Este folleto contiene tres pruebas resueltas de las pruebas de selectividad de 2011:
INGLÉS LENGUA CASTELLANA Y LITERATURA LITERATURA MATEMÁTICAS II
La Prueba de Acceso a la Universidad se divide en dos fases: fase general y fase especíca. En la fase general, el alumnado deberá examinarse de las materias comunes (Lengua Castellana y Literatura, lengua extranjera, Historia o Filosofía y, en su caso, de la lengua coocial) y de una materia de la modalidad elegida. En la fase especíca, los alumnos podrán subir nota examinándose de otras materias de modalidad diferentes de aquella de la que se han examinado en la fase general.
ESTA COLECCIÓN TE VA A AYUDAR Porque está pensada para ti, para facilitarte la preparación de la Prueba de Acceso a la Universidad. Porque en ella descubrirás consejos sobre cómo preparar adecuadamente el examen y sobre cómo actuar durante este. Porque cada libro contiene pruebas de Selectividad de 2011 de todos los distritos universitarios de España. Porque todas las pruebas se ofrecen debidamente seleccionadas y muy claramente resueltas, lo que te permitirá preparar mejor tu examen.
SELECTIVIDAD 2011 Pruebas de Acceso a la Universidad Estos son los títulos de la colección que Anaya Ana ya ofre ofrece ce par paraa la prep prepara aració ciónn de las Pruebas de Acceso a la Universidad. • •
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BIOLOGÍA CIENCIAS DE LA TIERRA Y DEL MEDIO AMBIENTE AMBIENTE FÍSICA FRANCÉS GEOGRAFÍA GRIEGO HISTORIA INGLÉS LATÍN LENGUA CASTELLANA Y LITERA LITER ATURA MATEMÁTICAS II MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II QUÍMICA
INGLÉS PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIONES PREVIAS La prueba tiene una duración de una hora y media. No se permiten diccionarios ni otros materiales didácticos. Lean las preguntas con atención antes de responder.
Text UNDERSTANDING THE FACTORS THAT AFFECT FLUCTUATIONS IN THE PRICE OF PETROL
When it comes to petrol price issues, everybody pays attention. Indeed, all o us are consumers o petrol in a variety o ways. We use transportation, which is one o the biggest consumers o petrol. And even though some o us do not drive cars, we are also indirectly contributing to consumption by buying basic commodities, which need to be transported. Whenever petrol prices are in the news, everyone is interested. Petrol and other products are derived rom crude oil that can only be extracted rom ossil uels deep within the earth. This process requires complicated and sophisticated tools to drill them rom the deepest parts o the earth. OPEC is an organization with a big hold on oil pricing. This organization is made up o all the oil-producing countries and allows them a sort o control over their pricing. As the prime producer o the world’s oil supplies, this organization has a powerul inuence setting the price o oil around the world and consequently the variation in the price o petrol. Another actor that makes petrol prices vary in dierent countries are the laws and rules o your country or state. The government regulates many human activities that will, in turn, aect petrol pricing. Petrol is a product that is subject to taxes. When the taxes imposed are high, the price o petrol tends to go up as a consequence. 2
Special occasions like holidays and other estivals drive people onto the road. Many people will be up and about conducting a range o busy activities. This makes petrol consumption and demand rise to a great extent. This increased demand could also result in a rise in petrol prices. With a little knowledge o the actors that determine petrol prices, we can now understand why the price o petrol uctuates and varies among dierent countries and states.
Questions 1 Answer the questions below according to the instructions. (2 points) a) According to the text, which option is correct? 1. I you don’t drive a vehicle you don’t contribute to the petrol consumption. 2. OPEC cannot control oil prices. 3. Everybody spends money on petrol in dierent ways. b) According to the text, which option is correct? 1. Petrol prices dier according to the legislation o countries. 2. Petrol consumption decreases when we are on our holidays. 3. I we know the actors determining oil prices we will spend less money on petrol. c) Say whether the ollowing statement is True or False and copy the evidence rom the text to support your answer. No marks are given or only true or alse. When we hear or read something concerning oil prices in the media we show interest. d) Say whether the ollowing statement is True or False and copy the evidence rom the text to support your answer. No marks are given or only true or alse. The higher taxes are, the more expensive petrol prices will probably be.
2 Do the ollowing grammar exercises according to the instructions given. (2 points) a) Complete the second sentence so that it has a similar meaning to the frst one. Mr. Smith is bound to be our new teacher next year. We expect (…). b) Rewrite the sentence below in reported speech using the prompt. “I am sorry I spent all your money.” he apologized (…). 3
c) Complete the second sentence so that it has a similar meaning to the frst one, using ‘since’. I arrived late at the ofce and my boss got very angry. My boss (…). d) Complete the sentence below with the appropriate preposition. Everything depends ___________ the circumstances.
3 Find words or phrases in the text that mean the same as those given below. (1 point) a) Fixing, assigning b) Purchasing c) Rises and alls in number or amount d) Compulsory contributions added to the cost o some goods or services e) Devices used to perorm a job ) A distinctive attribute or aspect
4 Write a summary o the text o about 30-45 words, using your own words. (2 points) 5 Write a composition o about 100-150 words on one o the ollowing topics. (3 points) a) The price o oil aects our lives. b) Are you a green person?
Solución 1 a) 3. Everybody spends money on petrol in dierent ways. b) 1. Petrol prices dier according to the legislation o countries. c) True: ‘When it comes to petrol price issues, everybody pays attention…’ and ‘Whenever petrol prices are in the news, everyone is interested.’ d) True: ‘When the taxes imposed are high, the price o petrol tends to go up as a consequence.’ 4
2 a) We expect Mr. Smith to be our new teacher next year. Or We expect (that) Mr. Smith will be our new teacher next year. b) He apologized or spending all my money. c) My boss got very angry, since I had arrived late at the ofce. d) Everything depends on the circumstances.
3 a) Setting (line 13)
d) Taxes (line 18)
b) Buying (line 4)
e) Tools (line 9)
c) Variations (line 13)
) Factor (line 15)
4 There are many actors that inuence oil prices, including the actions o OPEC, the difculty o the process o extracting oil and the special equipment involved, the dierent laws, rules, regulations and tax rates o dierent countries, and fnally, variations in demand or oil, at holiday time or example. 5 a) The price o oil is a very important actor both in our individual lives and in the lives and politics o our countries. The main reason or the importance o oil prices is that our society is dependent on oil or transport, heating and the production o many dierent goods. Our high standard o living depends on the availability o oil. The oil price is also aecting national and international politics more and more because we are running out o oil. Our leaders respond by invading countries that have a lot o oil to try to control what is let, but many people believe that what we really need to do is to fnd alternative sources o energy so that we no longer depend on oil. In conclusion, we need to change our attitude to oil i we want to continue to live saely and comortably in the uture. b) Nowadays, like many other people, I am trying to have a more environmentally riendly liestyle. However, I’m not sure i I can really say that I am a ‘green person’ yet. On the one hand, I am very careul with rubbish. I try not to throw away anything that can still be used and when I have to throw something away I am careul to recycle as much as possible. On the other hand, I am not really very green because I use a lot o energy and create a lot o emissions when I travel. I love driving and borrow my parents’ car requently or journeys that I could do by public transport. I also love travelling abroad to exotic places, although I know that air travel causes a lot o pollution. In conclusion, I am trying to be greener but I still have a long way to go. 5
LENGUA CASTELLANA Y LITERATURA PRUEBA DE SELECTIVIDAD
ACLARACIONES PREVIAS El alumno debe escoger una de las dos opciones: A o B.
Opción A Comentario crítico del siguiente texto (10 puntos). Preguntaba ayer un periódico en una encuesta a los lectores de su edición digital si creían que Internet y las redes sociales han jugado un papel undamental en las revueltas de Túnez y Egipto. Un 87% respondía armativamente. Y no me extraña, pues todas las inormaciones y análisis insisten en la importancia de estas ormas de comunicación a la hora de explicar los estallidos populares. Ahora bien: me gustaría saber qué responderían los egipcios a esa misma encuesta, si ellos consideran undamental Facebook o Twitter para echar a Mubarak. No qué responderían los egipcios que tienen acceso a Internet (menos del 20% de la población), sino los cientos de miles que se la están jugando en las calles estos días. Lo de la ciberrevolución es ya un tópico de nuestro tiempo, pero dudo que lo de Egipto se explique en esa clave. La decisión del gobierno de Mubarak de cortar Internet no me parece, como pretenden algunos, una prueba de su importancia —también cortó las carreteras, y nadie habla de revolución automovilística—, sino más bien una muestra de la vulnerabilidad de estas ormas de comunicación, que pueden ser apagadas por quien controla los operadores. De hecho, el bloqueo de Internet ha devuelto el protagonismo al teléono de toda la vida y hasta al vetusto ax para comunicar con el exterior. Los propios Google y Twitter han habilitado un servicio que unciona mediante una convencional llamada de teléono. Y días atrás la oposición distribuía octavillas recomendando no usar las redes sociales para convocar, por ser ácilmente vigilables y manipulables por las autoridades, lo que demuestra una vez más que, cuando más libres nos sentimos online, más controlados estamos. No dudo que Internet ayuda, acilita las comunicaciones y rompe bloqueos inormativos. Pero lo que estamos comprobando estos días es lo contrario: que las revoluciones se siguen ganando en la calle, en maniestaciones, y con muertos nada virtuales (147 en Túnez, tal vez más en Egipto). Una lección para nosotros, que conamos en que todo cambiará con un clic, y de salir a la calle nos olvidamos. Isaac Rosa, Las revoluciones todavía se ganan en la calle.
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Opción B Comentario crítico del siguiente texto (10 puntos). (Nota: La refexión de Clotilde Armenta «pensaba que eso ue el colmo del machismo» es una clara crítica a la actitud de prepotencia viril de los hermanos Vicario. En la actualidad esa imagen de la masculinidad parece estar en crisis. Argumenta tu posición al respecto). De modo que a Clotilde Armenta no le altaba razón cuando le pareció que los gemelos no estaban tan resueltos como antes, y les sirvió una botella de gordolobo de vaporino con la esperanza de rematarlos. «¡Ese día me di cuenta —me dijo— de lo solas que estamos las mujeres en el mundo!» Pedro Vicario le pidió prestado los utensilios de aeitar de su marido, y ella le llevó la brocha, el jabón, el espejo de colgar y la máquina con la cuchilla nueva, pero él se aeitó con el cuchillo de destazar. Clotilde Armenta pensaba que eso ue el colmo del machismo. «Parecía un matón de cine», me dijo. Sin embargo, él me explicó después, y era cierto, que en el cuartel había aprendido a aeitarse con navaja barbera, y nunca más lo pudo hacer de otro modo. Su hermano, por su parte, se aeitó del modo más humilde con la máquina prestada de don Rogelio de la Flor. Por último se bebieron la botella en silencio, muy despacio, contemplando con el aire lelo de los amanecidos la ventana apagada en la casa de enrente, mientras pasaban clientes ngidos comprando leche sin necesidad y preguntando por cosas de comer que no existían, con la intención de ver si era cierto que estaban esperando a Santiago Nasar para matarlo. Gabriel García Márquez, Crónica de una muerte anunciada.
Solución de la prueba Opción A Es un texto periodístico, seguramente una columna de opinión, en la que Isaac Rosa, tomando como pretexto una encuesta realizada por un periódico digital el día anterior, pone en entredicho la opinión mayoritaria de quienes participaron en ella y, por extensión, la de aquellos que sin refexionar detalladamente sobre los acontecimientos llegan a conclusiones precipitadas. No podemos saber si este artículo ha sido publicado en una edición de papel o en un periódico digital pero quizás, por la reerencia que se hace a la encuesta, podríamos pensar que va dirigido más a los lectores de un periódico digital que de uno impre7
so, aunque lo escrito pueda ser válido para todos ellos. En eecto, el internauta, que puede acceder con mayor rapidez al texto periodístico que le interese y, si lo desea, maniestar su opinión con una gran inmediatez (por tanto, más impulsiva que refexivamente), y que puede a través de los oros y de las redes sociales comunicarse con personas de otros países o continentes, tiende a sobrestimar el poder de Internet, a pesar de que sea innegable. Ciertamente, las inormaciones y los análisis que llegan de las revueltas de Túnez y Egipto inducen a esta opinión. Pero Isaac Rosa —que observa todo con un cierto distanciamiento, prestando seguramente atención a distintas uentes inormativas (corresponsales e imágenes de los lugares donde se producen) y analizando los datos objetiva e independientemente— llega a otra conclusión, para él más certera, que es la que transmite al lector. La modalidad discursiva dominante del texto es la expositiva-argumentativa. Siguiendo un esquema sintetizante o inductivo, a partir de hechos particulares (las revueltas de Túnez y Egipto), el periodista llega a una tesis nal de carácter universal: las revoluciones no se ganan en Internet, sino en las calles, arriesgando la vida. La intencionalidad del autor es la de crear opinión puesto que la inormación inicial y todo lo relacionado con ella —la citada encuesta y, tras ella, las protestas populares de Túnez y Egipto— ya es conocida por el lector; el columnista se limita a valorar los hechos desde un punto de vista subjetivo con la pretensión de que quien lea su artículo termine compartiendo su parecer. Y lo hace mediante la utilización de argumentos extraídos de la propia realidad, contrastables. Por tanto, podemos armar que lo que buscaría el lector de este artículo de opinión no sería la inormación en sí misma sino el particular modo de valorar e interpretar el resultado de la encuesta del columnista, al que se reconoce una cierta «autoridad» o criterio personal e independiente. Es evidente que quienes han respondido a la encuesta del periódico digital lo han hecho desde su mentalidad europea (viven en democracia, tienen acceso a Internet y su nivel adquisitivo les permite utilizarlo cuando deseen) sin pensar que la situación político-social de tunecinos y egipcios es totalmente dierente. Si solo un 20% de egipcios tienen acceso a la red y el régimen del sátrapa controla los operadores, diícilmente su importancia puede calicarse como denitiva. Tal como han demostrado los acontecimientos, el bloqueo gubernamental de Internet ha hecho necesario que los egipcios utilizaran de nuevo el teléono y el ax y los mismos servidores se han visto obligados a servirse de medios que, aparentemente, ya habían sido superados, para poder orecer sus servicios. Y no solo eso: los maniestantes, obligados por las circunstancias, han tenido que acudir en sus reivindicaciones a las octavillas para avisar de los peligros que conllevaba la utilización de Internet en esas circunstancias, evidenciando así la vulnerabilidad de la red y también de quienes la utilizan. Todo ello es lo que lleva a Isaac Rosa a recordar lo que, por obvio, es innegable, aunque parece que lo hayamos olvidado deslumbrados por las nuevas tecnologías: que las revoluciones (para conseguir libertad o conquistas sociales) se siguen ganando aún hoy en día en la calle y que estas conllevan maniestaciones (agrupación de personas que luchan por una misma causa, rente al individualismo avorecido por Internet) y riesgos reales (muerte). 8
Las unciones del lenguaje predominantes en el texto son, además de la reerencial (transmisión de un contenido), la expresiva (por lo que tiene de subjetivo lo expuesto y por la inormación que nos da sobre su autor) y la apelativa (dado que intenta modicar la opinión de los lectores, entre los que se incluyen los encuestados). El tema de las revueltas en el mundo árabe, además de ser actual, mantiene la expectación y el interés general ya que, en una sociedad global, nada de lo que ocurra en cualquier lugar deja indierente al resto, sobre todo cuando se generan problemas humanitarios (muerte, destrucción, hambre, emigración...), religiosos (recuente conrontación entre pueblos o etnias que mantienen distintas creencias aunque puedan compartir un mismo espacio), culturales (ormas dierentes y distantes de entender la vida y expresarse) y comerciales (principalmente, la dependencia mundial del petróleo). El texto, por tanto, tiene interés por el tema tratado, por la actualidad y por las repercusiones que puedan tener las revueltas tanto desde el punto de vista humano como económico y social, no solo para los países en conficto sino para el resto del planeta, con mayor o menor intensidad. El registro utilizado es el estándar o ormal que es el que el público espera de un periódico competente y serio, además de que el tema así lo requiere. No obstante, el deseo de captar y de mantener la atención del lector avorece que, en ocasiones, el periodista utilice expresiones de carácter coloquial (no me extraña; me gustaría saber, no qué… sino…; los cientos de miles que se la están jugando en las calles). Predomina en él la denotación. En cuanto a la estructura interna, en el texto se pueden observar tres partes: • Unapresentacióno punto departida(elprimerpárrafo):laalusióna laencuesta realizada a los lectores el día anterior en un periódico digital y su resultado nal. Con ella el autor pretende captar la atención del lector, buscando un tema de interés común, del que casi todos pueden opinar y con cuyo resultado podemos estar de acuerdo. • Uncuerpoonudo(párrafos2,3y4):secomenta,enjuiciayvaloraelresultadode la encuesta, aportándose otro punto de vista dierente del de los encuestados, que contrasta con él, y con el que se reuta la creencia generalizada inicial. • Unaconclusiónnalotesis(últimopárrafo)extraídaapartirdeloanterior,enla que se recuerda al lector que, a pesar de Internet y de las redes sociales, las revoluciones siguen ganándose en la calle. Como cualquier texto periodístico, se caracteriza por la sencillez, la concisión y la corrección: • Elcontenidosedistribuyeencincopárrafos,muybreves,encadaunodeloscuales, generalmente, se expone una idea. La cohesión entre ellos se realiza a través de: – conectores discursivos opositivos (ahora bien) y de ejemplicación (de hecho), con los que se inician el segundo y cuarto párrao, típicos de los textos argumentativos;
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– elementos deícticos con los que se hace alusión al tiempo (ayer, estos días, nuestro tiempo); – elementos anaóricos: en el primer párrao se nombra a Internet y las redes sociales, a las que se alude en el segundo párrao con Facebook o Twiter y, en el tercero con ciberrevolución o esa clave. A las revueltas de Egipto, nombradas en el primer párrao, se las recuerda anaóricamente con la expresión lo de Egipto en el tercer párrao; – repeticiones de palabras: la encuesta a la que se hace reerencia en el primer párrao vuelve a nombrarse en el segundo deícticamente como esa misma encuesta; – sinónimos (revueltas, estallidos populares; cortar, apagar, bloquear Internet); – el paralelismo entre dos hechos: la decisión del gobierno de Mubarak de cortar Internet no me parece, como pretenden algunos, una prueba de su importancia — también cortó las carreteras, y nadie habla de revolución automovilística—, etc. • Las oraciones nosonexcesivamente complejas,loquefacilitala laborde comprensión del lector. Son recuentes las proposiciones subordinadas sustantivas («preguntaba... si creían que Internet y las redes sociales...»; «me gustaría saber qué responderían..., si ellos consideran undamental...») y las coordinadas copulativas («también cortó las carreteras y...»; «el bloqueo de Internet ha devuelto el protagonismo al teléono de toda la vida y hasta el vetusto ax...»; «los propios Google y Twitter han habilitado...»; «Y días atrás la oposición distribuía...») y adversativas («nadie habla de revolución automovilística, sino más bien...»; «Pero lo que estamos comprobando...»). • Desdeel puntode vistamorfológico,abundanlas formas verbales con unclaro predominio de la tercera persona (preguntaba, creían, han jugado, respondían, extraña, insisten...) cuando se presentan los hechos de orma objetiva con un marcado distanciamiento, rente a la primera persona del singular (dudo) con la que se pone de maniesto la opinión subjetiva del columnista o la primera del plural (sentimos, estamos, confamos, olvidamos) con la que se incorpora a los lectores en el texto, buscando su asentimiento y haciéndoles copartícipes de las conclusiones a las que llega el columnista. Reorzando la subjetividad de quien escribe, aparece el pronombre personal me (no me extraña, me gustaría saber, no me parece), mientras que cuando se incluye a los lectores se les alude con las ormas nos y nosotros. En cuanto a los tiempos verbales, predomina en el primer párrao el pretérito imperecto de indicativo, tiempo imperectivo, con el que se marca una acción duradera en un pasado, en este caso inmediato ya que se concreta con el adverbio de tiempo ayer . Este pasado se contrapone a un presente (extraña, insisten) que también tiene un valor durativo. En el segundo párrao contrasta la hipótesis del columnista plasmada mediante el condicional simple (gustaría, responderían), con la realidad de los egipcios, expuesta en un presente de indicativo (consideran) y una perírasis verbal (se la están jugando en las calles), si bien todas las ormas verbales son imperectivas. En el tercer párrao predominan los presentes durativos 10
(es, dudo, explique, parece, pretenden, habla), contrapuestos al pretérito perecto simple (cortó, tiempo perectivo cuya acción se nalizó por completo en el pasado) y a la perírasis aspectual de posibilidad (pueden ser apagadas, con la que el presente se puede proyectar hacia el uturo). En el cuarto párrao, los pretéritos perectos compuestos (ha devuelto, han habilitado, tiempos imperectivos) alternan con el pretérito imperecto (distribuía), cuya acción temporal, en reerencia a «días atrás», se halla muy cercana al presente durativo con el que naliza (demuestra, sentimos, estamos) no solo este párrao, sino también el siguiente, que sirve de coloón al texto y en el que se destaca, mediante la perírasis verbal de gerundio (se siguen ganando) el largo y diícil proceso hasta lograr lo deseado. En conclusión, el presente, desde el que se observan los hechos, es el tiempo más destacado en el texto (el lenguaje periodístico se preocupa undamentalmente del presente o actualiza los hechos), pero su valor durativo hace que la acción se prolongue en el uturo (el analizar el presente y valorar la posible proyección de los hechos en el uturo, es otra de las características de los textos periodísticos).
• Elvocabularioempleadoescomprensibleparacasilatotalidaddelectores.Sibien abundan los términos pertenecientes al campo semántico de la inormática (edición digital, Internet, redes sociales, Facebook, Twitter, ciberrevolución, operadores, Google, on-line, clic), estos no presentan ninguna dicultad para los lectores que acceden a la red diariamente y consultan a través de ella todo tipo de inormación, incluida la de los periódicos digitales.
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MATEMÁTICAS PRUEBA DE SELECTIVIDAD
ACLARACIONES PREVIAS
Se proponen dos opciones A y B. Hay que elegir una de las opciones y contestar a sus cuestiones. La puntuación está detallada en cada una de las cuestiones o en sus distintas partes. Se permite el uso de calculadoras, pero los resultados, tanto analíticos como grácos, deberán estar debidamente justicados.
Opción A 1
a) Estudiar para qué valores de
a
la matriz A =
(
0
1
2
a+1
–1
a–2
–1
a+1
2
máximo.
(
tiene rango
(1,25 puntos)
b) Siendo A –1 la inversa de la matriz A, calcular ( A –1)2 para
a = –1. (1,25 puntos)
2
a) Utilizar el cambio de variable t 6 = 1 + x para calcular
∫
y x + 1 + 2 dx 2/3 ( x + 1) – y x + 1
(1,75 puntos)
b) Para f ( x) = e –3 x, calcular sus derivadas sucesivas y concluir cuál de las siguientes opciones es la correcta: (0,75 puntos) i) f (n)( x) = 3 n e –3 x
3
Sea la unción f ( x) =
ii) f (n)( x) = (–3)(n + 1) e –3 x x 2 + 2 x – 2
a) Calcular su dominio. b) Obtener sus asíntotas.
iii) f (n)( x) = (–3)n e –3 x
. (0,5 puntos) (1 punto)
c) Estudiar sus puntos de corte con los ejes y analizar si es una unción par.(1 punto)
12
4
a) Hallar la ecuación del plano paralelo a las rectas de ecuaciones: r ~ 2 – x = y =
° 2 x – y + z = –2 £ – x + y + 3 z = 1
z + 1
s~¢
2
y que pasa por el punto A (1, 1, 2).
(1,5 puntos) 8
8
b) Calcular el ángulo que orman los vectores u = (2, 1, 1) y v = (–1, 1, 1). Obtener su producto vectorial. (1 punto)
Opción B 1
a) Sean las matrices A =
(
cos a
–sen a cos
a
Estudiar qué valores de
y
a(
sen a
b
y B =
(
cos a
0
sen a
0
b
0
–sen a
0
cos a
( .
hacen que sea cierta la igualdad:
[det ( A)]2 – 2det ( A) det ( B) + 1 = 0
(1 punto)
b) Utilizar las propiedades de los determinantes para calcular el valor de: 2
3
4
2 a+3 b+4 2 c+3
2
con a, b, c, d é
°ln x, ¢ax 2 + b, £
0 < x < 1 1 Ì x < + @
. Si f (2) = 3, obtener los
valores de a y b que hacen que f ( x) sea continua.
3
Sea f ( x) =
lím log ( x 2 – 9) y lím log ( x 2 – 9). x 8 + @ x 8 3+ x 3
( x
– 1)2
(1,5 puntos)
d + 4
a) Se considera la unción f ( x) =
b) Calcular
Á
(1,25 puntos) (1,25 puntos)
.
a) Determinar su dominio.
(0,5 puntos)
b) Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
(1 punto)
c) Analizar sus puntos de infexión.
(1 punto)
13
4
a) Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A (1, –2, 4), B (0, 3, 2) y es paralelo a la recta
x – 1
=
4
y – 2
1
=
z + 1
2
.
(1,5 puntos) 8
b) En caso de que sea posible, escribir el vector v = (1, 2, 4) como combinación lineal de los vectores a = (1, 0, 1), b = (1, 1, 0), c = (0, 1, 1). (1 punto)
Solución de la prueba Opción A 1
a) A =
Si
(
0
1
2
a+1
–1
a–2
–1
a+1
2
a?0
y
a?–
1 2
a = –1 8 A =
( (
1
–2 3 –1
( (
2
0 –1 –3 ;
–1 0
(
2
Adj( A) = –2 2 –1 ; [ Adj( A)]t =
A –1 =
(
–2 –2 –1 3
2
0
–1 –1 0
( A –1)2 =
14
–1 0
(
0
2
A –1
=
[ Adj( A)]t
∙ A∙
–2 –2 –1 3
2
(
0 ; ∙ A∙ = 1
–1 –1 0
(
–2 –2 –1 3
0
–1 –1 0
a=0 a = –1/2
, ran ( A) = 3, que es el máximo valor del rango de A. 0
b) Para
(
; ∙ A∙ = 2a2 + a = a(2a + 1) = 0
(
–2 –2 –1 3
2
0
–1 –1 0
(( =
–1 1
2
0 –2 –3 –1 0
1
(
2
a) I =
∫
y x + 1 + 2 dx 2/3 y ( x + 1) – x + 1
Hacemos t 6 = 1 + x I =
∫
=6
y t 6 + 2 (t 6)2/3 – y t 6
∫
(t 3 + 2)t 2 (t – 1)
·
8
6t 5
dt = 6
6t 5 dt = dx
dt =
∫
∫
(t 3 + 2)6t 5 t 4 – t 3
t 5 + 2t 2 t – 1
dt = 6
∫
(t 3 + 2)t 5 t 3 (t – 1)
dt =
dt
Se trata de integrar una unción racional con el grado del numerador mayor que el grado del denominador. Dividimos: t 5
+ 2t 2
t – 1
– t 5 + t 4
t 4 + t 3 + t 2 + 3t + 3
t 4
–t 4 + t 3 t 3 + 2t 2
–t 3 + t 2 3t 2 –3t 2 + 3t 3t –3t + 3 3 I = 6
∫(
t 4
+
t 3
+
t 2
+ 3t + 3 +
3 t – 1
( ( =6
t 5
5
+
t 4
4
+
t 3
3
+
3t 2 2
(
+ 3t + 3 ln ∙ t – 1∙ + k
Deshacemos el cambio de variable [t = (1 + x)1/6]: 6 3 I = ( x + 1)5/6 + ( x + 1)2/3 + 2 ( x + 1)1/2 + 9 (1 + x)1/3 + 5 2 + 18 ( x + 1)1/6 + 18 ln ∙ ( x + 1)1/6 – 1∙ + k b) f ( x) = e –3 x f ' ( x) = –3e –3 x = (–3)1 e –3 x f '' ( x) = (–3)(–3) e –3 x = 9e –3 x = (–3)2 e –3 x f ''' ( x) = 9 · (–3) e –3 x = –27e –3 x = (–3)3 e –3 x f iv( x) = (–27)(–3) e –3 x = 81e –3 x = (–3)4 e –3 x
Por tanto, f (n)( x) = (–3)n e –3 x.
15
3 f ( x) =
x 2 + 2 x – 2
a) Dom f ( x) = Á – {2}, ya que se trata de una unción racional cuyo denominador se anula para x = 2. b)• Asíntotasverticales:
° = + @ § § x 2 + 2 6 + 0+ = lím ¢ 8 La recta x = 2 es una asíntota vertical. x 8 2 x – 2 6 0 – = – @ § § 0– £ • Asíntotashorizontalesnotiene,puestoque: x 2 + 2 lím = Ï@ x 8 Ï@ x – 2 6
• Asíntotasoblicuas: Como el grado del numerador de f ( x) es una unidad mayor que el del denominador, existe asíntota oblicua. Su ecuación es el cociente de la división x2
+2
x 2 + 2 x – 2
x – 2
– x 2 + 2 x
x + 2
2 x + 2 –2 x + 4 6 La ecuación de la asíntota oblicua es y = x + 2. c)• Corteconeleje X : y = 0
8
x 2 + 2 x – 2
=0
8 x 2 + 2 = 0,
sin solución.
La unción no corta al eje X . • CorteconelejeY : x = 0
8 f (0) = –1 8
Corta al eje Y en (0, –1).
• Unafunciónesparsi f ( x) = f (– x): f (– x) =
4
(– x 2) + 2 – x – 2
a) r ~ 2 – x = y =
=
z + 1
2
x 2 + 2
– x – 2
8 r ~
?
x 2 + 2 x – 2
x – 2
–1
= f ( x)
= y =
8 ° 2 x – y + z = –2 8 nπ1 = (2, –1, 1) s~¢ 8 – + + 3 = 1 nπ = (–1, 1, 3) 8 x y z £ 2
16
8 f ( x)
z + 1
2
8
8
no es una unción par.
vr = (–1, 1, 2)
:
8 8
8
8 8
i
8
j
k
vs = nπ Ò nπ = 2 –1 1 = (– 4, –7, 1) 1 2 –1 1 3
π
es paralelo a r y s, y pasa por A (1, 1, 2): x – 1 y – 1 z – 2
π~
–1
1
2
–4
–7
1
8
=0
8 π ~ 15 x – 7 y + 11 z – 30 = 0
8
b) u = (2, 1, 1), v = (–1, 1, 1) 8 8
u·v –2 + 1 + 1 =0 cos a = 8 8 = ∙u ∙ · ∙ v ∙ y 6 · y 3 8
8 8
i
j
k
uÒv= 2
1
1 = (0, –3, 3)
–1
1
1
8
8
8 a = 90º
Opción B 1
a) A =
B =
(
(
cos a
∙ ∙ ( a
sen a
–sen a cos
; A = cos 2 a + sen 2 a = 1
cos a
0
sen a
0
b
0
–sen a
0
cos a
(
; ∙ B ∙ = bcos 2 a + bsen 2 a = b(cos 2 a + sen 2 a) = b
∙ A ∙2 – 2 ∙ A ∙ · ∙ B ∙ + 1 = 1 – 2b + 1 = 2 – 2b = 0 8 b = 1 La igualdad es cierta para cualquier valor de a y para b = 1. 2
3
4
f 2 – f 1
2 3 4
a b b) 2 a + 3 b + 4 ÄÄÄ8 0 a b = 2 = 2(ad – bc) f 3 – f 1 c d 2 c + 3 d + 4 0 c d
2
°ln x, 2 £ax + b,
a) f ( x) = ¢
0 < x < 1 1 Ì x < + @
Las unciones parciales que orman f ( x) son continuas en el intervalo en que están denidas. Imponemos que f ( x) sea continua en x = 1:
17
lím ln x = lím (ax 2 + b) x 8 1 x 8 1
8
8
0=a+b
8 f (2) = 4a + b = 3 8
Como f (2) = 3
b = –a
4a – a = 3
8
a=1
Luego a = 1, b = –1. b)• lím log ( x 2 – 9) = log x 8 + @
[
]
lím ( x 2 – 9) = + @ x 8 + @
[
]
• lím log ( x 2 – 9) = log lím ( x 2 – 9) = log 0+ = – @ x 8 3+ x 8 3+
3 f ( x) =
x 3
( x – 1)2
a) Dom f ( x) = Á – {1} b) f ' ( x) =
=
3 x 2( x – 1)2 – 2 x 3( x – 1) ( x x 3 – 3 x 2
( x – 1)3
– 1)4 =
f ' ( x)
x 2( x – 3)
=
( x – 1) [3 x 2( x – 1) – 2 x 3]
+
=
x = 0
=0
( x – 1)3
f ( x)
( x
– 1)4
x = 3 +
0
–
+
1
3
f ( x) crece en (– @, 1) « (3, + @), y decrece en (1, 3).
c) f '' ( x) =
=
(3 x 2 – 6 x)( x – 1)3 – 3( x – 1)2( x 3 – 3 x 2) ( x – 1)6 ( x – 1)2[(3 x 2 – 6 x)( x – 1) – 3( x 3 – 3 x 2)] ( x f '' ( x)
– 1)6 –
=
=
1
8
a) A = (1, –2, 4), B = (0, 3, 2), AB = (–1, 5, –2) r ~
x – 1
4
=
y – 2
8
1 8
=
z + 1 8 , vr = (4, 1, 2) 2
Con B, AB y vr , hallamos la ecuación de
18
– 1)4
=0
+
En (0, 0) hay un punto de infexión.
4
( x
+
0
f ( x)
6 x
π:
8 x = 0
r
x
v r ¿
π~ B
–1
5
–2
4
1
2
=0
8
8 π ~ 4 x – 2 y – 7 z + 20 = 0
v r
A
y – 3 z – 2
¿
π
8
8
8
b) a = (1, 0, 1), b = (1, 1, 0), c = (0, 1, 1) 1 0 1 1 1 0 = 2?0
8
8 8
8
a , b y c son linealmente independientes, orman una base
0 1 1 8
de Á3. Esto quiere decir que v = (1, 2, 4) sí puede expresarse como combinación lineal de ellos: 8
8
8
8
v = k 1 a + k 2 b + k 3 c
(1, 2, 4) = k 1 (1, 0, 1) + k 2 (1, 1, 0) + k 3 (0, 1, 1) Igualando coordenadas, obtenemos un sistema de ecuaciones:
° k 1 + k 2 = 1 8 k 2 = 1 – k 1 Sustituyendo en la 2.ª ecuación: § ¢ k 2 + k 3 = 2 ÄÄÄÄÄ8 1 – k 1 + k 3 = 2 8 –k 1 + k 3 = 1 § £ k 1 + k 3 = 4 Queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
°–k 1 + k 3 = 1 ¢ k + k = 4 £ 1 3 2k 3 = 5 8
v=
8
k 3 =
5 2
, k 1 =
3 2
, k 2 = –
1 2
38 18 58 a – b+ c 2 2 2
19
