Ringkasan Materi UN Matematika IPS SMA

Ring kasan Materi Matematika

28

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

t,, Akar, ka t gk uk Pan g tu Ben t itma ar tm ga dan Lo g

Pela j aran

1 Kelas X Semester 1

n

Standar Ko Kompetensi Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma.

Kompetensi Da Dasa sarr 



Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan logaritma.

A. Bentuk Pangkat

5)

6) a0 = 1 a− n

B.

Bentuk Akar

a n = a × a × a × ... × a sebanyak n faktor

=

an

Pada bentuk akar berlaku:

=a

m n

1)

n

2)

m a ×n b = m × n a × b

3) 4)

Secara umum perpangkatan bulat positif suatu bilangan real didefinisikan:

1

7)

Bentuk pangkat meliputi: pangkat bulat positif, pangkat bulat negatif, dan pangkat nol.

 a  = an  b  bn  

5)

a

m

m a n b

=

m a n b

m

a × n a = mn an × am

m

a

n

b

= mn

an am

C. Logaritma

Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan, sehingga dapat didefinisikan sebagai

Sifat-sifat bilangan berpangkat bilangan bulat untuk a, b ∈ R; m, n ∈ B ; a ≠ 0, b ≠ 0 (R = himpunan bilangan

real dan B = himpunan bilangan bulat) berikut.

berikut. x = = an ⇔ alog x = = n

1) am × an = am +n 2)

am

= am − n

3)

an (am)n = am × n

4)

(ab)n = an × bn

untuk a > 0, a ≠ 1 dan x > > 0. Keterangan: a = bilangan pokok atau basis logaritma x = numerus, bilangan yang dicari logaritmanya, x > 0 n = hasil logaritma, nilainya dapat positif, nol, atau

negatif

29


Sifat-sifat logaritma: 1)

a

log a = 1

2)

a

3)

a

4)

a

5)

a

6)

a

7)

a

log 1 = 0 x . y ) log x + alog y = alog ( x

log x – alog y = alog log x = n . log x n

a

c

8)

log x = log x = a

a

log x

c

log x log a 1

x

log a

= x

m a . lo l og x n 1 10) alog = − a log x x 1 a 11) log x = − a log x

9)

an

log x m =

12) alog x . . x log y = = alog y 13) alog an = n 14) log2 x = = log x . log x 15) log-1 x =

30

1 log x log x

x y


Persamaan kuadra t dan F un gsi

Pela j aran


B.

Standar Kompetensi Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat.

Kompetensi Dasar  

Memahami konsep fungsi. Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat.

Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat: ax 2 + bx + c = 0 ; a, b, c ∈ R, a ≠ 0

Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan: 

memfaktorkan;



melengkapkan bentuk kuadrat sempurna;



menggunakan rumus abc : x 1,2 =

A. Pengertian Relasi dan Fungsi

−b ±

b2 − 4 ac

2a

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah

Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat:

pemasangan anggota-anggota himpunan A dengan

1)

anggota-anggota himpunan B. Sedangkan suatu

x 1 + x 2 =

fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu

relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

2)

(dibaca: fungsi f memetakan A ke B)

C.

hasil (range) dari fungsi tersebut, ditulis Rf .

b a

c a

Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat: f ( x ) = ax 2 + bx + c , a ≠ 0, a, b, c ∈ R

Pada fungsi f : A → B berlaku: 1) Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari f , ditulis Df . 2) Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) dari f . 3) Himpunan dari semua peta f di B disebut daerah

−

hasil kali akar-akar persamaan kuadrat: x 1 . x 2 =

Fungsi f dari himpunan A ke B ditulis:

f : A → B

jumlah akar-akar persamaan kuadrat:

Cara-cara menentukan fungsi kuadrat: a.

jika diketahui titik potong dengan sumbu x di ( x 1, 0) dan ( x 2, 0)maka y = f ( x ) = a ( x – x 1) ( x – x 2);

b.

jika diketahui koordinat titik puncak (titik balik) nya P ( p,q), maka y = f ( x ) = a( x – p)2 + q;

c.

jika melalui tiga titik yang diketahui, digunakan y = ax 2 + bx + c .

31


Pela j aran

Sis tem Persamaan

3

2)

Kelas X Semester 1

Standar Kompetensi Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan satu variabel.







Kompetensi Dasar Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan penafsirannya.

Sistem persamaan linear dengan tiga variabel. Bentuk umumnya:

 ax + by + cz = d kx + ly + mz = n ;   px + qy + rz = s  a, b, c, d, k, l, m, n, p, q, r, s = bilangan real.

Sistem persamaan linear dengan persamaan kuadrat. Bentuk umumnya:

 y = ax + b ; a, b, p, q, r = bilangan real.   y = px 2 + qx + r Sistem persamaan kuadrat dengan dua variabel. Bentuk umumnya:

 y = ax 2 + bx + c ; a, b, c, p, q, r = bilangan real.  2  y = px + qx + r B.

Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan

Untuk mencari himpunan penyelesaian sistem A. Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear terdiri atas dua atau

persamaan linear dengan dua variabel dan persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan

lebih persamaan linear. Sistem persamaan linear

beberapa cara, yaitu:

terbagi atas:

1) substitusi,

1)

Sistem persamaan linear dengan dua variabel.

2)

eliminasi, dan

Bentuk umumnya:

3)

gabungan substitusi dan eliminasi.

ax + by = c  px + qy = r ;  32

a, b, c, p, q, r = bilangan real.


Pela j aran

Per tidaksamaan

4

1) Pertidaksamaan linear , yaitu suatu pertidak-

Kelas X Semester 1

Standar Kompetensi Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat.







Kompetensi Dasar

samaan yang mempunyai variabel pangkat

Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya.

satu.

A. Pengertian Pertidaksamaan Pertidaksamaan adalah suatu kalimat terbuka yang

memuat satu variabel (peubah) atau lebih dan tandatanda ketidaksamaan (<, >, ≤, atau ≥). B.

Jenis-Jenis Pertidaksamaan dan Penyelesai-

Contoh: x + 4 < 2x + 7

2) Pertidaksamaan kuadrat , yaitu suatu pertidaksamaan yang mempunyai variabel pangkat dua.

Contoh: x2 – 2x + 4 < 7

3) Pertidaksamaan pecahan , yaitu suatu pertidaksamaan yang mempunyai bentuk pecahan dan

mengandung variabel x pada penyebutnya. 2 x + 3 >0 Contoh: 1 − 2 x

4) Pertidaksamaan nilai mutlak (harga mutlak), yaitu suatu pertidaksamaan yang mempunyai tanda mutlak. Pada pertidaksamaan nilai mutlak berlaku: x > 0 sama artinya –a < x < a. x < 0 sama artinya x < –a atau x > a.

5) Pertidaksamaan bentuk akar , yaitu pertidaksamaan yang variabelnya terletak di bawah tanda akar. Cara penyelesaiannya diawali dengan menguadratkan kedua ruas. Contoh: x − 1 < 0

annya

Berdasarkan pangkat dari variabelnya (bentuk pertidaksamaan), pertidaksamaan dapat dibagi atas:

33


Pela j aran

5

Lo gika Ma tema tika

Kelas X Semester 2

A. Kalimat Terbuka, Pernyataan, dan Negasinya

Standar Kompetensi Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.

Kompetensi Dasar 







Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkaran atau negasinya. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan. Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah

Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang memuat

variabel, nilai kebenarannya belum dapat ditentukan, apakah bernilai benar atau salah. Pernyataan adalah suatu kalimat yang dapat

ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau salah, tetapi tidak dapat terjadi benar dan salah bersamaan. Ingkaran pernyataan (negasi penyataan) adalah

kebalikan dari penyataan. Jika pernyataan benar, ingkarannya salah, dan sebaliknya. Ingkaran dari p dinotasikan dengan ~ p, dibaca: tidak p atau bukan p atau tidak benar bahwa p

atau non- p. Contoh: p

= Bandung adalah ibu kota Provinsi Jawa Barat. (benar/B)

Ingkarannya:

~ p = Bandung bukan ibu kota Provinsi Jawa Barat. (salah/S) ~ p = Tidak benar bahwa Bandung adalah ibu kota Provinsi Jawa Barat. (salah/S) Penyataan Majemuk

Pernyataan majemuk adalah penyataan yang terdiri dari dua pernyataan atau lebih dapat

34


dihubungkan dengan kata hubung, yaitu: ... dan ... , ...

Tabel kebenaran implikasi:

⇒q

atau ... , jika ... maka ..., dan ... jika dan hanya jika ... .

p

q

Contoh: Hari ini mendung atau langit berwarna

B

B

B

biru.

B

S

S

S

B

B

S

S

B

Jenis-Jenis Kalimat Majemuk

p

Ada empat pernyataan majemuk, yaitu: 1) Konjungsi, yaitu gabungan antara dua

4) Biimplikasi, dibentuk dari ( p ⇒ q)

pernyataan dengan memakai kata hubung

dinotasikan:

”dan”, dinotasikan: p

∧ (q ⇒ p),

p

⇔ q

dibaca: p jika dan hanya jika q,

∧ q dibaca: p dan q

p syarat cukup dan perlu untuk q,

Tabel kebenaran konjungsi:

p ekuivalen dengan q p

∧q

p

q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

Tabel kebenaran biimplikasi: p

⇒ q

p

q

B B S

B S B

B S B

S

S

B

q

⇒ p

p

⇔ q

B B

B S

S B

S B

2) Disjungsi, yaitu gabungan antara dua pernyataan dengan memakai kata hubung ”atau”, dinotasi-

B.

kan:

Ingkaran pernyataan majemuk terbagi atas.

p

1)

∨ q dibaca: p atau q.

Ingkaran Pernyataan Majemuk

Ingkaran dari konjungsi, berlaku: ~( p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~q

2) Ingkaran dari disjungsi, berlaku:

Tabel kebenaran disjungsi: p

~( p ∨ q) ≡ ~ p ∨ ~q

∨q

p

q

B

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

3) Implikasi, yaitu gabungan antara dua pernyataan

3)

Ingkaran dari implikasi, berlaku: ~( p → q) ≡ p ∧ ~q

4)

Ingkaran dari biimplikasi, berlaku: ~( p ⇔ q) ≡ ( p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~ p)

C.

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

dengan memakai kata hubung ” jika …maka…”,

Dari implikasi p ⇒ q dapat dibentuk implikasi baru,

dinotasikan:

yaitu: 

Konvers: q ⇒ p

p → q dibaca: jika p maka q,



Invers: ~ p ⇒ ~q dan

p hanya jika q,p syarat cukup untuk q,



Kontraposisi: ~q ⇒ ~ p

q syarat perlu untuk p, atau q jika p

35


b) Aturan Tollens, berlaku:

D. Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya

Pernyataan berkuantor terdiri atas: 1)

Pernyataan berkuantor universal, dinotasikan:

Jika p ⇒ q benar dan ~q benar maka pernyataan ~ p bernilai benar .

∀ p( x ) (dibaca: “Untuk semua x , berlaku-

p ⇒ q

lah p( x )”)

~ p

∴ ~q

Ingkarannya: c) Silogisme, berlaku:

~(“∀ p( x )) ≡ ∃ x ~ p( x ) (dibaca: “ingkaran untuk semua x yang berlaku p( x ) adalah

Jika p ⇒ q dan q ⇒ r keduanya

ada x yang bukan p( x )”).

benar maka p ⇒ r juga benar. p ⇒ q

2)

Pernyataan berkuantor eksistensial, dinotasi-

q ⇒ r

kan:

∴ p ⇒ r ∃( x ) p( x ) (dibaca: “Ada x sehingga berlaku p( x )”)

Ingkarannya: ~(∃ x p( x )) ≡ ∀ x ~ p( x ) (dibaca: “ingkaran beberapa x berlaku p( x ) adalah semua x bukan p( x )”).

E.

Penarikan Kesimpulan

Penarikan kesimpulan terbagi atas: 1)

Penarikan kesimpulan dari pernyataan majemuk, dengan aturan: a)

Modus Ponens, berlaku:

Jika p ⇒ q benar dan p benar

maka pernyataan q bernilai benar. p ⇒ q p

∴

36

q

2) Penarikan kesimpulan dari pernyataan berkuantor

Contoh: p( x ) : Jika suatu segitiga merupakan segitiga

sama kaki maka mempunyai dua sudut sama besar.

≡ Setiap segitiga sama kaki mempunyai dua sudut sama besar.


Pela j aran

T r igonome tri

6

A. Perbandingan Trigonometri

Kelas X Semester 2

Standar Kompetensi Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah




. 

Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri, dan penafsirannya.

Rumus-rumus perbandingan trigonometri 1)

sin α = cos α = tan α =

2) sec α =

panjang sisi depan

=

panjang sisi miring panjang sisi apit panjang sisi miring

=

panjang sisi depan panjang sisi apit

y r

x r

=

y x

r

y

α x

1 ; cosec α = 1 ; cos α sin α

cotan α =

1 ; cosec α = cos α ; tan α sin α

Perbandingan trigonometri sudut α dengan (90o– α) 3) sin (90° – α) = cos α cos (90° – α) = sin α tan (90° – α) = cotan α cotan (90° – α) = tan α cosec (90° – α) = sec α sec (90° – α) = cosec α Perbandingan trigonometri sudut α dengan (180o– α) 4)

sin (180° – α) = sin α cos (180° – α) = –cos α tan (180° – α) = –tan α cotan (180° – α) = –cotan α cosec (180° – α) = sec α sec (180° – α) = -cot α

37


Perbandingan trigonometri sudut α dengan (180o+ α) 5)

C.

Identitas Trigonometri

sin (180° + α) = –sin α

Contoh identitas trigonometri:

cos (180° + α) = –cos α

1)

sin2 a + cos2 a = 1

tan (180° + α) = tan α

2)

1 + tan2 a = sec2 a

cotan (180° + α) = cotan α cosec (180° + α) = -cosec α

D. Persamaan Trigonometri

sec (180° + α) = -sec α

Untuk k ∈B (B = himpunan bilangan bulat), diperoleh persamaan sebagai berikut. 1)

90° Kuadran II sinus positif

x 1 = a + k . 360°

Kuadran I semua positif

2) 0°

180° Kuadran III tangan positif

Kuadran IV kosinus positif

x 2 = (180° – a) + k . 360°

Jika cos x = cos a, maka: x 1 = a + k . 360°

3)

x 2 = –a + k . 360°

Jika tan x = tan a, maka: x = a + k . 180°

4)

270°

B.

Jika sin x = sin a, maka:

Jika cotan x = cotan a, maka: x = a + k . 180°

E.

Fungsi Trigonometri

Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Rumus

Fungsi trigonometri dapat berbentuk sebagai

Segitiga

berikut.

Aturan sinus: a b c = = sin A sin B sin C

1) f ( x ) = a sin (kx + b) Periode =

360° 2p = k k

Nilai maksimum =

a

Aturan kosinus: Nilai minimum = – a

a

3) f ( x ) = a tan (kx + b) Periode =

180° k

=

A

c

Luas segitiga:

Nilai minimum = – a

p k

Tidak ada nilai maksimum dan minimum.

38

a

2) b2 = a2 + c 2 – 2ac cos B 3) c 2 = a2 + b2 – 2ab cos C

360° 2p = k k

Nilai maksimum =

b

1) a2 = b2 + c 2 – 2bc cos A

2) f ( x ) = a cos (kx + b) Periode =

C

L∆ ABC

=

1 b.c sin A 2 1 2

L∆ ABC = a.b sin C

L∆ABC =

1 ac sin B 2

B


Pela j aran

R uan g Dimensi T iga


Kedudukan suatu garis terhadap garis lain (dua garis)

Standar Kompetensi Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.







Kompetensi Dasar

dibedakan atas:

Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga. Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga. Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga.

1)

Berimpit

3) berpotongan

2)

Sejajar

4) bersilangan

Kedudukan suatu bidang terhadap bidang lain (dua bidang) dibedakan atas: 1) Berimpit 2) Sejajar 3) Berpotongan

A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang pada Bangun Ruang

Kedudukan titik dibedakan atas:

B.

Proyeksi Ruang

1)

Titik terletak pada garis

Proyeksi ruang meliputi:

2)

Titik terletak di luar garis

1)

Proyeksi titik pada garis.

3)

Titik terletak pada bidang

2)

Proyeksi titik pada bidang.

4)

Titik terletak di luar bidang

3)

Proyeksi garis pada bidang.

39


Pela j aran

8

S ta tis tika dan Peluan g

Kelas XI Semester 1

A. Statistika

Standar Kompetensi Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.












Membaca data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive. Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive serta penafsirannya. Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data, serta penafsirannya. Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah. Menentukan ruang sampel suatu percobaan. Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya.

Perbedaan Pengertian Statistik dengan Statistika Statistik merupakan kumpulan angka-angka dari

suatu permasalahan, sehingga dapat memberikan gambaran mengenai masalah tersebut. Sedangkan statistika adal ah cara ilmiah ya ng mem pelajari

pengumpulan, pengaturan, perhitungan, penggambaran, dan penganalisisan data, serta penarikan kesimpulan yang valid berdasarkan penganalisisan yang dilakukan, dan pembuatan kesimpulan yang rasional. Penyajian Data Tunggal

Penyajian data dapat berupa: 1) Diagram batang, yaitu penyajian data dengan menggunakan batang-batang berbentuk persegi panjang dengan lebar batang yang sama dan dilengkapi dengan skala tertentu untuk menyatakan banyaknya tiap jenis data. 2) Diagram lingkaran, yaitu penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran, yang dibagi atas juring-juring. 3) Diagram garis , yaitu penyajian data pada bidang Cartesius dengan menghubungkan titik-titik data pada bidang Cartesius (sumbu x dan sumbu y), sehingga diperoleh suatu grafik berupa garis. 4) Diagram Batang daun, yaitu penyajian data yang dibagi atas dua bagian, yaitu bagian batang dan

40


daun. Bagian batang memuat angka puluhan,

2)

Tabel distribusi frekuensi kumulatif, merupa-

sedangkan bagian daun memuat angka

kan tabel frekuensi yang berisikan frekuensi

satuan.

kumulatif (frekuensi hasil akumulasi).

5) Diagram kotak garis, yaitu penyajian data dalam

Frekuensi kumulatif adalah frekuensi yang

bentuk kotak garis.

dijumlahkan, yaitu frekuensi suatu kelas di ju ml ah kan de ng an fr ek ue ns i ke la s

Penyajian Data Berkelompok

sebelumnya.

Apabila data cukup banyak maka data dikelompokkan dalam beberapa kelompok,

Ukuran Data Statistik

kemudian data tersebut disajikan dalam bentuk

a.

tabel distribusi frekuensi.

Sentral)

Langkah-langkah membuat tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut. 1) Urutkan data dari data terkecil ke data terbesar. 2)

Ukuran Pemusatan Data (Ukuran Tendensi

Ada tiga macam ukuran tendensi sentral, yaitu: a) Rata-rata atau mean ( x ), yaitu jumlah seluruh nilai-nilai data dibagi dengan banyaknya data. 1) Rata-rata untuk data tunggal (tidak ber-

Tentukan banyak kelas pada tabel distribusi fre-

kelompok) , rumusnya:

kuensi, dengan menggunakan metode Sturges: k = 1 + 3,3 log n

n

x =

x1 + x 2 + x 3 + .... + x n n

Keterangan: k = banyak kelas

3)

n = banyak data

∑ x

i

=

i =1

2) Rata-rata untuk data berkelompok, rumusnya: n

Tentukan interval kelas dengan rumus:

I =

f x + f x + f x + .... + f n x n = x = 1 1 2 2 3 3 f1 + f2 + f3 + .... + fn

R k

n

∑ f x i

i

i =1 n

∑ f

i

i =1

Keterangan: I = interval kelas

k = banyak kelas

3) Rata-rata sesungguhnya, rumusnya: n

R = range = jangkauan = data tertinggi – data

terendah 4)

Tentukan batas atas kelas (Ba) dan batas bawah

∑ f d i

x = x 0 +

i

i =1 n

∑ f

i

kelas (Bb).

i =1

Tabel distribusi frekuensi dapat dibedakan atas:

4) Rata-rata sesungguhnya dengan mem-

1) Tabel distribusi frekuensi relatif : mempunyai

faktorkan interval kelasnya, rumusnya:

frekuensi relatif dalam bentuk persentase (%). Besarnya frekuensi relatif dapat ditentukan dengan rumus: Fungsi relatif kelas ke-k =

frekuensi kelas ke-k × 100% banyak data

  x = x 0 +    



n

∑ f u  i i

i =1 n

 f i  i =1 

∑

I

41


Kuartil terbagi atas:

Keterangan: x

n

f i x i I =

d I

Kuartil bawah (Q 1), terletak pada data urutan ke-¼ (n + 1)

= rata-rata sementara = bobot untuk nilai-nilai x i = nilai data ke-I

x 0

u



(eksbar) = rata-rata data = jumlah semua bobot data



Kuartil tengah (Q 2), terletak pada data urutan ke-½ (n + 1)



= interval kelas = faktor interval

Kuartil atas (Q3), terletak pada data urutan ke-¾ (n + 1)

Rumus kuartil untuk data berkelompok: b) Median (Md ), yaitu nilai yang terletak di tengah

 j n − fk Q  Q j = TbQ +  4  f Q 

deretan data setelah diurutkan dari yang terkecil. Rumus median untuk data berkelompok:

j

j

 1 n − fk    Md = Tb +  2 I f    

  I  

Keterangan: Q j = kuartil ke-j ( j = 1, 2, 3) TbQi = tepi bawah kelas yang memuat Q j

Keterangan: Md = median Tb = tepi bawah kelas fk = frekuensi kumulatif

c)

j

n = jumlah seluruh frekuensi fk Qi = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah kelas yang memuat Q j f Qi = frekuensi kelas yang memuat Q j I = lebar atau panjang kelas (interval kelas)

Modus ( Mo ), yaitu data yang paling sering

muncul atau yang mempunyai frekuensi terbanyak.

b)

Desil , yaitu ukuran letak yang membagi

sekumpulan data menjadi 10 bagian. Rumus

Rumus modus data kelompok adalah

desil untuk data berkelompok:

 d 1  Mo = Tb +  I + d d  1 2

 j n − fk D  D j = TbD +  10 f D  

Keterangan: Mo = modus d = selisih antara frekuensi kelas modus dengan 1

j

j

frekuensi kelas sebelumnya

D j = desil ke-j ( j = 1, 2, 3, …, 9) TbDi = tepi bawah kelas yang memuat D j

frekuensi kelas sesudahnya

n

Ukuran Letak

bawah kelas yang memuat D j

bentuk fraktil .

f Di = frekuensi kelas yang memuat D j

Fraktil adalah nilai-nilai yang membagi sepe-

I

rangkat data yang telah berurutan menjadi beberapa a)

Kuartil , yaitu ukuran letak yang membagi sekum-

pulan data tersebut menjadi 4 bagian yang sama.

42

= jumlah seluruh frekuensi

fk Di = frekuensi kumulatif kurang dari di

Ukuran letak suatu data dapat dinyatakan dalam

bagian yang sama, yaitu:

Keterangan:

d 2 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan

b.

j

  I  

c)

= lebar atau panjang kelas (interval kelas)

Persentil , yaitu ukuran letak yang membagi

sekumpulan data menjadi 100 bagian. Rumus kuartil untuk data berkelompok:


B. Peluang

 j n − fk P  P j = TbP +  4  f P 

j

j

j

  I  

Permutasi

Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah

unsur yang berbeda tanpa adanya pengulangan. Rumusnya:

Keterangan: P j = kuartil ke-j ( j = 1, 2, 3, …, 99) TbPi = tepi bawah kelas yang memuat P j n = jumlah seluruh frekuensi fk Pi = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah kelas yang memuat P j f Pi = frekuensi kelas yang memuat P j I = lebar atau panjang kelas (interval kelas)

c.

P(n, r ) =

(

1)

n! n−r !

=

(

)

Permutasi dengan beberapa objek sama, berlaku:

Ukuran Penyebaran Data (Dispersi)

a)

Banyaknya permutasi dari n objek dengan r objek sama (r < n) adalah

jangkauan atau range (R), berlaku:

n P r

=

n! r !

b) Banyaknya permutasi dari n objek, di mana

b) simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata (SR), rumusnya:

ada beberapa objek sama, misalnya ada m1

n

objek yang sama, ada m2 objek yang sama

∑ x − x i

c)

)

n Pr

Permutasi terbagi atas:

R = X maks – X min

atau

Di mana k ≤ n

Ukuran penyebaran data terbagi atas: a)

n! n−r !

SR =

i =1

n

atau R =

1

n

∑f

n i =1

i

serta m3 objek yang sama, dan seterusnya x i − x

adalah

simpangan baku/standar deviasi/deviasi standar

n P m1 , m2 , m3,....

=

(SD), rumusnya: 2) n

∑ ( x − x ) i =1

n

Permutasi siklis, berlaku: Banyaknya permutasi siklis dari n objek =

2

i

SD =

n! m1 ! m2 ! m3 ! ....

jika n > 30

(n – 1)! Kombinasi

n

Banyaknya kombinasi r objek dari n objek ditulis

∑ ( x − x )

2

i

i =1

SD =

n −1

jika n ≤ 30

dengan nC r atau C r n adalah n C r

d) simpangan kuartil atau jangkauan semi interkuartil (Qd ), rumusnya: Qd =

1 2

(Q

3

− Q1 )

Keterangan: Qd = simpangan kuartil Q3 = simpangan atas Q1 = simpangan bawah

=

(

n!

)

r ! n − r !

Peluang Suatu Kejadian

Peluang (P ) merupakan ukuran mengenai kemungkinan suatu kejadian tertentu akan terjadi dalam suatu percobaan. Jika hasil suatu percobaan yang

43


mungkin itu dihimpun dalam suatu himpunan

Kejadian Majemuk

maka himpunan itu disebut ruang sampel yang

Pada kejadian majemuk berlaku:

dilambangkan dengan S.

Peluang kejadian saling asing atau kejadian saling lepas:

Peluang P untuk terjadinya suatu kejadian E adalah

P(E ) =

n(E ) n( S )

P ( A ∪ B) = P ( A) + P (B)

Untuk peluang kejadian sembarang A dan B berlaku:

Keterangan: P (E ) = peluang kejadian yang diharapkan sukses n(E ) = banyaknya anggota kejadian E n(S) = banyaknya anggota ruang sampel (banyaknya

kejadian yang mungkin terjadi)

P ( A ∪ B) = P ( A) + P (B) – P ( A ∩ B)

Pada kejadian A dan B saling bebas, kejadian A tidak memengaruhi kejadian B atau kejadian B tidak memengaruhi kejadian A, sehingga berlaku:

Peluang komplemen suatu kejadian berlaku:

P ( A ∩ B) = P ( A) × P (B)

P (E C ) = 1 – P (E ) Keterangan: P (E C ) = peluang komplemen suatu kejadian P (E ) = peluang yang diharapkan sukses

Dua buah kejadian disebut kejadian tidak saling bebas berlaku: P ( A ∩ B) = P ( A) × P (B| A )

Frekuensi Harapan

Jika suatu percobaan dilakukan n kali maka peluang kejadian yang diharapkan adalah P (E ). Perkalian

Peluang bersyarat P (B| A) artinya peluang terjadinya

antara berapa kali percobaan dilakukan dengan

B setelah A terjadi

peluang kejadian itu dinamakan frekuensi harapan (f h), ditulis dengan: f h (E ) = n × P (E ) Keterangan: f h (E ) = frekuensi harapan P (E ) = peluang kejadian E

44

n = banyak kejadian


Kompisisi Dua F un gsi dan In vers

Pela j aran

9

memetakan setiap elemen dari P (domain)

Kelas XI Semester 2

Standar Kompetensi Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi.




Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi. Menentukan invers suatu fungsi.

dengan tepat satu elemen dari Q (kodomain). Jika f memetakan suatu elemen x ∈ P ke suatu elemen y ∈ Q, fungsi f dari A ke B dapat ditulis y = f(x) dengan x sebagai peubah bebas dan y sebagai peubah terikat. Daerah asal (domain) fungsi y = f(x) adalah nilainilai x supaya y = f(x) ada nilainya (terdefinisi).

A. Pengertian Relasi dan Fungsi

1.

Produk Cartesius Jika terdapat himpunan P dan Q yang tidak kosong, produk cartesius dari himpunan P dan Q adalah himpunan pasangan terurut (x, y) dengan x ∈ P, y ∈ Q, ditulis sebagai berikut. P × Q = {(x, y)  x ∈ P dan y ∈ Q}

2.

Relasi Relasi atau hubungan R dari himpunan P ke himpunan Q adalah sembarang himpunan bagian dari produk cartesius P × Q dengan x ∈ P, y ∈ Q, ditulis sebagai berikut: R = {(x, y)  x ∈ P dan y ∈ Q}

3)

Syarat agar suatu fungsi terdefinisi :

Fungsi Suatu fungsi f atau pemetaan f dari himpunan P ke himpunan Q adalah suatu relasi khusus yang

( ) → syarat f (x ) ≥ 0 f (x ) → g (x ) ≠ 0 y = g (x ) y = ( ) log (x ) → syarat g (x ) > 0 dan f (x ) > 0, f (x ) ≠ 1

* y * *

=

f x

f x

Daerah hasil (range) fungsi y = f(x) adalah nilai-nilai y yang dipengaruhi oleh domain fungsi (Df ). Menentukan range (daerah hasil) dari fungsi kuadrat y = f(x) = ax 2 + bx + c adalah sebagai berikut. 

Untuk Df = {x  x ∈ R} -

Jika a > 0, daerah hasilnya Rf = {y  y > y e , y ∈ R}

-

Jika a < 0, daerah hasilnya Rf = {y  y < y e , y ∈ R} dengan y e

 b2 − 4ac  = −   4a 

45




Untuk Df = {xp < x < q, x ∈ R}

D. Komposisi Fungsi

-

Jika fungsi f : A → B dan fungsi g: B → C, fungsi h:

b   Jika absis titik puncaknya  x e = −  2a  

di dalam interval domain, tentukan

f(xe), f(p), dan f(q), sehingga: Rf = {yf min

A → C disebut fungsi komposisi yang ditentukan oleh rumus sebagai berikut.

< y < f maks , y∈ R} -

h = gof = gof(x) = g o{f(x)} = (g of)(x)

Jika absis titik puncaknya (xe) di luar interval domain, tentukan f(p), dan f(q), sehingga: Rf = {yf min < y < f maks , y∈ R}.



Syarat agar fungsi g dan fungsi f dapat dikomposisikan menjadi (gof ) adalah sebagai berikut. -

B.

Sifat-sifat Fungsi



Fungsi dari himpunan P ke Q

Irisan antara daerah hasil fungsi dengan daerah asal fungsi g bukan himpunan kosong. (Rf ∩ Rg) ≠ 0

disebut satu-satu (one-one -

/ injektif ) jika setiap elemen

Daerah asal fungsi komposisi (gof ) adalah himpunan bagian dari daerah asal fungsi f .

dari P hanya mempunyai

D(g f ) ⊆ Df

satu peta di Q dan tidak harus semua elemen

o

-

dari Q terpetakan dari P. 

Daerah hasil fungsi komposisi (gof ) adalah himpunan bagian dari daerah hasil fungsi g.

Fungsi dari himpunan P ke

R(go f ) ⊆ Rf

himpunan Q disebut pada 

(onto / surjektif) jika setiap

Sifat fungsi komposisi: tidak komutatif gof(x) ≠ f og(x).

elemen dari himpunan Q habis terpetakan (mempunyai minimal satu pasangan dengan elemen himpunan P). 

E.

Fungsi Invers



Tidak semua fungsi invers merupakan fungsi

Fungsi dari himpunan P

invers dan invers fungsi yang merupakan fungsi

ke himpunan Q disebut

disebut fungsi invers.

korespondensi satu-satu



(one-one onto / bijektif) jika fungsi itu injektif

Suatu fungsi f : A  B mempunyai fungsi invers f -1 : B  A jika semua elemen himpunan A dan

dan onto).

elemen himpunan B berkorespondensi satusatu.

C.

Aljabar Fungsi



Jika f dan g adalah dua fungsi yang diketahui, maka fungsi yang merupakan jumlah, selisih, hasil kali,

Notasi fungsi invers adalah jika f ( x ) = y, f -1( y ) = x atau y -1 = f -1(x).



Langkah menentukan fungsi invers dari y = f(x)

dan hasil bagi kedua fungsi tersebut masing-masing

adalah:

sebagai berikut.

-

* * * *

(f + g )(x ) = f (x ) + g (x ), dengan D( + ) = D ∩ D (f − g )(x ) = f (x ) − g ( x ), dengan D( − ) = D ∩ D (f . g )(x ) = f (x ). g( x ), dengan D( ) = D ∩ D f (x )  f   g  ( x )= g x , dengan D  = D ∩ D dan g (x ) ≠ 0 ()       f g

f

g

f g

f

g

f

f .g

f g

46

f

g

Mengubah fungsi y = f(x) dalam bentuk x sebagai fungsi y .

-

Mengganti y pada f -1( y ) dengan x untuk mendapatkan f -1(x).

g



Sifat komposisi fungsi invers : f -1o g-1 = (g o f)-1


F.

Hubungan komposisi dan invers

Jika (g o f )( x ) = h( x ), maka diperoleh: 1.

h-1(x) = (g o f )-1( x ) = (f -1o g-1)(x) = f -1 (g-1( x ))

2.

(f o g)-1(x) = (g-1o f -1)(x) = g-1 (f -1(x))

3.

g(x) = (h o f -1)( x )

4.

f (x) = (g-1 o h)( x )

G. Rumus-rumus

1.

(f ± g) ( x ) = f(x) ± g(x)

2.

(f × g) ( x ) = f(x) × g(x)

3.

 f  ( x ) = f ( x ) dengan g(x) ≠ 0  x  g( x )  

4.

f n ( x) = f ( x )

{ }

n

6.

 x − b    a  x n − b f ( x ) = n ax + b → f -1( x ) =

7.

f(x) =

5.

f ( x ) = ax n + b → f -1( x ) = 

1 n

a

ax + b -dx + b → f -1( x ) = ;x cx + d cx − a

≠

a c

47


Pela j aran

Lim it F un gsi

10 Kelas XI Semester 2

A. Pengertian Limit

Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.













48

Kompetensi Dasar Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar. Menggunakan sifat dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi aljabar. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi aljabar dan memecahkan masalah. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrem fungsi aljabar. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrem fungsi aljabar dan penafsirannya.

1.

Limit suatu fungsi f(x) untuk x mendekati nilai a adalah harga yang paling dekat dari f(x) pada

saat x mendekati nilai a. 2.

Jika lim f ( x ) = L ,artinya L adalah nilai pendekatan x → a

untuk x di sekitar a. B.

Teorema Limit

1.

Jika f(x) = x , maka

2.

c .f ( x ) = c . lim f ( x) Jika c konstanta, maka xlim →a x →a

3. 4. 5.

{

f ( x ) ± lim g ( x ) }= lim → →

{

f ( x ). lim g( x ) }= lim → →

lim f ( x ) ± g( x )

x → a

lim f ( x ) = a

x →a

lim f ( x ).g( x )

x →a

x

x

a

a

x

x

a

a

f ( x ) f ( x ) xlim , untuk lim g( x ) ≠ 0 = →a x →a x →a g( x ) lim g( x )

lim

x →a

6.

lim f n ( x )

x →a

(

) n

= lim {f ( x )}n = lim f ( x ) , x →a x →a

untuk n bilangan asli C.

Limit Fungsi Aljabar

Langkah umum penyelesaian limit fungsi aljabar lim f ( x ) adalah sebagai berikut.

x → a

1.

Substitusi nilai x = a ke f(x).

2.

Jika hasilnya bentuk tak tentu  0 , ∞ , ∞ , − ∞  , 0 ∞  f(x) harus diuraikan.

3.

Jika hasilnya bentuk tertentu, itulah nilai limitnya.


D. Jenis Limit untuk x → c

1. 2.

F.

Jika x → ∞ dengan hasil ∞ – ∞ ,

Jika x → c dan c adalah konstanta, fungsi f(x)

fungsi f(x) diuraikan dengan cara dikali sekawan

diuraikan dengan cara faktorisasi.

untuk fungsi yang mengandung bentuk akar,

Untuk fungsi f(x) yang mengandung bentuk

kemudian membagi pembilang dan penyebut

akar, kalikan dengan sekawannya terlebih

dengan x pangkat tertinggi.

dahulu, baru masukkan nilai limitnya.

Rumus jumlah dan selisih akar

0 ∞ E. Jika x → ∞ dan hasilnya atau , 0 ∞ fungsi f(x) diuraikan dengan cara membagi pembilang dan penyebut dengan x pangkat tertinggi.

lim

x →∞

a1x

m −1

m

+ a2 x

+ ...

n

+ b2 x

+ ...

b1x

n −1

 ∞ , untuk m > n  a =  1 , untuk m = n  b1  0, untuk m < n

 ∞ , untuk a > c

( →∞

ax + b

( →∞

ax + b

lim

x

lim

x

) −∞

+ cx + d = 

0, untuk a = c



, untuk a < c

 ∞ , untuk a > c

) −∞

− cx + d = 

0, untuk a = c



, untuk a < c

Rumus selisih akar kuadrat

lim x →∞

(

ax

2

2

+ bx + c − px + qx + r

 ∞ , untuk a > p  b −q = , untuk a = p  2−∞a, untuk a < p 

)

49


Pela j aran

In te gral

11 Kelas XII Semester 1

C.

Standar Kompetensi Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah sederhana.

Penerapan Integral Tentu

∫ 2. V = ∫ a dt

1. S = v dt






Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu. Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar sederhana. Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva.

D. Integral Tertentu b

∫ f ( x )dx = F ( x )

b a

= F (b ) − F ( a )

a

F ( x ) = antiturunan f ( x ) a = batas bawah b = batas atas E.

Sifat-Sifat Integral Tertetu b

1.

∫ k dx =k(b − a) a

a

A. Integral Tak Tentu

2.

∫ 2. ∫ df ( x ) = f ( x ) + c 3. ∫ adx = ax + c 1 x + c dengan n ≠ 1 4. ∫ x dx = n +1 a x + c dengan n ≠ −1 5. ∫ ax dx = n +1 (ax + b ) + c dengan a ≠ 0 6. ∫ (ax + b ) dx = a(n + 1)

a

1. dx = x + c

n +1

n

n

B.

b

3.

n +1

Sifat-Sifat Integral

∫ ∫ 2. ∫ (f ( x) ± g( x ))dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g( x )dx

1. kf ( x )dx = k f ( x )dx

50

b

∫ k f ( x ) dx = k ∫ f ( x) dx a

a

b

4.

a

∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx a

n +1

n

∫ f ( x ) d x = 0

5.

b

b

c

c

a

b

a

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx


F.

Luas Bidang Datar

H. Integral Fungsi Trigonometri

1.

Dibatasi Oleh Kurva dan Sumbu X

1.

6.

∫ sin x dx= - cos x + c ∫ cos x dx = sin x + c ∫ sec2 x dx = tan x + c ∫ cosec2 x dx = - cot x + c ∫ sec x tan x dx = sec x + c ∫ cosec x cot x dx = - cosec x + c

I.

Integral Substitusi Trigonometri

2. 3. 4. 5. b

Luas D1 =

∫ f ( x )dx

b

∫

Luas D2 = − f ( x )dx = a

a

2.

b

∫ f (x )dx a

Luas Antara Dua Kurva b

∫

Luas D1 = [f ( x) − g( x )]dx D1

Hasil Substitusi

a2 − x 2

x = a sin

α

a cos

α

a2 + x 2

x = a tan

α

a sec

α

x 2 − a2

x = a sec

α

a tan

α

a

G. Volume Benda Putar

1.

Substitusi dengan

Fungsi Integral

Mengelilingi Sumbu X J.

Panjang Busur

b

∫

Volume = [f ( x )]2 dx x=b

2.

a

Mengelilingi Sumbu Y b

b

∫

Volume = π [f ( y )]2 dy

S=

∫ a

 dy  1+    dx 

2

dx

a

51


Pela j aran

Pro gram Linear

12

B.

Kelas XII Semester 1

Standar Kompetensi Menyelesaikan masalah program linear.

linear






Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Merancang model matematika dari masalah program linear. Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya.

Himpunanpenyelesaiandari pertidaksamaan

Daerahpenyelesaiandarimasalahprogramlinear,yaitu model matematika yang berbentuk pertidaksamaan linear ax + by < ab atau ax + by > ab. Daerah penyelesaian dapat ditentukan dengan cara: 1.

Jika ax + by < ab maka daerah penyelesaian berada di sebelah kiri garis, dengan syarat koefisien x positif (a > 0).

2.

Jika ax + by > ab maka daerah penyelesaian berada di sebelah kanan garis, dengan syarat koefisien x positif (a > 0).

A. Persamaan garis lurus

Letak kiri dan kanan daerah penyelesaian,

1.

dengan syarat koefisien x positif ( a > 0 )

Persamaan garis yang bergradien m dan melalui

kanan (≥)

kiri ( ≤)

kiri ( ≤) kanan (≥)

titik (x1, y1) adalah:

kanan (≥)

kiri ( ≤) kanan (≥)

kiri (≤)

y – y1 = m(x – x1) 2.

Persamaan garis yang

C.

melalui dua titik ( x 1 , y 1) dan (x2, y2) adalah:

− y1 = y 2 − y 1 y

3.

− x 1 x2 − x 1

simum, dan Nilai Minimum

1. 2.

ax + by = ab

52

Nilai fungsi sasaran yang dikehendaki adalah kondisi x dan y yang menyebabkan maksimum

Persamaan garis yang dan (b, 0) adalah:

Fungsi tujuan adalah nilai f untuk x dan y tertentu dari suatu program linear, dan dinyatakan f(x, y)

x

melalui titik (0, a)

Fungsi Tujuan (Objektif /Sasaran), Nilai Mak-

atau minimum 3.

Pada gambar HP program linear, titik-t itik sudut merupakan titik-titik kritis, dimana nilai minimum atau maksimum berada. Apabila


sistem pertidaksamaannya terdiri dari dari dua

Berdasarkan kedua grafik di atas dapat di-

pertidaksamaan, maka titik-titik kritisnya bisa

simpulkan cara penentuan titik kritis sebagai

ditentukan tanpa harus digambar grafiknya.

berikut. 1.

Pilih titik potong kurva dengan sumbu Y atau sumbu X yang terkecil (0, a) dan (q,

Titik kritis ada 3:

0) jika tujuannya maksimumkan atau

(0, a), (x, y), dan (n, 0)

yang terbesar (0, p), (b, 0) jika tujuannya minimumkan.

2.

Titik potong antara kedua kurva (x, y)

Titik kritis ada 3 : (0, m), (x, y), dan (b, 0)

53


Pela j aran

Ma triks

13 Kelas XII Semester 1

Standar Kompetensi Menggunakan matriks dalam pemecahan masalah.






Menggunakan sifatsifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matrik persegi merupakan invers dari matriks persegi lain. Menentukan determinan dan invers matriks 2 x 2. Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel.

A=

a d 

A+B=

b c  e



f 

a + p d + s 

 p q s t  c +r   f + u

dan B = b+q e+t

r 



u

1) Sifat penjumlahan matriks Jika A, B, dan C matriks-matriks berordo sama, berlaku: (a) Sifat Komutatif: A + B = B + A; (b Sifat Asosiatif: (A + B) + C = A + (B + C); (c) Terdapat matriks Identitas, yaitu matriks nol, sehingga: A + 0 = 0 + A = A; (d) Setiap matriks A mempunyai invers penjumlahan yaitu matriks – A , sehingga: A + ( –A ) = ( –A ) + A = 0 2) Pada pengurangan matriks bersifat:

1.

Pengertian matriks

(a) Tidak Komutatif

a)

Matriks merupakan susunan kumpulan bilangan

(b) Tidak Asosiatif

dalam bentuk persegi atau persegi panjang

(c) Tidak terdapat unsur Identitas

yang diatur menurut baris dan kolom; b) Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-

b) Perkalian Matriks

bilangan yang mendatar dalam matriks;

Dua matriks A dan B dapat dikalikan bila banyak

Kolom suatu matriks adalah susunan bilangan-

kolom matriks pertama (kiri) sama dengan

bilangan yang tegak dalam matriks.

banyak baris matriks kedua (kanan)

2.

Operasi hitung matriks

1) Am x n . Bn x k = Cm x k

a)

Penjumlahan atau pengurangan matriks

2) Bn x k . Am x n tidak dapat dikalikan

c)

Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordo A = ordo B

54


Apabila |A|

3. Transpos Matriks Transpos matriks A ( At ) adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris ke-I matriks

mempunyai invers dan disebut matriks singular.

t

A menjadi kolom ke-I matriks A .

a d 

a c   t  → A = b f   c

b e

d 

3)

(1) A A-1 = A-1 A = I =

f 

c) (AB) = B A t

d) (KA) = KA , k merupakan konstanta 4.

Determinan dan invers matriks

1)

Jika A =

2)

Jika A = A−1 =

1 A

Penggunaan matriks dalam sistem persamaan linear

t

a |A|=  c

 1 0  1 0   0 1   0 1   

(2) (A B)-1 = B-1 A-1 5.

b) ( At )t = A t

Sifat-sifat invers matriks



e

a) (A + B)t = At + Bt t

Apabila |A| ≠ 0 |A| ≠ 0, maka matriks A mempunyai invers dan disebut matriks non singular.

Beberapa sifat matriks transpos:

t

= 0 |A| = 0, maka matriks A tidak

a c 

1)

Jika persamaan AX = B, maka X = A-1 B Jika persamaan XA = B, maka X = B A-1 2)

b

 = ad – bc

d 

a c 

b

 , maka invers matriks A =

d 

Cara determinan ax + by = p

 , maka determinan matriks A = d 

b

Cara Matriks

cx + dy = q

maka x =

dengan D=

a b c

d

Dx Dy dan y= d D

, Dx =

p

b

q

d

, Dy =

a c

p q

 d −b   −c a   

55


Pela j aran

Barisan dan Dere t

14

d.

Kelas XII Semester 2

Standar Kompetensi Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah.

Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret dan menafsirkan solusinya.





1.

Barisan dan Deret Aritmatika

a.

Bentuk umum barisan: U1, U2,

U3,

Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un – 1 + Un


U4,

...,

Jumlah n suku pertama (Sn)

Sn

e.

=

n

(a + U ) atau 2

Sn

n

=

n

2

{2a + (n −1)b}

Hubungan suku pertama (a), suku tengah (Ut), dan suku ke-n (Un) Ut

=

(

)

1 a + U 2k −1 , 2

k letak suku tengah, banyaknya suku 2k – 1

Sn = n . U t f.

Sisipan bbaru =

b k + 1

2.

Barisan dan Deret Geometri

a.

Bentuk umum barisan: U1, U2, U3, U4, . . . , Un r,

Un b.

ar, ar2, ar3,. . . , ar n–1

Rasio (perbandingan) = r

a, a + b, a + 2b, a + 3b, . . . , a + (n – 1)b b.

Beda (selisih) = b b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = . . . = U n – Un – 1

c.

r =

Suku ke-n (Un) Un = a + (n – 1)b Un = Sn – Sn – 1

56

c.

U2 U1

=

U 3 U2

Suku ke-n (Un) Un = arn–1 Un = Sn – Sn – 1

=

U4 U3

=... =

U n Un−1

Ringkasan Materi UN Matematika IPS SMA

Recommend Documents