r 0 + a (b ¡ r 0 ) h + ¾ W
h
;
(47:20)
as¶³, E[r h jr 0 ] ¼ r 0 + a (b ¡ r 0 ) h
(47:21)
Var[r h jr 0 ] ¼ ¾ 2 h :
(47:22)
y
Las ecuaciones (47.21) -(47.22) ser¶an utilizadas en la siguiente secci¶o n para construir un ¶arbol binomial.
4 7 .8 .1 C o n stru c c i¶o n d e l ¶a rb o l d e la ta sa c o rta A continuaci¶o n se construye un ¶arbol que parte de la tasa corta inicial, r 0 , y que despu¶e s de un periodo de tiempo de longitud h la tasa corta puede tomar dos posibles valores r 1 1 y r 1 2 con probabilidad 21 , espec¶³¯camente r 1 1 = r 0 + a (b ¡ r 0 ) h + ¾ y r 1 2 = r 0 + a (b ¡ r 0 ) h ¡ ¾
p
h
p
h:
En este caso, la media y la varianza de una tasa corta aleatoria, r 1 , que puede tomar los valores r 1 1 y r 1 2 est¶an dadas, respectivamente, por r 0 + a (b ¡ r 0 ) h =
r11 + r12 2
y (r 1 1 ¡ f 1 ) 2 + (r 1 2 ¡ f 1 ) 2 : 2 Los posibles valores de la tasa corta se muestran en el ¶arbol de la Gr¶a¯ca 47.9. ¾ 2h =
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4 7 . M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek (II): en fo q u e d e ecu a cio n es d iferen cia les p a rcia les
513
r11 1 2
% r0 &
1 2
r12 Gr¶a¯ca 47.9 Expansi¶o n del ¶arbol binomial de una etapa para r t . Para la segunda etapa se construyen ramas con posibles valores r 2 1 , r 2 2 , r 2 3 y r 2 4 de tal manera que su promedio sea igual a r 1 + a (b ¡ r 1 ) h . Una posibilidad es que r 2 1 = r 1 + a (b ¡ r 1 ) h + 2¾
p
h;
r 2 2 = r 2 3 = r 1 + a (b ¡ r 1 ) h + 0 ¢ ¾ y r 2 4 = r 1 + a (b ¡ r 1 ) h ¡ 2¾
p
p
h
h:
La Gr¶a¯ca 47.10 muestra el ¶arbol binomial resultante para dos etapas. r21 1 2
% r11 1 2
%
&
1 2
r22 = r23
r0 1 2
&
%
1 2
r12 &
1 2
r24 Gr¶a¯ca 47.10 Expansi¶o n del ¶arbol binomial de dos periodos para r t . Si se procede como antes, en la tercera etapa se tendr¶a que r 3 1 = r 2 + a (b ¡ r 2 ) h + 3¾
p
h;
r 3 2 = r 3 3 = r 2 + a (b ¡ r 2 ) h + ¾ r 3 4 = r 3 5 = r 2 + a (b ¡ r 2 ) h ¡ ¾ y r 3 6 = r 2 + a (b ¡ r 2 ) h ¡ 3¾
p
p
h;
p
h
h:
En la Gr¶a¯ca 47.11 se muestra el ¶arbol binomial para tres periodos y en la Gr¶a¯ca 47.12 se muestra una representaci¶o n alternativa de dicho ¶arbol donde rbj = r j ¡ 1 + a (b ¡ r j ¡ 1 ) h , j = 1;2;::.
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4 7 . M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek (II): en fo q u e d e ecu a cio n es d iferen cia les p a rcia les
r31 1 2
% r21 1 2
%
&
1 2
r32 = r33
r11 1 2
%
1 2
&
%
1 2
r22 = r23
r0 1 2
&
%
1 2
&
1 2
r34 = r35
r12 1 2
&
%
1 2
r24 &
1 2
r36 Gr¶a¯ca 47.11 Expansi¶o n del ¶arbol binomial de tres periodos para r t .
rb1 + ¾
p
rb2 + 2¾
rb2 + 0 ¢ ¾
p
p
rb3 + ¾
p
h
p
h
p
h
p
h
h rb3 ¡ ¾
h rb2 ¡ 2¾
p
h
h
r0 rb1 ¡ ¾
p
rb3 + 3¾
h rb3 ¡ 3¾
Gr¶a¯ca 47.12 Expansi¶o n alternativa del a¶ rbol binomial de tres periodos para r t .
4 7 .8 .2 C o n stru c c i¶o n d e l ¶a rb o l h a c ia a d e la n te d e l p re c io d e l b o n o Los posibles precios de los bonos para diferentes vencimientos se calculan hacia adelante de la siguiente forma. Si B 0 = 1 y B 1 = (1 + r 0 h ) B 0 , entonces B
21
= (1 + r 1 1 h ) B
1
y
B
22
= (1 + r 1 2 h ) B 1 :
(47:23)
B
32
= (1 + r 2 2 h ) B
(47:24)
De la misma manera, B
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31
= (1 + r 2 1 h ) B
21 ;
21 ;
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4 7 . M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek (II): en fo q u e d e ecu a cio n es d iferen cia les p a rcia les
B
33
= (1 + r 2 3 h ) B
y
22
B
34
= (1 + r 2 4 h ) B
(47:25)
22 :
Observe que aunque r 2 2 = r 2 3 , B 3 2 no es necesariamente igual a B 3 3 . En este caso, se dice que el ¶arbol no es recombinante (recombinable) ; v¶e ase la Gr¶a¯ca 47.13. B
31
%
B
0
¡! B
B
21
¡! B
32
B
22
¡! B
33
B
34
% 1
&
&
¶ Gr¶a¯ca 47.13 Arbol hacia adelante del precio de un bono cup¶o n cero.
4 7 .8 .3 C o n stru c c i¶o n d e l ¶a rb o l h a c ia a tr¶a s d e l p re c io d e l b o n o Para calcular el precio de un bono en t = 0 que vence dentro de tres periodos se utiliza el siguiente proceso recurrente hacia atr¶as. Suponga que los posibles valores r 1 1 , r 1 2 , r 2 1 , r 2 2 , r 2 3 y r 2 4 son conocidos, y que B 3 1 = B 3 2 = B 3 3 = B 3 4 = 1; entonces B
B
21
=
1 2
μ
22
=
1 2
μ
B 31 1 + r21 h B 33 1 + r23 h B
1
¶
+
¶
+
=
1 2
1 2
μ
B 32 1 + r22 h
¶
=
1 2
μ
1 1 + 1 + r21 h 1 + r22 h
¶
;
¶ μ ¶ B 34 1 1 = 21 + ; 1 + r24 h 1 + r23 h 1 + r24 h μ ¶ μ ¶ B 21 B 22 1 + 2 1 + r11 h 1 + r12 h 1 2
μ
y B
0
=
B1 : 1 + r0 h
La Gr¶a¯ca 47.14 muestra el ¶arbol hacia atr¶as para obtener el precio de un bono cup¶o n cero. B
31
=1
.
B
0
à ¡ B
B
21
à ¡ B
32
=1
B
22
à ¡ B
33
=1
B
34
=1
. 1
-
-
¶ Gr¶a¯ca 47.14 Arbol hacia atr¶as del precio de un bono cup¶o n cero.
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4 7 . M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek (II): en fo q u e d e ecu a cio n es d iferen cia les p a rcia les
4 7 .9 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Vasicek, O. (1977) . \An Equilibrium Characterization of the Term Structure" . J o u rn a l o f F in a n cia l E co n o m ics, Vol. 5, No. 2, pp. 177-188. Venegas-Mart¶³nez, F. y B. Gonz¶alez-Ar¶e chiga (2002) . \Cobertura de tasas de inter¶e s con futuros del mercado mexicano de derivados: un modelo estoc¶astico de duraci¶o n y convexidad" . E l T rim estre E co n ¶o m ico , Vol. 59(2) , No. 274, pp. 227-250.
4 7 .1 0 E je rc ic io s 4 7 .1 Muestre que
Zt
A (t;T ) = b(t ¡ T ) ¡ b
e¡
a (T ¡ s )
T
¾2 (t ¡ T ) 2a 2
ds ¡
es soluci¶o n de ³ @A = b 1 ¡ e¡ @t
a (T ¡ t)
´
¾2 ³ 1 ¡ e¡ 2a 2
¡
a (T ¡ t)
´2
A (T ;T ) = 0:
;
Repita el ejercicio anterior con el cambio de variable ¿ = T ¡ t. 4 7 .2 Pruebe que cuando a = 0, entonces D (t;T ) = T ¡ t y A (t;T ) = ¾ 2 = 6(T ¡ t) 3 . 4 7 .3 Demuestre que f (t;T ) = ¡ r t
@D @A + ; @t @t
en cuyo caso es inmediato que f (t;T ) = a bD ¡ Veri¯que tambi¶e n que f (t;1 ) ´ lim T !
1
1 2
¾ 2D
2
+ r te ¡
a (T ¡ t)
:
f (t;T ) = b ¡ (¾ 2 = 2a 2 ) :
4 7 .4 Demuestre que la tasa forward satisface f (t;T ) = r T ¡ ¾
ZT
e¡
a (T ¡ s )
dW
t
s
¡
1 2
¾ 2 D 2 (t;T ) :
S o lu ci¶o n : Es su¯ciente utilizar la ecuaci¶o n (47.13) y observar que r T = r te ¡
a (T ¡ t)
³ + b 1 ¡ e¡
a (T ¡ t)
´
+¾
ZT
e¡
a (T ¡ s )
dW
s:
t
4 7 .5 Demuestre que la tasa forward instant¶anea, f = f (t;T ) , del modelo de Vasicek satisface la siguiente ecuaci¶o n diferencial ordinaria de primer orden no homog¶e nea @f ¾2 ³¡ + af = ab + e @T 2a
2 a (T ¡ t)
´ ¡ 1 :
S o lu ci¶o n : Observe primero que f (t;T ) = b ¡ (b ¡ r t ) e ¡
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a (T ¡ t)
¡
¾2 2 D (t;T ) : 2
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En consecuencia, ´ ¾2 ³ 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) e ¡ a (T ¡ t) a ¸ ´ ¾2 ³ ¡ a (T ¡ t) = ¡ a b ¡ (b ¡ r t ) e + 2 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) e ¡ a (T ¡ t) + a b a · μ ¶¸ ¾ 2 1 ¡ 2e ¡ a (T ¡ t) + e ¡ 2 a (T ¡ t) ¡ a (T ¡ t) = ¡ a b ¡ (b ¡ r t ) e ¡ 2 + ab a 2 ´ ¾ 2 ³ ¡ 2 a (T ¡ t) + e ¡ 1 2a ´ ¾ 2 ³ ¡ 2 a (T ¡ t) = ¡ af + ab + e ¡ 1 : 2a
@f = a (b ¡ r t ) e ¡ @T ·
a (T ¡ t)
¡
4 7 .6 La duraci¶o n y convexidad del precio de un bono se de¯nen, respectivamente, como @B 1 @ rt B
° (t;T ) = ¡ y ³ (t;T ) =
@° 1 @ 2B 1 = : @ rt B @ r t2 B
Demuestre que en el caso del modelo de Vasicek ° (t;T ) = D (t;T )
³ (t;T ) = D 2 (t;T ) :
y
4 7 .7 Considere la ecuaci¶o n diferencial parcial del comportamiento de un bono cup¶o n cero asociado al modelo de Vasicek @B @ 2B @B + 21 ¾ 2 2 + [a (b ¡ r t ) ¡ ¸ ¾ ] ¡ r t B = 0; @t @r @ rt donde ¸ (=constante) es el precio de mercado del riesgo. Demuestre que R (t;1 ) = b ¡
¸¾ ¾2 ¡ : a 2a 2
En este caso R (t;T ) y B (r t ;t; T ) se calculan como en (47.11) y (47.12) , pero tomando en cuenta el valor de R (t;1 ) . 4 7 .8 Considere la estructura de plazos de la tasa de inter¶e s generada con el modelo de Vasicek, a saber, μ ¶ 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) R (t;T ) = R (t;1 ) + [r t ¡ R (t;1 ) ] a (T ¡ t) μ ¶ 2 ¾ 2 (T ¡ t) 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) + : 4a a (T ¡ t) Esta curva de rendimiento parte del nivel actual r t de la tasa corta y se aproxima asint¶o ticamente a R (t;1 ) cuando T ! 1 . Demuestre que si r t · R (t;1 ) ¡
¾2 ; 4a 2
entonces la curva de rendimiento es mon¶o tamente creciente. Si R (t;1 ) ¡
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¾2 ¾2 < r < R (t;1 ) + ; t 4a 2 2a 2
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4 7 . M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek (II): en fo q u e d e ecu a cio n es d iferen cia les p a rcia les
la curva de rendimiento tiene una j oroba. Por u¶ ltimo, si r t ¸ R (t;1 ) +
¾2 ; 2a 2
la curva de rendimiento es mon¶o tamente decreciente. 4 7 .9 Considere la ecuaci¶o n (47.6) dada por: ¡
@D + a D ¡ 1 = 0: @t
Obtenga mediante la separaci¶o n de variables la funci¶o n D (t;T ) : S o lu ci¶o n : dD = dt: aD ¡ 1 De esta manera,
ZD
(t;T )
0
du = ¡ (T ¡ t) : au ¡ 1
4 7 .1 0 Considere el siguiente modelo con dos factores dx t = a x (b x ¡ x t ) dt + ¾ x dW
x t;
dy t = a y (b y ¡ y t ) dt + ¾ y dW
y t;
E [dW
x t dW y t ]
= ½ dt
y r t = x t + y t: Demuestre que R (t;T ) =b x ¡ ¡ ¡
μ
¶ μ ¶ 1 ¡ e ¡ a x (T ¡ t) 1 ¡ e ¡ a y (T ¡ t) + + by + a x (T ¡ t) a y (T ¡ t) · μ ¶¸ 2 ¡ 2 a x (T ¡ t) ¾x 1¡ e 1 ¡ e ¡ a x (T ¡ t) 1 + ¡ 2 a 2x 2a x (T ¡ t) a x (T ¡ t) · μ ¶¸ ¡ 2 a y (T ¡ t) ¾ y2 1¡ e 1 ¡ e ¡ a y (T ¡ t) 1 + ¡ 2 a 2y 2a y (T ¡ t) a y (T ¡ t) · ¸ ¡ a x (T ¡ t) ¾x¾y½ 1¡ e 1 ¡ e ¡ a y (T ¡ t) 1 ¡ e ¡ (a x + a y )(T ¡ t) 1¡ ¡ + : axay a x (T ¡ t) a y (T ¡ t) (a x + a y ) (T ¡ t)
4 7 .1 1 Suponga que h = 0:25, a = 0:039, b = 0:061, ¾ = 0:011 y r 0 = 0:05. Utilice ¶arboles binomiales para determinar la din¶amica de la tasa corta. A trav¶e s de a¶ rboles binomiales hacia adelante determine los precios de un bono cup¶o n cero a diferentes plazos (cuatro etapas) . Asimismo, mediante a¶ rboles binomiales hacia atr¶as determine los precios de un bono cup¶o n cero a diferentes plazos.
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C A P ¶IT U L O 48 M O D E L O D E T A S A C O R T A D E V A S IC E K (III): E N F O Q U E P R O B A B IL IS T A C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ²
Proceso de Ornstein-Uhlenbeck Distribuci¶o n de la tasa corta en el modelo de Vasicek Valuaci¶o n de bonos cup¶o n cero Curva de rendimiento
4 8 .1 In tro d u c c i¶o n En el cap¶³tulo anterior se present¶o el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales para determinar el precio de un bono cup¶o n cero cuando la tasa corta es conducida por el modelo de Vasicek. A continuaci¶o n se discute un desarrollo alternativo para valuar el precio de un bono con base en las propiedades de la distribuci¶o n de la tasa corta.
4 8 .2 E l m o d e lo d e V a sic e k Sea (W t ) t¸ 0 un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad equipado con su ¯ltraci¶o n aumentada ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;T ];IP) y considere la siguiente din¶amica de la tasa corta: dr t = a (b ¡ r t ) dt + ¾ dW t ; (48:1) donde a , b y ¾ son cantidades positivas, constantes y conocidas. La expresi¶o n (48.1) es conocida en la literatura como el proceso de tasa corta del modelo de Vasicek para valuar bonos cup¶o n cero. En esta secci¶o n se determina la distribuci¶o n de la tasa corta y se establece la relaci¶o n de los par¶ametros de (48.1) con la media y la varianza de r t .
4 8 .3 E l p ro c e so d e O rn ste in -U h le n b e c k En esta secci¶o n se estudia uno de los conceptos m¶as importantes en la teor¶³a de procesos estoc¶asticos en tiempo continuo, el proceso de Ornstein-Uhlenbeck, el cual est¶a relacionado con el modelo de Vasicek. Considere el siguiente cambio de variable para r t , m
t
= a r t ¡ a b;
(48:2)
entonces el modelo de Vasicek puede reescribirse como dm
t
= ¡ a m t dt + a ¾ dW t :
(48:3)
Esta ecuaci¶o n es conocida como el proceso de Ornstein-Uhlenbeck. Una caracter¶³stica distintiva del proceso (48.3) es que su soluci¶o n es similar a la de una ecuaci¶o n diferencial no homog¶e nea de primer orden, es decir, Z t
m
t
=m 0 e ¡
+ a ¾ e¡ a t e a s dW s 0 Zt =m 0 e ¡ a t + a ¾ e ¡ a (t¡ s ) dW s ; at
(48:4)
0
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520
4 8 . M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek (III): en fo q u e p ro b a b ilista
lo cual se puede veri¯car como sigue. Sea X
t
= m te a t:
En este caso, una aplicaci¶o n simple del lema de It^o a X de¯nido en (48.4) conduce a dX
μ
¶
@ 2X 2 2 a ¾ @ m t2
@X + dt + a ¾ dW @m t ¡ ¢ = a m t e a t ¡ a m t e a t dt + a ¾ e a t dW t =
t
@X t @X t ¡ am @t @m t
= X t (m t ;t) con el proceso subyacente
t
1 2
t
t
=a ¾ e a t dW t :
Es decir, d(m t e a t ) = a ¾ e a t dW t : Despu¶e s de integrar la ecuaci¶o n anterior, se tiene que m te
at
¡ m
0
Zt
= a¾
e a s dW s :
0
Este resultado lleva, inmediatamente, a (48.4) . Por u¶ ltimo, observe que una forma alternativa, muy u¶ til, de escribir la ecuaci¶o n (48.4) es m
t+ h
=m t e ¡ =e
¡ ah
ah
Z t+
+ a¾
t
Ã
m
t
+ a¾
h
e¡
Z t+
a (t+ h ¡ s )
dW
s
h
e
¡ a (t¡ s )
dW
s
!
t
v¶alida para h > 0.
4 8 .4 D istrib u c i¶o n d e la ta sa c o rta e n e l m o d e lo d e V a sic e k En esta secci¶o n se determina la distribuci¶o n de la tasa corta en el modelo de Vasicek. Observe, primero, que a partir de las ecuaciones (48.2) y (48.4) , se tiene que a r t ¡ a b = (a r 0 ¡ a b) e ¶o rt = r0 e¡
at
¡ at
Zt
e¡
Zt
e¡
+ a¾
a (t¡ s )
dW
s
0
¡ + b 1 ¡ e¡
at
¢ +¾
a (t¡ s )
dW
(48:5)
s
0
equivalentemente r t+
h
=r t e ¡ =e
¡ ah
ah
Ã
¡ + b 1 ¡ e¡
ah
¢ +¾
¡ ¢ rt + b ea h ¡ 1 + ¾
Z t+
h
e¡
a (t+ h ¡ s )
dW
t
Z t+
h
e¡
a (t¡ s )
dW
s
s
!
t
para toda h > 0. Claramente, a partir de (48.5) , r t se distribuye normal con media (condicional) E[r t jr 0 ] = r 0 e ¡
at
¡ + b 1 ¡ e¡
at
¢
(48:6)
y varianza (condicional) Var[r t jr 0 ] = ¾ 2
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Zt 0
e¡
2 a (t¡ s )
ds =
¾2 ¡ 1 ¡ e¡ 2a
2a t
¢ ;
(48:7)
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4 8 . M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek (III): en fo q u e p ro b a b ilista
en donde se ha utilizado la propiedad Var
·Z t
g (s ) dW
0
s
"μZ ¯ ¸ t ¯ ¯F 0 = E g (s ) dW ¯ 0
v¶alida cuando la u¶ ltima integral es ¯nita. Aqu¶³, F en el tiempo t = 0:
¶2 ¯ # Z t ¯ ¯F 0 = [g (s ) ] 2 ds s ¯ 0
es toda la informaci¶o n relevante disponible
0
4 8 .5 C a so s e sp e c ia le s d e la d istrib u c i¶o n in ic ia l d e la ta sa c o rta A continuaci¶o n se discuten algunos casos particulares sobre la distribuci¶o n de la tasa corta. En virtud de (48.6) y (48.7) , si se supone r 0 » N (0;¾ 2 = 2a ) con Cov(r t ,W t ) =0, entonces ¡ ¢ E[r t ] = Ef E[r t jr 0 ] g = b 1 ¡ e ¡ a t (48:8) y ¾2 ¡ e 2a
Var[r t ] = Varf E [r t jr 0 ] g + Ef Var[r t jr 0 ] g =
2a t
¾2 ¡ 1 ¡ e¡ 2a
+
2a t
¢ ¾2 = : 2a
(48:9)
Asimismo, si r 0 » N (b;¾ 2 = 2a ) y Cov(r t ,W t ) =0, entonces E[r t ] = Ef E[r t jr 0 ] g = b
(48:10)
y ¾2 : 2a En virtud de (48.10) , el proceso r t presenta reversi¶o n a la media E[r t ] = b: Var[r t ] = Varf E[r t jr 0 ] g + Ef Var[r t jr 0 ] g =
(48:11)
4 8 .6 D e te rm in a c i¶o n d e l p re c io d e u n b o n o c u p o¶ n c e ro El precio de un bono cup¶o n cero que se emite en t y que paga una unidad monetaria en el tiempo T satisface " ( Z )¯ # ¯ T ¯ B (r t ;t; T ) = E exp ¡ r s ds ¯F t : (48:12) ¯ t Considere ahora la suma de las tasas cortas instant¶aneas durante [t;T ] : I (t;T ) =
ZT
r s ds :
t
A continuaci¶o n se ver¶a que I (t;T ) es normal. Del modelo de Vasicek se sigue que ZT t
dr s = a b(T ¡ t) ¡ a
ZT
r s ds + ¾
t
dW s :
t
Equivalentemente,
ZT
r T ¡ r t = a b(T ¡ t) ¡ a I (t;T ) + ¾
dW
s:
t
En consecuencia, I (t;T ) = ¡
ZT
1 ¾ (r T ¡ r t ) + b(T ¡ t) + a a
ZT
dW s :
(48:13)
t
Por otro lado, del mismo modelo de Vasicek se tiene que si en (48.5) se sustituye 0 por t y t por T , es decir, se cambia de soluci¶o n inicial y valor ¯nal, entonces r T = r te ¡
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a (T ¡ t)
³ + b 1 ¡ e¡
a (T ¡ t)
´
+¾
ZT
e¡
a (T ¡ s )
dW
s:
t
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4 8 . M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek (III): en fo q u e p ro b a b ilista
Por lo tanto, ³ r T ¡ r t =r t e ¡
a (T ¡ t)
´ ³ ¡ 1 + b 1 ¡ e¡
³ =(b ¡ r t ) 1 ¡ e ¡
a (T ¡ t)
´
a (T ¡ t)
ZT
+¾
e
´
+¾
ZT
e¡
a (T ¡ s )
dW
s
t
¡ a (T ¡ s )
(48:14)
dW s :
t
A partir de (48.13) y (48.14) , se encuentra que " # ZT ³ ´ 1 I (t;T ) = ¡ (b ¡ r t ) 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) + ¾ e ¡ a (T ¡ s ) dW s a t ZT ¾ + b(T ¡ t) + dW s a t μ ¶ ZT μ 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) 1 ¡ e ¡ a (T ¡ =b(T ¡ t) + (r t ¡ b) +¾ a a t
(48:15) s)
¶
dW
s:
Es decir, I (t;T ) sigue una distribuci¶o n normal. Ahora bien, se sabe que la funci¶o n generatriz de momentos de una variable aleatoria X » N (¹ ;¾ ) est¶a dada por £ ¤ © ª M X (t) = E e tX = exp tE[X ] + 12 t2 Var[X ] : En particular, si t = 1 y X » N (¹ ;¾ ) ; entonces £ ¤ © ª E e X = exp E[X ] + 21 Var[X ] : RT Por lo tanto, dado que I (t;T ) = t r s ds es normal, se tiene que el precio del bono, B (r t ;t; T ) , satisface ¯ ª © © ª B (r t ;t; T ) = E exp (¡ I (t;T ) ) ¯F t = exp ¡ E[I (t;T ) jF t ] + 21 Var[I (t;T ) jF t ] : (48:16) A partir de (48.15) , se encuentra que
E [I (t;T ) jF t ] = b(T ¡ t) + (r t ¡ b) y Var [I (t;T ) jF t ] =¾
2
ZT μ
¾2 = 2 a =
Ãt
1 ¡ e¡
T ¡ t¡ 2
a (T ¡ s )
a ZT
e
¶2
μ
t)
¶
(48:17)
ds
¡ a (T ¡ s )
ds +
t
· ¾2 2³ T ¡ t ¡ 1 ¡ e¡ a2 a
1 ¡ e ¡ a (T ¡ a
ZT
e
¡ 2 a (T ¡ s )
ds
!
t
a (T ¡ t)
´
+
1 ³ 1 ¡ e¡ 2a
2 a (T ¡ t)
(48:18) ´¸ :
Como puede observarse, la propiedad de normalidad de la tasa corta simpli¯ca el c¶alculo del precio te¶o rico del bono. As¶³ pues, a partir de (48.16) , (48.17) y (48.18) , se puede veri¯car que B (r t ;t; T ) = e A donde D (t;T ) =
(t;T )¡ r t D (t;T )
1 ¡ e ¡ a (T ¡ a
;
(48:19)
t)
y
¡2 ¢ ¾ 2 D (t;T ) 2 1 1 2 (D (t;T ) ¡ T + t) a b ¡ ¾ ¡ : 2 a2 4a Por u¶ ltimo, la curva de rendimiento, R (t;T ) , se calcula, mediante (48.19) , como A (t;T ) =
R (t;T ) =
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r t D (t;T ) ¡ A (t;T ) : T ¡ t
(48:20)
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4 8 . M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek (III): en fo q u e p ro b a b ilista
4 8 .7 O b te n c i¶o n a lte rn a tiv a d e l p re c io d e u n b o n o c u p o¶ n c e ro A continuaci¶o n se obtiene de manera alternativa el precio de un bono cup¶o n cero cuando la tasa corta es conducida por el modelo de Vasicek. Para ello, de¯na, primero, el siguiente cambio de variable: Y t = r t ¡ b:
(48:21)
En este caso, se obtiene el siguiente proceso de Ornstein-Uhlenbeck dY t = ¡ a Y t dt + ¾ dW t :
(48:22)
Es f¶acil veri¯car que la soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica est¶a dada por la siguiente expresi¶o n: Y t = Y 0 e¡
at
+ ¾ e¡
at
Zt
e a s dW
s
0
¶o Y t+
=Y t e ¡
h
=e
¡ ah
ah
Ã
+¾
Z t+ t
Yt + ¾
h
e¡
Z t+
a (t+ h ¡ s )
dW
s
h
e
¡ a (t¡ s )
dW
s
!
(48:23)
t
v¶alida para toda h > 0. Observe que, en este caso, el precio de un bono cup¶o n cero satisface la siguiente relaci¶o n ( Ã !¯ ) ZT ¯ ¯ B (t;T ) =E exp ¡ r s ds ¯F t ¯ t ( Ã !¯ ) ZT ¯ ¯ =E exp ¡ (Y s + b) ds ¯F t (48:24) ¯ t ( Ã !¯ ) ZT ¯ ¯ ¡ b(T ¡ t) =e E exp ¡ Y s ds ¯F t : ¯ t Sea G (t;T ) =
ZT t
=Y t
Y s ds
ZT
e
¡ a (s ¡ t)
ds + ¾
t
Z T μZ s t
e
¡ a (s ¡ u )
dW
u
¶
(48:25) ds :
t
Claramente, ZT
e ¡ a (s ¡ t) ds μ 1 ¡ e ¡ a (T ¡ =(r t ¡ b) a
E [G (t;T ) j F t ] =Y t
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t
t)
¶
:
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4 8 . M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek (III): en fo q u e p ro b a b ilista
Por otro lado, observe que si t < u < s , entonces μ Zs ¶ Zu Cov (Y s ;Y u ) =Cov ¾ e ¡ a (s ¡ x ) dW x ;¾ e ¡ a (u ¡ x ) dW x t t μZ s ¶ Zu =¾ 2 e ¡ a (s + u ) Cov e a x dW x ; e a x dW x t μZt u ¶ Zs Zu =¾ 2 e ¡ a (s + u ) Cov e a x dW x + e a x dW x ; e a x dW x u μZt u ¶ t Zu =¾ 2 e ¡ a (s + u ) Cov e a x dW x ; e a x dW x t t μZ s ¶ Zu + ¾ 2 e ¡ a (s + u ) Cov e a x dW x ; e a x dW x t ·Z u u ¸ =¾ 2 e ¡ a (s + u ) Var e a x dW x t Zu =¾ 2 e ¡ a (s + u ) e 2 a x dx t μ 2a u ¶ e ¡ e2a t 2 ¡ a (s + u ) =¾ e : 2a Observe que en la cuarta igualdad se ha utilizado el hecho de que incrementos del movimiento Browniano son independientes. En resumen, μ 2 a m in (s ;u ) ¶ e ¡ e2a t Cov (Y s ;Y u ) = ¾ 2 e ¡ a (s + u ) : (48:26) 2a De esta manera, Ã Z ! ZT T Var [G (t;T ) j F t ] =Cov Y s ds ; Y u du t
=
ZT ZT t 2
t
(48:27)
Cov (Y s ;Y u ) ds du
t ZT
ZT ³ ´ ¾ e ¡ a (s + u ) e 2 a m in (s ;u ) ¡ e 2 a t ds du : 2a t t Si se de¯nen los siguientes cambios de variable: y =s¡ t y z = u ¡ t; entonces la varianza (condicional) de G (t;T ) se puede escribir como =
Var [G (t;T ) j F t ] Z Z ´ ¾ 2 T ¡ t T ¡ t ¡ a (y + z + 2 t) ³ 2 a m in (y ;z )+ 2 a t = e e ¡ e 2 a t dy dz 2a 0 0 Z Z ´ ¾ 2 T ¡ t T ¡ t ¡ a (y + z ) ³ 2 a m in (y ;z ) = e e ¡ 1 dy dz 2a 0 0 Z Z Z Z ¾ 2 T ¡ t T ¡ t ¡ a (y + z ¡ 2 m in (y ;z )) ¾ 2 T ¡ t T ¡ t ¡ a (y + = e dy dz ¡ e 2a 0 2a 0 0 0 La segunda integral en (48.28) se calcula de manera inmediata à Z !2 ZT ¡ tZT ¡ t T ¡ t e ¡ a (y + z ) dy dz = e ¡ a x dx 0
0
z)
dy dz :
0
=
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(48:28)
μ
1 ¡ e ¡ a (T ¡ a
t)
¶2
:
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4 8 . M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek (III): en fo q u e p ro b a b ilista
Gr¶a¯ca 48.1 Regi¶o n de integraci¶o n en las variables z y y . La primera integral de (48.28) se puede calcular utilizando la regi¶o n de integraci¶o n R de la Gr¶a¯ca 48.1. Observe que R = [0;T ¡ t] £ [0;T ¡ t] = f 0 · z · T ¡ t; 0 · y · z g [ f 0 · z · T ¡ t; z · y · T ¡ tg . Por lo tanto, ZT ¡ tZT ¡ 0
=
Z T ¡ t à Z y= ZT ¡ ZT ¡
t
e¡
az
t
e
¡ az
0
z
e
¡ a (z ¡ y )
dy +
ZT ¡
t
e
¡ a (y ¡ z )
y= z
μZ y = μ
dy dz
z
e a y dy
0
ea z ¡ 1 a
tμ
¶ az
¶
¶
dz +
ZT ¡ 0
dz +
ZT ¡
t
e
az
t
eaz μ
dy
!
dz
à Z T ¡
t
e¡
ay
dy
y= z
e¡
0
az
¡ e¡ a
a (T ¡ t)
!
¶
dz
dz (48:29)
tμ
¶ az
ZT ¡ 1 ¡ e¡ 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) e dz + dz a a 0 0 Z Z 2(T ¡ t) 1 T ¡ t ¡ az e ¡ a (T ¡ t) T ¡ t a z = ¡ e dz ¡ e dz a a 0 a 0 μ ¶ 2(T ¡ t) 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) e ¡ a (T ¡ t) e a (T ¡ t) ¡ 1 = ¡ ¡ a a2 a a μ ¶ ¡ a (T ¡ t) 2(T ¡ t) 1¡ e = ¡ 2 : a a2 =
ZT ¡
a (y + z ¡ 2 m in (y ;z ))
0
0
=
e¡
0
0
=
t
La sustituci¶o n de la integral anterior en (48.28) produce ¾2 2a ¾2 = 3 2a ¾2 = 3 2a
Var [G (t;T ) j F t ] =
· μ ¶¸ ´2 2(T ¡ t) 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) ¾2 ³ ¡ a (T ¡ t) ¡ 2 ¡ 1 ¡ e a a2 2a 3 · ³ ´ ³ ´2 ¸ 2a (T ¡ t) ¡ 2 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) ¡ 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) h 2a (T ¡ t) ¡ 3 + 4e ¡
a (T ¡ t)
¡ e¡
2 a (T ¡ t)
i :
Es decir, Var [G (t;T ) j F t ] = Var [I (t;T ) j F t ] :
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4 8 . M o d elo d e ta sa co rta d e V a sicek (III): en fo q u e p ro b a b ilista
4 8 .8 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Vasicek, O. (1977) . \An Equilibrium Characterization of the Term Structure" . J o u rn a l o f F in a n cia l E co n o m ics, Vol. 5, No. 2, pp. 177-188. Venegas-Mart¶³nez, F. y B. Gonz¶alez-Ar¶e chiga (2002) . \Cobertura de tasas de inter¶e s con futuros del mercado mexicano de derivados: un modelo estoc¶astico de duraci¶o n y convexidad" . E l T rim estre E co n ¶o m ico , Vol. 59(2) , No. 274, pp. 227-250.
4 8 .9 E je rc ic io s 4 8 .1 Si X » N (¹ ;¾ ) , demuestre que la funci¶o n generatriz de momentos est¶a dada por £ ¤ © ª M X (t) = E e tX = exp tE[X ] + 12 t2 Var[X ] : 4 8 .2 Demuestre la propiedad ·Z t Var g (s ) dW 0
s
¸
=E
"μZ t
g (s ) dW
s
¶2 #
=
0
Zt
[g (s ) ] 2 ds
0
v¶alida cuando la u¶ ltima integral es ¯nita. M¶as generalmente, demuestre que μZ t ¶ Zt Zt Cov f (s ) dW s ; g (s ) dW s = f (s ) g (s ) ds 0
0
0
es v¶alida cuando la u¶ ltima integral es ¯nita. RT 4 8 .3 Demuestre que si r t es normal, entonces I (t;T ) = t r s ds es tambi¶e n normal y 1 1 R (t;T ) = E[I (t;T ) jF t ] ¡ Var[I (t;T ) jF t ] : T ¡ t 2(T ¡ t) 4 8 .4 Suponga que r t = b + Y t y dY t = ¡ a Y t dt + ¾ dW t , entonces 1 1 R (t;T ) = b + E[G (t;T ) jF t ] ¡ Var[G (t;T ) jF t ] ; T ¡ t 2(T ¡ t) RT donde G (t;T ) = t Y s ds . 4 8 .5 Pruebe que
( Z )¯ ¯ T ¯ B (t;T ) = E exp ¡ r s ds ¯F ¯ t "
t
#
¸ exp
(
¡E
"Z T t
S o lu ci¶o n : Utilice la desigualdad de Jensen y el hecho de que f (x ) = e ¡ 4 8 .6 Demuestre que
y
( Z )¯ ¯ T ¯ ln E exp ¡ r s ds ¯F ¯ t Ã
"
1 R (t;T ) · T ¡ t
t
ZT t
#!
¸ ¡
ZT
x
#¯ ¯ ¯ r s ds ¯F ¯
t
)
:
es una funci¶o n convexa.
E [ r s j F t ] ds
t
E [ r s j F t ] ds :
RT 4 8 .7 Muestre que si r t es normal, entonces I (t;T ) = t r s ds es tambi¶e n normal y existe una funci¶o n H (t;T ) ¸ 0, tal que " ( Z )¯ # ( "Z #¯ ) ¯ ¯ T T ¯ ¯ B (t;T ) = E exp ¡ r s ds ¯F t = H (t;T ) exp ¡ E r s ds ¯F t ; ¯ ¯ t t
S o lu ci¶o n : Dicha funci¶o n H (t;T ) est¶a dada por ¯ © H (t;T ) = exp 21 Var [I (t;T ) ] ¯F
t
ª :
4 8 .8 Con base en los resultados de la secci¶o n 48.7, muestre que Var [G (t;T ) j F t ] = Var [I (t;T ) j F t ] :
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C A P ¶IT U L O 49 M O D E L O D E T A SA C O R T A D E C O X , IN G E R S O L L Y R O S S C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ²
Enfoque de ecuaciones diferenciales parciales para valuar bonos Curva de rendimiento Estimaci¶o n de par¶ametros M¶e todo generalizado de momentos (MGM) M¶e todo de Newton-Raphson
4 9 .1 In tro d u c c i¶o n Existen en la literatura varias clases de modelos que describen el comportamiento de una tasa corta con reversi¶o n a la media. En particular, si la tasa corta sigue un proceso de la forma: dr t = a (b ¡ r t ) dt + ¾ r t¯ dW t ;
(49:1)
donde a , b y ¾ son constantes positivas, ¯ ¸ 0, y f W t g t¸ 0 es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯jo de probabilidad ( ;F ;IP) j unto con su ¯ltraci¶o n aumentada IF = f F t g t¸ 0 , entonces se obtiene una de las familias m¶as importantes de modelos de tasa corta con reversi¶o n a la media y par¶ametros constantes. Observe que en la ecuaci¶o n (49.1) existe un t¶e rmino aleatorio con varianza ¾ 2 r t2 ¯ por unidad de tiempo, donde ¯ ¸ 0. Las situaciones en las que ¯ = 0 y ¯ = 21 son de particular inter¶e s, ya que conllevan a modelos que pueden tratarse anal¶³ticamente. En particular, el modelo de Vasicek se obtiene cuando ¯ = 0, mientras que el modelo de Cox, Ingersoll y Ross se obtiene cuando ¯ = 12 . Especi¯caciones de (49.1) con valores de ¯ distintos de 0 y 12 no son muy populares en la literatura debido a la complej idad y di¯cultad t¶e cnica que presentan en su tratamiento anal¶³tico.
4 9 .2 F u n d a m e n to s d e l m o d e lo C IR Es imprescindible mencionar que en la estructura de plazos generada con el modelo de Vasicek, el cual se obtiene con ¯ = 0, puede producir tasas negativas con probabilidad positiva. Afortunadamente, esta limitaci¶o n se desvanece en el modelo propuesto por Cox, Ingersoll y Ross en su art¶³culo \A Theory of the Term Structure of Interest Rates" , publicado en 1985 en \Econometrica" , ya que en su modelo las tasas siempre son positivas. Esta secci¶o n se concentra en una din¶amica de la tasa corta conducida por la siguiente ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica: dr t = a (b ¡ r t ) dt + ¾
p
r t dW t :
(49:2)
p Es importante observar que al considerar r t en el t¶e rmino estoc¶astico, el proceso de la tasa corta dej a de tener una distribuci¶o n normal. De hecho, en este caso, la distribuci¶o n corresponde a una  2 no central. Este proceso presenta reversi¶o n a la media como en el modelo de Vasicek, pero la varianza es proporcional a ¾ 2 r t por unidad de tiempo. Esto signi¯ca que conforme la tasa de inter¶e s corta aumenta, la desviaci¶o n est¶andar aumenta.
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4 9 . M o d elo d e ta sa co rta d e C ox , In g erso ll y R o ss
4 9 .3 E c u a c i¶o n d ife re n c ia l p a rc ia l d e l c o m p o rta m ie n to d e l p re c io d e u n b o n o c u p o¶ n c e ro e n e l m o d e lo d e C IR En un mundo neutral al riesgo, el precio de un bono cup¶o n cero, denotado por B (t;T ) , satisface la ecuaci¶o n diferencial parcial parab¶o lica: @B 1 @ 2B @B + ¾ 2 r t 2 + a (b ¡ r t ) ¡ rB @t 2 @ rt @ rt
t
= 0;
(49:3)
j unto con la condici¶o n de frontera B (T ;T ) = 1.
4 9 .4 S o lu c i¶o n d e la e c u a c i¶o n d ife re n c ia l p a rc ia l d e l p re c io d e u n b o n o c u p ¶o n c e ro En esta secci¶o n se resuelve la ecuaci¶o n diferencial parcial que caracteriza el precio de un bono cup¶o n cero en el modelo CIR. En vista de que la ecuaci¶o n (49.3) no presenta derivadas parciales cruzadas, se supone una soluci¶o n en variables separables, espec¶³¯camente: B (t;T ) = e A
(t;T )¡ r t D (t;T )
:
Claramente, A (T ;T ) = D (T ;T ) = 0, ya que el valor nominal del bono est¶a dado por B (T ;T ) = e A En este caso, se tiene que
(T ;T )¡ r T D (T ;T )
= 1:
³@ A @B @D ´ = ¡ rt B ; @t @t @t @B =¡D B @ rt
y @ 2B = D 2B : @ r t2 Si se sustituyen las derivadas parciales anteriores en (49.3) , se obtiene ³@ A @D ´ 1 ¡ rt B + ¾ 2 r t D 2 B ¡ r t B + (a r t ¡ a b) D B = 0: @t @t 2 Equivalentemente, @A @D 1 ¡ rt + ¾ 2 r tD @t @t 2
2
¡ r t + (a r t ¡ a b) D = 0:
(49:4)
Si se deriva (49.4) con respecto de r t , se sigue que: ¡ Es decir,
@D + 21 ¾ 2 D @t
³ @D = 21 ¾ 2 D @t
2
+ a D ¡ 1 = 0:
(49:5)
2
+
2a D 2 ´ ¡ : ¾2 ¾2
(49:6)
Observe que (49.6) es una ecuaci¶o n diferencial ordinaria de primer orden. A continuaci¶o n se resuelve (49.5) separando variables y utilizando fracciones parciales. Suponga que (49.6) se puede reescribir como: @D = 21 ¾ 2 (D ¡ x 1 ) (D + x 2 ) @t ¶o dD = 21 ¾ 2 dt: (49:7) (D ¡ x 1 ) (D + x 2 )
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4 9 . M o d elo d e ta sa co rta d e C ox , In g erso ll y R o ss
En este caso, se encuentra que x2 =
p
a+
y x1 =
p
¡a+
a 2 + 2¾ 2 ¾2
(49:8)
a 2 + 2¾ 2 : ¾2
(49:9)
En efecto, observe primero que (D ¡ x 1 ) (D + x 2 ) = D =D
2 2
+ D x 2 ¡ D x 1 ¡ x 1x 2
+ D (x 2 ¡ x 1 ) ¡ x 1 x 2 :
En virtud de (49.6) , se deben cumplir, simult¶aneamente, las siguientes dos condiciones x 1x 2 =
2 ¾2
(49:10)
y x2 ¡ x1 =
2a : ¾2
(49:11)
Se observa en (49.10) que x 1 x 2 > 0, es decir, x 1 y x 2 tienen el mismo signo. Asimismo, de (49.10) y (49.11) , se sigue que x 1 satisface la siguiente ecuaci¶o n cuadr¶atica: x 21 +
2a 2 x 1 ¡ 2 = 0: ¾2 ¾
(49:12)
Las ra¶³ces de (49.12) est¶an dadas por x1 = En consecuencia x2 =
p
¡a§
a§
p
a 2 + 2¾ 2 : ¾2 a 2 + 2¾ 2 : ¾2
Dado que x 1 y x 2 deben tener el mismo signo, existen dos posibilidades: 8 p ¡ a + a 2 + 2¾ 2 > >
(t;T )
D (T ;T )= 0
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du = (u ¡ x 1 ) (u + x 2 )
Zt T
q du = ¡ q (T ¡ t) ;
(49:13)
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530
4 9 . M o d elo d e ta sa co rta d e C ox , In g erso ll y R o ss
donde q = 12 ¾ 2 . Observe ahora que el integrando se puede expresar en t¶e rminos de fracciones parciales como 1 C1 C2 = + (u ¡ x 1 ) (u + x 2 ) u ¡ x 1 u + x2 C 1 (u + x 2 ) + C 2 (u ¡ x 1 ) = (u ¡ x 1 ) (u + x 2 ) (C 1 + C 2 ) u + C 1 x 2 ¡ C 2 x 1 = ; (u ¡ x 1 ) (u + x 2 ) lo cual implica que C
1
=¡C C
1
2
y C 1 x 2 ¡ C 2 x 1 = 1. Consecuentemente,
=¡C
2
=
1 ¾2 q = p = p : 2 2 2 x1 + x2 2 a + 2¾ a + 2¾ 2
Por lo tanto, la integral de (49.13) se puede escribir como: ZD 0
(t;T )
du 1 = (u ¡ x 1 ) (u + x 2 ) x 1 + x 2 ¡ =
x1 ¡
=
x1 ¡
=
x1
ZD 0
(t;T )
du u ¡ x1
Z D (t;T ) 1 du x1 + x2 0 u + x2 1 [ln(x 1 ¡ D (t;T ) ) ¡ ln(x 1 ) ] + x2 1 [ln(x 2 + D (t;T ) ) ¡ ln(x 2 ) ] x1 + x2 μ ¶ 1 D (t;T ) ln 1 ¡ + x2 x1 μ ¶ 1 D (t;T ) ln 1 + x1 + x2 x2 ·μ ¶Á μ ¶¸ 1 D (t;T ) D (t;T ) ln 1 ¡ 1+ ; + x2 x1 x2
(49:14)
donde se ha supuesto que x 1 > D (t;T ) ) y D (t;T ) > 0. Si la soluci¶o n D (t;T ) no satisface las condiciones anteriores, j unto con D (T ;T ) = 0, entonces se deben modi¯car los supuestos y repetir todo el an¶alisis subsecuente hasta que los supuestos sean congruentes con la soluci¶o n. As¶³ pues, (49.13) y (49.14) implican μ ¶ μ ¶ D (t;T ) D (t;T ) 1+ = 1¡ e (x 1 + x2 x1
x 2 )q (T ¡ t)
;
lo cual conduce a x 1 x 2 + x 1 D (t;T ) = (x 1 x 2 ¡ x 2 D (t;T ) ) e (x 1 + ¶o D (t;T ) =
x 2 )q (T ¡ t)
¡ ¢ x 1 x 2 e (x 1 + x 2 )q (T ¡ t) ¡ 1 > 0: x 2 e (x 1 + x 2 )q (T ¡ t) + x 1
(49:15)
Claramente, D (t;T ) < x 1 , si y s¶o lo si ¡ ¢ x 1 x 2 e (x 1 + x 2 )q (T ¡ t) ¡ 1 < x 1; x 2 e (x 1 + x 2 )q (T ¡ t) + x 1 si y s¶o lo si x 1 x 2 e (x 1 +
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x 2 )q (T ¡ t)
< x 1 x 2 + x 1 x 2 e (x 1 +
x 2 )q (T ¡ t)
+ x 12 ;
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por lo que ln(jD (t;T ) ¡ x 1 j) = ln(x 1 ¡ D (t;T ) ) . Ahora bien, dado que x 1 x 2 = 1= q , la funci¶o n D (t;T ) se puede reescribir como: D (t;T ) =
e (x 1 + x 2 )q (T ¡ t) ¡ 1 : q x 2 e (x 1 + x 2 )q (T ¡ t) + q x 1
Equivalentemente, D (t;T ) = Por lo tanto,
2(e (x 1 + 2q x 2
x 2 )q (T ¡ t)
(e (x 1 + x 2 )q (T ¡ t) p
2
¡ 1) : ¡ 1) + 2q (x 1 + x 2 )
2
2(e a + 2 ¾ (T ¡ t) ¡ 1) p p p D (t;T ) = : (49:16) (a + a 2 + 2¾ 2 ) (e a 2 + 2 ¾ 2 (T ¡ t) ¡ 1) + 2 a 2 + 2¾ 2 Por otro lado, la sustituci¶o n de (49.5) en (49.4) produce @A = a bD : (49:17) @t Es decir, Zt (e (x 1 + x 2 )q (T ¡ s ) ¡ 1) A (t;T ) ¡ A (T ;T ) = a bx 1 x 2 ds : (x 1 + x 2 )q (T ¡ s ) ¡ 1) + x 1 + x2 T x 2 (e Sea v s = e (x 1 + x 2 )q (T ¡ s ) ¡ 1; entonces dv s = ¡ (x 1 + x 2 ) q e (x 1 + x 2 )q (T ¡ s ) ds = ¡ (x 1 + x 2 ) q (v + 1) ds ; lo cual implica ¶μ ¶ Z vt μ vs 1 A (t;T ) = ¡ a bx 1 x 2 dv s x 2vs + x 1 + x 2 (x 1 + x 2 ) q (v s + 1) 0 Z vt a bx 1 x 2 vs =¡ dv s (x 1 + x 2 ) q 0 [x 2 v s + x 1 + x 2 ] (v s + 1) Z vt a bx 1 vs =¡ dv s : (x 1 + x 2 ) q 0 [v s + 1 + (x 1 = x 2 ) ] (v s + 1) De¯na, por el momento, ® = 1 + (x 1 = x 2 ) y ¯ = 1. Considere la integral en la ecuaci¶o n anterior y su soluci¶o n por fracciones parciales Z vt Z vt Z vt v ® dv ¯ dv dv = ¡ (v + ® ) (v + ¯ ) ® ¡ ¯ 0 v+® ® ¡ ¯ 0 v+¯ 0 ¯v t ¯v t ¯ ¯ ® ¯ ¯ = ln(v + ® ) ¯ ¡ ln(v + ¯ ) ¯ ¯ ® ¡ ¯ ® ¡ ¯ 0 0 μ ¶ ® vt + ® ¯ = ln ¡ ln(v t + ¯ ) ® ¡ ¯ ® ® ¡ ¯ · μ ¶ ¸ 1 vt + ® = ® ln ¡ ¯ ln(v t + ¯ ) : ® ¡ ¯ ® Por lo anterior, la funci¶o n A (t;T ) satisface μ ¶· μ ¶ ¸ a bx 1 x2 x1 + x2 v t + 1 + (x 1 = x 2 ) A (t;T ) = ¡ ln + ln(v t + 1) (x 1 + x 2 ) q x 1 x2 1 + (x 1 = x 2 ) · μ ¶ ¸ ab x 2 vt + x 1 + x 2 x2 = ¡ ln + ln(v t + 1) q x1 + x2 x1 + x2 · μ ¶ h i¸ 2a b x 2 vt + x 1 + x 2 = 2 ¡ ln + ln (v t + 1) x 2 = (x 1 + x 2 ) ¾ x1 + x2 · ¸ 2a b (x 2 + x 1 ) (v t + 1) x 2 = (x 1 + x 2 ) = 2 ln ¾ x 2vt + x 1 + x 2 " # p p 2 2 2a b 2 a 2 + 2¾ 2 e (a + a + 2 ¾ )(T ¡ t)= 2 p p p = 2 ln ¾ (a + a 2 + 2¾ 2 ) (e a 2 + 2 ¾ 2 (T ¡ t) ¡ 1) + 2 a 2 + 2¾ 2
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#2 a b= ¾ 2 p p 2 2 2 a 2 + 2¾ 2 e (a + a + 2 ¾ )(T ¡ t)= 2 p p p : A (t;T ) = ln (a + a 2 + 2¾ 2 ) (e a 2 + 2 ¾ 2 (T ¡ t) ¡ 1) + 2 a 2 + 2¾ 2 "
(49:18)
Vale la pena se~n alar que la selecci¶o n de un candidato de la forma B (t;T ) = e A (t;T )¡ r t D (t;T ) ha permitido transformar la ecuaci¶o n (49.3) en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de¯nido por (49.6) y (49.17) .
4 9 .5 P re c io d e u n b o n o c u p o¶ n c e r o c o n e l m o d e lo C IR e n t¶e rm in o s d e fu n c io n e s trig o n o m ¶e tric a s h ip e r b ¶o lic a s Es frecuente encontrar en la literatura expresiones equivalentes a D (t;T ) en (49.16) y a A (t;T ) , en (49.18) . Observe que si se de¯nen ° =
1 2
p
a 2 + 2¾ 2
y
¿ = T ¡ t;
y se utilizan las identidades e° ¿ ¡ e¡ 2
°¿
senh(° ¿ ) =
e° ¿ + e¡ 2
°¿
cosh(° ¿ ) =
y ;
entonces D (t;T ) y A (t;T ) pueden escribirse en forma alternativa como: D (t;t + ¿ ) = y
senh(° ¿ ) ° cosh(° ¿ ) + 12 a senh(° ¿ )
" # 1 ° e 2 a¿ 2a b A (t;t + ¿ ) = 2 ln : ¾ ° cosh(° ¿ ) + 12 a senh(° ¿ )
(49:19)
(49:20)
La Gr¶a¯ca 49.1 muestra el precio de un bono cup¶o n cero en funci¶o n de los par¶ametros a y b. En este caso, se ¯j aron los valores de T ¡ t = 1, ¾ = 0:0239 y r t = 0:15:
Gr¶a¯ca 49.1 Precio de un bono en funci¶o n de los par¶ametros a y b.
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4 9 .6 C u rv a d e re n d im ie n to d e l m o d e lo C IR En el caso del modelo CIR es posible obtener curvas de rendimiento con pendiente positiva, con pendiente negativa o con j orobas. La curva de rendimiento del modelo CIR se calcula como sigue: ln B (t;T ) R (t;T ) = ¡ T ¡ t (49:21) r t D (t;T ) ¡ A (t;T ) ; = T ¡ t la cual es una funci¶o n lineal de r t . En este caso, se puede demostrar que R (t;1 ) ´
lim R (t;T ) =
T! 1
2a b : a + a 2 + 2¾ 2 p
La Gr¶a¯ca 49.2 muestra la curva de rendimiento en funci¶o n de los par¶ametros a y b, con valores ¯j os T ¡ t = 1, ¾ = 0:0239 y r t = 0:15:
Gr¶a¯ca 49.2 Curva de rendimiento en funci¶o n de los par¶ametros a y b.
4 9 .7 C a m b io d e v a ria b le e n e l m o d e lo C IR c o n sta n te
p a r a o b te n e r v o la tilid a d
En esta secci¶o n, a trav¶e s de un cambio de variable, se transforma el modelo CIR en otra ecuaci¶o n p diferencial estoc¶astica con volatilidad constante. Si se de¯ne y t ´ y (r t ) = 2 r t , se tiene que 1 2 @ yt = p = yt @ rt rt y @ 2yt 1 1 =¡ =¡ : p @ r t2 2r t r t r ty t Una aplicaci¶o n simple del lema de It^o conduce a ¶ μ @ yt p @ yt @ 2yt 2 a (b ¡ r t ) + 12 ¾ r ¾ r t dW dy t = t dt + @ rt @ r t2 @ rt ¶ ¸ · μ 1 2 p 2 y2 = a b¡ t ¡ ¾ 2 r t dt + ¾ r t dW t 2r t y t yt yt 4 ¶ ¸ ·μ ¾2 1 a = 2a b ¡ ¡ y t dt + ¾ dW t : 2 2 yt
t
(49:22)
De esta manera, el coe¯ciente, ¾ , que multiplica al movimiento Browniano es constante.
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4 9 .8 E stim a c i¶o n d e lo s p a r¶a m e tro s A continuaci¶o n se presentan varios m¶e todos de estimaci¶o n de los par¶ametros del modelo CIR. Dichos m¶e todos utilizan un registro hist¶o rico de la tasa corta o de la curva de rendimiento.
4 9 .8 .1 E stim a c i¶o n d e p a r¶a m e tro s e n e l m o d e lo C IR c o n M G M En esta secci¶o n se discute sobre la estimaci¶o n de par¶ametros en el modelo CIR mediante el m¶e todo generalizado de momentos (MGM) . Considere la versi¶o n discreta del modelo CIR r t+
1
= ¯ 0 + ¯ 1 rt +
p
r t ²t ;
² t » (0;¾ 2 ) ;
(49:23)
donde ¯ 0 = a b y ¯ 1 = 1 ¡ a . En este se calculan estimadores, ¯b0 , ¯b1 y ¾b, con el m¶e todo generalizado de momentos, MGM, suj eto a las restricciones Xn
² t = 0;
t= 1
Xn
² t ² t¡
1
=0
t= 1
y
Xn
t= 1
(² 2t ¡ r t ¾ 2 ) = 0:
Por lo tanto, b a = 1 ¡ ¯b1 y b b = ¯b0 = b a : Es importante destacar que MGM no requiere de un supuesto sobre la distribuci¶o n de los errores.
4 9 .8 .2 E stim a c i¶o n d e lo s p a r¶a m e tr o s d e l m o d e lo C IR tra n sfo rm a d o e n u n m o d e lo d e v a ria n z a c o n sta n te c o n M C O Considere ahora la ecuaci¶o n (49.22) en la siguiente versi¶o n discreta y t+
1
= ¯ 1 y t¡ 1 + ¯ 2 y t + ² t ;
(49:24)
p donde y t = 2 r t , ¯ 1 = 2a b ¡ (¾ 2 = 2) , ¯ 2 = 1 ¡ (a = 2) y ² t » N (0;¾ 2 ) : Si ¯~1 , ¯~2 y ¾f2 = ¾e2 son los estimadores de m¶³nimos cuadrados ordinarios, MCO, los cuales son de m¶axima verosimilitud, entonces a~ = 2(1 ¡ ¯~2 ) y 2 2 ~ ~ ~b = 2 ¯ 1 + ¾~ = 2 ¯ 1 + ¾~ ; 4~a 8(1 ¡ ¯~2 )
son tambi¶e n estimadores de m¶axima verosimilitud.
4 9 .8 .3 E stim a c i¶o n d e lo s p a r¶a m e tr o s u tiliz a n d o la c u r v a d e re n d im ie n to d e l m o d e lo C IR (N e w to n -R a p h so n ) A continuaci¶o n se estiman los par¶ametros del modelo CIR utilizando la curva de rendimiento. Considere la curva de rendimiento del modelo CIR: R (t;T ) =
r t D (t;T ) ¡ A (t;T ) : T ¡ t
Las funciones D (t;T ) y A (t;T ) dependen de los par¶ametros a , b y ¾ , lo cual se destaca mediante la notaci¶o n D (t;T ; a ;b;¾ ) y A (t;T ; a ;b;¾ ) . Posteriormente, se ¯jan tres plazos, cuyas magnitudes dependen del horizonte al que se desea estimar la curva de rendimiento (semanas, meses o a~n os) .
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Sea R¹ (t;T i ) ; i = 1;2;3, la tasa de inter¶e s promedio de plazo T i : Considere el siguiente sistema de tres ecuaciones en las inc¶o gnitas a , b y ¾ : 8 ¹ > < R (t;T 1 ) (T 1 ¡ t) ¡ r t D (t;T 1 ; a ;b;¾ ) + A (t;T 1 ; a ;b;¾ ) = 0; R¹ (t;T 2 ) (T 2 ¡ t) ¡ r t D (t;T 2 ; a ;b;¾ ) + A (t;T 2 ; a ;b;¾ ) = 0; > : ¹ R (t;T 3 ) (T 3 ¡ t) ¡ r t D (t;T 3 ; a ;b;¾ ) + A (t;T 3 ; a ;b;¾ ) = 0: Este sistema de ecuaciones simult¶aneas se puede resolver con el m¶e todo de Newton-Raphson.
4 9 .9 A p lic a c i¶o n d e l m o d e lo d e C o x , In g e r so ll y R o ss c o n e l M G M En esta secci¶o n se lleva a cabo una aplicaci¶o n del modelo CIR utilizando MGM para la estimaci¶o n de los par¶ametros. Para ¯nes pr¶acticos, el modelo CIR puede plantearse en t¶e rminos discretos como una ecuaci¶o n estoc¶astica en diferencias: r t+
1
= ¯ 0 + ¯ 1 rt +
p
² t » (0;¾ 2 ) ;
r t ²t ;
donde ¯ 0 = a b y ¯ 1 = 1 ¡ a , j unto con las restricciones: Xn
t= 1
² t = 0;
Xn
t= 1
² t ² t¡
1
=0
y
Xn
t= 1
(² 2t ¡ r t ¾ 2 ) = 0:
La Gr¶a¯ca 49.3 muestra el comportamiento de la tasa corta (rendimiento anualizado de CETES a un d¶³a) entre el 3 de enero de 2000 y el 29 de diciembre de 2000.
Gr¶a¯ca 49.3 Comportamiento de la tasa corta anualizada (3 de enero de 2000 - 29 de octubre de 2000) .
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Los resultados de la estimaci¶o n de los par¶ametros utilizando MGM, con errores est¶andar entre par¶e ntesis, son los siguientes: p ¢r t = 0:01737(0:1682 ¡ r t ) + 0:0399 r t : (0 :0 2 2 1 ) (0 :0 2 5 3 )
(0 :0 1 1 8 )
Todas las estimaciones son signi¯cativamente distintas de cero con un 95% de con¯anza. La Gr¶a¯ca 49.4 muestra la estructura de plazos de¯nida a trav¶e s de la ecuaci¶o n (49.21) . En este caso, la estructura de plazos es creciente y, en el largo plazo, se estabiliza en un valor cercano al 16.8%. Se observa que el modelo CIR produce tasas mayores que las de Vasicek, con una diferencia m¶axima del 0.05% conforme el plazo crece, lo cual se debe fundamentalmente a un valor estimado mayor que b con el MGM.
Gr¶a¯ca 49.4 Estructura de plazos estimada con el modelo CIR (eje horizontal en d¶³as) .
4 9 .1 0 B ib lio g ra f¶³a Cox, J. C., J. E. Ingersoll, and S. A. Ross (1985) . \A Theory of the Term Structure of Interest Rates." E co n o m etrica , Vol. 53, No. 2, pp. 363-384. Venegas-Mart¶³nez, F. y B. Gonz¶alez-Ar¶e chiga (2002) . \Cobertura de tasas de inter¶e s con futuros del mercado mexicano de derivados: un modelo estoc¶astico de duraci¶o n y convexidad" . E l T rim estre E co n ¶o m ico , Vol. 59(2) , No. 274, pp. 227-250.
4 9 .1 1 E je rc ic io s 4 9 .1 Demuestre que el caso del modelo CIR la tasa larga est¶a dada por R (t;1 ) ´
lim R (t;T ) =
T! 1
2a b : a + a 2 + 2¾ 2 p
S o lu ci¶o n : Considere R (¿ ) =
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r t D (¿ ) ¡ A (¿ ) ¿
y
¿ = T ¡ t:
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En vista de que D (¿ ) ! conduce a
2= (a + 2° ) y A (¿ ) !
1
cuando ¿ !
1 , la regla de L'H^o pital
@A @¿ = lim a bD (¿ )
lim R (¿ ) = lim ¡
¿! 1
¿! 1
¿! 1
2a b a + 2° 2a b p = : a + a 2 + 2¾ 2
=
4 9 .2 Considere el caso en que x 1 y x 2 son n¶u meros negativos, es decir, 8 p ¡ a ¡ a 2 + 2¾ 2 > >
" # 1 2a b ° e 2 a¿ A (t;t + ¿ ) = 2 ln : ¾ ° cosh(° ¿ ) + 12 a senh(° ¿ )
donde ° =
1 2
p
a 2 + 2¾ 2
y
¿ = T ¡ t:
4 9 .4 Considere la ecuaci¶o n diferencial parcial que caracteriza el precio, B (t;T ) , del bono cup¶o n cero, en un mundo neutral al riesgo, p @B 1 @ 2B @B + ¾ 2 r t 2 + (a (b ¡ r t ) ¡ ¸ (r t ;t) r t ¾ ) ¡ rB @t 2 @ rt @ rt
t
= 0;
j unto con la condici¶o n de frontera B (T ;T ) = 1. Suponga que el premio al riesgo de mercado es una constante, ¸ (r t ;t) ´ ¸ . Demuestre que p 2 #2 a b= ¾ 2 2 a 2 + 2¾ 2 e (a + a + 2 ¾ )(T ¡ t)= 2 p 2 A (t;T ) = ln p p 2 (a + a 2 + 2¾ 2 ) (e a + 2 ¾ (T ¡ t) ¡ 1) + 2 a 2 + 2¾ 2 "
2
p
y D (t;T ) = (a +
p
2(e 2
a + 2¾
p
2 ) (e
p
a 2 + 2 ¾ 2 (T ¡ t) a 2 + 2 ¾ 2 (T ¡ t)
¡ 1) ¡ 1) + 2
p
a 2 + 2¾ 2
;
donde a = a ¡ ¸¾:
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4 9 .5 Demuestre, con base en el problema anterior, que la estructura de plazos de la tasa de inter¶e s en el modelo CIR se puede escribir como R (t;T ) = ´ 1 (a ;¾ ;t;T ) r t + ´ 2 (a ;¾ ;t;T ) R (t;1 ) ; donde
D (t;T ) ; T ¡ t p μ ¶ a + a 2 + 2¾ 2 ) A (t;T ) ´ 2 (a ;¾ ;t;T ) = ¡ ; 2a b T ¡ t ´ 1 (a ;¾ ;t;T ) =
a = a ¡ ¸¾ y R (t;1 ) =
2a b p : a + a 2 + 2¾ 2
4 9 .6 Suponga que la tasa corta sigue un proceso de la forma dr t = ¹ (r t ;t) dt + ¾ (r t ;t) dW t ; donde ¹ (r t ;t) y ¾ (r t ;t) son funciones conocidas y f W t g t¸ 0 es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad ( ;F ;IP) j unto con su ¯ltraci¶o n aumentada IF = f F t g t¸ 0 : Sea B = B (r t ;t; T ) el precio de un bono a descuento que se coloca en t y al vencimiento, T , paga una unidad monetaria. Considere el sistema de ecuaciones @B @ 2B + 12 ¾ 2 (r t ;t) 2 + (¹ (r t ;t) ¡ ¸ (r t ;t) ¾ (r t ;t) ) @t @r · ¸ @B @ 2B 1 @B dB = + 12 ¾ 2 (r t ;t) + ¹ (r ;t) dt + t @t @ r t2 @ rt
@B + r t B = 0; @ rt @B ¾ (r t ;t) dW t : @ rt
La primera ecuaci¶o n es la ecuaci¶o n diferencial parcial que satisface cualquier bono cup¶o n cero, la segunda corresponde al lema de It^o . Estas ecuaciones conducen a μ ¶ @B 1 @B dB = r t + ¸ (r t ;t) ¾ (r t ;t) B dt + ¾ (r t ;t) dW t : @ rt B @ rt En el caso del modelo CIR μ ¶ p @B 1 @B p dB = r t + ¸ (r t ;t) ¾ r t B dt + ¾ r t dW t ; @ rt B @ rt suponga que
p
rt ; ¾ entonces el rendimiento esperado del bono satisface ¯ ¸ · dB ¯ ¯F t = r t + ¸ ² B E B ¯ ¸ (r t ;t) = ¸
donde
²B
;r
=
;r ;
@ B rt @ rt B
es la elasticidad del precio del bono con respecto de la tasa de inter¶e s. De esta manera, la ecuaci¶o n diferencial parcial del precio de un bono cup¶o n cero est¶a dada por ¡ ¢@ B @B @ 2B + 21 ¾ 2 r t 2 + a (b ¡ r t ) ¡ ¸ r t + r t B = 0: @t @r @ rt
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Demuestre que la soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial parcial anterior est¶a dada por B (r t ;T ) = M (t;T ) e ¡ donde M (t;T ) =
"
2° e [(a + ¸ + ° )(T ¡ t)]= 2 (° + a + ¸ ) (e ° (T ¡ t) ¡ 1) + 2°
D (t;T ) = y
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D (t;T )r t
#2 a b= ¾ 2
;
2(e ° (T ¡ t) ¡ 1) (° + a + ¸ ) (e ° (T ¡ t) ¡ 1) + 2°
¡ ¢1 = 2 ° = (a + ¸ ) 2 + 2¾ 2 :
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.
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C A P ¶IT U L O 50 R E S U L T A D O S A D IC IO N A L E S D E L M O D E L O D E C O X , IN G E R S O L L Y R O S S C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² Distribuci¶o n de la tasa corta del modelo CIR ² Distribuci¶o n Ji cuadrada no central y par¶ametros del modelo CIR ² Estados absorbentes, recurrentes, transitorios y polares
5 0 .1 In tro d u c c i¶o n Varios resultados adicionales sobre el modelo de Cox, Ingersoll y Ross (1985) se discuten en el presente cap¶³tulo. En particular se muestra que la tasa corta del modelo CIR sigue una distribuci¶o n Ji cuadrada con par¶ametro de no centralidad. Se recuerda que en este modelo la din¶amica de la tasa de inter¶e s corta es conducida por una ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica de la forma p dr t = a (b ¡ r t ) dt + ¾ r t dW t ; (50:1) donde a ; b; ¾ ; r 0 > 0 y f W t g t> probabilidad ( ;F ;IP) .
0
es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de
5 0 .2 D istrib u c i¶o n d e la ta sa c o rta e n e l m o d e lo C IR El ob j etivo de esta secci¶o n es determinar la distribuci¶o n de la tasa corta en el modelo CIR. Considere el proceso de Ornstein-Uhlenbeck dy t = ¡ a y t dt + ¾ dU t ;
(50:2)
donde a ; ¾ > 0 y f U t g t> 0 es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad ( ;F ;IP) . La soluci¶o n de este proceso es similar a la de una ecuaci¶o n diferencial no homog¶e nea de primer orden, a saber, μ ¶ Zt y t =e ¡ a t y 0 + ¾ e a s dU s 0 (50:3) Zt =y 0 e ¡
at
e¡
+¾
a (t¡ s )
dU s :
0
As¶³, y t se distribuye normal con media y varianza (condicionales) E[y t jy 0 ] = y 0 e ¡ y Var[y t jy 0 ] = ¾ 2
Zt
e¡
2 a (t¡ s )
0
at
ds =
(50:4) ¾2 ¡ 1 ¡ e¡ 2a
2at
¢ :
Observe tambi¶e n que una simple aplicaci¶o n del lema de It^o a x t = y t2 conduce a μ ¶ @xt @ 2x t @xt dx t = ¡ a y t + 21 ¾ 2 dt + ¾ dU t 2 @ yt @ yt @ yt =2y t (¡ a y t dt + ¾ dU t ) + ¾ 2 dt
(50:5)
(50:6)
=2y t dy t + ¾ 2 dt:
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5 0 . R esu lta d o s a d icio n a les d el m o d elo d e C ox , In g erso ll y R o ss
Suponga ahora que se tienen U 1 t ;U 2 t ;:::;U n t movimientos Brownianos independientes de¯nidos sobre ( ;F ;IP) y de¯na los siguientes n procesos de Ornstein-Uhlenbeck: dy k t = ¡
1 2
a y k t dt + 12 ¾ dU
k = 1;2;:::;n :
k t;
(50:7)
En cuyo caso, de (50.3) -(50.5) , se tiene que ykt = e
¡ a t= 2
μ Zt 1 yk0 + 2 ¾ e a s = 2 dU
ks
¶
k = 1;2;:::;n :
;
(50:8)
0
j unto con E[y k t jy k 0 ] = y k 0 e ¡ y ¾2 Var[y k t jy k 0 ] = 4
Zt
e¡
a t= 2
a (t¡ s )
ds =
Xn
y k2 t ;
´ ¹ k ;t ¾2 ¡ 1 ¡ e¡ 4a
0
(50:9)
at
¢ ´ º t2 :
(50:10)
Considere ahora el proceso rt =
(50:11)
k= 1
entonces,
rt » Â 2 (n ;± t ) ; º t2
(50:12)
n 1 X 2 ¹ k ;t : º t2
(50:13)
con par¶ametro de no centralidad ±t =
k= 1
Es decir, r t = º t2 sigue una distribuci¶o n  2 no central con n grados de libertad y par¶ametro de no centralidad ± t .
5 0 .3 D istrib u c i¶o n J i c u a d ra d a n o c e n tra l y p a r¶a m e tro s d e l m o d e lo C IR En esta secci¶o n se muestra que la tasa corta del modelo CIR sigue una distribuci¶o n Ji cuadrada no central. Observe primero que a partir de (50.6) , (50.7) y (50.11) , se sigue que dr t = =
Xn
dy k2 t
k= 1 Xn
k= 1
¡ 2y k t ¡ a 21 y k t dt + 21 ¾ dU
= ¡ a r t dt + ¾ =
μ
Xn
k= 1
kt
¢ n¾2 + dt 4
n¾2 y k t dU k t + dt 4
¶
(50:14)
n
p X y k t dU k t n¾ ¡ a r t dt + ¾ r t : p 4 rt 2
k= 1
Se de¯ne dW Claramente W
t
t
´
Xn y k t dU k t : p rt
es una martingala, pues no tiene tendencia. Si se de¯ne Vt = W
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(50:15)
k= 1
2 t ;
(50:16)
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543
5 0 . R esu lta d o s a d icio n a les d el M o d elo d e C ox , In g erso ll y R o ss
se tiene que dV t = 21
n n @ 2 V t X y k2 t @ V t X y k t dU k t dt + p @ W t2 rt @W t rt k= 1
k= 1
n 1 X 2 = y k t dt + 2W t dW rt
(50:17) t
k= 1
=dt + 2W t dW t : Por lo tanto, W
2 t
=
Zt
Zt
ds + 2 W s dW 0 Zt =t + 2 W s dW s ; 0
s
(50:18)
0
lo cual implica que W
2 t
¡ t=2
Zt
W
s dW s
(50:19)
0
es una martingala. En virtud del teorema de representaci¶o n de L¶e vy, se tiene que W t es un movimiento Browniano de¯nido en ( ;F ;IP) . En consecuencia, se puede escribir μ 2 ¶ p n¾ dr t = ¡ a r t dt + ¾ r t dW t : (50:20) 4 Si se compara (50.20) con (50.1) se tiene que ab =
n¾2 : 4
(50:21)
Por lo tanto, 4a b : ¾2 Esta ecuaci¶o n y, por lo tanto, (50.21) , tiene a¶u n sentido cuando n no es un entero positivo. As¶³, el par¶ametro de no centralidad satisface n =
n 1 X 2 ¡ ±t = 2 yk0e ºt
at
k= 1
1 = 2 r0 e¡ ºt
at
(50:22)
:
De acuerdo con (50.12) , se puede concluir que 4a ¾ 2 (1 ¡ e ¡
a t)
rt » Â 2
μ
4a b 4a r 0 e ¡ a t ; 2 2 ¾ ¾ (1 ¡ e ¡ a t )
¶
:
(50:23)
Si n = 4a b= ¾ 2 = 0, entonces r t ´ 0 es soluci¶o n de (50.1) y, as¶³, el 0 es un estado absorbente del proceso r t . Claramente, en este caso, la medida de Lebesgue, ¹ L , del conj unto f t j r t = 0g satisface ¹ L f t j r t = 0g = 1 : Si se de¯ne el evento A
0
= f existe al menos un t > 0 tal que r t = 0g
y 0 · n < 2, entonces se puede veri¯car que IP f A 0 g = E IP [1 A 0 ] = 1:
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5 0 . R esu lta d o s a d icio n a les d el m o d elo d e C ox , In g erso ll y R o ss
Es decir, el 0 es un estado recurrente del proceso r t . Si 0 < n < 2, entonces ¹ L f t j r t = 0g = 0; en cuyo caso se dice que el estado 0 es instant¶aneamente re°ejado. Asimismo, si n ¸ 3, entonces IP f A 0 g = 0: En otras palabras, el 0 es un estado transitorio del proceso r t . Por otra parte, el tiempo de primera visita, T 0 , al estado r t = 0 se de¯ne como: T 0 = inf f t : r t = 0g : Se tiene ahora que si 0 · n < 2, entonces IP f T 0 < 1 g = 1; mientras que si n ¸ 2,
IP f T 0 < 1 g = 0:
En este u¶ ltimo caso, se dice que el estado 0 es polar para r t . Si adem¶as, para n ¸ 2, el estado 0 ha sido visitado y el proceso r t nunca m¶as regresa a ¶e l despu¶e s de dej arlo se dice que dicho estado es una frontera de entrada. Por u¶ ltimo, si se de¯ne el evento B 0 = f existe un n¶u mero in¯nito de tiempos t > 0 para los cuales r t = 0g ; entonces para n = 1, IP f r t > 0g = 1
IP f B 0 g = 1:
y
5 0 .4 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Cox, J. C., J. E. Ingersoll, and S. A. Ross (1985) . \A Theory of the Term Structure of Interest Rates." E co n o m etrica , Vol. 53, No. 2, pp. 363-384. Elliot, R. J. and P. E. Kopp (1999) . Mathematics of Financial Markets. Springer-Verlag, New York.
5 0 .5 E je rc ic io s 5 0 .1 Muestre que
· rt E 2 ºt
S o lu ci¶o n : Observe que E
· rt º t2
¯ ¸ ¡ at ¯ ¯r 0 = n + e r0 : ¯ º t2
¯ ¸ Xn ¯ £ ¤ ¯r 0 = 1 E y k2 t j y k 0 2 ¯ º =
t k= 1 Xn
1 º t2
k= 1
¡ ¢ Var [y k t j y k 0 ] + (E [y k t j y k 0 ] ) 2
n n e¡ a t X 2 = 2 º t2 + 2 yk0 ºt ºt k= 1
e¡ a t =n + 2 r 0 : ºt
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5 0 . R esu lta d o s a d icio n a les d el M o d elo d e C ox , In g erso ll y R o ss
5 0 .2 Pruebe que E
"μ
rt º t2
¶2 ¯ # ¡ at ¯ n 2e ¡ a t ¯r 0 = r 0 e + + ¯ º t4 º t2 º t4
X
y k 0 y j0 :
1 · k < j· n
S o lu ci¶o n : Debido a la independencia entre las variables aleatorias U que
E
"μ
rt º t2
k t;
k = 1;2;:::;n , se tiene
0 1 ¶2 ¯ # Xn X ¯ £2 ¤ 1 ¯r 0 = @ E ykt j yk0 + 2 E [y k t y j t j y k 0 ;y j 0 ] A ¯ º t4 k= 1 1 · k < j· n "μ ¶2 # Zt ¡ a t Xn e 2e ¡ a t X a s= 2 1 = 4 E yk0 + 2 ¾ e dU k s + y k 0 y j0 ºt º t4 0 k= 1 1 · k < j· n " μZ t ¶2 # Zt n e¡ a t X 2 a s= 2 a s= 2 1 2 = 4 E yk0 + yk0¾ e dU k s + 4 ¾ e dU k s ºt 0 0 k= 1
X
2e ¡ a t + º t4 n e¡ a t X = 4 ºt
y k 0 y j0
1 · k < j· n
(
y k2 0 + 14 ¾ 2 E
"μZ t
e a s = 2 dU
ks
¶2 #)
0
k= 1 ¡ a t Xn
+
2e ¡ a t º t4
X
y k 0 y j0
1 · k < j· n
μ ¶ Zt 2e ¡ a t X 2 as 1 2 y + ¾ e ds + y k 0 y j0 k0 4 4 ºt º t4 0 k= 1 1 · k < j· n ¶ n μ ¢ e¡ a t X ¾ 2 ¡at 2e ¡ a t X = 4 y k2 0 + e ¡ 1 + y k 0 y j0 ºt 4a º t4 k= 1 1 · k < j· n μ ¶ ¢ e¡ a t n ¾ 2 ¡at = 4 r0 + e ¡ 1 ºt 4a ¡ at ¢ 2e ¡ a t X r0 e n¾2 ¡ = + 4 1 ¡ e¡ at + y k 0 y j0 4 ºt 4º t a º t4 =
=
e
¡ at
r0 e º t4
+
¡ at
n 2e + º t2 º t4
X
1 · k < j· n
y k 0 y j0 :
1 · k < j· n
5 0 .3 Con base en los dos ej ercicios anteriores, demuestre que · ¸ μ ¶2 rt r0 e¡ a t n e¡ a t 2e ¡ a t Var 2 = + 2 ¡ n + 2 r0 + 4 ºt ºt ºt ºt º t4
S o lu ci¶o n :
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y k 0 y j0 :
X
y k 0 y j0 :
1 · k < j· n
"μ ¶ · ¸ 2 rt rt Var 2 =E ºt º t2 =
r0 e¡ a t º t4
¯ # μ · ¯ ¸¶2 ¯ ¯ ¯r 0 ¡ E r t ¯r 0 2 ¯ ºt ¯ μ ¶2 n e¡ a t 2e ¡ a t + 2 ¡ n + 2 r0 + ºt ºt º t4
X
1 · k < j· n
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5 0 .4 Suponga que dr t =
μ
¶ p n¾2 ¡ a r t dt + ¾ r t dW t : 4
El tiempo de primera visita, T 0 , al estado r t = 0 se de¯ne como: T 0 = inf f t : r t = 0g : Demuestre que si 0 · n < 2, entonces IP f T 0 < 1 g = 1; mientras que si n ¸ 2, se cumple que IP f T 0 < 1 g = 0: 5 0 .5 En el modelo de tasa corta de CIR muestre que si t < T , entonces E[r T jF t ] = b + (r t ¡ b) e ¡
a (T ¡ t)
y Var[r T jF t ] = r t
μ
¾2 a
¶³ e¡
a (T ¡ t)
¡ e¡
2 a (t¡ t)
´
+
a b¾ 2 2
μ
1 ¡ e ¡ a (T ¡ a
t)
¶2
:
Concluya de lo anterior que lim E[r T jF t ] = b
T! 1
y Var[r T jF t ] = b
μ
¾2 2a
¶
:
S o lu ci¶o n : En el modelo CIR, la tasa corta se distribuye como una Ji cuadrada no central: ³4a b rt 4a r o e ¡ a t ´ » Â2 ; 2 2 2 ºt ¾ ¾ (1 ¡ e ¡ a t ) donde º t2 = ¾ 2 (1 ¡ e ¡ a t ) = 4a . Recuerde que una variable aleatoria Y que se distribuye como una  2 no central con n grados de libertad y par¶ametro de no centralidad ± , Y »  2 (n ;± ) , si Xn Y = X i2 = ¾ 2 i= 1
donde las X i son variables aleatorias normales independientes con la misma varianza, ¾ 2 , y con P media E(X i ) = ¹ i , i = 1;2;:::;n . El par¶ametro de no centralidad de Y se de¯ne como ± = ni= 1 ¹ 2i = ¾ 2 . La media y la varianza de Y est¶an dadas, respectivamente, por n
E[Y ] = =
1 X E[X i2 ] ¾ 2 i= 1 n ¤ 1 X £ Var[X i ] + E 2 [X i ] 2 ¾ i= 1
= n¾2 +
n 1 X ¹2 ¾ 2 i= 1 i
=n +±
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y Var[Y ] = Var =
·P n
i= 1 ¾2
2 i
X
¸
n 1 X Var[X i2 ] ¾ 4 i= 1
n ¢ 1 X ¡ E[X i2 ] ¡ E 2 [X i ] 4 ¾ i= 1 Ã n ! Xn 1 X 4 2 2 4 2 2 2 = 4 (3¾ + 6¾ ¹ i + ¹ i ) ¡ (¾ + ¹ i ) ¾ i= 1 i= 1
=
=
Xn ¢ 1 ¡ 4 2 2n ¾ + 4¾ ¹ i2 4 ¾ i= 1
= 2(n + 2± ) : A partir de estos resultados y la distribuci¶o n de r t = º t2 , se tiene que E[r t j F 0 ] =
º t2 E
· ¯ ¸ rt ¯ ¯F 0 º t2 ¯
= º t2 (n + ± )
¾ 2 (1 ¡ e ¡ a t ) ³4a b 4a r o e ¡ a t ´ + 4a ¾2 ¾ 2 (1 ¡ e ¡ a t ) = b(1 ¡ e ¡ a t ) + r 0 e ¡ a t =
= b + (r 0 ¡ b) e ¡ y Var[r t jF 0 ] = º t4 Var
at
· ¸ rt º t2
= 2º t4 (n + 2± )
2¾ 4 (1 ¡ e ¡ a t ) 2 ³4a b 8a r o e ¡ a t ´ + 2 2 2 16a ¾ ¾ (1 ¡ e ¡ a t ) b¾ 2 ¾2 = (1 ¡ e ¡ a t ) 2 + (1 ¡ e ¡ a t ) r 0 e ¡ a t 2a a ³¾ 2 ´³ ´ ³a b¾ 2 ´³1 ¡ e ¡ = r0 e¡ a t ¡ e¡ 2a t + a 2 a =
a t ´2
:
Cuando T ! 1 , todas las exponenciales en los dos resultados anteriores tienden a cero, por lo que lim E[r T jF t ] = b y lim Var[r T jF t ] = b¾ 2 = 2a : T! 1
T! 1
5 0 .6 En el modelo CIR la tasa spot es no negativa. Se sabe que r t > 0 cuando ¾ 2 · a b= 2, mientras que r t ¸ 0 cuando ¾ 2 > a b= 2. Muestre que r t tiene densidad f (r t ) = ce ¡ donde c= y
c(r t + v )
2a ¾ 2 (1 ¡ e ¡
³r ´q = 2 p t I q (2c r t v ) ; v
a t)
I q (x ) =
; v = r0 e¡ X1
k= 0
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at
; q =
¡x ¢2 k +
r t ¸ 0; 2a b ¡ 1 ¾2
q
2
k !¡(k + q + 1)
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es la funci¶o n modi¯cada de Bessel de primera clase de orden q . Como siempre, ¡(x ) es la funci¶o n Gamma. Se dice, en este caso, que la funci¶o n de densidad corresponde a una variable aleatoria con distribuci¶o n  2 no central con 2(q + 1) grados de libertad y par¶ametro de no centralidad 2cv . Observe que f (r t ) se puede escribir en t¶e rminos de la funci¶o n de distribuci¶o n Poisson y la funci¶o n de densidad Gamma. Para ello, note que si en la funci¶ p on modi¯cada de Bessel de primera clase de orden q se efect¶u a el cambio de variable x = 2c r t v , se sigue que ³x ´2 k + q X1 p 1 I q (x ) = I q (2c r t v ) = k !¡(k + q + 1) 2 =
k= 0 X1 k= 0
p 1 2k + q (c r t v ) : k !¡(k + q + 1)
Si se sustituye la expresi¶o n anterior en f (r t ) , se tiene que f (r t ) =
X1 (cv ) k e¡ k!
cv
k= 0
1 cq + ¡(k + q + 1)
k + 1 q + k ¡ cr t rt e :
Si se denota ahora ® = k + q + 1, se obtiene f (r t ) =
X1 (cv ) k e¡ k!
cv
k= 0
1 ® ®¡ 1 ¡ c rt e ¡(® )
cr t
:
Si adem¶as se supone c = ¸ , se puede escribir que f (r t ) =
X1 (¸ v ) k e¡ k!
k= 0
¸v
1 ¸ ® r t® ¡ 1 e ¡ ¡(® )
¸ rt
:
En este caso, h (r t ) =
1 ¸ ® r t® ¡ 1 e ¡ ¡(® )
¸ rt
es la funci¶o n de densidad de una variable aleatoria con distribuci¶o n Gamma con media E[r t ] = ® = ¸ y varianza Var(r t ) = ® = ¸ 2 .
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C A P ¶IT U L O 51 M O D E L O D E T A SA C O R T A D E H O Y L E E : C A L IB R A C IO¶ N C O N U N A C U R V A IN IC IA L DE CERO S C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ²
Modelos de calibraci¶o n de curvas de ceros con precios actuales Ecuaci¶o n diferencial parcial del precio de un bono cup¶o n cero Ecuaciones integrales Tasa forward
5 1 .1 In tro d u c c i¶o n Hasta ahora, en varios de los cap¶³tulos anteriores, se ha visto que a partir de una especi¯caci¶o n ex¶o gena de la din¶amica de la tasa de inter¶e s instant¶anea, o tasa corta, es posible determinar el precio de un bono cup¶o n cero de manera end¶o gena. Esto se hizo utilizando los enfoques de ecuaciones diferenciales parciales y probabilista. En el primer caso, se caracteriza el precio del bono como soluci¶o n de una ecuaci¶o n diferencial parcial de segundo orden. Dicha ecuaci¶o n diferencial parcial se obtiene al cubrir, del riesgo de mercado, un portafolio de bonos a distintos vencimientos y a trav¶e s de argumentos econ¶o micos de equilibrio general. El supuesto fundamental fue que si los mercados estaban en equilibrio, entonces no pod¶³an existir oportunidades de arbitraj e. Una vez que la ecuaci¶o n diferencial parcial era resuelta, su soluci¶o n se utilizaba para generar una curva de rendimiento, la cual estaba en funci¶o n del valor m¶as reciente de la tasa corta y de los par¶ametros que interven¶³an en el modelo. El siguiente paso era decidirse por un m¶e todo de estimaci¶o n de los par¶ametros en cuesti¶o n, el cual se basaba, usualmente, en registros hist¶o ricos de la tasa corta. Estos pasos se resumen, a continuaci¶o n, con mayor precisi¶o n: (i) Se supone una especi¯caci¶o n ex¶o gena de la din¶amica estoc¶astica de la tasa corta: dr t = ¹ (r t ; μ ) dt + ¾ (r t ; μ ) dW t ;
(51:1)
donde (W t ) t¸ 0 es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad con una ¯ltraci¶o n, ( ;F ;(F t ) t¸ 0 ;IP) , y μ era un vector de par¶ametros. (ii) El precio de equilibrio, B (r t ;t; T ;μ ) , en t, de un bono cup¶o n cero que al vencimiento, T , paga una unidad monetaria satisface @B @ 2B @B + 12 ¾ 2 (r t ; μ ) 2 + ¹ (r t ; μ ) ¡ r t B = 0; @t @ rt @ rt
(51:2)
j unto con la condici¶o n ¯nal B (r t ;T ; T ;μ ) = 1: (iii) La ecuaci¶o n diferencial parcial en (51.2) se resuelve suponiendo una soluci¶o n de la forma B (r t ;t; T ;μ ) = e A
(t;T ;μ )¡ r t D (t;T ;μ )
:
(51:3)
(iv ) En virtud de (51.3) , la curva de rendimiento se calcula mediante R (t;T ; μ ) = ¡
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ln B (r t ;t; T ;μ ) r t D (t;T ; μ ) ¡ A (t;T ; μ ) = : T ¡ t T ¡ t
(51:4)
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550
5 1 . M o d elo d e H o y L ee: ca lib ra ci¶o n co n u n a cu rva in icia l d e cero s
(v ) Se obtiene un estimador, μb, del vector de par¶ametros, μ , y se sustituye en (51.3) y (51.4) . Por otro lado, el enfoque probabilista calcula de manera directa ( Ã !¯ ) ZT ¯ ¯ B (r t ;t; T ;μ ) = E exp ¡ r s ds ¯F t (51:5) ¯ t
RT utilizando la distribuci¶o n de t r s ds . Otra alternativa para valuar bonos cup¶o n cero, con base en el comportamiento de una tasa corta, es propuesta por Thomas S. Y. Ho y Sang-Bin Lee en su art¶³culo \Term Structure Movements and Pricing Interest Rate Contingent Claims" , publicado en 1986 en el \Journal of Finance" . En su metodolog¶³a, Ho y Lee, a partir de una curva de rendimiento conocida, calibran para un tiempo posterior una curva de rendimiento factible. La nueva curva de rendimiento se obtiene calibrando la tendencia de la tasa corta con la pendiente de la tasa forward asociada a la curva de rendimiento conocida m¶as un t¶e rmino lineal en la variable tiempo. De esta forma, los valores de la curva de rendimiento conocida son consistentes con los valores te¶o ricos obtenidos a trav¶e s de la metodolog¶³a propuesta por Ho y Lee. Por esta raz¶o n el modelo de Ho y Lee no pertenece a la clase de modelos de tasas de equilibrio general. Es importante mencionar tambi¶e n que en los modelos de Merton (1973) , Vasicek (1973) y Cox, Ingersoll y Ross (1985) , la estimaci¶o n de todos los par¶ametros se lleva a cabo mediante una serie hist¶o rica de la tasa corta, mientras que en el modelo de Ho y Lee s¶o lo el par¶ametro de volatilidad se estima con un registro hist¶o rico de la tasa corta, pues como se mencion¶o antes, la curva de rendimiento se calibra aj ustando la informaci¶o n actual del mercado a la tendencia de la tasa corta. Por u¶ ltimo, vale la pena destacar que al igual que en el modelo de Vasicek, el de Ho y Lee puede producir valores negativos de r t , lo cual es una limitaci¶o n seria. Aun cuando la probabilidad de que se presenten valores negativos en el modelo de Ho y Lee es muy peque~n a, la posibilidad de que estos valores ocurran siempre est¶a presente.
5 1 .2 P la n te a m ie n to d e l m o d e lo El modelo original de Ho y Lee (1986) es desarrollado en tiempo discreto. Con el prop¶o sito de que dicho modelo pueda compararse con los modelos estudiados en cap¶³tulos anteriores, es necesario plantearlo en tiempo continuo. El modelo de tasa corta propuesto por Ho y Lee considera, como en los modelos de Merton, Vasicek y Cox, Ingersoll y Ross, un solo factor de incertidumbre. En este modelo el t¶e rmino de tendencia es dependiente del tiempo e independiente del nivel de la tasa corta. El comportamiento de la tasa corta es conducido por el siguiente proceso: dr t = h t dt + ¾ dW t ;
(51:6)
donde ¾ > 0 es una cantidad constante, h t = h (t) es una funci¶o n del tiempo y W decir, la din¶amica estoc¶astica de la tasa corta sigue una distribuci¶o n normal y rt = r0 +
Zt
h s ds + ¾
0
Zt
t
» N (0;t) . Es
dW s :
0
En este caso, la media y varianza de la tasa corta satisfacen, respectivamente, E[r t jF 0 ] = r 0 + y
Zt
h s ds
0
Var[r t jF 0 ] = ¾ 2 t;
donde F 0 es la informaci¶o n relevante disponible en t = 0. La funci¶o n h t determina, en promedio, hacia donde se mover¶a r t en el futuro y se elegir¶a de tal manera que la curva de rendimiento sea consistente con una curva de rendimiento anterior. Finalmente, observe que la volatilidad es constante, es decir, es independiente del nivel de la tasa corta y del tiempo.
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551
5 1 . M o d elo d e H o y L ee: ca lib ra ci¶o n co n u n a cu rva in icia l d e cero s
5 1 .3 E c u a c i¶o n d ife re n c ia l p a rc ia l d e l c o m p o rta m ie n to d e u n b o n o c u p o¶ n c e ro En el modelo de Ho y Lee el precio del bono cup¶o n cero, B (t;T ) , satisface la siguiente ecuaci¶o n diferencial parcial parab¶o lica: @B @B @ 2B + ht + 12 ¾ 2 2 ¡ r t B = 0; @t @ rt @ rt
(51:7)
j unto con la condici¶o n ¯nal B (T ;T ) = 1. Dado que la ecuaci¶o n anterior no tiene derivadas parciales cruzadas y h t no depende de r t , se puede suponer una soluci¶o n en variables separables, como en el modelo de tasa corta de Merton, de la forma: B (t;T ) = e A
(t;T )¡ r t (T ¡ t)
:
(51:8)
Claramente, en este caso, se cumple que A (T ;T ) = 0, ya que el valor nominal del bono en el tiempo T , est¶a dado por B (T ;T ) = e A (T ;T ) = 1: Observe ahora que @B = @t
μ
¶ @A + rt B ; @t
@B = ¡ (T ¡ t) B @ rt y @ 2B = (T ¡ t) 2 B : @ r t2 Si se sustituyen las derivadas parciales anteriores en (51.7) , se encuentra que μ
¶ @A + r t B + 12 ¾ 2 (T ¡ t) 2 B ¡ r t B ¡ h t (T ¡ t) B = 0: @t
Equivalentemente, @A = h t (T ¡ t) ¡ @t
1 2
¾ 2 (T ¡ t) 2 :
(51:9)
Es relevante destacar que al suponer una soluci¶o n de la forma (51.8) , la ecuaci¶o n diferencial parcial de segundo orden en B , expresada en (51.7) , se ha transformado en una ecuaci¶o n diferencial ordinaria de primer orden, dada en (51.9) . La soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial ordinaria en (51.9) est¶a dada por ZT A (t;T ) = ¡ h s (T ¡ s ) ds + 61 ¾ 2 (T ¡ t) 3 : (51:10) t
En virtud de (51.4) , A (t;T ) ¡ r t (T ¡ t) = ln B (t;T ) , de donde se desprende que ZT t
h s (T ¡ s ) ds = ¡ ln B (t;T ) + 61 ¾ 2 (T ¡ t) 3 ¡ r t (T ¡ t) ;
o en forma alternativa, en t¶e rminos de la curva de rendimiento R (t;T ) , R (t;T ) (T ¡ t) =
ZT t
h s (T ¡ s ) ds ¡
1 6
¾ 2 (T ¡ t) 3 + r t (T ¡ t) :
(51:11)
De esta manera, si se conociera h t se podr¶³a determinar R (t;T ) . Sin embargo, h t no es conocida. >Qu¶e se puede hacer para resolver este problema? La forma de contestar esta pregunta es j ustamente la contribuci¶o n de Ho y Lee, como se ver¶a en la siguiente secci¶o n.
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5 1 . M o d elo d e H o y L ee: ca lib ra ci¶o n co n u n a cu rva in icia l d e cero s
5 1 .4 C a lib ra c i¶o n c o n u n a c u rv a in ic ia l d e c e ro s En lo que sigue, se supone que ¾ ha sido estimada por alg¶u n m¶e todo de inferencia estad¶³stica. La (0 ) funci¶o n, h s se elegir¶a de tal manera que sea consistente con los valores de B (0;T ) = e ¡ R (0 ;T )T , (0 ) obtenidos en t = 0. Es decir, se desea determinar h s de tal manera que se satisfaga (51.11) , esto es, ZT h s(0 ) (T ¡ s ) ds = ¡ ln B (0;T ) + 61 ¾ 2 T 3 ¡ r 0 T : (51:12) 0
(0 )
Como puede observarse, la expresi¶o n anterior es una ecuaci¶o n integral en h s . En esta ecuaci¶o n ¡ ln B (0;T ) es conocido y s¶o lo el miembro izquierdo es desconocido. Este razonamiento contiene j ustamente toda la esencia del modelo de Ho y Lee. Aunque la ecuaci¶o n (51.7) se deriva en el (0 ) marco del equilibrio general, la calibraci¶o n de h s con B (0;T ) = e ¡ R (0 ;T )T rompe con dicho marco. Por esta raz¶o n, este tipo de modelos son conocidos como de no arbitraje. Una forma de resolver la ecuaci¶o n integral (51.12) es calculando sus dos primeras derivadas. Con el ¯n de derivar (51.12) con respecto de T , denote el integrando de (51.12) , por un momento, como ) g (T ;s ) = h (0 s (T ¡ s ) :
En este caso, la regla de Leibnitz conduce a @ @T
ZT
g (T ;s ) ds =
ZT
=
ZT
0
@ @T @0 g (T ;s ) ds + g (T ;T ) ¡ g (T ;0) @T @T @T
0
h s(0 ) ds :
0
Por lo tanto, la derivada parcial de (51.12) con respecto de T , est¶a dada por ZT 0
h s(0 ) ds = ¡
@ ln B (0;T ) + 21 ¾ 2 T @T
2
¡ r0 :
(51:13)
Si se deriva de nuevo (51.12) , con respecto de T , se encuentra que (0 )
hT
=¡
@2 ln B (0;T ) + ¾ 2 T ; @T 2
o bien en t¶e rminos de la tasa forward instant¶anea (0 )
hT
=
@ f (0;T ) + ¾ 2 T : @T
(51:14)
Lo anterior signi¯ca que la tasa corta se mover¶a, en promedio, en la direcci¶o n de la pendiente de la tasa forward. Para encontrar A (t;T ) , se escribe primero (51.14) sustituyendo t en lugar de T , es decir, (0 )
ht
=¡
@2 ln B (0;t) + ¾ 2 t @ t2
(51:15)
¶o (0 )
ht
=
@ f (0;t) + ¾ 2 t: @t
De esta manera, la din¶amica estoc¶astica de la tasa corta no presenta reversi¶o n a la media. Observe (0 ) que si la pendiente de la tasa forward es positiva, entonces h t es positiva. Mientras que si la
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5 1 . M o d elo d e H o y L ee: ca lib ra ci¶o n co n u n a cu rva in icia l d e cero s (0 )
pendiente de la tasa forward es negativa y grande en valor absoluto, entonces h t negativa. Ahora bien, en virtud de (51.15) , el t¶e rmino integral en (51.12) satisface ZT
h
¶ ZT μ @2 2 ¡ s ) ds = ¡ ln B (0;s ) + ¾ s (T ¡ s ) ds @ s2 t ZT ZT @2 =¡ (T ¡ s ) 2 ln B (0;s ) ds + ¾ 2 s (T ¡ s ) ds @s t t ZT 2 ZT @ @2 ¾2 =¡T ln B (0;s ) ds + s 2 ln B (0;s ) ds + (T 2 @s @s 6 t t
(0 ) s (T
t
3
podr¶³a ser
¡ 3T t2 + 2t3 ) : (51:16)
La segunda integral puede resolverse mediante integraci¶o n por partes, como sigue: ZT t
s
¯T ZT ¯ @2 @ @ ¯¡ ln B (0;s ) ds = s ln B (0;s ) ln B (0;s ) ds ¯ @ s2 @s @ s t t @ @ =T ln B (0;T ) ¡ t ln B (0;t) ¡ ln B (0;T ) + ln B (0;t) : @T @t
En consecuencia, la integral en (51.16) satisface ZT t
@ @ ln B (0;T ) + T ln B (0;t) @T @t μ ¶ @ @ B (0;T ) +T ln B (0;T ) ¡ t ln B (0;t) ¡ ln @T @t B (0;t) 2 ¾ + (T 3 ¡ 3T t2 + 2t3 ) 6 μ ¶ @ B (0;T ) ¾2 3 = (T ¡ t) ln B (0;t) ¡ ln + (T ¡ 3T t2 + 2t3 ) : @t B (0;t) 6
) h (0 s (T ¡ s ) ds = ¡ T
(51:17)
Si se sustituye (51.17) en (51.10) , se obtiene que A (t;T ) = ln
μ
B (0;T ) B (0;t)
¶
¶o A (t;T ) = ln
¡ (T ¡ t)
μ
B (0;T ) B (0;t)
@ ¾2 ln B (0;t) ¡ (T @t 6
¶
¡ (T ¡ t)
3
¡ 3T t2 + 2t3 ) +
¾2 (T ¡ t) 3 6
@ ¾2 ln B (0;t) ¡ t(T ¡ t) 2 : @t 2
(51:18)
5 1 .5 C a lib ra c i¶o n d e la c u rv a d e re n d im ie n to Una vez que la tendencia se ha calibrado con una curva de rendimiento conocida, en virtud de (51.11) , la curva de rendimiento est¶a dada por: 1 R (t;T ) = T ¡ t
à Z T t
h
(0 ) s (T
¡ s ) ds ¡
Es decir, R (t;T ) =
@ 1 ln B (0;t) ¡ ln @t T ¡ t
μ
1 6
2
3
¾ (T ¡ t) + r t (T ¡ t)
B (0;T ) B (0;t)
¶
!
:
+ 21 ¾ 2 t(T ¡ t) + r t ;
(51:19)
o en t¶e rminos de la tasa forward R (t;T ) = ¡ f (0;t) ¡
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1 ln T ¡ t
μ
B (0;T ) B (0;t)
¶
+ 21 ¾ 2 t(T ¡ t) + r t :
(51:20)
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5 1 . M o d elo d e H o y L ee: ca lib ra ci¶o n co n u n a cu rva in icia l d e cero s
En la pr¶actica, se utiliza en (51.15) y en (51.20) la aproximaci¶o n ¡ f (0;t) =
@ ln B (0;t + ¢t) ¡ ln B (0;t) ln B (0;t) ¼ @t ¢t
(51:21)
con ¢t peque~n a. Baj o esta aproximaci¶o n es usual cambiar el t¶e rmino de segundo orden en t, ¾ 2 t(T ¡ t) = 2, por el t¶e rmino modi¯cado ¾ 2 t[T ¡ t ¡ ¢t] = 2. Las cantidades que se re¯eren al tiempo cero, a saber B (0;t) , B (0;t+ ¢t) y B (0;T ) representan precios en un periodo anterior; las cantidades referenciadas al tiempo t se consideran disponibles en el presente. Si al d¶³a siguiente (0 ) se presentan cambios en el mercado, es recomendable estimar h t y el par¶ametro de volatilidad. La metodolog¶³a de Ho y Lee es muy popular y no se puede pedir m¶as cuando se trabaj a con modelos de calibraci¶o n con un solo factor de incertidumbre. En la pr¶actica, los tiempos 0 y t se pueden pensar de dos formas. Por un lado, el tiempo cero es una fecha anterior y t es el presente, momento en que se conoce r t . De esta manera, R (t;T ) es la curva de rendimiento actual. Por otro lado, el tiempo cero puede ser el presente y t es una fecha futura. En este caso, se debe conocer toda la curva de rendimiento actual, R (0;T ) , y se tiene que estimar r t . De esta manera, R (t;T ) es una curva de rendimiento estimada para una fecha futura t. A ¯n de estimar r t en una fecha futura se puede utilizar, con base en (51.15) , Zt Zt @ ¾2 2 rt = r0 + f (0;s ) ds + t +¾ dW s ; 2 0 @s 0 equivalentemente ¾2 2 t + ¾ W t; 2 ya que f (0;0) = r 0 : En este caso, se tiene la siguiente aproximaci¶o n μ ¶ 1 B (0;t) E [r t j F t ] ¼ ¡ ln + 21 ¾ 2 t2 : ¢t B (0;t + ¢t) r t = f (0;t) +
5 1 .6 P re c io d e l b o n o c u p o¶ n c e ro En esta secci¶o n se determina el precio de un bono cup¶o n cero asociado al modelo de tasa corta de Ho y Lee. A partir de (51.3) se sigue que ( μ ) ¶ B (0;T ) @ ¾2 2 B (t;T ) = exp ln ¡ (T ¡ t) ln B (0;t) ¡ t(T ¡ t) ¡ r t (T ¡ t) : (51:22) B (0;t) @t 2 Para ¯nes pr¶acticos, la aproximaci¶o n (51.21) tambi¶e n puede ser utilizada en este caso.
5 1 .7 T a sa fo rw a rd A continuaci¶o n se calcula la tasa forward asociada al modelo de tasa corta de Ho y Lee. Considere la identidad Z T
t
f (t;s ) ds = ¡ ln B (t;T ) = R (t;T ) (T ¡ t) :
Despu¶e s de derivar la expresi¶o n anterior con respecto de T , se sigue que @ R (t;T ) @T μ ¶ @ 1 B (0;T ) = ln B (0;t) ¡ ln + 21 ¾ 2 t(T ¡ t) + r t @t T ¡ t B (0;t) μ ¶ 1 B (0;T ) @ + ln ¡ ln B (0;T ) + 21 ¾ 2 t(T ¡ t) T ¡ t B (0;t) @T @ @ = ln B (0;t) ¡ ln B (0;T ) + ¾ 2 t(T ¡ t) + r t : @t @T
f (t;T ) = R (t;T ) + (T ¡ t)
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5 1 .8 D in ¶a m ic a d e la ta sa c o rta En esta secci¶o n se determina la din¶amica estoc¶astica de la tasa corta. En virtud de que
ht =
@ f (0;t) + ¾ 2 t; @t
(51:23)
se tiene dr t =
μ
¶ @ f (0;t) + ¾ 2 t dt + ¾ dW t : @t
Es decir, la tendencia de la tasa corta est¶a dada por la pendiente de la tasa forward m¶as un t¶e rmino lineal en t.
5 1 .9 A p lic a c i¶o n d e l m o d e lo d e H o y L e e A continuaci¶o n se lleva a cabo una aplicaci¶o n del modelo de Ho y Lee. En la Gr¶a¯ca 51.1 se muestra un registro hist¶o rico de los valores diarios de la tasa de CETES a 7 d¶³as (tasa corta) en el periodo comprendido entre el 5 de septiembre de 2003 y el 30 de septiembre de 2004.
Gr¶a¯ca 51.1 Comportamiento hist¶o rico de la tasa corta r t .
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5 1 . M o d elo d e H o y L ee: ca lib ra ci¶o n co n u n a cu rva in icia l d e cero s
La Gr¶a¯ca 51.2 muestra las curvas de ceros obtenidas con los modelos de Vasicek (a = 0:0199; b = 6:5804; ¾ = 0:4203) y CIR (a = 0:0224; b = 3:9444; ¾ = 0:3593) . La curva de rendimiento de Vasicek es la que comienza a decrecer a partir de 1.16 a~n os. La Gr¶a¯ca 51.3 muestra la curva de ceros calibrada con la metodolog¶³a de Ho y Lee, en un periodo de 4.17 a~n os y tomando como base la estructura de plazos de la tasa de inter¶e s del modelo CIR. La tasa corta actual est¶a dada por r t = 0:0765, t = 1= 360. El valor estimado de la volatilidad fue ¾b = 0:3593.
Gr¶a¯ca 51.2 Curvas iniciales de ceros generadas con los modelos de Vasicek y CIR.
Gr¶a¯ca 51.3 Curva de ceros calculada con el modelo de Ho y Lee.
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5 1 .1 0 A¶ rb o le s b in o m ia le s y m o d e lo d e H o y L e e En el modelo de Ho y Lee se tiene que r h = f (0;h ) + 21 ¾ 2 h 2 + ¾ W Por lo tanto, E [r h j F
0
h
:
] = f (0;h ) + 21 ¾ 2 h 2
y Var [r h j F
0
] = ¾ 2h :
(51:24) (51:25)
2
Suponga que h es su¯cientemente peque~n a de tal manera que h es despreciable. De esta manera, se puede escribir E [r h j F 0 ] ¼ f (0;h ) : (51:26)
5 1 .1 0 .1 C o n stru c c i¶o n d e l ¶a rb o l d e la ta sa c o rta A continuaci¶o n se construye un ¶arbol que parte de la tasa corta inicial, r 0 = f (0;0) , y que despu¶e s de un periodo de tiempo de longitud h la tasa corta puede tomar dos posibles valores r 1 1 y r 1 2 con probabilidad 12 , tal y como lo muestra el a¶ rbol de la Gr¶a¯ca 51.4. r11 1 2
% r0 &
1 2
r12 Gr¶a¯ca 51.4 Expansi¶o n del ¶arbol binomial de una etapa para r t . De acuerdo con las ecuaciones (51.25) y (51.26) , se debe satisfacer que f1 =
r11 + r12 2
(51:27)
y ¾ 2h =
(r 1 1 ¡ f 1 ) 2 + (r 1 2 ¡ f 1 ) 2 ; 2
(51:28)
donde f 1 = f (0;h ;2h ) (utilizando la notaci¶o n de la tasa forward discreta) . Si f 1 es conocida, las expresiones anteriores determinan un sistema de dos ecuaciones simult¶aneas en r 1 1 y r 1 2 . La soluci¶o n de dicho sistema est¶a dado por p
h
p
h:
r11 = f 1 + ¾ y r12 = f 1 ¡ ¾
Si se supone que f 2 = f (0;2h ;3h ) , entonces para la segunda etapa se construyen ramas con posibles valores r 2 1 , r 2 2 , r 2 3 y r 2 4 de tal manera que su promedio sea igual a f 2 . Una posibilidad es que p r 2 1 = f 2 + 2¾ h ; p r22 = r23 = f 2 + 0 ¢ ¾ h y r 2 4 = f 2 ¡ 2¾
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p
h:
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La Gr¶a¯ca 51.5 muestra el ¶arbol binomial resultante para dos etapas. r21 1 2
% r11 1 2
%
&
1 2
r22 = r23
r0 1 2
&
%
1 2
r12 &
1 2
r24 Gr¶a¯ca 51.5 Expansi¶o n del a¶ rbol binomial de dos periodos para r t . Si se procede como antes y f 3 = f (0;3h ;4h ) , en la tercera etapa se tendr¶a que p p r 3 1 = f 3 + 3¾ h ; r3 2 = r3 3 = f 3 + ¾ h ; p p r34 = r35 = f 3 ¡ ¾ h y r 3 6 = f 3 ¡ 3¾ h : En la Gr¶a¯ca 51.6 se muestra el a¶ rbol binomial para tres periodos y en la Gr¶a¯ca 51.7 se muestra una representaci¶o n alternativa de dicho a¶ rbol que puede ser encontrada en la literatura. r31 1 2
% r21 1 2
%
&
1 2
r32 = r33
r11 1 2
%
1 2
&
%
1 2
r22 = r23
r0 1 2
&
%
1 2
&
1 2
r34 = r35
r12 1 2
&
%
1 2
r24 &
1 2
r36 Gr¶a¯ca 51.6 Expansi¶o n del a¶ rbol binomial de tres periodos para r t .
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5 1 . M o d elo d e H o y L ee: ca lib ra ci¶o n co n u n a cu rva in icia l d e cero s
f 2 + 2¾ p
f1 + ¾
f2 + 0 ¢¾ p
p
p
h
f3 + ¾
p
h
p
h
p
h
h
h
r0 f1 ¡ ¾
p
f 3 + 3¾
h f3 ¡ ¾
h f 2 ¡ 2¾
p
h f 3 ¡ 3¾
Gr¶a¯ca 51.7 Expansi¶o n alternativa del a¶ rbol binomial de tres periodos para r t .
5 1 .1 0 .2 C o n stru c c i¶o n d e l ¶a rb o l h a c ia a d e la n te d e l p re c io d e l b o n o Los posibles precios de los bonos para diferentes vencimientos se calculan hacia adelante de la siguiente forma. Si B 0 = 1 y B 1 = (1 + r 0 h ) B 0 , entonces B
21
= (1 + r 1 1 h ) B
y
1
B
22
= (1 + r 1 2 h ) B 1 :
(51:29)
B
32
= (1 + r 2 2 h ) B
21 ;
(51:30)
B
34
= (1 + r 2 4 h ) B
22 :
(51:31)
De la misma manera, B
31
= (1 + r 2 1 h ) B
21 ;
B
33
= (1 + r 2 3 h ) B
22
Observe que aunque r 2 2 = r 2 3 , B el a¶ rbol no es recombinante.
32
y
no es necesariamente igual a B B
31
33 .
En este caso, se dice que
%
B
0
¡! B
B
21
¡! B
32
B
22
¡! B
33
B
34
% 1
&
&
¶ Gr¶a¯ca 51.8 Arbol hacia adelante del precio de un bono cup¶o n cero.
5 1 .1 0 .3 C o n stru c c i¶o n d e l ¶a rb o l h a c ia a tr¶a s d e l p re c io d e l b o n o Para calcular el precio de un bono en t = 0 que vence dentro de tres periodos se utiliza el siguiente proceso recurrente hacia atr¶as. Suponga r 1 1 , r 1 2 , r 2 1 , r 2 2 , r 2 3 , r 2 4 , y que
entonces B
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21
=
1 2
μ
B 31 1 + r21 h
B
31
=B
¶
+
1 2
μ
32
=B
33
B 32 1 + r22 h
=B
¶
=
34
1 2
= 1;
μ
1 1 + 1 + r21 h 1 + r22 h
¶
;
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B
22
B
1
=
1 2
μ
=
1 2
μ
B 33 1 + r23 h B 21 1 + r11 h
¶ ¶
+
1 2
μ
+
1 2
μ
B 34 1 + r24 h B 22 1 + r12 h
¶ ¶
=
1 2
μ
=
1 2
μ
1 1 + 1 + r23 h 1 + r24 h 1 1 + 1 + r11 h 1 + r12 h
¶
;
¶
y, por u¶ ltimo, B
0
=
B1 : 1 + r0 h
La Gr¶a¯ca 51.9 muestra el ¶arbol hacia atr¶as para obtener el precio de un bono cup¶o n cero B
31
=1
.
B
0
à ¡ B
B
21
à ¡ B
32
=1
B
22
à ¡ B
33
=1
B
34
=1
. 1
-
-
¶ Gr¶a¯ca 51.9 Arbol hacia atr¶as del precio de un bono cup¶o n cero.
5 1 .1 1 C o n c lu sio n e s El modelo de Ho y Lee fue el primero para calibrar una estructura de plazos de una tasa de inter¶e s con informaci¶o n actual del mercado. As¶³, la calibraci¶o n de la funci¶o n h t se lleva a cabo con precios actuales de un bono cup¶o n cero. Es importante destacar que el modelo supone que existen precios actuales de los bonos para todos los vencimientos y que los precios son dos veces diferenciables con respecto a la fecha de vencimiento.
5 1 .1 2 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Black, F. and M. Scholes (1973) . \The Pricing of Options and Corporate Liabilities" . T h e J o u rn a l o f P o litica l E co n o m y, Vol. 81, No. 3, pp. 637-654. Cox, J. C., J. E. Ingersoll, and S. A. Ross (1985) . \A Theory of the Term Structure of Interest Rates." E co n o m etrica , Vol. 53, No. 2, pp. 363-384. Ho, T. and S. Lee (1986) . \Term Structure Movements and Pricing Interest Rate Contingent Claims" . J o u rn a l o f F in a n ce, Vol. 41, No. 5. pp. 1129-1142. Merton, R. C. (1973) . \Theory of Rational Option Pricing" . B ell J o u rn a l o f E co n o m ic a n d M a n a gem en t S cien ce, Vol. 4, No. 1, pp. 141-183.
5 1 .1 3 E je rc ic io s 5 1 .1 Suponga que h t es constante, h t = h¹ para toda t, demuestre que R (t;T ) = 12 h¹ (T ¡ t) ¡
1 6
¾ 2 (T ¡ t) 2 + r t :
S o lu ci¶o n : Es su¯ciente utilizar la ecuaci¶o n (51.11) . 5 1 .2 Con base en el ej ercicio anterior veri¯que que @ R (t;T ) = 12 h¹ ¡ @t
1 3
¾ 2 (T ¡ t) :
Discuta las consecuencias del resultado cuando T es grande.
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5 1 . M o d elo d e H o y L ee: ca lib ra ci¶o n co n u n a cu rva in icia l d e cero s
S o lu ci¶o n : El resultado anterior implica que conforme T aumenta, la pendiente de la curva de rendimiento se tornar¶a negativa, lo cual puede producir eventualmente valores negativos de R (t;T ) : 5 1 .3 Demuestre que (51.18) puede reescribirse como: μ
¶μ ¶¡ T¢¡tt B (0;T ) B (0;t + ¢t) B (t;T ) = £ B (0;t) B (0;t) ½ μ 2 ¶¾ ¾ exp ¡ (T ¡ t) t(T ¡ t ¡ ¢t) ¡ r t : 2 5 1 .4 A partir de la estructura de plazos de la tasa de inter¶e s obtenida para el modelo de Ho y Lee, veri¯que que cuando el plazo del bono tiende a cero, es decir, cuando T ! t, se obtiene la tasa corta. S o lu ci¶o n : Observe que si v = T ¡ t, entonces μ ¶ 1 B (0;t + v ) R (t;t + v ) = ¡ f (0;t) ¡ ln + 21 ¾ 2 tv + r t ; v B (0;t) lo que conduce a lim R (t;t + v ) = ¡ f (0;t) ¡ lim
v! 0
v! 0
ln B (0;t + v ) ¡ ln B (0;t) + rt v
@ ln B (0;t) + r t @t = ¡ f (0;t) + f (0;t) + r t
= ¡ f (0;t) ¡ = r t; que era de esperarse.
5 1 .5 Demuestre que (51.20) puede escribirse de manera alternativa como 1 R (t;T ) = ¡ f (0;t) + T ¡ t
ZT t
f (0;s ) ds + 21 ¾ 2 t(T ¡ t) + r t :
S o lu ci¶o n : Es su¯ciente observar que ¡
ZT
f (0;s ) ds =
t
ZT t
@ ln B (0;s ) ds = ln B (0;T ) ¡ ln B ((0;t) : @s
RT 5 1 .6 De acuerdo con la ecuaci¶o n (51.10) , para obtener A (t;T ) hay que calcular t h s (T ¡ s ) ds . Considere la aproximaci¶o n e ¡ (T ¡ s ) ¼ 1 ¡ (T ¡ s ) o¶ 1 ¡ e ¡ (T ¡ s ) ¼ T ¡ s v¶alida para T ¡ s < < 1. Lleve a cabo, de nuevo, todo el procedimiento de la secci¶o n 51.4 empleando la aproximaci¶o n RT RT h s (1 ¡ e ¡ (T ¡ s ) ) ds en lugar de t h s (T ¡ s ) ds : t 5 1 .7 Suponga que h = 1= 12 (un mes) y ¾ = 0:01, si r 0 = 0:07;
f 1 = 0:075;
f 2 = 0:08;
f 3 = 0:085
y
f 4 = 0:09;
genere los a¶ rboles binomiales (hacia adelante) de tasa corta y precios de bonos cup¶o n cero. 5 1 .8 Determine las f¶o rmulas de los ¶arboles hacia adelante y hacia atr¶as del precio de un bono cup¶o n cero para cuatro periodos.
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.
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C A P ¶IT U L O 52 M O D E L O D E T A SA C O R T A D E H U L L Y W H IT E : C A L IB R A C IO¶ N C O N U N A C U R V A IN IC IA L D E C E R O S C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ²
Modelos de calibraci¶o n con una curva inicial de ceros Ecuaci¶o n diferencial parcial del precio de un bono cup¶o n cero Ecuaciones integrales Tasa forward
5 2 .1 In tro d u c c i¶o n Existen en la literatura varios modelos de tasa corta en donde el t¶e rmino de tendencia se calibra con una curva inicial de ceros, siendo el caso m¶as sencillo el de Ho y Lee (1986) . En 1990, John C. Hull y Alan White publican el art¶³culo \Pricing Interest Rate Derivative Securities" en el \Review of Financial Studies" , en el cual extienden el modelo de Vasicek utilizando fundamentalmente las ideas centrales del modelo de Ho y Lee (1986) . Vale la pena mencionar que John Hull y Alan White, de la Universidad de Toronto, han acumulado una prominente producci¶o n intelectual de m¶as de 20 art¶³culos elaborados de manera conj unta. Sus investigaciones han abordado muchas y muy diversas ¶areas de las matem¶aticas ¯nancieras. Por esta raz¶o n, existen en la literatura varios modelos que se conocen como de Hull y White, lo cual requiere, cuando se habla de alg¶u n modelo de Hull y White, precisar el ¶area en cuesti¶o n (tasas, derivados, coberturas, volatilidad estoc¶astica, m¶e todos de aproximaci¶o n, riesgo cr¶e dito, derivados de cr¶e dito, etc.) . En este cap¶³tulo se analizar¶a, en detalle, el modelo de Hull y White (1990) , en el cual se calibra una estructura de plazos con una curva inicial de ceros utilizando observaciones de mercado, espec¶³¯camente precios de bonos.
5 2 .2 E l m o d e lo d e ta sa c o rta d e H u ll y W h ite En el modelo de Vasicek, la din¶amica de la tasa corta es conducida por la siguiente ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica: dr t = a (b ¡ r t ) dt + ¾ dW t ; (52:1) donde a , b y ¾ son constantes positivas y (W t ) t¸ 0 es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad con su ¯ltraci¶o n aumentada, ( ;F ;(F t ) t¸ 0 ;IP) . En su art¶³culo, Hull y White extienden este modelo para incluir un par¶ametro dependiente del tiempo, espec¶³¯camente se supone que el nivel de largo plazo de la tasa corta, b, es dependiente del tiempo, lo cual se denotar¶a mediante b t , de esta manera (52.1) se transforma en: dr t = a (b t ¡ r t ) dt + ¾ dW t :
(52:2)
Si se supone que a y ¾ han sido estimadas por alg¶u n m¶e todo estad¶³stico, se desea seleccionar (0 ) b t , en el tiempo t = 0, de tal manera que los precios de mercado y los te¶o ricos coincidan en dicho tiempo.
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5 2 . M o d elo d e H u ll y W h ite: ca lib ra ci¶o n d e cu rva s d e cero s co n p recio s a ctu a les
5 2 .3 E c u a c i¶o n d ife re n c ia l p a rc ia l d e u n b o n o c u p o¶ n c e ro En esta secci¶o n se establece la ecuaci¶o n diferencial parcial que determina el precio de un bono cup¶o n cero asociado a la tasa corta de¯nida en (52.2) . Para ello, se supone que el precio, B (t;T ) , de un bono cup¶o n cero que se val¶u a en t y que en el vencimiento, T , paga una unidad monetaria satisface: @B @ 2B @B + 12 ¾ 2 2 + a (b t ¡ r t ) ¡ r t B = 0; (52:3) @t @ rt @ rt j unto con la condici¶o n ¯nal B (T ;T ) = 1.
5 2 .4 S o lu c i¶o n d e la e c u a c i¶o n d ife re n c ia l p a rc ia l d e u n b o n o c u p o¶ n c e r o Con base en la secci¶o n anterior, se observa que la ecuaci¶o n diferencial parcial que determina el precio de un bono no tiene derivadas parciales cruzadas. Por esta raz¶o n, se supone una soluci¶o n en variables separables de la forma: B (t;T ) = e A
(t;T )¡ r t D (t;T )
(52:4)
:
Claramente, en este caso, se cumple que A (T ;T ) = 0 y D (T ;T ) = 0, ya que el valor nominal del bono en el tiempo T , est¶a dado por B (T ;T ) = 1: Al diferenciar parcialmente B (t;T ) en (52.4) se sigue que: @B = @t
μ
@A @D ¡ rt @t @t
¶
B ;
@B =¡D B @ rt y @ 2B = D 2B : @ r t2 Despu¶e s de sustituir las ecuaciones anteriores en (52.3) , se obtiene @A @D ¡ rt + 21 ¾ 2 D @t @t
2
¡ a (b t ¡ r t ) D ¡ r t = 0:
(52:5)
Dado que A y D son funciones de t y T , si se deriva (52.5) con respecto a r t , se obtiene ¡
@D + a D ¡ 1 = 0; @t
(52:6)
equivalentemente, @D = a D ¡ 1: @t La soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial anterior con condici¶o n ¯nal D (T ;T ) = 0 est¶a dada por D (t;T ) =D (T ;T ) e = ¡ e¡ =
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¡ a (T ¡ t)
a (T ¡ t)
1 ¡ e ¡ a (T ¡ a
Zt
¡ e
e a (T ¡
¡ a (T ¡ t)
Zt
e a (T ¡
s)
ds
T
s)
ds
(52:7)
T
t)
:
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5 2 . M o d elo d e H u ll y W h ite: ca lib ra ci¶o n d e cu rva s d e cero s co n p recio s a ctu a les
Por lo tanto, al sustituir (52.6) en (52.5) , se obtiene @A ¡ r t (a D ¡ 1) + 21 ¾ 2 D @t @A = + 12 ¾ 2 D 2 ¡ a b t D : @t
2
0=
+ a (r t ¡ b t ) D ¡ r t
En otras palabras, @A = a btD ¡ @t o bien,
³ @A = bt 1 ¡ e ¡ @t
a (T ¡ t)
´
¡
1 2
¾ 2D 2;
¾2 ³ 1 ¡ e¡ 2a 2
a (T ¡ t)
´2
(52:8)
:
En consecuencia, Zt
³ ´ ¾2 b s 1 ¡ e ¡ a (T ¡ s ) ds ¡ (t ¡ T ) 2a 2 T Z Z t ¾ 2 t ¡ a (T ¡ s ) ¾2 + 2 e ds ¡ e ¡ 2 a (T ¡ s ) ds a T 2a 2 T ZT ³ ´ ¾2 =¡ b s 1 ¡ e ¡ a (T ¡ s ) ds ¡ (t ¡ T ) 2a 2 t ´ ¾2 ³ ´ ¾2 ³ ¡ 2 a (T ¡ t) + 3 e ¡ a (T ¡ t) ¡ 1 ¡ e ¡ 1 a 4a 3 ZT ³ ´ =¡ b s 1 ¡ e ¡ a (T ¡ s ) ds t μ ¶ ¾2 2 ¡ a (T ¡ t) 1 ¡ 2 a (T ¡ t) 3 + 2 T ¡ t+ e ¡ e ¡ : 2a a 2a 2a
A (t;T ) =
(52:9)
Es importante destacar que el suponer una soluci¶o n de la forma (52.4) ha permitido transformar la ecuaci¶o n diferencial parcial (52.3) en dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, a saber, (52.6) y (52.8) . En las pr¶oximas secciones se utilizar¶an las expresiones obtenidas para D (t;T ) y A (t;T ) , en (52.7) y (52.9) respectivamente, para calibrar b s con una curva inicial de ceros.
5 2 .5 C a lib ra c i¶o n d e l n iv e l d e la rg o p la z o d e la ta sa c o rta u tiliz a n d o u n a c u rv a in ic ia l d e c e ro s Si se supone que a y ¾ han sido estimados por alg¶u n m¶e todo de inferencia estad¶³stica y se desea calibrar A (0;T ) con una curva de rendimiento inicial, B (0;T ) = e ¡ R (0 ;T )T , es decir, se desea (0 ) encontrar b T tal que A (0;T ) = ¡
ZT 0
³ ) b (0 1 ¡ e¡ s
a (T ¡ s )
(0 )
equivalentemente, se desea encontrar b T ¡
ZT 0
) b (0 s
³ 1 ¡ e¡
a (T ¡ s )
= ln B (0;T ) + r 0 D (0;T ) μ 1 ¡ e¡ = ln B (0;T ) + r 0 a
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μ ´ ¾2 2 ds + 2 T + e ¡ 2a a
aT
¡
1 ¡ e 2a
2a T
¡
3 2a
¶
;
tal que
μ ´ ¾2 2 ds + 2 T + e ¡ 2a a ¶
aT
aT
1 ¡ ¡ e 2a
2a T
3 ¡ 2a
¶ (52:10)
:
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5 2 . M o d elo d e H u ll y W h ite: ca lib ra ci¶o n d e cu rva s d e cero s co n p recio s a ctu a les (0 )
Observe que la ecuaci¶o n anterior es una ecuaci¶o n integral en b t . Una forma de resolver esta ecuaci¶o n integral consiste en calcular sus dos primeras derivadas con respecto de T . Para ello, denote el integrando de (52.10) , por un momento, como ³ ´ ) ¡ a (T ¡ s ) g (T ;s ) = b (0 1 ¡ e : s En este caso, la regla de Leibnitz conduce a @ @T
ZT
ZT
g (T ;s ) ds =
0
@ g (T ;s ) ds @T
0
=a
ZT
b s(0 ) e ¡
a (T ¡ s )
ds :
0
Por lo tanto, la derivada parcial de (52.10) con respecto de T est¶a dada por: ¡a
ZT
b s(0 ) e ¡
a (T ¡ s )
ds +
0
¶o
ZT
) ¡ b (0 s e
a (T ¡ s )
¾2 ¡ 1 ¡ 2e ¡ 2a 2
ds =
0
aT
+ e¡
¾2 ¡ 1 ¡ e¡ 2a 3
aT
2a T
¢2
¡
¢ @ = ln B (0;T ) + r 0 e ¡ @T 1 @ r0 ¡ ln B (0;T ) ¡ e a @T a
aT
(52:11)
:
(52:12)
aT
Con el prop¶o sito de derivar nuevamente (52.11) con respecto de T , se de¯ne ahora ) ¡ G (T ;s ) = b (0 s e
a (T ¡ s )
y en este caso la regla de Leibnitz conduce a la expresi¶o n @ @T
ZT
ZT
@ @T @0 G (T ;s ) ds + G (T ;T ) ¡ G (T ;0) @ T @ T @ T 0 ZT (0 ) ) ¡ a (T ¡ s ) =¡a b (0 ds + b T : s e
G (T ;s ) ds =
0
0
De esta manera, al derivar (52.11) , se obtiene ZT
b s(0 ) e ¡
b s(0 ) e ¡
a (T ¡ s )
a2
a (T ¡ s )
0
(0 )
ds ¡ a b T +
¾2 ¡ 1 ¡ e¡ a
aT
¢¡ e
aT
=
@2 ln B (0;T ) ¡ r 0 a e ¡ @T 2
aT
¶o ZT
ds =
0
1 (0 ) ¾ 2 ¡ b ¡ 3 1 ¡ e¡ a T a
aT
¢¡ e
aT
+
1 @2 r0 ¡ ln B (0;T ) ¡ e a2 @ T 2 a
aT
:
(52:13)
Despu¶e s de igualar (52.13) con (52.12) se cumple que (0 )
bT ¡
¾2 ¡ 1 ¡ e¡ a2
aT
¢¡ e
aT
+
1 @2 ¾2 ¡ ln B (0;T ) = 2 1 ¡ e ¡ 2 a @T 2a
aT
¢2
¡
@ ln B (0;T ) ; @T
lo cual implica que (0 )
bT
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¢ ¡ aT 1 @2 @ ¾2 ¡ ¾2 ¡ ¡ aT ln B (0;T ) ¡ ln B (0;T ) + 1 ¡ e e + 1 ¡ e¡ a @T 2 @T a2 2a 2 ¢ 1 @2 @ ¾2 ¡ =¡ ln B (0;T ) ¡ ln B (0;T ) + 2 1 ¡ e ¡ 2 a T 2 a @T @T 2a ¢ 1 @ ¾2 ¡ = f (0;T ) + f (0;T ) + 2 1 ¡ e ¡ 2 a T : a @T 2a
=¡
aT
¢2 (52:14)
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5 2 . M o d elo d e H u ll y W h ite: ca lib ra ci¶o n d e cu rva s d e cero s co n p recio s a ctu a les
Para encontrar A (t;T ) a partir de (52.9) , se escribe (52.14) empleando t en lugar de T , es decir, ¢ 1 @2 @ ¾2 ¡ (0 ) bt = ¡ ln B (0;t) ¡ ln B (0;t) + 1 ¡ e¡ 2at : a @ t2 @t 2a 2 Por lo tanto, el t¶e rmino integral en la u¶ ltima igualdad de (52.9) satisface ZT ³ ´ ) b (0 1 ¡ e ¡ a (T ¡ s ) ds s t ¶ ZT μ ´ ¢ ³ 1 @2 @ ¾2 ¡ ¡ 2as ¡ a (T ¡ s ) = ¡ ln B (0;s ) ¡ ln B (0;s ) + 1 ¡ e 1 ¡ e ds a @ s2 @s 2a 2 t (52:15) ZT ³ Z T ³ ´ @2 ´@ 1 ¡ a (T ¡ s ) ¡ a (T ¡ s ) =¡ 1¡ e ln B (0;s ) ds ¡ 1¡ e ln B (0;s ) ds a t @ s2 @s t ZT ´ ¡ ¢³ ¾2 + 2 1 ¡ e ¡ 2 a s 1 ¡ e ¡ a (T ¡ s ) ds : 2a t La primera integral de la u¶ ltima igualdad de (52.15) se calcula mediante integraci¶o n por partes, de tal manera que ZT ³ ´ @2 ³ ´@ ¡ a (T ¡ t) 1 ¡ e ¡ a (T ¡ s ) ln B (0;s ) ds = ¡ 1 ¡ e ln B (0;t) @ s2 @t t (52:16) ZT ¡ a (T ¡ s ) @ +a e ln B (0;s ) ds : @s t La segunda integral en (52.15) satisface ZT ³ ´@ 1 ¡ e ¡ a (T ¡ s ) ln B (0;s ) ds @s t ZT ZT @ @ = ln B (0;s ) ds ¡ e ¡ a (T ¡ s ) ln B (0;s ) ds @ s @ s t t (52:17) ZT ¡ a (T ¡ s ) @ = ln B (0;T ) ¡ ln B (0;t) ¡ e ln B (0;s ) ds @s t μ ¶ ZT B (0;T ) @ = ln ¡ e ¡ a (T ¡ s ) ln B (0;s ) ds : B (0;t) @s t Por u¶ ltimo, la tercera integral de (52.15) est¶a dada por ZT ´ ¡ ¢³ 1 ¡ e ¡ 2 a s 1 ¡ e ¡ a (T ¡ s ) ds t
ZT ³ = 1 ¡ e¡ t
2a s
¡ e¡
a (T ¡ s )
+ e¡
a (T + s )
´ ds
´ 1³ ¢ 1³ 1 ¡¡ 2a t = T ¡ t¡ e ¡ e¡ 2a T ¡ 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) + e ¡ a (T + t) ¡ e ¡ 2a a a μ ¶ 1 ¡ 2a t 1 ¡ 2a T 1 ¡ a (T ¡ t) 1 ¡ a (T + t) 1 = T ¡ t+ ¡ e ¡ e + e + e ¡ : 2a 2a a a a Despu¶e s de sustituir las ecuaciones (52.16) , (52.17) y (52.18) que ZT ³ ´ ) b (0 1 ¡ e ¡ a (T ¡ s ) ds s t μ ¶ ZT 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) @ @ = ln B (0;t) ¡ e ¡ a (T ¡ s ) ln B a @t @ s t μ ¶ ZT B (0;T ) @ ¡ ln + e ¡ a (T ¡ s ) ln B (0;s ) ds B (0;t) @s t μ ¾2 1 ¡ 2at 1 ¡ 2a T 1 + 2 T ¡ t¡ e ¡ e + e ¡ a (T ¡ t) + 2a 2a 2a a
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2a T
´
(52:18)
en la expresi¶o n (52.15) , se sigue
(0;s ) ds (52:19)
1 ¡ e a
a (T + t)
¡
1 a
¶
:
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5 2 . M o d elo d e H u ll y W h ite: ca lib ra ci¶o n d e cu rva s d e cero s co n p recio s a ctu a les
Por lo tanto, ZT
³ ´ ) b (0 1 ¡ e ¡ a (T ¡ s ) ds s t μ ¶ ¾2 2 1 ¡ 2 a (T ¡ t) 3 + 2 T ¡ t + e ¡ a (T ¡ t) ¡ e ¡ 2a a 2a 2a μ ¶ μ ¶ ¡ a (T ¡ t) B (0;T ) 1¡ e @ = ln ¡ ln B (0;t) B (0;t) a @t μ ¶ ¾2 1 ¡ 2a t 1 ¡ 2a T 1 ¡ a (T ¡ t) 1 ¡ a (T + t) 1 ¡ T ¡ t¡ e ¡ e + e + e ¡ 2a 2 2a 2a a a a μ ¶ ¾2 2 ¡ a (T ¡ t) 1 ¡ 2 a (T ¡ t) 3 + 2 T ¡ t+ e ¡ e ¡ 2a a 2a 2a μ ¶ μ ¶ B (0;T ) 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) @ = ln ¡ ln B (0;t) B (0;t) a @t ´ ¾ 2 ³ ¡ 2a T ¡ 2a t ¡ a (T ¡ t) ¡ 2 a (T ¡ t) ¡ a (T + t) ¡ ¡ e ¡ e + 1 ¡ 2e + e + 2e : 4a 3
A (t;T ) = ¡
En conclusi¶o n, μ
¶ ¢2 ¡ 2 a t ¢ B (0;T ) @ ¾ 2 ¡¡ aT A (t;T ) = ln ¡ D (t;T ) ln B (0;t) ¡ e ¡ e¡ at e ¡ 1 3 B (0;t) @t 4a μ ¶ ¡ ¢ B (0;T ) @ ¾2 2 = ln ¡ D (t;T ) ln B (0;t) ¡ D (t;T ) 1 ¡ e ¡ 2 a t : B (0;t) @t 4a
(52:20)
Una vez que se han obtenido D (t;T ) y A (t;T ) , en (52.7) y (52.20) , respectivamente, se puede calcular, de acuerdo con (52.4) , el precio de un bono cup¶o n cero y, por ende, la curva de ceros asociada a dicho bono. En la siguiente secci¶o n se proporcionar¶a una aproximaci¶o n para A (t;T ) que se utiliza con mucha frecuencia en la pr¶actica.
5 2 .6 A p ro x im a c i¶o n d e la ta sa fo rw a rd En la pr¶actica es com¶u n utilizar la siguiente aproximaci¶o n sobre la pendiente del precio inicial del bono: @ ln B (0;t + ¢t) ¡ ln B (0;t) ln B (0;t) ¼ @t ¢t con ¢t peque~n a. De tal forma que (52.20) se transforma en μ ¶ μ ¶ ¡ ¢ B (0;T ) D (t;T ) B (0;t + ¢t) ¾2 2 A (t;T ) = ln ¡ ln ¡ D (t;T ) 1 ¡ e ¡ 2 a t : (52:21) B (0;t) ¢t B (0;t) 4a Observe tambi¶e n que 1 ¡ e¡ a ¢ t ¼ ¢t; a ¼ 1 ¡ a ¢t si ¢t es su¯cientemente peque~n a. Por lo tanto, μ ¶ μ ¶ B (0;T ) D (t;T ) B (0;t + ¢t) A (t;T ) = ln ¡ ln B (0;t) D (t;t + ¢t) B (0;t) ¡ ¢ ¾2 2 ¡ D (t;T ) 1 ¡ e ¡ 2 a t : 4a D (t;t + ¢t) =
ya que e ¡
a¢ t
(52:22)
Es frecuente utilizar en esta aproximaci¶o n un t¶e rmino cuadr¶atico en D (t;T ) modi¯cado de tal forma que μ ¶ μ ¶ B (0;T ) D (t;T ) B (0;t + ¢t) A (t;T ) = ln ¡ ln B (0;t) D (t;t + ¢t) B (0;t) (52:23) 2 ¡ ¢ ¾ ¡ 2at ¡ 1¡ e D (t;T ) [D (t;T ) ¡ D (t;t + ¢t) ] : 4a
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5 2 . M o d elo d e H u ll y W h ite: ca lib ra ci¶o n d e cu rva s d e cero s co n p recio s a ctu a les
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5 2 .7 C u rv a d e re n d im ie n to y p re c io s d e b o n o s Una vez determinadas las funciones D (t;T ) y A (t;T ) en (52.7) y (52.20) , as¶³ como sus aproximaciones en (52.23) , se calculan la curva de ceros y el vector de precios, respectivamente, mediante
R (t;T ) =
r t D (t;T ) ¡ A (t;T ) T ¡ t
y B (t;T ) = e A
(t;T )¡ r t D (t;T )
:
Por supuesto, la aproximaci¶o n (52.23) puede ser empleada en las ecuaciones anteriores. Desde una perspectiva pr¶actica, poco se puede argumentar en contra de la calibraci¶o n de un modelo utilizando precios de mercado. Sin embargo, frecuentemente los resultados de este tipo de modelos en el mediano y largo plazo pueden mostrar grandes inconsistencias >C¶o mo se j usti¯ca esto? La respuesta es simple, con modelos de calibraci¶o n que toman en cuenta un solo factor de riesgo es lo mej or que se puede hacer.
5 2 .8 E je m p lo d e a p lic a c i¶o n d e l m o d e lo d e H u ll y W h ite En esta secci¶o n se lleva a cabo una aplicaci¶o n del modelo de Hull y White. Para ello, se utilizan los mismos datos del ejemplo desarrollado en el cap¶³tulo 51 para el modelo de Ho y Lee. La tasa corta es la tasa de CETES a 7 d¶³as. La Gr¶a¯ca 52.1 muestra la curva de ceros calibrada con la metodolog¶³a de Hull y White, R (t;T ) , en un periodo de 1.4 a~n os, tomando como curva inicial de ceros la calculada con el modelo de Vasicek con a = 0:0199; b = 6:5804 y ¾ = 0:4203. La Gr¶a¯ca 52.1 tambi¶e n muestra la curva inicial de rendimiento, R (0;T ) , calculada con el modelo de Vasicek en el cap¶³tulo 47. La tasa corta actual est¶a dada por r t = 0:0765, t = 1= 360. Los valores de la volatilidad y velocidad (¾ y a ) empleados en el modelo de Hull y White son los estimados en el modelo de Vasicek. Observe que despu¶e s de 1.17 a~n os, aproximadamente, ambas curvas decrecen conforme el tiempo aumenta.
Gr¶a¯ca 52.1 Curva de ceros calculada con el modelo de Hull y White.
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570
5 2 . M o d elo d e H u ll y W h ite: ca lib ra ci¶o n d e cu rva s d e cero s co n p recio s a ctu a les
5 2 .9 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Ho, T. and S. Lee (1986) . \Term Structure Movements and Pricing Interest Rate Contingent Claims" . J o u rn a l o f F in a n ce, Vol. 41, No. 5, pp. 1129-1142. Hull, J. and A. White (1990) . \Pricing Interest Rate Derivatives Securities" . R eview o f F in a n cia l S tu d ies, Vol. 3, No. 4, pp. 573-592.
5 2 .1 0 E je rc ic io s 5 2 .1 Muestre la regla de Leibnitz: @ @T
Z ¯ (T ) ® (T )
g (T ;s ) ds =
Z ¯ (T ) ® (T )
@ @ ¯ (T ) @ ® (T ) g (T ;s ) ds + g (T ;¯ (T ) ) ¡ g (T ;® (T ) ) : @T @T @T
S o lu ci¶o n : De¯na f (T ;x ;y ) =
Zy
g (T ;s ) ds ;
x
entonces
df @f @ f dx @ f dy = + + dT @T @ x dT @ y dT Zy @f dx dy = g (T ;s ) ds ¡ g (T ;x ) + g (T ;y ) : dT dT x @T
5 2 .2 Veri¯que la segunda igualdad en (52.10) . 5 2 .3 Suponga que la tasa corta sigue un proceso de la forma dr t = a (b t ¡ r t ) dt + ¾
p
r t dW t : (0 )
Repita el procedimiento del modelo de Hull y White para obtener b t curva de rendimiento inicial, B (0;T ) = e ¡ R (0 ;T )T :
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consistente con una
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C A P ¶IT U L O 53 M O D E L O D E T A SA C O R T A D E L O N G ST A F F : E L M O D E L O D E D O B L E R A ¶IZ C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ² ²
Modelos de equilibrio general para valuaci¶o n de bonos Modelo de doble ra¶³z Correcci¶o n Beaglehole-Tenney al modelo de Longsta® Ecuaci¶o n diferencial parcial no lineal del precio de un bono Estructura de plazos Estimaci¶o n de par¶ametros
5 3 .1 In tro d u c c i¶o n En 1989 Francis A. Longsta® en su art¶³culo \A Nonlinear General Equilibrium Model of the Term Structure of Interest Rates" publicado en el \Journal of Financial Economics" , propone un modelo de tasa corta que mantiene la volatilidad del modelo Cox, Ingersoll y Ross (1985) , pero di¯ere en la especi¯caci¶o n del t¶e rmino de tendencia. En este caso la tendencia es no lineal en la tasa corta y, por ende, la ecuaci¶o n diferencial asociada a un bono cup¶o n cero es no lineal. Este cap¶³tulo presenta el modelo de tasa corta de Longsta® (1989) , el cual es desarrollado dentro del enfoque de ecuaciones diferenciales parciales. Asimismo, se discute sobre la estimaci¶o n de los par¶ametros y se lleva a cabo una aplicaci¶o n del modelo.
5 3 .2 M o d e lo d e L o n g sta ® Existe en la literatura una clase importante de procesos con reversi¶o n a la media para el modelado del comportamiento de la tasa corta. Dicha clase est¶a representada por la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica: dr t = a t (b ¡ r t® ) dt + ¾ r t¯ dW
t
(53:1)
en donde b y ¾ son constantes positivas y (W t ) t¸ 0 es un movimiento Browniano est¶andar de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad con su ¯ltraci¶o n aumentada, ( ;F ;(F t ) t¸ 0 ;IP) . El t¶e rmino aleatorio en la ecuaci¶o n (53.1) tiene varianza ¾ 2 r t2 ¯ por unidad de tiempo, donde ¯ ¸ 0. Los casos en que a t ´ a , ® = 1 y ¯ 2 f 0; 12 g son de particular inter¶e s ya que pueden tratarse anal¶³ticamente en un marco de equilibrio general. El modelo de Vasicek se obtiene cuando ¯ = 0 y el modelo de Cox, Ingersoll y Ross cuando ¯ = 12 . El modelo de Longsta® se obtiene cuando ® = ¯ = 12 y b = ¾ 2 = 4a . De esta forma dr t =
¡1
4
p p ¢ ¾ 2 ¡ a r t dt + ¾ r t dW t :
(53:2)
Este modelo tambi¶e n es de equilibrio general y proporciona una soluci¶o n anal¶³tica. Se le conoce tambi¶e n en la literatura como el modelo de doble ra¶³z. Es importante destacar que modelos con valores ¯ distintos de 0 y 12 no son muy populares en la literatura debido a su complej idad. El Cuadro 53.1 presenta un resumen de los modelos de tasa corta que se pueden obtener a partir de la ecuaci¶o n (53.1) .
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5 3 . M o d elo d e L o n g sta ®
Modelo
Par¶ametros
b;a t
Proceso dr t = ¹ dt + ¾ dW t ¹ ;¾ son constantes.
Merton (1970)
® =0
¯ =0
¹ + 1,1
Vasicek (1977)
® =1
¯ =0
b;a
CIR (1985)
® =1
¯ =
1 2
b;a
Ho y Lee (1986)
® =0
¯ =0
2;h t
Hull y White (1990)
® =1
¯ =0
b t ;a
1 2
b;a
Longsta® (1989)
® =
1 2
¯ =
dr t = a (b ¡ r t ) dt + ¾ dW a ;b;¾ son constantes.
t
p dr t = a (b ¡ r t ) dt + ¾ r t dW a ;b;¾ son constantes.
dr t = h t dt + ¾ dW ¾ es constante.
t
t
dr t = a (b t ¡ r t ) dt + ¾ dW t b t ;¾ son funciones del tiempo. p p dr t = a (b ¡ r t ) dt + ¾ r t dW a ;b;¾ son constantes.
t
Cuadro 53.1 Resumen de casos particulares de la ecuaci¶o n (53.1) .
5 3 .3 C o r r e c c i¶o n B e a g le h o le -T e n n e y a l m o d e lo d e L o n g sta ® En 1992, David Beaglehole y Mark Tenney publican el art¶³culo \Corrections and Additions to A Nonlinear Equilibrium Model of the Term Structure of Interest Rates" en el \Journal of Financial Economics" . En su art¶³culo original Longsta® (1989) considera el proceso X t > 0 conducido por dX
t
= m dt + s dW t ;
donde m < 0, s > 0 y (W t ) t¸ 0 es un movimiento Browniano est¶andar de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad con su ¯ltraci¶o n aumentada ( ;F ;(F t ) t¸ 0 ;IP) . Si X t = 0, entonces X t se re°ej a para tomar de nuevo valores positivos. Ahora bien, si se de¯ne r t = ° X t2 , con ° > 0, se veri¯ca mediante el lema de It^o que ¡ p p p p ¢ dr t = ° s 2 + 2m ° r t dt + 2s ° r t dW t : p p Si se rede¯nen las constantes de la expresi¶o n anterior como ¾ = 2s ° > 0 y a = ¡ 2m ° > 0, se obtiene que ¡ p p ¢ dr t = 14 ¾ 2 ¡ a r t dt + ¾ r t dW t : De acuerdo con Beaglehole-Tenney (1992) , el proceso correcto debe ser dX
t
= (m ¡ k X t ) dt + s dW t ;
donde m , k y ¾ son constantes positivas. En este caso, el lema de It^o aplicado a r t = ° X conduce a ¢ ¡ p p p p dr t = ° s 2 + 2m ° r t ¡ 2k r t dt + 2s ° r t dW t :
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2 t
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5 3 . M o d elo d e L o n g sta ®
p p Si se denotan ¾ = 2s ° > 0 y a = ¡ 2m ° > 0, se obtiene ¡ ¢ p p dr t = 14 ¾ 2 ¡ a r t ¡ 2k r t dt + ¾ r t dW t : En este caso, no es necesario suponer que X t se re°eja en el cero. Como puede observarse, el modelo de Longsta® (1989) es un caso particular de la correcci¶o n de Beaglehole y Tenney (1992) cuando k = 0.
5 3 .4 S o lu c i¶o n d e la e c u a c i¶o n d ife re n c ia l p a rc ia l d e l p re c io d e u n b o n o c u p ¶o n c e ro c u a n d o la ta sa c o rta sig u e e l m o d e lo d e L o n g sta ® Si r t es la tasa corta neutral al riesgo en (53.2) , es decir, el premio al riesgo es cero, entonces el precio de un bono cup¶o n cero, B (t;T ) , que se coloca en t y que paga una unidad monetaria al vencimiento T , satisface la ecuaci¶o n diferencial parcial parab¶o lica no lineal: ¡ p ¢@ B @B @ 2B + 21 ¾ 2 r t 2 + 41 ¾ 2 ¡ a r t ¡ r t B = 0: @t @ rt @ rt
(53:3)
Se propone una soluci¶o n de (53.3) en t¶e rminos de variables separables como sigue: B (t;T ) = e A
p (t;T )+ r t D (t;T )+ C (t;T ) r t
(53:4)
:
Claramente, A (T ;T ) = D (T ;T ) = C (T ;T ) = 0 ya que el valor nominal del bono est¶a dado por B (T ;T ) = e A
p (T ;T )+ r T D (T ;T )+ C (T ;T ) r T
= 1:
Despu¶e s de derivar parcialmente a B = B (t;T ) con respecto de t y r t se encuentra que: μ ¶ p @C @B @A @D =B + rt + rt ; @t @t @t @t μ ¶ @B C =B D + p @ rt 2 rt y "μ ¶ μ ¶2 # @ 2B C C =B ¡ p + D + p : @ r t2 4 rt rt 2 rt
(53:5)
(53:6)
(53:7)
Si se sustituyen las expresiones (53.5) , (53.6) y (53.7) en la ecuaci¶o n (53.3) , se obtiene: μ ¶2 p @C @A @D ¾ 2C ¾ 2 rt C + rt + rt ¡ p + D + p @t @t @t 8 rt 2 2 rt μ 2 ¶μ ¶ p ¾ C + ¡ a rt D + p ¡ r t = 0: 4 2 rt
(53:8)
Despu¶e s de desarrollar la expresi¶o n anterior, se sigue que p @C @A @D ¾ 2C ¾ 2 rt + rt + rt ¡ p + D @t @t @t 8 rt 2
2
+
p ¾ 2 rt ¾2 D C + C 2 8
2
+
¾2 D 4
p ¾ 2C aC + p ¡ a D rt ¡ ¡ r t = 0: 8 rt 2 Equivalentemente, μ ¶ · μ 2 ¶ ¸ p @A @D ¾ 2D 2 @C C ¾ + rt + ¡ 1 + rt + ¡ a D @t @t 2 @t 2 μ 2 ¶ C ¾ a D ¾2 + ¡ C + = 0: 8 2 4
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(53:9)
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5 3 . M o d elo d e L o n g sta ®
Si se deriva la expresi¶o n anterior con respecto de r t , se tiene que @D ¾ 2D + @t 2
2
· μ 2 ¶ ¸ 1 @C C ¾ ¡ 1+ p + ¡ a D = 0: 2 rt @ t 2
(53:10)
A ¯n de que (53.10) se cumpla para toda r t , es necesario que se satisfaga @D ¾ 2D =1¡ @t 2 j unto con
2
(53:11)
;
μ ¶ C ¾2 a¡ D : 2
@C = @t
(53:12)
La ecuaci¶o n diferencial ordinaria (53.11) es del tipo de Riccatti. Con el prop¶o sito de resolver esta ecuaci¶o n se reescribe como μ 2 2 ¶ @ D (t;T ) ¾ D (t;T ) =¡ ¡ 1 : (53:13) @t 2 De la ecuaci¶o n (53.13) , se tiene ZD
(t;T )
D (T ;T )
dU (s ;T ) =¡ 1 2 2 2 ¾ U (s ;T ) ¡ 1
Zt
ds
(53:14)
T
= ¡ (t ¡ T ) ;
donde U es una variable de integraci¶o n. El lado izquierdo de la ecuaci¶o n (53.14) , se puede reescribir como Z D (t;T ) Z D (t;T ) dU 2 dU = 2 : (53:15) 1 2 2 2 ¾ U ¡ (2= ¾ 2 ) ¡ 1 0 0 2¾ U La integral que aparece en (53:15) se calcula mediante integraci¶o n por fracciones parciales, esto es, Z D (t;T ) Z D (t;T ) dU dU £ ¡p ¢¤£ ¡p ¢¤: = (53:16) 2 2 U ¡ (2= ¾ ) U + 2= ¾ U ¡ 2= ¾ 0 0 Note que el integrando en (53:16) se puede reescribir como 1 A0 B0 p p £ ¡p ¢¤£ ¡p ¢¤= + : U + 2= ¾ U ¡ 2= ¾ U + 2= ¾ U ¡ 2= ¾ De lo anterior, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales en A 0
+B
0
p
2
0
¡
A y
p ¾
2
B
¾
0
yB
0
= 0:
=0
A
0
= 1:
La soluci¶o n de este sistema de ecuaciones es A
0
y B
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0
=¡
¾ p
2 2
¾ = p : 2 2
(53:17)
(53:18)
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5 3 . M o d elo d e L o n g sta ®
Al sustituir (53.17) y (53.18) en (53.16) , se tiene ZD 0
(t;T )
U
2
dU ¡ ¢= ¡ 2= ¾ 2
ZD
(t;T )
dU £ ¡p ¢¤£ ¡p ¢¤ U + 2= ¾ U ¡ 2= ¾ 0 Z D (t;T ) ¾ dU ¡p ¢ =¡ p 2 2 0 U + 2= ¾ Z D (t;T ) ¾ dU ¡p ¢ + p 2 2 0 U ¡ 2= ¾ · ¯ ¡p ¢¯¯ ¾ ¯D (t;T ) = p ¡ ln ¯U + 2= ¾ ¯¯ 0 2 2 ¸ ¯ D (t;T ) ¯ ¡p ¢¯¯ ¯ ¯ + ln U ¡ 2= ¾ ¯
(53:19)
0
¯ ¯¯ ¯U ¡ ¡p 2= ¾ ¢¯¯D (t;T ) ¾ ¯ ¯¯ ¡p ¢¯¯ = p ln ¯ 2 2 ¯U + 2= ¾ ¯¯ 0 ¯ ¡p ( ¯ ) ¡p ¢¯ ¢¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2= ¾ ¯ 2= ¾ ¯ ¾ ¯D (t;T ) ¡ ¯0 ¡ ¡p ¢¯¡ ln ¯ ¡p ¢¯ = p ln ¯ ¯D (t;T ) + ¯0 + 2 2 2= ¾ ¯ 2= ¾ ¯ ¯ ¡p ¢¯ ¯ ¯ 2= ¾ ¯ ¾ ¯D (t;T ) ¡ ¡p ¢¯: = p ln ¯ 2 2 ¯D (t;T ) + 2= ¾ ¯
Note que en la ecuaci¶o n (53:19) se ha considerado que D (T ;T ) = 0 y que ln j ¡ 1j = 0: Si se sustituye la ecuaci¶o n (53:19) en la ecuaci¶o n (53:15) y (53:14) , se tiene: ZD
(t;T )
D (T ;T )
dU = 1 2 2 ¡ 1 2¾ U
ZD
(t;T )
0
ZD
dU 2
¡
³
1 2
1 ¾2
´i
(t;T )
dU ¡2 ¢ 2 ¡ U 0 ¾2 ¯ p ¯ ¯ 2 ¯ 2 ¾ ¯D (t;T ) ¡ ¾ ¯ p ¯ = 2 p ln ¯ ¾ 2 2 ¯D (t;T ) + 2 ¯ ¾ p ! Ã D (t;T ) ¡ ¾ 2 1 p = p ln = ¡ (t ¡ T ) ; 2¾ D (t;T ) + ¾ 2
=
2 ¾2
h 1 2 U 2¾
(53:20)
donde se ha supuesto que la cantidad que aparece dentro del valor absoluto es positiva. Por lo tanto, p ! Ã p D (t;T ) ¡ ¾ 2 p ln = 2¾ (T ¡ t) : (53:21) 2 D (t;T ) + ¾ De la ecuaci¶o n (53.21) , se obtiene
D (t;T ) =
Equivalentemente, D (t;T ) =
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p ¾
p
2
¾
2
Ã
Ã
p
1+e p 1¡ e p
2 ¾ (T ¡ t) 2 ¾ (T ¡ t)
!
2e 2 ¾ (T ¡ t) p 1+ 1 ¡ e 2 ¾ (T ¡ t)
(53:22)
:
!
:
(53:23)
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5 3 . M o d elo d e L o n g sta ®
La funci¶o n D (t;T ) satisface la ecuaci¶o n diferencial (53.11) . Sin embargo, observe que (53.23) no cumple la condici¶o n ¯nal D (T ;T ) = 0. Por lo tanto, se retoma la ecuaci¶o n (53.20) suponiendo ahora que el argumento del valor absoluto es una cantidad negativa, lo que conduce a ! Ã p 2 p ) ¾ ¡ D (t;T p ln = 2¾ (T ¡ t) : (53:24) D (t;T ) + ¾ 2 Al despej ar D (t;T ) , se tiene D (t;T ) = ¶o D (t;T ) =
p
p
2
¾ 2
¾
Ã
Ã
1¡ e
1+e
p p
2 ¾ (T ¡ t) 2 ¾ (T ¡ t)
!
p
2e 2 ¾ (T ¡ t) p 1¡ 1 + e 2 ¾ (T ¡ t)
!
(53:25)
(53:26)
:
Esta funci¶o n satisface la ecuaci¶o n diferencial (53.11) y cumple la condici¶o n ¯nal D (T ;T ) = 0. La soluci¶o n obtenida, D (t;T ) , se sustituye en la ecuaci¶o n diferencial parcial (53.12) , lo cual lleva a μ ¶ C ¾2 a¡ D 2 p μ ¶p à C ¾2 2 1¡ e p = a¡ 2 ¾ 1+e
@C = @t
2 ¾ (T ¡ t) 2 ¾ (T ¡ t)
!
(53:27) :
La ecuaci¶o n diferencial (53:27) es de variables separables, as¶³ ¡
ZC
(t;T )
C (T ;T )
p p Zt dU (s ;T ) 2 1¡ e p ¡U ¾ 2 ¢ = ¾ T 1+e ¡ a 2
2 ¾ (T ¡ s ) 2 ¾ (T ¡ s )
ds :
(53:28)
Al resolver la integral del lado izquierdo de la ecuaci¶o n (53.28) , se tiene que ¡
ZC 0
(t;T )
¡U
dU ¢ =¡ ¾2 ¡ a 2 =
= = = = =
ZC
¡2 ¾2
(t;T )
¾2 0 2 Z C (t;T )
dU ¡ U ¡
2a ¾2
¢
dU U ¡ ¾2 a2 0 ¯ ¯¯ ¯C (t;T ) ¯ ¯¯ ¡2 ¯ 2a ¯ ln ¯U ¡ 2 ¯¯ ¾2 ¾ ¯ 0 ¯ ¯ ¯¸ · ¯ ¯ ¯ 2a ¯ ¡2 2a ¯ ¯ ¯ ¯ ln ¯C (t;T ) ¡ 2 ¯¡ ln ¯0 ¡ 2 ¯ ¾2 ¾ ¾ ¯ ¯2 a ¯ ¯ ¡2 ¯ ¾ 2 ¡ C (t;T ) ¯ ln ¯ ¯ ¯ 2 2 ¾ 2a = ¾ ¯ ¯ 2 ¯2a ¡ ¾ C (t;T ) ¯ ¡2 ¯ ¯ ln ¯ ¯ ¾2 2a μ ¶¡ 1 2 2a ¡ ¾ 2 C (t;T ) ln ; ¾2 2a
donde se ha tomado en cuenta que C (T ;T ) = 0 y se ha supuesto que C (t;T ) < 2a = ¾ 2 . Por lo tanto, μ ¶ Z C (t;T ) dU 2 2a ¡U ¾ 2 ¢ ¡ = 2 ln : (53:29) ¾ 2a ¡ ¾ 2 C (t;T ) ¡ a 0 2
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5 3 . M o d elo d e L o n g sta ® p
Considere ahora el lado derecho de (53.28) y de¯na el cambio de variable U = 1 + e 2 ¾ (T ¡ s ) , entonces p p p dU = ¡ 2¾ e 2 ¾ (T ¡ s ) ds = ¡ 2¾ (U ¡ 1) ds ; as¶³ p p Zt Zt 2 1 1 ¡ e 2 ¾ (T ¡ s ) U ¡ 2 p dU : (53:30) ds = 2 ¾ T 1 + e 2 ¾ (T ¡ s ) ¾ U (U ¡ 1) T Por simplicidad, los l¶³mites de integraci¶o n del lado derecho de (53.30) se mantienen sin cambio. El lado derecho de la ecuaci¶o n (53.30) se resuelve por fracciones parciales, esto es, se desea determinar A 1 y B 1 tales que
Es decir,
U ¡ 2 A1 B1 A 1 (U ¡ 1) + B 1 U : = + = U (U ¡ 1) U (U ¡ 1) U U ¡ 1 A
Por lo tanto, Zt 1 U ¡ 2 1 dU = 2 ¾ ¾ 2 T U (U ¡ 1) 1 = 2 ¾ 1 = 2 ¾
1
+B
1
=1
y
A
1
= 2:
¶ Zt A1 B1 dU + dU U T U ¡ 1 μ T ¯ ¯ ¯¯t ¶ ¯¯t p p ¯ ¯ ¯¯ ¯¯ 2 ln ¯1 + e 2 ¾ (T ¡ s ) ¯¯ ¡ ln ¯1 + e 2 ¾ (T ¡ s ) ¡ 1 ¯¯ T T ·³ ¯ ¯ ¯p ¯¯t ¸ ´ p ¯ ¯ ¯ ¯¯ 2 ln ¯1 + e 2 ¾ (T ¡ t) ¯¡ ln 2 ¡ ln ¯e 2 ¾ (T ¡ s ) ¯¯ T 3 2 2³ ´2 3 p 2 ¾ (T ¡ t) ³p ´ 1 6 6 1+e 7 7 = 2 4ln 4 5 ¡ ln e 2 ¾ (T ¡ t) 5 ¾ 4 μZ t
(53:31)
2³ ´2 3 p 2 ¾ (T ¡ t) 1 7 6 1+e p = 2 ln 4 5: ¾ 4e 2 ¾ (T ¡ t)
Si, por un lado, se sustituye (53:31) en (53:30) y, por otro lado, se sustituyen (53:29) y (53:30) en (53:28) , se sigue que p p Zt Z C (t;T ) 2 dU 1 ¡ e 2 ¾ (T ¡ s ) p ¡U ¾ 2 ¢ ds = ¡ ¾ T 1 + e 2 ¾ (T ¡ s ) ¡ a C (T ;T ) 2 2³ ´2 3 p (53:32) ¶ μ 2 ¾ (T ¡ t) 1 2a 2 7 6 1+e p = 2 ln 4 ln 5: ¾ 2a ¡ ¾ 2 C (t;T ) ¾2 4e 2 ¾ (T ¡ t) Al despej ar C (t;T ) de la ecuaci¶o n anterior, se tiene que 2³ ´2 3 p1 ¾ (T ¡ t) 2 1 ¡ e 2a 6 7 p C (t;T ) = 2 4 5: 2 ¾ (T ¡ t) ¾ 1+e
(53:33)
Observe que C (t;T ) < 2a = ¾ 2 y que si t = T , entonces C (T ;T ) = 0. Se puede veri¯car, de manera sencilla, que (53.26) y (53.33) cumplen con (53.12) . Por otro lado, si se sustituyen (53.11) , (53.12) , (53.26) y (53.33) en (53.9) , se obtiene que ³ ³ p ´4 p ´2 2 ¾ (T ¡ t)= 2 2 ¾ (T ¡ t)= 2 a 1 ¡ e 1 ¡ e a @A ³ ´ + ³ ´2 ¡ p p @t ¾ 2 1 + e 2 ¾ (T ¡ t) 2¾ 2 1 + e 2 ¾ (T ¡ t) Ã ! p ¾ 2e 2 ¾ (T ¡ t) p + p 1¡ = 0: 2 2 1 + e 2 ¾ (T ¡ t)
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5 3 . M o d elo d e L o n g sta ®
La expresi¶o n anterior se puede reescribir como: @A a2 = @t 2¾ 2
Ã
p
1¡ e p 1+e
2 ¾ (T ¡ t) 2 ¾ (T ¡ t)
!2
¡
Ã
¾ p
2 2
p
2e 2 ¾ (T ¡ t) p 1¡ 1 + e 2 ¾ (T ¡ t)
!
(53:34)
:
Por lo tanto, a2 A (t;T ) = 2¾ 2
ZtÃ
1¡ e
1+e
T
p p
2 ¾ (T ¡ s ) 2 ¾ (T ¡ s )
!2
ds ¡
¾ p
2 2
ZtÃ
1¡
T
2e 1+
p
2 ¾ (T ¡ s ) p e 2 ¾ (T ¡ s )
!
ds :
(53:35)
Para calcular la primera integral, del lado derecho de la ecuaci¶op n anterior, se de¯ne el cambio de p p variable u = 1 + e 2 ¾ (T ¡ s ) , de donde du = ¡ 2¾ (u ¡ 1) ds = 2¾ (1 ¡ u ) ds . En consecuencia, a2 2 2¾ 3 p
Zt T
(2 ¡ u ) 2 a2 du = p 2 u (1 ¡ u ) 2 2¾ 3
Zt T
4 ¡ 4u + u 2 du : u 2 (1 ¡ u )
(53:36)
La integral, del lado derecho de (53.36) , se calcula por fracciones parciales. Esto es, 4 ¡ 4u + u 2 A 2 B2 C2 = 2 + + 2 u (1 ¡ u ) u u 1¡ u A 2 + u (B 2 ¡ A 2 ) + u 2 (C = u 2 (1 ¡ u ) La soluci¶o n del sistema generado es A a2 p 2 2¾ 3
Zt T
2
= 4, B
2
= 0, y C
2
2
¡ B 2)
:
= 1. Por lo tanto,
μZ t ¶ Zt 4 ¡ 4u + u 2 a2 4 1 du = p du + du 2 u 2 (1 ¡ u ) 2 2¾ 3 T u T 1 ¡ u μ ¶ Zt Zt a2 4 1 = p du ¡ du u2 2 2¾ 3 T u ¡ 1 " T μ ¶ ¯t ¯ a2 1 ¯ p = p ¡4 ¯ 3 2 ¾ (T ¡ s ) 2 2¾ 1+e T # ¯t ³p ´¯ ¡ ln e 2 ¾ (T ¡ s ) ¯ ¯ T p 2 2a a2 a 2 (T ¡ t) μ ¶+ p =¡ ¡ : p 3 2¾ 2 2¾ 3 2 ¾ (T ¡ t) ¾ 1+e
(53:37)
A continuaci¶o n se calcula la segunda integral que aparece en (53.35) , es decir, ¡
¾ p
2 2
Ztà T
1¡
2e 1+
p
2 ¾ (T ¡ s ) p e 2 ¾ (T ¡ s )
!
¾2 ds = ¡ 4 ¾2 =¡ 4
"p
¾ Ã p
2
Ztà T
2
Zt
1¡
2e 1+ p
1¡ e p 1+e
p
2 ¾ (T ¡ s ) p e 2 ¾ (T ¡ s )
2 ¾ (T ¡ s )
2 ¾ (T ¡ s ) ¾ T 2³ ´2 3 p 2 ¾ (T ¡ t) 1 + e 6 7 p = ¡ 14 ln 4 5 4e 2 ¾ (T ¡ t) Ã ! p 2e ¾ (T ¡ t)= 2 1 p = 2 ln : 1 + e 2 ¾ (T ¡ t)
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ds
!
ds
#
!
(53:38)
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5 3 . M o d elo d e L o n g sta ®
Note que la integral que aparece en la segunda igualdad de (53.38) ya fue resuelta en (53.30) . Por u¶ ltimo, si se sustituyen las ecuaciones (53.37) y (53.38) en (53.35) , se obtiene que A (t;T ) =
1 2
ln
Ã
2e ¾ (T ¡
t)=
p
2
p
!
+ p
1 + e 2 ¾ (T ¡ t) p 2 2a μ ¶: ¡ p 3 2 ¾ (T ¡ t) ¾ 1+e
a2 a 2 (T ¡ t) ¡ 2¾ 2 2¾ 3 (53:39)
La expresi¶o n anterior se puede reescribir como: A (t;T ) =
1 2
ln
μ
p
¶
2
a2 + p + 2¾ 3
1 + e 2 ¾ (T ¡ t) p 2 2a μ ¶: ¡ p 3 2 ¾ (T ¡ t) ¾ 1+e
μ
a2 ¡ 2¾ 2 2 2 ¾ p
¶
(T ¡ t) (53:40)
Claramente, si t = T , entonces A (T ;T ) = 0. A continuaci¶o n se establece la estructura de plazos asociada al modelo de tasa corta de Longsta®.
5 3 .5 E stru c tu ra d e p la z o s d e l m o d e lo d e L o n g sta ® En esta secci¶o n se estudia la estructura de plazos del modelo de Longsta®. En este modelo la curva de rendimiento est¶a dada por: R (t;T ) = ¡
p ¡ r t D (t;T ) ¡ A (t;T ) ¡ C (t;T ) r t ln B (t;T ) = : T ¡ t T ¡ t
(53:41)
En este caso, puede veri¯carse, f¶acilmente, que R (t;1 ) ´
lim =
T ! 1
a2 ¾ ¡ p ; 2¾ 2 2 2
(53:42)
lo cual determina la tasa larga.
5 3 .6 E stim a c i¶o n d e p a r¶a m e tro s En esta secci¶o n se estiman los par¶ametros del modelo de tasa corta de Longsta®. Recuerde que la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica del comportamiento de la tasa corta est¶a representada por: dr t = Considere el cambio de variable X respecto de r t y t. Esto es,
¡1
4
t
p p ¢ ¾ 2 ¡ a r t dt + ¾ r t dW t :
(53:43)
p = 2 r t . Se calculan las derivadas parciales de X
t
con
@X t 1 2 = p = ; @ rt rt X t @ 2X t 1 1 =¡ =¡ p @ r t2 2r t r t r tX
(53:44) t
y @X t = 0: @t
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5 3 . M o d elo d e L o n g sta ®
El lema de It^o conduce a · ¸ p ¢ 1 2 @ 2X t p @X t @X t @ X t ¡1 2 dX t = + ¾ ¡ a r + ¾ r dt + ¾ r t dW t t 2 4 2 @t @ rt @ rt @ rt · μ ¶¸ p ¢ 1 2 2 ¡1 2 ¡1 X t 2 = ¾ ¡ a r + ¾ r dt + ¾ dW t t t 4 2 X t r tX t 2 X t μ ¶ p 1 2 2a r t 1 2 = ¾ ¡ ¡ ¾ dt + ¾ dW t 2X t X t 2X t
t
(53:46)
= ¡ a dt + ¾ dW t : Por lo tanto, X
t
¡ X
t¡ 1
= ¡ a + u t;
t = 1;2;:::;N ;
donde u t » N (0;¾ 2 ) . Por lo tanto, E[X
t
¡ X
t¡ 1 ]
=¡a
(53:47)
y Var[X As¶³ pues, si Y t = X ecuaciones
t
¡ X
t
¡ X
t¡ 1 ]
= ¾ 2:
(53:48)
t¡ 1 ,
los estimadores de a y ¾ se obtienen a trav¶e s de las siguientes v u N N u X 1 1 X t Yt = b a y Y 2 = ¾b: (53:49) N t= 1 N t= 1 t
5 3 .7 E je m p lo d e a p lic a c i¶o n d e l m o d e lo d e L o n g sta ® En esta secci¶o n se lleva a cabo una aplicaci¶o n del modelo de Longsta®. Para ello, se utilizan los mismos datos del ej emplo desarrollado en el cap¶³tulo destinado al modelo CIR. La tasa corta es la tasa de CETES a 7 d¶³as. La Gr¶a¯ca 53.1 muestra las curvas de ceros de Longsta® en un periodo de 1.4 a~n os. La tasa corta actual est¶a dada por r t = 0:0765. Los estimadores de la volatilidad y velocidad calculados a partir de las ecuaciones (53.49) est¶an dados por b a = 0:0216 y ¾b = 0:3601.
Gr¶a¯ca 53.1 Curva de ceros calculada con el modelo de Longsta®.
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581
5 3 . M o d elo d e L o n g sta ®
5 3 .8 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Beaglehole, D. and M. Tenney (1992) . \Corrections and Additions to a Nonlinear Equilibrium Model of the Term Structure of Interest Rates" . J o u rn a l o f F in a n cia l E co n o m ics, Vol. 32, No. 3, pp. 345-353. Cox, J. C., J. E. Ingersoll and S. A. Ross (1985) . \A Theory of the Term Structure of Interest Rates." E co n o m etrica , Vol. 53, No. 2, pp. 363-384. Longsta®, F. A. (1989) . \A Nonlinear General Equilibrium Model of the Term Structure of Interest Rates" . J o u rn a l o f F in a n cia l E co n o m ics, Vol. 23, No. 2, pp. 195-224.
5 3 .9 E je rc ic io s 5 3 .1 Demuestre que el precio, B (t;T ) , de un bono cup¶o n cero en el modelo de Longsta® satisface ¡ ¢ p dB = r t dt + D (t;T ) r t + 12 C (t;T ) ¾ dW t : B 5 3 .2 Muestre que D (t;T ) = y
p
2
¾
Ã
p
2e 2 ¾ (T ¡ t) p 1¡ 1 + e 2 ¾ (T ¡ t)
!
2³ ´2 3 p1 ¾ (T ¡ t) 2 1 ¡ e 2a 6 7 p C (t;T ) = 2 4 5 2 ¾ (T ¡ t) ¾ 1+e
satisfacen @C = @t
μ ¶ C ¾2 a¡ D : 2
5 3 .3 Veri¯que, de acuerdo con la secci¶o n 53.5, que R (t;1 ) ´
lim R (t;T ) =
T! 1
a2 ¾ ¡ p : 2 2¾ 2 2
5 3 .4 Suponga que la soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial parcial en el modelo de Longsta® es de la forma p B (t;T ) = e A (t;T )¡ r t D (t;T )+ C (t;T ) r t : Observe que la tasa corta en el exponente es premultiplicada por un signo menos. Obtenga D (t;T ) y A (t;T ) . Discuta las propiedades de estas soluciones. 5 3 .5 Suponga que la tasa corta sigue un proceso de la forma dr t = ¹ (r t ;t) dt + ¾ (r t ;t) dW
t
donde ¹ (r t ;t) y ¾ (r t ;t) son funciones conocidas y f W t g t¸ 0 es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad ( ;F ;IP) j unto con su ¯ltraci¶o n aumentada IF = f F t g t¸ 0 : Sea B = B (r t ;t; T ) el precio de un bono a descuento que se coloca en t y al vencimiento, T , paga una unidad monetaria. Considere el sistema de ecuaciones @B @ 2B + 21 ¾ 2 (r t ;t) 2 + (¹ (r t ;t) ¡ ¸ (r t ;t) ¾ (r t ;t) ) @t @ rt μ ¶ @B @ 2B @B dB = + 12 ¾ 2 (r t ;t) 2 + ¹ (r t ;t) dt + @t @ rt @ rt
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@B + r t B = 0; @ rt @B ¾ (r t ;t) dW t : @ rt
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5 3 . M o d elo d e L o n g sta ®
La primera ecuaci¶o n es la ecuaci¶o n diferencial parcial que satisface cualquier bono cup¶o n cero, la segunda corresponde al lema de It^o . Estas ecuaciones conducen a μ ¶ @B 1 @B dB = r t + ¸ (r t ;t) ¾ (r t ;t) B dt + ¾ (r t ;t) dW t : @ rt B @ rt En el caso del modelo de Longsta® se tiene que μ ¶ p @B 1 @B p dB = r t + ¸ (r t ;t) ¾ r t B dt + ¾ r t dW t ; @ rt B @ rt suponga que
p
rt ; ¾ entonces el rendimiento esperado del bono satisface ¯ ¸ · dB ¯ ¯F t = r t + 2¸ ² B E B ¯ ¸ (r t ;t) = 2¸
;r ;
donde
@ B rt @ rt B es la elasticidad del precio del bono con respecto de la tasa de inter¶e s. De esta manera, la ecuaci¶o n diferencial parcial del precio de un bono cup¶o n cero est¶a dada por ²B
;r
=
¡ ¢@ B p @B @ 2B + 12 ¾ 2 r t 2 + 12 ¾ 2 ¡ a r t ¡ 2¸ r t + r t B = 0: @t @ rt @ rt Obtenga la soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial parcial anterior. S o lu ci¶o n : La soluci¶o n est¶a dada por p B (r t ;¿ ) = M (¿ ) exp f D (¿ ) r t + C (¿ ) r t g donde M (¿ ) =
μ
1 ¡ c0 1 ¡ c0 e ° ¿ D (¿ ) = C (¿ ) =
¶1 = 2
½ ¾ c3 + c4 e ° ¿ = 2 exp c 1 + c 2 ¿ + ; 1 ¡ c0 e ° ¿
2¸¹ ¡ ° 2° + 2 ; ¾2 ¾ (1 ¡ c 0 e ° ¿ ) 2a (2¸¹ + ° ) (1 ¡ e ° ¿ = 2 ) 2 ; ° ¾ 2 (1 ¡ e ° ¿ )
¿ = T ¡ t; p ° = 4¸¹ 2 + 2¾ 2 ; 2¸¹ + ° c0 = ¹ ; 2¸ ¡ °
c1 =
¡ a2 ¹ (4¸ + ° ) (2¸¹ ¡ ° ) ; ° 3¾ 2 2¸¹ + ° a2 c2 = ¡ 2; 4 °
c3 =
4a 2 ¹ 2 (2¸ ¡ ¾ 2 ) ° 3¾ 2
c4 =
¡ 8¸¹ a 2 ¹ (2¸ + ° ) : ° 3¾ 2
y
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C A P ¶IT U L O 54 M O D E L O D E B R E N N A N Y SC H W A R T Z D E D O S FA C T O R E S C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ²
Modelos de equilibrio general para valuaci¶o n de bonos cup¶o n cero Bonos consol Modelos de tasas con dos factores Premio instant¶aneo al riesgo de mercado Ecuaci¶o n diferencial parcial del precio de un bono cup¶o n cero
5 4 .1 In tro d u c c i¶o n En el modelo de Brennan y Schwartz de dos factores que aparece en el art¶³culo \A Continuous Time Approach to the Pricing of Bonds" publicado en el \Journal of Banking and Finance" en 1979, la determinaci¶o n de la curva de rendimiento no s¶o lo considera la din¶amica de la tasa de inter¶e s de plazo m¶as corto disponible en el mercado, sino tambi¶e n el comportamiento de la tasa de inter¶e s de plazo m¶as largo con que se cuenta en el mercado. La din¶amica de estas tasas se especi¯ca a trav¶e s de un sistema de dos ecuaciones diferenciales estoc¶asticas. Vale la pena se~n alar que Michael J. Brennan y Eduardo S. Schwartz han producido m¶as de 30 art¶³culos de manera conj unta. Sus investigaciones se concentran principalmente en el ¶area de tasas de inter¶e s. El presente cap¶³tulo estudia, en cierto detalle, el modelo de Brennan y Schwartz de dos factores, en el cual se plantea un sistema de ecuaciones diferenciales estoc¶asticas que considera las din¶amicas de las tasas de inter¶e s de plazos m¶as corto y m¶as largo en el mercado; esta u¶ ltima asociada a un bono \consol" (una perpetuidad) que peri¶o dicamente paga un cup¶o n.
5 4 .2 B o n o s \ c o n so l" Un bono \consol" es una perpetuidad, es decir, un instrumento de renta ¯ja que paga peri¶o dicamente y, por siempre, un cup¶o n constante. En 1815, el gobierno brit¶anico coloc¶o un monto considerable de bonos de consolaci¶o n (\consol" ) a ¯n de liquidar la deuda en que incurri¶o durante la guerra contra Napole¶o n. Estos bonos recibieron el nombre de bonos de consolaci¶o n porque su prop¶o sito era dar consuelo a aquellos con los que el gobierno brit¶anico ten¶³a adeudos. De esta manera, si un bono de consolaci¶o n paga en cada instante un cup¶o n c y se descuenta a una tasa b t ´ R (t;1 ) , entonces su precio C (b t ;t; 1 ) al tiempo t, est¶a dado por Z1 c C (b t ;t; 1 ) = ce ¡ b t (s ¡ t) ds = : (54:1) b t t
5 4 .3 F u n d a m e n to s d e l m o d e lo d e B re n n a n y S c h w a rtz A continuaci¶o n se presenta una versi¶o n simpli¯cada del modelo de Brennan y Schwartz. Se supone que la tasa corta, r t ´ R (t;t) , y la tasa larga, b t ´ R (t;1 ) , es decir, las tasas de inter¶e s de plazos m¶as corto y m¶as largo en el mercado, respectivamente, satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales estoc¶asticas: dr t = a (b t ¡ r t ) dt + r t ¾ dW t ; db t = b t ° dt + b t ¯ dV t :
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5 4 . M o d elo d e B ren n a n y S ch w a rtz d e d o s fa cto res
Se supone tambi¶e n que los factores de riesgo se encuentran correlacionados entre s¶³, de tal manera que Cov(dW t ;dV t ) = ½ dt: (54:3) Si B = B (r t ;b t ;t; T ) denota el precio de un bono cup¶o n cero que paga una unidad monetaria al vencimiento T , el cual depende de r t y b t , se tiene que dB =
· @B @B @B + a (b t ¡ r t ) + bt° @t @ rt @ bt μ 2 ¶¸ @ B 2 2 @ 2B 2 2 @ 2B + 12 r ¾ + b ¯ + 2r b ¾ ¯ ½ dt t t @ r t2 t @ b t2 t @ r t@ bt @B @B + r t ¾ dW t + b t ¯ dV t : @ rt @ bt
(54:4)
Si se denota ºB
" @B @B @B = º B (r t ;b t ;t; T ) = + a (b t ¡ r t ) + b t° @t @ rt @ bt μ 2 ¶# @ B 2 2 @ 2B 2 2 @ 2B 1 1 + 2 rt ¾ + b t ¯ + 2r t b t ¾ ¯ ½ ; 2 2 @ rt @ bt @ r t@ bt B s r = s r (r t ;b t ;t; T ) =
@B 1 r t¾ @ rt B
s b = s b (r t ;b t ;t; T ) =
@B 1 bt¯ ; @ bt B
y
se sigue que dB = º B B dt + s r B dW
t
+ s b B dV t :
(54:5)
5 4 .4 C o n d ic i¶o n d e n o a rb itra je Con el prop¶o sito de caracterizar el equilibrio entre rendimientos de bonos de diferentes fechas de vencimiento, considere un portafolio con w i ; i = 1;2;3, unidades de bonos B i = B (r t ;b t ;t; T i ) , i = 1;2;3, con fechas de vencimiento T i , i = 1;2;3. En este caso, el valor, ¦ t , del portafolio est¶a dado por: ¦t = w 1 B 1 + w 2 B 2 + w 3 B 3 ; (54:6) y el cambio en su valor, por °uctuaciones propias del mercado, se calcula mediante d¦ t = w 1 dB
1
+ w 2 dB
2
+ w 3 dB 3 :
(54:7)
Si se sustituye el cambio en el precio de cada bono en la expresi¶o n anterior y se denotan º B i = º B (r t ;b t ;t; T i ) , s r i = s r (r t ;b t ;t; T i ) y s bi = s b (r t ;b t ;t; T i ) , i = 1;2;3, se obtiene: d¦ t =w 1 (º B 1 B 1 dt + s r 1 B 1 dW
+ s b1 B 1 dV t )
+ w 2 (º B 2 B 2 dt + s r 2 B 2 dW
t
+ s b2 B 2 dV t )
+ w 3 (º B 3 B 3 dt + s r 3 B 3 dW
t
+ s b3 B 3 dV t )
= (w 1 º B 1 B
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t
1
+ w 2ºB 2B
2
+ w 3 º B 3 B 3 ) dt
+ (w 1 s r 1 B
1
+ w 2 sr2 B
2
+ w 3 s r 3 B 3 ) dW
+ (w 1 s b1 B
1
+ w 2 s b2 B
2
+ w 3 s b3 B 3 ) dV t :
t
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5 4 . M o d elo d e B ren n a n y S ch w a rtz d e d o s fa cto res
El rendimiento del portafolio est¶a dado por d¦ t = (x 1 º B 1 + x 2 º B 2 + x 3 º B 3 ) dt ¦t + (x 1 s r 1 + x 2 s r 2 + x 3 s r 3 ) dW
(54:8)
t
+ (x 1 s b1 + x 2 s b2 + x 3 s b3 ) dV t ; donde xi =
w iB i ; ¦t
i = 1;2;3;
y
x 1 + x 2 + x 3 = 1:
El cambio en el rendimiento del portafolio, d¦ t = ¦ t , ser¶a libre de riesgo si las x i , i = 1;2;3, se seleccionan de tal manera que los coe¯cientes de los factores de riesgo dW t y dV t son cero, esto es, si se cumplen simult¶aneamente las dos siguientes ecuaciones: x 1 s r 1 + x 2 s r 2 + x 3 s r 3 = 0;
(54:9)
x 1 s b1 + x 2 s b2 + x 3 s b3 = 0:
Por otro lado, a ¯n de evitar oportunidades de arbitraj e, es necesario que la tasa de rendimiento sobre este portafolio sea igual a la tasa de inter¶e s libre de riesgo r t . Por supuesto que r t es variable, de hecho es estoc¶astica, pero al tiempo t es completamente conocida. En consecuencia,
x 1ºB 1 + x 2ºB 2 + x 3ºB
3
= r t:
Equivalentemente, x 1ºB 1 + x 2ºB 2 + x 3ºB
3
= r t (x 1 + x 2 + x 3 ) :
(54:10)
Por lo tanto, se tiene que x 1 (º B 1 ¡ r t ) + x 2 (º B 2 ¡ r t ) + x 3 (º B 3 ¡ r t ) = 0:
(54:11)
Las ecuaciones (54.9) y (54.11) se pueden escribir en forma matricial como: 0
sr1 @ s b1 º B 1 ¡ rt
sr2 s b2 º B 2 ¡ rt
10 1 0 1 sr3 x1 0 s b3 A @ x 2 A = @ 0 A : º B 3 ¡ rt x3 0
(54:12)
Observe que si el determinante de la matriz es distinto de cero, entonces el sistema tiene como u¶ nica soluci¶o n la trivial, es decir, x 1 = x 2 = x 3 = 0, lo cual implica que w 1 = w 2 = w 3 = 0. Lo que se busca es una soluci¶o n no trivial, por lo que las ¯las de la matriz en (54.12) deben ser linealmente dependientes, entonces existen ¸ r y ¸ b tales que: ºB
1
= r t + s r 1 ¸ r + s b1 ¸ b ;
ºB
2
= r t + s r 2 ¸ r + s b2 ¸ b ;
ºB
3
= r t + s r 3 ¸ r + s b3 ¸ b :
(54:13)
Dado que estas ecuaciones son id¶e nticas para cualquier fecha de vencimiento, se tiene que º B = rt +
@ B r t¾ @ B bt¯ ¸r + ¸b @ rt B @ bt B
(54:14)
es independiente del vencimiento T , as¶³ ¸ r = ¸ r (r t ;b t ;t) y ¸ b = ¸ b (r t ;b t ;t) . En la siguiente secci¶o n se encontrar¶a una expresi¶o n anal¶³tica para ¸ b .
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5 4 .5 P re m io a l rie sg o d e u n b o n o d e c o n so la c i¶o n Observe, primero, que la ecuaci¶o n (54.14) se cumple, en particular, para un bono de consolaci¶o n que paga cupones c = 1 y cuyo precio 1= b t es independiente de r t . As¶³, si B (r t ;b t ;t;1 ) = C (b t ;t; 1 ) = 1= b t , se tiene en particular que @C @ 2C @ 2C @C = = = = 0; 2 @ rt @ rt @ r t@ bt @t @C 1 =¡ 2; @ bt bt @ 2C 2 = 3: 2 @ bt bt
(54:15)
Por un lado, si se supone que el bono \consol" es comerciable, entonces del lema de It^o se sigue que μ ¶ 1 dC =d bt μ 2 ¶ ¯ ¡ ° ¯ (54:16) = dt ¡ dV t bt bt ¡ ¢ = ¯ 2 ¡ ° C dt ¡ ¯ C dV t :
De esta manera, º C est¶a dado por la ganancia esperada de capital, dada por la tendencia de (54.16) , m¶as la tasa cup¶o n. Es decir º C = ¯ 2 ¡ ° + b t:
(54:17)
Mientras que, por otro lado, a partir de (54.14) , se tiene que @ C bt¯ ¸b @ bt C =r t ¡ ¯ ¸ b :
º C =r t +
(54:18)
Despu¶e s de igualar (54.17) con (54.18) , se obtiene ¸b =
r t ¡ bt + ° ¡ ¯ 2 : ¯
(54:19)
La prima al riesgo de mercado ¸ b no depende de las caracter¶³sticas espec¶³¯cas del instrumento que se utiliz¶o para calcularla y debe ser la misma para cualquier bono, incluyendo un bono \consol" .
5 4 .6 E c u a c i¶o n d ife re n c ia l p a rc ia l d e l p re c io d e u n b o n o q u e d e p e n d e d e la s ta sa s c o rta y la rg a Dado que la prima al riesgo de mercado ¸ b es la misma para el bono a descuento y el bono \consol" , a partir de (54.14) , se tiene º B = rt +
¢ @ B r t¾ @ B bt ¡ ¸r + r t ¡ bt + ° ¡ ¯ 2 : @ rt B @ bt B
Al igualar la ecuaci¶o n anterior con el t¶e rmino de tendencia de (54.5) , se obtiene ¢ @B @B @B ¡2 + [a (b t ¡ r t ) ¡ r t ¾ ¸ r ] + ¯ b t + b t2 ¡ r t b t @t @ rt @ bt 2 2 @ B @ B @ 2B + 12 r t2 ¾ 2 + 12 b 2t ¯ 2 + ½ r t ¾ b t ¯ ¡ r t B = 0; 2 2 @ rt @ bt @ r t@ bt
(54:20)
j unto con la condici¶o n de frontera B (r t ;b t ;T ) = 1: Note que en la ecuaci¶o n (54:20) no aparece el premio al riesgo ¸ b . Falta, por supuesto, la estimaci¶o n del premio al riesgo ¸ r , lo cual puede ser una tarea complicada.
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5 4 .7 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Brennan, M. J. and E. S. Schwartz (1979) . \A Continuous Time Approach to the Pricing of Bonds" . J o u rn a l o f B a n kin g a n d F in a n ce, Vol. 3, No. 2, pp. 133-155. Gonz¶alez-Ar¶e chiga, B., J. D¶³az-Tinoco y F. Venegas-Mart¶³nez (2001) . \Riesgo cambiario, brecha de madurez y cobertura con futuros: an¶alisis local y de valor en riesgo" . E co n o m ¶³a M exica n a , N u eva E¶ poca , Vol. 10, No. 2, pp. 259-290. Gonz¶alez-Ar¶e chiga, B., F. Venegas-Mart¶³nez y J. D¶³az-Tinoco (2000) . \Riesgo de tasas de inter¶e s e inmunizaci¶o n por duraci¶o n y convexidad con futuros: an¶alisis local y de valor en riesgo" . In vestiga ci¶o n E co n o¶ m ica , Vol. 60, No. 233, pp. 72-112.
5 4 .8 E je rc ic io s 5 4 .1 Considere el modelo dr t = ¯ 1 (r t ;b t ;t) dt + ´ 1 (r t ;b t ;t) dW t ; db t = ¯ 2 (r t ;b t ;t) dt + ´ 2 (r t ;b t ;t) dV t y E[dW t dV t ] = ½ dt: Demuestre que el premio al riesgo asociado a la tasa larga satisface ¸b = ¡
´2 ¯ 2 ¡ b 2t + r t b t + : bt ´2
Asimismo, demuestre que la ecuaci¶o n diferencial parcial que caracteriza el precio de un bono cup¶o n cero est¶a dada por μ 2 ¶ @B @B @B ´2 2 + (¯ 1 ¡ ¸ r ´ 1 ) + + bt ¡ r tbt @t @ rt @ b t b t2 @ 2B 2 1 @ 2B 2 @ 2B + 21 ´ + ´ + ½ ´ ´ ¡ r t B = 0: 1 2 2 @ b2 2 @ r t2 1 @ r t@ bt t 5 4 .2 Analice con la metodolog¶³a de Brennan y Schwartz el siguiente modelo: dr t = [μ 1 + μ 2 (b t ¡ r t ) ] dt + r t ¾ 1 dW t ;
db t = b t (° 1 + ° 2 r t + ° 3 b t ) dt + b t ¾ 2 dV t
y E[dW t ;dV t ] = ½ dt; donde μ 1 , μ 2 , ° 1 , ° 2 , ° 3 , ¾ 1 , ¾ 2 y ½ son constantes.
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.
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C A P ¶IT U L O 55 M O D E L O D E T A SA C O R T A D E B LA C K ,D E R M A N Y T O Y C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ²
Modelo de tasa corta de Black, Derman y Toy Estructura de plazos de la volatilidad Valuaci¶o n de bonos cup¶o n cero ¶ Arboles binomiales
5 5 .1 In tro d u c c i¶o n En 1990, Fischer Black, Emanuel Derman y William Toy (BDT) publican el art¶³culo \A OneFactor Model of Interest Rates and its Application to Treasury Bond Options" en el \Financial Analysts Journal" . En la metodolog¶³a propuesta por BDT, la tasa corta sigue una distribuci¶o n lognormal y la valuaci¶o n de bonos se lleva a cabo mediante el uso de a¶ rboles binomiales. La curva de rendimiento actual se obtiene a partir de una estructura inicial de plazos de la tasa de inter¶e s (proveniente del mercado) y de una estructura estimada de plazos de la volatilidad, lo cual, en cierto sentido, es comparable con los modelos de Ho y Lee (1986) y Hull y White (1990) en donde se requiere una curva inicial de rendimiento y estimar el par¶ametro de volatilidad. Asimismo, en este cap¶³tulo se presenta un algoritmo, desarrollado por BDT, para determinar la din¶amica de la tasa corta y los precios de bonos cup¶o n cero a distintos vencimientos. El algoritmo requiere una estructura de plazos de la volatilidad as¶³ como informaci¶o n inicial de una curva de rendimiento. Por u¶ ltimo, a manera de ilustraci¶o n, se desarrolla una aplicaci¶o n detallada del algoritmo de BDT.
5 5 .2 D in ¶a m ic a d e la ta sa c o rta c o n u n so lo fa c to r En el modelo de BDT, la tasa corta sigue un proceso lognormal, lo que evita que ¶e sta se torne negativa. El modelo de BDT se puede obtener del modelo de Vasicek al sustituir la tasa corta por su logaritmo. Es tambi¶e n importante destacar que para ciertas especi¯caciones de la funci¶o n de la volatilidad, la tasa instant¶anea puede no presentar reversi¶o n a la media. Asimismo, debido a que la tasa corta sigue un comportamiento lognormal, no es posible, en general, contar con una soluci¶o n anal¶³tica del precio del bono para un vencimiento dado. En este sentido, Black, Derman y Toy han propuesto un algoritmo de valuaci¶o n de bonos a descuento que se presenta, en detalle, en el transcurso de este cap¶³tulo. El modelo original de BDT es desarrollado en tiempo discreto. A continuaci¶o n se presenta una versi¶o n en tiempo continuo, suponga que la din¶amica de la tasa corta es guiada por la siguiente ecuaci¶o n: r t = ¹ te ¾ tW t ; (55:1) donde ¹ t y ¾ t son, respectivamente, la media y la volatilidad de la tasa corta al tiempo t y (W t ) t¸ 0 es un movimiento Browniano est¶andar de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad con una ¯ltraci¶o n, ( ;F ;(F t ) t¸ 0 ;IP) . La ecuaci¶o n (55.1) puede reescribirse como r t = e ln ¹ t +
¾ tW
t
:
(55:2)
Otra forma alternativa de expresar la ecuaci¶o n anterior est¶a dada por ln r t = ln ¹ t + ¾ t W t ;
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(55:3)
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a partir de lo cual, se obtiene que W
t
=
ln r t ¡ ln ¹ t : ¾t
(55:4)
Es decir, la diferencia logar¶³tmica de r t con su media, por unidad de volatilidad, se distribuye como una variable aleatoria normal con media cero y varianza t. Una simple aplicaci¶o n del lema de It^o al logaritmo de la tasa corta conduce a μ ¶ @ ln r t @ 2 ln r t @ ln r t d ln r t = + 21 dt + dW t : (55:5) @t @ W t2 @W t Observe tambi¶e n que @ ln r t @ ln ¹ t = +W @t @t @ ln r t = ¾t @W t
t
@¾t ; @t
(55:6) (55:7)
y @ 2 ln r t = 0: @ W t2
(55:8)
Si se sustituyen las derivadas parciales (55.6) , (55.7) y (55.8) en (55.5) , se obtiene que · μ ¶ ¸ @ ln ¹ t ln r t ¡ ln ¹ t @ ¾ t d ln r t = + dt + ¾ t dW t : @t ¾t @t
(55:9)
Por otro lado, es f¶acil veri¯car que 1 @¾t @ ln ¾ t = : ¾t @t @t
(55:10)
Por lo tanto, despu¶e s de sustituir la ecuaci¶o n (55:10) en (55:9) , se sigue que · ¸ @ ln ¹ t @ ln ¾ t d ln r t = ¡ (ln ¹ t ¡ ln r t ) dt + ¾ t dW t : @t @t
(55:11)
En conclusi¶o n, la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica (55.11) representa la din¶amica del logaritmo de la tasa corta en el modelo de BDT. En ocasiones, es conveniente introducir la siguiente notaci¶o n: at = ¡
@ ln ¾ t ; @t
b t = ln ¹ t ; °t =
@ ln ¹ t @t
y X
t
= ln r t :
(55:12)
Despu¶e s de sustituir las expresiones anteriores en la ecuaci¶o n (55:11) , se tiene que dX
t
= [° t + a t (b t ¡ X t ) ] dt + ¾ t dW t :
(55:13)
Observe, en particular, que si ¾ t y ¹ t son constantes, entonces a t = ° t = 0. En este caso, la ecuaci¶o n (55:13) no presenta reversi¶o n a la media y, en este caso, la ecuaci¶o n (55:11) se transforma en d ln r t = ¾ t dW t ; (55:14) lo que conduce a ln r t = ln r 0 + ¾ t (W ¶o
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t
r t = r 0 e ¾ tW t :
¡ W
0)
(55:15)
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Por otro lado, si se supone que la volatilidad decae a una tasa positiva, entonces se producir¶a el efecto de reversi¶o n de X t a b t . Por ej emplo, se puede suponer que la volatilidad decae como ¾ t = ¾ 0 e¡
at
;
donde a > 0. De esta manera, ¡
@ ln ¾ t = a: @t
Por lo tanto, dX
t
= [° t + a (b t ¡ X t ) ] dt + ¾ t dW t :
(55:16)
Si adem¶as se supone que el logaritmo de la media de la tasa corta es constante, es decir ln ¹ t = b, o bien ¹ t = e b , entonces @ ln ¹ t °t = = 0: @t Por lo que la ecuaci¶o n (55:16) se transforma en: dX
t
= a (b ¡ X t ) dt + ¾ t dW t :
(55:17)
Esta ecuaci¶o n es, claramente, del tipo de Vasicek en la variable X t . A partir de (55.17) es posible estimar, a trav¶e s de una regresi¶o n lineal simple, los par¶ametros a y b. Si los estimadores de estos par¶ametros se denotan mediante b a yb b, respectivamente, entonces at ¾ t = ¾ 0 e¡ b
y Por lo tanto, donde E » N (0;1) .
b ¹ t = eb : b+ ¾ 0 e ¡ a^ t r t = eb
p
tE
;
(55:18)
5 5 .3 E l a lg o ritm o d e B D T p a ra c a lc u la r e l p re c io d e u n b o n o c u p o¶ n c e r o y la ta sa c o rta m e d ia n te ¶a rb o le s b in o m ia le s A continuaci¶o n se presenta el algoritmo de BDT para calcular el precio de un bono cup¶o n cero a diferentes plazos y para calcular la tasa corta en distintos precios a trav¶e s de ¶arboles binomiales, con base en una estructura inicial de plazos de la tasa de inter¶e s y una estructura estimada de plazos de la volatilidad. Para ello, se supone que la tasa corta sigue una distribuci¶o n lognormal, en particular, sigue una ecuaci¶o n de la forma (55:1) . Con el prop¶o sito de ilustrar el funcionamiento del algoritmo, se supone un horizonte de valuaci¶o n de 4 a~n os. Para iniciar el algoritmo, se requiere de la informaci¶o n que aparece en la Cuadro 55.1.
Estructuras de plazo iniciales No. de a~n os para Rendimiento Volatilidad el vencimiento R (0;T ) ¾ (0;T ) 1 R (0;1) ¾ (0;1) 2 R (0;2) ¾ (0;2) 3 R (0;3) ¾ (0;3) 4 R (0;4) ¾ (0;4) Cuadro 55.1 Informaci¶o n inicial. En el algoritmo de BDT, se supone que al ¯nal del u¶ ltimo periodo el bono cup¶o n cero siempre paga una unidad monetaria, independientemente de la trayectoria tomada en el a¶ rbol. De esta
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manera, el precio del bono se calcula yendo hacia atr¶as, es decir, se trae a valor presente el valor esperado del precio del bono con la tasa de inter¶e s correspondiente. La tasa corta es la tasa de inter¶e s anual y ¶e sta se calcula yendo hacia adelante. A continuaci¶o n se ilustra este procedimiento en detalle.
5 5 .3 .1 P a so 1 d e l a lg o ritm o d e B D T En este primer paso, identi¯cado con el super¶³ndice \(1) " , se determina el precio de un bono cup¶o n cero hoy, n = 0, y que vence en un a~n o, T = 1. El precio del bono, hoy, es denotado por (1 ) (1 ) (1 ) B 0 . Los dos posibles precios del bono en n = T = 1, se denotan mediante B u y B d . El ¶arbol binomial inicial se muestra en la Gr¶a¯ca 55.1. B
B
(1 ) 0
%
p
&
1¡ p
B
(1 ) u
(1 ) d
¶ Gr¶a¯ca 55.1 Arbol binomial inicial. Si se supone que el bono siempre paga una unidad monetaria en el vencimiento, entonces es (1 ) (1 ) (1 ) posible calcular B 0 . En efecto, sean Beu = 1 y Bed = 1, con probabilidades de ocurrencia p y 1 ¡ p , respectivamente. De ahora en adelante, todas las literales que tengan una tilde ser¶an consideradas como cantidades conocidas. Claramente, el precio esperado dentro de un a~n o, en T = 1, es (1 ) (1 ) E[ B j I (1 ) ] = p Be(1 ) + (1 ¡ p ) Be = 1; (55:19) u
0
d
donde I (1 ) es la informaci¶o n disponible en T = 1. Este valor esperado tra¶³do a valor presente, proporciona el precio del bono hoy, n = 0, es decir, (1 )
E[ B 0 j I (1 ) ] 1 (1 ) Be0 = = ; 1 + R (0;1) 1 + R (0;1)
(55:20)
(1 ) donde R (0;1) es la tasa del bono que vence dentro de un a~n o. As¶³, Be0 = B (0;1) tiene ahora un valor conocido. El ¶arbol binomial para el precio de un bono cup¶o n cero que al ¯nal del primer periodo paga una unidad monetaria, se muestra en la Gr¶a¯ca 55.2.
(1 ) Be0
Beu(1 ) = 1
%
p
&
1¡ p (1 ) Bed = 1
Gr¶a¯ca 55.2 Precio de un bono cup¶o n cero que vence en un a~n o.
5 5 .3 .2 P a so 2 d e l a lg o ritm o d e B D T A continuaci¶o n se determina el precio, hoy, de un bono cup¶o n cero que vence dentro de dos a~n os, (2 ) T = 2, B 0 , a partir de precios futuros. Para relacionar los precios futuros con los precios de hoy se utiliza un a¶ rbol binomial de dos periodos. En la Gr¶a¯ca 55.3, se muestra el ¶arbol binomial
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de precios del bono cup¶o n cero. En este caso, hay dos periodos: de n = 0 a n = 1 y de n = 1 a n = 2, as¶³ como una fecha de vencimiento T = 2.
B
B
(2 ) 0
(2 ) u
%
p
&
1¡ p
B
%
p
Beu(2u) = 1
&
1¡ p
%
p
&
1¡ p
(2 ) d
(2 ) (2 ) Beu d = Bed u = 1
(2 ) Bed d = 1
¶ Gr¶a¯ca 55.3 Arbol binomial de dos periodos del precio de un bono cup¶o n cero. Observe que en la Gr¶a¯ca 55.3, no se conocen los precios del bono para n = 0 y n = 1, es decir, (2 ) (2 ) (2 ) no se conocen B 0 , B u y B d , los cuales se tienen que determinar a trav¶e s del algoritmo. A partir de la estructura de plazos de la tasa de inter¶e s (Cuadro 55.1) , se calcula el precio de un (2 ) bono cup¶o n cero, hoy, con vencimiento dentro de dos a~n os, B 0 . De esta manera y, como era de esperarse, (2 ) (2 ) (2 ) E[ B 0 j I (2 ) ] = p 2 Beu(2u) + 2p (1 ¡ p ) Beu d + (1 ¡ p ) 2 Bed d = 1: (55:21) As¶³,
(2 )
E[ B 0 j I (2 ) ] (2 ) Be0 = (1 + R (0;2) ) 2 1 = ; (1 + R (0;2) ) 2
(55:22)
por lo que Be02 ´ B (0;2) tiene ahora un valor conocido. A continuaci¶o n se calcula el precio del bono dentro de un a~n o cuando ¶e ste vence en dos a~n os. Para ello, se necesita determinar la tasa corta vigente dentro de un a~n o. En la Gr¶a¯ca 55.4 se muestra el ¶arbol binomial de los precios de un bono cup¶o n cero que vence en T = 2.
B (2 ) Be0
(2 ) u
%
p
&
1¡ p
B
%
(2 ) d
p
Beu(2u) = 1
&
1¡ p
%
p
&
1¡ p
(2 ) (2 ) Beu d = Bed u = 1
(2 ) Bed d = 1
¶ Gr¶a¯ca 55.4 Arbol binomial de dos periodos para un bono cup¶o n cero. (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) Note que todos los precios Be0 , Beu u , Beu d y Bed d son conocidos. Observe tambi¶e n que para (2 ) (2 ) calcular B u y B d se requieren los valores de la tasa corta r u y r d . El ¶arbol binomial para la tasa corta se presenta en la Gr¶a¯ca 55.5.
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ru R (0;1)
%
p
&
1¡ p
rd ¶ Gr¶a¯ca 55.5 Arbol binomial de un periodo para la tasa corta. A continuaci¶o n se procede como en la ecuaci¶o n (55.19) a ¯n de determinar el precio esperado del bono en un a~n o, esto es, (2 ) (2 ) E[B 0 j I (1 ) ] = B u(2 ) p + B d (1 ¡ p ) : (55:23) El valor presente del valor esperado del precio del bono dentro de un a~n o cuando tiene vencimiento en dos a~n os satisface (2 ) (2 ) B u p + B d (1 ¡ p ) (2 ) Be0 = ; (55:24) 1 + R (0;1) (2 ) donde R (0;1) es el rendimiento de un bono que vence dentro de un a~n o. El valor Be0 ya fue (2 ) (2 ) calculado en la ecuaci¶o n (55:22) . Observe que B u y B d son cantidades desconocidas, para calcularlas se procede como sigue. En un ¶arbol binomial est¶andar se tiene que p r u = e ¾ (0 ;T ) T = n (55:25)
y rd = e¡
¾ (0 ;T )
p
T =n
(55:26)
;
donde n representa el n¶u mero de periodos en el a¶ rbol binomial de la tasa corta y T la fecha de vencimiento del bono. Despu¶e s de tomar el cociente entre r u y r d , se tiene que r μ ¶ ru T ln = 2¾ (0;T ) : (55:27) rd n Si se despeja ¾ (0;T ) de la ecuaci¶o n anterior, se obtiene μ ¶ 1 ru ¾ (0;T ) = p ln ; rd 2 T =n as¶³, r u = r d e ¾ (0 ;T )(2
p
T =n )
(55:29)
:
Observe, en particular, que si T = n = 2, se obtiene μ ¶ ru 1 ¾ (0;2) = 2 ln ; rd o bien
(55:28)
(55:30)
r u = r d e 2 ¾ (0 ;2 ) :
(55:31) (2 ) u
Por otro lado, observe que el precio de un bono cup¶o n cero B dentro de un a~n o que paga una unidad monetaria dentro de dos a~n os, tra¶³do a valor presente a una tasa corta, r u , est¶a dado por
An¶alogamente, para B
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B
(2 ) u
=
1 : 1 + ru
(55:32)
B
(2 ) d
=
1 : 1 + rd
(55:33)
(2 ) d ,
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Si se sustituyen (55:32) y (55:33) en la ecuaci¶o n (55:24) , se tiene que (2 ) u p
(2 )
+ B d (1 ¡ p ) 1 + R (0;1) (1 + r u ) ¡ 1 p + (1 + r d ) ¡ 1 (1 ¡ p ) : = 1 + R (0;1)
B (2 ) Be0 =
(55:34)
Si ahora se sustituye (55:31) en la ecuaci¶o n (55:34) , se sigue que (1 + r d e 2 ¾ (0 ;2 ) ) ¡ 1 p + (1 + r d ) ¡ 1 (1 ¡ p ) (2 ) : Be0 = 1 + R (0;1)
(55:35)
(2 ) Recuerde que R (0;1) ; Be0 y ¾ (0;2) son valores conocidos. Por lo que la ecuaci¶o n (55:35) se puede reescribir como una ecuaci¶o n cuadr¶atica homog¶e nea,
r d2 + b r d + c = 0;
(55:36)
donde b y c son cantidades conocidas. Esta ecuaci¶o n, para un valor ¯j o de p , proporciona, una soluci¶o n de r d , denotada por red . Al sustituir este valor en la ecuaci¶o n (55:31) , se tiene que reu = red e 2 ¾ (0 ;2 )
(55:37)
es tambi¶e n una cantidad conocida. Con los valores de reu y red calculados en (55.36) y (55.37) , (2 ) (2 ) respectivamente, se calculan los precios B u y B d de (55:32) y (55:33) , mediante (2 ) Bed =
1 1 + red
Beu(2 ) =
y
1 : 1 + reu
(55:38)
El ¶arbol binomial de dos periodos de los precios de los bonos cup¶o n cero, completamente determinados, se muestra en la Gr¶a¯ca 55.6.
(2 ) Be0
% &
Beu(2 )
%
p
1¡ p (2 ) Bed
p
Beu(2u) = 1
&
1¡ p
%
p
&
1¡ p
(2 ) (2 ) Beu d = Bed u = 1
(2 ) Bed d = 1
¶ Gr¶a¯ca 55.6 Arbol binomial de dos periodos del precio de un bono cup¶o n cero. Observe ahora que ya se conocen los precios del bono para n = 0 y n = 1 con el supuesto de que en T = 2 el bono vence pagando una unidad monetaria. Adem¶as, se han calculado los valores de la tasa corta como se muestra en el a¶ rbol binomial de la Gr¶a¯ca 55.7.
R (0;1)
reu
%
p
&
1¡ p
red
¶ Gr¶a¯ca 55.7 Arbol binomial de dos periodos de la tasa corta.
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5 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e B la ck , D erm a n y T oy
5 5 .3 .3 P a so 3 d e l a lg o ritm o d e B D T A continuaci¶o n se construye el a¶ rbol binomial para dos periodos de la tasa corta, la cual es la tasa de inter¶e s de plazo a un a~n o. El ¶arbol binomial para dos periodos se presenta en la Gr¶a¯ca 55.8. ru u reu
%
R (0;1)
%
p
&
1¡ p
red
p
&
1¡ p
%
p
&
1¡ p
ru d = rd u
rd d ¶ Gr¶a¯ca 55.8 Arbol binomial de dos periodos para la tasa corta. Observe que ahora hay tres tasas cortas desconocidas r u u ; r u d y r d d , y s¶o lo se cuenta con dos fuentes de informaci¶o n: el Cuadro 55.1 y las tasas reu ; red . Para resolver este problema, se consideran los supuestos b¶asicos del modelo de BDT, en cuyo caso μ ¶ μ ¶ 1 ru u 1 ru d ¾ (0;3) = q ln = q ln ; (55:39) ru d rd d 2 22 2 22 lo cual implica ln
μ
¶
ru u ru d
= ln
μ
ru d rd d
¶
:
(55:40)
En consecuencia, rd d =
r u2 d : ru u
(55:41)
El ¶arbol binomial de tres periodos del precio de un bono cup¶o n cero se muestra en la Gr¶a¯ca (3 ) (3 ) (3 ) (3 ) (3 ) (3 ) 55.9. Observe que no se conocen los precios de los bonos B 0 ;B u ;B d ;B u u , B u d y B d d .
B
B
B
(3 ) 0
&
%
(3 ) u
p
%
p
&
1¡ p
B %
1¡ p
B
(3 ) uu
(3 ) ud
p
(3 ) d
&
1¡ p
B
Beu(3u)u = 1
%
p
&
1¡ p
%
p
&
1¡ p
%
p
(3 ) Beu u d = 1
(3 ) Beu d d = 1
(3 ) dd
&
1¡ p (3 ) Bed d d = 1
¶ Gr¶a¯ca 55.9 Arbol binomial de tres periodos.
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5 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e B la ck , D erm a n y T oy
Al igual que en el caso del ¶arbol binomial de dos periodos, se determina el precio del bono cup¶o n cero al inicio del a¶ rbol binomial. En este caso, el bono paga una unidad monetaria al ¯nal del tercer a~n o. El precio del bono en el presente se calcula trayendo a valor presente dicha unidad monetaria, esto es, (3 ) E[ B 0 j I (3 ) ] (3 ) Be0 = (1 + R (0;3) ) 3 (55:42) 1 = : (1 + R (0;3) ) 3 (3 ) De esta manera Be0 es ahora una cantidad conocida. Por otro lado, observe que los precios (3 ) (3 ) (3 ) de los bonos cup¶o n cero B u u ; B u d y B d d dentro de dos a~n os, n = 2, y que pagan una unidad monetaria dentro de tres a~n os, T = 3, tra¶³dos a valor presente al segundo a~n o, n = 2, a las tasas r u u ;r u d y r d d , respectivamente, est¶an dados por
B
(3 ) uu
=
1 ; 1 + ru u
B
(3 ) ud
=
1 1 + ru d
y
B
(3 ) dd
=
1 : 1 + rd d
(55:43)
Asimismo, el precio del bono en el primer a~n o en t¶e rminos del precio del bono del segundo a~n o y tra¶³do a valor presente en el primer a~n o con la tasa corta calculada en el paso 2, es igual a: B
(3 ) u
=
B
(3 ) d
=
(3 ) uu
pB
y
+ (1 ¡ p ) B 1 + reu (3 )
(1 ¡ p ) B d d + p B 1 + red
(3 ) ud
(3 ) ud
(55:44)
:
(55:45)
Adem¶as, el valor esperado del precio del bono en el primer a~n o, n = 1, tra¶³do a valor presente debe ser igual al precio, hoy, del bono cup¶o n cero, es decir, (3 ) u
+ (1 ¡ p ) B 1 + R (0;1)
pB (3 ) Be0 =
(3 ) d
:
(55:46)
Si al bono le restan dos a~n os para vencer, sus posibles rendimientos, en cada estado de la naturaleza, º u y º d deben satisfacer las siguientes relaciones: B
(3 ) u
=
1 (1 + º u ) 2
(55:47)
B
(3 ) d
=
1 : (1 + º d ) 2
(55:48)
y
Si se despeja el rendimiento en las ecuaciones (55.47) y (55:48) , esto es, ºu =
s
ºd =
s
y
1 B
(3 ) u
1 B
(3 ) d
¡ 1
(55:49)
¡ 1;
(55:50)
entonces al utilizar la ecuaci¶o n (55:28) , se tiene que la aplicaci¶o n de ¾ (0;3) para n = T = 3, satisface μ ¶ ºu ¾ (0;3) = 12 ln : (55:51) ºd
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5 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e B la ck , D erm a n y T oy
Por lo tanto, º u = º d e 2 ¾ (0 ;3 ) :
(55:52)
Si se sustituye la ecuaci¶o n (55:50) en (55:52) , se obtiene
ºu =
(3 ) u
Ahora es posible expresar B (55:47) , es decir, B
à s
1 B
(3 ) d
en t¶e rminos de B
(3 ) u
=
¡ 1 (3 ) d
!
e 2 ¾ (0 ;3 ) :
(55:53)
al sustituir la ecuaci¶o n (55:53) en la ecuaci¶o n
1 (1 + º u ) 2
= · μ ³ 1¡ 1¡ B
1 ´¡
(3 ) d
1=2
¶
e 2 ¾ (0 ;3 )
¸2 :
(55:54)
Por otra parte, si se sustituyen (55.47) , (55.48) y (55:52) en la ecuaci¶o n (55:46) , se sigue que (3 ) u
(3 )
+ (1 ¡ p ) B d 1 + R (0;1) p (1 + º u ) ¡ 2 + (1 ¡ p ) (1 + º d ) ¡ 2 = 1 + R (0;1) ¡ ¢¡ 2 p 1 + º d e 2 ¾ (0 ;3 ) + (1 ¡ p ) (1 + º d ) ¡ 2 = : 1 + R (0;1)
pB (3 ) Be0 =
(55:55)
Observe que si se ¯j a el valor de p en la ecuaci¶o n anterior todo, en (55.55) , es conocido, excepto º d . La ecuaci¶o n (55:55) se puede expresar como un polinomio de cuarto grado en º d igualado a cero, es decir, º d4 + a 1 º d3 + b 1 º d2 + c 1 º d + d 1 = 0;
(55:56)
donde a 1 ; b 1 , c 1 y d 1 son cantidades conocidas. Al resolver esta ecuaci¶o n se obtiene un valor ºed , el cual se sustituye en (55.52) , obteniendo con esto que ºeu = ºed e 2 ¾ (0 ;3 ) :
(55:57)
Una vez que se tienen los valores ºeu y ºed , ¶e stos se sustituyen en la ecuaciones (55:47) y (55:48) , respectivamente, de tal manera que: Beu(3 ) =
1 (1 + ºeu ) 2
(3 ) Bed =
1 : (1 + ºed ) 2
(55:58)
y
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(55:59)
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599
5 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e B la ck , D erm a n y T oy
A continuaci¶o n se determinan los valores de r u u , r u d y r d d . Para ello, se utilizan las ecuaciones (55:44) y (55:45) expresadas como (1 + reu ) Beu(3 ) = p B
(3 ) uu
+ (1 ¡ p ) B
(3 ) ud
(55:60)
(3 ) (1 + red ) Bed = p B
(3 ) dd
+ (1 ¡ p ) B
(3 ) ud ;
(55:61)
y
(3 ) (3 ) (3 ) (3 ) (3 ) donde Beu y Bed son valores conocidos. Si se sustituyen las expresiones para B u u , B u d y B d d que aparecen en la ecuaci¶o n (55:43) , las dos ecuaciones anteriores se pueden reescribir en una sola ecuaci¶o n que considera a
r u u = r u d e 2 ¾ (0 ;3 )
rd d = ru d e¡
y
2 ¾ (0 ;3 )
:
(55:62)
Adem¶as, a partir de (55:41) se tiene que r u u r d d = r u2 d : Al resolver la ecuaci¶o n resultante en r u d , despu¶e s de realizar todas las sustituciones planteadas, se obtiene un polinomio de segundo grado en r u d igualado a cero: r u2 d + b 2 r u d + c 2 = 0; donde b 2 y c 2 son cantidades conocidas. La soluci¶o n de esta ecuaci¶o n cuadr¶atica proporciona un valor reu d . Posteriormente, se sustituye este valor de reu d en (55.62) , de tal manera que reu u = reu d e 2 ¾ (0 ;3 )
(55:63)
y red d = reu d e ¡
2 ¾ (0 ;3 )
:
(55:64)
Los tres posibles valores que se han obtenido de la tasa corta, reu u ;e r u d y red d , se sustituyen en las ecuaciones que aparecen en (55:43) , esto es, Beu(3u) =
1 ; 1 + reu u
(3 ) Beu d =
1 1 + reu d
(3 ) Bed d =
1 : 1 + red d
y
(55:65)
(55:66)
(55:67)
(3 ) (3 ) (3 ) Por lo tanto, ya se conocen los valores Beu u ;Beu d y Bed d . Los ¶arboles binomiales de la tasa corta para dos periodos y del precio del bono cup¶o n cero para tres periodos se muestran, respectivamente, en las Gr¶a¯cas 55.10 y 55.11.
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600
5 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e B la ck , D erm a n y T oy
%
R (0;1)
%
reu p
&
1¡ p
red
p
reu u
&
1¡ p
%
p
&
1¡ p
reu d = red u
red d
¶ Gr¶a¯ca 55.10 Arbol binomial de dos periodos de la tasa corta.
(3 ) Be0
&
%
p
Beu(3 )
%
p
&
1¡ p
&
(3 ) Beu d
%
1¡ p (3 ) Bed
Beu(3u)
p
%
1¡ p
(3 ) Bed d
&
Beu(3u)u = 1
%
p
&
1¡ p
% & p
p
(3 ) Beu u d = 1
1¡ p (3 ) Beu d d = 1
1¡ p (3 ) Bed d d = 1
¶ Gr¶a¯ca 55.11 Arbol binomial de tres periodos del precio de un bono cup¶o n cero.
5 5 .3 .4 P a so 4 d e l a lg o ritm o d e B D T A continuaci¶o n se construyen los ¶arboles binomiales de la tasa corta para tres periodos y del precio del bono cup¶o n cero para cuatro periodos (Gr¶a¯cas 55.12 y 55.13) .
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601
5 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e B la ck , D erm a n y T oy
ru u u
R (0;1)
%
&
p
%
reu
p
reu u
%
p
&
1¡ p
ru u d &
red
reu d
%
1¡ p
%
1¡ p
p
&
p
1¡ p
ru d d &
%
1¡ p
red d
&
p
1¡ p
rd d d ¶ Gr¶a¯ca 55.12 Arbol binomial de tres periodos de la tasa corta.
B
B
B
B
(4 ) 0
&
%
(4 ) u
%
&
p
p
%
B
&
1¡ p
(4 ) ud
%
&
p
(4 ) d
&
p
1¡ p
B
(4 ) dd
&
p
&
1¡ p
&
1¡ p
%
%
(4 ) uud
p
B 1¡ p
%
(4 ) uuu
%
B
B 1¡ p
(4 ) uu
p
(4 ) u dd
(4 ) ddd
&
(4 ) Beu u u d = 1 p
1¡ p
%
&
1¡ p
B
Beu(4u)u u = 1
(4 ) Beu u d d = 1 p
1¡ p
%
(4 ) Beu d d d = 1
p
1¡ p
(4 ) Bed d d d = 1 ¶ Gr¶a¯ca 55.13 Arbol binomial de cuatro periodos del precio de un bono cup¶o n cero.
Las ecuaciones que se utilizan para resolver estos a¶ rboles binomiales de tasas y precios son: (p + (1 ¡ p ) ) 4 1 (4 ) Be0 = = ; 4 (1 + R (0;4) ) (1 + R (0;4) ) 4 B
(4 ) uuu
=
1 ; 1 + ru u u
B
(4 ) uud
=
1 ; 1 + ru u d
B
(4 ) u dd
=
1 1 + ru d d
y
B
(55:68) (4 ) ddd
=
1 : 1 + rd d d
(55:69)
Asimismo, el precio del bono en el segundo a~n o en t¶e rminos del precio del bono del tercer a~n o y tra¶³do a valor presente en el segundo a~n o con la tasa corta calculada en el paso 3, para cada
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5 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e B la ck , D erm a n y T oy
estado de la naturaleza, es B
(4 ) uu
=
B
(4 ) ud
=
B
(4 ) dd
=
pB
(4 ) uuu
+ (1 ¡ p ) B 1 + reu u
(4 ) uud
pB
(4 ) uud
+ (1 ¡ p ) B 1 + reu d
(4 ) u dd
pB
(4 ) u dd
+ (1 ¡ p ) B 1 + red d
(4 ) ddd
+ (1 ¡ p ) B 1 + reu
(4 ) ud
y
;
(55:70)
(55:71)
:
(55:72)
Posteriormente, el precio del bono en el primer a~n o en t¶e rminos del precio del bono del segundo a~n o y tra¶³do a valor presente en el primer a~n o con la tasa corta calculada en el paso 2 satisface, en cada estado de la naturaleza,
B
(4 ) u
=
B
(4 ) d
=
pB
(4 ) uu
y
(4 )
(1 ¡ p ) B d d + p B 1 + red
(4 ) ud
(55:73)
:
(55:74)
Adem¶as, el valor esperado del precio del bono en el primer a~n o y tra¶³do a valor presente debe ser igual al precio, hoy, del bono cup¶o n cero, es decir, (4 ) u
+ (1 ¡ p ) B 1 + R (0;1)
pB (4 ) Be0 =
(4 ) d
:
(55:75)
Si a los bonos les restan dos a~n os para vencer, entonces sus precios en t¶e rminos de sus correspondientes rendimientos tienen que satisfacer las siguientes relaciones: B
(4 ) uu
=
1 ; (1 + º u u ) 2
(55:76)
B
(4 ) ud
=
1 ; (1 + º u d ) 2
(55:77)
B
(4 ) dd
=
1 ; (1 + º d d ) 2
(55:78)
B
(4 ) u
=
1 (1 + y u ) 3
(55:79)
B
(4 ) d
=
1 ; (1 + y d ) 3
(55:80)
y
donde y u y y d son los rendimientos entre el primer y cuarto periodos. Al resolver las ecuaciones (55.73) -(55.75) de manera recursiva se obtienen los valores de la tasa corta para el tercer periodo y los precios del bono cup¶o n cero para el cuarto periodo. Por lo que se tienen los ¶arboles binomiales, resueltos completamente, en las Gr¶a¯cas 55.14 y 55.15.
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5 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e B la ck , D erm a n y T oy
R (0;1)
%
&
p
reu
%
p
&
1¡ p
&
red d
p
&
1¡ p
reu u d p
&
p
1¡ p
%
%
reu d
%
1¡ p
red
reu u
reu u u
1¡ p
reu d d
%
p
&
1¡ p
red d d
¶ Gr¶a¯ca 55.14 Arbol binomial de tres periodos de la tasa corta.
%
(4 ) Be0
&
%
p
Beu(4 )
%
&
1¡ p (4 ) Bed
&
p
Beu(4u)
p
&
1¡ p
%
%
(4 ) Beu d
p
1¡ p (4 ) Bed d
&
Beu(4u)u
1¡ p
% &
p
(4 ) Beu u d
1¡ p
%
p
(4 ) Beu d d
p
&
1¡ p (4 ) Bed d d
&
1¡ p
% &
(4 ) Beu u u d = 1 p
1¡ p
%
&
Beu(4u)u u = 1
(4 ) Beu u d d = 1 p
1¡ p
%
(4 ) Beu d d d = 1 p
1¡ p (4 ) Bed d d d = 1
¶ Gr¶a¯ca 55.15 Arbol binomial de cuatro periodos del precio de un bono cup¶o n cero. En la siguiente secci¶o n se presenta una ilustraci¶o n num¶e rica detallada del algoritmo de Black, Derman y Toy.
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5 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e B la ck , D erm a n y T oy
5 5 .4 . Ilu stra c i¶o n n u m ¶e ric a d e l m o d e lo d e B la c k , D e rm a n y T o y En esta secci¶o n se lleva a cabo una aplicaci¶o n del algoritmo de Black, Derman y Toy. Considere la siguiente informaci¶o n inicial, en el Cuadro 55.2, que requiere dicho algoritmo.
No. de a~n os para el vencimiento 1 2 3 4
Estructura de plazos Curva de rendimiento R (0;T ) 0.09 0.095 0.10 0.105
Volatilidad ¾ (0;T ) 0.24 0.22 0.20 0.19
Cuadro 55.2 Informaci¶o n inicial para el algoritmo BDT.
5 5 .4 .1 P a so 1 (1 ) (1 ) Suponga que Beu = 1 y Bed = 1, y considere el ¶arbol binomial de la Gr¶a¯ca 55.16.
B
(1 ) 0
Beu(1 ) = 1
%
p
&
1¡ p (1 ) Bed = 1
¶ Gr¶a¯ca 55.16 Arbol binomial en un periodo.
Si R (0;1) = 0:09, entonces se tiene que 1 1 + R (0;1) 1 = 1 + 0:09 = 0:9174:
(1 ) Be0 =
(55:81)
El ¶arbol binomial resultante para el precio de un bono cup¶o n cero que al ¯nal del periodo paga una unidad monetaria se muestra en la Gr¶a¯ca 55.17.
(1 ) Be0
Beu(1 ) = 1
%
p
&
1¡ p
= 0:9174 (1 ) Bed = 1
Gr¶a¯ca 55.17 Precio actual de un bono cup¶o n cero en un periodo.
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5 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e B la ck , D erm a n y T oy
5 5 .4 .2 P a so 2 A continuaci¶o n se calcula el a¶ rbol binomial de dos periodos para el precio de un bono cup¶o n cero.
B
B
(2 ) 0
(2 ) u
%
p
&
1¡ p
B
%
p
Beu(2u) = 1
&
1¡ p
%
p
&
1¡ p
(2 ) d
(2 ) (2 ) Beu d = Bed u = 1
(2 ) Bed d = 1
¶ Gr¶a¯ca 55.18 Arbol binomial de dos periodos. Observe ahora que, en este caso, 1 (1 + R (0;2) ) 2 1 = (1 + 0:095) 2 = 0:8340:
(2 ) Be0 =
(55:82)
En la Gr¶a¯ca 55.19 se muestra el ¶arbol binomial de dos periodos del precio de un bono cup¶o n cero.
B (2 ) Be0 = 0:8340
(2 ) u
%
p
&
1¡ p
B
%
p
Beu(2u) = 1
&
1¡ p
%
p
&
1¡ p
(2 ) d
(2 ) (2 ) Beu d = Bed u = 1
(2 ) Bed d = 1
¶ Gr¶a¯ca 55.19 Arbol binomial de dos periodos. El ¶arbol binomial que se desea calcular para la tasa corta, con base en los resultados anteriores, se muestra en la Gr¶a¯ca 55.20. ru R (0;1) = 0:09
%
p
&
1¡ p
rd ¶ Gr¶a¯ca 55.20 Arbol binomial de un periodo para la tasa corta.
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5 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e B la ck , D erm a n y T oy
(2 ) Si R (0;1) = 0:09 y el precio, hoy, del bono es Be0 = 0:8340, entonces (55.24) implica
B
0:8340 = Asimismo, por (55.30) 1 2
ln
μ
ru rd
(2 ) u p
¶
(2 )
+ B d (1 ¡ p ) : 1 + 0:09
(55:83)
= 0:22 = ¾ (0;2) :
(55:84)
Si se despeja r u de la ecuaci¶o n (55:84) , se tiene que r u = r d e 0 :2 2 (2 ) :
(55:85)
Por otro lado, B
(2 ) u
=
1 : 1 + ru
(55:86)
B
(2 ) d
=
1 : 1 + rd
(55:87)
An¶alogamente para B d ,
Se considera p = 12 por simplicidad, pero podr¶³a tomarse cualquier otro valor. As¶³, la sustituci¶o n de (55.86) y (55.87) en (55.83) conduce a
0:8340 =
h ³ 1 2
´ ³ ´i 1 1 1 + 2 1 + ru 1 + rd : 1 + 0:09
(55:88)
Si se incorpora la ecuaci¶o n (55:85) en (55:88) , se obtiene que · μ 1 2
0:8340 =
¶ 1 + 1 + r d e 0 :2 2 (2 ) 1 + 0:09
1 2
³
1 1 + rd
´¸ :
(55:89)
Esta ecuaci¶o n puede reescribirse como: r d2
+ rd
μ
° 1 e 0 :2 2 (2 ) ¡ e 0 :2 2 (2 ) + ° 1 ¡ 1 ° 1 e 0 :2 2 (2 )
¶
+
°1 ¡ 2 = 0; ° 1 e 0 :2 2 (2 )
(55:90)
donde ° 1 = (1 + 0:09) 0:8340= 0:50. Equivalentemente, r d2 + 0:73978564r d ¡ 0:06442773 = 0: La soluci¶o n positiva de esta ecuaci¶o n de segundo grado es red = 0:0787. Si se sustituye este valor en (55.85) , se sigue que reu = red e 0 :2 2 (2 ) = 0:0787e 0 :2 2 (2 ) = 0:1222: Por u¶ ltimo, los valores reu y red se sustituyen en (55.86) y (55.87) , respectivamente, de tal manera que 1 (2 ) Bed = 1 + rd 1 = 1 + 0:0787 = 0:9270
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5 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e B la ck , D erm a n y T oy
y 1 1 + ru 1 = 1 + 0:1222 = 0:8911:
Beu(2 ) =
Los ¶arboles binomiales, completamente determinados, para el precio de un bono cup¶o n cero, con vencimiento en T = 2, y la tasa corta se muestran, respectivamente, en las Gr¶a¯cas 55.21 y 55.22.
(2 ) Be0 = 0:8340
% &
Beu(2 )
%
p
1¡ p (2 ) Bed
Beu(2u) = 1
p
= 0:8911 &
1¡ p
%
p
(2 ) (2 ) Beu d = Bed u = 1
= 0:9270 &
1¡ p (2 ) Bed d = 1
¶ Gr¶a¯ca 55.21 Arbol binomial de dos periodos del precio de un bono cup¶o n cero.
R (0;1) = 0:09
reu = 0:1222
%
p
&
1¡ p
red = 0:0787
¶ Gr¶a¯ca 55.22 Arbol binomial de dos periodos de la tasa corta.
5 5 .4 .3 P a so 3 En la Gr¶a¯ca 55.23 se muestra el a¶ rbol binomial que se desea calcular para las tasas cortas en un ¶arbol de dos periodos. ru u %
p
reu = 0:1222
R (0;1) = 0:09
%
p
&
1¡ p
&
1¡ p
%
p
&
1¡ p
ru d = rd u
red = 0:0787
rd d ¶ Gr¶a¯ca 55.23 Arbol binomial en dos periodos de la tasa corta.
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5 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e B la ck , D erm a n y T oy
En virtud de (55.39) , se tiene que ¾ (0;3) =
1 2
ln
μ
¶
ru u ru d
=
1 2
ln
μ
ru d rd d
¶
(55:91)
:
Por lo tanto, r u2 d : ru u
rd d = Considere ahora
(55:92)
1 (1 + R (0;3) ) 3 1 = (1 + 0:10) 3 = 0:7513:
(3 ) Be0 =
(55:93)
Observe que B
(3 ) uu
=
1 ; 1 + ru u
B
(3 ) ud
1 1 + ru d
=
y
B
(3 ) dd
=
1 : 1 + rd d
(55:94)
Asimismo, note que B
(3 ) u
=
B
(3 ) d
=
(3 )
(3 )
1 2
B u u + 12 B u d 1 + 0:1222
1 2
B d d + 21 B u d : 1 + 0:0787
(55:95)
y (3 )
(3 )
(55:96)
Adem¶as, de (55.93) se sigue que 1 2
0:7513 =
(3 ) u
+ 21 B 1 + 0:09
B
donde
(3 ) d
;
(55:97)
B
(3 ) u
=
1 (1 + º u ) 2
(55:98)
B
(3 ) d
=
1 : (1 + º d ) 2
(55:99)
y
Si se despejan º u y º d , se obtiene que ºu =
s
ºd =
s
y
1 B
1 B
Por otro lado, ¾ (0;3) = lo cual implica
(3 ) u
1 ln 2
(3 ) d
μ
ºu ºd
¡ 1
(55:100)
¡ 1:
(55:101)
¶
= 0:20;
º u = º d e 0 :4 0 :
(55:102) (55:103)
Si se sustituye (55:101) en (55:103) , se sigue que º u = º d e 0 :4 0 Ã s ! 1 = ¡ 1 e 0 :4 0 : (3 ) Bd
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(55:104)
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5 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e B la ck , D erm a n y T oy (3 )
Se ver¶a a continuaci¶o n que B u se puede expresar en funci¶o n de B (55:104) en la ecuaci¶o n (55:98) , se tiene que B
(3 ) u
=
(3 ) d .
En efecto, al sustituir
1 (1 + º u ) 2
= · μ³ 1+ B
(3 ) d
1 ´¡ 12
¶
¡ 1 e 0 :4 0
¸2 :
(55:105)
Por otra parte, si se sustituyen (55:98) y (55:99) en la ecuaci¶o n (55:97) , se tiene 1 2
(3 ) u
(3 )
+ 21 B d 1 + 0:09 1 (1 + º u ) ¡ 2 + 12 (1 + º d ) ¡ 2 = 2 : 1 + 0:09
0:7513 =
B
(55:106)
Esta ecuaci¶o n se puede expresar como 0:7513(1:09) 1 1 = + : 2 0:50 (1 + º u ) (1 + º d ) 2
(55:107)
Sea ° 2 = 0:7513(1:09) = 0:50 = 1:64. La sustituci¶o n de (55:103) , j unto con el valor de ° 2 , en (55:107) , conduce a 1 1 1:64 = + : (55:108) 0 :4 0 2 (1 + º d e ) (1 + º d ) 2 Note que la ecuaci¶o n (55:108) se puede expresar como un polinomio de cuarto grado igualado a cero, es decir, º d4 + 3:34º d3 + 3:25º d2 + 0:87º d ¡ 0:10 = 0: (55:109) La soluci¶o n positiva es ºed = 0:085. La gr¶a¯ca 55.24 muestra el polinomio (55.109) en º d .
Gra¯ca 55.24 Polinomio en º d .
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5 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e B la ck , D erm a n y T oy
El valor ºed se sustituye ahora en la ecuaci¶o n (55:103) , as¶³ ºeu = ºed e 0 :4
= 0:085e 0 :4 0
(55:110)
= 0:13: Por otro lado, los valores ºeu y ºed se sustituyen en (55:98) y (55:99) , respectivamente, de tal forma que 1 Beu(3 ) = (1 + ºeu ) 2 1 (55:111) = (1 + 0:13) 2 = 0:7881 y 1 (1 + ºed ) 2 1 = (1 + 0:084) 2 = 0:8498:
(3 ) Bed =
(55:112)
A continuaci¶o n se determinan los valores de r u u , r u d y r d d . Para ello, se utilizan las ecuaciones (55:95) y (55:96) expresadas como
y
(1 + 0:1222) Beu(3 ) = 0:5B
(3 ) uu
+ 0:5B
(3 ) ud
(55:113)
(3 ) (1 + 0:0787) Bed = 0:5B
(3 ) dd
+ 0:5B
(3 ) ud :
(55:114)
Al sustituir (55.94) en las ecuaciones anteriores, se tiene 1:122Beu(3 ) = 0:5
1 1 + 0:5 1 + ru u 1 + ru d
y (3 ) 1:0787Bed = 0:5
1 1 + 0:5 : 1 + rd d 1 + ru d
Equivalentemente, 1 1 1:1222 + = (0:7881) 1 + ru u 1 + ru d 0:50 y 1 1 1:0787 + = (0:8498) : 1 + rd d 1 + ru d 0:50
(55:115)
Las dos ecuaciones anteriores se pueden reescribir en una sola considerando que r u u = r u d e 0 :4 0 , r d d = r u d e ¡ 0 :4 0 y r u u r d d = r u2 d : (55:116) Por lo tanto,
r u2 d ¡ 10:55r u d + 1 = 0:
(55:117)
Al resolver esta ecuaci¶o n se obtienen dos soluciones r u d = 10:4496 y r u d = 0:0957, v¶e ase, al respecto, la Gr¶a¯ca 55.25. Se considera s¶o lo al valor menor que uno, reu d = 0:0957. En consecuencia, reu u = reu d e 0 :4 = 0:0957e 0 :4 = 0:1428
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611
5 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e B la ck , D erm a n y T oy
y red d = reu d e ¡
0 :4
= 0:0957e ¡
0 :4
(55:118)
= 0:06414:
Gr¶a¯ca 55.25 Polinomio en r u d . Por u¶ ltimo, los valores obtenidos de la tasa corta, reu u ; reu d y red d , se sustituyen en las ecuaciones que aparecen en (55:94) , esto es, 1 Beu(3u) = 1 + reu u 1 (55:119) = 1 + 0:1428 = 0:8751; 1 1 + reu d 1 = 1 + 0:0957 = 0:9127
(55:120)
1 1 + red d 1 = 1 + 0:0642 = 0:9327:
(55:121)
(3 ) Beu d =
y B
(3 ) dd
=
El ¶arbol binomial de dos periodos para la tasa corta y el ¶arbol binomial de tres periodos para el precio del bono cup¶o n cero que vence en T = 3 se muestran, respectivamente, en las Gr¶a¯cas 55.26 y 55.27.
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5 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e B la ck , D erm a n y T oy
%
reu = 12:22%
%
R (0;1) = 9:0%
p
reu u = 14:28%
p
&
1¡ p
&
1¡ p
%
p
&
1¡ p
reu d = red u = 9:57%
red = 7:87% red d = 6:42%
¶ Gr¶a¯ca 55.26 Arbol binomial de dos periodos para la tasa corta.
%
(3 ) Be0
%
p
&
Beu(3u) = 0:8751
%
p
&
1¡ p
Beu(3 ) = 0:7881
= 0:7513 %
1¡ p
(3 ) Beu d
p
1¡ p
(3 ) Bed d
&
&
%
1¡ p
(3 ) Beu u d = 1 p
= 0:9127
(3 ) Bed = 0:8498
&
p
Beu(3u)u = 1
& %
1¡ p (3 ) Beu d d = 1 p
= 0:9397 1¡ p (3 ) Bed d d = 1
¶ Gr¶a¯ca 55.27 Arbol binomial de tres periodos para el precio de un bono cup¶o n cero.
5 5 .5 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Black, F., E. Derman, and W. Toy (1990) . \A One-Factor Model of Interest Rates and its Application to Treasury Bond Options" , F in a n cia l A n a ly sts J o u rn a l, Vol. 46, No. 1, pp. 33-39. Ho, T. and S. Lee (1986) . \Term Structure Movements and Pricing Interest Rate Contingent Claims" . J o u rn a l o f F in a n ce, Vol. 41, No. 5, pp. 1011-1029. Hull, J. and A. White (1990) . \Pricing Interest-Rate-Derivative Securities" . T h e R eview o f F in a n cia l S tu d ies, Vol. 3, No. 4, pp. 573-592.
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5 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e B la ck , D erm a n y T oy
5 5 .6 E je rc ic io s 5 5 .1 Desarrolle el paso 4 del ej emplo 55.4. 5 5 .2 Aplique el algoritmo de Black, Derman y Toy para calcular la tasa corta y el precio de un bono cup¶o n cero con los siguientes datos:
No. de a~n os para el vencimiento 1 2 3 4
Estructura de plazos Curva de rendimiento R (0;T ) 0.10 0.11 0.12 0.125
Volatilidad ¾ (0;T ) 0.20 0.19 0.18 0.17
5 5 .3 A partir de las tasas y volatilidades de un bono cup¶o n cero que aparecen en el siguiente cuadro, obtenga el a¶ rbol binomial de tasas de inter¶e s de Black, Derman y Toy. Asimismo, construya los ¶arboles binomiales para el precio del bono cup¶o n cero en los distintos vencimientos de manera iterativa. Estructura de plazos No. de a~n os para Tasa % Volatilidad % el vencimiento 1 6.0 20 2 6.5 22
S o lu ci¶o n : P a so 1 (1 ) (1 ) Suponga que Bed = Beu = 1 con la misma probabilidad de ocurrencia. En este caso, el valor esperado de estos precios tra¶³do a valor presente es
B
(1 ) 0
=
(1 ) (1 ) Beu p + Bed (1 ¡ p ) ; 1 + R (0;1)
donde R (0;1) = 0:06 es la tasa del bono que madura en un a~n o. De esta manera, 1 1 + 0:06 = 0:943396:
(1 ) Be0 =
El ¶arbol binomial para un bono cup¶o n cero se muestra en la siguiente gr¶a¯ca.
(1 ) Be0 = 0:943396
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Beu(1 ) = 1
%
p
&
1¡ p (1 ) Bed = 1
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5 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e B la ck , D erm a n y T oy
P a so 2 A partir de los datos del cuadro de tasas y volatilidades, se calcula ahora el precio de un (2 ) bono cup¶o n cero a dos a~n os, B 0 ´ B (0;2) con R (0;2) = 0:065. Esto es, 1 (1 + 0:065) 2 = 0:881659:
(2 ) Be0 =
A continuaci¶o n se calcula el precio del bono dentro de un a~n o con tiempo de madurez de dos a~n os, para ello se necesita determinar la tasa corta dentro de un a~n o. Observe que se conoce R (0;1) . As¶³, (2 ) (2 ) B u p + B d (1 ¡ p ) (2 ) Be0 = ; 1 + R (0;1) donde R (0;1) es la tasa del bono que madura al a~n o. Si R (0;1) = 6% y el precio \spot" del (2 ) bono es Be0 = 0:881659, entonces B u p + B d (1 ¡ p ) (2 ) : 0:881659 = Be0 = 1 + 0:06
(55:122)
Ahora bien, si la tasa corta se distribuye log-normal, entonces p T p T ru = e¾ n y rd = e¡ ¾ n : Si se aplica el logaritmo al cociente r u = r d y se despeja ¾ de la expresi¶o n resultante, se tiene μ ¶ 1 ru ¾ = p ln ; rd 2 T =n donde T = n = 1. Por lo tanto, ru = rd e2¾ : En virtud de este resultado y con el valor de la volatilidad que se especi¯ca en el cuadro de datos, se sigue que μ ¶ 1 ru 0:22 = ln : 2 rd Al despej ar r u de la ecuaci¶o n anterior, se sigue que r u = r d e 0 :4 4 : Por otro lado, observe que el precio del bono cup¶o n cero B valor presente a una tasa r u est¶a dado por B
(2 ) u
=
1 : 1 + ru
B
(2 ) d
=
1 : 1 + rd
An¶alogamente para B d ,
(55:123) (2 ) u
dentro de un a~n o tra¶³do a
Ahora, se sustituyen los valores anteriores en la ecuaci¶o n (55:122) , con p = 12 , de tal manera que h ³ ´ ³ ´i 1 1 1 1 + 2 1 + ru 2 1 + rd 0:881659 = : 1 + 0:06 Si se sustituye (55.123) en la ecuaci¶o n anterior, se cumple que r d2 + 0:764458r d ¡ 0:0451 = 0:
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5 5 . M o d elo d e ta sa co rta d e B la ck , D erm a n y T oy
Al resolver esta ecuaci¶o n de segundo grado, se sigue que r d = 5:5%: Posteriormente, se sustituye este valor en la ecuaci¶o n (55:123) y se obtiene r u = 8:54%: Con los valores de r u y r d calculados, se determinan 1 1 + 0:055 = 0:947837
(2 ) Bed =
y 1 1 + 0:0854 = 0:921275:
Beu(2 ) =
El ¶arbol binomial para precios y tasas se muestra a continuaci¶o n:
(2 ) Be0
%
Beu(2 ) p
%
p
= 0:9213 &
1¡ p
%
p
&
1¡ p
(2 ) (2 ) Beu d = Bed u = 1
= 0:8817 &
1¡ p
Beu(2u) = 1
(2 ) Bed = 0:9478 (2 ) Bed d = 1
Finalmente, el a¶ rbol binomial para la tasa corta es:
R (0;1) = 6%
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reu = 8:54%
%
p
&
1¡ p
red = 5:50%
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.
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C A P ¶IT U L O 56 M O D E L O D E T A SA F O R W A R D D E H E A T H , JA R R O W Y M O R T O N C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ²
Modelos ex¶o genos de tasa forward Din¶amica estoc¶astica del precio de un bono cup¶o n cero M¶e todo Monte Carlo Aproximaci¶o n discreta del modelo HJM Estimaci¶o n de par¶ametros
5 6 .1 In tro d u c c i¶o n En este cap¶³tulo se presenta la metodolog¶³a desarrollada por David Heath, Robert Jarrow y Andrew Morton (HJM) en su art¶³culo \Bond Pricing and the Term Structure of Interest Rates: A New Methodology for Contingent Claims Valuation" , publicado en 1992 en \Econometrica" , en el cual se generan curvas de rendimiento con base en la tasa forward actual (a todos los vencimientos) y una curva de rendimiento inicial. Para estimar los precios de un bono cup¶o n cero a diferentes vencimientos, el modelo de Heath, Jarrow y Morton comienza con una especi¯caci¶o n ex¶o gena de la din¶amica estoc¶astica de la tasa forward y, posteriormente, determina end¶o genamente, en un mundo neutral al riesgo, la din¶amica estoc¶astica de un bono cup¶o n cero. La metodolog¶³a HJM es similar a la de Ho y Lee (1986) y Hull y White (1990) en varios sentidos. En primer lugar, se requiere una curva de rendimiento inicial, la cual es proporcionada por el mercado en una fecha anterior. Asimismo, la tendencia de la tasa forward instant¶anea se calibra de tal forma que el premio al riesgo estandarizado por volatilidad es cero. Las diferencias con Ho y Lee (1986) y Hull y White (1990) son, b¶asicamente: 1) el proceso de valuaci¶o n en HJM se inicia con una especi¯caci¶o n ex¶o gena de la din¶amica estoc¶astica de la tasa forward, 2) la hip¶o tesis de expectativas en HJM para valuar un bono es que el nominal se descuenta con el promedio de la tasa forward durante la vigencia del instrumento, raz¶o n por lo que el precio del bono es una variable aleatoria y 3) la calibraci¶o n en HJM es un procedimiento impl¶³cito en la metodolog¶³a y no requiere argumentos de aj uste como en el caso de Ho y Lee (1986) y Hull y White (1990) . En virtud de que, baj o la metodolog¶³a HJM, el precio de un bono es una variable aleatoria, el m¶e todo Monte Carlo es una herramienta muy u¶ til en la pr¶actica. Una ventaja de la metodolog¶³a HJM que debe destacarse es que puede ser extendida a varios factores de riesgo; por ej emplo, factores de corto y largo plazo. No obstante, una limitaci¶o n de la metodolog¶³a HJM es que se pueden producir tasas forward negativas con probabilidad positiva. Vale la pena mencionar que cuando se parte de una especi¯caci¶o n ex¶o gena para la din¶amica estoc¶astica de la tasa corta, la hip¶o tesis de expectativas para valuar un bono es que, primero, el nominal se descuenta con el promedio de la tasa corta durante la vigencia del t¶³tulo y, posteriormente, se toma el valor esperado condicional en la informaci¶o n disponible en la fecha de colocaci¶o n. A partir del Teorema de Feynman-Ka¸c , como se vio en su momento, se tiene que ¶e sta es la u¶ nica hip¶o tesis de expectativas que es congruente con el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales (EEDP) , visto en varios de los cap¶³tulos anteriores. De esta manera, la metodolog¶³a HJM no es compatible con EEDP.
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5 6 . M o d elo d e ta sa fo rw a rd d e H ea th , J a rrow y M o rto n
5 6 .2 E sp e c i¯ c a c i¶o n e x ¶o g e n a d e la ta sa fo rw a rd in sta n t¶a n e a Considere un movimiento Browniano est¶andar (W t ) t2 [0 ;T ] de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad con su ¯ltraci¶o n aumentada ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;T ];IP) . En la metodolog¶³a HJM se supone que la din¶amica de la tasa forward, f (t;T ) , se especi¯ca ex¶o genamente por la siguiente ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica: df (t;T ) = ® (t;T ) dt + ¯ (t;T ) dW t ; (56:1) en donde las funciones ® y ¯ satisfacen, casi seguramente con respecto de IP, las siguientes propiedades: ZT ¯ k ¯@ ¯ ¯@ T k ® (s ;T 0
¯ ¯ ¯ ) ¯ds < 1
ZT ¯ k ¯@ ¯ ¯@ T k ¯ (s ;T 0
y
¯ ¯2 ¯ ) ¯ ds < 1 ;
para k = 0;1. Como siempre, @ 0 ® (s ;T ) = @ T 0 ´ ® (s ;T ) y @ 0 ¯ (s ;T ) = @ T 0 ´ ¯ (s ;T ) . Asimismo, se supone que el precio de un bono cup¶o n cero est¶a dado por la siguiente hip¶o tesis de expectativas ( Z ) T
¡
B (t;T ) = exp
f (t;s ) ds
(56:2)
;
t
en donde la integral en (56.2) permanece ¯nita. Una de las tareas del presente cap¶³tulo consiste en determinar end¶o genamente el proceso asociado al precio, B (t;T ) , que haga consistentes los supuestos (56.1) y (56.2) . La ecuaci¶o n (56.1) puede considerar m¶as de un factor de incertidumbre, por el momento el an¶alisis subsecuente tomar¶a en cuenta un solo factor.
5 6 .3 D in ¶a m ic a e sto c ¶a stic a d e la ta sa c o rta En esta secci¶o n se determina la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica que conduce a la tasa corta. Observe primero que a partir de (56.1) se obtiene f (t;T ) = f (0;T ) +
Zt
® (s ;T ) ds +
0
Zt
¯ (s ;T ) dW
(56:3)
s:
0
Por lo tanto, la tasa instant¶anea satisface r t = f (t;t) = f (0;t) +
Zt
® (s ;t) ds +
0
E [r t jF t ] = f (0;t) + Var [r t jF t ] =
¯ (s ;t) dW
(56:4)
s:
0
De esta manera,
y
Zt
Zt
Zt
® (s ;t) ds
0
¯ 2 (s ;t) ds :
0
Asimismo, observe que la diferencial estoc¶astica de la tasa corta est¶a dada por: μZ t ¶ μZ t ¶ @ f (0;t) @ @ dr t = dt + ® (s ;t) ds dt + ¯ (s ;t) dW s dt: @t @t @t 0 0
(56:5)
Las derivadas parciales de las integrales del lado derecho de la ecuaci¶o n anterior se calculan mediante la regla de Leibnitz, de tal forma que μZ t ¶ μ ¶ Zt @ @ ® (s ;t) ® (s ;t) ds dt = ® (t;t) + ds dt @t @t 0 0 y @ @t
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μZ t 0
¯ (s ;t) dW
s
¶
dt = ¯ (t;t) dW
t+
μZ t 0
@ ¯ (s ;t) dW @t
s
¶
dt:
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5 6 . M o d elo d e ta sa fo rw a rd d e H ea th , J a rrow y M o rto n
En consecuencia, la ecuaci¶o n (56.5) puede reexpresarse como: dr t =
μ
@ f (0;t) + ® (t;t) + @t
Zt 0
@ ® (s ;t) ds + @t
Zt 0
@ ¯ (s ;t) dW @t
s
¶
dt + ¯ (t;t) dW t :
(56:6)
Esta ecuaci¶o n determina el comportamiento de la tasa corta de inter¶e s. Observe que la tendencia de r t es la pendiente de la tasa forward inicial. Evidentemente, debido a la presencia de las integrales en la tendencia de (56.6) , la evoluci¶o n de la tasa corta no presenta la propiedad Markoviana. Una vez que se ha determinado la din¶amica que gobierna el comportamiento de r t , dada en la ecuaci¶o n (56.6) , se describir¶a, en las secciones subsecuentes, la din¶amica del precio del bono cup¶o n cero asociado a r t .
5 6 .4 D in ¶a m ic a e sto c ¶a stic a d e l p re c io d e l b o n o Dada la especi¯caci¶o n ex¶o gena de la din¶amica estoc¶astica de la tasa forward instant¶anea, el ob jetivo de esta secci¶o n consiste en determinar end¶o genamente el precio del bono, B (t;T ) , que sea consistente con los supuestos (56.1) y (56.2) . Sea It = ¡
ZT
f (t;s ) ds :
(56:7)
t
En este caso, la regla de Leibnitz produce el siguiente resultado: Ã Z ! T
dI t = ¡ d
f (t;s ) ds
t
à Z ! T @ =¡ f (t;s ) ds dt @t t ¶ ZT μ @ f (t;s ) =¡ dt ds + f (t;t) dt @t t ZT =¡ df (t;s ) ds + f (t;t) dt:
(56:8)
t
La sustituci¶o n de (56.1) en (56.8) y el hecho de que f (t;t) = r t conducen a dI t = ¡ Ã =
ZT t
rt ¡
ZT
® (t;s ) ds dt ¡ ZT
® (t;s ) ds
t
!
¯ (t;s ) ds dW Ã Z
t
T
dt ¡
t
+ r t dt !
¯ (t;s ) ds
(56:9)
dW t :
t
Si se denotan la tendencia y volatilidad de dI t , respectivamente, mediante U (t;T ;r t ) = r t ¡ y V (t;T ) = ¡
ZT
ZT
® (t;s ) ds
t
¯ (t;s ) ds ;
t
se sigue que dI t = U (t;T ;r t ) dt + V (t;T ) dW t :
(56:10)
Note ahora que B (t;T ) = G (I t )
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con
G (I t ) = expf I t g :
3/5/08 7:09:20 PM
620
5 6 . M o d elo d e ta sa fo rw a rd d e H ea th , J a rrow y M o rto n
En consecuencia, el lema de It^o aplicado a G con respecto al proceso (56.10) conduce a μ
¶ @ 2G 2 @G dB = V dt + V dW @ I t2 @ It ¡ ¢ = G U + 12 G V 2 dt + G V dW t ¡ ¢ = B U + 21 V 2 dt + B V dW t : @G U + @ It
1 2
t
Equivalentemente, 2
ZT
dB (t;T ) = 4r t ¡ ¡
® (t;s ) ds +
t
à Z T
¯ (t;s ) ds
!
1 2
à Z T t
!2 3 ¯ (t;s ) ds 5B (t;T ) dt
(56:11)
B (t;T ) dW t :
t
El marco te¶o rico de HJM, representado por las ecuaciones (56.1) , (56.5) y (56.11) , describe por completo los comportamientos de la tasa forward instant¶anea, de la tasa corta y del precio del bono. Es necesario ahora moverse al mundo neutral al riesgo para llevar a cabo el proceso de valuaci¶o n.
5 6 .5 V a lu a c i¶o n n e u tra l a l rie sg o e n e l m o d e lo H J M Considere un portafolio con dos bonos con vencimientos diferentes, T 1 y T 2 . El valor del portafolio, en el tiempo t, con w 1 unidades del bono con vencimiento en T 1 y w 2 unidades del bono con vencimiento en T 2 est¶a dado por: ¦ t = w 1 B (t;T 1 ) + w 2 B (t;T 2 ) :
(56:12)
El cambio en el valor del portafolio por °uctuaciones propias del mercado satisface d¦ t = w 1 dB (t;T 1 ) + w 2 dB (t;T 2 ) £¡ ¢ ¤ = w 1 U (t;T 1 ;r t ) + 21 V 2 (t;T 1 ) B (t;T 1 ) dt + V (t;T 1 ) B (t;T 1 ) dW t £¡ ¢ ¤ + w 2 U (t;T 2 ;r t ) + 21 V 2 (t;T 2 ) B (t;T 2 ) dt + V (t;T 2 ) B (t;T 2 ) dW t £ ¡ ¢ = w 1 U (t;T 1 ;r t ) + 21 V 2 (t;T 1 ) B (t;T 1 ) ¡ ¢ ¤ + w 2 U (t;T 2 ;r t ) + 21 V 2 (t;T 2 ) B (t;T 2 ) dt
(56:13)
[w 1 V (t;T 1 ) B (t;T 1 ) + w 2 V (t;T 2 ) B (t;T 2 ) ] dW t :
Si se escogen w
1
=1 y w
2
=¡
V (t;T 1 ) B (t;T 1 ) ; V (t;T 2 ) B (t;T 2 )
(56:14)
entonces el coe¯ciente del t¶e rmino en dW t se anula y, consecuentemente, el portafolio se encuentra cubierto contra el riesgo de mercado. Por lo tanto, μ ¶ U (t;T 2 ;r t ) + 12 V 2 (t;T 2 ) 1 2 d¦ t = U (t;T 1 ;r t ) + 2 V (t;T 1 ) ¡ V (t;T 1 ) B (t;T 1 ) dt: V (t;T 2 )
(56:15)
Si, por otro lado, existe un mercado de cr¶e dito en donde los agentes pueden prestar y pedir prestado a la tasa \spot" r t , tambi¶e n llamada tasa corta o tasa instant¶anea (la tasa de inter¶e s de plazo m¶as peque~n o disponible en el mercado) , se sigue que d¦ t = ¦ t r t dt =
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μ ¶ V (t;T 1 ) 1¡ r t B (t;T 1 ) dt: V (t;T 2 )
(56:16)
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5 6 . M o d elo d e ta sa fo rw a rd d e H ea th , J a rrow y M o rto n
Despu¶e s de igualar (56.15) con (56.16) , se obtiene U (t;T 1 ;r t ) + 12 V 2 (t;T 1 ) ¡ r t U (t;T 2 ;r t ) + 12 V 2 (t;T 2 ) ¡ r t = : V (t;T 1 ) V (t;T 2 )
(56:17)
Los cocientes anteriores son independientes de la fecha de vencimiento. Es decir, el lado izquierdo de la igualdad en (56.17) s¶o lo depende de T 1 y el derecho s¶o lo depende de T 2 . Por lo tanto, se puede escribir ¸ (r t ;t) =
U (t;T ;r t ) + 21 V 2 (t;T ) ¡ r t : V (t;T )
(56:18)
La funci¶o n ¸ (r t ;t) es el premio al riesgo asociado al factor de incertidumbre dW t . En un mundo neutral al riesgo ¸ (r t ;t) ´ 0. En consecuencia, el supuesto de neutralidad al riesgo en el modelo HJM conduce a: U (t;T ;r t ) + 21 V 2 (t;T ) = r t : Equivalentemente, rt ¡
ZT
® (t;s ) ds +
t
1 2
à Z T
1 2
à Z T
¯ (t;s ) ds
!2
= r t;
¯ (t;s ) ds
!2
:
t
lo cual implica ZT
® (t;s ) ds =
t
(56:19)
t
Despu¶e s de derivar la expresi¶o n anterior con respecto de T , se obtiene que
® (t;T ) = ¯ (t;T )
ZT
¯ (t;s ) ds :
(56:20)
t
Por lo tanto, la ecuaci¶o n del precio del bono de¯nido en (56.11) , baj o el supuesto de neutralidad al riesgo, se transforma en
dB (t;T ) = r t B (t;T ) dt ¡
à Z T
¯ (t;s ) ds
!
B (t;T ) dW
t
t
(56:21)
® (t;T ) = r t B (t;T ) dt ¡ B (t;T ) dW t : ¯ (t;T ) La componente determinista de la ecuaci¶o n anterior implica crecimiento exponencial en el precio del bono con tendencia igual a la tasa corta. De esta manera, la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica que gobierna la din¶amica de la tasa forward instant¶anea, baj o el supuesto de neutralidad al riesgo, toma ahora la forma:
df (t;T ) =
Ã
¯ (t;T )
ZT
¯ (t;s ) ds
!
dt + ¯ (t;T ) dW t :
(56:22)
t
En consecuencia, la tendencia de la tasa forward se calibra, impl¶³citamente, en funci¶o n de su volatilidad ¯ (t;T ) .
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5 6 . M o d elo d e ta sa fo rw a rd d e H ea th , J a rrow y M o rto n
5 6 .6 R e p r e se n ta c io n e s a lte r n a tiv a s d e la s ta sa s fo rw a rd y c o r ta Es frecuente encontrar en la literatura otras representaciones de las tasas forward y corta en la metodolog¶³a HJM. Si se denota V (t;T ) = ¡
ZT
¯ (t;s ) ds ;
t
se tiene, en virtud de (56.1) y (56.4) , que df (t;T ) = V T (t;T ) V (t;T ) dt ¡ V T (t;T ) dW y r t = f (0;t) +
Zt 0
V t (s ;t) V (s ;t) ds ¡
Zt
(56:23)
t
V t (s ;t) dW s :
(56:24)
0
La aplicaci¶o n de la regla de Leibnitz y el hecho de que V (t;t) = 0, conducen ahora a:
dr t = f t (0;t) dt +
μZ t
[V tt (s ;t) V (s ;t) + V t (s ;t) 2 ] ds
0
¶
dt ¡
μZ t
V tt (s ;t) dW
s
¶
dt
0
¡ V t (t;t) dW t : Por u¶ ltimo, observe que el precio del bono satisface dB (t;T ) = r t B (t;T ) dt + V (t;T ) B (t;T ) dW t :
(56:25)
5 6 .7 U n p r im e r e je m p lo d e la m e to d o lo g¶³a H J M En esta secci¶o n se ilustra la metodolog¶³a HJM a trav¶e s de un ejemplo sencillo. Suponga que ¯ (t;T ) = ¾ . Observe, primero, que con base en (56.20) , se sigue que
® (t;T ) = ¯ (t;T )
ZT t
¯ (t;s ) ds = ¾ 2 (T ¡ t) :
En virtud de (56.3) , se cumple que f (t;T ) =f (0;T ) + ¾ 2
Zt
(T ¡ s ) ds + ¾ W ¡ ¢ =f (0;T ) + ¾ 2 t T ¡ 12 t + ¾ W t :
t
0
As¶³, r t = f (0;t) + 12 ¾ 2 t2 + ¾ W t : De la misma manera, la ecuaci¶o n (56.21) conduce a ® (t;T ¯ (t;T = r t B (t;T ) dt ¡ ¾ (T ¡
dB (t;T ) = r t B (t;T ) dt ¡
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) B (t;T ) dW t ) t) B (t;T ) dW t :
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5 6 . M o d elo d e ta sa fo rw a rd d e H ea th , J a rrow y M o rto n
Por otro lado, (56.2) implica que ( Z T
B (t;T ) = exp
¡
f (t;s ) ds
)
t
( Z T £ ¡ = exp ¡ f (0;s ) + ¾ 2 t s ¡
1 2
t
¢ ¤ t + ¾ W t ds
( Z ZT T £2 ¡ = exp ¡ f (0;s ) ds ¡ ¾ t s¡ = exp
(Z t 0
t
f (0;s ) ds ¡
B (0;T ) = exp B (0;t) =
B (0;T ) ¡ e B (0;t)
¢ ¤ 1 2 t + ¾ W t ds
t
1 2
(
2
¡¾ t
ZT 0
ZT
f (0;s ) ds ¡
¡ s¡
t
1 2
¾ 2 tT (T ¡ t)¡ ¾ (T ¡ t)W
)
ZT t
£2 ¡ ¾ t s¡
¢ t ds ¡ ¾ (T ¡ t) W t
t
1 2
)
) ¢ ¤ t + ¾ W t ds
)
:
De lo anterior, se observa la dependencia del precio B (t;T ) con una curva de rendimiento disponible en el tiempo t = 0, R (0;T ) = ¡ ln B (0;T ) = T : Es tambi¶e n importante notar que B (t;T ) es variable aleatoria debido a la presencia de W t en el t¶e rmino exponencial.
5 6 .8 U n se g u n d o e je m p lo d e la m e to d o lo g¶³a H J M La importancia de la metodolog¶³a HJM se entiende mejor a trav¶e s de ej emplos ilustrativos. Con este prop¶o sito en mente, se desarrolla un ej emplo m¶as. Suponga ahora que ¯ (t;T ) = ¾ e ¡
¸ (T ¡ t)
:
En virtud de la ecuaci¶o n (56.20) , se sigue que ® (t;T ) =¯ (t;T )
ZT
¯ (t;s ) ds
t
=¾ 2 e ¡
¸ T + 2¸ t
ZT
e¡
¸s
ds
t
¢ ¾ 2 ¡ ¸ T + 2¸ t ¡¡ ¸ t e e ¡ e¡ ¸ T ¸ ´ ¾ 2 ³ ¡ ¸ (T ¡ t) = e ¡ e ¡ 2 ¸ (T ¡ t) : ¸ =
Si ahora se utiliza (56.3) , se obtiene Zt Zt f (t;T ) =f (0;T ) + ® (s ;T ) ds + ¯ (s ;T ) dW s 0 0 Z Zt ´ ¾ 2 t ³ ¡ ¸ (T ¡ s ) ¡ 2 ¸ (T ¡ s ) =f (0;T ) + e ¡ e ds + ¾ e ¡ ¸ (T ¡ s ) dW s ¸ 0 0 · μ ¶ μ 2¸ t ¶¸ Zt ¾ 2 ¡ ¸ T e¸ t ¡ 1 e ¡ 1 ¡ 2¸ T =f (0;T ) + e ¡ e +¾ e ¡ ¸ (T ¡ s ) dW s ¸ ¸ 2¸ 0 Zt ¡ ¢ ¡ ¢¤ ¾2 £ =f (0;T ) + 2 2e ¡ ¸ T e ¸ t ¡ 1 ¡ e ¡ 2 ¸ T e 2 ¸ t ¡ 1 + ¾ e ¡ ¸ (T ¡ s ) dW s : 2¸ 0 As¶³, r t = f (0;t) +
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¾2 ¡ ¡ 2 1 ¡ e¡ 2¸ 2
¸t
¢ ¡ ¡ 1 ¡ e¡
2¸ t
¢¢ +¾
Zt
e¡
¸ (t¡ s )
dW
s:
0
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5 6 . M o d elo d e ta sa fo rw a rd d e H ea th , J a rrow y M o rto n
Asimismo, la ecuaci¶o n (56.21) conduce a ® (t;T ) B (t;T ) dW t ¯ (t;T ) ³ ´ ¾ = r t B (t;T ) dt ¡ 1 ¡ e ¡ ¸ (T ¡ t) B (t;T ) dW t : ¸
dB (t;T ) = r t B (t;T ) dt ¡
Por lo tanto, ( Z ) T B (t;T ) = exp ¡ f (t;s ) ds = exp
(
t
ZT " ¡ ¢ ¾2 £ ¡ f (0;s ) + 2 2e ¡ ¸ s e ¸ t ¡ 1 ¡ e ¡ 2¸ t # ) Zt ¡ ¸ (s ¡ u ) +¾ e dW u ds
2¸ s
¡2¸ t ¢¤ e ¡ 1
0
B (0;T ) = exp B (0;t)
=
B (0;T ) exp B (0;t)
(
(
Z Z ¢ T ¡ ¸s ¢ T ¡ ¾ 2 ¡¸ t ¾ 2 ¡2¸ t e ¡ 1 e ds + e ¡ 1 e ¸2 2¸ 2 t t ¶ ) Z T μZ t ¡ ¸ (s ¡ u ) ¡ ¾ e dW u ds ¡
t
2¸ s
ds
0
¢¡ ¢ ¾2 ¡ ¢¡ ¾ 2 ¡¸ t e ¡ 1 e¡ ¸ t ¡ e¡ ¸ T + 3 e2¸ t ¡ 1 e¡ 3 ¸ 4¸ μZ t ¶ ) ZT ¡ ¾ e¡ ¸ s e ¸ u dW u ds : ¡
t
2¸ t
¡ e¡
2¸ T
¢
0
5 6 .9 D in ¶a m ic a d e la ta sa fo rw a rd c o n d o s fa c to re s d e rie sg o Si se considera un s¶o lo factor en el modelo HJM, los bonos de diferentes plazos est¶an perfectamente correlacionados. Esta situaci¶o n se puede corregir si se incluyen otros factores de riesgo. Suponga que df (t;T ) = ® (t;T ) dt + ¯ 1 (t;T ) dW 1 t + ¯ 2 (t;T ) dW 2 t : donde ¯ 1 (t;T ) = ¾ 1 y ¯ 2 (t;T ) = ¾ 2 e ¡
¸ (T ¡ t)
Cov(dW
: Asimismo, suponga que 1 t ;dW 2 t )
= 0:
El t¶e rmino dW 1 t es un factor de riesgo de largo plazo, ya que traslada de manera uniforme la tasa forward a todos los vencimientos. El t¶e rmino dW 2 t afecta la tasa forward en vencimientos peque~n os m¶as que el factor de largo plazo. Los resultados de las dos secciones anteriores conducen a ¡ ¢ f (t;T ) =f (0;T ) + ¾ 12 t T ¡ 21 t + ¾ 1 W 1 t + ¢ ¡ ¢¤ ¾ 22 £ ¡ ¸ T ¡ ¸ t 2e e ¡ 1 ¡ e¡ 2¸ T e2¸ t ¡ 1 2 2¸ Zt + ¾2 e ¡ ¸ (T ¡ s ) dW 2 s : 0
As¶³,
¾2 £¡ r t =f (0;t) + 21 ¾ 12 t2 + ¾ 1 W 1 t + 22 2 1 ¡ e ¡ 2¸ Zt + ¾2 e ¡ ¸ (t¡ s ) dW 2 s :
¸t
¢ ¡ ¡ 1 ¡ e¡
2¸ t
¢¤
0
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5 6 . M o d elo d e ta sa fo rw a rd d e H ea th , J a rrow y M o rto n
5 6 .1 0 V e rsi¶o n d isc re ta d e l m o d e lo H J M A continuaci¶o n se considera una versi¶o n discreta del modelo de Heath, Jarrow y Morton (1990) . Se examina el proceso de tasas forward en periodos de longitud ¢, en lugar del proceso de tasas forward instant¶aneas. Se de¯nen ® i;j y ¯ i;j , i;j = 1;2;:::;k , como la tendencia y la desviaci¶o n est¶andar, respectivamente, del proceso discretizado de la tasa forward entre los tiempos j ¢ y j ¢ + ¢ vista al tiempo i¢. Es decir, la versi¶o n discreta de (56:1) est¶a dada por: df (t;j ¢;j ¢ + ¢) = ® i;j dt + ¯ i;j dW t ; cuando t = i¢. Dado que V i;j ¼
V i;j + 1 + V i;j 2
y ¢V i;j V i;j + 1 ¡ V i;j ¼ ; ¢ ¢ se puede escribir, en virtud de (56.23) , que ® i;j = V i;j
2 2 V i;j ¢V i;j + 1 ¡ V i;j = ¢ 2¢
y V i;j + 1 ¡ V i;j ; ¢ donde V i;j es el valor de V (t;T ) cuando t = i¢ y T = j ¢. Ahora bien, dado que V i;i = 0, se sigue de (56.19) que 0 12 k Xk X 1 ® i;j ¢ = @ ¯ i;j ¢ A 2 j= 1 j= 1 ¯ i;j =
¶o Xk
® i;j
j= 1
0 12 k 1 @X = ¢ ¯ i;j A : 2 j= 1
(56:26)
5 6 .1 1 S im u la c i¶o n M o n te C a rlo d e H J M El m¶e todo de simulaci¶o n Monte Carlo puede utilizarse para estimar el modelo HJM. El periodo de tiempo sobre el cual la simulaci¶o n se lleva a cabo est¶a dividido en n subintervalos de la misma longitud, ¢. De esta manera, la versi¶o n discreta de (56:1) consiste en p f i+ 1 ;j ¡ f i;j = ® i;j ¢ + ¯ i;j " ¢; (56:27) donde f i;j denota a f (i¢;j ¢;j ¢ + ¢) , esto es, f i;j es la tasa forward entre los periodos j ¢ y (j + 1) ¢ vista al tiempo i¢. Se supone que la variable aleatoria " tiene distribuci¶o n normal est¶andar. Los valores ® i;j pueden calcularse a partir de los valores de ¯ i;j utilizando (56:26) . Asimismo, al tiempo i¢, se almacenan los precios de los bonos que se tienen en el vencimiento j ¢ para i + 1 · j · n . Por otro lado, la ecuaci¶o n (56:25) se transforma en μ ¶ p B i+ 1 ;j ¡ B i;j 1 ¡ B i;j = + V i;j " ¢ B i;j B i;j ¶o B
i+ 1 ;j
=B
i;j
μ
1 B
i;j
¶ p + V i;j " ¢ ;
(56:28)
donde B i;j es el precio al tiempo i¢ de un bono con vencimiento al tiempo j ¢. Con base en las f¶o rmulas (56:26) y (56:27) , el Cuadro 56.1 muestra el a¶ rbol de la tasa forward f i;j entre el 31 de diciembre de 2001 y el 30 de abril de 2002 en per¶³odos quincenales. En este caso se utiliza la especi¯caci¶o n ¯ (t;T ) = ¾ = 12%. La curva estimada de rendimiento con CETES de diferentes plazos entre el 31 de diciembre de 2001 al 30 de abril de 2002, se calcula mediante la ecuaci¶o n (56.28) y R (t;T ) = ¡ ln B (t;T ) = (T ¡ t) :
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5 6 . M o d elo d e ta sa fo rw a rd d e H ea th , J a rrow y M o rto n
0 :0 1 7 4 2 0 :0 1 7 2 4 0 :0 1 7 1 8 0 :0 1 7 0 8 0 :0 1 6 7 9
0 :0 1 7 1 8
0 :0 1 6 7 9
0 :0 1 7 1 4
0 :0 1 6 4 4 0 :0 1 6 2 4
0 :0 1 7 6 3 0 :0 1 7 2 1
0 :0 1 7 0 4
0 :0 1 7 1 9
0 :0 1 6 7 6
0 :0 1 7 1 1
0 :0 1 6 4 9
0 :0 1 7 5 6 0 :0 1 7 2 3
0 :0 1 7 7 5 0 :0 1 7 3 1
0 :0 1 7 0 9
0 :0 1 7 2 1
0 :0 1 6 5 7
0 :0 1 7 1 5
0 :0 1 7 7 3 0 :0 1 7 3 1
0 :0 1 7 1 1
0 :0 1 7 1 9 0 :0 1 7 1 2
0 :0 1 7 9 6 0 :0 1 7 3 1
0 :0 1 7 2 1
0 :1 7 8 9 9 0 :0 1 7 3 8 0 :0 1 7 9 9
¶ Cuadro 56.1 Arbol de la tasa forward f i;j entre el 31 de diciembre de 2001 y el 30 de abril de 2002 en per¶³odos quincenales.
5 6 .1 2 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Heath, D., R. Jarrow, and A. Morton (1990) . \Bond Pricing and the Term Structure of Interest Rates: A Discrete Time Approximation" . J o u rn a l o f F in a n cia l a n d Q u a n tita tive A n a ly sis, Vol. 25, No. 4. pp. 419-440. Heath, D., R. Jarrow, and A. Morton (1992) . \Bond Pricing and the Term Structure of Interest Rates: A New Methodology for Contingent Claims Valuation" . E co n o m etrica , Vol. 60, No. 1. pp. 77-105. Ho, T. and S. Lee (1986) . \Term Structure Movements and Pricing Interest Rate Contingent Claims" . J o u rn a l o f F in a n ce, Vol. 42, No. 5. pp. 1011-1029. Hull, J. and A. White (1990) . \Pricing Interest Rate Derivatives Securities\. R eview o f F in a n cia l S tu d ies, Vol. 3. No. (4) , pp. 573-592. Venegas-Mart¶³nez, F. (2003) . \Inmunizaci¶o n de °uj os ¯nancieros de tesorer¶³as con bonos cup¶o n cero: un an¶alisis de duraci¶o n y convexidad con el modelo de Heath, Jarrow y Morton" . M o m en to E co n ¶o m ico , No. 129-130, pp. 3-17.
5 6 .1 3 E je rc ic io s 5 6 .1 Demuestre que r t = lim
h! 0
5 6 .2 Sea I t = ¡
RT t
1 ¡ B (t;t + h ) = f (t;t) : B (t;t + h ) h
f (t;s ) ds . Muestre que à Z T
dI t = ¡ d
f (t;s ) ds
t
!
=¡
ZT
df (t;s ) ds + f (t;t) dt:
t
5 6 .3 Considere la siguiente din¶amica estoc¶astica del precio, B (t;T ) , de un bono cup¶o n cero: dB (t;T ) = ¹ (t;T ) B (t;T ) dt + V (t;T ) B (t;T ) dW donde ¹ (t;T ;r t ) = r t ¡
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ZT t
® (t;s ) ds +
1 2
à Z T
¯ (t;s ) ds
t
!2
t
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5 6 . M o d elo d e ta sa fo rw a rd d e H ea th , J a rrow y M o rto n
y V (t;T ) = ¡
ZT
¯ (t;s ) d s ;
V (t;t) = 0:
t
Obtenga la ecuaci¶o n que determina el comportamiento de la tasa forward S o lu ci¶o n : Utilice el lema de It^o en la funci¶o n H = ¡ ln B , entonces μ ¶ 1 1 1 2 2 dH = ¡ ¹ B + B V dt ¡ V B dW t 2 B 2B B ¡ ¢ = ¡ ¹ + 12 V 2 dt ¡ V dW t : Por lo tanto,
μ ¶ @ @ df (t;T ) = d ¡ ln B = d(¡ ln B ) @T @T ¢ @ ¡ = ¡ ¹ + 21 V 2 dt ¡ V T dW t @T = ® (t;T ) dt + ¯ (t;T ) dW t :
5 6 .4 Considere el proceso asociado al precio, B (t;T ) , de un bono cup¶o n cero en un mundo neutral al riesgo, es decir, dB (t;T ) = r t B (t;T ) dt + V (t;T ) B (t;T ) dW t ; donde V =¡
ZT
¯ (t;s ) ds :
t
Obtenga el proceso estoc¶astico que conduce a la tasa forward. S o lu ci¶o n : Aplique el lema de It^o a la funci¶o n H = ¡ ln B , entonces μ ¶ 1 1 1 2 2 dH = ¡ r B + B v dt ¡ v B dW B 2B 2 B ¡ ¢ = ¡ r + 12 v 2 dt ¡ v dW t : Por lo tanto,
t
μ ¶ @ @ df (t;T ) = d ¡ ln B = d(¡ ln B ) @T @T ¢ @ ¡ = ¡ r t + 12 v 2 dt ¡ v T dW t @T = ® (t;T ) dt + ¯ (t;T ) dW t :
Dado que ® (t;T ) = ¯ (t;T )
ZT
¯ (t;s ) ds ;
t
se tiene df (T ;t) = ® (t;T ) dt + ¯ (t;T ) dW t à ! Z T
=
¯ (t;T )
¯ (t;s ) ds
dt + ¯ (t;T ) dW t :
t
5 6 .5 Suponga que
¡ ¢ f (t;s ) =f (0;s ) + ¾ 12 t s ¡ 12 t + ¾ 1 W 1 t + ¢ ¡ ¢¤ ¾ 22 £ ¡ ¸ s ¡ ¸ t 2e e ¡ 1 ¡ e¡ 2¸ s e2¸ t ¡ 1 2¸ 2 Zt + ¾2 e ¡ ¸ (s ¡ u ) dW 2 u : 0
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5 6 . M o d elo d e ta sa fo rw a rd d e H ea th , J a rrow y M o rto n
Obtenga B (t;T ) a partir de
( Z ) T B (t;T ) = exp ¡ f (t;s ) ds : t
5 6 .6 Si dB (t;T ) = r t B (t;T ) dt + V (t;T ) B (t;T ) dW t ; donde V (t;T ) = ¡
ZT
¯ (t;s ) ds :
t
Obtenga df (t;T ) = V T (t;T ) V (t;T ) dt ¡ V T (t;T ) dW t : S o lu ci¶o n : Relacione la tasa forward discreta f (t;T 1 ;T 2 ) con los precios de dos bonos cup¶o n cero, de vencimientos T 1 y T 2 , mediante ln B (t;T 1 ) ¡ ln B (t;T 2 ) : T2 ¡ T1 Si dB (t;T ) = r t B (t;T ) dt + V (t;T ) B (t;T ) dW t y si se aplica el lema de It^o a ln[B (t;T ) ] , se tiene que · ¸ V 2 (t;T 1 ) d ln[B (t;T 1 ) ] = r t ¡ dt + V (t;T 1 ) dW t 2 y · ¸ V 2 (t;T 2 ) d ln[B (t;T 2 ) ] = r t ¡ dt + V (t;T 2 ) dW t : 2 La sustituci¶o n de estas ecuaciones en la expresi¶o n de la tasa forward conduce a f (t;T 1 ;T 2 ) =
df (t;T 1 ;T 2 ) =
V 2 (t;T 2 ) ¡ V 2 (t;T 1 ) V (t;T 2 ) ¡ V (t;T 1 ) dt ¡ dW 2(T 2 ¡ T 1 ) T2 ¡ T1
t
Si T 2 ! T 1 y T = T 1 se tiene que
1 @ V 2 (t;T ) dt ¡ V T (t;T ) dW t 2 @T =V T (t;T ) V (t;T ) dt ¡ V T (t;T ) dW t :
df (t;T ) =
5 6 .7 Considere una din¶amica para la tasa forward de la forma df (t;T ) = ® (t;T ) dt + ¯ (t;T ) dW t : Muestre que las siguientes expresiones son equivalentes Zt Zt ZT ZT f (0;T ) + ® (s ;T ) ds + ¯ (s ;T ) dW s = f (t;T ) = f (t;t) + ® (t;s ) ds + ¯ (t;s ) dW 0
0
t
s:
t
S o lu ci¶o n : Si se toma s como variable de integraci¶o n en df (s ;T ) y df (t;s ) , se obtiene Zt Zt Zt df (s ;T ) = ® (s ;T ) ds + ¯ (s ;T ) dW s 0
y
ZT t
0
df (t;s ) =
0
ZT
® (t;s ) ds +
t
Es decir,
ZT
Zt
® (s ;T ) ds +
ZT
® (t;s ) ds +
f (t;T ) = f (0;T ) +
0
y f (t;T ) = f (t;t) +
t
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¯ (t;s ) dW
s:
t
Zt
¯ (s ;T ) dW
s
0
ZT
¯ (t;s ) dW
s:
t
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C A P ¶IT U L O 57 E L T E O R E M A D E G IR S A N O V Y V A L U A C IO¶ N D E B O N O S C U P O¶ N C E R O C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ²
Tasa corta Teorema de Girsanov Ecuaci¶o n diferencial parcial del precio de un bono cup¶o n cero Valuaci¶o n neutral al riesgo
5 7 .1 In tr o d u c c i¶o n El ob jetivo del presente cap¶³tulo consiste en mostrar c¶o mo se val¶u a un bono cup¶o n cero utilizando el teorema de Girsanov (1960) . El precio del bono es expresado en t¶e rminos de un numerario (o numeraria) , la llamada cuenta bancaria, a ¯n de transformarlo en una martingala bajo una nueva medida de probabilidad equivalente neutral al riesgo. Posteriormente, con esta nueva medida de probabilidad se calcula el precio del bono como el valor esperado del inverso del numerario condicional a la informaci¶o n del mercado con que se cuenta en el presente.
5 7 .2 D in ¶a m ic a d e la ta sa c o rta y e l te o r e m a d e G ir sa n o v El teorema de Girsanov construye expl¶³citamente una medida de probabilidad equivalente, de¯nida en el espacio muestral original, que permite transformar un movimiento Browniano con tendencia en un movimiento Browniano sin tendencia sobre el mismo espacio muestral. Sea f W t g t¸ 0 un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad equipado con su ¯ltraci¶o n aumentada (o;F ;f F t g t¸ 0 ;IP) . Se supone que la din¶amica de la tasa corta es conducida por el proceso dr t = ¹ (r t ;t) dt + ¾ (r t ;t) dW t :
(57:1)
Se supone tambi¶e n que el proceso f r t g t¸ 0 es adaptado a la ¯ltraci¶o n f F t g t¸ ¹ (r t ;t) y ¾ (r t ;t) son conocidas. Ahora bien, si se de¯ne Wf t =
Zt
¸ (r s ;s ) ds + W t ;
0
y las funciones
(57:2)
0
donde la cantidad ¸ (r t ;t) es el premio al riesgo (de mercado) o precio de mercado del riesgo (de tasa de inter¶e s) , entonces la ecuaci¶o n (57.1) puede ser reescrita como dr t = [¹ (r t ;t) ¡ ¸ (r t ;t) ¾ (r t ;t) ] dt + ¾ (r t ;t) d Wf t :
(57:3)
Observe que el t¶e rmino de tendencia del proceso representado en (57.3) se ha modi¯cado sin que se altere la varianza. El teorema de Girsanov proporciona una medida de probabilidad Z (¸ ) e )= ' T dIP; A 2 F ; (57:4) IP(A A
donde '
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(¸ ) T
( Z T = exp ¡ ¸ s dW 0
s
¡
1 2
ZT
¸
2 s ds
)
:
(57:5)
0
3/5/08 8:34:04 PM
630
5 7 . E l teo rem a d e G irsa n ov y va lu a ci¶o n d e b o n o s cu p ¶o n cero
e est¶a de¯nida en el espacio muestral original, . Baj o esta nueva La medida de probabilidad IP medida de probabilidad, Wf t es un movimiento Browniano. Se dice en este caso que la medida e es neutral al riesgo. de probabilidad IP
5 7 .3 E c u a c i¶o n d ife re n c ia l p a rc ia l d e u n b o n o c u p o¶ n c e ro En lo que sigue se denotar¶a al precio de un bono cup¶o n cero mediante B (t;T ) ¶o B (r t ;t; T ) , en esta u¶ ltima se har¶a ¶e nfasis, cuando sea necesario, en la dependencia de la tasa corta. El lema de It^o , en t¶e rminos de Wf t , conduce a μ ¶ @B @B @ 2B @B 1 2 dB = + [¹ (r t ;t) ¡ ¸ (r t ;t) ¾ (r t ;t) ] + 2 ¾ (r t ;t) 2 dt + ¾ (r t ;t) dWf t : (57:6) @t @ rt @ rt @ rt Por otro lado, en ausencia de oportunidades de arbitraj e, la ecuaci¶o n diferencial que satisface cualquier bono cup¶o n cero cuya din¶amica estoc¶astica de la tasa corta est¶a dada por (57.3) (comp¶arese con Vasicek (1977) y Garman (1977) ) es: @B @ 2B @B + 21 ¾ 2 (r t ;t) 2 + [¹ (r t ;t) ¡ ¸ (r t ;t) ¾ (r t ;t) ] ¡ r t B = 0; @t @ rt @ rt
(57:7)
j unto con la condici¶o n ¯nal B (T ;T ) = 1: Claramente, (57.6) y (57.7) implican dB = r t B dt + ¶o donde
@B ¾ (r t ;t) dWf t @ rt
dB = r t B dt + B ¾bt dWf t ; ¾bt =
μ
@B @ rt
¶
(57:8) (57:9)
¾ (r t ;t) : B
Observe tambi¶e n que a partir de la aplicaci¶o n del lema de It^o a ln B (t;T ) y utilizando la ecuaci¶o n (57.9) , se sigue que ½Z t ¾ Zt Zt B (t;T ) =B (0;T ) exp ¾bs dWf s ¡ 12 ¾bs2 ds + r s ds 0 0 0 ½Z t ¾ Zt =B (0;T ) M t exp ¾bs dWf s ¡ 12 ¾bs2 ds ; 0
donde M
t
= exp
0
½Z t
r s ds
¾
:
0
A esta u¶ ltima expresi¶o n se le dar¶a una interpretaci¶o n particular en el transcurso de la siguiente secci¶o n.
5 7 .4 C a m b io d e n u m e ra rio Considere un dep¶o sito bancario de M t unidades monetarias, al tiempo t, que paga una tasa de inter¶e s constante y libre de riesgo (incumplimiento) r t . El rendimiento del dep¶o sito durante el instante dt est¶a representado por la siguiente ecuaci¶o n diferencial ordinaria: dM
t
= r t M t dt:
(57:10)
Observe que la tasa corta es estoc¶astica, pero dada la informaci¶o n del mercado al tiempo t, F t , se tiene que r t es conocida y por lo tanto libre de riesgo. Si se hace un dep¶o sito inicial M 0 = 1, el retorno (capital m¶as intereses) de la inversi¶o n es ½Z t ¾ M t = exp r s ds : (57:11) 0
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631
5 7 . E l teo rem a d e G irsa n ov y va lu a ci¶o n d e b o n o s cu p ¶o n cero
La ecuaci¶o n anterior es llamada la cuenta del mercado de dinero o, simplemente, la cuenta bancaria. En lo que sigue, por conveniencia, se utilizar¶a la notaci¶o n B t ´ B (t;r t ; T ) , destacando la dependencia en t. Se de¯ne ahora Bt Bet = : (57:12) M t Note que M 0 = 1, lo cual implica Be0 = B 0 . La ecuaci¶o n (57.12) expresa simplemente un cambio en la forma de medir una variable con respecto de una cantidad positiva en una inversi¶o n libre de riesgo M t , la cual recibe el nombre de numerario. En este caso, en virtud de (57.8) , se cumple que 1 dBet = ¡ r t Bet dt + dB t M t μ ¶ 1 @B t e f = ¡ r t B t dt + r t B t dt + ¾ (r t ;t) dW t (57:13) M t @ rt 1 @B t = ¾ (r t ;t) dWf t : M t @ rt e se sigue que Bet es una marEn otras palabras, bajo la medida equivalente de probabilidad, IP, tingala. Una forma alternativa de escribir (57.13) es dBet = ¾et dWf t ;
donde ¾et =
1 M
t
μ
@B t @ rt
¶
(57:14)
¾ (r t ;t) = ¾bt Bet :
5 7 .5 V a lu a c i¶o n n e u tra l a l rie sg o En esta secci¶o n se utiliza la propiedad de martingala de Bet para obtener una f¶o rmula de valuaci¶o n, neutral al riesgo, de un bono cup¶o n cero. La ecuaci¶o n (57.14) puede ser escrita en forma equivalente como: Zt e e Bt=B0+ ¾es dWf s : (57:15) 0
e Por lo tanto, Bet es una IP-martingala con respecto de la ¯ltraci¶o n aumentada f F t g t¸ en el espacio medible original ( ;F ) . Por lo tanto, si T ¸ t, h ¯ i e BeT ¯F t = Bet : E
0
de¯nida
(57:16)
5 7 .6 L a re g la d e B a y e s y e sp e ra n z a c o n d ic io n a l b a jo la p ro b a b ilid a d e q u iv a le n te n e u tra l a l rie sg o e . El teorema de De acuerdo con la secci¶o n anterior, Bet es una martingala en ( ;F ;f F t g t¸ 0 ;IP) Girsanov proporciona una medida martingala equivalente e )= IP(A (¸ )
donde ' T
A
(¸ )
A 2 F ;
' T dIP;
se calcula a partir de un tiempo inicial t = 0, es decir,
'
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Z
(¸ ) T
( Z T = exp ¡ ¸ s dW t= 0
s
¡
1 2
ZT
¸
2 s ds
)
;
t= 0
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5 7 . E l teo rem a d e G irsa n ov y va lu a ci¶o n d e b o n o s cu p ¶o n cero
donde ¸ s ´ ¸ (r s ;s ) : Sin embargo, si se tiene informaci¶o n al tiempo t, expresada en F t , entonces ( Z ) ZT T (¸ ) 2 1 ' T ¡ t = exp ¡ ¸ s dW s ¡ 2 ¸ s ds t
t
( Z T = exp ¡ ¸ s dW
s
+
0
Zt
¸ s dW
s
0
1 2
¡
ZT
¸
2 s ds
0
+
1 2
Zt
¸
2 s ds
)
0
(¸ )
=
'T
: (¸ ) 't Por lo tanto, si A 2 F t , entonces e )= IP(A En consecuencia,
Z
(¸ )
'T
(¸ )
dIP;
't
A
A 2 F t:
(57:17)
" # (¸ ) h ¯ i h ¯ ¯ i ' T e BeT ¯F t = E eT ¯F t = 1 E ' (¸ ) BeT ¯F t : E B T (¸ ) (¸ ) 't 't
(57:18)
La expresi¶o n anterior proporciona una f¶o rmula para calcular la esperanza condicional del precio e Por u¶ ltimo, se ver¶a que si 0 · s · t · T , entonces del bono bajo IP. h ¯ i e Wf t ¯F s = Wf s : E (57:19)
De hecho, la veri¯caci¶o n del resultado anterior es, fundamentalmente, la demostraci¶o n del teo(¸ ) rema de Girsanov. Considere el producto Á t = Wf t ' t , donde por simplicidad se ha utilizado la (¸ ) (¸ ) notaci¶o n ' t ´ ' (¸ t ;t;W t ) , entonces Á t es una IP-martingala. En efecto, dado que dWf t = ¸ t dt + dW
y
(¸ )
d' t se sigue que
t
(¸ )
= ¡ ¸ t ' t dW t ;
(¸ ) d(Á t ) =d(Wf t ' t )
(¸ ) (¸ ) (¸ ) =Wf t d' t + ' t dWf t + (dWf t ) (d' t )
(¸ ) = ¡ ¸ t Wf t ' t dW
(¸ )
t
(¸ ) =' t (1 ¡ ¸ t Wf t ) dW
='
(¸ ) t (1
¡ ¸
2 tt
As¶³, Á t es una IP-martingala, es decir,
(¸ )
+ ' t ¸ t dt + ' t dW
(¸ )
t
¡ ¸ t ' t dt
t
¡ ¸ W t ) dW t :
£ ¯ ¤ E Á t ¯F s = Á s :
En virtud de la regla de Bayes, se llega a que " # (¸ ) h ¯ i ¯ ' t f ¯ e Wf t ¯F s =E E W t Fs (¸ ) 's h ¯ i 1 (¸ ) = (¸ ) E ' t Wf t ¯F s 's £ ¯ ¤ 1 = (¸ ) E Á t ¯F s 's Ás = (¸ ) 's f =W s :
(57:20)
(57:21)
e Es decir, el proceso Wf t es una martingala bajo la medida IP:
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5 7 . E l teo rem a d e G irsa n ov y va lu a ci¶o n d e b o n o s cu p ¶o n cero
5 7 .7 E l te o re m a d e G irsa n o v y v a lu a c i¶o n n e u tra l a l rie sg o d e u n b o n o c u p ¶o n c e ro e De acuerdo con la secci¶o n anterior Bet es una IP-martingala. En particular, por la regla de Bayes, se obtiene " # (¸ ) h ¯ i ¯ ' T e BeT ¯F t = E E Be ¯F t : (57:22) (¸ ) T 't Ahora bien, en virtud de que
y dado que B
T
" # (¸ ) ¯ ' T Bet = E Be ¯F t (¸ ) T 't
(57:23)
= 1, se sigue que
B
t
¯ # ¯ ¯ =E ' ¯F t T ¯ " ( Z ) T (¸ ) =E ' T ¡ t exp ¡ r s ds "
(¸ ) T ¡ t
M M
t
t
"
( Z T =E exp ¡ ¸ s dW t
s
¡
1 2
¯ # ¯ ¯ ¯F ¯ t ) ZT ZT 2 ¸ s ds ¡ r s ds t
t
(57:24) ¯ # ¯ ¯ ¯F : ¯ t
Por u¶ ltimo, observe que si el precio de un bono cup¶o n cero se de¯ne mediante la hip¶o tesis de expectativas neutrales al riesgo, es decir, si "
( Z ) T B (t;T ) = E exp ¡ r s ds t
¯ # " ¯ 1 ¯ ¯F t = M t E ¯ M T
¯ # ¯ ¯ ¯F t ; ¯
(57:25)
entonces el premio al riesgo es nulo, esto es, ¸ s ´ 0.
5 7 .8 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Garman, M. B. (1977) . A General Theory of Asset Valuation under Difussion State Processes. Working paper No. 50. January. Research Program in Finance. University of California, Berkeley. Girsanov, I. V. (1960) . \On Transforming a Certain Class of Stochastic Processes by Absolutely Continuous Substitution of Measures" . J o u rn a l o f T h eo ry o f P ro ba bility a n d its A p p lica tio n s, Vol. 5, No. 3, pp. 285-301. Vasicek, O. (1977) . \An Equilibrium Characterization of the Term Structure." J o u rn a l o f F in a n cia l E co n o m ics, Vol. 5, No. 2, pp. 177-188.
5 7 .9 E je rc ic io s 5 7 .1 Suponga que la din¶amica de la tasa corta es conducida por un proceso de la forma dr t = a (b ¡ r t ) dt + ¾ dW t ; donde a , b y ¾ son constantes positivas. En este caso, la ecuaci¶o n diferencial parcial del precio de un bono cup¶o n cero est¶a dada por @B @B @ 2B + [a (b ¡ r t ) ¡ ¸ ¾ ] + 21 ¾ 2 2 ¡ r t B = 0: @t @ rt @ rt
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5 7 . E l teo rem a d e G irsa n ov y va lu a ci¶o n d e b o n o s cu p ¶o n cero
Suponga que ¸ es constante. Muestre que la soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial parcial anterior est¶a dada por (
¶ ´μ 1³ ¸¾ ¾2 a (T ¡ t) B (t;T ) = exp 1¡ e b¡ ¡ a a 2a 2 ) μ ¶ ´ ¸¾ ¾2 ¾2 ³ a (T ¡ t) ¡ (T ¡ t) b ¡ ¡ ¡ 1¡ e : a 2a 2 4a 3 Asimismo, veri¯que el mismo resultado utilizando dWf t = ¸ dt+dW "
B (t;T ) =E ' "
(¸ ) T ¡ t
=E exp
¯ # ¯ ¯ ¯F t ¯
( Z ) T exp ¡ r s ds
(
t
¡ ¸W
T¡ t
1 2
¡
¸ 2 (T ¡ t) ¡
ZT t
t
y la f¶o rmula de valuaci¶o n
) ¯ # ¯ ¯ r s ds ¯F t : ¯
5 7 .2 Si la din¶amica de la tasa corta es conducida por dr t = a (b ¡ r t ) dt + ¾
p
r t dW t ;
a ;b;¾ > 0;
la ecuaci¶o n diferencial parcial del precio de un bono cup¶o n cero est¶a dada por p @B @B @ 2B + [a (b ¡ r t ) ¡ ¸ ¾ r t ] + 12 ¾ 2 2 ¡ r t B = 0: @t @ rt @ rt Suponga que ¸ es constante. Muestre que esta ecuaci¶o n diferencial parcial tiene como soluci¶o n a: B (t;T ) = A (T ¡ t) exp f ¡ r t D (T ¡ t) g ; donde A (T ¡ t) =
"
#2 a b= ¾ 2
a + ° )(T ¡ t)= 2 2° e (e (e a + ° ) (e ° (T ¡ t) ¡ 1) + 2°
D (T ¡ t) =
y
2(e ° (T ¡ t) ¡ 1) ; (e a + ° ) (e ° (T ¡ t) ¡ 1) + 2° p ° = e a 2 + 2¾ 2
e a = a + ¸¾: p Veri¯que el mismo resultado utilizando dWf t = ¸ r t dt + dW "
B (t;T ) = E '
;
(¸ ) T¡ t
y la f¶o rmula de valuaci¶o n
t
( Z ) T exp ¡ r s ds t
¯ # ¯ ¯ ¯F t : ¯
Por u¶ ltimo, muestre que si se de¯ne R (t;T ) = ¡ ln B (t;T ) = (T ¡ t) , entonces R (t;1 ) ´ y
lim R (t;T ) =
T ! 1
2a b e a+°
R (t;T ) = μ 1 R (t;t) + μ 2 R (t;1 ) ;
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5 7 . E l teo rem a d e G irsa n ov y va lu a ci¶o n d e b o n o s cu p ¶o n cero
donde μ1 =
B (t;T ) T ¡ t
μ2 = ¡
y
5 7 .3 Pruebe que si A 2 F t , entonces Z Z e e B T dIP = A
A
S o lu ci¶o n : Observe que
Z
A
"
1 '
=E ' = = = = =
(¸ ) t
(e a + ° ) ln[A (T ¡ t) ] : 2a b(T ¡ t)
h ¯ i (¸ ) e ¯ e E ' B F t dIP: T T (¸ ) 1
't
h ¯ i (¸ ) e E ' T BeT ¯F t dIP
(¸ ) t 1A
# h i (¸ ) e ¯ E ' T B T ¯F t (¸ )
1
't h h (¸ ) e E 1A E ' T B T h h (¸ ) E E 1 A ' T BeT h i (¸ ) E ' T 1 A BeT h i e 1 A BeT E Z e BeT dIP:
¯ ii ¯F t ¯ ii ¯F t
A
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.
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C A P ¶IT U L O 58 IN M U N IZ A C IO¶ N D E F L U J O S D E E F E C T IV O E S P E R A D O S M E D IA N T E U N P O R T A F O L IO D E B O N O S : D U R A C IO¶ N Y C O N V E X ID A D C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ²
Inmunizaci¶o n con portafolios de bonos cup¶o n cero Flujos esperados de efectivo Ecuaci¶o n de compensaci¶o n Duraci¶o n Convexidad
5 8 .1 In tro d u c c i¶o n El presente cap¶³tulo se concentra en el desarrollo de un modelo de inmunizaci¶o n del valor presente de un conj unto de °ujos de efectivo (activos y pasivos) mediante un portafolio de bonos. Se supone que se cuenta con una estructura de plazos a ¯n de descontar dichos °uj os. Por supuesto, el portafolio de cobertura puede ser extendido a bonos cuponados y, en general, a productos derivados sobre dichos bonos. El riesgo por °uctuaciones adversas en la tasa de inter¶e s que enfrentan las tesorer¶³as de corporativos se re°ej a en la posibilidad de que el valor presente de los °uj os, activos y pasivos, que se tienen planeados no se presente en la magnitud que se esperaba, lo que afecta la programaci¶o n de las decisiones de operaci¶o n, inversi¶o n y ¯nanciamiento. Este riesgo puede reducirse si se cubre adecuadamente el valor presente de los °uj os esperados tomando posiciones (largas y cortas) sobre bonos cup¶o n cero.
5 8 .2 D u ra c i¶o n y c o n v e x id a d m o n e ta ria s El concepto de duraci¶o n aparece por primera vez en el trabajo de Macaulay (1938) \Some Theoretical Problems Suggested by the Movements of Interest-Rates, Bond Yields and Stock Prices in the U.S. Since 1856" . La duraci¶o n de un bono mide el tiempo promedio en que el tenedor del instrumento recibe pagos. Por ejemplo, un bono cup¶o n cero con vencimiento dentro de n a~n os tiene duraci¶o n n (a~n os) . M¶as concretamente, si B es el precio de un bono cup¶o n cero que vence dentro de n a~n os con rendimiento anualizado y = R (0;1) = R (1;2) = ¢¢¢ = R (n ¡ 1;n ) (estructura de plazos plana) y valor nominal N , entonces, baj o un esquema de inter¶e s compuesto, B (0 ) = N (1 + y ) ¡ n , en cuyo caso, la duraci¶o n del bono puede escribirse como: n =¡
@ B (0 ) 1 + y : @y B (0 )
(58:1)
Esta elasticidad es tambi¶e n llamada duraci¶o n modi¯cada. En ocasiones, la medida de sensibilidad @ B (0 ) = @ y es llamada duraci¶o n del tipo Fischer-Weil. De la misma manera, la duraci¶o n de un bono cuponado con tasa cup¶o n constante denotada (y ) por k B , con valor nominal N , vencimiento en n a~n os, rendimiento anualizado y ´ y i = R (i;i+ 1) y que paga cupones anuales C i , i = 1;2;:::;n ; puede escribirse como: (y )
kB
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= 1w
1
+ 2w
2
+ ¢¢¢ + n w n ;
(58:2)
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5 8 . In m u n iza ci¶o n d e ° u jo s d e efectiv o ...
donde wi=
VP(C i ) B
B =
Xn
VP(C i ) ;
VP(C i ) =
i= 1
Ci ; (1 + y ) i
B es el precio del bono y VP(C i) es el valor presente del cup¶o n C i , i = 1;2;:::;n . Es decir, la duraci¶o n es el promedio de los tiempos de pago ponderado por el valor presente de dichos pagos. (y )
Observe ahora que, en el caso de un bono cuponado, la duraci¶o n k B expresada en t¶e rminos de una elasticidad como en (58.1) . En efecto, (y ) kB
Xn iC i (1 + y ) ¡ = B i= 1
μ
i
=¡
¶ Xn
1+y B
i= 1
¡ iC i (1 + y ) i+
1
=¡
μ
1+y B
tambi¶e n puede ser ¶
@B : @y
(58:3)
Una f¶o rmula u¶ til para determinar la duraci¶o n de un bono cuando los cupones anuales satisfacen C i = C , i = 1;2;:::;n , est¶a dada por (Chua, 1984) (y ) kB
1 = B
· μ ¶ μ ¶¸ (1 + y ) n + 1 ¡ (1 + y ) ¡ y n N n C + : y 2 (1 + y ) n (1 + y ) n
Los siguientes resultados sobre duraci¶o n monetaria son muy intuitivos y f¶aciles de probar. La duraci¶o n de un bono aumenta conforme el valor de alguno de los cupones aumenta. En efecto, es su¯ciente notar que: μ ¶ (y ) @ kB i VP(C i ) = 1¡ > 0: @C i B (1 + y ) i B Por lo tanto, si C i aumenta, entonces la duraci¶o n aumenta. Asimismo, la duraci¶o n de un bono con m¶as de un cup¶o n es estrictamente menor a la duraci¶o n de un bono cup¶o n cero P n (ambos con la misma maduraci¶o n) . Basta observar que si w i = VP(C i) = B , entonces w i > 0, i= 1 w i = 1 y (y )
kB
Xn
´
iw i <
i= 1
Xn
nw i = n:
i= 1
Por u¶ ltimo, si C ´ C i , la duraci¶o n de una perpetuidad es 1 + (1= y ) . En efecto, @B @B = @y @y
Ã
Xn
i= 1
Ci (1 + y ) i
!
@B = @y
μ ¶ C C B =¡ 2 =¡ : y y y
5 8 .2 .1 D u ra c i¶o n m o n e ta ria c o n ta sa c o n sta n te d e in te r¶e s c o n tin u a m e n te c a p ita liz a b le Considere, a continuaci¶o n, el caso de una tasa de inter¶e s continuamente capitalizable, r . Suponga que un bono paga cupones C i en plazos ¿ i , i = 1;2;:::;n . En este caso, el precio del bono es B =
Xn
C ie ¡
r ¿i
:
i= 1
La duraci¶o n est¶a dada por: (r )
kB Evidentemente, si N
n
Xn ¿ i C i e ¡ @B 1 = @r B B i= 1
= minf ¿ i ji = 1;2;:::;n g y M (r )
N
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=¡
lim k B
n
! 1
=0
y
n
r ¿i
:
= maxf ¿ i ji = 1;2;:::;n g , entonces (r )
M
lim k B n
! 0
= 0:
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5 8 . In m u n iza ci¶o n d e ° u jo s d e efectiv o ...
5 8 .2 .2 C o n v e x id a d m o n e ta ria c o n re n d im ie n to s a n u a liz a d o s En esta secci¶o n se considera una medida de sensibilidad de segundo orden conocida como convexidad. La convexidad es una medida de dispersi¶o n del tiempo entre pagos; entre mayor sea la convexidad m¶as grande es la dispersi¶o n del tiempo entre pagos. En el caso de rendimientos anualizados, la convexidad monetaria se de¯ne como: ³ ´ @ @B 1+y @ 2 B (1 + y ) 2 @y (y ) qB = ¡ = : @B @y @ y2 B @y En particular, si B =
Xn
i= 1
entonces (y )
qB
Ci ; (1 + y ) i
=
Xn
i(1 + i)
=
Xn
i2
=
Xn
i2 w i + k B :
i= 1
i= 1
Ci B (1 + y ) i
Ci (y ) + kB B (1 + y ) i (y )
i= 1
Observe que si las w i son vistas como probabilidades de una variable aleatoria X que toma valores en los tiempos de pago, IPf X = ig = w i , i = 1;2;:::;n , entonces Var[X ] = =
Xn
(y )
i= 1 Xn
i= 1
=
Xn
(i ¡ k B ) 2 w
(y )
i2 w i ¡ (k B ) 2 (y )
i2 w i + k B
i= 1 (y ) =q B
i
(y )
(y )
¡ k B (1 + k B )
(y )
(y )
¡ k B (1 + k B ) :
(y )
(y )
(y )
Es decir, Var[X ] y q B di¯eren s¶o lo en la constante k B (1 +k B ) . En otras palabras, la convexidad de un bono, salvo una constante conocida, mide la dispersi¶o n de los tiempos de pago alrededor de la duraci¶o n (el tiempo medio entre pagos) . Es importante destacar que para el caso de un bono cup¶o n cero, con rendimiento anualizado y y valor nominal N , se tiene que B (0 ) = N (1 + y ) ¡ n , en cuyo caso, la convexidad est¶a dada por (y )
qB
=
@ 2 B (0 ) (1 + y ) 2 (y ) = n 2 + n = n 2 + kB : @ y2 B (0 )
Por u¶ ltimo, observe que una expansi¶o n en serie de Taylor, de B , conduce a dB ¼
@B @ 2B dy + (dy ) 2 @y @ y2 (y )
= ¡ B kB
dy (y ) + B qB 1+y
¶o dB dy (y ) (y ) ¼ ¡ kB + qB B 1+y
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μ
μ
dy 1+y
dy 1+y
¶2
¶2
:
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5 8 . In m u n iza ci¶o n d e ° u jo s d e efectiv o ...
5 8 .2 .4 C o n v e x id a d m o n e ta ria c o n ta sa c o n sta n te d e in te r¶e s c o n tin u a m e n te c a p ita liz a b le La convexidad monetaria cuando la tasa constante de inter¶e s es continuamente capitalizable est¶a dada por Xn ¿ 2 C i e ¡ r ¿ i @ 2B 1 (r ) i qB = = : @ r2 B B i= 1 Este concepto de convexidad es muy usual en el desarrollo de modelos de inmunizaci¶o n de los °ujos esperados de tesorer¶³as.
5 8 .3 T a sa c o rta y p re c io d e u n b o n o c u p o¶ n c e ro En esta secci¶o n se especi¯ca la din¶amica de la tasa corta. Sea f W t g t¸ 0 un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad ( ;F ;IP) y sea IF = f F t g t¸ 0 su ¯ltraci¶o n aumentada, la cual representa la informaci¶o n del mercado disponible hasta el tiempo t. Se supone que la din¶amica estoc¶astica de la tasa corta, r t , es conducida por una ecuaci¶o n de la forma: dr t = ® (r t ;t) dt + ¯ (r t ;t) dW t ; donde ® (r t ;t) y ¯ (r t ;t) son procesos adaptados a la ¯ltraci¶o n f F t g t¸ 0 . El precio de un bono cup¶o n cero que se coloca en t y que al vencimiento, T , paga una unidad monetaria se determina mediante " ( Z ) ¯ # ¯ T ¯ B (r t ;t; T ) = E exp ¡ r s dr s ¯F t : ¯ t Por u¶ ltimo, la estructura de plazos de la tasa de inter¶e s est¶a dada por R (r t ;t) = ¡
ln B (r t ;t; T ) : T ¡ t
5 8 .4 E c u a c i¶o n d e c o m p e n sa c i¶o n e n tre u n p o rta fo lio d e b o n o s c u p o¶ n c e r o y u n c o n ju n to d e ° u jo s d e e fe c tiv o En esta secci¶o n se presenta la ecuaci¶o n de compensaci¶o n entre un portafolio (de cobertura) de bonos y un conj unto de °ujos de efectivo. Como antes, se denotar¶a al precio de un bono cup¶o n cero mediante B (r t ;t; T ) . Para inmunizar el valor presente de un conjunto de °uj os de efectivo se utilizar¶an cuatro bonos con vencimientos T 1 ; T 2 ; T 3 y T 4 , con T 1 < T 2 < T 3 < T 4 . La raz¶o n por la que se eligen u¶ nicamente cuatro bonos con distintos vencimientos se justi¯car¶a m¶as adelante. As¶³ pues, el precio del bono con vencimiento T i tiene precio B i (r t ;t; T i ) , i = 1;2;3;4, donde r t es la tasa corta. Considere una estrategia de cobertura con x i unidades de cada bono con vencimiento en T i , i = 1;2;3;4. Sea u (r;t;©) el valor presente de un conj unto de °ujos de efectivo © = f Á 1 ;Á 2 ;:::;Á n g : Cada °uj o Á ` se presenta en una fecha preestablecida t` ;` = 1;2;:::;n : Observe que si Á ` > 0, se trata de un activo; en caso contrario es un pasivo. Suponga que 0 = x 1 B 1 + x 2 B 2 + x 3 B 3 + x 4 B 4 ¡ u : Se desea determinar las cantidades x 1 ;x 2 ;x 3 y x 4 de tal manera que los cambios en el valor presente de ©, u (r;t;©) , por variaciones en la tasa de inter¶e s se compensen con los °ujos generados por bonos de distintos vencimientos, es decir, 0 = x 1 dB donde u (r t ;t; ©) = E
1
+ x 2 dB
( n X
`= 1
2
+ x 3 dB
3
+ x 4 dB
4
¡ du ;
¯ ¯ Á ` expf R (t;t` ; r t ) (t` ¡ t) g ¯F
(58:4)
t
)
:
(58:5)
Si du < 0, por lo menos un dB i es negativo y, rec¶³procamente, si du > 0, por lo menos un dB i es positivo. Una simple aplicaci¶o n del lema de It^o a B i (r t ;t; T i ) ; i = 1;2;3;4; y a u (r;t; ©) conduce
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a: 0 = x 1 dB 1 + x 2 dB 2 + x 3 dB 3 + x 4 dB 4 ¡ du ·μ ¶ @B 1 @B 1 1 @ 2B 1 @B 1 = x1 + ® (r t ;t) + ¯ (r t ;t) 2 dt + ¯ (r t ;t) dW @t @ rt 2 @ r t2 @ rt ·μ ¶ @B 2 @B 2 1 @ 2B 2 @B 2 + x2 + ® (r t ;t) + ¯ (r t ;t) 2 dt + ¯ (r t ;t) dW @t @ rt 2 @ r t2 @ rt ·μ ¶ @B 3 @B 3 1 @ 2B 3 @B 3 + x3 + ® (r t ;t) + ¯ (r t ;t) 2 dt + ¯ (r t ;t) dW @t @ rt 2 @ r t2 @ rt ·μ ¶ @B 4 @B 4 1 @ 2B 4 @B 4 + x4 + ® (r t ;t) + ¯ (r t ;t) 2 dt + ¯ (r t ;t) dW @t @ rt 2 @ r t2 @ rt μ ¶ 2 @u @u 1 @u 2@ u ¡ + ® (r t ;t) + ¯ (r t ;t) dt ¡ ¯ (r t ;t) dW t : @t @ rt 2 @ r t2 @ rt
t
¸
t
¸
t
¸
t
¸
Al reagrupar t¶e rminos en dt y dr t , se obtiene que: μ ¶ @B 1 @B 2 @B 3 @B 4 @u 0 = x1 + x2 + x3 + x4 ¡ dt @t @t @t @t @t μ ¶ @B 1 @B 2 @B 3 @B 4 @u + x1 + x2 + x3 + x4 ¡ dr t @ rt @ rt @ rt @ rt @ rt μ ¶ 1 @ 2B 1 @ 2B 2 @ 2B 3 @ 2B 4 @ 2u 2 + ¯ (r t ;t) x 1 + x2 + x3 + x4 ¡ dt: 2 @ r t2 @ r t2 @ r t2 @ r t2 @ r t2
(58:6)
Esta ecuaci¶o n es fundamental para generar estrategias de cobertura con bonos cup¶o n cero, como se ver¶a en las siguientes secciones, pues contiene informaci¶o n sobre el tiempo promedio en que se presentan °uj os de efectivo o se realizan pagos de los bonos, as¶³ como informaci¶o n de la dispersi¶o n de dichos tiempos con respecto al tiempo promedio.
5 8 .5 In m u n iz a c i¶o n p o r d u ra c i¶o n y c o n v e x id a d En esta secci¶o n se presenta un procedimiento para inmunizar el valor presente de un conj unto de °uj os ¯nancieros utilizando bonos cup¶o n cero. El procedimiento emplea los conceptos de duraci¶o n y convexidad u¶ tiles en la medici¶o n y el control del riesgo por desplazamientos paralelos y moderados en la tasa de inter¶e s. En virtud de que dt y dr t , son variables (de estado) independientes, a partir de la ecuaci¶o n (58.6) , se sigue que 8 >x1@B 1 + x2@B 2 + x3 @B 3 + x4 @B 4 = @u ; > > > @t @t @t @t @t > > < @B 1 @B 2 @B 3 @B 4 @u x1 + x2 + x3 + x4 = ; @ r @ r @ r @ r @ rt > t t t t > > > @ 2B 1 > @ 2B 2 @ 2B 3 @ 2B 4 @ 2u > :x1 + x2 + x3 + x4 = : 2 2 2 2 @ rt @ rt @ rt @ rt @ r t2
(58:7)
El sistema anterior puede reescribirse como: 8 @B 1 1 @B 2 1 @B 3 1 @B 4 1 @u 1 > > w1 +w2 +w3 +w4 = ; > > @ t B @ t B @ t B @ t B @t u > 1 2 3 4 > μ ¶ μ ¶ μ ¶ μ ¶ μ ¶ > < @B 1 1 @B 2 1 @B 3 1 @B 4 1 @u 1 w1 ¡ +w2 ¡ +w3 ¡ +w4 ¡ = ¡ ; @ rt B 1 @ rt B 2 @ rt B 3 @ rt B 4 @ rt u > > > μ ¶ μ ¶ μ ¶ μ ¶ > > @ 2B 1 1 @ 2B 2 1 @ 2B 3 1 @ 2B 3 1 @ 2u 1 > > + w + w + w = ; :w 1 2 3 4 @ r t2 B 1 @ r t2 B 2 @ r t2 B 3 @ r t2 B 3 @ r t2 u (58:8)
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donde w i = x i B i = u , i = 1;2;3;4. Observe que w 1 + w 2 + w y convexidad del bono i se calculan, respectivamente, por D
i
=¡
@B i 1 @ rt B i
y
Ci=
3
+w
4
= 1. Ahora bien, la duraci¶o n
@ 2B i 1 : @ r t2 B i
Si adem¶as se de¯ne la sensibilidad relativa del precio del bono con respecto del tiempo como Ai=
@B i 1 ; @t B i
entonces el sistema (58:8) en las inc¶o gnitas w 1 ;w 2 ;w 3 y w 4 es equivalente a: 8 w + w 2 + w 3 + w 4 = 1; > > > 1 > < w 1A 1 + w 2A 2 + w 3A 3 + w 4A 4 = A u ; > > w 1D 1 + w 2D 2 + w 3D 3 + w 4D 4 = D u ; > > : w 1C 1 + w 2C 2 + w 3C 3 + w 4C 4 = C u :
(58:9)
Por supuesto, se supone que el determinante asociado al sistema (58:9) es distinto de cero a ¯n de garantizar soluciones no triviales. De esta manera, los valores x 1 ;x 2 ;x 3 y x 4 que se determinan a trav¶e s de w 1 ;w 2 ;w 3 y w 4 de¯nen una estrategia de cobertura. El sistema (58.9) tiene cuatro ecuaciones con cuatro inc¶o gnitas, siendo ¶e sta la raz¶o n por la que se eligieron s¶o lo cuatro bonos de distintos vencimientos.
5 8 .6 C o n c lu sio n e s Como puede observarse, la inmunizaci¶o n por duraci¶o n y convexidad es fundamentalmente un m¶e todo local dise~n ado para cubrir cambios en el valor presente debido a desplazamientos, peque~n os y moderados, en la tasa de inter¶e s. Por esta raz¶o n, las estrategias de inmunizaci¶o n requieren de actualizaciones peri¶o dicas o rebalanceo a ¯n de proteger e¯cazmente no s¶o lo contra peque~n os desplazamientos en tasas, sino tambi¶e n contra cambios moderados y extremos. Si una estrategia no es rebalanceada atendiendo al comportamiento y a las expectativas del mercado, la protecci¶o n se deteriora progresivamente.
5 8 .7 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Chua, J. H. (1984) . \A Closed-Form Formula for Calculating Bond Duration" . F in a n cia l A n a ly sts J o u rn a l, Vol. 40, No. 3, pp. 76-78. Fabozzi, F. J. (2003) . Bond Markets: Analysis and Strategies (5th Edition) Prentice Hall. Gonz¶alez-Ar¶e chiga, B., F. Venegas-Mart¶³nez y J. D¶³az-Tinoco (2000) . \Riesgo de tasas de inter¶e s e inmunizaci¶o n por duraci¶o n y convexidad con futuros: an¶alisis local y de valor en riesgo" . In vestiga ci¶o n E co n o¶ m ica , Vol. 60, No. 233, pp. 72-112. Gonz¶alez-Ar¶e chiga, B., J. D¶³az-Tinoco y F. Venegas-Mart¶³nez (2001) . \Riesgo cambiario, brecha de madurez y cobertura con futuros: an¶alisis local y de valor en riesgo" . E co n o m ¶³a M exica n a , N u eva E¶ poca , Vol. 10, No. 2, pp. 259-290. James, J. and N. Webber (2000) . Interest Rate Modelling: Financial Engineering. John Wiley & Sons, England. Macaulay, F. R. (1938) , Some Theoretical Problems Suggested by the Movements of InterestRates, Bond Yields and Stock Prices in the U.S. Since 1856. National Bureau of Economic Reseach, New York. Venegas-Mart¶³nez, F. (2002) . \Cobertura de °ujos ¯nancieros con instrumentos de renta ¯j a" . E stu d io s E co n o¶ m ico s, Vol. 17, No. 2, pp. 171-192. Venegas-Mart¶³nez, F. (2003) . \Inmunizaci¶o n de °uj os ¯nancieros de tesorer¶³as con bonos cup¶o n cero: un an¶alisis de duraci¶o n y convexidad con el modelo de Heath, Jarrow y Morton" . M o m en to E co n ¶o m ico , No. 129-130, pp. 3-17. Venegas-Mart¶³nez, F. (2003) . Inmunizaci¶o n del valor presente de °uj os de efectivo de tesorer¶³as de corporativos, inversionistas institucionales y fondos pensiones con futuros del Mexder. Trabaj o de Investigaci¶o n ganador del Primer Lugar del Premio Nacional MexDer 2003, www.mexder.com/MEX/premio.html Venegas-Mart¶³nez, F., B. Gonz¶alez-Ar¶e chiga y J. D¶³az-Tinoco (2002) . \Cobertura con futuros de t¶³tulos de capital" . M o m en to E co n o¶ m ico , No. 120, pp. 14-34.
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5 8 . In m u n iza ci¶o n d e ° u jo s d e efectiv o ...
5 8 .8 E je r c ic io s 5 8 .1 Si se de¯ne el precio de un bono cuponado que paga cupones C i , en fechas ¿ i , i = 1;2;:::;n , como Xn Ci B = ; 1 + r ¿i i= 1 encuentre la duraci¶o n y convexidad de B . 5 8 .2 Considere un contrato forward sobre un bono cup¶o n cero. El contrato forward tiene plazo [t;T ] y el bono [T ;T + M ] . En este caso, el precio forward satisface F t;T ;T +
M
=N
¸ 1 + R (t;T ) (T ¡ t) : 1 + R (t;T + M ) (T + M ¡ t)
·
Denote R t;T = R (t;T ) y suponga que R (t;T + M ) = R y convexidad de F t;T ;T + M .
t;T
+ ², ² > 0. Encuentre la duraci¶o n
5 8 .3 Especi¯que cu¶ales son las condiciones que deben satisfacer A i , D i y C i , i = 1;2;3;4; para que el determinante de la matriz en el siguiente sistema sea diferente de cero: 0
1 BA 1 @ D 1 C1
1 A2 D 2 C2
1 A3 D 3 C3
10 1 0 1 w1 1 1 A 4 CBw 2 C BA u C A@ A=@ A: A4 w3 D u C4 w4 Cu
5 8 .4 Si la din¶amica estoc¶astica de la tasa corta, r t , es conducida por una ecuaci¶o n de la forma: dr t = ® (r t ;t) dt + ¯ (r t ;t) dW t ; donde ® (r t ;t) y ¯ (r t ;t) son funciones conocidas y B (r t ;t; T ) es el precio de un bono cup¶o n cero muestre, utilizando el lema de It^o , que ¶ μ @u @B 1 @B 2 @B 3 @B 4 dt + x2 + x3 + x4 ¡ 0 = x1 @t @t @t @t @t μ ¶ @B 1 @B 2 @B 3 @B 4 @u + x1 dr t + x2 + x3 + x4 ¡ @ rt @ rt @ rt @ rt @ rt μ ¶ 1 @ 2u @ 2B 1 @ 2B 2 @ 2B 3 @ 2B 4 2 dt: + ¯ (r t ;t) x 1 + x2 + x3 + x4 ¡ 2 @ r t2 @ r t2 @ r t2 @ r t2 @ r t2
5 8 .5 Calcule la duraci¶o n y convexidad de un bono cup¶o n cero cuando la din¶amica de la tasa corta es conducida por los modelos de Merton y Vasicek.
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.
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X . T E¶ C N IC A S D E A J U S T E D E C U R V A S D E R E N D IM IE N T O
² ² ² ² ²
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59. 60. 61. 62. 63.
E l m o d elo d e N elso n S ieg el P o lin o m io s d e C h eb y sh ev S u av iza ci¶o n co n K ern els S p lin es c¶u b ico s M ¶³n im o s cu a d ra d o s co n restriccio n es
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.
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C A P ¶IT U L O 59 E L M O D E L O D E N E L S O N Y S IE G E L C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ²
Soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden Din¶amica de la tasa forward instant¶anea Curva de rendimiento de bonos cup¶o n cero Modelos param¶e tricos de una curva de rendimiento Reversi¶o n a la media
5 9 .1 In tro d u c c i¶o n El modelo de Nelson y Siegel (1987) proporciona un m¶e todo de estimaci¶o n param¶e trica de una curva de rendimiento. A diferencia de los modelos de Vasicek (1977) , Cox, Ingersoll y Ross (1985) , y Hull y White (1990) , entre otros, el modelo de Nelson y Siegel se concentra en la evoluci¶o n de la tasa forward instant¶anea y no en la din¶amica de la tasa corta. La curva de rendimiento se obtiene como el promedio de valores futuros de la tasa forward instant¶anea y no como el promedio de valores futuros de la tasa corta. El modelo de Nelson y Siegel es un modelo no polinomial que elimina cambios abruptos en la estructura de plazos de la tasa de inter¶e s, sobre todo en el largo plazo. Este modelo es muy popular en los mercados de dinero de muchos pa¶³ses. M¶as a¶u n, este modelo se utiliza en la mayor¶³a de bancos centrales de los pa¶³ses desarrollados.
5 9 .2 D in ¶a m ic a p ro p u e sta p a ra la ta sa fo rw a rd in sta n t¶a n e a El modelo Nelson-Siegel se basa en la premisa de que la din¶amica de la tasa forward instant¶anea puede ser modelada por la soluci¶o n de una ecuaci¶o n diferencial ordinaria de segundo orden, la cual presenta formas muy variadas (mon¶o tona, encorvada, sigmoidea, etc.) . Particularmente, Nelson y Siegel modelan el comportamiento de la tasa forward con la soluci¶o n de una ecuaci¶o n diferencial de segundo grado con ra¶³ces iguales y reales. Evidentemente, el modelo Nelson-Siegel no utiliza argumentos de equilibrio general y, en consecuencia, carece de cualquier interpretaci¶o n econ¶o mica del comportamiento de los agentes y de los mercados en que estos participan.
5 9 .3 T a sa fo rw a rd in sta n t¶a n e a y c u rv a d e re n d im ie n to Uno de los conceptos centrales en el estudio de modelos de tasas de inter¶e s es el de tasa forward instant¶anea. Considere una inversi¶o n de una unidad monetaria en un periodo [t;T ] a una tasa continuamente capitalizable R (t;T ) . El monto total, principal m¶as intereses, que genera esta inversi¶o n en el vencimiento, T , est¶a dado por I (t;T ) = exp f R (t;T ) (T ¡ t) g : Si esta cantidad se reinvierte en el periodo [T ;T + ¢T ] . El monto total de la inversi¶o n, en la fecha T + ¢T , es L (t;T ;T + ¢T ) = I (t;T ) expf f (t;T ;T + ¢T ) ¢T g
= expf R (t;T ) (T ¡ t) g expf f (t;T ;T + ¢T ) ¢T g ;
donde f (t;T ;T + ¢T ) es la tasa forward aplicable en [T ;T + ¢T ] con referencia a la fecha t. Otra alternativa consiste en invertir una unidad monetaria en un plazo igual a la suma de los plazos anteriores, es decir, en [t;T + ¢T ] . En este caso, el monto total que genera esta inversi¶o n en el vencimiento est¶a dado por J (t;T + ¢T ) = expf R (t;T + ¢T ) (T + ¢T ¡ t) g :
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Si se supone que el mercado de este tipo de inversiones est¶a en equilibrio, entonces no existen oportunidades de arbitraj e para generar ganancias en las dos alternativas de inversi¶o n anteriormente introducidas. En consecuencia se sigue que L (t;T ;T + ¢T ) = J (t;T + ¢T ) , es decir, R (t;T ) (T ¡ t) + f (t;T ;T + ¢T ) ¢T = R (t;T + ¢T ) (T + ¢T ¡ t) : Dado que B (t;T ) = e ¡
R (t;T )(T ¡ t)
, la ecuaci¶o n anterior se transforma en
¡ ln B (t;T ) + f (t;T ;T + ¢T ) ¢T = ¡ ln B (t;T + ¢T ) ; lo cual implica, a su vez, que B (t;T ) = exp f f (t;T ;T + ¢T ) ¢T g : B (t;T + ¢T ) Al despej ar la tasa forward en la expresi¶o n anterior se obtiene f (t;T ;T + ¢T ) = ¡
μ
ln B (t;T + ¢T ) ¡ ln B (t;T ) ¢T
¶
:
La tasa forward instant¶anea se de¯ne como: f (t;T ) ´
lim f (t;T ;T + ¢T ) = ¡
¢ T! 0
@ ln B (t;T ) : @T
(59:1)
Observe que de la ecuaci¶o n anterior se desprende que ZT t
f (t;s ) d s = ¡
ZT
d ln B (t;s )
t
= ¡ ln B (t;T ) + ln B (t;t) : Ahora bien, en virtud de que B (t;t) = 1, se obtiene ZT t
f (t;s ) d s = ¡ ln B (t;T ) :
Por lo tanto, el precio de un bono cup¶o n cero que paga una unidad monetaria al vencimiento satisface: ( Z ) T B (t;T ) = exp ¡ f (t;s ) ds : t
Por otro lado, dado que B (t;T ) = e ¡
R (t;T )(T ¡ t)
R (t;T ) =
, se puede escribir
1 T ¡ t
ZT
f (t;s ) ds :
(59:2)
t
Es decir, la curva de rendimiento se obtiene como el promedio de valores futuros de la tasa forward instant¶anea.
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5 9 .4 E c u a c io n e s d ife re n c ia le s o rd in a ria s d e se g u n d o o rd e n c o n c o e ¯ c ie n te s c o n sta n te s En esta secci¶o n se revisa, brevemente, la teor¶³a de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coe¯cientes constantes. Se estudian los casos cuando la ecuaci¶o n caracter¶³stica tiene ra¶³ces reales, ya sea distintas o iguales.
5 9 .4 .1 E c u a c io n e s d ife re n c ia le s o rd in a ria s d e se g u n d o o rd e n c o n r a¶³c e s re a le s y d istin ta s Una ecuaci¶o n diferencial ordinaria de segundo orden no homog¶e nea, en x = x (t) , con coe¯cientes constantes y condiciones ¯nales se puede escribir como: xÄ (t) + a x_ (t) + bx (t) ¡ ¯ 0 b = 0;
x (T ) = A
t< T;
y
x_ (T ) = B :
(59:3)
Las cantidades a , b y ¯ 0 se suponen conocidas. Considere, primero, la ecuaci¶o n diferencial homog¶e nea asociada a (59.3) , la cual est¶a dada por xÄ (t) + a x_ (t) + bx (t) = 0;
(59:4)
t< T:
La ecuaci¶o n caracter¶³stica asociada a (59.4) se de¯ne mediante m
2
+ a m + b = 0:
(59:5)
Las ra¶³ces de (59.5) se encuentran mediante m
1 ;2
=
¡a§
p
a 2 ¡ 4b : 2
Para asegurar que m 1 ;2 2 IR, es necesario suponer que a 2 > 4b. En este caso, la soluci¶o n general de la ecuaci¶o n diferencial homog¶e nea (59.4) satisface x c (t) = ¯ 1 e m
1 (t¡
T)
+ ¯ 2 em
2 (t¡
T )
;
Observe que la sustituci¶o n de (59.6) en (59.4) conduce a ¡ 2 ¢ ¡ ¢ m 1 + a m 1 + b ¯ 1 e m 1 (t¡ T ) + m 22 + a m 2 + b ¯ 2 e m Si se denotan m
1
= 1= ¿ 1 y m
2
(59:6)
t< T:
2 (t¡
T )
= 0:
= 1= ¿ 2 , entonces (59.6) se puede reescribir como
x c (t) = ¯ 1 e ¡
(T ¡ t)= ¿ 1
+ ¯ 2 e¡
(T ¡ t)= ¿ 2
;
(59:7)
t< T;
lo que j usti¯ca la utilidad de la ecuaci¶o n caracter¶³stica (59.5) en la soluci¶o n de (59.3) . Falta ahora determinar una soluci¶o n particular de la ecuaci¶o n diferencial no homog¶e nea (59.3) . Si se supone una soluci¶o n de la forma x p (t) = ® + ° (t ¡ T ) ; (59:8) la sustituci¶o n de (59.8) en (59.3) conduce a a ° + b[® + ° (t ¡ T ) ] ¡ ¯ 0 b = 0: Claramente, ° = 0, se sigue entonces que ® = ¯ 0 . En consecuencia, x p (t) = ¯ 0 . La soluci¶o n general de (59.3) est¶a dada por x (t) = x p (t) + x c (t) = ¯ 0 + ¯ 1 e ¡
(T ¡ t)= ¿ 1
+ ¯ 2 e¡
(T ¡ t)= ¿ 2
;
t< T:
(59:9)
Si adem¶as se eligen A y B en (59.3) de tal forma que x (T ) = A = ¯ 0 + ¯ 1 + ¯ 2
y
x_ (T ) = B =
¯1 ¯2 + ; ¿1 ¿2
(59:10)
entonces (59.9) es la u¶ nica soluci¶o n de (59.3) que satisface las condiciones ¯nales en (59.10) .
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5 9 . E l m o d elo d e N elso n y S ieg el
5 9 .4 .2 E c u a c io n e s d ife re n c ia le s o rd in a ria s d e se g u n d o o rd e n c o n ra¶³c e s r e a le s e ig u a le s Considere ahora la ecuaci¶o n diferencial ordinaria de segundo orden no homog¶e nea con coe¯cientes constantes y condiciones ¯nales de la forma xÄ (t) ¡ 2a x_ (t) + a 2 x (t) ¡ ¯ 0 a 2 = 0;
(59:11)
t< T;
con x (T ) = A
y
x_ (T ) = B :
Considere, primero, la ecuaci¶o n diferencial homog¶e nea asociada a (59.11) , la cual est¶a dada por xÄ (t) ¡ 2a x_ (t) + a 2 x (t) = 0;
(59:12)
t< T:
La ecuaci¶o n caracter¶³stica asociada a (59.12) se de¯ne mediante 2
m
¡ 2a m + a 2 = (m ¡ a ) 2 = 0:
(59:13)
Es decir, la u¶ nica ra¶³z de (59.13) es a . En este caso, una soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial homog¶e nea (59.12) est¶a dada por x c (t) = ¯ 1 e a (t¡
T)
;
(59:14)
t< T:
Observe que la sustituci¶o n de (59.14) en (59.12) conduce a ¡ m
2
¢ ¡ 2a m + a 2 ¯ 1 e a (t¡
T )
= 0:
(59:15)
Otra soluci¶o n, linealmente independiente, de (59.12) se obtiene al suponer un candidato de soluci¶o n de la forma y c (t) = u (t) e a (t¡ T ) . Note que en este caso y_ c (t) = u_ (t) e a (t¡
T)
+ a u (t) e a (t¡
T )
y yÄ c (t) = uÄ (t) e a (t¡
T )
+ 2a 2 u_ (t) e a (t¡
T )
+ a u (t) e a (t¡
T)
:
Al sustituir las derivadas anteriores en (59.12) , se tiene que £ ¤ 0 = uÄ (t) + 2a 2 u_ (t) + a 2 u (t) ¡ 2a u_ (t) ¡ 2a 2 u (t) + a 2 u (t) e a (t¡
T)
¶o 0 = uÄ ; lo cual implica que u (t) = ® + ° (t ¡ T ) : Es decir, y c (t) = [® + ° (t ¡ T ) ] e a (t¡
T )
(59:16)
:
Resta determinar una soluci¶o n particular de la ecuaci¶o n diferencial no homog¶e nea (59.11) . Si se supone una soluci¶o n de la forma x p (t) = μ + Á (t ¡ T ) ; (59:17) la sustituci¶o n de (59.17) en (59.11) conduce a ¡ 2a Á + a 2 (μ + Á (t ¡ T ) ) ¡ ¯ 0 a 2 = 0: En este caso, Á = 0, se sigue entonces que μ = ¯ 0 . En consecuencia, x p (t) = ¯ 0 . La soluci¶o n general de (59.11) est¶a dada por x (t) = x p (t) + x c (t) + y c (t) = ¯ 0 + ¯ 1 e a (t¡
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T)
+ ¯ 2 [® + ° (t ¡ T ) ] e a (t¡
T )
;
t< T:
(59:18)
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Si adem¶as se eligen A y B en (59.11) de tal forma que se impongan las condiciones 8 < x (T ) = A = ¯ 0 + ¯ 1 ; : x_ (T ) = B = 1 (¯ 1 ¡ ¯ 2 ) ; ¿
(59:19)
donde a = 1= ¿ , se sigue que ® = 0, ° = ¡ a y x (t) = ¯ 0 + ¯ 1 e
¡ (T ¡ t)= ¿
+ ¯2
μ
T ¡ t ¿
¶
e¡
(T ¡ t)= ¿
;
t< T:
(59:20)
As¶³, (59.20) es la u¶ nica soluci¶o n de (59.11) que satisface las condiciones ¯nales establecidas en (59.19) .
5 9 .5 D in ¶a m ic a d e la ta sa fo rw a rd in sta n t¶a n e a c o n b a se e n u n a so lu c i¶o n c o n ra¶³c e s re a le s y d istin ta s La din¶amica de la tasa forward se modela a trav¶e s de la soluci¶o n de una ecuaci¶o n diferencial de segundo grado con ra¶³ces reales y distintas, de tal manera que f (t;T ) = ¯ 0 + ¯ 1 e ¡
(T ¡ t)= ¿ 1
+ ¯ 2 e¡
(T ¡ t)= ¿ 2
:
(59:21)
El primer par¶ametro, ¯ 0 , puede verse como la contribuci¶o n de la tasa forward en el largo plazo, ya que los otros t¶e rminos tienden a cero, exponencialmente, cuando el vencimiento, T , aumenta. Los dos t¶e rminos siguientes en (59.21) pueden verse como la contribuci¶o n de la tasa forward en el corto plazo. Estos t¶e rminos act¶u an fundamentalmente en vencimientos peque~n os ya que cuando el plazo se incrementa tienden r¶apidamente a cero. Evidentemente, la tasa forward de largo plazo satisface f (t;1 ) = ¯ 0 y la tasa forward de corto plazo f (t;t) = r t = ¯ 0 + ¯ 1 + ¯ 2 . En virtud de (59.2) y (59.21) , la curva de rendimiento, de un bono cup¶o n cero, est¶a dada por R (t;T ) =
1 T ¡ t
ZT
=¯ 0 + ¯ 1
f (t;s ) ds
t
1 ¡ e ¡ (T ¡ t)= ¿ 1 1 ¡ e ¡ (T ¡ t)= ¿ 2 + ¯2 : T ¡ t T ¡ t ¿1 ¿2
(59:22)
Claramente, R (t;1 ) = ¯ 0 : Con el prop¶o sito de determinar la tasa corta a partir de la curva de rendimiento, considere el cambio de variable v = T ¡ t en (59.22) , entonces r t = lim R (t;t + v ) v! 0
=¯ 0 + ¯ 1 lim
v! 0
1 ¡ e ¡ v = ¿1 1 ¡ e ¡ v = ¿2 + ¯ lim : 2 v v v! 0 ¿1 ¿2
En este caso la regla de L'H^o pital conduce a rt = ¯ 0 + ¯ 1 + ¯ 2 : Por lo anterior es importante destacar que las cantidades ¯ 0 y ¯ 0 + ¯ 1 + ¯ 2 tienen que ser positivas.
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5 9 .6 D in ¶a m ic a d e la ta sa fo rw a rd in sta n t¶a n e a c o n b a se e n u n a so lu c i¶o n c o n r a¶³c e s r e a le s e ig u a le s . En caso de que las ra¶³ces de la ecuaci¶o n caracter¶³stica sean reales e iguales a ¿ , se supone que la tasa forward es conducida por la ecuaci¶o n ¶ μ T ¡ t ¡ (T ¡ t)= ¿ ¡ (T ¡ t)= ¿ e + ¯2 f (t;T ) = ¯ 0 + ¯ 1 e ¿ μ ¶¸ · (59:23) T ¡ t ¡ (T ¡ t)= ¿ e = ¯0 + ¯1 + ¯2 : ¿ Como antes, el primer par¶ametro, ¯ 0 , puede verse como la contribuci¶o n de la tasa forward en el largo plazo, ya que los otros t¶e rminos tienden r¶apidamente (exponencialmente) a cero cuando el vencimiento, T , aumenta. El segundo t¶e rmino en (59.23) puede verse como la contribuci¶o n de la tasa forward en el corto plazo ya que al incrementar el plazo tiende r¶apidamente a cero. El tercer t¶e rmino se incrementa con el plazo al vencimiento, partiendo de f (t;t) = 0, hasta alcanzar un m¶aximo para despu¶e s tender a cero otra vez. Un valor positivo del par¶ametro ¿ determina la velocidad con la que el segundo y tercer t¶e rminos convergen a cero. El inverso 1= ¿ corresponde a la velocidad con la que la tasa forward instant¶anea converge a su valor de largo plazo ¯ 0 . As¶³, se tiene un mecanismo de reversi¶o n a la media comparable con el de los modelos de Vasicek, Cox, Ingersoll y Ross, y Hull y White. En este caso, es f¶acil veri¯car que la curva de rendimiento satisface ZT 1 ¡ e ¡ (T ¡ t)= ¿ 1 ¡ ¯ 2 e ¡ (T ¡ t)= ¿ : f (t;s ) ds = ¯ 0 + (¯ 1 + ¯ 2 ) (59:24) R (t;T ) = T ¡ t T ¡ t t ¿ En efecto, si se utiliza el cambio de variable u = ¡ (T ¡ s ) = ¿ ; entonces ¶ ZT μ Z0 T ¡ s e ¡ (T ¡ s )= ¿ ds = ¡ ¿ u e u du ¿ t ¡ (T ¡ t)= ¿ ¯0 Z0 ¯ u¯ +¿ e u du = ¡ ¿ue ¯ ¡ (T ¡ t)= ¿
= ¡ (T ¡ t) e ¡
(T ¡ t)= ¿
¡ (T ¡ t)= ¿
³ + ¿ 1 ¡ e¡
(T ¡ t)= ¿
´ :
A partir del resultado anterior se obtiene inmediatamente (59.24) . En conclusi¶o n, la curva de rendimiento en (59.24) se determina a partir del comportamiento futuro de las tasas forward y, en consecuencia, por cuatro par¶ametros, a saber ¯ 0 , ¯ 1 , ¯ 2 y ¿ . La Gr¶a¯ca 59.1 muestra el comportamiento de R (0;T ) con ¿ = 1, ¯ 0 = 1 y ¯ 1 = ¡ 1 para diferentes valores de ¯ 2 en un horizonte de T = 10 a~n os. Las funciones en la Gr¶a¯ca 59.1 corresponden, de abaj o hacia arriba, a los valores ¯ 2 = ¡ 3;¡ 2;¡ 1;0;1;2;3:
Gr¶a¯ca 59.1 Comportamiento de R (0;T ) con ¿ = 1, ¯ 0 = 1, ¯ 1 = ¡ 1. Las funciones en la gr¶a¯ca corresponden, de abajo hacia arriba, a los valores ¯ 2 = ¡ 3;¡ 2;¡ 1;0;1;2;3:
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A continuaci¶o n se obtiene la tasa corta a partir de la curva de rendimiento. Considere, primero, el cambio de variable en (59.24) v = T ¡ t; entonces r t = lim R (t;t + v ) v! 0
=¯ 0 + (¯ 1 + ¯ 2 ) lim
v! 0
1 ¡ e¡ v ¿1
v=¿
¡ ¯ 2 lim e ¡ v! 0
v=¿
:
En este caso, la regla de L'H^o pital conduce a r t = ¯ 0 + ¯ 1 ; con lo cual, la tasa corta permanece constante en el tiempo, es decir, rt = rs = ¯ 0 + ¯ 1 ;
para
t 6= s :
Asimismo, R (t;1 ) = lim R (t;T ) = ¯ 0 ; T! 1
de donde ¯ 1 = r t ¡ R (t;1 ) : En el modelo de Nelson-Siegel, ¯ 0 , ¯ 1 , ¯ 2 y ¿ son cuatro par¶ametros por determinar. Claramente, si se quieren estimar econom¶e tricamente estos par¶ametros a partir de valores de mercado, el modelo resultante es no lineal en ¿ . El primer paso es ¯j ar un valor de ¿ que sea consistente con el comportamiento de la reversi¶o n a la media en las tasas de inter¶e s y estimar los par¶ametros restantes. Observe que valores peque~n os de ¿ corresponden a una r¶apida reducci¶o n de las variables independientes y, por lo tanto, conducir¶an a una curva que se ajusta mej or en el corto plazo. Rec¶³procamente, valores grandes de ¿ incrementan r¶apidamente los valores de las variables independientes produciendo un mejor aj uste en el largo plazo. El procedimiento para seleccionar un valor apropiado de ¿ consiste en aj ustar el modelo, con m¶³nimos cuadrados ordinarios, para diferentes valores de ¿ , tomando en cuenta que se deben satisfacer las condiciones R (0;1 ) = ¯ 0 > 0 y r t = ¯ 0 + ¯ 1 > 0: Un valor de ¿ adecuado ser¶a aquel que produzca estimadores estad¶³sticamente signi¯cativos que cumplan con las condiciones anteriormente especi¯cadas. En caso de que existan varios valores de ¿ con estas caracter¶³sticas, se toma entonces aquel que produzca el mayor valor de R 2 . El par¶ametro ¯ 0 est¶a asociado con el comportamiento de R (t;T ) en el largo plazo y la suma ¯ 0 + ¯ 1 con el comportamiento de R (t;T ) en el corto plazo.
5 9 .7 U n e je m p lo d e a p lic a c i¶o n d e l m o d e lo d e N e lso n -S ie g e l En esta secci¶o n se presenta un ej emplo ilustrativo del modelo de Nelson-Siegel. El Cuadro 59.1 muestra los rendimientos (en el mercado secundario) de bonos cup¶o n cero emitidos por el gobierno mexicano a distintos plazos, espec¶³¯camente algunos de los plazos que se operaron el 7 de Mayo de 2004. R (0;T i ) 0.0595 0.0647 0.0671 0.0703 0.0711 0.0718 0.0724 0.0766 0.0771 0.0773 0.0775 0.0777 0.0779
Ti 1/360 7/360 28/360 56/360 91/360 136/360 175/360 258/360 1 388/360 451/360 542/360 2
Cuadro 59.1 Rendimientos de mercado de bonos cup¶o n cero a distintos plazos (Mayo 7, 2004) .
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En virtud de la ecuaci¶o n (59.24) , con t = 0, se puede escribir
R (0;T i ) = ± 0 + ± 1
1 ¡ e ¡ T i= ¿ + ±2 e¡ Ti ¿
T i= ¿
+ " i ; i = 1;2;:::;N
(59:25)
donde (" i ) 1 · i· N es ruido blanco Gaussiano. En este caso, los estimadores de m¶³nimos cuadrados (y de m¶axima verosimilitud) de los par¶ametros ¯b0 , ¯b1 y ¯b2 satisfacen: ¯b0 = ±b0 ;
¯b1 = ±b1 + ±b2
y
¯b2 = ¡ ±b2 :
Observe que ±b0 est¶a asociada a la tasa de largo plazo y ±b1 a la tasa corta.
Los estimadores de los par¶ametros para diferentes valores de ¿ se muestran en el Cuadro 59.2. Como puede observarse, si ¿ = 0:1, ±b2 no es estad¶³sticamente signi¯cativa. Si ¿ = 0:5, ±b1 no es signi¯cativa. Si ¿ = 1 todos los estimadores de los par¶ametros son signi¯cativos. En estos tres casos, R (0;1 ) = ¯b0 > 0 y R 2 es alta. Si ¿ = 10 ¶o ¿ = 100 mej ora la signi¯cancia estad¶³stica de los par¶ametros aunque la R 2 disminuye, sin embargo, R (0;1 ) = ¯b0 < 0. Por lo tanto, entre estas cinco alternativas, el caso ¿ = 1 proporciona un modelo aceptable. En este caso, el n¶u mero de datos es 13 y en el modelo se estiman tres par¶ametros, as¶³ el n¶u mero de grados de libertad es º = 10. Si se consideran los valores t1 0 ;0 :0 2 5 = 2:228 y t1 0 ;0 :0 0 5 = 3:169 de tablas de las colas de la distribuci¶o n tº ;® , entonces ±b0 y ±b2 son signi¯cativas al 99% de con¯anza y ±b1 es signi¯cativa al 95% de con¯anza (v¶e ase el Cuadro 59.3) . Por u¶ ltimo, los valores estimados de las tasas corta y larga son 9% y 4%, respectivamente. Por supuesto, otros valores de ¿ pueden examinarse.
¿ 0.1 0.5 1 10 100
±b0 (estad¶³stico t) 0.0787 (93.330) 0.0737 (159.673) 0.04801 (4.077) ¡ 4.0128 (¡ 3.935) ¡ 420.610 (¡ 4.159)
±b1 (estad¶³stico t) ¡ 0.0202 (¡ 4.501) 0.01702 (1.462) 0.0903 (2.973) 8.5754 (4.084) 845.396 (4.168)
±b2 (estad¶³stico t) 0.0030 (0.698) ¡ 0.0278 (¡ 3.266) ¡ 0.0747 (¡ 3.885) ¡ 4.4982 (¡ 4.162) ¡ 424.721 (¡ 4.175)
R2 0.95 0.93 0.92 0.89 0.88
Cuadro 59.2 Estimadores de los par¶ametros para diferentes valores de ¿ .
Par¶ametros ±0 ±1 ±2
Estimaci¶o n 0.0480 0.0903 ¡ 0.0747
Error est¶andar 0.0117 0.0303 0.0192
Estad¶³stico t 4.0779 2.9737 ¡ 3.8852
Prob. 0.0022 0.0139 0.0030
Cuadro 59.3 Otras estad¶³sticas del modelo con ¿ = 1 (estad¶³stico F =58.865) .
Las Gr¶a¯cas 59.2-59.6 presentan las curvas de rendimientos estimadas con el modelo de Nelson-Siegel para diferentes valores del par¶ametro ¿ . En todos los casos, en el largo plazo, la curva de rendimiento se aproxima, asint¶o ticamente a ¯ 0 .
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Gr¶a¯ca 59.2 Curva de rendimientos estimada con ¿ = 0:1 (ej e horizontal en d¶³as) .
Gr¶a¯ca 59.3 Curva de rendimientos estimada con ¿ = 0:5.
Gr¶a¯ca 59.4 Curva de rendimientos estimada con ¿ = 1.
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Gr¶a¯ca 59.5 Curva de rendimientos estimada con ¿ = 10.
Gr¶a¯ca 59.6 Curva de rendimientos estimada con ¿ = 100.
5 9 .8 A n ¶a lisis c o m p a r a tiv o e n tr e lo s m o d e lo s d e N e lso n -S ie g e l y V a sic e k Evidentemente, los modelos de Nelson y Siegel (1987) y de Vasicek (1977) no son comparables, ya que el primero parte de la din¶amica de la tasa forward y estima una curva de rendimiento con precios de mercado y el segundo parte de la din¶amica de la tasa corta y utiliza argumentos de equilibrio general para determinar una curva de rendimiento. Sin embargo, es interesante comparar las propiedades geom¶e tricas de las curvas de rendimiento obtenidas con ambos modelos. Para ello, denote a = 1= ¿ , as¶³ la curva de rendimiento del modelo de Nelson-Siegel se puede escribir como ¶ μ 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) R N S (t;T ) = R N S (t;1 ) + [r t ¡ R N S (t;1 ) ] a (T ¡ t) (59:26) μ a (T ¡ t) ¶ e ¡ 1 + ¯2 ¡ 1 e ¡ a (T ¡ t) ; a (T ¡ t) donde R
N S (t;1
) = ¯0
y
rt ¡ R
N S (t;1
) = (¯ 0 + ¯ 1 ) ¡ ¯ 0 = ¯ 1 :
La expresi¶o n (59.26) se puede comparar con la curva de rendimiento generada por el modelo de Vasicek ¶ μ 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) R V (t;T ) = R V (t;1 ) + [r t ¡ R V (t;1 ) ] a (T ¡ t) ¶ μ a (T ¡ t) ¾2 ¡ 2 + e ¡ a (T ¡ t) e + 2 e ¡ a (T ¡ t) ; 4a a (T ¡ t)
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donde
¾2 : 2a 2 Observe que para a (T ¡ t) su¯cientemente peque~n a, la aproximaci¶o n R
e¡
V
(t;1 ) = b ¡
a (T ¡ t)
¼ 1 ¡ a (T ¡ t)
es v¶alida, entonces R
V
μ 1 ¡ e ¡ a (T ¡ (t;1 ) + [r ¡ R (t;1 ) ] V t V a (T ¡ t) μ a (T ¡ t) ¶ 2 ¾ e ¡ 1 + 2 ¡ 1 e ¡ a (T ¡ t) : 4a a (T ¡ t)
(t;T ) ¼ R
t)
¶
Si se escribe ¯ 0 = b ¡ (¾ 2 = 2a 2 ) y ¯ 2 = ¾ 2 = 4a 2 ; se sigue que R
N S (t;T
)¼ R
V
(t;T ) :
Claramente, cuando aumenta el plazo, T , la diferencia entre R N S (t;T ) y R V (t;T ) disminuye, aunque hay que tomar en cuenta que la aproximaci¶o n e ¡ a (T ¡ t) ¼ 1 ¡ a (T ¡ t) se deteriora conforme a (T ¡ t) crece.
5 9 .9 C o n c lu sio n e s y re c o m e n d a c io n e s Se ha presentado un modelo muy vers¶atil en la determinaci¶o n de la curva de rendimiento de bonos cup¶o n cero, el modelo de Nelson-Siegel. Es importante destacar que en mercados primarios se cuenta con pocos datos, ya que no se negocian bonos a todos los plazos, incluso esta situaci¶o n se presenta en el mercado secundario. La escasez de datos podr¶³a ser una limitaci¶o n en la estimaci¶o n del modelo econom¶e trico.
5 9 .1 0 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Cox, J. C., J. E. Ingersoll, and S. A. Ross (1985) . \A Theory of the Term Structure of Interest Rates." E co n o m etrica , Vol. 53, No. 2, pp. 363-384. Hull, J. and A. White (1990) . \Pricing Interest-Rate-Derivative Securities" . T h e R eview o f F in a n cia l S tu d ies, Vol. 3, No. 4, pp. 573-592. Nelson, C. R. and A. F. Siegel (1987) . \Parsimonious Modeling of Yield Curves" . T h e J o u rn a l o f B u sin ess, Vol. 60, No. 4, pp. 473-489. Siegel, A. F. and C. R. Nelson (1988) . \Long-Term Behavior of Yield Curves" . T h e J o u rn a l o f F in a n cia l a n d Q u a n tita tive A n a ly sis, Vol. 23, No. 1, pp. 105-110. Vasicek, O. A. (1977) . \An Equilibrium Characterization of the Term Structure." J o u rn a l o f F in a n cia l E co n o m ics, Vol. 5, No. 2, pp. 177-188. Venegas-Mart¶³nez, F. (2003) . \Inmunizaci¶o n de °ujos ¯nancieros con futuros de tasas de inter¶e s: un an¶alisis de duraci¶o n y convexidad con el modelo de Nelson y Siegel" . R evista d e A d m in istra c» a~ o M a cken zie, Vol. 4, No. 1, pp. 107-123.
5 9 .1 1 E je rc ic io s 5 9 .1 Considere la soluci¶o n x (t) = ¯ 0 + ¯ 1 e ¡
(T ¡ t)= ¿ 1
+ ¯ 2 e¡
(T ¡ t)= ¿ 2
;
t< T
de la ecuaci¶o n diferencial ordinaria de segundo orden: xÄ (t) + a x_ (t) + bx (t) ¡ ¯ 0 b = 0;
t< T:
Si se imponen condiciones ¯nales x (T ) = A y x_ (T ) = B discuta c¶o mo se determinan ¯ 1 y ¯ 2. S o lu ci¶o n : Observe, primero, que ¯ 0 es una cantidad conocida. De esta manera, las condiciones ¯nales implican ¯ 1 = A ¡ ¯ 0 y ¯ 2 = ¿ 2 B ¡ (¿ 2 = ¿ 1 ) (A ¡ ¯ 0 ) ) .
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5 9 .2 Resuelva la ecuaci¶o n diferencial 2 xÄ (t) + 4 x_ (t) + x (t) ¡ 1 = 0;
t< T;
con condiciones ¯nales x (T ) = x_ (T ) = 1: 5 9 .3 Resuelva la ecuaci¶o n diferencial 2 xÄ (t) + 4 x_ (t) + 4x (t) ¡ 4 = 0;
t< T;
con x (T ) = x_ (T ) = 1: 5 9 .4 Suponga que la din¶amica de la tasa forward instant¶anea est¶a dada por la soluci¶o n de una ecuaci¶o n diferencial ordinaria de segundo orden · μ ¶¸ T ¡ t f (t;T ) = ¯ 0 + ¯ 1 + ¯ 2 e¡ ¿
(T ¡ t)= ¿
:
Demuestre que R (t;T ) = ¯ 0 + (¯ 1 + ¯ 2 )
1 ¡ e ¡ (T ¡ t)= ¿ ¡ ¯ 2 e¡ T ¡ t ¿
(T ¡ t)= ¿
:
S o lu ci¶o n : Es su¯ciente de¯nir el cambio de variable u = ¡ (T ¡ s ) = ¿ y observar que ZT μ t
T ¡ s ¿
¶
e
¡ (T ¡ s )= ¿
ds = ¡ ¿
Z0
u e u du
¡ (T ¡ t)= ¿ ¯0 ¯ u¯
= ¡ ¿ue ¯
+¿
e u du
¡ (T ¡ t)= ¿
¡ (T ¡ t)= ¿
= ¡ (T ¡ t) e
Z0
¡ (T ¡ t)= ¿
³ + ¿ 1 ¡ e¡
(T ¡ t)= ¿
´ :
5 9 .5 Considere el siguiente modelo de regresi¶o n no lineal, en los par¶ametros (± 0 ;± 1 ;± 2 ;¿ ) , R (0;T i ) = ± 0 + ± 1
1 ¡ e ¡ T i= ¿ + ±2 e¡ Ti ¿
T i= ¿
+ " i ; i = 1;2;:::;N :
>C¶o mo podr¶³a estimar ¿ ? 5 9 .6 Utilice la aproximaci¶o n e ¡
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T i= ¿
¼ 1 ¡ (T i = ¿ ) en el modelo anterior y discuta los resultados.
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C A P ¶IT U L O 60 A P R O X IM A C IO¶ N A U N A C U R V A D E R E N D IM IE N T O C O N P O L IN O M IO S D E C H E B Y S H E V : TEO REM A D E HAAR C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ² ² ²
Espacios normados de funciones continuas La mejor aproximaci¶o n uniforme (en norma uniforme) Condici¶o n de Haar Puntos extremos Teorema de Haar sobre existencia y unicidad de la mejor aproximaci¶o n Polinomios de Chebyshev Aproximaci¶o n de una curva de rendimiento mediante Polinomios de Chebyshev
6 0 .1 In tro d u c c i¶o n En este cap¶³tulo se desarrolla un procedimiento para aproximar una curva de rendimiento mediante polinomios de Chebyshev, llamados as¶³ en honor de Pafnuty Lvovich Chebyshev (18211894) , destacado matem¶atico ruso. En la literatura, se hace referencia a este mismo matem¶atico como Chebychev o Tchebyshev, pues su apellido en ruso es \[ja6 b wo B a" y algunos intentos por traducirlo han sido: Chebyshev, Chebychev o Tchebyshev. Uno de los resultados centrales de este cap¶³tulo es la construcci¶o n de los polinomios de Ä Chebyshev, la cual se basa en el teorema de Haar. En 1916, Alfred Haar en su art¶³culo \Uber einige Eigenschaften der orthogonalen Funktionensysteme" publicado en el \American Journal of Mathematics" proporciona las condiciones que garantizan la existencia y unicidad de la mej or aproximaci¶o n uniforme (con la norma uniforme) a cualquier monomio de grado ¯j o. De esta manera, baj o el supuesto de que la din¶amica de la curva de rendimiento sigue un polinomio de cierto grado, cada uno de sus monomios ser¶a aproximado uniformemente por polinomios de Chebyshev.
6 0 .2 E sp a c io s n o rm a d o s d e fu n c io n e s c o n tin u a s Sea C [a ;b] , a < b, el conj unto de funciones continuas de¯nidas en [a ;b] que toman valores en IR. Si se introduce la norma jjf jju = max jf (x ) j; (60:1) x 2 [a ;b]
entonces (C [a ;b] , jj¢jju ) es espacio normado completo, es decir, es un espacio de Banach. En este cap¶³tulo, se tendr¶a particular inter¶e s en funciones de¯nidas en el intervalo [¡ 1;1] . El cambio de un intervalo arbitrario [a ;b] al intervalo [¡ 1;1] es una tarea sencilla. En efecto, sea f : [a ;b] ! IR, f = f (x ) , y de¯na el cambio de variable: t=¡
b¡ x x ¡ a 2x ¡ (a + b) + = ; b¡ a b¡ a b¡ a
entonces cuando x = a , t = ¡ 1, y cuando x = b, t = 1. De esta manera, si se de¯ne fb(t) = f
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μ
t(b ¡ a ) + (a + b) 2
¶
=f
μ
(1 + t) b + (1 ¡ t) a 2
¶
;
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se tiene que f : [a ;b] ! IR se transforma en fb : [¡ 1;1] ! IR. De esta manera, C [a ;b] se transforma en C [¡ 1;1] . En este caso, la norma de fbqueda de¯nida por: jjfbjju = max jfb(t) j: t2 [¡ 1 ;1 ]
En lo que sigue, por simplicidad, se omitir¶a en la notaci¶o n el s¶³mbolo \ b" cuando se haga referencia a elementos del espacio (C [¡ 1;1] , jj ¢ jju ) .
6 0 .3 L a m e jo r a p ro x im a c i¶o n u n ifo rm e a u n a fu n c i¶o n Sea Y un subespacio de dimensi¶o n n de C [a ;b] y sea f 2 C [a ;b] , se desea encontrar h 2 Y , tal que jjf ¡ h jju = inf jjf ¡ y jju : y2 Y
(60:2)
Es decir, se desea encontrar h 2 Y de tal manera que jjf ¡ h jju sea lo m¶as peque~n a posible. En este sentido, es com¶u n decir que h 2 Y es una mej or aproximaci¶o n a f . Es importante destacar que podr¶³an existir m¶as de dos mej ores aproximaciones. Si se de¯ne g = f ¡ h , el problema planteado puede reexpresarse de la siguiente forma: se desea encontrar h 2 Y tal que jjg jju = jjf ¡ h jju
(60:3)
sea lo m¶as peque~n a posible, o bien que g diste de la funci¶o n cero lo menos posible con respecto de la norma jj ¢ jju , que de ahora en adelante ser¶a llamada norma uniforme.
6 0 .4 C o n d ic i¶o n d e H a a r so b re lo s c e ro s d e u n a fu n c i¶o n Se dice que un subespacio Y de dimensi¶o n ¯nita de C [a ;b] satisface la condici¶o n de Haar si todo h 2 Y , h 6= 0, tiene a lo m¶as n ¡ 1 ceros en [a ;b] . Alternativamente, Y satisface la condici¶o n de Haar si y s¶o lo si cualquier h 2 Y con n o m¶as ceros en [a ;b] es id¶e nticamente cero. Observe ahora que si B n = f e 1 ;e 2 ;:::;e n g es una base de Y , entonces para todo h 2 Y existen ® 1 ;® 2 ;::::;® n 2 IR, tales que Xn h = ® k ek : k= 1
De P n esta manera, el subespacio Y satisface la condici¶o n de Haar si y s¶o lo si cualquier h = k = 1 ® k e k 2 Y con n ceros en t1 ;t2 ;:::;tn 2 [a ;b] es id¶e nticamente cero. Por lo tanto, se satisfacen las siguientes n condiciones: h (tj ) =
Xn
® k e k (tj ) = 0;
j = 1;2;:::;n :
(60:4)
k= 1
Asimismo, dado que h ´ 0, se tiene que ® 1 = ® 2 = ¢¢¢ = ® n = 0: As¶³, el sistema (60.4) en las inc¶o gnitas ® 1 ;® ;:::;® n , tiene como u¶ nica soluci¶o n al 0 2 Y si y s¶o lo si el determinante ¢ = det ([e k (tj ) ] 1 ·
k ;j · n
) 6= 0:
(60:5)
En otras palabras, la condici¶o n de Haar dice que para cualquier base B n = f e 1 ;e 2 ;:::;e n g y n distintos puntos t1 ;t2 ;:::;tn en [a ;b] , ¢ 6= 0. Esta propiedad se utilizar¶a repetidamente en el transcurso de este cap¶³tulo.
6 0 .5 L e m a d e H a a r so b re lo s p u n to s e x tre m o s d e u n a fu n c i¶o n Un hecho relevante de la condici¶o n de Haar es que ¶e sta es su¯ciente para la unicidad de la mej or aproximaci¶o n. Para veri¯car esta proposici¶o n es necesario demostrar, primero, el lema de Haar sobre los puntos extremos de una funci¶o n. Se dice que un punto t0 es un punto extremo de f (t) 2 C [0;¼ ] , si jf (t0 ) j = jjf jju . As¶³, un punto extremo satisface f (t0 ) = jjf jju ¶o f (t0 ) = ¡ jjf jju .
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Suponga que Y es un subespacio de dimensi¶o n n del espacio C [a ;b] y que Y satisface la condici¶o n de Haar. Si para alg¶u n f 2 C [a ;b] y un h 2 Y la funci¶o n g = f ¡ h tiene menos de n + 1 puntos extremos, entonces h no es una mej or aproximaci¶o n. En efecto, suponga que la funci¶o n g = f ¡ h tiene m · n puntos extremos t1 ;:::;tm . Si m < n , se escogen n ¡ m puntos adicionales tj en [a ;b] hasta tener n puntos distintos t1 ;:::;tn ; no importa que no todos sean puntos extremos. Considere estos puntos extremos y una base B n f e 1 ;:::;e n g de Y , y de¯na el siguiente sistema no homog¶e neo de n ecuaciones lineales: Xn
¯ k e k (tj ) = g (tj ) ;
j = 1;::::;n ;
(60:6)
k= 1
en las inc¶o gnitas ¯ 1 ;:::;¯ n . Dado que que Y satisface la condici¶o n de Haar, ¢ 6= 0. En consecuencia, el sistema (60.6) tiene una u¶ nica soluci¶o n ¯e1 ;:::;¯en . Esta soluci¶o n se utiliza para de¯nir h 0 = ¯e1 e 1 + :::: + ¯en e n ; as¶³ como
b h = h + ²h 0 ;
² > 0:
Se demuestra a continuaci¶o n que para un ² su¯cientemente peque~n o, la funci¶o n gb= f ¡ b h satisface jjb g jju < jjg jju ;
(60:7)
lo que contradice que h sea una mej or aproximaci¶o n de f . Con el ¯n obtener (60.7) , se construye gbdividiendo el intervalo [a ;b] en dos subconj untos, A y B = [a ;b] ¡ A , donde A contiene los puntos extremos t1 ;:::;tm de g . Observe, primero, que en los puntos extremos jg (ti ) j = jjg jju > 0 donde g = f ¡ h 6= 0. Adem¶as, en virtud de la de¯nici¶o n de h 0 y (60.6) , h 0 (ti ) = g (ti ) . Por continuidad, para cada ti existe un intervalo abierto A i tal que en la uni¶o n de A = A 1 [ ¢¢¢ [ A m se cumple que ¹ = inf jg (t) j > 0 t2 A
y inf j2h 0 (t) j ¸ jjg jju :
(60:8)
t2 A
Dado que h 0 (ti ) = g (ti ) 6= 0, se tiene, por (60.8) , que h 0 (t) = g (t) > 0 para todo t 2 A . Asimismo, (60.8) conduce a h 0 (t) jh 0 (t) j inf t2 A jh 0 (t) j 1 = ¸ ¸ 2: g (t) jg (t) j jjg jju As¶³,
¡ Considere ahora M t 2 A , se obtiene Es decir,
0
h 0 (t) · g (t)
1 2
(60:9)
:
= sup t2 A jh 0 (t) j, entonces para todo n¶u mero positivo ² < ¹ =M ²h 0 (t) ²jh 0 (t) j ²M = · g (t) jg (t) j ¹ 1¡
0
0
y todo
< 1:
²h 0 (t) > 0: g (t)
(60:10)
Ahora bien, dado que gb = f ¡ b h = f ¡ h ¡ ²h 0 = g ¡ ²h 0 , se observa, en virtud de (60.9) y (60.10) , que para todo t 2 A y 0 < ² < ¹ =M 0 , se satisface que jb g (t) j =jg (t) ¡ ²h 0 (t) j ¯ μ ¶¯ ¯ ¯ ²h 0 (t) ¯ ¯ = ¯g (t) 1 ¡ ¯ g (t) μ ¶ ²h 0 (t) =jg (t) j 1 ¡ g (t) ³ ²´ · jjg jju 1 ¡ 2 < jjg jju :
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Ahora, en el complemento B = [a ;b] ¡ A , el cual es cerrado, se de¯ne M
1
= max jh 0 (t) j;
M
t2 B
2
= max jg (t) j: t2 B
Dado que A contiene a todos los puntos extremos de g , se tiene M jjg jju = M
2
2
< jjg jju y es posible escribir
+ ´;
donde ´ > 0. Si se escoge ahora un n¶u mero positivo ² < ´ =M se desprende que para todo t 2 B
1,
se tiene que ²M
1
< ´ y de esto
jb g (t) j · jg (t) j + ²jh 0 (t) j =M
2
+ ²M
1
< jjg jju : Por lo anterior, se observa que jb g (t) j no excede una cota superior independiente de t 2 B y estrictamente menor que jjg jju . Por otro lado, a partir de (60.11) , si t 2 A y ² > 0 es su¯cientemente peque~n o jb g (t) j < jjg jju , gb = g + ²h 0 . Si se escoge ² < minf ¹ =M 0 ;´ =M 1 g , se tiene que jjb g jju < jjg jju para todo t 2 [a ;b] , lo cual, a su vez, implica que jjb g jju < jjg jju . Esto es j ustamente (60.7) , lo que concluye la demostraci¶o n del lema de Haar sobre puntos extremos.
6 0 .6 E l te o re m a d e H a a r so b re la u n ic id a d d e la m e jo r a p ro x im a c i¶o n u n ifo rm e Un resultado relevante sobre el concepto de aproximaci¶o n uniforme es el teorema de Haar, el cual se enuncia a continuaci¶o n. Sea Y un subespacio de dimensi¶o n n de C [a ;b] , para cada f 2 C [a ;b] existe un u¶ nico h 2 Y , tal que jjf ¡ h jju = inf jjf ¡ y jju = ± y2 Y
(60:12)
si y s¶o lo si Y satisface la condici¶o n de Haar. Observe que (60.12) se puede reexpresar de la siguiente forma, para cada f 2 C [a ;b] existe un u¶ nico h 2 Y , tal la diferencia g = f ¡ h dista de la funci¶o n cero lo menos posible en la norma uniforme, es decir, jjg jju = jjf ¡ h jju = ±: (i) Su¯ciencia. Suponga, primero, que Y satisface la condici¶o n de Haar y que h 1 ;h 2 2 Y son dos mej ores aproximaciones para alg¶u n f 2 C [a ;b] ¯j o. Sean g1 = f ¡ h 1 ; y g2 = f ¡ h 2 : Se tiene entonces que jjg 1 jju = jjg 2 jju = ± , donde ± es la distancia de f a Y , es decir, ± = inf jjf ¡ y jju : y2 Y
(60:13)
Claramente, h = 21 (h 1 + h 2 ) es tambi¶e n una mejor aproximaci¶o n a f , ya que jjf ¡ h jju =jjf ¡ ·
1 2
=±
1 2
h1 ¡
1 2
h 2 jju
jjf ¡ h 1 jju + 12 jjf ¡ h 2 jju
y, por otro lado, h = 12 (h 1 + h 2 ) es tambi¶e n un elemento de Y , lo cual conduce a jjf ¡ h jju ¸ ± . En conclusi¶o n, jjf ¡ h jju = ±: Ahora bien, por el lema de Haar sobre puntos extremos se tiene que g = f ¡ h = f ¡ 21 (h 1 + h 2 ) = 21 (g 1 + g 2 ) (60:14)
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tiene al menos n + 1 puntos extremos t1 ;t2 ;:::;tn + 1 . En cada uno de estos puntos se tiene que jg (tj ) j = jjg jju = ± . De lo anterior y de (60.14) se obtiene: g 1 (tj ) + g 2 (tj ) = 2g (tj ) = +2± ¶o ¡ 2±: Ahora bien, jg 1 (tj ) j · jjg 1 jju = ± y similarmente para g 2 . Por lo tanto, ambos sumandos deben tener el mismo signo y el m¶aximo valor absoluto posible, esto es, g 1 (tj ) = g 2 (tj ) = +± ¶o ¡ ±; as¶³ g 1 (tj ) ¡ g 2 (tj ) = 0, j = 1;2;:::;n , lo cual implica que h 1 ¡ h 2 = g 2 ¡ g 1 tiene n + 1 ceros en [a ;b] . Por la condici¶o n de Haar, se sigue que h 1 ¡ h 2 = 0. Es decir, h 1 = h 2 , y la unicidad queda demostrada. (ii) Necesidad. Se supone que Y no satisface la condici¶o n de Haar y se demuestra que no se tiene una u¶ nica mej or aproximaci¶o n para cualquier f 2 C [a ;b] . Si no se satisface la condici¶o n de Haar, entonces el determinante ¢ es cero y el sistema homog¶e neo: ° 1 e k (t1 ) + ° 2 e k (t2 ) + ::: + ° n e k (tn ) = 0;
k = 1;:::;n ;
tiene una soluci¶o n no trivial °e1 ;:::;e ° n . Considere esta soluci¶o n y cualquier h 1 = entonces se cumple que 0 1 Xn Xn Xn °ej h 1 (tj ) = ®k @ °ej e k (tj ) A = 0: j= 1
Pn
k= 1
® k ek 2 Y ,
(60:15)
j= 1
k= 1
Adem¶as, el sistema transpuesto ¯ 1 e 1 (tj ) + ¯ 2 e 2 (tj ) + ::: + ¯ n e n (tj ) = 0;
j = 1;:::;n ;
tambi¶e n tiene una soluci¶o n no trivial ¯e1 ;:::;¯en . Con base en esta soluci¶o n, se de¯ne h 0 = Pn e = 0 y h 0 es cero excepto en t1 ;:::;tn . Sea ¸ , su¯cientemente peque~n a, tal k = 1 ¯ k e k . As¶³, h 0 6 que jj¸ h 0 jju · 1. Considere ahora e h 2 C [a ;b] tal que jjhejju = 1 y e h (tj ) = sgn(e °j) = Se de¯ne ahora f 2 C [a ;b] mediante
(
¡1 1
si °ej < 0;
si °ej ¸ 0:
f (t) = e h (t) (1 ¡ j¸ h 0 (t) j) :
Por lo tanto, f (tj ) = e h (tj ) = sgn(e ° j ) ya que h 0 (tj ) = 0. Se demuestra, a continuaci¶o n, que esta funci¶o n f tiene una in¯nidad de mejores aproximaciones por elementos de Y . Si se utiliza el hecho de que jhe(t) j · jjhejju = 1 y j¸ h 0 (t) j · jj¸ h 0 jju · 1 para todo ' 2 [¡ 1;1] , se obtiene jf (t) ¡ ' ¸ h 0 (t) j · jf (t) j ¡ j' ¸ h 0 (t) j =jhe(t) j(1 ¡ j¸ h 0 (t) j) + j' ¸ h 0 (t) j · 1 ¡ j¸ h 0 (t) j + j' ¸ h 0 (t) j =1 ¡ (1 ¡ j' j) j¸ h 0 (t) j · 1:
Por lo tanto, cada ' ¸ h 0 , ¡ 1 · ' · 1, es una mej or aproximaci¶o n a f si se logra demostrar que jjf ¡ h jju ¸ 1 para todo h 2 Y :
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P Para veri¯car que (60.16) se cumple para h = ® k e k 2 Y arbitrario. Se supone, por el contrario, que jjf ¡ b h jju < 1 para alg¶u n b h 2 Y , entonces las condiciones: f (tj ) = sgn(e °j) = § 1 y implican que para toda °ej 6= 0
jf (tj ) ¡ b h (tj ) j · jjf ¡ b h jju < 1 sgn(hb(tj ) ) = sgn(f (tj ) ) = sgn(e ° j);
lo cual contradice (60.15) cuando h = b h yb h (tj ) = sgn(e ° j ) ya que °ej 6= 0 para alg¶u n j , esto es, Xn
j= 1
°ej b h (tj ) =
Xn
j= 1
°ej sgn(e °j) =
Xn
j= 1
je °jj = 6 0:
Por lo tanto, (60.16) queda demostrada. Observe que si Y ½ C [a ;b] es el conj unto de todos los polinomios de grado que no exceden a n ¡ 1, j unto con el polinomio cero, entonces dimY = n y Y satisface la condici¶o n de Haar. En efecto, un polinomio de grado n ¡ 1 tiene a lo m¶as n ¡ 1 ra¶³ces reales.
6 0 .7 A p ro x im a c i¶o n u n ifo rm e p o r p o lin o m io s a la fu n c i¶o n c e ro Considere f 2 C [¡ 1;1] de¯nida por el monomio f (t) = tn y sea M = span(1;t;t2 ;:::;tn ¡ 1 ) el subespacio de C [¡ 1;1] generado por 1;t;t2 ;:::;tn ¡ 1 : Claramente, dim(M ) = n . El problema central de este cap¶³tulo consiste en aproximar el monomio f (t) = tn por un elemento de P 2 M de la forma nX¡ 1 P (t) = ® k tk ; ® k 2 IR; k = 0;1;2;:::;n ; k= 0
n
de tal manera que jjt ¡ P jju sea lo m¶as peque~n o posible. Lo deseable es, por supuesto, que jjtn ¡ P jju = inf jjtn ¡ Q jju : Q 2M
(60:17)
El problema de aproximaci¶o n puede plantearse en forma equivalente como: se desea determinar g (t) = tn ¡ P (t) ; de tal manera que jjg jju = jjf ¡ P jju
(60:18)
sea lo m¶as peque~n o posible. Observe que g es un polinomio de grado n con coe¯ciente 1 en la potencia tn , siendo los dem¶as coe¯cientes reales. As¶³, el problema de aproximaci¶o n planteado en (60.18) consiste entonces en encontrar un polinomio de la forma n
t ¡
nX¡ 1
® k tk ;
(60:19)
k= 0
cuya distancia a la funci¶o n cero sea lo menos posible baj o la norma de aproximaci¶o n uniforme sobre [¡ 1;1] .
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6 0 .8 L a m e jo r a p ro x im a c i¶o n u n ifo rm e a la fu n c i¶o n c e ro p o r p o lin o m io s Considere el cambio de variable: t = cos(μ ) ;
μ 2 [0;¼ ] :
(60:20)
As¶³, cuando μ var¶³a de 0 a ¼ , se tiene que t var¶³a de 1 a ¡ 1. El problema planteado en (60.19) se transforma ahora en encontrar una funci¶o n de la forma cos n (μ ) ¡
nX¡ 1
¯ k n cos k (μ )
k= 0
cuya distancia a la funci¶o n cero sea lo m¶as peque~n a posible con respecto de la norma uniforme sobre [0;¼ ] . Se puede demostrar que nX¡ 1 cos(n μ ) n = cos (μ ) ¡ ¯ n k cos k (μ ) : 2n ¡ 1
(60:21)
k= 0
y que cos(n μ ) = 2 n ¡ 1 es la u¶ nica funci¶o n que minimiza la distancia a la funci¶o n cero en [0;¼ ] con la norma uniforme. En efecto, procediendo por inducci¶o n, se sigue que para n = 1 con ¯ 1 0 = 0 se cumple (60.21) . Ahora bien, observe que cos((n + 1) μ ) = cos(n μ ) cos(μ ) ¡ sen(n μ ) sen(μ )
(60:22)
cos((n ¡ 1) μ ) = cos(n μ ) cos(μ ) + sen(n μ ) sen(μ ) :
(60:23)
y Despu¶e s de sumar ambos lados de (60.22) y (60.23) , se sigue que cos((n + 1) μ ) + cos((n ¡ 1) μ ) = 2 cos(n μ ) cos(μ ) : Por lo tanto, cos((n + 1) μ ) = 2 cos(n μ ) cos(μ ) ¡ cos((n ¡ 1) μ ) :
(60:24)
Si ahora se aplica la hip¶o tesis de inducci¶o n a (60.21) , se obtiene cos((n + 1) μ ) =2 cos(μ )
Ã
2
n¡ 1
n
cos (μ ) ¡ 2
¡ 2 n ¡ 2 cos n ¡ 1 (μ ) + 2 n ¡ =2 n cos n + 1 (μ ) ¡ 2 n
Xn
2
¯n+
n¡ 1
k
¯ n k cos (μ )
!
k= 0
nX¡ 2 k= 0
1 ;k
nX¡ 1
¯n¡
1 ;k
cos k (μ )
(60:25)
cos k (μ ) ;
k= 0
donde los coe¯cientes ¯ n + 1 ;k , k = 1;2;:::;n + 1, han sido convenientemente elegidos. Para veri¯car que cos(n μ ) = 2 n ¡ 1 produce la mej or, y u¶ nica, aproximaci¶o n uniforme a la funci¶o n cero en [0;¼ ] , se procede como sigue. Claramente, como puede apreciarse en la Gr¶a¯ca 60.1, se observa que cos(μ ) , cos(2μ ) y cos(3μ ) , tienen 1, 2 y 3 ra¶³ces, respectivamente, y, en general, cos((n ¡ 1) μ ) tiene n ¡ 1 ra¶³ces. Si se de¯ne N = span (1;cos(μ ) ;cos(2μ ) ;:::;cos((n ¡ 1) μ ) ) ; se tiene que que dim(N ) =n , entonces N satisface la condici¶o n de Haar. Asimismo, un punto t0 es un punto extremo de f (t) en C [0;¼ ] , si jf (t0 ) j = jjf jju , as¶³ un punto extremo satisface f (t0 ) = jjf jju ¶o f (t0 ) = ¡ jjf jju . Es evidente, a partir de la Gr¶a¯ca 60.1, que cos(μ ) , cos(2μ ) y cos(3μ ) , tienen 2, 3 y 4 puntos extremos, respectivamente, y, en general, cos(n μ ) tiene n + 1
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puntos extremos. Estos puntos extremos alternan entre 1 y ¡ 1. Por el teorema de Haar, en virtud de (60.19) , la mej or, y u¶ nica, aproximaci¶o n uniforme a la funci¶o n cero en [0;¼ ] es cos n (μ ) ¡ Por u¶ ltimo, se observa que cos(n μ ) = 2 n ¡
1
nX¡ 1
¯ n k cos k (μ ) :
(60:26)
k= 0
tiende a cero cuando n ! 1 .
Gr¶a¯ca 60.1 Las funciones cos(μ ) , cos(2μ ) y cos(3μ ) en [0;2¼ ] .
6 0 .9 P o lin o m io s d e C h e b y sh e v En virtud del cambio de variable (60.20) , la ecuaci¶o n (60.19) se transforma en nX¡ 1 cos(n arc cos(t) ) n = t ¡ ¯ n k tk ; 2n ¡ 1 k= 0
¡ 1 · t · 1:
(60:27)
De esta manera, el polinomio cos(n arc cos(t) ) (60:28) 2n ¡ 1 con coe¯ciente 1 en la potencia tn es la mej or aproximaci¶o n uniforme a la funci¶o n cero en [¡ 1;1] . El polinomio C n (t) ´ 2 n ¡ 1 T n (t) T n (t) ´
es llamado el polinomio de Chebyshev de primera clase y de orden n . Observe que, en este caso, C 0 (t) =T 0 (t) = cos(0) = 1; C 1 (t) =T 1 (t) = cos(arc cos(t) ) = t; y en virtud de (60.24) se tiene que cos((n + 1) arc cos(t) ) = 2cos(n arc cos(t) ) cos(arc cos(t) ) ¡ cos((n ¡ 1) arc cos(t) ) :
(60:29)
Equivalentemente, C
n + 1 (t)
= 2tC n (t) ¡ C
n ¡ 1 (t) ;
(60:30)
de donde se pueden obtener los polinomios de Chebyshev de orden n ¸ 3: C 2 (t) =2t2 ¡ 1;
C 3 (t) =4t3 ¡ 3t;
C 4 (t) =8t4 ¡ 8t2 + 1; 5
(60:31)
3
C 5 (t) =16t ¡ 20t + 5t; .. . En la Gr¶a¯ca 60.2 se muestra el comportamiento de las funciones C 1 (t) , C 2 (t) , C 3 (t) y C 4 (t) en el intervalo [¡ 1;1] .
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Gr¶a¯ca 60.2 Funciones C 1 (t) , C 2 (t) , C 3 (t) y C 4 (t) en [¡ 1;1] .
6 0 .1 0 E stim a c i¶o n d e la c u rv a d e re n d im ie n to c o n p o lin o m io s d e C h e b y sh e v En esta secci¶o n se estima una curva de rendimiento R (0;T ) mediante el uso de polinomios de Chebyshev. Observe primero que si x 2 [¡ 1;1] , entonces, a partir de (60.31) , se tiene que los monomios 1, x , x 2 , x 4 , se pueden expresar en t¶e rminos de los polinomios de Chebyshev como 1 =C 0 (x ) ; x =C 1 (x ) ; C 2 (x ) + C 0 (x ) x2 = ; 2 C 3 (x ) + 3C 1 (x ) x3 = ; 4 C 4 (x ) + 4C 3 (t) + 3C 0 (x ) x4 = : 8 A continuaci¶o n se introduce un cambio de variable para transformar C [¡ 1;1] en C [0;A ] . Para esto, es su¯ciente escribir A T = (1 + x ) : 2 En este caso, si x = ¡ 1, entonces T = 0, y si x = 1, entonces T = A : Se de¯nen ahora los siguientes polinomios de Chebyshev en [0;A ] :
c n (T ) = C
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n
μ
¶ 2T ¡ 1 ; A
n = 1;2;:::
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De esta forma 1 =c 0 (T ) ; 2T ¡ 1 =c 1 (T ) ; A μ ¶2 2T c 2 (T ) + c 0 (T ) ¡ 1 = ; A 2 μ ¶3 2T c 3 (T ) + 3c 1 (T ) ¡ 1 = ; A 4 μ ¶4 2T c 4 (T ) + 4c 3 (T ) + 3c 0 (T ) ¡ 1 = : A 8
(60:32)
El supuesto fundamental es que la curva de rendimiento tiene la siguiente forma funcional: R (0;T ) = exp
(
a0 + a1
μ
2T ¡ 1 A
¶
+ a2
μ
2T ¡ 1 A
¶2
+ ¢¢¢ + a n
μ
2T ¡ 1 A
¶n )
;
T 2 [0;A ] ;
(60:33) donde A > 0 es una constante conocida. Observe tambi¶e n que ¡ 1 · (2T =A ) ¡ 1 · 1. En la pr¶actica es frecuente suponer que el polinomio en el exponente es de grado n = 3 ¶o n = 4. En virtud de (60.32) , la representaci¶o n (60.33) en t¶e rminos de los polinomios de Chebyshev de¯nidos [0;A ] , se convierte para n = 4 en R (0;T ) = exp f ¯ 0 c 0 (T ) + ¯ 1 c 1 (T ) + ¯ 2 c 2 (T ) + ¯ 3 c 3 (T ) + ¯ 4 c 4 (T ) g :
(60:34)
con nuevos par¶ametros ¯ 1 , ¯ 2 , ¯ 3 y ¯ 4 . El siguiente paso es estimar dichos par¶ametros con valores de mercado, R i = R (t;T i ) , i = 1;2;:::N , utilizando m¶³nimos cuadrados en el siguiente modelo de regresi¶o n lineal m¶u ltiple: ln(R i ) = ¯ 0 c 0 (T i ) + ¯ 1 c 1 (T i ) + ¯ 2 c 2 (T i ) + ¯ 3 c 3 (T i ) + ¯ 4 c 4 (T i ) + ² i ;
i = 1;2;:::;N ;
(60:35)
donde ² i , i = 1;2;:::;N , es ruido blanco Gaussiano.
6 0 .1 1 U n e je m p lo d e e stim a c i¶o n d e u n a c u rv a d e re n d im ie n to En esta secci¶o n se presenta un ej emplo ilustrativo para estimar una curva de rendimiento utilizando polinomios de Chebyshev. Se supone que el polinomio, en (2T =A ) ¡ 1, en el exponente de la ecuaci¶o n (60.34) es de grado n = 3. Asimismo, se supone un horizonte de T = 2 a~n os. El Cuadro 60.1 muestra los rendimientos (en el mercado secundario) de bonos cup¶o n cero emitidos por el gobierno mexicano (CETES) a distintos plazos, espec¶³¯camente los plazos que se operaron el 7 de Mayo de 2004. R i = R (0;T i ) Ti 0.0595 1/360 0.0647 7/360 0.0671 28/360 0.0703 56/360 0.0711 91/360 0.0718 136/360 0.0724 175/360 0.0766 258/360 0.0771 1 0.0773 388/360 0.0775 451/360 0.0777 542/360 Cuadro 60.1 Rendimientos de mercado de bonos cup¶o n cero.
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6 0 . A p rox im a ci¶o n a u n a cu rva d e ren d im ien to co n p o lin o m io s d e C h eb y sh ev
Con base en la ecuaci¶o n (60.35) , los estimadores de m¶³nimos cuadrados (y de m¶axima verosimilitud) de los par¶ametros, as¶³ como sus propiedades estad¶³sticas, se muestran en el Cuadro 60.2. Como puede observarse dichos estimadores son estad¶³sticamente signi¯cativos al 95%; algunos tienen una signi¯cancia mayor como ¯b0 . La Gr¶a¯ca 60.3 muestra el comportamiento de la curva de rendimiento estimada.
¯b0 ¯b1 ¯b2 ¯b3
Coe¯cientes -2.60645 0.08209 -0.04916 0.02518
Error t¶³pico 0.00903 0.01369 0.01107 0.01070
Estad¶³stico t -288.40575 5.99335 -4.43892 2.35151
Probabilidad 3.68675E-19 0.00020 0.00162 0.04319
Cuadro 60.2 Estimadores de los par¶ametros.
Gr¶a¯ca 60.3 Comportamiento de la curva de rendimiento estimada.
6 0 .1 2 B ib lio g r a f¶³a su g e rid a Ä Haar, A. (1916) . \ Uber einige Eigenschaften der orthogonalen Funktionensysteme" . A m erica n J o u rn a l o f M a th em a tics, Vol. 38, pp. 1-5. Kreyszig, E. (1978) . Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons, New York. Yosida, K. (1978) . Functional Analysis. Sixth Edition. A series of Comprehensive Studies in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York.
6 0 .1 3 E je r c ic io s 6 0 .1 Pruebe que la funci¶o n f (t) = e h (t) (1 ¡ j¸ h 0 (t) j) :
de¯nida en la demostraci¶o n del teorema de Haar satisface jjf jju = 1. 6 0 .2 Sea B n = f e 1 ;e 2 ;:::;e n g una base de un subespacio Y , de dimensi¶o n n , de C [a ;b] . Muestre que Y satisface la condici¶o n de Haar si y s¶o lo si para todo subconj unto f t1 ;t2 ;:::;tn g de puntos distintos de [a ;b] , los vectores h j = (e 1 (tj ) ;e 2 (tj ) ;:::;e n (tj ) ) T 2 IRn , j = 1;2;:::;n ; son linealmente independientes. 6 0 .3 Sean f 2 C [a ;b] y h 2 Y , donde Y es un subespacio de dimensi¶o n n de C [a ;b] . Un subconj unto f t0 ;t1 ;t2 ;:::;tn g de puntos distintos de [a ;b] , t0 < t1 < t2 < ¢¢¢ < tn ; es llamado un conj unto alternante de f ¡ h si las cantidades f (tj ) ¡ h (tj ) toman alternativamente los valores +jjf ¡ h jj y ¡ jjf ¡ h jj en los puntos consecutivos tj . Pruebe que si para f ¡ h existe un conj unto alternate de n + 1 puntos, entonces h es la mej or aproximaci¶o n uniforme de f .
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6 0 .4 Pruebe que los polinomios de Chebyshev pueden escribirse como C n (t) =
[n = 2 ] n X (n ¡ k ¡ 1) ! (¡ 1) k (2t) n ¡ 2 k !(n ¡ 2k ) !
2k
n = 0;1;2;:::;
k= 0
donde [n = 2] = n = 2 si n es par y [n = 2] = (n ¡ 1) = 2 si n es impar. 6 0 .5 Muestre el polinomio de Chebyshev C n (t) satisface la siguiente ecuaci¶o n diferencial ordinaria de segundo orden: (1 ¡ t2 ) C n00(t) ¡ tC n0 (t) + n 2 C n (t) = 0 6 0 .6 Considere C [¡ 1;1] . Si se de¯ne el producto interior entre f y g en C [¡ 1;1] como: hf ;g i =
Z1
f (t) g (t) dt;
¡ 1
entonces jjf jj2 =
p
hf ;f i
es una norma. Sin embargo este espacio normado es incompleto. Este espacio puede hacerse completo si se incluyen todos sus puntos l¶³mite. Una vez que el espacio est¶a completo, se dice que es un espacio de Hilbert con respecto al producto interior, o bien de Banach con respecto a la norma, y se denota mediante L 2 [¡ 1;1] . A partir de los polinomios de Chebyshev C n (t) de¯na los polinomios 1 Cen (t) = (1 ¡ t) ¡ 4 C n (t) ; muestre que
Z1
¡ 1
De¯na ahora
8 0 si n 6= m ; > > < Cen (t) Cem (t) dt = ¼ si n = m = 0; > > : ¼ si n = m = 1;2;3;::: 2 1 Cb0 (t) = p Cen (t) ¼
y
pruebe que
r
2 e C n (t) ; ¼
n = 1;2;3;:::;
jjCb0 jj = jjCbn jj = 1;
n = 1;2;3;:::
Cbn (t) =
es decir, los polinomios Cbn (t) , n = 0;1;2;3;::: son ortonormales. 6 0 .7 El m¶e todo de ortonormalizaci¶o n de Gramm-Schmidt se establece como sigue. Si (f n ) n 2 IN es una sucesi¶o n in¯nita de vectores linealmente independientes en un espacio de Hilbert (H ;h¢;¢i) , entonces se puede construir una sucesi¶o n de elementos ortonormales, (h n ) n 2 IN , de la misma cardinalidad de la sucesi¶o n original. Es decir jjh n jj = 1, n = 1;2;:::;n y hh n ;h m i = 0 si n 6= m . En efecto, sean g1 = f1; g 2 = f 2 ¡ hf 2 ;h 1 ih 1 ; g 3 = f 3 ¡ hf 3 ;h 2 ih 2 ¡ hf 3 ;h 1 ih 1 ; .. . Pn gn = fn ¡ k = 1 hf n ;h k ih k ; .. .
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h 1 = g 1 = jjg 1 jj; h 2 = g 2 = jjg 2 jj; h 3 = g 3 = jjg 3 jj; .. . h 3 = g 3 = jjg 3 jj; .. .
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Veri¯que la propiedad de ortonormalidad. Considere ahora el espacio L 2 [¡ 1;1] y la sucesi¶o n de monomios 1;t;t2 ;t3 ;:::;tn ;::: ortonormalice estos monomios con el m¶e todo de Gramm-Schmidt. Denote mediante G 1 (t) , 2 G 2 (t) ,... la sucesi¶o n de elementos ortonormales. Si se ponderan estos polinomios por e ¡ t = 2 , muestre que Z 1
e¡
t2
G n (t) G
m
(t) dt = ± n m ;
¡ 1
donde ±n m =
(
1
si n = m ;
0
si n 6= m :
Compare (G n (t) ) n 2 IN con la sucesi¶o n de polinomios de Chebyshev (C n (t) ) n 2 IN :
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.
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C A P ¶IT U L O 61 E S T IM A C IO¶ N N O P A R A M E¶ T R IC A D E C U R V A S D E R E N D IM IE N T O : N U¶ C L E O S D E S U A V IZ A C IO¶ N C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² Curvas de rendimiento ² Suavizaci¶o n con n¶u cleos o \kernels" ² Criterios local y global de estimaci¶o n
6 1 .1 In tro d u c c i¶o n Para construir una curva de rendimiento de bonos cup¶o n cero existen muchas y muy variadas metodolog¶³as. Un primer intento de clasi¯caci¶o n de dichas metodolog¶³as podr¶³a ser la distinci¶o n entre el uso de modelos param¶e tricos y no param¶e tricos. En el primer caso, se incluyen los modelos con una especi¯caci¶o n ex¶o gena de la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica que conduce la din¶amica de la tasa corta o forward. En el segundo, se consideran los m¶e todos de estimaci¶o n con \kernels" , o n¶u cleos de suavizaci¶o n, en donde el estimador de la curva de rendimiento se obtiene mediante la minimizaci¶o n ponderada de los errores de ajuste. El m¶e todo de estimaci¶o n con \kernels" de suavizaci¶o n presenta algunas limitaciones, entre las que se encuentran: 1) la curva de rendimiento estimada puede producir puntos de in°exi¶o n m¶u ltiples, 2) la curva de rendimiento puede producir tasas forward negativas en el largo plazo y, la m¶as importante, 3) no hay una teor¶³a del comportamiento del mercado de dinero detr¶as del procedimiento de estimaci¶o n. El m¶e todo propuesto consiste en la simple aplicaci¶o n de una t¶e cnica del an¶alisis num¶e rico para ajustar una curva a un n¶u mero dado de puntos.
6 1 .2 P re c io s y re n d im ie n to s o b se rv a d o s El precio, observado en t, de un bono cup¶o n cero con fecha de vencimiento T j se denotar¶a mediante B tj . Considere N precios observados de bonos con vencimientos T 1 < T 2 < ¢¢¢ < T j < ¢¢¢ < T N . El plazo al vencimiento T j ¡ t es expresado como proporci¶o n de un a~n o. Por (i) simplicidad, al bono con vencimiento en T j , se le llamar¶a bono j . Sea R tj la tasa de rendimiento observada en la operaci¶o n i, con el bono j , i = 1;2;:::;ij .
6 1 .3 P o n d e ra c i¶o n p o r v o lu m e n d e lo s re n d im ie n to s o b se rv a d o s (i)
Si V tj es el volumen de operaci¶o n i, entonces una tasa de rendimiento representativa para cada plazo operado, ponderada por volumen, se calcula mediante
R
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tj
=
P
(i) (i) ij V tj : (i) i V tj
iR P
(61:1)
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6 1 .4 C rite rio lo c a l d e e stim a c i¶o n Se desea determinar un estimador R (t;T ) de la curva de rendimiento tal que R (t;T j ) = R
+ " tj ;
tj
E[" tj ] = 0:
(61:2)
Considere el siguiente criterio local para obtener un estimador R (t;T ) para todos los plazos T , consistente con (61.2) : Minimizar Q
N
(R (t;T ) ) =
XN
j= 1
! j (T ) (R (t;T ) ¡ R
tj )
2
:
(61:3)
Las ponderaciones ! j (T ) se toman de tal manera que ¶e stas sean peque~n as cuando T se encuentra lej os de T j . La soluci¶o n Re(t;T ) que satisface la condici¶o n de primer orden est¶a dada por: PN
Re(t;T ) =
j= 1
PN
! j (T ) R
j= 1
tj
! j (T )
:
(61:4)
6 1 .5 S u a v iz a c i¶o n c o n \ k e rn e ls" En esta secci¶o n se presenta el m¶e todo de estimaci¶o n no param¶e trica de curvas de rendimiento con n¶u cleos de suavizaci¶o n. Un n¶u cleo o \kernel" de suavizaci¶o n es cualquier funci¶o n de densidad sim¶e trica K (w ) , es decir, K (w ) ¸ 0, K (w ) = K (¡ w ) y Z1
K (w ) dw = 1:
¡ 1
Las ponderaciones se determinan de acuerdo con ! j (T ) =
K [(T ¡ T j ) = h j ] : hj
(61:5)
El Cuadro 61.1 presenta algunas funciones \kernel" u¶ tiles en la pr¶actica.
1 2
Uniforme
3 4
Epanechnikov
A la cuarta
Momento nulo
Gaussiana Cuadro 61.1
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15 16
1 4
w 2 [¡ 1;1] :
;
(1 ¡ w 2 ) ;
w 2 [¡ 1;1] :
(1 ¡ w 2 ) 2 ;
w 2 [¡ 1;1] :
(9 ¡ 15w 2 ) ;
w 2 [¡ 1;1] :
p 1 2¼
e¡
1 2
w
2
;
w 2 [¡ 1 ;1 ] :
Funciones t¶³picas de \kernel" .
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6 1 .6 S u a v iz a c i¶o n c o n \ k e rn e l" n o rm a l Frecuentemente, en la pr¶actica, se elige el \kernel" normal K (w ) = p
1 ¡ e 2¼
w 2=2
:
En este caso, las ponderaciones est¶an dadas por ! j (T ) = p
1 e¡ 2¼ h j
(T ¡ T j )2 = 2 h j2
(61:6)
:
Es decir, ! j (T ) es una densidad normal con media T j y varianza h j2 : Valores peque~n os de h j mej oran el aj uste, pero reducen la suavizaci¶o n, y valores grandes de h j empeoran el aj uste, pero incrementan la suavizaci¶o n. De esta manera, el ancho de banda h j determina el grado de suavizaci¶o n de la estimaci¶o n. En este caso, la regla emp¶³rica que se sigue para establecer el ancho de banda es h j = A (1 ¡ e ¡ C T j ) ; donde A y C son constantes positivas, usualmente se utilizan A ¸ 10
y
C =A
¡ 2
:
Por lo tanto, el estimador de la tasa de rendimiento para cada plazo de operaci¶o n, T , est¶a dado, de acuerdo con (61.6) , por la siguiente f¶o rmula: Re(t;T ) =
PN
j= 1
PN
R
j= 1
tj K
[(T ¡ T j ) = h j ] h j¡
K [(T ¡ T j ) = h j ] h j¡
1
1
:
(61:7)
Una vez estimadas las tasas de rendimiento para cada bono cup¶o n cero que al vencimiento paga una unidad monetaria, se calculan los precios correspondientes utilizando la siguiente relaci¶o n: Be(t;T ) = e ¡ Re(t;T )(T ¡ t) :
(61:8)
6 1 .7 H o m o lo g a c i¶o n d e p la z o s p a ra o p e ra c io n e s c o n c e rta d a s e n la fe c h a b a se , p e ro c o n liq u id a c i¶o n p o ste rio r Usualmente, se concerta una operaci¶o n de compra de bonos para liquidarse d¶³as despu¶e s. Para hacer comparables las tasas de rendimiento de las operaciones con diferentes fechas de liquidaci¶o n con respecto a la fecha base t, se utiliza un procedimiento de homologaci¶o n que se describe a continuaci¶o n. Sea T j ¡ ¿ el plazo entre las fechas de vencimiento del t¶³tulo y de concertaci¶o n de la operaci¶o n y ¿ ¡ t el plazo entre las fechas de concertaci¶o n de la operaci¶o n y de liquidaci¶o n. Sea r t la tasa de inter¶e s de plazo m¶as peque~n o disponible en el mercado. La tasa de rendimiento (i) homologada, Rbtj , se obtiene mediante la siguiente relaci¶o n (i)
(i) Rbtj =
r t (¿ ¡ t) + R tj (T j ¡ ¿ ) : Tj ¡ t
(61:9)
Una vez homologadas las tasas de rendimiento, se obtienen las tasas de rendimiento ponderadas por volumen para cada uno de los distintos plazos operados mediante (61.1) y, posteriormente, se utiliza (61.7) para calcular el estimador de la curva de rendimiento.
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6 1 . E stim a ci¶o n n o p a ra m ¶e trica d e cu rva s d e ren d im ien to : n u¶ cleo s d e su av iza ci¶o n
6 1 .8 A p lic a c i¶o n d e l m ¶e to d o d e su a v iz a c i¶o n c o n \ k e r n e l" n o rm a l En esta secci¶o n se utiliza el m¶e todo de estimaci¶o n no param¶e trica de curvas de ceros con suavizaci¶o n de \kernels" . Los datos de mercado se presentan en el Cuadro 61.2. La Gr¶a¯ca muestra la curva de rendimiento estimada con A = 10 y C = 0:01. Observaciones de mercado Plazo T R (0;T ) una semana 1/52 0.08 un mes 1/12 0.085 un trimestre 3/12 0.088 un semestre 1/2 0.090 un a~n o 1 0.092 Cuadro 61.2 Observaciones de rendimientos.
Gr¶a¯ca 61.1 Curva de rendimiento estimada con \kernel" normal.
6 1 .9 C r ite rio g lo b a l d e e stim a c i¶o n Considere el siguiente criterio global para obtener un estimador R (t;T ) para todos los plazos T : Minimizar Q
N
N Z1 1 X (R ) = ! j (s ) (R (t;s ) ¡ R N j= 1 ¡ 1
tj )
2
ds :
(61:10)
En particular, si las ponderaciones, ! j (s ) , se eligen como ! j (s ) = ± T (s )
K [(s ¡ T j ) = h j ] ; hj
(61:11)
donde ± T (s ) es la funci¶o n generalizada Delta de Dirac, entonces Z1 ± T (s ) K [(s ¡ T j ) = h j ] h ¡j 1 ds = K [(T ¡ T j ) = h j ] h ¡j 1 : ¡ 1
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6 1 . E stim a ci¶o n n o p a ra m ¶e trica d e cu rva s d e ren d im ien to : n u¶ cleo s d e su av iza ci¶o n
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As¶³, la soluci¶o n Re(t;T ) que se obtiene de la condici¶o n de primer orden en (61.10) , coincide con la soluci¶o n del criterio local en (61.4) .
6 1 .1 0 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Adams, K. and D. Van Deventer (1994) . \Fitting Yield Curves and Smooth Forward Rate Curves with Maximum Smoothness" . J o u rn a l o f F ixed In co m e, Vol. 4, No. 1, pp. 52-62. Wand, M. P. and M. C. Jones (1995) . Kernel Smoothing. Chapman & Hall/CRC, Florida.
6 1 .1 1 E je rc ic io s 6 1 .1 Con base en los datos de mercado que se presentan en el siguiente cuadro y con A = 100 y C = 0:001, estime la curva de rendimiento mediante el n¶u cleo normal. Observaciones de mercado Plazo T R (0;T ) una semana 1/52 0.07 un mes 1/12 0.085 un trimestre 3/12 0.073 un semestre 1/2 0.076 un a~n o 1 0.08 dos a~n os 2 0.082
6 1 .2 Repita el ej ercicio anterior con el n¶u cleo uniforme K (w ) =
1 ; 2
w 2 [¡ 1;1] :
Discuta los resultados.
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.
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C A P ¶IT U L O 62 E S T IM A C IO¶ N D E U N A C U R V A D E R E N D IM IE N T O C O N \S P L IN E S " C U¶ B IC O S C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² Estimaci¶o n polinomial ² Suavizaci¶o n con \splines" c¶u bicos ² Curva de rendimiento
6 2 .1 In tro d u c c i¶o n En el presente cap¶³tulo, se utiliza la t¶e cnica de \splines" c¶u bicos para estimar una estructura de plazos con base en la informaci¶o n de un conj unto de rendimientos a distintos plazos. Posteriormente, la estructura estimada se emplea para calcular factores de descuento y tasas forward a diferentes vencimientos. Es importante destacar que Adams y Van Deventer en 1994 en su art¶³culo \Fitting Yield Curves and Smooth Forward Rate Curves with Maximum Smoothness" publicado en el \Journal of Fixed Income" , mostraron que la estimaci¶o n polinomial de una curva de rendimiento sujeto a la condici¶o n de que las tasas forward sean lo m¶as suaves posible, consistente con los datos observados, corresponde al m¶e todo de \splines" c¶u bicos.
6 2 .2 E stim a c i¶o n p o lin o m ia l Como se mencion¶o anteriormente, los m¶e todos de estimaci¶o n polinomial de una estructura de plazos utilizan polinomios de tercer grado, ya que el m¶e todo de \splines" c¶u bicos satisface un criterio general de suavizaci¶o n propuesto por Adams y Van Deventer (1994) . En consecuencia, suponga que la curva de rendimiento asociada a un bono cup¶o n cero de precio B (t;T ) es de la siguiente forma: R (¿ ) = a + b¿ + c¿ 2 + d ¿ 3 ; ¿ = T ¡ t: (62:1) De esta manera, el precio de un bono cup¶o n cero se calcula mediante la expresi¶o n B (¿ ) = e ¡
R (¿ )¿
:
Asimismo, la tasa forward (instant¶anea) continua satisface la relaci¶o n f (¿ ) = ¡
@ ln B (¿ ) : @¿
En vista de la ecuaci¶o n anterior, se sigue que el precio, B (¿ ) , de un bono cup¶o n cero de plazo ¿ est¶a dado por ½ Z¿ ¾ B (¿ ) = exp ¡ f (s ) ds : ¿0
As¶³, el precio del bono cup¶o n cero se puede reescribir como: B (¿ ) = e ¡
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a ¿ ¡ b¿ 2 ¡ c¿ 3 ¡ d ¿ 4
:
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En este caso, la tasa forward satisface f (¿ ) =R (¿ ) + ¿ R 0(¿ )
¡ ¢ =a + b¿ + c¿ 2 + d ¿ 3 + ¿ b + 2c¿ + 3d ¿ 2 =a + 2b¿ + 3c¿ 2 + 4d ¿ 3 :
Por lo tanto,
f 0(¿ ) = 2R 0(¿ ) + ¿ R 00(¿ )
y
f 00(¿ ) = 3R 00(¿ ) + ¿ R
000
(¿ ) :
Estas condiciones determinan la diferenciabilidad de la tasa forward en t¶e rminos de las derivadas de la curva de rendimientos. Observe que el orden de las derivadas de f (¿ ) es menor en uno que las de R (¿ ) .
6 2 .3 S u a v iz a c i¶o n c o n \ sp lin e s" d e la c u rv a d e re n d im ie n to Se supone que, al tiempo t, se conocen los rendimientos, R t0 ;R t1 ;:::;R tN , de un bono cup¶o n cero a diferentes plazos, T 0 ;T 1 ;:::;T N . Sea ¿ i = T i ¡ t, i = 0;1;:::;N . Se desea ajustar una funci¶o n R i (¿ ) = a i + b i ¿ + c i ¿ 2 + d i ¿ 3 ;
i = 1;:::;N ;
(62:2)
en cada intervalo [¿ i¡ 1 ;¿ i ] , de tal manera que en los puntos extremos se cumpla que R i (¿ i¡ 1 ) = R t;i¡ 1 y R i (¿ i ) = R ti . As¶³, se tienen N funciones R i (¿ ) , i =;1;:::;N , con un total de 4N inc¶o gnitas por determinar. En otras palabras, se requiere determinar a i , b i , c i y d i para cada uno de los N intervalos, [¿ i¡ 1 ;¿ i ] , i = 1;:::;N , de¯nidos mediante los N + 1 puntos de mercado. Estas ecuaciones se val¶u an en los puntos extremos de cada intervalo, con lo cual se tiene que R
t;i¡ 1
= a i + b i ¿ i¡ 1 + c i ¿ i¡2 1 + d i ¿ i¡3 1 ;
i = 1;:::;N ;
(62:3)
y R
ti
= a i + b i ¿ i + c i ¿ i2 + d i ¿ i3 ;
i = 1;:::;N ;
(62:4)
lo cual produce 2N ecuaciones. Observe que, hasta el momento, se tienen s¶o lo 2N ecuaciones con 4N inc¶o gnitas. Por lo tanto, es necesario incorporar ecuaciones adicionales a ¯n de tener 4N ecuaciones con 4N inc¶o gnitas. Para completar el sistema de ecuaciones a partir de la informaci¶o n de observaciones de mercado, se procede como sigue. Primero, se ¯jan los puntos extremos de la aproximaci¶o n con R 1 (¿ 0 ) ´ R t0 y R N (¿ N ) ´ R tN . Posteriormente, la primera derivada de R i (¿ ) se iguala a la de R i+ 1 (¿ ) en los N ¡ 1 puntos de mercado correspondientes a ¿ 1 ;¿ 2 ;¢¢¢;¿ n ¡ 1 , es decir, b i + 2c i ¿ i + 3d i ¿ i2 ¡ b i+ 1 ¡ 2c i+ 1 ¿ i ¡ 3d i+ 1 ¿ i2 = 0; i = 1;:::;N ¡ 1: (62:5) De la misma manera, la segunda derivada de R i (¿ ) se iguala a la de R de mercado correspondientes a ¿ 1 ;¿ 2 ;¢¢¢;¿ n ¡ 1 , as¶³ 2c i + 6d i ¿ i ¡ 2c i+ 1 ¡ 6d i+ 1 ¿ i = 0;
i+ 1 (¿ )
i = 1;:::;N ¡ 1:
en los N ¡ 1 puntos (62:6)
Esto nos da ahora 4N ¡ 2 ecuaciones con 4N inc¶o gnitas. Por lo tanto, se necesitan dos ecuaciones m¶as para completar el sistema. La primera ecuaci¶o n, por lo general, siempre ser¶a escogida de tal forma que la curva de rendimiento sea instant¶aneamente recta R 000(¿ 0 ) = 0 en el lado izquierdo de la curva de rendimiento, es decir, 2c 1 + 6d 1 ¿ 0 = 0:
(62:7)
Mientras que el lado derecho de la curva de rendimiento ofrece la oportunidad de imponer otra restricci¶o n. Existen dos opciones muy comunes, una puede ser que la curva de rendimiento sea plana R N0 (¿ N ) = 0 (frontera suj eta) , o que la curva de rendimiento sea instant¶aneamente recta
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6 2 . E stim a ci¶o n d e u n a cu rva d e ren d im ien to co n \ sp lin es" c¶u b ico s
R N00 (¿ N ) = 0 (frontera libre o natural) para los vencimientos a futuro. Por lo que se puede seleccionar una de las siguientes ecuaciones para completar el sistema: b N + 2c N ¿ N + 3d N ¿ N2 = 0
(62:8)
2c N + 6d N ¿ N = 0:
(62:9)
¶o Lo anterior hace que se tengan 4N ecuaciones con 4N inc¶o gnitas. Una caracter¶³stica importante de este sistema es que todas las ecuaciones son lineales en (a i ;b i ;c i ;d i ) .
6 2 .4 L im ita c io n e s d e l u so d e \ sp lin e s" p a ra la ta sa fo rw a rd El m¶e todo desarrollado, aunque es muy popular, tiene algunas limitaciones, las cuales se resumen a continuaci¶o n. Observe, primero, que cada punto de mercado est¶a asociado con un rendimiento y que las dos primeras derivadas con respecto al plazo son iguales para cada polinomio que comienza y termina en cada punto de mercado, es decir,
y
R i (¿ i ) = R
i+ 1 (¿ i ) ;
R i0(¿ i ) = R
0 i+ 1 (¿ i )
R i00(¿ i ) = R
00 i+ 1 (¿ i ) :
En tiempo continuo, la tasa forward instant¶anea f (¿ ) puede ser escrita como f (¿ ) = R (¿ ) + ¿ R 0(¿ ) : Por lo tanto, las dos primeras derivadas de f (¿ ) en t¶e rminos de las derivadas de R (¿ ) satisfacen f 0(¿ ) = 2R 0(¿ ) + ¿ R 00(¿ ) f 00(¿ ) = 3R 00(¿ ) + ¿ R
000
(¿ ) :
As¶³, en cada punto de mercado se tiene que f i (¿ i ) = f i+ 1 (¿ i ) y
f i0(¿ i ) = f i+0 1 (¿ i ) :
Sin embargo, en general,
f i00(¿ i ) 6= f i+00 1 (¿ i ) :
Es decir, la segunda derivada de la curva de tasas forward no es igual en los puntos de mercado ya que no hemos restringido R 000(¿ ) en los puntos de mercado. Esto nos lleva a los dos principales problemas asociados con el uso de \splines" c¶u bicos para rendimientos: (i) la curva de tasas forward no es dos veces diferenciable en los puntos de mercado, por lo que no es suave. La primera derivada de la curva de tasas forward puede tener picos en sus puntos de mercado y (ii) las curvas de tasas forward asociadas con los \splines" c¶u bicos basados en la curva de rendimiento puede producir curvas de tasas forward que no son plausibles.
6 2 .5 U n a a p lic a c i¶o n c o n \ sp lin e s" c u¶ b ic o s p a ra la e stim a c i¶o n d e u n a c u rv a d e re n d im ie n to s Suponga que se cuenta con la informaci¶o n de mercado descrita en Cuadro 62.1 Plazo 1 semana 1 mes 3 meses 6 meses
T 1/52 1/12 3/12 6/12
R (0;T ) 0.08 0.082 0.085 0.088
Cuadro 62.1 Informaci¶o n sobre rendimientos de mercado.
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6 2 . E stim a ci¶o n d e u n a cu rva d e ren d im ien to co n \ sp lin es" c¶u b ico s
En este caso, el m¶e todo de \splines" conduce al siguiente sistema de 12 ecuaciones con doce inc¶o gnitas: a 1 + 0:0192b 1 + 0:0004c 1 + 0:00001d 1 = 0:08; a 1 + 0:0833b 1 + 0:0069c 1 + 0:0006d 1 = 0:082; a 2 + 0:0833b 2 + 0:0069c 2 + 0:0006d 2 = 0:082; a 2 + 0:25b 2 + 0:0625c 2 + 0:0156d 2 = 0:085; a 3 + 0:25b 3 + 0:0625c 3 + 0:0156d 3 = 0:085; a 3 + 0:5b 3 + 0:25c 3 + 0:125d 3 = 0:088; b 1 + 0:1667c 1 + 0:0208d 1 ¡ b 2 ¡ 0:1667c 2 ¡ 0:0208d 2 = 0; b 2 + 0:5c 2 + 0:1875d 2 ¡ b 3 ¡ 0:5c 3 ¡ 0:1875d 3 = 0; 2c 1 + 0:5d 1 ¡ 2c 2 ¡ 0:5d 2 = 0; 2c 2 + 1:3d 2 ¡ 2c 3 ¡ 1:5d 3 = 0; 2c 1 + 0:115d 1 = 0; 2c 3 + 3d 3 = 0: Si se denota
x = (a 1 ;b 1 ;c 1 ;d 1 ;a 2 ;b 2 ;c 2 ;d 2 ;a 3 ;b 3 ;c 3 ;d 3 ) T
y
b = (0:08;0:082;0:082;0:085;0:085;0:088;0;0;0;0;0;0) T ;
y se de¯nen las siguientes matrices: 0
F
1 1 0 0 0 0
B B B =B B @
1
0
F
3
B B =B @ 0
F
5
B B B =B B @
0 0 0 0 0 0
0:0192 0:0833 0 0 0 0 0 0 0 1 1 ¡1 1 0 0 0 0
1 0:00001 0:0006 C C 0 C C 0 C A 0 0
0:0004 0:0069 0 0 0 0
0 0 0 0:25 0:5
0 0 0 0:0625 0:25
¡ 0:1667 0:5 ¡2 2 0 0
entonces el sistema se puede el Cuadro 62.2. i 1 2 3
0
F
B B B =B B @
2
0
1 0 0 C C 0 C A 0:0156 0:125
1 ¡ 0:0208 0:1875 C C ¡ 0:5 C C 1:5 C A 0 0 μ F A = F
0 0 1 1 0 0
F
4
0 0 0 0 0 0
B B B =B B @ 0
F
1 4
F F
2 5
6
0 0 0 0 0 0
B B B =B B @ F F
3 6
¶
0 0 0:0833 0:2500 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0:0069 0:0625 0 0
0:1667 0 2 0 2 0
0 ¡1 0 0 0 0
1 0 0 C C 0:0006 C C 0:0156 C A 0 0
1 0:0208 0 C C 0:5 C C 0 C A 0:115 0
0 ¡ 0:5000 0 ¡2 0 2
1 0 0:1875 C C 0 C C; ¡ 1:5 C A 0 3
;
reescribir como A x = b : La soluci¶o n de este sistema se presenta en ai 0.0794 0.0790 0.0814
bi 0.0325 0.0449 0.0164
ci 0.0252 ¡ 1237 ¡ 0.0096
di ¡ 0.4372 0.1586 0.0064
Cuadro 62.2 Vector de soluciones.
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6 2 . E stim a ci¶o n d e u n a cu rva d e ren d im ien to co n \ sp lin es" c¶u b ico s
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La Gr¶a¯ca 62.1 muestra los polinomios R i (¿ ) , i = 1;2;3, que se aj ustan a los precios de mercado. Los tres segmentos de los polinomios que se aprecian en la l¶³nea m¶as oscura de la gr¶a¯ca representan la curva estimada de rendimientos. La Gr¶a¯ca 62.2 muestra una magni¯caci¶o n de los tres segmentos de polinomios a ¯n de resaltar la curva estimada de rendimientos.
Gr¶a¯ca 62.1 Curva estimada de rendimientos.
Gr¶a¯ca 62.2 Magni¯caci¶o n de la curva estimada de rendimientos.
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6 2 .6 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Adams, K. and D. Van Deventer (1994) . \Fitting Yield Curves and Smooth Forward Rate Curves with Maximum Smoothness" . J o u rn a l o f F ixed In co m e, Vol. 4, No. 1, pp. 52-62. De Boor, C. (2001) . A Practical Guide to Splines. Springer-Verlag, New York, Berlin. Knott, G. D. (1999) . Interpolating Cubic Splines (Progress in Computer Science and Applied Logic) . BirkhÄauser/Springer.
6 2 .7 E je rc ic io s 6 2 .1 Suponga que se cuenta con la informaci¶o n de mercado descrita en el siguiente cuadro: Plazo 1 semana 1 mes 3 meses 6 meses un a~n o
T 1/52 1/12 4/12 6/12 1
R (0;T ) 0.09 0.092 0.096 0.098 0.01
Utilice el m¶e todo de \splines" c¶u bicos para estimar la curva de rendimiento. 6 2 .2 Aplique el mismo procedimiento que se utiliza para la estimaci¶o n polinomial de una curva de rendimientos para el precio de un bono. Suponga que se conocen los precios de los bonos con cup¶o n cero B t0 , B t1 ;:::;B tN de vencimientos ¿ 0 ;¿ 1 ;:::;¿ N . Se desea aj ustar una funci¶o n de la forma: P i (t) = a i + b i t + c i t2 + d i t3 en el intervalo entre ¿ i y ¿ i¡ 1 .
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C A P ¶IT U L O 63 E S T IM A C IO¶ N P O L IN O M IA L D E U N A C U R V A D E R E N D IM IE N T O : M ¶IN IM O S C U A D R A D O S C O N R E S T R IC C IO N E S C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² Expansi¶o n polinomial del precio de un bono ² M¶³nimos cuadrados con restricciones ² Estimaci¶o n polinomial de una curva de descuento
6 3 .1 In tro d u c c i¶o n En este cap¶³tulo se presenta un procedimiento de estimaci¶o n polinomial de una curva de rendimiento. El procedimiento utiliza precios de mercado y el m¶e todo de m¶³nimos cuadrados con restricciones. De esta manera, los par¶ametros por estimar son coe¯cientes de un polinomio. Entre mayor sea el grado del polinomio mejor ser¶a el aj uste de la curva de rendimiento a los puntos del mercado. En este caso, sin embargo, la estimaci¶o n puede presentar m¶u ltiples puntos de in°exi¶o n y curvas forward negativas. Mientras que si el grado de polinomio es peque~n o, la curva de rendimiento aj ustada es suave, pero puede no pasar por ninguno de los puntos de mercado. Otra limitaci¶o n importante del m¶e todo propuesto es que no cuenta con un marco te¶o rico del comportamiento del mercado de instrumentos de renta ¯ja que sustente una aproximaci¶o n del tipo polinomial.
6 3 .2 M o tiv a c i¶o n El precio de un bono cup¶o n cero, B (t;T ) , que se coloca en t y que paga una unidad monetaria en la fecha de vencimiento, T , se puede expresar en t¶e rminos de la curva de rendimiento, R (t;T ) , como: X1 (¡ R (t;T ) ) k (T ¡ t) k B (t;T ) = e ¡ R (t;T )(T ¡ t) = : (63:1) k! k= 0
Si ahora se escribe ¿ = T ¡ t, B (¿ ) ´ B (t;T ) y R (¿ ) ´ R (t;T ) ; se tiene que (63.1) puede reescribirse de la siguiente forma: B (¿ ) =
X1
¯ k (¿ ) ¿ k ;
(63:2)
k= 0
donde ¯ k (¿ ) =
(¡ R (¿ ) ) k : k!
Una pregunta importante es si es posible aproximar (63.2) con un polinomio. Es decir, si es posible aproximar (63.2) con una expresi¶o n en donde las ¯ k (¿ ) puedan sustituirse por par¶ametros independientes de ¿ , ¯ek , y, al mismo tiempo, detener la suma en alguna potencia ¯nita, de tal manera que Xm B (¿ ) ¼ Be(¿ ) ´ ¯ek ¿ k ; (63:3) k= 0
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6 3 . E stim a ci¶o n p o lin o m ia l d e u n a cu rva d e ren d im ien to : m ¶³n im o s cu a d ra d o s co n restriccio n es
donde m < 1 . La respuesta es s¶³, y la justi¯caci¶o n te¶o rica la proporciona el teorema de aproximaci¶o n de Weierstrass. Toda funci¶o n continua de¯nida en un intervalo cerrado y que toma valores en IR puede ser aproximada, tanto como se quiera, por un polinomio de¯nido en el mismo dominio. En forma m¶as precisa, si B (¿ ) est¶a de¯nida en [a ;b] , a < b, y " > 0 es dado, entonces existen n 2 IN y ¯ k 2 IR, k = 1;2;:::;n ; tales que ¯ ¯ Xm ¯ ¯ ¯B (¿ ) ¡ ¯< " : jB (¿ ) ¡ Be(¿ ) j = ¯ ¯ek ¿ k ¯ k= 0
En lo que sigue se determinar¶a un polinomio que aproxima el precio del bono cup¶o n cero utilizando los precios del mercado.
6 3 .3 P re c io s y re n d im ie n to s o b se rv a d o s En lo que sigue B tj denotar¶a el precio observado, en t, de un bono cup¶o n cero con vencimiento T j . Considere N precios observados de bonos con vencimientos T 1 < T 2 < ¢¢¢ < T j < ¢¢¢ < T N . No se requiere que los tiempos T j est¶e n igualmente espaciados. El plazo al vencimiento T j ¡ t es expresado como proporci¶o n de un a~n o. Por simplicidad, al bono con vencimiento en T j , se le llamar¶a bono j . Asimismo, R tj denotar¶a la tasa de rendimiento observada, en t, del bono j , j = 1;2;:::;N .
6 3 .4 T ra n sfo rm a c i¶o n d e ta sa s d e re n d im ie n to a ta sa s d e d e sc u e n to d e u n b o n o c u p o¶ n c e ro Con el prop¶o sito de estimar la curva de rendimiento asociada a un bono cup¶o n cero que al vencimiento paga una unidad monetaria, en primer lugar, las tasas de rendimiento observadas a diferentes plazos se convierten en tasas de descuento. Si t es la fecha de referencia, hoy, y d tj es la tasa de descuento anualizada de un bono cup¶o n cero j , se tiene la siguiente relaci¶o n entre B tj , R tj y d tj : B
tj
= e¡
R
tj (T j ¡
t)
= 1 ¡ d tj (T j ¡ t) :
(63:4)
Por lo tanto, la relaci¶o n que permite transformar un rendimiento en tasa de descuento est¶a dada por: ´ 1 ³ d tj = 1 ¡ e ¡ R tj (T j ¡ t) : (63:5) Tj ¡ t
6 3 .5 P o n d e ra c i¶o n p o r v o lu m e n d e la s ta sa s d e d e sc u e n to En el mercado, al tiempo t, se llevan a cabo diferentes operaciones para comprar o vender un (i) (i) bono de un plazo dado. Si d tj y V tj son, respectivamente, la tasa de descuento y el volumen (i)
de la operaci¶o n i del bono j , i = 1;2;:::;ij , donde d tj se calcula a partir de (63.5) para cada i, entonces una tasa de descuento representativa de cada plazo operado, ponderada por volumen, se calcula mediante P (i) (i) i d tj V tj d tj = P : (63:6) (i) i V tj
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6 3 .6 A p ro x im a c i¶o n p o lin o m ia l a la ta sa d e d e sc u e n to Si la tasa de descuento anualizada, d (t;T ) , se expresa en t¶e rminos de un polinomio de grado n en la variable plazo, ¿ = T ¡ t, es decir, si d (t;T ) ´ d (¿ ) =
Xn
® k¿k;
(63:7)
k= 0
entonces el precio de un bono cup¶o n cero en la variable plazo, ¿ = T ¡ t, est¶a dado por à n ! X k B (t;T ) ´ B (¿ ) =1 ¡ ® k¿ ¿ k= 0
=
nX+ 1
(63:8)
¯k¿k;
k= 0
donde ¯ 0 = 1 y ¯ k = ¡ ® k¡ 1;
k = 1;2;:::;n :
Es decir, si d (¿ ) es un polinomio de grado n , entonces B (¿ ) es un polinomio de grado n + 1. Es importante comparar el resultado (63.8) con (63.3) .
6 3 .7 C rite rio d e se le c c i¶o n d e l e stim a d o r Se desea estimar un polinomio de grado n para el precio de un bono cup¶o n cero B (¿ ) de tal manera que B (¿ j ) = B tj + " tj ; E[" tj ] = 0: (63:9) El criterio de selecci¶o n del estimador est¶a dado por Minimizar (1 ¡ μ 1 ¡ μ 2 ) ¯ 2 ;¯ 3 ;:::;¯ n
XN
j= 1
! j (B (¿ j ) ¡ B
tj )
2
+ μ 1 d 0(¿ N ) 2 + μ 2 d 00(¿ N ) 2 :
(63:10)
Aqu¶³, μ 1 , μ 2 y 1 ¡ μ 1 ¡ μ 2 son las ponderaciones de los sumandos de la funcional criterio, 0 < μ 1 ;μ 2 < 1. As¶³, por ej emplo, si 1 ¡ μ 1 ¡ μ 2 se toma pr¶oxima a 1, entonces se estar¶a dando m¶as importancia a la minimizaci¶o n de la suma de los cuadrados de los errores; en caso contrario, si 1 ¡ μ 1 ¡ μ 2 est¶a pr¶oxima a cero, se estar¶a dando m¶as importancia a la estimaci¶o n de la pendiente y curvatura de la tasa de descuento en el plazo observado m¶as largo. Usualmente, se toma 1 ¡ μ 1 ¡ μ 2 > 0:6, es decir, la minimizaci¶o n de los cuadrados de los errores tiene mayor importancia en la estimaci¶o n de los par¶ametros. Por otro lado, los pesos ! j se eligen usualmente como X (i) ! j = ' (V tj ) ; V tj = V tj ; (63:11) i
0
00
donde ' ¸ 0, ' > 0 y ' < 0: En este problema de m¶³nimos cuadrados se establecen dos restricciones: la tasa de descuento correspondiente al plazo m¶as reciente se ancla en ¯1 =
PM j
PM
j
! j d tj
;
!j
1· M < < N :
En particular si M = 1, se tiene que ¯ 1 = d t1 : Asimismo, la pendiente de la tasa de descuento correspondiente de plazo m¶as largo se elige de tal manera que d 0(¿ N ) 2 sea lo m¶as peque~n a posible, donde d 0(¿ ) =
n Xn @ X ® k¿k = k® k ¿k¡ @¿ k= 0
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k= 0
1
=¡
Xn
k ¯ k+ 1¿k¡ 1:
(63:12)
k= 1
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6 3 . E stim a ci¶o n p o lin o m ia l d e u n a cu rva d e ren d im ien to : m ¶³n im o s cu a d ra d o s co n restriccio n es
Una vez que se tienen los estimadores de los par¶ametros, ¯e0 ´ 1;¯e1 ;¯e2 ;:::;¯en , se genera el polinomio que estima los precios en t¶e rminos de ®e0 ; ®e1 ;:::; ®en ; Be(¿ ) = 1 ¡
Ã
Xn
k= 0
®ek ¿
k
!
¿:
De esta manera, la curva de rendimiento estimada est¶a dada por ln Be(t;T ) Re(t;T ) = ¡ ; T ¡ t
(63:13)
donde Re(t;T ) ´ Re(¿ ) , Be(t;T ) ´ Be(¿ ) y ¿ = T ¡ t.
6 3 .8 H o m o lo g a c i¶o n d e p la z o s p a ra o p e ra c io n e s c o n c e rta d a s e n la fe c h a b a se , p e ro c o n liq u id a c i¶o n p o ste rio r Usualmente, se concerta una operaci¶o n de compra de bonos para liquidarse d¶³as despu¶e s. Para hacer comparables las tasas de descuento de las operaciones con diferentes fechas de liquidaci¶o n con respecto de la fecha base t, se utiliza un procedimiento de homologaci¶o n que se describe a continuaci¶o n. Sea T j ¡ t el plazo entre las fechas de vencimiento del t¶³tulo y de concertaci¶o n de la operaci¶o n y ¿ ¡ t el plazo entre las fechas de concertaci¶o n de la operaci¶o n y de liquidaci¶o n. Sea d t la tasa de descuento de plazo m¶as peque~n o disponible en el mercado. La tasa de descuento (i) homologada, dbtj , se obtiene mediante la siguiente relaci¶o n (i) dbtj =
´ 1 ³ (i) 1 ¡ [1 ¡ d t (¿ ¡ t) ] [1 ¡ d tj (T j ¡ ¿ ) ] : Tj ¡ t
(63:14)
Una vez homologadas las tasas de descuento, se obtienen las tasas de descuento ponderadas por (i) volumen para cada uno de los distintos valores de d tj de¯nidos mediante (63.6) .
6 3 .9 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Delbaen, F. and S. Lorimier (1992) . \Estimation of the Yield Curve and the Forward Rate Curve Starting from a Finite Number of Observations" . In su ra n ce: M a th em a tics a n d E co n o m ics, Vol. 11, No. 4, pp. 259-269. James, J. and N. Webber (2000) . Interest Rate Modelling: Financial Engineering. John Wiley & Sons, 1st edition, England.
6 3 .1 0 E je rc ic io s 6 3 .1 Con base en el criterio de selecci¶o n de la secci¶o n 63.7 estime la tasa de descuento mediante un polinomio de tercer grado. Suponga que μ 2 = 0. S o lu ci¶o n : Considere el caso para n = 3. Los pesos ser¶an tomados como !j =
p
V j;
j = 1;2;:::;N ;
donde por simplicidad V j ´ V tj . Asimismo, se toma μ 2 = 0 y se de¯nen ' =
μ1 1 ¡ μ1
y ¯ 1 = d t1 :
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6 3 . E stim a ci¶o n p o lin o m ia l d e u n a cu rva d e ren d im ien to : m ¶³n im o s cu a d ra d o s co n restriccio n es
La funci¶o n obj etivo, J ´ J (¯ 2 ;¯ 3 ;¯ 4 ) , del procedimiento de estimaci¶o n, de acuerdo con (63.10) , est¶a dada por J =
XN p j= 1
¡ V tj 1 + d t1 ¿ j + ¯ 2 ¿ j2 + ¯ 3 ¿ j3 + ¯ 4 ¿ j4 ¡ B
tj
¢2
¡ ¢2 + ' ¯ 2 + 2¯ 3 ¿ N + 3¯ 4 ¿ N2 :
Las condiciones necesarias son: 8 XN ³ > > <0 = ¿ j2 + d t1 ¿ j3 + ¯e2 ¿ j4 + ¯e3 ¿ j5 + ¯e4 ¿ j6 ¡ B ¯e2 : j= 1 > > ¡ ¢ : + ' ¯ 2 + 2¯ 3 ¿ N + 3¯ 4 ¿ N2 ; ¯e3 :
¯e4 :
8 XN ³ > > <0 = ¿ j3 j= 1 > > : + 2' ¿ N 8 XN ³ > > <0 = ¿4 j
> > :
j= 1
2 tj ¿ j
´p
Vj
+ d t1 ¿ j4 + ¯e2 ¿ j5 + ¯e3 ¿ j6 + ¯e4 ¿ j7 ¡ B
3 tj ¿ j
´p
Vj
+ d t1 ¿ j5 + ¯e2 ¿ j6 + ¯e3 ¿ j7 + ¯e4 ¿ j8 ¡ B
4 tj ¿ j
´p
Vj
¡ ¢ ¯ 2 + 2¯ 3 ¿ N + 3¯ 4 ¿ N2 ;
¡ ¢ + 3' ¿ N2 ¯ 2 + 2¯ 3 ¿ N + 3¯ 4 ¿ N2 ) :
Estas tres ecuaciones pueden expresarse en t¶e rminos matriciales como: 0
PN
j= 1
¿ j4 p 5
p
Vj + '
BPN @ j = 1 ¿ j V j + 2' ¿ N p PN 6 V j + 3' ¿ N2 j= 1 ¿j
PN P P
j= 1 N j= 1 N j= 1
0PN
BP =¡ @ P
j= 1 N j= 1 N j= 1
p
V j + 2' ¿ N
p 7
V j + 6' ¿ N3
¿ j5
p 6
¿j ¿j
V j + 4' ¿ N2
(d t1 ¿ j + (1 ¡ B
(d t1 ¿ j + (1 ¡ B
(d t1 ¿ j + (1 ¡ B
PN P P
j= 1 N j= 1 N j= 1
p
p
10
1 ¯e2 C ¿ j V j + 6' ¿ N3 A @ ¯e3 A p ¯e4 ¿ j8 V j + 9' ¿ N4
¿ j6
p 7
2 Vj tj ) ) ¿ j p 3 Vj tj ) ) ¿ j p 4 Vj tj ) ) ¿ j
V j + 3' ¿ N2
1
C A:
La soluci¶o n de este sistema de ecuaciones proporciona los estimadores ¯e2 , ¯e3 y ¯e4 de los par¶ametros ¯ 2 , ¯ 3 y ¯ 4 . Encuentre dicha soluci¶o n. 6 3 .2 Repita el ej ercicio anterior para n = 4: 6 3 .3 Repita el ej ercicio anterior con μ 1 = 0, μ 2 6= 0 y n = 3:
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.
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X I. M E D ID A S D E R IE S G O
² 6 4 . V a lo r en riesg o ² 6 5 . M ed id a s co h eren tes d e riesg o : a x io m ¶a tica d e
A rtzn er-D elb a en -E b er-H ea th
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.
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C A P ¶IT U L O 64 V A L O R E N R IE S G O C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ²
Valor en riesgo (VaR) Mapeo de °uj os VaR param¶e trico VaR y Funci¶o n de cuantiles VaR y el teorema de Euler Descomposici¶o n de Cholesky Componentes principales VaR incremental ¶Indice de Her¯ndahl-Hirschman VaR-Promedio, C-VaR o Esperanza condicional de la cola del VaR VaR y CAPM (Modelo Diagonal) VaR Delta-Gama para derivados Aproximaci¶o n cuadr¶atica y VaR Aproximaci¶o n de Cornish-Fisher al VaR (ajuste por sesgo) VaR de un bono cup¶o n cero VaR de un swap de tasa de inter¶e s VaR de un contrato forward de tipo de cambio
6 4 .1 In tro d u c c i¶o n El desarrollo de m¶e todos para cuanti¯car el riesgo de mercado con base en modelos anal¶³ticos no es un asunto nuevo, su inicio se sit¶u a en la d¶e cada de los treintas con el trabaj o de Macaulay (1939) . Desde entonces, el concepto de duraci¶o n ha desempe~n ado un papel central en la construcci¶o n de dichos modelos. No fue sino hasta 1995, cuando se public¶o un documento t¶e cnico de J. P. Morgan donde se propon¶³a un m¶e todo novedoso para cuanti¯car el riesgo de mercado asociado a todas las posiciones de su banco a trav¶e s del c¶alculo de un solo n¶u mero, lo que se conoce como valor en riesgo (o VaR por las iniciales en ingl¶e s del t¶e rmino Value at Risk) . A partir de entonces, el valor en riesgo es una de las medidas que se utilizan con mayor frecuencia, por los intermediarios ¯nancieros, en la estimaci¶o n de p¶e rdidas potenciales, en el rendimiento de un portafolio, en un periodo de tiempo y con un nivel de con¯anza dados. En este cap¶³tulo se presenta un an¶alisis completo del concepto de valor en riesgo, as¶³ como su extensi¶o n en varias direcciones: VaR de un portafolio de acciones, VaR incremental (o marginal) , VaR-Promedio, VaR Delta-Gama, VaR de portafolios de bonos, etc. Uno de las obj etivos de este cap¶³tulo consiste en proporcionar f¶o rmulas anal¶³ticas para el c¶alculo del VaR. Es importante mencionar, al respecto, que baj o el supuesto de normalidad en el rendimiento de un portafolio de activos es posible encontrar expresiones sencillas del VaR asociado a dicho portafolio; siendo ¶e ste el supuesto principal a lo largo del presente cap¶³tulo. De hecho, este supuesto ha contribuido a que el mismo VaR sea tan popular.
6 4 .2 M a p e o d e ° u jo s p a ra sim p li¯ c a r e l c ¶a lc u lo y la a c tu a liz a c i¶o n d e l V aR Usualmente, la estimaci¶o n y actualizaci¶o n del VaR de un portafolio de activos requiere de un n¶u mero considerable de c¶alculos, sobre todo cuando el portafolio contiene productos derivados como forwards, opciones o swaps. En este sentido, cuando los cambios (absolutos o porcentuales) del portafolio, y de los derivados que en ¶e l participan, se pueden expresar en funci¶o n de cambios (absolutos o porcentuales) de activos ¯nancieros \simples" (acciones, divisas, bonos cup¶o n cero, etc.) , entonces se obtiene una reducci¶o n importante en el n¶u mero de c¶alculos. De preferencia, es deseable que dicha dependencia sea lineal, en cuyo caso los activos ¯nancieros \simples" son
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6 4 . V a lo r en riesg o
llamados v¶e rtices. Es importante destacar que cuando no se tiene dicha linealidad, se puede siempre recurrir al teorema de Taylor para linealizar alrededor de un punto. Afortunadamente, si se considera el supuesto de normalidad con una transformaci¶o n adecuada de la matriz de varianzas-covarianzas y se utiliza la propiedad de linealidad (la combinaci¶o n lineal de variables aleatorias normales es normal) , se disminuye signi¯cativamente el n¶u mero de c¶alculos.
6 4 .3 E l c o n c e p to d e v a lo r e n rie sg o (p a ra m ¶e tric o ) En esta secci¶o n se presenta la de¯nici¶o n formal del valor en riesgo par¶ametrico del cambio en el valor de un portafolio. Por simplicidad, se considera un portafolio que combina dos activos con riesgo. Considere un intervalo de tiempo [t;T ] . El valor inicial, en t, de un portafolio que consiste de w 1 unidades del activo S 1 t y w 2 unidades del activo S 2 t est¶a dado por ¦t = w 1 S 1 t + w 2 S 2 t: El cambio en el valor del portafolio, entre las fechas t y T , manteniendo las cantidades w 1 y w 2 constantes, se puede escribir de la siguiente manera: X := ¦ T ¡ ¦ t = w 1 (S 1 T ¡ S 1 t ) + w 2 (S 2 T ¡ S 2 t ) : Si S 1 T : 1 ¡ ! IR y S 2 T : 2 ¡ ! IR son variables aleatorias de¯nidas sobre dos espacios muestrales, 1 y 2 , entonces X : ¡ ! IR, con = 1 £ 2 , es una variable aleatoria asociada al cambio en el valor del portafolio. Asimismo, se supone que X est¶a de¯nida sobre un espacio de probabilidad ¯j o ( ;F ;IP μ ) , donde μ es un vector de par¶ametros asociados con la distribuci¶o n de X . Si se desea que X represente el cambio en valor de un solo activo, entonces se toman, simplemente, w 1 = 1 y w 2 = 0. Evidentemente, el esquema anterior puede generalizarse, sin di¯cultad, a un portafolio con m¶as de dos activos. El valor en riesgo de X al nivel (de con¯anza) 1 ¡ q denotado por ¡ VaRX1 ¡ q , se de¯ne como el peor valor del portafolio, en un periodo de tiempo dado, [t;T ] , para un intervalo de con¯anza del (1 ¡ q ) 100%. En forma m¶as precisa, © ª IP μ ¡ VaR1X ¡ q · X = 1 ¡ q : Claramente, la cantidad ¡ VaRX1 ¡ Es decir, X
VaR1 ¡
q
q
tambi¶e n satisface © ª IP μ X · ¡ VaRX1 ¡ q = q :
= ¡ inf f x 2 IR jIP μ f X · x g ¸ q g
= ¡ sup f x 2 IR jIP μ f X · x g · q g : Esta de¯nici¶o n es aplicable tanto a variables aleatorias continuas como discretas. De lo anterior se desprende, inmediatamente, que X
VaR1 ¡
q
= ¡ inf f x 2 IR jIP μ f X > x g · 1 ¡ q g : X
Como puede observarse, el n¶u mero VaR1 ¡ q es una estimaci¶o n estad¶³stica del peor valor de X con cierto grado de con¯anza en un intervalo de tiempo dado. La Gr¶a¯ca 64.1 ilustra el concepto del valor en riesgo.
Gr¶a¯ca 64.1 Valor en riesgo de X al nivel 1 ¡ q .
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6 4 . V a lo r en riesg o
6 4 .4 V a lo r e n rie sg o y la fu n c i¶o n d e c u a n tile s Si X es una variable aleatoria de¯nida en ( ;F ;IP μ ) , la funci¶o n Q
X
(q ) = inf f x 2 IR jIP μ f X · x g ¸ q g
= sup f x 2 IR jIP μ f X · x g · q g
es llamada la funci¶o n de cuantiles de X . La funci¶o n Q X (q ) es creciente y continua por la derecha. Claramente, si la variable aleatoria es continua, entonces Q X (q ) = F X¡ 1 (q ) . Observe que si X es una variable aleatoria continua, entonces E[g (X ) ] =
Z1
g (Q
Z1
g (x ) dF X (x ) :
X
(q ) ) dq :
0
En efecto, por de¯nici¶o n E[g (X ) ] =
¡ 1
De¯na el siguiente cambio de variable x = Q X (q ) = F X¡ 1 (q ) , entonces Q y Z1 E[g (X ) ] = g (Q X (q ) ) dF X (F X¡ 1 (q ) )
X
(¡ 1 ) = 0, Q
X
(1 ) = 1
0
=
Z1
g (Q
X
(q ) ) dq :
0
Evidentemente, el VaR y la funci¶o n de cuantiles est¶an relacionados mediante X
VaR1 ¡
q
=¡Q
X
(q ) :
6 4 .5 V a lo r e n rie sg o d e l re n d im ie n to d e u n p o rta fo lio y e l te o re m a d e E u le r En esta secci¶o n se demuestra que el valor en riesgo tiene la propiedad de homogeneidad positiva. Asimismo, se discute sobre la relaci¶o n que existe entre el VaR y el teorema de Euler sobre funciones homog¶e neas de grado uno. Considere una variable aleatoria, X , de¯nida sobre un espacio medible ( ;F ) y sea ¸ > 0. Si se de¯ne Y = ¸ X , entonces n ³y ´ yo F Y (y ) = IPf Y · y g = IP f ¸ X · y g = IP X · =FX ; ¸ ¸ de aqu¶³ se obtiene VaR1Y ¡
q
= ¡ inf f y 2 IR jF Y (y ) ¸ q g
= ¡ inf f ¸ x 2 IR jF Y (¸ x ) ¸ q g ½ μ ¶ ¾ ¸x = ¡ inf ¸ x 2 IR jF X ¸ q ¸ = ¡ inf f ¸ x 2 IR jF X (x ) ¸ q g
= ¡ ¸ inf f x 2 IR jF X (x ) ¸ q g =¸ VaR1X ¡ q :
Observe que al multiplicar X por ¸ , cada w i , i = 1;2; es multiplicada por ¸ . Por lo tanto, si se escribe VaRX1 ¡ q := VaR1 ¡ q (w 1 ;w 2 ) , se tiene que VaR1 ¡ q (¸ w 1 ;¸ w 2 ) = ¸ VaR1 ¡ q (w 1 ;w 2 ) :
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6 4 . V a lo r en riesg o
Es decir, si VaR1X ¡ q se ve como funci¶o n de w 1 y w 2 , se tiene que Var 1 ¡ q (w 1 ;w 2 ) es homog¶e nea de grado uno. En consecuencia, el teorema de Euler produce VaR1 ¡ q (w 1 ;w 2 ) = w
1
@ VaR1 ¡ q @ VaR1 ¡ q (w 1 ;w 2 ) + w 2 (w 1 ;w 2 ) : @w 1 @w 2
(64:1)
Si ¸ < 0, en general, la propiedad de homogeneidad no se cumple. En particular si, ¸ = ¡ 1 se tiene que VaR¡1 ¡X q = ¡ VaRXq En efecto, sea Y = ¡ X , observe primero que F Y (y ) =IP μ f Y · y g = IP μ f ¡ X · y g = IP μ f X ¸ ¡ y g =1 ¡ IP μ f X · ¡ y g = 1 ¡ F X (¡ y ) :
Por lo tanto, VaR1Y ¡
q
= ¡ inf f y 2 IR jF Y (y ) ¸ q g = ¡ inf f ¡ x 2 IR jF ¡
X
(¡ x ) ¸ q g
= ¡ inf f ¡ x 2 IR j1 ¡ F X (x ) ¸ q g
= ¡ inf f ¡ x 2 IR jF X (x ) · 1 ¡ q g
= ¡ sup f x 2 IR jF X (x ) · 1 ¡ q g : Por supuesto, si X es una variable aleatoria continua, VaR1¡ ¡X q = ¡ VaRX1 ¡
(1 ¡ q )
= ¡ VaRqX .
6 4 .6 V a lo r e n rie sg o b a jo e l su p u e sto d e n o rm a lid a d Posiblemente, el supuesto de normalidad en el rendimiento de un portafolio ha contribuido de manera muy importante a que el mismo VaR sea tan popular. Baj o este supuesto, el c¶alculo del VaR se convierte en una expresi¶o n muy sencilla y f¶acil de recordar. Si el cambio de valor en un portafolio durante [t;T ] , X , es visto como una variable aleatoria continua y F es su funci¶o n de distribuci¶o n, entonces ¡ VaRX1 ¡ q = F ¡ 1 (q ) , es decir, VaR1X ¡ q es el cuantil q de F . Por ej emplo, si el cambio en el valor de ¦ t satisface d¦ t = ¹ dt + ¾ dW
t
donde ¹ 2 IR, ¾ > 0 y (W t ) t2 [0 ;T ] es un movimiento Browniano de¯nido en un espacio de probabilidad equipado con su ¯ltraci¶o n aumentada, ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;T ];IP) , entonces X = ¦ T ¡ ¦ t » N (¹ (T ¡ t) ;¾ 2 (T ¡ t) ) : En este caso, se tiene que IP lo cual implica que
En consecuencia,
½
¯ ¾ ¯ X ¡ ¹ (T ¡ t) ¯F t = q ; p · ¡ zq ¯ ¾ T ¡ t
¯ o n p ¯ IP X · ¹ (T ¡ t) ¡ z q ¾ T ¡ t ¯F t = q : X
VaR1 ¡
q
=z q ¾ =z q ¾
p
p
¯ T ¡ t + E IP [¡ X ¯F
t
]
T ¡ t ¡ ¹ (T ¡ t) :
A partir de las tablas de cuantiles de la funci¶o n de distribuci¶o n acumulada de una variable normal est¶andar, se tiene que si 1 ¡ q = 0:95, z q = 1:65, y si 1 ¡ q = 0:99, z q = 2:33. Si el rendimiento medio y la volatilidad son anualizados, valores t¶³picos de T ¡ t son 1 5= 360 (5 d¶³as) y 10= 360 (10 1 S i se ex clu y en ¯ n es d e sem a n a y d¶³a s festiv o s se p u ed e d iv id ir so b re 2 5 2 ¶o 2 6 4 , d ep en d ien d o d e si lo s m eses se to m a n co n 2 1 ¶o 2 2 d¶³a s.
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p d¶³as) . Si se de¯nen ¹ d = ¹ = 360 y ¾ d = ¾ = 360 como el rendimiento y la volatilidad diarios, se tiene que p X VaR1 ¡ q = z q ¾ d T ¡ t ¡ ¹ d (T ¡ t) ; y, en este caso, T ¡ t toma los valores de 5 (d¶³as) y 10 (d¶³as) .
6 4 .7 V a lo r e n rie sg o d e l c a m b io e n v a lo r d e la su m a d e d o s p o rta fo lio s b a jo e l su p u e sto d e n o rm a lid a d Como se ha visto, en la secci¶o n anterior, el supuesto de normalidad simpli¯ca, considerablemente, el c¶alculo del VaR del cambio en valor de un portafolio. Este supuesto tambi¶e n facilita los c¶alculos del valor en riesgo del cambio en valor de la suma (combinaci¶o n) de dos portafolios. En efecto, si X » N (¹ X (T ¡ t) ;¾ X2 (T ¡ t) ) y Y » N (¹ Y (T ¡ t) ;¾ Y2 (T ¡ t) ) con Cov(X ;Y ) = ¾ X Y (T ¡ t) , entonces p X + Y VaR1 ¡ q =z q ¾ X + Y T ¡ t ¡ ¹ X + Y (T ¡ t) q p =z q ¾ X2 + 2¾ X Y + ¾ Y2 T ¡ t ¡ (¹ X + ¹ Y ) (T ¡ t) :
6 4 .8 V a lo r e n rie sg o d e l re n d im ie n to d e u n p o rta fo lio En las dos secciones anteriores se ha calculado el VaR del cambio en valor de un portafolio. El siguiente ejemplo muestra que cuando los rendimientos de los activos son normales, el c¶alculo del valor en riesgo de un portafolio tambi¶e n es muy sencillo. Por simplicidad, se considera un portafolio con dos activos cuyos rendimientos est¶an correlacionados entre s¶³. Considere dos movimientos Brownianos (W t ) t2 [0 ;T ] y (U t ) t2 [0 ;T ] correlacionados entre s¶³, de tal forma que Cov(dW t ;dU t ) = ½ dt Se supone que los precios, S 1 t y S 2 t , de dos activos son conducidos, respectivamente, por dS 1 t = ¹ 1 S 1 t dt + ¾ 1 S 1 t dW
t
y dS 2 t = ¹ 2 S 2 t dt + ¾ 2 S 2 t dU t ; donde ¹ 1 ;¹ 2 2 IR y ¾ 1 ;¾ 2 > 0. El cambio porcentual en el valor del portafolio satisface d¦ t dS 1 t dS 2 t =®1 +®2 ; ¦t S 1t S 2t donde ®1 = En este caso,
w 1 S 1t ; ¦t
®2 =
w 2 S 2t ¦t
y
® 1 + ® 2 = 1:
· ¸ d¦ t = (® 1 ¹ 1 + ® 2 ¹ 2 ) dt: ¦t · ¸ ¡ ¢ d¦ t Var = ® 12 ¾ 12 + ® 22 ¾ 22 + 2® 1 ® 2 ¾ 1 ¾ 2 ½ dt: ¦t E
Por lo tanto, d¦ =¦ q
VaR1 ¡
= zq
q
® 21 ¾ 12 + ® 22 ¾ 22 + 2® 1 ® 2 ¾ 1 ¾ 2 ½
p
dt ¡ (® 1 ¹ 1 + ® 2 ¹ 2 ) dt:
Por otro lado, si se considera el cambio de valor en el portafolio, se tiene que d¦ t = w 1 S 1 t
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dS 1 t dS 2 t + w 2 S 2t : S 1t S 2t
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6 4 . V a lo r en riesg o
Ahora, E [d¦ t ] = (w 1 S 1 t ¹ 1 + w 2 S 2 t ¹ 2 ) dt y
¡ ¢ Var [d¦ t ] = w 12 S 12 t ¾ 12 + w 22 S 22 t ¾ 22 + 2w 1 w 2 S 1 t S 2 t ¾ 1 ¾ 2 ½ dt:
De esta manera, VaR1d ¡¦ q =z q
q
w 12 S 12 t ¾ 12 + w 22 S 22 t ¾ 22 + 2w 1 w 2 S 1 t S 2 t ¾ 1 ¾ 2 ½
p
dt
¡ (w 1 S 1 t ¹ 1 + w 2 S 2 t ¹ 2 ) dt: Por lo tanto, se cumple la propiedad d¦ =¦ q
VaR1 ¡ d ¦ =¦ q
La cantidad VaR1 ¡
=
1 VaRd1 ¡¦ q : ¦t
es tambi¶e n conocida como VaR diversi¯cado.
6 4 .9 V a R d e l re n d im ie n to d e u n p o rta fo lio y fa c to riz a c i¶o n d e C h o le sk y En esta secci¶o n se presenta el m¶e todo de factorizaci¶o n de Cholesky y su aplicaci¶o n en el c¶alculo del VaR del rendimiento de un portafolio. Suponga que un portafolio consiste de n activos, entonces el rendimiento del portafolio es la media de los rendimientos ponderada por la participaci¶o n de cada activo en el valor del portafolio. Si los rendimientos de los activos siguen distribuciones normales y son no correlacionadas, la factorizaci¶o n de Cholesky permite transformar los rendimientos originales en variables aleatorias con cierta estructura de correlaci¶o n. Para llevar a cabo una exposici¶o n sencilla de las ideas centrales, se considera un portafolio con s¶o lo dos activos. Suponga que los precios, S 1 t y S 2 t , de dos activos ¯nancieros son conducidos, respectivamente, por p dS 1 t = ¹ 1 S 1 t dt + ¾ 1 S 1 t dt " 1 y
p dS 2 t = ¹ 2 S 2 t dt + ¾ 2 S 2 t dt " 2 ;
donde ¹ 1 ;¹ 2 2 IR, ¾ 1 ;¾ 2 > 0, " 1 ;" 2 » N (0;1) y Cov(" 1 ;" 2 ) = 0: La informaci¶o n sobre " 1 y " 2 se puede resumir como μ ¶ μμ ¶ μ ¶¶ "1 0 1 0 " := » ; : "2 0 0 1 Considere la transformaci¶o n:
(
´1 = "1 ; ´2 = ½ "1 +
p
1 ¡ ½ 2 "2 ;
(64:2)
entonces se tiene que Var [´ 1 ] = Var [" 1 ] = 1; ¡ ¢ Var [´ 2 ] = ½ 2 Var [" 1 ] + 1 ¡ ½ 2 Var [" 2 ] = 1 y
³ ´ p Cov (´ 1 ;´ 2 ) =Cov " 1 ;½ " 1 + 1 ¡ ½ 2 " 2 p =½ Var [" 1 ] + 1 ¡ ½ 2 Cov (" 1 ;" 2 ) =½ :
>C¶o mo se eligi¶o la transformaci¶o n (64.2) ? La respuesta est¶a en la factorizaci¶o n (descomposici¶o n) de Cholesky. Si se denota μ ¶ 1 ½ C = : ½ 1
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6 4 . V a lo r en riesg o
Claramente, la matriz C es sim¶e trica y de¯nida positiva, entonces existe una matriz A , tambi¶e n llamada la ra¶³z cuadrada de C , tal que T
C =A A
;
donde A es triangular inferior. Equivalentemente, μ ¶ μ ¶μ ¶ μ 2 1 ½ a 11 0 a 11 a 12 a 11 = = ½ 1 a 12 a 22 0 a 22 a 11 a 12
a 11 a 12 a 21 2 + a 22 2
¶
;
lo cual implica que 1 =a 21 1 ; ½ =a 1 1 a 1 2 ; 1 =a 21 2 + a 22 2 ; ¶o
μ
1 ½
½ 1
¶
μ
=
1 ½
p 0 1 ¡ ½2
¶μ
1 0
p ½ 1 ¡ ½2
¶
:
Ahora bien, la transformaci¶o n (64.2) se puede reescribir como ´ = A ": En este caso
£ ¤ £ E ´ ´ T = E A " "T A
T
¤ £ ¤ = A E " "T A
T
=A A
T
=C :
En conclusi¶o n, ´ 1 ;´ 2 » N (0;1) y Cov(´ 1 ;´ 2 ) = ½ . La informaci¶o n sobre ´ 1 y ´ 2 se puede resumir como: μ ¶ μμ ¶ μ ¶¶ ´1 0 1 ½ ´ := » ; : ´2 0 ½ 1 As¶³ pues, con base en la transformaci¶o n (64.2) , se puede escribir p dS 1 t = ¹ 1 S 1 t dt + ¾ 1 S 1 t dt" 1 y
p dS 2 t = ¹ 2 S 2 t dt + ¾ 2 S 2 t dt´ 2 ;
donde ´ 2 = ½ "1 +
p
1 ¡ ½ 2 "2 ;
" 1 ;" 2 » N (0;1)
y Cov (" 1 ;" 2 ) = 0: Equivalentemente, dS 1 t = ¹ 1 S 1 t dt + ¾ 1 S 1 t dW
1t
dS 2 t = ¹ 2 S 2 t dt + ¾ 2 S 2 t dW
2 t;
y donde dW
2t
= ½ dW
1t
+
p
1 ¡ ½ 2 dU
t
y Cov (dW
1 t ;dU t )
= 0:
Por lo tanto, Cov (dW
1 t ;dW 2 t )
= ½ Var [dW
1 t]
+
p
1 ¡ ½ 2 Cov (dW
1 t ;dU t )
= ½ dt:
Si ¾ 1 = ¾ 2 = 1; se sigue que Var
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· ¸ · ¸ dS 1 t dS 2 t = Var = dt S 1t S 2t
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6 4 . V a lo r en riesg o
y Cov
μ
dS 1 t dS 2 t ; S 1t S 2t
¶
= ½ dt:
Adem¶as, si ¹ 1 = ¹ 2 = 0, entonces d¦ =¦ q
VaR1 ¡
= zq
p
1 + 2® 1 ® 2 (½ ¡ 1)
p
dt;
donde se ha utilizado la identidad 1 = (® 1 + ® 2 ) 2 = ® 21 + ® 22 + 2® 1 ® 2 .
6 4 .1 0 V a R d e u n p o rta fo lio y c o m p o n e n te s p rin c ip a le s En esta secci¶o n se presenta el m¶e todo de componentes principales y su aplicaci¶o n en el c¶alculo del VaR de un portafolio. Suponga que un portafolio consiste de n activos. Como se sabe, el rendimiento del portafolio se calcula en t¶e rminos de los rendimientos de los n activos. Concretamente, el rendimiento del portafolio es la media de los rendimientos ponderada por la participaci¶o n de cada activo en el valor total del portafolio. En el m¶e todo de componentes principales dichos rendimientos se tranforman en n nuevas variables llamadas componentes principales. La transformaci¶o n involucra el c¶alculo de valores y vectores propios de la matriz de varianzas-covarianzas de los rendimientos. Dichas componentes principales son combinaciones lineales de los rendimientos originales y cada una de ellas explica una parte de la varianza total de la transformaci¶o n. Despu¶e s de ordenar las componentes por su peso explicativo en la varianza total, aquellas que tengan una contribuci¶o n insigi¯cante a la varianza total pueden eliminarse. De esta manera la dimensi¶o n del problema inicial se reduce en el problema transformado. Por ej emplo, si las u¶ ltimas k componentes principales se eliminan, el problema transformado consiste de n ¡ k variables. Por u¶ ltimo, observe que dado que las componentes principales son combinaciones lineales de los rendimientos originales, cualquier informaci¶o n que ¶e stos pudieran aportar en la explicaci¶o n de la varianza total de la tranformaci¶o n es tomada en cuenta. Por simplicidad en la exposici¶o n, se considera un portafolio con dos activos. Los precios, S 1 t y S 2 t , de dos activos ¯nancieros son conducidos por las siguientes ecuaciones diferenciales parciales: p dS 1 t = ¹ 1 S 1 t dt + ¾ 1 S 1 t dt´ 1 y
p dS 2 t = ¹ 2 S 2 t dt + ¾ 2 S 2 t dt´ 2 ;
donde ´2 = ½´1 + ´ 1 ;" » N (0;1) En este caso, ´ :=
μ
´1 ´2
¶
»
y
p
1 ¡ ½2"
Cov (´ 1 ;" ) = 0:
μμ ¶ μ 0 1 ; 0 ½
½ 1
¶¶
;
con ½ > 0. En lo que sigue se denota C =
μ
1 ½
½ 1
¶
:
En primer lugar se determinan los eigenvalores (valores propios) , ¸ 1 y ¸ 2 , y los eigenvectores (vectores propios) , v 1 y v 2 , de C , es decir, se determinan ¸ i y v i 6= (0;0) T ; i = 1;2; tales que C v i = ¸ i v i ; i = 1;2:
(64:3)
Observe que C es una matriz sim¶e trica de¯nida positiva. En efecto, dado que ½ > ¡ 1, si x = (x 1 ;x 2 ) T 6= (0;0) T , x T C x = x 21 + 2x 1 x 2 ½ + x 22 > x 21 ¡ 2x 1 x 2 + x 22 = (x 1 ¡ x 2 ) 2 ¸ 0:
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6 4 . V a lo r en riesg o
Ahora bien, si se premultiplica (64.3) por v iT , se sigue que ¸ i jjv i jj2 = v iT C v i > 0, es decir, ¸ i > 0, i = 1;2: En este caso, (64.3) se puede reescribir como (C ¡ ¸ I) v i = 0: Para que el sistema anterior tenga una soluci¶o n no trivial, v i , se debe cumplir que det(C ¡ ¸ I) = 0; donde I es la matriz identidad de 2 £ 2. Es decir, ¯ ¯1 ¡ ¸ ½ ¯ ¯ ½ 1¡ ¸
¶o
(64:4)
¯ ¯ ¯= 0 ¯
(1 ¡ ¸ ) 2 = ½ 2 ;
lo cual produce dos soluciones ¸ 1 = 1 + ½ y ¸ 2 = 1 ¡ ½ . Dado el supuesto ½ > 0, se sigue que ¸ 1 > ¸ 2 . La ecuaci¶o n (64.4) es conocida como el polinomio caracter¶³stico de C . Claramente, det(C ) = ¸ 1 ¸ 2 = (1 + ½ ) (1 ¡ ½ ) = 1 ¡ ½ 2 y traza(C ) = ¸ 1 + ¸ 2 = 2: Los vectores propios se determinan a trav¶e s de los sistemas: μ ¶μ ¶ μ ¶ μ ¶μ ¶ μ ¶ ¡½ ½ v11 0 ½ ½ v21 0 = y = : ½ ¡½ v12 0 ½ ½ v22 0 Por lo tanto,
μ ¶ 1 v1 = 1
y
v2 =
μ
1 ¡1
¶
Claramente, eigenvectores correspondientes a distintos eigenvalores son linealmente independientes. Si esto no fuera as¶³, entonces v 1 = ® v 2 para alg¶u n ® 6= 0, as¶³ C v 1 = ¸ 1 v 1 implica C ® v 2 = ¸ 1 ® v 2 , en consecuencia, ¸ 1 = ¸ 2 . Observe que, en este caso, v 1T v 2 = 0, es decir, v 1 y v 2 son ortogonales. Si se normalizan estos vectores, es decir, μ p ¶ μ p ¶ 1= p 2 1= p 2 u1 = y u2 = ; 1= 2 ¡ 1= 2 entonces u 1 y u 2 son eigenvectores ortonormales. De hecho, el teorema espectral dice que los eigenvectores de toda matriz sim¶e trica con entradas reales son ortogonales. Sean p μ ¶ μ p ¶ μ ¶ μ ¶ u 11 u 21 1= p 2 1= p 2 ¸1 0 1+½ 0 = = y ¤= = u 12 u 22 1= 2 ¡ 1= 2 0 ¸2 0 1¡ ½ las matrices de eigenvectores y eigenvalores, respectivamente de C . La matriz = [u 1 ;u 2 ] es sim¶e trica, = T , e invertible, = T = ¡ 1 : Es decir es una matriz ortogonal. As¶³, T T = = 2 = I. Observe tambi¶e n que C
=
¤;
lo cual, evidentemente, equivale a C u 1 = ¸ 1u 1
y
Por lo tanto, se puede escribir C =
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¤
¡ 1
C u 2 = ¸ 2u 2: =
¤
T
:
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6 4 . V a lo r en riesg o
A esta factorizaci¶o n se le llama eigen-descomposici¶o n y en ocasiones eigen-diagonalizaci¶o n. De¯na ahora la transformaci¶o n ° = T ´: (64:5) Claramente, E[° ] = (0;0) T y £ ¤ Var ° =
T
=
T
=
T
=
T
£ ¤ Var ´ ( £ ¤ Var ´
T
)T
C ¤
T
=¤: Es decir la transformaci¶o n (64.5) preserva la media, pero modi¯ca la matriz de varianzas-covarianzas, de C a ¤: De acuerdo con (64.5) , se tiene que 8 1 > > ° 1 =u 1 1 ´ 1 + u 1 2 ´ 2 = p (´ 1 + ´ 2 ) < 2 1 > > : ° 2 =u 2 1 ´ 1 + u 2 2 ´ 2 = p (´ 1 ¡ ´ 2 ) : 2
(64:6)
A la primera ecuaci¶o n se le conoce como primera componente principal y a la segunda como segunda componente principal. En ocasiones, el vector propio asociado con el valor propio m¶as grande, ¸ 1 , es llamado la primer componente principal, etc. Observe que Var [° 1 ] =
1 (2 + 2½ ) = 1 + ½ = ¸ 1 ; 2
Var [° 2 ] =
1 (2 ¡ 2½ ) = 1 ¡ ½ = ¸ 2 2
y Cov (° 1 ;° 2 ) =
1 1 Cov (´ 1 + ´ 2 ;´ 1 ¡ ´ 2 ) = (1 ¡ ½ + ½ ¡ 1) = 0: 4 4
Por lo anterior, det(C ) = Var [° 1 ] £ Var [° 2 ] Asimismo, se tiene que u 1 = arg max
y ½
traza(C ) = Var [° 1 ] + Var [° 2 ] :
max
f x :jjx jj= 1 g
¾ £T ¤ Var x ´ :
Si ahora se escribe, con base en las transformaciones (64.2) y (64.6) , se tiene que p dS 1 t = ¹ 1 S 1 t dt + ¾ 1 S 1 t dt° 1 y
p dS 2 t = ¹ 2 S 2 t dt + ¾ 2 S 2 t dt° 2 ; °1 = p ´2 = ½ "1 +
p
1 2
(" 1 + ´ 2 ) ;
1 ¡ ½ 2 ²2 ;
1 2
" 1 ;" 2 » N (0;1) ;
Var [" 1 ] = Var [´ 2 ] = 1;
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°2 = p
(" 1 ¡ ´ 2 ) ; Cov (" 1 ;" 2 ) = 0;
Cov (" 1 ;´ 2 ) = ½ :
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6 4 . V a lo r en riesg o
Por lo tanto, 1 Var [° 1 ] = Var [" 1 + ´ 2 ] 2 h i p 1 = Var (1 + ½ ) " 1 + 1 ¡ ½ 2 " 2 2 ¢ 1¡ = (1 + ½ ) 2 + 1 ¡ ½ 2 2 =1 + ½ ; 1 Var [° 2 ] = Var [" 1 ¡ ´ 2 ] 2 h i p 1 = Var (1 ¡ ½ ) " 1 ¡ 1 ¡ ½ 2 "2 2 ¢ 1¡ = (1 ¡ ½ ) 2 + 1 ¡ ½ 2 2 =1 ¡ ½ ;
³ ´ p p 1 Cov (° 1 ;° 2 ) = Cov (1 + ½ ) " 1 + 1 ¡ ½ 2 " 2 ;(1 ¡ ½ ) " 1 ¡ 1 ¡ ½ 2 "2 2 ¢ 1¡ = (1 + ½ ) (1 ¡ ½ ) ¡ (1 ¡ ½ 2 ) 2 = 0: As¶³ pues, con base en lo anterior, se puede escribir dS 1 t = ¹ 1 S 1 t dt + ¾ 1 S 1 t dW
1t
dS 2 t = ¹ 2 S 2 t dt + ¾ 2 S 2 t dW
2 t;
y donde dW
1t
= p
1 2
(dU
1t
+ dU
2 t)
dU
2t
= ½ dU
1t
Cov (dU
dW
; +
p
2t
= p
1 2
(dU
1t
¡ dU
2 t)
1 ¡ ½ 2 dV t ;
1 t ;dV t )
= 0:
De esta manera, Var [dW
Var [dW
1 t]
2 t]
1 = Var [dU 1 t + dU 2 h 1 = Var (1 + ½ ) dU 2 =(1 + ½ ) dt; 1 = Var [dU 1 t ¡ dU 2 h 1 = Var (1 ¡ ½ ) dU 2 =(1 ¡ ½ ) dt;
2 t] 1t
+
p
1 ¡ ½ 2 dV t
i
p
1 ¡ ½ 2 dV t
i
2 t] 1t
¡
Cov (dW 1 t ;dW 2 t ) ³ p 1 = Cov (1 + ½ ) dU 1 t + 1 ¡ ½ 2 dV t ;(1 ¡ ½ ) dU 2 ¢ 1¡ = (1 + ½ ) (1 ¡ ½ ) ¡ (1 ¡ ½ 2 ) dt 2 = 0:
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1t
¡
p
1 ¡ ½ 2 dV t
´
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6 4 . V a lo r en riesg o
Si se supone que ¹ 1 = ¹ 2 = 0, se cumple que r³ ´2 ³ ´2 d¦ =¦ dS =S dS =S VaR1 ¡ q = ® 1 VaR1 ¡ 1q 1 + ® 2 VaR1 ¡ 2q 2 r³ p ´2 ³ p ´2 p =z q ® 1¾ 1 ¸ 1 + ® 2¾ 2 ¸ 2 dt q p =z q ® 12 ¾ 12 ¸ 1 + ® 22 ¾ 22 ¸ 2 dt
=z q
s
2®
2¾ 2 1 1
μ
¸1 ¸1 + ¸2
¶
+ 2®
2 2 2¾ 2
μ
¸2 ¸1 + ¸2
¶
p
dt:
>Cu¶al es la utilidad del m¶e todo de componentes principales en el c¶alculo del VaR? La respuesta a esta pregunta es simple. Suponga que ½ = 0:95, entonces Var [dW
1 t]
= (1 + ½ ) dt = 1:95dt:
As¶³, la varianza de dW 1 ;t con respecto de la varianza total es ¸ 1 = (¸ 1 + ¸ 2 ) = 1:95= 2 = 0:975, p mientras quepla de dW 2 t s¶oplo explica el 0:025 (= ¸ 2 = (¸ 1 + ¸ 2 ) ) de la varianza total. Si ® 2 = 1= 2, ® 1 = 1 ¡ (1= 2) , ¾ 1 = 1= 10 y ¾ 2 = 0:05, entonces μ ¶ ¸2 2 2 2® 2 ¾ 2 = (0:0025) (0:025) = 0:0000625: ¸1 + ¸2 Por lo tanto, la segunda componente principal puede eliminarse ya que su contribuci¶o n a la varianza total es insigni¯cante. De esta manera, un problema de dimensi¶o n 2, de dos activos, puede reducirse a un problema de dimensi¶o n 1, de la combinaci¶o n lineal de los dos activos y s μ ¶ p p ¸1 d¦ =¦ 2 2 VaR1 ¡ q ¼ z q 2® 1 ¾ 1 dt = z q (0:1293) dt: ¸1 + ¸2
6 4 .1 1 V a lo r e n rie sg o in c re m e n ta l d e l re n d im ie n to d e u n p o rta fo lio En el c¶alculo del VaR del rendimiento de un portafolio, es natural preguntar cu¶al de los activos contribuye m¶as al riesgo total. El c¶alculo aislado del VaR para cada uno de los activos no es la aproximaci¶o n correcta debido a que se omiten los efectos de correlaci¶o n con los otros activos. En esta secci¶o n se determina la contribuci¶o n de cada uno de los activos en el VaR del rendimiento de un portafolio. Para ello se utiliza la propiedad de homogeneidad positiva y el teorema de Euler en (64.1) . Suponga que las din¶amicas de los precios, S 1 t y S 2 t , de dos activos son conducidas, respectivamente, por dS 1 t = ¹ 1 S 1 t dt + ¾ 1 S 1 t dW t y dS 2 t = ¹ 2 S 2 t dt + ¾ 2 S 2 t dU t ; de tal forma que Cov(dW t ;dU t ) = ½ dt; donde ¹ 1 ;¹ 2 2 IR y ¾ 1 ;¾ 2 > 0. El valor en riesgo del rendimiento de portafolio, calculado con anterioridad en la secci¶o n 64.8, satisface q p d¦ =¦ VaR1 ¡ q = z q ® 21 ¾ 12 + ® 22 ¾ 22 + 2® 1 ® 2 ¾ 1 ¾ 2 ½ dt ¡ (® 1 ¹ 1 + ® 2 ¹ 2 ) dt: El VaR incremental de un activo se de¯ne como la raz¶o n de cambio entre el VaR y la proporci¶o n del valor del portafolio que se invierte en el activo. Por supuesto, para esto hay que ver el VaR
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6 4 . V a lo r en riesg o
como funci¶o n de los porcentajes en que participan los activos en el portafolio. De esta manera, el VaR incremental con respecto de ® 1 , denotado por VaRI ®1 ¡1 q , est¶a dado por: @ VaR1 ¡ q (® 1 ;® 2 ) @®1 ! Ã p zq 2® 1 ¾ 1 + 2® 2 ¾ 1 2 p dt ¡ ¹ 1 dt = 2 (dt) ¡ 1 Var [d¦ t = ¦ t ] ³ ´ 1 t ;® dS 1 t + ® dS 2 t Cov dS p 1 S 2 S S 1t 2t p 1tp dt ¡ ¹ 1 dt =z q dt Var [d¦ t = ¦ t ] ³ ´ 1 t ; d¦ t Cov dS p S 1 t ¦t dt ¡ ¹ 1 dt =z q ¾ 1 r h ip dS 1 t Var S Var [d¦ t = ¦ t ] 1t p =z q ¾ 1 ¯ 1 dt ¡ ¹ 1 dt;
VaRI ®1 ¡1 q =
donde
³ ´ 1 t ; d¦ t Cov dS S 1 t ¦t ¯1 = r : h ip dS 1 t Var S Var [d¦ t = ¦ t ] 1t
Por lo tanto, en virtud del teorema de Euler, se puede escribir VaR1 ¡ q (® 1 ;® 2 ) =® 1 VaRI ®1 ¡1 q + ® 2 VaRI ®1 ¡2 q : Es decir, el VaR del rendimiento de un portafolio es una combinaci¶o n lineal convexa de los valores en riesgo incrementales. De esta manera, las posiciones se pueden cambiar para modi¯car el VaR. Este procedimiento es m¶as e¯ciente comparado con el uso de valores en riesgo en forma individual. Si se denota ¾ ¯ = ® 1 ¾ 1 ¯ 1 + ® 2 ¾ 2 ¯ 2 y ¹ ¯ = ® 1 ¹ 1 + ® 2 ¹ 2 , la expresi¶o n anterior se puede reescribir como VaR1 ¡ q (® 1 ;® 2 ) =® 1 VaRI ®1 ¡1 q + ® 2 VaRI ®1 ¡2 q p =z q (® 1 ¾ 1 ¯ 1 + ® 2 ¾ 2 ¯ 2 ) ¾ ¦ dt ¡ (® 1 ¹ 1 + ® 2 ¹ 2 ) dt p =z q ¾ ¯ dt ¡ ¹ ¯ dt: Es decir el VaR incremental (o marginal) de un portafolio est¶a asociado con las betas de dicho portafolio.
6 4 .1 2 ¶In d ic e d e H e r ¯ n d a h l-H ir sc h m a n El ¶³ndice de Her¯ndahl-Hirschman proporciona una medida de concentraci¶o n del valor en riesgo de los activos del portafolio. De acuerdo con la secci¶o n anterior, se puede escribir d¦ =¦ q
VaR1 ¡ donde
Xn
=
xk;
k= 1
x k = ® k VaRI ®1 ¡k q :
El ¶³ndice de Her¯ndahl-Hirschman se de¯ne como IHH =
Xn
y k2
k= 1
donde yk =
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xk d¦ =¦ q
VaR1 ¡
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6 4 . V a lo r en riesg o
Para ilustrar la utilidad de este ¶³ndice suponga, por ejemplo, que un portafolio contiene 4 activos para los cuales y 1 = 0:45, y 2 = y 3 = 0:25 y y 4 = 0:05. En este caso, IHH = 0:33 La interpretaci¶o n de este ¶³ndice es que su inverso 1= IHH = 3 signi¯ca que el portafolio baj o consideraci¶o n, de 4 activos, es equivalente a uno con tres activos que contribuyen igualmente al VaR original.
6 4 .1 3 V a R -p ro m e d io , A V a R (A v e ra g e V a R ), y e sp e ra n z a c o n d ic io n a l d e l V aR Un concepto muy u¶ til en administraci¶o n de riesgos es el VaR-promedio, el cual consiste en tomar el promedio de p¶e rdidas potenciales con respecto al cuantil q . As¶³ pues el VaR-promedio se de¯ne como Z 1 q AVaRX1 ¡ q = VaR1X ¡ s ds : q 0 Si, por ej emplo,
F X (x ) = 1 ¡ e ¡
¸x
; x > 0; ¸ > 0;
es decir, X es una variable aleatoria exponencial con par¶ametro ¸ > 0; se puede demostrar que VaRX1 ¡ Por lo tanto, se sigue que AVaRX1 ¡ q
q
=
ln(1 ¡ q ) : ¸
Z 1 q = VaR1X ¡ s ds q 0 Z 1 q ln(1 ¡ s ) = ds q 0 ¸ Zq 1 = ln(1 ¡ s ) ds : q¸ 0
Considere ahora el cambio de variable u = 1 ¡ s . En este caso, la ecuaci¶o n anterior puede escribirse como Z 1¡ q 1 AVaRX1 ¡ q = ¡ ln(u ) du q¸ 1 " ¯ # ¯1 ¡ q 1 =¡ (u ln(u ) ¡ u ) ¯ ¯ q¸ 1 1 [(1 ¡ q ) ln(1 ¡ q ) ¡ (1 ¡ q ) + 1] q¸ ·μ ¶ ¸ 1 1¡ q =¡ ln(1 ¡ q ) + 1 : ¸ q =¡
Por otro lado, la metodolog¶³a de valor en riesgo no proporciona informaci¶o n alguna cuando el tama~n o esperado del cambio de valor en el portafolio excede el umbral ¡ VaRX1 ¡ q . Por esta raz¶o n es conveniente introducir la siguiente medida de riesgo si se de¯ne esperanza condicional de la cola del VaR como £ ¤ E 1X¡ q = ¡ E IP X jX < ¡ VaR1X ¡ q ; se puede reescribir E 1X¡
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q
£ ¤ = E IP ¡ X jX < ¡ VaRX1 ¡ q ¯ £ ¤ = E ¡ X ¡ VaRX1 ¡ q + VaR1X ¡ q ¯X < ¡ VaR1X ¡ q ¯ £ ¤ = VaRX1 ¡ q + E ¡ X ¡ VaRX1 ¡ q ¯¡ VaRXq ¡ X > 0 ¯ £ ¤ = VaRX1 ¡ q ¡ E X + VaR1X ¡ q ¯VaRqX + X < 0 :
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707
6 4 . V a lo r en riesg o
Observe que si se denota VaRX1 ¡ ¡ u ¡ e (u ) : En este caso,
= ¡ u ; y se de¯ne e (u ) = E [ X ¡ u jX < u ] ; entonces E 1X¡
q
e (u ) =
Ru
=
Ru
¡ 1
¡ 1
q
=
(x ¡ u ) dF X (x )
F X (u ) x dF X (x ) ¡ u F X (u )
F X (u ) Zu 1 = x dF X (x ) ¡ u F X (u ) ¡ 1 μ ¶ Zu 1 = u F X (u ) ¡ F X (x ) dx ¡ u F X (u ) ¡ 1 Zu 1 =¡ F X (x ) dx : F X (u ) ¡ 1 Si se toma en cuenta que ¡ u = VaR1X ¡ q , se tiene que μ ¶ 1 ln(1 ¡ q ) 1 + ¸ ¸ 1 ¡ exp f ln(1 ¡ q ) g 1 ln(1 ¡ q ) = + : ¸ q¸
e (¡ VaRX1 ¡ q ) =
Por lo tanto, E 1X¡
q
=VaR1X ¡ q ¡ e (¡ VaR1X ¡ q )
ln(1 ¡ q ) 1 ln(1 ¡ q ) ¡ ¡ ¸ ¸ q¸ ·μ ¶ ¸ 1 1¡ q =¡ ln(1 ¡ q ) + 1 : ¸ q =
Es decir, AVaRX1 ¡
q
= E 1X¡ q :
6 4 .1 4 V a lo r e n rie sg o d e l re n d im ie n to d e u n p o rta fo lio y e l p e o r c a so d e V a R (P c -V a R ) En esta secci¶o n se determina el peor valor del VaR del rendimiento de un portafolio con dos activos en funci¶o n del coe¯ciente de correlaci¶o n de dichos activos. Si, en particular, ¹ 1 = ¹ 2 = 0, entonces p d¦ =¦ VaR1 ¡ q = Z T C Z ; donde Z =
Ã
dS =S 1
® 1 VaR1 ¡ 1q
dS =S 2
!
y
® 2 VaR1 ¡ 2q
C =
μ
1 ½
½ 1
¶
:
Si ½ · 1, entonces d¦ =¦ q
VaR1 ¡
p = ZTC Z r³ ´2 ³ ´2 dS =S dS =S d S =S d S =S = ® 1 VaR1 ¡ 1q 1 + 2® 1 ® 2 VaR1 ¡ 1q 1 VaR1 ¡ 2q 2 ½ + ® 2 VaR1 ¡ 2q 2 r³ ´2 ³ ´2 dS =S dS =S d S =S d S =S · ® 1 VaR1 ¡ 1q 1 + 2® 1 ® 2 VaR1 ¡ 1q 1 VaR1 ¡ 2q 2 + ® 2 VaR1 ¡ 2q 2 dS =S 1
=® 1 VaR1 ¡ 1q
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d S =S 2
+ ® 2 VaR1 ¡ 2q
:
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6 4 . V a lo r en riesg o
Esta cota superior es llamada el peor caso de VaR (Pc-VaR) . Obviamente, si ½ = 1, entonces C es la matriz unidad (todas las entradas de la matriz son iguales a 1) y p d¦ =¦ VaR1 ¡ q = Z T C Z r³ ´2 ³ ´2 dS =S dS =S d S =S d S =S = ® 1 VaR1 ¡ 1q 1 + 2® 1 ® 2 VaR1 ¡ 1q 1 VaR1 ¡ 2q 2 + ® 2 VaR1 ¡ 2q 2 d S =S 1
=® 1 VaR1 ¡ 1q
d S =S 2
+ ® 2 VaR1 ¡ 2q
:
Es decir, la cota superior es alcanzada cuando ½ = 1:
6 4 .1 5 V a lo r e n rie sg o d e u n p o rta fo lio y e l m o d e lo C A P M d ia g o n a l)
(M o d e lo
A continuaci¶o n se examina, baj o un conjunto de supuestos, la relaci¶o n que existe entre el valor en riesgo del rendimiento de un portafolio y el modelo CAPM (por las iniciales en ingl¶e s de Capital Asset Pricing Model) . Una de las formas del modelo CAPM establece que: E [dR donde dR
=
it
¡ r dt = ¯ i (E [dR
m t]
dS it = ¹ i dt + ¾ i dW S it
it ;
it ]
¡ r dt) ; i = 1;2;
(64:7)
(64:8)
y ¯i =
Cov(dR it ;dR m t ) : Var[dR m t ]
El sub¶³ndice m hace referencia al mercado. Se supone que Cov(dW
1 t ;dW 2 t )
= ½ 1 2 dt:
Observe que en este caso, el rendimiento del portafolio satisface dR donde ®1 =
¦
:=
w 1 S 1t ; ¦t
®2 =
Por lo tanto, Var [dR
d¦ t dS 1 t dS 2 t =®1 +®2 ; ¦t S 1t S 2t
¦
w 2 S 2t ¦t
y
® 1 + ® 2 = 1:
¡ ¢ ] = ® 12 ¾ 12 + ® 22 ¾ 22 + 2® 1 ® 2 ¾ 1 2 dt
(64:9)
y E [dR
¦
] = (® 1 ¹ 1 + ® 2 ¹ 2 ) dt:
(64:10)
Suponga ahora que dR
it
= Á i dt + ¯ i dR
m t
+ dU it ;
i = 1;2;
(64:11)
2 ¾ iu
donde U it es normal con E[dU it ] = 0 y Var[dU it ] = dt, y dR m t es normal con E[dR m t ] = ¹ m dt y Var[dR m t ] = ¾ m2 dt. Se supone adem¶as que Cov(dU it ;dR m t ) = 0 y Cov(dU 1 t ;dU 2 t ) = 0. Observe que si en la ecuaci¶o n anterior se escribe Á i = r (1 ¡ ¯ i ) y se toman esperanzas, se obtiene de nuevo la expresi¶o n (64.7) . Se puede veri¯car, a partir de (64.11) , que
y
¾ 1 2 dt = ¯ 1 ¯ 2 ¾ m2 dt
(64:12)
¡ ¢ 2 ¾ i2 dt = ¯ i2 ¾ m2 + ¾ iu dt; i = 1;2:
(64:13)
Observe adem¶as que de acuerdo con (64.8) y (64.11) ¾ i dW
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it
= ¯ i dR
m t
+ dU it ;
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6 4 . V a lo r en riesg o
lo cual produce de nuevo (64.13) , ¡ ¢ 2 ¾ i2 dt = ¯ i2 ¾ m2 + ¾ iu dt; i = 1;2; como era de esperarse. Las cantidades (64.12) y (64.13) se pueden reexpresar matricialmente como μ 2 ¶ μ ¶ μ 2 ¶ ¾ 1 ¾ 12 ¯1 ¾ 1u 0 2 §= = (¯1 ¯2 ) ¾m + : ¾ 2 1 ¾ 22 ¯2 0 ¾ 22 u Ahora bien, si se sustituyen (64.12) y (64.13) en (64.9) , se sigue que ¡ ¢ Var [dR ¦ ] = ® 12 ¯ 12 + ® 22 ¯ 22 + 2® 1 ® 2 ¯ 1 ¯ 2 ¾ m2 dt + (® 12 ¾ 12 u + ® 22 ¾ 22 u ) dt: Asimismo, de (64.8) y (64.11) se tiene que ¹ i = Á i + ¯ i¹ m ; con lo cual E [dR
¦
] = (® 1 Á 1 + ® 2 Á 2 ) dt + (® 1 ¯ 1 + ® 2 ¯ 2 ) ¹ m dt:
Esta expresi¶o n se puede simpli¯car a¶u n m¶as si se denotan Á ¦ = ® 1 Á 1 + ® 2 Á 2 , ¯ ¦ = ® 1 ¯ 1 + ® 2 ¯ 2 y ¾ ¦2 ;u = ® 12 ¾ 12 u + ® 22 ¾ 22 u , de tal suerte que Var [dR
¦
¡ ¢ ] = ¯ ¦2 ¾ m2 + ¾ ¦2 ;u dt
E [dR
¦
] = (Á ¦ + ¯ ¦ ¹ m ) dt:
En consecuencia, VaR1d ¡R q¦ = z q
q
¯ ¦2 ¾ m2 + ¾ ¦2 ;u
p
dt ¡ (Á ¦ + ¯ ¦ ¹ m ) dt:
Si la cantidad ¾ ¦2 ;u es despreciable (usualmente lo es) , se tiene que VaR1d ¡R q¦ = z q ¯ ¦ ¾ m
p
dt ¡ (Á ¦ + ¯ ¦ ¹ m ) dt:
Si, en particular, Á 1 = Á 1 = ¹ m = 0, entonces VaRd1 ¡R q¦ = ® 1 ¯ 1 z q ¾ m
p
dt + ® 2 ¯ 2 z q ¾ m
p
dt:
Esta expresi¶o n, bajo los supuestos establecidos, permite calcular el valor en riesgo del rendimiento de un portafolio mediante las betas de los activos y la volatilidad del mercado. Compare este resultado con el VaR incremental estudiado en la secci¶o n 64.9.
6 4 .1 6 V a lo r e n rie sg o d e l v a lo r d e u n p o rta fo lio c o n u n a c tiv o lib r e d e rie sg o En esta secci¶o n se calcula el valor en riesgo del valor de un portafolio con un activo libre de riesgo. El portafolio consiste de una acci¶o n y un dep¶o sito bancario. Considere un movimiento Browniano (W t ) t2 [0 ;T ]. Se supone que el precio, S t , de una acci¶o n es conducido por la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica dS t = ¹ S t dt + ¾ S t dW t ; donde ¹ 2 IR y ¾ > 0. Considere un portafolio ¦t = w S t + M ; donde M es una cantidad que se deposita en un banco y que paga una tasa de inter¶e s constante y libre de riesgo r . El cambio en el valor del portafolio satisface d¦ t = w dS t + M r dt:
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6 4 . V a lo r en riesg o
En este caso, E [d¦ t ] = (w ¹ S t + M r ) dt y
Var [d¦ t ] = w 2 ¾ 2 S t2 dt:
De esta manera, VaRd1 ¡¦ q = z q w ¾ S t
p
dt ¡ (w ¹ S t + M r ) dt:
En consecuencia, VaRw1 ¡d qS +
M rd t
= w VaRd1 ¡S q ¡ M r dt:
6 4 .1 7 V a lo r e n rie sg o d e l v a lo r d e u n p o rta fo lio c o n u n a c tiv o c o n r ie sg o c r¶e d ito A continuaci¶o n se calcula el valor en riesgo del valor de un portafolio con un activo con riesgo cr¶e dito. En particular, el portafolio consiste de una acci¶o n y un bono, en este u¶ ltimo existe una probabilidad positiva de que los intereses se recuperen parcialmente en T . Se supone que el precio, S t , de una acci¶o n es conducido por una ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica de la forma dS t = ¹ S t dt + ¾ S t dW t ; donde ¹ 2 IR, ¾ > 0 y (W t ) t2 [0 ;T ] es un movimiento Browniano. Considere un portafolio ¦t = w S t + M ; donde M es una cantidad que se destina a comprar un bono. Existe una probabilidad Q de que los intereses se recuperen parcialmente en T , es decir, si ± es la tasa de recuperaci¶o n de los intereses, entonces 0 < ± 0 < 1; IP ± f ± = ± 0 g = Q ; y IP ± f ± = 1g = 1 ¡ Q : El cambio en valor del portafolio satisface d¦ t = w dS t + M r ± dt: Sea X = ¦ T ¡ ¦ t , entonces E W [X j ±;F
t
] = (w ¹ S t + M r ± ) (T ¡ t)
y E [X j F t ] = E ± [E W [X j ±;F
t
] ] = (w ¹ S t + M r (1 ¡ Q (1 ¡ ± 0 ) ) ) (T ¡ t) :
Por otro lado, Var W [X j ±;F
t
] = w 2 ¾ 2 S t2 (T ¡ t) :
Por lo tanto, Var [X j F
t
] =Var ± [E W [X j ±;F 2
2
=w ¾ S
2 t (T
¡ t) :
t
] ] + E ± [Var W [X j ±;F
t
]]
En consecuencia, VaRX1 ¡
q
= zq w ¾ S t
p
T ¡ t ¡ (w ¹ S t + M r (1 ¡ Q (1 ¡ ± 0 ) ) ) (T ¡ t) :
La expresi¶o n anterior puede ser reescrita como VaRX1 ¡
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q
= w VaRd1 ¡S tq ¾ S t
p
T ¡ t ¡ ¹ M (T ¡ t) ;
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6 4 . V a lo r en riesg o
donde ¹ M = pago esperado de los de intereses del bono. Si ¡ VaRS1 ¡t q es el peor valor del cambio en el valor del activo, al (1 ¡ q ) 100% de con¯anza en [t;T ] , entonces la cantidad ¡ w VaRS1 ¡t q se reduce en el pago esperado de los de intereses del bono, ¹ M :
6 4 .1 8 V a lo r e n rie sg o d e p ro d u c to s d e riv a d o s, a p r o x im a c i¶o n D e lta -G a m m a En esta secci¶o n se calcula el valor en riesgo de un portafolio que contiene productos derivados. En lo que sigue, por simplicidad, se considera el caso de un portafolio con un activo y una opci¶o n europea de compra sobre dicho activo. Considere un movimiento Browniano (W t ) t2 [0 ;T ] de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad equipado con su ¯ltraci¶o n aumentada, ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;T ];IP) . Se supone que el precio, S t , de un activo subyacente, v.g., una acci¶o n, es conducido por dS t = ¹ S t dt + ¾ S t dW t ; donde ¹ 2 IR y ¾ > 0. Si c = c(S t ;t) es el valor de la opci¶o n europea de compra, entonces el cambio marginal en el precio de la opci¶o n, durante [t;t + dt] , satisface (v¶³a el lema de It^o ) dc =
μ
@c @ 2c @c + ¹ S t + 12 ¾ 2 S t2 @ S t2 @t @St
¶
dt +
@c ¾ S t dW t : @St
Considere ahora un portafolio con ! 1 unidades del activo subyacente y ! 2 unidades de una opci¶o n de compra sobre el subyacente, entonces el valor del portafolio est¶a dado por ¦ t = ! 1 S t + ! 2 c(S t ;t) : El cambio en el valor del portafolio, durante el instante dt, se calcula mediante ¶ μ @c ¹ S t dt !1 +!2 @St μ ¶ μ ¶ @c @ 2c @c + 12 ¾ 2 S t2 +!2 + ! ¾ S t dW t + ! 1 2 @t @ S t2 @St ¡ ¢¤ £ = (! 1 + ! 2 ¢) ¹ S t + ! 2 μ + 12 ¡¾ 2 S t2 dt + (! 1 + ! 2 ¢) ¾ S t dW t ;
d¦ t =
donde μ = Por lo tanto,
@c ; @t
¢=
@c @St
y
¡=
@ 2c : @ S t2
p VaRd1 ¡¦ q =z q (! 1 + ! 2 ¢) ¾ S t dt ¡ ¢¤ £ ¡ ! 1 ¹ S t + ! 2 μ + ¢¹ S t + 12 ¡¾ 2 S t2 dt:
En particular, si ! 1 = 1 y ! 2 = 0, p VaRd1 ¡S q = z q ¾ S t dt ¡ ¹ S t dt: De la misma forma, si ! 1 = 0 y ! 2 = 1, p ¢ ¡ VaRd1 ¡c q =z q ¾ ¢S t dt ¡ μ + ¢¹ S t + 12 ¡¾ 2 S t2 dt ¢ ¡ =¢VaRd1 ¡S q ¡ μ + 12 ¡¾ 2 S t2 dt:
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6 4 . V a lo r en riesg o
6 4 .1 9 V a lo r e n rie sg o d e u n d e r iv a d o c o n b a se e n u n a a p ro x im a c i¶o n c u a d r¶a tic a d e l p re c io d e l d e riv a d o Cuando un portafolio incluye productos derivados es conveniente considerar el sesgo de la distribuci¶o n del cambio de valor del derivado para calcular el VaR. En este sentido, cuando la Gamma es positiva el sesgo de la distribuci¶o n del cambio de valor del derivado es positivo, mientras que cuando la Gamma es negativa el sesgo de la distribuci¶o n es negativo. Sea c = c(S t ) el precio de una opci¶o n europea de compra. Considere la aproximaci¶o n cuadr¶atica del cambio en precio del derivado, dc ¼
@c dS t + @St
1 2
@ 2c (dS t ) 2 : @ S t2
Por lo tanto, ¤ ¡ ¢ £ Var [dc] ¼ ¢ 2 Var [dS t ] + 14 ¡ 2 Var (dS t ) 2 + ¢¡Cov dS t ;(dS t ) 2 : Si los momentos impares de dS t se anulan, entonces ¢ £ ¤ ¤ £ ¡ Cov dS t ;(dS t ) 2 = E (dS t ) 3 ¡ E [dS t ] E (dS t ) 2 = 0: En consecuencia,
¤ £ Var [dc] ¼ ¢ 2 Var [dS t ] + 14 ¡ 2 Var (dS t ) 2
y VaRd1 ¡c q ¼ z q
q
¢ 2 Var [dS t ] + 14 ¡ 2 Var [(dS t ) 2 ] :
En particular, si S t sigue un proceso de la forma dS t = ¾ S t dZ ; se tiene que
dZ » N (0;1) ;
¤ £ Var [dc] ¼ ¢ 2 Var [dS t ] + 14 ¡ 2 Var (dS t ) 2 ¤ £ =¢ 2 S t2 ¾ 2 + 14 ¡ 2 Var (dS t ) 2 ³ £ ¤ £ ¤2 ´ =¢ 2 S t2 ¾ 2 + 14 ¡ 2 E (dS t ) 4 ¡ E (dS t ) 2 ¡ ¢ =¢ 2 S t2 ¾ 2 + 14 ¡ 2 3S t4 ¾ 4 ¡ S t4 ¾ 4 =¢ 2 S t2 ¾ 2 + 12 ¡ 2 S t4 ¾ 4 :
Observe que en este caso Var[(dS t ) 2 ] = 2(Var[dS t ] ) 2 : Claramente, q VaRd1 ¡c q ¼ z q ¢ 2 S t2 ¾ 2 + 12 ¡ 2 S t4 ¾ 4 q =z q S t ¾ ¢ 2 + 12 ¡ 2 S t2 ¾ 2 :
6 4 .2 0 V a lo r e n r ie sg o y e x p a n si¶o n d e C o rn ish y F ish e r Usualmente en el c¶alculo del valor en riesgo de un portafolio con productos derivados, el tercer momento de la distribuci¶o n del precio del derivado se ignora. Sin embargo, dicho momento proporciona informaci¶o n relevante sobre el sesgo de la distribuci¶o n. En lo que sigue, se supone que la din¶amica del activo subyacente carece de tendencia. En particular, se supone que dZ » N (0;1) ; dS t = ¾ S t dZ ;
es decir dS t = S t tiene distribuci¶o n N (0;¾ 2 ) . En este caso, (dS t = ¾ S t ) 2 tiene distribuci¶o n  21 . Por lo tanto, "μ "μ ¶2 # ¶2 # dS t dS t E =1 y Var = 2: ¾St ¾St
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6 4 . V a lo r en riesg o
Si c = c(S t ) el precio de una opci¶o n europea de compra, la aproximaci¶o n cuadr¶atica del cambio en el precio del derivado, dc, satisface μ ¶2 dS t dS t 2 1 dc ¼ ¢S t + 2 ¡S t : St St Por lo tanto, (64:14) ¹ d c := E [dc] ¼ 12 ¡ 2 S t2 ¾ 2 : Tambi¶e n, dado que ¾ d2 c := Var [dc] ¼ ¢ 2 S t2 ¾ 2 + 12 ¡ 2 S t4 ¾ 4 ; se tiene que £ ¤ 2 E (dc) 2 ¼ ¢ 2 S t2 ¾ 2 + 12 ¡ 2 S t2 ¾ 2 + (E [dc] ) (64:15) =¢ 2 S t2 ¾ 2 + 34 ¡ 2 S t2 ¾ 2 : Por otro lado, μ ¶3 μ ¶4 μ ¶5 μ ¶6 dS t dS t dS t dS t 3 3 3 2 4 2 5 3 3 1 3 6 (dc) ¼ ¢ S t + 2 ¢ ¡S t + 4 ¢¡ S t + 8¡ St : St St St St Consecuentemente, "μ "μ ¶4 # ¶6 # £ 3¤ 3 2 4 dS t dS t 1 3 6 E (dc) ¼ 2 ¢ ¡S t E + 8¡ StE ; St St ya que los momentos impares de la distribuci¶o n normal con media cero se anulan. Asimismo, por propiedades de la distribuci¶o n normal "μ "μ ¶4 # ¶6 # dS t dS t 4 y E = 3¾ = 15¾ 6 : E St St En consecuencia,
¤ £ E (dc) 3 ¼
9 2
¢ 2 ¡S t4 ¾ 4 +
15 8
¡ 3 S t6 ¾ 6 :
(64:16)
El valor en riesgo corregido por sesgo utilizando la expansi¶o n de Cornish y Fisher, VaR-CF d1 ¡c q , se de¯ne en forma similar al valor en riesgo: VaR-CF d1 ¡c q = zeq ¾ d c ¡ ¹ d c q = zeq ¢ 2 S t2 ¾ 2 + 12 ¡ 2 S t4 ¾ 4 ¡ 12 ¡ 2 S t2 ¾ 2 q = zeq S t ¾ ¢ 2 ¾ 2 + 12 ¡ 2 S t2 ¾ 2 ¡ 12 ¡ 2 S t2 ¾ 2 ;
donde zeq es el percentil q corregido por sesgo de la expansi¶o n de Cornish y Fisher, y
zeq = z q + 16 (z q2 ¡ 1) · d3 c
(64:17)
h i 3 E (dc ¡ E[dc] ) ¾ d3 c ¤ £ ¤ £ E (dc) 3 ¡ 3E (dc) 2 ¹ d c + 2¹ 3d c = ¾ d3 c ¡ 2 2 3 2 2 2 ¢1 2 2 2 ¡1 2 2 2 ¢3 9 2 15 3 6 6 4 4 2 ¢ ¡S t ¾ + 8 ¡ S t ¾ ¡ 3 ¢S t ¾ + 4 ¡ S t ¾ 2¡ St¾ + 2 2¡ St¾ = ¡ 2 ¢3 = 2 ¢S t ¾ 2 + 12 ¡ 2 S t4 ¾ 4 1
· d3 c =
¡ 3 S t6 ¾ 6 ¡ 32 ¢¡ 2 S t4 ¾ 4 ¡ 98 ¡ 4 S t4 ¾ 4 + 14 ¡ 6 S t6 ¾ 6 ¡ 2 ¢3 = 2 ¢S t ¾ 2 + 12 ¡ 2 S t4 ¾ 4 ¡9 2 3 ¢ 4 4 ¡ 3 1 5 ¢1 3 6 6 9 3 ¡S t ¾ + ¡ + 2 4 ¡ S t ¾ 2 ¢ ¡ 2 ¢¡ ¡ 8 ¡ = ¡ 2 ¢3 = 2 ¢S t ¾ 2 + 12 ¡ 2 S t4 ¾ 4 ¢ 4 4 ¡ 3 1 5 ¢1 3 6 6 ¡9 2 3 9 3 ¡S t ¾ + ¡ + 2 4 ¡ S t ¾ 2 ¢ ¡ 2 ¢¡ ¡ 8 ¡ = ; ¡ ¢3 = 2 3 ¢ + 12 ¡ 2 S t2 ¾ 2 St¾3 =
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9 2
¢ 2 ¡S t4 ¾ 4 +
15 8
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6 4 . V a lo r en riesg o
en donde se han utilizado las f¶o rmulas (64.14) -(64.16) . Por u¶ ltimo, es importante j usti¯car la procedencia de la expresi¶o n (64.17) . Cornish y Fisher en 1937 desarrollaron una expansi¶o n para el cuantil, zeq , de una distribuci¶o n Fe(x ) en t¶e rminos los cuantiles de la distribuci¶o n normal est¶andar ©(x ) y de los cumulantes de Fe(x ) . Se supone que dichos cumulantes son conocidos. Concretamente, si Ze Z zq zq dFe(x ) = q = d©(x ) ; entonces
¡ 1
¡ 1
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ zeq =z q + 61 z q2 ¡ 1 · 3 + 214 z q3 ¡ 3z q · 4 ¡ 316 2z q3 ¡ 5z q · 32 ¡ ¢ ¡ ¢ + 1 21 0 z q4 ¡ 6z q2 + 3 · 5 ¡ 214 z q4 ¡ 5z q2 + 2 · 3 · 4 ¡ ¢ + 3 21 4 12z q4 ¡ 53z q2 + 17 · 33 + ¢¢¢;
donde ¹ 2 =· 2 ; ¹ 3 =· 3 ; ¹ 4 =· 4 + 3· 22 ; ¹ 5 =· 5 + 10· 2 · 3 .. . La cantidad ¹ i representa el i-¶e simo momento, de la distribuci¶o n de Fe(x ) , respecto a la media. Por u¶ ltimo, es importante mencionar que los polinomios asociados a la expansi¶o n de zeq especi¯cados mediante: x; x 2 ¡ 1;
x 3 ¡ 3x ;
x 4 ¡ 6x 2 + 3 .. . son conocidos como polinomios Hermitianos.
6 4 .2 1 V a lo r e n rie sg o d e u n b o n o c u p o¶ n c e ro En esta secci¶o n se calcula el VaR de un bono cup¶o n cero. Es importante destacar que si la tasa cup¶o n de un bono cuponado es constante, entonces el bono con cupones puede verse como la suma de bonos cup¶o n cero. Si B (t;T ) denota el precio de un bono que se coloca en t y que al vencimiento, T , paga una unidad monetaria y R = R (t;T ) es la curva de rendimiento asociada al bono, entonces en el contexto determinista y de tasa de inter¶e s continuamente capitalizable se tiene que B (t;T ) = e ¡
R (t;T )(T ¡ t)
:
(64:18)
La sensibilidad del bono con respecto al rendimiento est¶a dada por dB = ¡ (T ¡ t) B dR
(64:19)
y la duraci¶o n (de Macaulay) por ° := ¡
dB 1 = T ¡ t: dR B
(64:20)
La cantidades en (64.19) y (64.20) se miden en \unidades monetarias£ tiempo" y \tiempo" , respectivamente. A partir de (64.20) , se tiene que el cambio porcentual en el precio del bono satisface dB = ¡ ° dR : B
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715
6 4 . V a lo r en riesg o
De esta manera, E y
· ¸ dB = ¡ ° E [dR ] B
· ¸ dB Var = ° 2 Var [dR ] : B
Si se supone que dR » N (¹ d R ;¾ d2 R ) , entonces d B =B q
VaR1 ¡
=z q ° ¾ d R + ° ¹ d R
(64:21)
=z q (T ¡ t) ¾ d R + (T ¡ t) ¹ d R :
En caso de que R = R (t;T ) sea una cantidad aleatoria, en lugar de (64.18) , se tiene que ¯ o n ¯ B (t;T ) = E e ¡ R (T ¡ t) ¯F t : As¶³
¯ o n dB d ¯ = E e ¡ R (T ¡ t) ¯F t dR dR( ¯ ) d ¡ R (T ¡ t) ¯ ¯ =E e ¯F t ¯ dR ¯ n ¯ =E ¡ (T ¡ t) e ¡ R (T ¡ t) ¯F
t
o
= ¡ (T ¡ t) B :
2
Si dR » N (¹ d R ;¾ d R ) , se sigue de nuevo la ecuaci¶o n (64.21) .
6 4 .2 2 V a lo r e n rie sg o d e u n b o n o c u p o¶ n c e ro c o n ta sa c o rta c o n d u c id a p o r e l m o d e lo d e V a sic e k En el modelo de Vasicek la tasa corta, r t , tiene la siguiente din¶amica estoc¶astica dr t = a (b ¡ r t ) dt + ¾ dW ¶o rt = r0 e
¡ at
¡ + b 1 ¡ e¡
at
¢ +¾
Zt
(64:22)
t
e¡
a (t¡ s )
dW
s;
(64:23)
0
donde a ;b y ¾ son constantes positivas y conocidas, y W t es un movimiento Browniano de¯nido en un espacio de probabilidad ¯j o equipado con su ¯ltraci¶o n aumentada, ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;T ];IP) . Claramente, si r 0 es constante, r t se distribuye Normal con media ¡ ¢ E[r t ] = r 0 e ¡ a t + b 1 ¡ e ¡ a t (64:24) y varianza Var[r t ] = ¾ 2
Zt
e¡
2 a (t¡ s )
0
ds =
¾2 ¡ 1 ¡ e¡ 2a
2at
¢ :
(64:25)
Observe que para calcular la ecuaci¶o n anterior se ha utilizado la propiedad est¶andar de la integral del movimiento Browniano "μZ μZ t ¶ ¶2 # Z t t Var g (s ) dW s = E g (s ) dW s = [g (s ) ] 2 ds : (64:26) 0
0
0
Por otra parte, el precio de un bono cup¶o n cero se obtiene descontando el nominal, en este caso una unidad monetaria, con el promedio de los valores futuros de la tasa corta, es decir, ( Ã !¯ ) ZT ¯ ¯ B (r t ;t) = E exp ¡ r s ds ¯F t : ¯ t
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6 4 . V a lo r en riesg o
De¯na ahora I (t;T ) =
ZT
r s ds :
t
A continuaci¶o n se ver¶a que I (t;T ) es normal. Por un lado, en virtud del modelo de Vasicek en (64.22) , se sigue que ZT ZT ZT dr s = a b(T ¡ t) ¡ a r s ds + ¾ dW s : (64:27) t
t
t
Equivalentemente
ZT
r T ¡ r t = a b(T ¡ t) ¡ a I (t;T ) + ¾ En consecuencia, I (t;T ) = ¡
dW
s:
t
1 ¾ (r T ¡ r t ) + b(T ¡ t) + a a
ZT
dW s :
(64:28)
t
Por otro lado, del mismo modelo de Vasicek se tiene que si en (64.23) se sustituye 0 por t y t por T , es decir, se cambia de soluci¶o n con otro valor ¯nal, entonces ZT ³ ´ ¡ a (T ¡ t) ¡ a (T ¡ t) r T = r te +b 1¡ e +¾ e ¡ a (T ¡ s ) dW s : t
Por lo tanto, ³ r T ¡ r t =r t e ¡
a (T ¡ t)
´ ³ ¡ 1 + b 1 ¡ e¡
³ =(b ¡ r t ) 1 ¡ e ¡
a (T ¡ t)
´
+¾
a (T ¡ t)
ZT
e
´
+¾
ZT
e¡
a (T ¡ s )
¡ a (T ¡ s )
dW s :
t
¯ ) dI ¡ I ¯ ¯ ¡ e ¯F t ¯ dr t μ ¶ n ¯ 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) ¯ =¡ E e ¡ I ¯F a μ ¶ 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) =¡ B : a
dB =E dr t
(64:30) s)
¶
dW
s:
(
As¶³, dB =¡ B
μ
1 ¡ e ¡ a (T ¡ a
Es decir, dB = B sigue una distribuci¶o n normal con · ¸ μ dB 1 ¡ e ¡ a (T ¡ E =¡ B a μ 1 ¡ e ¡ a (T ¡ =¡ a
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s
(64:29)
A partir de (64.28) y (64.29) , se encuentra que " # ZT ³ ´ 1 I (t;T ) = ¡ (b ¡ r t ) 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) + ¾ e ¡ a (T ¡ s ) d W s a t ZT ¾ + b(T ¡ t) + dW s a t μ ¶ ZT μ 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) 1 ¡ e ¡ a (T ¡ =b(T ¡ t) + (r t ¡ b) +¾ a a t Por lo tanto,
dW
t
t)
t)
t)
¶
¶ ¶
t
o
dr t :
E [dr t ] a (b ¡ r t ) dt
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717
6 4 . V a lo r en riesg o
y · ¸ μ dB 1 ¡ e ¡ a (T ¡ Var = B a μ 1 ¡ e ¡ a (T ¡ = a
t)
t)
¶2
Var [dr t ]
¶2
¾ 2 dt:
De esta manera, d B =B q
VaR1 ¡
= z q D (t;T ) ¾
p
dt + D (t;T ) a (b ¡ r t ) dt
(64:31)
donde D (t;T ) =
1 ¡ e ¡ a (T ¡ a
t)
:
Si desea utilizar la ecuaci¶o n (64.21) , como alternativa para calcular el VaR de un bono cup¶o n cero, observe que la curva de rendimiento est¶a dada por μ 1 ¡ e ¡ a (T ¡ t) 1 ¡ e ¡ a (T ¡ R (t;T ) = r t ¡ a (T ¡ t) a (T ¡ t) ¡ ¢ 2 ¡ a (T ¡ t) 2 ¾ 1¡ e + : 4a 3 (T ¡ t)
t)
¶μ ¶ ¾2 ¡ 1 b¡ 2a 2
Evidentemente, dR =
1 ¡ e ¡ a (T ¡ a (T ¡ t)
t)
dr t :
Por lo tanto, ¹ d R = E[dR ] =
μ
=
μ
1 ¡ e ¡ a (T ¡ a (T ¡ t) 1 ¡ e ¡ a (T ¡ a (T ¡ t)
t)
t)
¶ ¶
E[dr t ] a (b ¡ r t ) dt:
y ¾ d R = Var[dR ] =
μ
=
μ
2
1 ¡ e ¡ a (T ¡ a (T ¡ t) 1 ¡ e ¡ a (T ¡ a (T ¡ t)
t)
t)
¶2
Var[dr t ]
¶2
¾ 2 dt:
De esta manera, d B =B q
VaR1 ¡
=z q ° ¾ d R + ° ¹ d R p =z q D (t;T ) ¾ dt + D (t;T ) a (b ¡ r t ) dt;
y como era de esperarse se tiene plena coincidencia con (64.31) .
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6 4 . V a lo r en riesg o
6 4 .2 3 V a lo r e n r ie sg o d e u n b o n o c u p o¶ n c e r o , d u ra c i¶o n y c o n v e x id a d Hasta ahora se ha calculado el valor en riesgo de un bono cup¶o n cero tomando en cuenta la duraci¶o n. Sin embargo, el empleo de la duraci¶o n est¶a asociada a peque~n os desplazamientos paralelos de la curva de rendimiento, dR : Es decir, la duraci¶o n s¶o lo es u¶ til para cuanti¯car el riesgo de mercado de un bono cup¶o n cero debido a peque~n os desplazamientos de R = R (t;T ) . Por lo tanto, se requiere incorporar otra cantidad que mida el cambio en la duraci¶o n misma para modelar en forma m¶as realista el valor en riesgo del bono cup¶o n cero. Esta cantidad se conoce como convexidad y se de¯ne como ³ =
1 d2 B 1 d° : = B dR B dR 2
Considere la siguiente aproximaci¶o n de serie de Taylor en t¶e rminos de segundo orden dB 1 dB 1 = dR + B B dR 2
μ
1 d2 B B dR 2
¶
(dR ) 2
¼ ¡ ° dR + 12 ³ (dR ) 2 donde ° y ³ son la duraci¶o n y convexidad del bono. En particular, si dR = ¾ dZ ; se tiene que
y
· ¸ dB E ¼ B
1 2
dZ » N (0;dt) ;
³ E[(dR ) 2 ] = 12 ³ ¾ 2 E[Z 2 ] = 12 ³ ¾ 2 dt
· ¸ ¤ £ dB Var ¼ ° 2 Var [dR ] + 14 ³ 2 Var (dR ) 2 ¡ ° ³ Cov(dR ;(dR ) 2 ) : B
Observe que en este caso ¢ £ ¤ £ ¤ ¡ Cov dR ;(dR ) 2 = E (dR ) 3 ¡ E [dR ] E (dR ) 2 = 0; ya que los momentos impares de dR se anulan. Por lo tanto, · ¸ ¤ £ dB ¼ ° 2 ¾ 2 + 14 ³ 2 Var (dR ) 2 Var B ³ £ ¤ £ ¤2 ´ =° 2 ¾ 2 + 14 ³ 2 E (dR ) 4 ¡ E (dR ) 2 ¡ ¢¤ £ = ° 2 ¾ 2 + 14 ³ 2 3¾ 4 ¡ ¾ 4 dt ¢ ¡ = ° 2 ¾ 2 + 12 ³ 2 ¾ 4 dt: En consecuencia, dB =B q
VaR1 ¡
q
p ° 2 ¾ 2 + 12 ³ 2 ¾ 4 dt ¡ 12 ³ ¾ 2 dt q p =z q ¾ ° 2 + 12 ³ 2 ¾ 2 dt ¡ 12 ³ ¾ 2 dt :
¼ zq
6 4 .2 4 V a lo r e n r ie sg o d e u n c o n tr a to fo r w a r d d e tip o d e c a m b io Los contratos forward de tipo de cambio son muy populares en los mercados sobre mostrador. A continuaci¶o n se calcula el VaR para este tipo de contrato. Sea V el valor de un contrato forward sobre tipo de cambio, en condiciones de equilibrio, entonces V = (F t;T ¡ K ) e ¡ R d (t;T )(T ¡ t) ;
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6 4 . V a lo r en riesg o
donde F t;T es el tipo de cambio forward, K es el tipo de cambio pactado y R d (t;T ) es la tasa de inter¶e s dom¶e stica de plazo T ¡ t. En este caso, el tipo de cambio forward satisface F t;T = S t e (R
d (t;T
)¡ R
f
(t;T ))(T ¡ t)
;
donde S t es el tipo de cambio nominal (moneda dom¶e stica= moneda extranj era) y R f (t;T ) es la tasa extranj era de plazo T ¡ t. De esta forma, el valor del contrato puede reescribirse como V = S te ¡
R
f
(t;T )(T ¡ t)
¡ K e¡
R
d (t;T
)(T ¡ t)
:
Evidentemente, V = V (S t ;R d ;R f ) . Por lo tanto, la diferencial de V satisface @V @V dS t + dR @St @R d
dV =
d
@V dR f ; @R f
+
es decir, dV = e ¡
R
f
(t;T )(T ¡ t)
dS t + (T ¡ t) K e ¡
R
d (t;T
)(T ¡ t)
dR
¡ (T ¡ t) S t e ¡
d
R
f
(t;T )(T ¡ t)
dR f :
Dado que dB d = ¡ (T ¡ t) dR Bd
y
d
dB f = ¡ (T ¡ t) dR f : Bf
se tiene dV = S t e ¡
R
f
(t;T )(T ¡ t) dS t
St
¡ K e¡
R
d (t;T
)(T ¡ t) dB d
B
+ S te ¡
R
f
(t;T )(T ¡ t) dB f
B
d
f
¶o , en forma m¶as breve, dV dS t dB d dB f = ¤1 + ¤2 + ¤3 ; V St Bd Bf donde ¤1 = S te ¡
R
f
(t;T )(T ¡ t)
= V ; ¤2 = ¡ K e ¡
R
d (t;T
)(T ¡ t)
=V
y ¤3 = S te ¡
R
f
(t;T )(T ¡ t)
=V :
Suponga que las tasas cortas dom¶e stica y extranjera satisfacen, respectivamente, (d )
dr t
(d )
(d )
= ® (r t ;t) dt + ¯ (r t ;t) dW
2t
(64:32)
3 t:
(64:33)
y (f )
dr t
(f )
(f )
= ± (r t ;t) dt + ´ (r t ;t) dW
Asimismo, suponga que existen M = M (t;T ) y N = N (t;T ) tales que dR
d
=
M (t;T ) (d ) dr t T ¡ t
y
dR
f
=
N (t;T ) (f ) dr t : T ¡ t
(64:34)
Muchos de los modelos m¶as usuales de valuaci¶o n de bonos cup¶o n cero que se basan en la din¶amica de la tasa corta permiten que la curva de rendimiento se pueda escribir como en (64.34) . De esta manera, dB d (d ) (d ) = ¡ M (t;T ) ® (r t ;t) dt ¡ M (t;T ) ¯ (r t ;t) dW 2 t Bd y dB f (f ) (f ) = ¡ N (t;T ) ± (r t ;t) dt ¡ N (t;T ) ´ (r t ;t) dW 3 t ; Bf o en forma m¶as compacta dB d = ¹ 2 dt + ¾ 2 dW Bd
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2t
(64:35)
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6 4 . V a lo r en riesg o
y dB f = ¹ 3 dt + ¾ 3 dW Bf donde
(d )
(64:36)
3 t;
(d )
¹ 2 = ¡ M (t;T ) ® (r t ;t) ;
¾ 2 = M (t;T ) ¯ (r t ;t) ;
(f )
¹ 3 = ¡ N (t;T ) ± (r t ;t)
(f )
y
¾ 3 = N (t;T ) ´ (r t ;t) :
Observe que se ha utilizado el hecho de que si dW it es movimiento Browniano, ¡ dW 2 t tambi¶e n lo es. Suponga adem¶as que la din¶amica estoc¶astica del tipo de cambio es conducida por dS t = ¹ 1 dt + ¾ 1 dW St y que Cov(dW
it ;dW j t )
dV =V VaR1 ¡ q
= ½ ij dt; j = 1;2;3: Por lo tanto,
v u u X3 = zq t ¤ i2 ¾ i2 + 2
¶o dV =V VaR1 ¡ q
1t
i= 1
X3
¤ i ¤ j ¾ i ¾ j ½ ij
p
dt ¡
1 · i< j · 3
v u u X3 t = zq ¤ 2i ¾ i2 + 2 i= 1
X3
¤ i ¤ j ¾ ij
p
1 · i< j · 3
Ã
!
¤ i ¹ i dt
i= 1
Ã
dt ¡
X3
X3
!
¤ i ¹ i dt:
i= 1
6 4 .2 5 V a lo r e n rie sg o d e u n sw a p d e ta sa d e in te r¶e s En ausencia de riesgo cr¶e dito, un swap de tasa de inter¶e s puede verse como la diferencia de dos bonos cuponados, uno de tasa cup¶o n ¯j a y otro de tasa cup¶o n °otante. Es usual llamar al bono cuponado de tasa cup¶o n ¯j a como \pata ¯j a" y al bono cuponado de tasa cup¶o n °otante como \pata °otante" . En la fecha en que pacta un swap, su precio es cero. Un d¶³a despu¶e s ya no es cero, a menos que sea por pura casualidad. Observe que con respecto de la pata °otante, inmediatamente despu¶e s de cualquier pago, el precio del bono con tasa cup¶o n °otante es igual al principal. Para ¯j ar ideas, suponga que el swap se pacta en t = 0, que las fechas de pago son T 1 , T 2 y T 3 , las cuales son igualmente espaciadas, y que el principal es N . Inmediatamente despu¶e s del primer pago, en t = T 1 + dT 1 con dT 1 > 0, V t = N ¡ ReK N
μ
1 1 + Rb1
+
1 1 + Rb2
¶
(64:37)
donde ReK = R K ¢T i ; i = 1;2;3; Rbi = R (t;T i+ 1 ) (T i+ 1 ¡ t) ; i = 1;2: En este caso R (t;T ) es la curva de ceros asociada al bono cuponado de tasa constante. Ahora bien, inmediatamente antes de T 1 se espera el pago del principal N m¶as el primer pago de tasa °otante Re1 N . Para valuar el swap, es necesario traer N + Re1 N a valor presente y deducir los pagos a tasa ¯j a, es decir, V t = (N + Re1 N )
μ
1 1+R
donde t = T 1 ¡ dT 1 con dT 1 > 0, y R
¶
1
i
¡ ReK N
μ
1 1+R
1
1 + 1+R
1 + 1+R
2
¶
;
3
= R (t;T i ) (T i ¡ t) , i = 1;2;3: En consecuencia,
dV t dB 1 dB 2 dB 3 =A1 +A 2 +A 3 ; Vt B1 B2 B3
(64:38)
donde A
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1
= B 1 (1 + Re1 ¡ ReK ) N V t¡ 1 ;
A
2
= ¡ ReK N B 2 V t¡
1
y
A
3
= ¡ ReK N B 3 V t¡ 1 :
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6 4 . V a lo r en riesg o
Si se supone que
¡ ¢ dB i » N ¹ i (T i ¡ t) ;¾ i2 (T i ¡ t) ; i = 1;2;3; Bi
con Cov
μ
dB i dB j ; Bi Bj
¶
(64:39)
= ¾ ij min(T i ¡ t;T j ¡ t) ; j = 1;2;3;
donde ¹ i ;¾ ij 2 IR, ¾ i > 0, i;j = 1;2;3; son constantes conocidas, entonces d V =V t
VaR1 ¡ tq
v u u X3 =z q t A i2 (T i ¡ t) ¾ i2 + 2 ¡
Ã
i= 1
X3
i= 1
A i ¹ i (T i ¡ t)
!
X3
1 · i< j · 3
A i A j ¾ ij [min(T i ;T j ) ¡ t]
:
6 4 .2 6 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Ahn, D., J. Boudoukh, M. Richardson, and R. F. Whitelaw (1999) . \Optimal Risk Management Using Options" . T h e J o u rn a l o f F in a n ce, Vol. 54, No. 1, pp. 359-375. Du±e, D. and J. Pan. (1997) . \An Overview of Value at Risk" . J o u rn a l o f D eriva tives, Vol. 4, No. 3, pp. 7-49. Jorion, P. (2001) . Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk. Second Edition. McGraw-Hill. Macaulay, F. R. (1938) . Some Theoretical Problems Suggested by the Movements of Interest Rates, Bond Yield, and Stock Prices in the United States since 1856. Columbia University Press. New York. J. P. Morgan Bank (1995) . RiskMetrics Technical Manual. New York.
6 4 .2 7 E je rc ic io s 6 4 .1 Suponga que X » N (¹ X (T ¡ t) ;¾ X2 (T ¡ t) ) , demuestre que © ª exp ¹ X (T ¡ t) + 21 ¾ X2 (T ¡ t) =
Z1 0
n o X exp ¡ VaR1 ¡ q dq :
S o lu ci¶o n : Es su¯ciente utilizar la funci¶o n generatriz de momentos de una variable aleatoria normal. 6 4 .2 Sea X es una variable aleatoria continua de¯nida en ( ;F ;IP μ ) , encuentre el valor de q para el que se cumple VaR1¡ ¡X q = ¡ VaR1X ¡ q : S o lu ci¶o n : Utilice el hecho de que VaR1¡ ¡X q = ¡ VaRqX . 6 4 .3 Suponga que X » N (¹ X (T ¡ t) ;¾ X2 (T ¡ t) ) y Y » N (¹ Y (T ¡ t) ;¾ Y2 (T ¡ t) ) con Cov(X ;Y ) = ½ X Y (T ¡ t) , demuestre que si 1 ¡ q = 0:5 X + Y
VaR0 :5
X
Y
= ¡ (¹ X + ¹ Y ) (T ¡ t) = VaR0 :5 + VaR0 :5
independientemente del valor y signo de ¾ X Y . En otras palabras, si q = 0:5, entonces el VaR es una funci¶o n lineal. S o lu ci¶o n : Es su¯ciente notar que 1 ¡ q = 0:5 implica z q = 0.
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6 4 . V a lo r en riesg o
6 4 .4 Para el caso del VaR del cambio en valor de un portafolio, q p VaRd1 ¡¦ q =z q w 12 S 12 t ¾ 12 + w 22 S 22 t ¾ 22 + w 1 w 2 S 1 t S 2 t ¾ 1 ¾ 2 ½ dt ¡ (w 1 S 1 t ¹ 1 + w 2 S 2 t ¹ 2 ) dt; determine su descomposici¶o n en valores en riesgo incrementales. 6 4 .5 Sea § una matriz de varianza-covarianza. Suponga que § es una matriz de varianzacovarianza de 3£ 3, la cual se puede representar como § =A A
T
:
Asimismo, suponga que " » (0 ;I) y considere la transformaci¶o n dada por ´ = A ´ , entonces ´ :=» (0 ;§) : £¤ En efecto, obviamente, E ´ = 0 y
£ ¤ £ E ´ ´ T = E A " "T A
T
¤ £ ¤ = A E " "T A
Aplique la factorizaci¶o n de Cholesky para obtener de n £ n . S o lu ci¶o n : Denote 0 2 ¾ 1 ¾ 12 § = @ ¾ 2 1 ¾ 22 ¾ 31 ¾ 32
T
=A A
T
= §:
A a trav¶e s de §. Generalice a matrices 1 ¾ 13 ¾ 23 A ; ¾ 32
donde ¾ ij = ½ ij ¾ i ¾ j con i 6= j . Sea A una matriz triangular inferior de 3 £ 3 0 1 a 11 0 0 A = @ a 21 a 22 0 A: a 31 a 32 a 33 De esta manera, 0 2 ¾1 @ ¾ 21 ¾ 31
¾ 12 ¾ 22 ¾ 32
1 0 10 1 ¾ 13 a 11 0 0 a 11 a 21 a 31 ¾ 23 A = @ a 21 a 22 0 A @ 0 a 22 a 32 A 2 ¾3 a 31 a 32 a 33 0 0 a 33 0 2 1 a 11 a 11 a 21 a 11 a 31 = @ a 11 a 21 a 22 1 + a 22 2 a 21 a 31 + a 22 a 32 A : a 1 1 a 3 1 a 3 1 a 2 1 + a 2 2 a 3 2 a 32 1 + a 32 2 + a 32 3
En consecuencia, se tiene la siguiente soluci¶o n recursiva ¾ 12 = a 21 1
)
¾ 21 = a 11 a 21
a 11 = ¾ 1 )
¾ 22 = a 22 1 + a 22 2 ¾ 31 = a 11 a 31
) )
¾ 32 = a 21 a 31 + a 32 a 22 ¾ 32 = a 21 1 + a 22 2 + a 32 3
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¾ 21 a 11 q a 2 2 = ¾ 22 ¡ a 22 1 ¾ 31 a 31 = a 11 1 ) a 32 = (¾ 3 2 ¡ a 2 1 a 3 1 ) a q2 2 ) a 3 3 = ¾ 32 ¡ a 21 1 ¡ a 22 2 ; a 21 =
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6 4 . V a lo r en riesg o
Para el caso general de matrices de n £ n se tiene que Ã
a ii = y a ij
1 = a ii
Ã
¾ i2
¡
¾ ij ¡
i¡ 1 X
a 2ik
!1 = 2
k= 1
i¡ 1 X
a ik a j k
!1 = 2
;
k= 1
con j = i + 1;i + 2;:::;n . 6 4 .6 Calcule el VaR de un bono cup¶o n cero cuando la tasa corta, r t , es conducida por el modelo de Merton dr t = bdt + ¾ dW t ; donde b y ¾ son cantidades constantes, positivas y conocidas, y (W t ) t2 [0 ;T ] es un movimiento Browniano de¯nido en un espacio de probabilidad con una ¯ltraci¶o n, ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;T ];IP) . Aqu¶³, F t es toda la informaci¶o n relevante disponible en el tiempo t. S o lu ci¶o n : Basta proceder como en el modelo de Vasicek de la secci¶o n 64.22 tomando en cuenta r s = r t + b(s ¡ t) + ¾
y
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Zs
dW
u
;
t
£ ¯ ¤ E r s ¯F t = r t + b(s ¡ t)
£ ¯ ¤ Var r s ¯F t = ¾ 2 (s ¡ t) :
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.
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3/5/08 7:12:19 PM
C A P ¶IT U L O 65 M E D ID A S C O H E R E N T E S D E R IE S G O : A X IO M A¶ T IC A D E A R T Z N E R , D E L B A E N , EBER Y H EATH C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ²
Medidas coherentes de riesgo Varianza Valor en riesgo (VaR) Esperanza condicional de la cola del VaR Teorema de representaci¶o n de medidas coherentes de riesgo
6 5 .1 In tro d u c c i¶o n En las u¶ ltimas d¶e cadas, el desarrollo de medidas de riesgo ha mostrado una tendencia creciente. Sin embargo, la mayor¶³a de medidas no cumplen con propiedades b¶asicas ni deseables. Por ej emplo, algunas de ellas no re°ejan la reducci¶o n del riesgo de mercado cuando se diversi¯ca y otras m¶as subestiman p¶e rdidas potenciales. El trabaj o seminal de Artzner et a l (1999) , sobre medidas coherentes de riesgo, ha conducido a cambios y transformaciones profundas en la forma de cuanti¯car los riesgos. En este trabaj o las propiedades b¶asicas y/o deseables de una medida coherente de riesgo se expresan a trav¶e s de un conj unto de axiomas; cuatro para ser precisos. Uno de los ob jetivos que persigue este cap¶³tulo es derivar un conj unto de propiedades adicionales de las medidas coherentes de riesgo que se desprenden de los axiomas. Asimismo, se examinan varias medidas de riesgo de uso frecuente para indagar si son coherentes o no. Cuando no hay coherencia se proporcionan en detalle varios contraej emplos. El presente cap¶³tulo va m¶as all¶a de veri¯car si una medida de riesgo es coherente o no. En este sentido, con base en el concepto de c¶o pula de distribuciones y las propiedades de las colas de combinaciones convexas de distribuciones Gaussianas, se muestra que el uso de la varianza como una medida de riesgo conlleva a limitaciones m¶as serias que el satisfacer o no un conj unto de axiomas de coherencia. Espec¶³¯camente, la varianza es incapaz de distinguir diferencias entre las colas de distribuciones. Se muestra que el valor en riesgo (VaR) no es una medida subaditiva y, por lo tanto, no satisface las propiedades requeridas de coherencia, como se ver¶a m¶as adelante. Esta metodolog¶³a de uso com¶u n subestima p¶e rdidas potenciales pues no proporciona informaci¶o n cuando el tama~n o de la p¶e rdida excede el umbral determinado por el VaR. Afortunadamente, se puede construir una medida de riesgo que s¶³ toma en cuenta dicha informaci¶o n, la llamada esperanza condicional de la cola del valor en riesgo. Al respecto, se muestra que la esperanza condicional de la cola del VaR, o simplemente VaR condicional, es una medida coherente de riesgo. No s¶o lo la propiedad de subaditividad es la que con menos frecuencia es satisfecha. En este sentido, se proporciona un ej emplo de una medida de riesgo, en t¶e rminos del precio de una opci¶o n europea de venta, que no es invariante baj o traslaciones. En este caso, el valor de mercado de los t¶³tulos (de capital y/o deuda) de una empresa sigue un movimiento geom¶e trico Browniano y existe en el mercado una opci¶o n europea de venta que paga dicho valor de mercado si la empresa se declara en bancarrota en una fecha futura predeterminada, y cero en otro caso, bajo una medida de probabilidad neutral al riesgo. Asimismo, se propone una demostraci¶o n sencilla del teorema de representaci¶o n de medidas coherentes de riesgo en t¶e rminos de una familia de probabilidades condicionales. Por u¶ ltimo, se establecen varias reglas sencillas para construir medidas coherentes a partir de otras medidas coherentes.
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726
6 5 . M ed id a s co h eren tes d e riesg o ...
El presente cap¶³tulo se encuentra organizado de la siguiente manera. En la pr¶oxima secci¶o n se de¯ne, en t¶e rminos generales, una medida de riesgo. En las secciones 3 y 4 se enlistan y j usti¯can los axiomas que de¯nen una medida coherente de riesgo. En el transcurso de la secci¶o n 5 se muestra que la varianza no es una medida coherente de riesgo. En la secci¶o n 6 se exhibe que el uso de la varianza como una medida de riesgo conlleva a limitaciones m¶as serias que satisfacer o no un conjunto de axiomas de coherencia. En la secci¶o n 7 se muestra que el valor en riesgo (VaR) no es una medida coherente de riesgo, en particular, el VaR no re°ej a la reducci¶o n de riesgo cuando se diversi¯ca. A trav¶e s de la secci¶o n 8, se proporciona un ejemplo de una medida de riesgo, en t¶e rminos del precio de una opci¶o n europea de venta, que no es invariante baj o traslaciones. En la secci¶o n 9 se muestra que la esperanza condicional de la cola del VaR es una medida coherente de riesgo. En la secci¶o n 10 se demuestra el teorema de representaci¶o n de medidas coherentes de riesgo en t¶e rminos de una familia de probabilidades condicionales. En la secci¶o n 11 se establecen varias reglas para construir medidas coherentes a partir de otras medidas coherentes. Por u¶ ltimo, en la secci¶o n 12, se presentan las conclusiones del cap¶³tulo.
6 5 .2 M e d id a s d e rie sg o El posible cambio en el valor de un portafolio, en una fecha futura, ser¶a visto, de ahora en adelante, como una variable aleatoria. Una medida de riesgo se de¯ne como una funci¶o n de dicha variable aleatoria. En forma m¶as precisa, considere un intervalo de tiempo [t;T ] . El valor inicial, en t, de un portafolio que consiste de w 1 unidades del activo S 1 t y w 2 unidades del activo S 2 t est¶a dado por ¦t = w 1 S 1 t + w 2 S 2 t: El cambio en el valor del portafolio, entre las fechas t y T , manteniendo las cantidades w constantes, es decir, sin rebalancear el portafolio, satisface X := ¦ T ¡ ¦ t = w 1 D
1T
+ w 2D
2T
1
yw
2
(65:1)
donde D
1T
= S 1 T ¡ S 1 t;
D
2T
= S 2 T ¡ S 2 t:
Si S 1 T : 1 ¡ ! IR y S 2 T : 2 ¡ ! IR son variables aleatorias de¯nidas sobre dos espacios muestrales, entonces X : ¡ ! IR, con = 1 £ 2 , es una variable aleatoria asociada al cambio en el valor del portafolio. Asimismo, se supone que X est¶a de¯nida sobre un espacio de probabilidad ¯j o ( ;F ;IP) . Se de¯ne la familia A = fX j X :
¡ ! IRg :
De ahora en adelante, la variable aleatoria X ser¶a llamada cambio en el valor del portafolio y A denotar¶a el conjunto de todos los posibles cambios en el valor del portafolio. Evidentemente, el esquema anterior puede generalizarse, sin di¯cultad, a un portafolio con m¶as de dos activos. Una medida de riesgo ser¶a vista como una funci¶o n ½ : A ¡ ! IR. En t¶e rminos generales, una medida de riesgo ser¶a de¯nida con base en una medida de probabildad IP. Por otro lado, si en lugar del cambio en el valor del portafolio, ¦ T ¡ ¦ t , se considera el rendimiento del portafolio, ¦T ¡ ¦t S 1T ¡ S 1t S 2T ¡ S 2t =®1 +®2 ; ¦t S 1t S 2t donde ®1 =
w 1 S 1t ; ¦t
®2 =
w 2 S 2t ¦t
y
(65:2)
® 1 + ® 2 = 1;
se tiene que los rendimientos (cambios porcentuales en los precios) de los activos est¶an acotados inferiormente por ¡ 1, mientras que los cambios en valor de los activos D 1 T y D 2 T pueden tomar cualquier valor en IR. En ocasiones, la variable aleatoria X asociada al cambio en el valor de un portafolio entre dos fechas, recibe el nombre de riesgo, lo cual parece apropiado y en cuyo caso ½ (X ) deber¶³a leerse como \medida de riesgo del riesgo X ," lo cual genera repetici¶o n de t¶e rminos. Compare esta
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situaci¶o n con el caso de una medida de probabilidad, la cual es llamada simplemente probabilidad, si a la medida de riesgo se le llama simplemente riesgo, entonces ½ (X ) deber¶³a leerse como \riesgo del riesgo." Para evitar estos problemas de terminolog¶³a se insiste en hacer referencia a X como el cambio en valor de un portafolio, o incluso de manera simple como un elemento de A y en el peor de los casos como la posici¶o n X .
6 5 .3 P ro p ie d a d e s d e se a b le s d e u n a m e d id a c o h e re n te d e rie sg o Las propiedades deseables de una medida coherente de riesgo ½ se enlistan y j usti¯can a continuaci¶o n: (i) Monoton¶³a no creciente. Si X ;Y 2 A son tales que X · Y , entonces ½ (X ) ¸ ½ (Y ) : Es decir, si partiendo de un mismo portafolio, el cambio en el valor del portafolio X es menor que el de Y , entonces, por la p¶e rdida de valor de X , el riesgo de X deber¶a ser mayor que el de Y . (ii) Subaditividad. Si X ;Y 2 A , entonces ½ (X + Y ) · ½ (X ) + ½ (Y ) : Esta propiedad expresa que una fusi¶o n de portafolios no crea riesgo adicional. En el contexto de portafolios de inversi¶o n esta propiedad dice que la diversi¯caci¶o n reduce el riesgo. El cumplimiento de la subaditividad permite pr¶acticas de administraci¶o n de riesgos m¶as e¯cientes. Por ej emplo, si dos a¶ reas de an¶alisis de una misma instituci¶o n ¯nanciera calculan, de manera independiente, las medidas ½ (X ) y ½ (Y ) de los riesgos que tomar¶an y la medida de riesgo que utilizan es subaditiva, el director general puede estar seguro de que ½ (X ) + ½ (Y ) es una garant¶³a aceptable relativa al riesgo de X + Y . (iii) Homogeneidad positiva (homogeneidad de grado uno con constantes positivas) . Si ® ¸ 0 y X 2 A , se tiene que ½ (® X ) = ® ½ (X ) : Esta propiedad establece que el tama~n o del portafolio in°uye directamente en el riesgo. No es lo mismo invertir una unidad monetaria en activos ¯nancieros que invertir un mill¶o n en los mismos activos. En el segundo caso es un mill¶o n de veces m¶as riesgoso. En este contexto, tambi¶e n se dice que ½ (¢) es una funci¶o n homog¶e nea de grado uno. Observe, por u¶ ltimo, que la subaditividad implica que ½ (n X ) · n ½ (X ) para toda n 2 IN. (iv ) Invarianza bajo traslaciones. Si X 2 A y ® 2 IR, se tiene que ½ (X + ® ) = ½ (X ) ¡ ® . Si existe un sistema bancario en el que los agentes pueden prestar y pedir prestado a una tasa de inter¶e s libre de riesgo, r , y si se escribe ³ ® ´ ½ (X + ® ) = ½ X + r ; r se puede interpretar a ® como el inter¶e s, libre de riesgo, que paga un dep¶o sito bancario sobre una inversi¶o n inicial ® = r . De esta manera, la propiedad de invarianza baj o traslaciones dice que el riesgo disminuye en dichos intereses. Si ® es negativa, ¶e sta se interpreta como un adeudo al banco, lo que incrementa el riesgo en el portafolio. Adem¶as, si se escribe ® = ½ (X ) , entonces ½ (X + ½ (X ) ) = 0, ya que ½ (X + ½ (X ) ) = ½ (X ) ¡ ½ (X ) = 0. De esta manera, ® = ½ (X ) se puede interpretar como la cantidad monetaria que se requiere para eliminar el riesgo de X . Es decir, ½ (X ) funciona como cobertura de X . Por u¶ ltimo, observe que en t¶e rminos estrictos, ½ (X ) no es invariante baj o traslaciones por el cambio de signo en ® dentro y fuera de ½ . Sin embargo, en la literatura especializada esta propiedad ha adoptado dicho nombre y lo mismo se har¶a en el transcurso del presente cap¶³tulo. Un buen nombre para esta propiedad podr¶³a ser \invarianza monetaria" .
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6 5 .4 T ra ta m ie n to a x io m ¶a tic o d e u n a m e d id a c o h e re n te d e rie sg o A continuaci¶o n se formaliza el concepto de medida coherente de riesgo con base en las propiedades anteriores. Se dice que una medida de riesgo ½ es coherente, en el sentido de Artzner et a l (1999) , si para X ;Y 2 A y ® 2 IR se cumple lo siguiente: (i) Y ¸ X ) ½ (X ) ¸ ½ (Y ) ,
(ii) ½ (X + Y ) · ½ (X ) + ½ (Y ) , (iii) ½ (® X ) = ® ½ (X ) ;
® ¸ 0,
(iv ) ½ (X + ® ) = ½ (X ) ¡ ® ;
® 2 IR.
6 5 .4 .1 P ro p ie d a d e s a d ic io n a le s d e u n a m e d id a c o h e re n te d e rie sg o Algunas proposiciones sobre la funci¶o n ½ que se desprenden de los axiomas son: (a ) La funci¶o n ½ es convexa en A . Es decir, si X ;Y 2 A y ® 2 [0;1] , entonces ½ (® X + (1 ¡ ® ) Y ) · ® ½ (X ) + (1 ¡ ® ) ½ (Y ) : Esto se sigue de los axiomas de subaditividad y homogeneidad positiva. La propiedad de convexidad de la funci¶o n obj etivo en los problemas de optimizaci¶o n de portafolios es esencial ya que ¶e sta, j unto con otras condiciones, garantiza la existencia de soluciones. (b) La funci¶o n ½ es continua en A . Este resultado se sigue de la convexidad de ½ . De esta manera, cambios peque~n os en X conducen a cambios peque~n os en ½ (X ) . (c) El conjunto B = f X j ½ (X ) · 0g es cerrado y convexo. Esto se debe a la continuidad y convexidad de ½ en A . Por lo tanto, el conjunto B contiene todos sus puntos l¶³mite.
(d ) ½ (® ) = ¡ ® para toda ® 2 IR. En efecto, las propiedades de homogeneidad positiva e invarianza bajo traslaciones conducen a que 0 = ½ (0) = ½ (® ¡ ® ) = ½ (® ) + ® , lo cual implica que ½ (® ) = ¡ ® : El mismo resultado se obtiene a partir de la propiedad de invarianza baj o traslaciones con X = 0: De lo anterior, se concluye que en una inversi¶o n libre de riesgo, el riesgo es reducido j ustamente en el rendimiento de la inversi¶o n, lo cual hace que el rendimiento de la inversi¶o n y el riesgo se eliminen entre s¶³. Por supuesto, se supone, como antes, la existencia de un sistema bancario en el que los agentes pueden prestar o pedir prestado a una tasa de inter¶e s constante y libre de riesgo. (e ) ½ (X + ½ (X + ½ (X ) ) ) = ½ (X ) . En efecto, ½ (X + ½ (X + ½ (X ) ) ) = ½ (X ) ¡ ½ (X + ½ (X ) ) = ½ (X ) ¡ ½ (X ) + ½ (X ) = ½ (X ) : De esta manera, si se toman al mismo tiempo una cobertura ½ (X ) de X y la posici¶o n contraria a dicha cobertura, el efecto total se anula. (f ) ½ (® ) es continua para toda ® 2 IR. Sea (® n ) n 2 IN , ® n # ® . Debido a la propiedad (d ) , se tiene que ³ ´ lim ½ (® n ) = ¡ lim ® n = ¡ ® = ½ (® ) = ½ lim ® n : n! 1
n! 1
n! 1
En consecuencia, la continuidad de ½ (¢) se mantiene para inversiones libres de riesgo. (g ) Si ® > 0, entonces ½ (X +® ) · ½ (X ) + ® , mientras que si ® < 0, entonces ½ (X + ® ) ¸ ½ (X ) + ® . De lo anterior, se tiene una cota superior para el riesgo de un portafolio que incluye un dep¶o sito y una cota inferior cuando se incluye un adeudo. (h ) Si ® > 0, entonces ½ (X + ® ) · ½ (X ) · ½ (X ¡ ® ) . Por lo tanto, un dep¶o sito en un banco reduce el riesgo y un adeudo lo incrementa. (i) Si X · 0, entonces ½ (X ) ¸ 0. Basta aplicar la propiedad de monoton¶³a no creciente. Lo anterior implica que una reducci¶o n en el cambio de valor en el portafolio siempre conlleva riesgo. (j ) Si a · X · b, entonces a · ¡ ½ (X ) · b. En efecto, observe que X ¡ b · 0 y que X ¡ a ¸ 0, entonces ½ (X ) + b = ½ (X ¡ b) ¸ ½ (0) = 0 y ½ (X ) + a = ½ (X ¡ a ) · ½ (0) = 0. As¶³, ½ (X ) ¸ ¡ b y ½ (X ) · ¡ a . Por lo tanto, ¡ b · ½ (X ) · ¡ a .
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(k ) Sea jjX ¡ Y jj1 = sup ! 2 o jX (! ) ¡ Y (! ) j, entonces j½ (X ) ¡ ½ (Y ) j · jjX ¡ Y jj1 : En efecto, evidentemente, jjX ¡ Y jj1 ¸ X ¡ Y ¶o Y + jjX ¡ Y jj1 ¸ X . Por lo tanto, ½ (X ) ¸ ½ (Y + jjX ¡ Y jj1 ) = ½ (Y ) ¡ jjX ¡ Y jj1 ; lo cual implica que jjX ¡ Y jj1 ¸ ½ (Y ) ¡ ½ (X ) : Si se procede de la misma forma partiendo de jjX ¡ Y jj1 ¸ X ¡ Y , se puede ver que jjX ¡ Y jj1 ¸ ¡ (½ (Y ) ¡ ½ (X ) ) ; con lo cual se obtiene el resultado previamente planteado. (l) Si se reescribe ½ (X ) := ½ (w 1 ;w 2 ) , donde w 1 y w 2 son las cantidades de activos que conforman el portafolio, entonces el teorema de Euler conduce a ½ (w 1 ;w 2 ) = w
1
@½ @½ (w 1 ;w 2 ) + w 2 (w 1 ;w 2 ) : @w 1 @w 2
De esta manera, si w 1 y w 2 cambian simult¶aneamente en la misma proporci¶o n, entonces ½ (w 1 ;w 2 ) cambia exactamente en dicha proporci¶o n. (m ) @ ½ = @ w 1 y @ ½ = @ w 2 son funciones homog¶e neas de grado cero. Este resultado tambi¶e n se sigue del teorema de Euler.
6 5 .5 M e d id a s d e rie sg o m ¶a s u su a le s En esta secci¶o n se enlistan algunas de las medidas de riesgo m¶as populares que se de¯nen en t¶e rminos de una medida de probabilidad. Sea X una variable aleatoria de¯nida sobre un espacio de probabilidad ( ;F ;IP) . (a ) Se de¯ne la varianza de X como: ½ (1 ) (X ) := Var IP [X ] = E IP
h¡ ¢2 i X ¡ E IP [X ] :
La volatilidad ¾ IP (X ) se de¯ne como la ra¶³z cuadrada de la varianza. (b) Se de¯ne el valor en riesgo (VaR) , al nivel 1 ¡ q , 0 < q < 1, como: X
½ (2 ) (X ) := VaR1 ¡
q
= ¡ inf f x 2 IR j IP f X · x g ¸ q g :
(c) Se de¯ne la esperanza condicional de la cola del VaR, para 0 < q < 1, como: ½ (3 ) (X ) := E 1X¡
q
h i h i X X = ¡ E IP X j X < ¡ VaR1 ¡ q = E IP ¡ X j ¡ X > VaR1 ¡ q :
6 5 .6 L a v a ria n z a n o e s u n a m e d id a d e rie sg o c o h e re n te Aun cuando la varianza representa una de las formas m¶as utilizadas para medir riesgos, posiblemente por la gran difusi¶o n de la teor¶³a de portafolios desarrollada por Markowitz, la varianza no satisface ninguno de los axiomas de coherencia. La varianza no satisface la propiedad de homogeneidad positiva ya que en ¶e sta las constantes salen al cuadrado, ni es invariante baj o traslaciones pues la varianza de una variable m¶as una
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constante es igual a la varianza de la variable. Observe tambi¶e n que si X y Y son variables aleatorias de¯nidas sobre ( ;F ;IP) , ½ (1 ) (X + Y ) =Var IP [X + Y ] =Var IP [X ] + Var IP [Y ] + 2Cov IP (X ;Y ) =½ (1 ) (X ) + ½ (1 ) (Y ) + 2Cov IP (X ;Y ) : Por lo tanto, el cumplimiento o no de la subaditividad depende del signo de Cov IP (X ;Y ) . La u¶ nica ventaj a que presenta la desviaci¶o n est¶andar (o volatilidad) , ¾ IP (X ) =
q
Var IP [X ] ;
es que satisface la propiedad de homogeneidad positiva, ¾ IP (® X ) = ® ¾ IP (X ) .
6 5 .7 O tra s lim ita c io n e s m ¶a s se ria s d e la v a ria n z a c o m o m e d id a d e rie sg o Insistir en utilizar a la varianza como una medida de riesgo conlleva a limitaciones m¶as serias que el satisfacer o no un conj unto de axiomas de coherencia. Los siguientes ej emplos muestran que la varianza es incapaz de detectar diferencias entre las colas de dos distribuciones y, por lo tanto, no distingue diferencias entre las probabilidades de ocurrencia de valores extremos de dichas distribuciones.
6 5 .7 .1 L a v a ria n z a n o d e te c ta e fe c to s d e c o la s p e sa d a s Considere la distribuci¶o n normal bivariada μ ¶ μμ ¶ μ D 1T 0 1 » N ; D 2T 0 ½
½ 1
¶¶
;
entonces su funci¶o n de distribuci¶o n conj unta est¶a dada por FD
1T
;D
2T
(x ;y ) =
Zx Zy ¡ 1
Si ½ = 0, es decir, si D
1T
FD
1T
yD ;D
2T
2T
¡ 1
2¼
p
1 1¡
½2
e¡
(u 2 ¡ 2 ½ u v + v 2 )= 2 ( 1 ¡ ½ 2 )
du dv :
son variables aleatorias no correlacionadas, entonces
(x ;y ) =
Zx Zy ¡ 1 Zx
¡ 1
2¼
1 ¡ e 2¼ ¡ 1 = ©(x ) ©(y ) ; =
p
p 1 2
1 1¡
u2
du
½2
Zy
¡ 1
(u 2 + v 2 )
1 2
e¡
p
1 ¡ e 2¼
du dv
1 2
v2
dv
en cuyo caso D 1 T y D 2 T son variables aleatorias independientes. Claramente, el rec¶³proco siempre se cumple, es decir, variables aleatorias independientes son no correlacionadas. A continuaci¶o n, se examina un caso, fuera del mundo Gaussiano, en donde variables aleatorias no correlacionadas, no necesariamente son independientes. Con este prop¶o sito, se de¯ne, primero, la funci¶o n C (x ;y ) como Zx Zy C (x ;y ) = [1 + f (u ) g (v ) ] du dv 0 0 μZ x ¶μZ y ¶ = xy + f (u ) du g (v ) dv ; para 0 · x ;y · 1; 0
0
donde f (u ) = 1 [® ;1 ¡
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® ](u
)¡
1 ¡ 2® 1 [0 ;® )[ (1 ¡ 2®
® ;1 ](u ) ;
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g (v ) = ¡ 1 [® ;1 ¡
® ](v )
+
1 ¡ 2® 1 [0 ;® )[ (1 ¡ 2®
® ;1 ](v )
y 1 4
1 2
· ® ·
:
As¶³, f (v ) = ¡ g (v ) . De lo anterior, se tiene que 1 + f (u ) g (v ) = 1 + (1) (¡ 1) = 0 para toda (u ;v ) 2 [® ;1 ¡ ® ] £ [® ;1 ¡ ® ] . Por otro lado, Z1 0
Z®
Z 1¡ ® Z1 1 ¡ 2® 1 ¡ 2® du + du ¡ du 2® 2® 0 ® 1¡ ® 1 ¡ 2® 1 ¡ 2® =¡ + 1 ¡ 2® ¡ = 0: 2 2
f (u ) du = ¡
Por lo tanto,
Z1 0
g (v ) dv = ¡
Z1
f (v ) dv = 0:
0
De la misma forma, Z1 0
Z 1¡ ® Z1 1 ¡ 2® u du + u du ¡ u du 2® 0 ® 1¡ ® μ ¶ μ ¶ 1 ¡ 2® ® 2 (1 ¡ ® ) 2 ®2 1 ¡ 2® 1 (1 ¡ ® ) 2 =¡ + ¡ ¡ ¡ 2® 2 2 2 2® 2 2 (1 ¡ 2® ) ® 1 ¡ 2® 1 ¡ 2® =¡ + ¡ (2 ¡ ® ) = 0: 4 2 4
u f (u ) du = ¡
1 ¡ 2® 2®
En consecuencia,
Z1 0
Z®
v g (v ) dv = ¡
Z1
v f (v ) dv = 0:
0
Observe tambi¶e n que C (1;1) = 1 ¢1 + 0 ¢0 = 1, C (0;0) = 0. Por otro lado, el producto f (u ) g (v ) s¶o lo puede tomar los siguientes valores:
¡ 1;
¡
1 ¡ 2® ; 2®
1 ¡ 2® 2®
y
μ
¶2
1 ¡ 2® 2®
:
En virtud de que 0·
1 ¡ 2® · 1; 2®
se tiene 1 + f (u ) g (v ) ¸ 0. Dado que C (x ;y ) representa el volumen acumulado por 1 + f (u ) g (v ) hasta (x ;y ) , la funci¶o n C (x ;y ) es creciente en ambos argumentos. Se puede concluir entonces que C (x ;y ) , 0 · x ;y · 1, es una funci¶o n de distribuci¶o n con marginales uniformes en [0,1] . Concretamente, C U (x ) = C (x ;1) = x ¢ 1 +
μZ x
f (u ) d u
C V (y ) = C (1;y ) = 1 ¢ y +
μZ 1
f (u ) d u
y
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0
0
¶μZ 1
¶
g (v ) d v
=x
¶μZ y
g (v ) d v
¶
= y:
0
0
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La funci¶o n de distribuci¶o n bivariada F U ;V (x ;y ) = C (x ;y ) se llama c¶o pula uniforme. En este caso, la covarianza entre U y V satisface Cov(U ;V ) Z1 Z1 ¡ = u ¡ 0
0
Z1 Z1
1 2
¢¡ v¡
1 2
¢ (1 + f (u ) g (v ) ) du dv
¡ ¢ u v ¡ 12 (u + v ) + 14 (1 + f (u ) g (v ) ) du dv 0 0 μZ 1 ¶μZ 1 ¶ μZ 1 ¶μZ 1 ¶ = u du v dv + u f (u ) du v g (v ) dv 0 0 0 0 ·Z 1 μZ 1 ¶μZ 1 ¶ Z1 ¡ 12 u du + v dv + u f (u ) du g (v ) dv 0 0 0 0 μZ 1 ¶μZ 1 ¶¸ μZ 1 ¶μZ 1 ¶ + v g (v ) dv f (u ) du + 41 + 41 f (u ) du g (v ) dv 0 0 0 0 μZ 1 ¶μZ 1 ¶ ·Z 1 ¸ Z1 = u du v dv ¡ 21 u du + v dv + 41 =
0
= 41 ¡
0
1 2
+
1 4
0
0
= 0:
Es decir, U y V son variables aleatorias no correlacionadas. Evidentemente, U y V no son independientes, ya que para (x ;y ) 2 [® ;1 ¡ ® ] £ [® ;1 ¡ ® ] , se tiene que c(x ;y ) = 0; la independencia estoc¶astica exigir¶³a que C (x ;y ) ´ 1 en [0;1] £ [0;1] . Ahora suponga que se tienen dos variables aleatorias De1 T y De2 T con funci¶o n de distribuci¶o n conj unta F De ;De (x ;y ) = C (©(x ) ;©(y ) ) ; 1T 2T donde
©(x ) =
Zx
¡ 1
p
1 ¡ e 2¼
1 2
v2
dv :
Observe que F De ;De (x ;y ) no es normal bivariada, ya que si 1T 2T
(©(x ) ;©(y ) ) 2 [® ;1 ¡ ® ] £ [® ;1 ¡ ® ] ;
se tiene que F De ;De (x ;y ) = 1T 2T =
Z © (x ) Z © (y )
[1 + f (u ) g (v ) ] dv du
Z © (x ) Z © (y )
0dv du = 0:
®
®
®
®
Claramente, F De ;De (x ;y ) = C (©(x ) ;©(y ) ) tiene marginales Gaussianas est¶andar ya que 1T 2T y
F De (x ) = F De ;De (x ;1 ) = C (© (x ) ;© (1 ) ) = C (© (x ) ;1) = © (x ) 1T 1T 2T
F De (y ) = F De ;De (1 ;y ) = C (© (1 ) ;© (y ) ) = C (1;© (y ) ) = © (y ) ; 2T 1T 2T
con Cov(De1 T ;De2 T ) = 0. Es f¶acil veri¯car que De1 T y De1 T no son variables aleatorias independientes ya que C (©(x ) ;©(y ) ) 6= © (x ) © (y ) : En conclusi¶o n, el ej emplo desarrollado proporciona dos variables aleatorias De1 T y De2 T normales est¶andar con covarianza cero que no son independientes. Con el ¯n de determinar la funci¶o n de densidad conj unta de De1 T y De2 T , considere Z © (x ) Z © (y ) C (©(x ) ;©(y ) ) = [1 + f (u ) g (v ) ] du dv 0 0 Zx Zy £ ¡ ¢ ¡ ¢¤¡ ¡ 1 ¢¡ ¢0 0 = 1 + f © ¡ 1 (u ) g © ¡ 1 (v ) © (u ) © ¡ 1 (v ) du dv : ¡ 1
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¡ 1
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De esta manera, el integrando constituye la densidad de De1 T y De2 T . Dicha densidad se anula en puntos (x ;y ) 2 [© ¡X 1 (® ) ;© ¡X 1 (1 ¡ ® ) ] £ [© ¡Y 1 (® ) ;© ¡Y 1 (1 ¡ ® ) ] . En la Gr¶a¯ca 65.1 se compara la densidad de C (©(x ) ;©(x ) ) con la densidad normal bivariada. Dado que el volumen baj o ambas densidades tiene que ser igual a la unidad y la densidad 1 + f g se anula en el conj unto [© ¡X 1 (® ) ;© ¡X 1 (1 ¡ ® ) ] £ [© ¡Y 1 (® ) ;© ¡Y 1 (1 ¡ ® ) ] , entonces su volumen tiene que compensar en las colas, haci¶e ndolas m¶as pesadas. Por lo tanto, la densidad de C (©(x ) ;©(y ) ) tiene colas m¶as pesadas que la densidad normal bivariada. As¶³, la probabilidad de que ocurran valores extremos, tanto positivos como negativos, es mayor en C (©(x ) ;©(y ) ) que en la distribuci¶o n normal bivariada.
a) Densidad de C (x ;y )
b) Densidad normal bivariada
Gr¶a¯ca 65.1 Densidades de la C¶o pula Gaussiana y la normal bivariada. Considere ahora dos portafolios X = w 1D donde D
1T
yD
2T
1T
+ w 2D
2T
;
provienen de la normal bivariada de la secci¶o n 65.7.1, y Y = w 1 De1 T + w 2 De2 T
donde De1 T y De2 T provienen de la c¶o pula Gaussiana. Observe ½ (1 ) (X ) = Var[X ] = w
2 1
+w
2 2
= Var[Y ] = ½ (1 ) (Y ) :
Sin embargo, la c¶o pula Gaussiana tiene colas m¶as pesadas que la normal bivariada y por lo tanto el riesgo de Y debe ser mayor que el de X .
6 5 .7 .2 O tr o e je m p lo e n d o n d e la v a ria n z a n o d e te c ta e fe c to s d e c o la s p e sa d a s Considere ahora la distribuci¶o n normal bivariada μ ¶ μμ ¶ μ 1 D 1T 0 ; =N 0 D 2T ½0
½0 1
¶¶
para un ½ 0 dado, y considere la distribuci¶o n conj unta F
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½0 D 1 T ;D
2T
(x ;y ) =
Zx Zy ¡ 1
¡ 1
1 p exp 2¼ 1 ¡ ½ 20
(
u 2 ¡ 2½ 0 u v + v 2 ¢ ¡ ¡ 2 1 ¡ ½ 20
)
du dv :
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De¯na ahora la distribuci¶o n (x ;y ) + (1 ¡ ¸ ) F ½ 2 (x ;y ) G De ;De (x ;y ) = ¸ F ½ 1 1T 2T De1 T ;De2 T De1 T ;De2 T
con ½ 1 < ½ 2 , 0 < ¸ < 1, ¡ 1 < x ;y < 1 : Claramente, G tiene marginales
(x ;1 ) + (1 ¡ ¸ ) F ½ 2 (x ;1 ) = © (x ) ; G De (x ) = ¸ F ½ 1 1T De1 T ;De2 T De1 T ;De2 T (1 ;y ) + (1 ¡ ¸ ) F ½ 2 (1 ;y ) = © (y ) G De (y ) = ¸ F ½ 1 2T De1 T ;De2 T De1 T ;De2 T
y covarianza ¸ ½ 1 + (1 ¡ ¸ ) ½ 2 : Sin p¶e rdida de generalidad, dados ½ 1 , ½ 2 tales que ½ 1 < ½ 2 , existe ¸ tal que ½ 0 = ¸ ½ 1 + (1 ¡ ¸ ) ½ 2 . Ahora bien, como D
1T
+D
F 2T
½0
» N (0;2 (1 + ½ 0 ) )
y ½i
esto implica que la cola de D IP
F
½
0
1T
F De1 T + De2 T » N (0;2 (1 + ½ i ) ) ;
fD
+D 1T
2T
+D
baj o F 2T
½0
satisface Ã
> zg = 1 ¡ ©
z p 2 (1 + ½ 0 )
!
y la cola de De1 T + De2 T bajo G cumple con o n IP G De1 T + De2 T > z ³ o´ ³ o´ n n ½1 ½2 =¸ 1 ¡ IP F + (1 ¡ ¸ ) 1 ¡ IP F De1 T + De2 T > z De1 T + De2 T > z à à !! à à !! z z =¸ 1 ¡ © p + (1 ¡ ¸ ) 1 ¡ © p : 2 (1 ¡ ½ 1 ) 2 (1 ¡ ½ 2 ) Si se utiliza la siguiente propiedad de la cola de la distribuci¶o n normal est¶andar: μ ¶¶ μ 1 1 ; +o 1 ¡ © (x ) = Á (x ) x2 x la cual se demuestra como sigue lim
x! 1
1 ¡ © (x ) ¡ Á (x ) 1 = lim = lim =1 x ! 1 x Á (x ) (¡ x ) ¡ Á (x ) x! 1 1 + 1 Á (x ) 2 x x x2
donde © 0(x ) = Á (x ) ; se tiene que ¶ ¶μ p μ μ ¶ 2(1 + ½ i ) 1¡ © p z Á p z + o (¢) z 2(1 ¡ ½ i ) 2(1 ¡ ½ i ) ¶= μ μ ¶μ p ¶ 2(1 + ½ 0 ) z p 1¡ © p z Á + o (¢) z 2(1 ¡ ½ 0 ) 2(1 + ½ 0 ) ½ ¾ s z2 p 1 exp ¡ 4(1 + ½ i) 1 + ½i 2¼ ½ ¾ ¼ 2 1 + ½0 z p 1 exp ¡ 4(1 + ½ 0 ) 2¼ ¶¾ s ½ 2 μ 1 z 1 1 + ½i = exp ¡ ¡ : 4 1 + ½i 1 + ½0 1 + ½0
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6 5 . M ed id a s co h eren tes d e riesg o ...
Sin embargo, ½ 0 , ½ 1 y ½ 2 satisfacen 1 1 ¡ < 0 1 + ½0 1 + ½2 Por lo tanto, 1¡ ©
lim
z! 1
1¡ ©
y 1¡ ©
lim
z! 1
1¡ ©
As¶³, lim
z! 1
μ μ
y
1 1 ¡ > 0: 1 + ½1 1 + ½0
p
z 2(1 ¡ ½ 2 )
p
z 2(1 ¡ ½ 0 )
μ μ
p
z 2(1 ¡ ½ 1 )
p
z 2(1 ¡ ½ 0 )
¶ ¶=1 ¶ ¶ = 0:
μ ¶3 8 2 z > p > < 61 ¡ © 2(1 + ½ 1 ) 7 ¶7 μ = lim ¸ 6 4 5 > zg z! 1 > z > p : 1¡ © 2(1 + ½ 0 ) ¶ 39 μ 2 z > > 1¡ © p 7= 6 2(1 + ½ ) 2 7 ¶ μ + (1 ¡ ¸ ) 6 5> 4 > ; 1¡ © p z 2(1 + ½ 0 )
o n IP G De1 T + De2 T > z
IP F
½0
fD
1T
+D
2T
=0 + 1 = 1 :
Esto quiere decir que los cuantiles altos de G son mucho mayores que los cuantiles altos de F ½ 0 . Por lo tanto, valores extremos baj o G tienen mayor probabilidad de ocurrir que baj o F ½ 0 . As¶³, si se escribe X = De1 T + De2 T y Y = D 1 T + D 2 T , el riesgo asociado a X es mayor que el de Y . Sin embargo, ½ (1 ) (X ) = Var[X ] = 2(1 + ½ 0 ) = Var[Y ] = ½ (1 ) (Y ) : Observe tambi¶e n que bajo ambas distribuciones G y F ½ 0 , Cov(X ;Y ) = ½ 0 6= 0: En consecuencia, la covarianza, ½ Y (X ) := Cov(X ;Y ) con Y ¯ja, tampoco es una medida coherente de riesgo, lo cual implica que la beta obtenida a trav¶e s del CAPM (Capital Asset Pricing Model) tampoco es una medida coherente de riesgo.
6 5 .7 .3 U n e je m p lo m ¶a s d e q u e la v a ria n z a n o e s u n a m e d id a c o h e re n te d e rie sg o Considere la funci¶o n de densidad conjunta f D 1 T ;D 2 T (u ;v ) =
4¼
p
1 1 ¡ ½2
· e¡
(u 2 ¡ 2 ½ u v + v 2 )= 2 ( 1 ¡ ½ 2 )
+e
¡ (u 2 + 2 ½ u v + v 2 )= 2 ( 1 ¡ ½ 2 )
¸ :
Se puede veri¯car que, para cualquier valor ½ 2 [¡ 1;1] , D 1 T » N (0;1) , D 2 T » N (0;1) , Cov(D 1 T ;D 2 T ) = 0, y D 1 T y D 2 T no son independientes. Sea X (½ ) = w 1 D 1 T + w 2 D 2 T . Claramente, Var[X (½ ) ] = w 12 + w 22 para cualquier valor de ½ 2 [0;1] . La Gr¶a¯ca 65.2 muestra las funciones de densidades conj untas para los valores ½ = 0:1 y ½ = 0:9. Se puede observar el comportamiento diferente de las colas de las densidades para estos valores, lo cual es ignorado por la varianza.
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6 5 . M ed id a s co h eren tes d e riesg o ...
a) ½ = 0:1
b) ½ = 0:9
Gr¶a¯ca 65.2 Densidades conj untas con diferentes valores de ½ .
6 5 .8 E l v a lo r e n rie sg o n o e s u n a m e d id a c o h e re n te d e rie sg o El valor en riesgo es una las medidas que se utilizan con mayor frecuencia en la estimaci¶o n de p¶e rdidas potenciales de un portafolio, por °uctuaciones adversas del mercado, en un periodo de tiempo y con un nivel de con¯anza dado.
6 5 .8 .1 E l c o n c e p to d e v a lo r e n r ie sg o (p a r a m ¶e tric o ) Considere un intervalo de tiempo [t;T ] . El valor inicial, en t, de un portafolio que consiste de w unidades del activo S 1 t y w 2 unidades del activo S 2 t est¶a dado por
1
¦t = w 1 S 1 t + w 2 S 2 t: El cambio en el valor del portafolio, entre las fechas t y T , con las cantidades w satisface X := ¦ T ¡ ¦ t = w 1 (S 1 T ¡ S 1 t ) + w 2 (S 2 T ¡ S 2 t ) :
1
yw
2
constantes,
Si S 1 T : 1 ¡ ! IR y S 2 T : 2 ¡ ! IR son variables aleatorias de¯nidas sobre dos espacios muestrales, entonces X : ¡ ! IR, con = 1 £ 2 , es una variable aleatoria asociada al cambio en el valor del portafolio. Asimismo, se supone que X est¶a de¯nida sobre un espacio de probabilidad ¯j o ( ;F ;IP μ ) , donde μ es un vector de par¶ametros asociados con la distribuci¶o n de X . El valor en riesgo de X a nivel 1 ¡ q denotado por ¡ VaRX1 ¡ q , se de¯ne como el peor valor del portafolio, en un periodo de tiempo dado, [t;T ] , en un intervalo de con¯anza del (1 ¡ q ) 100%. En forma m¶as precisa, © ª IP μ ¡ VaRX1 ¡ q · X = 1 ¡ q : Claramente, la cantidad ¡ VaRX1 ¡
q
tambi¶e n satisface © ª IP μ X · ¡ VaRX1 ¡ q = q :
Es decir, X
VaR1 ¡
q
= ¡ inf f x 2 IR jIP μ f X · x g ¸ q g
= ¡ sup f x 2 IR jIP μ f X · x g · q g :
Asimismo, de lo anterior se desprende que X
VaR1 ¡
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q
= ¡ inf f x 2 IR jIP μ f X > x g · 1 ¡ q g :
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6 5 . M ed id a s co h eren tes d e riesg o ... X
X
De esta manera, VaR1 ¡ q es el quantil q de IP μ f X > x g : As¶³ pues, el n¶u mero VaR1 ¡ q es una estimaci¶o n estad¶³stica del peor valor de X con cierto grado de con¯anza en un intervalo de tiempo dado. La ¯gura 65.3 ilustra el concepto del valor en riesgo.
Figura 65.3 Valor en riesgo de X al nivel 1 ¡ q . No es d¶³¯cil construir casos en los que el VaR conduce a resultados contradictorios. Por ejemplo, es sencillo veri¯car que si c es una constante, entonces VaRc1 ¡ q = ¡ c. En particular, VaR11 ¡ q = ¡ 1. Suponga ahora que el cambio en el valor del portafolio satisface X =
(
¡ 1; con probabilidad p ;
a ; con probabilidad 1 ¡ p ;
X
X
donde a < < 1. Si p < q , entonces VaR1 ¡ q = ¡ a . Por lo tanto, ¡ VaR1 ¡ q = a < < 1 = ¡ VaR11 ¡ q . En otras palabras, es menos riesgoso el portafolio con un cambio en valor representado por X que una inversi¶o n libre de riesgo de una unidad, aun cuando bajo X se puede perder una unidad con probabilidad p y ganar a , mucho menor que 1, con probabilidad 1 ¡ p .
6 5 .8 .2 E l v a lo r e n rie sg o sa tisfa c e la p ro p ie d a d d e m o n o to n ¶³a n o c re c ie n te En esta secci¶o n se comprueba que el valor en riesgo satisface la propiedad de monoton¶³a no creciente. Si X y Y son variables aleatorias con Y ¸ X , se tiene que F Y (z ) = IP f Y · z g · IP f X · z g = F X (z ) para toda z 2 IR, ya que si ! 2 es tal que Y (! ) · z , entonces X (! ) · Y (! ) · z ; es decir, X (! ) · z : Por lo tanto, si z es tal que q · F Y (z ) , como q · F Y (z ) · F X (z ) , se sigue que q · F X (z ) . Consecuentemente, f y 2 IR jF Y (y ) ¸ q g μ f x 2 IR jF X (x ) ¸ q g : As¶³, inf f y 2 IR jF Y (y ) ¸ q g ¸ inf f x 2 IR jF X (x ) ¸ q g : Es decir, VaR1Y ¡ ¶o
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q
= ¡ inf f y 2 IR jF Y (y ) ¸ q g · ¡ inf f x 2 IR jF X (x ) ¸ q g = VaR1X ¡
q
½ (2 ) (Y ) · ½ (2 ) (X ) :
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6 5 . M ed id a s co h eren tes d e riesg o ...
6 5 .8 .3 E l v a lo r e n rie sg o sa tisfa c e la p ro p ie d a d d e h o m o g e n e id a d p o sitiv a En esta secci¶o n se demuestra que el valor en riesgo es homog¶e neo positivo. Sean ® > 0 y Y = ® X , entonces ³ ³y ´ y´ F Y (y ) = IP(Y · y ) = IP (® X · y ) = IP X · =FX ; ® ® de aqu¶³ se obtiene VaR1Y ¡
q
= ¡ inf f y 2 IR jF Y (y ) ¸ q g
= ¡ inf f ® x 2 IR jF Y (® x ) ¸ q g n ³® x ´ o = ¡ inf ® x 2 IR jF X ¸ q ® = ¡ inf f ® x 2 IR jF X (x ) ¸ q g = ¡ ® inf f x 2 IR jF X (x ) ¸ q g =® VaRX1 ¡
q
¶o ½ (2 ) (® X ) = ® ½ (2 ) (X ) :
6 5 .8 .4 E l v a lo r e n rie sg o sa tisfa c e la p ro p ie d a d d e in v a ria n z a b a jo tra sla c io n e s A continuaci¶o n se prueba que el valor en riesgo es invariante bajo traslaciones. Sea ® 2 IR y Y = X + ® , entonces F Y (y ) = IP f Y · y g = IP f X + ® · y g = IP f X · y ¡ ® g = F X (y ¡ ® ) : Por lo tanto, VaR1Y ¡
q
= ¡ inf f y 2 IR jF Y (y ) ¸ q g
= ¡ inf f x + ® 2 IR jF Y (x + ® ) ¸ q g = ¡ inf f x + ® 2 IR jF X (x ) ¸ q g
= ¡ (inf f x 2 IR jF X (x ) ¸ q g + ® ) = ¡ inf f x 2 IR jF X (x ) ¸ q g ¡ ® =VaR1X ¡ q ¡ ® ¶o ½ (2 ) (X + ® ) = ½ (2 ) (X ) ¡ ® :
6 5 .8 .5 E l v a lo r e n rie sg o n o sa tisfa c e la p ro p ie d a d d e su b a d itiv id a d En esta secci¶o n se construye un ejemplo que muestra que el valor en riesgo no satisface la propiedad de subaditividad. Esta propiedad es esencial en la optimizaci¶o n de portafolios pues de ella se desprende la convexidad en una super¯cie de riesgo, lo cual asegura un u¶ nico portafolio ¶o ptimo. Considere dos variable aleatorias, X y Y , independientes e id¶e nticamente distribuidas con densidad 8 > < 0:9 si x 2 (0;1] ; f X (x ) = 0:05 si x 2 [¡ 2;0] ; > : 0 en cualquier otro caso. Observe que la funci¶o n de distribuci¶o n, evaluada en 0, satisface F X (0) = P f X · 0g =
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Z0
0:05dx = 0:1:
¡ 2
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6 5 . M ed id a s co h eren tes d e riesg o ...
Por lo tanto, los valores en riesgo de X y Y , con un nivel de con¯anza del 90%, satisfacen, respectivamente, VaRX0 :9 = VaR0Y :9 = 0: Por otro lado, observe que IP f X + Y ¸ 0g =
ZZ
fX
Y
(x ;y ) dx dy :
X + Y ¸ 0
Para calcular esta integral observe primero que debido a la independencia estoc¶astica de X y Y , se sigue que la funci¶o n de densidad conj unta est¶a dada por el producto de las densidades marginales, as¶³ 8 (0:05) 2 si ¡ 2 · x · 0 y ¡ 2 · y · 0; > > < (0:05) (0:9) ; si ¡ 2 · x · 0 y 0 < y · 1; f X Y (x ;y ) = (0:9) (0:05) ; si 0 < x · 1 y ¡ 2 · y · 0; > > : (0:9) 2 ; si 0 < x · 1 y 0 < y · 1, la cual se muestra en la Gr¶a¯ca 65.4.
Gr¶a¯ca 65.4 Funci¶o n de densidad conj unta de las variables aleatorias X y Y . Se observa en la Gr¶a¯ca 65.4 que la regi¶o n x + y ¸ 0 se encuentra a la derecha de la l¶³nea recta x + y = 0. Por lo tanto, con base en el a¶ rea del tri¶angulo sombreado, se tiene que Z1 Z0
(0:9) (0:05) dx dy + (0:9) 2 0 ¡ y μ ¶ 1 = 2(0:9) (0:05) + (0:9) 2 2
IP f X + Y ¸ 0g = 2
= 0:855: En consecuencia, IP f X + Y · 0g = 0:145 De aqu¶³, se tiene que 0 > inf f z jF X
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+ Y
(z ) ¸ 0:1g = ¡ VaRX0 :9+
Y
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6 5 . M ed id a s co h eren tes d e riesg o ...
se sigue entonces que VaRX0 :9+
Y
> 0 = VaRX0 :9 + VaRY0 :9 ;
es decir, en este ejemplo, el valor en riesgo no cumple con la propiedad de subaditividad.
6 5 .9 U n e je m p lo d e u n a m e d id a d e rie sg o , e n t¶e rm in o s d e u n a o p c i¶o n d e v e n ta , q u e n o e s in v a r ia n te b a jo tra sla c io n e s Sea X el valor de mercado de los t¶³tulos (de capital y/o deuda) de una empresa. Suponga que existe en el mercado un contrato que paga X si la empresa se declara en bancarrota en una fecha futura predeterminada, y 0 en otro caso. Este contrato puede verse como una opci¶o n europea de venta sobre X , con precio de ejercicio K = 0, y su valor, en t, baj o una medida de probabilidad neutral al riesgo IP, est¶a dado por: p =e ¡
r (T ¡ t)
=e ¡
r (T ¡ t)
E IP [max(¡ X ;0) j F t ] h =e ¡ r (T ¡ t) E IP [max(¡ X ;0) j X · 0] IP f X · 0g i + E IP [max(¡ X ;0) j X > 0] IP f X > 0g ¡ ¢ =e ¡ r (T ¡ t) ¡ E IP [X j X · 0] IP f X · 0g
donde
½ p (X ) ;
£ ½ p (X ) = ¡ E IP X 1 f X
· 0g
¤ :
A continuaci¶o n se muestra que la cantidad ½ p (X ) no es una medida coherente de riesgo pues no es invariante baj o traslaciones. En efecto, claramente (X + Y ) 1 f X
+ Y · 0g
¸ X 1fX
¡ (X + Y ) 1 f X
+ Y · 0g
· ¡ X 1fX
· 0g
+ Y 1fY
· 0g
¶o · 0g
¡ Y 1fY
· 0g ;
lo cual implica que ½ p (X + Y ) ¸ ½ p (X ) + ½ p (Y ) : Asimismo, si X ¸ Y , entonces
X 1fX
· 0g
¸ Y 1fY
¡ X 1fX
· 0g
· ¡ Y 1fY
· 0g
¶o · 0g :
Por lo tanto, ½ p (X ) · ½ p (Y ) : Observe tambi¶e n que si ® > 0 £ ¤ ½ p (® X ) = ¡ E IP ® X 1 f ® X · 0 g £ ¤ = ¡ E IP ® X 1 f X · 0 g ¡ £ ¤¢ =® ¡ E IP X 1 f X · 0 g =® ½ p (X ) :
Por u¶ ltimo, suponga que X » U [¡ 1;0] , es decir, X se distribuye uniformemente en [¡ 1;0] , y ® = 1, entonces £ ¤ ½ p (X ) = ¡ E IP X 1 f X · 0 g = ¡ E IP [X ] = 21 : Por otro lado
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£ ½ p (X + 1) = ¡ E IP (X + 1) 1 f X
· ¡ 1g
¤ = 0:
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6 5 . M ed id a s co h eren tes d e riesg o ...
As¶³, ½ p (X + 1) = 0 > ½ p (X ) ¡ 1 = ¡
1 2
:
Es decir, ½ p no es invariante baj o traslaciones.
6 5 .1 0 L a e sp e ra n z a c o n d ic io n a l d e la c o la d e l V a R e s u n a m e d id a c o h e re n te d e rie sg o La metodolog¶³a de valor en riesgo no proporciona informaci¶o n alguna cuando el tama~n o esperado del cambio de valor en el portafolio excede el umbral ¡ VaRX1 ¡ q . Por esta raz¶o n es conveniente introducir la siguiente medida de riesgo: £ ¤ E 1X¡ q = ¡ E IP X jX < ¡ VaR1X ¡ q : Esta cantidad recibe tambi¶e n el nombre de esperanza condicional de la cola del VaR. Considere la siguiente forma alternativa de escribir E 1X¡ q , E 1X¡
q
£ ¤ = E IP ¡ X jX < ¡ VaR1X ¡ q ¯ £ ¤ = E ¡ X ¡ VaRX1 ¡ q + VaRX1 ¡ q ¯X < ¡ VaRX1 ¡ q ¯ £ ¤ = VaRX1 ¡ q + E ¡ X ¡ VaRX1 ¡ q ¯¡ VaR1X ¡ q ¡ X > 0 ¯ £ ¤ = VaRX1 ¡ q ¡ E X + VaR1X ¡ q ¯VaR1X ¡ q + X < 0 :
Observe que si se denota VaRX1 ¡
q
= ¡ u ; y se de¯ne e (u ) = E [ X ¡ u jX < u ] ;
entonces
E 1X¡
Observe ahora que por de¯nici¶o n Ru
¡ 1
e (u ) = =
Ru
¡ 1
q
= ¡ u ¡ e (u ) :
(x ¡ u ) dF X (x ) F X (u )
x dF X (x ) ¡ u F X (u )
F X (u ) Zu 1 = x dF X (x ) ¡ u F X (u ) ¡ 1 μ ¶ Zu 1 = u F X (u ) ¡ F X (x ) dx ¡ u F X (u ) ¡ 1 Zu 1 =¡ F X (x ) dx : F X (u ) ¡ 1
6 5 .1 0 .1 U n e je m p lo ilu stra tiv o so b re la e sp e ra n z a c o n d ic io n a l d e la c o la d e V aR En esta secci¶o n se desarrolla un ej emplo ilustrativo sobre la esperanza condicional de la cola de VaR. En particular, si F X (x ) = 1 ¡ e ¡ ¸ x ; x > 0; ¸ > 0; entonces
Zu 0
F X (x ) dx =
Zu 0
=u ¡
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¡ 1 ¡ e¡
¸x
1 ¡ 1 ¡ e¡ ¸
¢ dx ¸u
¢ :
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6 5 . M ed id a s co h eren tes d e riesg o ...
Por lo tanto, e (u ) = Por otro lado, VaRX1 ¡
q
1 u ¡ ¸ 1 ¡ e¡
¸u
:
(65:3)
= ¡ inf f x 2 IR jF X (x ) ¸ q g © ª = ¡ inf x 2 IR j1 ¡ e ¡ ¸ x ¸ q
= ¡ inf f x 2 IR j¸ x ¸ ¡ ln(1 ¡ q ) g ½ ¾ ln(1 ¡ q ) = ¡ inf x 2 IR jx ¸ ¡ ¸ ln(1 ¡ q ) = ¸ X y tomando en cuenta que ¡ u = VaR1 ¡ q , se tiene que μ ¶ 1 ln(1 ¡ q ) 1 X e (¡ VaR1 ¡ q ) = + ¸ ¸ 1 ¡ exp f ln(1 ¡ q ) g 1 ln(1 ¡ q ) = + : ¸ q¸
(65:4)
Por lo tanto, E 1X¡
q
=VaR1X ¡ q ¡ e (¡ VaR1X ¡ q )
ln(1 ¡ q ) 1 ln(1 ¡ q ) ¡ ¡ ¸ ¸ q¸ ·μ ¶ ¸ 1 1¡ q =¡ ln(1 ¡ q ) + 1 : ¸ q
=
(65:5)
Si, por ej emplo, ¸ = 1 y q = 0:05, entonces VaRX0 :9 5 = ¡ 0:05; y de acuerdo con (65.3) y ¡ u = VaRX0 :9 5 , se tiene que VaRX0 :9 5 © ª 1 ¡ exp VaRX0 :9 5 0:05 =1 ¡ 1 ¡ exp f ¡ 0:05g =1 ¡ 1:02 = ¡ 0:02:
e (¡ VaRX0 :9 5 ) =1 +
En este caso, E 1X¡
q
= VaRX1 ¡ q ¡ e (¡ VaRX1 ¡ q ) = ¡ 0:05 + 0:02 = ¡ 0:03
Por u¶ ltimo observe que si q = 0, se tiene que E 1X¡ q = 0 = VaR1X ¡ q : En la Gr¶a¯ca 65.5 se ilustran los resultados cuando X tiene una distribuci¶o n exponencial.
Gr¶a¯ca 65.5 VaR y esperanza condicional de la cola VaR de una distribuci¶o n exponencial.
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6 5 . M ed id a s co h eren tes d e riesg o ...
6 5 .1 0 .2 V a R -p ro m e d io , A V a R (A v e ra g e V a R ) Una forma equivalente de de¯nir la esperanza condicional del VaR es a trav¶e s del VaR-promedio, el cual se de¯ne como Z 1 q X AVaR1 ¡ q = VaR1X ¡ s ds : (65:6) q 0 Si por ej emplo,
F X (x ) = 1 ¡ e ¡
¸x
; x > 0; ¸ > 0;
es decir, X es una variable aleatoria exponencial con par¶ametro ¸ > 0; se ha visto en (65.4) que VaRX1 ¡
q
=
ln(1 ¡ q ) : ¸
Por lo tanto, con base en (65.6) , se sigue que AVaRX1 ¡ q
Z 1 q = VaR1X ¡ s ds q 0 Z 1 q ln(1 ¡ s ) = ds q 0 ¸ Zq 1 = ln(1 ¡ s ) ds : q¸ 0
Considere ahora el cambio de variable u = 1 ¡ s . En este caso, la ecuaci¶o n anterior puede escribirse como Z 1¡ q 1 X AVaR1 ¡ q = ¡ ln(u ) du q¸ 1 " ¯ # ¯1 ¡ q 1 =¡ (u ln(u ) ¡ u ) ¯ ¯ q¸ 1 1 [(1 ¡ q ) ln(1 ¡ q ) ¡ (1 ¡ q ) + 1] q¸ ·μ ¶ ¸ 1 1¡ q =¡ ln(1 ¡ q ) + 1 : ¸ q =¡
Este resultado coincide con (65.5) . En otras palabras, AVaRX1 ¡
q
= E 1X¡
q
£ ¤ = ¡ E IP X jX < ¡ VaRX1 ¡ q :
6 5 .1 0 .3 L a e sp e ra n z a c o n d ic io n a l d e la c o la d e V a R e s h o m o g ¶e n e a p o sitiv a A continuaci¶o n se demuestra que la esperanza condicional de la cola de VaR satisface la propiedad de homogeneidad positiva. En efecto, sean ® > 0 y X 2 A , se de¯ne Y = ® X , entonces se cumple que £ ¤ E 1Y¡ q =E IP ¡ Y jY < ¡ VaRY1 ¡ q £ ¤ =E IP ¡ ® X j® X < ¡ VaRa1 ¡X q £ ¤ =E IP ¡ ® X j® X < ¡ ® VaRX1 ¡ q £ ¤ =E IP ¡ ® X jX < ¡ VaRX1 ¡ q £ ¤ =® E IP ¡ X jX < ¡ VaRX1 ¡ q =® E 1X¡ q :
Es decir, ½ (3 ) (® X ) = ® ½ (3 ) (X ) :
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6 5 .1 0 .4 L a e sp e ra n z a c o n d ic io n a l d e la c o la d e V a R e s in v a ria n te b a jo tr a sla c io n e s Ahora se demuestra que la esperanza condicional de la cola de VaR es invariante baj o traslaciones. Sean ® 2 IR y X 2 A , se de¯ne Y = X + ® , entonces E 1Y¡
£ =E IP ¡ £ =E IP ¡ £ =E IP ¡ £ =E IP ¡ £ =E IP ¡ £ =E IP ¡
q
Y jY < ¡ VaRY1 ¡
q
¤
¤ X ¡ ® jX + ® < ¡ VaRX1 ¡+q® ¡ ¢¤ X ¡ ® jX + ® < ¡ VaRX1 ¡ q ¡ ® ¤ X ¡ ® jX < ¡ VaRX1 ¡ q ¤ £ ¯ ¤ X jX < ¡ VaRX1 ¡ q ¡ E IP ¡ ® ¯X < ¡ VaR1X ¡ q ¤ X jX < ¡ VaRX1 ¡ q ¡ ®
=E 1X¡ q ¡ ® :
En otras palabras, ½ (3 ) (X + ® ) = ½ (3 ) (X ) ¡ ® :
6 5 .1 0 .5 L a e sp e ra n z a c o n d ic io n a l d e la c o la d e V a R sa tisfa c e la p ro p ie d a d d e m o n o to n ¶³a n o c re c ie n te En esta secci¶o n se muestra que la esperanza condicional de la cola de VaR satisface la propiedad de monoton¶³a no creciente. Con este prop¶o sito, suponga que X ¸ Y , entonces £ ¤ E IP Y jY < ¡ VaRY1 ¡ q £ ¤ = ¡ VaRY1 ¡ q + E IP Y + VaR1Y ¡ q jY < ¡ VaR1Y ¡ q h¡ i ¢ E IP Y + VaRY1 ¡ q 1 f Y < ¡ V a R Y g © ª 1¡ q = ¡ VaRY1 ¡ q + Y IP Y < ¡ VaR1 ¡ q h¡ i ¢ IP E Y + VaRY1 ¡ q 1 f Y < ¡ V a R Y g 1 f X < ¡ V a R X g 1¡ q 1¡ q = ¡ VaRY1 ¡ q + q h¡ i ¢ E IP Y + VaRY1 ¡ q 1 f Y + V a R Y < 0 g 1 f X ¸ ¡ V a R X g 1¡ q 1¡ q + q h¡ i ¢ E IP Y + VaRY1 ¡ q 1 f Y < ¡ V a R Y g 1 f X < ¡ V a R X g 1¡ q 1¡ q · ¡ VaRY1 ¡ q + q h¡ i ¢ E IP Y + VaRY1 ¡ q 1 f X < ¡ V a R X g © ª 1¡ q · ¡ VaRY1 ¡ q + IP X < ¡ VaR1X ¡ q £ ¤ = ¡ VaRY1 ¡ q + E IP Y + VaR1Y ¡ q jX < ¡ VaR1X ¡ q £ ¤ £ ¤ =E IP Y jX < ¡ VaRX1 ¡ q · E IP X jX < ¡ VaR1X ¡ q : La primera desigualdad se debe al hecho de que la segunda esperanza de la tercera igualdad es negativa. La segunda desigualdad se sigue de que la intersecci¶o n de dos eventos est¶a contenida en cada uno de los eventos. Por lo tanto, £ ¤ £ ¤ ¡ E IP X jX < ¡ VaRX1 ¡ q · ¡ E IP Y j ¡ Y > VaR1Y ¡ q : Equivalentemente, E 1X¡
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q
· E 1Y¡
q
¶o ½ (3 ) (X ) · ½ (3 ) (Y ) :
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6 5 . M ed id a s co h eren tes d e riesg o ...
6 5 .1 0 .6 L a e sp e ra n z a c o n d ic io n a l d e la c o la d e V a R e s su b a d itiv a En esta secci¶o n se veri¯ca que la esperanza condicional de la cola de VaR es subaditiva. Observe primero que si X ;Y 2 A , entonces £ ¤ E IP X jX < ¡ VaRX1 ¡ q £ ¤ = ¡ VaRX1 ¡ q + E IP X + VaR1X ¡ q jX < ¡ VaR1X ¡ q h¡ i ¢ E IP X + VaRX1 ¡ q 1 f X < ¡ V a R X g © ª 1¡ q = ¡ VaRX1 ¡ q + IP X < ¡ VaR1X ¡ q h¡ ¢ E IP X + VaRX1 ¡ q 1 f X < ¡ V a R X g 1 f X + Y < ¡ V a R X + Y 1¡ q 1¡ q © ª = ¡ VaRX1 ¡ q + IP X < ¡ VaR1X ¡ q h¡ i ¢ E IP X + VaRX1 ¡ q 1 f X + V a R X < 0 g 1 f X + Y ¸ ¡ V a R X + Y g 1¡ q 1¡ q © ª + IP X < ¡ VaRX1 ¡ q h¡ ¢ E IP X + VaRX1 ¡ q 1 f X < ¡ V a R X g 1 f X + Y < ¡ V a R X + Y 1¡ q 1¡ q · ¡ VaRX1 ¡ q + q h£ i ¢ E IP X + VaRX1 ¡ q 1 f X + Y < ¡ V a R X + Y g © ª1 ¡ q · ¡ VaRX1 ¡ q + X + Y IP X + Y < ¡ VaR1 ¡ q £ ¤ X IP = ¡ VaR1 ¡ q + E X + VaR1X ¡ q jX + Y < ¡ VaR1X ¡+qY £ ¤ =E IP X jX + Y < ¡ VaRX1 ¡+qY :
g
g
i
i
Por simetr¶³a en los c¶alculos, tambi¶e n se tiene que £ ¤ £ ¤ E IP Y jY < ¡ VaRY1 ¡ q · E IP Y jX + Y < ¡ VaR1X ¡+qY : En consecuencia, ¡ ¢ E 1X¡ +q Y = ¡ E IP X + Y jX + Y < ¡ VaRX1 ¡+qY ¡ ¢ ¡ ¢ = ¡ E IP X jX + Y < ¡ VaRX1 ¡+qY ¡ E IP Y jX + Y < ¡ VaR1X ¡+qY ¡ ¢ ¡ ¢ · ¡ E IP Y jY < ¡ VaRY1 ¡ q ¡ E IP X jX < ¡ VaR1X ¡ q = E 1X¡ q + E 1Y¡ q :
As¶³, ½ (3 ) (X + Y ) · ½ (3 ) (X ) + ½ (3 ) (Y ) :
6 5 .1 1 T e o re m a d e re p re se n ta c i¶o n d e m e d id a s c o h e re n te s d e rie sg o Considere un variable aleatoria X de¯nida sobre dos espacios de probabilidad ( ;F ;IP 1 ) y ( ;F ;IP 2 ) . Es decir, X : ¡ ! IR tiene asociadas dos distribuciones. Se de¯ne ¡ ¢ ½ m (X ) := ¡ max E IP 1 [X ] ;E IP 2 [X ] ;
entonces ½ m (X ) es una medida coherente de riesgo. Observe que esta medida de riesgo se de¯ne en t¶e rminos de dos medidas de probabilidad IP 1 y IP 2 . Si ® > 0 ¡ ¢ ½ m (® X ) = ¡ max E IP 1 [® X ] ;E IP 2 [® X ] ¡ ¡ ¢¢ =® ¡ max E IP 1 [X ] ;E IP 2 [X ] =® ½ m (X ) :
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6 5 . M ed id a s co h eren tes d e riesg o ...
Asimismo, si ® 2 IR, entonces
¡ ¢ ½ m (X + ® ) = ¡ max E IP 1 [X + ® ] ;E IP 2 [X + ® ] ¡ ¡ ¢¢ = ¡ max E IP 1 [X ] ;E IP 2 [X ] ¡ ® =½ m (X ) ¡ ® :
Adem¶as,
¡ ¢ ½ m (X + Y ) = ¡ max E IP 1 [X + Y ] ;E IP 2 [X + Y ] ¡ ¡ ¢¢ · ¡ max E IP 1 [X ] + E IP 1 [Y ] ;E IP 2 [Y ] + E IP 2 [Y ] ¡ ¢ ¡ ¢ = ¡ max E IP 1 [X ] ;E IP 2 [X ] ¡ max E IP 1 [Y ] ;E IP 2 [Y ] =½ m (X ) + ½ m (Y ) :
Por u¶ ltimo, Si X · Y , entonces
¡ ¢ ½ m (Y ) = ¡ max E IP 1 [Y ] ;E IP 2 [Y ] ¡ ¡ ¢¢ · ¡ max E IP 1 [X ] ;E IP 2 [X ] =½ m (X ) :
A continuaci¶o n se discute sobre el teorema de representaci¶o n de una medida coherente de riesgo, el cual se puede enunciar como sigue: Una medida de riesgo, ½ , es coherente si y s¶o lo si existe una familia, P , de probabilidades de¯nidas en ( ;F ;IP) tal que: ½ (X ) = sup E IP [¡ X ] : IP 2 P
Esta de¯nici¶o n se puede motivar de la siguiente manera. Sea un espacio muestral con n posibles m resultados igualmente probables. Considere una familia C = f A i g i= , con 1 de subconj untos de la propiedad de que cada A i tiene º elementos y m [
Ai=
:
i= 1
Se de¯ne la medida de probabilidad IP i como la probabilidad condicional de que ! 2 A i , y 0 de otra manera. Esto es, 8 <1 si ! 2 A i ; º IP i (f ! g ) := IP i (! ) = : 0 si ! 2= A i :
Sea X una variable aleatoria de¯nida en ( ;F ) . Denote los posibles valores que X puede tomar, en orden creciente, como x 1 · x 2 · ¢¢¢ · x n . Sea k un n¶u mero entero, 0 · k < n , y ® 2 [k = n ;(k + 1) = n ) . Dado que IP f X · x k + 1 g =
k +1 > ® n
y IP f X · x k + 1 g ·
k · ®; n
se tiene que ¡ VaRX1 ¡ ® = x k + 1 . Suponga ahora que cada A i tiene exactamente º = n ¡ k elementos. En este caso, IP i f ! g = 1= (n ¡ k ) . De¯na la familia de medidas P = f IP i g 1 · i· m . Sea A ` el miembro de C con elementos m¶as peque~n os, es decir, f x 1 ;x 2 ;:::;x n ¡ k g . Se tiene entonces que E 1X¡
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q
= E IP ` [¡ X jX · ¡ VaR1X ¡ ® ] x 1 + x 2 + ¢¢¢ + x n ¡ k ; =¡ n ¡ k = E IP ` [¡ X ]
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6 5 . M ed id a s co h eren tes d e riesg o ...
donde IP ` es la medidad de probabilidad asociada a A ` . Para cualquier otra IP i 2 P , se tiene que E IP i[¡ X ] · E IP ` [¡ X ] :
En consecuencia,
E 1X¡
q
= sup E IP i [¡ X ] : IP i 2 P
6 5 .1 2 C o n stru c c i¶o n d e m e d id a s c o h e re n te s d e rie sg o En esta secci¶o n se establecen algunas reglas para construir medidas coherentes a partir de otras medidas coherentes. Sean de riesgo, entonces, cualquier combiP n ½ 1 , ½ 2 ,...,½ n , medidasPcoherentes n naci¶o n convexa ½ := i= 1 ¯ i ½ i , con ¯ i ¸ 0 y i= 1 ¯ i = 1, es una medida coherente de riesgo. Similarmente, si ½ ± , ± 2 [a ;b] es una familia param¶e trica de medidas coherentes de riesgo, enRb Rb tonces para cualquier medida d¹ (± ) en [a ;b] con a d¹ (± ) = 1, se tiene que ½ := a ½ ± d¹ (± ) es una medida coherente de riesgo.
6 5 .1 3 C o n c lu sio n e s En un mundo globalizado con incertidumbre y riesgo, las autoridades y reguladores exigen a los intermediarios ¯nancieros, cada vez, m¶as requisitos en materia de administraci¶o n de riesgos, tales como: sistemas integrales de medici¶o n y control de riesgo, fondos contingentes, comit¶e s t¶e cnicos de riesgos, unidades especializadas, reportes peri¶o dicos, evaluaciones frecuente de pol¶³ticas, modelos, t¶e cnicas, herramientas, procedimientos y metodolog¶³as. Es deseable entonces que el cumplimiento de todos estos requisitos tome como base una medida coherente del riesgo. Este cap¶³tulo es un intento modesto de fomentar la cultura de la esperanza condicional del VaR. Para ello, no s¶o lo es necesario transformar la forma de hacer las cosas, sino tambi¶e n modi¯car la forma de pensar, pensar coherentemente.
6 5 .1 4 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Acerbi, C. (2001) . Risk Aversion and Coherent Risk Measures: A Spectral Representation Theorem. Manuscript, Abaxbank, Italy. Artzner, P., F. Delbaen, J. M. Eber, and D. Heath (1999) . \Coherent measures of risk" . M a th em a tica l F in a n ce, Vol. 9, No. 3, pp. 203-228. Delbaen, F. (2000) . Coherent Risk Measures on General Probability Spaces. Manuscript, EidgenÄo ssische Technische Hochschule, ZÄu rich. Jarrow, R. (2002) . \Put Option Premiums and Coherent Risk Measures" . M a th em a tica l F in a n ce, Vol. 12, No. 2, pp. 135-142. Yang, H. and T. K. Siu (2001) . \Coherent Risk Measures for Derivatives under the Black-Scholes Economy" . In tern a tio n a l J o u rn a l o f T h eo retica l a n d A p p lied F in a n ce, Vol. 4, No. 5, pp. 819-835.
6 5 .1 5 E je rc ic io s 6 5 .1 Suponga que ½ es una medida coherente de riesgo, en el sentido de Artzner et a l. Proporcione los detalles de todas las demostraciones (a ) -(m ) de la secci¶o n 65.4.1. 6 5 .2 Calcule
Z 1 q VaR1X ¡ s ds q q 0 para una variable aleatoria Gamma con par¶ametros ® y ¯ . AVaRX1 ¡
=
6 5 .3 Calcule
£ ¤ E 1X¡ q = ¡ E IP X jX < ¡ VaR1X ¡ q para una variable aleatoria Gamma con par¶ametros ® y ¯ . Compare el resultado con el del ej ercicio anterior.
6 5 .4 Sean X y Y los rendimientos de dos portafolios muestre que (X + Y ) 1 f X
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+ Y · 0g
¸ X 1fX
· 0g
+ Y 1fY
· 0g :
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.
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X II. R IE S G O C R E¶ D IT O Y D E R IV A D O S D E C R E¶ D IT O
² 6 6 . R iesg o C r¶e d ito (I): p ro b a b ilid a d d e in cu m p lim ien to
y d eriva d o s d e cr¶e d ito
² 6 7 . R iesg o C r¶e d ito (II): en fo q u e d e ecu a cio n es
d iferen cia les p a rcia les
² 6 8 . R iesg o C r¶e d ito (III): m o d elo s d e m ig ra ci¶o n d e cr¶e d ito
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.
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C A P ¶IT U L O 66 R IE S G O C R E¶ D IT O (I): P R O B A B IL ID A D D E IN C U M P L IM IE N T O , M O D E L O S D E H U L L Y W H IT E , Y M E R T O N C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ² ² ² ² ²
Cali¯caci¶o n o calidad crediticia Riesgo de incumplimiento de bonos corporativos Tasa de recuperaci¶o n Tasa instant¶anea de riesgo de incumplimiento Probabilidad de incumplimiento con una distribuci¶o n exponencial Probabilidad de incumplimiento con una distribuci¶o n exponencial bivariada Modelo de Hull y White de probabilidades de incumplimiento Modelo de Merton de probabilidades de incumplimiento Modelo de Hull y White para valuar derivados de cr¶e dito
6 6 .1 In tro d u c c i¶o n La administraci¶o n del riesgo cr¶e dito en la banca comercial es un asunto de gran importancia. Las autoridades ¯nancieras reguladoras y supervisoras que controlan las actividades de la banca comercial exigen medidas precautorias y la especi¯caci¶o n de fondos contingentes m¶³nimos para mantener en niveles aceptables los diferentes tipos de riesgos a ¯n de evitar grandes p¶e rdidas e incluso el colapso. La labor de regulaci¶o n y supervisi¶o n est¶a a cargo del banco central, de la autoridad ¯scal, de las comisiones o superintendencias de vigilancia de los procesos y operaciones y de las entidades que protegen a clientes y ahorradores y, por consiguiente, a la econom¶³a nacional. Cuando se val¶u a te¶o ricamente un producto derivado (forward, opci¶o n, swap, bono, etc.) , se da por hecho que cada una de las partes del contrato cumplir¶a, cabal y puntualmente, con las obligaciones adquiridas. De tal suerte, que los °uj os de efectivo que se generan en los contratos tienen la m¶as alta calidad crediticia. Desafortunadamente, en la realidad esto no es necesariamente cierto, principalmente en los mercados sobre mostrador (over-the-counter) . En los u¶ ltimos a~n os, estos mercados han crecido considerablemente y, por ello, la cuanti¯caci¶o n y administraci¶o n del riesgo cr¶e dito, de los que participan en dichos mercados, son tareas esenciales que se llevan a cabo todos los d¶³as. Este cap¶³tulo se concentra fundamentalmente en la estimaci¶o n de la probabilidad de que se presente el evento de incumplimiento. En los mercados de derivados listados, la existencia de una c¶amara de compensaci¶o n y liquidaci¶o n reduce considerablemente el riesgo cr¶e dito debido a los dep¶o sitos de garant¶³a (m¶argenes) que se exigen a las partes y/o contrapartes de los contratos negociados. Hasta ahora, ninguna c¶amara de compensaci¶o n en el mundo ha quebrado. No obstante, es importante destacar que la probabilidad de quiebra, aunque ¶e sta sea muy peque~n a, est¶a siempre latente. Este evento lej os de ser fatalista es muy realista y merece especial atenci¶o n. Muchos de los bonos que se encuentran en el mercado son emitidos por empresas medianas con planes de expansi¶o n. Sin embargo, en muchos casos la ej ecuci¶o n de dichos planes depende de la evoluci¶o n del entorno econ¶o mico y de negocios en un pa¶³s o en el a¶ mbito mundial. En condiciones adversas algunas empresas pueden tener di¯cultades de solvencia e incluso declararse en quiebra antes de cumplir con los compromisos ¯nancieros adquiridos con sus acreedores. Cuando los recursos de la empresa son insu¯cientes para el cumplimiento de sus obligaciones, los
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6 6 . R iesg o cr¶e d ito (I): p ro b a b ilid a d d e in cu m p lim ien to y d eriva d o s d e cr¶e d ito
acreedores preferentes o privilegiados tienen derechos sobre cualquier otro acreedor. Por ejemplo, los trabaj adores de la empresa tienen preferencia sobre el pago de sus salarios y liquidaciones y la autoridad ¯scal sobre el pago de impuestos y cuotas patronales. Los acreedores con garant¶³a real, ya sea hipotecaria o prendaria, les siguen en orden a los preferentes. Por u¶ ltimo, se encuentran los acreedores comunes, los cuales carecen de cualquier privilegio en la recuperaci¶o n de sus cr¶e ditos. En todos los casos, los procesos legales de recuperaci¶o n, parcial o total, son siempre largos y costosos. En este cap¶³tulo se revisan diversas metodolog¶³as u¶ tiles en la estimaci¶o n de la probabilidad de incumplimiento de un bono corporativo, con y sin cupones. En particular, se estudia el trabaj o de Hull y White (2000) , \Valuing Credit Default Swaps I: No Counterparty Default Risk" publicado en el \Journal of Derivatives" , as¶³ como el de Merton (1974) \On the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates" publicado en el \Journal of Finance" .
6 6 .2 C a li¯ c a c io n e s c re d itic ia s y rie sg o d e in c u m p lim ie n to d e b o n o s c o rp o ra tiv o s c u p o¶ n c e ro Agencias independientes como Standard & Poor's, Moody's y Fitch Ratings, entre otras, proporcionan cali¯caciones crediticias a bonos corporativos, de mediano y largo plazo, a trav¶e s de una opini¶o n imparcial. El Cuadro 66.1 muestra una descripci¶o n de las cali¯caciones crediticias que otorga Standard & Poor's a bonos corporativos en un pa¶³s determinado. Cali¯caci¶o n AAA AA A BBB BB B CCC
Descripci¶o n La m¶as alta calidad crediticia Muy alta calidad crediticia Alta calidad crediticia Buena calidad crediticia Calidad especulativa Calidad altamente especulativa Alto riesgo de incumplimiento
Cuadro 66.1 Descripci¶o n de las cali¯caciones crediticias.
Una explicaci¶o n detallada de cada una de las cali¯caciones se da a continuaci¶o n: AAA: Asigna la mej or calidad crediticia con respecto de otros emisores y, por lo regular, corresponde a t¶³tulos de deuda emitidos o garantizados por el gobierno. AA: Otorga una calidad crediticia muy s¶o lida con respecto de otras emisiones. El riesgo crediticio inherente a estas obligaciones ¯nancieras di¯ere levemente de otros emisores mej or cali¯cados. A: Corresponde a una calidad crediticia s¶o lida con respecto de otros emisores. Sin embargo, cambios en las condiciones econ¶o micas podr¶³an afectar el cumplimiento de las obligaciones adquiridas, en un grado mayor que aquellas obligaciones ¯nancieras que fueron cali¯cadas con categor¶³as superiores. BBB: Establece una calidad crediticia buena. Sin embargo, cambios en las circunstancias econ¶o micas podr¶³an afectar la capacidad de pago oportuno con respecto de otras emisiones cali¯cadas con categor¶³as superiores. BB: Asigna calidad especulativa. Representa una calidad crediticia relativamente vulnerable con respecto de otros emisores. El pago de estas obligaciones ¯nancieras implica cierto grado de incertidumbre. La capacidad de pago oportuno es vulnerable a °uctuaciones adversas en el entorno econ¶o mico. B: Otorga una calidad altamente especulativa. Esta calidad crediticia es signi¯cativamente m¶as vulnerable con respecto de otros emisores. Los compromisos ¯nancieros actuales se cumplen, pero existe un margen limitado de seguridad. La capacidad de continuar con el pago oportuno depende del desarrollo favorable de la econom¶³a.
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6 6 . R iesg o cr¶e d ito (I): p ro b a b ilid a d d e in cu m p lim ien to y d eriva d o s d e cr¶e d ito
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CCC: Asigna alto riesgo de incumplimiento. Esta categor¶³a agrupa riesgos crediticios muy vulnerables respecto de otros emisores. Su capacidad de cumplir con las obligaciones ¯nancieras depende exclusivamente del desarrollo favorable y sostenible del entorno econ¶o mico y de negocios. La adici¶o n de un \ + " ¶o \ ¡ " , al ¯nal de la cali¯caci¶o n crediticia, se utiliza para denotar un estatus de inversi¶o n. El su¯j o \ + " denota un status agresivo, mientras que el su¯j o \ ¡ " signi¯ca que el estatus de inversi¶o n es conservador. En otras palabras, un estatus agresivo promete un mayor retorno que el conservador, pero con mayor riesgo. As¶³, por ej emplo, AA+ asigna una muy alta calidad crediticia con un estatus de inversi¶o n agresivo. Dichos su¯j os no se incluyen en la categor¶³a AAA o en categor¶³as estrictamente inferiores a CCC. Otro su¯j o adicional que se utiliza para se~n alar la posibilidad de un cambio en cali¯caci¶o n es la perspectiva: \positiva" , la cual indica una posible mej ora en la calidad; \negativa" , la cual se~n ala una posible disminuci¶o n en la cali¯caci¶o n; y \estable" , en cuyo caso existe una probabilidad signi¯cativa de que la calidad crediticia se mantenga. Por ejemplo, \A+/estable/" asigna una calidad crediticia alta con un estatus de inversi¶o n agresivo y perspectiva \estable" . Por u¶ ltimo, en ocasiones, a la cali¯caci¶o n crediticia se a~n ade entre par¶e ntesis el pa¶³s de referencia de la emisora. Por ejemplo, \AA+(mex) /negativa/" se re¯ere a una calidad crediticia muy alta de un emisor en M¶e xico con un estatus de inversi¶o n agresivo y perspectiva negativa. Otras agencias cali¯cadoras, por ejemplo, Moody's utiliza la siguiente nomenclatura Aaa, Aa, A, Baa, Ba, B, Caa. Dada est¶a distinci¶o n, un inversionista siempre sabr¶a cu¶al es la agencia que cali¯ca a la emisora en cuesti¶o n; el lector puede consultar los detalles de las distintas nomenclaturas en las p¶aginas \web" de las correspondientes agencias cali¯cadoras.
6 6 .3 D ife re n c ia l d e p re c io s e n tre b o n o s g u b e rn a m e n ta le s y c o rp o ra tiv o s En esta secci¶o n se examina el diferencial de precios entre bonos gubernamentales y corporativos. Para ello, se utilizan los conceptos de curvas de rendimiento y precios. Sean: t: Fecha de referencia (o de valuaci¶o n) . R c (t;T ) : Rendimiento de un bono cup¶o n cero emitido por un corporativo colocado en t y con vencimiento en T . Se supone que R c (t;T ) tiene derivada parcial continua con respecto del argumento T . R g (t;T ) : Rendimiento de un bono cup¶o n cero gubernamental colocado en t y con vencimiento en T , el cual se supone libre de riesgo cr¶e dito. Se supone que R g (t;T ) tiene derivada continua con respecto de T : B c (t;T ) : Precio de un bono corporativo cup¶o n cero, con riesgo cr¶e dito, colocado en t y con vencimiento en T . B g (t;T ) : Precio de un bono gubernamental cup¶o n cero, libre de riesgo cr¶e dito, colocado en t y con vencimiento en T . N : Nominal de los bonos. Se supone que R c (t;T ) ¡ R g (t;T ) > 0. Esta diferencia recibe el nombre de sobretasa por riesgo cr¶e dito, y ser¶a denotada por H (t;T ) . Se supone que @H ¸ 0; @T
(66:1)
es decir, H (t;T ) es una funci¶o n no decreciente en el argumento T . Observe que dado que R c (t;T ) y R g (t;T ) tienen derivadas parciales continuas en T , entonces H (t;T ) tambi¶e n tiene derivada parcial continua en T . El diferencial de precios entre bonos gubernamentales y corporativos, en t, est¶a dado por V (t;T ) := N (e ¡
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R
g (t;T
)(T ¡ t)
¡ e¡
R c (t;T )(T ¡ t)
) = B g (t;T ) ¡ B c (t;T ) :
(66:2)
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6 6 . R iesg o cr¶e d ito (I): p ro b a b ilid a d d e in cu m p lim ien to y d eriva d o s d e cr¶e d ito
De esta manera, la proporci¶o n de V (t;T ) con respecto del precio del bono gubernamental satisface º (t;T ) :=
V (t;T ) B g (t;T ) ¡ B c (t;T ) = : B g (t;T ) B g (t;T )
(66:3)
Observe tambi¶e n que (66.3) puede reescribirse como
º (t;T ) =
e¡
R
g (t;T
)(T ¡ t)
e¡ R
=1 ¡ e ¡
¡ e¡
g (t;T
R c (t;T )(T ¡ t)
)(T ¡ t)
H (t;T )(T ¡ t)
(66:4)
:
6 6 .3 .1 P ro b a b ilid a d d e in c u m p lim ie n to c o n ta sa d e re c u p e ra c i¶o n n u la Los conceptos b¶asicos para abordar la problem¶atica de riesgo de incumplimiento de un bono son su curva de rendimiento y su precio. En lo sucesivo, las frases riesgo cr¶e dito y riesgo incumplimiento ser¶an utilizadas indistintamente. Evidentemente, el contar con una estimaci¶o n de la probabilidad de que se presente el evento de incumplimiento de una obligaci¶o n ¯nanciera, es el primer paso en la cuanti¯caci¶o n del riesgo cr¶e dito. En esta secci¶o n se calcula la probabilidad de incumplimiento asociada a un bono corporativo en un mundo neutral al riesgo. Se denota la probabilidad de incumplimiento en T del bono corporativo calculada en t, mediante Q (t;T ) . Si se supone que no hay recuperaci¶o n del nominal, ni siquiera parcial, se puede escribir N = 0 (v¶e ase la Gr¶a¯ca 66.1) . La realidad es, por supuesto, m¶as complicada que esto. En la pr¶actica, no siempre es todo o nada, algunos acreedores tienen derecho s¶o lo a un pago parcial. Baj o el supuesto de que el valor esperado del nominal de un bono corporativo sea igual al valor futuro de su precio, calculado con la tasa de rendimiento libre de riesgo cr¶e dito, la probabilidad de incumplimiento, Q (t;T ) , satisface B c (t;T ) e R
g (t;T
)(T ¡ t)
= (1 ¡ Q (t;T ) ) N + Q (t;T ) 0;
(66:5)
lo cual implica B c (t;T ) = (1 ¡ Q (t;T ) ) B g (t;T ) :
(66:6)
Es decir, Q (t;T ) =
B g (t;T ) ¡ B c (t;T ) : B g (t;T )
(66:7)
De esta manera, º y Q son exactamente la misma funci¶o n. La importancia de este resultado radica en que para calcular Q (t;T ) s¶o lo se requiere conocer los precios actuales de los bonos o, en forma equivalente, sus curvas de rendimiento.
N B c (t;T )
%
1¡ Q
&
Q
0
¶ Gr¶a¯ca 66.1 Arbol de probabilidad de incumplimiento.
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6 6 . R iesg o cr¶e d ito (I): p ro b a b ilid a d d e in cu m p lim ien to y d eriva d o s d e cr¶e d ito
6 6 .3 .2 L a ta sa d e re c u p e ra c i¶o n y e l tie m p o d e in c u m p lim ie n to v isto s c o m o v a ria b le s a le a to r ia s La variable aleatoria asociada con la probabilidad de incumplimiento es la tasa de recuperaci¶o n. As¶³, a los posibles valores que la tasa de recuperaci¶o n puede tomar se les asignan probabilidades. Espec¶³¯camente, si se de¯ne la variable aleatoria X t;T , del tipo Bernoulli, mediante IPf X
t;T
y
= 1jF t g = 1 ¡ Q (t;T )
IPf X t;T = 0jF t g = Q (t;T ) ; entonces la ecuaci¶o n (66.5) puede reescribirse B c (t;T ) e R
g (t;T
)(T ¡ t)
= E[N X
t;T
] = N E[X
t;T
] = N [(1 ¡ Q (t;T ) ) + Q (t;T ) 0] :
Si se de¯ne la variable aleatoria continua T como el momento en que ocurre el evento de incumplimiento, entonces se veri¯ca la relaci¶o n X
t;T
=0
si y s¶o lo si
t· T · T:
Por lo tanto, otra forma de escribir la probabilidad de incumplimiento es Claramente,
Q (t;T ) = IPf t · T · T g = F T (T ) = 1 ¡ e ¡
H (t;T )(T ¡ t)
:
F T (t) = 0 y F T (1 ) = 1; y F T (T ) es continua en T , T ¸ t. Por lo tanto, Q (t;T ) es la distribuci¶o n de probabilidad acumulada de la variable aleatoria T . La probabilidad de que no se haya presentado el evento de incumplimiento hasta el tiempo T , en virtud de (66.4) , est¶a dada por IPf T > T g = 1 ¡ F T (T ) = e ¡
De igual manera, la funci¶o n de densidad de T satisface μ ¶ @H f T (T ) = H (t;T ) + (T ¡ t) e ¡ @T
H (t;T )(T ¡ t)
H (t;T )(T ¡ t)
;
:
T > t:
6 6 .3 .3 C ¶a lc u lo d e la p ro b a b ilid a d d e in c u m p lim ie n to e n u n in te rv a lo d e tie m p o e n e l fu tu ro Considere N bonos emitidos por uno o varios corporativos de la misma calidad crediticia con vencimientos en T 1 < T 2 < ¢¢¢ < T N : Si la curva de rendimiento para dichos bonos se denota mediante R c (t;T ) y la curva de rendimiento para un bono gubernamental, libre de riesgo cr¶e dito, es R g (t;T ) , entonces Q (t;T i ) = IPf t · T · T i g = 1 ¡ e ¡
H (t;T i )(T i ¡ t)
En este caso, la probabilidad de incumplimiento durante el intervalo [T j ;T k ] , 1 · j < k · N est¶a dada por: Q (t;T j ;T k ) = Q (t;T k ) ¡ Q (t;T j ) : (66:8) Esta expresi¶o n puede reescribirse, de manera m¶as peculiar, como IPf T j · T · T k g =IPf t · T · T k g ¡ IPf t · T · T j g =F T (T k ) ¡ F T (T j ) :
6 6 .3 .4 E l c a so e x p o n e n c ia l Si en particular H (t;T ) se mantiene constante, por ej emplo H (t;T ) = ¸ , entonces la funci¶o n de densidad de T satisface f T (T ) = ¸ e ¡ ¸ (T ¡ t) ; T > t; la cual corresponde a la funci¶o n de densidad exponencial truncada. En este caso, se cumple que y
Q (t;T ) = IPf t · T · T g = 1 ¡ e ¡ Q (t;T 1 ;T 2 ) = Q (t;T 2 ) ¡ Q (t;T 1 ) = e ¡
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¸ (T 1 ¡ t)
¡ e¡
¸ (T ¡ t)
;
¸ (T 2 ¡ t)
T > t ¡ = e¸ t e¡
¸T1
¡ e¡
¸T2
¢ :
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6 6 .3 .5 P r o c e so h o m o g ¶e n e o d e P o isso n , p ro b a b ilid a d d e in c u m p lim ie n to En esta secci¶o n el evento de incumplimiento se asocia con la primera ocurrencia de un evento de Poisson. Se dice que N t es un proceso homog¶e neo de (saltos) Poisson, con par¶ametro de intensidad ¸ , si satisface las siguientes condiciones: (i) N 0 = 0. (ii) Si s < t, entonces N s · N t . (iii) IPf N t+ d t = 1 + n j N t = n g = ¸ dt + o (dt) ; n 2 IN; IPf N
t+ d t
IPf N
t+ d t
= njN
t
= n g = 1 ¡ ¸ dt + o (dt) ;
= m +njN
= n g = o (dt) ;
t
donde o (dt) = dt ! 0 cuando dt ! 0. (iv ) Si 0 < s < t, entonces los incrementos N dientes.
t
¡ N
s
y N
n 2 IN;
n ;m 2 IN;
s
¡ N
0
m > 1;
son estoc¶asticamente indepen-
Las probabilidades anteriores pueden escribirse de manera equivalente como IPf N
t+ d t
¡ N
t
= 1g = ¸ dt + o (dt)
y IPf N
t+ d t
¡ N
t
= 0g = 1 ¡ ¸ dt + o (dt) ;
o simplemente IPf dN
= 1g = ¸ dt + o (dt)
t
y IPf dN
t
= 0g = 1 ¡ ¸ dt + o (dt) :
A continuaci¶o n se calcula la probabilidad IPf N t+ d t = 0g asociada con el evento de incumplimiento. Si se denota p 0 (t + dt) = IPf N t+ d t = 0g , entonces p 0 (t + dt) =IPf N
t+ d t
= 0j N
t
= 0g p 0 (t)
=(1 ¡ ¸ dt) p 0 (t) + o (dt) ; lo cual implica que o (dt) p 0 (t + dt) ¡ p 0 (t) : = ¡ ¸ p 0 (t) + dt dt Si en la expresi¶o n anterior se toma el l¶³mite cuando dt ! 0; se sigue que d p 0 (t) = ¡ ¸ p 0 (t) : dt La soluci¶o n de esta ecuaci¶o n diferencial ordinaria est¶a dada por p 0 (t) = e ¡ manera, si p 1 (t + dt) = IPf N t+ d t = 1g , entonces p 1 (t + dt) =IPf N
t+ d t
= 1j N
t
= 0g p 0 (t) + IPf N
t+ d t
= 1j N
t
¸t
. De la misma
= 1g p 1 (t)
=¸ dtp 0 (t) + (1 ¡ ¸ dt) p 1 (t) + o (dt) ; lo cual conduce a
p 1 (t + dt) ¡ p 1 (t) o (dt) : = ¡ ¸ p 1 (t) + ¸ p 0 (t) + dt dt
As¶³, d p 1 (t) = ¡ ¸ p 1 (t) + ¸ e ¡ dt
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¸t
:
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La soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial anterior es p 1 (t) = ¸ te ¡ ¸ t . Se de¯ne ahora la variable aleatoria T = inff T j N T = 1g ; T > t: Claramente, IPf T > T g = p 0 (T ¡ t) = e ¡
¸ (T ¡ t)
:
En consecuencia, la funci¶o n de distribuci¶o n acumulada de T est¶a dada por F T (T ) = IPf t · T · T g = 1 ¡ e ¡
¸ (T ¡ t)
;
T ¸ t:
Es decir, la variable aleatoria T sigue una distribuci¶o n exponencial truncada con par¶ametro ¸ .
6 6 .3 .6 T a sa in sta n t¶a n e a d e rie sg o d e in c u m p lim ie n to La tasa instant¶anea de riesgo de incumplimiento º (t;T ) asociada a una variable aleatoria continua T > t con funci¶o n de densidad f T (T ) y distribuci¶o n F T (T ) se de¯ne mediante el cociente º (t;T ) =
f T (T ) : 1 ¡ F T (T )
(66:9)
El denominador recibe el nombre de funci¶o n de sobrevivencia, por razones obvias. Una interpretaci¶o n de (66.9) es como sigue. Observe, primero, que f T (T ) dT 1 ¡ F T (T ) dF T (T ) = 1 ¡ F T (T ) IPf t · T · T + dT g ¼ IPf T > T g =IPf t · T · T + dT j T > T g :
º (t;T ) dT =
As¶³, º (t;T ) dT representa la probabilidad de que ocurra el evento de incumplimiento en el intervalo [T ;T + dT ] dado que hasta T todav¶³a no se ha presentado. Por u¶ ltimo, en virtud de (66.9) , observe que ZT ¤(t;T ) := º (t;s ) ds t
ZT
dF T (s ) 1 ¡ F T (s ) t = ¡ ln(1 ¡ F T (T ) ) ; =
(66:10)
lo cual implica que F T (T ) = 1 ¡ e ¡
¤ (t;T )
:
En el caso particular del proceso de Poisson, con par¶ametro de intensidad ¸ , se tiene que ¤(t;T ) =
ZT t
¸ ds = ¸ (T ¡ t) :
Por u¶ ltimo, observe que en el caso de un proceso de Poisson, con par¶ametro de intensidad constante, la probabilidad de cumplimiento satisface d IPf T > T g = ¸ IPf T > T g : dt Es decir, el cambio porcentual de la probabilidad de cumplimiento, por unidad de tiempo, es constante e igual a ¸ .
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6 6 .3 .7 P ro b a b ilid a d d e in c u m p lim ie n to c o n ta sa d e re c u p e ra c i¶o n p o sitiv a En esta secci¶o n se supone que, en caso de incumplimiento, existe la posibilidad de recuperar parcialmente el nominal del bono corporativo, N ± , con 0 < ± < 1 (v¶e ase la Gr¶a¯ca 66.2) , entonces la probabilidad de incumplimiento, neutral al riesgo, Q (t;T ) , satisface B c (t;T ) e R
g (t;T
)(T ¡ t)
as¶³ Q (t;T ) =
μ
¶o
= (1 ¡ Q (t;T ) ) N + Q (t;T ) N ±;
1 1¡ ±
Q (t;T ) =
¶
B g (t;T ) ¡ B c (t;T ) B g (t;T )
1 ¡ e¡
H (t;T )(T ¡ t)
1¡ ±
:
(66:11)
En particular, cuando ± = 0, (66.11) coincide con (66.7) .
N B c (t;T )
%
1¡ Q
&
Q
N ± ¶ Gr¶a¯ca 66.2 Arbol de probabilidad de incumplimiento con ± > 0.
Asimismo, la ecuaci¶o n (66.11) puede obtenerse en t¶e rminos de una variable aleatoria Bernoulli, X t;T , de¯nida mediante IPf X
t;T
= 1g = 1 ¡ Q (t;T )
y IPf X
t;T
= ± g = Q (t;T ) ;
con lo cual la probabilidad de incumplimiento est¶a determinada por B c (t;T ) e R
g (t;T
)(T ¡ t)
= E[N X
t;T
] = (1 ¡ Q (t;T ) ) N + Q (t;T ) N ±:
6 6 .3 .8 P ro b a b ilid a d d e in c u m p lim ie n to c o n u n a d istrib u c i¶o n e x p o n e n c ia l b iv a ria d a En el transcurso de las secciones anteriores se han estudiado distribuciones de probabilidad del tiempo de incumplimiento en t¶e rminos de una sola variable aleatoria. En esta secci¶o n se ampl¶³a el an¶alisis a una perspectiva multivariada. En particular, se estudia la probabilidad de incumplimiento para el caso de una distribuci¶o n exponencial bivariada.
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Existen situaciones en donde la probabilidad de incumplimiento de una empresa (controladora) depende de la probabilidad de incumplimiento de otras empresas (subsidiarias) . De lo anterior, surge la necesidad de considerar una distribuci¶o n conj unta bivariada F T 1 ;T 2 (T 1 ;T 2 ) de un vector (T 1 ;T 2 ) . De esta manera, si F T 1 (T 1 ) y F T 2 (T 2 ) son, respectivamente, las distribuciones marginales de ¿ 1 y ¿ 2 , se tiene que: F T 1 ;T 2 (T 1 ;1 ) = F T 1 (T 1 ) ; F T 1 ;T 2 (1 ;T 2 ) = F T 2 (T 2 ) ; F T 1 ;T 2 (T 1 ;¡ 1 ) = F T 1 ;T 2 (¡ 1 ;T 2 ) = F T 1 ;T 2 (¡ 1 ;¡ 1 ) = 0; F T 1 ;T 2 (1 ;1 ) = 1: En este caso, la probabilidad de incumplimiento dentro del dominio de¯nido por el rect¶angulo de tiempos [t1 ;t2 ] £ [T 1 ;T 2 ] est¶a dada por IP f t1 · T 1 · T 1 ;t2 · T 2 · T 2 g = F T 1 ;T 2 (T 1 ;T 2 ) ¡ F T 1 ;T 2 (T 1 ;t2 ) ¡ F T 1 ;T 2 (t1 ;T 2 ) + F T 1 ;T 2 (t1 ;t2 ) : Asimismo, si las segundas derivadas parciales de F T 1 ;T 2 (T 1 ;T 2 ) est¶an de¯nidas en todo punto (T 1 ;T 2 ) 2 IR+2 , entonces la funci¶o n de densidad conj unta de (T 1 ;T 2 ) satisface f T 1 ;T 2 (T 1 ;T 2 ) =
@ 2 F T 1 ;T 2 (T 1 ;T 2 ) : @ T 1@ T 2
Las variables aleatorias (T 1 y T 2 ) son independientes si y s¶o lo si F T 1 ;T 2 (T 1 ;T 2 ) = F T 1 (T 1 ) F T 2 (T 2 ) : Por otro lado, la probabilidad de no incumplimiento, o de sobrevivencia, est¶a dada por: F¹T 1 ;T 2 (T 1 ;T 2 ) ´ IP f T 1 > T 1 ;T 2 > T 2 g = 1 ¡ F T 1 (T 1 ) ¡ F T 2 (T 2 ) + F T 1 ;T 2 (T 1 ;T 2 ) : A continuaci¶o n se listan algunas propiedades de la distribuci¶o n exponencial bivariada. Considere una distribuci¶o n exponencial bivariada. Suponga tres eventos de incumplimiento independientes. El primer evento conduce a que la empresa 1 incumpla en un tiempo aleatorio U 1 , donde IP f U 1 < T g = 1 ¡ e ¡ ¸ 1 T . El segundo evento conduce a que la empresa 2 incumpla en un tiempo aleatorio U 2 donde IP f U 2 < T g = 1 ¡ e ¡ ¸ 2 T y, por u¶ ltimo, el tercer evento conduce a que ambas empresas incumplan en un tiempo U 1 2 , donde IP f U 1 2 < T g = 1 ¡ e ¡ ¸ 1 2 T ; entonces los tiempos de incumplimiento T 1 y T 2 de las empresas 1 y 2 satisfacen, respectivamente, que T 1 = min(U 1 ;U
12 )
T 2 = min(U 2 ;U
12 ):
y En este caso, la probabilidad conj unta de sobrevivencia o probabilidad de no incumplimiento est¶a dada por F¹T 1 ;T 2 (T 1 ;T 2 ) = IP f T 1 > T 1 ;T 2 > T 2 g = e ¡
¸ 1 T 1 ¡ ¸ 2 T 2 ¡ ¸ 1 2 m a x (T 1 ;T 2 )
para todo T 1 ¸ 0 y T 2 ¸ 0. Las distribuciones marginales de sobrevivencia o de no incumplimiento est¶an dadas por: F¹T 1 (T 1 ) = IP f T 1 > T 1 g = e ¡
(¸ 1 + ¸ 1 2 )T 1
;
T 1 ¸ 0;
F¹T 2 (T 2 ) = IP f T 2 > T 2 g = e ¡
(¸ 2 + ¸ 1 2 )T 2
;
T 2 ¸ 0:
y
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Es importante recordar que en el caso de una sola variable, T , con distribuci¶o n exponencial univariada, ¶e sta es caracterizada por la propiedad IP f T > S + T jT > S g = IP f T > T g para todo S ¸ 0 y T ¸ 0: La distribuci¶o n exponencial bivariada cumple tambi¶e n una propiedad similar IP f T 1 > S + T 1 ;T 2 > S + T 2 jT 1 > S ;T 2 > S g = IP f T 1 > T 1 ;T 2 > T 2 g para todo T 1 ¸ 0, T 2 ¸ 0 y S ¸ 0: Por u¶ ltimo, en t¶e rminos de la probabilidad de sobrevivencia conj unta F¹ se puede escribir F¹T 1 ;T 2 (T 1 + S ;T 2 + S ) = F¹T 1 ;T 2 (T 1 ;T 2 ) F¹T 1 ;T 2 (S ;S ) para todo T 1 ¸ 0, T 2 ¸ 0 y S ¸ 0. Otras propiedades relevantes de la variable aleatoria min(T 1 ;T 2 ) , cuando el vector (T 1 ;T 2 ) tiene una distribuci¶o n exponencial bivariada, son las siguientes: (i) La variable aleatoria min(T 1 ;T 2 ) satisface IP f min(T 1 ;T 2 ) · T g = 1 ¡ e ¡
¸T
;
T ¸ 0;
donde ¸ = ¸ 1 + ¸ 2 + ¸ 1 2 : (ii) La variable aleatoria min(T 1 ;T 2 ) es independiente de cada uno de los eventos f T 1 < T 2 g ; fT 1 > T 2 g y fT 1 = T 2g: (iii) La variable aleatoria min(T 1 ;T 2 ) es independiente de jT 1 ¡ T 2 j ´ max(T 1 ;T 2 ) ¡ min(T 1 ;T 2 ) : Por u¶ ltimo, observe que la probabilidad de sobrevivencia o de no incumplimiento de la empresa 2 dado el incumplimiento de la empresa 1 en el tiempo T 1 est¶a dada por
IP f T 2 > T 2 j T 1 = T 1 g =
8 ¡
¸ 2T 2
¸1 e¡ ¸ 1 + ¸ 12
T 1 > T 2; ¸ 1 2 (T 2 ¡ T 1 )¡ ¸ 2 T 2
;
T 1 · T 2:
Observe que esta probabilidad de sobrevivencia condicional aumenta con T 1 , en cuyo caso se puede decir que T 2 se incrementa estoc¶asticamente j unto con T 1 . Asimismo, es posible calcular la esperanza condicional de T 2 dado que T 1 = T 1 de la siguiente forma: E[T 2 j T 1 = T 1 ] =
1 ¸ 1 ¸ 2 e¡ ¸ 2T 1 ¡ : ¸2 ¸ 2 (¸ 1 + ¸ 2 ) (¸ 2 + ¸ 1 2 )
6 6 .4 M o d e lo d e H u ll y W h ite p a ra e l c ¶a lc u lo d e p ro b a b ilid a d e s d e in c u m p lim ie n to d e b o n o s c u p o¶ n c e ro e n tie m p o s d isc re to s La siguiente metodolog¶³a considera N bonos emitidos por uno o varios corporativos y con el mismo riesgo de incumplimiento. Estos bonos vencen en tiempos discretos T 1 < T 2 < ¢¢¢ < T N : Se supone que el evento de incumplimiento puede ocurrir en cualquiera de las fechas T i . Observe que las fechas de incumplimiento son ex¶o genamente determinadas. Se de¯nen ahora las siguientes variables: t: Fecha de referencia, hoy. B
ci
:= B
ci (t;T i ) :
Precio, hoy, del bono corporativo con vencimiento en T i .
B g i := B g i (t;T i ) : Precio, hoy, de un bono gubernamental cup¶o n cero, libre de riesgo cr¶e dito, con vencimiento en T i . F g j i := F g i (t;T j ) : Precio futuro del i-¶e simo bono gubernamental con vencimiento en T j . T j · T i . v j := v (t;T j ) : Valor presente, en t, de una unidad monetaria segura en T j , T j · T i .
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C j i := C i (t;T j ) : Cantidad que el tenedor del i-¶e simo bono corporativo tiene derecho a reclamar en caso de que se presente incumplimiento en T j , T j · T i , es decir, si j < i se trata de un cup¶o n, y si j = i se trata del u¶ ltimo cup¶o n m¶as el nominal. ± j i := ± i (t;T j ) 2 [0;1] : Tasa de recuperaci¶o n que el tenedor del i-¶e simo bono corporativo recibe en el evento de incumplimiento en T j , T j · T i . V j i := V i (t;T j ) : Valor presente, en t, de la p¶e rdida por incumplimiento del i-¶e simo bono corporativo en la fecha T j , T j · T i . Q j := Q j (t;T j ) : Probabilidad de incumplimiento del j -¶e simo bono corporativo en T j , por determinar. Observe primero que V j i = v j [F g j i ¡ ± j i C Si R
g i (t;T i )
j i] :
(66:12)
es la curva de rendimiento del i-¶e simo bono, entonces vi = e¡
g i (t;T i )(T i ¡
R
t)
y F g ji = B
g ie
g j (t;T j )(T j ¡
R
t)
:
Asimismo, la probabilidad de que se presente la p¶e rdida V j i es, por supuesto, Q j . Por lo tanto, el valor presente de la p¶e rdida en el i-¶e simo bono corporativo satisface
B
gi
¡ B
ci
Xi
=
(66:13)
Q j V j i;
j= 1
o en t¶e rminos matriciales 0 B B B B @ B
g1 g2
gN
¡ B ¡ B .. . ¡ B
c1 c2
cN
1
0
0
V 11 C B V 12 C=B . A @ .. V 1N
V 22 .. .
0 0 .. .
V 2N
V 3N
10 1 Q 1 0 0 CB Q 2 C B . C .. C . A @ .. A ¢¢¢ V N N Q N
¢¢¢ ¢¢¢ .. .
La expresi¶o n anterior permite calcular los valores Q j ; j = 1;2;:::;N en forma inductiva. En efecto, B g 1 ¡ B c1 Qb1 = ; V 11 B Qb2 = B Qb3 =
g3
¡ B
g2
¡ B
c3
c2
¡ Qb1 V 1 2
V 22
;
¡ Qb1 V 1 3 ¡ Qb2 V 2 3 ; V 33 .. .
QbN =
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B
gN
¡ B
cN
¡
VN
PN
¡ 1 j= 1
N
Qbj V j N
:
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6 6 .4 .1 L a ta sa d e re c u p e ra c i¶o n v ista c o m o v a ria b le a le a to ria e n e l m o d e lo d e H u ll y W h ite Por u¶ ltimo, observe que si se escribe V j i = V j i (± j i ) con V j i = V j i (1) = 0, es decir, el valor presente de la p¶e rdida esperada es cero si la tasa de recuperaci¶o n es total, y se de¯nen las variables aleatorias X t;T i en t¶e rminos de tasas de recuperaci¶o n, IPf X
t;T 1
IPf X
t;T 2
IPf X IPf X
t;T N
t;T N
= ± 1 1 g = Q 1 ; IPf X = ± 1 2 g = Q 1 ; IPf X
t;T 1 t;T 2
.. .
= ± 1 N g = Q 1 ; IPf X = 1g = 1 ¡
XN
= 1g = 1 ¡ Q 1 ;
= ± 2 2 g = Q 2 ; IPf X
t;T N
t;T 2
= ± 2 N g = Q 2 ;:::;IPf X
= 1g = 1 ¡ Q
t;T N
= ±N
N
1
¡ Q 2;
g=Q
N
;
Q j:
j= 1
Por lo tanto, se puede reescribir (66.13) como B
gi
¡ B
Es importante destacar que Q 1 , Q 2 ,...,Q
N
ci
= E[V j i (X
t;T i )
]:
; no necesariamente suman la unidad, sino que XN
Q
j
< 1:
j= 1
Observe tambi¶e n que las probabilidades de ocurrencia de ± j j , ± j;j + 1 , ± j;j + 2 ,...,± j N , j = 1;2;:::;N ; son todas iguales a Q j .
6 6 .4 .2 F o¶ rm u la d e v a lu a c i¶o n y p ro b a b ilid a d d e in c u m p lim ie n to Sea f W t g t¸ 0 un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯jo de probabilidad equipado W W W W con su ¯ltraci¶o n aumentada, ( ;F ;f F t g t¸ 0 ;IP ) . Suponga que un bono corporativo tiene asociado una tasa corta, r ct , tal que dr ct = ¹ (r ct ;t) dt + ¾ (r ct ;t) dW t ;
(66:14)
con ¹ (r ct ;t) y ¾ (r ct ;t) funciones conocidas. Asimismo, suponga que f U t g t¸ 0 es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad equipado con su ¯ltraci¶o n aumentada, U U U U ( ;F ;f F t g t¸ 0 ;IP ) y un bono gubernamental tiene asociada una tasa corta, r g t , tal que dr g t = ® (r g t ;t) dt + ¯ (r g t ;t) dU t ;
(66:15)
con Cov(dW t ;dU t ) = ½ dt. Considere ahora un dep¶o sito bancario de M t unidades monetarias que paga una tasa instant¶anea de inter¶e s r g t . De esta manera, la cuenta bancaria paga un rendimiento, durante dt, igual a dM t = r g t M t dt: (66:16) Observe que aunque r g t es estoc¶astica, al tiempo t es conocida y libre de riesgo de mercado. Si se hace un dep¶o sito inicial M 0 = 1, la cuenta bancaria tiene un saldo, en t, igual a M
t
= exp
½Z t
r g s ds
¾
;
(66:17)
0
y, en este caso, se satisface la siguiente f¶o rmula de valuaci¶o n, neutral al riesgo, ¯ ¸ ¯ ¸ · · ¯ ¯ M t ¡ R g (t;T )(T ¡ t) ¯ B c (t;T ) = E B c (T ;T ) ¯F t = E e B c (T ;T ) ¯ ¯F t ; M T
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6 6 . R iesg o cr¶e d ito (I): p ro b a b ilid a d d e in cu m p lim ien to y d eriva d o s d e cr¶e d ito
donde R g (t;T ) =
1 T ¡ t
ZT
r g s ds :
t
Si el bono corporativo promete un pago de N unidades monetarias al vencimiento y X variable aleatoria asociada a la tasa de recuperaci¶o n, la cual satisface IPf X
t;T
t;T
es la
= 1g = 1 ¡ Q (t;T )
y IPf X
t;T
= ± g = Q (t;T ) ;
entonces la f¶o rmula (66.18) conduce a h i ¯ B c (t;T ) =E N e ¡ R g (t;T )(T ¡ t) ¯F t ; X t;T n h o ¯ i¯ =E E N e ¡ R g (t;T )(T ¡ t) ¯F t ¯X t;T h ¯ i =Q (t;T ) E N ± e ¡ R g (t;T )(T ¡ t) ¯F t h ¯ i + (1 ¡ Q (t;T ) ) E N e ¡ R g (t;T )(T ¡ t) ¯F t : Por lo tanto, h B g (t;T ) ¡ B c (t;T ) = Q (t;T ) E e ¡
R
g (t;T
)(T ¡ t)
¯ i N (1 ¡ ± ) ¯F t :
Este resultado es consistente, en el caso determinista, con (66.11) y con el modelo de Hull y White para el c¶alculo de probabilidades de incumplimiento.
6 6 .5 M o d e lo d e M e rto n p a ra e l c ¶a lc u lo d e p ro b a b ilid a d e s d e in c u m p lim ie n to d e b o n o s c o rp o ra tiv o s y d e te rm in a c i¶o n d e la c u rv a d e re n d im ie n to d e u n b o n o c o n rie sg o En este modelo se utiliza la f¶o rmula de valuaci¶o n de Black y Scholes para calcular la probabilidad de incumplimiento de un bono corporativo cup¶o n cero. Se supone entonces que una empresa emite bonos cup¶o n cero que vencen en T , y se de¯nen las siguientes variables: t: Fecha de referencia, hoy. S t : Valor de mercado de las acciones de la empresa, hoy. S T : Valor de mercado de las acciones de la empresa en T . B c (t;T ) : Valor de mercado de los bonos de la empresa, hoy. V t : Valor de mercado de los t¶³tulos, de capital y deuda, de la empresa, hoy. V T : Valor de mercado de los t¶³tulos, de capital y deuda, de la empresa en T . D : Principal e inter¶e s que la empresa debe pagar en T . ¾ S : Volatilidad de las acciones de la empresa. ¾ V : Volatilidad del valor de la empresa en el mercado. De esta manera, V t = S t + B c (t;T ) : Se supone que dV t = ¹ V V t dt + ¾ V V t dW
t
(66:19)
y dS t = ¹ S S t dt + ¾ S S t dW t ;
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(66:20)
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6 6 . R iesg o cr¶e d ito (I): p ro b a b ilid a d d e in cu m p lim ien to y d eriva d o s d e cr¶e d ito
donde el proceso (W t ) t2 [0 ;T ] es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probaW
W
W
W
W
bilidad con su ¯ltraci¶o n aumentada, ( ;F ;IF ;IP ) , IF = (F t ) t2 [0 ;T ]. Observe que existe correlaci¶o n perfecta entre los procesos (66.19) y (66.20) . Una limitaci¶o n de (66.19) es que los par¶ametros ¹ V V t y ¾ V V t , y por ende V t , no son cantidades observables. Si V T < D , entonces la empresa incumple, por lo menos parcialmente, con el pago de su deuda, y en este caso S T = 0. Si, por el contrario, V T ¸ D , la empresa paga su deuda en T y S T = V T ¡ D : El razonamiento anterior se puede resumir en S T = max(V T ¡ D ;0) :
(66:21)
Esto muestra que el valor de mercado de las acciones puede verse como una opci¶o n europea de compra sobre el valor de mercado de la empresa con precio de ej ercicio igual al pago de su deuda. La f¶o rmula de Black-Scholes proporciona el valor inicial de las acciones de la empresa en t, en un mundo neutral al riesgo, el cual est¶a dado por S t = V t ©(d 1 ) ¡ D e ¡ donde
y
©(d 2 )
(66:22)
³ ´ ¡ ¢ ln VD t + r + 12 ¾ V2 (T ¡ t) p d1 = ¾V T ¡ t
(66:23)
d2 = d1 ¡ ¾V El valor de la deuda hoy es Z1 S t =e ¡ r (T ¡ t) ¡ 1 Z1 ¡ r (T ¡ t) =e ZD 1 ¡ r (T ¡ t) =e D
=e ¡
r (T ¡ t)
r (T ¡ t)
p
T ¡ t:
B c (t;T ) = V t ¡ S t . Observe que max(v ¡ D ;0) f V T jV t (v jV t ) dv (v ¡ D ) f V T jV t (v jV t ) dv v f V T jV t (v jV t ) dv ¡ D e
£ E V T 1fV T >
D g
¡ r (T ¡ t)
¯ ¤ ¯V t ¡ D e ¡
r (T ¡ t)
Z
fv> D g
(66:24) f V T jV t (v jV t ) dv
¯ ª © IP V T > D ¯V t ;
donde f V T jV t (v jV t ) es la funci¶o n de densidad de V T , condicional al valor inicial v t . En virtud de (66.24) , la probabilidad, neutral al riesgo, de que la empresa cumpla con el pago de su deuda es ¯ ª © IP V T > D ¯V t = ©(d 2 ) :
Por lo tanto, la probabilidad, neutral al riesgo, de que la empresa incumpla con el pago de su deuda es Z ¡ d2 ¯ ª © 1 ¡ x 2=2 ¯ p IP V T < D V t = 1 ¡ ©(d 2 ) = ©(¡ d 2 ) = e dx : 2¼ ¡ 1 Para calcular esta probabilidad se requiere conocer tanto a ¾ V como V t . Sin embargo, ninguna de estas dos cantidades es directamente observable. No obstante, si la empresa emite acciones que son colocadas p¶u blicamente, entonces S t puede estimarse como el n¶u mero de acciones por su precio en el mercado. Esto signi¯ca que la ecuaci¶o n (66.22) proporciona una condici¶o n que ¾ V y V t deben satisfacer. Por otro lado, a partir de (66.22) se tiene que S t = S t (V t ;t) , entonces el lema de It^o conduce a μ ¶ 2 @St @St @St 2@ St 1 2 ¹ S S t dt + ¾ S S t dW t = + ¹V Vt + 2¾V Vt dt + ¾ V V t dW t : (66:25) 2 @t @Vt @Vt @Vt Dado que las componentes estoc¶asticas deben ser iguales se sigue que ¾S St = ¾V Vt
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@St @Vt
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¶o ¾ S S t = ¾ V V t ©(d 1 ) :
(66:26)
Si se cuenta con un estimador de ¾ S , la desviaci¶o n est¶andar de los rendimientos, entonces (66.26) es otra ecuaci¶o n que ¾ V y V t deben satisfacer. Por lo tanto, (66.22) y (66.26) proporcionan un sistema de ecuaciones simult¶aneas en las variables ¾ V y V t . Observe tambi¶e n que las partes deterministas de (66.25) implican ¹SSt = D e
¡ r (T ¡ t)
μ ¶ ¾ V © 0(d 2 ) ¾ V t © 0(d 1 ) ¡ r ©(d 2 ) + p + ¹ V ¾ V ©(d 1 ) + V p : 2 T ¡ t 2 T ¡ t
(66:27)
Una vez que ¾ V y V t se han determinado del sistema (66.22) y (66.25) , estos valores se sustituyen en (66.27) para obtener el valor de ¹ V .
6 6 .5 .1 P re c io d e u n b o n o c o n rie sg o En virtud de (66.22) , el precio del t¶³tulo de deuda es B c (t;T ) =V t ¡ S t ³ =V t ¡ V t ©(d 1 ) ¡ D e ¡ =V t (1 ¡ ©(d 1 ) ) + D e ¡ =V t ©(¡ d 1 ) + D e =D e
¡ r (T ¡ t)
r (T ¡ t) r (T ¡ t)
¡ r (T ¡ t)
©(d 2 )
´
©(d 2 )
©(d 2 )
(©(d 2 ) + m ©(¡ d 1 ) ) ;
donde
V t r (T ¡ t) e : D As¶³ pues, el precio del bono corporativo es el valor presente del principal y los intereses, D , multiplicado por la probabilidad de cumplimiento, ©(d 2 ) , m¶as el valor futuro del inverso del nivel de apalancamiento o cobertura de la deuda, m . m =
6 6 .5 .2 E stru c tu ra d e p la z o s d e u n b o n o c o n rie sg o Por u¶ ltimo, la estructura de plazos del bono corporativo condicional a que no se presente el evento de incumplimiento, est¶a dada por ln(B c (t;T ) = D ) T ¡ t h i 1 =¡ ln e ¡ r (T ¡ t) (©(d 2 ) + m ©(¡ d 1 ) ) T ¡ t 1 =r ¡ ln [(©(d 2 ) + m ©(¡ d 1 ) ) ] : T ¡ t
R c (t;T ) = ¡
6 6 .6 D e riv a d o s d e C r¶e d ito Los derivados de cr¶e dito representan un grupo importante de instrumentos ¯nancieros que tienen como obj etivo principal cubrir el riesgo de incumplimiento de un pago esperado. En particular, los \swaps" de incumplimiento de cr¶e dito (credit default swap, CDS) proporcionan un seguro contra el posible incumplimiento de una empresa emisora de bonos. Considere una empresa E que para ¯nanciarse emite bonos cuponados y que tiene, por ej emplo, calidad crediticia \BB" . Suponga que el comprador C del bono tambi¶e n compra un seguro, un CDS, a otro agente, el agente A , contra el posible incumplimiento de E . Para ello, C realiza pagos peri¶o dicos a A hasta que el incumplimiento ocurra o hasta que el CDS expire; lo que ocurra primero. A cambio C adquiere el derecho de venderle a A el bono emitido por
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E a la par de su valor nominal en caso de incumplimiento. Cuando se presenta el evento de incumplimiento, generalmente, se requiere que C haga un u¶ ltimo pago a A . A continuaci¶o n se presenta el modelo de Hull y White (2000) para valuar un CDS en un mundo neutral al riesgo. Por simplicidad se supone que el nominal del bono es una unidad monetaria. Se supone que los eventos de incumplimiento, la tasas de inter¶e s y la tasa de recuperaci¶o n son estoc¶asticamente independientes entre s¶³. Se supone tambi¶e n que en caso de incumplimiento, C exige el pago del nominal m¶as el inter¶e s acumulado. Asimismo, se supone que el incumplimiento s¶o lo puede ocurrir en las fechas T 1 ;T 2 ;:::;T N . Sean: (i) (ii) (iii) (iv )
T : vida del CDS, Q i : probabilidad de incumplimiento en T i , Re: tasa de recuperaci¶o n, u t : valor presente de los pagos del CDS a raz¶o n de una unidad monetaria por a~n o entre t = 0 y t (condicional a un evento de incumplimiento) , (v ) e t : valor presente del pago del CDS considerando s¶o lo el tiempo transcurrido entre el pago inmediato anterior a t y t (condicional a un evento de incumplimiento) , (v i) v t : valor presente de una unidad monetaria disponible al tiempo t (factor de descuento) , (v ii) w : pago anual realizado por C , (v iii) w ¤ : valor de w que hace que el CDS tenga valor cero, (ix ) ¼ : probabilidad de no incumplimiento durante la vida del CDS, (x ) g t : inter¶e s acumulado (devengado) sobre el bono al tiempo t. PN De acuerdo con la notaci¶o n previamente introducida, evidentemente, ¼ = 1 ¡ i= 1 Q i : Los pagos anuales, w , se realizan hasta que un evento de cr¶e dito ocurra o hasta el tiempo T . De esta manera, el valor presente de los pagos est¶a dado por
VPP = w
XN
(u ti + e ti ) Q i + w ¼ u T :
(66:28)
i= 1
Si un evento de incumplimiento ocurre al tiempo ti , el valor esperado del bono es VEB i = (1 + g ti ) Re. Asimismo, si un evento de incumplimiento ocurre al tiempo ti , el pago esperado satisface PEI i =1 ¡ VEB i =1 ¡ (1 + g ti ) Re (66:29) e e =1 ¡ R ¡ g t R : i
Por lo tanto, el valor presente del pago esperado del CDS es
VPC =
XN
PEI i Q i v ti =
i= 1
XN
i= 1
(1 ¡ Re¡ g ti Re) Q i v ti :
(66:30)
Por otro lado, el valor del CDS para C es el valor presente del pago esperado del CDS, denotado por VPC, menos el valor presente de los pagos hechos por el comprador del seguro, VPP, esto es, Xn XN VCDS = (1 ¡ Re¡ g ti Re) Q i v ti ¡ w (u ti + e ti ) Q i ¡ w ¼ u T : (66:31) i= 1
El valor de w = w
¤
i= 1
que hace que V C D S = 0 se determina mediante w
¤
PN
= P i=N
1 (1
¡ Re¡ g ti Re) Q i v ti
i= 1 (u ti
+ e ti ) Q i + ¼ u T
:
De esta manera, w ¤ proporciona, en equilibrio, el pago anualizado para un CDS. La cantidad w es tambi¶e n llamada el \spread" del CDS.
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¤
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6 6 .7 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Merton, R. C. (1974) . \On the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates" . T h e J o u rn a l o f F in a n ce, Vol. 29, No. 2, pp. 449-470. Hull, J. C. and A. White (2000) . \Valuing Credit Default Swaps I: No Counterparty Default Risk" . J o u rn a l o f D eriva tives, Vol. 8, No. 1, pp. 2940.
6 6 .8 E je rc ic io s 6 6 .1 Suponga que H (t;T ) = ¸ , es decir, la funci¶o n de densidad, f T (T ) , del tiempo de incumplimiento, T , es exponencial, entonces f T (T ) = ¸ e ¡
¸ (T ¡ t)
;
T > t:
Obtenga la media y la desviaci¶o n est¶andar de T y proporcione una interpretaci¶o n de las mismas en t¶e rminos de riesgo cr¶e dito. S o lu ci¶o n : Observe que E [T ] =
Z1
T ¸e
¡ ¸ (T ¡ t)
dT = ¸ e
¸t
t
Z1
T e¡
¸T
dT :
t
Si se resuelve la integral anterior por partes con u = T y dv = e ¡ E [T ] = ¸ e
¸t
· e¡
¸t
μ
t 1 + 2 ¸ ¸
¶¸
= t+
¸T
, se obtiene que
1 : ¸
Si se escribe x = 1= ¸ , se tiene ahora que E [T ] = t + x : Es decir, el tiempo medio de que se presente el evento de incumplimiento despu¶e s de t es x = 1= ¸ . Con el prop¶o sito de determinar la varianza se calcula primero £ ¤ E T 2 = ¸ e¸ t
Z1
Si se resuelve esta integral por partes con u = T " £ 2¤ 1 ¸t E T = ¸e ¡ T 2 e¡ ¸ ¶o E
T 2 e¡
¸T
dT :
t
¸T
2
y dv = e ¡
¸T
, se obtiene que
¯1 Z ¯ 2 1 ¯ + T e¡ ¯ ¯ ¸ t
¸T
dT
#
t
£ 2 ¤ 2 2t 2 T =t + + 2: ¸ ¸
De esta manera, la varianza de T , Var(T ) satisface que £ ¤ Var [T ] =E T 2 ¡ E 2 [T ] =t2 + =
2t 2 + 2 ¡ ¸ ¸
· ¸2 1 t+ ¸
1 : ¸2
p Por lo tanto, Var [T ] = x , es decir, la desviaci¶o n est¶andar de T es tambi¶e n el tiempo medio de que ocurra el evento de incumplimiento despu¶e s de t = 0. Observe que este resultado es independiente de t > 0.
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6 6 .2 Demuestre que si H (t;T ) < < 1 y no hay recuperaci¶o n, entonces Q (0;1) = H (0;1) . Es decir, la probabilidad de incumplimiento coincide con el \spread" entre las curvas corporativa y gubernamental. S o lu ci¶o n : Observe que Q (t;T ) = 1 ¡ e ¡ H (t;T )(T ¡ t) . Si H (t;T ) < < 1 el desarrollo en serie de Taylor de primer orden es e ¡ H (t;T )(T ¡ t) = 1 ¡ H (t;T ) (T ¡ t) + ¢¢¢, entonces Q (t;T ) = 1 ¡ (1 ¡ H (t;T ) (T ¡ t) ) = H (t;T ) : En particular, en (t;T ) = (0;1) , se tiene que Q (0;1) = H (0;1) . 6 6 .3 Considere dos bonos cup¶o n cero cuyo valor nominal es $100. Uno de los bonos es corporativo y otro gubernamental y presentan los siguientes precios a diferentes plazos: Plazo=T 1 2 3
Precio del bono corp.=B 89 80 68
c
Precio del bono gub.=B 92 85 76
g
Determine el \spread" o sobretasa, H (t;T ) . S o lu ci¶o n : Con el prop¶o sito de obtener el \spread" , considere primero las siguientes curvas de rendimiento: μ ¶ 1 B c (0;T ) R c (0;T ) = ¡ ln T 100 y 1 R g (0;T ) = ¡ ln T
μ
¶
B g (0;T ) 100
:
El \spread" est¶a dado por H (0;T ) = R c (0;T ) ¡ R g (0;T ) . Los resultados se muestran en el siguiente cuadro: T 1 2 3
Rend. bono corp.=R c (0;T ) 11.7% 11.2% 12.9%
Rend. bono gub.=R g (0;T ) 8.3% 8.1% 9.2%
Spread=H (0;T ) 3.3% 3.0% 3.7%
6 6 .4 Con base en el ejercicio anterior, obtenga la probabilidad de incumplimiento entre T = 1 y T = 2 si la tasa de recuperaci¶o n es del 20%. S o lu ci¶o n : Considere el \spread" H (0;T ) del ej ercio anterior y una tasa de recuperaci¶o n ± . En este caso, se utiliza la f¶o rmula Q (0;T ) =
1 ¡ e ¡ H (0 ;T )T : 1¡ ±
En consecuencia, 1 ¡ e ¡ H (0 ;1 )1 1 ¡ e ¡ (0 :1 1 7 ¡ = 1 ¡ 0:2 0:8
0 :0 8 3 )1
Q (0;1) =
1 ¡ e ¡ H (0 ;2 )2 1 ¡ e ¡ (0 :1 1 2 ¡ = 1 ¡ 0:2 0:8
0 :0 8 1 )2
Q (0;2) =
= 4:2%
y = 7:5%
As¶³, la probabilidad requerida es Q (0;2) ¡ Q (0;1) = 7:5% ¡ 4:2% = 3:3%:
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6 6 .5 El siguiente ej ercicio tiene que ver con la funci¶o n de distribuci¶o n de una exponencial bivariada. Suponga que el grupo controlador 1 tiene como subsidiaria a la empresa 2. Suponga que la distribuci¶o n de probabilidad conj unta de incumplimiento de 1 y 2 es una exponencial bivariada, (T 1 ;T 2 ) , con par¶ametros ¸ 1 = 0:3;¸ 2 = 0:15 y ¸ 1 2 = 0:10, es decir, 1 ¡ F (T 1 ;T 2 ) = F (T 1 ;T 2 ) = e ¡
¸ 1 T 1 ¡ ¸ 2 T 2 ¡ ¸ 1 2 m a x (T 1 ;T 2 )
:
en este caso, se puede demostrar que IP f T 1 > T 1 jT 2 = T 2 g = e ¡
¸ 1 T 1 ¡ ¸ 1 2 m a x (T 1 ¡ T 2 ;0 )
;
es decir, IP f T 1 > T 1 jT 2 = T 2 g = e ¡
¸ 1T 1
si T 2 > T 1 , mientras que IP f T 1 > T 1 jT 2 = T 2 g =
¸2 e¡ ¸ 2 + ¸ 12
¸ 1 2 (T 1 ¡ T 2 )¡ ¸ 1 T 1
si T 1 > T 2 : Determine la probabilidad de que el grupo no incumpla despu¶e s del primer a~n o dado que la subsidiaria incumpli¶o j usto en el primer a~n o. S o lu ci¶o n : La probabilidad de que 1 no presente incumplimiento dado que 2 lo present¶o es IP f T 1 > T 1 jT 2 = T 2 g = e ¡
0 :3
= 0:74:
6 6 .6 Con base en los resultados de la secci¶o n 66.4, estime la tasa de recuperaci¶o n de un bono corporativo con vencimiento en un a~n o que incumpla precisamente en el primer a~n o. Suponga que la diferencia de precio de bonos es 0.1, la probabilidad de incumplimiento es 0.75, el valor presente de un a~n o es 0.95 y el valor futuro del bono en la fecha de incumplimiento es 1.1 y, por u¶ ltimo, la cantidad a reclamar es el precio futuro. S o lu ci¶o n : A partir de las f¶o rmulas (66.12) y (66.13) , se sigue que ±1 = 1 ¡
B g 1 ¡ B c1 0:1 =1¡ = 0:87: Q 1 v1 F g11 (0:75) (0:95) (1:1)
6 6 .7 Utilice la paridad put-call para demostrar que en el tiempo T se cumple D = min(V T ;D ) : Es decir, D · V T : S o lu ci¶o n : Si se parte de S t = V t ¡ B c (t;T ) donde S t es una opci¶o n europea de compra sobre el valor de mercado de la empresa con precio de ejercicio igual al pago de la deuda, entonces S T = max(V T ¡ D ;0) . A partir de la paridad put-call, se tiene la siguiente relaci¶o n entre el valor de mercado y la deuda adquirida por la empresa al tiempo t dada por S t = V t + p t ¡ D e¡
r (T ¡ t)
:
En virtud de que p T = max(D ¡ V T ;0) , se obtiene D = D ¡ max(V T ¡ D ;0) = min(V T ;D ) :
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6 6 .8 Obtenga la probabilidad de que una empresa cumpla con el pago de su deuda en 4 a~n os, dado que su deuda adquirida es de 3 millones de pesos (D ) , r = 0:10, ¾ = 0:21 y el valor de la empresa es 5 millones de pesos (V t ) . S o lu ci¶o n : A partir de la f¶o rmula de Black-Scholes para valuar una opci¶o n de compra, se tiene que ln(5= 3) + (0:10 + 0:5(0:21) 2 ) 4 p d1 = = 2:38 (0:21) 4 y p d 2 = 2:38 ¡ (0:21) 4 = 1:96: Si se utilizan las tablas de la distribuci¶o n normal est¶andar acumulada, se obtiene que IPf V T > D j V t g = ©(1:96) = 0:975. Por lo tanto, la probabilidad de que la empresa cumpla con el pago de su deuda es del 97.5%. 6 6 .9 Calcule el precio actual (t = 0) de un bono corporativo riesgoso con vencimiento en 2 a~n os que tiene una deuda de 2.5 millones (D ) y el valor de mercado de la empresa es de 3 millones (V 0 ) . Suponga que r = 0:12 y ¾ = 0:30. S o lu ci¶o n : Observe que ln(3= 2:5) + (0:12 + 0:5(0:30) 2 ) 2 p d1 = = 1:21 0:30 2 y p d 2 = 1:21 ¡ (0:30) 2 = 0:78: En este caso, ©(¡ 1:21) = 0:1131, ©(0:78) = 0:7823 y m = (3= 2:5) e 0 :1 2 (2 ) = 1:5255. Por lo tanto, el precio del bono riesgoso es B c (0;2) = (2:5) e 0 :1 2 (2 ) (0:7823 + (1:5255) (0:1151) ) = 1:88:
6 6 .1 0 Con base en la informaci¶o n del ejercicio anterior, determine R c (0;1) y R c (0;2) . S o lu ci¶o n : R c (0;2) = ¡ 0:5 ln(0:75) = 0:14: Para el caso R (0;1) , tiene que d1 = y
ln(3= 2:5) + (0:12 + (0:5) (0:30) 2 ) 1 p = 1:16 0:30 1 p d 2 = 1:16 ¡ 0:30 1 = 0:86:
De esta manera, ©(¡ 1:16) = 0:123, ©(0:86) = 0:8051 y m = (3= 2:5) e 0 :1 2 (1 ) = 1:3530. En consecuencia, R c (0;1) = 0:12 ¡ (1) ln((0:8051) + 0:54(0:123) ) = 0:15:
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C A P ¶IT U L O 67 R IE S G O C R E¶ D IT O (II): E N F O Q U E D E E C U A C IO N E S D IF E R E N C IA L E S P A R C IA L E S , M O D E L O D E L O N G ST A F F Y SC H W A R T Z C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ²
Riesgo de incumplimiento de bonos corporativos Tasa instant¶anea de riesgo de incumplimiento Proceso de Poisson y tasa instant¶anea de riesgo de incumplimiento Modelo de valuaci¶o n de Longsta® y Schwartz
6 7 .1 In tro d u c c i¶o n En este cap¶³tulo se val¶u an bonos corporativos con riesgo de incumplimiento. En particular, se estudia el modelo Longsta® y Schwartz y varias de sus extensiones. Este modelo caracteriza el precio de un bono corporativo como soluci¶o n de una ecuaci¶o n diferencial parcial de segundo orden.
6 7 .2 E l m o d e lo L o n g sta ® y S c h w a rtz p a ra u n b o n o c u p o¶ n c e ro c o n r ie sg o En el modelo Longsta® y Schwartz (1995) , el valor de mercado de los t¶³tulos, de capital y deuda, de la empresa, o simplemente el valor de mercado de la empresa, y los precios de los bonos que emite se suponen de comportamiento estoc¶astico. El ob j etivo es determinar una ecuaci¶o n diferencial parcial de un bono corporativo con riesgo de incumplimiento. La idea central detr¶as del modelo se fundamenta en la valuaci¶o n de opciones con barreras. Se supone que el valor de mercado, V t , de una empresa que emite deuda es aleatorio y sigue la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica: dV t = ¹ V V t dt + ¾ V V t dW t ;
(67:1)
donde el proceso (W t ) t2 [0 ;T ] es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de proW
W
W
W
W
W
babilidad con su ¯ltraci¶o n aumentada ( ;F ;IF ;IP ) , IF = (F t ) t2 [0 ;T ]. Se supone que la empresa se declara en quiebra, o incumplimiento, si su valor cae por debaj o de un nivel cr¶³tico V c . Una limitaci¶o n importante de (67.1) es c¶o mo se miden los par¶ametros ¹ V , ¾ V y V c . Otra de¯ciencia es c¶o mo se calcula el valor de V t , hoy. Se supone que la empresa tiene una deuda de tama~n o D que se debe pagar en la fecha T . La deuda no se paga si la empresa se declara en bancarrota. Para mantener las cosas tan simples como sea posible, se supone una tasa de inter¶e s libre de riesgo constante e igual a r . Asimismo, es razonable suponer que el valor de la deuda, es decir, el precio de un bono cup¶o n cero emitido por la empresa, es funci¶o n del valor de mercado de ¶e sta, es decir, B c = B c (V t ;t) . Una simple aplicaci¶o n del lema de It^o conduce a que el cambio del precio del bono, dB c , debido a un cambio en el valor de la empresa, dV t , durante el intevalo [t;t + dt] , est¶a dado por dB
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c
=
μ
@B c @B c @ 2B c + ¹V Vt + 21 ¾ V2 V t2 @t @Vt @ V t2
¶
dt + ¾ V V t
@B c dW t : @Vt
(67:2)
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6 7 . R iesg o cr¶e d ito (II): en fo q u e d e ecu a cio n es d iferen cia les p a rcia les
A continuaci¶o n se toma la esperanza de ambos lados de (67.2) y se iguala con el rendimiento instant¶aneo esperado del bono, dB c = r B c dt, para obtener @B c @ 2B c @B c + 21 ¾ V2 V t2 + ¹V Vt ¡ rB @t @ V t2 @Vt
= 0:
c
(67:3)
Si la empresa cumple sus obligaciones en la fecha de vencimiento T , la condici¶o n ¯nal para esta ecuaci¶o n es: B c (V t ;T ) = D : (67:4) Sin embargo, en caso de incumplimiento la emisora ha alcanzado V c y se tiene, en este caso, que B c (V c ;t) = 0;
t· T:
(67:5)
Como puede observarse, esta condici¶o n de frontera es t¶³pica de las opciones con barreras. Es importante destacar que se ha tomado la esperanza de (67.2) para llegar a (67.3) . Por esta raz¶o n, no se tiene un riesgo asociado con V t . No obstante, la consideraci¶o n del riesgo de mercado de V t , no es tarea dif¶³cil.
6 7 .3 E l m o d e lo L o n g sta ® y S c h w a rtz c o n ta sa d e in te r¶e s e sto c ¶a stic a Se puede desarrollar un modelo m¶as realista al introducir una ecuaci¶o n para la din¶amica estoc¶astica de la tasa corta de inter¶e s. Sea (U t ) t2 [0 ;T ] un movimiento Browniano de¯nido sobre un U
U
U
U
U
U
espacio ¯jo de probabilidad con su ¯ltraci¶o n aumentada, ( ;F ;IF ;IP ) , IF = (F t ) t2 [0 ;T ]. Se supone, adem¶as de (67.1) , que la tasa corta r t es conducida por la siguiente ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica dr t = ® (r t ;t) dt + ¯ (r t ;t) dU t : (67:6) Los procesos dW
y dU t est¶an correlacionados entre s¶³ de acuerdo con
t
Cov(dW t ;dU t ) = ½ dt: Ahora, el precio del bono satisface B c (V t ;r t ;t) , donde se enfatiza su emisi¶o n por un corporativo mediante el sub¶³ndice \c" . Para obtener una ecuaci¶o n diferencial ordinaria que caracterice a B c , se dise~n a una estrategia de cobertura del bono con riesgo con un bono cup¶o n cero, libre de riesgo, con precio B g (r t ;t) . As¶³, el valor de un portafolio, en el tiempo t, en el que se combinan dichos bonos est¶a dado por ¦ t = w 1 B c (V t ;r t ;t) + w 2 B g (r t ;t) : (67:7) En consecuencia, μ ¶ 2 @B c @B c @ 2B c @ 2B c 1 2@ B c d¦ t =w 1 + ¹V Vt + 21 ¾ V2 V t2 + ¯ + ½ ¾ ¯ V dt t V 2 @t @Vt @ V t2 @ r t2 @ r t@ V t μ ¶ μ ¶ @B c @B c @B g @B c @B g + w 1¾ V V t dW t + w 1 +w2 ® dt + w 1 +w2 ¯ dU @Vt @ rt @ rt @ rt @ rt μ ¶ @B g @ 2B g +w2 + 12 ¯ 2 dt: @t @ r t2 Si se selecciona w
1
t
(67:8)
=1 y w
2
@B c @ rt =¡ ´ ª @B g @ rt
a ¯n de eliminar los t¶e rminos estoc¶asticos en dW t y dU t , entonces la esperanza de (67.8) se transforma en μ ¶ 2 @B c @ 2B c @ 2B c @B c 1 2@ B c E[d¦ t ] = + 12 ¾ V2 V t2 + ¯ + ½ ¾ ¯ V + ¹ V dt t t V 2 @t @ V t2 @ r t2 @ r t@ V t @Vt V (67:9) μ ¶ @B g @ 2B g +ª + 12 ¯ 2 dt: @t @ r t2
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Ahora bien, dado que B
g
satisface @B g @ 2B g @B g + 12 ¯ 2 +® ¡ r tB @t @ r t2 @ rt
g
= 0;
se sigue que (67.9) se transforma en μ
¶ 2 2 @B c @ 2B c @B c 2@ B c 1 2 1 2@ B c E[d¦ t ] = + 2¾V Vt + 2¯ + ½¾ V ¯ V t + ¹ V t dt @t @ V t2 @ r t2 @ r t@ V t @Vt V μ ¶ @B g ¡ ª ® ¡ r t B g dt: @ rt
(67:10)
Si (67.10) se iguala al rendimiento instant¶aneo r t ¦ t dt = r t (B
c
+ ªB g (r t ;t) ) dt;
se tiene que @B c @ 2B c @ 2B c @ 2B c @B c @B c + 12 ¾ V2 V t2 + 21 ¯ 2 + ½¾ V ¯ V t + ¹V Vt +® ¡ r tB 2 2 @t @Vt @ rt @ r t@ V t @Vt @ rt
c
= 0:
(67:11)
La condici¶o n ¯nal para esta ecuaci¶o n es: B c (V t ;r t ;T ) = D ; que representa el pago de la deuda en la fecha de vencimiento. En caso de que el valor de la empresa alcance un nivel cr¶³tico V c y se presente el evento de incumplimiento, entonces B c (V c ;r t ;t) = 0: En caso de que el valor de la deuda se pueda escribir en forma separable como B c (V t ;r t ;t) = G (V t ;t) B g (r t ; T ) para alguna funci¶o n G , se puede mostrar que G (V t ;t) satisface: @G @ 2G @G + 21 ¾ V2 V t2 + ¹V Vt ¡ r t G = 0; @t @ V t2 @Vt con G (V c ;t) = 0
y
G (V t ;T ) = 1; V t > V c :
6 7 .4 E l m o d e lo L o n g sta ® y S c h w a rtz d e rie sg o d e in c u m p lim ie n to d e u n b o n o c u p o¶ n c e ro c o n p a r¶a m e tro s o b se rv a b le s e n e sta d o s ¯ n a n c ie ro s En esta secci¶o n se describir¶a un modelo que toma en cuenta informaci¶o n ¯nanciera contable de la empresa emisora de deuda. Es importante destacar que este tipo de informaci¶o n describe el desempe~n o de la empresa s¶o lo en un periodo dado de tiempo, lo cual es una limitaci¶o n en el modelado en tiempo continuo. La deuda se valuar¶a con base en el bene¯cio neto de la empresa, el cual se calcula sustrayendo de las ventas totales los costos de producci¶o n, ¯j os y variables. Se supone que las ventas totales por unidad de tiempo, y t , de la empresa son conducidas por un movimiento geom¶e trico Browniano: dy t = ¹ y t dt + ¾ y t dW t ;
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donde el proceso (W t ) t2 [0 ;T ] es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de proW
W
W
W
W
babilidad con su ¯ltraci¶o n aumentada, ( ;F ;IF ;IP ) , IF = (F supone que la empresa tiene un costo ¯j o, c, y un costo variable lineal
W
t
) t2 [0 ;T ]. Asimismo, se
c = ® y t ; 0 < ® < 1; por unidad de tiempo. Por lo tanto, el bene¯cio neto, ¼ t , est¶a dado por ¼ t = (1 ¡ ® ) y t ¡ c: Si se supone un sistema bancario que paga una tasa de inter¶e s libre de riesgo, r , y se deposita ¼ t en una cuenta, el rendimiento de esta inversi¶o n, f t , satisface df t = (r f t + ¼ t ) dt: Se supone que la empresa emite deuda por un monto D para ser pagada en la fecha T . Si, en el tiempo T , la empresa tiene al menos D en caj a, es decir, f T ¸ D , entonces pagar¶a su deuda; si tiene menos de D , f T < D , entonces pagar¶a todo lo que pueda, f T , incumpliendo parcialmente. Si el saldo es negativo en caj a, es decir, f T < 0, entonces la empresa tiene un adeudo mayor y no pagar¶a a los proveedores. Todas estas situaciones se pueden resumir con un pago de max(min(f T ;D ) ;0) :
(67:12)
Observe tambi¶e n que el valor de la deuda, B c , es funci¶o n de y t , f t y t, y se calcula como el valor presente del monto esperado en (67.12) . B c (t;T ) = e ¡
r (T ¡ t)
E[max(min(f T ;D ) ;0) j F t ] :
Esta funci¶o n satisface a la ecuaci¶o n diferencial parcial @B c + @t
1 2
@ 2B c 2 2 @ B c @B c ¾ yt + ¹ y t + [(1 ¡ ® ) y t ¡ c + r f t ] ¡ rB 2 @ yt @ yt @ ft
c
= 0;
con condici¶o n ¯nal B c (y t ;f t ;T ) = max(min(f t ;D ) ;0) : En caso de que la empresa est¶e cerca de tener n¶u meros roj os, esto se podr¶³a modelar con la condici¶o n de frontera. B c (y t ;f t ;T ) = 0: Si la empresa es de responsabilidad limitada, es decir, no tiene responsabilidad cuando tiene un monto negativo en el banco al tiempo T 0 , entonces B c (y t ;f t ;T 0 ) = max(f t ;0) : Si los due~n os de la empresa son responsables de las deudas de la empresa, entonces B c (y t ;f t ;T 0 ) = f t : En este caso, si la empresa, en T 0 , se encuentra en n¶u meros rojos entonces los directores de la empresa se declaran en quiebra y estar¶an exentos de la deuda, suponiendo que no han actuado con negligencia. No solamente se puede usar este modelo para analizar el derecho legal de la empresa, sino tambi¶e n para estudiar los efectos de varios procedimientos de operaci¶o n sobre su valor. Si B c (t;T ) > > f t , entonces los problemas de incumplimiento est¶an a la vuelta de la esquina, en cuyo caso ser¶³a mejor cerrar la empresa. La decisi¶o n para cerrar la empresa se puede optimizar con una restricci¶o n de la forma B c (y t ;f t ;t) ¸ f t : Este problema es similar al que se plantea con una opci¶o n americana.
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6 7 .5 P ro c e so d e P o isso n c o n p a r¶a m e tro d e in te n sid a d c o n sta n te y ta sa in sta n t¶a n e a d e rie sg o d e in c u m p lim ie n to En esta secci¶o n se estudia un modelo de riesgo cr¶e dito de un bono cup¶o n cero que utiliza el concepto de riesgo instant¶aneo de incumplimiento ¸ . Si B g (t;T ) es el precio de un bono gubernamental, libre de riesgo incumplimiento, se de¯ne el precio de un bono corporativo con riesgo de incumplimiento como B c (t;T ;¸ ) = e ¡ ¸ (T ¡ t) B g (t;T ) ; (67:13) donde ambos bonos tienen el mismo vencimiento. La curva de rendimiento del bono corporativo est¶a dada por ln(e ¡ ¸ (T ¡ t) B g (t;T ) ) R c (t;T ;¸ ) = ¡ T ¡ t lnB g (t;T ) =¡ +¸ T ¡ t =R g (t;T ) + ¸ : De esta forma, el efecto del riesgo de incumplimiento en el rendimiento es un \spread" de tama~n o ¸ . En este modelo simple, el \spread" es constante para todos los vencimientos. Considere ahora el valor de un portafolio con w 1 unidades del bono corporativo y w 2 unidades del bono gubernamental ¦ t = w 1 B c (r t ;t;¸ ) + w 2 B g (r t ;t) ; donde dr t = ¹ (r t ;t) dt + ¾ (r t ;t) dW
t
y f W t g t¸ 0 un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad equipado con W W W W su ¯ltraci¶o n aumentada, (o ;F ;f F t g t¸ 0 ;IP ) . Existe una probabilidad (1 ¡ ¸ dt) de que el bono cumpla. En este caso, el cambio en el valor del portafolio durante el intervalo [t;t + dt] es: ·μ ¶ ¸ 2 @B c @B c (1 ) 1 2@ B c d¦ t =w 1 + 2¾ dt + dr t @t @ r t2 @ rt ·μ ¶ ¸ @B g @ 2B g @B g +w2 + 21 ¾ 2 dt + dr t @t @ r t2 @ rt (67:14) · μ ¶ μ ¶¸ 2 2 @B c @ B @ Bg c 1 2 1 2@ B g = w1 + 2¾ +w2 + 2¾ dt @t @ r t2 @t @ r t2 μ ¶ μ ¶ @B c @B g @B c @B g + w1 +w2 ¹ dt + w 1 +w2 ¾ dW t : @ rt @ rt @ rt @ rt Se se eligen w
1
=1 y w
2
@B c @ rt =¡ ´ ª @B g @ rt
con el ¯n de eliminar el t¶e rmino de riesgo W t . Por otra parte, la probabilidad de que se presente el evento de incumplimiento es ¸ dt. En este caso, el cambio en el valor del portafolio es igual a la p¶e rdida esperada, es decir, (2 ) d¦ t = ¡ B c : (67:15) Si se toma la esperanza de los posibles valores en el cambio del portafolio, (67.14) y (67.15) , y se iguala al rendimiento libre de riesgo del portafolio, (1 )
(2 )
E[d¦ t ] = (1 ¡ ¸ dt) d¦ t + ¸ dtd¦ t ; entonces se obtiene que el precio del bono con riesgo satisface: μ ¶ 2 @B c @ 2B c @B g 1 2@ B g + 12 ¾ 2 ¡ (r + ¸ ) B + ª + ¾ ¡ r B = 0; t c t g 2 @t @ r t2 @t @ r t2
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(67:16)
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6 7 . R iesg o cr¶e d ito (II): en fo q u e d e ecu a cio n es d iferen cia les p a rcia les
donde se ha utilizado el hecho de que (dt) 2 = 0: Dado que B para un bono libre de riesgo cr¶e dito @B g @ 2B g @B g + 12 ¾ 2 +¹ ¡ r tB @t @ r t2 @ rt
satisface la ecuaci¶o n diferencial
g
g
= 0;
se sigue que @B c @ 2B c @B g + 21 ¾ 2 ¡ ª¹ ¡ (r t + ¸ ) B 2 @t @ rt @ rt
c
= 0;
equivalentemente @B c @ 2B c @B c + 21 ¾ 2 +¹ ¡ (r t + ¸ ) B 2 @t @ rt @ rt
c
= 0:
(67:17)
6 7 .6 P ro c e so d e P o isso n n o h o m o g ¶e n e o c o n p a r¶a m e tro d e in te n sid a d d e p e n d ie n te d e l tie m p o y c ¶a lc u lo d e la ta sa in sta n t¶a n e a d e rie sg o d e in c u m p lim ie n to c o n p re c io s d e l m e rc a d o Suponga que una empresa emite bonos cup¶o n cero con riesgo cr¶e dito a diferentes vencimientos. Si la tasa instant¶anea de riesgo de incumplimiento depende del tiempo, º (t;T ) , y no est¶a correlacionada con la tasa corta de inter¶e s, entonces el valor de un bono con riesgo que paga una unidad monetaria en el tiempo T est¶a dado por RT ¡ º (s ;T )d s B c (t;T ; º (t;T ) ) = B g (t;T ) e t = B g (t;T ) e ¡ ¤ (t;T ) ; (67:18) lo cual implica que ¤(t;T ) = ln
μ
Por lo tanto, @ º (t;T ) = ln @T
B g (t;T ) B c (t;T ; º (t;T ) )
μ
¶
B g (t;T ) B c (t;T ; º (t;T ) )
:
¶
:
lo cual proporciona una expresi¶o n de la tasa instant¶anea de riesgo de incumplimiento en funci¶o n de precios actuales de B g (t;T ) y B c (t;T ; º (t;T ) ) .
6 7 .7 T a sa in sta n t¶a n e a d e rie sg o d e in c u m p lim ie n to e sto c ¶a stic a Ahora se considera un modelo en donde la tasa instant¶anea de riesgo de incumplimiento, º t , es estoc¶astica y sigue el proceso dº t = ® (r t ;º t ;t) dt + ¯ (r t ;º t ;t) dW t ; donde la tasa corta, r t , es conducida por la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica de la forma dr t = ¹ (r t ;t) dt + ¾ (r t ;t) dU
t
con Cov(dW t ;dU t ) = ½ dt: Es razonable esperar que la tasa instant¶anea de riesgo de incumplimiento dependa de la tasa de inter¶e s y no al rev¶e s. Para valuar el bono cup¶o n cero con riesgo con valor B c (r t ;º t ;t) considere el portafolio ¦ t = w 1 B c (r t ;º t ;t) + w 2 B g (r t ;t) : Primero, se supone que no hay incumplimiento, con probabilidad (1 ¡ º t dt) . En este caso, el cambio en el valor del portafolio durante el instante dt es ·μ ¶ ¸ 2 @B c @ 2B c @ 2B c @B c @B c 1 2@ B c d¦ t =w 1 + 21 ¾ 2 + ½ ¾ ¯ + ¯ dt + dr + dº t t 2 @t @ r t2 @ r tº t @ º t2 @ rt @ ºt ·μ ¶ ¸ 2 @B g @ B @ B g g +w2 + 21 ¾ 2 dt + dr t : @t @ r t2 @ rt
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6 7 . R iesg o cr¶e d ito (II): en fo q u e d e ecu a cio n es d iferen cia les p a rcia les
Se seleccionan w 1 = 1 y w 2 = ¡ ª para eliminar el t¶e rmino dr t . Por otra parte, si se incumple, con una probabilidad º t dt, entonces el cambio en el valor del portafolio es d¦ t = ¡ B c : Despu¶e s de tomar esperanzas y utilizar la ecuaci¶o n de valuaci¶o n asociada al bono libre de riesgo, se obtiene que el valor del bono con riesgo satisface @B c @ 2B c @ 2B c @ 2B c @B c @B c + 21 ¾ 2 + ½¾ ¯ + 21 ¯ 2 +¹ +® ¡ (r t + º t ) B 2 @t @ rt @ r t@ º t @ º t2 @ rt @ ºt
c
= 0;
(67:19)
j unto con la condici¶o n ¯nal B c (r t ;º t ;T ) = 1: La ecuaci¶o n (67.19) es sim¶e trica en las variables r t y º t . En el caso particular, º t ´ ¸ , es decir, ® = ¯ = 0. La soluci¶o n de (67.19) es B c (r t ;t; ¸ ) = e ¡
¸ (T ¡ t)
B g (r t ;t) :
Si ® y ¯ son independientes de r t y el coe¯ciente de correlaci¶o n ½ es igual a cero se puede escribir la siguiente soluci¶o n en forma separable B c (r t ;º t ;t) = B g (r t ;t) G (º t ;t) ; donde G satisface
@G @ 2G @G + 12 ¯ 2 +® ¡ º tG = 0 @t @ º t2 @ ºt
con G (º t ;T ) = 1: En este caso particular, pero importante, el riesgo de incumplimiento se separa de los precios de los bonos.
6 7 .8 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Longsta®, F. A. and E. S. Schwartz (1995) . \A Simple Approach to Valuing Risky Fixed and Floating Rate Debt" . T h e J o u rn a l o f F in a n ce, Vol. 50, No. 3, pp. 789-819. Venegas-Mart¶³nez, F. (2001) . \Una gu¶³a completa para economistas en la valuaci¶o n de opciones" . G a ceta d e E co n o m ¶³a , A~n o 6, No. 12, pp. 155-212. Venegas-Mart¶³nez, F. (2002) . \La administraci¶o n ¯nanciera y sus herramientas" . E jecu tivo s d e F in a n za s, Vol. 31, No. 10, pp. 50-54.
6 7 .9 E je rc ic io s 6 7 .1 Desarrolle el modelo de Longsta®-Schwartz de riesgo cr¶e dito con tasa corta caracterizada por p dr t = a (b ¡ r t ) dt + ¾ r r t dU t : S o lu ci¶o n : En el modelo de Longsta®-Schwartz de riesgo cr¶e dito se supone que el valor de mercado de una empresa que emite deuda es V t y sigue la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica dV t = ¹ V V t dt + ¾ V V t dW t : Suponga, por simplicidad, que Cov (dW ;dU ) = ½ dt. As¶³, la estrategia de cobertura del bono corporativo B c se realiza creando un portafolio con w 1 unidades de ¶e ste y w 2 unidades del bono libre de riesgo B g . Por lo tanto, el valor del portafolio en el tiempo t est¶a dado por: ¦ t = w 1 B c (V t ;r t ;t) + w 2 B
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g
(r t ;t) ;
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6 7 . R iesg o cr¶e d ito (II): en fo q u e d e ecu a cio n es d iferen cia les p a rcia les
entonces el cambio en el valor de este portafolio est¶a dado por d¦ t = w 1 dB c (V t ;r t ;t) + w 2 dB es decir,
g
(r t ;t) ;
" @B c @B c @B c d¦ t =w 1 dt + dr t + dV t @t @ rt @Vt μ 2 ¶# @ Bc @ 2B c @ 2B c 2 2 1 + 2 (dr t ) + (dV t ) + 2 dr t dV t @ r t2 @ V t2 @ r t@ V t μ ¶ @B g @B g @ 2B g 2 +w2 dt + dr t + 12 (dr ) : t @t @ rt @ r t2
Si se sustituyen las din¶amicas estoc¶asticas de r t y V t en la ecuaci¶o n anterior, se obtiene p @B c @B c dt + w 1 (a (b ¡ r t ) dt + ¾ r r t dU t ) @t @ rt @B c +w1 (¹ V t dt + ¾ V V t dW t ) @Vt V μ 2 ¶ p @ Bc 2 @ 2B c 2 2 2@ 2 B c + 12 w 1 ¾ r dt + ¾ V dt + ¾ ¾ V r ½ dt t r t t @ r t2 r @ V t2 V t @ r t@ V t V μ ¶ p @B g @B g @ 2B g 2 +w2 dt + (a (b ¡ r t ) dt + ¾ r r t dU t ) + 21 ¾ r dt : t @t @ rt @ r t2 r
d¦ t = w
1
Al reordenar t¶e rminos, se sigue que μ ¶ p @B c @B g @B c d¦ t = w 1 +w2 [a (b ¡ r t ) dt + ¾ r r t dU t ] + w 1 ¾ V td W t @ rt @ rt @Vt V μ ¶ 2 p @B c @B c @ 2B c 2 @ 2B c 2 1 @ B c 2 +w1 + ¹ V t + 12 ¾ r + ¾ V + ¾ ¾ V r ½ dt dt t r t 2 @V 2 V @t @Vt @ r t2 r @ r@ V V t μ ¶ @B g @ 2B g 2 +w2 + 12 ¾ r t dt: @t @ r t2 r Para inmunizar el portafolio se eligen w
w
1
2
=1 y @B c @ rt =¡ : @B g @ rt
De esta manera, E [d¦ t ] = w
1
Ã
@B c @B c + ¹Vt+ @t @Vt
1 2
@ 2B c 2 ¾ rt @ r t2 r
! 2 2 p @ B @ B c c + 21 ¾2 V 2 + ¾ ¾ r V t r t ½ dt dt @ V t2 V t @ r@ V t V μ ¶ @B g @ 2B g 2 +w2 + 12 ¾ r t dt: @t @ r t2 r Se observa que el u¶ ltimo sumando de esta ecuaci¶o n cumple con la ecuaci¶o n diferencial parcial de un bono cup¶o n cero, a saber, @B g + @t
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1 2
@ 2B g 2 @B g ¾ r r t + a (b ¡ r t ) ¡ r tB 2 @ rt @ rt
g
=0
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6 7 . R iesg o cr¶e d ito (II): en fo q u e d e ecu a cio n es d iferen cia les p a rcia les
¶o @B g + @t
1 2
@ 2B g 2 ¾ r t = r tB @ r t2 r
g
¡ a (b ¡ r t )
@B g : @ rt
Si se sustituye la u¶ ltima ecuaci¶o n en la expresi¶o n para E [d¦ t ] , se tiene: E [d¦ t ] =
@B c @B c @ 2B c 2 dt + ¹ V V t dt + 12 ¾ r t dt @t @Vt @ r t2 r p @ 2B c 2 2 @ 2B c + 12 ¾ V V t dt + ¾ ¾ r V t r t ½ dt 2 @Vt @ r t@ V t V μ ¶ @B g + w 2 r t B g ¡ a (b ¡ r t ) dt: @ rt
Suponga que existe una cuenta bancaria que, al tiempo t, ofrece a su vez la tasa libre de riesgo r t , por lo que si se invierte el valor del portafolio, el rendimiento generado es d¦ t = r t ¦ t dt ¶o d¦ t = r t (B
c
+ w 2 B g ) dt:
Si el mercado est¶a en equilibrio, entonces cualesquiera dos alternativas de inversi¶o n ofrecen exactamente el mismo rendimiento. En consecuencia, al igualar ambos rendimientos, se obtiene la ecuaci¶o n diferencial parcial del bono corporativo, la cual incluye en la condici¶o n ¯nal la existencia de la posibilidad del riesgo cr¶e dito. En conclusi¶o n, si la deuda tiene un comportamiento geom¶e trico Browniano de la forma dV t = ¹ V V t dt + ¾ V V t dW t y la tasa corta p tiene el comportamiento dr t = a (b ¡ r t ) dt + ¾ r r t dU t , se cumple que @B c @B c @ 2B c 2 + ¹ V V t + 21 ¾ rt + @t @Vt @ r t2 r @B c + a (b ¡ r t ) ¡ r t B c = 0: @ rt
1 2
p @ 2B c 2 2 @ 2B c ¾V Vt + ¾ V ¾ r V t r t½ 2 @Vt @ r t@ V t
La condici¶o n de frontera es B c (V t ;r t ;T ) = D si la empresa es solvente, ¶o B c (V t ;r t ;T ) = 0 si la empresa no es solvente y alcanza el valor cr¶³tico V c . 6 7 .2 Deduzca la ecuaci¶o n diferencial parcial del modelo de Longsta® y Schwartz con tasa de inter¶e s estoc¶astica baj o el supuesto de que la deuda puede escribirse en forma separable como B c (V t ;r t ;t) = G (V t ;t) B g (r t ; T ) : S o lu ci¶o n : Las derivadas parciales de B c (V t ;t) = G (V t ;t) B g (r t ; T ) son: @B c @G =Bg ; @t @t @B c @B g =G ; @ rt @ rt @B c @G =Bg ; @Vt @Vt @ 2B c @ 2B g = G ; @ r t2 @ r t2 @ 2B c @ 2G = B g @ V t2 @ V t2 y @ 2B c @G @B g = : @ r t@ V t @ V t @ rt
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6 7 . R iesg o cr¶e d ito (II): en fo q u e d e ecu a cio n es d iferen cia les p a rcia les
Si se sustituyen en la ecuaci¶o n (67.11) y sus condiciones de frontera, se sigue que @G @ 2G @ 2B g @G @B g @G 1 2 + 12 ¾ v2 V t2 B g + ¯ G + ½¾ v¯ V t + ¹ V tB g 2 2 2 @t @Vt @ rt @ V t @ rt @Vt @B g +®G ¡ r t G B g = 0: @ rt
B
g
Despu¶e s de derivar parcialmente la ecuaci¶o n anterior respecto de B g , se llega a @G @ 2G @G + 21 ¾ v2 V t2 + ¹Vt ¡ r t G = 0: 2 @t @Vt @Vt
6 7 .3 Obtenga la ecuaci¶o n diferencial parcial del modelo de Longsta® y Schwartz de riesgo de incumplimiento de un bono cup¶o n cero con par¶ametros observables en estados ¯nancieros, de la secci¶o n 67.4, dada por @B c 1 @ 2B c 2 2 @ B c @B c + ¾ yt + ¹ y t + [(1 ¡ ® ) y t ¡ c¹ + r f t ] ¡ rB @t 2 @ y t2 @ yt @ ft
c
= 0;
donde dy t = ¹ y t dt + ¾ y t dW
t
y df t = (r f t + ¼ t ) dt con ¼ t = (1 ¡ ® ) y t ¡ c¹: S o lu ci¶o n : Sea B
dB
c
c
= B c (y t ;f t ;t) . Una aplicaci¶o n del lema de It^o a B
c
conduce a
· ¸ 2 @B c @B c @B c @B c 1 2 2@ B c = + ¹ yt + (r f t + ¼ t ) + 2 ¾ yt dt + ¾ y t dW t : 2 @t @ yt @ ft @ yt @ yt
Si se sustituye la ecuaci¶o n para f t , se sigue que dB
c
=
· ¸ @B c @B c @B c @ 2B c + ¹ yt + [r f t + (1 ¡ ® ) y t ¡ c¹] + 12 ¾ 2 y t2 dt @t @ yt @ ft @ y t2 @B c + ¾ yt dW t : @ yt
Si se toma la esperanza, de la ecuaci¶o n anterior y se iguala al rendimiento del bono corporativo dB c = r B c dt, se tiene que @B c @B c @B c 1 @ 2B c + ¹ yt + [r f t + (1 ¡ ® ) y t ¡ c¹] + ¾ 2 y t2 ¡ rB @t @ yt @ ft 2 @ y t2
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c
= 0:
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6 7 .4 Considere las siguientes relaciones B g (t;T ) = e ¸ (T ¡ t) ; B c (t;T ;¸ ) 2 2 B g (t;T ) = e ¸ (T ¡ t ) ; B c (t;T ;¸ ) B g (t;T ) = ¸ (T ¡ t) ; B c (t;T ;¸ )
(i) (ii) (iii)
donde ¸ > 0 es una constante positiva, encuentre en cada caso la tasa instant¶anea de riesgo de incumplimiento, º (t;T ) . S o lu ci¶o n : Si B g (t;T ) = e ¸ (T ¡ t) ; B c (t;T ;¸ ) entonces º (t;T ) =
@ ln(e ¸ (T ¡ t) ) = ¸ : @T
En este caso, la tasa instant¶anea de riesgo de incumplimiento es constante. Ahora bien, si 2 B g (t;T ) = e ¸ (T ¡ B c (t;T ;¸ )
t2 )
;
entonces la tasa instant¶anea de riesgo de incumplimiento est¶a dada por º (t;T ) =
2 @ ln(e ¸ (T ¡ @T
t2 )
) = 2¸ T :
Por u¶ ltimo, si B g (t;T ) = ¸ (T ¡ t) ; B c (t;T ;¸ ) se sigue que º (t;T ) =
@ 1 ln[¸ (T ¡ t) ] = : @T T ¡ t
6 7 .5 Obtenga la tasa instant¶anea de riesgo, º (t;T ) de incumplimiento en funci¶o n de las estructuras de plazos corporativa y gubernamental. S o lu ci¶o n : Considere las siguientes relaciones entre tasas y precios de bonos B g (t;T ) = e ¡
R
g (t;T
)(T ¡ t)
y B c (t;T ) = e ¡ entonces ¤(t;T ) = ln
μ
e¡ e¡
R
R c (t;T ;º (t;T ))(T ¡ t)
g (t;T
)(T ¡ t)
R c (t;T ;º (t;T ))(T ¡ t)
;
¶
= ¡ (R g (t;T ) ¡ R c (t;T ;º (t;T ) ) ) (T ¡ t) : De lo anterior, se concluye que @ (R g (t;T ) ¡ R c (t;T ;º (t;T ) ) ) (T ¡ t) @T @ =(R c (t;T ;º (t;T ) ) ¡ R g (t;T ) ) + (T ¡ t) (R c (t;T ;º (t;T ) ) ¡ R g (t;T ) ) : @T
º (t;T ) = ¡
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6 7 . R iesg o cr¶e d ito (II): en fo q u e d e ecu a cio n es d iferen cia les p a rcia les
6 7 .6 Suponga que la tasa corta, r t , sigue un proceso de tipo CIR (Cox-Ingersoll-Ross) : dr t = a (b ¡ r t ) dt + ¾
p
r t dW t ;
donde a , b y ¾ son cantidades conocidas. Suponga tambi¶e n que la tasa instant¶anea de incumplimiento de un bono corporativo con riesgo cr¶e dito es conducida por el siguiente proceso estoc¶astico: dº t = ® dt + ¯ dU t ; con (dW t ;dU t ) = 0. Asimismo, suponga que la tasa de recuperaci¶o n en caso de incumplimiento es igual a ± . Demuestre que el precio del bono corporativo cumple con la siguiente ecuaci¶o n diferencial: @B c @ 2B c @ 2B c @B c @B c + 21 ¾ 2 r t + 21 ¯ 2 + a (b ¡ r t ) +® ¡ [r t + (º 0 + ® t) (1 ¡ ± ) ] B 2 @t @ rt @ º t2 @ rt @ ºt
c
= 0;
con condici¶o n de frontera B c (r T ;º t ;T ) = 1: S o lu ci¶o n : El proceso prescrito para º t satisface º t = º 0 + ® t + ¯ U t : Por lo tanto, E[º t ] = º 0 + ® t: Basta sustituir la expresi¶o n anterior en (67.19) , tomando en cuenta un valor de ± distinto de 1, y despu¶e s tomar valores esperados de la ecuaci¶o n resultante para obtener la expresi¶o n requerida.
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C A P ¶IT U L O 68 R IE S G O C R E¶ D IT O (III): M O D E L O S D E M IG R A C IO¶ N D E C R E¶ D IT O C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ² ²
Criterio de Altman Matrices de transici¶o n Matrices de probabilidades acumuladas de incumplimiento Matrices de transici¶o n en un intervalo ¯nito de tiempo Cadenas de Markov Cadenas de Markov homog¶e neas
6 8 .1 In tro d u c c i¶o n Existen varias agencias cali¯cadoras del riesgo de incumplimiento que a trav¶e s de una recopilaci¶o n de informaci¶o n, ¯nanciera y econ¶o mica, de empresas o pa¶³ses estiman la probabilidad de incumplimiento. Entre las agencias cali¯cadoras m¶as conocidas se encuentran Standard & Poor's, Moody's y Fitch. Estas agencias asignan una cali¯caci¶o n del cr¶e dito o grado a las empresas como un indicador de su solvencia. Standard & Poor's eval¶u a a las empresas mediante cali¯caciones AAA, AA, A, BBB, BB, B, CCC, D´ I (Incumplimiento) , mientras que Moody's utiliza Aaa, Aa, A, Baa, Ba, B, Caa, Ca, C. Ambas agencias tambi¶e n tienen subclasi¯caciones m¶as re¯nadas dentro de estas clasi¯caciones b¶asicas. Las agencias cali¯cadoras de cr¶e dito, en forma independiente, re¶u nen informaci¶o n sobre empresas individuales y las cali¯can o recali¯can de acuerdo con criterios espec¶³¯cos. Un cambio de cali¯caci¶o n en una empresa se conoce como una migraci¶o n de cr¶e dito y tiene, por supuesto, un efecto importante en los precios de los bonos colocados por la empresa. Una migraci¶o n hacia una cali¯caci¶o n m¶as alta aumentar¶a el valor del bono, mientras que una migraci¶o n hacia una cali¯caci¶o n m¶as baja disminuir¶a el precio y, por lo tanto, su rendimiento. As¶³ pues, la migraci¶o n de una empresa hacia una categor¶³a crediticia distinta, tiene efectos sobre los precios de sus bonos.
6 8 .2 L a fu n c i¶o n Z d e A ltm a n El \score" Z de Altman (1968) es una funci¶o n lineal de razones ¯nancieras que se utiliza para asentar la cali¯caci¶o n crediticia de una emisora. La funci¶o n Z , que se describe en el Cuadro 68.1, proporciona un pron¶o stico sobre la vulnerabilidad de una emisora. La descripci¶o n de las razones ¯nancieras que utiliza la Z de Altman aparecen en Cuadro 68.2. Pron¶o stico de vulnerabilidad de la emisora con an¶alisis discriminante
Z Z (a 1 ;a 2 ;:::;a n ) (x 1 ;x 2 ;:::;x n )
= = = =
a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ::: + a n x n Cali¯caci¶o n discriminante Coe¯cientes discriminantes (ponderaciones) Variables discriminantes (razones ¯nancieras)
Cuadro 68.1 De¯nici¶o n de la funci¶o n Z .
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6 8 . R iesg o cr¶e d ito (III): m o d elo s d e m ig ra ci¶o n d e cr¶e d ito
De¯niciones de las variables y ponderadores de Z
De¯nici¶o n x1 = x2 = x3 = x4 = x5 =
Factor de ponderaci¶o n
Capital de trabaj o Total activos Utilidades retenidas Total activos Utilidades antes de intereses e impuestos Total activos Valor de mercado del capital Valor en libros de total pasivos Ventas Total activos
1:2 1:4 3:3 0:6 0:999
Cuadro 68.2 Variables y ponderadores de la funci¶o n Z . Con base en el cuadro anterior la funci¶o n Z se puede escribir como: Z = 1:2x 1 + 1:4x 2 + 3:3x 3 + 0:6x 4 + 0:999x 5 : Las zonas e intervalos de discriminaci¶o n para la cali¯caci¶o n crediticia de una emisora, con un vector de valores (x 1 ;x 2 ;x 3 ;x 4 ;x 5 ) , se establecen en el siguiente cuadro:
Zonas de discriminaci¶o n:
Z > 2:99
)
Zona Segura
1:80 < Z · 2:99
)
Zona Gris
Z · 1:80
)
Zona de Peligro
Intervalos de la cali¯caci¶o n Z S&P 500: 1992-2001
Cali¯caci¶o n AAA AA A BBB BB B CCC+CC
Score Z (promedio) ¸ 6.20 [4.73,6.20) [3.74, 4.73) [2.81,3.74 ) [2.38,2.81) [1.80 ,2.38) [0.33,1.80)
Cuadro 68.3 Zonas e intervalos de discriminaci¶o n de cali¯caciones crediticias.
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6 8 . R iesg o cr¶e d ito (III): m o d elo s d e m ig ra ci¶o n d e cr¶e d ito
6 8 .3 M a triz d e tra n sic i¶o n o d e m ig ra c i¶o n d e c r¶e d ito y m a triz d e p r o b a b ilid a d e s d e in c u m p lim ie n to Cierta empresa actualmente, al tiempo t = 0, es cali¯cada en A por Moody's. Varias preguntas relevantes para los inversionistas son: >Cu¶al es la probabilidad, p A A , que en T , T > 0, todav¶³a tenga cali¯caci¶o n A? >Cu¶al es la probabilidad, p A B , de que en T se cali¯que en B, o incluso I, es decir, p A I ? Evidentemente, estas probabilidades pueden ser tratadas mediante matrices de transici¶o n en un periodo [0;T ] . Un ej emplo de matriz de transici¶o n de una empresa B para un a~n o (T = 1) se muestra a continuaci¶o n:
A P = B I
Ã
A 0:90 0:04 0
B 0:06 0:95 0
I ! 0:04 0:01 : 1
(68:1)
Observe que p iA + p iB + p iI = 1;
i = A;B;I:
(68:2)
Algunos cuestionamientos sobre dicha matriz de transici¶o n surgen de manera natural: >C¶o mo se calcula esta matriz de transici¶o n? Esta pregunta aunque parece dif¶³cil tiene una respuesta m¶as o menos simple. Si se cuenta con la matriz de probabilidades de incumplimiento de la empresa en cada estado i en el a~n o T , Q i (0;T ) , i =A, B, I, T = 1;2;3;4: A Q = B I
Ã
T =1 0:0051 0:0066 1:00
T =2 0:0450 0:0165 1:00
T =3 0:0815 0:0275 1:00
T =4 ! 0:115 0:0394 ; 1:00
(68:3)
entonces se puede obtener la matriz de probabilidad de transici¶o n a un a~n o. En efecto, sea q T , T = 1;2;3;4, el vector de probabilidad de incumplimiento para el a~n o T , es decir, 0 1 0 1 0 1 0 1 0:0051 0:0450 0:0815 0:115 q 1 = @ 0:0066 A ; q 2 = @ 0:0165 A ; q 3 = @ 0:0275 A ; q 4 = @ 0:0394 A : (68:4) 1:00 1:00 1:00 1:00 En este caso, se debe cumplir que q 2 = P q 1;
q 3 = P q 2;
q 4 = P q 3:
La relaci¶o n entre P y las q T , en (68.5) , se puede escribir en forma matricial como: 0 1 0 1 0 1 P 0 0 q1 q2 @0 P 0 A @q2 A = @q3 A 0 0 P q3 q4
(68:5)
(68:6)
donde 0 es una matriz de ceros de 3 £ 3. Asimismo, la matriz (68.6) se puede reescribir como un sistema de 9 ecuaciones con 9 inc¶o gnitas, las cuales despu¶e s de agrupar variables comunes se pueden escribir como tres sistemas de ecuaciones con tres inc¶o gnitas. Es decir, 0 1 0 1 0 1 pA A qA 2 0:0450 M @ p A B A = @ q A 3 A = @ 0:0815 A ; (68:7) pA I qA 4 0:115 0 1 0 1 0 1 pB A qB 2 0:0165 M @ p B B A = @ q B 3 A = @ 0:0275 A ; (68:8) pB I qB 4 0:0394 0 1 0 1 0 1 p IA qI 2 1:00 M @ p I B A = @ q I 3 A = @ 1:00 A ; (68:9) p II qI 4 1:00
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donde
0
1 0 q 01 0:0051 M = @ q 02 A = @ 0:0450 q 03 0:0815
1 1:00 1:00 A : 1:00
0:0066 0:0165 0:0275
En este caso, q 0T denota el vector transpuesto de q T . Evidentemente, la u¶ nica soluci¶o n de (68.9) es p I A = p I B = 0 y p I I = 1: Las soluciones de los sistemas (68.7) -(68.9) conducen a la siguiente matriz de transici¶o n A B I Ã ! A 0:90 0:06 0:04 P = B 0:04 0:95 0:01 ; I 0 0 1 la cual coincide con (68.1) . Suponga ahora que se desea obtener Q a partir de P . En este caso, se requiere tambi¶e n el vector d 1 . Si se parte P como en (68.1) , entonces 0 1 0 1 0 1 0:90 0:06 0:04 0:0051 0:0450 d 2 = P d 1 = @ 0:04 0:95 0:01 A @ 0:0066 A = @ 0:0165 A 0 0 1 1:00 1:00 0
1 0:90 0:06 0:04 d 3 = P d 2 = @ 0:04 0:95 0:01 A 0 0 1 0 1 0:90 0:06 0:04 d 4 = P d 3 = @ 0:04 0:95 0:01 A 0 0 1
0
1 0 1 0:0450 0:0815 @ 0:0165 A = @ 0:0275 A 1:00 1:00 0 1 0 1 0:0815 0:115 @ 0:2075 A = @ 0:0394 A ; 1:00 1:00
lo cual conduce a (68.3) . Obviamente, si no se proporciona la d 1 adecuada, entonces no se recupera Q .
6 8 .4 C a d e n a s d e M a rk o v Considere la siguiente matriz de transici¶o n asociada a las probabilidades de migraci¶o n crediticia en un intervalo [t;T ] de la empresa B : A 0 A p A A (t;T ) P [t;T ] = B @ p B A (t;T ) I p I A (t;T )
B p A B (t;T ) p B B (t;T ) p I B (t;T )
I 1 p A I (t;T ) p B I (t;T ) A ; p I I (t;T )
(68:10)
donde p iA (t;T ) + p iB (t;T ) + p iI (t;T ) = 1; i=A, B, I. En particular, p I A (t;T ) = p I B (t;T ) = 0 y p I I (t;T ) = 1. Evidentemente, P [t;t] = I, donde I es la matriz identidad de 3 £ 3. De ahora en adelante, el conjunto de cali¯caciones E = f A ;B ;I g ser¶a llamado el espacio de estados. El proceso estoc¶astico X t que toma valores en E , tal que p A B (t;T ) = IPf X
T
= B jX
t
=A g
ser¶a llamado proceso de cali¯caci¶o n crediticia de B . Dado que ninguna empresa (hasta la fecha) se recupera del evento de incumplimiento, se dice que el estado I es un estado absorbente. Si se supone ahora que X t tiene la propiedad Markoviana, IPf X
T
= jT j X
t
= it g = IPf X
T
= jT j X
s
= is ;s ¸ t g ;
es decir, la probabilidad de transici¶o n hacia alg¶u n estado depende s¶o lo del estado actual y si adem¶as se cumple que p ij (t;T ) = p ij (T ¡ t) ; i;j = A;B;I; entonces el proceso X t es conocido como una cadena de Markov homog¶e nea (en el tiempo) con un n¶u mero ¯nito de estados. Obviamente, en la realidad dif¶³cilmente se encuentran procesos de
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cali¯caci¶o n crediticia que mantengan la propiedad Markoviana y todav¶³a m¶as dif¶³cil que dichos procesos sean homog¶e neos. Una propiedad relevante de una cadena de Markov homog¶e nea es que la matriz de transici¶o n de n periodos, [0;T ] , [T ;2T ] ,..., [(n ¡ 1) T ;n T ] , cada uno de longitud T , se obtiene como P
[0 ;n T ]
=P
n [0 ;T ]:
P
[iT ;j T ]
=P
j¡ i [0 ;T ]:
En general, se cumple que
En efecto, observe que IPf X = IPf X
T
IPf X
3T
IPf X
nT
= IPf X
= j n T ;X
nT
T
= jT j X
t
= j3 T j X
= jn T j X
= jT j X
t
= j (n ¡
(n ¡ 1 )T
= it g IPf X 2T
= j 2 T ;X
1 )T
2T T
= j (n ¡
(n ¡ 1 )T
= it g IPf X
2T
;:::;X
= j2 T j X = j T ;X
= jT j X
T
t
= j T ;X
T
= it g
t
= it g £
t
= it g £ ¢¢¢£
= it g
;:::;X
T
= j T ;X
= j2 T j X
T
= j T g ¢¢¢IPf X
1 )T
= p it jT (T ) p iT j2 T (T ) ¢¢¢p i(n ¡ 1 )T jn T (T ) :
t
nT
= jn T j X
(n ¡ 1 )T
= j (n ¡
1 )T
g
Por lo tanto, p it ;j n T (T ) = IPf X
nT
= jn T j X
= it g =
t
X G
p it jT (T ) p iT j2 T (T ) ¢¢¢p i(n ¡ 1 )T jn T (T ) ;
donde G es el conj unto de ¶³ndices asociados a una trayectoria factible que va del estado X al estado X n T = j n T . Por ej emplo, p A ;A (3T ) =
t
= it
p A ;A (T ) p A ;A (T ) p A ;A (T ) + p A ;B (T ) p B ;A (T ) p A ;A (T ) + p A ;A (T ) p A ;B (T ) p B ;A (T ) + p A ;B (T ) p B ;B (T ) p B ;A (T ) :
Suponga que t = 0 y que P [0 ;T ] es la matriz de transici¶o n en un periodo de longitud T . As¶³ pues, para una cadena de Markov homog¶e nea, la matriz de transici¶o n del estado i al j satisface P
[iT ;j T ]
=P
j¡ i [0 ;T ]:
Por supuesto, el an¶alisis anterior puede extenderse, sin di¯cultad, para el caso de cualquier n¶u mero ¯nito de estados. Por u¶ ltimo, se determina la distribuci¶o n no condicional de una cadena de Markov. Sea f X n g n 2 IN [ 0 una cadena homog¶e nea de Markov de¯nida sobre un n¶u mero ¯nito de posibles estados E . Hasta ahora, todas las probabilidades que se han considerado, sobre X n , son condicionales. Si se desea la distribuci¶o n no condicional de X n , es necesario especi¯car la distribuci¶o n de probabilidad del estado inicial. Esto es, p i ´ IPf X
1
X2
i2 E;
= ig ;
p i = 1:
i= 1
De esta manera, todas las probabilidades no condicionales pueden ser calculadas mediante IPf X
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n
= jg =
X
i2 E
IPf X
n
= j jX
1
= ig IPf X
1
= ig :
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6 8 .4 .1 E c u a c i¶o n d e C h a p m a n -K o lm o g o ro v Otra propiedad que satisface el producto P
[0 ;n T ]
n [0 ;T ];
=P
es que tambi¶e n puede expresarse como P
[0 ;n T ]
es decir, p nij (T ) =
X
=P
n¡ m m [0 ;T ] P [0 ;T ];
(n ¡ m )
p ik
m · n;
(T ) p mk j (T ) ;
k
m · n:
6 8 .5 P ro p ie d a d M a rk o v ia n a y M a triz d e tra n sic i¶o n e n c u a lq u ie r in te rv a lo ¯ n ito d e tie m p o En la secci¶o n anterior la matriz de transici¶o n ten¶³a una base anual. En esta secci¶o n se determina la matriz de transici¶o n en un intervalo ¯nito de tiempo. Para ello, se comienza por modelar, primero, la migraci¶o n sobre un periodo de tiempo corto de [T ;T + dT ] . Ya que este periodo de tiempo es muy corto, la posibilidad de cualquier migraci¶o n es muy peque~n a. El evento m¶as probable es que no exista migraci¶o n. A continuaci¶o n se calcula la probabilidad de cambio de una cali¯caci¶o n crediticia a otra en un intervalo de tiempo de longitud dT . Si la matriz de transici¶o n sobre el intervalo de tiempo [T ;T + dT ] se denota mediante P [T ;T + d T ], entonces se puede escribir: P
[T ;T + d T ]
= I + ¤ dT
(68:11)
para alguna matriz ¤, donde I es la matriz identidad. La suma de las entradas en cada rengl¶o n de ¤ debe sumar cero y el u¶ ltimo rengl¶o n solamente debe contener ceros ya que el incumplimiento es un estado absorbente. La matriz ¤ se j usti¯ca f¶acilmente en t¶e rminos de procesos de Poisson. En efecto, si p ij (t;T ) es cualquier entrada de P [T ;T + d T ] y si ¸ ij es visto como un par¶ametro de intensidad, entonces p ij (t;T ) = ¸ ij dT : Evidentemente, las entradas fuera de la diagonal de ¤ deben satisfacer X p ii (t;T ) = 1 ¡ ¸ ij dT : j 6= i
P
a P [t;T ] Si se de¯ne ¸ ii = ¡ j 6= i ¸ ij dT , se tiene que P [T ;T + d T ] = I + ¤ dT . Ahora bien, se utilizar¶ para denotar la matriz de transici¶o n sobre un intervalo ¯nito de tiempo [t;T ] . Las probabilidades de transici¶o n entre P [t;T ] P [T ;T + d T ] y P [t;T ] est¶an relacionadas mediante P
=P
[t;T + d T ]
[t;T ]P [T ;T + d T ]:
(68:12)
Si se sustituye la ecuaci¶o n (68.11) en la ecuaci¶o n anterior, se sigue que P Si se resta P
[t;T ]
[t;T + d T ]
=P
[t;T ] (I
+ ¤dT ) :
(68:13)
de ambos lados de la ecuaci¶o n anterior y se divide por dT , se obtiene P
[t;T + d T ] ¡
P
[t;T ]
dT
=P
[t;T ]¤:
(68:14)
El lado derecho de la ecuaci¶o n anterior es independiente de dT . En particular, al tomar el l¶³mite cuando dT ! 0 en (68.14) , se sigue que @ P @T
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[t;T ]
=P
[t;T ]¤:
(68:15)
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Si se impone la condici¶o n inicial P (68.15) est¶a dada por
[t;t]
= I, entonces la soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial matricial P
[t;T ]
= e (T ¡
t)¤
(68:16)
:
La exponencial de una matriz se de¯ne por la siguiente serie in¯nita e (T ¡
t)¤
=
X1 (T ¡ t) k ¤k : k! k= 0
En particular, P
[0 ;T ]
= eT ¤ :
(68:17)
Suponga, por ej emplo, que P [0 ;T + d T ] es la matriz de transici¶o n para un horizonte de tiempo de un a~n o. Si se desea determinar lo que podr¶³a pasar en un periodo m¶as corto de tiempo, por ej emplo, un semestre, se lleva a cabo el siguiente procedimiento. Si se denota mediante P [0 ;T ] la matriz de transici¶o n de un semestre, para lo cual se requiere conocer la matriz ¤. Si ahora se supone que la matriz ¤ se puede diagonalizar de tal forma que existen matrices A y D , D una matriz diagonal, tales que ¤ = A D A ¡ 1: (68:18) Si lo anterior se puede hacer, entonces las entradas de la matriz D son los valores propios de ¤. En consecuencia, se puede escribir P
[0 ;T ]
=A
X1
K = 0
[T D ] k A k!
¡ 1
(68:19)
:
Puesto que D es diagonal, al elevarla a la k -¶e sima potencia, el resultado es otra matriz diagonal con las entradas diagonales de la matriz original elevadas a la k -¶e sima potencia. Por lo tanto, P
[0 ;T ]
= A eT D A
¡ 1
(68:20)
;
donde e T D es la matriz con entradas diagonales e T d k y d k son las entradas diagonales de D . Los vectores propios de las dos matrices P [0 ;T ] y ¤ se encuentran relacionados. La estrategia para encontrar ¤ es, primero, diagonalizar P [0 ;T ], en (68.18) , para encontrar A y e T D , a partir de lo cual se determinan A y D . Si se utiliza (68.18) , con A y D conocidas, se obtiene inmediatamente la matriz ¤.
6 8 .6 C la si¯ c a c i¶o n d e e sta d o s Hasta ahora s¶o lo se ha especi¯cado cu¶ando un estado es absorbente. A continuaci¶o n se clasi¯can los estados en funci¶o n de sus caracter¶³sticas.
6 8 .6 .1 E sta d o s a c c e sib le s y c o m u n ic a d o s (n )
Se dice que un estado j es accesible desde el estado i si p ij > 0 para alguna n 2 IN [ 0. Observe que el estado j es accesible desde estado i si y s¶o lo si, iniciando en i, es posible que el proceso alguna vez visite el estado j . En efecto, ya que si j no es accesible desde i, entonces (1 ) ¯ [ ¯ ¯ IPf alguna vez se visite j j se inicia en ig = IP f X n = j g ¯X 1 = i n= 0
· =
X1
n= 0 X1
IPf X
n
= j jX
1
= ig
(n )
p ij
n= 0
= 0:
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Asimismo, se dice que dos estados, i y j , se comunican, lo cual se denota mediante i $ j , si son accesibles entre s¶³. Observe que cualquier estado se comunica consigo mismo, ya que por de¯nici¶o n (0 ) p ii = IPf X 0 = ijX 0 = ig = 1: La relaci¶o n de comunicaci¶o n satisface las siguientes tres propiedades: (i) El estado i se comunica consigo mismo. (ii) Si el estado i se comunica con el estado j , entonces el estado j se comunica con el estado i. (iii) Si el estado i se comunica con el estado j , y el estado j se comunica con el estado k , entonces el estado i se comunica con el estado k . Las propiedades (i) y (ii) se siguen inmediatamente de la de¯nici¶o n de comunicaci¶o n. Para probar (iii) suponga que i se comunica con j , y que j se comunica con k , entonces, existen n y (n ) (m ) m tales que p ij > 0 y p j k > 0. Ahora, de las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov, se tiene que X1 (n + m ) (n ) (m ) (n ) (m ) p ik = p ir p r k ¸ p ij p j k > 0: n= 0
Se dice que dos estados que se comunican est¶an en una misma clase. Una consecuencia de (i) ;(ii) y (iii) es que dos clases de estados son id¶e nticas o disj untas. En otras palabras, el concepto de comunicaci¶o n divide a E en clases aj enas. Se dice que una cadena de Markov es irreducible si hay s¶o lo una clase, esto es, si todos los estados se comunican entre s¶³. Considere una cadena de Markov que consiste de cuatro estados A7! 1, B7! 2, C7! 3 y I7! 4 y la siguiente matriz de transici¶o n A B C I 0 1 A 0:5 0:5 0 0 B B 0:5 0:5 0 0 C P [0 ;T ] = P = C @ 0:25 0:25 0:25 0:25 A : I 0 0 0 1 La clases de esta cadena de Markov son f 1;2g , f 3g y f 4g . Observe que mientras los estados 1 y 2 son accesibles desde el estado 3, el regreso no es posible. Asimismo, debido a que el estado 4 es un estado absorbente, esto es p 3 3 = 1, ning¶u n otro estado es accesible desde ¶e ste.
6 8 .6 .2 E sta d o s re c u rre n te s y tra n sito rio s Sea f X n g n 2 IN [ 0 una cadena homog¶e nea de Markov que toma valores sobre un n¶u mero ¯nito de posibles estados E . Para cualquier estado i 2 E , f i denotar¶a la probabilidad de que, iniciando en el estado i, el proceso alguna vez regrese a ¶e l. En este caso, se dice que el estado i es recurrente si f i = 1 y transitorio si f i < 1. Suponga que el proceso inicia en el estado i e i es recurrente, entonces, con probabilidad 1, el proceso eventualmente regresar¶a al estado i. Asimismo, por la de¯nici¶o n de una cadena de Markov, se sigue que el proceso estar¶a iniciando otra vez cuando entre al estado i. La repetici¶o n continua de este argumento conduce a la conclusi¶o n de que si el estado i es recurrente y el proceso inicia en el estado i, entonces el estado i sera visitado un n¶u mero in¯nito de veces. Por otro lado, si el estado i es transitorio, entonces existe una probabilidad positiva 1 ¡ f i de que el proceso nunca regrese al estado i. De esta manera, si se inicia en el estado i, la probabilidad de que el proceso visite el estado i dentro de exactamente n periodos es f in ¡ 1 (1 ¡ f i ) , n ¸ 1. En otras palabras, si el estado i es transitorio y el proceso inicia en el estado i, el n¶u mero de periodos que el proceso est¶a en el estado i tiene una distribuci¶o n geom¶e trica con media igual a 1= (1 ¡ f i ) . A partir de lo anterior, se sigue que el estado i es recurrente si y s¶o lo si, iniciando en el estado i, el n¶u mero esperado de periodos de tiempo que el proceso est¶a en el estado i es in¯nito. En efecto, sea ( 1; si X n = i D n = 0; si X n 6= i:
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P1 En este caso, n= 0 D Adem¶as, observe que
n
representa el n¶u mero de periodos que el proceso est¶a en el estado i.
E
"1 X
n= 0
D
n jX
0
=i
#
= = =
X1
n= 0 X1
n= 0 X1
E [D
n
IPf X
jX
n
0
=i]
= ijX
0
= ig
(n )
p ii :
n= 0
De lo anterior, se concluye que el estado i es recurrente si X1
p ii = 1
X1
p ii < 1 :
(n )
n= 1
y transitorio si
(n )
n= 1
Este resultado es muy importante, ya que un estado transitorio s¶o lo ser¶a visitado un n¶u mero ¯nito de veces; de aqu¶³ el nombre de transitorio. Esto lleva a la conclusi¶o n de que en una cadena de Markov con espacio de estados ¯nito no todos los estados pueden ser transitorios. Para ver esto, suponga que los estados son 0;1;:::;M y que todos son transitorios. Entonces despu¶e s de un tiempo ¯nito (es decir, despu¶e s del tiempo T 1 ) el estado 1 nunca m¶as ser¶a visitado, y despu¶e s de un tiempo T 2 , el estado 2 nunca m¶as ser¶a visitado, etc. De esta manera, despu¶e s de un tiempo ¯nito T = maxf T 0 ;T 1 ;:::;T M g ning¶u n estado ser¶a visitado. Pero como el proceso debe estar en alg¶u n estado despu¶e s de un tiempo T se llega a una contradicci¶o n, lo cual demuestra que al menos un estado tiene que ser recurrente. Otro resultado importante es que si el estado i es recurrente y el estado i comunica con el estado j , entonces el estado j es recurrente. En efecto, para ver esto, note que si el estado i se comunica con el estado j , entonces existen enteros k y m tales que p kij > 0, p mj i > 0. Ahora bien, para cualquier n 2 IN [ 0 (m + n + k ) (m ) p jj ¸ p j i p nii p kij : Note que el lado izquierdo de la desigualdad anterior es la probabilidad de ir de j a j en m + n + k periodos, mientras que el lado derecho es la probabilidad de ir de j a j en m + n + k periodos v¶³a una trayectoria que va primero de j a i en m periodos, despu¶e s va de i a i en otros n periodos y, ¯nalmente, de i a j en k periodos m¶as. Si en la desigualdad anterior se suma sobre n , se tiene X1
(m + n + k )
p jj
n= 1 (k ) p mj i p ij
(m ) (k )
¸ p j i p ij
X1
n= 1
(n )
p ii = 1 ;
P1
(n ) n = 1 p ii
donde > 0y es in¯nito ya que el estado i es recurrente. Por lo tanto, se llega a que el estado j es tambi¶e n recurrente. El resultado anterior tambi¶e n implica que la transitoriedad es una propiedad de clase. En efecto, si el estado i es transitorio y se comunica con el estado j , entonces el estado j debe ser tambi¶e n transitorio. De esta forma, si el estado j fuera recurrente, entonces i tambi¶e n ser¶³a recurrente y no podr¶³a ser transitorio. Asimismo, del resultado previo se tiene que no todo estado en una cadena de Markov, con E ¯nito, puede ser transitorio, lo cual conduce a que todos los estados de la cadena de Markov irreducible son recurrentes. Considere la cadena de Markov que tiene los estados AAA=1, AA=2, A=3, BBB=4 y BB=5 y la matriz de transici¶o n dada por AAA AAA 0:5 AA B 0:5 B A B 0 @ BBB 0 BB 0:25 0
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AA 0:5 0:5 0 0 0:25
A 0 0 0:5 0:5 0
BBB 0 0 0:5 0:5 0
BB 1 0 0 C C 0 C : A 0 0:5
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En este caso la cadena tiene tres clases f 1;2g , f 3;4g y f 5g . Las dos primeras clases son recurrentes y la tercera transitoria.
6 8 .7 E sta d o s e rg o¶ d ic o s y p ro b a b ilid a d e s e sta c io n a ria s Considere la siguiente matriz de transici¶o n de un periodo [0;T ]
AAA P [0 ;T ] = P = AA
μ AAA 0:7 0:4
AA ¶ 0:3 0:6 :
(68:21)
Por simplicidad, en lo que sigue, se har¶a referencia al estado AAA como el estado 1 (AAA7! 1) y al estado AA como 2 (AA7! 2) . Observe que μ ¶ 0:61 0:39 P 2 = ; 0:52 0:48 μ ¶ 0:5749 0:4251 P 4 = (P 2 ) 2 = 0:5668 0:4332 y μ ¶ 0:572 0:428 8 4 2 P = (P ) = : 0:570 0:430 Observe, primero, que la matriz P 8 es casi id¶e ntica a la matriz P 4 y, segundo, cada uno de los renglones de P 8 son casi id¶e nticos. De hecho, parece que cuando n ! 1 , p nij converge a alg¶u n valor, el cual adem¶as es el mismo para toda i. Es decir, parece que existe un l¶³mite de las probabilidades de transici¶o n en el que el proceso estar¶a en el estado j despu¶e s de un gran n¶u mero de transiciones y dicho l¶³mite es independiente del estado inicial. Para hacer lo anterior m¶as preciso hay dos propiedades adicionales de los estados de una cadena de Markov que deben ser consideradas. El estado i se dice que tiene periodo d si p nii = 0 si n no es divisible por d y es el mayor entero con esta propiedad. Por ej emplo, iniciando en i puede ser posible que el proceso visite al estado i s¶o lo en los tiempos 2;4;6;:::; en cuyo caso el estado i tiene periodo de dos. Un estado con periodo 1 se dice ser aperi¶o dico. Se puede mostrar que la periodicidad es una propiedad de clase. Esto es, si el estado i tiene periodo d , y los estados i y j se comunican, entonces el estado j tambi¶e n tiene periodo d . Por otro lado, si i es recurrente se dice que es recurrente positivo si, iniciando en i, el tiempo esperado hasta que el proceso regresa al estado i es ¯nito. Puede ser mostrado que en una cadena homog¶e nea de Markov, con un espacio de estados, los estados recurrentes son recurrentes positivos. Los estados recurrentes positivos y aperi¶o dicos son llamados erg¶o dicos. El siguiente resultado proporciona las condiciones para que exista la distribuci¶o n estacionaria de los estados. En una cadena de Markov erg¶o dica e irreducible el lim n ! 1 p nij existe y es independiente de i. Adem¶as, si se denota ¼ j = lim p nij ; j ¸ 0; n! 1
entonces ¼ j es la u¶ nica soluci¶o n no negativa de ¼j =
X1
j ¸ 0;
¼ j IP ij ;
i= 0
donde
X1
¼ j = 1:
i= 0
Observe, informalmente, que IPf X
n+ 1
= jg = =
X
IPf X
X
IP ij IPf X
n+ 1
i2 E
= j jX n
n
= ig IPf X
n
= ig
= ig :
i2 E
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Si cuando n ! 1 se supone que se puede tomar el l¶³mite dentro de la suma, entonces X (n ) ¼j = p ij ¼ i : i2 E
Por u¶ ltimo, en el caso de una cadena de Markov irreducible con estados recurrentes positivos y peri¶o dicos, a¶u n se tiene que ¼ j ; j ¸ 0, son la soluci¶o n u¶ nica no negativa de X ¼j = ¼ i IP ij ; i
P
donde i = 1. Pero, ahora ¼ j es interpretado como la proporci¶o n de tiempo que la cadena de Markov estar¶a en el estado j . Considere la matriz de transici¶o n AAA P = AA
μ AAA ® ¯
AA ¶ 1¡ ® 1¡ ¯ :
Las probabilidades estacionarias ¼ 1 y ¼ 2 tienen que satisfacer ¼1 = ® ¼1 + ¯¼2 ¼ 2 = (1 ¡ ® ) ¼ 1 + (1 ¡ ¯ ) ¼ 2 1 = ¼ 1 + ¼ 2:
Por ej emplo si ® = 0:7 y ¯ = 0:4, entonces las probabilidades estacionarias son ¼ 1 = 4= 7 y ¼ 2 = 3= 7. Considere, por u¶ ltimo, la matriz de transici¶o n AAA P = AA A
Ã
AAA 0:5 0:3 0:2
AA 0:4 0:4 0:3
A ! 0:1 0:3 : 0:5
La proporci¶o n del tiempo que el proceso estar¶a en promedio en cada uno de los tres estados se obtiene al resolver el sistema ¼ 1 = 0:5¼ 1 + 0:3¼ 2 + 0:2¼ 3 ¼ 2 = 0:4¼ 1 + 0:4¼ 2 + 0:3¼ 3 ¼ 3 = 0:1¼ 1 + 0:3¼ 2 + 0:5¼ 3 ; con ¼ 1 + ¼ 2 + ¼ 3 = 1. En este caso, las soluciones son ¼ 1 = 21= 62;
¼ 2 = 23= 62;
¼ 3 = 18= 62:
6 8 .8 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Altman, E. I. (1968) . \Financial Ratios, Discriminant Analysis and the Prediction of Corporate Bankruptcy" . J o u rn a l o f F in a n ce, Vol. 23, No. 4, pp. 589-609. Ross, S. M. (1985) . Introduction to Probability Models. Academic Press, Inc., Third Edition, Orlando, Florida, USA.
6 8 .9 E je rc ic io s 6 8 .1 Cuando se parte de Q para obtener P , en t¶e rminos generales, no hay garant¶³a de que P ¸ 0 . En efecto, considere A Q = B I
Ã
T =1 0:0051 0:00066 1:00
T =2 0:011 0:0138 1:00
T =3 0:0182 0:0311 1:00
T =4 ! 0:0213 0:07 : 1:00
Obtenga P y discuta los resultados.
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S o lu ci¶o n : Utilice que d 2 = P d 1 , d 3 = P 0 P 0 @0 P 0 0
d 2 y d 4 = P d 3 . En este caso, 1 0 1 0 1 0 d1 d2 0 A @d2 A = @d3 A; P d3 d4
en donde las entradas de la matriz P son: 0
pA A @ pB A p IA
pA B pB B p IB
1 pA I pB I A : p II
La ecuaci¶o n matricial anterior conduce a tres sistemas de tres ecuaciones con tres inc¶o gnitas, a saber, 0 1 0 1 0 1 0:0051 0:00066 1:00 pA A 0:011 @ 0:011 0:0138 1:00 A @ p A B A = @ 0:0182 A ; 0:0182 0:0311 1:00 pA I 0:0213 0 1 0 1 0 1 0:0051 0:00066 1:00 pB A 0:0138 @ 0:011 0:0138 1:00 A @ p B B A = @ 0:0311 A ; 0:0182 0:0311 1:00 pB I 0:067 0 1 0 1 0 1 0:0051 0:00066 1:00 pIA 1:00 @ 0:011 0:0138 1:00 A @ p I B A = @ 1:00 A : 0:0182 0:0311 1:00 pII 100 Las soluciones de los sistemas anteriores son: A P = B D
Ã
A 11:23372 ¡ 28:39132 0
B ¡ 4:496114 14:06459 0
D ! ¡ 0:043325 0:149313 : 1
Observe tambi¶e n que si q 2 = P q 1;
q 3 = P q 2;
q 4 = P q 3;
entonces se puede escribir P Q 1 ;2 ;3 = Q 2 ;3 ;4 ; donde Q 1 ;2 ;3 es la matriz formada por las tres primeras columnas de Q ; de manera similar se de¯ne Q 2 ;3 ;4 . En consecuencia, P = Q 2 ;3 ;4 Q 1¡ ;21 ;3 ; siempre y cuando Q 1 ;2 ;3 tenga inversa. De manera alternativa, dado que M = Q 01 ;2 ;3 donde la comilla denota la operaci¶o n de transponer (o trasponer) una matriz, entonces P = ((Q
0 ¡ 1 0 Q 2 ;3 ;4 ) 0 1 ;2 ;3 )
=Q
¡ 1 2 ;3 ;4 Q 1 ;2 ;3 :
6 8 .2 Considere la siguiente matriz de probabilidades acumuladas de incumplimiento A Q = B I
Ã
T =1 0:0051 0:0065 1:00
T =2 0:035087 0:016393 1:00
T =3 0:06216499 0:02678989 1:00
T =4 ! 0:086763 0:037583 : 1:00
Encuentre P . Veri¯que que, en este caso, todas las entradas de la matriz son positivas y la suma de cada rengl¶o n es igual a la unidad. S o lu ci¶o n : A B D Ã ! A 0:87 0:1 0:03 P = B 0:03 0:96 0:01 : D 0 0 1
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6 8 . R iesg o cr¶e d ito (III): m o d elo s d e m ig ra ci¶o n d e cr¶e d ito
6 8 .3 Considere un proceso estoc¶astico de cali¯caci¶o n crediticia, X t , tal que p ij (t;T ) = p ij (T ¡ t) = IPf X Es decir, X
t
= j jX
t
= i g;
i;j = A;B;I:
es una cadena de Markov homog¶e nea. Suponga que A P [0 ;1 ] = B I
Encuentre P
T
[0 ;2 ]
yP
Ã
A 0:90 0:04 0
B 0:06 0:95 0
I ! 0:04 0:01 : 1
[0 ;3 ].
6 8 .4 Considere el siguiente diagrama de cali¯caciones crediticias de un solo paso.
S¶o lo es posible ir, en un paso (a~n o) , de un v¶e rtice al v¶e rtice contiguo. Por ejemplo, es posible pasar de AAA a AA y viceversa, pero nunca de AAA a A. Las probabilidades de transici¶o n que aparecen en el diagrama p y q satisfacen p + q = 1. En este caso, se supone que cuando la empresa en cuesti¶o n (una subsidiaria) tiene cali¯caci¶o n BBB existe un programa de rescate (de la controladora) que con cierta probabilidad puede ponerla en el estado AAA. Encuentre (n ) la matriz de transici¶o n. Diga cu¶antos pasos n se requieren para que p ii = 0: S o lu ci¶o n : La matriz de transici¶o n est¶a dada por 0 AAA AA B P [0 ;1 ] = A @ BBB
AAA 0 q 0 p
AA p 0 q 0
A 0 p 0 q
BBB 1 q 0 C p A: 0
(n )
Evidentemente, p ii = 0 para n impar y todo i = AAA;AA;A;BBB: 6 8 .5 Muestre que en una cadena homog¶e nea de Markov con un n¶u mero ¯nito de estados la periodicidad es una propiedad de clase. 6 8 .6 Considere la matriz de probabilidades de transici¶o n 0 1 0:45 0:48 0:07 P = @ 0:5 0:70 0:25 A : 0:01 0:50 0:49 Encuentre la distribuci¶o n estacionaria ¼ j , J = 1;2;3. S o lu ci¶o n : Las probabilidades estacionarias satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ¼ 1 = 0:45¼ 1 + 0:05¼ 2 + 0:01¼ 3 ¼ 2 = 0:48¼ 1 + 0:70¼ 2 + 0:50¼ 3 ¼ 3 = 0:07¼ 1 + 0:25¼ 2 + 0:49¼ 3 ; con ¼ 1 + ¼ 2 + ¼ 3 = 1. La soluci¶o n de este sistema de ecuaciones es ¼ 1 = 0:07;
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¼ 2 = 0:62;
¼ 3 = 0:31:
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.
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X III. O P C IO N E S R E A L E S
² 6 9 . O p cio n es rea les, V a lu a ci¶o n ¯ n a n ciera d e p roy ecto s d e
in v ersi¶o n y estra teg ia s d e n eg o cio s
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C A P ¶IT U L O 69 O P C IO N E S R E A L E S , V A L U A C IO¶ N F IN A N C IE R A D E P R O Y E C T O S D E IN V E R S IO¶ N Y E S T R A T E G IA S D E N E G O C IO S C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ² ² ² ²
Opcionalidad (o °exibilidad) en las decisiones de inversi¶o n de empresas Metodolog¶³a del valor presente neto (VPN) Modi¯caci¶o n del criterio del VPN con opciones reales Similitud entre opciones ¯nancieras y reales Diferentes tipos de opciones reales Di¯cultades pr¶acticas en la valuaci¶o n de las opciones reales M¶e todos num¶e ricos para la valuaci¶o n de las opciones reales Opci¶o n americana de abandono
6 9 .1 In tro d u c c i¶o n En este cap¶³tulo, la metodolog¶³a de opciones reales se presenta como una herramienta indispensable para que los consejos de administraci¶o n de las empresas tomen decisiones sobre proyectos de inversi¶o n o estrategias de negocios cuando existe la °exibilidad (opcionalidad) de tomar en el futuro nuevas decisiones relacionadas con dichos proyectos o estrategias como pueden ser: extender, contraer, posponer, enmendar o abandonar un proyecto. La metodolog¶³a de opciones reales, en t¶e rminos generales, es la aplicaci¶o n de las t¶e cnicas de valuaci¶o n de opciones ¯nancieras a la valuaci¶o n de proyectos de inversi¶o n y estrategias de negocios cuando existe la °exibilidad de tomar, en el futuro, nuevas decisiones relacionadas con dichos proyectos y estrategias. As¶³ pues, la metodolog¶³a de opciones reales val¶ua la °exibilidad, u opcionalidad, de extender, posponer, enmendar e incluso abandonar un proyecto de inversi¶o n o estrategia de negocios, nuevo o ya existente, en una fecha futura. Avinash K. Dixit y Robert S. Pindyck, despu¶e s de publicar, en forma individual, varios art¶³culos sobre decisiones de inversi¶o n bajo incertidumbre a ¯nales de los ochenta y principios de los noventa, deciden escribir el libro intitulado \Investment under Uncertainty" editado por Princeton University Press en 1994. El libro recopila los resultados encontrados en sus investigaciones y los presenta de manera excepcionalmente did¶actica. La lectura de esta obra es obligada para contar con un panorama general sobre la teor¶³a de opciones asociadas con diversas estrategias de inversi¶o n baj o incertidumbre. Vale la pena mencionar otro texto de referencia editado por Eduardo S. Schwartz y Lenos Trigeorgis intitulado \Real Options and Investment under Uncertainty" , publicado por MIT Press. Por u¶ ltimo, es importante destacar que, en los u¶ ltimos a~n os, las aplicaciones de la metodolog¶³a de opciones reales en diversas a¶ reas de las ¯nanzas ha sido explosiva, basta revisar las revistas especializadas relacionadas, por ej emplo, con ¯nanzas corporativas y teor¶³a econ¶o mica.
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6 9 .2 V a lo r p re se n te n e to y su s lim ita c io n e s Con el criterio del valor presente neto (VPN) , un nuevo proyecto o estrategia se acepta o se rechaza hoy, si VPN> 0 o¶ VPN< 0, respectivamente, y no existe otra posibilidad. Una vez que un proyecto es aceptado con este criterio, r¶³gido y pasivo, los planes de inversi¶o n no se modi¯can, es decir, la inversi¶o n es irreversible. Por otro lado, baj o el criterio del VPN, no se puede valuar, hoy, la posibilidad de que si el entorno de negocios y el ambiente econ¶o mico son favorables dentro de cinco a~n os un proyecto o estrategia se expanda. Simplemente, porque hoy no se sabe si en el futuro se tendr¶an o no condiciones favorables para tomar esta nueva decisi¶o n. Sin embargo, se puede plantear una \opci¶o n" de expansi¶o n del proyecto o estrategia, la cual se ejercer¶a s¶o lo si se presentan dichas condiciones favorables. Esta opci¶o n, o °exibilidad, tiene un valor hoy que deber¶³a integrarse al valor est¶atico que proporciona el VPN convencional a ¯n de valuar, en forma adecuada, un proyecto o estrategia que contempla la °exibilidad de tomar nuevas decisiones en el futuro. Por lo anterior, en la metodolog¶³a de opciones reales un proyecto o estrategia con VPN< 0 podr¶³a incluso ser aceptado si existe la °exibilidad de extenderlo, posponerlo, enmendarlo, etc. En tal caso, dicha °exibilidad, u opcionalidad, de tomar en el futuro una nueva decisi¶o n tiene un valor en el presente, c. Aunque VPN< 0, si VPN+c > 0, entonces es viable extender o posponer el proyecto o la estrategia. De esta manera, la metodolog¶³a de opciones reales permite tomar decisiones intermedias entre aceptar o rechazar un proyecto de inversi¶o n o estrategia de negocios, como puede ser la decisi¶o n de posponer, sobre todo cuando existe incertidumbre en los resultados esperados. Diversos ejemplos de opciones reales, que surgen en la pr¶actica, se listan a continuaci¶o n: (i) (ii) (iii) (iv ) (v )
>Se >Se >Se >Se >Se
invierte en publicidad o no? invierte en investigaci¶o n y/o desarrollo? expande o no la producci¶o n actual? pospone un proyecto de inversi¶o n? abandona un proyecto de inversi¶o n existente?
Vale la pena, hacer la aclaraci¶o n ingenua de que no existen mercados de opciones reales. El valor presente de los °uj os esperados de un proyecto de inversi¶o n no es un activo que se compre o se venda en el mercado. Simplemente, la metodolog¶³a de opciones reales es u¶ til para valuar la °exibilidad de extender, contraer, posponer, enmendar o abandonar un proyecto subyacente de inversi¶o n.
6 9 .2 .1 M o d i¯ c a c i¶o n d e l v a lo r p re se n te p o r u n a o p c i¶o n re a l En esta secci¶o n, se ilustra el concepto de opci¶o n real y se discute c¶o mo la °exibilidad en las decisiones de inversi¶o n modi¯ca el criterio tradicional de VPN. Asimismo, se introduce el VPN modi¯cado asociado a una opci¶o n real. De ahora en adelante, por simplicidad, se har¶a referencia de manera indistinta a proyectos y estrategias. Antes de entrar de lleno en la discusi¶o n de la teor¶³a de opciones reales, el planteamiento de algunas ideas intuitivas puede ayudar al mejor entendimiento del concepto central de opci¶o n real. Un ej emplo sencillo es siempre un buen comienzo. Suponga que la empresa P-MECS planea invertir en el desarrollo de un nuevo campo petrolero en el mar a baj a profundidad, con m¶u ltiples pozos, llamado \Campo Chico" (CC) . Si se utiliza el criterio convencional del VPN para evaluar la factibilidad ¯nanciera del proyecto, la empresa tiene que estimar los precios futuros del hidrocarburo. Posteriormente, con una tasa de descuento adecuada, aj ustada por riesgo, la empresa debe calcular el valor presente de los °uj os de efectivo esperados, ventas menos costos de producci¶o n e inversi¶o n, que se generen durante la vida del proyecto, por ejemplo, N a~n os. Suponga que VPN= ¡ M (M millones de d¶o lares) . Desde el punto de vista r¶³gido del criterio del VPN, el proyecto tiene que desecharse. Algunas preguntas, sin embargo, surgen al respecto >No se omitieron algunos aspectos relevantes sobre la posible expansi¶o n del proyecto en el futuro? Por ejemplo, que tal si estudios exploratorios recientes muestran que a mayor profundidad de CC se pueden desarrollar otros campos petroleros. No obstante, el desarrollo de otros campos de mayor profundidad s¶o lo puede llevarse a cabo si la infraestructura pero sobre todo el \know how" de CC ya existen, para lo cual se requieren por lo menos N = 2 a~n os, entonces el proyecto
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de CC tiene una opci¶o n asociada, a saber, la posible expansi¶o n a otros campos dentro de N = 2 a~n os. Esta situaci¶o n proporciona un valioso elemento de opcionalidad futura. Esta opci¶o n de expansi¶o n, o mej or dicho, esta °exibilidad que considera la posible expansi¶o n, tiene un valor hoy, c, que debe ser integrado al VPN del proyecto de CC, para obtener un valor presente neto modi¯cado, VPN, dado por VPN = VPN + c:
(69:1)
Por supuesto, no se puede saber hoy, en t = 0, si esta opci¶o n de expansi¶o n se va a ej ercer o no. Todo depender¶a del precio futuro del petr¶o leo y, por lo tanto, del valor presente de los °uj os de efectivo esperados. Si el valor de la opci¶o n de expansi¶o n en el presente, c, es mayor de M , entonces se debe aceptar el proyecto subyacente CC, aunque VPN< 0. Evidentemente, hay un factor de incertidumbre asociado a la volatilidad de los precios del mercado de crudo. De esta manera, la opci¶o n de expansi¶o n se puede ver como una opci¶o n europea de compra, con volatilidad constante o estoc¶astica.
6 9 .3 S im ilitu d e n tre o p c io n e s ¯ n a n c ie ra s y re a le s Al igual que en las opciones ¯nancieras, el valor de una opci¶o n real aumenta con el tiempo de maduraci¶o n y con la volatilidad del subyacente. Esto implica que la °exibilidad de tomar nuevas decisiones, en el futuro, tiene un valor mayor cuando el horizonte de planeaci¶o n aumenta y/o cuando hay \mayor" incertidumbre sobre los resultados esperados. En el cuadro 69.1 se establece la correspondecia entre los par¶ametros de una opci¶o n ¯nanciera y los de una opci¶o n real. De esta manera, una empresa que, a partir de t, tiene la oportunidad de invertir en un proyecto subyacente hasta el tiempo T , posee una opci¶o n europea de compra para adquirir el valor presente de los °uj os de efectivo esperados, S T , a cambio del costo de inversi¶o n, K . En la fecha de vencimiento, S T tiene asociado un factor de incertidumbre, a saber, la volatilidad de los °ujos de efectivo del proyecto. Por supuesto, la opci¶o n s¶o lo ser¶a ej ercida cuando S T > K , en cuyo caso el inversionista permanece en el proyecto subyacente, en caso contrario ser¶³a conveniente abandonarlo. Con las ideas hasta ahora expuestas y con cierto abuso del lenguaje, se podr¶³a decir que mientras las opciones ¯nancieras tratan con activos ¯nancieros, las opciones reales tratan con activos reales (unidades de negocio, obras de infraestructura, etc.) generados a trav¶e s de proyectos de inversi¶o n. Par¶ametro St K r ¾ T ¡ t
Opci¶o n real Valor presente de los °uj os de efectivo esperados en t Costo de inversi¶o n en T Tasa de inter¶e s libre de riesgo Volatilidad de los °ujos de efectivo del proyecto Tiempo en que la oportunidad de invertir desaparece
Cuadro 69.1 Similitud entre las opciones ¯nancieras y reales.
6 9 .4 O p c i¶o n re a l p a ra p o sp o n e r u n p ro y e c to Suponga que una empresa tiene que decidir entre invertir una cantidad I 0 = M en un proyecto hoy, t = 0, o posponerlo hasta el pr¶oximo a~n o, t = 1. Suponga tambi¶e n que una vez hecha la decisi¶o n de inversi¶o n, ¶e sta es irreversible, lo que signi¯ca que su valor de recuperaci¶o n es cero. El costo de producci¶o n del bien es N , N > 1. Suponga ahora que el precio del bien en el mercado puede tomar, en cualquier tiempo t = 0;1;2;:::, los valores N + 1 y N ¡ 1 con probabilidades q y 1 ¡ q , respectivamente. De esta manera, el precio esperado est¶a dado por: f = q (N + 1) + (1 ¡ q ) (N ¡ 1) = 2q + N ¡ 1:
(69:2)
Suponga ahora que la primera unidad del producto es vendida en t = 0 y que el costo del capital (WACC) es ± . Como primer paso se calcula el VPN del proyecto, para ello, por simplicidad, los
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°ujos de efectivo esperados f , se descuentan con el costo del capital y se resta la inversi¶o n inicial, I 0 = M , esto es, X1 2q + N ¡ 1 VPN = ¡ I 0 + (1 + ± ) t t= 0 X1
1 (1 + ± ) t t= 0 μ ¶ ±+1 = ¡ M + (2q + N ¡ 1) : ±
= ¡ M + (2q + N ¡ 1)
(69:3)
Considere ahora la opci¶o n de posponer la inversi¶o n hasta t = 1. En este caso el valor presente neto de esta alternativa es à ! à ! X1 N + 1 X1 N ¡ 1 ¡M ¡M VPN = q max + ;0 + (1 ¡ q ) max + ;0 1+± (1 + ± ) t 1+± (1 + ± ) t t= 1 t= 1 ³ ´ 1 0 ¡ M + (N + 1) ± + 1 ± = q max @ ;0 A 1+± (69:4) ³ ´ 1 0 ¡ M + (N ¡ 1) ± + 1 ± + (1 ¡ q ) max @ ;0 A 1+± μ ¶ μ ¶ ¡M N +1 ¡M N ¡ 1 = q max + ;0 + (1 ¡ q ) max + ;0 : 1+± ± 1+± ± Observe que las sumatorias en VPN comienzan en t = 1 ya que la inversi¶o n se pospone hasta esa fecha. Si se supone que μ ¶ ± N ¡ 1< M < N + 1; (69:5) 1+± se sigue que VPN = q
μ
N +1 M ¡ ± 1+±
¶
:
Si, en t = 1, el precio aumenta a N + 1, el valor presente de los °uj os de efectivo es (N + 1) (± + 1) = ± , lo cual supera la inversi¶o n inicial M , mientras que el valor presente de los °uj os de efectivo cuando el precio disminuye a N ¡ 1 es (N ¡ 1) (± + 1) = ± , esta cantidad es menor que la inversi¶o n. Si se selecciona el valor obvio de N que es consistente con (69.5) , N =M se tiene que VPN = q
μ
μ
± 1+±
¶
;
N +1 M ¡ ± 1+±
¶
=
q : ±
Por otro lado, de (69.3) , se obtiene VPN = (2q ¡ 1) Cuando 0 < q <
1 2
μ
±+1 ±
¶
:
, se tiene que VPN =
q > 0 ±
y VPN < 0:
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Baj o el criterio tradicional del VPN, el proyecto tiene que ser rechazado. Sin embargo, la opci¶o n de posponer la inversi¶o n hasta t = 1 tiene un valor positivo. Observe tambi¶e n que cuando q = 12 , se tiene que VPN= 0 y VPN = VPN + c donde c = 1= 2± es el valor actual, de la opci¶o n real de posponer la inversi¶o n hasta t = 1, lo cual est¶a de acuerdo con (69.1) .
6 9 .5 D ife re n te s tip o s d e o p c io n e s re a le s Considere un movimiento Browniano (W t ) t2 [0 ;T ] de¯nido sobre un espacio ¯jo de probabilidad equipado con su ¯ltraci¶o n aumentada, (o;F ;(F t ) t2 [0 ;T ];IP) . Se supone que el valor presente de los °ujos de efectivo esperados en t, S t , es conducido por dS t = ¹ (S t ;t) dt + ¾ (S t ;t) dW t ;
(69:6)
donde ¹ (S t ;t) y ¾ (S t ;t) > 0 son funciones conocidas que se especi¯car¶an posteriormente.
6 9 .5 .1 O p c i¶o n re a l d e e x p a n si¶o n Una empresa podr¶³a expandir el valor presente de los °uj os de efectivo esperados de un proyecto en una proporci¶o n ® . Por ej emplo, mediante el incremento en el nivel de ventas futuras, precios, capacidad de la producci¶o n o base de clientes, para lo cual requiere invertir la cantidad K 0 en el tiempo T . Esta posibilidad estrat¶e gica tiene una opci¶o n asociada con el proyecto subyacente existente. Si (1 + ® ) S T ¡ K 0 es el valor presente neto aumentado en la proporci¶o n ® menos el costo de la inversi¶o n adicional K 0 al tiempo T , el valor intr¶³nseco de esta opci¶o n est¶a dado por c e (S T ;T ; ® ;K 0) = max ((1 + ® ) S T ¡ K 0;S T ) =S T + max (® S T ¡ K 0;0) =S T + ® max (S T ¡ K ;0)
(69:7)
=S T + ® c(S T ;T ; K )
donde K = K 0= ® y c(S T ;T ; K ) es el valor intr¶³nseco de una opci¶o n europea de compra. En particular, si el valor presente de los °uj os de efectivo esperados es conducido por un movimiento geom¶e trico Browniano \neutral al riesgo" , dS t = r S t dt + ¾ S t dW t ;
(69:8)
donde r es la tasa de inter¶e s libre de riesgo y ¾ > 0 es la volatilidad instant¶anea, se tiene que el valor de la opci¶o n real de expansi¶o n, en t, est¶a dado por c e (S t ;t) =e ¡
r (T ¡ t)
=e ¡
r (T ¡
=e ¡
r (T ¡
E [S T + ® max(S T ¡ K ;0) j F t ] Z1 t) (S T + ® max(S T ¡ K ;0) ) f S T jS t (s jS t ) ds ¡ 1 Z1 t) E[S T j S t ] + ® e ¡ r (T ¡ t) (s ¡ K ) f S T jS t (s jS t ) ds
(69:9)
K
=S t + ® c B S (S t ;t) ; donde
f S T jS t (s jS t ) = p
8 > <
1 exp ¡ > 2¼ (T ¡ t) ¾ s :
1 2
0
@
ln
³ ´ 12 9 > s ¡ (r ¡ 1 ¾ 2 ) (T ¡ t) = St 2 A p ; > ¾ T ¡ t ;
c B S (S t ;t) = S t ©(d 1 ) ¡ K e ¡
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r (T ¡ t)
©(d 2 ) ;
(69:10)
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©(d ) =
Zd
¡ 1
p
1 ¡ e 2¼
1 2
²2
d²;
³ ´ ln SK t + (r + 12 ¾ 2 ) (T ¡ t) p d1 = ¾ T ¡ t y d2 = d1 ¡ ¾
p
T ¡ t:
(69:12)
(69:13)
Es decir, c B S (S t ;t) es la f¶o rmula de Black-Scholes para valuar una opci¶o n europea de compra. Es importante destacar que los °ujos de efectivo esperados no son un activo que se compre o venda en el mercado, lo que genera una situaci¶o n de mercados incompletos. Por lo tanto, los resultados que arroj a la f¶o rmula de Black-Scholes hay que tomarlos con cierta reserva.
6 9 .5 .2 O p c i¶o n r e a l d e c o n tra c c i¶o n Cuando una empresa introduce al mercado un nuevo producto (bien o servicio) , usualmente tiene un plan de inversi¶o n en dos etapas. En la primera etapa, la empresa invierte una cantidad inicial, generalmente peque~n a, para conducir estudios de mercado. La inversi¶o n subsecuente depende de los resultados de dichos estudios. Si, en la segunda etapa, el producto no presenta la aceptaci¶o n esperada, la empresa puede ej ercer la opci¶o n real de contraer la producci¶o n con el recorte de inversiones futuras. Sea M el costo de la inversi¶o n inicial en t. Si el producto no tiene la aceptaci¶o n esperada, la empresa puede invertir en la segunda etapa una cantidad m¶as peque¹n a N , N < M , lo que traer¶a como consecuencia una contracci¶o n, en una proporci¶o n ¯ , del valor presente de los °uj os de efectivo esperados del proyecto subyacente. El valor intr¶³nseco de esta opci¶o n de contracci¶o n satisface c c (S T ;T ; ¯ ;K ;N ) = max ((1 ¡ ¯ ) S T ¡ N ;S T ¡ K ) =S T + max (¡ (¯ S T + N ) ;¡ K )
(69:14)
=S T ¡ min (¯ S T + N ;K ) ; donde K = e r (T ¡ t) M . Es decir, se invierte K o se invierte N ; esto u¶ ltimo trae como consecuencia una contracci¶o n de los °uj os esperados.
6 9 .5 .3 O p c i¶o n r e a l d e c ie rr e te m p o ra l Suponga que el mercado para cierto producto depende del clima, por ejemplo, un ventilador o una chamarra. El costo variable anual, X T , de la empresa puede ser pensado como el precio de ej ercicio de una opci¶o n real de cierre temporal en T . Se supone que el costo de \cierre" es C , el cual es una proporci¶o n ¯ja, ± , del valor presente de los °uj os de efectivo esperados del proyecto subyacente, S T , es decir C = ± S T . Asimismo, suponga que esta opci¶o n expira en T . Si los °uj os de efectivo previstos son menores que los costos variables, entonces, las operaciones se suspenden, lo cual genera un ahorro en los costos variables. En este caso, el valor intr¶³nseco de la opci¶o n es c x (S T ;T ; ±;K ) =max(S T ¡ X =max(S T ¡ X
T T
=S T + max(¡ X
=S T ¡ min(X
T
¡ a ;S T ¡ C ¡ a )
¡ a ;(1 ¡ ± ) S T ¡ a ) T
;¡ ± S T ) ¡ a
(69:15)
;± S T ) ¡ a ;
donde a representa los costos ¯j os.
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6 9 .5 .4 O p c i¶o n r e a l d e p e r m a n e n c ia En proyectos de inversi¶o n de etapas m¶u ltiples, se pasa de una etapa a la siguiente si el bene¯cio esperado es positivo. En caso contrario, no se invierte en la siguiente etapa ni, probablemente, en todas las dem¶as. De esta manera, en cada etapa en que se invierte tambi¶e n se adquiere una ¶ opci¶o n para permanecer en el proyecto en la pr¶o xima etapa. Esta es una opci¶o n europea (de compra) para permanecer en el proyecto si el valor presente de los °uj os de efectivo esperados del proyecto subyacente, S T , es mayor que el costo de inversi¶o n, K . El valor intr¶³nseco es c p (S T ;T ; K ) = max(S T ¡ K ;0) :
(69:16)
Si la din¶amica del valor presente de los °uj os de efectivo esperados es conducida por la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica (69.8) , se tiene que c p (S t ;t) = c B S (S t ;t) .
6 9 .5 .5 O p c i¶o n r e a l d e a b a n d o n o El valor de mercado de los t¶³tulos (de capital y deuda) , V T , de una empresa puede, en algunos casos, exceder el valor presente de los °ujos de efectivo esperados en T , S T . En este caso, surge la opci¶o n de vender la empresa ya que su valor de mercado excede el valor presente de los °uj os de efectivo esperados. Como segundo ej emplo suponga que una empresa se encuentra operando, con p¶e rdidas, en un ambiente de recesi¶o n econ¶o mica profunda y que podr¶³a tomar la decisi¶o n de cierre total, en T , si el valor presente de los °uj os de efectivo esperados en S T es menor que cierto valor de recuperaci¶o n V T . En consecuencia, el valor intr¶³nseco de esta opci¶o n real es c a (S T ;T ) = max(S T ;V T ) :
(69:17)
Si V T > S T la opci¶o n se ej erce. Si V T es constante, por ej emplo, V t = K , y la opci¶o n s¶o lo puede ser ejercida en T , entonces c a (S T ;T ) = max(S T ;K ) = max(S T ¡ K ;0) + K : En este caso, c a (S t ;t) =
Z1 0
[max(s ¡ K ;0) + K ] f S T jS t (s jS t ) = c B S (S t ;t) + K ;
donde c B S (S t ;t) es la f¶o rmula de Black-Scholes para valuar una opci¶o n europea de compra, dada en (69.11) . El caso realmente interesante es cuando la opci¶o n real de abandono es del tipo americana. Sin embargo, esta situaci¶o n ser¶a discutida en detalle hasta la secci¶o n 69.8.
6 9 .5 .6 O p c i¶o n r e a l d e c a m b io te c n o l¶o g ic o Las opciones de cambio surgen cuando una empresa puede producir un mismo bien o servicio con diferentes conj untos de insumos. Se supone que el tiempo y costo de cambiar de un conj unto de insumos a otro no representan obst¶aculos para la empresa. Por ejemplo, si una empresa produce electricidad puede cambiar del uso de carb¶o n a combust¶o leo. Es importante destacar que estas opciones de cambio son reversibles, es decir, se puede regresar del combust¶o leo al carb¶o n. El valor intr¶³nseco de esta opci¶o n real de cambio es
c s (S T ;T ) = max(S 2 T ¡ S 1 T ¡ K ;0) ;
(69:18)
donde S 1 T es el valor presente de los °uj os de efectivo esperados en T en la forma de producir actual, S 2 T es el valor presente de los °uj os de efectivo esperados en T en el modo alternativo de producir, y K es el costo del cambio. Si S 2 T > S 1 T + K , se ej erce la opci¶o n de cambio.
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6 9 .5 .7 O p c io n e s re a le s c o m p u e sta s (O p c io n e s re a le s so b re o p c io n e s re a le s) Una opci¶o n compuesta se re¯ere a una opci¶o n cuyo subyacente es otra opci¶o n. La composici¶o n de opciones reales puede hacerse sobre un mismo proyecto o sobre otros proyectos relacionados. En el primer caso, suponga, por ejemplo, que se realiza una inversi¶o n inicial para un proyecto de investigaci¶o n y desarrollo (R&D) . Esta inversi¶o n permite comenzar el proceso de investigaci¶o n. Si el proyecto tiene ¶e xito en el futuro, entonces se extiende la inversi¶o n en investigaci¶o n con la compra de equipo adicional, la contrataci¶o n de m¶as investigadores, la adquisici¶o n de m¶as y ¶ mej ores bases electr¶o nicas de datos, etc. Esta es una opci¶o n compuesta donde la decisi¶o n para extender la investigaci¶o n en el futuro depende de los resultados de la investigaci¶o n inicial. Por otra parte, con respecto al caso de opciones reales sobre otros proyectos relacionados, considere, por ej emplo, un proyecto en el que se hace una inversi¶o n inicial en investigaci¶o n y desarrollo de f¶armacos, si el proyecto tiene ¶e xito, se toma entonces la decisi¶o n para iniciar un proyecto de ¶ publicidad a ¯n de introducir el producto en el mercado. Esta es otra opci¶o n compuesta donde la decisi¶o n futura de iniciar un proyecto publicitario para introducir un f¶armaco en el mercado depende de los resultados de la investigaci¶o n inicial. Como se ha mencionado anteriormente, una opci¶o n compuesta es simplemente una opci¶o n sobre una opci¶o n. El pago por ej ercer una opci¶o n compuesta involucra el valor de otra opci¶o n. Una opci¶o n compuesta tiene, en consecuencia, dos fechas de vencimiento y dos precios de ejercicio. Considere, por ej emplo, el caso de una opci¶o n europea de compra sobre una opci¶o n europea de compra. En la primera fecha de vencimiento, T 1 , el tenedor de la opci¶o n tiene el derecho de comprar una nueva opci¶o n de compra a un precio de ejercicio K 1 . Asimismo, suponga que esta nueva opci¶o n de compra tiene fecha de vencimiento T 2 y precio de ejercicio K 2 . Sea c(S ¿ ;¿ ; K 2 ) el valor de una opci¶o n de compra con tiempo para el vencimiento ¿ y precio de ejercicio K 2 y S ¿ el valor presente de los °ujos de efectivo esperados. Denote mediante c ca ll(S 0 ) el valor de la opci¶o n compuesta en el momento actual, t = 0. En la primera fecha de vencimiento, T 1 , el valor intr¶³nseco de la opci¶o n real compuesta est¶a dado por: c ca ll(S T 1 ) = max(K 1 ;c(S T 1 ;T 2 ¡ T 1 ; K 2 ) ) : Sea S
¤
donde
el precio cr¶³tico del activo tal que c B S (S ¤ ;T 2 ; K 2 ) = K 1 . Es decir, S ³ p ´ K 1 = S ¤ © (± ) ¡ K 2 © ± ¡ ¾ T 2 ;
(69:19) ¤
es tal que (69:20)
³ ¤´ ¡ ¢ ln KS + r + 21 ¾ 2 T 2 2 p ±= : ¾ T2
De esta manera, cuando S ¿ > S ¤ , se tiene que c(S ¿ ;T 2 ¡ T 1 ; K 2 ) > K 1 y, consecuentemente, el tenedor ej ercer¶a la opci¶o n de compra en T 1 . El valor de la opci¶o n compuesta en el momento actual depende de la probabilidad conj unta de que el precio del activo sea mayor que S ¤ en T 1 y mayor que K 2 en T 2 . Bajo el supuesto de que el valor presente de los °ujos de efectivo esperados del proyecto subyacente es log-normal, la f¶o rmula de valuaci¶o n para esta opci¶o n real compuesta satisface ³ ´ p p c ca ll(S 0 ) =S 0 © 2 (d ;b; ½ ) ¡ K 2 e ¡ r T 2 © 2 d ¡ ¾ T 1 ;b ¡ ¾ T 2 ; ½ ³ p ´ ¡ K 1 e¡ rT 1 © d ¡ ¾ T 1 ; donde
³ ´ ¡ ¢ ln SS ¤t + r + 21 ¾ 2 T 1 p d = ; ¾ T1 ³ ´ ¡ ¢ ln KS t + r + 21 ¾ 2 T 2 2 p b= ¾ T2
y ½ =
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r
T1 : T2
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6 9 . O p cio n es rea les
En las f¶o rmulas anteriores, r es la tasa de inter¶e s libre de riesgo, ¾ es la volatilidad instant¶anea, ©(x ) es la funci¶o n de distribuci¶o n acumulada normal est¶andar univariada, y © 2 (x ;y ; ½ ) es la funci¶o n de distribuci¶o n acumulada normal est¶andar bivariada con coe¯ciente de correlaci¶o n ½ . El primer t¶e rmino de la f¶o rmula de valuaci¶o n del c ca ll proporciona el valor, neutral al riesgo, del activo subyacente condicionado a que S ¿ > S ¤ en T 1 y S > K 2 en T 2 , el segundo t¶e rmino, de c ca ll, proporciona el pago esperado de ej ercer la opci¶o n en T 2 y el u¶ ltimo t¶e rmino es el pago esperado de ej ercerla en T 1 . Conviene recordar que la funci¶o n de distribuci¶o n acumulada normal est¶andar bivariada se de¯ne como μ 2 ¶ Zx Zy 1 u ¡ 2½ u v + v 2 p © 2 (x ;y ; ½ ) = exp ¡ du dv ; 2(1 ¡ ½ 2 ) 2¼ 1 ¡ ½ 2 1 1 la cual puede ser aproximada mediante el siguiente procedimiento con una precisi¶o n de hasta seis decimales. Para la distribuci¶o n acumulada de una variable normal est¶andar se utiliza la f¶o rmula de aproximaci¶o n 8 © ª£ ¤ < 1 ¡ p 1 exp ¡ x 2 = 2 a 1 k + a 2 k 2 + a 3 k 3 + a 4 k 4 + a 5 k 5 ; x ¸ 0; 2¼ ©(x ) = : 1 ¡ ©(¡ x ) ; x < 0; j unto con k = 1= (1 + 0:2316419x ) ; a 3 = 1:781477937;
a 1 = 0:319381530; a 4 = ¡ 1:821255978;
a 2 = ¡ 0:356563782; a 5 = 1:330274429:
Para el caso de la distribuci¶o n acumulada normal bivariada est¶andar una f¶o rmula de aproximaci¶o n de Drezner (1978) se obtiene como sigue. Se de¯ne primero p 5 5 1 ¡ ½2 X X H (y ;z ; ½ ) = º i º j G (w i ;w j ) ; ¼ i= 1 j = 1 donde G (w i ;w j ) = exp f y 1 (2w i ¡ y 1 ) + z 1 (2w j ¡ z 1 ) + 2½ (w i ¡ y 1 ) (w j ¡ z 1 ) g ; j unto con y1 = y=
p
2(1 ¡ ½ 2 ) ;
z1 = z =
p
2(1 ¡ ½ 2 ) ;
º 1 = 0:24840615;
w
1
= 0:10024215;
º 2 = 0:39233107;
w
2
= 0:48281397;
º 3 = 0:21141819;
w
3
= 1:0609498;
º 4 = 0:033246660;
w
4
= 1:7797294;
º 5 = 0:00082485334;
w
5
= 2:6697604:
Si el producto de y ;z y ½ no es positivo, entonces se aproxima © 2 (y ;z ; ½ ) utilizando las siguientes reglas: a) b) c) d)
Si Si Si Si
y y y y
· · ¸ ¸
0;z 0;z 0;z 0;z
· ¸ · ¸
0 0 0 0
y y y y
½ ½ ½ ½
· ¸ ¸ ·
0, 0, 0, 0,
entonces entonces entonces entonces
© 2 (y ;z ; ½ ) © 2 (y ;z ; ½ ) © 2 (y ;z ; ½ ) © 2 (y ;z ; ½ )
= = = =
H (y ;z ; ½ ) , ©(y ) ¡ H (y ;¡ z ; ¡ ½ ) , ©(z ) ¡ H (¡ y ;z ; ¡ ½ ) , ©(y ) + ©(z ) ¡ 1 + H (¡ y ;¡ z ; ½ ) .
En los casos en que el producto de y ;z y ½ es positivo, entonces se utiliza ¹ 2 (y ;0; ½ 1 ) + © ¹ 2 (z ;0; ½ 2 ) ¡ L ; © 2 (y ;z ; ½ ) = © ¹ 2 (y ;0; ½ 1 ) y © ¹ 2 (z ;0; ½ 2 ) se calculan con las reglas establecidas cuando el producto de y ;z donde © y ½ no es positivo, y (½ y ¡ z ) sgn(y ) ½1 = p ; y 2 ¡ 2y z ½ + z 2
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(½ z ¡ y ) sgn(z ) ½2 = p ; y 2 ¡ 2y z ½ + z 2
L =
1 ¡ sgn(y ) sgn(z ) : 4
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6 9 . O p cio n es rea les
6 9 .6 V a lu a c i¶o n d e o p c io n e s re a le s b a jo e l e n fo q u e d e e c u a c io n e s d ife re n c ia le s p a rc ia le s Sea (W t ) t2 [0 ;T ] un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯jo de probabilidad equipado con su ¯ltraci¶o n aumentada, ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;T ];IP) . Sea c = c(S t ;t) el valor de la opci¶o n real. Si el valor presente de los °uj os de efectivo esperados en t, S t , es conducido por el proceso dS t = ¹ (S t ;t) dt + ¾ (S t ;t) dW t ;
(69:21)
donde ¹ (S t ;t) , ¾ (S t ;t) > 0 son funciones conocidas, entonces, baj o condiciones de equilibrio (i.e., no existen oportunidades de arbitraj e) , c satisface la siguiente ecuaci¶o n diferencial parcial determinista de segundo orden: @c + @t
1 2
@ 2c @c ¾ (S t ;t) 2 + S t r ¡ r c = 0; @ S t2 @St
(69:22)
suj eto a c(0;t) = 0
y
c(S t ;T ) = h (S t ) ;
donde r es la tasa de inter¶e s libre de riesgo y h (S t ) es el valor intr¶³nseco de la opci¶o n real, el cual puede ser cualquiera de los casos examinados en la secci¶o n 69.5. Es importante destacar, que (69.22) s¶o lo cuenta con soluciones anal¶³ticas para ciertas funciones ¹ (S t ;t) , ¾ (S t ;t) y h (S t ) . En general, se requiere de m¶e todos num¶e ricos para obtener soluciones aproximadas de la ecuaci¶o n diferencial parcial (69.22) .
6 9 .7 V a lu a c i¶o n d e o p c io n e s re a le s c o n e l m o d e lo b in o m ia l Los ¶arboles binomiales son muy u¶ tiles en la valuaci¶o n de opciones reales. La mayor¶³a de las opciones reales son de tipo americano, siendo la alternativa de a¶ rboles binomiales muy conveniente para su valuaci¶o n. El m¶e todo binomial es muy popular porque en cada periodo tanto el valor presente de los °uj os de efectivo esperados del proyecto subyacente, como los correspondientes valores de la opci¶o n real pueden calcularse, lo que permite tener alguna idea sobre las decisiones que se deben tomar en el futuro. Asimismo, los ¶arboles binomiales permiten la inclusi¶o n de costos de transacci¶o n (impuestos y comisiones) de manera m¶as sencilla que el supuesto de lognormalidad del subyacente. En el modelo binomial, los posibles valores del valor presente de los °ujos de efectivo esperados son calculados en forma recursiva \hacia adelante" comenzando con el valor presente de los °ujos de efectivo esperados de la primera etapa. Los posibles valores de la opci¶o n real son calculados en forma recursiva \hacia atr¶as" comenzando con los posibles valores de la opci¶o n en la u¶ ltima etapa.
6 9 .7 .1 E l m o d e lo b in o m ia l d e u n p e rio d o y v a lu a c i¶o n d e o p c io n e s re a le s Sea S t el valor presente de los °uj os de efectivo esperados en t. Suponga que S t puede tomar dos posibles valores u S t y d S t (0 < d < 1 < u ) con probabilidades, neutrales al riesgo, q y (1 ¡ q ) , respectivamente. Se supone que las cantidades u y d no se modi¯can al transcurrir el tiempo. Con base en los par¶ametros anteriores, la Gr¶a¯ca 69.1 muestra la posible din¶amica de S t . uSt q
% St &
1¡ q
dS t Gr¶a¯ca 69.1 Expansi¶o n del a¶ rbol binomial de una etapa para S t . Las cantidades u y d se pueden relacionar con un par¶ametro de volatilidad ¾ y la longitud del periodo en cuesti¶o n, T ¡ t, de la siguiente forma u = e¾
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p
T¡ t
y
d =
1 : u
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Asimismo, si c t es el valor de la opci¶o n real en t, y los valores que ¶e sta puede tomar en T cuando S t aumenta o disminuye son c u T y c d T , respectivamente, la posible din¶amica del par (S t ;c t ) se ilustra en la Gr¶a¯ca 69.2.
(u S t ;c u T ) q
%
(S t ;c t )
&
1¡ q
(d S t ;c d T ) Gr¶a¯ca 69.2 Expansi¶o n del ¶arbol binomial de una etapa para (S t ;c t ) : En un mundo neutral al riesgo, se tiene que ct = e ¡
r (T ¡ t)
(¡ ¢u S t + c u T )
(69:23)
ct = e ¡
r (T ¡ t)
(¡ ¢d S t + c d T ) ;
(69:24)
y
entonces al igualar (69.23) con (69.24) , se cumple que: ¡ ¢u S t + c u T = ¡ ¢d S t + c d T ; lo cual implica ¢=
cu T ¡ cd T : S t (u ¡ d )
(69:25)
Si se sustituye (69.25) en (69.23) , se sigue que
ct =
μ μ r (T ¡ t) ¶ μ e ¡ d u ¡ e r (T ¡ cu T + cdT u ¡ d u ¡ d
t)
¶¶
e¡
r (T ¡ t)
:
(69:26)
Si ahora se denota q=
e r (T ¡ t) ¡ d ; u ¡ d
(69:27)
se obtiene que 1¡ q =
u ¡ e r (T ¡ u ¡ d
t)
(69:28)
:
En este caso, la ecuaci¶o n (69.26) se transforma en c t = (q c u T + (1 ¡ q ) c d T ) e ¡
r (T ¡ t)
:
(69:29)
Claramente, q > 0. Sin embargo, puede darse el caso de que q > 1, dependiendo de los valores de u , d , r y T ¡ t, en cuyo caso 1 ¡ q < 0. Las cantidades q y 1 ¡ q reciben el nombre probabilidades neutrales al riesgo, pero en realidad son precios de estado.
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6 9 .7 .2 E l m o d e lo b in o m ia l d e d o s p e rio d o s y v a lu a c i¶o n d e o p c io n e s re a le s El modelo binomial se puede extender a dos periodos, cada uno de longitud (T ¡ t) = 2. Se supone que se desea encontrar el valor de la opci¶o n real en t. En este caso las posibles trayectorias de S t se ilustran en la Gr¶a¯ca 69.3. u 2S t q
% uSt q
%
&
1¡ q
St
udS t q
&
%
1¡ q
dS t &
1¡ q
d2S t
Gr¶a¯ca 69.3 Expansi¶o n del ¶arbol binomial de dos periodos para S t . Despu¶e s de repetir el procedimiento hecho en la secci¶o n 69.7.1 del presente cap¶³tulo para cada una de las ramas del segundo periodo, se obtienen dos ecuaciones similares a (69.29) dadas por c u = (q c u u + (1 ¡ q ) c d u ) e ¡
r (T ¡ t)= 2
(69:30)
y c d = (q c d u + (1 ¡ q ) c d d ) e ¡
r (T ¡ t)= 2
:
(69:31)
En la gr¶a¯ca 69.4 se ilustra una de las ramas del segundo ¶arbol. Esta rama es una replica de la primera, excepto que aparece una u de m¶as en todos los nodos, ya sea como sub¶³ndice o como variable. En tal caso, se aplica completamente la metodolog¶³a aplicada al primer a¶ rbol, j usto como se hizo en las ecuaciones (69.30) y (69.31) .
q
(u S t ;c u )
¡2 ¢ u S t ;c u u
% &
1¡ q
(d u S t ;c d u ) Gr¶a¯ca 69.4 Rama superior del segundo periodo del ¶arbol binomial.
Al sustituir las ecuaciones (69.30) y (69.31) en el valor de la opci¶o n real en t, dado en (69.27) , se obtiene la siguiente expresi¶o n ¡ ¢ c t = q 2 c u u + 2q (1 ¡ q ) c d u + (1 ¡ q ) 2 c d d e ¡ r (T ¡ t)= 2 : (69:32) Por u¶ ltimo, observe que el modelo se puede extender a n periodos de tal forma que Xn μn ¶ c t = e ¡ r (T ¡ t)= n q k (1 ¡ q ) n ¡ k c u k d n ¡ k : k k= 1
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6 9 .8 A p lic a c i¶o n d e l m o d e lo b in o m ia l e n la v a lu a c i¶o n d e u n a o p c i¶o n r e a l a m e ric a n a d e a b a n d o n o Suponga que una empresa se encuentra operando, con p¶e rdidas, en un ambiente de recesi¶o n econ¶o mica profunda y que podr¶³a tomar la decisi¶o n de cierre total si el ambiente de negocios se sigue deteriorando. Considere la opci¶o n de cerrar la empresa en cualquier momento durante los pr¶o ximos T = 3 a~n os a cambio de un valor de recuperaci¶o n ¯j o, V . En este caso, la opci¶o n ser¶a ejercida si S t < V . La inversi¶o n total, en t = 0 es I 0 = M (millones de pesos) y el valor de recuperaci¶o n es V = 23 M . Si S 0 = 90, u = 2, d = u ¡ 1 = 12 , r = ln( 32 ) ¼ 0:17 y T = 3 a~n os, entonces
q=
erT =3 ¡ d = u ¡ d
3 2
¡
1 2
3 2
=
2 3
y
1 ¡ q = 31 :
Los posibles valores que S t puede tomar en el futuro se muestran en la Gr¶a¯ca 69.5. Para calcular los posibles valores de la opci¶o n en el futuro, suponga, por ej emplo, que M = 90, entonces V = 60 y en la u¶ ltima etapa se tiene que ¡ ¢ c u k d 3 ¡ k = max u k d 3 ¡ k S 0 ; 32 M ;
k = 1;2;3:
As¶³, c u u u = max(720;60) = 720;
c u d d = max(45;60) = 60
c u u d = max(180;60) = 180;
y
c d d d = max(11:5;60) = 60:
Para la segunda etapa se tiene que ³ ´ c u u = max e ¡ r T = 3 [q c u u u + (1 ¡ q ) c u u d ] ;60 ¡ ¢ = max 49 c u u u + 29 c u u d ;60 = 360 y
³ ´ c u = max e ¡ r T = 3 [q c u u + (1 ¡ q ) c u d ] ;60 ¡ ¢ = max 49 c u u + 29 c u d ;60 = 93:3:
Los posibles valores de la opci¶o n de abandono en el futuro, calculados en forma recursiva \hacia atr¶as" comenzando con la u¶ ltima etapa, se muestran en la Gr¶a¯ca 69.6. Como consecuencia de los resultados obtenidos, el proyecto tiene que ser abandonado en los eventos fd g;
f d ;d g ;
f u ;d ;d g
y
f d ;d ;d g :
Observe que siempre que el valor presente de los °uj os de efectivo esperados del proyecto subyacente desciende dos veces consecutivas, la opci¶o n de abandono debe ejercerse. Asimismo, el valor presente modi¯cado de la opci¶o n real de abandono est¶a dado por la diferencia entre la opci¶o n real en t = 0 y la inversi¶o n inicial. Es decir, VPN = c 0 ¡ I 0 = 93:65 ¡ 90 = 3:65:
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6 9 . O p cio n es rea les
u 3 S 0 = 720 q
%
u 2 S 0 = 360 q
%
&
1¡ q
u 2 d S 0 = 180
u S 0 = 180 q
q
%
&
%
1¡ q
S 0 = 90
u d S 0 = 90 q
&
%
1¡ q
&
1¡ q
u d 2 S 0 = 45
d S 0 = 45 q
&
%
1¡ q
d 2 S 0 = 22:5 &
1¡ q
d 3 S 0 = 11:25
Gr¶a¯ca 69.5 Expansi¶o n del ¶arbol binomial de tres periodos para S t .
c u u u = 720 q
%
c u u = 360 q
%
&
1¡ q
c u = 180:73
c u u d = 180
q
%
q
&
1¡ q
c 0 = 93:65
% c u d = 93:3
q
&
1¡ q
%
&
1¡ q
c d = 60
c u d d = 60 q
&
1¡ q
% c d d = 60 &
1¡ q
c d d d = 60 Gr¶a¯ca 69.6 Expansi¶o n del ¶arbol binomial de tres periodos para c.
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6 9 .9 V a lu a c i¶o n c o n o p c io n e s re a le s d e u n p ro y e c to c a r re te ro d e in v e rsi¶o n En el esquema tradicional del VPN, la valuaci¶o n de un proyecto carretero de inversi¶o n requiere de estimar el aforo vehicular en diferentes fechas futuras y calcular los ingresos. Posteriormente, los costos de mantenimiento y operaci¶o n se restan de dichos ingresos para generar los °uj os de efectivo futuros. Por u¶ ltimo, dichos °ujos se descuentan a una tasa adecuada y se establece un monto de inversi¶o n inicial para la obra en cuesti¶o n. A continuaci¶o n se utiliza la metodolog¶³a de opciones reales para determinar cu¶anto tiempo se debe permanecer en un proyecto carretero de inversi¶o n, de tal manera que el valor presente neto modi¯cado del proyecto sea positivo, VPN > 0, cuando la inversi¶o n inicial de la obra es I 0 . Suponga que el valor presente de los °uj os de efectivo anuales esperados (valor presente de los ingresos esperados anuales por peaj e del aforo vehicular) es S 0 = $25;129;565:22 d¶o lares y la volatilidad del aforo pron¶o sticado es de 8.7685%. En t = 0, el valor presente de los costos totales de mantenimiento y operaci¶o n tienen una estimaci¶o n de K 0 = $27;767;571:00 d¶o lares. En la primera columna se calcula el valor futuro de dichos costos con la estructura de plazos de la segunda columna, para los a~n os subsecuentes. La cuarta columna muestra los valores de las opciones reales de permanencia con la metodolog¶³a de Black-Scholes (i.e., S T se supone log-normal) para vencimientos anuales consecutivos T = 1;2;3;:::, con los par¶ametros S 0 = $25;129;565:22, ¾ = 0:087685, K T (precio de ej ercicio) y R (0;T ) (tasa libre de riesgo) . Si se supone una inversi¶o n inicial de la obra de I 0 = $16;300;000:00 d¶o lares, se requiere permanecer en el proyecto, por lo menos, 30 a~n os, ya que en T = 30 es la primera vez que se obtiene que VPN = c(0;30) ¡ I 0 > 0. K T 27,864,458.93 27,961,676.04 28,059,223.41 28,157,102.14 28,255,313.32 28,353,858.07 28,452,737.47 28,551,952.65 28,651,504.71 28,751,394.77 28,851,623.95 28,952,193.36 29,053,104.15 29,154,357.42 29,255,954.33 29,357,896.01 29,460,183.59 29,562,818.22 29,665,801.06 29,769,133.25 29,872,815.94 29,976,850.31 30,081,237.50 30,185,978.70 30,291,075.06 30,396,527.77 30,502,337.99 30,608,506.93 30,715,035.75 30,821,925.65
R (0;T ) (%) 4.1798 4.1796 4.1794 4.1792 4.1790 4.1789 4.1787 4.1785 4.1783 4.1781 4.1779 4.1777 4.1775 4.1773 4.1771 4.1770 4.1768 4.1766 4.1764 4.1762 4.1760 4.1758 4.1756 4.1754 4.1752 4.1751 4.1749 4.1747 4.1745 4.1743
T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
c(0;T ) 323,679.52 983,986.36 1,705,596.91 2,442,246.08 3,178,450.67 3,906,814.08 4,623,135.65 5,324,805.56 6,010,135.87 6,678,028.95 7,327,791.19 7,959,018.23 8,571,519.24 9,165,264.24 9,740,345.99 10,296,951.65 10,835.341.06 11,355,829.93 11,858,776.62 12,344,571.56 12,813,628.80 13,266,379.19 13,703,264.82 14,124,734.53 14,531,240.25 14,923,233.98 15,301,165.44 15,665,480.03 16,016,617.30 16,355,009.66
Cuadro 69.2 Par¶ametros y valor de la opci¶o n real de permanencia.
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6 9 . O p cio n es rea les
6 9 .1 0 C o m e n ta rio s y c o n c lu sio n e s El resumen anterior de opciones reales de ninguna manera pretende ser exhaustivo. Ejemplos de opciones reales tambi¶e n pueden surgir en fusiones y compras de empresas. Asimismo, cuando se llevan a cabo acuerdos entre empresas, ambas partes poseen una opci¶o n de abandono del acuerdo o de extensi¶o n del mismo. Las grandes corporaciones (multinacionales) poseen las opciones para autorizar franquicias o patentes. Las empresas que emiten deuda con baj a calidad crediticia tienen la opci¶o n de incumplir, parcial o totalmente, con sus obligaciones de pago. Como puede observarse, para poder valuar en forma adecuada opciones reales es necesario tener un buen dominio de tema de opciones ¯nancieras, ya sea simples (\vanilla" ) o ex¶o ticas, as¶³ como de ¯nanzas corporativas.
6 9 .1 1 B ib lio g ra f¶³a re c o m e n d a d a Amram, M. and N. Kulatilaka (1999) . Real Options Managing Strategic Investment in an Uncertain World, Harvard Business School Press, Boston Massachusetts. Boer, F. P. (2002) . The Real Options, Solution. Finding Total Value in a High-Risk World. John Wiley & Sons, Inc. Copeland, T. and V. Antikarov (2003) . Real Options, A Practitioner's Guide. Thomson Texere. Cuthbertson, and D. Nitzsche (2001) . Financial Engineering, Derivatives and Risk Management. John Wiley & Sons, Inc. Dixit, A. K, and R. S. Pindyck. (1994) . Investment under Uncertainty. Princeton University Press, Princeton NJ. Drezner, Z. (1978) . \Computations of the Bivariate Normal Integral" . M a th em a tics o f C o m p u ta tio n , Vol. 32. pp. 277-279. Mun, J. (2002) . Real Options Analysis, Tools and Techniques for Valuing Strategic Investments and Decisions. John Wiley & Sons, Inc. Schwartz, E. S. and L. Trigeorgis (2001) . Real Options and Investment under Uncertainty. The Mit Press Cambridge, Massachusetts London, England. Trigeorgis, L. (1998) . Real Options, Managerial Flexibility and Strategy in Resource Allocation. Cambridge, The MIT Press, Massachusets Institute of Technology. Venegas-Mart¶³nez, F. and A. Fundia Aizenstat (2006) . \Opciones reales, valuaci¶o n ¯nanciera de proyectos y estrategias de negocios: aplicaciones al caso mexicano" . E l T rim estre E co n o¶ m ico , Vol. 73(2) , No. 290, pp. 363-450.
6 9 .1 2 E je rc ic io s 6 9 .1 Considere el valor intr¶³nseco de la opci¶o n real de contracci¶o n c c (S T ;T ; ¯ ;K ;N ) = S T ¡ min (¯ S T + N ;K ) ; donde K = e r (T ¡ t) M
y N < M . Demuestre que no es posible que min (¯ S T + N ;K ) = K :
S o lu ci¶o n : Es su¯ciente observar que K = e r (T ¡ t) M > M > N : 6 9 .2 Si el valor presente de los °ujos de efectivo esperados de un proyecto es log-normal, demuestre que el valor de una opci¶o n real compuesta c ca ll(S 0 ) , sobre dicho proyecto subyacente, est¶a dado por ³ ´ p p c ca ll(S 0 ) =S 0 © 2 (d ;b; ½ ) ¡ K 2 e ¡ r T 2 © 2 d ¡ ¾ T 1 ;b ¡ ¾ T 2 ; ½ ³ p ´ ¡ K 1 e¡ rT 1 © d ¡ ¾ T 1 ; donde
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³ ´ ¡ ¢ ln SS ¤t + r + 21 ¾ 2 T 1 p d = ; ¾ T1
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6 9 . O p cio n es rea les
³ ´ ¡ ¢ ln KS t + r + 12 ¾ 2 T 2 2 p ; b= ¾ T2 r T1 ½ = ; T2 r es la tasa de inter¶e s libre de riesgo, ¾ es la volatilidad, ©(x ) es la funci¶o n de distribuci¶o n normal est¶andar univariada y © 2 (x ;y ; ½ ) es la funci¶o n de distribuci¶o n acumulada de normal est¶andar bivariada con coe¯ciente de correlaci¶o n ½ . 6 9 .3 Calcule © 2 (1;1; 69.5.7.
p
1= 2) y © 2 (1;¡ 1;
p
1= 2) con las f¶o rmulas de aproximaci¶o n de la subsecci¶o n
6 9 .4 Val¶u e una opci¶o n real americana de abandono de una empresa cuando I 0 = M = 80, V = 12 M , S 0 = 80, u = 2, d = u ¡ 1 = 12 , r = ln(3= 2) ¼ 0:17 y T = 4 a~n os (tiempo inicial t = 0) . Discuta los resultados. S o lu ci¶o n : Es su¯ciente seguir el procedimiento de la secci¶o n 69.8. 6 9 .5 Considere la opci¶o n de contracci¶o n introducida en la subsecci¶o n 69.5.2. Suponga que los °uj os de efectivo esperados son conducidos por un proceso de la forma: dS t = r S t dt + ¾ S t dW t : Muestre que c c (S t ;t) = S t e r (T ¡ donde
t)
£ ¡ ® E S T 1f0·
ST · L g
¯ ¤ ¯S t ¡ ® ©(d ) ¡ N ;
³ ´ ¡ ¢ ln SL t + r ¡ 12 ¾ 2 (T ¡ t) p d = ¾ T ¡ t
y
L =
K ¡ N : ®
6 9 .6 Considere la opci¶o n real de cierre temporal estudiada en la subsecci¶o n 69.5.3. Suponga que los °ujos de efectivo esperados son conducidos por un movimiento geom¶e trico Browniano neutral al riesgo: dS t = r S t dt + ¾ S t dW t : Demuestre que c x (S t ;t) = S t e r (T ¡ donde D y
T
t)
£ £ ¡ ± E S T 1f 0·
¯ ¤ ¯S t ¡ ©(D
T
¤ ) ¡ N ;
³ ´ ¡ ¢ ln YS t + r ¡ 12 ¾ 2 (T ¡ t) T p = ¾ T ¡ t YT =
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ST · YT g
X
T
±
:
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.
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X IV . D E R IV A D O S D E T A S A S Y N O T A S E ST R U C T U R A D A S
² 7 0 . d eriva d o s d e ta sa s d e in ter¶e s y n o ta s estru ctu ra d a s
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.
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C A P ¶IT U L O 70 D E R IV A D O S D E T A S A S D E IN T E R E¶ S Y N O T A S E ST R U C T U R A D A S C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ²
Derivados de tasas de inter¶e s Modelo de Black Techos (caps) , pisos (°oors) y collares Swaptions, captions y °oortions Bonos llamables Modelo de Jamshidian para valuar opciones sobre bonos Modelo de Ho y Lee para valuar opciones sobre bonos Modelo de Hull y White para valuar opciones sobre bonos Notas estructuradas Bonos cuponados °otantes con derivados inmersos Notas step-up Notas ligadas a tipos de cambio Notas con ¶³ndices de amortizaci¶o n Notas sobre rangos en la tasa de inter¶e s Notas llamables (recomprables) step-up Notas con ¶³ndices de amortizaci¶o n Notas de ¶³ndices duales Notas °otantes apalancadas y contra-apalancadas Notas de °otaci¶o n inversa
7 0 .1 In tro d u c c i¶o n Un producto derivado de tasas de inter¶e s es un instrumento ¯nanciero cuyos pagos y, por ende, su precio depende del nivel de una tasa de inter¶e s. A partir de la d¶e cada de los ochenta, los productos derivados de tasas de inter¶e s han tenido un crecimiento impresionante tanto en mercados organizados como sobre mostrador. En este cap¶³tulo se estudian los derivados de tasas de inter¶e s m¶as comunes en el mercado y se desarrollan sus f¶o rmulas de valuaci¶o n. A diferencia de los productos derivados, cuyo valor depende exclusivamente de un subyacente, las notas estructuradas son combinaciones, o h¶³bridos, de instrumentos de deuda y productos derivados. Por lo regular, el instrumento de deuda en cuesti¶o n es un bono cuponado °otante. Cada a~n o aparecen en el mercado decenas de notas estructuradas que atienden necesidades espec¶³¯cas tanto de emisores como de inversionistas. Un ej emplo sencillo de una nota estructurada es la emisi¶o n de un bono cuponado °otante acompa~n ado de la opci¶o n de recomprarlo en una fecha futura. La opci¶o n puede ser un techo (\cap" ) , un piso (\°oor" ) o un collar (\collar" ) . Las opciones inmersas en las notas estructuradas determinan el vencimiento del instrumento. Es tambi¶e n posible que los pagos de las notas estructuradas est¶e n ligados a un ¶³ndice o a un tipo de cambio. Desde principios de los noventa, el mercado de notas estructuradas ha mostrado un importante crecimiento debido a varias de sus caracter¶³sticas. Por ej emplo, cuando las tasas de inter¶e s se mantienen bajas, o a la baja, durante periodos prolongados de tiempo, las notas estructuradas cuyos pagos est¶an ligados a alg¶u n ¶³ndice burs¶atil o un tipo de cambio constituyen alternativas de inversi¶o n con rendimientos potencialmente superiores a los que prevalecen en el mercado de dinero. Muchas de las notas estructuradas en el mercado son emitidas por empresas patrocinadas por gobiernos (con l¶³neas de cr¶e dito abiertas por parte de alguna instituci¶o n
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7 0 . D eriva d o s d e ta sa s d e in ter¶e s y n o ta s estru ctu ra d a s
gubernamental) , tienen calidad crediticia alta, en consecuencia el riesgo cr¶e dito es m¶³nimo. De esta manera, los mercados de notas estructuradas son atractivos para los inversionistas por sus potenciales rendimientos y su alta calidad crediticia. Algunos ej emplos de emisores estadounidenses, cali¯cados AAA, de notas estructuradas son: Federal Home Loan Bank of Dallas, Federal National Mortgage Association, Student Loan Marketing Association. En particular, el Federal Home Loan Bank of Dallas, uno de los principales emisores de notas estructuradas del mercado estadounidense, tiene m¶as de 175 ¶³ndices o combinaciones de ¶³ndices sobre los cuales se calculan los pagos. Vale tambi¶e n la pena mencionar que The World Bank (The International Bank for Reconstruction and Development) es un importante emisor de notas estructuradas, entre las que destacan: (i) (ii) (iii) (iv ) (v ) (v i) (v ii)
Bonos cuponados °otantes llamables o con opci¶o n de recompra por el emisor (callable bonds) ; Bonos cuponados °otantes colocables o con opci¶o n de reventa por el emisor (putable bonds) ; Bonos cuponados °otantes con pisos, techos o collares; Bonos cuponados °otantes step-up y step-down; Bonos cuponados °otantes ligados a ¶³ndices; Bonos cuponados °otantes duales de tipo de cambio; Bonos cuponados °otantes con opcionalidad de tipo de cambio.
Es tambi¶e n relevante subrayar que las notas estructuradas ofrecen al emisor y a los inversionistas un medio para aislar y redistribuir riesgos. De hecho, una de las causas de su creciente demanda es su capacidad para generar j ustamente las exposiciones al riesgo que el cliente est¶e dispuesto a tolerar y que, al mismo tiempo, se mantengan sus ob jetivos de inversi¶o n. Como era de esperarse, las caracter¶³sticas de estos instrumentos introducen varias complicaciones t¶e cnicas para su valuaci¶o n. A diferencia de la valuaci¶o n de derivados (forwards, opciones o swaps) en donde se requiere alg¶u n supuesto sobre el comportamiento futuro del subyacente, la valuaci¶o n de notas estructuradas requiere de supuestos sobre el comportamiento combinado del bono, el derivado inmerso y, en ocasiones, del ¶³ndice o tipo de cambio ligado a los pagos. As¶³ pues, la valuaci¶o n de una nota estructurada tiene un nivel de complejidad que requiere no s¶o lo del entendimiento del mercado, sino tambi¶e n del conocimiento de herramientas y t¶e cnicas especializadas de an¶alisis.
7 0 .2 A sp e c to s re g u la to rio s d e la s n o ta s e stru c tu ra d a s Las notas estructuradas recibieron particular atenci¶o n por parte de los reguladores ¯nancieros a partir del primer semestre de 1994. Como resultado de los aumentos en las tasas de inter¶e s de la Reserva Federal, las notas estructuradas vinculadas a las tasas de inter¶e s experimentaron cambios radicales afectando su calendario de pagos y originando grandes e imprevistas p¶e rdidas para los tenedores de estas notas. Los valores de mercado de estos instrumentos cayeron baj o par y sus cupones se reduj eron comparados con los de otros instrumentos de deuda disponibles en el mercado. Estas p¶e rdidas se realizaron aun cuando las notas estructuradas estaban cali¯cadas AAA. As¶³, aunque el riesgo de cr¶e dito es m¶³nimo, el riesgo de mercado y el de liquidez prevalece. Durante el primer semestre de 1994, muchos fondos de inversi¶o n obtuvieron grandes p¶e rdidas en notas estructuradas. Los reguladores entonces empezaron a normar el funcionamiento del mercado. La SEC (Securities and Exchange Comission) advirti¶o a los administradores (espec¶³¯camente bancos) sobre la adecuada cuanti¯caci¶o n y administraci¶o n de los riesgos de algunos tipos de notas estructuradas. En particular, notas con °otaci¶o n inversa, °otaci¶o n COFI (Cost of Funds Index) , °otaci¶o n CMT (Constant Maturity Treasury) , °otaci¶o n dual de ¶³ndices y °otaci¶o n de rango. Por otro lado, en el segundo semestre de 1994, la Reserva Federal emiti¶o una circular en la cual se destaca el papel que desempe~n an las notas estructuradas en la administraci¶o n de riesgos y enfatiza sobre el cuidado que deben tener los bancos para la adecuada valuaci¶o n de sus portafolios cuando contienen notas estructuradas. Por esas mismas fechas, la OTS (O±ce of Thrift Supervision) emiti¶o un bolet¶³n donde reconoce que las notas estructuradas pueden ser un magn¶³¯co veh¶³culo de inversi¶o n y puntualiz¶o sobre la importancia de llevar a cabo su valuaci¶o n con distintos escenarios en la tasa de inter¶e s, recomendando que las pruebas de stress se efectuaran cada trimestre tomando en cuenta movimientos en las tasas de inter¶e s hasta de § 400 puntos base.
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7 0 .3 U n b re v e re p a so so b re b o n o s c u p o n a d o s c o n ta sa c u p o¶ n ° o ta n te Antes de entrar de lleno en el estudio de notas estructuradas vale la pena hacer un breve repaso sobre la valuaci¶o n de un bono cuponado con tasa cup¶o n °otante o bono cuponado °otante (tambi¶e n llamado FRN por sus iniciales en ingl¶e s \Forward Rate Note" ) . Considere un bono que se coloca en t = 0 y paga tres cupones en las fechas futuras, T 1 , T 2 y T 3 . Suponga que el principal es N > 0. Si los cupones se calculan como C
1
donde
= Re1 N ;
y
C
2
= fe 12 N ;
C
3
= fe 13 N ;
(70:1)
fe 1 2 = f (0;T 1 ;T 2 ) (T 2 ¡ T 1 )
(70:2)
fe 2 3 = f (0;T 2 ;T 3 ) (T 3 ¡ T 2 )
(70:3)
son, respectivamente, las tasas forward en [T 1 ;T 2 ] y [T 2 ;T 3 ] aplicadas a sus correspondientes periodos, entonces el precio del bono satisface B
(0 ) ° ot
=
Re1 N fe1 2 N (fe 2 3 + 1) N + + ; e e 1+R 1 1+R 2 1 + Re3
(70:4)
donde R (0;T i ) = Rei = T i ;i = 1;2;3. En equilibrio, es decir, en ausencia de oportunidades de arbitraj e, las tasas forward impl¶³citas se obtienen mediante las siguientes relaciones:
y Por lo tanto,
y
e (1 + Re1 ) (1 + fe 12 ) = 1 + R 2 e (1 + Re2 ) (1 + fe 23 ) = 1 + R 3 : 1 + Re2 fe ¡ 1 12 = 1 + Re1 1 + Re3 fe ¡ 1: 23 = 1 + Re2
Si se sustituyen (70.5) y (70.6) en (70.4) se sigue que à ! à ! Re1 N N 1 + Re2 N 1 + Re3 N (0 ) B ° ot = + ¡ 1 + ¡ 1 + e e e e e 1+R 1 1+R 2 1+R 1 1+R 3 1+R 2 1 + Re3 μ ¶ μ ¶ Re1 N N N N N N = + ¡ + ¡ + e e e e e 1+R 1 1+R 1 1+R 2 1+R 2 1+R 3 1 + Re3 Re1 N N = + e 1+R 1 1 + Re1 =N :
(70:5)
(70:6)
(70:7)
Es decir, un bono cuponado con tasa cup¶o n °otante se negocia a la par. Observe que aunque el ej ercicio anterior toma en cuenta tres periodos, el mismo resultado se obtiene para cualquier n¶u mero de periodos. Evidentemente, si se val¶u a el bono inmediatamente despu¶e s del primer pago (1 ) y se conoce la curva de rendimiento R (T 1 ;T ) , entonces el precio del bono es B ° o t = N : Observe adem¶as que si se escribe B i = B (0;T i ) = 1= (1 + Rei ) ; i = 1;2;3; y N = 1, entonces, a partir de (70.7) , se tiene que e 1 = Re1 B 1 + fe (70:8) 12 B 2 + f23 B 3 + B 3 : As¶³, R (0;T ) puede verse como una curva de ceros, B i , asociada al bono cuponado de tasa °otante.
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7 0 .3 .1 T a sa in te rn a d e re to rn o a so c ia d a a u n b o n o c u p o n a d o ° o ta n te c o n p a g o s a n u a le s En esta secci¶o n se establece la relaci¶o n que existe entre el concepto de tasa interna de retorno (rendimiento) y el precio de un bono cuponado °otante. Observe primero que a partir de la ecuaci¶o n (70.4) , se tiene que N = ¶o
Re1 N fe1 2 N (fe 2 3 + 1) N + + e e 1+R 1 1+R 2 1 + Re3
0=¡
1 1 + Re1
+
fe fe 12 23 + 1 + : e 1+R 2 1 + Re3
2 e e Si se supone que los pagos son anuales y fe 1 2 y f 2 3 son valores de mercado y y = R 1 , (1 + y ) = 3 1 + Re2 y (1 + y ) = 1 + Re3 , entonces
0=¡
1 fe fe2 3 + 1 12 + + : 2 1+y (1 + y ) (1 + y ) 3
(70:9)
Es decir, y es la tasa interna de retorno asociada a un bono cuponado °otante con pagos anuales.
7 0 .4 O p c io n e s so b re ta sa s d e in te r¶e s En esta secci¶o n se revisan algunos de los modelos m¶as comunes para valuar una opci¶o n sobre un bono cup¶o n cero. Una caracter¶³stica que comparten estos modelos es su similitud con la f¶o rmula de valuaci¶o n de opciones sobre acciones de Black-Scholes.
7 0 .4 .1 M o d e lo d e B la c k p a ra v a lu a r o p c io n e s so b re ta sa s fo rw a rd El modelo de Black (1976) es uno de los m¶as utilizados en la valuaci¶o n de opciones europeas sobre bonos cup¶o n cero. El supuesto principal del modelo es que el subyacente, i.e., la tasa de inter¶e s, sigue una distribuci¶o n lognormal, lo cual no es muy realista sobre todo cerca de la fecha de vencimiento. El modelo de Black es muy com¶u n para valuar caps y °oors. Este tipo de derivados de tasas de inter¶e s son muy populares en los mercados sobre mostrador y usualmente la tasa de °otante de referencia es la tasa LIBOR. Originalmente, el modelo de Black es formulado para valuar una opci¶o n sobre el precio futuro de una acci¶o n. Si el precio, S t , de la acci¶o n es conducido por el movimiento geom¶e trico Browniano dS t = ¹ S t dt + ¾ S t dW t ; (70:10) donde (W t ) t2 [0 ;T ] es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad con W su ¯ltraci¶o n aumentada, ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;T ];IP) , ¹ 2 IR es el rendimiento medio esperado de la acci¶o n y ¾ > 0 es la volatilidad instant¶anea de la acci¶o n, entonces el precio de una opci¶o n sobre dicha acci¶o n, con precio de ej ercicio K que se inicia en t y vence en T , est¶a dado por: c(S t ;t) = S t ©(d 1 ) ¡ K e ¡
r (T ¡ t)
©(d 2 )
(70:11)
donde r es la tasa de inter¶e s libre de riesgo, ³ ´ ¡ ¢ ln SK t + r + 12 ¾ 2 (T ¡ t) p d1 = ; ¾ T ¡ t d2 = d1 ¡ ¾ y ©(d ) = p
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1 2¼
p
Zd
T ¡ t e¡
1 2
y2
(70:12) (70:13)
dy :
¡ 1
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7 0 . D eriva d o s d e ta sa s d e in ter¶e s y n o ta s estru ctu ra d a s
Observe que el precio futuro de la acci¶o n, F t;T = S t e r (T ¡ trico Browniano de la forma
t)
tambi¶e n sigue un movimiento geom¶e -
dF t;T = (¹ ¡ r ) F t;T dt + ¾ F t;T dW t :
(70:14)
Si el precio futuro de la acci¶o n, F t;T ; se sustituye en (70.11) , se tiene que c(F t;T ;t) = B (t;T ) [F t;T ©(d 1 ) ¡ K ©(d 2 ) ] ; donde B (t;T ) = e ¡
r (T ¡ t)
, ln d1 =
μ
¶
F t;T K ¾
p
y d2 = d1 ¡ ¾
+ 21 ¾ 2 (T ¡ t)
(70:16)
T ¡ t p
(70:15)
T ¡ t:
(70:17)
Considere ahora f (t;T ;S ) una tasa forward aplicable en [T ;S ] , S > T , con referencia en t tal que df (t;T ;S ) = ¾ f f (t;T ;S ) dW t : (70:18) Suponga que un agente contratar¶a un cr¶e dito, de monto N , durante las fechas futuras, T y S , S > T , a la tasa forward f (t;T ;S ) . En el presente, t, el agente desea comprar un contrato de opci¶o n europea para cubrirse contra p¶e rdidas cuando la tasa forward de mercado f (t;T ;S ) exceda una cota superior f K . El pago de esta opci¶o n, en el tiempo T , est¶a dado por N (S ¡ T ) E [max (f (t;T ;S ) ¡ f K ;0) j F
t
]:
Observe que el pago N (S ¡ T ) max (f (t;T ;S ) ¡ f K ;0) se determina en T , pero se entrega hasta S . En este caso, el precio de una opci¶o n sobre la tasa forward es c(t;T ;S ) = B (t;S ) N (S ¡ T ) [f (t;T ;S ) ©(d 1 ) ¡ f K ©(d 2 ) ] ; donde ln d1 = y
μ
¶ f (t;T ;S ) + 12 ¾ f2 (T ¡ t) fK p ¾f T ¡ t
d2 = d1 ¡ ¾ f
p
T ¡ t:
(70:19)
(70:20)
(70:21)
El factor de descuento B (t;S ) para traer a valor presente el pago de la opci¶o n se supone conocido. Por u¶ ltimo, observe que la tasa forward spot se calcula mediante £ ¤ £ ¤ ln B (t;T ) ¡ ln B (t;S ) f (t;T ;S ) = : (70:22) S ¡ T
7 0 .4 .2 C a p s y c a p le ts Suponga, como antes, que un agente recibir¶a un cr¶e dito, de monto N , en una fecha futura, t1 , a tasa °otante. Suponga tambi¶e n que el cr¶e dito se liquida en t2 . En el presente, t0 , el agente podr¶³a comprar un contrato de opci¶o n, europea, para cubrirse contra p¶e rdidas cuando la tasa forward de mercado f (t0 ;t1 ;t2 ) exceda una cota superior, o techo, especi¯cada de antemano, f c . El pago de esta opci¶o n, en el vencimiento t2 , est¶a dado por N (t2 ¡ t1 ) E [max (f (t0 ;t1 ;t2 ) ¡ f c ;0) ] y el precio que tendr¶³a que pagar por la opci¶o n, en condiciones de equilibrio, es Cap 0 = B (t0 ;t2 ) N (t2 ¡ t1 ) E [max (f (t0 ;t1 ;t2 ) ¡ f c ;0) ] :
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7 0 . D eriva d o s d e ta sa s d e in ter¶e s y n o ta s estru ctu ra d a s
Este tipo de contrato de opci¶o n recibe el nombre de cap de tasa de inter¶e s. Suponga ahora que en lugar de comparar el valor de la tasa forward de mercado con la tasa cap en un solo periodo, se compara en dos periodos, t2 y t3 . En este caso, el agente podr¶³a comprar dos opciones de valor total Cap 0 =B (t0 ;t2 ) N (t2 ¡ t1 ) E [max (f (t0 ;t1 ;t2 ) ¡ f c ;0) ] + B (t0 ;t3 ) N (t3 ¡ t2 ) E [max (f (t0 ;t2 ;t3 ) ¡ f c ;0) ] :
Es frecuente llamar a cada opci¶o n \caplet" y la suma de ellas \cap" . En equilibrio, las tasas forward, f (t0 ;t1 ;t2 ) y f (t0 ;t2 ;t3 ) , satisfacen (1 + R (t0 ;t1 ) (t1 ¡ t0 ) ) (1 + f (t0 ;t1 ;t2 ) (t2 ¡ t1 ) ) = 1 + R (t0 ;t2 ) (t2 ¡ t0 ) y (1 + R (t0 ;t2 ) (t2 ¡ t0 ) ) (1 + f (t0 ;t2 ;t3 ) (t3 ¡ t2 ) ) = 1 + R (t0 ;t3 ) (t3 ¡ t0 ) ; £ ¤ en donde R (t0 ;t1 ) y R (t0 ;t2 ) son cantidades conocidas. Dado que R (t0 ;ti ) = ¡ ln B (t0 ;ti ) = (ti ¡ t0 ) , tambi¶e n se cumple que
y
£ ¤ £ ¤ ln B (t0 ;t1 ) ¡ ln B (t0 ;t2 ) f (t0 ;t1 ;t2 ) = t2 ¡ t1
(70:23)
£ ¤ £ ¤ ln B (t0 ;t2 ) ¡ ln B (t0 ;t3 ) f (t0 ;t2 ;t3 ) = : t3 ¡ t2
(70:24)
7 0 .4 .3 V a lu a c i¶o n d e c a p s b a jo e l su p u e sto d e ta sa fo rw a rd lo g n o rm a l Cada caplet puede valuarse, en t, utilizando el modelo de Black (1976) en donde la variable subyacente es la tasa forward impl¶³cita, la cual se supone que tiene distribuci¶o n lognormal. A continuaci¶o n se introduce la siguiente notaci¶o n para el precio de este tipo de opciones de tasas de inter¶e s: Caplet t;ti¡ 1 = B (t;ti ) N (ti ¡ ti¡ 1 ) E [max (f (t0 ;ti¡ 1 ;ti ) ¡ f c ;0) jF t ] ;
i = 2;3:
En general, si t es la fecha en que se pacta un cap con n caplets, el precio del cap es la suma de los precios de los caplets, es decir,
Cap t =
nX+ 1
Caplet t;ti¡ 1 :
(70:25)
i= 2
Baj o el supuesto de que la tasa forward tiene una distribuci¶o n lognormal, se sigue que h i p Caplet t;ti¡ 1 = B (t;ti ) N (ti ¡ ti¡ 1 ) f (t;ti¡ 1 ;ti ) ©(d i ) ¡ f c ©(d i ¡ ¾ f ti ¡ ti¡ 1 ) ; donde di =
ln(f (t;ti¡ 1 ;ti ) = f c ) ¡ (¾ f2 = 2) (ti ¡ ti¡ 1 ) p ¾ f ti ¡ ti¡ 1
(70:26)
(70:27)
y ¾ f =volatilidad de la tasa forward. En este caso, la tasa forward spot se calcula como £ ¤ £ ¤ ln B (t;ti¡ 1 ) ¡ ln B (t;ti ) f (t;ti¡ 1 ;ti ) = : ti ¡ ti¡ 1
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(70:28)
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7 0 . D eriva d o s d e ta sa s d e in ter¶e s y n o ta s estru ctu ra d a s
825
Observe tambi¶e n que Caplet t;ti¡ 1 =E [B (t;ti ) N (ti ¡ ti¡ 1 ) max (f (t0 ;ti¡ 1 ;ti ) ¡ f c ;0) jF t ] =E [B (t;ti¡ 1 ) B (ti¡ 1 ;ti ) N (ti ¡ ti¡ 1 ) max (f (t;ti¡ 1 ;ti ) ¡ f c ;0) jF t ] · μμ ¶ ¶¯ ¸ ¯ 1 1 =E B (t;ti¡ 1 ) B (ti¡ 1 ;ti ) N (ti ¡ ti¡ 1 ) max ¡ 1 ¡ f c ;0 ¯ ¯F t B (ti¡ 1 ;ti ) ti ¡ ti¡ 1 · μμ ¶ ¶¯ ¸ ¯ 1 =E B (t;ti¡ 1 ) B (ti¡ 1 ;ti ) N max ¡ 1 ¡ f c (ti ¡ ti¡ 1 ) ;0 ¯ ¯F t B (ti¡ 1 ;ti ) ¯ ¸ · ¯ =E B (t;ti¡ 1 ) N max (1 ¡ B (ti¡ 1 ;ti ) ¡ f c B (ti¡ 1 ;ti ) (ti ¡ ti¡ 1 ) ;0) ¯ ¯F t : Es decir, Caplet t;ti¡ 1 = N B (t;ti¡ 1 ) E [max (1 ¡ B (ti¡ 1 ;ti ) (1 + f c (ti ¡ ti¡ 1 ) ;0) jF t ] : Si se denota fb c = 1 + f c (ti ¡ ti¡ 1 ) , se tiene que
h ³ ´ i Caplet t;ti¡ 1 = N B (t;ti¡ 1 ) E max 1 ¡ B (ti¡ 1 ;ti ) fb c ;0 jF t :
De esta manera un caplet puede verse tambi¶e n como un put sobre B (ti¡ 1 ;ti ) fb c con precio de ej ercicio 1.
7 0 .4 .4 F lo o rs y ° o o rle ts De manera similar a un cap, un °oor es una opci¶o n de venta que cubre al propietario de p¶e rdidas cuando la tasa de inter¶e s es menor que un cierto piso, f p . En el caso de un °oor, si se utiliza el modelo de Black (1976) , se tiene la siguiente f¶o rmula de valuaci¶o n Floor t =
nX+ 1
Floorlet t;ti¡ 1 ;
(70:29)
i= 2
donde
· Floorlet t;ti¡ 1 =B (t;ti ) N (ti¡ 1 ¡ ti ) ¡ f (t;ti¡ 1 ;ti ) ©(¡ d i ) ¸ p + f p ©(¡ d i + ¾ f ti¡ 1 ¡ ti ) ;
donde di =
ln(f (t;ti¡ 1 ;ti ) = f p ) ¡ (¾ f2 = 2) (ti ¡ ti¡ 1 ) p : ¾ f ti ¡ ti¡ 1
(70:30)
(70:31)
7 0 .4 .5 P a rid a d c a p -° o o r En esta secci¶o n se establece la relaci¶o n que existe entre caps, °oors y swaps, la paridad cap°oor. Considere un portafolio consistente de una posici¶o n larga de un cap con tasa cap f c y una posici¶o n corta de un °oor con tasa °oor f p . Suponga que f c = f p = f K , dado que Caplet t;ti¡ 1 = B (t;ti ) N (ti ¡ ti¡ 1 ) E [max (f (t;ti¡ 1 ;ti ) ¡ f K ;0) ] y Floorlet t;ti¡ 1 = B (t;ti ) N (ti ¡ ti¡ 1 ) E [max (f K ¡ f (t;ti¡ 1 ;ti ) ;0) ] ; lo cual implica que Caplet ti¡ 1 ¡ Floorlet ti¡ 1 = B (t;ti ) N (ti ¡ ti¡ 1 ) [f (t;ti¡ 1 ;ti ) ¡ f K ] :
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7 0 . D eriva d o s d e ta sa s d e in ter¶e s y n o ta s estru ctu ra d a s
Al sumar sobre i, se tiene que nX+ 1 i= 2
Caplet t;ti¡ 1 ¡
nX+ 1 i= 2
Floorlet t;ti¡ 1 =
nX+ 1 i= 2
B (t;ti ) N (ti ¡ ti¡ 1 ) [f (t;ti¡ 1 ;ti ) ¡ f K ]
¶o Cap t ¡ Floor t = V t ; donde V t es el precio de un swap con tasa swap f K .
7 0 .4 .6 C o lla re s En un contrato de collar se establece una cota inferior, f p , y una cota superior, f c , sobre la tasa forward, es decir, un contrato de collar es un portafolio con una posici¶o n larga en un cap con tasa cap f c y una posici¶o n corta en un °oor con tasa °oor f p . De esta manera, un contrato de collar efect¶u a pagos en el vencimiento si la tasa forward excede a f c o es menor que f p .
7 0 .4 .7 S w a p tio n s, c a p tio n s y ° o o rtio n s En un call swaption el propietario tiene el derecho de cambiar pagos de tasa °otante por pagos de tasa ¯j a. Mientras que en un put swaption el propietario adquiere el derecho de cambiar pagos de tasa ¯ja a pagos de tasa °otante. Captions y °oortions son opciones sobre caps y °oors, respectivamente.
7 0 .5 V a lu a c i¶o n d e o p c io n e s so b re b o n o s: e n fo q u e d e e c u a c io n e s d ife re n c ia le s p a rc ia le s Suponga que la tasa corta o tasa instant¶anea, r t , sigue una din¶amica conducida por dr t = ¹ (r t ;t) dt + ¾ (r t ;t) dW t ;
(70:32)
donde (W t ) t2 [0 ;T ] es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad con una ¯ltraci¶o n, ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;T ];IP) y ¹ (r t ;t) y ¾ (r t ;t) son funciones conocidas. Si B = B (r t ;t; T ) , es el precio de un bono cup¶o n cero, entonces B satisface @B @B @ 2B + (¹ (r t ;t) ¡ ¸ (r t ;t) ¾ (r t ;t) ) + 12 ¾ 2 (r t ;t) 2 ¡ r t B @t @ rt @ rt
t
= 0;
(70:33)
j unto con la condici¶o n ¯nal B (r t ;T ; T ) = 1. Las condiciones de frontera dependen de la forma funcional de ¹ (r t ;t) y ¾ (r t ;t) . Si el bono paga cupones Á (r t ;t) durante cada instante dt, entonces (70.33) se modi¯ca de la siguiente forma @B @B @ 2B + (¹ (r t ;t) ¡ ¸ (r t ;t) ¾ (r t ;t) ) + 21 ¾ 2 (r t ;t) 2 ¡ r t B t ¡ Á (r t ;t) = 0: @t @ rt @ rt Si el bono paga cupones de manera discreta Á (r t ;ti ) en los tiempos t = t1 ;t2 ;:::;tn , entonces (70.33) se mantiene y se incluyen las condiciones B (r t ;t¡i ; T ) = B (r t ;t+i ; T ) + Á (r t ;ti ) ;
i = 1;2;:::;n :
Observe que la ecuaci¶o n (70.33) y el lema de It^o producen al siguiente sistema de dos ecuaciones: @B @ 2B @B + 21 ¾ 2 (r t ;t) 2 + (¹ (r t ;t) ¡ ¸ (r t ;t) ¾ (r t ;t) ) + r t B = 0; @t @r @ rt · ¸ @B @ 2B @B @B dB = + 21 ¾ 2 (r t ;t) 2 + ¹ (r t ;t) dt + ¾ (r t ;t) dW t ; @t @ rt @ rt @ rt
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7 0 . D eriva d o s d e ta sa s d e in ter¶e s y n o ta s estru ctu ra d a s
lo que conduce a dB ¡ r t B dt =¾ (r t ;t) ¸ (r t ;t)
@B @B dt + ¾ (r t ;t) dW @ rt @ rt
t
(70:34)
@B =¾ (r t ;t) (¸ (r t ;t) dt + dW t ) : @ rt En conclusi¶o n, si se denota dWf t = ¸ (r t ;t) dt + dW t ;
entonces la tasa corta, r t y el precio del bono, B (r t ;t) satisfacen dr t = (¹ (r t ;t) ¡ ¸ (r t ;t) ¾ (r t ;t) ) dt + ¾ (r t ;t) dWf t
y
dB = r t B dt + ¾ (r t ;t)
(70:35)
@B f dW t : @ rt
(70:36)
De esta manera, las componentes estoc¶asticas de (70.35) y (70.36) son id¶e nticas. En este caso, el teorema de Girsanov es una herramienta u¶ til que garantiza que dWf t es tambi¶e n un movimiento e equivalente al original IP en Browniano, aunque de¯nido en otro espacio de probabilidad, IP, el sentido de que est¶an de¯nidos sobre el mismo espacio muestral y comparten los mismos conj untos de probabilidad cero. A continuaci¶o n, dado que ¸ (r t ;t) no es una variable observable directamente, se supone, por simplicidad, que ¸ (r t ;t) ´ 0. Ahora bien, si c = c(r t ;t; T ;S ) es el precio de una opci¶o n europea de compra sobre un bono cup¶o n cero que se coloca en T , con precio de ejercicio K y vencimiento en S , S > T , entonces c satisface @c @c @ 2c + ¹ (r t ;t) + 12 ¾ 2 (r t ;t) 2 ¡ r t c t = 0; @t @ rt @ rt
(70:37)
suj eto a c(r t ;T ; T ;S ) = max (B (r t ;T ; S ) ¡ K ) donde B es soluci¶o n de @B @B @ 2B + ¹ (r t ;t) + 21 ¾ 2 (r t ;t) 2 ¡ r t B @t @ rt @ rt
t
= 0;
(70:38)
con B (r t ;T ; T ) = 1: De esta manera el precio de la opci¶o n sobre el bono c se determina en dos etapas. En la primera etapa se resuelve una ecuaci¶o n diferencial para B y, en la segunda etapa, se resuelve otra ecuaci¶o n diferencial para c.
7 0 .5 .1 L a e c u a c i¶o n d ife re n c ia l p a rc ia l d e u n b o n o lla m a b le Si la tasa corta tiene una din¶amica conducida por dr t = ¹ (r t ;t) dt + ¾ (r t ;t) dW t ;
(70:39)
donde ¹ (r t ;t) y ¾ (r t ;t) son funciones conocidas y B a = B a (r t ;t; T ) , es el precio de un bono llamable que paga cupones Á (r t ;ti ) en ti , i = 1;2;:::;n ; y se puede recomprar al precio a = a (t) en fechas ¿ j , j = 1;2;:::;m , entonces B a @B a @B a @ 2B a + (¹ (r t ;t) ¡ ¸ (r t ;t) ¾ (r t ;t) ) + 12 ¾ 2 (r t ;t) ¡ r tB @t @ rt @ r t2
a
=0
(70:40)
j unto con las condiciones B a (r t ;T ; T ) = 1; B
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¡ a (r t ;ti
; T ) = B a (r t ;t+i ; T ) + Á (r t ;ti ) ;
i = 1;2;:::;n
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7 0 . D eriva d o s d e ta sa s d e in ter¶e s y n o ta s estru ctu ra d a s
y B a (r t ;t; T ) · a (t)
j = 1;2;:::;m :
Esta u¶ ltima condici¶o n reduce el precio del bono. Observe que si la estructura de plazos R (t;tj ) , asociada al bono cuponado B a cuando r t sigue (70.40) , es baja, entonces el precio B a (r t ;tj ; T ) es alto por lo que el emisor recomprar¶a el bono.
7 0 .6 M o d e lo d e J a m sh id ia n p a ra v a lu a r o p c io n e s so b re b o n o s En esta secci¶o n se revisa, brevemente, el modelo de Vasicek (1977) de tasa corta para valuar un bono cup¶o n cero y el modelo de Jamshidian (1989) para valuar una opci¶o n sobre dicho bono cup¶o n cero. Suponga que la din¶amica estoc¶astica de la tasa corta sigue un proceso con reversi¶o n a la media dado por dr t = a (b ¡ r t ) dt + ¾ dW t ; (70:41) donde (W t ) t2 [0 ;T ] es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad con una ¯ltraci¶o n, ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;T ];IP) y a , b y ¾ son cantidades positivas, constantes y conocidas. La expresi¶o n (70.41) es conocida en la literatura como el modelo de Vasicek. En este caso, el precio de un bono cup¶o n cero que se emite en t y que paga una unidad monetaria en el tiempo T est¶a dado por: ( Ã !¯ ) ZT ¯ ¯ B (t;T ) = E exp ¡ r s ds ¯F t : (70:42) ¯ t En este caso para valuar bonos cup¶o n cero se puede veri¯car, f¶acilmente, que rt = r0 e
¡ at
¡ + b 1 ¡ e¡
at
¢ +¾
Zt
e¡
a (t¡ s )
dW
s:
(70:43)
0
De esta manera, r t tiene distribuci¶o n normal con media (condicional) E[r t j F 0 ] = r 0 e ¡
at
¡ + b 1 ¡ e¡
at
¢
(70:44)
y varianza (condicional) Var[r t j F 0 ] = ¾
2
Zt
e¡
2 a (t¡ s )
¾2 ¡ 1 ¡ e¡ 2a
ds =
0
2a t
¢ :
(70:45)
Debido a la propiedad de normalidad de la tasa corta en el modelo de Vasicek se cumple que B (r t ;t; T ) = e A donde D (t;T ) = y A (t;T ) =
(t;T )¡ r t D (t;T )
1 ¡ e ¡ a (T ¡ a
¡ 1 (D (t;T ) ¡ T + t) a 2 b ¡ 2 a
;
(70:46)
t)
1 2
¢ ¾ 2 D (t;T ) 2 ¾2 ¡ : 4a
Por u¶ ltimo, la curva de rendimiento, R (t;T ) , se calcula, mediante (70.46) , como R (t;T ) =
r t D (t;T ) ¡ A (t;T ) : T ¡ t
En este caso, el precio de una opci¶o n que vence en T con precio de ej ercicio K sobre un bono cup¶o n cero que se coloca en T y vence en S est¶a dado por: c = N [B (t;S ) ©(h ) ¡ K B (t;T ) ©(h ¡ ¾ P ) ] ;
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7 0 . D eriva d o s d e ta sa s d e in ter¶e s y n o ta s estru ctu ra d a s
donde ln h =
μ
B (t;S ) K B (t;T ) ¾P
¶
1 2
¡
¾ p2 =
1 ¾P
ln
μ
B (t;S ) K B (t;T )
¶
¡
¾P : 2
(70:48)
El par¶ametro de volatilidad, ¾ P se calcula mediante ¾ P2 =Var[ln(B (T ;S ) ) j F
]
t
=Var [r T D (T ;S ) j F t ] ´ ¾2 ³ = 1 ¡ e ¡ 2 a (T ¡ t) D (T ;S ) 2 : 2a
7 0 .7 V a lu a c i¶o n d e o p c io n e s so b re b o n o s c u a n d o la ta sa c o rta sig u e e l m o d e lo d e H o y L e e En el modelo propuesto por Ho y Lee (1986) la tendencia de la tasa corta se calibra con base en los precios de mercado actuales de tal manera que los precios del mercado coincidan con los precios te¶o ricos. Es importante destacar que, al igual que en el modelo de Vasicek, el modelo de Ho y Lee puede producir valores negativos de r t con probabilidad positiva. En este caso, el comportamiento de la tasa corta es conducido por el siguiente proceso: dr t = h t dt + ¾ dW t ;
(70:49)
donde ¾ > 0 es una cantidad constante, h t es una funci¶o n del tiempo y W la din¶amica estoc¶astica de la tasa corta sigue una distribuci¶o n normal y rt = r0 +
Zt
h s ds + ¾
0
Zt
t
» N (0;t) . Es decir,
dW s :
0
En este caso, la media y varianza de la tasa corta satisfacen, respectivamente, E[r t jF 0 ] = r 0 + y
Zt
h s ds
0
Var[r t jF 0 ] = ¾ 2 t;
donde F 0 es la informaci¶o n relevante disponible en t = 0. La funci¶o n h t determina, en promedio, hacia d¶o nde se mover¶a r t en el futuro. Observe tambi¶e n que aunque h t es dependiente del tiempo, es independiente del nivel de r t . La funci¶o n h t se elegir¶a de tal manera que la estructura de plazos de la tasa de inter¶e s sea consistente con los precios actuales. El modelo no presenta reversi¶o n a la media y la volatilidad es constante, es decir, es independiente del nivel de la tasa corta y del tiempo. En este caso, se puede demostrar que ht =
@ f (0;t) + ¾ 2 t @t
(70:50)
y el precio de un bono cup¶o n cero est¶a dado por B (t;T ) = e A donde A (t;T ) = ln
μ
B (0;T ) B (0;t)
¶
(t;T )¡ r t (T ¡ t)
¡ (T ¡ t)
;
@ ¾2 ln B (0;t) ¡ t(T ¡ t) 2 : @t 2
(70:51)
(70:52)
En la pr¶actica, se utiliza la aproximaci¶o n @ ln B (0;t + ¢t) ¡ ln B (0;t) ln B (0;t) = ¡ f (0;t) ¼ @t ¢t
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7 0 . D eriva d o s d e ta sa s d e in ter¶e s y n o ta s estru ctu ra d a s
con ¢t peque~n a. Baj o esta aproximaci¶o n es frecuente cambiar el t¶e rmino de segundo orden ¾ 2 t(T ¡ t) 2 = 2 por el t¶e rmino modi¯cado ¾ 2 t(T ¡ t) [(T ¡ t) ¡ ¢t] = 2. El precio de una opci¶o n que vence en T con precio de ejercicio K sobre un bono cup¶o n cero que se coloca en T y vence en S est¶a dado por: c = N [B (t;S ) ©(h ) ¡ K B (t;T ) ©(h ¡ ¾ P ) ] ; donde ln
μ
h =
B (t;S ) K B (t;T ) ¾P
¶
¡
1 2
¾ p2 =
1 ¾P
ln
μ
B (t;S ) K B (t;T )
¶
(70:53)
¡
¾P : 2
(70:54)
El par¶ametro de volatilidad, ¾ P se calcula mediante ¾ P2 =Var[ln(B (T ;S ) ) j F =Var [r T (S ¡ T ) j F 2
As¶³, ¾ P = (S ¡ T ) ¾
p
t
]
t
]
2
=(S ¡ T ) ¾ (T ¡ t) : T ¡ t.
7 0 .8 V a lu a c i¶o n d e o p c io n e s so b re b o n o s c u a n d o la ta sa c o rta sig u e e l m o d e lo d e H u ll y W h ite El modelo de Hull y White (1990) extiende el modelo de Vasicek (1977) para incluir un par¶ametro dependiente del tiempo, espec¶³¯camente se supone que b es dependiente del tiempo, lo cual se denotar¶a mediante b t , de esta manera dr t = a (b t ¡ r t ) dt + ¾ dW t :
(70:55)
Si se supone que a y ¾ han sido estimadas por alg¶u n m¶e todo estad¶³stico, se desea ahora seleccionar b t de tal manera que los precios de mercado y los te¶o ricos coincidan. En este caso, se puede demostrar que ¢ 1 @ ¾2 ¡ bt = f (0;t) + f (0;t) + 2 1 ¡ e ¡ 2 a t ; (70:56) a @t 2a equivalentemente bt = ¡
1 @2 @ ¾2 ¡ ln B (0;t) ¡ ln B (0;t) + 2 1 ¡ e ¡ 2 a @t @t 2a
2a t
¢ :
Si B = B (r t ;T ) es el precio de un bono cup¶o n cero cuya tasa corta es guiada por (70.55) , entonces B (r t ;t; T ) = e A donde D (t;T ) = y A (t;T ) = ln
μ
B (0;T ) B (0;t)
¶
¡ D (t;T )
(t;T )¡ r t D (t;T )
1 ¡ e ¡ a (T ¡ a
(70:57)
;
t)
¡ @ ¾2 2 ln B (0;t) ¡ D (t;T ) 1 ¡ e ¡ @t 4a
2a t
¢ :
(70:58)
En la pr¶actica, se utiliza en (70.58) la siguiente aproximaci¶o n @ ln B (0;t + ¢t) ¡ ln B (0;t) ln B (0;t) ¼ @t ¢t con ¢t peque~n a. De tal forma que μ ¶ μ ¶ ¡ B (0;T ) D (t;T ) B (0;t + ¢t) ¾2 2 A (t;T ) = ln ¡ ln ¡ D (t;T ) 1 ¡ e ¡ B (0;t) ¢t B (0;t) 4a
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2at
¢ :
(70:59)
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831
7 0 . D eriva d o s d e ta sa s d e in ter¶e s y n o ta s estru ctu ra d a s
Observe tambi¶e n que D (t;t + ¢t) = ya que e ¡
a¢ t
1 ¡ e¡ a
a¢ t
¼ ¢t;
¼ 1 ¡ a ¢t si ¢T es su¯cientemente peque~n a. Por lo tanto, μ
B (0;T ) B (0;t)
¶
D (t;T ) A (t;T ) = ln ¡ ln D (t;t + ¢t) ¡ ¢ ¾2 2 ¡ D (t;T ) 1 ¡ e ¡ 2 a t : 4a
μ
B (0;t + ¢t) B (0;t)
¶ (70:60)
Es frecuente utilizar en esta aproximaci¶o n un t¶e rmino cuadr¶atico en D (t;T ) modi¯cado de tal forma que μ ¶ μ ¶ B (0;T ) D (t;T ) B (0;t + ¢t) A (t;T ) = ln ¡ ln B (0;t) D (t;t + ¢t) B (0;t) (70:61) 2 ¡ ¢ ¾ ¡ 2at ¡ 1¡ e D (t;T ) [D (t;T ) ¡ D (t;t + ¢t) ] : 4a El precio de una opci¶o n que vence en T con precio de ej ercicio K sobre un bono cup¶o n cero que se coloca en T y vence en S est¶a dado por: c = N [B (t;S ) ©(h ) ¡ K B (t;T ) ©(h ¡ ¾ P ) ] ; donde ln h =
μ
B (t;S ) K B (t;T ) ¾P
¶
¡
1 2
¾ p2 =
1 ¾P
ln
μ
B (t;S ) K B (t;T )
¶
(70:62)
¡
¾P : 2
(70:63)
El par¶ametro de volatilidad, ¾ P se calcula mediante ¾ P2 =Var[ln(B (T ;S ) ) j F
t
]
=Var [r T D (T ;S ) ) j F t ] ´ ¾2 ³ = 1 ¡ e ¡ 2 a (T ¡ t) D (T ;S ) 2 : 2a
7 0 .9 S w a p s d e ta sa s d e in te r¶e s c o n u n ¶³n d ic e d e a m o rtiz a c i¶o n , sw a p s ste p -u p y ste p -d o w n Un swap de tasas de inter¶e s es un acuerdo entre dos partes para intercambiar intereses sobre un nominal N en varias fechas futuras con base en una f¶o rmula predeterminada. Una de las partes, la posici¶o n larga, paga a la contraparte intereses a tasa ¯j a a cambio de intereses a tasa °otante. Un swap de tasas de inter¶e s con un ¶³ndice de amortizaci¶o n es un acuerdo entre dos partes para intercambiar intereses sobre un nominal que decrece o se amortiza de acuerdo con I (r t ) N , donde I (¢) es una funci¶o n decreciente. Los swaps de tasas de inter¶e s con un ¶³ndice de amortizaci¶o n son tambi¶e n llamados swaps del tipo step-down. Los swaps del tipo step-up son aquellos en que I (¢) es una funci¶o n creciente.
7 0 .1 0 N o ta s so b re u n ra n g o e n la ta sa d e in te r¶e s (ra n g e n o te s) Las notas sobre un rango en la tasa de inter¶e s pagan al propietario intereses sobre un nominal, N , cada d¶³a que la tasa de inter¶e s, r t , permanezca entre dos cotas preestablecidas r l < r t < r u , hasta el vencimiento T . Suponga que la tasa corta sigue un din¶amica conducida por dr t = ¹ (r t ;t) dt + ¾ (r t ;t) dW t ;
(70:64)
donde (W t ) t2 [0 ;T ] es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad con una ¯ltraci¶o n, ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;T ];IP) y ¹ (r t ;t) y ¾ (r t ;t) son funciones conocidas. Si V = V (r t ;T )
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7 0 . D eriva d o s d e ta sa s d e in ter¶e s y n o ta s estru ctu ra d a s
es el precio de una nota sobre un rango en la tasa de inter¶e s, entonces satisface la siguiente ecuaci¶o n diferencial parcial @V + @t
1 2
@ 2V @V ¾ (t;T ) 2 r t2 + ¹ (r t ;t) r t ¡ r t V + N 1 f r l< @ r t2 @ rt
r t< ru g
= 0;
(70:65)
con V (r t ;T ) = 0:
7 0 .1 1 N o ta s e stru c tu ra d a s fo rm a d a s p o r b o n o s c u p o¶ n c e ro c o n p a g o s lig a d o s a u n tip o d e c a m b io A continuaci¶o n se estudia una de las notas estructuradas m¶as comunes. Muchas de las notas estructuradas tienen opciones inmersas y su valuaci¶o n es todo un reto. Asimismo, se discute de manera intuitiva por qu¶e para inversionistas con determinadas expectativas sobre el mercado, ciertos tipos de notas estructuradas podr¶³an ser atractivas. Una de las notas estructuradas m¶as simples en el mercado consiste en un bono cup¶o n cero con pagos ligados al tipo de cambio. Suponga que una empresa local A est¶a larga en d¶o lares (posee d¶o lares) que compr¶o a S¹ =11.00 unidades de moneda dom¶e stica (MN) por d¶o lar. Existe el riesgo de que cuando quiera cambiar sus d¶o lares por moneda dom¶e stica obtenga menos de 11.00 unidades. Es decir, existe el riesgo de que sus d¶o lares se deprecien. Suponga que una contraparte, B , emite una nota estructurada a un a~n o que paga una tasa de inter¶e s del 7% sobre un nominal predeterminado si la raz¶o n MN/USD< 11:00, en caso contrario paga 0%. Muchas de las notas estructuradas que se encuentran en el mercado responden a la necesidad que tienen los inversionistas de cubrir riesgos espec¶³¯cos. Desde luego, la empresa A puede adquirir la nota para especular; si la raz¶o n MN/USD< 11:00, A recibir¶a un premio, si se equivoca, estar¶a atado a una inversi¶o n que no le generar¶a intereses durante todo un a~n o. Suponga que el tipo de cambio S t es conducido por el movimiento geom¶e trico Browniano dS t = ® S t dt + ¯ S t dV t ;
(70:66)
donde (V t ) t2 [0 ;T ] es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad con V
V
su ¯ltraci¶o n aumentada, ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;T ];IP ) , ® 2 IR es el tipo de cambio promedio y ¯ > 0 es la volatilidad instant¶anea del tipo de cambio. Suponga que la tasa corta tiene una din¶amica estoc¶astica conducida por dr t = ¹ (r t ;t) dt + ¾ (r t ;t) dW t ; (70:67) donde (W t ) t2 [0 ;T ] es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad W
W
con una ¯ltraci¶o n, ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;T ];IP ) y ¹ (r t ;t) y ¾ (r t ;t) son funciones conocidas. Por simplicidad, suponga que Cov(dV t ;dW t ) = 0: Sea B = B (r t ;S t ;t; T ) el precio de un bono cup¶o n cero cuyo pago depende del comportamiento de S t , espec¶³¯camente si S t < S¹ , entonces B (r t ;S t ;T ; T ) = 1, mientras que si S t > S¹ , entonces B (r t ;S t ;¿ ; T ) = 0, donde ¿ = minf tjS t > S¹ g . En este caso B satisface @B @B @ 2B @B @ 2B 1 2 +®St + 12 ¯ 2 + (¹ (r ;t) ¡ ¸ (r ;t) ¾ (r ;t) ) + ¾ (r ;t) ¡ r tB t t t t 2 @t @St @ S t2 @ rt @ r t2
t
= 0;
(70:68)
j unto con las condiciones B (r t ;S t ;T ; T ) = 1
si
S t < S¹
y B (r t ;S t ;¿ ; T ) = 0
si
S t > S¹ ; ¿ = minf tjS t > S¹ g :
La cantidad ¸ (r t ;t) representa el premio al riesgo de mercado. Por supuesto, el planteamiento anterior puede extenderse al pago de cupones.
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7 0 .1 2 N o ta s e stru c tu ra d a s fo rm a d a s p o r u n b o n o c u p o n a d o lla m a b le y u n a e sq u e m a ste p -u p d e ta sa s c u p o¶ n Estas notas estructuradas son bonos cuponados llamables (recomprables) por el emisor que usualmente pagan cupones mayores que un bono gubernamental cuponado que tiene los mismos tiempos de pago y maduraci¶o n. Los cupones de esta nota estructurada se incrementan en puntos predeterminados en el tiempo si el emisor no recompra. Como ejemplo, considere una nota a 5 a~n os emitida por el Federal Home Loan Bank of Dallas (FHLB) en mayo de 1994 con un nominal de 10;000:00 de d¶o lares. La emisi¶o n es llamable en 2 a~n os y los cupones se incrementan con base en el siguiente esquema: 6:25% 6:50% 7:00% 8:20% 9:25%
para para para para para
el el el el el
a~n o a~n o a~n o a~n o a~n o
1 2 3 4 5
(1 (1 (1 (1 (1
de de de de de
mayo mayo mayo mayo mayo
de de de de de
1994) , 1995) , 1996) , 1997) , 1998) .
La primera fecha de llamada es mayo de 1996. Por lo tanto, u¶ nicamente los dos primeros cupones est¶an garantizados para el inversionista. Esta nota tiene una opci¶o n call europea adquirida por el emisor para recomprar el bono el 1 de mayo de 1996, 1997 o¶ 1998. Debido a que esta nota tiene tres fechas de llamada, tiene tres opciones de compra inmersas. De esta manera, el emisor ha comprado tres opciones que le permitir¶an bene¯ciarse cuando las tasas de inter¶e s sean bajas al recomprar, a la par, la deuda antes del vencimiento y re¯nanciarse con tasas menores disponibles en el mercado. De la misma manera, si las tasas se mantienen estables, es muy probable que la nota sea llamada puesto que est¶a pagando por arriba del mercado. Por lo anterior, en lugar de ver esta nota con vencimiento dentro de 5 a~n os, tiene m¶as sentido verla como una inversi¶o n a 2 a~n os, la cual puede extenderse otros 3 a~n os. Por u¶ ltimo observe que esta nota estructurada puede verse como un instrumento en el que el inversionista ha comprado una serie de pisos (°oors) y vendido una serie de techos (caps) peri¶o dicos.
7 0 .1 3 N o ta s e stru c tu ra d a s fo rm a d a s p o r o p c io n e s p a ra m o d i¯ c a r e l ¶³n d ic e d e a m o rtiz a c i¶o n c u a n d o la s ta sa s d e in te r¶e s c a m b ia n Una nota estructurada ligada a un ¶³ndice de amortizaci¶o n (Index-Amortization Notes o IAN por sus iniciales en ingl¶e s) es un acuerdo mediante el cual el principal se amortiza de acuerdo a un programa determinado. Este programa de amortizaci¶o n est¶a ligado al nivel de un ¶³ndice predeterminado (usualmente LIBOR) . En este tipo de notas, el emisor tiene la opci¶o n de modi¯car el esquema de amortizaci¶o n del principal a trav¶e s de un cap. En este tipo de notas si el ¶³ndice predeterminado (LIBOR) se eleva por arriba de un cierto nivel R c , entonces la vida promedio de la nota se extiende. Si, por el contrario, el ¶³ndice predeterminado se mantiene en R c o por abaj o de R c , el principal de la nota ser¶a r¶apidamente amortizado, lo que hace que la vida promedio se contraiga. El resto del principal se establece de acuerdo a un esquema predeterminado. Como ilustraci¶o n, considere una nota estructurada ligada a un ¶³ndice de amortizaci¶o n emitida por el FHLB el 15 de septiembre de 1994 y con fecha de vencimiento el 15 de septiembre de 1999. La tasa cup¶o n se calcula trimestralmente (LIBOR a 3 meses + 42 pb) aunque el pago de cupones es anual. Sin embargo, esta nota tiene una restricci¶o n, la diferencia entre dos cupones consecutivos trimestrales no puede ser mayor de 50 pb. De tal forma que la diferencia entre cupones anuales no puede ser mayor de 200 pb. Asimismo, se establece una tasa m¶axima (cap) de 9.5% durante la vida del instrumento. En el primer a~n o el principal permanece sin cambio y, en consecuencia, el esquema de amortizaciones es irrelevante. El 15 de septiembre de 1994 la tasa LIBOR a 3 meses fue de 5.0625%. As¶³, el cup¶o n inicial fue de 5.4825% (5.0625 + 0.42) . Observe tambi¶e n que en un ambiente sin cambios en la tasa de inter¶e s (LIBOR abaj o del 6%) , el 100% del principal estar¶a intacto el primer a~n o. El programa de amortizaci¶o n trimestral de la nota se muestra a continuaci¶o n:
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LIBOR 3 Meses 9.00 % o m¶as 8.75% 8.50% 8.00% 7.75% 7.50% 7.00% 6.50% 6.25% 6.00% o menos
Principal Remanente 100.00% 96.25% 92.50% 85.00% 80.00% 75.00% 65.00% 32.50% 16.25% 0.00%
Cuadro 70.1 Programa de amortizaci¶o n trimestral de la nota. Suponga que el inversionista compra esta nota por $1;000;000:00 de d¶o lares. Si el 15 de septiembre de 1995 la tasa LIBOR est¶a en 7.50%, en virtud del Cuadro 70.1 se observa que se devuelve el 25% del principal ($250,000) , dej ando un saldo en el principal de $750,000. De acuerdo con la f¶o rmula, se espera que el cup¶o n del principal remanente sea de 7.92% (7.50% + 42 pb) , sin embargo, debido a la restricci¶o n (cap) que tenemos en el tama~n o del cup¶o n, la cantidad a pagar ser¶a de 7.4825%. Esto se obtiene de lo siguiente. El 15 de septiembre de 1994, la tasa inicial del cup¶o n fue de 5.4825%, pero el siguiente cup¶o n no puede ser mayor en 50 pb que el cup¶o n precedente, as¶³ que lo m¶as que puede valer es 50 pb cada trimestre, lo que conduce a que en un a~n o se tiene un total de 200 pb. Por lo tanto, si las tasas se elevan r¶apidamente, el inversionista podr¶³a verse atado a un instrumento a 5 a~n os con rendimientos no deseables. Despu¶e s de esta amortizaci¶o n parcial del principal, ¶e ste se aj usta para el siguiente periodo. Si la tasa LIBOR se eleva al 8.0% para el siguiente trimestre, entonces en virtud del Cuadro 70.1, se observa que se devuelve el 15% del principal, dej ando un principal remanente de $637,500 ($750,000 £ 85%) . El pago del cup¶o n ser¶³a de 8.42%, pero la restricci¶o n nos indica que el cup¶o n es 7.9825%, en cuyo caso el inversionista estar¶a obteniendo una ganancia un poco menor que la tasa LIBOR a 3 meses. Observe que al baj ar la tasa LIBOR, la nota se amortiza r¶apidamente. Si la tasa LIBOR permanece igual, el inversionista recibe el 100% del principal y habr¶a obtenido una tasa inferior a la del mercado.
7 0 .1 4 N o ta s e stru c tu ra d a s d e ¶³n d ic e s d u a le s Una nota de ¶³ndice dual, o nota de spread de ¶³ndices, es un instrumento cuyo cup¶o n est¶a ligado a la diferencia (spread) entre dos ¶³ndices de mercado. Los ¶³ndices m¶as comunes en este tipo de notas son: (i) (i) (i) (ii) (iii) (iv ) (v ) (v i) (v ii) (v iii)
Constant Maturity Treasury (CMT) , Treasury Bill (T-Bill) , 12-Month Treasury Average (MTA) , Cost of Deposits Index (CODI) , 11th District Cost of Funds Index (COFI) , Cost of Savings Index (COSI) , London Inter Bank O®ering Rates (LIBOR) , Certi¯cates of Deposit Indexes (CD) , Prime Rate, Fannie Mae's Required Net Yield (RNY) .
De la lista anterior los ¶³ndices que se utilizan con mayor frecuencia son CMT, COFI y LIBOR. Este tipo de notas estructuradas se utilizan para recompensar a los inversionistas que anticipan movimientos a la alza o a la baj a de las curvas de rendimiento asociadas a ¶³ndices. Estas notas pueden tambi¶e n estar ligadas a otro tipo de ¶³ndices como tipos de cambio, ¶³ndices burs¶atiles o precios de bienes.
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Como ej emplo de una nota atractiva para un inversionista con expectativas de una curva plana de rendimiento, asociada a CMT, ser¶³a una nota con tasa cup¶o n que °ota de la siguiente manera: Tasa cup¶o n = CMT a 5 a~n os ¡ CMT a 10 a~n os + Sobretasa. Con base en la f¶o rmula anterior, el cup¶o n se incrementa, junto con la sobretasa, si la curva de rendimiento entre 5 y 10 a~n os es plana. Alternativamente, si el inversionista tiene expectativas de una curva de rendimiento creciente, una nota atractiva para ¶e l ser¶³a una que paga una tasa cup¶o n de la siguiente forma: Tasa cup¶o n = CMT a 10 a~n os ¡ CMT a 5 a~n os + Sobretasa. Considere, como ej emplo, una nota emitida en agosto de 1993 con un periodo de maduraci¶o n de 5 a~n os. Esta emisi¶o n paga una tasa cup¶o n inicial del 5.00% para el primer a~n o y para los cuatro a~n os restantes la tasa cup¶o n °ota de acuerdo a: Tasa cup¶o n = CMT a 5 a~n os ¡ CMT a 10 a~n os + 432 pb. Un a~n o despu¶e s de la emisi¶o n, el rendimiento de CMT a 5 a~n os estaba en 4.70% y el rendimiento CMT a 10 a~n os estaba en 5.34%, lo que produjo una diferencia de ¡ 64 pb. La tasa cup¶o n de la nota para los restantes 4 a~n os est¶a dada por 3.68% = 4.70% - 5.34% + 4.32%. Por supuesto, los compradores de este instrumento ten¶³an expectativas de una curva de rendimiento todav¶³a m¶as plana.
7 0 .1 5 N o ta s e stru c tu ra d a s c o n ta sa s ° o ta n te s a p a la n c a d a s y c o n tra a p a la n c a d a s Las notas estructuradas con tasa °otante apalancada ofrecen al inversionista la oportunidad de recibir un rendimiento inicial por arriba del mercado y la tasa cup¶o n se aj usta en una cantidad preestablecida M > 1 sobre la tasa de inter¶e s relevante (v.g. LIBOR) . Por ejemplo, si M = 1:5, entonces la tasa cup¶o n, se calcula como: Tasa cup¶o n = 1.5 £ LIBOR + 100 pb. De la misma manera, en una nota estructurada con tasa °otante contra-apalancada, la tasa cup¶o n se aj usta en una fracci¶o n preestablecida m < 1 sobre la tasa de inter¶e s relevante (v.g. LIBOR) . Si m = 0:5, entonces Tasa cup¶o n = 0.5 £ LIBOR + 100 pb. Los inversionistas de este tipo de notas anticipan estabilidad en la din¶amica de las tasas de inter¶e s. Por supuesto, con base en estas notas simples se pueden construir otras m¶as complicadas, por ej emplo, una nota que calcule la tasa cup¶o n como max (4.125% , 50% £ Tasa de bonos del Departamento del Tesoro a 10 a~n os + 125 pb) . Es relevante destacar que este tipo de notas se desempe~n a mal ante volatilidades en la tasa de inter¶e s, sin importar la direcci¶o n de la volatilidad. Por lo tanto, los inversionistas que adquieren este tipo de productos pronostican que las tasas de inter¶e s ser¶an estables en el horizonte de inversi¶o n.
7 0 .1 6 N o ta s e stru c tu ra d a s d e ° o ta c i¶o n in v e rsa Este tipo de notas estructuradas tienen una tasa cup¶o n que var¶³a inversamente a un ¶³ndice preestablecido. Por ejemplo, si el ¶³ndice preestablecido es LIBOR o COFI y ¶e ste baj a, la tasa cup¶o n aumenta y viceversa. Existen en el mercado notas de °otaci¶o n inversa sobre los ¶³ndices listados en la secci¶o n 70.14.
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El ej emplo siguiente ilustra una nota de °otaci¶o n inversa emitida por el \Federal National Mortgage Association" (FNMA) en 1992, en la cual la tasa cup¶o n estaba ligada al nivel del COFI. La tasa cup¶o n °otaba de la siguiente manera: Tasa cup¶o n = 11.95% - COFI. Esta tasa cup¶o n se recalculaba mensualmente, pero los pagos eran semestrales. Esta nota venc¶³a el 16 de noviembre de 1995. De acuerdo con la f¶o rmula anterior, el cup¶o n del instrumento aumentaba si el ¶³ndice COFI ca¶³a y viceversa. El nivel del cup¶o n el 16 de septiembre de 1994 fue de 8.09%, momento en que el COFI estaba en 3.86%.
7 0 .1 7 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Black, F. (1976) . \The pricing of commodity contracts" . J o u rn a l o f F in a n cia l E co n o m ics, Vol. 3, No. 1-2, pp. 167-179 Das, S. (1996) . Structured Notes and Derivative Embedded Securities, Euromoney Publications. Ho, T. and S. Lee. (1986) . \Term Structure Movements and Pricing Interest Rate Contingent Claims" . J o u rn a l o f F in a n ce, Vol. 41, No. 5. pp. 1129-1142. Hull, J. C. and A. White (1990) . \Pricing Interest-Rate-Derivative Securities" . T h e R eview o f F in a n cia l S tu d ies, Vol. 3, No. 4, pp. 573-592. Jamshidian, F. (1989) . \An Exact Bond Option Formula" . T h e J o u rn a l o f F in a n ce, Vol. 44, No. 1, pp. 205-209. McCann, K. and J. Cilia (1994) . Structured Notes. Federal Reserve Bank of Chicago, Financial Markets Unit (Supervision and Regulation) , manuscript. Vasicek, O. (1977) . \An Equilibrium Characterization of the Term Structure." J o u rn a l o f F in a n cia l E co n o m ics, Vol. 5, No. 2, pp. 177-188. Venegas-Mart¶³nez, F. (2006) . \Mercados de notas estructuradas: un an¶alisis descriptivo y m¶e todos de valuaci¶o n." E l T rim estre E co n o¶ m ico , por aparecer.
7 0 .1 8 E je rc ic io s 7 0 .1 Considere un bono que se coloca en t = 0 y paga cuatro cupones en las fechas futuras, T 1 , T 2 , T 3 y T 4 . Suponga que el principal es N > 0. Si los cupones se calculan a tasa °otante, (0 ) muestre que en equilibrio B ° o t = N . 7 0 .2 Suponga que la din¶amica estoc¶astica de la tasa corta sigue un proceso de la forma dr t = a (b ¡ r t ) dt + ¾ dW t ; donde a , b y ¾ son cantidades positivas y W rt = r0 e¡
at
¡ + b 1 ¡ e¡
t
at
E[r t j F 0 ] = r 0 e ¡ y Var[r t j F 0 ] = ¾
2
Zt 0
e¡
un movimiento Browniano. Muestre que ¢ +¾
at
Zt
e¡
¡ + b 1 ¡ e¡
2 a (t¡ s )
a (t¡ s )
dW
s;
0
ds =
at
¢
¾2 ¡ 1 ¡ e¡ 2a
2a t
¢ :
7 0 .3 Con base en el ej ercicio anterior, si r 0 » N (0;¾ 2 = 2a ) y Cov(r t ,W t ) =0, obtenga E[r t ] y Var[r t ] : Asimismo, si ( Ã !¯ ) ZT ¯ ¯ B (t;T ) = E exp ¡ r s ds ¯F t ; ¯ t calcule el precio de una opci¶o n que vence en T con precio de ej ercicio K sobre un bono cup¶o n cero que se coloca en T y vence en S .
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7 0 .4 Conteste la misma pregunta del ej ercicio anterior cuando r 0 » N (b;¾ 2 = 2a ) . 7 0 .5 Si la din¶amica estoc¶astica de la tasa corta sigue un proceso de la forma dr t = a (b ¡ r t ) dt + ¾ dW t ; donde a , b y ¾ son cantidades positivas y W
t
un movimiento Browniano, se sigue que
B (r t ;t; T ) = e A donde D (t;T ) =
(t;T )¡ r t D (t;T )
1 ¡ e ¡ a (T ¡ a
;
t)
y
¡2 ¢ ¾ 2 D (t;T ) 2 1 1 2 (D (t;T ) ¡ T + t) a b ¡ ¾ ¡ : 2 a2 4a Asimismo, el precio de una opci¶o n que vence en T con precio de ej ercicio K sobre un bono cup¶o n cero que se coloca en T y vence en S est¶a dado por: A (t;T ) =
c = N [B (t;S ) ©(h ) ¡ K B (t;T ) ©(h ¡ ¾ P ) ] ; donde h =
1 ¾P
ln
μ
B (t;S ) K B (t;T )
¶
¡
¾P 2
y
´ ¾2 ³ 1 ¡ e ¡ 2 a (T ¡ t) D (T ;S ) 2 : 2a Muestre que c y B satisfacen, respectivamente, ¾ P2 =
@c @c @ 2c + ¹ (r t ;t) + 21 ¾ 2 (r t ;t) 2 ¡ r t c t = 0; @t @ rt @ rt
c(r t ;T ; T ;S ) = max (B (r t ;T ; S ) ¡ K )
y @B @B @ 2B + ¹ (r t ;t) + 21 ¾ 2 (r t ;t) 2 ¡ r t B @t @ rt @ rt
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t
= 0;
B (r t ;T ; T ) = 1:
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.
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X V . M E¶ T O D O S N U M E¶ R IC O S P A R A V A L U A R D E R IV A D O S
² 7 1 . M ¶e to d o s d e d iferen cia s ¯ n ita s ² 7 2 . S im u la ci¶o n M o n te C a rlo
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.
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C A P ¶IT U L O 71 M E¶ T O D O S D E D IF E R E N C IA S F IN IT A S C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ²
Valuaci¶o n num¶e rica de productos derivados M¶e todo expl¶³cito de diferencias ¯nitas M¶e todo impl¶³cito de diferencias ¯nitas M¶e todo de diferencias ¯nitas con dos factores
7 1 .1 In tro d u c c i¶o n En la valuaci¶o n de productos derivados, muy frecuentemente, las ecuaciones diferenciales parciales que determinan los precios de dichos instrumentos no tienen una soluci¶o n anal¶³tica. Una alternativa para encontrar soluciones aproximadas consiste en utilizar m¶e todos num¶e ricos, en particular los llamados m¶e todos de diferencias ¯nitas. Es importante destacar que estos m¶e todos pueden verse como una generalizaci¶o n del m¶e todo binomial; siendo este el punto de vista adoptado en este cap¶³tulo. En la literatura sobre an¶alisis num¶e rico existen muchos m¶e todos de diferencias ¯nitas para encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales parciales parab¶o licas. En este cap¶³tulo se presentan varios de estos m¶e todos destacando sus ventaj as y limitaciones.
7 1 .2 C o n stru c c i¶o n d e la m a lla En lo sucesivo se estudiar¶an m¶e todos de soluci¶o n num¶e rica hacia atr¶as (\backward" ) en el tiempo. La diferencia con los m¶e todos hacia adelante (\forward" ) es simplemente un cambio de signo en la variable tiempo. La raz¶o n para considerar el tiempo hacia atr¶as es que las ecuaciones diferenciales parciales que caracterizan los precios de muchos productos derivados tienen asociada una condici¶o n ¯nal. En los m¶e todos de diferencias ¯nitas es muy frecuente utilizar una malla regular en donde los nodos est¶an igualmente espaciados en intervalos de tiempo y/o en intervalos del precio del subyacente. Considere una partici¶o n del intervalo [t;T ] en K subintervalos del mismo tama~n o ¢t. Es decir, (T ¡ t) = K = ¢t. De¯na ahora la siguiente partici¶o n: tk = T ¡ k ¢t;
0· k · K :
(71:1)
Observe que el primer valor de esta partici¶o n corresponde a t0 = T y el u¶ ltimo a tK = t. La partici¶o n de¯nida en (71.1) se ilustra en la Gr¶a¯ca 71.1.
t
t+ ¢ t
j
j
t+ 2 ¢ t
¢¢¢
T = t+ K ¢ t
j
j
Gr¶a¯ca 71.1 Partici¶o n del intervalo de tiempo [t;T ] .
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7 1 . M ¶e to d o s d e d iferen cia s ¯ n ita s
Denote ahora el valor del activo mediante S t y suponga que ¶e ste toma valores entre S 0 y S T . De¯na, en este caso, S i = S 0 + i¢S ; 0 · i · I; (71:2) donde ¢S = (S T ¡ S 0 ) = I . Observe que el valor del activo va de S 0 a S T . Esta partici¶o n de los precios del activo se puede apreciar en la Gr¶a¯ca 71.2. Si se conoce r , entonces S T se puede calcular como S T = S 0 e r T .
S0
j
S 0+ ¢ S
j
S 0+ 2¢ S
j
¢¢¢
S T = S 0+ I¢ S
j
Gr¶a¯ca 71.2. Valores del activo con incrementos constantes ¢S .
Con base en las particiones f tk g 0 · k · K y f S i g 0 · i· I de¯nidas anteriormente, cada nodo de la malla est¶a dado por (S i ;tk ) = (S 0 + i¢S ;T ¡ k ¢t) donde 0 · i · I y 0 · k · K . La Gr¶a¯ca 71.3 muestra una malla regular f tk ;S i g 0 · k · K ; 0 · i· I .
Gr¶a¯ca 71.3 Malla regular del m¶e todo de diferencias ¯nitas.
7 1 .3 C a m b io d e l p re c io d e u n d e riv a d o c o n re sp e c to d e l tie m p o A continuaci¶o n se aproxima el cambio relativo del precio del derivado con respecto del tiempo. En lo sucesivo se denotar¶a el valor del producto derivado, en cada uno de los nodos de la malla, mediante v ik = v (S i ;tk ) = v (S 0 + i¢S ;T ¡ k ¢t) . De esta manera, el super¶³ndice se re¯ere a la variable tiempo y el sub¶³ndice al precio del activo. Ahora bien, por de¯nici¶o n se tiene que @v v (S t ;t + h ) ¡ v (S t ;t) = lim : h! 0 @t h Esta derivada se puede aproximar con nodos horizontales de la malla, su¯cientemente cercanos. Si se supone que v ik y v ik + 1 son conocidos (v¶e ase la Gr¶a¯ca 71.4) , la ecuaci¶o n anterior se puede reescribir como: @v v k ¡ v ik + 1 (S i ;tk ) ¼ i : (71:3) @t ¢t En este caso, el error 1 tiene magnitud O (¢t) : 1
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P o r d e¯ n ici¶o n , O ((¢ t)n ) sa tisfa ce q u e O ((¢ t)n )= (¢ t)n tien d e a u n a co n sta n te cu a n d o (¢ t)! 0 .
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7 1 . M ¶e to d o s d e d iferen cia s ¯ n ita s
Gr¶a¯ca 71.4 Aproximaci¶o n de @ v (S i ;tk ) = @ t con v ik y v ik +
1
conocidos.
La ecuaci¶o n (71.3) se puede j usti¯car como sigue. Considere una expansi¶o n en serie de Taylor de v (S t ;t ¡ ¢t) hasta t¶e rminos de segundo orden, es decir, @ v (S t ;t) (t ¡ ¢t ¡ t) 2 + @t 2! @ v (S t ;t) (¢t) 2 @ 2 v (S t ;t) = v (S t ;t) ¡ ¢t + @t 2! @ t2 @ v (S t ;t) = v (S t ;t) ¡ ¢t + O ((¢t) 2 ) : @t
v (S t ;t ¡ ¢t) = v (S t ;t) + (t ¡ ¢t ¡ t)
@ 2 v (S t ;t) @ t2 (71:4)
La segunda derivada parcial de la expresi¶o n anterior se eval¶u a en (S t ;t¡ μ ¢t) para alg¶u n μ 2 [0;1] . Observe que por de¯nici¶o n O ((¢t) 2 ) satisface que O ((¢t) 2 ) = (¢t) 2 tiende a una constante cuando (¢t) 2 ! 0. Por supuesto, se supone que v = v (S t ;t) tiene derivadas parciales continuas del orden requerido. Si se omite el t¶e rmino de error y se despej a v (S t ;t ¡ ¢t) de la ecuaci¶o n (71.4) , se tiene v (S t ;t ¡ ¢t) ¼ v (S t ;t) ¡ ¢t
@v (S t ;t) : @t
(71:5)
Ahora bien, en t¶e rminos de los puntos de la malla, si t = tk y S t = S 0 + i¢S ; se sigue que tk ¡ ¢t = T ¡ k ¢t ¡ ¢t = T ¡ (k + 1) ¢t y (
v (S 0 + i¢S ;tk ) = v (S 0 + i¢S ;T ¡ k ¢t) = v ik
v (S 0 + i¢S ;tk ¡ ¢t) = v (S 0 + i¢S ;T ¡ (k + 1) ¢t) = v ik + 1 ;
(71:6)
Despu¶e s de sustituir las ecuaciones anteriores en (71.5) , se obtiene v ik ¼ v ik + 1 + ¢t
@v (S i ;tk ) : @t
(71:7)
En otras palabras, @v v k ¡ v ik + 1 (S i ;tk ) ¼ i : @t ¢t
(71:8)
Esta aproximaci¶o n tiene un error O (¢t) , ya que O ((¢t) 2 ) = ¢t = O (¢t) . Este resultado coincide con (71.3) .
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7 1 . M ¶e to d o s d e d iferen cia s ¯ n ita s
7 1 .4 C a m b io d e l p re c io d e u n d e riv a d o c o n re sp e c to d e l p re c io d e l su b y a c e n te A continuaci¶o n se aproxima la raz¶o n de cambio del precio de un derivado, v , con respecto del precio del subyacente, S t . En este caso se tienen, fundamentalmente, tres formas distintas para calcular dicha aproximaci¶o n. Para ello, se examina una secci¶o n vertical de la malla ¯j ando el tiempo, como se muestra en la Gr¶a¯ca 71.5. Se destacan los siguientes tres casos. La diferencia \forward" , la cual est¶a dada por v k ¡ v ik @v (S i ;tk ) ¼ i+ 1 ; @St ¢S k donde v i+
1
(71:9)
= v (S 0 + (i + 1) ¢S ;tk ) y v ik = v (S 0 + i¢S ;tk ) : La diferencia \backward" k v k ¡ v i¡ @v 1 (S i ;tk ) ¼ i ; @St ¢S
k donde v i¡
1
(71:10)
= v (S 0 + (i ¡ 1) ¢S ;t) . Por u¶ ltimo, la diferencia central k v k ¡ v i¡ @v 1 (S i ;tk ) ¼ i+ 1 : @St 2¢S
(71:11)
Es importante destacar que las diferencias \forward" y \backward" tiene un error O (¢S ) , mientras que la diferencia central lo tiene de O (¢S ) 2 . A continuaci¶o n se justi¯can las aproximaciones (71.9) , (71.10) y (71.11) . Todas ellas utilizan una expansi¶o n en serie de Taylor.
Gr¶a¯ca 71.5 Tres diferentes formas de aproximar @ v (S i ;tk ) = @ S t en (S i ;tk ) .
7 1 .4 .1 D ife re n c ia \ fo rw a rd " Considere una expansi¶o n en serie de Taylor del valor del derivado v (S t ;t) de la siguiente forma: @ v (S t ;t) (S t + ¢S ¡ S t ) 2 + @S 2! 2 2 @ v (S t ;t) (¢S ) @ v (S t ;t) = v (S t ;t) + ¢S + @St 2! @ S t2 @ v (S t ;t) = v (S t ;t) + ¢S + O ((¢S ) 2 ) : @St
v (S t + ¢S ;t) = v (S t ;t) + (S t + ¢S ¡ S t )
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@ 2 v (S t ;t) @ S t2 (71:12)
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7 1 . M ¶e to d o s d e d iferen cia s ¯ n ita s
La segunda derivada parcial de la expresi¶o n anterior se eval¶u a en (S t + μ ¢S ;t) para alg¶u n μ 2 [0;1] . Si se omite el t¶e rmino de error en la expresi¶o n anterior, se sigue que v (S t + ¢S ;t) ¼ v (S t ;t) + ¢S
@ v (S t ;t) : @St
(71:13)
En t¶e rminos de valores en los nodos de la malla, se tiene que: v ik = v (S i ;tk )
y
k v i+
1
= v (S 0 + (i + 1) ¢S ;tk ) :
(71:14)
Por lo tanto, la aproximaci¶o n (71.13) en el nodo (S i ;tk ) puede reescribirse como v k ¡ v ik @v (S i ;tk ) ¼ i+ 1 : @St ¢S
(71:15)
Evidentemente, la expresi¶o n anterior tiene un error de magnitud O (¢S ) .
7 1 .4 .2 D ife re n c ia \ b a c k w a rd " Considere una expansi¶o n en serie de Taylor del valor del derivado v (S t ;t) de la siguiente forma: v (S t ¡ ¢S ;t) = v (S t ;t) + (S t ¡ ¢S ¡ S t )
@ v (S t ;t) (S t ¡ ¢S ¡ S t ) 2 + @St 2!
@ 2 v (S t ;t) @ S t2
@ v (S t ;t) = v (S t ;t) ¡ ¢S + O ((¢S ) 2 ) : @St
(71:16)
La segunda derivada parcial de la expresi¶o n anterior se eval¶u a en (S t ¡ μ ¢S ;t) para alg¶u n μ 2 [0;1] . Si se omite el t¶e rmino de error y se despej a v (S t ¡ ¢S ;t) de la ecuaci¶o n anterior, se obtiene @ v (S t ;t) v (S t ¡ ¢S ;t) ¼ v (S t ;t) ¡ ¢S : (71:17) @St Ahora bien, en t¶e rminos de valores en los nodos de la malla, si S t = S 0 + i¢S , se tiene que k v (S 0 + (i ¡ 1) ¢S ;tk ) = v i¡ 1:
(71:18)
Por lo tanto, la ecuaci¶o n (71.17) conduce a la siguiente aproximaci¶o n: k v k ¡ v i¡ @v 1 (S i ;tk ) ¼ i ; @St ¢S
(71:19)
la cual tiene un error de magnitud O (¢S ) .
7 1 .4 .3 D ife re n c ia c e n tra l La diferencia central utiliza las diferencias \forward" y \backward" . Por un lado, en virtud de (71.12) , se obtiene que v (S t + ¢S ;t) = v (S t ;t) + ¢S
@ v (S t ;t) (S t + ¢S ¡ S t ) 2 + @St 2!
@ 2 v (S t ;t) + O ((¢S ) 3 ) : @ S t2
(71:20)
@ 2 v (S t ;t) + O ((¢S ) 3 ) : @ S t2
(71:21)
Por otro lado, con base en (71.16 ) , se tiene que v (S t ¡ ¢S ;t) = v (S t ;t) ¡ ¢S
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@ v (S t ;t) (S t ¡ ¢S ¡ S t ) 2 + @St 2!
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En consecuencia, si se toma la diferencia entre las ecuaciones (71.20) y (71.21) , se sigue que @ v (S t ;t) v (S t + ¢S ;t) ¡ v (S t ¡ ¢S ;t) = + O ((¢S ) 2 ) : @St 2¢S
(71:22)
En t¶e rminos de nodos de la malla, se obtiene la siguiente aproximaci¶o n: k v k ¡ v i¡ @v 1 (S i ;tk ) ¼ i+ 1 : @St 2¢S
(71:23)
La diferencia central tiene un error de magnitud O ((¢S ) 2 ) , el cual es menor que el de las diferencias \forward" o \backward" , como puede notarse, esto se debe a la cancelaci¶o n de varios t¶e rminos de las expansiones (71.20) y (71.21) . Es importante destacar que en el c¶alculo de la diferencia central se requiere conocer los valores de v en S t + ¢S y S t ¡ ¢S . De esta manera, si se est¶a en la frontera de la regi¶o n, es decir, en i = 0 ¶o i = I , entonces no es posible calcular dicha aproximaci¶o n y se tendr¶an que utilizar las diferencias \forward" o \backward" . Suponga ahora que se desean utilizar los puntos S t , S t + ¢S y S t + 2¢S para aproximar la derivada de v con respecto de S t . En este caso, se tiene que v (S t + ¢S ;t) = v (S t ;t) + ¢S
@ v (S t ;t) (¢S ) 2 @ 2 v (S t ;t) + + O ((¢S ) 3 ) : @St 2! @ S t2
(71:24)
Por otro lado, si se expande v de la siguiente manera @ v (S t ;t) @St (S t + 2¢S ¡ S t ) 2 @ 2 v (S t ;t) + + O ((¢S ) 3 ) 2! @ S t2 @ v (S t ;t) @ 2 v (S t ;t) = v (S t ;t) + 2¢S + 2(¢S ) 2 + O ((¢S ) 3 ) @St @ S t2
v (S t + 2¢S ;t) = v (S t ;t) + (S t + 2¢S ¡ S t )
(71:25)
y se omite el t¶e rmino de error, se tiene v (S t + 2¢S ;t) ¼ v (S t ;t) + 2¢S
@ v (S t ;t) @ 2 v (S t ;t) ¡ 2(¢S ) 2 : @St @ S t2
(71:26)
Si se considera ahora la siguiente combinaci¶o n de las ecuaciones (71.25) y (71.26) : @ v (S t ;t) @ 2 v (S t ;t) v (S t + 2¢S ;t) ¡ 4v (S t + ¢S ;t) ¼ v (S t ;t) + 2¢S + 2(¢S ) 2 @St @ S t2 μ ¶ 2 2 @ v (S t ;t) (¢S ) @ v (S t ;t) ¡ 4 v (S t ;t) + ¢S + @St 2! @ S t2 @ v (S t ;t) ¡ 3v (S t ;t) ¡ 2¢S @St
(71:27)
y se despej a @ v (S t ;t) = @ S t , se obtiene @ v (S t ;t) 4v (S t + ¢S ;t) ¡ 3v (S t ;t) ¡ v (S t + 2¢S ;t) ¼ : @St 2¢S
(71:28)
La expresi¶o n anterior se puede expresar, en t¶e rminos de nodos de la malla, como: k k k 4v i+ @v 1 ¡ 3v i ¡ v i+ 2 (S i ;tk ) ¼ ; @St 2¢S
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(71:29)
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la cual tiene un error O ((¢S ) 2 ) . Esta aproximaci¶o n es del mismo orden de aj uste que la diferencia central. De la misma manera, si lo que se desea es aproximar la derivada de v con respecto de S t utilizando la diferencia \backward" , es decir, empleando S t , S t ¡ ¢S y S t ¡ 2¢S , se tiene que @ v (S t ;t) ¡ 4v (S t ¡ ¢S ;t) + 3v (S t ;t) + v (S t ¡ 2¢S ;t) ¼ @St 2¢S o en t¶e rminos de la malla
k k k ¡ 4v i¡ @v 1 + 3v i + v i¡ 2 (S i ;tk ) ¼ ; @St 2¢S
(71:30)
(71:31)
la cual tiene un error (O (¢S ) 2 ) . Por u¶ ltimo, para aproximar la segunda derivada de v con respecto del precio de S t en (S i ;tk ) , con base en la diferencia central, se puede mostrar f¶acilmente que k k k v i+ @ 2v 1 ¡ 2v i + v i¡ 1 (S ;t ) ¼ ; (71:32) i k @ S t2 (¢S ) 2 con un error de magnitud (O (¢S ) 2 ) . Es importante destacar que en la pr¶actica, la aproximaci¶o n anterior se utiliza con mucha frecuencia.
7 1 .5 E l m ¶e to d o e x p l¶³c ito d e d ife re n c ia s ¯ n ita s Considere una ecuaci¶o n diferencial parcial de segundo orden de la forma @v @ 2v @v + ¾ (S t ;t) 2 + ¹ (S t ;t) + ° (S t ;t) v = 0; @t @St @St
(71:33)
donde ¾ (S t ;t) > 0. Por supuesto, j unto con (71.33) se requiere especi¯car una condici¶o n ¯nal v (S t ;T ) = h (S t ) para alguna funci¶o n h . Al sustituir en la expresi¶o n anterior las aproximaciones con diferencias centrales de las derivadas parciales, obtenidas en las secciones anteriores, se tiene v ik ¡ v ik + ¢t
1
+ ¾ ik
Ã
k k k v i+ 1 ¡ 2v i + v i¡ (¢S ) 2
1
!
+ ¹ ik
Ã
k k v i+ 1 ¡ v i¡ 2¢S
1
!
+ ° ik v ik = 0:
(71:34)
El error en la ecuaci¶o n es del orden O (¢t;(¢S ) 2 ) . Las funciones ¹ ; ¾ y ° se val¶u an en S i = S 0 + i¢S y en tk = T ¡ k ¢t. Si se resuelve la ecuaci¶o n anterior en t¶e rminos de v ik + 1 , se sigue inmediatamente que k k k k k v ik + 1 = M ik v i¡ (71:35) 1 + (1 + N i ) v i + P i v i+ 1 ; donde M N P q1 =
k k k 1 i = q1 ¾ i ¡ 2 q2 ¹ i ; k k k i = ¡ 2q 1 ¾ i + (¢t) ° i ; k k k 1 i = q1 ¾ i + 2 q2 ¹ i ;
¢t (¢S ) 2
y
q2 =
¢t : ¢S
La ecuaci¶o n (71.35) se calcula en i = 1;2;:::;I ¡ 1, es decir, en puntos interiores, puesto que v ¡k 1 y v Ik + 1 no est¶an de¯nidos. As¶³ pues, existen I ¡ 1 ecuaciones para I + 1 variables desconocidas v ik . Las condiciones de frontera para i = 0 e i = I proporcionan las dos ecuaciones faltantes. Debido a que la relaci¶o n entre los valores del derivado en el tiempo tk + 1 es funci¶o n s¶o lo de los valores del derivado en el tiempo tk , a este m¶e todo se le conoce como el m¶e todo expl¶³cito de diferencias ¯nitas (v¶e ase la Gr¶a¯ca 71.6) . Aunque el m¶e todo expl¶³cito es f¶acil de programar, no siempre converge. Por u¶ ltimo, es importante destacar que la convergencia depende de la magnitud de los intervalos de tiempo y de precios del activo subyacente, as¶³ como de las formas funcionales de ¹ , ¾ y °.
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Gr¶a¯ca 71.6 M¶e todo expl¶³cito de diferencias ¯nitas.
7 1 .6 M ¶e to d o im p l¶³c ito d e d ife re n c ia s ¯ n ita s El m¶e todo impl¶³cito siempre converge y para aproximar v utiliza los nodos de la malla como se muestra en la Gr¶a¯ca 71.7. En este caso, la relaci¶o n \backward" entre los valores del derivado sobre la malla se toma de la siguiente manera à ! à ! k+ 1 k+ 1 k+ 1 k+ 1 k+ 1 v i+ + v i¡ v i+ v ik ¡ v ik + 1 1 ¡ 2v i 1 1 ¡ v i¡ 1 k+ 1 k+ 1 + ¾i +¹i + ° ik + 1 v ik + 1 = 0: (71:36) ¢t ¢S 2 2¢S El error de este m¶e todo es O (¢t;(¢S ) 2 ) .
Gr¶a¯ca 71.7 M¶e todo impl¶³cito de diferencias ¯nitas. La ecuaci¶o n (71.36) se puede escribir como M
k+ 1 k+ 1 v i¡ 1 i
donde M N P
+ (1 + N
k+ 1 ) v ik + 1 i
k+ 1 k + P ik + 1 v i+ 1 = vi ;
(71:37)
k+ 1 = ¡ q 1 ¾ ik + 1 ¡ 21 q 2 ¹ ki + 1 ; i k+ 1 = 2q 1 ¾ ik + 1 ¡ (¢t) ° ik + 1 ; i k+ 1 = ¡ q 1 ¾ ik + 1 + 12 q 2 ¹ ik + 1 ; i
q1 =
¢t (¢S ) 2
y
q2 =
¢t : ¢S
Como antes, esta ecuaci¶o n no se cumple para i = 0 ¶o i = I , las condiciones de frontera proporcionan las ecuaciones faltantes. Las diferencias principales entre este m¶e todo y el m¶e todo expl¶³cito son la estabilidad del m¶e todo y el procedimiento de soluci¶o n. Ahora, para calcular v ik + 1 a partir de v ik se requiere resolver un sistema de ecuaciones lineales.
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7 1 .7 M ¶e to d o s d e d ife re n c ia s ¯ n ita s p a ra m o d e lo s d e d o s fa c to re s Muchos modelos para valuar derivados utilizan dos movimientos Brownianos. Por ejemplo, cuando el activo subyacente tiene volatilidad estoc¶astica o cuando el derivado se descuenta a una tasa corta variable. A continuaci¶o n, se presenta el m¶e todo de diferencias ¯nitas para encontrar soluciones num¶e ricas de este tipo de derivados. En dimensiones mayores (tres o m¶as) , de¯nitivamente es mej or utilizar el m¶e todo de simulaci¶o n Monte Carlo. Considere la siguiente ecuaci¶o n de dos factores de riesgo: @v @ 2v @v + ¾ (S t ;r t ;t) 2 + ¹ (S t ;r t ;t) + ° (S t ;r t ;t) v @t @St @St @ 2v @ 2v @v + ¯ (S ;r;t) 2 + ® (S t ;r t ;t) + Á (S t ;r t ;t) = 0: @ rt @ S t@ r t @ rt
(71:38)
En este caso se utiliza una malla tridimensional S i = S 0 + i¢S ;
r j = r 0 + j ¢r
y
tk = T ¡ k ¢t:
k El precio del derivado se escribe como v (S i ;r j ;tk ) = v ij . Para resolver esta ecuaci¶o n mediante 0 diferencias ¯nitas se requiere una condici¶o n ¯nal v (S i ;r j ;T ) = v ij . La ecuaci¶o n (71.38) se aproximar¶a utilizando diferencias centrales. En consecuencia, la segunda derivada @ 2 v = @ S t @ r t se aproxima mediante la expresi¶o n ³ ´ @ v (S + ¢S ;r ;t) ¡ @ v (S ¡ ¢S ;r ;t) @ @v t t @ rt @ rt t @ rt t ¼ : (71:39) @St 2¢S
Observe que k v i+ @v (S i + ¢S ;r j ;t) ¼ @ rt
k ¡ v i+ 2¢r
1 ;j ¡ 1
k ¡ v i¡ 2¢r
1 ;j ¡ 1
;
k ¡ v i+
1 ;j ¡ 1
1 ;j + 1
y k v i¡ @v (S i ¡ ¢S ;r j ;t) ¼ @ rt
1 ;j + 1
lo cual conduce a una discretizaci¶o n de (71.38) de la forma Ã
k v i+
k ¡ v i+ 2¢r
1 ;j + 1
1 ;j ¡ 1
¡
k v i¡
k ¡ v i¡ 2¢r
1 ;j + 1
1 ;j ¡ 1
!
k v i+ 1 = 2¢S
1 ;j + 1
k k ¡ v i¡ 1 ;j + 1 + v i¡ 4(¢S ) (¢r )
1 ;j ¡ 1
:
Esta aproximaci¶o n preserva la propiedad @ 2v @ 2v = : @ S t@ r t @ r t@ S t De esta manera, el m¶e todo de diferencias expl¶³citas para dos factores conduce a à ! à ! k+ 1 k k k k k k v ij ¡ v ij v i+ v i+ 1 ;j ¡ 2v ij + v i¡ 1 ;j 1 ;j ¡ v i¡ 1 ;j k k k k + ¾ ij + ¹ ij + ° ij v ij ¢t (¢S ) 2 2¢S à ! à ! k k k k k k k v i;j v i+ + 1 ¡ 2v ij + v i;j ¡ 1 1 ;j + 1 ¡ v i+ 1 ;j ¡ 1 ¡ v i¡ 1 ;j + 1 + v i¡ 1 ;j ¡ 1 k k + ¯ ij + ® ij (¢r ) 2 4(¢S ¢r ) à ! k k v i;j + 1 ¡ v i;j ¡ 1 k + Á ij =0 2¢r
(71:40)
con un error O (¢t;(¢S ) 2 ;(¢r ) 2 ) .
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7 1 .8 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Smith G. D. (1986) . Numerical Solution of Partial Di®erential Equations: Finite Di®erence Methods (Oxford Applied Mathematics & Computing Science Series) . 3rd edition. Oxford University Press. Wilmott, P., S. Howison, and J. Dewynne (1995) . The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction. Cambridge University Press.
7 1 .9 E je rc ic io s 7 1 .1 Muestre que la segunda derivada del precio del derivado con respecto del precio del subyacente se puede aproximar, con base en la diferencia central, mediante k k k v i+ @ 2v 1 ¡ 2v i + v i¡ 1 (S ;t ) ¼ : i k @ S t2 (¢S ) 2
7 1 .2 De acuerdo con el m¶e todo expl¶³cito de diferencias ¯nitas desarrollado en la secci¶o n 71.5, se tiene que k k k k k v ik + 1 = M ik v i¡ 1 + (1 + N i ) v i + P i v i+ 1 : Determine M i , N k+ 7 1 .3 Despej e v ij
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1
i
y P i para la ecuaci¶o n diferencial parcial est¶andar de Black-Scholes.
de la ecuaci¶o n (71.40) . (La soluci¶o n es casi inmediata) .
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C A P ¶IT U L O 72 S IM U L A C IO¶ N M O N T E C A R L O C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ²
M¶e todo de Monte Carlo Generaci¶o n de n¶u meros aleatorios Prueba  2 de aleatoriedad Prueba de Kolmogorov-Smirnov de aleatoriedad Valuaci¶o n de derivados con el m¶e todo Monte Carlo
7 2 .1 In tro d u c c i¶o n El m¶e todo de Monte Carlo permite encontrar soluciones aproximadas de problemas matem¶aticos que involucran variables aleatorias dependientes del tiempo. Aunque las bases te¶o ricas del m¶e todo se conoc¶³an desde hace mucho tiempo, no fue sino hasta la aparici¶o n de las computadoras que ¶e ste empez¶o a cobrar un mayor inter¶e s. No obstante, la primera introducci¶o n formal se debe a Metropolis y Ulam en su art¶³culo \The Monte Carlo Method" publicado en 1949 en el \Journal of the American Statistical Association" . El M¶e todo Monte Carlo tiene dos caracter¶³sticas principales: (i) requiere un procedimiento para calcular realizaciones o trayectorias de variables aleatorias, dependientes del tiempo mediante ensayos independientes; p (ii) usualmente, el error es proporcional a la magnitud; D =N , donde D es una constante y N es el n¶u mero de ensayos. Es importante destacar, con respecto a (ii) , que para disminuir el error 10 veces es necesario incrementar N a 100. Por supuesto, diferentes valores de D corresponden a diferentes procedimientos de c¶alculo, por lo que es importante dise~n ar uno que tenga asociado un valor peque~n o de D . Asimismo, la e¯ciencia del m¶e todo de simulaci¶o n Monte Carlo depende, en gran medida, de la calidad de los n¶u meros aleatorios generados, es decir, se requiere que posean un alto grado de aleatoriedad. A continuaci¶o n se presentan algunos m¶e todos para generar n¶u meros aleatorios y seudo-aleatorios.
7 2 .2 N u¶ m e ro s a le a to rio s Una posibilidad para generar n¶u meros aleatorios provenientes de una distribuci¶o n uniforme consiste en utilizar un dispositivo que produce pulsos (ruidos) electr¶o nicos. Si durante un intervalo ¯j o de tiempo el n¶u mero de pulsos que sobrepasan un umbral determinado es par, se asocia un cero, mientras que si se excede dicho umbral con un n¶u mero de pulsos impar, se asocia un uno. Si se tienen m dispositivos de este tipo que funcionan paralelamente y producen ceros y unos, entonces la proporci¶o n de unos provee un valor de una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo [0,1] .
7 2 .3 N u¶ m e ro s se u d o -a le a to rio s Como se mencion¶o antes, la e¯ciencia del m¶e todo de Monte Carlo depende de un procedimiento para generar n¶u meros aleatorios de la mej or manera posible, para lo cual se han desarrollado un gran n¶u mero de investigaciones te¶o ricas. Al respecto, John von Neumann estableci¶o lo que se conoce como el peca d o o rigin a l de la generaci¶o n de n¶u meros aleatorios, el cual consiste en utilizar
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algoritmos aritm¶e ticos para su producci¶o n. En lo sucesivo, los n¶u meros aleatorios que se generen con alg¶u n algoritmo aritm¶e tico ser¶an llamados n¶u meros seudo-aleatorios.
7 2 .4 M ¶e to d o d e c o n g ru e n c ia s lin e a le s p a ra la g e n e ra c i¶o n d e n u¶ m e r o s se u d o -a le a to rio s En esta secci¶o n se presenta el m¶e todo de congruencias, o residuos. Este es uno de los algoritmos m¶as simples y conocidos para generar n¶u meros aleatorios. A continuaci¶o n se describe dicho algoritmo. De¯na, primero, X n + 1 ´ (a X n + b) (mod m ) ; n 2 IN [ f 0g ; X 0 dado; (72:1) donde los n¶u meros enteros a ;b y m son constantes. Observe que la operaci¶o n aritm¶e tica que establece la ecuaci¶o n anterior es aX n + b residuo =z+ ; m m donde z es un n¶u mero entero y X n + 1 = residuo: (72:2) Considere ahora el siguiente ej emplo de un generador congruencial lineal. Sean b = 0, a = 16807 = 75 y m = 2 3 1 ¡ 1, entonces (72.1) se transforma en X n + 1 ´ (16807X n ) (mod m ) : (72:3) Observe que m = 2 3 1 ¡ 1 = 2147483647. Al utilizar la ecuaci¶o n recursiva (72.3) se generan los siguientes 25 n¶u meros seudo-aleatorios, los cuales aparecen en el Cuadro 72.1.
N¶u meros seudo-aleatorios X n X 0 1 X 1 16807 X 2 282475249 X 3 1622650073 X 4 984943658 X 5 1144108930 X 6 470211272 X 7 101027544 X 8 1457850878 X 9 1458777923 X 10 2007237709 X 11 823564440 X 12 1115438165 X 13 1784484492 X 14 74243042 X 15 114807987 X 16 1137522503 X 17 1441282327 X 18 16531729 X 19 823378840 X 20 143542612 X 21 896544303 X 22 1474833169 X 23 1264817709 X 24 1998097157 X 25 1817129560 Cuadro 72.1 Generaci¶o n de 25 n¶u meros seudo-aleatorios con el m¶e todo de congruencias.
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Con base en el Cuadro 72.1, los valores consecutivos de estos n¶u meros seudo-aleatorios por pares, (X n ;X n + 1 ) , se gra¯can a continuaci¶o n:
Gr¶a¯ca 72.1 Pares consecutivos de n¶u meros seudo-aleatorios.
7 2 .5 P ru e b a s e sta d ¶³stic a s d e a le a to r ie d a d A continuaci¶o n se presentan las pruebas estad¶³sticas j i-cuadrada ( 2 ) y Kolmogorov-Smirnov sobre la ca lid a d de los n¶u meros aleatorios producidos por Excel. La prueba de bondad de aj uste  2 es posiblemente la m¶as conocida de las pruebas estad¶³sticas. En esta prueba se toman n observaciones independientes y se de¯nen k clases exhaustivas y mutuamente excluyentes en las que cada observaci¶o n puede caer. En este marco, sea p s la probabilidad de que una observaci¶o n caiga en la clase s y Y s el n¶u mero de observaciones que caen en la clase s , se de¯ne el estad¶³stico
V =
Xk (Y s ¡ n p s ) 2 : n ps s= 1
(72:4)
Ahora bien, si se toman en cuenta las siguientes identidades; (Y s ¡ n p s ) 2 = Y s2 ¡ 2n p s Y s + n 2 p 2s ;
(72:5)
Y 1 + Y 2 + ¢¢¢ + Y k = n
(72:6)
y p 1 + p 2 + ¢¢¢ + p k = 1; V tambi¶e n puede escribirse como V =
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k 1 X Y s2 ¡ n: n s= 1 p s
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Si se utiliza el generador de n¶u meros aleatorios de Excel de una distribuci¶o n uniforme en el intervalo [0;1] para producir una muestra de tama~n o n = 10;000 y se de¯nen k = 10 clases, en cuyo caso el n¶u mero de grados de libertad est¶a dado por º = k ¡ 1 = 9, entonces la probabilidad de generar los n¶u meros aleatorios en cada categor¶³a es la misma, p s = 0:10, y la hip¶o tesis nula es H
0
: p s = 0:10
s = 1;2;:::;10:
Dado que el tama~n o de la muestra es n = 10;000 y la probabilidad es p s = 0:10, se tiene que la frecuencia esperada es n p s = 1;000. Los resultados obtenidos, a un nivel de con¯anza del 95%, se muestran en el Cuadro 72.2. A partir de tablas de una distribuci¶o n ji-cuadrada, se tiene que  20 :9 5 ;9 = 16:92 y  20 :9 9 ;9 = 21:67: En consecuencia, no se puede rechazar la hip¶o tesis de que Excel genera n¶u meros aleatorios. Clase k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Valor de la estad¶³stica V :
Observaciones, Y s 1030 991 975 1026 982 969 996 1053 988 989 6.657
Cuadro 72.2 Resultados de una prueba de aleatoriedad j i-cuadrada aplicada a Excel. Una prueba de bondad de aj uste m¶as apropiada que la j i-cuadrada cuando la distribuci¶o n bajo la hip¶o tesis nula, F 0 (x ) , es continua es basada en la estad¶³stica de Kolmogorov-Smirnov. La prueba no necesita que los datos se encuentren agrupados en clases y es aplicable a muestras de tama~n o peque~n o. La prueba consiste en comparar la funci¶o n de distribuci¶o n emp¶³rica que se observa en la muestra ordenada, F n (x ) , con la distribuci¶o n propuesta baj o la hip¶o tesis nula, F 0 (x ) . Si esta comparaci¶o n revela una diferencia su¯cientemente grande, entonces la hip¶o tesis nula se rechaza. A continuaci¶o n se presenta el procedimiento para llevar a cabo una prueba de Kolmogorov-Smirnov de aleatoriedad. (i) Se toman n observaciones independientes de una variable aleatoria X : X 1 ;X 2 ;:::;X de¯ne la funci¶o n de distribuci¶o n emp¶³rica mediante F n (x ) =
n¶u mero de variables
X 1 ;X 2 ;:::;X n
n
que son
· x
;
n
, y se
x 2 IR:
(ii) Se reordenan las observaciones en forma ascendente, X (1 ) · X (2 ) · ::: · X (n ) ; las llamadas estad¶³sticas de orden. (iii) Se de¯nen las estad¶³sticas de Kolmogorov-Smirnov, K n+ y K n¡ , las cuales est¶an dadas por μ ¶ p j + K n = n max ¡ F 0 (X (j ) ) 1 · j· n n y K
¡ n
=
p
μ n max F 0 (X 1 · j· n
j¡ 1 (j ) ) ¡ n
¶
;
donde K n+ mide la m¶axima desviaci¶o n cuando F n es mayor que F 0 , y K desviaci¶o n cuando F n es menor que F 0 .
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¡ n
mide la m¶axima
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A continuaci¶o n se aplica la prueba de Kolmogorov-Smirnov al generador de n¶u meros aleatorios de Excel. En este caso, se toma una muestra de tama~n o n = 1;000, se reordena, se propone 2 F 0 (x ) = 1 ¡ e ¡ 2 x y se calculan K 1+ ;0 0 0 y K 1¡;0 0 0 para tres muestras del mismo tama~n o. Los resultados obtenidos se presentan en Cuadro 72.3. Para muestras de tama~n o entre 1 y 30, se utilizan tablas para determinar el valor cr¶³tico de K n+ ;1 ¡ ® para un valor mayor a 30, se puede utilizar la siguiente ecuaci¶o n: K donde y ®2 =
1 2
+ n ;1 ¡ ®
1 6
= y® ¡
n¡
1=2
+ o (1= n ) ;
(72:8)
ln(1= ® ) y 1 ¡ ® es la probabilidad asociada al nivel de con¯anza. Valores muestrales de K n+ y K n¡ n = 1000 para cada muestra Muestra K n+ K n¡ 1 4.8647 0.0004985 2 5.1297 3:77 £ 10 ¡ 6 3 4.6516 2:89 £ 10 ¡ 6 Cuadro 72.3 Prueba de Kolmogorov Smirnov.
Con base en la ecuaci¶o n (72.8) , para n = 1;000 y distintos valores de 1 ¡ ® , se obtienen los siguientes valores cr¶³ticos de K n+ ;1 ¡ ® y K n¡ ;1 ¡ ® .
1 ¡ ® = 1% 0.0666
Valores cr¶³ticos de K n+ ;1 ¡ ® 1 ¡ ® = 5% 1 ¡ ® = 95% 0.1559 1.2196
Cuadro 72.4 Estad¶³sticas K
+ n ;1 ¡ ®
1 ¡ ® = 99% 1.5132
para diferentes valores de 1 ¡ ® .
El proceso de decisi¶o n de la prueba es como sigue: dado un nivel de con¯anza del (1 ¡ ® ) %, se rechaza la hip¶o tesis nula, H 0 , si K n+ > K n+ ;® . En este caso, en virtud de los Cuadros 72.3 y 72.4 se tienen los siguientes resultados
Muestra 1 2 3
K n+ > K n+ ;0 :9 9 4.8647> 1.5132 5.1297> 1.5132 4.6516> 1.5132
Cuadro 72.5 Comparaci¶o n entre valores muestrales y cr¶³ticos en la prueba de Kolmogorov-Smirnov. Observe que los valores de los estad¶³sticos muestrales exceden a los valores cr¶³ticos, es decir, caen en la regi¶o n de rechazo. Por esta raz¶o n, la distribuci¶o n emp¶³rica es distinta a la distribuci¶o n te¶o rica. Es decir, se concluye que el generador de n¶u meros aleatorios de Excel no pasa la prueba de aleatoriedad.
7 2 .6 A p lic a c i¶o n d e l m ¶e to d o M o n te C a rlo a l c ¶a lc u lo d e o p c io n e s e u ro p e a s d e c o m p ra y v e n ta Suponga que el activo subyacente se comporta de acuerdo a un movimiento geom¶e trico Browniano en un mundo neutral al riesgo, es decir, dS t = r S t dt + ¾ S t dW t ;
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(72:9)
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donde r es una tasa de inter¶e s constante, ¾ es la volatilidad instant¶anea y dW t » N (0;dt) . Los precios de opciones europeas de compra y venta, est¶an dados, respectivamente, por c(S t ;T ) = e ¡
r (T ¡ t)
p (S t ;T ) = e ¡
r (T ¡ t)
E[max(S T ¡ t ¡ K ;0) j F 0 ]
(72:10)
E[max(K ¡ S T ¡ t ;0) j F 0 ] :
(72:11)
y Si se utilizan incrementos discretos, el precio del activo subyacente, en la ecuaci¶o n (72.9) , se puede escribir como p ¢S t = r S t ¢t + ¾ S t ¢t E ; (72:12) donde E es una variable normal est¶andar. Esta forma discreta de simular la serie de S t es conocida como el m¶e todo de Euler. En este caso, a partir del valor inicial S 0 y la generaci¶o n de un n¶u mero aleatorio de E , se calcula un posible valor de ¢S 1 , el cual, posteriormente, se utiliza para calcular S 1 = S 0 + ¢S 1 , y as¶³ sucesivamente. El m¶e todo es f¶acil de aplicar a una ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica y tiene un error del tipo O (¢t) . Por otro lado, la aplicaci¶o n del lema de It^o , a (72.9) , conduce a la siguiente ecuaci¶o n: ¡ d(ln S t ) = r ¡
1 2
¢ ¾ 2 dt + ¾ dW t ;
(72:13)
o p ¢ ¾ 2 ¢t + ¾ ¢t E :
(72:14)
la cual tiene una versi¶o n discreta dada por S t+
¢ t
= S t exp
n¡ r¡
1 2
En este caso, la serie simulada de precios del activo subyacente se genera iniciando con un valor S 0 y la generaci¶o n de un n¶u mero aleatorio de E 1 para obtener un posible valor de S 1 y as¶³ sucesivamente. Con base en las ideas anteriores, se puede proponer el siguiente algoritmo para determinar el valor de la opci¶o n: (i) Simular el comportamiento del subyacente, partiendo con el valor del subyacente en el presente, S 0 , y continuando hasta la fecha de expiraci¶o n de la opci¶o n T , lo cual proporciona una posible trayectoria (realizaci¶o n) de los precios del subyacente; (ii) Calcular para cada realizaci¶o n el valor intr¶³nseco de la opci¶o n; (iii) Repetir n veces los pasos anteriores; (iv ) Calcular el promedio de los valores intr¶³nsecos obtenidos; (v ) Calcular el valor presente del promedio anterior, lo cual ¯nalmente proporciona el valor de la opci¶o n. Observe que entre mayor sea el n¶u mero de realizaciones, mayor ser¶a la precisi¶o n del resultado. Si se aumentan en cien veces las simulaciones, entonces la precisi¶o n aumenta en una d¶e cima. Por supuesto, la precisi¶o n tambi¶e n depende de la calidad de los n¶u meros aleatorios, por lo que es recomendable llevar a cabo una prueba de aleatoriedad. Vale la pena mencionar que en la pr¶actica es muy frecuente emplear variables aleatorias uniformes en [0,1] para generar variables aleatorias normales est¶andar a trav¶e s del m¶e todo de Box-Muller, el cual establece que se pueden utilizar E =
p
¡ 2 ln U 1 cos(2¼ U 2 )
E =
p
¡ 2 ln U 1 sen(2¼ U 2 )
¶o
para generar valores de E sin N (0;1) con U 1 ;U 2 » U [0;1] . En la Gr¶a¯ca 72.2 se presenta la simulaci¶o n de 25 trayectorias del precio del activo subyacente.
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Gr¶a¯ca 72.2 Simulaci¶o n Monte Carlo de 25 trayectorias del precio del activo.
Por u¶ ltimo, en el siguiente cuadro se presentan los precios de opciones europeas de compra y venta calculados con el m¶e todo de simulaci¶o n Monte Carlo con base en 25 realizaciones. Simulaci¶o n Monte Carlo Precio inicial del activo S 0 = 100 Vencimiento T =1 Volatilidad ¾ =20% Incremento del tiempo ¢t = 0:01 Tasa de inter¶e s r = 4:0% Precio de ej ercicio K = 105 Prima de la opci¶o n de compra c = 5:4240 Prima de la opci¶o n de venta p = 8:2853 Cuadro 72.6 Precios de opciones europeas de compra y venta simulados con el m¶e todo Monte Carlo.
7 2 .7 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Masaki, K. (2003) . Stochastic Processes with Aplications to Finance, Chapman & Hall/CRC, ACRC Press Company. Wolfhard, J. (2002) . Pseudo Random Numbers: Generation and Quality Checks, Quantum Simulations of Complex Many-Body Systems. From Theory to Algorithms. Lecture Notes, Vol. 10, pp. 447-458. Ross, S. M. (1999) . Simulaci¶o n. Segunda edici¶o n, Pearson, Prentice Hall. Metropolis, N. and S. Ulam (1949) . \The Monte Carlo Method" . J o u rn a l o f th e A m erica n S ta tistica l A ssocia tio n , Vol. 44, No. 247, pp. 335-341.
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7 2 .8 E je r c ic io s 7 2 .1 Calcule los precios de opciones europeas de compra y venta utilizando el m¶e todo de simulaci¶o n Monte Carlo. Genere valores de E mediante el m¶e todo de Box-Muller. Suponga que: S t = 100, T = 1, ¹ = 3%, ¾ =16.5%, ¢t = 0:01, r = 5:0% y K = 106. 7 2 .2 Calcule los precios de opciones europeas de compra y venta utilizando el m¶e todo de simulaci¶o n Monte Carlo. Genere E mediante E = U 1 + U 2 + ¢¢¢ + U 1 2 ¡ 6, donde las U i , i = 1;2;:::;12, son variables aleatorias independientes y distribuidas uniformemente en [0,1] . Utilice los datos del ejercicio anterior. 7 2 .3 Suponga que el precio del activo subyacente (una acci¶o n) sigue una din¶amica determinada por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales estoc¶asticas: dS t = r S t dt + ¾ t S t dW
1 t;
d¾ t2 = ® ¾ t2 dt + ¯ ¾ t2 dW
2 t;
donde r , ® y ¯ son constantes positivas conocidas y dW 1 t y dW 2 t son movimientos Brownianos independientes. Establezca un procedimiento para generar posibles valores de S t mediante el m¶e todo de simulaci¶o n Monte Carlo. S o lu ci¶o n : En este caso, se puede escribir S t+
h
= S t exp
n¡ r¡
2 ¾ t+
h
= ¾ t2 exp
n¡ ® ¡
1 2
o p ¢ ¾ t2 h + ¾ t h E 1 ;
1 2
o p ¢ ¯ 2 h + ¯ h E2 ;
donde Cov(E 1 ;E 1 ) = 0. La serie simulada de precios del activo subyacente se obtiene, iniciando con la segunda ecuaci¶o n, con un valor ¾ ¡2 1 y la generaci¶o n de un n¶u mero aleatorio de E 2 , con lo cual se produce un posible valor de ¾ 02 . Posteriormente, los valores de ¾ 02 y S 02 se sustituyen en la primera ecuaci¶o n junto con un n¶u mero aleatorio de E 1 para obtener un valor de S 1 y as¶³ sucesivamente. Proponga un algoritmo para el caso Cov(E 1 ;E 1 ) 6= 0 (la descomposici¶o n de Cholesky puede ser u¶ til) . 7 2 .4 Suponga que el precio del activo subyacente (una acci¶o n) sigue una din¶amica estoc¶astica determinada por las siguientes ecuaciones: dS t = r S t dt + ¾ t S t dW
1 t;
d¾ t2 = a (b t ¡ ¾ t2 ) dt + μ ¾ t dW p db t = ® (¯ ¡ b t ) dt + ° b t dW
2 t; 3 t;
donde r , a , μ , ® , ¯ y ° son constantes conocidas y dW 1 t , dW 2 t y dW 3 t son movimientos Brownianos independientes entre s¶³. Proporcione un algoritmo para aproximar S t mediante el m¶e todo Monte Carlo.
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X V I. R IE S G O O P E R A T IV O
² 7 3 . R iesg o o p era tiv o , d istrib u cio n es d e frecu en cia y sev erid a d
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.
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C A P ¶IT U L O 73 R IE S G O O P E R A T IV O , D IS T R IB U C IO N E S D E F R E C U E N C IA Y S E V E R ID A D C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ²
Riesgo operativo Distribuci¶o n de frecuencia Distribuci¶o n de severidad Distribuci¶o n de severidad extrema Inferencia Bayesiana
7 3 .1 In tro d u c c i¶o n Aunque no existe una de¯nici¶o n universalmente aceptada de riesgo operativo, el presente cap¶³tulo intenta circunscribir en una de¯nici¶o n aceptable aquellos eventos que pudieran generar p¶e rdidas potenciales por fallas en sistemas y procedimientos. Este cap¶³tulo tambi¶e n presenta, bajo ciertos supuestos, un conjunto de distribuciones de probabilidad sobre la frecuencia y severidad de dichas p¶e rdidas.
7 3 .2 R ie sg o o p e ra tiv o El riesgo operativo, tambi¶e n llamado riesgo operacional, se puede de¯nir como el riesgo de que se presenten p¶e rdidas por fallas en los sistemas administrativos y procedimientos internos, as¶³ como por errores humanos, intencionales o no. Ejemplos de eventos de riesgo operativo son: fallas en \hardware" , \software" y telecomunicaciones; errores de captura, ejecuci¶o n y mantenimiento de transacciones; fallas en sistemas de seguridad; p¶e rdida parcial o total de bases de datos sobre operaciones con clientes; fraudes internos (v.g. transacciones no reportadas o no autorizadas) ; fraudes externos (v.g. transacciones con documentos falsos) ; robo; da~n os a los activos ¯j os (por vandalismo, terrorismo, desastres naturales, etc.) ; reembolsos a clientes y pagos de penalizaci¶o n; restricciones legales que pudieran fomentar el incumplimiento de las obligaciones de clientes (riesgo legal) ; documentaci¶o n incompleta de clientes; restricciones impuestas por las autoridades ¯nancieras para participar en ciertos mercados o segmentos de mercado, etc. Existen tres aspectos relevantes en la administraci¶o n de riesgos operativos. El primero consiste en la asignaci¶o n de capital para hacer frente a eventos relacionados con fallas operativas. El segundo toma en cuenta la supervisi¶o n y control para evitar que se presenten dichas fallas. El tercero considera los modelos y m¶e todos utilizados para cuanti¯car el riesgo operativo. Este cap¶³tulo se concentra esencialmente en el tercer aspecto, en particular, en el an¶alisis de la frecuencia y severidad de eventos de riesgo operativo.
7 3 .3 F re c u e n c ia y se v e rid a d d e e v e n to s d e rie sg o o p e ra tiv o Los diferentes eventos de riesgo operacional pueden ser estudiados en t¶e rminos de su frecuencia (el n¶u mero de eventos que producen p¶e rdidas en un cierto intervalo de tiempo) y su severidad (el impacto del evento en t¶e rminos de p¶e rdidas econ¶o micas) . En t¶e rminos muy generales, para un banco t¶³pico que realiza diversas operaciones y transacciones con clientes, el riesgo de un fraude interno es de baj a frecuencia y de alta severidad, el riesgo por fraude externo es de media/alta frecuencia y baj a/media severidad, el riesgo por no atender medidas de seguridad en el lugar de trabaj o es de baj a frecuencia y baj a severidad, el riesgo por errores de captura, ej ecuci¶o n y mantenimiento de operaciones con clientes es de baj a/media frecuencia y media/alta severidad,
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7 3 . R iesg o o p era tiv o , d istrib u cio n es d e frecu en cia y sev erid a d
el riesgo por da~n os a activos ¯j os es de baj a frecuencia y baja severidad y, por u¶ ltimo, el riesgo por la falla de sistemas es de baj a frecuencia y baj a severidad. Evidentemente, la clasi¯caci¶o n de baja, media y alta frecuencia y severidad depender¶a de cada banco. Por ej emplo, si un banco realiza operaciones con pocos clientes de montos peque~n os, la frecuencia y severidad de un fraude interno podr¶³a no ser comparable con la de un banco que realiza operaciones con muchos clientes y transacciones de montos grandes.
7 3 .4 D istrib u c io n e s d e fre c u e n c ia d e e v e n to s d e rie sg o o p e ra tiv o En la literatura especializada de riesgos operativos existe un n¶u mero importante de distribuciones de frecuencia de fallas en sistemas y procedimientos. Una distribuci¶o n de frecuencias, de uso muy com¶u n, es la distribuci¶o n binomial b(n ;p ) , donde n representa el n¶u mero total de eventos que son susceptibles a una p¶e rdida de tipo operacional durante un periodo de tiempo preestablecido, usualmente un a~n o, y p es la probabilidad de que se presente un evento de p¶e rdida. Si X es la variable aleatoria que representa el n¶u mero de eventos de riesgo en un a~n o y se supone que los eventos son independientes, entonces la probabilidad de que se presente cierto n¶u mero de eventos de riesgo operativo est¶a dada por: 8 μ ¶ > n < p x (1 ¡ p ) n ¡ x ; x = 0;1;:::;n ; x IPf X = x g = > : 0; en otro caso: Observe que en esta distribuci¶o n se requiere especi¯car, de antemano, el n¶u mero de eventos, n , en un a~n o, lo que representa una limitaci¶o n del modelo. Otra desventaj a del modelo anterior es que la probabilidad de que se presente un evento de p¶e rdida se mantiene constante e igual a p . No obstante, si p es peque~n a y n es grande, la distribuci¶o n b(n ;p ) se puede aproximar, con base en la ley de los grandes n¶u meros, a una distribuci¶o n Poisson, P (¸ ) . As¶³, si X es la variable aleatoria que representa el n¶u mero de eventos de riesgo en un a~n o, se tiene que: 8 x ¡¸ <¸ e ; x = 0;1;::: IPf X = x g = x! : 0; en otro caso: Esta distribuci¶o n contempla un solo par¶ametro ¸ , llamado par¶ametro de intensidad, el cual determina el n¶u mero medio de eventos de p¶e rdida por unidad de tiempo. Cuando el riesgo operacional es de baj a frecuencia, ¶e sta puede ser modelada con una distribuci¶o n Poisson, en cuyo caso el par¶ametro n desaparece. Existen, por supuesto, muchas otras formas funcionales para la distribuci¶o n de frecuencia del riesgo operacional que se pueden utilizar baj o ciertas condiciones; por ej emplo, la distribuci¶o n binomial negativa.
7 3 .5 D istrib u c io n e s d e se v e rid a d d e la p ¶e rd id a d e e v e n to s d e rie sg o o p e ra tiv o En la literatura de riesgos operativos una distribuci¶o n, muy popular, sobre la severidad del monto de la p¶e rdida es la distribuci¶o n lognormal: ( μ ¶2 ) 1 ln x ¡ ¹ 1 f (x ) = p exp ¡ 2 ; x > 0; ¾ 2¼ ¾ x donde ¹ 2 IR y ¾ > 0 son los par¶ametros de la distribuci¶o n. En este caso, se puede veri¯car que si X es una variable aleatoria lognormal con la densidad anteriormente establecida, entonces ½ ¾ ¢ 2¡ 2 ¾2 E[X ] = exp ¹ + y Var[X ] = e 2 ¹ + ¾ e ¾ ¡ 1 : 2 La Gr¶a¯ca 73.1 ilustra la distribuci¶o n lognormal para ciertos valores de los par¶ametros. Es importante destacar que esta distribuci¶o n presenta sesgo hacia la derecha.
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Gr¶a¯ca 73.1 Funci¶o n de densidad lognormal con ¹ = 0 y ¾ = 1.
Algunas distribuciones de severidad presentan leptocurtosis y un sesgo considerable, en cuyo caso se utiliza la distribuci¶o n Gamma de par¶ametros ® y ¯ , G (® ;¯ ) . Esta distribuci¶o n de severidad tiene funci¶o n de densidad f (x ) =
x ® ¡ 1 e¡ x =¯ ; ¡(® ) ¯ ®
x > 0;
donde ¡(® ) es la funci¶o n Gamma. En este caso, tambi¶e n es com¶u n utilizar la funci¶o n de densidad hiperb¶o lica dada por p exp f ¡ ® ¯ 2 + x 2 g f (x ) = ; x > 0; 2¯ K (® ¯ ) donde K (¢) representa la funci¶o n de Bessel.
7 3 .6 D istrib u c io n e s d e se v e rid a d e x tre m a Los eventos de riesgo operativo de severidad extrema no son eventos que se presenten todos los d¶³as, m¶as bien se presentan ocasionalmente. No todos los d¶³as los sistemas presentan fallas ni todos los d¶³as se presentan errores humanos de severidad considerable. En caso de que la severidad sea de magnitud excepcional, se utilizan distribuciones de valores extremos. Una distribuci¶o n de severidad extrema para riesgos operativos de uso muy com¶u n es la distribuci¶o n de Fr¶e chet con par¶ametros ® > 0, º > 0 y · > 0. En este caso, la funci¶o n de distribuci¶o n acumulada est¶a dada por 8 0; x < º; > < ( μ ¶¡ ® ) F (x ) = (73:1) x ¡ º > exp ¡ ; x ¸ º: : · La funci¶o n de densidad correspondiente satisface: ® f (x ) = F (x ) ·
μ
x ¡ º ·
¶¡
(1 + ® )
;
x ¸ º:
(73:2)
La Gr¶a¯ca 73.2 muestra un caso particular de una funci¶o n de densidad de Fr¶e chet.
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Gr¶a¯ca 73.2 Funci¶o n de densidad de Fr¶e chet para · = ® = 1. Se puede de demostrar f¶acilmente que si X es una variable aleatoria Fr¶e chet y ® > 2, entonces μ ¶ 1 E [X ] = º + · ¡ 1 ¡ ® y
¶ ¶¸ · μ μ 2 1 ¡ ¡2 1 ¡ ; Var [X ] = · 2 ¡ 1 ¡ ® ®
donde ¡(¢) es la funci¶o n Gamma. Existen otras distribuciones de valores extremos de uso frecuente como las del tipo Gumbel.
7 3 .7 E stim a c i¶o n B a y e sia n a d e la se v e r id a d d e la p ¶e r d id a La estimaci¶o n Bayesiana considera fundamentalmente dos fuentes de informaci¶o n, la funci¶o n de densidad a p rio ri del par¶ametro de inter¶e s, ¼ (μ ) , la cual re°ej a informaci¶o n inicial sobre dicho par¶ametro y la funci¶o n de verosimilitud que proviene de un modelo muestral que considera al par¶ametro en cuesti¶o n, f (x jμ ) . El teorema de Bayes combina estas dos fuentes de informaci¶o n para obtener una densidad a po sterio ri sobre el par¶ametro dada por f (μ jx ) / f (x jμ ) ¼ (μ ) :
(73:3)
La distribuci¶o n a po sterio ri f (μ jx ) se utiliza para hacer inferencias sobre μ . La Gr¶a¯ca 73.3 ilustra c¶o mo se combinan la densidad a p rio ri y la verosimilitud para obtener la distribuci¶o n a po sterio ri mediante el teorema de Bayes.
Gr¶a¯ca 73.3 Densidad a p rio ri, verosimilitud y densidad a po sterio ri.
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7 3 .7 .1 C a so b in o m ia l c o n d e n sid a d a priori u n ifo rm e Si se supone que la distribuci¶o n de frecuencias de las p¶e rdidas sigue una distribuci¶o n binomial, b(n ;p ) , la frecuencia esperada est¶a dada por n p , siendo n el n¶u mero de eventos que son susceptibles a p¶e rdidas de tipo operacional y p la probabilidad de que el evento de p¶e rdida se presente. A continuaci¶o n se discute c¶o mo se pueden hacer inferencias sobre p utilizando el enfoque Bayesiano. El estimador que se obtiene, pb, se utiliza para estimar la frecuencia esperada n pb. Suponga que la distribuci¶o n a p rio ri de p es uniforme, i.e., p » U [0;1] . Observe primero que f (x ;p ) = f (x jp ) ¼ (p ) y del mismo modo f (x ;p ) = f (p jx ) f (x ) ; entonces f (p jx ) f (x ) = f (x ;p ) = f (x jp ) ¼ (p ) : Por lo tanto, se sigue que f (x jp ) ¼ (p ) : f (p jx ) = f (x ) En este caso, se tiene μ n x p (1 ¡ p ) n ¡ x ; f (x jp ) = x ¼ (p ) =
si p 2 [0;1] ;
1; 0;
en caso contrario
y 1
f (x ) =
1
f (x ;p ) dp = 0
0
f (x jp ) ¼ (p ) dp :
Observe que f (x ) es la constante de normalizaci¶o n que asegura que la densidad a po sterio ri, f (p jx ) , sea efectivamente una densidad. De esta manera, μ 1 1 n f (x ) = f (x jp ) ¼ (p ) dp = p x (1 ¡ p ) n ¡ x dp x 0 0 μ 1 n ¡(x + 1) ¡(n ¡ x + 1) ; = = n +1 x ¡(x + 1 + n ¡ x + 1) ya que 1 ¡(® ) ¡(¯ ) = B (® ;¯ ) = p ® ¡ 1 (1 ¡ p ) ¯ ¡ 1 dp : ¡(® + ¯ ) 0 Una vez determinada la constante de normalizaci¶o n, se calcula la distribuci¶o n a po sterio ri con el teorema de Bayes, de tal forma que μ n x (n + 1) p (1 ¡ p ) n ¡ x ; si p 2 [0;1] ; x f (p jx ) = 0;
en caso contrario:
1
Con la distribuci¶o n a po sterio ri se estima el valor de p a trav¶e s de E[p jx ] . Es decir, 1
p f (p jx ) dp p =E[p jx ] = 0 μ 1 n =(n + 1) p x + 1 (1 ¡ p ) n ¡ x dp x 0 μ n ¡(x + 2) ¡(n ¡ x + 1) =(n + 1) ¡(n + 3) x (n + 1) n !(x + 1) !(n ¡ x ) ! = x !(n ¡ x ) !(n + 2) ! x +1 ; = n +2 1
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S i se d eterm in a p d e ta l m a n era q u e se m in im ice
(p ¡ p )2 f (p jx )d p , en to n ces p = E [p jx ].
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donde se ha utilizado el hecho que ¡(m + 1) = m ¡(m ) . As¶³ pues, la frecuencia esperada se estima mediante n pb. Una forma alternativa de obtener el resultado anterior consiste en observar que si f (x ) es una constante de normalizaci¶o n, entonces se puede escribir f (p jx ) / f (x jp ) ¼ (p ) : En consecuencia, se puede omitir todo lo que no dependa de p y despu¶e s incorporarlo a trav¶e s de la constante de normalizaci¶o n, esto es, f (p jx ) /
(
p x (1 ¡ p ) n ¡ x ;
si p 2 [0;1] ;
0;
en caso contrario.
La u¶ nica posibilidad para que f (p jx ) sea una densidad es que 8 <
¡(n + 2) p x (1 ¡ p ) n ¡ x ; ¡(x + 1) ¡(n ¡ x + 1) f (p jx ) = : 0;
si p 2 [0;1] ; en caso contrario.
7 3 .7 .2 C a so b in o m ia l c o n m o b se r v a c io n e s y d e n sid a d a priori u n ifo r m e A continuaci¶o n se extiende el resultado de la secci¶o n anterior a una muestra de observaciones. Considere ahora una muestra aleatoria (variables aleatorias independientes e id¶e nticamente distribuidas) X 1 ;X 2 ;:::;X m de una distribuci¶o n X » b(n ;p ) . En este caso,
donde x¹ =
Pm
i= 1
f (x jp ) = f (x 1 ;x 2 ;:::;x m jp ) / p m x¹ (1 ¡ p ) m x i = m . Si ¼ (p ) =
entonces f (p jx ) /
(
(
1; 0;
p m x¹ (1 ¡ p ) m
(n ¡ x¹ )
;
si p 2 [0;1] ;
en caso contrario, (n ¡ x¹ )
;
0;
si p 2 [0;1] ;
en caso contrario.
Por lo tanto,
f (p jx ) =
8 <
¡(m n + 2) p m x¹ (1 ¡ p ) m ¡(m x¹ + 1) ¡(m (n ¡ x¹ ) + 1) : 0;
(n ¡ x¹ )
; si p 2 [0;1] ; en caso contrario.
Recuerde que una variable aleatoria tiene distribuci¶o n Beta con par¶ametros ® y ¯ , B (® ;¯ ) , si su densidad es de la forma f (y ) =
¡(® + ¯ ) ® ¡ 1 (1 ¡ y ) ¯ ¡ 1 ; y ¡(® ) ¡(¯ )
y ; ® ; ¯ > 0:
La media de esta distribuci¶o n est¶a dada por E[y ] =
® : ® +¯
En consecuencia, pb= E[p jx ] =
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m x¹ + 1 : m n +2
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7 3 .7 .3 C a so b in o m ia l c o n d e n sid a d a priori B e ta En esta secci¶o n se examina otra posibilidad para la distribuci¶o n a p rio ri de p . Considere una variable aleatoria X » b(n ;p ) y suponga que la distribuci¶o n a p rio ri de p es Beta, B (® ;¯ ) , i.e., ¼ (p ) = B (® ;¯ ) ¡ 1 p ® ¡ 1 (1 ¡ p ) ¯ ¡
1
¡(® + ¯ ) ® ¡ 1 p (1 ¡ p ) ¯ ¡ 1 : ¡(® ) ¡(¯ )
=
La media de esta distribuci¶o n est¶a dada por E[p ] =
® : ® +¯
Ahora bien, por de¯nici¶o n f (x ) =
Z1
f (x ;p ) dp =
0
Z1 0
f (x jp ) ¼ (p ) dp :
Observe que, en este caso, μ ¶ Z1 n ¡(® + ¯ ) f (x jp ) ¼ (p ) dp = px+ x ¡(® ) + ¡(¯ ) 0 μ0 ¶ n ¡(® + ¯ ) ¡(x + ® ) ¡(n ¡ x + ¯ ) = : x ¡(® ) + ¡(¯ ) ¡(n + ® + ¯ )
f (x ) =
Z1
®¡ 1
(1 ¡ p ) n ¡
x+ ¯¡ 1
dp
Una vez determinada la constante de normalizaci¶o n, se calcula la distribuci¶o n a po sterio ri mediante la f¶o rmula de Bayes
f (p jx ) =
8 <
¡(n + ® + ¯ ) px+ ¡(x + ® ) ¡(n ¡ x + ¯ ) : 0;
®¡ 1
(1 ¡ p ) n ¡
x+ ¯¡ 1
si p 2 [0;1] ;
;
en caso contrario:
Con esta distribuci¶o n a po sterio ri se estima el valor de p a trav¶e s de E[p jx ] . Es decir, Z1 ¡(n + ® + ¯ ) p x + ® (1 ¡ p ) n ¡ ¡(x + ® ) ¡(n ¡ x + ¯ ) 0 ¡(n + ® + ¯ ) ¡(x + ® + 1) ¡(n ¡ x + ¯ ) = ¡(x + ® ) ¡(n ¡ x + ¯ ) ¡(n + ® + ¯ + 1) x +® = : n +® +¯
pb=E[p jx ] =
x+ ¯¡ 1
dp
Otra forma de obtener el mismo resultado consiste en observar que f (p jx ) /
(
p x (1 ¡ p ) n ¡ x p ® ¡ 1 (1 ¡ p ) ¯ ¡ 1 ;
0;
si p 2 [0;1] ;
en caso contrario.
La u¶ nica posibilidad para que f (p jx ) sea una densidad es 8 <
¡(n + ® + ¯ ) px+ ¡(x + ® ) ¡(n ¡ x + ¯ ) f (p jx ) = : 0;
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®¡ 1
(1 ¡ p ) n ¡
x+ ¯¡ 1
; si p 2 [0;1] ; en caso contrario.
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7 3 .7 .4 C a so b in o m ia l c o n m o b se rv a c io n e s y d e n sid a d a priori B e ta A continuaci¶o n se generaliza el resultado de la secci¶o n anterior a una muestra de observaciones. Considere una muestra aleatoria X 1 ;X 2 ;:::;X m de una distribuci¶o n X » b(n ;p ) . En este caso, f (x jp ) = f (x 1 ;x 2 ;:::;x m jp ) / p m x¹ (1 ¡ p ) m
(n ¡ x¹ )
:
Si ¼ (p ) / p ® ¡ 1 (1 ¡ p ) ¯ ¡ 1 ; entonces f (p jx ) / p m
x¹ + ® ¡ 1
(1 ¡ p ) m
(n ¡ x¹ )+ ¯ ¡ 1
:
En consecuencia, f (p jx ) =
¡(m n + ® + ¯ ) pm ¡(m x¹ + ® ) ¡(m (n ¡ x¹ ) + ¯ )
x¹ + ® ¡ 1
(1 ¡ p ) m
(n ¡ x¹ )+ ¯ ¡ 1
; p 2 [0;1] :
Por lo tanto, pb= E[p jx ] =
m x¹ + ® : m n +® +¯
7 3 .7 .5 C a so P o isso n c o n a priori G a m m a Cuando se utiliza la distribuci¶o n de Poisson, P (¸ ) , para modelar la probabilidad de que se presenten eventos de riesgo operativo, el enfoque Bayesiano proporciona un estimador de ¸ . Considere ahora una muestra aleatoria X 1 ;X 2 ;:::;X n de una distribuci¶o n Poisson P (¸ ) . En este caso, Yn e ¡ ¸ ¸ x i f (x j¸ ) = f (x 1 ;x 2 ;:::;x n j¸ ) = / e ¡ n ¸ ¸ n x¹ : x ! i i= 1 Suponga que la distribuci¶o n a p rio ri sobre ¸ es G (® ;¯ ) , i.e., f (¸ jx ) =
¸ ® ¡ 1 ¯ ® e¡ ¡(® )
¸¯
;
¸ > 0; ® > 0; ¯ > 0:
Si se utiliza el teorema de Bayes, se sigue que f (¸ jx ) / e ¡ = e¡
n¸
¸ n x¹ ¸ ® ¡ 1 e ¡
¸¯
¸ (n + ¯ ) n x¹ + ® ¡ 1
¸
:
Consecuentemente, f (¸ jx ) =
e¡
¸ (n + ¯ )
(n + ¯ ) n x¹ + ® ¸ n x¹ + ¡(n x¹ + ® )
®¡ 1
:
En consecuencia, n x¹ + ® ¸b = E[¸ jx ] = : n +¯
7 3 .8 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Cruz, M. G. (2002) . Modeling, Measuring and Hedging Operational Risk. John Wiley & Sons. Zellner, A. (1971) . An Introduction to Bayesian Inference in Econometrics, New York: Wiley.
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7 3 .9 E je rc ic io s 7 3 .1 Si la verosimilitud es Poisson, P (μ ) , y la densidad a p rio ri es Gamma, G (® ;¯ ) , muestre que la densidad a po sterio ri es G (® + x ;¯ + 1) . 7 3 .2 Suponga que la verosimilitud es Gamma, G (º ;μ ) , y la densidad a p rio ri es Gamma, G (® ;¯ ) , veri¯que que la densidad a po sterio ri es G (® + º ;¯ + x ) . 7 3 .3 Si la verosimilitud es binomial, b(n ;μ ) , y la densidad a p rio ri es Beta, B (® ;¯ ) , pruebe que la densidad a po sterio ri es B (® + x ;¯ + n + x ) . 7 3 .4 Considere una muestra aleatoria X 1 ;X 2 ;:::;X cida y ¾ 2 conocida. En este caso,
n
de una distribuci¶o n N (¹ ;¾ 2 ) con ¹ descono-
½ ¾ 1 (x i ¡ ¹ ) 2 f (x i j¹ ) / exp ¡ ; 2 ¾2 de donde f (x j¹ ) = f (x 1 ;x 2 ;:::;x n j¹ ) / exp con x¹ = (
Pn
i= 1
(
1 ( x¹ ¡ ¹ ) 2 ¡ ¾2 2 n
)
x i ) = n . Lo anterior conduce tambi¶e n al resultado X¹ » N
μ ¶ ¾2 ¹; : n
Suponga que la distribuci¶o n a p rio ri sobre ¹ se elige como ¡ ¢ ¹ » N ¹ o ;¾ o2 ; con ¹ o y ¾ o2 conocidas. En otras palabras, ½ ¾ 1 (¹ ¡ ¹ o ) 2 f (¹ ) / exp ¡ : 2 ¾ 2o Utilice el teorema de Bayes para encontrar E[¹ jx ] y Var[¹ jx ] : S o lu ci¶o n : En este caso, (
" #) 1 ( x¹ ¡ ¹ ) 2 (¹ ¡ ¹ o ) 2 f (¹ jx ) / f (x j¹ ) f (¹ ) / exp ¡ + ¾2 2 ¾ 2o n 8 9 0 12 x¹ + ¹ o 32 > > > > > ¾2 ¾ o2 7 > < 1B = C6 1 n n 7 : C 6¹ ¡ / exp ¡ B @ A 4 5 1 + 1 1 + 1 > > > 2 > > > : ¾2 ¾ o2 ¾2 ¾ o2 ; n n n Equivalentemente,
0 x¹ 2 + B ¾n B ¹ jx » N @ 1 + ¾2 n
Si se denota h =
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1 ; ¾2 n
ho =
1 ¾ o2
¹o ¾ o2 1 n ; 1 1 + 1 ¾ o2 ¾ 2 ¾ o2 n y
! =
1
C C A: h ; h + ho
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se tiene que
μ
E[¹ jx ] = ! x¹ + (1 ¡ ! ) ¹ o =
h h + ho
¶
x¹ +
μ
ho h + ho
¶
¹o
y Var(¹ jx ) =
1 h + ho
7 3 .5 Considere una muestra aleatoria X 1 ;X 2 ;:::;X y ¾ 2 desconocida. En este caso, 1 f (x j¾ ) / exp (¾ 2 ) n = 2 2
Sea n s2 =
Xn
i= 1
En consecuencia, f (x j¾ 2 ) /
1 = h + h o: Var(¹ jx )
o¶
de una distribuci¶o n N (¹ ;¾ 2 ) con ¹ conocida
n
(
n 1 X ¡ (x i ¡ ¹ ) 2 2¾ 2 i= 1
)
:
(x i ¡ ¹ ) 2 :
½ ¾ 1 1 n s2 exp ¡ : 2 ¾2 (¾ 2 ) n = 2
Observe ahora que n s2 »  2n : ¾2 La funci¶o n de densidad de una variable aleatoria  2n est¶a dada por ½ ¾ h ³n ´ i¡ 1 1 f ( 2n ) = ¡ 2n = 2 ( n2 ) (n = 2 )¡ 1 exp ¡  2n : 2 2 Es decir,  2n sigue una distribuci¶o n Gamma con par¶ametros ® = n = 2 y ¯ = 1= 2. Para una variable aleatoria  n2 invertida la funci¶o n de densidad es ½ ¾ h ³n ´ i¡ 1 1 ¡ [(n = 2 )+ 1 ] f ( n¡ 2 ) = ¡ 2n = 2 ( ¡n 2 ) exp ¡ : 2 2 n¡ 2 Dado que n s2 ¾2 2 »  implica »  ¡n 2 ; n ¾2 n s2 se sigue que una elecci¶o n para la distribuci¶o n a p rio ri, independiente del tama~n o de la muestra y de ¾ 2 , es ½ ¾ h ³º ´i¡ 1 μ º · 2 ¶º = 2 ¡ ¢¡ [(º = 2 )+ 1 ] 1 º·2 f (¾ 2 ) = ¡ ¾2 exp ¡ : 2 2 2 ¾2 Por lo tanto, f (¾ 2 ) /
1 (¾ 2 ) [(º = 2 )+ 1 ]
½ ¾ 1 º·2 exp ¡ : 2 ¾2
Mediante el teorema de Bayes encuentre E[¾ 2 jx ] . S o lu ci¶o n : En este caso la densidad a po sterio ri se determina mediante ½ ¾ ½ ¾ 1 1 n s2 1 1 º s2 2 f (¾ jx ) / exp ¡ exp ¡ 2 ¾2 2 ¾2 (¾ 2 ) n = 2 (¾ 2 ) [(º = 2 )+ 1 ] ½ μ 2 ¶¾ 2 1 1 ns + º· = 2 (n + º )= 2 exp ¡ : 2 ¾2 (¾ ) Se puede veri¯car que n s2 + º · 2 ¾c2 = E[¾ 2 jx ] = : º ¡ 2
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X V II. V A L O R E S E X T R E M O S Y V A L O R E N R IE S G O
² 7 4 . V a lo res ex trem o s y va lo r en riesg o
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.
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C A P ¶IT U L O 74 V A L O R E S E X T R E M O S Y V A L O R E N R IE S G O C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ² ² ² ² ²
Distribuci¶o n de Gumbel Distribuci¶o n de Fr¶e chet Distribuci¶o n de Weibull Distribuciones generalizadas de Pareto Distribuci¶o n del m¶aximo de un conj unto de variables aleatorias Distribuci¶o n l¶³mite del m¶aximo de un conj unto de variables aleatorias Distribuciones (m¶aximo) estables Condici¶o n de von Mises Valor en riesgo
7 4 .1 In tro d u c c i¶o n Como ya ha sido mencionado con anterioridad, el valor en riesgo es una de las medidas que con mayor frecuencia se utilizan en la estimaci¶o n de p¶e rdidas potenciales en el rendimiento de un activo o de un portafolio, durante un periodo de tiempo y con un nivel de con¯anza dados. Sin embargo, cuando los rendimientos son de magnitud descomunal, auges o ca¶³das, un modelado m¶as adecuado del comportamiento de los posibles rendimientos requiere del uso de distribuciones de valores extremos. Los rendimientos de magnitud extrema no son eventos que se presenten de manera frecuente. No todos los d¶³as se reportan rendimientos considerables en los portafolios de inversi¶o n, m¶as bien ¶e stos se presentan ocasionalmente. En este cap¶³tulo se calcula el valor en riesgo del rendimiento de un activo o portafolio cuando la distribuci¶o n de rendimientos tiene una distribuci¶o n de valor extremo, entre las cuales destacan: Gumbel, Fr¶e chet y Weibull. Asimismo, se estudia la relaci¶o n entre las distribuciones de valores extremos y las distribuciones generalizadas de Pareto, las cuales se utilizan para modelar excesos sobre alguna cantidad ¯j a.
7 4 .2 D istrib u c i¶o n G u m b e l En esta secci¶o n se presenta una de las distribuciones hist¶o ricamente m¶as importantes en la teor¶³a de valores extremos. A manera de motivaci¶o n considere X 1 ;X 2 ;:::;X n variables aleatorias independientes id¶e nticamente distribuidas con distribuci¶o n com¶u n F , entonces n o IP max f X i g · x =IPf X 1 · x ;X 2 · x ;:::;X n · x g 1 · i· n
=IPf X
1
n
=F (x )
· x g IPf X
2
· x g ¢¢¢IPf X
n
· xg
para toda x 2 IR: Suponga que X i , 1 · i · n , son variables aleatorias con funci¶o n de densidad exponencial truncada ( e ¡ (x + ln n ) ; x ¸ ¡ ln n ; f (x ) = 0; x < ¡ ln n ; entonces IP
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n
max f X i g · x
1 · i· n
o ³ ´n = 1 ¡ e ¡ (x + ln n ) μ ¶n e¡ x = 1¡ : n
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7 4 . V a lo res ex trem o s y va lo r en riesg o
De esta manera, IP
n
max f X i g · x
1 · i· n
o
! e¡
ex
cuando
;
para toda x 2 IR. Se dice que una variable aleatoria X Gumbel, g 0 (x ) , con par¶ametros ¹ y ¾ , si g 0 (x ) =
1 ¡ e ¾
(x ¡ ¹ )= ¾
n exp ¡ e ¡
(x ¡ ¹ )= ¾
n ! 1
tiene funci¶o n de densidad del tipo o
;
x 2 IR;
(74:1)
donde ¹ 2 IR y ¾ > 0. En este caso, la funci¶o n de distribuci¶o n acumulada est¶a dada por n G 0 (x ) = exp ¡ e ¡
(x ¡ ¹ )= ¾
o
;
x 2 IR:
(74:2)
La Gr¶a¯ca 74.1 muestra la funci¶o n de densidad Gumbel para distintos valores de los par¶ametros. Esta gr¶a¯ca permite apreciar la sensibilidad de la funci¶o n de densidad ante cambios en su desviaci¶o n est¶andar ¾ = 1;1:5;2;3;4, manteniendo ¹ = 0 ¯j a. La Gr¶a¯ca 74.2 muestra el comportamiento de la funci¶o n de densidad Gumbel con ¹ = 1 y ¾ = 1;1:5;2;3;4. Observe que en este caso, como era de esperarse, s¶o lo se recorre la gr¶a¯ca. Por u¶ ltimo, la Gr¶a¯ca 74.3 muestra la densidad y funci¶o n de distribuci¶o n acumulada de una variable aleatoria Gumbel con ¹ = 0 y ¾ = 1:
Gr¶a¯ca 74.1 Funciones de densidad de Gumbel con ¹ = 0 y ¾ = 1;1:5;2;3;4.
Gr¶a¯ca 74.2 Funciones de densidad de Gumbel para ¹ = 1 y ¾ = 1;1:5;2;3;4.
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7 4 . V a lo res ex trem o s y va lo r en riesg o
Gr¶a¯ca 74.3 Funci¶o n de distribuci¶o n acumulada Gumbel con ¹ = 0 y ¾ = 1:
7 4 .3 D istr ib u c io n e s d e F r¶e c h e t y W e ib u ll La funci¶o n de densidad de una variable aleatoria X del tipo Fr¶e chet, con par¶ametros ® > 0; ¹ > 0 y ¾ > 0, se de¯ne mediante 8 μ ¶¡ (1 + ® ) > ¡ ® <® x ¡ ¹ e ¡ ((x ¡ ¹ )= ¾ ) ; x ¸ ¹; (74:3) g 1 (x ) = ¾ ¾ > : 0; x < ¹: La funci¶o n de distribuci¶o n acumulada est¶a dada por ( ¡ ® e ¡ ((x ¡ ¹ )= ¾ ) ; G 1 (x ) = 0; Evidentemente, g 1 (x ) =
® ¾
μ
x ¡ ¹ ¾
¶¡
x ¸ ¹;
(74:4)
x < ¹: (1 + ® )
G 1 (x ) :
La densidad y distribuci¶o n de una variable aleatoria del tipo Weibull se obtiene al sustituir (x ¡ ¹ ) = ¾ por ¡ (x ¡ ¹ ) = ¾ . En este caso, tambi¶e n se tiene que ® < 0, ¹ < 0, ¾ > 0, x · ¹ . Para referirse a las funciones de densidad y distribuci¶o n de una variable aleatoria Weibull se utilizar¶an las notaciones g 2 (x ) y G 2 (x ) , respectivamente. Por supuesto, en g 2 (x ) es necesario sustituir ® por j® j. Es decir, 8 ¶¡ (1 + ® ) μ > ¡ ® < j® j ¡ x ¡ ¹ e ¡ (¡ (x ¡ ¹ )= ¾ ) ; x · ¹; (74:5) g 2 (x ) = ¾ ¾ > : 0; x > ¹: La funci¶o n de distribuci¶o n acumulada est¶a dada por ( ¡ ® e ¡ (¡ (x ¡ ¹ )= ¾ ) ; G 2 (x ) = 1; En este caso, g 2 (x ) =
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¶¡ μ x ¡ ¹ j® j ¡ ¾ ¾
x · ¹;
(74:6)
x > ¹: (1 + ® )
G 2 (x ) :
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7 4 . V a lo res ex trem o s y va lo r en riesg o
7 4 .4 D istrib u c io n e s d e v a lo re s e x tre m o s Cuando ¹ = 0 y ¾ = 1, las distribuciones Gumbel, Fr¶e chet y Weibull son llamadas distribuciones de valores extremos. Los casos Fr¶e chet y Weibull tienen adem¶as un par¶ametro asociado ® . Ahora bien, en virtud de (74.2) , la funci¶o n de distribuci¶o n acumulada de una variable aleatoria Gumbel de valor extremo EV0 (por las siglas en ingl¶e s de \Extreme Value" ) es G 0 (x ) = e ¡
e¡
x
x 2 IR:
;
(74:7)
La funci¶o n de distribuci¶o n acumulada de una variable aleatoria Fr¶e chet, EV1, se obtiene a partir de (74.4) , de tal manera que G 1 (x ) = e ¡
x¡
®
x ¸ 0; ® > 0:
;
(74:8)
Por u¶ ltimo, la funci¶o n de distribuci¶o n acumulada de una variable aleatoria Weibull, EV2, satisface G 2 (x ) = e ¡
(¡ x )¡
®
;
x · 0; ® < 0:
(74:9)
Observe que G 1 (x ) = 0 si x < 0 y G 2 (x ) = 1 si x > 0. Las tres distribuciones anteriores se pueden escribir en una sola ecuaci¶o n param¶e trica G » (x ) =
(
expf ¡ (» x ) ¡ expf ¡ e
¡ x
»®
g;
g;
» = 1;¡ 1;
» x ¸ 0;
® > 0;
» = 0; ¡ 1 < x < 1 :
De esta manera, G 0 = G 0 , G 1 = G 1 y G ¡ 1 = G 2 : Las correspondientes funciones de densidad de las distribuciones de valores extremos son: Para EV0 d ¡ e¡ x e dx ¡ x = e¡ e e¡ x
g 0 (x ) =
(74:10)
= G 0 (x ) e ¡ x ; para toda x 2 IR. En el caso de EV1, se tiene que d ¡ x¡ ® e dx ¡ ® = ® e¡ x x ¡
g 1 (x ) =
= ® G 1 (x ) x ¡
(74:11)
(1 + ® ) (1 + ® )
;
para x ¸ 0 y ® > 0: Por u¶ ltimo, para EV2, se tiene que d ¡ (¡ x )¡ ® e dx ¡ ® = ¡ ® e ¡ (¡ x ) (¡ x ) ¡
g 2 (x ) =
= ¡ ® G 2 (x ) (¡ x )
(1 + ® )
(74:12)
¡ (1 + ® )
= j® jG 2 (x ) (¡ x ) ¡
(1 + ® )
;
para x · 0 y ® < 0: Es importante destacar que las densidades de las variables aleatorias de valor extremo son unimodales. Las densidades de Fr¶e chet y Gumbel tienen sesgo a la derecha. Mientras que la funci¶o n de densidad de Weibull tiene sesgo a la izquierda si ® > ¡ 3:6 y sesgo a la derecha (como la Fr¶e chet y Gumbel) si ® < ¡ 3:6.
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7 4 .5 P ro p ie d a d d e e sta b ilid a d d e la s d istrib u c io n e s d e v a lo r e x tre m o Una propiedad importante que satisfacen las distribuciones de valores extremos EV0, EV1 y EV2 es la estabilidad (del m¶aximo) . Sean X 1 ;X 2 ;:::;X n variables aleatorias independientes id¶e nticamente distribuidas con distribuci¶o n F , entonces max1 · i· n f X i g tiene distribuci¶o n F n . Se dice que una funci¶o n de distribuci¶o n F es estable si existen sucesiones de n¶u meros reales (a n ) n 2 IN y (b n ) n 2 IN con a n > 0 para toda n 2 IN, tales que: F n (b n + a n x ) = F (x ) :
(74:13)
Observe que esta propiedad est¶a relacionada con la distribuci¶o n l¶³mite de m¶aximos, de tal forma que IP
n
max f X i g · b n + a n x
1 · i· n
o
= IP
½
max1 ·
i· n
f X ig ¡ b n
an
· x
¾
! F (x )
cuando n ! 1 :
Si las funciones de distribuci¶o n son de valor extremo, las sucesiones tienen una forma simple. Por ej emplo, en el caso Gumbel, EV0, se tiene que G 0 (x ) = e ¡
e¡
x
x 2 IR:
;
(74:14)
Si se eligen b n = ln n y a n = 1, se obtiene G 0n (b n + a n x ) = G 0n (ln n + x ) ³ ¡ (ln n + x ) ´n = e¡ e ³ ¡ ln n ¡ x ´n e = e¡ e ³ 1 ¡ x ´n = e¡ n e = e¡
e¡
x
= G 0 (x ) ; para toda x 2 IR: Es f¶acil veri¯car que EV1 y EV2 tambi¶e n son estables.
7 4 .6 M o m e n to s d e la s d istrib u c io n e s d e v a lo re s e x tre m o s En esta secci¶o n se calculan los momentos de las distribuciones de valores extremos. En particular, en el caso Gumbel la media y la varianza est¶an dadas, respectivamente, por E E V 0 [X ] = ° ; donde ° es la constante de Euler-Mascheroni (= 0:577215664901:::) y Var E V 0 [X ] =
¼ : 6
El j -¶e simo momento de la distribuci¶o n de Fr¶e chet EV1 es in¯nito si ® · j . Por otro lado, si ® > j , se tiene que μ ¶ £ ¤ j EE V 1 X j = ¡ 1 ¡ : ® Si ® > 2, la varianza satisface μ ¶ μ ¶ 2 1 Var E V 1 [X ] = ¡ 1 ¡ ¡ ¡2 1 ¡ : ® ®
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Asimismo, el j -¶e simo momento de la funci¶o n de distribuci¶o n EV2 es: μ ¶ £ ¤ j E E V 2 X j = (¡ 1) j ¡ 1 ¡ : ® En particular, la media est¶a dada por μ ¶ 1 E E V 2 [X ] = ¡ ¡ 1 ¡ ® y la varianza por
μ ¶ μ ¶ 2 1 Var E V 2 [X ] = ¡ 1 ¡ ¡ ¡2 1 ¡ : ® ®
7 4 .7 D istrib u c io n e s g e n e ra liz a d a s d e P a re to Las funciones de distribuci¶o n de probabilidad generalizadas de Pareto (GP) , W i , i = 0;1;2, se utilizan para modelar excesos sobre alguna cantidad ¯ja. Las respectivas funciones de densidades se denotan por w i , i = 0;1;2. Existe una relaci¶o n anal¶³tica entre las distribuciones GP y las EV: W i (x ) = 1 + ln(G i (x ) )
con
ln(G i (x ) ) ¸ ¡ 1:
Las tres funciones de distribuci¶o n de probabilidad generalizadas de Pareto (GP) y sus correspondientes funciones de densidad de probabilidad, con par¶ametro ® cuando ¶e ste sea el caso, son:
(i) Exponencial (GP0) . Las funciones de distribuci¶o n de probabilidad acumulada y de densidad de GP0 son, respectivamente, W
0 (x )
= 1 ¡ e¡
x
y
w 0 (x ) = e ¡ x ;
(74:15)
para toda x ¸ 0: (ii) Pareto (GP1) . Las funciones de distribuci¶o n de probabilidad acumulada y de densidad de GP1 son, respectivamente, W
1 (x )
= 1 ¡ x¡
®
y
w 1 (x ) = ® x ¡
(1 + ® )
(74:16)
;
para x ¸ 1; ® > 0. (iii) Beta (GP2) . Las funciones de distribuci¶o n de probabilidad acumulada y de densidad de GP2 son, respectivamente, W
2 (x )
= 1 ¡ (¡ x ) ¡
®
y
w 2 (x ) = ¡ ® (¡ x ) ¡
(1 + ® )
;
(74:17)
para ¡ 1 · x · 0; ® < 0.
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7 4 .8 M o m e n to s d e la s d istrib u c io n e s g e n e ra liz a d a s d e P a re to A continuaci¶o n se calculan los momentos de las distribuciones generalizadas de Pareto. Los momentos del caso exponencial GP0 son muy simples de obtener y se dej an como ej ercicios del presente cap¶³tulo. El j -¶e simo momento de GP1 se calcula como EG P 1
£ j¤ X = ® lim b! 1
Zb
x j¡
(1 + ® )
dx
1
¸b x j ¡ (1 + ® )+ 1 b! 1 j ¡ (1 + ® ) + 1 1 · j¡ ® ¸ b 1j¡ ® = ® lim ¡ b! 1 j¡ ® j¡ ® · j¡ ® ¸ 1 =® ¡ j¡ ® ® = : ® ¡ j
= ® lim
·
Observe que la integral converge s¶o lo si j ¡ ® < 0, es decir, ® > j . Por lo tanto, EG P 1
8 ® £ j¤ < ® ¡ j X = : 1
si
® > j;
si
® · j:
Si ® > 2, la varianza satisface £ ¤ Var G P 1 [X ] = E X 2 ¡ (E [X ] ) 2 μ ¶2 ® ® = ¡ ® ¡ 2 ® ¡ 1 2 ® (® ¡ 2® + 1) ¡ ® 2 (® ¡ 2) = (® ¡ 2) (® ¡ 1) 2 ® = : (® ¡ 2) (® ¡ 1) 2 Por u¶ ltimo, para el caso GP2, se tiene que £ ¤ E G P 2 X j = ¡ ® (¡ 1) ¡ = ¡ ® (¡ 1)
(1 + ® )
= ¡ ® (¡ 1) ¡
(1 +
·
(1 + ® )
(¡ 1) j ¡
j¡ ® ® = (¡ 1) j ¡ 2 ® ® ¡ j ® = (¡ 1) j (¡ 1) ¡ ® ¡ j ® = (¡ 1) j ® ¡ j
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(1 + ® )
dx
x j ¡ (1 + ® )+ 1 j ¡ (1 + ® ) + 1 · j ¡ ® ¸0 ®) x j¡ ® ¡1 · ¸ (¡ 1) j ¡ ® ®) 0¡ j¡ ®
¡ (1 + ® )
(1 +
® (¡ 1) ¡
x j¡
¡ 1
= ¡ ® (¡ 1) ¡
=
Z0
¸0 ¡ 1
®
2®
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con ® < 0 y entero. La varianza satisface, para ® < 0, £ ¤ Var G P 2 [X ] = E X 2 ¡ (E [X ] ) 2 μ ¶2 ® j® j = ¡ ® ¡ 2 ® ¡ 1 ® (® ¡ 1) 2 ¡ ® 2 (® ¡ 2) = (® ¡ 2) (® ¡ 1) 2 ® (® 2 ¡ 2® + 1) ¡ ® 2 (® ¡ 2) = (® ¡ 2) (® ¡ 1) 2 ® = : (® ¡ 2) (® ¡ 1) 2
7 4 .9 D istrib u c i¶o n d e l m ¶a x im o d e u n c o n ju n to d e v a ria b le s a le a to ria s y su re la c i¶o n e n tre G P y E V Sean X 1 ;X 2 ;:::;X N variables aleatorias independientes y no negativas con funci¶o n de distribuci¶o n com¶u n F , con F (0) = 0. Sea N una variable aleatoria Poisson con par¶ametro ¸ > 0, N » P (¸ ) , independiente de las X 1 ;X 2 ;:::;X N . Si se de¯ne F 0 (x ) = 1, entonces IPf max f X i g · x g = 0 · i· N
= = = = =
X1
n= 0 X1
n= 0 X1
n= 0 X1 n= 0 X1
n= 0 X1 n= 0
IPf max f X i g · x ;N = n g 0 · i· n
IPf max f X i g · x g IPf N = n g 0 · i· n
IPf X
0
· x ;X
IPf X
0
· x g IPf X
1
· x ;:::;X 1
n
· x g IPf N = n g
· x g ¢¢¢IPf X
n
· x g IPf N = n g
[IPf X · x g ] n IPf N = n g F n (x ) IPf N = n g :
Dado que IPf N = n g = e ¡ ¸ ¸ n = n !, se sigue que IPf max f X i g · x g = 0 · i· N
=
X1
n= 0 X1
F n (x ) IPf N = n g F n (x )
n= 0
=e
¡ ¸
X1 (F (x ) ¸ ) n n! n= 0
= e¡ ¸ e¸ F = e¡
e¡ ¸ ¸ n n!
(x )
¸ (1 ¡ F (x ))
:
Por lo tanto, IPf max f X i g · x g = e ¡ 0 · i· N
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¸ (1 ¡ F (x ))
;
x ¸ 0:
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7 4 . V a lo res ex trem o s y va lo r en riesg o
A continuaci¶o n se establece una relaci¶o n entre la distribuci¶o n generalizada de Pareto, GP1, y la distribuci¶o n de valor extremo EV1. Considere primero la funci¶o n de distribuci¶o n de GP1, la cual est¶a dada por W 1 (x ) = 1 ¡ x ¡ ® ; x ¸ 1; ® > 0: Si se escribe F (x ) = W
1 (x ) ,
se sigue que 1 ¡ F (x ) = x ¡ ® . En consecuencia,
IPf max f X i g · x g = e ¡
¸ (1 ¡ F (x ))
0 · i· N
= e¡
¸x¡
®
:
¡ ®
Si ¸ = 1, se tiene G 1 (x ) = e ¡ x , la cual es EV1. Existe tambi¶e n una relaci¶o n similar entre GP2 y EV2. En efecto, suponga ahora que F es GP2, la distribuci¶o n Beta, la cual est¶a dada por W Sea F (x ) = W
2 (x ) ,
2 ;®
(x ) = 1 ¡ (¡ x ) ¡ ® ;
¡ 1 · x · 0; ® < 0:
as¶³ 1 ¡ F (x ) = (¡ x ) ¡ ® . De esta manera, IPf max f X i g · x g = e ¡ 0 · i· N
¸ (1 ¡ F (x ))
= e¡
¸ (¡ x )¡
®
:
Si ¸ = 1, se obtiene ahora EV2.
7 4 .1 0 C o n d ic i¶o n d e v o n M ise s La condici¶o n de von Mises est¶a relacionada con la propiedad de estabilidad. Se dice que una distribuci¶o n F satisface la condici¶o n de von Mises si lim
x! 1
x f (x ) = ® > 0; F¹ (x )
donde F¹ (x ) = 1 ¡ F (x ) . Por ejemplo, en el caso Fr¶e chet, EV1, si F (x ) = G 1 (x ) , se tiene que F¹ (x ) = 1 ¡ F (x ) = 1 ¡ e ¡
x¡
®
y f (x ) = ® e ¡
x¡
®
x¡
(1 + ® )
:
En este caso, ¡ ®
lim
x! 1
x f (x ) x ® e ¡ x x ¡ (1 + = lim ¹ x! 1 F (x ) 1 ¡ e¡ x ¡ ®
®)
¡ ®
® e¡ x x ¡ ® = lim : x! 1 1 ¡ e¡ x ¡ ® Para calcular el l¶³mite anterior se utiliza la regla de L'Hopital, es decir, se deriva tanto el numerador como el denominador y, posteriormente, se toma el l¶³mite, esto es, ¡ ®
lim
x! 1
x f (x ) ® e¡ x x ¡ ® = lim x! 1 F¹ (x ) 1 ¡ e¡ x ¡ ® £ ¡® ¡ ® ® e ¡ x (¡ ® ) x ¡ ® ¡ 1 + x ¡ ® e ¡ x ® x ¡ = lim x! 1 ¡ ® e ¡ x ¡ ® x ¡ (1 + ® ) £ ¤ ¡ ®¡ 1 ® (¡ ® ) x + x¡ ® ® x¡ ®¡ 1 = lim x! 1 ¡ ® x ¡ (1 + ® ) 2 ¡ ® ¡ ® +x ® = lim x! 1 ¡® £ ¤ = lim ® ¡ x ¡ ®
®¡ 1
¤
x! 1
=®:
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7 4 . V a lo res ex trem o s y va lo r en riesg o
De la misma manera la distribuci¶o n de Pareto, GP1, satisface la condici¶o n de von Mises. Sea F (x ) = W 1 (x ) , entonces F¹ (x ) = 1 ¡ F (x ) = x ¡ ® y f (x ) = ® x ¡
(1 + ® )
:
Por lo tanto, lim
x! 1
x f (x ) x ® x ¡ (1 + = lim x! 1 x¡ ® F¹ (x ) ¡ ® ®x = lim x! 1 x¡ ® = ® > 0:
®)
7 4 .1 1 C u a n tile s d e E V y G P y v a lo r e n r ie sg o En esta secci¶o n se determinan los cuantiles de las distribuciones de EV y GP y se discute su relaci¶o n con el concepto de valor en riesgo. El cuantil q de una distribuci¶o n de probabilidad F , asociada a una variable aleatoria continua, es el valor de z q tal que F (z q ) = IPf X · z q g =
Z zq
f (x ) dx = q :
¡ 1
Las Gr¶a¯cas 74.4 y 74.5 muestran el cuantil q tomando en cuenta la funci¶o n de densidad, f = f (x ) , y la funci¶o n de distribuci¶o n acumulada, F = F (x ) .
Gr¶a¯ca 74.4 Cuantil q tomando en cuenta f (x ) .
Es importante se~n alar que si la funci¶o n de distribuci¶o n no es absolutamente continua, entonces el cuantil q no es u¶ nico y se toma el ¶³n¯mo de tal manera que z q = inff x 2 IRjF (x ) ¸ q g : Si X son los rendimientos de un activo o un portafolio, se de¯ne el valor en riesgo de X al nivel (de con¯anza) 1 ¡ q denotado por ¡ VaRX1 ¡ q , como el peor valor del rendimiento del portafolio en un intervalo de con¯anza del (1 ¡ q ) 100%. Es decir, X
VaR1 ¡
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q
= ¡ z q = ¡ inf f x 2 IR jIP f X · x g ¸ q g :
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7 4 . V a lo res ex trem o s y va lo r en riesg o
Gr¶a¯ca 74.5 Cuantil q tomando en cuenta F (x ) .
A continuaci¶o n, se proporcionan f¶o rmulas expl¶³citas de los cuantiles de las distribuciones EV y GP. Para ello, simplemente, se utiliza la inversa de la funci¶o n de distribuci¶o n acumulada. En el caso de las distribuciones de valores extremos, EV, se tiene que: (i) Gumbel (EV0) . En este caso, G 0 (z q ) = expf ¡ e ¡ z q g = q , lo cual implica que e ¡ y as¶³ z q = ¡ ln(¡ ln(q ) ) :
zq
= ¡ ln(q )
(ii) Fr¶e chet (EV1) . Observe que G 1 (z q ) = expf ¡ z q ¡ ® g = q implica z q = (¡ ln(q ) ) ¡
1=®
:
(iii) Weibull (EV2) . Note que G 2 (z q ) = expf ¡ (¡ z q ) ¡ ® g = q conduce a z q = ¡ (¡ ln(q ) ) ¡
1=®
:
Las f¶o rmulas expl¶³citas de los cuantiles de las distribuciones de probabilidad generalizadas de Pareto, (GP) , se obtienen a continuaci¶o n: (iv ) Exponencial (GP0) . En este caso, W
0 (z q )
= 1 ¡ e¡
zq
= q , lo cual conduce a
z q = ¡ ln(1 ¡ q ) : (v ) Pareto (GP1) . Ahora W
1 (z q )
= 1 ¡ z q¡
®
= q , de donde
z q = (1 ¡ q ) ¡ (v i) Beta (GP2) . Observe que W
2 (z q )
= 1 ¡ (¡ z q ) ¡
®
1=®
= q , as¶³
z q = ¡ (1 ¡ q ) ¡
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:
1=®
:
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7 4 . V a lo res ex trem o s y va lo r en riesg o
7 4 .1 2 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Embrechts P., C. KlÄu pperlberg, and T. Mikosch (1991) . Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. Reiss R. D. and M. Thomas (2000) . Statistical Analysis of Extreme Values (from Insurance, Finance, Hydrology and other Fields) . Second Edition, BirkhÄauser-Verlag. Basel, Boston, Berlin.
7 4 .1 3 E je rc ic io s 7 4 .1 Sea
n G » (x ) = exp ¡ (1 + » x ) ¡
1=»
o
1 + » x > 0;
;
» 6= 0:
Muestre que G » es Fr¶e chet para » > 0 y Weibull para » < 0. Pruebe que si » ! 0, entonces G 0 es Gumbel. 7 4 .2 En el caso de una distribuci¶o n de Gumbel, EV0, muestre que la media y la varianza satisfacen, respectivamente, E E V 0 [X ] = ° y Var E V 0 [X ] =
¼ : 6
7 4 .3 Muestre que la distribuci¶o n de Fr¶e chet, EV1, dada por G 1 (x ) = e ¡
x¡
®
x ¸ 0; ® > 0;
;
es estable. S o lu ci¶o n : Basta tomar b n = 0 y a n = n 1 = ® . 7 4 .4 Pruebe que la distribuci¶o n de Weibull, EV2, de¯nida mediante G 2 (x ) = e ¡
(¡ x )¡
®
x · 0; ® < 0;
;
es estable. S o lu ci¶o n : Basta considerar b n = 0 y a n = n 1 = ® . 7 4 .5 Considere la siguiente parametrizaci¶o n de distribuciones: W
°
(x ) = 1 ¡ (1 + ° x ) ¡
1=°
:
Muestre que si 0 < x y ° > 0, la distribuci¶o n es Pareto, y si 0 < x < 1= j° j y ° < 0, la distribuci¶o n es Beta. 7 4 .6 La distribuci¶o n de Burr se de¯ne como: "
F ® ;μ ;¹ ;¾ (x ) = 1 +
μ
x ¡ ¹ ¾
¶¡ ® #¡
μ
;
x > ¹ ; ¾ > 0; 0 < ® ; μ · 100;
donde ® y μ son los par¶ametros de forma, ¹ es el par¶ametro de localizaci¶o n y ¾ el par¶ametro de escala. Si ¹ = 0 y ¾ = 1, la distribuci¶o n acumulada de Burr est¶a dada por ¡ ¢¡ μ F ® ;μ (x ) = 1 + x ¡ ® ;
x > 0; 0 < ® ; μ · 100:
Muestre que la distribuci¶o n de Burr satisface la condici¶o n de von Mises.
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7 4 . V a lo res ex trem o s y va lo r en riesg o
S o lu ci¶o n : Sea F (x ) = F ® ;μ (x ) , entonces ¡ ¢¡ μ 1 + x¡ ® :
F¹ (x ) = 1 ¡ F (x ) = 1 ¡ La funci¶o n de densidad se obtiene mediante ¡ μ
dF (x ) d (1 + x ¡ ® ) = dx dx ¡ ¢¡ μ ¡ 1 dx ¡ ® = ¡ μ 1 + x¡ ® dx ¡ ¢ ¡ ® ¡ μ¡ 1 =¡ μ 1+x (¡ ® ) x ¡ ¡ ¢ ¡ μ¡ 1 = ® μx ¡ ® ¡ 1 1 + x ¡ ® :
®¡ 1
Observe ahora que lim
x! 1
x f (x ) x ® μ x ¡ ® ¡ 1 (1 + x ¡ ® ) = lim ¹ x! 1 F (x ) 1 ¡ (1 + x ¡ ® ) ¡ μ = lim x! 1
® μx ¡
®
(1 + x ¡ ® )
¡ μ¡ 1
¡ μ¡ 1
1 ¡ (1 + x ¡ ® ) ¡
μ
:
Para calcular el l¶³mite anterior se utiliza la regla de L'Hopital. Esto es, lim
x! 1
¡ μ¡ 1
x f (x ) ® μ x ¡ ® (1 + x ¡ ® ) = lim x! 1 F¹ (x ) 1 ¡ (1 + x ¡ ® ) ¡ μ £¡ ® ¡ μ¡ 1¡ 1 ¡ ® μ x (¡ μ ¡ 1) (1 + x ¡ ® ) + (1 + x ¡ ® ) = lim ¡ μ¡ 1 x! 1 μ (1 + x ¡ ® ) £ ¡ ¢¡ 1 ¤ = lim ® (¡ μ ¡ 1) x ¡ ® 1 + x ¡ ® +1
μ¡ 1
¤
x! 1
= ® > 0:
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.
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X V III. P R E R E Q U IS IT O S P A R A M O D E L O S E C O N O¶ M IC O S D E R IE S G O S
² 7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o (I):
ca lcu lo d e va ria cio n es
² 7 6 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o (II):
co n tro l o¶ p tim o
² 7 7 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o (III):
p ro g ra m a ci¶o n d in a¶ m ica
² 7 8 . C o n su m id o r in tertem p o ra l (I):
ca so d eterm in ista
² 7 9 . C o n su m id o r in tertem p o ra l (II):
ca so d eterm in ista y d ecisio n es d iv ersa s
² 8 0 . M o d elo s m a cro eco n ¶o m ico s d eterm in ista s d e d eterm in a ci¶o n
d e ta sa s d e in ter¶e s
² 8 1 . P ro g ra m a ci¶o n d in ¶a m ica esto c¶a stica en tiem p o co n tin u o
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.
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C A P ¶IT U L O 75 O P T IM IZ A C IO¶ N D E T E R M IN IS T A E N T IE M P O C O N T IN U O I (C A¶ L C U L O D E V A R IA C IO N E S ) C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ² ² ²
C¶alculo de variaciones Diferencial de Fr¶e chet Diferencial de Gateaux Condiciones necesarias de m¶aximo Ecuaci¶o n de Euler-Lagrange Condici¶o n de Legendre Concavidad y condiciones su¯cientes de m¶aximo
7 5 .1 In tro d u c c i¶o n El problema que resuelve un consumidor-inversionista racional en tiempo continuo consiste en determinar las trayectorias de consumo e inversi¶o n que maximizan su satisfacci¶o n (felicidad) suj eto a su restricci¶o n presupuestal. Este problema que es parte esencial del an¶alisis econ¶o mico y ¯nanciero se resuelve mediante el uso de diversas t¶e cnicas de programaci¶o n matem¶atica din¶amica. Es importante destacar que a diferencia del caso est¶atico en donde el estudio es referido a un solo punto en el tiempo, en el caso din¶amico el an¶alisis se efect¶u a a lo largo de un intervalo de tiempo. Es tambi¶e n imprescindible aclarar que en el caso din¶amico no se busca resolver en cada instante un problema est¶atico de maximizaci¶o n de utilidad (
7 5 .2 C ¶a lc u lo d e v a ria c io n e s En la teor¶³a econ¶o mica y ¯nanciera en tiempo continuo se plantean problemas en donde se maximizan funcionales representadas por integrales suj etas a un conjunto de restricciones y cuyas soluciones pertenecen a alg¶u n espacio de funciones. Bajo el esquema determinista, una de las t¶e cnicas de soluci¶o n de uso m¶as frecuente es el c¶alculo de variaciones, el cual constituye una de las ramas principales del an¶alisis funcional no lineal.
7 5 .3 L a d ife re n c ia l d e F r¶e c h e t En 1906, el matem¶atico franc¶e s Maurice Ren¶e Fr¶e chet (1878-1973) introduj o la diferencial que lleva su nombre 1 . El concepto de diferencial de Fr¶e chet generaliza la diferencial de una funci¶o n f : IRn ¡ ! IR y se ilustra a continuaci¶o n. Por ej emplo, si n = 1 y f es diferenciable en t, la diferencial de f en t valuada en h es la u¶ nica funci¶o n lineal en h , T 1 (h ) = f 0(t) h , que aproxima la diferencia f (t + h ) ¡ f (t) con un error o (h ) , es decir, f (t + h ) ¡ f (t) = T (h ) + o (h ) ; 1 F r¶e ch et en su s estu d io s so b re esp a cio s a b stra cto s in tro d u jo el lla m a d o esp a cio d e F r¶e ch et, u n esp a cio lo ca lm en te co n v ex o , m etriza b le y co m p leto .
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
donde o (h ) = h ! 0 cuando h ! 0 (v¶e ase la gr¶a¯ca 75.1) . La cantidad o (h ) es llamada un in¯nit¶e simo de orden superior al primero con respecto de h . Por ej emplo, o (h ) = h 1 + ± ; ± > 0, es un in¯nit¶e simo de orden superior al primero con respecto de h , ya que o (h ) = h = h ± ! 0 cuando h ! 0. Es usual denotar T (h ) por df (t) (h ) . Observe tambi¶e n que, en este caso, lim
h! 0
f (t + h ) ¡ f (t) o (h ) = f 0(t) + lim = f 0(t) : h! 0 h h
Gr¶a¯ca 75.1 Diferencial de una funci¶o n f : IR ¡ ! IR. De la misma manera, si n = 2, la diferencial de f en (t1 ;t2 ) valuada en (h 1 ;h 2 ) es la u¶ nica funci¶o n lineal en (h 1 ;h 2 ) ; @f @f T 2 (h 1 ;h 2 ) = h1 + h 2; @ t1 @ t2 que aproxima a f (t1 + h 1 ;t2 + h 2 ) ¡ f (t1 ;t2 ) con un error o (jj(h 1 ;h 2 ) jj) , es decir, f (t1 + h 1 ;t2 + h 2 ) ¡ f (t1 ;t2 ) =
@f @f h1 + h 2 + o (jj(h 1 ;h 2 ) jj) ; @ t1 @ t2
donde jj ¢ jj es la norma Euclideana bidimensional. A continuaci¶o n se de¯ne la diferencial de Fr¶e chet en un espacio de dimensi¶o n in¯nita equipado con una norma. Sea (V ;jj ¢ jj) un espacio lineal normado y considere una bola abierta con centro en f y radio " > 0, B " (f ) = f h 2 V : jjh ¡ f jj < " g . Sea J : B " (f ) ½ V ! IR una funcional, no necesariamente lineal. Se dice que la funcional J es Fr¶e chet-diferenciable en el punto f 2 B " (f ) si existe una funcional lineal acotada dJ (f ) 2 L (V ;IR) = V ¤ (el espacio dual de V ) tal que para f + h 2 B " (f ) se cumple J (f + h ) ¡ J (f ) = dJ (f ) (h ) + o (jjh jj) ;
(75:1)
jo (jjh jj) j ! 0; jjh jj
(75:2)
donde o (jjh jj) signi¯ca que
cuando jjh jj ! 0. Observe que (75.1) puede reescribirse de manera m¶as conveniente como lim
jjh jj! 0
jJ (f + h ) ¡ J (f ) ¡ dJ (f ) (h ) j = 0: jjh jj
La funcional lineal dJ (f ) (h ) es llamada la diferencial de Fr¶e chet de la funcional J en el punto f valuada en h . Obviamente, este concepto es local. Se dice que J es diferenciable en un conj unto B " (f ) ½ V si es diferenciable para cada g 2 B " (f ) , esto es, para cada g 2 B " (f ) existe dJ (g ) 2 L (V ;IR) = V ¤ , tal que cumple con la propiedad (75.1) .
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7 5 .4 L a d ife re n c ia l d e F r¶e c h e t e st¶a d e ¯ n id a e n to d o V Es importante destacar que aunque J est¶a s¶o lo de¯nida en B " (f ) , la diferencial dJ (f ) (h ) est¶a de¯nida en todo V . En efecto, sea h 2 V , h 6= 0, entonces f + (" h = 2jjh jj) 2 B " (f ) ; ya que ° ° ° ° °f + " h ¡ f ° = 1 " < " : ° ° 2 2jjh jj Por lo tanto, si J es diferenciable en f , entonces μ ¶ "h " J f + ¡ J (f ) = dJ (f ) (h ) + o ( 12 " ) : 2jjh jj 2jjh jj
7 5 .5 U n ic id a d d e la d ife re n c ia l d e F r¶e c h e t A continuaci¶o n se muestra que la diferencial de Fr¶e chet es u¶ nica. En efecto, si J (f + h ) ¡ J (f ) se puede aproximar por una funcional lineal ' (h ) = dJ (f ) (h ) con un error o (jjh jj) , entonces ' (h ) es u¶ nica. Suponga que existe otra funcional lineal à (h ) con la misma propiedad, entonces ' (h ) + o (jjh jj) = J (f + h ) ¡ J (f ) = à (h ) + o (jjh jj) : Por lo tanto, ' (h ) ¡ à (h ) = o (jjh jj) ¡ o (jjh jj) = o (jjh jj) : Es decir, T (h ) ´ ' (h ) ¡ à (h ) es una funcional lineal y, al mismo tiempo, un in¯nit¶e simo de orden superior al primero con respecto de jjh jj. Esto quiere decir que T (h ) = jjh jj ! 0. Se a¯rma que T (h ) ´ 0. Suponga, lo contrario, es decir, existe h 0 6= 0 tal que T (h 0 ) 6= 0. De¯na h n = h 0 = n , n 2 IN, entonces lim
n! 1
T (h n ) n T (h 0 ) T (h 0 ) = lim = 6= 0: n ! 1 jjh n jj n jjh 0 jj jjh 0 jj
Por lo tanto, T (h ) ´ 0, es decir, ' (h ) ´ Ã (h ) .
7 5 .6 P ro p ie d a d e s b ¶a sic a s d e la d ife re n c ia l d e F r¶e c h e t En esta secci¶o n se establecen, brevemente, algunas de las propiedades b¶asicas de la diferencial de Fr¶e chet. Si J : V ¡ ! IR es constante, es decir, J (f ) = c para toda f 2 V , entonces dJ (f ) ´ 0, ya que lim jjh jj! 0 jJ (f + h ) ¡ J (f ) ¡ 0j= jjh jj = lim jjh jj! 0 jc ¡ cj= jjh jj = 0. Si J es lineal, entonces dJ (f ) (h ) ´ J (h ) para toda f y h , ya que lim jjh jj! 0 jJ (f + h ) ¡ J (f ) ¡ J (h ) j= jjh jj = 0. Por u¶ ltimo, si J 1 y J 2 son dos funcionales de V en IR, entonces es inmediato veri¯car que d(J 1 + J 2 ) (f ) ´ dJ 1 (f ) + dJ 2 (f ) :
7 5 .7 D ife re n c ia l d e G a te a u x La diferencial de Gateaux extiende el concepto de derivada direccional de una funci¶o n f : IRn ! IR: Sea (V ;jj ¢ jj) un espacio lineal normado y J : B " (f ) ½ V ! IR una funcional. Se dice que J es Gateaux-diferenciable en el punto f 2 B " (f ) si el l¶³mite lim
±! 0
J (f + ± h ) ¡ J (f ) ±
existe (es ¯nito) , en cuyo caso es denotado por ¯ d ¯ J (f + ± h ) ¯ d± ±=
0
= lim
±! 0
J (f + ± h ) ¡ J (f ) : ±
Si J es diferenciable en el sentido de Fr¶e chet, entonces J es tambi¶e n diferenciable en el sentido de Gateaux y dJ (f ) (h ) = (d= d± ) J (f + ± h ) j± = 0 . En efecto, suponga que f + ± h 2 B " (f ) . Si J es diferenciable en el sentido de Fr¶e chet, entonces J (f + ± h ) ¡ J (f ) = ± dJ (f ) (h ) + o (± jjh jj) :
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
Por lo tanto, J (f + ± h ) ¡ J (f ) o (± jjh jj) = dJ (f ) (h ) + : ± ± Es decir, lim
±! 0
J (f + ± h ) ¡ J (f ) = dJ (f ) (h ) : ±
7 5 .8 D ife re n c ia l d e F r¶e c h e t y c o n d ic i¶o n n e c e sa ria d e u n m ¶a x im o Una condici¶o n necesaria de un m¶aximo de J en el punto f es que dJ (f ) (h ) = 0 para toda h 2 V . Suponga, por el contrario, que existe un h 0 2 V tal que dJ (f ) (h 0 ) 6= 0 y J (f + h 0 ) ¡ J (f ) = dJ (f ) (h 0 ) + o (jjh 0 jj) : Si h 0 es su¯cientemente peque~n o (dividiendo el h 0 inicial por n grande) , entonces el signo de J (f +h 0 ) ¡ J (f ) coincide con el signo de dJ (f ) (h 0 ) . Si f es m¶aximo se tiene que J (f +h 0 ) ¡ J (f ) · 0. Observe ahora que dJ (f ) (¡ h 0 ) = ¡ dJ (f ) (h 0 ) : De esta manera, J (f ¡ h 0 ) ¡ J (f ) = ¡ dJ (f ) (h 0 ) + o (jjh 0 jj) : Por lo tanto, J (f ¡ h 0 ) ¡ J (f ) tiene signo contrario al de J (f + h 0 ) ¡ J (f ) , lo cual es imposible pues J alcanza un m¶aximo en f .
7 5 .9 L a se g u n d a d ife re n c ia l d e F r¶e c h e t Como en el caso de la primera diferencial de Fr¶e chet, la segunda diferencial de Fr¶e chet generaliza el concepto de segunda diferencial de una funci¶o n f : IRn ¡ ! IRm en un punto, la cual se de¯ne con base en el t¶e rmino de segundo orden (multiplicado por 2) en la expansi¶o n en serie de Taylor. Por ej emplo, en el caso de una funci¶o n f : IR ¡ ! IR dos veces diferenciable, la segunda diferencial de f en t valuada en h se de¯ne como d 2 f (t) (h ;h ) = f 00(t) h 2 . De manera similar, si f : IR2 ¡ ! IR es dos veces diferenciable, la segunda diferencial de f en (t1 ;t2 ) valuada en (h 1 ;h 2 ) se de¯ne como la forma cuadr¶atica μ ¶μ ¶ f11 f12 h1 2 d f (t1 ;t2 ) ((h 1 ;h 2 ) ;(h 1 ;h 2 ) ) = (h 1 ;h 2 ) : f21 f22 h2 Por u¶ ltimo, como un buen ej ercicio mental, la segunda diferencial de f : IR2 ¡ ! IR2 , f (t1 ;t2 ) = (Á (t1 ;t2 ) ;Ã (t1 ;t2 ) ) est¶a dada por 2
d f (t1 ;t2 ) ((h 1 ;h 2 ) ;(h 1 ;h 2 ) ) = (h 1 ;h 2 )
μ
(Á 1 1 ;Ã (Á 2 1 ;Ã
11 ) 21 )
(Á 1 2 ;Ã (Á 2 2 ;Ã
12 ) 22 )
¶μ
h1 h2
¶
:
Sea (V ;jj ¢ jj) un espacio lineal normado y J : B " (f ) ½ V ! IR. Se dice que el funcional J es dos veces diferenciable en el sentido de Fr¶e chet en el punto f 2 B " si existe una funcional lineal acotada dJ (f ) 2 L (V ;IR) y una funcional bilineal acotada d 2 J (f ) 2 B (V £ V ;IR) tales que si f + h 2 B " (f ) se cumple que J (f + h ) ¡ J (f ) = dJ (f ) (h ) + d 2 J (f ) (h ;h ) + o (jjh jj2 ) ; donde o (jjh jj2 ) signi¯ca que
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(75:3)
jo (jjh jj2 ) j ! 0; jjh jj2
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
cuando jjh jj ! 0. La cantidad o (jjh jj2 ) es llamada un in¯nit¶e simo de orden superior al segundo con respecto de jjh jj. La funcional bilineal acotada d 2 J (f ) (h ;h ) es llamada la segunda diferencial de Fr¶e chet.
7 5 .1 0 D ife r e n c ia l se g u n d a d e F r¶e c h e t y c o n d ic i¶o n n e c e sa ria d e m ¶a x im o Sea (V ;jj ¢ jj) un espacio lineal normado y sea J : B " (f ) ½ V ! IR dos veces diferenciable en el sentido de Fr¶e chet. Si J alcanza un m¶aximo en f , entonces d 2 J (f ) (h ;h ) · 0 para toda h 2 V , es decir, la funcional cuadr¶atica d 2 J (f ) (h ;h ) es de¯nida negativa. En efecto, si J alcanza un m¶aximo en f , entonces dJ (f ) (h ) = 0 para toda h 2 V . Suponga que f + h 2 B " (f ) , entonces J (f + h ) ¡ J (f ) = d 2 J (f ) (h ;h ) + o (jjh jj2 ) :
(75:4)
Suponga, por el contrario, que existe un h 0 tal que d 2 J (f ) (h 0 ;h 0 ) > 0. Observe que para todo ± 6= 0, se cumple que d 2 J (f ) (± h 0 ;± h 0 ) = ± 2 d 2 J (f ) (h 0 ;h 0 ) > 0. Sea h = ± h 0 , si ± es su¯cientemente peque~n a, entonces existen puntos h en V su¯cientemente peque~n os para los cuales J (f + h ) ¡ J (f ) y d 2 J (f ) (h ;h ) tienen el mismo signo, esto contradice el hecho de que f sea un m¶aximo de J . Observe que la condici¶o n d 2 J (f ) (h ;h ) · 0 para toda h 2 V es necesaria pero no su¯ciente para que J tenga un m¶aximo en f , al contrario de como sucede en el caso de dimensi¶o n ¯nita.
7 5 .1 1 D ife r e n c ia l se g u n d a d e F r¶e c h e t y c o n d ic i¶o n su ¯ c ie n te d e m ¶a x im o Sea (V ;jj ¢ jj) un espacio lineal normado y en el sentido de Fr¶e chet. Si dJ (f ) (h ) = 0 tal que d 2 J (f ) (h ;h ) · cjjh jj2 para toda h 2 fuertemente negativa, entonces J alcanza un
sea J : B " (f ) ½ V ! IR dos veces diferenciable para toda h 2 V y si existe una constante c < 0 V , es decir, la funcional cuadr¶atica d 2 J (f ) (h ;h ) es m¶aximo en f . Suponga que f + h 2 B " (f ) , entonces
J (f + h ) ¡ J (f ) = d 2 J (f ) (h ;h ) + o (jjh jj2 ) :
(75:5)
Considere " > 0 tal que para jjh jj < " se veri¯que que jo (jjh jj2 ) j < ¡ cjjh jj2 = 2. Por continuidad de o (jjh jj2 ) , se sigue que dado ¡ c= 2 > 0, existe " > 0, tal que j(o (jjh jj2 ) = jjh jj2 ) ¡ 0j < ¡ c= 2 para jjh jj < " . Claramente, o (jjh jj2 ) · jo (jjh jj2 ) j < ¡ cjjh jj2 = 2. Por lo tanto, cjjh jj2 cjjh jj2 = < 0; 2 2
J (f + h ) ¡ J (f ) = d 2 J (f ) (h ;h ) + o (jjh jj2 ) < cjjh jj2 ¡
lo cual implica que J (f + h ) ¡ J (f ) < 0 para jjh jj < " , es decir, J tiene un m¶aximo (local) en f .
7 5 .1 2 U n p rim e r e je m p lo Sea V = C [a ;b] el espacio de funciones continuas en [a ;b] con la norma jjf jj = max jf (t) j. De¯na t2 [a ;b]
J (f ) =
1 2
Zb
g 0 (t) f 2 (t) dt;
a
donde g 0 es una funci¶o n ¯ja en V . En este caso, J (f + h ) ¡ J (f ) =
Zb
g 0 (t) f (t) h (t) dt +
a
En consecuencia, dJ (f ) (h ) =
Zb
1 2
Zb
g 0 (t) h 2 (t) dt:
a
g 0 (t) f (t) h (t) dt
a
y d 2 J (f ) (h ;h ) =
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1 2
Zb
g 0 (t) h 2 (t) dt:
a
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
Se puede veri¯car, f¶acilmente, que jjdJ (f ) (h ) jj = jjh jj
jjdJ (f ) jj = sup h 6= 0
Zb a
y jjdJ (f ) (h ;h ) jj = jjh jj2
jjd 2 J (f ) jj = sup h 6= 0
1 2
jg 0 (t) f (t) jdt Zb a
jg 0 (t) jdt:
7 5 .1 3 L e m a s fu n d a m e n ta le s d e l c ¶a lc u lo d e v a ria c io n e s Una vez que se ha introducido el concepto de diferencial de una funcional es necesario establecer varios lemas relacionados con problemas de optimizaci¶o n en donde la funcional ob jetivo est¶a representada por una integral.
7 5 .1 3 .1 L e m a I Sea g 0 2 C [a ;b] y suponga que
Zb
g 0 (t) h (t) dt = 0
a
para toda h 2 C 0 [a ;b] , es decir, h 2 C [a ;b] y h (a ) = h (b) = 0, entonces g 0 ´ 0: En efecto, suponga lo contrario, es decir, existe un t0 tal que g 0 (t0 ) 6= 0. Por la continuidad de g 0 existe un subintervalo [t1 ;t2 ] ½ [a ;b] en donde g 0 6= 0. De¯na h de tal manera que h (t) = (t ¡ t1 ) (t2 ¡ t) (un segmento de par¶abola) en [t1 ;t2 ] y h (t) = 0 en [a ;b] n [t1 ;t2 ] . Obviamente, h 2 C 0 [a ;b] . Sin embargo, Zb Zb 0= g 0 (t) h (t) dt = g 0 (t) (t ¡ t1 ) (t2 ¡ t) dt > 0: a
a
Adem¶as, se tiene el siguiente resultado. Sea g 0 2 C [a ;b] y suponga que Zb g 0 (t) h (t) dt = 0 a
n 0
para toda h 2 C [a ;b] = f f : [a ;b] ¡ ! IR j f tiene derivadas continuas hasta el orden n y h (a ) = h (b) = 0g , entonces g 0 ´ 0: La demostraci¶o n es la misma que la del lema anterior, s¶o lo que h (t) = [(t ¡ t1 ) (t2 ¡ t) ] n + 1 en [t1 ;t2 ] y h (t) = 0 en [a ;b] n [t1 ;t2 ] .
7 5 .1 3 .2 L e m a II Sea g 0 2 C [a ;b] y suponga que
Zb
g 0 (t) h 0(t) dt = 0
a
para toda h 2 C 01 [a ;b] , entonces g 0 ´ c = constante. En efecto, sea A = Rb A = c(b ¡ a ) , entonces a (g 0 (t) ¡ c) dt = 0. Sea h (t) =
Zt a
Rb a
g 0 (t) dt, reescriba
(g 0 (u ) ¡ c) du ;
entonces h 2 C 01 [a ;b] . Observe ahora que Zb Zb (g 0 (t) ¡ c) h 0(t) dt = g 0 (t) h 0(t) dt ¡ c[h (b) ¡ h (a ) ] = 0; a
lo cual implica que
a
Zb a
(g 0 (t) ¡ c) 2 dt = 0:
Por lo tanto g 0 (t) ¡ c = 0 para toda t 2 [a ;b] :
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
7 5 .1 3 .3 L e m a III Sea g 0 2 C [a ;b] y suponga que
Zb
g 0 (t) h 00(t) dt = 0
a
para toda h 2 C 02;1 [a ;b] , es decir, h 2 C 02 [a ;b] y h 0(a ) = h 0(b) = 0, entonces g 0 = c 0 + c 1 t. En efecto, sean c 0 y c 1 de¯nidas por las condiciones Zb a
y
Z b μZ s a
a
Sea h (t) =
(g 0 (t) ¡ c 0 ¡ c 1 t) dt = 0 ¶ (g 0 (t) ¡ c 0 ¡ c 1 t) dt ds = 0:
Z t μZ s a
2 0 ;1 [a ;b] .
Evidentemente, h 2 C h (t) =
ZtZs a
y 0
h (t) =
a
Zt a
a
(g 0 (u ) ¡ c 0 ¡ c 1 u ) du
¶
ds :
Para demostrar la existencia de c 0 y c 1 observe, primero, que
g 0 (u ) du ds ¡ c 0
μ
t2 ¡ a 2 ¡ a (t ¡ a ) 2
(g 0 (u ) ¡ c 0 ¡ c 1 u ) du =
Zt a
¶
¡
c1 2
μ
t3 ¡ a 3 ¡ a 2 (t ¡ a ) 3
g 0 (u ) du ¡ c 0 (t ¡ a ) ¡ c 1
μ
t2 ¡ a 2 2
¶
¶
:
Ahora bien, en virtud de que h (b) = h 0(b) = 0, se tiene que Zb Zs a
a
g 0 (u ) du ds ¡ c 0
y
Zb a
μ
b2 ¡ a 2 ¡ a (b ¡ a ) 2
¶
g 0 (u ) du ¡ c 0 (b ¡ a ) ¡ c 1
c1 ¡ 2 μ
μ
b3 ¡ a 3 ¡ a 2 (b ¡ a ) 3
b2 ¡ a 2 2
¶
¶
=0
= 0:
Estas dos condiciones se pueden reescribir matricialmente como sigue: μ1
2 6 (b ¡ a ) (b + 2a ) 1 2 2 2 (b ¡ a )
1 2
(b ¡ a ) 2 b¡ a
¶μ
c1 c0
¶
à Rb Rs ! g (u ) du ds 0 a Ra = : b g (u ) du a 0
Es f¶acil veri¯car que el determinante del sistema est¶a dado por ¢ = (b ¡ a ) 4 = 12 6= 0. De este lema se desprende el siguiente resultado m¶as general. Si g 0 2 C [a ;b] y Zb
g 0 (t) h (n ) (t) dt = 0
a
para toda h 2 C
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n 0 ;1 ;:::;n ¡ 1 [a ;b] ,
entonces g 0 =
Pn¡
1 k= 0
c k tk .
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
7 5 .1 3 .4 L e m a IV Sean g 0 ;g 1 2 C [a ;b] y suponga que Zb
[g 1 (t) h (t) + g 0 (t) h 0(t) ] dt = 0
a
para toda h 2 C 01 [a ;b] , entonces g 00 (t) = g 1 (t) para toda t 2 [a ;b] . En consecuencia, g 00 2 C [a ;b] : Rt Rb En efecto, de¯na A (t) = a g 1 (s ) ds . Ahora bien, si se integra por partes a g 1 (t) h (t) dt, se tiene que Zb ¯ Zb ¯b g 1 (t) h (t) dt =A (t) h (t) ¯ ¡ A (t) h 0(t) dt a
=¡ Rb
Rb
Zb
a
a
A (t) h 0(t) dt:
a
Rb Por hip¶o tesis a g 1 (t) h (t) dt = a g 0 (t) h (t) dt, as¶³ a (A (t) ¡ g 0 (t) ) h 0(t) dt: Por el lema II se obtiene que A (t) = g 0 (t) y, por lo tanto, g 1 (t) = g 00 (t) para toda t 2 [a ;b] : Se enfatiza que la diferenciabilidad de g 0 no se hab¶³a supuesto de antemano. 0
7 5 .1 4 P ro b le m a s d e l tip o I (fu n c io n a le s c o n u n so lo a rg u m e n to c o n fro n te ra s ¯ ja s) En esta secci¶o n se estudia el problema m¶as simple del c¶alculo de variaciones y se establecen las condiciones necesarias de un m¶aximo. En este problema de optimizaci¶o n, la funcional ob j etivo es representada por una integral, cuyo integrando depende de una funci¶o n perteneciente a alg¶u n espacio. Considere el siguiente problema de optimizaci¶o n: Zb Maximizar J (f ) = F (t;f (t) ;f 0(t) ) dt; a
suj eto a f (a ) = A ;
f (b) = B ;
(75:6)
2
donde F 2 C , es decir, F es una funci¶o n con primera y segunda derivadas parciales continuas con respecto de todos sus argumentos. En este caso, V = C 1 [a ;b] es el espacio de funciones con primera derivada continua en [a ;b] . Asimismo, suponga que V est¶a equipado con la siguiente norma: jjf jj = max jf (t) j + max jf 0(t) j: t2 [a ;b]
t2 [a ;b]
Una condici¶o n necesaria de un m¶aximo de J en f es que f satisfaga la ecuaci¶o n de Euler, μ ¶ @F d @F ¡ = 0: (75:7) @f dt @ f 0 En efecto, considere primero el subespacio de funciones con primera derivada continua en [a ;b] que satisfacen h (a ) = h (b) = 0. Este subespacio ser¶a denotado mediante C 01 [a ;b] . Evidentemente, C 01 [a ;b] ½ C 1 [a ;b] . Sea f 2 C 1 [a ;b] con f (a ) = A y f (b) = B . Si se incrementa la funci¶o n f en h , con h 2 C 01 [a ;b] , jjh jj < " , entonces f + h 2 B " (f ) y satisface las condiciones de frontera dadas en (75.6) , (f + h ) (a ) = A y (f + h ) (b) = B . En la terminolog¶³a del c¶alculo de variaciones dicha h es llamada una funci¶o n admisible. Si se expresa la diferencia J (f + h ) ¡ J (f ) en t¶e rminos de una serie de Taylor, se sigue que ¶ Zb μ @ F (t;f ;f 0) @ F (t;f ;f 0) 0 J (f + h ) ¡ J (f ) = h (t) + h (t) dt @f @f0 a Zb μ 2 @ F (t;f + μ h ;f 0 + μ h 0) 2 + 12 h (t) @f2 a (75:8) @ 2 F (t;f + μ h ;f 0 + μ h 0) 0 +2 h (t) h (t) @f@f0 ¶ @ 2 F (t;f + μ h ;f 0 + μ h 0) 0 2 + (h (t) ) dt; @ f 02
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
donde μ 2 [0;1] . Adem¶as, se sabe que existen M ¯2 ¯ 0 ¯ ¯ ¯@ F (t;f ;f ) ¯· M ¯ @f2 ¯
1 ;M 2
¯2 ¯ 0 ¯ ¯ ¯@ F (t;f ;f ) ¯· M ¯ @f@f0 ¯
1;
yM
2
3
tales que y
¯2 ¯ 0 ¯ ¯ ¯@ F (t;f ;f ) ¯· M ¯ @ f 02 ¯
3
para todo (t;f ;f 0) , pues F tiene segundas derivadas continuas con respecto de todos sus argumentos. Se de¯ne M = max1 · i· 3 f M i g . Observe ahora que la segunda integral de la ecuaci¶o n (75.8) satisface 1 2
Zb a
1 2
(¢¢¢) dt ·
Zb a
£ 2 ¤ M h (t) + 2M h (t) h 0(t) + M h 02 (t) dt
Zb
£2 ¤ h (t) + 2h (t) h 0(t) + h 02 (t) dt a Zb · · 21 M max jh (t) j2 t2 [a ;b] μa ¶ + 2 max jh (t) j max jh 0(t) j t2 [a ;b] t2 [a ;b] ¸ + max jh 0(t) j2 dt 1 2
·
M
t2 [a ;b]
1 2
·
M (b ¡ a )
·
(75:9)
¸2 max jh (t) j + max jh (t) j
t2 [a ;b]
t2 [a ;b]
0
= 12 M (b ¡ a ) jjh jj2 : Despu¶e s de dividir la expresi¶o n anterior entre jjh jj y tomar el l¶³mite cuando jjh jj ! 0, se sigue que ¯R ¯ ¯ 1 ¯b 1 (¢¢¢) dt ¯ ¯ M (b ¡ a ) jjh jj2 2 a o (jjh jj) 0 · lim · lim 2 = lim = 0: jjh jj jjh jj jjh jj! 0 jjh jj! 0 jjh jj! 0 jjh jj En virtud de (75.8) , se puede escribir que J (f + h ) ¡ J (f ) =
Zb μ a
¶ @ F (t;f ;f 0) @ F (t;f ;f 0) 0 h (t) + h (t) dt + o (jjh jj) : @f @f0
La primera integral en la expresi¶o n anterior es una funcional lineal en h . Debido a la unicidad de la diferencial, se sigue que dJ (f ) (h ) =
Zb μ a
¶ @ F (t;f ;f 0) @ F (t;f ;f 0) 0 h (t) + h (t) dt: @f @f0
(75:10)
De lo anterior, se concluye que si f es m¶aximo de J , entonces Zb μ a
¶ @ F (t;f ;f 0) @ F (t;f ;f 0) 0 h (t) + h (t) dt = 0 @f @f0
(75:11)
para toda h admisible. Observe ahora que si se integra por partes el segundo sumando del integrando en (75.11) , se tiene que Zb a
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¯ Zb μ ¶ ¯b @ F (t;f ;f 0) 0 @ F (t;f ;f 0) d @ F (t;f ;f 0) ¯ h (t) dt = h (t) ¯ ¡ h (t) dt @f0 @f0 @f0 a dt a ¶ Zb μ d @ F (t;f ;f 0) =¡ h (t) dt: @f0 a dt
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
ya que h (a ) = h (b) = 0. En consecuencia, la ecuaci¶o n (75.11) se transforma en w ¶¸ Zb · d @ F (t;f ;f 0) @ F (t;f ;f 0) ¡ h (t) dt = 0; dt @f0 @f a para toda h admisible. El lema I implica que w ¶ d @ F (t;f ;f 0) @ F (t;f ;f 0) ¡ = 0: dt @f @f0
(75:12)
Esta ecuaci¶o n es conocida como la ecuaci¶o n de Euler (desarrollada por L. Euler en 1744) y proporciona una condici¶o n necesaria de un m¶aximo de J en f . Por u¶ ltimo, observe que la ecuaci¶o n (75.12) se puede reescribir, utilizando la diferencial total, como F f ¡ F f 0f f 0 ¡ F f 0f 0 f 00 ¡ F f 0t = 0; la cual es, en general, una ecuaci¶o n diferencial ordinaria de segundo orden. La soluci¶o n general de esta ecuaci¶o n contiene dos constantes arbitrarias, las cuales se determinan por las condiciones de frontera.
7 5 .1 4 .1 P r o b le m a s d e l tip o I y d ife r e n c ia l d e G a te a u x En esta secci¶o n se obtiene la ecuaci¶o n de Euler (75.12) utilizando la diferencial de Gateaux. Baj o los mismos supuestos de la secci¶o n anterior, de¯na I (± ) = J (f + ± h ) y g = f + ± h con h 2 V arbitraria y ± 2 IR su¯cientemente peque~n a, entonces I (± ) ¡ I (0) =
Zb w
I (± ) ¡ I (0) = ±
w ¶¸ Zb · d @F @F o (± ) ¡ : h (t) dt + 0 @ f dt @ f ± a
a
Por lo tanto,
¶ @F @F 0 ± h (t) + ± h (t) dt + o (± ) : @f0 @f
Si se toma el l¶³mite cuando ± ! 0, se tiene que
w ¶¸ Zb · d @F @F ¡ h (t) dt: dt @ f 0 @f a
I 0(0) =
Una condici¶o n necesaria de un m¶aximo de I en 0 y, en consecuencia, de un m¶aximo de J en f es que I 0(0) = 0; lo cual implica que w ¶ @F d @F = 0: ¡ @f dt @ f 0 Una forma alternativa de utilizar la diferencial de Gateaux para obtener condiciones necesarias de un m¶aximo es como sigue. Considere, con la notaci¶o n anterior, I (± ) =
Zb
F (t;f (t) + ± h (t) ;f 0(t) + ± h 0(t) ) dt:
a
Si se aplica la regla de Leibnitz a la expresi¶o n anterior, se obtiene Zb w
¶ @F 0 @F h (t) + h (t) dt @ g0 @g a w ¶¸ Zb · @F d @F ¡ h (t) dt: = dt @ g 0 @g a
I 0(± ) =
Es su¯ciente calcular I 0(0) y proceder como antes.
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
7 5 .1 4 .2 C a so s p a rtic u la re s d e l p ro b le m a tip o I A continuaci¶o n se revisan algunos casos particulares de la ecuaci¶o n de Euler. Suponga, por ej emplo, que F = F (t;f 0) , entonces la ecuaci¶o n de Euler se transforma en d F f 0 = 0; dt lo cual conduce a F f 0 = c donde c es una constante. Es decir, f satisface una ecuaci¶o n diferencial ordinaria de primer orden. Si se supone ahora que F = F (f ;f 0) , entonces F f ¡ F f 0f f 0 ¡ F f 0f 0 f 00 = 0: Al multiplicar la expresi¶o n anterior por f 0, se cumple que F f f 0 ¡ F f 0f (f 0) 2 ¡ F f 0f 0 f 00f 0 = En consecuencia,
d (F ¡ f 0F f 0 ) = 0: dt
F ¡ f 0F f 0 = c;
donde c es una constante.
7 5 .1 5 C o n d ic i¶o n d e L e g e n d re y d ife re n c ia l se g u n d a d e F r¶e c h e t Considere el problema de optimizaci¶o n planteado en la secci¶o n 75.14.1 y de¯na I (± ) = J (f + ± h ) , g = f + ± h con h 2 V arbitraria y ± su¯cientemente peque~n a, entonces ¶ Zb μ @F @F 0 I 0(± ) = h (t) + h (t) dt: @f @f0 a Por lo tanto, I 00(± ) =
Zb μ a
Ahora bien, dado que d d± y d d±
μ μ
μ
d d±
@F @f
@F @f0
@F @f
¶
h (t) +
d d±
μ
¶ ¶ @F 0 h (t) dt: @f0
¶
=
@ 2F @ 2F h (t) + h 0(t) @f2 @ f 0@ f
¶
=
@ 2F @ 2F 0 h (t) + h (t) ; 0 @f@f @ f 02
se tiene que 00
I (± ) =
Zb μ a
@ 2F @ 2F @ 2F 2 0 [h (t) ] + 2 h (t) h (t) + [h 0(t) ] 2 @f2 @f@f0 @ (f 0) 2
¶
dt:
(75:13)
Considere el segundo integrando de (75.13) y denote v = entonces
Zb a
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@ 2F @f@f0
@ 2F 2h (t) h 0(t) = @f@f0
y
Zb
du = 2h (t) h 0(t) dt;
v du
a
¯b Z b ¯ =u v ¯ u dv ¯¡ a a ¯b Z b μ 2 ¶ ¯ @ 2F d @ F 2¯ = [h (t) ] ¯ ¡ [h (t) ] 2 dt @f@f0 dt @ f@f0 a a μ 2 ¶ Zb d @ F =¡ [h (t) ] 2 dt; @f@f0 a dt
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
ya que h (a ) = h (b) = 0. En consecuencia, 00
I (± ) =
Z b ·μ a
@ 2F d ¡ 2 @f dt
μ
@ 2F @f@f0
¶¶
¸ @ 2F 0 2 [h (t) ] + [h (t) ] dt: @ f 02 2
(75:14)
En virtud de que el integrando que contiene a [h 0(t) ] 2 es el t¶e rmino que domina a I 00(± ) , ya que aunque h (t) se mantenga su¯cientemente peque~n a su derivada puede tomar, en general, valores absolutos grandes. Por lo tanto, si f maximiza a J , entonces @ 2F · 0: @ f 02 La condici¶o n anterior es necesaria pero no su¯ciente debido al otro t¶e rmino que aparece en el integrando de (75.14) . Por u¶ ltimo, es importante mencionar que la segunda diferencial de Fr¶e chet satisface d 2 J (f ) (h ;h ) = I 00(± ) :
7 5 .1 6 C o n d ic io n e s su ¯ c ie n te s d e m ¶a x im o y c o n c a v id a d Antes de establecer las condiciones su¯cientes para que una funci¶o n de funciones, J , tenga un m¶aximo en una funci¶o n, f , vale la pena revisar el caso de una funci¶o n f : IRn ! IR. Si n = 1 y f es dos veces diferenciable, entonces una expansi¶o n en serie de Taylor de f alrededor de t conduce a f (t + h ) = f (t) + f 0(t) h + 12 f 00(t) h 2 + o (h 2 ) : Si f 0(t) = 0, entonces
f (t + h ) ¡ f (t) = 12 f 00(t) h 2 + o (h 2 ) :
Ahora bien, si adem¶as se pide que f sea c¶o ncava, es decir, f 00(t) · 0; entonces para h su¯cientemente peque~n o f (t + h ) ¡ f (t) y 12 f 00(t) h 2 tienen el mismo signo. Por lo tanto, f (t + h ) · f (t) para h su¯cientemente peque~n o. En otras palabras, f tiene un m¶aximo (relativo o local) en t. Si n = 2 y f es dos veces diferenciable, entonces una expansi¶o n en serie de Taylor de f alrededor de (t1 ;t2 ) produce @f @f f (t1 + h 1 ;t2 + h 2 ) = f (t1 ;t2 ) + (t1 ;t2 ) h 1 + (t1 ;t2 ) h 2 @ t1 @ t2 μ 2 ¶ @ f @ 2f @ 2f 2 2 1 + 2 (t1 ;t2 ) h 1 + 2 (t1 ;t2 ) h 1 h 2 + 2 (t1 ;t2 ) h 2 + o (jj(h 1 ;h 2 ) jj2 ) : @ t12 @ t1 @ t2 @ t2 Si
@f @f (t1 ;t2 ) = (t1 ;t2 ) = 0; @ t1 @ t2
se tiene que ¡ ¢ f (t1 + h 1 ;t2 + h 2 ) ¡ f (t1 ;t2 ) = 12 f 1 1 h 21 + 2f 1 2 h 1 h 2 + f 2 2 h 22 + o (jj(h 1 ;h 2 ) jj2 ) "μ ¶2 μ ¶2 # f12 f11 f22 ¡ f12 1 = 2 f11 h1 + h2 + f11 f 121 + o (jj(h 1 ;h 2 ) jj2 ) ; donde f ij = @ 2 f (t1 ;t2 ) = @ ti @ tj , i;j = 1;2. Si (h 1 ;h 2 ) es su¯cientemente peque~n o, entonces f (t1 + h 1 ;t2 + h 2 ) ¡ f (t1 ;t2 ) y 1 2
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f11
"μ ¶2 μ ¶2 # f12 f 1 1 f 2 2 ¡ f 122 h1 + h2 + f11 f 121
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
tienen el mismo signo. Observe ahora que una funci¶o n f es c¶o ncava si y s¶o lo si f 1 1 · 0 y ¯ ¯ ¯f 1 1 f 1 2 ¯ ¯ ¯ ¯f 2 1 f 2 2 ¯¸ 0:
Si se supone que f es c¶o ncava se tiene que f (t1 + h 1 ;t2 + h 2 ) < f (t1 ;t2 ) para todo (h 1 ;h 2 ) su¯cientemente peque~n o. Es decir, f tiene un m¶aximo en (t1 ;t2 ) . Por u¶ ltimo, observe que f 1 1 · 0 implica f 2 2 · 0, ya que f 1 1 f 2 2 ¡ f 122 ¸ 0 implica f 1 1 f 2 2 ¸ f 1 2 ¸ 0; es decir, f 1 1 y f 2 2 tienen el mismo signo. A continuaci¶o n se establecen las condiciones su¯cientes de un m¶aximo f de J . En primer lugar, observe que una funci¶o n J es c¶o ncava en (f ;f 0) para cada t 2 [a ;b] si y s¶o lo si F (t;f (t) + h (t) ;f 0(t) + h 0(t) ) ¡ F (t;f (t) ;f 0(t) ) ·
@F @F 0 h (t) + h (t) @f @f0
para cada t 2 [a ;b] . Si se integra la expresi¶o n anterior, se obtiene Zb μ
¶ @F @F 0 0 0 J (f + h ) ¡ J (f ) · (t;f ;f ) h (t) + (t;f ;f ) h (t) dt @f @f0 a μ ¶¸ Zb · @ F (t;f ;f 0) d @ F (t;f ;f 0) = ¡ h (t) dt: @f dt @f0 a
Si J es c¶o ncava y f es tal que dJ (f ) ´ 0, es decir, si f satisface la ecuaci¶o n de Euler, entonces J (f + h ) ¡ J (f ) · 0 para toda h su¯cientemente peque~n a. En otras palabras, f es un m¶aximo (local) de J .
7 5 .1 7 P ro b le m a s d e l tip o I c o n u n a rg u m e n to d e fro n te ra v a ria b le Considere el siguiente problema de optimizaci¶o n: ZT Maximizar J (f ) = F (t;f (t) ;f 0(t) ) dt; a
suj eto a f (a ) = A ;
T
y f (T ) libres,
(75:15)
2
donde F 2 C . Si f y T son la soluci¶o n del problema anterior y f y T se incrementan como f + ± h , con h (a ) = 0, y T (± ) = T + ± ¿ , con h y ¿ ¯jos y ± 2 IR su¯cientemente peque~n a, se tiene que dT (± ) = d± = ¿ y, con base en la regla de Leibnitz, se cumple que ¯ ¯ @F ¯ ¿ dt + F ¯ @± a T (± ) ¯ ¶ Z T (± ) μ ¯ @F @f @F @f0 ¯ ¿ = + dt + F ¯ 0 @f @± @f @± a T (± ) ¯ ¶ Z T (± ) μ ¯ @F @F 0 ¯ ¿ = h (t) + h (t) dt + F ¯ 0 @f @f a T (± ) μ ¶¸ Z T (± ) · @F d @F @F = ¡ h (t) dt + h (T (± ) ) + F 0 @ f dt @ f @ f0 a
I 0(± ) =
Z T (± )
¯ ¯ ¯ ¯
¿:
T (± )
Una condici¶o n necesaria de un m¶aximo de I en cero es que I 0(0) = 0, es decir, ¯ ¯ μ ¶¸ ZT · ¯ @F d @F @F ¯ 0 ¯ I (0) = ¡ h (t) dt + h (T ) + F ¯ ¯ ¯ ¿ = 0: 0 0 @f dt @ f @ f t= T a t= T
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
Observe ahora que (f + ± h ) (T + ± ¿ ) ¡ f (T ) =f (T + ± ¿ ) ¡ f (T ) + ± h (T + ± ¿ ) =± f 0(T ) ¿ + ± h (T + ± ¿ ) + o (± ) ;
lo cual implica que (f + ± h ) (T + ± ¿ ) ¡ f (T ) o (± ) = f 0(T ) ¿ + h (T + ± ¿ ) + : ± ± Si ± ! 0, entonces
df (T ) = f 0(T ) ¿ + h (T ) ; d±
as¶³
df (T ) ¡ f 0(T ) ¿ : d± Por lo tanto, una condici¶o n necesaria de un m¶aximo de J en f es que h (T ) =
¶o
¯ μ ¶¸ ZT · @F d @F @F ¯ ¯ ¡ h (t) dt + @f dt @ f 0 @ f 0 ¯t= a
T
¯ μ ¶¸ ZT · @F d @F @F ¯ ¯ ¡ h (t) dt + @f dt @ f 0 @ f 0 ¯t= a
T
¯ ¯ df (T ) 0@ F ¯ ¡ f ¿ +F d± @ f 0 ¯t= T df (T ) + d±
¯ ¯ ¯ ¯
¿ =0
t= T
μ ¶¯ @F ¯ F ¡ f0 0 ¯ ¯ ¿ = 0; @f t= T
lo cual conduce a que se cumplan las siguientes condiciones: ¯ μ ¶ μ ¶¯ ¯ df (T ) ¯ @F d @F @F ¯ 0@ F ¯ ¿ = 0: ¡ =0 y + F ¡ f @f dt @ f 0 @ f 0 ¯t= T d± @ f 0 ¯t= T
(75:16)
La segunda condici¶o n en (75.16) es conocida como condici¶o n de transversalidad.
7 5 .1 7 .1 C a so s p a rtic u la re s d e l p ro b le m a c o n fro n te ra v a ria b le En esta secci¶o n se revisan algunos casos del problema con frontera variable y se establecen las correspondientes condiciones de transversalidad. Si en el problema de c¶alculo de variaciones con frontera variable se supone que el horizonte de an¶alisis es ¯j o, es decir, la restricci¶o n ¯nal es una l¶³nea vertical, entonces ¿ = 0. Por lo tanto, la condici¶o n de transversalidad es ¯ @F ¯ ¯ = 0: @ f 0 ¯t= T Si la restricci¶o n ¯nal es una l¶³nea horizontal, entonces df (T ) = d± = 0 y la condici¶o n de transversalidad est¶a dada por μ ¶¯ ¯ 0@ F ¯ = 0: F ¡ f ¯ 0 @f t= T Si la restricci¶o n ¯nal es una curva G (T ) , entonces
(f + ± h ) (T + ± ¿ ) ¡ f (T ) = G (T + ± ¿ ) ¡ G (T ) = G 0(T ) ± ¿ + o (± ) ; lo cual implica que df (T ) = G 0(T ) ¿ : d± En este caso, la condici¶o n de transversalidad es ¯ μ ¶¯ ¯ ¯ 0@ F ¯ 0@ F ¯ ¿ = 0; G ¿ + F ¡ f ¯ ¯ 0 0 @ f t= T @f t= T
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
equivalentemente
μ ¶¯ @F ¯ F + (G 0 ¡ f 0) 0 ¯ ¯ @f t=
903
= 0: T
7 5 .1 8 P r o b le m a s d e l tip o II (fu n c io n a le s c o n u n so lo a rg u m e n to y d e riv a d a s c o n fr o n te r a s ¯ ja s) Considere un problema de optimizaci¶o n de la siguiente forma: Maximizar
J (f ) =
Zb
F (t;f (t) ;f 0(t) ;f 00(t) ;:::;f (n ) (t) ) dt;
a
suj eto a f (k ) (a ) = A k ; n
f (k ) (b) = B k ;
k = 0;1;2;:::;n ¡ 1;
(75:17)
n
donde F 2 C . En este caso, V = C [a ;b] y jjf jj =
Xn
k= 0
max jf (k ) (t) j:
t2 [a ;b]
Una condici¶o n necesaria de un m¶aximo de J en f es que f satisfaga μ ¶ μ ¶ μ ¶ μ ¶ n d @F @F d2 @ F d3 @F @F n d ¡ + 2 ¡ + ¢¢¢ + (¡ 1) = 0: dt @ f 0 @f dt @ f 00 dt3 @ f 000 dtn @ f (n )
(75:18)
En efecto, considere el subespacio de funciones, h , con derivadas continuas hasta el orden n y con h (k ) (a ) = h (k ) (b) = 0, denotado por C 0n ;1 ;:::;n ¡ 1 [a ;b] . Si se incrementa la funci¶o n f en h , con h 2 C 0n;1 ;:::;n ¡ 1 [a ;b] , jjh jj < " , entonces f + h satisface las condiciones de frontera. Si se expresa la diferencia J (f + h ) ¡ J (f ) en t¶e rminos del teorema de Taylor, se tiene que J (f + h ) ¡ J (f ) =
Zb μ a
¶ @ F 0 @ F 00 @F @F n h + h + h + ¢¢¢ + h dt + o (jjh jj) : @f0 @f @ f 00 @ f (n )
Si se integran repetidamente por partes cada uno de los integrandos en la expresi¶o n anterior y se utilizan las condiciones h (k ) (a ) = h (k ) (b) = 0, se tiene que J (f + h ) ¡ J (f ) ¡ o (jjh jj) μ ¶ μ ¶ μ ¶¸ Zb · n @F d @F d2 @ F @F n d = + 2 + ¢¢¢ + (¡ 1) h (t) dt: ¡ dt @ f 00 dtn @ f (n ) @f dt @ f 0 a La integral en la expresi¶o n anterior es una funcional lineal en h . Debido a la unicidad de la diferencial y a la condici¶o n necesaria de un m¶aximo se sigue inmediatamente la ecuaci¶o n (75.18) .
7 5 .1 9 P r o b le m a s d e l tip o III (fu n c io n a le s c o n d o s a r g u m e n to s c o n fr o n te ra s ¯ ja s) A continuaci¶o n se estudia una clase de problemas de optimizaci¶o n en donde la funcional ob j etivo depende de dos funciones y sus derivadas. En este caso, las restricciones son condiciones de frontera. Considere un problema de optimizaci¶o n de la forma Maximizar
J (f ;g ) =
Zb
F (t;f (t) ;g (t) ;f 0(t) ;g 0(t) ) dt;
a
suj eto a f (a ) = A ;
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f (b) = B ;
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
y g (a ) = D ;
g (b) = E ;
donde F 2 C 2 . En este caso V = C 1 [a ;b] £ C 1 [a ;b] y la norma se de¯ne mediante jj(f ;g ) jj = max jf (t) j + max jf 0(t) j + max jg (t) j + max jg 0(t) j: t2 [a ;b]
t2 [a ;b]
t2 [a ;b]
t2 [a ;b]
Una condici¶o n necesaria de un m¶aximo de J en un vector dado (f ;g ) es que este vector satisfaga el siguiente sistema simult¶aneo de ecuaciones de Euler:
y
μ ¶ @F d @F ¡ =0 @f dt @ f 0
(75:19)
μ ¶ @F d @F ¡ = 0: @g dt @ g 0
(75:20)
En efecto, si el vector (f ;g ) se incrementa en (h 1 ;h 2 ) 2 C 01 [a ;b] £ C 01 [a ;b] y la diferencia J (f + h 1 ;g + h 2 ) ¡ J (f ;g ) se expresa en t¶e rminos de una serie de Taylor, se tiene que J (f + h 1 ;g + h 2 ) ¡ J (f ;g ) =
Zb μ
¶ @F @F 0 h 1 (t) ¡ h (t) dt @f @f0 1 a ¶ Zb μ @F @F 0 + h 2 (t) ¡ h (t) dt @g @ g0 2 a
(75:21)
+ o (jj(h 1 ;h 2 ) jj) : Por lo tanto,
dF (f ;g ) (h 1 ;h 2 ) =
Zb μ a
¶ ¶ Zb μ @F @F 0 @F @F 0 h 1 (t) ¡ h (t) dt + h (t) ¡ h (t) dt: 2 @f @f0 1 @g @ g0 2 a
De esta forma, una condici¶o n necesaria de un m¶aximo de J en (f ;g ) es que (f ;g ) satisfaga dJ (f ;g ) (h 1 ;h 2 ) = 0 para todo (h 1 ;h 2 ) 2 V admisible, lo cual implica que Zb μ a
¶ ¶ Zb μ @F @F 0 @F @F 0 h 1 (t) ¡ h (t) dt + h (t) ¡ h (t) dt = 0: 2 @f @f0 1 @g @ g0 2 a
Dado que los incrementos h 1 y h 2 son independientes, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones (diferenciales ordinarias de segundo orden) de Euler: μ ¶ @ F (t;f ;g ;f 0;g 0) d @ F (t;f ;g ;f 0;g 0) ¡ =0 @f dt @f0 y
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μ ¶ @ F (t;f ;g ;f 0;g 0) d @ F (t;f ;g ;f 0;g 0) ¡ = 0: @g dt @ g0
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
7 5 .2 0 P ro b le m a s d e l tip o IV (fu n c io n a le s c o n u n so lo a rg u m e n to q u e d e p e n d e d e d o s v a ria b le s c o n fro n te ra ¯ ja ) Sea (V ;jj ¢ jj) el espacio de Banach constituido por el espacio lineal V = C ( ) , conj unto compacto, con la norma jjf jj =
max jf (t1 ;t2 ) j +
(t1 ;t2 )2 o
¯ ¯ ¯@ f ¯ ¯ max ¯ (t ;t ) 1 2 ¯+ max ¯ (t1 ;t2 )2 o @ t1 (t1 ;t2 )2 o
½ IR2 un
¯ ¯ ¯@ f ¯ ¯ (t1 ;t2 ) ¯: ¯@ t2 ¯
Sea J : B " (f ) ½ V ¡ ! IR y considere el siguiente problema de optimizaci¶o n: Maximizar
J (f ) =
ZZ
μ ¶ @f @f F t1 ;t2 ;f ; ; dt; @ t1 @ t2
o
suj eto a f (t1 ;t2 ) = w (t1 ;t2 ) ;
(t1 ;t2 ) 2 @ ;
w
una funci¶o n conocida;
donde F 2 C 2 y @ denota la frontera de . Una condici¶o n necesaria de un m¶aximo de J en f es que f satisfaga la siguiente ecuaci¶o n de Euler: @F @ ¡ @f @ t1
μ
@F @ f1
¶
¡
@ @ t2
μ
@F @ f2
¶
= 0:
(75:22)
Considere el incremento f + h con h 2 C 01 ( ) , es decir, h tiene derivadas parciales continuas y h j@ o = 0. En este caso, J (f + h ) ¡ J (f ) μ ¶μ ¶ μ ¶μ ¶¸ ZZ· @F @F @h @F @h = h + + dt1 dt2 + o (jjh jj) : @f @ f1 @ t1 @ f2 @ t2
(75:23)
o
Si se utiliza el teorema de Green en los dos u¶ ltimos integrandos de la integral anterior, se sigue que ¶μ ¶ μ ¶μ ¶¸ Z Z ·μ @F @h @F @h + dt1 dt2 @ f1 @ t1 @ f2 @ t2 o μ ¶ μ ¶ μ ¶ μ ¶¸ Z Z· @ @F @ @F @ @F @ @F = h ¡ h + h ¡ h dt1 dt2 @ t1 @ f 1 @ t1 @ f 1 @ t2 @ f 2 @ t2 @ f 2 o μ ¶ μ ¶¸ Z Z· @ @F @ @F = h + h dt1 dt2 @ t1 @ f 1 @ t2 @ f 2 o μ ¶ μ ¶¸ Z Z· @ @F @ @F ¡ + h dt1 dt2 @ t1 @ f 1 @ t2 @ f 2 o μ ¶ μ ¶¸ Z Z Z Z· @F @F @ @F @ @F = h dt2 ¡ h dt1 ¡ + h dt1 dt2 @ t1 @ f 1 @ t2 @ f 2 @ o @ f1 @ o @ f2 o μ ¶ μ ¶¸ Z Z· @ @F @ @F =¡ + h dt1 dt2 : @ t1 @ f 1 @ t2 @ f 2 o
Por lo tanto,
μ ¶ μ ¶¸ Z Z· @F @ @F @ @F dJ (f ) (h ) = ¡ ¡ h dt1 dt2 : @f @ t1 @ f 1 @ t2 @ f 2 o
De lo anterior se obtiene inmediatamente la ecuaci¶o n (75.22) .
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
7 5 .2 1 P ro b le m a s d e l tip o V (p ro b le m a iso p e rim ¶e tric o ) A continuaci¶o n se estudian problemas de optimizaci¶o n en donde la funcional obj etivo depende de una funci¶o n y su derivada. En este caso, las restricciones son condiciones de frontera y el valor de una integral. Considere el siguiente problema: Maximizar
J (f ) =
Zb
F (t;f (t) ;f 0(t) ) dt;
a
suj eto a las condiciones de frontera f (a ) = A ;
f (b) = B
y a la siguiente funcional que toma un valor ¯jo K (f ) =
Zb
G (t;f (t) ;f 0(t) ) dt = `;
(75:24)
a
donde F ;G 2 C 2 , es decir, F y G tienen primera y segunda derivadas parciales continuas con respecto de todos sus argumentos. En este caso, V = C 1 [a ;b] con la norma jjf jj = max jf (t) j + max jf 0(t) j: t2 [a ;b]
t2 [a ;b]
Si f es un m¶aximo de J pero no de K , entonces existe una constante ¸ tal que L (t;f ;f 0;¸ ) = F (t;f ;f 0) + ¸ G (t;f ;f 0) satisface la ecuaci¶o n de Euler, esto es, @F d @F ¡ +¸ @f dt @ f 0
μ
@G d @G ¡ @f dt @ f 0
¶
= 0:
(75:25)
La funci¶o n L es llamada la funci¶o n Lagrangeana o, simplemente, el Lagrangeano, y ¸ es conocido como el multiplicador de Lagrange asociado a la restricci¶o n. A continuaci¶o n se demuestra (75.25) . Suponga que la funcional J tiene un m¶aximo en f que satisface f (a ) = A , f (b) = B y (75.24) . Sean t1 y t2 2 [a ;b] dos puntos arbitrarios. Se incrementa ahora f en h 1 (t) + h 2 (t) , donde h 1 (t) 6= 0 en una vecindad de t1 y h 1 (t) = 0 en el resto del intervalo [a ;b] , y h 2 (t) 6= 0 en una vecindad de t2 y h 2 (t) = 0 en el resto del intervalo [a ;b] . De esta manera, (f + h ) (a ) = A y (f + h ) (b) = B . Si h (t) = h 1 (t) + h 2 (t) , se tiene que ¯ ¯ J (f + h ) ¡ J (f ) = dJ (f ) ¯t= t (h 1 ) + dJ (f ) ¯t= t (h 2 ) + o (jjh jj) ) : 1
Observe que
2
¶¯ Zb μ ¯ d ¯ h i dt Ff ¡ F f0 ¯ dt a t= ti μ ¶¯ Z b ¯ d = Ff ¡ F f0 ¯ h i dt: ¯ dt t= ti a
¯ dJ (f ) ¯t= ti (h i ) =
Si se denotan ¯ dJ ¯ ¯ df ¯t=
= ti
μ ¶¯ ¯ d Ff ¡ F f0 ¯ ¯ dt t=
y ti
M
i
=
Zb
h i dt;
i = 1;2;
a
se puede escribir ¯ dJ ¯ ¯ J (f + h ) ¡ J (f ) = M 1 df ¯t=
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t1
¯ dJ ¯ ¯ +M 2 df ¯t=
t2
+ o (jjh jj) :
(75:26)
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
Ahora bien, si se supone tambi¶e n que la funci¶o n h satisface la condici¶o n K (f + h ) = `, se obtiene K (f + h ) ¡ K (f ) = ` ¡ ` = 0: Si se procede como en (75.26) , se sigue que ¯ dK ¯ ¯ K (f + h ) ¡ K (f ) = M 1 df ¯t= Reconsidere t2 de tal manera que
¯ dK ¯ ¯ df ¯t=
t1
t2
¯ dK ¯ ¯ +M 2 df ¯t=
t1
+ o (jjh jj) = 0:
6= 0;
este punto existe, puesto que por hip¶o tesis f = f (t) no es m¶aximo de K . Por lo tanto, se sigue que ¯ dK ¯ ¯ df ¯t= t ¯ 1 M 1 + o (jjh jj) : M 2 =¡ dK ¯ ¯ df ¯ t= t2
De¯na ahora
dJ df ¸ =¡ dK df
¯ ¯ ¯ t= ¯ ¯ ¯
t2
:
t= t2
Al sustituir ¸ en la ecuaci¶o n (75.26) , se obtiene J (f + h ) ¡ J (f ) =
Ã
¯ dJ ¯ ¯ df ¯t=
t1
¯ dK ¯ ¯ +¸ df ¯t=
! t1
M
1
+ o (jjh jj) :
El primer t¶e rmino del lado derecho es lineal en h y se puede reescribir como Ã
¯ dJ ¯ ¯ df ¯t=
t1
¯ dK ¯ ¯ +¸ df ¯t=
! t1
M
1
=
¯ ¯ d ¯ (J + ¸ K ) ¯ df t=
t1
M
1:
Una condici¶o n necesaria de un m¶aximo de J en f es que para toda h admisible se cumpla que ¯ ¯ d (J + ¸ K ) ¯ ¯ M 1 =0 df t= t1 y como M que
1
no es cero, ya que h 1 (t) 6= 0 en una vecindad de t1 dentro del intervalo [a ;b] , se tiene ¯ ¯ d ¯ =0 (J + ¸ K ) ¯ df t= t1
con t1 arbitrario. Por lo tanto,
d d (J + ¸ K ) = F f ¡ F f0 + ¸ df dt
μ G
f
¡
d G dt
f
0
¶
= 0:
La extensi¶o n a dos o m¶as integrales en el conj unto de restricciones es inmediata.
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
7 5 .2 2 A p lic a c io n e s d e l c ¶a lc u lo d e v a ria c io n e s En esta secci¶o n se ilustran varias aplicaciones del c¶alculo de variaciones, en particular del problema isoperim¶e trico, en la soluci¶o n de problemas de decisi¶o n, en tiempo continuo, de un consumidor racional.
7 5 .2 2 .1 M a x im iz a c i¶o n d e u tilid a d lo g a r¶³tm ic a Considere un consumidor racional, con vida in¯nita, que desea maximizar su utilidad (felicidad) por un bien de consumo de car¶acter perecedero, c t . En lo que sigue se utiliza la notaci¶o n c t = c(t) . Se supone que el individuo tiene una dotaci¶o n de ingreso real, y t , en cada instante. El problema de decisi¶o n que resuelve un consumidor con tasa subj etiva de descuento ½ , est¶a dado por: Z1 Maximizar u (c t ) e ¡ ½ t dt; 0
suj eto a
Z1
y te ¡
rt
dt =
0
Z1
cte ¡
rt
dt;
(75:27)
0
donde u (c t ) es la satisfacci¶o n que produce c t y r es la tasa de inter¶e s real, la cual se supone constante para todos los plazos. Observe que la tasa subj etiva de descuento especi¯ca qu¶e tan ansioso est¶a el individuo por el consumo presente. Es decir, un valor grande de ½ indica que el consumidor est¶a muy ansioso por consumir. La restricci¶o n (75.27) simplemente dice que el valor presente del consumo planeado es igual al valor presente del ingreso (real) del consumidor. El supuesto de vida in¯nita se puede j usti¯car si se piensa en un consumidor que est¶a interesado en maximizar su utilidad, la de sus hij os, nietos y dem¶as descendientes. Observe ahora que si y t = y¹ = constante, entonces la restricci¶o n presupuestal del agente satisface Z1 y¹ = c t e ¡ r t dt: r 0 En este marco, el problema del consumidor racional puede resolverse utilizando t¶e cnicas del c¶alculo de variaciones. Si se supone que la funci¶o n de utilidad es logar¶³tmica, es decir, el agente es adverso al riesgo, el Lagrangeano est¶a dado por L (¸ ;c t ) = ln(c t ) e ¡
½t
+ ¸ c te ¡
rt
;
donde ¸ es una constante. Observe que la utilidad logar¶³tmica satisface las propiedades deseables u 0 > 0 y u 00 < 0. Es decir, la utilidad marginal es positiva pero decreciente. En otras palabras, el consumidor siempre obtiene satisfacci¶o n adicional por incrementar el consumo, pero al hacerlo su satisfacci¶o n es cada vez menor. La condici¶o n necesaria, o de primer orden, es: @L = 0; @ ct equivalentemente 1 ¡ e ct
½t
+ ¸ e¡
rt
= 0;
lo cual conduce a
1 (r ¡ ½ )t e = c t: ¸ Por otro lado, si se sustituye la expresi¶o n anterior en la restricci¶o n presupuestal intertemporal, se observa que ¶ Z1 μ y¹ 1 = ¡ e (r ¡ ½ )t e ¡ r t dt r ¸ 0 Z1 1 =¡ ½ e ¡ ½ t dt ¸½ 0 1 =¡ : ¸½ ¡
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
Es decir, y¹ ½ 1 =¡ : r ¸ Si este valor de ¸ < 0 se sustituye en la ecuaci¶o n del consumo, se sigue que ct =
y¹ ½ (r ¡ e r
½ )t
:
Esta ecuaci¶o n proporciona la trayectoria de consumo que maximiza la satisfacci¶o n del consumidor. Observe que si r > ½ , el consumo es creciente en el tiempo. En caso contrario, r < ½ , el consumo es decreciente. Asimismo, si el ingreso aumenta, el consumo aumenta, y si la tasa subj etiva de descuento aumenta, entonces el consumo presente se incrementa. Por u¶ ltimo, si la tasa de inter¶e s aumenta el consumo presente disminuye en t = 0. Evidentemente, c 0 = y¹ ½ = r , y c 1 = 1 si r > ½ ¶o c 1 = 0 si r < ½ .
7 5 .2 2 .2 M a x im iz a c i¶o n d e u tilid a d c o n c o e ¯ c ie n te c o n sta n te d e a v e r si¶o n a l rie sg o I Considere un consumidor racional con las caracter¶³sticas de la secci¶o n anterior que resuelve el problema: Z1 ° ct ¡ ½ t Maximizar e dt; ° 0 Z1 y¹ suj eto a = c t e ¡ r t dt: r 0 En lo que sigue se omiten las condiciones de frontera. En este caso, el Lagrangeano est¶a dado por: c° L (¸ ;c t ) = t e ¡ ½ t + ¸ c t e ¡ r t ; ° donde ¸ es una constante por determinar. Si ° < 1, la funci¶o n de utilidad satisface u 0 > 0 y u 00 < 0. Una condici¶o n necesaria de un m¶aximo es @L = c °t ¡ 1 e ¡ @ ct Esta ecuaci¶o n conduce a
½t
c t = (¡ ¸ ) 1 = (° ¡
+ ¸ e¡
rt
= 0:
1 ) (½ ¡ r )t= (° ¡ 1 )
e
:
Por otro lado, de la restricci¶o n presupuestal, se tiene que Z1 ³ ´ y¹ = (¡ ¸ ) 1 = (° ¡ 1 ) e (½ ¡ r )t= (° ¡ 1 ) e ¡ r t dt r 0 Z1 1 = (° ¡ 1 ) = (¡ ¸ ) e (½ ¡ r )t= (° ¡ 1 ) e ¡ r t dt Z0 1 1 = (° ¡ 1 ) = (¡ ¸ ) e (½ ¡ ° r )t= (° ¡ 1 ) dt μ0 ¶Z 1 μ ¶ 1¡ ° ½ ¡ °r 1 = (° ¡ 1 ) = (¡ ¸ ) e¡ ½ ¡ °r 1¡ ° 0
(½ ¡ ° r )t= (1 ¡ ° )
dt:
Si se supone que ½ > ° r , se obtiene y¹ r
μ
½ ¡ °r 1¡ °
¶
= (¡ ¸ ) 1 = (° ¡
1)
:
Si el valor de ¸ se sustituye en la ecuaci¶o n del consumo, se tiene que μ ¶ y¹ ½ ¡ ° r ct = e (r ¡ ½ )t= (1 ¡ ° ) : r 1¡ °
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
Observe que, al igual que en la secci¶o n anterior, si r > ½ , el consumo es creciente en el tiempo. En caso contrario, r < ½ , el consumo es decreciente.
7 5 .2 2 .3 M a x im iz a c i¶o n d e u tilid a d c o n c o e ¯ c ie n te c o n sta n te d e a v e rsi¶o n a l rie sg o II Considere un consumidor, maximizador de utilidad, que resuelve el siguiente problema de decisi¶o n intertemporal Z 1 1¡ μ ct ¡ 1 ¡ ½ t Maximizar e dt; 1¡ μ 0 Z1 y¹ suj eto a = c t e ¡ r t dt; r 0 donde μ > 0, μ 6= 1. De esta manera, u 0 > 0 y u 00 < 0. El Lagrangeano est¶a dado por: L (¸ ;c t ) =
c 1t ¡ μ ¡ 1 ¡ e 1¡ μ
½t
+ ¸ cte ¡
rt
:
La condici¶o n necesaria, o de primer orden, es: @L = c ¡t μ e ¡ @ ct
½t
+ ¸ e¡
rt
= 0:
Esta ecuaci¶o n conduce a c t = (¡ ¸ ) ¡
1 = μ (r ¡ ½ )t= μ
e
:
Por otro lado, de la restricci¶o n presupuestal se observa que Z1 ³ ´ (¡ ¸ ) ¡ 1 = μ e (r ¡ ½ )t= μ e ¡ r t dt 0 Z1 ¡ 1=μ = (¡ ¸ ) e (r ¡ ½ )t= μ e ¡ r t dt 0 Z1 = (¡ ¸ ) ¡ 1 = μ e ¡ (½ ¡ (1 ¡ μ )r )t= μ dt μ0 ¶Z 1 μ ¶ μ ½ ¡ (1 ¡ μ ) r ¡ 1=μ = (¡ ¸ ) e¡ ½ ¡ (1 ¡ μ ) r μ 0
y¹ = r
(½ ¡ (1 ¡ μ )r )t= μ
dt:
Si se supone que ½ > (1 ¡ μ ) r , se tiene que y¹ r
μ
½ ¡ (1 ¡ μ ) r μ
lo cual implica que ct =
y¹ r
μ
¶
= (¡ ¸ ) ¡
½ ¡ (1 ¡ μ ) r μ
¶
e (r ¡
1=μ
;
½ )t= μ
:
Esta ecuaci¶o n proporciona la trayectoria de consumo. Note que ½ > r implica ½ > r > (1 ¡ μ ) r , en cuyo caso c t es decreciente.
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
7 5 .2 2 .4 M a x im iz a c i¶o n d e u tilid a d e x p o n e n c ia l n e g a tiv a Suponga que un consumidor racional con vida in¯nita desea resolver el siguiente problema de decisi¶o n: Z1 Maximizar ¡ e ¡ μ c t e ¡ ½ t dt; 0 Z1 y¹ sujeto a = c t e ¡ r t dt: r 0 El Lagrangeano est¶a dado por L (¸ ;c t ) = ¡ e ¡
μ ct ¡ ½ t
e
+ ¸ c te ¡
rt
:
Si μ > 0, se cumple que u 0 > 0 y u 00 < 0. La condici¶o n necesaria es: @L = μe¡ @ ct lo cual implica que
μ ct ¡ ½ t
e
+ ¸ e¡
rt
= 0;
· μ ¶ ¸ 1 μ ct = ln + (r ¡ ½ ) t : μ ¡¸
Obviamente, se supone que ¸ < 0. Por otro lado, de la restricci¶o n presupuestal se sigue que · μ ¶ ¸ 1 μ ln ¡ ¡ (½ ¡ r ) t e ¡ r t dt μ ¸ 0 · μ ¶Z 1 Z1 1 μ = ln ¡ e ¡ r t dt ¡ (½ ¡ r ) te ¡ μ ¸ 0 0 · ¸ Z1 1 ln(¡ μ = ¸ ) = ¡ (½ ¡ r ) te ¡ r t dt μ r 0 · ¸ 1 ln(¡ μ = ¸ ) ½¡ r = ¡ : μ r r2
y¹ = r
Es decir,
Z1
rt
¸ dt
μ ¶ μ (½ ¡ r ) ln ¡ = μ y¹ + : ¸ r
Por lo tanto, c t = y¹ ¡
(r ¡ ½ ) (r ¡ ½ ) t + : μr μ
Suponga que r > ½ y que y¹ > (r ¡ ½ ) = μ r a ¯n de garantizar que c t > 0.
7 5 .2 3 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Gelfand, I. M. and S. V. Fomin (1963) . Calculus of Variations. Prentice-Hall, Inc. Venegas-Mart¶³nez, F. (1999) . \Crecimiento end¶o geno, dinero, impuestos y deuda externa" . In vestiga ci¶o n E co n o¶ m ica , Vol. 59, No. 229, pp. 15-36. Wan, F. Y. M. (1995) Introduction To The Calculus of Variations And Its Applications. Second Edition. Chapman & Hall/CRC.
7 5 .2 4 E je rc ic io s 7 5 .1 Concluya la demostraci¶o n del Lema III, es decir, una vez que se ha probado la existencia de c 0 y c 1 , muestre que g 0 (t) = c 0 + c 1 t.
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7 5 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (c¶a lcu lo d e va ria cio n es)
7 5 .2 Suponga que y¹ = r y¹ = k 0 r y lim t!
1
k te ¡
rt
Z1
cte ¡
rt
dt;
0
= 0, muestre que k_ t = r k t ¡ c t . Interprete y¹ = k 0 r .
7 5 .3 Resuelva el problema
Z1
Maximizar
u (c t ) e ¡
½t
dt;
0
suj eto a y¹ = r cuando
Z1
cte ¡
rt
dt
0
1¡ ° u (c t ) = °
μ
Á ct +´ 1¡ °
¶°
;
donde Á , ° y ´ son constantes. 7 5 .4 Resuelva el problema anterior con u (c t ) = ® + ¯ c t± ; donde ® y ± son constantes.
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C A P ¶IT U L O 76 O P T IM IZ A C IO¶ N D E T E R M IN IS T A E N T IE M P O C O N T IN U O II (C O N T R O L O¶ P T IM O ) C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ² ² ² ²
Control ¶o ptimo Condiciones necesarias Hamiltoniano Ecuaci¶o n adj unta Condiciones su¯cientes Concavidad Condiciones su¯cientes Condiciones su¯cientes
de m¶aximo
de m¶aximo de Mangasarian de Arrow
7 6 .1 In tro d u c c i¶o n El conj unto de restricciones en que se especializa el c¶alculo de variaciones es muy limitado para resolver problemas, m¶as generales, de decisi¶o n sobre consumo e inversi¶o n. Por ej emplo, si la restricci¶o n es una ecuaci¶o n de transformaci¶o n de estados, es decir, una ecuaci¶o n diferencial, entonces el c¶alculo de variaciones no se puede aplicar. Por tal raz¶o n se desarroll¶o la teor¶³a de control ¶o ptimo, introducida por Pontryagin en 1962. Es importante subrayar que algunos problemas del c¶alculo de variaciones se pueden formular, con algunas modi¯caciones, como problemas de control o¶ ptimo, pero no al rev¶e s.
7 6 .2 L e v P o n try a g in y e l o rig e n d e l c o n tro l o¶ p tim o Lev Semenovich Pontryagin, destacado matem¶atico ruso (1908-1988) nacido en Mosc¶u , introduj o el principio del m¶aximo, la base de la teor¶³a de control o¶ ptimo. Su padre, Semen Akimovich Pontryagin, trabaj aba como funcionario del Imperio Zarista y su madre, Tatyana Andreevna Pontryagina, se dedicaba al hogar y a la costura. Tatyana ten¶³a 29 a~n os cuando Lev Pontryagin naci¶o . Aun cuando el padre de Lev Pontryagin trabaj aba como funcionario del Imperio Zarista, su salario no era su¯ciente para ¯nanciar la educaci¶o n de su hij o en un buen colegio. Tatyana trabaj aba en la costura para ayudar a su esposo con los gastos de educaci¶o n de Lev Pontryagin, a quien llamaremos de ahora en adelante, simplemente, Pontryagin. A pesar de todos los esfuerzos, los recursos s¶o lo alcanzaban para una escuela con un est¶andar por debaj o del resto de las escuelas de Mosc¶u . Cuando Pontryagin contaba con 14 a~n os, cinco a~n os despu¶e s de la Revoluci¶o n Rusa, sufri¶o un lamentable accidente. Una explosi¶o n lo dej¶o ciego. Esto pudo haber signi¯cado el ¯nal de su educaci¶o n, pero su madre ten¶³a otros planes para el futuro de su hij o. A partir de entonces, Tatyana asumi¶o la responsabilidad de educar a su hij o. A pesar de las grandes di¯cultades econ¶o micas y an¶³micas, ella asist¶³a con Pontryagin a la escuela y al terminar las labores escolares dedicaba el resto del d¶³a para leerle a su hij o sobre los temas vistos en la escuela y otros m¶as. Y as¶³ fue hasta que Pontryagin termin¶o la carrera de matem¶atico en 1929. Incluso, a~n os despu¶e s, ella trabaj¶o como secretaria de Pontryagin, ley¶e ndole art¶³culos cient¶³¯cos en voz alta, escribiendo por ¶e l las f¶o rmulas en sus manuscritos y corrigiendo su trabaj os. Para hacer esto ella tuvo que aprender a leer en varios idiomas extranj eros. Sin duda, Tatyana fue una gran muj er que desempe~n ¶o un papel crucial en la trayectoria de Pontryagin como matem¶atico. Vale la pena detenerse brevemente y pensar c¶o mo fue que Tatyana sin entrenamiento o conocimiento matem¶atico, por su gran determinaci¶o n y enorme esfuerzo, logr¶o que Pontryagin fuera un destacado matem¶atico cuando todo estaba en contra de ellos. Otra pregunta interesante es >C¶o mo le¶³a Tatyana un art¶³culo de matem¶aticas sin saber matem¶aticas? Un art¶³culo de matem¶aticas para Tatyana Andreevna estaba lleno de s¶³mbolos
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misteriosos, no sab¶³a sus signi¯cados o nombres, solamente pod¶³a describirlos por su aspecto. Por ej emplo, el s¶³mbolo de la intersecci¶o n entre conj untos lo describ¶³a como una herradura hacia abajo, mientras que el s¶³mbolo de la uni¶o n era una herradura hacia arriba. Si ella le¶³a A herradura derecha B , entonces Pontryagin sab¶³a que A era un subconjunto de B . Pontryagin ingres¶o a la Universidad Estatal de Mosc¶u en 1925 cuando ten¶³a 17 a~n os y lleg¶o a ser un estudiante excepcional. Por supuesto, un estudiante ciego no pod¶³a escribir notas (aunque el sistema Braille ya hab¶³a aparecido en la segunda mitad del siglo XIX, por alguna raz¶o n fue desconocido para Pontryagin y su madre) . Por tal raz¶o n Pontryagin ten¶³a que guardar en su mente todas las manipulaciones de los s¶³mbolos por complicadas que ¶e stas fueran. Todav¶³a m¶as notable fue el hecho que Pontryagin llegaba a conclusiones m¶as profundas que las de sus compa~n eros cuando se discut¶³an los temas vistos en clase. Vale la pena subrayar que Pontryagin tom¶o cursos con Khinchin y Aleksandrov, quienes se cuentan entre los matem¶aticos rusos m¶as importantes del siglo XX. En 1927 Pontryagin in°uido por Aleksandrov comenzaba a producir resultados importantes sobre el teorema de la dualidad de Alexander. A la fecha la dualidad de Pontryagin es un concepto b¶asico en el estudio de la transformada de Fourier. Se gradu¶o en la Universidad de Mosc¶u en 1929 y fue profesor del Departamento de Mec¶anica y Matem¶aticas. En 1934, fue nombrado miembro del Instituto Steklov y en 1935 llega a ser Director del Departamento de Topolog¶³a y de An¶alisis Funcional de dicho Instituto. En 1934, Elie Joseph Cartan, renombrado matem¶atico franc¶e s, en una visita a la Universidad de Mosc¶u ofreci¶o varias conferencias en la Facultad de Mec¶anica y Matem¶aticas. Pontryagin asisti¶o a la conferencia de Cartan, la cual fue dictada en franc¶e s. Pontryagin no sab¶³a franc¶e s pero a trav¶e s de una traducci¶o n susurrada de Nina Karlovna Bari quien se sent¶o junto a ¶e l pudo saber del contenido de la conferencia. Nina hab¶³a sido compa~n era de Pontryagin en la Universidad de Mosc¶u . Cartan plante¶o entonces un problema fundamental en la teor¶³a de grupos. Cartan mencion¶o algunas ideas de c¶o mo resolverlo y las explic¶o brevemente. Al a~n o siguiente, Pontryagin hab¶³a resuelto el problema con un enfoque totalmente diferente al sugerido por Cartan y en menos de tres cuartillas. En 1952, Pontryagin cambia la direcci¶o n de sus investigaciones y comienza a estudiar problemas de matem¶aticas aplicadas, concentr¶andose en ecuaciones diferenciales y teor¶³a de control. De hecho, este cambio de direcci¶o n no fue tan repentino como parece. Durante los a~n os treinta, Pontryagin hab¶³a intercambiado con A. A. Andronov algunas ideas sobre problemas en la teor¶³a de oscilaciones y la teor¶³a del control autom¶atico. Ya en 1932, Pontryagin hab¶³a publicado un art¶³culo con Andronov sobre sistemas din¶amicos. En 1958, Pontryagin public¶o la Teor¶³a ¶ Matem¶atica de Procesos Optimos j unto con sus estudiantes V. G. Boltyanskii, R. V. Gamrelidze y E. F. Mishchenko. Cuatro a~n os despu¶e s, una traducci¶o n inglesa de su libro apareci¶o . En 1962, Pontryagin recibe el premio Lenin por su libro. Posteriormente, produj o una serie de art¶³culos sobre j uegos diferenciales extendiendo su trabaj o sobre teor¶³a de control ¶o ptimo. En 1963, aparece un libro m¶as de Pontryagin sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y casi inmediatamente la traducci¶o n inglesa del texto. Por u¶ ltimo, es importante destacar que en 1970 llega a ser vice-presidente de la Uni¶o n Matem¶atica Internacional.
F u en te: w w w -g ro u p s.d cs.st-a n d .a c.u k
Lev Pontryagin
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7 6 .3 P la n te a m ie n to d e l p ro b le m a d e c o n tro l o¶ p tim o d e te rm in ista Muchos de los problemas de decisi¶o n sobre consumo e inversi¶o n se pueden formular en el marco del control ¶o ptimo. En t¶e rminos generales, un problema de control o¶ ptimo se formula como: Maximizar
J (f ;u ) = Ã (f (T ) ) +
ZT
F (t;f (t) ;u (t) ) dt;
(76:1)
0
suj eto a una ecuaci¶o n diferencial (ecuaci¶o n de transformaci¶o n de estados) f_ (t) = G (t;f (t) ;u (t) ) ;
(76:2)
f (0) = f 0
(76:3)
u 2 U;
(76:4)
una condici¶o n inicial y un conj unto de controles permitidos donde F y G tienen primeras y segundas derivadas parciales continuas con respecto de todos sus argumentos. La funci¶o n f es llamada variable de estado y la funci¶o n u es conocida como variable de control. La cantidad à (f (T ) ) es la contribuci¶o n a la funci¶o n ob jetivo de la variable de estado al tiempo T . En lo que sigue se supone que u = u (t) es una funci¶o n continua por pedazos. El conj unto U , de controles admisibles, puede incluir desigualdades. Es importante tener en cuenta el supuesto impl¶³cito de que f (T ) es libre con T ¯j a. Por supuesto, el problema anterior puede extenderse para incluir varias variables de estado y varios controles, los cuales pueden combinarse en diferentes ecuaciones de transformaci¶o n de estados. Por u ¶ ltimo, observe que se ha utilizado la notaci¶o n df (t) = dt = f_ (t) para derivadas temporales, misma que se adoptar¶a en el resto del cap¶³tulo.
7 6 .4 T ra n sfo rm a c i¶o n d e p ro b le m a s d e l c ¶a lc u lo d e v a ria c io n e s e n p ro b le m a s d e c o n tro l o¶ p tim o En esta secci¶o n varios problemas del c¶alculo de variaciones son transformados en problemas de control o¶ ptimo a trav¶e s de un cambio de variable. Considere, por ej emplo, el siguiente problema de c¶alculo de variaciones: Maximizar
J (f ) =
ZT
F (t;f (t) ;f_ (t) ) dt;
(76:5)
0
suj eto a la condici¶o n de frontera f (0) = f 0 : Si se de¯ne
f_ (t) = u (t) ;
entonces el problema (76.5) se puede reescribir como Maximizar
J (f ;u ) =
ZT
F (t;f (t) ;u (t) ) dt;
0
suj eto a f_ (t) = u (t)
y
f (0) = f 0 :
De la misma manera, el siguiente problema del c¶alculo de variaciones, relacionado con el problema isoperim¶e trico, ZT Maximizar J (f ) = F (t;f (t) ;f_ (t) ) dt; (76:6) 0
suj eto a f (0) = f 0 ;
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ZT
G (t;f (t) ;f_ (t) ) dt = `;
0
se puede transformar en un problema de control ¶o ptimo si se de¯ne Zt g (t) = G (s ;f (s ) ;f_ (s ) ) ds : 0
Claramente, g (0) = 0 y g (T ) = `. En este caso, el problema (76.6) se puede escribir como ZT Maximizar J (f ;u ) = F (t;f (t) ;u (t) ) dt; (76:7) 0
suj eto a las condiciones de frontera g_ (t) = G (t;f (t) ;u (t) ) ;
f_ (t) = u (t) ;
g (0) = 0;
g (T ) = `
y
f (0) = f 0 :
7 6 .5 E l p rin c ip io d e l m ¶a x im o d e P o n try a g in , e l H a m ilto n ia n o y la e c u a c i¶o n a d ju n ta El principio del m¶aximo de Pontryagin constituye un conj unto de condiciones necesarias de m¶aximo. Sea u 2 U un control admisible del problema (76.1) y f la variable de estado asociada con dicho control. Debido a que un cambio en u (t) induce un cambio en f (t) , es dif¶³cil determinar el efecto de dicho cambio en el valor de la funci¶o n obj etivo. Por esta raz¶o n, se aplica un m¶e todo indirecto. Para ello, se agregan a J t¶e rminos que suman cero. En particular, se forma la funci¶o n ob jetivo modi¯cada ZT h i J (f ;u ) = J (f ;u ) ¡ ¸ (t) f_ ¡ G (t;f ;u ) dt 0 (76:8) ZT ZT h i _ = à (f (T ) ) + F (t;f ;u ) dt ¡ ¸ (t) f ¡ G (t;f ;u ) dt; 0
0
donde ¸ (t) es una funci¶o n cuya derivada es continua por pedazos. La u¶ ltima integral es cero para cualquier ¸ (t) . Por lo anterior se puede considerar el problema de maximizar J en lugar de J : La ventaja es que la °exibilidad en la elecci¶o n de ¸ permite simpli¯car el problema. El Hamiltoniano asociado al problema de control ¶o ptimo se de¯ne de la siguiente forma: H (t;f ;u ;¸ ) = F (t;f ;u ) + ¸ G (t;f ;u ) :
(76:9)
Observe ahora que la funci¶o n obj etivo modi¯cada, J , puede ser expresada en t¶e rminos del Hamiltoniano, H , de la siguiente manera: ZT ³ ´ J (f ;u ) = Ã (f (T ) ) + H (t;f ;u ;¸ ) ¡ ¸ (t) f_ (t) dt: (76:10) 0
Considere el control o¶ ptimo u 2 U del problema (76.1) y la variable asociada de estado f . Considere una peque~n a perturbaci¶o n en u , u + v 2 U : Este control nuevo produce una nueva variable de estado que se escribir¶a como f + h , con h (0) = 0. En este caso, h_ (t) = G (t;f (t) + h (t) ;u (t) + v (t) ) ¡ G (t;f (t) ;u (t) ) : Esta ecuaci¶o n describe c¶o mo cambia la variable de estado cuando cambia el control. Considere ahora la diferencia J (f + h ;u + v ) ¡ J (f ;u ) =Ã ((f + h ) (T ) ) ¡ Ã (f (T ) ) ZT + (H (t;f + h ;u + v ;¸ ) ¡ H (t;f ;u ;¸ ) ) dt 0
¡
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ZT
(76:11)
¸ (t) h_ (t) dt:
0
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Si se integra por partes la segunda integral del lado derecho de la expresi¶o n anterior, se tiene que ZT 0
¸ (t) h_ (t) = ¸ (T ) h (T ) ¡
ZT
¸_ (t) h (t) dt;
(76:12)
0
ya que h (0) = 0. Despu¶e s de sustituir (76.12) en la ecuaci¶o n (76.11) , se obtiene J (f + h ;u + v ) ¡ J (f ;u ) = Ã ((f + h ) (T ) ) ¡ Ã (f (T ) ) ¡ ¸ (T ) h (T ) ZT h i H (t;f + h ;u + v ;¸ ) ¡ H (t;f ;u ;¸ ) + ¸_ (t) h (t) dt: +
(76:13)
0
En este caso, la aplicaci¶o n de la versi¶o n multidimensional del teorema de Taylor a la expresi¶o n anterior conduce a ZT ¸_ (t) h (t) dt J (f + h ;u + v ) ¡ J (f ;u ) = [Ã f (f (T ) ) ¡ ¸ (T ) ] h (T ) + 0 (76:14) ZT ZT H f h (t) dt +
+
0
donde
0
H u v (t) dt + o (jj(h ;v ) jj) ;
jj(h ;v ) jj = max jh (t) j + max jh_ (t) j + max jv (t) j: t2 [a ;b]
t2 [a ;b]
t2 [a ;b]
(76:15)
La funci¶o n ¸ se elige de tal manera que los dos primeros t¶e rminos del lado derecho de (76.14) desaparezcan. Si se escoge ¸ de tal forma que ¡ ¸_ = H
(76:16)
f
y ¸ (T ) = Ã
f
se obtiene J (f + h ;u + v ) ¡ J (f ;u ) =
(f (T ) ) ;
ZT 0
(76:17)
H u v (t) dt + o (jj(h ;v ) jj) :
Si ahora se ¯j a (h ;v ) y se de¯ne I (± ) = J (f + h ;u + ± v ) con ± 2 IR, entonces I (± ) ¡ I (0) = ±
ZT
H z v (t) dt + o (± ) ;
(76:18)
0
donde z = u + ± v . Si (f ;u ) es ¶o ptimo de J y, por lo tanto de J , entonces 0
I (0) =
ZT
H u v (t) dt = 0
(76:19)
0
para toda v continua por pedazos. Esto implica que H u = 0; lo cual es una condici¶o n necesaria para que H (t;f ;u + ± v ;¸ ) ¡ H (t;f ;u ;¸ ) · 0 (76:20) se cumpla con ± su¯cientemente peque~n a. En conclusi¶o n, si u (t) y f (t) son el control ¶o ptimo y su variable de estado asociada, entonces existe una variable de co-estado ¸ (t) tal que u (t) , f (t) y ¸ (t) satisfacen conj untamente las siguientes condiciones: (i) f_ (t) = G (t;f (t) ;u (t) ) ; (ecuaci¶o n del sistema) (ii) f (0) = f 0 ; (iii) ¡ ¸_ (t) = F f (t;f (t) ;u (t) ) + ¸ (t) G f (t;f (t) ;u (t) ) ; (iv ) ¸ (T ) = Ã f (f (T ) ) ; (v ) @ H = 0; @u
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(condici¶o n inicial) (ecuaci¶o n adjunta) (condici¶o n de transversalidad) (condici¶o n del control o¶ ptimo)
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donde H es el Hamiltoniano H (t;f (t) ;u (t) ;¸ (t) ) = F (t;f (t) ;u (t) ) + ¸ (t) G (t;f (t) ;u (t) ) : Observe, en particular, que si à (f (T ) ) = 0, entonces ¸ (T ) = 0:
7 6 .6 V a lo r p r e se n te d e l H a m ilto n ia n o Al estudiar el comportamiento de un consumidor-inversionista racional con vida in¯nita, la utilidad total es descontada con una tasa subj etiva, esto hace con el prop¶o sito de que la funci¶o n ob jetivo permanezca ¯nita. La inclusi¶o n de dicho factor produce algunas modi¯caciones t¶e cnicas en el principio del m¶aximo. Con el prop¶o sito de mantener tan simple como sea posible el an¶alisis de condiciones necesarias de un m¶aximo, es importante introducir el concepto de valor presente del Hamiltoniano. Considere el siguiente problema de control ¶o ptimo Maximizar
J (f ;u ) =
ZT
F (t;f (t) ;u (t) ) e ¡
½t
dt
(76:21)
0
suj eto a f_ (t) = G (t;f (t) ;u (t) ) ; f (0) = f 0 ; u 2 U; donde ½ > 0 es una tasa continua de descuento. En este caso, el Hamiltoniano est¶a dado por H (t;f (t) ;u (t) ;¸ (t) ) = F (t;f (t) ;u (t) ) e ¡
½t
+ ¸ (t) G (t;f (t) ;u (t) )
(76:22)
y el principio del m¶aximo conduce a ¡ ¸_ (t) = F f (t;f (t) ;u (t) ) e ¡ De¯na ahora
½t
+ ¸ (t) G f (t;f (t) ;u (t) ) :
H (t;f (t) ;u (t) ;¸ (t) ) =H (t;f (t) ;u (t) ;¸ (t) ) e ½ t
=F (t;f (t) ;u (t) ) + ¹ (t) G (t;f (t) ;u (t) ) ;
donde
¹ (t) = ¸ (t) e ½ t :
Observe ahora que ¸ (t) = ¹ (t) e ¡
½t
(76:23)
(76:24)
(76:25)
y
¸_ (t) = ¡ ½ ¹ (t) e ¡
½t
+ e¡
½t
¹_ (t) :
(76:26)
De esta manera, (76.23) se transforma en ½ ¹ (t) e ¡
½t
¡ e¡
½t
¹_ (t) = F f (t;f (t) ;u (t) ) e ¡
½t
+ ¹ (t) e ¡
½t
G f (t;f (t) ;u (t) ) ;
equivalentemente ¡ F f (t;f (t) ;u (t) ) ¡ ¹ (t) G f (t;f (t) ;u (t) ) = ¹_ (t) ¡ ½ ¹ (t) ¶o ¡
@H = ¹_ (t) ¡ ½ ¹ (t) : @f
(76:27)
Por otro lado, la condici¶o n de transversalidad ¸ (T ) conduce a ¹ (T ) e ¡ ½ T , lo cual implica que ¹ (T ) = 0. Observe que si el horizonte de planeaci¶o n es in¯nito, entonces la condici¶o n de transversalidad toma la siguiente forma: (76:28) lim ¸ (t) = 0: t! 1
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7 6 .7 C o n d ic io n e s su ¯ c ie n te s d e M a n g a sa r ia n El principio del m¶aximo de Pontryagin proporciona condiciones necesarias de un m¶aximo. En esta secci¶o n se establecen las condiciones su¯cientes de un m¶aximo partiendo del supuesto de concavidad de las diferentes funciones que intervienen en el problema de control o¶ ptimo. Considere el siguiente problema de control o¶ ptimo Maximizar
ZT
J (f ;u ) =
F (t;f (t) ;u (t) ) dt + Ã (f (T ) )
(76:29)
0
suj eto a f_ (t) = G (t;f (t) ;u (t) ) ; f (0) = f 0 : Suponga que u (t) , f (t) y ¸ (t) , t 2 [0;T ] , satisfacen conj untamente el principio del m¶aximo. Asimismo, suponga que se cumplen las siguientes condiciones: a) F y G son funciones c¶o ncavas en (f ;u ) para cada t 2 [0;T ] , b) Ã es c¶o ncava en f , c) ¸ (t) ¸ 0 para todo t 2 [0;T ] y d) G no es lineal en (f ;u ) , entonces u (t) , f (t) y ¸ (t) resuelven el problema (76.29) . En efecto, F y G son funciones c¶o ncavas en (f ;u ) para cada t 2 [0;T ] si y s¶o lo si F (t;f + h ;u + v ) ¡ F (t;f ;u ) ·
@F @F (t;f ;u ) v (t;f ;u ) h + @u @f
(76:30)
G (t;f + h ;u + v ) ¡ G (t;f ;u ) ·
@G @G (t;f ;u ) v (t;f ;u ) h + @u @f
(76:31)
y
para cada t 2 [0;T ] . De la misma forma, la concavidad de à con respecto de f produce à (f (T ) + h (T ) ) ¡ à (f (T ) ) · à 0(f (T ) ) h (T ) :
(76:32)
Sea u + v 2 U cualquier control admisible y sea f + h la variable de estado asociada a dicho control. Observe tambi¶e n que el principio del m¶aximo implica que @G @F = ¡ ¸_ ¡ ¸ @f @f
y
@G @F : =¡¸ @u @u
(76:33)
Si se calcula la diferencia J (f + h ;u + v ) ¡ J (f ;u ) utilizando (76.30) , (76.32) y (76.33) , se tiene que J (f + h ;u + v ) ¡ J (f ;u ) =à ((f + h ) (T ) ) ¡ à (f (T ) ) ZT + (F (t;f + h ;u + v ) ¡ F (t;f ;u ) ) dt 0 ¶ ZT μ @F @F · à 0(f (T ) ) h (T ) + h + v dt @f @u 0 ¶ ¸ Z T ·μ @G @G 0 _ h ¡ ¸ v dt: =à (f (T ) ) h (T ) + ¡¸ ¡ ¸ @u @f 0
(76:34)
La ecuaci¶o n anterior se puede simpli¯car si se integra por partes el primer t¶e rmino del integrando y tomando en cuenta que h (0) = 0; ZT 0
¸_ h dt =¸ (T ) h (T ) ¡ =¸ (T ) h (T ) ¡
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ZT
¸ h_ dt
0
ZT 0
(76:35) ¸ (G (t;f + h ;u + v ) ¡ G (t;f ;u ) ) dt:
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7 6 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o (II) co n tro l ¶o p tim o
Por lo tanto, J (f + h ;u + v ) ¡ J (f ;u ) · (Ã 0(f (T ) ) ¡ ¸ (T ) ) h (T ) ¸ ZT · @G @G + ¸ G (t;f + h ;u + v ) ¡ G (t;f ;u ) ¡ v dt: h ¡ @f @u 0
(76:36)
Recuerde que por hip¶o tesis ¸ (t) ¸ 0 para todo t 2 [0;T ] . Si se utiliza (76.31) y el hecho de que à 0(f (T ) ) = ¸ (T ) , se concluye que J (f + h ;u + v ) ¡ J (f ;u ) · 0 para (h ;v ) su¯cientemente peque~n o. Es decir, (f ;u ) es o¶ ptimo. Si G es lineal en (f ;u ) , entonces G = ® f + ¯ u + ° (t) , donde ® y ¯ son constantes y ° (t) es una funci¶o n arbitraria de t, se tiene que J (f + h ;u + v ) ¡ J (f ;u ) = 0:
7 6 .8 C o n d ic io n e s su ¯ c ie n te s d e A r ro w y e l H a m ilto n ia n o d e riv a d o En esta secci¶o n se establece una condici¶o n su¯ciente de un m¶aximo con base en el supuesto de concavidad del Hamiltoniano derivado, el cual se obtiene al valuar el Hamiltoniano en un control que satisface el principio del m¶aximo. Considere el siguiente problema de control o¶ ptimo: ZT F (t;f (t) ;u (t) ) dt + Ã (f (T ) ) (76:37) Maximizar J (f ;u ) = 0
suj eto a f_ (t) = G (t;f (t) ;u (t) ) ; f (0) = f 0 : Se de¯ne Suponga que u 0 satisface
H 0 (t;f ;¸ ) = max H (t;f ;u ;¸ ) :
(76:38)
H 0 (t;f ;¸ ) = H (t;f ;u 0 ;¸ ) :
(76:39)
u2 U
0
Suponga tambi¶e n que u (t) , f (t) y ¸ (t) , t 2 [0;T ] , satisfacen conjuntamente el principio del m¶aximo de Pontryagin. Asimismo, suponga que H 0 es c¶o ncava en f para cada t 2 [0;T ] y à es c¶o ncava en f , entonces u 0 (t) , f (t) y ¸ (t) resuelven el problema (76.37) . En efecto, H 0 es c¶o ncava en f para cada t 2 [0;T ] si y s¶o lo si H 0 (t;f (t) + h (t) ;¸ (t) ) ¡ H 0 (t;f (t) ;¸ (t) ) · H f0 (t;f (t) ;¸ (t) )
para cada t 2 [0;T ] , lo cual implica que
H (t;f (t) + h (t) ;u 0 (t) + v (t) ;¸ (t) ) ¡ H (t;f (t) ;u 0 (t) ;¸ (t) )
· H f (t;f (t) ;u 0 (t) ;¸ (t) ) h (t) :
(76:40)
Si se utiliza el principio del m¶aximo en (76.40) , se obtiene F (t;f (t) + h (t) ;u 0 (t) + v (t) ) + ¸ (t) G (t;f (t) + h (t) ;u 0 (t) ) ¡ F (t;f (t) ;u 0 (t) ) ¡ ¸ (t) G (t;f (t) ;u 0 (t) ) · ¡ ¸_ (t) h (t) ; lo cual implica que F (t;f (t) + h (t) ;u 0 (t) ) ¡ F (t;f (t) ;u 0 (t) ) · ¡ ¸ (t) h (t) + ¸_ (t) h (t) (76:41) d (¸ (t) h (t) ) =¡ dt para todo t 2 [0;T ] . Si ahora se integra (76.41) y se toma en cuenta que h (0) = 0, se tiene que J (f + h ;u 0 + v ) ¡ J (f ;u 0 ) · ¸ (T ) h (T ) =Ã
f
(f (T ) ) h (T )
·0 para todo (h ;v ) su¯cientemente peque~n o. Por lo tanto, (f ;u 0 ) es o¶ ptimo.
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7 6 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o (II): co n tro l ¶o p tim o
7 6 .9 P ro b le m a s d e c o n tro l o¶ p tim o c o n fro n te ra s v a ria b le s, c o n d ic io n e s n e c e sa ria s Considere el siguiente problema de control o¶ ptimo con fronteras variables ZT Maximizar J (f ;u ;T ) = F (t;f (t) ;u (t) ) dt + Ã (f (T ) ;T )
(76:42)
0
suj eto a f_ (t) = G (t;f (t) ;u (t) ) ; f (0) = f 0 ;
T
y f (T ) libres:
Si f , u y T son la soluci¶o n del problema anterior y se incrementan como f + ± h , h (a ) = 0, u + ± v y T (±;¿ ) = T + ± ¿ , con (h ;v ;¿ ) ¯j o y ± 2 IR su¯cientemente peque~n a, se tiene que ZT h i J (f ;u ;T ) =Ã (f (T ) ;T ) + H (t;f ;u ;¸ ) ¡ ¸ (t) f_ (t) dt 0
ZT h i =Ã (f (T ) ;T ) + H (t;f ;u ;¸ ) + f (t) ¸_ (t) dt ¡ ¸ (T ) f (T ) : 0
Por lo tanto, I (± ) ´ J (f + ± h ;u + ± h ;T + ± ¿ ) Z T (± ) h i =Ã (f (T (± ) ) ;T (± ) ) + H (t;f + ± h ;u + ± v ;¸ ) + (f (t) + ± h (t) ) ¸_ (t) dt
(76:43)
0
¡ ¸ (T (± ) ) f (T (± ) ) : Observe ahora que @Ã @Ã df + dT @f @T μ ¶ @Ã @f @F @Ã = dT + d± + dT : @f @T @± @T
dà =
As¶³, dà @à = d± @f
μ
@f @f ¿ + @T @±
¶
+
@Ã ¿: @T
(76:44)
En virtud de (76.44) y la regla de Leibnitz, la derivada de I se puede expresar como · μ ¶ ¸¯ ¯ @à @f @f @à ¯ I 0(± ) = ¿ + + ¿ ¯ @f @T @± @T T (± ) ¸ Z T (± ) · @H @H + h (t) + v (t) + h (t) ¸_ (t) dt @g @w 0
(76:45)
+ H (T (± ) ;f (T (± ) ) + ± h (T (± ) ) ;u (T (± ) ) + ± v (T (± ) ) ;¸ (T (± ) ) ) ¿ μ ¶¯ @f @f ¯ ¯ ; + (f + ± h ) (T (± ) ) ¸_ (T (± ) ) ¿ ¡ f (T (± ) ) ¸_ (T (± ) ) ¿ ¡ ¸ (T (± ) ) ¿ + @T @ ± ¯T (± )
donde g = f + ± h y w = u + ± v : Una condici¶o n necesaria de un m¶aximo de I en 0 es que I 0(0) = 0, lo cual implica ¯μ ¯ ¶¯ @à ¯ @f @f ¯ @à ¯ ¯ ¯ ¯¿ 0= ¿ + + @ f ¯T @ T @ ± ¯T @ T ¯T ¸ ZT · @H @H + h (t) + v (t) + h (t) ¸_ (t) dt @f @u 0 + H (T ;f (T ) ;u (T ) ;¸ (T ) ) ¿ + f (T ) ¸_ (T ) ¿ ¡ f (T ) ¸_ (T ) ¿ ¡ ¸ (T )
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μ
@f @f ¿ + @T @±
¶¯ ¯ ¯: ¯ T
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7 6 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o (II) co n tro l ¶o p tim o
Si la funci¶o n ¸ , continua por pedazos, se escoge de tal manera que ¯ @Ã ¯ _¸ = ¡ @ H ¯; con ¸ (T ) = @f @ f ¯T entonces se cumple que ¯ ZT @H @Ã ¯ ¯ ¿ + H (T ;f (T ) ;u (T ) ;¸ (T ) ) ¿ : 0= v (t) dt + @u @ T ¯T 0 Si adem¶as se pide que ¯ @Ã ¯ ¯ + H (T ;f (T ) ;u (T ) ;¸ (T ) ) = 0; @ T ¯T RT entonces 0 (@ H = @ u ) v (t) dt = 0 para toda v admisible, lo cual implica que @H = 0: @u
(76:46)
(76:47)
(76:48)
7 6 .1 0 A p lic a c i¶o n d e l p rin c ip io d e l m ¶a x im o a p ro b le m a s d e u n c o n su m id o r ra c io n a l in te rte m p o ra l A continuaci¶o n se aplica el principio del m¶aximo de Pontryagin a problemas de decisi¶o n de un consumidor-inversionista racional. Las aplicaciones se llevar¶an a cabo en el marco del crecimiento end¶o geno.
7 6 .1 0 .1 F u n c i¶o n d e u tilid a d lo g a r¶³tm ic a Considere una econom¶³a que produce y consume un solo bien perecedero. La identidad de la renta nacional, para una econom¶³a cerrada, en t¶e rminos per ca p ita est¶a dada por y t = c t + it + g : Esta condici¶o n establece que el producto per ca p ita , y t , se destina a tres ¯nes: al consumo, c t , a la inversi¶o n, it ; y al gasto de gobierno, g . Por el momento, se supone que g = 0. La identidad de la renta nacional asegura el equilibrio en el mercado de bienes. Suponga que el problema de decisi¶o n que resuelve un consumidor racional, maximizador de utilidad es el siguiente: Z1 Maximizar u (c t ) e ¡ ½ t dt 0
y t = c t + k_ t ;
suj eto a:
k 0 = constante; donde u (c t ) es la funci¶o n de utilidad o satisfacci¶o n del individuo y ½ es la tasa sub jetiva de descuento. Si se supone que y t = A k t , entonces el producto marginal de capital se mantiene constante e igual a A . De esta manera, el problema anterior se transforma en: Z1 Maximizar u (c t ) e ¡ ½ t dt 0
suj eto a:
k_ t = A k t ¡ c t ;
k 0 = constante conocida:
Suponga, en particular, que u (c t ) = ln(c t ) . En el contexto de la teor¶³a de control ¶o ptimo, k t es la variable de estado y c t es la variable de control. El Hamiltoniano asociado a este problema se de¯ne como: H (k t ;c t ;¸ t ;t) = ln(c t ) + ¸ t (A k t ¡ c t ) ; donde ¸ t es la variable de coestado. En este caso, las condiciones de primer orden est¶an dadas por: @H = 0; (76:49) @ ct @H ¡ = ¸_ t ¡ ½ ¸ t (76:50) @ kt y @H = k_ t : (76:51) @¸t
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7 6 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (co n tro l ¶o p tim o )
A partir de la condici¶o n (76.50) se sigue que ¸_ t = ¸ t (½ ¡ A ) : Por lo tanto, ¸ t = ¸ 0 e (½ ¡
A )t
(76:52)
:
Es f¶acil ver que la condici¶o n (76.49) conduce a 1 = ¸ t; ct es decir, 1 : ¸t
ct =
Al sustituir la ecuaci¶o n (76.52) en la ecuaci¶o n anterior, se tiene que ct =
1 (A e ¸0
¡ ½ )t
(76:53)
:
Ahora bien, en virtud de (76.51) , se tiene que c t = A k t ¡ k_ t . Si esta ecuaci¶o n se multiplica por e ¡ A t y se integra, se tiene como resultado que Z1
cte ¡
A t
dt =
0
Z1
A k te ¡
A t
0
Z1
dt ¡
k_ t e ¡
A t
dt:
(76:54)
0
Observe que integraci¶o n por partes del primer sumando del lado derecho de la ecuaci¶o n anterior produce ¯1 Z1 Z1 ¯ ¡ A t ¡ A t¯ A k te dt = ¡ k t e + k_ t e ¡ A t dt ¯ 0 0 0 Z1 = k 0 ¡ lim k t e ¡ A t + k_ t e ¡ A t dt: t! 1
0
Si se supone ahora la condici¶o n de transversalidad, lim t! Z1
A k te
¡ A t
0
dt ¡
Z1
k_ t e ¡
k te ¡
1
A t
A t
= 0, se sigue que
dt = k 0 :
0
Por lo tanto, la ecuaci¶o n (76.54) se transforma en Z1
cte ¡
A t
dt = k 0 :
0
Si se sustituye (76.53) en la ecuaci¶o n anterior, se obtiene que k0 =
Z1
cte ¡
A t
dt
0
Z1
1 (A ¡ ½ )t ¡ e e ¸0 0 Z1 1 e ¡ ½ t dt = ¸0 0 1 = : ¸ 0½ =
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A t
dt
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7 6 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (co n tro l ¶o p tim o )
En consecuencia, 1 = k0½: ¸0 En virtud de (76.53) y del resultado anterior, la trayectoria ¶o ptima de consumo satisface c t = k 0 ½ e (A
¡ ½ )t
(76:55)
;
donde c 0 = k 0 ½ : Evidentemente, esta trayectoria es un m¶aximo (global) de la utilidad total descontada ya que ln(c t ) es una funci¶o n c¶o ncava. La Gr¶a¯ca 76.1 muestra el consumo ¶o ptimo, calculado en t = 1, en funci¶o n del par¶ametro asociado a la tecnololog¶³a, A , y del par¶ametro de preferencias, ½ .
Gr¶a¯ca 76.1 Consumo ¶o ptimo, en t = 1, en funci¶o n de A y ½ con k 0 = 100. Por otro lado, observe que a partir de la restricci¶o n presupuestal, se tiene que k_ t = A k t ¡ c t = A k t ¡ k 0 ½ e (A ¡
½ )t
:
Es sencillo veri¯car que la soluci¶o n de esta ecuaci¶o n diferencial ordinaria, no homog¶e nea, est¶a dada por Zt k t = k 0 eA t ¡ eA t k 0 ½ e (A ¡ ½ )s e ¡ A s ds 0
= k 0 e A t ¡ k 0 e A t (1 ¡ e ¡
= k 0 e (A
¡ ½ )t
½t
)
(76:56)
:
La Gr¶a¯ca 76.2 muestra el capital, en t = 1, en funci¶o n de A y ½ para un valor espec¶³¯co del capital inicial, k 0 .
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7 6 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (co n tro l ¶o p tim o )
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Gr¶a¯ca 76.2 capital, en t = 1, en funci¶o n de A y ½ con k 0 = 100. Observe ahora que a partir de la trayectoria ¶o ptima de consumo, determinada en la ecuaci¶o n (76.55) , se sigue que c_ t = (A ¡ ½ ) c t ; lo cual se puede reescribir como c_ t = A ¡ ½: ct Esta expresi¶o n proporciona la tasa de crecimiento del consumo. De la misma manera, a partir de (76.55) , se obtiene que k_ t = (A ¡ ½ ) k t : Es decir, k_ t = A ¡ ½; kt lo cual proporciona la tasa de crecimiento del capital. Como y t = A k t , se tiene tambi¶e n que y_ t = A k_ t . Se concluye, de lo anterior, que c_ t y_ t k_ t = = = A ¡ ½: yt ct kt En consecuencia, el consumo, el capital y el producto crecen (o decrecen) exactamente a la misma tasa A ¡ ½ . Si A > ½ , todos los sectores crecen, mientras que si A < ½ todos los sectores decrecen. Cuando todos los sectores crecen (o decrecen) a la misma tasa se dice que el crecimiento en la econom¶³a es balanceado. La Gr¶a¯ca 76.3 muestra el comportamiento de las trayectorias ¶o ptimas del consumo y del capital para ciertos valores de los par¶ametros.
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7 6 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (co n tro l ¶o p tim o )
Gr¶a¯ca 76.3 (a) y (c) muestran las trayectorias ¶o ptimas del consumo y capital, respectivamente, cuando A = 0:6 > ½ = 0:5. Asimismo, (b) y (d) muestran las trayectorias o¶ ptimas del consumo y capital, respectivamente, cuando A = 0:5 < ½ = 0:6.
7 6 .1 0 .2 F u n c i¶o n d e u tilid a d c o n g r a d o c o n sta n te d e a v e r si¶o n a l r ie sg o I Considere el siguiente problema que resuelve un consumidor racional maximizador de utilidad: Maximizar
Z1 0
suj eto a:
c °t ¡ e °
½t
dt
k_ t = A k t ¡ c t ;
k 0 = constante:
Suponga que ° < 1 a ¯n de que la utilidad marginal sea positiva pero decreciente. El Hamiltoniano asociado a este problema de control est¶a dado por H (k t ;c t ;¸ t ;t) =
c °t + ¸ t (A k t ¡ c t ) : °
Con base en el principio del m¶aximo, las condiciones de primer orden est¶an dadas por las siguientes ecuaciones: @H = 0; @ ct
¡
@H = ¸_ t ¡ ½ ¸ t @ kt
y
@H = k_ t : @¸t
(76:57)
A partir de la segunda condici¶o n en (76.57) , se sigue que ¸_ t = ¸ t (½ ¡ A ) : Por lo tanto, ¸ t = ¸ 0 e (½ ¡
A )t
:
(76:58)
La primera condici¶o n en (76.57) conduce a c °t ¡ 1 ¡ ¸ t = 0;
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7 6 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (co n tro l ¶o p tim o )
es decir, 1 = (° ¡ 1 )
ct = ¸ t
:
Al sustituir la ecuaci¶o n (76.58) en la ecuaci¶o n anterior, se tiene que 1 = (° ¡ 1 ) (½ ¡ A )t= (° ¡ 1 )
ct = ¸ 0 Ahora bien, en virtud de que
Z1
e
cte ¡
A t
(76:59)
:
dt = k 0 ;
0
se obtiene que k0 =
Z1
c te ¡
Z1
¸0
A t
dt
0
=
0
1 = (° ¡ 1 ) (½ ¡ A )t= (° ¡ 1 ) ¡ A t
1 = (° ¡ 1 )
= ¸0
1 = (° ¡ 1 )
= ¸0
e
Z1
e (½ ¡
0
μ
° ¡ 1 °A ¡ ½
En consecuencia, 1 = (° ¡ 1 )
¸0
e
= k0
μ
° A )t= (° ¡ 1 )
¶
dt
dt
:
°A ¡ ½ ° ¡ 1
¶
:
De esta manera, al sustituir la expresi¶o n anterior en (76.59) , la trayectoria o¶ ptima de consumo est¶a dada por ¶ μ ½ ¡ °A e (½ ¡ A )t= (° ¡ 1 ) ; ct = k 0 (76:60) 1¡ ° donde c 0 = k 0 (½ ¡ ° A ) = (1 ¡ ° ) : En este caso, se tiene que suponer que ½ > ° A para garantizar que c t se mantenga positivo. La Gr¶a¯ca 76.4 muestra el consumo ¶o ptimo, en t = 1, en funci¶o n de A y ½ con ° = 0:3 y k 0 = 100:
Gr¶a¯ca 76.4 Consumo ¶o ptimo, en t = 1, en funci¶o n de A y ½ con ° = 0:3:
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7 6 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (co n tro l ¶o p tim o )
Por otro lado, a partir de la tercera condici¶o n de (76.57) , se tiene que el capital satisface la siguiente ecuaci¶o n: k_ t = A k t ¡ c t = A k t ¡ k 0
μ
°A ¡ ½ ° ¡ 1
¶
e (½ ¡
A )t= (° ¡ 1 )
;
(76:61)
la cual es una ecuaci¶o n de la forma x_ t = ® x t + g (t) : La soluci¶o n de esta ecuaci¶o n diferencial ordinaria de primer orden, no homog¶e nea, est¶a dada por x t = x 0 e® t + e® t
Zt
g (s ) e ¡
®t
ds :
0
Por lo tanto, la soluci¶o n de (76.61) est¶a determinada por kt = k0e
A t
¡ e
A t
Zt
= k 0 eA t ¡ k 0 eA
0
t
k0
μ
Ztμ 0
°A ¡ ½ ° ¡ 1
°A ¡ ½ ° ¡ 1
³ = k 0 eA t ¡ k 0 eA t 1 ¡ e¡
= k 0 e (½ ¡
A )t= (° ¡ 1 )
¶ ¶
e (½ ¡
e¡
A )s = (° ¡ 1 ) ¡ A s
e
(° A ¡ ½ )s = (° ¡ 1 )
(° A ¡ ½ )t= ° ¡ 1
ds
ds
´
(76:62)
:
La Gr¶a¯ca 76.5 muestra el capital, en t = 1, en funci¶o n de A y ½ , con ° = 0:4 y k 0 = 100:
Gr¶a¯ca 76.5 Capital, en t = 1, en funci¶o n de A y ½ con ° = 0:4.
Ahora bien, a partir de (76.60) , se tiene que c_ t =
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μ
½¡ A ° ¡ 1
¶ ct
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7 6 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (co n tro l ¶o p tim o )
¶o
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c_ t ½¡ A ; = ° ¡ 1 ct
lo cual proporciona la tasa de crecimiento del consumo. Por otro lado, en virtud de (76.62) , se produce que ¶ μ ½¡ A k t: k_ t = ° ¡ 1 Es decir,
½¡ A k_ t ; = ° ¡ 1 kt
lo cual proporciona la tasa de crecimiento del capital. Adem¶as y t = A k t implica que y_ t = A k_ t . Se concluye que A k_ t A k_ t A ¡ ½ y_ t k_ t : = = = = 1¡ ° yt yt A kt kt
De esta manera, el consumo, el capital y el producto crecen (o decrecen) exactamente a la misma tasa (A ¡ ½ ) = (1 ¡ ° ) . Debido a que 0 < ° < 1, si A > ½ , la produci¶o n crece, mientras que si A < ½ la producci¶o n decrece. La Gr¶a¯ca 76.6 muestra las trayectorias ¶o ptimas del consumo y capital para ciertos valores de los par¶ametros que determinan las caracter¶³sticas de la econom¶³a.
Gr¶a¯ca 76.6 (a) y (c) muestran las trayectorias ¶o ptimas del consumo y del capital, respectivamente, cuando A = 0:6 > ½ = 0:5 con ° = 0:1. Asimismo, (b) y (d) muestran el las trayectorias ¶o ptimas del consumo y del capital, respectivamente, cuando A = 0:5 < ½ = 0:6 con ° = 0:1.
7 6 .1 0 .3 F u n c i¶o n d e u tilid a d c o n g ra d o c o n sta n te d e a v e rsi¶o n a l r ie sg o II Considere ahora el siguiente problema de maximizaci¶o n de utilidad que resuelve un consumidor racional: Z 1 1¡ μ ct ¡ 1 ¡ ½ t e dt; μ > 0; μ = 6 1; Maximizar 1¡ μ 0 suj eto a: k_ t = A k t ¡ c t ; k 0 = constante conocida:
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7 6 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (co n tro l ¶o p tim o )
El Hamiltoniano asociado a este problema es: c 1t ¡ μ ¡ 1 + ¸ t (A k t ¡ c t ) ; 1¡ μ
H (k t ;c t ;¸ t ;t) =
donde ¸ t es la variable de coestado. En este caso, las condiciones de primer orden (o condiciones necesarias) est¶an dadas por las siguientes expresiones: @H = 0; @ ct
@H = ¸_ t ¡ ¸ t ½ @ kt
¡
@H = k_ t : @¸t
y
(76:63)
A partir de la segunda condici¶o n (en 76.63) , se tiene que ¸_ t = ¸ t (½ ¡ A ) ; lo cual implica ¸ t = ¸ 0 e (½ ¡
A )t
(76:64)
:
La primera condici¶o n (76.63) conduce a la expresi¶o n c ¡t μ ¡ ¸ t = 0; equivalentemente 1
ct =
¸
1=μ t
:
Al sustituir la ecuaci¶o n (76.64) en la ecuaci¶o n anterior, se tiene que ¡ 1 = μ (A ¡ ½ )t= μ
ct = ¸ 0 Ahora bien, como
Z1
cte ¡
e
:
A t
dt = k 0 ;
0
se obtiene k0 =
Z1
cte ¡
A t
dt
0
Z1
¡ 1=μ
¸0 e (A ¡ ½ )t= μ e ¡ A t dt Z1 ¡ 1=μ e [A (1 ¡ μ )¡ ½ ]t= μ dt = ¸0 0 ¶ μ μ ¡ 1=μ : = ¸0 ½ ¡ A (1 ¡ μ ) =
0
Consecuentemente, el valor inicial ¸ 0 satisface ¡ 1=μ
¸0
= k0
μ
½ ¡ A (1 ¡ μ ) μ
¶
:
De esta manera, si ½ > A (1 ¡ μ ) , la trayectoria o¶ ptima de consumo satisface ct = k 0
μ
½ ¡ A (1 ¡ μ ) μ
¶
e (A
¡ ½ )t= μ
;
donde c 0 = k 0 [½ ¡ A (1 ¡ μ ) ] = μ : La Gr¶a¯ca 76.7 muestra el consumo ¶o ptimo, en t = 1, como funci¶o n de ½ y A , con μ = 0:5 y k 0 = 100:
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7 6 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (co n tro l ¶o p tim o )
931
Gr¶a¯ca 76.7 Consumo ¶o ptimo, en t = 1, como funci¶o n de ½ y A . Por otro lado, se tiene que
¶ ½ ¡ A (1 ¡ μ ) e (A ¡ ½ )t= μ : μ La soluci¶o n de esta ecuaci¶o n diferencial ordinaria est¶a dada por ¶ Zt μ ½ ¡ A (1 ¡ μ ) A t A t e (A ¡ ½ )s = μ e ¡ A s ds k0 kt = k0e ¡ e μ 0 ¶ Ztμ ½ ¡ A (1 ¡ μ ) A t A t e ¡ [½ ¡ A (1 ¡ μ )]s = μ ds = k0e ¡ k0e μ 0 ³ ´ = k 0 e A t ¡ k 0 e A t 1 ¡ e ¡ [½ ¡ A (1 ¡ μ )]t= μ k_ t = A k t ¡ c t = A k t ¡ k 0
μ
= k 0 e (A ¡ ½ )t= μ : La Gr¶a¯ca 76.8 muestra el capital como funci¶o n de ½ y A , con μ = 0:5 y k 0 = 100.
Gr¶a¯ca 76.8 Capital, en t = 1, como funci¶o n de ½ y A .
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7 6 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (co n tro l ¶o p tim o )
Evidentemente, A ¡ ½ c_ t ; = μ ct lo cual proporciona la tasa de crecimiento del consumo. Por otro lado, k_ t A ¡ ½ = ; μ kt lo cual proporciona la tasa de crecimiento del capital. Como y t = A k t , se tiene que A k_ t A k_ t A ¡ ½ y_ t k_ t = = = = : μ yt yt A kt kt En consecuencia, el consumo, el capital y el producto crecen (o decrecen) exactamente a la misma tasa A ¡ ½ = μ . Si A > ½ , la produci¶o n crece, mientras que si A < ½ la producci¶o n disminuye debido a que μ > 0.
Gr¶a¯ca 76.9 (a) y (c) muestran las trayectorias o¶ ptimas del consumo y del capital respectivamente, cuando A = 0:7 > ½ = 0:6. Asimismo, (b) y (d) muestran el comportamiento del consumo y del capital respectivamente, cuando A = 0:6 < ½ = 0:7. El valor de μ es 0.5.
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7 6 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (co n tro l ¶o p tim o )
7 6 .1 0 .4 F u n c i¶o n d e u tilid a d e x p o n e n c ia l n e g a tiv a Considere un consumidor racional que resuelve Z1 ¡ ¡ ¡e Maximizar 0
μ ct
¢¡ e
½t
dt;
μ > 0;
k_ t = A k t ¡ c t ;
suj eto a:
k 0 = constante:
El Hamiltoniano asociado a este problema es: H (k t ;c t ;¸ t ;t) = ¡ e ¡
μ ct
+ ¸ t (A k t ¡ c t ) ;
donde ¸ t es la variable de coestado. Las condiciones de primer orden son: @H = 0; @ ct
¡
@H = ¸_ t ¡ ¸ t ½ @ kt
@H = A k t ¡ ct: @¸t
y
(76:65)
A partir de la segunda condici¶o n de (76.65) se sigue que ¸_ t = ¸ t (½ ¡ A ) : Por lo tanto, ¸ t = ¸ 0 e (½ ¡
A )t
(76:66)
:
La primera condici¶o n de (76.65) conduce a μe¡
μ ct
¡ ¸ t = 0;
es decir, ln(μ ) ¡ ln(¸ t ) μ y al sustituir la ecuaci¶o n (76.66) en la ecuaci¶o n anterior, se tiene que ct =
ct = es decir ct = Ahora bien, como
ln(μ ) ¡ ln(¸ 0 e (½ ¡ μ
A )t
)
;
ln(μ ) ¡ ln(¸ 0 ) ¡ (½ ¡ A ) t : μ Z1
cte ¡
A t
dt = k 0 :
0
De esta manera, k0 =
Z1
cte ¡
A t
dt
0
Z1
ln(μ ) ¡ ln(¸ 0 ) ¡ (½ ¡ A ) t ¡ A t e dt μ 0 · Z1 Z1 1 ¡ A t (ln(μ ) ¡ ln(¸ 0 ) ) e dt ¡ (½ ¡ A ) te ¡ = μ 0 0 · ¸ (½ ¡ A ) 1 ln(μ ) ¡ ln(¸ 0 ) : ¡ = A A2 μ =
A t
¸ dt
En consecuencia, ln(μ ) ¡ ln(¸ 0 ) = A μ k 0 +
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½¡ A : A
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7 6 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (co n tro l ¶o p tim o )
De esta manera, si A > ½ y A μ k 0 > (A ¡ ½ ) A ct =
¡ 1
, la trayectoria o¶ ptima de consumo satisface
A μ k 0 ¡ (A ¡ ½ ) A μ
¡ 1
+ (A ¡ ½ ) t
;
donde c0 =
A μ k 0 ¡ (A ¡ ½ ) A μ
¡ 1
:
Las Gr¶a¯ca 76.10 muestra el consumo ¶o ptimo, en t = 1, en funci¶o n de ½ y A .
Gr¶a¯ca 76.10 Consumo ¶o ptimo, en t = 1, como funci¶o n de ½ y A , con k 0 = 100 y μ = 0:1. Por otro lado, se tiene que k_ t = A k t ¡ c t = A k t ¡
μ
A μ k 0 + (½ ¡ A ) A μ
¡ 1
¡ (½ ¡ A ) t
¶
:
La soluci¶o n de esta ecuaci¶o n diferencial ordinaria no homog¶e nea est¶a dada por
kt = k0e
A t
¡ e
A t
Ztà 0
A μk0 +
½¡ A A
·μ eA t ½¡ A A μk0 + = k 0 eA t ¡ A μ ¶ μ A ¡ ½ t: = k0 + Aμ
¡ (½ ¡ A ) s
μ ¶Z t 0
e¡
A s
!
e¡
A s
ds
ds ¡ (½ ¡ A )
Zt
se¡
A s
ds
¸
0
La Gr¶a¯ca 76.11 muestra el capital, en t = 1, en funci¶o n de ½ y A . Por u¶ ltimo, la Gr¶a¯ca 76.12 muestra las trayectorias del consumo y del capital.
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7 6 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (co n tro l ¶o p tim o )
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Gr¶a¯ca 76.11 Capital, en t = 1, como funci¶o n de ½ y A , con μ = 0:5 y k 0 = 100.
Gr¶a¯ca 76.12 (a) y (c) muestran las trayectorias ¶o ptimas del consumo y del capital respectivamente, cuando A = 0:7 > ½ = 0:5. Asimismo, (b) y (d) muestran el comportamiento del consumo y del capital respectivamente, cuando A = 0:6 < ½ = 0:7. El valor seleccionado de μ es 0.5.
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7 6 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o I (co n tro l ¶o p tim o )
7 6 .1 1 B ib lio g r a f¶³a su g e rid a Garc¶³a-Guerrero, V. M. y Venegas-Mart¶³nez, F. (2005) . \Control o¶ ptimo determinista aplicado al problema econ¶o mico de crecimiento end¶o geno" . R evista In gen ier¶³a , In vestiga ci¶o n y T ecn o log¶³a , Vol. 6, No. 2, pp. 127-137. Pontryagin, L. S., V. G. Boltyanskii, R. V. Gamrelidze, and E. F. Mishchenko (1962) . The Mathematical Theory of Optimal Processes (English translation from the Russian, 1960) . John Wiley & Sons, New York.
7 6 .1 2 E je r c ic io s 7 6 .1 Muestre que x t = x 0e
®t
+e
®t
Zt
g (s ) e ¡
®t
ds
0
es soluci¶o n de esta ecuaci¶o n diferencial ordinaria de primer orden no homog¶e nea x_ t = ® x t + g (t) ;
x 0 dada:
7 6 .2 Muestre que si se cumple la condici¶o n de transversalidad lim t! restricci¶o n k_ t = r k t ¡ c t puede ser reescrita como Z1 c t e ¡ r t dt: k0 =
1
k te ¡
A t
= 0, entonces la
0
Es decir, la dotaci¶o n inicial de capital per ca p ita , k 0 , es igual al valor presente del consumo planeado. 7 6 .3 Considere una econom¶³a en donde la poblaci¶o n crece a tasa constante n . En este caso, resuelva el siguiente problema de un consumidor racional maximizador de utilidad: Z 1 1¡ μ c t ¡ 1 ¡ (½ ¡ n )t e dt Maximizar 1¡ μ 0 suj eto a: k_ t = A k t ¡ c t ¡ k t n ; k 0 = constante:
Justi¯que el planteamiento del problema anterior. 7 6 .4 Resuelva el siguiente problema de un consumidor racional maximizador de utilidad: Z 1 1¡ μ c t ¡ 1 ¡ (½ ¡ n )t e dt Maximizar 1¡ μ 0 suj eto a: k_ t = y t ¡ c t ¡ k t (n + ± ) ; k 0 = constante;
donde n es la tasa de crecimiento de la poblaci¶o n, ± es la tasa de depreciaci¶o n del capital y la funci¶o n de producci¶o n y t = f (k t ) satisface f (0) = 0, f 0(k t ) > 0 y f 00(k t ) < 0. 7 6 .5 Resuelva el problema de un consumidor racional maximizador de utilidad: Z 1 1¡ μ ct ¡ 1 ¡ ½ t e dt Maximizar 1¡ μ 0 suj eto a: k_ t = y t ¡ c t ¡ g ; k 0 = constante;
donde y t = k t f (g = k t ) , f 0 > 0 y f 00 < 0. Discuta los resultados cuando y t = f (g = k t ) = A (g = k t ) ® ; 0 < ® < 1:
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C A P ¶IT U L O 77 O P T IM IZ A C IO¶ N D E T E R M IN IS T A E N T IE M P O C O N T IN U O (III): P R O G R A M A C IO¶ N D IN A¶ M IC A C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ² ²
Programaci¶o n din¶amica determinista en tiempo discreto Ecuaciones recursivas de Bellman Programaci¶o n din¶amica determinista en tiempo continuo Ecuaci¶o n de Euler-Bellman-Lagrange Condici¶o n de Legendre Condici¶o n de Weierstrass
7 7 .1 In tr o d u c c i¶o n En este cap¶³tulo se revisan los fundamentos de la programaci¶o n din¶amica determinista. Con el prop¶o sito de introducir las ideas b¶asicas de esta t¶e cnica de optimizaci¶o n es importante estudiar, aunque sea brevemente, el caso discreto, ya que en este marco es muy sencillo introducir el concepto de ecuaciones recursivas de Bellman. Posteriormente, baj o el supuesto de tiempo continuo, se desarrollan las ecuaciones de Bellman-Euler-Lagrange.
7 7 .2 P ro g r a m a c i¶o n d in ¶a m ic a d e te rm in ista e n tie m p o d isc re to La programaci¶o n din¶amica discreta es una t¶e cnica de la programaci¶o n matem¶atica que transforma un problema de N + 1 variables en N + 1 problemas de una variable cada uno, con la peculiaridad de que estos N + 1 problemas se encuentran relacionados entre s¶³. Una de las caracter¶³sticas principales que tienen los problemas de maximizaci¶o n de utilidad intertemporal es que la decisi¶o n de consumo (o inversi¶o n) en un momento dado depende u¶ nicamente de la decisi¶o n inmediata anterior, la cual acumula toda la informaci¶o n del pasado.
7 7 .2 .1 C o n su m o in te rte m p o r a l A continuaci¶o n se plantea el problema de decisi¶o n intertemporal de un consumidor racional como un problema de programaci¶o n din¶amica a trav¶e s de un conj unto de ecuaciones recursivas. Se supone que un individuo desea determinar la trayectoria de consumo que maximiza su utilidad total descontada (a una tasa sub jetiva intertemporal) . As¶³ pues, el problema de decisi¶o n del consumidor se puede escribir como:
Maximizar c 0 ;c 1 ;:::;c N
XN
¯ t u (c t )
t= 0
(77:1)
c2 c1 cN + + ¢¢¢ + ; sujeto a: a 0 = c 0 + 2 1+r (1 + r ) (1 + r ) N con a0 = y0 +
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y2 y1 yN + + ¢¢¢ + ; 2 1+r (1 + r ) (1 + r ) N
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7 7 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o (III): p ro g ra m a ci¶o n d in ¶a m ica
donde: u es una funci¶o n estrictamente creciente y c¶o ncava, i.e., u 0 > 0 y u 00 < 0; y 0 ; y 1 ;:::;y N
denotan dotaciones ex¶o genas;
c 0 ; c 1 ;:::;c N representan los consumos de cada periodo; 1 ¯ = = factor subj etivo de descuento; 1+½ ½ = tasa subj etiva de descuento.
7 7 .2 .2 U n p rim e r e je m p lo En esta secci¶o n, por simplicidad y para ilustrar las ideas centrales de la programaci¶o n din¶amica, se resolver¶a el problema del consumidor para el caso particular r = 0 y ½ = 0. De esta manera, el problema (77.1) se transforma en: Maximizar c 0 ;c 1 ;:::;c N
XN
u (c t )
(77:2)
t= 0
suj eto a: a 0 = c 0 + ¢¢¢ + c N ; donde a 0 es conocida. Se supone que el bien gen¶e rico de consumo es duradero. Considere la funci¶o n de utilidad indirecta (o funci¶o n de bienestar econ¶o mico) al tiempo t = 0: (
J (a 0 ;0) = max max ¢¢¢max c0
c1
cN
XN
XN
u (c t )
t= 0
ct = a 0
)
:
t= 0
Es f¶acil ver que esta de¯nici¶o n de J (a 0 ;0) genera recursividad. En efecto, observe que J (a 0 ;0) = max max ¢¢¢max c0
=
c1
u (c ¤0 )
cN
(N X
u (c t )
t= 0
+ max max ¢¢¢max c1
c2
XN
(
cN
ct = a 0
)
t= 0
XN
u (c t )
t= 1
XN
t= 1
ct = a 0 ¡
c ¤0
)
= u (c ¤0 ) + J (a 0 ¡ c ¤0 ;1) ; donde c 0¤ es la soluci¶o n ¶o ptima en t = 0. Por lo tanto, se puede escribir J (a 0 ;0) = max f u (c 0 ) + J (a 1 ;1) g ; c0
donde a 1 = a 0 ¡ c 0 . En forma similar, J (a 1 ;1) = max f u (c 1 ) + J (a 1 ¡ c 1 ;2) g c1
= max f u (c 1 ) + J (a 2 ;2) g ; c1
donde a 2 = a 1 ¡ c 0 = a 0 ¡ c 0 ¡ c 1 . En general, se puede concluir que: J (a t ;t) = max f u (c t ) + J (a t+ 1 ;t + 1) g ct
con
a t+
1
= a t ¡ c t;
t = 0;1;:::;N :
Para resolver estas ecuaciones recursivas se requiere una condici¶o n ¯nal J (a N
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+ 1 ;N
+ 1) = 0:
(77:3)
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7 7 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o (III): p ro g ra m a ci¶o n d in ¶a m ica
Note tambi¶e n que aN
+ 1
= a N ¡ cN = a N
¡ 1
¡ cN
¡ cN
¡ 1
= a 0 ¡ c 0 ¡ c 1 ¡ c 2 ¡ ¢¢¢ ¡ c N = 0;
lo cual implica J (a N
+ 1) = J (0;N + 1) = 0:
+ 1 ;N
Si se escriben las ecuaciones recursivas \hacia atr¶as" , i. e., si se invierte el tiempo, se tiene que: J (a N
¡ k ;N
¡ k ) = max f u (c N cN
aN
= aN
¡ k+ 1
J (a N
¡ k)
¡ k
+ 1 ;N
+ J (a N
¡ cN
¡ k
¡ k + 1 ;N
¡ k + 1) g (77:4)
¡ k
+ 1) = J (0;N + 1) = 0:
A continuaci¶o n, se resuelven las ecuaciones (77.4) yendo hacia atr¶as. Si k = 0, entonces J (a N ;N ) = max f u (c N ) + J (a N cN
+ 1) g
+ 1 ;N
= max f u (c N ) g cN
= u (a N ) ; ya que a N
+ 1
= 0 implica a N ¡ c N = 0, lo que a su vez conduce a a N = c N : Si k = 1, se tiene que J (a N
¡ 1 ;N
¡ 1) = max f u (c N
¡ 1)
+ J (a N ;N ) g
= max f u (c N
¡ 1)
+ u (a N
cN
cN
¡ 1
¡ 1
¡ 1
¡ cN
¡ 1 )g
:
En este caso, la condici¶o n necesaria de un m¶aximo est¶a dada por: u 0(c N Por lo tanto,
¡ 1)
u 0(c N
¡ u 0(a N
¡ 1)
¡ cN
¡ 1
= u 0(a N
¡ 1
¡ 1)
¡ cN
= 0:
¡ 1 ):
En consecuencia, cN
¡ 1
= aN
¶o cN
=
¡ cN
¡ 1
aN
¡ 1
¡ 1
: 2 Al valuar la funci¶o n obj etivo en el o¶ ptimo, se tiene que ³a ´ ³a ´ ³a ´ N ¡ 1 N ¡ 1 N ¡ 1 J (a N ¡ 1 ;N ¡ 1) = u +u = 2u : 2 2 2 ¡ 1
Ahora bien, si k = 2, entonces J (a N
¡ 2 ;N
¡ 2) = max f u (c N ¡ 2 ) + J (a N ¡ 1 ;N ¡ 1) g cN ¡ 2 ½ μ ¶¾ a N ¡ 2 ¡ cN ¡ 2 = max u (c N ¡ 2 ) + 2u : cN ¡ 2 2
La condici¶o n necesaria de un m¶aximo conduce a μ aN u 0(c N ¡ 2 ) = u 0 lo cual implica que cN
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¡ 2
=
¡ 2
aN
¡ cN 2
¡ 2
3
¡ 2
¶
;
:
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7 7 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o (III): p ro g ra m a ci¶o n d in ¶a m ica
De nuevo, al valuar la funci¶o n ob j etivo, se sigue que J (a N
¡ 2) = 3u
¡ 2 ;N
³a N
¡ 2
3
´ :
En general, las ecuaciones recursivas valuadas en los ¶o ptimos son: ¶ μ aN ¡ k J (a N ¡ k ;N ¡ k ) = (k + 1) u k +1 y cN
¡ k
=
(77:5)
aN ¡ k : k +1
(77:6)
Una vez encontradas estas soluciones de adelante hacia atr¶as, se resuelve el problema de atr¶as hacia adelante de la siguiente forma. Si k = N , entonces
Si k = N ¡ 1, se obtiene ahora que
c0 =
a0 : N +1
c1 =
a0 ; N +1
ya que a 0 ¡ c0 1 a1 c1 = = = N N N En general, ct =
μ a0 ¡
a0 N +1
¶
a0 : N +1
=
a0 ; t = 0;1;:::;N ; N +1
(77:7)
representa la soluci¶o n del problema de consumo intertemporal con r = 0 y ½ = 0, lo cual era de esperarse ya que la funci¶o n de utilidad es la misma en cada periodo.
7 7 .3 E l p r o b le m a d e sc o n ta d o d e c o n su m o in te r te m p o r a l Ahora se est¶a interesado en resolver el problema m¶as general cuando r > 0 y ½ > 0. En este caso, el problema de decisi¶o n del consumidor racional est¶a dado por: Maximizar c 0 ;c 1 ;:::;c N
XN
¯ t u (c t )
t= 0
suj eto a: a 0 = c 0 + donde a0 = y0 +
c2 c1 cN + ¢¢¢ + + 2 1+r (1 + r ) (1 + r ) N
y2 y1 yN + ¢¢¢ + ; + 2 1+r (1 + r ) (1 + r ) N
o en forma equivalente a0 = y0 + y1R + y2R
2
+ ¢¢¢ + y N R
La funci¶o n de utilidad indirecta satisface (N X ¯ t u (c t ) J (a 0 ;0) = max max ¢¢¢max c0
=
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u (c ¤0 )
c1
cN
(
t= 0
XN
N
cN
con
R tct = a 0
R =
1 : 1+r
(77:8)
)
t= 0
+ ¯ max ¢¢¢max u (c 1 ) + ¯ u (c 2 ) + ¢¢¢ + ¯ c1
;
N ¡ 1
u (c N )
XN
t= 1
t
R ct = a 0 ¡
c ¤0
)
;
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7 7 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o (III): p ro g ra m a ci¶o n d in ¶a m ica
donde c ¤0 es la soluci¶o n ¶o ptima en t = 0. En consecuencia, J (a 0 ;0) = max f u (c 0 ) + ¯ J (a 1 ;1) g : c0
Note ahora que a 0 ¡ c ¤0 = y 0 ¡ c ¤0 + y 1 R + y 2 R
2
N
+ ¢¢¢ + y N R
= s0 + y1 R + y2 R
2
+ ¢¢¢ + y N R
N
y los recursos disponibles en el periodo 1 son: 3
a 1 = s 0 (1 + r ) + y 1 + y 2 R + y 3 R lo cual implica
2
R a 1 = s0 + y1 R + y2 R
+ ¢¢¢ + y N R
+ ¢¢¢ + y N R
N
N ¡ 1
;
;
donde s 0 (1 + r ) es el valor futuro del ahorro realizado en t = 0 y y 1 R + y 2 R valor presente de las dotaciones a partir de t = 1. Por lo tanto,
2
+ ¢¢¢+ y N R
N
es el
a 0 ¡ c0 = R a 1 ; lo cual conduce a
a 0 ¡ c0 : R
a1 = Por lo tanto,
J (a 1 ;1) = max f u (c 1 ) + ¯ J (a 2 ;2) g
con
c1
a2 =
a 1 ¡ c1 : R
Si se procede de igual manera, se puede demostrar que las ecuaciones recursivas son: J (a N
¡ k ;N
aN
¡ k ) = max f u (c N cN
¡ k+ 1
=
aN
¡ k
¡ k
¡ cN R
¡ k) ¡ k
+ ¯ J (a N
¡ k + 1 ;N
¡ k + 1) g (77:9)
;
J (0;N + 1) = 0:
7 7 .4 P ro b le m a s e sto c ¶a stic o s sim p le s A continuaci¶o n tratamos con el problema de decisi¶o n intertemporal del consumidor cuando la tasa de inter¶e s es estoc¶astica. Considere el siguiente problema de maximizaci¶o n de utilidad: (N ) X t ¯ u (c t ) Maximizar E c 0 ;c 1 ;:::;c N (77:10) t= 0 suj eto a: a t+
1
= (1 + re) (a t ¡ c t ) ;
donde rees una variable aleatoria. Las ecuaciones recursivas son: J (a N
J (a N
¡ k ;N +
© ¡ k ) = max E u (c N cN
¡ k
¡ k)
+ ¯ J (a N
¡ k+ 1
¡ k+ 1
= (1 + re) (a N
ª (77:11)
1 ;N + 1) = 0
aN
;N ¡ k + 1)
¡ k
¡ cN
¡ k ):
Con el prop¶o sito de ilustrar c¶o mo se resuelven las ecuaciones recursivas anteriores, se analizar¶a el problema para dos etapas. En este caso, Maximizar E f u (c 0 ) + ¯ u (c 1 ) g
sujeto a: e c 1 = (1 + re) (a 0 ¡ c 0 ) :
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7 7 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o (III): p ro g ra m a ci¶o n d in ¶a m ica
Se supone, por simplicidad, que retoma dos valores con las siguientes probabilidades: Pr f re= a g = ¼ a ;
Pr f re= bg = 1 ¡ ¼ a = ¼ b :
(77:12)
La forma funcional para el ¶³ndice de satisfacci¶o n se considera como u (c t ) = ln(c t ) . Si se sustituye e c 1 en la funci¶o n obj etivo, se tiene max E f ln u (c 0 ) + ¯ ln [(1 + re) (a 0 ¡ c 0 ) ] g c0
max f ln u (c 0 ) + ¯ ln(a 0 ¡ c 0 ) g + ¯ E(ln(1 + re) ) : c0
La condici¶o n de primer orden de c 0 est¶a dada por
1 ¯ = ; c0 (a 0 ¡ c 0 ) lo cual implica que c0 =
a0 : (1 + ¯ )
(77:13)
El valor esperado del consumo en el periodo 1, b c 1 , satisface b c 1 = [1 + a ¼ a + b¼ b ]
a0¯ : 1+¯
(77:14)
7 7 .5 E c u a c i¶o n d e B e llm a n -E u le r-L a g ra n g e Considere el problema variacional de maximizar una funcional de la forma I (f ) =
Zb
F (t;f (t) ;f 0(t) ) dt;
a
con F (t;f (t) ;f 0(t) ) c¶o ncava en todos sus argumentos, suj eto a las condiciones de frontera f (a ) = A y f (b) = B ; donde F 2 C 2 , es decir, F tiene segundas derivadas parciales continuas con respecto de todos sus argumentos. Suponga que f = f (f 0;t) y que esta relaci¶o n tiene inversa f 0 = f 0(f ;t) . De¯na, como antes, ½Z b ¾ ¯ ¯ 0 J (f (t) ;t) = max F (s ;f (s ) ;f (s ) ) ds ¯f (b) = B ; (77:15) 0 f j[t;b]
t
con J (f (t) ;t;) 2 C 2 . Observe que
¯ © ª J (A ;a ) = max I (f ) ¯f (b) = B ; f
representa el valor I (f ) en la funci¶o n f que resuelve el problema variacional. Una condici¶o n necesaria para que la funcional I (f ) tenga un m¶aximo en f (t) es que satisfaga la ecuaci¶o n de Bellman-Euler-Lagrange, a saber, © ª 0 = max F + Jt + Jff0 : 0 f
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En efecto, de la de¯nici¶o n (77.15) se sigue que J (f (t) ;t) =
½ Z t+
max 0
f j[t;t+
dt
¾ F (s ;f (s ) ;f 0(s ) ) ds + J (f (t) + df (t) ;t + dt) :
(77:17)
t
d t]
Ahora bien, si dt > 0 es su¯cientemente peque~n o Z t+ d t F (s ;f (s ) ;f 0(s ) ) ds = F (t;f ;f 0) dt + o (dt)
(77:18)
t
y
J (f (t) + df (t) ;t + dt) = J (f (t) ;t) + J t dt + J f f 0dt + o (dt) :
(77:19)
Al sustituir (77.18) y (77.19) en (77.17) , se obtiene ½ ¾ J = 0max F dt + J + J t dt + J f f 0dt + o (dt) ; f j[t;t+
d t]
lo cual, a su vez, implica que 0=
f
½ ¾ o (dt) F + Jt + Jff0+ : dt j[t;t+ d t]
max 0
Si se toma el l¶³mite cuando dt ! 0,
© ª 0 = max F + Jt + Jff0 : 0 f
En otras palabras, si f 0 es m¶aximo, entonces F + J t + J f f 0 = 0;
(77:20)
lo que representa una ecuaci¶o n diferencial ordinaria de segundo orden y ¶e sta requiere de dos condiciones, f (a ) = A y f (b) = B ; a ¯n de determinar una soluci¶o n u¶ nica. Ahora bien, baj o los supuestos anteriormente establecidos, la ecuaci¶o n de Bellman-Euler-Lagrange implica la ecuaci¶o n de Euler-Lagrange, es decir, μ ¶ @ F (t;f ;f 0) d @ F (t;f ;f 0) ¡ = 0: @f dt @f0 En efecto, si se deriva (77.20) con respecto de f 0, se tiene que ( F + J t + J f f 0 = 0; F f 0 + J f = 0: Asimismo, la diferencial de J = J (f ;t) satisface dJ = J t dt + J f df ; la expresi¶o n anterior se puede escribir como d J = J t + J f f 0: dt Si se sustituye esta ecuaci¶o n en la primera ecuaci¶o n del sistema anterior y despu¶e s se deriva la primera ecuaci¶o n con respecto de f y la segunda con respecto de t, se obtiene 8 d > < F f + J f = 0; dt > : d F 0 + d J = 0; f f dt dt
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restando las dos expresiones anteriores, se tiene, ¯nalmente que Ff ¡
d F f 0 = 0: dt
7 7 .6 C o n d ic i¶o n d e L e g e n d re En esta secci¶o n se presenta la condici¶o n necesaria de Legendre. Considere un problema de la forma Zb Minimizar I (f ) = F (t;f (t) ;f 0(t) ) dt; a
suj eto a las siguientes condiciones de frontera f (a ) = A y f (b) = B ; donde F 2 C 2 . Suponga que f 0 = f 0(f ;t) y de¯na ½Z b
J (f (t) ;t) = min 0
f j[t;b]
¾ F (s ;f (s ) ;f (s ) ) ds ; 0
t
J 2 C 2 . Si f 0 es soluci¶o n, entonces @ 2 F (t;f ;f 0) ¸ 0: @ f 0@ f 0
7 7 .7 C o n d ic i¶o n d e W e ie rstra ss A continuaci¶o n se estudia la condici¶o n necesaria de Weierstrass. Considere una funcional de la forma Zb I (f ) = F (t;f (t) ;f 0(t) ) dt; a
suj eto a las siguientes restricciones o condiciones de frontera f (a ) = A y f (b) = B ; donde F 2 C 2 . Suponga que f 0 = f 0(f ;t) y sea J (f (t) ;t) = min 0
f j[t;b]
½Z b
¾ F (s ;f (s ) ;f (s ) ) ds ; 0
t
J 2 C 2 . Si f 0 es soluci¶o n, entonces F (t;f ;f 0 + h 0) ¡ F (t;f ;f 0) +
@ J (f ;t) 0 h ¸ 0: @f
D e m o str a c i¶o n : Si f 0 es soluci¶o n, entonces © ª 0 = min F + Jt + Jff0 ; 0 f
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implica F (t;f ;f 0) +
@ J (f ;t) 0 @ J (f ;t) 0 @ J (f ;t) @ J (f ;t) (f + h 0) : f · F (t;f ;f 0 + h 0) + + + @f @f @t @t
7 7 .8 P r o b le m a s d e l tip o 1 (in te g ra n d o d e l fu n c io n a l c o n d o s a rg u m e n to s) Considere ahora una funcional de la forma I (f ) =
Zb
F (t;f ;g ;f 0;g 0) dt;
a
suj eto a las siguientes restricciones o condiciones de frontera f (a ) = A y f (b) = B ; donde F 2 C 2 [a ;b] , es decir, F tiene segundas derivadas parciales continuas con respecto de todos sus argumentos. Suponga ahora que f 0 = f 0(f ;t) y g 0 = g 0(g ;t) , y sea J (f (t) ;g (t) ;t) =
min 0 0
(f ;g )j[t;b]
½Z b
¾ F (s ;f ;g ;f 0;g 0) ds :
t
Suponga que J 2 C 2 . Si (f 0;g 0) es soluci¶o n, entonces 0 = min 0 0
(f ;g )
© ª F + Jt + Jf f 0 + Jgg0 :
Esta u¶ ltima expresi¶o n es la ecuaci¶o n de Bellman-Euler-Lagrange. Baj o los supuestos anteriores se tiene que las ecuaciones de Bellman-Euler-Lagrange implican las Ecuaciones de Euler-Lagrange, es decir, μ ¶ d @ F (t;f ;g ;f 0;g 0) @ F (t;f ;g ;f 0;g 0) ¡ =0 dt @f @f0 y μ ¶ d @ F (t;f ;g ;f 0;g 0) @ F (t;f ;g ;f 0;g 0) = 0: ¡ @g dt @ g0 En efecto, si (f 0;g 0) es soluci¶o n, entonces de 0 = min 0 0
(f ;g )
Por lo tanto,
© ª F + Jt + Jf f 0 + Jgg0 :
8 0 0 > < F + J t + J f f + J g g = 0; F f 0 + J f = 0; > : F g 0 + J g = 0:
Despu¶e s de derivar la primera ecuaci¶o n con respecto de f y g , respectivamente, se obtiene 8 F f + J f t + J f f f 0 + J f g g 0 = 0; > > > > < F g + J g t + J g f f 0 + J g g g 0 = 0; > F f 0 + J f = 0; > > > : F g 0 + J g = 0:
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Si J = J (f ;g ;t) , entonces dJ = J t dt + J f df + J g dg ¶o dJ = dt = J t + J f f 0 + J g g 0. Al sustituir esta ecuaci¶o n en la primera ecuaci¶o n y derivar la expresi¶o n resultante con respecto de f y de g , respectivamente, se tiene que 8 d > > > F f + J f = 0; > > dt > > < d F g + J g = 0; dt > > > > 0 + J f = 0; F f > > > : F g 0 + J g = 0: Por u¶ ltimo, si se sustituyen las dos u¶ ltimas ecuaciones en las restantes del sistema anterior, se tiene que d d Ff ¡ F f 0 = 0; F g ¡ F g 0 = 0: dt dt
7 7 .9 P ro b le m a s d e l tip o 2 (p ro b le m a iso p e rim ¶e tric o ) En esta secci¶o n se estudia un problema t¶³pico del c¶alculo de variaciones. Considere una funcional de la forma Z b
F (t;f (t) ;f 0(t) ) dt;
I (f ) =
a
suj eto a las siguientes restricciones o condiciones de frontera Zb
G (t;f ;f 0) dt = Q ;
a
f (a ) = A y f (b) = B ; donde F 2 C 2 [a ;b] . Suponga que f 0 = f 0(f ;t) y sean g (t) =
Zb
G (s ;f ;f 0) ds
t
y J (f ;g ;t) = min 0
f j[t;b]
(Z b t
) ¯Z b ¯ ¯ G (s ;f ;f 0) ds = g (t) : F (s ;f ;f 0) ds ¯ t
Una condici¶o n necesaria para que la funcional I (f ) tenga un extremo en una funci¶o n dada f (t) es que satisfaga la ecuaci¶o n de Bellman-Euler-Lagrange, es decir 0 = minf F + J t + J f f 0 ¡ J g G g: 0 f
En efecto, para dt > 0 y su¯cientemente peque~n o J (f ;g ;t) =
min
f 0j[t;t+
d t]
(Z
t
t+ d t
¯ ¯ ¯ F (s ;f ;f ) ds + J (f (t) + df (t) ;g (t) + dg (t) ;t + dt) ¯ ) Z t+ d t 0 G (s ;f ;f ) dJ = g (t) ¡ g (t + dt) 0
t
=
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min
f 0j[t;t+
d t]
¯ ½ ¾ ¯ 0 0 ¯ F dt + J + J t dt + J f f dt + J g g dt + o (dt) ¯dtG + o (dt) = g (t + dt) ¡ g (t) :
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Tomando el l¶³mite, dt ! 0, se tiene 0 = minf F + J t + J f f 0 + J g g 0j ¡ G = g 0g : 0 f
Asimismo, bajo los supuestos anteriores, la ecuaci¶o n de Bellman-Euler-Lagrange implica la ecuaci¶o n de Euler-Lagrange: 0=
@ F (t;f ;f 0) d @ F (t;f ;f 0) ¡ +p @f dt @f0
μ
@ G (t;f ;f 0) d @ G (t;f ;f 0) ¡ @f dt @f0
¶
:
En efecto, si f 0 es soluci¶o n, entonces de la ecuaci¶o n 0 = minf F + J t + J f f 0 ¡ J g G g; 0 f
se tiene que
(
F + J t + J f f 0 ¡ J g G = 0; F f0 + Jf ¡ JgG
f0
= 0:
Si se deriva la primera ecuaci¶o n con respecto de f y la segunda con respecto de t, respectivamente, se obtiene 8 < F f + J f t J f f f 0 ¡ (J g G ) f = 0; (77:21) : d F f 0 + d J f ¡ d (J g G f 0 ) = 0: dt dt dt Dado que J f = J f (f ;g ;t) tiene diferencial dJ f = J f t dt + J f f df + J f g dg , la expresi¶o n anterior se puede reescribir como d J f = J tf + J f f f 0 + J g f g 0: (77:22) dt Tambi¶e n, de la ecuaci¶o n F + J t + J f f 0 ¡ J g G = 0; se sigue que d Jg; dt
J gt + J gf f 0 ¡ J gg G = 0 = entonces J g = constante = ¡ p
(77:23)
J g f = 0:
(77:24)
y, al mismo tiempo, Si se sustituyen las ecuaciones (77.22) y (77.24) en la segunda ecuaci¶o n del sistema (77.21) , se obtiene 8 < F f + J f t + J f f f 0 ¡ (J g G ) f = 0; : d F f 0 + J tf + J f f f 0 ¡ d (J g G f 0 ) = 0; dt dt lo que implica (F ¡ J g G ) f ¡
d (F ¡ J g G ) f 0 = 0: dt
Al aplicar la ecuaci¶o n (77.23) en la expresi¶o n anterior, se produce Ff
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d ¡ F f0 + p dt
μ G
f
d ¡ G dt
f0
¶
= 0:
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7 7 .1 0 P ro b le m a s d e l tip o 3 (v a ria s v a ria b le s) Considere una funcional de la forma I (f ) =
Zb Zd a
F (x ;y ;f ;f x ;f y ) dx dy ;
c
suj eto a las siguientes condiciones de frontera f j@ ([a ;b]£ donde F 2 C
2
[c;d ])
= w j@ ([a ;b]£
[c;d ]) ;
y w ¯j a. Suponga que gradf = gradf (f ;x ;y ) y sea J (f (x ;y ) ;x ;y ) =
½Z b Z d
min
g ra d f j[x ;b]£
[y ;d ]
x
¾ F (s ;t;f ;f s ;f t ) ds dt :
y
Tambi¶e n suponga que J 2 C 2 . Se ver¶a a continuaci¶o n que si gradf es soluci¶o n, entonces se cumple la ecuaci¶o n de Bellman-Euler-Lagrange © ª 0 = min F + J x + J y + J f f x + J f f y : g ra d f
Asimismo, baj o las hip¶o tesis anteriores se tiene que la ecuaci¶o n de Bellman-Euler-Lagrange implica la ecuaciones de Euler-Lagrange, esto es, @ F (x ;y ;f ;f x ;f y ) d ¡ @f dx
μ
@ F (x ;y ;f ;f x ;f y ) @ fx
¶
¡
d dy
μ
@ F (x ;y ;f ;f x ;f y ) @ fy
¶
= 0:
En efecto, si el gradf es m¶³nimo, entonces 8 > F + J x + J y + J f f x + J f f y = 0; < F f x + J f = 0; > : F f y + J f = 0: En vista de que J f = J f (f ;x ;y ) tiene diferencial es dJ f = J f x d x + J f y d y + J f f df , se sigue que dJ f dy df = Jfy + Jfx + Jff ; dx dx dx dJ f dx df = Jfx + Jfy + Jff ; dy dy dy pero dy = dx = 0 y dx = dy = 0, as¶³ 8 > F f + J f x + J f y + J f f f x + J f f f y = 0; > > > < @ F f + J x f + J f f f x = 0; @ x x > > > @ > : F f + J y f + J f f f y = 0: @y y Si se sustituyen las u¶ ltimas dos ecuaciones en la primera, se obtiene @F d @F d @F ¡ ¡ = 0: @f dx @ f dy @ f
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7 7 .1 1 P ro b le m a s d e l tip o 4 (a rg u m e n to s c o n d e riv a d a s d e o rd e n su p e rio r) Considere, en esta ocasi¶o n, una funcional de la forma: I (f ) =
Zb
F (t;f (t) ;f 0(t) ;f 00(t) ;:::;f (n ) (t) ) dt;
a
suj eto a las siguientes condiciones de frontera f (k ) (a ) = A k ; f (k ) (b) = B k ; k = 0;1;2;:::;n ¡ 1 ;
2
donde F 2 C [a ;b] . Suponga que f 0
J (f ;f ;:::;f
(n ¡ 1 )
(n )
= f (n ) (t;f ;f 0;:::;f (n ¡
;t) =
min
f (n ) j[t;b]
(Z
1)
) y sea
b 0
00
F (s ;f ;f ;:::;f
(n )
) ds
)
:
t
Asimismo, suponga que J 2 C 2 , entonces una condici¶o n necesaria para que la funcional I (f ) tenga un extremo en una funci¶o n dada f (t) es que satisfaga la ecuaci¶o n de Bellman-EulerLagrange, es decir, 0 = minf F + J t + J f f 0 + J f 0 f 00 + ¢¢¢ + J f (n ¡ 1 ) f (n ) g : f (n )
Esta ecuaci¶o n tambi¶e n implica la ecuaci¶o n de Euler-Lagrange 0=Ff ¡
n d d2 d3 n d 000 + ¢¢¢ + (¡ 1) F f 0 + 2 F f 00 ¡ F F (n ) : f dt dt dt3 dtn f
7 7 .1 2 P ro b le m a s d e l tip o 5 (c o n tro l o¶ p tim o ) Los problemas de control ¶o ptimo son los que con m¶as frecuencia aparecen en teor¶³a econ¶o mica y an¶alisis ¯nanciero. Considere una funcional de la forma: I (f ) =
Zb
F (f ;u ) dt;
a
suj eta a
donde F ;G 2 C 2 [a ;b] . Sea
8 _ > < f = G (f ;u ) ; a · t · b; R [a ;b] f (a ) = A ; > : u 2 U [a ;b];
J (f ;t) = max u2 U
[t;b]
(Z
b
F (f ;u ) dt : s.a. R
)
[t;b]
t
y suponga que J 2 C 2 , entonces una condici¶o n necesaria para que la funcional I (f ) tenga un extremo en una funci¶o n dada f (t) es que satisfaga la ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman, es decir, 0 = maxf F + J f G g + J t : u2 U
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Esta ecuaci¶o n, a su vez, implica el principio del m¶aximo de Pontryagin ¡ ¸_ (t) = ¸ (t) G
+ Ff:
f
En efecto, si (f ;u ) es soluci¶o n, entonces de la ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman Jft + F f + Jff G + JfG
f
= 0;
¶o d Jf + F f + JfG dt
f
=0
y J f = ¸ (t) :
7 7 .1 3 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Bellman, R. (1957) . Dynamic Programming. Princeton University Press. Bertsekas, D. P. (2001) . Dynamic Programming and Optimal Control, 2nd Edition. Publisher. Athena Scienti¯c. Venegas-Mart¶³nez, F. (2000) . \On Consumption, Investment, and Risk" . E co n o m ¶³a M exica n a , N u eva E¶ poca , Vol. 9, No. 2, pp. 227-244.
7 7 .1 4 E je rc ic io s 7 7 .1 Resuelva mediante programaci¶o n din¶amica el siguiente problema:
Maximizar c 0 ;c 1 ;:::;c N
XN
¯ t ln(c t )
t= 0
c1 c2 cN sujeto a: a 0 = c 0 + + + ¢¢¢ + ; 1+r (1 + r ) 2 (1 + r ) N con a0 = y0 +
y1 y2 yN + + ¢¢¢ + : 2 1+r (1 + r ) (1 + r ) N
7 7 .2 Repita el problema anterior con la funci¶o n de utilidad u (c t ) = c t° = ° . 7 7 .3 Considere el siguiente problema que resuelve un consumidor racional maximizador de utilidad: Z1 ° ct ¡ ½ t Maximizar e dt ° 0 suj eto a: a_ t = r a t ¡ c t ; a 0 = constante:
Suponga que 0 < ° < 1 a ¯n de que la utilidad marginal sea positiva pero decreciente. Resuelva el problema planteado utilizando programaci¶o n din¶amica. S o lu ci¶o n : De¯na J (a t ;t) = max ct
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½Z 1 0
c °s ¡ e °
½s
¯ ¾ ¯ ds ¯ a _ = r a ¡ c t t ; ¯t
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7 7 . O p tim iza ci¶o n d eterm in ista en tiem p o co n tin u o (III): p ro g ra m a ci¶o n d in ¶a m ica
entonces J (a t ;t) = max ct
(Z
t ½ ° ct
t+ d t
c °s ¡ e °
½s
ds +
Z1
t+ d t
c °s ¡ e °
½s
) ¯ ¯ ds ¯ ¯a_ t = r a t ¡ c t
¯ ¾ ¯ dt + J (a t + da t ;t + dt) + o (dt) ¯ a _ = r a ¡ c t t ¯t ct ° ¯ ½ ° ¾ ¯ c = max t e ¡ ½ t dt + J (a t ;t) + J t dt + J a da + o (dt) ¯ a _ = r a ¡ c t t ¯t ct ° ¯ ½ ° ¾ c o (dt) ¯ ¯a_ t = r a t ¡ c t = max t e ¡ ½ t + J (a t ;t) + J t + J a a_ + ct ° dt ¯ ½ ° ¾ c = max t e ¡ ½ t + J (a t ;t) + J t + J a (a t r ¡ c t ) : ct ° = max
e¡
½t
Por lo tanto,
½
0 = max ct
Si c t es ¶o ptimo, entonces
c t° ¡ e °
c °t ¡ e °
½t
½t
+ J t + J a (a t r ¡ c t )
¾
:
+ J t + J a (a t r ¡ c t ) = 0;
la cual es una ecuaci¶o n diferencial parcial de primer orden en J (la utilidad indirecta) . Suponga un candidato de soluci¶o n en variables separables (multiplicativamente) J (a ;t) = V (a ) e ¡ De esta manera, 0=
c °t ¡ e °
¶o
½t
+ ½ V (a ) e ¡
½t
½t
:
+ V 0(a ) e ¡
½t
(a t r ¡ c t )
c °t + ½ V (a ) + V 0(a ) (a t r ¡ c t ) = 0; °
la cual es una ecuaci¶o n diferencial ordinaria de primer orden. Suponga como candidato de soluci¶o n de la ecuaci¶o n anterior a ¯ a °t V (a ) = : ° En este caso, 0=
c t° ¯ a° + ½ t + ¯ a °t ¡ 1 (a t r ¡ c t ) : ° °
Si se deriva esta expresi¶o n con respecto de c t , se obtiene c t = ¯ 1 = (° ¡
1)
a t:
Al sustituir este consumo en la ecuaci¶o n anterior, se sigue que ¯ ° = (° ¡ °
1) ° at
¡ ½
¯ a °t + ¯ r a °t ¡ ¯ a °t ¡ 1 ¯ 1 = (° ¡ °
Por lo tanto, ¯ as¶³
1 = (° ¡ 1 )
° = 1¡ ° ct =
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μ
½ ¡ r °
¶
=
1)
a t = 0:
½ ¡ °r ; 1¡ °
½ ¡ °r a t: 1¡ °
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En virtud de la restricci¶o n presupuestal del individuo, se sigue que a_ t = r a t ¡ c t = r a t ¡ ® a t = (r ¡ ® ) a t ; donde ® = Consecuentemente,
½ ¡ °r : 1¡ °
a t = a 0 e (r ¡ con r¡ ® =r¡ De esta manera,
® )t
;
½ ¡ °r r¡ ½ = : 1¡ ° 1¡ °
a t = a 0 e (r ¡
½ )t= (1 ¡ ° )
:
Finalmente, la trayectoria o¶ ptima de consumo est¶a dada por ¶ μ ½ ¡ °r e (r ¡ ½ )t= (1 ¡ ° ) : ct = a 0 1¡ ° Resuelva el problema anterior con u (c t ) = ¡ e ¡
μ ct
; μ > 0, y V (a t ) = ¯ 1 e ¡
7 7 .4 Pruebe la condici¶o n de Legendre. Considere el problema: Zb F (t;f (t) ;f 0(t) ) dt; f (a ) = A ; Minimizar I (f ) =
¯ 0μa t
.
f (b) = B ;
a
donde F 2 C 2 . Suponga que f 0 = f 0(f ;t) . Muestre utilizando la ecuaci¶o n de BellmanEuler-Lagrange, © ª F + Jt + Jff0 ; 0 = min 0 f
0
que si f es soluci¶o n, entonces
@ 2 F (t;f ;f 0) ¸ 0: @ f 0@ f 0
7 7 .5 Considere la funcional: I (f ) =
Zb
F (t;f (t) ;f 0(t) ;f 00(t) ;:::;f (n ) (t) ) dt;
a
suj eta a f (k ) (a ) = A k ;
f (k ) (b) = B k ;
k = 0;1;2;:::;n ¡ 1 ;
donde F 2 C 2 [a ;b] . Suponga que f (n ) = f (n ) (t;f ;f 0;:::;f (n ¡ (Z
1)
) y sea
b
0
J (f ;f ;:::;f
(n ¡ 1 )
;t) =
0
min
f (n ) j[t;b]
00
F (s ;f ;f ;:::;f
(n )
) ds
)
:
t
Suponga tambi¶e n que J 2 C 2 . Muestre que una condici¶o n necesaria para que la funcional I (f ) tenga un extremo en una funci¶o n dada f (t) es que n o 0 = min F + J t + J f f 0 + J f 0 f 00 + ¢¢¢ + J f (n ¡ 1 ) f (n ) ; f (n )
lo cual, a su vez, implica 0=Ff ¡
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n d d2 d3 n d 000 + ¢¢¢ + (¡ 1) F F (n ) : F f 0 + 2 F f 00 ¡ f dt dt3 dtn f dt
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C A P ¶IT U L O 78 E L C O N S U M ID O R IN T E R T E M P O R A L D E T E R M IN IS T A (I): T A S A S D E IN T E R E¶ S C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ²
Condiciones de Kuhn y Tucker Condiciones de primer orden Funciones de demanda Condiciones de segundo orden, cuasiconcavidad Ecuaciones de Slutsky Funci¶o n de bienestar econ¶o mico Condiciones de agregaci¶o n de Cournot y de Engel Identidad de Roy Lema de Shephard Reglas de convertibilidad Determinaci¶o n de tasas de inter¶e s
7 8 .1 In tro d u c c i¶o n En este cap¶³tulo se estudia el comportamiento de un individuo que toma decisiones de consumo para dos per¶³odos (el presente y el futuro) en un ambiente determinista. El consumidor determina en el presente sus demandas de consumo actual y futuro a trav¶e s de la maximizaci¶o n de una funci¶o n de utilidad sujeto a las posibilidades presupuestales y costos de oportunidad; esta actitud del individuo es conocida como racionalidad econ¶o mica. El tratamiento b¶asico que se plantea en el presente cap¶³tulo sobre las decisiones que un consumidor toma en el tiempo, proporciona los fundamentos necesarios para desarrollar modelos m¶as complej os en tiempo continuo y de naturaleza estoc¶astica. El presente cap¶³tulo trata primero con consumidores racionales tomadores de una tasa de inter¶e s, es decir, individuos que ven a la tasa de inter¶e s como una variable (dada) ex¶o gena. Posteriormente, se examinan las decisiones de un conj unto de agentes que interact¶u an entre s¶³ (en un mercado de cr¶e dito) a ¯n de determinar una tasa de inter¶e s de equilibrio a la que est¶an dispuestos a prestar y pedir prestado.
7 8 .2 C o n d ic io n e s d e K u h n y T u c k e r El teorema de Kuhn-Tucker aparece en 1950 y es la base de la t¶e cnica de optimizaci¶o n conocida como programaci¶o n no lineal (la funci¶o n obj etivo y/o las restricciones son no lineales) . Dicho teorema proporciona las condiciones necesarias y su¯cientes de un o¶ ptimo en un problema de programaci¶o n no lineal. El resultado fue presentado en una conferencia por los matem¶aticos Albert William Tucker (quien tambi¶e n estableci¶o el famoso dilema del prisionero) y Harold W. Kuhn, ambos, de la Universidad de Princeton. Sin embargo, este teorema ya hab¶³a sido demostrado con anterioridad, incluso dos veces. Primero, en 1939, en la tesis de maestr¶³a de William Karush de la universidad de Chicago, la cual nunca fue publicada. En la segunda ocasi¶o n, el teorema fue demostrado por Fritz John en un trabajo de investigaci¶o n sometido como posible publicaci¶o n al \Duke Mathematics Journal" , el cual fue rechazado. No obstante, ¶e ste fue publicado m¶as tarde en una colecci¶o n de ensayos para un volumen de aniversario de Richard Courant en 1948. Por lo anterior, el teorema podr¶³a ser llamado de Karush-John-Kuhn-Tucker, o en cualquier otro orden.
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7 8 . E l co n su m id o r in tertem p o ra l d eterm in ista (I): ta sa s d e in ter¶e s
El modelado del problema de decisi¶o n de un consumidor racional en tiempo discreto conduce al planteamiento de un problema de programaci¶o n no lineal. Espec¶³¯camente, considere el siguiente problema de optimizaci¶o n con dos restricciones de¯nidas por desigualdades: Maximizar f (c 1 ;c 2 ) c 1 ;c 2
suj eto a: g (c 1 ;c 2 ) ¸ 0;
(78:1)
h (c 1 ;c 2 ) ¸ 0:
Se supone que las funciones f , g y h tienen derivadas parciales continuas. El Lagrangeano del problema de optimizaci¶o n (78.1) se de¯ne como: L (c 1 ;c 2 ;¸ ;¹ ) = f (c 1 ;c 2 ) + ¸ g (c 1 ;c 2 ) + ¹ h (c 1 ;c 2 ) ;
(78:2)
donde ¸ y ¹ son los multiplicadores de Lagrange asociados a las restricciones. Una condici¶o n necesaria de un m¶aximo, (c 1 ;c 2 ) , de (78.1) es que se satisfagan simult¶aneamente las siguientes relaciones: @L @L @L @L · 0; · 0; ¸ 0; ¸ 0; ¸ ¸ 0; ¹ ¸ 0; @ c1 @ c2 @¸ @¹ (78:3) @L @L c 1 = 0; c 2 = 0; ¸ g = 0; ¹ h = 0: @ c1 @ c2 Las ecuaciones anteriores son conocidas como condiciones de Kuhn-Tucker; en particular, las u ¶ ltimas cuatro son llamadas condiciones de holguras complementarias. Observe que el Lagrangeano transforma un problema de maximizaci¶o n de dos variables, c 1 y c 2 , con dos restricciones, en un problema de maximizaci¶o n de cuatro variables, c 1 , c 2 , ¸ y ¹ , sin restricciones. Por supuesto, resolver problemas de optimizaci¶o n sin restricciones es, en general, una labor m¶as sencilla que tratar con problemas con restricciones. Por u¶ ltimo, es importante destacar que si las funciones g y h son c¶o ncavas en IR, entonces son continuas en IR. De esta manera, el conj unto C = f (c 1 ;c 2 ) jg (c 1 ;c 2 ) ¸ 0;h (c 1 ;c 2 ) ¸ 0g es un conj unto convexo y cerrado. Si adem¶as el conjunto C es acotado, se tiene que C es compacto. Si f es una funci¶o n continua y C es un conj unto compacto, entonces el teorema de Weierstrass a¯rma que f tiene un m¶aximo (y un m¶³nimo) . Si f es una funci¶o n estrictamente c¶o ncava entonces el m¶aximo es u¶ nico, en cuyo caso, las condiciones necesarias de Kuhn-Tucker son tambi¶e n su¯cientes.
7 8 .3 C o n su m id o r ra c io n a l y c o n d ic io n e s d e K u h n -T u c k e r El modelo m¶as simple de consumo intertemporal considera dos per¶³odos: por ej emplo, hoy y ma~n ana. Considere un consumidor racional que cuenta con dotaciones en t¶e rminos de bienes y 1 en el periodo 1 y y 2 en el per¶³odo 2. Asimismo, el consumidor tiene acceso a un mercado de cr¶e dito en el que prevalece una tasa real de inter¶e s constante y libre de riesgo (cr¶e dito) , r . El agente maximiza su utilidad, u = u (c 1 ;c 2 ) , por el consumo de c 1 , un bien gen¶e rico (perecedero) disponible hoy, y c 2 , un bien gen¶e rico disponible ma~n ana, suj eto a sus posibilidades presupuestales. El ¶³ndice de utilidad u = u (c 1 ;c 2 ) es tambi¶e n llamado ¶³ndice de satisfacci¶o n, deseos e, incluso, felicidad. Espec¶³¯camente, el consumidor racional resuelve el siguiente problema: Maximizar u (c 1 ;c 2 ) c 1 ;c 2
suj eto a:
y 1 ¸ c1 + b1 ;
y 2 + (1 + r ) b 1 ¸ c 2 ;
(78:4)
c 1 ¸ 0;
c 2 ¸ 0;
b 1 sin restricci¶o n en el signo: Si b 1 > 0, el consumidor es acreedor, en caso contrario, b 1 < 0, el consumidor es deudor. A las variables de decisi¶o n, c 1 , c 2 y b 1 , se les llama frecuentemente variables end¶o genas y a las variables que se toman como dadas, en este caso r , y 1 y y 2 , se les llama variables ex¶o genas.
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Una forma de reducir el n¶u mero de restricciones en (78.4) consiste en eliminar de las dos primeras desigualdades la variable b 1 , ya que a partir de las dos primeras restricciones de (78.4) se obtiene c2 y2 y 1 ¡ c1 ¸ b1 y b1 ¸ ¡ ; 1+r 1+r las cuales se colapsan como y2 c2 y1 + ¸ c1 + : (78:5) 1+r 1+r La interpretaci¶o n de la desigualdad anterior, en t¶e rminos m¶as simples, es que el valor presente del consumo planeado no puede exceder al valor presente de las dotaciones. Para simpli¯car la notaci¶o n de la desigualdad (78.5) , se escribir¶a a1 ´ y1 + R y2; donde R = 1= (1 + r ) es un factor de descuento. De esta manera, el problema de maximizaci¶o n de utilidad se transforma en Maximizar u (c 1 ;c 2 ) c 1 ;c 2
suj eto a:
a 1 ¸ c1 + R c2 ;
(78:6)
c 1 ¸ 0;
c 2 ¸ 0:
En este caso el Lagrangeano asociado al problema de maximizaci¶o n de utilidad (78.1) est¶a dado por: L (c 1 ;c 2 ;¸ ;¹ 1 ;¹ 2 ) = u (c 1 ;c 2 ) + ¸ (a 1 ¡ c 1 ¡ R c 2 ) + ¹ 1 c 1 + ¹ 2 c 2 : Si adem¶as denotamos
@u @u = u 1; = u 2; @ c1 @ c2 las condiciones de Kuhn-Tucker se pueden reescribir como @L = u 1 ¡ ¸ + ¹ 1 · 0; @ c1 @L c 1 = (u 1 ¡ ¸ + ¹ 1 ) c 1 = 0; @ c1 @L = a 1 ¡ c 1 ¡ R c 2 ¸ 0; @¸ ¸ (a 1 ¡ c 1 ¡ R c 2 ) = 0;
@L = u 2 ¡ R ¸ + ¹ 2 · 0; @ c2 @L c 2 = (u 2 ¡ R ¸ + ¹ 2 ) c 2 = 0; @ c2 c 1 ¸ 0; ¹ 1 c 1 = 0;
(78:7)
c 2 ¸ 0; ¹ 2 c 2 = 0;
¸ ; ¹ 1 ; ¹ 2 ¸ 0:
Es importante recordar que la variable b 1 , la cual no aparece en las condiciones anteriores a¶u n debe satisfacer: c2 y2 y 1 ¡ c1 ¸ b1 ¸ ¡ : 1+r 1+r
7 8 .4 S o lu c i¶o n in te rio r Un supuesto muy frecuente en este tipo de problemas, que simpli¯ca las condiciones de KuhnTucker asociadas al problema de maximizaci¶o n de utilidad del consumidor racional, es que no es posible la especializaci¶o n en el consumo de un solo bien. Concretamente, se supone que c 1 > 0 y c 2 > 0. En este caso, las condiciones de primer orden expresadas en (78.7) conducen inmediatamente a: u 1 ¡ ¸ = 0; u 2 ¡ R ¸ = 0;
a 1 ¡ c 1 ¡ R c 2 ¸ 0;
(78:8)
¸ ¸ 0;
¸ (a 1 ¡ c 1 ¡ R c 2 ) = 0:
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7 8 .5 S o lu c i¶o n in te rio r, c o n d ic i¶o n d e n o sa c ie d a d y c o n d ic io n e s d e p rim e r o rd e n La conjunci¶o n de los supuestos de soluci¶o n interior y no saciedad simpli¯ca considerablemente las condiciones de Kuhn-Tucker. Se supone ahora que c 1 > 0, c 2 > 0, u 1 > 0 y u 2 > 0. En este caso, u 1 > 0 signi¯ca que el consumidor pre¯ere consumir m¶as a menos y esta condici¶o n implica en (78.8) que u 1 = ¸ > 0. Por lo tanto, a 1 = c1 + R c2 :
(78:9)
Es decir, la restricci¶o n presupuestal se cumple con igualdad. As¶³, las condiciones de primer orden, en (78.8) , se reducen u¶ nicamente a tres ecuaciones, a saber: u 1 ¡ ¸ = 0;
u 2 ¡ R ¸ = 0;
(78:10)
a 1 = c1 + R c2 ; j unto con ¸ > 0. Por u¶ ltimo, es importante mencionar que a las condiciones necesarias se les llama tambi¶e n condiciones de primer orden, ya que ¶e stas consideran s¶o lo las primeras derivadas.
7 8 .6 D e m a n d a s d e c o n su m o p re se n te y fu tu ro El sistema de ecuaciones (78.10) es, en general, no lineal en c 1 , c 2 y ¸ . Las soluciones dependen del factor de descuento, R , del valor presente de las dotaciones, a 1 , y de los par¶ametros de preferencias, es decir, c 1 = c 1 (a 1 ;R ) y c 2 = c 2 (a 1 ;R ) , alternativamente c 1 = c 1 (a 1 ;r ) y c 2 = c 2 (a 1 ;r ) . Dichas soluciones son llamadas demandas ordinarias o demandas Marshallianas en honor de Alfred Marshall (1842-1924) , matem¶atico (de Cambridge) y economista de nacionalidad inglesa; uno de los microeconomistas m¶as in°uyentes de su tiempo. Su libro, \Principles of Political Economy" (1890) integra las teor¶³as de oferta y demanda, utilidad marginal y costos de producci¶o n en un marco consistente con la teor¶³a de optimizaci¶o n. Su libro se convirti¶o en el texto econ¶o mico m¶as in°uyente en Inglaterra por un largo per¶³odo de tiempo. En su libro se introducen los conceptos de: consumidor racional, excedente del consumidor y del productor, y bienestar econ¶o mico.
F u en te: so cserv 2 .so csci.m cm a ster.ca .
Alfred Marshall (1842-1924) .
7 8 .7 C o n d ic i¶o n d e e q u im a rg in a lid a d A continuaci¶o n se introduce una condici¶o n necesaria que relaciona la raz¶o n entre utilidades marginales con los precios relativos, la cual es muy intuitiva y simple de recordar. Observe que
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si la soluci¶o n es interior y la utilidad marginal es positiva (es decir, no hay especializaci¶o n en el consumo y se pre¯ere m¶as a menos) , entonces las condiciones de primer orden conducen a la siguiente ecuaci¶o n, llamada condici¶o n de equimarginalidad: u1 = R ¡ 1 = 1 + r: (78:11) u2 En otras palabras, la utilidad marginal del consumo presente, normalizada por la utilidad marginal del consumo futuro, es igual a su costo marginal, expresado en t¶e rminos de la tasa de inter¶e s. Otra forma de expresar la condici¶o n de equimarginalidad es u1 u2 = = ¸: 1 R Es decir, la utilidad marginal del consumo presente sobre su precio es igual a la utilidad marginal del consumo futuro sobre su precio. Asimismo, dichos cocientes de utilidades marginales sobre sus precios son iguales al multiplicador ¸ .
7 8 .8 C u rv a s d e in d ife re n c ia Una curva de indiferencia se de¯ne como el lugar geom¶e trico de los puntos c 1 y c 2 que proporcionan al consumidor exactamente el mismo nivel de utilidad, u 0 . Es decir, u (c 1 ;c 2 ) = u 0 ; (78:12) Como puede observarse, la ecuaci¶o n anterior representa lo que se conoce como una curva de nivel. Despu¶e s de diferenciar totalmente la expresi¶o n (78.12) , se tiene que du = u 1 dc 1 + u 2 dc 2 = 0: En consecuencia, dc 2 ¯ u1 ¯ =¡ : (78:13) ¯ dc 1 u = u 0 u2 Esta cantidad proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva de indiferencia en cualquier punto. La raz¶o n u 1 = u 2 es llamada tasa marginal de sustituci¶o n intertemporal y ser¶a denotada por T M S 1 2 . Esta cantidad se interpreta como la raz¶o n de cambio a la que el consumidor est¶a dispuesto a sacri¯car consumo presente por consumo futuro sin empeorar o mejorar, es decir, manteniendo su mismo nivel de satisfacci¶o n. En otras palabras, si se desea incrementar c 2 , es decir, si dc 2 > 0, con u = u 0 , entonces se tiene que sacri¯car consumo de c 1 , de tal forma que dc 1 = ¡ (u 2 = u 1 ) dc 2 < 0. As¶³, dc 2 = dc 1 ju = u 0 < 0. Por u¶ ltimo, si la funci¶o n de utilidad es estrictamente cuasi-c¶o ncava, entonces las curvas de indiferencia son convexas con respecto del origen.
7 8 .9 P e n d ie n te d e la re stric c i¶o n p re su p u e sta l in te rte m p o ra l Considere ahora la l¶³nea presupuestal intertemporal a 1 = c1 + R c2 : En este caso, al diferenciar la expresi¶o n anterior, en ausencia de cambios en a 1 y R , se tiene que 0 = dc 1 + R dc 2 ; equivalentemente dc 2 ¯ ¯ = ¡ (1 + r ) ; (78:14) ¯ dc 1 a 1 = c 1 + R c 2 lo que determina la pendiente de la l¶³nea presupuestal. Este resultado ser¶a utilizado en la determinaci¶o n del equilibrio intertemporal del consumidor.
7 8 .1 0 E q u ilib rio in te rte m p o ra l d e l c o n su m id o r Una forma alternativa de abordar el problema de decisi¶o n del consumidor racional consiste en igualar la pendiente de la l¶³nea presupuestal con la pendiente de la curva de indiferencia tangente. Es decir, el equilibrio intertemporal se alcanza j usto cuando dc 2 ¯ dc 2 ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ : dc 1 a 1 = c 1 + R c 2 dc 1 u 0 Equivalentemente, 1 + r = T M S 12 : (78:15) Esta u¶ ltima expresi¶o n coincide plenamente con (78.11) .
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7 8 .1 1 S o lu c i¶o n a lte rn a tiv a d e l p ro b le m a d e d e c isi¶o n d e l c o n su m id o r Suponga una soluci¶o n interior y la condici¶o n de no saciedad. Considere el problema Maximizar u (c 1 ;c 2 ) c 1 ;c 2
suj eto a:
a 1 = c1 + R c2 :
Ahora, de¯na U (c 1 ) = u [c 1 ;(a 1 ¡ c 1 ) (1 + r ) ] : En este caso, dU = u 1 dc 1 ¡ u 2 (1 + r ) dc 1 : Por lo tanto, dU = u 1 ¡ u 2 (1 + r ) : dc 1
(78:16)
La condici¶o n de primer orden de un m¶aximo es dU = dc 1 = 0, es decir, u 1 = u 2 = 1 + r .
7 8 .1 2 C o n d ic io n e s d e se g u n d o o rd e n Se supone ahora que la funci¶o n u (¢;¢) tiene segundas derivadas parciales continuas, las cuales se denotan, en forma breve, mediante: @ 2u = u 11 ; @ c 21
@ 2u = u 22 @ c 22
y
@ 2u = u 12 : @ c1 @ c2
Se supone adem¶as que todas las funciones de utilidad que se examinen, de ahora en adelante, satisfacen la siguiente condici¶o n sobre las derivadas parciales u 12 = u 21 : De hecho, el teorema de Young a¯rma que si las derivadas parciales cruzadas son continuas entonces coinciden. Ahora bien, con base en la secci¶o n anterior, una condici¶o n su¯ciente para un m¶aximo, (c 1 ;c 2 ) , del problema de maximizaci¶o n de utilidad es que: d2 U < 0: dc 21
(78:17)
En teor¶³a econ¶o mica, las condiciones su¯cientes son tambi¶e n llamadas condiciones de segundo orden. Ambas condiciones, de primer y de segundo orden tienen que cumplirse a ¯n de garantizar que se alcance un m¶aximo global, es decir, un u¶ nico m¶aximo. Observe que d2 U =u 1 1 ¡ u 1 2 (1 + r ) ¡ u 2 1 (1 + r ) + u 2 2 (1 + r ) 2 dc 21 =u 1 1 ¡ 2u 1 2 (1 + r ) + u 2 2 (1 + r ) 2 ¯ ¯ ¯u 1 1 u 1 2 ¡ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ = ¡ (1 + r ) 2 ¯ ¯u 2 1 u 2 2 ¡ R ¯< 0: ¯¡ 1 ¡ R 0 ¯ En otras palabras, una condici¶o n su¯ciente de un m¶aximo, (c 1 ;c 2 ) , es que se cumpla: ¯ ¯ ¯u 1 1 u 1 2 ¡ 1 ¯ ¯ ¯ £ ¤ 2 2 ¯ ¢=¯ ¯u 2 1 u 2 2 ¡ R ¯= ¡ R u 1 1 ¡ 2u 1 2 (1 + r ) + u 2 2 (1 + r ) > 0: ¯¡ 1 ¡ R 0 ¯
(78:18)
La matriz asociada al determinante (78.18) es llamada la matriz Hessiana orlada, a falta de un mej or nombre.
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7 8 .1 3 F u n c i¶o n d e u tilid a d e stric ta m e n te c u a si-c o¶ n c a v a Se dice que una funci¶o n de utilidad u es estrictamente cuasi-c¶o ncava si el determinante de la matriz Hessiana orlada satisface: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯u 1 1 u 1 2 u 1 ¯ ¡ ¢ ¯u 2 1 u 2 2 u 2 ¯= ¡ u 1 1 u 22 ¡ 2u 1 2 u 1 u 2 + u 2 2 u 12 > 0: ¯ ¯ ¯u 1 u2 0 ¯ Note que en virtud de las condiciones de primer orden, se puede escribir ¯ ¯ ¯u 1 1 ¯u 2 1 ¯ ¯u 1
u 12 u 22 u2
u1 u2 0
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯u 1 1 ¯= ¯u 2 1 ¯ ¯ ¯ ¯¸
¯ ¯ u 12 ¸ ¯ ¯ u 22 ¸ R ¯ ¸R 0 ¯ ¯ ¯ ¯u 1 1 u 1 2 ¡ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ =(¡ ¸ ) 2 ¯ ¯u 2 1 u 2 2 ¡ R ¯ ¯¡ 1 ¡ R 0 ¯
(78:19)
=¸ 2 ¢:
En particular, si u 1 1 < 0, u 2 2 < 0 y u 1 2 ¸ 0 en (78.18) , entonces ¢ > 0, es decir, u es cuasic¶o ncava. Por supuesto existen otras posibilidades. Por ej emplo, si u 1 1 = 0, u 2 2 < 0 y u 1 2 = 0, entonces ¢ > 0.
7 8 .1 4 E st¶a tic a c o m p a r a tiv a Con el prop¶o sito de cuanti¯car los cambios en las variables de decisi¶o n debido a cambios en las variables ex¶o genas, se derivan totalmente las condiciones de primer orden. Es decir, 8 > d(u 1 ¡ ¸ ) = 0; < d(u 2 ¡ R ¸ ) = 0; > : d(a 1 ¡ c 1 ¡ R c 2 ) = 0:
(78:20)
8 > u 1 1 dc 1 + u 1 2 dc 2 ¡ d¸ = 0; < u 2 1 dc 1 + u 2 2 dc 2 ¡ R d¸ ¡ ¸ dR = 0; > : da 1 ¡ dc 1 ¡ R dc 2 ¡ c 2 dR = 0:
(78:21)
En virtud de (78.20) , se tiene que
Si se dejan solamente los cambios en las variables end¶o genas, c 1 , c 2 y ¸ , del lado izquierdo, se obtiene 8 > < u 1 1 dc 1 + u 1 2 dc 2 ¡ d¸ = 0; u 2 1 dc 1 + u 2 2 dc 2 ¡ R d¸ = ¸ dR ; > : ¡ dc 1 ¡ R dc 2 = ¡ da 1 + c 2 dR :
(78:22)
Las tres ecuaciones anteriores se pueden expresar en forma matricial, en forma m¶as compacta, como 0
u 11 @ u 21 ¡1
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u 12 u 22 ¡R
10 1 0 1 ¡1 dc 1 0 A: ¡ R A @ dc 2 A = @ ¸ dR 0 d¸ ¡ (da 1 ¡ c 2 dR )
(78:23)
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Baj o el supuesto de que ¢ > 0, el sistema de tres ecuaciones lineales en (78.23) tiene una u¶ nica soluci¶o n y puede resolverse mediante la regla de Cramer. Es decir, ¯ ¯ ¯ 0 u 12 ¡ 1 ¯ ¯ ¯ 1 dc 1 = ¯ ¸ dR u 22 ¡ R ¯ ¯ ¯ ¢¯ ¡ (da 1 ¡ c 2 dR ) ¡ R 0 ¯ 1 = [[¸ R + c 2 (u 2 2 ¡ u 1 2 R ) ] dR ¡ (u 2 2 ¡ u 1 2 R ) da 1 ] ¢ y 1 dc 2 = ¢ =
¯ ¯u 1 1 ¯ ¯u 2 1 ¯ ¯¡ 1
0 ¸ dR ¡ (da 1 ¡ c 2 dR )
¡1 ¡R 0
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
1 [[¡ ¸ + c 2 (u 1 1 R ¡ u 1 2 ) ] dR ¡ (u 1 1 R ¡ u 1 2 ) da 1 ] : ¢
Por u¶ ltimo, observe que en virtud de que da 1 = dy 1 +
1 y2 dy 2 ¡ dr; 1+r (1 + r ) 2
se sigue que los cambios en consumos, dc 1 y dc 2 , en t¶e rminos de las variables ex¶o genas se pueden expresar como dc 1 =
½ · μ ¶¸ μ ¶ ¾ ¸ u 12 1 u 12 y2 ¡ + c2 u 2 2 ¡ + u ¡ dr 22 1+r 1+r (1 + r ) 2 1 + r (1 + r ) 2 μ ¶μ ¶ 1 u 12 1 ¡ u 22 ¡ dy 1 + dy 2 ¢ 1+r 1+r
(78:24)
½ · μ ¶¸ μ ¶ ¾ u 11 1 u 11 y2 ¡ ¡ ¸ + c2 ¡ u 12 + ¡ u 12 dr 1+r (1 + r ) 2 1+r (1 + r ) 2 μ ¶μ ¶ 1 u 11 1 ¡ ¡ u 12 dy 1 + dy 2 : ¢ 1+r 1+r
(78:25)
1 ¢
y 1 dc 2 = ¢
7 8 .1 5 E c u a c io n e s d e S lu tsk y Evgeny (Eugene o Eugen o Yevgeni) Evgenievich Slutsky (1880-1948) destacado matem¶atico, estad¶³stico y probabilista ruso que hizo contribuciones relevantes en teor¶³a econ¶o mica, estad¶³stica matem¶atica y teor¶³a de procesos estoc¶asticos. En un principio Eugene Slutsky estudiaba matem¶aticas en la Universidad de Kiev, en Ucrania, pero fue expulsado por participar en un mitin estudiantil para reinstalar a compa~n eros expulsados por sus ideas en contra del r¶e gimen Zarista. Como castigo por su participaci¶o n en dicho mitin, fue enrolado en el ej¶e rcito en 1901. Sin embargo, el escarmiento s¶o lo dur¶o unos cuantos meses, y pronto estar¶³a de regreso en la Universidad de Kiev. No obstante, poco tiempo despu¶e s, por su reincidencia en rebeliones similares le fue prohibido estudiar en cualquier universidad rusa. Baj o las circunstancias anteriores, Slutsky ten¶³a pocas opciones para su educaci¶o n, as¶³ que en 1902 decidi¶o irse a estudiar ingenier¶³a al Munich Polytechnikum en Alemania. All¶³ tuvo la oportunidad de estudiar a Ricardo, Marx y Lenin. Su motivaci¶o n para aplicar matem¶aticas a la econom¶³a hab¶³a crecido con gran entusiasmo. En 1905, termin¶o la carrera de ingenier¶³a en el Munich Polytechnikumen y regres¶o casi inmediatamente a Kiev. La situaci¶o n en Kiev, en v¶³speras de una revoluci¶o n, era entonces muy distinta a la que prevalec¶³a en 1901, ya que hab¶³an comenzado grandes huelgas, rebeliones y motines por parte de trabajadores y militares.
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La expulsi¶o n de Slutsky de las universidades rusas fue desconocida bajo esta nueva situaci¶o n pol¶³tica, as¶³ que pudo reingresar a la Universidad de Kiev. Esta vez Slutsky eligi¶o estudios m¶as acordes con sus intereses pol¶³ticos, solicitando su ingreso al doctorado en econom¶³a pol¶³tica en la facultad de leyes. Se gradu¶o con honores en 1911 recibiendo una medalla de oro por su sobresaliente trabaj o sobre la teor¶³a de la utilidad marginal. Posteriormente, Slutsky mostr¶o un gran inter¶e s por la estad¶³stica matem¶atica, debido a la in°uencia de Gauss y Pearson, y en 1912 public¶o en Kiev un libro sobre la teor¶³a de correlaci¶o n. A partir de 1913 y hasta 1926 Slutsky fue profesor en el Instituto de Comercio de Kiev. En 1926, se traslad¶o a las O¯cinas de Estad¶³stica del Gobierno en Mosc¶u , como investigador fundador del Instituto de Coyuntura. Despu¶e s, en 1931, Slutsky ingres¶o al Instituto Central de Meteorolog¶³a. Posteriormente, ingresa como investigador en el Instituto de Matem¶aticas y Mec¶anica de la Universidad de Mosc¶u . Para 1938, se hab¶³a trasladado al Instituto de Matem¶aticas de Steklov de la Academia de Ciencias de la URSS. En su estancia en dicho Instituto, sus investigaciones se concentraron en la aplicaci¶o n de la estad¶³stica matem¶atica a la econom¶³a y, m¶as adelante en su sobresaliente carrera, a las ciencias naturales. Durante su estad¶³a en el Instituto de Comercio de Kiev, Slutsky proporcion¶o la ecuaci¶o n fundamental de la teor¶³a del comportamiento del consumidor, en su publicaci¶o n en italiano \Sulla teoria del bilancio del consummatore" , en 1915, en el \Giornale degli Economisti" . En este trabaj o, se introduce la \descomposici¶o n de Slutsky" de una funci¶o n de demanda en sus efectos de sustituci¶o n e ingreso. Su trabajo permaneci¶o en el anonimato, hasta que la misma descomposici¶o n fue resucitada independientemente por John R. Hicks y Roy G. D. Allen en 1934, momento en que Slutsky consigui¶o todav¶³a un eventual reconocimiento. Sir John Richard Hicks, economista brit¶anico, Premio Nobel de Econom¶³a en 1972, compartido con K. J. Arrow, por sus contribuciones a la teor¶³a del equilibrio econ¶o mico general y la teor¶³a del bienestar. Hicks es una de las ¯guras m¶as destacadas del pensamiento econ¶o mico del siglo XX. Quiz¶as su aportaci¶o n m¶as popular fue un art¶³culo de 1937 publicado en la revista Econometrica: \Mr. Keynes and the Classics: A suggested interpretation" . En ¶e l realiz¶o un esfuerzo de conciliaci¶o n del pensamiento de Keynes, cuya obra fundamental \The General Theory of Employment, Interest and Money" (1936) se acababa de publicar, con los modelos cl¶asicos de equilibrio. De ello result¶o el modelo de curvas IS-LM. Otra contribuci¶o n prominente de Slutsky a la econom¶³a vino en 1927, en el art¶³culo \The Summation of Random Causes as the Source of Cyclical Processes" (reimpreso en \Econometrica" , 1937) . En este art¶³culo, Slutsky presenta el famoso teorema de Slutsky-Yule, en donde muestra que el promedio m¶ovil de una serie de choques aleatorios puede generar movimiento oscilatorio aun cuando no existen oscilaciones en los datos originales. En otras palabras, Slutsky demuestra que una serie de choques aleatorios se puede conj untar para crear caracter¶³sticas c¶³clicas regulares. Esta investigaci¶o n, es el principio de la hip¶o tesis de ciclos (econ¶o micos) de negocios de la nueva teor¶³a cl¶asica. Entre las contribuciones de Slutsky en estad¶³stica matem¶atica y probabilidad destacan los siguientes art¶³culos: \On the Criterion of Goodness of Fit of the Regression Lines and on the Best Method of Fitting them to Data" , publicado en 1914, en el \Journal of Royal Statistical Society" en este trabaj o Slutsky discute sobre un criterio de la calidad del ajuste de una recta de regreÄ si¶o n. Asimismo en su investigaci¶o n \Uber stochastische Asymptoten und Grenzwerte" , en 1925, publicada en el Matematischen Annalen, se presenta el renombrado \teorema de Slutsky" que establece que si una estad¶³stica converge casi seguramente o en probabilidad a alguna constante, entonces cualquier funci¶o n continua de esa estad¶³stica tambi¶e n converge a la funci¶o n valuada en dicha constante; un teorema de gran uso en estad¶³stica y econometr¶³a. Otros teoremas l¶³mite, de similar importancia, fueron proporcionados en 1928 y 1929 en sus art¶³culos \Sur un criterium de la convergence stochastique des ensembles de valeurs eventuelles" , y \Quelques Propositions sur les Limities Stochastiques Eventuelles" , ambos en el Compte Rendu des Sciences de l'Academie des Sciences. En estos trabajos introduce los conceptos de procesos estoc¶asticos estacionarios y especi¯ca condiciones para que dichos procesos sean medibles. Por u¶ ltimo, vale la pena resaltar que adem¶as de que Eugene Slutsky era un prominente cient¶³¯co, tambi¶e n fue un excepcional poliglota, ya que publicaba en italiano, ruso, ingl¶e s, alem¶an y franc¶e s.
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F u en te: w w w .eu m ed .n et .
F u en te: cep a .n ew sch o o l.ed u
Eugene Slutsky (1880-1948) .
John R. Hicks (1904-1989) .
As¶³ pues, el ob j etivo principal de esta secci¶o n consiste en examinar c¶o mo cambios en precios afectan a las variables de decisi¶o n, es decir, c¶o mo cambios en las variables ex¶o genas afectan a las variables end¶o genas, y c¶o mo las demandas de consumo presente y futuro se descomponen en sus efectos sustituci¶o n e ingreso. A partir de (78.24) se puede concluir que ½ · μ ¶¸ μ ¶ ¾ @ c1 1 ¸ u 12 1 u 12 y2 = ¡ + c2 u 2 2 ¡ + u 22 ¡ ; @r ¢ 1+r 1+r (1 + r ) 2 1 + r (1 + r ) 2 μ ¶ @ c1 1 u 12 =¡ u 22 ¡ @ y1 ¢ 1+r y μ ¶ @ c1 1 @ c1 1 u 12 = =¡ u 22 ¡ : @ y2 1 + r @ y1 ¢(1 + r ) 1+r Por lo tanto, @ c1 ¸ c2 @ c1 y 2 @ c1 =¡ + ¡ : 3 2 @r ¢(1 + r ) (1 + r ) @ y 1 1 + r @ y2
(78:26)
c 2 = (a 1 ¡ c 1 ) (1 + r ) ;
(78:27)
Por otro lado, dado que la ecuaci¶o n (78.26) se puede reescribir como @ c1 ¸ a 1 ¡ c1 @ c1 y 2 @ c1 =¡ + ¡ : @r ¢(1 + r ) 3 (1 + r ) @ y 1 1 + r @ y2
(78:28)
La ecuaci¶o n anterior proporciona el cambio en c 1 producido por un cambio en r , ceteris pa ribu s, es decir, manteniendo todo lo dem¶as constante. Se dice que el consumo presente es un bien normal si @ c 1 = @ y 1 > 0. En particular, si u 2 2 < 0 y u 1 2 > 0, entonces el consumo presente es un bien normal. Observe tambi¶e n que el signo de (78.28) es indeterminado. Por otro lado, si s 1 = y 1 ¡ c 1 es el ahorro en el primer per¶³odo, entonces @ s1 @ c1 =¡ : @r @r
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Por u¶ ltimo, se puede veri¯car que @ c2 ¸ c2 @ c2 y 2 @ c2 = + ¡ ; @r (1 + r ) 2 ¢ (1 + r ) 2 @ y 1 1 + r @ y2 donde @ c2 1 =¡ @ y1 ¢
μ
u 11 ¡ u 12 1+r
y @ c2 @ c2 1 =R =¡ @ y2 @ y1 ¢(1 + r )
μ
¶
u 11 ¡ u 12 1+r
¶
:
Observe que si y 2 = 0 y @ c 2 = @ y 1 > 0, entonces @ c 2 = @ r > 0, en cuyo caso, un aumento en r conduce a un incremento en c 2 .
7 8 .1 6 E fe c to su stitu c i¶o n A continuaci¶o n se estudia el efecto sustituci¶o n. En este caso, la utilidad permanece constante, es decir, se cuanti¯ca el efecto de peque~n os movimientos del equilibrio sobre una misma curva de indiferencia con nivel u 0 . Si u (c 1 ;c 2 ) = u 0 ; (78:29) donde u 0 es una constante, entonces u 1 dc 1 + u 2 dc 2 = 0:
(78:30)
Por otro lado, de las condiciones de primer orden se sigue que u1 = ¸
y
u2 = R ¸:
(78:31)
Al sustituir (78.31) en (78.30) , se tiene que dc 1 + R dc 2 = 0:
(78:32)
En consecuencia, si u se mantiene constante, se tiene que: 8 > < u 1 1 dc 1 + u 1 2 dc 2 ¡ d¸ = 0; u 2 1 dc 1 + u 2 2 dc 2 ¡ R d¸ = ¸ dR ; > : ¡ dc 1 ¡ R dc 2 = 0:
(78:33)
En t¶e rminos matriciales lo anterior se puede escribir como 0
u 11 @ u 21 ¡1
u 12 u 22 ¡R
10 1 0 1 ¡1 dc 1 0 ¡ R A @ dc 2 A = @ ¸ dR A : 0 d¸ 0
(78:34)
Este sistema de ecuaciones se puede resolver de nuevo con la regla de Cramer. En este caso, se tiene que ¯ ¯ ¯0 u 12 ¡ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯¸ dR u 2 2 ¡ R ¯= ¸ R dR : dc 1 ¯u = u 0 = ¯ (78:35) ¯ ¢¯ ¢ 0 ¡R 0 ¯ Por lo tanto,
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@ c1 ¯ ¯ ¯ @r u=
u0
=¡
¸ : (1 + r ) 3 ¢
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Esta cantidad determina el efecto sustituci¶o n. Note que el efecto sustituci¶o n es siempre negativo. As¶³, se puede escribir ¯ @ c1 @ c1 ¯ = ¯ @r @r u= Asimismo, se tiene que
u0
+
@ c2 ¯ ¯ ¯ @r u=
Por lo tanto, se puede escribir
¯ @ c2 @ c2 ¯ = ¯ @r @r u= Por u¶ ltimo, observe que
u0
@ c1 ¯ ¯ ¯ @r u=
u0
+
u0
c2 @ c1 y 2 @ c1 ¡ : 2 (1 + r ) @ y 1 1 + r @ y2
=
¸ : (1 + r ) 2 ¢
(78:37)
c2 @ c2 y 2 @ c2 ¡ : (1 + r ) 2 @ y 1 1 + r @ y2
+R
@ c2 ¯ ¯ ¯ @r u=
u0
(78:36)
(78:38)
= 0:
Es decir, el valor presente de los efectos sustituci¶o n del consumo presente y futuro es igual a cero.
7 8 .1 7 E fe c to in g re so A continuaci¶o n se estudia el efecto ingreso. En este caso, r permanece constante e igual a r 0 . Se cuanti¯ca, a continuaci¶o n, el efecto de peque~n os desplazamientos de la restricci¶o n presupuestal. A partir de (78.22) se tiene que 8 > u 1 1 dc 1 + u 1 2 dc 2 ¡ d¸ = 0; < u 2 1 dc 1 + u 2 2 dc 2 ¡ R d¸ = 0; > : da 1 ¡ dc 1 ¡ R dc 2 = 0; donde da 1 = dy 1 +
1 dy 2 1+r
ya que dr = 0 (dR = 0 ) . Las tres ecuaciones anteriores se pueden expresar en forma matricial como 0
u 11 @ u 21 ¡1
u 12 u 22 ¡R
10 1 0 1 ¡1 dc 1 0 A: ¡ R A @ dc 2 A = @ 0 0 d¸ ¡ (dy 1 + R dy 2 )
(78:39)
La soluci¶o n (78.39) se puede obtener a trav¶e s de la regla de Cramer: ¯ ¯ 0 u 12 1 ¯ dc 1 = ¯ 0 u 22 ¢¯ ¯¡ (dy 1 + R dy 2 ) ¡ R 1 =¡ (u 2 2 ¡ R u 1 2 ) (dy 1 + R ¢ Es decir,
y
@ c1 ¯ ¯ ¯ @ y1 r= ¯ @ c1 ¯ ¯ @ y 2 r=
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r0
r0
=¡
=¡
1 ¢
μ u 22 ¡
1 ¢(1 + r )
u 12 1+r
μ u 22 ¡
¡1 ¡R 0
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
(78:40)
dy 2 ) : ¶
u 12 1+r
¶
:
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En particular, si u 2 2 < 0 y u 1 2 > 0, se tiene que @ c 1 = @ a 1 > 0. Por lo tanto, con base en (78.36) , se puede escribir @ c1 @ c1 ¯ ¯ = ¯ @r @r u=
u0
c2 @ c1 ¯ ¯ ¯ (1 + r ) 2 @ y 1 r =
+
De la misma manera,
@ c2 ¯ ¯ ¯ @ y1 r=
y
as¶³
¯ @ c2 ¯ ¯ @ y 2 r=
¯ @ c2 @ c2 ¯ = ¯ @r @r u=
r0
u0
r0
1 =¡ ¢
μ
y 2 @ c1 ¯ ¯ ¯ 1 + r @ y 2 r=
u 11 ¡ u 12 1+r
1 =¡ ¢(1 + r ) +
r0
¡
μ
r0
¡
(78:41)
:
(78:42)
¶
u 11 ¡ u 12 1+r
¯ c2 @ c2 ¯ ¯ (1 + r ) 2 @ y 1 r =
: r0
¶
;
¯ y 2 @ c2 ¯ ¯ 1 + r @ y 2 r=
r0
Los dos u¶ ltimos t¶e rminos de la ecuaci¶o n anterior reciben el nombre de efectos ingreso presente y futuro, respectivamente.
7 8 .1 8 F u n c i¶o n d e u tilid a d in d ire c ta La funci¶o n de utilidad indirecta V (a 1 ;r ) se de¯ne como el valor de la funci¶o n de utilidad en las demandas c 1 (a 1 ;r ) , c 2 (a 1 ;r ) , es decir, V (a 1 ;r ) = u (c 1 (a 1 ;r ) ;c 2 (a 1 ;r ) ) :
(78:43)
La funci¶o n V (a 1 ;r ) proporciona una medida del bienestar econ¶o mico del consumidor ya que es el nivel de satisfacci¶o n m¶aximo alcanzable. De ahora en adelante, a la funci¶o n de utilidad original, u (c 1 ;c 2 ) , se le llamar¶a funci¶o n de utilidad directa para diferenciarla de V . En este caso, el cambio en la utilidad indirecta debido a cambios simult¶aneos en las variables ex¶o genas, es decir, la diferencial de V (a 1 ;r ) satisface @u @u dc 1 + dc 2 @ c1 @ c2 μ ¶ μ ¶ @u @ c1 @ c1 @u @ c2 @ c2 = dr + da 1 + dr + da 1 @ c1 @ r @ a1 @ c2 @ r @ a1 μ ¶ μ ¶ @ u @ c1 @ u @ c2 @ u @ c1 @ u @ c2 = + dr + + da 1 : @ c1 @ r @ c2 @ r @ c1 @ a 1 @ c2 @ a 1
dV =
En virtud de que, en el ¶o ptimo, u 1 = ¸ y u 2 = ¸ R , se obtiene que dV = ¸
μ
@ c1 @ c2 +R @r @r
¶
dr + ¸
μ
@ c1 @ c2 +R @ a1 @ a1
¶
da 1 :
(78:44)
En consecuencia, los cambios (marginales) en el bienestar econ¶o mico, V , con respecto de r y a 1 est¶an dados, respectivamente, por @V =¸ @r
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μ
@ c1 @ c2 +R @r @r
¶
y
@V =¸ @ a1
μ
@ c1 @ c2 +R @ a1 @ a1
¶
:
(78:45)
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7 8 .1 9 C o n d ic io n e s d e a g r e g a c i¶o n d e C o u rn o t y d e E n g e l A continuaci¶o n se obtienen dos condiciones sobre cambios en el valor presente del consumo planeado cuando cambian las variables ex¶o genas. Si se sustituyen las soluciones o¶ ptimas (demandas) en la restricci¶o n presupuestal intertemporal del consumidor a 1 = c 1 (a 1 ;r ) + R c 2 (a 1 ;r ) ; se sigue que da 1 =dc 1 + R dc 2 + c 2 dR
μ ¶ @ c1 @ c1 @ c2 @ c2 dr + da 1 + R dr + da 1 + c 2 dR @r @ a1 @r @ a1 μ ¶ μ ¶ @ c1 @ c2 @ c1 @ c2 = +R dr + +R da 1 + c 2 dR @r @r @ a1 @ a1 μ ¶ μ ¶ @ c1 @ c2 c2 @ c1 @ c2 = +R ¡ dr + + R da 1 : @r @r (1 + r ) 2 @ a1 @ a1 =
(78:46)
Para que (78.46) se cumpla se requiere que: @ c1 @ c2 c2 +R = @r @r (1 + r ) 2
(78:47)
@ c1 @ c2 +R = 1: @ a1 @ a1
(78:48)
y
La expresiones (78.47) y (78.48) son conocidas como condiciones de agregaci¶o n de Cournot y de Engel, respectivamente. Dichas condiciones pueden ser reescritas como @ c2 (c 1 + R c 2 ) = @r (1 + r ) 2 y @ @ a1 (c 1 + R c 2 ) = = 1; @ a1 @ a1 las cuales describen como cambia el valor presente del consumo planeado cuando cambian r y a 1 , respectivamente.
7 8 .2 0 Id e n tid a d d e R o y Hasta ahora, se ha visto que la sustituci¶o n de las demandas en la funci¶o n de utilidad produce una medida de bienestar econ¶o mico y que la sustituci¶o n de las demandas en la restricci¶o n presupuestal conducen a las condiciones de agregaci¶o n de Cournot y de Engel. En esta secci¶o n se conj untan los conceptos anteriores para responder a la siguiente pregunta: >si se conoce la funci¶o n de utilidad indirecta es posible determinar las demandas de consumo presente y futuro? La sustituci¶o n de (78.47) y (78.48) en (78.44) conduce a: dV =
¸ c2 dr + ¸ da 1 : (1 + r ) 2
(78:49)
En virtud de (78.49) , se concluye que @V ¸ c2 = @r (1 + r ) 2 y @V = ¸: @ a1
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Por lo tanto,
μ
@V @r
Á
@V @ a1
¶
(1 + r ) 2 = c 2 :
Es decir, a partir de la funci¶o n de utilidad indirecta se puede obtener la demanda Marshalliana de c 2 . La demanda Marshalliana de c 1 se obtiene, posteriormente, a partir de c 1 = a 1 ¡ R c 2 . As¶³, si se parte del problema de maximizaci¶o n de utilidad, la identidad de Roy cierra un ciclo partiendo de la funciones de demanda y regresando a ellas.
7 8 .2 1 U tilid a d m a rg in a l d e l v a lo r p re se n te d e la s d o ta c io n e s y p re c io s so m b ra En virtud de (78.49) , se sigue que ¸ = @ V = @ a 1 : En consecuencia, la cantidad ¸ es la utilidad (indirecta) marginal del valor presente de las dotaciones. En este caso, ¸ puede interpretarse como la cantidad que estar¶³a dispuesto a pagar un consumidor por incrementar en la restricci¶o n, c 1 = a 1 ¡ R c 2 , el ingreso a 1 en una unidad a ¯n de mej orar su nivel de utilidad. Por otro lado, observe que a partir de las condiciones de primer orden u 1 1 dc 1 + u 1 2 dc 2 ¡ d¸ = 0: Si se supone que dc 2 =0 y u 1 1 < 0, se tiene entonces que @ c1 = u 1¡ 11 < 0: @¸ De esta manera, ¸ act¶u a como un \precio" , es decir, si ¸ aumenta, entonces el consumo de c 1 disminuye. Sin embargo, el precio de c 1 es 1, raz¶o n por la que a ¸ se le llama precio sombra.
7 8 .2 2 F u n c io n e s d e u tilid a d e sp e c¶³¯ c a s En esta secci¶o n se revisan algunas formas funcionales del ¶³ndice de utilidad. La aplicaci¶o n de la mayor¶³a de los conceptos anteriormente vistos se ilustran con funciones de utilidad espec¶³¯cas.
7 8 .2 2 .1 F u n c i¶o n d e u tilid a d lo g a r¶³tm ic a Considere la siguiente funci¶o n de utilidad: u (c 1 ;c 2 ) = ln(c 1 ) +
ln(c 2 ) : 1+½
(78:50)
El factor de descuento ½ es llamado tasa de descuento subj etiva o tasa intertemporal subj etiva de descuento. Un valor de ½ grande signi¯ca que el consumidor aprecia m¶as el consumo presente que el consumo futuro, es decir, el consumidor est¶a ansioso por consumir hoy. Mientras que un valor peque~n o de ½ signi¯ca que el consumidor val¶u a de igual forma los consumos presente y futuro, por lo que se puede decir que el consumidor no est¶a ansioso por el consumo presente. De hecho, (78.50) es una de las funciones de utilidad m¶as importantes en teor¶³a econ¶o mica. Esta funci¶o n de utilidad satisface las siguientes propiedades: u 1 > 0;
u 2 > 0;
u 1 1 < 0;
u 2 2 < 0;
u 1 2 = 0:
Es decir, la utilidad marginal es positiva pero decreciente, en otras palabras, el consumidor siempre obtiene satisfacci¶o n por el consumo de ambos bienes, pero a medida que aumenta el consumo la satisfacci¶o n es cada vez menor. Asimismo, observe que u (0;c 2 ) = ¡ 1 ;
u (c 1 ;0) = ¡ 1 ;
u (1 ;c 2 ) = 1 ;
u (c 1 ;1 ) = 1 :
Esto signi¯ca, que el consumidor est¶a impaciente por iniciar el consumo de ambos bienes y que no existe un nivel de saciedad por el consumo presente o futuro. Por otro lado, la propiedad de cuasi-concavidad se cumple trivialmente. Por lo tanto, la condici¶o n necesaria de m¶aximo es
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tambi¶e n su¯ciente. A partir de la condici¶o n T M S 1 2 = R ¡ 1 , se sigue que (1 + ½ ) c 2 = (1 + r ) c 1 . Al sustituir esta expresi¶o n en la restricci¶o n presupuestal intertemporal se tiene que: a 1 = c1 + R c2 = c1 +
c1 2+½ = c1 : 1+½ 1+½
Por lo tanto, las funciones de demanda de consumo presente y futuro est¶an, respectivamente, dadas por: 1+½ 1 c1 = a1 = 2+½ ¸ y 1+r 1 a1 = : 2+½ ¸ R (1 + ½ )
c2 = En este caso, ¯ ¯¡ c ¡ 2 ¯ 1 ¢=¯ ¯ 0 ¯¡ 1
0 ¡ (1 + ½ ) ¡ 1 c ¡2 ¡R
2
¯ ¯ ¯ R 2 1 2 ¯= ¯ c 2 + (1 + ½ ) c 2 = ¸ R ¯ 1 2
¡1 ¡R 0
2
(2 + ½ ) :
El efecto sustituci¶o n es @ c1 ¯ ¯ ¯ @ r u=
u0
=¡
¸R 3 R R (1 + ½ ) a 1 =¡ =¡ : ¢ ¸ (2 + ½ ) (2 + ½ ) 2
Mientras que el efecto ingreso presente est¶a dado por: c2 R
2
@ c1 ¯ ¯ ¯ @ y 1 r=
=
r0
R (1 + ½ ) a 1 : (2 + ½ ) 2
Por lo tanto, el efecto sustituci¶o n se cancela con el efecto ingreso presente, en otras palabras, los efectos sustituci¶o n e ingreso presente son de la misma magnitud pero de sentido contrario. Asimismo, el efecto ingreso futuro satisface ¡ y2R
@ c1 ¯ ¯ ¯ @ y 2 r=
r0
=¡
R 2 (1 + ½ ) y 2 : 2+½
En este ejemplo, la funci¶o n de utilidad indirecta est¶a dada por V (a 1 ;r ) = ln
μ
1+½ a1 2+½
¶
+
1 ln 1+½
μ
1+r a1 2+½
¶
:
(78:51)
Con el prop¶o sito de emplear la identidad de Roy para obtener las demandas de c 1 y c 2 a partir de la funci¶o n de utilidad indirecta, observe primero que @V 1 = @r (1 + ½ ) (1 + r ) Consecuentemente, c2 =
μ
@V @r
Á
@V @ a1
y ¶
@V 2+½ = : @ a1 (1 + ½ ) a 1
(1 + r ) 2 =
1+r a1: 2+½
Adem¶as, c1 = a 1 ¡ R c2 = a 1 ¡
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1 1+½ a1 = a1: 2+½ 2+½
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7 8 . E l co n su m id o r in tertem p o ra l d eterm in ista (I): ta sa s d e in ter¶e s
7 8 .2 2 .2 U tilid a d m u ltip lic a tiv a Una funci¶o n de utilidad que representa las mismas preferencias que (78.50) con ½ = 0, est¶a dada por u = c 1 c 2 . A partir de la condici¶o n T M S 1 2 = R ¡ 1 , se sigue que c 2 = (1 + r ) c 1 . Al sustituir esta expresi¶o n en la restricci¶o n presupuestal intertemporal se tiene que: a 1 = c 1 + R c 2 = c 1 + c 1 = 2c 1 : Por lo tanto, las funciones de demanda de consumo presente y futuro est¶an dadas, respectivamente, por c 1 = a 1 = 2 y c 2 = a 1 (1 + r ) = 2 = ¸ : En este caso, ¯ ¯0 ¯ ¯1 ¢=¯ ¯¡ 1 El efecto sustituci¶o n es
@ c1 ¯ ¯ ¯ @r u=
u0
¯ ¯ ¯ ¯ ¯= 2R : ¯
¡1 ¡R 0
1 0 ¡R
¸R 3 a1R =¡ : ¢ 4
=¡
En este caso, el efecto ingreso presente es c2 R
@ c1 ¯ ¯ ¯ @ y 1 r=
2
r0
=
a1R : 4
De esta manera, el efecto sustituci¶o n se cancela con el efecto ingreso presente, en otras palabras, los efectos sustituci¶o n e ingreso presente son de la misma magnitud pero act¶u an en sentidos inversos. Asimismo, el efecto ingreso futuro satisface ¡ y2R
@ c1 ¯ ¯ ¯ @ y 2 r=
r0
=¡
y2R : 2
Por u¶ ltimo, la funci¶o n de utilidad indirecta est¶a dada por V (a 1 ;r ) =
a 21 (1 + r ) : 4
7 8 .2 2 .3 F u n c i¶o n d e u tilid a d c u a si-lin e a l Considere la funci¶o n de utilidad u (c 1 ;c 2 ) = c 1 + ln(c 2 ) . En este caso, u es cuasi-c¶o ncava y por lo tanto satisface simult¶aneamente las condiciones de primer y de segundo orden para un m¶aximo. De la condici¶o n de primer orden T M S 1 2 = R ¡ 1 , se sigue que c2 = R
¡ 1
:
Por lo tanto, c 1 = a 1 ¡ R c 2 = a 1 ¡ 1; siempre y cuando a 1 > 1. En caso contrario, c 1 = 0 y c 2 = a 1 R
c1 =
(
a 1 ¡ 1; 0;
si si
a 1 > 1; a 1 · 1;
y
c2 =
(
R
¡ 1
¡ 1
a1R
. Equivalentemente,
; ¡ 1
;
si
a 1 > 1;
si
a 1 · 1:
En otras palabras, si el valor presente de las dotaciones es su¯ciente, se compra c 1 (del bien caro) y de lo que sobre se compra c 2 (del bien barato) . Si el ingreso no es su¯ciente se compra s¶o lo del bien barato, es decir se compra s¶o lo c 2 .
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7 8 . E l co n su m id o r in tertem p o ra l d eterm in ista (I): ta sa s d e in ter¶e s
7 8 .2 3 P ro b le m a d e in te g ra c i¶o n En esta secci¶o n se estudia el problema (inverso) de c¶o mo obtener la funci¶o n de utilidad directa si se parte de las funciones de demanda. Para ello, se examinan algunos casos particulares de demandas Marshallianas.
7 8 .2 3 .1 P ro b le m a d e in te g ra c i¶o n p a ra e l c a so d e fu n c i¶o n d e u tilid a d m u ltip lic a tiv a Se supone que se conocen las demandas Marshallianas a1 2
c1 = y c2 =
a 1 (1 + r ) = ¸; 2
entonces de la condici¶o n
dc 2 =R dc 1
T M S 12 = ¡ se sigue que
c2 =R c1
¡ 1
¡ 1
;
:
Por lo tanto, ¡
dc 2 c2 =R = ; dc 1 c1
equivalentemente, ¡ As¶³, ¡
Z
dc 2 dc 1 = : c2 c1
dc 2 = c2
Z
dc 1 ¡ ln(u ) ; c1
donde u es la constante de integraci¶o n. En consecuencia, ¡ ln(c 2 ) = ln(c 1 ) ¡ ln(u ) : En conclusi¶o n, u = c 1 c 2 :
7 8 .2 3 .2 P ro b le m a d e in te g ra c i¶o n p a ra e l c a so d e fu n c i¶o n d e u tilid a d c u a si-lin e a l Considere las funciones de demanda: ( a 1 ¡ 1; si a 1 > 1; c1 = 0; si a 1 · 1;
y
Si a 1 > 1, entonces T M S 12 = ¡
c2 =
dc 2 =R dc 1
¡ 1
(
R
¡ 1
a1R
; ¡ 1
;
si
a 1 > 1;
si
a 1 · 1:
= c2 ;
lo cual implica ¡ En consecuencia,
Z
dc 2 = dc 1 : c2
dc 2 =¡ c2
Z
dc 1 + u :
Por lo tanto, u = c 1 + ln(c 2 ) :
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7 8 .2 4 P ro b le m a d u a l d e l c o n su m id o r Considere el problema dual del consumidor Minimizar
h1 + R h2 u (h 1 ;h 2 ) ¸ u 0 ;
suj eto a:
(78:52)
h 1 ¸ 0; h 2 ¸ 0; donde u 0 es un nivel de utilidad ¯j o. En este problema, el consumidor desea alcanzar un nivel de utilidad dado con el m¶³nimo gasto posible. Note tambi¶e n que ahora los consumos, que proporcionan el gasto m¶³nimo, son denotados por h 1 y h 2 . En este caso, h 1 y h 2 son llamadas las demandas compensadas de consumo o demandas Hicksianas a ¯n de distinguirlas de las demandas Marshallianas. El problema puede ser reescrito en forma equivalente como: ¡ h1 ¡ R h2
Maximizar
u (h 1 ;h 2 ) ¡ u 0 ¸ 0;
sujeto a:
h 1 ¸ 0; h 2 ¸ 0:
En este caso el Lagrangeano asociado al problema (78.52) est¶a dado por: L = ¡ h 1 ¡ R h 2 + ¹ [u (h 1 ;h 2 ) ¡ u 0 ] + ¹ 1 h 1 + ¹ 2 h 2 ; donde ¹ , ¹ 1 y ¹ 2 son los multiplicadores de Lagrange asociados a las restricciones. Las condiciones de Kuhn-Tucker satisfacen @L @L @L @L @L · 0; · 0; ¸ 0; ¸ 0; ¸ 0; ¹ ; ¹ 1 ; ¹ 2 ¸ 0; @h1 @h2 @¹ @¹1 @¹2 @L @L h 1 = 0; h 2 = 0; ¹ [u (h 1 ;h 2 ) ¡ u 0 ] = 0; ¹ 1 h 1 = 0; ¹ 2 h 2 = 0: @h1 @h2 Si h 1 , h 2 , u 1 y u 2 son todos positivos, entonces las condiciones de primer orden est¶an dadas por ¹ u 1 ¡ 1 = 0;
¹ u 2 ¡ R = 0;
u (h 1 ;h 2 ) ¡ u 0 = 0;
¹ > 0:
Si se de¯ne ¹ = Á ¡ 1 , las CPO para una soluci¶o n interior son: u1 = Á;
u2 = R Á;
u (h 1 ;h 2 ) = u 0 ;
Á > 0:
El multiplicador Á puede ser eliminado de las ecuaciones anteriores de tal forma que: u1 =R u2
¡ 1
;
u (h 1 ;h 2 ) = u 0 :
Note que si c 1 y c 2 son soluci¶o n del problema de decisi¶o n del consumidor, tambi¶e n satisfacen u 1=u 2 = R ¡ 1.
7 8 .2 5 F u n c i¶o n in te rte m p o ra l d e g a sto m ¶³n im o A continuaci¶o n se de¯ne la funci¶o n intertemporal de gasto m¶³nimo o simplemente la funci¶o n de gasto. Si h 1 = h 1 (u 0 ;r ) y h 2 = h 2 (u 0 ;r ) son las soluciones del problema de gasto m¶³nimo, se de¯ne la funci¶o n de gasto m¶³nimo, E (u 0 ;r ) , mediante E (u 0 ;r ) = h 1 (u 0 ;r ) +
1 h 2 (u 0 ;r ) : 1+r
(78:53)
Esta funci¶o n representa el m¶³nimo valor presente de los consumos, h 1 y h 2 , que se requiere para alcanzar un nivel de satisfacci¶o n predeterminado, u 0 .
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7 8 .2 6 L e m a d e S h e p h a rd En esta secci¶o n a partir de la funci¶o n de gasto m¶³nimo se determinan las demandas compensadas. Despu¶e s de diferenciar totalmente (78.53) se tiene que μ ¶ @h1 @h1 @h2 @h2 h 2 dr dE = dr + du 0 + R dr + du 0 ¡ @r @u0 @r @u0 (1 + r ) 2 μ ¶ μ ¶ @h1 @h2 h2 @h1 @h2 = +R ¡ dr + +R du 0 : @r @r (1 + r ) 2 @u0 @u0
(78:54)
Por otro lado, se satisface adem¶as que u (h 1 (u 0 ;r ) ;h 2 (u 0 ;r ) ) = u 0 : Por lo tanto,
μ ¶ μ ¶ @u @h1 @h1 @u @h2 @h2 dr + du 0 + dr + du 0 @h1 @r @u0 @h2 @r @u0 μ ¶ μ ¶ @h1 @h1 @h2 @h2 =Á dr + du 0 + R Á dr + du 0 @r @u0 @r @u0 μ ¶ μ ¶ @h1 @h2 @h1 @h2 =Á +R dr + Á +R du 0 : @r @r @u0 @u0
du 0 =
En consecuencia, @h1 @h2 +R =0 @r @r
@h1 @h2 +R = ¹: @u0 @u0
y
Despu¶e s de sustituir las ecuaciones anteriores en (78.54) se sigue que h2 dr: (1 + r ) 2
dE = ¹ du 0 ¡ En otras palabras, ¡ (1 + r ) 2
@E = h 2: @r
El valor de h 2 se determina impl¶³citamente mediante u (h 1 ;h 2 ) = u 0 : Es decir, a partir de la funci¶o n de gasto m¶³nimo se pueden obtener las soluciones del problema de minimizaci¶o n del gasto.
7 8 .2 7 R e la c i¶o n e n tre la s e c u a c io n e s d e S lu tsk y y la s d e m a n d a s c o m p e n sa d a s Dado que en el problema de gasto m¶³nimo u (c 1 ;c 2 ) = u 0 , se sigue que @ c1 ¯ ¯ ¯ @r u=
u0
=
@h1 : @r
En consecuencia, @ c1 @h1 c2 @ c1 y 2 @ c1 = + ¡ : 2 @r @r (1 + r ) @ y 1 (1 + r ) @ y 2
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7 8 .2 8 A n ¶a lisis d e a lg u n o s c a so s p a rtic u la re s d e l p ro b le m a d u a l A continuaci¶o n, se revisan algunos casos particulares del problema dual con funciones de utilidad espec¶³¯cas en la restricci¶o n.
7 8 .2 8 .1 U tilid a d lo g a r¶³tm ic a Considere el problema Minimizar
h1 + R h2
suj eto a:
ln h 1 +
(78:56)
1 ln h 2 = u 0 ; 1+½
donde u 0 es un nivel de utilidad ¯j o. En este caso, la condici¶o n u 1 = u 2 = R h2 = Por lo tanto, ln h 1 +
1 ln 1+½
¶o h 1 = exp
½
μ
¡ 1
implica
1+r h 1: 1+½
1+r 1+½
¶
+
1 ln h 1 = u 0 1+½
1+½ 1 u0 ¡ ln 2+½ 2+½
μ
1+r 1+½
¶¾
:
Por u¶ ltimo, la funci¶o n de gasto m¶³nimo satisface ½ μ ¶¾ 2+½ 1+½ 1 1+r E (u 0 ;r ) = exp u0 ¡ ln : 1+½ 2+½ 2+½ 1+½
7 8 .2 8 .2 U tilid a d m u ltip lic a tiv a Considere el problema Minimizar
h1 + R h2
suj eto a:
(78:57)
h 1h 2 = u 0;
donde u 0 es un nivel de utilidad ¯j o. En este caso, la condici¶o n u 1 = u 2 = R
¡ 1
implica
h 2 = h 1 = 1 + r: Por lo tanto, h1 = y h2 =
p
r
u0 1+r
u 0 (1 + r ) :
En este caso, E (u 0 ;r ) = 2
r
u0 : 1+r
(78:58)
7 8 .2 9 C o n v e rtib ilid a d e n tre d e m a n d a s M a rsh a llia n a s y H ic k sia n a s En esta secci¶o n se establecen las f¶o rmulas que permiten pasar de las demandas Marshallianas a las demandas Hicksianas y viceversa. A partir de las de¯niciones de demandas ordinarias, c 1 y c 2 , y compensadas, h 1 y h 2 , es evidente que c 1 [E (u 0 ;r ) ;r ] = h 1
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y
c 2 [E (u 0 ;r ) ;r ] = h 2 :
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7 8 . E l co n su m id o r in tertem p o ra l d eterm in ista (I): ta sa s d e in ter¶e s
Asimismo h 1 [V (a 1 ;r ) ;r ] = c 1
y
h 2 [V (a 1 ;r ) ;r ] = c 2 :
As¶³, por ej emplo, si la utilidad es multiplicativa, se tiene que h1 =
r
u0 : 1+r
De esta manera, a partir de h 1 se obtiene c 1 si u 0 se sustituye por V (a 1 ;r ) = a 12 (1 + r ) = 4. Es decir, s a 21 (1 + r ) a1 c1 = = : 4(1 + r ) 2
7 8 .3 0 C o n v e rtib ilid a d e n tre b ie n e sta r y g a sto A continuaci¶o n se establecen las f¶o rmulas que permiten pasar de la funci¶o n de utilidad indirecta a la funci¶o n de gasto m¶³nimo y viceversa. La siguiente relaci¶o n entre V (a 1 ;r ) , E (u 0 ;r ) , es evidentemente v¶alida: V [E (r;u 0 ) ;r ] = u 0 De esta manera, si E (u 0 ;r ) = 2
p
y
E [V (a 1 ;r ) ;r ] = a 1 :
u 0 = (1 + r ) , entonces a1 = 2
r
V ; 1+r
as¶³
a 21 (1 + r ) ; 4 la cual es la funci¶o n de bienestar econ¶o mico asociada a una funci¶o n de utilidad multiplicativa. V (a 1 ;r ) =
7 8 .3 1 D e te rm in a c i¶o n d e ta sa s d e in te r¶e s En la presente secci¶o n se determina la tasa de inter¶e s de equilibrio, r , a la que dos agentes, A y B, est¶an dispuestos a prestar y pedir prestado (bienes) entre ellos. Baj o este esquema propuesto, el prestatario puede transferir consumo de un periodo a otro. Suponga que el consumidor A s¶o lo cuenta con una dotaci¶o n positiva en el periodo 1, y 1A , y el consumidor B s¶o lo cuenta con una dotaci¶o n positiva en el periodo 2, y 2B . Las funciones de utilidad se eligen de tal manera que ambos consumidores requieran consumir en ambos periodos. En particular, se supone que ambos individuos tienen preferencias logar¶³tmicas. El problema de optimizaci¶o n intertemporal de A est¶a dado por Maximizar c A1 ;c A2
° ln c A1 + (1 ¡ ° ) ln c A2 ;
suj eto a:
0 < ° < 1;
y 1A = c A1 + `;
(1 + r ) ` = c A2 ; donde ` es la cantidad del bien presente que A est¶a dispuesto a sacri¯car en el periodo 1, con tal de consumir en el futuro, con lo cual su satisfacci¶o n ser¶a m¶axima. Observe tambi¶e n que al encontrar la demanda o¶ ptima de consumo presente, la decisi¶o n ` queda autom¶aticamente determinada. El Lagrangeano est¶a dado por L A (¸ ;c 1A ;c 2A ) = ° ln c 1A + (1 ¡ ° ) ln c 2A + ¸
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μ y 1A ¡ c A1 ¡
c A2 1+r
¶
:
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7 8 . E l co n su m id o r in tertem p o ra l d eterm in ista (I): ta sa s d e in ter¶e s
Las condiciones de primer orden son: @L A ° = A ¡ ¸ = 0; @ c A1 c1 @L A (1 ¡ ° ) ¸ = ¡ = 0; (1 + r ) @ c A2 c A2 @L A c 2A = y 1A ¡ c 1A ¡ = 0: @¸ (1 + r ) En consecuencia, c A2 =
(1 ¡ ° ) A c1 °R
(78:59)
donde R = 1= (1 + r ) . Si se sustituye (78.59) en la restricci¶o n presupuestal, se sigue que y 1A = c A1 + ¶o
(1 ¡ ° ) A c1 °
c A1 = ° y 1A :
Para el consumidor B, considere el siguiente problema: Maximizar c B1 ;c B2
μ ln c B1 + (1 ¡ μ ) ln c B2 ;
suj eto a:
0 < μ < 1;
c B1 = b; y 2B = (1 + r ) b + c B2 ;
donde b es la cantidad del bien de consumo presente que el consumidor B pedir¶a prestado. Por supuesto, el consumidor B tiene que sacri¯car consumo en el periodo 2 con tal de consumir en el presente. El Lagrangeano ahora es ¡ ¢ L B (¸ ;c 1B ;c 2B ) = μ ln c 1B + (1 ¡ μ ) ln c 2B + ¹ y 2B ¡ (1 + r ) c 1B ¡ c 2B : Las condiciones de primer orden son: @L μ = B ¡ ¹ (1 + r ) = 0; B @ c1 c1 @L 1¡ μ = B ¡ ¹ = 0; @ c B2 c2 @L = y 2B ¡ (1 + r ) c B1 ¡ c B2 = 0: @¸ Por lo tanto, (1 ¡ μ ) (1 + r ) B c1 : μ Si se sustituye (78.60) en la restricci¶o n presupuestal de B, se obtiene c B2 =
(78:60)
c B1 = μ R y 2B y
c B2 = (1 ¡ μ ) y 2B :
El equilibrio en el mercado de cr¶e dito se obtiene cuando ambos consumidores coinciden en las cantidades que desean prestar y pedir prestado de sus dotaciones, es decir, cuando coinciden en la cantidad de bienes que necesitan pedir prestado para vivir en el periodo 1 (en el caso de B) y en la cantidad de bienes que est¶an dispuestos a prestar para transferir su consumo al periodo 2
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(en el caso de A) . Es decir, la condici¶o n de equilibrio est¶a dada por b = `: As¶³, baj o la existencia de un solo mercado, el de cr¶e dito, se concluye que r=
y 2B μ ¡ y 1A (1 ¡ ° ) y 1A (1 ¡ ° )
donde, por supuesto, para garantizar que r > 0, se tiene que cumplir que y 2B μ > y 1A (1 ¡ ° ) : Este mismo resultado se puede obtener partiendo del equililibrio Walrasiano, determinado por la relaci¶o n y 1A + y 1B = c A1 + c B1 : ¶ Al respecto, es importante mencionar que Marie-Esprit-L¶ e on Walras (1834-1910) , de nacionalidad francesa, es considerado como uno de los m¶as destacados matem¶aticos y economistas. Walras introdujo por primera vez, en su trabajo \Elements of Pure Economics" (1874) , los conceptos de utilidad marginal y equilibrio general. Ahora bien, despu¶e s de sustituir las demandas ¶o ptimas c A1 y c B1 en la expresi¶o n anterior se puede concluir que y B μ ¡ y A (1 ¡ ° ) r= 2 A 1 : y 1 (1 ¡ ° ) En particular, si μ = ° = 21 , la tasa de inter¶e s de equilibrio satisface r= Para que r > 0, se debe cumplir que
y 2B ¡ y 1A : y 1A
y 2B > y 1A ;
lo cual signi¯ca que para que pueda existir intercambio entre los consumidores A y B, con las mismas preferencias, la dotaci¶o n inicial en el periodo 2 de B debe ser mayor que la de A en el periodo 1.
F u en te: w w w .eco n o m y p ro fesso r.co m
.
L¶e on Walras (1834-1910) .
7 8 .3 2 D e te rm in a c i¶o n d e ta sa s d e in te r¶e s e n tre m ¶a s d e d o s a g e n te s En el marco de la secci¶o n anterior, suponga ahora que se tienen N A consumidores del tipo A y N B consumidores del tipo B . Asimismo, suponga, por simplicidad, que μ = ° = 12 , entonces la condici¶o n de equilibrio N A b = N B ` conduce a r=
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N
B
y 2B ¡ N N A y 1A
A
y 1A
:
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7 8 . E l co n su m id o r in tertem p o ra l d eterm in ista (I): ta sa s d e in ter¶e s
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Igual que antes, para que r > 0, se debe cumplir que N
B
y 2B > N
A
y 1A :
Observe que ahora se puede dar intercambio entre los dos grupos de consumidores, tipos A y B, aun cuando la dotaci¶o n inicial de un agente del tipo B en el periodo 2 sea menor que la dotaci¶o n de un agente del tipo A en el periodo 1, es decir, y 2B < y 1A : En efecto, basta que N B sea lo su¯cientemente grande para que N B y 2B > N A y 1A :
7 8 .3 3 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Varian H. R. (1992) . Microeconomic Analysis. W. W. Norton & Company, New York. Mas-Collel, A., M. D. Whinston, and J. R. Green (1995) . Microeconomic Theory. Oxford University Press. Henderson M. J. and R. E. Quandt (1980) . Microeconomic Theory: A Mathematical Approach. McGraw-Hill. Venegas-Mart¶³nez, F. (2002) . \Liberaci¶o n comercial, distribuci¶o n del ingreso, capital humano, e imperfecciones del mercado de cr¶e dito educativo" . D en a riu s, R evista d e A d m in istra ci¶o n y E co n o m ¶³a , No. 6, pp. 79-102. Guti¶e rrez-Andrade, M., F. Venegas-Mart¶³nez y H. M. Bravo-P¶e rez (2005) . \Pol¶³tica Fiscal en el Manejo de los Recursos Hidr¶aulicos: Un modelo de equilibrio general computable" , E stu d io s E co n o¶ m ico s, Vol. 20, No. 2, pp. 219-261.
7 8 .3 4 E je rc ic io s 7 8 .1 Considere un consumidor intertemporal cuya funci¶o n de utilidad est¶a dada por u (c 1 ;c 2 ) = ln (c 1 ) + ln (c 2 ) : Si la restricci¶o n presupuestal de este individuo es a 1 = c 1 + R c 2 ; entonces el Lagrangeano asociado al problema de maximizaci¶o n de utilidad est¶a dado por: L = ln(c 1 ) + ln(c 2 ) + ¸ (a 1 ¡ c 1 ¡ R c 2 ) : Las condiciones de primer orden son: 1 1 ¡ ¸ = 0; ¡ ¸R = 0 y c1 + R c2 = a 1 ; c1 c2 lo cual implica que c 1 = R c 2 : Al sustituir la expresi¶o n anterior en la restricci¶o n presupuestal se tiene a1 c1 = : 2 Por lo tanto, a1 c2 = : 2R Suponga que las dotaciones del consumidor son de una unidad, es decir, y 1 = 1 y y 2 = 1, y la tasa de inter¶e s es 1= 2, entonces R = 2= 3 y a 1 = 5= 3. En consecuencia, c 1 = 5= 6 y c 2 = 5= 4. Suponga que la dotaci¶o n del periodo 1 se duplica, manteni¶e ndose la otra dotaci¶o n y tasa de inter¶e s sin cambios, es decir, dy 2 = 0 y dr = 0. Encuentre los cambios en los consumos, dc 1 y dc 2 . S o lu ci¶o n : El cambio en el consumo presente se calcula mediante 1 dc 1 = f [¸ R + c 2 (u 2 2 ¡ u 1 2 R ) ] dR ¡ (u 2 2 ¡ u 1 2 R ) da 1 g ; ¢ donde ¯ ¡2 ¯ ¯¡ c ¯ 0 ¡1 ¯ 1 ¯ ¡ 2 ¯ ¯ ¢ =¯ 0 ¡ c2 ¡R ¯ ¯¡ 1 ¯ ¡R 0 1 1 + 2R 2 c 22 c1 μ ¶2 μ ¶2 μ ¶2 4 2 6 = + 5 3 5 32 = : 25
=
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7 8 . E l co n su m id o r in tertem p o ra l d eterm in ista (I): ta sa s d e in ter¶e s
De esta manera,
½· μ ¶¸ μ ¶ ¾ 25 1 1 dc 1 = ¸ R + c2 ¡ 2 dR ¡ ¡ 2 da 1 32 c c2 ·μ ¶ 2 ¸ 25 1 1 = ¸R ¡ dR + 2 da 1 32 c2 c2 ·μ ¶ ¸ 25 1 1 = ¸R ¡ dR + 2 (dy 1 + y 2 dR + R dy 2 ) : 32 c2 c2
Recuerde que ¸ = u 1 =
1 c1
; as¶³ ½· ¸ ¾ 25 1 1 1 dc 1 = R ¡ dR + 2 (dy 1 + y 2 dR + R dy 2 ) : 32 c1 c2 c2
En virtud de que dy 1 = 1, dy 2 = 0 y dR = 0, se tiene que 25 1 dy 1 32 c 22 μ ¶2 25 4 = 32 5 1 = ; 2 lo cual signi¯ca que el consumidor aumentar¶a en 0.5 unidades su consumo presente si su dotaci¶o n presente se duplica, manteni¶e ndose sin cambios la dotaci¶o n en el futuro y la tasa de inter¶e s. dc 1 =
7 8 .2 Si u = c 1® c 2¯ , ® + ¯ = 1. Encuentre las demandas Marshallianas y la funci¶o n de utilidad indirecta. Con la funci¶o n de utilidad indirecta encuentre las funciones de demanda utilizando la identidad de Roy. Resuelva el problema de integraci¶o n, es decir, a partir de las funciones de demanda y la tasa marginal de sustituci¶o n encuentre la funci¶o n de utilidad. 7 8 .3 Considere un consumidor racional que resuelve el siguiente problema: Maximizar u (c 1 ;c 2 ) c 1 ;c 2
suj eto a:
y 1 ¸ c1 + b1 ;
y 2 + (1 + r ) b 1 ¸ c 2 ; c 1 ¸ 0; c 2 ¸ 0;
b 1 sin restricci¶o n en el signo: Suponga que en el o¶ ptimo b 1 > 0 y la primer restricci¶o n se alcanza con desigualdad estricta y 1 > c 1 + b 1 >Qu¶e sucede con los bienes excedentes y 1 ¡ c 1 ¡ b 1 ? 7 8 .4 Resuelva el problema Maximizar ® 1 ln(c 1 ¡ ¯ 1 ) + ® 2 ln(c 2 ¡ ¯ 2 ) ; c 1 ;c 2
sujeto a:
c1 > ¯ 1 ;
c2 > ¯ 2 ;
a 1 = c1 + R c2 :
7 8 .5 Considere el problema Maximizar u (c 1 ;c 2 ) ; c 1 ;c 2
sujeto a:
u 1 ;u 2 > 0;
a 1 = c1 + R c2 ; c 1 > 0; c 2 > 0:
Demuestre la existencia del multiplicador ¸ a trav¶e s del teorema de la funci¶o n impl¶³cita.
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7 8 . E l co n su m id o r in tertem p o ra l d eterm in ista (I): ta sa s d e in ter¶e s
S o lu ci¶o n : Sea g (c 1 ;c 2 ) = a 1 ¡ c 1 ¡ R c 2 = 0, entonces @g = ¡ R < 0: @ c2 En este caso, el teorema de la funci¶o n impl¶³cita implica que c 2 = c 2 (c 1 ) . De hecho, c 2 = c 2 (c 1 ) =
a 1 ¡ c1 : R
Observe ahora que u = u (c 1 ;c 2 (c 1 ) ) y g (c 1 ;c 2 (c 1 ) ) = 0. Si c 1 = c 1 (c 2 ) es ¶o ptimo, una condici¶o n necesaria es que du dc 2 0= = u1 + u2 : dc 1 dc 1 Asimismo, 0=
dg dc 2 = g1 + g2 dc 1 dc 1
¶o dc 2 g1 =¡ : dc 1 g2 Si se sustituye la ecuaci¶o n anterior en la condici¶o n necesaria previamente establecida, se sigue que μ ¶ g1 u1 + u2 ¡ : g2 Sea ¸ = ¡ u 2 = g 2 , entonces la expresi¶o n anterior se puede reescribir como u 1 + ¸ g 1 = 0: Dado que g 1 = ¡ 1 y g 2 = ¡ R , se concluye que u 1 ¡ ¸ =0;
u 2 ¡ ¸ R =0:
7 8 .6 Considere un consumidor racional que resuelve el siguiente problema: Maximizar u (c 1 ;c 2 ) ;
u 1 ;u 2 > 0;
c 1 ;c 2
sujeto a:
a 1 = c1 + R c2 ; c 1 > 0; c 2 > 0:
El Lagrangeano asociado a este problema est¶a dado por: L (c 1 ;c 2 ;¸ ;¹ 1 ;¹ 2 ) = u (c 1 ;c 2 ) + ¸ (a 1 ¡ c 1 ¡ R c 2 ) : Muestre que una condici¶o n su¯ciente de un m¶aximo es que ¯ ¯ ¯L 1 1 ¯L 2 1 ¯ ¯L 1 ¸
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L 12 L 22 L 2¸
L L
¯ ¯ ¯ ¯ 2 ¸ ¯> 0: 0 ¯ 1¸
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7 8 .7 Sea F tal que F 0 > 0. Considere el problema de programaci¶o n no lineal Maximizar F (u (c 1 ;c 2 ) ) ;
u 1 ;u 2 > 0;
c 1 ;c 2
suj eto a:
a 1 = c1 + R c2 ; c 1 > 0; c 2 > 0:
Suponga que u tiene segundas derivadas En este caso, L = F (u (c 1 ;c 2 ) ) ¡ ¸ (a 1 ¡ ¯ ¯L 1 1 ¯ ¯L 2 1 ¯ ¯L 1 ¸
parciales continuas y es estrictamente cuasic¶o ncava. c 1 ¡ R c 2 ) : Muestre que ¯ L 12 L 1¸ ¯ ¯ L 22 L 2¸ ¯ ¯> 0: L 2¸ L ¸ ¸ ¯
S o lu ci¶o n : Evidentemente, ¯ ¯ ¯L 1 1 ¯L 2 1 ¯ ¯L 1 ¸
L 12 L 22 L 2¸
L 1¸ L 2¸ L ¸¸
¯ ¯ ¯ (F 0) 3 ¯= ¯ ¸2 ¯
¯ ¯ ¯u 1 1 ¯u 2 2 ¯ ¯u 1
u 12 u 22 u2
u1 u2 0
¯ ¯ ¯ ¯: ¯ ¯
7 8 .8 Calcule los efectos ingreso y sustituci¶o n para una funci¶o n de utilidad cuasilineal. S o lu ci¶o n : Observe que u 1 = 1;
u 1 1 = 0;
u 1 2 = 0;
u2 =
1 ; c2
1 c 22
u 22 = ¡
y
u 2 1 = 0;
de tal manera que ¢ = 1= c 22 . Las condiciones de primer orden conducen a c 2 = R c 1 = a 1 ¡ 1. Por lo tanto, u 1 = 1 = ¸ . As¶³, el efecto sustituci¶o n satisface @ c1 ¯ ¯ ¯ @r u=
u0
=¡
¸R 3 = ¡ ¸ c 22 R ¢
3
¡ 1
y
= ¡ ¸R = ¡ R :
Asimismo, el efecto ingreso presente es c2 R
2
@ c1 ¯ ¯ ¯ @ y1 r=
r0
= c2 R
2
μ ¶ 1 ¡ u 2 2 = c2 R ¢
2
=R :
Es importante notar que, en este caso, el efecto ingreso presente compensa el efecto sustituci¶o n presente. Por u¶ ltimo, el efecto ingreso futuro est¶a dado por: @ c1 ¯ ¯ ¡ y2R = ¡ y 2 R (R ) = ¡ y 2 R 2 : ¯ @ y 2 r= r0 7 8 .9 Obtenga las ecuaciones de Slutsky a trav¶e s del teorema de la funci¶o n impl¶³cita. S o lu ci¶o n : Sea F : IR6 ¡ ! IR3 de¯nida por F (c 1 ;c 2 ;¸ ;y 1 ;y 2 ;r ) =(f (1 ) (c 1 ;c 2 ;¸ ;y 1 ;y 2 ;r ) ;f (2 ) (c 1 ;c 2 ;¸ ;y 1 ;y 2 ;r ) ;f (3 ) (c 1 ;c 2 ;¸ ;y 1 ;y 2 ;r ) ) ´ (u 1 ¡ ¸ ;u 2 ¡ ¸ R ;a 1 ¡ c 1 ¡ R c 2 ) ; donde R = 1= (1 + r ) . Suponga que el determinante de la matriz Jacobiana satisface ¯ ¯ (1 ) (2 ) (3 ) ¯ ¯ (1 ) (2 ) (3 ) ¯ ¯ f f f ¯ ¯ 1 1 1 ¯@ (f ;f ;f ) ¯ ¯ (1 ) (2 ) (3 ) ¯ ¯= ¯f jJ F (c 1 ;c 2 ;¸ ) j = ¯ f2 f 2 ¯6= 0; ¯ @ (c 1 ;c 2 ;¸ ) ¯ ¯2 (1 ) (2 ) (3 ) ¯ ¯f f¸ f¸ ¯ ¸
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7 8 . E l co n su m id o r in tertem p o ra l d eterm in ista (I): ta sa s d e in ter¶e s
donde (i)
fj
=
@ f (i) ; j = 1;2; i = 1;2;3 @ cj
y
(i)
f¸
=
@ f (i) ; @¸
i = 1;2;3:
El teorema de la funci¶o n impl¶³cita implica que existe g = (g (1 ) ;g (2 ) ;g (3 ) ) tal que localmente c 1 = g (1 ) (y 1 ;y 2 ;r ) ;
c 2 = g (2 ) (y 1 ;y 2 ;r )
y
¸ = g (3 ) (y 1 ;y 2 ;r ) :
Adem¶as 0
(1 )
g B 1(1 ) @ g2 (1 ) g¸
(2 )
g1 (2 ) g2 (2 ) g¸
1 0 (1 ) (3 ) g1 f1 (3 ) C B (1 ) g2 A @ f2 (3 ) (1 ) g¸ f¸
(2 )
f1 (2 ) f2 (2 ) f¸
1 0 (1 ) (3 ) f1 fy1 C (3 ) (1 ) f2 A = ¡ @ fy2 (1 ) (3 ) fr f¸
(2 )
fy1 (2 ) fy2 (2 ) fr
(3 ) 1 fy1 (3 ) fy2 A : (3 ) fr
Si se denotan c 1 = c 1 (y 1 ;y 2 ;r ) ;c 2 = c 2 (y 1 ;y 2 ;r ) , ¸ = ¸ (y 1 ;y 2 ;r ) y R = 1= (1 + r ) , entonces la expresi¶o n anterior se transforma en 0
B B B @
@ c1 @ y1 @ c1 @ y2 @ c1 @r
@ c2 @ y1 @ c2 @ y2 @ c2 @r
@¸ @ y1 @¸ @ y2 @¸ @r
1
0 C u 11 C@ C u 21 A ¡1
u 12 u 22 ¡R
1 0 ¡1 0 ¡ R A = ¡ @0 0 0
0 0
1 R
R 2¸
R 2 (c 2 ¡ y 2 )
1
A:
En este caso, 0
u 11 @ u 21 ¡1
u 12 u 22 ¡R
1¡ ¡1 ¡R A 0
1
0
¡R 2 1 @ = R ¢ u 22 ¡ R u 12
1 u 22 ¡ R u 12 R u 11 ¡ u 21 A : u 1 1 u 2 2 ¡ u 21 2
R ¡1 R u 11 ¡ u 21
Por lo tanto, 0
B B B @
0
=@
@ c1 @ y1 @ c1 @ y2 @ c1 @r
¡
¸R ¢
1 @ c2 @¸ @ y1 @ y1 C @ c2 @¸ C C @ y2 @ y2 A @ c2 @¸ @r @r ¡ ¢1 (u 2 2 ¡ R u 1 2 ) ¡ ¢R (u 2 2 ¡ R u 1 2 ) 3 + R 2 c 2 @@ yc 11 ¡ R y 2 @@ yc 12
¸R ¢
¡ ¢1 (R u 1 1 ¡ u 1 2 ) ¡ ¢R (R u 1 1 ¡ u 1 2 ) 2 + R 2 c 2 @@ yc 21 ¡ R y 2 @@ yc 22
¸R
1 2 ¢ (u 1 1 u 2 2 ¡ u 1 2 ) R 2 ¢ (u 1 1 u 2 2 ¡ u 1 2 ) @¸ 2 @ c2 @ y 1 + (c 2 ¡ y 2 ) R @ y 2
¡ ¡
1
A:
7 8 .1 0 Obtenga las demandas Marshallianas a partir de las Hicksianas cuando la funci¶o n de utilidad es multiplicativa. Repita el ej ercicio para la funci¶o n de utilidad logar¶³tmica. Rec¶³procamente, a partir de las demandas Marshallianas obtenga las Hicksianas tanto para la utilidad multiplicativa como para la logar¶³tmica. 7 8 .1 1 Considere las funciones de utilidad logar¶³tmica y multiplicativa, obtenga las funciones de gasto m¶³nimo a partir de la funci¶o n de utilidad indirecta y viceversa. 7 8 .1 2 Resuelva el problema del consumidor racional intertemporal para el caso de tres periodos. 7 8 .1 3 Considere un consumidor que toma decisiones en un horizonte de planeaci¶o n [0;T ] . Subdivida [0;T ] en n subintervalos de igual longitud y escriba el problema de un consumidor racional que toma n + 1 decisiones en los puntos extremos de dichos subintervalos. Tome
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el l¶³mite cuando el n¶u mero de subintervalos, n , tiende a 1 y muestre que el problema se transforma en: ZT Maximizar u (c t ) e ¡ ½ t dt ct
0
sujeto a:
ZT
y te ¡
rt
dt =
0
ZT
cte ¡
rt
dt:
0
7 8 .1 4 Suponga que y t = y =constante. Sea a 0 = y = r . Muestre que si se cumple la condici¶o n de transversalidad lim t! 1 k t e ¡ A t = 0, entonces la restricci¶o n a0 =
Z1
c te ¡
rt
dt;
0
puede ser reescrita como a_ t = r a t ¡ c t .
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C A P ¶IT U L O 79 E L C O N S U M ID O R IN T E R T E M P O R A L D E T E R M IN IS T A (II): D E C IS IO N E S E C O N O¶ M IC A S D IV E R S A S C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ²
Oferta de trabajo Demanda de inversi¶o n Demanda de saldos monetarios reales Decisiones en tiempo continuo
7 9 .1 In tro d u c c i¶o n En este cap¶³tulo se extiende el modelo del consumidor racional en varias direcciones. Se obtiene la oferta de trabaj o y las demandas de inversi¶o n y de saldos monetarios reales de un consumidor en el marco de equilibrio intertemporal.
7 9 .2 O fe rta d e tra b a jo En esta secci¶o n se estudia el problema de decisi¶o n intertemporal entre consumo y ocio. El tratamiento que se dar¶a a este problema es muy simple, pero proporciona los fundamentos microecon¶o micos necesarios para obtener la oferta de trabaj o y las variables que la determinan. La oferta de trabaj o se obtiene como el residual del tiempo total disponible y la demanda de ocio (el tiempo que no se dedica al mercado laboral) . Considere un consumidor racional que maximiza su utilidad tanto de un bien de consumo como del ocio (el tiempo que dedica al esparcimiento) . En lo que sigue, el ¶³ndice de satisfacci¶o n del consumidor se denotar¶a por, u (c 1 ;c 2 ;` 1 ;` 2 ) . Por simplicidad, se considera una forma funcional cuasi-lineal: 1 1 u (c 1 ;c 2 ;` 1 ;` 2 ) = c 1 + ln(c 2 ) + ln(` 1 ) + ln(` 2 ) ; 1+½ 1+Á donde ½ y Á son las tasas sub jetivas de descuento del consumo y del ocio, respectivamente. As¶³ pues, un consumidor racional resuelve el problema: 1 1 ln(c 2 ) + ln(` 1 ) + ln(` 2 ) 1+½ 1+Á sujeto a: N 1 W 1 = P 1 c 1 + B ;
Maximizar c 1 +
N 2W
+ B (1 + r + ¼ ) = P 1 (1 + ¼ ) c 2 ;
2
T1 = N
1
+ `1 ;
T2 = N
2
+ `2 ;
(79:1)
donde r + ¼ es la tasa de inter¶e s nominal, B es un t¶³tulo de deuda en t¶e rminos nominales, T j es el tiempo total disponible, en el periodo j = 1;2 que se asigna tanto a ocio, ` j , como a trabaj o, N j . Asimismo, p j y W j son, respectivamente, el precio del bien y el salario nominal por hora trabaj ada en el periodo j . Observe que P 2 = P 1 (1 + ¼ ) ;
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7 9 . E l co n su m id o r in tertem p o ra l d eterm in ista (II): d ecisio n es eco n ¶o m ica s d iv ersa s
donde ¼ es la tasa de in°aci¶o n entre los periodos 1 y 2. Las cuatro restricciones del problema de optimizaci¶o n (79.1) se pueden consolidar como: T 1W
1
+
T 2W 2 = P 1 c1 + W 1+r+¼
1 `1
+
P 1 c2 W 2 `2 + ; 1+r 1+r+¼
donde se ha utilizado (1 + r ) (1 + ¼ ) ¼ 1 + r + ¼ v¶alida para r ¼ su¯cientemente peque~n a. El Lagrangeano asociado al problema de decisi¶o n del consumidor se de¯ne como: 1 1 ln(c 2 ) + ln(` 1 ) + ln(` 2 ) 1+½ 1+Á μ ¶ P 1 c2 W 2 `2 + ¸ A 1 ¡ P 1 c 1 ¡ W 1 `1 ¡ ¡ ; 1+r 1+r+¼
L ´ c1 +
donde
T 1W 2 1+r+¼ y ¸ es el multiplicador de Lagrange asociado a la restricci¶o n presupuestal-temporal del consumidor. Las condiciones de primer orden para una soluci¶o n interior est¶an dadas por: A
@L = 0; @ c1
1
= T 1W
@L = 0; @ c2
2
+
@L = 0; @ `1
@L =0 @ `2
y
@L = 0: @¸
Equivalentemente,
8 1 ¡ ¸ P 1 = 0; > > > > > 1 1 > > ¡ ¸P 1 = 0; > > (1 + ½ ) c 1 + r > 2 > > > < 1 ¡ W 1 ¸ = 0; `1 > > > 1 W 2 > > ¡ ¸ = 0; > > > (1 + Á ) ` 2 1+r+¼ > > > > W 2 `2 > : A 1 ¡ P 1 c1 ¡ W 1 `1 ¡ P 1 c 2 ¡ = 0: 1+r 1+r+¼ De las condiciones anteriores se obtienen los siguientes resultados: μ ¶ P1 1+r P1 1+r+¼ `1 = ; c2 = ; `2 = W 1 1+½ W 2 1+Á
y c1 =
μ 1+
A1 ¡ P1
1 1 + 1+½ 1+Á
¶
:
Por supuesto, se supone que A1 1 1 > 1+ + : P1 1+½ 1+Á La gran ventaj a de utilizar una funci¶o n de utilidad cuasi-lineal en el consumo es que inmediatamente se determina el valor de equilibrio de ¸ . Ahora bien, observe que T 1 = N 1 + ` 1 , por lo tanto μ ¶¡ 1 W 1 N 1 = T1 ¡ : P1 Por supuesto, se supone que T 1 > (W est¶a dada por: N
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1
1=P 1)
=N
1
¡ 1
; se concluye que la oferta de trabaj o del consumidor μ ¶ W 1 con N 10 > 0: P1
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7 9 . E l co n su m id o r in tertem p o ra l d eterm in ista (II): d ecisio n es eco n ¶o m ica s d iv ersa s
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7 9 .3 D e m a n d a d e in v e rsi¶o n Considere de nuevo el modelo b¶asico de consumo intertemporal de dos periodos en donde se incluye la demanda por inversi¶o n. El capital nuevo que se destina a la producci¶o n en el primer periodo se denotar¶a por I 1 . Se supone que I 0 = 0, es decir antes del periodo de an¶alisis el capital es cero. Se supone una tecnolog¶³a F (I ) con F (0) = 0, F 0(I ) > 0 y F 00(I ) < 0. En este caso, el problema de decisi¶o n del consumidor racional, con posibilidades de inversi¶o n, se plantea como: 1 ln(c 2 ) ; 1+½ suj eto a: y 1 = c 1 + I 1 + b;
Maximizar c 1 +
b(1 + r ) + y 2 + F (I 1 ) = c 2 : Las dos restricciones del problema anterior se pueden consolidar como: y 1 ¡ I1 +
y 2 + F (I 1 ) c2 = c1 + : 1+r 1+r
En este caso, el Lagrangeano asociado al problema de maximizaci¶o n de utilidad es L = c1 +
1 ln(c 2 ) + ¸ 1+½
μ ¶ y 2 + F (I 1 ) c2 y 1 ¡ I1 + ¡ c1 ¡ : 1+r 1+r
La condici¶o n de primer orden para una soluci¶o n interior de la demanda de inversi¶o n est¶a dada por: @L F 0(I 1 ) 0= =¡1+ : @ I1 1+r p Si, por ej emplo, F (I 1 ) = A I 1 , entonces I1 =
A2 1 : 4¸ 2 (1 + r ) 2
Las condiciones de primer orden para el consumo presente y futuro est¶an dadas por 1=¸
y
En consecuencia, I1 =
μ
A2 4
c2 = ¶
1+r : 1+½
1 : (1 + r ) 2
En vista de que la inversi¶o n i, est¶a dada por i = I 1 ¡ I 0 = I 1 , se obtiene i = i(r ) ;
i0 < 0:
Por otro lado, la demanda del consumo presente satisface c1 = a 1 +
A2 1 ¡ ; 2(1 + r ) 2 1+½
donde a 1 = y 1 ¡ I1 +
y2 ; 1+r
para lo cual se supone que a1 +
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A2 1 > : 2 2(1 + r ) 1+½
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Observe que el valor presente neto, VPN, del proyecto de inversi¶o n es F (I 1 ) ¡ I1 : 1+r
VPN =
La inversi¶o n I 1 que maximiza el VPN satisface F 0(I 1 ) = 1: 1+r Es decir, la inversi¶o n ¶o ptima I 1 cumple con la condici¶o n de primer orden. Esta caracter¶³stica del problema de maximizaci¶o n de utilidad es conocida como el teorema de separaci¶o n de Fischer, el cual establece que para resolver el problema del consumidor-inversionista es posible resolver primero el problema de maximizar el VPN y posteriormente utilizar el nivel de inversi¶o n ¶o ptimo en un problema de maximizaci¶o n de utilidad que involucra u¶ nicamente las decisiones de consumo.
7 9 .4 D e m a n d a d e sa ld o s re a le s m o n e ta rio s En esta secci¶o n se estudia la demanda de dinero de un consumidor. En este caso, el consumidor obtiene satisfacci¶o n del dinero que lleva consigo por sus servicios de liquidez. El traer dinero en la bolsa hace que el individuo se sienta feliz por permitirle comprar bienes cuando quiera. Es frecuente estudiar la demanda de dinero en t¶e rminos reales, es decir, en t¶e rminos de los bienes que el individuo pueda comprar con el efectivo que trae en su cartera. As¶³, en el marco de un modelo de dos periodos, el consumidor racional adem¶as de decidir cu¶anto consumir en cada periodo, tiene que decidir cu¶anto dinero demandar¶a en el primer periodo. Si M 1 es la cantidad nominal de dinero que trae en la bolsa un consumidor, entonces M 1 = P 1 representa su poder adquisitivo. Considere un consumidor racional que resuelve el problema: 1 Maximizar ln(c 1 ) + ln(c 2 ) + ln 1+½ M 1 suj eto a: y 1 = c 1 + + b; P1 M 1 y 2 + b(1 + r ) + = c2 : P2 Si ahora se denota m
1
=M
1=P 1,
μ
M 1 P1
¶ (79:2)
las restricciones se conjuntan en
a1 = m
1
+ c1 +
c2 m 1 ¡ 1+r 1+r+¼
con a1 = y1 + P 2 = P 1 (1 + ¼ )
y
(79:3)
1 y2; 1+r
(1 + r ) (1 + ¼ ) ¼ 1 + r + ¼ :
El Lagrangeano asociado al problema de decisi¶o n del consumidor se de¯ne como: 1 L ´ ln(c 1 ) + ln(c 2 ) + ln(m 1 ) + ¸ 1+½
μ a 1 ¡ c1 ¡
c2 +m 1+r
1
μ 1¡
1 1+r+¼
¶¶
;
donde ¸ es el multiplicador de Lagrange asociado a la restricci¶o n presupuestal intertemporal. Las condiciones de primer orden para una soluci¶o n interior est¶an dadas por: @L = 0; @ c1
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@L = 0; @ c2
@L =0 @m 1
y
@L = 0: @¸
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Equivalentemente,
8 1 > > ¡ ¸ = 0; > > c1 > > > > 1 1 > > > < (1 + ½ ) c 2 ¡ ¸ 1 + r = 0; μ ¶ r+¼ > > 1 ¡ ¸ = 0; > > > m 1 1+r+¼ > > μ ¶ > > c2 r+¼ > > : a 1 = c1 + +m 1 : 1+r 1+r+¼
Por lo tanto,
1+r c2 = c1 ; 1+½
m
1
1 = ¸
μ
r+¼ +1 r+¼
¶
μ = 1+
1 r+¼
¶
c1 :
As¶³, a partir de la restricci¶o n presupuestal, la cantidad de consumo presente de equilibrio satisface: μ ¶ 1 3 + 2½ a 1 = c1 + c1 + c1 = c1 1+½ 1+½ ¶o c1 = a 1 En consecuencia, m
1
μ = 1+
1 r+¼
¶
1+½ : 3 + 2½
1+½ 3 + 2½
μ y1 +
y2 1+r
¶
:
En particular, si y 2 = 0, entonces m
1
= m 1 (y 1 ;r + ¼ )
@m 1 > 0 @ y1
con
y
@m 1 < 0: @ (r + ¼ )
(79:4)
7 9 .5 D in e ro e n la fu n c i¶o n d e u tilid a d , tie m p o c o n tin u o Una de las formas m¶as simples de obtener la demanda de saldos reales de un consumidor es a trav¶e s del control o¶ ptimo determinista en tiempo continuo. Se supone que el consumidor obtiene utilidad del dinero que mantiene en su bolsillo por sus servicios de liquidez. En este caso, el problema de decisi¶o n de un consumidor racional est¶a dado por: Z1 Maximizar [ln(c t ) + μ ln(m t ) ] e ¡ r t dt 0
suj eto a: m_ t + b_ t = r b t ¡ ¼ m m
0
y
t
¡ ct + y t;
(79:5)
b 0 conocidos;
donde b t es un bono que paga una tasa de inter¶e s, r , constante y libre de riesgo de incumplimiento, m t es la tenencia de saldos reales, ¼ es la tasa de in°aci¶o n, constante, a la cual se deprecian los saldos reales, y t es el ingreso constante y c t es el bien gen¶e rico de consumo. Si se denota la riqueza real mediante a t = m t + b t , la restricci¶o n presupuestal se puede escribir como: a_ t = r a t ¡ (r + ¼ ) m
t
¡ c t + y t:
En este caso, m t = M t = P t donde M t es la cantidad nominal de dinero en propiedad del consumidor y P t es el nivel general de precios de la econom¶³a. El problema de decisi¶o n del consumidor es un problema de control ¶o ptimo determinista donde c t y m t son las variables de control y a t es la variable de estado. El Hamiltoniano asociado al problema de control ¶o ptimo (79.5) se de¯ne mediante H = ln(c t ) + μ ln(m t ) + ¸ [r a t ¡ (r + ¼ ) m t ¡ c t + y t ] ;
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donde ¸ (la variable de coestado) es el multiplicador de Lagrange asociado a la restricci¶o n presupuestal. Las condiciones de primer orden est¶an dadas por: @H = 0; @ ct Equivalentemente,
@H @m
=0
@H = ¸_ t ¡ r ¸ t : @ at
¡
y
t
8 1 > ¡ ¸ t = 0; > > > < ct μ > > m t ¡ ¸ (r + ¼ ) = 0; > > : ¸_ t = 0:
A partir de la segunda y tercera ecuaciones se sigue que M t μ = Pt ¸
μ
1 r+¼
¶
;
donde ¸ t = ¸ =constante. Asimismo, en vista de que el lado derecho de la ecuaci¶o n anterior s¶o lo contiene par¶ametros que determinan caracter¶³sticas de la econom¶³a en el modelo, se sigue que la demanda de saldos reales es independiente del tiempo, es decir, μ
M μ = P ¸
1 r+¼
¶
:
Falta por determinar el multiplicador ¸ . Note que al sustituir las condiciones de primer orden en la restricci¶o n presupuestal se sigue que μ 1 ¡ + y t: ¸ ¸
a_ t = r a t ¡ Si y t = y =constante, se tiene que Z1 0
(r a t ¡ a_ t ) e ¡
rt
dt =
1+μ y ¡ : r¸ r
Por otro lado, integraci¶o n por partes del lado izquierdo de la ecuaci¶o n anterior conduce a: Z1 0
(r a t ¡ a_ t ) e ¡
rt
dt = a 0 ¡ lim a t e ¡ t! 1
rt
:
Se supone a continuaci¶o n que la siguiente condici¶o n de \no Ponzi game" se cumple: lim a t e ¡
rt
t! 1
= 0;
es decir, el consumidor no puede estar ¯nanciando consumo con deuda en forma permanente (no se permiten pir¶amides) . En consecuencia, a0 + de donde
ra 0 + y 1 = ; r (1 + μ ) ¸
as¶³ M t = Pt
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y 1+μ = ; r ¸
μ
μ 1+μ
¶
a 0 + (y = r ) : (r + ¼ )
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Se puede concluir, de la ecuaci¶o n anterior, que la demanda de saldos reales satisface M t = m (y ;r + ¼ ) ; Pt
m
1
> 0; m
2
< 0:
(79:6)
7 9 .6 R e stric c i¶o n \ c a sh -in a d v a n c e " y d e m a n d a d e sa ld o s re a le s, tie m p o c o n tin u o Se supone ahora que se requiere dinero para ¯nanciar el consumo. En este caso, el problema de decisi¶o n de un consumidor est¶a dado por: Z1 Maximizar ln(c t ) e ¡ r t dt 0
suj eto a: m_ t + b_ t = r b t ¡ ¼ m m
t
m
0
¡ c t + y t;
t
(79:7)
= ® c t (condici¶o n \cash-in advance" ) , y
b 0 conocidos;
donde b t , r , m t , ¼ , y t = y y c t se de¯nen como en las secciones anteriores. El par¶ametro ® mide el tiempo promedio en el que se llevan a cabo las compras del bien de consumo. Si se de¯ne la riqueza real mediante a t = m t + b t , la restricci¶o n presupuestal se puede escribir como: a_ t = r a t ¡ (r + ¼ ) m
t
+ ct + y :
El problema de decisi¶o n del consumidor es un problema de control o¶ ptimo determinista donde c t y m t son las variables de control y a t es la variable de estado. El Hamiltoniano asociado al problema de control o¶ ptimo (79.7) se de¯ne mediante H = ln(c t ) + ¸ [r a t ¡ (r + ¼ ) m
t
¡ c t + y ] + ¹ (m
t
¡ ® c t) :
Las condiciones de primer orden satisfacen @H = 0; @ ct Equivalentemente,
@H @m
=0
¡
y
t
@H = ¸_ t ¡ r ¸ t : @ at
8 1 > > > < c t ¡ ¸ t ¡ ¹ ® = 0; ¡ ¸ t (r + ¼ ) + ¹ = 0; > > > : _ ¸ t = 0:
En consecuencia, ¸ t = ¸ =constante y c t = c =constante, as¶³ c= Por otro lado, el valor del par¶ametro ¸ Z1 y a0 + = r Z0 1 = Z0 1 =
1 : ¸ [1 + ® (r + ¼ ) ]
se determina mediante (r a ¡ a_ ) e ¡ ce ¡
rt
dt +
rt
dt Z1
m (r + ¼ ) e ¡
rt
dt
0
c[1 + ® (r + ¼ ) ] e ¡
rt
dt
0
=
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1 : ¸r
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Por lo tanto, M t ra 0 + y = ¡1 : Pt ® +r+¼ As¶³, M t = m (y ;r + ¼ ) ; Pt
con
m
1
> 0; m
2
< 0:
Los efectos de la demanda transaccional (producci¶o n) y la demanda especulativa (tasa de inter¶e s nominal) coinciden con los encontrados en (79.6) .
7 9 .7 C o sto s d e a ju ste y d e m a n d a d e sa ld o s re a le s e n tie m p o c o n tin u o A continuaci¶o n se supone que para ¯nanciar el consumo el individuo requiere liquidez. Para ello, el individuo incurre en un costo real de transacci¶o n proporcional a la cantidad de bienes, y t , que compra durante el instante dt, por ej emplo, el costo de los viaj es al banco para vender activos. Suponga tambi¶e n que entre mayor sea la cantidad de saldos reales que el individuo mantiene en su bolsillo, el n¶u mero de viaj es al banco es menor, situaci¶o n que reduce los costos de transacci¶o n. Espec¶³¯camente, se supone que los costos de transacci¶o n est¶an dados por C (m t ) dt = ±
yt dt; m t
(79:8)
donde ± > 0 es una constante. El problema de decisi¶o n que resuelve el consumidor es entonces Maximizar
Z1
ln(c) e ¡
rt
dt
0
sujeto a: a_ t = r a t ¡ (r + ¼ ) m
t
¡ ct + y t ¡ ±
yt : m t
El Hamiltoniano asociado al problema de control ¶o ptimo (4.5) se de¯ne mediante · H = ln(c t ) + ¸ r a t ¡ (r + ¼ ) m La condici¶o n de primer orden asociada a m
t
t
¡ ct ¡ ±
¸ yt : m t
es @H @m
= 0: t
Equivalentemente, ¡ (r + ¼ ) + ¶o m Es decir, M t = P t = m (y ;r + ¼ ) con m
1
t
=
μ
> 0ym
±yt =0 m 2t
±yt r+¼ 2
¶ 12
:
(79:9)
< 0:
7 9 .8 D e m a n d a d e tra b a jo e n tie m p o c o n tin u o La empresa representativa se supone competitiva. La producci¶o n, y t , de la empresa al instante t es determinada por la tecnolog¶³a: y t = F (K t ;N t ) ; (79:10) donde K t es el stock de capital y N t es el trabaj o. Se supone adem¶as que el producto marginal del capital es positivo pero decreciente y que capital y trabaj o son complementos en la producci¶o n. Esto es, F K ;F N > 0; F K K ;F N N < 0 y F K N > 0: (79:11)
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Se supone que la funci¶o n de producci¶o n, F , es homog¶e nea de grado uno en K ¸ F (K t ;N t ) = F (¸ K t ;¸ N t ) ;
t
y N t , es decir,
para toda ¸ > 0:
(79:12)
En virtud del teorema de Euler sobre funciones homog¶e neas se sigue que yt =
@F K @K t
t
+
@F N t: @N t
Tambi¶e n, debido a la homogeneidad de grado uno de F , @ @ F (K t ;N t ) = F (¸ K t ;¸ N t ) ; @K @¸K t si se escoge ¸ = 1=N t , se tiene que @ @ F (K t ;N t ) = F @K t @ (K t =N t )
μ
¶ K t ;1 : N t
(79:13)
De esta forma, el producto marginal del capital depende solamente de la raz¶o n entre capital y trabaj o. Similarmente, el producto marginal del trabaj o depende s¶o lo de la raz¶o n entre capital y trabaj o. En esta econom¶³a que produce un solo bien multi-prop¶o sitos, el capital representa el stock de dicho bien disponible u¶ nicamente para la producci¶o n. Si se supone ahora que hay n empresas id¶e nticas en la econom¶³a, la producci¶o n total, y¹t , satisface y¹t =
Xn
i= 1
=FK
y it = μ
Xn
F (K
it ;N it )
=
i= 1
K N
it it
;1
¶ Xn
Xn
[F K (K
μ
it
i= 1
K
it
+FN
i= 1
K N
it
;1
it ;N it ) K it
¶ Xn
+ F N (K
it ;N it ) N it ]
(79:14) N
it ;
i= 1
ya que el producto marginal depende s¶o lo de laPraz¶o n K it P =N it la cual es igual para todas las empresas. Dicha raz¶o n tambi¶e n debe ser igual a ni= 1 K it = ni= 1 N it , por lo tanto, y¹ = F K (K t =N t ) K t + F N (K t =N t ) N t ; (79:15) Pn donde K t = i= 1 K it y N t = i= 1 N it . Aplicando de nuevo el teorema de Euler se tiene para la industria que y¹t = F (K t ;N t ) . Note que F N y F K son tambi¶e n los productos marginales del trabaj o y del capital de cada una de las empresas, raz¶o n por la que es su¯ciente estudiar a la empresa representativa. Pn
7 9 .8 .1 M e rc a d o d e c a p ita l c o n c o sto s d e a ju ste Suponga que existe un mercado de bienes de capital en el que participan las empresas con costos de aj uste en el stock de capital (aumento en el tama~n o de planta) . En particular, suponga que dichos costos (en bienes por unidad de tiempo) toman la forma μ ¶2 ® dK t C = ; ® > 0; (79:16) 2 dt con esta especi¯caci¶o n los costos crecen r¶apidamente cuando la inversi¶o n aumenta. Suponga tambi¶e n que la empresa representativa toma como dados el precio del bien que produce, P t , y el salario (nominal) del trabajo que contrata, W t . El problema de optimizaci¶o n intertemporal que resuelve la empresa representativa consiste en encontrar las demandas de trabaj o, N t , e inversi¶o n, it , que maximicen el valor presente del °ujo de bene¯cios (nominales) futuros. En otras palabras, la empresa resuelve Z1 h ® i Maximizar P t F (K t ;N t ) ¡ W t N t ¡ P t it ¡ P t it2 e ¡ r t dt; 2 0 suj eto a:
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dK t = it ; K dt
0
dado.
(79:17)
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Aqu¶³, P t F (K t ;N t ) es el ingreso por ventas, W t N t es el pago de la n¶o mina, P t it representa el costo de adquisici¶o n de capital nuevo por unidad de tiempo y r es la tasa real de inter¶e s que prevalece en la econom¶³a, la cual se supone constante. Si el gobierno emite bonos, que pagan una tasa nominal, y las empresas s¶o lo emiten acciones, entonces bonos y acciones son sustitutos perfectos. Suponga que W t est¶a indexado a la in°aci¶o n, P t = P 0 e ¼ t , entonces la tasa nominal de inter¶e s que pagan los bonos, r + ¼ , es la apropiada para descontar el °uj o de los bene¯cios futuros. Por lo tanto, el valor presente de dicho °uj o es: Z1 h ® i P 0 e ¼ t F (K t ;N t ) ¡ W 0 e ¼ t N ¡ P 0 e ¼ t it ¡ P 0 e ¼ t it2 e ¡ 2 0 Z1 h ® 2 i ¡ rt =P 0 F (K t ;N t ) ¡ w 0 N t ¡ it ¡ it e dt; 2 0
(r + ¼ )t
dt (79:18)
donde w 0 = W 0 = P 0 es el salario real. Note que (79.18) coincide en esencia con la funcional de (79.17) . El Hamiltoniano en valor presente para el problema (79.17) est¶a dado por H (N t ;it ; ¸ ) = F (K t ;N t ) ¡ w 0 N
t
¡ it ¡
® 2 i + ¸ t it : 2 t
(79:19)
Las condiciones (necesarias) de primer orden son: @H = 0; @N t
@H = 0; @ it
¡
@H d¸ t = ¡ ¸ r; @K t dt
(79:20)
equivalentemente FN =w ;
¡ (1 + ® it ) + ¸ = 0;
d¸ t = ¸ tr ¡ F K ; dt
(79:21)
donde F K = @ F = @ K t . La primera ecuaci¶o n genera la demanda de trabaj o, de donde al tiempo t = 0, @N 0 N 0 = N (w 0 ;K 0 ) ; < 0: (79:22) @w 0 Al diferenciar la segunda ecuaci¶o n de (79.21) y sustituir el resultado en la tercera, se tiene d2K t dK t 1 ¡ r + (F K ¡ r ) = 0: 2 dt dt ®
(79:23)
Para obtener una soluci¶o n simple de esta ecuaci¶o n diferencial, se supone que el mercado de trabaj o est¶a en equilibrio, es decir, existe w 0 tal que w 0 = F N (1;N t = K t ) = F N (1;N t = K t ) . De lo anterior, se deduce que N t = K t es constante y, por lo tanto, F K es constante. En consecuencia, (79.23) se transforma en una ecuaci¶o n diferencial con coe¯cientes constantes y cuya soluci¶o n est¶a dada por μ ¶ dK t 1 FK ¡ r it = = ¯ ert + ; (79:24) dt ® r donde ¯ es una constante por determinar. Si ¯ = 6 0, entonces los costos de aj uste se tornan no acotados y generar¶³an bene¯cios negativos. Por lo tanto, ¯ = 0. As¶³ pues, i = i(r ) =
dK t 1 = (q ¡ 1) ; dt ®
@i < 0; @r
(79:25)
donde q = F K = r es la q de Tobin (raz¶o n entre los rendimientos de capital y bonos) . En la siguiente secci¶o n se proporcionar¶a una interpretaci¶o n a este cociente. As¶³ pues, la demanda de inversi¶o n depende en forma inversa de la tasa de inter¶e s (costo de oportunidad por invertir en acciones) .
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7 9 .8 .2 M e rc a d o d e c a p ita le s sin c o sto s d e a ju ste En ausencia de costos de ajuste, el ob jetivo de la empresa representativa es: ¸ Z1 · dK t ¡ r t Maximizar P t F (K t ;N t ) ¡ W t N t ¡ P t e dt: dt 0
(79:26)
Observe que integraci¶o n por partes del tercer t¶e rmino del integrando de (79.26) conduce a Z1 Z1 dK t ¡ r t ¡ e dt = K 0 ¡ lim K e ¡ r t ¡ r K t e ¡ r t dt: (79:27) t! 1 dt 0 0 Si se supone que lim t! se transforma en
1
K te ¡
Maximizar
rt
= 0 y P t = P 0 e ¼ t , r > ¼ , entonces el problema de optimizaci¶o n
P 0K 0 + r¡ ¼
Z1 0
[P t F (K t ;N t ) ¡ W t N
t
¡ P tr K t] e ¡
rt
dt:
(79:28)
El Lagrangeano de este problema de c¶alculo de variaciones est¶a dado por L (K t ;N t ) = F (K t ;N t ) ¡ w t N
t
¡ r K t;
(79:29)
donde w t = W t = P t . Las condiciones necesarias de primer orden son: @L @L =0 y = 0; @K t @N t
(79:30)
F K = r y F N = w t;
(79:31)
lo cual lleva a es decir, el producto marginal de cada factor es igual a su precio (costo marginal) . Observe que (79.31) es un sistema simult¶aneo de dos ecuaciones en K t y N t cuando r y w t se toman como dados. Las soluciones son las demandas o¶ ptimas de capital y trabaj o.
7 9 .8 .3 E n a u se n c ia d e u n m e rc a d o d e c a p ita l Se supone que a la empresa representativa le pertenece el stock de bienes de capital K y que dicho stock es predeterminado en cada instante. Se puede tambi¶e n pensar que el capital es completamente especializado para cada empresa y, por lo tanto, no existe la oportunidad de vender, comprar o rentar capital entre empresas. En este caso, la empresa resuelve: Z1 Maximizar [P t F (K t ;N t ) ¡ W t N t ] e ¡ r t dt: (79:32) 0
El Lagrangeano de este problema es: L (K t ;N t ) = F (K t ;N t ) ¡ w t N
t
(79:33)
y, en este caso, la condici¶o n de primer orden est¶a dada por @L = 0; @N t
(79:34)
F N = w t;
(79:35)
equivalentemente lo cual genera la t¶³pica demanda de trabaj o. Si, en ausencia de un mercado de capitales, la empresa representativa emite acciones para ¯nanciar la adquisici¶o n de capital nuevo y paga dividendos de la utilidad que obtiene, entonces el valor nominal de las acciones es Z1 V = [P t F (K t ;N t ) ¡ W t N t ] e ¡ r t dt: (79:36) 0
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Si se supone que los bene¯cios P t F (K t ;N t ) ¡ W t N t permanecen constantes a trav¶e s del tiempo, entonces (79.28) se puede escribir como (v¶³a el teorema de Euler) V =
P t F (K t ;N t ) ¡ W t N r
t
=
P tF K K r
t
= P tq K t:
(79:37)
Asimismo, observe que si P a denota el precio de una acci¶o n y P t ¦ t son los dividendos que paga la empresa, donde ¦ t = y t + w t N t representa el bene¯cio real neto al instante t, entonces Z1 P t¦t ¡ r t Pa = e dt; n 0 donde n es el n¶u mero de acciones. Si, adem¶as, se supone que el pago de dividendos P t ¦ t = P ¦ se mantiene constante en el tiempo, se encuentra que Pa =
P ¦ : rn
Al tomar ahora en cuenta el teorema de Euler, se obtiene ¦ t = y t + w t N valor nominal de todas las acciones est¶a dado por V = P an =
t
= F K K t , de donde el
P ¦ FK K =P = P qK ; r r
donde
V FK = : P K r Observe que q es tambi¶e n la raz¶o n entre el valor nominal de las acciones que emite la empresa y el costo de remplazo del capital P K . q=
7 9 .9 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a McCa®erty, S. (1990) . Macroeconomic Theory. Harpercollins College Div. Sargent, T. J. (1987) . Macroeconomic Theory. Academic Press, San Diego, California. Varian, H. R. (1992) . Microeconomic Analysis. W. W. Norton & Company, New York. Venegas-Mart¶³nez, F. (1999) . \Crecimiento end¶o geno, dinero, impuestos y deuda externa." In vestiga ci¶o n E co n o¶ m ica , Vol. 59, No. 229, pp. 15-36.
7 9 .1 0 E je rc ic io s 7 9 .1 Obtenga la oferta de trabaj o con una funci¶o n de utilidad de la forma u (c 1 ;c 2 ;` 1 ;` 2 ) = ln(c 1 ) +
1 1 ln(c 2 ) + ln(` 1 ) + ln(` 2 ) : 1+½ 1+Á
Discuta los resultados. 7 9 .2 Obtenga los efectos ingreso y sustituci¶o n de la demanda de saldos reales m
1
= m 1 (y 1 ;R ) .
7 9 .3 Considere un individuo con vida in¯nita o, alternativamente, una familia cuyos padres se preocupan por sus hijos, nietos y dem¶as descendientes. Suponga que el individuo maximiza el valor presente de su utilidad al tiempo t = 0 (el presente) , Z1 [u (c t ¡ v (N t ) ) ] e ¡ ± t dt; 0
donde u y v son funciones con segundas derivadas continuas (u 0;v 0 > 0, u 00 < 0 y v 00 > 0) . Tambi¶e n, se supone que u satisface lim u 0(x ) = 0 y lim u 0(x ) = 1 ;
x! 1
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x! 0
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esto es, no hay cantidad positiva de consumo u ocio que sacie (harte) al individuo y raciones peque~n as de consumo u ocio exarcerban el deseo del individuo, esto elimina la posibilidad de soluciones de esquina. El par¶ametro ± es la tasa subj etiva de sustituci¶o n temporal (o de descuento) . Un valor peque~n o de ± dir¶a que el individuo pondera m¶as el consumo en el presente que en el futuro, es decir, el individuo est¶a ansioso por consumir. La tasa de inter¶e s r permanecer¶a constante. Ahora bien, puesto que la tenencia de dinero tiene un costo ¡ ¼ y no paga inter¶e s, el individuo tiene incentivo a mantener el m¶³nimo posible de dinero. Con el prop¶o sito de ¯nanciar consumo, el individuo requiere liquidez. Suponga que para ello incurre en un costo real de transacci¶o n ° (viaj e al banco) , independientemente del monto de los activos que el individuo venda. Suponga que la frecuencia de transacciones es 1= Á , es decir, el individuo vende activos cada Á unidades de tiempo. As¶³ pues, las transacciones en el mercado de activos ocurren peri¶o dicamente. Suponga que el individuo compra y bienes por unidad de tiempo, en forma continua, y que al principio de cada periodo el individuo posee y Á unidades monetarias y se le terminan al concluir el periodo. El valor medio de saldos monetarios reales que mantiene el individuo est¶a dado por M t 1 = y tÁ ; Pt 2 donde M t es la cantidad nominal de dinero. El costo total de transacciones por unidad de tiempo es entonces ° C = : Á En consecuencia, yt C =® ; m t donde ® = ° = 2. La riqueza (¯nanciera) real del individuo se de¯ne como a t ´ bt + k t + m t; donde b t , es el stock de bonos, en t¶e rminos reales, emitidos por el gobierno, k t =capital f¶³sico y m t = M t = P t . Para que coexistan bonos gubernamentales y acciones, en un ambiente de certidumbre, es necesario que ambos paguen el mismo rendimiento. La evoluci¶o n de la riqueza est¶a caracterizada por da t = r bt + r k ¡ ¼ m dt = r a t ¡ im
t
t
+ w tN
+ w tN
t
t
¡ ct ¡ ¿t ¡ ®
¡ ct ¡ ¿t ¡ ®
yt m t
yt ; m t
donde i es la tasa nominal de inter¶e s, w t = W t = P t es el salario real, W t es el salario nominal, c t es el consumo y ¿ t es un impuesto de suma ¯j a. El individuo desea encontrar c t , N t y m t que resuelvan: Z 1
Maximizar
0
[u (c t ¡ v (N t ) ) ] e ¡
±t
dt;
da t yt = r a t ¡ im t + w t N t ¡ c t ¡ ¿ t ¡ ® : dt m t Determine las demandas de consumo y saldos reales y la oferta de trabajo. >Qu¶e variables determinan el consumo en t = 0? Incorpore decisiones de importaci¶o n y exportaci¶o n en el problema anterior. S o lu ci¶o n : El Hamiltoniano en valor presente se de¯ne como: · ¸ yt H (c t ;N t ;m t ; a t ;¸ t ) = u (c t ¡ v (N t ) ) + ¸ t r a t ¡ im t + w t N t ¡ c t ¡ ¿ t ¡ ® : m t sujeto a:
Las variables de control son c t , N t y m t . La variable de estado es a t y la variable de co-estado es ¸ t . Las condiciones de primer orden (necesarias) son: @H @H = 0; @ ct @N
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= 0; t
@H @m
t
= 0; ¡
@H d¸ = ¡ ¸ t ±; @ at dt
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lo que conduce a u 0 = ¸ ; h 0 = w t; i = ®
yt ; ¸ = ¸ 0 e (± ¡ m 2t
r )t
;
donde ¸ 0 es una constante por determinar. Por lo tanto, h 0 = w t , se sigue que dN s (w t ) 1 = 00 > 0; dw t h aqu¶³ N s denota la oferta de trabaj o, la cual depende en forma directa del salario real w t . As¶³, la demanda por saldos reales est¶a dada por μ ¶1 ® yt 2 m dt = ; r+¼ la cual depende en forma directa del ingreso y t e inversa de la tasa de inter¶e s nominal. Asimismo, de las ecuaciones anteriores se sigue que ct =
e (r ¡ ± )t + h (N t ) : ¸0
Si se hace tambi¶e n el siguiente supuesto sobre la condici¶o n de transversalidad (o condici¶o n \no Ponzi game" ) : lim a t e ¡ r t = 0; t! 1
se elimina la posibilidad de que el individuo se endeude inde¯nidamente pagando intereses con m¶as deuda. Por otra parte, integraci¶o n por partes conduce a ¶ Z1 μ da ra t ¡ e ¡ r t dt = a 0 ¡ lim a t e ¡ r t ; t! 1 dt 0 se tiene entonces que 1 = a0 + ±¸ 0
Z1 μ w tN 0
t
¡ im
t
¡ ¿t ¡ ®
yt ¡ h (N t ) m t
¶
e¡
rt
dt:
Este resultado lleva a que c t = h (N t ) + ± e
(r ¡ ± )t
· Z1 μ a0 + w tN 0
yt ¡ h (N t ) t ¡ im t ¡ ¿ t ¡ ® m t
¶
e
¡ rt
¸ dt :
Si, tambi¶e n, se supone que los mercados de trabaj o y dinero est¶an en equilibrio, esto es, existe w ¤ tal que w ¤ = h (N ¤ ) y N s (w ¤ ) = N d (w ¤ ) y existe m ¤ tal que m ¤ = M s = P , donde M s es la oferta de dinero. Si k t ´ k 0 , b t ´ b 0 y el nivel general de precios, P t , y los impuestos en t¶e rminos reales, ¿ t , permanecen constantes a trav¶e s del tiempo, entonces la trayectoria ¶o ptima de consumo se reduce a h i ± y c t = h (N ¤ ) + e (r ¡ ± )t r (b + m ¤ + K ) w ¤ N ¤ ¡ im ¤ ¡ ¿ ¡ ® ¤ ¡ h (N ¤ ) : r m Finalmente, si se de¯ne el ingreso disponible como yd = y + rb ¡ ¿ donde
y = w ¤N
¤
+ rK
y se eval¶u a el consumo en t = 0, se obtiene c0 =
r¡ ± h (N r
¤
)+
± h y i yd ¡ ® ¤ : r m
Si los costos de transacci¶o n, ® y = m ¤ , y la desutilidad del trabajo, h (N ¤ ) , son relativamente peque~n os con respecto a la componente del ingreso disponible, se observa que c 0 depende directamente del ingreso e inversamente de la tasa real de inter¶e s.
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C A P ¶IT U L O 80 M O D E L O S M A C R O E C O N O¶ M IC O S D E T E R M IN IS T A S D E T A S A S D E IN T E R E¶ S C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ² ²
Ecuaciones del modelo macroecon¶o mico cl¶asico Sistema IS-LM Determinaci¶o n de la tasa de inter¶e s de equilibrio Ej ercicio de pol¶³tica industrial Ej ercicio de pol¶³tica ¯scal expansiva Ej ercicio de pol¶³tica monetaria expansiva
8 0 .1 In tro d u c c i¶o n En este cap¶³tulo se estudia el modelo macroecon¶o mico cl¶asico para una econom¶³a cerrada. Aunque el modelo es sencillo en su estructura, permite ilustrar de manera clara c¶o mo se formulan las recomendaciones en materia de pol¶³tica econ¶o mica a partir de un modelo matem¶atico y un conj unto de supuestos.
8 0 .2 M o d e lo m a c ro e c o n o¶ m ic o c l¶a sic o A continuaci¶o n se establece el modelo macroecon¶o mico cl¶asico en donde la econom¶³a es grande (¯j adora de precios) y cerrada. El modelo consiste de varias reglas de comportamiento de los agentes econ¶o micos (unidades familiares y empresas) , una de¯nici¶o n sobre la forma de producir bienes mediante la combinaci¶o n de insumos y una identidad que garantiza el equilibrio en el mercado de bienes. Considere el siguiente modelo: y = F (K ;N ) ; F N > 0; W ; P μ ¶ W N =N ; N P
F K > 0; F N
N
< 0; F K
K
F N (K ;N ) =
< 0; F N
K
> 0;
(80:1) (80:2)
0
> 0;
(80:3)
i = i(r ) ; i0 < 0;
(80:4)
c = c(y ¡ ¿ ;r ) ; 0 < c 1 < 1; c 2 < 0;
(80:5)
y = c + i + g;
(80:6)
M = m (y ;r + ¼ ) ; m P
1
> 0; m
2
< 0:
(80:7)
La ecuaci¶o n (80.1) indica que los bienes disponibles en esta econom¶³a se producen mediante la combinaci¶o n de dos insumos: capital y trabaj o. La funci¶o n de producci¶o n es del tipo neocl¶asica, es decir, presenta productos marginales positivos, pero decrecientes. Los dos insumos se suponen complementos en producci¶o n. Se supone, adem¶as, que si ambos factores aumentan en la misma proporci¶o n, entonces el producto aumenta en exactamente dicha proporci¶o n. Esto se expresa en t¶e rminos m¶as precisos como sigue: F (¸ K ;¸ N ) = ¸ y
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para toda ¸ > 0:
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8 0 . M o d elo s m a cro eco n ¶o m ico s d eterm in ista s d e ta sa s d e in ter¶e s
La ecuaci¶o n (80.2) especi¯ca la demanda de trabaj o por parte de la empresa. En este caso, el valor de los bienes producidos, por un incremento de la mano de obra en una unidad, es su¯ciente para pagarle al factor dicha unidad. La ecuaci¶o n (80.3) establece que la oferta de trabaj o del consumidor depende directamente del salario real, es decir, del poder adquisitivo que le proporciona el salario nominal. As¶³, los consumidores est¶an dispuestos a incrementar las horas de trabajo a cambio de un mayor salario real. La ecuaci¶o n (80.4) expresa que la oferta de inversi¶o n por parte de los consumidores hacia las empresas aumenta cuando la tasa de inter¶e s real que pagan los bonos que emite el gobierno para ¯nanciar su gasto disminuye y viceversa. La ecuaci¶o n (80.5) se~n ala que ante un aumento en el ingreso disponible (el ingreso despu¶e s de impuestos de suma ¯j a) , la demanda de bienes de consumo aumenta. Asimismo, (80.5) indica que un aumento en la tasa de inter¶e s conduce a una reducci¶o n en el consumo presente, a ¯n de incrementarlo en el futuro. En otras palabras, el costo de oportunidad del consumo presente es la tasa de inter¶e s, o bien la tasa de inter¶e s es el precio que el consumidor tiene que pagar para trasladar consumo presente al futuro. La ecuaci¶o n (80.6) es la identidad de la renta nacional. Al lado derecho de (80.6) se le conoce como demanda agregada y especi¯ca los diferentes ¯nes a que se destinan los bienes producidos. Por u¶ ltimo, la ecuaci¶o n (80.7) determina la demanda de saldos reales. El primer argumento de la funci¶o n de¯ne la demanda transaccional, es decir, si el n¶u mero de bienes aumenta entonces la cantidad de dinero necesario para llevar a cabo las transacciones aumenta. El segundo argumento indica que el costo de oportunidad de mantener saldos reales es la tasa nominal de inter¶e s.
8 0 .3 E q u ilib rio e n e l m o d e lo m a c ro e c o n o¶ m ic o n e o c l¶a sic o En el sistema de ecuaciones de¯nido por (80.1) -(80.7) se consideran como variables end¶o genas a y , N , W = P , i, P , c y r , y como variables ex¶o genas a K , ¿ , M y ¼ . De esta manera, se cuenta con un sistema de siete ecuaciones con siete inc¶o gnitas (las variables denominadas como end¶o genas) . Es importante destacar que el cociente W = P es una sola variable y, por lo tanto, no debe ser relacionada con el denominador, la cual es otra variable end¶o gena. A partir del subsistema que forman las ecuaciones (80.1) , (80.2) y (80.3) se determinan el salario real y la cantidad de trabajo en equilibrio en el mercado laboral, as¶³ como el nivel de producci¶o n. En efecto, dado que el capital K es una variable pretederminada, las ecuaciones (80.2) y (80.3) pueden resolverse en W = P y N , ya que en este caso se tienen dos ecuaciones con dos inc¶o gnitas W = P y N . Si las soluciones de estas dos ecuaciones se denotan mediante (W = P ) ¤ y N ¤ , entonces el nivel de producci¶o n queda autom¶aticamente determinado a trav¶e s de la ecuaci¶o n (80.1) . De esta manera, y ¤ = F (K ;N ¤ ) . En otras palabras, el equilibrio del mercado laboral determina el nivel de producci¶o n de la econom¶³a, v¶e ase al respecto la Gr¶a¯ca 80.1.
Gr¶a¯ca 80.1 Equilibrio en el mercado de trabaj o y determinaci¶o n del nivel de producci¶o n de equilibrio.
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8 0 . M o d elo s m a cro eco n ¶o m ico s d eterm in ista s d e ta sa s d e in ter¶e s
Una vez que se ha determinado la producci¶o n de equilibrio, y ¤ , ¶e sta se sustituye en las ecuaciones (80.4) y (80.5) en (80.6) de tal manera que y ¤ = c(y ¤ ¡ ¿ ;r ) + i(r ) + g ;
(80:8)
la cual es una ecuaci¶o n impl¶³cita en la variable r . La ecuaci¶o n (80.8) se puede resolver en r y dicha soluci¶o n se denotar¶a mediante r ¤ . A partir de esta tasa de inter¶e s de equilibrio, r ¤ , se determinan la inversi¶o n y el consumo a trav¶e s i¤ = i¤ (r ¤ )
y
c ¤ (y ¤ ¡ ¿ ;r ¤ ) :
Por u¶ ltimo, los valores de equilibrio y ¤ y r ¤ se sustituyen en (80.7) , de tal suerte que el precio de equilibrio est¶a dado por: M ; (80:9) P ¤ = ¤ m (y ;r ¤ + ¼ ) con lo cual queda determinado el equilibrio de la econom¶³a.
8 0 .4 C u rv a s IS (In v e r si¶o n -A h o rro ), L M m a n d a A g re g a d a )
(L iq u id e z -D in e ro ) y D A (D e -
En esta secci¶o n se estudian tres curvas fundamentales asociadas con la determinaci¶o n del equilibrio general. La sustituci¶o n de (80.4) y (80.5) en (80.6) conduce a la ecuaci¶o n y = c(y ¡ ¿ ;r ) + i(r ) + g ;
(80:10)
la cual puede ser vista como una relaci¶o n entre y y r , el lugar geom¶e trico que de¯ne (80.10) recibe el nombre de curva IS por sus siglas en ingl¶e s \Investment-Savings" , ya que una forma equivalente de escribir (80.10) es y ¡ c(y ¡ ¿ ;r ) = i(r ) + g : El lado izquierdo es por de¯nici¶o n el ahorro, el lado derecho es la inversi¶o n m¶as el gasto de gobierno. La pendiente de la curva IS se calcula mediante la diferenciaci¶o n total de (80.10) . Es decir, ¯ ¯ (80:11) (1 ¡ c 1 ) dy ¯ = (c 2 + i0) dr + dg IS
donde c 1 = @ c= @ y y c 2 = @ c= @ r . De esta manera, si dg = 0 ¯ 0 @y¯ ¯ = c 2 + i < 0; ¯ @ r IS 1 ¡ c1
(80:12)
es decir, en un sistema de ej es coordenados (y ;r ) , la curva IS tiene pendiente negativa. Esta curva se desplaza cuando hay cambios en g (o en ¿ ) . Por otro lado, la demanda de saldos reales, suponiendo por un momento que el nivel general de precios es constante (de hecho lo es y es igual a P ¤ ) , es una funci¶o n de y y r y su lugar geom¶e trico es llamado la curva LM, de sus siglas en ingl¶e s \Liquidity-Money" . En este caso, la diferencial total de (80.7) lleva a la siguiente ecuaci¶o n: μ ¶ M = m 1 dy + m 2 dr; d P ¤ donde m 1 = @ m = @ y , m 2 = @ m = @ r y P ¤ es el precio de equilibrio determinado en la secci¶o n anterior. Por lo tanto, la pendiente de la curva LM est¶a dada por ¯ @y¯ ¯ = ¡ m 2 > 0: (80:13) @ r ¯L M m 1 Es decir, en un sistema de ejes coordenados (y ;r ) , la curva LM tiene pendiente positiva y se desplaza cuando hay cambios en M = P ¤ (o en ¼ ) . Finalmente, al conjuntar las ecuaciones correspondientes a las curvas IS y LM para eliminar r , se puede obtener una relaci¶o n entre y y P , la
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8 0 . M o d elo s m a cro eco n ¶o m ico s d eterm in ista s d e ta sa s d e in ter¶e s
cual ser¶a llamada demanda agregada y denotada mediante DA. A ¯n de obtener la pendiente de la demanda agregada, se despej a dr en LM, de tal manera que ¯ ¯ dr ¯
LM
=¡
m m
1
dy +
2
1 m
d 2
μ
M P
¶
(80:14)
y se sustituye en (80.11) , de tal manera que μ (c 2 + i0) m 1 ¡ c1 + m 2 Por lo tanto,
1
¶
¯ ¯ dy ¯
D A
=
c 2 + i0 m 2
μ
P dM ¡ M dP P 2
¶
¯ M (c 2 + i0) @y ¯ ¯ =¡ < 0; ¯ 2 @P DA P ((1 ¡ c 1 ) m 2 + (c 2 + i0) m 1 )
(80:15)
(80:16)
cuando dM = 0. As¶³, en un sistema de ejes coordenados (y ;P ) , la curva DA tiene pendiente negativa y se desplaza cuando hay cambios en M (o en g , ¿ , ¼ ) . La Gr¶a¯ca 80.2 muestra el mecanismo a trav¶e s del cual la econom¶³a alcanza su equilibrio.
Gr¶a¯ca 80.2 Equilibrio en el modelo macroecon¶o mico cl¶asico.
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8 0 .5 E st¶a tic a c o m p a ra tiv a e n e l m o d e lo m a c ro e c o n o¶ m ic o c l¶a sic o En esta secci¶o n se llevan a cabo ej ercicios de est¶atica comparativa cuando se presenta un cambio en el acervo de capital, el gasto de gobierno y la oferta monetaria.
8 0 .5 .1 E fe c to s e n e l e q u ilib rio p o r u n c a m b io p e r m a n e n te e n e l a c e r v o d e c a p ita l Con el prop¶o sito de examinar los efectos de un incremento en el acervo disponible de capital en el equilibrio de la econom¶³a, considere las diferenciales totales de (80.1) , (80.2) y (80.3) : dy = F K dK + F N dN μ ¶ W F N K dK + F N N dN = d P y 0
dN = N d
μ
W P
¶
(80:17) (80:18)
(80:19)
:
A partir de (80.18) y (80.19) , se sigue que FN
K
dK + F N
N
dN =
1 dN : N 0
Si se factoriza dN en la u¶ ltima expresi¶o n, se tiene que μ ¶ 1 dN = F N ¡ F N N N 0 Por lo tanto,
N 0F N K dN = dK 1¡ FN N N
0
K
dK :
> 0:
(80:20)
Es decir, cuando el acervo de capital aumenta, la cantidad de trabaj o de equilibrio aumenta. Ahora bien, el efecto sobre el salario de equilibrio por un incremento en K se obtiene a partir de (80.18) y (80.19) , lo cual conduce a μ ¶ FN K W = dK : (80:21) d 1¡ FN N N 0 P As¶³, ante un aumento en el capital, el salario de equlibrio se incrementa. Por otro lado, si se sustituye (80.19) en (80.17) , se obtiene que μ ¶ N 0F N K dy =F K dK + F N dK 1¡ FN N N 0 μ ¶ (80:22) F N N 0F N K = FK + dK : 1¡ FN N N 0 En consecuencia,
dy F N N 0F N K =FK + dK 1¡ FN N N
0
> 0;
(80:23)
lo cual signi¯ca que, si el acervo de capital aumenta, la producci¶o n de equilibrio aumenta. El an¶alisis anterior tambi¶e n puede llevarse a cabo a trav¶e s de un tratamiento matricial. Considere de nuevo las ecuaciones (80.17) , (80.18) y (80.19) escritas en forma matricial como: 1 0 10 1 0 FK dN ¡ FN 0 1 @FN N ¡ 1 0 A @ d (W = P ) A = @ ¡ F N K A dK : dy 0 1 ¡N 0 0
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8 0 . M o d elo s m a cro eco n ¶o m ico s d eterm in ista s d e ta sa s d e in ter¶e s
El determinante est¶a dado por:
¯ ¯¡ F N ¯ ¢=¯ ¯F N N ¯ 1
¯ 0 1¯ ¯ 0 ¡ 1 0¯ ¯= 1 ¡ N F N 0 ¯ ¡N 0
Si se aplica la regla de Cramer y se resuelve, por ¯ ¯ FK 0 1 ¯ ¯¡ F N K ¡ 1 dN = ¢¯ ¯ 0 ¡N 0
N
:
ej emplo, para dN , se tiene que ¯ 1¯ ¯ FN K N 0 0¯ = ¯ 1 ¡ F N N N 0 dK : 0¯
A continuaci¶o n se ver¶a qu¶e sucede con la tasa de inter¶e s, la inversi¶o n y el consumo de equilibrio cuando dK > 0. Se supone, por el momento, que d¿ = 0 y dg = 0. A partir de (80.11) , se sigue que μ ¶ ¯ 1 ¡ c1 1 ¡ c1 N 0F N F N K ¯ F dK ; (80:24) dr ¯ = dy = + K c 2 + i0 c 2 + i0 1¡ FN N N 0 IS
de donde
¯ μ ¶ 0 dr ¯ ¯ = 1 ¡ c1 F K + N F N F N K < 0: dK ¯IS c 2 + i0 1¡ FN N N 0
(80:25)
Es decir, si el acervo de capital aumenta, entonces la tasa de inter¶e s disminuye. De esta manera, el nuevo punto de equilibrio se traslada hacia abaj o sobre la curva IS. Si se considera ahora a la curva LM y se supone por el momento que M = P permanece constante y que la tasa de in°aci¶o n permanece constante, es decir, d¼ = 0, entonces (80.13) conduce a ¯ m 1 ¯ dy : (80:26) dr ¯ = ¡ m 2 LM Si ahora se sustituye (80.22) en (80.26) , se tiene μ ¶ ¯ m 1 m 1 N 0F N F N K ¯ FK + dK ; dy = ¡ dr ¯ = ¡ m 2 m 2 1¡ FN N N 0 LM as¶³ ¯ μ ¶ 0 dr ¯ ¯ =¡ m 1 FK + N FN FN K > 0: (80:27) dK ¯L M m 2 1¡ FN N N 0
Por lo tanto, si el acervo de capital aumenta, entonces la tasa de inter¶e s aumenta. As¶³, la curva LM se desplaza hacia arriba. Por u¶ ltimo, considere la curva DA. A partir de la ecuaci¶o n (80.16) y el supuesto dM = 0 y d¼ = 0, se sigue que μ μ ¶¶ ¯ 1 ¡ c1 P 2 ¯ m 1+m 2 dy : (80:28) dP ¯ = ¡ M c 2 + i0 D A De esta manera, a partir de (80.22) se cumple que ¯ μ μ ¶¶μ ¶ 2 1 ¡ c1 F N N 0F N K dP ¯ ¯ =¡ P m 1+m 2 FK + < 0: dK ¯D A M c 2 + i0 1¡ FN N N 0
(80:29)
Es decir, un aumento en el capital, disminuye el nivel general de precios. As¶³, la curva DA se desplaza hacia abaj o. Esto, a su vez, genera un desplazamiento de la curva LM hacia abaj o. En efecto, a partir de (80.14) y (80.27) con dM = 0, se sigue que ¯ M m 1 ¯ dr ¯ = ¡ dP ¡ dy : m 2P 2 m 2 LM Por lo tanto,
¯ M (1 ¡ c 1 ) @r ¯ ¯ =¡ < 0: @ P ¯L M P 2 (m 1 (c 2 + i0) + m 2 (1 ¡ c 1 ) )
(80:30)
Es decir, LM se traslada hacia abaj o. La Gr¶a¯ca 80.3 muestra todos los efectos en el equilibrio debidos a un incremento en la cantidad de capital. Como puede observarse, en el nuevo equilibrio, hay aumentos en N , W = P y y y disminuciones en r y P .
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Gr¶a¯ca 80.3 Efectos en el equilibrio por un cambio en el acervo de capital.
8 0 .5 .2 P o l¶³tic a F isc a l Un ej ercicio de est¶atica comparativa de pol¶³tica ¯scal consiste en estudiar el efecto que un cambio en la tasa impositiva, d¿ , tiene sobre el equilibrio. Sin embargo, es frecuente referirse a ej ercicios de pol¶³tica ¯scal cuando se presenta un aumento en el gasto, dg > 0. En lo que sigue se supone que d¿ = 0. En este caso, a partir de (80.11) , la curva IS satisface ¯ 1 ¯ [(c 2 + i0) dr + dg ] : dy ¯ = 1 ¡ c1 IS
Ahora bien, debido a que y ¤ est¶a determinada por las primeras tres ecuaciones del modelo y este valor no se modi¯ca cuando aumenta el gasto, por lo que dy = 0. Por lo tanto, ¯ 1 @r¯ ¯ =¡ > 0: (80:31) ¯ c 2 + i0 @ g IS
Es decir, si aumenta el gasto del gobierno, entonces la tasa de inter¶e s aumenta. Esto signi¯ca que la curva IS tiene un desplazamiento hacia arriba cuando dg > 0. Considere ahora la curva de demanda agregada, DA, y suponga que d¼ = 0 y dM = 0. A partir de (80.16) , se tiene que ¯ m 2 M ¯ dg : (80:32) ¡ 2 dP ¯ = m 1 dy ¡ P c 2 + i0 D A
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Si dy = 0 en (80.32) , entonces
m 2P 2 @P ¯ ¯ > 0; ¯ = @g DA M (c 2 + i0)
(80:33)
lo cual indica que ante un aumento en el gasto del gobierno, el nivel general de precios se incrementa. Esto hace que la curva DA se desplace hacia arriba. Dicho aumento en precios produce, a su vez, un desplazamiento de LM hacia arriba, lo que conlleva a un aumento en la tasa de inter¶e s de equilibrio. En efecto, observe que ¯ @r ¯ ¯ =¡ M < 0: (80:34) m 2P 2 @ P ¯L M La Gr¶a¯ca 80.4 muestra los efectos de la pol¶³tica ¯scal en el equilibrio. En este caso, el nuevo equilibrio termina con una mayor tasa de inter¶e s y un mayor nivel general de precios.
Gr¶a¯ca 80.4 Efectos de la pol¶³tica ¯scal en el equilibrio.
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8 0 .5 .3 P o l¶³tic a M o n e ta ria En esta secci¶o n se examinan los efectos sobre el equilibrio cuando dM d¼ = 0 en la curva LM, se tiene que d
μ
¶
M P
> 0. Si se supone que
= m 1 dy + m 2 dr:
Observe que dy = 0, ya que las tres primeras ecuaciones del modelo determinan el nivel general de la producci¶o n y ¶e stas no han cambiado. De esta manera, μ
d
¶
M P
= m 2 dr:
(80:35)
Por lo tanto, si se supone, por un momento que los precios permanecen constantes, se sigue que
d
dr ¯ ¡M ¢¯ ¯
LM
P
=
1 m
< 0:
(80:36)
2
En consecuencia, la curva LM se desplaza hacia abajo. Ahora suponga dg = 0. En este caso, la curva DA, en su parte correspondiente a IS, satisface que dy =
1 (c 2 + i0) dr: 1 ¡ c1
As¶³, dr =
1 ¡ c1 dy : c 2 + i0
Por otro lado, a partir de LM, se cumple que d
μ
M P
¶
= m 1 dy + m 2 dr:
Consecuentemente, P dM ¡ M dP = m 1 dy + m P 2
2
1 ¡ c1 dy : c 2 + i0
Si dy = 0, entonces P dM ¡ M dP = 0: P 2 Por lo tanto, P dM = M dP : ¶o dM M
=
dP : P
Es decir, el cambio porcentual en precios es igual al cambio porcentual de la cantidad de dinero. El aumento en precios conduce a un desplazamiento hacia arriba de la LM. En conclusi¶o n, un aumento en la cantidad de dinero en la econom¶³a produce s¶o lo un aumento en precios, como lo muestra la Gr¶a¯ca 80.5.
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8 0 . M o d elo s m a cro eco n ¶o m ico s d eterm in ista s d e ta sa s d e in ter¶e s
Gr¶a¯ca 80.5 Efectos de la pol¶³tica ¯scal en el equilibrio.
8 0 .6 B ib lio g r a f¶³a su g e rid a McCa®erty, S. (1990) . Macroeconomic Theory, Harpercollins College Div, USA. Sargent, T. J. and N. Wallace (1973) . \The Stability of Models of Money and Growth with Perfect Foresight" . E co n o m etrica , Vol. 41, No. 6, pp. 1043-1048. Sargent, T. J. (1987) . Macroeconomic Theory, Academic Press, San Diego, California. Ru¶³z Galindo, L. A. y F. Venegas-Mart¶³nez (2005) . Implicaciones macroecon¶o micas de las decisiones de los agentes. A n a¶ lisis E co n o¶ m ico , Vol. 20, No. 45, pp. 5-27. Ru¶³z-Galindo, L. A. y F. Venegas-Mart¶³nez (2006) . \Un modelo macroeconom¶e trico de simulaci¶o n con microfundamentos para la econom¶³a mexicana" . E co n o m ¶³a M exica n a , N u eva E¶ poca , por aparecer.
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8 0 . M o d elo s m a cro eco n ¶o m ico s d eterm in ista s d e ta sa s d e in ter¶e s
8 0 .7 E je rc ic io s 8 0 .1 Considere el siguiente modelo de expectativas racionales de in°aci¶o n end¶o gena: y = F (K ;N ) ; F N > 0; W F N (K ;N ) = ; μ ¶P W N =N ; N 0 > 0; P
F K > 0; F N
N
< 0; F K
< 0; F N
K
K
> 0;
i = i(r ) ; i0 < 0; c = c(y ¡ ¿ ;r ) ; 0 < c 1 < 1; c 2 < 0; y = c + i + g; M = m (y ;r + ¼ ) ; m P P_ = ¼: P Suponga que M = exp P
1
(
> 0; m
¤
¯y ¡ ®
2
Ã
< 0;
P_ r + P ¤
!)
® ; ¯ > 0;
;
donde y ¤ y r ¤ son valores de equilibrio (determinados en el modelo macroecon¶o mico cl¶asico) . Asimismo, suponga que ( A si s < t; M s = A (1 + Á ) si s ¸ t; donde Á > 0 y A > 1. Determine las tasas de in°aci¶o n actual y esperada de equilibrio. S o lu ci¶o n : Observe primero que la expresi¶o n ( Ã !) _ M P = exp ¯ y ¤ ¡ ® r ¤ + ; ®; ¯ > 0 P P puede ser reescrita como P_ = ± ln(P ) ¡ ± ln(M ) + ± ° ; P donde ° = ¯ y ¤ ¡ ® r ¤ ; y ± = 1= ® > 0, equivalentemente, d ln P = ± ln(P ) ¡ ± ln(M ) + ± ° : dt Si se de¯ne x t = ln(P t ) y w t = ° ¡ ln(M t ) , entonces x_ s = ± x t + ± w t ; Si se conocen los valores de w soluci¶o n
x t dada:
para 0 < s < t, esta ecuaci¶o n diferencial ordinaria tiene como Zs x s =x 0 e ± s + e ± s ± w u e ¡ ± u du s
0
=x 0 e ± s + e ± s (° ¡ ln(A ) ) (1 ¡ e ¡ =x 0 e
±s
±s
)
±s
¡ (° ¡ ln(A ) ) (1 ¡ e ) :
Si se normaliza P 0 = 1 y se supone ° = 0, se tiene que ln(P s ) = ln(A ) (1 ¡ e ± s ) ;
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s < t:
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8 0 . M o d elo s m a cro eco n ¶o m ico s d eterm in ista s d e ta sa s d e in ter¶e s
Por otro lado, si se conocen los valores de w s para s ¸ t, la soluci¶o n est¶a dada por Z1 x s = ¡ e±t ± w u e ¡ ± u du t
= ¡ e ± t (° ¡ ln(A ) ¡ ln(1 + Á ) ) e ¡
±t
= ¡ (° ¡ ln(A ) ¡ ln(1 + Á ) ) :
Si ° = 0, entonces ln(P s ) = ln(A ) + ln(1 + Á ) : Evidentemente, cuando ° = 0, se tiene que P s en [0;t) es menor que P s en [t;1 ) . 8 0 .2 Repita el ej ercicio anterior si la oferta monetaria satisface: ( M 0 eA s si s < t; M s = A (1 + Á )s M te si s ¸ t: 8 0 .3 Repita el ej ercicio anterior si al tiempo t se hace el anuncio de que la oferta monetaria se incrementar¶a al tiempo t + μ , es decir, la oferta monetaria satisface: ( A si s < t + μ ; M s = A (1 + Á ) si s ¸ t + μ : S o lu ci¶o n : Si t · ¿ · t + μ , entonces x¿ = ¡ e
±¿
"Z t+
μ
±w u e
¡ ±u
du +
¿
Z1
±w u e
¡ ±u
#
du :
t+ μ
De esta manera
h ³ ´ ln(P ¿ ) = ¡ e ± ¿ (ln(A ) + ln(1 + Á ) ) e ¡ ± (t+ μ ) ¡ e ¡ ± ¿ + (ln(A ) + ln(1 + Á ) ) e ¡ ³ ´ = ln(A ) 1 ¡ e ± (t+ μ ¡ ¿ ) ¡ (ln(A ) + ln(1 + Á ) ) e ¡ ± (t+ μ ¡ ¿ ) = ln(A ) + ln(1 + Á ) e ¡
± (t+ μ ¡ ¿ )
± (t+ μ )
i
:
Observe que en ¿ = t se cumple que ln(P t ) = ln(A ) + ln(1 + Á ) e ¡
±μ
;
lo cual es mayor que ln(A ) y menor que ln(A ) + ln(1 + Á ) . Por lo tanto, el anuncio hace que el log-precio salte en t de ln(A ) a ln(1 + Á ) e ¡ ± (t+ μ ¡ ¿ ) , despu¶e s el log-precio crece durante [t + ± ] hasta ln(A ) + ln(1 + Á ) y all¶³ permanecer¶a. 8 0 .4 Considere el modelo macroecon¶o mico cl¶asico para una econom¶³a abierta con tipo de cambio °otante: y = F (K ;N ) ; F N > 0; F K > 0; F N W F N (K ;N ) = ; μ ¶P W N =N ; N 0 > 0; P
N
< 0; F K
K
< 0; F N
K
> 0;
i = i(r ) ; i0 < 0; c = c(y ¡ ¿ ;r ) ; 0 < c 1 < 1; c 2 < 0;
y = c + i + g + x ¡ z ; x = x (E ;P ) ; x 1 > 0;x 2 < 0; z = z (E ;P ;y ) ;z 1 < 0;z 2 > 0;z 3 > 0; M = m (y ;r + ¼ ) ; m 1 > 0; m 2 < 0; P P x ¡ E Q z + Á (r + ¼ ) = BP = 0; Á 0 > 0;
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8 0 . M o d elo s m a cro eco n ¶o m ico s d eterm in ista s d e ta sa s d e in ter¶e s
donde Q es el nivel general de precios en el extranj ero, x son exportaciones, z son importaciones y E es el tipo de cambio. La u¶ ltima ecuaci¶o n es llamada la balanza de pagos. Obtenga esta ecuaci¶o n utilizando argumentos de oferta (S = P x + F (r + ¼ ) ) y demanda (D = E Q z + f (r + ¼ ) ) en el mercado de divisas, en donde F es la cuenta de capitales (F 0 > 0) , f el servicio de la deuda (f 0 > 0) y Á = F ¡ f el °ujo neto de capitales. Suponga que las variables end¶o genas son y ;W = P ;N ;c;i;r;P y E . Identi¯que en la balanza de pagos la balanza comercial, la cuenta corriente y la cuenta de capitales. Asimismo, muestre que si el gobierno emite bonos nominales denominados tanto en moneda dom¶e stica como en moneda extranjera, su restricci¶o n presupuestal est¶a dada por g =¿ +
B_ B E B_ ¤ E B ¡ (r + ¼ ) + ¡ (r + ¼ ) P P P P
¤
+
M_ : P
Veri¯que que Á (r + ¼ ) = E B_ ¤ ¡ (r + ¼ ) E B ¤ : Efect¶u e un an¶alisis completo de est¶atica comparativa del modelo anterior (pol¶³ticas ¯scal y monetaria) y discuta el caso simpli¯cado x = x (E ) y z = z (E ) . 8 0 .5 A continuaci¶o n se modi¯ca el ej ercicio anterior para el caso de tipo de cambio ¯j o, dE = 0. Por simplicidad, suponga que x = x (E ) y z = z (E ) . En este caso, el gobierno ¯j a el tipo de cambio como un ancla nominal para contener la in°aci¶o n. Cuando la demanda en el mercado de divisas excede a su oferta, el banco central interviene utilizando reservas internacionales. En otras palabras, si P x + F < Q E z , entonces ¡ dRI + P x + F = Q E z con dRI < 0, equivalentemente dBP = dRI: Es decir, x dP + F 0dr = dRI: Evidentemente, cuando los agentes compran divisas en grandes cantidades, se afecta el monto del circulante, en cuyo caso, el gobierno puede recoger bonos a trav¶e s de una baj a en la tasa de inter¶e s para incrementar de nuevo el circulante. De esta manera, la oferta monetaria se convierte en una variable end¶o gena y dM S = dB + dRI, de tal manera que en equilibrio m 1 dy + m 2 dr = dB + dRI: En este caso B es ex¶o gena y las variables end¶o genas son y ;W = P ;N ;c;i;r;P y dRI. Efect¶u e un an¶alisis completo de est¶atica comparativa de este modelo. 8 0 .6 En el presente ej ercicio se discute el modelo Keynesiano de precio ¯j o P = 1, en cuyo caso ¼ = 0. A diferencia del modelo macroecon¶o mico cl¶asico se omiten las ecuaciones del mercado laboral y de la funci¶o n de producci¶o n. En este caso, el modelo se transforma en c = c(y ¡ ¿ ;r ) ; 0 < c 1 < 1; c 2 < 0;
i = i(r ) ; i0 < 0;
y = c + i + g; M = m (y ;r ) ; m P
1
> 0; m
< 0:
2
Alternativamente, IS: LM:
y = c(y ¡ ¿ ;r ) + i(r ) + g ; M = m (y ;r ) ; 0 < m 1 ; m P
2
< 0; P = 1:
En este caso, las variables end¶o genas son y y r . Efect¶u e un an¶alisis completo de est¶atica comparativa de este modelo.
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8 0 . M o d elo s m a cro eco n ¶o m ico s d eterm in ista s d e ta sa s d e in ter¶e s
8 0 .7 En el presente ej ercicio se discute el modelo Keynesiano de precio ¯j o P = 1 y tipo de cambio °exible. Suponga que x = x (E ) y z = z (E ) . Con base en el ej ercicio anterior, el modelo se extiende de la siguiente forma: IS: LM: BP:
y = c(y ¡ ¿ ;r ) + i(r ) + g + x (E ) ¡ z (E ) ; M = m (y ;r ) ; m 1 > 0; m 2 < 0; P = 1; P p x ¡ E Q z + F (r ) = 0:
Las variables end¶o genas son: y , r y E . Efect¶u e un an¶alisis completo de est¶atica comparativa. 8 0 .8 En el presente ej ercicio se discute el modelo Keynesiano de precio ¯j o P = 1 y tipo de cambio ¯j o E = 1. Suponga, por simplicidad, que x = x (E ) y z = z (E ) . Con base en el ej ercicio anterior, se tiene ahora que y = c(y ¡ ¿ ;r ) + i(r ) + g + x (E ) ¡ z (E ) ;
m 1 dy + m 2 dr = dB + dRI; m
1
> 0; m
2
< 0; P = 1;
0
F dr = dRI: Las variables end¶o genas son: y , r y dRI. Las variables ex¶o genas son g , B y ¿ . Efect¶u e un an¶alisis completo de est¶atica comparativa. 8 0 .9 En este ej ercicio se discute el modelo Keynesiano de salario nominal r¶³gido en el corto plazo. A diferencia del modelo macroecon¶o mico cl¶asico, en este caso se omite la oferta laboral. Los trabaj adores ¯rman contratos que ¯jan el salario (dW = 0) por un determinado periodo de tiempo (1 a~n o, 2 a~n os o m¶as) . El salario pactado corresponde al nivel de precios esperado por los trabajadores W = P e = 0. Si en este periodo de tiempo se presenta un alza en precios, dP > 0, infortunadamente, el trabaj ador no podr¶a renegociar su salario sino hasta la pr¶oxima revisi¶o n de su contrato laboral y dW = dP e = 0. Evidentemente, en este periodo no hay pleno empleo. En el largo plazo, las expectativas se ajustan de tal manera que dW = dP e = dP > 0, es decir, el salario aumenta en la misma magnitud que los precios, con lo cual se recuperan los resultados del modelo cl¶asico. As¶³, el modelo Keynesiano de salario nominal r¶³gido en el corto plazo est¶a dado por y = F (K ;N ) ; F N > 0; W F N (K ;N ) = ; P 0 i = i(r ) ; i < 0;
F K > 0; F N
N
< 0; F K
K
< 0; F N
K
> 0;
c = c(y ¡ ¿ ;r ) ; 0 < c 1 < 1; c 2 < 0; y = c + i + g; M = m (y ;r + ¼ ) ; m P
1
> 0; m
2
< 0:
En este caso, las variables end¶o genas son y ; P ; i; r; N y c. La cantidad w es ¯j a y, como siempre, K es predeterminada. Sin p¶e rdida de generalidad, suponga que inicialmente W 0 = P 0 = 1, en consecuencia, en t = 0, F N = 1. Observe ahora que dy = F N dN y P F N N dN + F N dP = dW , donde ¯ = ¡ 1= F N N . Lo anterior implica que la oferta agregada est¶a dada por dy = ¯ (dP ¡ dW ) . Efect¶u e un an¶alisis completo de est¶atica comparativa.
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C A P ¶IT U L O 81 P R O G R A M A C IO¶ N D IN A¶ M IC A E S T O C A¶ S T IC A E N T IE M P O C O N T IN U O C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ²
Programaci¶o n din¶amica Control ¶o ptimo estoc¶astico Ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman Problema estoc¶astico de decisi¶o n intertemporal de un consumidor
8 1 .1 In tro d u c c i¶o n En este cap¶³tulo se presenta la t¶e cnica de programaci¶o n din¶amica estoc¶astica en tiempo continuo. En dicha t¶e cnica las ecuaciones recursivas de Bellman y la ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman desempe~n an un papel fundamental en la determinaci¶o n de condiciones de primer orden de problemas de control ¶o ptimo estoc¶astico. A manera de ilustraci¶o n se desarrollan varias aplicaciones a problemas de decisi¶o n de consumidores-inversionistas racionales. El \Padre de la programaci¶o n din¶amica" Richard Bellman (1921-1984) obtuvo, en 1946, su doctorado en matem¶aticas en la Universidad de Princeton. Posteriormente, fue consultor en la empresa \Rand Corporation" en Santa M¶o nica California y profesor en la Universidad de Stanford. Una de las contribuciones m¶as importantes de Bellman (1957) a la teor¶³a de optimizaci¶o n es el m¶e todo de programaci¶o n din¶amica. La programaci¶o n din¶amica es muy u¶ til en la soluci¶o n de problemas de optimizaci¶o n en donde se toman decisiones en varias etapas. Dicho m¶e todo se basa en el principio de optimalidad, el cual establece que dada una pol¶³tica ¶o ptima, cualquiera de sus subpol¶³ticas es tambi¶e n o¶ ptima. Bellman (1962) encontr¶o que el m¶e todo tambi¶e n era aplicable al c¶alculo de variaciones y a problemas de control ¶o ptimo. Al parecer, Bellman no se dio cuenta que dicha ecuaci¶o n estaba relacionada con la ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi 1 que se estudia en Mec¶anica, ya que no la menciona en sus trabaj os. Parece 1
S ir W illia m R o w a n H a m ilto n (1 8 0 5 ¡ 1 8 6 5 ) m a tem ¶a tico , f¶³sico y a str¶o n o m o irla n d ¶e s q u e h izo im p o rta n tes co n trib u cio n es en ¶o p tica , d in ¶a m ica y ¶a lg eb ra . S u tra b a jo so b re d in ¶a m ica y el co n cep to d e H a m ilto n ia n o es u n a d e la s b a ses p a ra el d esa rro llo d e la m ec¶a n ica cu ¶a n tica . A la ed a d d e 1 8 a n~ o s era co n sid era d o co m o u n o d e lo s m ejo res m a tem ¶a tico s d e su tiem p o . C a rl G u sta v J a co b J a co b i (1 8 0 4 ¡ 1 8 5 1 ) m a tem ¶a tico a lem ¶a n , o b tu v o su d o cto ra d o en m a tem ¶a tica s en la U n iv ersid a d d e B erl¶³n a la ed a d d e 2 1 a n~ o s. E n 1 8 2 7 fu e p ro feso r d e m a tem ¶a tica s en la U n iv ersid a d d e K Äo n ig sb erg . E n 1 8 4 3 , su in ten so ritm o d e tra b a jo ca si lo llev a a la m u erte y a p a rtir d e este ev en to se retira y v iv e co m o p en sio n a d o p o r el g o b iern o a lem ¶a n h a sta su d eceso . E n tre la s co n trib u cio n es m ¶a s im p o rta n tes d e J a co b i se en cu en tra su tra ta d o cl¶a sico en f¶³sica m a tem ¶a tica (1 8 2 9 ) so b re fu n cio n es el¶³p tica s, la s cu a les su rg en a l in teg ra r ecu a cio n es d e seg u n d o o rd en q u e rep resen ta b a n la en erg¶³a cin ¶e tica . J a co b i fu e u n ex tra o rd in a rio p ro feso r d e m a tem ¶a tica s q u e in sp ira b a a su s a lu m n o s el a m o r h a cia la s m a tem ¶a tica s. U n a ex p lica ci¶o n sim p le d e la ecu a ci¶o n d e H a m ilto n -J a co b i es co m o sig u e: co n sid ere u n sistem a d e N cu erp o s co n p o sicio n es (q 1 ;q 2 ;:::;q N ) y v elo cid a d es (q_1 ;q_2 ;:::;q_N ). D e¯ n a el L a g ra n g ea n o L (q 1 ;q 2 ;:::;q N ;q_1 ;q_2 ;:::;q_N ;t) d e ta l m a n era q u e, a l tiem p o t, a ca d a v elo cid a d g en era liza d a @ L = @ q_i le co rresp o n d e u n m o m en tu m g en era liza d o (lin ea l) p i , es d ecir, p i = @ L = @ q_i y ¡ p_i = @ L = @ q i : E l H a m ilto n ia n o , o en erg¶³a to ta l d el sistem a , a l tiem p o t, se d e¯ n e co m o H (q 1 ;q 2 ;:::;q N ;p 1 ;p 2 ;:::;p N ;t)=
P o r lo ta n to , dH = =
PN
PN
i= 1
p i q_i ¡ L (q 1 ;q 2 ;:::;q N ;q_1 ;q_2 ;:::;q_N ;t):
i= 1
[(@ H = @ q i )d q i + (@ H = @ p i )d p i ]+ @ H = @ t
j= 1
[q_i d p i + p i d q_i ¡ (@ L = @ q i )d q i ¡ (@ L = @ q_i )d q_i ]¡ @ L = @ t;
PN
lo cu a l im p lica q u e @ H = @ q i = ¡ p_i ;
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@ H = @ p i = q_i
y
@ H = @ t= ¡ @ L = @ t:
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8 1 . P ro g ra m a ci¶o n d in ¶a m ica esto c¶a stica en tiem p o co n tin u o
ser que Rudolph E. Kalman (1960) y (1961) fue quien encontr¶o dicha relaci¶o n y probablemente fue el primero en utilizar el t¶e rmino de ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi en problemas de control. Es muy probable tambi¶e n que el Profesor Harold J. Kushner (1971) (actualmente en \Brown University" ) haya sido el primero en estudiar la versi¶o n estoc¶astica en tiempo continuo de la programaci¶o n din¶amica. Para conj untar las contribuciones de Hamilton, Jacobi y Bellman se hace referencia a la ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman (H-J-B) , en el caso estoc¶astico ¶e sta es una ecuaci¶o n diferencial parcial de segundo orden y en el determinista una ecuaci¶o n diferencial ordinaria de primer orden.
Hamilton, Jacobi y Bellman (Fuente: Wikipedia) .
8 1 .2 C o n tro l o¶ p tim o e sto c ¶a stic o c o n u n fa c to r d e rie sg o A continuaci¶o n se obtiene la ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman asociada a un problema de control o¶ ptimo estoc¶astico. Para ello es necesario determinar primero las ecuaciones recursivas de la programaci¶o n din¶amica. Considere el siguiente problema de optimizaci¶o n: ¯ ¾ ½Z 1 ¯ ¯ Maximizar E F (t;u t ) dt ¯F t ; (81:1) ut
0
suj eto a
dx t = ¹ (x t ;u t ) dt + ¾ (x t ) dW t ;
(81:2)
donde W t es un movimiento Browniano estandarizado de¯nido sobre un espacio ¯jo de probabilidad con una ¯ltraci¶o n ( ;F ;(F t ) t¸ 0 ;IP) . Las funciones ¹ (x t ;u t ) y ¾ (x t ) se suponen conocidas y con segundas derivadas parciales continuas. En el problema anterior, u t es llamada la variable de control y x t la variable de estado. Con el prop¶o sito de caracterizar una soluci¶o n del problema planteado en (81.1) y (81.2) , se de¯ne ¯ ¾ ½Z 1 ¯ J (x t ;t) = max E F (s ;u s ) ds ¯ ¯F t : u j[t;1 )
t
Esta expresi¶o n conduce a la siguiente relaci¶o n de recursividad temporal sobre la funcional J : ¯ ¾ ½Z 1 ¯ J (x t ;t) = max E F (s ;u s ) ds ¯ ¯F t u j[t;1 )
= max E u j[t;1 )
= max E u j[t;t+ d t]
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t
(Z
t+ d t
F (s ;u s ) ds +
t
(Z
t
Z1
t+ d t
t+ d t
¯ ¯ ¯ F (s ;u s ) ds ¯F
t
)
¯ ¯ F (s ;u s ) ds + J (x t + dx t ;t + dt) ¯ ¯F
t
)
:
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1013
8 1 . P ro g ra m a ci¶o n d in ¶a m ica esto c¶a stica en tiem p o co n tin u o
Si en esta u¶ ltima expresi¶o n se aplica el teorema del valor medio para integrales en el primer t¶e rmino y se expande en serie de Taylor el segundo t¶e rmino, se sigue que J (x t ;t) = max E f F (t;u t ) dt + o (dt) + J (x t ;t) + dJ (x t ;t) + o (dt) j F u j[t;t+ d t]
t
g:
Equivalentemente, n ¯ 0 = max E F (t;u t ) dt + o (dt) + dJ (x t ;t) ¯F u j[t;t+ d t]
t
o :
En virtud del lema de It^o , la expresi¶o n anterior se puede reescribir como ( μ ¶ @J @J @ 2J 2 0 = max E F (t;u t ) dt + o (dt) + + ¹ (x t ;u t ) + 21 ¾ (x ) dt t @t @xt @ x t2 u j[t;t+ d t] ¯ ) ¯ @J + ¾ (x t ) dW t ¯ ¯F t : @xt
Despu¶e s de tomar valores esperados en todos los t¶e rminos de la expresi¶o n anterior, se obtiene ½ μ ¶ ¾ 2 @J @J 1 @ J 2 0 = max F (t;u t ) dt + o (dt) + + ¹ (x t ;u t ) + 2 ¾ (x t ) dt : @t @xt @ x t2 u j[t;t+ d t] Si adem¶as se divide entre dt y se utiliza el hecho de que o (dt) = dt ! 0 cuando dt ! 0, se produce ½ @J @J 0 = max F (t;u t ) + + ¹ (x t ;u t ) + @t @xt ut
1 2
@ 2J 2 ¾ (x t ) @ x t2
¾
:
(81:3)
La expresi¶o n anterior es conocida como ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman (H-J-B) . Si u t es m¶aximo, a partir de (81.3) , se obtiene la siguiente ecuaci¶o n diferencial parcial de segundo orden en J : @J @J @ 2J 2 F (t;u t ) + + ¹ (x t ;u t ) + 21 ¾ (x t ) = 0: (81:4) @t @xt @ x t2 Con el prop¶o sito de caracterizar una soluci¶o n del problema de maximizar (81.1) suj eto a (81.2) es necesario encontrar la soluci¶o n de la ecuaci¶o n anterior. Si se supone que la funci¶o n ob j etivo es de variables separables, es decir, de la forma: F (t;u ) = G (u t ) e ¡
±t
;
se puede suponer como candidato de soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial parcial en (81.4) a J (x t ;t) =
1 G (x t ) e ¡ ±
±t
:
Ahora bien, si se calculan las derivadas parciales de primer y segundo orden de J y se sustituyen en (81.4) , se tiene G (u t ) ¡ G (x t ) +
1 0 1 00 G (x t ) ¹ (x t ;u t ) + G (x t ) ¾ 2 (x t ) = 0: ± 2±
(81:5)
De esta manera, al derivar la ecuaci¶o n anterior con respecto del control u t , se sigue que G 0(u t ) +
1 0 @ ¹ (x t ;u t ) G (x t ) = 0: ± @ut
(81:6)
Baj o ciertas condiciones sobre G y ¹ , esta ecuaci¶o n caracteriza al control o¶ ptimo u t en funci¶o n de x t .
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1014
8 1 . P ro g ra m a ci¶o n d in ¶a m ica esto c¶a stica en tiem p o co n tin u o
8 1 .3 P ro b le m a d e c o n tro l o¶ p tim o e sto c ¶a stic o c o n d o s fa c to re s d e rie sg o A continuaci¶o n se generaliza el problema de la secci¶o n anterior a dos factores de riesgo. Considere el siguiente problema de horizonte ¯nito: (Z ¯ ) T ¯ 1 ¡ ±s ¡ ±T ¯ Maximizar E G (u s ) e ds + G (x T ) e ¯F t ; ut ± t suj eto a las restricciones dx t = ¹ (x t ;u t ) dt + ¾ (x t ) dW t ; dy t = m (y t ) dt + s (y t ) dV t y Cov(dW t ;dV t ) = ½ dt: Como antes, W t y V t son movimientos Brownianos estandarizados. Observe que los procesos dW t y dV t est¶an correlacionados. Si se de¯ne (Z ¯ ) T ¯ 1 ¡ ±s ¡ ±T ¯ J (x t ;y t ;t) ´ max E G (u s ) e ds + G (x T ) e t< T; ¯F t ; ± u j[t;T ] t se tiene que J (x t ;y t ;t) = max E u j[t;T
(Z
= max E d t]
¯ ¯ 1 G (u s ) e ds + G (u s ) e ds + G (x T ) e ¡ ± T ¯ ¯F ± t+ d t ¯ ) dt ¯ ¡ ±s ¯ G (u s ) e ds + J (x t + dx t ;y t + dy t ;t + dt) ¯F t ¡ ±s
t
]
u j[t;t+
t+ d t
(Z
t
t+
© = max E G (u t ) e ¡ u j[t;t+
d t]
±t
ZT
¡ ±s
¯ dt + o (dt) + J (x t ;y t ;t) + dJ (x t ;y t ;t) ¯F
t
t
)
ª :
Si se aplica el lema de It^o a J (x t ;y t ;t) , la ecuaci¶o n anterior se puede reescribir como: n J (x t ;y t ;t) = max E G (u t ) e ¡ ± t dt + o (dt) + J (x t ;y t ;t) u j[t;t+ d t] ¡ ¢ + J t + ¹ (x t ;u t ) J x + 12 ¾ 2 (x t ) J x x + m (y t ) J y + 12 s 2 (y t ) J y y + ¾ (x t ) s (y t ) ½ J x y dt ¯ o + ¾ (x t ) J x dW t + s (y t ) J y dV t ¯F t : Equivalentemente, n 0 = max E G (u t ) e ¡ ± t dt + o (dt) u j[t;t+ d t] ¡ ¢ + J t + ¹ (x t ;u t ) J x + 12 ¾ 2 (x t ) J x x + m (y t ) J y + 12 s 2 (y t ) J y y + ¾ (x t ) s (y t ) ½ J x y dt ¯ o + ¾ (x t ) J x dW t + s (y t ) J y dV t ¯F t : Al tomar valores esperados en todos los t¶e rminos de la ecuaci¶o n anterior, se sigue que n 0 = max G (u t ) e ¡ ± t dt + o (dt) u j[t;t+ d t] ³ ´ o + J t + ¹ (x t ;u t ) J x + 12 ¾ 2 (x t ) J x x + m (y t ) J y + 12 s 2 (y t ) J y y + ¾ (x t ) s (y t ) ½ J x y dt : Si ahora se divide entre dt y, posteriormente, se toma el l¶³mite cuando dt ! 0, se produce la ecuaci¶o n de H-J-B: n o 0 = max G (u t ) e ¡ ± t + J t + ¹ (x t ;u t ) J x + 12 ¾ 2 (x t ) J x x + m (y t ) J y + 12 s 2 (y t ) J y y + ¾ (x t ) s (y t ) ½ J x y : ut
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8 1 . P ro g ra m a ci¶o n d in ¶a m ica esto c¶a stica en tiem p o co n tin u o
Si u t es m¶aximo, entonces 0 = G (u t ) e ¡
±t
+ J t + ¹ (x t ;u t ) J x + 21 ¾ 2 (x t ) J x x + m (y t ) J y + 21 s 2 (y t ) J y y + ¾ (x t ) s (y t ) ½ J x y : (81:7)
Dada la forma separable de la funci¶o n J , se propone como candidato de la ecuaci¶o n diferencial parcial anterior a 1 J (x t ;y t ;t) = G (x t ) F (y t ;t) e ¡ ± t : ± Evidentemente, la condici¶o n ¯nal sobre F es F (y t ;T ) = 1. Ahora se calcula la derivada parcial de J con respecto de t, esto es J t = ¡ G F e¡
±t
+
1 G F te ¡ ±
±t
:
Asimismo, las primeras y segundas derivadas con respecto de x t y y t est¶an dadas por: Jx =
1 0 ¡ G F e ±
Jxx =
1 00 ¡ G F e ±
±t
;
±t
;
Jy =
1 G F y e¡ ±
J yy =
1 G F y y e¡ ±
±t
;
±t
y J x y = G 0F y e ¡
±t
:
Si estas derivadas parciales se sustituyen en la ecuaci¶o n (81.7) se tiene: 0 =± [G (u t ) ¡ G (x t ) F (y t ;t) ] + G (x t ) F t (y t ;t) + ¹ (x t ;u t ) G 0(x t ) F (y t ;t) + 12 ¾ 2 (x t ) G 00(x t ) F (y t ;t) + m (y t ) G (x t ) F y (y t ;t) + 21 s 2 (y t ) G (x t ) F y y (y t ;t) + ¾ (x t ) s (y t ) ½ G 0(x t ) F y (y t ;t) :
Al derivar la ecuaci¶o n anterior con respecto de la variable de control u t , se sigue que G 0(u t ) +
1 0 @ ¹ (x t ;u t ) G (x t ) F (y t ;t) = 0: ± @ut
(81:8)
Baj o ciertas condiciones de G , F y ¹ , la ecuaci¶o n anterior caracteriza al control o¶ ptimo u t en funci¶o n de x t y y t .
8 1 .4 C o n su m id o r-in v e rsio n ista c o n u tilid a d lo g a r¶³tm ic a En esta secci¶o n se lleva a cabo una aplicaci¶o n de la programaci¶o n din¶amica estoc¶astica en tiempo continuo al problema de decisi¶o n intertemporal de un consumidor racional. Considere un consumidor maximizador de utilidad con vida in¯nita. Suponga que el individuo tiene acceso a un activo libre de riesgo, un bono cup¶o n cero, y a un activo con riesgo, una acci¶o n.
8 1 .4 .1 P la n te a m ie n to d e l p ro b le m a d e l c o n su m id o r-in v e rsio n ista Considere un consumidor adverso al riesgo que obtiene satisfacci¶o n por un bien de consumo. La funci¶o n de utilidad esperada, al tiempo t = 0, del individuo se supone de la forma
V0 = E
8 < Z1
:
0
¯ 9 ¯ = ¯ ln(c t ) e ¡ ± t dt ¯F 0 ; ¯ ;
donde c t es consumo, ± es la tasa subj etiva de descuento y F 0 es la informaci¶o n disponible al tiempo t = 0. El supuesto de utilidad logar¶³tmica permitir¶a generar soluciones anal¶³ticas.
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8 1 . P ro g ra m a ci¶o n d in ¶a m ica esto c¶a stica en tiem p o co n tin u o
8 1 .4 .2 P o rta fo lio , a c tiv o s y r e n d im ie n to s Los precios en t¶e rminos reales del bono y la acci¶o n se denotar¶an, respectivamente, mediante b t y S t . El bono paga una tasa constante y libre de riesgo de incumplimiento r . Sea w t = S t = a t la proporci¶o n de la riqueza que el consumidor asigna a la tenencia de t¶³tulos de capital y sea 1 ¡ w t = b t = a t la proporci¶o n de la riqueza asignada a t¶³tulos de deuda. En este caso, la evoluci¶o n de la riqueza real sigue la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica: da t = (1 ¡ w t ) a t dR
b
+ w t a t dR
S
¡ c t dt:
Si se supone que los rendimientos del bono y la acci¶o n satisfacen, respectivamente, que db t = r dt bt
dR
b
=
dS t = ¹ dt + ¾ dW t ; St
=
y dR
S
entonces la restricci¶o n presupuestal del individuo se puede reescribir como: da t = ® (w t ;a t ;c t ) dt + ¯ (w t ;a t ) dW t ; donde
μ ¶ ct ® (w t ;a t ;c t ) = a t r + (¹ ¡ r ) w t ¡ at
y
(81:9)
¯ (w t ;a t ) = w t a t ¾ :
8 1 .4 .3 E c u a c i¶o n d e H a m ilto n -J a c o b i-B e llm a n En esta secci¶o n se obtiene la ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman para el problema de decisi¶o n intertemporal del consumidor. Si se de¯ne 8 1 ¯ 9
la condici¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman (H-J-B) est¶a dada por: (
) ¶ μ ct 2 2 1 2 00 + 2 a t V (a t ) w t ¾ : 0 = max ln(c t ) ¡ ± V (a t ) + a t V (a t ) r + (¹ ¡ r ) w t ¡ c t ;w t at Si c t y w
t
0
son ¶o ptimos, entonces
0 = ln(c t ) ¡ ± V (a t ) + a t V 0(a t ) Las derivadas con respecto de c t y w
t
¶ μ c + 12 a 2t V 00(a t ) w t2 ¾ 2 : r + (¹ ¡ r ) w t ¡ at
de la ecuaci¶o n anterior conducen a 1 ¡ V 0(a t ) = 0 ct
y
(81:10)
(81:11)
0 = V 0(a t ) a t (¹ ¡ r ) + V 00(a t ) w t a 2t ¾ 2 = 0:
La u¶ ltima ecuaci¶o n implica que V 00(a t ) = ¡ V 0(a t )
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(¹ ¡ r ) : w ta t¾ 2
(81:12)
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8 1 . P ro g ra m a ci¶o n d in ¶a m ica esto c¶a stica en tiem p o co n tin u o
Un candidato adecuado para resolver esta ecuaci¶o n diferencial es V (a t ) = ¯ 0 + ¯ 1 ln(a t ) ;
(81:13)
ya que las derivadas V 0(a t ) =
¯1 at
V 00(a t ) = ¡
y
¯1 a 2t
(81:14)
eliminan la dependencia de a t en la ecuaci¶o n (81.12) . Si se sustituye el candidato de soluci¶o n en las ecuaciones (81.11) y (81.12) , se obtiene ct =
1 at ¯1
y wt´ w =
(81:15)
¹ ¡ r : ¾2
(81:16)
Adem¶as, si se sustituyen las derivadas V 0(a t ) y V 00(a t ) , calculadas en (81.14) , as¶³ como c t , obtenido en (81.11) , en la ecuaci¶o n (81:10) , se sigue que 0 = ln(a t ) (1 ¡ ± ¯ 1 ) ¡ ln(¯ 1 ) ¡ ± ¯ 0 + ¯ 1 [r + (¹ ¡ r ) w ] ¡ 1 ¡
1 2
¯1
μ
¹ ¡ r ¾2
¶2
¾ 2;
(81:17)
esto a su vez implica que ¯1 = y 1 ¯0 = ±
1 ±
μ ¶ r 1 2 ln(± ) ¡ 1 + + ¸ ; ± 2±
(81:18)
(81:19)
donde ¸ = (¹ ¡ r ) = ¾ :
8 1 .4 .4 P ro c e so d e riq u e z a y c o n su m o d e l a g e n te A continuaci¶o n se determinan las trayectorias estoc¶asticas de la riqueza y el consumo del individuo. Si se sustituyen los valores ¶o ptimos de w y c t en la ecuaci¶o n (81.9) , se tiene da t = a t
£¡ ¢ ¤ r ¡ ± + ¸ 2 dt + ¸ dW t ;
donde ¸ = (¹ ¡ r ) = ¾ . Al aplicar el lema de It^o a d ln a t , se sigue que ¡ ¢ d ln a t = r ¡ ± + 12 ¸ 2 dt + ¸ dW :
Por lo tanto, la soluci¶o n de esta ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica, condicionada en a 0 , est¶a dada por ©¡ ¢ ª a t = a 0 exp r ¡ ± + 21 ¸ 2 t + ¸ W t : p Si se escribe W t = E t, donde E » N (0;1) , entonces a t = a 0 exp
n¡ p o ¢ r ¡ ± + 21 ¸ 2 t + ¸ E t :
(81:20)
Por otra parte, como c t = ± a t , el consumo satisface c t = ± a 0 exp
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n¡ p o ¢ r ¡ ± + 12 ¸ 2 t + ¸ E t :
(81:21)
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8 1 . P ro g ra m a ci¶o n d in ¶a m ica esto c¶a stica en tiem p o co n tin u o
8 1 .5 C o n su m id o r-in v e rsio n ista c o n fu n c i¶o n d e u tilid a d c o n c o e ¯ c ie n te c o n sta n te d e a v e rsi¶o n a l rie sg o En esta secci¶o n, mediante el uso de las diversas t¶e cnicas de optimizaci¶o n hasta ahora estudiadas (Hamiltoniano, Euler-Lagrange y Hamilton-Jacobi-Bellman) , se resuelve el problema de un consumidor-inversionista que toma decisiones en tiempo continuo, destacando su consistencia. Asimismo se lleva a cabo un an¶alisis comparativo entre el caso determinista y estoc¶astico sobre el problema de decisi¶o n y se enfatizan las diferencias. Considere un consumidor racional que desea resolver el siguiente problema: Maximizar ct
Z1
c °t ¡ e °
0
±t
dt
suj eto a: a_ t = a t r ¡ c t ;
a 0 conocido;
donde c t es consumo, ± es la tasa subj etiva de descuento y r es la tasa de inter¶e s real.
8 1 .5 .1 C o n tro l o¶ p tim o d e te rm in ista (H a m ilto n ia n o ) A continuaci¶o n se utiliza la t¶e cnica del Hamiltoniano para resolver el problema de decisi¶o n del consumidor-inversionista. Observe, primero, que para garantizar que la utilidad marginal sea decreciente se requiere que ° < 1. Ahora bien, el Hamiltoniano est¶a dado por H (c t ;a t ¸ t ) =
c °t + ¸ t (a t r ¡ c t ) : °
Las condiciones de primer orden son @H = 0; @ ct
@H = a_ t @¸t
¡
y
@H = ¸_ t ¡ ¸ t ±; @ at
(81:22)
las cuales conducen, respectivamente, a c t° ¡ 1 ¡ ¸ t = 0;
(81:23)
a_ t = r a t ¡ c t
(81:24)
¡ ¸ t r = ¸_ t ¡ ¸ t ±:
(81:25)
y Ahora bien, a partir de (81.25) , se obtiene ¸_ t ¡ ¸ (± ¡ r ) = 0: La soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial anterior, dado ¸ 0 , est¶a dada por ¸ t = ¸ 0 e (± ¡
r )t
:
Despu¶e s de sustituir la ecuaci¶o n anterior en (81.23) , se tiene 1 = (° ¡ 1 ) (± ¡ r )t= (° ¡ 1 )
ct = ¸ 0
e
(81:26)
:
Por otro lado, en virtud de la ecuaci¶o n (81.24) , se sigue que Z1 0
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c te ¡
rt
dt = r
Z1 0
a te ¡
rt
dt ¡
Z1
a_ t e ¡
rt
dt:
(81:27)
0
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8 1 . P ro g ra m a ci¶o n d in ¶a m ica esto c¶a stica en tiem p o co n tin u o
Al resolver la primera integral por partes, se tiene que Z1
r a te ¡
rt
0
Si se supone que lim t! se veri¯ca que
1
a te ¡
rt
¯ ¯1 r t¯
dt = ¡ a t e ¡
¯ +
Z1
0
a_ t e ¡
rt
dt:
0
= 0 en la ecuaci¶o n anterior y el resultado se sustituye en (81.27) , Z1 c t e ¡ r t dt = a 0 : (81:28) 0
Si se sustituye (81.23) en esta ecuaci¶o n, se obtiene 1 = (° ¡ 1 )
a0 = ¸ 0
Z1
e¡
(± ¡ r ° )t= (1 ¡ ° )
dt;
0
por lo que 1 = (° ¡ 1 ) 0
a0 = ¸
μ
1¡ ° ± ¡ r°
¶
:
En virtud de (81.26) , el consumo est¶a dado por ct = a 0
μ
± ¡ r° 1¡ °
¶
e (r ¡
± )t= (1 ¡ ° )
:
(81:29)
Por supuesto, para garantizar que el consumo sea positivo se requiere adem¶as que ± > r ° .
8 1 .5 .2 C ¶a lc u lo d e v a ria c io n e s (e c u a c i¶o n d e E u le r-L a g ra n g e ) A continuaci¶o n se utiliza la ecuaci¶o n de Euler-Lagrange para caracterizar el consumo o¶ ptimo de un agente racional. Considere de nuevo el problema Z1
Maximizar ct
c °t ¡ e °
0
suj eto a: a0 =
Z1
c te ¡
rt
±t
dt
dt:
(81:30)
0
En este caso el Lagrangeano se de¯ne como: L (c t ;¹ ) =
c °t ¡ e °
±t
+ ¹ c te ¡
rt
:
La condici¶o n de primer orden es @L = 0; @ ct lo cual implica que
c °t ¡ 1 e ¡
±t
¡ ¹ e¡
rt
= 0:
Por lo tanto, c t = ¹ 1 = (° ¡
1 ) (± ¡ r )t= (° ¡ 1 )
e
:
Al sustituir la ecuaci¶o n anterior en (81.30) , se obtiene a 0 = ¹ 1 = (° ¡
1)
Z1
e¡
(± ¡ r ° )t= (1 ¡ ° )
dt;
0
lo cual conduce, nuevamente, a (81.29) .
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8 1 . P ro g ra m a ci¶o n d in ¶a m ica esto c¶a stica en tiem p o co n tin u o
8 1 .5 .3 C o n d ic i¶o n d e H a m ilto n -J a c o b i-B e llm a n , p ro g ra m a c i¶o n d in ¶a m ic a d e te rm in ista En esta secci¶o n se utiliza la condici¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman de programaci¶o n din¶amica determinista para resolver el problema intertemporal de decisi¶o n de un consumidor racional. Si se de¯ne ½Z 1 ° ¾ cs ¡ ±s J (a t ;t) = max e ds ; (81:31) ct ° t se tiene la siguiente ecuaci¶o n recursiva ½Z 1 ° ¾ cs ¡ ± s J (a t ;t) = max e ds ct ° (Zt ) Z1 t+ d t ° cs ¡ ±s c s° ¡ ± s = max e ds + e ds ct ° t t+ d t ° ½ ° ¾ ct ¡ ± t = max e dt + J (a t + da t ;t + dt) + o (dt) ° cj[t;t+ d t] ½ ° ¾ ct ¡ ± t = max e dt + J (a t ;t) + J t dt + J a da + o (dt) ° cj[t;t+ d t] ½ ° ¾ ct ¡ ± t o (dt) = max e + J (a t ;t) + J t + J a a_ t + : ° dt cj[t;t+ d t]
(81:32)
Si se toma el l¶³mite cuando dt ! 0, entonces ½ ¾ c° J (a t ;t) = max e ¡ ± t t + J (a t ;t) + J t + J a (a t r ¡ c t ) : ct ° Equivalentemente,
½ 0 = max e ¡
° ± t ct
°
ct
Si c t es m¶aximo, entonces 0 = e¡
° ±t ct
°
+ J t + J a (a t r ¡ c t )
¾
+ J t + J a (a t r ¡ c t ) :
:
(81:33)
(81:34)
Considere el siguiente candidato de soluci¶o n de la ecuaci¶o n anterior, en variables separables, de la ecuaci¶o n anterior J (a t ;t) = V (a t ) e ¡ ± t : Al sustituir la ecuaci¶o n anterior en (81.32) , se tiene que 0=
c °t ¡ ± V (a t ) + V 0(a t ) (a t r ¡ c t ) : °
Si se elige V (a t ) = se sigue que 0=
(81:35)
¯ a °t ; °
c °t a° ¡ ± ¯ t + ¯ a t° ¡ 1 (a t r ¡ c t ) : ° °
La derivada de esta ecuaci¶o n con respecto de c t conduce a c t = ¯ 1 = (° ¡
1)
(81:36)
a t:
Si se sustituye la ecuaci¶o n anterior en (81.34) , se obtiene 0=
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¯ ° = (° ¡ °
1)
¡
±¯ + ¯ r ¡ ¯ ° = (° ¡ °
1)
;
(81:37)
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de donde ¯
1 = (° ¡ 1 )
° = 1¡ °
μ
± ¡ r °
¶
=
± ¡ °r : 1¡ °
Despu¶e s de sustituir la ecuaci¶o n anterior en (81.36) , se obtiene μ ¶ ± ¡ °r ct = a t: 1¡ °
(81:38)
(81:39)
Ahora bien, dado que a_ t = r a t ¡ c t = r a t ¡ ® a t = (r ¡ ® ) a t ;
donde ® = (± ¡ ° r ) = (1 ¡ ° ) , se tiene
a t = a 0 e (r ¡
® )t
:
Observe ahora que r¡ ® =r¡ Por lo tanto,
± ¡ °r r¡ ± = : 1¡ ° 1¡ °
a t = a 0 e (r ¡ Finalmente, ct = a 0
μ
± ¡ °r 1¡ °
± )= (1 ¡ ° )t
¶
e (r ¡
:
± )t= (1 ¡ ° )
:
8 1 .5 .4 C o n d ic i¶o n d e H a m ilto n -J a c o b i-B e llm a n , p ro g ra m a c i¶o n d in ¶a m ic a e sto c ¶a stic a En esta secci¶o n se supone que el consumidor tiene acceso a un bono que paga una tasa de inter¶e s libre de riesgo, r , y a un activo con riesgo, una acci¶o n, que paga un rendimiento dR s . En este caso, el agente desea resolver: ¯ ¸ ·Z 1 ° cs ¡ ± s ¯ ¯ Maximizar E e ds ¯F t ; (81:40) ct ° 0 suj eto a:
(
da t = (1 ¡ w t ) a t r dt + w t a t dR dR
S
= ¹ dt + ¾ dW t ;
s
¡ c t dt;
donde w t = b t = a t y 1 ¡ w t = S t = a t . Las variables b t y S t representan, respectivamente, el precio del bono y el precio de la acci¶o n. De esta manera, la restricci¶o n se puede reescribir como: μ ¶ ct da t = a t r + (¹ ¡ r ) w t ¡ dt + w t a t ¾ dW t : (81:41) at Si se de¯ne J (a t ;t) = max E ct
·Z 1 t
c °s ¡ e °
±s
¯ ¸ ¯ ¯ ds ¯F t ;
(81:42)
se obtiene la siguiente ecuaci¶o n recursiva: ¯ ¸ ·Z 1 ° cs ¡ ±s ¯ J (a t ;t) = max E e ds ¯ ¯F t ct ° t "Z ¯ # Z1 t+ d t ° cs ¡ ± s c s° ¡ ± s ¯ = max E e ds + e ds ¯ ¯F t ct ° t t+ d t ° "Z ¯ # t+ d t ° ¯ cs ¡ ± s = max E e ds + J (a t + da t ;t + dt) ¯ ¯F t ° cj[t;t+ d t] t ¯ ¸ ·° ¯ ct ¡ ± t = max E e dt + o (dt) + J (a t ;t) + dJ (a t ;t) ¯ ¯F t : ° cj[t;t+ d t]
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8 1 . P ro g ra m a ci¶o n d in ¶a m ica esto c¶a stica en tiem p o co n tin u o
En virtud del lema de It^o , aplicado a J = J (a t ;t) , se sigue que " c° 0 = max E t e ¡ ± t dt + o (dt) cj[t;t+ d t] ° ¯ # μ μ ¶ ¶ ¯ ct + J t + J a a t r + (¹ ¡ r ) w t ¡ + 21 J a a w t2 a t2 ¾ 2 dt + J a w t a t ¾ dW t ¯ ¯F t at ½ ° μ ¶ ¾ ct ¡ ±t ct = max e dt + o (dt) + J t + J a a t (r + (¹ ¡ r ) w t ¡ ) + 21 J a a w t2 a t2 ¾ 2 dt ° at cj[t;t+ d t] ½ ° μ ¶ ¾ ct ¡ ±t ct 2 2 2 1 = max e + J t + J a a t r + (¹ ¡ r ) w t ¡ + 2 J aa w t at¾ : ct ° at (81:43) Considere ahora un candidato, en variables separables, de la ecuaci¶o n diferencial parcial anterior J (a t ;t) = V (a t ) e ¡
±t
:
En este caso, J a = V 0(a t ) e ¡
±t
;
J a a = V 00(a t ) e ¡
±t
y
J t = ¡ ± V (a t ) e ¡
±t
:
Al sustituir las ecuaciones anteriores en (81.43) , se tiene que ·° μ ¶ ¸ ct ct 0 2 2 2 1 00 0 = max ¡ ± V (a t ) + V (a t ) a t r + (¹ ¡ r ) w t ¡ + 2 V (a t ) w t a t ¾ : ct ° at Si c t es ¶o ptimo, se sigue que μ ¶ c t° ct 0 0= ¡ ± V (a ) + V (a t ) a t r + (¹ ¡ r ) w t ¡ + 21 V 00(a t ) a t2 w t2 ¾ 2 : ° at Si ahora se elige a° V (a t ) = ¯ t ; ° se veri¯ca que V 0(a t ) = ¯ a °t ¡ 1 y V 00(a t ) = ¯ (° ¡ 1) a °t ¡ 2 : Por lo tanto, la ecuaci¶o n (81.44) se transforma en μ ¶ c °t a °t ct ° 0= ¡ ±¯ + ¯ a t r + (¹ ¡ r ) w t ¡ + 21 ¯ (° ¡ 1) a t° w t2 ¾ 2 : ° ° at Si se deriva la expresi¶o n anterior con respecto de c t y w t , se tiene que c t = ¯ 1 = (° ¡ y
1)
at
(81:44)
(81:45)
(81:46)
(81:47)
¶μ ¶ 1 ¹ ¡ r : (81:48) 1¡ ° ¾2 Si se sustituyen (81.47) y (81.48) en la ecuaci¶o n (81.46) , se tiene que " μ # ¶μ ¶2 μ ¶2 ¯ ° = (° ¡ 1 ) ±¯ 1 ¹ ¡ r ¾2 ¹ ¡ r 1 = (° ¡ 1 ) 1 0= ¡ +¯ r+ ¡ ¯ + 2 ¯ (° ¡ 1) ° ° 1¡ ° ¾ (1 ¡ ° ) 2 ¾2 μ ¶μ ¶2 ¯ ° = (° ¡ 1 ) ±¯ ¯ ¹ ¡ r = ¡ + ¯ r + 21 ¡ ¯ ° = (° ¡ 1 ) : ° ° 1¡ ° ¾ (81:49) De esta manera, · μ ¶ ¸ ° ± 1 ¯ 1 = (° ¡ 1 ) = ¡ r ¡ 12 ¸2 ; 1¡ ° ° 1¡ ° donde ¸ ´ (¹ ¡ r ) = ¾ es el premio al riesgo de mercado. Para garantizar que el consumo se mantenga positivo se requiere μ ¶ ° ± > r ° + 21 ¸ 2: 1¡ ° w ´ wt=
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μ
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8 1 . P ro g ra m a ci¶o n d in ¶a m ica esto c¶a stica en tiem p o co n tin u o
8 1 .6 C o n d ic i¶o n d e H a m ilto n -J a c o b i-B e llm a n , p r o g ra m a c i¶o n d in ¶a m ic a e sto c ¶a stic a y v a lu a c i¶o n d e o p c io n e s Se supone ahora que el individuo tiene acceso a tres activos reales: una acci¶o n de precio S t , una opci¶o n sobre la acci¶o n de precio c = c(S t ;t) y un bono de precio b t libre de riesgo de incumplimiento que paga tasa ¯j a r . Suponga que el rendimiento que paga el activo subyacente es (81:50) dR S = ¹ dt + ¾ dW t : Asimismo, suponga que el rendimiento que paga el bono est¶a dado por dR
b
= r dt:
(81:51)
En vista de (81.50) , la aplicaci¶o n del lema de It^o a c = c(S t ;t) conduce a que el rendimiento de la opci¶o n satisface dc = ¹ c dt + ¾ c dW t ; (81:52) dR c = ct donde ¹c ´
μ
@ ct @ ct + ¹St+ @t @St
1 2
@ 2 ct 2 2 ¾ St @ S t2
¶
1 ct
y ¾c =
@ ct 1 ¾St : ct @St
Se supone que c(S t ;T ) = max(S t ¡ K ;0) , donde K es el precio de ej ercicio de la opci¶o n. Sea w 1 t = S t = a t la proporci¶o n de la riqueza que el individuo asigna a la tenencia de acciones, w 2 t = c= a t la proporci¶o n de la riqueza que asigna a una opci¶o n europea de compra sobre la acci¶o n, y 1 ¡ w 1 t ¡ w 2 t la fracci¶o n complementaria que se asigna a un instrumento libre de riesgo que paga un rendimiento r constante a cualquier plazo. En este caso, el agente desea resolver el siguiente problema: Maximizar ct
E
·Z 1 0
c °s ¡ e °
±s
suj eto a: da t = a t w
1 t dR S
+ a tw
2 t dR c
+ a t (1 ¡ w
¯ ¸ ¯ ds ¯ ¯F t ;
1t
¡ w
(81:53)
2 t ) dR b
¡ c t dt:
(81:54)
Es importante destacar la diferencia entre la notaci¶o n c y c t , la primera representa el precio de la opci¶o n y la segunda el consumo. Despu¶e s de sustituir (81.50) -(81.52) en la restricci¶o n presupuestal, ¶e sta se puede reescribir como μ da t = a t r + (¹ ¡ r ) w
1 t + (¹ c ¡ r ) w
Si se de¯ne J (a t ;t) =
max
c t ;w
se sigue que "Z t+
1 t ;w 2 t
E
2t ¡
·Z 1 t
¶ ct dt + a t (w at c °s ¡ e °
±s
1 t¾
+w
2 t ¾ c ) dW t :
¯ ¸ ¯ ds ¯ ¯F t ;
¯ # Z1 c °s ¡ ± s c °s ¡ ± s ¯ e e ds + ds ¯ J (a t ;t) = max E ¯F t c t ;w 1 t ;w 2 t ° t t+ d t ° "Z ¯ # t+ d t ° ¯ cs ¡ ± s e E ds + J (a t + da t ;t + dt) ¯ = max ¯F t ° c t ;w 1 t ;w 2 t j[t;t+ d t] t ¯ ¸ ·° ¯ ct ¡ ±t = max e dt + o (dt) + J (a t ;t) + dJ (a t ;t) ¯ E ¯F t : ° c t ;w 1 t ;w 2 t j[t;t+ d t]
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dt
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8 1 . P ro g ra m a ci¶o n d in ¶a m ica esto c¶a stica en tiem p o co n tin u o
En virtud del lema de It^o , aplicado a J = J (a t ;t) , se tiene que μ · dt + o (dt) + J t + J a a t r + (¹ ¡ r ) w 1 t + (¹ c ¡ r ) w ¯ ¸ ¸ ¯ 2 2 1 + 2 J a a a t (w 1 t ¾ + w 2 t ¾ c ) dt + J a a t (w 1 t ¾ + w 2 t ¾ c ) dW t ¯ ¯F t :
·° c 0 = max E t e ¡ c t ;w 1 t ;w 2 t °
±t
ct 2t ¡ at
¶ (81:55)
Si se toman esperanzas de los t¶e rminos dentro del par¶e ntesis y, posteriormente, se divide entre dt y se toma el l¶³mite cuando dt ! 0; se sigue que 0=
max
c t ;w
+
1 2
1 t ;w 2 t
½
c °t ¡ e °
J a a a 2t (w 1 t ¾
±t
μ + J t + J a a t r + (¹ ¡ r ) w )
+w
2 t¾ c )
2
1 t + (¹ c ¡ r ) w
2t ¡
ct at
¶
(81:56)
:
Considere un candidato de la forma J (a t ;t) = V (a t ) e ¡ entonces
J a = V 0(a t ) e ¡
Ahora bien, si w 0=
1 t,
w
2t
±t
J a a = V 00(a t ) e ¡
;
±t
±t
; J t = ¡ ± V (a t ) e ¡
y
±t
:
y c t son ¶o ptimos, se tiene que
μ c °t ¡ ± V (a t ) +V 0(a t ) a t r +(¹ ¡ r ) w °
1 t +(¹ c ¡ r ) w
2 t¡
Suponga que
¶ ct + 12 V 00(a t ) a 2t (w at
1 t¾
+w
2 t¾ c )
2
: (81:57)
1 t¾
+w
2 t¾ c )
2
: (81:58)
a °t ; °
V (a t ) = ¯ entonces (° ¡ 1 )
V 0(a t ) = ¯ a t
y
(° ¡ 2 )
V 00(a t ) = ¯ (° ¡ 1) a t
:
De esta manera, la ecuaci¶o n (81.57) se transforma en μ c °t a °t ° 0= ¡ ±¯ + ¯ a t r + (¹ ¡ r ) w ° °
ct 1 t + (¹ c ¡ r ) w 2 t ¡ at
Al derivar la expresi¶o n anterior con respecto de c t ;w c °t ¡ 1 ¡ ¯ a °t ¡
y
¶
+ 12 ¯ (° ¡ 1) a °t (w
1 t ;w 2 t
1
se obtienen, respectivamente:
= 0;
(81:59)
¯ a °t (¹ ¡ r ) + ¯ (° ¡ 1) a °t (w
1 t¾
+w
2 t¾ c ) ¾
¯ a °t (¹ c ¡ r ) + ¯ (° ¡ 1) a °t (w
1 t¾
+w
2 t¾ c ) ¾ c
=0 = 0:
Estas tres ecuaciones se pueden reescribir como: c t = ¯ 1 = (° ¡
1)
a t;
¹ ¡ r = (1 ¡ ° ) (w
1 t¾
+w
2 t¾ c ) ¾
(81:60)
¹ c ¡ r = (1 ¡ ° ) (w
1 t¾
+w
2 t¾ c ) ¾ c :
(81:61)
y
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8 1 . P ro g ra m a ci¶o n d in ¶a m ica esto c¶a stica en tiem p o co n tin u o
Las dos u¶ ltimas ecuaciones implican que los premios al riesgo de S t y c(S t ;t) son iguales, es decir, ¹c ¡ r ¹ ¡ r = : ¾c ¾
(81:62)
Despu¶e s de sustituir ¹ c y ¾ c en la ecuaci¶o n anterior se tiene que μ ¶ 2 @ ct @ ct @ ct 1 @ ct 2 2 + ¹St+ 2 ¾ S t ¡ r c t = (¹ ¡ r ) S t; @t @St @ S t2 @St lo cual conduce a la ecuaci¶o n diferencial parcial de Black-Scholes: @ ct @ ct + ¹St+ @t @St
@ 2 ct 2 2 ¾ S t ¡ r c t = 0; @ S t2
1 2
j unto con la condici¶o n de frontera c(S t ;T ) = max(S t ¡ K ;0) :
8 1 .7 D in ¶a m ic a d e la riq u e z a re a l En esta secci¶o n se determina la din¶amica estoc¶astica de riqueza real del consumidor. Si se sustituye (81.59) en (81.58) , se tiene que 0=
¯ ° = (° ¡ °
1)
¡
±¯ + ¯ (r + ¸ ¾ w °
donde ¸ =
1t
¹ ¡ r ¾
+ ¸ c¾ cw
y
2 t)
¸c =
¡ ¯ ° = (° ¡
1)
+
¯ ¸ 2; 2(1 ¡ ° )
1)
+
¯ ¸2 2(1 ¡ ° )
¹c ¡ r : ¾c
En virtud de que ¸ = ¸ c , la ecuaci¶o n anterior se transforma en 0=
¯ ° = (° ¡ °
¶o 0=
1)
¡
¯ ° = (° ¡ °
±¯ + ¯ r + ¯ ¸ (¾ w ° 1)
¡
+ ¾ cw
2 t)
¡ ¯ ° = (° ¡
±¯ 1 + ¯r + ¯¸2 ¡ ¯ ° = (° ¡ ° 1¡ °
lo cual implica que ¯ 1 = (° ¡
1t
1)
=
° 1¡ °
· ± ¡ r¡ °
1 2
μ
1 1¡ °
¯ ¸ 2; 2(1 ¡ ° )
1)
+
¶
¸ ¸2 :
8 1 .8 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Bellman, R. (1957) . Dynamic Programming. Princeton University Press. Princeton, N. J. Bellman, R. and S. Dreyfus (1962) . Applied Dynamic Programming. Princeton University Press. Princeton, N. J. Fleming, W. H. and R. W. Rishel (1982) . Deterministic and Stochastic Optimal Control (Stochastic Modelling and Applied Probability) . Springer-Verlag. New York, Berlin. Kalman, R. E. (1960) . \A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems" . J o u rn a l o f B a sic E n gin eerin g, Vol. 82, pp. 35-45. Kalman, R. E. and R. S. Bucy (1961) . \New Results in Linear Filtering and Prediction Theory" . J o u rn a l o f B a sic E n gin eerin g, Vol. 83. pp. 95-107. Kushner, H. J. (1971) . Introduction to Stochastic Control. Holt Publications. New York. Venegas-Mart¶³nez, F. (2000) . \On Consumption, Investment, and Risk" . E co n o m ¶³a M exica n a , N u eva E¶ poca , Vol. 9, No. 2, pp. 227-244. Venegas-Mart¶³nez, F. (2002) . \Optimal Production in Monopoly Pricing: A Stochastic and Dynamic Approach" . R evista M exica n a d e E co n o m ¶³a y F in a n za s, R E M E F , Vol. 1, No. 2. pp. 153-168.
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8 1 . P ro g ra m a ci¶o n d in ¶a m ica esto c¶a stica en tiem p o co n tin u o
8 1 .9 E je rc ic io s 8 1 .1 De acuerdo con la subsecci¶o n 81.4.4, el proceso que conduce a la riqueza real, a t , del consumidor-inversionista est¶a dado por ©¡ ¢ ª a t = a 0 exp r ¡ ± + 21 ¸ 2 t + ¸ W t : 1
2
Muestre que si r = ± , entonces a 0 = a t = e ¡ ¸ W t ¡ 2 ¸ t es una martingala. 8 1 .2 Muestre que la din¶amica estoc¶astica de la riqueza real, a t , en (81.41) y (81.54) satisface £ ©¡ ¢ ª¤1 ¡ a t = a 0 exp r ¡ ± + 12 ¸ 2 t + ¸ W t
°
:
8 1 .3 Considere la funci¶o n de utilidad hiperb¶o lica, la cual est¶a dada por: 1¡ ° u (c t ) = °
μ
Á ct +´ 1¡ °
¶°
;
donde Á , ° , ± y ´ son constantes. Obtenga la condici¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman cuando el agente tiene acceso a un activo con riesgo y a una opci¶o n sobre dicha acci¶o n. 8 1 .4 Repita el ej ercicio anterior con c1 ¡ μ ¡ 1 u (c t ) = t : 1¡ μ 8 1 .5 Repita el ej ercicio anterior con u (c t ) = ¡
1 ¡ e μ
μ ct
:
8 1 .6 Considere un portafolio con w t unidades de una acci¶o n de precio S t y 1 ¡ w t unidades de un bono libre de riesgo que paga una tasa de inter¶e s constante r . Suponga que el valor inicial del portafolio es Z 0 = 1. En este caso, el rendimiento del portafolio es Z t = w t [(S t ¡ S 0 ) = S 0 ] + (1 ¡ w t ) r t. Suponga que (S t ¡ S 0 ) = S 0 = ¹ t + ¾ W t , entonces Z t = [r + (¹ ¡ r ) w t ] t + ¾ w t W t : Considere la funci¶o n de utilidad U (Z t ) = ¡ e ¡ £ Maximizar E ¡ e ¡ w
t
ÁZ
t
ÁZ
t
¤ = ¡ e¡
. Si se desea resolver el problema Á f [r + (¹ ¡ r )w t ¡
1 2
Á ¾ 2 w t2 ]tg
;
el cual es equivalente a Maximizar r + (¹ ¡ r ) w t ¡ w
t
la soluci¶o n es w =
1 2 2 Á ¾ w t; 2
¸ : ¾Á
Compare este o¶ ptimo con (81.16) y (81.84) . Discuta los resultados.
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X IX . M O D E L O S E C O N O¶ M IC O S D E R IE S G O S
² 8 2 . D ecisio n es d e co n su m o e in v ersi¶o n b a jo co n d icio n es
riesg o e in certid u m b re (I): m o d elo s d e d ifu si¶o n
² 8 3 . D ecisio n es d e co n su m o e in v ersi¶o n b a jo co n d icio n es
riesg o e in certid u m b re (II): d ifu si¶o n co n sa lto s
² 8 4 . D ecisio n es d e co n su m o e in v ersi¶o n b a jo co n d icio n es
riesg o e in certid u m b re (III): g en era liza cio n es d iv ersa s
² 8 5 . M o d elo d e C ox -In g erso ll-R o ss d e eq u ilib rio g en era l
p a ra d eterm in a r el p ro ceso d e ta sa co rta
² 8 6 . M o d elo d e ta sa co rta d e D o th a n ² 8 7 . M o d elo d e F ish er d e riesg o d e in ° a ci¶o n co n b o n o s
in d ex a d o s
² 8 8 . R iesg o n o d iv ersi¯ ca b le d e tip o d e ca m b io (I):
d ifu si¶o n co n sa lto s
² 8 9 . R iesg o n o d iv ersi¯ ca b le d e tip o d e ca m b io (II):
p o l¶³tica ¯ sca l in cierta ² 9 0 . R iesg o n o d iv ersi¯ ca b le d e tip o d e ca m b io (III): in g reso la b o ra l in cierto ² 9 1 . M a x im iza ci¶o n d e u tilid a d y va lu a ci¶o n d e o p cio n es co n v o la tilid a d esto c¶a stica
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.
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C A P ¶IT U L O 82 D E C IS IO N E S D E C O N S U M O Y P O R T A F O L IO B A J O C O N D IC IO N E S D E R IE S G O (I): P R O C E S O S D E D IF U S IO¶ N C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ²
Consumidor-inversionista maximizador de utilidad adverso al riesgo Procesos de difusi¶o n Control ¶o ptimo estoc¶astico Condici¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman
8 2 .1 In tro d u c c i¶o n En el presente cap¶³tulo se desarrolla un modelo que describe el comportamiento de un consumidor-inversionista, adverso al riesgo, que toma decisiones de consumo y portafolio en un ambiente de riesgo. Considere una econom¶³a poblada por consumidores id¶e nticos con vida in¯nita, los cuales maximizan su utilidad. Se supone que la funci¶o n de utilidad tiene dos argumentos: un bien de consumo y la tenencia de saldos monetarios reales. El bien de consumo es de car¶acter perecedero y los saldos reales producen satisfacci¶o n en los consumidores por sus servicios de liquidez.
8 2 .2 D in ¶a m ic a d e l n iv e l g e n e ra l d e p re c io s Se supone que en esta econom¶³a los individuos perciben que el precio del bien, P t , es conducido por el siguiente proceso estoc¶astico de difusi¶o n: dP t = ¼ P t dt + ¾ P P t dW
P ;t
;
(82:1)
donde el par¶ametro de tendencia, ¼ , representa la tasa de in°aci¶o n promedio esperada y el par¶ametro de volatilidad, ¾ P , denota la variaci¶o n esperada de la tasa de in°aci¶o n. El proceso W P ;t es un proceso de Wiener estandarizado, es decir, W P ;t presenta incrementos normales independientes con E[dW P ;t ] = 0 y Var[dW P ;t ] = dt. La ecuaci¶o n (82.1) generaliza el supuesto de previsi¶o n perfecta cuando el nivel general de precios sigue una distribuci¶o n log-normal.
8 2 .2 .1 A c tiv o s d e l c o n su m id o r El consumidor representativo posee tres diferentes acervos de activos: dinero, M t ; t¶³tulos de deuda p¶u blica, B t ; y acciones, k t . En consecuencia, la riqueza real, a t , del individuo est¶a dada por: a t = m t + bt + k t; (82:2) donde m t = M t = P t son los saldos monetarios reales y b t = B t = P t es la tenencia de bonos emitidos por el sector p¶u blico en t¶e rminos reales.
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8 2 . D ecisio n es d e co n su m o y p o rta fo lio b a jo co n d icio n es d e riesg o (I)
8 2 .2 .2 P ro b le m a d e d e c isi¶o n d e l c o n su m id o r El consumidor obtiene satisfacci¶o n por un bien de consumo y por la tenencia de saldos reales por sus servicios de liquidez. Se supone que la funci¶o n de utilidad esperada es del tipo von NeumannMorgenstern. Espec¶³¯camente, la funci¶o n de utilidad total descontada al tiempo t = 0, V 0 , de un individuo representativo y competitivo tiene la siguiente forma separable: 8 1 9
donde u (c t ) es el ¶³ndice de satisfacci¶o n por el consumo; v (m t ) es la utilidad por mantener saldos reales; ± es la tasa subj etiva de descuento, tambi¶e n llamada tasa sub j etiva intertemporal; y E 0 es la esperanza condicional al conj unto de informaci¶o n disponible en el tiempo t = 0. En particular, se seleccionan u (c t ) = μ log(c t ) y v (m t ) = (1 ¡ μ ) log(m t ) , lo cual conduce a un consumidor adverso al riesgo. Este supuesto permitir¶a generar soluciones anal¶³ticas que faciliten el estudio de las mismas. Por otra parte, la evoluci¶o n de la acumulaci¶o n de la riqueza real sigue la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica: da t = a t [N
m ;t
dR
m ;t
+N
b;t
dR
b;t
+N
k ;t
dR
k ;t
] ¡ c t (1 + ¿ c ) dt ¡ d¿ t ;
(82:4)
donde N
j;t
dR
´
j;t
jt proporci¶o n del portafolio en el activo j , j = m ;b;k ; at = tasa de rendimiento real despu¶e s de impuestos sobre el activo j , j = m ;b;k ;
d¿ t = impuestos sobre la riqueza; y ¿ c = impuesto a d va lo rem sobre el consumo.
8 2 .2 .3 R e n d im ie n to d e lo s a c tiv o s A continuaci¶o n se determina el rendimiento de los activos disponibles en la econom¶³a. Se supone que las tasas nominales de rendimiento que pagan el dinero y los bonos son cero e i, respectivamente, es decir, dM t = 0 £ dt y dB t = i (1 ¡ ¿ y ) dt, donde ¿ y es un impuesto aplicado a la tasa de inter¶e s nominal de un bono gubernamental. El rendimiento estoc¶astico por la tenencia de saldos reales al tiempo t, dR m ;t , es simplemente el cambio porcentual en el precio del dinero en t¶e rminos de bienes. La aplicaci¶o n del lema de It^o al cambio porcentual del inverso del nivel de precios, tomando (82.1) como el proceso subyacente, conduce a (v¶e ase el Ap¶e ndice 82.A) ³ 1 ´ d ¡M = P ¢ t t ¢ = r m dt ¡ ¾ P dW P ;t ; dR m ;t = P t d = ¡ (82:5) Pt M t= P t donde r m = ¡ ¼ + ¾ P2 . El rendimiento estoc¶astico por la tenencia de bonos se obtiene en forma similar como dR b;t = r b dt ¡ ¾ P dW P ;t ; (82:6) donde r b = i(1 ¡ ¿ y ) ¡ ¼ + ¾ P2 . Es importante observar que los rendimientos del dinero y de los bonos se ven afectados por la volatilidad en el nivel general de precios. La tasa de rendimiento de las acciones despu¶e s de impuestos ser¶a denotada mediante dR
k ;t
= r k dt + ¾ k dW
k ;t
;
(82:7)
donde el proceso dW k ;t tiene caracter¶³sticas similares al proceso de¯nido en (82.1) . Adem¶as del impuesto ¿ y aplicado a la tasa de inter¶e s nominal de instrumentos de deuda p¶u blica y del impuesto a d va lo rem ¿ c que se paga por el consumo, el consumidor paga un impuesto sobre la riqueza de la forma d¿ t = a t ¿¹ dt + a t ¾ ¿ dW ¿ ;t ; (82:8)
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8 2 . D ecisio n es d e co n su m o y p o rta fo lio b a jo co n d icio n es d e riesg o (I)
donde ¿¹ es la tasa impositiva media esperada sobre la riqueza real. Al igual que antes, dW comparte las mismas caracter¶³sticas que el proceso de Wiener de¯nido en (82.1) .
¿ ;t
8 2 .3 D e c isio n e s o¶ p tim a s d e lo s c o n su m id o re s El ob jetivo del consumidor es elegir, en cada momento, el portafolio de activos y la cantidad de consumo que maximicen (82.3) suj eto a (82.4) . Note que despu¶e s de sustituir las expresiones (82.5) -(82.8) en la ecuaci¶o n estoc¶astica de acumulaci¶o n de la riqueza, expresi¶o n (82.4) , ¶e sta se transforma en · ¸ da t c t (1 + ¿ c ) = N m ;t r m + N b;t r b + N k ;t r k ¡ ¡ ¿¹ dt at at (82:9) +N
k ;t
¾ k dW
k ;t
¡ (N
m ;t
+N
b;t
) ¾ P dW
P ;t
¡ ¾ ¿ dW
¿ ;t
:
La soluci¶o n del problema de maximizaci¶o n de utilidad total descontada sujeto a (82.9) y a la restricci¶o n de normalizaci¶o n N m ;t + N b;t + N k ;t = 1; (82:10) est¶a dada por (v¶e ase el Ap¶e ndice 82.B) : ct =
0=
± (1 ¡ μ ) + r m ¡ (N N m ;t 0 = r b ¡ (N
m ;t
m ;t
+N
±μ a t; (1 + ¿ c ) +N
b;t
b;t
(82:11)
) ¾ P2 + N
) ¾ P2 + N
k ;t
¾ P k ¡ ¾ P ¿ ¡ ±Á ;
(82:12)
¾ P k ¡ ¾ P ¿ ¡ ±Á
(82:13)
)¾ P k + ¾ k¿ ¡ ±Á ;
(82:14)
k ;t
y 0 =r k ¡ N
k ;t
¾ k2 + (N
m ;t
+N
b;t
donde Á es el multiplicador de Lagrange asociado a la restricci¶o n (82.10) . Despu¶e s de restar (82.12) de (82.13) , se encuentra que la proporci¶o n ¶o ptima de la riqueza que se asigna a la tenencia de saldos reales: ± (1 ¡ μ ) Nbm = ; (82:15) i(1 ¡ ¿ y ) la cual es independiente del tiempo. Asimismo, despu¶e s de restar (82.13) de (82.14) , se tiene que A Nbk = ; B
(82:16)
A ´ r k ¡ r b + ¾ P2 + ¾ P k + ¾ P ¿ + ¾ k ¿
(82:17)
B ´ ¾ P2 + 2¾ P k + ¾ k2 > 0:
(82:18)
donde y Note tambi¶e n que en ning¶u n caso se han impuesto restricciones para que las proporciones de la riqueza asignadas a la tenencia de activos sean estrictamente positivas y menores que la unidad. Por lo tanto, las ventas en corto de activos son permitidas. Finalmente, el portafolio ¶o ptimo queda completamente determinado con Nbb , el cual se obtiene a partir de (82.10) como ± (1 ¡ μ ) Nbb = 1 ¡ ¡ Nbk : i(1 ¡ ¿ y )
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8 2 . D ecisio n es d e co n su m o y p o rta fo lio b a jo co n d icio n es d e riesg o (I)
A p ¶e n d ic e 8 2 .A En este ap¶e ndice se establecen, sin demostraci¶o n, 1 un par de resultados sobre la diferencial estoc¶astica del cociente y la multiplicaci¶o n de dos movimientos geom¶e tricos Brownianos. Dadas las ecuaciones diferenciales estoc¶asticas, homog¶e neas y lineales, dX
= X t (¹ X dt + ¾ X dW
t
X
)
y dY t = Y t (¹ Y dt + ¾ Y dW
Y
);
donde dW X , dW Y son procesos de Wiener con Cov(dW X ;dW Y ) = ½ X Y dt, entonces las diferenciales estoc¶asticas del cociente X t = Y t y del producto X t Y t satisfacen, respectivamente, d
μ
X t Yt
¶
" ¢ X t ¡ = ¹ X ¡ ¹ Y + ¾ Y2 ¡ ¾ X Y dt + ¾ X dW Yt
¡ ¾ Y dW
X
Y
#
(82:A:1)
y d (X t Y t ) = X t Y t [(¹ X + ¹ Y + ¾ X Y ) dt + ¾ X dW
+ ¾ Y dW
X
]:
Y
(82:A:2)
A p ¶e n d ic e 8 2 .B En este ap¶e ndice se determinan las condiciones de primer orden para una soluci¶o n interior del siguiente problema de control o¶ ptimo estoc¶astico
c t ;N
suj eto a:
max
m ;t ;N b;t ;N k ;t
· da t = N at
m
+N
8 < Z1
E0
:
[μ log(c t ) + (1 ¡ μ ) log(N
m ;t
a t) ] e ¡
dt
0
c t (1 + ¿ c ) ¡ ¿¹ ;t r m + N b;t r b + N k ;t r k ¡ at k ;t
±t
¾ k dW
k ;t
y 1¡ N
¡ (N
m ;t
m ;t
¡ N
b;t
+N
b;t
¡ N
) ¾ P dW
k ;t
P ;t
9 =
;
¸
¡ ¾ ¿ dW
;
(82:B:1)
(82:B:2) ¿ ;t
= 0;
(82:B:3)
donde i, ¼ , ¿ c , ¿ y , ¿¹ y las correspondientes varianzas y covarianzas son tomadas como dadas. En este caso, la condici¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman (H-J-B) para la programaci¶o n din¶amica en tiempo continuo est¶a dada por: c t ;N
c t ;N
max
H (c t ;N (
m ;t ;N b;t ;N k ;t
max
m ;t ;N b;t ;N k ;t
m ;t
m
;t + N
+ Á (1 ¡ N 1
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m ;t
b;t
;N
k ;t
; a t) ´
μ log(c t ) + (1 ¡ μ ) log(N
· + a t V 0(a t ) N m ;t r m + N h + 12 a 2t V 00(a t ) (N m ;t + N ¡ 2(N
;N
b;t ) N
¡ N
b;t r b + N
2 k ;t
k ;t ¾ P k + 2(N )
;t + N
¡ N
b;t
) ¾ +N
k ;t
)
m
a t ) ¡ ± V (a t )
c t (1 + ¿ c ) ¡ ¿¹ at
k ;t r k ¡
2 P
b;t
2
m ;t
2 k
¾ +¾
¸
2 ¿
b;t ) ¾ P ¿ ¡ 2N
k ;t ¾ k ¿
(82:B:4) i
= 0;
V ¶e a se G ih m a n a n d S k o ro h o d (1 9 7 2 ).
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8 2 . D ecisio n es d e co n su m o y p o rta fo lio b a jo co n d icio n es d e riesg o (I)
donde Á es el multiplicador de Lagrange asociado con la condici¶o n de normalizaci¶o n, V (a t ) e ¡ ± t es la funci¶o n de utilidad indirecta del consumidor y V 0(a t ) e ¡ ± t es la variable de co-estado. La condici¶o n H-J-B evaluada en el m¶aximo es una ecuaci¶o n diferencial ordinaria de segundo orden en V (a t ) . Con el prop¶o sito de resolver dicha ecuaci¶o n diferencial, se postula la funci¶o n V (a t ) de la forma: V (a t ) = ¯ 0 + ¯ 1 log(a t ) . Consecuentemente, c t ;N
c t ;N
max
H (c t ;N (
m ;t ;N b;t ;N k ;t
max
m ;t ;N b;t ;N k ;t
m ;t
;N
b;t
;N
k ;t
; a t) ´
μ log(c t ) + (1 ¡ μ ) log(N
m ;t
a t ) ¡ ± [¯ 0 + ¯ 1 log(a t ) ]
· ¸ c t (1 + ¿ c ) + ¯ 1 N m ;t r m + N b;t r b + N k ;t r k ¡ ¡ ¿¹ at h ¡ 12 ¯ 1 (N m ;t + N b;t ) 2 ¾ P2 + N k2;t ¾ k2 + ¾ ¿2 ¡ 2(N
m
;t + N
+ Á (1 ¡ N
m ;t
b;t ) N
¡ N
k ;t ¾ P k + 2(N )
b;t
¡ N
k ;t
)
m
;t + N
b;t ) ¾ P ¿ ¡ 2N
(82:B:5)
k ;t ¾ k ¿
i
= 0:
Por lo tanto, las condiciones necesarias para un m¶aximo son: 0= 0=
@H @N m
@H μ ¯ 1 (1 + ¿ c ) = ¡ ; @ ct ct at
h i 1¡ μ + ¯ 1 r m ¡ (N m ;t + N b;t ) ¾ P2 + N k ;t ¾ P k ¡ ¾ P ¿ ¡ Á ; N m ;t ;t h @H 0= = ¯ 1 r b ¡ (N m ;t + N b;t ) ¾ P2 + N k ;t ¾ P k ¡ ¾ P ¿ ] ¡ Á ; @ N b;t h i @H 0= = ¯ 1 r k ¡ N k ;t ¾ k2 + (N m ;t + N b;t ) ¾ P k + ¾ k ¿ ¡ Á @ N k ;t =
(82:B:6) (82:B:7) (82:B:8) (82:B:9)
y @H = 1 ¡ (N m ;t + N b;t + N k ;t ) : (82:B:10) @Á Falta s¶o lo determinar los coe¯cientes ¯ 0 y ¯ 1 de¯nidos en V (a t ) . Despu¶e s de sustituir los valores ¶o ptimos de b c t , Nbm , Nbb y Nbk en la condici¶o n de H-J-B, se obtiene que 0=
0 =(1 ¡ ± ¯ 1 ) log(a t ) + μ log(μ ) + (1 ¡ μ ) log(1 ¡ μ )
¡ μ log[¯ 1 (1 + ¿ c ) ] ¡ (1 ¡ μ ) log[¯ 1 i(1 ¡ ¿ y ) ] ¡ ± ¯ 0 h + ¯ 1 Nbm (¡ ¼ + ¾ P2 )
i b c t (1 + ¿ c ) + Nbb [i(1 ¡ ¿ y ) ¡ ¼ + ¾ P2 ] + Nbk r k ¡ ¡ ¿¹ at h 2 2 2 2 2 1 ¡ 2 ¯ 1 (Nbm + Nbb ) ¾ P + Nbk ¾ k + ¾ ¿ ¡ 2(Nbm + Nbb ) Nbk ¾ P k i + 2(Nbm + Nbb ) ¾ P ¿ ¡ 2Nbk ¾ k ¿ ;
(82:B:11)
lo cual implica ¯ 1 = 1= ± y
μ ¶ · ¸ μ (1 ¡ μ ) μ 1 + ¿c (1 ¡ μ ) i(1 ¡ ¿ y ) ¯ 0 = log(μ ) + log(1 ¡ μ ) ¡ log ¡ log ± ± ± ± ± ± h i μ 1 ¡ + 2 Nbm (¡ ¼ + ¾ P2 ) + Nbb [i(1 ¡ ¿ y ) ¡ ¼ + ¾ P2 ] + Nbk r k ¡ ¿¹ ± ± 1h ¡ 12 2 (Nbm + Nbb ) 2 ¾ P2 + Nbk2 ¾ k2 + ¾ ¿2 ¡ 2(Nbm + Nbb ) Nbk ¾ P k ± i + 2(Nbm + Nbb ) ¾ P ¿ ¡ 2Nbk ¾ k ¿ :
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(82:B:12)
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8 2 . D ecisio n es d e co n su m o y p o rta fo lio b a jo co n d icio n es d e riesg o (I)
8 2 .4 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Gihman, I. I. and A. V. Skorohod (1972) . Stochastic di®erential equations. Springer-Verlag, Berlin. M¶arquez-Pozos J. M., A. Islas-Camargo y F. Venegas-Mart¶³nez (2003) . \Fluj os internacionales de capital e inversi¶o n extranj era de cartera: el caso de M¶e xico 1989-1999" . E l T rim estre E co n o¶ m ico , Vol. 70(4) , No. 280, pp. 791-833. Turnovsky, S. J. (1993) . \Macroeconomic Policies, Growth, and Welfare in a Stochastic Economy" . In tern a tio n a l E co n o m ic R eview , Vol. 34, No. 4, pp. 953-981. Venegas-Mart¶³nez, F. (2001) . \Temporary Stabilization: A Stochastic Analysis" . J o u rn a l o f E co n o m ic D y n a m ics a n d C o n tro l, Vol. 25, No. 9, pp. 1429-1449. Venegas-Mart¶³nez, F. (2004) . El TLCAN y su impacto en la inversi¶o n extranj era de cartera en M¶e xico. Cap¶³tulo del libro: Diez a~n os del TLCAN en M¶e xico: una perspectiva anal¶³tica. E. R. Casares y H. Sobarzo (Compiladores) . El Trimestre Econ¶o mico, Serie de Lecturas del Fondo de Cultura Econ¶o mica, pp. 169-186. Venegas-Mart¶³nez, F. (2004) . \A Dynamic and Stochastic Extension of the Main Theorems of International Trade: The Case of Exhaustible and Non-Renewable Factors" . R evista M exica n a d e E co n o m ¶³a y F in a n za s, R E M E F , Vol. 3, No. 1, pp. 79-99.
8 2 .5 E je rc ic io s 8 2 .1 Repita el modelo desarrollado en el presente cap¶³tulo bajo el supuesto de que el consumidorinversionista tiene acceso a un bono extranj ero real cuya tasa de rendimiento est¶a dada por db t¤ = b ¤t dR
b ¤ ;t
= b t¤ r b ¤ dt:
8 2 .2 Repita el modelo desarrollado en el presente cap¶³tulo bajo el supuesto de que el consumidorinversionista tiene acceso a un bono extranj ero nominal cuya tasa de rendimiento est¶a dada por db ¤t = b ¤t r b ¤ dt + b ¤t ¾ b ¤ W b ¤ ;t :
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C A P ¶IT U L O 83 D E C IS IO N E S D E C O N S U M O Y P O R T A F O L IO B A J O C O N D IC IO N E S D E R IE S G O (II): P R O C E S O S D E D IF U S IO¶ N C O N S A L T O S C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ²
Consumidor-inversionista maximizador de utilidad adverso al riesgo Procesos de difusi¶o n con saltos Control ¶o ptimo estoc¶astico Condici¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman
8 3 .1 In tro d u c c i¶o n En el presente cap¶³tulo se desarrolla un modelo que describe el comportamiento de un consumidor-inversionista, adverso al riesgo, que toma decisiones de consumo y portafolio en un ambiente de riesgo. Con el prop¶o sito de generar soluciones anal¶³ticamente tratables del problema de maximizaci¶o n de utilidad de un consumidor racional, la estructura de la econom¶³a se mantendr¶a lo m¶as simple posible. En la econom¶³a se consume un solo bien de car¶acter perecedero. Los consumidores son id¶e nticos y tienen vida in¯nita.
8 3 .2 D in ¶a m ic a d e p re c io s Se supone que los individuos perciben que el precio del bien, P t , es conducido por un proceso estoc¶astico de difusi¶o n con saltos: dP t = ¼ P t dt + ¾ P P t dW
P ;t
+ º P P t dQ
P ;t
;
(83:1)
donde ¼ representa la tasa de in°aci¶o n promedio esperada condicional a que ning¶u n salto ocurra, ¾ P es la volatilidad esperada de la tasa de in°aci¶o n y 1 + º P es el tama~n o promedio esperado de posibles saltos en el nivel general de precios. El proceso W P ;t es un proceso de Wiener estandarizado, es decir, W P ;t presenta incrementos normales independientes con E[dW P ;t ] = 0 y Var[dW P ;t ] = dt. Se supone que los saltos en el nivel general de precios siguen un proceso de Poisson, Q P ;t , con par¶ametro de intensidad ¸ P , de tal manera que Prf un salto unitario durante dtg = Prf dQ
P ;t
= 1g = ¸ P dt + o (dt) ;
(83:2)
mientras que 1 Prf ning¶u n salto en dtg = Prf dQ
P ;t
= 0g = 1 ¡ ¸ P dt + o (dt) :
(83:3)
Por lo tanto, E[dQ P ;t ] = Var[dQ P ;t ] = ¸ P dt. El n¶u mero inicial de saltos se supone igual a cero, es decir, Q P ;0 = 0. En todo lo que sigue, se supondr¶a que los procesos W P ;t y Q P ;t no est¶an correlacionados entre s¶³. 1
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C o m o siem p re, o (h ) sig n i¯ ca q u e o (h )= h ! 0 cu a n d o h ! 0 .
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8 3 . D ecisio n es d e co n su m o y p o rta fo lio b a jo co n d icio n es d e riesg o (II)
8 3 .3 A c tiv o s d e lo s c o n su m id o re s El consumidor representativo tiene acceso a tres distintos activos en la econom¶³a: dinero, M t ; t¶³tulos de deuda p¶u blica, B t ; y t¶³tulos de capital, k t . En consecuencia, la riqueza real, a t , del individuo est¶a dada por a t = m t + bt + k t; (83:4) donde m t = M t = P t son los saldos monetarios reales y b t = B t = P t es la tenencia de bonos gubernamentales en t¶e rminos reales. El consumidor obtiene satisfacci¶o n por el consumo del bien que produce la econom¶³a y por la tenencia de saldos reales, debido a sus servicios de liquidez. Se supone que la funci¶o n de utilidad esperada es del tipo von Neumann-Morgenstern. Espec¶³¯camente, la funci¶o n de utilidad total descontada al tiempo t = 0, V 0 , de un individuo representativo, competitivo y adverso al riesgo tiene la siguiente forma separable: 21 ¯ 3 Z ¯ ¯ V 0 = E 4 [μ log(c t ) + (1 ¡ μ ) log(m t ) ] e ¡ ± t dt ¯F 0 5; (83:5) ¯ 0
donde F 0 es la informaci¶o n disponible en el tiempo t = 0. Asimismo, la evoluci¶o n de la acumulaci¶o n de la riqueza real sigue la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica da t = a t [N
m ;t
dR
m ;t
+N
b;t
dR
b;t
+N
k ;t
dR
k ;t
] ¡ c t (1 + ¿ c ) dt ¡ d¿ t ;
(83:6)
donde N
j;t
dR
´
j;t
jt proporci¶o n del portafolio en el activo j , j = m ;b;k ; at = tasa de rendimiento real despu¶e s de impuestos sobre el activo j , j = m ;b;k ;
d¿ t = impuestos sobre la riqueza; y ¿ c = impuesto sobre el consumo.
8 3 .4 R e n d im ie n to d e lo s a c tiv o s A continuaci¶o n se determinan los rendimientos de los activos. Se supone que las tasas nominales de rendimiento que pagan el dinero y los bonos son cero e i, respectivamente. El rendimiento estoc¶astico por la tenencia de saldos reales al tiempo t, dR m ;t , es simplemente el cambio porcentual en el precio del dinero en t¶e rminos de bienes. La aplicaci¶o n del lema de It^o al cambio porcentual del inverso del nivel de precios, tomando (83.1) como el proceso subyacente, conduce a (v¶e ase el Ap¶e ndice 83.A) : ³1 ´ ³ 1 ´ dR m ;t = P t d = r m dt ¡ ¾ P dW P ;t + ¡ 1 dQ P ;t ; (83:7) Pt 1 + ºP donde r m = ¡ ¼ + ¾ P2 . El rendimiento estoc¶astico por la tenencia de bonos se obtiene en forma similar como ³ 1 ´ dR b;t = r b dt ¡ ¾ P dW P ;t + ¡ 1 dQ P ;t ; (83:8) 1 + ºP donde r b = i ¡ ¼ + ¾ P2 . Es importante observar que los rendimientos del dinero y de los bonos se ven afectados por la volatilidad y posibles saltos en el nivel general de precios. La tasa de rendimiento de las acciones despu¶e s de impuestos ser¶a denotada mediante dR
k ;t
= r k dt + ¾ k dW
k ;t
+ º k dQ
k ;t
;
(83:9)
donde los procesos dW k ;t y dQ k ;t tienen caracter¶³sticas similares a los procesos de¯nidos en (83.1) . Adem¶as del impuesto ¿ c que se paga por el consumo, el consumidor paga un impuesto sobre la riqueza de la forma d¿ t = a t ¿¹ dt + a t ¾ ¿ dW ¿ ;t + a t º ¿ dQ ¿ ;t ; (83:10) donde ¿¹ es la tasa impositiva media esperada sobre la riqueza real. Al igual que antes, dW ¿ ;t y dQ ¿ ;t comparten las mismas caracter¶³sticas que los procesos de Wiener y de Poisson de¯nidos en (83.1) .
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8 3 . D ecisio n es d e co n su m o y p o rta fo lio b a jo co n d icio n es d e riesg o (II)
8 3 .5 D e c isio n e s o¶ p tim a s d e lo s c o n su m id o re s El ob jetivo del consumidor es elegir, en cada momento, el portafolio de activos y la cantidad de consumo que maximicen (83.5) sujeto a (83.6) . Observe que despu¶e s de sustituir las expresiones (83.7) -(83.10) en la ecuaci¶o n estoc¶astica de acumulaci¶o n de la riqueza, (83.6) , ¶e sta se transforma en · ¸ da t c t (1 + ¿ c ) = N m ;t r m + N b;t r b + N k ;t r k ¡ ¡ ¿¹ dt at at + [N k ;t ¾ k dW k ;t ¡ (N m ;t + N b;t ) ¾ P dW P ;t ¡ ¾ ¿ dW · ³ 1 ´ + (N m ;t + N b;t ) ¡ 1 dQ P ;t + N k ;t º k dQ 1 + ºP
¿ ;t
]
¸ ¡ º dQ : k ;t ¿ ¿ ;t
(83:11)
La soluci¶o n del problema de maximizaci¶o n de utilidad total descontada suj eto a (83.11) y a la restricci¶o n de normalizaci¶o n N m ;t + N b;t + N k ;t = 1; (83:12) est¶an dadas por (v¶e ase el Ap¶e ndice 83.B) : ct =
0=
"
0 = r b ¡ (N y
"
0 = rk ¡ N
m ;t
k ;t
± (1 ¡ μ ) + r m ¡ (N m N m ;t ¸ P ºP ¡ 1 + (1 ¡ N m ;t ¡ N
+N
2 k
±μ a t; (1 + ¿ c )
b;t
¾ + (N
)¾
2 P
m ;t
+N
+N
k ;t
b;t
;t
+N
b;t
)ºP
¾Pk ¡ ¾P¿
)¾ P k + ¾ k¿
b;t
) ¾ P2 + N
(83:13)
k ;t
¾Pk ¡ ¾P¿
(83:14)
¡ ±Á ;
¸ P ºP ¡ 1 + (1 ¡ N m ;t ¡ N ¸ kºk + 1 + (1 ¡ N m ;t ¡ N
b;t
b;t
)ºP
)ºk
#
#
¡ ±Á
(83:15)
¡ ±Á ;
(83:16)
donde Á es el multiplicador de Lagrange asociado a la restricci¶o n (83.12) . Despu¶e s de restar (83.14) de (83.15) , se encuentra que la proporci¶o n ¶o ptima de la riqueza asignada a la tenencia de saldos reales: ± (1 ¡ μ ) Nbm = : (83:17) i Asimismo, despu¶e s de restar (83.15) de (83.16) , se tiene que N kB ¡ A ¡
¸ P ºP ¸ kºk ¡ = 0; 1 + N k ;t º P 1 + N k ;t º k
(83:18)
donde B ´ ¾ P2 + 2¾ P k + ¾ k2 > 0
(83:19)
A ´ r k ¡ r b + ¾ P2 + ¾ P k + ¾ P ¿ + ¾ k ¿ :
(83:20)
y Claramente, la ecuaci¶o n (83.18) es c¶u bica y, por lo tanto, tiene al menos una soluci¶o n real, la cual denotaremos por Nbk . En particular, si suponemos que º P = º k = 0, se tiene como u¶ nica soluci¶o n: A Nbk jº P = º k = 0 = : (83:21) B Si los par¶ametros º P y º k son de la misma magnitud y distintos de cero, entonces (83.18) se transforma en una ecuaci¶o n cuadr¶atica cuyas soluciones est¶an dadas por: p A ºP ¡ B § (A º P + B ) 2 + 4B º P2 (¸ P + ¸ k ) Nbk jº P = º k = : (83:22) 2B º P
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8 3 . D ecisio n es d e co n su m o y p o rta fo lio b a jo co n d icio n es d e riesg o (II)
Observe que el discriminante es positivo y, en consecuencia, ambas ra¶³ces son reales. Note tambi¶e n que en ning¶u n caso se han impuesto restricciones para que las proporciones de la riqueza asignadas a la tenencia de activos sean estrictamente positivas y menores que la unidad. Por lo tanto, las ventas en corto de activos son permitidas en todo momento. Finalmente, el portafolio o¶ ptimo queda completamente determinado con Nbb , el cual se obtiene a partir de (83.l2) como ± (1 ¡ μ ) Nbb = 1 ¡ ¡ Nbk : i
(83:23)
A p ¶e n d ic e 8 3 .A En este ap¶e ndice se establecen sin demostraci¶o n 1 un par de resultados sobre la diferencial estoc¶astica del cociente y la multiplicaci¶o n de dos movimientos geom¶e tricos Brownianos. Dadas las ecuaciones diferenciales estoc¶asticas, homog¶e neas y lineales, dX
t
= X t (¹ X dt + ¾ X dW
X
+ º X dQ
)
X
y dY t = Y t (¹ Y dt + ¾ Y dW
Y
+ º Y dQ
Y
);
donde dQ X y dQ Y son procesos de Poisson no correlacionados, dW X , dW Y son procesos de Wiener con Cov(dW X ;dW Y ) = ½ X Y dt y los procesos de Wiener son no correlacionados con los procesos de Poisson. En este caso, las diferenciales estoc¶asticas del cociente X t = Y t y del producto X t Y t satisfacen, respectivamente, " μ ¶ ¢ X t X t ¡ d = ¹ X ¡ ¹ Y + ¾ Y2 ¡ ¾ X Y dt + ¾ X dW X ¡ ¾ Y dW Y Yt Yt # (83:A:1) μ ¶ 1 + º X dQ X + ¡ 1 dQ Y 1 + ºY y d (X t Y t ) = X t Y t [(¹ X + ¹ Y + ¾ X Y ) dt + ¾ X dW
X
+ ¾ Y dW
Y
+ º X dQ
X
+ º Y dQ
Y
]:
(83:A:2)
A p ¶e n d ic e 8 3 .B A continuaci¶o n se determinan las condiciones de primer orden para una soluci¶o n interior del problema de maximizaci¶o n de utilidad total del consumidor: 8 1 9
suj eto a: · da t = N at
m
c t (1 + ¿ c ) ¡ ¿¹ ;t r m + N b;t r b + N k ;t r k ¡ at
¸
+ [N k ;t ¾ k dW k ;t ¡ (N m ;t + N b;t ) ¾ P dW P ;t ¡ ¾ ¿ dW · ³ 1 ´ + (N m ;t + N b;t ) ¡ 1 dQ P ;t + N k ;t º k dQ 1 + ºP
¿ ;t
k ;t
] ¡ º ¿ dQ
¿ ;t
¸
(83:B:2)
y 1¡ N 1
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m ;t
¡ N
b;t
¡ N
k ;t
= 0;
(83:B:3)
V ¶e a se G ih m a n y S k o ro h o d (1 9 7 2 ).
3/5/08 7:24:10 PM
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8 3 . D ecisio n es d e co n su m o y p o rta fo lio b a jo co n d icio n es d e riesg o (II)
donde i, ¼ , ¿ c , ¿ y , ¿¹ , y las correspondientes varianzas y covarianzas son tomadas como dadas. La ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman (H-J-B) para el problema de control o¶ ptimo estoc¶astico, planteado en (83.A.1) -(83.A.3) , est¶a dada por:
c t ;N
c t ;N
max
H (c t ;N (
m ;t ;N b;t ;N k ;t
max
m ;t ;N b;t ;N k ;t
m ;t
b;t
;N
; a t) ´
k ;t
μ log(c t ) + (1 ¡ μ ) log(N
· + a t V 0(a t ) N m ;t r m + N h + 12 a 2t V 00(a t ) (N m ;t + N ¡ 2(N
;N
b;t
) 2 ¾ P2 + N
+ N b;t ) N k ;t ¾ P k + 2(N m · μ μ + ¸ P V a t 1 ¡ (N m ;t + N b;t ) m ;t
+ ¸ k [V (a t (1 + N
k ;t
;t
2 k ;t
a t ) ¡ ± V (a t )
c t (1 + ¿ c ) ¡ ¿¹ at
k ;t r k ¡
b;t r b + N
m ;t
¸
¾ k2 + ¾ ¿2
+N
) ¾ P ¿ ¡ 2N k ;t ¾ k ¿ ¶¶ ¸ ¡ V (a t )
b;t
ºP 1 + ºP
º k ) ) ¡ V (a t ) ]
+ ¸ ¿ [V (a t (1 ¡ º ¿ ) ) ¡ V (a t ) ] + Á (1 ¡ N
m ;t
¡ N
¡ N
b;t
k ;t
(83:B:4)
i
)
)
= 0;
donde Á es el multiplicador de Lagrange asociado a la restricci¶o n de normalizaci¶o n (83.12) , V (a t ) e ¡ ± t es la funci¶o n de utilidad indirecta del agente y V 0(a t ) e ¡ ± t es la variable de co-estado. La ecuaci¶o n de H-J-B evaluada en el m¶aximo se transforma en una ecuaci¶o n diferencial ordinaria de segundo orden en V (a t ) . Se postula como candidato de soluci¶o n a la funci¶o n V (a t ) = ¯ 0 + ¯ 1 log(a t ) . Consecuentemente,
max
c t ;N
c t ;N
H (c t ;N (
m ;t ;N b;t ;N k ;t
max
m ;t ;N b;t ;N k ;t
m ;t
;N
b;t
;N
k ;t
; a t) ´
μ log(c t ) + (1 ¡ μ ) log(N
m ;t
a t ) ¡ ± [¯ 0 + ¯ 1 log(a t ) ]
· ¸ c t (1 + ¿ c ) + ¯ 1 N m ;t r m + N b;t r b + N k ;t r k ¡ ¡ ¿¹ at h ¡ 12 ¯ 1 (N m ;t + N b;t ) 2 ¾ P2 + N k2;t ¾ k2 + ¾ ¿2
(83:B:5) i
¡ 2(N m ;t + N b;t ) N k ;t ¾ P k + 2(N m ;t + N b;t ) ¾ P ¿ ¡ 2N k ;t ¾ k ¿ · μ ¶ ¸ ºP + ¯ 1 ¸ P log 1 ¡ (N m ;t + N b;t ) + ¸ k log(1 + N k ;t º k ) + ¸ ¿ log(1 ¡ º ¿ ) 1 + ºP ) + Á (1 ¡ N
m ;t
¡ N
b;t
¡ N
k ;t
)
= 0:
Por lo tanto, las condiciones necesarias de m¶aximo est¶an dadas por: 0= @H 1¡ μ = @ N m ;t N m ;t h + ¯ 1 r m ;t ¡ (N m ;t + N
@H μ ¯ 1 (1 + ¿ c ) = ¡ ; @ ct ct at
(83:B:6)
0=
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2 b;t ) ¾ P + N
k ;t ¾ P k ¡ ¾ P ¿ ¡
¸ P ºP 1 + (1 ¡ N m ;t ¡ N
b;t
)ºP
i ¡ Á;
(83:B:7)
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8 3 . D ecisio n es d e co n su m o y p o rta fo lio b a jo co n d icio n es d e riesg o (II)
@H @ N b;t h =¯ 1 r b ¡ (N
0=
0=
m ;t
+N
h @H = ¯ 1 rk ¡ N @ N k ;t
k ;t
b;t
)¾
2 P
+N
¾ k2 + (N 0=
m ;t
k ;t
¾Pk ¡ ¾P¿
+N
b;t
¸ P ºP ¡ 1 + (1 ¡ N m ;t ¡ N
)¾ P k + ¾ k¿ +
@H = 1 ¡ (N @Á
m ;t
+N
b;t
b;t
)ºP
¸ kºk 1 + (1 ¡ N m ;t ¡ N +N
k ;t
i ¡ Á;
b;t
)º k
(83:B:8)
i ¡ Á ; (83:B:9)
):
(83:B:10)
Falta solamente determinar los coe¯cientes ¯ 0 y ¯ 1 de¯nidos en V (a t ) . Despu¶e s de sustituir los valores ¶o ptimos b c t , Nbm , Nbb y Nbk en la condici¶o n H-J-B, se obtiene 0 =(1 ¡ ± ¯ 1 ) log(a t ) + μ log(μ ) + (1 ¡ μ ) log(1 ¡ μ )
¡ μ log[¯ 1 (1 + ¿ c ) ] ¡ (1 ¡ μ ) log[¯ 1 i(1 ¡ ¿ y ) ] ¡ ± ¯ 0 · ¸ b c t (1 + ¿ c ) 2 b b b + ¯ 1 N m (¡ ¼ + ¾ P ) + N b i(1 ¡ ¿ y ) + N k r k ¡ ¡ ¿¹ at h ¡ 12 ¯ 1 (Nbm + Nbb ) 2 ¾ P2 + Nbk2 ¾ k2 + ¾ ¿2 ¡ 2(Nbm + Nbb ) Nbk ¾ P k i + 2(Nbm + Nbb ) ¾ P ¿ ¡ 2Nbk ¾ k ¿ · μ ¶ ¸ ºP b b b + ¯ 1 ¸ P log 1 ¡ (N m + N b ) + ¸ k log(1 + N k º k ) + ¸ ¿ log(1 ¡ º ¿ ) ; 1 + ºP
(83:B:11)
lo cual implica que ¯ 1 = 1= ± y μ ¶ · ¸ μ (1 ¡ μ ) μ 1 + ¿c i(1 ¡ ¿ y ) ¯ 0 = log(μ ) + log(1 ¡ μ ) ¡ log ¡ (1 ¡ μ ) ± log ± ± ± ± ± h i μ 1 ¡ + 2 Nbm (¡ ¼ + ¾ P2 ) + Nbb i(1 ¡ ¿ y ) + Nbk r k ¡ ¿¹ ± ± 1h ¡ 12 2 (Nbm + Nbb ) 2 ¾ P2 + Nbk2 ¾ k2 + ¾ ¿2 ¡ 2(Nbm + Nbb ) Nbk ¾ P k ± i + 2(Nbm + Nbb ) ¾ P ¿ ¡ 2Nbk ¾ k ¿ · μ ¶ ¸ 1 ºP + 2 ¸ P log 1 ¡ (Nbm + Nbb ) + ¸ k log(1 + Nbk º k ) + ¸ ¿ log(1 ¡ º ¿ ) : ± 1 + ºP
(83:B:12)
8 3 .6 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Gihman, I. I. and A. V. Skorohod (1972) . Stochastic di®erential equations. Springer-Verlag, Berlin. Venegas-Mart¶³nez, F. (2000) . \On Consumption, Investment, and Risk" . E co n o m ¶³a M exica n a , N u eva E¶ poca , Vol. 9, No. 2, pp. 227-244. Venegas-Mart¶³nez, F. y B. Gonz¶alez-Ar¶e chiga (2000) . \Mercados ¯nancieros incompletos y su impacto en los programas de estabilizaci¶o n de precios: el caso mexicano" . M o m en to E co n o¶ m ico , No. 111, pp. 20-27. Venegas-Mart¶³nez, F. (2001) . \Temporary Stabilization: A Stochastic Analysis" . J o u rn a l o f E co n o m ic D y n a m ics a n d C o n tro l, Vol. 25, No. 9, pp. 1429-1449. Venegas-Mart¶³nez, F. (2001) . Chronic In°ations Jumps in a Stochastic Small Open Economy. Working paper, Mathematical Finance Group, Oxford University. Venegas-Mart¶³nez, F. (2004) . \Reforma ¯scal incierta y sus efectos en las decisiones de consumo y portafolio: impacto en el bienestar econ¶o mico" . P ro blem a s d el D esa rro llo , R evista L a tin oa m erica n a d e E co n o m ¶³a , Vol. 35, No. 136, pp. 137-150.
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1041
8 3 . D ecisio n es d e co n su m o y p o rta fo lio b a jo co n d icio n es d e riesg o (II)
Venegas-Mart¶³nez, F. (2004) . \Pol¶³tica ¯scal, estabilizaci¶o n de precios y mercados incompletos" . E stu d io s E co n o¶ m ico s, Vol. 20, No. 1, pp. 3-18. Venegas-Mart¶³nez, F. (2005) . \Decisiones para la administraci¶o n del riesgo macroecon¶o mico" . D en a riu s, R evista d e A d m in istra ci¶o n y E co n o m ¶³a , No. 10, pp. 105-130. Venegas-Mart¶³nez, F. (2005) . \A Stochastic Model of Endogenous Growth: The Mexican Case 1930-2002" . A n ¶a lisis E co n o¶ m ico , Vol. 20, No. 43, pp. 83-100. Venegas-Mart¶³nez, F. (2006) . \Decisiones de consumo y portafolio baj o condiciones de riesgo e incertidumbre" . R evista M exica n a d e E co n o m ¶³a y F in a n za s, Vol. 5, No. 1, pp. 3-11.
8 3 .7 E je rc ic io s 8 3 .1 Justi¯que por qu¶e la ecuaci¶o n (83.18) tiene una soluci¶o n real. S o lu ci¶o n : Un polinomio de grado 3 con coe¯cientes reales tiene al menos una ra¶³z real, ya que las ra¶³ces no reales se presentan en pares conj ugados y ra¶³ces conj ugadas tienen la misma multiplicidad. 8 3 .2 Este ej ercicio extiende el modelo desarrollado a una econom¶³a abierta con la inclusi¶o n de bonos extranj eros reales. Suponga que el consumidor representativo tiene acceso a cuatro activos diferentes: dinero (nominal) dom¶e stico, M t ; bonos gubernamentales (nominales) dom¶e sticos, B t ; acciones dom¶e sticas, k t ; y bonos (reales) extranjeros, b t¤ . De esta manera, la riqueza real del consumidor, a t , en t¶e rminos del consumo, como bien numerario, est¶a dada por a t = m t + b t + k t + b ¤t ; donde m t = M t = P t son los balances monetarios reales, b t = B t = P t representa bonos dom¶e sticos en t¶e rminos reales y b ¤t de¯ne la tenencia de bonos extranj eros reales. La ecuaci¶o n de evoluci¶o n de la riqueza real es da t = a t [N
m ;t
dR
m ;t
+N
b;t
dR
b;t
+N
k ;t
dR
+N
k ;t
b ¤ ;t
dR
b ¤ ;t
] ¡ c t (1 + ¿ c ) dt ¡ d¿ t ;
donde N
j;t
dR
´
j;t
jt = participaci¶o n del activo j , j = m ;b;k ;b ¤ , en el portafolio; at = rendimiento del activo j , j = m ;b;k ;b ¤ , despu¶e s de impuestos;
¿ t = impuesto sobre la riqueza; ¿ c = impuesto al valor agregado sobre el consumo. Una aplicaci¶o n del lema de It^o conduce a dR
m ;t
=
d(M t = P t ) = r m dt ¡ ¾ P dW M t= P t
P ;t
+
donde r m = ¡ ¼ + ¾ P2 . Similarmente, dR
b;t
=
d(B t = P t ) = r b dt ¡ ¾ P dW B t= P t
P ;t
+
³
´ 1 ¡ 1 dQ 1 + ºP
³
´ 1 ¡ 1 dQ 1 + ºP
P ;t
P ;t
;
;
donde r b = i(1 ¡ ¿ y ) ¡ ¼ + ¾ P2 , y ¿ y es la tasa de impuestos sobre intereses. Denote la tasa de rendimiento de las acciones mediante dR
k ;t
= r k dt + ¾ k dW
k ;t
+ º k dQ
k ;t
;
donde W k ;t es un movimiento Browniano y Q k ;t es un proceso de Poisson con par¶ametro de intensidad ¸ k . Por u¶ ltimo, suponga que el consumidor toma como dada la tasa de rendimiento de los bonos extranj eros, la cual se supone determinista con db t¤ = b ¤t dR
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b ¤ ;t
= b t¤ r b ¤ dt:
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8 3 . D ecisio n es d e co n su m o y p o rta fo lio b a jo co n d icio n es d e riesg o (II)
Suponga que el agente paga impuestos sobre la riqueza real de acuerdo con d¿ t = a t ¿¹ dt + a t ¾ ¿ dW
¿ ;t
+ a t º ¿ dQ
¿ ;t
;
donde ¿¹ es el impuesto medio esperado sobre la riqueza. Como antes, W ¿ ;t y Q ¿ ;t es un proceso de Poisson. Todos los procesos Q P ;t , Q k ;t y Q ¿ ;t son mutuamente no correlacionados. Suponga que el consumidor maximiza 8 9 < Z1 = V 0 = E0 [u (c t ) + v (m t ) ] e ¡ ± t dt ; : ; 0
suj eto a · da t = N at
m ;t
+ (N
rm + N
m ;t
+N
b;t
b;t
rb + N
)
k ;t
rk + N
b ¤ ;t
³
´ 1 ¡ 1 dQ 1 + ºP
¸ c t (1 + ¿ c ) ¡ ¡ ¿¹ dt + dW at
r b¤
P ;t
+N
k ;t
º k dQ
k ;t
¡ º ¿ dQ
¿ ;t
t
;
donde dW
t
=N
k ;t
¾ k dW
¡ (N
k ;t
m ;t
+N
b;t
) ¾ P dW
P ;t
¡ ¾ ¿ dW
¿ ;t
:
Evidentemente, la condici¶o n de normalizaci¶o n est¶a dada por 1¡ N
m ;t
¡ N
b;t
¡ N
k ;t
¡ N
b ¤ ;t
= 0:
Demuestre que las condiciones de primer orden para una soluci¶o n interior del problema de maximizaci¶o n de utilidad est¶an dadas por: ct = ± (1 ¡ μ ) + rm + ¾ W N m ;t rk + ¾ W
P
¡
P
¡
±μ a t; (1 + ¿ c )
¸ P ºP 1 + (1 ¡ N m ;t ¡ N
¸ P ºP 1 + (1 ¡ N m ;t ¡ N
rk ¡ ¾ W
k
+
b;t
)ºP
b;t
)ºP
¡ ± Á = 0;
¡ ± Á = 0;
¸ kºk ¡ ±Á = 0 1 + N k ;t
y r b¤ = Á ±; donde Á es el multiplicador de Lagrange asociado a la restricci¶o n de normalizaci¶o n, Cov(dW ;¾ P W
P ;t
Cov(dW ;¾ k W
k ;t
) = ¾W
P
dt
y ) = ¾ W k dt:
Determine los valores o¶ ptimos de N j;t para j = m ;b;k ;b ¤ . S o lu ci¶o n : Al restar la segunda condici¶o n de la tercera, se obtiene N m ;t . Al sustituir la u¶ ltima condici¶o n en la tercera y cuarta condiciones, se obtienen, respectivamente N K ;t N b ¤ ;t . La decisi¶o n ¶o ptima N b ¤ ;t , se obtiene de la condici¶o n de normalizaci¶o n. 8 3 .3 En este ej ercicio se desarrolla un modelo de equilibrio macroecon¶o mico. Se supone una empresa representativa que produce el u¶ nico bien que hay en la econom¶³a y que el rendimiento que paga por las acciones emitidas est¶a en funci¶o n de la producci¶o n y de la pol¶³tica de
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8 3 . D ecisio n es d e co n su m o y p o rta fo lio b a jo co n d icio n es d e riesg o (II)
dividendos. Asimismo, se supone que la producci¶o n sigue una trayectoria estoc¶astica de¯nida por dy t = ° k t dt + ° k t ¾ y dW y ;t + ° k t º y dQ y ;t ; donde ° representa el producto marginal medio esperado del capital. Aqu¶³, como en el caso del consumidor, dW y ;t es un proceso Wiener y dQ y ;t es un proceso de Poisson. En t¶e rminos generales, el rendimiento que paga la empresa sobre las acciones emitidas se puede escribir como dv t du t dR k ;t = + ; kt ut donde dv t son los dividendos y u t es el precio de las acciones, en t¶e rminos del producto. Tambi¶e n, se supone que no hay impuestos sobre ganancias de capital. De esta forma, el rendimiento de las acciones tiene dos componentes: los dividendos que se pagan por acci¶o n y las ganancias (o p¶e rdidas) de capital que resultan de diferencias en el precio de los t¶³tulos accionarios. Para conocer la trayectoria que sigue du t = u t , es necesario analizar el comportamiento de la producci¶o n, el acervo de acciones, el capital disponible y la pol¶³tica de inversi¶o n de la empresa. Todas estas variables determinan la posible existencia de ganancias de capital. Ahora bien, si se supone que el stock de acciones en cualquier tiempo, t, permanece constante e igual a N , entonces se cumple que N u t = k t . Por lo tanto, dk t = N du t : Por otra parte, la producci¶o n despu¶e s de impuestos puede tener dos usos: el pago de dividendos, dv t , o el ¯nanciamiento de nueva inversi¶o n, dk t , esta u¶ ltima entendida como la adquisici¶o n de capital nuevo. De esta forma, la trayectoria que sigue la producci¶o n despu¶e s de impuestos est¶a dada por (1 ¡ ¿ p ) dy t = dv t + dk t ; donde ¿ p es el impuesto sobre ingresos corporativos y v t representa el pago de dividendos. De las ecuaciones anteriores, se sigue que du t (1 ¡ ¿ p ) dy t ¡ dv t = : ut kt Al sustituir esta expresi¶o n en la ecuaci¶o n del rendimiento de las acciones, se obtiene que dR
k ;t
= (1 ¡ ¿ p )
dy t : kt
Se supone ahora que los dividendos que pagan las empresas son una fracci¶o n constante ® del ingreso corporativo despu¶e s de impuestos. Es decir, los dividendos tienen la forma dv t = ® (1 ¡ ¿ p ) dy t ;
0 · ® · 1:
En consecuencia, la trayectoria estoc¶astica del rendimiento de las acciones, en t¶e rminos del proceso de difusi¶o n que sigue la producci¶o n de bienes, est¶a dada por dR
k ;t
= (1 ¡ ¿ p )
dy t : kt
Es importante observar en esta ecuaci¶o n que el componente estoc¶astico est¶a determinado por dy t , ya que el resto de las variables son deterministas. En consecuencia, r k = (1 ¡ ¿ p ) ° ; ¾ k dW
k ;t
= (1 ¡ ¿ p ) ° ¾ y dW
º k dQ
k ;t
= (1 ¡ ¿ p ) ° º y dQ
y ;t
y
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y ;t
:
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8 3 . D ecisio n es d e co n su m o y p o rta fo lio b a jo co n d icio n es d e riesg o (II)
De esta forma, la tasa de rendimiento de las acciones est¶a en funci¶o n de la tasa del producto marginal del capital. Similarmente, el componente estoc¶astico dR k ;t depende de los shocks de productividad por cambios en ° y del comportamiento ex¶o geno de dW y ;t , adem¶as de los posibles saltos dQ y ;t . Con el prop¶o sito de cerrar el modelo, se describen las acciones del gobierno. El sector p¶u blico no genera utilidad para los consumidores. El gobierno tiene el monopolio de la emisi¶o n de dinero y, a la vez, emite deuda para ¯nanciar su gasto. Los tres principales instrumentos de pol¶³tica econ¶o mica que emplea el gobierno son, a saber: gasto p¶u blico, oferta monetaria y emisi¶o n de deuda. La restricci¶o n presupuestal que enfrenta el gobierno en t¶e rminos reales, tiene la forma dg t ¡ d¿ 1 ;t ¡ d¿ 2 ;t + m t dR
m ;t
+ b t dR
b;t
= dm
t
+ db t ;
donde dg t es el cambio en gasto p¶u blico del gobierno en t¶e rminos reales; d¿ 1 ;t es el cambio en el impuesto total recaudado proveniente de los consumidores, en t¶e rminos reales; d¿ 2 ;t es el cambio en el impuesto total recaudado proveniente de las empresas, tambi¶e n en t¶e rminos reales. El gasto que realiza el gobierno sigue un proceso estoc¶astico de¯nido por dg t = g¹ ° k t dt + ° k t ¾ g dW
g ;t
+ ° k t º g dQ
g ;t
:
Al igual que en los casos anteriores, dW g ;t es un proceso estoc¶astico con una distribuci¶o n normal con media cero y varianza dt y dQ g ;t es un proceso de Poisson. De esta forma, el gasto del gobierno est¶a de¯nido como una fracci¶o n dg t del producto real. Note que, en este caso, el factor estoc¶astico del gasto es proporcional al producto. La oferta monetaria en esta econom¶³a tiene asociada una regla de expansi¶o n conducida por un proceso estoc¶astico de difusi¶o n con saltos de la forma: dM
t
= ¹ M t dt + ¾ M M t dW
M ;t
+ º M M t dQ
M ;t
;
donde ¹ es la tasa de expansi¶o n monetaria media esperada, dW M ;t es el componente de difusi¶o n, y dQ M ;t es el componente de saltos en la tasa de expansi¶o n monetaria. La pol¶³tica de deuda que sigue el gobierno se lleva a cabo a trav¶e s de la emisi¶o n de bonos. En este caso, la pol¶³tica de endeudamiento se ¯j a de forma tal que la raz¶o n entre el stock de bonos y el stock monetario se mantenga constante, es decir, se supone que B M
t
= · = constante:
t
De esta forma, se obtiene la expresi¶o n dB t dM = Bt M
t
:
t
Lo anterior signi¯ca que en operaciones de mercado abierto, el cambio porcentual de deuda emitida es igual al cambio porcentual de los cortos en la econom¶³a; o equivalentemente, el cambio porcentual en la cantidad que crece la oferta monetaria es igual al cambio porcentual de la deuda gubernamental que se salda. Los cambios en las cantidades reales de tributaci¶o n, d¿ 1 ;t y d¿ 2 ;t , que provienen de los consumidores y de las empresas, respectivamente, se describen a continuaci¶o n. Todas las tasas ¿ p y ¿ c , son ex¶o genas en nuestro modelo. En el caso de los consumidores, el impuesto total tiene cuatro fuentes: intereses, ganancias de capital, nivel de riqueza y consumo. De esta forma, d¿ 1 ;t = a t ¿¹ dt + a t ¾ ¿ dW
¿ ;t
+ a t º ¿ dQ
¿ ;t
+ ¿ c c t dt:
Para las empresas, los impuestos se gravan sobre los ingresos corporativos. Es decir, d¿ 2 ;t = ¿ p ° k t [dt + ¾ y dW
y ;t
+ º y dQ
y ;t
]:
Determine el equilibrio en el sector real, la tasa de in°aci¶o n de equilibrio, el nivel de impuestos de equilibrio y las tasas de rendimiento de equilibrio de los diferentes activos, as¶³ como los par¶ametros de volatilidad y saltos de equilibrio. 8 3 .4 Si se presentan di¯cultades para resolver el ejercicio anterior, intente primero determinar el equilibrio macroecon¶o mico en ausencia de componentes de saltos (en el contexto del cap¶³tulo anterior) .
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C A P ¶IT U L O 84 D E C IS IO N E S D E C O N S U M O Y P O R T A F O L IO B A J O C O N D IC IO N E S D E R IE S G O (III): P R O C E S O S D E D IF U S IO¶ N C O N S A L T O S C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ²
Consumidor maximizador de utilidad adverso al riesgo Econom¶³a abierta Procesos de difusi¶o n con saltos Control ¶o ptimo estoc¶astico Condici¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman
8 4 .1 In tro d u c c i¶o n En este cap¶³tulo se extiende el problema de decisi¶o n del consumidor racional baj o condiciones de riesgo, en un marco de econom¶³a abierta, para incluir bonos emitidos en el extranj ero. Esto requiere de algunas modi¯caciones con respecto al modelo desarrollado en el cap¶³tulo anterior. Se supone adem¶as que el precio del bien que produce la econom¶³a y el tipo de cambio siguen ambos procesos de difusi¶o n con saltos. De esta manera, la din¶amica estoc¶astica del nivel general de precios de la econom¶³a se obtiene de manera end¶o gena.
8 4 .2 D in ¶a m ic a d e p re c io s Como antes, se supone que el nivel general de precios de la econom¶³a, P t , satisface la condici¶o n de poder de paridad de compra P t = P t¤ E t , donde P t¤ es el nivel de precios en el extranjero, y E t es el tipo de cambio nominal. Se supone adem¶as que P t¤ y E t son conducidos, respectivamente, por los siguientes procesos: dP t¤ = ¼ ¤ dt + ¾ P ¤ dW P t¤
P ¤ ;t
+ º P ¤ dQ
(84:1)
P ¤ ;t
y dE t = e dt + ¾ E dW Et
E ;t
+ º E dQ
E ;t
(84:2)
;
donde las componentes de difusi¶o n y saltos son de¯nidos de manera usual. A continuaci¶o n se introducen los bonos extranj eros denominados en moneda extranj era e internacionalmente comerciables, B t¤ . Estos bonos ser¶an denotados en t¶e rminos reales mediante b ¤t = E t B t¤ = P t = B t¤ = P t¤ , entonces la riqueza real del individuo est¶a dada por at = m
t
+ b t + k t + b ¤t :
(84:3)
Se supone ahora que los bonos dom¶e sticos, B t = b t P t . En este caso la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica del ¶³ndice de precios dom¶e stico satisface: dP t d(P t¤ E t ) = = (¼ ¤ + e + ¾ P ¤ E ) dt + ¾ P ¤ dW P t (P t¤ E t ) + º P ¤ dQ P ¤ ;t + º E dQ E ;t :
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P ¤ ;t
+ ¾ E dW
E ;t
(84:4)
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8 4 . D ecisio n es d e co n su m o y p o rta fo lio b a jo co n d icio n es d e riesg o (III)
Las tasas reales de retorno, para el consumidor representativo dom¶e stico, por la tenencia de dinero, bonos dom¶e sticos, acciones y bonos extranj eros est¶an dadas, respectivamente, por: dR
m ;t
dR
=
d (M t = P t ) = r m dt ¡ ¾ P dW M t= P t
=
d (B t = P t ) = r b dt ¡ ¾ P dW B t= P t
b;t
dR
dR
b ¤ ;t
P ;t
P ;t
+
+
³
´ 1 ¡ 1 dQ 1 + ºE
³
´ 1 ¡ 1 dQ 1 + ºE
E ;t
+
+
³
´ 1 ¡ 1 dQ 1 + ºP ¤
³
´ 1 ¡ 1 dQ 1 + ºP ¤
+ º k dQ k ;t ; ³ 1 ´ d (B t¤ = P t¤ ) = = r b ¤ dt ¡ ¾ P ¤ dW P ¤ ;t + ¡ 1 dQ ¤ ¤ B t =P t 1 + ºP ¤ k ;t
= r k dt + ¾ k dW
E ;t
P ¤ ;t
P ¤ ;t
;
;
(84:5)
(84:6) (84:7)
k ;t
P ¤ ;t
:
(84:8)
Las componentes deterministas de los procesos anteriores satisfacen: r m = ¡ ¼ + ¾ P2 ; r b = i(1 ¡ ¿ y ) ¡ ¼ + ¾ P2 y r b = i¤ (1 ¡ ¿ y¤ ) ¡ ¼ ¤ + ¾ P2 ¤ . La ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica de acumulaci¶o n de la riqueza toma ahora la forma: · ¸ da t c t (1 + ¿ c ) = N m ;t r m + N b;t r b + N k ;t r k + N b ¤ ;t r b ¤ ¡ ¡ ¿¹ dt + dW t at at ³ 1 ´ + (N m ;t + N b;t ) ¡ 1 dQ E ;t 1 + ºE (84:9) ³ 1 ´ + (N m ;t + N b;t + N b ¤ ;t ) ¡ 1 dQ P ¤ ;t 1 + ºP ¤ + N k ;t º k dQ k ;t ¡ º ¿ dQ ¿ ;t ; donde las componentes de difusi¶o n satisfacen dW
t
=N
k ;t
¾ k dW
k ;t
¡ (N
m ;t
+N
b;t
) ¾ P dW
P ;t
¡ N
b ¤ ;t
¾ P ¤ dW
P ¤ ;t
¡ ¾ ¿ dW
¿ ;t
:
(84:10)
8 4 .3 C o n d ic io n e s d e p rim e r o rd e n d e l p ro b le m a d e m a x im iz a c i¶o n d e u tilid a d Las condiciones de primer orden para una soluci¶o n interior del problema de maximizaci¶o n de utilidad, suj eto a la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica de acumulaci¶o n de la riqueza y la condici¶o n de normalizaci¶o n, est¶an dadas por: ±μ ct = a t; (84:11) (1 + ¿ c ) ± (1 ¡ μ ) + rm = ¡ ¾ W N m ;t
¸ E ºE 1 + (1 ¡ N m ;t + N b;t ) º E ¸ P ¤ ºP ¤ + + ±Á ; 1 + (1 ¡ N m ;t ¡ N b;t ¡ N b ¤ ;t ) º P ¤ P
+
rb = rm + rk = ¾ W
k
¡
1 + (1 ¡ N
y r b¤ = ¡ ¾ W
P ¤
+
1 + (1 ¡ N
m
± (1 ¡ μ ) ; N m ;t ¸ kºk ;t ¡ N
b;t
+N
¸ P ¤ ºP ¤ ¡ N b;t ¡ N
m ;t
(84:12)
(84:13)
b ¤ ;t
)ºk
b ¤ ;t
+ ±Á
)º P ¤
+ ±Á :
(84:14)
(84:15)
A partir de (84.13) , se encuentra, como en el caso en que no hay bonos extranjeros, que la proporci¶o n, en el portafolio o¶ ptimo, que se asigna a la tenencia de saldos monetarios reales est¶a dada por ± (1 ¡ μ ) Nbm = : i(1 ¡ ¿ y )
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8 4 . D ecisio n es d e co n su m o y p o rta fo lio b a jo co n d icio n es d e riesg o (III)
Al restar (84.14) de (84.13) y (84.15) de (84.14) , se obtiene el siguiente sistema no homog¶e neo de ecuaciones en las variables N k ;t y N b ¤ ;t B N
k ;t
+G N
b ¤ ;t
=A +
B 0N
k ;t
¸ kºk ¸ P ¤ ºP ¤ ¸ E ºE + + 1 + N k ;t º k 1 + N k ;t º P ¤ 1 + (N k ;t + N
+ G 0N
b ¤ ;t
= A 0+
b ¤ ;t
)ºE
;
¸ kºk ¸ P ¤ ºP ¤ + ; 1 + N k ;t º k 1 + N k ;t º P ¤
(84:16) (84:17)
donde A y B son constantes que dependen de varianzas y covarianzas, y G = ¾ P2 + ¾ P k + ¾ k ¿ ¡ ¾ P ¤ P ; A 0 = r k ¡ r b¤ + ¾ P k + ¾ k ¿ + ¾ P ¤ P + ¾ P ¤ ¿ ; B 0 = ¾ k2 + ¾ P k + ¾ P ¤ k ¡ ¾ P ¤ P ;
G 0 = ¾ P k + ¾ P ¤ P ¡ ¾ P ¤ k ¡ ¾ P2 ¤ : Si se denota el total de acciones y bonos extranj eros mediante z t = N k ;t + N b ¤ ;t y x t = N k ;t = z t = N k ;t = (N k ;t + N b ¤ ;t ) es la proporci¶o n de acciones en z t , entonces el sistema (84.16) -(84.17) puede ser reescrito como: ¸ E ºE ; 1 + zk ºE
(84:18)
¸ kºk ¸ P ¤ ºP ¤ + : 1 + x tz tº k 1 + x tz tº P ¤
(84:19)
(B ¡ B 0) x t z t + (G ¡ G 0) (1 ¡ x t ) z t = A ¡ A 0 + B 0x t z t + G 0(1 ¡ x t ) z t = A 0 +
Observe que en virtud de (84.18) , se tiene que x t se puede expresar como funci¶o n de z t : xt = £ + ª
1 1 £z t (1 + z t º E ) + ª(1 + z t º E ) + © +© = ; zt z t (1 + z t º E ) z t (1 + z t º E )
donde £=¡
(84:20)
G ¡ G 0 ; B ¡ B 0 ¡ (G ¡ G 0)
ª=¡ y
A ¡ A0 £ G ¡ G 0
¸ E ºE : G ¡ G 0 Si se sustituye (84.20) en la ecuaci¶o n (84.19) , se obtiene ©=
(B 0 ¡ G 0) [(1 + z t º E ) (ª + £z t ) + ©] z t =(A 0 ¡ G 0z t ) z t (1 + z t º E ) ¸ k º k z t (1 + z t º E ) 2 + (1 + z t º E ) (1 + ª + £z t ) + ©º k ¸ P ¤ º P ¤ z t (1 + z t º E ) 2 + : (1 + z t º E ) (1 + ª + £z t ) + ©º P ¤
(84:21)
La ecuaci¶o n anterior tiene una ra¶³z real denotada mediante zb. Por lo tanto, xb= £ + ª
1 1 +© : zb zb(1 + zbº E )
(84:22)
A partir de las de¯niciones de zb y xb, se sigue que Nbk = xbzb y Nbb ¤ = (1 ¡ xb) zb, respectivamente. El portafolio ¶o ptimo es completamente determinado por ± (1 ¡ μ ) Nbb = 1 ¡ ¡ Nbk ¡ Nbb ¤ : i(1 ¡ ¿ y )
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8 4 . D ecisio n es d e co n su m o y p o rta fo lio b a jo co n d icio n es d e riesg o (III)
8 4 .4 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Venegas-Mart¶³nez, F. (2000) . \On Consumption, Investment, and Risk" . E co n o m ¶³a M exica n a , N u eva E¶ poca , Vol. 9, No. 2, pp. 227-244. Venegas-Mart¶³nez, F. y B. Gonz¶alez-Ar¶e chiga (2000) . \Mercados ¯nancieros incompletos y su impacto en los programas de estabilizaci¶o n de precios: el caso mexicano" . M o m en to E co n o¶ m ico , No. 111, pp. 20-27. Venegas-Mart¶³nez, F. (2001) . \Temporary Stabilization: A Stochastic Analysis" . J o u rn a l o f E co n o m ic D y n a m ics a n d C o n tro l, Vol. 25, No. 9, pp. 1429-1449. Venegas-Mart¶³nez, F. (2004) . \Reforma ¯scal incierta y sus efectos en las decisiones de consumo y portafolio: impacto en el bienestar econ¶o mico" . P ro blem a s d el D esa rro llo , R evista L a tin oa m erica n a d e E co n o m ¶³a , Vol. 35, No. 136, pp. 137-150. Venegas-Mart¶³nez, F. (2004) . \Pol¶³tica ¯scal, estabilizaci¶o n de precios y mercados incompletos" . E stu d io s E co n o¶ m ico s, Vol. 20, No. 1, pp. 3-18. Venegas-Mart¶³nez, F. (2005) . \A Stochastic Model of Endogenous Growth: The Mexican Case 1930-2002" . A n ¶a lisis E co n o¶ m ico , Vol. 20, No. 43, pp. 83-100.
8 4 .5 E je rc ic io s 8 4 .1 Justi¯que por qu¶e (84.21) tiene una soluci¶o n real. S o lu ci¶o n : Un polinomio de grado 7 con coe¯cientes reales tiene al menos una ra¶³z real, ya que las ra¶³ces no reales se presentan en pares conj ugados y ra¶³ces conj ugadas tienen la misma multiplicidad. 8 4 .2 Incluya un producto derivado en la restricci¶o n presupuestal (84.9) y resuelva el problema del consumidor racional.
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C A P ¶IT U L O 85 M O D E L O D E C O X , IN G E R S O L L Y R O S S D E E Q U IL IB R IO G E N E R A L P A R A D E T E R M IN A R E L P R O C E SO D E T A SA C O R T A C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ² ² ² ² ²
Determinaci¶o n de la tasa corta en un modelo de equilibrio general Determinaci¶o n de precios de derivados Consumidores racionales Utilidad esperada del tipo von Neumann-Morgenstern Programaci¶o n din¶amica estoc¶astica en tiempo continuo Condici¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman Soluciones de esquina Ecuaci¶o n diferencial parcial de Black y Scholes Modelo de tasa corta de Cox, Ingersoll y Ross
8 5 .1 In tro d u c c i¶o n En septiembre de 1978, John Cox, Jonathan Ingersoll y Stephen Ross enviaron a \Econometrica" dos art¶³culos para ser considerados como posibles publicaciones: \An Intertemporal General Equilibrium Model of Asset Prices" y \A Theory of the Term Structure of Interest Rates" . Seis a~n os m¶as tarde, en octubre de 1984, son aceptados y en marzo de 1985 son ¯nalmente publicados en dicho \Journal" . Estos art¶³culos est¶an ¶³ntimamente relacionados entre s¶³. De hecho el segundo podr¶³a verse como un caso particular del primero en donde la funci¶o n de producci¶o n sigue un proceso de difusi¶o n espec¶³¯co. Con este proceso asociado a la tecnolog¶³a se determina, de manera end¶o gena, un modelo de tasa corta, conocido como el modelo de Cox, Ingersoll y Ross. Con el prop¶o sito de presentar la investigaci¶o n de Cox, Ingersoll y Ross de manera integral, pero tambi¶e n sencilla, se desarrollan los principales resultados de los dos art¶³culos simpli¯cando la mayor¶³a de los supuestos. El modelo de equilibrio general de Cox, Ingersoll y Ross persigue dos obj etivos, uno de los cuales consiste en caracterizar, en el equilibrio, los precios de los diferentes activos disponibles en la econom¶³a. El otro obj etivo es determinar a partir de un proceso para el rendimiento del capital un proceso para la tasa corta.
8 5 .2 U n m o d e lo in te rte m p o ra l d e e q u ilib rio g e n e ra l p a ra d e te rm in a r p re c io s d e a c tiv o s Con el prop¶o sito de obtener soluciones anal¶³ticamente tratables, los supuestos de la econom¶³a se mantendr¶an lo m¶as simple posible. Considere una econom¶³a cerrada, la cual est¶a poblada por individuos id¶e nticos, maximizadores de utilidad y con vida in¯nita. La econom¶³a produce y consume un solo bien de car¶acter perecedero. Los consumidores tienen acceso a una acci¶o n y a un derivado sobre dicha acci¶o n. Los precios de estos activos est¶an dados en t¶e rminos reales, es decir, en t¶e rminos de unidades del bien de consumo. Asimismo, existe un mercado de cr¶e dito en el que prevalece una tasa de inter¶e s r , la cual se determinar¶a de manera end¶o gena en el equilibrio.
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8 5 .3 A c tiv o s y su s p re c io s Suponga que el precio en t¶e rminos reales, S t , de la acci¶o n tiene una din¶amica estoc¶astica conducida por el movimiento geom¶e trico Browniano de acuerdo con dS t = ¹ S t dt + ¾ S S t dW t ;
(85:1)
donde el par¶ametro de tendencia, ¹ , representa el rendimiento medio esperado, el par¶ametro de volatilidad, ¾ S , es la variaci¶o n instant¶anea del rendimiento del activo y el proceso f W t g t¸ 0 es un W W W movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad ( ;F ;IP ) j unto con W W su ¯ltraci¶o n aumentada IF = f F t g t¸ 0 . En lo que sigue, el precio del derivado de la acci¶o n se denotar¶a por v t = v (S t ;t) :
8 5 .4 R e stric c i¶o n p re su p u e sta l d e l c o n su m id o r De acuerdo con la secci¶o n anterior, la riqueza real, a t , del individuo, en cada instante, est¶a dada por: a t = S t + v t + bt: (85:2) Sea w 1 t = S t = a t la proporci¶o n de la riqueza que el individuo asigna a la tenencia de acciones, w 2 t = v t = a t la proporci¶o n de la riqueza que se asigna a un derivado de precio v t , y la proporci¶o n complementaria 1 ¡ w 1 t ¡ w 2 t ser¶a asignada a la tenencia de un bono de precio b t que paga tasa de inter¶e s r . En consecuencia, la evoluci¶o n de la acumulaci¶o n de la riqueza real sigue la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica: da t = a t w
1 t dR S
+ a tw
2 t dR V
+ a t (1 ¡ w
1t
¡ w
2 t ) r dt
¡ c t dt;
donde el rendimiento del activo con riesgo est¶a dado por dR
S
=
dS t = ¹ dt + ¾ S dW St
(85:3)
t
y el rendimiento de su derivado por dR
v
=
dv t : vt
Este rendimiento se obtiene mediante la aplicaci¶o n del lema de It^o a v (S t ;t) , lo cual conduce a dv t =
@ vt @ vt @ 2 vt dt + dS t + 21 ¾ S2 S t2 dt @t @St @ S t2
¶o dv t = ¹ v v t dt + ¾ v v t dW con ¹v ´
μ
@ vt @ vt + ¹St+ @t @St
1 2
(85:4)
t
@ 2 vt 2 2 ¾ S @ S t2 S t
¶
1 vt
y ¾v ´
1 @ vt ¾ S t: vt @ S t S
En virtud de (85.3) y (85.4) , la restricci¶o n presupuestal se puede escribir como: ·μ da t = a t r + (¹ ¡ r ) w
ct 1 t + (¹ v ¡ r ) w 2 t ¡ at
¶
¸ dt + (w 1 t ¾ S + w 2 t ¾ v ) dW t :
(85:5)
Se requiere especi¯car un pago al vencimiento del derivado, v (S t ;T ) = g (S t ) :
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8 5 . M o d elo d e C ox -In g erso ll-R o ss d e eq u ilib rio g en era l ...
8 5 .5 P o sib ilid a d e s d e p ro d u c c i¶o n Suponga una tecnolog¶³a de la forma y t = A t S t donde el producto marginal del capital, A t , en el proceso de producci¶o n sigue una ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica de la forma: dA
t
= ® (A t ) dt + ¯ (A t ) dU t ;
(85:6)
® (A t ) = · (μ ¡ A t )
(85:7)
donde y ¯ (A t ) = º
p
(85:8)
A t;
· ; μ y º son constantes positivas, y f U t g t¸ 0 es un movimiento Browniano de¯nido sobre un U U U U U espacio ¯jo de probabilidad ( ;F ;IP ) j unto con su ¯ltraci¶o n aumentada IF = f F t g t¸ 0 . Suponga tambi¶e n, por simplicidad, que Cov(dW t ;dU t ) = 0:
(85:9)
Es importante destacar que las especi¯caciones (85.7) y (85.8) aseguran que A t sea no negativa. De hecho, (85.6) j unto con (85.7) y (85.8) de¯nen el proceso de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) .
8 5 .6 P ro b le m a d e d e c isi¶o n d e l c o n su m id o r Se supone que el consumidor representativo obtiene satisfacci¶o n por el bien de consumo. En este caso, la utilidad esperada es del tipo von Neumann-Morgenstern. Espec¶³¯camente, la funci¶o n de utilidad total descontada al tiempo t, V t , de un individuo representativo, adverso al riesgo y competitivo (tomador de precios) tiene la siguiente forma: Vt ´ E
"Z T
ln(c s ) e
¡ ±s
t
¯ ¯ ds ¯ ¯F
t
#
(85:10)
;
donde c s es el consumo al tiempo s , ± es la tasa sub jetiva de descuento y F t es la informaci¶o n W U relevante disponible hasta el tiempo t. En este caso F t ´ F t £ F t . As¶³ pues, el consumidor toma decisiones de consumo y portafolio de tal manera que se maximice su satisfacci¶o n. Es decir, el consumidor desea determinar la trayectoria de consumo y las proporciones de su riqueza que va a asignar a los diferentes activos disponibles en la econom¶³a, de tal manera que su satisfacci¶o n por el bien de consumo sea lo m¶as grande posible.
8 5 .7 C o n d ic io n e s d e p rim e r o rd e n Considere un consumidor que tambi¶e n es productor. Dada la funci¶o n obj etivo (85.10) y las restricciones (85.5) y (85.6) , la ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman est¶a dada por 0=
max
c t ;w
(
1 t ;w 2 t
ln(c t ) e ¡
±t
+ Jt
μ + J a a t r + (¹ ¡ r ) w +
1 2
J a a a t2 (w 1 t ¾ S
+w
donde J (a t ;A t ;t) = max E c t ;w 1 ;w
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2
ct 1 t + (¹ v ¡ r ) w 2 t ¡ at 2 t¾ v )
"Z T t
2
¶ 2
1 2
)
+ J A ® (A t ) + J A A ¯ (A t ) ;
ln(c s ) e
¡ ±s
¯ ¯ ds ¯ ¯F
t
#
(85:11)
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8 5 . M o d elo d e eq u lib rio g en era l d e C ox , In g erso ll y R o ss
es la funci¶o n de utilidad indirecta y J a (a t ;t) es la variable de co-estado. Si se toma como candidato de soluci¶o n a J (a t ;A t ;t) = H (a t ;A t ) e ¡ ± t , se tiene que 0=
max
c t ;w
(
1 t ;w 2 t
μ ln(c t ) ¡ ± H + H a a t r + (¹ ¡ r ) w 1 2
+ H
2 a a a t (w 1 t ¾ S
+w
2 t¾ v )
2
+H
A
¶ ct 1 t + (¹ v ¡ r ) w 2 t ¡ at ) 1 2
® (A t ) + H
A A
(85:12)
2
¯ (A t ) :
En este caso se satisface que H (a t ;A t ) = g (A t ) ln(a t ) + f (A t ) ; para algunas funciones g (A t ) y f (A t ) : Despu¶e s de derivar la ecuaci¶o n (85.12) con respecto de las variables de control, la condici¶o n necesaria del consumo o¶ ptimo es 1 g (A t ) = ct at y las condiciones de primer orden sobre w
y
yw
1
2
(85:13)
son:
¹ ¡ r = w 1 ¾ S2 + w 2 ¾ S ¾ v
(85:14)
¹ v ¡ r = w 1 ¾ S ¾ v + w 2 ¾ v2 :
(85:15)
Las dos u¶ ltimas ecuaciones pueden ser reescritas en t¶e rminos matriciales como: μ
¹ ¡ r ¹v ¡ r
¶
=
μ
¹ ¹v
¶
¡ 1I r =
donde
μ
¾ S2 ¾S ¾v
¾S ¾v ¾ v2
¶μ
w w
1 2
¶
;
μ ¶ 1 1I = : 1
8 5 .8 P o rta fo lio d e e q u ilib rio El portafolio de equilibrio est¶a dado por w
1
=1 yw
2
= 0, lo cual conduce a
¹ ¡ r = ¾ S2
(85:16)
¹ v ¡ r = ¾S ¾v:
(85:17)
y De la segunda ecuaci¶o n se sigue que μ
@ vt @ vt + ¹St+ @t @St
1 2
@ 2 vt 2 2 ¾ S @ S t2 S t
¶
1 @ vt 2 1 ¡ r= ¾ St : vt @ S t S vt
Si se utiliza ahora la ecuaci¶o n (85.16) , se obtiene @ vt @ vt + (r + ¾ S2 ) S t + @t @St
1 2
@ 2vt 2 2 @ vt 2 ¾ S ¡ rvt = ¾ St @ S t2 S t @St S
@ vt @ vt + rS t + @t @St
1 2
@ 2vt 2 2 ¾ S ¡ r v t = 0; @ S t2 S t
¶o
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con la condici¶o n de frontera v (S t ;T ) = g (S t ) :
(85:19)
La ecuaci¶o n anterior coincide con los resultados de Black y Scholes (1973) y Merton (1973) .
8 5 .9 U n a f¶o rm u la a lte rn a tiv a p a ra la ta sa d e in te r¶e s d e e q u ilib rio A continuaci¶o n se presenta una f¶o rmula alternativa para la tasa de inter¶e s de equilibrio. A partir de (85.16) , se tiene que r = ¹ ¡ ¾ S2 : (85:20) En lo que sigue se supone que ¹ > ¾ S2 : La tasa de inter¶e s de equilibrio se puede reescribir de la siguiente forma: μ ¶ μ 2 ¶μ ¶ ¹ ¾S ¾S ¾v w 1 aJ aa r = (w 1 ;w 2 ) + (w 1 ;w 2 ) ; 2 ¹v ¾S ¾v ¾v w2 Ja donde w
1
=1 yw
2
= 0. En efecto, es su¯ciente observar que J a = e¡
±t
g (A t )
1 : at
Por lo tanto, aJ aa = ¡ 1: Ja
8 5 .1 0 D in ¶a m ic a d e la ta sa c o rta En esta secci¶o n, a partir de un proceso para la funci¶o n de producci¶o n, se determina el proceso que conduce a la tasa corta. Si se de¯ne ¹ = ¹eA t y ¾ S2 = ¾eS2 A t en (85.20) , se tiene que rt = ° A
donde
t
° = ¹e¡ ¾eS2 :
Por lo tanto, dr t =° dA
t
=° · (μ ¡ A t ) dt + ° º =· (μ ° ¡ r t ) dt + °
p
1=2
Sean ® = ·;
b = μ°
¾ = ° 1=2 º:
y
De esta manera, dr t = ® (b ¡ r t ) dt + ¾
A t dU t p º r t dU t :
p
r t dU
t
con ® , b y ¾ cantidades positivas. Se puede mostrar que si ¾ 2 > 2® b la tasa corta r t puede tomar el valor cero. Sin embargo, cuando ¾ 2 · 2® b el t¶e rmino de tendencia es su¯cientemente grande para hacer del origen un punto inaccesible para la tasa corta. En cualquier caso, si el valor inicial r 0 es no negativo, entonces la tasa corta j am¶as podr¶a ser negativa.
8 5 .1 1 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Black, F. and M. Scholes (1973) . \The Pricing of Options and Corporate Liabilities" . T h e J o u rn a l o f P o litica l E co n o m y, Vol. 81, No. 3, pp. 637-654. Cox, J. C., J. E. Ingersoll, and S. A. Ross (1985) . \An Intertemporal General Equilibrium Model of Asset Prices." E co n o m etrica , Vol. 53, No. 2, pp. 385-408. Cox, J. C., J. E. Ingersoll, and S. A. Ross (1985) . \A Theory of the Term Structure of Interest Rates." E co n o m etrica , Vol. 53, No. 2, pp. 363-384. Merton, R. C. (1973) . \Theory of Rational Option Pricing" . J o u rn a l o f E co n o m ic a n d M a n a gem en t S cien ce, Vol. 4, No. 1, pp. 141-183.
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8 5 . M o d elo d e eq u lib rio g en era l d e C ox , In g erso ll y R o ss
8 5 .1 2 E je rc ic io s 8 5 .1 Demuestre que si w
1
=0yw
2
= 1 (la otra soluci¶o n de esquina) , tambi¶e n se cumple que
@ vt @ v tt + rS t + @t @St
1 2
@ 2 vt 2 2 ¾ S ¡ r v t = 0: @ S t2 S t
S o lu ci¶o n : Observe que en este caso, ¹ ¡ r = ¾S ¾v y
¹ v ¡ r = ¾ v2 :
De la segunda ecuaci¶o n se tiene que μ
@ vt @ vt + ¹St+ @t @St
1 2
@ 2 vt 2 2 ¾ S @ S t2 S t
¶
1 ¡ r= vt
μ
@ vt @St
¶2
¾ S2 S t2
1 : v t2
Si ahora se utiliza la primera ecuaci¶o n, se sigue que @ vt @ vt + (r + ¾ S ¾ v ) S t + @t @St ¶o @ vt @ vt + rS t + @t @St
μ
@ vt @St
¶2
¾ S2 S t2
1 2
@ 2 vt 2 2 ¾ S ¡ rvt = @ S t2 S t
1 + vt
1 2
μ
@ vt @St
@ 2 vt 2 2 ¾ S ¡ rvt = @ S t2 S t
8 5 .2 A partir de las condiciones de primer orden sobre w
1
¶2
μ
¾ S2 S t2
@ vt @St
¶2
1 vt
¾ S2 S t2
1 : vt
y w 2:
¹ ¡ r = w 1 ¾ S2 + w 2 ¾ S ¾ v y
¹ v ¡ r = w 1 ¾ S ¾ v + w 2 ¾ v2 ;
sin suponer una soluci¶o n de esquina, determine la ecuaci¶o n diferencial parcial de BlackScholes @ vt @ vt @ 2 vt 2 2 + r S t + 12 ¾ S ¡ r v t = 0; @t @St @ S t2 S t con la condici¶o n de frontera v (S t ;T ) = g (S t ) :
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C A P ¶IT U L O 86 M O D E L O D E T A SA C O R T A D E D O T H A N C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ² ²
Modelo de tasa corta de Dothan Movimiento geom¶e trico Browniano Maximizaci¶o n de utilidad Modelo CAPM Valuaci¶o n de bonos cup¶o n cero Funciones de Bessel
8 6 .1 In tro d u c c i¶o n En este cap¶³tulo se presenta, para una cierta clase de preferencias, una f¶o rmula de valuaci¶o n de bonos cup¶o n cero cuando la tasa corta sigue un movimiento geom¶e trico Browniano. Esta f¶o rmula es desarrollada por L. Uri Dothan en su art¶³culo \On the Term Structure of Interest Rates" en el \Journal of Financial Economics`" en 1978. Debido a que la tasa de inter¶e s no es en s¶³ misma un activo negociado, no se puede construir una cobertura que elimine la dependencia de la ecuaci¶o n de valuaci¶o n sobre las preferencias. En el modelo de Dothan se utilizan fundamentos microecon¶o micos de maximizaci¶o n de utilidad baj o ciertas preferencias y de argumentos de arbitraj e en el contexto del modelo CAPM en tiempo continuo para obtener una ecuaci¶o n diferencial parcial cuya soluci¶o n es el precio de un bono a descuento. En particular, las preferencias sobre el consumo que utiliza la propuesta de Dothan est¶an asociadas con la funci¶o n utilidad logar¶³tmica.
8 6 .2 D in ¶a m ic a d e la ta sa c o rta y e c u a c i¶o n d ife re n c ia l p a rc ia l d e u n b o n o En esta secci¶o n se especi¯ca la din¶amica de la tasa corta y se determina la ecuaci¶o n diferencial parcial de segundo orden que determina el precio de un bono cup¶o n cero. Para ello, se utilizan argumentos t¶³picos de arbitraj e. Se supone que el precio del bono, B , es funci¶o n de la tasa corta r t y del tiempo t, es decir, B = B (r t ;t) . Asimismo, se supone que la tasa instant¶anea de inter¶e s r t al tiempo t cambia en forma continua y es conducida por la siguiente ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica: dr t = ² r t dt + ¾ r t dW t ; (86:1) donde ² 2 IR y ¾ > 0 son constantes conocidas y (W t ) t2 [0 ;T ] es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio de probabilidad con una ¯ltraci¶o n ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;T ];IP) . Observe que la tasa de inter¶e s tiene una distribuci¶o n lognormal y, en particular, r t es positiva con probabilidad uno. Si se aplica el lema de It^o a B , se tiene que dB =
μ
@B @B @ 2B + ² rt + 21 ¾ 2 r t2 2 @t @ rt @ rt
¶
dt +
@B ¾ r t dW t : @ rt
(86:2)
Equivalentemente, dB = ¹ B B dt + ¾ B B dW t ; donde ¹B =
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μ
@B @B @ 2B + ² rt + 21 ¾ 2 r t2 2 @t @ rt @ rt
(86:3) ¶Á
B
(86:4)
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1056
8 6 . M o d elo d e ta sa co rta d e D o th a n
y ¾B =
μ
@B @ rt
¶
¾ rt : B
(86:5)
8 6 .3 P la n te a m ie n to d e l p ro b le m a d e c o n tro l o¶ p tim o e sto c ¶a stic o d e m a x im iz a c i¶o n d e u tilid a d Dado que la tasa de inter¶e s no es un activo negociado, no se puede construir una cobertura que elimine la dependencia del proceso de valuaci¶o n con las preferencias. A continuaci¶o n se muestra que esta dependencia puede ser estudiada con el modelo CAPM en tiempo continuo con utilidad logar¶³tmica. Suponga que un consumidor-inversionista tiene acceso a dos activos: un bono y una acci¶o n. Sea w t la riqueza real del individuo y suponga que la acumulaci¶o n de w t sigue una ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica dada por dw t = (1 ¡ μ ) w t r t dt + μ w t dR
S
¡ c t dt;
(86:6)
donde c t es consumo, μ es la proporci¶o n de la riqueza que asigna a la acci¶o n y dR S es el rendimiento de la acci¶o n. Suponga tambi¶e n que el precio de la acci¶o n es conducido por las siguientes ecuaciones diferenciales estoc¶asticas: dS t = ® S t dt + ¯ S t dU t :
(86:7)
Evidentemente, dR
S
=
dS t = ® dt + ¯ dU t : St
(86:8)
Se supone adem¶as que los movimientos Brownianos dW t y dU t est¶an correlacionados de tal forma que Cov(dW t ;dU t ) = ½ dt. Por lo tanto, la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica de la riqueza est¶a dada por dw t = [w t (r t + μ (® ¡ r t ) ) ¡ c t ] dt + w t μ ¯ dU t : (86:9) Ahora bien, el consumidor-inversionista desea determinar c t y μ de tal manera que resuelvan el siguiente problema: "Z ¯ # T ¯ J (w t ;t) = max E F (c s ;s ) ds ¯ ¯F t c t ;μ t
sujeto a:
dw t = [w t (r t + μ (® ¡ r t ) ) ¡ c t ] dt + w t μ ¯ dU t ; dr t = ¾ r t dW t :
Espec¶³¯camente, considere F (c s ;s ) = ln(c s ) e ¡ ± s donde ± es la tasa subj etiva de descuento del individuo. Observe tambi¶e n que se ha tomado, en particular, ² = 0 en la ecuaci¶o n (86.1) . La ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman de la programaci¶o n din¶amica estoc¶astica en tiempo continuo est¶a dada por: ½ @J @J 0 = max F (c t ;t) + + [w t (r t + μ (® ¡ r t ) ) ¡ c t ] c t ;μ @t @w t (86:10) ¾ 2 @ 2J @ 2J 1 2 2@ J + 21 w t2 μ 2 ¯ 2 + ¾ r + w μ ¾ ; t Sr t 2 @ w t2 @ r t2 @ w t@ r t donde ¾ S r = ¯ ¾ r t ½ es la covarianza entre S t y r t . Las condiciones de primer orden son: @F @J ¡ =0 @ ct @w t
(86:11)
y (® ¡ r t )
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@J @ 2J @ 2J + w tμ ¯ 2 + ¾Sr = 0: 2 @w t @w t @ w t@ r t
(86:12)
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8 6 . M o d elo d e ta sa co rta d e D o th a n
Dado que F (c t ;t) = ln(c t ) e ¡
±t
, entonces e¡ ±t @J = : ct @w t
Se propone una soluci¶o n de la forma J (w t ;t) = g (t) ln(w t ) :
(86:13)
En este caso, se tiene que @J g (t) = ; @w t wt
@ 2J g (t) =¡ 2 @ w t2 wt
y
@ 2J = 0: @ w t@ r t
(86:14)
Si se sustituyen estas derivadas parciales en la ecuaci¶o n (86.12) , se obtiene (® ¡ r t ) = μ ¯ 2 :
(86:15)
De esta manera, el premio al riesgo, ¸ , satisface ¸ =
® ¡ rt = μ¯ : ¯
(86:16)
Es decir, ¸ es constante. Ahora bien, si no existen oportunidades de arbitraj e todos los activos dependientes de r t deben satisfacer una ecuaci¶o n similar a (86.16) en donde se tienen que sustituir las correspondientes media y volatilidad de los rendimientos del activo en cuesti¶o n. Por lo tanto, ¸ =
¹ B ¡ rt : ¾B
(86:17)
Si se sustituyen las de¯niciones de ¹ B y ¾ B en la ecuaci¶o n anterior, se tiene: @B @ 2B @B + 21 ¾ 2 r t2 2 ¡ ¸ ¾ r t ¡ r t B = 0; @t @ rt @ rt
(86:18)
lo que proporciona la ecuaci¶o n diferencial parab¶o lica y lineal que caracteriza el precio de un bono cup¶o n cero. Si se denota ° = ¸ = ¾ y ¿ = T ¡ t es el tiempo de vida del bono, entonces la ecuaci¶o n (86.18) puede reescribirse como: ¡
@B @ 2B @B + 21 ¾ 2 r t2 2 ¡ ¾ 2 ° r t ¡ r t B = 0; @¿ @ rt @ rt
(86:19)
con condiciones en la frontera: B (r t ;0) = 1; B (0;¿ ) = 1;
(86:20)
B (1 ;¿ ) = 0; para ¿ > 0:
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8 6 . M o d elo d e ta sa co rta d e D o th a n
8 6 .4 F o¶ rm u la d e v a lu a c i¶o n d e u n b o n o c u p o¶ n c e ro c u a n d o la ta sa c o r ta sig u e u n m o v im ie n to g e o m ¶e tric o B ro w n ia n o Suponga, en particular, que ° = 0. De esta manera, r t = ® . Considere ahora los siguientes cambios de variable: 2r t ¾ 2¿ xt = 2 ; s = y B (r t ;¿ ) = v (x t ;s ) ; (86:21) ¾ 2 entonces ¾ 2x t 2s rt = y ¿ = 2: 2 ¾ En consecuencia, las derivadas parciales de B con respecto de r t y ¿ est¶an dadas por @B @v @v @xt 2 @v = = = 2 ; @ rt @ rt @ x t @ rt ¾ @xt μ ¶ @ 2B @ 2 @v 2 @ 2v @ x t 4 @ 2v = = 2 = 4 ; 2 2 2 @ rt @ rt ¾ @ x t ¾ @ x t @ rt ¾ @ x 2t @B @v @v @s ¾2 @v = = = : @¿ @¿ @s @¿ 2 @s Si se sustituyen las derivadas parciales anteriores en la ecuaci¶o n diferencial (86.19) , se tiene que x 2t
@ 2v @v ¡ x tv ¡ = 0; @ x 2t @s
(86:22)
v (x t ;0) = 1; v (0;s ) = 1;
(86:23)
v (1 ;s ) = 0: Si, adem¶as, se supone que v (x t ;s ) = w (x t ;s ) + f (x t ) , entonces la ecuaci¶o n diferencial (86.22) se transforma en μ 2 ¶ @ w @w 00 x t2 + f (x ) ¡ x t (w + f (x t ) ) ¡ = 0: (86:24) t 2 @xt @s Despu¶e s de agrupar t¶e rminos de manera conveniente, se tiene que μ ¶ 2 ¡ 2 00 ¢ @w 2@ w x t f (x t ) ¡ x t f (x t ) + x t ¡ x tw ¡ = 0: @ x t2 @s
(86:25)
Si v es soluci¶o n de la ecuaci¶o n (86.22) , entonces f y w satisfacen las siguientes ecuaciones: x t f 00(x t ) ¡ f (x t ) = 0;
(86:26)
suj eto a: f (0) =1; f (1 ) =0:
(86:27)
As¶³, x 2t
@ 2w @w ¡ x tw ¡ = 0; 2 @xt @s
(86:28)
suj eto a: w (x t ;0) = v (x t ;0) ¡ f (x t ) = 1 ¡ f (x t ) ;
(86:29)
w (0;s ) = 0; w (1 ;s ) = 0: Considere ahora el siguiente cambio de variable p zt = 2 x t
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8 6 . M o d elo d e ta sa co rta d e D o th a n
y z t h (z t ) ; 2 entonces la derivada de f se puede expresar como f (x t ) =
df (x t ) dz t dz dx t · t ¸ zt 0 1 ¡ = h (z t ) + h (z t ) x t 2 2 · ¸ zt 0 1 2 = h (z t ) + h (z t ) 2 2 zt h (z t ) =h 0(z t ) + zt
f 0(x t ) =
1 2
y la segunda derivada de f con respecto de x t est¶a dada por μ ¶ dh 0(z t ) d h (z t ) f (x t ) = + dx t dx t zt μ ¶ 0 dh (z t ) dz t d h (z t ) dz t = + dz t dx t dz t zt dx t · 0 ¸ z t h (z t ) ¡ h (z t ) ¡ ¡ 1=2 00 = h (z t ) x t + xt z t2 2 2 = h 00(z t ) + 3 [z t h 0(z t ) ¡ h (z t ) ] zt zt 2 2 2 = h 00(z t ) + 2 h 0(z t ) ¡ 3 h (z t ) : zt zt zt 00
1=2
Si se sutituyen f y f 00 en la ecuaci¶o n (86.26) , se tiene z t2 4
·
¸ 2 00 2 0 2 zt h (z t ) + 2 h (z t ) ¡ 3 h (z t ) ¡ h (z t ) = 0: zt zt zt 2
Al simpli¯car la ecuaci¶o n anterior, se obtiene z t2 h 00(z t ) + z t h 0(z t ) ¡ (z t2 + 1) h (z t ) = 0:
(86:30)
La soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial anterior corresponde a la funci¶o n modi¯cada de Bessel de orden uno, la cual est¶a dada por 1 K 1 (z t ) = 2
Z1 0
½ μ ¶¾ 1 zt 1 exp ¡ u + du : u2 2 u
Observe que K 1 (1 ) = 0
(86:31)
K 1 (0) = 1 :
(86:32)
lim z t K 1 (z t ) = 0:
(86:33)
y Asimismo, z t! 1
En efecto, observe que z t K 1 (z t ) =
Z1 0
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½ μ ¶¾ zt zt 1 exp ¡ u + du : 2u 2 2 u
(86:34)
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8 6 . M o d elo d e ta sa co rta d e D o th a n
Escriba el integrando de (86.34) como g z t (u ) = donde
1 v = 2
zt ; 2u 2 e v z t
(86:35)
μ ¶ 1 u + : u
Si se aplica la regla de L'Hopital a (86.35) cuando z t ! 1 , se sigue que zt 1 = lim = 0: z t! 1 v e v z t ev zt
lim
z t! 1
Claramente, lim g n (u ) = lim
n! 1
n! 1
n 2u 2 e v n
= 0:
En consecuencia, lim z t K 1 (z t ) = lim n K 1 (n ) = lim
z t! 1
n! 1
n! 1
Z1
g n (u ) du =
0
Z1 0
lim g n (u ) du = 0:
n! 1
El l¶³mite (86.33) tambi¶e n se puede veri¯car a partir de la aproximaci¶o n ³z ´ ³z ´2 ³z ´3 t t t 1=2 z t e z t K 1 (z t ) = a 0 + a 1 + a2 + a3 + ¢¢¢ 2 2 2 v¶alida para 2 · z t < 1 y ciertas constantes a 0 ;a 1 ;a 2 ;:::; a partir de la cual se sigue que ³z ´ ³z ´2 ³z ´3 t t t 1=2 1=2 1=2 1=2 z t K 1 (z t ) = a 0 z t e ¡ z t + a 1 z t e ¡ z t + a 2 zt e¡ zt + a 3 zt ezt + ¢¢¢; 2 2 2 lo cual produce (86.33) . Asimismo, observe que la aproximaci¶o n ³z ´ ³z ´ t t z t K 1 (z t ) = 1 + z t ln I 1 (z t ) + o 2 2
(86:36)
v¶alida para 0 < z t < 2 con I 1 (z t ) dada por I 1 (z t ) =
X1
k= 0
satisface lim z t ! obtiene
1
I 1 (z t ) = 1
y lim z t !
0
³z ´2 k + 1 t k !(k + 1) ! 2
1
(86:37)
I 1 (z t ) = 0. De esta manera, a partir de (86.36) , se
lim z t K 1 (z t ) = 1:
z t! 0
(86:38)
En consecuencia, a ¯n de que se cumplan f (0) = 1 y f (1 ) = 0, la soluci¶o n de (86.26) est¶a dada por p p f (x t ) = z t K 1 (z t ) = 2 x t K 1 (2 x t ) :
Gr¶a¯ca 86.1 Funci¶o n de Bessel I 1 (z t ) y K 1 (z t ) .
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8 6 . M o d elo d e ta sa co rta d e D o th a n
Considere ahora los siguientes cambios de variables: p zt = 2 x t
w (x t ;s ) = 12 z t h (z t ;s ) :
y
De esta manera, las derivadas parciales de w est¶an dadas por: @w @ w @ zt = @xt @ zt @ x t ¡ 1=2 @ w = xt @ zt μ ¶ zt @ h ¡ 1=2 1 @h = xt + 2 2 @ zt @ zt μ ¶μ ¶ 2 zt @ h 1 = + 2h zt 2 @ zt @h h = + : @ zt zt
(86:39)
La segunda derivada de w (x t ;s ) con respecto de x t satisface μ ¶ @ 2w @ 2h @ h = + @ x t2 @ z t@ x t @ x t zt " ¡ 1=2 ¡ @ 2 h ¡ 1=2 z t (@ h = @ z t ) x t ¡ hxt = x + @ z t2 t z t2 · ¸ @ 2h 2 (@ h = @ z t ) ¡ (h = z t ) = + @ z t2 z t z t2 2 @ h 2 @h 2 h = + ¡ 2 3: 2 2 @ zt zt @ zt zt zt
1=2
# (86:40)
Si se sustituyen (86.39) y (86.40) en (86.28) , se obtiene · ¸ z t4 h zz hz h z 2 hz t i z t 2 +2 2 ¡ 2 3 ¡ t h ¡ hs = 0 16 zt zt zt 4 2 2 ¶o
z t2 h z z + z t h z ¡ h ¡ (z t2 + 1) h ¡ 4h s = 0:
(86:41)
A partir de (86.29) , la condici¶o n de frontera que se debe cumplir es zt h (z t ;0) = 1 ¡ f (x t ) = 1 ¡ z t K 1 (z t ) ; 2 lo cual implica
· ¸ 1 h (z t ;0) = 2 ¡ K 1 (z t ) : z
Si se separan variables en h (z t ;s ) , se tiene que Z1 h (z t ;s ) = Á (¹ ) K
i¹
(z t ) e ¡
(86:42)
(1 + ¹ 2 )s = 4
d¹ ;
(86:43)
0
donde el par¶ametro de separaci¶o n es ¡ (1 + ¹ 2 ) y la funci¶o n Á (¹ ) se determina a partir de la condici¶o n de frontera (86.42) , la cual est¶a dada por Á (¹ ) =
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4 ¼
μ
¹ senh (¼ ¹ = 2) 1+¹2
¶
;
(86:44)
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8 6 . M o d elo d e ta sa co rta d e D o th a n
donde senh(¼ ¹ = 2) = Dado que K
i¹
se obtiene que
(z t ) = csc
μ
i¹ ¼ 2
¶Z 1
e¼ ¹ =2 ¡ e¡ 2
¼ ¹ =2
:
sen(z t senh(μ ) ) senh(i¹ μ ) dμ ;
0
Z 4 1 ¹ senh (¼ ¹ = 2) K i¹ (z t ) d¹ ¼ 0 1+¹2 Z Z1 4 1 ¹ sen(¹ μ ) = sen(z t senh(μ ) ) d¹ dμ ¼ 0 1+¹2 0 μ ¶ Z1 1 ¡ μ =2 e sen(z t senh(μ ) ) dμ = 2 ¡ K 1 (z t ) : zt 0
h (z t ;0) =
(86:45)
A partir de (86.43) , se tiene que Z Z1 4 1 ¹ sen(¹ μ ) ¡ (1 + ¹ 2 )s = 4 sen(z t senh(μ ) ) e d¹ dμ ¼ 0 1+¹2 0 · μ ¶ μ ¶¸ Z1 s ¡ 2μ s + 2μ p p = sen(z t senh(μ ) ) e ¡ μ erfc ¡ e μ erfc dμ : 2 s 2 s 0
h (z t ;s ) =
(86:46)
En virtud de que B (t;T ) = w (x t ;s ) + f (x t ) , se sigue que B (t;T ) =
p
xt
Z1 0
p + 2 x tK
1
· μ ¶ μ ¶¸ s ¡ 2μ s + 2μ ¡ μ μ p p sen (2 x t senh(μ ) ) e erfc ¡ e erfc dμ 2 s 2 s p (2 x t ) ; p
donde xt =
(86:47)
2r t ; ¾2
¿¾ 2 ; 2 ¿ = T ¡ t; s=
y erfc(a ) = 1 ¡ p
2 ¼
Za
e¡
q2
dq :
0
De manera similar, la soluci¶o n para el caso con ° 6= 0; est¶a dada por Z1 Z1 p 1 B (t;T ) = 2 x tp sen (2 x t senh(μ ) ) H (¹ ) sen(¹ μ ) d¹ dμ ¼ 0 0 p 2 + x p K 2 p (2 x t ) ; ¡(2p ) t donde H (¹ ) = e ¡
(4 p 2 + ¹ 2 )s = 4
¹ cosh
xt =
³¼ ¹ 2
2r t ; ¾2
(86:48)
μ ¶¯2 ´¯ ¯ ¯ ¯¡ ¡ p + ¹ i ¯; ¯ 2 ¯
¿¾ 2 ; 2 ¿ =T ¡ t s=
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8 6 . M o d elo d e ta sa co rta d e D o th a n
y p = ¶o 1 B (t;T ) = 2 x tp ¼ + donde
Z1
1 +° 2
p
sen (2 x t senh(μ ) )
0
Z1
H (¹ ) sen(¹ μ ) d¹ dμ
0
2 xpK ¡(2p ) t
2p
(86:49)
p (2 x t ) ;
½ ¾ ³¼ ¹ (4p 2 + ¹ 2 ) ¾ 2 (T ¡ t) H (¹ ) = exp ¡ ¹ cosh 8 2 xt =
2r t ¾2
μ ¶¯2 ´¯ ¯ ¯ ¯¡ ¡ p + ¹ i ¯; ¯ 2 ¯
y p =
1 + °: 2
8 6 .5 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Brigo, D. and F. Mercurio (2001) . Interest Rate Models Theory and Practice. Springer-Verlag, Berlin, New York. Dothan, L. U. (1978) . \On the Term Structure of Interest Rates" . J o u rn a l o f F in a n cia l E co n o m ics, Vol. 6, No. 1, pp. 59-69. Venegas-Mart¶³nez, F. (2005) . \Caracterizaci¶o n del precio de un bono cup¶o n cero en un modelo de equilibrio general" . R evista d e E sta d¶³stica , E co n o m etr¶³a y F in a n za s A p lica d a s, Vol. 3, No. 3, pp. 1-16.
8 6 .6 E je rc ic io s 8 6 .1 Si K a (z t ) =
Z1
1 2
0
1 u 1+
a
½ μ ¶¾ zt 1 exp ¡ u + du : 2 u
Demuestre que K 1 (z t ) = K S o lu ci¶o n : Observe que K 1 (z t ) = Considere el cambio de variable v
1 2
Z1
¡ 1
0
¡ 1 (z t ) :
½ μ ¶¾ 1 zt 1 exp ¡ u + du : u2 2 u
= u , entonces du = ¡ v ¡ 2 dv y
½ μ ¶¾ Z 1 0 2 zt 1 dv v exp ¡ v+ 2 1 2 v v2 ½ μ ¶¾ Z1 1 zt 1 = exp ¡ v+ dv : 2 0 2 v
K 1 (z t ) = ¡
8 6 .2 Suponga que la tasa corta es conducida por dr t = ² r t dt + ¾ r t dW t ;
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8 6 . M o d elo d e ta sa co rta d e D o th a n
donde ² 6= 0 y ¾ > 0 son constantes conocidas y (W t ) t2 [0 ;T ] es un movimiento Browniano de¯nido sobre ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;T ];IP) . Demuestre que 1 B (t;T ) = 2 x tp ¼ + donde
Z1
p
sen (2 x t senh(μ ) )
0
Z1
H (¹ ) sen(¹ μ ) d¹ dμ
0
2 xpK ¡(2p ) t
2p
p (2 x t ) ;
½ ¾ ³¼ ¹ (4p 2 + ¹ 2 ) ¾ 2 (T ¡ t) H (¹ ) = exp ¡ ¹ cosh 8 2 xt =
2r t ¾2
μ ¶¯2 ´¯ ¯ ¯ ¯¡ ¡ p + ¹ i ¯; ¯ 2 ¯
y p =
1 ¡ ²: 2
8 6 .3 Considere un consumidor-inversionista que desea resolver el siguiente problema: J (w t ;r t ;t) = max E c t ;μ
"Z T
suj eto a:
t
¯ # ¯ ln(c s ) e ¡ ± s ds ¯ ¯F t
dw t = [w t (r t + μ (® ¡ r t ) ) ¡ c t ] dt + w t μ ¯ dU t ; dr t = ¾ r t dW t :
Suponga que J (w t ;r t ;t) = g (t) ln(w t ) + H (r t ;t) y lleve a cabo un an¶alisis completo del problema anterior de control ¶o ptimo estoc¶astico.
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C A P ¶IT U L O 87 M O D E L O D E F IS C H E R D E R IE S G O D E IN F L A C IO¶ N C O N B O N O S IN D E X A D O S C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ²
Din¶amica estoc¶astica del nivel general de precios Bonos indexados Problema intertemporal de decisi¶o n de un consumidor-inversionista Equilibrio del consumidor
8 7 .1 In tro d u c c i¶o n Entre los contratos m¶as populares para cubrirse contra la in°aci¶o n, anticipada o no, destacan los bonos indexados. Estos instrumentos permiten a los agentes cubrirse del riesgo de in°aci¶o n con costos baj os de transacci¶o n. En este cap¶³tulo se estudia c¶o mo un consumidor-inversionista con vida in¯nita y maximizador de utilidad conforma su portafolio con tres diferentes activos: bonos indexados, t¶³tulos de capital y bonos nominales. Todo el ingreso del consumidor es debido exclusivamente al retorno de sus inversiones. Se supone que el nivel general de precios sigue un movimiento geom¶e trico Browniano. Uno de los principales resultados de este cap¶³tulo es que si las acciones no se utilizan para cubrirse contra la in°aci¶o n, los bonos indexados s¶o lo ser¶an demandados si ofrecen un premio sobre los bonos nominales. Asimismo, se muestra que en un entorno de expectativas homog¶e neas y sin acceso a bonos extranj eros, s¶o lo existir¶an bonos indexados.
8 7 .2 D in ¶a m ic a e sto c ¶a stic a d e l n iv e l g e n e ra l d e p re c io s En la econom¶³a hay un solo bien de consumo, de car¶acter perecedero, de precio P t , el cual es conducido por un movimiento geom¶e trico Browniano descrito por la siguiente ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica: dP t = ¼ dt + ¾ dW t ; (87:1) Pt donde ¼ es la in°aci¶o n media esperada por unidad de tiempo y ¾ es la volatilidad instant¶anea del nivel general de precios por unidad de tiempo.
8 7 .3 R e n d im ie n to s d e lo s a c tiv o s El agente tiene acceso a tres diferentes activos: un bono indexado, que paga una tasa real de inter¶e s m¶as la in°aci¶o n observada, de precio B 1 t ; una acci¶o n de precio K t ; y un bono nominal de precio B 3 t . Los aj ustes (rebalanceo) en el portafolio ocurren instant¶aneamente y sin costo. No hay restricciones de no negatividad en la tenencia de activos. El bono indexado paga una tasa real, r 1 = i1 ¡ ¼ , m¶as la tasa de in°aci¶o n observada, dP t = P t . As¶³, la ecuaci¶o n que describe el rendimiento nominal de este bono indexado est¶a dada por: dR
1t
=
dB 1 t B 1t
=r 1 dt +
μ
dP t 1 P t dt
¶
dt
(87:2)
=i1 dt + ¾ dW t :
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8 7 . M o d elo d e F isch er d e riesg o d e in ° a ci¶o n co n b o n o s in d ex a d o s
El rendimiento nominal de la acci¶o n es dR
=
2t
dK t = i2 dt + s dV t ; K t
(87:3)
donde i2 es el rendimiento nominal medio de la acci¶o n por unidad de tiempo y s 2 es la varianza del rendimiento nominal por unidad de tiempo. Se supone que los procesos dW t y dV t est¶an correlacionados entre s¶³, es decir, Cov(dW t ;dV t ) = ½ dt:
(87:4)
En virtud del lema de It^o , el rendimiento real de la acci¶o n satisface ¡ ¢ d(K t = P t ) = i2 ¡ ¼ ¡ ½ ¾ s + ¾ 2 dt + s dV t ¡ ¾ dW K t= P t = r 2 dt + s dV t ¡ ¾ dW t ; donde
t
(87:5)
r 2 = i2 ¡ ¼ ¡ ½ ¾ s + ¾ 2 :
Note, particularmente, que en el caso estoc¶astico el rendimiento real esperado sobre la acci¶o n, r 2 , no es el rendimiento nominal esperado menos la tasa de in°aci¶o n esperada ya que aparece el t¶e rmino ¡ ½ ¾ s +¾ 2 debido a la incertidumbre acerca de la tasa de in°aci¶o n y la tasa de rendimiento sobre la acci¶o n. Por supuesto, podr¶³a presentarse el caso de que ½ s = ¾ . Sin embargo, en general, esto no se cumple. De hecho, si se presentara ½ s = ¾ ser¶³a por pura casualidad. La covarianza entre el rendimiento real de la acci¶o n y la tasa de in°aci¶o n es ¡ ¢ ¾ dW t (s dV t ¡ ¾ dW t ) = ¾ s ½ ¡ ¾ 2 dt = ¾ (s ½ ¡ ¾ ) dt y el coe¯ciente de correlaci¶o n entre el rendimiento real sobre la acci¶o n y la tasa de in°aci¶o n es ¸ = p
s2
s½ ¡ ¾
¡ 2½ ¾ s + ¾ 2
:
(87:6)
En el caso del bono nominal con rendimiento determinista se tiene que dR
3t
=
dB 3 t = i3 dt: B 3t
(87:7)
El rendimiento real del bono nominal se calcula mediante el lema de It^o y es igual a: d(B 3 t = P t ) = r 3 dt ¡ ¾ dW B 3 t= P t donde
t
= r 3 dt ¡ ¾ dW t ;
(87:8)
r 3 = i3 ¡ ¼ + ¾ 2 :
Nuevamente, en el caso estoc¶astico el rendimiento real esperado del bono nominal, r 3 , no es la tasa nominal esperada menos la tasa esperada de in°aci¶o n.
8 7 .4 R e stric c io n e s p re su p u e sta le s Sean w 1 t , w 2 t y w 3 t las proporciones de la riqueza nominal que se asignan a bonos reales indexados, acciones y bonos nominales, respectivamente. Estas proporciones obviamente satisfacen 1=w
1t
+w
2t
+w
3 t:
(87:9)
La riqueza nominal, A t , del consumidor es de¯nida mediante A
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t
=B
1t
+K
t
+B
3 t:
(87:10)
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1067
8 7 . M o d elo d e F isch er d e riesg o d e in ° a ci¶o n co n b o n o s in d ex a d o s
y la restricci¶o n presupuestal est¶a dada por dA
t
=A t (w
1 t dR 1 t
=A t (w
1 t i1
+w
+w
2 t dR 2 t
2 t i2
+w
+ (1 ¡ w
3 t dR 3 t ) dt
¡ w
1t
¡ P t c t dt
2 t ) i3 )
dt
+ A t (w 1 t ¾ dW t + w 2 t s dV t ) ¡ P t c t dt μ ¶ P tct =A t w 1 t (i1 ¡ i3 ) + w 2 t (i2 ¡ i3 ) + i3 ¡ dt At + A t (w
dW
1 t¾
t
+w
2 t s dV t )
(87:11)
:
Esta u¶ ltima puede escribir en forma breve como dA t = ¹ t dt + dU t ; At
(87:12)
donde ¹t = w
1 t (i1
¡ i3 ) + w
2 t (i2
¡ i3 ) + i3 ¡
P tc t At
y dU t = w
1 t¾
dW
t
+w
2 t s dV t :
8 7 .5 P ro b le m a d e d e c isi¶o n d e l c o n su m id o r El consumidor-inversionista racional desea determinar la trayectoria de consumo y las proporciones de su riqueza que asignar¶a a los diferentes activos de tal manera que se maximice su utilidad total descontada ¯ ¾ ½Z 1 ¯ ¡ ±t E ln (c t ) e dt ¯ (87:13) ¯F 0 ; 0
donde F 0 es la informaci¶o n relevante disponible en t = 0. La soluci¶o n del problema de decisi¶o n satisface la ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman n 0 = max ln (c t ) e ¡ ± t + J t + J A A t ¹ t + J P ¼ P t c t ;w
1 t ;w 2 t
+ 12 J A A A 2t (w + 12
2
JP P ¾ P
2 2 1 t¾
+w
2 2 2 ts
1 t¾
+w
2 ts ½ )
2 t
+J P A P t A t (w donde
J = J (A t ;P t ;t) = E
½Z 1
+ 2w
1 tw 2 t¾
s½ )
(87:14)
o ;
ln (c s ) e
¡ ±s
t
¯ ¾ ¯ ds ¯ ¯F t
es la funci¶o n de utilidad indirecta al tiempo t. La ecuaci¶o n (87.14) es una ecuaci¶o n diferencial parcial en J . Se propone como candidato de soluci¶o n en variables separables a J (A t ;P t ;t) = G (A t ;P t ) e ¡
±t
Ahora, si se sustituye (87.15) en (87.14) , se encuentra que n 0 = max ln (c t ) ¡ ± G + G A A t ¹ t + G c t ;w
1 t ;w 2 t
+ 21 G
A A
A t2 (w
2 2 1 t¾
+ 12 G
P P
P t2 ¾ 2 + G
+w A P
2 2 2 ts
+ 2w
(87:15)
:
P
¼Pt
s½ ) o P t A t (w 1 t ¾ + w 2 t s ½ ) : 1 tw 2 t¾
(87:16)
Si se propone ahora la siguiente forma funcional para G : G (A t ;P t ) = ¯ 0 + ¯ 1 ln (A t P t ) + H (P t ;t)
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(87:17)
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8 7 . M o d elo d e F isch er d e riesg o d e in ° a ci¶o n co n b o n o s in d ex a d o s
y se sustituye en (87.16) j unto con el valor de ¹ t , se sigue que n 0 = max ln (c t ) ¡ ± (¯ 0 + ¯ 1 ln (A t ) + ¯ 1 ln (P t ) ) c t ;w 1 t ;w 2 t μ ¶ P tct +¯ 1 w 1 t (i1 ¡ i3 ) + w 2 t (i2 ¡ i3 ) + i3 ¡ + ¯ 1¼ At ¡ ¢ ¡ 12 ¯ 1 w 12 t ¾ 2 + w 22 t s 2 + 2w 1 t w 2 t ¾ s ½ o ¡ 21 ¯ 1 ¾ 2 + (t¶e rminos en H ) : Las condiciones de primer orden del problema de programaci¶o n din¶amica estoc¶astica en tiempo continuo conducen a las siguientes ecuaciones: 1 ¯1P t ¡ = 0; ct At
(87:18)
(i1 ¡ i3 ) ¡ w
1 t¾
2
¡ w
2 t¾
s½ = 0
(87:19)
(i2 ¡ i3 ) ¡ w
2 ts
2
¡ w
1 t¾
s ½ = 0:
(87:20)
y
As¶³, de (87.18) se obtiene que c t / A t = P t , es decir el consumo es proporcional a la riqueza real. Asimismo, a partir de (87.19) y (87.20) se tiene que las proporciones de la riqueza que se asignan a los diferentes activos w 1 t , w 2 t y w 3 t son independientes del tiempo y del nivel de la riqueza. De este modo: w 1t ´ w 1 ; w 2t ´ w 2 y w 3t ´ w 3 : El sistema de dos ecuaciones lineales, de¯nido por tiene la siguiente soluci¶o n: i1 ¡ i3 w1 = 2 ¡ ¾ (1 ¡ ½ 2 ) y i2 ¡ i3 w2 = 2 ¡ s (1 ¡ ½ 2 ) El valor de w
3
se determina mediante w w
3
=1 ¡ w
1
(87.19) y (87.20) , en las inc¶o gnitas w
1
yw
2
(i2 ¡ i3 ) ½ ¾ s (1 ¡ ½ 2 )
(87:21)
(i1 ¡ i3 ) ½ : ¾ s (1 ¡ ½ 2 )
(87:22)
y w 2 , es decir,
¡ w2 i1 ¡ i3 (i2 ¡ i3 ) ½ i2 ¡ i3 (i1 ¡ i3 ) ½ =1 ¡ 2 + ¡ 2 + 2 2 2 ¾ (1 ¡ ½ ) ¾ s (1 ¡ ½ ) s (1 ¡ ½ ) ¾ s (1 ¡ ½ 2 ) μ ¶ μ ¶ i1 ¡ i3 s ¡ ½ ¾ i2 ¡ i3 ¾ ¡ ½ s =1 ¡ ¡ : 2 2 1¡ ½ ¾ s 1 ¡ ½2 s2 ¾ 1
(87:23)
8 7 .6 E st¶a tic a c o m p a ra tiv a Con el prop¶o sito de determinar la direcci¶o n y magnitud de los efectos de las variables ex¶o genas en las decisiones de inversi¶o n, se realizan los siguientes ejercicios de est¶atica comparativa. Observe primero que
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@w 1 1 = 2 ; @ i1 ¾ (1 ¡ ½ 2 )
@w 1 ½ =¡ ; @ i2 ¾ s (1 ¡ ½ 2 )
@w 1 ¡ s + ½¾ = ; @ i3 s ¾ 2 (1 ¡ ½ 2 )
@w 2 ½ =¡ ; @ i1 ¾ s(1 ¡ ½ 2 )
@w 2 1 = 2 ; @ i2 s (1 ¡ ½ 2 )
@w 2 ¡ ¾ + ½s = 2 ; @ i3 s ¾ (1 ¡ ½ 2 )
@w 3 s ¡ ½¾ =¡ 2 ; @ i1 ¾ s (1 ¡ ½ 2 )
@w 3 ¾ ¡ ½s =¡ 2 ; @ i2 s ¾ (1 ¡ ½ 2 )
@w 3 s 2 + ¾ 2 ¡ 2½ ¾ s = : @ i3 ¾ 2 s 2 (1 ¡ ½ 2 )
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8 7 . M o d elo d e F isch er d e riesg o d e in ° a ci¶o n co n b o n o s in d ex a d o s
Como puede observarse, la demanda de cada activo est¶a directamente relacionada con su propia tasa de inter¶e s nominal esperada. Por otro lado, si ½ > 0, los bonos indexados y las acciones son sustitutos en el sentido de que @w 1 @w 2 ½ = =¡ < 0: @ i2 @ i1 ¾ s (1 ¡ ½ 2 ) Es decir, la demanda de cada uno de estos activos est¶a inversamente relacionada con la tasa de inter¶e s nominal esperada del otro. Las otras derivadas de la funci¶o n de demanda son, en general, de signo ambiguo. La ambigÄu edad en las funciones de demanda puede ser removida con el supuesto ½ = 0. En este caso, i1 ¡ i3 w1 = ; ¾2 i2 ¡ i3 w2 = s2 y i1 ¡ i3 i2 ¡ i3 w3 =1¡ ¡ : ¾2 s2 Por lo tanto, las derivadas parciales satisfacen @w 1 1 = 2; @ i1 ¾
@w 1 = 0; @ i2
@w 1 1 = ¡ 2; @ i3 ¾
@w 2 = 0; @ i1
@w 2 1 = 2; @ i2 s
@w 2 1 =¡ 2; @ i3 s
@w 3 1 = ¡ 2; @ i1 ¾
@w 3 1 =¡ 2; @ i2 s
@w 3 1 1 = 2 + 2: @ i3 ¾ s
De esta manera, la direcci¶o n y magnitud de todos los efectos quedan totalmente de¯nidos.
8 7 .7 C o n d ic io n e s d e e q u ilib rio Ahora se examinar¶an las tasas de rendimiento, real y nominal, que se requieren para que el agente mantenga los diferentes activos. En este an¶alisis sobre el equilibrio relativo de las tasas de rendimiento en un mercado, se supone que los agentes tienen preferencias id¶e nticas y las mismas dotaciones iniciales de activos. Los diferenciales de rendimiento requeridos son examinados en el punto w 1 = 0, es decir, donde el agente no tiene bonos indexados en su portafolio. En consecuencia, a partir de (87.22) y (87.23) , se tiene que i1 ¡ i3 = ½ ¾ s w 2 ; (87:24) o en t¶e rminos de los rendimientos reales r1 ¡ r3 = ½ ¾ sw
2
¡ ¾ 2:
(87:25)
Suponga ahora que w 2 = 1, es decir, la tenencia de ambos tipos de bonos son cero. As¶³, de la ecuaci¶o n (87.25) , se tiene que la diferencia entre los rendimientos reales depende de la covarianza entre el rendimiento real de la acci¶o n y la tasa de in°aci¶o n, ½ s ¡ ¾ . Si la acci¶o n no es una cobertura contra la in°aci¶o n, es decir, si ½ s ¡ ¾ < 0, entonces r 1 < r 3 . En consecuencia, los bonos indexados s¶o lo ser¶an demandados si ofrecen un premio sobre los bonos nominales. Por u¶ ltimo, si las expectativas son id¶e nticas para los individuos, entonces cada demanda individual de bonos nominales es simplemente constante. As¶³, si cada individuo es adverso al riesgo, cada demanda individual de bonos nominales es del mismo signo. Dado que la demanda neta tiene que ser cero en el mercado, cada demanda individual debe ser cero. En consecuencia, ning¶u n individuo presta o pide prestado a trav¶e s de bonos nominales. Note que esto no contradice el hecho de que los bonos nominales deben proporcionar un premio sobre los bonos indexados,
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8 7 . M o d elo d e F isch er d e riesg o d e in ° a ci¶o n co n b o n o s in d ex a d o s
simplemente su precio asegura que ninguno de ellos exista. Sin embargo, el mismo argumento no se aplica para bonos indexados. La cantidad de bonos indexados depende de las actitudes frente al riesgo de los consumidores: a mayor aversi¶o n al riesgo los individuos mantendr¶an cantidades positivas de bonos indexados y a menor aversi¶o n al riesgo pedir¶an prestado, emitiendo bonos indexados para comprar acciones.
8 7 .8 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Fischer, S. (1975) . \The Demand for Index Bonds" . J o u rn a l o f P o litica l E co n o m y, Vol. 83, No. 3, pp. 509-534. Venegas-Mart¶³nez, F. (2001) . \Temporary Stabilization: A Stochastic Analysis" . J o u rn a l o f E co n o m ic D y n a m ics a n d C o n tro l, Vol. 25, No. 9, pp. 1429-1449.
8 7 .9 E je rc ic io s 8 7 .1 Con base en la secci¶o n 87.5, considere el siguiente sistema de dos ecuaciones en las inc¶o gnitas w 1 y w 2: (i1 ¡ i3 ) ¡ w 1 ¾ 2 ¡ w 2 ¾ s ½ = 0 y
(i2 ¡ i3 ) ¡ w 2 s 2 ¡ w 1 ¾ s ½ = 0:
Muestre que la soluci¶o n est¶a dada por: w
1
=
i1 ¡ i3 (i2 ¡ i3 ) ½ ¡ ¾ 2 (1 ¡ ½ 2 ) ¾ s (1 ¡ ½ 2 )
w
2
=
i2 ¡ i3 (i1 ¡ i3 ) ½ ¡ : s 2 (1 ¡ ½ 2 ) ¾ s (1 ¡ ½ 2 )
y
8 7 .2 Resuelva el problema de decisi¶o n del consumidor, planteado en la secci¶o n 87.5, cuando u (c t ) = c °t = ° ; ° < 1: Discuta los resultados. 8 7 .3 Resuelva el problema anterior cuando u (c t ) = (c t1 ¡ μ ¡ 1) = (1 ¡ μ ) ; μ > 0; μ 6= 1.
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C A P ¶IT U L O 88 R IE S G O N O D IV E R S IF IC A B L E D E T IP O D E C A M B IO : D IF U S IO¶ N Y S A L T O S D E P O IS S O N C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ² ² ² ² ²
Modelo estoc¶astico de Ramsey Riesgo de tipo de cambio Mercados incompletos Procesos mixtos de difusi¶o n con saltos Decisiones de portafolio y consumo Control ¶o ptimo estoc¶astico Ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman Bienestar econ¶o mico Dinero en la funci¶o n de utilidad
8 8 .1 In tro d u c c i¶o n En este cap¶³tulo se desarrolla un modelo estoc¶astico de Ramsey 1 con riesgo no diversi¯cable de tipo de cambio. Se supone una econom¶³a abierta, peque~n a y poblada por individuos id¶e nticos con vida in¯nita. La econom¶³a produce y consume un solo bien de car¶acter perecedero. En esta econom¶³a los individuos requieren de dinero para ¯nanciar su consumo, es decir, existe una restricci¶o n \cash-in-advance" . Se supone que el p¶u blico tiene expectativas de depreciaci¶o n del tipo de cambio conducidas por un proceso mixto de difusi¶o n con saltos. Asimismo, se supone que no existen productos derivados para cubrir el riesgo cambiario, es decir, los mercados ¯nancieros son incompletos. El modelo propuesto persigue varios ob j etivos. Uno de ellos consiste en llevar a cabo experimentos de est¶atica comparativa para cuanti¯car los efectos de cambios permanentes en los par¶ametros que determinan las expectativas de depreciaci¶o n en las decisiones de los agentes y en su bienestar econ¶o mico. Asimimo, se pretende estudiar la din¶amica estoc¶astica de la riqueza y del consumo en el equilibrio. Por u¶ ltimo, se extiende el modelo para incluir dinero en la funci¶o n de utilidad. Tres ap¶e ndices contienen detalles t¶e cnicos sobre el problema de decisi¶o n, baj o incertidumbre, del consumidor.
8 8 .2 E stru c tu ra d e la e c o n o m ¶³a Con el prop¶o sito de obtener soluciones anal¶³ticamente tratables, la estructura de la econom¶³a se mantendr¶a lo m¶as simple posible. El planteamiento del modelo propuesto es obviamente sencillo y puede extenderse en varias direcciones, como por ej emplo la inclusi¶o n de: dinero en la funci¶o n de utilidad, bienes durables, transferencias del gobierno, etc. 1 F ra n k P lu m p to n R a m sey (1 9 0 3 -1 9 3 0 ). E x cep cio n a l m a tem ¶a tico , eco n o m ista y ¯ l¶o so fo b rit¶a n ico q u e m u ere p rem a tu ra m en te a la ed a d d e 2 7 a n~ o s. R a m sey d ej¶o en su s escrito s la s b a ses p a ra m o d ela r c¶o m o lo s a g en tes to m a n d ecisio n es d e co n su m o en el tiem p o . S u s id ea s ser¶³a n p o sterio rm en te d esa rro lla d a s y p o p u la riza d a s p o r v a rio s c¶e leb res eco n o m ista s. R a m sey ta m b i¶e n p ro p u so u n m o d elo g en era l p a ra la to m a d e d ecisio n es b a jo in certid u m b re y u n co n ju n to d e a x io m a s p a ra la u tilid a d esp era d a . E n 1 9 2 8 , R a m sey p u b lica su a rt¶³cu lo sem in a l so b re la teo r¶³a m a tem ¶a tica d el a h o rro d e u n co n su m id o r to m a d o r d e p recio s. M u ch o tiem p o d esp u ¶e s, R o b ert S o lo w (1 9 5 6 ) (P rem io N o b el d e E co n o m ¶³a en 1 9 8 7 ) y S w a n (1 9 5 6 ) d esa rro lla n la teo r¶³a n eo cl¶a sica d el crecim ien to . U n a lim ita ci¶o n im p o rta n te d e esta teo r¶³a es q u e la ta sa d e a h o rro es ex ¶o g en a . C a ss (1 9 6 5 ) y K o o p m a n s (1 9 6 5 ) reto m a n el m o d elo d e R a m sey p a ra co n v ertir la ta sa d e a h o rro d el m o d elo d e S o lo w -S w a n en u n a v a ria b le en d ¶o g en a , lo q u e en la litera tu ra se co n o ce co m o el m o d elo d e R a m sey.
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8 8 . R iesg o n o d iv ersi¯ ca b le d e tip o d e ca m b io : d ifu si¶o n y sa lto s d e P o isso n
8 8 .2 .1 P re c io s y a c tiv o s Considere una econom¶³a abierta y peque~n a con un individuo representativo con vida in¯nita en un mundo con un solo bien de consumo perecedero. Se supone que el bien es comerciable internacionalmente sin barreras arancelarias y que su precio dom¶e stico, P t , est¶a determinado por la paridad de poder de compra (PPP) , a saber, P t = P t¤ E t , donde P t¤ es el precio en moneda extranjera del bien en el resto del mundo y E t es el tipo de cambio nominal. En lo que sigue, por simplicidad, se supone que P t¤ es igual a 1. Tambi¶e n, se supone que el tipo de cambio inicial, E 0 , es conocido e igual a 1. Por u¶ ltimo, es importante recordar que la restricci¶o n PPP es una condici¶o n de equilibrio de largo plazo. Se supone que el n¶u mero de saltos, extremos e inesperados, en el tipo de cambio por unidad de tiempo sigue un proceso de Poisson q t con intensidad ¸ , es decir, IPf un salto unitario durante dtg = IPf dq t = 1g = ¸ dt y IPf ning¶u n salto durante dtg = IPf dq t = 0g = 1 ¡ ¸ dt + o (dt) : En consecuencia, E[dq t ] = Var[dq t ] = ¸ dt:
(88:1)
El n¶u mero inicial de saltos se supone igual a cero, esto es, q 0 = 0. Por u¶ ltimo, es importante recordar que o (dt) signi¯ca o (dt) = dt ! 0 cuando dt ! 0. Se supone que el consumidor representativo percibe que la tasa de depreciaci¶o n esperada del tipo de cambio, dE t = E t , y en consecuencia la tasa de in°aci¶o n esperada, dP t = P t , debido a la PPP, sigue un movimiento geom¶e trico Browniano con saltos de Poisson, espec¶³¯camente, dE t dP t = = ²dt + ¾ dW Et Pt
t
+ º dq t ;
(88:2)
donde el par¶ametro de tendencia, ², es la tasa de depreciaci¶o n media esperada condicionada a que no haya saltos, ¾ es la volatilidad instant¶anea de la tasa esperada de depreciaci¶o n, º es el tama~n o medio del salto en la tasa de depreciaci¶o n y (W t ) es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯jo de probabilidad equipado con su ¯ltraci¶o n aumentada, ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;T ];IP) . As¶³, dW t es una variable aleatoria distribuida normalmente con E[dW t ] = 0
(88:3)
Var[dW t ] = dt:
(88:4)
y Los procesos estoc¶asticos dW
t
y dq t se suponen no correlacionados, es decir, Cov(dW t ;dq t ) = 0:
Observe que la esperanza y la varianza, por unidad de tiempo, de la depreciaci¶o n esperada del tipo de cambio est¶an dadas, respectivamente, por · ¸ dE t 1 E = ² + º¸ E t dt y Var
· ¸ dE t 1 p = ¾ 2 + º2¸ : Et dt
En lo que sigue, ser¶a conveniente introducir un nuevo par¶ametro, el inverso de la volatilidad tambi¶e n llamado precisi¶o n, · = 1= ¾ . Dado que el inter¶e s espec¶³¯co de este modelo es cuanti¯car los efectos en el consumo y en las decisiones de portafolio de los agentes por cambios en ², · , ¸ y º , se supondr¶a que todas ellas son constantes positivas. El consumidor mantiene dos activos reales: saldos monetarios reales, m t = M t = P t , donde M t es dinero nominal y un bono real internacional, k t . El bono paga una tasa de inter¶e s real
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8 8 . R iesg o n o d iv ersi¯ ca b le d e tip o d e ca m b io : d ifu si¶o n y sa lto s d e P o isso n
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constante r (i.e., el bono paga r k t unidades del bien de consumo por unidad de tiempo) . De esta manera, la riqueza real del consumidor, a t , queda de¯nida por at = m
t
+ k t;
(88:5)
donde a 0 es determinada ex¶o genamente. Adem¶as, se supone que el resto del mundo no posee moneda dom¶e stica. Considere ahora una restricci¶o n \cash-in-advance" , de Clower 2 , m
t
= ® c t;
(88:6)
donde c t es el consumo y ® > 0 es el tiempo que el dinero debe mantenerse para ¯nanciar el consumo. La condici¶o n (88.6) es crucial para conectar el tipo de cambio con el consumo, ya que m t = M t= P t = M t= E t. La tasa estoc¶astica de rendimiento sobre los saldos monetarios reales, dr m , es simplemente el cambio porcentual del precio del dinero en t¶e rminos de bienes. Mediante la aplicaci¶o n del lema de It^o para procesos mixtos de difusi¶o n con saltos al inverso del nivel general de precios, con (88.2) como el proceso subyacente (ver Ap¶e ndice 88.C, f¶o rmula (88.C.2) ) , se obtiene dr m = P t d
³1 ´ Pt
= (¡ ² + ¾ 2 ) dt ¡ ¾ dW t +
³ 1 ´ ¡ 1 dq t : 1+º
(88:7)
En lo que resta del modelo, se supone que ² ¸ ¾ 2 .
8 8 .2 .2 P ro b le m a d e d e c isi¶o n d e l c o n su m id o r La ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica de acumulaci¶o n de la riqueza real del consumidor, en t¶e rminos de las participaciones de cada activo en el portafolio, w t = m t = a t , 1 ¡ w t = k t = a t , as¶³ como del consumo, c t , est¶a dada por da t = a t w t dr m + a t (1 ¡ w t ) r dt ¡ c t dt;
(88:8)
con a 0 determinada ex¶o genamente. Para evitar complicaciones t¶e cnicas innecesarias, no se incluye en (88.8) un t¶e rmino que represente el salario real del consumidor. Si se sustituyen (88.6) y (88.7) en (88.8) , se obtiene h ³1 + º (1 ¡ w ) ´ i t da t = a t (r ¡ ½ w t ) dt ¡ w t ¾ dW t + ¡ 1 dq t ; 1+º
(88:9)
donde ½ = ® ¡ 1 + r + ² ¡ ¾ 2: La funci¶o n de utilidad esperada del tipo von Neumann-Morgenstern al tiempo t = 0, V 0 , de un consumidor adverso al riesgo se supone de la forma V0 = E
·Z 1 0
ln(c t ) e
¡ rt
¯ ¸ ¯ ¯ dt ¯F 0 :
(88:10)
Observe que la tasa subj etiva de descuento del agente es igual a la tasa de inter¶e s real internacional, r , la cual se supone constante. Se considera, en particular, la funci¶o n de utilidad logar¶³tmica a ¯n de obtener soluciones cerradas que hagan el modelo anal¶³ticamente m¶as tratable. 2 R o b ert W . C lo w er (1 9 2 6 -). E n 1 9 6 7 in tro d u ce la co n d ici¶o n \ ca sh -in -a d v a n ce" co m o u n a ex p resi¶o n d e la restricci¶o n d e la d em a n d a efectiv a en su a rt¶³cu lo \ A R eco n sid era tio n o f th e M icro fo u n d a tio n s o f M o n eta ry T h eo ry " .
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8 8 .3 E q u ilib rio d e l c o n su m id o r En esta secci¶o n se establece la condici¶o n necesaria de un m¶aximo para el problema de control ¶o ptimo estoc¶astico que resuelve un consumidor racional. Si se sustituye ln(c t ) = ln(® ¡ 1 a t w t ) en el integrando de (88.10) y la expresi¶o n resultante se maximiza suj eto a la restricci¶o n de acumulaci¶o n de riqueza dada en (88.9) , la condici¶o n de primer orden para una soluci¶o n interior es (v¶e ase el Ap¶e ndice (88.A) ) r ¸º ¡ = ½ + w ¾ 2: w 1 + º (1 ¡ w )
(88:11)
En este caso, la utilidad logar¶³tmica conduce a un valor o¶ ptimo w ¤ que depende solamente de los par¶ametros que determinan las expectativas de depreciaci¶o n, lo cual implica que w ¤ es constante. As¶³ pues, la proporci¶o n ¶o ptima de la riqueza que el agente asigna a la tenencia de saldos reales y, en virtud de la restricci¶o n \cash-in-advance" , la proporci¶o n ¶o ptima de la riqueza que se asigna al consumo, es constante e igual a w ¤ . De esta manera, la actitud del consumidor hacia el riesgo cambiario es independiente de su riqueza real. En otras palabras, el nivel de riqueza resultante en cualquier momento no es relevante para las decisiones de portafolio ni de consumo. Observe ahora que la ecuaci¶o n (88.11) es c¶u bica con una ra¶³z negativa y dos positivas, y s¶o lo una de ellas satisface 0 < w ¤ < 1. Para ver esto gr¶a¯camente, de¯na el lado izquierdo de (88.11) como ' (w ) : La funci¶o n ' (w ) tiene las siguientes propiedades: +
¡
' (0 ) = +1 ; ' (0 ) ³ r ³ ³³ 1 ´´ ' 1+ = 0; ' 1 + r+¸ º ' (+1 ) = 0
= ¡ 1 ; ' (1) = r ¡ ¸ º ; + ¡ ³³ 1´ ´ 1´ ´ =1 ; ' 1+ =¡1 ; º º y ' (¡ 1 ) = 0:
Con esta informaci¶o n es posible bosquejar la gr¶a¯ca de ' (w ) (v¶e ase la Gr¶a¯ca 88.1) . A partir de la de¯nici¶o n de ½ , es inmediato que ½ > r ¡ ¸ º , como se muestra en la Gr¶a¯ca 88.1. La l¶³nea recta ½ + w ¾ 2 , de¯nida en el lado derecho de (88.11) , intersecta ' (w ) tres veces. Justamente la intersecci¶o n que se encuentra en medio de¯ne el estado estacionario de la proporci¶o n ¶o ptima de la riqueza asignada al consumo w ¤ 2 (0;1) . Una w negativa implica un consumo negativo, lo cual carece de sentido. El caso donde w > 1 no es de inter¶e s en este cap¶³tulo. La Gr¶a¯ca 88.1 describe la determinaci¶o n del valor o¶ ptimo w ¤ cuando r ¡ ¸ º > 0. El lector puede inferir a partir de la Gr¶a¯ca 88.1 que si 0 > r ¡ ¸ º = ' (1) , entonces w ¤ sigue estando en el intervalo (0;1) .
Gr¶a¯ca 88.1 Determinaci¶o n de la w
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¤
¶o ptima.
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8 8 .4 C h o q u e s e x o¶ g e n o s e n lo s p a r¶a m e tro s q u e d e te rm in a n la s e x p e c ta tiv a s d e d e p re c ia c i¶o n En esta secci¶o n, a trav¶e s de ejercicios de est¶atica comparativa, se examina el impacto sobre la proporci¶o n ¶o ptima de la riqueza que se asigna al consumo por cambios en los par¶ametros que determinan las expectativas de depreciaci¶o n del tipo de cambio. El primer resultado relevante es que un incremento permanente en la tasa de depreciaci¶o n, resulta en un incremento en el costo de oportunidad futuro de los bienes de consumo, lo cual, a su vez, conlleva a una ca¶³da permanente en la proporci¶o n de riqueza asignada al consumo futuro. En otras palabras, un incremento permanente en ² conduce a una reducci¶o n en w ¤ , como se muestra en la Gr¶a¯ca 88.2. Para ver esto, es su¯ciente observar, en la Gr¶a¯ca 88.2, que ² 1 < ² 2 implica ½ 1 < ½ 2 , lo cual hace que la l¶³nea recta ½ + w ¾ 2 se traslade paralelamente hacia arriba, reduciendo con ello el valor del equilibrio de w 1¤ a w 2¤ . Alternativamente, si se deriva parcialmente (88.11) con respecto de ², se encuentra que @w ¤ = ¡ ¤; @² donde ¤=
·
r
(w ¤ ) 2
+
¸º2 +¾2 [1 + º (1 ¡ w ¤ ) ] 2
¸¡
1
> 0:
Observe tambi¶e n que un incremento permanente en el inverso de la volatilidad, · , producir¶a un efecto similar al de ² sobre w ¤ dado que @w ¤ = (1 ¡ w ¤ ) ¤ > 0 @¾2 y
@w ¤ @ w ¤ 2¾ =¡ < 0: @· @¾2 ·2
En este caso, el aumento en ½ , es debido a una reducci¶o n en ¾ 2 , lo cual traslada la l¶³nea recta ½ + w ¾ 2 hacia arriba. Al mismo tiempo, la pendiente de la recta ½ + w ¾ 2 disminuye por la reducci¶o n en ¾ 2 . El resultado ¯nal de estos movimientos es que w ¤ decrece. En otras palabras, el consumidor asigna una proporci¶o n mayor de su riqueza para ¯nanciar el consumo cuando hay un incremento en la volatilidad (futura) del precio del bien.
Gr¶a¯ca 88.2 Respuesta de w
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¤
ante un cambio permanente en ².
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Otro resultado relevante es la respuesta de la proporci¶o n de la riqueza que se asigna, en equilibrio, a la tenencia de saldos monetarios reales, w ¤ , a un cambio permanente en el par¶ametro de intensidad, ¸ . Un incremento permanente en el n¶u mero medio esperado de saltos en el tipo de cambio, por unidad de tiempo, causa un incremento en el costo de oportunidad futuro de los bienes de consumo. Esto reduce permanentemente la proporci¶o n de la riqueza asignada para consumo futuro. En otras palabras, un incremento en ¸ , de ¸ 1 a ¸ 2 , reducir¶a w ¤ , de w 1¤ a w 2¤ , como se representa en la Gr¶a¯ca 88.3. Similarmente, un incremento permanente en el tama~n o esperado de los saltos del tipo de cambio, º , reducir¶a w ¤ . Alternativamente, si se deriva parcialmente (88.11) con respecto de ¸ y º , respectivamente, se obtiene @w ¤ º¤ =¡ < 0 @¸ 1 + º (1 ¡ w ¤ ) y @w ¤ ¸¤ =¡ < 0: @º [1 + º (1 ¡ w ¤ ) ] 2
Gr¶a¯ca 88.3 Respuesta de w
¤
ante cambios permanentes en ¸ .
8 8 .5 C h o q u e s e x o¶ g e n o s e n e l b ie n e sta r e c o n o¶ m ic o A continuaci¶o n se eval¶u an los efectos sobre el bienestar econ¶o mico cuando se presentan cambios en los par¶ametros que determinan las expectativas de depreciaci¶o n. Como es usual, el criterio de bienestar, W , del individuo representativo es el valor m¶aximo que la utilidad puede tomar, I (a 0 ;0) , partiendo de una riqueza real inicial, a 0 . As¶³, el bienestar econ¶o mico est¶a dado por (v¶e ase el Ap¶e ndice 88.A) :
W (²;· ;¸ ;º ; a 0 ) =
1 1 h [1 + ln(a 0 ® ¡ 1 w ¤ ) ] ¡ 2 ½ w r r
¤
+ 12 (w ¤ ¾ ) 2 ¡ ¸ ln
³1 + º (1 ¡ w ¤ ) ´i : 1+º
El Cuadro 88.1 resume los impactos sobre el bienestar de cambios permanentes en la tasa promedio esperada de depreciaci¶o n, el inverso de la volatilidad, la probabilidad de depreciaci¶o n y el
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tama~n o medio esperado de un salto en el tipo de cambio. Incremento en
Efecto sobre el bienestar ¡ rw 2 < 0
² · ¸ º
¡ r12 [w (1 ¡ 12 w ) ] 2¾ ·2 < 0 μ ¶ 1 ln 1 + º (1 ¡ w ) < 0 r2 1+º · ¸ ¸w ¡ r12 < 0 (1 + º ) (1 + º (1 ¡ w ) )
Cuadro 88.1 Efectos de cambios de pol¶³tica sobre el bienestar econ¶o mico.
8 8 .6 T ra y e c to ria s d e riq u e z a y c o n su m o A continuaci¶o n se obtiene el proceso estoc¶astico que genera la riqueza del consumidor cuando la regla ¶o ptima (88.11) es aplicada. Despu¶e s de sustituir la participaci¶o n ¶o ptima w ¤ en (88.9) , se obtiene da t = a t
h³
´ ³1 + º (1 ¡ w ¤ ) ´ i ¸ºw ¤ + (w ¤ ¾ ) 2 dt ¡ w ¤ ¾ dW t + ¡ 1 dq t : ¤ 1 + º (1 ¡ w ) 1+º
(88:12)
La soluci¶o n de esta ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica, condicionada a a 0 , es (v¶e ase Ap¶e ndice 88.C, f¶o rmula (88.C.3) ) a t = a 0 e ±t ; (88:13) donde ± t = ´ t + ° t;
´ t » N [F (w ¤ ) t;G (w ¤ ) t] ; ° t = H (w ¤ ) q t y q t » P (¸ t)
(88:14)
y los componentes estacionarios de los par¶ametros de las distribuciones anteriores son: F (w ¤ ) =
¸ºw ¤ (w ¤ ¾ ) 2 + ; G (w ¤ ) = (w ¤ ¾ ) 2 1 + º (1 ¡ w ¤ ) 2
y H (w ¤ ) = ln
³1 + º (1 ¡ w ¤ ) ´ : 1+º
Como de costumbre, q t » P (¸ t) denota una variable aleatoria Poisson con media ¸ t. Observe que E[± t ] = [F (w ¤ ) + H (w ¤ ) ¸ ] t y Var[± t ] = [G (w ¤ ) + [H (w ¤ ) ] 2 ¸ ] t: (88:15) Aunque F (w ¤ ) es siempre positiva y H (w ¤ ) es siempre negativa para todo 0 < w ¤ < 1, la media de ± t , E[± t ] , permanece positiva. En efecto, dado que x ¡ 1¡ log(x ) ¸ 0 es v¶alida x > 0, se sigue que μ ¶ ºw ¤ 1+º ¡ ln ¸ 0: 1 + º (1 ¡ w ¤ ) 1 + º (1 ¡ w ¤ ) En virtud de la ecuaci¶o n (88.13) , el proceso estoc¶astico del consumo puede ser escrito como c t¤ = ® ¡ 1 w ¤ a 0 e ± t :
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(88:16)
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En ausencia de mercados de productos derivados que cubran contra el riesgo cambiario, el resultado anterior indica la presencia de un efecto riqueza debido a la incertidumbre en ± t , pues dicha incertidumbre modi¯ca el conjunto de oportunidades que enfrenta el consumidor. Por otra parte, el riesgo cambiario tambi¶e n afecta las participaciones en portafolio a trav¶e s de w ¤ . De esta manera, cambios en los par¶ametros que determinan las expectativas de depreciaci¶o n est¶an acompa~n ados tanto por un efecto ingreso como por un efecto sustituci¶o n en el consumo. Por otro lado, es importante destacar que el consumo es una variable aleatoria. Por lo tanto, s¶o lo es posible calcular la probabilidad de que tome valores en alg¶u n intervalo. Observe tambi¶e n que debido a la desigualdad de Jensen el consumo promedio satisface: E[c ¤t ] ¸ ® ¡ 1 w ¤ a 0 e E [± t ]: Adem¶as, puede mostrarse que · ¸ @ E[± t ] ¸º2 ¤ 2 ¡1< =¡! ¤ + ¾ < 0: @² [1 + º (1 ¡ ! ¤ ) ] 2 En otras palabras, un incremento en la tasa media esperada de depreciaci¶o n, ², causa una reducci¶o n en la media de ± t , E[± t ] . Es tambi¶e n importante notar, en relaci¶o n con (88.10) y (88.16) , que el supuesto de que la tasa subj etiva de descuento es igual a la tasa de inter¶e s mundial no asegura un estado estacionario del nivel de consumo. No obstante, se tiene un estado estacionario, w ¤ , de la proporci¶o n de la riqueza que se asigna al consumo. Vale la pena revisar el caso determin¶³stico, i:e :; ¾ = ¸ = 0. En este marco, se tiene que el consumo ¶o ptimo es independiente de la tasa de depreciaci¶o n. Baj o el supuesto de una funci¶o n de utilidad logar¶³tmica, se puede mostrar que c ¤ ¤ (²) =
ra 0 : 1 + ® (r + ²)
Al comparar el valor de arriba con (88.16) , se tiene que c ¤ ¤ (²) es el estado estacionario de consumo. En contraste con el marco estoc¶astico propuesto, c ¤t muestra un comportamiento din¶amico. Es importante destacar que el modelado de la incertidumbre con procesos mixtos de difusi¶o n con saltos es la clave para racionalizar din¶amicas de consumo m¶as interesantes que no pueden ser obtenidas a partir de modelos deterministas.
8 8 .7 D in e ro e n la fu n c i¶o n d e u tilid a d En esta secci¶o n se incluye dinero directamente en la funci¶o n de utilidad. 3 La utilidad esperada al tiempo t = 0, V 0 , ahora toma la forma: Z1 V 0 = E0 [u (c t ) + v (m t ) ] e ¡ r t dt; (88:17) 0
donde u (c t ) = μ ln(c t ) y v (m t ) = ln(m t ) . Observe que el consumo y los saldos monetarios reales son independientes en el sentido de Pareto-Edgeworth. En este caso, la acumulaci¶o n de riqueza estoc¶astica en t¶e rminos de consumo y las participaciones de los diferentes activos en el portafolio del agente se convierte en h ³1 + º (1 ¡ w ) ´ i t da t = a t (r ¡ Á w t ) dt ¡ w t ¾ dW t + ¡ 1 dq t ¡ c t dt; (88:18) 1+º donde Á = r + ² ¡ ¾ 2 . Las condiciones de primer orden para una soluci¶o n interior del problema de maximizaci¶o n de (88.17) suj eto a (88.18) est¶an dadas por (v¶e ase el Ap¶e ndice 88.B) : · ¸ 1+μ v 0(m t ) 1 ¡ ºw 0 2 u (c t ) = y = r + ² ¡ (1 ¡ w ) ¾ + ¸ 1 ¡ : (88:19) ra t u 0(c t ) 1 + º (1 ¡ w ) 3 M ig u el S id ra u sk i (1 9 3 9 -1 9 6 8 ), en su a rt¶³cu lo \ R a tio n a l C h o ice a n d P a ttern s o f G ro w th in a M o n eta ry E co n o m y " , escrito en 1 9 6 7 , reto m a el m o d elo d e C a ss (1 9 6 5 ) y K o o p m a n s (1 9 6 5 ) p a ra in tro d u cir d in ero en la fu n ci¶o n d e u tilid a d , p o r su s serv icio s d e liq u id ez, a ¯ n d e estu d ia r el crecim ien to d e u n a eco n o m ¶³a en d o n d e lo s a g en tes in clu y en n o s¶o lo ca p ita l, sin o ta m b i¶e n d in ero en su s d ecisio n es d e p o rta fo lio .
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Observe que la segunda condici¶o n en (88.19) puede ser escrita como r ¸º ¡ = Á + w ¾ 2; (1 + μ ) w 1 + º (1 ¡ w )
(88:20)
la cual coincide con el caso de una restricci¶o n \cash-in-advance" , dada en (88.11) , excepto por el factor 1= (1 + μ ) que ahora aparece en el primer t¶e rmino del lado izquierdo de (88.20) . Por lo tanto, el mismo an¶alisis de las secciones previas puede ser aplicado para la determinaci¶o n de las proporciones ¶o ptimas de la riqueza que se asignan a los activos que conforman el portafolio. La segunda condici¶o n en (88.19) iguala la utilidad marginal del dinero, normalizada por la utilidad marginal del consumo, con el costo marginal de los saldos monetarios reales. Esta condici¶o n expl¶³citamente muestra c¶o mo el costo de oportunidad de la tenencia de dinero es afectada por la incertidumbre, i.e., por los peque~n os cambios en la tasa de depreciaci¶o n, los cuales est¶an siempre presentes y por movimientos extremos en el tipo de cambio, los cuales ocurren ocasionalmente. Si, como antes, se supone que ² ¸ ¾ 2 , entonces el costo de oportunidad por la tenencia de saldos monetarios reales permanece positivo. M¶as importante a¶u n, la funci¶o n de utilidad logar¶³tmica implica que el valor o¶ ptimo w ¤ depende s¶o lo de los par¶ametros que determinan las expectativas de depreciaci¶o n y las preferencias de los agentes, como se muestra en (88.20) , y por lo tanto w ¤ es constante y estrictamente positiva. En otras palabras, la disposici¶o n del consumidor frente al riesgo cambiario es independiente de su riqueza. Por u¶ ltimo, observe que el supuesto de que la tasa subj etiva de descuento es igual a la tasa de inter¶e s mundial no asegura un nivel de consumo de estado estacionario.
8 8 .8 C o n c lu sio n e s Se ha desarrollado un modelo estoc¶astico de riesgo de tipo de cambio no diversi¯cable. Una caracter¶³stica importante del modelo es que permite cuanti¯car el impacto sobre la proporci¶o n ¶o ptima de la riqueza que se asigna a la tenencia de saldos reales y, por lo tanto, al consumo cuando cambian los par¶ametros que determinan las expectativas de depreciaci¶o n. Es importante destacar que los resultados obtenidos a trav¶e s del modelo propuesto dependen fuertemente del supuesto de utilidad logar¶³tmica, el cual es un caso l¶³mite de la familia de funciones de utilidad con aversi¶o n relativa constante al riesgo. La funci¶o n de utilidad logar¶³tmica permite la obtenci¶o n de soluciones expl¶³citas que permiten examinar de manera sencilla los efectos en las decisiones del consumidor de la incertidumbre en el tipo de cambio. El modelo es obviamente simple y puede ser extendido en varias direcciones para ganar alguna generalidad: 1) incluir una restricci¶o n presupuestal estoc¶astica para el gobierno y transferencias gubernamentales y 2) incluir tanto bienes no comerciables como durables. De esta manera los supuestos ser¶³an m¶as realistas con resultados ciertamente m¶as ricos.
A p ¶e n d ic e 8 8 .A C o n d ic io n e s d e p rim e r o rd e n d e l p ro b le m a d e d e c isi¶o n d e l c o n su m id o r (re stric c i¶o n \ c a sh -in -a d v a n c e " ) La ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman para un problema de control ¶o ptimo estoc¶astico (88.10) , con ln(c t ) = ln(® ¡ 1 a t w t ) , suj eto a (88.9) es: n maxH (w t ; a t ;t) ´ max ln(® ¡ 1 a t w t ) e ¡ r t + I a (a t ;t) a t (r ¡ ½ w t ) + I t (a t ;t) w w (88:A:1) h ³ ³1 + º (1 ¡ w ) ´ ´ io t + 12 I a a (a t ;t) a 2t w t2 ¾ 2 + ¸ I a t ;t ¡ I (a t ;t) = 0; 1+º donde I (a t ;t) = max E t w
·Z 1
³ ´ ln ® ¡ 1 a t w t e ¡
t
rs
¯ ¸ ¯ ¯ ds ¯F t
es la funci¶o n de utilidad indirecta del agente (o funci¶o n de bienestar econ¶o mico) e I a (a t ;t) es la variable de co-estado. La condici¶o n de primer orden para una soluci¶o n interior es: H
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w
= 0:
(88:A:2)
3/5/08 7:25:33 PM
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Dado el factor de descuento exponencial en la utilidad total esperada, en (88.10) , se postula como soluci¶o n de (88.A.1) una funci¶o n en variables separables: I (a t ;t) = e ¡
rt
[¯ 1 ln(a t ) + ¯ 0 ] ;
(88:A:3)
donde ¯ 0 y ¯ 1 son par¶ametros por determinar a partir de (88.A.1) . Si se sustituye (88.A.3) en (88.A.1) , y se calculan las condiciones de primer orden en (88.A.2) , se tiene que 1 ¸º ¡ = ½ +w ¾2 ¯1w 1 + º (1 ¡ w )
(88:A:4)
y w t ´ w es invariante en el tiempo. Los coe¯cientes ¯ 0 y ¯ 1 son determinados despu¶e s de sustituir w ¤ en (88.A.1) . De esta manera, ¯ 1 = r ¡ 1 y ¯0 =
1 1 h [1 + ln(® ¡ 1 w ¤ ) ] ¡ 2 ½ w r r
¤
+ 12 (w ¤ ¾ ) 2 ¡ ¸ ln
³1 + º (1 ¡ w ¤ ) ´i : 1+º
Existe tambi¶e n una condici¶o n de transversalidad que debe ser satisfecha lim I (a t ;t) = 0:
t! 1
La ecuaci¶o n (88.A.4) es c¶u bica con una ra¶³z negativa y dos positivas, y s¶o lo una de ellas satisface 0 < w ¤ < 1, tal y como se representa en la Gr¶a¯ca 88.1.
A p ¶e n d ic e 8 8 .B C o n d ic io n e s d e p rim e r o rd e n d e l p ro b le m a d e d e c isi¶o n d e l c o n su m id o r c u a n d o h a y d in e ro e n la fu n c i¶o n d e u tilid a d La ecuaci¶o n Hamilton-Jacobi-Bellman para un problema de maximizaci¶o n de (88.17) suj eto a (88.18) es: n max H (c t ;w t ; a t ;t) ´ max [μ ln(c t ) + ln(a t w t ) ] e ¡ c;w
rt
c;w
+ I a (a t ;t) a t (r ¡ Á w t )
¡ I a (a t ;t) c t + I t (a t ;t) + 21 I a a (a t ;t) a t2 w t2 ¾ 2 h ³ ³1 + º (1 ¡ w ) ´ ´ io t + ¸ I at ;t ¡ I (a t ;t) = 0: 1+º
(88:B:1)
Las condiciones de primer orden (necesarias) para una soluci¶o n interior son: H
c
=0
y H
w
= 0:
(88:B:2)
En este caso, se postula como soluci¶o n de (88.B.1) a I (a t ;t) = e ¡ r t [¯ 1 ln(a t ) + ¯ 0 ] ; donde ¯ 0 y ¯ 1 se determinan a partir de (88.B.1) . Si se sustituye I (a t ;t) en (88.B.1) , y se calculan las condiciones de primer orden expresadas en (88.B.2) , se tiene que ct =
μat ; ¯1
1 ¸º ¡ = Á +w ¾2 ¯ 1w 1 + º (1 ¡ w )
(88:B:3)
y w t ´ w es invariante en el tiempo. Los coe¯cientes ¯ 0 y ¯ 1 se determinan despu¶e s de sustituir los controles ¶o ptimos en (88.B.1) . De esta manera, ¯ 1 = (1 + μ ) r ¡ 1 y ¯0 =
³ μr ´ i 1+μh 1h 1 + μ ln + ln(w ¤ ) ¡ Áw r 1+μ r2
¤
+ 12 (w ¤ ¾ ) 2 ¡ ¸ ln
³1 + º (1 ¡ w ¤ ) ´i : 1+º
La segunda ecuaci¶o n en (88.B.3) tiene las mismas propiedades que la de (88.A.4) . Existe una condici¶o n de transversalidad similar a la que aparece en el Ap¶e ndice 88.A que debe ser satisfecha.
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A p ¶e n d ic e 8 8 .C L e m a d e It^o p a ra p ro c e so s m ix to s d e d ifu si¶o n y sa lto s En este ap¶e ndice se establecen, sin demostraci¶o n, dos resultados u¶ tiles en el desarrollo del presente cap¶³tulo: 1) Lema de It^o para procesos mixtos de difusi¶o n y saltos. Dada una ecuaci¶o n lineal diferencial estoc¶astica homog¶e nea dx t = x t (¹ dt + ¾ dW t + º dq t ) (88:C:1) y g (x t ) con segunda derivada continua, entonces la diferencial estoc¶astica de g (x t ) est¶a dada por dg (x t ) = [g x (x t ) ¹ x t + 21 g x x (x t ) ¾ 2 x 2t ] dt + g x (x t ) ¾ x t dW
t
+ [g (x t (1 + º ) ) ¡ g (x t ) ] dq t : (88:C:2)
2) La soluci¶o n de (88.C.1) est¶a dada por ½ x t = x 0 exp (¹ ¡
1 2
2
¾ )t + ¾
Zt
dW
u
+ ln(1 + º )
0
Zt
dq u
¾
:
(88:C:3)
0
Es tambi¶e n importante tener en mente, cuando se utiliza (88.C.3) , que las siguientes propiedades de W t y q t se mantienen, para t ¸ 0, E
·Z t
dW
u
0
"μZ ¯ ¸ t ¯ ¯F 0 = 0; E dW ¯ 0
¶2 ¯ # ·Z t ¯ ¯ F = t y E dq u u ¯ 0 0
¯ ¸ ¯ ¯F 0 = ¸ t: ¯
8 8 .9 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Cont, R. and P. Tankov (2004) . Financial Modelling with Jump Processes. Chapman & Hall/ CRC, London. Gonz¶alez-Ar¶e chiga, B., J. D¶³az-Tinoco y F. Venegas-Mart¶³nez (2001) . \Riesgo cambiario, brecha de madurez y cobertura con futuros: an¶alisis local y de valor en riesgo" . E co n o m ¶³a M exica n a , N u eva E¶ poca , Vol. 10, No. 2, pp. 259-290. Venegas-Mart¶³nez, F. (2000) . \On Consumption, Investment, and Risk" . E co n o m ¶³a M exica n a , N u eva E¶ poca , Vol. 9, No. 2, pp. 227-244. Venegas-Mart¶³nez, F. y B. Gonz¶alez-Ar¶e chiga (2000) . \Mercados ¯nancieros incompletos y su impacto en los programas de estabilizaci¶o n de precios: el caso mexicano" . M o m en to E co n o¶ m ico , No. 111, pp. 20-27. Venegas-Mart¶³nez, F. (2001) . \Temporary Stabilization: A Stochastic Analysis" . J o u rn a l o f E co n o m ic D y n a m ics a n d C o n tro l, Vol. 25, No. 9, pp. 1429-1449. Venegas-Mart¶³nez, F. (2004) . \Reforma ¯scal incierta y sus efectos en consumo, inversi¶o n y bienestar" . P ro blem a s d el D esa rro llo , R evista L a tin oa m erica n a d e E co n o m ¶³a , No. 136, pp. 137-150. Venegas-Mart¶³nez, F. (2005) . Administraci¶o n de riesgo macroecon¶o mico. D en a riu s, R evista d e A d m in istra ci¶o n y E co n o m ¶³a , No. 8, por aparecer.
8 8 .1 0 E je rc ic io s 8 8 .1 Obtenga la ecuaci¶o n (88.7) dr m = P t d
³1 ´ Pt
= (¡ ² + ¾ 2 ) dt ¡ ¾ dW t +
³ 1 ´ ¡ 1 dq t : 1+º
(88:7)
S o lu ci¶o n : Con el prop¶o sito de obtener (88.7) , se recurre al Ap¶e ndice 88.C. Este ap¶e ndice establece el lema de It^o para procesos mixtos de difusi¶o n con saltos. Dada una ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica lineal homog¶e nea dx t = x t (¹ dt + ¾ dW
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t
+ º dq t )
(88:C:1)
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con g (x t ) dos veces continuamente diferenciable, entonces la diferencial estoc¶astica de g (x t ) est¶a dada por dg (x t ) = [g x (x t ) ¹ x t + 12 g x x (x t ) ¾ 2 x 2t ] dt + g x (x t ) ¾ x t dW
t
+ [g (x t (1 + º ) ) ¡ g (x t ) ] dq t : (88:C:2)
Denote x (t) = P t , g (x t ) = g (P t ) = 1= P t , y ¹ = ². En este caso, se tiene que la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica dP t = ²dt + ¾ dW t + º dq t (88:D:2) Pt es equivalente a (88.C.1) . A partir de (88.C.2) , se sigue que d
μ
1 Pt
¶
= dg (x t ) = [g x (x t ) ¹ x t + 21 g x x (x t ) ¾ 2 x 2t ] dt + g x (x t ) ¾ x t dW t + [g (x t (1 + º ) ) ¡ g (x t ) ] dq t · μ ¶ μ ¶ ¸ μ ¶ · ¸ 1 2 1 1 1 2 2 1 = ¡ ²P t + 2 ¾ P t dt ¡ ¾ P t dW t + ¡ dq t P t2 P t3 P t2 P t (1 + º ) Pt μ ¶ ¢ 1 ¡ 1 1 1 = ¡ ² + ¾ 2 dt ¡ ¾ dW t + ¡ 1 dq t ; Pt Pt Pt 1+º
lo cual implica (88.7) . 8 8 .2 Obtenga la ecuaci¶o n (88.9) h ³1 + º (1 ¡ w ) ´ i t da t = a t (r ¡ ½ w t ) dt ¡ w t ¾ dW t + ¡ 1 dq t ; 1+º
(88:9)
donde ½ = ® ¡ 1 + r + ² ¡ ¾ 2 . S o lu ci¶o n : La acumulaci¶o n estoc¶astica de la riqueza real del consumidor tanto en t¶e rminos de las participaciones en el portafolio, w t = m t = a t , 1 ¡ w t = k t = a t , como de consumo, c t , est¶a dada por da t = a t w t dr m + a t (1 ¡ w t ) r dt ¡ c t dt: (88:8) Si se sustituyen (88.6) y (88.7) en la ecuaci¶o n anterior, se obtiene · ³ 1 ´ ¸ da t = a t w t d (¡ ² + ¾ 2 ) dt ¡ ¾ dW t + ¡ 1 dq t + a t (1 ¡ w t ) r dt ¡ ® ¡ 1 w t a t dt 1+º · ³ 1 ´ ¸ w ta t = a t d (¡ ² + ¾ 2 ) w t dt ¡ w t ¾ dW t + w t ¡ 1 dq t + a t r dt ¡ a t w t r dt ¡ dt 1+º ® · ³ 1 ´ ¸ = a t d ¡ (² ¡ ¾ 2 ) w t dt ¡ w t ¾ dW t + w t ¡ 1 dq t + a t r dt ¡ a t (r + ® ¡ 1 ) w t dt 1+º h ³1 + º (1 ¡ w ) ´ i t = a t [r ¡ (² ¡ ¾ 2 + r + ® ¡ 1 ) w t ] dt ¡ w t ¾ dW t + ¡ 1 dq t 1+º h ³1 + º (1 ¡ w ) ´ i t = a t [r ¡ ½ w t ] dt ¡ w t ¾ dW t + ¡ 1 dq t 1+º donde ½ = ® ¡ 1 + r + ² ¡ ¾ 2 . 8 8 .3 Obtenga la ecuaci¶o n (88.11) r ¸º ¡ = ½ + w ¾ 2: w 1 + º (1 ¡ w )
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(88:11)
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S o lu ci¶o n : Utilice el Ap¶e ndice 88.A que establece la ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman para el problema de control ¶o ptimo de maximizar (88.10) suj eto a (88.9) : n maxH (w t ; a t ;t) ´ max ln(® ¡ 1 a t w t ) e ¡ r t + I a (a t ;t) a t (r ¡ ½ w t ) + I t (a t ;t) w w (88:A:1) h ³ ³1 + º (1 ¡ w ) ´ ´ io t + 12 I a a (a t ;t) a 2t w t2 ¾ 2 + ¸ I a t ;t ¡ I (a t ;t) = 0; 1+º donde I (a t ;t) = max E w
·Z 1 t
³ ´ ln ® ¡ 1 a t w t e ¡
rs
¯ ¸ ¯ ds ¯ ¯F t
es la funci¶o n de utilidad indirecta e I a (a t ;t) es la variable de co-estado. La condici¶o n de primer orden para una soluci¶o n interior es: H
w
= 0:
(88:A:2)
Si se postula una soluci¶o n de (88.A.1) en variables separables de la forma I (a t ;t) = e ¡
rt
[¯ 1 ln(a t ) + ¯ 0 ] ;
(88:A:3)
donde ¯ 0 y ¯ 1 son constantes por determinar a partir (88.A.1) . Observe que despu¶e s de sustituir (88.A.3) en (88.A.1) , se sigue que μ ¶ n ¯1 max H (w t ; a t ;t) ´ max ln(® ¡ 1 a t w t ) e ¡ r t + a t (r ¡ ½ w t ) e ¡ r t w w at μ ¶ ¯1 ¡ r [¯ 1 ln(a t ) + ¯ 0 ] e ¡ r t ¡ 12 a 2t w t2 ¾ 2 e ¡ r t a t2 ³1 + º (1 ¡ w ) ´ o t + ¸ ¯ 1 ln e ¡ r t = 0; 1+º equivalentemente n max H (w t ; a t ;t) ´ max e ¡ w
¶o
h ln(® ¡ 1 a t w t ) + ¯ 1 (r ¡ ½ w t ) ¡ r [¯ 1 ln(a t ) + ¯ 0 ] w ³1 + º (1 ¡ w ) ´io t ¡ 12 ¯ 1 w t2 ¾ 2 + ¸ ¯ 1 ln =0 1+º rt
n max H (w t ; a t ;t) ´ max ln(® ¡ 1 a t w t ) + ¯ 1 (r ¡ ½ w t ) ¡ r [¯ 1 ln(a t ) + ¯ 0 ] w w ³1 + º (1 ¡ w ) ´o t ¡ 12 ¯ 1 w t2 ¾ 2 + ¸ ¯ 1 ln = 0: 1+º
Si ahora se calcula la condici¶o n de primer orden expresada en (88.A.2) , se tiene que 1 ¸º ¡ = ½ +w ¾2 ¯1w 1 + º (1 ¡ w )
(88:A:4)
y w t ´ w es invariante en el tiempo. Los coe¯cientes ¯ 0 y ¯ 1 se determinan cuando se sustituye w ¤ en la condici¶o n (88.A.1) . En este caso, se encuentra que ln(® ¡ 1 a t w ¤ ) + ¯ 1 (r ¡ ½ w ¤ ) ¡ r [¯ 1 ln(a t ) + ¯ 0 ] ¡ ³1 + º (1 ¡ w ¤ ) ´ + ¸ ¯ 1 ln =0 1+º ¶o (1 ¡ r ¯ 1 ) ln(a t ) ¡ r ¯ 0 + r ¯ 1 + ln ³1 + º (1 ¡ w ¤ ) ´¸ ¡ ¸ ln = 0; 1+º
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μ
w¤ ®
¶
· ¡ ¯ 1 ½w
1 2
¤
¯ 1 (w ¤ ) 2 ¾ 2
+ 12 (w ¤ ) 2 ¾ 2
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lo cual conduce a y ¯0 =
¯ 1 = r¡
1 1 h [1 + ln(® ¡ 1 w ¤ ) ] ¡ 2 ½ w r r
¤
1
+ 21 (w ¤ ¾ ) 2 ¡ ¸ ln
³1 + º (1 ¡ w ¤ ) ´i : 1+º
8 8 .4 Calcule las derivadas parciales de los ej ercicios de est¶atica comparativa de la secci¶o n 88.4, a saber 8 · ¸¡ 1 @w ¤ r ¸º2 > 2 > > = ¡ + + ¾ < 0; > > @² (w ¤ ) 2 [1 + º (1 ¡ w ¤ ) ] 2 > > > · ¸¡ 1 > > @w ¤ r ¸º2 > ¤ 2 > > > 0; < @ ¾ 2 = (1 ¡ w ) (w ¤ ) 2 + [1 + º (1 ¡ w ¤ ) ] 2 + ¾ · ¸¡ 1 > > @w ¤ º r ¸º2 2 > > =¡ + +¾ < 0; > > @¸ 1 + º (1 ¡ w ¤ ) (w ¤ ) 2 [1 + º (1 ¡ w ¤ ) ] 2 > > > · ¸¡ 1 > > > @w ¤ ¸ r ¸º2 > 2 : =¡ + + ¾ < 0: @º [1 + º (1 ¡ w ¤ ) ] 2 (w ¤ ) 2 [1 + º (1 ¡ w ¤ ) ] 2 S o lu ci¶o n : A partir de la condici¶o n (88.11) , se sigue que r w
¤
¡
¸º ¡ ® ¡ 1 ¡ r ¡ ² + ¾ 2 ¡ w ¤ ¾ 2 = 0: 1 + º (1 ¡ w ¤ )
La diferencial total de la expresi¶o n anterior conduce a r º ¸ dw ¤ ¡ d¸ ¡ dº (w ¤ ) 2 1 + º (1 ¡ w ¤ ) [1 + º (1 ¡ w ¤ ) ] 2 ¸º2 ¡ dw ¤ ¡ d² + d¾ 2 ¡ ¾ 2 dw ¤ ¡ w ¤ d¾ 2 = 0; [1 + º (1 ¡ w ¤ ) ] 2 ¡
es decir,
·
¸¡ 1 ¸º2 2 ¡ + +¾ dw ¤ ¡ d² (w ¤ ) 2 [1 + º (1 ¡ w ¤ ) ] 2 º ¸ ¡ d¸ ¡ dº + (1 ¡ w ¤ ) d¾ 2 = 0; 1 + º (1 ¡ w ¤ ) [1 + º (1 ¡ w ¤ ) ] 2 r
con lo cual se obtienen las derivadas parciales en cuesti¶o n.
8 8 .5 Calcule las derivadas parciales que se utilizaron para cuanti¯car el impacto en el bienestar econ¶o mico por cambios en los par¶ametros que determinan las expectativas de depreciaci¶o n del Cuadro 88.1, a saber, 8 > > @ W = ¡ w < 0; > > > @² r2 > > > @W 1 2¾ > 1 > > < @ · = ¡ r 2 [w (1 ¡ 2 w ) ] · 2 < 0; μ ¶ @w ¤ 1 1 + º (1 ¡ w ) > > = ln < 0; > > @¸ r2 1+º > > > · ¸ > @w ¤ > 1 ¸w > > =¡ 2 < 0: : @º r (1 + º ) (1 + º (1 ¡ w ) ) S o lu ci¶o n : A partir del Ap¶e ndice 88.A, se tiene que I (a t ;t) = e ¡
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rt
[¯ 1 ln(a t ) + ¯ 0 ] :
(88:A:3)
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Tambi¶e n, se sabe que y ¯0 =
¯ 1 = r¡
1 1 h [1 + ln(® ¡ 1 w ¤ ) ] ¡ 2 ½ w r r
¤
1
+ 21 (w ¤ ¾ ) 2 ¡ ¸ ln
³1 + º (1 ¡ w ¤ ) ´i : 1+º
Por lo tanto, n1 1 ln(a t ) + [1 + ln(® ¡ 1 w ¤ ) ] r r ³1 + º (1 ¡ w ¤ ) ´io 1 h ¤ 1 ¤ 2 ¡ 2 ½ w + 2 (w ¾ ) ¡ ¸ ln : r 1+º
I (a t ;t) =e ¡
rt
El criterio de bienestar econ¶o mico, W , del agente representativo es la utilidad maximizada comenzando con la riqueza inicial a 0 . En consecuencia, 1 W (²;· ;¸ ;º ; a 0 ) ´ I (a 0 ;0) = [1 + ln(a 0 ) + ln(® ¡ 1 w ¤ ) ] r ³1 + º (1 ¡ w ¤ ) ´i 1 h ¡ 2 ½ w ¤ + 21 (w ¤ ¾ ) 2 ¡ ¸ ln : r 1+º Al derivar parcialmente esta ecuaci¶o n con respecto de los par¶ametros que determinan la depreciaci¶o n del tipo de cambio se obtienen los resultados del Cuadro 88.1. 8 8 .6 Obtenga la ecuaci¶o n (88.13) a t = a 0 e ±t ;
(88:13)
donde ± t = ´ t + ° t;
´ t » N [F (w ¤ ) t;G (w ¤ ) t] ; ° t = H (w ¤ ) q t ; y q t » P (¸ t) ; F (w ¤ ) =
y
¸ºw ¤ (w ¤ ¾ ) 2 + ; G (w ¤ ) = (w ¤ ¾ ) 2 ¤ 1 + º (1 ¡ w ) 2 H (w ¤ ) = ln
S o lu ci¶o n : Sustituya w manera, da t = a t
¤
(88:14)
³1 + º (1 ¡ w ¤ ) ´ : 1+º
en la ecuaci¶o n estoc¶astica de acumulaci¶o n de la riqueza (88.9) . De esta
h³
´ ³1 + º (1 ¡ w ¤ ) ´ i ¸ºw ¤ + (w ¤ ¾ ) 2 dt ¡ w ¤ ¾ dW t + ¡ 1 dq t : ¤ 1 + º (1 ¡ w ) 1+º
(88:12)
La soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica anterior, condicional en a 0 , se obtiene del Ap¶e ndice 88.C, f¶o rmula (88.C.3) , la cual est¶a dada por ½ ¾ Zt Zt 1 2 x t = x 0 exp (¹ ¡ 2 ¾ ) t + ¾ dW u + ln(1 + º ) dq u ; (88:C:3) 0
0
donde dx t = x t (¹ dt + ¾ dW Ahora bien, si se denota (con alg¶u n 8 > > ¹ = > > > < ¾ 7! > > > > > : º 7!
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t
+ º dq t ) :
(88:C:1)
abuso de notaci¶o n) ¸ºw ¤ + (w ¤ ¾ ) 2 ; 1 + º (1 ¡ w ¤ ) ¡ w ¤¾; 1 + º (1 ¡ w ¤ ) ¡ 1; 1+º
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se tiene que (88.13) y (88.14) se siguen de (88.C.3) . 8 8 .7 Obtenga la ecuaci¶o n (88.22) 1+μ u (c t ) = ; ra t 0
· ¸ v 0(m t ) 1 ¡ ºw 2 = r + ² ¡ (1 ¡ w ) ¾ + ¸ 1 ¡ : u 0(c t ) 1 + º (1 ¡ w )
y
(88:22)
S o lu ci¶o n : Utilice el Ap¶e ndice 88.B. En este caso, la ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman para el problema de control ¶o ptimo de maximizar (88.20) suj eto a (88.21) est¶a dada por n max H (c t ;w t ; a t ;t) ´ max [u (c t ) + v (m t ) ] e ¡ r t + I a (a t ;t) a t (r ¡ Á w t ) c;w
c;w
¡ I a (a t ;t) c t + I t (a t ;t) + 12 I a a (a t ;t) a 2t w t2 ¾ 2 h ³ ³1 + º (1 ¡ w ) ´ ´ io t + ¸ I at ;t ¡ I (a t ;t) = 0; 1+º
(88:B:1)
donde u (c t ) = μ ln(c t ) y v (m t ) = ln(m t ) . Se postula una soluci¶o n de (88.B.1) de la forma I (a t ;t) = e ¡ r t [¯ 1 ln(a t ) + ¯ 0 ] ; donde ¯ 0 y ¯ 1 son constantes por determinar a partir de (88.B.1) . Si se sustituye I (a t ;t) en (88.B.1) , se tiene que μ ¶ n ¯1 max H (c t ;w t ; a t ;t) ´ max [u (c t ) + v (m t ) ] e ¡ r t + a t (r ¡ Á w t ) e ¡ r t c;w c;w at μ ¶ μ ¶ ¯1 1 ¯1 ¡ rt ¡ rt ¡ cte ¡ r [¯ 1 ln(a t ) + ¯ 0 ] e ¡ a t2 w t2 ¾ 2 e ¡ r t at 2 a t2 ³1 + º (1 ¡ w ¤ ) ´ o + ¸ ¯ 1 ln e ¡ r t = 0; 1+º equivalentemente, n max H (c t ;w t ; a t ;t) ´ max u (c t ) + v (m t ) + ¯ 1 (r ¡ Á w t ) c;w c;w μ ¶ ct ¡ ¯1 ¡ r [¯ 1 ln(a t ) + ¯ 0 ] ¡ 12 ¯ 1 w t2 ¾ 2 at ³1 + º (1 ¡ w ¤ ) ´o + ¯ 1 ¸ ln = 0: 1+º Si se calculan las condiciones de primer orden, se tiene que ¯1 u (c t ) = ; at 0
y
¶o ct =
v 0(m t ) = r + ² ¡ (1 ¡ w ) ¾ 2 ¡ ¸ u 0(c t ) μat ; ¯1
y
·
1 ¡ ºw ¡ 1 1 + º (1 ¡ w )
¸
1 ¸º ¡ = Á + w ¾ 2; ¯ 1w 1 + º (1 ¡ w )
donde Á = r + ² ¡ ¾ 2 . Los coe¯cientes ¯ 0 y ¯ 1 se obtienen al sustituir los controles ¶o ptimos en (88.B.1) . En este caso, μ ¶ ct μ ln(c t ) + ln(w ¤ a t ) + ¯ 1 (r ¡ Á w ¤ ) ¡ ¯ 1 ¡ r [¯ 1 ln(a t ) + ¯ 0 ] at ³1 + º (1 ¡ w ¤ ) ´ ¡ 21 ¯ 1 (w ¤ ) 2 ¾ 2 + ¯ 1 ¸ ln = 0; 1+º equivalentemente μ ¶ μ ¶ μat μ ¤ μ ln + ln(w a t ) + ¯ 1 r ¡ ¯ 1 Á w ¡ ¯ 1 ¡ r ¯ 1 ln(a t ) ¡ r ¯ 0 ¯1 ¯1 ³1 + º (1 ¡ w ¤ ) ´ ¡ 21 ¯ 1 (w ¤ ) 2 ¾ 2 + ¯ 1 ¸ ln = 0: 1+º
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Por lo tanto,
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μ ¶ rμ (1 + μ ¡ r ¯ 1 ) ln(a t ) + μ ln + ln(w ¤ ) + 1 ¡ r ¯ 0 1+μ · ³1 + º (1 ¡ w ¤ ) ´¸ ¡ ¯ 1 Á w ¤ + 21 ¯ 1 (w ¤ ) 2 ¾ 2 ¡ ¸ ln = 0: 1+º
En consecuencia,
¯ 1 = (1 + μ ) r ¡
y ¯0 =
1
³ μr ´ i 1h 1 + μ ln + ln(w ¤ ) r 1+μ h ³1 + º (1 ¡ w ¤ ) ´i 1+μ ¤ ¤ 2 1 ¡ Á w + (w ¾ ) ¡ ¸ ln : 2 r2 1+º
De esta manera, ct =
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μra t ; (1 + μ )
y
r ¸º ¡ = Á + w ¾ 2: (1 + μ ) w 1 + º (1 ¡ w )
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.
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C A P ¶IT U L O 89 R IE S G O N O D IV E R S IF IC A B L E D E T IP O D E C A M B IO Y P O L ¶IT IC A F IS C A L IN C IE R T A C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ²
Riesgo no diversi¯cable de tipo de cambio Pol¶³tica ¯scal incierta Control ¶o ptimo estoc¶astico Condici¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman Decisiones de consumo e inversi¶o n baj o incertidumbre
8 9 .1 In tro d u c c i¶o n En este cap¶³tulo se presenta un modelo que reconoce expl¶³citamente la incertidumbre tanto en la din¶amica del tipo de cambio como en el comportamiento esperado de la pol¶³tica ¯scal. Se supone que el tipo de cambio es conducido por una mezcla de procesos estoc¶asticos, espec¶³¯camente se combina un movimiento Browniano con un proceso de saltos de Poisson. Asimismo, se supone que la tasa impositiva sobre la riqueza sigue un movimiento geom¶e trico Browniano. Baj o este esquema, se supone que no existe un mercado de productos derivados para cubrirse contra depreciaciones futuras en el tipo de cambio. De esta manera, los mercados ¯nancieros son incompletos. Tambi¶e n se examinan, en el equilibrio, las decisiones de consumo y portafolio de un consumidor representativo. Por u¶ ltimo, se eval¶u an los efectos de choques ex¶o genos, tanto de las expectativas de depreciaci¶o n como de la pol¶³tica ¯scal, sobre el bienestar econ¶o mico. Se supone que los agentes tienen expectativas de depreciaci¶o n conducidas por un proceso combinado de difusi¶o n con saltos. En este contexto, los peque~n os movimientos del tipo de cambio, que est¶an siempre presentes, se modelan a trav¶e s de un movimiento Browniano y una depreciaci¶o n extrema y repentina (un salto en el tipo de cambio) , que ocasionalmente ocurre, se modela mediante un proceso de Poisson. La mezcla de un movimiento Browniano con un proceso de saltos proporciona una distribuci¶o n con colas pesadas y sesgo para el tipo de cambio, lo que permite producir din¶amicas m¶as realistas en el tipo de cambio que no pueden ser generadas utilizando u¶ nicamente el movimiento Browniano. Este hecho no s¶o lo es una so¯sticaci¶o n te¶o rica, sino un aspecto relevante que incorpora mayor realismo en el modelado del comportamiento del tipo de cambio. En un ambiente estoc¶astico, a¶u n m¶as rico, se supone una tasa impositiva incierta sobre la riqueza. En particular, la tasa impositiva de la riqueza sigue un movimiento geom¶e trico Browniano. En el modelo, que se desarrolla en el presente cap¶³tulo, la recaudaci¶o n no se regresa a los contribuyentes en forma alguna, sino que es gastada en compras improductivas del gobierno. Baj o el supuesto de agentes adversos al riesgo, se examina la din¶amica de equilibrio del consumo y la riqueza cuando la pol¶³tica ¯scal es incierta. En este contexto, tambi¶e n se discuten varios temas espec¶³¯cos de pol¶³tica econ¶o mica. Por ej emplo, se estudian los impactos sobre el consumo y el bienestar econ¶o mico debidos a cambios permanentes en los par¶ametros que determinan las expectativas, a saber: la tasa media esperada de depreciaci¶o n, la volatilidad instant¶anea del tipo de cambio, la probabilidad de una posible depreciaci¶o n, el tama~n o medio esperado de un posible salto en el tipo de cambio, el impuesto medio esperado a d va lo rem al consumo y el impuesto medio esperado sobre la riqueza. En resumen, los supuestos relevantes del modelo son: 1) los mercados de productos derivados ¯nancieros son inexistentes, 2) la recaudaci¶o n de impuestos no es retribuida a los agentes y 3) las variables de pol¶³tica econ¶o mica son estoc¶asticas. Asimismo, el modelo tiene varias caracter¶³sticas distintivas que le permiten examinar los efectos en el consumo de la incertidumbre cambiaria y ¯scal: 1) considera todos los factores de riesgo en la din¶amica del tipo de cambio, proporcionando
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8 9 . R iesg o n o d iv ersi¯ ca b le d e tip o d e ca m b io y p o l¶³tica ¯ sca l in cierta
as¶³ un ambiente estoc¶astico m¶as realista; 2) obtiene soluciones anal¶³ticas, haciendo m¶as f¶acil la comprensi¶o n de los efectos del riesgo cambiario; y 3) examina los efectos sobre las decisiones de consumo y portafolio de un impuesto incierto sobre la riqueza. Este cap¶³tulo se ha organizado de la siguiente manera. En la pr¶oxima secci¶o n se desarrolla el marco te¶o rico de un modelo estoc¶astico del tipo de Ramsey para una econom¶³a peque~n a y abierta que consume un solo bien y tiene una restricci¶o n \cash-in-advance" . En esta econom¶³a, los agentes tienen expectativas de depreciaci¶o n conducidas por un proceso combinado de difusi¶o n con saltos y pagan impuestos sobre la riqueza de acuerdo con un movimiento geom¶e trico Browniano. En la secci¶o n 3 se resuelve el problema de decisi¶o n del consumidor. En la secci¶o n 4 se llevan a cabo experimentos de est¶atica comparativa. En la secci¶o n 5 se examinan los efectos de la incertidumbre en el bienestar econ¶o mico. En la secci¶o n 6 se estudia el comportamiento din¶amico de la riqueza y del consumo. En la secci¶o n 7 se presentan las conclusiones y limitaciones del modelo. Dos ap¶e ndices contienen los detalles t¶e cnicos del problema del consumidor.
8 9 .2 M a rc o te o¶ ric o d e l m o d e lo Con el prop¶o sito de obtener soluciones anal¶³ticas en un modelo estoc¶astico del tipo de Ramsey, se mantendr¶a la estructura de la econom¶³a tan simple como sea posible. Se considera una econom¶³a peque~n a y abierta con agentes id¶e nticos de vida in¯nita. La econom¶³a produce y consume un solo bien perecedero.
8 9 .2 .1 D in ¶a m ic a d e l n iv e l d e p re c io s Se supone que el bien es comerciable internacionalmente y el nivel general de precios dom¶e sticos, P t , es determinado por la condici¶o n de poder de paridad de compra, a saber, P t = P t¤ e t , donde P t¤ es el precio en moneda extranj era del bien en el resto del mundo y e t es el tipo de cambio nominal. Se supone, por simplicidad, que P t¤ es igual a 1. Tambi¶e n, se supone que el valor inicial del tipo de cambio, e 0 , es conocido e igual a 1. Asimismo, se supone que el n¶u mero de saltos, movimientos extremos y repentinos, en el tipo de cambio, por unidad de tiempo, siguen un proceso de Poisson N t con intensidad ¸ , de tal manera que IP
(N )
f un salto unitario durante dtg = IP
(N )
f dN
t
= 1g = ¸ dt + o (dt) ;
(89:1)
mientras que IP
(N )
f ning¶u n salto en dtg = IP
(N )
f dN
t
= 0g = 1 ¡ ¸ dt + o (dt) ;
(89:2)
donde o (dt) = dt ! 0 cuando dt ! 0. As¶³, E
(N )
[dN t ] = Var
(N )
[dN t ] = ¸ dt:
El n¶u mero inicial de saltos se supone igual a cero, es decir, N 0 = 0. Considere ahora un movimiento Browniano (Z t ) t¸ 0 de¯nido en un espacio de probabilidad (Z ) (Z ) (Z ) (Z ) ¯j o con su ¯ltraci¶o n aumentada ( ;F ;(F t ) t¸ 0 ;IP ) . Se supone que el consumidor percibe que la tasa de in°aci¶o n esperada, dP t = P t , y por lo tanto la tasa esperada de depreciaci¶o n, de t = e t , sigue un movimiento geom¶e trico Browniano con saltos de Poisson descrito por dP t de t = = ¼ dt + ¾ P dZ t + ´ dN t ; Pt et
(89:3)
donde ¼ es la tasa media esperada de depreciaci¶o n (o in°aci¶o n) condicionada a que no se presenten saltos, ¾ P es la volatilidad instant¶anea del nivel general de precios, y ´ es el tama~n o medio esperado de un salto en el tipo de cambio. El proceso Z t se supone independiente de N t . En lo que se sigue, ¼ , ¾ P , ¸ y ´ son constantes positivas.
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8 9 .2 .2 S a ld o s m o n e ta rio s re a le s El agente mantiene saldos monetarios reales, m t = M t = P t , donde M t es el acervo nominal de dinero. La tasa de retorno estoc¶astica por la tenencia de saldos reales, dR m , est¶a dada por el cambio porcentual en el precio del dinero en t¶e rminos de bienes. Al aplicar el lema de It^o para procesos de difusi¶o n con saltos al inverso del nivel de precios, con (89.3) como el proceso subyacente (v¶e ase el Ap¶e ndice 89.A, f¶o rmula (89.A.2) ) , se obtiene dR
m
=d
³M ´Á ³M ´ ³ ´ ´ t t = (¡ ¼ + ¾ P2 ) dt ¡ ¾ P dZ t ¡ dN t : Pt Pt 1+´
(89:4)
8 9 .2 .3 B o n o s in te rn a c io n a le s El agente tambi¶e n tiene acceso a un bono internacional, b t , que paga una tasa de inter¶e s real libre de riesgo, r , que es constante para todos los plazos. En este caso, se satisface db t = r b t dt;
(89:5)
donde b 0 es dado. As¶³, el bono paga r unidades del bien de consumo por unidad de tiempo. Los agentes toman r como dada. La ecuaci¶o n (89.5) se puede interpretar como una cuenta bancaria, en la que se realiza un dep¶o sito inicial con valor b 0 al tiempo cero y paga una tasa instant¶anea libre de riesgo, r , en cada instante t.
8 9 .2 .4 Im p u e sto s so b re la riq u e z a Se considera ahora un movimiento Browniano (U t ) t¸ 0 de¯nido en un espacio de probabilidad ¯j o (U ) (U ) (U ) (U ) con su ¯ltraci¶o n aumentada ( ;F ;(F t ) t¸ 0 ;IP ) . Se supone que el consumidor representativo percibe que su riqueza ser¶a gravada a una tasa incierta, ¿ t , de acuerdo con la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica siguiente: d¿ t = ¿¹ dt + ¾ ¿ dZet ; ¿t con y
Zet = ½ Z t +
p
¿ 0 > 0;
1 ¡ ½2U
t
p ¡ ¡ ¢¢ Cov dZ t ;d ½ Z t + 1 ¡ ½ 2 U t = ½ dt;
(89:6)
(89:7) (89:8)
donde ¿¹ es la tasa media esperada de crecimiento del impuesto sobre la riqueza, ¾ ¿ es la volatilidad de la tasa impositiva en la riqueza y ½ 2 [¡ 1;1] es la correlaci¶o n entre los cambios en la in°aci¶o n y los cambios en los impuestos sobre la riqueza. Observe que un incremento en el tipo de cambio deprecia los saldos monetarios reales. Esto, a su vez, reduce el valor real de los activos, situaci¶o n que puede llevar a la autoridad ¯scal a modi¯car su pol¶³tica ¯scal. Los procesos N t , Z t , y U t se suponen independientes por pares.
8 9 .2 .5 R e stric c i¶o n d e l tip o \ c a sh -in -a d v a n c e " Considere una restricci¶o n del tipo \cash-in-advance" de la forma Clower-Lucas-Feenstra: m
t
= ® c t;
(89:9)
donde c t es el consumo y ® > 0 es el tiempo que se mantiene el dinero para ¯nanciar el consumo. La condici¶o n (89.9) es cr¶³tica para ligar la pol¶³tica cambiaria con el consumo y las decisiones de portafolio. De esta forma, la depreciaci¶o n en el tipo de cambio act¶u a como un impuesto estoc¶astico en los saldos monetarios reales.
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8 9 .3 P ro b le m a d e d e c isi¶o n d e l c o n su m id o r En esta secci¶o n se caracterizan las decisiones o¶ ptimas de consumo y portafolio de un agente representativo. En lo subsecuente se emplear¶a la funci¶o n de utilidad logar¶³tmica con el prop¶o sito de generar soluciones anal¶³ticas que hagan m¶as simple el an¶alisis.
8 9 .3 .1 R e stric c i¶o n p re su p u e sta l in te rte m p o ra l La acumulaci¶o n de la riqueza del consumidor en t¶e rminos de las decisiones de portafolio, w t = m t = a t , 1 ¡ w t = b t = a t , y de consumo, c t , est¶a dada por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales estoc¶asticas: 8 da = a t w t dR > < t
> :
m
+ a t (1 ¡ w t ) dR
b
¡ (¿ t a t + (1 + ¿b) c t ) dt;
p ¡ ¢ d¿ t = ¿¹ ¿ t dt + ¾ ¿ ¿ t ½ dZ t + 1 ¡ ½ 2 dU t ;
a0 = m
0
+ b 0 > 0; (89:10)
¿ 0 > 0;
donde dR b = db t = b t , y ¿b es una tasa impositiva a d va lo rem (al valor agregado) del consumo. Si se sustituyen la ecuaciones (89.4) , (89.5) y (89.9) en la primera ecuaci¶o n del sistema (89.10) , se tiene que " # ³ ´ ´ da t =a t (r ¡ ¯ w t ¡ ¿ t ) dt ¡ w t ¾ P dZ t ¡ w t dN t ; (89:11) 1+´ donde ¯ = (1 + ¿b) ® ¡ 1 + r + ¼ ¡ ¾ P2 .
8 9 .3 .2 ¶In d ic e d e sa tisfa c c i¶o n La funci¶o n de utilidad del tipo von Neumann-Morgenstern al tiempo t, V t , de un agente representativo, competitivo (precio aceptante) y adverso al riesgo est¶a dada por: Vt = E
½Z 1
ln(c s ) e
t
(Z )
¡ rs
¯ ¾ ¯ ds ¯ ¯F t ;
(89:12)
(U )
donde F t = F t F t representa toda la informaci¶o n disponible en t. Observe que la tasa subj etiva de descuento del agente ha sido igualada a la tasa de inter¶e s, r , para evitar di¯cultades t¶e cnicas innecesarias en la din¶amica de equilibrio.
8 9 .3 .3 E c u a c i¶o n d e H a m ilto n -J a c o b i-B e llm a n La ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman para el problema de control o¶ ptimo estoc¶astico en el que se maximiza la utilidad esperada del agente, suj eto a su restricci¶o n presupuestal intertemporal, es: ¸ I (a t ;¿ t ;t) ¡ I t (a t ;¿ t ;t) ¡ I ¿ (a t ;¿ t ;t) ¿¹ ¿ t ¡ 21 I ¿ ¿ (a t ;¿ t ;t) ¿ t2 ¾ ¿2 ¡ I a (a t ;¿ t ;t) a t (r ¡ ¿ t ) (
= max ln(® ¡ 1 a t w t ) e ¡ w
rt
¡ I a (a t ;¿ t ;t) a t ¯ w t + 21 I a a (a t ;¿ t ;t) a t2 w t2 ¾ P2
(89:13)
) ³ ³1 + ´ (1 ¡ w ) ´ ´ t ¡ I a ¿ (a t ;¿ t ;t) a t ¿ t w t ¾ P ¾ ¿ ½ + ¸ I a t ;¿ t ;t ; 1+´ donde I (a t ;¿ t ;t) = max E t w
½Z 1 t
³ ´ ln ® ¡ 1 a s w s e ¡
rs
¯ ¾ ¯ ds ¯ ¯F t
es la funci¶o n de utilidad indirecta (o funci¶o n de bienestar econ¶o mico) del consumidor, e I a (a t ;¿ t ;t) es la correspondiente variable de coestado.
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8 9 .3 .4 R e d u c c i¶o n d e la d im e n si¶o n d e l p ro b le m a Dado el factor de descuento exponencial en la utilidad indirecta, es conveniente de¯nir a I (a t ;¿ t ;t) en forma separable como I (a t ;¿ t ;t) ´ F (a t ;¿ t ) e ¡ r t : (89:14) Por lo tanto, la ecuaci¶o n (89.14) se transforma en (¸ + r ) F (a t ;¿ t ) ¡ F ¿ (a t ;¿ t ) ¿¹ ¿ t ¡ (
1 2
F ¿ ¿ (a t ;¿ t ) ¿ t2 ¾ ¿2 ¡ F a (a t ;¿ t ) a t (r ¡ ¿ t )
= max ln(® ¡ 1 a t w t ) ¡ F a (a t ;¿ t ) a t ¯ w t + 12 F a a (a t ;¿ t ) a t2 w t2 ¾ P2 w
¡ F a ¿ (a t ;¿ t ) a t ¿ t w t ¾ P ¾ ¿ ½ + ¸ F
³ ³1 + ´ (1 ¡ w ) ´ t at ;¿ t 1+´
) ´
(89:15)
:
Se postula como posible candidato de soluci¶o n de (89.15) a F (a t ;¿ t ) = ± 0 + ± 1 ln
μ
at ¿t
¶
+ H (¿ t ; ± 2 ;± 3 ) ;
(89:16)
donde ± 0 , ± 1 y H (¿ t ; ± 2 ;± 3 ) se tienen que determinar a partir de la ecuaci¶o n (89.15) . Las constantes ± 2 y ± 3 se determinan de tal manera que H (¿ 0 ) = 0 y H 0(¿ 0 ) = 0. Al sustituir la ecuaci¶o n (89.16) en (89.15) , se obtiene ¡ r (± 0 + ± 1 ln (a t ) ) + ± 1 ¿¹ ¡ r ¡
+r H (¿ t ) ¡ H 0(¿ t ) ¿ t ¿¹ ¡ (
1 2
1 2 2¾¿ 00 (¿ t ) ¿ t2 ¾ ¿2
¢
¡ r ± 1 ln(¿ t ) + ± 1 ¿ t ) ³1 + ´ (1 ¡ w ) ´ t ¡ 1 2 2 1 = max ln(® a t w t ) ¡ ± 1 ¯ w t ¡ 2 ± 1 w t ¾ P + ¸ ± 1 ln : w 1+´ H
(89:17)
8 9 .3 .5 C o n d ic io n e s d e p rim e r o rd e n y d e te rm in a c i¶o n d e c o e ¯ c ie n te s Las condiciones de primer orden del problema de optimizaci¶o n intertemporal del agente representativo conducen a una proporci¶o n de riqueza asignada a la tenencia de saldos reales invariante en el tiempo, w t ´ w , as¶³ como a la relaci¶o n 1 ¸´ ¡ = (1 + ¿b) ® ¡ 1 + r + ¼ ¡ ¾ P2 + w ¾ P2 : ±1 w 1 + ´ (1 ¡ w )
(89:18)
Ahora se tiene que determinar H (¿ t ) como soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial ordinaria de segundo orden r H (¿ t ) ¡ H 0(¿ t ) ¿ t ¿¹ ¡ 12 H 00(¿ t ) ¿ t2 ¾ ¿2 ¡ r ± 1 ln(¿ t ) + ± 1 ¿ t = 0: (89:19) Los coe¯cientes ± 0 y ± 1 son determinados de (89.15) despu¶e s de sustituir el valor o¶ ptimo w ¤ . As¶³, ± 1 = r ¡ 1 , lo que produce que el coe¯ciente de ln(a t ) en (89.17) sea cero, y 1 ± 0 = ln(® ¡ 1 w ¤ ) r " 1 ¡ 2 ((1 + ¿b) ® ¡ 1 + r + ¼ ¡ ¾ P2 ) w r # ³1 + ´ (1 ¡ w ¤ ) ´ ¡ ¸ ln : 1+´
¤
+ 12 (w ¤ ¾ P ) 2 + ¿¹ ¡ r ¡
1 2
¾ ¿2
(89:20)
El supuesto de utilidad logar¶³tmica conduce a que w dependa solamente de los par¶ametros que determinan las caracter¶³sticas estoc¶asticas de la econom¶³a y, por lo tanto, w es constante. Es
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decir, la actitud del consumidor hacia el riesgo cambiario es independiente de su riqueza, i.e., el nivel de riqueza resultante en cualquier instante no tiene relevancia para las decisiones de portafolio. M¶as a¶u n, debido a la utilidad logar¶³tmica, el coe¯ciente de correlaci¶o n, ½ 2 [¡ 1;1] , no j uega papel alguno en las decisiones del consumidor. Por u¶ ltimo, es importante se~n alar que la ecuaci¶o n (89.18) es c¶u bica, por lo que tiene al menos una ra¶³z real. La soluci¶o n de la ecuaci¶o n (89.19) es (v¶e ase el Ap¶e ndice 89.B) 1 ln(¿ t ) ¿¹
H (¿ t ) = ± 2 ¿ t° 1 + ± 3 ¿ t° 2 +
μ 1+
donde °1 = y °2 =
(2 ¿¹ ¡
¾ ¿2 )
(2 ¿¹ ¡
¾ ¿2 )
2 ¿t 2 (¾ ¿ + 2 ¿¹ )
¶
+
1 ¿¹
μ ¶ ¾2 1¡ ¿ ; 2 ¿¹
+
p
4r (2 ¿¹ ¡ ¾ ¿2 ) 2 + 8r ¾ ¿2
¡
p
4r : (2 ¿¹ ¡ ¾ ¿2 ) 2 + 8r ¾ ¿2
(89:21)
Los coe¯cientes ± 2 y ± 3 son determinados de tal manera que H (¿ 0 ) = 0 y H 0(¿ 0 ) = 0 (v¶e ase el Ap¶e ndice 89.B) . La primera condici¶o n inicial, H (¿ 0 ) = 0, asegura que el bienestar econ¶o mico, 1 W ´ I (a 0 ;¿ 0 ;0) = F (a 0 ;¿ 0 ) = ± 0 + ln r
μ
a0 ¿0
¶
;
sea independiente de la selecci¶o n de H . La segunda condici¶o n inicial, H 0(¿ 0 ) = 0, garantiza que la funci¶o n de bienestar sea decreciente con respecto del impuesto a la riqueza, esto es, @I ¯ ¯ ¯ @ ¿ ¿=
¿0
=¡
1 < 0 r ¿0
y tambi¶e n asegura que H sea la u¶ nica soluci¶o n de la ecuaci¶o n (89.19) .
8 9 .3 .6 U n a a sig n a c i¶o n v ia b le d e l p o rta fo lio La ecuaci¶o n (89.18) es c¶u bica con una ra¶³z negativa y dos ra¶³ces positivas. Esto puede verse si se intersecta la l¶³nea recta de¯nida por el lado derecho de la ecuaci¶o n (89.18) con la gr¶a¯ca de¯nida por el lado izquierdo de (89.18) . En este caso, hay solamente una intersecci¶o n que proporciona un estado estacionario (¶u nico) de la riqueza que el consumidor asigna a la tenencia de saldos reales w ¤ 2 (0;1) .
8 9 .4 E x p e rim e n to s d e p o l¶³tic a e c o n o¶ m ic a (e st¶a tic a c o m p a ra tiv a ) En esta secci¶o n se obtienen los primeros resultados relevantes del modelo propuesto. Un aumento permanente en la tasa de depreciaci¶o n, da como resultado un aumento en el costo de oportunidad futuro de comprar bienes, lo cual, a su vez, conduce a una disminuci¶o n permanente de la proporci¶o n de la riqueza destinada al consumo futuro. Para ver esto, se calcula la derivada de la ecuaci¶o n (89.18) con respecto de ¼ , lo cual conduce a @w ¤ = ¡ ª¡ @¼ donde ª=
·
r
(w ¤ ) 2
+
1
< 0;
(89:22)
¸ ¸´2 2 + ¾ : P [1 + ´ (1 ¡ w ¤ ) ] 2
(89:23)
El segundo resultado es la respuesta de los saldos monetarios reales de equilibrio, w ¤ , a cambios permanentes en el par¶ametro de intensidad, ¸ . Un aumento en el n¶u mero esperado de saltos en el tipo de cambio por unidad de tiempo ocasiona un incremento en el costo de oportunidad futuro de la compra de bienes. Esto, a su vez, disminuye permanentemente la proporci¶o n de la
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riqueza dedicada al consumo futuro. De hecho, despu¶e s de calcular la derivada de la ecuaci¶o n (89.18) con respecto de ¸ se obtiene @w ¤ ´ =¡ < 0: @¸ ª[1 + ´ (1 ¡ w ¤ ) ]
(89:24)
Un efecto equivalente es obtenido por un cambio en el tama~n o medio esperado de un salto: @w ¤ ¸ =¡ < 0: @´ ª[1 + ´ (1 ¡ w ¤ ) ] 2
(89:25)
Por u¶ ltimo, un aumento en el impuesto a d va lo rem al consumo producir¶a una reducci¶o n permanente en la proporci¶o n de la riqueza asignada al consumo futuro, ya que @w ¤ 1 =¡ < 0: @ ¿b ®ª
(89:26)
8 9 .5 Im p a c to e n e l b ie n e sta r e c o n o¶ m ic o En esta secci¶o n se eval¶u an los impactos de choques ex¶o genos en el bienestar econ¶o mico. Como siempre, el criterio de bienestar, W , del individuo representativo es la utilidad indirecta con una riqueza real inicial, a 0 , y una tasa impositiva inicial de la riqueza, ¿ 0 . Por lo tanto, en virtud de la ecuaci¶o n (89.14) , el bienestar est¶a de¯nido por: 1 W (¼ ;¸ ;´ ; ¿¹ ; ¿b; a 0 ;¿ 0 ) ´ I (a 0 ;¿ 0 ;0) = F (a 0 ;¿ 0 ) = [1 + ln(a 0 = ¿ 0 ) + ln(® ¡ 1 w ¤ ) ] r " 1 ¡ 2 ((1 + ¿b) ® ¡ 1 + r + ¼ ¡ ¾ P2 ) w ¤ + 12 (w ¤ ¾ P ) 2 + ¿¹ ¡ 12 ¾ ¿2 r # ³1 + ´ (1 ¡ w ¤ ) ´ ¡ ¸ ln ; 1+´
(89:27)
donde se ha utilizado el hecho de que H (¿ 0 ) = 0.
8 9 .5 .1 Im p a c to d e c a m b io s p e rm a n e n te s d e l tip o d e c a m b io e n e l b ie n e sta r Ahora se calculan los impactos en el bienestar econ¶o mico de cambios permanentes en la tasa media esperada de depreciaci¶o n, la probabilidad de depreciaci¶o n, y el tama~n o esperado de una depreciaci¶o n. Primero, observe que un incremento en la tasa media esperada de depreciaci¶o n reduce el bienestar econ¶o mico. En efecto, al calcular la derivada de la ecuaci¶o n (89.27) con respecto de ¼ , se encuentra que @W w¤ = ¡ 2 < 0: (89:28) @¼ r An¶alogamente, un choque ex¶o geno en la probabilidad de depreciaci¶o n reduce el bienestar econ¶o mico. Para ver esto, es su¯ciente calcular la derivada de la ecuaci¶o n (89.27) con respecto de ¸ μ ¶ @W 1 1 + ´ (1 ¡ w ¤ ) = 2 ln < 0: (89:29) @¸ r 1+´ Por u¶ ltimo, un incremento en el tama~n o medio esperado de un salto en el tipo de cambio reduce el bienestar econ¶o mico, ya que @W 1 =¡ 2 @´ r
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·
¸w ¤ (1 + ´ ) (1 + ´ (1 ¡ w ¤ ) )
¸
< 0:
(89:30)
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8 9 .5 .2 Im p a c to d e la p o l¶³tic a ¯ sc a l e n e l b ie n e sta r e c o n o¶ m ic o A continuaci¶o n se calculan los impactos en el bienestar econ¶o mico producidos por cambios permanentes en la tasa impositiva media esperada a la riqueza y el impuesto esperado a d va lo rem al consumo. En este caso, se tiene @W 1 =¡ 2 < 0 (89:31) @ ¿¹ r y @W 1 = ¡ 2 ® ¡ 1w @ ¿b r
¤
< 0:
(89:32)
Por lo tanto, aumentos en la tasa impositiva media esperada sobre la riqueza y la tasa impositiva en el consumo siempre conducir¶an a una reducci¶o n en el bienestar econ¶o mico.
8 9 .6 R iq u e z a y c o n su m o Ahora se obtiene el proceso estoc¶astico que genera la riqueza real del consumidor cuando se aplica la regla ¶o ptima. Despu¶e s de sustituir w ¤ en la ecuaci¶o n (89.11) , se obtiene da t = a t
h³
´ ³1 + ´ (1 ¡ w ¤ ) ´ i ¸ ´w ¤ + (w ¤ ¾ P ) 2 ¡ ¿ t dt ¡ w ¤ ¾ P dz t + ¡ 1 dN t ; (89:33) ¤ 1 + ´ (1 ¡ w ) 1+´
donde
n ¿ t = ¿ 0 exp ( ¿¹ ¡
1 2
¾ ¿2 ) t + E ¾
p o t
(89:34)
y E » N (0;1) . La funci¶o n densidad de probabilidad de ¿ t , dado ¿ 0 , satisface 1 f ¿ t j¿ 0 (x j¿ 0 ) = p exp 2¼ t¾ ¿ x Adem¶as, se tiene y
(
¡
1 2
μ
ln (x = ¿ 0 ) ¡ ( ¿¹ ¡ p ¾¿ t
1 2
¾ ¿2 ) t
¶2 )
:
(89:35)
E[¿ t j¿ 0 ] = ¿ 0 e ¿¹ t
(89:36)
¡ 2 ¢ Var[¿ t j¿ 0 ] = ¿ 02 e 2 ¿¹ t e ¾ ¿ t ¡ 1 :
(89:37)
La soluci¶o n a la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica (89.33) , condicionada por a 0 , es (v¶e ase el Ap¶e ndice 89.A, f¶o rmula (89.A.3) ) a t = a 0 e »t ; (89:38) donde
1
» t = μ t + Á t;
μ t j¿ t » N [[F (w ¤ ) ¡ ¿ t ] t;G (w ¤ ) t] ; ¤
Á t = L (w ) N
t
(89:39) (89:40)
y N
t
» P (¸ t) :
(89:41)
Los componentes estacionarios de los par¶ametros de las distribuciones antes mencionadas son: F (w ¤ ) =
¸ ´w ¤ (w ¤ ¾ P ) 2 + ; ¤ 1 + ´ (1 ¡ w ) 2 G (w ¤ ) = (w ¤ ¾ P ) 2
y L (w ¤ ) = ln 1
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³1 + ´ (1 ¡ w ¤ ) ´ : 1+´
x » P (a ) d en o ta u n a v a ria b le a lea to ria d e tip o P o isso n x co n m ed ia a .
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Adem¶as, observe que y
E[» t j¿ t ] = [F (w ¤ ) ¡ ¿ t + L (w ¤ ) ¸ ] t
(89:42)
Var[» t j¿ t ] = [G (w ¤ ) + [L (w ¤ ) ] 2 ¸ ] t:
(89:43)
E[» t ] = Ef E[» t j¿ t ] g = [F (w ¤ ) + ¿ 0 e ¿¹ t + L (w ¤ ) ¸ ] t
(89:44)
M¶as a¶u n, se sigue que
y ¡ 2 ¢ Var[» t ] = Varf E[» t j¿ t ] g + Ef Var[» t j¿ t ] g = t2 ¿ 02 e 2 ¿¹ t e ¾ t t ¡ 1 + [G (w ¤ ) + [L (w ¤ ) ] 2 ¸ ] t:
(89:45)
8 9 .6 .1 D in ¶a m ic a d e l c o n su m o En virtud de las ecuaciones (89.9) y (89.38) , el proceso estoc¶astico para el consumo se puede escribir como c t¤ = ® ¡ 1 w ¤ a 0 e » t : (89:46) Esto indica que, en ausencia de mercados de productos derivados ¯nancieros, el riesgo de depreciaci¶o n tiene un efecto en la riqueza a trav¶e s de la incertidumbre en » t , es decir, la incertidumbre cambia el conj unto de oportunidades que enfrenta el consumidor. Por otra parte, el riesgo de depreciaci¶o n tambi¶e n afecta la composici¶o n del portafolio por medio de sus efectos en w ¤ . De este modo, un cambio en la pol¶³tica econ¶o mica estar¶a acompa~n ado tanto del efecto riqueza como del de sustituci¶o n. De la ecuaci¶o n (89.46) , se puede calcular la probabilidad de que, en un intervalo de tiempo dado, ocurran ciertos niveles de consumo. Es tambi¶e n importante observar, al considerar las ecuaciones (89.12) y (89.46) , que el supuesto de que la tasa sub j etiva de descuento del agente es igual a la tasa de inter¶e s mundial no asegura un nivel de estado estacionario en el consumo. Sin embargo, se tiene un estado estacionario de la riqueza asignada al consumo. Se puede concluir que la incertidumbre es un elemento clave para racionalizar din¶amicas del consumo m¶as realistas que no podr¶³an ser obtenidas a trav¶e s de modelos deterministas.
A p ¶e n d ic e 8 9 .A En este ap¶e ndice se establecen dos resultados u¶ tiles en el desarrollo del presente cap¶³tulo: 1) El lema de It^o para procesos combinados de difusi¶o n y saltos de Poisson, el cual puede ser enunciado de la siguiente manera. Dada la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica lineal y homog¶e nea z t » N (0;t) ;
dx t = x t (¹ dt + ¾ dz t + ´ dq t ) ;
q t » P (¸ t) ;
(89:A:1)
y una funci¶o n g (x t ) continua y dos veces diferenciable, entonces la diferencial estoc¶astica de g (x t ) est¶a dada por dg (x t ) = [g x (x t ) ¹ x t + 12 g x x (x t ) ¾ 2 x t2 ] dt + g x (x t ) ¾ x t dz t + [g (x t (1 + ´ ) ) ¡ g (x t ) ] dq t :
(89:A:2)
2) La soluci¶o n a la ecuaci¶o n (89.A.1) est¶a dada por ½ x t = x 0 exp (¹ ¡
1 2
¾ 2 )t + ¾
Zt
dz u + ln(1 + ´ )
0
Zt
dq u
¾
:
(89:A:3)
0
Es importante tener presente, al usar (89.A.3) , que para t ¸ 0 las propiedades para z t y q t son: E
·Z t 0
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"μZ ¸ ¶2 # Z t t dz u = 0; E dz u = d u = t; 0
0
y E
·Z t
dq u
¸ = ¸ t:
0
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8 9 . R iesg o n o d iv ersi¯ ca b le d e tip o d e ca m b io y p o l¶³tica ¯ sca l in cierta
A p ¶e n d ic e 8 9 .B En este ap¶e ndice se resuelve la ecuaci¶o n diferencial ordinaria lineal de segundo orden no homog¶e nea, la cual aparece en la ecuaci¶o n (89.20) . Sea H = H (¿ ) y considere la ecuaci¶o n diferencial ordinaria de segundo orden no homog¶e nea del tipo de Euler-Cauchy ¿2H
00
+
2 ¿¹ ¿H ¾2
0
2r 2 2 H = ¡ 2 ln(¿ ) + 2 ¿ ; 2 ¾ ¾ r¾
¡
(89:B:1)
donde r y ¾ son constantes positivas. A continuaci¶o n, la ecuaci¶o n (89.B.1) se transforma en una ecuaci¶o n diferencial con coe¯cientes constantes, para ello se aplica el m¶e todo de Euler en el que se utiliza el siguiente cambio de variable ¿ = e t . As¶³, t = ln(¿ ) , @H 1 @H = @¿ ¿ @t y @ 2H 1 = 2 @¿2 ¿
μ
@ 2H @H ¡ @ t2 @t
(89:B:2) ¶
:
(89:B:3)
Despu¶e s de sustituir las ecuaciones (89.B.2) y (89.B.3) en la ecuaci¶o n (89.B.1) , se obtiene @ 2H + @ t2
μ
2 ¿¹ ¡ 1 ¾2
¶
@H 2r 2 2 ¡ 2 H = ¡ 2 t + 2 e t: @t ¾ ¾ r¾
(89:B:4)
La soluci¶o n general es de la forma: H (t) = H c (t) + H p (t) ;
(89:B:5)
donde H c es la soluci¶o n, complementaria, asociada a la ecuaci¶o n homog¶e nea y H p es una soluci¶o n particular de la ecuaci¶o n no homog¶e nea. Para determinar H c , se requiere resolver la ecuaci¶o n caracter¶³stica siguiente: μ ¶ 2 ¿¹ 2r 2 ° + ¡ 1 ° ¡ 2 = 0: ¾2 ¾ De aqu¶³ que la soluci¶o n complementaria es H c (t) = ± 2 e ° 1 t + ± 3 e ° 2 t ;
(89:B:6)
donde las dos ra¶³ces est¶an dadas por °1 =
(2 ¿¹ ¡ ¾
2)
+
p
4r (2 ¿¹ ¡ ¾ 2 ) 2 + 8r ¾ 2
p
4r : (2 ¿¹ ¡ ¾ 2 ) 2 + 8r ¾ 2
y °2 =
(2 ¿¹ ¡ ¾ 2 ) ¡
Enseguida se determina H p , para ello se utiliza el m¶e todo de coe¯cientes indeterminados. Se supone que la soluci¶o n es de la forma siguiente H p (t) = A t + B + C te t :
(89:B:7)
Por lo tanto, H p0 (t) = A + C (t + 1) e t y H p00(t) = C (t + 2) e t . Posteriormente, se sustituye la ecuaci¶o n (89.B.7) en la ecuaci¶o n (89.B.4) , lo cual conduce a μ
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2 ¿¹ 2r ¡ 2 2 ¾ ¾
¶
C te t +
μ ¶ μ ¶ 2 ¿¹ 2r 2 ¿¹ 2r 2 2 1 + 2 C et ¡ 2 A t + ¡ 1 A ¡ 2 B = ¡ 2 t + 2 e t: 2 ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ r¾
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8 9 . R iesg o n o d iv ersi¯ ca b le d e tip o d e ca m b io y p o l¶³tica ¯ sca l in cierta
Al resolver t¶e rmino a t¶e rmino se tiene que los valores de A , B y C est¶an dados, respectivamente, por ¢ 1 1 ¡ 2 A = ; B = 2 2 ¿¹ ¡ ¾ 2 y C = ; 2 r 2r r (¾ + 2 ¿¹ ) de donde para una soluci¶o n particular se cumple que ¿¹ = r . Por lo tanto,
H p (t) =
1 ¾2 1 2 t¡ + + te t : 2 2 ¿¹ 2 ¿¹ ¿¹ ¿¹ (¾ + 2 ¿¹ )
(89:B:8)
Al sustituir las ecuaciones (89.B.6) y (89.B.8) en la ecuaci¶o n (89.B.5) se tiene que H (t) = ± 2 e ° 1 t + ± 3 e ° 2 t +
1 ¾2 1 2 t¡ + + te t : ¿¹ 2 ¿¹ 2 ¿¹ ¿¹ (¾ 2 + 2 ¿¹ )
Como ¿ = e t , la soluci¶o n general de la ecuaci¶o n (89.B.1) , en t¶e rminos de ¿ , est¶a dada por H (¿ ) = ± 2 ¿ ° 1 + ± 3 ¿ ° 2 +
1 ln(¿ ) ¿¹
μ 1+
2 ¿ ¾ 2 + 2 ¿¹
¶
+
1 ¿¹
μ ¶ ¾2 1¡ : 2 ¿¹
(89:B:9)
Los valores de ± 2 y ± 3 que satisfacen las condiciones iniciales H (¿ 0 ) = H 0(¿ 0 ) = 0 son
±2 = y ±3 =
· μ ¶ ¸ ¿ 0¡ ° 1 ¾2 2¿ 0 ° 2 ln(¿ 0 ) + 1 ¡ ¡ 2 (1 + ln(¿ 0 ) (1 ¡ ° 2 ) ) + 1 ¿¹ (° 1 ¡ ° 2 ) 2 ¿¹ ¾ + 2 ¿¹
· μ ¶ ¸ ¢ ¿ 0¡ ° 2 ¾2 2¿ 0 ¡ ¡ ° 1 ln(¿ 0 ) + 1 ¡ + 2 1 + ln(¿ 0 ) (1 ¡ ° 1 ) + 1 : ¿¹ (° 1 ¡ ° 2 ) 2 ¿¹ ¾ + 2 ¿¹
8 9 .8 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Venegas-Mart¶³nez, F. (2001) . \Temporary Stabilization: A Stochastic Analysis" . J o u rn a l o f E co n o m ic D y n a m ics a n d C o n tro l, Vol. 25, No. 9, pp. 1429-1449. Venegas-Mart¶³nez, F. (2000) . \On Consumption, Investment, and Risk" . E co n o m ¶³a M exica n a , N u eva E¶ poca , Vol. 9, No. 2, pp. 227-244. Venegas-Mart¶³nez, F. (2000) . \Utilidad, aprendizaj e y estabilizaci¶o n" . G a ceta d e E co n o m ¶³a , A~n o 5, No. 10, pp. 153-169. Venegas-Mart¶³nez, F. (2001) . \Pol¶³tica ¯scal y renta petrolera: una propuesta de r¶e gimen ¯scal para Pemex" . P ro blem a s d el D esa rro llo , R evista L a tin oa m erica n a d e E co n o m ¶³a , Vol. 32, No. 124, pp. 55-108. Venegas-Mart¶³nez, F. (2006) . \Efectos ¯scales sobre planes temporales de estabilizaci¶o n in°acionaria: un enfoque de estrategia auto-¯nanciable" . E co n o Q u a n tu m , R evista d e E co n o m ¶³a y N egocio s, por aparecer. Venegas-Mart¶³nez, F. (2006) . \Fiscal Policy in a Stochastic Temporary Stabilization Model: Undiversi¯able devaluation Risk" . J o u rn a l o f W o rld E co n o m ics R eview , Vol. 1, No, 1, pp. 87-106. Venegas-Mart¶³nez, F. y B. Gonz¶alez-Ar¶e chiga (2000) . \Mercados Financieros Incompletos y Su Impacto en los Programas de Estabilizaci¶o n de Precios: El Caso Mexicano" . M o m en to E co n o¶ m ico , Vol. 111, pp. 20-27.
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8 9 . R iesg o n o d iv ersi¯ ca b le d e tip o d e ca m b io y p o l¶³tica ¯ sca l in cierta
8 9 .9 E je rc ic io s 8 9 .1 Repita el an¶alisis efectuado en el transcurso del presente cap¶³tulo para la funci¶o n de utilidad ¯ ¾ ½Z 1 ¯ Vt = E c °s e ¡ r s ds ¯ ¯F t : t
8 9 .2 Muestre que si
n ¿ t = ¿ 0 exp ( ¿¹ ¡
1 2
¾ ¿2 ) t + E ¾
p o t
y E » N (0;1) , entonces la funci¶o n densidad de ¿ t , dado ¿ 0 , est¶a dada por 1 f ¿ t j¿ 0 (x j¿ 0 ) = p exp 2¼ t¾ ¿ x Adem¶as, veri¯que que
(
¡
1 2
μ
ln (x = ¿ 0 ) ¡ ( ¿¹ ¡ p ¾¿ t
1 2
¾ ¿2 ) t
¶2 )
:
E[¿ t j¿ 0 ] = ¿ 0 e ¿¹ t
y
¡ 2 ¢ Var[¿ t j¿ 0 ] = ¿ 02 e 2 ¿¹ t e ¾ ¿ t ¡ 1 :
8 9 .3 Veri¯que que H (¿ ) = ± 2 ¿ con
y
°1
+ ±3 ¿
°2
1 + ln(¿ ) ¿¹
μ 1+
2 ¿ 2 ¾ + 2 ¿¹
¶
1 + ¿¹
μ ¶ ¾2 1¡ 2 ¿¹
· μ ¶ ¸ ¿ 0¡ ° 1 ¾2 2¿ 0 ±2 = ° 2 ln(¿ 0 ) + 1 ¡ ¡ 2 (1 + ln(¿ 0 ) (1 ¡ ° 2 ) ) + 1 ¿¹ (° 1 ¡ ° 2 ) 2 ¿¹ ¾ + 2 ¿¹ · μ ¶ ¸ ¢ ¿ 0¡ ° 2 ¾2 2¿ 0 ¡ ±3 = ¡ ° 1 ln(¿ 0 ) + 1 ¡ + 2 1 + ln(¿ 0 ) (1 ¡ ° 1 ) + 1 ; ¿¹ (° 1 ¡ ° 2 ) 2 ¿¹ ¾ + 2 ¿¹
satisface la ecuaci¶o n diferencial ¿2H
00
+
2 ¿¹ ¿H ¾2
0
¡
2r 2 2 H = ¡ 2 ln(¿ ) + 2 ¿ ; ¾2 ¾ r¾
H (¿ 0 ) = H 0(¿ 0 ) = 0;
donde r y ¾ son constantes positivas.
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C A P ¶IT U L O 90 R IE S G O N O D IV E R S IF IC A B L E D E T IP O D E C A M B IO (III): IN G R E S O L A B O R A L IN C IE R T O C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² ² ² ² ²
Ingreso laboral estoc¶astico Riesgo de tipo de cambio Movimiento geom¶e trico Browniano Mercados incompletos Decisiones de consumo y portafolio
9 0 .1 In tro d u c c i¶o n En este cap¶³tulo se presenta un modelo estoc¶astico de estabilizaci¶o n temporal de precios con un ancla nominal en el tipo de cambio. El modelo reconoce expl¶³citamente la incertidumbre en la din¶amica esperada tanto de la tasa de devaluaci¶o n como del ingreso laboral. Bajo este marco, las expectativas de devaluaci¶o n son conducidas por un proceso de difusi¶o n con saltos y el ingreso laboral es gobernado por un movimiento geom¶e trico Browniano. Se supone que no existe un mercado de productos derivados para cubrirse contra devaluaciones y °uctuaciones adversas en el ingreso laboral futuro, de esta manera los mercados ¯nancieros son incompletos. Se examina la din¶amica de las decisiones de consumo y portafolio cuando se implementa un programa de estabilizaci¶o n. Por u¶ ltimo, se eval¶u an los efectos de choques ex¶o genos en las expectativas tanto de la devaluaci¶o n como de ingreso laboral sobre el bienestar econ¶o mico. El cap¶³tulo se encuentra organizado de la siguiente manera. En la pr¶oxima secci¶o n se desarrolla un modelo estoc¶astico del tipo de Ramsey para una econom¶³a peque~n a y abierta que produce y consume un solo bien y que tiene una restricci¶o n \cash-in-advance" . Los agentes tienen expectativas de devaluaci¶o n conducidas por un proceso de difusi¶o n con saltos y su ingreso laboral es guiado de acuerdo con un movimiento geom¶e trico Browniano. En la secci¶o n 90.3 se resuelve el problema de decisi¶o n del consumidor. En la secci¶o n 90.4 se llevan a cabo experimentos de est¶atica comparativa. En la secci¶o n 90.5 se examinan los efectos de choques ex¶o genos en el bienestar econ¶o mico. Por u¶ ltimo, en la secci¶o n 90.6 se estudia el comportamiento din¶amico de la riqueza y del consumo y se discuten varios temas relevantes de pol¶³tica cambiaria.
9 0 .2 P la n te a m ie n to d e l m o d e lo En esta secci¶o n se presenta un modelo estoc¶astico de estabilizaci¶o n temporal de precios que reconoce expl¶³citamente la incertidumbre en la din¶amica esperada tanto de la tasa de in°aci¶o n como del ingreso laboral. En este marco, la incertidumbre del ingreso laboral es conducida por un movimiento geom¶e trico Browniano. Adem¶as, se supone que no hay productos derivados para cubrirse contra devaluaciones futuras y que el ingreso generado por el se~n oriaj e (impuesto in°acionario) es gastado en compras improductivas del gobierno. As¶³ mismo, bajo el supuesto de que los agentes son adversos al riesgo, se examina la din¶amica de equilibrio del consumo y la riqueza cuando un programa de estabilizaci¶o n de precios se pone en marcha. Por u¶ ltimo, se estudian los efectos en el consumo y en el bienestar econ¶o mico debidos a cambios permanentes en los par¶ametros que determinan las expectativas, a saber, la tasa media esperada de devaluaci¶o n, la volatilidad del tipo de cambio, la probabilidad de devaluaci¶o n, el tama~n o medio esperado de una posible devaluaci¶o n y el ingreso laboral medio esperado.
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9 0 . R iesg o n o d iv ersi¯ ca b le d e tip o d e ca m b io (III): in g reso la b o ra l in cierto
9 0 .2 .1 L o s su p u e sto s d e l m o d e lo Con el prop¶o sito de obtener soluciones anal¶³ticas en un modelo estoc¶astico del tipo de Ramsey, se mantendr¶a la estructura de la econom¶³a tan simple como sea posible. Considere una econom¶³a peque~n a y abierta con agentes id¶e nticos con vida in¯nita. La econom¶³a produce y consume un s¶o lo bien perecedero. Se supone que el bien es comerciable internacionalmente y que el nivel general de precios en la econom¶³a dom¶e stica, P t , es determinado por la condici¶o n de poder de paridad de compra, a saber, P t = P t¤ e t , donde P t¤ es el precio en moneda extranj era del bien en el resto del mundo y e t es el tipo de cambio nominal. Se supone, por simplicidad, que P t¤ es igual a 1. Tambi¶e n se supone que el valor inicial del tipo de cambio, e 0 , es conocido e igual a 1. Se supone que el n¶u mero de devaluaciones esperadas, i.e., los saltos en el tipo de cambio, por unidad de tiempo, siguen un proceso de Poisson N t con intensidad ¸ , de tal manera que IP
(N )
f un salto unitario durante dtg = IP
(N )
f dN
t
= 1g = ¸ dt + o (dt) ;
(90:1)
mientras que IP (N )
(N )
f ning¶u n salto en dtg = IP
(N )
f dN
t
= 0g = 1 ¡ ¸ dt + o (dt) :
(90:2)
(N )
As¶³, E [dN t ] =Var [dN t ] = ¸ dt. El n¶u mero inicial de saltos se supone igual a cero, es decir, N 0 = 0. Considere un movimiento Browniano (Z t ) t¸ 0 de¯nido en un espacio de probabilidad ¯jo con (Z ) (Z ) (Z ) (Z ) su ¯ltraci¶o n aumentada ( ;F ;(F t ) t¸ 0 ;IP ) . Se supone que el consumidor percibe que la tasa de in°aci¶o n esperada, dP t = P t , y por lo tanto la tasa esperada de devaluaci¶o n, de t = e t , sigue un movimiento geom¶e trico Browniano con saltos de Poisson de¯nido por la siguiente ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica: dP t de t = = ¼ dt + ¾ P dZ t + ° dN t ; (90:3) Pt et donde ¼ es la tasa media esperada de devaluaci¶o n condicionada a que no se presenten saltos, ¾ P es la volatilidad instant¶anea del nivel general de precios, y ° es el tama~n o medio esperado de un salto en el tipo de cambio. Por simplicidad, se supone que el proceso Z t es independiente de N t ; de otra forma Cov(Z t ;N t ) = ½ Z N dt 6= 0 y el coe¯ciente de correlaci¶o n ½ Z N podr¶³a ser incorporado sin di¯cultad en todo el an¶alisis subsecuente con un poco m¶as de ¶algebra, lo cual no es relevante para el ob jetivo de la presente investigaci¶o n. Asimismo, en lo que se sigue, ¼ , ¾ P , ¸ y ° son constantes positivas.
9 0 .2 .2 S a ld o s m o n e ta rio s re a le s El agente mantiene saldos monetarios reales, m t = M t = P t , donde M t es el acervo nominal de dinero. La tasa estoc¶astica de rendimiento por la tenencia de saldos reales, dR m , est¶a dada por el cambio porcentual en el precio del dinero en t¶e rminos de bienes. Al aplicar el lema de It^o para procesos de difusi¶o n con saltos al inverso del nivel de precios, con (90.3) como el proceso subyacente (v¶e ase el Ap¶e ndice 90.A, f¶o rmula (90.A.2) ) , se obtiene ³M ´Á ³M ´ ³ ° ´ t t dR m = d = (¡ ¼ + ¾ P2 ) dt ¡ ¾ P dZ t ¡ dN t : (90:4) Pt Pt 1+° Observe que la tendencia del rendimiento por la tenencia de saldos reales no s¶o lo incluye la depreciaci¶o n media por in°aci¶o n, ¼ , sino tambi¶e n un efecto compensatorio de la varianza, ¾ P2 .
9 0 .2 .3 B o n o s in te rn a c io n a le s El agente tambi¶e n tiene acceso a un bono internacional, b t , que paga una tasa de inter¶e s real libre de riesgo (de incumplimiento) , r , que es constante para todos los plazos. En este caso, se satisface db t = r b t dt; b 0 dado: (90:5) Es decir, el bono paga r unidades del bien de consumo por unidad de tiempo. Note que por el supuesto de econom¶³a peque~n a, el agente toma r como dada.
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9 0 .2 .4 U n a e c o n o m ¶³a d e l tip o \ c a sh -in -a d v a n c e " Considere una restricci¶o n del tipo \cash-in-advance" de la forma Clower-Lucas-Feenstra: m
t
= ® c t;
(90:6)
donde c t es el consumo y ® > 0 es el tiempo promedio que el agente mantiene el dinero para ¯nanciar su consumo. La condici¶o n (90.6) es cr¶³tica para ligar la pol¶³tica cambiaria y el consumo. De esta forma, la devaluaci¶o n act¶u a como un impuesto estoc¶astico en los saldos monetarios reales.
9 0 .2 .5 In g re so la b o ra l in c ie rto El consumidor representativo administra y trabaj a en su propio negocio. Se supone que el ingreso laboral, y t , es transformado en activos reales, a t , a una tasa incierta v t , de tal manera que y t = v ta t; y v t es conducido por un movimiento geom¶e trico Browniano. Sea (U t ) t¸ 0 un movimiento Browniano de¯nido en un espacio de probabilidad ¯jo equipado con su ¯ltraci¶o n aumentada (U ) (U ) (U ) (U ) ( ;F ;(F t ) t¸ 0 ;IP ) . Se supone que la tasa de variaci¶o n del ingreso, v t , est¶a dada por dv t = v¹ dt + ¾ v dZet ; vt donde
Zet = ½ Z t +
y
p
y 0 > 0;
1 ¡ ½2U
(90:7)
(90:8)
t
p ¡ ¡ ¢¢ Cov dZ t ;d ½ Z t + 1 ¡ ½ 2 U t = ½ dt;
(90:9)
v¹ y ¾ v son constantes positivas y ½ 2 [¡ 1;1] es la correlaci¶o n entre cambios en la in°aci¶o n y cambios en el ingreso laboral. De nuevo, por simplicidad, se supone que los procesos N t , Z t y U t son independientes dos a dos; de otra forma ser¶³a necesario incorporar los correspondientes coe¯cientes de correlaci¶o n con un poco m¶as de ¶algebra.
9 0 .3 P ro b le m a d e l c o n su m id o r En esta secci¶o n se caracterizan las decisiones o¶ ptimas de consumo y portafolio. Para ello, se obtienen soluciones expl¶³citas que hacen m¶as sencilla la comprensi¶o n de los aspectos relevantes de los programas temporales de estabilizaci¶o n. La acumulaci¶o n de la riqueza del consumidor en t¶e rminos del portafolio, w t = m t = a t , 1 ¡ w t = b t = a t , y del consumo, c t , est¶a dada por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales estoc¶asticas: + a t (1 ¡ w t ) dR b + (v t a t ¡ c t ) dt; a 0 = m p ¡ ¢ dv t = v¹ v t dt + ¾ v v t ½ dZ t + 1 ¡ ½ 2 dU t ; v 0 > 0; da t = a t w t dR
m
0
+ b 0 > 0;
(90:10)
donde dR b = db t = b t . Es decir, el agente destina una proporci¶o n w t de su riqueza a saldos reales y la proporci¶o n complementaria 1 ¡ w t a la compra de bonos, al mismo tiempo su ingreso laboral modi¯ca la riqueza, la cual es marginalmente reducida por el consumo. Si se sustituyen las ecuaciones (90.4) , (90.5) y (90.6) en la primera ecuaci¶o n del sistema de ecuaciones diferenciales (90.10) , se tiene que da t =a t
"
³ ° ´ (r ¡ ³ w t + v t ) dt ¡ w t ¾ P dZ t ¡ w t dN 1+°
t
#
;
(90:11)
donde ³ = ® ¡ 1 + r + ¼ ¡ ¾ 2 .
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9 0 .3 .1 F u n c i¶o n d e u tilid a d La utilidad total esperada del tipo von Neumann-Morgenstern al tiempo t, V t , del consumidor competitivo adverso al riesgo se supone de la forma: ¯ ¾ ½Z 1 ¯ ¡ rs Vt = E ln(c s ) e ds ¯ (90:12) ¯F t ; t
(Z )
(U )
donde F t = F t F t representa la informaci¶o n total disponible al tiempo t. Se emplea la funci¶o n de utilidad logar¶³tmica con el prop¶o sito de obtener soluciones cerradas que hagan el an¶alisis m¶as sencillo. Observe tambi¶e n que la tasa subj etiva de descuento del agente ha sido igualada a la tasa de inter¶e s r con el ¯n de alcanzar un estado estacionario para w t y, as¶³, evitar di¯cultades t¶e cnicas innecesarias.
9 0 .3 .2 L a e c u a c i¶o n d e H a m ilto n -J a c o b i-B e llm a n La ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman para el problema de control o¶ ptimo estoc¶astico en el que se maximiza la utilidad esperada del agente, suj eto a su restricci¶o n presupuestal intertemporal, es: ¸ J (a t ;v t ;t) ¡ J t (a t ;v t ;t) ¡ J v (a t ;v t ;t) v¹ v t ¡ (
= max ln(® ¡ 1 a t w t ) e ¡ w
rt
1 2
J v v (a t ;v t ;t) v t2 ¾ v2 ¡ J a (a t ;v t ;t) a t (r + v t )
¡ J a (a t ;v t ;t) a t ³ w t + 12 J a a (a t ;v t ;t) a 2t w t2 ¾ P2
) ³ ³1 + ° (1 ¡ w ) ´ ´ t ¡ J a v (a t ;v t ;t) a t v t w t ¾ P ¾ v ½ + ¸ J a t ;v t ;t ; 1+°
(90:13) donde J (a t ;v t ;t) = max E t w
½Z 1 t
¯ ¾ ³ ´ ¯ ¡ 1 ¡ rs ¯ ln ® a s w s e ds ¯F t
(90:14)
es la funci¶o n de utilidad indirecta (bienestar econ¶o mico) del consumidor y J a (a t ;v t ;t) es la variable de coestado. Dado el factor de descuento exponencial en la ecuaci¶o n (90.14) , se de¯ne J (a t ;v t ;t) en forma separable en el tiempo como J (a t ;v t ;t) ´ F (a t ;v t ) e ¡ r t : Por lo tanto, la ecuaci¶o n (90.14) se transforma en (¸ + r ) F (a t ;v t ) ¡ F v (a t ;v t ) v¹ v t ¡ (
1 2
F v v (a t ;v t ) v t2 ¾ v2 ¡ F a (a t ;v t ) a t (r + v t )
= max ln(® ¡ 1 a t w t ) ¡ F a (a t ;v t ) a t ³ w t + 21 F a a (a t ;v t ) a t2 w t2 ¾ P2 w
) ³ ³1 + ° (1 ¡ w ) ´ ´ t ¡ F a v (a t ;v t ) a t v t w t ¾ P ¾ v ½ + ¸ F a t ;v t : 1+°
(90:15)
Se postula como posible candidato de soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial ordinaria (90.15) a: F (a t ;v t ) = μ 0 + μ 1 ln (a t v t ) + Á (v t ; μ 2 ;μ 3 ) ;
(90:16)
donde μ 0 , μ 1 y Á (v t ) son determinados a trav¶e s de la ecuaci¶o n (90.15) . Si se sustituye la ecuaci¶o n (90.16) en la ecuaci¶o n (90.15) , se tiene que r (μ 0 + μ 1 ln (a t ) ) ¡ μ 1 v¹ + 12 μ 1 ¾ v2 ¡ μ 1 r + r Á (v t ) ¡ Á 0(v t ) v¹ v t ¡ (
1 2
Á 00(v t ) v t2 ¾ v2 + r μ 1 ln(v t ) ¡ μ 1 v t
= max ln(® ¡ 1 a t w t ) ¡ μ 1 ³ w ¡ w
2 2 1 2 μ1 w t ¾ P
(90:17)
) ³1 + ° (1 ¡ w ) ´ t + ¸ μ 1 ln : 1+°
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9 0 .3 .3 C o n d ic io n e s d e p rim e r o rd e n y d e te rm in a c i¶o n d e c o e ¯ c ie n te s Despu¶e s de calcular las condiciones de primer orden del problema de optimizaci¶o n intertemporal, se obtiene que w t ´ w es independiente del tiempo, as¶³ como la relaci¶o n 1 ¸° ¡ = ³ + w ¾ P2 : μ1 w 1 + ° (1 ¡ w )
(90:18)
Se selecciona a Á (v t ) como soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial de segundo orden dada por r Á (v t ) ¡ Á 0(v t ) v¹ v t ¡
1 2
Á 00(v t ) v t2 ¾ v2 + r μ 1 ln(v t ) ¡ μ 1 v t = 0:
Los coe¯cientes μ 0 y μ 1 son determinados a partir de la ecuaci¶o n (90.15) al sustituir w As¶³, μ 1 = r ¡ 1 , mientras que el coe¯ciente de ln(a t ) en la ecuaci¶o n (90.17) es cero, y μ0 =
1 ln(® ¡ 1 w ¤ ) r "
1 ¡ 2 (® ¡ 1 + r + ¼ ¡ ¾ P2 ) w r
¤
# ³1 + ° (1 ¡ w ¤ ) ´ + 12 (w ¤ ¾ P ) 2 ¡ v¹ ¡ r + 12 ¾ v2 ¡ ¸ ln : 1+°
(90:19) ¤
¶o ptima.
(90:20)
La utilidad logar¶³tmica conduce a que w dependa solamente de los par¶ametros que determinan las caracter¶³sticas estoc¶asticas de la econom¶³a y, por lo tanto, w es constante. Es decir, la actitud del consumidor hacia el riesgo cambiario es independiente de su riqueza, i.e., el nivel de riqueza resultante en cualquier instante no tiene relevancia para las decisiones de portafolio. M¶as a¶u n, debido a la utilidad logar¶³tmica, el coe¯ciente de correlaci¶o n, ½ 2 [¡ 1;1] , no j uega papel alguno en las decisiones del consumidor. Por u¶ ltimo, es importante se~n alar que la ecuaci¶o n (90.18) es c¶u bica, por lo que tiene al menos una ra¶³z real. La soluci¶o n de la ecuaci¶o n diferencial (90.19) es (v¶e ase el Ap¶e ndice 90.B) . Á (v t ) =
μ 2 v t¸ 1
+
μ 3 v t¸ 2
1 ¡ ln(v t ) v¹
μ 1+
donde ¸1 = y ¸2 =
(2¹v ¡
¾ v2 )
(2 v¹ ¡
¾ v2 )
2 vt (2 v¹ + ¾ v2 )
¶
1 + v¹
μ
¶ ¾ v2 ¡ 1 ; 2¹v
(90:21)
+
p
4r (2 v¹ ¡ ¾ v2 ) 2 + 8r ¾ v2
(90:22)
¡
p
4r : (2 v¹ ¡ ¾ v2 ) 2 + 8r ¾ v2
(90:23)
Los coe¯cientes μ 2 y μ 3 son obtenidos de tal manera que Á (v 0 ) = 0 y Á 0(v 0 ) = 0 (ver Ap¶e ndice 90.B) . La primera condici¶o n inicial asegura que el bienestar econ¶o mico, W ´ J (a 0 ;v 0 ;0) = F (a 0 ;v 0 ) = μ 0 + μ 1 ln (a 0 v 0 ) es independiente de la selecci¶o n de Á . La segunda condici¶o n, Á 0(v 0 ) = 0, conduce a @J ¯ ¯ ¯ @ v v=
v0
=
1 > 0; rv0
lo cual asegura que un incremento en v 0 mej ora el bienestar econ¶o mico. Por supuesto, esta segunda condici¶o n tambi¶e n asegura una soluci¶o n u¶ nica, Á , de la ecuaci¶o n diferencial (90.19) . La ecuaci¶o n (90.18) es c¶u bica con una ra¶³z negativa y dos ra¶³ces positivas. Esto puede ser visto al intersectar la l¶³nea recta de¯nida por el lado derecho de la ecuaci¶o n (90.18) con la gr¶a¯ca de¯nida por el lado izquierdo de (90.18) . En este caso, hay solamente una intersecci¶o n que proporciona un estado estacionario u¶ nico de la proporci¶o n de la riqueza asignada al consumo w ¤ 2 (0;1) .
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9 0 .4 E x p e rim e n to s d e p o l¶³tic a e c o n o¶ m ic a , e st¶a tic a c o m p a ra tiv a A continuaci¶o n se obtienen varios resultados relevantes. En primer lugar, observe que un aumento permanente en la tasa de devaluaci¶o n produce un aumento en el costo de oportunidad futuro de comprar bienes, lo cual conduce, a su vez, a una disminuci¶o n permanente de la proporci¶o n de la riqueza destinada al consumo futuro. Para ver esto, se calcula la derivada de la ecuaci¶o n (90.18) con respecto de ¼ , lo cual lleva a @w ¤ = ¡ ¢ ¡ 1 < 0; (90:24) @¼ donde · ¸ r ¸°2 2 ¢= + + ¾ > 0: P (w ¤ ) 2 [1 + ° (1 ¡ w ¤ ) ] 2 Otro resultado importante es la respuesta de los saldos monetarios reales de equilibrio, w ¤ , a cambios permanentes en el par¶ametro de intensidad, ¸ . Un aumento permanente en el n¶u mero esperado de devaluaciones por unidad de tiempo ocasiona un incremento en el costo de oportunidad futuro de la compra de bienes. Esto, a su vez, disminuye permanentemente la proporci¶o n de la riqueza dedicada al consumo futuro. De hecho, despu¶e s de calcular la derivada de la ecuaci¶o n (90.18) con respecto de ¸ , se obtiene @w ¤ ° =¡ < 0: @¸ ¢[1 + ° (1 ¡ w ¤ ) ]
(90:25)
Un efecto equivalente es obtenido por un cambio permanente en el tama~n o medio esperado de un salto, en cuyo caso se calcula la derivada de la ecuaci¶o n (18) con respecto de ° , esto es, @w ¤ ¸ = < 0: @° ¢[1 + ° (1 ¡ w ¤ ) ] 2
(90:26)
9 0 .5 Im p a c to d e c h o q u e s e x o¶ g e n o s e n e l b ie n e sta r e c o n o¶ m ic o Ahora se determinan los efectos de choques ex¶o genos en el bienestar econ¶o mico. Como siempre, el criterio de bienestar, W , del individuo representativo es la utilidad maximizada con riqueza real inicial, a 0 , y tasa impositiva inicial sobre la riqueza, ¿ 0 . En virtud de la ecuaci¶o n (90.14) , el bienestar est¶a de¯nido por: 1 W (¼ ;¸ ;° ; v¹ ; a 0 ;v 0 ) ´ J (a 0 ;v 0 ;0) = F (a 0 ;v 0 ) = [1 + ln(a 0 v 0 ) + ln(® ¡ 1 w ¤ ) ] r ³1 + ° (1 ¡ w ¤ ) ´i 1 h ¡1 ¡ 2 (® + r + ¼ ¡ ¾ P2 ) w ¤ + 12 (w ¤ ¾ P ) 2 ¡ v¹ + 12 ¾ v2 ¡ ¸ ln ; r 1+°
(90:27)
donde se ha utilizado el hecho de que Á (v 0 ) = 0. Ahora se calculan los impactos en el bienestar econ¶o mico producidos por cambios permanentes en la tasa media esperada de devaluaci¶o n, la probabilidad de devaluaci¶o n y el tama~n o esperado de una devaluaci¶o n. Primero, note que baj o el supuesto de la utilidad logar¶³tmica, un incremento en la tasa media de devaluaci¶o n reduce el bienestar econ¶o mico. De hecho, al calcular la derivada de la ecuaci¶o n (90.27) con respecto de ¼ , se encuentra que @W w¤ = ¡ 2 < 0: @¼ r
(90:28)
An¶alogamente, los choques ex¶o genos en la probabilidad de devaluaci¶o n producir¶an una reducci¶o n en el bienestar econ¶o mico. Para ver esto, es su¯ciente calcular la derivada de la ecuaci¶o n (90.27) con respecto de ¸ μ ¶ @W 1 1 + ° (1 ¡ w ¤ ) = 2 ln < 0: (90:29) @¸ r 1+°
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Por u¶ ltimo, un aumento permanente del tama~n o esperado de una devaluaci¶o n reduce el bienestar econ¶o mico, as¶³ · ¸ @W 1 ¸w ¤ =¡ 2 < 0: (90:30) @° r (1 + ° ) (1 + ° (1 ¡ w ¤ ) ) Por u¶ ltimo, se calculan los impactos en el bienestar econ¶o mico producidos por cambios permanentes en la tasa impositiva media esperada sobre la relaci¶o n de transformaci¶o n entre el ingreso laboral y los activos reales v¹ . En este caso, se tiene @W 1 = 2 > 0: @ v¹ r
(90:31)
De aqu¶³ que un incremento en v¹ , conducir¶a a un incremento en el bienestar econ¶o mico.
9 0 .6 D in ¶a m ic a d e la riq u e z a y e l c o n su m o A continuaci¶o n se obtiene el proceso estoc¶astico que genera la riqueza real del consumidor cuando las decisiones ¶o ptimas son aplicadas. Despu¶e s de sustituir la proporci¶o n ¶o ptima w ¤ en la ecuaci¶o n (90.11) , se obtiene da t = a t
h³
´ ³1 + ° (1 ¡ w ¤ ) ´ i ¸°w ¤ ¤ 2 ¤ + (w ¾ ) + v dt ¡ w ¾ dz + ¡ 1 dN t ; t t 1 + ° (1 ¡ w ¤ ) 1+°
donde
n v t = v 0 exp (¹v ¡
1 2
¾ v2 ) t + E ¾
p o t
(90:32)
(90:33)
y E » N (0;1) . La funci¶o n de densidad de probabilidad de v t , dado v 0 , est¶a de¯nida por ½ 1 f v t jv 0 (x jv 0 ) = p exp ¡ 2¼ t¾ v x
en cuyo caso se tiene que y
1 2
μ
ln (x = v 0 ) ¡ ( v¹ ¡ p ¾v t
1 2
¾ v2 ) t
¶ ¾ 2 ;
(90:34)
E[v t jv 0 ] = v 0 e v¹ t
(90:35)
¡ ¢ Var[v t jv 0 ] = v 02 e 2 v¹ t e ¾ v 2 t ¡ 1 :
(90:36)
La soluci¶o n a la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica (90.32) , suj eta a a 0 , es (v¶e ase Ap¶e ndice 90.A, f¶o rmula (90.A.3) ) a t = a 0 e ±t ; (90:37) donde ± t = ´ t + »t;
´ t jv t » N [[F (w ¤ ) + v t ] t;G (w ¤ ) t] ; ¤
» t = H (w ) N y
t
(90:38) (90:39)
1
N
t
» P (¸ t) :
(90:40)
Los componentes estacionarios de los par¶ametros de la distribuci¶o n anterior son: F (w ¤ ) =
¸°w ¤ (w ¤ ¾ P ) 2 + ; ¤ 1 + ° (1 ¡ w ) 2 G (w ¤ ) = (w ¤ ¾ P ) 2 ;
y H (w ¤ ) = ln 1
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(90:41)
³1 + ° (1 ¡ w ¤ ) ´ : 1+°
x » P (a ) d en o ta a v a ria b le a lea to ria tip o P o isso n x co n m ed ia a .
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Observe tambi¶e n que y
E[± t jv t ] = [F (w ¤ ) + v t + H (w ¤ ) ¸ ] t
(90:42)
Var[± t jv t ] = [G (w ¤ ) + [H (w ¤ ) ] 2 ¸ ] t:
(90:43)
E[± t ] = Ef E[± t jv t ] g = [F (w ¤ ) + v 0 e v¹ t + H (w ¤ ) ¸ ] t
(90:44)
M¶as a¶u n, se sigue que
y ¡ ¢ Var[± t ] = Varf E[± t jv t ] g + Ef Var[± t jv t ] g = t2 v 02 e 2 v¹ t e ¾ t 2 t ¡ 1 + [G (w ¤ ) + [H (w ¤ ) ] 2 ¸ ] t: (90:45) Aunque F (w ¤ ) siempre es positivo y H (w ¤ ) siempre es negativo para toda 0 < w ¤ < 1, la media de ± , E[± t jv t ] , permanece positiva. En efecto, ya que x ¡ 1¡ log(x ) ¸ 0 es v¶alida para toda x > 0, se tiene que μ ¶ °w ¤ 1+° ¡ ln ¸ 0; 1 + ° (1 ¡ w ¤ ) 1 + ° (1 ¡ w ¤ ) de donde se obtiene la a¯rmaci¶o n acerca del signo de E[± t jv t ] . Por u¶ ltimo, observe que, en virtud de (90.37) , las ecuaciones (90.44) y (90.45) determinan la media y la varianza de la velocidad a la que crece la riqueza real del individuo. En virtud de las ecuaciones (90.6) y (90.38) , el proceso estoc¶astico para el consumo puede ser escrito como c t¤ = ® ¡ 1 w ¤ a 0 e ± t : (90:46) Esto indica que, en ausencia de mercados de derivados, el riesgo de devaluaci¶o n tiene un efecto sobre la riqueza a trav¶e s de la incertidumbre en ± t , esto es, la incertidumbre modi¯ca el conj unto de oportunidades que enfrenta el consumidor. Por otra parte, el riesgo de devaluaci¶o n tambi¶e n afecta la composici¶o n del portafolio por medio de sus efectos sobre w ¤ . Por lo tanto, un cambio de pol¶³tica econ¶o mica estar¶a acompa~n ado tanto por un efecto riqueza como por un efecto sustituci¶o n. Note que de la ecuaci¶o n (90.46) se puede calcular la probabilidad de que, en un intervalo dado, ocurran determinados niveles de consumo. Tambi¶e n es importante notar, considerando las ecuaciones (90.46) y (90.12) , que el supuesto de una tasa subj etiva de descuento igual a la tasa de inter¶e s mundial no asegura un estado estacionario en el consumo. Sin embargo, se tiene un estado estacionario de la proporci¶o n de la riqueza que se destina para el consumo. Se puede concluir que la incertidumbre es la clave para racionalizar din¶amicas de consumo m¶as realistas que no podr¶³an ser obtenidas a partir de modelos deterministas. Por u¶ ltimo, observe que, en virtud de (90.46) , las ecuaciones (90.44) y (90.45) determinan la media y la varianza de la velocidad a la que crece el consumo.
A p ¶e n d ic e 9 0 .A En este ap¶e ndice se establecen sin demostraci¶o n dos resultados u¶ tiles en el desarrollo de este cap¶³tulo: 1) El lema de It^o para procesos combinados de difusi¶o n y saltos de Poisson, el cual puede ser enunciado de la siguiente manera. Dada la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica lineal y homog¶e nea z t » N (0;t) ;
dx t = x t (¹ dt + ¾ dz t + ° dq t ) ;
q t » P (¸ t)
(90:A:1)
y una funci¶o n g (x t ) con segunda derivada continua, entonces la diferencial estoc¶astica de g (x t ) est¶a dada por dg (x t ) = [g x (x t ) ¹ x t + 21 g x x (x t ) ¾ 2 x t2 ] dt + g x (x t ) ¾ x t dz t + [g (x t (1 + ° ) ) ¡ g (x t ) ] dq t :
(90:A:2)
2) La soluci¶o n a la ecuaci¶o n (90.A.1) est¶a dada por ½ x t = x 0 exp (¹ ¡
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1 2
¾ 2 )t + ¾
Zt 0
dz u + ln(1 + ° )
Zt
dq u
¾
:
(90:A:3)
0
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Es importante tener en cuenta que al utilizar (90.A.3) se cumplen las siguientes propiedades: E
·Z t 0
"μZ ¸ ¶2 # Z t ·Z t ¸ t dz u = 0; E dz u = du = t y E dq u = ¸ t 0
0
0
para todo t ¸ 0.
A p ¶e n d ic e 9 0 .B En este ap¶e ndice se resuelve la ecuaci¶o n diferencial ordinaria lineal de segundo orden no homog¶e nea, la cual aparece en la ecuaci¶o n (90.20) . Sea Á = Á (v ) y considere la ecuaci¶o n diferencial ordinaria de segundo orden no homog¶e nea del tipo de Euler-Cauchy 2¹v 0 2r 2 2 v Á ¡ 2 Á = 2 ln(v ) ¡ v; ¾2 ¾ ¾ r¾ 2
v 2 Á 00 +
(90:B:1)
donde r y ¾ son constantes positivas. Para transformar la ecuaci¶o n (90.B.1) en una ecuaci¶o n diferencial con coe¯cientes constantes se aplica el m¶e todo de Euler en el que se utiliza el siguiente cambio de variable v = e t . As¶³, t = ln(v ) , @Á 1 @Á = @v v @t y @ 2Á 1 = 2 @ v2 v
μ
@ 2Á @Á ¡ @ t2 @t
(90:B:2) ¶
:
(90:B:3)
Despu¶e s de sustituir las ecuaciones (90.B.2) y (90.B.3) en la ecuaci¶o n (90.B.1) , se obtiene @ 2Á + @ t2
μ
2 v¹ ¡ 1 ¾2
¶
@Á 2r 2 2 t ¡ 2Á = 2t¡ e : @t ¾ ¾ r¾ 2
(90:B:4)
La soluci¶o n general de esta ecuaci¶o n es de la forma: Á (t) = Á c (t) + Á p (t) ;
(90:B:5)
donde Á c es la soluci¶o n complementaria asociada a la ecuaci¶o n homog¶e nea y Á p es una soluci¶o n particular de la ecuaci¶o n no homog¶e nea. Para determinar Á c se necesita resolver la siguiente ecuaci¶o n caracter¶³stica en ¸ : μ ¶ 2 v¹ 2r 2 ¸ + ¡ 1 ¸ ¡ 2 = 0: ¾2 ¾ De aqu¶³ que la soluci¶o n complementaria es Á c (t) = μ 2 e ¸ 1 t + μ 3 e ¸ 2 t ;
(90:B:6)
donde las dos ra¶³ces est¶an dadas por ¸1 =
(2¹v ¡ ¾
2)
(2 v¹ ¡ ¾
2)
+
p
4r (2 v¹ ¡ ¾ 2 ) 2 + 8r ¾ 2
¡
p
4r : (2 v¹ ¡ ¾ 2 ) 2 + 8r ¾ 2
y ¸2 =
Enseguida se determina Á p , para ello se utiliza el m¶e todo de coe¯cientes indeterminados. Se supone que la soluci¶o n es de la siguiente forma: Á p (t) = A t + B + C te t :
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(90:B:7)
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9 0 . R iesg o n o d iv ersi¯ ca b le d e tip o d e ca m b io (III): in g reso la b o ra l in cierto
t Por lo tanto, Á 0p (t) = A + C (t+ 1) e t y Á 00 on p (t) = C (t+ 2) e . Posteriormente, se sustituye la ecuaci¶ (90.B.7) en la ecuaci¶o n (90.B.4) para obtener
μ
2¹v 2r ¡ 2 ¾2 ¾
¶
μ ¶ μ ¶ 2 v¹ 2r 2 v¹ 2r 2 2 t t C te + 1 + 2 C e ¡ 2 A t + ¡ 1 A ¡ 2B = 2t¡ e : ¾ ¾ ¾2 ¾ ¾ r¾ 2 t
Al resolver t¶e rmino a t¶e rmino se tiene que los valores de A , B y C est¶an dados por A =¡
1 ; r
B =
¢ 1 ¡2 ¾ ¡ 2¹v 2 2r
y
C =¡
2 : r (¾ + 2¹v ) 2
Por lo tanto, para obtener una soluci¶o n particular se debe cumplir que v¹ = r . En consecuencia, Á p (t) = ¡
1 1 ¾2 2 t¡ + 2 ¡ te t : v¹ v¹ 2¹v v¹ (¾ 2 + 2¹v )
(90:B:8)
Al sustituir las ecuaciones (90.B.6) y (90.B.8) en la ecuaci¶o n (90.B.5) , se tiene que Á (t) = μ 2 e ¸ 1 t + μ 3 e ¸ 2 t ¡
1 1 ¾2 2 t¡ + 2 ¡ te t : v¹ v¹ 2 v¹ v¹ (¾ 2 + 2 v¹ )
Como v = e t , la soluci¶o n general de la ecuaci¶o n (90.B.1) , en t¶e rminos de v , est¶a dada por Á (v t ) =
μ 2 v t¸ 1
+
μ 3 v t¸ 2
1 ¡ ln(v t ) v¹
μ 1+
2 vt (¾ 2 + 2 v¹ )
¶
1 + v¹
μ
¶ ¾2 ¡ 1 : 2 v¹
(90:B:9)
Los valores de μ 2 y μ 3 que satisfacen las condiciones iniciales Á (v 0 ) = Á 0(v 0 ) = 0 son μ2 = y
· μ ¶ ¸ v 0¡ ¸ 1 ¾2 2v 0 ¸ 2 ln(v 0 ) + 1 ¡ ¡ (1 + ln(v ) (1 ¡ ¸ ) ) + 1 0 2 (¸ 1 ¡ ¸ 2 ) v¹ 2 v¹ 2¹v + ¾ 2
· μ ¶ ¸ v 0¡ ¸ 2 ¾2 2v 0 μ3 = ¡ ¸ 1 ln(v 0 ) + 1 ¡ + (1 + ln(v 0 ) (1 ¡ ¸ 1 ) ) + 1 : (¸ 1 ¡ ¸ 2 ) v¹ 2¹v 2 v¹ + ¾ 2
9 0 .7 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Merton, R. C. (1969) . \Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous Time Case" . T h e R eview o f E co n o m ics a n d S ta tistics, Vol. 51, No. 3, pp. 247-257. Merton, R. C. (1971) . \Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continuous Time Model" . J o u rn a l o f E co n o m ic T h eo ry , Vol. 3, No. 4. pp. 373-413. Venegas-Mart¶³nez, F. (2006) . Stochastic Temporary Stabilization: Undiversi¯able Devaluation and Income Risks. E co n o m ic M od ellin g, Vol. 23, No. 1, pp. 157-173. Venegas-Mart¶³nez, F. (2006) . \Estabilizaci¶o n de precios e ingreso laboral incierto: un enfoque estoc¶astico" , In vestiga ci¶o n E co n o¶ m ica , Vol. 65. No. 256, pp. 45-69.
9 0 .8 E je rc ic io s 9 0 .1 Efect¶u e el mismo an¶alisis de este cap¶³tulo con un candidato de la forma J (a t ;v t ;t) = max E t w
½Z 1 t
ln(c s ) e ¡
rs
¯ ¾ ¯ e¡ rt ds ¯ ¯F t = r [ln(a t ) + g (v t ;t) ] :
9 0 .2 Realice el mismo an¶alisis de este cap¶³tulo considerando la funci¶o n de utilidad u (c t ) = c t° = ° :
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C A P ¶IT U L O 91 M A X IM IZ A C IO¶ N D E U T IL ID A D Y V A L U A C IO¶ N D E O P C IO N E S C O N V O L A T IL ID A D E S T O C A¶ S T IC A C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² Maximizaci¶o n de utilidad ² Volatilidad estoc¶astica ² Ecuaci¶o n diferencial parcial del precio de una opci¶o n con volatilidad estoc¶astica
9 1 .1 In tro d u c c i¶o n En esta secci¶o n se obtiene, a trav¶e s de agentes racionales maximizadores de utilidad, la ecuaci¶o n diferencial parcial que caracteriza el precio (valor) de una opci¶o n europea de compra cuando la volatilidad es estoc¶astica. En particular, se supone que la volatilidad es conducida por un movimiento geom¶e trico Browniano. Se supone que los agentes tienen acceso a tres activos ¯nancieros: una acci¶o n, una opci¶o n sobre la acci¶o n y un bono libre de riesgo de incumplimiento que paga tasa ¯j a. Se supone tambi¶e n que no hay impuestos y que no existen costos de transacci¶o n en el mantenimiento del portafolio, es decir, no hay comisiones.
9 1 .2 P la n te a m ie n to d e l p ro b le m a d e v a lu a c i¶o n Se supone que el precio del activo subyacente, S t , sigue un movimiento geom¶e trico Browniano, cuya volatilidad al cuadrado (la varianza) , ¾ t2 = V t , es conducida por otro movimiento geom¶e trico Browniano, es decir, ( dS t = ¹ S t dt + ¾ t S t dW t ; (91:1) dV t = ® V t dt + ¯ V t dZ t ; donde ¹ 2 IR es el par¶ametro de tendencia del subyacente, ® 2 IR es la tendencia de la varianza y ¯ > 0 es la volatilidad de la varianza, las cuales son cantidades conocidas. Asimismo, se supone que los movimientos Brownianos dW t y dZ t est¶an correlacionados entre s¶³, de tal forma que Cov(dW t ;dZ t ) = ½ dt: Observe, por u¶ ltimo, que no se considera el pago de dividendos. Considere ahora un consumidor-inversionista racional que tiene acceso a tres diferentes activos: una acci¶o n de precio S t , una opci¶o n sobre la acci¶o n de precio c = c(S t ;V t ;t) y un bono libre de riesgo de incumplimiento que paga una tasa constante r . El bono tambi¶e n puede verse como un dep¶o sito bancario que paga tasa r . Como siempre, se supone que el precio de una opci¶o n europea de compra, c, depende de las variables de estado, esto es, c = c(S t ;V t ;t) . En lo subsecuente, a t denotar¶a la riqueza real del agente al instante t. Las proporciones de la riqueza que el agente asigna a la tenencia de los diferentes activos, la acci¶o n, el derivado y el bono ser¶an denotadas, respectivamente, por x t , y t y 1 ¡ x t ¡ y t . La ecuaci¶o n de evoluci¶o n de la riqueza real (restricci¶o n presupuestal) est¶a dada por da t = x t a t dR
S
+ y t a t dR
c
+ (1 ¡ x t ¡ y t ) a t r dt ¡ c t dt;
donde dR S = dS t = S t y dR c = dc= c. Es importante destacar la diferencia entre c y c t , el primer caso se re¯ere al precio de la opci¶o n y el segundo al bien de consumo. Ahora bien, de acuerdo con el lema de It^o , se tiene que el precio de la opci¶o n sigue una ecuaci¶o n de la forma dc = ¹ c cdt + ¾ c cdW
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t
+ » c cdZ t ;
(91:2)
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donde los coe¯cientes ¹ c , ¾ c y » c est¶an dados, respectivamente, por: μ ¶ 1 @c @c @c 1 2 2 @ 2c 1 2 2 @ 2c @ 2c ¹c = +¹St + ® Vt + ¾t St + ¯ Vt + ½ ¯ V t¾ tS t ; (91:3) c @t @St @Vt 2 2 @ S t@ V t @ S t2 @ V t2 ¾c =
1 @c ¾ tS t c @St
(91:4)
»c =
1 @c ¯Vt : c @Vt
(91:5)
y
Ahora bien, en virtud de (91.1) y (91.2) , la ecuaci¶o n de evoluci¶o n de la riqueza se puede reescribir como: · ¸ ct da t = a t r + (¹ ¡ r ) x t + (¹ c ¡ r ) y t ¡ dt + a t (x t ¾ t + y t ¾ c ) dW t + a t y t » c dZ t : (91:6) at En lo que sigue, la funci¶o n de utilidad (satisfacci¶o n) del agente por el consumo de un bien gen¶e rico, c t , se denotar¶a mediante u (c t ) . Suponga que la funci¶o n de utilidad indirecta, o bienestar econ¶o mico, del individuo est¶a dada por: "Z ¯ # T ¯ ¡ ±s J (a t ;V t ;t) = max E u (c s ) e ds + b(a T ;T ) ¯ (91:7) ¯F t ; f c t ;x t ;y t g t
suj eta a la ecuaci¶o n (91.6) . El par¶ametro ± > 0 determina la tasa subj etiva de descuento del individuo, F t denota la informaci¶o n relevante disponible al tiempo t y b(a T ;T ) representa la funci¶o n de legado (herencia o salvamento) en T . Observe que tambi¶e n T representa la fecha de ej ercicio de la opci¶o n. Por u¶ ltimo, se supone que u (¢) satisface u 0 > 0 y u 00 < 0, es decir, la funci¶o n de utilidad es estrictamente creciente y c¶o ncava. En otras palabras, la utilidad marginal es positiva pero decreciente. A continuaci¶o n se emplean varias formas funcionales de la funci¶o n de utilidad para obtener la ecuaci¶o n diferencial parcial que caracteriza el precio de la opci¶o n.
9 1 .3 F u n c i¶o n d e u tilid a d c o n c o e ¯ c ie n te c o n sta n te d e a v e rsi¶o n a l rie sg o En esta secci¶o n se supone que la funci¶o n de utilidad tiene la siguiente forma funcional: u (c t ) =
c t° °
y que el t¶e rmino de legado es b(a T ;T ) = e ¡
±T
(91:8) aT ° ; °
(91:9)
donde ° es el par¶ametro de aversi¶o n al riesgo. Observe que si ° = 1 el inversionista es neutral al riesgo, mientras que si 0 < ° < 1, el inversionista es adverso al riesgo. El caso ° = 0 corresponde a la funci¶o n de utilidad logar¶³tmica, la cual se estudiar¶a m¶as adelante. Para resolver el problema (91.7) , con la funci¶o n de utilidad de (91.8) , se utilizar¶a la ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) . Es decir, la funci¶o n J = J (a t ;V t ;t) , expresada en (91.7) , debe satisfacer la siguiente ecuaci¶o n diferencial parcial de segundo orden: ( · ¸ c °t ¡ ± t @ J @J ct 0 = max e + + a t r + (¹ ¡ r ) x t + (¹ c ¡ r ) y t ¡ ° @t @ at at f x t ;y t ;c t g ¤ @J 1 @ 2J 2 £ 1 @ 2J 2 2 a t (x t ¾ t + y t ¾ c ) 2 + y t2 » c2 + 2(x t ¾ t + y t ¾ c ) y t » c ½ + ®Vt+ ¯ Vt 2 2 @ at @Vt 2 @ V t2 ) @ 2J + a t ¯ V t [(x t ¾ t + y t ¾ c ) ½ + y t » c ] : @ a t@ V t (91:10) +
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Al igualar a cero las derivadas parciales de (91.10) con respecto de c t , x t y y t , se obtienen las siguientes condiciones necesarias para un m¶aximo: e¡
±t
@J = 0; @ at
ct° ¡ 1 ¡
(91:11)
@ 2J @ 2J ¡ ¢ @ a 2t @ a t@ V t ¹ ¡ r = ¡ x t¾ t + y t¾ c + y t» c ½ ¾ ta t ¡ ¾ t¯ V t½ @J @J @ at @ at
(91:12)
y @ 2J @ 2J 2 £ ¤ @ a @ a @V ¹ c ¡ r = ¡ (y t ¾ c + x t ¾ t ) ¾ c + y t » c2 + (x t ¾ t + y t ¾ c ) » c ½ + y t ¾ c » c ½ a t t ¡ (½ ¾ c + » c ) ¯ V t t t : @J @J @ at @ at (91:13) Se propone un candidato de soluci¶o n de la forma: J (a t ;V t ;t) = e ¡
±t
g (V t ;t)
a t° ; °
(91:14)
el cual separa variables (multiplicativamente) . La funci¶o n g (V t ;t) es conocida como el coe¯ciente del premio al riesgo. Este nombre se j usti¯ca a continuaci¶o n. Observe primero que a partir de (91.14) , se sigue que @J = e ¡ ± t g (V t ;t) a t ° ¡ 1 ; @ at @ 2J = (° ¡ 1) e ¡ @ a 2t
±t
g (V t ;t) a t ° ¡
2
y @ 2J = e¡ @ a t@ V t
±t
@ g °¡ 1 at : @Vt
En virtud de estas ecuaciones, el coe¯ciente de aversi¶o n al riesgo, el cual aparece expl¶³citamente en (9.12) y (9.13) , satisface @ 2J u 00(c t ) @ a2 ¡ a t t = 1 ¡ ° = ¡ ct 0 ; @J u (c t ) @ at en donde ¡ c t u 00(c t ) = u 0(c t ) es la elasticidad de la utilidad marginal (coe¯ciente relativo de aversi¶o n al riesgo) . Adem¶as, @g @ 2J 1 @g Vt 1 @ a t@ V t @Vt = = = " g ;V ; @J g (V t ;t) Vt @Vt g Vt @ at en donde " g ;V es la elasticidad de g con respecto de V t . Para obtener la ecuaci¶o n diferencial parcial que determina el precio de la opci¶o n se requiere una soluci¶o n de esquina. En particular, se requiere que haya inversi¶o n en la acci¶o n, pero no en la opci¶o n ni en el bono libre de riesgo. Al sustituir x t = 1 y y t = 0 en las ecuaciones (91.11) , (91.12) y (91.13) , ¶e stas se transforman, respectivamente, en: c t ° ¡ 1 = g (V t ;t) a t ° ¡ 1 ; (91:15) ¹ ¡ r = (1 ¡
° ) ¾ t2
@g @Vt ¡ ½ ¾ t¯ V t g (V t ;t)
(91:16)
y @g @Vt ¹ c ¡ r = (1 ¡ ° ) ¾ t (¾ c + » c ½ ) ¡ (¾ c ½ + » c ) ¯ V t : g (V t ;t)
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En particular, los premios al riesgo para el activo subyacente y el producto derivado est¶an dados por las ecuaciones: @g ¹ ¡ r @Vt ¸S = = (1 ¡ ° ) ¾ t ¡ ½ ¯ V t (91:18) ¾t g (V t ;t) y @g μ ¶ μ ¶ ¹c ¡ r »c »c @Vt ¸c = = 1+ ½ (1 ¡ ° ) ¾ t ¡ ½ + ¯Vt : ¾c ¾c ¾c g (V t ;t) A partir de las ecuaciones anteriores se puede concluir que ¸c = ¸S +
»c »c ½ (1 ¡ ° ) ¾ t ¡ ¾c ¾c
μ
¯Vt g
¶
@g ; @Vt
la cual conduce a · μ 2 2¶ ¸ 2 @c @c 1 ¯ Vt @g @c 2 @ c + r S t + V tS t 2 ¡ r c + ® V t ¡ ¯ V t ½ (1 ¡ ° ) ¾ t + @t @St 2 g @ V @ Vt @St t 2 2 1 @ c 2 2 @ c 3=2 + ¯ Vt + ¯V S t ½ = 0; 2 @ V t2 @ S t@ V t t
(91:19)
j unto con la condici¶o n de frontera c(S t ;V t ;T ) = max(S t ¡ K ;0) . Asimismo, la ecuaci¶o n (91.10) se simpli¯ca si se sustituye el candidato de soluci¶o n J y la soluci¶o n de esquina x t = 1 y y t = 0, en cuyo caso se obtiene 0=
g ° = (° ¡ °
1)
¡
± 1 @g g+ + ¹ g ¡ g ° = (° ¡ ° ° @t
1)
1 1 @g 1 + (° ¡ 1) V t g + (® V t + ° ¾ t ¯ V t ½ ) + 2 ° @Vt 2
μ
¯ 2 V t2 °
¶
@ 2g ; @ V t2 (91:20)
donde se ha utilizado que c t = [g (V t ;t) ]
1 = (° ¡ 1 )
at
y
@J = @t
μ ¶ @g ¡ ±g + e¡ @Vt
±t a t
°
°
:
De esta manera, la ecuaci¶o n (91.20) se transforma en 0=¡
@g +(° ¡ 1) g ° = (° ¡ @t
1)
· ¸ 1 @ g 1 2 2 @ 2g 3=2 + (± ¡ ¹ ° ) ¡ ° (° ¡ 1) V t g ¡ (® V t +° ¯ V t ½ ) ¡ ¯ Vt : (91:21) 2 @Vt 2 @ V t2
La condici¶o n de frontera, en este caso, es g (V t ;T ) = 1, lo cual asegura que se satisfaga el valor del legado en (91.9) . Como puede observarse, se requiere la soluci¶o n de (91.21) , g = g (V t ;t) , a ¯n de sustituirla en (91.20) y poder resolver esta u ¶ ltima en c(S t ;V t ;t) . La ecuaci¶o n (91.19) indica c¶o mo aj ustar el proceso estoc¶astico que sigue el precio del activo subyacente, dado en la ecuaci¶o n (91.1) . En este caso, 8 > < dS t = r S t dt + ¾ t S t dW t ; · μ 2 2¶ ¸ ¯ Vt @g > dt + ¯ V t dZ t : : dV t = ® V t ¡ ¯ V t ½ (1 ¡ ° ) ¾ t + g @Vt
9 1 .4 F u n c i¶o n d e u tilid a d lo g a r¶³tm ic a Considere de nuevo un consumidor racional con vida in¯nita maximizador de utilidad. Se supone una funci¶o n de utilidad logar¶³tmica, lo cual conduce a que el consumidor es adverso al riesgo. Como antes, se supone que el consumidor tiene acceso a un activo libre de riesgo (de incumplimiento) , por ejemplo un bono cup¶o n cero, una acci¶o n con riesgo y una opci¶o n sobre dicha
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acci¶o n. Se supone que la funci¶o n de utilidad esperada al tiempo t de un individuo representativo y competitivo tiene la siguiente forma: ¯ # "Z ¯ T e¡ ±T ¯ ¡ ±s E ln(c s ) e ds + ln(a T ) (91:22) ¯F t ; ± ¯ t
donde ± es la tasa subj etiva de descuento y F t es la informaci¶o n disponible al tiempo t. El consumidor representativo posee tres diferentes activos, en t¶e rminos reales: un t¶³tulo de deuda de precio b t , una acci¶o n de precio S t y una opci¶o n europea de compra de precio c(S t ;V t ;t) sobre la acci¶o n. En consecuencia, la riqueza real, a t , del individuo est¶a dada por: a t = b t + S t + c(S t ;V t ;t) :
(91:23)
Sea x t = S t = a t la proporci¶o n de la riqueza que el consumidor asigna a la tenencia de t¶³tulos de capital, y t = c= a t la proporci¶o n de la riqueza que el consumidor asigna a la tenencia de opciones y 1 ¡ x t ¡ y t = b t = a t la proporci¶o n de la riqueza que el consumidor destina a t¶³tulos de deuda. De esta manera, la evoluci¶o n de la acumulaci¶o n de la riqueza real sigue la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica de la forma da t = a t x t dR
S
+ a t y t dR
c
+ a t (1 ¡ x t ¡ y t ) dR
b
¡ c t dt;
(91:24)
donde dR S es el rendimiento del activo con riesgo, dR c es el rendimiento de la opci¶o n y dR b = r dt el rendimiento del bono. Es importante distinguir entre las cantidades c = c(S t ;V t ;t) y c t , la primera representa el precio de la opci¶o n y la segunda el consumo. Suponga que dR
S
= ¹ dt + ¾ t dW t ;
(91:25)
donde ¹ 2 IR, ¾ t ¸ 0 y f W t g t¸ 0 un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de W W W W probabilidad equipado con una ¯ltraci¶o n ( ;F ;f F t g t¸ 0 ;IP ) y dV t = ® V t dt + ¯ V t dZ t ;
(91:26)
donde V t = ¾ t2 , ® > 0; ¯ > 0 y f Z t g t¸ 0 un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o Z Z Z Z de probabilidad equipado con una ¯ltraci¶o n ( ;F ;f F t g t¸ 0 ;IP ) . Suponga que Cov(dW t ;dZ t ) = ½ dt: Durante el intervalo de tiempo [t;t + dt] , el activo subyacente cambia de S t a S t + dS t , en consecuencia, el precio de la opci¶o n cambia de c(S t ;V t ;t) a c + dc. El cambio marginal en el precio de la opci¶o n se obtiene mediante el lema de It^o como: μ ¶ 2 @c @c @c @ 2c @ 2c 1 2 2 @ c dc = + ¹St+ ® V t + 12 ¾ t2 S t2 + ¯ V + ¾ ¯ S V ½ dt t t t t 2 @t @St @Vt @ S t2 @ V t2 @ S t@ V t @c @c + ¾ t S t dW t + ¯ V t dZ t @St @Vt ¶o dc = ¹ c cdt + ¾ c cdW
t
+ » c cdZ t ;
donde ¹c =
μ
@c @c @c @ 2c @ 2c @ 2c + ¹St+ ® V t + 21 ¾ t2 S t2 + 21 ¯ 2 V t2 + ¾ t¯ S tV t½ 2 2 @t @St @Vt @St @Vt @ S t@ V t
¶Á
c; (91:27)
¾c =
@ c ¾ tS t @St c
(91:28)
»c =
@c ¯Vt : @Vt c
(91:29)
y
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Si se sustituye (91.25) y la ecuaci¶o n anterior a (91.27) en (91.24) , se tiene que · ¸ ct da t = a t r + (¹ ¡ r ) x t + (¹ c ¡ r ) y t ¡ dt + a t [(¾ t x t + ¾ c y t ) dW t + y t » c dZ t ] : at Sea J (a t ;V t ;t) = max E c t ;x t ;y t
"Z T
ln(c s ) e
¡ ±s
ds + ln(a T )
e¡
±T
±
t
¯ ¯ ¯ ¯F ¯
t
(91:30)
#
:
La condici¶o n necesaria del problema de control o¶ ptimo estoc¶astico en el que el consumidor racional desea maximizar la utilidad total queda expresado como: · ¸ ct ¡ ±t 0 = ln(c t ) e + J t + J a a t r + (¹ ¡ r ) x t + (¹ c ¡ r ) y t ¡ at h i 2 2 2 2 1 + 2 J a a a t (¾ t x t + ¾ c y t ) + » c y t + 2 (¾ t x t + ¾ c y t ) » c y t ½ + J V ® V t + 21 J V
V
¯ 2 V t2 + J a V a t V t ¯ [(¾ t x t + ¾ c y t ) ½ + » c y t ] :
Considere el siguiente candidato de soluci¶o n 1 J (a t ;V t ;t) = [ln(a t ) + g (V t ;t) ] e ¡ ±
±t
:
En este caso, se sigue que g (V t ;T ) = 0: Asimismo, · ¸ 1 @g 1 ct 0 = ln(c t ) ¡ [ln(a t ) + g (V t ;t) ] + + r + (¹ ¡ r ) x t + (¹ c ¡ r ) y t ¡ ± @t ± at i ® @g 2 1 h ¯ @ 2g 2 2 ¡ (¾ t x t + ¾ c y t ) + » c2 y t2 + 2 (¾ t x t + ¾ c y t ) » c y t ½ + Vt+ V : 2± ± @Vt 2± @ V t2 t Las condiciones de primer orden son ct = ± a t;
(91:31)
¹ ¡ r = (¾ t x t + ¾ c y t ) ¾ t + » c y t ¾ t ½ y
¹ c ¡ r = (¾ t x t + ¾ c y t ) ¾ c + y t » c2 + (¾ t x t + ¾ c y t ) » c ½ + y t ¾ c » c ½ :
(91:32)
Las dos u¶ ltimas condiciones se pueden reescribir como ¸S ´
¹ ¡ r = ¾ tx t + ¾ c y t + » c y t½ ¾t
(91:33)
y ¹c ¡ r »2 »c = ¾ t x t + ¾ c y t + y t c + (¾ t x t + ¾ c y t ) ½ + y t» c ½ : ¾c ¾c ¾c
¸c ´
Al sustituir (91.33) en la expresi¶o n anterior, se tiene que ¸c = ¸S Si y t = 0 y x t = 1, entonces
μ ¶ ¢ »c »2 ¡ 1+½ + yt c 1 ¡ ½2 : ¾c ¾c
(91:34)
μ ¶ »c ¸c = ¸S 1 + ½ : ¾c
(91:35)
Despu¶e s de sustituir (91.27) , (91.28) y (91.29) en la ecuaci¶o n anterior, se obtiene @c @c + rS t + @t @St
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@ 2c @c @ 2c @ 2c 3=2 V t S t2 ¡ r c + (® ¡ ¸ ¯ ) V t + 12 ¯ 2 V t2 + ¯ S t V t ½ = 0; 2 2 @St @Vt @Vt @ S tV t
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donde ¸ ´ ¸ S ½: Si se sustituyen x t = 1 y y t = 0 en la condici¶o n HJB, se tiene que 0 = log(± ) ¡ g +
1 @g ¹ 1 2 ® @g 1 @ 2g 2 2 + ¡ 1¡ ¾t + Vt+ ¯ Vt : ± @t ± 2± ± @Vt 2± @ V t2
Ahora bien, en virtud de (91.33) , se sigue que ¾ t2 = ¹ ¡ r . De esta manera, @g @g 1 @ 2g 2 2 +® Vt+ ¯ Vt @t @Vt 2 @ V t2
0 = ± [log(± ) ¡ 1] + 21 (¹ + r ) ¡ ± g +
j unto con la condici¶o n de frontera g (V t ;T ) = 0. La soluci¶o n de esta ecuaci¶o n diferencial parcial es independiente de V t y est¶a dada por g (t) = A ¡ A e ¡ donde A = log(± ) ¡ 1 +
± (T ¡ t)
:
1 (¹ + r ) : 2±
Observe que g satisface dg = ±g ¡ ±A dt y g (T ) = 0.
9 1 .5 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Lewis, A. L. (2000) . Option Valuation Under Stochastic Volatility: With Mathematica Code, Finance Press. U. K. Venegas-Mart¶³nez, F. y G. P. Aguilar (2004) . \Maximizaci¶o n de utilidad y valuaci¶o n de derivados con volatilidad estoc¶astica" . R evista M exica n a d e E co n o m ¶³a y F in a n za s, R E M E F , Vol. 4, No. 2, pp. 73-82.
9 1 .6 E je rc ic io s 9 1 .1 Repita el an¶alisis de la secci¶o n 91.3 con b(a T ;T ) = a T° = ± ° y con el siguiente candidato de soluci¶o n ·° ¸ at 1 ±t J (a t ;V t ;t) = + g (V t ;t) e : ° ± >Se modi¯ca la ecuaci¶o n diferencial parcial que caracteriza a c? Discuta los resultados. 9 1 .2 Repita el an¶alisis de la secci¶o n 91.4 con el siguiente candidato de soluci¶o n 1 J (a t ;V t ;t) = ln(a t ) g (V t ;t) e ¡ ±
±t
:
Muestre que 0 = ± [log(± ) ¡ 1] + 21 (¹ + r ) ¡ ± g +
@g @g 1 @ 2g 2 2 +® Vt+ ¯ Vt ; @t @Vt 2 @ V t2
g (V t ;T ) = 1:
Veri¯que que en este caso la soluci¶o n est¶a dada por: g (V t ;t) = g (t) = A + (1 ¡ A ) e ¡
± (T ¡ t)
;
donde
1 (¹ + r ) : 2± >Cambi¶o la ecuaci¶o n diferencial parcial que caracteriza a c? A = log(± ) ¡ 1 +
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9 1 .3 Muestre que si ½ = § 1, la ecuaci¶o n (91.19) satisface @c @c 1 @ 2c @c + r S t + V tS t2 ¡ r c + (® ¡ ¸ S ¯ ) Vt+ @t @St 2 @Vt @ S t2
1 2
@ 2c 2 2 @ 2c 3=2 S t = 0; 2¯ Vt + @S @V ¯Vt @Vt t t
con la condici¶o n de frontera c(S t ;V t ;T ) = max(S t ¡ K ;0) : 9 1 .4 Considere la funci¶o n de utilidad hiperb¶o lica, la cual est¶a dada por: u (c t ) =
1¡ ° °
y 1¡ ° °
b(a T ;T ) =
μ
μ
Á ct +´ 1¡ °
Á aT +´ 1¡ °
¶°
¶°
e¡
±T
;
donde Á , ° , ± y ´ son constantes. Obtenga la ecuaci¶o n diferencial parcial que determina el precio de una opci¶o n europea con volatilidad estoc¶astica conducida por un movimiento geom¶e trico Browniano. S o lu ci¶o n : Observe primero que la utilidad marginal est¶a dada por @u =Á @ ct
μ
Á ct +´ 1¡ °
¶° ¡
1
:
Se propone como candidato de soluci¶o n de la ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman una funci¶o n de la forma: μ ¶° 1¡ ° Á at J (a t ;V t ;t) = + ´ g (V t ;t) e ¡ ± t ; ° 1¡ ° esto implica que
μ
¶° ¡ 1 Á at +´ g (V t ;t) e ¡ ± t ; 1¡ ° μ ¶° ¡ 2 @ 2J Á at 2 = ¡ Á + ´ g (V t ;t) e ¡ ± t ; @ a t2 1¡ ° μ ¶° @J 1¡ ° Á at @ g ¡ ±t = +´ e @Vt ° 1¡ ° @Vt @J =Á @ at
y
μ
@ 2J =Á @ a t@ V t
Á at +´ 1¡ °
¶° ¡
1
@g ¡ e @Vt
±t
:
Al sustituir estas ecuaciones en las condiciones de primer orden y utilizando una soluci¶o n de esquina, se obtienen las ecuaciones: Ã
Á ct +´ 1¡ °
¹ ¡ r = V tÁ
!° ¡ Ã
1
=
Ã
Á at +´ 1¡ °
Á at +´ 1¡ °
!¡
1
!° ¡
1
g (V t ;t) ;
@g @Vt ¡ ¾ t¯ V t½ g (V t ;t)
y ¹ c ¡ r = (¾ c + » c ½ ) ¾ t Á
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μ
Á at +´ 1¡ °
¶¡
1
@g @Vt ¡ (¾ c ½ + » c ) ¯ V t : g (V t ;t)
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9 1 . M a x im iza ci¶o n d e u tilid a d y va lu a ci¶o n d e o p cio n es co n v o la tilid a d esto c¶a stica
Equivalentemente, ¸ S = ¾ tÁ y
Ã
Á at +´ 1¡ °
!¡
1
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μ ¶ 1 @g ¡ ¯ V t½ g @Vt
μ ¶ μ ¶¡ 1 μ ¶ μ ¶ »c Á at »c 1 @g ¸c = 1 + ½ ¾ tÁ +´ ¡ ½+ ¯Vt : ¾c 1¡ ° ¾c g @Vt
Por lo tanto, ¸c = ¸S + ¶o
· μ ¶ ¸ μ ¶ »c 1 @g »c 1 @g ½ ¸ S + ¯ V t½ ¡ ¯Vt ¾c g @Vt ¾c g @Vt
μ ¶ μ ¶ »c »c 1 @g ¸c = 1 + ½ ¸S ¡ ¯Vt (1 ¡ ½ 2 ) ¾c ¾c g @Vt · μ ¶ ¸ »c 1 @g 2 =¸ S + ½¸ S ¡ ¯ V t (1 ¡ ½ ) : ¾c g @Vt
La ecuaci¶o n anterior conduce a · μ 2 2¶ ¸ 2 @c @c 1 ¯ Vt @g @c 2 @ c 2 + r S t + V tS t (1 ¡ ½ ) 2 ¡ r c + ® V t ¡ ¯ V t½ ¸ S ¡ @t @St 2 g @ V @ Vt @St t 2 2 1 @ c 2 2 @ c + ¯ Vt + ¯ V t ¾ t S t ½ = 0: 2 @ V t2 @ S t@ V t Observe ahora que
³ 1¡ ° ´ ct = a t + ´ g (V t ;t) 1 = (° ¡ Á
1)
¡
1¡ ° ´: Á
Continue el an¶alisis sobre la funci¶o n g . 9 1 .5 Repita el ej ercicio anterior con u (c t ) =
c 1t ¡ μ ¡ 1 : 1¡ μ
9 1 .6 Repita el ej ercicio anterior con u (c t ) = ¡
1 ¡ e μ
μ ct
:
9 1 .7 En la secci¶o n 91.4 modi¯que la funci¶o n obj etivo de tal manera que se desea maximizar ¯ # "Z ¯ T ¯ E ln(c s ) e ¡ ± t ds ¯F t : ¯ t Repita el an¶alisis con un candidato de la forma J (a t ;V t ;t) =
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μ
e±t ¡ e±T ±
¶
ln(a t ) + g (V t ;t) :
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.
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´INDICE POR AUTOR A Acerbi, C., 747. Adams, K., 677, 684. Aguilar, G. P., 1117. Ahn, D., 721. Altman, E. I., 793. Amram, M., 814. Antikarov, V., 814. Arrow, K. J., 961. Artzner, P., 747. B Bachelier, L., 142. Ball, C. A., 391. Barone-Adesi, G., 340, 348. Bauer, H., 27. Beaglehole, D., 581. Bellman, R., 950, 1025. Bertsekas, D. P., 950. Bingham, N. H., 61. Black, F., 142, 199, 213, 223, 227, 236, 245, 263, 266, 278, 287, 301, 313, 348, 376, 448, 560, 612, 836, 1053. Boer, F. P., 814. Boltyanskii, V. G., 936. Boudoukh, J., 721. Boyarchenko, S. I., 411. Bravo-P´erez, H. M., 977. Brennan, M. J., 587. Brenner, M., 199. Brigo, D., 1063. Browder, F. E., 109. Brown, R., 13, 40, 142. Bucy, R. S., 1025.
C Carrillo-Rivera, J. M., 177. Chen, A. H., 182. Chua, J. H., 642. Cilia, J., 836. Clebaner, F. C., 61. Cont, R., 1081. Conze, A., 451. Copeland, T., 814. Cox, J. C., 182, 278, 287, 313, 364, 391, 536, 544, 560, 581, 657, 1053.
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Cruz, M. G., 868. Cuthbertson, K., 814. D Das, S., 836. de Alba, E., 330. De Boor, C., 684. Delbaen, F., 688, 747. Derman, E., 612. Dewynne, J., 421, 459, 850. D´ıaz-Tinoco, J., 177, 182, 587, 642, 1081. Dixit, A. K., 814. Dol´eans-Dade, C., 104. Dothan, L. U., 1063. Dreyfus, S., 1025. Drezner, Z., 348, 369, 814. Dubcovsky, G., 177. Duffie, D., 721. E Eber, J. M., 747. Einstein, A., 142. Elliot, R. J., 544. Emanuel, D., 364. Embrechts P., 884. Esser, A., 376. F Fabozzi, F. J., 642. Fischer, S., 1070. Fleming, W. H., 1025. Fomin, S. V., 911. French, K., 182. Fundia-Aizenstat, A., 263. G Gamrelidze, R. V., 936. Garc´ıa-Guerrero, V. M., 936. Garman, M. B., 245, 313, 480, 633. Gatto, M. A., 448. Gelfand, I. M., 911. Geske, R., 348, 369. Ghosh, D. K., 177. Gihman, I. I., 1034, 1040. Girsanov, I. V., 104, 236, 235, 633. Goldman, M. B., 448. Gonz´ alez-Ar´echiga, B., 177, 490, 516, 526,
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´Indice por autor
1132 536, 587, 642, 1040, 1081, 1099. Green, J. R., 977. Guti´errez-Andrade, M., 977.
Longstaff, F. A., 581, 777. Lorimier, S., 688.
H Haar, A., 669. Hansen, A. T., 421. Heath, D., 626, 747. Henderson, M. J., 977. Heston, S. I., 301, 313. Hicks, J. R., 961. Ho, T., 560, 570, 612, 626, 836. Hoggard, T., 397. Howison, S., 459, 850. Hull, J. C., 301, 570, 612, 626, 657, 767, 836.
M Macaulay, F. R., 642, 721. Macbeth, J., 364 M´ arquez-Pozos, J. M., 1034. Masaki, K., 857. Mas-Collel, A., 977. McCafferty, S., 994, 1006. McCann, K., 836. Mercurio, F., 1063. Merton, R. C., 142, 199, 213, 233, 236, 245, 263, 266, 278, 287, 391, 459, 490, 499, 560, 767, 1053, 1110. Metropolis, N., 857. Mikosch, T., 884. Mishchenko, E. F., 936. Morton, A., 626. Mun, J., 814. Musiela, M., 82, 249, 253, 428, 436, 459.
I Ingersoll, J. E., 182, 313, 536, 544, 560, 581, 657, 1053. Islas Camargo, A., 329, 330, 1034. J James, J., 474, 642, 688. Jamshidian, F., 836. Jarrow, R., 177, 626, 747. Jones, M. C., 677. Jorgensen, P. L., 421. Jorion, P., 721. K Kalman, R. E., 1025. Karatzas, I., 40, 61, 82, 92, 249, 253, 428, 436. Keynes, J. M., 961. Kiesel, R., 61. Kl¨ upperlberg, C., 884. Knott, G. D., 684. Kohlhangen, S. W., 245, 313. Kolmogorov, A., 27. Kopp, P. E., 544. Kreyszig, E., 669. Kulatilaka, N., 814. Kushner, H. J., 1025. L Lee, S., 560, 570, 612, 626, 836. Leland, H. E., 397. Levendorskii S. Z., 411. Lewis, A. L., 1117. Litzenberger, R. H., 190.
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N Nelson, C. R., 657. Nitzsche, D., 814. Novikok, A. A., 104. O Øksendal, B., 82. Oldfield, G. S., 177. Ordorica, M., 330. P Palm, F. C., 27. Pan, J., 721. Park, H. Y., 182. P´erez-Lechuga, G., 330. Pindyck, R. S., 814. Pontryagin, L. S., 936. Pringle, J. J, 190. Q Quandt, R. E., 977.
R Rebonato, R., 474. Reiss, R. D., 884. Revuz, D., 40, 61, 92, 104, 236, 253, 428. Richardson, J. M., 721.
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´Indice por autor Rishel, R. W., 1025. Rohatgi, V. K., 27. Ross S. A., 182, 278, 287, 313, 364, 391, 536, 544, 560, 581, 657, 1053. Ross, S. M., 793, 857. Rubinstein, M., 278, 287. Ru´ız-Galindo, L. A., 1006. Rutkowsky, M., 82, 249, 253, 428, 436.
S Samuelson, P. A., 142, 157. Sankaran, M., 364. Sargent, T. J., 994, 1006. Scholes, M., 142, 199, 213, 233, 227, 236, 245, 263, 266, 278, 287, 301, 313, 348, 376, 448, 560, 1053. Schoutens, W., 411. Schroder, M., 364. Schwartz, E. S., 587, 777, 814. Scott, L. O., 301. Shreve, S. E., 40, 61, 82, 92, 249, 253, 428, 436. Siegel, A. F., 657. Siu, T. K., 747. Skorohod, A. V., 1034, 1040. Slutsky, E., 960. Smith, G. D., 850. Sosin, H. B., 448. Stakgold, I., 266. Steel, J. M., 61. Subrahmanyam, M. G., 199, 233.
T Tankov, P., 1081. Tenney, M., 581. Thomas, M., 884. Trigeorgis, L., 814. Torous, N., 391. Toy, W., 612. Turnbull, S. M., 190.
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1133 Turnovsky, S. J., 1034. U Ulam, S., 857. V Van Deventer, D., 677, 684. Varian, H. R., 977, 994. Vasicek, O., 480, 490, 499, 516, 526, 633, 657, 836. Venegas-Mart´ınez, F., 177, 142, 182, 213, 227, 263, 301, 329, 330, 364, 391, 411, 421, 448, 451, 474, 490, 516, 526, 536, 587, 626, 642, 657, 777, 814, 836, 911, 936, 950, 977, 944, 1006, 1025, 1034, 1040, 1048, 1070, 1081, 1099, 1110. Viswanathan, 451. W Wall, L. D., 190. Wallace, N., 1006. Walras, L., 976. Wan, F. Y. M., 911. Wand, M. P., 421, 677. Webber, N., 474, 642, 688. Whaley, A. E., 397. Whaley R. E., 340, 348, 349. Whinston, M. D., 977. White, A., 301, 570, 612, 626, 657, 767, 836. Whitelaw, R. F., 721. Wilmott, P., 266, 397, 421, 459, 850. Wolfhard, J., 857. Y Yang, H., 747. Yor, M., 40, 61, 92, 104, 236, 253, 428. Yosida, K., 669. Z Zellner, A., 27, 330, 868.
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´INDICE POR TEMA A Aproximaci´ on de Sankaran, 364. ´ Arbol binomial, 269. de tasa corta, 512, 557, 594. de opciones reales, 808. trinomial, 277. Axiomas de Artzner-Delbaen-Eber-Heath, 728. B Bienestar econ´ omico, 965, 1076, 1095, 1106. Bolsa de futuros, 179. Mexicana de Valores, 151. Bonos con riesgo, 752. consol, 583. cup´ on cero, 175, 465, 633, 1056. cuponados, 184, 821. extranjeros, 1091. indexados, 1065. C Cadena de Markov, 788. C´ alculo de variaciones, 889. Calibraci´ on de curva de rendimiento, 552, 565. Calificaci´ on crediticia, 752. C´ amara de compensaci´ on y liquidaci´ on, 179, 180. Cambio de numerario, 230. Caminata aleatoria, 44, 46. Cap, 823. Caplets, 823. Clarckia pulchella, 1. Cobertura con varianza m´ınima, 389. Cobertura Delta, 205, 256, 271. Colas pesadas, 733. Condici´ on de Arrow, 920. de Cournot, 966. de Engel, 966. de equilibrio, 479, 1069. de frontera, 217, 266, 419. de Kuhn-Tucker, 953. de Legendre, 899, 944.
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de Lipschitz, 476. de Mangasarian, 919. de no arbitraje, 166, 167, 206, 239, 419. de Novikov, 103. de von Mises, 881. de Weierstrass, 944. Consumidor-inversionista, 1029, 1036, 1045, 1050, 1067, 1092. Contratos forward sobre un bono, 175. sobre un ´ındice burs´ atil, 174. sobre una acci´ on, 162, 273. sobre una acci´ on con dividendos, 171. sobre una tasa de inter´es, 174, 189. sobre tipo de cambio, 176. Contratos futuros, 179. Control optimo determinista, 913, 949. ´ optimo estoc´ ´ astico, 1012, 1038, 1046, 1051, 1074, 1092. Convergencia con probabilidad uno, 27. cuadr´ atica media, 54. del modelo binomial a Black-Scholes, 281. en distribuci´ on, 26, 284. en Lq , 27. en probabilidad, 26. estoc´ astica, 26. Convexidad, 639. C´ opula uniforme, 732. Correcci´ on Beaglehole-Tenney, 572. Costos de ajuste, 990, 991. de transacci´ on, 393. Criterio de Altman, 784. Cuenta bancaria, 194, 205. Curva de indiferencia, 957. de rendimiento, 460, 506, 553. inicial, 552, 565. D Delta de Dirac, 268. Demanda de consumo, 956, 1097.
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´Indice por tema
1136 de inversi´ on, 985. de saldos monetarios reales, 986, 1091. de trabajo, 990. Hicksiana, 971, 973. Marshalliana, 956, 967, 973. Derivada de Radon-Nikodym, 98, 432. Derivados de cr´edito, 765. de tasas de inter´es, 819. Diferencial estoc´ astica, 69. de Fr´echet, 889. de Gateaux, 891. de un cociente, 80. de un producto, 81. Distribuci´ on a posteriori, 26. a priori, 26, 316. beta, 866, 868. binomial, 865. Burr, 884. de frecuencia, 862. de severidad, 862. del m´ aximo de un movimiento Browniano, 424, 436, 440, 449. del m´ınimo de un movimiento Browniano, 432, 440, 449. exponencial, 318. exponencial bivariada, 758. Fr´echet, 875. Gamma, 320, 403. Gaussiana inversa, 404. generalizada de Pareto, 878. Gumbel, 873. infinitamente divisible, 407. normal, 149, 402. normal bivariada, 344, 368. Poisson, 403. Weibull, 321, 875. χ2 no central, 360, 542. Desigualdad de Doob, 91. de Jensen, 92. Duraci´ on, 638. E Ecuaci´ on adjunta, 916. de Bellman-Euler-Lagrange, 942. de Chapman-Kolmogorov, 120, 788.
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de de de de de
difusi´ on de calor, 107, 220, 454. Euler, 896. Fourier, 122. Garman-Vasicek, 479. Hamilton-Jacobi-Bellman, 1016, 1020, 1023, 1032, 1039, 1051, 1080, 1092, 1104, 1116. de Slutsky, 960. diferencial parcial de Black-Scholes, 206, 208, 217, 226, 239, 265, 1052. diferencial parcial de Fokker-Planck, 253. diferencial parcial de Kolmogorov, 252, 355. Efecto ingreso, 964. sustituci´ on, 963. Elasticidad constante de la varianza, 353. Equilibrio general, 206, 998. Espacio m´etrico, 21. muestral, 18. Esperanza condicional, 24, 115. de la cola del VaR, 729. Estad´ıstica Bayesiana, 25, 326, 864. Estado absorbente, 786. accesible, 789. comunicado, 790. erg´ odico, 792. recurrente, 790. transitorio, 790, 791. Est´ atica comparativa, 959, 1068, 1075, 1095, 1106. Estructura de plazos de tasa de inter´es, 460, 466, 496, 533. de volatilidad, 591. Experimento aleatorio, 18. F Filtraci´ on, 35. aumentada, 36. Floor, 825. Floorlet, 825. F´ ormula de Brenner-Subrahmanyam, 199. de Cameron-Martin, 101. de Conze y Viswanathan, 450. de Goldman, Sosin y Gatto, 447. de Hull-White para valuar opciones con volatilidad estoc´ astica, 301.
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´Indice por tema de interpolaci´ on de Newton, 363. de L´evy-Khinchin, 406. de Merton para valuar opciones con difusi´ on y saltos, 385. de valuaci´ on binomial, 271, 281. de valuaci´ on de Black-Scholes, 198, 255, 266, 287. de valuaci´ on de derivados, 234, 248. Funci´ on caracter´ıstica, 311, 356, 401. de aversi´ on al riesgo, 909, 910, 926, 929. de Bessel, 327, 357, 1059. de Bessel modificada, 328. de densidad, 23. de densidad del movimiento geom´etrico Browniano, 194, 248, 251, 266, 354. de distribuci´ on, 23. de gasto m´ınimo, 971. de Green, 265, 356. de transici´ on, 357. de utilidad con coeficiente constante, 909, 910, 926, 929, 950, 1018, 1112. de utilidad cuasilineal, 970. de utilidad exponencial negativa, 911, 933. de utilidad indirecta, 965. de utilidad logar´ıtmica, 908, 922, 967, 973, 983, 1104. generatriz de momentos, 284, 522. medible, 22. G Griegas de Black-Scholes, 256. Delta, 256. Gamma, 259. Kappa, 261. Rho, 261. Theta, 259. Vega, 260. H Hamilton, 1011. Hamiltoniano, 916, 987, 1018. I Identidad de Roy, 966. ´Indice de bursatilidad, 151. de precios, 152.
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1137 Informaci´ on a priori, 316. Ingreso laboral, 1103. Inmunizaci´ on con bonos, 637. Integral estoc´ astica (de Itˆ o), 50, 52, 68, 69. IS-LM, 999. J Jacobi, 1011. Jacobiano, 195. L Lema de Itˆ o, 69. de Shephard, 972. Lemas del c´ alculo de variaciones, 894.
M Margen, 180. Martingala, 46, 87, 90, 91, 92, 107, 123, 232, 272. Martingala exponencial, 103. Matriz de transici´ on, 785. Media del movimiento geom´etrico Browniano, 195. Medida coherente de riesgo, 725. de Lebesgue, 543. de probabilidad, 20. de Wiener, 38. martingala equivalentes, 99. Mercados completos, 207. de capitales, 151, 991, 993. incompletos, 1071, 1101. M´etodo de alambrada, 186. de Bootstrapping, 186. de diferencias finitas, 841. con dos factores, 849. expl´ıcito, 847. impl´ıcito, 848. de Newton-Raphson, 535. generalizado de momentos, 534. Monte Carlo, 625, 851. Modelo binomial, 269. CAPM, 134. de Barone-Adesi y Whaley, 335. de Black, 822. de Black-Derman-Toy, 589.
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1138 de Black-Scholes, 128, 134. de Brennan y Schwartz, 583. de Cox-Ingersoll-Ross de equlibrio, 1049. de Cox-Ingersoll-Ross de tasa, 305, 527, 541, 1053. de Dothan, 1055. de Fischer de bonos indexados, 1065. de Geske, 367. de Heath-Jarrow-Morton, 617. de Heston, 305. de Ho-Lee, 549, 829. de Hull-White de derivados de cr´edito, 765. de Hull-White de riesgo cr´edito, 760. de Hull-White de tasa corta, 563, 830. de Hull-White de volatilidad estoc´ astica, 291. de Jamshidian, 828. de Longstaff, 571. de Longstaff y Schwartz de riesgo cr´edito, 771. de Merton de riesgo cr´edito, 763. de Merton de tasa corta, 483. de Merton para valuar opciones, 136. de Merton para valuar opciones con difusi´ on y saltos, 385. de migraci´ on de cr´edito, 783. de Nelson y Siegel, 647. de Ramsey determinista, 922, 929, 933. de Ramsey estoc´ astico, 1073. de Samuelson para valuar warrants, 128. de Vasicek, 503, 519. de Whaley, 343. macroecon´ omico cl´ asico, 997. Movimiento Browniano, 1, 31, 48, 88, 90, 91, 92, 123, 1929. geom´etrico Browniano, 149, 166, 193, 204, 225, 229, 237, 247, 251, 255, 371, 446, 822, 1055, 1058, 1065.
N Notas estructuradas, 832. sobre ´ındices de amortizaci´ on, 833. sobre ´ındices duales, 834. sobre tasas flotantes apalancadas, 835. Step-up, 833.
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´Indice por tema O Opci´ on americana, 335, 343, 448, 811. asi´ atica, 417. compuesta, 367. con barrera, 453. europea, 126, 197, 256. francesa, 124. lookback, 439, 449. parisina, 119. perpetua, 128. potencia, 371. real 799. compuesta, 806. de abandono, 805. de cambio tecnol´ ogico, 805. de cierre temporal, 804. de contracci´ on, 804. de expansi´ on, 803. de permanencia, 805. P Pago continuo de dividendos, 237. Paridad de opciones de compra y venta, 198, 261. cap-floor, 826. Pol´ıtica econ´ omica, 1106. fiscal, 1003, 1091. monetaria, 1005. Portafolio autofinanciable, 225, 231, 241, 275. replicante, 168, 225, 231, 241, 275, 344. Precio de ejercicio, 197. de ejercicio flotante, 418, 440. de entrega, 163. de entrega de equilibrio, 164. de estado, 271. de un bono cup´ on cero, 521. futuro, 180. log-normal, 149, 266. Premio al riesgo de mercado, 229, 479, 497. por ejercicio anticipado, 336. Principio de m´ axima entrop´ıa, 316. de m´ınima entrop´ıa cruzada, 317. de reflexi´ on, 427, 434, 442. del m´ aximo de Pontryagin, 916.
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´Indice por tema Probabilidad de incumplimiento, 754. neutral al riesgo, 311. Problema de integraci´ on, 970. dual, 971. isoperim´etrico, 906. Programaci´ on din´ amica determinista, 937. din´ amica estoc´ astica, 1011. no lineal, 954. Proceso adaptado a una filtraci´ on, 36. de Cox-Ingersoll-Ross, 305. de difusi´ on, 1029. de difusi´ on con saltos, 381, 1035, 1045, 1072. de L´evy, 408. de Ornstein-Uhlenbeck, 305, 519, 542. de Poisson, 381. de Poisson no homog´eneo, 776. de varianza promedio, 292. de Wiener, 37. estoc´ astico, 33. Markoviano, 46, 122. Prueba de Kolmogorov-Smirnov, 854. χ2 , 853. R Rendimientos normales, 148. Restricci´ on “cash-in-advance”, 989, 1091, 1103. presupuestal, 956, 1066, 1112. Reversi´ on a la media, 503. Riesgo cr´edito, 751. de mercado, 149. de tipo de cambio, 1072, 1089, 1101. operativo, 861. S Swap, 183. de tasas de inter´es, 189. de tipo de cambio, 190. σ-´ algebra, 18. aumentada, 21. de Borel, 21. generada por un conjunto, 36.
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1139 T Tasa corta, 470, 475, 483, 496, 520, 571, 589, 620, 629. de descuento, 466. de inter´es, 465. forward, 468, 488, 505, 554, 518, 647. instant´ anea de riesgo cr´edito, 776. interna de retorno, 822. Teorema de Cauchy, 402, 412. de Feynman-Ka˘c. de Girsanov, 96, 97, 233, 240, 431, 441, 629. de L´evy, 90. de representaci´ on de martingalas, 90. del l´ımite central, 283. del residuo, 411, 413. Tiempo de paro, 423. de primera visita, 424. Transformada inversa de Fourier, 406. U Utilidad, 908, 1056. V Valor del dinero en el tiempo, 467. en riesgo, 729, 873. extremo, 873. intr´ınseco, 197, 270. presente neto, 800. presente neto modificado, 801. Valuaci´ on neutral al riesgo, 194, 197, 198, 234, 239, 243, 247, 255, 266, 270, 291, 326, 620, 631. Variable aleatoria, 22. Variaci´ on cuadr´ atica media, 48. Varianza del movimiento geom´etrico Browniano, 195. Volatilidad constante, 193. en funci´ on del tiempo, 291. estoc´ astica, 291, 305, 1111.
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