2 Shprehjet algjebrike 1. VEPRIMET ME SHPREHJE THYESORE Veprimet me thyesa të përgjithshme algjebrike .
1)
p
p t
q t
q
, ( q, t 0) – vlera e thyesës nuk ndryshon nëse numëruesi
dhe emëruesi shumëzohen me të njëjtin polinom (numër) të ndryshme nga zero. 2)
p
p : t
q : t
q
, ( q, t 0) – vlera e thyesës nuk ndryshon nëse numëruesi
dhe emëruesi pjesëtohen me të njëjtin polinom (numër) të ndryshëm nga zero. 3)
p r
q r
pq r
, r 0 – tek shuma (zbritja) e dy thyesave me emërues
të njëjtë, numëruesit e thyesave të dhëna mblidhen (zbriten) kurse emëruesi mbetet i njëjtë. 4)
p r
p r
q s
qs
, ( q 0, s 0) – tek prodhimi i thyesave numëruesit dhe
emëruesit e shumëzohen. 5)
thyesave
të
dhëna
p r p s : , ( q, r, s 0) – herësi i dy thyesave është i barabartë me q s q r
prodhimin e thyesës së parë me vlerën reciproke të thyesës së dytë.
CALCULUS
7
Të thjeshtohen thyesat 2
6a b
Shembulli 1.
21ab
.
3
Zgjidhja. 2
6a b 21ab
3
2a 7b
2
. 4 xy
Shembulli 2.
2
2
16 x y
3
.
Zgjidhja. 4 xy 2
2
16 x y
3
y 4 xy
2
1
.
4 xy
2
12 x p
Shembulli 3.
3
18 xpq
.
Zgjidhja. 2
12 x p
3
18 xpq
2 xp
2
.
3q
( a 3)( x y)
Shembulli 4.
3
( a 3) ( x y) 2
2
.
Zgjidhja. ( a 3)( x y)
3
2 2 ( a 3) ( x y)
Shembulli 5.
x y a 3 2 x
y
.
y 3z 6z
x
Zgjidhja. 2 x
y
y 3z 6z
x
2 x y 3 x
y 6z x
6 6
1.
20 x5 y 4 Shembulli 6. 16 x y : . 2 3 x y 2
3
SHPREHJET ALGJEBRIKE
8
Zgjidhja. 2 2 20 x 5 y 4 3x y 3x y 2 3 2 3 16 x y 16 x y : 16 x y 2 3 4 5 4 3 x y 20 x y 20 x y 2
3
16 x y 3 x y 2
3
2
20 x y 5
4x 3 y 4
4
5x y 5
43
4
4
52 a 2 b 3 3 9 a 4 b 6 : Shembulli 7. 4 3 7 69 x y 92 x y
5x
12 5x
.
91a 3 b . 2 115 xy
Zgjidhja.
52a 2 b 3 39a 4 b 6 : 4 3 7 69 x y 92 x y
91a 3 b 52 a 2b 3 92 x 3 y 7 52 92 91 a 5b 4 x 3 y 7 . 2 4 4 6 4 6 5 3 69 x y 39 a b 69 39 1155 a b x y 115 xy
3ab 14 x 2 y ab Shembulli 8. : 2 . 2 4 12 xy a b xy Zgjidhja.
3ab 14 x 2 y ab 3ab 14 x 2 y xy 2 3 14 abx 3 y 3 14 x 2 y 2 7 x 2 y 2 . : 2 2 2 3 2 2 2 4 xy 12 a b ab 4 12 a b xy 16 a b 8a b 4 xy 12a b xy x3 y 2 p pxy Shembulli 9. 2 2 : 2 2 . p xy x p Zgjidhja.
x 3 y 2 p pxy 2 2: 2 2 p xy x p
x 3 y 2 p x 2 p 2 x 2 xp x 3 . 2 2 p xy pxy p y y
Shembulli 10.
3
5
9
x
x
.
x
Zgjidhja. 3
x
5
9
x
x
3 5 9
x
Shembulli 11.
7
x 3 4
x
. x 1 4
.
Zgjidhja. x 3 4
x 1 4
x 3 1 ( x 1) 4
x 3 x 1 4
4 4
1.
CALCULUS
9
2 x 3
Shembulli 12.
2x 5
4b
4b
2x 7
4b
.
Zgjidhja. 2 x 3 4b
2x 5
2x 7
4b
4b
4a 3b
Shembulli 13.
10
2x 3 2x 5 2x 7 4b
2a b 5
2 x 15
.
4b
.
Zgjidhja. 4a 3b 10
2a b
4 a 3b 2(2 a b)
5
10 1
Shembulli 14.
6a
3b
a b 2
1 2
6 ab
4 a 3 b 4 a 2b 10
5b 10
b 2
.
2
.
2
Zgjidhja. 1 6a
1 3b
2 2 a b
2
6 ab
2
2b 2a a 2
6ab
2 2 2 b 1 2 a 1 1 ( a b )
6 ab
6 ab
2
2
.
2
x 2 y
Shembulli 15.
2
2 2 2 b 2a a b
2
x y
2x 3y
xy
2
.
Zgjidhja. x 2 y x 2 y
2x 3 y
xy2
y ( x 2 y) x(2 x 3 y) x2 y 2
2 y 2 2 x 2 2 xy 2
x y
2
Shembulli 16 .
2 x 1
x
yx 2 y 2 x 3 xy 2
2
x2 y 2
.
1 2x
2
x2 x
.
Zgjidhja. 2 x 1
x
1 2x
2
6 x 2 x 1
x2 x
2
2 x
2
.
2 x(2 x 1) 1 2 x( x 2) 2x
2
4 x 2 x 1 2 x 4 x 2
2
2x
2
SHPREHJET ALGJEBRIKE
10
2. ZBËRTHIMI I POLINOMIT NË FAKTORË Së pari përkujtojmë se shprehjet 3x 2 x , x 2
1 x 3, x 3 x 1, x 7 x 2 2
paraqesin polinome. Shprehja
n n 1 p ( x) an x an 1 x ... a1 x a0 ,
ku a0 , a1 ,.. polinom. ,..., an janë numra realë quhet polinom. Ligjet dhe formulat për zbërthimin e polinomit në faktor:
1. Ligji distributiv – faktori i përbashkët nxirret para kllapave ab ac a (b c).
2. Grupimi i anëtarëve
ax ay bx by ax bx ay by ( a b) x ( a b) y (a b)( x y).
3. Katrori i shumës
( a b ) ( a b )( )( a b ) a 2 ab b . 2
4. Katrori i ndryshimit
2
( a b) ( a b)( a b) a 2 ab b . 2
5. Ndryshimi i katrorëve 6. Kubi i shumës
2
2
2
a b (a b)( a b). 2
2
( a b) ( a b)( )( a b)( )( a b) a 3a b 3ab b . 3
7. Kubi i ndryshimit 8. Shuma e kubeve
3
2
3
3
3 3 2 2 a b ( a b)(a ab b ) 3 3 2 2 a b (a b)(a ab b ).
Le të vërtetojmë disa nga formulat e mësipërme: Shembulli 1. Tregojmë se ( a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3 . Zgjidhja. ( a b) ( a b) ( a b) ( a 2 ab b )( a b) 2
3
(a b) ( a b)( )( a b)( )( a b) a 3a b 3ab b .
9. Ndryshimi i kubeve
3
2
2
2
a 3 2a 2 b ab 2 ba 2 2ab 2 b 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 . Shembulli 2 . Tregojmë se ( a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3 .
2
2
3
CALCULUS
11
Zgjidhja. ( a b) ( a b) ( a b) ( a 2 ab b )( a b) 3
2
2
2
(a 2 2ab b 2 )(a b) a 3 a 2b 2 ab 2ab 2 ab 2 b 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 . ( a b) ( a b) ( a b) ( a 2 ab b )( a b) 3
2
2
2
Shembulli 3. Tregojmë se a 2 b 2 (a b)( a b). Zgjidhja. ( a b)( a b) a a a b b a b b a ab ba b 2
2
a 2 b2 . Shembulli 4. Tregojmë se a 3 b3 (a b)( a 2 ab b 2 ). Zgjidhja. ( a b)( a ab b ) a a b ab ba ab b 2
2
3
2
2
2
2
3
a 3 b3 . Shembulli 5. Tregojmë se a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 ) Zgjidhja. ( a b)( a ab b ) a a b ab ba ab b 2
1 6 x 3 4 x 2 8 x 3 . Shembulli 7. Të faktorizohet shprehja 13 x 3 . Zgjidhja. 1 x (1 x)(1 1 x x ) (1 x)(1 x x ). 3
3
2
2
Të zbatohen formulat e mësipërme.
x
Shembulli 8.
y
Zgjidhja.
y
: ( x y ) x
2
SHPREHJET ALGJEBRIKE
12
x 2 y 2 ( x y ) x 2 y 2 x y 1 ( x y )( x y ) x y . : ( ) : x y ( x y ) ( xy) xy 1 xy x y y x xy x 2 Shembulli 9. 1 2 y
: ( x y).
Zgjidhja. 2 2 x 2 ( y x)( y x) 1 y x yx 1 : ( ) : ( ) . x y x y 2 2 2 2 y y y x y y
1 1 1 1 : 2 2 . a b a b
Shembulli 10. Zgjidhja.
2 2 2 2 ba a b 1 1 1 1 ba b a 2 : 2 2 : 2 2 ab ab ab b a 2 a b a b
ba
2
ab
ab
2
(b a )(b a)
a
Shembulli 11.
ab b
ba
.
b
2
ab
ab
a ab 2
ab
.
Zgjidhja. a ab b
2
b a ab 2
ab ab
a
1
a ab 2
a (a b)
2
ab(a b)
a b a b
2
Shembulli 12.
b
b (a b )
a b (a b)(a b) 2
2
2
a ab 3
2
ab a b ab ab 2
ab
2
ab(a b) 2b
ab
2
2a
2
ab( a b)
2a
b( a b)
.
Zgjidhja 1
a ab 2
2b
a ab 3
1
a ( a b)
2
ab a b ab ab 2
2
2b )( a b) a( a b)(
1
a (a b)
ab ab( a b)
2 2 2 2 ba b 2b (a 2ab b )
ab(a b)( a b)
2b
a (a b ) 2
ab ab( a b)
b( a b) 2b ( a b) 2
)( a b) ab( a b)(
ba b 2b a 2ab b 2
2
2
2
ab( a b)( a b)
2
2
.
CALCULUS
13
ab a 2 a (b a ) 1 ab(a b)( a b) ab( a b)( a b) b( a b) Shembulli 13 .
ab a
.
3b 1 . 2 3 b b 1 b 1 b 1 :
Zgjidhja
3b 3b ab a 1 1 : 2 3 2 2 2 b b 1 b 1 b 1 b b 1 b 1 (b 1)( b b 1 1 ) ab a
:
1 3b 2 2 b b 1 b 1 (b 1)( b b 1) ab a
:
b 2 b 1 3b : 2 2 b b 1 (b 1)(b b 1) ab a ab a
b 2b 1 2
:
2 1)(b b 1) b b 1 (b 1) 2
ab a b b 1 2
(b 1)(b b 1) 2
b 2b 1 2
(ab a)(b 1)
b 2 2b 1
a(b 1)(b 1)
b 2 2b 1
Shembulli 14. 1 a
2 a( b 1)
b 2 2b 1
1 1 : 1 2 1 a 1 a
2 2 a( b 2 b 1 1 )
b 2 2b 1
.
Zgjidhja. 2 1 1 (1 a)(1 a) 1 1 a 1 1 a : 1 : 2 2 1 a 1 a 1 a 1 a
1 a 1 1 a 2
1 a 1 a 2
1 a
2
2a
2
2a
1 a 16 x x
x 4 2
2
1 a
(1 a)(1 a)
Shembulli 15 .
Zgjidhja.
2
2
1 a
2
2a
2
1 1 a
1 a . 3 2x 2 x
2 3x
x2
.
1 a 1
2
a.
SHPREHJET ALGJEBRIKE
14
16 x x
x 4 2
2
3 2x 2 x
16 x x
2 3x
x2
( x 2)( x 2) 2)
2
( x 2)( x 2)
3 2x
2
16 x x
( x 2)
2 3x
x2
3 2x
x 2
16 x x
2 3x
x2
2
( x 2)( x 2) 2)
3 2x
x2
2 3x
x2
16 x x ( x 2)(3 2 x) ( x 2)( 2 3 x) 2
( x 2)( x 2) 16 x x (3 x 2 x 6 4 x) ( 2 x 3 x 4 6 x) 2
2
( x 2)( x 2) 16 x x (7 x 2 x 6) (8 x 3 x 4) 2
2
2
( x 2)( x 2) 16 x x 7 x 2 x 6 8 x 3 x 4 2
2
2
x2
2
( x 2)( x 2) 5x 1 0 ax 5a 2 2 ax ax a x
Shembulli 16 .
( x 2)( x 2)
1
x2
2 ax x a : 2 2 a x a x a x
.
.
Zgjidhja. 5x 10 ax 5a 2 2 ax ax a x
2 ax x a : 2 2 a x a x a x
5a a 5x 10 x 2ax x : a x a x ( a x )( a x ) a x a x ( a x )(a x )
5a(a x) 5 x( a x) 10 ax a( a x) x( a x) 2 ax : ( ) ( ) ( ) ( ) a x a x a x a x 5a 2 5ax 5 xa 5 x 2 10 ax a 2 ax xa x 2 2ax : (a x)( a x) ( a x)( a x) 2 5a 2 10 10ax 5 x ( a x)( a x) : 2 2 ( ) ( ) a x a x a 2 ax x
5( a 2 ax x ) 2
2
a 2ax x 2
Shembulli 17. Zgjidhja.
2
4a
5( a x) ( a x) 2
10ab 25b
2
2
2
.. 25b
2
4 a 10 ab 2
2a 5b
5b 2a
.
CALCULUS
4a
15
2
10ab 25b
2
4a
25b
2
4 a 10 ab 2
2
5b(2 a 5b)
25b
2a
2
2a 5b
5b 2a
10ab( 2 a 5b) 8a 125b 4 a (2 ( 2 a 5b) 25 25b (2 (2 a 5 b) 3
2
2
10ab(2 a 5b) 8a 125b 8a 20 a b 50 ab 125b 3
3
2
2
3
10ab(2 a 5b) 20a b 50 ab 2
5b
2
3
5b
2a 4 a 5b 25 2 5b 2 a(2 a 5b) 2 a 5 b( 2 a 5 b)5 b
3
2a
2 a( 2 a 5b)
2
10ab(2 a 5b)
Shembulli 18.
10 ab( 2 a 5b)
2
10 ab( 2 a 5b) 1
x 6 x 9 2
2
x 9 2
1.
1
x 6x 9 2
.
Zgjidhja. 1
x 6 x 9 2
2
x 9 2
1
x 6x 9 2
1 ( x 3) 3)
( x 3) 2( x 3)( x 3) ( x 3) 2
( x 3) ( x 3) 2
2 ( x 3) 3)( x 3) 3)
2
2
2 2 2 2 2 2 x 2 x 3 3 2( x 3 ) x 2 x 3 3
( x 3) ( x 3) 2
2
x 6 x 9 2 x 18 x 6 x 9 2
2
2
2
( x 3) 3) ( x 3) 3) 2
3a 2b
Shembulli 19.
3a 2b 2 2 9a 4b 9a 4b 2
2
2
3a 2b 3a 2b . 2 2 9a 4b 9 a 4b 2
2
4x
2
( x 3) 3) ( x 3) 3) 2
2
.
1 ( x 3) 3)
2
SHPREHJET ALGJEBRIKE
16
Zgjidhja. 3a 2b
3a 2b 2 2 9a 4b 9a 4b 2
2
(3a 2b) (3a 2b) 2
3a 2b
2
(3a 2b)(3a 2b) 3a 2b 2 2 2 2 2 2 2 2 9 a 4b (9 a 4b ) (9 a 4 b ) 9 a 4b 2
(9 a 4b )(9 a 4 b )
2
2
2
2
2
(3a) 2(3a)( 2b) ( 2 b) ((3 a) 2(3 a)( 2 b) ( 2 b) ) 2
2
2
2
(3a 2b)(3a 2b) (9a ) 2(9 a )( ) (4b ) (4 (4 b ) ((9 a ) 2 9 a 2 9 a 4 b ( 4 b ) 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(9a 4b )(9 a 4b ) 2
2
2
2
(3a) 2(3a)( 2b) ( 2 b) (3 a) 2(3 a)( 2 b) ( 2 b) 2
2
2
(3a 2b)(3a 2b) (9a ) 2(9 a )( ) (4b ) (4 (4 b ) (9 a ) 2 9 a 4 b (4 b ) 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(3a 2 b)(9 a 4b ) 2
2
12ab 12ab 24ab 2 2 (3a 2b)(3a 2b) 9 4 a b 2 2 2 2 72a b 72a b 14 a 2 b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (9a 4b )(9 a 4b ) (9 a 4 b )(9 a 4 b ) 24ab(9a 2 4b 2 )(9 a 2 4b 2 ) 9 a 2 4 b 2 . 2 2 2 2 6 ab 144a b (9a 4b ) Shembulli 20.
x 1 4 x x 3
1 2 x 1
2x 4 x 4 x 1 2
.
Zgjidhja. x 1 4 x x 3
1 2x 1
2x 2
x 1 x (2 x 1)( 2 x 1)
1 2 x 1
x 1 2 x( 4 x 1)
1 2 x 1
2x (2 x 1) 1)
2x (2 ( 2 x 1)
2
(2 x 1)( x 1) x( 2c 1)(2 x 1) x( 2 x 1) 2 x 2 x(2 x 1) ( 2 x 1)
2 x 2 x x 1 x( 4 x 1) 2 x (2 x 1) 2
2
x (2 x 1) 2 ( 2 x 1) 2 x x 1 4 x x 4 x 2 x 3
4x 4x 1
2
2
3
x(2 x 1) ( 2 x 1) 2
2
1 x( 2 x 1) (2 x 1) 2
.
2
2
2
2
CALCULUS
17
Detyra për ushtrime Të thjeshtohen thyesat
1. 4.
2
6ac 3
14a bc
4ab c
2.
;
( a b)( x 1)
3
2
x( a 2 y )
5.
;
3
7 ab p
3.
;
2
12a b c
2
3( a b) ( x 1)
2
3
2
.
21abp
2 2 x y ( x 1)
6.
;
2a 4ay
3
7 x y ( x 2 x 1) 2
3
2
;
Kryeni veprimet me polinome:
7. a) 8. a) 9. a) c)
2a b 4 1 9a
3
x x
6
b)
;
2
b)
;
4 1 x
2
2
xx
2
x( 2 x 2 x 3)
; b
x 1
x 1 3
1
x 6 x 9 2
x 1
4 x x 3
1
2
x 9 2
1 2x 1
x 4 x
x 1 x x 3
1
3a
2
2b 3a 6 ab
x
2
x 36 2
x x 1 2
x 6x 9 2x
4x 4x 1 2
x 1 x6
x y 2
x y
x y 2
y x
.
( x 3) 25
c)
;
2x 1
x6
( 2 x 4)( x 1) 2
.
;
.
1 2
c)
;
2
( x x 1)( x 1)
;
;
b)
;
2 3 1 3x x : 12. a) 2 3 x x 1 x 1 x 1 2
2a
2
2 1 x x 2 x 2 c) 1 ; x 1 2 x 1 2 x 2
1
x 4 x
x 1
2
2 x
11. a)
3a 2b
2
3a 1
10. a) b)
x 3 x y 3 y 2 y 1 y 1 y 1 4
x 1
x 1
;
ab ac b . d) 2 a a bc b 2
;
x y 2
b)
2
1 6m 9m
x y 4
2
:
4
1 18m 81m 2
4
.
SHPREHJET ALGJEBRIKE
18
( a b)
ab
3ab 2 ( a b)
13. a)
3a 2b
3
ab
1
9a 4b 2
a b 14. a) 2 :
a
a ab b
b
3a 2b 2 2 9a 4b
b)
;
2
2
ab
2
; 2 a ab b
2 1 1 2a 3a 2 1 . b) a 3 2 a a 1 a 1 a 1 1 a
Të thjeshtohen t hjeshtohen shprehjet:
15.
3 y (( 2 y 1) y 1) y(1 (1 y y ) y y .
16.
2 x a a (1 2 x ) ( a x( x a)).
17.
(2 x ( x 1) ( x 3) 2 x 2 x )(3 x) 3 x .
18.
( x 1)(1 x x x x ) ( x 1)(1 x x x x ) .
19.
( x y z )( x y ) ( y x z )( z x) ( z x y)( y z) .
20.
( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) .
2
2
2
2
2
3
3
2
2
3
3
2
4
5
2
Të thjeshtohen t hjeshtohen shprehjet:
21.
( y 2)( y 2) ( y 3)( y 3) y(2 y 1) 4 .
22.
(5a b 1)(5a b 1) 24( a 1) b 1 .
23.
( x 2 y ) ( x 2 y ) .
24.
(2 x 1)( 2 x 1)(4 x 1).
25.
(a b c ) ( a b c) .
26.
(a 2b c) ( a 2b c) .
27.
( x y ) ( x y) .
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
3
3
1 1 28. b y b y . 2 2
29.
(a b c ) ( a b c) . 3
3
2
3
4
3a 2b 3a 2b . 2 2 9a 4b 9 a 4b 2
2
CALCULUS
30.
19
(a b) 2 ac 2( a b) 2bc ( c 1) 1) . 2
2
Të kryhen kryhen veprimet me shprehjet shprehjet algjebrike: algjebrike: x y 2
31.
2
ab
b
x y x y
x xy
4x 4 y
2
32.
7 x 7 y 2
x y
2
x y
2
2
34.
2
4
36.
14 a b
a b
2
2
2
2
3
2
3
21a b 2
35. 37.
. 2
4 xy 2
2 xy x y 2
a b 4
a 2ab b 2
2
46.
2
3
2
3
3
2
x y
4
x y 2 xy xy x 2
3 y
2
x xy 4
x y 2 y
3
3
2
x y 2
x x y y x 2
43.
. 2
45.
.
y 3
41.
.
2
m ( a c) m ac ac m a 2
( mn n ) 2
9cx
3
16ab
2
1
x xy 2
2
2
3
a ab 2
4by
2
3ax
2
.
. 2
x xy y
2
2
a b
a 2ab b a ab b
2
.
a b 3
2
.
3
ab(a b)
2
2
1 5 x 15 y
3
2
2
3 x 3 y
a b
m n
cxy
2 x 2 y
2
:
2
2ab
mn m
3
2
3
m m(a b) ab m c
3
47.
34.
.
( x 3 xy( x y) y )( x y )
2
m n
2
( x y ( x y ))( x y )
4
44.
39.
.
4
2
42.
a b 2(a b) : . 2 a bc abc
3
x y
2
40.
33.
.
x xy
10 x y
a b
3
: ( x y ).
2
2
33.
2
x y 4 y 2
38.
3
.
3
2
5 xy
a
ab
3
.
ab ad ba ad . bc cd bc cd 2 2 2 2 a b ab x y 2 xy
x y 2
.
2y 2 xy 4 y . 2 4 2 y 2 x xy ( x y)( x 4)
2
a b 3
3
.
SHPREHJET ALGJEBRIKE
20
1
48.
ab 1
1
1
a b a. 1 b a b a b
49.
a 1
a
1
bc 1
b2 c2 a 2 1 2bc
bc 2
2 1 1 x 4 50. 2 . 2 2 4 x x x 4 x 16 x 16 4 x x 4 2
(a b) 2 ( a b) 2 1 1 4 2 2 4 a b a b ( ab ( a b) )(( a b) ab) . 51. 3 3 ( a b) 3ab( a b) ( a b) 3 ab( a b) y 2 x 2 m n x mn . 52. 2 2 2 m n x y n m y
53.
3 2 x 9 y x x 3 y
x 3y 2 2 2 2 9 y x x 3 xy 3 xy x
x x 54. 2 2 2 ( x y) x y
55.
( a b)
a
56.
a
ab
y 2 2 xy x 2 y . 2 x x y
3a b a a . 2 2 2 b a ab ( a b) b ab
1 y xy
2
2ab
2ab a b . 2 2 2 2 b a ab ba a b
x y x y x . 2 2 x x y ( x y ) xy y x y 2
