CURSO:
ANALISIS Y SIMULACION DE PROCESOS METALURGICOS
Septiembre 2011
INDICE:
1.
Objetivos y metodología del análisis y optimización de procesos
02
2.
Metodología de Análisis y Optimización de Procesos
06
3.
Característica de la metodología de Análisis y Optimización de Procesos. 09
4.
Metodología particular de AOPI basada en modelos matemáticos.
5.
Adquisición de datos
10
6.
Diseños experimentales
13
7.
Fundamentos del muestreo.
15
8.
Tipos de experimentos
19
9.
Análisis de datos
20
10.
Modelación de Procesos
11.
Elementos de Análisis de Procesos
12.
El modelamiento matemático de la Conminución
09
21 26
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CURSO: ANALISIS Y SIMULACION DE PROCESOS METALURGICOS
OBJETIVO GENERAL Entregar a los participantes las herramientas de análisis de procesos y la forma de aplicarlas de manera que pueda enfrentar con éxito los problemas metalúrgicos que se presentan en una planta de beneficio de minerales, además, estudiar la modelación y simulación de las diferentes operaciones y procesos metalúrgicos extractivos.
OBJETIVOS ESPECIFICOS 1. Definir y describir elementos de ingeniería de sistemas. 2. Describir metodologías de análisis de proceso, análisis de sistemas y modelación matemática. 3. Adquisición y análisis de datos. 4. Describir y aplicar metodologías de validación de información de proces o. 5. Estudio de casos, modelación en: Chancado, Molienda, Flotación, Lixiviación y Extracción por solventes
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1. Objetivos y metodología del análisis y optimización de procesos 1.1. Objetivos de AOPI (alternativos y/o complementarios) Comprender las interacciones físico-químicas y de otra naturaleza de los
procesos, sus implicaciones operacionales y económicas Sintetizar racionalizaciones en condiciones de proceso, operacionales y de planta. Sintetizar mejoramientos en la calidad de los productos Determinar la factibilidad de innovaciones tecnológicas de proceso, mecanizaciones y automatizaciones de éste.
1.2. Orígenes de una exigencia metodológica
Limitación de los recursos disponibles tanto en calidad como en cantidad (recursos naturales y energéticos, financieros, mano de obra especializada). Esto exige que su uso sea eficiente para garantizar que se obtiene en máximo provecho posible por unidad de recurso invertida. La imperfección de todo proceso artificial en el sentido de que su eficiencia no es máxima (100%). Esto conduce a la posibilidad de lograr mejores eficiencias a través de innovaciones tecnológicas y metodológicas. La cada vez mayor complejidad y complicación de los procesos artificiales. La existencia de técnicas y procedimientos para lograr un uso racional de los recursos limitados y mejorar la eficiencia de los procesos artificiales. Esto ayudado por el desarrollo en hardware y software.
1.3. Metodología de ingeniería de sistemas Etapas, en cuanto a la “vida” de un sistema. a)
b) c)
d) e)
Planificación de programas, que se refiere a la definición y selección de programas y políticas que se han de perseguir en el contexto en que se aplicarán. Planificación de proyectos, en la que se implementan los proyectos que conforman el sistema y se establecen los planes de su producción. Desarrollo del sistema, en que este se diseña (sintetiza y analiza) y se generan las especificaciones para su producción (ingeniería básica y de proyecto) Producción, en la que los elementos del sistema son producidos así como las bases técnicas para su instalación. Instalación, en la que se instalan los distintos elementos del sistema y se completan los planes de operación.
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f) g)
Operación, que se refiere al manejo del sistema poara lograr los objetivos que se perseguirán con su diseño. Retiro, reemplazo o modificación del sistema, dando lugar así a una nueva iteración en el ciclo.
1.4. Fases 1.4.1. Definición del problema , en la que se formulan los diferentes factores y sus características que condujeron al problema en cuestión a transformarse en uno contingente. Se detallan, por ejemplo, las necesidades, las restricciones, las características y disponibilidad de datos, el medio, etc. 1.4.2. Diseño de sistema de valores , en la que se postulan y clasifican los objetivos cuyo logro resolverá los problemas descritos en la fase anterior. Se definen los objetivos y los criterios para su medida (índices), eventualmente también se definen metas parciales. 1.4.3. Síntesis de sistemas , en la que se conceptualizan potenciales candidatos para políticas, actividades, controles y sistemas completos que pueden permitir alcanzar los objetivos comprometidos. En esta fase se generan las diversas alternativas de solución del problema. 1.4.4. Análisis de sistemas , en la que se determina el comportamiento del sistema y sus interrelaciones, y las características de las políticas, actividades y controles propuestos en término de logros de los objetivos, la resolución del problema y la satisfacción de las necesidades, y todo esto para distintas condiciones en el medio y las restricciones. 1.4.5. Toma de decisiones , en la que se elige una de las políticas alternativas y eventualmente otras para su eventual aplicación. Se ha de considerar un procedimiento de evaluación y selección que permita comparar las diversas alternativas. 1.4.6. Implementación, en que se ejecuta físicamente la decisión tomada. Esto conduce a comenzar con la primera fase de la etapa siguiente.
2. Metodología de Análisis y Optimización de Procesos 2.1. Definición de problemas, la industria de procesos está inmersa y se mueve a través de actividades cuyas formalidades constituyen problemas los cuales pueden ser cotidianos, periódicos o de emergencia. Ejemplos de problemas cotidianos
Aumento del beneficio económico Mejoramiento de la calidad de los productos Mejoramiento de la confiabilidad del proceso 4
Mejoramiento en el uso de la energía Disminución de la contaminación ambiental Disminución de la dependencia de otras empresas (e jemplo: abastecedoras de materias primas).
Ejemplos de problemas de emergencia
Mantener la estabilidad frente a cambios en las condiciones de mercado (costo de mano de obra y materias primas, tasa de cambio, aranceles, nivel de demanda, precio de productos, etc). Mantener la estabilidad frente a cambios en el medio y en las materias primas.
2.2. Diseño de sistemas de valores Se traduce finalmente en la definición de objetivos y los criterios de medida. Casos típicos son:
Maximizar rentabilidad, medida por ejemplo a través de la tasa interna de rendimiento o valor actualizado neto de las utilidades. Aumentar la calidad de producto, medido a través de coeficientes ad hoc en las especificaciones técnicas de calidad. Mejorar la confiabilidad, medido a través del factor de utilización por el concepto de falla.
2.3. Síntesis de sistemas Para lograr los objetivos perseguidos se pueden formular políticas alternativas tales como:
Construir una planta nueva (para productos nuevos) Ampliar la planta (iguales productos) Mejorar los métodos operacionales y administrativos Mecanizar procesos manuales Automatizar procesos manuales o solo mecanizados Innovar tecnologías
Para cada una de estas políticas alternativas existen a su vez subalternativas caracterizadas por ejemplo por tecnología, ubicación física, secuenciamiento temporal, escala.
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2.4. Análisis de sistema Se estudia el comportamiento tanto estático como dinámico de las alternativas sintetizadas anteriormente En términos generales, en las especificaciones técnicas se definen los modos de comportamiento que son aceptables desde el punto de vista de los objetivos. En los respectivos extremos de la escala de modos de comportamiento aceptables se encuentran:
Estabilidad, es lo mínimo exigible. En general se refiere, para un
proceso dado, que pequeñas variaciones en la entrada, las condiciones iniciales o los parámetros, no se traduzcan en grandes variaciones de la salida. Optimalidad, es lo máximo exigible. En general, se refiere a determinar las condiciones y valores de variables que optimizan un índice de comportamiento ad hoc; la optimización debe restringirse a la región estable del sistema.
Como resultado de la fase de análisis de sistemas se obtiene un análisis detallado de las diversas alternativas y su correspondiente evaluación técnico-económica bajo distintas condiciones de riesgo.
2.5. Optimización La optimización ha de entenderse como continuación lógica del análisis de sistemas. Puede efectuarse principalmente de dos maneras
En forma empírica, esto es, usando información directa del proceso y calculando nuevas condiciones de operación en base a estos datos. Usando modelos matemáticos, de modo que se puedan determinar parámetros y condiciones que optimizan los índices de comportamiento.
Como resultado de la etapa de optimización se tiene el mejor comportamiento posible de las diversas alternativas consideradas.
2.6. Toma de decisión En base a los resultados del análisis de sistema y la optimización ha de tomarse decisión respecto de la implementación de las alternativas consideradas y en particular de aquella que ha demostrado ser más eficiente en el cumplimiento de los objetivos. 6
En esta fase deben ponderarse tanto los factores cuantitativos (que ya han sido adecuadamente considerados en fases previas) como cualitativos sobre la base de u criterio pre-establecido y aceptado. Tomas de decisiones típicas son: rechazar, postergar (plazo), reestudiar, aceptar alternativa más conveniente)
2.7. Implementación La alternativa elegida debe llevarse a la práctica. Dependiente de la etapa de implementación se puede referir a un programa, a un proyecto, a la operación de una planta, etc.
3. Características de la metodología de Análisis y Optimización de Procesos. 3.1. Iterativa y optimizante 3.2. Diferencia entre análisis de sistemas y análisis de procesos i. Se refiere al comportamiento del proceso y sus partes frente a distintas condiciones pero sin perder las características y propiedades físicas. Medios típicos para efectuar el análisis de proceso son las plantas piloto, laboratorios, plantas semi-industriales, modelos que preservan las características físicas, experimentos planificados en las plantas industriales. ii. Análisis de sistemas, que está referido a la abstracción del proceso en base a un objetivo determinado y que puede corresponder a una función global o específica del proceso. El medio normal para efectuar el análisis de sistemas es el de la simulación mediante modelos matemáticos. 3.3. Aplicable a síntesis de procesos
4. Metodología particular de AOPI basada en modelos matemáticos. 4.1. Adquisición de datos
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Que se refiere a los procedimientos para obtener datos desde el proceso, basados en experimentos (a posteriori) o inferencias (a priori) estáticos y dinámicos, de modo de cuantificar todas las variables involucradas
4.2. Modelación Que se refiere básicamente a la determinación de las estructuras de los modelos; para esto se disponen de diversos procedimientos tales como las ecuaciones de balance para modelos matemáticos.
4.3. Identificación Que se refiere ya sea a la estimación de los parámetros de los modelos cuya estructura ya ha sido obtenida en la etapa previa, o la inducción de ecuaciones del modelo sin haber determinado previamente su estructura (como es el caso de los comúnmente llamados modelación de “cajas negras”).
4.4. Simulación Que se refiere a los procedimientos para correr los modelos bajo diversas condiciones de operación; básicamente la simulación se puede efectuar en computadores o plantas pilotos.
4.5. Optimización Se refiere a la búsqueda de las condiciones adecuadas que hacen máximo o mínimo el índice de mérito o comportamiento.
5. Adquisición de datos Corresponde al proceso de obtención de datos para su posterior análisis. Puede desarrollarse desde muestreo manual con análisis en laboratorio hasta sistemas computarizados en línea. Las fases características corresponde a:
Obtención del dato base: muestreo y análisis de laboratorio o alternativamente, medición – transducción – transmisión – conversión – adecuación.
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Conversión dato/información: almacenamiento, procesamiento, despliegue, reporte y recuperación.
Los índices operacionales corresponden a la particularización de objetivos en que solo se consideran variables aquellas relativas a la operación del proceso, permaneciendo fijas aquellas relativas a la planta, por ejemplo:
Productividad referida a los tiempos asociados a cada actividad de operación. Eficiencias energéticas Consumos unitarios.
Clasificación de información de AOPI
5.1. Información de proceso (técnica) 5.1.1. Variables Manipulables Niveles de materias primas Niveles de insumos materiales Niveles de insumos energéticos y de fluidos 5.1.2. Variables controlada Niveles de Producción (variables de salida) Niveles de calidad de productos (variables de salida) Condiciones de proceso (punto de trabajo) 5.1.3. Variables de estado Temperaturas, flujos, presiones, flujos de calor, velocidades, posiciones, aceleraciones, corrientes, voltajes eléctricos, concentraciones, etc. 5.1.4. Parámetros Propiedades de medio o proceso
5.1.5. Perturbaciones Perturbaciones de entrada Perturbaciones paramétricas
5.2. Información económica 5.2.1. Costos 9
a)
Costos de operación a)
b)
b)
Costos de operación directa Costos de materias primas Costos de insumos materiales Costos de insumos energéticos y de fluidos Costos de recursos humanos Costos de mantención y reparación Costos de insumos materiales Costos de insumos energéticos y de fluidos Costos de recursos humanos
Costos de inversión (en todos: costos de insumos materiales, energéticos y fluidos y de recursos humanos)
Costo de infraestructura básica Costo de equipamiento Costo de ingeniería Costo de instalaciones, montaje y obras Costo de puesta en servicio y evaluación (a posteri ori)
c)
Otros costos
Depreciación (amortización de instalaciones) Pago de patentes y licencias Impuestos especiales Impuestos a las utilidades Costos financieros (costos de capital) Costos de arriendos
5.2.2. Ingresos a) b) c)
Ingresos por mayores ventas mismo producto (aumento de producción) Ingresos por mayor volumen de ventas por mejor precio (mejor calidad de producto) Ingresos por nuevos productos
5.3. Información de operación (técnica) a) b)
Cantidad y tipo de recursos humanos Forma de operación Secuencia de actividades 10
Tiempos Métodos y procedimientos
5.4. Información de planta (técnica) a) b)
Estructura de la planta (disposición de equipos y su interconexión) Especificaciones nominales de equipos e instrumentos
6. Diseños experimentales 6.1. Introducción La técnica de los diseños experimentales está relacionada principalmente con los siguientes factores: a) b) c)
Un ordenamiento o arreglo de ítem individuales que componen un experimento complejo, diseñado para un propósito definido. Cuantificación de los efectos de las variables estudiadas, en la respuesta medida o alguna característica del sistema en estudio que interese. Elección de una técnica adecuada, para el análisis estadístico de los resultados obtenidos, con el el objetivo de inferir conclusiones razonables.
La finalidad del diseño es incrementar la exactitud de los experimentos, no la precisión. a) b)
Exactitud: es la medida de cuán ajustados son los valores medidos al valor verdadero. Precisión: Es una medida de cuan ajustado son los datos medidos con respecto al valor promedio.
6.2. Métodos para incrementar la exactitud En la práctica, la mayoría de las mediciones o experimentos dan como resultado valores de las variables medidas que fluctúan de una repetición a otra de las experiencias. Estos resultados se denominan aleatorios, estocásticos o probabilísticos, dependiendo del énfasis particular. De este modo, las variables asociadas a estos fenómenos, se las denomina variables aleatorias o estocásticas. Existen muchas razones del porqué las observaciones o medidas obtenidas por experimentos, resultan ser más aleatorias que determinísticas, algunas de éstas son: a)
Información insuficiente acerca de las variables
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b)
Carencia de técnicas adecuadas que permitan obtener la información requerida. De este modo solo algunas manifestaciones son obtenidas. Negligencia o falta de cuidado del observador o experimentador en la realización de las experiencias.
c)
El “valor verdadero” de una variable, es aquél que debería ser obtenido de las mediciones si es que no existiera un factor estocástico asociado a la medición. Por lo tanto, el valor verdadero de una variable es, en cierto sentido, un valor hipotético, el cual es postulado como existente. Ligado al concepto de valor verdadero está el concepto de error, puesto que el error representa la diferencia entre el valor verdadero y el valor medido. De este modo, un error aleatorio es aquel que representa la diferencia entre el valor verdadero y el valor medido de una variable aleatoria. Este tipo de error debe ser diferenciado de: a) b)
Un error aislado producido por descuido o torpeza del experimentador Un error sistemático, introducido continuamente, debido a la falta de calibración de un instrumento, por ejemplo. Este tipo de error produce un sesgo en la medición.
Cualquiera sea la fuente del error experimental una forma de minimizar este error asociado a la medición, es la repetición del experimento, siempre que se tomen ciertas precauciones, como por ejemplo, la aleatorización. En el campo de la metalurgia, los diseños factoriales han probado ser un tipo de diseño experimental preliminar importante, de un mínimo costo, que permite analizar un gran número de variables variando todas al mismo tiempo y que permite determinar el efecto de cada una de ellas por separado, además del efecto combinado de dos o más variables (efecto de interacción). Ejemplos de análisis aplicados son: a) b) c) d)
La calidad de los productos El rendimiento de un proceso Comportamiento de un equipo o instrumento de medición Consumo de energía o combustible de un proceso, etc.
Con los diseños factoriales podemos obtener: a) Estimación de los efectos principales de cada uno de los factores en forma independiente b) Estimación del grado de dependencia con otro o combinación de otros, en forma independiente (cuantificación de los efectos de interacciones). c) Estimación de los efectos con la máxima precisión. 12
d) Suministrar un estimativo del error experimental con el propósito de investigar el grado de significancia de los efectos, además, de determinar los intervalos de confianza de los efectos.
7. Fundamentos del muestreo. En el análisis de procesos, debe necesariamente considerarse la etapa de adquisición de datos a través de la cual se obtiene información cualitativa y cuantitativa del proceso; esta información junto con las relaciones del ti po fenomenológicas servirán de base para el análisis. La adquisición de datos es también el procedimiento que se debe emplear para verificar conclusiones que se obtienen del análisis Existen diversas técnicas (alternativas y/o complementarias) para realizar la adquisición de datos y las cuales se encuentran en algún punto intermedio entre: a) b)
Muestreo manual y análisis de laboratorio Adquisición de datos en línea a través de sistemas computarizados.
La aplicación de alguna de estas técnicas depende de la factibilidad técnica y económica según corresponda. En general, la ausencia de instrumentos sensores eficaces en ciertos casos impide en uso de sistemas en línea. Esta es una razón por la cual se usan aún en forma común los sistemas de adquisición basados en muestreo directo. En muchos casos, la adquisición de datos está orientada hacia la confección de balances de materia (por ejemplo, metalúrgicos), por lo que solo interesan valores globales promedios en periodos determinados; para tal fin, muestreos representativos permiten abordar dicho objetivo. Por consiguiente, en la mayoría de los casos la adquisición de datos implica procedimientos de muestreo en el que se obtiene información parcial acerca de un objeto (proceso) y en el que es generalmente imposible obtener todos los datos de todas las posibles condiciones; por consiguiente, es necesario hacer consideraciones de tipo estadístico sobre los datos obtenidos.
7.1. Etapas principales en la preparación de un muestreo Las etapas involucradas en la planificación y ejecución de un muestreo son las siguientes: a)
Definición de objetivos del muestreo 13
b) c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
k)
Determinación de la población a muestrear, definir claramente el conjunto desde el cual se va a elegir la muestra Determinación del tipo de datos a colectar, clasificar los datos relevantes a tomar para evitar trabajos y costos innecesarios Definir grado de precisión deseado, los resultados de la muestra están sujetos siempre a errores experimentales, los cuales pueden minimizarse tomando muestras más grandes, aumentando el número de mediciones, usando instrumentos más precisos, etc., pero esto usualmente lleva consigo un mayor costo y mayor consumo de tiempo, lo que obliga a llegar a un compromiso. Definir método de medición, definir la forma de tomar la muestra y con qué tipo de recursos. Definir el marco de medida, dividir la población en unidades disjuntas y de ellas elegir la muestra. Ello debe ser realizado a partir del grado de precisión deseado, costos relativos y tiempo empleado para cada alternativa. Realización de pre-test, simular la toma de muestra para encontrar omisiones, redundancias, etc. y mejorar el procedimiento a usarse. Organización del trabajo, diseñar una técnica para la toma de datos (secuencia de experiencia) en función principalmente de la disponibilidad de la planta y de recursos humanos. Realización del muestreo Resumen y análisis de los datos, analizar los datos obtenidos desde el punto de vista estadístico para concluir la relevancia y aprovechamiento de ellos, síntesis de conclusiones (información) Almacenamiento de los datos y de la información obtenida del análisis para futuras experiencias.
7.2. La medición El margen de error aceptable en las mediciones está determinado por los objetivos del análisis ya que si se especifica un error aceptable para los resultados, inmediatamente quedan condicionadas las tolerancias en todas las etapas del análisis (propagación de errores). Este margen de error que se puede conseguir está determinado por diferentes aspectos entre los que se destacan: a) b) c) d) e)
Alteración del proceso por efecto de la medición Representatividad de la muestra Efecto del experimentador Efecto del instrumento de medición El asincronismo
7.3. Número de variables 14
a) b) c) d)
Factor tecnológico Factor económico Observabilidad Redundancia
7.4. Tiempo y cantidad de muestreos a) b) c)
Discretización Frecuencia de muestro Tiempo de muestreo
7.5. Beneficios de la técnica de muestreo La técnica de muestrear una población de datos para estudiarlo, tiene determinadas ventajas comparativas junto a la posibilidad de estudiar la población en su totalidad.
Reducción de costos: si los datos son tomados a partir de una fracción pequeña del universo, los gastos son más bajos que si se estudio todo el conjunto. Mayor rapidez en obtener información: los datos pueden ser recolectados y resumidos más rápidamente con una muestra que con el universo completo. Esto es de gran importancia cuando la información se requiere con urgencia. Mayores alcances (flexibilidad): puede usarse personal entrenado o equipo especializado para obtener los datos a partir de diferentes muestras, La elección radica en obtener la información por muestreo o no obtenerla. Mayor exactitud (precisión): Se logra gracias a personal altamente calificado y entrenado, a una cuidadosa supervisión de la toma de datos, casos que solo pueden lograrse cuando el volumen de trabajo es reducido.
8. Tipos de experimentos 8.1. Características principales de la experimentación a)
b)
La experimentación implica un conjunto de procedimientos que permiten colocar en relieve determinadas características de un proceso, a través de la obtención de información de éste. Un experimento se realiza normalmente en el marco de un problema experimental y este, a su vez, se establece en los requerimientos de
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c)
información que impone un problema de ingeniería o de investigación y desarrollo La experimentación permite conformar la base de datos para realizar el respectivo análisis del proceso debiendo realizarse en forma controlada, de modo que la información obtenida puede asignársele la validez requerida.
Los tipos de experimentos que es posible realizar son estáticos y dinámicos. A los primeros les concierne el efecto de la acción sobre el proceso en los valores estacionarios (o de régimen permanente) de las variables y a los segundos, la evolución temporal de las variables sujetas a observación
8.2. Conceptos básicos de los experimentos estáticos a)
b)
c)
En estos, no interesa la evolución de las variables observadas, que sigue a una determinada acción sobre el proceso, sino a los valores finales que alcanzan. Los experimentos estáticos se conciben para la determinación, en general de relaciones de tipo algebraicas entre las variables de proceso. En ciertos casos pueden ser representados por ecuaciones diferenciales espaciales. Los datos que se obtienen de experimentos estáticos son usados principalmente para analizar el proceso y su operación y poder determinar condiciones más eficientes. En particular, en el caso que se usen técnicas de modelación y simulación para tales fines, entonces los datos así obtenidos son usados para proponer la estructura de modelos matemáticos empíricos y para la identificación de parámetros de modelos, ya sean fenomenológicos o empíricos.
8.3. Características principales de los experimentos dinámicos Este tipo de experimentos tiene normalmente por objetivo el generar datos que permitan generar datos que permitan proponer y determinar una descripción matemática que relaciona la(s) variables(s) observada(s) con el estímulo aplicado no solo con su valor en el instante en que este se produce sino con valores que tenía en instantes anteriores. La descripción generalmente resulta ser una ecuación de tipo diferencial. Los aspectos a analizar antes de realizar un experimento dinámico son: a) b) c) d)
Elección de variable estímulo y de variables que serán medidas. Elección de las señales de entrada o estímulo del proceso (amplitudes y frecuencias). Tiempo total de observación Definición del marco externo.
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e) f) g) h)
Determinación del tiempo de muestreo adecuados a cada una de las variables. Definición de las condiciones de proceso Definir si el experimento se realizará bajo la acción de un sistema de control o no. Elección de la instrumentación adecuada
9. Análisis de datos En la práctica, la mayoría de los fenómenos se pueden representar como aleatorios y el acto de realizar diferentes mediciones de una variable de proceso, entrega diferentes valores de la misma, puesto que la medición está afecta a error experimental. En este contexto, el ingeniero de procesos, o el investigador, en general, debe analizar los datos obtenidos desde el punto de vista estadístico, con los objetivos siguientes. a) b) c)
Asignar un valor (a la variable de proceso) que se pueda considerar verdadero, dado que las mediciones están afectas a un error experimental. Asignar un margen de confianza a estos valores Analizar los datos estadísticamente para obtener conclusiones útiles.
Estos objetivos se pueden lograr mediante los siguientes mecanismos: a) b) c)
Determinar el valor promedio estadístico de los valores medidos Definir un intervalo de confianza Realizar un test de hipótesis.
10. Modelación de Procesos De entre las distintas representaciones posibles de un proceso, la modelación matemática es la más utilizada en la industria minera. Cuando son posibles de obtener, éstos son los más flexibles y versátiles, pudiendo ser utilizados en todas las fases del análisis de proceso, desde la investigación y desarrollo de nuevos procesos, hasta el análisis de plantas, estudios técnico económicos, etc.
10.1.
Clasificación de los modelos
El desarrollo de modelos matemáticos de procesos requiere, normalmente, efectuar suposiciones y plantear hipótesis simplificadores. Ellas permiten 17
obtener una respuesta simple para un adecuado manejo del modelo, y lo suficientemente completa como para que permita obtener información útil a los propósitos del estudio. La clasificación puede realizarse dependiendo de los objetivos planteados, de la técnica utilizada y de la estructura de los modelos.
10.1.1. Clasificación de acuerdo a los objetivos. En el ámbito de la Ingeniería de Procesos, los objetivos de los modelos matemáticos, los cuales no necesariamente son excluyentes y pueden perseguirse uno o más objetivos a la vez, son los siguientes, a)
b)
c)
Diseño de procesos, esto es, determinación de las interrelaciones entre diversas unidades y elementos para satisfacer una necesidad vigente. También en el caso del diseño de un dispositivo físico, donde las dimensiones y formas se relacionan con las características dinámicas del proceso. Optimización del proceso y su operación, este es el caso típico de procesos que fueron diseñados con una tecnología que no poseía las herramientas y/o equipos actuales, o procesos cuya relación de variables ha sido modificada por envejecimiento o deterioro. También es el caso de procesos que fueron diseñados para satisfacer requerimientos menos estrictos que los actuales. Actualmente, la racionalización del uso de recursos es de vital importancia, en particular, la optimización en el aprovechamiento de recursos energéticos. Control de procesos, en el sentido de mantener las relaciones entre las variables que garanticen un comportamiento determinado de éste frente a la presencia de perturbaciones, evaluación de configuraciones alternativas de control, simulación regular del sistema como también en situaciones de emergencia y partida/paradas.
Las exigencias en cuánto a precisión de los modelos es distinta dependiendo de los objetivos. Así, por ejemplo, mientras los modelos de control deben tener el mínimo error posible (2%), al igual que los modelos para optimización, aunque en estos últimos también depende de la magnitud del proceso y se aceptan mayores errores (hasta 5%). En los modelos para diseño, los errores pueden ser mayores, hasta del orden de 15 a 20%.
10.1.2. Clasificación de acuerdo a la estructura de los modelos a)
Modelos de parámetros concentrados y distribuidos, este tipo de modelos ignora las variaciones espaciales y considera que las propiedades y el estado del sistema puede ser considerado homogéneo 18
a través del sistema entero. En cambio el sistema distribuido considera variaciones espaciales del comportamiento a través del sistema b)
Modelos lineales y no lineales, los modelos lineales son aquellos que cumplen la condición de espacios vectoriales lineales, todos los demás son modelos no lineales. . Estos últimos son los más complicados de resolver y en general hay que recurrir a suposiciones y restringir su rango de validez. Los métodos posibles de usar en el tratamiento de estos modelos son:
c)
Modelos estáticos y dinámicos
d)
Soluciones analíticas en donde a un pequeño conjunto de problemas simples se les puede encontrar una solución Linealización de términos no lineales Soluciones gráficas Solución por medio de computador usando técnicas de optimización o algoritmos especiales.
Cuando es sistema presenta una evolución a través del tiempo se dice que este sistema tiene un comportamiento dinámico, en caso contrario, el sistema presenta comportamiento estático y el modelo que lo representa contiene ecuaciones de variables independientes del tiempo. En el caso de modelos de diseño, ellos son con mayor frecuencia del tipo estáticos, lo mismo que los modelos usados en la optimización de la operación de procesos. Los modelos dinámicos se utilizan principalmente para determinar configuraciones de control adecuadas. En rigor, especialmente en los procesos industriales no existen sistemas estáticos, sin embargo, para fines prácticos sueles ser considerados así. Modelos invariantes y variantes
Un modelo invariante es aquél cuyos parámetros no dependen explícitamente del tiempo, corresponde a procesos invariantes a los cuales, si se aplica una misma entrada en dos instantes la respuesta es la misma. En caso contrario se denominan variantes. Para un proceso invariante es irrelevante el momento en el cual se ejecutan los experimentos, mientras que para una variante si lo es.
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e)
Modelos determinísticos y probabilísticos. En un modelo probabilístico las relaciones entre las variables de interés aparecen en términos de cantidades estadísticas. Los modelos determinísticos, por otra parte, contienen relaciones precisas entre las variables y a cada parámetro y variable se le puede asignar un número claramente especificado, en condiciones conocidas.
10.1.3. Clasificación según técnica usada a) b)
c)
d)
e)
10.2.
La técnica usada en el proceso de modelación divide los modelos matemáticos en dos grandes grupos: Modelos fenomenológicos, los que se basan en relaciones matemáticas que representan leyes físicas aplicables al proceso en estudio. Modelos fenomenológicos son, por ejemplo, los que se obtienen de aplicar las leyes de conservación de masa, energía y cantidad de movimiento. Modelos empíricos, los que se basan en excitar el proceso con entradas conocidas, luego medir las salidas (y aquellas variables internas accesibles) y finalmente correlacionar tales entradas y las respuestas del proceso a ellas. El tipo de modelo que se puede obtener de un proceso depende del conocimiento que se tenga de éste, de la información disponible y del acceso a las variables internas. En un modelo matemático se distinguen dos componentes básicas, estructura y parámetros. Usando técnicas fenomenológicas se determinan en general la estructura del modelo, los parámetros se estiman luego en base a datos. En el caso de usar técnicas empíricas, se obtienen en forma simultánea tanto la estructura como los parámetros del modelo; en ciertos casos, no obstante se puede disponer de un modelo empírico con parámetros por estimar.
Metodología básica de modelación matemática
Debido a las peculiaridades de la modelación en el sentido de que un modelo matemático está ligado al proceso en cuestión, no es posible contar con un procedimiento general y exhaustivo para obtenerlo. La naturaleza y características que tenga un modelo matemático por desarrollar dependerá de los objetivos que se hayan planteado. 20
Como norma general, se puede decir que si el proceso en cuestión tiene muchas unidades es recomendable dividir el sistema en subsistemas, obteniéndose modelos parciales los que luego se interconectan convenientemente de modo de representar el proceso La confección de un modelo de naturaleza adaptativa. Esto permite generar un modelo que presente un compromiso entre una adecuada descri pción del proceso en cuestión y que posea una estructura que sea manejable con las técnicas actualmente conocidas y con los medios que se dispongan. Un paso importante en la modelación lo constituyen las hipótesis simplificadoras, estas se hacen en virtud de los objetivos que se persiguen y teniendo en cuenta las características del proceso; es importante, entonces, justificar estas hipótesis y evaluar adecuadamente los modelos que se obtienen. En relación a la formulación del problema, corresponde establecer los objetivos del estudio y, por lo tanto, del modelo, determinar los requerimientos que debe cumplir y definir mediante los cuales se evaluará su calidad. La etapa de obtención de antecedentes del proceso tiene por objeto imponerse de la naturaleza de él. De las características de variables y perturbaciones, conocer las unidades que lo componen, determinar características de operación, de modo que sea posible establecer los distintos subsistemas que podrán distinguirse en el proceso. Las variables y parámetros relevantes que deben considerarse, depende de los objetivos que se hayan planteado para el modelo y de la forma como se haya concebido los subsistemas, ya que la información a través de sus interfaces impone nuevos requerimientos. La proposición del modelo matemático (su estructura) puede producirse, ya sea del conocimiento de la fenomenología que rige las relaciones entre las variables relevantes o de la obtención de un modelo de tipo empírico determinado en base a experimentación.
11. Elementos de Análisis de Procesos 11.1.
Objetivos y estrategia general.
Para ejecutar el análisis de proceso se han de considerar tanto los factores técnicos como económicos que tienen incidencia relevante en la eficiencia del proceso y su operación, y de modo de optimizar el proceso en el sentido de maximización de utilidades a nivel de la planta involucrada, en el caso de un objetivo económico; otro tipo de maximizaciones (o minimizaciones) deben considerarse en caso de objetivos distintos. El concepto de optimización a que se 21
hace referencia aquí es el derivado de planteamiento formal del problema según se indica más adelante. El conjunto de actividades contempladas en la ejecución de un plan de optimización/racionalización es:
Análisis del proceso, la planta y la operación. Determinación de las condiciones óptimas Determinación de mecanismos que permitan mantener el comportamiento óptimo.
11.2.
Alternativas de aplicación de análisis
Las distintas alternativas plausibles de aplicar en un estudio de esta naturaleza pueden clasificarse en alguna de las siguientes categorías, considerando las etapas por las que han de pasar antes de una eventual implementación.
Investigación y desarrollo (I & D), cuando se requiere la determinación y comprobación empírica de resultados cuantificables. Ingeniería Básica, cuando precisan sólo de la determinación de estructuras y funciones de sistema y especificaciones de equipos principales, siendo todos ellos ya técnicamente conocidos. Evaluación, cuando se precisa un análisis de factibilidad técnico económico de la investigación involucrada. Ingeniería de proyecto, cuando siendo factible técnicamente, se precisa de ingeniería de detalle y especificaciones técnicas para ejecutar las obras e instalaciones correspondientes.
Los niveles de profundidad del análisis a que se pueden someter cada alternativa son los que se indican a continuación: 11.2.1. Investigación y desarrollo
Planteamiento conceptual y teórico, modelos matemáticos de proceso. Experimentación en laboratorio Experimentación en planta piloto Experimentación en planta semi-industrial Experimentación en planta industrial Modelos matemáticos de procesos y económicos para optimización y proyecciones
11.2.2. Ingeniería básica
Preingeniería (balances generales) 22
Determinación de innovaciones (generación de inversión) Determinación de funciones y estructuras Especificaciones de equipos y unidades principales Especificaciones generales de ingeniería de procesos
proyectos
de
11.2.3. Evaluación
Análisis de factibilidad técnica Análisis de factibilidad económica Recomendaciones sobre inversión
11.3.
Modelos para análisis de proceso a)
Modelo conceptual Que relaciona en forma cualitativa las distintas variables del proceso y sólo con el propósito de establecer dependencias funcionales. Con ello se facilita el análisis mismo. Dicho modelo está basado en una explicación de las variables asociadas a los componentes del sistema.
b)
Modelos de proceso Que relaciona en forma cuantitativa las variables relevantes asociadas a una alternativa en estudio con el propósito de determinar los valores de aquellas variables que permiten lograr en mejor forma el objetivo específico perseguido. Este modelo se usa en la et apa de I & D.
c)
Modelo técnico- económico (o modelo integrado) Que relaciona las variables relevantes del proceso (tanto técnico como económico), los objetivos específicos, los índices operacionales, todos aquellos representados a través de los respectivos factores de mérito. Esta categoría de modelos se usa en el modo siguiente:
I & D: para optimización del proceso y su operación Ingeniería básica: para balances y cuantificación de influencia de estructuras. Evaluación: para determinar los beneficios que reportan las alternativas respectivas.
11.3.2. En los modelos de proceso y técnico económicos se ha de considerar la siguiente secuencia de fases para su confección:
Determinación de estructura de modelo Planificación (validación en relación al proceso) 23
Simulación
24
12. EL MODELAMIENTO MATEMÁTICO EN LA CONMINUCIÓN 12.1 Introducción El proceso de la conminución ha sido observado y estudiado a través de los años. Se han usado correlaciones estadísticas entre las variables para desarrollar los modelos matemáticos para describir las unidades y las operaciones integradas. El acercamiento ha sido necesariamente mecánico. La hipótesis básica en la modelación de los sistemas de conminución es reconocer el hecho que todos los procesos de trituración aceptan mineral grueso y suministran energía, destruyendo las fuerzas de unión entre partículas que constituyen el mineral. Dependiendo del proceso usado, del tipo de impacto, ya se sencillo o múltiples, la energía se aplica hasta lograr la desintegración y la reducción de tamaño. La trituración es un proceso repetitivo. Es continuo hasta que todas las partículas en cierta fracción de tamaño hayan sido trituradas hasta un tamaño aceptable. Así el diseño del equipo que debe quebrar las partículas y el tiempo que el material está en la zona de ruptura controla el tamaño del producto. En modelación de sistemas de trituración, la idea básica es obtener una relación matemática entre la alimentación y tamaño de producto. Es necesario tomar en cuenta todas las variables involucradas en la operación incluyendo las características del equipo. El proceso de conminución considera y es representado por dos procesos: Una partícula es seleccionada para la fractura, Una partícula que al fracturarse produce una distribución dada de los tamaños de
fragmento.
La distribución de tamaños producida de un paso de fractura sencillo es conocida como la fractura o función de apariencia. Ello denota la distribución relativa de cada tamaño fraccionado después de la fractura. La función de fractura es a menudo independiente del tamaño inicial, aunque en la práctica no es necesariamente así. En forma matricial, esto es escrito como una matriz triangular inferior. La probabilidad de fractura de ciertos tamaños de partícula será mayor que otros que también pasan por la etapa de fractura. Así, la acción de fractura selectiva que ocurre en una proporción de partículas fracturadas de un intervalo de tamaño, es conocida como la función de selección o probabilidad de fractura.
25
Usando estos conceptos, se han desarrollado las relaciones matemáticas entre tamaño de alimentación y tamaño de producto, después de la trituración.
12.2 Bases para modelar sistemas de conminución Todos los procesos de trituración aplican fuerzas para fracturar y reducir el tamaño de mineral. Si se cumple la condición de que la energía total impartida para la fractura sea mayor que la energía de vinculación entre partículas individuales, las partículas se desintegran produciendo una distribución de tamaños más pequeños. La fractura por lo general comienza de un punto (o área) de concentración de tensión y se propaga dentro de la partícula a lo largo de los planos de debilidad. La fractura de desintegración podría estar a lo largo de los planos de clivaje o intergranular. Las fuerzas responsables de la abrasión también juegan una parte importante. La figura 12.1 ilustra el mecanismo de la fractura de una partícula donde la distribución de tamaño de un evento de fractura sencillo se incluye en columna 3 (esta es la función de fractura). Para las partículas sencillas presentes en cada fracción de tamaño 1, 2, 3, …N, la aplicación de la fuerza es mostrada por las flechas sólidas y las líneas conceptuales de tensión son indicadas por las líneas de puntos. El movimiento de fragmentos del mismo o tamaños inferiores es indicado por las flechas punteadas. La columna 1 también muestra la distribución de tamaño de la alimentación, con las partículas de más pequeños tamaños representados en gris. La columna 4 muestra el producto de la fractura después del número n de las reducciones de tamaño. Las filas 1, 2, , N muestran la fracción sencilla de tamaño de tamaño 1. Se puede ver que la masa de tamaño 1, cuando se rompe, se distribuye en otras fracciones de tamaño. La distribución se vuelve más complicada si fragmentos de la fractura de otros tamaños en la alimentación son incluidos. A cierta fase la fracción de tamaño 1 desaparecerá, como las partículas tamaños son distribuidas a los tamaños más pequeños. El proceso continúa hasta ocurrir n de fractura. Para identificar los productos en las fracciones de tamaño diferente se han adoptado dos convenciones. Primero, la fracción másica de las partículas restante en tamaño 1, después de la fractura de partículas de tamaño 1 es designada como b 1,1. Similarmente para material fracturado de tamaño 1 en tamaño 2, la fracción másica es b2,1 y así sucesivamente. Así b3,1, b 4,1 etc. a b N,1, representando esas partículas presentes en el 3 er , 4to... , Nº intervalos de tamaño de tamices obtenidos de la fractura de partículas de tamaño 1. Similarmente, la fractura del tamaño 2 de la alimentación se reconocerá como b2,2, b3,2 …b N,2 y así sucesivamente. En el caso general, cuando una partícula en el tamaño j de la alimentación es fracturada en la fracción de tamaño iª del producto, esto es designado como el b i,j. La segunda convención utilizada por Austin es registrar el acumulativo pasante de cada tamiz en lugar del retenido. Esto se representa como B i,j donde i y j tiene la misma convención. 26
La forma de la función de fractura es mostrada en la figura 12.2 por dos tipos de materiales.
Figura 12.1: Representación de la distribución de partículas después de la fractura. Las flechas sólidas representan la fuerza aplicada para la fractura y flechas punteadas indican la distribución de fragmentos de fractura del mismo tamaño o inferiores. Los fragmentos mostrados representan la fractura de una partícula de tamaño original.
Figura 12.2: Función distribución de fractura de mineral duro y mineral blando. 12.2.1. La función fractura Varios investigadores han propuesto fórmulas matemáticas para describir la función de fractura. Klimpel y la fórmula de Austin resumen la mayor parte y está dada por:
27
d i B (d i ) 1 1 d j
n1
d 1 i d j
2
n2
d 1 i d j
3
n3
(12.1)
Donde: dJ = es el tamaño original siendo fracturado. di = tamaño del fragmento proveniente de la fractura, n1 – n3 = constantes dependientes de la forma y densidad de la partícula B(di) = Fracción de masa acumulada más fina que el d i donde el dJ > di > 0.
La expresión utilizada por Broadbent y Callcott es mucho fácil de usar para determinar la distribución de partículas después de la fractura. En este caso, si el dJ es el tamaño de la partícula original, que estuvo sujeto a reducción de tamaño y B(d i) es la fracción de las partículas de menor tamaño que d i , entonces la distribución de tamaño de los productos de fractura esta dada por la matriz de fractura que permite la determinación de los elementos individuales: d i
B(d i )
1 e
d j
1 e 1
d d 1,581 e i
j
(12.2)
Esta expresión es independiente del material y por lo tanto puede ser sólo una aproximación. Por lo general, una función de fractura estándar de este tipo es utilizada para entregar resultados razonables para molinos de barra y bolas donde la fractura es primordialmente debido al impacto y ruptura pero no es adecuado donde la fricción es importante tal como en los molinos autógenos. Al definir la matriz una suposición implícita es que las partículas de los tamaños diferentes son fracturadas en una manera similar (fractura normalizada) y esto no provoca ninguna aglomeración. B es una matriz de N x N donde los elementos de B denotan la proporción del material que está en ese rango de tamaño en particular después de la fractura. Como ninguna aglomeración es supuesta, es obvio que los elementos sobre la diagonal serán cero. Así B puede ser escrita como una matriz triangular inferior:
28
0 0 0 B1 B B1 0 0 2 B3 B2 B1 0 B N B N 1 B N 2 B1
(12.3)
12.2.2. Estimación de la función selección: Cuando un mineral o muestra de roca son sometidos a un sistema de fractura, contiene partículas en varios rangos de tamaño. Durante la fractura, la probabilidad de ruptura de los tamaños más grandes dentro de una fracción de tamaño es considerablemente mayor comparada con los tamaños más pequeños. Es decir, cierta proporción de partículas dentro de cada rango de tamaño tiene cierta preferencia en la reducción de tamaño. Así la fractura selectiva ocurre dentro de un rango de tamaño. La proporción de partículas dentro de cada rango de tamaño que es fracturada es representada por S. Así S 1, S2, S3... S N será la fracción del material en cada fracción de tamaño que podría ser seleccionada para la reducción de tamaño con las partículas restantes que pasan completamente sin ningún cambio en su tamaño. Esto es conocido como la función de selección (o el í ndice específico de fractura) que pueda expresarse matemáticamente como una matriz diagonal donde cada elemento de la matriz representa la proporción de partículas que tiene la probabilidad de fractura. En un proceso batch de molienda, si la masa total cargada en el molino es designada como M, la fracción de masa del tamaño i en el molino es m, y el índice específico de la fractura (o el índice fraccionario de fractura o la masa fracturada del tamaño i por unidad de tiempo por unidad de masa de tamaño i presente) es S i, entonces para un primer orden en el proceso de fractura:
Velocidad de fractura del tamaño i ó masa del tamaño i = m i (t)M
ó
d mi t M dt
S i mi t M
Donde: Si = Constante de proporcionalidad mi (t) = Fracción masiva del tamaño i después de un tiempo de molienda, t.
29
(12.4)
(12.5)
Desde la masa total es constante en un molino batch y si Si es independiente del tiempo, entonces la integración, ecuación (10.7) será: mi(t) = mi(0) x exp (-S it)
(12.6)
Donde Log mi (t) = log m i (0) -
S i t 2,303
(12.7)
Un gráfico de log m i(t) versus tiempo de molienda, t, muestra una línea recta de inclinación (-Si/2,303 ) como se muestra en el figura 12.3.
12.3 Modelos matemáticos de procesos de conminución
Los modelos más comúnmente utilizados para el modelamiento de procesos de trituración son: 1. El modelo de matriz, 2. El modelo cinético, 3. El modelo de energía
La técnica adoptó que para desarrollar un modelo se debe establecer un balance de masa de componentes y un balance de energía del sistema de trituración. El balance de masa de un sistema de trituración en funcionamiento puede ser como:
Alimentación + Fractura = Producto
30
(12.8)
Figura 12.3: Gráfico de primer orden para determinar la tasa de fractura de la ecuación 12.7
El balance de energía es:
Energía trasmitida Energía entrada Energía transformada ( 12.9) ( por fractura) a las partículas para la en calor y sonido fractura
La transformación de energía en calor y sonido son a menudo muy pequeñas y por lo tanto siempre se desprecian en la ecuación de balance de energía. El balance de masa y los balances de energía entregan resultados similares.
12.3.1 Modelo matricial Lynch expresó la relación entre la función de selección S y análisis de alimentación usando un modelo de matriz representante de la alimentación y distribuciones de tamaño de producto como N rangos de tamaño. La matriz ha sido desarrollada asumiendo Si para la proporción de partículas que están dentro de una fracción tamizada, i, que podría ser fracturada preferencialmente (los otros son demasiado pequeño). Representando la distribución de tamaño de alimentación la matriz F, la fracción que podría seleccionarse para la fractura es S*F. Así si F1, F2, F3...F N son las masas del material en cada fracción de tamaño y S 1, S2, S3...S N son la proporción de partículas que tiene la probabilidad de fracturarse en los intervalos de tamaño correspondientes, entonces según Lynch, el proceso de fractura puede ser descrito en la forma matricial como: 31
Tamaño
1 2 3 4 . . N
Alimentación
F 1 F 2 F 3 F 4 . F N
*
Función selección
S 1 0 0 0 0 0 0 S 0 0 0 0 2 0 0 S 3 0 0 0 0 0 0 S 4 0 0 . 0 0 0 ... . 0 0 0 0 ... S N
Masa de partículas fracturadas F 1 S 1
F S 2 2 F 3 S 3 F S 4 4 . F S N N
(12.10)
=
Así vemos que la masa del producto de la fractura de las partículas escogidas será: Masa del producto = S * F
(12.11)
y la masa de las partículas sin fracturar será ( I – S * F ) donde I represento la matriz identidad. El producto total de fractura será la suma de las partículas fracturadas y las partículas intactas. Las partículas fracturadas tendrán una distribución, B, la función de fractura. La función de fractura B es para todas las partículas en realidad fracturadas, y por lo tanto el producto fragmentado de la fractura se pueda representar por B*S*F. La operación completa de fractura es una suma de partículas fracturadas e intactas que puede expresarse ahora por la ecuación general: P = B * S *F + (I – S) * F
(12.13)
La ecuación anterior es la relación matemática entre la alimentación, fractura y producto. Sirve de base de los modelos matemáticos que describe el proceso de la trituración de una partícula. Esta ecuación da una relación entre la alimentación y el producto desde la matriz de fractura conocida y la función selección. En las operaciones de fractura reales sin embargo, el producto está sujeto a cierta clasificación (interna a la unidad de fractura o partes externas) y el sobretamaño del clasificador esta combinado con la alimentación original para formar una nueva alimentación para la fase próxima de fractura. Las características y composición de la alimentación cambian así como los valores de B y S. La situación es fácilmente entendida examinando la figura 12.4 donde la contribución de la fracción de sobretamaño del clasificador al proceso de alimentación se ilustra claramente.
La fracción de sobretamaño es reciclada para una trituración adicional y el bajotamaño del producto es sacado de la unidad de fractura. Si usáramos los símbolos convencionales de F y P para alimentación y distribuciones de tamaño de producto, q 32
para la distribución de tamaño al clasificador, B, S y C para la fractura, selección y funciones de clasificación respectivamente y todos los términos son considerados como vectores, entonces para el proceso de fractura el balance de masa puede ser escrito como: Después de la alimentación: F2 = F1 + Cq
(12.14)
Donde F2 es la distribución de tamaño de la alimentación más los sobretamaño del clasificador. Después del producto:
P = (I - C) * q
(12.15)
Figura 12.4: La representación esquemática de una sucesión de fractura y clasificación.
Según la ecuación (12.13) la fractura está dada por:
33
q = (B * S + I - S)* F2
(12.16)
Substituyendo los valores F 2 y q en la ecuación (10.16) y simplificando, Lynch (1) derivó el modelo de matriz para la trituración como:
P = (I - C)*(B*S+I-S)*[I – C (B * S + I – S)]-1 *F1
(12.17)
Este modelo es una relación cuantitativa entre distribución de tamaño de alimentación y distribución de tamaño de producto en los sistemas de trituración. Esto ha sido ampliamente aceptado.
12.3.2 Modelo cinético El modelo de matriz considera la reducción de tamaño, especialmente en procesos de molienda, como varios pasos discretos, que consiste en un ciclo repetitivo de clasificación, fractura y clasificación. Investigadores como Kelsall y Reid, Whiten, Lynch y Austín, han tratado la reducción de tamaño como un proceso continuo y Gault elaboró en tiempos dependientes procesos característicos. Loveday y Austin encontraron experimentalmente que en el caso de molienda batch el índice de fractura obedece a la ley de primer orden como en una reacción química, sin embargo no existe ninguna razón válida para ello. El índice constante de fractura era una función del tamaño de partícula. La suposición básica era que la carga entera estaba mezclada completamente y era por lo tanto uniforme durante el proceso de molienda. Siguiendo su trabajo, la cinética del proceso de fr actura se puede describir como: La velocidad de desaparición de partículas en el rango de tamaño J por la fractura a cualquier rango de tamaño más pequeño, i. La velocidad de aparición del tamaño i de la fractura de partículas de tamaño J. LA velocidad de la desaparición del tamaño i por el fractura a los tamaños más pequeños.
Referirse a la ecuación (12.4) y usando los mismos símbolos podemos escribir:
34
Velocidad de la desaparición de tamaño J = S Jmi(t)M
(12.18)
Velocidad de aparición del tamaño i
= biJSJmi(t)M
(12.19)
Velocidad de desaparición del tamaño i
= Simi(t)M
(12.20)
Para una masa constante, M, el balance tamaño – masa podría ser:
d dt
mi (t )
I 1
b
iJ
S J m J (t ) S i mi (t )
para N i j 1
(12.21)
J 1 I 1
La ecuación (12.21) es el modelo de balance de velocidades de fracturas básico de masas para la molienda de rocas y menas. El índice de producción del material de tamaño menor xi es la suma de los índices de la producción de material de tamaño menor xi por la fractura de todos los tamaños más grandes y esta dado por:
d P( xi , t ) dt
i 1
Bi , J S J mJ ( t )
N
i j 1
j 1 i 1
d P( xi , t ) dt
0
(12.22)
i=1
Donde
P ( xi , t )
i
m (t ) k
k N
Para el modelamiento de molinos continuos estables, la ecuación de fractura esta combinada con la distribución de tiempo de residencia del material. Los dos extremos de la distribución de tiempo de residencia son el flujo de entrada y totalmente mezclados. Para el flujo de entrada, todo el material tiene el mismo tiempo de residencia y de ahí la ecuación de molienda batch es aplicable cuando se integra desde cero al tiempo de residencia. La solución de esta integral fue originalmente propuesta por Reid y es conocida como Solución de Reid.
La forma general de la solución es:
mi (t )
i
a
J 1
iJ
e S J t
para N i 1
(12.23)
35
Donde
0 para i j i 1 aiJ mi (0) aik para i j k 1 i 1 i 1 1 S k bi k akj para i j S S i J k j
(12.24)
Para i = 1 esto da: m1 (t ) m1 (0)e
S 1t
(12.25)
Para i = 2 m 2 (t )
S 1b21 S 2
S 1
m1 (0)e S 1t
m2 (0)e S t
S 1b21
2
S 2
S 1
m1 (0)e S 2t
(12.26)
Para i > 2 el número de términos en la expresión se expanden rápidamente.
Para una mezcla total dentro del molino la ecuación llega a ser: i 1
b S m
P i P i
ij
j
j
S i mi
para N i j 1
(12.27)
j 1 i 1
Donde = significa tiempo de residencia.
Para estimar Pi usar la ecuación (12.27), para esto es necesario determinar S j,, el índice constante de fractura. Esto se determina experimentalmente por un gráfico log-log de la fracción de tamaño de partícula J retenida después de diferentes tiempos de molienda. De la pendiente del gráfico, se puede obtener el valor de S.
12.4 Modelamiento de sistemas de chancado y molienda Los principios y técnicas generales descritos para el modelado matemático de los sistemas de trituración son directamente aplicables al chancado convencional y a los molinos usados en las operaciones mineras y metalúrgicas. Un trabajo pequeño ha sido hecho en su aplicación a otras formas de moler como los molinos de cilindros, molinos de energía fluida, molinos vibratorios o fricción. Estos molinos son esencialmente
36
pulverizadores. En la industria minera, la pulverización es raramente requerida para liberar un mineral de su ganga.
12.4.1 Modelamiento de chancadores giratorios y de mandíbula Cuando una partícula sencilla, como lo muestra la figura 12.5, se presiona entre las mandíbulas del chancador las partículas se fracturan produciendo fragmentos, indicado en 2 y 3 en la figura 12.5B. Las partículas marcadas 2 son más grandes que la descarga del chancador y son retenidas para chancarse en el próximo ciclo. Partículas de tamaño 3, más pequeño que la descarga del chancador, pueden bajar rápidamente y ocupar o pasar por la porción inferior del chancador mientras que las mandíbulas se balancean lejos. En el próximo ciclo la probabilidad de las partículas más grandes (tamaño 2) de fracturarse es mayor que la partícula más pequeña 3. En el ciclo siguiente por lo tanto, la partícula de tamaño 2 es probable que desaparezca de referencialmente y se una al resto de las partículas de tamaño más pequeñas indicadas como 3 en la figura 12.5C. En la figura, las partículas chancadas no existen después de la trituración (esto es sombreado en blanco solo para indicar las posiciones que ocupaba antes de la trituración). Las partículas que han sido trituradas y viajan hacia abajo se muestran en gris. La figura claramente ilustra el mecanismo de trituración y la clasificación que tiene lugar dentro de la zona de ruptura durante el proceso, como se ilustra también la figura 12.4. Este tipo de proceso de fractura ocurre dentro del chancador de mandíbula, chancador giratorio, chancador de rodillo y molino de barras. La ecuación (12.17) entonces es una descripción del modelo de chancado.
Figura 12.5: Clasificación dentro de chancador de mandíbula.
37
En la práctica, sin embargo, en lugar de una partícula sencilla, la alimentación consiste de una combinación de las partículas presente en varias fracciones de tamaño. La probabilidad de la fractura de ciertas partículas relativamente más grandes en preferencia a las partículas más pequeñas ya se ha mencionado. Para completar, la curva de la probabilidad de la fractura de los tamaños de partícula diferentes se muestra de nuevo en la figura 12.6. Esto se puede ver para los rangos de tamaños de partícula entre 0 - K 1, la probabilidad de la fractura es cero para las partículas muy pequeñas. Los tamaños entre K 1 y K 2 son supuestos para que la fractura ocurra conforme a una curva parabólica. Los tamaños de partícula mayores que K 2 deberían fracturarse siempre.
Figura 10.6: Función de clasificación, Ci, en un chancador.
Según Whiten esta función de clasificación C i, representa la probabilidad de una partícula de tamaño di entrando a la fase de fractura del chancador, se puede expresar como:
Ci
0
d K 2 Ci 1 i K1 K 2 Ci 1
para d i K 1 2
para K1 d i K 2
(12.28)
para d i K 2
Donde los tamaños superiores y bajo del tamiz para el intervalo i-ésimo de tamaño es conocida, Ci puede obtenerse desde:
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d i 1
C i
d
d i
C i
i 1 d i
dd
(12.29)
di y di+1 son los sobre y bajos tamaños del tamiz de la i-ésima fracción de tamaño.
Para chancadores de mandíbula, giratorios de cono, k 1 es el valor del conjunto y k 2 el tamaño sobre todas las partículas que se romperán. El valor recomendado del exponente en la ecuación (12.28) es 2,3. La función de clasificación puede expresarse como matriz triangular donde los elementos representan la proporción de partículas en cada intervalo de tamaño que pueda romperse. Para construir un modelo matemático para describir los tamaños de producto y alimentación donde la alimentación del chancador contiene una proporción de partículas que es más pequeña que el conjunto cerrado y por lo tanto pase por el chancador con mínima o ninguna fractura, Whiten promovió un modelo de chancado como el mostrado por la figura 12.7. Las consideraciones en la figura 12.7 son similares al modelo general para la reducción de tamaño ilustrada en la figura 12.4 excepto en el caso cuando la alimentación es inicialmente orientada a un clasificador, que elimina los tamaños de partícula menores a K 1. El producto grueso del clasificador entra a la zona de chancado. Así sólo el material de tamaño más grande entra a triturarse a la zona de chancado. El producto de chancado es combinado con la parte principal de la alimentación y proceso se repite. Los bajotamaño clasificados son el producto.
Figura 12.7: Modelo de chancado.
A fin de describir la operación matemáticamente, Whiten y Lynch consideraron los balances másicos a la alimentación y producto final y derivaron la relación entre alimentación de chancado y producto como: 39
