Riješeni zadaci iz matematike Riješeni zadaci iz «Zbirke zadataka iz više matematike I» Slaven Vuković
f (ξ ) ∆ x = ∫ f ( x )dx ∑ 0 1
lim
∆ x k →
b
n
k
k =
k
a
Riješeni zadaci iz matematike
A Uvod Ova zbirka zadataka iz matematike predstavlja skup riješenih zadataka iz «Zbirke zadataka iz više matematike I» ([USC88]), autora Pavla Mil čića i Momčila Ušćumlića ili meu «rajom» poznata kao «Uš ćumlić». Meni je uvijek problem sa matematikom predstavljalo to da zbirke imaju ve ćinom samo zadatke i rješenja, i nekad mi je dugo vremena trebalo da spoznam metodu riješavanja datog problema. Tako sam odlu čio da napišem sve one zadatke koje sam izvježbao za pripremu ispita iz matematike i da ih sažmem u jednu zbirku riješenih zadataka. Pošto ova zbirka sadrži samo neke zadatke iz gore pomenute zbirke, bilo bi dobro ako neko ima i ma neke druge zadatke ura ene da mi ih pošalje na e-mail, kako bi se ova zbirka upotpunila (naravno uz navo enje imena autora zadatka). Svi zadaci su navedeni u obliku (br. strane/br. zadatka), koji predstavlja broj strane i broj zadatka u zbirci ([USC88]) tako da se lakše sna ete. Zbirka je potpuno «free», tako da je možete slobodno s lobodno kopirati, štampati, slati....uz to da ostane autorovo ime (čitaj moje ime) vidljivo.Ukoliko na ete neku grešku ili imate neku sugestiju, kritiku(samo konstruktivnu molim ; ) ) javite mi na mail. Nadam se da će ova zbirka pomo ći svima onima koji se «mu če» sa matematikom da je polože. Slaven Vukovi ć, 2005.
[email protected] Ova zbirka se može na ći na: http://fajlovi.misljen.org/Rijeseni%20Zadaci%20iz%20Matematike.pdf http://misljen.org/cs/blogs/matematika_blog/
2
Riješeni zadaci iz matematke
1 Zadaci iz matematičke indukcije A mathematician is a machine for turning coffee into theorems.
-Paul Erd s Princip matematič ke indukcije Ako je tvrdnja τ (n), (n), n∈ N istinita za broj 1 i ako na osnovu predpostavke da je tvrdnja istinita za broj k, ustanovimo da je istinita i za broj k+1 onda je tvrdnja tač na na za svaki prirodni broj.
1. (30/339.) Dokazati identitet putem matemati čke indukcije n( n + 1) 1+ 2 + 3 +K+ n = 2 *Provjerimo dali vrijedi jednakost za n=1
1(1 + 1) 2 1 ⋅ (2) (T) *Vidimo da vrijedi jednakost za n=1 1= 2 1=
*Predpostavimo da jednakost vrijedi i za n=k 1 + 2 + 3 + K + k =
k ( k + 1)
2 *Provjerimo vrijedi li jednakost za n = k+1
(k + 1)(k + 2) 2 k (k + 1) (k + 1)(k + 2) + (k + 1) = 2 2 k ( k + 1) + 2( k + 1) (k + 1)(k + 2) = 2 2 (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) = (T) Sa ovim je tvrdnja dokazana 2 2
1 + 2 + 3 + K + k + (k + 1) =
2. (30/340. 1) Dokazati identitet putem matemati čke indukcije: n( n + 1)(2n + 1) 12 + 2 2 + 3 2 + K + n 2 = 6 * Provjerimo dali vrijedi jednakost za n=1
3
Riješeni zadaci iz matematike 1(1 + 1)(2 ⋅ 1 + 1) 6 1 ⋅ (2)(3) 1= (T) 6 * Predpostavimo da jednakost vrijedi i za n=k k (k + 1)(2k + 1) 12 + 2 2 + 3 2 + K + k 2 = 6 12
=
*Provjerimo vrijedi li jednakost za n = k+1 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 6 k (k + 1)(2k + 1) (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 2 + ( k + 1) = 6 6 2 (k + 1)( k + 2)(2k + 3) k ( k + 1)(2k + 1) + 6( k + 1) = 6 6 (k + 1)[(2k + 1)k + 6(k + 1)] (k + 1)(k + 2)(2k + 3) = 6 6 2 (k + 1)(2k + k + 6k + 6) (k + 1)(k + 2)(2k + 3) = 6 6 2 (k + 1)(2k + 7k + 6) (k + 1)(k + 2)(2k + 3) = 6 6 2 (k + 1)(2k + 4k + 3k + 6) (k + 1)(k + 2)( 2k + 3) = 6 6 (k + 1)[k (2k + 3) + 2(2k + 3) ] (k + 1)(k + 2)(2k + 3) = 6 6 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) (k + 1)(k + 2)(2k + 3) (T) Tvrdnja je dokazana = 6 6
12 + 2 2 + 3 2
2
2
+ K + k + (k + 1) =
3. (30/340. 2) Dokazati identitet putem matemati čke indukcije: n(n + 1)(n + 2) 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + K + n(n + 1) = 3 * Provjerimo dali vrijedi jednakost za n=1 1(1 + 1)(1 + 2) 1(1 + 1) = 3 1(2)(3) (T) 1(2) = 3 * Predpostavimo da jednakost vrijedi i za n=k k (k + 1)(k + 2) 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + K + k (k + 1) = 3 *Provjerimo vrijedi li jednakost za n = k+1
4
Riješeni zadaci iz matematke (k + 1)(k + 2)( k + 3) 3 k (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)(k + 3) + ( k + 1)( k + 2) = 3 3 k ( k + 1)(k + 2) + 3( k + 1)(k + 2) ( k + 1)( k + 2)(k + 3) = 3 3 (k + 1)(k + 2)(k + 3) (k + 1)(k + 2)(k + 3) = (T) Tvrdnja je dokazana 3 3
k ( k + 1) + ( k + 1)(k + 1 + 1) =
4. (30/341.) Dokazati identitet putem matemati čke indukcije: 1 1 1 n + +K+ = 1⋅ 3 3 ⋅ 5 (2n − 1)( 2n + 1) 2n + 1 * Provjerimo dali vrijedi jednakost za n=1 1 1 = (2 ⋅ 1 − 1)( 2 ⋅ 1 + 1) 2 ⋅ 1 + 1 1 1 = (T) (1)(3) 3
* Predpostavimo da jednakost vrijedi i za n=k 1 1 1 k + +K+ = 1⋅ 3 3 ⋅ 5 (2k − 1)( 2k + 1) 2k + 1 *Provjerimo vrijedi li jednakost za n = k+1 1 k + 1 = 2k + 1 (2k + 1)(2k + 3) 2k + 3 k (2k + 3) + 1 k + 1 = (2k + 1)(2k + 3) 2k + 3 k + 1 2k 2 + 3k + 1 = (2k + 1)( 2k + 3) 2k + 3 2k 2 + 2k + k + 1 k + 1 = (2k + 1)(2k + 3) 2k + 3 k ( 2k + 1) + ( 2k + 1) k + 1 = (2k + 1)(2k + 3) 2k + 3 (2k + 1)(k + 1) k + 1 = (2k + 1)( 2k + 3) 2k + 3 k + 1 k + 1 (T) Tvrdnja je dokazana = 2k + 3 2k + 3 k
+
5
Riješeni zadaci iz matematike 5. (30/342.) Dokazati identitet putem matemati čke indukcije:
1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + K + n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 4 * Provjerimo dali vrijedi jednakost za n=1 1 1(1 + 1)(1 + 2) = 1(1 + 1)(1 + 2)(1 + 3) 4 1 1(2)(3) = 1(2)(3)(4) (T) 4
* Predpostavimo da jednakost vrijedi i za n=k
1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + K + k (k + 1)(k + 2) = k (k + 1)(k + 2)(k + 3) 4 *Provjerimo vrijedi li jednakost za n = k+1 1 1 k ( k + 1)(k + 2)(k + 3) + ( k + 1)(k + 2)( k + 3) = ( k + 1)(k + 2)(k + 2)( k + 4) 4 4 k (k + 1)(k + 2)(k + 3) + 4(k + 1)(k + 2)(k + 3) 1 = ( k + 1)(k + 2)(k + 3)( k + 4) 4 4 1 1 (k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4) = (k + 1)(k + 2)(k + 2)(k + 4) (T) Tvrdnja je dokazana 4 4 6. (30/343.) Dokazati identitet putem matemati čke indukcije:
12 − 2 2 + 3 2 − K + (−1) n 1 n 2 −
= ( −1)
n −1
n(n + 1)
2
* Provjerimo dali vrijedi jednakost za n=1 1(1 + 1) ( −1) 0 ⋅ 12 = (−1) 0 2 1(2) (T) (−1) 0 ⋅ 12 = (−1) 0 2 * Predpostavimo da jednakost vrijedi i za n=k k ( k + 1) 12 − 2 2 + 3 2 − K + (−1) k −1 k 2 = (−1) k −1 2 *Provjerimo vrijedi li jednakost za n = k+1 (k + 1)(k + 2) k ( k + 1) k +1−1 (−1) k −1 + ( −1) (k + 1) 2 = (−1) k +1−1 2 2
6
Riješeni zadaci iz matematke (k + 1)(k + 2) 2 2 k −1 k 2 (−1) k (k + 1) + 2(−1) (k + 1) k ( k + 1)(k + 2) = ( −1) 2 2 (k + 1)[(−1) k −1 k + 2(−1) k (k + 1)] k ( k + 1)( k + 2) = (−1) 2 2 k (−1) k + 2(−1) k k + 2(−1) k (k + 1) −1 = ( −1) k (k + 1)(k + 2) 2 2 k (k + 1){(−1) [− k + 2k + 2]} k ( k + 1)( k + 2) = ( −1) 2 2 k (k + 1)(k + 2) k +1−1 ( k + 1)(k + 2) (−1) k −1 = (−1) (T) Tvrdnja je dokazana 2 2 (−1) k −1
k ( k + 1)
+ ( −1)
k +1−1
(k + 1) 2
= ( −1)
k +1−1
7. (31/356.) Dokazati da je zbir kubova tri uzastopna prirodna broja dijeljiv sa 9.
9 | n 3 + (n + 1) 3 + (n + 2) 3 * Provjerimo dali vrijedi jednakost za n=1 9 | 13 + (1 + 1) 3 + (1 + 2) 3 9 | 1 + 8 + 27 9 | 36 (T) * Predpostavimo da jednakost vrijedi i za n=k 9 | k 3 + (k + 1) 3 + (k + 2) 3 *Provjerimo vrijedi li jednakost za n = k+1 9 | (k + 1) 3 + (k + 2) 3 + (k + 3) 3 9 | (k + 1) 3 + (k + 2) 3 + k 3 + 9k 2 + 9k + 27 9 | (1 k + 1) 3 + ( k + 2) 3 + k 3 + 9(k 2 + k + 3) 44 4 4 244 4 4 3 142 4 43 4 T
dijeljivo
8. (31/357.) Dokazati dijeljivost.
3 | 5 n + 2 n+1 (n=0,1, 2,…) * Provjerimo dali vrijedi jednakost za n=0 3 | 5 0 + 2 0+1 3 | 3 (T) * Predpostavimo da jednakost vrijedi i za n=k 3 | 5 k + 2 k +1
7
Riješeni zadaci iz matematike *Provjerimo vrijedi li jednakost za n = k+1 3 | 5 k +1 + 2 k + 2 3 | 5 k ⋅ 5 + 2 k +1 ⋅ 2 3 | (3 + 2)5 k + 2 k +1 ⋅ 2 3 | 3 ⋅ 5 k + 2 ⋅ 5 k + 2 k +1 ⋅ 2 3 | 3 ⋅ 5 k + 2(5 k + 2 k +1 ) (T) 9. (31/360.) Dokazati dijeljivost.
19 | 5 2 n+12 n+ 2 + 3 n+ 2 2 2 n+1
(n=0,1, 2,…)
* Provjerimo dali vrijedi jednakost za n=0 19 | 51 2 2 + 3 2 21 19 | 5 ⋅ 4 + 9 ⋅ 2 19 | 38 (T) * Predpostavimo da jednakost vrijedi i za n=k 19 | 5 2 k +12 k + 2 + 3k + 2 2 2 k +1 *Provjerimo vrijedi li jednakost za n = k+1 19 | 52( k +1) +12k +1+ 2 + 3k +1+ 2 22( k +1) +1 19 | 52 k + 32k + 3 + 3k + 322 k + 3 19 | 25 ⋅ 52k +12 ⋅ 2k + 2 + 3 ⋅ 3k + 24 ⋅ 22 k +1 19 | 50(52 k +12k + 2 ) + 12(3k + 2 22 k +1 ) 19 | (38 + 12)(52k +12k + 2 ) + 12(3k + 2 22k +1 ) 19 | 12(52 k +12k + 2 ) + 12(3k + 2 22 k +1 ) + 38(52k +12k + 2 ) 19 | 12(52k +12k + 2 + 3k + 222k +1 ) + 38(52 k +12k + 2 ) (T) 10. (31/362.) Dokazati dijeljivost. 133 | 11n + 2 + 122n +1 (n = 0,1, 2,…)
* Provjerimo dali vrijedi jednakost za n=0 133 | 110 + 2 + 120 +1 133 | 133 (T) * Predpostavimo da jednakost vrijedi i za n=k 133 | 11k + 2 + 122 k +1 *Provjerimo vrijedi li jednakost za n = k+1 8
Riješeni zadaci iz matematke 133 | 11k +1+ 2 + 12 2( k +1) +1 133 | 11k + 3 + 122 k + 3 133 | 11 ⋅ 11k + 2 + 144 ⋅ 122k +1 133 | 11 ⋅ 11k + 2 + (133 + 11)12 2k +1 133 | 11 ⋅ 11k + 2 + 11 ⋅ 122 k +1 + 133 ⋅ 122 k +1 133 | 11(11k + 2 + 12 2 k +1 ) + 133 ⋅ 12 2 k +1 (T)
9
Riješeni zadaci iz matematike
2 Zadaci iz linearne algebre ...beware of mathematicians, and all those who make empty prophecies. The danger already exists that the mathematicians have made a covenant with the devil to darken the spirit and to confine man in the bonds of Hell.
-Saint Augustine, De Genesi ad Litteram
Determinante Determinanta je kvadratna šema šema brojeva koja ima svoju vrijednost. vrijednost.
LaPlaceova teorema za izrač unavanje unavanje determinante n-tog reda Ako je determinanta n-tog reda, reda, D, proizvoljno odabrano odabrano k vrsta (ili k kolona) kolona) (1≤ k ≤ n-1) onda je zbir proizvoda svih minora k-tog reda iz izabranih k vrsta (k kolona) sa njihovim algebarskim kofaktorom jednak vrijednosti determinante. Osobine determinante: 1)Vrijednost determinante se ne mijenja ako vrste zamijene mijesta sa odgovarajućim kolonama. 2) Prilikom zamijene dvaju susjednih vrsta (kolona) determinanta mijenja znak. 3) Ako su elementi jedne vrste vrste (kolone) proporcionalni proporcionalni odgovarajućim elementima druge vrste (kolone), determinanta je jednaka nuli. 4) Zajednič ki ki č inilac inilac jedne vrste (kolone) može se izdvojiti pred determinantu. 5) Vrijednost determinante se ne mijenja ako se elementima jedne vrste (kolone), dodaju odgovarajući elementi neke druge vrste ( kolone), umnoženi zajednič kim kim faktorom. 6) Ako su svi elementi i-te vrste predstavljeni u obliku aij= b j+ c j (j=1,2,...,n) tada je determinanta jednaka zbiru dvije determinante kod kojih su vrste u obje, osim i-te, jednake vrstama date determinante a i-ta vrsta jedne determinante jednaka je b a druge c j
11. ( 77/864.) 2 5 1
1 3 4
3 2 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 ⋅ 2 + 3 ⋅ 5 ⋅ 4 − 1 ⋅ 3 ⋅ 3 − 4 ⋅ 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 5 ⋅ 1 = 40 3
Ova determinanta je riješena preko Sarusovog pravila. -
-
a11
a12
a13
a11
a 12
a 21
a 22
a 23
a 21
a 22
a31
a32
a33
a31
a32
+
10
+
-
+
Riješeni zadaci iz matematke a11 a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a13 a 21 a32 − a13 a 22 a31 − a11 a 23 a32 − a12 a 21 a33
Sarusovo pravilo vrijedi samo kod determinanti tre ćeg reda. 12. ( 78/874.) 1 1 1
5 7 8
25 1 49 = 0 64 0
5 2 3
25 1 24 = 0 39 0
5 2 1
25 1 24 = 0 15 0
5 0 1
25 1 − 6 =- 0 15 0
5 1 0
25 15 = 6 − 6
Ova metoda rješavanja determinante se bazira na «pravljenju nula» na odre enim mijestima. Nule pravimo tako sto jednu vrstu (ili kolonu) pomnožimo sa nekim brojem i dodamo je nekoj drugoj vrsti (ili koloni). Po pravilima determinante to je dozvoljen, tj.determinanta ne će promijeniti vrijednost. Dakle u ovom slu čaju pomnožimo prvu vrstu sa –1 i dodamo je j e drugoj i tre ćoj, tako da dobijemo nule na pozicijama 2,1 i 3,1. Nakon toga možemo da napravimo nulu na mjestu 2,2 tako što treću vrstu pomnožimo sa –2 i dodamo je drugoj. Tako smo dobili i nulu na toj poziciji. Sada mijenjamo mijesto drugoj i tre ćoj vrsti i tim se determinanti po pravilima determinante mijenja znak. Sada smo dobili determinantu takvu da njenu vrijednost dobivamo jednostavno množe ći njenu diojagonalu. Pošto su slijede ći zadaci u zbirci sli čni i poprili čno jednostavni za riješavanje ja ću navesti kao slijede će zadatke, one koji imaju težinu ispitnih zadataka. 13. ( 79/890.) x − 3 x + 2 x − 1 x + 2 x − 4
x
=0
x − 1 x + 4 x − 5 x − 3 x + 2 x − 1 x + 2 x − 4
x
x − 3 x + 2 x − 1
=
x − 1 x + 4 x − 5
5 2
−6
2
1 = −4
x − 3
5 2
5 3 x − 7 − 11 11 = 0 0
5 3 x − 7 = 22(5+3 x-7) = 22(3 x-2) −1 1 Ako sada riješimo jedna činu: =
2 ⋅ 11 ⋅
22(3 x-2) = 0 dobit ćemo da je x =
2 . 3
Dakle u ovom primjeru je pomnožena prva vrsta sa –1 i dodana drugoj i tre ćoj. Nakon toga pomnožena je prva kolona sa –1 i dodata drugoj i tre ćoj. Pošto imamo dvije nule na mijestima 3,2 i 3,3 izdvajamo determinantu 2x2 koja je pomnožena elementom 3,1.
11
Riješeni zadaci iz matematike Takoer izdvajamo broj 11 pred determinantu jer je on zajedni čki druge vrste. Nakon toga determinantu riješimo po Laplaceovoj teoremi. 14. ( 80/892.) a
b
c
b
c
a
c
a
b
= abc + ab + abc − c 3 − a 3 − b 3
3
3
= 3abc − ( a + b + c
3
)
Zadatak je jednostavno riješen preko Sarusovog pravila . 15. ( 80/893.) a x x x
= abc + x 3 + x 3 − x 2 b − x 2 a − x 2 c = abc + 2 x 3 − x 2 (a + b + c)
b x
x x
c
16. ( 80/895.)
2 x + 2 y 1 x y x = y x + y 2 x + 2 y = 2( x + y ) y x + y 1 = y x + y x x + y x 2 x + 2 y 1
x + y
x
y
y
x + y
x + y
x
x
y
1 y − x x = 2( x + y ) y − x x 0 = 2( x + y ) = 2( x + y )[( y − x)( x − y ) − xy ] = y x − y y x − y 0 x
y
= 2( x + y )[ xy − y 2 − x 2 + xy − xy ] = 2( x + y )[− ( x 2 − xy + y 2 )] = = − 2( x + y )( x 2 − xy + y 2 ) = − 2( x − y ) 3 17. ( 80/896.)
(b + c) 2
a2
a2
b2
(c + a ) 2
b2
c
2
c
= (b + c) 2
2
2 2
( a + b)
= 2
(c + a ) 2 ( a + b ) 2 + a 2 b 2 c 2 + a 2 b 2 c 2 − a 2 c 2 ( c + a ) 2 − b 2 c 2 (b + c ) 2 − a 2 b 2 ( a + b ) 2
= (b + 2bc + c −b c
2
2
)(c
2
+ 2ac + a
2
)(a
2
+ 2ab + b
2
2 2 2
) + 2a b c
(b 2 + 2bc + c 2 ) − a 2 b 2 (a 2 + 2ab + b 2 ) =
12
2 2
−a c
(c
2
+ 2ac + a
2
)−
=
Riješeni zadaci iz matematke 2 2
3
4
2
2
3
2 2
3 3
2 4
2
2 2
= (b c + 2bc + c + 2ab c + 4abc + 2ac + a b + 2a bc + a c 2 4
3 3
4 2
4 2
4 2
3 3
)(a 2
+ 2ab + b
2
) + 2a 2 b 2 c 2
−
2 4
− a c − 2a c − a c − b c − 2b c − b c − a b − 2a b − a b = 2 2 2
2
3
2 4
3 2
3
2
3 3
4 2
4
4 2
3 2
2 3
= a b c + 2a bc + a c + 2a b c + 4a bc + 2a c + a b + 2a bc + a c + 2ab c + 4ab c +
2abc 4 + 4a 2 b 3 c + 8a 2 b 2 c 2 + 4a 2 bc 3 + 2a 3 b 3 + 4a 3 b 2 c + 2a 3 bc 2 + b 4 c 2 + 2b 3 c 3 + b 2 c 4 + 2ab 4 c + 3 2 2 3 2 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 4 3 3 4 2 4 2 3 3 + 4ab c + 2ab c + a b + 2a b c + a b c + 2a b c − a c − 2a c − a c − b c − 2b c − 2 4 4 2 3 3 2 4 − b c − a b − 2a b − a b = 2 2 2
2
3
3 2
3
2
4
3 2
2 3
4
= 12 a b c + 6a bc + 6a b c + 6a bc + 2a bc + 6ab c + 6ab c + 2abc + 2 3
4
+ 6a b c + 2ab c = 2
2
2
3
2
2
3
2
3
= 2abc (6abc + 3ac + 3a b + 6a c + a + 3b c + 3abc + c + 3ab + b = ( a +b + c )3 644 4 4 4 4 4 744 4 4 4 4 4 8
2abc[(a + b) 3 + (a + b) 2 c + 3c 2 (a + b) + c 3 ] = 2abc(a + b + c) 3 * (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ** 3(a + b) 2 c = 3a 2 c + 6abc + 3b 2 c *** 3c 2 (a + b) = 3ac 2 + 3bc 2 18. ( 80/904.)
1 a bc 1 b ca 1 c ab
= (b − c)(b − a )(a − c)
1 a 1 a 1 bc bc 0 b − a ca − bc = 0 b − a c(a − b) = (b − a)( a − c) 0 0 c − a ab − bc 0 c − a b( a − c ) 0 1 a bc = (b − a)(a − c) 0 1 − c = (b − a)(a − c)(b − c) 0 0 b−c 19. ( 80/905.)
1 a a2 1 b b2 1 c c2
= (b − a )(c − a )(c − b)
13
a
bc
1 −1
−c
b
=
Riješeni zadaci iz matematike 2 2 2 1 a 1 a 1 a a a a 0 b − a b 2 − a 2 = 0 b − a b 2 − a 2 = 0 b − a (b − a)(b + a) = 0 c − a c2 − a2 0 c − a c2 − a2 0 c − a (c − a)(c + a )
1 a a2 1 a a2 = (b − a)(c − a ) 0 1 b + a = (b − a)(c − a) 0 1 b + a = (b − a)(c − a )(c − b) 0 1 c+a 0 0 c−b
20. ( 81/906.)
1
1
2
2
x
y
1 z 2 = ( xy + xz + yz )( y − x)( z − x)( z − y )
x 3
y 3 z 3
1
0
x
2
x 3
2
0
y − x
2
y 3 − x 3
2
z − x
2
=
z 3 − x 3
= ( y − x)( z − x)
( y − x)( y + x) ( z − x)( z + x ) 2 2 ( y − x)( y + xy + x ) ( z − x)( z 2 + zx + x 2 )
y + x
z + x
y 2 + xy + x 2 z 2 + zx + x 2
=
=
2 2 [ ) − ( z + x)( y 2 + xy + x 2 )] = 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 = ( y − x)( z − x)[( yz + xyz + x y + xz + zx + x − ( y z + xyz + x z + xy + x y + x ) ] =
= ( y − x)( z − x) ( y + x)( z + zx + x 2
2
2
= ( y − x)( z − x) ( yz + xz − y z − xy
2
) = = ( y − x)( z − x) ( x( z − y ) + y ( z − yz) = = ( y − x )( z − x )[( x ( z − y )( z + y ) + y ( z ( z − y )] = = ( y − x )( z − x )( x − y )[( x ( z + y ) + yz )] = ( y − x )( z − x )( x − y )( xz + xy + yz ) 2
2
2
21. ( 81/909.) a −b−c
2a
2b 2c
b−c−a
2a 2b
2c
c−a −b
a+b+c
2b 2c
= (a + b + c )
3
1 1 1 2b = (a + b + c) 2b b − c − a 2b b−c−a 2c 2c 2c c−a−b c−a −b a+b+c
a+b+c
14
=
Riješeni zadaci iz matematke 1 = ( a + b + c) 2b 2c
0
1 = ( a + b + c) 2b 2c
−a−b−c
0 2b
0
−a−b−c
0
=
− ( a + b + c)
0 2b
0
− ( a + b + c)
=
= ( a + b + c){[− ( a + b + c)][− ( a + b + c)]} = ( a + b + c)
3
22. ( 81/910.)
2a + b + c
b
c
a
a + 2b + c
c
a
b
a + b + 2c
=
2( a + b + c ) 3
2a + 2b + 2c b c c 2a + 2b + 2c a + 2b + c b a + b + 2c 2a + 2b + 2c
1 b c c = 2( a + b + c) 1 a + 2b + c b a + b + 2c 1
1 b c = 2( a + b + c ) 0 a + b + c 0 0 0 a+b+c
=
=
2( a + b + c ) 3
23. ( 82/918.) 1 1 2 3 1 2 − x 2 2 3 2 3 1 5 2 3 1 9 − x 2
1 1 0 1 − x 2 0 1 0 1
=
2(a + b + c)(a + b + c)( a + b + +c) =
2 3 0 0 −3 −1 2 − 3 3 − x
1 (1 − x 2 )1 1
0 −3 −3
(
2
)(
2
= −3 x − 1 x − 4
1 − x 2 1 = 1
0 −1
)
0 0 −3 −1 2 − 3 3 − x
=
3 − x 2
15
=
=
Riješeni zadaci iz matematike 1 2 = (1 − x ) 0 0
(
2
)
0 0 −3 −1 2 − 3 3 − x
(
= − x − 1 (− 3) 4 − x
2
=
1 2 − ( x − 1) 0 0
0 0 −3 −1 2 − 3 3 − x
=
) = 3( x 2 − 1)(4 − x 2 ) = −3( x 2 − 1)( x 2 − 4 )
16
Riješeni zadaci iz matematke
Sistemi linernih jedna čina a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLL a m1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm Sistem od m jednač ina ina n nepoznatih.
Cramerovo pravilo Neka je m=n, D=det aij i Dk determinanta koja se dobiva od D kada se umijesto k-te kolone u D stave slobodni č lanovi lanovi b1 , b2 , K, bn . 1) Ako je D≠ 0 onda system ima jedinstveno rjsenje xk =
Dk D
(k = 1,2, K, n)
2) Ako je D=0 I bar jedna Dk ≠ an ≠0 sistem je protivrječ an 3) Ako je bk = 0(k = 1,2, K , n), tj ako je system homogen sa n jednač ina ina I n nepoznatih tada on uvijek ima tz. Trivijalno rješenje x1 = x2 = L = xn = 0. Da biovaj sistem imao netrivijalnih rješenja rješenja potrbno je i dovoljno dovoljno daje D=0
24. ( 90/961.) ax + 4 y = 2
9 x + ay = 3 a 4 2 9 a 3 D =
a
4
9 a
D x =
D y =
2 4 3 a
2
= a − 36 = ( a − 6)(a + 6)
= 2a − 12 = 2(a − 6)
2 = 3a − 18 = 3( a − 6) 9 3
a
17
Riješeni zadaci iz matematike x =
2(a − 6) 2 = (a − 6)(a + 6) a + 6
y =
3(a − 6) 3 = (a − 6)(a + 6) a + 6
Za a ≠ ±6 sistem je odre en, za a = 6 sistem je neodre en, za a = −6 sistem je protivrječan. 25. ( 90/977.)
2 x − 3 y + z = 2 3 x − 5 y + 5 z = 3 5 x − 8 y + 6 z = 5 2 3 5
1 2 −5 5 3 − 8 6 5
D =
2 3 5
−3
−3
1 −5 5 −8 6
D x =
2 3 5
D y =
2 2 1 3 3 5 5 5 6
D z =
2 3 5
= −60 − 75 − 24 + 25 + 80 + 54 = 0
−3
1 −5 5 −8 6
=0
= 36 + 50 + 15 − 15 − 50 − 36 =
−3
2 −5 3 −8 5
= −50 − 45 − 48 + 50 + 45 = 0
Sistem je neodre en.
18
0
Riješeni zadaci iz matematke 26. ( 90/978.)
3 x − y + 3 z = 4 6 x − 2 y + 6 z = 1 5 x + 4 y = 2 3 6 5
3 4 −2 6 1 4 0 2
D =
3 6 5
−1
−1
3 − 2 6 = 0 − 30 + 72 + 30 − 72 − 0 = 0 4 0
D x =
4 1 2
−1
3 −2 6 4 0
D y =
3 4 3 6 1 6 = 0 + 120 + 36 − 15 − 36 + 0 = 105 5 2 0
D z =
3 5 6
4 −2 1 4 2
=
0 − 12 + 12 + 12 − 96 = −84
−1
= −12 − 5 + 96 + 40 − 12 + 12 = 119
Sistem je protivrje čan. 27. ( 92/991.) x + y + z = 6 ax + 4 y + z = 5
6 x + (a + 2) y + 2 z = 13 1 1 1 6 4 1 5 0 6 (a + 2) 2 13
19
Riješeni zadaci iz matematike 1
1 a 1 = 8 + 6 + a(a + 2) − 24 − (a + 2) − 2a = 6 ( a + 2) 2
D =
1 4
2
2
= a + 2a − 10 − 2a − a − 2 = a − a − 12 = 2
= a − 4a + 3a − 12 = a ( a − 4) + 3( a − 4) = ( a − 4)(a + 3)
6 1 1 4 1 D x = 5 13 (a + 2) 2
= 48 + 13 + 5( a + 2) − 52 − 6( a + 2) − 10 = −a − 3 = −( a + 3)
1
D y =
6 1 a 5 1 = 10 + 36 − 13 y − 30 − 13 − 12a = a + 3 6 13 2 1
D z =
x =
1 4
6 a 5 = 52 + 30 + 6a(a + 2) − 144 − 5(a + 2) − 13a = 6(a 2 − a − 12) = 6(a − 4)(a + 3) 6 (a + 2) 13 − ( a + 3)
(a + 3)(a − 4)
, y =
a +3
(a + 3)( a − 4)
, z =
6(a + 3)(a − 4) (a + 3)(a − 4)
siste je odre en za a ≠ −3, a ≠ 4; neodreen za a = −3 ; protivrje čan a = 4;
20
Riješeni zadaci iz matematke
Matrice
Operacije sa matricama: 1)Zbir dvije matrice A i B, istog tipa, je matrica C za koju je cij=aij+ bij (i=1,2,...,n; j=1,2,...,m) 2) Proizvod skalara λ∈Φ i matrice A je matrica C za koju cij=λ aij (i=1,2,...,n; j=1,2,...,m) 3) Proizvod AB matrice A = [aij ]i , j =1 i matrice B = [bij ]i , j =1 je matrica C = [cij ]i , j =1 za n ,m
m , p
n , p
koju je m
cij =
∑1 a
b
ik kj
, (i = 1,2,..., n; j = 1,2,..., p)
k =
Neke specijalne matrice: 1) Kvadratna matrica O, č iji iji su svi elementi jednaki nuli, zove se nula matrica. 2) Kvadratna matrica D, č iji iji su svi elementi van glavne dijagonale jednaki nuli a elementi na glavnoj dijagonali različ iti iti od nule, zove se dijagonalna. 3) Dijagonalna matrica E, č iji iji su svi elemenzi na glavnoj dijagonali jednaki jedinici, zove se jedinič na. 4) Matrica AT , koja se dobiva kada kada se vrste matrice A uzmu za za kolone matrice AT , zove se transponovana matrica matrice A.
~
5) Matrica A , koja se dobiva kada se se elementi matrice AT zamijene sa njihovim algebarskim komplementima, zove se adjungovana matrica matrice A. 6) Matrica kod koje je det A=0 A=0 kaže se da je singularna , ako je det A A≠ 0 kaže se da je regularna − − − 7) Matrica A 1 , za koju je AA 1 = A 1 A = E , zovemo inverzna matrica matrice A. Matrica A ima inverznu matricu matricu ako i samo ako je regularna. regularna. Tada je A 1 = −
1 ~ A det( A)
28. ( 101/1044.) 3 − 2 3 4 B Date su matrice A = , = 2 5 . Naći 1) A+B; 2) A-B; 3) AB; 4) BA 5 − 4 1) 3 − 2 3 4 6 2 5 − 4 + 2 5 = 7 1
2) 3 5
− 2
3 4 0 − = − 4 2 5 3
− 6
− 9
21
Riješeni zadaci iz matematike
3) 3 5
− 2
3 4 9 − 4 12 − 10 5 2 = = − 4 2 5 15 − 8 20 − 20 7 0 ⋅
4) 3 4 3 2 5 ⋅ 5
− 2
9 + 20 = − 4 6 + 25
− 6 − 16
29 = − 4 − 20 31
− 22
− 24
29. ( 101/1048.) 1) 3 − 2 3 4 5 2 5 − 4 ⋅ 2 5 = 7 0
2) a b α β aα + bγ a β + bδ c d + γ δ = cα + d γ c β + d δ
30. ( 101/1049.) 1) 3 1 2 1 1 = 6 + 2 + 1 2 + 1 + 0 = 9 3 ⋅ 2 1 3 0 2 1 0 9 + 0 + 1 3 + 0 + 0 10 3 2) 1 3 2 1 3 + 4 + 3 10 0 1 2 ⋅ 2 = 0 + 2 + 6 = 8 3 31. ( 101/1050.) 2 2 4 6 1 ⋅ [1 2 3] = 4 2 3 3 3 6 9
32. ( 101/1051.) 2 [1 2 3] ⋅ 4 = [2 + 8 + 3] = 13 1
22
Riješeni zadaci iz matematke 33. ( 102/1052.) 5 8 6 9 4 7 23 = 24 58
− 4
3 −5 ⋅ 4 3 6
1 5 15 + 32 − 24 5 − 8 − 36 25 + 24 − 20 − 1 3 = 18 + 36 − 30 6 − 9 − 45 30 + 27 − 25 = 9 5 12 + 28 + 12 4 − 7 − 27 20 + 24 + 15
− 39
29 − 48 32 24 56
34. ( 102/1053.) 1 2 3 − 1 2 4 6 ⋅ − 1 3 6 9 1
−2
− 4
−1 − 2 + 3 −2 −4 = −2−4+6 2 4 − 3 − 6 + 9
35. ( 102/1054.) 1) 3 1 − 2 1 − 2 1 3 − 4 = 3 − 4 ⋅ 3
=
− 5 6 1 − 9 10 ⋅ 3
2) n 1 1 0 1 1 1 0 1
2
1 1 0 1
3
− 2
− 4
=
− 2
1 ⋅ − 4 3
−2−4+6
0 0 0 − 4 − 8 + 12 − 8 − 16 + 24 = 0 0 0 − 6 − 12 + 18 − 12 − 24 + 36 0 0 0
− 2
1− 6 = − 4 3 − 12
− 5 + 18 10 − 24 13 − 9 + 30 18 − 40 = 21
−2+8
1 ⋅ − 6 + 16 3 − 14
1 1 1 1 1 2 0 1 ⋅ 0 1 = 0 1 =
1 2 1 1 1 3 1 1 K⇒ = ⋅ = 0 1 0 1 0 1 0 1 n
1 1 , A n A = 0 1
=
1 n 0 1
*Provjerimo dali tvrdnja vrijedi za n=1. 1 1 0 1 (T)
23
n
=
− 22
=
=
− 4 − 8 + 12
1 n 0 1
− 2
=
− 4
Riješeni zadaci iz matematike * Predpostavimo da je izraz ta čan za n=k. 1 k A k = 0 1 *Provjerimo vrijedi li izraz za n=k+1 Znamo da vrijedi A k 1 = A k A ⇒ 1 k + 1 1 +
0
1 1 + 0 1 + k 1 k + 1 = = 1 0 1 0 1 0 + 0 0 + 1 0 1 =
k 1
⋅
(T)
36. ( 102/1055.) Izračunati AB-BA ako je: 1) 1 2 2 4 1 1 A = 2 1 2 , B = − 4 2 0 1 2 3 1 2 1 1 2 2 4 1 1 4 − 8 + 2 1 + 4 + 4 1 + 0 + 2 − 2 9 3 2 1 2 ⋅ − 4 2 0 = 8 − 4 + 2 2 + 2 + 4 2 + 0 + 2 = 6 8 4 1 2 3 1 2 1 4 − 8 + 3 1 + 4 + 6 1 + 0 + 3 − 1 11 4
4 1 1 1 2 2 4 + 2 + 1 − 4 2 0 ⋅ 2 1 2 = − 4 + 4 + 0 1 2 1 1 2 3 1 + 4 + 1 − 2 9 3 7 11 AB − BA = 6 8 4 − 0 − 6 − 1 11 4 6 6
8 +1+ 2 −8+ 2+ 0 2+2+2
8 + 2 + 3 7 11 −8+ 4+0 = 0 −6 2 + 4 + 3 6 6
3 − 9 − 2 −4 = 6 14 9 − 7 5
3 −4 9
− 10
8 −5
2) 2 1 0 3 A = 1 1 2 , B = 3 − 1 2 1 − 3
2 1 0 3 1 1 2 ⋅ 3 − 1 2 1 − 3
1 −2 5
1 −2 5
− 2
4 − 1
− 2
6+3+ 0 2− 2+0 4 = 3 + 3 − 6 1 − 2 + 10 − 1 − 3 + 6 − 3 − 1 − 4 + 5
24
− 4 + 4 − 0
9 0 0 −2+4−2 = 0 9 0 + 2 + 8 − 1 0 0 9
Riješeni zadaci iz matematke 3 3 − 3
1 −2 5
− 2
2 1 0 6 + 1 + 2 4 ⋅ 1 1 2 = 6 − 2 − 4 − 1 − 1 2 1 − 6 + 5 + 1
3 + 1 − 4 0 + 2 − 2 9 0 0 3 − 2 + 8 0 − 4 + 4 = 0 9 0 − 3 + 5 − 2 0 + 10 − 1 0 0 9
9 0 0 9 0 0 0 0 0 AB − BA = 0 9 0 − 0 9 0 = 0 0 0 0 0 9 0 0 9 0 0 0
37. ( 102/1057.) 1 1 0 Ako je A = 0 1 1 pokazati da je A n 0 0 1
n( n − 1) 1 n 2 n = 0 1 1 0 0
1) Provjerimo dali važi za n=1 1⋅ (1 − 1) 1 1 0 1 1 2 0 1 1 = 0 1 1 (T) 1 0 0 1 0 0
2) Predpostavimo da vrijedi za n=k 1 0 0
k
1 0
k ( k −
2
k
1
1)
= A
k
3) Provjerimo vrijedi li za n=k+1 (k + 1)(k + 1 − 1) k ( k + 1) 1 1 k k +1 +1 2 2 + 0 1 1 k + 1 k + 1 = Ak 1 = 0 0 1 0 1 0 0
Znamo da važi A k +1 = A k ⋅ A k (k − 1) k ( k − 1) 1 0 0 1 + 0 + 0 1 + k + 0 0 + k + 1 k 2 2 0 1 = 0 1 1 = 0 + 0 + 0 0 +1+ 0 k 0 + 1 + k = 1 0 0 1 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 +1 0 0
25
Riješeni zadaci iz matematike * 64748 k ( k − 1) k (k + 1) 1 k + 1 k + 2 1 k + 1 2 1 1 k + 1 k + 1 (T) Tvrdnja je ovim dokazana = 0 = 0 1 1 0 0 0 0
* k +
k (k − 1)
2
2k + k 2 − k k 2 + k k (k + 1) = = = 2 2 2
38. ( 104/1068.) Naći inverznu matricu A 1 = −
1 ~ A det( A)
1) 1 2 3 4
1 3 2 4
AT =
A =
det( A) = ~ 4 − 2
A =
1 2 3 4
= 4 − 6 = −2
− 3
1 − 2 = 3 1 2
1 4 A = − 2 − 3
− 2
−1
1 1 − 2
1) 1 3 4 5
B =
det( B) = ~ 5 − 4
B =
1 4 3 5
B T =
1 3 = 5 − 12 = −7 4 5 − 3
1
26
Riješeni zadaci iz matematke 5 1 5 − 3 − 7 −1 B = = 1 4 − 7 − 4 7
3 7 1 − 7
3) 1 2 2 5
1 2 2 5
C T =
C =
det(C ) =
1 2 = 5− 4 =1 2 5
~ 5 − 2
− 2
C =
1
5
− 2
C 1 = −
1
− 2
39. ( 104/1069.) Naći inverznu matricu
1) 1 2 A = 0 1 0 0
− 3
2 1
1 0 0 A = 2 1 0 − 3 2 1 T
det( A) = 1 1 2 ~ 0 A = − 2 0 1
0 1 0 1 0 0
1 −1 A = 0 0
−2
1 0
2 −3 1 −3 1 − 2
−
0 1 0 1 0 0
2 −3 1 − 3 1 2
1 2 1 0 = 0 2 0 0 1
−2
1 0
7 −2 1
2)
27
7 −2 1
Riješeni zadaci iz matematike 3 B = 2 3
−4
5 −3 1 − 5 − 1
det( B) =
3 2 3
−3 1 ~ 2 B = − 1 2 −3
3 B T = − 4 5
2 −3 1
3 −5 − 1
−4
5 1 = −1 −3 − 5 −1
−5
−
−1
−4
−5
−4
1 8 3 2 − = 5 5 1 − 1 3 2 − 4 −3
5 −1 3 3 3 −1 5 −1 3 3 3 − −5 −4 −5
8 − B 1 = −1 ⋅ 5 − 1
−3
5
− 29
11 − 8 29 − 18 7 = − 5 18 3 − 1 1 − 3
− 29
11 7 − 18 3 − 1
− 11
1
−7
40. ( 106/1084.) Riješi matričnu jedna činu 1 3 3 5 X ⋅ = 3 4 5 9 123 123 A
B
Def : A 1 A = AA −
A ⋅ X = B A 1 A ⋅ X = A 1 B −
−
1
−1
= E ,
1 za i = j
E ij =
0 za i ≠ j
ili laički rečeno to je matrica čija se dijagonala sastoji od jedinica dok su svi ostali elementi nule
X = A− B
1 3 3 4
AT =
det( A) = 4 − 9 = −5 ~ 4 − 3
A =
− 3
1 28
Riješeni zadaci iz matematke
A 1 = −
1 ~ A det( A) 1 4 5 − 3
− 3
3 5 1 12 − 15 20 − 27 1 − 3 ⋅ =− =− 1 5 9 5 − 9 + 5 − 15 + 9 5 − 4
X = −
41. ( 106/1085.) Riješi matričnu jedna činu 2 1 1 X ⋅ = 1 − 1 2 424 1 3
{
B
A
A ⋅ X = B A 1 A ⋅ X = A 1 B −
−
X = A −1 B
2
1 1 − 1 det( A) = −2 − 1 = −3
AT =
~ − 1 − 1
A =
A 1 = −
− 1
2
1 ~ A det( A) 1 − 1 3 − 1
X = −
− 1
1 1 − 1 − 2 1 − 3 1 = − = − = 2 2 3 − 1 + 4 3 3 − 1 ⋅
42. ( 106/1086.) Riješi matričnu jedna činu 3 − 1 5 6 14 16 5 − 2 ⋅ X ⋅ 7 8 = 9 10 424 1 424 1 3 123 3 A
B
C
29
− 7
3 5 7 5 = − 6 4 5 6 5
Riješeni zadaci iz matematike
A ⋅ X ⋅ B = C A −1 A ⋅ X ⋅ B = A −1C X ⋅ B = A 1C −
X ⋅ BB
−1
−1
= A CB
X = A 1CB −
−1
−1
3
5 − 1 − 2 det( A) = −6 + 5 = −1
AT =
~ − 2 1 − 5 3
A =
−1
A =
1 ~ A det( A) 2
− 1
5
− 3
A 1 = −
5 7 6 8
B T =
det( B) = 40 − 42 = −2 ~ 8 − 7
B =
B
−1
=
− 6
5
1 − 8 2 7
6 − 5
1 2 − 1 14 16 − 8 6 1 28 − 9 32 − 10 − 8 ⋅ ⋅ = ⋅ 2 5 − 3 9 10 7 − 5 2 70 − 27 80 − 30 7 1 19 22 − 8 6 1 − 152 + 154 114 − 110 = ⋅ = = 2 43 50 7 − 5 2 − 344 + 350 258 − 250 1 2 4 1 2 = = 2 6 8 3 4
X =
30
6 = − 5
Riješeni zadaci iz matematke 43. ( 106/1087.) Riješi matričnu jedna činu 1 2 − 3 1 − 3 0 3 2 − 4 ⋅ X = 10 2 7 2 − 1 0 10 7 8 14 4 244 3 14 4 244 3 A
B
A ⋅ X = B −1
−1
A A ⋅ X = A B X = A 1 B −
1 AT = 2 − 3
3 2 −4
2 −1 0
1 3 2
2 2 −1
−3
det( A) =
2 −1 −4 0 ~ 3 2 A = − −4 0 3 2 2 −1 − 4 X = − 8 − 7 6 4 = 2 1 3 3
3 6 5
− 4 = −4 − 16 + 21 = 1
0 2 −1 0 −3 1 2 −3 0 1 2 − 2 −1
−
− 2
1 − 5 ⋅ 10 − 4 10
−3
2 7
2 2 −3 −4 − 4 3 1 3 − = − 8 6 −3 − 4 − 7 5 1 3 − 2 2
− 2
− 4 −5
0 − 4 + 30 − 20 12 + 6 − 14 0 + 21 − 16 7 = − 8 + 60 − 50 24 + 12 − 35 0 + 42 − 40 = 8 − 7 + 50 − 40 21 + 10 − 28 0 + 35 − 32
5 2 3
31
Riješeni zadaci iz matematike 44. ( 106/1088.) Riješi matričnu jedna činu 3 − 1 2 3 9 7 4 − 3 3 ⋅ X = 1 11 7 1 3 0 7 5 7 14243 14243 A
B
A ⋅ X = B −1
−1
A A ⋅ X = A B X = A 1 B −
3 AT = − 1 2
4 1 −3 3 3 0
det( A) =
3 −1 2
−3 3 ~ 4 A = − 3 4 −3
3 0 1 0 1 3
− 9 1 3 −1 A = 9 15 − 9 1 X = 3 9 15
4 1 −3 3 3 0 −
−1
= −18 − 3 + 30 = 9
3 0
2 3 1 2 0 3 1 − −1 3
6 −2 − 10 6 −2 − 10
2 3 − 9 3 4 − = 3 2 3 15 3 4 − −1 − 4 −1
−3
6 −2 − 10
3 −1 − 5
3 −1 − 5 3 3 9 7 − 27 + 6 + 21 − 81 + 66 + 15 − 63 + 42 + 21 9−2−7 − 1 ⋅ 1 11 7 = 27 − 22 − 5 21 − 14 − 7 = − 5 7 5 7 45 − 10 − 35 135 − 110 − 25 105 − 70 − 35
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 = 0 0 0 = 9 0 0 0 0 0 0
32
Riješeni zadaci iz matematke
3 Zadaci iz uvoda u analizu Die Mathematiker sind eine Art Franzosen; redet man mit ihnen, ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache, und dann ist es alsobald ganz etwas anderes.
- Johann Johann Wolfgang von von Goethe
45. ( 183/1868.)
lim
2 x
7
6
2 x 7
2
+ 3 x + 4 x − 5 x − 3
x 7 + x 4 − x 3 + 2
x →∞
=
lim x
7 +
x→∞
3 x 6 x
x 7
+
x 7
2+ =
lim
x→∞
3 x
1+
4
+
1 x
x
3 −
5
−
5
1 x
x
−
6
4 +
7 +
4 x 2
7 −
5 x
7 −
3 7
x x x = 4 3 2 x x x 7
−
x 7
+
x 7
3 x 7 =
2
2 =2 1
x 7
Limes tipa x → ∞ riješavamo tako što razlomak podijelimo sa članom koji ima najveći eksponent. U ovom slu čaju je to x 7 . Kada pokratimo razlomke koje smo dobili ostaju nam slobodni članovi i razlomci koji u nazivniku imaju x. Kada riješimo c
limes dobivamo izraze oblika
∞
=
0.
46. ( 183/1869.) 3
lim
x →∞
x 3 + 2
=
x
lim 3
x 3 + 2
x→∞
x
3
=
lim 3
x →∞
x 3 x
3
+
2 x
3
=1
47. ( 183/1872.)
lim
x→∞
( x − 1)
3
2 x 3 − x + 2
3
=
lim
x→∞
x 3
2
x − 3 x + 3 x − 1
2 x 3 − x + 2
=
lim x
x→∞
3 −
x 2
+
33
x
2
x
x
x
0 =0 0,001
x 2
x
3 −
x
500 x 10 4
=
3 x
3 +
2 x 3
48. ( 183/1874.) 2 + 2 500 x + 10 4 x x lim lim = 2 x →∞ 0,001 1 x + 1 x→∞ 0,001 x 2
3 x 2 3 −
3 +
1 x 3 = 0
3
Riješeni zadaci iz matematike 49. ( 183/1876.) 14 x x 2 2 − 2 14 x − x 2 x x lim = lim x →∞ 2 x 2 − 7 x→∞ 2 x 2 7 x 2
−
=−
1 2
x 2
50. ( 183/1877.)
lim
x→∞
2 x
2
2 x 2 − 3 x + 4 4
x + 1
lim x
=
2 −
x →∞
3 x x
x 4 x
4
2 +
+
1
4 2
x = 2
x 4
51. ( 183/1878.) x
lim
x→∞
x
=
x + x
lim
x →∞
x x + x
=
lim
x →∞
x x x
x
+
=1
x
52. ( 184/1879.) x 2 + 2 x − 1 − 1 = = −1 lim 2 x→0 2 x − x + 1 1
53. ( 184/1880.) 2 x 2 − x − 1 x 2 − 1 − x + x 2 x 2 − 1 x 2 − x lim = lim = lim 2 + lim 2 = 2 x →1 x→1 x→1 x − 1 x →1 x − 1 x 2 − 1 x − 1 1 3 x( x − 1) x = 1 + lim = 1 + lim = 1+ = x→1 ( x − 1)( x + 1) x →1 x + 1 2 2 54. ( 184/1881.) ′ x 2 − 5 x + 6 ) ( 2 x − 5 6 − 5 1 = lim lim 2 = lim = =− 3 x − 8 x + 15 3 3 2 x − 8 6 −8 2 ( x 2 − 8 x + 15)′
x 2 − 5 x + 6
x→
x→
x→
Ovaj zadatak je riješen pomo ću L'Hopitalovog pravila koje glasi: Ako su funkcije f ( x)
i ϕ ( x) beskonač no no male ili beskonač no no velike za x → a , tj. ako 0 ∞ f ( x) je kada x → a neodre en en izraz oblika ili tada je 0 ∞ ϕ ( x)
34
Riješeni zadaci iz matematke f ( x)
lim
=
ϕ ( x)
x →a
lim
x→a
f ′( x)
ϕ ′( x)
=
55. ( 184/1889.)
2
x −
lim
x − 2
x→ 2
=
2
x −
lim
x − 2
x→2
⋅
2 2
x + x +
=
lim
x→ 2
x − 2
( x − 2)( x + 2 )
=
lim
x →2
1 x +
2
=
1 2 2
56. ( 184/1890.) x + h − x
lim
x→0
=
=
x→0
x + h − x
x →0
h
lim
lim
1
x + h + x
⋅
h
=
lim
x→0
x + h + x
x + h − x h( x + h + x )
=
1
=
2 x
x + h + x
57. ( 184/1891.) x − a
lim
x − a
x →a
=
x − a
lim
x − a
x →a
⋅
x + a x + a
=
lim
x→a
x − a
( x − a)( x + a )
=
lim
x →a
1 x + a
=
1 2 a
58. ( 184/1892.) x
lim
1 + 3 x − 1
x→0
=
lim
x→0
x
1 + 3 x − 1
⋅
1 + 3 x + 1 1 + 3 x + 1 2 x( 1 + 3 x + 1) = lim = lim = x →0 3 3 1 + 3 x + 1 x→0 1 + 3 x − 1
59. ( 184/1894.)
4 (3 x ) 2 + 3 x 3 4 + (3 4 ) 2 ⋅ = lim = lim x 4 x 4 x − 4 x − 4 (3 x ) 2 + 3 x 3 4 + (3 4 ) 2 x − 4 1 = lim = lim 2 2 x 4 ( x − 4)[(3 x ) + 3 x 3 4 + (3 4 ) ] x 4 3 x 2 + 3 4 x + 3 16 1 = = 3 16 x − 3
3
4
3
x − 3
→
→
→
→
=
1 3 16 + 3 16 + 3 16
=
60. ( 184/1896.)
( x + 1 + 1)( x + 1 − x − 1) = x 0 x 0 x + 1 − 1 x + 1 − 1 x + 1 + 1 x 0 x + 1 − 1 x + 1 + x + 1 − x x + 1 − x − x + 1 − 1 − x x + 1 = lim = lim = lim − x + 1 = −1 lim
x + 1 − x − 1
→
x→0
=
lim
x + 1 − x − 1
⋅
x + 1 + 1
=
→
lim →
x→0
x
35
x
x→0
Riješeni zadaci iz matematike 61. ( 185/1913.) sin 3 x sin 3 x 3 3 sin 3 x lim = lim ⋅ = lim x→0 x→0 x x 3 x→0 3 x
=
sin 3 x lim 3 =3 x 0 3 x →
Ovaj limes je riješen preko limesa: lim
x→0
sin x x
36
=1
Riješeni zadaci iz matematke
4 Zadaci iz diferencijalnog ra čuna Some humans are mathematicians; others aren't -Jane Goodall
Granič na na vrijednost količ nika nika
∆ y ∆ x
, kada ∆ x → 0 (ako postoji), naziva se se prvi izvod
funkcije y = f ( x) u x = x1 , i obilježava se y ′ = y ′ =
lim
∆ x→0
∆ y ∆ x
=
lim
f ( x1 + ∆ x ) − f ( x1 ) ∆ x
∆ x→0
y ′ =
lim
∆ x →0
∆ y ∆ x
=
dy dx
. Znač i da je
ki prvi izvod je: = f ′( x1 ) . U proizvoljnoj ta č ki
lim
f ( x + ∆ x) − f ( x) ∆ x
∆ x→0
= f ′( x)
Geometrijsko znač enje enje prvog izvoda je: y ′ = tgα = k , gdje je k koeficijent pravca tangente na krivoj y = f ( x) u tač ki ki x.
Osnovna pravila izvoda Neka je c konstanta, u = ϕ ( x) i v =
( x) funkcije koje imaju izvod; tada važi: važi:
1) (c)′ = 0 2) ( x)′ = 1 3) (cu )′ = cu ′ 3) (u ± v)′ = u ′ ± v ′ 4) (uv)′ = u ′v + v′u
u 5) v
′ =
u ′v − v′u v2
62. ( 197/2068.) ∆ y
Naći lim
∆ x→0
∆ x
ako je y = kx + n
y = kx + n y ′ =
lim
∆ x→0
∆ y ∆ x
=
lim
∆ x→0
k ( x + ∆ x) + n − kx + n ∆ x
=
lim
∆ x→0
37
kx + k ∆ x − kx ∆ x
=
lim
∆ x→0
k ∆ x ∆ x
= k
Riješeni zadaci iz matematike 63. ( 197/2069.) Naći f ′(1) ako je f ( x) = x
lim
f ′ = =
f (1 + ∆ x) − f (1) ∆ x
∆ x→0
∆ x
∆ x→0
=
lim
1 + ∆ x − 1
∆ x→0
∆ x
1 + ∆ x + 1 1 1 = = lim = x 0 0 ∆ x ( 1 + ∆ x + 1) 1 + ∆ x + 1 2
lim
∆ x →
1 + ∆ x − 1
lim
=
∆ →
64. ( 197/2073.) y = x 3 y ′ =
lim
( x + ∆ x) 3 − x 3 ∆ x
∆ x →0
=
lim
∆ x(3 x + 3 x∆ x + ∆ x ∆ x
∆ x→0
∆ x
∆ x→0
2
=
lim
3 2 2 3 3 x + 3 x ∆ x + 3 x( ∆ x) + ( ∆ x) − x
2
)
= =
lim (3 x 2 + 3 x∆ x + ∆ x 2 ) = 3 x 2
∆ x→0
65. ( 197/2074.) y = 2 x 4 −
3 *
6 474 8
y ′ =
lim
2( x + ∆ x) 4 − 3 − 2 x 4 + 3 ∆ x
∆ x →0
=
* ( x + ∆ x) 4 = x 4 + 4 x 3 ∆ x + 6 x 2 (∆ x) 2 + 4 x(∆ x) 3 + ∆ x 4 =
lim
2 x 4 + 8 x 3∆ x + 12 x 2 (∆ x) 2 + 8 x(∆ x) 3 + 2∆ x 4 − 2 x 4 ∆ x
∆ x →0
=
lim
8 x 3 ∆ x + 12 x 2 ( ∆ x) 2 + 8 x(∆ x ) 3 + 2∆ x 4 ∆ x
∆ x →0
=
lim
[
3
2
∆ x
∆ x →0
=
lim [8 x
∆ x →0
2
∆ x 8 x + 12 x ∆ x + 8 x( ∆ x) + 2∆ x 3
2
2
+ 12 x ∆ x + 8 x( ∆ x) + 2∆ x
3
3
=
]=
] = 8 x 3
66. ( 197/2075.) y =
1 x
38
=
=
⋅
1 + ∆ x + 1 = 1 + ∆ x + 1
Riješeni zadaci iz matematke 1 y ′ =
lim
∆ x→0
−
x − x − ∆ x
1
lim x + ∆ x x ∆ x
∆ x →0
−1
lim
=
x( x + ∆ x) ∆ x
∆ x→0
− ∆ x =
lim
x( x + ∆ x) ∆ x
∆ x→0
=
lim
−1
x( x + ∆ x)
=
∆ x→0
1
=− 2
x 2 + x∆ x
x
67. ( 197/2076.) y = y ′ =
1 + 2 x 1 + 2 x + 2∆ x − 1 + 2 x lim ∆ x
∆ x→0
1 + 2 x + 2∆ x + 1 + 2 x = ∆ x →0 ∆ x 1 + 2 x + 2∆ x + 1 + 2 x 1 + 2 x + 2∆ x − 1 − 2 x 2∆ x = lim = lim = ∆ x→0 ∆ x( 1 + 2 x + 2∆ x + 1 + 2 x ) ∆ x→0 ∆ x ( 1 + 2 x + 2∆ x + 1 + 2 x ) 2 2 1 = lim = = ∆ x→0 1 + 2 x 1 + 2 x + 2∆ x + 1 + 2 x 2 1 + 2 x =
1 + 2 x + 2∆ x − 1 + 2 x
=
lim
⋅
68. ( 199/2093.)
1
y =
x
1 y ′ = − x 2
1 2
− −1
1 = − x 2
−
2 3
=−
1 2 x 3
Zadatak je riješen pomo ću tabličnog izvoda. 69. ( 199/2094.) y =
a 3
x
2
2 y ′ = − 3
−
b x 3 x
2 − −1 ax 3
=
4 + 3
a 3
x
2
−
4 − −1 bx 3
b 3
x
−
4
= ax
2 − 53 = − ax 3
2 3
−
− bx
4 3
4 − 73 + bx 3
39
=
4b 33 x 7
−
2a 33 x 5
=
4b 3 x 2 3 x
−
2a 3 x3 x 2
Riješeni zadaci iz matematike 70. ( 199/2095.) y =
ax + b c a
y ′ =
c
ax
=
+0=
c a
+
b c
c
71. ( 199/2096.) y = y ′ =
(
a − x
)2 = a − 2
a x + x
1 12 −1 a a 0 − 2 a x + 1 = − +1 = 1 − 2 x x
72. ( 199/2098.) y = mx n − nx m 1 1 1 1 y ′ = mnx n − − mnx m− = mn( x n − − x m− )
73. ( 199/2099.) y =
x
1 − x 2 ′
x y ′ = 2 1 − x
=
) − x(1 − x 2 )′ (1 − x 2 ) 2
x′(1 − x
2
1 − x 2 − x(−2 x) = (1 − x 2 ) 2
1 − x 2 + 2 x 2 = (1 − x 2 ) 2
=
2 x + 1
(1 − x 2 ) 2
74. ( 199/2100.) y =
ax + b cx + d ′
ax + b y ′ = cx + d =
=
(ax + b)′(cx + d ) − (ax + b)(cx + d )′ (cx + d ) 2
acx + ad − acx − bc
(cx + d )
2
=
ad − bc
(cx + d ) 2
=
40
=
a(cx + d ) − (ax + b)c
(cx + d ) 2
=
Riješeni zadaci iz matematke 75. ( 199/2101.) y =
x 2 x 2 + 1 ( x 2 )′( x 2 + 1) − x 2 ( x 2 + 1)′
y ′ =
( x
2
+ 1)
2
=
2 x( x 2 + 1) − x 2 (2 x) ( x 2 + 1) 2
2 x( x 2 + 1 − x 2 ) = ( x 2 + 1) 2
=
2 x ( x + 1) 2 2
76. ( 199/2102.) y =
x x + 1
1
( x )′( x + 1) − x ( x + 1)′ ( x + 1) 2 1 1 2 x = = ( x + 1) 2 2 x ( x + 1) 2
y ′ =
=
2 x
( x + 1) − x ( x + 1)
2
1 2 x
x + 1 − x =
2 x ( x + 1) 2
=
77. ( 199/2103.) y = ( x + 1)( x − 1) y ′ = ( x + 1)′( x − 1) + ( x + 1)( x − 1)′ = ( x − 1)( x + 1) = 2 x
78. ( 200/2124.) y = e − x y ′ = (e − x )′ = t = − x = y ′ = yt ′ ⋅ t x′ y ′ = (e t )′ ⋅ ( − x)′ = −e t = −e
− x
=−
1 e x
U ovom zadatku se radi o složenoj funkciji. Data fukacija nas podsje ća na tablični izvod (e x )′ = e x . U ovom slu čaju imamo –x i ne možemo se okoristiti tabli čnim izvodom. Ako izvršimo smjenu t=-x postupamo na slijede ći način: naemo izvod od y po t i pomnožimo ga izvodom od t po x. y ′ = yt ′ ⋅ t x′
79. ( 200/2125.) y = e x cos x
41
Riješeni zadaci iz matematike y ′ = (e x )′ cos x + e x (cos x)′ = e x cos x + e x sin x = e x (cos x + sin x )
80. ( 200/2126.) y =
e x x − 1
y ′ =
(e x )′( x − 1) − e x ( x − 1)′ e x ( x − 1) − e x = ( x − 1) 2 ( x − 1) 2
=
e x ( x − 2)
( x − 1) 2
81. ( 200/2127.) y = xe
− x
*
y ′ = x′e
− x
6 7 8 − x
+ x (e
)′ =
* (e − x )′ = t = − x y ′ = e
− x
− xe
− x
=e
− x
= (e
t
) ⋅ ( − x)′ = −e − x
(1 − x)
82. ( 200/2128.) y = e x arctgx y ′ = e x arctgx + e x
1 1 + x
x
2
=e
1 arctgx + = 1 + x 2
83. ( 200/2129.) y = 2 x + x y ′ =
2
2 x ln 2 + 2 x
84. ( 200/2130.) y =
3 x 2 x
x
3 = 2 x
3 3 y ′ = ln 2 2 85. ( 200/2131.) 2
y = ln x = t = x
2
42
=
Riješeni zadaci iz matematke 1
1
2
y ′ = yt ′ ⋅ t x′ = 2 x = 2 x 2 = t x x
43
Riješeni zadaci iz matematike
5 Zadaci iz integralnog računa Math is like love -- a simple simple idea but it can get complicated. -R. Drabek
Neodreeni integral Za funkciju y = F ( x) kažemo da je primitivna funkcija funkcije y = f ( x) u oblasti D ako je njen izvod u D jednak y = f ( x) , tj vrijedi F ′( x) = f ( x) Skup svih primitivnih funkcija funkcije f u datoj oblasti D naziva se neodre enim enim ava se pomoću simbola integralom funkcije na D i označ ava
∫ f ( x)dx = F ( x) + C
*
Osnovne osobine neodre enog enog integrala
∫
1) d f ( x) dx = f ( x)dx
∫ d ϕ ( x) = ϕ ( x) + c 3) ∫ Af ( x)dx = A∫ f ( x)dx, ( A = const ) 4) ∫ [ f ( x) ± g ( x) ]dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx 2)
∫ udv = uv − ∫ vdu 86. ( 263/3133.)
∫
x 5 dx =
x 5
+1
5 +1
=
x 6
6
87. ( 263/3134.) 2 2 ∫ ( x + 2 x − 3)dx =∫ x dx + 2∫ xdx − 3∫ dx =
x
3
3
2
+ x + 3 x
88. ( 263/3135.)
∫
*
x dx
1 = x 2 dx =
∫
1 +1 x 2
1 +1 2
=
2 3 x 3
Obje definicije su uzete iz knjige «Elementi integralnog računa», Dr. Jovo M. Šarovi ć
44
Riješeni zadaci iz matematke 89. ( 263/3136.)
∫
x 3 x dx
1 − = x ⋅ x 3 dx =
∫
4 x 3 dx =
∫
4 +1 x 3
4 +1 3
=
33 7 x 7
=
3 23 x x 7
90. ( 263/3137.)
∫
x x x dx = 1
1 2 7 1 2 2 * x x x = x x ⋅ x = x 8
=
7 x 8 dx
∫
=
15 x 8
15 8
=
8 8 15 x 15
91. ( 263/3138.) dx −1 −1 ∫ x 3 = (3 − 1) x 2 = 2 x 2 92. ( 263/3139.) dx
1 − = x 3 dx =
∫ 3 x ∫
x
1 3
− +1
1 − +1 3
3 23 x 2
=
93. ( 263/3140.) dx
∫ x
x
∫
= x
−
3 2 dx =
−
x −
2 +1 3
2 +1 3
=−
2 x
94. ( 263/3141.)
∫ (2 + x ) dx = ∫ (2 + 3 ⋅ 2 x + 3 ⋅ 2 x + x )dx = 2 4 6 2 4 6 = ∫ (8 + 12 x + 6 x + x )dx = 8∫ dx + 12 ∫ x dx + 6 ∫ x dx + ∫ x dx = 2 3
12 x 2 = 8 x + 3
3
6 x 5 x 7 + + 5 7
95. ( 264/3143.) u = 1 + x 6 ( 1 ) x dx + = ∫ du = dx
2
=
=
2
x 7
7
∫u
6
4
+
6
6 5 2 x + 4 x + 8 x 5
du =
u7
(1 + x) 7 = = 7 7 45
Riješeni zadaci iz matematike 96. ( 264/3144.)
∫ ( x
4
1
3
− x + x x +
)dx = ∫ x dx − ∫ x dx + ∫ x x dx + ∫ 4
x 2
1
3
x 2
dx =
2 32 − x 5 3
x 5
97. ( 264/3145.)
∫
x − 23 x 2 + 1 4
x
1 x 4 dx −
∫
=
x
∫ 4 x
dx =
5 12 x dx +
2∫
∫ x
4 4 24 x x − x12 x 5 5 17
+
98. ( 264/3146.) x 3 − 2 x + 4 x 3
∫
=
dx =
x x 3
3
∫ x
−
dx − 2
1 4 dx =
4
x
dx +
1
∫ 4 x dx =
24 12 17 x 17
−
+
44 3 x 3
=
44 3 x 3
dx − 2
x
∫ x
dx + 4
dx
∫ x ∫
∫
2
= x dx − 2 dx + 4
− 2 x + 4 ln x
dx =
x
3 = x 2 dx +
∫
=
∫
x 2
44 5 x 5
99. (264/3147.) x 2 + 2 x + 1 ( x + 1) 2
∫
3
∫
dx =
x
1 x 2 dx +
2∫
∫ x
−
∫
x 2 x
dx + 2
∫
x x
1 2 dx =
2 2 4 x x + x x + 2 x 5 3
=
dx +
2 5 4 3 x + x + 2 x 5 3 4 2 x x 2 + x + 2 3 5
∫
dx
=
x
=
100. (264/3149.)
∫
2 x + 2 x + 1
x
dx =
∫
( x + 1)2 x
dx =
1
x
∫ x dx + ∫ x dx = x + ln x
101. (264/3151.) x 2 x 2 + 1 − 1 x 2 + 1 1 = = − dx dx dx ∫ 1 + x 2 ∫ 1 + x 2 ∫ 1 ∫ 1 + x2 dx =
∫
dx −
dx
∫ 1 + x 2
= x − arctgx
102. (264/3152.) x 2 x 2 + 1 − 1 1 − x 2 1 ∫ 1 − x 2 dx = ∫ 1 − x 2 dx = −∫ 1 − x 2 dx − ∫ 1 − x 2 dx =
46
dx
∫ x
=
3 73 1 + x − 7 x
Riješeni zadaci iz matematke
∫
= − dx −
1
∫ 1 − x 2
dx = − x +
1 1 + x ln 2 1 − x
103. (264/3153.)
∫
x 2 + 2
x 2 + 1 + 1 dx = dx = x 2 + 1 x 2 + 1
x 2 + 1
∫ x 2 + 1
∫
dx +
1
∫ x 2 + 1
x 2 + 1 1 + ∫ x 2 + 1 x 2 + 1 dx =
∫
dx = dx +
1
∫ x 2 + 1 dx = x + arctgx
104. (264/3155.) ( x 3 + x − 2 x( x 2 + 1) − 2 x 2 + 1) 1 ∫ x 2 + 1 dx = ∫ x 2 + 1 dx = ∫ x x 2 + 1 dx − 2∫ x 2 + 1 dx = 1 x 2 xdx dx =∫ − 2∫ 2 = − 2arctgx 2 x + 1 105. (264/3156.)
1 + x 2 + 1 − x 2 1 + x 2 1 − x 2 dx = ∫ dx + ∫ dx = ∫ 1 − x 4 1 − x 4 1 − x 4 1 + x 2 1 − x 2 1 + x 2 1 − x 2 dx + ∫ dx = = ∫ dx + ∫ dx = =∫ 1 − x 4 1 − x 4 (1 − x 2 )(1 + x 2 ) (1 − x 2 )(1 + x 2 )
∫
dx
+
1 − x 2
dx
∫
=
1 + x 2
arcsin x + ln ( x + 1 + x 2 )
106. (264/3157.)
3 x 4 x ∫ (3 − 4 )dx = ∫ 3 dx − ∫ 4 dx = ln 3 − ln 4 x
x
x
x
107. (264/3159.)
∫ (2
x
+
2
=
∫ [( 2
∫2 5
dx +
5 x ) dx
=
∫4
=
4 x 10 x 25 x +2 + ln 4 ln 10 ln 25
x
dx + 2
x x
x
)2
2 ⋅ 2 x 5 x
+
∫ 25
x
dx = =
+
∫4
x
( 5 x ) 2 ]dx dx + 2
=
∫10
x
dx +
∫ 25
x
dx =
108. (264/3162.)
∫ ( 2 x − 3 sin x + cos x ) dx = 2 ∫ xdx − 3 ∫ sin xdx + ∫ cos xdx = =
2
x 2
2
+
cos x + sin x = x 2
+
3 cos x + sin x
47
Riješeni zadaci iz matematike 109. (264/3164.)
∫
2
tg xdx =
∫
sin 2 x dx cos 2 x
110. (264/3165.) cos 2 x 2 ∫ ctg xdx = ∫ sin 2 x dx
=
=
1 − cos 2 x ∫ cos 2 dx
1 − sin 2 x ∫ sin 2 dx
=
=
dx
∫ cos 2 x − ∫ dx = tgx − x
dx
∫ sin 2 x − ∫ dx = − x − ctgx
111. (264/3169.) ax + b = t ax = t − b
1
1
( 2 x − 3 )3 2 = ∫ t ⋅ tdt = ∫ t dt = = 3 3
(2 x − 3) 2 = 3
∫ f ( ax + b ) dx =
adx = dt = dx =
dt a
112. (265/3171.) t 3 = ( x − dx
∫ ( x − 2 ) 2
=
2) 3
2 x = t + 2 t = x −
=
dx = dt =
dt
∫ t 3
−2
=−
t
2
=−
1 2( x − 2)2
113. (265/3172.) t 2 = 2 x − 3
2 x − 3 2 x = t 2 − 3 2 dx = 2 tdt
t =
∫
2 x − 3 dx
=
=
dx = dt 3
t 3
114. (265/3173.)
∫
5
5
1 − x 5 t = 1 − x 1 − x dx = = 5 x = 1 − t dx = − 5 t 4 dt t =
1
f (t ) dt = F (t ) + c = F ( ax + b) + c a∫ a a
48
Riješeni zadaci iz matematke t 6
5 5 6 = − ∫ t ⋅ 5t dt = −5∫ t dt = −5 = − ( 1 − x ) 6 6 4
5
6 5 = − (1 − x) 5 6
115. (265/3174.) t 2 =
2 − 5 x
2 − 5 x 2 ∫ 2 − 5 x = 5 x = 2 − t = 5 dx = − 2 tdt − 2 tdt dx = 5 2tdt 2 2 2 2 − 5 x = −∫ = − ∫ dt = − t = − 5t 5 5 5 t =
dx
116. (265/3177.) t 2 = 2 x +
5
2 x + 5 2 x = t 2 − 5 2 dx = 2 tdt
t = x
∫
2 − 5 x
dx =
=
dx = tdt x =
t 2 − 5 =
=
∫
2
2 tdt = t ∫ t
t 2 − 5
−5
2
2
dt =
∫
t 2
t 3 5 1 2 5 dt − ∫ dt = ∫ t dt − ∫ dt = 2 2 2 2 6
1 5 2 x + 5 ( 2 x + 5 ) 3 − 6 2
117. (265/3185.) 2
t = x dx
∫ (1 + x) 2tdt
x
= t = x
=
dx = 2tdt dt
∫ (1 + t 2 )t = 2∫ (1 + t 2 ) = 2arctgt = 2arctg (
x )
49
−
5 t = 2
Riješeni zadaci iz matematike 118. (265/3186.)
2 x 2 = t 2
∫ 2 x 2 + 1 =
2dx = dt = dx =
=
2
t = x
dx
dt
2
1 dt 1 1 arctgt arctg ( x 2 ) = = 2 ∫ t 2 + 1 2 2
119. (265/3187.) x 2
2
= t
9 2
dx
∫ x 2 + 9 ∫
=
=
dx
x 2 9 + 1 9
2
x = 9t
=
1 dx = x = 3t = 9 ∫ x 2 +1 x t = 9 3 dx = 3dt
1 3dt 1 1 x = arctgt = arctg 2 ∫ 9 t + 1 3 3 3
120. (265/3188.) x 2
2
= t
3 1 dx x 2 = 3t 2 = = = = ∫ x 2 + 3 ∫ x 2 3 ∫ x 2 + 1 x = t 3 3 + 1 3 3 dx = 3dt dx
=
dx
x 3 dt 3 3 = = arctgt arctg 3 ∫ t 2 + 1 3 3 3
121. (265/3189.)
3 x 2 2
2
= t
2 2 t 3 1 dx dx dx = ∫ 2 + 3 x 2 = ∫ 3 x 2 = 2 ∫ 3 x 2 = 2 x = t 1+ 21 + 3 2 2 2 dx = dt 3 x 2 =
50
Riješeni zadaci iz matematke
=
2 3 dt 2 ∫ 1 + t 2
=
3 1 1 arctgt = arctg x 2 6 6
122. (265/3192.)
∫
dx
=
x 2 + 7
2
(
)′
2
t = x + x + 7 , dt = 1 + x + 7 dx
2 x dx 2 2 x + 7 t 48 647 2 x x + 7 + dx dt = x 2 + 7 dt = 1 +
t
dt = =
x 2 + 7
dx ⇒
dt
=
t
dt
∫ t = ln t = ln x +
dx x 2 + 7
x 2 + 7
123. (265/3197.) 5 t = − x 2 5 − x 2 ∫ e 2 dx = x = − 5 t = 2 dx = − dt 5 2 t 2 t 2 − 52 x = − ∫ e dt = − e = − e 5 5 5 124. (265/3198.)
∫ (e
− x
+e
−2 x
)dx = ∫ e x dx + ∫ e 2 x dx = −
−
123 I 1
∫
−
I 1 = e x dx =
∫
t
1 42 4 3 I 2
t = − x dx = − dt t
= − e dt = −e = −e
=
− x
51
Riješeni zadaci iz matematike t = −2 x
∫
I 2 = e
− 2 x
dx =
dx = −
dt =
2 1 t 1 t 1 −2 x = − ∫ e dt = − e = − e 2 2 2 = −e
− x
−
1 e 2
− 2 x
125. (265/3199.) 2 t = x 3 2 3 sin xdx x t = = = ∫ 3 2 3 dx = dt 2 3 3 3 2 sin tdt ( cos t ) cos x = − = − 2∫ 2 2 3 126. (265/3200.)
∫ (sin 5 x − sin 5α )dx = = ∫ sin 5 xdx − ∫ sin 5α dx = ∫ sin 5 xdx − (sin 5α ) ∫ dx = = − x sin 5α + ∫ sin 5 xdx = 5 x = t 1 1 sin 5 sin tdt = xdx x = = = ∫ 5 5∫ 1 dx = dt 5 1 1 = − cos t = − cos 5 x 5 5 = − x sin 5α −
1 cos 5 x 5
52
Riješeni zadaci iz matematke 127. (265/3201.) t = 2 x + 3 2 x = t − 3 ∫ sin(2 x + 3)dx = 2dx = dt = dx = =
dt
2
1 1 1 sin tdt = − cos t = − cos(2 x + 3) ∫ 2 2 2
128. (265/3202.) t = 1 − 3 x 3 x = 1 − t ∫ cos(1 − 3 x)dx = 3dx = −dt = dx = − =−
dt
3
1 1 1 dt t = − = − cos sin cos(1 − 3 x) 3∫ 3 3
129. (265/3203.) 3 x + 2 = t 3 x = t − 2 dx ∫ cos 2 (3 x + 2) = 3dx = dt = dx = =
dt
3
1 dt 1 1 tgt tg (3 x + 2) = = 3 ∫ cos 2 t 3 3
130. (265/3204.)
2 x +
∫
dx 2
π
sin (2 x + ) 4
=
4
= t
2 x = t −
π
4
=
2dx = dt dx =
=
π
dt
2
1 dt 1 1 π = ( −ctgt ) = − ctg ( 2 x + ) 2 ∫ 2 sin t 2 2 4
53
Riješeni zadaci iz matematike 131. (266/3208.) 1 2 2 23 23 2 2 ∫ x( x − 13) dx = 2 ∫ ( x −13) d ( x − 13) = t = x − 13 = 24 1 23 1 2 t ( x − 13) 24 = ∫ t dt = = 2 48 48 132. (266/3209.)
∫ (3 x − 2 x + 1)( x − x + x − 9) dx = 3 2 7 3 2 3 2 7 = ∫ ( x − x + x − 9) d ( x − x + x − 9) = t = x − x + x − 9 = ∫ t dt = 2
=
t 8
8
=
3
2
7
( x 3 − x 2 + x − 9) 8 8
133. (266/3210.) xdx
∫ 3 − 2 x = d (−2 x
2
+ 3) = −4 xdx =
1 d (−2 x 2 + 3) 1 dt 1 1 2 2 =− ∫ = t = ( −2 x + 3 = ∫ = − ln t = − ln 3 − 2 x 2 4 3 − 2 x 4 t 4 4 134. (266/3211.) 1 d ( x 2 + 1) xdx 2 = ∫ (1 + x 2 ) 2 2 ∫ ( x 2 + 1) 2 = x + 1 = t = 1 dt 1 −1 1 = ∫ 2 = − t = − 2 t 2 2( x 2 + 1) 135. (266/3212.)
∫ x
2
3
3
2
x − 9dx = d ( x − 9) = 3 x dx
3 1 1 3 2 3 3 2 ( x − 9) d ( x − 9) = ( x − 9) 2 ∫ 3 9
=
2 ( x 3 − 9) 3 9
136. (266/3214.)
∫
xdx
1 − x 2
=−
= d (1 − x
1 2 2 − x
1 (1 ) 1 2 2
=−
2
) = −2 xdx
=−
1 d (1 − x 2 ) = 1 2∫ (1 − x 2 ) 2
1 − x 2
54
Riješeni zadaci iz matematke 137. (266/3215.) (2 x + 3)dx 2 ∫ x 2 + 3 x − 10 = d ( x + 3 x −10) = (2 x + 3)dx 2 2 = t = x + 3 x − 10 = ln x + 3 x − 10
=
∫
d ( x 2 + 3 x − 10) 2
x + 3 x − 10
=
142 4 43 4
* 2
2
* x + 3 x − 10 = x − 2 x + 5 x − 10 = x( x − 2) + 5( x − 2) = ( x + 5)( x − 2) = ln ( x + 5)( x − 2) = ln x + 5 + ln x − 2 138. (266/3216.) ( x + 3)dx 2 ∫ x 2 + 6 x − 5 = d ( x + 6 x − 5) = (2 x + 6)dx = 2( x + 6)dx 1 2 2 = t = x + 6 x − 5 ln x + 6 x − 5 2
1 d ( x 2 + 6 x − 5) = ∫ = 2 x 2 + 6 x − 5
139. (266/3217.) ( x + 1)dx 2 ∫ x 2 + 2 x − 9 = d ( x + 2 x − 9) = (2 x + 2)dx = 2( x + 1)dx 1 t 2
1 dt 1 = t = x + 2 x − 9 = ∫ 1 = 2 2 21 t 2 2
1 = t 2 =
( x
2
+ 2 x − 9)
1 2 =
1 d ( x 2 + 2 x − 9) = ∫ = 1 2 2 ( x + 2 x − 9)2 x 2 + 2 x − 9
140. (266/3218.) xdx
∫ ( x 2 + 1) =
∫
x 2 + 1
=
∫
xdx
2
( x 2 + 1)( x 2 + 1)
2
= d ( x + 1) = 2 xdx =
1 2
2
d ( x + 1)
( x 2 + 1)( x 2 + 1)
1 = 2
1 d ( x + 1) 3 2∫ 2 ( x + 1) 2
2
=
1 ( x + 1) 1 2 2
−
1 2
=−
1 x 2 + 1
141. (266/3219.)
∫ ( x
2
5
3
3
− 3) x − 9 x dx = d ( x − 9 x) =
1 3 = ∫ ( x − 9 x ) 3
1 5 d x 3
(
3
(3 x 2 − 9)dx = 3( x 2 − 3)dx
1 ( x − 9 x) − 9 x) = 6 3 5
6 5
6 5 3 ( x − 9 x) 5 = 18
142. (267/3267.) dx
∫ ( x − 1)( x + 3) = 55
=
=
55 3 ( x − 9 x ) 6 18
Riješeni zadaci iz matematike A B 1 = + ⋅ ( x − 1)( x + 3) ( x − 1)( x + 3) ( x − 1) ( x + 3) 1 = A( x + 3) + B ( x − 1) 1 = Ax + 3 A + Bx − B 1 A = 4 1 B = − 4 1 1 4 dx − 4 dx = 1 dx − 1 dx =∫ ∫ x + 3 4 ∫1 x2−31 4 ∫1 x2+33 x − 1 I 1
I 1 = I 2 =
=
dx
∫ x − 1 dx
∫ x + 3
=
x − 1 = t
=
dx = dt
I 2
=
x + 3 = t dx = dt
dt
∫ t = ln t = ln x − 1
=
dt
∫ t = ln t = ln x + 3
1 1 1 x − 1 ln x − 1 − ln x + 3 = ln 4 4 4 x + 3
143. (267/3268.) xdx
∫ ( x + 2)( x + 3) = x
=
A
+
B
( x + 2)( x + 3) ( x + 2) ( x + 3) x = A( x + 3) + B( x + 1) x = Ax + 3 A + Bx − 2 B x = x( A + B) + (3 A + 2 B) A = −2 B = 3 = −2
dx
⋅ ( x + 2)( x + 3)
x + 3
dx
∫ x + 2 + 3∫ x + 3 = −2 ln x + 2 + 3 ln x + 3 = ln ( x + 2) 2
144. (268/3294.) u = ln x dv = dx =
3
∫ ln xdx = v = ∫ dx = x du = (ln x)′dx =
=
1 x
dx
56
Riješeni zadaci iz matematke
∫ udv = uv − ∫ vdu = x ln x −
x
∫ x dx = x ln x − x = x(ln x − 1)
145. (268/3295.) u = ln x dv = xdx
∫
= x ln xdx = v =
∫
dx =
x 2
=
2
du = (ln x)′dx = =
x 2
2
ln x − ∫
x 2
2 x
dx =
x 2
ln x −
2
1
dx
x
x 2
=
4
x 2
1 (ln x − ) 2 2
146. (268/3296.) u = ln 2 x dv = xdx
∫
2
= x ln xdx = v =
∫ dx =
x 2
=
2
2
du = (ln x)′dx = =
x 2
2
ln x − ∫ 2
x 2 2 ln x
2 x
dx =
x 2
2
2 x
ln xdx
ln 2 x − ∫ x ln xdx = 1 424 3 I 1
u = ln x dv = xdx
∫
I 1 = x ln xdx = v = x
2 1
du = =
=
x
2
2
x 2
2
ln 2 x −
ln x − ∫
x
2
x 2
2
2
dx =
2 x
ln x −
x
2
4
x
=
dx
x 2
2
ln x −
x 2
4
2
=
1 2 ln x − ln x + 2 2
x
57
Riješeni zadaci iz matematike 147. (268/3304.) u = ln x 1 dv =
=
ln x
∫ x 3
dx =
x 3
dx
∫
v = x −3 dx = −
1 2 x 2 1
du = (ln 2 x)′dx =
x
=
dx
1 dx 1 1 ln x + ∫ 2 = − 2 ln x + ∫ x 3 dx = 2 2 2 x 2 x ⋅ x 2 x 1 1 1 1 ln x ln x =− − = − + 2 x 2 4 x 2 2 x 2 2 −
=−
148. (268/3307.) u = x 2 du = 2 xdx
∫ x e 2
− x
dx = dv = e − x dx
=
∫
v = e − x dx =
2
= − x e
− x
∫
+ 2 xe
− x
t = − x − dx = dt
∫
t
= − e dt = −e
− x
dx
1 424 3 I 1
u = x
∫
du = dx
−
I 1 = xe x dx =
dv = e
− x
v = −e = − xe
− x
∫
+2 e
− x
=
− x
dx
123 I 2
∫
−
−e
− x
I 2 = e x dx =
I 1 = − xe 2
I = − x e
− x
− x
2
+ 2 I 1 = − x e
− x
t = − x dt = −dx
− 2 xe
− x
− 2e
∫
t
=e
− x
= − e dt = −e
− x
58
− x
(− x 2 − 2 x − 2) = −( x 2 + 2 x + 2)e − x
Riješeni zadaci iz matematke 149. (268/3311.) u = x = ∫ x cos xdx = du = dx v = ∫ cos xdx = sin x = x sin x −
∫ sin xdx = x sin x − (− cos x) = x sin x + cos x
150. (268/3316.) u = x
2
du = 2 xdx
∫ x
2
sin 2 xdx = v = sin 2 xdx = ∫
2 x = t 2dx = dt = dx =
=
=
dt
2
1 1 sin cos 2 x tdt = − 2∫ 2
x 2
=−
1 x 2 cos 2 x + ∫ 2 x cos 2 xdx = − cos 2 x + ∫ x cos 2 xdx 2 2 2 14243 I 1
u = x du = dx
∫
I 1 = x cos 2 xdx = v =
∫ cos 2 xdx =
2 x = t 2dx = dt = dx =
=
=
1 1 cos tdt = sin 2 x ∫ 2 2
x 1 cos 2 x + sin 2 x − ∫ sin 2 xdx 2 2 2 1424 3
x
I 2
I 2 =
dt
1
∫ sin 2 xdx = 2 cos 2 x
59
2
=
Riješeni zadaci iz matematike x 2
1 x cos 2 x + sin 2 x + cos 2 x 2 2 4 2 x − 2 x − 1 = cos 2 x + sin 2 x 4 2
I = −
151. (268/3317.) u = x 4
∫ x
4
sin 2 xdx = du = 4 x 3 dx v=
= x
4
=
∫ cos xdx = sin x
sin x − 4∫ x 3 sin xdx 1424 3 I 1
u = x 3
∫
I 1 = x
3
sin xdx = du = 3 x 2 dx v=
= − x
3
=
∫ sin xdx = − cos x
cos x + 3∫ x 2 cos xdx 14243 I 2
u = x 2
∫
I 2 = x 2 cos xdx = du = 2 xdx v= = x
2
=
∫ cos xdx = sin x
sin x − 2∫ x sin xdx 1 424 3 I 3
u = x
∫
I 3 = x sin xdx = du = dx v= = − x cos x +
I 2 = x
2
∫ sin xdx = − cos x
∫ cos xdx = − x cos x + sin x
sin x − 2(− x cos x + sin x)
3 2 I 1 = − x cos x + 3[ x sin x − 2(− x cos x + sin x)]
60
=
Riješeni zadaci iz matematke sin x − 4{− x 3 cos x + 3[ x 2 sin x − 2(− x cos x + sin x)]} = 4 3 2 = x sin x + 4 x cos x − 12 x sin x − 24 x cos x + 24 sin x = 4 2 3 = sin x( x − 12 x + 24) + cos x( 4 x − 24 x)
I = x
4
152. (269/3339.)
∫ x
dx 2
+ 2 x
1
=
=
dx
∫ x( x + 2) =
A
B
+
x( x + 2)
x( x + 2) x x + 2 1 = A( x + 2) + Bx
11=4 Ax + 2 A + Bx 4 244 3 ⇓
A =
1 1 , B = − 2 2
1 1 dx dx 1 1 dx 2 2 =∫ −∫ = ln x − ∫ = x x + 2 2 x2 21 +3 2 I 1
I 1 = =
dx
∫ x + 2
=
1 1 ln x − ln x + 2 2 2
x + 2 = t dx = dt
=
=
dt
∫ t = ln t = ln x + 2
1 x ln 2 x + 2
153. (269/3340.)
∫ x
dx 2
+ 3 x
1
=
=
dx
∫ x( x + 3) =
A
+
B
x( x + 3) x x + 3 1 = A( x + 3) + Bx
x( x + 3)
11=4 3 A + Bx Ax + 4 244 3 ⇓
A =
1 1 , B = − 3 3
1 1 dx dx 1 dx 1 dx 3 3 =∫ −∫ = ∫ − = x x + 2 3 x 3 ∫ x + 3
61
Riješeni zadaci iz matematike
=
x 1 1 1 ln x − ln x + 3 = ln 3 3 2 x + 3
154. (269/3343.) dx
∫ 3 x 2 − 2 x − 1 = 3 x 2 − 2 x − 1 = 3 x 2 − 3 x + x − 1 = 3 x( x − 1) + ( x − 1) = (3 x + 1)( x − 1) A B 1 = + (3 x + 1)( x − 1) (3 x + 1)( x − 1) 3 x + 1 x − 1 1 = A( x − 1) + B(3 x + 1) 11=4 Ax A B − + 3 Bx +3 4 4 244 4 ⇓
A = −
3 1 , B = 4 4
3 1 dx dx 4 + 4 = − 3 dx + 1 dx = 3 x + 1 ∫ x − 1 4 ∫ 3 x + 1 4 ∫ x − 1
− =
=
∫
−3
1 1 1 x − 1 ln 3 x + 1 + ln x − 1 = ln 4 3 4 4 3 x + 1 ⋅
155. (270/3362.) 2 x + 7 ∫ x 2 + x − 2 dx = x 2 + x − 2 = x 2 + 2 x − x − 2 = x( x + 2) − ( x + 2) = ( x − 1)( x + 2)
2 x + 7 A B ( x + 2)( x − 1) = + ( x + 2)( x − 1) x + 2 x − 1 2 x + 7 = A( x − 1) + B( x + 2) 21 x + 7 = x( A + B ) + ( 2 B − A) 44 4 4 4 244 4 4 4 3 ⇓
A = −1, B = 3
( x − 1) 3 = −∫ + 3∫ = − ln x + 2 + 3 ln x − 1 = ln x + 2 x − 1 x + 2 dx
dx
62
Riješeni zadaci iz matematke
Odreeni integral b
∫
f ( x) dx =
a
n
lim ∑ f (ξ k )∆ xk
∆ xi →0
k =1
Važnije osobine odre enog enog integrala a
∫
1) f ( x) dx = 0 a b
2)
a
∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx a
b
b
c
b
∫
∫
∫
a
a
c
3) f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) dx ,
( a < c < b)
Newton-Leibnizova formula b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) = [F ( x)]
b a
a
ku [a, b] , tada je i v( x) diferencijabilne na odsječ ku
Ako su funkcije u ( x)
b
∫ u ( x)v′( x)dx = u ( x)v( x)
b
b
∫
− v ( x)u ′( x )dx a
a
a
156. (284/3674.) 1
1
dx
π
∫0 1 + x 2 = arctg 0 = arctg1 − arctg 0 = 4 157. (284/3683.) u = ln x + 1 2
∫1
x(ln x + 1) = du =
1 x
∫
v = xdx =
=
x 2
2
2
2
(ln x + 1)
− 1
x 2
∫1 2 x
=
dx x 2
dx =
2 x 2
2
2
(ln x + 1) 1
1 x 2 − ⋅ 2 2
b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) = [F ( x)]
b a
a
63
2
−= 1
1 2 ( ) ln 1 x + − −= 2 2 1
x 2
Riješeni zadaci iz matematike 2 2 1 12 1 1 1 = ln 2 + 1 − − ln1 + 1 − = 2 ln 2 + 2 − 1 − + = 2 2 2 2 2 4 8 − 4 − 2 +1 3 = 2 ln 2 + = 2 ln 2 + 4 4 158. (284/3686.) 4
∫1
1 + x x
2
4
4
1
4
∫1
−2
I 1 = x dx = 4
I 2 =
I = I 1 + I 2 =
x
∫1 x 2 dx + ∫1 x 2 dx =
dx =
x −1
=−
−1 1
1 −2 x x 2 dx =
∫1
4
x
−
x −
1
1 2 4
1 2
4
=− 1
= −2 x
−
1 3 +1 = 4 4
1 4 − 2 =
1
1
2 2 + = 2 −1 = 1 4 1
3 3+ 4 7 +1 = = 4 4 4
159. (284/3703.) 2 π
1
1
2 π
1 1
1
2 / π
∫ 2 sin x dx = −1 / ∫ sin x d x = cos x 1 / 1 / x π
π
= cos
π
64
π
2
− cos π = 1
Riješeni zadaci iz matematke
65
