Facultad de Ingeniería Electrónica e Informática Escuela de Ingeniería Informática
GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS Para Para lograr lograr una simula simulació ción n efecti efectiva va aproxi aproximad madaa a la realid realidad ad es necesa necesario rio convert convertir ir la información o datos de entrada del modelo de simulación. Lo cual puede ser los siguientes tipos de información: 1. Información determinística. Esta información entra directamente al modelo con su valor correspondiente en el sistema real. 2. Información proai!ística. Es necesario crear modelos de simulación que imiten el comportamiento de esas variables. Al crear un modelo de simulación debemos ser capaces de crear ese comportamiento y modelarlo. Los nmeros aleatorios uniformes !"#1$ son la base en los modelos de simulación donde %ay variables estoc&sticas' ya que dic%os nmeros son la %erramienta para generar eventos de tipo probabil(stico.
"#TODOS DE GENERACIÓN DE N$"EROS %SE&DOALEATORIOS %SE&DOALEATORIOS &' ()* + Existen un gran nmero de m)todos para generar los nmeros aleatorios uniformes entre " y 1. Algunas formas de obtener estos nmeros son: # *tili+ando tablas de nmeros aleatorios. # *tili+ando calculadoras ! algunas incluyen una función para generarlos $. # Los Los lengu lengua, a,es es de prog progra rama maci ción ón y las las %o,a %o,ass elect electró róni nica cass incl incluy uyen en una funci función ón para para generarlos. # *tili+ando -eneradores ongruenciales. El m)todo a utili+ar' en s( mismo' no tiene importancia: la importancia radica en los nmeros que genera' ya que q ue estos nmeros deben cumplir ciertas caracter(sticas para que sean validos. /ic%as caracter(sticas son: 1. *niformemente distribuidos. 2. Estad(sticamente independientes. 0. u media debe ser estad(sticamente igual a 12. 3. u varian+a debe ser estad(sticamente igual a 112. 4. u periodo o ciclo de vida debe ser largo. 5. /eben ser generados a trav)s de un m)todo r&pido. 6. -enerados a trav)s de un m)todo que no requiera muc%a capacidad de almacenamiento de la computadora.
"ETODOS %ARA GENERAR N&"EROS ALEATORIOS NO &NI,OR"ES En los modelos estoc&sticos existir&n una o m&s variable aleatorias interactuando. Estas variab variables les siguen siguen distri distribuci buciones ones de probabi probabilid lidad ad teóri teóricas cas o emp(ri emp(ricas cas'' difere diferente ntess a la distribución uniforme !"#1$. Para generar nmeros que sigan el comportamiento de )stas variables' se pueden utili+ar algunos m)todos como los siguientes: 1. 7)todo de la transformada inversa 2. 7)todo de rec%a+o 0. 7)todo de composición' y 3. Procedimientos especiales
"#TODO DE LA TRANS,OR"ADA INVERSAEl m)todo de la transformada inversa utili+a la distribución acumulada 8!x$ de la distribución que se va a simular. Puesto que 8!x$ esta definida en el intervalo !"#1$' se puede generar un nmero aleatorio uniforme 9 y tratar de determinar el valor de la variable aleatoria para cual su distribución acumulada es igual a 9' es decir' el valor simulado de la variable aleatoria que sigue un distribución de probabilidad f!x$' se determina al resolver la siguiente ecuación. 8!x$ 9 ó x 8;#1 !9$ La dificultad principal de este m)todo descansa en el %ec%o de que en algunas ocasiones es dif(cil encontrar la transformada inversa. in embargo si esta función inversa ya %a sido establecida' generando nmeros aleatorios uniformes se podr&n obtener valores de la variable aleatorio que sigan la distribución de probabilidad deseada.
------------------- 01 ------------------ ALEATORIOS ------------------- 01 -------------------
------------------- 01 ------------------//Numero aleatorio estatico
#include
#include #include int main() { for ( int contador = 1; contador <= 20; contador ) { cout << set!( 10 ) << ( 1 rand() " ); if ( contador " $ == 0 ) cout << endl; % return 0;
% ------------------- 02 ------------------&& #include #include #include int main() { int frecuencia1 = 0; int frecuencia2 = 0; int frecuencia' = 0; int frecuencia = 0; int frecuencia$ = 0; int frecuencia = 0; int cara; for ( int tiro = 1; tiro <= 000; tiro ) { cara = 1 rand() " ; s!itch ( cara ) { case 1 frecuencia1; brea*; case 2 frecuencia2; brea*; case ' frecuencia'; brea*; case frecuencia; brea*; case $ frecuencia$; brea*; case frecuencia; brea*; default cout << +,l prorama no debe llear hasta a/u+; % % cout << +ara+ << set!( 1' ) << +3recuencia+ << +4n 1+ << set!( 1' ) << frecuencia1 << +4n 2+ << set!( 1' ) << frecuencia2 << +4n '+ << set!( 1' ) << frecuencia' << +4n + << set!( 1' ) << frecuencia << +4n $+ << set!( 1' ) << frecuencia$ << +4n + << set!( 1' ) << frecuencia << endl; return 0; % ------------------- 0' ------------------#include #include #include && contiene srand 5 rand int main() { unsined semilla; cout << +6ntrodu7ca semilla +; cin >> semilla; srand( semilla ); for ( int contador = 1; contador <= 10; contador ) { cout << set!( 10 ) << ( 1 rand() " ); if ( contador " $ == 0 ) cout << endl; % return 0; % ------------------- 0 ------------------#include #include
#include && contiene prototipo de funci8n time int tira9ados( :oid ); && prototipo de la funci8n int main() { enum tatus { 6?@A B@@A C6D9 %; int suma; int miCunto; tatus estadoEueo; && 6?@A B@@ o C6D9
srand( time( 0 ) ); && randomi7a nFmeros mediante time suma = tira9ados(); && primer tiro de dados s!itch ( suma ) { case G case 11 estadoEueo = B@@; brea*; case 2 case ' case 12 estadoEueo = C6D9; brea*; default estadoEueo = 6?@; miCunto = suma; cout << +l punto es + << miCunto << endl; brea*; && opcional % !hile ( estadoEueo == 6?@ { suma = tira9ados(); && tira if ( suma == miCunto ) estadoEueo = B@@; else if ( suma == G ) estadoEueo = C6D9;
) dados nue:amente && ana por puntos
&& pierde por obtener G
% if ( estadoEueo == B@@ ) cout << +l Huador ana+ << endl; else cout << +l Huador pierde+ << endl; return 0;
% int tira9ados( :oid ) { int dado1; int dado2; int sumarabaHo; dado1 = 1 rand() " ; && aleatorio del dado1 dado2 = 1 rand() " ; && aleatorio del dado2 sumarabaHo = dado1 dado2; cout << +l Huador tiro + << dado1 << + + << dado2 << + = + << sumarabaHo << endl; return sumarabaHo; && de:uel:e suma de los dados % ------------------- 0$ ------------------#include #include unsined lon factorial( unsined lon ); && prototipo de la funci8n int main() { for ( int i = 0; i <= 10; i ) cout << set!( 2 ) << i << + = + << factorial( i ) << endl; return 0; && indica terminaci8 eIitosa % unsined lon factorial( unsined lon numero ) {
if ( numero <= 1 ) return 1; else return numero J factorial( numero - 1 );
% ------------------- 0 ------------------#include unsined lon fibonacci( unsined lon ); int main() { unsined lon resultadoA numero; cout << +6ntrodu7ca un entero +; cin >> numero; resultado = fibonacci( numero ); cout << +3ibonacci(+ << numero << +) = + << resultado << endl; return 0; % unsined lon fibonacci( unsined lon n ) { if ( n == 0 KK n == 1 ) return n; else return fibonacci( n - 1 ) fibonacci( n - 2 ); % ------------------- 0G ------------------#include #include int main() { const int tamano@rrelo = 10; int nL tamano@rrelo M = { 1NA 'A 1$A GA 11A NA 1'A $A 1GA 1 %; cout << +lemento+ << set!( 1' ) << +Oalor+ << set!( 1G ) << +Pistorama+ << endl; for ( int i = 0; i < tamano@rrelo; i ) { cout << set!( G ) << i << set!( 1' ) << nL i M << set!( N ); for ( int H = 0; H < nL i M; H ) cout << QJQ; cout << endl; % return 0; % ------------------- 0R ------------------// Tiro de un dado de seis lados 6000 veces
#include #include #include #include int main() { const int tamano@rrelo = G; int frecuenciaL tamano@rrelo M = { 0 %; srand( time( 0 ) ); && tira los dados 000 :eces for ( int tiro = 1; tiro <= 000; tiro ) frecuenciaL 1 rand() " M; cout << +ara+ << set!( 1' ) << +3recuencia+ << endl; && muestra la frecuencia de los elementos 1 a en formato tabular for ( int cara = 1; cara < tamano@rrelo; cara ) cout << set!( ) << cara << set!( 1' ) << frecuenciaL cara M << endl; return 0; % ------------------- 0N ------------------// Análisis de encuestas.mediamediana ! moda de datos.
#include usin stdfiIed; usin stdsho!point; #include :oid media( const int LMA int );
:oid mediana( int LMA int ); :oid moda( int LMA int LMA int ); :oid ordenaSurbuHa( intLMA int ); :oid despliea@rrelo( const intLMA int ); int main() { const int tamanoDespuestas = NN; && tamaTo del arrelo respuestas int frecuenciaL 10 M = { 0 %; && iniciali7a el arrelo frecuencia && iniciali7a el arrelo respuestas int respuestasL tamanoDespuestas M = { A GA RA NA RA GA RA NA RA NA GA RA NA $A NA RA GA RA GA RA A GA RA NA 'A NA RA GA RA GA GA RA NA RA NA RA NA GA RA NA A GA RA GA RA GA NA RA NA 2A GA RA NA RA NA RA NA GA $A 'A $A A GA 2A $A 'A NA A A A GA RA NA A RA GA RA NA GA RA GA A A 2A $A 'A RA GA $A A A $A A 1A A $A GA RA G %; && procesa las respuestas media( respuestasA tamanoDespuestas ); mediana( respuestasA tamanoDespuestas ); moda( frecuenciaA respuestasA tamanoDespuestas ); return 0; && indica terminaci8n eIitosa % && fin de main && calcula el promedio de todos los :alores correspondientes a las respuestas :oid media( const int respLMA int tamano@rrelo ) { int total = 0; cout "" #$$$$$$$$%n
&edia%n$$$$$$$$% n#'
&& total del :alor de las respuestas for ( int i = 0; i < tamano@rrelo; i ) total = respL i M; && da formato 5 despliea los resultados cout << fiIed << setprecision( ); cout << +Ua media es el :alor promedio de los elementos4n+ << +de datos. Ua media es iual al total de todos 4n+ << +los elementos de datos di:ididos entre el numero4n+ << +de elementos de datos (+ << tamano@rrelo << +). l :alor de la media para 4nesta eHecuci8n es + << total << + & + << tamano@rrelo << + = + << staticVcast< double >( total ) & tamano@rrelo << +4n4n+; % && fin de la funci8n media && ordena el arrelo 5 determina el :alor de la mediana de los elementos :oid mediana( int respLMA int tamano ) { cout "" #%n$$$$$$$$%n &ediana%n$$$$$$ $$%n#
<< +l arrelo desordenado de respuestas es+; despliea@rrelo( respA tamano ); && muestra el arrelo desordenado ordenaSurbuHa( respA tamano ); && ordena el arrelo cout << +4n4nl arrelo ordenado es+; despliea@rrelo( respA tamano ); && muestra el arrelo ordenado && displiea la mediana cout << +4n4nUa mediana es el elemento + << tamano & 2 << + del4narrelo ordenado de + << tamano << + elementos.4nCara esta eHecucion la mediana es + << respL tamano & 2 M << +4n4n+; % && fin de la funci8n mediana && determina la respuesta mWs frecuente :oid moda( int frecLMA int respLMA int tamano ) { int masBrande = 0; && representa la frecueancia mWs rande int :alorXoda = 0; && representa la respuesta mWs frecuente cout "" #%n$$$$$$$$%n
&oda%n$$$$$$$$%n# '
&& iniciali7a las frecuencias en 0 for ( int i = 1; i <= N; i ) frecL i M = 0; && resume las frecuencias
for ( int H = 0; H < tamano; H ) frecL respL H M M; && muestra los encabe7ados para las columnas de resultados cout << +Despuestas+ << set!( 11 ) << +3recuencia+ << set!( 1N ) << +Pistorama4n4n+ << set!( $$ ) << +1 1 2 24n+ << set!( $ ) << +$ 0 $ 0 $4n4n+; && despliea resultados for ( int ratin = 1; ratin <= N; ratin ) { cout << set!( R ) << ratin << set!( 11 ) << frecL ratin M << + +; && da seuimiento al :alor de la moda 5 al :alor de la frecuencia mWs rande if ( frecL ratin M > masBrande ) { masBrande = frecL ratin M; :alorXoda = ratin; % && fin de if && muestra las barras del historama /ue representa los :alores de frecuencia for ( int * = 1; * <= frecL ratin M; * ) cout << QJQ; cout << Q4nQ; && comien7a una nue:a lnea de salida % && fin del for eIterno && despliea el :alor de la moda cout << +Ua moda es el :alor mas frecuente.4n+ << +Cara esta eHecucion la moda es + << :alorXoda << + la cual tiene una ocurrencia de + << masBrande << + :eces.+ << endl; % && fin de la funci8n moda && funci8n /ue ordena el arrelo mediante el aloritmo del mYtodo de la burbuHa :oid ordenaSurbuHa( int aLMA int tamano ) { int mantiene; && ubicaci8n temporal utili7ada para intercambiar elementos && ciclo para controlar el nFmero de pasadas for ( int pasada = 1; pasada < tamano; pasada ) && ciclo para controlar el nFmero de comparaciones por pasada for ( int H = 0; H < tamano - 1; H ) && intercambia elementos desordenados if ( aL H M > aL H 1 M ) { mantiene = aL H M; aL H M = aL H 1 M; aL H 1 M = mantiene; % && fin de if % && fin de la funci8n ordenaSurbuHa && muestra el contenido del arrelo (20 :alores por fila) :oid despliea@rrelo( const int aLMA int tamano ) { for ( int i = 0; i < tamano; i ) { if ( i " 20 == 0 ) && comien7a una nue:a lnea cada 20 :alores cout << endl; cout << set!( 2 ) << aL i M; % && fin de for % && fin de la funci8n despliea@rrelo ------------------- 10 ------------------// ()s*ueda lineal en un arre+lo.
#include usin stdcout; usin stdcin; usin stdendl; int bus/uedaUineal( const int LMA intA int ); && prototipo int main() { const int tamano@rrelo = 100; && tamaTo del arrelo a int aL tamano@rrelo M; && crea el arrelo a int cla:eSus/ueda; && :alor a locali7ar dentro de a for ( int i = 0; i < tamano@rrelo; i ) && crea alunos datos aL i M = 2 J i; cout << +6ntroduce la cla:e de bus/ueda entera +;
cin >> cla:eSus/ueda; && intenta locali7ar cla:eSus/ueda dentro del arrelo a int elemento = bus/uedaUineal( aA cla:eSus/uedaA tamano@rrelo ); && despliea los resultados if ( elemento = -1 ) cout << +ncontre :alor en el elemento + << elemento << endl; else cout << +Oalor no encontrado+ << endl; return 0; && indica terminaci8n eIitosa % && fin de main && compara la cla:e con cada elemento del arrelo hasta encontrar su && ubicaci8n o hasta /ue se alcan7a el final del arrelo; de:uel:e el subndice && del elemento si es la cla:e o -1 si Ysta no se encontr8 int bus/uedaUineal( const int arreloLMA int cla:eA int tamano9el@rrelo ) { for ( int H = 0; H < tamano9el@rrelo; H ) if ( arreloL H M == cla:e ) && si se encuentra A return H; && de:uel:e la ubicaci8n de la cla:e return -1; && la cla:e no se encontr8 % && fin de la funci8n bus/uedaUineal ------------------- 11 ------------------// ()s*ueda ,inaria dentro de un arre+lo.
#include usin stdcout; usin stdcin; usin stdendl; #include usin stdset!; && prototipo de la funci8n int bus/uedaSinaria( const int LMA intA intA intA int ); :oid desplieancabe7ado( int ); :oid despliea3ila( const int LMA intA intA intA int ); int main() { const int tamano@rrelo = 1$; && tamaTo del arrelo a int aL tamano@rrelo M; && crea el arrelo a int cla:e; && :alor a locali7ar en a for ( int i = 0; i < tamano@rrelo; i ) && crea alunos datos aL i M = 2 J i; cout << +6ntrodu7ca un numero entre 0 5 2R +; cin >> cla:e; desplieancabe7ado( tamano@rrelo ); && bFs/ueda de la cla:e en el arrelo a int resultado = bus/uedaSinaria( aA cla:eA 0A tamano@rrelo - 1A tamano@rrelo ); && despliea resultados if ( resultado = -1 ) cout << Q4nQ << cla:e << + se encuentra en el elemento del arrelo + << resultado << endl; else cout << Q4nQ << cla:e << + no se encontro+ << endl; return 0; && indica terminaci8n eIitosa % && fin de main && funci8n para reali7ar la bFs/ueda binaria dentro de un arrelo int bus/uedaSinaria( const int bLMA int cla:eSus/uedaA int baHoA int altoA int tamano ) { int central; && repetici8n hasta /ue el subndice baHo sea ma5or /ue el subndice alto !hile ( baHo <= alto ) { && determina el elemento central del subarrelo en el /ue se busca central = ( baHo alto ) & 2; && despliea el subarrelo utili7ado en este ciclo de la iteraci8n despliea3ila( bA baHoA centralA altoA tamano ); && si cla:eSus/ueda coincide con el elemento centralA de:uel:e el elemento central if ( cla:eSus/ueda == bL central M ) && coincide return central; else && si cla:eSus/ueda es menor /ue el elemento centralA && establece el nue:o elemento alto
if ( cla:eSus/ueda < bL central M ) alto = central - 1; && busca baHo hasta el final del arrelo && si cla:eSus/ueda es ma5or /ue el elemento centralA && establece el nue:o elemento baHo else baHo = central 1; && busca baHo hasta el final del arrelo
% return -1; && no se encontr8 cla:eSus/ueda % && fin de la funci8n bus/uedaSinaria && despliea el encabe7ado de salida :oid desplieancabe7ado( int tamano ) { cout << +4nubindices4n+; && muestra encabe7ados de columnas for ( int H = 0; H < tamano; H ) cout << set!( ' ) << H << Q Q; cout << Q4nQ; && comien7a nue:a lnea de salida && despliea lnea de caracteres for ( int * = 1; * <= J tamano; * ) cout << Q-Q; cout << endl; && comien7a nue:a lnea de salida % && fin de la funci8n desplieancabe7ado && imprime despliea una fila de salida resultados /ue muestra la paerte && actual del arrelo /ue estW en proceso :oid despliea3ila( const int bLMA int baHoA int cenA int altoA int tamano ) { && repite a tra:Ys de todo el arrelo for ( int m = 0; m < tamano; m ) && despliea espacios si se encuentra fuera del rano del subarrelo if ( m < baHo KK m > alto ) cout << + +; && despliea el elemento central marcado con un J else if ( m == cen ) && marca el elemento central cout << set!( ' ) << bL m M << QJQ; && despliea otros elementos del subarrelo else cout << set!( ' ) << bL m M << Q Q; cout << endl; && comien7a nue:a lnea de salida % && fin de la funci8n despliea3ila
%ER"&TACIONES
Rec.rsi/idad e dice que una función es recursiva cuando se define en función de si misma. > permite la recursividad. uando se llama a una función' se crea un nuevo ,uego de variables locales' de este modo' si la función %ace una llamada a si misma' se guardan sus variables y par&metros en la pila' y la nueva instancia de la función traba,ar& con su propia copia de las variables locales' cuando esta segunda instancia de la función retorna' recupera las variables y los par&metros de la pila y continua la e,ecución en el punto en que %ab(a sido llamada. 8unción recursiva para calcular el factorial de un nmero entero. El factorial se simboli+a como n?' se lee como @n factorial@' y la definición es:
n? n !n#1$ !n#2$ B 1 &J 3unci8n recursi:a para cWlculo de factoriales J& int factorial(n) { if(1 == n) return 1; &J ondici8n de terminaci8n J& else return nJfactorial(n-1); &J Decursi:idad J& %
Paso a paso' que pasa cuando se e,ecuta la función': factorial!3$: 1C Dnstancia n3 n ? 1 salida # 3 factorial!0$ !-uarda el valor de n 3$ 2C Dnstancia n ? 1 salida # 0factorial!2$ !-uarda el valor de n 0$ 0C Dnstancia n ? 1 salida # 2factorial!1$ !-uarda el valor de n 2$ 3C Dnstancia n 1 #F retorna 1 0C Dnstancia !recupera n2 de la pila$ retorna 122 2C instancia !recupera n0 de la pila$ retorna 205 1C instancia !recupera n3 de la pila$ retorna 5312 Galor de retorno #F 12 La función factorial es un buen e,emplo para demostrar cómo se %ace una función recursiva' pero la recursividad no es un buen modo de resolver esta función' que ser(a m&s sencilla y r&pida con un bucle @for@. La recursividad consume muc%os recursos de memoria y tiempo de e,ecución' y se debe aplicar a funciones que realmente le saquen partido.
NUMERO FACTORIAL Definición: 0! = 1 (n + 1)! = n!×(n + 1) Ejem"#:
(n
N0 )
1! = 0!×1 = 1×1 = 1 $! = 1!×$ = 1×$ = $ %! = $!×% = 1×$×% = & 'RINCI'IO MULTI'LICATIO i una operación puede efectuarse de n maneras diferentes y reali+ada una cualquiera de ellas' una segunda operación puede efectuarse de p maneras distintas' entonces el nmero total ! < $ de maneras diferentes' en que pueden reali+arse a la ve+ ambas operaciones es:
N = n× *n matrimonio decide comprar una radio y una cocina. i en el lugar donde %ar&n la compra %ay 3 tipos de radio y 2 clases de cocina' Hde cu&ntas maneras distintas pueden reali+ar la compra de ambos ob,etos a la ve+I
N = × $ = * E#e ,incii" -e.e e/en.e,#e m# .e ."# "e,ci"ne#2 'ERMUTACION 3IM'LE on permutaciones simples' de n elementos distintos' todas las agrupaciones de esos n elementos' dispuestos linealmente' sin que ninguno falte o se repita. Estas agrupaciones se diferencian entre s(' sólo por el orden de sus elementos. El nmero de permutaciones simples que pueden reali+arse con n elementos distintos ( ' n ) es :
'n = n! *na madre tiene 0 %i,os Hde cu&ntas maneras distintas' nombr&ndolos uno por uno'puede llamarlos a cenarI
'% = %! = & 'ERMUTACION CON RE'ETICION on permutaciones con repetición de n elementos' no todos distintos' todas las agrupaciones de n elementos' formadas por aquellos' dispuestos linealmente y sin que ninguno falte. El nmero de permutaciones con repetición que pueden reali+arse con n elementos' donde existen r elementos iguales entre s( ! de una misma clase $ y el resto distintos entre s( y distintos tambi)n a los anteriores ( '4n ) 5 e#:
n! '4n = 666 ,!
Esto puede extenderse a permutaciones de n elementos' donde existen r elementos de una clase' q elementos de otra clase' etc.
n! '4n = 6666666666666 , ! × 7 ! × 22222 Hu&ntos nmeros de 5 cifras se pueden formar con los d(gitos 1 ' 1 ' 1 ' 2 ' 2 y 0I
&! 666666666 = &0 %!×$! 'ERMUTACION CIRCULAR 3"n e,m-ci"ne# ci,c-,e# .e n eemen"# .i#in"#5 ".# # 8,-ci"ne# .e e#"# n eemen"#5 .i#-e#"# en f",m ci,c-,5 #in 7-e nin8-n" fe " #e ,ei2 Cc-": E n9me," .e e,m-ci"ne# ci,c-,e# 7-e -e.en ,ei,#e c"n n eemen"# .i#in"# ( 'n; ) e#: 'n; = ( n 6 1 ) ! 3i n" im", e ",.en en 7-e #e .i#"n8n "# eemen"#5 e#: (n 6 1)! 'n; = 6666666666 $ Ejem": Re#-e#: %! = & Re#-e#: %! 666 = % $ ARIACION ( O ARRE@LO ) 3IM'LE Definición: 3"n ,ici"ne# ( " ,,e8"# ) #ime#5 ".# # 8,-ci"ne# .e B eemen"#5 .i#-e#"# inemene5 7-e #e -e.en f",m, ,i, .e n eemen"# .i#in"# ( B n ) 5 #in 7-e nin8-n" #e ,ei2 E## 8,-ci"ne# #e .ife,encin en,e #5 ", "# eemen"# 7-e # c"m"nen " ", #- ",.en2 Cc-": E n9me," .e ,ici"ne# .e B eemen"# 7-e -e.en f",m,#e ,i, .e n eemen"# .i#in"# ( Bn ) 5 e#: B
n
n! = 6666666666 (n 6 B)!
( B n )
Ejem": Re#-e#: G! %G = 66666 = $10 ! ARIACION ( O ARRE@LO ) CON RE'ETICION Definición: 3"n ,ici"ne# ( " ,,e8"# ) c"n ,eeición5 ".# # 8,-ci"ne# .e B eemen"#5 .i#-e#"# inemene5 7-e #e -e.en f",m, ,i, .e n eemen"# .i#in"#5 ."n.e c. -n" .e "# eemen"# -e.e f",m, ,e .e 8,-ción5 n# ece# c"m" #e "#ie2 Cc-": E n9me," .e ,ici"ne# c"n ,eeición .e B eemen"#5 7-e -e.en f",m,#e ,i, .e n eemen"# .i#in"# ( BBn ) 5 e#: BBn = n B Ejem": Re#-e#: $% = * Las permutaciones de un con,unto son las diferentes maneras de colocar sus elementos' usando todos ellos y sin repetir ninguno. Por e,emplo para A' J' ' tenemos: AJ' AJ' JA' JA' AJ' JA. #include :oid Cermutaciones(char JA int l=0); int main(int arcA char Jar:LM) { char palabraLM = +@S9+; Cermutaciones(palabra); return 0; % :oid Cermutaciones(char J cadA int l) { char c; &J :ariable auIiliar para intercambio J& int iA H; &J :ariables para bucles J& int n = strlen(cad); for(i = 0; i < n-l; i) { if(n-l > 2) Cermutaciones(cadA l1); else cout << cad << +A +; &J 6ntercambio de posiciones J& c = cadLlM; cadLlM = cadLli1M; cadLli1M = c; if(li == n-1) { for(H = l; H < n; H) cadLHM = cadLH1M; cadLnM = 0; % % %
El algoritmo funciona del siguiente modo: Al principio todos los elementos de la lista pueden cambiar de posición' es decir' pueden permutar su posición con otro.
1
2
0
3
A
J
/
"
e llama recursivamente a la función' pero de,ando fi,o el primer elemento' el ": Permutacion!cad'1$ "
1
2
0
3
A
J
/
"
e llama recursivamente a la función' pero fi,ando el segundo elemento' el 1: Permutacion!cad'2$ "
1
2
0
3
A
J
/
"
A%ora sólo quedan dos elementos permutables' as( que imprimimos )sta permutación' e intercambiamos los elementos: l y l>i>1' es decir el 2 y el 0. "
1
2
0
3
A
J
/
"
Dmprimimos )sta permitación' e intercambiamos los elementos l y l>i>1' es decir el 2 y el 3. "
1
2
0
3
A
J
"
/
En el caso particular de que l>i>1 sea ,usto el nmero de elementos %ay que mover %acia la i+quierda los elementos desde la posición l>1 a la posición l: "
1
2
0
3
A
J
/
"
En este punto abandonamos el ltimo nivel de recursión' y retomamos en el valor de l1 e i ".
"
1
2
0
3
A
J
/
"
Permutamos los elementos: l y l>i>1' es decir el 1 y el 2. "
1
2
0
3
A
J
/
"
En la siguiente iteración del bucle i 1' llamamos recursivamente con l 2: Permutaciones!cad'2$ "
1
2
0
3
A
J
/
"
Dmprimimos la permutación e intercambiamos los elementos 2 y 0. "
1
2
0
3
A
/
J
"
K as( sucesivamente. Geremos m&s aplicaciones de recursividad en el tema de estructuras din&micas de datos.
------------------- 0 ------------------ER&TAIONES ------------------- 0 -------------------
------------------- 01 ------------------//Realia todas las 2ermutaciones 2osi,les de las letras de la 2ala,ra A(3E
#include #include :oid Cermutaciones(char JA int l=0); int main(int arcA char Jar:LM) { char palabraLM = +@S9+; Cermutaciones(palabra); return 0; % :oid Cermutaciones(char J cadA int l) { char c; &J :ariable auIiliar para intercambio J& int iA H; &J :ariables para bucles J& int n = strlen(cad); for(i = 0; i < n-l; i) { if(n-l > 2) Cermutaciones(cadA l1); else cout <
cadLlM = cadLli1M; cadLli1M = c; if(li == n-1) { for(H = l; H < n; H) cadLHM = cadLH1M; cadLnM = 0; % % % -------------------
ER&TAIONES-------------------
------------------- 6 ------------------// ro+rama 2ara ,ara4ar ! re2artir cartas.
#include usin stdcout; usin stdleft; usin stdriht; #include usin stdset!; #include && prototipos para rand 5 srand #include && prototipos para time && prototipos :oid baraHar( int LML 1' M ); :oid repartir( const int LML 1' MA const char JLMA const char JLM ); int main() { && iniciali7a el arrelo palo const char JpaloL M = { +ora7ones+A +9iamantes+A +reboles+A +spadas+ %; && iniciali7a el arrelo cara const char JcaraL 1' M = { +@s+A +9os+A +res+A +uatro+A +inco+A +eis+A +iete+A +cho+A +ue:e+A +9ie7+A +Eoto+A +Zuina+A +De5+ %; && iniciali7a arrelo baraHa int baraHaL ML 1' M = { 0 %; srand( time( 0 ) ); && semilla del enerador de nFmeros aleatorios baraHar( baraHa ); repartir( baraHaA caraA palo ); return 0; && indica terminaci8n eIitosa % && fin de main && baraHa las cartas :oid baraHar( int !SaraHaLML 1' M ) { int fila; int columna; && para cada una de las $2 cartasA elie la posici8n de la baraHa al a7ar for ( int carta = 1; carta <= $2; carta ) { && eliHe nue:a ubicaci8n al a7ar hasta encontrar una posici8n desocupada do { fila = rand() " ; columna = rand() " 1'; % !hile( !SaraHaL fila ML columna M = 0 ); && fin de do&!hile && coloca el nFmero de la carta en la posici8n eleida de la baraHa !SaraHaL fila ML columna M = carta; % && fin del for % && fin de la funci8n baraHar && reparte las cartas de la baraHa :oid repartir( const int !SaraHaLML 1' MA const char J!araLMA const char J!CaloLM ) { && para cada una de las $2 cartas for ( int carta = 1; carta <= $2; carta ) && ciclo a tra:Ys de las filas en !SaraHa for ( int fila = 0; fila <= '; fila ) && ciclo a tra:Ys de las columnas de !SaraHa para la fila actual for ( int columna = 0; columna <= 12; columna )
&& si !SaraHa contiene la carta actualA despliea la carta if ( !SaraHaL fila ML columna M == carta ) { cout << set!( ) << riht << !araL columna M << + de + << set!( N ) << left << !CaloL fila M << ( carta " 2 == 0 [ Q4nQ Q4tQ ); % && fin de if % && fin de la funci8n repartir
### ---------------- 3ERI5A3A --------------$$$$$$$$$$$$$$$ 3ERI5A3A $$$$$$$$$$$$$$$ ---------------- 3ERI5A3A ---------------
------------------- 01 ------------------// 7 //3esarrollo de derivadas de la 8orma a9 : ,9 : c9 : d9 : e
#include #include double primer( double ); double seundo( double); double tercer(double); double cuarto(double ); double /uinto(double ); double aAbAcAdAH; double l; double hAm; :oid main() { cout<<+ ' 2 +<>a; cout<<+6nrese :alor b +; cin>>b; cout<<+6nrese :alor c +; cin>>c; cout<<+6nrese :alor d +; cin>>d; cout<<+6nrese :alor e +; cin>>H; cout<<+6nrese el :alor a deri:ar +; cin>>l; h = primer(a) seundo(b) tercer(c) cuarto(d)/uinto(H); cout<<+Oalor de deri:ada +<
double !=po!(lA0); double :=(dJ!)&1; return :; % double /uinto( double H ) { double =0; double h=(HJ); return h; % ---------------- INTE;RALES --------------$$$$$$$$$$$$$$$ INTE;RALES $$$$$$$$$$$$$$$ ---------------- INTE;RALES ---------------
------------------- 01 ------------------#include #include :oid main () { cout<>n; cout <<+inrese a el limite inferior = +; cin>>a; cout <<+inrese b el limite superior = +; cin>>b; cout< #include #include #include int main()
{ float matri7L20M;&&Xatri7 de oeficiente float matri7L20M;&&Xatri7 de Brado de ermino double 5; int nAiAHAI1AI2; cout<<+ alculo de 6nteral definida de una funcion+<>n; for (i=1;i<=n;i) { cout<<+6nrese el coeficiente () 5 rado () del +<>matri7LiM>>matri7LiM; % cout<>I1>>I2; 5=0; for (H=I1;H<=I2;H) { for(i=1;i<=n;i) { 5 = 5 matri7LiM & ( matri7LiM1 )Jpo!( HAmatri7LiM1 ); % % cout<<+l calculo de la interal es +<<5<
------------------- 0' ------------------// 7 //3esarrollo de Inte+ral de la 8orma a9 : ,9 : c9 : d9 : e
#include #include double primer( double ); double seundo( double); double tercer(double); double cuarto(double ); double /uinto(double ); double pri( double ); double seu( double ); double ter(double ); double cuar( double ); double /uin(double ); double aAbAcAdAH; double lAn; double eAfAAiA*;
double hA5Am; :oid main() { cout<<+ ' 2 +<>a; cout<<+6nrese :alor b +; cin>>b; cout<<+6nrese :alor c +; cin>>c; cout<<+6nrese :alor d +; cin>>d; cout<<+6nrese :alor e +; cin>>H; cout<<+6nter:alo i a interar +; cin>>l; cout<<+6nter:alo n a interar +; cin>>n; h = primer(a) seundo(b) tercer(c) cuarto(d)/uinto(H); cout<<+Oalor final +<
double pri( double e ) { double s=po!(lA$); double /=(aJs)&$; return /; % double seu( double f ) { double t=po!(lA); double r=(bJt)&; return r; % double ter( double )
{ double u=po!(lA'); double p=(cJu)&'; return p; % double cuar( double i ) { double !=po!(lA2); double :=(dJ!)&2; return :; % double /uin( double * ) { double =po!(lA1); double h=(HJ)&1; return h; % ------------------- 0 ------------------#include #include :oid main () { cout<
+<
cout<<+ VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV+<>@; cout<<+inrese el coeficiente S = +; cin>>S; cout<<+inrese el coeficiente = +; cin>>; cout<<+inrese el coeficiente 9 = +; cin>>9; cout<>n; cout <>a; cout <<+inrese b el limite superior = +; cin>>b; cout<
+<
s=s@J(adeltaJi)J(adeltaJi)J(adeltaJi)JdeltaSJ(adeltaJi)J(adeltaJi)JdeltaJ(adeltaJi) Jdelta9Jdelta; % cout<<+la interal es +<
cout<<+ VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV+<
K
=
------------------- 2GR -------------------
------------------- 0$ ------------------//3eterminar mediante //ne+ativo.
un
mensa4e si
un
numero
in+resado
es
2ar im2ar cero
2ositivo
#include int main() { int n; cout<<+6nresar un numero +; cin>>n; if((n<0)) { cout<<+eati:o +<
-------------------
// &ediante el uso de tres 8unciones ?r7/7 > <r=7
#include #include #include float rArc; double cubo (double); double esfera(double); double :olumen(double); :oid main() { cout<< +6nrese el :alor de r de la esfera +; cin>> r; cout<< +:olumen de la esfera es +<< esfera(r); cout<< endl; cout<< +:olumen del cubo es +<< cubo(r); cout<< endl; cout<< +l :alor buscado es +<< :olumen(r); cout << endl; %
double cubo (double rc) { return po!((2Jrc)A'); % double esfera (double re) { return (J'.11$N2Jpo!(reA'))&'; % double :olumen(double r:) { return cubo(r:)-esfera(r:); % -=-=-=//El n)mero de com,inaciones con re2etici@n de elementos *ue 2ueden 8ormarse a //2artir de n elementos distintos < n = esB // < n : C 1 = D // n > CCCCCCCCCCCCCCC // D < n C 1 = D
#include #include #include lon *An; lon comb(lonAlon); lon factorial(lon); :oid main() { cout<< +6nrese el :alor de * +; cin>> *; cout<< +6nrese el :alor de n +; cin >>n; cout<< +l :alor buscado es + << comb(*An); cout << endl; % lon comb(lon *1Alon n1) { return(factorial(n1(*1-1)))&factorial(*1)Jfactorial(n1-1); % lon factorial(lon f) { if (f<=1) return 1; else return fJfactorial(f-1); % -=-=-=#include #include unsined lon factorial(unsined lon); unsined lon fact1(unsined lonAunsined lon); unsined lon fact2(unsined lon Aunsined lon); unsined lon fact(unsined lonAunsined lon); lon main() { unsined lon nA*; cout<<+JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ+<>n>>*; if(n>*) cout<<+el :alor de la combinatoria es +<
a)
{ if (a<=1) return 1; else return aJfactorial(a-1); % unsined lon fact1(unsined lon bAunsined lon c) { int i=bc; if(i<=1) return 1; else return factorial(i-1); % unsined lon fact2(unsined lon dAunsined lon e) { return factorial(d)Jfactorial(e-1); % unsined lon fact(unsined lon fAunsined lon ) { return fact1(fA)&fact2(fA); % -=-=-= //Asuma *ue d. tira tres dado es2eciales de ocFo <0G= caras ! *ue sus resultados //aleatoriamente dan valores entre 1 ! G . Realice un 2ro+rama en :: *ue muestre el //resultado varia,le de cada dado ! muestre la sumatoria de los tres .
#include #include int main() { cout<<+JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ+<
-=-=-=&&abla de @*ima /ue muestra la 3uncion seno(\) con doble precision &JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ J @*ima spline fittin subroutine J J ---------------------------------------------------- J J he input table is \(i)A ](i)A !here ](i) is the J J dependant :ariable. he interpolation point is IIA J J !hich is assumed to be in the inter:al of the table J J !ith at least one table :alue to the leftA and three J J to the riht. he interpolated returned :alue is 55. J J n is returned as an error chec* (n=0 implies error). J J 6t is also assumed that the \(i) are in ascendin J J order. J JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ& #include
#include #include #define 6^ 1 double double double double double int
\ L6^1M; ] L6^1M; \XL6^M; ^ L6^1M; aAbAIIA55; iAi:An;
:oid 6nterpolV@*ima() { &&Uabels 100A200A'00 int i; n=1; &&special case II=0 if (II==0.0) { 55=0.0; return; % &&hec* to see if interpolation point is correct if (II<\L1M KK II>=\Li:-'M) { n=0 ; return; % \L0M=2.0J\L1M-\L2M; &&alculate @*ima coefficientsA a and b for (i=1; i\LiM) oto e'00; i--; &&Sein interpolation b=\Li1M-\LiM; a=II-\LiM; 55=]LiM^LiMJa('.0J\XLi2M-2.0J^LiM-^Li1M)JaJa&b; 55=55(^LiM^Li1M-2.0J\XLi2M)JaJaJa&(bJb); return; % :oid main() { i:=1; && umber of pooints in table cout<<+4n abla @*ima ordenada de (\)4n+; &J 6nput sine table ----------------------------------------------------------------ine table :alues from Pandboo* of mathematical functions ----------------------------------------------------------------- J& \L1M=0.000; ]L1M=0.00000000; \L2M=0.12$; ]L2M=0.12GG'; \L'M=0.21G; ]L'M=0.21$'00N$; \LM=0.2NN; ]LM=0.2N$G2; \L$M=0.'G; ]L$M=0.'G202R$; \LM=0.$0; ]LM=0.'N$$'; \LGM=0.$20; ]LGM=0.NRR01; \LRM=0.$RN; ]LRM=0.$$$$2NR0; \LNM=0.$; ]LNM=0.0NN$1NN; \L10M=0.G21; ]L10M=0.01'1$; \L11M=0.GR$'NR1'; ]L11M=0.G0G10GR12;
\L12M=0.RN; ]L12M=0.G$0200$; \L1'M=0.N11; ]L1'M=0.GN011G0N; \L1M=0.NG2; ]L1M=0.R201; &&---------------------------------------------------------------cout<<+4n \ X@?@U 9 (\) 6DCU@6 @_6X@ DDD 4n+; cout<<+----------------------------------------------------4n+; II=0.0; for (i=1; i<1G; i) { 6nterpolV@*ima();
cout< #include double double int
@L100MA SL100M; eAe1Ae2AI*; iA n;
:oid lliptic() { &&Uabel e100 int HA m; double pi; pi = Jatan(1); @L0M=1.0I* ; SL0M=1-I*; n=0; if (I* < 0) return; if (I* > 1) return; if (e <= 0) return; e100 n; && Benerate impro:ed :alues @LnM=(@Ln-1MSLn-1M)&2.0; SLnM=s/rt(@Ln-1MJSLn-1M); if (fabs(@LnM-SLnM) > e) oto e100; e1=pi&2.0&@LnM; e2=2.0; m=1; for (H=1; H
{ e=1e-G; printf(+ _ _(_) (_) C@ 4n+); printf(+------------------------------------------4n+); I*=0.0; for (i=1; i<21; i) { lliptic(); printf(+ ".2f "N.Gf "N.Gf "d4n+AI*Ae1Ae2An); I* = 0.0$; % printf(+ 1.00 6366] 1.0000000 04n4n+); % -=-=-=&JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ J Croram to demonstrate Uarane deri:ati:e interpolation J J -------------------------------------------------------------- J J @XCU D? J J J J \ 2(2\) ]C ]C1 DDD 1 DDD 2 J J -------------------------------------------------------------- J &JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ J Uarane deri:ati:e interpolation procedure 9eri: J J U is the le:el of the interpolation ( eI. U=' ) J J is the total number of table :alues. J J \LiMA ]LiM are the coordinate table :aluesA ]LiM J J bein the dependant :ariable. he \LiM ma5 be J J arbitraril5 spaced. I1 is the interpolation point J J !hich is assumed to be in the inter:al !ith at J J least one table :alue to the leftA and U to the J J riht. ]p is returned as the desired deri:ati:e. J J error is set at D? if I1 is not in the inter:al.J JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ& #include #include #define #define
X@\ pas
100 0.0$
double \LX@\MA]LX@\M; double IIA55A551; int errorAiAnAndata;
:oid 9eri:(int nA int nlA double J\A double J]A double I1A double J]pAint Jerror) {
int iAHA*All; double UL10MA XL10ML10M; Jerror=0; && I1 not in inter:al L1-UM if (I1<\L1M KK I1>\Ln-nlM) { Jerror=1; printf(+ C I not bet!een \L1M or \L-M.4n+); % if (Jerror==0) { i=0; do { i; % !hile (I1 >= \LiM); i--; for (H=0; H
if (ll=*) { if (ll==H) XLllML*M=XLllML*M&(\Li*M-\LiHM); else XLllML*M=XLllML*MJ(I1-\LHiM)&(\Li*M-\LiHM); %
% %
% for (ll=0; ll
% % % && 9eri:()
&JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ @U?U U 3366 @AS 9 U@ C@D@SU ]=@J\J\SJ\ C@@ C@D U ' C6 (\1A]1)A(\2A]2) (\'A]') 3366 ?6U6 66. --------------------------------------------------------alculates coefficientsA aA b of parabola ]=@J\\SJ\= passin throuh ' points (\1A]1)A (\2A]2) and (\'A]'). oefficient c is not used here. JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ& :oid C@D@SU(double I1Adouble 51Adouble I2Adouble 52A double I'Adouble 5'Adouble JaAdouble Jb) { double alphaAbetaAammaAdelta; alpha=I1JI1-I2JI2; beta=I1-I2; amma=I2JI2-I'JI'; delta=I2-I'; Ja=(51-2.0J525')&(alpha-amma); Jb=(51-52-alphaJJa)β %
&JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ J 6nterpolation of order=2 ( parabola ) J J b5 E-C Xoreau J JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ& :oid 9eri:1(int nA double J\A double J]A double I1A double J]pA int Jerror) { double aA b; int i; Jerror=0; if (I1<\L1M KK I1>\Ln-2M) { Jerror=1; return; % i=0; !hile (I1>=\LiM) i; i--; C@D@SU(\LiMA]LiMA\Li1MA]Li1MA\Li2MA]Li2MA`aA`b); &&9eri:ati:e in I1 J]p=2JaJI1b; % :oid main() { &&deri:ati:e of 2Jsin(I)Jcos(I) bet!een 0 and 1 n=; &&le:el of Uarane interpolation ndata=2; &&number of table points && buildin \ ` ] ables for (i=1; i
DDD 24n+);
&&headin
printf(+--------------------------------------------------------------4n+); &&main loop of deri:ation do { 9eri:(ndataAnA\A]AIIA`55A`error); 9eri:1(ndataA\A]AIIA`551A`error); if (error==0) { printf(+".2f "N.f "N.f "N.f "10.Gf "10.Gf4n+AIIA2Jcos(2JII)A55A551A 55-2Jcos(2JII)A 551-2Jcos(2JII) ); % II=IIpas; % !hile(II<1.0pas); printf(+--------------------------------------------------------------4n+);
% -=-=-=-
-=-=-=-
-=-=-=-
-=-=-=-
-=-=-=-
-=-=-=-
-=-=-=-
COMINACION 3IM'LE Definición: 3"n c"minci"ne# #ime#5 ".# # 8,-ci"ne# .e B eemen"#5 .i#-e#"# inemene5 7-e #e -e.en f",m, ,i, .e n eemen"# .i#in"# ( B n ) 5 #in 7-e nin8-n" #e ,ei #in im",, e ",.en .e e"#2 E## 8,-ci"ne# #e .ife,encin en,e #5 #ó" ", "# eemen"# 7-e # c"nf",mn2 Cc-": E n9me," .e c"minci"ne# #ime# .e B eemen"#5 7-e -e.en f",m,#e ,i, .e n eemen"# .i#in"# ( CBn ) 5 e#: CB
n
n! = 66666666666666 B!×(n 6 B)!
( B n )
Ejem": Un -mn" .eci.e ,en.i, ,e# .e # cinc" ',-e# .e C"n"cimien"# E#ecfic"#2 Re#-e#: H! C%H = 66666666 = 10 %!×$! COMINACION CON RE'ETICION Definición: 3"n c"minci"ne# c"n ,eeición5 ".# # 8,-ci"ne# .e B eemen"#5 .i#-e#"# inemene5 7-e #e -e.en f",m, ,i, .e n eemen"# .i#in"#5 ."n.e c. -n" .e "# eemen"# -e.e f",m, ,e .e 8,-ción5 n# ece# c"m" #e "#ie #in im",, e ",.en .e e"#2 Cc-": E n9me," .e c"minci"ne# c"n ,eeición .e B eemen"#5 7-e -e.en f",m,#e ,i, .e n eemen"# .i#in"# ( CBBn ) 5 e#: (n + B 6 1)! CBBn = 666666666666666 B!×(n 6 1)! Ejem": A n, ,e# m"ne.# i8-e# i,e Re#-e#: ! 666666666 = %!×1! COEFICIENTE INOMIAL Definición: 3en B n n9me,"# ene,"# n" ne8i"# B n5 en"nce# e c"eficiene in"mi n C B #e .efine #: n! n C B = 666666666666666 B!×(n 6 B)!
( B n )
Ejem":
H! H C $ = 66666666 = 10 $!×%!
',"ie..e#: nC(n 6 B) = nCB nCn = nC0 = 1 nC(n 6 1 ) = nC1 = n n CB + nC(B + 1) = (n + 1)C(B + 1)
( B n )
Ejem": &C% + &C = GC ( $0 + 1H = %H )
UNIDAD II 2 'ROAILIDAD $21 Ani#i# C"min",i" Principio Fundamental del Análisis Combinatorio Suponga que una persona tiene 2 formas de ir de una ciudad A a otra ciudad B; y una vez llegada a B tiene ! maneras de llegar a otra ciudad C "#e cuántas maneras podrá realizar el via$e de A a C pasando por B%
Si empez& a pie podrá tomar luego avi&n carro o trasatlántico y si empez& en bicicleta tambi'n podrá tomar avi&n carro o trasatlántico( )a persona tuvo * formas diferentes de realizar el via$e que son+ ,iniciales- pa pc pt ba bc bt( ,2 . ! / *Se puede representar en un diagrama de árbol
P01 A3045 P01 CA664 P01 76ASA( B0C A3045 B0C CA664 B0C76ASA(
Por lo que el principio fundamental del análisis combinatorio puede e.presarse as8+ Si una primera decisi&n operaci&n o acci&n puede efectuarse de a formas diferentes una segunda acci&n puede efectuarse de b formas diferentes una tercera acci&n puede efectuarse de c formas diferentes y as8 sucesivamente 9asta la en'sima acci&n que puede efectuarse de z formas diferentes entonces el n:mero total de formas diferentes que pueden efectuarse estas n acciones es igual con+ a . b . c . ((( . z 1ste principio tambi'n se llama principio de conteo & principio multiplicativo(
Ejem": "#e cuántas maneras diferentes podrá vestirse un $oven que tiene ! camisas diferentes pantalones y 2 pares de calzado% Soluci&n+ ! . . 2 / 2 maneras diferentes
Ejem": 1n una ciudad los n:meros de tel'fono constan de < d8gitos cada uno de los cuales se llama con alguno de los => d8gitos ,> al ?-( "Cuántos n:meros diferentes pueden formularse% Soluci&n+ => . => . => . => . => / =>>>>> n:meros diferentes
Ejem": )a agencia de Publicidad P0PSA 9a obtenido la e.clusividad respecto a una l8nea de polvos para preparar postres( A estos efectos la agencia 9a decidido organizar un concurso nacional destinado a adivinar el nombre futuro de esa l8nea de productos( Las condiciones son:
a-
)os nombres que se propongan deben ser de letras(
b-
5inguna letra debe repetirse(
c-
)a primera y tercera letras deben ser consonantes(
d-
)a segunda y cuarta letras deben ser vocales(
e-
Si una persona propone 2 veces el mismo nombre queda descalificada(
"Cuántos nombres debe proponer una persona para estar seguro que participa en el sorteo p:blico%
Considerar 28 letras del alfabeto Soluci&n+ 2! . < . 22 . / =>=2> nombres diferentes ¿Por qué esos números?
Porque 9ay 2@ letras del alfabeto 2! consonantes y < vocales pero se disminuy& de 2! a 22 en la primera y tercera cifra porque una de las condiciones es que las letras no se repitan( As8 como < y en la segunda y cuarta cifras que son las vocales( 5otaci&n Factorial 1n algunos problemas de matemáticas se nos presentan multiplicaciones de n:meros naturales sucesivos tal como+ . ! . 2 . = / 2; ! . 2 . = / *; 2 . = / 2(
Para abreviar estas e.presiones se usa una notaci&n especial llamada notaci&n factorial y nos denota las multiplicaciones sucesivas de n 9asta l y se define como+ . ! . 2 . = /
Se lee cuatro factorial
! . 2 . = / ! Se lee tres factorial 1n t'rminos generales+ n,n=-,n2-(((. 2 . = / n Se lee n factorial Propiedades:
a-
para n natural
n / n,n=-
Ejem": D / D . * / D . * . < . b-
> / =
Ejem"#: =-
< / < . . ! . 2 . = / =2>
2-
! / ,2-,*- / =
!-
-
Ejem": #eterminar <> por Stirling+
'e,m-ci"ne# Permutaci&n+ Con$unto ordenado de n elementos(
N"ción: Pn; Pn n; An n Permutaci&n de < elementos P< / < Por lo que+
'n = n! P< / < / < . . ! . 2 . = / =2>
Ejem": Para el con$unto Ea b c e.isten las siguientes permutaciones+ Soluci&n+ Abc acb bca bac cab cba / * P! / ! / *
Ejem": 1n una asamblea de accionistas 9ay * personas que 9an solicitado 9acer uso de la palabra "1n cuántas &rdenes diferentes pueden 9ablar si es que no se 9a establecido un orden de prioridades% Soluci&n+ P* / * / D2>
Ejem": 1n un proceso de manufactura 9ay seis operaciones distintas que se indican con A B C # 1 y F( 1n general no e.iste una secuencia fi$a para las operaciones con la salvedad de que A debe efectuarse al principio y F al final( "Cuántas secuencias diferentes pueden ocurrir% Soluci&n+
A B C D E F P / / 2 formas diferentes
Cuando se toman parte de los elementos del con$unto se tiene+
Pnr /
Ejem": Si n / <
y
r/!
P<! /
Ejem": Gay D candidatos para desempeHar ! tareas si todos los candidatos son igualmente eficientes "#e cuántas maneras se puede efectuar la asignaci&n%
Soluci&n+ PD! /
Ejem": #e cuántas maneras ! fresadoras tornos taladros y 2 cepillos pueden ordenarse en fila en un taller de modo que el mismo tipo de máquina queden $untas(
!F
7
7
2C
P! / !
P /
P /
P2 / 2
P /
! 2 / =*<@@@ maneras diferentes
C"minci"ne#
Ina combinaci&n de n elementos tomados de r en r es un subcon$unto no ordenado de r elementos con (
2 combinaciones formadas por r elementos son distintas si difieren al menos en un elemento(
Ejem": Sea el con$unto Ea b c de cuántas maneras podemos seleccionar+ a-
un elemento
b-
dos elementos
c-
tres elementos
Soluci&n+
a-
1.isten ! formas de seleccionar un elementos+ a; b; c(
b-
1.isten ! formas de seleccionar dos elementos+ ab ac bc
c-
1.iste = forma de seleccionar ! elementos+ abc
N"ción: nC r;
Para determinar el n:mero de combinaciones de n elementos tomando de r en r +
Ejem": Si n / =>
r / D
Ejem": 1l congreso anglo me.icano de administraci&n p:blica debe elegir el futuro comit' e$ecutivo que regirá a esa instituci&n durante el pr&.imo aHo(
)a comisi&n directiva se forma con * integrantes y este aHo 9an sido propuestos D representantes me.icanos y ingleses para ser electos( Se pide determinar de cuántas maneras se puede integrar la comisi&n en los siguientes casos+ a-
Si en la comisi&n debe 9aber me.icanos y 2 ingleses(
b-
Si en la comisi&n debe 9aber como m8nimo 2 ingleses y 2 me.icanos(
Soluci&n+
a-
)os me.icanos se pueden escoger de+
)os ingleses se pueden escoger de+
Con$untamente
b-
Se pueden presentar los casos+
=-
2 ingleses y me.icanos+
2-
! ingleses y ! me.icanos+
!-
ingleses y 2 me.icanos+
2=> J => J 2= / !D=
Ejem": 1n los laboratorios ELKO 9ay ! plazas vacantes de un total de !! solicitudes de empleo s&lo = se 9an considerado aceptables en bases en las entrevistas practicadas por el departamento de personal( "#e cuántas maneras pueden asignarse las ! plazas% a-
Si todos los empleos son de la misma categor8a
bSi un empleo es de gerente de ventas uno es de agente visitador para las ciudades de Puebla y 7la.cala y otro de agente visitador para las ciudades de 7ampico y Cd( Kadero(
Soluci&n+ a-
b-
C0LC&LO CO"BINATORIO Autor: -erardo Palumbo
La combinatoria !no confundir con combinación$ tiene por fin estudiar las distintas agrupaciones de los ob,etos' prescindiendo de la naturale+a de los mismos pero no de! orden- Estudiaremos como se combinan los ob,etos' c&lculo que nos determinar& la cantidad de grupos que se podr&n formar con los datos dados. Por lo tanto para distinguir entre s( los elementos de cada con,unto considerado' los designaremos con letras o con otra notación que evite confundir unos con otros. Antes de comen+ar con esto veamos una función importante en matem&tica:
,.nción factoria! e denomina función factorial y se la designa como 123 a una función f : <" → < definida por: f!"$ 1 f!1$ 1 f!n >1$ !n >1$ f!n$ imbólicamente ' para indicar f!n$ escribimos simplemente n? y se lee @n factorial@
"? 1 1? 1 !n > 1$? !n > 1$ n? La función factorial se calcula como el producto de todos los nmeros !en forma decreciente$ desde ese nmero %asta el uno. As( tenemos que: 4? 4.3.0.2.1 entonces 4? 12" 1"? 1"..M.6.5.4.3.0.2.1 entonces 1"? 052MM"" El factorial de un nmero se puede tambi)n calcular como ese nmero por el factorial del nmero anterior !n > 1$? !n > 1$ . n? . As( tendremos: 6? 6. 5? 9etomemos de nuevo el c&lculo combinatorio. upondremos que los elementos que intervienen no se repiten' constituyendo esta suposición el estudio de la cominatoria simp!e- i bien los problemas de la combinatoria son infinitos' nos ocuparemos de los tres fundamentales: a$ Gariaciones b$ Permutaciones c$ ombinaciones. a$ Gariaciones. Gariaciones sin 9epetición: upongamos que disponemos de tres casillas y de cuatro letras a' b' c' d y que nos plantean el siguiente problema: Hde cu&ntas maneras distintas podemos llenar las casillas con dic%as letras si no se permite repetir las mismas y todas las casillas deben qu edar llenasI En el espacio que queda indica todas las posibilidades que %ay. Definición: /ado un con,unto finito de NmO elementos' agrupados de a NnO elementos' !!amamos /ariación simp!e a todo sub con,unto ordenado formado por NnO ob,etos cualesquiera !n ≤ m$ elegidos entre ellos ' con/iniendo en considerar como distintas dos /ariaciones cuando: difieren en a!45n e!emento ó si tienen !os mismos e!ementos
entonces est6n en distinto ordenEsto significa que para las variaciones el grupo Na' b' cO y el grupo Na' c' bO son distintos ya que tienen los mismos elementos pero est&n en distinto orden. La fórmula que permite calcular las variaciones de “m” elementos agrupados de a “n” elementos es:
E,emplo: se tienen tres nmeros los que se agrupan de a dos Hcu&ntas variaciones podremos tenerI. upongamos que tenemos 1' 2' 0. 1 2 2 1 0 1 1 0 2 0 0 2
Qenemos: <ótese que no se repite el mismo nmero dos veces' de lo contrario la cantidad de variaciones ser(a muc%o mayor. aR$Gariaciones con 9epetición encillamente' si %acemos variaciones de “m” elementos agrupados de a “n” elementos' tendremos m n cantidad de posibles agrupaciones. G m n. En el e,emplo anterior' deber(amos agregar 11 ' 22 y 00 con lo que la cuenta sumar(a nueve variaciones posibles' o sea' 02. b$ Permutación imple . Definición: /ado un con,unto finito de NmO elementos' llamamos perm.tación simp!e a todo con,unto ordenado formado con los NmO ob,etos. Sbviamente como todos los grupos tienen los NmO elementos la nica posibilidad que existe para que dos grupos sean distintos es que tengan los elementos en distinto orden. Las permutaciones pueden ser definidas tambi)n como las variaciones de NmO elementos tomados de a NmO ! G m'm $
La formula que permite calcular las permutaciones es: % m 7 m2 Qomando el e,emplo de los tres nmeros: 0? 0 . 2 . 1 5 120102210201012021 c$ ombinación Definición: /ado un con,unto finito de NmO elementos' agrupados de a NnO elementos' !!amamos cominación simp!e a todo sub con,unto ordenado formado por NnO ob,etos cualesquiera !n ≤ m$ elegidos entre ellos ' con/iniendo en considerar como distintas dos cominaciones cuando: difieren en a!45n e!emento-
Esto significa que para las combinaciones el grupo Na' b' cO y el grupo Na' c' bO son iguales ya que tienen los mismos elementos. La fórmula que permite calcular las combinaciones de NmO elementos agrupados de a NnO elementos es: En este caso el e,emplo de las combinaciones lo importante es el nmero' no como se ordene. 1 2 es lo mismo que 2 1 !lo importante de la combinación es el 1 y el 2' no es orden en que aparecen$.
i combinamos tres nmeros de a dos tendremos
Preguntas
Permutaciones y Combinaciones. ¿Cuál es la diferencia? Concepto Las Permutaciones y las Combinaciones son dos conceptos muy distintos y se definen de forma general en la Ref. 1. En una permutación es importante el orden de los números o dígitos extraídos, mientras ue en una combinación no importa el orden entre ellos. Cada lotería establece las reglas de !alide" en los números extraídos, incluso pueden ofrecer ambas opciones con premios distintos. En las loterías #ulia y C$ance los dígitos extraídos deben estar en correcto orden para ser !%lido como ganador. En cambio las loterías como el &ino, 'lorida Lottery, etc., son !%lidos los números extraídos sin importar el orden de extracción. Para las loterías #ulia y C$ance se puede dar un pronóstico en forma de Permutación de sus dígitos o como Combinación de sus dígitos fi(ando su posición. Pronósticos mediante Permutaciones. En el caso de estas loterías el número de permutaciones en base a cualuier cantidad de dígitos diferentes tomados de ) en ) *terminales+ y de en *triples+, sin repeticiones de sus dígitos, se indican a continuaciónPermutaciones con ) dígitos diferentes ) /erminales Permutaciones con dígitos diferentes 0 /erminales y 0 /riples Permutaciones con dígitos diferentes 1) /erminales y ) /riples Permutaciones con 2 dígitos diferentes )3 /erminales y 03 /riples Permutaciones con 0 dígitos diferentes 3 /erminales y 1)3 /riples Permutaciones con 4 dígitos diferentes ) /erminales y )13 /riples Permutaciones con 5 dígitos diferentes 20 /erminales y 0 /riples Permutaciones con 6 dígitos diferentes 4) /erminales y 23 /riples Permutaciones con 13 dígitos diferentes 63 /erminales y 4)3 /riples Por e(emplo, con la permutación del 16 se obtienen 0 terminales y 0 /riples sin repetición de sus dígitos. Estos son/erminales 1, 6, 1, 6 , 16, 61. /riples 16, 61, 16, 16, 61 y 61. 7el mismo modo, con la permutación del 16)0, se obtienen )3 terminales y 03 triples sin repeticiones de sus dígitos. 8in embargo, en las loterías #ulia y C$ance pueden salir tambi9n los números con dígitos repetidos, por e(emplo, el 11, 666, etc. Por tanto la cantidad de permutaciones !%lidas o números posibles en base a cualuier cantidad de dígitos diferentes tomados de ) en ) *terminales+ y de en *triples+, con repeticiones de sus dígitos, se indican a continuación:úmeros posibles con ) dígitos diferentes /erminales :úmeros posibles con dígitos diferentes 6 /erminales y )4 /riples
:úmeros posibles con dígitos diferentes 10 /erminales y 0 /riples :úmeros posibles con 2 dígitos diferentes )2 /erminales y 1)2 /riples :úmeros posibles con 0 dígitos diferentes 0 /erminales y )10 /riples :úmeros posibles con 4 dígitos diferentes 6 /erminales y /riples :úmeros posibles con 5 dígitos diferentes 0 /erminales y 21) /riples :úmeros posibles con 6 dígitos diferentes 51 /erminales y 4)6 /riples :úmeros posibles con 13 dígitos diferentes 133 /erminales y 1333 /riples Por e(emplo, con la permutación del 16 se obtienen 6 terminales y )4 /riples con repetición de sus dígitos. Estos son/erminales 1, 6, 1, 6, 16, 61, , 11, 66. /riples 16, 61, 11, 66, , 1, 1, 6, 6, 16, 16, 1, 166, 11, 11, 161, 116, 111, 61, 61, 611, 6, 661, 616, 66, 66, 666. 7el mismo modo, con la permutación del 16)0, se obtienen )2 terminales y 1)2 triples con repeticiones de sus dígitos. En conclusión, para las loterías como #ulia y C$ance, se deben tomar en cuenta estas consideraciones al obser!ar un pronostico como permutación de sus dígitos, ya ue si se asume una permutación con dígitos diferentes, sin repetición, se omiten auellos terminales o triples ue salen ganadores con uno o m%s dígitos iguales y si en cambio, se asumen todos los números posibles, la cantidad de ellos es enorme. Los Pronósticos mediante la permutación de los dígitos tambi9n plantea otra inuietud, independientemente del m9todo aplicado por el pronosticador, un digito puede ser muy probable como 1er digito, m%s no como er digito, o !ice!ersa. En consecuencia se malgastaría una considerable cantidad de números poco probables. Es importante ue se analice con precisión cual es el enfoue de un pronóstico presentado como permutaciones de sus dígitos para así calcular el numero total de terminales o triples propuestos y su consecuente Porcenta(e de ;cierto. Pronósticos mediante Combinaciones. 8i se usa una combinación de dígitos, en las loterías #ulia y C$ance, se debe precisar el orden de los mismos, es decir, 1 o m%s números como 1er digito, 1 o m%s números como )do digito y 1 o m%s números como er digito. Para el caso de los triples el pronostico combinatorio de dígitos es solo 1 número, mientras ue con el pronóstico de una permutación utili"ando los mismos dígitos se obtienen 0 triples diferentes sin repeticiones de sus dígitos. 8upongamos ue se presenta un pronóstico como una combinación de los siguiente dígitos1< dig- ó 4 )< dig- 0 ó 5 < dig- ) ó 6 En este caso se obtienen terminales- 0), 06, 5), 56= y 5 triples- 0), 06, 5), 56, 40), 406, 45), 456. >tro e(emplo podría ser, presentar un pronóstico como una combinación de los siguiente dígitos1< dig- , 4 ó ) )< dig- 0, 5 ó < dig- ), 6 ó En este caso se obtienen 6 terminales- 0), 06, 0, 5), 56, 5, ), 6, = y )4 triples- 0), 06, 0, 5), 56, 5, ), 6, , 40), 406, 40, 45), 456, 45, 4), 46, 4, )0), )06, )0, )5), )56, )5, )), )6, ). Esta forma de presentar un pronostico, tiene la !enta(a de ue se establece la posición de sus dígitos probables en función del seguimiento del comportamiento de cada digito asumido por el pronosticador y sobretodo permite !ariar la cantidad de dígitos para cada posición, obteniendo así menos números. Por e(emplo, para un determinado sorteo pueden ser probables1< dig- ó 4 )< dig- 0, 5, ó 1 < dig- ) ó 1 En este caso se obtienen 5 terminales- 0), 01, 5), 51, ), 1, 1), 11= y 10 triples- 0), 01, 5), 51, ), 1, 1), 11, 40), 401, 45), 451, 4), 41, 41), 411. 7e forma general, podemos calcular la cantidad de números combinados para cualuier cantidad de dígitos en su posición definida, mediante estas relaciones/erminales- n )< dig x n < dig. /riples- n 1< dig x n )< dig x n < dig. *Ref. 1+. Permutaciones
?na permutación es la ordenación de @ números entre n números diferentes, en el cual importa el orden entre ellos. El numero de permutaciones de n números diferentes, tomados de @ en @ sin repeticiones esP nA B*n@+A El numero de permutaciones de n números diferentes, tomados de @ en @ con repeticiones esP nD@ Combinaciones ?na combinación es la selección de @ números entre n números diferentes, sin importar el orden entre ellos. El numero de combinaciones de n números diferentes, tomados de @ en @ sin repeticiones esC nA B@A*n@+A En dondenA 'actorial de n @A 'actorial de @
PRBABI!IDAD Dng. Tilson astro
2" PER#$%ACI&' Uasta aqu( %emos contado listas de elementos de diversas longitudes' en las que permitimos o pro%ibimos la repetición de los elementos. *n caso especial de este problema es contar las listas de longitud n formadas por un con,unto de n ob,etos' en las que se pro%(be la repetición. En otras palabras' se desea tener n ob,etos en listas' usando cada ob,eto exactamente una ve+ en cada lista. egn el principio de la multiplicación' la cantidad de listas posibles es de: !n$n
n
!n#1$
!n#2$
...
2
1
La cantidad !n$n es n factorial y se expresa en matem&ticas como n?. Por e,emplo 4? 4 V 3 V 0 V 2 V 1 12". 9ecuerde que 1? "? 1
/e esta forma una permutación es un arreglo de todos o parte de un con,unto de ob,etos. Arreglos que se puedan distinguir: a. i se quieren arreglar ob,etos' donde todos los ob,etos sean diferentes entre s(' la permutación !el nmero de arreglos que se pueden obtener$ es n ? !n factorial$ Geamos un e,emplo : E,emplo 1:
inco amigos que est&n en una piscina' despu)s de %aberse lan+ado por el desli+adero gigante' observan que cada ve+ que llegan a la parte superior para el nuevo lan+amiento %acen cola en distinto orden. H/e cu&ntas formas podr&n %acer cola para arro,arse de nuevoI Sbserve que para la primera posición %ay cinco personas' cuatro para la segunda' etc. /e esta forma tenemos que el nmero de formas distintas distintas de %acer cola es: G4'4 4? 4W3W0W2W1 12" omo observamos' en este caso intervienen a la ve+ todos los elementos y nicamente n icamente var(a el orden de colocación. E,emplo 2: Xueremos permutar !arreglar$ las letras abc. u&les arreglos se obtienen I abc' acb' bac' bca' cab y cba . on 5 permutaciones diferentes. Qambi)n Qambi)n %ubi)ramos podido decir : on 0 letras diferentes a' b y c por lo tanto son 0 ? !0 factorial$ permutaciones 0 ? 0W2W1 5 Gemos Gemos que %ay efectivamente 0 opciones o pciones para la primera posición !cualquiera de las letras a) o c$' luego quedan sólo dos opciones para la segunda posición !por e,emplo si se escogió a para la primera posición' quedar(an o c para la segunda posición$' y quedar(a una sola letra para la tercera posición. Permutaciones ordinarias de n elementos son los distintos grupos que se pueden formar de manera que: # En cada grupo !o lista$ est&n los n elementos. # *n grupo se diferencia de otro nicamente en el orden de colocación de los elementos. El nmero de permutaciones ordinarias de n elementos se representa por %n y es igual a n2 E,emplo 0: En un campeonato suramericano de 8tbol llegan a un cuadrangular final los cuatro seleccionados de Jrasil' Argentina' olombia y *ruguay. 8ormar las diferentes clasificaciones para los cuatro primeros puestos del torneo. Hu&ntas %a yI 9epresentamos por sus iniciales a cada seleccionado y mediante un diagrama de &rbol se obtiene:
/e aqu( vemos que %ay %a y : P3 3? 3W0W2W1 23 clasificaciones distintas.
b. Las variaciones sin repetición tambi)n se pueden representar con factoriales' segn: i se quieren arreglar n ob,etos diferentes' pero se van a tomar r ob,etos de ellos los cuales son distinguibles entre s(' entonces :
Vn)r 7
E,emplo : /e cu&ntas formas puede cespro-com colocar a 0 programadores de sistemas en 0 diferentes ciudades. i los programadores est&n disponibles para cualquiera d e 4 ciudades. Entonces se tienen 0 programadores disponibles pero %ay 4 posibles ciudades a donde ellos pueden ir. H/e cu&ntas formas formas podr(amos ubicarlosI
Qenemos 5" formas posibles de ubicarlos en las 4 ciudades. Parece que de todos modos va
tocar pensar bien dónde ubicarlos... E,emplo: Hu&ntas palabras se pueden formar con oc%o letras de forma que dos de ellas est)n siempre ,untas y guardando el mismo ordenI mo las dos letras siempre van a estar ,untas y en el mismo orden' las podemos considerar como si fuera una sola letra. Por esta ra+ón es una permutación realmente de sólo siete elementos: P6 6? 6W5W4W3W0W2W1 4"3" palabras diferentes E,emplo: H/e cu&ntas formas se pueden sentar nueve personas en una mesa circularI Uay que tener en cuenta que una ve+ sentadas' si trasladamos a cada persona un asiento a la i+quierda obtendremos una posición id)ntica a la anterior. Por ello de,amos fi,a una persona y permutamos todas las dem&s: PM M? MW6W5W4W3W0W2W1 3"02" formas distintas A estas permutaciones se las denomina perm.taciones circ.!ares de n e!ementos y se representan por Pn.
c2 'e,m-ci"ne# c"n ,eeición i se quiere permutar !arreglar$ ob,etos' dentro de los cuales %ay varios repetidos' entonces se pueden contar las posibilidades de arreglos diferentes usando:
E,emplo: upongamos que queremos %acer un arreglo de luces' con 3 bombillas amarillas' 0 bombillas a+ules y 0 ro,as. En total se tienen 1" bombillas. Pero' Hqu) arreglos de colores puedo tenerI *no de los arreglos podr(a ser as(:
Pero si se intercambian las dos primeras bombillas amarillas entre s( vemos:
Y
E,emplo: Dmaginemos que tenemos 4 monedas de 1"" centavos' de las cuales dos est&n en posición de cara y tres en posición de cru+. Hu&ntas ordenaciones diferentes podremos formar en las que siempre est)n dos en posición de cara y tres en posición de cru+I Las ordenaciones posibles son: VVV VVV VVV VVV VVV VVV VVV VVV VVV VVV i las monedas son distinguibles tendr(amos: P4 4? 12" formas distintas Pero como son del mismo tipo de moneda' sólo se deben considerar una por cada 2?W0? 12. En consecuencia' de las 12" permutaciones ordinarias iniciales solo tendremos: 12" 12
4? 1" 2?W0?
Esta es una permutación con repetición de cinco elementos' donde uno se repite tres veces y otro dos veces.
/efinición y nmero de permutaciones con repetición.
Permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite n1 veces' el segundo se repite n2 veces'...' el ltimo nZ veces !n1 > n2 > ... > nZ n$' son los distintos grupos !tb. arreglos o listas$ que se pueden formar' de manera que: # En cada grupo de n elementos' el primer elemento est& n1 veces[ el segundo elemento est& n2 veces'...' el ltimo elemento est& nZ veces. # *n grupo se diferencia de otro nicamente por el orden de colocación de sus elementos. El nmero de permutaciones con repetición de n elementos dadas las condiciones anteriores es:
E,emplo: El mismo caso de las monedas pero a%ora con un total de 11 monedas en las que 5 est&n en posición de cara y 4 en posición de cru+. El nmero de ordenaciones posibles es de:
11? 5?W4?
11W1"WWMW6W5? 352 5?W4W3W0W2W1
E,ercicio: *n apostador tiene el presentimiento de que en la próxima ,ornada futbol(stica !en un torneo nacional con 2M equipos$ ganar&n equipos en casa' empatar&n 0 y ganar&n en campo contrario !de visitantes$ 2. Hu&ntas apuestas deber& reali+ar para asegurarse un pleno de 13I ln. e trata de las permutaciones de 13 elementos' entre los cuales: # El elemento 1 aparece veces !ganadores locales$ # El elemento 2 aparece tres veces !empates$ # El elemento 0 aparece 2 veces !ganadores de visitante$. Las permutaciones son: 13?
13W10W12W11W? 2""2" apuestas
?W0?W2?
?W5W2
(" C#BI'ACI'E) 2 C"minci"ne# #in ,eeición Algunas veces estamos interesados en seleccionar sin orden espec(fico r ob,etos de un total n. A esa selección se le denomina combinación n'm: Gn'm Pn
n'm
. 7iremos un e,emplo: upongamos que se quiere escoger 0 ingenieros qu(micos dentro de un grupo de M. Aclaremos adem&s' que este procedimiento implica escoger al a+ar a estas 0 personas' sin ningn tipo de preferencia o condicionamiento por o %acia alguno de ellos. Entonces las formas de seleccionar a los 0 ingenieros de M posibles ser&n:
Uay 45 formas de seleccionar a los 0 ingenieros. E,emplo: En una fruter(a ofrecen entre sus productos distintas me+clas con +umos de frutas. El cliente puede seleccionar entre 5 +umos de frutas diferentes y obtener algn sabor en particular de la me+cla de dos +umos en partes iguales. HEntre cu&ntos sabores distintos puede el cliente %acer su pedidoI ln Gamos a representar cada +umo con las letras A' J' ' /' E y 8. Al me+clar dos +umos y teniendo en cuenta que el orden no influye' se podr(an obtener los siguientes sabores: AJ A A/ AE
J J/ JE J8
/ E 8
/E /8
E8
A8 Es decir' 14 sabores diferentes. AJ A A/ AE A8
J J/ JE J8
/ E 8
/E /8
Luego 5'2 14 Hómo podemos obtener este resultado matem&ticamenteI. omo vimos de la definición: n'm Gn'm Pn /onde G5'2 5? !5#2$? 5? 3? 0" y: P2 2? 2 /e aqu(: 5'2 0" 2 14 HXu) pasa si se deciden ofrecer sabores combinando 0 +umos de frutasI En este caso tendremos 5'0' aplicando la ecuación directamente tendremos: 5? 5'0 !5#0$?W0?
5W4W3W0? 2" 0?W5
Es decir 2" sabores diferentes.
E,emplo: omo respuesta a un anuncio de traba,o se presentan 14 personas para cubrir tres cargos administrativos. Hu&ntos grupos diferentes de tres personas se pueden formarI ln: Qeniendo en cuenta que para este caso en particular no influye el orden' se trata de una combinación 12'0:
b. Hu&ntos grupos diferentes de tres personas se pueden formar si se retiran tres de los aspirantesI 9ta: 22" grupos distintos E,emplo:u&ntos tri&ngulos distintos se pueden formar con oc%o pun tos en el plano si nunca %ay tres de ellos alineadosI ln. Para que dos tri&ngulos sean distintos' se tienen que diferenciar al menos en un v)rtice. Por consiguiente' como no influye el orden en que se tomen los v)rtices' el nmero de tri&ngulos distintos que se puede formar es M'0.
Ejem"# ,i"# Geamos algunos e,emplos adicionales de lo que %emos visto. 1. a. Encontremos los arreglos diferentes que se pueden %acer con las letras de la palabra %ESO En este caso de trata de una permutación de cuatro letras diferentes' todas distinguibles entre s(. En este caso es como si tuvi)ramos 3 casillas disponibles para colocar en ellas las letras
3
0
2
1
23 arreglos
En la primera casilla se pueden colocar cualquiera de las 3 letras ya sea P'E'' u S . /espu)s de ubicada cualquiera de ellas' en la siguiente casilla tan sólo se puede ubicar una de las 0 letras restantes. Qras ubicada la segunda letra en la segunda casilla quedan disponibles 2 letras para la penltima casilla y as( en la ltima casilla sólo se puede colocar la ltima letra que queda libre. Luego multiplicando se obtiene el nmero de arreglos diferentes entre s(' en
este caso 23.
b. Permutaciones con la palabra VACA. e tienen nuevamente cuatro letras pero esta ve+ dos de ellas son iguales y no se pueden distinguir entre s(' por lo tanto se deben descontar los arreglos que se vean iguales entre s(:
i se %iciera el conteo de cada uno de ellos solo ser(an distinguibles entre s(' 12 . 2. u&ntos nmeros de 0 d(gitos se pueden formar con los 5 nmeros \1'0'3'4'5'6'M]. a. i no se admiten repeticiones: para este e,emplo la forma de resolver el e,ercicio es igual al planteado anteriormente: se tienen 5 nmeros para colocar sólo en tres casillas. En una primera casilla puede ir cualquiera de los 6 nmeros' en la segunda quedan cualquiera de 5 disponibles !no se admite repetir nmero$ y en la ltima casilla cualquiera de 4 6
5
4
21" posibles numeros de 0 d(gitos
Para aclarar un poco m&s el e,emplo basta entender que al no admitir repetición de nmeros' entonces el nmero de 0 d(gitos 044 no es v&lido segn la restricción impuesta debido a que el 4 se repite y esto no se acepta.
b. i se admiten repeticiones: si este es el caso' entonces en cualquiera de las casillas puede ir cualquiera de los 6 nmeros disponibles porque las repeticiones s( son aceptadas.
6 6
6
030 numeros posibles' incluyendo tambi)n los que tienen cifras repetidas
c. i se quiere que sean pares sin repeticiones: dentro de los nmeros dado s las posibilidades son que terminen en 3 en 5 o en M' por lo tanto sólo %ay 0 opciones para el ltimo d(gito y tras %aber fi,ado este nmero sólo quedar(an 5 nmeros disponibles !no se admiten repeticiones$ para la primera casilla y 4 para la segunda.
5
4
0
" posibles numeros pares
d. i se quiere que sean pares con repeticiones: An son 0 opciones para que sean pares \3'5'M]' pero a%ora se admite que cualquiera de los 6 nmeros disponibles se repita 6
6
0
136 posibles numeros pares
0. En un talego %ay 5 balotas blancas y 4 verdes. a. Encontremos el nmero de formas de sacar 3 balotas del talego si pueden ser de cualquiera de los dos colores. En este caso se va a reali+ar una selección' en ella no interesa el orden y sólo se trata sacar las balotas sin importar el color. Este es un e,ercicio t(pico de combinación !selección$ donde se busca sacar 3 balotas de 11. Entonces:
e pueden obtener 00" combinaciones. a. Escoger 2 blancas y 2 verdes
%ay 14" maneras de sacar 2 balotas blancas y 2 verdes
Permutaciones !ordinarias$ Introducción Justificación En general
Introducción Concepto-8 i tengo 4 ob,etos \a' b' c' d' e] ' los puedo colocar ordenadamente de muc%as maneras:
ada ordenación decimos que es una permutación de estos 4 elementos.
,í9ate en estas tres cosas-8 Se!ección:
D
Para formar un grupo se toman todos
los elementos' no hay que seleccionar unos pocos.
D
Orden:
D
Repetición:
Hay que tener en cuenta el orden en que se colocan los elementos[ si se altera el orden' se tiene un grupo distinto.
No se repiten los elementos dentro de un mismo grupo
N5mero-8 El nmero de permutaciones de 4 elementos se denota por P 4 y equivale a: P4 4.3.0.2.1 12"
N5mero factoria!-8 El producto anterior 4.3.0.2.1 se escribe abreviadamente 4? y se lee @ factorial de 4@.
Justificación i tengo 4 ob,etos \a' b' c' d' e] ' los puedo colocar ordenadamente poniendo como primer elemento del grupo o bien la ^a^ o la ^b^ o la ^c^ o la ^d^ o la ^e^. Por tanto' %ay 4 posibilidades para empe+ar:
a ; ; ; ; ; ; ; ; c ; ; ; ;
d ; ; ; ; e ; ; ; ; Por cada una de estas 4 posibilidades' para colocar el 2_ elemento tengo 3 posibilidades: elegir una cualquiera de las letras restantes. Por e,emplo' suponiendo que %e colocado 1_ la ^a^' tendr(a:
a ; ; ; a c ; ; ; a d ; ; ; a e ; ; ; /e forma que si por cada elección del 1_ tengo 3 posibilidades para el 2_' en con,unto tendr) para los dos primeros elementos 4x3 2" posibilidades. An&logamente' para colocar el 0_ elemento' tendr)' por cada elección del 1_ y 2_' 0 nuevas posibilidades. Por e,emplo' si %ab(a colocado 1_ la ^b^ y 2_ la ^e^' tendr(a las siguientes posibilidades:
e a ; ; e c ; ; e d ; ; As( que para el con,unto de los tres primeros elementos tengo 4x3x0 5" posibilidades. An&logamente' para los cuatro primeros elementos tengo 4x3x0x2 12" posibilidades. K para los cinco' 4x3x0x2x1 12" colocaciones posibles.
En general Concepto-8 i tengo n ob,etos \ a 1 ' a2 ' a0 ' ...' an ] ' los puedo colocar ordenadamente de muc%as maneras: a1 ' a2 ' a0 ' ...' an a1 ' a0 ' ...' an ' a2
a2 ' an ' ...' a0 ' a1 etc. ada uno de estos grupos decimos que es una permutación de estos n elementos.
N5mero-8 El nmero de permutaciones de n elementos se denota por P n y equivale a: Pn n.!n#1$.!n#2$. .... .2.1 El producto anterior se escribe abreviadamente n? y se lee @ factorial de n@.
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0ntroducci&n a las probabilidades A8-n"# óic"# #",e C"nj-n"#2 L e", .e c"nj-n"# e# .e m-c -ii.. en e .e#,,"" .e # ,"ii..e#5 e# ", e" 7-e #e .ee ,ei#, "# c"n"cimien"# #",e # "e,ci"ne# .e c"nj-n"# c"m" " #"n: -nión5 ine,#ección5 e c"memen" .e -n c"nj-n"5 ec2 -8 C"n#i.e,,em"# c"m" e c"nj-n" -nie,# e c- "#ee "."# "# eemen"# "#ie#5 # e c"nj-n" A e# -n #-c"nj-n" .e #i "."# "# eemen"# .e A #"n eemen"# .e ) #e .en":
A
#i , "." / A5 /
2J 3en A ."# c"nj-n"# c-e# 7-ie, en"nce#: -nión #e .efine c"m": C = A
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ine,#ección #e .efine c"m": C = A e c"memen" #e .efine c"m": Ac = K /
= K / / A < / / ∉ A 5
E c"nj-n" 7-e n" "#ee eemen"# #e .en"min c"nj-n" c" #e .en" ", (N"em"# 7-e A Ac = ) Di,em"# 7-e A #"n .i#j-n"# " m--mene e/c-ene #i: A
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%*cnicas de Conteo Dee# ,ec",., ,e8 ,inci en # Tcnic# .e C"ne" c"m" " e# e .e m-iicción: 3i #e ienen n eemen"# .e -n i" m .e ","5 e n9me," .e ,ej# 7-e #e -e.en f",m, "mn." -n eemen" .e c. i" e#
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Un ,ie Ae",i n" e# m# 7-e -n f-nción5 c- #"ci c. een" .e e/e,imen" 7-e e#em"# ,ein." c"n -n n9me," ,e5 #i e c"nj-n" .e n9me,"# 7-e "m ,ie e# -n #-c"nj-n" .e "# Rci"ne#5 .i,em"# 7-e ,ie e# .i#c,e5 en c#" iene -n Di#,i-ción .e ',"ii.. Di#c,e #"ci. e," #i "."# "# ",e# 7-e "m ,ie Ae",i e#n .en," .e ine,"5 #e .ice 7-e ,ie Ae",i e# c"nin- iene #"ci. -n Di#,i-ción .e ',"ii.. C"nin-2
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Un ine,#i"ni# .i#"ne .e 10020005 ",e# , -n ine,#ión .e -n "2 ] e# c"n#i.e,n." ."# "ci"ne#: c""c, e .ine," en e me,c." .e ",e#5 " 7-e e 8,ni -n 8nnci fij .e 1H^ -n n .e ine,#ión c- 8nnci n- -e.e c"n#i.e,,#e c"m" -n ,ie e",i c-"# ",e# .een.en .e # c"n.ici"ne# ec"nómic# 7-e ,eecn2 C"n #e en i#",i #. .e #e8-n." n5 -n ni# m- c"nfie .ee,min." "# "#ie# ",e# .e 8nnci cc-." #-# ,"ii..e#5 c"m" ,ecen en #i8-iene :
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C"n #e 8nnci e#e,.5 JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ JJJJJJJJJJJJ
Distribución inomial
C"n#i.e, -n e/e,imen" en e c- iene# ,e.ee,min." -n n9me," .e en#"# ,ei,5 #i en c. c#" "# en#" #e ,ei .e mne, in.een.iene ,"ii.. .e /i" n" cmi5 ,ie Ae",i 7-e c-en e n9me," .e /i"# en - e/e,imen" e# -n ,ie Ae",i c"n .i#,i-ción in"mi L"# ",e# 7-e -e.e "m, ,ie Ae",i #"n X = 05 15 $5 %5 222 5 n5 7-e ,ei# ZnZ en#"# in.een.iene#5 c"n ,"ii.. ZZ .e Z/i"Z ,"ii.. Z7Z .e f,c#"5 ."n.e: +7 = 1 L F-nción .e ',"ii.. #"ci. e#e e/e,imen" iene f",m:
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i + , 89n i 5 en"nce# ,"ii.. #e "iene #
%' X i + 7
i 27n-i
E ", E#e,." .e -n ,ie Ae",i in"mi e#:
E' X + 7
i 2i 27n-i 7 n227
Eje,cici"#
Di#,i-ción @e"m,ic Distribución +i,ergeómetrica Distribución Poisson
Pronto----
En construcción
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Di#,i-ci"ne# .e ',"ii.. C"nin- L# .i#,i-ci"ne# .e ,"ii.. c"nin- m# -ii.# #"n: L Unif",me5 N",m5 @mm5 E/"nenci5
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CiJc-.,." (χ
@ene,i..e#
)
Di#,i-ción Unif",me Di#,i-ción N",m Di#,i-ción @mm Di#,i-ción E/"nenci Di#,i-ción CiJc-.,." (χ
$ )
En construcción
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%eorema de Ba.es" En el a=o 1650' dos a=os despu)s de la muerte de Thomas Bayes !16"2#1651$' Bayes !16"2#1651$' se publicó una memoria en la que aparece' por ve+ primera' la determinación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que %an podido ser observados. El c&lculo de dic%as probabilidades recibe el nombre de teorema de Jayes.
Te",em .e e# ea ea ! " " # " " $$$"n un sistema completo de sucesos' tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero' y sea B sea B un un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales %&B' condicionales %&B' (. ( probabilidad %& 'B( viene 'B( viene dada por la expresión: i . entonces la probabilidad %& i
En los problemas relacionados con la probabilidad' y en particular con la probabilidad condicionada' as( como con la probabilidad total y el teorema de Jayes' es aconse,able que' con la información del problema' construyas una tabla de contingencia o un diagrama de &rbol.
Ejercicio 8-1:
Qres m&quinas' " m&quinas' " B y ) ' producen el 34`' 0"` y 24`' respectivamente' del total de las pie+as producidas en una f&brica. Los porcenta,es de producción defectuosa de estas m&quinas son del 0`' 3` y 4`. a. eleccionam eleccionamos os una pie+a pie+a al a+ar[ a+ar[ calcula calcula la probabi probabilida lidad d de que sea defectuosa. defectuosa. b. Qomamos' Qomamos' al a+ar' una pie+a y resulta ser defectuosa[ calcula la probabilidad de %aber sido producida por la m&quina B m&quina B.. c. HXu) m&quina m&quina tiene tiene la mayor mayor probabil probabilidad idad de %aber %aber producido producido la la citada citada pie+a defectuosaI
So!.cion ea * ea * @la pie+a es defectuosa@ y N y N @la pie+a no es defectuosa@. La información del problema puede expresarse en el diagrama de &rbol ad,unto. a. Para Para calcula calcularr la probabi probabilid lidad ad de que la pie+ pie+aa elegida elegida sea defectuosa' %&*( defectuosa' %&*('' por la propiedad de la probabilidad total' %&*( + %&( , %&*'( - %&B( %&B( , %&*'B( - %&)( , %&*')( + ".34 W "."0 > ".0" W "."3 > ".24 W "."4 "."0M
b. /ebemos calcular %&B'*( calcular %&B'*(.. Por el teorema de Jayes'
c. alcul culamo amos %&'*( y %&'*( y %&)'*( %&)'*('' compar&ndolas con el valor de %&B'*( de %&B'*( ya ya calculado. Aplicando el teorema de Jayes' obtenemos:
La m&quina con mayor probabilidad de %aber producido la pie+a defectuosa es es
Ejercicio 8-2:
Qenemos Qenemos tres urnas: urnas: con con 0 bolas ro,as y 4 negras' B negras' B con con 2 bolas ro,as y 1 negra y ) con con 2 bolas ro,as y 0 negras. Escogemos una urna al a+ar y extraemos una bola. i la bola %a sido ro,a' Hcu&l es la probabilidad de %aber sido extra(da de la urna AI
)olución/ Llamamos . Llamamos . @sacar bola ro,a@ y N y N @sacar bola negra@. En el diagrama de &rbol ad,unto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos . sucesos . o o N N para para cada una de las tres urnas. La probabilidad pedida es %&'.( es %&'.(.. *tili+ando el teorema de Jayes' tenemos:
E0ercicios" Eje,cici" 1: on los ,ugadores de un club de ftbol se forman dos equipos para ,ugar un partido de entrenamiento[ entre los dos equipos se renen 5 defensas' M medios' 5 delanteros y 2 porteros. El entrenador sabe que en estos partidos' la probabilidad de que se lesione un ,ugador es ".22 si es delantero' ".11 si es medio' "."44 si es d efensa y " si es portero. a. alcular la probabilidad de que se lesione uno cualquiera de los ,ugadores en este partido. b. i se sabe que un ,ugador se %a lesionado' determinar la probabilidad de que %aya sido un defensa.
Eje,cici" $: Qras un estudio estad(stico en una ciudad se observa q ue el 6"` de los motoristas son varones y' de estos' el 5"` llevan %abitualmente casco. El porcenta,e de mu,eres que conducen %abitualmente con casco es del 3"`. e pide: a. alcular la probabilidad de que un motorista elegido al a+ar lleve casco. b. e elige un motorista al a+ar y se observa que lleva casco. Hu&l es la probabilidad de que sea varónI
Eje,cici" %: En una ciudad' el 04` vota al partido A' el 34` vota al partido J y el resto se abstiene. e sabe adem&s que el 2"` de los votantes de A' el 0"` de los de J y el 14` de los que se abstienen' son mayores de 5" a=os. e pide: a. Uallar la probabilidad de que un ciudadano elegido al a+ar sea mayor de 5" a=os. b. Uallar la probabilidad de que un ciudadano mayor de 5" a=os se %aya abstenido.
Eje,cici" : Los alumnos de Primero de Jiolog(a tienen que reali+ar dos pruebas' una teórica y otra pr&ctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte teórica es de ".5' la probabilidad de que apruebe la parte pr&ctica es de ".M y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es ".4. a. Hon independientes los sucesos aprobar la parte teórica y la parte pr&cticaI b. Hu&l es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos ex&menesI c. Hu&l es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dos ex&menesI d. e sabe que un alumno aprobó la teor(a. Hu&l es la probabilidad de que apruebe tambi)n la pr&cticaI
Eje,cici" H: En una bara,a de 3" cartas. a. e toman dos cartas sin reempla+amiento. Hu&l es la probabilidad de que las dos sean de distinto nmeroI b. K si se toman tres cartas' Hu&l es la probabilidad de que los tres nmeros sean distintosI
Eje,cici" &: Qenemos un dado con tres @1@' dos @2@ y un @0@. Lo tiramos dos veces consecutivas y anotamos la suma de los resultados.
a. Hu&l es el Espacio 7uestralI b. Hu&l es la probabilidad de que la suma sea 3I c. Hu&l es la suma m&s probableI Hu&nto vale su probabilidadI
Eje,cici" G: Qenemos dos dados A y J' ambos trucados. En el dado A %ay tres @1@ y tres @2@ y en el dado J %ay dos @1@ y cuatro @2@. e elige un dado al a+ar y se tira. a. Hu&l es la probabilidad de obtener un @1@I b. abiendo que se %a obtenido un @2@' Hu&l es la probabilidad de que se %aya elegido el dado JI
Eje,cici" *: En una ca,a %ay x bolas blancas y 1 bola ro,a. Al extraer de la ca,a dos bolas al a+ar sin reempla+amiento' la probabilidad de que sean blancas es 12. alcula el nmero de bolas blancas que debe tener la ca,a.
Eje,cici" : El 04` de los cr)ditos de un banco es para vivienda' el 4"` para industrias y el 14` para consumo diverso. 9esultan fallidos el 2"` de los cr)ditos para vivienda' el 14` de los cr)ditos para industrias y el 6"` de los cr)ditos pa ra consumo. alcula la probabilidad de que se pague un cr)dito elegido al a+ar.
Eje,cici" 10: El volumen de producción en tres plantas diferentes de una f&brica es de 4"" unidades en la primera' 1""" unidades en la segunda y 2""" en la tercera. abiendo que el po rcenta,e de unidades defectuosas producidas en cada planta es del 1`' ".M` y 2`' respectivamente' calcula la probabilidad de que al seleccionar una unidad al a+ar sea defectuosa.
Eje,cici" 11: El 2"` de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 2"` son economistas. El 64` de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 4"` de los economistas tambi)n' mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el 2"` ocupan un puesto directivo. Hu&l es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al a+ar sea ingenieroI
Eje,cici" 1$: e toman dos bara,as espa=olas de 3" cartas. e extrae al a+ar una carta de la primera bara,a y se introduce en la segunda bara,a. e me+clan las cartas de esta segunda bara,a y se extrae una carta' que resulta ser el dos de oros. Hu&l es la probabilidad de que la primera carta extra(da fuese una espadaI
',"ii.. c"n.ici"n. En un concurso de televisión' se dispone de 2" coc%es' para premiar al concursante' de las marcas y colores que se indican en la siguiente tabla:
Ro9o A@.! Tota!es M Seat%anda 2 *( 0 SeatTo!edo 6 *( Tota!es ** =( Los coc%es est&n colocados aleatoriamente' tras 2" puertas' de forma que el concursante no ve el coc%e que %ay detr&s de cada puerta. El concursante elige un nmero' entre 1 y 2"' y si acierta la marca y el color del coc%e que %ay en la puerta elegida' gana' en caso contrario pierde. El concurso lo podemos considerar como un experimento aleatorio. ada resultado es el coc%e elegido. Para describir f&cilmente todo el proceso vamos a considerar: uceso % : uceso T : uceso . : uceso :
El coc%e es un eat Panda El coc%e es un eat Qoledo El coc%e es de color ro,o El coc%e es de color a+ul
As( el suceso : @eat Qoledo de color ro,o@ lo representamos por : T / . y la probabilidad de este suceso' sigue de la tabla :
Ro9o A@.! Tota!es Seat%anda 2 *( M 0 SeatTo!edo 6 *( Tota!es ** =(
%& T / . ( + 0'#1 La probabilidad de que el coc%e sea un eat Qoledo es :
Ro9o A@.! Tota!es M Seat%anda 2 *( 0 SeatTo!edo 6 *( Tota!es ** =(
%&T(+!1'#1 + !'# HXu) ocurre si' una ve+ que el concursante %a elegido puerta' el presentador' le da la pista de que el coc%e que %ay tras la puerta es ro,oI. Qendremos que cambiar la probabilidad al suceso T y al suceso % . A la probabilidad del suceso T cuando se sabe que %a ocurrido .' le llamamos pro2a2ilidad condicionada de T" sa2iendo que ha ocurrido . y escribimos: %&T'.( Para asignar las nuevas probabilidades %emos de ser consecuentes con las propiedades que debe cumplir toda asignación de probabilidades. El nuevo espacio muestral es el se=alado en ro,o en la tabla siguiente. Por tanto asignamos as( las probabilidades:
Ro9o A@.! Tota!es M Seat%anda 2 *( 0 SeatTo!edo 6 *( Tota!es ** =(
%&T'.( + 0'3 4 %&%'.( + #'3
/e la tabla anterior' siguen f&cilmente las siguientes relaciones :
onsideremos a%ora el siguiente experimento : /os urnas' y B 'la urna ' contiene 0 bolas verdes y 2 bolas ro,as' la urna B contiene 2 bolas verdes y 0 bolas ro,as. e reali+a el experimento en dos tiempos' primero se selecciona urna por un procedimiento aleatorio y posteriormente de la urna elegida se extrae una bola. Para representar' de forma muy adecuada' este tipo de experimentos' se reali+a un esquema' llamado : &rbol de probabilidades
ada flec%a del diagrama se denomina rama del &rbol[ a cada rama' asignamos la probabilidad que le corresponde. *n recorrido' desde el comien+o del experimento %asta el final' se llama un camino. i sabemos que %a ocurrido el suceso ' tenemos que volver a asignar probabilidades a los distintos caminos[ todos los caminos que comien+an por e l suceso B' tendr&n probabilidad " y los que empie+an por el suceso :
Uay que aceptar por tanto las mismas relaciones entre probabilidades a las que %ab (amos llegado en el experimento anterior :
Para concretar tenemos que admitir la siguiente definición:
Definición 12 ',"ii.. c"n.ici"n. /e un suceso . sabiendo que %a ocurrido otro
K dos teoremas:
Te",em 12 Re8 .e ,".-c" /e la definicion 1' despe,ando' sigue que:
Te",em $2 ',"ii.. " i y B forman un sistema completo de sucesos ' la probabilidad de cualquier otro suceso . es:
3-ce#"# .een.iene# /os sucesos son dependientes si el resultado de uno influye en el otro. Los sucesos y B son dependientes si y sólo si %&( es distinto de %&'B( y %&B( es distinto de %&B'(
3-ce#"# in.een.iene# /os sucesos son independientes si el resultado de u no no influye en el resultado del otro. Los sucesos y B son independientes si y sólo si %&(+%&'B( y %&B(+%&B'(.
',"ii..e# "#e,i",i2 Te",em .e e#2 Gamos a considerar de nuevo' el experimento de las urnas A y J' que contienen bolas verdes y ro,as:
i sabemos que %a salido una bola ro,a' los caminos posibles en el &rbol de probabilidades' quedan reducidos a dos' los se=alados en ro,o en la imagen anterior[ tenemos que reasignar probabilidades' todos los caminos que terminan en bola verde' deber&n tener probabilidad ". Hómo asignamos probabilidades a los caminos que conducen a bola ro,aI
En resumen podemos enunciar el siguiente resultado :
Te",em .e e# " .e # ,"ii..e# "#e,i",i
Oe,ci"ne# c"n #-ce#"#:
3-ce#"# c"mie# e inc"mie#
3-ce#" c"n,,i" /ado un suceso A' se llama suceso contrario de A a un suceso que se verifica cuando no se verifica A.
Dife,enci .e #-ce#"#
Lee# .e De M",8n e pueden comprobar gr&ficamente.
Te",em 12 ',"ie..e# #ic# Las probabilidades asignadas a cada suceso por una función de distribución definida sobre un espacio muestral E de un experimento aleatorio' verifican las siguientes propiedades:
Te",em $2 i y B son subcon,untos de E ' entonces:
3i#em c"me" .e #-ce#"#2
Re8 .e Lce2 i en un experimento aleatorio todos los sucesos elementales son equiprobables' la probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el nmero de resultados que forman el suceso A entre el nmero de resultados posibles. i llamamos casos favorables a los resultados que forman el suceso A y casos posibles a los resultados posibles del experimento' tenemos:
Anterior iguiente
Introducción a la teoría de la ,robabilidad Laplace' eminente matem&tico franc)s de la ltima mitad del siglo VGDDD y principios del VDV' describ(a la teor(a de la probabilidad co mo Nel sentido comn reducido al c&lculoO. Geamos como la siguiente an)cdota ,ustifica esta descripción. /os estudiantes de Dnstituto intentan ponerse de acuerdo en como pasar una tarde. Acuerdan que tomar&n su decisión lan+ando una moneda. i sale cara ir&n al cine' si sale cru+ saldr&n a tomar una coca#cola y si la moneda cae de canto' estudiar&n. La %istoria no es tan trivial como pueda parecer' con ella podemos aprender muc%o. El sentido comn' basando su ,uicio en la experiencia' nos indica que los estudiantes quieren saltarse la necesidad de estudiar. En otras palabras sabemos intuitivamente que la moneda no caer& de canto' que lo %ar& sobre la cara o sobre la cru+. 7&s an' si la moneda es legal' tenemos la certe+a moral de que las posibilidades de que salga cara o cru+ son las mismas. Pues bien la teor(a de la probabilidad se basa en la asunción que %acemos de cuestiones tales como estas : Hu&l es la probabilidad de que una moneda caiga sobre el bordeI Hu&l es la probabilidad de que salga caraI Hu&l es la probabilidad de que salga cru+I Para poder tratar estas cuestiones desde un p unto de vista matem&tico' es necesario asignar valores num)ricos a cada una de la probabilidades involucradas. upongamos por el momento que denotamos por p el valor num)rico de la probabilidad de que al lan+ar una moneda' salga cara. Puesto que es igualmente posi2le que al lan+ar la moneda' salga cru+' la probabilidad de que salga cru+ tambi)n debe tener asignado el valor p. omo tenemos la certe5a de que saldr& cara o cru+ sigue que #p debe ser el valor asignado al suceso seguro' el que ocurrir& siempre que lancemos una moneda al aire. Podemos elegir cualquier valor que nos pla+ca para el suceso seguro. Es costumbre elegir el valor 1. Esto es: asumimos que #p+!. Entonces la probabilidad de que la moneda muestre cara es : !'# [ la probabilidad de que muestre cru+ es : !'#[ y la probabilidad de que salga cara o cru+ es:
i anali+amos detalladamente el e,emplo' podemos apreciar : *n experimento aleatorio' lan+ar una moneda al aire *nos resultados puntuales' sale cara o sale cru+ y no podemos tener la certe+a de antemano de que sea cara o sea cru+. *nas asignaciones de probabilidad a cada uno de los resultados' que se basan en el sentido comn y en nuestra experiencia previa. Gamos a definir de manera m&s precisa cada uno de los elementos que intervienen:
E/e,imen" e",i" Es el experimento que se caracteri+a porque su desarrollo no es previsible con certidumbre.
E#ci" m-e#, Asociado a un experimento aleatorio es el con,unto de todos los resultados que se pueden obtener al reali+ar el experimento. Lo designamos con la letra E y colocamos sus elementos entre llaves y separados por comas.
3-ce#" /e un experimento aleatorio es cada uno de los subcon,untos del espacio muestral E . Los designamos por letras maysculas: "B")"$$$" ponemos sus elementos entre llaves y separados por comas.
O#e,ción : *n resultado concreto de un experimento es un elemento del espacio muestral asociado al experimento' conceptualmente suceso y resultado son dos cosas distintas. Los resultados de un experimento aleatorio se suelen representar con letras minsculas' los sucesos con letras maysculas.
En el e,emplo anterior' el suceso ocurre siempre que el resultado del experimento sea el elemento #' el elemento 6 o el elemento 7 .
La confusión entre suceso y resultado se debe a que cuando el suceso es : @ que al lan+ar un dado salga 2@ y el resultado :@sale un dos al lan+ar el dado@' sólo ocurre el suceso cuando el resultado es 2. uceso : @ale un dos@ es el subcon,unto 8#9 del espacio muestral 9esultado : @ale un dos@ es el elemento # del espacio muestral
F-nci"ne# .e .i#,i-ción El paso siguiente es asignar !distribuir$ probabilidades. Las definiciones que siguen est&n motivadas por el e,emplo del lan+amiento de una moneda' recordamos que en ese e,emplo a cada resultado del espacio muestral le asignabamos un nmero no negativo tal que la suma de todos los nmeros asignados a cada resultado deber& ser 1.
Definición ea : una variable que representa a los posibles resultados de un experimento aleatorio' en principio vamos a asumir que este experimento tiene sólo un nmero finito de posibles resultados. ea E ' el espacio muestral del experimento. *na función de distri2ución para : es una función real f cuyo dominio es E y que satisface:
Ejem": ean tres equipos de futbol' a" 2 y c que se presentan a un torneo de verano' sólo uno ganar& el torneo. El espacio muestral es el con,unto de tres elementos' E+8a"2"c9' donde cada elemento corresponde al triunfo de cada uno de los equipos. uponemos que a y 2 tienen las mismas posibilidades de ganar y c tiene solamente la mitad de las posibilidades de ganar que a. /ebemos asignar probabilidades de modo que :
ea el suceso ' @gana el trofeo el equipo a@ [ el suceso B' @gana el trofeo el equipo 2@ y el suceso ) ' @gana el trofeo el equipo c@. En el lengua,e de la teor(a de con,untos:
