PROBLEMA A RESOLVER: ...................................................................... 2 SOLUCIÓN: ............................................................................................ 3 1. MODELADO DEL CUERPO REAL: ................................................. 3 2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES: .............................................. 4 3. COMPONENTES DEL VECTOR CARGA: ........................................ 5 4. MATRIZ DE RIGIDEZ: .............................................................. ..... 6 5. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO: ....... 7 6. ESFUERZOS: .............................................................. ................ 7 7. DIAGRAMA DE FLUJO: ................................................................ 8 8. PROGRAMACIÓN EN MATLAB:.................................................... 9 9. CONCLUSIONES: ........................................................ .............. 10
Calculo por elementos finitos (MC-516)
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SEGUNDA PRÁCTICA CALIFICADA (TRACCION CON DEFORMACION TERMICA) PROBLEMA A RESOLVER: Una placa de cierto material está apoyada desde su base tal como se muestra en la figura, y se somete a una fuerza, la placa sufre un aumento de temperatura de 80°C. Calcular los esfuerzos en cada elemento finito y la reacción en el apoyo. Utilizar tres elementos finitos.
Considerar:
P A
= 50 KN
t (espesor)
= 150 mm
E
= 3.0x10 5 N/mm2
Y
= 8.0gr-f/cm3
T
=80°C
= 78,45x10-6 N/mm3
11×10− º−
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SOLUCIÓN: 1. MODELADO DEL CUERPO REAL:
Por recomendación del profesor se tomará 4 elementos finitos para facilitar el cálculo. Los elementos finitos tendrán longitud de 250mm c/u. Y los espesores lo calculamos tomando el punto medio de cada elemento finito: b1
b2
b3 b4
1500 1125
2
1125 750 2 (750 375) 2 375 2
1312.5
937.5
562.5
mm
mm
mm
187.5mm
Y al modelar el cuerpo con 4 elementos finitos obtenemos:
Y las áreas se calculan de la siguiente relación: A1 b1 x t
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Cuadro de conectividad: NODOS
GDL
e
(1)
(2)
1
2
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
1 2 3 4
2 3 4 5
4
le
Ae
(mm)
(mm2)
250 250 250 250
196875 140625 84375 28125
2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES: A través del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:
Luego el vector de desplazamiento será : 0 Q 2 Q Q3 mm Q 4 Q5
Donde Q1= 0 porque la placa esta empotrada, los demás desplazamientos son incógnitas.
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3. COMPONENTES DEL VECTOR CARGA: Nota: se
tomará un sentido positivo hacia abajo
Analizando las fuerzas y las fuerzas térmicas equivalentes a tracción en cada elemento finito:
1 1 1 1 196875250 − − 0 , 78.4810 2 (00) +310 1968751110 80 ( 000 ) 0 + (000) 0 0 1 1 − 1 , 78.4810− 140625250 +310 1406251110 80 ( 100 ) 2 (00) 0 0 +50000x (100) 0 0 0 0 84375250 − − , 78.4810 2 (110) +310 843751110 80 (110) 0 0 0 0 28125250 − − , 78.4810 2 (01) +310 281251110 80 (10 ) 1 1 Calculo por elementos finitos (MC-516)
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51974805. 0 3+ 14853310. 8 8 [ 14902207. 2 5 14851103. 6 3 [] 7425275.91 ]
Entonces, el vector carga se expresaría de la siguiente manera
4. MATRIZ DE RIGIDEZ:
A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que está determinada por la siguiente ecuación:
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 AE AE K iJ 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 l l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 AE AE 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 l l 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad obtenemos: 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 196875 x3 x10 K i 0 0 0 0 0 250 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 140625 x3 x10 0 1 1 0 0 250 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 84375 x3 x10 28125 x3 x10 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 250 250 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 Finalmente: 2
1
3
4
5
1
5
2
5
5
3
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4
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23625 23625 0 0 0 23625 40500 16875 0 0 0 10 × [ 00 168750 10125 27000 10125 3375 13500 0 0 0 3375 3375 ]
5. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO: La ecuación de rigidez esta determinada por la siguiente ecuación: F i K i Q
0 51974805. 0 3+ 23625 23625 0 0 0 14853310. 8 8 23625 40500 16875 0 0 0 10 × 14902207. 2 5 0 16875 27000 10125 3375 0 0 14851103. 6 3 10125 13500 0 0 0 3375 3375 [] 7425275.91 14853310. 8 8 40500 16875 0 0 0 2 5 16875 27000 10125 14902207. 10 × 3375 14851103. 6 3 0 10125 13500 0 0 3375 3375 7425275.91
Lo que con nuestros valores calculados tenemos:
Para obtener los desplazamientos tomamos la siguiente sub-matriz:
0.0.242024 4055 0.0.686057 8058 0 51974805.03+10 ×23625 23625 0 0 0 []
Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:
Y para obtener la reacción en el empotramiento tómanos la siguiente submatriz:
Resolviendo obtenemos: R1
56897.97 N
6. ESFUERZOS:
1 1 ∆ 3∗10 3∗10250 1 1 0.220240 3101110−800.24 3∗10250 1 1 0.0.4240552024 3101110−800.48 3∗10250 1 100..4640556057 3101110−800.024 − 800.012 250 1 1 00..686057 3 10 1110 8058
Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuación: Y obtenemos lo siguiente:
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7. DIAGRAMA DE FLUJO: INICIO
INGRESO DE DATOS CONSTANTES : E, f, t VECTORES: L, A, P
=, +∆ 11 + CALCULO DE VECTORES
EA1 1 L 1 EA L1 K= 0 0 0
;
1
1
EA 1
EA 1
L
EA
2
2
L
0
L EA
2
2
L 0
EA
2
2
EA
0
2
3
3
L
3
EA 3
L 0
3
EA
3
EA 3
EA 3
L
EA 4
L
0
0 0 4 EA 4 L 4 EA 4 L 0
2
L
L
0
L
EA 4
L
4
4
CALCULO DE LOS DESPLAZAMIENTOS
F i K i Q
; ; ; ;;; ;; IMPRESIÓN DE RESULTADOS
FIN
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8. PROGRAMACIÓN EN MATLAB: clc clear hp=1000%%input('Altura de la placa [mm]: '); bp=1500%%input('Base de la placa [mm]: '); sp=150%%input('Espesor de la placa [mm]: '); cp=50000%%input('Valor de la carga puntual [N]: '); po=500%%input('Posición de la carga puntual (x=0<>base) [mm]: '); cd=0.000011%%input('Ingrese coeficiente de dilatación [1/Cº]: '); p=0.00008%%input('Ingrese densidad [kg/mm3]: '); E=300000;%%input('Ingrese modulo de young [N/mm2]: '); vr=80%%input('Variación de temperatura [K]: '); ne=4%%input('Ingrese nùmero de elementos finitos: '); eu=ceil(ne/2); %elementos finitos encima de la carga puntual ed=ne-ceil(ne/2); %elementos finitos debajo de la carga puntual f= a= l= k= q= s=
zeros(1,ne+1);%vector de fuerzas zeros(1,ne);%vector que contiene las áreas de cada e.f zeros(1,ne);%vector que contiene las longitudes de cada e.f zeros(ne+1,ne+1); %matriz de rigidez zeros(1,ne+1);%vector desplazamiento zeros(1,ne);%vector que contiene los esfuerzos para los 'ne' e.f
for i=1:eu%calculo de geometria de los primeros 'eu' e.f x1=((i-1)*((hp-po)/eu)*bp)/hp x2=(i*((hp-po)/eu)*bp)/hp %estas son las bases del 'i'ésimo e.f %y es resultado de la semejanza de triàngulos a(i)=((x1+x2)/2)*sp % A = ((b1+b2)/2)*espesor (base prom) l(i)=(hp-po)/eu %longitud del 'i'ésimo e.f end for i=1:ed%calculo de geometria de los e.f restantes x1=(((hp-po)+(po/ed)*(i-1))*bp)/hp x2=(((hp-po)+(po/ed)*i)*bp)/hp %bases del 'i'ésimo e.f %por semejanza de triángulos a(i+eu)=((x1+x2)/2)*sp % A = ((b1+b2)/2)*espesor (base prom) l(i+eu)=po/ed %longitud del 'i'ésimo e.f end f(1)=a(1)*l(1)*p*9.81/2-E*a(1)*cd*vr f(ne+1)=a(ne)*l(ne)*p*9.81/2+E*a(ne)*cd*vr for i=2:ne f(i)=a(i-1)*l(i-1)*p*9.81/2+a(i)*l(i)*p*9.81/2+E*a(i-1)*cd*vrE*a(i)*cd*vr end f(eu+1)=f(eu+1)+cp;%la carga puntual se ubica en el 'eu+1'ésimo nodo %f(ne+1)=f(ne+1)-rxn;%el ùltimo nodo es afectado por el peso y la reacción %rxn, pero esta última se hallará al final for i=1:ne k(i,i)=k(i,i)+E*a(i)/l(i) k(i,i+1)=k(i,i+1)-E*a(i)/l(i) k(i+1,i)=k(i+1,i)-E*a(i)/l(i) k(i+1,i+1)=k(i+1,i+1)+E*a(i)/l(i)
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end
kaux=k(ne+1,:);%vector auxiliar para el cálculo de la reacción faux=f(ne+1);%elemento que se necesita para el cálculo de la reacción qaux=q;%vector auxiliar k(:,ne+1)=[];%elimino fila 'ne+1'ésima k(ne+1,:)=[];%elimino columna 'ne+1'ésimo f(ne+1)=[];%elimino elemento 'ne+1'ésimo qaux(ne+1)=[]; %elimino elemento 'ne+1'ésimo qaux=(k^(-1))*f' %calculo de vector desplazamiento global q=[qaux',0] rxn=faux-(kaux*q'); %cálculo de la reacción en el apoyo for i=1:ne s(1,i)=(E/l(i))*[-1,1]*[q(i);q(i+1)]-(E*cd*vr); %cálculo de esfuerzos end fprintf('\n'); fprintf('La reacción en el apoyo es: %f N\n' ,rxn); for i=1:ne fprintf('La deformación del nodo %d es: %fe-4 mm\n' ,i,q(i)*10^4); fprintf('El esfuerzo del e.f. %d es: %fe-3 N mm-2\n' ,i,s(i)*10^3); end
9. CONCLUSIONES:
Las deformaciones son muy pequeñas y la reacción obtenida es negativa tal como era de esperarse ya que tomamos un sistema de referencia positivo hacia abajo. El uso del programa Matlab es sugerido para facilitar el cálculo en los elementos finitos. Si comparamos el resultado de la reacción con el primer laboratorio de tracción simple se ve que no varía este resultado.
Los valores de los desplazamientos aumentan debido a la tempratura.
El mayor esfuerzo se encuentra en el primer elemento finito, el cual corresponde al empotramiento.
Los resultados obtenidos respecto al esfuerzo son de igual valor que los resultados que se obtuvieron en tracción simple.
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