SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO – MATEMATI ČKI FAKULTET FIZIČKI ODSJEK SMJER: prof. fizike
Schrödingerova jednadžba
Danijel Pranić
Kratak sadržaj 1. Uvod 2. Schrödingerova jednadžba 3. Vremenski neovisna Schrödingerova jednadžba 4. Interpretacija Schrödingerove jednadžbe 5. Valni paketi: grupna i fazna brzina 6. Zaključak
2
Uvod Austrijski fizičar Erwin Schrödinger (1887-1961) jedan je od tvoraca kvantne mehanike Schrödingerova jednadžba predstavlja jedan od temelja kvantne mehanike. Ova jednadžba prikazuje prostorno i vremensko ponašanje čestice u okviru kvantne mehanike. Ova jednadžba na odre đeni je način postulirana (1925. godine), sli čno kao i Newtonovi zakoni gibanja. Schrödingerova jednadžba u okviru kvantne mehanike ima ulogu koju u klasičnoj mehanici ima drugi Newtonov zakon gibanja. Prema kvantnoj teoriji, dok se ne na čini opservacija (mjerenje), ne zna se stanje neke čestice, jer ona može biti u bilo kojem od svih mogu ćih stanja. Odnosno, prije opservacije čestica postoji kao suma svih mogućih stanja. Iako se do ove jednadžbe ne može doći egzaktnim matematičkim izvodom, ona je plauzibilna sa drugim poznatim fizikalnim činjenicama i očekivanim rezultatima.
3
Schrödingerova jednadžba Možemo reći da je to jedno jedinstveno djelo, nešto sli čno kao Newtonovi zakoni. Mi ne možemo izvesti Schrödingerovu jednadžbu egzaktno isto kao što ne možemo izvesti ni Newtonove zakone. To su matemati čki izrazi koji jako uspješno opisuju prirodne fenomene, i koji imaju opradanja u teoriji i praksi. Naš je cilj ustvari napipati na neki na čin jednadžbu, koriste ći dobro poznate stvari iz fizike. Moramo naći funkciju koja će zadovoljavati neku funkciju Ψ (x,t) koja će predstavljati valno polje neke čestice. Za početak ćemo uzeti klasičnu jednadžbu vala:
Planck – Einstein relaciju
,
te De Broglie relaciju gdje je k valni vektor. Rješenje klasi čne valne jednadžbe je ravni val:
ako je gdje je v fazna brzina. Za česticu sa konačnom masom mirovanja, nerelativistička energija je :
gdje je V(x,t) potencijalna energija, koja može biti funkcija i vremena i prostora.
4
Da bi mogli dalje konstruirati diferencijalnu jednadžbu za materijalne čestice analogno klasičnoj valnoj funkciji, moramo primjetiti da parcijalna derivacija u jednadžbi u prostornoj koordinati x uvodi ik faktor, dok za vrijeme t uvodi faktor iω. Slijedi
Budući da su E i p energija i moment, u kvantnoj mehanici možemo definirati
E i p kao diferencijalne operatore. Ovdje simbol
ozna čava gradijent :
gdje su i, j i k jedinični vektori u Kartezijevom koordinatnom sustavu. Sada dobijemo Schrödingerovu jednadžbu
koja odgovara jednadžbi : Prvo ćemo promotriti vremenski neovisnu Schrödingerovu jednadžbu 5
Vremenski neovisna Schrödingerova jednadžba Schrödingerovu jednadžbu možemo separirati, ako je potencijal funkcija od položaja x. To znači da se jednadžba razvija u dvije diferencijalne jednadžbe, jednu ovisnu o x, a drugu ovisnu o t .
Sada Schrödingerovu jednadžbu možemo pisati u obliku
Kada ovu jednadžbu podijelimo sa
Dobijemo
Lijevi dio jednadžbe je funkcija od t, a desna je funkcija od x. Pošto jednadžba mora vrijediti za bilo koji x i t , to može biti samo ako su obje strane jednake konstanti. Budu ći da je energija operator , uzet ćemo da je konstanta jednaka energiji E i dobivamo vremenski neovisnu Schrödingerovu jednadžbu.
6
Interpretacija valne funkcije Gustoća vjerojatnosti i oč ekivana vrijednost
Nas zanima koja je veza između valne funkcije Ψ i fizikalnih veli čina kao što su energija, položaj, koli čina gibanja i dr. Mi ho ćemo neko fizikalno značenje pridodati valnoj funkciji. Produkt
možemo interpretirati kao gustoću vjerojatnosti . Pod tim mislimo na vjerojatnost da se čestica, koja ima ovakvu valnu funkciju, Ψ (x), može pronaći u intervalu dx, a računamo je po
Više ne možemo ništa precizno re ći vezano uz položaj čestice; jedino što možemo reći je vjerojatnost da, kad budemo radili eksperiment, prona đemo česticu u intervalu dx. Ako postoji čestica, ona negdje mora biti. To zna či da kad integriramo P(x) po cijelom prostoru, rezultat mora biti 1. to zna či da postoji uvjet normalizaciej:
Postoji još jedan uvjet koji valna funkcija mora izvršiti. Taj je uvjet kaže da valna funkcija i njena prva derivacija moraju biti neprekidne u svakoj to čki. Evo svih uvjeta koje valna funkcija mora zadovoljiti: 1. ψ (x) mora biti riješenje Schrödingerove jednadžbe 2. ψ (x) se mora moći normalizirati , npr. kada 3. ψ (x) mora biti kontinuirana funkcija 4. prva derivacija funkcije mora biti takođ er neprekidna
7
Ovi uvjeti op ćenito uvode neka ograni čenja u energijama E . Uvijek je moguće integrirati diferencijalnu jednadžbu drugog reda, me đutim, ukoliko energija nije posebna vrsta konstanti, riješenje će divergirati prije nego se počne približavati nuli. To zna či da vrijednosti energija E za koje ψ (x) divergira nisu fizikalno prihvatljiva riješenja valne jednadžbe. Energije za koje riješenja ispunjavaju uvjete nazivaju se svojstvene vrijednosti . Ako potencijal nije vremenski ovisan, uvijek ćemo moći naći jednu ili više svojstvenih vrijednosti energija. To su ustvari energije stacionarnih stanja koje je postulirao Bohr. Ako želimo znati nešto više, recimo nešto kao položaj ili količinu gibanja, onda moramo uzeti prosjek svih mjerenja te varijable, a to se zove oč ekivana vrijednost te varijable.
8
Valni paketi: grupna i fazna brzina Pravi sinusni val ima beskona čno prostiranje. Njegova valna duljina I valni vektor k su dobro definirani. Ako takav val predstavlja česticu, mi možemo znati količinu gibanja to čno, ali to onda zna či da nećemo moći odrditi položaj čestice, zbog relacija neodre đenosti. Međutim, ako bi željeli znati bar donekle položaj čestice, moramo konstruirati nešto što se zove valni paket iz superpozicije sinusnih valova razli čitih valnih duljina.
Da bi vidjeli kako može nastati valni paket, moramo razmotriti superpoziciju dvaju valova sličnih frekvencija i valnih duljina. Njihova suma je:
Ovo predstavlja uzorak pulsa koji je prikazan u slici iznad. Brzina kojom se širi maksimum određenog pulsa je
Iako superpozicija dva vala ne može stvoriti valni paket, možemo konstruirati pravi valni paket koriste ći mnoštvo valova prikladnih amplituda.
9
Napravimo Furierov sumu:
i ako je interval izme đu susjednih valnih vektora i frekvencija vrlo mali, možemo aproksimirati sumu sa Furierovim integralom
Primjer takvog valnog paketa je dan u sljede ćoj slici.
Ovaj Gaussov valni paket
se razvija u
Dominantni val ima valni vektor ali valni paket ima mnoštvo valova čiji se valni vektori razlikuj od . Širenje valnog vektora je okarakterizirano konstantom . Što je veći , manje je prostorno širenje valnog paketa . Ovo se poklapa sa relacijama neodre đenosti: što je ve ći , manji je .
10
Poopćenje argumenta koji nam daje brzinu uzorka pulsa koji se sastoji od dva vala vodi nas do zaklju čka da se valni paket giba grupnom brzinom:
Pojedini valovi u paketu putuju faznom brzinom:
Možemo promatrati dvije vrste valova, valove svjetlosti i valove materije. Za svjetlosne valove ( u vakuumu), . Budući da je , fazna i grupna brzina su obje jednake c. vrlo kratak puls svjetla će se širiti istom brzinom kao i monokromatska svjetlost. Grupna brzina slobodne čestice koja ima samo kineti čku energiju:
= p/m Čestica
ima brzinu koju ima valni paket, tj,ima grupnu brzinu, a ne faznu brzinu valne funkcije.
11
Zaključak Schrödingerova jednadžba je jedno od remek djela znanstvene zajednice. Ne može se nikako izvesti, neznamo na koji je na čin Schrödinger došao do nje, a jedino što znamo je da ona radi. Možemo je koristiti za riješavanje mnoštva problema u fizici, koje prije nismo mogli riješavati. Kada ju je Schrödinger objavio, izazvala je revoluciju u fizici, i zbog toga se Schrödinger smatra jednim od pionira kvantne mehanike, i jednim od najznačajnijih fizičara dvadesetog stoljeća. Naravno da jednadžba ima I dosta nedostataka. Jedan od glavnih prigovora je da ona daje samo statističke vjerojatnosti, a ne daje konkretne fizikalne veli čine, kao energiju, količinu gibanja i dr. Schrodingerova jednadžba ima mnoga bitna ograničenja, ova jednadžba ne može se primjenit na opis fotona. Tako đer, nije uzet u obzir spin čestica, koji je važno fizikalno svojstvo nužno za opis mnogih fizikalnih pojava. Sve u svemu, Schrödingerova jednadžba je donijela ogroman napredak u fizici i zbog toga moramo odati priznanje Schrödingeru.
12
