Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
1
Rumus-rumus segitiga
RUMUS-RUMUS SEGITIGA
Pandanglah ABC pada gambar 1. Besar sudut dalam ABC, dituliskan dengan A, B, dan C. Sisi di hadapan A (yaitu sisi BC) panjagnya a, sisi di hadapan B (yaitu sisi AC) panjagnya b dan sisi di hadapan C (yaitu (yaitu sisi AB) panjangny panjangnyaa c. A
A = ao B = bo C = co
o
a
b
c o
B
sisi BC = a sisi AC = b sisi AB = c
o
b
c a
C
Gambar 1 Jadi dalam ABC terdapat 6 unsur , yaitu 3 unsur sudut (dengan A, B, dan C) dan 3 unsur sisi ( a, b , dan c). Dalam BAB ini kita akan mempelajari rumus-rumus segitiga yang menghubungkan unsur-unsur sudut dengan unsur-unsur sisi pada sebuah segitiga, yaitu : aturan sinus (Dalil Sinus), atura kosinus (Dalil kosinus), dan luas segitiga. 1. ATURAN SI SINUS A. Contoh-contoh untuk pengantar . Untuk memudahkan kita dlam memahami aturan sinus itu, perlu kita simak terlebih dahulu beberapa contoh berikut ini .
1. Pada Pada gambar gambar 2, segit segitiga iga ABC ABC siku-s siku-siku iku di B, B, dengan dengan A = 50 , B = 90 , dan b = 8 . Hitunglah Hitunglah : a. besar C b. Panjang sisi a dan sisi c. C Penyelesaian : o
b=8 o 50 A c
a B
o
a. Untuk ntuk men mengh ghit itun ung g C kita gunakan o hubu hubunga ngan n : A + B + C = 180 C = 180o - A - C o o o = 180 – 50 – 90 o = 40
Gambar 2 b. Dari gambar 2 didapat : a sin A a b sin A b o = 8 sin 50 = 8 0,7660 = 6,1 (teliti samai 1 tempat desimal) c cos A c b cos A b Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
2
Rumus-rumus segitiga
= 8 cos 50 = 8 0,6428 = 5,1 (teliti sampai dengan 1 tempat tempa t desimal). Jadi panjang sisi a = 6,1 dan panjang sisi c = 5,1 . o
2. Pada ada gam gambar bar 3, ABC lancip dengan A = 40 , B = 80 dan b = 6 . a. Hitung besar C ! C b. Apakah Apakah panja panjang ng a dan dan c dapat dapat dihitu dihitung ng Langsung seperti pada contoh 1 ? c. Buat garis garis ting tinggi gi CD pada sisi sisi AB, kemudi kemudian an a b = 6 Hitung : i. panjang CP iv. Panjang BP ii. panjang BC v. Panjang AB o o 40 D 80 iii. panjang AP A c o
o
B
Gambar 3 Penyelesaian : a. Untu Untuk k meng menghi hitu tung ng C, kita gunakan hubungan : o C = 180 - A - B o o o = 180 – 40 – 80 o = 60 b. Karena ABC bukan segitiga siku-siku, maka panjang sisi a dan c tidak dapat dihitung langsung seperti pada contoh 1. c. Dengan Dengan membuat membuat garis garis tinggi tinggi CD CD sebagai sebagai gari gariss pertolo pertolongan ngan (lih (lihat at gambar gambar 3) kita kita dapatkan : CD CD b sin A i. sin A b o = 6 sin 40 = 6 0,6428 = 3,9 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal). CD CD ii. sin B BC BC sin B 3,9 = sin 80o 3,9 = 0,9848 = 3,9 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal). AD iii. cos A AD b cos A b o = 6 cos 40 = 6 0,7660 = 4,6 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal). DB DB BC cos B iv. cos B BC Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
3
Rumus-rumus segitiga
= 3,9 cos 80 = 3,9 0,1736 = 0,7 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal). v. AB = AD + DB = 4,6 + 0,7 = 5,3 Jdi dengan membuat garis tinggi CD sebagai garis pertolongan, kita dapat menghitung panjang sisi a dan sisi c. o
3. Pada ada gam gambar bar 4, ABC tumpul dengan A = 100 , B = 50 dan b = 12. a. Hit Hitungl unglah ah bes besar ar C! C b. Apakah Apakah panja panjang ng a dan dan c dapat dapat dihitu dihitung ng a Langsung seperti pada contoh 1. b =12 c. Buat garis garis ting tinggi gi CD CD pada pada perpa perpanja njangan ngan o o 100 50 Sisi AB, kemudian hitung panjang a dan D c! A c B A Gambar 4 Penyelesaian : a. Untu Untuk k meng menghi hitu tung ng C, kita gunakan hubungan : o C = 180 - A - B o o o = 180 – 100 – 50 o = 30 b. Karena ABC bukan segitiga siku-siku, maka panjang sisi a dan c tidak dapat dihitung langsung seperti pada contoh 1. c. Dengan membuat membuat garis tinggi CD sebagai sebagai garis garis pertolong pertolongan an (lihat (lihat gambar gambar 4). Maka kita dapatkan : o o o i. pada DAC, DAC = 180 – 100 = 80 , sehingga CD CD b sin DAC sin DAC b o = 12 sin 80 = 12 0,9848 = 11,8 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal). AD AD b cos DAC cos DAC b o = 12 cos 80 = 12 0,1736 = 2,1 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal). ii. pada PBC : CD CD BC sin B BC sin B 11,8 = sin 50o o
o
Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
4
Rumus-rumus segitiga
11,8
=
0,7660 = 15,4 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal).
cos B
BD BC
BD BC cos B
= 15,4 cos 50 = 15,4 0,6428 = 9,9 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal). AB = BD-AD = 9,9 = 2,1 = 7,8 Jadi, dengan membuat garis tinggi CD sebagai garis pertolongan, kita dapat menghitung panjang sisi a dan sisi c. Dari contoh 1 sampai dengan contoh 3, kita dapat mengamati beberapa hal sebagai berikut : 1. Dalam ABC siku-siku (contoh 1), panjang sisi a dan c dapat dihitung langsung dengan menggunakan perbandingan trigonometri. 2. Dalam ABC lancip (contoh 2) atau tumpul (contoh 3), panjang sisi a dan c dapat dihitung dengan menggunakan garis tinggi sebagai garis pertolongan. Lalu sekarang timbul pertanyaan, dapatkah panjang sisi a dan c dihitung tanpa menggunakan garis tinggi sebagai garis pertolongan ? Untuk menjawab pertanyaan tersebut simaklah uraian berikut ini . o
B. Aturan Sinus dan Buktinya. Pada uraian terdahulu telah kita pelajari cara menentukan unsur-unsur sebuah segitiga yang belum diketahui, jika unsur-unsur yang lain telah diketahui. Namun yang terpenting dari padanya, adalah apa yang disebut di bawah ini : Aturan Sinus : Dalam setiap segitiga, perbandingan antara panjang sisi dengan sinus sudut yang mengahadapi sisi itu adalah sama, untuk tiap sisi dan sudut yang terdapat pada segitiga tersebut.
Atau dengan rumus dapat ditulis sebagai berikut : Untuk segitiga ABC berlaku : a b c
sin A Bukti : Cara 1 i. Untuk ABC lancip. C
b
a
A D c
B Gambar 5
sin B
sin C
Perhatikan gambar 5 *) segitiga segitiga ADC siku-sik siku-siku u di D, maka : CD sin A CD b sin A ---(1) b *) segitiga BDC siku-siku di D, maka : CD sin B CD a sin B ---(2) a Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
5
Rumus-rumus segitiga
Dari (1) dan (2) didapat : bsinA = asinB atau a
sin A
b
---------(3)
sin b
Perhatikan gambar 6 *) segitiga segitiga AEC siku-sik siku-siku u di E, maka : AE AE b sin C ---(4) sin C b *) segitiga BEC siku-siku di E, maka : AE AE c sin B ---(5) sin B c
C E b
a
A
B c Gambar 6
Dari (1) dan (2) didapat : bsinC = csinB atau b sin B
c
---------(6)
sin C
a
Dari (3) dan (6) didapat :
sin A ii. Untuk ABC tumpul : C a b D
A
c
b sin B
c sin C
Perhatikan gambar 5 *) segitiga segitiga ADC siku-sik siku-siku u di D, maka : CD CD b sin A ---(1) sin A b *) segitiga BDC siku-siku di D, maka : CD B CD a sin B ---(2) sin B a
Gambar 7 Dari (1) dan (2) didapat : bsinA = asinB atau a sin A
b
---------(3)
sin b
C E b
a A
c
Perhatikan gambar 6 *) segitiga segitiga AEC siku-siku siku-siku di E, maka maka : AE sin C AE b sin C ---(4) b *) segitiga BEC siku-siku di E, maka : AE B sin B AE c sin B ---(5) c
Gambar 8 Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
6
Rumus-rumus segitiga
Dari (4) dan (5) didapat : bsinC = csinB atau b sin B
c sin C
---------(6) a
Dari (3) dan (6) didapat :
sin A
b sin B
c sin C
(terbukti)
Bukti : Cara 2 i. Untuk ABC lancip:
Y
C(b.cosA,b.sinA)
Y
b
C(a.cosB,a.sinB)
a
a
yc O=A
b
yc c (a)
B
X
O=B
c
A
X
(b) Gambar 9
Perhatikan gambar 9 di atas ! Pada gambar 9 (a) didapat hubungan : yc = b.sinA b.sinA ---------(1) (1) Pada gambar 9 (b) didapat hubungan : yc = a.sinB -----(2) Dari (1) dan (2) didapat hubungan b.sinA = a.sin B atau a b --------(3) sin A sin B
Y
B(c.cosA,c.sinA) c
Y
a
B(a.cosC,a.sinC) a
c
y b O=A
y b b (a)
C
X
O=C
b
A
X
(b)
Gambar 10 Perhatikan gambar 10 di atas ! Pada gambar gambar 10 (a) didapat didapat hubungan hubungan : y b = c.sinA -----(4) -----(4) Pada gambar 10 (b) didapat hubungan : y b = a.sinC -----(5) Dari (4) dan (5) didapat hubungan c.sinA = a.sin C atau a c --------(6) sin A sin C
Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
7
Rumus-rumus segitiga
Dari (3) dan (6) didapat :
a
sin A ii. Untuk ABC tumpul : Y B(c.cosA,c.sinA) y b c
D
b sin B
c
(terbukti)
sin C Y
B(a.cosC,a.sinC)
a
O=A
a
b
C
X
O=C
b
(a)
c
A (b)
y b
D
X
Gambar 11 Perhatikan gambar 11 di atas ! Pada gambar 11 (a) didapat hubungan : y b = c.sinA c.sinA ----------- (1) Pada gambar 11 (b) didapat hubungan : y b = a.sinC ------ (2) Dari (1) dan (2) didapat hubugan : c.sinA = a.sin C atau a c --------(3) sin A sin C Y Y A(c.cosB,c.sinB) A(b.cosC,b.sinC) c O=B
ya a
b
b C
X
O=C
(a)
ya a
c B
X
(b)
Gambar 12 Perhatikan gambar 12 di atas ! Pada gambar 12 (a) didapat hubungan : ya = c.sinB c.sinB ---------(4) (4) Pada gambar 12 (b) didapat hubungan : ya = b.sinC -----(5) Dari (4) dan (5) didapat hubungan c.sinB = b.sin C atau b c --------(6) sin B sin C a b c Dari (3) dan (6) didapat : (terbukti) sin A sin B sin C Bukti cara 3: i. Untuk ABC lancip. Perhatikan gambar 13 di samping ! C D = A (sudut dalam segmen yang sama) 1 b a CBD siku-siku (menghdapi busur lingkaran DC), 2 A x O CD = 2R, (R = jari-jari lingkaran) c B a a a sin D atau sin A atau x CD 2 R 2 R a sin A
Oleh : Padiya,S.Pd. 2 R -----e-mail: ---- (1) (1)padiya68@yahoo .co.id 8
Rumus-rumus segitiga
D Gambar 13 C b
a
A
O c
y
y E Gambar 14
Perhatikan Perhatikan gambar gambar 14 di samping samping ! E = B (sudut dalam segmen yang sama) 1 CAE siku-siku (menghdapi busur lingkaran CE), 2 B CE = 2R, (R = jari-jari lingkaran) b b b sin E atau sin B atau CE 2 R 2 R b 2 R --------- (2) (2) sin B
C F
z
z b
a
A
O c
Gambar 15
Perhatikan Perhatikan gambar gambar 15 di samping samping ! F = C (sudut dalam segmen yang sama) 1 BAF siku-siku (menghdapi busur lingkaran BF), 2 B BF = 2R, (R = jari-jari lingkaran) c c c atau sin C sin F atau BF 2 R 2 R c 2 R --------- (3) (3) sin C
Dari (1), (2) dan (3) didapat hubungan : a sin A ii. Untuk ABC tumpul: C
a A
b
x
O c
x D Gambar 16
B
b sin B
c sin C
2 R
Perhatikan gambar 16 di samping ! D = A (sudut dalam segmen yang sama) 1 CBD siku-siku (menghdapi busur 2 lingkaran DC), CD = 2R, (R = jari-jari lingkaran) a a a sin D atau sin A CD 2 R 2 R atau a 2 R --------- (1) (1) sin A
Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
9
Rumus-rumus segitiga
C a
Perhatikan Perhatikan gambar gambar 17 di samping samping ! E = B (sudut dalam segmen yang sama) 1 CAE siku-siku (menghdapi busur 2 lingkaran CE), CE = 2R, (R = jari-jari lingkaran) b b b atau sin B sin E CE 2 R 2 R atau b 2 R --------- (2) (2) sin B
b
A
O
y
B
c
y E Gambar 17 C
Perhatikan Perhatikan gambar gambar 18 di samping samping ! o F= 180 - C (sudut hadap segiempat o tali busur), BAF = 90 BF = 2R, (R = jari-jari lingkaran) sin F sin(180o C ) sin C
a b A c
B O
F
sin C
c BF
c
atau
2 R
sin C
c 2 R
atau c sin C
Gambar 18
2 R --------- (3) (3)
Dari (1), (2) dan (3) didapat hubungan : a sin A
b sin B
c sin C
2 R terbukti
C..Penggunaan Aturan Sinus Aturan sinus secara umum dapat digunakan untuk menentukan unsur-unsur pada sebuah segitiga yang belum diketahui, jika unsur-unsur yang lainnya telah diketahui. Unsur-unsur yang diketahui dalam sebuah segitiga dap at terdiri atas : 2. sebuah sebuah sisi sisi dan dan dua dua buah sudut sudut : - sisi, sudut, sudut (ss, sd, sd, sd) - sudut, sisi, sudut (sd, ss, ss, sd) 3. dua buah sisi sisi dan dan sebuah sudut yang yang berhadapan berhadapan dengan dengan salah salah satu satu sisi itu. - sisi, sisi, sisi, sisi, sudut sudut (ss, (ss, ss, sd). sd). Untuk memahami penggunaan aturan sinus, marilah kita simak beberapa contoh berikut ini : 1. Dalam kasus kasus 1, unsur-unsur unsur-unsur yang diketahui diketahui : sebuah sebuah sisi sisi dan dua buah buah sudut. sudut. o o Diketahui ABC dengan A = 38 , B = 64 dan sisi b = 5. a. Hitunglah C ! Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
10
Rumus-rumus segitiga
b. b.
Hit Hitungl unglah ah panj panjan ang g si sisi a dan dan c !. !.
Penyelesaian: a. C = 180o - A - B = 180o – 38o – 64o = 78o b. b. Panj Panjan ang g sis sisii a dan dan c dite ditent ntuk ukan an deng dengan an atur aturan an sinu sinuss - panjang sisi a - panjang si sisi c b c a b
sin A sin B b sin A a sin B a a a
5 sin 38o sin 64o 5 0,6157 0,8988 3,0785 0,8988
a 3,42
sin B sin C b sin C c sin B c c c
5 sin 78o sin 64o 5 0,9781 0,8988 4,8905 0,8988
c 5,44
Atau dengan cara lain : a. Dengan menggunakan daftar logaritma :
a
5 sin 38o sin 64o
5.sin 38o log a log o sin 64 log a log 5 log sin 38o log sin 64o log a 0,6990 (9,7893 10) (9,9537 100 log a 0,6990 0,2104 (0,0465) log a 0,5345 a 3,424 a 3,42 b. Dengan Dengan menggun menggunaka akan n kalkulat kalkulator. or. Kalkulator yang dapat dipakai untuk keperluan ini adalah kalkulator jenis ilmiah (scientific calculator), misalnya kalkulator merk merk ” Casio seri fx-3600P” Caranya : - Pertama-tama mode ukuran sudut diatur dalam kedudukan ”DEG” (degree = derajat). -Kemudian tekan berturut-turut tombol : 3 8 sin x 5 = : 6 4 sin = -Hasil perhitungan akan ditunjukkan pada layar sebagai : 3,424930761 -Apabila hasil itu dibulatkan sampai 2 tempat desimal, maka diperoleh a = 3,42 (sesuai dengan perhitungan sebelumnya). Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
11
Rumus-rumus segitiga
2. Dalam kasus 2, unsur-unsur yang diketahui : dua buah sisi dan sebuah sudut yang menghadapi salah satu dari sisi itu. o Diketahui ABC, dengan B = 30 , a = 7 , dan b = 6. Hitunglah : C a.Besar A ! b..Besar C ! 6 7 o c..Panjang c ! 30 A
Penyelesaian : Perhatikan gambar 19 di samping !
a
a.
b
sin A
a sin B
7 sin 30o
c Gambar 19
7 0,5
3,5
B
0,58 A 35,68o
sin A sin B b 6 6 6 o o o o o b. C = 180 - A - B = 180 – 35,6 35,68 8 – 30 = 114,32 b c b sin C 6 sin 114,32o 6 0,9113 5,4678 c c. sin B sin C sin B sin 30o 0,5 0,5
10,94
3. Diketahui PQR dengan P = 30 , Q = 45 dan q = 7. Tentukanlah : a. Besar R ! b. Panjang p dan r ! o
o
Penyelesaian : o o o o o a. R = 180 - P - Q = 180 – 30 – 45 = 105 b. - menent menentukan ukan panjang panjang p
3,5 p q q sin P 7 sin 30o 7 0,5 p 4,95 sin P sin Q sin Q sin 45o 0,7071 0,7071 - menent menentukan ukan panjang panjang r q r q sin R 7 sin 105o 7 0,9659 6,7613 r 9,56 sin Q sin R sin Q sin 45o 0,7071 0,7071 4..Diketahui ABC dengan B = 60 , a = 4 dan b = 7 Hitunglah besar A ! o
Penyelesaian :
a sin A
b sin B
sin A
a sin B b
4 sin60o 7
4 0,8660 3,464 7
7
0,4949 A 29,66
C 5. B A
Seekor laba-laba (A) menjaring seekor lalat (B) o dan seekor lebah lebah (C). Apabila Apabila sudut sudut BAC = 20 dan jarak laba-laba (A) dengan lalat (B) = 6, jarak antara lalat (B) dengan lebah (C) = 5. Berapakah jarak laba-laba (A) dengan lebah (C) ?
Gambar 20 Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
12
Rumus-rumus segitiga
Penyelesaian : Kejadian tersebut dapat kita terjemahkan ke dalam segitiga berikut ini. C BC AB AB sin A sin C ? 5 BC sin A sin C
A
20 6
o
B
sin C
6 sin 20o 5
6 0,3420 5
0,41
C 24,23o
Gambar 21 o o B = 180o - A - C = 180o – 20o – 24,2 24,23 3 = 135,77
AC
BC
AC
BC sin B
5 sin 135,77 o
5 0,6925
sin B sin A sin A sin 20o 0,3420 Jadi jarak antara laba-laba dengan lebah adalah 10,12
3,4625 0,3420
10,12
2. ATURAN KOSINUS A. Contoh-contoh untuk pengantar. Untuk memudahkan kita dalam memahami Aturan Kosinus itu, perlu kita simak terlebih dahulu beberapa contoh berikut ini : 1. Pada ada gam gamba barr 22, 22, ABC siku-siku di A, dengan b = 3 dan c = 4 . Hitunglah: C a. Panjang a ! b. Besar B dan C! b=3 a
A
c=4 B Gambar 22
Penyelesaian : a. Dengan Dengan menggun menggunakan akan Theor Theorema ema Pytha Pythagor goras as dipero diperoleh leh :
a b 2 c 2 32 4 2 9 16 25 b. b. Dari Dari gam gambar bar 22 dip diper erol oleh eh : b 3 sin B 0,6 B 36,87o a 5 c 4 sin C 0,8 C 53,13o a 5 2. Pada gam gambar bar 23 23 ABC lancip dengan o A = 50 , b = 6 dan c = 5. a. Apaka pakah h sisi isi a , B dan C dapat dihitung langsung seperti pada contoh 1? b. Apakah sisi a , B dan C dapat dihitung dg aturan sinus ?
5
C b=6
a
A
B c=5 Gambar 23 Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
13
Rumus-rumus segitiga
Penyelesaian : a. Dalam hal di atas atas sisi sisi a tidak tidak dapat ditung dengan Theorema Theorema Pythagoras. Pythagoras. Sudut B dan C tidak dapat dihitung dengan perbandingan trigonometri. b. Dengan Dengan mene menerap rapkan kan atur aturan an sinu sinuss pada pada ABC di atas diperoleh : a b c
sin A
sin B
a
sin C 6 5
sin 50o sin B sin C Dari perhitungan di atas, terlihat bahwa deng an aturan sinus, kita juga tidak dapat menghitung sisi a, B dan C. 3. Pada ada gam gamba barr 24, 24, ABC tumpul dengan a = 4, b = 5 dan c = 8. a. Apakah A, B dan C dapat A dihitung langsung seperti pada contoh 1 ? b. Apakah A, B dan C dapat c=8 dihitung dengan aturan sinus ? b=5 B
C a=4 Gambar 24
Penyelesaian : a. Sudut A, B dan C dalam hal hal di atas atas tidak tidak dapat dihitu dihitung ng dengan perbandingan perbandingan trigonometri. b. Dengan Dengan mene menerap rapkan kan atur aturan an sinu sinuss pada pada ABC di atas diperoleh : a b c
sin A
4
sin B
sin C 5 8
sin A sin B sin C Ternyata dengan aturan sinus, kita juga tidak dapat menghitung A, B dan C. Dari contoh contoh 2 di atas kita kita dapat meihat meihat bahwa bahwa apabila apabila dalam sebuah sebuah segitiga segitiga diketahui diketahui dua sisi dan satu sudut yang diapit oleh o leh kedua sisi itu maka unsur-unsur lainnya yang belum diketahui tidak dapat ditentukan dengan aturan sinus. Demikian pula pada contoh 3 pada sebuah segitiga yang diketahui ketiga sisinya, unsur-unsur yang lainnya juga tidak dapat ditentukan dengan aturan sinus. Untuk dapat menghitung unsur-unsur yang belum diketahui dalam segitiga pada contoh 2 dan 3 marilah kita simak uraian berikut b erikut ini : B. Aturan Kosinus (Dalil Kosinus) dan Buktinya. Aturan Kosinus (Dalil Kosinus) : Pada setiap setiap segitiga, kuadrat sebuah sisi adalah sama dengan jumlah kuadrat-kuadrat kuadrat-kuadrat kedua kedua sisi lainnya dikurangi dengan dua kali hasil perkalian an tara sisi-sisi itu dengan kosinus sudut yang diapitnya. Dengan antara rumus dapat ditulis (untuk segitiga ABC) : diapitnya. Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
14
Rumus-rumus segitiga
Dengan menggunakan rumus dapat dituiskan sebagai berikut :
A.
(i )
a2
b2 c 2 2bc.cos A
(ii )
b2
a 2 c 2 2ac. cos B
(iii )
c2
(i ) B.
a 2 b 2 2ab. cos C
cos A
( ii ) ( iii )
b2
cos B
c2 a2 2 bc
a2
c2 b2 2 ac
a2
cos C
b2 c2 2 ab
Bukti : Dalam pembahasan ini hanya akan dibuktikan dengan cara 1, pembaca diharapkan dapat membuktikan dengan yang lain. i.
Untuk ABC lancip.
(i)
C
b
A
tc
a
D
(ii)
Pada Pada gam gambar bar 25 (i) tc adalah garis tinggi pada sisi c. Dengan menerapkan menerapkan Theorema Pythagoras Pythagoras - pada segitiga siku-siku BCD diperoleh :
c
B
ta
t c 2 ( BD)2
----------- (1)
- pada segitiga segitiga siku-sik siku-siku u ACD ACD dipero diperoleh leh :
t c
A
c
a2 2
b.sin A
----------- (2)
- dan AD AD = b.cos b.cosA, A, seh sehing ingga ga BD = AB-AD AB-AD = c – b.cosA b.cosA ------(3) ------(3) Substitusikan (2) dan (3) ke (1) diperoleh :
b
(b.sin A) 2 (c b. cos A) 2 a 2 b 2 .sin 2 A c 2 2bc. cos A b 2 . cos 2 A a 2 b 2 (sin 2 A cos 2 A) c 2 2bc. cos A a 2 b 2 c 2 2bc. cos A a2
B
E
(iii)
a
C
B
atau a
C
t b
F b
c
cos A
b2
c2 a2
A(i) dan B(i) terbutki
2bc
A
Gambar 25 Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
15
Rumus-rumus segitiga
Pada Pada gamb gambar ar 25 25 (ii) (ii) ta adalah garis tinggi pada sisi a. Dengan menerapkan Theorema Pythagoras - pada segitiga siku-siku AEC diperoleh :
t a 2 ( EC )2
b2
----------- (1)
- pada segitiga siku-siku siku-siku BEA diperoleh : 2
t a
c. sin B
----------- (2)
- dan BE = c.cos c.cosB, B, seh sehing ingga ga EC EC = BC - BE = a – c.cosB c.cosB -----------(3) (3) Substitusikan (2) dan (3) ke (1) diperoleh :
(c.sin B) 2 (a c.cos B) 2 b 2 c 2 .sin 2 B a 2 2ac. cos B c 2 . cos 2 B b 2 c 2 (sin 2 B cos 2 B) a 2 2ac. cos B b 2 a 2 c 2 2ac. cos B b2
atau cos B
a
c b
2
2
A(ii) dan B(ii) terbutki
2
2ac
Pada Pada gamb gambar ar 25 25 (iii) (iii) t b adalah garis tinggi pada sisi b. Dengan menerapkan Theorema Pythagoras - pada segitiga siku-siku AFB diperoleh :
c2
t b 2 ( AF ) 2
----------- (1)
- pada segitiga siku-siku siku-siku BFC diperoleh :
t b
2
a.sin C
----------- (2)
- dan CF = a.cos a.cosC, C, seh sehing ingga ga AF AF = AC - CF = b – a.cos a.cosC C -----------(3) (3) Substitusikan (2) dan (3) ke (1) diperoleh :
(a.sin C ) 2 (b a.cos C ) 2 c 2 a 2 . sin 2 C b 2 2ab. cos C a 2 . cos 2 C c 2 a 2 (sin 2 C cos 2 C ) b 2 2ab. cos C c 2 a 2 b 2 2ab. cos C c2
atau cos C
a2
A(iii) dan B(iii) terbutki
b2 c2 2ab
ii. Untuk ABC tumpul. C
tc
Gambar 26
a b D
A
c
B Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
16
Rumus-rumus segitiga
Pada gambar 26 tc adalah garis tinggi pada sisi c. Dengan menerapkan Theorema Pythagoras - pada segitiga siku-siku BCD diperoleh :
a2 -
t c 2 ( BD)2
----------- (1)
pada pada seg segit itig igaa sik siku-si u-siku ku ACD ACD dip diper erol oleh eh :
t c
2
b.sin CAD b.sin(180o A) b.sin A
----------- (2)
- dan AD = b.cosCAD = b.cos(180 o-A) = b.(-cosA) = -b.cosA, -b.cosA, sehingga sehingga BD = AB + AD = c + (- b.cosA) b.cosA) = c – b.cosA b.cosA ------(3) ------(3) Substitusikan (2) dan (3) ke (1) diperoleh :
(b.sin A) 2 (c b. cos A)2 a 2 b 2 . sin 2 A c 2 2bc. cos A b 2 . cos 2 A a 2 b 2 (sin 2 A cos 2 A) c 2 2bc. cos A a 2 b 2 c 2 2bc. cos A a2
atau cos A
b2
A(i) dan B(i) terbutki
c2 a2 2bc
A
B
ta c E
b B
t b a C
a (i)
F
c C
b (ii)
A
Gambar 27 Dengan cara yang sama dengan menggunakan gambar 27 (i) kita akan mendapatkan hubungan sebagai berikut : b
2
a c 2ac. cos B 2
2
atau
cos B
a2
c2 b2 2ac
(Rumus A(ii) dan B(ii))
Dan dengan mengunakan gambar 27 (ii) kita akan mendapatkan hubungan : c
2
a b 2ab. cos C atau 2
2
cos C
a2
b2 c2 2ab
(Rumus A (iii) dn B (iii) )
C. Penggunaan Aturan Kosinus Aturan kosinus dapat kita gunakan untuk menentukan unsur-unsur unsur-unsur yang belum diketahui dari sebuah segitiga, jika diketahui : 1. dua buah buah sisi sisi dan sebuah sebuah sudut sudut yang yang diapit diapit oleh oleh kedua sisi itu. - sisi, sisi, sudut, sisi (ss, (ss, sd, ss) 2. keti ketiga ga bua buah h sisi sisiny nyaa - sisi, sisi, sisi sisi,, sisi sisi (ss, (ss, ss, ss) Untuk lebih memahami penggunaan aturan kosinus, simaklah beberapa contoh berikut ini : Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
17
Rumus-rumus segitiga
1. Dalam Dalam kasu kasuss 1. Kita Kita lihat lihat cont contoh oh pada pada sub sub A contoh contoh 2: o Diketahui ABC lancip dengan A = 50 , b = 6 dan c = 5 . Tentukanlah : a. panj panjan ang g sis sisii a ! b. besar B dan C! Penyelesaian : a. Untuk Untuk menghi menghitun tung g panjang panjang sisi sisi a, kita kita gunakan gunakan rumu rumuss :
b 2 c 2 2bc. cos A a 2 6 2 52 2.6.5. cos 50o a 2 36 25 60.(0,6428) a 2 61 38,568 a 2 22,432 a 22,432 a 4,74 Untu Untuk k men menghi ghitu tung ng besar besar B, kita gunakan rumus : a2
b. b.
cos B
a 2 c 2 b2 2ac
(4,74)2 52 62 2.(4,74).5
22,4676 25 36 11,4676 47,4
47,4
0,2419
cos B 0,2419
B 76o Untuk menghitung besar C , kita gunakan rumus : a 2 b2 c 2 (4,74)2 62 52 22,4676 36 25 33,4676 0,5884 cosC 2ab 2.(4,74).6 56,88 56,88 cosC 0,5884
C 53,96o 2. Dalam Dalam kasus kasus 2, 2, kita kita lihat lihat contoh contoh pada pada sub sub A contoh contoh 3. Diketahui ABC tumpul, dengan a = 4 , b = 5 dan c = 8. Hitunglah besar A, B, C ! Penyelesaian : Untuk menghitung besar A , kita gunakan rumus : b2 c 2 a 2 52 82 42 25 64 16 73 cos A 0,9125 2bc 2.5.8 80 80 cosC 0,9125
C 24,15o
Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
18
Rumus-rumus segitiga
Untuk menghitung besar B, kita gunakan rumus : a 2 c2 b2 42 82 52 16 64 25 55 0,8594 cos B 2ac 2.4.8 64 64 cos B 0,8594
B 30,75o Untuk menghitung besar C , kita gunakan rumus : a2 b2 c2 42 52 82 16 25 64 23 0,575 cosC 2ab 2.4.5 40 40 cosC 0,575
C 125,09o 3. Pada ABC, lihat gambar 28 diketahui A = 40o, b = 5 dan c = 6. tentukanlah panjang sisi a ! Penyelesaian :
b c 2bc.cos A a 2 52 6 2 2.5.6. cos 40o a 2 25 36 60 0,7660 a 2 61 45,96 a 2 15,04 a 15,04 a 3,88 a
2
2
2
C b=5 A
a
o
40
B c=6 Gambar 28
4. Pada ABC, diketahui a = 8 , b = 6 dan c = 10. Tentukanlah besar C ! Penyelesaian :
cos C cos C cos C cos C
a2
b2 c2 2ab
8
2
62 102
2.8.6 64 36 100 96 0
96 cos C 0
C 90o Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
19
Rumus-rumus segitiga
5. Kota Q terlet terletak ak 20 km disebel disebelah ah utara utara kota P, P, dan kota kota R terletak terletak 15 km disebelah disebelah barat laut dari kota P. Hitunglah jarak antara kota Q dan kota R ! Penyelesaian : Kejadian di atas dapat kita terjemahkan ke dalam segitiga sebagai berikut : U Dari gambar 29 terlihat : PQ = r = 20 km Q PR = q = 15 km TL QPR = BPQ + BPR = 90o + 45o = 135o 20 km Sehingga jarak kota Q dan kota R adalah QR B T QR 2 = PQ2 + PR 2 – 2.PQ.P 2.PQ.PR.C R.Cos os QPR 2 2 2 o P QR = 20 + 15 – 2.20. 2.20.15. 15.co coss 135 2 15 km QR = 400 + 225 - 600(-0,7071) 2 R QR = 625 +424,26 2 S QR = 1049,26 BD QR = 1049, 26 Gambar 29 QR = 32,39 Jadi jarak antara kota Q dan kota R adalah 32,39 km.
6. Perhatikan Perhatikan gambar gambar 30. 30. O adalah adalah titik titik pusat lingkaran, lingkaran, dengan dengan OP dan OQ adalah adalah o jari-jari lingkaran. Jika PQ = 3 dan OP = 2. 2 . Tentukanlah nilai cos a !
2 P
O o a
2
3
Q
Penyelesaian : Dari gambar 30 terlihat : PQ = sisi o = 3 OP = sisi q = 2 OQ = sisi p = 2 O = ao , maka :
cos O Gambar 30 cos a
o
cos a o
cos a o
p 2
q2 o2 2 pq
22
22 32
2.2.2 449 6
1 6
o
o
Jadi cos a = -0,125
Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
20
Rumus-rumus segitiga
*) Petunjuk penggunaan aturan sinus dan aturan kosinus: Apabila Anda dihadapkan pada suatu masalah yang berhubungan dengan penggunaan aturan sinus dan aturan kosinus, apakah Anda sudah dapat menentukan rumus (aturan ) mana yang paling tepat tepat untuk menyelesaikan masalah tersebut ?. Kalu belum perhatikan petunjuk di bawah ini : No. Dalam ABC diketahui Ditanya Aturan yang digunakan 1 Sisi, sudut, sudut Aturan sinus (c dicari dulu) i). a, A, C b, c, B Aturan sinus (b dicari dulu) ii). a, B, A b, c, C Aturan sinus (a dicari dulu) iii). b, A, B a, c, C Aturan sinus (c dicari dulu) iv). b, B, C a, c, A Aturan sinus (a dicari dulu) v). c, A, C a, b, B Aturan sinus (b dicari dulu) vi). c, B, C a, b, A 2 Sudut, sisi, sudut i). A, c, B a, b, C Aturan sinus (C dicari dulu) ii). B, a, C b, c, A Aturan sinus (A di cari dulu) iii). A, b, C a, c, B Aturan sinus ( B dicari dulu) 3 Sisi, sisi, sudut i). a, b, A c, B, C Aturan sinus (B dicari dulu) ii). a, c, C b, A, B Aturan sinus ( C dicari dulu) iii). b, c, B a, A, C Aturan sinus ( C dicari dulu) iv). b, a, B c, A, C Aturan sinus ( A dicari dulu) v). c, a, C b, A, B Aturan sinus ( A dicari dulu) vi). c, b, C a, A, B Aturan sinus ( B dicari dulu) 4 Sisi, sudut, sisi Aturan kosinus (c dicari dulu i). a, C, b c, A, B dilanjutkan dengan aturan sinus) Aturan kosius ( a dicari dulu ii). b, A, c a, B, C dilanjutkan dengan aturan sinus) Aturan kosinus (b dicari dulu iii). c, B, a b, A, C dilanjutkan dengan aturan sinus) 5 Sisi, sisi, sisi a, b, c A, B, C Aturan kosinus
Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
21
Rumus-rumus segitiga
3. LUAS LUAS SEG SEGITI ITIGA Di Sekolah Menengah Pertama, kita mengetahui bahwa luas daerah sebuah segitiga dapat dihitung, jika panjang alas dan tinggi pada alas tersebut diketahui, misalnya luas daerah segitiga ABC lancip seperti pada gambar 31 (i) maupun segitiga ABC tumpul seperti pada gambar 31 (ii) dapat dihitung dengan menggunakan rumus : Luas ABC (i)
A c
(ii) t
b
B
2
at -------------- (1)
A t
C
1
c
b B
a
C a
Gambar 31 Dalam sub bab ini, kita akan mempelajari cara-cara perhitungan luas segitiga, jika tiga unsur unsur yang terdapat terdapat dalam dalam segitiga segitiga tersebut tersebut telah telah diketahui. diketahui. Ketiga Ketiga unsur unsur yang diketahui itu kemungkinannya adalah : a. dua sisi sisi dan satu satu sudut sudut yang dipit dipit oleh oleh kedua sisi itu (sisi, (sisi, sudut, sudut, sisi/ sisi/ ss, sd, sd, ss) b. dua sudut dan dan satu sisi sisi yang yang terletak terletak diantara diantara kedua sudut sudut itu itu (sudut, (sudut, sisi, sisi, sudut/sd,ss,sd). c. dua sisi sisi dn satu satu sudut yang menghadap menghadap pada salah salah satu sisi itu (sisi, (sisi, sisi, sisi, sudut/ss,ss,sd). d. ketiga sisinya sisinya (sisi,sis (sisi,sisi,sis i,sisi/ss i/ss,ss,s ,ss,ss) s) A. Luas Segitiga Segitiga jika diketahui diketahui dua dua sisi dan satu satu sudut yang yang diapit oleh oleh kedua sisi sisi itu. Agar Anda memahami penurunan rumus luas segitiga yang diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang diapit oleh kedua sisi itu, simaklah kembali dua buah segitiga pada gambar 31 di atas, t adalah garis garis tinggi dati titik titik A ke sisi BC (gambar 31 (i)) atau perpanjangan sisi BC (gambar 31 (ii)) yang panjangnya a. Dari gambar 31 tersebut kita peroleh hubungan sebagai berikut : t *) sin C t c.sin C sehingga b 1 Luas ABC = at menjadi 2 1 Luas ABC a.b.sin C -------------- (2) 2
*) sin B
t c
t c.sin B
Luas ABC =
1 2
sehingga
at menjadi
Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
22
Rumus-rumus segitiga
1
Luas ABC
2
a.c. sin B
*) dari aturan aturan sinus : 1
Luas ABC
2 1
Luas ABC
2
Luas ABC
a sin A
a.c. sin B a.c.
1 2
-------------- (3)
b sin B
sin B
b.sin A a
sehingga
menjadi
b. sin A a
b.c. sin A ----------- (4)
Contoh : o Diketahui ABC dengan a = 5 cm, b = 7 cm dan C = 40 . Hitunglah luas ABC tersebut ! Penyelesaian Dengan rumus (2) luas ABC sama dengan : 1 Luas ABC a.b.sin C 2 1 Luas ABC .5.7.sin 40o 2 1 Luas ABC .5.7.(0,6428) 2 Luas ABC 11,25 2
Jadi luas daerah segitiga ABC adalah 11,25 cm
B. Luas segitiga segitiga , jika diketahui diketahui dua dua sudut dan dan satu sisi yang yang terletak terletak diantara diantara kedua sudut itu. Jika pada sebuah segitiga diketahui besar dua buah sudutnya dan panjang sebuah sisinya yang terletak di antara kedu sudut itu, maka luas daerah segitiga itu dapat dapa t dihitung dengan rumus :
Luas ABC
Luas ABC
Luas ABC
a 2 .sin B.sin C 2. sin( B C )
b 2 . sin A.sin C 2.sin( A C )
c 2 .sin A.sin B 2.sin( A B)
----------- (5)
----------- (6)
------------- (7) Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
23
Rumus-rumus segitiga
Bukti : *) dari aturan sinus :
a
c
sin A sin C ke rumus (3) diperoleh : 1 a. sin C Luas ABC a. . sin B 2 sin A
c
a.sin C sin A
, kemudian subtitusikan c
a.sin C sin A
Dari hubungan A = 180o – (B + C) maka sin A= sin{180 o – (B + C) C) sin A = sin (B + C)
1 a 2 . sin C . sin B Luas ABC . 2 sin A
Luas ABC
2
1 a . sin C . sin B . 2 sin( B C )
*) dari aturan sinus :
b
--------------- rumus 5 terbukti. terbukti.
c
sin B sin C ke rumus (4) diperoleh : 1 b.sin C Luas ABC b. .sin A 2 sin B
c
b.sin C sin B
, kemudian subtitusikan c o
Luas ABC
Luas ABC
1 b 2 . sin A.sin C . --------------- rumus 6 terbukti. terbukti. 2 sin( A C ) a
c
sin A sin C ke rumus (3) diperoleh : 1 c. sin A Luas ABC . .c. sin B 2 sin C
sin B
Dari hubungan B = 180 180 – (A + C) o maka sin B= sin{180 – (A + C) sin sin B = sin sin (A (A + C) C)
1 b 2 . sin C . sin A . 2 sin B
*) dari aturan sinus :
b.sinC
a
c. sin A sin C
, kemudian subtitusikan a
c.sin A sin C
Dari hubungan C = 180 180 – (A + B) maka sin C = sin{180 sin{180o – (A + B) sin sin C = sin sin (A (A + B) B) o
2 1 c .sin A. sin B Luas ABC . 2 sin C
1 c 2 .sin A. sin B Luas ABC . 2 sin( A B)
-------------- rumus rumus 7 terbukt terbukti. i.
Contoh : o o Tetukanlah luas ABC, jika diketahui B = 60 , C = 30 dan a = 8 cm ! Penyelesaian : Dengan rumus 5 luas ABC adalah :
Luas ABC
1 a 2 . sin C . sin B . 2 sin( B C ) Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
24
Rumus-rumus segitiga
2
1 8 . sin 60o.sin 30o . 2 sin(60o 30o ) 1 Luas ABC .16 3 8 3 2
Luas ABC
Jadi luas daerah ABC sama dengan 8 3 cm
2
C. Luas Segitiga Segitiga jika diketahui diketahui dua dua sisi dan sebuah sebuah sudut sudut yang menghadap menghadap pada salah satu sisi itu. Jika pada sebuah segitiga diketahui panjang dua sisinya dan besar sudut yang menghadapi salah satu dari sisi itu, maka luas daerah segitiga itu dapat dihitung melaui langkah-langkah sebagai berikut : Langkah 1 : - Kita Kita tentuk tentukan an sudutsudut-sud sudut ut yang yang belum belum diket diketahui ahui dengan dengan aturan aturan sinu sinus. s. Langkah 2 : - Setela Setelah h semua semua sudut sudut pada segi segitig tigaa itu diket diketahui ahui luas luas daera daerah h segitig segitigaa dapat dihitung dengan salah satu dari rumus 2 s.d. 7 Contoh : o Hitunglah luas ABC, jika diketahui a = 6 cm, b = 4 cm dan B = 40 ! Penyelesaian : Langkah 1 : menentukan A dan C dengan aturan sinus :
a
b
sin A
a.sin B
6.sin 40o
6 0,6428
3,8568
b sin A sin B 4 4 4 o o o Atau A = 180 – 74,6 74,6 = 105,6 o o o o C = 180 - A - B = 180o – 74,6 74,6 – 40 = 65,4 atau C = 180o - A - B = 180o – 105,6 – 40o = 34,6o Langkah 2 : Menghitung luas ABC dengan rumus (2) : o - Untuk C = 65,4 Luas ABC
Luas ABC
1
0,9642 A 74,6o
a .b . sin C
2 1
2 Luas ABC 12
6 4 sin
65 , 4
o
0 , 9092
Luas ABC
10 , 9 o 2 Jadi untuk C = 65,4 luas ABC ABC = 10,9 10,9 cm cm o - Untu Untuk k C = 34,6 Luas ABC Luas ABC
1 2 1
a.b. sin C
6 4 sin 34 ,6 o
2 Luas ABC 12 0,5678
Luas ABC 6 ,8
Jadi untuk C = 34,6 luas ABC ABC = 6,8 6,8 cm o
2
Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
25
Rumus-rumus segitiga
D. Luas segitiga jika diketahui diketahui ketiga ketiga sisinya. Jika pada sebuah segitiga ABC diketahui panjang sisi a , sisi b dan da n sisi c, maka luas segitiga ABC itu dapat dihitung dengan rumus :
Luas ABC s ( s a )( s b)( s c) s
dengan
1 2
----------------- (8)
(a b c)
Bukti : 2 2 2 2 Dari hubungan sin A + cos A = 1 sin A = 1 – cos A cos A)(1 A)(1 – cos A) sin2 A = (1 + cos
dan hubungan cos A sin A
sin 2 A
sin 2 A
sin 2 A
2 sin A
sin 2 A
2
sin A
b2
c2 a2 2bc
diperoleh :
b 2 c 2 a b 2 c 2 a 2 1 1 2 bc 2 bc 2 bc b 2 c 2 a 2 2 bc b 2 c 2 a 2 2 bc 2 bc b 2 2 bc c 2 a 2 a 2 ( b 2 2 bc c 2 ) 2 bc 2 bc 2 2 2 2 (b c ) a a ( b c ) 2 bc 2 bc (b c a )( b c a ) ( a b c )( a b c ) 2 bc 2 bc (b c a )( b c a )( a b c )( a b c ) ( 2 bc ) 2 1
2 bc
dengan
(b
c a )( b c a )( a b c )( a b c )
mengambil
s
1 2
(a
b c)
b c ) 2 s 2 ).( b c a ) ( a b c ) 2 a 2 s 2 a 2 ( s a ) 3 ).( a b c ) ( a b c ) 2 c 2 s 2 c 2 ( s c ) 4 ).( a b c ) ( a b c ) 2 b 2 s 2 b 2 ( s b )
1).( a
sehingga sin A
sin A
sin A
sin A
1 2 bc 1 2 bc 4 2 bc 2 bc
2 s . 2 ( s 16 s ( s s ( s s ( s
a ). 2 ( s c ). 2 ( s b )
a )( s b )( s c )
a )( s b )( s c )
a )( s b )( s c ) Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
26
Rumus-rumus segitiga
Dengan mengambil rumus (4) 1 2 Luas ABC = b.c.SinA dan kita substitusikan sin A s ( s a )( s b)( s c ) 2 bc Kita peroleh : 1 2 s( s a)( s b)( s c) Luas ABC b.c. 2 bc
Luas ABC s( s a)( s b)( s c)
(terbukti).
Contoh : Hitung luas ABC, jika diketahui panjang a = 5 cm, b = 6 cm dn c = 7 cm ! Jawab : 1 1 1 s (a b c ) (5 6 7) (18) 9 2 2 2 s – a = 9 – 5 = 4, s – b = 9 – 6 = 3, s–c=9–7=2 sehingga luas ABC adalah : Luas ABC s ( s a )( s b)( s c ) Luas ABC 9 4 3 2 Luas ABC 216 Luas ABC 6 6 Jadi luas ABC = 6 6 cm
2
E. Luas segitiga segitiga , jika diketahui diketahui ketiga ketiga sudutnya sudutnya dan jari-jari jari-jari ingkaran ingkaran luarnya. luarnya. Jika pada sebuah segitiga ABC diketahui besar ketiga sudutnya dan panjang jari-jari ligkaran luarnya, maka luas segitiga ABC itu dapat dihitung dengan rumus :
Luas ABC = 2R .sinA.sinB.sinC 2
-------------- (9)
Bukti:
Dari aturan sinus :
a sin A
2 R a 2 R.sin A
b
2 R b 2 R.sin B sin B Substitusikan nilai a dan b di atas ke k e dalam rumus (2) : 1 Luas ABC = a.b.sinC deiproleha : 2 1 Luas ABC = .2R.sinA.2R.sinB.sinC 2 2 Luas ABC = 2R .sinA.sinB.sinC (terbukti) Dan
Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
27
Rumus-rumus segitiga
Cont Contoh oh : o o o Diketahui segitiga ABC, dengan A = 50 , B = 60 dan C = 70 dan jari-jari lingkaran luarnya R = 8 cm. Hitunglah luas ABC tersebut ! Penyelesaian : 2 Luas ABC = 2R .sinA.sinB.sinC 2 o o o Luas ABC = 28 sin50 sin60 sin70 Luas ABC = 2640,76600,86600,9397 Luas ABC = 79,79 2 Jadi luas ABC = 79,79 cm F. Luas Segitiga Segitiga jika jika diketahui diketahui ketiga ketiga sisinya dan jari-jari jari-jari lingkaran lingkaran luarya. luarya. Jika pada sebuah segitiga ABC diketahui panjang ketiga sisinya dan panjang jari-jari ligkaran luarnya, maka luas segitiga ABC itu dapat dihitung dengan rumus :
Luas ABC
abc 4 R
-------------- (10) (10)
Bukti : 2 Dari rumus (9) Luas ABC = 2R .sinA.sinB .sinA.sinB.sinC .sinC dan aturan sinus a b c sin A , sin B , sin C diperoleh 2 R 2 R 2 R a b c Luas ABC 2 R 2 2 R 2 R 2 R
Luas ABC Luas ABC
2 R 2 abc 8 R 3 abc 4 R
------------- (terbukti) (terbukti)
Contoh : Dalam sebuah segitiga ABC diketahui panjang sisi sisi a = 5 cm , b = 7cm, c = 5 cm dan jari-jari lingkaran luarnya 5 cm. Hitunglah luas segitiga ABC tersebut ! Penyelesaian : abc Luas ABC 4 R 5 7 5 Luas ABC 45 165 Luas ABC 20 Luas ABC 8,25 2 Jadi luas ABC = 8,25 cm Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
28
Rumus-rumus segitiga
G. Menentukan Menentukan luas segiempat segiempat dan segibanyak segibanyak beraturan beraturan dengan dengan menggunakan menggunakan rumus luas segitiga. i.Luas Segiempat. Perhatikan gambar 32. ABCD adalah sebuah segiempat sembarang. P adalah titik potong diagonal AC dan BD. Misalkan DPA = , maka : Luas DAC = Luas ADP + Luas CDP 1 1 o = PD.AP.sin + DP.PC.sin(180 -) 2 2 1 1 = PD.AP.sin + DP.PC.sin 2 2 1 = PD.(AP+PC).sin 2 1 = PD.AC.sin 2 Dengan cara yang sama dapat diperoleh : 1 Luas ABC = BP.AC.sin 2 Luas segiempat ABCD = Luas DAC + Luas ABC 1 1 = PD.AC.sin + BP.AC.sin 2 2 1 = AC.(BP+PD).sin 2 1 = AC.BD.sin 2 1 Jadi luas segiempat ABCD = AC.BD.sin atau 2
Luas suatu segiempat sama dengan setengah dari perkalian antara diagonaldiagonalnya dengan sinus sudut yang diapit oleh diagonal-diagonal tersebut. Contoh : 1. Tentukanlah Tentukanlah luas luas segiempat segiempat ABCD, ABCD, jika jika panjang panjang diagonal diagonal AC = 6 cm, BD = 10 o cm dan sudut yang dibentuk oleh diagonal AC dan BD = 60 ! Penyelesaian :
Luas segiempat ABCD = =
1 2 1
AC.BD.sin
610sin 60o
2 = 30 0,8660 0,8660 = 25,9 25,98 8 2 Jadi luas segiempat ABCD = 25,98 cm Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
29
Rumus-rumus segitiga
2. Pada segiempa segiempatt PQRS (Gambar (Gambar 33). PQ PQ = 6 cm, QR = 4 cm, RS = 5 cm dan SP = o 5 cm, serta P = 100 . Hitunglah : a. panja panjang ng QS b. Besar Besar R c. Luas segiempat PQRS. Penyelesaian : P o 5 100 6
S
a. Pada PQS : 2 2 2 QS = PQ + QS – 2.PQ.P 2.PQ.PS.c S.cos os P 2 2 2 o QS = 6 + 5 – 2.6.5.co 2.6.5.coss 100 2 QS = 36 + 25 – 60.(-0,1736) 60.(-0,1736) 2 QS = 61 + 10,42 2 QS = 71,42
Q 5
4 R
QS =
Gambar 33
71,42
QS = 8,45
Jadi panjnag QS = 8, 45 cm. b. Pada QRS : QR2 SR2 QS 2 cos R = 2.QR.SR
42 52 (8,45)2 2.4.5
16 25 71,42 40
30,42 40
0,7609
R = 139,5o c. Luas segiempat PQRS = Luas PQS + Luas QRS 1 1 Luas PQS = . PQ PS . .sin P 6 5 sin 100o 15 0,9848 14,77 2 2 1 1 Luas QRS = .QR RS . .sin R 4 5 sin 139,5o 10 0,6494 6,5 2 2 2 Jadi luas segiempat PQRS = 14,77 + 6,5 = 21,27 cm
ii. Luas Segilima beraturan
D
E
s
r
r
O
s r
C
s
r A
r s
Gambar 34
s B
Gambar 34 menunjukkan sebuah segilima beraturan ABCDE dengan titiktitk sudutnya terletak pada ling-karan yang berjari-jari r. O adalah titik pusat lingkara dan s adalah panjang sisi segilima ABCDE. AOB = BOC = COD = DOE = 360o EOA = 72o 5
Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
30
Rumus-rumus segitiga
Pada segilima ABCDE terdapat 5 segitiga yang sama dan sebangun (kongruen). Kita ambil salah satu dari segitiga tersebut yaitu AOB 1 Luas AOB = .OA.OB.sin 2 1 = .r .r .sin 72o 2 1 = .r 2 . sin 72o 2 1 Luas segilima ABCDE = 5 x luas AOB AOB = 5 .r 2 . sin 72o 2 Jadi luas segilima segilima beraturan yang diketahui jari-jari jari-jari lingkaran 5 luarnya = r 2 sin 72o 2 Ingat : Segitiga AOB adalah segitiga sama kak i, sehingga OBA = 1 1 1 OAB = = (180o ) (180o 72o ) 108o 54o 2 2 2 Dengan menggunakan salah satu rumus luas segitiga no. 5 , 6 tau 7, kita peroleh : 1 AB2 .sin .sin Luas AOB . 2 sin( )
Luas AOB
1 s 2 .sin 54o. sin 54o . 2 sin(54o 54o )
Luas AOB
1 s 2 . sin 2 54o . 2 sin 108o
1 s 2 .sin 2 54o Sehingga luas segilima ABCDE = 5 luas AOB = 5 . 2 sin 108o Jadi luas segilima beraturan yang diketahui panjang sisi2 2 5 s sin 54o sisinya = 2 sin 108o Contoh : 1. Hitunglah luas segilima beraturan yang diketahui panjang sisinya s = 6 cm ! Penyelesaian : Luas segilima beraturan yang diketahui panjang sisinya s = 6 adalah =
5 s . 2 sin 2 54o
5 36 0,6545
117,81
61,93 2 sin 108 2 0,9511 1,9022 1,9022 2 Jadi luas segilima beraturan yang panjang sisinya 6 ada lah 61,93 cm o
5 62 (0,8090)2
Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
31
Rumus-rumus segitiga
2. Hitunglah Hitunglah luas segilima segilima beraturan beraturan yang yang diketahui diketahui jari-jar jari-jarii lingkaran lingkaran luarnya luarnya r = 10 cm ! Penyelesaian : Luas segilima beraturan yang diketahui diketahui jari-jari lingkaran luarnya luarnya r = 10 cm adalah
5.r 2 sin 72o
475,55
237,78 2 2 2 2 Jadi luas segilima segilima beraturan yang panjang sisinya 6 adalah 237,78 cm =
5 102 0,9511
iii. Luas segienam beraturan. Perhatikan gambar 35. Dalam lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari r terdapat segienam beraturan beraturan PQRSTU PQRSTU dengan panjang panjang sisi s.
Dari gambar jelas bahwa = sedangkan =
1
(180o
360o 6
60o
U s P
r r
s
s
T r
r
s
O
r r
S s
60o ) 60o
Q s R 2 o Gambar 35 Karena = = 60 , maka POQ POQ adala adalah h segitiga sama sisi Di dalam segienam PQRSTU terdapat 6 buah segitiga yang sama dan sebangun (kongruen). Salah satu dari segitiga tersebut kita ambil untuk mencari luasnya, misal POQ. 1 Luas POQ .OP .OQ. sin 2 1 Luas POQ .r .r . sin 60o 2 Luas POQ
r 2 .sin 60o 2
Sehingga luas segienam PQRSTU = 6 luas POQ = 6
r 2 . sin 60o 2
6.r 2 .sin 60o 2
Jadi luas segienam beraturan yang diketahui panjang jari-jari lingkaran 2 6.r .sin 60o luar luarny nyaa r adala adalah h 2 Atau dengan menggunakan rumus luas segitiga no. 5, 6, atau 7 kita peroleh : Luas POQ
Luas POQ
Luas POQ
PQ 2 . sin . sin 2 . sin( )
s 2 sin 60 o . sin 60 o 2 . sin( 60 o 60 o ) o s 2 . sin 2 60 2 . sin 120 o
Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
32
Rumus-rumus segitiga
s 2 .sin 2 60o
Luas segienam PQRSTU = 6 luas POQ = 6
2.sin 120o
2 2 6 s . .sin 60o
2.sin 120o
Jadi luas segienam beraturan yang panjang sisinya sisinya s adalah 2 2 o 6 s . . sin 60 2. sin 120o Contoh : 1. Hitunglah Hitunglah luas segiena segiena beraturan beraturan,, jika diketahui diketahui panjang panjang jari-j jari-jari ari lingkaran lingkaran luarnya r = 8 cm !. Penyelesaian : Luas segienam beraturan yang diketahui panjang pa njang jari-jari lingkaran luarnya r = 8 cm
adalah
6.r 2 . sin 60o
6 82. sin 60o
6 64 0,8660
332,54
166, 27 cm2
2 2 2 2 2. Hitunglah Hitunglah luas luas segienam segienam beraturan beraturan yang mempunya mempunyaii panjang panjang sisi sisi s = 8 cm !. Penyelesaian : Luas segienam beraturan yang mempunyai panjang sisi sisi s = 8 cm adalah
6 s . 2 . sin 2 60o 2. sin 120
o
6 82. sin 2 60o 2. sin 120
o
6 64 (0,8660) 2 2 0,8660
332,54 2
166,27cm2
iv. Luas segi-n beraturan. Perhatikan kembali rumus luas segilima dan segienam beraturan berikut ini :
360o 5.r . sin 5 2
Luas
segi lim a
beraturan
5r 2 sin 54o 2
2
360o 6.r . sin 6 2
Luas
segienam
beraturan
6.r 2 .sin 60o
2 2 Kedua rumus tersebut memberikan gambaran bagi kita untuk menentukan rumus luas segi-n beraturan sebagai berikut : 360o 2 n.r . sin n Luas segie n beraturan 2 Kemudian kita perhatikan juga rumus luas segilima dan segienam beraturan yang kedua :
Luas
segi lim a
beraturan
5 s 2 sin 2 54o 2 sin 108o
(5 2).180O 2 5 s . . sin 2.5 (5 2).180o 2. sin 5
2
Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
33
Rumus-rumus segitiga
(6 2).180o 6 s . . sin 2.6 (6 2).180o 2. sin 6
2
2
Luas
segienam
beraturan
6 s . 2 .sin 2 60o 2. sin 120o
Kedua rumus tersebut memberikan gambaran bagi kita untuk menentukan luas segin beraturan sebagai berikut :
(n 2).180o 2 n s . . sin 2.n Luas segi n beraturan o (n 2).180 2.sin n
2
Catatan : n adalah bilangan asli yang lebih besar dari 2 (n 2), r adalah jari-jari lingkaran luar segi-n beraturan tersebut dan s ad alah panjang sisi segi-n beraturan tersebut. Contoh : 1. Hitunglah Hitunglah luas segi-7 segi-7 beraturan beraturan yang yang titik-titi titik-titik k sudutnya sudutnya terletak terletak pada lingkaran lingkaran yang berjari-jari r = 10 cm ! Penyelesaian : Luas segi-7 beraturan yang berjari-jari lingkaran luarnya r = 10 cm adalah o
360 7.r . sin 2 o 7 7 10 .sin 51,43 700 0,7818 574,26 273,63 cm2 2
2
2
2
2
2. Hitunglah Hitunglah luas luas segi-9 segi-9 beraturan beraturan yang yang panjang panjang sisiny sisinyaa s = 30 cm ! Penyelesaian : Luas segi-9 beraturan yang panjang sisinya s = 30 cm adalah 2
2
(n 2).180o (9 2).180o 7 180o 2 2 n s . . sin 9 30 . sin 2 9 9 900. sin 18 n 2 . (n 2).180o (9 2).180o 7 180o 2.sin 2.sin 2.sin n 9 9 8100.(sin 70o )2 8100 (0,9392)2 8100 0,8830 7152,2 5563,39 cm2 o 2.sin140 2 0,6428 1,2856 1,2856
2
Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
34
Rumus-rumus segitiga
DAFTAR PUSTAKA 1. Matemat Matematika ika SMA SMA Jili Jilid d 7, Depdi Depdikbud kbud 1981 2. Matemat Matematika ika SMA SMA Jili Jilid d 9, Depdi Depdikbud kbud 1980 3. Matematika Matematika SMA SMA 1, Wilson Wilson Simangunson Simangunsong, g, Sukino, Sukino, Drs. I Nyoman Nyoman Susila Susila,, MSc, Erlangga, 1991 4. Matematika Matematika SMA SMA 1, Sartono Sartono Wirodikro Wirodikromo, mo, Dedi D Windyag Windyagiri, iri, Erlangga, Erlangga, 1993 1993 5. Matematika Matematika SMA SMA 1, Suah Sembir Sembiring, ing, Ganeca Ganeca Exact Exact Bandung Bandung , 1988 6. Ilmu Konamat Konamatra, ra, Dr. WK Baart, Baart, Prof. Prof. Dr. Meulenbeld, Meulenbeld, Buku Buku Teknik, Teknik, Jakarta, Jakarta, 1952 7. Setrategi Setrategi Memahami Memahami Matematika Matematika SMTA SMTA seri seri C, Fatah Fatah Ashari, Ashari, dkk, Epsilon Epsilon Group Bandung, 1991. 8. Trig Trigono onome metr tri, i, CJ. CJ. Alder Alders, s, 9. Ensiklopedi Ensiklopedi Matemat Matematika, ika, ST ST Negoro, Negoro, B. Harahap, Harahap, Ghalia Ghalia Indonesi Indonesia, a, 1982
Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: padiya68@yahoo .co.id
35