Sekolah Mata Pelajaran Kelas/Semester Alokasi Waktu Pokok Bahasan
: SMAN 2 Makassar : Matematika Wajib : XI/1 : 10 Jam Pelajaran (5x pertemuan) : Induksi Matematika
KI3: Memahami,menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, pengetahuan, teknologi, seni, budaya, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah KI4: Mengolah, menalar, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan
3.1
4.1
Menjelaskan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagiaan dengan induksi matematika
Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagiaan
3.1.1 3.1.2 3.1.3
3.1.4
3.1.5 4.1.1 4.1.2
4.1.3
Membandingkan penalaran induktif dan deduktif. Menjelaskan prinsip induksi matematika Menggunakan prinsip induksi matematika dan menerapkannya dalam rumus jumlah deret persegi dan kubik. Menggunakan prinsip induksi matematika kuat dan menerapkannya dalam rumus jumlah deret persegi dan kubik. Mengidentifikasi masalah induktif dan deduktif. Mencontohkan prinsip induksi matematika. Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan induksi matematika dalam pembuktian rumus jumlah deret persegi dan kubik. Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan induksi matematika kuat dalam pembuktian rumus jumlah deret persegi dan kubik.
Setelah mempelajari induksi matematika, peserta didik dapat: 3.1.1 Membandingkan penalaran induktif dan deduktif. 3.1.2 Menjelaskan prinsip induksi matematika 3.1.3 Menggunakan prinsip induksi matematika dan menerapkannya dalam rumus jumlah deret persegi dan kubik. 3.1.4 Menggunakan prinsip induksi matematika kuat dan menerapkannya dalam rumus jumlah deret persegi dan kubik.
3.1.5 Mengidentifikasi masalah induktif dan deduktif. 4.1.1 Mencontohkan prinsip induksi matematika. 4.1.2 Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan berkaitan dengan induksi matematika dalam pembuktian rumus jumlah deret persegi dan kubik. 4.1.3 Menyajikan dan menyelesaikan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan induksi matematika kuat dalam pembuktian rumus jumlah deret persegi dan kubik.
Apakah Induksi Matematika itu ? Induktif ke Induksi matematika : suatu cara untuk membuktikan bahwa suatu fungsi persamaan bernilai benar untuk himpunan bilangan bulat positif (yg jmlnya tak berh ingga) dalam sejumlah langkah terbatas. : Buktikan bahwa persamaan berikut adalah BENAR. P(n) = 1 + 2 + 3 +…+ n = n . (n+1)/2. Untuk n = 1, 2, 3,…. 3,…. Sebagai contoh p(5) adalah jml bil bulat positif dari 1 s/d 5 yaitu 5.(5+1)/2. 5 .(5+1)/2. Memang, 1+2+3+4+5 = 15 = 5. 6/2 . Sayangnya, ini belum dapat membuktikan bahwa p(n) adalah TAUTOLOGI. Kebenaran yang ditunjukkan hanya pada n = 5 yaitu untuk himpunan p(5). p(5 ). Harus diingat bahwa bil bulat positif jumlahnya tak hingga. Jadi kita tidak dapat menggunakan pendekatan ini untuk membuktikan rumus tsb. Analogi : Induksi matematiak sering berguna unt menyelesaikan masalah seperti di atas. Pembuktian dengan induksi matematika dapat dianalogikan dgn usaha merobohkan sederetan kartu d omino yg didirikan berdekatan.
Yang perlu dilakukan adalah mendorong kartu pertama kearah deretan. Kartu domino yg terdorong akan mendorong kartu domino yg berikutnya. Untuk meyakinkan bhw semua kartu roboh harus dilakukan pengecekan semua pasangan kartu yg berdekatan dan membuktikan bhw jika kartu roboh maka kartu juga akan roboh. Dilihat secara khusus kartu ke-99 dan 100. untuk membuktikan p(99) p(100), digunakan (99) sebagai premis. P(100) : 1 + 2 + 3 + …+ 99 + = 99 (99+1)/2 + = 99. 100/2 + 2 . 100/2 = 100 (101)/2 = 100 (100+1)/2 p(n) p(n+1) untuk semua n 1 ? p(n+1) : 1 + 2 + 3 + …+ n + (n+1) = (1 + 2 + 3 + …+ n ) + (n+1) (n+1) = n (n+1)/2 + 2 (n +1) /2 = (n+1) (n+2)/2 = ( (n+1) ) ( (n+1) + 1)/2. TERBUKTI.
Untuk semua n 1, buktikan dengan Iduksi bahwa n3 + 2n adalah kelipatan 3.
1. Langkah dasar. n = 1 ; 13 + 2.1 = 3, benar bahwa persamaan ini merupakan kelipatan 3. 2. Langkah induksi. Diasumsikan bahwa n 1, n3 + 2n adalah kelipatan 3 merupakan pernyataan bernilai benar. Ingin dibuktikan bhw p(n+1) : (n+1)3 + 2(n+1) = (n3 + 3n2+3n+1) + (2n + 2) = (n3 + 2n ) + 3n2 + 3n + 3 = (n3 + 2n ) + 3 (n2 + n + 1) Benar, (n+1)3 + 2(n+1) adalah kelipatan 3 karena merupakan penjumlahan dari dua kelipatan 3.
Untuk k = {k0, k0 +1, k0+2,…} dengan k0 = sembarang bil bulat maka p(n) adalah 1. p(k0) benar 2. untuk semua k k0, p(k) p(k+1). : 1. Langkah dasar - Buktikan bahwa p(k0) benar. 2. Langkah Induksi - Asumsikan bahwa p(k) benar untuk sejumlah bil bulat. - Buktikan bahwa asumsi tersebut berimplikasi p(k+1) benar. : n
2
Buktikan jumlah bilangan bulat ganjil adalah n , atau P(n) :
2i 1 n
2
i 1
: 1. Langkah dasar P(1) : 2.1 – 2.1 – 1 1 = 12 benar (fakta aritmetika). 2. Langkah Induksi P(n) P(n+1) benar ? n
Asumsi : P(n) :
2i 1 n
2
benar.
i 1 n 1
P(n+1) :
n
2i 1 ( 2i 1) 2(n 1) 1 i 1
i 1
= = = =
n2 + 2(n+1) -1 n2 + 2n+2 -1 n2 + 2n+1 (n+1)2 BENAR.
: Buktikan P(n) :
(merupakan definisi
n
n
2 untuk n = 1, 2, 3, …
Jawab : 1. Langkah dasar. P(1) : 1 < 21 benar (fakta aritmetika) 2. Langkah Induksi P(n) P(n+1) benar ? Asumsi P(n) :
n
n
2 adalah benar.
Bagaimana dengan P(n+1) ?
(hipotesis)
)
jika :
Perhatikan 2n+1 = 2n x 2 (definisi pangkat) n x 2 (hipotesis) n + n (aritmetika) 2 (n+1). Terbukti. Atau P(n) : (n+1) < 2(n+1) bena n+1
: Kooperatif, tanya jawab, penugasan dan diskusi
Pertemuan Pertama: Indikator: 3.1.1 3.1.2 3.1.3
Membandingkan penalaran induktif dan deduktif. Menjelaskan prinsip induksi matematika Menggunakan prinsip induksi matematika dan menerapkannya dalam rumus jumlah deret persegi dan kubik.
Menyampaikan
tujuan dan memotivasi peserta didik
Mengucap salam dan berdo’a. Peserta didik menerima informasi kompetensi, materi, tujuan, manfaat, dan langkah pembelajaran yang akan dilaksanakan. Guru mengingatkan kembali tentang materi barisan dan deret aritmetika. Guru memberikan motivasi motivasi tentang pengertian penalaran induktif induktif dan penalaran deduktif dalam kehidupan nyata.
Mendemonstrasikan keterampilanatau mempresentasikan informasi
Meminta peserta didik mencari/ mengumpulkan informasi tentang induksi matematika, yaitu : Jumlah n pertama bilangan asli
adalah
Bertanya kepada peserta didik mengenai informasi induksi matematika yang telah diberikan Memberi kesempatan kepada peserta didik untuk bertanya atau mengemukakan pendapatnya mengenai informasi yang diberikan
Peserta didik dibagi ke dalam beberapa kelompok yang terdiri dari 5 – 5 – 6 6 orang. Mengorganisasikan pesertadidikke dalamkelompok
Membimbing kelompokbekerja
danbelajar
Evaluasi
Setiap kelompok diberikan kesempatan untuk berpikir, dan berkaitan dengan materi yang diberikan Setiap kelompok membahas contoh dan menuliskan hasil diskusinya pada buku tulis masing – masing – masing masing peserta didik. Peserta didik secara berkelompok membahas pertanyaan – pertanyaan – pertanyaan yang ada di buku peserta didik Perwakilan kelompok diminta melakukan presentasi untuk hasil kerjanya secara klasikal. Peserta didik diberi kesempatan untuk melakukan tanya jawab berkaitan dengan presentasi tersebut. membahas semua pertanyaan dengan cara menunjuk salah satu kelompok untuk menyampaikan jawaban yang telah mereka jawab Memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengajukan pertanyaan. Membimbing peserta didik untuk menyimpulkan materi pelajaran dari hasil diskusi Kelompok pemenang diberikan penghargaan.
Memberikan penghargaan
(pemberian tugas)
Mengingatkan peserta didik agar mempelajari materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya Guru melakukan umpan balik untuk mengetahui sejauh mana pembelajaran terjadi pada peserta didik Memberikan tugas rumah. Mengakhiri dengan mengucapkan salam
Pertemuan Kedua (2x45 menit) Indikator: 3.1.4 Menggunakan prinsip induksi matematika kuat dan menerapkannya dalam rumus jumlah deret persegi dan kubik. 3.1.5 Mengidentifikasi masalah induktif dan deduktif. 4.1.1 Mencontohkan prinsip induksi matematika.
Menyampaikan tujuandan memotivasipeserta didik
Guru Mengucap salam dan berdo’a Apersepsi : Mengingatkan kembali materi pembelajaran pembelajaran pada pertemuan sebelumnya.
Mendemonstrasikan keterampilanatau mempresentasikan informasi
Guru dan peserta didik mempersiapkan sumber belajar, yaitu buku pegangan peserta didik kelas XI mata pelajaran matematika. Guru memberikan contoh dari buku yaitu : Buktikan bahwa “untuk semua bilangan asli n, jumlah n bilangan ganjil berurutan pertama sama dengan n2. Memberi kesempatan kepada peserta didik untuk bertanya atau mengemukakan pendapatnya mengenai informasi yang diberikan Peserta didik duduk berkelompok sesuai dengan kelompoknya pada kegiatan terdahulu.
Mengorganisasikan pesertadidikke dalamkelompok
Peserta didik dalam kelompoknya, saling berkaitan dengan materi yang telah ditayangkan dan diamatinya dari buku peserta didik Peserta didik diberi kesempatan informasi melalui kegiatan mencoba mengerjakan soal yang diberikan guru secara berkelompok melalui jawaban soal yang Peserta didik diberikan guru dan telah diselesaikan, dan menuliskannya pada buku tulis masing – masing. – masing. Perwakilan kelompok diminta melakukan presentasi untuk hasil kerjanya secara klasikal. Membahas semua pertanyaan dengan cara menunjuk salah satu kelompok untuk menyampaikan jawaban yang telah mereka jawab Memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengajukan pertanyaan. Membimbing peserta didik untuk menyimpulkan materi pelajaran dari hasil diskusi
Membimbing kelompokbekerja danbelajar
Evaluasi
Kelompok pemenang diberikan penghargaan.
Memberikan penghargaan
Peserta didik diminta menyimpulkan tentang penerapan induksi matematika Guru melakukan umpan balik untuk mengetahui sejauh mana pembelajaran terjadi pada peserta didik
Guru memberikan tugas PR beberapa soal tentang induksi matematika.
(pemberian tugas)
Pertemuan Ketiga-kelima Indikator: 4.1.2 4.1.3
Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan induksi matematika dalam pembuktian rumus jumlah deret persegi dan kubik. Menyajikan dan menyelesaikan menyelesaikan masalah masalah yang berkaitan berkaitan dengan induksi matematika kuat dalam pembuktian rumus jumlah deret persegi dan kubik.
Menyampaikan tujuandan memotivasipeserta didik
Guru Mengucap salam dan berdo’a Apersepsi : Mengingatkan kembali materi pembelajaran pada pertemuan sebelumnya.
Mendemonstrasikan keterampilanatau mempresentasikan informasi
Mengorganisasikan pesertadidikke dalamkelompok
Guru dan peserta didik mempersiapkan sumber belajar, yaitu buku pegangan peserta didik kelas XI mata pelajaran matematika. Guru memberikan contoh dari buku buku guru yaitu : Perhatikan barisan bilangan xn yang didefinisikan dengan x1 = 1, x2 = 2, xn = ½ (xn+1 + xn) untuk semua bilangan asli asli n. Akan Akan ditu dituli lisk skan an 1 xn 2 untuk semua bilangan asli n. Memberi kesempatan kepada peserta didik untuk bertanya atau mengemukakan pendapatnya mengenai informasi yang diberikan Peserta didik duduk berkelompok sesuai dengan kelompoknya pada kegiatan terdahulu.
Peserta didik dalam kelompoknya, saling berkaitan dengan materi yang telah ditayangkan dan diamatinya dari buku peserta didik informasi melalui kegiatan mencoba Peserta didik diberi kesempatan mengerjakan soal yang diberikan guru secara berkelompok melalui jawaban soal yang Peserta didik diberikan guru dan telah diselesaikan, dan menuliskannya pada buku tulis masing – masing. – masing. Perwakilan kelompok diminta melakukan presentasi untuk hasil kerjanya secara klasikal. Membahas semua semua pertanyaan dengan cara menunjuk salah salah satu kelompok untuk menyampaikan jawaban yang telah mereka jawab Memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengajukan pertanyaan. Membimbing peserta didik untuk menyimpulkan materi pelajaran dari hasil diskusi
Membimbing kelompokbekerja danbelajar
Evaluasi
Memberikan penghargaan
Kelompok pemenang diberikan penghargaan.
(pemberian tugas)
Peserta didik diminta menyimpulkan tentang penerapan induksi matematika kuat. Guru melakukan umpan balik untuk mengetahui sejauh mana pembelajaran terjadi pada peserta didik Guru memberikan tugas PR beberapa soal tentang induksi matematika. Guru mengakhiri kegiatan pembelajaran dengan memberikan pesan untuk tetap belajar dan mengucap salam
B. Teknik penilaian 1. Teknik Penilaian: a) Penilaian Sikap : Observasi/pengamatan Observasi/ pengamatan b) Penilaian Pengetahuan : Tes Tertulis c) Penilaian Keterampilan : Unjuk Kerja/ Praktik dan Proyek 2. Bentuk Penilaian : 1. Observasi : lembar pengamatan aktivitas peserta didik 2. Tes tertulis : uraian dan lembar kerja 3. Unjuk kerja : lembar penilaian presentasi 3. Instrumen Penilaian (terlampir) 4. Remedial Pembelajaran remedial dilakukan bagi siswa yang capaian KD nya belum tuntas Tahapan pembelajaran remedial dilaksanakan melalui remidial teaching (klasikal), atau tutor sebaya, atau tugas dan diakhiri dengan tes. Tes remedial, dilakukan sebanyak 3 kali dan apabila setelah 3 kali terus remedial belum mencapai ketuntasan, maka remedial dilakukan dalam bentuk tugas tanpa tes tertulis kembali. (ini hanya contoh perlakuan) 5. Pengayaan Bagi siswa yang sudah mencapai nilai ketuntasan diberikan pembelajaran pengayaan sebagai berikut: Siwa yang mencapai nilai n(ketuntasan ) n n(maksimum) diberikan materi masih
dalam cakupan KD dengan pendalaman sebagai pengetahuan tambahan Siwa yang mencapai nilai n n(maksimum) diberikan materi melebihi cakupan KD dengan pendalaman sebagai pengetahuan tambahan. C. Media/alat, Bahan, dan Sumber Belajar 1. Media/alat : Notebook, Projector 2. Bahan : Slide presentasi PPT, LKPD 3. Sumber Belajar : - Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI, Kemdikbud 2017
: : : :
SMAN 2 Makassar Matematika Wajib XI/ 1 3.1 Menjelaskan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa
barisan, ketidaksamaan, keterbagiaan dengan induksi matematika
3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5
Membandingkan penalaran induktif dan deduktif. Menjelaskan prinsip induksi matematika Menggunakan prinsip induksi matematika dan menerapkannya dalam rumus jumlah deret persegi dan kubik. Menggunakan prinsip induksi matematika kuat dan d an menerapkannya dalam rumus jumlah deret persegi dan kubik. Mengidentifikasi masalah induktif dan deduktif.
:
persamaan, keterbagian dan ketaksamaan pada Induksi matematika
Satuan Pendidikan Jumlah Soal Mata Pelajaran Penyusun
1.
: SMAN 2 Makassar :5 : Matematika Wajib : Dra. Mesrawaty & Azlan Andaru, S.Pd.
3.1 Menjelaskan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksama an, keterbagiaa n dengan induksi matematika
persamaan, keterbagian dan ketaksamaan pada Induksi matematika
XI/1
Disajikan sebuah pola bilangan ganjil, peserta didik dapat membuktikan dengan persamaan induksi matematika
1
Disajikan sebuah pola bilangan, peserta didik dapat membuktikan dengan persamaan induksi matematika
2,3
Disajikan sebuah persamaan keterbagian yang habis dibagi 5, peserta didik dapat membuktikan dengan pembagian induksi matematika
4
Disajikan sebuah ketaksamaan, peserta didik dapat membuktikan persamaan tersebut kelipatan 3 dengan induksi matematika
5
1. Tunjukan: 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – (2n – 1) 1) = n2, untuk n bilangan positif. 2. Buktikan bahwa positif n, 3. Buktikan bahwa
untuk setiap bilangan bulat
untuk semua bilangan bulat positif n. 4. Buktikan bahwa pernyataan berikut bernilai benar. “Semua bilangan yang berbentuk 7n - 2n dapat dibagi oleh 5 untuk setiap n bilangan asli 5. Buktikan Untuk n ≥ 1, 1, n3 + 2n adalah kelipatan 3
1
2.
Akan ditunjukkan bahwa 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – (2n – 1) 1) = n2, untuk n bilangan positif Basis Induksi Untuk n = 1 (2n – (2n – 1) 1) = n2 (2.(1) – (2.(1) – 1) 1) = (1)2 2 – 1 =1 1 = 1 Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1. Langkah induksi: Andaikan p(n = k) benar, yaitu pernyataan 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) – 1) = k 2 adalah benar (hipotesis induksi) Akan diperlihatkan bahwa p(k +1) juga benar, yaitu 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2 juga benar. Hal ini dapat kita kita tunjukkan sebagai berikut: 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1) = [1 + 3 + 5 + … + (2k – 1)] – 1)] + (2k + 1) 2 = k + (2k + 1) 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) – 1) + (2k + 1) = k2 + 2k + 1 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) – 1) + (2k + 1) = (k + 1) ( k + 1) 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2
20
Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkan benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2 Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2. Kita akan menunjukkan menun jukkan bahwa P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n. 1. Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar. Dari rumus di atas, pernyataan P(1) menyatakan
dan pernyataan ini dengan jelas bernilai benar. 2. Anggap bahwa P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita adalah
Kita akan gunakan hipotesis tersebut untuk menunjukkan bahwaP(k + 1) benar, yaitu
Sehingga, kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan hipotesis induksi untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
20
Sehingga kebenaran P(k + 1) mengikuti kebenaran P(k), dan kita telah melakukan langkah induksi.
3
Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + … + n(n + 1) =
[(+ )( + )]
1. Kita akan tunjukkan bahwa P(1) bernilai benar. Berdasarkan rumus di atas, P(1) menyatakan
yang bernilai benar. 2. Anggap bahwa P(k) benar dan kita memperoleh hipotesis induksi sebagai berikut.
Hipotesis ini akan kita gunakan untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. PernyataanP(k + 1) menyatakan
20 Kita mulai dari bentuk yang berada berad a di ruas kiri, kemudian kita gunakan hipotesis induksi untuk mendapatkan bentuk pada ruas kanan
Sehingga kita telah menunjukkan bahwa P(k + 1) mengikuti P(k). Sehingga kita telah membuktikan langkah induksi. Berdasarkan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.
4
Akan dibuktikan bahwa : “Semua bilangan yang berbentuk 7 n - 2n dapat dibagi oleh 5 untuk setiap n bilangan asli Basis Induksi Untuk n = 1 71 - 21 = 7 – 7 – 2 2 =5 Selanjutnya, kita asumsikan bahwa P (n)adalah benar Langkah induksi: Andaikan p(n = k) benar, yaitu pernyataan “7k – 2 – 2k dapat dibagi oleh 5 untuk setiap k bilangan asli” adalah benar (hipotesis induksi) Akan diperlihatkan bahwa C juga benar, yaitu 7 k + 1 – 2 – 2k + 1 = 7 . 7k - 7.2k + 7.2k – 2 – 2 . 2k = 7 (7k – 2 – 2k) + 5 . 2k
20
= 7 (5m) + 5 . 2 k , (asumsi P (n) benar) k = 5 (7m + 2 ) Karena (7m + 2k) bilangan asli maka dari persamaan terakhir dapat kita simpulkan bahwa 7 k + 1 – 2 – 2k + 1 habis dibagi 5. Dengan kata lain untuk P(k+1) juga benar. Dapat disimpulkan bahwa “Semua “Semua bilangan yang berbentuk 7n - 2n dapat dibagi oleh 5 untuk setiap n bilangan asli
5
Untuk , akan ditunjukkan bahwa n3 + 2n adalah kelipatan 3 Basis Induksi Untuk n = 1 13+ 2.1 = 1 + 2 = 3 adalah kelipatan 3 (benar). Langkah Induksi: Andaikan benar bahwa n 3 + 2n adalah kelipatan 3. Akan dibuktikan: Untuk p(k+1): (k+1)3 + 2(k+1) adalah kelipatan 3 Bukti: (k+1)3+ 2(k+1) = (k3 + 3k2+ 3k + 1) + (2k + 2) = (k3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3) = (k3+ 2k) + 3 (k2 + k + 1) Karena (k3 + 2k) adalah kelipatan 3 (hipotesa Induksi) dan 3 (k 2 + k + 1) adalah juga merupakan kelipatan 3, maka (k 3+ 2k) + 3 (k2 + k + 1) adalah kelipatan 3. Terbukti. Untuk
, n3 + 2n adalah kelipatan 3 Jumlah Skor
20
100
: : : :
SMAN 2 Makassar Matematika - Wajib XI/ 1 4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk
menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagiaan
4.1.1 4.1.2 4.1.3
: Mencontohkan prinsip induksi matematika. Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan induksi matematika dalam pembuktian rumus jumlah deret persegi dan kubik. Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan induksi induksi matematika kuat dalam pembuktian rumus jumlah deret persegi dan kubik.
:
persamaan, keterbagian dan ketaksamaan pada Induksi matematika
Satuan Pendidikan Jumlah Soal Mata Pelajaran Penyusun
1.
: SMAN 2 Makassar :5 : Matematika Wajib : Dra. Mesrawaty & Azlan Andaru, S.Pd.
4.1 Menggunakan
metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagiaan
persamaan, keterbagian dan ketaksamaan pada Induksi matematika
XI/ 1
Disajikan sebuah pola bilangan, peserta didik dapat membuktikan pola bilangan itu dengan induksi matematika Disajikan sebuah persamaan, peserta didik membuktikan dengan induksi matematika bahwa persamaan itu faktor dari 3 Disajikan sebuah persamaan kuadrat, peserta didik membuktikan dengan induksi matematika bahwa persamaan kuadrat itu merupakan bilangan ganjil untuk setiap bilangan
3
Disajikan sebuah persamaan keterbagian yang habis dibagi 4, peserta didik dapat membuktikan dengan pembagian induksi matematika
1,5
2
3
4
1. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 2. Buktikan bahwa 3 adalah faktor 4n – 1 1 untuk semua bilangan bulat positif n. 3. Buktikan bahwa n² – n + 41 merupakan bilangan ganjil untuk semua bilangan bulat positif n. 4. Gunakan induksi matematika untuk menunjukkan bahwa 5n – 1 1 habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n. 5.
+) 1 2 3 ⋯ ⋯ = (+)
1.
Apakah terdapat uraian tentang prosedur penyelesaian yang dikerjakan?
2.
Apakah langkah penyelesaian dibuat dengan tepat dan sesuai dengan konsep?
3.
Apakah bahasa yang digunakan untuk menginterpretasikan lugas, sederhana, runtut dan sesuai dengan kaidah EYD?
4.
Apakah penyelesaian yang dikerjakan sesuai dengan konsep yang telah dipelajari?
5.
Apakah dibuat kesimpulan?
Nilai Perolehan =
SkorPerolehan skor maksimal
× 100
Satuan Pendidikan Jumlah Soal Mata Pelajaran Penyusun
1.
2.
: SMAN Makassar :2 : Matematika Wajib : Dra. Mesrwaty & Azlan Andaru, S.Pd.
3.1 Menjelaskan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan , keterbagiaan dengan induksi matematika 4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan , keterbagiaan
Persamaan, keterbagian, ketaksamaan pada induksi matematika
XI/ 1
Disajikan sebuah pola bilangan, peserta didik dapat membuktikan pola bilangan tersebut dengan induksi matematika Disajikan sebuah ketaksamaan, peserta didik dapat membuktikan ketaksamaan tersebut dengan induksi matematika
1
2
Matematika XI/1 KURIKULUM 2013 Kompetensi Dasar
:
Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagiaan
Materi
:
Persamaan, keterbagian, ketaksamaan pada induksi matematika
Indikator Soal
:
Soal 1 - Disajikan sebuah fpola bilangan, peserta didik dapat membuktikan pola bilangan tersebut dengan induksi matematika Soal 2 – 2 – Disajikan Disajikan sebuah ketaksamaan, peserta didik dapat membuktikan ketaksamaan tersebut dengan induksi matematika
Level Kognitif
:
Penerapan (C3) dan Analisis (C4)
1. Dengan induksi matematika buktikan
(+) .. ..4 .4.5 ⋯ (+)( +)(+ +)) = 4(+)(+)
2. Dengan induksi matematika buktikan 2n + 1 ≤ 2n, untuk n = 3,4,…
Kepala Sekolah
Dra. Hj. Masita, M.Si NIP. 19620830 198411 2 001
Makassar, 17 Juli 2017 Guru Mata Pelajaran
Dra. Mesrawaty NIP. 19590524 198601 2 001