Cinemática del Brazo articulado PUMA
José Cortés Parejo. Enero 2008
1. Estructura del brazo robótico El robot PUMA de la serie 500 es un brazo articulado con 6 artic articul ulac acio ione ness rota rotator torias ias que que le prop propor orcio ciona nan n 6 grad grados os de posicionar orientar libertad y le permiten y su herramienta herramienta final. De manera más específica, las 3 primeras articulaciones (sistema Hombro Hombro-Co -Cododo-Muñ Muñeca eca)) posici posiciona onan n en el espaci espacio o el grupo grupo formado por las 3 últimas, que son las que orientan el efector . La estructura estructura de articulacion articulaciones-el es-element ementos, os, queda esbozada esbozada en las siguientes figuras, figuras, en las que se muestra muestra una imagen simétrica del robot y en la de la derecha las dimensiones no están a escala para facilitar su comprensión:
La cinemática del brazo articulado la formularemos siguiendo la representación de Denavit-Hartenberg, cuya descripción comprende 2 apartados: asignación de Sistemas de Referencia y relación de parámetros asociados a elementos y articulaciones.
2. Representación Denavit-Hartenberg La cinemática de una cadena articulada se basa en asociar a cada par articulación–brazo un Sistema de Referencia Local con origen en un punto Qi y ejes ortonormales sistema de referencia fijo e inmóvil representado por los ejes
Xi , Yi , Zi , comenzando con un primer
X0 , Y0 , Z0 , anclado a un punto fijo Q0 de
la Base sobre la que está montada toda la estructura de la cadena. Este Sistema de Referencia no tiene por qué ser el Universal Universal con origen en (0,0,0) y ejes asociados a la Base canónica.
XU , YU , ZU
Las articulaciones se numeran desde 1 hasta n ( n
6 en nuestro caso). A la articulación i -ésima se le asocia su propio eje de rotación como Eje Z i 1 , de forma que el eje de giro de la 1ª articulación es Z 0 y el de la 6ª articulación, Z 5 . Para la articulación i -ésima (que es la que gira alrededor de Z i 1 ), la elección del origen de coordenadas
Qi y del Eje X i sigue reglas muy precisas en función de la geometría de los brazos articulados. el Eje Y i por su parte, se escoge para que el sistema
Xi , Yi , Zi sea dextrógiro.
La especificación de cada Eje X i depende de la relación espacial entre
Z i y Z i 1 , distinguiéndose 2 casos: 1- Z i y Z i
1
no son paralelos
Entonces existe una única recta perpendicular a ambos, cuya intersección con los ejes proporciona su mínima distancia (que puede ser nula). Esta distancia, representada por ai y medida desde el eje Z i
1
hacia el eje Z i (con su signo), es uno de los parámetros asociados a la articulación i -ésima.
Por otra parte, la distancia d i desde Qi
Z i
1
1
a la intersección de la perpendicular común entre Z i
1
y Z i con
es el 2º de los parámetros asociados a la articulación i -ésima.
En este caso, el Eje X i es esta recta, siendo el sentido positivo el que va desde el Eje Z i
1
al Z i si ai
0.
El origen de coordenadas Qi es la intersección de dicha recta con el Eje Z i . 2- Z i y Z i
1
son paralelos
En esta situación el Eje X i se toma en el plano conteniendo a Z i
1
y Z i y perpendicular a.ambos.
El origen Qi es cualquier punto conveniente del eje Z i . El parámetro ai es, como antes, la distancia perpendicular entre los ejes Z i
1
y Z i , y d i es la distancia desde Qi 1 .
A la articulación i -ésima se le asocia un 3 er parámetro fijo
i
que es el ángulo que forman los ejes Z i
1
y
Z i en relación al eje X i . Nótese que cuando el brazo i -ésimo (que une rígidamente las articulaciones i e i 1 ) gira en torno al eje
Z i
1
(que es el de rotación de la articulación i ), los parámetros ai , d i y
i
permanecen constantes, pues
dependen exclusivamente de las posiciones/orientaciones relativas entre los ejes Z i invariables. Por tanto, ai , d i y
i
1
y Z i , que son
pueden calcularse a partir de cualquier configuración de la estructura
articulada, en particular a partir de una configuración inicial estándar o de reposo. Precisamente el ángulo
i
de giro que forman los ejes X i
1
y X i con respecto al eje Z i
1
es el 4º
parámetro asociado a la articulación i y el único de ellos que varía cuando el brazo i gira. Es importante observar que el conjunto de los 4 parámetros ai , d i ,
i
y
i
determina totalmente el Sistema
de Referencia de la articulación i 1 en función del S.R de la articulación i .
3. Sistemas de Referencia en el PUMA En la siguiente Figura aparecen representadas las 6 articulaciones del robot junto con sus brazos asociados, que han sido rotados ligeramente para visualizar mejor los ejes de cada Sistema de Referencia. Veamos cómo se realiza la asignación de ejes: 1- La 1ª articulación, dibujada en Rojo junto con el brazo que acciona al rotar, tiene asociado el S.R. de la Base
X0 , Y0 , Z0 junto con su origen Q0 , todos ellos anclados y fijos a la Base.
Los ejes Z 0 y Z 1 son coplanarios e intersectan en el punto Q0 . Por tanto, el eje X 1 tiene la dirección de
Z 0
Z 1 . Por convenio se le ha puesto de sentido contrario, para que se alinee de forma paralela con el
Brazo 2 (en Azul) cuando éste está horizontal. El origen del S.R. es la intersección de la recta perpendicular común a Z 0 y Z 1 que da su mínima distancia (que es nula) con el eje Z 1 . Por tanto, Q1 coincide con Q0 . Los parámetros constantes de la 1ª articulación son: a1 El ángulo
1
0
d 1
0
1
90º .
(giro de Z 0 sobre Z 1 alrededor de X 1 ) es negativo al haber elegido X 1 con sentido
opuesto al de Z 0
Z 1 . Finalmente,
1
es el ángulo de giro entre X 0 y X 1 .
2- La 2ª articulación, dibujada en Azul con el brazo que acciona al rotar, tiene asociado el recién definido Sistema de Referencia
X1 , Y1 , Z1 , alrededor de cuyo eje Z 1 rota. Ahora los ejes Z 1 y Z 2 son
paralelos, por lo que el eje X 2 es perpendicular a ambos y coplanario con Z 1 y Z 2 .
El origen Q2 se elige en estos casos como cualquier punto sobre el eje Z 2 , habiéndolo situado en el extremo del 2º brazo. Como ya se desribió en general, a2 es la distancia perpendicular entre Z 1 y Z 2 mientras que d 2 es la distancia, medida sobre el eje Z 1 , desde Q1 hasta la perpendicular común que contiene al eje X 2 . En el caso del Robot PUMA estas magnitudes son: el parámetro
2
a2
431.8 mm
d 2
149.09 mm y por otra parte,
0º (ángulo entre Z 1 y Z 2 ).
3- La 3ª articulación, dibujada en Verde, tiene asociado el S.R. Para determinar sus parámetros a3 , d 3 ,
3,
y
3
X2 , Y2 , Z2 , Q2 y gira alrededor de Z 2 .
definimos previamente el 4º S.R.
X3 , Y3 , Z3 , Q3 .
Los ejes Z 2 y Z 3 se cruzan en el espacio (no son coplanarios), por lo que el eje X 3 es la recta perpendicular a ambos que da la mínima distancia a3 , medida desde Z 2 a Z 3 en el sentido de X 3 , con lo cual a3
0 (para el PUMA es a3
20.32 mm ).
El origen de coordenadas Q3 es, la intersección entre X 3 y Z 3 . Por su parte, d 3 es la distancia desde Q2 a la intersección entre Z 2 y X 3 y por tanto d 3 que el ángulo desde Z 2 a Z 3 alrededor de X 3 es
3
90º .
0 , mientras
4- La 4ª articulación, dibujada en Amarillo, gira alrededor de Z 3 . Los ejes Z 3 y Z 4 se cortan, siendo este punto de corte el origen Q4 . El eje X 4 es entonces perpendicular a Z 3 y Z 4 y naturalmente a4
0.
El parámetro d 4 es la distancia a lo largo de Z 3 desde Q3 a la intersección de Z 3 y Z 4 . En el caso del PUMA es d 4
433.07 mm y finalmente, el ángulo que forman Z 3 y Z 4 respecto a X 4 es
4
90º .
Nótese que la longitud del brazo 4 (representado por un pequeño bloque amarillo) no es un parámetro.
5- La 5ª articulación, dibujada en Gris, gira alrededor de Z 4 . Los ejes Z 4 y Z 5 se cortan, siendo este punto de corte el origen Q5 , que coincide con Q4 . El eje X 5 es perpendicular a Z 4 y Z 5 y a5
0.
El parámetro d 5 es la distancia a lo largo de Z 4 desde Q4 a la intersección de Z 4 y Z 5 , con lo cual se tiene d 5
0 . El ángulo que forman Z 4 y Z 5 respecto a X 5 es
5
90º .
6- La 6ª articulación, dibujada en Cyan, gira alrededor de Z 5 y es la última del brazo articulado. Dado que no existen más articulaciones, y por tanto más ejes de giro, se define un Sistema de Referencia, ligado al último brazo en el que el eje Z 6 coincide con Z 5 mientras que X 6 es cualquier vector
perpendicular. El origen Q6 se sitúa en posición arbitraria, generalmente en el extremo del brazo 5, que es donde se ancla la herramienta del manipulador.
En este caso se tiene a6
0 y d 6 es la distancia desde Q5 a Q6 , que para el robot PUMA es
56.25 mm . Finalmente,
d 6
0.
6
4. Transformación de coordenadas Ya se ha comentado que los 4 parámetros ai , d i , tiene por origen el punto Qi
1
y Base
i
y
Xi 1 , Yi 1 , Zi 1
i
asociados a la i -ésima articulación, cuyo S.R.
determinan unívocamente la transformación en el
S.R asociado a la ( i 1) -ésima articulación, que tiene origen en Qi y Base
Xi , Yi , Zi . De estos 4
parámetros, los 3 primeros son constantes y dependen exclusivamente de la relación geométrica entre las articulaciones i e i 1 , mientras que el 4º parámetro ángulo de giro del eje X i
1
alrededor del eje Z i
Sabemos que dados 2 Sistemas de Referencia
1
i
es la única variable de la articulación i , siendo el
para llevarlo hasta X i .
Q1 , [u1 , u2 , u3 ]
R 1
y
R 2
Q2 , [v1, v2 , v3 ] con
Bases ortonormales asociadas, el cambio de coordenadas del segundo S.R. al primero viene dado por: 1 2
R
3
donde que
1,
2,
v1 | v2 | v3
3
1
1
2
2
3
3
R 2 , R es la matriz del Cambio de Base tal son las coordenadas del origen del segundo S.R., Q2
son las coordenadas de un punto en el S.R
u1 | u2 | u3
R y
1,
2,
3
respecto al primero. La expresión permite entonces obtener las coordenadas
1,
2,
3
del punto en
cuestión con respecto al primero de los S.R. En nuestro caso, para pasar de la ( i 1) -ésima articulación a la i -ésima, los Sistemas de Referencia son
R1
Qi 1 , X i 1 , Yi 1 , Z i 1
y R2
Qi , X i , Yi , Z i
.
Estudiaremos por separado la matriz del Cambio de Base y la expresión de Qi en en el primer S.R.
4.1 Matriz del Cambio de Base Habiendo asignado los ejes a cada articulación mediante la representación Denavit-Hartenberg, tenemos que: 1- El eje X i se obtiene rotando el eje X i 2- El eje Z i se obtiene rotando el eje Z i
alrededor del eje Z i
1
un ángulo
1
alrededor del eje X i un ángulo
1
i
i
.
.
Por su parte, el eje Y i viene ya determinado por X i y Z i . •
La primera transformación es una rotación alrededor del 3 er vector de la 1ª Base, cuyas ecuaciones genéricas son:
u1(1) | u2(1) | u3(1) •
u1 | u2 | u3 R3 ( i )
La segunda transformación es una rotación alrededor del 1 er vector de la Base ya transformada, y tiene por expresión:
u1(2) | u2(2) | u3(2)
(1) u1(1) | u(1) R1 ( 2 | u3
u1(2) | u2(2) | u3(2)
Por tanto, concatenándolas:
i
)
u1 | u2 | u3 R3 ( i ) R1 ( Xi | Yi | Zi
Finalmente, cambiamos la notación para tener:
Xi
1
| Yi
1
i
)
| Zi 1 R3 ( i ) R 1 (
i
)
Con lo cual, la matriz del Cambio de Base es:
R
R3 ( i ) R1 (
i
)
cos
i
sen
i
sen cos
0
R
i
sen
i
1
0
0
0
cos
i
1
0
sen
i
i
0
cos
0
i
sen cos
0
i
cos
cos
i
sen
0 sen cos
sen i sen
i
cos i sen
i
cos
i
i i
i
i
i
4.2 Coordenadas de Qi en el primer S.R. Según la representación de Denavit-Hartenberg, el origen del 2º Sistema de Referencia se obtiene mediante: 1- Traslación de Qi
1
a lo largo del eje Z i
1
por la magnitud d i .
2- Traslación a lo largo del eje X i por la magnitud ai . (1)
•
La primera transformación es: Qi
•
La segunda transformación es: Qi
1
Qi Qi(1)1
1
d i Z i 1 ai X i
Teniendo ahora en cuenta que:
Xi | Yi | Zi
Xi
1
| Yi
| Zi 1
1
cos
i
sen
i
sen cos
0
cos
i
cos
i
sen
sen i sen
i
i
cos i sen
i
cos
i
i
i
Se tiene, para el 1 er vector:
Xi
Xi 1 | Yi 1 | Zi
1
cos
i
sen
i
cos
Xi
i
sen
1
Yi 1
i
0 de donde: Qi
(1)
Qi
ai X i
1
Qi
Qi
Qi
di Zi
1
(ai cos i ) X i
1
a i (cos
1
Xi
i
(ai sen i )Yi
1
sen
1
1
i
Yi 1 )
d i Z i 1
y por tanto, las coordenadas de Qi en el 1er Sistema de Referencia son:
1
ai cos
i
2
ai sen
i
d i
3
Finalmente, la transformación de coordenadas del S.R. Qi ,[ X i ,Yi , Zi ] al S.R. Qi 1
cos
i
2
sen
i
3
0
sen
cos
i
cos
i
cos
sen
sen i sen
i
i
cos i sen
i
cos
i
i
[ X i 1 , Yi 1 , Z i 1 ] es:
1
ai cos
i
2
ai sen
i
ai cos
i
a i sen
i
d i
3
i
1,
Cambiando la notación para las coordenadas:
xi yi zi
1
cos
i
1
sen
i
1
0
sen cos
i i
cos
cos
sen
sen i sen
i
cos i sen
i
cos
i
x i yi z i
i i
i
d i
Donde el subíndice denota el Sistema de Referencia respecto al cual están expresadas las coordenadas. En coordenadas homogéneas:
xi yi zi 1
1
cos
i
sen
1
sen
i
1
0
sen
0
0
cos
i i
cos
cos i
i i
sen i sen cos i sen cos 0
i
i i
d i
x i yi z i
1
1
a i cos
i
ai sen
i
5. Matrices de transformación para el PUMA-560 En la sección 3 se explicó la estructura articulada del PUMA-560, la asignación de Sistemas de Referencia a cada articulación y el valor de los parámetros constantes ai , d i ,
i
asociados. A modo de resumen,
tenemos la siguiente Tabla:
Articulación
ai
d i
1
0
0
-90
2
431.8
144.09
0
3
-20.32
0
+90
4
0
433.07
-90
5
0
0
+90
6
0
56.25
0
i
A partir de la cual podemos obtener las 6 matrices de transformación:
0
T 1
cos
1
0
-sen
sen
1
0
cos
0
1
0
2
T 3
T 54
0
1 1
0 0
0
0
0
1
sen
1
T 2
cos
3
0
sen
3
0
cos
0
1
0
0
0
0
0
1
sen
3 3
a3 cos
3
a3 sen
3
cos
5
0
sen
5
0
cos
0
1
0
0
0
0
0
1
3
T 4
5
2
sen
2
sen cos
0
T 65
2 2
0 a2 cos
2
0 a2 sen
2
0
0
1
d 2
0
0
0
1
cos
4
0
-sen
sen
4
0
cos
0
1
0
0
5
cos
0
cos
6
sen
6
sen cos
6 6
0
4
0
4
0
d 4
0
1
0
0
0
0
0
0
1
d 6
0
0
0
1
Y la transformación de coordenadas desde el S.R. Qi ,[ X i ,Yi , Zi ] al Q0 ,[ X 0 ,Y0 , Z0 ] es:
p(0)
T10 T21
En particular, para la última articulación:
i 1
Ti
p(
i )
(0)
p
0
T1
1
2
3
4
5
( i )
T2 T3 T4 T5 T6 p