RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN(RPP)
NamaSekolah Mata Pelajaran Kelas / Semester Materi Pokok AlokasiWaktu
: SMA Negeri 1 Sindang : MatematikaWajib : XI / Ganjil : Induksi Matematika : 4 x 45 menit
Kompetensi Kompetensi Inti 1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya 2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. 3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab pen yebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah 4. Mengolah, menalar, menalar, dan dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan
Kompetensi Dasar dan Indikator 3.1 Menjelaskan metode pembuktian pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi matematika. Indikator Pencapaian Kompetensi 1. Merancang formula untuk suatu pola barisan bilangan. 2. Menjelaskan prinsip induksi matematika. 3. Membuktikan formula suatu barisan bilangan dengan prinsip induksi matematika. 4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian. Indikator Pencapaian Kompetensi 1. Menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan kebenaran formula suatu barisan bilangan. 2. Menerapkan prinsip induksi matematika untuk menyelidiki kebenaran suatu formula.
Tujuan Pembelajaran Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran, peserta didik diharapkan dapat : 1. Menjelaskan prinsip induksi matematika.
2. 3. 4.
Menjelaskan langkah-langkah pembuktian suatu formula dengan prinsip induksi matematika. Merancang formula dari suatu pola barisan bilangan. Membuktikan kebenaran formula suatu barisan bilangan bilangan dengan prinsip induksi matematika.
Materi Pembelajaran 1. Prinsip Induksi Matematika
Metode Pembelajaran 1. Pendekatan : Scientific 2. Model Pembelajaran : Kooperatif learning 3. Metode : Project based learning
Media Pembelajaran Media :
lembar penilaian
buku Alat / Bahan :
Spidol
Papan tulis
Sumber Belajar : 1. Buku Matematika SMA/MA Kelas XI oleh Sudianto Manullang, dkk , penerbit : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud 2. Buku Matematika SMA/MA Kelas XI Kelompok Wajib oleh B.K. Noormandiri, penerbit : Erlangga 3. Internet 4. Permasalahan dalm kehidupan sehari-hari
Langkah – Langkah Langkah Pembelajaran
1 . Pertemuan Pertama (2 x 45 Menit) Kegiatan Pendahuluan (10 Menit) Guru : Orientasi syukur kepada Melakukan pembukaan dengan salam pembuka, memanjatkan syukur kepada Tuhan YME dan berdoa untuk memulai pembelajaran Memeriksa kehadiran peserta didik sebagai sikap disiplin Menyiapkan fisik dan psikis peserta didik dalam mengawali kegiatan pembelajaran. Aperpepsi Memberikan permasalahan kepada siswa untuk menggali pengetahuan awalnya,
1 . Pertemuan Pertama (2 x 45 Menit) yaitu: buktikan bahwa 1 + 2 + 5 + 7 + ....... +(2n-1) = n 2untuk bilangan asli n ≥ 1 Motivasi Memberikan gambaran tentang manfaat mempelajari induksi matematika dalam kehidupan sehari-hari. Apabila materi tema/projek ini kerjakan dengan baik dan sungguh-sungguh serta dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat menjelaskan tentang materi : Prinsip Induksi Matematika Menyampaikan tujuan pembelajaran pada pertemuan yang berlangsung Mengajukan pertanyaan Pemberian Acuan Memberitahukan materi pelajaran yang akan dibahas pada pertemuan saat itu. Memberitahukan tentang kompetensi inti, kompetensi dasar, indikator, dan KKM pada pertemuan yang berlangsung Menjelaskan mekanisme pelaksanaan pengalaman belajar sesuai dengan langkahlangkah pembelajaran. Kegiatan Inti ( 70 Menit ) Sintak Model Pembelajaran
Stimulation (stimullasi/ pemberian rangsangan)
Kegiatan Pembelajaran KEGIATAN LITERASI Peserta didik diberi motivasi atau rangsangan untuk memusatkan perhatian pada topik materi Prinsip Induksi Matematika dengan cara : Melihat (tanpa atau dengan Alat) Menayangkan gambar/foto/video yang relevan. Mengamati Pemberian contoh-contoh materi Prinsip Induksi Matematika untuk dapat dikembangkan peserta didik, dari media interaktif, dsb Membaca . Kegiatan literasi ini dilakukan di rumah dan di sekolah dengan membaca materi dari buku paket atau buku-buku penunjang lain, dari internet/materi yang berhubungan dengan Prinsip Induksi Matematika Menulis Menulis rangkuman dari hasil pengamatan dan bacaan terkait Prinsip Induksi Matematika Mendengar Pemberian materi Prinsip Induksi Matematikaoleh guru. Menyimak Penjelasan pengantar kegiatan secara garis besar/global tentang materi pelajaran mengenai materi : Prinsip Induksi Matematika untuk melatih rasa syukur, kesungguhan dan kedisiplinan,
1 . Pertemuan Pertama (2 x 45 Menit)
ketelitian, mencari informasi. Problem statemen (pertanyaan/ identifikasi masalah)
CRITICAL THINKING (BERPIKIR KRITIK) Guru memberikan kesempatan pada peserta didik untuk mengidentifikasi sebanyak mungkin pertanyaan yang berkaitan dengan gambar yang disajikan dan akan dijawab melalui kegiatan belajar, contohnya : Mengajukan pertanyaan tentang materi : Prinsip Induksi Matematika yang tidak dipahami dari apa yang diamati atau pertanyaan untuk mendapatkan informasi tambahan tentang apa yang diamati (dimulai dari pertanyaan faktual sampai ke pertanyaan yang bersifat hipotetik) untuk mengembangkan kreativitas, rasa ingin tahu, kemampuan merumuskan pertanyaan untuk membentuk pikiran kritis yang perlu untuk hidup cerdas dan belajar sepanjang hayat.
Data KEGIATAN LITERASI collection Peserta didik mengumpulkan informasi yang relevan untuk menjawab (pengumpulan pertanyan yang telah diidentifikasi melalui kegiatan: data) Mengamati obyek/kejadian 1. Mengamati bentuk Prinsip Induksi Matematika 2. Memerhatikan contoh cara menggambar garis yang memenuhi suatu Prinsip Induksi Matematika 3. Mengamati contoh permasalahan sehari-hari yang dapat dimodelkan dalam bentuk Prinsip Induksi Matematika. Membaca sumber lain selain buku teks Secara disiplin melakukan kegiatan literasi dengan mencari dan membaca berbagai referensi dari berbagai sumber guna menambah pengetahuan dan pemahaman tentang materi Prinsip Induksi Matematika. Aktivitas Menyusun daftar pertanyaan atas hal-hal yang belum dapat dipahami dari kegiatan mengamati dan membaca yang akan diajukan kepada guru berkaitan dengan materi Prinsip Induksi Matematika. Wawancara/tanya jawab dengan nara sumber 1. Mampu mengajukan pertanyaan awal mengenai hasil pengamatan. 2. Mengajukan pertanyaan mengenai konsep yang ada pada Prinsip Induksi Matematika 3. Mampu mengajukan pertanyaan mengenai langkah-langkah penyelesaian permasalahan yang berkaitan dengan Prinsip Induksi Matematika COLLABORATION (KERJASAMA) Peserta didik dibentuk dalam beberapa kelompok untuk:
1 . Pertemuan Pertama (2 x 45 Menit)
Mendiskusikan 1. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas contoh dalam buku paket mengenai materi Prinsip Induksi Matematika Mengumpulkan informasi 1. Mencari tiga contoh Prinsip Induksi Matematika 2. Mencari suatu permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan Prinsip Induksi Matematika Mempresentasikan ulang 1.Menyampaikan pengertian prinsip induksi matematika 2.Menyampaikan Prinsip Induksi Matematika Misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan bilangan asli. Pernyataan P(n) benar jika memenuhi langkah berikut ini: a. Langkah Awal ( Basic Step): P(1) benar. b. Langkah Induksi ( Induction Step): Jika P(k ) benar, maka P(k + 1) benar, untuk setiap k bilangan asli. Saling tukar informasi tentang materi : 1. Prinsip Induksi Matematika dengan ditanggapi aktif oleh peserta didik dari kelompok lainnya sehingga diperoleh sebuah pengetahuan baru yang dapat dija dikan sebagai bahan diskusi kelompok kemudian, dengan menggunakan metode ilmiah yang terdapat pada buku pegangan peserta didik atau pada lembar kerja yang disediakan dengan cermat untuk mengembangkan sikap teliti, jujur, sopan, menghargai pendapat orang lain, kemampuan berkomunikasi, menerapkan kemampuan mengumpulkan informasi melalui berbagai cara yang dipelajari, mengembangkan kebiasaan belajar dan belajar sepanjang hayat.
Data processing (pengolahan Data)
COLLABORATION (KERJASAMA) dan CRITICAL THINKING (BERPIKIR KRITIK) Peserta didik dalam kelompoknya berdiskusi mengolah data hasil pengamatan dengan cara : Berdiskusi tentang data dari Materi : 1. Prinsip Induksi Matematika Mengolah informasi dari materi Prinsip Induksi Matematika yang sudah dikumpulkan dari hasil kegiatan/pertemuan sebelumnya mau pun hasil dari kegiatan mengamati dan kegiatan mengumpulkan informasi yang sedang berlangsung dengan bantuan pertanyaan-pertanyaan pada lembar kerja. Peserta didik mengerjakan tugas yang berkaitan dengan Prinsip Induksi Matematika.
Verification (pembuktian)
CRITICAL THINKING (BERPIKIR KRITIK) Peserta didik mendiskusikan hasil pengamatannya dan memverifikasi hasil pengamatannya dengan data-data atau teori pada buku sumber
1 . Pertemuan Pertama (2 x 45 Menit)
melalui kegiatan : Menambah keluasan dan kedalaman sampai kepada pengolahan informasi yang bersifat mencari solusi dari berbagai sumber yang memiliki pendapat yang berbeda sampai kepada yang bertentangan untuk mengembangkan sikap jujur, teliti, disiplin, taat aturan, kerja keras, kemampuan menerapkan prosedur dan kemampuan berpikir induktif serta deduktif dalam membuktikan tentang materi : 1. Prinsip Induksi Matematika antara lain dengan : Peserta didik dan guru secara bersamasama membahas jawaban soal-soal yang telah dikerjakan oleh peserta didik. Generalization (menarik kesimpulan)
COMMUNICATION (BERKOMUNIKASI) Peserta didik berdiskusi untuk menyimpulkan Menyampaikan hasil diskusi tentang Prinsip Induksi Matematika, cara menentukan pola, menjawab, dan menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan Prinsip Induksi Matematika. Bertanya atas presentasi tentang materi Prinsip Induksi Matematika yang dilakukan dan peserta didik lain diberi kesempatan untuk menjawabnya. CREATIVITY (KREATIVITAS) Menjawab pertanyaan tentang materi Prinsip Induksi Matematika yang terdapat pada buku pegangan peserta didik Bertanya tentang hal yang belum dipahami, atau guru melemparkan beberapa pertanyaan kepada siswa berkaitan dengan materi Prinsip Induksi Matematika Menyelesaikan uji kompetensi untuk materi Prinsip Induksi Matematika yang terdapat pada buku pegangan peserta didik ata u pada lembar kerja yang telah disediakan secara individu untuk mengecek penguasaan siswa terhadap materi pelajaran.
Catatan : Selama pembelajaran Prinsip Induksi Matematika berlangsung, guru mengamati sikap siswa dalam pembelajaran yang meliputi sikap: nasionalisme, disiplin,
rasa percaya diri, berperilaku j ujur, tangguh menghadapi masalah tanggungjawab, rasa ingi n tahu, peduli lingkungan Kegiatan Penutup (10 Menit) Peserta didik : ) dengan bimbingan guru tentang point-point Membuat resume (CREATIVITY penting yang muncul dalam kegiatan pembelajaran tentang materi Prinsip Induksi Matematika. Mengagendakan pekerjaan rumah untuk materi pelajaran Prinsip Induksi Matematika. Mengagendakan materi atau tugas projek/produk/portofolio/unjuk kerja yang harus
1 . Pertemuan Pertama (2 x 45 Menit) ,mempelajari pada pertemuan berikutnya di luar jam sekolah atau dirumah. Guru : Memeriksa pekerjaan siswa yang selesai langsung diperiksa untuk materi pelajaran Prinsip Induksi Matematika Peserta didik yang selesai mengerjakan tugas projek/produk/portofolio/unjuk kerja dengan benar diberi paraf serta diberi nomor urut peringkat, untuk penilaian tugas projek/produk/portofolio/unjuk kerja pada materi pelajaran Prinsip Induksi Matematika Pertemuan 2 2. Pertemuan Kedua (2 x 45 Menit) Kegiatan Pendahuluan (10 Menit) Guru : Orientasi Melakukan pembukaan dengan salam pembuka, memanjatkan syukur kepada Tuhan YME dan berdoa untuk memulai pembelajaran Memeriksa kehadiran peserta didik sebagai sikap disiplin Menyiapkan fisik dan psikis peserta didik dalam mengawali kegiatan pembelajaran. Aperpepsi Memberikan permasalahan kepada siswa untuk menggali pengetahuan awalnya, yaitu:
Misalkan suatu ATM menyediakan layanan penarikan uang tunai untuk pecahan Rp20.000,00 dan Rp50.000,00. Berapakah jumlah kelipatan penarikan dengan jumlah minimal yang dapat diambil pelanggan melalui ATM tersebut adalah Rp40.000,00? Motivasi Memberikan gambaran tentang manfaat mempelajari masalah Prinsip Induksi Matematika. Apabila materi tema/projek ini kerjakan dengan baik dan sungguh-sungguh serta dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat menjelaskan tentang materi Prinsip Induksi Matematika Menyampaikan tujuan pembelajaran yaitu dapat menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan Prinsip Induksi Matematika Mengajukan pertanyaan yang terkait dengan masalah Prinsip Induksi Matematika Pemberian Acuan Memberitahukan materi pelajaran yang akan dibahas yaitu menentukan nilai optimum fungsi objektif dan merancang model matematika untuk menyelesaikan masalah Prinsip Induksi Matematika Memberitahukan tentang kompetensi inti, kompetensi dasar, indikator, dan KKM pada pertemuan yang berlangsung Pembagian kelompok belajar Menjelaskan mekanisme pelaksanaan pengalaman belajar sesuai dengan langkah-
2. Pertemuan Kedua (2 x 45 Menit) langkah pembelajaran. Kegiatan Inti ( 70 Menit ) Sintak Model Pembelajaran
Stimulation (stimullasi/ pemberian rangsangan)
Kegiatan Pembelajaran KEGIATAN LITERASI Peserta didik diberi motivasi atau rangsangan untuk memusatkan perhatian pada topik materi Prinsip Induksi Matematika dengan cara : Melihat (tanpa atau dengan Alat) Menayangkan gambar/foto/video yang relevan. Mengamati Pemberian contoh-contoh materi Prinsip Induksi Matematika untuk dapat dikembangkan peserta didik, dari media interaktif, dsb Membaca . Kegiatan literasi ini dilakukan di rumah dan di sekolah dengan membaca materi dari buku paket atau buku-buku penunjang lain, dari internet/materi yang berhubungan dengan Prinsip Induksi Matematika Menulis Menulis rangkuman dari hasil pengamatan dan bacaan terkait Prinsip Induksi Matematika Mendengar Pemberian materi Prinsip Induksi Matematika oleh guru.
Problem statemen (pertanyaan/ identifikasi masalah)
Menyimak Penjelasan pengantar kegiatan secara garis besar/global tentang materi pelajaran mengenai materi : Prinsip Induksi Matematika untuk melatih rasa syukur, kesungguhan dan kedisiplinan, ketelitian, mencari informasi.
CRITICAL THINKING (BERPIKIR KRITIK) Guru memberikan kesempatan pada peserta didik untuk mengidentifikasi sebanyak mungkin pertanyaan yang berkaitan dengan gambar yang disajikan dan akan dijawab melalui kegiatan belajar, contohnya : Mengajukan pertanyaan tentang materi : 1. Prinsip Induksi Matematika yang tidak dipahami dari apa yang diamati atau pertanyaan untuk mendapatkan informasi tambahan tentang apa yang diamati (dimulai dari pertanyaan faktual sampai ke pertanyaan yang bersifat hipotetik) untuk mengembangkan kreativitas, rasa ingin tahu, kemampuan merumuskan pertanyaan untuk membentuk pikiran kritis yang perlu untuk hidup cerdas dan belajar sepanjang hayat.
2. Pertemuan Kedua (2 x 45 Menit)
Data KEGIATAN LITERASI collection Peserta didik mengumpulkan informasi yang relevan untuk menjawab (pengumpulan pertanyan yang telah diidentifikasi melalui kegiatan: data) Mengamati obyek/kejadian 1) Mengamati contoh masalah dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan Prinsip Induksi Matematika 2) Mengamati langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah Prinsip Induksi Matematika 3) Mengamati contoh pemecahan masalah Prinsip Induksi Matematika Membaca sumber lain selain buku teks Secara disiplin melakukan kegiatan literasi dengan mencari dan membaca berbagai referensi dari berbagai sumber guna menambah pengetahuan dan pemahaman tentang materi Prinsip Induksi Matematika yang sedang dipelajari. Aktivitas Menyusun daftar pertanyaan atas hal-hal yang belum dapat dipahami dari kegiatan mengamati dan membaca yang akan diajukan kepada guru berkaitan dengan materi Prinsip Induksi Matematika yang sedang dipelajari. Wawancara/tanya jawab dengan nara sumber 1. Mengajukan pertanyaan mengenai Prinsip Induksi Matematika 2. Mengajukan pertanyaan yang berkaitan dengan suatu permasalahan Prinsip Induksi Matematika COLLABORATION (KERJASAMA) Peserta didik dibentuk dalam beberapa kelompok untuk: Mendiskusikan Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas contoh dalam buku paket mengenai materi Prinsip Induksi Matematika Mengumpulkan informasi Mengumpulkan contoh soal pemodelan matematika dari sebuah permasalahan Prinsip Induksi Matematika. Mempresentasikan ulang Menyampaikan langkah-langkah pemecahan masalah Prinsip Induksi Matematika. Saling tukar informasi tentang materi : 1. Prinsip Induksi Matematika dengan ditanggapi aktif oleh peserta didik dari kelompok lainnya sehingga diperoleh sebuah pengetahuan baru yang dapat dijadikan sebagai bahan diskusi kelompok kemudian, dengan menggunakan metode ilmiah yang terdapat pada buku pegangan peserta didik atau pada lembar kerja yang disediakan dengan cermat untuk mengembangkan sikap teliti,
2. Pertemuan Kedua (2 x 45 Menit)
Data processing (pengolahan Data)
jujur, sopan, menghargai pendapat orang lain, kemampuan berkomunikasi, menerapkan kemampuan mengumpulkan informasi melalui berbagai cara yang dipelajari, mengembangkan kebiasaan belajar dan belajar sepanjang hayat. COLLABORATION (KERJASAMA) dan CRITICAL THINKING (BERPIKIR KRITIK) Peserta didik dalam kelompoknya berdiskusi mengolah data hasil pengamatan dengan cara : Berdiskusi tentang data dari Materi : 1. Prinsip Induksi Matematika Mengolah informasi dari materi Prinsip Induksi Matematika yang sudah dikumpulkan dari hasil kegiatan/pertemuan sebelumnya mau pun hasil dari kegiatan mengamati dan kegiatan mengumpulkan informasi yang sedang berlangsung dengan bantuan pertanyaan-pertanyaan pada lembar kerja. Peserta didik mengerjakan tugas yang berkaitan dengan Prinsip Induksi Matematika
Verification (pembuktian)
CRITICAL THINKING (BERPIKIR KRITIK) Peserta didik mendiskusikan hasil pengamatannya dan memverifikasi hasil pengamatannya dengan data-data atau teori pada buku sumber melalui kegiatan : Menambah keluasan dan kedalaman sampai kepada pengolahan informasi yang bersifat mencari solusi dari berbagai sumber yang memiliki pendapat yang berbeda sampai kepada yang bertentangan untuk mengembangkan sikap jujur, teliti, disiplin, taat aturan, kerja keras, kemampuan menerapkan prosedur dan kemampuan berpikir induktif serta deduktif dalam membuktikan tentang materi : 1. Prinsip Induksi Matematika antara lain dengan : Peserta didik dan guru secara bersamasama membahas jawaban soal-soal yang telah dikerjakan oleh peserta didik.
Generalization (menarik kesimpulan)
COMMUNICATION (BERKOMUNIKASI) Peserta didik berdiskusi untuk menyimpulkan Menyampaikan hasil diskusi tentang materi Prinsip Induksi Matematika menyelesaikan masalah yang berkaitan Bertanya atas presentasi tentang materi Prinsip Induksi Matematika yang dilakukan dan peserta didik lain diberi kesempatan untuk menjawabnya. CREATIVITY (KREATIVITAS) Menjawab pertanyaan tentang materi Prinsip Induksi Matematika yang terdapat pada buku pegangan peserta didik atau lembar kerja
2. Pertemuan Kedua (2 x 45 Menit)
yang telah disediakan. Bertanya tentang hal yang belum dipahami, atau guru melemparkan beberapa pertanyaan kepada siswa berkaitan dengan materi Prinsip Induksi Matematika yang akan selesai dipelajari Menyelesaikan uji kompetensi untuk materi Prinsip Induksi Matematika yang terdapat pada buku pegangan peserta didik at au pada lembar lerja yang telah disediakan secara individu untuk mengecek penguasaan siswa terhadap materi pelajaran. Catatan : Selama pembelajaran Prinsip Induksi Matematika berlangsung, guru mengamati sikap siswa dalam pembelajaran yang meliputi sikap: nasionalisme, disiplin,
rasa percaya diri, berperilaku j ujur, tangguh menghadapi masalah tanggungjawab, rasa ingi n tahu, peduli lingkungan Kegiatan Penutup (10 Menit) Peserta didik : Membuat resume (CREATIVITY ) dengan bimbingan guru tentang point-point penting yang muncul dalam kegiatan pembelajaran tentang materi Prinsip Induksi Matematika yang baru dilakukan. Mengagendakan pekerjaan rumah untuk materi pelajaran Prinsip Induksi Matematika yang baru diselesaikan. Mengagendakan materi atau tugas projek/produk/portofolio/unjuk kerja yang harus mempelajari pada pertemuan berikutnya di luar jam sekolah atau dirumah. Guru : Memeriksa pekerjaan siswa yang selesai langsung diperiksa untuk materi pelajaran Prinsip Induksi Matematika Peserta didik yang selesai mengerjakan tugas projek/produk/portofolio/unjuk kerja dengan benar diberi paraf serta diberi nomor urut peringkat, untuk penilaian tugas projek/produk/portofolio/unjuk kerja pada materi pelajaran Prinsip Induksi Matematika
Indramayu, 12 Januari 2018 Mengetahui : Guru SMA Negeri 1 Sindang
D.Evi Munardiani, S.Pd. NI NIP. -
Guru Mata Pelajaran
Ikwani
LAMPIRAN A. PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA
Pengertian Induksi matematika merupakan salah satu metode/cara pembuktian yang absah dalam matematik untuk membuktikan suatu pernyataan matematika apakah benar atau salah. Melalui induksi Matematika, kita dapat mengurangi langkah pembuktian yang sangat rumit untuk menemukan suatu kebenaran dari pernyataan matematis hanya dengan sejumlah langkah terbatas yang cukup mudah. Prinsip induksi matematika memiliki efek domino (jika domino disusun berjajar dengan jarak tertentu, saat satu ujung domino dijatuhkan ke arah donimo lain, maka semua domino akan jatuh satu per satu). Prinsip Induksi Matematika
Misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan bilangan asli. Pernyataan P(n) benar jika memenuhi langkah berikut ini: a. Langkah Awal ( Basic Step): P(1) benar. b. Langkah Induksi ( Induction Step): Jika P(k ) benar, maka P(k + 1) benar, untuk setiap k bilangan asliyaitu = , dengan , , , , ...., ≠ 0, dan sebagai variabel. Contoh
1). Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2. 1 + 3 + 5 + … + (2 n – 1) = n2 Penyelesaian:
(i) Langkah Basis: Misalkan, p (n) adalah 1 + 3 + 5 + … + (2 n – 1) = n2 p (1) ⇒ (2n – 1) = n2 (2.1 – 1) = 12 1 = 1 (benar) Jadi, p (1) benar. (ii) Langkah induksi: mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu: n = k ⇒ 1 + 3 + 5 + … + (2 k – 1) = k 2 Kita harus memperlihatkan bahwa n = k +1 n = k +1
⇒
1 + 3 + 5 + … + (2 k – 1) + (2n-1) = n2 1 + 3 + 5 + … + (2 k – 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)2
1 + 3 + 5 + … + (2 k – 1) + (2k + 2-1) = (k + 1)2
k 2 + (2k + 1) = (k + 1)2 (k + 1)2 = (k + 1)2 (Terbukti) Jadi, p (k+1) benar. (iii) Kesimpulan: Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkann benar, ......maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.
2)...Misalkan
suatu
ATM
pecahan
Rp20.000,00
penarikan
dengan
menyediakan dan
jumlah
layanan
Rp50.000,00.
minimal
penarikan Berapakah
yang dapat
diambil
uang
tunai
jumlah pelanggan
untuk
kelipatan melalui
ATM tersebut adalah Rp40.000,00? Penyelesaian:
Dengan menggunakan induksi matematika, harus kita tunjukkan bahwa Prinsip 1.1 dipenuhi untuk penarikan Rp n yang merupakan kelipatan Rp40.000,00 dengan n merupakan bilangan asli. a) Langkah awal Untuk mengeluarkan uang sejumlah Rp40.000,00, ATM bekerja dan mengeluarkan ....2 lembar uang Rp20.000,00. Jadi, untuk n = 2, maka benar ATM dapat mengeluarkan sejumlah uang kelipatan ....Rp40.000,00. b) Langkah Induksi Dengan demikian, untuk setiap jumlah uang kelipatan Rp40.000,00, ATM dapat ....mengeluarkan sejumlah uang yang diperlukan pelanggan. Artinya, untuk ....mengeluarkan Rp n, dengan n adalah kelipatan Rp40.000,00 dan n bilangan asli ....dapat digunakan e lembar uang Rp20.000,00. Akibatnya dapat disimpulkan bahwa .... P (k ) benar. Kita akan menunjukkan bahwa P (k + 1) juga benar, yaitu untuk ....mengeluarkan uang sejumlah (k + 1) kelipatan uang Rp40.000,00 dapat ....menggunakan uang pecahan Rp20.000,00 dan/ata u Rp50.000,00. Selain itu, terdapat dua kemungkinan, yaitu: i) Misalkan ATM kehabisan uang pecahan Rp50.000,00, maka untuk mengeluarkan ....uang senilai Rp n menggunakan pecahan uang Rp20.000,00. Karena minimal ....40.000, setidaknya harus menggunakan dua lembar uang pecahan Rp 20.000,00.
....Dengan mengganti dua lembar uang Rp 20.000,00 sebagai pengganti satu lembar ....Rp50.000,00 akan menjadikan uang yang dikeluarkan ATM sebanyak Rp ( n + k ), ....dengan k senilai Rp10.000,00. ii) Misalkan ATM mengeluarkan uang senilai Rp n, dengan sedikitnya satu lembar ..... pecahan Rp50.000,00. Dengan mengganti satu lembar pecahan Rp50.000,00 .....dengan tiga lembar pecahan uang Rp20.000,00 akan menjadikan uang yang .....dikeluarkan ATM sebesar Rp (n + k ), dengan k senilai Rp10.000,00. Dengan .....demikian terbukti bahwa jika P (k ) benar, maka P (k + 1) juga benar.
B. CONTOH INSTRUMEN Lembar Tes Tertulis Soal
1. Buktikan 1 . 2 2 . 3 3 . 4 ⋯ n(n 1) = 2. Buktikan 1 3 5 ⋯ n
(+)
(+)(+)
untuk bilangan asli n!
= n(n 1)(n 2) untuk bilangan asli n! 6
3. Buktikan 2 + 4 + 6 +8 +10 + 12 + 14 + ....... + 2n = n 2 + n untuk setiap n bilangan asli! 4. Buktikan 31 + 39 + 47 + 55 + ..... + (8n + 23) = 4n 2 + 27n untuk setiap n bilangan asli! 5. Buktikan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1) untuk setiap n bilangan asli! 6. Buktikan 1 + 4 + 7 + 10... + ( 3n - 2) =
n
(3n 1) 2
untuk bilangan asli n!
5
7.
Tentukan nilai dari
(2k 1) ! k 1
8. Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan 1 +4+7 + ... + 28 ! 5
9. Ubahlah
(4k 3) menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 7 ! k 0
10. Hitunglah
100
100
k 1
k 1
2k (3k 2) !
Jawaban
1. Buktikan 1.2 2.3 3.4 .... n(n 1) (i)
n( n 1)(n 2)
3
untuk bilangan asli n
Langkah Basis: Misalkan, p(n) adalah 1.2 2.3 3.4 .... n(n 1) p (1)
n( n
1)
1(1 1) 2
n( n
(
n n
1)(n 2) 3
1)(n 2)
3 1(1 1)(1 2) 3 2
Jadi, p(1) benar (ii)
Langkah induksi
Misalkan
n
k 1.2
2.3 3.4 .... n(n 1)
n( n 1)(n
2)
3
Akan di buktikan bahwa n = k + 1 k ( k 1)(k 2) n( n 1)(n 2) n( n 1) n k 1 3 3 k ( k 1)(k 2) k ( k 1)(k 2) ( k 1)(k 1) 1 3 3 (k 2
1)(k 2) 3
(k 2
1)(k 2) 3
(k 1)(k 2)
(k 1)(k 2)
(k 1)(k 1) 1(k 1) 2 3 (k 1)(k 2)(k 3) 3
(k 2
1)(k 2) 3
(k 3
3k 2
2k )
3k 2
(k (k
3 (k 3
2
2
2k ) 3(k 2
3k 2)
3k 2)
3k 2)
3 k
3
3k
2
2k 3k
2
9k 6
3 3
k
6k 2
11k 6
(k 2
3k 2)(k 3) 3
(k 3
6k 2
11k 6)
3 (k 3
6k 2
11k 6)
3 k
3
6k
2
11k 6
3 3
k
6k 2
3
11k 6
3
Jadi, p(k+1) benar (iii)
Kesimpulan Karena pada langkah basis dan langkah induksi p(n) dikatan benar, maka pernyataan p(n) terbukti benar untuk bilangan asli n
2. Buktikan 1. 3 5 .... n (i)
(n 1) 2
(
n n
1)(n 2) 6
untuk bilangan asli n
Langkah Basis: Misalkan, p(n) adalah 1 3 5 .... n p (1)
n
( n 1)
1
n( n
(n 1) 2
(
n n
1)(n 2) 6
1)(n 2)
2
6
(1 1)
2 1
1(1 1)(1 2) 6
1
Jadi, p(1) benar (ii)
Langkah induksi
Misalkan
n
k 1 3 5 .... k
(k 1)
k ( k 1)(k
2
2)
6
Akan di buktikan bahwa n = k + 1 (n 1) n(n 1)(n 2) k ( k 1)(k 2) n n k 1 6 2 6 (k 1) 1 k (k 1)(k 2) k ( k 1)(k 2) ( k 1) 6 2 6 (k 2
1)(k 2) 6
(k
2
1)(k 2) 6
(k 1)(k 2) 2 (k 1)(k 2) 2
(k 1)(k 1) 1(k 1) 2 6 (k 1)(k 2)(k 3) 6
(k 2
1)(k 2)
6 (k 3
3k 2
2k )
6 (k 3
3k 2
(k 2
3k 2) 2
(k 2
3k 2)
3
2k ) 3(k 2
9k
2
3k 2)
6k 2k
2
6 3k
2
6k 4
6 3
k
6k 2
11k 6
(k 2 (k 3
6k 2
11k 6)
6 (k 3
6k 2
11k 6)
6 3
k
2
6k
11k 6
6 3
6
3k 2)(k 3) 6
k
6k 2
11k 6
6
Jadi, p(k+1) benar (iii)
Kesimpulan Karena pada langkah basis dan langkah induksi p(n) dikatan benar, maka pernyataan p(n) terbukti benar untuk bilangan asli n
3. Buktikan 2 + 4 + 6 +8 +10 + 12 + 14 + ....... + 2n = n 2 + n untuk bilangan asli n (i) Langkah Basis: Misalkan, p(n) adalah p(1)
2n n 2 2.1 1 2
2
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ....... + 2n = n
2
+n
n
1
2
Jadi, p(1) benar (ii)
Langkah induksi n
k
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ....... + 2k = (k 2 + k)
Misalkan
Akan di buktikan bahwa n = k + 1
n
(k 2 k
2
k
2
2
k 1 (k
k ) 2n
k ) 2(k 1)
k 2k
2
3k 2
k
2
k
2
(n 2
((k 1) 2
n)
(k 1))
k k 1 k 1
3k 2
Jadi, p(k+1) benar (iii)
Kesimpulan Karena pada langkah basis dan langkah induksi p(n) dikatan benar, maka pernyataan p(n) terbukti benar untuk bilangan asli 2 4 6 .... 2n
n( n 1)
4. Buktikan 31 + 39 + 47 + 55 + ..... + (8n + 23) = 4n 2 + 27n untuk bilangan asli n (i) Langkah Basis: Misalkan, p(n) adalah 31 + 39 + 47 + 55 + ..... + (8n + 23) = 4n 2 + 27n p(1)
(8n + 23) = 4n 2 + 27n
(8.(1) + 23) = 4(1) 2 + 27(1) 8 + 23 = 4 + 27 31
31
Jadi, p(1) benar (ii)
Langkah induksi n
k
31 + 39 + 47 + 55 + ..... + (8k + 23) = 4k 2 + 27k
Misalkan
Akan di buktikan bahwa n = k + 1
n
2
+ 27k) (8n + 23) = 4n 2 + 27n
k 1 (4k
(4k 2 + 27k) (8(k 1) + 23) = 4(k 1) 2 + 27(k 1) 4k 2 + 27k 8k 8 + 23 = 4(k 2 2
2
2
2
4k + 35k 31 = 4k 4k + 35k 31 = 4k
2k 1) + 27k 27
8k 4 + 27k 27
35k 31
Jadi, p(k+1) benar (iii)
Kesimpulan Karena pada langkah basis dan langkah induksi p(n) dikatan benar, maka pernyataan p(n) terbukti benar untuk bilangan asli n
5. Buktikan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1) untuk bilangan asli n (i)
Langkah Basis: Misalkan, p(n) adalah 2 4 6 .... 2n n(n 1) p(1)
2n n(n 1) 2.1 1(1 1) 2
2
Jadi, p(1) benar (ii)
Langkah induksi 2 4 6 .... 2k k (k 1)
Misalkan
Akan di buktikan bahwa n = k + 1
n
n
k 1 k ( k 1)
k (k 1) 2n k ( k 1) 2
k k
2
k
2n n(n 1)
n( n 1)
2(k 1) (k 1)((k 1) 1)
k 2k 2
3k 2 k 2
(k 1)(k 2)
3k 2
Jadi, p(k+1) benar (iii)
Kesimpulan Karena pada langkah basis dan langkah induksi p(n) dikatan benar, maka pernyataan p(n) terbukti benar untuk bilangan asli n
6. Buktikan 1 + 4 + 7 + 10... + ( 3n - 2) = (i)
(3n 1)
n
2
untuk bilangan asli n
Langkah Basis: Misalkan, p(n) adalah 1 + 4 + 7 + 10... + ( 3n - 2) = p(1)
( 3n - 2) =
n
(3n 1) 2
n(3n 1)
2 (1)(3(1) 1) ( 3(1) - 2) = 2 1 =1
Jadi, p(1) benar (ii)
Langkah induksi
n
Misalkan
k 1 + 4 + 7 + 10... + ( 3k - 2) =
k (3k 1)
2
Akan di buktikan bahwa n = k + 1 k (3k 1) n(3n 1) n k 1 ( 3n - 2) = 2 2 (k 1)(3(k 1) 1) k (3k 1) ( 3(k 1) - 2) = 2 2 3k
2
k
2 3k 2
( (3k 3) - 2) =
( 3k 1) =
k
2 3k 2
k
2( 3k 1)
2 3k 2
k 6k 2
2 3k
2
5k 2
=
2
=
3k
2
(k 1)((3k 3) 1) 2
(k 1)(3k 2) 2
=
(k 1)(3k 2)
3k 2
2
2k 3k 2 2
5k 2
2
Jadi, p(k+1) benar (iii)
Kesimpulan Karena pada langkah basis dan langkah induksi p(n) dikatan benar, maka pernyataan p(n) terbukti benar untuk bilangan asli n
5
7.
(2k 1) (2.1 1) (2.2 1) (2.3 1) (2.4 1) (2.5 1) k 1
= 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35 10
8.
1 + 4 + 7 + ……. + 28 =
(3n 2) i 1
9. 10.
5
5 7
12
k 0
k 7
k 7
(4k 3) 4(k 7) 3 (4k 25) 5
5 7
k 0
k 7
(2k 3k 2) (5k 2) 7 12 17 .... 502
