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Separata v I-estadística

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02 Dist Muestrales P2

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SEPARA SEPARAT TA DE PROBABILIDADES PROBABIL IDADES Y ESTADÍSTICA INFERENCIAL

Docente:

M.Sc. Est. Carlos Daniel Gonales !i"al#o. Sign up to vote on this title

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Un tratamiento preciso de la teoría de probabilidad requiere de dos enfoques, uno inicial, basado en la conjuntos, y un segundo basado en las distribuciones de probabilidad.

El primer enfoque nos permite comprender con claridad el concepto de probabilidad, así como ob listado de axiomas y propiedades fundamentales de la teoría de probabilidad. Con el segundo enfoque, lle representaciones matemticas que facilitan el clculo de probabilidades, mediante f!rmulas que se ajustan regu a ciertos fen!menos o experimentos.

1.2. EXPERIMENTO

En estadística se considera experimento al proceso mediante el cul se obtienen los datos, ya sea de na cualitati#a o cuantitati#a.

1.2.1. EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO

$e llama así al fen!meno o experimento que siempre tiene que ocurrir. Es decir se presenta de u manera y existen f!rmulas matemticas que describen el fen!meno y con las que se pueden deter resultado del experimento. Ejemplos& '.

El experim experiment entoo consist consistee en dejar dejar en el aire un plum!n plum!n,, éste siemp siempre re tiene tiene que caer caer,, pues la gra#edad (ar que sea atraída al suelo. ). Ele#amos Ele#amos el precio precio de un bien, bien, inmedia inmediatamen tamente te se reducir reducir la cantidad cantidad demand demandada. ada.

1.2.2. EXPERIMENTO NO DETERMINISTICO O ALEATORIO $e llama así al fen!meno o experimento en el que no se puede determinar con certe"a su resultado, que las causas que lo originan son no predecibles por ser aleatorias. *Por qué se dice que el experimento es no determinístico o aleatorio+ Por que& a. $us result resultado adoss son son produ producto cto del a"ar. a"ar. b. $e puede repetir, cada cada experimento muc(as #eces #eces sin cambiar las condiciones. c. $us resultados resultados posibles posibles se se pueden pueden enlistar enlistar en en un conjunto. conjunto.

Ejemplos& '.

Lan"ar un una mo moneda so sobre un una me mesa es es un un ex experimento al aleatorio un unas #e #eces re resulta  pesad #eces sello. $i en este experimento -cargsemos la moneda /re#istiendo la cara con un metal Sign up to vote on this title manera que al lan"arla a una mesa siempre resulte cara, el experimento deja de ser aleatorio y pasa Useful   Not useful determinístico. ). Consideremos un un pa partido eenntre ddoos eq equipos de de 1% 1%tbol de desde el el pu punto de ##iista de lo lo /goles0. $iempre queda un margen de a"ar en la determinaci!n del n%mero de goles a fa#or o en contra

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Un tratamiento preciso de la teoría de probabilidad requiere de dos enfoques, uno inicial, basado en la conjuntos, y un segundo basado en las distribuciones de probabilidad.

El primer enfoque nos permite comprender con claridad el concepto de probabilidad, así como ob listado de axiomas y propiedades fundamentales de la teoría de probabilidad. Con el segundo enfoque, lle representaciones matemticas que facilitan el clculo de probabilidades, mediante f!rmulas que se ajustan regu a ciertos fen!menos o experimentos.

1.2. EXPERIMENTO

En estadística se considera experimento al proceso mediante el cul se obtienen los datos, ya sea de na cualitati#a o cuantitati#a.

1.2.1. EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO

$e llama así al fen!meno o experimento que siempre tiene que ocurrir. Es decir se presenta de u manera y existen f!rmulas matemticas que describen el fen!meno y con las que se pueden deter resultado del experimento. Ejemplos& '.

El experim experiment entoo consist consistee en dejar dejar en el aire un plum!n plum!n,, éste siemp siempre re tiene tiene que caer caer,, pues la gra#edad (ar que sea atraída al suelo. ). Ele#amos Ele#amos el precio precio de un bien, bien, inmedia inmediatamen tamente te se reducir reducir la cantidad cantidad demand demandada. ada.

1.2.2. EXPERIMENTO NO DETERMINISTICO O ALEATORIO $e llama así al fen!meno o experimento en el que no se puede determinar con certe"a su resultado, que las causas que lo originan son no predecibles por ser aleatorias. *Por qué se dice que el experimento es no determinístico o aleatorio+ Por que& a. $us result resultado adoss son son produ producto cto del a"ar. a"ar. b. $e puede repetir, cada cada experimento muc(as #eces #eces sin cambiar las condiciones. c. $us resultados resultados posibles posibles se se pueden pueden enlistar enlistar en en un conjunto. conjunto.

Ejemplos& '.

Lan"ar un una mo moneda so sobre un una me mesa es es un un ex experimento al aleatorio un unas #e #eces re resulta  pesad #eces sello. $i en este experimento -cargsemos la moneda /re#istiendo la cara con un metal Sign up to vote on this title manera que al lan"arla a una mesa siempre resulte cara, el experimento deja de ser aleatorio y pasa Useful   Not useful determinístico. ). Consideremos un un pa partido eenntre ddoos eq equipos de de 1% 1%tbol de desde el el pu punto de ##iista de lo lo /goles0. $iempre queda un margen de a"ar en la determinaci!n del n%mero de goles a fa#or o en contra

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'. Lan"ar Lan"ar una moneda moneda al piso piso y obser#ar obser#ar el resulta resultado do que ocurre ocurre en la la cara superio superiorr de la moneda. moneda. Ω 4 5c, s7 ⇒ n /Ω0 4 )

). Lan"ar Lan"ar dos monedas monedas consecuti# consecuti#as as al piso y obser#ar obser#ar el resulta resultado do que ocurre ocurre en la cara superior superior de de las m Ω 4 5/c, c0, /c, s0, /s, c0, /s, s07 ⇒ n /Ω0 4 9

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C

4

/ C, C 0

$

4 / C, $ 0

C

4 / $, C 0

C

$

$ 4 / $, $ 0 ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ) ; ) 4 9

2. Elegir Elegir el President Presidentee de una una asociaci asociaci!n, !n, de un un grupo grupo de < candid candidatos atos /=, /=, >, C, 8, E0. Ω 4 5=, >, C, 8, E7 ⇒ n /Ω0 4 <

9. Lan"ar Lan"ar una moneda moneda (asta (asta obtene obtenerr cara y contar contar el n%mero n%mero de lan"amient lan"amientos. os. Ω 4 5', ), 2,?7

<. 8eterm 8etermina inarr la #ida #ida %til %til de un artíc artículo ulo.. Ω 4 5@ ∈ℜ 6 @ ≥ A7

1.4. EVENTO O SUCESO $e llama e#ento o suceso a todo subconjunto del espacio muestral. = los e#entos se les denota con las letras may%sculas del alfabeto, así decimos& = 4 Es un e#ento ⇔ = ⊂ Ω = Ω se le considera e#ento seguro y a φ e#ento imposible.

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a0. = 4 5/c, s0, /s, c07 ⇒ n /=0 4 ) b0. > 4 5/s, s07 ⇒ n />0 4 ' c0. C 4 5/c, c0, /c, s0, /s, c07 ⇒ n /C0 42 d0. 8 4 5/c, c07 ⇒ n /80 4 ' e0. E 4 5/c, c0, /c, s0, /s, c0, /s, s07 ⇒ n /E0 4 9 f0. 1 4 5/c, s0, /s, c0, /s, s07 ⇒ n /10 4 2

1.5. ALGEBRA DE EVENTOS

Usando Usando las leyes del lgebra lgebra de conjuntos conjuntos se puede formar nue#os e#entos, e#entos, los cuales son subco mismo espacio muestral de donde pro#ienen los e#entos dados. =sí para los e#entos dados. =sí, para los e#ento C de Ω se cumplen las siguientes leyes& '.<.'. LEB 8E 8EDP3EFC=& a0 Uni!n& =∪= 4= b0 ntersecci!n& =∩= 4= '.<.). LEB =$3C=G=& =$3C=G=& a0 Uni!n& =∪/>∪C0 4 /=∪>0∪C 4 /=∪>∪C0 b0 ntersecci!n& =∩/>∩C0 4 /= ∩>0∩C 4 /=∩>∩C0 '.<.2. LEB C3FDU=G= C3FDU=G=&& a0 Uni!n& =∪> 4 >∪= b0 ntersecci!n& =∩> 4>∩= '.<.9. LEB 8$H>UG= 8$H>U G=&& a0 Uni!n& =∪/>∩C0 4 /= ∪>0 ∩ /=∪C0 b0 ntersecci!n& =∩/>∪C0 4/=∩>0 ∪ /=∩C0 '.<.<. LEBE$ 8E D3HI=F& a0 Uni!n& /=∪>0J 4=J ∩ >J b0 ntersecci!n& /=∩>0J 4 =J ∪ >J '.<.K. LEBE$ 8EL C3DPLEDEF3& a0 Uni!n& =∪=J 4 Ω b0 ntersecci!n& =∩=J 4 φ '.<.. LEB 8E 8EF8=8&


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b0 Permutaciones con objetos repetidos. repetidos. P

n n', n), n2,...nO

4 n! 6 /n'! ; n)! ; ? ;nO !0

c0 Perm Permut utac acio ione ness circ circul ular ares es.. PCn 4 /nN'0 !

Ejemplos&

'. $e in#ita in#ita a < gerentes gerentes de grande grandess Empresas Empresas de C(iclay C(iclayo, o, para dar dar a los alumnos alumnos de DarOeting DarOeting y nternacionales de la UCG, una conferencia sobre exportaci!n. *8e cuntas maneras distintas se sentar los gerentes en una fila+ P 4
< <

). 8e un grupo grupo de 9 persona personas, s, se tiene que que elegir elegir a 2 persona personass que deben deben ocupar ocupar el cargo cargo de pr secretario, y #ocal. *8e cuntas maneras se pueden (acer los arreglos+ P 4 9! 6 /9N20! 4 )9

9 2

2. El n%mero n%mero de formas diferent diferentes es de permutar permutar ') objetos objetos iguales iguales en todo, todo, sal#o el color, color, de los los cua negros, 9 son blancos y < son rojos es, ')P2, 9, < 4 ')! 6 /2! ; 9! ;
PC 4 /N'0 ! 4Q! '.. C3D>F=C3FE$

Cuando (ablamos de combinaciones, no debemos tener en cuenta el orden de los elementos s!lo nos que se combine un elemento con otro. nCr 4 n! 6 r !/nNr0! Ejemplos&

'. *Cuntos *Cuntos cables cables de conexi!n conexi!n se necesita necesitann para que dos aulas aulas cualesquie cualesquiera, ra, de doce aulas aulas existente existentess en una Uni#ersidad, puedan comunicarse directamente+ Sign up to vote on this title



C) 4 ')! 6 )! /')N)0! 4 KK Useful Not useful  buenos ). Una caja contiene contiene )A tornillo tornilloss similares, similares, de los cuales cuales 'A son bu enos,, Q tienen defectos defectos del tipo tipo =, defectos del tipo >, y 2 los dos tipos de defectos.*Cuntos elementos tiene el espacio muestral que re escoger al a"ar '' tornillos de manera que ) tengan defectos =y =y >, 2 defectos s!lo =, ) con defectos s! ')

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1.8.1. DEINICIÓN DE PROBABILIDAD CL!SICA $i = es un e#ento de Ω, la probabilidad de que ocurra el e#ento = est dada por& P(A)" #(A) $ # ( )

Event (A) n(A

Espacio muestral

Experimento aleatorio

n(

)

$ #el resultado que ocu Ejemplo& $uponga que el experimento aleatorio consiste en lan"ar unP(A)" dado y #(A) obser#ar cara superior del dado. Calcular la probabilidad de que ocurra& ( ) a0 b0 c0 d0

El n%mero K. Por lo menos el n%mero 9. = lo ms el n%mero ). Por lo menos el n%mero '.

$oluci!n& Ω 4 5', ), 2, 9, <, K7 ⇒ n /Ω0 4 K

a0 =4 5K7 ⇒ n /=0 4 '

You're Reading a Preview

P(A)" #(A) $ # ( Unlock ) " 1$%full access with a free trial. b0 >4 59, <, K7⇒ n />0 4 2.Download With Free Trial

P(B)" #(B) $ # ( ) " 3$% c0 C 4 5', )7 ⇒ n /C0 4 ).

P(C)" #(C) $ # ( ) "2$% d0 8 4 5', ), 2, 9, <, K7 ⇒ n /80 4 K

P(D)" #(D) $ # ( ) "%$% 1.8.1. DEINICIÓN DE RECUENCIA RELATIVA


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P(S'*+')" 2& $ 3& 1.,. AXIOMAS DE PROBABILIDAD A.1. & P(A)

1

A.2. P( ) "1 A.3. $i = y > son dos e#entos en /=∩> 4 φ0

, tales que = y > son mutuamente excluyentes

P(A B) " P(A)-P(B) Este axioma se puede extender para O e#entos mutuamente excluyentes = ', =),?, =T , es decir

P/ A1 A2  A/ ) " P(A1)-P(A2)--P(A/ ) 1.1&. TEOREMAS DE PROBABILIDAD T.1. P( ) " & T.2. P(A0) " 1 P(A) T.3. S A B

P(A) P(B)

T.4. S A  B #' '# 66a*#* *76*#* ( =∩> ≠ φ0 You're Reading a Preview P(A B) " P(A)-P(B) P (A B)Unlock full access with a free trial. T.5. S A9 B  C #' '# 66a*#* *76*#* Download With Free Trial P(A B C) " P(A)-P(B)-P(C) P /=∩>0  P /=∩C0N P />∩C0R P /=∩>∩C0

Ejemplos& '. La probabilidad de que la seSora (ablantina reciba por lo menos Q llamadas telef!nicas en un dí la probabilidad de que reciba a lo ms < llamadas telef!nicas en un día es A.2. allar la probab que la seSora (ablantina reciba K !  llamadas en un día. $oluci!n&  ,...7up to vote on this title Ω 4 5A,' ,) ,2 ,9 ,<, K, , Q,Sign =4 5Q, ,?7 ⇒ P(A) " &.2  Useful  Not useful >4 5A, ', ), 2, 9, <7 ⇒ P(B)"&.3 C 4 5K, 7 ⇒ P(C) " :

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" &.; - &.5 < &.3 " &., 1.11. PROBABILIDAD CONDICIONAL

= menudo se quiere determinar la probabilidad de que ocurra un e#ento sabiendo que otro e#ento (a o La probabilidad condicional /o condicionada0 de que un e#ento > ocurra dado que otro e#ento a (a ocurrido s por P/>6=0. Esta notaci!n se lee -. La probabilidad de que > ocurra dado que = (a ocurrido o simple probabilidad de > dado =

P(B$A) " P (A B) $ P(A) 9 S P(A) & E=*>'?

Un club consiste de ciento cincuenta miembros. 8el total, 26< son (ombres y )62 son profesionales. =dems, ' mujeres son no profesionales. a0 $e elige al a"ar un socio del club& a.'0 Calcular la probabilidad de que sea (ombre y profesional. a.)0 Calcular la probabilidad de que sea (ombre, dado que es profesional. b0 $e eligen tres socios al a"ar& b.'0 $i las tres son mujeres, *cul es la probabilidad de que s!lo l de ellas sea profesional+ b.)0 $i resultan ser del mismo sexo, *cul es la probabilidad de que sean mujeres+. $oluci!n& PH31E$3F=L F3 PH31E$3F=L 3=L 3D>HE /0 KA 2A A DUVEH /D0 9A )A KA 3=L 'AA
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= 4 Las tres son mujeres > 4 $!lo una es profesional P/>6=0 4 / 9AC' ; )AC)06 KAC2 = 4 Los tres son del mismo sexo > 4 Las tres son mujeres P/>6=0 4 / KAC2 06 /AC2 R KAC20 4 A.)2

1.12. EVENTOS INDEPENDIENTES $e dice que el e#ento > es independiente del e#ento =, si, P/>6=0 4 P/>0


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$e #erifica que, si P/>6=0 4 P/>0, entonces, P/=6>0 4 P/=0 y recíprocamente

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a0 1alle s!lo la mquina '. b0 La producci!n contin%e. $oluci!n& P/=∩>0 4'6< 4 26'<, P/=J ∩>0 4 )6'<, entonces, P/>04 <6'< =dems de P/=∩>0 4 P /=0 P/>0, resulta, P/=0 4 6'< a0 P/=∩>J0 4 P /=0 P/>J0 4 6'< ; 'A6'< 4 K6'< b0

P(=J> =>J =J>J ) " P(=J>0 R P/=>J0 R P/ =J>J ) " P(=J0 P/>0 R P/=0 P/>J0 R P/ =J0 P/>J ) 4 K6'< ; <6'< R 6'<;'A6'< R K6'< ; 'A6'< 4 ')6'<

1.13. PROBABILIDAD TOTAL

$i O e#entos& =', =),..,=T , constituyen una partici!n del espacio muestral Ω, entonces, para cualquier en Ω, P/>0 4 P/='0 ; P/>6='0RP/=)0;P/>6=)0R?RP/=T 0;P/>6=T 0 You're Reading a Preview =) ? Ω

='

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=T

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TEOREMA DE BAES Para cualquier e#ento = i de la partici!n, se tiene&


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A.K $)

a0


A.)

=

P/=0 4 P/$'0 ; P/=6$'0RP/$)0;P/=6$)0 4 A.9;A. R A.K;A.) 4 A.9Q

b0

P(S1$A) " P (S1 ) P(A$ P(S1) $ P(A) " &.;5

P(S2$A) " P (S2) P(A$ P(S2) $ P(A) " &.25 La probabilidad de $ ' se modifica de A.9 = A.< y la de $ ) se modifica de A.) a A.)<

La'+a'+' N &1

'. $ean =, >, y C tres e#entos cualesquiera de un espacio muestral Ω, ex cada uno de los siguientes e#entos compuestos en términos de opera entre =, > y C& a0 b0 c0 d0 e0

3curra por lo menos uno de los e#entos. 3curran todos los e#entos. 3curra exactamente uno de los e#entos Fo ocurran ninguno de los e#entos. Fo ocurra ms de uno deReading los e#entos. You're a Preview

Unlock full access with a free trial. ). Cada uno de cuatro amigos elige una bebida al a"ar en la cafetería. 8 el espacio muestral del experimento si (ay disponibles en tres s Download With Free Trial denominados por L, F y 1, *cuntos elementos tiene+.

2. Un lote de F artículos contiene O defectuosos, describir el espacio m del n%mero de artículos extraídos (asta obtener el %ltimo defectuoso.

9. Un experimento consiste en obser#ar la Sign #idaup%til de dos objetos,  de to vote on this title e#ento -la duraci!n del primero ms la  duraci!n del segundo es al m Useful  Not useful aSos.

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/>)0 o -regular, />20, y en cuanto al precio, como -cara, o -barata /C)0. * 8e cuntas maneras es calificada la eléctrica por los especialistas+.

. Un grupo de < (ombres y 'A mujeres, se di#ide al a"ar en < g

de 2 personas cada una. Calcular el n%mero de maneras e cada grupo contenga un (ombre.

'A.*8e cuntas maneras diferentes puede un padre di#idir Q re

entre sus 2 (ijos, si el mayor debe recibir 9 regalos y los me ) cada uno+

''.Un sistema est formado por dos componentes = y > c

probabilidades de falla son '6K y )6'< respecti#amente. probabilidad de al menos una de las dos componentes 62A, calcular la probabilidad de que& a0 b0

Finguno de las dos componentes fallen. You're Reading a Preview $!lo una de las componentes falle. Unlock full access with a free trial.

').Un lote contiene n objetos. La probabilidad de que al menos uno sea defectuoso es A.AK, mientra probabilidad de que al menos dos sean defectuosos es A.A9. Calcular la probabilidad de que& Download With Free Trial a0 odos los objetos sean no defectuosos. b0 Exactamente un objeto sea defectuoso.

13.D'*#a

>*+'#a *# +6a * a6*+' *7'  6Fa+ * >+'**#a * a F6*#* a#*+a  Sign up to vote on this title '# '+*9 11& '# * a a>a  3& '# 6=*  Useful  Not useful * >+'H#a. S * *F*# ' >*+'#a a aa+ a a >+'aa * J6*?

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'<. Cien personas fueron encuestadas acerca de sus preferencias sobre tres productos =, >, y C. $e

que , y 2A el C. =dems ') prefieren = y >, Q s!lo = y C, < s!lo > y C, y C. 8e cinco personas encuestadas elegidas al a"ar, calcular la probabilidad de que ) de ellas prefie C, ) s!lo = y >, y una prefiera los tres productos.

'K. $i P/=04<6Q, P/>04269

y P/=6>04)62, calcular P/=6>J0

'.$i P/>0426'<, P/>6=04'6<, y P/= ∩>04'6'<, calcular P/=∩>J0

'Q.8e )A clientes de crédito de una tienda comercial, 'AA tienen créditos menores que W )AA, '

créditos de al menos W
a0 $i se elige un cliente al a"ar, *cul es la probabilidad de que tenga crédito menos de de 9 aSo saldo de crédito de menos de W )AA+ b0 $i se eligen dos clientes al a"ar y resultan de al menos de 9 aSos de crédito, *cul es la prob de que uno tenga saldo de crédito de W
'. $!lo el KAX de la mercadería que recibe un comerciante del fabricante = es de calidad exce

mientras que el AX de la mercadería que recibe del fabricante > es de calidad excepcional. $in e la capacidad del fabricante > es limitada, y, por esta ra"!n s!lo el 2AX de la mercadería le es p adquirir del fabricante >, el AX la adquiere de =. $e inspecciona un embarque que acaba de lle encuentra que es de calidad excepcional, *cul es la probabilidad de que pro#enga del fabricante =

2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD You're Reading a Preview 2.1. INTRPODUCCIÓN


En la primera unidad desarrollamos algunos modelos probabilísticas a tra#és de espacios maestra Free Trial facilit! la comprensi!n del concepto de Download probabilidadWith y la obtenci!n de algunas propiedades fundamenta teoría de probabilidad, sin embargo, para estudiar situaciones prcticas ms generales, necesitamos ampl conceptos para que tengamos distribuciones/o modelos0 de probabilidad que representen todos los #ariables definidas e en la asignatura de Estadística 8escripti#a. =sí todo lo estudiado en tal asignatura pa un tratamiento descripti#o de las #ariables cuantitati#as tendr su correspondiente distribuci!n/ o modelo Estas #ariables numéricas a las cuales asociamos distribuciones de probabilidad, sern llamadas aleatorias. ).). VARIABLE ALEATORIA




Useful



 Not useful

Una #ariable estadística es una característica /cualitati#a o cuantitati#a0 que se mide u obser#a poblaci!n. $i la poblaci!n es aleatoria y la característica es cuantitati#a la #ariable estadística es



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$i Y es el n%mero de caras obtenidas, entonces Y es una #ariable aleatoria cuyo rango es& H Y 4 5A, ', ), 27

2.2.1. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA? UNCIÓN DE PROBABILIDAD  UNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA . 2.2.1.1. PROBABILIDAD EN EL RANGO R X.

Una #ariable aleatoria discreta asume cada uno de sus #alores con cierta probabilidad que denotaremo /probabilidad inducida por Y0.

En efecto, si el rango de la #ariable aleatoria Y es el conjunto finito de n%meros, H Y 4 5', ),?, xn7y si es un e#ento en H Y, entonces, PY 4 /5xi70 4 P /5x ∈ Ω6 Y /@0 4 xi70, P[Y 4 xi] 4 P /5@ ∈ Ω6 Y /@0 4 xi70.

2.2.1.2. UNCIÓN DE PROBABILIDAD

$ea Y una #ariable aleatoria discreta. $e denomina funci!n /ley o modelo o distribuci!n0 de probabilid a la funci!n f/x0 definida por f/x0 4 P[Y 4 x] para todo x n%mero real y que satisface las siguientes condi

∑ f / xi0 = '

i0 f/x0 Z4 A para todo x ∈ H, y ii0 F3=$.

xi∈ Rx

You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

'. $i = ⊂ H Y, entonces, la probabilidad de = es el n%mero&

Download With Free Trial P[ X = xi] 4 = f / xi 0

∑

∑

P / A0

xi∈ Rx

xi∈ Rx

). La funci!n de probabilidad de una #ariable aleatoria Y se puede expresar& por una ecuaci!n& f/x0 4 P expresi!n de x, o por el conjunto de pares 5/x i,pi06pi 4 f/xi0, xi ∈ H Y7 o por una tabla, si H Y es finito. Galores de x i de Y Probabilidad Pi 4 P[ X = xi ]

x' p'

x) p)

x2

?

Sign up to p vote on this title ? 2



Useful

 Not useful

La grfica de una distribuci!n de probabilidades discreta es la grfica de bastones.

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f/'0 4 P[Y4'] 4 96'K f/)0 4 P[Y4)] 4 K6'K f/20 4 P[Y42] 4 96'K f/90 4 P[Y49] 4 '6'K b0 )

P[A[Y[4)] 4

∑ f /k 0 = f /'0 + f /)0 = 9 6'K + K 6 'K = 'A 6 'K k ='

2.2.1.2. UNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

F / x0 = P [ X ≤ x] ∑ P[ X = K ] = ∑ f /k 0, para − ∞ < x <∞ K ≤ X

2.2.2.

k ≤ x

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA?

Va+a* a*a'+a '##6a? 6#K# * *#a  6#K# * +6K# a66aa. 2.2.2.1. 6#K# * *#a * >+'aa. You're Reading a Preview D*#K#. $e dice que la funci!n f/x0 es funci!n Unlock de densidad /leywith o distribuci!n0 de probabilidad de la #ariable full access a free trial. continua Y si satisface las siguientes condiciones& Download With Free Trial i 0 f ( x ) ≥ A para todo x ∈ℜ ( ℜ es el conjunto de los números reales ) ii 0

+∞

∫

−∞

( x ) dx =

iii 0 P ( A )

NOTAS.

'

= P [ x ∈ A]

∫ f ( x ) dx, A

para cualquier int ervalo A

⊂ℜ




'. La condici!n i0 persona que la grfica de f/x0 no tiene puntos porUseful debajo del las abscisas. Notdeuseful eje La condici!n ii0, indica que el rea total bajo la cur#a es igual a uno.

[

]

[

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). Fo es difícil #erificar que si el e#ento = es cualquier inter#alo en la recta real, entonces, P/=0 sat axiomas de la probabilidad.

2. Cualquier funci!n f/x0 que satisfaga s!lo las condiciones i0 y ii0 no es probabilidad, s!lo es pro cuando la funci!n de densidad es integrada entre dos límites. Por ejemplo, la funci!n& f ( x ) = 2 x ) 6 Q para A ≤ x ≤ ).

$atisface las condiciones i0 y ii0, pero f/x0 no es probabilidad, ya que entre otros #alores se tiene, f/@0 4 ' 4 '.)'<.

4. $i xA es cualquier #alor específico de la #ariable aleatoria continua Y, entonces&

P [ X

= x A ] = P [ x A ≤ X ≤ xA ] =

xA

∫

xA f

( x ) dx = A

Como consecuencia se tiene& a0 P ( A )

=

A, no implica A

= φ

b0 P [ a ≤ X ≤ b] = P [ a ≤ X < b ] = P [ a < X ≤ b] = P [ a < X < b]

EEMPLO %.12. $ea f/x0 una funci!n definida en todos los n%meros reales por You're Reading a Preview full access with a free trial. a0 allar el #alor de la constante c paraUnlock que, f/x0 sea una funci!n de densidad para alguna #ariable alea

) Calcular P [ A < X ≤ ']


SOLUCIÓN. a0 El rea de la figura K.K. debe ser igual a ', entonces, '=

+∞

∫

−∞

)

f ( x ) dx =

)

∫ A

 x 2  Q =c cx dx = c   2  2 A )


Hesultando, c 4 26Q. Luego. f ( x )

2 x ) 6 Q, =   A

 Useful si x ∈[ A,) ] si x ∉[ A ) ]

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b0 P [ A < X ≤ ' ] =

'

∫ A

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 2 x )   Q

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'

  x2   dx = Q =    A



' Q

2.2.2.2. 6#K# * +6K# a66aa * Ha+a* a*a'+a '##6a. D*#K#.

La funci!n de distribuci!n acumulada /f.d.a.0 1/x0 de una #ariable aleatoria continua Y con funci!n de den se define /#er figura K.0 por& f ( x ) = P [ X ≤ x ] =

x

∫

−∞

f ( t ) dt , para − ∞ < x < + ∞

EEMPLO %.13. $ea f/x0 una funci!n de densidad de probabilidad de una #ariable aleatoria Y, cuya grfica es la figura que


WithdeFree a0 8eterminar el #alor de la constante cDownload y luego la f.d.p. Y. Trial

b0 allar la funci!n de distribuci!n acumulada 1/x0 de Y. c) Usando 1/x0, calcular P [ < 6 9

< X ≤ < 6 )]

SOLUCIÓN. a0 $i el rea que encierra la figura con el eje Y es igual a uno, entonces, ] on this title Sign up cto4vote



La funci!n de densidad se define a partir de la ecuaci!n de la rectay N'69 4 /269^ ]0 /xN'0, o y 4 x69. Useful Not/2N'0 useful  x  9 , si ' ≤ x ≤ 2 

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 A, si x <'  x ) − ' F ( x ) =  , si ' ≤ x ≤ 2 Q  ', si x > 2  La grfica de esta funci!n de distribuci!n acumulada es la figura KNQ.

 < < X ≤ <  = F  <  −   ) 9   ) 

c0 P 

 <  =   9 

F 

)' 2)

−

 ')Q

=

L< ')Q

2.2.3. Va'+ *>*+a' ' *>*+a#a a*a.

La distribuci!n de probabilidad de unaYou're #ariable aleatoria se caracteri"a bsicamente a tra#és de med Reading a Preview tendencia central y de la dispersi!n. Estas medidas características de la distribuci!n denominadas parm Unlock full access with a free trial.

describen por medio de la esperan"a matemtica.

2.2.3.1. M*a * 6#a Ha+a* a*a'+a. Download With Free Trial

La media de una #ariable aleatoria Y o media de la distribuci!n de probabilidad de Y es un n%mero rea

denota por µ x o por µ . La media es denominada también esperan"a matemtica o #alor esperado d denota también por E/Y0.

D*#K# 1.


La media de una #ariable aleatoria discreta Y con funci!n de probabilidad es laNot expresi!n& useful  Usefulf/x0  $i el rango de Y es el conjunto finito R x

= { x' , x ) , ... x n } , entonces,

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siempre que el #alor de la integral sea un n%mero real, en caso contrario, se dice que la media de Y no exist

EEMPLO %.1,.

Calcular la media de la distribuci!n de probabilidad de la #ariable aleatoria Y que se define como el n% caras cuando se lan"an cuatro monedas.

SOLUCIÓN. La distribuci!n de probabilidad de Y se da en la tabla KN2.

TABLA %3 x'

A '6'K

' 96'K

) K6'K

2 96'K

9 '6'K

1/x0 La media de Y es el n%mero µ = E ( X )

'   9   K   9   '  = Σ xi f ( xi ) = A   +'  + )  + 2  + 9  =  'K   'K   'K   'K   'K 

)

Esto significa que si una persona lan"a 9 monedas, muc(as #eces, en promedio obtendr ) caras por lan"am

NOTA? (I#*+>+*aK# * a *>*+a#a)

Hefiriéndonos al ejemplo K.', supongamos que repetimos n #eces el lan"amiento de las cuatro monedas You're Reading a Preview obtienen las frecuencias absolutas n , n', n), n2 y n 9 de las #eces que ocurre A, ', ), 2 y 9 caras respecti#am Unlock full promedio access withde a free trial. que resulta es una distribuci!n de frecuencia cuyo caras por lan"amiento es igual a

X

=

A x nA

n 9 + 9 x n 9 nA n + ' x n ) + ) x n2 + 2 xDownload n n With = Free + ' x ' + ) x ) + 2 x 2 + A x Trial n

n

n

n

n

En el clculo de E/Y0 se usan probabilidades o proporciones te!ricas, mientras que en el clculo de

frecuencias relati#as o proporciones empíricas obtenidas a partir de una muestra de tamaSo n. = medida qu creciendo es de esperar que las frecuencias relati#as empíricas& Sign up to vote on this title

nA6 n, n'6n, n)6n, n26n, y n9Useful 6n,



 Not useful

se #ayan aproximando a las correspondientes probabilidades '6'K, 96'K, K6'K, 96'K, K6'K, 96'K

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Por otra parte, la moda de una #ariable aleatoria Y, es el #alor de la #ariable con mayor probabilidad /caso o donde alcan"a su mximo /caso continuo0. En la distribuci!n del ejemplo K.', la moda 4 ).

2.2.3.2. M*a * 6#a 6#K# * 6#a Ha+a* a*a'+a.

$ea Y una #ariable aleatoria discreta con rango H x y funci!n de probabilidad f ( x ) = P [ X = x ]. En

= { y 6  ( x ) = y} , con funci!n de probabil

funci!n B 4 /Y0, es una #ariable aleatoria con rango R y dada por&

# ( y )

∑ P [ X = x ]

= P [!" = y ] =

{ x ∈ R x 6  ( x ) = y }

Por ejemplo, si es una #ariable aleatoria cuya distribuci!n de probabilidad est dada por la tabla K.9, y si B 4 )Y ^ 2, entonces,

Taa %.4 x 1/x0

A

'

)

2

'6Q

26Q

26Q

26Q

B es una #ariable aleatoria, cuya distribuci!n de probabilidades es dada por la tabla # ( y )

= P [" =  ( x ) ] = P [ X = x] = f ( x ) . /x0 4 )x N 2 g/y0 4 f/x0

N2 N' ' You're '6Q Reading 26Q a Preview 26Q

2 '6Q


El #alor esperado de /x0 es, Download With Free Trial

E (  ( X ) )

−2 −2 2 2 + + + = ∑  ( x ) f ( x )

=

Q

Q

Q

Q

D*#K#.

$i Y es una #ariable aleatoria con distribuci!n con distribuci!n de probabilidad f/x0, la media o #alor esp esperan"a matemtica de la #ariable aleatoria /x0 est dada por la expresi!n&


E (  ( X ) ) =

B por &

E (  ( X ) ) =

es discreta Useful  X  Not ,useful ∑  ( xi ) f ( xi ) , si

+∞

∫ − ∞

 ( x ) f ( x ) dx, si X es continua

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$ea Y una #ariable aleatoria con distribuci!n de probabilidad f/x0 y con media igual a µ . La #arian"a d expresi!n&

σ x) = E ( X − µ ) σ x) = E [( X − µ )

)

)

=

∑ ( xi − µ )

] = ∫ −+∞∞

)

f ( xi ) , si Y es discreta, y

( x − µ ) ) f ( x ) dx , si Y es continua.

siempre que la suma y al integral sean n%meros reales.

D*#K#. La *HaK# *#a+ de la #ariable aleatoria Y es la raí" cuadrada positi#a de su #arian"a. σ x

=

) . σ X

Una de las propiedades de la #arian"a que sea usa en el clculo es& #ar ( X ) = E ( X − µ )

)

= E ( X

)

) − µ

)

EEMPLO %.28.

Calcular la #arian"a y la des#iaci!n estndar de la distribuci!n de probabilidad de la #ariable aleatoria Y define como el n%mero de caras al lan"ar cuatro monedas.

SOLUCIÓN. La distribuci!n de probabilidad de Y es la tabla KN. Yi

A

'

)

2

'6'KYou're 96'K Reading a K6'K Preview f/xi0 En el ejemplo K.', se (a calculado E/Y0Unlock 4 ). =dems, full access with a free trial. E ( X

)

)=

9

∑

x

Por lo tanto, σ x)

=

A

96'K

' 9 K x x ( x ) f ( x ) = A Download + ' With + +2 ) x Free Trial )

)

)

'K

)

'K

'K

9 '6'K

)

x

9 'K

+ 9 ) x

' 'K

=

QA 'K

= E ( X ) ) − µ ) = < − ( )) ) ='

La des#iaci!n estndar de Y es& σ x

=

$ar ( X )

= '.

EEMPLO %.2,.

Calcular la #arian"a y la des#iaci!n estndar de la #ariable aleatoria discreta Y cuya funci!n de probabilida  f ( x )

SOLUCIÓN.

=

e

− λ

x

λ , x x_


=

Useful Not useful , λ  tan A, ', ), ...., etc = cons te

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NOTA? 3tra forma de calcular esta #arian"a, es usando la siguiente expresi!n& σ x) En efecto, µ = λ , E [ X ( X − ') ]

= E [ X ( X − ') ] + µ − µ )

y ∞

= ∑ x( x − ') x =A

e − λ λ x x_

= λ

)

e

− λ

∞

∑

x = )

λ x −)

( x − ))_

= λ ) e −λ e λ = λ )

2.3. DISTRIBUCIONES DISCRETAS Gamos a comen"ar por estudiar las principales distribuciones discretas.

2.3.1 DISTRIBUCIONES DISCRETAS? BERNOUILLI Es aquel modelo que sigue un experimento que se reali"a una sola #e" y que puede tener ' '6'#* fracaso& Cuando es a*+' la #ariable toma el Ha'+ 1 Cuando es +aa' la #ariable toma el Ha'+ &

E=*>'& Probabilidad de salir cara al lan"ar una moneda al aire /sale cara o no sale0 probabilidad de ser a en una uni#ersidad /o te admiten o no te admiten0 probabilidad de acertar una quiniela /o aciertas o no acie You're Reading a Preview & =l (aber %nicamente dos soluciones se trata de 6*' '>**#a+'

= la probabilidad de éxito se le denominaUnlock > full access with a free trial. = la probabilidad de fracaso se le denomina Download With Free Trial J Gerificndose que&

>-J"1 Geamos los *=*>' a#*+'+* ? Sign up to vote on this title

E=*>' 1& Probabilidad de salir cara al lan"ar una moneda al aire&



Probabilidad de que salga cara& p 4 A,<

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Probabilidad de no acertar& q 4 A, p R q 4 A,AAAA' R A, 4 '

2.3.2. DISTRIBUCIONES DISCRETAS? BINOMIAL La +6K# #'a parte de la distribuci!n de >ernouilli&

La +6K# * B*+#'6 se aplica cuando se reali"a una sola #e" un experimento que tiene %nicam posibles resultados /éxito o fracaso0, por lo que la #ariable s!lo puede tomar dos #alores& el ' y el A

La +6K# #'a se aplica cuando se reali"an un n%mero`n` de #eces el experimento de >ernouii cada ensayo independiente del anterior. La #ariable puede tomar #alores entre&

&& si todos los experimentos (an sido fracaso #& si todos los experimentos (an sido éxitos

E=*>'? se tira una moneda 'A #eces& *cuantas caras salen+ $i no (a salido ninguna la #ariable toma el # (an salido dos caras la #ariable toma el #alor ) si todas (an sido cara la #ariable toma el #alor 'A La +6K# * >+'aa de este tipo de distribuci!n sigue el siguiente modelo&

You're Reading a Preview *=lguien entiende esta f!rmula+ Gamos a tratar de explicarla con un ejemplo& Unlock full access with a free trial.

E=*>' 1? *Cul es la probabilidad de obtener K caras al lan"ar una moneda 'A #eces+ Download With Free Trial    es el n%mero de aciertos. En este ejemplo ` O ` igual a K /en cada acierto decíamos que la #ariable #alor '& como son K aciertos, entonces O 4 K0  # es el n%mero de ensayos. En nuestro ejemplo son 'A  >  es la probabilidad de éxito, es decir, que salga a+a al lan"ar la moneda. Por lo tanto p 4 A,< La f!rmula quedaría&


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La f!rmula queda&

Luego,

P (7 " 4) " &9&2% Es decir, se tiene una probabilidad del ),KX de obtener cuatro #eces el n%meros 2 al tirar un dado Q #eces.

2.3.3. DISTRIBUCIONES DISCRETAS? POISSON

Cuando la #ariable aleatoria Y es el n%mero de e#entos que ocurren en un inter#alo de tiempo #olumen o de dice que sigue una distribuci!n de Poisson. Como por ejemplo. El n%mero de accidentes en una fbrica un aSo, el n%mero de prestamos solicitados a una agencia >ancaria durante un aSo, el n%mero de errore cometen al tejer )A pies cuadrados de tela, el n%mero de bacterias que se reproducen en un centímetro c agua, etc. La +6K# * P''# sigue el siguiente modelo&

Gamos a explicarla&

You're Reading a Preview

El n%mero * es ),'Q)Q


` n ` que seWith reali"a el experimento multiplicado por la probabili   4 n ; p /es decir, el n%mero de #eces Download Free Trial de éxito en cada ensayo0

   es el n%mero de éxito cuya probabilidad se est calculando Geamos un *=*>'& La probabilidad de tener un accidente de trfico es de A,A) cada #e" que se #iaja, si se reali"an 2AA  #iajes, Sign up to vote on this title la probabilidad de tener 2 accidentes+



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Como la probabilidad ` p ` es menor que A,', y el producto ` n ; p ` es menor que 'A, entonces aplic modelo de distribuci!n de Poisson.

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Luego, P /x 4 <0 4 9,KA) Por lo tanto, la probabilidad de que (aya < pelirrojos entre QAA recien nacidos es del 9,KX.

2.4. DISTRIBUCIONES CONTINUAS? NORMAL

Es el '*' * +6K#  6a' en la prctica, ya que multitud de fen!menos se comportan s distribuci!n normal.

Esta distribuci!n de caracteri"a porque los #alores se distribuyen formando una a>a#a * Ga6, en t #alor central que coincide con el #alor medio de la distribuci!n&


Un a+*+' &

X? N (

)

2

es el #alor medio de la distribuci!n y es precisamente donde se sit%a el centro de la cur#a /de la cam Iauss0.  Sign up to vote on this title

& es la #arian"a. ndica si los #alores estn ms o menos alejados del #alor si la #arian"a es Not useful  Useful  central& #alores estn pr!ximos a la media si es alta, entonces los #alores estn muy dispersos. 2

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En el ejemplo, la nue#a #ariable sería&

Esta nue#a #ariable se distribuye como una normal *#a+, permitiéndonos, por tanto, conocer la pro acumulada en cada #alor.

2.4.1. DISTRIBUCIONES EST!NDAR? NORMAL  &9& &91 &92 &93 &94 &95 &9% &9; &98 &9, 19& 191 192 193 194 195 19% 19; 198 19, 29& 291 292 293 294 295 29% 29; 298 29,

&9&& A,
&9&1 A,
&9&2 A,
&9&3 &9&4 &9&5 &9&% &9&; &9&8 A,<')A A,<'KA A,<' A,<)2 A,<) A,<2' A,<<' A,<<< A,<<K A,
&9& A,< A,< A,K A,K A,K A, A, A, A,Q A,Q A,Q A,Q A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A,

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E=*>'? maginemos que una #ariable continua puede tomar #alores entre A y <. La probabilidad de q exactamente el #alor ) es despreciable, ya que podría tomar infinitos #alores& por ejemplo& ',, ',9 ',Q, '', etc. Geamos '+' *=*>'& Probabilidad acumulada en el #alor A,K& la respuesta es A,9QK Probabilidad acumulada en el #alor ',2<& la respuesta es A,''< Probabilidad acumulada en el #alor ),'& la respuesta es A,Q<9 Geamos a(ora, como podemos 6a+ *a aa '# 6#a +6K# #'+a &

E=*>'? el salario medio de los empleados de una empresa se distribuye seg%n una distribuci!n nor media < millones de ptas. y des#iaci!n típica ' mill!n de ptas. Calcular el porcentaje de empleados con u inferior a  millones de ptas.

Lo primero que (aremos es transformar esa distribuci!n en una normal estndar, para ello se crea un #ariable /B0 que ser igual a la anterior /Y0 menos su media y di#idida por la des#iaci!n típica

En el ejemplo, la nue#a #ariable sería& You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

Esta nue#a #ariable se distribuye como una normal estndar. La #ariable B que corresponde a una #aria #alor  es& Download With Free Trial

Ba podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el #alor ) /equi#alente a la probabi sueldos inferiores a  millones de ptas.0. Esta probabilidad es A,)< Sign up to vote on this title



Por lo tanto, el porcentaje de empleados con salarios inferiores a  millones de ptas. es del ,)


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/;0 Hecordemos que el denominador es la des#iaci!n típica / raí" cuadrada de la #arian"a0 El #alor de B equi#alente a 2 millones de ptas es NA,Q'K. P /Y [ 20 4 P /B [ NA,Q'K0

=(ora tenemos que #er cul es la probabilidad acumulada (asta ese #alor. enemos un problema& la probabilidades /#er lecci!n 2<0 s!lo abarca #alores positi#os, no obstante, este problema tiene fcil solu que la distribuci!n normal es simétrica respecto al #alor medio. Por lo tanto& P /B [ NA,Q'K0 4 P /B Z A,Q'K0

Por otra parte, la probabilidad que (ay a partir de un #alor es igual a ' /'AAX0 menos la probabilidad ac (asta dic(o #alor& P /B Z A,Q'K0 4 ' N P /B [ A,Q'K0 4 ' N A,)< /aprox.0 4 A,)A< Luego, el )A,
) NH* * #F+*' a >a++ * 6a * a * 1& * a >'aK# '# +*#a  **Haa.

a Preview Gemos en la tabla el #alor de la #ariable You're estndarReading cuya probabilidad acumulada es el A, /AX0, lo que qui que por encima se sit%a el 'AX superior. Unlock full access with a free trial.

Ese #alor corresponde a B 4 ',)Q) /aprox.0. =(ora calculamos la #ariable normal Y equi#alente a ese #a normal estndar& Download With Free Trial

8espejando Y, su #alor es <,<. Por lo tanto, aquellas personas con ingresos superiores a <,< millone constituyen el 'AX de la poblaci!n con renta ms ele#ada.  Sign up to vote on this title ) NH* * #F+*' #'  7' J6* *#F'a a %& * a >'aK# '# +*#a *a



Useful

 Not useful

Gemos en la tabla el #alor de la #ariable normali"ada B cuya probabilidad acumulada es el A,Q /QAX sabemos que (asta la media la probabilidad acumulada es del


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a0 *Cuntas personas superarn pre#isiblemente los < aSos+ b0 *Cuntos #i#irn menos de KA aSos+

a) P*+'#a J6* HH+# (>+*H**#*)  * ;5 a' Calculamos el #alor de la normal tipificada equi#alente a < aSos

Por lo tanto P /Y Z <0 4 /B Z ',90 4 ' N P /B [ ',90 4 ' N A,') 4 A,AQAQ Luego, el Q,AQX de la poblaci!n /QAQ (abitantes0 #i#irn ms de < aSos.

) P*+'#a J6* HH+# (>+*H**#*) *#' * %& a' Calculamos el #alor de la normal tipificada equi#alente a KA aSos

Por lo tanto You're Reading a Preview P /Y [ KA0 4 /B [ N',K0 4 P /B Z ',K0 4 ' N P /B [ ',K0 4 A,A<9Q Unlock full access with a free trial.

Luego, el <,9QX de la poblaci!n /<9Q (abitantes0 no llegarn probablemente a esta edad.

Download With Free Trial E=*+' 3? El consumo medio anual de cer#e"a de los (abitantes de un país es de < litros, con una #ar 2K. $e supone que se distribuye seg%n una distribuci!n normal.

a0 $i usted presume de buen bebedor, *cuntos litros de cer#e"a tendría que beber al aSo para pertenecer la poblaci!n que ms bebe+

b0 $i usted bebe 9< litros de cer#e"a al aSo y su mujer le califica de borrac(o *qué podría argument  defensa+ Sign up to vote on this title

a) 5 * a >'aK# J6*  **.



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Gemos en la tabla el #alor de la #ariable estndar cuya probabilidad acumulada es el A,< /
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Calculamos el #alor de la normal estndar correspondiente a 9< litros&

Por lo tanto P /Y [ 9<0 4 /B [ N),)0 4 P /B Z ),)0 4 ' N P /B [ ),)0 4 A,A'2 Luego, tan s!lo un ',2X de la poblaci!n bebe menos que usted. Parece un argumento de suficiente peso dejen de catalogarle de `enamorado de la bebida`

E=*+' 4? = un examen de oposici!n se (an presentado ).AAA aspirantes. La nota media (a sido un <,<, #arian"a de ',<.

a0 an s!lo (ay 'AA pla"as. Usted (a obtenido un ,. *$ería oportuno ir organi"ando una fiesta para ce éxito+

b0 Ga a (aber una ) oportunidad para el )AX de notas ms altas que no se (ayan clasificados. *= partir de se podr participar en esta `repesca`+

a) @a '*#' 6* 6# ;9;

Gamos a #er con ese , en que ni#el porcentual se (a situado usted, para ello #amos a comen"ar por ca #alor de la normal estndar equi#alente. You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

= este #alor de B le corresponde una probabilidad acumulada /#er tablas0 de A,Q)'9 /Q,)'9X0, lo qu decir que por encima de usted tan s!lo seDownload encuentra unWith ',QKX. Free Trial

$i se (an presentado ).AAA aspirante, ese ',QKX equi#ale a unos 2K aspirantes. Por lo que si (ay 'A disponibles, tiene usted suficientes probabilidades como para ir organi"ando la `mejor de las fiestas`.

) R*>*a >a+a * 2& * ' a#a'

Gemos en la tabla el #alor de la normal estndar que acumula el QAX de la probabilidad, ya que  por ar Sign up to vote on this title quedaría el )AX restante.

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Este #alor de B corresponde a A,Q9) /aprox.0. =(ora calculamos el #alor de la normal Y equi#alente&

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Este teorema se aplica tanto a suma de #ariables discretas como de #ariables continuas. Los parmetros de la distribuci!n normal son&

M*a& n * µ /media de la #ariable indi#idual multiplicada por el n%mero de #ariables independientes0 Va+a#a: n * σ 2 /#arian"a de la #ariable indi#idual multiplicada por el n%mero de #ariables indi#iduales0 Geamos un *=*>'&

$e lan"a una moneda al aire 'AA #eces, si sale cara le damos el #alor ' y si sale cru" el #alor A. Cada lan" es una #ariable independiente que se distribuye seg%n el modelo de >ernouilli, con media A,< y #arian"a A, Calcular la probabilidad de que en estos 'AA lan"amientos salga ms de KA caras.

La #ariable suma de estas 'AA #ariables independientes se distribuye, por tanto, seg%n una distribuci!n nor Dedia 4 'AA ; A,< 4
Para #er la probabilidad de que salgan ms de KA caras calculamos la #ariable normal estndar equi#alente&

You're Reading a Preview /;0 < es la raí" cuadrada de )<, o sea la des#iaci!n típica de esta distribuci!n

Por lo tanto&


Free Trial P /Y Z KA0 4 P /B Z ),A0 4 'N P /B [ ),A0Download 4 ' N A,)With 4 A,A))Q

Es decir, la probabilidad de que al tirar 'AA #eces la moneda salga ms de KA caras es tan s!lo del ),)QX

EERCICIOS E=*+' 1. Sign up to vote on this title



La renta media de los (abitantes de un país se distribuye uniformemente Notmillones useful ptas. y 'A,A  Usefulentre 9,A ptas. Calcular la probabilidad de que al seleccionar al a"ar a 'AA personas la suma de sus rentas supere millones ptas.

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Para calcular la probabilidad de que la suma de las rentas sea superior a )< millones ptas, comen"a calcular el #alor equi#alente de la #ariable normal tipificada&

Luego& P (X > 725) = P (Y > 1,44) = 1 - P (Y < 1,44) = 1 - 0,9251 = 0,0749

Es decir, la probabilidad de que la suma de las rentas de 'AA personas seleccionadas al a"ar supere los )< de pesetas es tan s!lo del ,9X

E=*+' 2.

En una asignatura del colegio la probabilidad de que te saquen a la pi"arra en cada clase es del 'AX. = lo l aSo tienes 'AA clases de esa asignatura. *Cul es la probabilidad de tener que salir a la pi"arra ms de '< #e $e #uel#e a aplicar el T*'+*a C*#+a * L* . $alir a la pi"arra es una #ariable independiente que sigue el modelo de distribuci!n de >ernouilli&

Sa+ a a >a++a, le damos el #alor ' y tiene una probabilidad del A,'A N' a+ a a >a++a, le damos el #alor A y tiene una probabilidad del A, Reading La *a y la Ha+a#a de cada #ariableYou're independientes es&a Preview Unlock full access with a free trial.

= 0,10 2 =

0,10 * 0,90 = 0,09


Por tanto, la suma de las 'AA #ariables se distribuye seg%n una normal cuya *a y Ha+a#a son&

M*a: n * = 100 * 0,10 = 10 Va+a#a: n *

= 100 * 0,09 = 9




Para calcular la probabilidad de salir a la pi"arra ms de '< #eces, #alor equi#alente de la Useful elNot useful  calculamos normal estndar&

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Cada jugada es una #ariable independiente que sigue el modelo de distribuci!n de >ernouilli.

Sa+ #*F+', le damos el #alor ' y tiene una probabilidad del A,9Q< N' a+ #*F+' , le damos el #alor A y tiene una probabilidad del A,<'< /;0 La probabilidad de `no salir negro` es mayor ya que puede salir rojo o el cero La media y varianza de ada !a"#a$%e #nd#!#d&a% e': = 0,45 2 =

0,45 * 0,515 = 0,25

= la suma de las QA apuestas se le aplica el T*'+*a C*#+a * L* , por lo que se distribuye normal cuya *a y Ha+a#a son&

M*a& # * = 0 * 0,45 = 3, Va+a#a& # *

= 0 * 0,25 = 20

Para doblar nuestro dinero el negro tiene que salir al menos )A #eces ms que el rojo /)A ;
Luego&


P (X > 50) = P (Y > 2,50) = 1 - P (Y < 2,50) = 1 - 0,993 = 0,0062

Es decir, la probabilidad de doblar el dinero es tan s!lo del A,K)X /así, que ms #ale que nos pongamos a tr

E=*+' 4. 

Sign up yto)A vote on this El precio de una acci!n en bolsa se mue#e aleatoriamente entre 'A ptas. ptas., con title la misma probabi todo el tramo. emos dado la orden a nuestro broOer de que nos compre paquetes de '.AAA acciones  Useful  Not useful durante las pr!ximas 9A sesiones.

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Va+a#a& # *


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= 40 * 33,3 = 33333,3

Para estimar la probabilidad de que ganemos dinero, calculamos el #alor equi#alente de la #ariable tipificada&

Luego& P (X > 520000) = P (Y > 2,40) = 1 - P (Y < 2,40) = 1 - 0,991 = 0,002

Por tanto, la probabilidad de que ganemos dinero con la `dic(osa` operaci!n es tan s!lo del A,Q)X

2.%. A>+'7aK# * a P''# a a #'+a.

$ean Y', Y)?m Yn, n, #ariables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas como Poisson cada

promedio λ en un inter#alo dado. Es decir en el mismo inter#alo cada Y i, ocurre con media y #arian"a igua Entonces, para n suficientemente grande la #ariable& X

=

n

∑ X

i

i

='

tiene distribuci!n de Poisson con media y #arian"as iguales a n λ . en consecuencia, por el teorema del límite central, la #ariable aleatoria& X −anPreview λ You're Reading %

=

nλ


iene aproximadamente distribuci!n F/A,'0, cuando n es suficientemente grande. La aproximaci!n es buena si nλ > < .


EEMPLO?

El promedio del n%mero de accidentes de trabajo en una fbrica es ) cada semana. Calcular la probabilidad d produ"can ms de 2A accidentes durante
SOLUCIÓN. $ea Yi  de accidentes por semana con un promedio de
 λ = ',

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Entonces,

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La'+a'+' N &2 B#'aI '. $i X&'(n)p* tal que E(X*,- y $(X*,./0 ,calcular& P1X >, -2/

). Un estudiante contesta al a"ar /o sea sin saber nada0 a  preguntas, siendo cada una de 9 respuestas de la s!lo una es la correcta. a0 8eterminar la distribuci!n de probabilidades del n%mero de preguntas contestadas correctamente. b0 $i para aprobar tal examen debe contestar correctamente al menos K preguntas, *cul es la probab aprobar el examen+ . 2. En una producci!n, la probabilidad de que un objeto sea defectuoso es A.). $i en una muestra de objetos escogidos al a"ar uno por uno, se espera que (aya un defectuoso, a0 calcular la probabilidad de que (aya un objeto defectuoso. b0 *cuntos objetos defectuosos es ms probable que ocurra+

9. El  es de calidad excepcional. El KAX del total de la merca adquiere de = y el resto de >. $i se seleccionan 9 unidades de la mercadería, *qué probabilidad (ay d encuentren ) unidades que sean de calidad excepcional+

<. En una empresa donde los empleados son QAX (ombres y )AX mujeres estn aptos para jubilarse el 'A mujeres y el 'AX de los (ombres. 8e cinco solicitudes para jubilarse, *cul es la probabilidad de que al m estén aptos para jubilarse+

K. Un #endedor a domicilio compra diariamente unidades de un producto a W) cada una. Por cada uno, g You're 'A Reading a Preview si #ende o pierde 'W si no #ende en el día. $i la probabilidad de #enta de cada unidad es A.) y si las #e Unlock full access with a free trial. independientes a0 (allar la distribuci!n de probabilidad de las unidades #endidas. b0 calcular la utilidad esperada del #endedor. Download With Free Trial

. Una computadora utili"ada por un sistema bancario de )9 (oras asigna cada transacci!n [t a"ar y c probabilidad. a una de cinco posiciones de memoria& ', ), 2, 9, <. $i al terminar el periodo nocturno de (an registrado ' $ transacciones, *cul es la probabilidad de que el n%mero de transacciones efectuad posiciones de memoria par sea mayor que 2+

Q. Una secretaria que debe llegar a la oficina a las Q de la maSana, se retrasa '< minutos en el )AX de las # gerente de la compaSía que no llega si no (asta las 'A de la maSana llama ocasionalmente a la oficina  entre Sign up to vote on this title Q.'< de la maSana. Para dictar una carta. Calcular la probabilidad de que en < maSanas por lo meno encuentre a la secretaria.  Useful  Not useful

. =l reali"ar un experimento, la probabilidad de lograr el objeti#o es A.9. $i se reali"a el experimento )A # las mismas condiciones y asumiendo resultados independientes

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''. Un líquido contiene cierta bacteria con un promedio de 2 bacterias por cm. 2, calcular la probabilidad d muestra, a0 de '62 de cm 2 no contenga bacteria alguna. b0 de ) cm,2 . Contenga por lo menos una bacteria.

'). $uponga que el n%mero de accidentes de trabajo que se producen por semana en una fbrica sigue l Poisson de manera que la probabilidad de que ocurran ) accidentes es igual a 26) de a probabilidad de qu un accidente, Calcular la probabilidad de que no ocurran accidentes en ) semanas consecuti#as.

'2. Un banco atiende todos los días de Qam. a 9pm. y se sabe que e n%mero de clientes por día que #an a un préstamo por ms de W'A,AAA tiene una distribuci!n de Poisson con una media de 2 clientes por día. a0 *Cul es la probabilidad de que (asta el mediodía no se (aya producido una solicitud de préstamo po W'A,AAA+ b0 En cuatro días, *cul es la probabilidad de que en dos de los días (asta el mediodía no se (aya produ solicitud de préstamo por ms de W'A,AAA+

'9. La demanda semanal de cierto producto tiene una distribuci!n de Poisson. =ctualmente su media semana. $e estima que después de una campaSa publicitaria, el #alor esperado de la demanda se duplic probabilidad A.Q y se triplicar con probabilidad A,), *cul es la probabilidad de que después de la demanda sea igual a 9+

'<. El n%mero de personas que cada día se aloja en un (otel es una #ariable aleatoria X que tiene distrib Poisson con parmetro λ , .que puede ser igual a )A con probabilidad A.<, igual a '< con probabilidad A.2 a 'A con probabilidad A.) a0 8eterminar P1X 4 k2 , donde k 4 ', ), ..., etc. b0 Calcular el #alor esperado de Y. You're Reading a Preview

'K. Cierto tipo de loceta puede tener un n%mero de puntos X access Unlock full with defectuosos a free trial. que sigue una distribuci!n de Po una media de 2 puntos defectuosos por loceta. El precio de la loceta es W' si Y 4A, de WA.A si X,5 o ), si X9./ Calcular el precio esperado por loceta. Download With Free Trial

'. El n%mero de usuarios que acuden a cierta base de datos confidencial sigue una distribuci! Poisson con una media de dos usuarios por (ora. a0 Calcular la probabilidad de que entre las Q amo y el mediodía /l).m0 acudan ms de dos usuarios. b0 $i un operador de la base de datos trabaja todos los días de Q amo (asta el mediodía /l).m0, probabilidad de que este operador tenga que esperar ms de  días (asta obser#ar el primer día en el cual ms de dos usuarios+ Sign up to vote on this title



'Q. Cierta panadería dispone de una masa con frutas confitadas para (acer. )AA panetones. =grega ),AAA  Useful  Not useful u#as a la masa y la me"cla bien. $uponga que e n%mero de pasas es una #ariable aleatoria de Poisson promedio 'A pasas por panet!n.  a0 Calcular a probabilidad de que un panet!n elegido a a"ar no contenga ninguna pasa.

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)'. Las calificaciones de una prueba final de Estadística tienen distribuci!n normal con una media de <.99X de los examinados obtu#ieron calificaciones entre Q y 'K, a0 Calcular la des#iaci!n estndar de la distribuci!n. b0 $i la nota aprobatoria es '', *qué porcentaje de alumnos aprobaron el curso+ c0 *ué nota como mínimo debería tener un alumno para estar ubicado en el quinto superior+

)). Los puntajes de una prueba de aptitud académica estn distribuidos normalmente con una media de des#iaci!n estndar de 'A puntos. a0 $i el ').2X de los alumnos con mayor puntaje reciben el calificati#o = y el )AX de los alumnos con menor nota reciben el calificati#o C, calcular el mínimo puntaje que debe tener un para recibir una =, y el mximo puntaje que debe tener un alumno para recibir una C. b0 $i el resto de los alumnos recibe el calificati#o > y si el total de alumnos es igual a A, *cuntos recibieron el calificati#o de =, > B :; . )2. Las calificaciones de una prueba final de Datemtica >sica tienen distribuci!n normal con una medi Q. $i el K.KQX de los examinados tienen nota aprobatoria /mayor o igual a ''0,
)9. $uponga que el ingreso familiar mensual en una comunidad tiene distribuci!n normal con media des#iaci!n estndar W
b0 $i el a(orro familiar est dada por la relaci!n " 4 Y 69 N
)<. Una pie"a es considerada defectuosa y por lo tanto rec(a"ada si su dimetro es mayor que ).A) cm. o m You're a Preview '.Q cm.. $uponga que los dimetros tienen unaReading distribuci!n normal con una media de ) cm. y una de estndar de A.A  cm. Unlock full access with a free trial.

a0 Calcular la probabilidad de que una pie"a sea rec(a"ada Download With Free Trial b0 *Cul es el n%mero esperado de pie"as rec(a"adas de un lote de 'A,AAA pie"as+ c0 $i se escogen 9 pie"as al a"ar, *cul es la probabilidad de que ) de ellos sean defectuosos+ . d0 $e necesitan 9 pie"as sin defecto para una mquina. $i estos se prueban uno a uno sin reposici!n, *cu probabilidad de que la cuarta pie"a buena sea la sexta probada+

'<. Un gerente #iaja diariamente en autom!#il de su casa a su oficina y (a NN encontrado que el tiempo emp el #iaje sigue una distribuci!n normal con media de 2<.< minutos y des#iaci!n estndar de 2 minutos. $i sa casa todos los días a las Q.)A a.m. y debe estar en la oficina a las  a.m.  Sign up to vote on this title a0 *Cul es la probabilidad de que llegue tarde en un día determinado+ b0 $uponiendo independencia entre un día y otro, *cul es la probabilidad a tiempo a la ofici Not useful  Usefulde que  llegue consecuti#os+

'K. Cierto líquido industrial contiene un porcentaje Y por gal!n de un compuesto particular cuya distrib

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Estadística llamadas& Estadística 8escripti#a y Estadística nferencial. La primera ya fue estudiada ampliamente en la E$=8$C= IEFEH=L, la segunda es el fundamental de nuestro estudio.

La E$=8$C= F1EHEFC=L 3 F1EHEFC= E$=8$C=, es el aspecto ms importante e de decisiones, tanto en las ciencias naturales como en las ciencias sociales. La inferencia Estadística se ref E$D=C3F y a la PHUE>= 8E P3E$$, siendo la estimaci!n el proceso de utili"ar E$=8 /como la media de la muestra y des#iaci!n estndar de la muestra0 que se obtienen de los datos muestrales para estimar su #erdadero #alor o P=H=DEH3 de la poblaci!n. Como en las dos unidades examinamos las reglas bsicas de probabilidad de un e#ento y las distribuciones de probabilidad como la b de Poisson y la normal, en esta unidad utili"aremos estos conocimientos de probabilidad de modo que utili"ar ciertos estadísticos para (acer inferencias en cuanto a los parmetros de la poblaci!n. En consecuen pro#enir los estadísticos de la DUE$H=, es ésta el #e(ículo para llegar a conclusiones acerca de la pobla tenemos que si queremos utili"ar la media de la muestra para estimar la media de la poblaci!n debemos de todas las muestras posibles y la media de cada una de ellas. = la distribuci!n de probabilidad de estas med denomina 8$H>UC3F DUE$H=L 8E L= DE8=.

Por %ltimo, recordaremos que una poblaci!n est representada por el conjunto de todos los #alores /obser# posibles que puede tomar una #ariable, por lo cual diremos indistintamente que la distribuci!n de la poblac distribuci!n de la #ariable.

3.1. MUESTREO

Los datos necesarios para tomar decisiones se re%nen ya sea estudiando todas las posibles obser#acion poblaci!n /CEF$30, ya seleccionado unas pocas de la obser#aciones para reali"ar el estudio /DUE$ prop!sito fundamental de muestreo es E$D=H EL P=H=DEH3 de la poblaci!n basado en el DUE$H=L You're Reading a Preview Existen muc(as ra"ones para reali"ar muestreo una with poblaci!n, entre las que mencionaremos& Unlock fullen access a free trial. '0 El costo ele#ado al exarninar a toda la poblaci!n. Download With Free Trial )0 La imposibilidad de estudiar toda la poblaci!n, como por ejemplo, los peces de un lago. 20 Las limitaciones de tiempo. como las que recaen sobre los encuestadores políticos antes de una elecci!n.

90 La índole destructi#a de Ciertas in#estigaciones, como por ejemplo, al estudiar el tiempo de #ida de foco de cierta marca. Sign up to vote on this title

odas las anteriores ra"ones nos indican que el uso de muestras ofrece las siguientes #entajas& useful  Useful  Not '. =(orra dinero, tiempo y trabajo.

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) BUENA EN CALIDAD , si refleja fielmente las características de la poblaci!n de la cual procede y d ella, solo en el n%mero de unidades incluidas. 3.2 ETAPAS DEL MUESTREO Los pasos principales para la recolecci!n de la informaci!n de una muestra son& '0 8efinir explícitamente la unidad de anlisis. )0 8efinir en forma clara la poblaci!n que #a ser muestreada 20 $eleccionar bien las #ariables que deben ser obser#adas en cada unidad que se #a anali"ar. 90 Especificar el grado de precisi!n deseada.

<0 $eleccionar la unidad muestral. En algunos casos es ob#ia, como en el caso de una poblaci!n de estudi un centro educati#o, en donde la unidad es un estudiante. En otras ocasiones debe escogerse la unidad m como en el caso de muestreo de residentes de una ciudad, donde la unidad es una persona, una fam familias de una cuadra. K0 $eleccionar la muestra, después de (aber decidido el tamaSo respecti#o.

3.3. TIPOS DE MUESTRAS . Como se muestra a continuaci!n, existen dos tipos bsicos de muestras& las muestras probabilísticas probabilísticas. Estas %ltimas, son muc(o ms sencillas y baratas de obtener, entre estas tenemos las DUE$H=$ 8E VUC3. DUE$H=$ 8E CU3= y L=$ DUE$H=$ 8E C3FGEFEFC= You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

3.3.1. MUESTRAS NO PROBABILÍSTICAS Download With Free Trial a) MUESTRAS POR UCIO.

Como su nombre lo indica, es la muestra tomada de acuerdo con el juicio personal, los elementos que int en una muestra por juicio son resultados del juicio experto del in#estigador sobre su `representati#i consecuencia, la probabilidad de que cada unidad elemental sea seleccionada de la muestra, es desconoc fidelidad de sus resultados no puede utili"arse para (acer inferencias de la poblaci!n total, lo cual es el obj muestreo.

 Sign up to vote on this title =sí por ejemplo, un gerente de #entas que selecciona ciertas localidades del Per% como típicas para proba Useful useful tipo de campaSa de #entas en ellas y extrae conclusiones detodo el país partir de los resultado a Not

comunidades muestreadas. Las localidades seleccionadas constituyen una muestra del Per% en base a u pues el gerente CHEE que ciertas localidades proporcionan un cuadro representati#o del país comp

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El elemento com%n en cada uno de esto casos de muestras basadas en un juicio dado, es el papel consider juega el juicio. $i bien las muestras basadas en un juicio dado pueden proporcionamos resultados %tiles a menudo lo (acen, no es posible estimar el error del muestreo en dic(a muestras. Por consiguiente, la prec resultado de una muestra basada en un juicio, depende de la solide" del juicio y no puede e#aluarse de la misma.

) MUESTRA DE CONVENIENCIA O TROO.

Un tro"o es una muestra que se conforma por un proceso de auto selecci!n, es decir, un tro"o es una `Duestra de con#eniencia` un conjunto de sujetos fcilmente agrupados, como los miembros de una particular, personas que responden a un anuncio. Personas que #isitan una ex(ibici!n en un centro come ambién en este caso, la des#entaja principal, es que no (ay forma probabilística de interpretar cuan repre es la muestra, de la poblaci!n total.

=sí por ejemplo. al ensayar una nue#a droga, en lugar de escoger indi#iduos al a"ar, pueden suminist casos gra#es, pues se presume que si la droga es efecti#a en tales casos, con mayor ra"!n lo ser en los cas de la enfermedad. 3.3.2.

MUESTRAS

PROBABILÍSTICAS

Las muestras probabilísticas son aquellas en que cada indi#iduo de las poblaci!n tiene una probabilidad co /no necesariamente igual0 de ser incluida en la muestra. La elecci!n de una muestra probabilística requiere dos condiciones fundamentales& i0 Es esencial que la probabilidad de elegir cada indi#iduo sea perfectamente conocida, pues si no lo es posible calcular los errores que pueden cometerse al (acer su selecci!n.

a Preview ii0 Es indispensable que los indi#iduos seYou're elijan alReading a"ar, sin permitir la inter#enci!n de ning%n factor que fa la elecci!n de unos en perjuicio de los 3tros. Unlock full access with a free trial.

Puesto que el estudio sobre tipos de muestras probabilísticas es muy extenso, solo mencionaremos algun ms utili"adas, tales como la muestra aleatoria simple. la muestra sistemtica, la muestra estratificada y la Download With Free Trial agrupada.

a) MUESTREO ALEATORIO SIMPLE .

=l (aber definido las poblaciones y las muestras, distingamos ms detalladamente entre las poblaciones finitas y las que son infinitas. $e dice que una poblaci!n es 1F= si consta de un n%mero finito elementos,. por ejemplo, la poblaci!n de escuelas de la pro#incia de LD=. En contraste con  las pob Sign up to vote on this title finitas, se dicen que una poblaci!n es F1F= si no (ay límite en el n%mero de elementos que contiene. que una muestra de una poblaci!n finita es aleatoria si cada elemento de la poblaci!n tiene igual probabi  Useful  Not useful ser incluido en la muestra. Existen dos métodos de seleccionar muestras aleatorias en poblaciones finitas& '. DM383 8EL $3HE3

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solo fin de facilitar la obser#aci!n de la tabla.

$i se usa esta tabla en lugar de un recipiente para seleccionar la muestra, primero es necesario asignar n% los miembros indi#iduales de la poblaci!n, como la poblaci!n es de F 4 QAA boletas de notas, por ser un de cuatro dígitos, cada n%mero asignado también de ser de cuatro dígitos, a fin de que cada boleta ten oportunidad de ser seleccionada. Por tanto, asignamos el. F%mero AAA' a la primera boleta, el n%mero A segunda boleta, y así sucesi#amente (asta llegar al n%mero QAA, para la QAA a#a boleta. Una #e" que boletas (an sido numeradas, comen"amos a seleccionar la muestra leyendo las primeras cuatro cifras de la línea de la tabla de n%meros aleatorios digamos el n%mero KK'. Luego pasamos a la segunda línea y le n%mero )Q9 y así (asta el56 n%mero. b0 DUE$HE3 $$ED=C3.

En el muestreo sistemtico, los elementos se seleccionan de la poblaci!n a un inter#alo uniforme que es m tiempo orden o espacio. El inter#alo en menci!n se determina por la f!rmula& 4 F 6 n

El primer elemento de la muestra es elegido al a"ar entre los  primeros elementos de la poblaci!n y luego de los elementos se elegirn cada la#o elemento de la lista. =sí por ejemplo si F 4 'AAAA B n 4 'AAA, ento 'A, esto quiere decir que de cada 'A se elige uno.

Para obtener una muestra sistemtica es necesario tener la lista de los elementos en estudio /alumnos uni#ersidad. por ejemplo0, luego se les numera del ' al 'AAAA. En seguida se escoge al a"ar un n%mero entr siendo este el primer elemento que se #a (a estudiar y completaremos la muestra cada die" elementos. $i e escogido fue Q, los otros sern 'Q, )Q, 2Q, etc.

You're Reading a Preview Este procedimiento de muestreo por la sencille" de su aplicaci!n suele utili"arse en todos aquellos caso cuales existen listados con los nombres de cada uno de los elementos de la poblaci!n que se estudia. Unlock full access with a free trial.

La #entaja del muestreo sistemtico es que requiere menos tiempo y es menos costoso que el método de m aleatorio simple. Download With Free Trial

) MUESTREO ESTRATIICADO .

Para utili"ar el muestreo estratificado, se di#ide la poblaci!n en grupos relati#amente (omogéneos. L estratos. Entonces, se toma una muestra aleatoria simple de cada estrato, tomando ésta el nombre de estratificada.

 Una muestra estratificada puede ser proporcional o desproporcionada. la on primera, el n%mero de u Sign up toEn vote this title extraídas de cada estrato es proporcional al tamaSo de este. =sí por ejemplo, si la poblaci!n es di#idida e useful  Not estratos. $iendo sus tamaSos respecti#os 'AX, )AX. 2AX B 9AXdeUseful la poblaci!n y deseamos extraer una de
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cada estrato sin tener en cuenta su tamaSo, o de dar s!lo una pequeSa representaci!n a uno o ms estr demasiado costosos de in#estigar, pues a%n cierta representaci!n es #aliosa.

La #entaja de las muestras estratificadas es que cuando ellas estn adecuadamente diseSadas reflejan co precisi!n que otras muestras, las características de la poblaci!n a partir de las cuales ellas fueron escogidas

Por ejemplo, todos sabemos que el ni#el de ingresos tiene una relaci!n importante con la opini!n p%blica e a una elecci!n. $i el KAX de los #otantes tienen ingresos bajos, el 2AX ingresos medianos y el' AX ingres entonces para una muestra estratificada proporcional de 7? de
) MUESTREO AGRUPADO O POR CONGLOMERADOS

En esta clase de muestreo, se di#ide a la poblaci!n en grupos o conglomerados, y luego se selecciona una aleatoria de estos. Cuando los grupos son seleccionados, se pueden incluir en la muestra todas sus u elementales o tomar una muestra de las unidades elementales de los grupos escogidos. En el primer caso se que se conoce como muestreo en una sola etapa y cuando se procede como en el %ltimo caso, tenemos l conoce como muestreo en dos etapas o submuestreo, escogiéndose en ambas etapas muestras aleatorias Cuando el muestreo por agrupaci!n supone ms de dos etapas para escoger la muestra final, se le de muestreo multietpico.

anto en el muestreo estratificado como en el muestreo agrupado, la poblaci!n se di#ide en grupos bien d $e usa el muestreo estratificado cuando cada grupo tiene pequeSas #ariaciones entre sus unidades elementa (ay una gran #ariaci!n entre grupos. En tanto que el muestreo agrupado se usa cuando (ay una # considerable entre las unidades elementales de cada grupo, pero los grupos son esencialmente similares ent

=sí por ejemplo, supongamos que deseamos estudiar los gastos de las familias en el rea del Cercado de que (emos decidido entre#istar a 'AAA familias. Un modo econ!mico de manejar esto puede ser di#idiend Reading total del Cercado en reas ms pequeSas.You're 8igamos, cuadras,ayPreview después entre#istar a todas las familias en un de cuadras seleccionadas al a"ar. Unlock full access with a free trial.

3.2. DISTRIBUCIONES MUESTRALES Download With Free Trial En la tercera unidad se #io que (ay ciertos rasgos in#ariables dentro de una poblaci!n que describen un características, tales como la media µ y la des#iaci!n estndar ) estas reciben el nombre de P=H=DE la poblaci!n. =l extraerse una muestra, es posible tener un estimado de los parmetros, a partir de las obser de la muestra estos estimados por estar en funci!n de tales obser#aciones #arían de muestra a muestra y genéricamente el nombre de Estadísticos de la muestra. En consecuencia los estadísticos son #ariables y p tienen su correspondiente distribuci!n de probabilidad, la cual toma el nombre de 8$H>UC3F DUE 8EL E$=8$C3. En la prctica las distribuciones muestrales usuales son& la de una media, la de la di  de dos medias y la de una proporci!n. Sign up to vote on this title 2.).'. 8$H>UC\F DUE$H=L 8E L= DE8=

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Useful

 Not useful

$i tomamos repetidamente muestras aleatorias de una poblaci!n con distribuci!n de probabilidad cuyos p

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 4 X N µ 6

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S* +6*# '' F6*? C=$3 '. =proximadamente como la normal estndar, si la poblaci!n es normal o no con tamaSo `n` de la muestra es igual o mayor de 2A. C=$3 ). Exactamente como la normal estndar, si la poblaci!n es normal con muestra menor que 2A.

conocida

conocida y el tamaSo

N'a? $i no se conoce la des#iaci!n estndar poblacional estimarla mediante la des#iaci!n estndar de la -$ EVEDPL3 9.'

La media de los puntajes de los cocientes de inteligencia /C0 de los alumnos de una uni#ersidad es ' des#iaci!n estndar es 'A. $i los puntajes de los C estn distribuidos normalmente& a0 *Cul es la probabilidad de que el puntaje medio de una muestra de 2K alumnos sea mayor que '')+ b0 *Cul es la probabilidad de que el puntaje medio de una muestra de 'AA alumnos sea mayor que '')+ $3LUC3F. a0

Por tener los puntajes de los C.. #ariables que siguen una distribuci!n normal, las medias de las también se distribuyen normalmente con You're media yReading des#iaci!na estndar Previewrespecti#a&

µ X 4 µ 4 ''A

access2K with a free trial. X 4 Unlock n full y 4 1& La puntuaci!n de que el puntaje medio de una muestra de 2K alumnos sea mayor que '') es& Download With Free Trial

P( X Z '')0 4 P/ X N µ 6

n

'')N''A 6 /<62004 P( Z '.)0 4 'N P( " '.)04 A.''<'

Z

b0 Para una muestra de 'AA alumnos se tiene que&

µ X 4 µ 4 ''A Luego como en a& P( X Z '')0 4 P/ X N µ 6

y

X n

4

n

4

1&

'AA


'')N''A 6 '04 P( Z )0 4 'N P( " )04 A.A))Q Useful

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LABORATORIO N &3

 Not useful

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9. En una distribuci!n normal con una media de 2< y una des#iaci!n estn dar de 9Q, *de qué tamaSo deb muestra para que (aya por lo menos .< probabilidades de que la muestra se encuentre entre 2A y 2QA+ Un astr!nomo del obser#atorio de Dount Palomar obser#a que, durante una llu#ia de meteoros, un promed meteoros aparecen cada (ora, con una #ariancia de 'K meteoros al cuadrado. La llu#ia de meteoros oc pr!xima semana. a0 $i el astr!nomo #e la llu#ia de meteoros durante 9 (oras, *cul es la probabilidad de que apare"ca un mí 2K meteoros por (ora+ b0 $i el astr!nomo mira durante una (ora ms, *aumentar o disminuir esta probabilidad+ Explique su respuesta.

<. El costo promedio de un condominio con estudio en un desarrollo urbano es de WK),AAA con una de estndar de W9,)AA. a0 *Cul es la probabilidad de que un condominio de este desarrollo cueste por lo menos WK<,AAA+ b0 *Es la probabilidad de que el costo promedio de una muestra de dos condominios sea al menos WK<,AAA menor que la probabilidad de que un condominio cueste esa cantidad+ *En qué cantidad+

K. Una agencia de empleos normalmente aplica pruebas de inteligencia y aptitudes a todos los que buscan tra#és de ella. La empresa (a reunido datos durante aSos, (abiendo descubierto que la distribuc puntuaciones no es normal, sino que est sesgada a la i"quierda con una media de QK y una des#iaci!n est 'K. *Cul es la probabilidad de que, en una muestra de < candidatos, la puntuaci!n promedio sea por lo m o mayor que A+ Una refinería de petr!leo tiene monitores de reser#a para lle#ar un control constante del flujo y pre#eni fallas de la mquina desorganicen el proceso. Un monitor tiene un promedio de #ida de 9,2AA (oras, des#iaci!n estndar de 2A (oras. =dems del monitor primario, la refinería (a instalado dos uni emergencia, que son un duplicado de la unidad primaria En caso de a#ería de uno de los monitores, el otro en forma automtica. La #ida de operaci!n de los dos es independiente de los otros. a0 *Cul es la probabilidad de que determinado conjunto de monitores dure por lo menos You're Reading a Preview '2,AAA (oras+ b0 *B un mximo de '),K2A (oras+ Unlock full access with a free trial.

. Daría >arrios es auditora de una gran compaSía de tarjetas de crédito y sabe que, en promedio, el saldo de determinado cliente es de W''), con una des#iaci!nWith estnFree dar deTrial WK<. $i Daría re#isa
Q. El presidente de una empresa telef!nica est molesto con el n%mero de teléfonos producidos por la emp tienen aparatos defectuosos. En promedio, ')A teléfonos son de#ueltos diariamente a causa de ese proble una des#iaci!n estndar de Q'. El presidente (a decidido que, a menos que logre una seguridad promedio  de que al día no sern de#ueltos ms de '2< teléfonos en los pr!ximos 9A días, ordenar re#isar el p Sign up to vote on this title *omar esta medida+

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 Not useful

. Clara 8ía", cuyo trabajo consiste en predecir el futuro de su compaSía de riesgo compartido, acaba de re estadísticas que describen el desempeSo de la empresa en ',QAA in#ersiones reali"adas el %ltimo aSo. Cl

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''. Un transbordador transporta )< pasajeros. El peso de cada pasajero tiene una distribuciKn normal con u de 'K< libras y una #ariancia de 99' libras al cuadrado. Las normas de seguridad establecen que, p transbordador en particular, el peso total de sus pasajeros no de. be exceder de 9,2< libras ms de ' X #eces. $upongamos que usted fuera el dueSo del transbordador y tu#iera que calcular& a0 La probabilidad de que el peso total de los pasajeros del transbordador exceda de 9,2< libras

b0 El nonagésimo no#eno percentil de la distribuci!n del peso total de los pasajeros del transbordad cumpliendo el transbordador con las normas de seguridad+

'). $e espera que e_ dimetro de las pelotas de pinNpon fabricadas en una planta grande tenga una dist normal aproximada con media de '.2A pulgadas y des#iaci!n estn dar de A.A9 de pulgada. *Cul es la prob de que una pelota seleccionada al a"ar tenga un dimetro .. /a0 Entre '.)Q y '.2A pulgadas+ /b0 Entre '.2' y '.22 pulgadas+ /e0 *Entre qué dos #alores /simétricos respecto a la media0 estar el KAX de las pelotas de pinNpon /en térm dimetro0+ /d0 $i se seleccionan muc(as muestras de 'K pelotas, /'0 *cules son la media y la des#iaci!n estndar esperadas+ /)0 *qué distribuci!n seguirn la medias muestrales+ /20 *qué proporci!n de las medias muestrales estar entre '.)Q y '.2A pulgadas+ /90 *qué proporci!n de las medias muestra les estar entre '.2' y '.22 pulgadas+ /<0 *entre qué dos #alores estar el KAX de las medias muestrales+ /e0 Compare las respuestas de la /a0 y 5d0/20 con las de /b0 y /d0/90. =nalice /f0 Explique la diferencia en los resultados de /c0 y /d0/<0. /g0 *ué es ms probable que ocurra, una pelota indi#idual arriba de '.29 pulgadas, una media muestral '.2) pulgadas en una media de tamaSo 9, o una media muestral arriba de '.2' pulgadas en una You're Reading a Preview tamaSo 'K+ Explique.

Unlock full access with a free trial. '2. El tiempo que se usa el correo electr!nico por sesi!n tiene una distribuci!n normal con µ 4 Q minuto minutos. $i se seleccionan muestras aleatorias de )< sesiones, Download With Free Trial

/a0 calcule X . /b0 *qué proporci!n de las medias muestrales estar entre .Q y Q.) minutos+ /c0 *qué proporci!n de las medias muestrales estar entre .< y Q minutos+ /d0 $i se seleccionan muestras de 'AA sesiones, *qué proporci!n de las medias muestrales estar entre minutos+ /e0 Explique la diferencia entre los resultado de /b0 y /d0. . /f0 *ué es ms probable que ocurra, una sesi!n de correo electr!nico de ms de '' minutos, una  media up to mayor vote onque thisQ.K titleminutos en una mayor que  minutos en una muestra de )< sesiones, o una media Sign muesoNal de 'AA sesiones+ Explique.  Useful  Not useful

'9. El tiempo que un cajero tarda con cada cliente tiene una media poblacional µ 4 2.'A minutos y una d

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/b0 *Cul es la probabilidad de que la distancia promedio recorrida esté entre 99.A y 9Q.A miles de millas en /c0 *ué suposici!n debe (acerse para resol#er los incisos /a0 y /b0 /d0 $i se selecciona una muestra aleatoria de K9 camiones, existe una posibilidad de 
'K. $e fabrican bolsa de plstico para empacar #erduras de manera que la resistencia a roturas te distribuci!n normal con media de < libras por pulgada cuadrada y des#iaci!n estndar de '.< libras por cuadrada. $i se selecciona una muestra de )< bolsas, /a0 *cul es la probabilidad de que la resistencia promedio /'0 esté entre < y <.< libras por pulgada cuadrada /)0 Esté entre 9.) y 9.< libras por pulgada cuadrada+ /20 sea menor que 9.K libras por pulgada cuadrada /b0 *Entre qué dos #alores simétricos respecto a la media estar el 
4. ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA La inferencia estadística es el proceso que consiste en utili"ar los resultados de una muestra par conclusiones acerca de las características de una poblaci!n.

Existen dos tipos de estimaciones& estimaciones puntuales y estimaciones de inter#alo. Una estimaci!n consiste en una sola estadística de muestra queReading se utili"aa para estimar el #alor #erdadero de un parm You're Preview poblaci!n. Puesto que la estadística de prueba #aría de una muestra a otra necesitamos considerar este (ec( fin de proporcionar una estimaci!n msUnlock significati#a y with característica full access a free trial. de la poblaci!n. Para lograr esto, desarrollar una estimaci!n de inter#alo de la media de poblaci!n #erdadera, tomando en consid distribuci!n de muestreo de la media. El inter#alo que construimos tendr una confian"a o probabilidad e Download Withde Free Trial de estimar correctamente el #alor #erdadero del parmetro poblaci!n.

4.1. ESTIMACIÓN DEL INTERVALO DE CONIANA DE LA MEDIA POBLACIONAL

Estimaci!n de inter#alo de confian"a de la media /des#ío de la poblaci!n En la inferencia estadística debemos tomar los resultados de una sola muestra y llegar a conclusiones ace poblaci!n. En la prctica, la media de la poblaci!n es la cantidad desconocida que se #a a determinar. Para  muestras la estimaci!n de inter#alo de la media de la poblaci!n ser correcta y para otras no. enemos que Sign up to vote on this title que para el clculo del inter#alo trabajamos con una estimaci!n de inter#alo de confian"a de <, por ejem Useful Not useful del puede interpretarse como si se tomaran todas las muestras posibles mismo  tamaSo, n, 
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poblaci!n tampoco sea conocida. Por lo tanto, necesitamos obtener una estimaci!n de inter#alo de utili"ando las estadísticas de muestra ` X ` y `$`. Para ello, utili"amos la distribuci!n tNstudent. 8e este modo, el inter#alo de confian"a se establecer a partir de la siguiente f!rmula& Estimado del inter#alo de confian"a de la porci!n

4.2. ESTIMACIÓN DEL INTERVALO DE CONIANA DE LA DIERENCIA DE DOS POBLACIONALES )

( X  " )

±

)

/ ∂' + ∂ ) 0

 1 α 6 )

n n '

)

Es el inter#alo de confian"a de 'AA/'N α 0 X de la diferencia de medias para& '0 Duestras grandes, #arian"as conocidas y poblaciones normales o no. )0 Duestras grandes, #arian"as conocidas y poblaciones normales o no 20 Duestras pequeSas, #arian"as conocidas y poblaciones normales. You're Reading a Preview

(

X



"

)

)

)

/n' − '0 s' + / n ) − '0 s ) ' ' ) + − ± / +  1 α 6 ) 9 n' n ) Download With Free Trial n' + n ) − ) n' n Unlock full access with a free trial.

Es el inter#alo de confian"a de 'AA/'N α 0 X de la diferencia de medias para& Duestras pequeSas, #arian"as desconocidas y poblaciones normales




4.3. ESTIMACIÓN DEL INTERVALO DE CONIANA DE LAUseful PROPORCIÓN POBLACIONAL  Not useful

Podemos establecer la siguiente estimaci!n de inter#alo de confian"a /'Nk0 para la proporci!n de la poblaci

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). EL error de muestreo permitido. 2. La des#iaci!n estndar. 8eterminaci!n del tamaSo de muestra para una proporci!n&

=l determinar el tamaSo de muestra para estimar una porci!n se deben definir tres inc!gnitas& '. El ni#el de confian"a. ). El error de muestreo permitido. 2. La porci!n #erdadera de éxitos.

EaK#  **+#aK# * aa' * 6*+a >a+a >'a'#* #a .

Estimaci!n de la media

Estimaci!n de la proporci!n



8eterminaci!n del tamaSo de muestra

5. PRUEBA DE @IPOTESIS


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La prueba de (ip!tesis empie"a con algo de teoría, afirmaci!n o negaci!n con respecto a un parmetro particula poblaci!n. La (ip!tesis de que el parmetro de la poblaci!n es igual a la especificaci!n de la compaSía se cono

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N El planteamiento de la (ip!tesis alternati#a nunca contiene un signo de igualdad con respecto al #alor especifi parmetro. Hegiones de rec(a"o y de no rec(a"o

La distribuci!n de muestreo de la estadística de prueba se di#ide en dos regiones, una regi!n de rec(a"o /c como regi!n crítica0 y una regi!n de no rec(a"o. $i la estadística de prueba cae dentro de la regi!n de no rec(a" puede rec(a"ar la (ip!tesis La regi!n de rec(a"o puede considerarse como el conjunto de #alores de la estadística de prueba que n posibilidad de presentarse si la (ip!tesis nula es #erdadera. Por otro lado, estos #alores no son tan improb presentarse si la (ip!tesis nula es falsa. El #alor crítico separa la regi!n de no rec(a"o de la de rec(a"o. Hiesgos en la toma de decisiones al utili"ar la metodología de prueba de (ip!tesis. $e pueden presentar dos tipos diferentes de errores& N

Un error tipo  se presenta si la (ip!tesis nula es rec(a"ada cuando de (ec(o es #erdadera y debía ser

N Un error tipo  se presenta si la (ip!tesis nula es aceptada cuando de (ec(o es falsa y debía ser rec(a"ada.

Fi#el de $ignificaci!n. La probabilidad de cometer un error tipo  denotada con la letra griega alfa, se cono ni#el de significaci!n de la prueba estadística. Est bajo el control directo del indi#iduo que lle#a a cabo la pr que se (a especificado el #alor de alfa, se conoce el tamaSo de la regi!n de rec(a"o, puesto que alfa es la prob de un rec(a"o de la (ip!tesis nula. Coeficiente de confian"a. EL complemento / 'N α 0 de la probabilidad de cometer un error de tipo  se conoce coeficiente de confian"a.

Reading Preview El coeficiente de confian"a es la probabilidadYou're de que la (ip!tesisanula no sea rec(a"ada cuando de (ec(o es #erd debería ser aceptada. Unlock full access with a free trial.

Hiesgo β . La probabilidad de cometer un error de tipo  se conoce como ni#el de riesgo del consumidor. Download With Free Trial Potencia de una prueba. El complemento /'N β 0 de la probabilidad de cometer un error del tipo  se conoce co potencia de una prueba estadística.

La potencia de una prueba es la probabilidad de rec(a"ar la (ip!tesis nula cuando de (ec(o esta es falsa y deber rec(a"ada.

 Una manera en que podemos controlar la probabilidad de cometer un error del tipo  en un estudio, con Sign up to vote on this title aumentar el tamaSo de la muestra. amaSos ms grandes de muestra, nos permitirn detectar diferencias incl useful α , β aum  Useful pequeSas entre las estadísticas de muestra y los parmetros de la poblaci!n. CuandoseNot disminuye modo que una reducci!n en el riesgo de cometer un error de tipo  tendr como resultado un aumento en el r cometer un error tipo .

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medir la probabilidad de rec(a"ar la (ip!tesis nula cuando de (ec(o es falsa y debería ser rec(a"ada. La pot prueba estadística depende de qué tan diferente en realidad es la media #erdadera de la poblaci!n del #alor supu

Una prueba de un extremo es ms poderosa que una de dos extremos, y se debería utili"ar siempre que sea adec especificar la direcci!n de la (ip!tesis alternati#a.

Puesto que la probabilidad de cometer un error tipo  y la probabilidad de cometer un error tipo  tienen una in#ersa y esta %ltima es el complemento de la potencia de prueba /'N0, entonces k y la potencia de la prueba # proporci!n directa. Un aumento en el #alor del ni#el de significaci!n escogido, tendría como resultado un aume potencia y una disminuci!n en k tendría como resultado una disminuci!n en la potencia.

Un aumento en el tamaSo de la muestra escogida tendría como resultado un aumento en la potencia de la prueba disminuci!n en el tamaSo de la muestra seleccionada tendría como resultado una disminuci!n en la potencia. odos los procedimientos paramétricos tienen tres características distinti#as& Los procedimientos de prueba paramétricos pueden definirse como aquellos.

'0 que requieren que el ni#el de medici!n obtenido con los datos recolectados esté en forma de una escala de inter#alo o de una escala de cociente. )0 implican la prueba de (ip!tesis de #alores de parmetros especificados. 20 y por %ltimo requieren un conjunto limitante de suposiciones.

Los procedimientos no paramétricos pueden definirse como aquellos que no tienen que #er con los parmetros d poblaci!n. You're Reading a Preview ) Prueba t de (ip!tesis para la media / desconocida0 Unlock full access with a free trial.


En ocasiones se desconoce la des#iaci!n estndar de la poblaci!n. $in embargo, se la puede estimar con el clc la des#iaci!n estndar de la muestra. Hecordemos de muestreo de la media seguir una distribuci!n t con nN' libertad. Sign up to vote on this title

P+6*a * >K* W2 >a+a a Ha+a#a (' *HaK# *#a+)  Useful

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Prueba t de #arian"a conjunta para diferencias entre dos medias

$upongamos que consideramos dos poblaciones independientes, cada una con una media y una des#iaci!n est estadística de prueba utili"ada para determinar la diferencia entre las medias de las poblaciones est basa diferencia entre las medias de las muestras /Y' ^ Y)0. 8ebido al teorema del límite central esta estadística s distribuci!n normal. La estadística de prueba  es&

En donde Y es la media de la muestra correspondiente a cada una de las dos muestras, n es el tamaSo de la m por %ltimo tenemos la #arian"a de la muestra.

$i suponemos que las #arian"as son iguales y que las muestras fueron tomadas de manera aleatoria e indepen puede utili"ar una prueba t de #arian"a conjunta para determinar si existe alguna diferencia significati#a medias de las poblaciones. $i puede calcular la siguiente estadística de prueba t de #arian"a conjunta&


8onde&


La estadística de prueba t de #arian"a conjunta sigue una distribuci!n t con n 'Rn)N) grados de libertad. Prueba tde #arian"a separada para diferencias entre dos medias


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Con el prop!sito de determinar cualquier diferencia que exista entre dos grupos relacionados, deben obtenerse l diferencias en los #alores indi#iduales de cada grupo. Cuando la des#iaci!n estndar de la poblaci!n de la difer conocida y el tamaSo de muestra es lo suficientemente grande. La estadística de prueba  es&

$in embargo, en la mayoría de los casos no conocemos la des#iaci!n estndar real de la poblaci!n. L informaci!n que se puede obtener son las estadísticas sumarias como la media y la des#iaci!n estndar de mues supone que la muestra de resultados es tomada de manera aleatoria e independiente se puede reali"ar una prueb determinar si existe una diferencia media de poblaci!n significati#a. La estadística seguir una distribuci!n t grados de libertad.

@'" Y " & @1" Y Z &

'#* Y" Y1Y2

$e puede calcular el siguiente estadístico de prueba&



P+6*a * >K* '# a' a*FK+'

Prueba  de una muestra para la proporci!n. Para e#aluar la magnitud de la diferencia entre la proporci!n de la y la porci!n de la poblaci!n supuesta la estadística de prueba est dada por la ecuaci!n siguiente& Sign up to vote on this title

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@'" >1">2 @1" >1 Z >2 LABORATORIO N &4

'. $i Y 4 Q<, 4 Q y n 4 K9, estable"ca un estimador del inter#alo de confian"a de 


2. Una in#estigadora de mercado establece que tiene una confian"a de 
9. $uponga que el administrador de una tienda de pinturas desea estimar la cantidad real de pintura contenid latas de ' gal!n compradas a un fabricante con renombre en todo el país. $e sabe, de las especificaciones de fab que la des#iaci!n estndar de la cantidad de pinturaes igual a A.A) de gal!n. $e selecciona una muestra aleator latas y la cantidad promedio de pintura por gal!n es A.< de gal!n. /a0 Estable"ca una estimaci!n del inter#alo de confian"a de X para el promedio poblacional de la cantidad d incluida en una lata de l gal!n. /b0 $eg%n estos resultados, *piensa que el dueSo de la tienda tiene derec(o a quejarse con el fabricante *Por qué /c0 La poblaci!n cantidad de pintura por gal!n, tiene una distribuci!n normal Explique. /d0 Explique por qué un #alor obser#ado de A.Q de gal!n en una lata no es raro aun cuando esté fuera del inte confian"a que calcul!. /e0 $uponga que us! un estimador de inter#alo de confian"a de 
<. El gerente de control de calidad de una fbrica de focos necesita estimar la #ida promedio de un en#ío gr sabe que la des#iaci!n estndar del proceso es ' AA (ora.Una muestra aleatoria de K9 focos indica una #ida med muestra de 2
%. La di#isi!n de inspecci!n de Lee County eiglns and Deasures 8epartment esta interesada en la cantidad refresco que contienen las botellas de ) litros en una embotelladora local de una compaSía de refrescos conocid el país. La embotelladora informa a la di#isi!n de inspecci!n que la des#iaci!n estndar en estas botellas es litro. Una muestra aleatoria de 'AA botellas de ) litros obtenida en esta planta indica un promedio muestral, litros. a0 Estable"ca un inter#alo de confian"a de 
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conjuntos de datos suponga que la poblaci!n tiene distribuci!n normal& Conjunto '& ', ', ', ', Q, Q, Q, Q Conjunto )& ', ), 2, 9, < ) K, , Q Explique por qué tienen inter#alos de confian"a distintos aun cuando tienen la misma media y el mismo rango. ''. Calcule un inter#alo de confian"a de B6? para la media poblacional, con base en los n%meros ',), 2, Cambie el n%mero )A a  y calcule de nue#o el inter#alo de confian"a. Con estos resultados, describa el efecto extremo en el inter#alo de confian"a.

'). El departamento de transportes del gobierno de Estados Unidos requiere que los fabricantes de neu proporcionen informaci!n acerca de la cara de la llanta para que un cliente potencial esté mejor informado al decisi!n de compra. Una medida muy importante en el desempeSo de la llanta es el índice de desgaste de las que indica la resistencia de la llanta al desgaste de las cuerdas comparada con el grado de la llanta de 'AA, Esto que una llanta con grado de )AA debe durar el doble, en promedio, que una llanta con gracia 'AA. $uponga organi"aci!n para el consumidor desea estimar el índice de desgaste real de las cuerdas de una marca de grado )AA que produce cierto fabricante. Una muestra aleatoria de 'Q llantas indican índice de desgaste p muestral de '<.2 y una des#iaci!n estndar de )'.9. /a0 $uponga que los índices de desgaste de cuerdas de lo poblaci!n tiene distribuci!n normal estable"ca un int 
13. Un auditor del departamento estatal de seguros desea determinar la proporci!n de reclamaciones pagadas compaSía de seguros de salud dentro de los ) meses siguientes a la recepci!n de la solicitud. $e selecciona una Preview aleatoria de )AA reclamaciones y se determinaYou're que QA Reading se pagarona en menos de ) meses. /a0 Estable"ca una estimaci!n del inter#alo de confian"a de X de la proporci!n de la poblaci!n de recla Unlock full access with a free trial. pagadas en menos de ) meses. /b0 $i se supone que AX 3 ms reclamaciones se pagan en menos de ) meses, *qué de be informar el departamento estatal de seguros acerca del desempeSo de los pagos deTrial la compaSía de seguros+ Download With Free

14.Un distribuidor de autom!#iles desea estimar la proporci!n de clientes que toda#ía tienen los autos compra < aSos. Una muestra aleatoria de )AA clientes seleccionada de los registros del distribuidor indica que Q) conser#an el auto comprado < aSos antes. /a0 Estable"ca un inter#alo de confian"a de 
useful  Useful  Not de de bolígrafos bajo costo. $e pr 14. Una papelería recibe un cargamento de un fabricante de cierta marca muestra aleatoria de 2AA bolígrafos y se encuentra que 2A estn defectuosos. /a0 Estable"ca un inter#alo de confian"a de AX para estimar la proporci!n de bolígrafos defectuosos en el carg

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Separata II Probabilidad e Inferencia Estadistica

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