RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
MATA PELAJARAN
: MATEMATIKA (UMUM)
KELAS /SEMESTER : X /GANJIL PROGRAM
: IPA
PENYUSUN
: Sugiarto, S.Pd., M.Pd. (Kelompok 4)
KD
: 3.5
BIMTEK KURIKULUM 2013 2017
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Sekolah Mata pelajaran Kelas/Semester Kelas/Semester Alokasi Waktu A.
: : : :
SMA Negeri 1 Pegandon Matematika (Umum) X/ 1 2 × 45 menit (2 JP)
Kompetensi Inti, Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Pencapaian Kompetensi KI SPIRITUAL (KI 1) DAN KI SOSIAL (KI 2) Kompetensi Sikap Spiritual yang ditumbuhkembangkan melalui keteladanan, pembiasaan, dan budaya sekolah dengan memperhatikan karakteristik mata pelajaran, serta kebutuhan dan kondisi peserta didik, yaitu berkaitan dengan kemampuan menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. Sedangkan pada Kompetensi Sikap Sosial berkaitan dengan perilaku jujur, disiplin, tanggung tanggung jawab, kerjasama, responsive (kritis), pro-aktif (kreatif) dan percaya diri, serta dapat berkomunikasi dengan baik. KI PENGETAHUAN (KI 3) KI KETERAMPILAN (KI 4) KI3: Kompetensi Pengetahuan, yaitu KI4: Kompetensi Keterampilan, yaitu memahami, menerapkan, menganalisis Mengolah, menalar, dan menyaji pengetahuan faktual, konseptual, dalam ranah konkret dan ranah prosedural berdasarkan rasa abstrak terkait dengan pengembangan ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, dari yang dipelajarinya di sekolah teknologi, seni, budaya, dan humaniora secara mandiri, dan mampu dengan wawasan kemanusiaan, menggunakan metoda sesuai kaidah kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban keilmuan terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah KOMPETENSI DASAR DARI KI 3 KOMPETENSI DASAR DARI KI 4 3.5 Menjelaskan dan menentukan fungsi 4.5 Menganalisa karakteristik masing – (terutama fungsi linear, fungsi kuadrat, masing grafik (titik potong dengan dan fungsi rasional) secara formal yang sumbu, titik puncak, asimtot) dan meliputi notasi, daerah asal, daerah hasil, perubahan grafik fungsinya akibat dan ekspresi simbolik, serta sketsa transformasi f 2(x), 1/f(x), |f(x)| dsb grafiknya. INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI (IPK) DARI KD 3.5 (IPK) DARI KD 4.5 3.5.1 Menjelaskan pengertian dan notasi 4.5.1 Menganalisis karakteristik grafik fungsi untuk fungsi linear, fungsi fungsi dengan menentukan titik kuadrat dan fungsi rasional potong thd sb X, titik puncak, 3.5.2 Menentukan daerah asal fungsi untuk asimtot fungsi linear, fungsi kuadrat dan 4.5.2 Menganalisis perubahan fungsi rasional melalui grafik karakteristik grafik fungsi akibat 3.5.3 Menentukan, daerah hasil suatu fungsi tranformasi f 2(x), 1/f(x), |f(x)| untuk fungsi linear, fungsi kuadrat dan 4.5.3 Menggunakan konsep daerah asal fungsi rasional melalui grafik suatu fungsi untuk menyelesaikan 3.5.4 Menggunakan ekspresi simbolik pada masalah kontekstual tentang fungsi. fungsi. 4.5.4 Menggunakan konsep daerah hasil 3.5.5 Menjelaskan pengertian fungsi linear suatu fungsi untuk menyelesaikan 3.5.6 Menggambar sketsa grafik fungsi masalah kontekstual tentang fungsi. linear 3.5.7 Menjelaskan pengertian fungsi kuadrat
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
1
RPP Matematika (Umum) - Kelas X 3.5.8
Menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat 3.5.9 Menjelaskan pengertian fungsi rasional 3.5.10 Menggambar sketsa grafik fungsi rasional
Literasi: membuat laporan hasil kerja kelompok secara tertulis, melakukan paparan (deskripsi) hasil kerja kelompok secara lisan, berargumentasi.
B. Tujuan Pembelajaran 4.6 Melalui kegiatan pembelajaran menggunakan model Problem Based Learning melalui pendekatan saintifik yang menuntut peserta didik untuk mengamati (membaca) permasalahan, menuliskan penyelesaian dan mempresentasikan hasilnya di depan Nilai Karakter: ras ingin tahu, jujur, kelas, peserta didik dapat menjelaskan dan menentukan fungsi (terutama fungsi linear, tanggung jawab, disiplin, percaya diri dan pantang menyerah
fungsi kuadrat, dan fungsi rasional) secara formal yang meliputi notasi, daerah asal, daerah hasil, dan ekspresi simbolik, serta sketsa grafiknya serta menganalisa karakteristik masing – masing grafik (titik potong dengan sumbu, titik puncak, asimtot) dan perubahan grafik fungsinya akibat transformasi f2(x), 1/f(x), |f(x)| , dengan rasa rasa ingin tahu, tanggung jawab, displin selama proses pembelajaran, bersikap jujur, santun, percaya diri dan pantang menyerah, serta memiliki sikap responsif (berpikir kritis) dan pro-aktif (kreatif), serta mampu berkomukasi dan bekerjasama dengan baik.
C. Materi Pertemuan 1 Relasi dan fungsi Notasi fungsi Daerah asal dan daerah hasil Operasi aritmetika antar fungsi
Mengembangkan kemampuan 4c yaitu: berpikir kritis, kreatif (saat kerja mandiri), berkomunikasi dan bekerjasama (saat kerja kelompok / antar kelompok)
Pertemuan 2 Fungsi linear dan grafiknya Fungsi kuadrat dan grafiknya Pertemuan 3 Grafik rasional dan grafiknya Pertemuan 4 Analisis Karakteristik Grafik Fungsi Analisis Grafik Fungsi akibat transformasi D. Pendekatan, Metode dan Model Pembelajaran Pendekatan : saintifik Metode : diskusi kelompok, tanya jawab, presentasi, penugasan Model : problem based learning E. Kegiatan Pembelajaran Pertemuan 1 Menunjukkan sikap disiplin sebelum memulai proses pembelajaran, menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianut (Karakter) serta membiasakan membaca dan memaknai Asmaul Husna (Literasi)
Pendahuluan (15 menit) 1. Memberi salam, ber doa’ dan membaca Asmaul Husna selama 5 menit untuk kelas yang masuk di jam pertama;
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
2
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
2. Mengkondisikan suasana belajar yang menyenangkan (mengecek kehadiran peserta didik); 3. Mendiskusikan dan bertanya jawab kompetensi yang sudah dipelajari dan dikembangkan sebelumnya berkaitan dengan materi relasi dan fungsi waktu di SMP. Melalui tanya jawab membahas kembali tentang daerah asal dan daerah hasil; 4. Menyampaikan kompetensi yang akan dicapai dan manfaatnya dalam kehidupan sehari-hari berkaitan dengan relasi dan fungsi; 5. Menyampaikan garis besar cakupan materi relasi dan fungsi, serta kegiatan yang akan dilakukan (yaitu langkah-langkah PBL) ; 6. Menyampaikan metode pembelajaran dan teknik penilaian yang akan digunakan saat membahas materi relasi dan fungsi. 7. Membagi peserta didik menjadi kelompok-kelompok kecil (dengan setiap anggota kelompok berjumlah 4 - 5 orang). Berpikir kritis dan bekerjasama (4C) dalam mengamati permasalahan (literasi membaca) dengan rasa ingin tahu, jujur dan pantang menyerah (Karakter)
Kegiatan Inti (65 menit)
Orientasi peserta didik kepada masalah Memotivasi siswa agar terlibat pada pemecahan masalah yang diberikan oleh guru, yaitu dengan memilih masalah kontekstual yang disajikan secara menarik dan sesuai dengan pengalaman siswa.
Masalah yang diberikan adalah sebagai berikut: Setiap kelompok diminta untuk : 1. Membuat sebuah relasi dari dua himpunan, yaitu himpunan A dan himpunan B. Relasi tersebut bisa berupa: Relasi yang menghubungkan Ayah dengan anaknya (lebih dari satu) Relasi yang menghubungkan seorang anak dengan hobynya Relasi yang menghubungkan antara peluru dengan sasarannya Relasi yang menghubungkan antara orang dan tanggal lahirnya dsb 2. Membuat diagram dari relasi A ke himpunan B 3. Menyimpulkan apakah relasi yang tsb memenuhi ketentuan : a) setiap anggota himpunan A harus memiliki pasangan pada himpunan B , b) banyaknya pasangan untuk setiap anggota himpunan A pada himpunan B hanya tepat satu. 4. Menentukan daerah asal dan daerah hasil dari relasi tersebut. (asumsi: siswa sudah memahami pengertian daerah asal dan daerah hasil) 5. Menuliskan notasi fungsi dari suatu fungsi yang diberikan oleh guru. 6. Menentukan operasi aritmatika antar fungsi. Mengorganisasikan peserta didik Kelas dibagi dalam beberapa kelompok terdiri dari 4-5 siswa, dengan memperhatikan peta kemampuan dan heterogenitas siswa, yaitu Membantu penyelidikan mandiri atau kelompok Siswa memahami masalah dan menyelesaikan masalah baik secara individu maupun secara kelompok, sesuai dengan tugas kelompok masing-masing.
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
3
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
Mengembangkan dan menyajikan hasil karya siswa Setiap siswa dalam kelompok dibantu ketua kelompoknya menyimpulkan pemecahan atau penyelesaian masalah, kemudian dilanjutkan pembuatan laporan kerja kelompok, serta mempersiapkan pemaparan hasil kerja kelompoknya. Berpikir kritis dan kreatif (4C), berani mengemukakan pendapat , berani berargumentasi (Literasi) dengan rasa percaya diri (Karakter), serta mampu memahami keterkaitan permasalahan dengan konsep yang akan dipelajari
Menganalisis dan mengevaluasi proses pemecahan masalah Setiap kelompok menyajikan hasil kerja kelompoknya, dan kelompok lainnya memberikan tanggapan berupa pertanyaan, kritik/perbaikan, atau penyelesaian alternatif lainnya. Kelompok penyaji diperbolehkan untuk melakukan revisi, atau argumentasi. Pada akhir diskusi antar kelompok, siswa melakukan evaluasi d an membuat simpulan dari permasalahan yang dibahasnya dengan memadukan semua pendapat dari siswa dan guru, yaitu menyangkut : definisi fungsi, notasi fungsi, daerah asal, daerah hasil, ekspresi simbolik (yaitu operasi aritmatika) dari fungsi. Melakukan Evaluasi Melakukan evaluasi formatif untuk materi definisi fungsi, notasi fungsi, daerah asal, daerah hasil, ekspresi simbolik (yaitu operasi aritmatika) dari fungsi. Penutup (10 menit) 1. Bersama dengan guru membahas soal evaluasi, untuk melihat ketercapaian kompetensi berdasarkan materi yang telah dipelajari. 2. Memberikan tugas kepada peserta didik, dan mengingatkan peserta didik untuk belajar kembali terutama bagi yang harus mengikuti pembelajaran remedial. 3. Memberi salam. F.
Penilaian 1. Teknik Penilaian: a) Penilaian Sikap : Observasi/pengamatan b) Penilaian Pengetahuan : Tes Tertulis c) Penilaian Keterampilan : Unjuk Kerja/ Praktik dan Proyek 2. Bentuk Penilaian : 1. Observasi : lembar pengamatan aktivitas peserta didik 2. Tes tertulis : uraian dan lembar kerja 3. Unjuk kerja : lembar penilaian presentasi
3. Instrumen Penilaian (terlampir) 4. Remedial Pembelajaran remedial dilakukan bagi siswa yang capaian KD nya belum tuntas Tahapan pembelajaran remedial dilaksanakan melalui remidial teaching (klasikal), atau tutor sebaya, atau tugas dan diakhiri dengan tes. Tes remedial, dilakukan sebanyak 3 kali dan apabila setelah 3 kali ters remedial belum mencapai ketuntasan, maka remedial dilakukan dalam bentuk tugas tanpa tes tertulis kembali.
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
4
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
5. Pengayaan Bagi siswa yang sudah mencapai nilai ketuntasan diberikan pembelajaran pengayaan sebagai berikut: Siwa yang mencapai nilai n(ketuntasan ) n n(maksimum)
diberikan materi masih dalam cakupan KD dengan pendalaman sebagai pengetahuan tambahan Siwa yang mencapai nilai n n(maksimum) diberikan materi melebihi cakupan KD dengan pendalaman sebagai pengetahuan tambahan.
G.
Media/Alat dan Sumber Belajar 1. Media/Alat : Lembar Kerja, Penggaris, Papan Tulis/White Board, LCD a. Sumber Belajar : a. Buku Matematika (Umum) Kelas X, Kementerian dan Kebudayaan Tahun 2016. b. Internet. c. Buku Matematika (Wajib) Kelas X, Karangan: Sukino, Penerbit Erlangga Tahun 2016. d. Buku Matematika (Wajib) Kelas X, Karangan:
Pegandon,
Juli 2016
Mengetahui Kepala SMA Negeri 1 Pegandon,
Guru Mata Pelajaran,
E. Christine Martati, S.Pd, M.Pd NIP. 19640329 198703 2 008
Sugiarto,S.Pd., M.Pd. NIP. 19670528 199201 1 001
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
5
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
Lampiran Uraian Materi Pembelajaran:
Uraian Materi Pengertian Fungsi & Notasinya Dalam kehidupan sehari-hari sering Anda jumpai hubungan antar manusia, misal: anak dari, ayah dari, ibu dari, saudara dari, kakek dari, dan nenek dari. Untuk membicarakan hubungan-hubungan tersebut ada kelompok manusia. Misal untuk membicarakan hubungan ‘anak dari,’ diperlukan kelompok ‘anak’ dan kelompok ‘orang tua.’ Dalam matematika, kelompok disebut dengan himpunan. Himpunan mempunyai anggota. Suatu himpunan dinyatakan dengan huruf capital (huruf besar), misal A, B, C,.... Anggota himpunan dinyatakan dengan huruf kecil, misal a, b, c, .... Untuk menyajikan himpunan dapat dilakukan dengan beberapa cara. Berikut contoh penyajian himpunan. 1) Himpunan A beranggotakan bilangan-bilangan 1, 2, 3. Anda dapat menyajikannya dengan mendaftar anggotanya satu persatu. Kemudian Anda menulisnya sebagai A = { 1, 2, 3 }. Penulisan himpunan seperti cara ini disebut penyajian himpunan dengan cara mendaftar. Perhatikan bahwa anggota yang satu dengan yang lain dipisahkan dengan tanda koma dan diletakkan diantara kurung kurawal { }. 2) Himpunan B adalah himpunan bilangan ganjil. Syarat yang harus dipenuhi oleh anggota himpunan B adalah bilangan ganjil. Untuk menyajikan himpunan B, kita menggunakan huruf kecil, biasanya x, untuk menyatakan suatu anggota dan kita menulisnya sebagai B = { x ? x bilangan ganjil}. Penulisan seperti ini disebut penyajian himpunan dengan menyebut syarat keanggotaannya atau penulisan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan. B = {x ? x bilangan ganjil}, dibaca: ‘B adalah himpunan x sedemikian hingga x bilangan ganjil.’ Perhatikan garis tegak ‘?’ dibaca ‘sedemikian hingga.’ Himpunan B dapat pula ditulis dengan cara mendaftar, yaitu: B = { 1, 3, 5, 7, 9,... }. Tiga titik tersebut menunjukkan bahwa setelah 9 masih banyak anggota B yang lain. Anggota-anggota tersebut tidak ditulis satu persatu.
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
6
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
Bila a anggota himpunan A, maka kita dapat menulisnya sebagai ‘a ? A.’ Sedangkan jika b bukan anggota B dapat ditulis sebagai ‘b ? B.’
1) Pengertian relasi dan Fungsi Bila ada dua himpunan, Anda dapat mengelompokkan anggota himpunan yang satu dengan himpunan yang lain berdasarkan aturan tertentu. Misal A dan B himpunan. Aturan yang menghubungkan anggota A dengan anggota B disebut relasi dari himpunan A ke himpunan B. Bila R suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B yang menghubungkan a ? A dengan b ? B, kita dapat menulisnya sebagai R: A ? B atau R: a ? b. Pada relasi ini a disebut prapeta b, atau b disebut peta atau bayangan a. B bayangan a, ditulis sebagai b = R (a), atau a Rb. Himpunan A disebut daerah asal atau domain, himpunan B disebut daerah pasangan atau codomain, anggota himpunan B yang merupakan kelompok dari anggota A membentuk suatu himpunan yang disebut daerah hasil atau range. Jadi range suatu relasi adalah himpunan bagian dari codomain. Contoh 1: C adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan 5, yang dapat ditulis dengan cara mendatar sebagai C = { 1, 2, 3, 4, 5 }. D adalah himpunan bilangan genap yang kurang dari 7, yang dapat ditulis dengan cara mendatar sebagai D = { 2, 4, 6 }. Anda dapat mengelompokkan anggota C dengan anggota D dengan relasi R yang berarti faktor dari. Sehingga didapat: 1 faktor dari 2, yang dapat ditulis sebagai R (1) = 2 atau 1 R 2 1 faktor dari 4, yang dapat ditulis sebagai R (1) = 4 atau 1 R 4 1faktor dari 6, yang dapat ditulis sebagai R (1) = 6 atau 1 R 6 2faktor dari 2, yang dapat ditulis sebagai R (2) = 2 atau 2 R 2, 2 faktor dari 4, yang dapat ditulis sebagai R (2) = 4 atau 2 R 4, 2faktor dari 6, yang dapat ditulis sebagai R (2) = 6 atau 2 R 6, 3faktor dari 6, yang dapat ditulis sebagai R (3) = 6 atau 3 R 6,
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
7
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
4faktor dari 4, yang dapat ditulis sebagai R (4) = 4 atau 4 R 4, 3 bukan faktor dari 4, dapat ditulis sebagai R (3) ? 4 atau 3 R? 4, dibaca ‘tiga tidak berrelasi dengan empat.’. Domain relasi R: C ? D adalah himpunan C, codomain dan rangenya adalah himpunan D.
Relasi dapat dinyatakan dengan berbagai cara, yaitu: sebagai himpunan pasangan terurut, diagram Cartesius, diagram panah, dan rumus. Berikut akan disajikan berbagai cara menyajikan relasi untuk relasi R: C ? D pada contoh 1.
? R sebagai himpunan pasangan terurut atau himpunan pasangan
urut. R: C ? D dengan C = { 1, 2, 3, 4, 5, }, D = { 2, 4, 6 }, dan R ‘faktor dari.’ R dapat disajikan sebagai himpunan pasangan terurut, R={(1,2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 6), (4, 4)}. Pada pasangan terurut (a , b ), urutan a dan b diperhatikan, artinya: urutan a dan b tidak dapat dibalik. Jadi ( a , b ) ? (b , a ). Pada pasangan urut (a , b ), a merupakan komponen pertama sedangkan b merupakan komponen kedua dari pasangan urut tersebut. Dua pasangan terurut ( a , b) sama dengan (c , d ), ditulis ‘(a , b ) = (c , d )’ bila dan hanya bila a = c dan b = d . ? R sebagai diagram Cartesius.
Pernahkah Anda memperhatikan bagaimana tempat duduk di gedung bioskop diatur, di mana letak raja di awal permainan catur, dan letak suatu jalan di peta sebuah kota. Dapatkah Anda menggunakan ide yang sama untuk menentukan letak sebuah bangku di kelas, jika bangku-bangku tersebut diatur menurut baris (row ) dan kolom (column )?
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
8
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
Di awal suatu tahun ajaran baru, biasanya para guru menyiapkan pengaturan tempat duduk para siswa di kelas seperti gambar di samping. Hal ini untuk memudahkan guru mengetahui tempat duduk
siswanya.
Tempat guru di kelas bagian depan (front of the class). Untuk mengidentifikasi setiap siswa dengan cepat dan mudah, guru dapat mengelompokkan setiap siswa dengan baris dan kolom dimana seorang siswa duduk. Gambar di atas menunjukkan siswa A duduk di kolom 2 baris 4, sementara itu siswa B duduk di kolom 4 baris 6. Guru dapat menulis sebuah pasangan terurut dengan nama siswa di kelas sebagai berikut: A (2, 4) dan B (4, 6). Cobalah Anda menulis pasangan terurut yang sesuai dengan siswa lain. Dari pasangan bilangan (2, 4), Anda tahu bahwa A di kolom 2 dan baris 4. Pasangan bilangan (4, 6) memberitahukan bahwa siswa B di kolom 4 dan baris 6. Cobalah Anda mengidentifikasi tempat duduk siswa yang lain dengan pasangan bilang dan jelaskan makna dari pasangan bilangan tersebut.
Gambar berikut menyajikan rancangan kelas yang sama pada kertas grafik dengan garis mendatar (horizontal ) dan garis tegak (vertical ) yang digambar melalui kotak yang menunjukkan posisi siswa. Garis mendatar dan garis tegak bernomor.
Jadi
bilangan pertama
pada setiap pasangan terurut digunakan
untuk menyatakan
tempat siswa yang mengacu
pada
skala garis mendatar dan bilangan
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
9
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
kedua untuk menyatakan tempat siswa yang mengacu pada skala garis tegak.
Untuk
menyederhanakan hal ini, Anda dapat mengganti kotak yang menyatakan tempat siswa dengan titik potong kedua garis. Hal ini memberi ide pada Anda untuk menentukan letak titik pada bidang koordinat. Secara umum, jika titik A sesuai dengan pasangan terurut bilangan ( x, y), maka pasangan terurut bilangan (x, y) disebut koordinat titik A dan disajikan sebagai A (x, y). x disebut absis titik A dan y disebut ordinat titik A .
Marilah kita kembali pada R: C ? D dengan C = { 1, 2, 3, 4, 5, }, D = { 2, 4, 6 }, dan R ‘faktor dari.’ Anda telah mengetahui bahwa himpunan pasangan terurut dari R adalah R = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 6), (4, 4)}. Bila R disajikan dengan diagram Cartesius diperoleh diagram Cartesius berikut.
Jadi suatu relasi dapat digambar pada bidang Cartesius, yang merupakan daerah yang memuat dua garis x dan y yang saling berpotongan tegak lurus. Garis x digambar mendatar menggambarkan himpunan C dan garis y MAT. 05. Relasi dan Fungsi
10
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
menggambarkan himpunan D. Anggotaanggota himpunan C dan D yang dinyatakan sebagai titik pada setiap garis. Pasangan urut anggota R merupakan titik pada diagram Cartesius tersebut. Diagram Cartesius suatu relasi disebut grafik dari relasi tersebut. Diagram panah. Untuk membuat diagram panah suatu relasi dibuat anak panah dari daerah asal ke daerah pasangan. Daerah asal dan daerah pasangan digambar sebagai kurva tertutup sederhana. Anggota daerah asal dan daerah pasangan digambar dengan titik dalam kurva tertutup sederhana tersebut. Kurva tertutup sederhana adalah lengkungan yang tertutup dan tidak memotong diri sendiri. Lingkaran, ellips, persegi, dan persegi panjang merupakan contoh-contoh dari kurva tertutup sederhana. Berikut adalah diagram panah relasi R di atas. R: C
D dengan C = { 1, 2, 3, 4, 5, }, D = { 2, 4, 6 }, dan R ‘faktor dari.’ R
dapat disajikan dengan diagram panah berikut. C
D R
1. 2. 3. 4. 5.
.2 .4 .6
? Relasi R di atas, dapat pula disajikan dalam bentuk rumus. Bentuk
rumusnya adalah b = n a dengan b ? D, a ? C, dan n bilangan asli. Tidak semua relasi dapat disajikan dengan keempat cara tersebut.
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
11
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
Contoh 2: Marilah sekarang kita membuat relasi dari himpunan D ke himpunan C di atas, yaitu relasi F: D ? C yang memasangkan anggota D ke anggota C dengan aturan satu lebihnya dari. Dengan demikian 2 satu lebihnya dari 1, yang dapat ditulis sebagai F (2) = 1 atau 2 R 1, 4 satu lebihnya dari 3, yang dapat ditulis sebagai F (4) = 3 atau 4 R 3, 6 satu lebihnya dari 5, yang dapat ditulis sebagai F (6) = 5 atau 6 R 5, Dengan relasi F, ternyata semua anggota himpunan D, domain, mempunyai pasangan di codomain, himpunan C, dan pasangannya tunggal. Relasi F seperti ini merupakan relasi khusus, yang disebut fungsi. Fungsi F: D ? C adalah relasi yang menghubungkan semua anggota D dengan anggota C secara tunggal. Seperti halnya relasi, fungsi juga dapat disajikan dengan himpunan pasangan terurut, diagram Cartesius, diagram panah, dan rumus. Himpunan pasangan terurut, diagram Cartesius, diagram panah, dan rumus dari F: D ? C sebagai berikut: ? Himpunan pasangan terurut dari F: D ? C dengan D = {2, 4, 6}, C = { 1, 2,
3, 4, 5 }, dan F ‘satu lebihnya dari’ adalah: F = { (2, 1), (4, 3), (6, 5)}. ? Diagram Cartesius dari dari F: D ? C dengan D = {2, 4, 6}, C = { 1, 2, 3,
4, 5 }, dan F ‘satu lebihnya dari’ adalah:
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
12
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
? Diagram panah dari F: D ? C dengan D = {2, 4, 6}, C = {1, 2, 3, 4, 5}, dan
F ‘satu lebihnya dari’ adalah:
D
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
C
13
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
F
2. 4. 6.
.1 .2 .3 .4 .5
? Bentuk rumus dari F: D ? C dengan C = { 1, 2, 3, 4, 5 },
D = {2, 4, 6}, dan F ‘satu lebihnya dari’ adalah: y = x + 1, dengan y ? D dan x ? C.
Suatu fungsi dapat pula dinyatakan dengan huruf abjad kecil, misal f, g, h, atau dengan huruf Yunani, misal
? (rho), ? (sigma), ? tau).
Anda dapat
menentukan suatu relasi merupakan fungsi atau bukan dari grafiknya pada bidang Cartesius. Suatu grafik pada bidang Cartesius merupakan grafik suatu fungsi f : x ? Y jika pada setiap titik a pada domain dibuat garis vertikal x = a memotong garfik tepat pada satu titik.
Contoh 3: Gambarlah grafik dari relasi relasi berikut. ?: x ? y dengan y = x 2, -1 ? x ? 1, ?: x ? y dengan y 2 = x , -1 ? x ? 1.
Penyelesaian: Grafik dari ? : x ? y dengan y = x 2, -1 ? x ? 1 adalah parabola berikut.
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
14
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
Dari grafik ini terlihat bahwa untuk setiap titik a pada domain dibuat garis vertikal x = a memotong garfik tepat pada satu titik. Jadi dari grafik dari ? : x ? y dengan y = x 2, -1 ? x ? 1, Anda dapat menentukan bahwa ? : x ? y dengan y = x 2, -1 ? x ? 1 merupakan suatu fungsi.
Grafik dari ?: x ? y dengan y 2 = x , -1 ? x ? 1 adalah parabola berikut.
Dari grafik ini terlihat bahwa untuk titik 1 pada domain jika dibuat garis vertikal x = 1 memotong grafik di dua titik. Jadi dari grafik dari ?: x ? y dengan y 2 = x , -1 ? x ? 1, Anda dapat menentukan bahwa ?: x ? y dengan y 2 = x , -1 ? x ? 1 bukan fungsi.
Contoh 4: Misal ?, ?, dan ?, adalah relasi-relasi dari himpunan X = { -1, 0, 1, 2 } ke himpunan Y = { -1, 0, 1, 2, 6 } yang didefinisikan sebagai x ? y ? y = x + 1; x ? y ? y ? x + 3; x ? y ? y = x 2 + x Tentukan mana di antara relasi-relasi tersebut yang merupakan fungsi dari himpunan X ke Y.
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
15
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
Penyelesaian: Diagram panah dari relasi-relasi tersebut sebagai berikut.
Relasi ? bukan fungsi dari X ke Y karena tidak ada y ? Y yang berelasi dengan 2 ? X. Relasi ? bukan fungsi dari X ke Y karena ada dua anggota Y ( 2 dan 6 ) yang berrelasi dengan –1 ? X. Relasi ? merupakan fungsi karena setiap x ? X berpasangan tunggal dengan y ? Y.
c. Rangkuman 1 Relasi R dari himpunan A ke himpunan B, dinyatakan sebagai R: A ? B adalah aturan yang mengelompokkan a ? A dengan b ? B. Jika a berrelasi R dengan b , ditulis sebagai a R b . a adalah prapeta b dan b adalah peta atau bayangan a oleh relasi R ditulis b = R ( a )Jika c tidak berrelasi R dengan d , ditulis c Rd . Himpunan A disebut daerah asal atau domain dan B disebut daerah pasangan atau codomain. Anggota codomain yang menjadi bayangan a ? A membentuk himpunan yang disebut sebagai daerah hasil atau range. Range merupakan himpunan bagian dari codomain. Relasi dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan terurut, diagram Cartesius atau grafik, diagram panah, atau rumus. Pada pasangan terurut (a , b ), urutan a dan b diperhatikan. a disebut komponen pertama dan b disebut komponen kedua.
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
16
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
Fungsi adalah relasi yang menghubungkan setiap anggota domain secara tunggal dengan anggota codomain. Suatu fungsi f : X ? Y dikatakan fungsi satu-satu atau injektif jika tidak ada dua anggota X yang mempunyai bayangan sama di bawah fungsi f . Suatu fungsi f : X ? Y dikatakan ‘onto’ atau ‘onto Y ’ atau ‘pada’ atau surjektif jika { f (x) ? x ? X } = Y dengan perkataan lain, range f sama dengan codomainnya. Suatu fungsi f : X ? Y yang satu-satu (injektif) dan onto (surjektif) dikatakan fungsi satu-satu onto atau fungsi satu-satu pada atau fungsi bijektif .
d. Tugas 1 Kerjakan soal-soal berikut dengan cermat. 1) Manakah di antara grafik berikut yang merupakan grafik dari suatu fungsi. Jika ada yang bukan fungsi, jelaskan mengapa.
2) Manakah di antara diagram panah berikut yang merupakan diagram panah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B? Jika ada yang bukan fungsi, jelaskan mengapa.
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
17
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
3) Jika di antara grafik pada soal no 1 ada yang merupakan grafik fungsi, tentukan fungsi yang satu-satu, fungsi pada, dan fungsi satu-satu pada. Begitu juga dengan diagram panah pada soal nomor 3. 4) Jika A himpunan yang anggotanya ayah dan B himpunan yang anggotanya anak. R relasi dari himpunan A ke himpunan B dengan R ‘ayah dari’. Q relasi dari himpunan B ke himpunan A dengan Q ‘anak dari.’ Selidiki adakah di antara P dan Q yang merupakan fungsi? Jika ada, apakah fungsi tersebut merupakan fungsi satu-satu pada. Jelaskan jawabanmu.
e. Tes Formatif 1 Kerjakan soal-soal berikut dengan cermat. 1) Manakah di antara grafik berikut yang merupakan grafik dari suatu fungsi. Jika ada yang bukan fungsi, jelaskan mengapa.
2) Manakah di antara diagram panah berikut yang merupakan diagram panah suatu fungsi dari himpunan C ke himpunan D? Jika ada yang bukan fungsi, jelaskan mengapa.
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
18
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
3) Jika di antara grafik pada soal no 1 ada yang merupakan grafik fungsi, tentukan fungsi yang satu-satu, fungsi pada, dan fungsi satu-satu pada. Begitu juga dengan diagram panah pada soal nomor 3.
f. Kunci Jawaban Tes Formatif 1 1) Grafik yang bukan fungsi adalah grafik pada soal b) dan c), karena ada anggota domain yang bayangannya tidak tunggal.
Dari grafik pada soal b) dapat dilihat bahwa untuk p ? X, p mempunyai dua bayangan, yaitu r dan s anggota Y. Dari grafik pada soal c) dapat dilihat bahwa untuk q ? X, q mempunyai dua bayangan, yaitu u dan t anggota Y. Sedangkan grafik pada soal a) dan d) merupakan grafik fungsi. 2) Di antara diagram panah pada soal ini yang bukan fungsi adalah
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
19
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
karena 6 ? C mempunyai dua pasangan di D, yaitu 2 dan 3. Sedangkan diagram panah yang lain merupakan diagram panah fungsi. 3) Untuk soal nomor 1) Fungsi yang satu-satu adalah fungsi yang grafiknya pada soal a). Fungsi yang pada adalah fungsi yang grafiknya pada soal a). Mengapa fungsi yang grafiknya pada soal d) bukan fungsi pada? Fungsi yang satu-satu pada adalah fungsi yang grafiknya pada soal a). Untuk soal nomor 2)
Diagram panah di atas adalah diagram panah fungsi satu-satu pada. Bagimana dengan fungsi yang lain?
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
20
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
INTRUMEN PENILAIAN SIKAP Nama Satuan pendidikan Tahun pelajaran Kelas/Semester Mata Pelajaran No
Waktu
: SMA Negeri 1 Pegandon : 2016/2017 : X / Semester I : Matematika - Umum
Nama
Kejadian/ Perilaku
Butir Sikap
Pos/ Neg
Tindak Lanjut
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pegandon,
Juli 2016
Mengetahui Kepala SMA Negeri 1 Pegandon,
Guru Mata Pelajaran,
E. Christine Martati, S.Pd, M.Pd NIP. 19640329 198703 2 008
Sugiarto,S.Pd., M.Pd. NIP. 19670528 199201 1 001
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
21
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
INSTRUMEN TES TERTULIS Satuan Pendidikan Mata Pelajaran Kelas/ Semester Kompetensi Dasar
: : : :
IPK
:
SMA Negeri 1 Pegandon Matematika - Umum X/ 1 3.5 Menjelaskan dan menentukan fungsi (terutama fungsi linear, fungsi kuadrat, dan fungsi rasional) secara formal yang meliputi notasi, daerah asal, daerah hasil, dan ekspresi simbolik, serta sketsa grafiknya..
1.5.1 1.5.2 1.5.3
1.5.4
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
Menjelaskan pengertian dan notasi fungsi untuk fungsi linear, fungsi kuadrat dan fungsi rasional Menentukan daerah asal fungsi untuk fungsi linear, fungsi kuadrat dan fungsi rasional melalui grafik Menentukan, daerah hasil suatu fungsi untuk fungsi linear, fungsi kuadrat dan fungsi rasional melalui grafik Menggunakan ekspresi simbolik pada fungsi.
22
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
KISI-KISI PENULISAN SOAL TES TERTULIS TAHUN PELAJARAN 2016/2017 Satuan Pendidikan Jumlah Soal Mata Pelajaran Penyusun No. Urut 1.
2.
: SMA Negeri 1 Pegandon :3 : Matematika-Umum : Sugiarto
Kompetensi Dasar
3.5 Menjelaskan dan menentukan fungsi (terutama fungsi linear, fungsi kuadrat, dan fungsi rasional) secara formal yang meliputi notasi, daerah asal, daerah hasil, dan ekspresi simbolik, serta sketsa grafiknya
3.
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
Materi
Relasi dan fungsi Notasi fungsi Daerah asal dan daerah hasil Operasi aritmetik antar fungsi
Kelas / Smt X/ 1
Indikator Soal
1. Disajikan beberapa
No. Soal 1
grafik / kurva, siswa dapat menyimpulkan
grafik manakah yang merepresentasikan suatu suatu fungsi. (Jika ada yang bukan fungsi, jelaskan mengapa) 2. Disajikan beberapa diagram panah yang merepresentasikan beberapa relasi, siswa dapat menyimpulkan
diagram panah manakah yang merepresentasikan suatu fungsi. (Jika ada yang bukan fungsi, jelaskan mengapa) 3. Disajikan sebuah fungsi yang diketahui persamaan fungsinya. Daerah asalnya berupa interval bil nyata yang telah diketahui batas bawah dan batas atasnya. Siswa dapat menentukan daerah hasil dari fungsi tersebut.
2
3
23
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
Lembar Instrumen: 1. Manakah di antara grafik berikut yang merupakan grafik dari suatu fungsi. Jika ada yang bukan fungsi, jelaskan mengapa.
(HOTS) Evaluasi 2. Manakah di antara diagram panah berikut yang merupakan diagram panah suatu fungsi dari himpunan C ke himpunan D? Jika ada yang bukan fungsi, jelaskan mengapa.
(LOTS) Evaluasi
3. Sebuah fungsi memiliki persamaan fungsi f ( x ) = x 2 + 3 dan daerah asal fungsi tersebut adalah B = { x | –3 < x ≤ 2, x R}. Tentukan daerah hasil dari fungsi tersebut.
(HOTS) Analisis
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
24
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
Contoh Pedoman Penskoran (Alternatif Penyelesaian) : No. Soal 1.
Penyelesaian
skor
Grafik yang bukan fungsi adalah grafik pada soal b) dan c), karena ada anggota domain yang bayangannya tidak
1
tunggal. 1 1
Dari grafik pada soal b) dapat dilihat bahwa untuk p X, p mempunyai dua bayangan, yaitu r dan s anggota Y. Dari grafik pada soal c) dapat dilihat bahwa untuk q
X, q
mempunyai dua bayangan, yaitu u dan t anggota Y. Sedangkan grafik pada soal a) dan d) merupakan grafik fungsi. SKOR TOTAL 2a.
8
Di antara diagram panah pada soal ini yang bukan fungsi adalah
karena 6 anggota C mempunyai dua pasangan di D, yaitu 2 dan 3. Sedangkan diagram panah yang lain merupakan diagram panah fungsi. TOTAL SKOR
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
10
25
RPP Matematika (Umum) - Kelas X
Skor Maksimal = 100 SkorPerolehan Nilai Perolehan =
skor maksimal
× 100
Pegandon,
Juli 2016
Mengetahui Kepala SMA Negeri 1 Pegandon,
Guru Mata Pelajaran,
E. Christine Martati, S.Pd, M.Pd NIP. 19640329 198703 2 008
Sugiarto,S.Pd., M.Pd. NIP. 19670528 199201 1 001
MAT. 05. Relasi dan Fungsi
26