Escuela de Ingeniería Civil Matemática II
Derivada de una función Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano. Isaac Newton (1903-1957)
Lic. Montes Oblitas Giancarlo
CASO 01: PASEO EN BICILETA Chris, es una aficionada al ciclismo, la bicicleta que usa en sus paseos lleva adicionado un dispositivo electrónico que le brinda la distancia y el tiempo en que ha realizado dicho recorrido. El domingo pasado realizo un viaje a Simbal al llegar a su destino revisó su dispositivo y encontró que la distancia recorrida estaba dada por la siguiente relación 𝑥 𝑡 = 5 𝑡 − 1 + 4.9(𝑡 − 1)2 (en metros). Preocupada por dicha información se preguntó: a) Con qué velocidad media se desplazó durante el intervalo de tiempo de 𝑡1 = 6𝑠 a 𝑡2 = 8𝑠 . b) ¿Cuál fue su velocidad instantánea en el instante 𝑡1 = 6𝑠?
Recordar • • • •
Pendiente de una recta. Funciones. Límites. Continuidad.
LOGROS DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante, resuelve ejercicios en los que:
1)
Interpreta geométrica , económica y demográficamente la derivada de una función haciendo uso de la definición.
2) Calcula la derivada de una función haciendo uso de las reglas de derivación.
El problema de La recta Tangente y
m=?
f ( x 0)
xx00
x 5
y
f ( x0 + h)
f ( x0 + h) f ( x0 ) h x0 x0 + h
x0 + h h
x
Pendiente de la recta tangente ( mL ) T
Note que:
f x0 + h f x0 mLS h
En el límite, cuando h 0, la recta secante “se confunde” con la recta tangente en x0, y podemos decir que:
f x0 + h f x0 mLT lim mLS lim h 0 h 0 h
Derivada de una función en un punto DEFINICIÓN. La derivada de una función “f “en un punto “a”, denotada con f’(a), es:
f ( a + h) f ( a ) f ' (a ) lím h 0 h
Si este límite existe
DEFINICIÓN Alterna.
f ( x) f ( a ) f ' (a) lím x a xa
Interpretación geométrica de la derivada La derivada de y una función “f” en un número “a” es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a; f(a)).
m=f’(a)
f (a )
x0 a
x 9
Ejemplo: De la gráfica, halle
tangente en x=2.
f ´(2) e indique la ecuación de la recta
La derivada como una función DEFINICIÓN. Si en la definición anterior, cambiamos el número “a” por la variable “x”, obtenemos:
f ( x + h) f ( x ) f ' ( x) lím h 0 h En este caso, f’ es una nueva función llamada derivada de f.
Notación:
df(x) f '(x) Dx f(x) dx
Ejemplo: Encontrar la derivada de f ( x) x 2
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL
Si f(x) = ax, entonces f´(x) = axln(a) Si f(x) = ex, entonces f´(x) = ex FUNCIÓN LOGARITMO
1 f(x) loga (x) f '(x) loga e x 1 f (x) ln(x) f '(x) x
REGLAS DE DERIVACIÓN
Si f(x) x , entonces f ' (x) nx n
n 1
NOTA : Si f(x) x, entonces : f ' (x) 1 Si f(x) N, entonces : f ' (x) 0
Sea K una costante (cualquier número) Si g(x) Kf(x), entonces g' (x) Kf´(x)
REGLAS DE DERIVACIÓN Sean “f” y “g” funciones con derivadas f ' y g ' entonces, se cumplen las siguientes propiedades algebraicas :
(f(x) g(x))' f ' (x) g' (x)
(f(x) g(x))' f ' (x) g(x) + f(x) g' (x) Sean f(x) y '
g(x):
f(x) f '(x) g(x) f(x) g'(x) 2 g(x) g(x)
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
f(x) cosx
f ' (x) senx
g(x) senx
g' (x) cosx
h(x) tanx
h' (x) sec 2 x
z(x) secx
z' (x) secx.tanx
G(x) cotanx
G' (x) csc x
F(x) cscx
F' (x) cscx.cotanx
2
Razón de cambio y
Número de docenas de pantalones producidos diariamente.
5
1.5
Número de operarios.
2
5
Si en cada uno de los casos aumentamos un operario, ¿en cuánto aumenta la producción diaria de pantalones por operario?
x
y f ( x1 ) f ( x0 ) se llama El cociente de diferencias x x1 x0 razón de cambio promedio de y con respecto a x. 16
Razón de cambio instantánea y
Note que si x1 = x0 + h entonces y f ( x0 + h) f ( x0 ) x h
f(x1) f(x0)
x0
x1
x
f ( x0 + h) f ( x0 ) se llama razón de cambio instantánea lím de y con respecto a x en x = x0. h 0 h 17
f x0 + h f x0 lim h 0 h La derivada de una función f en x0 es:
Pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en x0 La razón de cambio instantánea de la función f en x0 18
ALGUNAS APLICACIONES A LA FÍSICA: • Si x(t) es la posición en el instante “t” , entonces x’(t) es la velocidad v(t) en el instante “t”. ( v(t)= x’(t) ) • Si v(t) es la posición en el instante “t” , entonces v’(t) es la aceleración a(t) en el instante “t”. ( a(t)= v’(t) )
A LOS INGRESOS Y COSTOS: Sean I(q), C(q), U(q) las funciones ingreso, costo y utilidad respectivamente, entonces: • Ingreso Marginal = I’(q) . • Costo Marginal = C’(q). • Utilidad Marginal = U’(q).
¿Podrías ahora resolver el caso 01?
CASO 01: PASEO EN BICILETA Chris, es una aficionada al ciclismo, la bicicleta que usa en sus paseos lleva adicionado un dispositivo electrónico que le brinda la distancia y el tiempo en que ha realizado dicho recorrido. El domingo pasado realizo un viaje a Simbal al llegar a su destino revisó su dispositivo y encontró lo que la distancia recorrida estaba dada por la siguiente relación 𝑥 𝑡 = 5 𝑡 − 1 + 4.9(𝑡 − 1)2 (en metros). Preocupada por dicha información se preguntó: a) Con qué velocidad media de desplazó durante el intervalo de tiempo de 𝑡1 = 6𝑠 a 𝑡2 = 8𝑠. b) ¿Cuál fue su velocidad instantánea en el instante 𝑡1 = 6𝑠?
Práctica de clase 1. Indique la verdad o falsedad de la siguiente proposición: a) Existen funciones que tienen la misma derivada. Justifique algebraicamente tu respuesta. Por ejemplo considera f ( x) x + 1y g ( x) x 3 . Da un par de ejemplos más.
b) Si f es una función diferenciable entonces misma derivada 2.
f (x) y f ( x) + c tienen
la
Una compañía tiene un beneficio total acumulado en t años, de 1000t 2 dólares.
a) Al cumplirse el tercer año (entre t=2 y t=3 ) ¿Cuánto produjo? b) ¿cuál es la tasa promedio de utilidad durante el primer semestre del tercer año (entre t=2 y t=2.5 )?
c) ¿cuál es el beneficio marginal (tasa promedio instantánea) al finalizar el tercer semestre?
3.Hallar la ecuación de la Recta Tangente y de la Recta Normal a las siguientes curvas:
f ( x) x3 + 3x + 1 ; x0 2 4. Una partícula se mueve a lo largo del eje coordenado y “s”. La distancia en cm desde el origen al concluir “t” segundos, está dada por .
s(t ) 10t + 5 Encontrar la velocidad instantánea de la partícula al final de 2 segundos.
