Ejercicio de Sistema de coordenadas GeneralizadasDescripción completa
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Solucionario de geometría analítica del capítulo 1. Conceptos generales: distancia entre dos puntos, división de un segmento dada una razón, pendiente de una recta. Aplicaciones a la geometr…Full description
Solucionario de geometría analítica del capítulo 1. Conceptos generales: distancia entre dos puntos, división de un segmento dada una razón, pendiente de una recta. Aplicaciones a la geometr…Descripción completa
Descripción: Sesión de aprendizaje Minedu 3er grado
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Descripción: SESION
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sesion 1
FAING _________________
EPII MATEMA MA TEMATICA TICA BASICA I
UNIDAD I: GEOMETRIA ANALITICA PLANA SESI SESION ON 01: 01: SIST SISTEM EMA A DE COOR COORDE DENA NADA DAS S BIDIMENSIONAL 1. INTRODUC INTR ODUCCION CION
El sistem sistema a es denom denomina inado do tambié también n sistem sistema a de coordenadas cartesianas o sistema de coordenadas rectangulares rectangulares Se construye traando dos rectas !er!endiculares "ue se intersecan en el !unto #$ al cual se le llama origen %a recta &oriontal es el e'e de las abscisas o e'e de las ($ la recta )ertical es el e'e de las las ordenadas o e'e de las y* +sando un segmento como unidad con)eniente$ se di)ide cada e'e de manera "ue los n,meros enteros !ositi)os "uedan a la derec&a del origen sobre el e'e ( y arriba del origen sobre el e'e y*
En el !roceso de gra3car &ay "ue tomar en cuenta
%os enteros negati)os "uedan a la i"uierda del origen sobre el e'e ($ y aba'o del origen sobre el e'e y* Tomando Tomando los e'es como re-erencia se !uede localiar cual"uier !unto situado en el !lano "ue -orma -orman$ n$ !roce !rocedie diendo ndo en la -orma -orma siguie siguiente nte.. se indica la distancia del !unto a la derec&a o a la i"uierda del e'e &oriontal$ y la distancia &acia arriba o &acia aba'o dele'e )ertical* %a abscisa es !ositi)a o negati)a seg,n el !unto P situ situad ado o a la der derec&a ec&a o a la i"u i"uie ierrda del del e'e e'e &orio &orionta ntal* l* %a orden ordenada ada es !ositi !ositi)a )a o negati negati)a )a seg,n el !unto esté situado arriba o aba'o del e'e )ertical*
los los sign signos os de las las coor coorde dena nada das s del del !unt !unto o !ara !ara ubicarlo en los cuadrantes*
Ejemplo 01. traar un sistema de coordenadas
A la abscisa y ordenada de un !unto se les llama coordenadas del !unto y se escribe como un !ar de n,meros n,meros dentro de un !aréntes !aréntesis is se!arados se!arados !or !or una una coma coma$$ el !rim !rimer ero o de esto estos s n,me n,merros re!resenta siem!re la abscisa y el segundo la
recta rectangu ngular lares es y se4ala se4alarr los siguie siguiente ntes s !untos !untos.. 05$61$ 078$91$ 076$7:1$ 0;$81$ 0<$751$ y 07<$51* Traar adem=s el segmento de recta "ue une los !untos 06$7:1 con 09$<1
ordenada*
6* DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
En general$ un !unto cual"uiera$ !or e'em!lo el !unto a$ cuya abscisa es ( y la ordenada es y* se designa mediante la notaci/n A0($ y1* %os e'es coordenados di)iden al !lano en cuatro !art artes* es* %lam %lamad ada as cada cada una una cuadr uadra ante$ nte$ los los cuadra cuadrante ntes s se numera numeran n con n,mer n,meros os roman romanos os I$II$III y I2$ tal como se &a indicado en la 3gura anterior*
2. LOCALIZACION LOCALIZACI ON DE UN PUNTO PLANO
En el sistema de coordenadas rectangulares &ay una relaci/n "ue establece "ue a cada !ar de n,mer n,meros os reale reales s 0($ y1 le corre corres!o s!onde nde un !unto !unto de3nido del !lano$ y a cada !unto del !lano le corres!onde corres!onde un !ar ,nico de coordenadas 0($ y1
Para encontrar la distancia entre dos !untos P0( 8$ (81 y >0(:$y:1 "ue no est=n en la misma recta )ertic )ertical al u &orio &orionta ntal$ l$ constr construim uimos os un tri=ng tri=ngulo ulo rect rect=n =ngu gulo lo "ue "ue teng tenga a el segm segmen ento to
!or
&i!otenusa$ como se )e en la 3gura y las longitudes de los dos lados de los catetos son. ?@ : 7 @:? y ?:$ 7 8? %a dist distan anci cia a entr entre e P y > es la longi longitu tud d de la &i!o &i!ote tenu nusa sa del del tri= tri=ng ngul ulo* o* ecor ecorde demo mos s "ue el teor teorem ema a de Pit= Pit=go gora ras s dice dice.. en en un tri= tri=ngu ngulo lo rect=ngulo$ el cuadrado de la &i!otenusa es igual a la suma suma de los los cuad cuadra rado dos s de los los cate cateto tos* s* Entonces* d0P$>1: D 0(: (81: 0y: y81:
Ing* Edin 2alencia P=gina 1 de 3
PQ
es)alenciacH&otmail*com es)alenciacH&otmail*co m
FAING _________________
EPII MATEMATICA BASICA I
r=
P1 P
y 1 + y 2
$
1+ r
D
son (
PP2
x 1 + x 2 1+r
$ y D
la
siguiente
r L 78
emostraci/n. 3gura.
consideremos
!or tanto*
#bser)ar "ue si los !untos est=n en la misma )ertical o en la misma &oriontal$ uno de los dos sumandos de la -/rmula )ale cero$ !ero el resultado sigue siendo el mismo* %a -/rmula anterior$ adem=s de !ermitirnos obtener la distancia entre dos !untos$ nos !ermite solucionar los siguientes !roblemas. •
•
•
eterminar el !erJmetro de un tri=ngulo o de algunas otras 3guras geométricas. Com!robar "ue un tri=ngulo es rect=ngulo$ a!licando el teorema de Pit=goras a las distancias obtenidas al )eri3car "ue el cuadrado de la &i!otenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos* Com!robar "ue un tri=ngulo es is/sceles$ si dos de las distancias obtenidas son iguales*
Ejemplo 02: encontrarla distancia entre P06$91 y >078$<1
Ejemplo 03: K"ué coordenadas tiene el !unto del e'e ( "ue e"uidista de A0;$<1 y B09$81 Ejemplo 04: demuestre "ue el tri=ngulo cuyos )értices son A08$81$ B09$81 y C08$61 es un tri=ngulo rect=ngulo*
4. DIISI!N DE UN RAZ!N DADA
SEGMENTO
A
En la 3gura se tiene "ue. "P1DP # "P$P2 Para calcular la abscisa ( del !unto P tenemos "ue.
P1 D PF
D
P1 P PP2
D
081
{
P1 D = x − x 1
Como.
PF = x2 − x
0:1 Por lo tanto al reem!laar 0:1 en 081 se tiene. x − x 1 x 2− x D r$ de donde al des!e'ar ( se
tiene. (D
x 1 + r x 2 1+r
$rL
78
UNA
Si P80(8$y81 y P:0(:$y:1 son los e(tremos del p1 p2 segmento $ las coordenadas del !unto P0($y1 "ue di)ide a este segmento en la ra/n dada*
!ara calcular la ordenada del !unto P$ tenemos "ue.
DP F P 2
D
P1 P PP2
D r
061
Ing* Edin 2alencia P=gina 2 de 3
r
es)alenciacH&otmail*com
FAING _________________ MATEMATICA BASICA I DP = y − y 1
{
Como.
F P 2= y 2− y
051 Por lo tanto al reem!laar 051 en 061 se tiene. y − y 1 y − y D r$ de donde al des!e'ar ( se tiene. 2
yD
y 1 + r y 2 1+r
EPII
P0
x 1 + x 2 2
$
y 1 + y 2 2
1
E jemplo 0%: encontrar las coordenadas del !unto P "ue di)ide al segmento determinado !or A0$:1 y B079$O1 en la ra/n rD56 Ejemplo 0&: si A0:$61 y B05$1 son los e(tremos de un segmento* Qallar las coordenadas del !unto AP
$rL
P0($y1 donde.
PB
D 86
Ejemplo 0': el e(tremo del di=metro de una Si P0($y1 es el !unto medio del segmento "ue une los !untos P80(8$y81 y P:0(:$y:1$ entonces la ra/n P1 P rD PP D 8 y las coordenadas del !unto
circun-erencia de centro P80O$7<1 es P:0:$:1$ encontrar las coordenadas P0($y1 del otro e(tremo*
