"\
" '\ "\
'"
'\
'\ '\
\'\" I"
5-1 INlRODUCCION El problema de la determinaci6n de las fuerzas internas y de las deformaciones en todos Ios puntos dentro de un cuerpo sujeto a fuerzas extemas es muy dificil cuando la carga 0 la forma geometrica del cuerpo son comp icadas. Un metodo analitico refinado de analisis que intenta obtener soluciones generales estos problemas es el que se conoce como teoria de La elasticidad. EI mimero de problem s resueltos por medio de estos metodos ha sido limitado; por I~ tanto, las soluciones pra9ticas a la mayoria de los ~r~blemas de d!sefio se obtiene a traves de 10 que se conoce CO~Oel enfoque de la mecaruca de matenales. Con este enfoque, los elementos estructurale reales se analizan como modelos idealizados sujetos a cargas y restricciones simplificada .. Las soluciones resu1tantes son aproximadas, porque consideran solamente efectos que a ectan significativamente las magnitudes de los esfuerzos, las deformaciones unitarias y I~S deformaciones. En los capitulos 2 y 3 se estudi ron los conceptos de esfuerzo y deformaci6n unitaria y un analisis del comportamiento e .los materiales en el capitulo 4 condujo al establecimiento de ecuaciones que relacionrn el esfuerzo con la deformaci6n unitaria. En los capitulos restantes del libro, se cons~deraran los esfuerzos y las deformaciones producidos en una amplia variedad de miembrrs estructurales por cargas axiales, de torsi6n y de flexi6n. Los "analisis de mecanica de materiales", como se presentan aqui, son un poco men
Miembro uniforme: Cuando una barra recta de secci6n transversal uniforme esta sujeta a carga axial mediante fuerzas apl cadas en los extremos, se sup one que la deformaci6n unitaria axial a 10 largo de la longif d de la barra tiene un valor constante ' y el alargamiento (0 contracci6n) de la barra qU~resulta de la carga axial P puede expresarse como 0 = el. (por ladefinici6n de defo aci6n unitaria axial promedio). Si se aplica la ley de Hooke (ecuaci6n 4-1a), la defomia i6n axial se expresa en terminos de esfuerzo 0 de carga como:
EL
= (J"L E
t, t,
t, J"
i,
~
J, ~
L,
!" ~
i, l,
5-2 DEFORMACION DE MIE~BROS SUJETOSACARGAAXIAL
0=
k h
(5 -1)
'Las fuerzas en los extremos de estos mier' bros deben ser de igual magnitud, de direcciones opuestas y estar dirigidas a 10 largo del eje del miembro Aun mas, las fuerzas intemas en cualquier posicion a 10 largo del l miembro deben ser las mismas que las fuerzas en los extremos del miernbro y tambien deben actuar a 10 lar-
~ ~
i, ~ ~
. ~
go del eje del miembro.
180 """'
11
;-2
DEFORMACION DE MmMBROS SUjETOS A CARGA AXIAL
181
o
0= PL
(5-2)
EA
La primera expresi6n es adecuada en problemas de elasticidad en los cuales se especifican tanto el esfuerzo axial limitante como la deformacion axial y deben determinarse la earga maxima admisible 0 el tamafio requerido del miembro (area transversal). Ell esfuerzo que corresponde a la deformaci6n especificada puede obtenerse de la ecuaci6n 5-1 y compararse con el esfuerzo admisible. Entonces puede usarse el mas pequefio de los dos valores para calcular la carga admisible 0 el area transversal requerida. En general se prefiere la ecuaci6n 5-1 cuando el problema requiere la determinaci6n 0 comparaci6n de es-
.,I) ~
fuerzv:os: It L ., 5 2 d I I . ( anas cargas amanos: a ecuacion - que a e a argarmento 0 contraccion u que se presenta para una longitud L se aplica solamente a miembros uniformes para lo~ cuales P, AyE son constantes para la longitud total L. Si una barra esta sujeta a varias caq~as axiales en diferentes puntos a 10 largo de la barra, 0 si la barra consta de partes que tien~n areas transversales diferentes 0 de partes compuestas de diferentes materiales (figura 5-lla), entonces el cambio de longitud de cadaparte puede calcularse con el uso de la ecuacion 5-2. Los cambios de longitud de diferentes partes de la barra pueden entonces sumarse algebraicamente para dar el cambio total de longitud de la barra completa
Placas de apoyo rigidas (a)
Tension .0
100
ti
50
'S
0
t'"
-50
::;;a
(5-3)
donde Ai Y E, son ambos constantes para el segmento i y la fuerza Pi es la fueda interna en el segmento i de la barra y, generalmente, es diferente de las fuerzas aplicadas en los extremos del segmento. Estas fuerzas deben calcularse a partir del equilibrio el segmento y, con frecuencia, se muestran en un diagrama de fuerza axial como el de la figura 5-1b. rl
I1c
&: -100 Compresion (b)
Figura 5-1
Deformacion no uniforme.
Para casos en los cuales la fuerza axial 0 eI area transversal varian continuamente a 10 largo de la longitud de la barra (figura 5-2), la ecuab6n 5-2 no es valida, En la secci6n 3-2 se defini6 la deformaci6n unitaria axial en un punt~ para el caso de deformacion no uniforme como E = doldL. Asi, el incremento de deforma9ion aso'\ '. ciado con un eiemento diferencial de longitud dl;> dx se expresa como do = € dx. Si se . '"'"' . aplica la ley de Hooke, la deformacion unitarianuevamente se expresa comoE;=:'uIE,don-' de a = Px/Ax' EI subindice indica que tanto la carga aplicada P; como el area transversal Ax son funciones de la posicion x a 10 largo de Ia barra. Asi, do
""'" .-.,
=
Px dx EAx
(a)
Al integrar la ecuacion (a) se obtiene la siguiente expresion para calcular el alar lamiento total (0 contraccion) de la barra:
o = IL dS o
=
IL -.P
_x
0
dx
(5-4)
EAx p
La ecuacion 5-4 da resultados aceptables para barras ahusadas, siempre que el angulo entre los lados de la barra no exceda de 20°.
Figura 5-2
c
182
CAPITULO 5
APLICACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION
Problema de Ejemplo 5-1 EI miembro a compresion mostrado en la figura 5-3a consta de una barra A s61ida de aluminio, que tiene un diametro exterior de 100 mm, un tubo B de laton que tiene un diametro exterior de 150 mm y un diametro interior de 100 mm, y un tubo C de acero, que tiene un diametro exterior de 200 mm y un diametro interior de 125 mm. Los modules de elasticidad para el aluminio, el laton y el acero son de 73, 100 Y 210 GPa, respectivamente. Determine el acortamiento total del miembro bajo la accion de las cargas indicadas. SOLUCION ~ Las fuerzas axiales intemas PA, PB Y Pc se dibujan todas como fuerzas de tension en los diagramas de cuerpo libre de la figura 5-3b. Si las fuerzas se evahian comopositivas, entonces seran graficadas como fuerzas positivas (tension) en el diagrama de fuerza axial de la figura 5-3c y haran que el respectivo segmento de la barra se estire (0 sera positivo). Si las fuerzas se evaluan como negativas, entonces seran graficadas como fuerzasnegativas (compresion) y haran que el respectivo segmentode la barra se acorte (0 sera negativo).
Las fuerzas transmitidas por las secciones transversales en las partes A, Bye del miembro mostrado en la figura 5-3a se obtienen usando los diagramas de cuerpo libre mostrados en la figura 5-3b. La suma de fuerzas a 10 largo del eje de la barra resulta:
PA = -650 kN = 650 kN (C) PB = -1 500kN = 1 500kN (C) Pc = -3 OOOkN = 3 OOOkN (C)
+i~F= -PA - 650 = 0 + i~F = -PB - 650 - 850 = 0 + i~F = - Pc - 650 - 850 - 1 500 = 0
En la figura 5-3c se muestra una representacion grafica de la distribucion de la fuerza axial 0 intema en el miembro. Las areas transversales del aluminio, laton y acero son: AA
=
7T'd2
= ~100)2
4
4
= 7 854 mnr' = 0.007854 m2
AB = : (d~ - d1) = :(1502
Ac
= ;
(d~ - d1) = ;(2002
- 1002)
=
= 0:009817
9 817 mnr'
- 1252) = 19 144 mm''
=
m2
0.019144 m2
Los cambios de longitud de las partes diferentes se obtienen usando la ecuacion 5-2. Asi,
=
OA = PALA EAAA ~ Ya que las areas transversales Y las fuerzas axiales intemas son diferentes en los segmentos A, Bye de la barra, las defonnaciones DA, DB y Oc deben calcularsepor separado y luego sumarse para obtener la deformaciontotal de .la barra.
9
= -1.1337(10-3)m=
-1.1337mm
73(10 )(0.007854)
_ PBLB _
OB - EBAB
3
-650(10 )(1.0)
-
-1 500(103)(1.25) 100(109)(0.009817) 3
_ PcLe _ -3 000(10 )(0.75) Oc - EeAc - 210(109)(0.019144)
_ - -1.9100(10 _ - -0.5597(10
-3_
)m - -1.9100mm -3_
) m ~ -0.5597
,
I
.~
LOrn
L
r
1.25 rn
L I
C '0
O.75rn
]_---L....L....JL['"
3 2 1 0-1-2-3
Fuerza axial, MN (a) Figura 5-3
.1"""\
(b)
(c)
mm
. ,........,
~,!;f
'~
5-2 DEFORMl\CION DE MIEMBROS SUJETOS A CARGA AXL\l
h
El cambio total de longitud de la barra completa esta dada por la ecuaci6n 5-3 clmo
8total = 8 A + 8 B + 8 c = -1.1337 - 1.9100 - 0.5597
=
-3.6034
mm
== -3.60
mm
EI signa negativo indica que la barra completa disminuye en longitud.
B
5¥a
Problema de Ejemplo 5-2 Las horquillas rigidas y C de la figura estan bien sujetas a la barra cuadrada AD de acero (E = 30 000 klb/pulgf) de 2 pulg. Determine: a) b) c) d)
EI EI El El
esfuerzo normal maximo en la barra. cambio de longitud del segmento AB. cambio de longitud del segmento Be. cambia de longitud de la barra completa.
SOLUCION Ya que la barra AD esta sujeta a varias cargas axiales aplicadas en diferentes puntos a 10 largo de la barra, las diferentes secciones AB, BC Y CD de la barra transmitiran d~ferentes niveles de carga. Un diagrama de fuerza axial, como el mostrado en la figura 5-4b, es una representaci6n grafica de los niveles de fuerza intema en cada una de las secciones y sirvecomo una ayuda para los calculos de esfuerzos y deformaciones. . I EI diagrama de fuerza axial se construye facilmente aislando diferentes porciones de Ia barra con cortes imaginarios y calculando la fuerza intema que debe transmitirse por medio de la secci6n transversal expuesta por el corte para conservar el equilibrio de la parte aislada de la barra. Por ejemplo, un corte imaginario en cualquier parte de IJ seccion AB mostrara una seccion transversal que debe transmitir 82 klb para conservar JI equilibrio de las partes de la barra a ambos lados del corte.· I a) El examen del diagrama de fuerza axial indica que la carga maxima transmitida por cualquier seccion de la barra es de 82 klb; por 10 tanto, ya que la barra tiene ~na seecion transversal unifonge,
Pmax A
=
82
4 = 20.5
47 klb
klb/pullf (T)
28.5 klb D
A
45 klb
82k1bL
47ldb 8Pies~
LSPiesJ (a)
128.5ldb ~4pies~
Posicion
L,
h ,L
Figura 5-4
183
184
CAPiTULO 5
APUCACIONES DE CARGAAXIALY RECIPIENTES A PRESION
b) Ya que diferentes partes de la barra transmiten niveles diferentes de carga, debe usarse la ecuacion 5-2 para detenninar los cambios de longitud asociados con cada una de las diferentes partes de la barra. Para el segmento AB, se tiene
+82(8)(12) . = 30000(4) = +0.06560 pulg
PABLAB BAB
= EABAAB
= +0.0656
pulg
Respuesta
EI signo positivo indica que el segmento AB de la barra aumenta en longitud. c) Para el segmento BC, se tiene -12(5)(12)
PBcLBC
OBC
= EBCABC = 30000(4)
= -0.00600 pulg
Respuesta
El signo negativo indica que el segmento BC de la barra disminuye en longitud. d) Para el segmento CD, seobtiene PCDLcD OCD = ECDAcD
+45(4)(12)
= 30000(4)
= +0.01800 pulg
EI signo positivo indica que el segmento CD de la barra aumenta en longitud. Entonces se suman algebraicamente las defonnaciones DAB, OBC Y OCD de los segmentos individuales para dar el cambio de longitud de la barra completa. Asi, se obtiene PL EA
=
I
=
+0.06560 - 0.00600 + 0.01800 +0.07760 pulg = +0.0776 pulg
DAD
=
=
DAB + OBe
+ OeD Respuesta
El signo positivo indica que la barra completa aumenta en longitud.
Problema de Ejemplo 5-3 Una barra homogenea de secci6n transversal uniforme A cuelga verticalmente al estar suspendida de un extremo, como se muestra en la figura 5-5a. Determine el alargamiento de la barra debido a su propio peso Wen terminos de W,L, AyE. SOLUCION Un diagrama de cuerpolibre del segmento de la barra, figura 5-5b, muestra que la fuerza axial es una funcion de x, la distancia a partir del extremo libre de la barra. Asi, es aPli-!
r L
..
L (a)
Figura 5-5
I x
L (b)
~
5-2 DEFORMACION DE MIEMBROS SUJETOS A CARGA AXIAL
185
5b7
cable la ecuacion 5-4. £1 pew dol segmento de Ia barra mostrado '0 la figura 5Wx = yVx = yAx, donde 'Y es el peso especifico del material del cual esta hecho la bJa, y Vx es el volumen del segmento de barra. De la ecuaci6n 5-4, se obtiene
IfL _x dx = fLP o EAx EA
o= donde y, AyE ,
!
0
yAx dx = .2 E
fL
x dx
0
son constantes. EI alargarniento de la barra es
"""'
'-i
.
El peso de la barra es W
=
yAL, de donde y
o=
yL2 2E
=
w
I
AL' Asi, el alargamiento de la rarra es
W [L2]
WL
= AL 2E = 2AE
Re puesta
I
Problema de Ejemplo 5-4
Una barra de acero (E = 200 GPa) con unalsecci6n transversal cuadrada de 30 X 30 mm esta sujeta a una carga axial de compresi6nR de 180 kN, como se muestra en la figura 5-6a. Determine:
,.
a) EI alargamiento de la barra. I b) Los esfuerzos ux, uY' y 'Txy en el elemento A, que se encuentra en la superficie exterior de la barra. IE-------I
" t""\
m ------
I+--P
P
(a)
Figura 5-6a
SOLUCION a) Ya que P, AyE son todas constantes para la longitud L de la barra, puede ericontrarse el alargamiento de la barra usando la ecuacion 5-2. Asi, se obtiene I 3
.
0- PL -180(10 )(1) = -1000(10-3) - EA - 200(109)(0.030?·
m
=
-1.000 nun
~200MPa
(b)
Figu~a 5-6b-c
(c)
Respuesta
•. Si la barra esta sujeta a su propio peso y a una fuerza concentrada P en el extremo libre, el alargamiento se encontraria usando el metodo de superposicion (seccion 4-3). Es decir, los alargamientos que se determinan usando las ecuaciones 5-2 y 5-4 por separado se suman algebraicamente para encontrar el alargamiento debido a los efectos combinados del peso de la barra y la fuerza concentrada.
186
CAPITULO 5
APLICACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION b) EI elemento en A esta sujeto a un estado plano de esfuerzos, como se muestra en la figura 5-6b. Ya que la barra esta sometida a una fuerza axial, el unico esfuerzo diferente de cero es o; Aun mas, a; es de compresion, ya que P es una fuerza de compresion yes igual a 3
Ux
= p = -180(10 A
)
(0.030)2
= -200 MPa
=
-200(106) N/m2
= 200 MPa
(C)
Respuesta
Los esfuerzos sobre el elemento A se muestran en la figura 5-6c.
1
PROBLEMAS
Problemas
2.0 m, como se muestra en la figura P5-4. Determine la carga requerida para estirar 3.00 rum al ensamblaje.
Introductorios
5-1 * Las especificaciones para una parte de maquina de alurninio (E = 10 600 klb/pulg/) requieren que el esfuerzo normal no exceda de 15 klb/pulg'' y que el alargamiento total no exceda de 0.0125 pulg. Si la parte tiene un diametro de 2.5 pulg y 2.75 pies de longitud, determine la carga maxima axial a la cual puede estar sujeta.
(Placa rfgida
--.p
P"--
5-2* Un miembro estructural a tension de aleacion de aluminio (E = 70 GPa) tiene una seccion transversal rectangular de 25 X 75 mm y tiene 2 m de longitud. Determine la carga maxima axial que puede aplicarse si el esfuerzo normal no debe exceder de 100 MPa y el alargamiento total no debe exceder de 4 mm.
Figura P5-4
5-3 Una barra de acero (E = 30 000 klb/pulg/) de 8 pies de longitud tiene un diametro de 1.5 pulg en la mitad de su longitud y un diametro de 1.0 pulg en la otra mitad (figura P5-3). Pata las cargas mostradas, determine:
5-5* El miembro a tension de la figura P5-5 consta de un tubo A de acero (E = 30 000 klb/pulg'') que tiene un diametro exterior de 6 pulg y un diametro interior de 4.5 pulg, asi como de una barra solida B de aleacion de aluminio (E = 10 600 klb/pulg') que tiene un diametro de 4 pulg. Determine el alargamiento total del miembro.
a. El alargamiento de la barra. b. EI alargamiento de una barrade seccion transversal uniforme que tenga el mismo peso que la barra del inciso a).
~~~(
10 k1b
~4pies~
Placa rigida
20klb
~4Pies-J Figura P5-3
5-4 Una varilla de acero (E = 200 GPa), que tiene un diametro de 30 mm y una longitud de 1.0 m, esta ligada al extremo de un tuba Monel (E = 180 OPa), que tiene un diametro interno de 40 rum, un espesor de pared de 10 mm y una longitud de
.
Figur~ P5-5
PROBLEMAS
5-6* Una barra de aleacion de aluminio (E = 73 GPa) esta sostenida y sujeta a cargas, como se muestra en la figura P5-6. Los diametros de las secciones superior e inferior de la barra son 25 mm y 15 mm, respectivamente. Determine:
50mm
187
125kN D 200kN
370kN
125kN 1.5m
a. La deflexion de la seccion transversal a-a. b. La deflexion de la seccion transversal b=b.
Figura P5-8 5-9* Un bo hueco A de acero (E = 30 000 klb/pulg''), con un dia~etro 9xterior de 2.5 pulg y un diametro interior de 2 pulg, esta ligado 'I- una barra B de aluminio (E = 10 000 klb/puli) que tiene un 1iametro de 2 pulg sobre una rnitad de su longitud y un diame~o de 1 pulg sobre la otra mitad. La barra esta sujeta a cargas Y sfstenida como se muestra en la figura P5-9. Determine:
1.2 m
i1.5 m
a. El sambio de longitud del tuba de acero. b. El largamiento total del miembro. ~
50klb
FiguraP5-6 5-7 Un tuba hueco A de laton (E = 15 000 klb/pulg'') can un diametro exterior de 4 pulg y un diametro interior de 2 pulg esta unido a una varilIa solida B de acero (E = 30 000 klb/pulg") de 2 pulg de diametro, como se muestra en la figura P5-7. Detennine: a. La deflexion de la secci6n transversal a-a. b. La deflexion de la secci6n transversal b-b.
1J
iiiiii~~~~ii--.l0klb
20kN 15klbl
16 pulg
20 pulg
20 pulg
Figura P5-9 5-10 El tFcho y el segundo piso de un edificio estan sostenidos por la columna mostrada en la figura P5-10. La columna es una secci6nl de acero estructural (vease el apendice B para consultar las propiedades) que tiene un area transversal de 5 700 mnr'. El techp y el piso sujetan a la columna a las fuerzas axiales mostradas. Determine: .., . a. L a eantiidad que asentara' eIn.pnmer pISO. b. La antidad que asentara el techo ... I
11
380kN
T~
..:ni""""'~""""""""""'''''
3.5 m
80klb
Figura P5-7 5-8 Las-horquillas rigidas Bye de la figura P5-8 estan bien sujetas a la barra cuadrada AD de acero (E = 210 GPa) de 50 mm por lado. Determine:
a. El esfuerzo normal maximo en la barra. b. El cambio de longitud de la barra completa.
.
t~ 3.5 m
Figura P5-10
188
CAPiTULO 5
APLICACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES
Problemas Intermedios 5-11 * Una varilla de acera estructural (vease el apendice B para consultar las propiedades) de 3/4 de pulg de diametro X 3 pies de longitud soporta una carga axial P a tension de 5 klb, como se muestra en la figura P5-11. Determine: a. b. c. d.
El alargamiento de la barra. El factor de seguridad con respecto a la falla por fluencia. El factor de seguridad con respecto a la falla por fractura. Los esfuerzos O-x, o-y Y Txy sobre el elemento en A que se encuentra en la superficie exterior de la varilla.
A PRESION
5-13 El piso de un almacen esta sostenido por una columna de madera de roble rojo que se seca al aire (vease el apendice B para consultar las propiedades), como se muestra en la figura P5-13. El contenido del almacen sujeta a la columna de 12 X 12 pulg a una carga axial de 200 klb. Si la columna tiene 30 pulg de longitud, determine: ~ a. La deformacion de la columna. b. Los esfuerzos O-x, o-y y Txy sobre el elemento en A que se encuentra en la superficie exterior de la columna. Piso
p
Figura P5-11 5-12* Una barra de aleacion de aluminio 2024-T4 (vease el apendice B para consultar las propiedades) de 3 m de longitud tiene una seccion transversal cuadrada de 25 mm para 1 m de su . longitud y una seccion transversal circular de 25 rom de diametro para los otros 2 m de su longitud, como se muestra en la figura P5-12. La barra esta sustentando una carga axial a tension P de 50 kN. Determine: a. b. c. d.
El alargamiento de la barra. El factor de seguridad con respecto a la falla por fluencia. El factor deseguridad con respecto a la falla por fractura. Los esfuerzos O-x, o-y Y Txy en los elementos en A y B que se encuentran en la superficie exterior del ensamblaje.
r- -r---1m
Figura P5-13 5-14 EI techo y el segundo piso de un edificio estan sostenidos por la columna mostrada en la figura P5-14. La columna es un perfil de patin ancho W305 X 74 de acero estructural (vease el apendice B para consultar las propiedades). El techo y el piso someten a la columna alas fuerzas axiales mostradas. Determine: a. EI cambio de longitud de la columna. b. EI factor de seguridad con respecto a la falla por fluencia. c. Los esfuerzos O-x, o-y Y Txy sobre los elementos A y B que se encuentran en la superficie exterior del alma de la columna. 260kN
2 m-----li
P--x
p
T 3.5m
t
y
Lx
3.5 m
Figura P5-12
J
Figura P5-14
PROBLEMAS
Una barra plana de I X 2 pulg de aleaci6n de aluminio " 5-15*6061-T6 (vease el apendice B para consultar las propiedades) Irj esta sujeta alas cargas axiales mostradas en la figura P5-15. , " Determine:
I
'1""""\
i il""""\ I
,
189
a. El cambia de longitud del tuba de acero. b. La deflexion total del miembro. c. Los esfuerzos maximos normal y cortante en el tubo de acero. d. Los esfuerzos maximos normal y cortante en la barra de aluminio.
a. El cambio de longitud de la barra. b. Los esfuerzos maximos normal y cortante en los puntos A, Bye en la superficie exterior de la barra.
r-,
120 klb
Figura PS-17 5000lb
Figura P5-15 1""""\
5-16* Un tubo hueco A de acero estructural (vease el apendice B para consultar las propiedades) con un diametro exterior de 60 mm y un diametro interior de 50 mm esta unido a una barra B de aluminio 2014-T4 que tiene un diametro de 50 mm sobre una mitad de su longitud y un diametro de 25 mm sobre la otra mitad. La barra esta sometida a cargas y sostenida como se muestra en la figura P5-J6. Determine: a. b. c. d.
5-18 Un tuba A de aleacion de aluminio (E = 73 GPa), can un diametro exterior de 75 mm, se usa para sostener una varilla B de acero (E = 200 GPa) de 25 mm de diametro, como se muestra en la figura P5-18. Determine el espesor minima t requerido para el tuba si la deflexion maxima del extremo de la varilla sujeto a carga debe limitarse a 0.40 mm.
EI cambio de longitud del tuba de acero. El alargamiento total del miembro. Los esfuerzos maximos normal y cortante en el tuba de acero. Los esfuerzos maximos normal y cortante en la barra de aluminio.
iiiiiiiiiiiiii--+45kN Figura P5-18 prOblemas/ Dificiles Figura P5-16 ~ ~
5-17 El miembro a 'tension de la figura P5-17 consta de un tubo A de acero estructural, que tiene un diametro exterior de 6 pulg y un diametro interior de 4.5 pulg, y de una barra solida B de aleacion dealuminio 20 14-T4, que tiene undiametro de 4 pulg (vease el apendice B para consultar las propiedades). Determine:
5-19* Una barra de acero estructural (vease el apendice B para consultar las propiedades) de seccion transversal rectangular consta de secciones uniforme y ahusada como se muestra en la figura P5-J9. El ancho de la seccion ahusada varia linealmente de 2 pulg en la parte inferior a 5 pulg en la parte superior. La barra tiene un espesor constante de 112pulg. Determine el
190
CAPITIJLO 5
APLICACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION y
alargamiento de la barra que resulta de la aplicaci6n de la carga P de 30 klb. Desprecie el peso de la barra.
Figura PS-22
5-23* La barra mostrada en la figura P5-22 esta hecha de bronce recocido (vease el apendice B para consultar.Ias propiedades). Ademas de su propio peso, la barra esta sujeta a una carga axial de tension P de 5 000 lb en su extremo inferior. Determine el alargarniento de la barra debido a los efectos combinados de su peso y de la carga P. Sea r = 4 puIg y L = 60 pulg. Figura P5.19
5-20* Determine el cambio de longitud de la barra conica homogenea ~ la figura P5-20 debido a su propio peso. Exprese 108 resultades en terminos de L, E Y el peso especifico 'Y del materiaL El alusamiento de la barra es 10 suficientemente leve para que sea valida la suposicion de una distribueion uniforme del esfuerzo axial sobre 1a seccion transversal.
5-24 Una barra de aleacion de alurninio (E = 70 GPa) de seecion transversal circular consta de secciones uniforme y ahusada como se muestraen la figura P5-24. El diametro de la seccion ahusada varia lineaImente de 50 mm en la parte superior a 20 mm en la parte inferior. La seccion uniforme en la parte superior es hueca y tiene un espesor de pared de 10 mm. Determine el alargamiento de la barra que resulta de la aplicacion de la carga de 75 kN. Desprecie el peso de la barra,
y
Figura P5-2/l 5-21 Ademas de Ia earga P, la barra del problema 5-19 tiene un peso espc::ffico 'Y (vease el apendice B para consultar las pro-
piedades). Determine el alargamiento de Ia barra debido a 10s efectos combinadas de la carga P y su propio peso; l,Que porcentaje dd alargamiento total es debido al peso de Ia barra?
Figura PS-24 Problemas
5-22 Determine el alargamiento-debido a su propio peso; de la barra homogenea de la figura P5~22.Exprese les resultados en terminos de,'L, E Y el peso' especifico 'Y del material'. El' ahusamiento de la barra es 10 suficientemente leve para que sea va-
de Computadora -e "
C5-25 Un eje de acero estructural (E = JO 000 klb/puli Y v = 0.30) de 3 pslgde dhimetro es forzado a presion dentro de un
agujero circular ligeramente
mas
pequefio, como se muestra en
lida la suposicion de, una distribuciw uniforme del esfuerzo
la figura C5-2S. Suponga quelos esfuerzos normales
axial sobre la seccion transversal.
esfuerzos cortantes r-estan distribuidos uniformemente sobre la
(Tn
Y 1.08
,
5-3 DEFORMACIONES EN UN SISTEMA DE BARRAS SUJETO A CARGA AXIAL
superficie del eje cilindrico. Si las magnitudes de los esfuerzos normal y cortante son de 600 lb/pulg'' y 300 lb/pulg", respectivamente, calcule y grafique 10 siguiente: a. La fuerza P requerida para insertar el eje como una funcion de la longitud L que ha sido insertada (0 ~ L ~ 15 pulg). b.. El esfuerzo axial O"x(x) en el eje como una funcion de la distancia x a partir de la superficie del agujero cuando se han insertado 15 pulg del eje (0 ::::;x::::; 15 pulg). c. La deformacion axial 8x del eje como una funcion de la distancia x a partir de la superficie del agujero cuando se han insertado 15 pulg del eje (0 ~ x ~ 15 pulg).
donde 'Y= 400 N/m3 es el peso especifico del material circun-· dante, 4> = 28° es el angulo de fricci6n del suelo y x es la distancia a partir de la superficie del suelo. Calcule y grafique 10 siguiente: a. El esfuerzo axial O"xCx) en el pilote como una funci6n de la distancia x a partir de la superficie del suelo, cuando la longitud completa de 8 m del pilote esta en el suelo (0 ::::;x ::::;8 m). b. La defonnaci6n axial <\ del pilote como una funcion de la distancia x a partir de la superficie del suelo, cuando la longitud completa de g m del pilote esta en el suelo (0 s; x s; 8 m). c. La fuerza P requerida para extraer el pilote del suelo como una funci6n de la longitud L del pilote que permanece en el suelo (0::::; L ::::;8 m).
p--.
p
rr
Figura C5-25
L
C5-26 El pilote de madera (E = 13 GPa y /I = 0.30) de 300 mm de diametro mostrado en la figura C5-26 esta siendo extraido del suelo. Suponga que los esfuerzos normales horizontales tr; y los esfuerzos cortantes verticales T (que son una funcion del tipo de suelo que rodea al pilote) pueden definirse por medio de las expresiones siguientes: O"n(x) = yx(l - sen !/J)
rex) = O"n tan !/J
y
Figura C5-26
5:-3. DEFORMACIONES EN. UN. SISTEMA DE BARRAS SUjETO A CARGA AXIAL
191
.
Algunas veces es necesario determinar deformaciones y deformaciones unitarias axiales en un sistema sometido a cargas, compuesto por barras deformables conectadas con seguros (miembros sujetos ados fuerzas). El problema se enfoca a traves de un estudio de la forma del sistema deformado del cual se obtienen las deformaciones axiales 8 de las diferentes barras en el sistema. Supongase, por ejemplo, que se tiene interes en las deformaciofes axiales de las barras AB, Be y BD de la figura 5-7, donde las lineas completas representan la configuracion sin deformacion (sin carga) del sistema y las lineas discontinuas representan la configuracion debida a una fuerza aplicada en E. Del teorema de Pitagoras, la deformacion axial de la barra AB es
Si se suma el termino L a ambos lados de la ecuaci6n y estes se elevan al cuadrado, se obtiene Figura 5-7
192
CAPiTULO 5
APLiCACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION
Si los desplazamientos son pequefios (el caso comun para materiales rigidos y cornportamiento elastico), pueden despreciarse los terminos que incluyan a los cuadrados de los desplazamientos; entonces,
De una manera similar,
La deformacion axial en la barra Be es OBC
= VCR cos
e -
xf + (R sen
e
+
y)2 -
R
Si se suma el termino R a ambos lados de la ecuaci6n y estos se elevan al cuadrado, se obtiene 8~c
+ 2R8BC + R2 = R2 cos2 0 - 2Rx cos 0 + x2 + R2 serr' 0 + 2Ry sen
Si se desprecian los pequefios terminos de segundo grado y se observa que serr' = I, se obtiene . OBC == Y sen x cos
e-
f)
+ y2
e + cos"
()
e
o en terminos de las deforrnaciones de las otras dos barras, se tiene
Figura 5-8
La interpretacion geometrica de esta ecuaci6n se indica por medio de los triangulos rectangulos sombreados de la figura 5-8. La conclusion general que se puede inferir del analisis anterior es que, para desplazamientos pequefios, se supone que la deforrnaci6n axial de cualquier barra es igual al componente del desplazamiento de un extremo de la barra (en relaci6n con el otro extremo), considerado en la direcci6n de la orientaci6n sin deforrnaci6n de la barra. Cualesqui era miembros rigidos del sistema cambiaran su orientacion 0 posicion, pera no se deformaran de ninguna manera. Por ejemplo, si la barra BD de lafigura 5-7 fuera rigida .y estuviera sujeta a una pequefia rotacion hacia abajo, podria suponerse que el punto B se desplazaria vertical mente a 10 largo de una distancia y y OBC seria igual a y sen e.
Problema de EjempJo 5-5 Un tirante y un puntal de tubo se usan para sostener una carga de 50 kN, comose muestra en lafigura 5~9a.Las areas transversales son de 650 mm" para el tirante AB y de 925 mnr' para el puntal tubular BC Ambos miembros estan hechos de acero estructural que tiene un modulo de elasticidad de 200 GPa. Determine 10 siguiente: a) Los esfuerzos norrnales en el tirante AB y en el puntal tubular Be. b) EI alargamiento 0 acortamiento del tirante AB y del puntal tubular BC c) Los desplazamientos horizontal y vertical del punta B. d) Los angulos que forman al girar los miembros AB y Be .
SOLUCION a) Las fuerzas en los miembros AB y Be pueden determinarse usando el diagrama de cuerpo libre del nudo B mostrado en la figura 5-9b. Asi, se tiene FAB =
50( cos 42.61 O)/sen 42.61 ° = 54.36 kN (T)
PBC = 50/sen42.61°::= 73.85 kN (C)
k k
h
;-3
DEFORMACIONES EN UN SISTEMA DE BARRAS SUJETO A CARGA AXIAL
193
1.25m--~
r
1.15m
50kN
l (a) B
(b)
(c)
Figura 5-9
Los esfuerzos normales en los miembros AB y Be se determinan usando la ecuacion 2-2. Asi, (JAB
=
PAB
=
3
+54.36(10
)
6
650(10-
AAB
)
= +83.63(106) N/m2 (J
-
BC -
FBc
_
ABC
-
-73.85(103) 925(10-6)
=
-79.84(106) N/m2
~
83.6 MPa (T)
Respuesta
~
79.8 MPa (C)
Respuesta
b) Los cambios de longitud de los miembros se determinan usando la ecuacion 5-1. Asi, OAs =
(JABLAB
E
+83.63(106)(1.25) 200(109) _
= (J_~Bc~L~B~C _ OBC=-
+0.5227(10-3) m ~ +0.523 mm
Respuesta
-79.84(106)(1.699) 200(109)
E
=
-0.6782(10-3)
m ~ -0.678 mm
Respuesta
c) Los desplazamientos horizontal y vertical Oh y Ov del punto B se indican en el diagrama de deformaciones mostrado en la figura 5-9c. Las deformaeiones han sido muy exageradas en este diagrama y los areos de giro de los miembros han sido reemplazados por lineas rectas trazadas perpendicularmente alas posiciones libres de carga de los miembros. Del diagrama se observa que
··Oh
= OAB =
+0.5227 mm == 0.523 nun
Respuesta
~ Imagine que se retira por un momento el seguro que conecta las barras en B. A medida que se estira el tirante AB, este tiende a empujar el nudo del punto B al punta B i- De manera similar, a medida que se acortael puntal tubular BC, este tiende a jalar el nudo del punto B al punto B2. Entonces, el tirante AB debe girar en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del segura A yel nudo se mueve hacia abajo desde B 1 hasta B', el punta! tubular gira en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del segura C y el nudo se mueve hacia abajo desde B2 hasta H', Yel seguro puede colocarse nuevamente en el nudo.
194
CAPITULO 5
APUCACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION
y el segura B se mueve a la derecha una distancia Oh a sen42.61°
=
0.523 mm. Tambien,
= OAB cos 42.61 ° = 0.5227 cos 42.61 ° = 0.3847 mm =
ov =
b = IOBci = 0.6782 mrn 0.6782 + 0.3847 1.0629
_OB=C,-+_a _
s.
s;
1.0629 sen 42.61 °
s;
1.5700 mrn
=
==
1.570 mm
Es decir, el seguro B se mueve hacia abajo una distancia Ov
Respuesta
= 1.570 mm.
d) A medida que el seguro B se mueve hacia abajo desde B 1 hasta B', la barra AB gira en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del seguro A formando un angulo (JAB (vease el diagrama de deformaciones mostrado en la figura 5-9c). Suponiendo que el angulo es muy pequefio, tan (JAB == (JAB (donde (JAB esta en radianes), y (JAB
==
tan
(JAB =
L~
=
~.~~~=
0.001256 rad
==
0.0720°
Respuesta
En forma similar, a medida que el seguro B se mueve hacia abajo desde B2 hasta B', la barra Be gira en el senti do de las maneciUas del reloj alrededor del segura C formando un angulo ()BC' Si se supone nuevamente que el angulo es muy pequefio, tan (JBC
==
(JBe.
Y
()BC=_ t an (JBC- -
c
+
ov cos
42.61 °
LBC 0.5227 sen 42.61 ° 2
Y1150 = 0.000889 rad
+ 1.5700 + 12502
cos 42.61 °
== 0.0509°
Respuesta
Observese que las fuerzas FAB y FBc se encontraron usando un diagrama de cuerpo libre dibujado segun la configuraci6n sin deformaci6n en vez de la configuracion deformada. En la seccion 5-4 se estudiaran las consideraciones para usar diagramas de cuerpo libre segun la configuracion sin defonnar.
1
PROBLEMAS
Problemas
i:Jf
Introductorios P
5-27* Se usan dos cables de acero estructural (E = 29 000 klb/ puli) para sostener el semaforo de 220 lb mostrado en la figura P5-27. Cada cable tiene un area transversal de 0.015 pulg", Determirie:
20
r> \
a. El cambio de longitud de cada cable. b. El desplazamiento vertical del punto C.
Figura P5-27
PROBLEMAS
5.28* Un tirante AB y un puntal tubular AC se usan para sostener una carga de 100 kN, como se muestra en la figura P5-28. Ambos miembros estan hechos de acero estructural (E = 200 GPa). Las areas transversales son de 620 mm" para AB y de I 000. mm2 para AC. Determine:
195
b. EI desplazamiento vertical del punto C.
a. Los esfuerzos normales en el tirante y en el puntal tubular. b. Los cambios de longitud del tirante y del puntal tubular. c. Los desplazamientos horizontal y vertical del punto A.
Figura P5-30
lOOkN
5-31 * Un motor de automovil de 500 Ib es sostenido en su lugar par un trabajador que jala un cable, como se muestra en la figura P5-31. Todos los cables que se usan en el sistema de sosten estan hechos de acero (E = 29 000 klb/pulg/) y tienen un area transversal de 0.05 pulg". Determine el esfuerzo normal y el alargamiento en el segmento superior del cable, que tiene una longitud de 6 pies.
.4.5 m
L-6mFigura PS-28
,
\
5-29 Las tres barras mostradas en la figura P5-29 se usaran para sostener una carga P de 150 klb. La barra A sera hecha de ale acion de aluminio (E = 10 500 klb/pulg'') y tendra una seccion transversal circular. Las barras B seran hechas de acero estructural (E = 29 000 klb/pulg'') y tendran secciones transversales rectangulares de 2.5 X 1.0 pulg. Si el esfuerzo en la barra A debe limitarse a 15 klb/pulg", determine el diametro minimo satisfactorio de, la barra A . -o
T c
'-----_T
FiguraPS-3L 5-32* Un automovil atascado en un campo lodoso se mueve con el uso de un cable amarrado a un arbol, como se muestra en la figura P5-32. Se aplica una fuerza P = 800 N en el punto media del cable que tiene 6 m de longitud. El cable esta hecho de acero estructural (E = 200 GPa) y tiene un area transversal A ::::650 mm", Determine el cambio de longitud del cable.
p
Figura P5-29 5-30 Un cuerpo M con una masa de 750 kg esta sostenido por dos cables flexibles, como se muestra en la figura P5-30. AmI .,...... bas cables estan hechos de acero (E = 200 GPa) y tienen longitudes de 2.5 my areas transversales de 125 mnr'. Determine: ~
i
h
a. El cambio de longitud de cada cable.
p
l ~~~J~}50~====~~4~~·• Cable
50
Arbol
Figura P5-32 .
196
CAPITIlLO 5
APLICACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION
5-33 Dos macetas para flores estan sostenidas con alambres de aluminio 2024-T4 (vease el apendice B para consultar las propiedades), como se muestra en la figura P5-33. La maceta A pesa 10 Ib y la maceta B pesa 8 lb. Las longitudes de los cables AlL BC Y CD son de 1.75 pies, 2 pies y 1 pie, respectiva~ente. Todos los cables tienen un diametro de 0.02 pulg. Determine: a. EI alargamiento de cada cable. b. El factor de seguridadcon respecto a la falla por fluencia para cada cable.
y esta hecho de acero estructural con un modulo de elasticidad de 29 000 klb/pulgi y una resistencia de fluencia de 36 klb/ pulg'' tanto a tension como a compresion. Determine: a. El esfuerzo normal en el miembro DE. b. El cambio de longitud del miembro GF. c. El factor de seguridad con respecto a la falla por fluencia para el miembro CD. 2000 lb
Figura P5-33
Figura P5-35
5-34 Una caja A, que tiene una masa de 790 kg, es sostenida por un sistema de cables de acero estructural (vease el apendice B para consultar las propiedades), como se muestra en la figura P5-34. Las longitudes de los cables A, B, C Y D son de 1 m, 1.6 m, 1.2 m y 1 m, respectivamente. El area transversal de todos los cables es de 150 mm". Determine:
5-36* La armadura mostrada en la figura P5-36 sostiene un automovil que tiene una masa de 1 800 kg. Cada miembro de la armadura tiene un area transversal de 200 rnnr' y esta hecho de acero estructural, con un modulo de elasticidad de 200 GPa y una resistencia de fluencia de 350 MPa, tanto a tension como a compresion. Determine:
a. Los alargamientos de los cables A, Bye. b. EI factor de seguridad con respecto a la falla por fluencia para cada cable.
a. El esfuerzo normal en el rniembro DE. b. EI cambio de longitud del miembro Be. c. EI factor de seguridad con respecto a la falla por fluencia para el miembro AB.
Figura P5-36
Figura P5-34 .
Problemas lntermedios 5-35* Una armadura conectada con seguros esta sometida a cargas y sostenida como se muestra en}a figura P5-35. Cada miembro de la armadura tiene un area ,transversal de 2.5 pul!?
5-37 Dos tirantes se usan para sostener una carga de 10 klb, como se muestra en la figura P5-37. EI tirante AC, que esta hecho de aleacion de aluminio con un modulo de elasticidad de 10600 klb/pulg'' y una resistencia de fluencia de 41 klb/pulg", tiene 10 pies de longitud y un area transversal de 0.326 pulg" La varilla BC, que esta hecha de acero estructural con un modulo de elasticidad de 29 000 klb/pulg' y una resistencia de fluencia de 36 klb/pulg', tiene 15 pies de longitud y un area transversal de 0.508 pul~. Determine:
PROBLEMAS
a. El factor de seguridad con respecto a la falla por fluencia para cada una de las varillas. b. El alargamiento de cada varilla. c. Los desplazamientos horizontal y vertical del seguro C.
197
b. El desplazamiento vertical (deflexion) del seguro C. c. La carga P.
B
--T
15 pulg
c
A
8 pulg
lOklb
Figura P5-37 5-38 Dos tirantes se usan para sostener una carga de 75 leN, como se muestra en la figura P5-38. La varilla AB, que esta hecha de una aleacion de alurninio con un modulo de elasticidad de 73 GPa y una resistencia de fluencia de 280 MPa, tiene 2 m de longitud y un area transversal de 348 mm", La varilla BC, que esta hecha de acero estructural con un modulo de elasticidad de 200 GPa y una resistencia de fluencia de 250 MPa, tiene 4 m de longitud y un area transversal de 779 mnr', Determine: a. El factor de seguridad con respecto a la falla por fluencia para cada una de las varillas. b. El alargamiento de cada varilla. c. Los desplazamientos horizontal y vertical del seguro B.
c
D
4 pUlg~4
PUIg-*-P~lg~
p
Figura P5-39 5-40 Una barra rigida CD esta sometida a carga y sostenida como se muestra en la figura P5-40. Las barras A y B estan libres de esfuerzos antes de aplicar la carga P. La barra A esta hecha de acero inoxidable (E = 190 GPa) y tiene un area transversal de 750 mrrr'. La barra B esta hecha de una aleacion de aluminio (E = 73 GPa) y tiene un area transversal de 1 250 mm". Despues de aplicar la carga P, se encuentra que la deformacion unitaria en la barra B es de I 200 JLPulg/pulg. Determine: a. Los esfuerzos en las barras A y B. b. El desplazamiento vertical (deflexion) del seguro D. c. La carga P.
····,
t
r·. "
B
05m
.... 1m ~
1 ,......, 75kN
~O.2m~0.3m
Figura P5-38
) 0.1 m
p
Figura P5-40 5-39* Una barra rigida CD esta sometida a carga y sostenida como se muestra en la figura P5-39. "Utsbarras A y B estan libres de esfuerzos antes de aplicar la carga P. La barra A esta hecha de acero (E == 30 000 klb/pulg') y tiene un area transversal de 2 pulg'', La barra B esta hecha de laton (E == 15000 klb/pulg") y tiene un area transversal de 1.5 pulg', Despues de aplicar la carga P, se encuentra que la deformacion unitaria en la barra B es de 1 500 JLPulg/pulg. Determine: a. Los esfuerzos en las barras A y B.
Problemas Dificlles 5-41 * Resuelva el problema 5-39 cuando hay un espacio libre de 0.015 pulg en la conexion del seguro en la parte inferior de la barra B. 5-42* Resuelva el problema 5-40 cuando hay un espacio libre de 0.50 mm en la conexion del seguro en la parte inferior de la barraB.
198
CAPinrLO 5
APLICACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION
5-43 Las tres barras mostradas en la figura P5-43 se usaran para sostener una carga P de 100 klb. Todas las barras tienen la misma seccion transversal circular y tienen 6 pies de longitud. La barra A esta hecha de Monel (E = 26 000 klb/pulg/), la barra B esta hecha de una aleaci6n de magnesio (E = 6 500 klb/pulg') y la barra C esta hecha de acero estructural (E = 29 000 klb/pulg'). Si el esfuerzo en la barra C debe limitarse a 20 klb/pulg', determine el diametro minimo satisfactorio para cada una de las barras.
de aleaci6n de aluminio 2024-T4 (E = 10600 klb/pulg") y tiene un area transversal de 1.25 puli. EI puntal Be esta hecho de acero estructural (E = 29 000 klb/pulg/) y tiene un area transversal de 2.50 pulg'', Determine: a. b. c. d.
Los esfuerzos maximos normal Los esfuerzos maximos normal EI alargamiento 0 acortamiento Los desplazamientos horizontal B
y cortante y cortante de ambos y vertical
en el puntal AB. en el puntal BC. puntales. del segura B.
•
'"'
Figura P5-45 p
Figura P5-43 5-44 Un tirante y un puntal tubular se usan para sostener una carga de 100 leN, como se muestra en la figura P5-44. EI tirante AB esta hecho de acero inoxidable (E = 190 GPa) y tiene un area transversal de 475 mnr'. EI puntal tubular BC esta hecho de acero estructural (E = 200 GPa) y tiene un area transversal de 1 250 mnr', Determine: a. Los esfuerzos maximos normaly cortante en el tirante AB. b. Los esfuerzos maximos normal y cortante en el puntal tubular Be. c. EI alargamiento 0 acortamiento de la varilla y del punta!. d. Los desplazamientos horizontal y vertical del seguro B.
1(----3
5-46 Un tirante y un puntal se usan parasostener una carga de 50 leN, como se muestra en la figura P5-46. EI tirante AB esta hecho de una aleaci6n de titanio (E = 96 GPa) y tiene un area transversal de 450 mnr'. El puntal BC esta hecho de Monel (E = 180 GPa) y tiene un area transversal de 1 450 mrrr'. Determine: a. b. c. d.
Los esfuerzos maximos normal y cortante en Los esfuerzos maximos normaly cortante en EI alargamiento 0 acortamiento de la varilla Los desplazamientos horizontal y vertical del
el tirante AB. el puntal BC. y del punta!. seguro B.
m---~
Figura P5-46 lOOkN Figura P5-44
Problemas
de Computadora
5-45* Dos puntales se usan para sostener una carga de 30 klb,
CS-47 Un peso Westi sostenido por dos alambres flexibles, co-
como se muestra en la figura P5-45. E1 puntal AB esta hecho
mo ,.se muestra en la figura C5-47. Ambos alambres estan he-
~
.
-
;-4
MIEMBROS SUJETOS A CARGA AXIAL ESfATICAMENfE
chos de acero (E = 30 000 klb/pulg'} y tienen longitudes de 10 pies y diametros de 1/4 de pulg, Calcule y grafique 10 siguiente: a . Los esfuerzos (TAC Y (Tec en los alambres como funciones del peso W (100 lb ::; W::; 500 Ib). b. Los estiramientos SAC Y Sec en los alambres como funciones del peso W (100 lb :S W::; 500 Ib). c. EI movimiento vertical del anillo C como una funcion del movimiento horizontal del anillo (yc contra xc) para 100 lb :S W:s 500 lb.
INDETERMINADOS
CS-48 Dos cables de acero estructural (E = 210 GPa) se usan para sostener el semaforo de 100 kg mostrado en la figura C5-48. Cada cable tiene un diametro de 8 mm. Calcule y grafique 10 siguiente: a. Los esfuerzos (TAC y (TBC en los cables como funciones de la distancia de la flecha d (0.4 m ::; d z: 1.0 m). b. EI cambio de longitud de cada cable BAC y BEC como funciones de la distancia de la flecha d (0.4 m :s d::; 1.0 m). c. El desplazamiento vertical del punto C causado por el estiramiento de los cables, como una funcion de la distancia de la flecha d (0.4 m -s d:s 1.0 m).
----~-~»-~----x
Figura CS-48
Figura CS-47
5-4 ,MIEMBROS SU)ETOS A CARGA AXIAL ESTATICAMENTE INDETERMINADOS En muchas estructuras simples (y sistemas mecanicos) construidas con miembros sujetos a carga axial, es posible encontrar las reacciones en los apoyos y las fuerzas en los rniembros individuales dibujando diagramas de cuerpo libre y resolviendo ecuaciones de equilibrio. Estas estructuras (y sistemas) se conocen como estructuras estaticamente determinadas. En e1diseiio de muchas otras estructuras (y sistemas mecanicos), las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para la determinacion de las fuerzas axiales en los miembros y de las reacciones en 10s apoyos; estas estructuras (y sistemas} se conocen como estructuras estaticamente indeterminadas. Los problemas de este tipo pueden analizarse complementando las ecuaciones de equilibrio con otras ecuaciones que incluyan la forma de las deformaciones en los miembros de la estructura 0 sistema. La descripcion siguiente del procedimiento sera util en el analisis de problemas que incluyan condiciones estaticamente indeterminadas.
1. Dibuje un diagrama de cuerpo libre. 2. Anote el mimero de incognitas consideradas (magnitudes y posiciones). 3. Identifique el tipo de sistema de fuerzas en el diagrama de cuerpo libre y anote el ro de ecuaciones independientes de equilibrio disponibles para este sistema.
mime-
mimero de incognitas excede al mimero de ecuaciones de equilibrio, debe escribirse una ecuacion de-deformacion por cada incognita adicional.
4. Si el
.
199
"\
200
CAPITULO 5
APLICACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENfES A PRESION '"
5. Cuando el mimero de ecuaciones independientes de equilibrio y de ecuaciones de deformaci6n sea igual al numero de incognitas, las ecuaciones pueden resolverse simultaneamente. Las deformaciones y las fuerzas deben estar relacionadas con objeto de resolver las ecuaciones sirnultaneamente.
sit'" es~ C("\
gr--, La ley de Hooke (eenacion 4-1) y las definiciones de esfuerzo (ecuacion 2-1) Y de dede ~ formaci6n unitaria (ecuaci6n 3-1) pueden usarse para relacionar las deformaciones y las fuerzas cuando todos los esfuerzos sean menores que los limites de proporcionalidad corres~ pondientes de los materiales que se usan en la fabricaci6n de los miembros. Si algunos de los esfuerzos exceden a los limites de proporcionalidad de 10s materiales, los diagramas de esA" fuerzo-deformacion unitaria pueden usarse para relacionar las cargas y las deformaciones. En esta secci6n, los problemas se limitaran a la regi6n del comportamiento elastico de los ' materiales. Los problemas que contemplan el comportamiento inelastico de los materiales se analizan en la secci6n 5-8. Se recornienda que se dibuje un diagrama de desplazarnientos que muestre las deformaciones para ayudar en la obtenci6n de la ecuaci6n correcta de det\J formaci6n. EI diagrama de desplazarnientos debe ser tan simple como sea posible (un diap" rn-, grama lineal), con las deformaciones indicadas con magnitudes exageradas y c1aramente dimensionado. Los miembros de carga (miembros que se suponen rigidos), especialmente, AL deberan indicarse con lineas individuales. Observe que una ecuaci6n de equilibria y la correspondiente ecuaci6n de deformaci6n deben ser compatibles; es decir, cuando se suponga " una fuerza de tensi6n para un miembro en un diagrama de cuerpo libre, debe indicarse una y, deformaci6n por tensi6n para el mismo miembro en el diagrama de deformaciones. Si los diagramas soncompatibles, un resultado negativo indicant que la suposici6n fue err6nea; sin " embargo, la magnitud del resultado sera correcta. ,.-.. En la mayoria de las aplicaciones de ingenieria, se supone que un cuerpo es rigido cuando se usan las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones en los apoyos "''' L. aun cuando sea un hecho que el cuerpo se deforma cuando se aplican las cargas. Par ejemr> plo, considerese el sistema de palanca/cable mostrado en la figura 5-lOa y sup6ngase que la palanca ABC es rigida y que los pesos de la palanca y del cable son despreciables con ~ I•• respecto alas cargas aplicadas. EI cable esta unido y enrollado alrededor del sector circu.--.. lar en el extremo izquierdo de la palanca. En la figura 5-10a se muestra la posicion del
" " "
"
)ll....
,-,.
y
.--.. .-., A
11
"""
"""
T
(b)
'"
A
c
"""
""'"
(a)
(
o==-----x
"'"
" .--.. T
"
(c)
,.-...
Figura 5-10
"
" ~
;.}
5-4 MIEMBROS SUJETOS A CARGAAXIAL ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
sistema sin cargas. Se analizara el equilibrio del sistema bajo dos condiciones: I) el cable es rigido y 2) el cable se deforma.
Condici6n 1) Cuando se supone que tanto el cable como la palanca son rigidos, el diagrama de cuerpo libre para la palanca es como se muestra en la figura 5-10b. La ecuacion de equilibrio de mementos para la palanca ABC es + L4MB =
TR - Wo
=0
Asi, la tension T en el cable rigido es Wo T=R
~ r=;
(0)
Condici6n 2) Cuando se supone que el cable es deformable, el diagrama de cuerpo libre para la palanca despues de que se deforma el cable (estado deformado de equilibrio) es como se muestra en la figura 5-l0c. La ecuacion de equilibrio de momentos para la palanca ABC es, entonces
+ L 4MB =
TR - Wa cos
e=
0
y la tension en el cable deformado es
Wa T=-cos R
rr-.
~ ~ ~
e
La ecuacion (b) no puede resolverse para determinar T, ya que e es una incognita. Ya que las ecuaciones restantes de equilibrio no suministran la informacion adicional necesaria para despejar T, el problema es estaticamente indeterminado. Los problemas estaticamente indeterminados se resuelven usando las ecuaciones de equilibria [en este caso, la ecuacion (b) anterior] junto con ecuaciones obtenidas a partir de la deformacion del miembro. La deformacion del cable esta dada par la ecuacion 5-2 como
TL 0= EA ~ ~
(b)
(c)
donde E es el modulo de elasticidad y A es el area transversal del cable. La combinacion de lasecuaciones(b)y (c) nos da
oEA
Wa
L
R
--=-cosO
(d)
r>.
la cual tiene dos incognitas, 0 y O. Sin embargo, el cable se enreda alrededor de un sector circular en la palanca; por 10 tanto, {)= R8 (e)
~
Si en la ecuacion (d) se sustituye i5por la ecuacion (e) y se ordena, se obtiene
~
(f) ,-,
.1..:
La ecuacion (f) puede resolverse para determinar 0 (si se conocen los parametres geome, , tricos R, A, a y L, la propiedad E del material y el peso W) usando un procedimiento de ,......, prueba y error, usando metodos numericos, 0 graficando ambos lados de la ecuaci6n (f) contra 8 y ubicando la interseccion de las dos curvas. Una vez que se conoce 8, se usa la '" ecuacion (b) para encontrar la tension en e1 cable. ~
201
202
CAPITULO;
APLICACIONES DE CARGAAXIALY RECIPIENfES A PRESION
Aun cuando la ecuacion (a) para el cable rigido y la ecuacion (b) para el cable deformable son similares, los calculos requeridos para encontrar la tension Ten la ecuacion (b) son algo tediosos. Si se dejan de lado las dificultades de calculo, (,Ios resultados obtenidos usando la ecuacion (a) son significativamente diferentes de aquellos obtenidos usando la ecuacion (b) en situaciones comunes de ingenieria? Para ayudar a responder esta pregunta, cons iderense los ejemplos siguientes. Ejemplo 1: EI cable es rigido. Si W = 100 Ib, a = 30 pulg y R = IS pulg. De la ecuacion (a) se obtiene: T = 200 Ib Ejemplo 2: EI cable es un alambre de acero (E = 29 000 klb/pulg'') de 3132 de pulg de diametro. Si W = 100 lb, a = 30 pulg, R = 15 pulg y L = 45 pulg. De la ecuacion (f) se obtiene: (} = 0.002997 rad = 0.1717° De la ecuacion (b) se obtiene: T = 199.999 lb La diferencia en porcentaje entre los valores de T en los dos ejemplos es:
%D =
200 - 199.999 199.999 (100) = 0.0005%
Este error es aceptable para problemas practices de ingenieria. Una revision del esfuerzo nonnal del alambre (0" = PIA) nos da 0" = 29.0 klb/pulg''. Este nivel de esfuerzo esta dentro del rango lineal del comportarniento esfuerzo-deformacion unitaria de los aceros usado para fabricar productos de alambre. El esfuerzo normal debe estar en el rango lineal para que la ecuacion (c) sea valida. Ejemplo 3: El cable es un alambre de aluminio (E = 10 600 klb/pulg'') de 3132 de p1l1gQe diametro. Si W = 100 lb, a = 30 pulg, R = 15 pulg y L = 45 pulg. De la ecuacion (f) se obtiene: (} = 0.00820 rad = 0.4698° De la ecuacion (b) se obtiene: T == 199.993 lb La diferencia en porcentaje entre los valores de T en los ejemplos 1 y 3 es %D = 0.0035%. Una revision del esfuerzo normal en el alambre de aluminio nos da 0" = 29.0 klb/pulg/, que nuevamenteesta dentrodel rangelineal delcomportamiento esfuerzo-deformacion unitaria del aluminio, de modo que la ecuacion (c) es valida, Los ejemplos 2 y 3 indican que la tension en el alambre cambia muy poco cuando se modifica la rigidez del alambre por un factor de casi 3 y que ambos valores son, esencialmente, los mismos que el que se obtuvo usando la suposicion del alambre rigido (ejemplo I). En las secciones 5-2 y 5-3 se uso un cuerpo rigido cuando se calcularon las reacciones en los apoyos y las fuerzas intemas; entonces, estas fuerzas se usaron para determinar 10s esfuerzos y las deformaciones. Deberan satisfacerse los requerirnientos de equilibrio cuando un cuerpo esta en la configuracion deformada. Sin embargo, el ejemplo anterior ilustra que las fuerzas se deterrninan, dentro de la precision de la ingenieria, usando las ecuaciones de equilibrio y un diagrama de cuerpo libre conla configuracion sin deformar. Entonces, estas fuerzas se usan para deterrninar esfuerzos y defonnaciones con suficiente precision para la mayoria de las aplicaciones de ingenieria. En todos 10s problemas y ejemplos siguientes, se supone que los miembros sujetos a carga, los seguros y los apoyos son rigidos, y que el mecanismo se construye de modo que el
sistema de fuerzas es coplanar. El procedimiento descrito se ilustra en 10s siguientes ejem- ~ plos.
5-4 MIEMBROS SUJETOS A CARGA AXIAL EsrATICAMENfE
INDETERMINADOS
203
Problema de Ejemplo 5-6 Se usan nueve varillas de refuerzo de acero (E = 200 GPa) de 25 mm de diametro en la pila corta de concreto (E = 30 GPa) mostrada en la figura 5-lla. Se aplica una carga axial P de 650 kN sobre la pila a traves de una placa de cubierta rigida. Determine: a) Los esfuerzos en el concreto y en las varillas de acero. b) El acortamiento de la pila.
SOLUCION a) En la figura 5-11b se muestra un diagrama de cuerpo libre de la placa de cubierta rigida. EI diagrama de cuerpo libre contiene dos fuerzas inc6gnitas; la fuerza resultante Pc ejercida por el concreto y la fuerza resultante PR ejercida por las varilias. Ya que s610 se dispone de una ecuaci6n de equilibrio, 'i.Fy = 0, el problema es estaticamente indeterminado. La ecuaci6n adicional necesaria para obtener una soluci6n al problema se obtiene del diagrama de deformaci6n mostrado en la figura 5-11c. A medida que la carga P se aplica ala placa de cubierta rigida, esta se mueve hacia abajo una cantidad 8, que representa la deflexi6n producida en las varillas de acero y en el concreto. La relaci6n entre carga y deflexi6n para una condici6n de carga axial esta dada por la ecuaci6n 5-2. Asi, las dos ecuaciones necesarias para resolver el problema son Ias siguientes. Ecuaci6n de equilibrio:
'i.Fy = 0 PR
+ Pc
- P
=
PR
+ Pc
- 650(103)
=
(a)
0
••. Observeseque ambas fuerzas se dibujan en el diagramade cuerpolibre de la figura 5-11b como si ernpujaran la placa de cubiertarigida.Esta ejercera fuerzas iguales de empuje sobre la pila de concreto y las varillas de acero de refuerzo. Asi, las fuerzas Pc Y PR son de compresi6n;estas conduciran a los esfuerzos de cornpresion (Te Y (TR, asi como tambien conduciran al acortamientode la pila y las varillas(comoesta dibujadoen el diagrama de deformacionesde la figura 5-11c).
Ecuaci6n de deformaci6n:
/
r 250 mm 1
I250mm .--i
···· i
p
";><''''.
_.
Pc
,.
PR
(b)
x (a)
Figura 5-11
(c)
··
204
CAPl'ruLO 5
APLICACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION
El area transversal total AR para las nueve varillas de acero es
=9( :)(25)2 = 4 418 mm2
AR
El area transversal Ac para el concreto es
Ac
= (250)2 - AR = (250l-
4 418
= 58 080 mnr'
La ecuacion de deformaci6n nos da, entonces,
PR(0.600)
PcCO.600)
= 30(109)(58080)(10-6)
200(109)(4418)(10-6) de donde PR
=
0.5071Pc
(b)
Resolviendo simultaneamente las ecuaciones (a) y (b), se obtiene PR
= 218.7(10
)
N s= 219 kN (C)
Pc
= 431.3(10 )
N s= 431 kN (C)
3
3
Los esfuerzos normales en las varillas y en el concreto se obtienen usando la ecuacion 2-2. Asi, _ PR _ 218.7(103) UR - AR - 4418(10-6) Pc
Uc
= Ac =
431.3(103) 58 080(10-6)
6 2 ~ - 49.50(10 ) N/m = 49.5 MPa (C)
_
6 2 - 7.426(10 ) N/m
_
Respuesta
~
=
7.43 MPa (C)
Respuesta
b) El acortamiento de la pila se obtiene de la deformacion de las varillas 0 de la deformacion del concreto, ya que son iguales. Asi, a partir de la deformacion de las varillas,
0-0 -
6 49.50(10 )(0.600) ER 200(109)
- 0 - uRLR c-
'R -
_
= 0.1485(10-3) m = 0.1485 mm
Respuesta
Problema de Ejemplo 5-7 Una placa rigida C se usa para transferir una carga P de 20 klba: unavarillaa de acero (E= 30 000 klh/pUlg2yy a Uti tube Bde aleaci6n de alurninio (E = 10 000 klb/pulg/), como se muestra en la figura 5-12a. Los apoyos en la
••. Cuandose aplica la carga de 20 klb a la placa rigida C, la placase desplazarahaciaabajouna distancia 8; la varilla de acero A se estirarauna cantidad 8A = 8 = PALAIEAAA = uALA/EA (donde PA es una fuerza de tension Y UA es un esfuerzo de tension);y el tubo de aluminioB se acortarauna distanciaigualSj = 8 = PBLB/EBAB = (TBLB/EB (donde PB es una fuerza de conipresion y UB es un esfuerzode compresion). Yaque PA esuna fuer za de tension y P B es una fuerza de compresio,.t se muestraque PAjaia a la varilla y que PB empuja al tubo en el diagramade cuerpo libre de la figura 5-12b.
1\
parte superior de la varilla y en la parte inferior del tubo son rigidos y no hay esfuerzos ni en la varilla ni en el tubo antes de aplicar la carga P. Las areas transversales de la varilla A y del tubo B son 0.800 pulg2 y 3.00 pulg/, respectivamente. Determine: a) Los esfuerzos normales en la varilla A yen el tubo B. b) EI desplazamiento de la placa C.
SOLUCION a) En la figura 5-12b se muestra un diagrama de cuerpo libre de la placa C y partes de la varilla A y del tubo B. El diagrama de cuerpo libre contiene dos fuerzas incognitas, P A Y PB· Ya que s610 se dispone de una ecuaci6n de equilibrio, 'iFy = 0, el problema es estaticamente indeterrninado. La ecuacion adicional necesaria para obtener una solucion del problema se obtiene del diagrama de deformaciones mostrado en la figura 5-12c. A medida que la carga P se aplica a Ia placa C, esta se mueve hacia abajo una cantidad 0, que representa la deflexi6n experimentada por la varilla A ~' nor el tubo B.
1\
5-4 MIEMBROS SUJETOS A CARGA AXIAL ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
205
1
10 pulg
~
1 YL (b)
x (a)
(c)
Figura 5-12
La relaci6n entre carga y deflexion para la condici6n de carga axial esta dada por la ecuaci6n 5-1. Asi, las dos ecuaciones necesarias para resolver el problema son las siguientes. Ecuaci6n de equilibrio:
"i,Fy = 0 PA
+ PB
-
20
=
0
0, en terminos de esfuerzos:
+
0.800(TA
3.00(TB = 20
(a)
Ecuaci6n de deformaci6n: OA
=
(TALA
--=--
EA
O"A(lO) _ 30000
OB (TBLB
EB 20) 10 OOQ
O"B
de donde (TA = 6(TB
(b)
Con la resoluci6n simultanea de las ecuaciones (a) y (b) se obtiene O"A
=
15.384 klb/pulg" == 15.38 klb/pulg'' (T)
O"B
=
2.564 klb/pul~ == 2.56 klb/pulg' (C)
Respuesta Respuesta
b) EI desplazamiento de la placa C es el mismo que la deflexion de la varilla A flexi6n del tuba B. Asi, de la ecuaci6n (5-1), se obtiene
Dc
=
DA
/
= DB =
O"A
0
la de-
10)
30000
_ 15.384(10) 30000 =
0.005128
pulg
== 0.00513
pulg hacia abajo
Respuesta
~ Observe que las ecuaciones (a) y (b) pudieron haberse escrito y resuelto facilmente en terminos de las fuerzas PAY P B en lugar de hacerlo en terminos de los esfuerzos eTA Y (Ts. Se escogieron Ios esfuerzosdebidoa que el problemarequeria los esfuerzos, pero no requeria las fuerzas.
206
CAPImO
5
APLICACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION
Problema de Ejemplo 5-8 Una estructura conectada con seguros esta sometida a cargas y sostenida como se muestra en la figura 5-13a. El miembro CD es rigido y esta horizontal antes de aplicar la carga P. El miembro A es una barra de aleaci6n de aluminio con un m6dulo de elasticidad de 75 GPa y un area transversal de 1 000 mm". El miembro B es una barra de acero estructural con un m6dulo de elasticidad de 200 GPa y un area transversal de 500 mnr', Determine: a) Los esfuerzos normales en las barras A y B. b) La deflexi6n del seguro D.
B
~
1.5 m
1
A
1.5 m
--l--
2.5 m
1 2.0m
---*-..::..:..::c...=.:.711
p::= 150kN
(a)
Figura 5-13a
SOLUCION a) En la figura 5-13b se muestra un diagrama de cuerpo libre del miembro CD y partes de los miembros A y B. El diagrama de cuerpo libre contiene cuatro fuerzas incognitas: CY' FA, Y FB; por 10 tanto, ya que solamente se dispone de tres ecuaciones de equilibrio, el problema es estaticarnente indeterrninado. A medida que se aplica la carga P al miembro CD, este tendera a girar en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del seguro C y a producir deformaciones en los miembros A y B, como se muestra en la figura 5-13c. Las extensiones mostradas en la figura 5-13c son compatibles con las fuerzas de tension mostradas en los miembros A y B de la figura 5-13b. La reacci6n inc6gnita en C no es necesaria para completar la soluci6n del problema y puede eliminarse de una consideraci6n adicional haciendo suma de momentos alrededor del seguro C. Las ecuaciones de equilibrio y de deformacion necesarias para determinar FA y FB son:
cx,
.. Ecuacionde equilibrio:
+ ('iMc= 0 P(S) - FA(4) - FB(l.S)
------_{&B ---___
----(c)
Figura 5-131H:
=
0
tJ -J\
...•..
--
OD
~,
5-4 MIEMBROS SUJETOS A CARGA AXIAL ESTA.TICAMENTE INDETERMINADOS
r»;
i", f
207
de la cual se obtiene
!
~'" ~ :'"
(a)
t
Ecuacion de deformacion (usando el principio de triangulos semejantes), OA 4
= 00 1.5
~~ FoLo 1.5EoAB
i~ f
}r"\
Fo(1.S)
~
.'" !"'"
1.5(200)(109)(500)(10-6) o FA = 1.5Fo
(b)
La resolucion simultanea de las ecuaciones (a) y (b) nos da FA
=
FB =
150.0(103) N = 150.0 kN 100.0(103) N = 100.0 kN
Los esfuerzos normales en las dos barras son 3
1 50.0(10 ) = 1500(106) N/ 2 = 150.0 MP (T) 1 000(10-6) . m a 3
100.0(10 ) = 200.0(106) N/m2 500(10-6)
= 200 MPa (T)
Respuesta
Respuesta
b) Ya que la barra CD gira como un cuerpo rigido, la deflexion del seguro D es (se usa nuevamente el principio de triangulos semejantes): 5
5(150.0)(103)(2)
OD = 40A = 4(75)(109)(1 000)(10-6)
= 5.000(10-3) m
= 5.00 nun hacia abajo
Respuesta
Problema de Ejemplo 5-9 Un perno de aleacion de acero (E = 30 000 klb/pulg'') de 112pulg de diametro atraviesa un manguito de laton (E = 15000 klb/pulg/) rolado en frio, como se muestra en la figura 5-14a. EI area transversal del manguito es de 0.375 pulg''. Determine los esfuerzos normales producidos en el perno y los manguitos si se aprieta la tuerca 1/4 de vuelta (0.020 pulg). I
SOLUCION En la figura 5-14b se muestra un diagrama de cuerpo libre de la tuerca y partes del perno y del manguito. El diagrama de cuerpo libre contiene dos fuerzas incognitas Fo y Fs. Ya que la unica ecuaci6n de equilibrio disponible es 'iFx = 0, el problema es estaticamente indeterminado. La ecuacion adicional necesaria para obtener una solucion al problema se obtiene a partir de consideraciones de deformacion. A medida que las tuercas giran se moveria una distancia ~ = 0.020 pulg, como se muestra en la figura 5-14c, si el manguito no estuviera presente; sin embargo, el manguito esta presente y existe resistencia al movimiento. Como resultado, se desarrollan esfuerzos de tension en el perno y se desarrollan esfuerzos de compresion en el manguito. Estos esfuerzos producen la extensi6n 00 del per~
.
~ Observe que cuando el seguro D se mueve hacia abajo 5.00 mm, la barra rigida gira en el sentido de las manecillas del reloj 0.001 rad = 0.0573°. Este pequefio angulo tendra un efecto despreciableen el diagrama de cuerpo Iibre y en la ecuacion de equilibrio.
Aun'cuando un diagrama de cuerpo libre del perno aislado 0 de la tuerca aislada funcionaria igual de bienpara el prop6sitode escribirla ecuacionde equilibrio, no seria tan bueno para el proposito de escribir la ecuacion de deformacion, Ya que se desea relacionar las fuerzas en el manguito y en el perno con las deforrnacionescausadas por estas fuerzas, el diagrama de cuerpo libre debera mostrar estas fuerzas. Las fuerzas se hacen visibles haciendo un corte a traves del perno y del manguito, como se muestra en el diagrama de cuerpolibre de la figura 5-14b. En la figura 5-14b es claro que la fuerza F B representa una fuerza de tension en el perno de acero, mientras que la fuerza Fs representa una fuerza de compresion en el manguito de aluminio.
208
CAPITIJLO 5
APLiCACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION
r----6
pulg~
(b)
x
, I
1--Fs I ~
r---
(e)
Posicion final
Figura 5-14
~ Si el perno fuera rigido, entonces el manguito se acortaria la cantidad que la tuerca se apreto,
Os
=
A. Sin embargo, el perno no es rigido, de
modo que el perno se estirara una cantidad DB, en tanto que la contraccion del manguito se reduce la cantidad que el perno se estira, Os =
no y la contracci6n Os del manguito mostrados en las figuras 5-14d y e. La ecuaci6n de deformacion obtenida a partir de las posiciones finales de la tuerca y del manguito es Os .+ Os = tl. Las dos ecuaciones necesarias para resolver el problema son: Ecuacion de equilibrio:
A - DB. 0,
en terminos de esfuerzos:
1T( 2"1)2 Us
0.375us = "4 de donde
. (a) Ecuaci6n de deformaci6n:
+ Os = A usLs + usLs = tl Os
Es
Es
us(6) + us(6) = 0.020 30000
15000
de donde Us
+ 2us =
(b)
100
La resolucion simultanea de las ecuaciones (a) y (b) nos da Us =
Us
48.84 ldb/puli
= 48.8
ldb/puli
= 25.58 klb/pulg' == 25.6 klb/pulg
2
(T)
Respuesta
(C)
Respuesta
PROBLEMAS.
)f
209
PROBLEMAS
Nota: para resolver los problemas de esta seccion, suponga pequeiias deformaciones y comportamiento elastico. Se supone que todos los miembros tienen peso despreciable y que todos los seguros usados en las conexiones son lisos.
Problemas Introductorios
5-51
Resuelva el problema 5-49 si el apoyo inferior de la figura P5-49 fluye y se desplaza 0.030 pulg hacia abajo a medida que se aplica la carga P.
5-52 Resuelva el problema 5-50 si el apoyo superior de la figu-
5.49* Una columna tubular de acero (E
=
30 000 klb/pulg'') con un diarnetro exterior de 3 pulg y un diametro interior de 2.5 pulg esta ligada a apoyos fijos en la parte superior e inferior, como se muestra en la figura P5·49. Se usaf'na abrazadera rigida C para aplicar una carga P de 50 klb. etermine: "
a. Los esfuerzos normales en cada uno de los miembros. b. La deflexi6n de la abrazadera C.
.
a. Los esfuerzos normales en las paries sup rior e inferior del tubo. b. La deflexion de la abrazadera C.
ra P5-50 fluye y se desplaza 0.75 mm hacia abajo a medida que se aplica la carga P.
5-53* Una carga P sera sustentada por una estructura que consta de una barra rigida A, dos barms B de aleaci6n de aluminio (E = 10 600 klb/pulg''] y una barra C de acero inoxidable (E = 28 000 klb/pulg''), como se muestra en la figura P5-53. Cada barra tiene un area transversal de 2.00 pulg'', Si las barras estan libres de esfuerzos antes de aplicar la carga P, determine los esfuerzos normales en las barras despues de aplicar una carga de 40 klb.
c B,
:T T ·1 ...L , 6 pies
B
3 pies
p
Figura P5-49
Figura P5-53
= 100 GPa) con un diametro exterior de 100 rom y un diametro interior de 50 mm esta ligado a una varilla B de acero (E = 200 GPa) de 50 mm de diametro, como se muestra en lafiguraP5-50. Losapoyos arriba .y abajo del ensamblaje y la abrazadera C usada para aplicar la carga P de 500 kN son rigidos. Determine:
5-50* Un tuba A hueco de laton (E
= 7 GPa) de 3 mm de diametro que estacubierto can una envoltura plastica (E = 14 GPa) de 0.5 mm de espesor, esta sujeto a una carga axial a tension P, como se .inuestra en Iafigura P5~54. La carga setransfiere al cordon y a la envoltura por medio de bloques rigidos unidos a 10s extremos del ensamblaje. Las resistencias elasticas para el cordon y la envoltura son de 15 MPa y de 56 MPa, respectivamente. Determine la carga maxima admisible si se especifica un factor de seguridad de 3 con respecto a la falla por fluencia.
5-54* Un cordon (E
p
Figura P5-54
5-55 El bloque de roble (E Figura P5-50
=
1 800 klb/pulg'') de 7.5 X 7.5 X 20 pulg mostrado en la figura P5-55 se reforz6 atomillando dos
210
CAPinrLO 5
APLICACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION
placas de acero (E = 29 000 klb/pulg') de 2 X 7.5 X 20 pulg a lados opuestos del bloque. Si los esfuerzos en la madera y el acero deben limitarse a 4.6 klb/pulg/ y 22 klb/pulg/, respectivamente, determine:
de acero (E = 30 000 klb/pulg'') de 2 pulg de diametro. Si los esfuerzos maximos admisibles son de 18 klb/pulg' y de 1.2 klb/ pulg2 en el concreto, determine 10 siguiente: a. El numero requerido de varillas de acero. b. Los esfuerzos en el acero y el concreto cuando se usen las varillas del inciso a). c. EI cambio de longitud de una columna de 10 pies cuando se usen las varillas del inciso a).
a. La carga axial de compresion maxima P que puede aplicarse al bloque reforzado. b. El acortamiento del bloque cuando se aplica la carga del inciso a).
1"'"
rfgida
20pulg
5-58* Un cilindro polimerico (E = 2.10 GPa) de 150 mm de diametro X 200mm de longitud sera unido a una varilla de laton (E = 100 GPa) de 45 mm de diametro por 400 mm de longitud, usando la conexion tipo patin mostrada en la figura P5-58. Existe un espacio libre de 0.15 mm entre las partes como resultado de un error de terminado. Si los pemos se insertan y se aprietan, establezca: a. Los esfuerzos axiales producidos en cada uno de los miembros. b. La posicion final de la interfase polimero patin despues del ensamble, can respecto al apoyo izquierdo.
Figura P5-55 . 5-56 Cinco varillas de refuerzo de acero (E = 200 GPa) de 25 mm de diametro se usaran en una pila de concreto (E = 31 GPa) de I m de longitud con una seccion transversal cuadrada, como se muestra en la figura P5-56. Las resistencias elasticas a compresion para el acero y el concreto son de 200 MPa y 14 MPa, respectivamente. Determine el tamafio minimo de pila requerido para sustentar una carga axial de 900 kN con un factor de seguridad de 4 con respecto a la falla por fluencia. Figura P5-58 5-59 Untubo A hueco de acero (E = 30 000 klb/pulg') con un dia~ metro exterior de 2.5 pulg y un diametro interior de 2 pulg esta .." ligado a una barra B de aluminio (E = 10 000 klb/pulgj) que tiene un diametro de 2 pulg a 10 largo de una mitad de su longitud y un diametro de I pulg sobre la otra mitad. EI ensamblaje esta unido a apoyos fijos en los extremos izquierdo y derecho y estasujeto acargas, como se muestra enla figura P5-59. Determine:
--------------Cubierta rfgida
T
.
...
..
.
..
.
.
a. Los esfuerzos en todas las partes de la barra. b. La deflexi6n de la seccion transversal a-a.
1m
Figura P5-56 Problemas Intennedios 5-57* Una columna, similar a la de la figura P5-56, se disefia para soportar una carga de 1 000 kIb. La columna, que tendra una seccion transversal cuadrada de 20 X 20 pulg, sera hecha de concre~ (E = 3 000 klb/pulg/] y sera reforzada con varillas
Figura P5-59 5-60 EI ensamblaje mostrado en la figura P5-60 consta de un cilindro A de acero (E = 210 GPa), una placa de apoyo rigida C
PROBLEMAS
y una barra B de aleaci6n de aluminio (E = 71 GPa). Las resistencias elasticas del acero y del aluminio son de 430 MPa y de 170 MPa, respectivamente. Se aplica una carga axial P de 600 kN. Si se especifica un factor de seguridad de 2 con respecto a la falla por fluencia, determine: '\
J~ r,
a. El area transversal minima aceptable para el cilindro A si la barra B tiene un area transversal de 2 500 mrrr', b. EI desplazamiento de la placa C cuando se usa el area del inciso a).
211
area transversal de 4500 mnr'. Despues de que se aplica la carga P de 225 kN, determine: a. Los esfuerzos normales en la barra A y el poste B. b. El esfuerzo cortante en el seguro de 20 mm de diametro en C, que se encuentra a cortante doble. c. El desplazamiento vertical del punto D.
"~,-, 1'"\ ~-.,
Lsoomm-i-8somm
},
l; ,L,
h t, k ,L,
h t, ,~
t, ,~
t, ~
Figura PS-62
Figura P5-60 5-61* EI ensamblaje mostrado en la figura P5-61 consta de una barra A de acero (E, = 30 000 klb/pulg' Y As = 1.25 pulg"), una placa de apoyo rigida C que esta bien sujeta a la barra A y una barra B de bronce (Eb = 15 000 klb/pulg'' Y Ab = 3.75 pulg"). Las resistencias elasticas del acero y del bronce son 62 klb/pulg' y 75 klb/pulg/, respectivamente. Existe un espacio libre de 0.015 pulg entre la placa de apoyo C y la barra B antes de aplicar carga al ensamblaje. Despues de aplicar una carga P de 95 klb a la placa de apoyo, determine: a. Los esfuerzos normales en las barras A y B. b. Los factores de seguridad con respecto a la falla por fluencia para cada u&o de los miembros. . c. El desplazamiento vertical de la placa de apoyo C.
t,
r,
t,
Problemas Dificiles 5-63* Una estructura conectada con seguros esta sujeta a cargas y sostenida como se muestra en la figura P5-63. EI miembro CD es rigido y es horizontal antes de aplicar la carga P. El miembro A es una barra de aleaci6n de aluminio con un m6dulo de elasticidad de 10 600 klb/pulg' y un area transversal de 2.25 pulg", El miembro B es una barra de acero inoxidable con un m6dulo de elasticidad de 28 000 klb/pulg'' y un area transversal de 1.75 pulg" Despues de que se aplica la carga P ala estructura, determine: a. Los esfuerzos normales en las barras A y B. b. Los esfuerzos cortantes maximos en las barras A y B. c. El esfuerzo cortante en el seguro de 0.5 pulg de diametro en C, que esta a cortante doble. d. El desplazamiento vertical del punto D.
r
p= lOklb
D 2 PiesT2.5 pies
~
h
J
~ ~
h ~~
t,
,~
,L,
))
B
3 pies
J
Figura P5-61
Figura P5-63
5-62 La barra rigida CDE, mostrada en la figura P5-62, es horizontal antes de aplicar la carga P. El tirante A es una barra de acero (E = 210 GPa) rolado en caliente con una longitud de 450 rnm y un area transversal de 300rnm2. El poste B es un madera de roble (E = 12 GPa) con una longitud de 375 rnm y un
5-64* Una estructura conectada con seguros esta sujeta a cargas y sostenida como se muestra en la figura P5-64. El miembro CD es rigido y es horizontal antes de aplicar la carga P. EI miem-
bro A es una barra de acero rolado en caliente con un modulo de elasticidad de 210 GPa y un area transversal de 200 rnm2.
212
CAPITULO 5
APLiCACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION
EI miembro B es una barra de laton rolado en frio con un modulo de elasticidad de 100 GPa y un area transversal de 225 mm/. Despues de que se aplica la carga P de 15 kN a la estructura, determine: a. Los esfuerzos normales en las barras A y B. b. Los esfuerzos cortantes maximos en las barras A y B. c. EI esfuerzo cortante en el seguro de 20 mm de diametro en D, que esta a cortante doble. d. El desplazamiento vertical del punto C.
'1
400mrn
5-68* Una estructura conectada con seguros esta sujeta a cargas y sostenida como se muestra en la figura P5-68. El miembro CD es rigido y es horizontal antes de aplicar la carga P de 75 leN. La barra A esta hecha de acero estructural (E = 200 GPa) y la barra B esta hecha de una aleacion de aluminio (E = 73 GPa). Si los esfuerzos admisibles son de 125 MPa para el acero y de 70 MPa para la aleacion de aluminio, determine: a. El area transversal minima aceptable para la barra B si la barra A tiene un area transversal de 625 mnr'. b. EI esfuerzo cortante en el segura de 25 mm de diametro en C, que esta a cortante doble. c. EI desplazamiento vertical del seguro que se usa para aplicar la carga.
,
p p
5-65 Resuelva el problema 5-63 si existe un espacio libre de 0.0025 pulg en la conexion de la parte inferior de la barra B antes de aplicar la carga de 10 klb. 5-66 Resuelva el problema 5-64 si existe un espacio libre de 0.20 mm enla conexi6n de la parte inferior de la barra B antes de aplicar la carga de 15 leN. 5-67* EI mecanismo de la figura P5-67 consta de una varilla A de acero estructural (E = 29 000 klb/pulg'') con un area transversal de 0.50 pulg", una varilla B de laton (E = 15000 klb/pulg'') rolado en frio con un area transversal de 1.20 pulg' y una varilla rigida C. Las tuercas en los extremos superiores de las varillas A y B se aprietan inicialmente hasta el punto en que el mecanismo queda inmovilizado, pero las barras permanecen libres de esfuerzos. Determine: .
Figura P5-68 5-69 Una estructura conectada con seguros esta sometida a cargas y sostenida como se muestk en la figura P5-69. El miembro CD es rigido y es horizontal antes de aplicar la carga P de 20 klb. La barra A esta hecha de una aleacion de aluminio (E = 10 600 klbl pulg'') y la barra B esta hecha de acero (E = 30 000 klb/pulg'), Si los esfuerzos admisibles son de 10 klb/pulg' para la aleacion de aluminio y de 20 klb/pulg2 para el acero, determine: a. EI area transversal minima aceptable para la barra Asi la barra B tiene un ar~a transversal de 1.75 pulg'', b. El desplazamiento vertical del seguro que se usa para aplicar la carga. .~
a. El esfuerzo axial inducido en la varilla A al hacer avanzar la tuerca de la parte superior de la varilla B una vuelta (0.10 pulg). b. EI desplazamiento vertical de la tuerca en el extremo supe. rior de la varilla A.
r-
S PUIg-rS
pulg1
c
Figura P5-69
B
A
s
Figura P5~67
5-70 La barra BF de la figura P5-70 esta hecha de acero (E = 210 GPa) y la barra CE esta hecha de aleacion de aluminio (E = 73 GPa). Las areas transversales son de 1 200 mnr' para la barra BF y de 900 mnr' para la barra CEo Como resultado de un desalineamiento de los orificios en A, Bye, debe aplicarse una fuerza de 50 kN hacia arriba en D, despues de que los se-
guros A y B esrnn en su lugar, para permitir la inserci6n del segura C. Determine:
.'"
PROBLEMAS
a. El esfuerzo normal en la barra CE cuando se retira la fuerza Peon todos los seguros en su lugar. b. El desplazamiento del seguro D a partir de su posicion sin aplicacion de carga.
213
grafique el porcentaje de la carga soportada por la matriz como una funcion de R (0::::; R ::::;100 %). a) b) c)
Matriz Hule Madera Concreto
Refuerzo acero acero acero
EJ!EM 50000
20 7.5
r 250 mm 1
I250mm .~
'~rigiM " Figura P5-70 .-.... Problemas de Computadora """" C5-71 Un perno de acero de alta resistencia (Es = 30 000 klbl pulg'' y As = 0.785 pulg'') atraviesa un manguito de laton (Eb = 15 000 klb/pulg ' Y Ab = 1.767 pulg/), como se muestra en la figura C5-71. A medida que la tuerca se aprieta, avanza una distancia de 0.125 pulg a 10 largo del perno por cada vue Ita completa de la tuerca. Calcule y grafique: a. Los esfuerzos axiales O's (en el perno de acero) y O'b (en el manguito de laton) como funciones del angulo de giro 8 de la tuerca (0° ::::;8::::; 180°). b. Los alargamientos 8s (del perno de acero) y 8b (del manguito de lat6n) como funciones del angulo de girq 8 de la tuerca (0° ::::;8::::; 180°). "" c. La distancia L entre las dos rondanas como una funcion del angulo de giro 8 de la tuerca (0° ::::;8::::; 180°). 1pulg----1F----12
pulg------1
f-l pulg
Figura C5-72 C5-73 Inicialmente, los brazos de la manivela C mostrada en la figura C5-73 son horizontal y vertical; hay un espacio de 0.009 pulg entre el brazo horizontal y el poste B de laton (Eb = IS 000 klb/pulg" Y Ab = 12 pulg"); y la varilla A de aluminio (Ea = 10 000 klb/pulg'' Y Aa = 2 pulg') es horizontal. Si la manivela C es rigida, calcule y grafique: a. Los esfuerzos axiales O'A (en la varilla de aluminio) y O'n (en el poste de laton) como funciones de la fuerza P (0 klb ::::;P::::; 30 klb). b. Los cambios de longitud 8A (de la varilla de aluminio) y 8n (del poste de laton) como funciones de la fuerza P (0 klb ::::; P::::; 30 klb). . . . '. .
Rondanas rfgidas
Figura C5- 71
C5-72 La pila corta mostrada en la figura C5-72 esta reforzada con nueve varillas de acero de refuef40 (E = 210 GPa). Se aplica una carga axial de compresi6n P a la pila por medio de la placa de cubierta rigida. La carga axial soportada por el material matriz es una funci6n de R, el porcentaje de la secci6n transversal ocupado por las varillas de acero de refuerzo. La carga es tambien una funcion de la relacion de modules ERIEM' donde ER y EM son los modules de Young para el material de refuerzo y el material matriz, respectivamente. Para las tres combinaciones matriz-refuerzo mencionadasenseguida, calcule y
Figura C5-73
214
CAPITULO 5
APLICACIONES DE CARGAAXIALY RECIPIENTES A PRESION
c. EI angulo de giro () (grados) de la manivela C como una funcion de la fuerza P (0 klb ::s; P :::;30 klb). . C5-74 EI mecanismo de la figura C5-74 consta de una varilla A de acera estructural (E = 200 GPa) can un area transversal de 350 mrrr', una varilla B de.laton (E = 100 GPa) rolado en frio can un area transversal de 750 mm2 Y una barra rigida C. Las tuercas en los extremos superiores de las varillas A Y B se aprie.tan inicialmente hasta el punto en que el mecanismo queda inmovilizado, pero las barras permanecen libres de esfuerzos. Si una tuerca avanza 2.5 mm con cada vuelta completa (360°), calcule y grafique 10 siguiente:
c. El angulo de rotacion (grados) del brazo C como una funcion del angulo {)que forma al girar la tuerca del extrema superior de la varilla B (0° ::s; () :::; 360°).
a. Los esfuerzos axiales
1500 mrn
B
A
Figura C5-7~
(0° :::;() :::; 360°).
5-5 EFECTOS TERMICOS Cuando tiene lugar un cambio de temperatura mientras un miembro esta fijo (se restringe 0 se evita el movimiento libre), se inducen esfuerzos (llamados esfuerzos termicos) en el miembro. Por ejemplo, la barra AB de la figura 5-15a esta empotrada en los apoyos rigidos de ambos extremos. Ya que los extremos de la barra estan fijos, la deformacion total de la barra debe ser cero, es decir,
or
El termino es la deformacion debida a un cambio de temperatura Y Ou es la deformaci6n debida a una carga axial. Si aumenta la temperatura de la barra (~Tpositivo), ententes el esfuerzo inducido debe ser negativo y el muro debe ejercer un empuje en los extremos de la varilla. Si la temperatura de la barra disminuye (~Tnegativo), entonces el esfuerzo inducido debe ser positivo y el muro debe ejercer una tracci6n sobre los extremos de la varilla.
..,",
i LI'"'"\ a
,-
p
Figura 5-15
5-5 EFECTOS TERMICOS
Es decir, si el extremo B no estuviera ligado al muro y la temperatura descendiera, el extrema B se desplazaria a B', una distancia lOTI = IETLI = la !1T LI, como se indica en la figura 5-15b. Por 10 tanto, para que la deformaci6n total de la barra sea cero, el muro en B debe aplicar una fuerza P = oA (figura 5-15c) de magnitud suficiente para mover al extremo B una distancia op = EaL = (aiE)L de modo que la longitud de la barra sea nuevamente L, la distancia entre los muros. Ya que los muros no se mueven, lOTI = op, 0 bien,
y asi la deformaci6n total de la barra es cera.
Problema de Ejemplo 5-10 Una seccion de 10 m de riel de acero [E = 200 GPa ya = 11.9(10-6)/DC] tiene un area transversal de 7500 mnr'. Ambos extremos del riel estan apretados contra los rieles adyacentes que, para este problema, se puede suponer que son rigidos. El riel esta apoyado para evitar movimientos laterales. Para un aumento de la temperatura de 50 C, determine: D
a) El esfuerzo normal en el riel. b) La fuerza intema en una secci6n transversal del riel.
SOLuefON La forma del riel es como se muestra en la figura 5-15a. Ya que la temperatura aumenta, se invierten las deformaciones mostradas en las figuras 5-15b y 5-15c, pero las magnitudes de OT y Ou son iguales. a) El cambio de longitud del riel que resulta del cambio de temperatura esta dado al modificar la ecuacion 4-11 como OT
= ETL = a I. D.T = 11.9(10-6)(10)(50)
=
5.950(10-3) m
= 5.95 mm
EI esfuerzo que se requiere para resistir uncambio de longitud de 5.95 mm esta dado por la ecuacion 5-1 como 200(109)(5.95)(10-3) 10
Eo a=-=
L
=
119.0(106) N/m2
=
119.0 MPa (C)
Respuesta
b) La fuerza intema en una secci6n transversal del riel es F =aA
= 119.0(106)(7 500)(10-6) = 892.5(103) N = 893 kN (C)
Respuesta
Problema de Ejemplo 5-11 Despues de aplicar una carga P = 150 kN a la estructura conectada can seguros mostrada en la figura 5-16ar -la temperatura aumenta 100DC. Los coeficientes termicos de expansion son 22(1O-6)/DC·para la varina de aluminio A y 12(1O-6)fOC para la varilla de acero B. Los modules de elasticidad para el aluminio y el acero son 75 GPa y 200 GPa, respectivamente. Las areas transversales de los miembros A y B son I 000 mm2 y 500 mm", respectivamente. Si el miembro CD es rigido, determine: a) Los esfuerzos normales en las barras A y B.
b) La deflexi6n del segura D.
•
215
216
CAPiTULO 5
APLICACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES
A PRESION
. r'\
~
1.5 m
-J--
2.5 m --+--=-=-=-I (a)
Figura 5-16a
SOLUCION a) En la figura 5-16b se muestra un diagrama de cuerpo libre para la barra CD. Las deformaciones en las barras A y B son funciones de la carga y del cambia de temperatura, como se muestra en la figura 5-16c. Por 10 tanto: OA = OAP + OAT OB = OBP + OBT
(a)
-r-,
donde los subindices P y T se refieren a la carga y a la temperatura, respectivamente. Las ecuaciones de equilibrio y de deformacion necesarias para despejar FA y FB son: Ecuaci6n de equilibrio:
+
= P(5)
r'iMc
- FA(4) - FB(1.5)
=
0
de donde (b)
Ecuacion de deformacion: ~ A medida que la barra rigida CD gira alrededor del seguro e, los seguros B, A YD describen arcos circulares alrededor del segura C. Si el angulo de rotacion es pequefio, estos movimientos pueden considerarse como desplazamientos verticales (perpendiculares a la barra CD), como se muestra en la figura 5-l6c. A partir de triangulos semejantes, oBIl.5 = oA/4.0 = oD/5.
<,
OA
OB
4
1.5
-=-
FALA 4EAAA
+
aALA(D..T)
=
4
FBLB 1.5EBAB
+
aBLB(D..T) 1.5
22(10-6)(2.0)(100)
FAC2.0)
4(75)(109)(1 000)(10-6) +
4
FB(1.5) 12(~-6)(1.5)(100) 1.5(200)(109)(500)(1O~6) + 1.5
m-r--
ell.5 --
---
2.5 m
OBT
O;p --_
--
---_ (c)
Figura 5-16b-c
m1D
~l.O
OAP ---
-- --
.,
. PROBLEMAS
217
de donde (c) La resoluci6n simultanea de las ecuaciones (b) y (c) nos da
FA = 153.00(103) N = 153.00 kN Fs = 92.00(103) N = 92.00 kN Los esfuerzos en las dos barras son 3
FA = 153.00(10
(TA
=
(Ts
= FB As
AA
)
1 000(10--6)
=
=
1530(10)6 NI 2 = 1 30 MP (T) . m 5 . a
3
92.00(10 ) = 1840(106) N/ 2 500(10--6) . m
=
Respuesta
1840 MP (T) . a
Respuesta
b) Ya que la barra CD gira como un cuerpo rigido, la deflexi6n del seguro D es
oD = ~o= 4 A
5FALA 4EAAA
+ ~a 4
L (flY) A A
5(153.00)(103)(2.0) 000)(10-6)
= 4(75)(109)(1
= 10.60(10-3)
m
5
+ "4(22)(10
-6 )(2.0)(100)
= 10.60 mm J,
Respuesta
/
1
PROBLEMAS 5-77
Problemas Introductorios
I
h
5-75* Una barra de aleaci6n de aluminio de 3 pulg de diametro X 80 pulg de longitud esta libre de esfuerzos despues de unirse a apoyos rigidos, como se muestra en la figura P5-75. Determine el esfuerzo normal en la barra despues que la temperatura desciende 100°F. Use E = 10 600 klb/pulg'' y a = 12:5(10--6)1°F. 80pulg-----l
t,
Una barra consta de una parte de aleaci6n de aluminio de 3
pulg de diametro [E = 10 600 klb/pulg", V = 0.33 y a = 12.5(10--6)/°F] Y una parte de acero de 4 pulg de diametro [E =
30000 klb/pulg/, v= 0.30 y a ~6.6(IO--6)/oF], como se muestra en la figura P5-77. Si los apoyos en 10s extremos son rigidos y la barra esta libre de esfuerzos a O°F, determine: a. El esfuerzo normal en ambas partes de la barra a SO°F. b. El cambio de diametro de la parte de acero de la barra. Placa rigida
Figura P5-75 5-76* Una varilla de tensi6n de acero que contiene un tensor (vease la figura P5-76) tiene sus extremos ligados a muros rigidos. Durante el verano, cuando la temperatura es de 300e, el tensor se aprieta para producir un esfuerzo en la varilla de 15 MPa. Determine el esfuerzo normal en la varilla en inviemo cuando la temperatura es de -100e. Use E = 200 GPa y a = 11.9(10--6)/OC.
30pulg
20pulg
Figura P5-77 5-78 Una varilla de aleaci6n de aluminio de 6 m de longitud X 50 mm de diametro (E = 70 GPa, v= 0.346 y a = 22.5(10--6)1°C esta ligada en los extremos a apoyos que fluyen para permitir
un cambio de longitud de 1.00 mm en la varilla cuando esta Figura P5-76
sujeta a esfuerzos. Cuando la temperatura es de 35°C, no hay
218CAPITIJLO
5
APLICACIONESDE CARGAAXIALY RECIPIENTES A PRESION
esfuerzos en la varilla. Despues de que la temperatura de la varilla desciende a -20°C, determine:
b. El desplazamiento de la placa C despues de aplicar la carga y del cambio de temperatura.
a. EI esfuerzo normal en la varilla. b. EI cambio de diametro de la varilla. 5-79* Se usaron nueve varillas de acero de refuerzo (E = 30 000 klb/pulg'') de 3/4 de pulg de diametro cuando se construyo la pila corta de concreto (E = 4 500 klb/pulg') mostrada en la figura P5-79. Despues que se aplico una carga P de ISO klb a la pila, la temperatura aumento 100°F. Los coeficientes de expansion termica del acero y del concreto son 6.6(10-6YOF y 6.0(1O-6)/°F, respectivamente. Determine:
Figura P5-80 Problemas Intermedios
a. Los esfuerzos normales en el concreto y en las barras de acero despues de que la temperatura aumenta. b. El cambio de longitud de la pila que resulta de los efectos combinados del cambio de temperatura y de la carga.
r 10 pulg 1
I10 pulg ~
5-81 * Una barra rigida CD esta sometida a cargas y sostenida como se muestra en la figura P5-81. Las barras A y B estan libres de esfuerzos a 70°F antes de aplicar la carga P. La barra A esta hecha de acero [Es = 30000 klb/pulg'', As = 2.00 pulg2 y as = 6.6(1O-6)fOF] y la barra B esta hecha de laton [Eb = 15 000 klb/pulg', Ab = 1.50 pulg' y ab = 9.8(1O-6)/oF]. Despues de aplicar la carga P, la temperatura de ambas barras aumenta a 100°F. Determine: a. Los esfuerzos norrnales en his barras A y B. b. Los esfuerzos cortantes maximos en las barras A y B. c. EI esfuerzo cortante en el seguro de 3/4 de pulg de diametro en D, que esta a cortante doble. d. El desplazamiento vertical (deflexion) del seguro C.
.1"''''''''''
1
I
24 pulg
15 pulg
Figura P5-79
5-80 EL ensamblaje mostrado en la figura P5-80 consta de un cilindro A de acero (E = 210 GPa), una placa de asiento rigida C y una barra B de aleacion de alurninio (E = 71 GPa). EI cilindro A tiene un area transversal de I 850 mm2 y la barra B tiene un area transversal de 2 500 mnr', Despues de aplicar una carga axial de 600 kN, la temperatura del cilindro A disminuye SO°C y la temperatura de la barra B aumenta 25°C. Los coeficientes de expansion termica son 11.9(10-6)/oC para el acero y 22.5(10-6)/OC para el aluminio. Determine:
a. Los esfuerzos nonnales en el cilindro y en la barra despues de aplicar la carga del cambio de temperatura.
p= 30klb
Figura P5-81
5-82* La barra B del sistema conectado con seguros de la figura P5-82 esta hecha de una aleacion de aluminio [Ea = 70 GPa, Aa = 300 mm" y aa = 22.5(10-6)/°C] y la barra A esta hecha de un acero al carbon endurecido [Es = 210 GPa, As = 1 200 mnr' y as = 11.9(l0-6)/°C]. La barra CDE debe considerarse rigida. Cuando el sistema esta sin carga a 40°C, las barras A y
B estan libres de esfuerzos. Despues de aplicar la carga P, Ia temperatura de ambas barras desciende a 15°C. Deterlnine:
~
:
,....",
PROBLEMAS
a. Los esfuerzos normales en las barras A y B. b. Los esfuerzos cortantes maximos en las barras A y B. c. El esfuerzo cortante en el seguro de 20 mm de diametro en C, que esta a cortante doble. d. EI desplazamiento vertical (deflexion) del seguro E.
r
250mm
a. Los esfuerzos normales en las barras despues que la temperatura se reduce a -20°e. b. Los esfuerzos cortantes en los seguros de 30 mm de diametro en A, B y C. EI segura B esta a cortante doble y los seguros Aye estan a cortante simple. c. El desplazamiento del segura D a partir de su posicion original.
rt
500mm\ A
219
Ef 600mm
I
/·U
D
R 19l a
L:
1 000 mm
Figura P5-82 5-83 Una carga P sera soportada por una estructura que consta de una barra rigida A, dos barras B de aleacion de aluminio [Ea = 10 600 klb/pulg'' Y (Xa = 12.5(10...{i)fOF] Y una barra C de acero inoxidable [Es = 28 000 klb/pulg/ y = 9.6(1O-6)/ F], como se muestra en la figura P5-83. Las barras estan libres de esfuerzos cuando la estructura se ensambla a n°F. Cada barra tiene un area transversal de 2.00 pulg". Determine los esfuerzos normales en las barras despues de aplicar una carga de 40 klb y la temperatura aumenta a 250°F. (XS
O
iE---m--
160 mm
80 mm
F
Figura P5-84 Problemas Dificiles 5-85* La estructura conectada can seguros mostrada en la figura P5-85 consta de una barra A de bronce rolada en frio [Eb = IS 000 klb/pulg'' Y (Xb = 9.4(10...{i)PF]que tiene un area transversal de 3.00 pulg'' y dos barras B de acera endurecido con 0.2% C [Es = 30 000 klb/pulg'' Y = 6.6(1O...{i)fOF] que tienen areas transversales de 2.S0 pulg". Si la temperatura de la barra A desciende SO°F y la temperatura de las barras B aumenta 30°F despues de aplicar la carga de 200 klb, determine: (XS
a. Los esfuerzos normales en las barras. b. El desplazamiento del seguro C.
1
_~ pies
P=40klb
Figura P5-83 5-84 La estructura conectada con seguros mostrada en la figura PS-84 consta de una barra rigida ABCD, una barra BF de acero [Es = 210 GPa y (xs = 11.9(l0...{i)fOC]y una barra CE de aleaci6n de aluminio [Ea = 73 GPa y (Xa = 22.5(1O...{i)/°C]. Las areas transversales son de 1 200 mnr' para la barra BF y de 900
P=200
mm' para la barra CEo Las barras estan libres de esfuerzos cuando la estructura se ensambla a 40°C. Determine:
Figura P5-85
klb
220
CAPITULO 5
APLICACIONES DE CARGAAXIAL Y RECIPIENTES A PRESION
5-86* Una barra prismatica [E = 70 GPa y a = 22.5(10-6)1°C), libre de esfuerzos a la temperatura ambiente, esta ligada a muros rigidos en sus extremos. Un extremo de Ia barra se calienta a lOO°C arriba de la temperatura ambiente, mientras que el otro extremo se conserva a la temperatura ambiente. El cambio de temperatura l1T a 10 largo de la barra es proporcional al cuadrado de Ia distancia a partir del extrema sin calentar. Determine el esfuerzo normal en la barra despues del cambio de temperatura. 5-87 Un perno de acero de alta resistencia [Es = 30 000 klb/ pulg'', As = 0.785 pulg'' y as = 6.6(10-6)fOP] atraviesa un manguito de laton [Eb = 15 000 klb/pulg'', Ab = 1.767 pulg' y ab = 9.8(10-6)1°F], como se muestra en la figura P5-87. Despues de que la unidad se ensambla a 40oP, la temperatura aumenta a 100°F. Si la unidad esta libre de esfuerzos a 40°F, determine los esfuerzos normales en el perno y en el manguito a 100°F. 1 pulg
-1 jE--12
puJg----4
tes de aplicar cargas al ensamblaje. Despues de aplicar una carga P de 6 000 Ib a Ia placa de asiento, la temperatura del sistema se eleva lentamente. Calcule y grafique: a. Los esfuerzos axiales a, (en la barra de acero) y O'b (en la barra de bronce) como funciones del auiiiento de temperatura l1T (OOP:5 l1T :5 50 P). b. Los alargamientos Os (de la barra de acero) Y Db (de la barra de bronce) como funciones del aumento de temperatura (OOP:5 :5 50 P). 0
st
st
0
jE-l puJg
Rondanas rigidas
r"\
Figura P5-87
Figura C5-89
~
5-88 Las dos caras de la abrazadera de la figura P5-88 estan separadas 250 mm cuando los dos pernos de acero inoxidable [Es = 190 GPa, As = 115 mrrr' (cada uno) y as = 17.3(1O-6)fOC) que las conectan no estan estirados. Se aplica una fuerza P para separar Ias caras de Ia abrazadera de modo que se pueda insertar una barra de aleacion de aluminio [Ea = 73 GPa, Aa = 625 mnr' y aa = 22.5(I0-6)/°C) con una Iongitud de 250.50 mm, como se muestra. Despues de retirar la carga P, la temperatura se eleva IOO°e. Determine los esfuerzos normales en los pernos y en la barra y la distancia entre las caras de la abrazadera.
C5-90 Las dos caras de la abrazadera mostrada en la figura C5-90 estan separadas 200 mm cuando los dos pernos de acero [Es = 190 GPa, As = 115 mm2 (cada uno) y as = 17.3(10~)/°C) que las conectan no estan estirados. Se aplica una fuerza P para separar las caras de la abrazadera de modo que se pueda insertar una barra de laton [Eb = 100 GPa, Ab = 625 mm2 y ab = 17.6(1O-6)fOC)can una longitud de 200.50 mm, como se muestra. Despues de retirar la carga P, la temperatura se eleva lentamente. Calcule y grafique 10 siguiente:
r=. /"\
r=; r'\
/"\
/"\
/"\
--,
a. Los esfuerzos axiales O's (en los pemos de acero) y O'b (en la barra de laton) como funciones del aumento de temperatura l1T (O°C :S l1T:5 lOO°e). , b. Los alargamientos Os (de los pernos de acero) y Db (de la barra de laton) como funciones del aumento de temperatura sr (O°C :s sr :5 100°C). c. La distancia L entre las caras de la abrazadera como una funcion del aumento de temperatura AT (O°C :s l1T :5 100°C).
1
40mm
50 mm
Figura P5-88
-1
~200 mm
1 r-
r=. /"\
r>. ,,,",,
/"\
"'"'
50 mm /"\
r'\
Problemas de Computadora
/"\
C5~89 El ensamblaje mostrado en la figura C5-89 consta de una barra A de acero [Es = 30000 klb/pulg", As = 1.25 pulg' y as = 6.6(1O-6)/oF], una placa de asiento rigida C queesta bien unida a la barra A y una barra B de bronce [Eb = 15 000 kIb/
pulg',
Ab =
p
p
"""
r"\
"""
3.75 pulg' Y CXb = 9.4(1O-6)/oF]. Existeun espacio
libre de 0.025 pulg entre la placa de asiento C y Ia barra B an-
Figura C5-90
"""
/"\ { "
~
/"\
5-6 CONEXIONES SOLDADAS SUJETAS A CARGAS APLICADAS EN EL CENTRO
C5-91 Una estructura conectada con seguros esta sujeta a cargas y sostenida como se muestra en la figura C5~91. El miembro CD es rigido; A es una barra de acero inoxidable [EA = 28 000 klb/pulg/, AA = 1.75 pulg ' y aA = 6.6(10-6)/oF] y B es una barra de aleacion de aluminio [EB = 10 600 klb/pulg'', AB = 2.25 pulg'' y CiB = 12.5(10-6)/°F]. Inicialmente, CD es horizontal y las barras A y B estan libres de esfuerzos. Si la temperatura del sistema se eleva lentamente, caIcule y grafique 10 siguiente: a. Los esfuerzos axiales (TA (en la barra de acero) y (Ts (en la barra de aluminio) como funciones del aumento de temperatura AT (O°F :=::; AT s: lOO°F). b. Los alargamientos 8A (de la barra de acero) y 8B (de la barra de aluminio) como funciones del aumento de temperatura AT (O°F :=::; AT ::s; lOO°F).
221
GPa, ACE = 900 mnr' y CiCE = 22.5(W·-{))l°C]. Como resultado de un desalineamiento de los orificios en A, B y C, la barra CE debe calentarse 80°C (despues de que los seguros A y B esten en su lugar) para perrnitir la inserci6n del seguro C. Calcule y grafique 10 siguiente: a. Los esfuerzos axiales (TBF (en la barra de acero) y (TCE (en la barra de aluminio) como funciones del descenso de temperatura (a medida que la barra CE se enfria hasta la temperatura ambiente) tJ.T (O°C ~ AT;::: -80°C). b. Los alargamientos {)BF (de la barra de acero) y {jCE (de la barra de aluminio) como funciones del descenso de temperatura AT (O°C 2: AT;::: -80°C).
D Rfgida
~3 pies-+-S Pies---+pfes~
Figura C5-91 C5-92 EI miernbro ABeD de la estructura conectada con seguros mostrada en la figura C5-92 es rigido; la barra BF esta hecha de acero [eBF = 210 GPa, ABF = 1200 mnr' y CiBF = 1.9(10-6)fOC] Yla barra CE esta hecha de una aleacion de aluminio [ECE = 73
1000 rnm
I
rnm~
~~F
5-6 CONEXI ONES SOLDADAS SUJETAS A CARGAS APLICADAS EN EL CENTRO Con frecuencia, se hacen con soldadura conexiones entre placas de metal, angulos, tubos y otros elementos estructurales. Las soldaduras de fusion se hacen fundiendo partes de los materiales que van a ser unidos con un arco electrico, una flama de gas, 0 con soldadura aluminotermica (Thermit). En la soldadura por fusion, normalmente se agrega material adicional de soldadura al metal fundido para llenar el espacio entre las dos partes que van afundirse opara formarun filete.Se suministraun escudo de gas cuando se sueldan ciertos metales para evitar la oxidacion rapida del metal fundido. Una "buena" junta soldada es aquella en la cual la soldadura es tan fuerte como los materiales que se unen. Los metales tambien pueden unirse con soldadura por resistencia, en la cual una pequeiia area opunto se calienta bajo una presion alta localizada. El material no se funde con este tipo de soldadura. Otros metodos de union de metales incluyen la soldadura con laton y la soldadura blanda, en la cual se funde el metal de union pero las partes que se van a conectar no se funden. Normalmente, estas conexiones son mucho mas debiles que los materiales que se conectan. La soldadura por fusion es el metoda mas efectivo cuando la resistencia alta es un factor importante, por 10 que sera estudiada con mas detalle. En la figura 5-17 se ilustran los dos tipos generales de juntas soldadas por fusion. Las juntas ilustradas en las figuras 5-17a, bye son llamadas juntas a tope y se hacen con soldadura de ranura. La soldadura es cuadrada para materiales muy delgados, 0 puede haber una 0 dos ranuras en V para metales mas gruesos. Cuando se usan tecnicas y materiales
aprobados para soldadura y se obtiene una penetracion completa del material, se supone que la resistencia de la junta es la misma que la del material que esta siendo unido.
~-if4--160 80rnm
. Figura C5-92
IC
I
222
CAPITULO 5
APLICACIONES DE CARGAAXIA.LY RECIPIENfES A PRESION
Junta a tope Soldadura de ranura cuadrada
(a)
Junta tope en tubo Soldadura de ranura en V (b)
Soldadura lateral
Junta a tope Soldadura de ranura en doble V (c)
Soldadura de filete
(d)
Figura 5-17 En la figura 5-17 d se ilustra una soldadura con filete que se usa para unir una placa, un angulo u otro perfil estructural con otro miembro estructural, En algunas aplicaciones se omite la soldadura en el extremo. Lo ideal es que el filete sea ligeramente c6ncavo, en vez . de convexo 0 recto (como se muestra), para reducir las posibles concentraciones de esfuerzos en las esquinas entrantes. EI esfuerzo cortante en la soldadura lateral no puede distribuirse uniforrnemente a 10 largo de la soldadura siempre que el comportamiento sea elastico, ya que los ensayosi indican que la distribuci6n es parecida a la que se indica en la figura 5-18. Sin embargo, si el material es ductil (la condici6n acostumbrada para conexiones soldadas), un comportamiento ligeramente cercano al inelastico en los extremos de las soldaduras conducira a una distribuci6n esencialmente uniforrne del esfuerzo cortante; por 10 tanto, en el disefio de las conexiones soldadas, se supone una distribucion uniforrne. La soldadura con filete se disefia con la suposici6n de que la falla se presentara por cortante en la secci6n minima de la soldadura, lacual se denomina la garganta de la soldadura (seccion AB en la figura 5-19a), ya sea que la soldadura sea una soldadura lateral (longitudinal) 0 una soldadura en el extrema (transversal), La resistencia de las soldaduras laterales confilete puededeterminarseapar. tir de las figuras 5-19a y b. Aunque es deseable que las soldaduras con filete sean ligeramente c6ncavas, los calculos normalmente se basan en la suposici6n de que la superficie
Figura 5-18 2UDistribution of Shear in Welded Connections", H. W. Troelsch, Trans,Am. Soc. of Civil Engrs., Vol.99, ~~~
~
5-6 CONEXIONES SOLDADAS SUJETAS A CARGAS APLICADAS EN EL CENlRO
223
...-.
A
(O.707t)L't
(a)
B
P
(b)
Figura 5-19
de la soldadura es recta y forma un angulo de 45° can los dos catetos. La carga P maxima admisible que puede resistir una soldadura lateral de filete con una longitud L y catetos t (es una practica cormin designar el tamafio de la soldadura de filete por la longitud del cateto t) puede obtenerse a partir del diagrama de cuerpo libre de la figura 5-19b yes: P
=
(5-5)
0.707tLT
donde T es el esfuerzo cortante admisible que se permite en el material de soldadura. Los ensayos indican que la resistencia de una soldadura transversal de filete (soldadura al extremo en la figura 5-17d) es alrededor de 30 par ciento mayor que la de una soldadura lateral de filete con las mismas dimensiones. Sin embargo, es practica comun suponer que la resistencia de una soldadura transversal es la misma que aquella de una soldadura lateral con las mismas dimensiones. Esta practica sera seguida en este libro. Los siguientes problemas de ejemplo ilustran el analisis de las soldaduras de filete con carga aplicada al centro.
Problema de Ejemplo 5-12 Un canal C76 X 9 mm esta soldado a una placa plana de acero, como se muestra en la figura 5-20a. Determine la longitud de soldadura L requerida para desarrollar la resistencia admisible completa del canal si el esfuerzo de tension en el canal debe limitarse a 125 MPa y el esfuerzo cortante en la soldadura de 6 mm debe limitarse a 95 MPa.
p
SOLUCION La carga de tension P requerida para generar la resistencia total admisible del canal, que tiene un area transversal de 1 135 mnr' (vease el apendice B) es (a)
En la figura P5-20b se muestra un diagrama de cuerpo libre del canal. Haciendo suma de fuerzas a 10 largo del eje del canal, se obtiene
+ ~IF=P=
F P
2F 141 875 - 2F
=
F
0
(b) ~~~da
~n~
F= 70 940N El area de cortante de la garganta del canal es L(1O-3)(0.707)(6)(1O-3) zocortante multiplicado por esta area debe ser igual a la fuerza F. Asi, F = 70 940 N ~
y el esfuer-
= TA 95(106)(L)(10-3)(0.707)(6)(1O-3)
de donde
L
=
176.03 mm ~ 176.0 mm
Respuesta
224
CAPiTULO 5
APLiCACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES
A PRESION
p
Problema de Ejemplo 5-13 Un angulo de acero de 8 X 6 X 112pulg (vease el apendice B para obtener datos adicionales) debe soldarse a una placa plana con ellado largo delangulo contra la placa, como se muestra en las figuras 5-21a y b. EI esfuerzo de tension admisible para el material en el angulo es de 18 000 lb/pulg'' y el esfuerzo cortante admisible en el material de soldadura es de 13 600 lb/pulg", Cada cateto de la soldadura es de 0.50 pulg. Determine:
(a)
SOLUCION
T
6 pulg
(b)
Figura 5-21a-b
a) Las longitudes minimas LI y L2 que permitiran que el angulo soporte la carga axial maxima admisible. b) Las longitudes minimas Li y L~ que permitiran que el angulo soporte la carga axial maxima admisible si se aiiade una soldadura transversal a traves del extremo del angulo.
a) La fuerza longitudinal maxima en el angulo se generara cuando el esfuerzo de tension se distribuya uniformemente y acme a traves del centroide de la secci6n transversal del angulo. El area de la seccion transversal y la ubicacion de su centroide pueden obtenerse de la tabla de propiedades de secciones de perfiles estructurales del apendice B. El area es de 6.75 pulg2 y la ubicacion del centroide se muestra en la figura 5-21c, que es un diagrama de cuerpo libre de una parte del angulo. Se supone que las fuerzas FI Y F2 actuan en los bordes del angulo. La fuerza P es P
= oA = 18 000(6.75) = 121 500lb
La ecuacion '2,MA= 0, aplicada al diagrama de cuerpo libre, nos da
+ ('2,MA =
8F2
-
= 8F2
2.47P
-
2.47(121 500)
=0
de donde F2
= 37 510 lb
como se muestra
Similarmente,
+ ('2,MB = 5.53P -8FI =
5.53(121500)
- 8FI
=0
Figura 5-21c
de donde FI
=
83 9901b
como se muestra
El area de cortante de la garganta de la soldadura en B es Lz(0.707)(0.50). El esfuerzo cortante muitiplicado por esta area debe ser igual a la carga aplicada. Asi, F2
=
37 510 lb
=
'fA
=
13 600LlCO.707)(0.50)
de donde L2 = 7.803 pulg ~ 7.80 pulg De la rnisma manera,
PI
= 83 9901b = 'fA =
13 600LI(0.707)(0.50)
Respuesta
PROBLEMAS
de donde
225
P
L1
=
17.470 pulg
==
17.47 pulg
Respuesta
2.47 pulg
~
5 53 I . pug
b) Cuando se coloca una soldadura a traves del extremo del angulo, se muestra una fuerza adicional en el diagrama de cuerpo libre, como en la figura 5-2Id. La fuerza F3 es
F3 =
rA
= 13 600(8)(0.707)(0.50) = 38 460 lb
Se supone que la soldadura transversal soporta la misma carga por pulgada de soldadura que la soldadura lateral. La ecuacion IMA = 0 aplicada a la figura 5-21d nos da
+ rIMA
+ 4F3 - 2.47P 8F + 4(38 460) - 2.47(121 500)
= 8F~ =
z
r:I
=0
F3
F'z
(d)
de donde
Figura 5-21d F~ = 18283 Ib = 13 600~(0.707)(O.50)
como en el inciso a) de la solucion, Esta ecuacion nos da
~ = 3.803 pulg == 3.80 pulg
Respuesta
Similarmente,
.Li
= 13.470 pulg
==
13.47 pulg
Respuesta
1
PROBLEMAS
Problemas Introductorios 5-93* Un tubo de acero con un diametro exterior de 4 pulg y un espesor de pared de 114de pulg debe unirse a una placa de acero de 112pulg hacie~douna ranura en el tubo y usando una soldadura con filete, como se muestra en la figura P5-93. Si el esfuerzo cortante maximo en la soldadura de 3/16 de pulg debe limitarse a 12 klb/pulg'', determine la longitud L de soldadura requerida para permitir un esfuerzo normal de tension maximo en el tubo de 15 klb/pulg',
dos soldaduras laterales, como se muestra en la figura P5-94. Determine la longitud requerida L de las soldadurasde 8 mm si el esfuerzo cortante admisible en el material de soldadura es de 85 MPa. 125 kN
Figura P5-94
5-94* Una barra de acero de 100 mm de ancho x 10 mm de es-
5-95 Dos barras de acero de 6 x 112pulg se conectan usando una junta soldada con dos cubre-placas de 6 X 9 X 5/16 de pulg, como se muestra en la figura P5-95. Determine la carga P maxima que puede soportar la junta si los esfuerzos maximos de tension en las barras y en los cubre-placas deben limitarse a 15000
pesor sera conectada a una placa grande de acero por medio de
Ib/pulg2 y el esfuetzo cortante maximo en el material de sol-
Figura P5-93
226
CAPiTuLO 5
APLiCACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION
dadura debe limitarse a 13 000 lb/pulg''. Cada cateto de la soldadura es de 1/4 de pulg.
r--
---1
9 pulg
p
p
-! pulg
Soldadura
;=~"",«.I!t"".•
:::!" •••••••••.
p
Figura P5-95
5-96 Una barra de 120 X 12 mm se conecta a una barra de 80 X 16 mm usando una junta soldada, como se muestra en la figura P5-96. Si el esfuerzo cortante maximo en la soldadura de 10 mm debe limitarse a 85 MPa, determine la longitud L de soldadura requerida para permitir un esfuerzo axial de tension maximo en las barras de 125 MPa.
b. Las longitudes minimas L; y L2 (vease la figura 5-21d) de las soldaduras laterales que permitiran que el angulo soporte la carga axial maxima admisible si se agrega una soldadura transversal a traves del extremo del angulo. 5-100 Un angulo de acero de 127 X 76 X 12.7 mm (vease el apendice B para obtener datos adicionales) debe soldarse a una escuadra de ensamble con ellado de 127 mm contra la escuadra. La resistencia a tension admisible del angulo es de 165 . MPa y el esfuerzo cortante admisible en la soldadura de II mm es de 85 MPa. Determine: a. Las longitudes minimas L, y L2 (vease la figura 5-21a) de las soldaduras laterales que permitiran que el angulo soporte la carga axial maxima admisible. b. Las longitudes minimas L; y L2 (vease la figura 5-21d) de . las soldaduras laterales que permitiran que el angulo soporte la carga axial maxima admisible si se agrega una soldadura transversal a traves del extremo del angulo. Problemas Dificiles
p
p
Figura P5-96 Problemas
Intermedios
5-97* Disefie una junta formada con soldadura de filete, para unir un angulo de acero de 4 X 4 X 3/8 de pulg (vease el apendice B para obtener datos adicionales) a una escuadra de ensamble, que desarrollara la resistencia a tension plena admisible del angulo. Use un esfuerzo de tension admisible de 15000 Ib?pulg2 enel angulo y una fuerza maxima admisible por pulgada lineal desoldadura de 3 000 lb. Suelde a 10 largo del extremo del angulo con objeto de acortar la escuadra de ensamble. 5-98* Disefie una junta formada con soldadura de filete, para unir unangulo de acero de 127 X 127 X 19.1 pulg (vease el apendice B para obtener datos adicionales) a una escuadra de ensamble, que desarrollara la resistencia a tension plena adrriisible del angulo. Use un esfuerzo de tension admisible de 100 MPa en el angulo y una fuerza maxima admisible por milimetro de soldadura de I 000 N. Suelde a 10 largo del extremo del angu10 con objeto de acortar la escuadra de ensamble. 5-99 Un angulo de acero de 6 X 4 X 3/8 de pulg (vease el apendice B para obtener datos adicionales) debe soldarse a una escuadra de ensamble con el lado de 6 pulg contra la placa. La resistencia a tension adrnisible del angulo es de 24 klb/pulg'' y el esfuerzo cortante adrnisible en la soldadura de 5/16 de pulg es de 13.6 klb/pulg'. Determine: a. Las longitudes minimas L,
y
5-101 * Disefie una junta formada con soldadura de filete, para unir un angulo de acero de 4 X 3 X 1/2 pulg (vease el apendice B para obtener datos adicionales) a una escuadra de ensamble, que desarrollara la resistencia a tension plena admisible del angulo. Las especificaciones permiten un esfuerzo de tension admisible de 20 klb/pulg'' en el angulo y un esfuerzo cortante maximo de 12.4 klb/pulg'' en la soldadura de 3/8 de pulg. Suelde a 10 largo del extremo del angulo con objeto de acortar la escuadra de ensamble. Suponga que: a. Ellado de 4 pulg del angulo esta contra la escuadra. b. EI lado de 3 pulg del angulo esta contra la escuadra. ·5-102* Disefie una junta formada con soldadura de filete, para unir un angulo de acero de 127 X 89 X 12.7 mm (vease el apendice B para datos adicionales) a una escuadra de ensamble, que desarrollara la resistencia a tension plena admisibJe del angulo. Las especificaciones permiten un esfuerzo de tension admisible de 150 MPa en el angulo y. unesfuerzo cortante maximo. de 85 MPa en la soldadura de 11 mm. Suelde a 10 largo del extremo del angulo con objeto de acortar la escuadra de ensamble. Supongaque: a. Ellado de 127 mm del angulo esta contra la escuadra. b.. EI lado de 89 mm del angulo esta contra la escuadra. 5-103 Los patines de la viga de acero AB en cantiliver mostrada en la figura P5-103 deben conectarse a la columna con soldaduras a tope de 1 X 14 puIg. La conexion con el alma debe ser con soldadura de filete intermitente de 3/8 X 2 pulg en ambos lados del alma. Recuerdese que la carga de 80 ldb puede reemplazarse con una fuerza vertical en el extremo A de la viga y un par. Suponga que eI par es resistido solamente pot las soldaduras del patin y que la fuerza vertical es resistida solamente por las soldaduras del alma. Determine:
L2 (vease la figura 5-21a) de
las soldaduras laterales que permitiran que el angulo soporte la carga axial maxima admisible.
a. EI esfuerzo promedio de tension en la soldadura del patin (en elplano vertical).
'{<.'
5-7 CONCENTRACIONES b. EI numero de soldaduras de 3/8 X 2 pulg que deben usarse en cada lado del alma si el esfuerzo cortante maximo en las soldaduras de filete no debe exceder de 12.6 klb/pulg'', 80 klb
::vr ~ . ~IPUlg 5 pies 14 pulg
Figura P5-103 5-104 En la figura P5-104 se muestra un nudo de una armadura. Cada miembro de la armadura consta de dos angulos de 102 X 76 X 9.5 mm que seran unidos con soldadura de filete a una placa de empalme con soldaduras laterales, como se muestra en
Figura P5-104
5- 7 CONCENfRACIONES DE ESFUERZO En las secciones anteriores, se supuso que el esfuerzo normal promedio dado por la expresion a = PIA, es el esfuerzo significativo 0 critico. Para muchos problemas, esto es verdad; sin embargo, para otros problemas el esfuerzo normal maximo en una secci6n dada es considerablemente mayor que el esfuerzo normal promedio. Para ciertas combinaciones de aplicacion de carga y material, el esfuerzo importante es el maximo en lugar del promedio. Si en el elemento estructural 0 de maquina existe una discontinuidad que interrumpa la transmision del esfuerzo (Hamada una trayectoria de esfuerzo),3 el esfuerzo en la discontinuidad puede ser considerablemente mayor que el esfuerzo nominal (promedio, en el caso de carga aplicada aleentro) en la seccion; asi, hay unaconcentracion de esfuerzo en la discontinuidad. Esto se ilustra en la figura 5-22, donde se muestra un tipo de discontinuidad en la parte superior de las figuras 5-22a, bye y la distribucion aproximada del esfuerzo normal en un plano transversal se muestra en la figura inferior anexa. El cocientedel esfuerzo maximo entre el esfuerzonominal en la seccion se conoce como elfactor de concentracion de esfuerzo. Asi, la expresion para calcular el esfuerzo normal maximo en un miernbro sujeto a carga aplicada al centrose convierte en p
A
donde A es el area bruta
0
(5-6)
el area neta (area de la secci6n reducida) dependiendo del valor
que se use para K, el factor de concentracion de esfuerzo. Pueden encontrarse curvas similares alas mostradas en la figura 5-23 en varios manuales de diseiio. Es importante que el usuario de estas curvas (0 tablas de factores) evahie si los factores se hasan en la secci6n bruta 0 en la neta. Los factores K, mostrados en las figuras 5-23a, bye se basan en la seecion neta. Algunas veces, la solucion de un problema se hace expedita con el uso del factor Kg basado en la secci6n bruta, y para este proposito se dan expresiones de conversion con las diferentes curvas.
~
3Una trayectoria
de esfuerzo es
227
la figura P5-104. Si el esfuerzo cortante maximo en las soldaduras de 8 mm debe limitarse a 80 MPa, determine: a. Las longitudes de las soldaduras laterales para el miembro B del nudo. b. Las longitudes de las soldaduras laterales para el miembro C del nudo.
Y"f24 pulg
a=K-
DE ESFUERZO
una linea que es paralela en todo lugar al esfuerzo normal maximo.
228
CAPITULO 5
APLICACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION
A
A
B
B
B-
(a)
-c
-B
(b)
(c)
Figura 5-22 Un ejemplo clasico de la solucion de un problema relacionado con una redistribucion 10calizada de esfuerzos se presenta en el caso de un pequefio agujero circular en una placa ancha bajo tension uniforme en una direccion." La solucion de la teoria de la elasticidad se
C/J
~ 3
"0
1J- = 150
s::
:-8
1J = 2.00
~
§o
2~+-~-4--~4--+~~+-~~
~
J Figura 5-23
Relaci6n rib
Relaci6n dlw
Relaci6n rid
(a)
(b)
(c)
Factores de concentraci6n de esfuerzos para ranuras, orificios y filetes. 4Esta solucion fue obtenida por G. Kirsch; veasez. Ver. deut. lng., Vol. 42, 1898.Veasetambien Elasticity in Engineering Mechanics, A. P. Boresi y P. P. Lynn, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J. 1974, pp. 304-309.
5-7 CONCENTRACIONES DE ESFUERZO expresa en terminos de un esfuerzo radial a., un esfuerzo tangencial tante 'rye, como se muestra en la figura 5-24. Las ecuaciones son:
Para sobre el borde del agujero (en
r
= a),
Uo
Y un esfuerzo cor-
estas ecuaciones se reducen a Figura 5-24
a; = 0 u(1 + 2 cos 2e) =0
Uo = 'rrO
(j
e
Para = 0°, el esfuerzo tangencial Uo es igual a 3u, donde a es el esfuerzo de tension uniforrne en la placa en regiones muy alejadas del agujero. Asi, el factor de concentraci6n de esfuerzo asociado con este tipo de discontinuidades es 3. La naturaleza localizada de una concentraci6n de esfuerzos puede evaluarse considerando la distribuci6n del esfuerzo tangencial a 0 a 10 largo del eje x (e = 0°). Aqui,
Para una distancia r = 3a (un diametro de agujero a partir del borde del agujero) esta ecuacion nos da Uo = l.074u. Asi, el esfuerzo que comenzo como tres veces elesfuerzo nominal en el borde del agujero ha disminuido a un valor solamente 7 por ciento mayor que el esfuerzo nominal a una distancia de un diametro a partir del agujero. Esta disminuci6n rapida es comun de la redistribucion del esfuerzo en la vecindad de una discontinuidad. La concentraci6n de esfuerzos no es ..l'ignificativa en el caso de carga estatica de un material ductil (definido en la secci6n 4-2) porque el material fluira inelasticamente en la regi6n de esfuerzos elevados y con la redistribuci6n de esfuerzos que 10 acompafia, se establece el equilibrio y no se hace ningun dafio. Sin embargo, si la carga es una carga de impacto 0 repetida, en lugar de 1a accion descrita anteriorrnente, el material .se fractura. Tambien, si e1material es fragil, aun una carga estatica puede causar 1a fractura. Por 10 tanto, en elcaso de carga de impacto 0 repetida sobre cualquier material 0 de carga estatica sobre un material fragil, no debe ignorarse 1a presencia de concentracion de esfuerzo. Antes de dejar el tema de la concentracion de esfuerzo, debera observarse que en las regiones de los apoyos y de aplicacion de cargas, la distribuci6n de esfuerzo varia del valor nominal (definido como el esfuerzo obtenido a partir de las teorias elementales de distribuci6n de esfuerzo y que es uniforrne para carga aplicada al centro). Este hecho 10 analiza en 1864 Barre de Saint-Venant (1797-1886), un matematico fiances. Saint-Venant observe que, aunque las distorsiones 10calizadas en estas regiones producen distribuciones de esfuerzos diferentes de las distribuciones teoricas, estos efectos localizados desaparecian a cierta distancia (considerando que la distancia no es de gran magnitud'') de estas ubicaciones. Esta proposicion se conoce como el principio de Saint- Venant y se usa constantemente en el disefio de ingenieria.
5Por ejemplo, puede demostrarse matematicamente que el efecto localizado de una carga concentrada sobre
unavigadesapareceen unaseccionligeramentemayorqueel peraJtede la viga,lejosde la carga.Vease Theory of Elasticity, S. Timoshenkoy 1. N. Goodier,3 ed.,McGraw-Hill,Nueva York, 1970. 8
229
,..-..,
230
CAPITULO 5
APLICACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION
x.; RadiodeI5mm orificio de 27 mm de diametro
Problema de Ejemplo 5-14 La parte de la maquinaria mostrada en la figura 5-25 tiene 20 mm de espesor y esta hecha de un acero al carbon en 0.4 por ciento rolado en caliente (vease el apendice B para consultar las propiedades). Determine la carga P maxima admisible si se especifica un factor de seguridad de 2.5 con respecto a la falla por fluencia.
Figura 5-25
SOLUCION La resistencia de fluencia del acero al carbon en 0.4 por ciento rolado en caliente, obtenida del apendice B, es de 360 MPa. EI esfuerzo admisible basado en un factor de seguridad de 2.5 es 360(2.5 = 144 MPa. E1esfuerzo maximo en la parte de maquina se presentara en el filete entre las dos secciones 0 en el borde del agujero. En el filete, se tiene Did = 90/60 = 1.5 rid = 15/60 = 0.25 De la figura 5-23c, Kt= 1.62 Asi, de la ecuaci6n 5-6, se obtiene P = O'toctoA/Kt = =
~ Recuerde que todas las graficas de la figura
144(106)(60)(20)(10-6)/1.62 106.67(103) N
= 106.7 kN
En el agujero se tiene
5-23se basan en el area neta (el area mas pequefia
dlw
que soporta el esfuerzo en la discontinuidad). Por 10 tanto, el area correcta que debe usarse en el filete es A, = (60 X 10-3)(20 X 10-3) m2. En forma
De la figura 5-23b,
similar, el area correcta que debe usarse en el orificio es A, = [(90 - 27) X 10-3)](20 X W-3) m2.
Asi, de la ecuaci6n 5-6, se obtiene P
= O'toctoAtlKt = =
= 27/90 = 0.3
144(106)(90 - 27)(20)(10-6)12.30 78.89(103) N
==
78.9 kN
~
Por 10 tanto, P max = 78.9 kN
Respuesta
1
PROBLEMAS
Problemas Introductorios 5-105* La parte de maquina mostrada en la figura P5-105 tiene un espesor de 114de pulg y esta hecba de acero SAE 4340 con tratamiento termico (vease el apendice B para consultar las propiedades). Determine la carga maxima segura P si se especifica un factor de seguridad de 2 con respecto a la falla por fluencia.
p
p
orificio de 0.5 pulg de diametro
Figura P5-105
5-106* La parte de maquina mostrada en la figura P5-106 tiene un espesor de 10 mm y esta hecha de acero inoxidable 18-8 rolado en frio (vease el apendice B para consultar Ias propieda-
)'''''''"'\.;:;?;'
c
k
PROBLEMAS
des). Determine la carga maxima segura P si se especifica un factor de seguridad de 1.5 con respecto a la falIa por fluencia.
p
p
231
5-110 La parte de maquina mostrada enla figura P5-110 tiene un espesor de 20 mm, esta hecha de laton cobrizo rolado en frio (vease el apendice B para consultar las propiedades) y esta sujeta a una carga de tension P de 100 kN.J)etermine el radio minimo r que puede usarse entre las dos secciones, si se especifica un factor de seguridad de 2 con respecto a la falla por fluencia.
Figura P5-106 5-107 Una barra de acero de 118de pulg de espesor X 4 pulg de ancho transmite una carga axial de tension de 500 lb. Despues de aplicar la carga, se taladra un agujero de 1/64 de pulg a traves de la barra, como se muestra en la figura P5-1 07. a. Detemine el esfuerzo en el punto A (en la orilla del agujero) en la barra antes y despues de taladrar el agujero. b. lEI esfuerzo axial en el punto B, sobre la orilla de Ia barra, aumenta 0 disminuye a medida que se taladra el agujero? Explique. B
p
Figura P5-107
p
p
Figura P5-110 Problemas Dificiles 5-111 * La barra de 112pulg de espesor con ranuras semicirculares (dlr = I) en los bordes, mostrada en la figura P5-111, esta hecha de acero estructural (vease el apendice B para consultar las propiedades) y estara sujeta a una carga axial de tension P de 10 klb. Determine eJ ancho seguro minimo B de la barra si debe conservarse un factor de seguridad de 1.8 con respecto a la falla por fluencia ..
5-108 La parte de maquina mostrada en la figura P5-108 tiene un ancho de 200 mm y un espesor de 25 mm y esta hecha de aluminio 2024-T4 (vease el apendice B para consultar las propiedades). Determine la carga maxima segura P si se especifica un factor de seguridad de 2.25 con respecto a la falla por fluencia.
tpulg
p
p
p
p
r = -21 pulg
1 I zpu g
Figura P5-111 Figura P5-108 Problemas Intermedios 5-109* La parte de maquina mostrada en la figura P5-109 tiene un espesor de 1/4 de pulg y esta hecha de acero estructural (vease el apendice B para consultar las propiedades). Determine la carga segura P si se especifica un factor de seguridad de 3 con respecto a la falla por fluencia.
5-112 La barra escalonada con un agujero circular, mostrada en la figura P5-112, esta hecha de acero inoxidable recocido 18-8 (vease el apendice Bpara consultar las propiedades). La barra tiene 25 mm de espesor y estara sujeta a una carga axial de tension P de 125 kN. Determine el ancho seguro minimo D de la barra si debe conservarse un factor de seguridad de 2 con respecto a la falla por fluencia.
p
p
p
p
Figura P5-109
Figura P5-112
232
CAPiTIJLO;
APLICACIONES DE CARGAAXIAL Y RECIPIENTES A PRESION
45.--------------------, 36Idb/pulg2
r---------j 10.00124
00
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 Defonnaci6n unitaria, pulg/pulg
Figura 5-26
60.-----------------------~ 42Idb/pulg2
~_==----'
10.004 10500
O~--~---L--~----~--~
o
0.002 0;004 0.006 0.008 0.010 Defonnaci6n unitaria, pulg/pulg
Figura 5-27
36.---------------------.
0.004 0.006 0.008 0.010
Defonnaci6n unitaria, pulg/pulg Figura 5-28
5-8 COMPORTAMIENTO INEUsTICO
DE MIEMBROS SUJETOS A CARGA AXIAL
En las secciones anteriores de este capitulo del libro se estudiaron los analisis elasticos de miembros sujetos a carga axial. El esfuerzo era proporcional a la deformacion unitaria (se aplica la ley de Hooke) y no se permitia que los esfuerzos maximos normal y cortante en los miembros excedieran los limites correspondientes de proporcionalidad (0 resistencias de fluencia) de los materiales. En algunas situaciones de disefio, no se requiere la restriccion del comportamiento elastico y puede permitirse un cierto comportamiento inelastico limitado. En este capitulo se introduce la teoria del comportamiento inelastico en miembros sujetos a carga axial. En la seccion 4-2 se introdujo el diagrama de esfuerzo-deformacion unitaria usado para representar el comportamiento de un material especifico. En las figuras 4-3a y b se presentaron diagramas comunes para el acero estructural y para una aleacion de magnesio. Estos diagramas se usaron para definir varias propiedades del material. La regi6n util de deformaciones pequefias del diagrama de esfuerzo-deformacion unitaria para el acero estructural puede aproximarse por medio del diagrama idealizado mostrado en la figura 5-26. La parte elastica del diagram a es una linea recta cuya pendiente es el m6dulo de elasticidad E del material. La parte inelastica del diagrama es una linea recta de pendiente cero que cornienza en el esfuerzo de fluencia. Se denomina material elastoplastico al material para el cualla pendiente es cero en la parte inicial de la regi6n inelastica, El diagrama de esfuerzo-deformacion unitaria para acero estructural, mostrado en la figura 4-3a, indica que el esfuerzo de fluencia es aproximadamente de 36 klb/pulg/ y que la deformaci6n unitaria parala fluencia es, aproximadamente, de 0.00124, 10 que da como resultado un m6dulo de elasticidad cercano a 29 000 klb/pulg''. La figura 4-3a indica que el flujo plastico continua, sin que se incremente el esfuerzo mas alla del esfuerzo de fluencia, hasta que la deformacion unitaria alcanza un valor aproximado a 0.015. Mas alla de este punto (el cual se encuentra despues de la region utiI de deformaciones pequefias del material) comienza a presentarse el endurecimiento por deformaci6n y se requiere un aumento en eI nivel de esfuerzos para producir una deformacion unitaria adicional. La region util de deformaciones pequefias del diagrama esfuerzo-deformaci6n unitaria para una aleaci6n de aluminio puede aproximarse por medio del diagrama idealizado mostrado en Ia figura 5-27. La parte elastica del diagrama es una linea recta. La parte inelastica del diagrama es una linea recta de pendiente diferente que comietiza en el esfuerzo de fluencia. Se denomina material de endurecimiento por deformacion al material para el cual la pendiente en la parte inicial de la regi6n inelastica es diferente de cero. Los datos presentados en la figura 5-27 indican que el esfuerzo de fluencia para la aleaci6n de aluminio es, aproximadamente de 42 klb/pulg'' y que la deformacion unitaria en el punto de fluencia es cercana a 0.004. Asi, el m6dulo de elasticidad para la aleacion de alurninio es, aproximadamente, de 10500 klb/pulg'. La pendiente del diagrama en la porcion inicial de la regi6n inelastica es de I 400 klb/pulg"; por 10 tanto, el incremento de esfuerzo requerido para producir un incremente especifico de deformaci6n unitaria en la region inelastica es menor de 10 que es en la region elastica. Al observar el diagrama, es obvio que un material de endurecimiento de la deformaci6n no permite un aumento en la deformacion unitaria sin un aumento en el esfuerzo. La region util de deformaciones pequefias del diagrama de esfuerzo-deformacion unitaria para una aleaci6n de magnesio puede aproximarse por medio del diagrama idealizado mostrado en la figura 5-28. La parte elastica del diagrama es una linea recta. La parte-inelastica del diagrama no puede representarse adecuadamente con una linea recta de pendiente diferente que cornience en el esfuerzo de fluencia; por 10 tanto, esta region no lineal se define con una funcion matematica apropiada. Los datos presentados en la figura 5-28 indican que el esfuerzo de fluencia para la aleacion de magnesio es aproximadamente de 15.6 klb/pulg'' y la deformaci6n unitaria para la fluencia es cercana a 0.0024. Asi, el m6dulo de elasticidad para la aleaci6n de magnesio es, aproximadamente, de 6 500 klb/pulg'. Es evidente, al observar el diagrama, que esta aleacion de magnesio es un material de endureci-
miento deja deformaci6n que no peqnite un aumento en Ia deformaci6n unitaria sin un aumento en el esfuerzo.
5-8 COMPORTAMIENTO INEWTICO
..
,
DE MIEMBROS SUjETOS A CARGA AXIAL
Un miembro estaticamente determinado sujeto a carga axial se deformara elasticamente jasta que los esfuerzos en el miembro alcancen el punto de fluencia del material. Una vez que se exceda el esfuerzo de fluencia del miembro, debe obtenerse la deformacion unitaria en el miembro consultando el diagrama de esfuerzo-deformacion unitaria del material. Se supone la falla de estos miembros cuando se alcanza un nivel establecido de deformacion unitaria. EI analisis elastico de miembros estaticamente indeterminados sujetos a carga axial se estudi6 en la seccion 5-4. El procedimiento descrito en esa seccion para resolver problemas estaticamente .indeterminados consiste en los siguientes pasos: 1. Dibuje un diagrama de cuerpo libre. 2. Identifique las fuerzas incognitas. 3. Entablezca las ecuaciones independientes de equilibrio. 4. Escriba el numero requerido de ecuaciones de deformacion, 5. Resuelva las ecuaciones de equilibrio y deformacion para determinar las fuerzas incognitas.
h
Cuando en algunos miembros los esfuerzos se extiendan hasta el range inelastico, deben usarse los diagramas de esfuerzo-deformacion unitaria, como los mostrados en las figuras 5-26, 5-27 Y 5-28, para relacionar las cargas con las deflexiones antes de que se puedan resolver las ecuaciones para determinar las fuerzas incognitas. En el caso de un material elastoplastico (figura 5-26), la fuerza en el miembro tendra un valor constante despues de alcanzar el esfuerzo de fluencia. Una vez que se conocen las fuerzas en estos rniembros, las fuerzas restantes pueden determinarse usando metodos de la estatica. En el caso de materiales de endurecimiento de la deformacion (figuras 5-27 y 5-28), se requieren soluciones de prueba y error porque el esfuerzo en cada uno de los rniembros depende de la deflexion impuesta en el miembro. En el siguiente ejemplo se ilustra el procedimiento para analizar miembros sujetos a carga axial con esfuerzos que se extienden dentro del rango inelastico.
rI
Problema de Ejemplo 5-15 La placa rigida C de la figura 5-29a esta unida a la varilla A de acero de 0.50 pulg de diametro y al tubo B de aleacion de aluminio. Los otros extremos de A y B estan unidos a soportes rigidos. Cuando la fuerza P es cero, no hay esfuerzos ni en A ni en B. La varina A esta hecha de acero con bajo contenido de carbon 60
fl
I
.' I
10 pulg
//
'lo 40 ::l
~
.2-
1 20 pulg
.0
~ 6 N •... ..,
!I
;:::I
'tl 20
~
/
/
./
~
V -
v
..
/
-e
0.004
0~008
Defonnaci6n unitaria (a)
Figura 5-29a-b
---
I
(b)
0.012
233
234
CAPITULO 5
APLICACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION
(que se supone elastoplastico) con un limite de proporcionalidad y punto de fluencia de 40 klb/pulg? y un modulo de elasticidad de 30 000 klb/pulg". El tuba B tiene un area transversal de 2.00 pulg/ y esta hecho de una aleaci6n de aluminio con el diagrama de esfuerzo-deformaci6n unitaria mostrado en la figura 5-29b. Se aplica una carga de 30 klb a la placa C, como se muestra. Determine los esfuerzos normales en la varilla A y el tubo B y el desplazamiento de la placa£.
SOLUCION 15 klb
15 klb
La figura 5-29c es un diagrama de cuerpo libre de la placa C y de partes de los miembros A y B. El diagrama de cuerpo libre contiene dos fuerzas incognitas. Solo se dispone de una ecuacion de equilibrio; por 10 tanto, el problema es estaticamente indeterminado. A medida que la carga se aplica a la placa C, esta se mueve hacia abajo una magnitud 0, que representa la deformacion total de los miembros A y B (vease la figura 5-29d). Esta observacion proporciona una ecuacion de desplazamiento que puede usarse con la ecuacion de equilibrio para resolver el problema. Las dos ecuaciones son:
+ t~Fy (c)
Figura 5-29c
PA + PB - 30 = (1T14)(0.50)2lTA + 2.00lTB - 30 = 0.19635lTA + 2.00lTB - 30 = 0
r--.,
=
(a)
y
OA =OB lOEA = 20EB Para resolver estas ecuaciones, los esfuerzos y las deformaciones unitarias deben estar relacionados. Si Ios esfuerzos son menores que los limites de proporcionalidad correspondientes, puede usarse la ley de Hooke. Si se supone que la ley de Hooke es valida, la ecuacion de deformaci6n unitaria se convierte en lOlTA 30(103)
=
20lTB 10(103)
de donde lTA = 6lTB
(b)
3
El valor de EB = 1O( 10 ) klb/pulg/ se obtiene como la pendiente del diagrama de esfuerzo-deformaci6n unitaria de la figura 5-29b. Al resolver de forma simultanea las ecuaciones (a) y (b) se obtiene lTA = 56.64 klb/pulg'' lTB = 9.440 klb/pulg2 , (d)
Figura 5-29d
== 56.6 klb/pulg'' == 9.44 klb/pulg2
(T) (C)
. Estos resultados indican que la barra A esta sometida a un esfuerzo mas alla del limite de proporcionalidad del acero (40 klb/pulg'') y que no se aplica la ley de Hooke. Ya que el material se supone perfectamente plastico mas alla del limite de proporcionalidad, el esfuerzo en la barra A debe ser de 40 klb/pulg", Cuando este valor substituye a lTA en la ecuaci6n de equilibrio (a), la ecuaci6n se convierte en
+ t~Fy
=
=
0.19635lTA + 2.00lTB - 30 0.19635(40) + 2.00lTB - 30
=
0
de donde •• Si e1esfuerzo en B hubiera sido mas que ellimite de proporcionalidaddel aluminio, habria sido necesariodeterminarIa deformaci6nunitaria a partir de la curva de Ia figura 5-29b. Si el material de la varilla A no fuera perfectamenteplastico, se requeriria una soluci6n de prueba y error, ya que los esfuerzos en A y en B dependen del movimiento de C.
lTB = 11.073 klb/pulg'' 2
lTA = 40.0 klb/pulg
==
11.07 klb/pulg'' (C)
(T)
Respuesta Respuesta
El esfuerzo en B es menor que el limite de proporcionalidad del aluminio; por 10 tanto, la ley de Hooke se puede usar para determinar el movimiento de la placa, que es ~U -
~ -
UB -
aBLB _
EB
-
11.073(20) 10(103) =
4 1 021 1 I 0.0221 pu g == O. 2 Paug-JI
Respuesta
PROBLEMAS
I
PROBLEMAS
Problemas Introductorios
'\
"
235
5-113* La barra escalonada mostrada en Ia figura P5-1l3 tiene un diametro de 0.75 pulg en la mitad de su longitud y un diametro de 1.25 pulg para la otra mitad. La barra esta hecha de una aleacion de aluminio con el diagrama idealizado de esfuerzodeformacion unitaria mostrado en la figura 5-27. Determine: a. EI cambio de longitud de la barra cuando P b. EI cambio de longitud de la barra cuando P
b. EI esfuerzo normal en Ia barra CD cuando P = 35 000 lb. c. EI cambio de longitud de la barra CD cuando P = 35 000 lb.
r-----
8 pulg-1
D
= 10 000 lb. =
20 000 lb.
p
p
j
B 10 pUlgllO
Figura P5-115
pulg
Figura P5-U3 5-114* Una barra de aleacion de aluminio esta sujeta alas cargas
axiales mostradas en la figura P5-114a. En la figura P5-114b se muestra el diagrama idealizado de esfuerzo-deformacion unitaria para la aleacion de aluminio. Determine: a. El cambio de longitud de la barra cuando P b. EI cambio de longitud de la barra cuando P
= 20 kN. =
65 kN.
5-116 La barra AD de la figura P5-116 es rigida y horizontal y el eslabon BC esta libre de esfuerzos antes de aplicar Ia carga P. EI eslabon esta hecho de una aleacion de aluminio con el diagrama de esfuerzo-deformacion unitaria mostrado en la figura P5114b.EI area transversal del eslabon BC es de 600 rnrrr'. Determine: a. EI esfuerzo normal en el eslab6n BC cuando la carga P 125 kN. b. EI cambio de longitud del eslabon BC cuando la carga P 125 kN.
c
=
=
1 1.5 m
A
D
B
420
~ ~ 280 A..
1.0 m ~)~E----
6
2.0 m ---)
p
t:l
..2 140 ~'" Q}
Figura P5-116 Problemas
30kN
Deformaci6n unitaria, mm/mm
(a)
(b)
Figura P5-114
5-115 El miembro ABC de la figura P5-115 es rigido y la barra CD esta libre de esfuerzos antes de aplicar la carga P. La barra CD tiene un area transversal de 1.00 pulg' y esta hecha de una aleacion de aluminio con el diagrama idealizado de esfuerzodeformacion unitaria mostrado en la figura 5-27. Determine: a. El esfuerzo normal en la barra CD cuando P = 28 000 Ib.~
Intermedios
5-117* La barra rigida CD de la figuraJ?5-117 esta horizontal y las barras A y B estan libres de esfuerzos antes de aplicar la carga P. La barra A tiene un area transversal de 2.00 pulg2 y esta hecha de un acero con bajo contenido de carbon (elastoplastico) que tieneun limite de proporcionalidad y punto de fluencia de 40 klb/pulg'' y un modulo de elasticidad de 30000 klb/pulg'', La barra B tiene un area transversal de 1.50 pulg' y esta hecha de una aleacion de aluminio que tiene un limite de proporcionalidad de 48 klb/pulg' y un modulo de elasticidad de 10 600 klb/pulg''. Determine:
236
CAPITULO;
APLICACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENfES A PRESION
a. Los esfuerzos normales en las barras A y B despues de aplicar la carga P. b. Los esfuerzos cortantes en el seguro de 1.5 pulg de diametro en D, que esta a cortante doble. c. Los esfuerzos cortantes maximos en las barras A y B. d. El desplazamiento vertical (deflexion) del seguro C.
B
punto de fluencia de 36 k1b/puli y un modulo de elasticidad de 29 000 klb/pulg'. Todas las barras tienen una seccion transversal rectangular de 2.5 X 1.0 pulg. Para L = 36 pulg, determine: a. La carga maxima P que la-estructura soportara si se supone un comportamiento elastoplastico (algunas veces Hamada la "carga limite") . b. EI desplazamiento del seguro C cuando se alcanza el punto de fluencia en la ultima barra para cambiar de comportamiento elastico a plastico. c. La deflexi6n maxima del seguro C si comienza el endurecimiento de la deformaci6n cuando el nivel de deformaci6n unitaria en una barra alcanza 0.018 pulg/pulg.
~60PUlg
A
32puig
c 16 puig
+-
16 puig ~ p~ig~
p = 56 klb
Figura P5-1l7 5-118* La barra rigida CD de la figura P5-118 esta horizontal y las barras A y B estan libres de esfuerzos antes de aplicar la carga P. La barra A tiene un area transversal de 500 mnr' y esta hecha de una aleacion de aluminio que tiene un limite de proporcionalidad de 330 MPa y un modulo de elasticidad de 73 GPa. La barra B tiene un area transversal de 750 mm2 y esta hecha de acero con bajo contenido de carbon (elastoplastico) que tiene un limite de proporcionalidad y punto de fluencia de 275 MPa y un modulo de elasticidad de 210 GPa. Determine: a. Los esfuerzos normales en las barras A y B despues de aplicar la carga P. b. EI esfuerzo cortante en el seguro de 30 mm de diametro en C, que esta a cortantedoble. . . .. c. El esfuerzo cortante maximo en las barras A y B. d. El desplazamiento vertical (deflexion) del seguro D.
p
Figura P5-119 5-120 La barra A de la figura P5-119 esta hecha de una aleaci6n de alurninio que tiene un limite de proporcionalidad de 380 MPa y un m6dulo de elasticidad de 72 GPa. Las barras B estan hechas de acero estructural (elastoplastico) que tiene un limite de proporcionalidad y un punto de fluencia de 250 MPa y un modulo de elasticidad de 200 GPa. Todas las barras tienen una secci6n transversal rectangular de 60 X 25 mm. Para L = 900 mm, determine: a. Losesfuerz()snormales.en las barras A y B despues de aplicar una carga P de I 110 kN. b. El desplazamiento vertical (deflexion) del seguro C producido por la carga de 1 110 kN. Problemas Dificiles
B
Im 1.5
A
1 2.0m
c ~ 1.5ill ---c~*---2.5~ -41.0
m
5-121* La barra A de la figura P5-I21 esta hecha de una aleaci6n de aluminio con un limite de proporcionalidad de 55 klbpulg" y un modulo de elasticidad de 10 500 klb/pulg'. La barra B esta hecha de acero estructural (elastoplastico) con un limite de proporcionalidad y un punto de fluencia de 36 klb/pulg' y un modulo de elasticidad de 29 000 klb/pulg'. Ambas barras tienen una seccion transversal rectangular de 1.5 X 1.0 pulg. Determine:
p= 160kN
Figura P5-118
5-119 Las tres barras mostradas en la figura P5-119 estan hechas de un acero estructural que tiene un limite de proporcionalidad y un
a. Los esfuerzos normales en las barras A y B despues de aplicar una carga P de 50 klb. b. El desplazamiento vertical (deflexi6n) del segura D producido por la carga de 50 klb.
;." ~ ./') ~.
PROBLEMAS
El esfuerzo cortante en el seguro de 1.00 pulg de diametro en C, que esta a cortante doble. d. El esfuerzo cortante maximo en las barras A y B.
I ~6 pulg
I
Rfgida
I
a. El esfuerzo normal en cada una de las barras despues de aplicar una carga P de 40 klb. b. El esfuerzo normal en cada una de las barras despues de aplicar una carga P de 60 klb. c. El desplazamiento vertical (deflexi6n) de C despues de aplicar una carga P de 65 !db.
r·
10 pulg
3
-+- 9 puig---1pulg
p
Figura P5-121 5-122* Las tres barras mostradas en la figura P5-122 estan hechas de acero estructural que tiene un limite de proporcionalidad y un punto de fluencia de 240 MPa y un modulo de elasticidad de 200 GPa. Todas las barras tienen una seccion transversal rectangular de 75 X 25 mrn y tienen 4 m de longitud. Determine: a. La carga maxima P que la estructura soportara si se supone un comportamiento elastoplastico (algunas veces Hamada la carga limite). b. EI desplazamiento del seguro D cuando se alcanza el punto de fluencia en la ultima barra para cambiar de comportamiento elastico a plastico, c. La deflexion maxima del seguro D si comienza el endurecimiento de la deformacion unitaria cuando el nivel de deformaci on unitaria en una barra alcanza 0.015 m/m.
237
c
A
l~
B
p
Figura P5-123 5-124 El ensamblaje mostrado en la figura P5-124 consta de un cilindro A de acero que tiene un diametro interior de 160 mm y un espesor de pared de 15 mrn, una placa de asiento rigida Cy una barra B de aleacion de aluminio que tiene un diametro exterior de 50 mm. La aleacion de aluminio tiene un limite de proporcionalidad de 430 MPa y un modulo de elasticidad de 73 GPa. El acero (elastoplastico) tiene un limite de proporcionalidad y punto de fluencia de 275 MPa y un modulo de elasticidad de 210 GPa. Determine: a. El esfuerzo normal en el cilindro A y en la barra B despues de aplicar una carga P de 2 000 kN. b. El esfuerzo normal en el cilindro A y en la barra B despues de aplicar una carga P de 3 000 kN. c. El desplazamiento horizontal de la placa de asiento producido por la carga P de 3 000 kN.
r, k [
"
k
,'"', L,
l
t,
t, ,'"',
h
l, ~'"',
t
p
Figura P5-122 5-123 La barra rigida CD de la figura P5-123 esta horizontal y las barras A y B estan libres de esfuerzos antes de aplicar la carga P. La barra A tiene un area transversal de 2.00 pulg' y esta hecha de una aleacion de aluminio que tiene el diagrama de esfuerzo-deformacion unitaria mostrado en la figura 5-29b. La barra B tiene un area transversal de 2.5 puli y esta hecha de acero con bajo contenido de carbon (elastoplastico), que tiene un li-
mite de proporcionalidad y punta de fluencia de 36 ldb/pulg2 y un modulo de eiasticidad de 30 000 ldb/puli. Determine:
Figura P5-124 Problemas de Computadora C5-125 Un perno de 3/4 de pulg de diametro atraviesa un manguito, como se muestra en la figura C5-l25a. A medida que la tuerca se aprieta, avanza una distancia de 0.125 pulg a 10 largo del perno por cada vuelta completa de la tuerca. EI perno esta hecho de acero consbajo contenido de carbon (que se supone
238
CAPIruLO 5
APLICACIONES DE CARGA AXIALY RECIPIENfES A PRESION
elastoplastico) con un limite de proporcionalidad y un punto de fluencia de 40 klb/pulg'' y un modulo de elasticidad de 30 000 klb/pulg", El manguito tiene un area transversal de 0.40 pulg2 y esta hecho de una aleacion de aluminio con el diagrama de esfuerzo-deformacion unitaria mostrado en las figura CS-12Sb. Calcule y grafique 10 siguiente: a.Los esfuerzos axiales Ust (en el perno de acero) Y Ual (en el manguito de aluminio) como funciones del angulo de giro () de la tuerca (00 ::;: e « 2100). b. Los alargamientos Ost (del perno de acero) Y Ual (del manguito de aluminio) como funciones del angulo de giro e de la tuerca (0° ::;: e::;: 210°). c. La distancia L entre las dos rondanas como una funcion del angulo de giro e de la tuerca (0° ::;: e::;: 210°). 1 pulg
--1 ~
10 pulg
-------1
r-
1 pulg
C5-126 La barra rigida CDE de la figura C5-126 esta horizontal y las barras A y B estan libres de esfuerzos antes de aplicar la carga P. La barra A tiene un area transversal de SOO mm2 y esta hecha de una aleacion de aluminio que tiene un limite de proporcionalidad de 330 MPa y un modulo de elasticidad de 73 GPa. La barra B tiene un area transversal de 750 mnr' y esta hecha de un acero con bajo contenido de carbon (elastoplastico) que tiene un limite de proporcionalidad y un punto de fluencia de 27S MPa y un modulo de elasticidad de 210 OPa. Calcule y grafique 10 siguiente: a. Los esfuerzos axiales UA (en la barra de aluminio) Y UB (en la barra de acero) como funciones de la carga P (0 kN ::s P::;: 260 kN). b. Los alargamientos OA (de la barra de aluminio) y OB (de la barra de acero) como funciones de la carga P (0 kN ::;:P ::s 260 kN).
1 J
Rigida (a)
1
60 N
co
"3 ~ 40
250mm
B
~.
500 nun
A
:i2 0 N •...
.a C1)
20
~'"
W 150 mm 0.002
0.004
0.006
0.008
l--
-r-,
300 nun
0.010
~
p
Deformacion unitaria, pulg/pulg
Figura C5-125
~
Figura C5-126
~ ~
5-9 RECIPIENTES A PRESION DE PARED DELGADA
~
Un recipiente a presion se Ie llama de pared delgada cuando la relacion entre el espesor de la pared y el radio del recipiente es tan pequefia que la distribucion del esfuerzo normal sobre un plano perpendicular a la superficie del recipiente es esencialmente uniforme a 10 largo de todo el espesor del recipiente. En realidad, este esfuerzo varia desde un valor maximo en la superficie interior hasta un valor minimo en la superficie exterior del recipiente, pera puede demostrarse que si el cociente del espesor de la pared entre el radio interno del recipiente es menor que 0.1, el esfuerzo normal maximo es menor que el 5 por ciento adicional al promedio. Normalmente, se analizan como elementos de pared delgada a los calentadores, los tanques de almacenamiento de gas, las tuberias, las ruedas de metal y los zunchos. Los barriles de las armas de fuego, ciertos recipientes a alta presion en la industria de procesamiento quimico y los cilindros y tuberias para prensas hidraulicas pesadas deben tratarse como recipientes de pared gruesa. Los problemas que consideran recipientes de pared delgada sujetos a una presion p de un Jiquido (0 un gas) se resuelven rapidamente con la ayuda de diagramas de cuerpo libre de
~ ~ ~ ~ /""'\
/"'\
~ ,-" ""
"\
secciones de los recipientes junto con el fluido contenido ahi. En las siguientes subsecciones, se consideran cascarones de revoluci6n esfericos, cilindricos y otroscascarones
'----;
delgados.
t1
.,
~
5-9 RECIPIENfES A PRESION DE PARED DELGADA
Figura 5-3u Esfera Horton para almacenamiento de gas en Superior, Wisconsin (cortesia de Chicago Bridge and Iron Co., Chicago, Ill.). 1. Recipientes esfericosa presion. En la figura 5-30 se muestra un recipiente esferico a pre-
sion, de pared delgada, comun, que se usa para el almacenarniento de gas. Si se desprecian los pesos del gas y del recipiente (una situacion comun), la simetria de las cargas y de la forma geometrica requieren que los esfuerzos en las secciones que atraviesan el centro de la esfera sean iguales. Asi, sobre el pequefio elemento mostrado en la figura 5-31a,
Aun mas, no hay esfuerzos cortantes en ninguno de estos pianos porque no hay cargas que 10s induzcan. La componente del esfuerzo normal en una esfera se conoce como esfuerzo meridional 0 axial, y comunmente se Ie denota como U m 0 Ua'
z
(a) Figura 5-31
(b)
239
240
CAPITIJLO 5
APLICACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION
El diagrama de cuerpo libre que se muestra en la figura 5-31b puede usarse para evaluaral esfuerzo o; = uy = a; = Ua en terminos de la presion p, as! como el radio r y el espesor t del recipiente esferico. La fuerza R es la resultante de las fuerzas intemas que actuan sobre el area transversal de la esfera que esta expuesta cuando se hace pasar un plano a traves del centro de la esfera. La fuerza P es la resultante de las fuerzas del fluido que actuan sobre el fluido que permanece dentro del hemisferio. Haciendo una suma de fuerzas en la direcci6n x, se tiene
R-P=O o de donde pr
U =a 2t
(5-7)
2. Recipientes cilindricos a presion. En la figura 5-32 se muestra un recipiente cilindrico a presi6n de pared delgada, cormin, que se usa para almacenar gas. Los esfuerzos normales, como aquellos que se muestran en el pequefio elemento de la figura 5-33a, son faciles de evaluar con el uso de diagramas apropiados de cuerpo libre. El componente del esfuerzo normal en un plano transversal se Ie conoce como esfuerzo axial 0 meridional, y comunmente se le denota como Ua 0 Urn. La componente del esfuerzo normal en un plano longitudinal se le conoce como esfuerzo de zuncho, tangencial, 0 circunferencial y se denota como Uh, a, 0 a.. No hay esfuerzos cortantes ni en los pIanos transversales ni en los longitudinales. El diagrama de cuerpo libre que se usa para determinaciones del esfuerzo axial es similar a la figura 5-3\b que se uso para la esfera y los resultados son los mismos. EI diagrama de cuerpo libre que se usa para la determinaci6n del esfuerzo de zuncho se muestra en la figura 5-33b. La fuerza P; es la resultante de las fuerzas del fluido que acman sobre el fluido que queda dentro de la parte del cilindro aislada por el plano longitudinal y dos pianos transversales. Las fuerzas Q son la resultante de las fuerzas intemas en el area transversal expuesta por el plano longitudinal que contiene al eje del cilindro. Haciendo una suma de fuerzas en la direcci6n x, se tiene 2Q - P; = 0
Figura 5-32 Tanques cilindricos para almacenamiento de gas en Northlake, Illinois (cortesia de Chicago Bridge and Iron Co., Chicago, Ill.).
-.. \
'
5-9 RECIPIENTES A PRESION DE PARED DELGADA
(a)
(b)
Figura 5-33
o
de donde (5-8a) Tambien (vease la ecuacion 5-7), "'"'
a
,t"'"'z
;
~
"
i~ r"'\ ,"""\
,
-
"
,~ """\
"""\
i j
"""\
" "
pr 2t
cr =-
(5 -8b)
EI analisis previo de los esfuerzos en un recipiente cilindrico sujeto a presion interna uniforme indica que el esfuerzo en un plano longitudinal es el doble del esfuerzo en un plano transversal. En consecuencia, una junta longitudinal requiere tener el doble de resistencia que una junta transversal (0 junta de banda). Adernas de la presion interna, el recipiente esta sujeto a una carga axial, los esfuerzos normales pueden encontrarse superponiendo los esfuerzos normales debidos a la presion interna y los esfuerzos normales debidos a la carga axial. Esto se ilustra en el problema de ejemplo 5-17. 3. Cascarones delgados de revolucien. EI analisis en las dos subsecciones previas se limito a recipientes cilindricos y esfericos de pared delgada bajo presion interna uniforme. La . teoria puede ampliarse para incluir otras formas y otras condiciones de carga. Considerese, por ejemplo, el cascaron delgado de revolucion mostrado en la figura 5-34. Estos cascarones se generan al hacer girar una curva plana, Hamada el meridiana, alrededor de un eje que se encuentra situado en el plano de la curva. Las formas que pueden generarse de esta manera incJuyen la esfera, el hemisferio, el toro (la dona), el cilindro, el cono y el elipsoide. En los cascarones de revolucion, los dos principales esfuerzos desconocidos son un esfuerzo meridional o.; que aetna en un plano perpendicular al meridiano y un esfuerzo tangencial a, que acnia en un plano perpendicular a un paralelo. Ambos esfuerzos se muestran en el pequefio elemento de la figura 5-34. Los dos esfuerzos pueden evaluarse usando dos ecuaciones de equilibrio. El pequefio elemento de la figura 5-34 se muestra mas grande en la figura 5-35. EI elemento tiene un espesor uniforme, esta sujeto a una presion intema p y tiene diferentes curvaturas en dOSdirecciones ortogonales. En el diagrama se muestran las fuerzas resultantes sabre las diferentes superficies. Haciendo suma de fuerzas en la direcci6n n se obtiene
Meridiano
Figura 5-34
241
-a., """'\
242
CAPITuLO 5
APLiCACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION """'\
"""'\
"""'\
"""'\
Figura 5-35
de donde
y ya que, para angulos pequefios, sen dO (Tm
r;
+
== dO,
la ecuacion anterior se convierte en
(Tt
= P
r,
t
(5-9)
Ya que la ecuacion (5-9) contiene dos esfuerzos no conocidos, se necesita una ecuacion independiente adicional. Esta ecuacion puede obtenerse considerando el equilibrio de una parte del recipiente arriba 0 debajo del paralelo que pasa por el punto de interes, La aplicacion de la ecuacion 5-9 se ilustra en el problema de ejemplo 5-18.
Problema de Ejemplo 5-16· Un recipiente cilindrico a presion con un diametro interior de 1.50 m se construye con una espiral envolvente de placa de acero de 15 rom de espesor y juntando con soldadura a tope las orillas que se ajustan de la placa, como se muestra en la figura 5-36a. Las costuras de la soldadura a tope forman un angulo de 30° . con respecto a un plano transversal que atraviesa al cilindro. Determine el esfuerzo normal (Tn perpendicular a la soldadura y el esfuerzo cortante Tnt paralelo a la soldadura cuando la presion intema en el recipiente es de 1 500 kPa.
n (a)
Figura 5-36
(b)
(c)
'")
1
5-9 RECIPIENTES A PRESION DE PARED DELGADA
243
SOLUCION EI esfuerzo de zuncho (Th y el esfuerzo axial eI uso de las ecuaciones 5-8a y 5-8b. Asi,
=- =
1 500(103)(0.75) 0.015
= 75.0(10
(T
=-=
pr 2t
1 500(103)(0.75) 2(0.015)
= 37.5(10 ) N/m
t
6
) N/m
2
= 75.0 MPa
a
3l, ~
en el cilindro pueden determinarse con
(Th
pr
\.-
(Ta
6
2 = 37.5 MPa
EI esfuerzo normal a.; perpendicular a la soldadura y el esfuerzo cortante Tnt paralelo a la soldadura pueden determinarse usando las ecuaciones de transformaci6n de esfuerzos 2-12 y 2-13. Los esfuerzos para usarse en estas ecuaciones son: (Tx = (Ta =
+37.5 MPa
(Ty = (Th =
+75.0
MPa
Y
Txy =
0
El angulo () para el plano paralelo a la soldadura es de -30°, como se muestra en la figura 5-36b. Asi, de las ecuaciones 2-12 y 2-13, se obtiene (Tn
=
(Tx
cos2 () +
(Ty
= 37.5 cos2(-300) = 46.875
sen2 () +
2Txy
sen () cos
+ 75.0 sen2(-300)
e
+ 0
MPa ~ 46.9 MPa (T)
= -(37.5
- 75.0) sen(-300)
= -16.238
MPa ~ -16.24
Respuesta
cos(-300)
+ 0
MPa
Respuesta
EI signa negativo indica que la direccion delesfuerzo cortante Tnt es opuesto al mostrado en la figura 5-36a. Altemativamente, los esfuerzos (Tn Y Tnt pueden determinarse usando el diagrama de cuerpo Iibre mostrado en la figura 5-36c. Haciendceuna suma de fuerzas en la direccion n, ~
(Tn
..
dA - 37.5 dA cos 30° cos 30° - 75 dA sen 30° sen 30° = 0
de donde (Tn
= 46.88 MPa ~. 46.9 MPa(T)
Respuesta
Haciendo una suma de fuerzas en la direccion t, se obtiene 'Tnt
dA - 37.5 dA cos 30° sen 30° + 75 dA sen 30° cos 30°
=
0
de donde Tnt
= -16.238
MPa
"'=
-16.24
MPa
Respuesta
Problema de Ejemplo 5-17 EI tanque cilindrico a presion mostrado en la figura 5-37a tiene un diametro interior de 4 pies y un espesor de pared de 3/4 de pulg. La presion en el tanque es de 400 lb/pulg", Se aplica una carga axial adicional de 30 000Ib al :..extremo superior del tanque a traves de una placa de asiento rigida. Determine los esfuerzos ax, ay Y Txy sobre un elemento sujeto a esfuerzos en el punto A que se encuentra en la superficie exterior del tanque.
~ Las direcciones longitudinal y de zuncho son direcciones principales, y estas superficies estan libres del esfuerzo cortante. Sin embargo, la costura de la soldadura (y cualquier otra superficie que no este alineada con las direcciones axial 0 de zuncho) estara sujeta tanto a un esfuerzo normal como a un esfuerzo cortante.
244
CAPITULO 5
APLICACIONES DE CARGAAXIALY RECIPIENTES A PRESION 30 000 Ib
Placa rigida 6 140 Ib/puIg2
(b)
(a) Figura 5-37 .
SOLUCION Los esfuerzos en el elemento A se deben a los efectos combinados de la presion intema y de la carga axial. La presion intema produce esfuerzos normales de tension (de zuncho yaxial) (Th = (Tx Y (Ta = (Ty- La carga axial produce un esfuerzo normal de compresion (Ty. No hay esfuerzos cortantes en pianos transversales 0 longitudinales. Ya que el elemento A se encuentra sobre la superficie extema del tanque, esta sujeto a un estado plano de esfuerzos. Esfuerzos debidos a la presion intema: (T
x
= _
(Ty -
pr
(T
h
= -t
=
400(2)(12) 0.75
_ pr _ 400(2)(12) (Ta -
2t -
2(0.75)
r
= 12 800 lb/pulg ' (T)
.-"
_ - 6 400 Ib/pulg
2
(T)
Esfuerzos debidos a la carga axial:
(Ty
. P A
=
=
-30000
(17"/4)(49.52 _ 482)
=
2
-261.2Ib/pulg
2
= 261.21b/pulg
(C)
Los esfuerzos (Tx Y (Ty en el punto A, obtenidos por la superposicion de .los resultados para las dos formas de carga, son: .
a; = 12 800 lb/pulg" (T) (Ty
= 6 400 - 261.2 = 6 138.8 lb/pulg''
Respuesta
==
6 1401b/pulg2
(T)
Respuesta
Estos resultados se muestran en el elemento sujeto a esfuerzos de la figura 5-37b.
Problema de Ejemplo 5-18 Un recipiente a presion de placa de acero de 114 de pulg tiene la forma de un paraboloide cerrado por una placa plana gruesa, como se muestra en la figura 5-38a. La ecuacion de la parabola generatriz es y = x?/4, donde x y y estan en pulgadas. Determine los esfuerzos meridional y tangencial a.; Y a, sobre el cascaron, en un punto ubicado 16 pulg arriba del fondo del recipiente, debidos a la pre-
.
$.6n interna de un gas de 250 lb/pulg' .
,
'"
5-9 RECIPIENTES A PRESION DE PARED DELGADA a dP X=8PUlg~dF r
.•.•.•.--..--'....
T
t=
4 14
--=:::::::J.l
± de pulg
36 pulg
{it
1
.~
z
x
(a)
(b)
Figura 5-38
SOLUCION J, .~
...
,t~
..
4."
Determinacion de U m: EI esfuerzo meridional (Tms que debe ser tangente aI cascaron, puede detenninarse con la ayuda del diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura 5-38b. Este diagrama de cuerpo libre representa una delgada rebanada del recipiente y del gas, omitiendo las fuerzas que son perpendiculares a la rebanada. A partir de la ecuacion de la parabola, se detennina el radio x y Ia pendiente del cascaron dy/dx, en y = 16 pulg, siendo iguales a 8pulg y 411, respectivamente. Haciendo la suma de fuerzas en la direccion y, se obtiene
-J
-P1rx?
I
dF cos a
=0
(Tm21rxtcos a
=0
dP +
Ap
ACT
+
.,
Al substituir las variables par los datos dados s~ obtiene
-250( 1T)(82) + (Tm(21T)(8)(l/4)(4/Vi7)
=0
de donde (Tm = 4 123 Ib/pulg/ ::: 4 1201b/puli
(T)
Respuesta
Determinacion de ut: Con objeto de encontrar a, a partir de la ecuacion 5-9, deben determinarse los radios rm y r, en el punto. EI radio de curvatura r m del cascaron en el plano xy se detennina a partir de la expresi6n:
y el radio perpendicular rt se encuentra a partir de la forma geometrica de la figura 5-38b
como
r, = 8(VT7/4)
= 8.246 pulg
245
,246
CAPITULO 5
APLICACIONES DE CARGA AXIALY RECIPIENTES A PRESION
Entonces, de la ecuacion 5-9 se obtiene
£= t 250 114
(Tm
+
r;
(Tt
r,
4 123 140,19
+~
8.246
..-..,
de donde a, = 8 003 lb/pulg''
==
8 000 lb/pulg'' (T)
Respuesta
1
PROBLEMAS
Problemas
Introductorios
5-127* Un tanque esferico de almacenamiento de gas, similar al mostrado en la figura 5-30, tiene un diametro de 35 pies y un espesor de pared de 7/8 de pulg. Determine el esfuerzo normal maximo en el tanque si la presion del gas es de 100 lb/pulg''. 5-128* Determine el esfuerzo normal maximo en una pelota de basquetbol de 300 mm de diametro que tiene un espesor de pared de 2 mm despues que ha sido inflada a una presion de 100 kPa. 5-129 Un recipiente esferico a presi6n, similar al mostrado en la figura 5-30, tiene un diametro exterior de 40 pies, un espesor de pared de 2 pulg y esta hecho de acero estructural (vease el apendice B para consultar las propiedades). Si la presion interna es de 200 lb/pulg'', determine el factor de seguridad con respecto a la falla por fluencia. 5-130 Un tanque cilindrico para propano, similar a los mostrados en la figura 5-32, tiene un diametro exterior de 3.25 my un espesorde pared de 22 mm. Si el esfuerzo de zuncho admisible es . ·delOOMPa yelesfuerzoaxialadmisible es de 45 MPa, determine la presion interna maxima que puede aplicarse al tanque. 5-131* Se usara una tuberia de acero con un diametro interior de 10 pulg para transmitir vapor bajo una presion de 800 lb/pulg". Si el esfuerzo de zuncho en la tuberia debe limitarse a 10 ldb/ pult debido a una soldadura longitudinal en la tuberia, determine el espesor minimo satisfactorio para .la tuberia.
en el calentador deben limitarse a 15 ldb/pulg2 y 8 klb/pulg/, respectivarnente, determine el espesor de la placa de acero requerida si la presion interna en el calentador sera de 200 lb/pulg", 5-134 . Un calentador cilindrico con un diametro exterior de 3 m y un espesor de pared de 50 mm esta hecho de acero estructural (vease el apendice B para consultar las propiedades). Determine la presi6n maxima admisible si se especifica un factor de seguridad de 2.75 con respecto a la falla por fluencia. Problemas
Intermedios
5-135* Se construye un deposito regulador de 12 pies de diametro y 50 pies de altura para usarse como tanque de almacenamiento de agua ( y = 62.4lb/pie3). Determine el espesor minimo de la placa de acero que puede usarse si el esfuerzo de zuncho en el deposito regulador debe limitarse a 5 000 lb/pulg". 5-136* El tanque cilindrico mostrado en la figura P5-136 tiene 20 m de diametro, esta hecho de acero estructural (vease el apendice B para consultar las propiedades) y se usara para almacenar aceite para estufa (p = 850 kg/m'). Determine el espesor minimo de pared requerido, si se especifica un factor de seguridad de 3:00 con respecto a la falIa por fluencia.
..
5-132* Un cascaron esferico, similar al mostrado en la figura 5-30, se disefia para almacenar gas a una presion de 400 kPa. El cascaron sera fabricado de placas de acero estructural (vease el apendice B para consultar 1as propiedades) y tendra un diametro exterior de 7 m. Si se especifica un factor de seguridad de 3 con respecto a la falIa por fluencia, determine el espesor minimo de la placa que sera. satisfactorio para disefiar el cascaron.
5-133 Un calentador cilindrico con extremos hemisfericos tiene un diametro exterior de 6 pies. Si 10s esfuerzos de zuncho
y
axial
Figura
P5-136
PROBLEMAS
5-137 Un recipiente esferico a presion esta' hecho de aluminio 2024-T4 (vease el apendice B para consultar las propiedades). El diametro exterior del recipiente es de 40 pulg y el espesor de pared es de 1.00 pulg, Cuando la presion intema del recipiente es de 400 lb/pulg", determine: a. El esfuerzo normal es un punto sobre la superficie exterior. b. Las deformaciones unitarias normales en un punto sobre la superficie exterior. c. Las deformaciones unitarias normales en un punto sobre la superficie interna.
247
P5-141 son E] =619 ILPulg/pulg Y E2 = 330 ILPulg/pulg. El angulo 8 = 30°. El diametro exterior del recipiente es de 20 pulg y el espesor de pared es de 1/8 de pulg. El recipiente esta hecho de acero rolado en caliente con 0.4 por ciento de contenido de carbon (vease el apendice B para consultar las propiedades). Determine: a. Los esfuerzos 0"] y 0"2 en el recipiente, b. La presion intema aplicada al recipiente. c. EI factor de seguridad con respecto a la falIa por fractura basado en el esfuerzo de zuncho.
5-138 Un recipiente esferico a presion de 3 m de diametro se disefia para resistir una presion intema maxima de 500 kPa. El material que se usa en su construccion tiene una resistencia elastica de 430 MPa, un modulo de elasticidad de 210 GPa y una relacion de Poisson de 0.30. Si se especifica un factor de seguridad de 4.00 con respecto a la falIa por fluencia, determine: a. El espesorde pared mmimo satisfactorio. b. La deformacion unitaria normal circunferencial a presion maxima cuando se usa el espesor de pared del inciso a). c. EI cambio de diametro del recipiente a presion sujeto a presion maxima cuando se usa el espesor de pared del inciso a). 5-139 Un tanque cilindrico, similar al mostrado en la figura 5-32, tie-· ne un diametro exterior de 8 pies y un espesor de pared de 3/4 de pulg. EI tanque esta sujeto a una presion interna de 150 lb/pulg", a. Determine los esfuerzos axial y de zuncho en el tanque. b. Prepare una grafica, similar a la figura 2-16, que muestre las variaciones de los esfuerzos normal y cortante en pIanos que pasen por un punta en la pared del tanque, a medida que el angulo 8, medido en el sentido contrario al de las manecillas del reloj a partir de un plano transversal, varia de 0° a 90°. 5-140* Un calentador de acero de 1 m de diametro se suelda usando una costura espiral que forma un angulo de 30° con respecto a un plano transversal del calentador, como se muestra en la figura P5-140. Para una presion interna de 950 kPa y un espesor de pared de 50 rom, determine:
Figura P5-141 5-142* Un recipiente cilindrico a presion se fabrica soldando a tope una placa de 20 mm con una costura espiral, como se muestra en la figura P5-142. La presion en el tanque es de 2 800 kPa y se aplica una carga axial de 130 kN en el extremo del tanque, a traves de una placa de asiento rigida. Determine: a. El esfuerzo normal perpendicular a la soldadura. b. EI esfuerzo cortante paralelo a la soldadura. c. EI esfuerzo cortante maximo en un punto en la superficie exterior del recipiente, d. EI esfuerzo,~ cortante maximo en un punto en la superficie interior del recipiente. 130kN
a. El esfuerzo normal perpendicular a la soldadura. b. EI esfuerzo cortante paralelo a lacostura, c. El esfuerzo cortante maximo en el calentador.
Figura P5-140 Figura P5-142 'Problemas Dlficlles Las defonnaciones unitarias medidas en la superficie ex. terior del recipiente cilindrico a presion mostrado en la figura
5-143 Un tanque hemisferico de radio r y espesor testa sostenido por bridas, como se muestra en la seccion transversal de la figura P5-143. EI tanque est! lleno con un fluido que tiene un pe-
e
248
CAPITULO 5
APLiCACIONES DE CARGA AXIALY RECIPIENTES A PRESION
so especifico y. Determine, en terminos de ,)" r y t, los esfuerzos meridional y tangencial a.; Y o, para un tirante y = r/2. Nivel del fluido
Determine los esfuerzos axial y de zuncho (Ta Y (Th en los puntas A y Ben el plano horizontal de simetria del cascaron en terminas de p, R, r y t. Sugerencia: el esfuerzo de zuncho (Th en el punto A puede determinarse usando un cuerpo libre que conste de un cuarto del cascaron, como la parte rayada en la seccion transversal que se muestra en la figura PS-146.
y
Figura PS-143
5-144 Una reducci6n en una tuberia (vease la figura P5-144) tiene un espesor de pared de 4 mm. Suponga que los pernos de la brida en el extremo de 150 mm absorben la totalidad del empuje en el extremo (no haycompresion en la brida del extrema de 75 mm). La tuberia esta bajo una presion hidraulica estatica de 420 kPa. Determine los esfuerzos axial y de zuncho (Ta Y (Th en un punto ubicado a la mitad de la tuberia, entre las bridas.
I
150mm
L
Figura P5-146 Problemas de Computadora C5-147 Un tanque cilindrico a presion de 4 pies de diametro se fabrica soldando a tope una placa de 3/4 de pulg con costura espiral, como se muestra en la figura CS-147. La presion en el tanque es de 200 Ib/pulg2 y se aplica una carga axial de 30 000 lb al extremo del tanque a traves de una placa de asiento rigida. Calcule Y grafique el esfuerzo normal perpendicular a la soldadura y el esfuerzo cortante paralelo a la soldadura como funciones del angulo de costura () (0° ::; ()::; 60°).
~300mm--J
Figura PS-144
5-145* EI frasco cerrado de vidrio de la figura PS-14S tiene 1a forma de un hiperboloide de revolucion. La ecuacion de la curva generatriz es X2 = 1/4 + l, donde x Y y estan en pulgadas. EI espesor de la pared es de 0.02 pulg y la presion interna es de 2 lb/pulg'', Determine los esfuerzos meridional y tangencial ~ m Y a, para unpunto en el cual 1pulg, . .. .. ... . .
y ,;"
y
Figura CS-147 x
Figura P5-145 5-146 Se aplica una presion intema p al cascar6n toroidal de pared delgada (dona presurizada) mostrado en la figura P5-146.
C5-148 Un tanque cilindrico a presion de 1 200 mm de diametro se fabrica soldando a tope una placa de 20 mm con una costura espiral, como se muestra en la figura C5-147. Se aplica una carga axial de 130 kN al extremo del tanque a traves de una placa de asiento rigida. Si el angulo de la costura es () = 37°, calcuIe y grafique el esfuerzo normal perpendicular a la soldadura y el esfuerzo cortante paralelo a 1a soldadura, como funciones de la presion intema p (10 kPa ::; p ::; 2 800 kPa). a
;-10
RECIPIENTES CILINDRICOS A PRESI6N DE PARED GRUESA
5-10 RECIPIENTES CILINDRICOS A PRESION DE PARED GRUESA El problema de la determinacion del esfuerzo tangencial a, Y del esfuerzo radial a; en cualquier punto de la pared de un cilindro de pared gruesa, en terminos de las presiones aplicadas al cilindro, fue resueIto por el especialista en elasticidad, el frances G. Lame, en 1833. Los resultados pueden aplicarse a una amplia variedad de situaciones de disefio que incluyen recipientes cilindricos a presion, cilindros hidraulicos, sistemas de tuberias y aplicaciones de ajuste por contraccion y ajuste a presion. Considerese un cilindro de pared gruesa que tiene un radio interior a y un radio exterior b, como se muestra en la figura 5-39a. EI cilindro esta sujeto a una presion intema Pi y a una presion extema Po. Para propositos de analisis, puede considerarse que el cilindro de pared gruesa consta de una serie de anillos delgados. En lafigura 5-39a se muestra con lineas discontinuas un anillo comun ubicado a una distancia radial p a partir del eje del cilindro y que tiene un espesor dp. Como resultado de las cargas de presion intemas y extemas, se desarrollaria un esfuerzo radial o; en la interfase entre los anilIos ubicados en la posicion radial p, mientras que se generaria un esfuerzo radialligeramente diferente (o, + d(Tr) en la posicion radial (p + dp). Estos esfuerzos estarian uniformemente distribuidos sobre las superficies intema y extema del anillo, como se muestra en la figura 5-39b. No se produciran esfuerzos cortantes en las superficiesintema y extema del anillo, ya que las cargas de presion no tienden a forzar a los anillos a girar uno con respecto al otro. En la seccion 5-9, donde se analizaron los recipientes a presion de pared delgada, se mostr6 que se genera una componente de esfuerzo tangencial 0 de zuncho cuando existe una diferencia de presiones entre las superficies intema y extema de un cascar6n 0 anillo delgados. Los pIanos sobre los cuales acnian estos esfuerzos tangenciales pueden exponerse considerando solamente una parte pequefia de un anillo, como la que se muestra sombreada en la figura 5-39b. Ya que se supone que el anillo es delgado, se puede considerar que el esfuerzo tangencial a, esta uniforrnemente distribuido par todo el espesor del anillo, A partir d~ las consideraciones de equilibrio puede obtenerse una relacion entre el esfuerzo radial a; y el esfuerzo tangencial a; Un diagrama de cuerpo libre de una pequefia parte de un anillo, .
-~-
(a)
(b)
(c)
Figura 5-39
249
250
CAPITIJLO 5
APLICACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENfES A PRESION
como el mostrado en la figura 5-39c para la parte sombreada de la figura 5-39b, es util para esta determinacion: EI esfuerzo axial am que puede estar presente en el cilindro, ha sido omitido de este diagrama, ya que no contribuye al equilibrio en las direcciones radial 0 tangencial. Se supone que el diagrama de cuerpo libre tiene una longitud dL a 10 largo del eje del cilindro. Haciendo una suma de fuerzas en la direccion radial, se obtiene (rr,
+ dar)(p + dp)de
dL - a.o di) dL - La, dp dL sen
de 2 =0
(a)
Despreciando los terminos de orden superior y observando que para angulos pequefios sen
dOl2 == d012, la ecuacion (a) puede reducirse a: do; P dp +
Ur
-
Ut =
0
(b)
La ecuaci6n (b) no puede integrarse directamente, ya que tanto o; como a, son funciones de la posicion radial p. En casos anteriores, cuando se encontraban estas situaciones estaticamente indeterminadas, el problema se resolvia considerando deformaciones de la estructura. En el caso de un cilindro de pared gruesa, la deformacion unitaria axial Ea en cualquier punto de la pared del cilindro puede expresarse en terminos de am a., Y a, usando la ley de Hooke generalizada (vease la ecuaci6n 4-5). Por tanto, (c)
La suposici6n que normalmente se hace en relaci6n con las deformaciones unitarias en el cilindro de pared gruesa, que ha sido verificada con una medici6n cuidadosa, es que la deformacion unitaria axial es uniforme. Esto significa que las secciones transversales que son planas antes de la carga, permanecen planas y paralelas despues de aplicar las presiones internas y externas. Por 10 que respecta al esfuerzo axial am dos casos son de interes en una amplia variedad de aplicaciones de disefio. En el primer caso, las cargas axiales inducidas por la presion no son soportadas por las paredes del cilindro (aa = 0). Esta situacion se presenta en los canones de las arm as de fuego y en muchos tipos de cilindros hidraulicos, en los cuales los pis tones soportan las cargas axiales. En el segundo caso, las paredes del cilindro soportan las cargas. Esta situaci6n se presenta en recipientes a presion con diferentes tipas de taponamientos 0 cabezas. En este segundo caso, en regiones del cilindro que se encuentran apartadas de los extremos, se ha encontradoque el esfuerzo axial esta uniformemente distribuido en la secci6n transversal. 'Asi, Em Ua, Ey V son constantes para 10s dos casas considerados; por 10 tanto, de la ecuaci6n (c) resulta (d) La constante se toma como 2el par conveniencia en la siguiente demostraci6n. Cuando el valor de a, que proviene de la ecuacion (d) sustituye al de la ecuacion (b), esta ultima ecuaci6n puede escribirse como . du
P_rdp +2u
r
=2C
1
(e)
Si la ecuaci6n (e) se multiplica por p, los terminos antes del signa de igualdad pueden expresarse como
La integracion nos da
5-10 RECIPIENTES CILINDRICOS A PRESION DE PARED GRUESA
donde C2 es una constante de integracion. Asi,
(f) Entonces se obtiene el esfuerzo tangencial o; de la ecuacion (d) como (g)
1
Los valores para las constantes C, y C2 en las ecuaciones (f) y (g) pueden determinarse usando los valores conocidos para las presiones en las superficies interior y exterior del cilindro. Estos valores, normal mente denominados condiciones de frontera, son en en
),
p=a p=b
El signo negativo indica que las presiones (normalmente consideradas como cantidades positivas) producen esfuerzos normales de cornpresion en las superficies sobre las que se aplican. Reemplazando a las variables de la ecuacion (f) con las condiciones de frontera, se obtiene C1
=
a2pi - b2po b2 -a 2
C - _ a2b2(p; - Po) 2 b2 _ a2 .').
~~
Las expresiones deseadas de o; Y a, se obtienen sustituyendo a los valores de C, y C2 de las ecuaciones (f) y (g) con los valores anteriores obtenidos. Asi, se tiene 2
2
2 2
= a p; - b po _ a b (pi-
(J
(J
Po) (b2 _ a2)p2
b2 _ a2
r
2
2
= a pi - b po
t
+
2 2
(5 -10)
a b (pi - Po)
b2 _ a2
(b2 _ a2)p2
. Las deformaciones radiales y circunferenciales op y Oc juegan papeles importantes en todos los problemas de ajuste a presion 0 ajuste por contraccion, EI cambio Oc de la circunferencia del anillo delgado mostrado en la figura 5-39a, cuando se aplican al cilindro las presiones Pi y POl se expresa en terminos del desplazamiento radial op de un punto en el anillo como Oc La deformacio~circunferencial taria tangencial E( como
=
octaIl1bien ~~expresa ente~~os Dc
donde c
= 2'TTp
2'TTDp
de la deformaci6n uni-
=.EtC
es la circunferencia del anillo. Asi,
op = EtP En la mayoria de las aplicaciones que incluyen ajustes por contracci6n, el esfuerzo axial = O. La deformaci6n unitaria tangencial e, puede expresarse en terminos del esfuerzo radial a; Y del esfuerzo tangencial a, usando la ley generalizada de Hooke. Asi, se tiene (Ja
Et
= ((Jt - v(Jr)/E
EI desplazamiento radial de un punto en la pared se obtiene entonces en terminos de los esfuerzos radial y tangencial presentes en el punto, como
(5 -11)
251
252
CAPITULO 5
APLICACIONES DE CARGAAXIALY RECIPIENTES A PRESION
Como se menciono anteriormente, las ecuaciones 5-10 y 5-11 se pueden usar para calcular los esfuerzos y las deformaciones en una amplia variedad de situaciones de diseiio relacionadas con recipientes a presion, cilindros hidraulicos, etcetera. Se usan formas reducidas de estas ecuaciones con suficiente frecuencia como para requerir la consideraci6n de los siguientes casos especiales. Caso 1 (solo presion internal
Si la carga se limita a una presion interna Pi (Po 2
_
a pi
a; - b2
_
0), las ecuaciones 5-10 se reducen a:
=
2
(
a2 I -
b l
)
(5-12) 2
2
_ a pi ( b) at - b2 _ a2 1 + p2 El examen de estas ecuaciones indica que a; siempre es un esfuerzo de compresi6n, mientras que at siempre es un esfuerzo de tensi6n. Ademas, at siempre es mayor que o; y es maximo en la superficie interior del cilindro. Con los valores de o; y at de las dos ecuaciones anteriores, se sustituye a los de la ecuacion 5-11 y se obtiene la ecuaci6n de defermacion aplicable para este caso especial (Po = 0 y aa = 0). Asi, se tiene a
2
Pi
Op = (b2 _ a2)Ep [(1 - v)p
2
+ (1 +
2
v)b ]
(5-13)
Caso 2 (solo presion extern a)
Si la carga esta limitada a una presion externa Po (Pi
=
0), las ecuaciones 5-10 se reducen a:
a= r
(5-14)
En este caso, tanto a; como at son siempre de compresion. EI esfuerzo tangencial siempre es mayor que el esfuerzo radial y asume su valor maximo en la superficie interna del cilindro. Con los valores de a; y at de las dos ecuaciones anteriores, se sustituye a los de la ecuacion 5-11 y se obtiene la ecuacion de deformacion aplicable para este caso especial (Pi = 0 y aa = 0). Asi,
(5 ~15)· . Caso 3 (presion externa sobre un cilindro circular solido)
Los esfuerzos radial y tangencial o; y at y el desplazamiento radial op para este caso especial pueden obtenerse de la expresion definida para el caso 2, haciendo que desaparezca el agujero en el cilindro (a = 0). Asi, se tiene (5-16) y.
(5 -17) El signo negativo en estas ecuaciones indica que ambos esfuerzos son de compresion y que el radio del cilindro se reduce cuando se aplica la presion externa Po. En este caso, los es-
fuerzos son independientes de la posicion radial p la presion aplicada.
y
tienen una magnitud constante igual a
5-10 RECIPIENTES CILINDRICOS A PRESION DE PARED GRUESA
253
Problema de Ejemplo 5-19 Un cilindro de acero (E = 30 000 klb/pulg' y V = 0.30) conun diametro interior de 8 pulg y un diametro exterior de 16 pulg esta sujeto a una presion intema de 15000 lb/pulg', como se muestra en la figura 5-40a. Las cargas axiales inducidas por la presion no son soportadas por las paredes del cilindro (0"a = 0). Determine: a) b) c) d)
El El El El
esfuerzo esfuerzo aumento aumento
maximo de tension en el cilindro. cortante maximo en el cilindro. del diametro interior a medida que se aplica la presion. del diametro exterior a medida que se aplica la presion.
25 000 lb/pulg''
(a)
(b)
Figura 5-40a-b
SOI.UCION ;~
.
a) El esfuerzo maximo de tension en un cilindro de pared gruesa sujeto a una presion intema es el esfuerzo tangencial en la superficie interior del cilindro y esta dado por la ecuacion 5-12 como
2
= 4 82 (15_ 000)(1 + ~) 42 42 .
=
25 OOOlb/ pu Ig2 (T)
Respuesta .
'."
".
b) El esfuerzo cortante maximo tambien se presenta en un punto en la superficie interior del cilindro en un plano inclinado 45° con respecto a una linea radial, como se muestra en la figura 5-40b. El esfuerzo normal minimo para el punto es o; = -Pi = -15 000 Ib/pulg2, ya que el esfuerzo axial O"a = O. Por 10 tanto, de la ecuacion 2-18, se tiene
'tmax I
I I _---_ J./ .r=>;
_ Tmax -
O"max -
2
O"min _
-
25000 - (-15 000) _ 2
I I2
- 20 000 lb pu g
/ I I I
/
'I
Respuesta
\
c,
,
<,
En la figura 5-40c se muestra una representacion de estos resultados con el circulo de Mohr.
---
"\
\
\
o, o
,-,
' ....
c) El desplazamiento radial de un punta en la pared de un cilindro sujeto a presion interna (Po = 0 y O"a = 0) esta dado por la ecuacion 5-13 como (c)
Figura 5-40c
"
I
(ja /
.....
254
CAPITULO 5
APLiCACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION
En la superficie interior, donde p
=
4 pulg,
42(15 000)
_
2
2
0.00787 pulg
Respuesta
Bpi - (82 _ 42)(30 000 000)(4)[(1 - 0.30)(4 ).+ (1 + 0.30)(8 )] =
0.003933 pulg
Por 10 tanto, Wi
= 2Bpi =
2(0.003933)
=
0.007866 pulg
==
d) En la superficie exterior, donde p = 8 pulg, 42(15000)
2
2
Bpa = (82 _ 42)(30 000 000)(8) [(1 - 0.30)(8 ) + (1 + 0.30)(8 )] = 0.002667 pulg
Por 10 tanto,
S I); = 2Bpa = 2(0.002667) = 0.005334 pulg == 0.?0533 pulg
Respuesta
1
PROBLEMAS
Problemas Introducrorios 5-149 Demuestre que para un recipiente cilindrico con un espesor de cascaron (b - a) de un decimo del radio a, sujeto solamente a presion intema, el error cometido al calcular la tension de zuncho a, a traves del metodo de la seccion 5-9 en lugar de la ecuacion 5-12 es, aproximadamente, del 5 por ciento. 5-150* Un recipiente cilindrico a presion de pared gruesa con un diametro interior de 250 mm y un diametro exterior de 40.0 mm esta sujeto a una presion intema de 75 MPa. Determine:" a. EI esfuerzo tangencial a, en un punto de la superficie interior. b. EI esfuerzo tangencial o; en un punto de la superficie exterior. . c. El esfuerzo cortante maximo en el cilindro. . 5-151 * Un recipiente cilindrico a presion de pared gruesa, con un diametro interior de 4 pulg y un diarnetro exterior de 8 pulg, tiene una especificacion de disefio que limita el esfuerzo cortante maximo a 24 000 lb/pulg". Determine la presion interna maxima que puede aplicarse al recipiente. 5-152 Un recipiente cilindrico a presion de pared gruesa con un diametro interior de 200 mm y un diametro-exterior de 300 mm esta hecho de acero endurecido al 0.2% C, e1cual tiene una resistencia de fluencia de 430 MPa. Determine la presion interna maxima que puede aplicarse al recipiente si se requiere un factor de seguridad de 3 con respecto a la falla por fluencia.
a. El esfuerzo cortante maximo en el cilindro. b. Los esfuerzos radial y tangencial en un punto del cilindro que se encuentra a hi mitad entre las superficies interior y exterior. 5-154 Un cilindro de acero con un diametro interior de 200 mm y un diametro exterior de 300 mm esta sujeto a una presion intema de 75 MPa. Determine: a. El esfuerzo maximo de tension en el cilindro. b. EI esfuerzo cortante maximo en un punto del cilindro que se encuentra a la mitad entre las superficies interior y exterior. Problemas Dificiles
5-155* Un canon naval (E = 30 000 klb/pulg'' Y G = 11 600 klb/ pulg'') con un calibre de 16 pulg genera una presion maxima interna de 20 000 lb/pulg'', Determine: a. EI diametro minimo exterior requerido si el esfuerzo maximo de tension permitido en el canon del arma es de 36 000 lb/pulg''. b. EI cambio del diametro interior cuando se dispara el canon si se usa el diametro exterior del inciso a).
5-153* Un cilindro de acero con un diametro interior de 8 pulg y
5-156 Un cilindro de acero con un diametro interior de 50 mm y un diametro exterior de 250 mm esta sujeto a una presion interna de 85 MPa y una presion externa de 30 MPa. Determine la fuerza cincunferencial por unidad de longitud soportada por
un diametro exterior de 14 pulg esta sujeto a una presion inter-
un elemento circular que tenga un diametro interior de 100 mm
na de 25 000 lb/pulg", Determine:
y un espesor de 2S mm.
Problemas
Intermedios
,~ "'7 -~ [ ..
~
h k L,
5-11 AJUSTE POR CONTRACCION
5-11 AJUSTE POR CONTRACCION En la fabricacion de canones de armas de fuego y en muchas otras aplicaciones, con frecuencia se forma un cilindro laminado de pared gruesa al zunchar un cilindro exterior (Ilamado cincho, camisa, 0 casco) sobre un cilindro"interior (con frecuencia llamado el cilindro o el tubo). El proposito de este procedimiento de fabricacion es aumentar la capacidad de carga del ensamblaje, desarrollando un estado inicial de esfuerzo tangencial de compresion en el cilindro interior y un esfuerzo tangencial de tension en el cilindro exterior. Cuando los esfuerzos inducidos par una presion intema se agregan a este estado inicial de esfuerzos, la distribucion de esfuerzos resultante hace un uso mas eficiente del material que la distribucion que existiria sin los esfuerzos iniciales inducidos por el ajuste por contraccion (vease el problema de ejemplo 5-20). La determinacion de los esfuerzos en un cilindro laminado como este requiere la solucion de un problema estaticamente indeterminado que hace uso de deformaciones. Considerese el cilindro laminadode pared gruesa mostrado en la figura 5-41 que ha sido formado al calentar la camisa hasta que pueda deslizarse sobre el tubo. Se requiere calentar la camisa para el ensamble, ya que la camisa tiene un diametro interior que es ligeramente menor que el diametro exterior del tubo. Las secciones delimitadas con linea discontinua en la figura 5-41 ilustran las configuraciones de la camisa y del tubo (muy exageradas) antes de que fueran ajustadas conjuntamente. A medida que la camisa se enfria despues del ensamblaje, se desarrolla una presion de contacto Ps entre las superficies, que produce esfuerzos y deformaciones tanto en la camisa como en el tubo. La diferencia inicial de diametros entre la camisa y el tubo en la superficie de contacto se conoce como la interferencia I. La interferencia se relaciona con las deformaciones radiales de la camisa y el tubo en superficie de contacto por medio de la expresion siguiente:
'~ t L~
h t,
l: .~
:k )
h ~
;k :It. ":1-., ~
..
/" ~.
(a) Las magnitudes de las deformaciones radiales 1011 y I~I pueden determinarse usando las expresiones de deformacion establecidas anteriormente en la seccion 5-10 para los casos especiales 1 y 2. Asi,
y 2
b Ps
. 2
2
1021= (b2 _ a2)Eb [(1 - v)b + (1 + v)a ] Sustituyendo con estos valores a los~orrespondientes de la ecuacion (a), se obtiene (5 -18) o Ps
=
EI( c2 - b2)( b2 - a2) 4b3(C2 _ a2)
(5-19)
La ecuacion 5-18 es un medio para establecer la interferencia que puede tolerarsesin exceder los niveles maximos admisibles de esfuerzo en la camisa 0 en el tuba. Se requiere este tipo de informacion, por ejemplo, cuando se disefian collares de bolas para cojinetes en aplicaciones de ajuste a presion 0 ajuste por contraccion. Por medio de la ecuacion 5-19 se establece la presion entre las superficies que resulta de una cantidad conocida de interferencia. Una vez que se conoce esta presion, pueden establecerse niveles de ajuste par contrac-
cion tanto en la camisa como en el tubo. Los esfuerzos inducidos por la carga en el cilindro laminado se sumaran a los valores de aquellos inducidos por la fabricacion.
Figura 5-41
255
256
CAPITULO 5
APLICACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION
Problema de Ejemplo 5-20 Un cilindro hidraulico laminado de pared gruesa se fabrico haciendo un ajuste por contraccion de una camisa de acero (E = 200 GPa y u = 0.30) que tiene un diametro exterior de 300 mm sobre un tubo de acero con un diametro interior de 100 mm y un diametro exterior de 200 mm. La interferencia fue de 0.15 mm. a) Determine la presion de contacto entre las superficies. b) Determine el esfuerzo maximo de tension en el cilindro laminado que resulta del ajuste por contraccion. c) Determine el esfuerzo maximo de tension en el cilindro laminado despues de aplicar una presion intema de 200 MPa. d) Compare la distribucion de esfuerzos en el cilindro laminado con la distribucion de esfuerzos en un cilindro uniforme para una presion interna de 200 MPa.
SOLUCION a) La presion de contacto entre las superficies (presion de contraccion) puede determinarse usando la ecuacion 5-19. Asi, EI(c2
Ps
=
-
b2)(b2
-
a2)
4b3(C2 _ a2)
2 2 _ 200(109)(0.15)(10-3)(0.1502 - 0.100 )(0.100 2 4(0.1003)(0.1502 - 0.050 ) = 35.156(106) N/m2
== 35.2
-
0.0502)
MPa
Respuesta
b) El esfuerzo maximo de tension que resulta de esta presion de contraccion sent el esfuerzo tangencial a, que se presenta en la superficie interior de la camisa. Este esfuerzo puede determinarse usando la ecuacion 5-12 para el caso de presion intema solamente. Asi, 2
2
_ b ps (, C ) a, - c2 _ b2 1 + b2
:;
_ (0.1002)(35.156)(106) 0.1502 _ 0.1002 =
91.406(106) N/m2
==
2
(
1
+
0.150 ) 0.1002
91.4 MPa(T)
Respuesta
c) Los esfuerzos en el cilindro laminado despues de aplicar la presion intema resultaran tanto de la presion de contraccion como de la presion aplicada. Nuevamente, el esfuerzo maximo de tension sera un esfuerzo tangencial; sin embargo, este puede presentarse en la superficie interior de la camisa 0 en la superficie interior del tubo, dependiendo de las magnitudes de losesfuerzos asociados con las dos cargas de presion. Las ecuaciones 5~12 0 5-14 pueden usarse para cada una de las cargas. Para el tubo, se tiene
a, = Ut(interferencia del tubo) + Ut(cilindro laminado debido apD
=_
2
6
(0.100 )(35.156)(10 ) 0.1002 - 0.0502
2
(1
+
0.050 ) 0.0502
'--.
Q
PROBLEMAS
257
2501\
+
2001··'''\+···············+ + 150~-
i"~+---~-+ __~
i
"
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f················
j
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~:::1f+++-j--I+ 50
75
100
125
75
150
100
125
150
b) Cilindro laminado
a) Cilindro uniforme
Figura 5-42 = -93.75(106) 6
= 156.25(10 )
+ 250.00(106) N/m2 == 156.3 MPa
(T)
Para la camisa: CTt
= CTt(interferencia de la camisa) + CTt(cilindro laminado debido api)
+ =
=
(0.1002)(35.156)(106) 0.1502-0.1002
(1
(0.0502)(200)(106) 0.1502 _ 0.0502
+
2
+
(
1
0.150 ) 0.1002
2 0.150 ) 0.1002
91.41 (106) + 81.25(106) 172.66(106) N/m2 == 172.7 MPa (T)
Asi, CTmax = 172.7 MPa (T) en la superficie interior de la camisa
Respuesta
d) En la figura 5-42 se muestran las distribuciones de esfuerzos radiales Y. tangenciales en el cilindro laminado y en un cilindro uniforme para una presion intema de 200 MPa.
1
PROBLEMAS
-.
Problemas Introductorios 5-157* Se fabrico un cilindro laminado de pared gruesa al ajustar por contraccion una camisa de acero (E = 30 000 !db/pull? y 1J = 0.30), que tiene un diametro interior de 7.992 pulg y un diametro exterior de 12.000 pulg, sobre un tubo de acero con un diametro interior de 4.000 pulg y un diametro exterior de 8.000 pulg. Determine la presion intema maxima que puede
aplicarse al ensamblaje si el esfuerzo tangencial en la superficie interior del cilindro no debe exceder de 30 000 lb/pulg". 5-158* Un cilindro laminado de acero (E := 200 GPa y 1J =0.30) consta de una camisa con un diametro interior de 250 mm y un diametro exterior de 300 mm, que ha sido ajustado por contraccion sobre un tubo con un diametro interior de 150 nun. La presion inicial de contraccion es de 28 MPa. Determine:
258
CAPITULO 5
APLICACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION
a. La interferencia inicial requerida para producir Ps = 28 MPa. b. EI esfuerzo maximo de tension en el cilindro despues de fabricarlo usando la interferencia del inciso a) y estando sujeto a una presion intema de 200 MPa. 5-159 Una camisa debe ajustarse per contraccion sobre un tubo que tiene un diametro interior de 4 pulg y un diametro exterior de 8 pulg. Determine el espesor minimo de la camisa si los esfuerzos maximos de tension en la camisa no deben exceder de 30klb/pulg2 cuando eI cilindro laminado esta sujeto a una presi6n intema de 25 klb/pulg/.
b. La presion iniciaI de contraccion. 5-162 Un cilindro de pared gruesa con un diametro interior de 150 mm se disefio con un espesor de pared minimo para Soportar una presion intema de 105 MPa y para generar un esfuerzo maximo de tension de 175 MPa. Si la presion intema debe duplicarse, (,cuil es el espesor minimo para una camisa ajustada por contraccion que evite que Ia tension maxima en el ensam. blaje exceda de 175 MPa?
Problemas Dificiles
5-160 Una camisa de acero (E = 200 GPa y v = 0.30) que tiene un diametro interior de 150 mm y un diametro exterior de 200 mm, se ajusta por contraccion sobre un tuba que tiene un diametro interior de 100 mm. Si el cilindro laminado se diseiia de modo que el esfuerzo maximo de tension en el tuba sea igual al esfuerzo maximo de tensi6n en la camisa despues de aplicar una presion intema de 165 MPa al ensamblaje, determine: a. La presion de contraccion inicial requerida. b. La interferencia necesaria para producir esta presi6n de contracci6n. Problemas Intermedios
5-161* Un cilindro laminado consta de una camisa con un diametro interior de 8 pulg y un diametro exterior de 12 pulg ajustada por contracci6n sobre un tubo con un diametro interior de 4 pulg. Cuando el cilindro laminado se sujeta a una presion intema de 20 klb/pulg'', el esfuerzo maximo de tension en el tubo es de 20 klb/pulg/. Determine: a. EI esfuerzo maximo de tensi6n en la camisa.
5-163* Un cilindro de acero(E = 30 000 klb/pulg'' Y v =0.30) con un diametro interior de 4 pulg se disefio para resistir un esfuerzo maximo de tension de 20 klb/pulg'' cuando esta sujeto a una presion intema de 12 klb/pulg'', Ahora lapresion intema debe incrementarse a 16 klb/pulg/ sin aumentar el esfuerzo maximo de tension en el cilindro. Si el cilindro debe reforzarse enrollando por un lado alambre de acero de alta resistencia cuadrado de 0.10 pulg, determine: a. La fuerza de tension inicial que debe aplicarse al alambre cuando se le enrolla alrededordel cilindro. b. EI esfuerzo de tension en el alambre cuando se aplica la presion intema de 16 klb/pulg'' al cilindro. . 5-164 Un cilindro laminado de pared gruesa se fabrico al ajustar por contraccion un manguito de acero (E = 200 GPa y u = 0.30) que tiene un diametro interior de 199.800 mm y un diametro exterior de 300 mm sobre un tubo de acero con un diametro interior de 100 mm y un diametro exterior de 200 mm. Determine el esfuerzo cortante maximo en el cilindro despues de aplicar una presion intema de 270 MPa.
5-12 DISENO De acuerdo con el Accreditation Board for Engineering and Techonology'' (ABET), el diseiio de ingenieria es el proceso de concebir un sistema, componente, 0 proceso para satisfacer necesidades deseadas. Es un proceso de toma de decisiones (con frecuencia iterativo), en el cual se aplican las ciencias basicas, las matematicas y-las ciencias de ingenieria para transformar optimamente los recursos con objeto de cumplir con un objetivo propuesto. Entre los elementos fundamentales del proceso de diseiio estan el establecimiento de objetivos y criterios, sintesis, analisis, construccion, prueba y evaluacion. EI componente de diseiio de. ingenieria de un curriculo debe incluir la mayoria de las siguientes caracteristicas: desarrollo de la creatividad del estudiante, uso de problemas abiertos, desarrollo y uso de la teoria y metodologia modemas de disefio, fdrrnnlacion de proposiciones y especificaciones en los problemas de diseiio, consideraci6n de soluciones altemativas, consideraciones de factibilidad, procesos de produccion, diseiio concurrente de ingenieria y descripcion detallada de sistemas ...
6Engineering Accreditation Commission, Accreditation Board for Engineering and Technology, Inc., "Criteria for AccreditingProgramsin Engineeringin the UnitedStates,Effectivefor EvaluationsDuringthe 1995-96 Accreditation Cycle", Nueva York,~995, p.
7.
5-12 DISENO
J. '
La defmici6n de disefio de ABET abarca muchos objetivos y rebasa el alcance de este libro. En los siguientes ejemplos y problemas de tarea, el disefio se limita a la selecci6n de un material y al dimensionamiento apropiado de un miembro para ejecutar una funci6n especifica sin fallar. Para realizar estas actividades, un disefiador debe anticipar el tipo de faIla que puede presentarse. En la seccion 4-6 se estudiaron varios tipos de fallas; en el contexto de disefio de este libro, se concentrara la atencion en la falla elastica, falla por f1uencia Y falla por fractura. Una vez que se ha determinado el tipo de falla, se establece la propiedad significativa del material que controla la falla; entonces, esta propiedad se divide entre el factor de seguridad para determinar el esfuerzo admisible (deformacion) cuando se realicen los calculos de diseno. Estes calculos se realizan empleando relaciones matematicas entre carga y esfuerzo 0 en- . tre carga y deformaci6n. Los siguientes ejemplos ilustran el uso de los principios de disefio.
Problema de Ejemplo 5-21 Una luminaria de 40 lb esta sostenida en el punto medio de un tramo de IOpies de alambre que esta hecho de acero endurecido al 0.2% C, como se muestra en la figura 5-43a. Por razones de seguridad, se especifica un factor de seguridad de 3 basado en la falla por fluencia del alambre. Se dispone de carretes de alambre con diametros de 10, 20, 30, 40 Y 50 mils (I mil = 0.001 pulg). lQue tamafio de carrete deb era seleccionarse para colgar la luminaria? SOLUCION Las fuerzas transmitidas por los cables AB y AC se obtienen del diagrama de cuerpo libre del nudo A del sistema de cables mostrado en la figura 5-43b. .
±5 = 36.87°
()= cos-I
+ --7 'iF = TAc + i'iF = TAC
CDS
36.87°-
sen 36.87°
TAB CDS
+ TAB sen
36.87° = 0 36.87° - 40
De donde
;\ ;.{ ;{
TAC = TAB =
33.33 Ib
Para acero endurecido al 0.2% C (vease el apendice B): (T fluencia
= 62 klb/pulg''
~
;( ~
0-------8
pies----~
~ ~
c
B
rl ;:l ~.
~
rl W=401b
rl
;t
:.:(
rl I
(a) Figura S!43 ,
(b)
=0
259
260
CAPiTULO 5
APLiCACIONES DE CARGAAXIALY RECIPIENTES A PRESION
Por
10
tanto, O"todo
62
= 3=
2
20.67 klb/pulg
TAB = 33.3 = 2067(103) lb/pulg'' - A (7T/4)d2 • d = dm1n = 0.04531 pulg so:0.0453 pulg
O"todo
=
Use el tamafio 50 de carrete (alambre de 50 mil)
15kN
36kN
(a)
Tension ~
50
.~ 25
~
0
u.~ -25
21kN
Problema de Ejemplo 5-22 Una barra circular sujeta a carga axial y hecha de acero estructural tiene un area transversal constante y esta sujeta alas fuerzas mostradas en la figura 5-44a. El factor de seguridad, basado en la falla por fluencia, debe ser 1.8. Determine el diametro minima de la barra requerida para soportar las cargas. SOLUCION Las fuerzas transmitidas por las secciones AB y BC se obtienen a partir de los diagramas de cuerpo libre de las partes de la barra, aisladas usando secciones a la derecha del seguro A y a la izquierda del seguro C y dibujando el diagrama de cargas mostrado en la figura 5-44b. Asi, la carga maxima transmitida por cualquier seccion transversal es F AB = 36 . kN. Ya que el criterio de falla es la fluencia, la propiedad significativa del material es la resistencia de tluencia. Del apendice B, O"fluencia
Cornpresion (b)
Respuesta
= 250 MPa
Ya que el factor de seguridad es 1.8,
Figura 5-44
250
O"todo
=
"1."8
= 138.89 MPa
Por 10 tanto,
36(103)
F O"todo
=
d=dm1n
~B
=
(7T/4)d2
= 138.89 MPa
= 18.166(10-3)mso:
18.17mm
Observe que cualquier diametro mayor que 18.17 satisfaria ma, pero seria mayor que el diametro minimo requerido.
108
Respuesta
requerimientos del proble-
p
Problema de Ejemplo 5-23 Un poste corto hecho de abeto Douglas desecado al aire se sujeta a una carga axial de compresion de magnitud P = 50 kN, como se muestra en la figura 5-45a. La carga se aplica al poste a traves de una placa de acero rigida. La fibra de la madera forma un angulo de 30° con la horizontal. Si la falIa es por fractura y el factor de seguridad es de 2.0, determine el tamafio de madera nominal mas pequefio que se puede usar. SOLUCION Se obtienen las fuerzas intemas paralela y perpendicular a la fibra de la madera usando el diagrama de cuerpo libre mostrado en las figuras 5-45b y c. Del diagrama de cuerpo libre de la figura 5-45b, se establece: (a)
Figura 5-45a
+7'IF
sen 30° = 0 VI - 50 cos 30° == 0
= NI - 50
+'\IF =
NI = 25.00 kN
VI
= 43.JO kN
5-12 DISENO -'
P= 50 IcN
P=501cN
(b)
(c)
Figura S-4Sb-c
Del diagrama de cuerpo libre de la figura 5A5e,
+~ "'ZF = N2 + 7'"'ZF = V2 -
50cos 30°
=
0
50 sen 30° = 0
N2
= 43.30 kN
V2
= 25.00kN
Ya que eI criterio de falla es la fractura, la propiedad significativa es la resistencia ultima (paralela a la fibra) del material a compresi6n y a cortante. Del apendice B, = 51 MPa (C) = 7.6 MPa
O"ult 'Tult
Ya que eI factor de seguridad es 2: 51 2 = 25.5 MPa
O"todo=
'Ttodo
=
7~6
=
(C)
3.8 MPa
Por 10 tanto, O"todo
=
Al =
3
Nl = 25(10
Ai
Ai
)
= 255(106) Nl
980.4(10-6) m2
.
2
m
= 980.4 mm''
A = Ai cos 600 = 980.4 cos 60° = 490.2 mrrr'
25(103)
V2
'Ttodo =
A2
=
A2
6
= 3.8(10 ) N/m
2
A2 = 6 579(10-6) m2 = 6 579 mm" A = A2 cos 30° = 6 579 cos 30° = 5 698
mrrr'
Para determinar el tamafio nominal de la madera que se debe usar, considere la mayor de las dos areas 490.2 mm2 y 5 698 mnr', En el apendice B [propiedades de la madera estandar estructural (unidades SI)] se indica el tamafio nominal de la madera y las areas correspondientes. El area mas cercana a 5.698(103) mm2 (Ia mayor mas cercana) es 5.86(103) mnr', Asi, Use una madera estructural de 51
X
152
Respuesta
261
262
CAPiruLO 5
APLiCACIONES DE CARGA AXIALY RECIPIENTES A PRESION p
Problema de Ejemplo 5-24 El poste corto mostrado en la figura 5-46a esta sujete a una carga axial de compresi6n P = 150 klb. La carga se aplica al poste a traves de una placa rigida de acero. EI nucleo del poste es de bronce recocido y el segmento exterior del poste esta compuesto de dos placas simetricamente colocadas de aluminio 2024T4. Si debe evitarse la falla por fluencia, determine el espesor minimo t requerido para cada una de las placas de aluminio.
SOLUCION Ya que el criterio de falla es la fluencia, la propiedad significativa para cada material es la resistencia de flueneia. Para el bronee y el aluminio (vease el apendice B).
r
Bronee EB = 15 000 klb/pulg'' (Tfluencia = 20 klb/pulg/
2 pulg
L ~
~2 PUlg-J Secci6n transversal
~
Aluminio EA =:= 10600 klb/pulg' (Tfluencia = 48 klb/pulg"
De la ecuaci6n de deformacion 8A = 80,
(a)
(TALA _ (ToLo _ (TAL EA Eo - 10 600
P = 150 klb
(ToL 15000
de donde (TA = 0.7067(To
Placa rfgida de acero
Por 10tanto, cuando (To = (TA = 0.7067(TB
(Tfluencia
= 20 klb/pulg',
= 0.7067(20)
= 14.134 klb/pulg'
< 48 klb/pulg'
Las fuerzas en las partes de bronce y aluminio del poste se obtienen usando el diagrama de cuerpo libre de la figura 5-46b. Asi,
(b)
Figura 5-46
+ i '2.F = 2PA + PB - 150 = 0 2PA + Po = 2(TAAA + (TBAB = 2(14.134)(2t) + 20(4)~ t = 1.238 pulg
150 Respuesta
1
PROBLEMAS
Problemas Introductorios 5-165* Un tuba de acero de peso estandar (vease el apendice B) se usa para soportar una carga axial de compresion de 25 klb. Si el esfuerzo admisible de compresion es de 10 klb/pulg'', seleccione el tamaiio apropiado de tubo de acero para sustentar la carga. 5-166* Una columna corta hecha de acero estruetural se usa para sostener el piso de un edificio, como se muestra en la figura
P5-166. Cada viga de entrepiso (A y B) transmite una fuerza de 200 kN a la columna. La columna tiene la forma de una seecion de patin ancho -(W) (vease el apendice B). EI factor de seguridad basado en la falla por fluencia es de 3.0. Seleccione la seccion de patin ancho mas ligera que soportara las cargas aplicadas.
PROBLEMAS
200kN
200kN
Secci6n W
~
Figura P5-166 5-167 Una barra circular sometida a carga axial tiene 4 pies de longitud y esta hecha de acero SAE 4340 con tratamiento termico. La barra esta sujeta a una carga de tension de 50 klb. Si el esfuerzonormal admisible es de 95 klb/pulg2 y la deformacion admisible es de 0.1 pulg, determine el diametro minimo de 1a barra de modo que no se exceda ninguno de 10s dos valores admisibles.
263
tacto entre el poste y las vigas de entrepiso se incrementa afiadiendo una seccion de canal de acero. La carga de contacto entre el poste y la zapata de concreto se distribuye sobre un area mayor por medio de una placa de base rigida de acero; analogamente, para la fuerza de contacto entre la zapata de concreto y el terreno. Los esfuerzos de contacto admisibles son: 300 lb/pulg" perpendicular a la fibra de las vigas de entrepiso de roble rojo, 500 lb/pulg ' sobre la zapata de concreto y 60 lb/pulg'' sobre el terreno. EI esfuerzo admisible paralelo a la fibra del poste de abeto de Douglas es de 1 000 lb/pulg''. Se pueden despreciar los pesos de todos los miembros. Determine: a. La longitud minima de canal si el canal embona ajustadamente con las vigas de entrepiso. b. Las dimensiones del poste cuadrado con aproximacion de 112pulg. c. Las dimensiones de la placa de base cuadrada con aproxirnacion de 112pulg. d. Las dimensiones de la zapata cuadrada de concreto con aproximacion de Ipulg.
Canal de acero
5-168 Las dos varillas A y B de acero estructural (vease el apendice B) mostradas en la figura P5-168 se usan para sostener una masa m = 2 000 kg. Si la falla es por fluencia y se especifica un factor de seguridad de 1.75, determine los diametros de las varillas (con aproximacion de 1 mm) que deben usarse para sostener la masa.
Placa de base Zapata
Figura P5-169 5-170* Se aplican cuatro fuerzas axiales a la barra de acero estructural de 25 mm deespesor, como se muestra en la figura P5-170. Si el esfuerzo normal admisible de tension en la barra es de 135 MPa y la deformacionadmisible (extension 0 contraccion) de la barra es 1.25 mm, determine el ancho minimo w de la barra.
:.f.
-,r
t=25mm
220kN
Figura P5-168 140kN
Problemas Intermedios 5-169* En la figura P5-169 se muestra un arreglo para sostener las vigas de entrepiso de un edificio. EI poste A es de abeto Douglas secado al aire y se usa para sostener las vigas de entrepiso Bye de roble rojo secado al aire de 8 X 16 pulg. Cada viga de entrepiso transmite 12000 lb al poste A. El area de con-
~1
270kN
Figura P5-170 5-171 Las dos partes de la barra de argolla mostrada en la figura P5-171 estan conectadas por pemos (uno para cada lado de la barra de argolla). Los pemos son de acero ASTM A325 con un esfuerzo admisible de tension de 44 ldb/puli y un esfuerzo cortante admisible de 17.5 klb/pulg", La barra de argolla esta ~
~~ 't
264
1\
CAPiTIJLO;
APLICACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION 1""'\
sujeta alas fuerzas P = 20 klb. Determine el diametro minimo de perno requerido para resistir las fuerzas de manera confiable.
p
mente ligado al componente. Si se especifican un esfuerzo normal maximo de 30 klbpulg' y un cambio total maximo de longitud (extensi6n 0 contracci6n) de 0.0 I pulg, determine los diametros minimos permitidos para los dos segmentos del componente.
1""'\
1""'\
1""'\
1""'\
p 1""'\
1""'\
20klb
30klb
1""'\
r"\
I
25 klb
~4 pUIg+--6
1""'\
pulg~
1""'\
Figura P5-173 1""'\
Figura P5-171 5-172 Una carga axial P = I 000 kN se aplica a la placa de asiento de acero rigida en la parte superior de la columna corta mostrada en la figura P5-172. El segmento exterior de la columna esta hecho de acero estructural con un esfuerzo admisible de 175 MPa y un m6dulo de elasticidad de 200 GPa. El nucleo interior esta hecho de concreto con un esfuerzo admisible de 20 MPa y un m6dulo de elasticidad de 16 GPa. Si el area del concreto debe ser 10 veces el area del acero, determine las dimensiones requeridas si ambos segmentos son cuadrados.
5-174* EI miembro mostrado en la figura P5-174 esta hecho de una pieza de tubo de acero estructural de peso estandar, Las fuerzas en Bye se aplican a collarines rigidos que estan firmemente ligados al tubo. Si se especifican un esfuerzo maximo de 140 MPa y un cambio total maximo de longitud (extensi6n 0 contracci6n) de 1.00 mm, seleccione el tubo de acero estandar mas ligero que pueda usarse.
,......., "\
"\
'"
'"' 1'\
,-.... 1""'\
80kN
90kN "\
p
1""'\
1""'\
""
Figura P5-174
'"
Concreto Acero Figura P5-172 Problemas Dificiles
5-175 En la figura P5-175 se muestra una conexi6n estructural. Las soleras principales (placas centrales) se conectan con dos pernos alas placas empalmadas (placas exteriores). La conexi6n esta sujeta a una carga de 30klb;Las placasestanhechas de acero ASTM A36 y los pernos son de acero de alta resistencia ASTM A325. La falla puede presentarse de varias maneras: falla por cortante de los pernos (el esfuerzo cortante admisible es de 17.5 klb/pulg''); falla por contacto de las placas (el esfuerzo de contacto admisible es de 43.5 klb/pulg'); falIa por tensi6n de una placa en una secci6n que atraviesa el centro de un orificio (el esfuerzo normal admisible es de 22 klb/pulg''); esfuerzo cortante de penetraci6n (desgarramiento) de un perno que atraviese el extremo de una placa (el esfuerzo cortante admisible es de II klb/pulg'). EI espesor t de las soleras principales debe ser el doble del espesor de una placa empalmada, rnientras que el ancho w es el rnismo para todas las placas. Determine:
1""'\
'\
'" 1'\ 1'\
1\
'1 1\ !'"""\
11 1'\
5-173* El componente de maquinamostrado en la figura P5-173 esta hecho de Monel rolado en caliente. Las fuerzas en B se
a. El diametro requerido para los pernos.
r=,
aplican al componente con un collarin rigido que esta finne-
b. El espesor t y el ancho w requeridos de las placas.
\
!'"""\ \
,
'
r-. ,1""'\
.s
1-
,,~~~. 'l
1r~:::· RESUMEN
c. El margen requerido para evitar el desgarramiento (distancia e).
p
a. El angulo () optimo. b. El diametro requerido para las varillas. c. El peso de cada varilla. l,Es razonable despreciar el peso de las varillas en el disefio?
p
~---------16m----------~
P •••••
Figura P5-175 5-176 Las dos varillas solidas mostradas en la figura P5-176 estan conectadas con seguros en los extremos y sostienen un peso de 50 kN. Las varillas estan hechas de acero SAE 4340 con tratamiento termico. EI factor de seguridad para la falla por fluencia debe ser de 1.5. Para un peso minimo de diseiio de varilla, determine:
.,1!~1 '
~
Figura PS-176
RESUMEN Cuando una barra recta de seccion transversal uniforme esta sometida a una carga axial debida a fuerzas aplicadas en sus extremos, se supone que la deformacion unitaria axial a 10 largo de la longitud de la barra tiene un valor constante y el alargamiento (0 contraccion) de la barra que resulta de la carga axial P se expresa como [) = €L (por la definicion de deformacion unitaria axial promedio). Si se aplica la ley de Hooke (ecuacion 4-1a) (si los esfuerzos son menores que los lirnites de proporcionalidad de los materiales que se usan en la fabricaci6n de los miembros), la deformacion axial se expresa en terminos del esfuerzo ode la carga como:
[)= €L = uL = PL E
EA
265
(5-1,2)
donde P,u, A" y E son todas constantes para toda lalongitud L. Si el esfuerzo sobrepasa allimite de proporcionalidad de los materiales, pueden usarse diagramas de esfuerzo-deformacion unitaria para relacionar la carga con la deformacion. Siuna barra esta sujeta a varias cargas axiales aplicadas en diferentes puntos a 10 largo de ella, 0 si la barra consta de partes que tienen diferentes areas transversales 0 de partes compuestas de diferentes materiales, entonces el cambio de longitud de cada parte puede calcularse usando las ecuaciones 5-1 0 5-2. Los cambios de longitud de las diferentes partes de la barra pueden entonces sumarse algebraicamente para dar el cambio total de longitud de la barra completa: (5-3)
donde Ai Y E, son constantes para elsegmento i y III fuerza Pi es la fuerza intema en el 'segmento i de la barra que, generalmente, es diferente de las fuerzas aplicadas en los extremos del segmento. Estas fuerzas deben calcularse a partir del equilibrio del segmento, y con .frecuencia se muestran en un diagrama de fuerza axial.
266
CAPITULO;
APLICACIONES DE CARGA AXIAL Y RECIPIENTES A PRESION Algunas veces, es necesario determinar las deformaciones y deformaciones unitarias axiales en un sistema de barras deformables conectadas con seguros (miembros sujetos ados fuerzas) que esta sometido a cargas. La solucion de estos problemas requiere un analisis de estatica (diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio) en combinacion con un estudio de la forma del sistema deformado. Para desplazamientos pequefios, se puede suponer que la deformacion axial en cualquier barra es igual a la componente del desplazamiento de un extremo de la barra (en relaci6n can el otro extremo) tornado en la direccion de la orientacion de la barra sin deformar. Entonces las barras deben girarse alrededor de puntos fijos de union hasta que los extremos conectores embonen nuevamente. Si las partes de estatica y de deformacion del problema pueden aislarse y resolverse por separado, al problema se le llama estaticamente determinado. Si las partes de estatica y de deformacion no pueden aislarse para resolverse por separado, el problema es estaticamente indeterminado. En cada uno de los casos, debera dibujarse un diagrama de desplazamientos que muestre las deformaciones para ayudar a la obtencion de la ecuacion de deformacion correcta. Los diagramas de cuerpo libre, las ecuaciones de equilibrio y los diagramas de deformacion deben ser compatibles. Es decir, cuando se supone una fuerza de tension aplicada sobre un miembro en el diagrama de cuerpo libre, debe indicarse una deformacion de tension (estiramiento) para el mismo miembro en el diagrama de deformaciones. Si los diagramas son compatibles, un resultado negativo indicara que la suposicion estaba equivocada; sin embargo, la magnitud del resultado sera correcta. Cuando una barra esta sujeta a un cambio de temperatura, ademas de un esfuerzo, la deformaci6n total de la barra es la suma de la deformacion debida al esfuerzo mas la deformacion debida al cambio de temperatura:
donde a es el coeficiente de expansion termica. Un esfuerzo de tension «(T > 0) Y un aumento de la temperatura (aT> 0) causan ambos un estiramiento de la barra (0 > 0). Con frecuencia, se hacen con soldadura las conexiones entre placas, angulos, tubos de metal y otros elementos estructurales. Una junta "bien" soldada es aquella en la cual la sol.dadura es tan fuerte como los materiales que se unen. Elesfuerzo cortante en una soldadura lateral no puede distribuirse uniforrnemente a 10 largo de la soldadura siempre que el comportamiento sea elastica. Sin embargo, si el material es ductil (la condici6n comun en conexiones soldadas), un cierto comportamiento inelastico en los extremos de la soldadura conducira a una distribuci6n esencialmente uniforme del esfuerzo cortante y, generalmente, se supone una distribucionuniforme en el disefio de conexiones soldadas, ... .. ". La soldadura de filete se disefia suponiendo que la falla se presentara por cortante en la seccion minima de la soldadura, que se llama la "garganta" de la soldadura. La carga maxima admisible P que puede ser soportada por una soldadura lateral de filete, de longitud L y catetos t es
P = 0.707tL'T
(5-5)
donde 'T es el esfuerzo cortante admisible quese permite en el material de soldadura. Las pruebas indican que la resistencia de una soldadura transversal de filete (soldadura de extremo) es, aproximadamente, 30 por ciento mayor que aquella de una soldadura lateral de filete con las mismas dimensiones. Sin embargo, es practica comun suponer que la resistencia de una soldadura transversal es la misma que la de una soldadura lateral con las mismas dimensiones. EI esfuerzo en una discontinuidad de un elemento estructural 0 de maquina puede ser considerablemente mayor que el esfuerzo nominal 0 promedio en la secci6n. La relacion entre el esfuerzo maximo en una discontinuidad y el esfuerzo nominal en la seccion se
RESUMEN denomina el factor de concentracion de esfuerzos. Asi, el esfuerzo normal maximo en una discontinuidad en un miembro sometido a una carga aplicada en el centro es
cr=K-
P
(5-6)
A
En muchos manuales de disefio pueden encontrarse graficas 0 tablas para determinar K, el factor de concentracion de esfuerzos, que se basan en el area bruta 0 en el area neta (area de la seccion reducida). Es importante que cuando se usen estas graficas 0 tablas de concentracion de esfuerzos se conozca si los factores se basan en la seccion bruta 0
neta. La concentracion de esfuerzos es un efecto muy localizado. Por ejemplo, el esfuerzo en el borde de un orificio de una placa grande sujeta a tension uniforme en una direccion es 3 veces el esfuerzo nominal (el esfuerzo en las regiones muy alejadas del orifieio). Sin em" bargo, a una distancia de un diametro de orifieio a partir del borde del orifieio, el esfuerzo es, solamente, alrededor de 7 por ciento mayor que el esfuerzo nominal. La concentracion de esfuerzos no es significativa en el caso de aplicacion de carga estatica en un material ductil porque el material fluira inelasticamente en la region de esfuerzos elevados. Como resultado de la redistribucion de esfuerzos que se produce, el equilibrio se establecey no hay ningun dafio, Sin embargo, si la earga es una carga de impacto 0 de repeticion, el material se fractura. Tambien, si el material es fragil, aun una carga estatica causa la fractura. . Un recipiente a presion se denomina de pared delgada euando la relacion entre el espesor de la pared y el radio del recipiente es tan pequeiio que la distribucion del esfuerzo normal en un plano perpendicular a la superficie del recipiente es, eseneialmente, uniforme para todo el espesor del recipiente. La relacion entre el espesor de la pared y el radio interior del recipiente es menor que aproximadamente 0.1, el esfuerzo normal maximo es menos del 5 por ciento superior al promedio. En un recipiente esferico a presion de pared delgada, el esfuerzo normal en una seccion que pasa por el centro de la esfera se denomina esfuerzo meridional 0 axial y esta dado por
pr cr =a 2t
(5-7)
donde r y t son el radio y el espesor de pared del recipiente a presion y p es la presion intema. No hay esfuerzos cortantes en ninguno de estos pianos, ya que no hay cargas que Ios induzcan. En un recipiente a presion ~iHndricode pared deigada,' el esfuerzoen un piano longitudinal se denomina esfuerzo de zuncho 0 cireunferencial, y esta dado por
(5-8a)
EI esfuerzo normal en un plano transversal se denomina esfuerzo axial y tiene el mismo valor que en un recipiente esferico a presion:
(5-8b)
Aunque no hay esfuerzos cortantes en pianos transversales
0
longitudinales, habra tanto es-
fuerzos normales como cortantes en cualquier otro plano, como una superficie de soldadura en espiral. Si un recipiente a presion esta sujeto a una carga axial ademas de una presion
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APLICACIONES DE CARGAAXlALY RECIPIENfES A PRESION
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intema, pueden encontrarse los esfuerzos normales superponiendo los esfuerzos normales debidos a la presion intema con los esfuerzos normales debidos a la carga axial. En un recipiente a presion de pared gruesa, los esfuerzos normales no son uniformes para todo el espesor del recipiente. Ademas, para un recipiente a presion de pared gruesa, la componente radial del esfuerzo normal no puede ignorarse. En un recipiente cilindrico de pared gruesa, el esfuerzo normal radial y el esfuerzo normal tangencial (de zuncho) varian con la posicion radial p de acuerdo con:
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(5-10)
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donde Pi es la presion intema (en p = a) YPo es la presion extema (en p = b). Las defermaciones radial y circunferencialS; y relacionadas con estos esfuerzos juegan papeles importantes en todos los problemas de ajuste a presion 0 ajuste por contraccion. Con objeto de seleccionar un material y dimensionar apropiadamente un miembro para que ejecute una funcion especifica sin fallar, un diseiiador debe prever el tipo de falla que se produce. Una vez que el tipo de falla ha sido determinado, se establece la propiedad significativa del material que controla la falla. Entonces, esta propiedad se divide entre el factor de seguridad para determinar el esfuerzo adrnisible que se debe usar en los calculos de diseiio. En el contexto de diseiio de este libro, se enfocara la atencion en la falla elastica, la falla por fluencia y la falla por fractura.
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PROBLEMAS DE REPASO
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5-177* Una barra de aleacion de acero (E = 30 000 klb/pulg") esta sujeta a cargas y sostenida como se muestra en la figura P5-177. El collarin de carga en B puede deslizarse libremente a 10 largo de la seccion Be. Los diametros de las secciones AB, Be y CD son 2.50 pulg, 1.50 pulg y 1.00 pulg, respectivamente. Las longitudes de los tres segmentos son de 15 pulg. Determine los esfuerzos normales en cada seccion y el cambio total de longitud de la barra.
5-178 Un miembro a tension consta de una barra de bronce (E = 100 OPa) de 50 mm de diametro conectada a una barra de . acero inoxidable (E = 190 OPa) de 32 mrn de diametro, como Be .muestra en la figura P5-178.· Determine la carga maxima P que puede aplicarse a la barra si el esfuerzo normal en el bronce debe limitarse a 200 MPa, el esfuerzo normal en el acero debe limitarse a 500 MPa y el alargamiento total de la barra debe limitarse a 5.60 mm.
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p
Figura P5-177
Figura P5-178
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PROBLEMAS DE REPASO
5-179 Dos barras rigidas (AB y BC) Y un tirante AC de acero estructural (E = 30 000 klb/pulg'') de 1/2 pulg de diametro se usan para soportar una carga P de 3 000 lb, como se muestra en la figura P5-179. Determine el esfuerzo normal en el tirante y el cambio de longitud de la seccion reducida de 30 pulg del tirante cuando se aplica la carga P
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males admisibles son 30 klb/pulg/ para el acero y 20 klb/pulg/ para el laton.
50 pulg---~
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-~·~--~-r1iI--_il A
B
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15pulg
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Figura P5-181 Figura P5-179
'.\1... ~,
5-180* Una barra rigida ABC esta sostenida por dos eslabones, como se muestra en la figura P5-180. El eslab6n BD esta hecho de una aleacion de aluminio (E = 73 GPa) y tiene un area transversal de 1 250 mrrr'. EI eslab6n CE esta hecho de acero estructural (E = 200 GPa) y tiene un area transversal de 750 mrrr'. Determine el esfuerzo normal en cada uno de los eslabones y la deflexion del punto A cuarido se apJica la carga P de 50 kN.
5-182 La barra C de la figura P5-182 es una varilla de aleaci6n de aluminio (E = 73 GPa) que tiene un area transversal de 625 mm". EI miembro D es un poste de madera (E = 12 GPa) que tiene un area transversal de 2 500 mm". Determine el valor maximo admisible de la carga P si los esfuerzos normales admisibles son 100 MPa para el aluminio y 30 MPa para la madera.
p l00mm IE--'-+----'-~f-- 200 mm 0.09 mm sin carga
D
E
A
1 t
C
300mm
400mm B
A
IE---
600 mm
--~*f--
c
300 mm ~
p
Figura P5-182 Figura P5-180
i~
1-
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I
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5-181* La barra A de la figura P5-181 es una varilla de acero (E = 30 000 klb/pulg/) que tiene un area transversal de 1.24 pulg2. El miembro B es un poste de laton (E = 15 000 klb/ pulg') que tiene un area transversal de 4.00 puli. Determine el valor maximo admisible de la carga P si 10s esfuerzos nor-
5-183 La estructura conectadacon seguros mostrada en la figura P5-183 ocupa la posicion mostrada cuando no esta sujeta a cargas. Cuando se aplican a la estructura Ias cargas D = 16 klb y E = 8 klb, la barra rigida C debe hacerse horizontal. La barra A esta hecha de una aleacion de aluminio (E = 10 600 klb/pulg'') y la barra B esta hecha de bronce (E = 15 000 klb/pulg'), Si los esfuerzos normales en las barras deben limitarse a 20
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CAPITIJLO;
APLiCACIONES DE CARGA AXIALY RECIPIENTES A PRESION
klb/pulg' en la aleacion de aluminio y 15 klb/pulg" en el bronce, determine: a. Las areas transversales minimas que seran adecuadas para las barras. b. Los cambios de longitud de las varillas A y B.
1 16 pulg
A
5=-~ 10000
misible en el tubo es de 20 000 lb/pulg ' y la fuerza admisible por pulgada de soldadura es de 10 600t, donde t es el tamaiio de la soldadura. 5-186 Pruebe que el uso de una soldadura transversal en el extremo tiene el efecto de acortar cada una de las soldaduras laterales en cantidades iguales cuando un angulo estructural se suelda a una placa de manera que se desarrolla la resistencia maxima a tension del angulo. 5-187 Tres barras, cada una de 50 mm de ancho X 25 mm de espesor X 4 m de longitud, estan conectadas y sujetas a cargas como se muestra en la figura P5-187. La barra A esta hecha de Monel, que tiene un limite de proporcionalidad de 400 MPa y un modulo de elasticidad de 180 GPa. La barra B esta hecha de una aleaci6n de magnesio que tiene un limite de proporcionalidad de 100 MPa y un modulo de elasticidad de 40 GPa. La barra C esta hecha de acero estructural (elastoplastico) y tiene un limite de proporcionalidad y punto de fluencia de 240 MPa y un m6dulo de elasticidad de 200 GPa. Determine:
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a. EI esfuerzo normal en cada una de las barras despues de aplicar una carga P de 650 kN. b. El desplazamiento vertical (deflexion) del seguro D producido por la carga de 650 kN.
Figura P5-183
r=»; rr-;
r--.
5-184* Una barra de laton (E = 100 GPa) de 90 mrn de diametro esta unida finnemente a una barra de acero (E = 200 GPa) de 50 mrn de diametro, Los extremos de la barra compuesta estan Iigados a soportes rigidos, como se muestra en la figura P5184. Determine los esfuerzos en el laton y el acero despues que se presenta una caida de temperatura de 70°C. Los coeficientes termicos de expansion para el laton y el acero son 17.6(10-6)1°C y 11.9(10-6);oC, respectivamente.
r--. '" rr-; »<.
" r>. r=. r>. rr-; rr-;
p r>.
Figura P5-187 '"
800mm J480
mm
Figura P5-184
5-185* Un tanque cilindrico a presion debe construirse soldando placas de 3/8 de pulg sobre los extremos de un tubo de acero de 6 pies de longitud. El tubo tiene un diametro exterior de 14 pulg yun espesor de pared de 0.20 pulg. Determine el tamana de la soldadura de filet,\! necesaria para de sarro lIar la resistencia total admisible a tension del tubo. El esfuerzo ad-
5-188* La barra rigida AB de la figura P5-188 esta horizontal y la barra C y el poste D estan libres de esfuerzos antes de aplicar la carga P. La barra C tiene un area transversal de 600 mrn2 y esta hecha de un acero con bajo contenido de carbon (elastoplastico), que tiene un limite de proporcionalidad y punto de fluencia de 240 MPa y un modulo de elasticidad de 200 GPa. El poste D tiene un area transversal de 2 000 mrn2 y esta hecho de laton rolado en frio, el cual tiene un limite de proporcionalidad de 410 MPay un modulo de elasticidad de 100 GPa. Determine:
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'" '" r>.
a. Los esfuerzos normales en la barra de aplicar una carga P de 100 kN.
C y el poste D despues (\ 1'\
1'\
f
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PROBLEMAS DE REPASO b. EI desplazamiento vertical (deflexion) del punto A producido por la carga de 100 kN. :'''''''''
r 0.09mm sin carga
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C
300mm
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L-, Figura P5-188
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La presion interna aplicada al recipiente. Los esfuerzos axial yde zuncho en el recipiente. EI esfuerzo cortante maximo en el recipiente. La deformacion unitaria de zuncho presente cuando se midio la deformacion unitaria axial.
5-191 Un canon de arma de fuego con un diametro interior de 3.00 pulg y un diametro exterior de 7.00 pulg esta hecho de acero que tiene una resistencia de fluencia de 50 000 Ib/pulg2.Determine la presion interna maxima que puede aplicarse al canon del arma de fuego antes de que se presente la fluencia.
t
t~
5-190 Un recipiente cilindrico a presion de pared delgada tiene un diametro exterior de 2 m y un espesor de pared de 10 mm. El recipiente esta hecho de acero con un modulo de elasticidad de 200 GPa y una- relacion de Poisson de 0.30. Durante las pruebas de resistencia del recipiente, se registra una deformacion unitaria axial de 300 psxdt«. Determine: a. b. c. d..
1
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5-189* EI tanque conico para agua mostrado en la figura P5-189 se fabrico de placa de acero de 1/8 de pulg. Cuando el tanque esta completamente lleno de agua (peso especifico 'Y= 62.4 lb! pie'), determine los esfuerzos axial y de zuncho (Ta Y (Th en un punta de la pared a 8 pies por debajo del vertice del cono.
8 pies IO'pies
5 pies
Figura P5-189
5-192* Un cilindro hidraulico con un diametro interior de 200 mm y un diametro exterior de 450 mm esta hecho de acero (E = 210 GPa y v = 0.30). Para una presion interna de 125 MPa, determine: a. EI esfuerzo maximo de tension en el cilindro. b. El cambio del diametro interno del cilindro.
