SECCIÓN 6.5
3100 225
2. En una ciudad, el peso de los recién nacidos se distribuye según una ley de media g y desviación estándar g. Halle los parámetros de la distribución que siguen las medias de las muestras de tamaño 100. g
g
4. Las normas internacionales de calidad indican que los neumáticos deben durar al menos 33 mil km. Un fabricante de neumáticos señala que su producto tiene una duración promedio de 34 mil km y desviación estándar de 4 mil km. En un laboratorio que controla la calidad de fabricación se probaron 36 llantas de esta marca. ¿Cuál es la probabilidad de que, en promedio, los neumáticos probados no cumplan con las normas internacionales?
34 4 4 36 9
Pr < 3333 Φ 3334 4/√ 3636 Φ1,1,5 0,0668 0,0668
La probabilidad de que, en promedio, los neumáticos probados no cumplan con las normas internacionales es de .
6. La gente que frecuenta cierto bar tiene una probabilidad de 0.001 de salir y cantar con el grupo que está actuando. En una noche de fin de semana hay 150 personas en el bar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una persona salga y cante con el grupo? (Suponga que cada persona en el bar toma la decisión independientemente del resto. Halle el verdadero valor y el aproximado)
1500,001 15015022,47750,0,00101 0,15 Pr ≥ 11 1 Pr > 1 1 Φ ( 10,22,22,150477515 ) 11ΦΦ2,2,199 0,0143
8. La estatura de los varones de 18 años de Quito sigue una distribución normal de media 162 cm y desviación estándar 13 cm. Se toma una muestra al azar de 85 de estos chicos encuestados y se calcula el promedio. ¿Cuál es Ia probabilidad de que este promedio se encuentre entre 159 y 164 cm?
162 13 169 85 85
159162 Pr159 < < 164 Φ164162 Φ 13√ 85 13√ 85 Φ1,4183Φ2,1275 0,921950,01669 0,90526
La probabilidad de que este promedio se encuentre entre 159 y 164 cm es de 0,90526.
10. EI centro de cómputo de su universidad dispone de un servidor para gestionar las páginas web personales de profesores y alumnos. Supongamos que la cantidad de memoria ocupada por una de estas páginas puede considerarse como una variable aleatoria con una media de 1.3 Mb y una desviación estándar de 0.3. Si el servidor va a gestionar un total de 5 00 páginas, calcule, aproximadamente, la probabilidad de que la cantidad promedio de memoria necesaria supere los 1.32 Mb.
1,3 0,3 9 500 50000 3 Pr > 1,32 1Φ1,3√ 21, 0,5003 1Φ1,49071 0,06802 Mb
La probabilidad de que la cantidad promedio de memoria necesaria supere los 1,32 Mb es de 0,06802.
12. Con una muestra de 160 entrevistas realizadas a mujeres que trabajan, resultó que el gasto promedio mensual en arreglo del cabello fue de 39 dólares y desviación estándar de 5.2 dólares. Con una probabilidad del 99.7%, ¿entre qué límites variará el gasto medio en arreglo del cabello para las mujeres que trabajan?
Debemos hallar tal que:
Pr|| < 39 Pr|| < 5, 39 2/√ 160 0,997 Pr2,9678 < < 2,9678 0,997 39 5,2/√ 160 ±2,9678 ]37,7799;40,22[
Mediante la tabla de la ley normal se encuentra que:
Por lo tanto, tenemos que:
De donde:
14. La vida útil de cierta de llantas sigue una distribución normal X con media 38 mil km y desviación estándar 3 mil km.
100
a) Si Ia utilidad Y (en dólares) que produce cada llanta está dada por Ia relación , ¿cuál es la probabilidad de que la utilidad sea mayor que 8900 dólares?;
0,2+
0,2+100 > 4438 8900 ⇒ > 44000 Pr > 44000 1Φ 3 1Φ2 0,0228
b) Determine el número de tales llantas que debe adquirir una empresa de t ransporte para conseguir una utilidad media de al menos 7547 dólares, con una probabilidad de 0.996.
Distribución de Proporción 16. Se extrae una muestra aleatoria de 150 elementos de una población binomial con ¿cuál es la probabilidad de que Ia proporción muestral satisfaga
≤ ≤
Pr103 ≤ ̅ ≤ 165 Φ 1003,20,502,755 +Φ 1605,20,502,755 150 150 Φ1,4142+Φ1,7677 0,04
18. La FIFA está interesada en conocer si las selecciones nacionales ganan más de la mitad de los partidos que juegan en casa. Suponga que se escogen aleatoriamente los resultados de 80 partidos, efectuados en las más recientes eliminatorias para el Mundial de Fútbol, y se encuentra que 65% de ellos fueron ganados por el equipo local. a) ¿Es el 65% un parámetro o un estadístico? Explique;
b) Asumiendo que no hay ventaja de campo, y por lo tanto que los equipos locales ganan el 50 % de sus juegos, determine la probabilidad de que los equipos locales hubieran ganado el 65% o más de sus partidos en una muestra de 80 resultados;
c) ¿La información muestral (que el 65%de los juegos fueron ganados por el equipo de casa provee fuerte evidencia que los equipos locales g anan más de la mitad sus partidos? Explique.
×− 150 9,375×10− ̅ 16000000 − − 9, 3 75×10 1×10 Pr > 150 1Pr ≤ 150 1Φ ( 10−16×10 × 1 10 − ) 1Φ0,79 0,7852 ∎ 0,4 Pr0,37 ≤ ̅ ≤ 0,45 Pr̅ ≤ 0,45Pr̅ ≤ 0,37 Pr̅ ≤ Φ − 4 0, 3 70, 4 Φ Pr0,37 ≤ ̅ ≤ 0,45 Φ ( 0,04,50, Φ Φ 2 , 6 1, 5 0,927 4600×0,6) ( 0,4600×0,6)
20. En un canal de transmisión de datos Ia probabilidad de que un bits se reciba con un error es . Si en una transmisión se envían 16 millones de bits, ¿cuál es la probabilidad de que no ocurran más de 150 errores?
22. Supongamos que el 40% de los votantes está a favor de Ia reelección del actual alcalde.
a) Si se selecciona una muestra de 600 electores de la ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de votos a favor del alcalde esté entre eI37% y el45%?;
Dado que
, tenemos que
b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral para tener una probabilidad del 97 % de que la proporción de votos a favor del alcalde en la muestra no se diferencie de la proporción supuesta en más del 2%?
4 0, 4 0, 4 Pr0,4 ≤ ̅ ≤ 0,42 Φ ( 0,04,20, Φ 4×0, 6) ( 0,4×0, 6) 0, 04,20, 4 1, 9 8 ⇒ 2352 4×0, 6
Por las tablas, tenemos que:
24. Se ha estimado que el 43% de los estudiantes de leyes considera que es muy importante que se imparta un curso de ética en la abogacía. De una población de 800 estudiantes se tomó una muestra de 80. Calcule la probabilidad de que más de la mitad de ellos opinen de ese modo.
Pr0,5 ≤ ̅ 1Φ ( 0,0,540,3×0,804357) 1Φ1,625 0,1038
26. En una encuesta realizada con una muestra de 3000 personas adultas escogidas al azar, ha resultado que el 35 % toma café al menos una vez al día. Con una probabilidad del 95.5 %, ¿entre qué límites variará esta proporción para Ia población completa?
28. Un ajedrecista experimentado ha ganado el 70% de las partidas que ha jugado. Si en el próximo mes va a participar en un torneo en el que va a jugar 25 partidas, a) calcule la probabilidad aproximada de que gane por lo menos el 80 % de ellas;
Pr̅ ≥ 0,8 1Φ ( 0,08,70,25×0,73) 1Φ1,09 0,1379 Pr 1 − ≥ 20 =∑ 0,0,219303+0,057+0,024+7,389×10− + 1,44×10− + 1,34×10−
b) calcule la probabilidad binomial exacta de que gane por lo menos 20 partidas; Usando
c) ¿qué hipótesis son necesarias para que sean válidas las respuestas a) v b)? Que el participante debe ganar las partidas.
Distribución de la varianza
,, , … ,
30. Si ley 56,28.
son nueve variables aleatorias independientes y distribuidas según una , calcule la probabilidad de que la varianza muestral sea menor o igual que
32. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 20 observaciones, de una población normal con varianza , tenga una varianza nuestral : a) mayor a 8.1;
b) entre 2.66 y 9.52.
34. En una oficina de selección de aspirantes para optar por una beca s e estudia Ia varianza de las calificaciones para identificar fácilmente a los mejores aspirantes. Para una prueba de matemáticas se supone que las calificaciones se distribuyen normalmente con desviación estándar de 10. Hay 15 aspirantes a optar por una beca. Calcule Ia probabilidad de que la desviación estándar de las calificaciones de dichos aspirantes sea mayor que 7.
36. El sueldo anual de los empleados de una institución se supone que sigue una distribución normal con desviación estándar de 100 dólares. Si en una inspección Ia oficina de impuestos toma una muestra de los sueldos de 17 empleados, determine un intervalo en el que quedará la varianza, de los sueldos anuales, con una probabilidad de 0.9.
Otras distribuciones de muestreo
,,, … ,
38. Si ley
son nueve variables aleatorias independientes y distribuidas según una , calcule la probabilidad
40. Se tomó una muestra de 16 directores de oficinas de una ciudad con el fin de estimar el tiempo medio diario que emplean en desplazarse hasta su trabajo. Si Ia media de los tiempos es de 87 minutos y Ia desviación estándar de 20 minutos, calcule la probabilidad de que la media muestral sea menor de 100 minutos
42. Dos muestras aleatorias independientes de tamaños 27 y g, respectivamente, se toman de una misma población normalmente distribuida. ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza de la primera muestra sea ¿Al menos el cuádruplo de la varianza de la segunda?
44. Sean
~; ~ // ≤ ≤ , ≤ , y
. Halle los valores a y b tales que. y
,
+
46. Una firma comercializadora afirma que el peso medio (en gramos) y de dos marcas de atún enlatado, es el mismo. Para verificar la afirmación se escogen dos muestras independientes de tamaños 36 de cada marca. Si la media muestral de es mayor que la media muestral de , se rechaza que ; en caso contrario, se acepta que . ¿Cuál es la probabilidad de aceptar que , cuando realmente ? Suponga que las poblacionales son y .
48. Para comparar la duración media (en meses) y de dos marcas de baterías , A y B, se tomaron dos muestras aleatorias independientes de tamaños 32 y 36, respectivamente. Si Ia duración promedio (muestral) de A es mayor que la de B en más de dos meses, se acepta que ; caso contrario se acepta que . Calcule la probabilidad de aceptar que , cuando realmente . Suponga que las varianzas de las duraciones son y .
>
>
50. Para comparar los salarios que pagan a sr.rs empleados dos fábricas de cobijas, San Lucas y Cebra, se escogen dos muestras aleatorias de tamaños 16 y 13, respectivamente, de las dos fábricas. Resultó que las desviaciones estándar fueron dólares y dólares. Si la diferencia entre las medias muestrales no es mayor a 65 dólares, se acepta que ; caso contrario, se acepta que . ¿Cuál es la probabilidad de aceptar que , cuando realmente .Suponga que los salarios, en ambas empresas, siguen una distribución normal con varianzas diferentes.
≠
≠
52. Un fabricante afirma que el 305 de mujeres y el 20% de hombre prefieren su jabón de tocador. Si se realiza una encuesta a 200 personas de cada sexo, ¿con qué probabilidad la proporción muestral de mujeres menos la proporción muestral de varones está en el intervalo ?
%,%
54. La música romántica es preferida por el 30% de mujeres y eL25 % de hombres. En una encuesta realizada a 300 personas de cada sexo, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de mujeres que prefieren la música romántica, sea mayor a la de los hombres?
