Gerak Dua Dimensi
1
Vektor Posisi r = xi + y j y (cm)
5 4 3 2 1
A rA
0
1 2 3 4 5
x (cm)
Posisi partikel A di bidang xy adalah pada x = 5 cm dan y = 3 cm, atau pada koordinat (5, 3). Vektor posisi partikel A dinyatakan sebagai : r A = xAi + yA j = (5i + 3 j) cm.
Perpindahan y
Δ r
P
θ
r P
r Q
Perpindahan vektor Δ r menurut sumbu-x adalah sebesar Δ x dan menurut sumbu-y sebesar Δ y.
Q
Δy Δx
Δr = Δxi + Δy j x
Besar perpindahan :
| Δr | =
Arah perpindahan :
tan θ =
2
2
( Δ x ) + ( Δ y)
Δ y Δ x
Kecepatan Rata-Rata v
v
=
Δ x i + Δ y j y j Δ x Δy = i + j Δt Δt Δt
=
Δ r Δt =
v
x
i+
v y j
Besar kecepatan rata-rata : | v| =
v x
2
+ v y2 BSE - Praktis Belajar SMA XI - Aip S dkk
Gerak Dua Dimensi
2
Kecepatan Sesaat
Δ r d r dx dy = = i + j Δt dt dt dt
v
= Δlim t → 0
v
= vxi + vy j
fungsi turunan posisi (r , x , atau y ) terhadap waktu t . Rumus fungsi turunan:
r = at n →
v x
Besarnya kecepatan sesaat : |v| =
2
tan θ =
v y
dr dt
= nat n −1
dr dt
= (4 )( 3) (t 4 −1)
contoh:
+ v y2
r = 3t 4
Arah Kecepatan :
dy disebut dt
d r dx , dan , dt dt
→
= 12t 3
dengan : vx = v cosθ , dan v y = v sinθ .
v x
Menentukan Posisi dari Fungsi Kecepatan
∫ adalah lambang integral. rumus integral: t
r = (x (x0 +
t
∫ vx dt) dt)i + (y ( y0 + ∫ vy dt) dt) j j
0
r
0
= ∫ at
n
dt
→ r =
a
+1
n
n +1
t
contoh:
atau r = r 0 +
∫ v dt
r
= ∫ 4t 3 dt → r =
4 3 +1 t 3+1
= t 4 Cara lain untuk menentukan perpindahan benda adalah dengan menghitung luas daerah di bawah kurva v(t). v (m/s)
9 x = luas daerah daerah di di bawah bawah kurva v (t) = luas trapesium 1 = ( )(5 + 9)(2) = 14 2
5
0
t (s)
2
Percepatan Rata-Rata Percepatan rata-rata :
a
=
(v + Δv) − v Δv = (t + Δt ) − t Δt
a
=
Δv x i + Δv y j Δv x Δv y = i+ j Δt Δt Δt
a
=a i+a x
y
j BSE - Praktis Belajar SMA XI - Aip S dkk
Gerak Dua Dimensi
5
Besar percepatan rata-rata :
| a | =
Arah percepatan rata-rata :
tan θ =
a x 2 + a y 2
a y a x
Percepatan Sesaat a = lim a = Δlim Δt → 0 t → 0
a=
dv x dt
i+
dv y dt
Δv d v = Δt dt j = axi + ay j
Menentukan Kecepatan dari Fungsi Percepatan t
v
= v0 + ∫ a dt 0
v
= ( vox + ∫ ax dt) dt)i + ( voy + ∫ ay dt) dt) j j
Gerak Lurus Beraturan dan Gerak Lurus Berubah Beraturan Pada GLB, nilai v tetap dan tidak bergantung pada waktu sehingga persamaan dapat dituliskan menjadi s = s0 + vt
Pada GLBB, nilai a tetap dan tidak bergantung waktu sehingga persamaan dapat dituliskan menjadi vt = v0 + at
s = s0 + v0 t +
1 2
at 2
vt2 = v02 + 2as 2as
BSE - Praktis Belajar SMA XI - Aip S dkk
Gerak Dua Dimensi
9
Gerak Parabola y vy
vx
vx
v0
v 0y
v = vx
v
vy
α 0
vx
v 0x
vy
x
v
Gerak pada sumbu-x sumbu-x (horizontal) adalah gerak lurus beraturan karena kecepatan benda di setiap titik bernilai konstan dan berlaku persamaan vx = v0x = v0 cos α
Jarak Jarak mendatar yang ditempuh : x = vx t = v0cos α t
Gerak pada sumbu-y sumbu- y (vertikal) adalah gerak lurus berubah beraturan, karena benda mengalami perubahan kecepatan akibat percepatan gravitasi Bumi. Kecepatan di setiap titik : vy = v0 sin α – gt
Posisi benda pada sumbusumbu-yy (menurut ketinggian) : 1
y = v0 sin α t – 2 gt 2
Kecepatan dan Arah Kecepatan Benda di Sembarang Titik Pada gerak parabola, benda memiliki kecepatan pada komponen sumbu-x sumbu-x dan sumbu-y sumbu-y sehingga : Besar kecepatan :
v=
2
v x
+ v y2
Arah kecepatan benda terhadap sumbu mendatar (sumbu-x (sumbu- x) : v y
tan θ = v x BSE - Praktis Belajar SMA XI - Aip S dkk
Gerak Dua Dimensi
10
Beberapa Persamaan Khusus pada Gerak Parabola Persamaan-persamaan khusus gerak parabola ini hanya berlaku untuk gerak parabola dengan lintasan dari tanah, kemudian kembali lagi ke tanah seperti pada gambar. Waktu untuk Mencapai Titik Tertinggi (Titik B) t AB =
v0 sin α
B v0
g
H A
Tinggi Maksimum (H ) 2
H = H =
v0 sin
2
θ
C X
Lintasan gerak parabola benda dengan titik tertinggi di B dan titik terjauh di C.
α
2g
Jarak Terjauh (X )
Waktu tempuh untuk mencapai titik terjauh (titik C) sama dengan dua kali waktu yang diperlukan untuk mencapai titik tertinggi (t ( tAC = 2 tAB). v0 sin2α 2
X = X =
g
Persamaan Vektor Gerak Parabola Vektor posisi pada gerak parabola : r = ( v0 cos α t)i + ( v0 sin α t –
1 gt 2) j j 2
Vektor kecepatan gerak parabola : v = ( v0 cos α )i + (v0 sin α – gt 2) j j
BSE - Praktis Belajar SMA XI - Aip S dkk
Gerak Dua Dimensi
14
Menentukan Posisi Sudut dari Fungsi Kecepatan Sudut t
θ = θ 0 + ∫ ω (t ) dt 0
θ 0 = posisi sudut awal (rad atau derajat)
Percepatan Sudut Rata-Rata
α =
Δω Δt
Percepatan Sudut Sesaat α =
dω dt
Menentukan Kecepatan Sudut dari Fungsi Percepatan Sudut t
ω = ω 0 + ∫ α (t ) dt 0
ω 0 = kecepatan sudut awal (rad/s)
BSE - Praktis Belajar SMA XI - Aip S dkk
Gerak Dua Dimensi
15
Analogi Gerak Translasi dan Gerak Rotasi Gerak Translasi
Perpindahan/kedudukan
Gerak Rotasi
v=
Kecepatan linear sesaat
v=
Menentukan posisi dari fungsi kecepatan linear
r
dt
= r 0 + ∫ vdt
a=
Percepatan linear sesaat
a=
Menentukan kecepatan dari fungsi percepatan
Gerak lurus berubah beraturan (GLBB)
Δs Δt ds
Percepatan linear ratarata
v = v0
θ
Perpindahan sudut ( θ )
s / r r
Kecepatan linear rata-rata
Kecepatan sudut rata-rata ( ω )
ω =
Kecepatan sudut sesaat ( ω )
ω =
Menentukan posisi sudut dari fungsi kecepatan sudut
α =
d v
Percepatan linear sesaat
α =
+ ∫ adt
s = v0t +
1 2
Gerak melingkar berubah beraturan (GMBB)
at
v=
ω r
Δω Δt
a
=
α r
ω d ω dt
a=
α r
ω = ω 0 + α t 1 2
α t 2
ω 2 = ω 02 + 2α θ
a x 2 + a y2
a= a=
x
Arah vektor percepatan :
dt
θ = ω 0t +
Besar percepatan sentripetal :
ax
θ d θ
∫
ay a
v = ω r
ω = ω 0 + α dt dt
Menentukan kecepatan dari fungsi percepatan
v2 = v02 + 2as
θ
Δ Δt
∫
Percepatan sudut ratarata ( θ )
dt
s = θ r
θ = θ 0 + ω ω dt
Δv Δt
v = v0 + at at
y
Hubungannya
tan θ =
v
2
r
a y a x
Percepatan a dan komponen vektornya menurut sumbu- x dan sumbu-y .
BSE - Praktis Belajar SMA XI - Aip S dkk
Gravitasi
1
Hukum-Hukum Kepler Hukum Pertama Kepler
Planet
Setiap planet bergerak pada lintasan elips dengan Matahari berada pada salahsatu titik fokusnya. fokusnya.
A
P Matahari Lintasan planet mengitari Matahari berbentuk elips.
Δt Planet
Hukum Kedua Kepler Garis yang menghubungkan Matahari dengan planet dalam selang waktu yang sama menghasilkan menghasilkan luas juring yang sama. sama .
Δ t
Matahari
Luas juring yang dihasilkan planet dalam mengelilingi Matahari adalah sama untuk selang waktu yang sama.
Hukum Ketiga Kepler
Kuadrat waktu edar planet (periode) berbanding lurus dengan pangkat tiga jarak planet itu dari Matahari. Matahari. T 2 2 2 3 T ≈ r → 2 T 1
=
r 2 3 r 1 3
2
⎛ T 2 ⎞ ⎜⎝ T ⎟⎠ 1
2 3
⎛ r ⎞ =⎜ 2 ⎟ ⎝ r 1 ⎠
dengan: T = T = periode planet mengelilingi Matahari, dan r = jarak rata-rata planet terhadap Matahari.
Jika perbandingan jarak planet X ke Matahari dengan jarak Bumi ke Matahari 9 : 1, hitunglah waktu yang dibutuhkan oleh planet X untuk satu kali mengedari Matahari. Jawa Ja wab b Diketahui r x : r b = 9 : 1 2
3
⎛ T x ⎞ ⎛ r x ⎞ ⎛ r x ⎞ r x ⎛ 9 ⎞ 9 = 27 tahun ⎜ r ⎠ ⎟ r = 1 × ⎜⎝ 1 ⎟ ⎜⎝ T ⎟⎠ = ⎝⎜ r ⎠ ⎟ → Tx = T b ⎝ ⎠ 1 b b b b
Gaya Gravitasi Hukum Gravitasi Newton F 21 = F 12 = G
m1 m2 r 2
dengan: F = gaya gravitasi (N), G = konstanta gravitasi = 6,672 × 10–11 m3/kgs2, dan r = jarak antara pusat massa m1 dan m2 (m).
m2
m1 F 12
F 21
r Gaya gravitasi adalah gaya yang ditimbulkan karena adanya dua benda bermassa m yang terpisah sejauh r .
BSE - Praktis Belajar SMA XI - Aip S dkk
Gravitasi
2
Tiga benda homogen masing-masing bermassa 2 kg, 3 kg, dan 4 kg, berturut-turut terletak pada koordinat (0, 0), (4, 0), dan (0, 4) dalam sistem koordinat Cartesius dengan satuan meter. Tentukanlah: a. gaya gravitasi antara benda 2 kg dan 3 kg, b. gaya gravitasi antara benda 2 kg dan 4 kg, dan c. gaya gravitasi total pada benda 2 kg. Jawa Ja wab b 4 kg
Diketahui: m1 = 2 kg di (0, 0), m2 = 3 kg di (4, 0), dan m3 = 4 kg di (0, 4).
(0, 4)
a.
Gaya gravitasi antara benda 2 kg dan 3 kg.
F 2
F 1 = G
F 2 F 1
2 kg (0,0)
b.
F 1
m1 m2 2
r
3 kg
= (6,672 × 10–11 m3/kgs2)
(4,0)
= 2,502 × 10–11 N
(2 kg )( 3 kg ) 2 (4 m )
Gaya gravitasi antara benda 2 kg dan 4 kg. F 2 = G
m1 m2 2
r
= (6,672 × 10–11 m3/kgs2)
(2 kg )( 4 kg ) 2 (4 m )
= 3,336 × 10–11 N c.
Gaya gravitasi total pada benda 2 kg. Benda bermassa 2 kg mengalami dua gaya sekaligus, yaitu F 1 dan F 2, seperti terlihat pada gambar. Gaya gravitasi total pada benda 2 kg adalah resultan gaya F 1 dan F 2, yaitu :
F= =
F 1 2 + F 2 2 (2,502 × 10
−11
N )2 + (3,336 × 10 −11 N ) 2
= 4,170 × 10–11 N
Dua benda masing-masing bermassa 6 kg dan 3 kg berjarak 30 cm. Berapakah besar gaya tarik-menarik antara kedua benda tersebut? Jawa Ja wab b Diketahui: m1 = 6 kg, m2 = 3 kg, dan r = r = 30 cm.
F =G
m1m2 r 2
= 6,672 × 10 −11 m 3 /kgs 2
(6 kg )( 3 kg ) (0,3 m)
2
= 1, 334 × 10 −9 N
Tiga benda masing-masing bermassa mA= 4,5 kg, mB = 2 kg, dan mC = 8 kg terletak pada satu garis lurus. Berapakah besar gaya gravitasi yang dialami benda B yang terletak di antara benda A dan benda C, jika jarak AB = 30 cm dan jarak BC = 40 cm?
Jawa Ja wab b Diketahui: mA = 4,5 kg, mB = 2 kg, mC = 8 kg, r AB = 30 cm, dan r BC = 40 cm. F BC
FAB
A
F B = F BC – F AB = G
mBmC rBC2
B
−G
C
mA m B =0 r AB 2 BSE - Praktis Belajar SMA XI - Aip S dkk
Gravitasi
3
Medan Gravitasi g = G
m 2 r
Pada titik sudut A dan titik sudut B dari sebuah segitiga sama sisi ABC disimpan benda bermassa m1 dan m2.
Jika m1 = m2 dan kuat medan gravitasi di titik C oleh salah satu benda adalah g, tentukanlah kuat medan gravitasi di titik C yan g disebabkan kedua benda tersebut. Ja wab wa b
C g
Diketahui m1 = m2 dan ABC = segitiga sama sisi. Medan gravitasi dititik C merupakan resultan dari medan gravitasi yang1 diakibatkan oleh m dan m2, masing-masing sebesar g. g.
g
g1 2
g c = g C
A m1
m2
B
+ g2 2 + 2 g1 g2 cos60 o
(2)
=
g
2
+ g 2 + 2g 2 1
=
g
2
+ g 2 + g 2 = 3 g 2 = g 3
Percepatan gravitasi di permukaan Bumi (jari-jari bumi = R) berbeda dengan percepatan gravitasi pada ketinggian tertentu (h) di atas permukaan Bumi Bumi : 2
⎛ R ⎞ ga = g ⎜ ⎟ ⎝ R R + h ⎠
Percepatan gravitasi pada suatu tempat di permukaan Bumi adalah 10 m/s 2 . Tentukanlah percepatan gravitasi di tempat yang memiliki ketinggian R dari permukaan Bumi (R ( R adalah jari-jari bumi). Jawa Ja wab b
Diketahui: g Diketahui: gA = 10 m/s2, dan h = R. Percepatan gravitasi pada ketinggian R di atas permukaan Bumi adalah : 2
g a =
2 ⎛ R ⎞ R ⎞ ⎛ =g⎜ g⎜ ⎟ ⎝ R R + h ⎠ ⎝ R R + R ⎟ ⎠
2
=
⎛ R ⎞ = 1 g g⎜ = 2,5 m/s2. ⎝ 2 R ⎟ ⎠ 4
Dua benda bermassa masing-masing 4 kg dan 9 kg terpisah dengan jarak 10 m. Titik P berada pada garis hubung kedua benda. Jika medan gravitasi di titik P adalah nol, tentukanlah jarak titik P dari benda bermassa 4 kg. Jawa Ja wab b Diketahui: m1 = 4 kg, m2 = 9 kg, dan r = r = 10 m. Dari soal dapat digambarkan kedudukan titik P terhadap kedua benda. A
B
P r1
r 2
4 kg
9 kg
Agar medan gravitasi di titik P bernilai nol maka: g1 = g2
G
mA r1 2
=G
mB r2 2
→G
4 kg r 1 2
=G
9 kg 2 , G dicoret dan hasilnya diakarkan sehingga (10 − r 1 ) BSE - Praktis Belajar SMA XI - Aip S dkk
Gravitasi
4
2 = 3 r 1 (10 − r 1 ) 20 – r 1 = 3r 1 r 1 = 5 m
diperoleh:
Kecepatan Satelit Mengelilingi Bumi Kecepatan satelit mengelilingi Bumi dapat dituliskan dengan persamaan: v=
R
( R + h )
g( R + h )
Sebuah satelit mengorbit Bumi pada jarak 3.600 km di atas permukaan Bumi. Jika jari-jari Bumi = 6.400 km, percepatan gravitasi dipermukaan Bumi g = 10 m/s2, dan gerak satelit dianggap melingkar beraturan, hitung kelajuan satelit dalam km/s. Ja wab wa b Satuan kelajuan yang diharapkan adalah km/s maka percepatan gravitasi dipermukaan Bumi g harus diubah dulu dari m/s2 menjadi km/s2 dan diperoleh g diperoleh g = 0,01 km/s 2. Kelajuan satelit mengorbit Bumi dapat dihitung dengan persamaan: v=
v=
R
( R + h )
g( R + h)
6.400 km
(0,01 km/s ) (6.400 + 3.600) km (6.400 + 3.600) s 2
v = 6,4 km/s
Energi Potensial Gravitasi Mm EP = −G r
lintasan lurus lintasan lengkung F
Tanda negatif menyatakan bahwa untuk membawa benda bermassa m ke tempat jauh tak terhingga dibutuhkan usaha atau energi sebesar Mm . G
m r 2
r 1
r
3m dipisahkan oleh suatu jarak a. Dua benda bermassa m dan 3m
mB
Tentukan Energi potensial gravitasi sistem. Jawa Ja wab b Diketahui: m = m, 3m, M = M = 3m Energi potensial gravitasi Mm
EP = – G
r
= −G
r = r = a
2 (3m)(m) = − 3G m a a
Usaha yang dilakukan oleh gaya gravitasi ketika sebuah benda bergerak dari r 1 ke r 2. Usaha yang dilakukan oleh gaya gravitasi tersebut adalah sama, tidak bergantung pada bentuk lintasannya (lurus atau lengkung).
BSE - Praktis Belajar SMA XI - Aip S dkk
Gravitasi
5
Kecepatan Lepas dari Bumi Apakah mungkin sebuah benda yang digerakkan atau ditembakkan vertikal ke atas tidak kembali ke Bumi? Jika mungkin terjadi, berapa kecepatan minimum benda tersebut saat di tembakkan agar terlepas dari pengaruh gravitasi Bumi? Untuk menjawab menjawab pertanyaan tersebut, perhatikanlah perhatikanlah gambar sebuah roket yang sedang lepas landas pada Gambar berikut. 2
v1 Sebuah roket lepas landas dari permukaan Bumi (posisi 1) dengan kecepatan v 1 menuju orbit (posisi 2).
1
R
Jika resultan gaya luar yang yang bekerja pada benda sama dengan dengan nol, nol, energi mekanik benda kekal. Secara matematis, Hukum Kekekalan Energi Mekanik dirumuskan EP1 + EK 1 = EP2 + EK 2
−G Mm + 1 mv12 = −G Mm + 12 mv2 2 r 2
r 1
2
Agar roket lepas dari pengaruh gravitasi Bumi maka EP2 = 0, sedangkan kecepatan minimum roket diperoleh jika EK2 = 0. Dengan demikian, akan dihasilkan persamaan:
−G Mm + 1 mv12 = 0 r 1
2
−G Mm + 1 mv2 = 0 R
2
1 mv 2 = G Mm 2 R vmin = 2 G M R
M maka diperoleh persamaan kecepatan minimum roket R 2
Oleh karena g karena g = G
agar dapat lepas dari gravitasi Bumi sebagai berikut vmin
=
2 gR
dengan r 1 = jarak titik 1 ke pusat massa M massa M , r 2 = jarak titik 2 ke pusat massa M massa M , v1 = kecepatan benda di titik 1, dan v 2 = kecepatan benda di titik (2). Diasumsikan jarak titik 1 ke pusat massa sama dengan jari-jari Bumi (r ( r 1 = R). BSE - Praktis Belajar SMA XI - Aip S dkk
Gravitasi
6
Sebuah roket bermassa m ditembakkan vertikal dari permukaan Bumi. Tentukan kecepatan minimum roket ketika ditembakkan agar mencapai ketinggian maksimum R dari permukaan Bumi jika massa Bumi M dan M dan jari-jari Bumi R. Jawa Ja wab b Pada saat roket mencapai ketinggian maksimum R, kecepatan roket v2 = 0. Dengan menggunakan persamaan Hukum Kekekalan Energi dan memasukkan harga v1 = v, v2 = 0, r 1 = R dan r 2 = R + R = 2R 2R maka diperoleh : Mm
−G
r 1
+
1
Mm 1 mv12 = − G + mv22 2 2 r 2
1 1 ⎞ 1 ( 2 −GM ⎛ = 2 v2 − v12 ) ⎜⎝ r − r ⎟ ⎠ 1 2
( R1 − 2 R1 ) = 21 (0 − v ) −GM ( 21 ) = − 21 v atau R − GM
2
2
v
2
= GM sehingga v = R
GM atau v = R
gR
Berapakah kecepatan minimum sebuah roket yang diluncurkan vertikal ke atas agar terlepas dari pengaruh gravitasi Bumi? Jawa Ja wab b Diketehui: G = 6,67 × 10–11 m3 /kgs2, M = 5,97 × 1024 kg, dan R = 6,38 × 106 m.
vmin =
=
2G M R
/kg s2 (2) 6, 67 ×10 −11 m 3 /kgs
(
5,97 ×10 24 kg
) 6,38 ×10
6
m
= 1,12 × 104 m/s.
BSE - Praktis Belajar SMA XI - Aip S dkk
Elastisitas dan Gerak Harmonik
1
Sifat Elastis Benda Padat a
Tegangan
σ =
F
F
b
F F
A
dengan: F = gaya tekan/tarik (N), A = luas penampang yang ditekan/ditarik (m 2) σ = tegangan/stress (N/m 2 atau pascal).
A
dengan:
A
Sebuah batang yang mengalami tegangan.
Regangan e=
F
l0
Δ
Δ o
F n
Δ = pertambahan panjang (m),
F n
l Regangan sebuah batang
= panjang mula-mula (m), e = regangan (tidak bersatuan).
o
sepanjang adalah
Δ 0
.
Modulus Elastisitas
E =
σ e
F
= A Δ
E =
F A Δ
dengan satuan E dalam N/m2.
Gerak Harmonik Sederhana F (N) F (N) P
Gaya Pemulih pada Pegas
Q
Hukum Hooke
F = F = –k Δx
α O
dengan k = tetapan pegas (N/m).
Δx (m)
Grafik hubungan antara gaya dan pertambahan penjang pegas.
BSE - Praktis Belajar SMA XI - Aip S dkk
Elastisitas dan Gerak Harmonik
2
Benda bermassa 4,5 kg digantungkan pada pegas sehingga pegas itu bertambah panjang sebesar 9 cm. Berapakah tetapan pegas tersebut? Jawa Ja wab b
Δ x = 9 cm.
Diketahui: m = 4,5 kg, g = 10 m/s 2, dan F = F = k Δ x mg = k Δ x
Δx = 9 cm
k Δx
(4,5 kg)(10 m/s ) = (k)(0,09 m) 2
mg
45kg
k = 0,09 m = 500 N/m
Susunan Pegas Seri
1 ktotal
Susunan Pegas Paralel
=
1 k1
+
1 k2
+
1 1 + .... + k3 kn
ktotal = k1 + k2 + k3 + ... + k n
Gaya Pemulih pada Ayunan Matematis
θ
(a) Sebuah bandul digantungkan pada kawat halus sepanjang . (b) Kemudian, bandul disimpangkan sejauh θ sehingga gaya pemulih bandul adalah
l l
y m
mg sin θ
a
b
θ mg cos θ
F = -mg sin θ = -mg ⎛⎜ y ⎞ ⎟
⎝ ⎠
mg
F = F = –mg –mg sin θ
Oleh karena sin θ =
y
, Persamaan diatas dapat dituliskan sebagai berikut :
–mg ⎛⎜ F = F = –mg
y ⎞
⎝ ⎟ ⎠
BSE - Praktis Belajar SMA XI - Aip S dkk
Elastisitas dan Gerak Harmonik
3
Persamaan Simpangan Gerak Harmonik Sederhana
y
P
θ n i s 0
y
y = A sin ω t
= y
– x0
y = simpangan getaran benda (m), A = jari-jari lingkaran atau amplitudo atau simpangan terjauh getaran benda (m), ω = kecepatan sudut (rad/s), dan t = waktu getar (sekon).
O
θ + x0
x
Proyeksi titik P terhadap sumbu-y adalah y = y 0 sin θ
Persamaan Kecepatan Gerak Harmonik v = A ω cos ω t
v = A2 − y 2
dengan: A = amplitudo/simpangan maksimum getaran (m), ω = kecepatan sudut (rad/s), dan t = waktu getar (sekon). Nilai kecepatan maksimum untuk diperoleh saa t nil ai cos ω t atau sin ω t = 1 sehingga didapatkan nilai kecepatan maksimum gerak harmonik adalah vmaks = A ω
Persamaan Percepatan Gerak Harmonik
a = –A ω 2 sin ω t Oleh karena A karena A sin ω t = y, a = – ω 2y Nilai percepatan maksimum diperoleh saat sin ω t = 1 sehingga nilai percepatan maksimum gerak harmonik dinyatakan sebagai : amaks = – A ω 2
Tanda negatif (–) pada persamaan percepatan gerak harmonik menunjukkan bahwa arah percepatan gerak selalu menuju ke titik kesetimbangannya, yaitu y = 0. BSE - Praktis Belajar SMA XI - Aip S dkk
Elastisitas dan Gerak Harmonik
4
Fase dan Sudut Fase Gerak Harmonik Sederhana
ϕ = t = ft (tanpa satuan) T
θ = ω t t rad = 2 π t rad T
Periode dan Frekuensi pada Getaran Pegas
Periode (T (T ) adalah waktu yang dibutuhkan pegas untuk melakukan satu kali gerak bolak-balik dari O – A – O – B – O, sedangkan frekuensi ( f ( f )) adalah kebalikan dari periode.
B
m m
Periode dan frekuensi getaran pegas :
f =
A
m
Suatu pegas melakukan gerak harmonik di sekitar titik setimbangnya.
k
1
O
m
2π m
T = 2 m (sekon) k
dengan: m = massa beban pegas (kg), dan k = konstanta pegas (N/m). Periode dan Frekuensi pada Ayunan Sederhana θ
f =
1 g ( Hz ) 2π
T = 2
Ayunan bandul sederhana yang bergetar harmonik di sekitar titik kesetimbangannya.
l
g (sekon)
Q
P
y mg sin θ
dengan: = panjang tali (m), dan g = percepatan gravitasi (m/s 2).
mg cos θ
mg
BSE - Praktis Belajar SMA XI - Aip S dkk
Momentum dan Impuls
1
Momentum
m = massa benda (kg), v = kecepatan benda (m/s), dan p = momentum benda (kgm/s).
p = m v
Impuls
F (N )
F (t) = 5t + 3
13
I = I = F Δ t Impuls = luas daerah yang diarsir..
I = I = Δ p
o c . t o p s g o l
3
F Δt = m(vt – v0) mv0 = momentum awal, dan mvt = momentum akhir.
Hukum Kekekalan Momentum
.
I
2
t (s)
n i t a v Hukum Kekekalan Energi E nergi gi pada pa Tumbukan m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'
t t
EK1 + EK2 = EK' K'1 + E EK'2 1 m v 2 + 1 m v 2 = 1 m v' 2 + 1 m v' 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 e=
−
(v ’1 − v ’2 ) = ( v1 − v2 )
Aplikasi Momentum dan Impuls dalam Kehidupan Sehari-hari 1. Peluncuran Roket Sebuah roket diluncurkan vertikal ke atas menuju atmosfer Bumi. Hal ini dapat dilakukan karena adanya gaya dorong dari mesin roket yang bekerja berd berdasark asarkan an impu impuls ls yang dibe diberika rikan n oleh roke roket. t. Pada saat roke rokett seda sedang ng bergerak, akan berlaku hukum kekekalan momentum. Pada saat roket belum dinyalakan, momentum momentum roket adalah nol. Apabila bahan bakar di dalamnya telah dinyalakan, pancaran gas mendapatkan momentum yang arahnya ke bawah. Oleh karena momentum momentum bersifat bersifat kekal, roket pun akan mendapatkan momentum yang arahnya berlawanan dengan arah buang bersifat gas roket tersebut dan besarnya sama. Secara matematis gaya dorong pada roket dinyatakan dalam hubungan berikut.
BSE - Praktis Belajar SMA XI - Aip S dkk
Momentum dan Impuls
5
Impuls = perubahan momentum momentum F Δt = F =
Δ(mv) Δ(mv) = Δm v Δt Δt
2. Air Safety Bag (kantong udara) digunakan untuk memperkecil gaya akibat tumbukan yang terjadi pada saat tabr akan . Kantong Kan tong u dara ters tersebut ebut dipa dipasan sangkan gkan pada mob mobil il serta serta dir diranc ancang ang unt untuk uk keluar dan mengembang secara otomatis saat tabrakan terjadi. Kantong Kantong u udara ini mampu meminimalkan efek gaya gaya terhadap benda benda yang bertumbukan. bertumbukan. Prinsip Prinsip kerjanya adalah ada alah lah memperpanjang m waktu yang dibutuhkan untuk menghentikan momentum pengem pengemudi. udi. Saat Saat tabraka tabrakan terjadi tabrakan terjadi,, pengemudi pengemudi cenderung cender ung untuk tetap bergera bergerak k sesuai dengan kecepatan gerak mobil obil (Hukum (H Pertama Newton). Gerakan Gerak an ini akan membuatn membuatnya ya menabrak menabrak kaca depan depan mobil yang yang meng an gaya sangat besar g mengeluark men eluarkan untuk menghentikan momentum pengemudi dalam waktu u sang sangat san sa ngat singka singkat. t. Apabila Apabila penge pengemudi mudi menumbuk kantong udara, waktu yang digunakan untuk untu k menghentikan meng momentum pengemudi akan lebih lama sehingga gaya yang yang ditimbulkan padaa peng pengemudi emudi akan mengecil. Dengan demikian, keselamatan si pengemudi akan lebih terjamin.
i n
3. Desain Mobil
.
o l
Desain mobil dirancang dirancang untuk mengurangi mengurangi angi be besarnya gaya yang besarnya yang timbul akibat tabrakan. Caranya dengan membuat bagian-bagian pada badan n mobi mobil agar dapat menggumpal sehingga mobil yang yang bertabrakan tidak saling terpental satu dengan n lainn lainnya. Mengapa demikian? demikian? Apabila mobil yang bertabrakan saling salin g terpental, terpental, pada mobil terseb tersebut terjadi tersebut terjadi perubahan perubahan momentum momentum dan impuls yang s angat besar sehingga membaha yakan kesela matan jiwa pen penump umpang angny nya. a. Kasus A
t
v1 = 5 m/s
v1' = 4 m/s m/s
:
Kasus B
v1 = 5 m/s
v1' = 0 m/s m/s
Pada kasus A, mobil yang menabrak tembok dan terpental kembali, akan meng mengalami alami peruba perubahan han kecepatan sebesar 9 m/s. Dalam kasus B, mobil tidak terpental terpental kembali sehingga mobil tersebut tersebut hanya hanya mengalami perubahan perubahan kecepatan sebesar 5 m/s. Berarti, perubahan momentum yang dialami mobil pada kasus A jauh lebih besar daripada kasus B. Daerah penggumpalan penggumpalan pada badan mobil atau bagian badan mobil yang dapat penyok akan mem mem-perkecil pengaruh gaya akibat tumbukan tumbukan yang dapat dilakukan melalui dua cara, yaitu mempermemperpanjang waktu yang dibutuhkan untuk menghentikan momentum mobil mobil dan menjaga agar mobil tidak saling terpental. Rancangan Rancangan badan mobil yang yang memiliki daerah penggumpalan atau atau penyok tersebut akan mengurangi mengurangi bahaya akibat tabrakan tabrakan pada penumpang mobil. BSE - Praktis Belajar SMA XI - Aip S dkk
Usaha, Energi dan Daya
1
Usaha Dalam Fisika, usaha memiliki definisi yang lebih khusus. Jika Anda memberikan gaya konstan F pada suatu benda sehingga menyebabkan benda berpindah sejauh s, usaha W yang W yang dilakukan gaya tersebut dinyatakan dengan W = W = F s
F
W = W = F cos α s
s
F = gaya (N), s = perpindahan (m), dan
W = W = usaha (Nm = joule). α = sudut antara gaya dan perpindahan benda (derajat). Terdapat dua persyaratan khusus mengenai definisi usaha dalam Fisika ini. Pertama, gaya yang diberikan pada benda haruslah menyebabkan benda tersebut berpindah sejauh jarak tertentu. Kedua, agar suatu gaya dapat melakukan usaha pada benda, gaya tersebut harus memiliki komponen arah yang paralel (searah) terhadap arah perpindahan.
Energi Energi Potensial Energi Potensial Gravitasi EP = mgh
1 EP = 2 k Δ x2
EP = energi potensial (joule), w = berat benda (newton) = mg, m = massa benda (kg), g = percepatan gravitasi bumi (m/s 2), dan h = tinggi benda (m). Ww =
Energi Potensial Pegas
W = W = – Δ EP
Δ EP
W w = usaha oleh gaya berat.
Energi Kinetik EK = EK = 1 mv2 2 EK = EK = energi kinetik (joule), m = massa benda (kg), dan v = kecepatan benda (m/s). W = W = EK 2 – EK 1 =
Δ EK BSE - Praktis Belajar SMA XI - Aip S dkk
Usaha, Energi dan Daya
2
Hukum Kekekalan Energi Mekanik v1
W = W = Δ EK = EK = Δ EP EK 2 – EK 1 = EP1 – EP2 EP1 + EK 1 = EP2 + EK 2 mgh1 +
h1 v2
h2
1 mv 2 1 mv 2 1 = mgh2 + 2 2 2
Daya Daya didefinisikan sebagai kelajuan usaha atau usaha per satuan waktu. W = W = usaha (joule), t = waktu (sekon), dan P = daya (J/s atau watt).
P = W t
Mobil, motor, atau mesin-mesin mesin-mesin lainnya sering sering dinyatakan memiliki daya sekian hp (horse power ) yang diterjemahkan dalam Bahasa Indonesia sebagai daya kuda dengan 1 hp = 746 watt. P=
W t
=
F s
t
F = gaya (N), dan
s
= F = F t
v
v
= kecepatan (m/s).
Efisiensi atau Daya Guna Pengubah Energi Perbandingan antara energi yang bermanfaat (keluaran) dan energi yang diterima dite rima oleh alat pengubah pengu bah energi (masukan) disebut efisiensi. Efisiensi:
η=
energi keluaran energimasukan
× 100%
BSE - Praktis Belajar SMA XI - Aip S dkk