1
SERIES El objetivo principal de esta temática del syllabus es el de representar funciones analíticas mediante series. Para tal efecto se presentarán teoremas importantes que garantizan la existencia de dichas representaciones, y ejemplos en el manejo de las series complejas. CONVERGENCIA DE SUCESIONES :
Una sucesión infinita z1 , z2 , z3 ,.. ,.....zn .... de números complejos tiene límite z si, para cada número positivo
,
existe un entero positivo n 0 tal que z n
z
siempre que
n > n0
Geométricamente significa que para valores de n suficientemente grandes, los puntos z n caen en el interior de un entorno de z de radio depende del
elegido. Como el
dado. El valor del índice n 0 en general
escogido es tan pequeño como se quiera, se tiene como
consecuencia que la distancia entre los puntos z n y z se hace arbitrariamente más pequeña en la medida que el subíndice n se incrementa. En otras palabras, la mayoría de los elementos de la sucesión tienden a concentrarse o a “apilarse” alrededor del valor límite z (ver figura 1). y
z n
z z 2
z1
x
Figura 1. Interpretación geométrica de sucesión convergente. El límite es único y cuando éste existe se dice que la sucesión converge al valor límite z ; y se nota como: lim zn z n
En caso que el límite no exista, la sucesión se dice divergente.
Teorema 1. Supóngase que zn si y sólo si
lim xn n
x
xn i y n y
lim yn n
n 1, 2,3,..... y z x i y . Entonces lim zn n
y
z
2
) Si los límites unidimensionales de la parte real e imaginaria de z n
Demostración:
existen, entonces por definición de límite de sucesiones reales se tiene que para cada
0
existen enteros positivos n1 y n2 tales que
Si n0
xn
x
yn
y
max n1, n2 entonces
xn x
siempre siempre que n n1
2
siempre siempre que n n2
2
2
Ahora bien, como ( xn i y n ) ( x iy ) entonces zn z
yn y
y
2
siempre siempre que n
n0
(xn x ) i ( yn y ) xn x y n y ,
siempre que n n0 y por tanto hemos probado que lim zn n
) Si lim zn
En sentido inverso:
n
n0 tal que ( xn iyn ) ( x iy)
z entonces para cada
n n0
z.
0 , existe un entero positivo
siempre que n n0 .
Ahora bien, partiendo de la distancia de las componentes real e imaginaria para n n0 y usando lo anterior se tiene que:
y
xn x
( xn x) i ( yn y ) (xn iyn ) (x iy )
siempre que n
n0
yn y
( xn x) i ( yn y ) (xn iyn ) (x iy )
siempre que n
n0
lo que significa que
lim xn n
x
y
lim yn n
Nota: El teorema anterior permite afirmar
y , obteniéndose lo que se quería probar.
lim ( xn iyn ) lim ( xn) i lim ( yn ) siempre, n
n
n
que los dos limites limites del lado derecho existan o el del lado lado izquierdo exista.
Ejemplo 1. La sucesión zn
1 i lim 1 n n3 n n3
lim
1 n3
i converge a
lim i 0 i n
i ya que y
i
i
z 2
z1
x 1
Figura 2. Convergencia de la sucesión al punto i
3
Ejemplo 2. Sea la sucesión compleja zn
Aplicando el teorema lim zn n
lim( 2) i lim n
El punto de convergencia es el complejo
0.01 ,
2 i
n
(1) n n
(1)n n
2
2
n 1, 2,3,.......
2 i(0) 2
2 i 0 (2,0)
10 quedan dentro del círculo de radio centro (2,0) . Esto es z (2) 0.01 siempre que n n0 10 .
Figura 3. Para
los z n con n n0
y
4
CONVERGENCIA DE SERIES
z
Una serie infinita
n
z1 z2
z3 ... zn ... de números complejos
converge a la
n 1
suma S si la sucesión de sumas parciales N
S N
zn
z1 z2 z3 ... z N
( N 1, 2,3,...)
n 1
converge a S. En estos casos de convergencia se suele notar
z
n
S.
n 1
Como las sucesiones convergentes tienen límite único, de igual forma las series tienen a lo más una suma S (única). Cuando una serie no converge, se dice que diverge.
Teorema 2. Sea zn
xn iyn
n 1,2,3,.... y S = X + iY . Entonces
z
n
S
n 1
x
si y sólo si
n
X
y
y
n 1
n
Y
n 1
Demostración: La suma parcial n-ésima S N
z1 z2 z3 .... z N ( x1 iy1) ( x 2 iy 2) ( x 3 iy 3) ... ( x N iy N ) ( x1 x2 x3 ... x N ) i ( y1 y 2 y 3 ... y N ) N
N
n 1
n 1
xn i yn X N i YN
z
Ahora bien, la hipótesis
n
S es verdadera si solo si
n 1
lim S N
N
S . Utilizando el
teorema 1 y la expresión de arriba se tiene que N
lim S N
N
N
lim xn i lim yn N
n1
N
n 1
lim X N i lim YN S X + iY
N
N
lado derecho
lado izquierdo
lim X N
N
Igualando parte real e imaginaria se llega a
xn X n 1
lim Y N
N
yn Y n 1
, lo que se quería probar.
5
( x
El teorema 2 nos permite escribir
n
n1
n 1
n1
i yn ) xn i yn , lo que significa que la
serie compleja del lado izquierdo converge si solo si las dos series reales del lado derecho también convergen. Se pueden extender propiedades de las series reales a series complejas que se resumen en los siguientes dos corolarios: Corolario 1. Si una serie de números complejos converge, entonces el término n-ésimo converge a cero cuando n tiende a infinito.
En símbolos:
Sí
z
S
n
entonces lim zn n
n 1
0
Como la serie compleja converge entonces las series reales también convergen (teorema2)
X
xn
y
n 1
y
n
Y
n 1
Del análisis real sabemos que sí una serie converge, su termino n-ésimo tiende a cero, por lo tanto aplicando este resultado a las dos series anteriores se tiene lim xn n
Así,
lim zn n
0
y
lim yn
n
0
lim( xn iyn ) lim xn i lim yn 0 i0 0 n
n
n
De la propiedad anterior se infiere que los términos de series convergentes son acotados.
Es decir cuando la serie
zn
converge, existe una constante positiva M tal que
n 1
zn
M
n 1,2,3,...
Definición (de serie absolutamente convergente):
La serie
zn
se dice absolutamente convergente si la serie
n 1
zn
n1
xn
de números reales Nota: zn
xn
entonces
2
2
yn 2
xn
2
yn 2
, zn
xn i y n
n 1
converge .
yn 2 distancia al origen .Si los puntos están sobre un círculo de radio 1
z 1 1 1 1 .... diverge, y por tanto z n
n 1
n 1
n 1
n
No converge absolutamente.
6
Ejemplo 3. La serie
(3 4i) n
n
converge absolutamente pues, la serie de los valores
2
n 1 (5 n ) absolutos o módulos de cada zn
n 1
(3 4i) n (5n n2 )
n 1
3
1 n
4
n
1 3
5 i 5 n 2 n1
2
5
i
4
2 n1 n
n
5
1
n
1 2 25 25 n 1 n
9
16
resulta ser una p-serie convergente con p = 2 (denominada 2-serie).
1
n
Nota: La p-serie
n 1
p
1
1 2p
1 3p
1 4p
... es convergente si
p 1 y es divergente si
p 1 .
Interpretación geométrica del ejemplo 3.
Las sumas parciales de
(3 4i) n (5n n2 )
n 1
S1
1 d ( z1; 0)
S2
1
S3
1
S4
1
S5
1
S6
1
Sn
1
1 2
d ( z1; 0) d (z 2 ; 0)
2
2
2 1
2 1 2 1
2
1 32 1 2
3 1
2
1 2
4 1
3 1
42 1
2
3
4
1 22
2
1 32
n 1
1 n
2
2
6
son:
d ( z1; 0) d ( z 2 ; 0) d ( z 3; 0)
2 1
2
d (z1; 0) d (z 2 ; 0) d (z 3; 0) d (z 4 ; 0)
2
...
1 52 1 5 1
n
2
d ( z1; 0) d (z 2 ; 0) d (z 3 ; 0) d (z 4 ; 0) d (z 5 ; 0) 1
2
6
2
d ( z1; 0) d (z 2 ; 0) d (z 3; 0) d (z 4 ; 0) d (z 5 ; 0) d (z 6 ; 0)
n
d ( zn ; 0) n 1
d ( z1;0) distancia de z1 al origen
donde
d ( z1;0) d ( z2 ;0) (distancia de z1 al origen) + (distancia de z2 al origen) n
d ( z ;0) (distancia de z n
1
al origen)+ ... + (distancia de zn al origen)
n 1
Como la 2-serie es convergente, la sucesión de sus sumas parciales S1 , S2 , S3 , S4 , ....., Sn , .....
7
es convergente. En otras palabras, la sucesión de las sumas parciales de las distancias al origen de cada uno de los zn tiende a un valor límite S, denominado el valor suma de la serie. Nótese como zn
0
cuando n .
Visto en la recta real cada S n y dado que lim Sn
2
S
1.644934066
es el valor límite (Euler 1735, 6 función Zeta de Riemann 2 ), la sucesión de segmentos de longitud finita tiende al n
segmento limite de longitud irracional
2
6
.
S1
S2
Sn
S
Figura 4. Gráfica de la estela de puntos zn en el plano complejo.
8
Nota: La convergencia absoluta de la serie compleja se definió en términos de la convergencia de la serie de real de números reales no negativos zn . El corolario que sigue nos da una condición necesaria entre convergencia absoluta y convergencia.
z
Corolario 2. Sí la serie
zn
converge entonces la serie
n
n 1
es convergente. Esto es, la
n 1
convergencia absoluta de una serie de números complejos implica la convergencia de esa serie.
Demostración: Asumiendo la hipótesis de la convergencia absoluta y dado que
xn
yn
xn
2
xn
2
yn
xn
2
yn
implica
que
2
n 1
n 1
xn 2 y n 2 y usando el criterio de
yn n 1
x
comparación de series,
n 1
n
n 1
xn 2 y n 2
y
y
n
deben ser convergentes. Ahora bien, como el
n 1
enunciado se cumple para series reales entonces
x
n
y
n 1
es decir
xn
X y
n 1
y
n
son series convergentes,
n 1
yn
Y . Finalmente y usando el teorema 2, la serie zn es
n 1
convergente, pues
z
n
n 1
S X i Y , que era lo que se quería probar.
n 1
A menudo es conveniente definir el resto
después de N términos cuando se ha probado
N
S SN , también lim S N S lim N 0 ,
el hecho de que la suma de una serie es un número dado S. Esto es, escrito en la forma S
S N N . Como
S N
S N 0
y
N
N
N
se puede afirmar que una serie converge a un número S si y sólo si la sucesión de restos tiende a cero. El anterior es un criterio muy usado en el estudio de la series de potencias. Las series de potencias son series de la forma:
a (z z ) n
0
n
a0 a1 (z z 0 ) a 2 (z z 0 ) 2 ... an (z z 0) n ...
n 0
donde z0 , y los an son constantes complejas, y z es cualquier
punto en una región
establecida que contenga a z0 . Nótese que la serie de potencias es una suma infinita de potencias enteras no negativas consecutivas en z . En series que involucran la variable z se suele notar el valor suma, suma parcial y resto mediante las funciones S ( z ), S N (z ) y ( z ) respectivamente.
9
Ejemplo 4. Verificar que
z
n
n0
1 1 z
cuando z
1 , utilizando el criterio de los restos.
1 z z
Utilizando la identidad (pág. 23 sección 8)
2
... z n
1 z n1 1 z
,z 1
las sumas parciales se pueden escribir como S N ( z )
N 1
z
n
1 z z ... z 2
N 1
n0
Ahora bien si, S ( z) N
Así,
N
z
1 z
1 1 z z
N S ( z) S N ( z)
1 z N
z 1
1 z 1
1 z
1 z N 1 z
z
N
1 z
z 1
N
1 z
donde se puede establecer que
N
0
cuando z
lo tanto la verificación de la fórmula queda bien establecida. Nótese que si
1
y por
z
1 la
fórmula dada no cumple el criterio.
Nótese como los valores de la serie f ( x, y ) y los del valor suma coinciden S ( x, y ) .
10
SERIES DE TAYLOR
Teorema 3 . Supóngase que una función f es analítica en un disco abierto z z0
R 0 ,
centrado en z0 y de radio R 0 (ver figura) . Entonces, en todo punto z del disco, f ( z ) admite representación en serie de potencias f ( z )
y
a (z z )
z z0
n
0
n
R0
n 0
donde
an
f
(n)
z R 0
( z0 )
n 0,1, 2,3,.....
n!
z0
Esto es, la serie converge a f ( z ) cuando z esta en el disco abierto z z0
x
R0 .
Comentarios previos a la demostración.
La expansión de f ( z ) es el desarrollo en serie de Taylor en torno al punto z0 . Esta es la conocida serie de Taylor del análisis real adaptada a funciones de variable compleja
La serie puede reescribirse como f ( z ) f ( z0 )
f '( z0 )
donde f (0) ( z0 )
( z z0 )
1! f ( z0 )
f ''( z0 )
2! y 0! 1
( z z0 ) 2
f ' ''( z0 )
3!
( z z 0) 3 ... , z z0
R0
Cualquier función que sea analítica en un punto z0 debe tener serie de Taylor en el entorno que lo contenga, ya que si f es analítica en z0 , es analítica en alguna vecindad z z0
; y tomando
R0 se tienen las condiciones del teorema. Por
otro lado, si f es entera, el radio R0 puede elegirse arbitrariamente grande y en este caso la serie igualmente converge a f ( z ) en cada punto z del plano finito, donde la condición es z z0
.
Cuando se conoce que f es analítica en el interior de un círculo, la convergencia de la serie de Taylor a f ( z ) para cada z interior al círculo esta garantizada y no se requiere de ninguna prueba de convergencia de la serie. En efecto, de acuerdo con el teorema de Taylor la serie converge a f ( z ) dentro del círculo de centro z0 y cuyo radio es la mínima distancia de z0 al punto z1 para el cual f deja de ser analítica. Lo que realmente se deduce es que con esta distancia mínima se obtiene el círculo más grande centrado en z0 donde la serie converge a f ( z ) para todo z interior a él.
11
La prueba del teorema se hará para la serie de Taylor cuando z0
0 , denominada la
serie de Maclaurin, la prueba para un z 0 arbitrario se deduce como consecuencia
inmediata de lo anterior. La serie de Maclaurin es de la forma: f ( z )
f
(n)
(0)
z
n!
n 0
n
,z
R0
Demostración: Sea z r distancia al origen de un punto z interior al círculo C 0 orientado
R0 . Nótese que C es cualquier círculo orientado positivamente contenido en el disco z R0 , y suficientemente positivamente y denotado como
C0 : z
r0
donde r r0
0
grande como para que el punto z sea interior a él. (ver figura 5)
z r
r 0
s
R 0
0
C 0
Figura 5. Ilustración geométrica Como f es analítica dentro y sobre el círculo C 0 y ya que el punto z es interior a C 0 , entonces la fórmula integral de Cauchy se aplica en este caso: f ( z )
1
Ahora bien, el factor donde
1 1 z
sz
N 1
z s sz
1 sz
2 i
f (s )ds
C 0
sz
puede expresarse como
1 1 , del ejemplo 4 s z s 1 z s 1
N
z
n
n0
1
válido para z 1 y reemplazando z
1 z
N 1
n 0
N 1
n 0
z
n
s
n
z s
por z / s
N
z s
( s z ) s N
n
n 1
z
N
(s z)s
N
1 sz
N 1
n0
1 s
n 1
z
n
z N
1 (s z)s N
12
Multiplicando a ambos lados la última ecuación por f (s ) e integrando a cada lado con respecto a s a lo largo de C 0 se obtiene f (s)
sz
C0
1
Multiplicando por
f ( s)
2 i
C0
1
Utilizando f ( z )
2 i
N 1
f (s)
C0
n0
s
n1
ds z
n
f (s )
z N C
ds
(s z )s N
0
a cada lado:
2 i
1
ds
sz
ds
N 1
1
2 i
f
y
sz
C 0
s
C0
n 0
f (s )ds
f ( s) n 1
( n)
ds z
(0)
n!
n
1 2 i
z
N
2 i
f ( s)
(s z )s N
C 0
f (s)
C 0
(s)n1
ds
ds
n 0,1, 2,3,...
f ( s)
Obtenemos f ( z )
N 1
f ( n ) (0) n!
n 0
Solo resta probar que
z
n
N ( z)
donde
N ( z)
z N
2 i
f ( z )
lim N ( z ) 0 , en cuyo caso
N
C 0
f
(s z ) s N
(n)
(0)
n!
n 0
ds
n
z .
Para tal efecto, recordemos que z r y que C 0 tiene radio r 0 donde r r 0 . Entonces si s es un punto sobre C 0 , sz
s
z r0 r .
Si M denota el valor máximo de f (s) sobre C 0 ,
N ( z )
Pero,
r r 0
N
r 2 r 0 N 2 (r0 r )r0 r0 r r0 N
r
Mr 0
M
1 por que z es interior a C , por lo tanto 0
lim
N
Así, f ( z )
N ( z)
n 0
f
( n)
N
N
r r Mr 0 lim 0 lim N r r 0 r0 r0 r N r0 Mr0
(0)
n!
z
n
f (0)
f '(0)
1!
z
f ''(0)
2!
z
2
...
f
( n)
(0)
n!
lim
N
z
n
N ( z)
0
..., , con
z
R0
13
Para verificar el teorema cuando el disco de radio R 0 esta centrado en un punto arbitrario z z 0
z0 , basta ver, que como f es analítica cuando
( z z0 ) z 0
f ( z z 0 ) es analítica cuando
z
R 0 , la función compuesta
R 0 , donde esta condición es en realidad
R0 . Definiendo g ( z ) f ( z z0 ) , la analiticidad de
R0 garantiza la
g en el disco z
existencia de una representación en serie de Maclaurin (por lo que se demostró arriba):
g ( z)
g
f
(n)
n!
n 0
f ( z z0 )
es decir,
(0)
(n)
z
n
(z 0 )
z
n!
n0
z
R0
n
R0
z
Reemplazando z por z z0 en la ecuación y condición anterior, se obtiene finalmente la representación o expansión en serie de Taylor de f ( z ) en torno al punto z 0 : f ( z )
f
(n)
(z 0 )
n!
n0
( z z0 )
n
z z0
donde
R0
Ejemplo 5. Como f ( z ) e z es una función entera, ésta tiene representación en serie de Maclaurin para toda z. Ya que f ( ) ( z ) e entonces n
z
e
an ( z z0 ) n
n0
n0
Si z x i 0 , entonces e
x
n0
1
f
(n)
n 0,1, 2,3,... ; y
z
(0)
n!
( z 0)
1
n
n 0 n !
z
f
n
(n)
(0) 1 n 0,1, 2, ...
z
n
n!
x . En el análisis real la interpretación del concepto de
serie es la siguiente: 1
Inicialmente se parte de la sucesión de funciones: 1, x,
2
1
x2 ,
6
x3,
1 24
x 4,
1 120
x 5 ,...,
En segundo paso, se construyen las sumas parciales:
1 S2 1 x S1
S3 S4
1 x 1 x
1 2 1 2
x2 x
2
1 6
x
S5
1 x
1
Sn
1 x
1
3
Sn 1
2
2
1 x
x
2
x
2
1 2
x
1
1
2
6
6
x
3
x
3
1 6
1
x
24
3
1 24
x
4
x
4
1 24
x
... 4
1 (n 1)!
...
1 (n)!
x
x n
n 1
1 n!
x n ,...
14
Y formando la sucesión de sumas parciales tenemos: 1 , 1 x , 1 x S1
S2
1 2
x ,1 x 2
1 2
S3
x
2
1 6
x ,1 x 3
1 2
x
S4
2
1 6
x
3
1 24
4
x ,.....
S4
Usualmente escrita así: S1 , S 2 , S 3 , S4 , S5 ,..., Sn ,.... Ahora bien, si la sucesión de sumas parciales es convergente: lim Sn n
afirma que la serie
n 0
1
S , y entonces se
n
x converge a S y suele expresarse como n! x
1
n! x
n
e x donde
n 0
x
el valor suma de la serie corresponde a e . Aquí la función e es interpretada como el valor límite de la sucesión de sumas parciales cuando n , esto es, S1 , S 2 , S3 , S 4 , S 5,..., Sn ,.... e
x
En DERIVE se puede ilustrar lo afirmado arriba:
Figura 6. Gráficas de las funciones S20 y S21 tendiendo a e x .
15
Para la serie compleja
z
e
n 0
1 n!
z
n
,z
, el lado derecho es obtenido a través del
teorema 3(serie de Taylor) y corresponde a lim Sn . Ahora bien, como el dominio es el n
plano complejo, la ecuación anterior establece que para todo disco abierto de radio R alrededor del origen, el valor suma de la serie coincide con el valor de f ( z ) e z para todo z interior al disco. Para comprobar la afirmación anterior y mediante DERIVE se puede ver como los valores de e z
e x cos( y) i e x sin( y) e x cos y, e x sin y coinciden con el valor de la serie para un
n suficientemente grande.
Figura 7. Graficando puntos de e z
e x cos y, e x sin y .
A continuación la tabla de valores de e z y la serie para N=35 términos para distintos puntos del disco abierto alrededor del origen.
16
Tabla 1. Contrastando el valor de la serie (N=35) y el de la función exponencial compleja en un mismo punto z , comprobándose así la representación de la función mediante serie de Maclaurin para cada z del plano. Comprendida la parte conceptual del teorema 3 para funciones analíticas, se desarrollarán más ejemplos desde el punto de vista algebraico. Hallar la serie de Maclaurin para la función analítica z 2e3 z . En este caso basta reemplazar 3n n 1 n 3 z z , z z z , z obteniéndose así: e z por 3z en la serie e n ! n ! n 0 n 0
2 Ahora multiplicando por z se llega a
2 3 z
z e
n 0
n
3
n!
z
n 2
k 2
k 2
3
(k 2)!
z
k
n 2
3
(n 2)! z
n
,z
n 2
que representa la función analítica como una serie de Taylor(Maclaurin).
Ejemplo 6. Encontrar la representación de Maclaurin para la función entera f ( z ) sin z . Por el teorema 3 esta función dada posee serie de Maclaurin. Como sabemos que iz
sin z
e
Y como i
eiz 2i
n
(1)
1 2i
n n
i
e
iz
e
0 2i
n n ya que i 2 1 (1) i .
iz
1 1 i n (i) n n 1 n n 2 i n ! (iz) n ! (iz) 2 i n ! z n 0 n 0 n 0
1
n par n impar
entonces
sin z
(1)n
2n 1! z n 0
2 n 1
,z
17
Derivando término a término se puede obtener la representación de f ( z ) cos z así: sin z
(1)n
2n 1! z
2 n 1
n 0
cos z
(1) n
n 0
2n !
z 2n
,z
Ejercicio: Compruebe mediante Derive la veracidad de las series complejas sin(z) y cos(z).
Ejemplo 7. Encontrar la serie de Maclaurin para f ( z )
1
.
1 z
Como f deja de ser analítica en z 1 , consideramos el disco abierto z
1 que
corresponde al más grande disco alrededor del origen donde f es analítica. Aplicando el teorema 3 f tiene representación de Maclaurin. Los coeficientes de la serie se obtienen a partir de: f '( z )
1 (1 z)
luego, como f 1 1 z
; 2
( n)
2
f ''( z )
(0)
(1 z)
n!
(1)n
1
f '''(z )
; 3
n! entonces
an
3!
; f
(1 z)4 f
( n)
(0)
n!
(n)
1
(z )
(1 z) n1
n 0,1, 2, 3,..
n 0,1, 2, 3, ... y así :
an ( z z0 ) z n 1 z z 2 z 3 .... z n ... n
n 0
n!
z
1
n 0
1
Es decir,
1 z
z n
,z
1
n 0
Nótese que lo que se obtuvo aquí es la serie geométrica donde la razón de la serie es z. Este ejemplo corresponde al ejemplo 4 pero resuelto de una forma más directa. Si reemplazamos z por 1 z se obtiene la representación en serie de Taylor de f ( z ) dentro del disco abierto con centro en z 1 y radio 1: 1 z
z 1
(1 z) (1)n ( z 1) n n
n 0
z
1 así:
, z 1
1
n0
1
Ejercicio: compruebe que para puntos exteriores al disco
z
( 1)n ( z 1)n y para n 0
puntos interiores la igualdad es válida. Si arriba el reemplazo es z por
1
z
entonces se obtiene:
1 1 z
(1)n z n n0
,z
1
18
El siguiente ejemplo permite introducir las series con potencias negativas como es el caso de las Series de Laurent , útiles para la teoría del residuo y calculo de integrales.
Ejemplo 8. Expandir la función f ( z )
f ( z )
1 2 z z
3
2
z5
1 2z2 z
3
z5
en serie de potencias de z .
1 (2 2 z ) 1 2
z
3
1 z 2
2 1 3 1 z 2 z 1
Como f deja de ser analítica en z 0 entonces No existe serie de Maclaurin para esta función. Cambiando z por 1 z 2 en la expansión
1
z
se obtiene la expansión de
1 1 z
2
( 1)n ( z) 2n 1 z 2 z 4 z 6 z 8 z 10 ...
,z
1
n0
y así, para la región 0 z
1 ( Disco abierto perforado) se tiene
Figura 8. Disco abierto perforado con centro en z 0 . f ( z )
1
1
1
z
z
z
2 (1 z 2 z 4 z 6 z 8 z 10 ...) 3
Los términos
1 z
3
z 3 y
1 z
z z 3 z 5 z 7 .... . 3
z 1 son las potencias negativas de la expansión anterior.
A continuación encontrará una deducción que permite comprender el teorema de la serie de expansión de Laurent. Considérese z0 un punto arbitrario del plano complejo y dos círculos concéntricos alrededor de él donde C es el círculo exterior de radio R y C 1 es el círculo interior de radio R1 (ver figura 9). Asumiendo que f es analítica dentro del dominio anular (y donde por fuera f puede o no ser analítica) y eligiendo un punto arbitrario z con un pequeño circulo C 2 alrededor de él se puede ver que las integrales de contorno que conectan el círculo C 2 con C1 y C suman cero (aplicando el teorema de Cauchy – Goursat de la sección 49 para
dominios múltiplemente conectados), que conduce a la expresión: f (s)
sz
C
ds
f ( s)
sz
C1
ds
f ( s)
s z ds
C 2
19
y R R1
C 2
C 1
z 0
C
z
x Figura 9. Situación geométrica en la deducción de la expansión de Laurent.
Como f ( s) es analítica dentro de C 2 , 2 i f ( z )
f (s)
s z ds
C 2
entonces la expresión inicial se convierte en: f (s)
f ( s)
s z ds s z ds 2 i f ( z)
C
f ( z)
C1
Las expresiones 1 sz
1
y
sz
1 s z0 z z0
1 z s
1
1
f ( s)
C
1
z s
1 z z0 s z0
s z0 [1 ( z z0 ) ( s z 0 )]
1
1
z z0 [1 (s z 0 ) ( z z 0 )]
,
,
z z0 s z0
z z0 s z0
,
,
s z0 z z0 s z0 z z0
z z0 s z0
1 1 z z0 R
, la razón de la serie es
n s z s z 2 s z 0 0 0 1 ... ... s z0 z z0 z z 0 z z 0 n 1 2 ( s z0 ) ( s z0 ) s z0 1 ... 2 3 ( z z0 ) ( z z0 )n s z0 (z z0 )
1
C1
, la razón de la serie es
n z z z z 2 z z0 0 0 1 ... ... s z0 s z0 s z 0 s z 0 ( z z0 ) 2 ( z z0 ) n 1 z z0 ... ... 2 ( s z0 )3 ( s z0 )n 1 s z0 (s z0 )
f ( s)
escritas como series geométricas toman la siguiente forma:
1
1
1
ds ds 2 i s z 2 i z s
s z0 z z0
1 1 R1 z z0
20
Reemplazando estas expresiones en la siguiente ecuación se obtiene la serie de Laurent :
f ( z )
1
f (s)
1
f (s)
ds ds 2 i s z 2 i z s C
C 1
1 f (s) 1 1 f (s ) f ( s) n ( ) ... ( ) ... ds z z ds z z ds 0 0 2 n 1 2 2 ( ) 2 ( ) i s z i s z i s z 0 0 0 C C C 1 1 1 1 f (s )ds f (s )(s z0 )ds ... 2 ( z z0 ) 2 i C ( z z0 ) 2 i C 1 1 n 1 , R1 z z 0 R f (s)(s z0 ) ds ... ( z z0 ) n 2 i C 1
1
1
Equivalente a f ( z )
b b2 bn a0 a1 ( z z 0 ) ... an ( z z 0 ) n .... 1 ... ... 2 ( z z0 ) n z z0 ( z z0 )
f ( z )
bn
a ( z z ) ( z z ) n
n
0
n 0
n 1
, R1 z z 0
n
R
0
donde, an
1 2 i
f (s ) ds
(s z )
n 0,1, 2,3,.....
n 1
,
0
C
bn
Si f ( z ) es analítica en z0 , entonces a1 a2
1
f ( s) ds
2 i C ( s z0 ) n1
... an ... 0
n 1,2,3,.....
y la serie de Laurent
se
reduce a la serie de Taylor. Sí z0 es una singularidad de f ( z ) , entonces la expansión de Laurent incluye tanto potencias positivas como negativas. Nótese que si reemplazamos n por la forma f ( z )
a (z z ) 0
n
n
n 0
donde a n
1
1
b
n (z
en la segunda serie la expansión de Laurent toma
z0 ) n
, R1 z z 0
R
n
f ( s) ds
2 i (s z ) C
n
0
n 1
, n 0,1,2,3,... b n ,
1
f ( s) ds
2 i ( s z ) C
n 1
, n 1, 2, 3,...
0
El coeficiente del término ( z z0 ) 1 , b 1 , es el residuo y así será definido más adelante en la sección de la teoría de residuos.
21
n 1
bn Sí, cn an
n0
entonces f ( z )
c (z z ) n
n
0
, R1 z z 0
R
n
donde los coeficientes quedan expresados mediante:
cn
1
f (s) ds
2 i
(s z )
C
n 1
, n 0, 1, 2, ...
0
Cualquiera de las dos formas es conocida como la expansión en serie de Laurent. Finalmente, cabe mencionar que si z es usada en lugar de s como variable de integración, las expresiones para los coeficientes an y b n coinciden con los del siguiente teorema: SERIES DE LAURENT
Teorema 4. Supóngase que una función f es analítica en un dominio anular R1 z z0
R 2 ,
centrado en z0 y sea C un contorno cerrado simple orientado
positivamente alrededor de z0 y dentro del dominio anular (ver figura) . Entonces, en todo punto z del dominio, f ( z ) admite la representación en serie de potencias f ( z )
a (z z ) n
n
0
n 0
donde
y
an
bn
1
bn
( z z ) n 1
(z z )
n1
f ( z ) dz
2 i ( z z ) C
n1
R2
R 2
z
y C
n 0,1, 2,3,.....
0
C
1
R1 z z 0
0
f ( z ) dz
2 i
n
z0
R 1
x
n 1, 2,3,.....
0
Esto es, la serie denominada de Laurent converge a f ( z ) cuando z esta en el dominio anular R1 z z0
R2 .
Comentarios:
Cuando f deja de ser analítica en un punto digamos z 0 , no es posible aplicar el teorema de Taylor en ese punto. Sin embargo, a menudo es posible encontrar una representación en serie para f ( z ) que involucra tanto potencias positivas como negativas de z z0 .
Si f deja de ser analítica en z0 pero lo es en toda parte del disco z z0
R2 , el
radio R1 puede escogerse arbitrariamente pequeño. En este caso la representación en serie de Laurent de f es válida en el disco perforado 0 z z0
R2 .
De
manera similar, si f es analítica en todo punto del plano finito exterior al círculo
22
z z0
R1 , la condición de validez es
R1 z z0
. Además nótese que si
f es
analítica en todo el plano finito excepto en z0 , la representación de Laurent es válida en todos los puntos de analiticidad o si se quiere en 0 z z0
el plano
perforado en z 0 .
Ejemplo 9. Las expansiones de Laurent suministran un formalismo para la clasificación de las singularidades de una función. Las singularidades aisladas son de tres tipos:
1 . Usando la expansión z
Singularidad Esencial: considérese la función f ( z ) cos
1 1 1 1 1 .... para 0 2! z 2 4! z 4 6! z 6 z
de coseno: cos
z
.
Nótese que esta serie nunca trunca las potencias inversas de z .Las singularidades esenciales tienen expansiones de Laurent que tienen un número infinito de potencias inversas de ( z z0 ) . El valor del residuo para esta singularidad esencial en z 0 es b1
0.
Singularidad Removible. Considérese la función f ( z )
singularidad en z 0 . Aplicando la expansión para sin z , sin( z) z
sin z z
. Esta función tiene
3 5 7 9 2 4 5 8 1 z z z z z z z z z ... 1 ... . para todo z 0 . 3! 5! 7! 9! 3! 5! 7! 9! z
Nótese que aquí f ( z ) se hace analítica definiéndola mediante la serie y en el proceso se removió la singularidad. El residuo para una singularidad removible siempre es cero ( b1 0 ).
Polo de orden n. Considérese la función
f ( z )
1 ( z 1)3 ( z 1)
Esta función tiene dos singularidades: una en z 1 y la otra en z 1 . Consideremos sólo el caso de z 1 . Mediante el uso del algebra se puede ver que f ( z )
1 ( z 1)
3
1
1
2 ( z 1)
1
2 ( z 1)
3
1 1 ( z 1) 2
donde la razón es
z 1 ( z 1)2 ( z 1)3 1 ... 2 ( z 1)3 2 4 8 1
f ( z )
1
1 2( z 1)
3
1 4( z 1)
2
1 8( z 1)
1 16
...
0 z 1 2
z 1
2
23
Como la más grande potencia inversa (negativa) es tres, la singularidad en z 1 es un polo 1 de tercer orden; el valor del residuo es b1 . En general un polo de primer orden se 8 denomina polo simple.
Ejemplo 10. Encontrar la expansión de Laurent para f ( z )
z
( z 1)( z 3)
alrededor del
punto z 1 . Adecuando el numerador y denominador, f ( z ) se puede reescribir: f ( z )
1 ( z 1) ( z 1) 2 ( z 1) 1 1 ( z 1)
( z 1)
2
1 ( z 1)
1
1
2 ( z 1) 1 ( z 1)
1 ( z 1)
2
dondela razón es 2
z 1
2
z 1 ( z 1)2 1 1 1 ... 2 z 1 2 4 1 1 1 1 ( z 1) ( z 1) ( z 1)2 8 8 ... 2 ( 1) 2 4 4 z 1
1
1
2 ( z 1)
3
4
3 8
( z 1)
3 16
( z 1)2
...
, donde 0 z 1
por lo tanto, hay un polo simple en z 1 y el valor del residuo es b1
1 2
2
.
Un procedimiento similar se hace para la serie de Laurent alrededor de z 3 . 1
Ejemplo 11. Podemos encontrar la serie de Laurent para e 1 z z por en la serie de Maclaurin de e : z
z
e
z
n 0
1 z
e
n 0
n
n!
z
1!
2!
1
1 n! z
n
2
z
1
1 1! z
z
z
simplemente reemplazando
3
3! 1
2! z
... 2
z
1 3! z 3
...
0 z
Como los coeficientes de las potencias positivas son nulos, éstas no aparecen en la expansión. Nótese también que el coeficiente de
1
es la unidad. z teorema de Laurent este coeficiente anterior es el número
De acuerdo con el
24
b1
1
1
e dz
2 i C
z
donde C es cualquier contorno cerrado simple orientado positivamente
alrededor del origen. Ya que b1
1 , entonces la integral 1
e dz 2 i z
C
El método anterior es de uso común en la evaluación de integrales complejas y será usado ampliamente más adelante como una de las aplicaciones de la teoría del residuo.
