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Simulación y análisis de sistemas con ProModel®

Simulación y análisis de sistemas con ProModel® Eduardo García Dunna H eriberto G arcía Reyes Leopoldo Eduardo Cárdenas Barrón

R ev isió n t é c n ic a :

Dr. L in o A A N o ta ra n to n io D e p a rta m e n to d e in g e n ie ría in d u s tria l In s titu to T e c n o ló g ic o y d e E s tu d io s S u p e rio re s d e M o n te rre y C a m p u s S a n ta Fe B o n ifa cio R o m á n T a p ia F a c u lta d d e In g e n ie ría U n iv e rs id a d N a cio n a l A u tó n o m a d e M é x ic o

M é x ic o • A rg e n tin a • B rasil • C o lo m b ia • C o s ta R ic a • C h ile • E c u a d o r E spaña • G u a te m a la • P an am á • P e rú • P u e rto R ic o • U ru g u a y •V en ezu ela

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Datos de catalogarán bibliográfica

GARCÍA DUNNA EDUARDO, GARCÍA R EY ES H ERIBERTO y CÁRDENAS BARRÓN LEOPOLDO EDUARDO Sim ulación y análisis de siste m a s con ProModel

Primera edición PEARSO N ED UCACIÓ N . M éxico, 2 0 0 6

ISBN: 970-26-0773-6 Formato: 18.5 x 23.5 cm

Páginas: 280

Edición en español: Editor:

Pablo Miguel Guerrero Rosas e-mail: [email protected]

Editor de desarrollo:

Bernardino Gutiérrez Hernández

Supervisor de producción: Enrique Trejo Hernández Primera edición, 20 0 6 D.R.© 2 0 0 6 por Pearson Educación de México. S .A . de C.V. AtJacomulco 500 -5° Piso Colonia Industrial Atoto 5 3 5 1 9 , Naucalpan de Juárez, Edo. de México e-mail: [email protected] Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031. Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México. S.A . de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transm itirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por foto­ copia. grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN: 970-26-0773-6

Impreso en México. Prínted in México. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 0 9 0 8 0 7 06

PEARSON E d u c a c ió n

Contenido

Prólogo

ix

Capítulo 1 Principios básicos d e la sim ulación 1.1 Introducción a la sim ulación 1.2 D efiniciones de sim ulación 1.3 Ventajas y desventajas de la sim ulación 1.4 Elem en to s clave para garantizar el éxito de un m odelo de sim ulación 1.5 Pasos para realizar un estudio de sim ulación 1.6 Problem as

1 2 3 7 8 10 13

Capítulo 2 Números p seu d o aleatorios 21 Los núm eros pseudo aleatorios 22 Generación de núm eros pseudo aleatorios 22.1 Algoritm o de cuadrados m edios 2 2 .2 Algoritm o de productos m edios 2 2 .3 Algoritm o de m ultiplicador co n stan te 2 2 .4 Algoritm o lineal 2 2 .5 Algoritm o congruencial m ultiplicativo 2 2 .6 Algoritm o congruencial aditivo 2 2 .7 Algoritm os congruenciales no lineales 23 Propiedades de los núm eros pseudo aleatorios en tre 0 y 1 2.4 Pruebas estadísticas para los núm eros pseudo aleatorios 24.1 Prueba de m edias 2 4 .2 Prueba de varianza 2 4 .3 Pruebas de uniform idad 2 4 .4 Pruebas de independencia 25 Problem as

17 18 18 20 21 22 23 25 26 27 28 31 31 32 34 37 48

Capítulo 3 Variables aleatorias 3.1 D efinición de variable aleatoria 3.2 Tip o s de variables aleatorias 3.3 D eterm inación del tipo de distribución de un conjunto de datos 3.3.1 Prueba Chi-cuadrada 3.3.2 Prueba de Kolm ogorov-Sm irnov 3.3.3 Prueba de Anderson-Darling 3.3.4 Ajuste de datos con Stat: :Fit

53 54 54 56 57 59 62 67

| Contenido

3.4

3.5 3.6

G eneración de variables aleatorias 3.4.1 M étodo de la transform ada inversa 3.4.2 Método de convolución 3.4.3 Método de com po sició n 3.4.4 Método de transform ación directa Expresiones co m u nes de algunos generadores de variables aleatorias Problem as

72 72 79 82 85 87 90

Capítulo 4

Sim ulación de variables aleatorias 4.1 Verificación y validación de los m odelos de sim ulación 4.1.1 Sim ulaciones te rm in ale s 4.2 Sim ulaciones no term inales o de estado estable 4.2.1 Longitud de las réplicas 4.3 M odelos de sim ulación 4.3.1 M odelo de una línea de espera con un servid o r 4.3.2 M odelo de un proceso de ensam ble e inspección 4.3.3 M odelo de un sistem a de inventarios 4.4 Selección de lenguajes de sim ulación 4.5 Problem as

105 106 106 109 109 113 113 117 121 124 126

Capítulo 5

Sim ulación con ProM odel 5.1 Introducción al uso de ProM odel 5.2 Elem entos básicos 5.3 Estructura de program ación en ProM odel 5.4 Construcción de un m odelo 5.4.1 M odelo M/M/1 de líneas de espera 5.4.2 M ejoram iento visual del m odelo 5.4.3 M odelado de un sistem a q ue incluye m ás de un proceso 5.4.4 Inclusión de gráficos de fondo en el m odelo 5.5 Caso integrador 5.6 Problem as

131 132 132 133 133 133 146 154 162 164 166

Capítulo 6

Instrucciones d e ProM odel 6.1 Uso de la biblioteca de probabilidades 6.2 Recursos 6.3 Paros en los equipos 6.4 Reglas de ruteo 6.5 Ensam bles, acum ulación y agrupam iento de piezas 6.6 Transporte entre estaciones 6.7 Caso integrador 6.8 Problem as

171 172 175 182 185 190 208 214 219

Anexo 1

D istribuciones d e p ro b ab ilidad A1 Distribuciones co ntinuas A2 D istribuciones discretas Reportes estadísticos en ProM odel D istribuciones d e pro b ab ilid ad

231 232 240 245 255

Anexo 2 Anexo 3 vi

A m is podres M artha y Eduardo, o m i esposa Carmen Alicia y a m is hijos Eduardo y Jo sé Pablo. Eduardo

A m is padres H eribertoy M aría de Jesús, a m i esposa Cyntia y a m is hijos Heriberto, Daniel Alejandro y Jo sé Miguel. Heriberto

A m i am ada esposa: Saraí; p o r su am or y cariño constante. A m is valiosos tesoros: David Nahúm , Italia Tatnaíy Zuriel Eluzai, quienes so n la fuente de m i inspiración. A m is adorados padres: M aría Guadalupe Am ada y Rafael, por su esfuerzo y dedicación para hacer de m í un buen hom bre y profesionista. A m is queridos herm anos: M ario Rafael, Óscar, Viviana Guadalupe y Nora Alicia, p o r creer en mí. A los padres de m i esposa: Argelia y Cayetano p o r su apoyo. Leopoldo Eduardo

Prólogo La com plejidad en la operación de los sistem as de producción y servicios de la actualidad requieren de una m odelación cada vez m ás apegada a la realidad, q u e perm ita un análi­ sis profundo y detallado. Por ello, herram ientas q ue perm itan m odelar esta com plejidad se hacen relevantes y necesarias. Estam os convencidos q ue la sim ulación es una de las he­ rram ientas que hace posible conocer m ejor el sistem a en estudio, ya q ue p erm ite evaluar diversos escenarios considerando m últiples variables de decisión y visualizar su co m po r­ tam iento a través del tiem po. A q u í pretendem os dar al lector la oportunidad de iniciarse en el diseño, desarrollo y análisis de sistem as de una m anera sencilla a tra vé s de la sim u­ lación utilizando de m anera especial el program a ProModel. El capítulo 1 establece los conceptos básicos relacionados con un proyecto de sim u­ la ció n ^ incluye la introducción a la técnica y la metodología para su desarrollo. El capítulo 2 presenta los núm eros aleatorios, base de los modelos estocásticos, sus propiedades, mane­ jo y generación, así co m o todos los requerim ientos para ser considerados com o tales. El capítulo 3 o frece los conceptos de pruebas de bondad de ajuste, para determ inar la dis­ tribución de probabilidad asociada co n las variables de decisión y eventos e n el sistem a a m o d elar; para co n ello generar variables aleatorias a usarse d urante la sim ulación. Este capítulo in co rp o ra d uso de la herram ienta S ta t:F it,q u e se incluye con el CD q ue acom pa­ ñ a d libro. Esta herram ienta perm ite determ inar autom áticam ente la distribución de pro­ babilidad de las variables y eventos a m odelar en el sistem a. El capítulo 4 m aneja los conceptos de validación y análisis de los m odelos de sim u­ lació n ; y presenta al final del capítulo ejem plos, d esarrollados en h ojas de cálculo, sobre líneas de espera, procesos de ensam ble y sistem as de inventarios, co n la esperanza de que al final el lector sea capaz de realizar m odelos sim ples usando una hoja de cálculo. El capí­ tulo 5 presenta las características y bondades de ProModel por m edio de ejem plos que guían al usuario en la construcción de los m odelos. El capítulo 6, po r su parte, cub re ele­ m entos m ás co m p lejo s de program ación q ue le perm itirán am pliar sus capacidades de m odelación. Al final de cada capítulo encontrará una serie de ejercicios q ue le ayudarán a fo r­ talecer su aprendizaje. Asim ism o, al final del libro existe una sección de tre s anexos: el 1 proporciona inform ación fundam ental sobre las distribuciones de probabilidad m ás co ­ m unes. El 2 describe de m anera exhaustiva el significado de los resultados obtenido s en los reportes de ProM odel. Finalm ente, el 3 incluye un conjunto de tab las estadísticas que serán de utilidad en el análisis de los m odelos. Es im portante destacar q ue el CD-ROM q ue se incluye con el libro co n tie n e la ver­ sión estudiantil de ProM odel con tod as las fun cio nes de la versión profesional, con la ú n i­ ca restricción en cuanto al tam año de los m odelos q ue pueden construirse. Agradecem os enorm em ente a nuestros colegas del departam ento de Ingeniería Industrial y de Sistemas del ITESM-Campus Monterrey, por sus comentarios y por el impulso Ix

que nos dieron para q ue e ste libro llegara a ser realidad, y a nuestros estudiantes po r el interés m ostrado con este proyecto. Q uerem os agradecer de una m anera m u y especial a ProModel por perm itirnos in cluir su software, y en especial a D aniel Villarreal Parás po r su apoyo constante e incondicional para lograrlo. Por últim o, agradecem os a Pearson Ed u ca­ ción de M éxico por creer en nosotros.

Los autores

CAPÍTULO 1

PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA SIMULACIÓN

1.1

Introducción a la sim ulación

1 .2

D efiniciones de sim ulación

1 .3

Ventajas y desventajas de la sim ulación

1 .4

Elem entos clave para garantizar el éxito de un m odelo de sim ulación

1 .5

Pasos para realizar un estudio de sim ulación

1 .6

Problem as

[ C a p itu lo 1 Principios b ásico s d e la sim ulación

1.1 Introducción a la sim ulación En años recientes, el advenim iento de nuevos y m ejores desarrollos en el área de la co m p u ­ tación ha traído consigo innovaciones ig ualm ente im portantes en los terreno s de la tom a de decisiones y el diseño de procesos y productos. En este sentido, una de las técn icas de m ayor im pacto es la sim ulación. Hoy en día, el analista tie n e a su disposición una gran cantidad de softw are de sim u­ lación que le perm ite tom ar decisiones en tem as m uy diversos. Por ejem plo, determ inar la m ejor localización de una nueva planta, diseñar un nuevo sistem a de trabajo o efectuar el análisis productivo de un proceso ya existen te pero q u e requiere m ejoras. Sin duda, la fa ­ cilidad que otorga a la resolución de éstas y m uchas otras problem áticas, ha hecho de la simulación una herram ienta cuyo uso y desarrollo se han visto significativam ente alenta­ dos. Cada vez resulta m ás sencillo encontrar paquetes de softw are co n gran capacidad de análisis, así com o m ejores anim aciones y características para generación de reportes. En general, dichos paquetes — ya sea orientados a procesos, a servicio s o de índole gene­ ral— nos proveen de una enorm e diversidad de herram ientas estadísticas q ue perm iten un m anejo m ás eficien te de la inform ación relevante bajo análisis, y una m ejor presen ta­ ción e interpretación de la mism a. El concepto de sim ulación engloba soluciones para m uchos propósitos diferentes. Fbr ejem plo, podríam os decir q ue el m odelo de un avión a escala que se in tro d u ce a una cámara po r d ond e se hace pasar un flujo de aire, puede sim ular los efectos q ue e xp e ri­ m entará un avión real cuando se vea som etido a turbulencia. Por otro lado, algunos p a­ quetes perm iten hacer la representación de un proceso de fresado o tornead o : una vez que el usuario establezca ciertas co nd icio nes iniciales, podrá ver cóm o se llevaría a cabo el proceso real, lo q ue le perm itiría revisarlo sin necesidad de desperdiciar m aterial ni po­ ner en riesgo la m aquinaria. Entre los distintos tipos de procesos de sim ulación q ue podem os u tiliz a re n este li­ bro nos ocuparem os del q ue se basa en el uso de ecuaciones m atem áticas y estadísticas, conocido com o sim ulación d e eventos d iscreto s.Este proceso consiste en relacionar los diferentes eventos q u e pueden cam biar el estado de un sistem a bajo estudio po r m edio de distribuciones de probabilidad y condiciones lógicas del problem a q ue se esté anali­ zando. Por ejem plo, un proceso de inspección d ond e sabem os estadísticam ente q ue 0.2% de los productos tie n e algún tipo de defecto puede sim ularse con facilidad m ediante una sim ple hoja de cálculo, considerando estadísticas de rechazos y productos conform es, y asignando una distribución de probabilidad con 0.2% de oportunidad de defecto para ca­ da intento de inspección. En el presente capítulo abordarem os las definiciones básicas de los co nceptos de la simulación de eventos discretos. En los siguientes se presentarán algunos otros elem en ­ tos relevantes, com o los núm eros pseudo aleatorios y las pruebas estadísticas necesarias para co m p ro b ar esta aleatoriedad, la generación de variables aleatorias y la caracteriza­ ción de algunas distribuciones de probabilidad de uso com ún e n la sim ulación, lo cual nos perm itirá realizar una sim ulación sencilla con ayuda de una hoja de cálculo. Por ú lti­ mo, describirem os la utilización de un softw are com ercial: Prom odel, una versión lim itada del cual se incluye en este libro.

2

1.2 D efin icio nes d e sim u lació n |

1.2 D efin icio n es d e sim ulación Para poder realizar un buen estudio de sim ulación es necesario entender los co nceptos básicos q ue com ponen nuestro m odelo. Com enzarem os po r definir el concepto de sim ulación d e eventos discretos com o el conjunto de relaciones lógicas, m atem áticas y probabilísticas que integran el com porta­ m iento de un sistem a bajo estudio cuando se presenta un evento determ inado. El objetivo del m odelo de sim ulación consiste, precisam ente, e n com prender, analizar y m ejorar las condiciones d e operación relevantes del sistema. En la definición anterior encontram os elem entos com o sistem a, m odelo y evento, de b s cuales se desprenden otros conceptos im portantes dentro de una sim ulación, po r lo que a co ntinu ación abundarem os en cada uno de ellos. La definición básica de sistem a nos dice q ue se trata de un conjunto de elem entos que se interrelacionan para funcionar co m o un to d o ;desde el punto de vista de la sim ulación, tales elem ento s deben tener una fro n tera clara. Por ejem plo, po dem os hablar del sistem a de atención de clientes en un banco, del sistema de inventarios de una em presa o del siste­ ma de atención en la sala de em erg encia de un hospital. Cada uno de ellos pu ed e dividir­ se en elem entos que son relevantes para la construcción de lo q ue constituirá su m odelo de sim u lación;entre ellos tenem o s entidades, estado del sistema, eventos actuales y fu tu ­ ros, localizaciones, recursos, atributos, variables y el reloj de la sim ulación. Una entidad es la representación de los flujos de entrada a un sistem a; éste es el ele­ mento responsable de q ue el estado del sistem a cam bie. Ejem plo s de en tid ades pueden ser los clien tes q ue llegan a la caja de un banco, las piezas q ue llegan a un proceso o el em barque de piezas q ue llega a un inventario. El estado del sistem a es la condición que guarda el sistem a bajo estudio en un m om en­ to determ inado; e s com o una fo to g rafía de lo q ue está pasand o en el sistem a en cierto instante. El estado del sistem a se com pone de variables o características de operación puntuales (digam os el núm ero de piezas que hay en el sistem a en ese m om ento), y de va­ riables o características de operación acum uladas, o prom edio (como podría ser el tiem po prom edio de perm anencia de una entidad en el sistema, e n una fila, alm acén o equipo). Un evento es un cam bio en el estado actu al del sistem a; po r ejem plo, la entrada o sa­ lida de una entidad, la finalización de un proceso en un equipo, la interrupción o reactiva­ ción de una operación (digam os po r un descanso del operario), o la descom postura de una m áquina. Podem os catalogar estos eventos en dos tip o s:eventos actuales, q ue son aquellos q ue están sucediendo en el sistem a en un m om ento dado, y eventos futuros, que son cam bios q ue se presentarán en el sistem a después del tiem p o de sim ulación, de acuerdo co n una program ación específica. Por ejem plo, im agine q ue cierta pieza entra a una m áquina para que ésta realice un proceso. El evento actual sería precisam ente q ue la entidad llam ada "pieza" se encuentra en la m áquina. El evento futuro podría ser el m o ­ mento en q ue la m áquina concluirá su trabajo con la pieza y ésta seguirá su cam ino hacia el siguiente proceso lógico, de acuerdo con la program ación: alm acenam iento, inspección o entrada a otra m áquina. Las localizaciones son to d o s aquellos lugares en los que la pieza puede detenerse p a ­ ra se r transform ada o esperar a serlo. Dentro de estas localizaciones tenem o s alm acenes, bandas transportadoras, m áquinas, estaciones de inspección, etcétera. 3

[ C a p itu lo 1 Principios b ásico s d e la sim ulación

Los recursos son aquello s dispositivos —d iferentes a las localizaciones— necesarios para llevar a cabo una operación. Por ejem plo, un m ontacargas que transpo rta una pieza de un lugar a otro: una persona q ue realiza la inspección en una estación y to m a tu rn o s para descansar; una herram ienta necesaria para realizar un proceso pero que no form a parte de una localización específica, sino que e s trasladada de acuerdo con los requerim ientos de aquel. Un atributo es u na característica de una entidad. Por ejemplo, si la entidad e s un motor, b s atributos serían su color, peso, tam año o cilindraje. Los atributos son m u y útiles para diferenciar entidades sin necesidad de g en erar una entidad nueva, y pueden adjudicarse al m om ento de la creación de la entidad, o asignarse y/o cam biarse durante el proceso. Como indica su nom bre, las variables son condiciones cuyos valores se crean y m odifi­ can p o r m edio de ecuaciones m atem áticas y relaciones lógicas. Pueden ser continuas (por ejem plo, el costo prom edio de operación de un sistem a) o discretas (por ejem plo, el n ú ­ mero de unidades que deberá em pacarse en un contenedor). Las variables son m uy útiles para realizar conteos de piezas y ciclos de operación, así com o para determ inar caracte­ rísticas de operación del sistem a. El reloj d e la sim ulación e s el contador de tiem po de la sim ulación, y su fun ció n c o n ­ siste en responder preguntas tales com o cuánto tiem p o se ha utilizado el m odelo e n la si­ m ulación, y cuánto tiem po en total se quiere q ue d ure esta últim a. En general, el reloj de sim ulación se relaciona con la tabla de eventos futuros, pues al cum plirse el tiem p o prog am a d o para la realización de un evento futuro, éste se convierte en un evento actual. Reg esan d o al ejem plo de la pieza en la m áquina, cuando el tiem po de proceso se cum pla, la pieza seg uirá su cam in o hasta su sig u ie n te lo ca liza ció n ; el reloj de la sim u lació n sim u ­ la precisam ente ese tiem po. Podem os h ab lar de dos tip o s de reloj de sim u lació n: el reloj d e sim ulación ab so ­ luto, q ue parte de cero y te rm in a en un tiem po total de sim ulación definido, y el reloj de sim ulación relativo, q ue sólo considera el lapso de tiem p o que transcurre entre dos eventos. Por ejem plo, podem os decir q ue el tiem po de proceso de una pieza es relativo, mientras que el tiem po absoluto sería el tiem po global de la sim ulación: desde q ue la pieza entró a ser procesada hasta el m om ento en el que term inó su proceso. Como se m encionó antes, existen d istintos m odelos de sim ulación q ue perm iten re­ presentar situaciones reales de diferentes tipos. Podem os te n e r m odelos físicos — com o el del avión que m encio nam o s en la sección anterior— o m odelos m atem áticos, a los cu a ­ les pertenecen los m odelos de sim ulación de eventos discretos. Asim ism o, los m odelos pueden diferenciarse según el tipo de ecuacio nes m atem áticas q ue los com ponen. Por ejem plo, se conoce com o m odelos continuos a aquellos e n los q ue las relaciones en tre las variables relevantes de la situación real se definen po r m edio de ecuaciones d iferen­ ciales, dado q ue éstas perm iten co no cer el com portam iento de las variables e n un lapso de tiem po continuo. Problem as com o saber de q ué m anera se transfiere el calor en un m olde o determ inar cóm o flu ye cierto m aterial dentro de una tubería, e incluso discernir el com portam iento del nivel de un tanq ue de gasolina al paso del tiem p o m ientras el ve­ hículo está en m archa, pueden sim ularse en estos térm inos. Adem ás de m odelos continuos te n e m o s m odelos discretos. En ellos el co m p o rta ­ miento q ue nos interesa analizar puede representarse po r m edio de ecuaciones evalua­ das en un punto determ inado. Por ejem plo, si hacem os un m uestreo del núm ero de 4

1.2 D efin icio nes d e sim u lació n |

personas q ue llegaron a un banco e n un lapso de tiem po específico, podem os sim ular es­ ta variable co n ecuaciones ligadas a distribuciones de probabilidad que reflejen dicho com portam iento. Otro tipo de clasificación e s el de los m odelos dinám icos o estáticos. Los m odelos d i­ nám icos son aquellos en los q ue el estado del sistem a q ue estam os analizando cam bia respecto del tiem po. Por ejem plo, el núm ero de personas q ue hacen fila para entrar a una sala de cine varía co n el tiem po. Por otro lado, los m odelos estáticos representan un re­ sultado bajo un conjunto de situaciones o condiciones determ inado; po r ejem plo, al lan­ zar un dado los únicos valores q ue se pu ed e obtener son 1 ,2 ,3 ,4 ,5 o 6, de m anera q ue el resultado de la sim ulación será uno de tales valores p o sib les;este tipo de sim ulación ge­ neralm ente se co no ce com o sim ulación de M onte Cario. Por últim o, podem os hablar de m odelos determ inísticos y m odelos probabilísticos, conocidos tam bién com o estocásticos. Los prim eros se refieren a relaciones co ns­ tantes en tre los cam bios de las variables del modelo. Por ejem plo, si las cajas em pleadas en un proceso contienen siem pre 5 productos, cada vez q ue se añada una caja al inven­ tario éste se increm entará en 5 unidades. Si, po r el contrario, se da una distribución de pro­ babilidad en el proceso d e m anera q ue algunas cajas contienen 3 productos, otras 4 y así por el estilo, el inventario se m odificará según el núm ero de piezas de cada caja y, e n co n ­ secuencia, será necesario un m odelo estocástico. En el caso de la sim ulación de eventos discretos hablarem os de m odelos m atem áticos, discretos, dinám icos, y q ue pueden in ­ cluir variables determ inísticas y probabilísticas. Ejem plo 1.1 Un taller recib e ciertas piezas, m ism as que son acum uladas en un alm acén tem poral en donde esperan a ser procesadas. Esto ocurre cuando un operario transpo rta las piezas del alm acén a u n torno. Desarrolle un m odelo q ue incluya el núm ero de piezas q ue hay en el al­ m acén esperando a ser atendidas en tod o m om ento, y el núm ero de piezas procesadas en el torno. En la siguiente figura podem os observar cóm o se vería un m odelo de sim ulación pa­ ra este ejem plo.

m Piezas e n alm acén

A lm acén

Piezas p ro cesadas

Torno

Figura 1.1 M o d e lo d e s im u la c ió n p a r a e l e je m p l o 1.1

5

[ C a p itu lo 1 Principios b ásico s d e la sim ulación

En este ejem plo podem os identificar algunos de los elem entos q ue participan en un m o ­ delo de sim ulación, de acuerdo con las definiciones q ue hem os com entado: Sistem a: En este caso, el sistem a está conform ado po r el conjunto de elem entos interrelacionados para el funcionam iento del proceso: las piezas, el alm acén tem poral, el o pera­ rio, el torno. Entidades: En este m odelo sólo tenem o s una entidad: las piezas, q ue representan los flu ­ jos de entrada al sistem a del problem a bajo análisis. Estado del sistem a: Podem os observar q ue cuando llevam os 1 hora 10 m inu to s de sim u­ lación (vea el extrem o superior derecho de la figura) en el alm acén se encuentran 9 piezas esperando a ser procesadas;el operario está transportando una pieza m ás para pro cesar­ la en el torno. El torno, po r lo tanto, no está trabajando en ese m om ento, au n q u e ya ha procesado 4 piezas. Adem ás de estos datos, podem os llevar un control de o tras estadísti­ cas relacionadas con el estado del sistem a, com o el tiem p o prom edio de perm anencia de las piezas en los estantes del alm acén tem poral o en el sistem a global. Eventos: Entre otros, podríam os considerar co m o eventos de este sistem a el tiem po de descanso del operario o la salida de una pieza tras ser procesada por el torno. Adem ás es posible identificar un evento futuro: la llegada de la siguiente pieza al sistem a (tendríam os más eventos de este tipo respecto de las piezas q ue esperan a q ue el operario las tom e). Localizaciones: En este caso tenem o s el alm acén al q ue deberán llegar las piezas y en el que esperarán a ser procesadas, así com o el torno en donde esto ocurrirá. Recursos: En este m odelo, un recurso es el operario q ue transpo rta las piezas del alm a­ cén al torno. Atributos: Digam os q ue (aunque no se m encio na e n el ejem plo) las piezas pueden ser de tres tam año s diferentes. En este caso, un atributo llam ado tam año podría agregarse a la inform ación de cada pieza q ue llega al sistem a, para posteriorm ente seleccionar el tipo de operación q ue deberá realizarse y el tiem po necesario para llevarla a cabo de acuerdo con dicho atributo. Variables: Tenem os dos variables definidas en e ste ca so :e l núm ero de piezas en el alm a­ cén y el núm ero de piezas procesadas en el torno. Reloj d e la sim ulación: Como se puede ver en la esquina superior derecha de la figura 1.1, en e ste m om ento la sim ulación lleva 1 hora 10 m inutos. El reloj de la sim ulación co n ­ tinuará avanzando hasta el m om ento que se haya establecido para el térm ino de la sim u­ lación, o hasta q ue se cum pla una condición lógica para detenerla, po r ejem plo, el núm ero de piezas que se desean sim ular. Otro concepto im portante que vale la p e n a d e fin ire s e ld e réplica o corrida de la simu­ lación. Cuando ejecutam os el m odelo en una ocasión, los valores q u e obtenem os de las variables y parám etros al final del tiem p o de sim ulación g eneralm ente serán d istintos de los q ue se producirán si lo volvem os a co rrer usando diferentes núm eros pseudo aleato­ rios. Por lo tanto, e s necesario efectuar m ás de una réplica del m odelo q ue se e sté anali­ zando, co n la finalidad de obtener estadísticas de intervalo q ue nos den una m ejor ubicación del verdadero valor de la variable bajo los diferentes escenarios que se presen­ tan al m odificar los núm eros pseudo aleatorios en cada oportunidad.

6

1.3 V entajas y d e sv e n ta ja s d e la sim u lació n |

En este sentido, la pregunta clave e s cuánto tiem p o se d ebe sim ular un m odelo para obtener resultados confiables. En general, podemos decir que tod as las variables q ue se ob­ tienen en térm ino s d e prom edios presentan dos d iferentes etapas: un estado transitorio y un estado estable. El prim ero se presenta al principio de la sim ulación; po r ejem plo, en el arranque de una planta, cuando no tien e m aterial en proceso: el últim o de los procesos estará inactivo hasta q ue el prim er clien te llegue, y si el tiem p o de sim ulación e s bajo, su im pacto sobre la utilización prom edio de este proceso será m u y alto, lo cual no ocurriría si el m odelo se sim ulara lo suficiente para lograr una com pensación. En el estado transi­ torio hay m u cha variación entre los valores prom edio de las variables de decisión del m o ­ delo, por lo q ue fo rm ular conclusiones co n base en ellos sería m u y arriesgado, to d a vez que difícilm ente nos darían una representación fiel de la realidad. Por otro lado, en el estad o estable los valores de las variables de decisión perm ane­ cen m u y estables, presentando sólo variaciones poco significativas. En este m om ento las decisiones q ue se tom en serán m ucho m ás confiables.Sin em bargo no tod as las variables convergen al estado estable con la m ism a rapidez: algunas pasan con m ás lentitud que otras de un estado transitorio a un estado estable. Es responsabilidad del analista verificar q ue las variables de decisión del m odelo se encuentren en estado estable antes de dete­ ner el tiem p o de la sim ulación. Otro factor im portante para decidir el tiem p o de sim ulación es el costo de la corrida. M ayor tiem p o de sim ulación requ iere m ás tiem p o co m p u tacio n al, lo cu al im plica, nece­ sariam ente, un co sto m ás alto. Por supuesto, la situación em peora si a esto le agregam os que en algunos casos e s necesario efectu ar m ás de tre s réplicas.

Figura 1.2 0

■n i n i i i m " i i h i t m i m u t i I I m u í m i l t i i i i i i r r i 11 m i n n m i m

ti m m í n i m u m

n m i mi

G r á fic a d e e s t a b iliz a c ió n d e u n a v a r ia b le

1.3 V en tajas y d e sv e n ta ja s d e la sim ulación Como hem os visto hasta ahora, la sim ulación e s una de las diversas herram ientas con las q ue cu e n ta el analista para to m a r d ecisio n es y m e jo ra r sus procesos. Sin em bargo, es n ecesario d estacar que, com o to d a s las d em ás o p cio n es de q ue disp onem o s, la sim u ­ lación de eventos discretos presenta ventajas y desventajas que e s preciso tom ar en cuenta al d eterm inar si es apta para resolver un problem a determ inado.

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[ C a p itu lo 1 Principios b ásico s d e la sim ulación

Dentro de las ventajas m ás com unes q ue ofrece la sim ulación po dem os citar las si­ guientes: a) Es m u y buena herram ienta para conocer el im pacto de los cam bio s en los proce­ sos sin necesidad de llevarlos a cabo en la realidad. b) M ejora el conocim iento del proceso actual al p erm itir q ue el analista vea cóm o se com porta el m odelo generado bajo diferentes escenarios. c) Puede utilizarse com o m edio de capacitación para la to m a de decisiones. d) Es m ás económ ico realizar un estudio de sim ulación q ue hacer m u cho s cam bios en los procesos reales. e) Perm ite probar varios escenarios en busca de las m ejores condiciones de trabajo de los procesos q ue se sim ulan. f ) En problem as de gran com plejidad, la sim ulación perm ite generar una buena so­ lución. g) En la actualidad los paquetes de softw are para sim ulación tienden a ser m ás sen­ cillos, lo q ue facilita su aplicación. h) G racias a las herram ientas de anim ación que form an parte de m uchos de esos p a­ quetes es posible ver cóm o se com portará un proceso una v e z q ue sea m ejorado. Entre las desventajas q ue pu ed e llegar a presentar la sim ulación están: a) Aunque m uchos paquetes de softw are perm iten obtener el m ejo r escenario a p ar­ tir de una com binación de variaciones posibles, la sim ulación n o es una herram ien­ ta de optim ización. b) La sim ulación puede ser costosa cuando se q uiere em plearla en problem as relati­ vam ente sencillos de resolver, en lugar de utilizar soluciones analíticas q ue se han desarrollado de m anera específica para ese tipo de casos. c) Se requiere bastante tiem p o — g eneralm ente m eses— para realizar un buen estu ­ dio de sim ulación; po r desgracia, no todos los analistas tienen la disposición (o la oportunidad) de esperar ese tiem p o para obtener una respuesta. d) Es preciso q ue el analista d om in e el uso del paquete de sim ulación y q ue te n g a só­ lidos conocim iento s de estadística para interpretar los resultados.

1.4 Elem en to s clave para g aran tizar el éxito d e un m odelo d e sim ulación Independientem ente de los beneficios q ue co nlleva la sim ulación, es im posible garantizar que un modelo tendrá éxito. Existen ciertas condiciones clave que pueden traer problem as si no se les po n e atención al m om ento de usar la sim ulación para la to m a de decisiones. A continuación destacarem os algunas de las causas po r las q ue un m odelo de sim ulación podría no ten er los resultados q ue se desean: Tamaño Insuficiente de la corrida. Como se m encionó antes, para pod er llegar a co n ­ clusiones estadísticas válidas a partir de los m odelos de sim ulación es necesario q ue las variables aleatorias de respuesta estén en estado estable. El problem a estriba en que,ge8

1.4 Elem en to s cla v e para g a ra n tiz a r e l é x ito d e un m o d e lo d e sim u la ció n |

neralm ente, cuando el m odelo consta de m ás de una variable de decisión, es difícil que éstas alcancen un estado estable al m ism o tiem po: e s posible q ue una se en cu entre esta­ ble y la otra no en un m om ento determ inado, po r lo q u e las co nclusio nes respecto de la segunda variable no serán estadísticam ente confiables. Variable(s) d e resp u esta mal defínida(s). Aun cuando el m odelo de sim ulación sea m u y eficiente y represente la realidad en gran m edida, si la variable de respuesta seleccio­ nada no es la apropiada será im posible tom ar decisiones q u e teng an im pacto en la ope­ ración del sistem a bajo estudio. Por ejem plo, digam os q ue una variable de respuesta es el nivel de inventarios de cier­ to producto. Al m ism o tiem po, la política de la em presa establece que no se d ebe parar ninguno de los procesos de fabricación. En consecuencia, el problem a no será el inventa­ rio final, sino el ritm o de producción necesario para q ue aquel cum pla con los requ eri­ m ientos de diseño q ue se desean. Errores al establecer las relaciones entre las variables aleatorias. Un error com ún de program ación es olvidar las relaciones lógicas que existen entre las variables aleatorias del modelo, o m inim izar su im pacto. Si una de estas variables no está definida de m anera c o ­ rrecta, ciertam ente aún es posible ten er un m odelo q ue se apegue a la realidad actu al; sin em bargo, si el sistem a no se lleva hasta su m áxim a capacidad para observar su com por­ tam iento, podría resultar im posible visualizar el verdadero im pacto de las deficiencias. Errores al determ inar el tip o d e distribución asociado a las variables aleatorias del m odelo. Este tipo de problem a es m u y sim ilar al anterior, sólo q u e e n este caso se utili­ zan distribuciones q ue no son las m ás adecuadas o que responden únicam ente a un in ­ tento de sim plificar los estudios estadísticos. Digam os, po r ejem plo, q ue se nos dan los siguientes parám etros de producción aproximados: m ínim o 10, m áxim o 4 0 y prom edio 30. En esta circunstancia la tentació n de sim plificar el estudio de la variable asignándole una distribución triangular co n parám etros (1 0 ,3 0 ,4 0 ) es m u y g rande; no obstante, hacer­ lo afectaría de m anera im portante los resultados de la sim ulación, pues el m odelo podría alejarse de lo q ue sucede e n la realidad. Falta d e un análisis esta d ístico d e lo s resu ltad o s. Un problem a com ún po r el q ue la sim ulación suele ser objeto de crítica, radica en asum ir q ue se trata de una herram ienta de optim ización. Esta apreciación es incorrecta, ya q ue involucra variables aleatorias y ca­ racterísticas propias de un m odelo q ue incluye probabilidades. Por lo m ism o — com o se apuntó antes— , es necesario realizar varias corridas a fin de producir diferentes resulta­ dos fin ales para las variables de respuesta y, a partir de esos valores, o b tener intervalos de confianza q ue puedan dar un rango en d ónd e encontrar los valores definitivos. Este tipo de problem as se presentan tam bién al com parar dos escenarios: podríam os encontrar un m ejor resultado para uno de ellos, pero si los intervalos de confianza de las variables de respuesta se traslapan resultaría im posible decir q ue el resultado de un escenario es m e­ jo r q ue el del otro. D e hecho, estadísticam ente hablando am bos resultados pueden ser iguales. En ese caso increm entar el tam año de co rrida o el núm ero de réplicas pu ed e ayu­ dar a obtener m ejores conclusiones. Uso incorrecto d e la inform ación obtenida. Un problem a que se presenta en ocasio­ nes es el uso incorrecto de la inform ación recabada para la realización del estudio, ya sea a través de un clie n te o de cualesquiera otras fuentes. M uchas veces esta inform ación se recolecta, analiza y adm inistra de acuerdo con las necesidades propias de la em presa, lo 9

[ C a p itu lo 1 Principios b ásico s d e la sim ulación

que im plica q ue no siem p re está en el form ato y la presentación q ue se requ iere para la sim ulación. Si la inform ación se utiliza para determ inar los parám etros del m odelo sin ser depurada y re o rg a n iz a d le s m u y pro bable q ue la precisión de los resultados del estudio se vea afectada. Falta o exceso d e d etalle en el m odelo. Otro punto im po rtante a considerar e s el nivel de detalle del modelo. En m uchas ocasiones algún proceso se sim plifica tanto q ue tiend e a verse com o una "caja negra"que nos im pide ver qué ocurre e n el interior, aunque sí haya entrada y salida de datos que interactúan con otras partes del m odelo. Cuando esto suce­ de, el im pacto q ue podrían te n e r los subprocesos q ue se llevan a cabo en la "caja negra" (es decir, del proceso sobresim plificado) no se incluye e n la sim ulación. Por ejem plo, si se analiza un sistem a de distribución y se da por sentado que el alm acén siem pre surte sus pedidos, no incluirem os el im pacto de los tiem p o s necesarios para su rtir las órdenes, ni la posibilidad de q u e haya faltantes de pro d u cto ;exclu irem o s tam bién los horarios de co m i­ da, en los que no se surten pedidos, y las fallas en los montacargas que transportan los pedi­ dos hasta los cam iones para su distribución. Por otra parte, si el m odelo se hace demasiado detallado, tanto el tiem po dedicado al estudio com o el costo de llevarlo a cabo podrían increm entarse sustancialm ente. Es labor del encargado de la sim ulación sugerir y clarifi­ car los niveles de detalle q ue se requieren en el modelo, resaltando los alcances y lim ita­ ciones de cada uno.

1.5 Pasos para re aliza r un e stu d io d e sim ulación Debem os considerar q ue — igual a com o ocurre con otras herram ientas de investiga­ ción— la realización de un estudio de sim ulación requiere la ejecución de una serie de ac­ tividades y análisis q ue perm itan sacarle el m ejo r provecho. A continuación se m encionan los pasos básicos para realizar un estud io de sim ulación, aunque en m uchas ocasiones se­ rá necesario agregar otros o suprim ir algunos de los aq u í enum erados, de acuerdo con la problem ática en cuestión. 1. Definición del sistem a bajo estudio. En esta etapa es necesario conocer el sistem a a modelar. Para ello se requiere saber q ué origina el estud io de sim ulación y establecer los supuestos del m odelo: es co nven ien te definir co n claridad las variables de decisión del modelo, d eterm in ar las interacciones entre éstas y establecer con precisión los alcances y lim itaciones q ue aquel podría llegar a tener. Antes de concluir este paso es recom endable co n tar co n la inform ación suficiente para lograr establecer un m odelo conceptual del sistem a bajo estudio, incluyendo sus fronteras y to d o s los elem entos q ue lo co m po nen, adem ás de las interacciones entre és­ tos, flu jo s de productos, personas y recursos, así com o las variables de m ayor in terés para el problem a. 2. Generación del m odelo d e sim ulación base. Una v e z q ue se ha definido el sistem a en térm ino s de un m odelo conceptual, la siguiente etapa del estud io consiste en la gene­ ración de un m odelo de sim ulación base. No e s preciso q ue este m odelo sea dem asiado detallado, pues se requiere m ucha m ás inform ación estadística sobre el com portam iento de las variables de decisión del sistem a. La generación de este m odelo es el prim er reto para el program ador de la sim ulación, to d a vez que d ebe trad u cir a un lenguaje de sim ulación 10

1.5 Pasos para re alizar un e stu d io d e sim u lació n |

la información que se obtuvo en la etapa de definición del sistema, incluyendo las interrelaciones d e todos los posibles subsistem as que existan en el problem a a m odelar. En caso de q ue se requiera una anim ación, é ste tam bién es un buen m om ento para definir qué gráfico pu ed e representar m ejo r el sistem a que se m odela. Igual q ue ocurre e n otras ram as de la investigación de operaciones, la sim ulación exi­ ge ciencia y arte en la g eneració n de sus m odelos. El re alizad o r de un estud io de sim u ­ lación e s,e n este sentido,com o un artista q ue d ebe usar to d a su creatividad para realizar un buen m odelo q ue refleje la realidad del problem a q ue se está analizando.Conform e se avanza en el m odelo base se pueden ir incluyendo las variables aleatorias del sistem a, con sus respectivas distribuciones de probabilidad asociadas. 3. R eco lección y an álisis d e dato s. De m an era paralela a la generación del m odelo base, es posible com en zar la recopilación de la inform ación estadística de las variables aleatorias del m odelo. En esta etapa se d ebe determ inar qué inform ación es útil para la determ inación de las distribuciones de probabilidad asociadas a cada una de las variables aleatorias innecesarias para la sim ulación. A unque en algunos casos se logra co n tar con datos estadísticos, suele suceder q ue el form ato de alm acenam iento o de generación de reportes no es el apropiado para facilitar el estudio. Por ello es m uy im po rtante dedicar el tiem po suficiente a esta actividad. D e no contar con la inform ación necesaria o en caso de desconfiar de la q ue se tie n e disponible, será necesario realizar un estudio estadístico del com portam iento de la variable q ue se desea identificar, para posteriorm ente incluirla en el m odelo. El análisis de los datos necesarios para asociar una distribución de probabili­ dad a una variable aleatoria, así com o las pruebas q ue se d ebe aplicar a los m ism os, se analizarán m ás adelante. Al finalizar la recolección y análisis de datos para tod as las varia­ bles del modelo, se tend rán las condiciones necesarias para generar una versión prelim i­ nar del problem a q ue se está sim ulando. 4. G eneración del m odelo prelim inar. En esta etapa se integra la inform ación o b teni­ da a partir del análisis de los datos, los supuestos del m odelo y todos los datos que se re­ quieran para ten er un m odelo lo m ás cercano posible a la realidad del problem a bajo estudio. En algunos casos — sobre tod o cuando se trata del diseño de un nuevo proceso o esquem a de trabajo— no se cu e n ta con inform ación estadística, por lo q ue d ebe esti­ m arse un rango de variación o determ inar (con ayuda del cliente) valores constantes que perm itan realizar el m odelado. Si é ste es el caso, el encargado de la sim ulación puede, con base en su experiencia, realizar algunas sugerencias de distribuciones de probabilidad que com únm ente se asocien al tipo de proceso q ue se desea incluir en el m odelo. Al fina­ lizar esta etapa el m odelo está listo para su prim era prueba: su verificación o, e n o tras pa­ labras, la com paración co n la realidad. 5. Verificación del m odelo. Una vez q ue se han identificado las distrib uciones de pro­ babilidad de las variables del m odelo y se han im plantado los supuestos acordados, es necesario realizar un proceso de verificación de datos para com probar la propiedad de la program ación del m odelo, y co m p ro b ar que to d o s los parám etros usados en la simulación funcionen correctam ente.Ciertos problem as,en especial aquellos q ue requieren m uchas operaciones de program ación o q ue involucran distrib uciones de probabilidad difíciles de program ar, pueden ocasionar q ue el com portam iento del sistem a sea m u y di­ ferente del q ue se esperaba. Por otro lado, no se d ebe descartar la posibilidad de q ue o cu ­ rran errores h um ano s al alim entar el m odelo con la inform ación. Incluso podría darse el 11

[ C a p itu lo 1 Principios b ásico s d e la sim ulación

caso de que los supuestos iniciales hayan cam biado una o varias veces durante el desa­ rrollo del modelo. Por lo tanto, debem os asegurarnos de que el m odelo q ue se va a ejecu ­ tar esté basado en los m ás actuales. U na vez q ue se ha com pletado la verificación, el m odelo está listo para su com para­ ción con la realidad del problem a que se está m odelando. A esta etapa se le co no ce ta m ­ bién co m o validación del modelo. 6. Validación del m odelo. El proceso d e validación del m odelo co n siste e n realizar una serie de pruebas al m ism o, utilizando inform ación de entrada real para observar su co m ­ portam iento y analizar sus resultados. Si el problem a bajo sim ulación involucra un proceso que se desea m ejorar, el m ode­ lo d ebe som eterse a prueba con las co nd icio nes actuales de operación, lo que nos dará como resultado un com portam iento sim ilar al q ue se presenta realm ente en nuestro pro­ ceso. Por otro lado, si se está diseñando un nuevo proceso la validación resulta m ás co m ­ plicada. Una m anera de validar el m odelo en este caso, consiste en introducir algunos escenarios sugeridos po r el clien te y validar q ue el com portam iento sea congruente con las expectativas q ue se tien en de acuerdo con la experiencia. Cualquiera q ue sea la situ a­ ción, e s im portante q ue el analista cono zca bien el modelo, de m anera q ue pueda ju stifi­ car aquellos com portam ientos q ue sean contrarios a las experiencias de los especialistas en el proceso q ue participan de su validación. 7. G eneración del m odelo final. Una vez q ue el m odelo se ha validado, el analista está listo para realizar la sim ulación y estudiar el com portam iento del proceso. En caso de que se desee com parar escenarios d iferentes para un m ism o problem a, é ste será el m odelo raír, en tal situación, el sigu ien te paso es la definición de los escenarios a analizar. 8. Determ inación d e los escenarios p ara el análisis. Tras validar el m odelo es n ecesa­ rio acordar co n el cliente los escenarios q ue se quiere analizar. Una m anera m u y sencilla de determ inarlos consiste en utilizar un escenario pesim ista, uno o ptim ista y uno interm edio para la variable de respuesta m ás im portante. Sin em bargo, es preciso to m ar en cuen ta que no tod as las variables se com portan igual ante los cam bios en los distintos escen a­ rios, po r lo q ue tal vez sea necesario q ue m ás de una variable de respuesta se analice b a­ jo las perspectivas pesim ista,o p tim ista e interm edia. El riesgo de esta situación radica en que el analista podría caer en un diseño de experim entos capaz de generar una gran ca n ­ tidad de réplicas, lo q ue redundaría en un increm ento considerable de costo, análisis y tiempo de sim ulación. Es po r ello q ue m uchos paquetes de sim ulación cuentan con he­ rram ientas para realizar este proceso, elim inando la anim ación y acortando los tiem p o s de sim ulación. Estas herram ientas perm iten realizar varias réplicas del m ism o escenario para obtener resultados con estadísticas im portantes respecto de la to m a de decisiones (por ejem plo, los intervalos de confianza). Por su parte, el analista tam bién puede contribuir a la selección de escenarios, su g i­ riendo aquellos que co nsidere m ás im po rtantes; al hacerlo dará pie a q ue se reduzca el número de com binaciones posibles. 9. Análisis d e sen sib ilid ad . Una vez q ue se obtienen los resultados de los escenarios es im portante realizar pruebas estadísticas que perm itan com parar los escenarios con los m ejores resultados finales. Si dos de ellos tienen resultados sim ilares será necesario co m ­ parar sus intervalos de confianza respecto de la variable de respuesta final. Si no h ay in ­ tersección de intervalos podrem os decir con certeza estadística q ue los resultados no son 12

1.6 Pro b lem as |

iguales; sin em bargo, si los intervalo s se traslapan será im posible determ inar, estadística­ m ente hablando, que una solución es m ejo r que otra. Si se desea obtener un escenario "ganador" en estos casos, será necesario realizar m ás réplicas de cada m odelo y/o incre­ m entar el tiem po de sim ulación de cada corrida. Con ello se busca acortar los intervalos de confianza de las soluciones finales y, po r consiguiente, in crem en tar la probabilidad de diferenciar las soluciones. 10. Docum entación del m odelo, sugerencias y conclusiones. Una vez realizado el análisis de los resultados, es necesario efectuar to d a la docum entación del modelo. Esta docum entación es m u y im portante, pues perm itirá el uso del m odelo generado en caso de q ue se requieran ajustes futuros. En ella se deben in cluir los supuestos del m o­ delo, las distribuciones asociadas a sus variables, todos sus alcances y lim itaciones y e n ge­ neral, la totalidad de las consideraciones de program ación.Tam bién es im po rtante incluir sugerencias tanto del uso del m odelo com o sobre los resultados obtenidos, co n el propó­ sito de realizar un repo rte m ás com pleto. Por último, deberán presentarse asim ism o las conclusiones del proyecto de sim ulación, a partir de las cuales es posible obtener los re­ portes ejecu tivo s para la presentación final. En la fig ura 1.3 se presenta una gráfica de G antt en donde se m uestra, a m anera de ejem plo, la planificación de los pasos para realizar una sim ulación que hem os com entado en esta sección.

A c t iv id a d

D e fin ició n d e l sistem a M o d elo d e sim u lació n base R ecolección y a n álisis d e d a to s M odelo p re lim in a r d e sim u lació n V erificació n d e l m o delo V alid ació n d e l m o d e lo M o d e lo fin a l d e sim u lació n iio to rm s riA n U noc o cron^ r inc L/trltrí II llíinIdLIUN trbLtHldlKJb A nálisis d e se n sib ilid a d

-------- --------- --------- -----

■

D o cu m e n tació n fin al T ie m p o

Figura 1.3

Gráfica de Gantt de un proyecto de simulación

1.6 Problem as 1. D eterm ine los elem entos de cada uno de los siguientes sistemas, de acuerdo co n lo que se com entó en la sección 1.2. a) La sala de em ergencia de un hospital. b) Un banco m ercantil. 13

[ C a p itu lo 1 Principios b ásico s d e la sim ulación

c) d) e) f)

Una línea telefó nica de atención a clientes. La recepción de un hotel. Un taller de tornos. El proceso de pintura de un autom óvil.

2 D eterm ine los elem entos de cada uno de estos sistemas, de acuerdo co n lo q ue se analizó en la sección 1.2. a ) El sistem a de m antenim iento de los equipos de una em presa, llevado a cabo por una cuadrilla de personas. b) Un aeropuerto. c ) Una bodega de distribución de productos. d) Una línea em botelladora de refrescos. e) Un sistem a de control de tránsito para la ciudad. f ) Una línea de arm ado de refrigeradores. 3. D eterm ine cuáles podrían ser las entidades en cada uno de los siguientes sistem as. a ) Un cajero autom ático. b) Un sistem a autom ático de inspección de botellas. c ) Una m áquina dobladora de lám ina. d) Un proceso de em paque de televisores. 4. D eterm ine cuáles podrían ser las entidades en cada uno de los siguientes sistem as. a) Un sistem a de distribución de paquetería. b) Un sistem a de cobranza. c ) Un co nm utado r telefónico. d) Un departam ento de devolución de m ercancía. 5. D eterm ine q ué atributos podrían ser relevantes para la sim ulación de los siguientes sistemas. a) El m aquinado de una fam ilia de engranes. b) Un proceso de pintura de refrigeradores. c ) Un sistem a de recepción de m ateria prima. d) Un proceso de soldadura para varios productos. 6. D eterm ine q ué atributos podrían ser relevantes para la sim ulación de los siguientes sistemas. a) Un proceso de em paque de 10 productos po r caja, d ond e cada producto es dife­ rente. b) Un proceso de separación de 3 productos para enviarlos a sus respectivas áreas de procesamiento. c) Un sistem a de inspección de calidad de piezas m aquinadas. d) Un sistem a de program ación de m antenim iento q ue califica sus trabajos co m o u r­ gentes y no urgentes, adem ás de asignarles etiquetas de "Pendiente de asignar" "Asignado" "En proceso"y"Term inado"

14

1.6 Pro b lem as |

7. D eterm ine el prom edio m óvil de los núm eros de la tabla siguiente y grafique los pro­ medios, ¿llega a estado estable la gráfica? En caso afirm ativo, ¿a partir de q ué valor se puede considerar el inicio del estado estable?

0 .5 6 3

0 .2 4 0

0.558

0 .8 0 5

0 .4 1 7

0 .5 4 5

0.549

0 .5 5 9

0 .7 7 2

0 .2 3 3

0 .1 0 2

0.471

0.569

0 .3 8 0

0 .8 2 2

0 .6 8 7

0.710

0 .9 3 5

0 .1 3 9

0 .4 5 4

0 .0 9 5

0 .1 3 6

0.919

0 .1 5 0

0 .1 6 5

0 .9 7 7

0.130

0 .1 1 0

0 .2 5 2

0 .4 4 4

0 .9 5 0

0.941

0.741

0 .9 3 3

0.081

0 .8 3 0

0.457

0 .1 8 6

0 .5 5 0

0 .8 9 3

0 .9 0 3

0 .1 1 3

0.111

0 .8 7 6

0.001

0 .6 2 2

0.461

0 .0 6 9

0 .9 1 6

0 .3 4 8

0 .9 4 2

0 .3 8 0

0.876

0 .5 3 4

0 .6 5 9

0 .8 2 7

0.593

0 .4 2 8

0 .9 1 6

0 .7 3 0

0 .0 9 3

0 .4 6 9

0.574

0 .5 6 2

0.191

0 .2 1 4

0.267

0 .7 8 6

0322

0 .4 7 6

0 .5 5 8

0 .0 8 9

0397

0 .0 1 5

0 .8 6 0

0.961

0.775

0 .0 4 6

0 .1 1 2

0 .7 5 6

0 .4 2 5

0 .7 3 3

0.879

0 .4 4 4

0 .8 8 6

0 .6 3 8

0.661

0 .2 8 9

0 .8 9 0

0 .5 1 3

0 .1 7 8

0.051

0.598

0 .3 2 8

0.041

0 .2 6 7

0.556

0 .8 1 4

0326

0 .7 9 5

0 .2 2 6

0 .1 4 5

0.508

0.611

0 .7 6 0

0 .9 7 9

0.020

0.601

0 .1 4 5

0 .1 2 3

Promedio m óvil:

1

r ,i~ n

n

I/'

para

n = 1, 2, . . . . , 1 0 0

8. D eterm ine el prom edio m óvil de los núm eros de la tabla siguiente y grafique los pro­ medios, ¿llega a estado estable la gráfica? En caso afirm ativo, ¿a partir de q ué valor se puede considerar el inicio del estado estable?

0 .8 9 9

0 .0 5 3

0.141

0 .2 2 6

0 .5 0 6

0 .5 2 3

0.316

0 .8 7 0

0 .6 1 4

0 .8 4 4

0 .8 7 3

0 .4 0 2

0.823

0 .4 7 6

0 .9 6 9

0 .4 7 2

0.248

0326

0.221

0 .9 4 6

0 .2 0 9

0 .9 2 5

0.873

0 .9 6 5

0 .5 2 5

0 .0 5 5

0.454

0 .5 6 0

0 .7 8 9

0 .0 8 3

0 .0 4 8

0317

0.680

0372

0.821

0 .4 7 4

0.559

0 .8 4 9

0366

0 .8 5 2

0.801

0 .0 4 8

0.721

0 .5 2 5

0363

0 .4 3 3

0.151

0335

0 .6 6 8

0 .5 2 8

0 .9 7 0

0354

0.276

0 .6 3 8

0 .5 2 7

0 .7 7 6

0.285

0 .0 8 4

0 .4 3 8

0 .9 4 2

0.111

0 .8 8 8

0.010

0 .5 2 9

0 .8 5 2

0 .5 3 6

0.704

0 .8 0 4

0 .0 9 5

0329

0 .7 8 4

0 .5 7 0

0.885

0 .1 6 5

0 .0 2 0

0 .2 2 4

0.425

0 .3 0 0

0.801

0.831

0 .9 4 2

0 .8 8 8

0367

0343

0 .7 0 3

0365

0.457

0 .1 1 0

0.891

0320

0 .7 3 4

0 .1 6 5

0.085

0 .9 6 2

0 .6 9 2

0 .1 2 3

0.588

0 .7 3 8

0388

0 .9 8 4

Promedio m ó vil: rn =

1 n

Y r. n i- 1 -

para

n = 1 ,2 , ...,1 0 0

9. G en ere en una hoja de cálculo 100 núm eros co n la fun ció n x¡ = —3 ln(1 - r¡), d ond e r¡ es un núm ero pseudo aleatorio e n tre cero y uno, o btenido a partir de la función ALEATORIO de la hoja de cálculo. Suponga q ue estos valores son tiem p o s de proceso de cierta pieza. D eterm ine un prom edio m óvil d e estos valores co n fo rm e se va reali­ zando el procesam iento de las piezas, y grafique ese prom edio. ¿El tiem po prom edio

15

[ C a p itu lo 1 Principios b ásico s d e la sim ulación

de proceso es estable? ¿Y si ahora se generan 200 núm eros? (Sugerencia: Para evitar que se recalculen los núm eros aleatorios, e s necesario copiarlos y pegarlos usando un pegado especial de sólo valores.) 10. G enere en una hoja de cálculo 100 núm eros con la fun ció n x¡ = 5 + 10r.,d o nd e r¡ es un núm ero pseudo aleatorio entre cero y uno, o btenido a partir de la fun ció n A LEA ­ TORIO de la hoja de cálculo. Suponga q u e e sto s valores son tiem p o s de atención a clientes en un banco. D eterm ine un prom edio m óvil de estos valores co nfo rm e se va realizando la atención de los clien tes, y grafique ese prom edio. ¿El tiem po prom edio d e atención a clien tes e s estable? ¿Y si ahora se generan 200 núm eros?

16

CAPITULO 2

NÚMEROS PSEUDO ALEATORIOS

2.1

Los núm eros pseudo aleatorios

2 .2

Generación de núm eros pseudo aleatorios 2 .2 .1

Algoritmo de cuadrados m edios

2 .2 .2

Algoritmo de productos m edios

2 .2 .3

Algoritmo de m ultiplicador co nstante

2 .2 .4

Algoritm o lineal

2 .2 .5

Algoritmo congruencial m ultiplicativo

2 .2 .6

Algoritmo congruencial aditivo

2 .2 .7

Algoritm os congruenciales no lineales

2 .3

Propiedades de los núm eros pseudo aleatorios en tre 0 y 1

2 .4

Pruebas estadísticas para los núm eros pseudo aleatorios

2 .5

2 .4 .1

Prueba de m edias

2 .4 .2

Prueba de varianza

2 .4 .3

Pruebas de uniform idad

2 .4 .4

Pruebas de independencia

Problem as 17

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

2.1 Los nú m ero s p seu d o aleato rio s Para poder realizar una simulación que incluya variabilidad dentro de sus eventos, es preci­ so generar una serie de núm eros q ue sean aleatorios po r sí m ism os, y q ue su aleatoriedad se extrapole al m odelo de sim ulación q ue se está construyendo. Como pu ed e co m p ren ­ der, en la construcción del m odelo los núm eros aleatorios juegan un papel relevante. Así, una de las prim eras tareas q ue e s necesario llevar a cabo consiste en determ inar si los núm eros que utilizarem os para "correr"o ejecutar la sim ulación son realm ente alea­ torios o n o ; por desgracia, precisar lo anterior co n absoluta certidum bre resulta m u y co m ­ plicado, ya q ue para ello tendríam os q ue generar un núm ero infinito de valores que nos perm itiera com probar la inexistencia de correlaciones entre ellos. Esto sería m u y costoso y tardado, volviendo im práctico el uso de la sim ulación aun co n las com putadoras más avanzadas. A pesar de lo anterior, podem os asegurar con altos niveles de confiabilidad q ue el conjunto de núm eros q ue utilizarem os en una sim ulación se co m po rtan de m anera m uy sim ilar a un conjunto de núm eros totalm ente aleatorios; po r ello es q ue se les denom ina núm eros pseudo aleatorios. Casi tod as las aplicaciones com erciales tienen varios g enera­ dores de núm eros pseudo aleatorios q ue pueden generar un conjunto m u y grande de núm eros sin m ostrar correlación en tre ellos. En el presente capítulo discutirem os algunos de los m étodos de generación de núm eros pseudo aleatorios, y precisarem os q u é carac­ terísticas deben ten e r para em plearlos com o una fu en te confiable de variabilidad dentro de los m odelos. Asim ism o se m ostrarán algunas de las p rueb as m ás co m u nes para co m ­ probar q ué tan aleatorios son los núm eros obtenidos con dichos generadores.

2.2 G en eració n d e núm eros p seu d o aleato rio s Para realizar una sim ulación se requieren núm eros aleatorios en el intervalo (0,1), a los cuales se hará referencia com o r¡,e s decir, una secuencia r¡ = [r} , ry ry . . . , rn} q ue contiene n números, todos ellos diferentes;/? recibe el n o m b re de periodo o ciclo de vida del gene­ rador q ue creó la secuencia r¡. Los r¡ constituyen la parte m edular de la sim ulación de procesos estocásticos, y gene­ ralm ente se usan para generar el com portam iento de variables aleatorias, tanto co ntinuas como discretas. D ebido a q ue no es posible generar núm eros realm ente aleatorios, co nsi­ deram os los r como núm eros pseudo aleatorios, generados por m edio de algoritm os determ inísticos q ue requieren parám etros de arranque. Para sim ular el com portam iento de una o m ás variables aleatorias e s necesario co n ­ tar con un conjunto suficientem ente grande de r¡ que perm ita, po r ejem plo, q ue la se­ cuencia ten g a al m enos un periodo de vid a de n = 231 = 2 147 483 648. D e acuerdo con L'Ecuyer141 una secuencia de r.c o n periodo de vida de n = 231 es relativam ente pequeña; de hecho, incluso una secuencia de r¡ que co n ten g a un ciclo de vida de n = 2M se co n ­ sidera pequeña. En la actualidad contam os ya co n generadores y procesadores capaces de construir una secuencia de r¡ con periodo de vida de n = 2200. Probablem ente el lector se preguntará por qué d ebe interesarnos co nstru ir una se­ cuencia de n úm ero s r¡ suficientem ente grande. A continuación ilustrarem os la razón m e­ diante un ejem plo. Suponga que querem os sim ular el tiem p o de atención a clien tes en un 18

2 2 G e n e ració n d e nú m e ro s p seu d o ale ato rio s [ "1

banco q ue tie n e 5 cajeros e n paralelo, cada uno de los cuales atiende aproxim adam ente 50 clien tes diarios. Para sim ular el tiem p o de atención se requiere un generador de varia­ ble aleatoria en fun ció n de r¡, po r ejem plo T¡ = 5 + 2 r¡,expresado m inu to s para to d a i = 1, 2 , 3 , n. (El tem a de generadores de variables aleatorias se presenta en el capítulo 3.) Si sim ulam os el tiem p o de atención de m anera aislada, es decir, sin considerar el tiem po transcu rrid o d esd e la llegada d e éstos, serán necesario s 5 x 50 = 250 n úm e ro s r¡ para simular un día; si deseáram os sim ular 5 días se necesitarían 2 5 0 x 5 = 1 250 r . Ahora bien, si consideram os el tiem po desde la llegada de los clientes, precisaríam os de 250 r¡ para sim u­ lar el tiem po transcurrido desde la llegada al banco de los 250 clientes po r día, y 250 x 5 = 1 250 r¡ para sim ular el correspondiente al to tal de clientes atendidos d urante 5 días. Por lo tanto, se requerirán 2 500 núm eros pseudo aleatorios r¡ para sim ular la operación del banco d urante 5 días. Como se m encionó antes, los resultados no pueden basarse en una sola sim ulación del sistem a; por el contrario, e s necesario realizar varias réplicas de la m ism a, corriendo ca­ da una de ellas con núm eros pseudo aleatorios diferentes. Retom ando el ejem plo del banco, sim ular 5 días otra vez significa q ue necesitam os otros 2 500 núm eros pseudo aleatorios en el intervalo (0,1). En consecuencia, se requieren 5 000 r. para realizar la sim u­ lación del sistem a de atención a clientes con dos réplicas. El lector podrá im aginar cuántos núm eros r serán necesarios para sim ular la opera­ ción del banco d urante un año co n 9 réplicas, o cuántos n úm e ro s r¡ se requieren para si­ m ular un sistem a productivo d urante un año, co n varias líneas de producción, y cada línea de producción co n varias estaciones, y cada estación con uno o m ás procesos. Dada la im portancia de contar co n un conjunto de r¡ suficientem ente grande, e n es­ ta sección se presentan diferentes algoritm os d eterm inístico s para obtenerlo. Por otra parte, es conveniente señalar q ue el conjunto de r¡ debe ser som etido a una variedad de pruebas para verificar si los núm eros q ue lo conform an son realm ente independientes y uniform es. (Las pruebas estadísticas q ue determ inan si un conjunto r¡ tie n e las propieda­ des de indep end encia y uniform idad se cu b ren e n la sección 2.4.) Una v e z generado el conjunto r m ediante un algoritm o determ inístico, es necesario som eterlo a las pruebas antes m encionadas: si las supera, podrá utilizarse en la sim ulación; de lo contrario, sim ple­ m ente deberem os desecharlo. Un conjunto de r¡ debe seguir una distribución uniform e continua, la cual está defini­ da por: 1,

0s r s 1

0,

en cualq uier otro valor

f(r ) =

G enerar un conjunto de r¡ es una tarea relativam ente sencilla; para ello, el lector sólo tie­ ne q ue diseñar su propio algoritm o de generación. Lo q ue resulta difícil es diseñar un al­ goritmo q ue genere un conjunto de r¡ con periodo de vida suficientem ente g rand e (N), y q ue adem ás pase sin problem a las p rueb as de uniform idad e independencia, lo cual im ­ plica evitar problem as com o éstos: •

Que los núm eros del conjunto r¡ no estén uniform em ente distribuidos,es decir, q ue haya dem asiados r¡ en un subintervalo y en otro m u y pocos o ninguno. 19

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

• • •

Que los núm ero s r¡ generados sean discretos en lugar de continuos. Q ue la m edia del conjunto sea m u y alta o m u y baja, e s decir, que esté po r arriba o por debajo de V 2. Que la varianza del conjunto sea m u y alta o m u y baja, e s decir, q ue se localice por arriba o por debajo del V 12 (la obtención de estos valores se discute en la sección 2.3).

En ocasiones se presentan tam bién anom alías com o núm eros r. seguidos po r arriba o po r debajo de la m edia; secuencia de r¡ po r arriba de la m edia, seguida de una secu en ­ cia po r debajo de la m edia, y viceversa, o varios r¡ seguidos en fo rm a ascendente o des­ cendente. A continuación se presentan diferentes algoritm os d eterm inísticos para generar los r¡, los cuales se clasifican en algoritm os no congruenciales y congruenciales. Los algorit­ mos no co ng ru enciales q ue analizarem os en esta obra son cuadrados m edios, productos m edios y m ultiplicador constante. E n tre los algoritm os congruenciales se encuentran los algoritm os congruenciales lineales y los no lineales. En este libro abordarem os los algorit­ mos cong ruenciales lineales — tales com o algoritm o congruencial lineal, m ultiplicativo y aditivo— , y los algoritm os no lineales, com o el algoritm o de Blum , Blum y Shub, y el cong-uencial cuadrático.

2.2.1 A lg o ritm o d e cu ad rad o s m edios Este algoritm o no congruencial fu e propuesto en la década de los cuarenta del siglo xx por Von N eum ann y M etró po lis111. Requiere un núm ero entero d etonador (llam ado sem i­ lla) co n D dígitos, el cual es elevado al cuadrado para seleccionar del resultado los D dígi­ tos del centro; el prim er núm ero r¡ se determ ina sim plem ente anteponiendo e r o ." a esos dígitos. Para o b tener el segundo r¡ se sigue el m ism o procedim iento, sólo q ue ahora se elevan al cuadrado los D dígitos del centro q ue se seleccionaron para obtener el prim er r . Este m étodo se repite hasta o b tener n núm eros r¡. A continuación se presentan con más detalle los pasos para generar núm eros co n el algoritm o de cuadrados m edios. 1. Seleccionar una sem illa (Xq) co n D dígitos (D > 3). 2 Sea X0 = resultado de elevar X0 al cuadrado; sea X , = los D dígitos del centro, y sea r¡ = 0D dígitos del centro. 3. Sea Y¡ = resultado de elevar Xj al cuad rad o; sea X/+1 = los D dígitos del centro, y sea r¡ = 0 £) dígitos del centro para to d a /= 1 ,2 ,3 , 4. Repetir el paso 3 hasta obtener los n núm eros r¡ deseados. Nota: Si no es posible o b tener los D dígitos del centro del núm ero K , agregue ceros a la izquierda del núm ero Y¡. Para ilustrar la m ecánica del algoritm o de cuadrados m edios se p re se n ta d siguiente ejem plo. Ejem plo 2.1 Generar los prim eros 5 núm eros r¡ a partir de una sem illa X0 = 5 735, de d ond e se puede observar q ue D = 4 dígitos. 20

2.2.2 A lg o ritm o d e pro d ucto s m ed io s |

Solución: Y( = (5 735)2 = 32 890 225

X , = 8 902

r , = 0.8902

Y} = (8 902)2 = 79 245 604

X2 = 2 456

r2 = 0.2456

Y2 = {2 456)2 = 06031936

X3 = 0319

r3 = 0.0319

Y^ = (0319)2 = 101 761

X4 = 0176

r4 = 0.0176

Ya = (01 76)2 = 030976

X5 = 3 097

r5 = 0.3097

El algoritm o de cuadrados m edios g eneralm ente e s incapaz de generar una secuencia de r. con periodo de vida n grande. Además, en ocasiones sólo es capaz de generar un número, por ejem plo, si X0 = 1 000, entonces X , = 0000; r¡ = 0.0000 y se dice q ue el algoritm o se de­ genera con la sem illa de XQ = 1 000.

2.2.2 A lgoritm o d e p ro d u cto s m edios La m ecánica de generación de núm eros pseudo aleatorios de este algoritm o no congruencial es sim ilar a la del algoritmo de cuadrados m edios. La diferencia entre am bos radica en que el algoritm o de productos m edios requiere dos sem illas, am bas con D dígitos;adem ás, en lugar de elevarlas al cuadrado, las sem illas se m ultiplican y del producto se seleccionan los D dígitos del centro, los cuales fo rm arán el prim er núm ero pseudo aleatorio r¡ = 0 D dígitos. Después se elimina una sem illa,y la otra se multiplica por el prim er número de D dígi­ tos, para luego seleccionar del producto los D dígitos que conform arán un segundo núm e­ ro r . Entonces se elim in a la segunda sem illa y se m ultiplican el prim er núm ero de D dígitos por el segundo núm ero de D dígitos; del producto se obtiene el tercer núm ero r . Siem pre se irá elim inando el núm ero m ás antiguo, y el procedim iento se repetirá hasta generar los n núm eros pseudo aleatorios. A continuación se presentan con m ás detalle los pasos del método para generar núm eros con el algoritm o de producto medios. 1. 2 3. 4.

Seleccionar una sem illa (X0) con D dígitos (D > 3). Seleccionar una sem illa (X ,) co n D dígitos (D > 3). Sea Yq = X0*X 1;s e a X2 = los D dígitos del centro, y sea r¡ = 0 D dígitos del centro. Sea Y . = X * X ^ ; sea X/+2 = los D dígitos del centro, y sea r.+1 = 0 £) dígitos del centro para tod a / = 1 ,2 , 3 , . .. , n. 5. Repetir el paso 4 hasta o b tener los n núm eros r¡ deseados.

Nota: Si no es posible obtener los D dígitos del centro del núm ero Y, agregue ceros a la iz­ quierda del núm ero Y. Para ilustrar la m ecánica del algoritm o de productos m edios se presenta el siguiente ejem plo. Ejem plo 2.2 Generar los prim eros 5 núm eros r¡ a partir de las sem illas X0 = 5 015 y X 1 = 5 734; observe q ue am bas sem illas tien en D = 4 dígitos. 21

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

Solución: Yq = (5

015) (5 734)= 28 756 010

x 2 = 7 560

r} = 0.7560

Yy = (5

734) (7 560) = 43 349 040

X 3 = 3 490

r2 = 0.3490

Y2 = (7

560)(3 490) = 26 384 400

X4 = 3 844

r3 = 0.3844

Y3 = (3 490) (3 844) = 13 415 560

X 5 = 4 155

r4 = 0.4155

Ya = (3 844) (4 155) = 15 971 820

X6 = 9 718

r5 = 0.9718

2.2.3 A lg o ritm o d e m u ltip licad o r constante Este algoritm o no congruencial es sim ilar al algoritm o de productos m edios. Los siguien­ tes son los pasos necesarios para generar núm eros pseudo aleatorios con el algoritm o de m ultiplicador constante. 1. 2 3. 4.

Seleccionar una sem illa (X q) co n D dígitos (D > 3). Seleccionar una co n stan te (a ) co n D dígitos (D > 3). Sea Yq = a*XQ; sea X , = los D dígitos del centro, y sea r¡ = 0.D dígitos del centro. Sea Y¡ = a*X¡; sea Xí+1 = los D dígitos del centro, y sea r M = 0 .D dígitos del centro para tod a i = 1 ,2 , 3 , . .. , n. 5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n núm eros r¡ deseados.

Nota: Si no e s posible o b tener los D dígitos del centro del núm ero K , agregue ceros a la izquierda del núm ero Y¡. Para ilustrar la m ecánica del algoritm o de m ultiplicador constante se presenta el si­ guiente ejem plo. Ejem plo 2.3 Generar los prim eros 5 núm eros r. a partir de la sem illa X( = 9 803 y con la co nstante a = 6 965. O bserve q ue tanto la sem illa com o la co nstante tien en D = 4 dígitos.

Solución:

22

YQ= (6 965) (9 803) = 68 277 895

X , = 2 778

r , = 0.2778

Yy = (6 965) (2 778) = 19 348 770

X 2 = 3 487

r2 = 0.3487

Y2 = (6 965) (3 487) = 24 286 955

X 3 = 2 869

r3 = 0.2869

Y3 = (6 965) (2 869) = 19 982 585

X4 = 9 825

r4 = 0.9825

Ya = (6 965) (9 825) = 68 431 125

X 5 = 4 311

r5 = 0.4311

2.2.4 A lg o ritm o lin e a l |

2 .2 .4 A lg o ritm o lineal Este algoritm o congruencial fu e propuesto po r D. H .Le h m e r151 en 1951. Según Law y Kelton(31,e s te algoritm o ha sido el m ás usado. El algoritm o congruencial lineal genera una se­ cuencia de núm eros enteros po r m edio de la siguiente ecuación recursiva: X¡+} = (aX¡ + c )m o d (m )

/ = 0 ,1 ,2 ,3 ,..., n

donde X( es la sem illa, a es la constante m ultiplicativa, c es una co nstante aditiva y m es el m ódulo; X0 > 0 ,a > 0 , c > 0 y m > 0 deben ser núm eros enteros. La operación “m od m " sig­ nifica m u ltip licar X¡ por a, sum ar c y dividir el resultado en tre m para obtener el residuo X ¡+y Es im portante señalar q ue la ecuación recursiva del algoritm o congruencial lineal genera una secuencia de núm eros enteros S = { 0 ,1 ,2 ,3 ,..., m - 1}, y q ue para obtener n ú ­ m eros pseudo aleatorios e n el intervalo (0,1) se requ iere la siguiente ecuación: X. r¡= ~~ 1 m - 1

i - 1 , 2, 3 , . . . , n

Analice el ejem plo siguiente para com prender m ejo r la m ecánica del algoritm o co n ­ gruencial lineal. Ejem plo 2.4 G enerar4 números entre 0 y 1 con los siguientes parámetros:X0 = 37,a = 19 ,c = 33 y m = 100. Solución: X , = (19*37 + 33) m od 100 = 36

r } = 36/99 = 0.3636

X2 = (1 9 *3 6 + 33) m od 1 00 = 17

r 2 = 17/99 = 0.1717

X3 = (19*17 + 33) m od 100 = 56

r 3 = 56/99 = 0.5656

X4 = (19*56 + 33) m od 100 = 97

r4 = 97/99 = 0.9797

En el ejem plo anterior se colocaron de m anera arbitraria cada uno de los parám etros re­ queridos: Xq, a, c ,m .Sin em bargo, para q ue el algoritm o sea capaz d e lograr el m áxim o pe­ riodo de vida n , es preciso q ue dichos parám etros cum plan ciertas condiciones. Banks, Carson, Nelson y N ic o l[1] sugieren lo siguiente: m = 29 a k c g

= 1 + 4k debe ser entero relativam ente prim o a m debe ser entero

Bajo estas co n d icio n es se obtiene un periodo d e vida m áxim o: N = m = 2g. Veam os un ejem plo más, tom and o en cuen ta lo anterior. 23

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

Ejem plo 2.5 G enerar suficientes n úm e ro s en tre 0 y 1 con los parám etro s X0 = 6, k = 3, g = 3 y c = 7, hasta en con trar el periodo de vida m áxim o {N). Como podem os ver, si se cum plen las condiciones q ue Banks, Carson, Nelson y Nicol sugieren, se logrará el periodo m áxim o A/ = m = 8. A continuación se presenta el desarro­ llo de la generación d e los núm eros r¡. y

m = 23 = 8

o* II ON

0 = 1 + 4 ( 3 ) = 13

X^ = (13*6 + 7 ) m od 8 = 5

r} = 5 /7 = 0.714

X2 = (13*5 + 7 ) m od 8 = 0

r2 = 0/7 = 0.000

X3 = (13*0 + 7 ) m od 8 = 7

r3 = 7 /7 = 1.000

X4 = (13*7 + 7 ) m od 8 = 2

r4 = 2/7 = 0.285

X5 = (13*2 + 7 ) m od 8 = 1

r5 = 1/7 = 0.142

Xfi = (13*1 + 7 ) m od 8 = 4

r6 = 4/7 = 0.571

X7 = (1 3 * 4 + 7 ) m od 8 = 3

r? = 3/7 = 0.428

X8 = (13*3 + 7 ) m od 8 = 6

rg = 6/7 = 0.857

Es im p o rtan te m e n cio n ar q u e el núm ero generado e n X8 = 6 es e xa cta m e n te igual a la sem illa X y si co n tin u á ra m o s generando m ás núm ero s, éstos se repetirían. A dem ás sa­ bem os q ue el alg o ritm o co ng ruencial lineal genera una secu encia de n úm e ro s enteros S = { 0 ,1 ,2 ,3 ,..., m - 1}. O bserve q ue en este caso se genera la secuencia S = {0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 , 6,7). Ejem plo 2.6 Considerem os nuevam ente el ejem plo anterior, pero tratem os de violar de m anera arb i­ traria alguna de las condiciones. Supongam os q ue a = 1 2 ;se sabe q ue a no es el resultado de 1 + 4 k,d o n d e k es un entero. Veam os el com portam iento del algoritm o congruencial lineal ante tal cam bio. Solución: a = 1 + 4 (3 )= 13

y

m = 23 = 8

X0 = 6

24

X 1 = (12*6 + 7 ) m od 8 = 7

r , = 7 / 7 = 1 .0 0 0

X2 = (12*7 + 7 ) m od 8 = 3

r2 = 3/7 = 0.428

X3 = (12*3 + 7 ) m od 8 = 3

r3 = 3/7 = 0.428

2 2 .5 A lg o ritm o co n g ru e n cia l m u ltip lica tivo |

El periodo de vida en este caso e s N = 3, de m anera que, com o pu ed e ver, el periodo de vi­ da m áxim o no se logra. Como conclusión tenem o s q ue si no se cum ple alguna de las co n ­ diciones, el periodo de vida m áxim o N = m n o se garantiza, por lo q ue el periodo de vida será m en o r q ue m.

2.2.5 A lg o ritm o congruencial m ultiplicativo El algoritm o congruencial m ultiplicativo surge del algoritm o congruencial lineal cuando c = 0. Entonces la ecuación recursiva es: X¡+t = (oX;) m od (m)

/ = 0 , 1 , 2 , 3 ,. . ., n

En com paración con el algoritmo congruencial lineal, la ventaja del algoritmo m u lti­ plicativo es q ue im plica una operación m enos a realizar.Los parám etros de arranque de es­ te algoritmo son X^ a y m,to d o s los cuales deben ser núm eros enteros y m ayores q ue cero. Para transform ar los núm eros X¡ en el intervalo (0,1) se usa la ecuación r. = xf./(m - 1). De acuerdo con Banks, Carson, Nelson y N ico l111, las condiciones q ue deben cum p lir los pará­ m etros para q ue el algoritm o congruencial m ultiplicativo alcance su m áxim o periodo son: m = 2g a = 3 + 8k o a = 5 + 8k k = 0 , 1 ,2 ,3 ,... X0 debe ser un núm ero im par g debe ser entero A partir de estas co nd icio nes se logra un periodo de vida m áxim o N = k/4 = 29"2

Ejem plo 2.7 G en e rar su ficien tes n úm ero s e n tre 0 y 1 con lo s sig u ien tes parám etro s: X( = 17, k = 2 y g = 5, hasta en co n trar el periodo o ciclo de vida. Solución: £7 = 5 + 8(2) = 21

y

m = 32

X0 = 17 X , = (21#17) m od 32 = 5

r, =5/31 = 0 .1 6 1 2

X2 = (21*5) m od 32 = 9

r2 = 9/31 = 0.2903

X3 = (21*9) m od 32 = 29

r3 = 29/31 = 0.9354

X4 = (21*29) m od 32 = 1

r4 = 1/31 = 0.3225 25

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

Xs = (21*1) m od 32 = 21

r5 =21/31 = 0 .6 7 7 4

X6 = (21 *21) m od 32 = 25

r6 = 25/31 = 0 .8 0 6 4

X7 = (21*25) m od 3 2 = 13

r? = 13/31 = 0.4193

X8 = (21*13) m od 3 2 = 17

rg = 17/31 = 0.5483

Toda vez q ue la sem illa X0 se repite, volverán a generarse los m ism os núm eros. Por lo ta n ­ to, el periodo de vida e s n = 8 , el cual corresponde a N= m/4 = 32/4 = 8.

Ejem plo 2.8 Ahora bien, si violam os la condición de q ue la sem illa sea un núm ero impar, digam os con X0 = 12, tenem os: Solución: X0 = 1 2 X , = (21*12) m od 32 = 28

q = 28/31 = 0.9032

X2 = (21*28) m od 32 = 12

r2 = 12/31 = 0.3870

En vista de q ue la sem illa X0 se repite, volverán a generarse los m ism os núm eros. Por lo tanto, el periodo de vida e s N = 2 .

2.2.6 A lgoritm o congruencial aditivo Este algoritm o requiere una secuencia previa de n números en te ro sX 1,X 2,X 3,X 4, ...,X n para generar una nueva secuencia de núm eros enteros q ue em pieza en Xn+1,X m.2,X m.3,X n+4, . .. Su ecuación recursiva es: X .= (X.L1 + X;._n)m od (m)

/ = n + 1, n + 2, n + 3 ,...,N

Los n úm ero s r¡ pueden ser generados m ediante la ecuación r .= x .l ( m - 1)

Ejem plo 2.9 Generar 7 núm eros pseudo aleatorios en tre cero y uno a partir de la sigu ien te secuencia de núm eros enteros: 6 5 ,8 9 ,9 8 ,0 3 ,6 9 ; m = 100. Sean X1 = 65, X2 = 89, X3 = 98, X4 = 03, X 5 = 69. Para generar rv r2, ry r4, ry r6 y r7 antes es necesario g en erar X6, X7, X8, X^ X 10, X , 1, X , 2. 26

2 2 .7 A lgoritm os co n g ru e n cia le s n o lineales [

:

Solución: X6 = (X 5 + X1)m o d 100 = (60 + 6 5 )m o d 100 = 34

r , = 34/99 = 0.3434

X7 = (X6 + X2) m od 100 = (34 + 89) m od 100 = 23

r 2 = 23/99 = 0.2323

X8 = (X7 + X3) m od 100 = (23 + 98) m od 100 = 21

r 3 = 21/99 = 0.2121

X9 = (X8 + X4) m od 100 = (21 + 0 3 ) m od 100 = 24

r4 = 24/99 = 0.2424

X10= (X 9 + X5)m od 1 00 = (24 + 69) m od 1 0 0 = 9 3

rs = 93/99 = 0.9393

X\ i = (X10 + Xg) mod 100 = (93 + 34) m od 100 = 27 X12= ( X „ + X 7)m od 100 = (27 + 23) m od 1 0 0 = 5 0

2.2.7 A lgoritm os co n g ru en ciales no lineales En esta sección se analizarán dos algoritm os congruenciales no lineales: el congruencial cuadrático y el algoritm o presentado po r Blum , Blum y S h u b [2]. 2.2.7.1 Algoritm o congruencial cuadrático Este algoritm o tie n e la siguiente ecuación recursiva: X^, = (oX? + bX¡ + c) m od (m)

/ = 0 ,1 , 2 , 3 , . . ., N

En este caso, los núm eros r¡ pueden ser generados con la ecuación r. = x / (m - 1 ). D e acuer­ do con L'Ecuyer141, las condiciones q ue deben cum p lir los parám etros m , a , b y c para al­ canzar un periodo m áxim o de N = m son: m = 29 a debe ser un núm ero par c debe ser un núm ero im par g debe ser entero (b - 1) m od 4 = 1 D e esta m anera se logra un periodo de vida m áxim o N = m.

Ejem plo 2.10 Generar, a partir del algoritm o congruencial cuadrático, suficientes núm eros enteros has­ ta alcanzar el periodo de vida, considerando los parám etros X0 = 13, m = 8, a = 26, b = 27 y c = 27. Como to d a s las condiciones estipuladas para los parám etros se satisfacen, es de esperarse q ue el periodo de vida del generador sea N = m = 8, tal com o podrá com probar al revisar los cálculos correspondientes, q ue se presentan a continuación. 27

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

Solución:

X , = (26*132 + 27*13 + 27) m od (8) = 4 X2 = (26*42 + 2 7 *4 + 27) m od (8) = 7 X3 = (26*72 + 2 7 *7 + 27) m od (8) = 2 X4 = (26*22 + 2 7 *2 + 27) m od (8) = 1 X5 = (26*12 + 27*1 + 27) m od (8) = 0 X6 = (26*02 + 2 7 *0 + 27) m od (8) = 3 X7 = (26*32 + 27*3 + 27) m od (8) = 6 Xg = (26*62 + 2 7 *6 + 27) m od (8) = 5 X9 = (26*52 + 27*5 + 27) m od (8) = 4 ft)r otro lado, el algoritm o cuadrático genera una secuencia de núm eros en tero s S = {0,1, 2,3, 1}, al igual q u e el algoritm o co ng ruencial lineal. Z 2 .7 .2 Algoritm o d e Blum , Blum y Sh u b 121 Si en el algoritm o congruencial cuadrático a = ‘\ ,b = 0 y c = 0 ,entonces se construye una nueva ecuación recursiva: X¿+1 = (X 2)m o d (m)

/ = 0 ,1 ,2 ,3 .........n

La ecuación anterior fu e propuesta po r Blum , Blum y Sh u b [2J com o un nuevo m éto­ do para generar núm eros que no tienen un com portam iento predecible.

2.3 P ro p ied ad es d e los nú m ero s p seu d o aleato rio s entre 0 y 1 En la sección anterior hablam os de cóm o generar núm eros aleatorios usando diferentes métodos. Sin em bargo, ¿de qué m anera se puede garantizar q ue tales núm eros son real­ m ente aleatorios en tre 0 y 1?, ¿cuáles son las características que los identifican?, ¿cuáles son sus parám etros? La respuesta a las preguntas anteriores es m u y im portante, dado q ue los núm eros aleatorios serán utilizados e n la sim ulación para generar los valores de cualquier variable aleatoria. En gran m edida, conocer las propiedades q ue deben tener estos núm e­ ros aleatorios garantiza una buena sim ulación, po r ello, se enum eran a continuación. Media d e lo s aleatorios entre 0 y 1. En vista d e q ue estos núm eros deben te n e r la m is­ ma probabilidad de presentarse, es preciso q ue su com portam iento m uestre una distri­ bución de probabilidad uniform e continua, con lím ite inferior cero y lím ite superio r uno. La función de densidad de una distribución uniform e e s la siguiente: f{x) = —!— b-o 28

azxzb;

en este caso,

a=0

y

b =1

2.3 Propiedades d e tos n ú m e ro s p seu d o aleatorios e n tre 0 y 1 |

Gráficam ente se vería de la siguiente m anera:

Para o b tener la m ed ia de la distribución m ultiplicam os la fun ció n de densidad po r x, y la integram os en todo el rango de la m ism a distribución de la sigu ien te m anera:

Sustituyendo los valores de a y b fW -j Por lo tanto, el valor esperado (es decir, la m edia de los n úm e ro s aleatorios en tre 0 y 1) es At = 0.5. V arianza de los núm eros aleatorios. Partiendo de la m ism a distribución uniform e c o n ­ tinua o btenem o s la varianza de la distribución po r m edio de la ecuación: V(x) = a 2 = E (x 2) - fi 2 lo q ue nos da E{x2):

£(x2)=íaí br -4a (x2)=^ 3{b f- ah) l' Al su stituir ten em o s que £ (**)= 1 Por lo tanto,

29

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

Dados estos resultados podem os decir q ue los núm eros aleatorios entre 0 y 1 deben te n e r „ =1 *

2

y

Y

o2 = —

12

Independencia. Ésta es una propiedad m u y im portante, e im plica q ue los núm eros alea­ torios no deben te n e r correlación entre sí; es decir, deben ser independientes, de m anera que puedan dispersarse uniform em ente dentro d e todo el espectro de valores posibles. La fig ura 2.2a m uestra una gráfica to talm en te dispersa en los valores posibles, y la figura 2 2 b presenta una acum ulación de los valores en la parte central, lo cual quiere decir que hay una correlación entre los m ism os.

(a)

Figura 2.2 (a) Valores uniformemen­ te dispersos y (b) valores correlacionados

& posible realizar una serie de pruebas para corroborar q ue no existe correlación entre los núm eros aleatorios, e incluso para garantizar q ue no exista un sesgo o tend encia en ­ tre los dígitos de cada uno de ellos. Estas pruebas se revisarán con m ás detalle en la si­ guiente sección. 30

2.4.1 Pru eb a d e m ed ias |

2 .4

P ru eb as e sta d ística s p ara los núm eros p se u d o aleato rio s En la sección 2.2 se presentaron diversos algoritm os para construir un conjunto r¡, pero ése es sólo el prim er paso, ya que el conjunto resultante d ebe ser som etido a una serie de pruebas para validar si los núm eros q ue lo integran son aptos para usarse en un estudio de sim ulación. A continuación se analizarán las pruebas estadísticas básicas que se em plean gene­ ralm ente para determ inar si un conjunto de núm eros pseudo aleatorios entre cero y uno cum plen con las propiedades básicas de indep end encia y uniform idad. El objetivo, en otras palabras, es validar q ue el conjunto r¡ realm ente está conform ado por núm eros alea­ torios. Es im portante m encionar que las pruebas que se discutirán no son únicas; si desea conocer otras, consulte Banks, Carson, Nelson y N ico l[1].

2.4.1 Prueba d e m edias Una de las propiedades q ue deben cu m p lir los núm eros del conjunto r.,e s q u e el valor es­ perado sea igual a 0.5. La prueba q ue busca determ inar lo anterior e s la llam ada prueba de m edias,er\ la cual se plantean las siguientes hipótesis:

H0:Mrí = 0.5 0.5 La prueba de m edias consiste en determ inar el prom edio de lo s n núm eros q ue c o n ­ tiene el conjunto r¡, m ediante la ecuación siguiente:

Posteriorm ente se calculan los lím ites de aceptación inferior y superior con las ecu a ­ ciones siguientes:

Si el valor de r s e en cu entra entre los lim ites de aceptación, concluim os q ue no se puede rechazar q ue el conjunto r¡ tiene un valor esperado de 0.5 con un nivel de aceptación de 1 - a .E n caso contrario se rechaza que el conjunto r. tien e un valor esperado de 0.5. Para el cálcu lo de lo s lím ites de acep tació n se u tiliza el estadístico m/2, el cual se determ ina por m edio de la tabla de la distribución norm al estándar (tam bién se puede calcular dicho valor utilizando la fun ció n PROMEDIOA (o AVERAGE) — m edia aritm ética— de Excel). 31

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

Ejem plo 2.11 Considere los 4 0 núm eros del conjunto r¡ que se presenta a continuación, y d eterm in e si tienen un valor esperado de 1/2 con un nivel de aceptación de 95 po r ciento.

0.0449

0.1 7 33

0.5746

0 .0 4 9

0.8 4 06

0.8 3 49

0 .9 2

0.2 5 64

0.6015

0.6 6 94

0.3972

0.7 0 25

0.1 0 55

0.1 2 47

0.1 9 77

0.0 1 25

0.63

0.2531

0.8297

0.6 4 83

0.6 9 72

0.9 5 82

0.9 0 85

0.8 5 24

0.5514

0.0 3 16

03587

0.7041

0.5 9 15

0.2 5 23

0.2 5 45

0.3 0 44

0.0207

0.1 0 67

0.3587

0.1 7 46

0.3 3 62

0.1 5 89

03727

0.4 1 45

El conjunto r¡ contiene 4 0 núm eros, po r lo tanto, n = 40. Un nivel de aceptación de 95% im plica q ue a = 5% . Enseguida procedem os a calcular el prom edio de los núm eros y los lím ites de aceptación: 1 n

1

40

7 = -¿r [0.04487 + 0.17328 + 0.57548 + 0.04901 + ...+ 0 .3 3 6 1 6 + 0.15885 + 0.37266 + 40 0.41453] 7 = 0.43250 L l'~ 2

Z“/2(v T 2 n ) ~ 2

Z° 05/2(-/l2(40))

L I . = 1 - (1.96) I , 1 \ = 0.410538649 ' 2 V l2 (4 0 )j

¿S' ~ 2 + Z“ /2(v T 2 n ) ~ 2 + Z° 05/2(\/T2(40í) ¿Sf = 1 + (1.96)f ...-1 _ \ = 0.589461351 ' 2 \v^Í2(40)/ Como el valor del prom edio: F = 0.43250 se encuentra en tre los lím ites d e aceptación, se concluye que no se pu ed e rechazar q ue el conjunto de 4 0 núm eros r¡ tiene un valor es­ perado de 0.5, con un nivel de aceptación de 95 po r ciento.

2.4.2 Prueba d e varianza Otra de la propiedades q ue d ebe satisfacer el conjunto r.,e s q ue sus núm eros teng an una varianza de 1/12. La prueba q ue busca d eterm inar lo anterior es la prueba de varianza,q u e establece las siguientes hipótesis: H0: 0-2= 1/12 H yO -** 1/12 32

2 4 .2 Pru eb a d e v a ria n z a |

La p rueb a de varianza consiste en d eterm inar ia varianza de los n núm eros que co n ­ tiene el conjunto r , m ediante la ecuación siguiente:

m = ,=' n -1 Después se calculan los lím ites de aceptación inferior y superior con las ecuaciones siguientes: 2

//

_ ^a/2,n - 1 1 2 (n - 1) 2

LS

= ^ W 2'n_1 12 (n —1)

Si el valor de V[r) se en cu entra entre los lím ites de aceptación, decim os q ue no se puede rechazar q ue el conjunto r¡ tiene una varianza de 1/12, co n un nivel de aceptación de 1 - a ;d e lo contrario, se rechaza q ue el conjunto r. tiene una varianza de 1/12. Ejem plo 2.12 Realizar la prueba de varianza a los 4 0 núm eros r¡ del ejem plo 2.11. Considerando q ue n = 4 0 y a = 5% , procedem os a calcu lar la varianza de los núm e­ ros, y los lím ites de aceptación correspondientes: 40

n

5 > ,- n 2 V(r) = l=' n- 1

2 ^ - ° - 43250)2 40-1

V[r) = ^ [(0.04487 - 0.43250)2 + (0.17328 - 0.43250)2 + . . . + (0.37266 - 0.43250)2 + (0 .4 1 4 5 3 -0 .4 3 2 5 0 )2] V(r) = 0.08695062 i i

X q/2,/ i -1

¿/W

£c

v{,)

X o.05/2,39

- i2 ( n - 1 ) " lW

'

58.1200541 n i-M io o ic 468 - 0-12418815

= * Í : a/2‘n: l = X \^ ?5* 39 = 2 36 543003 = 0.05054338 12(n - 1 ) 12(39) 468

Dado q ue el valor de la varianza: V(r) = 0.8695062 está entre los lím ites de acepta­ ción, podem os decir q ue no se puede rechazar q ue el conjunto de 4 0 núm eros r tiene una varianza de 1/12 = 0.08333. 33

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

2.4.3 P rueb as d e uniform idad Una de las propiedades m ás im portantes que d ebe cum p lir un conjunto de núm eros r es la uniform idad. Para com probar su acatam iento se han desarrollado pruebas estadísticas tales co m o las p rueb as Chi-cuadrada y de Kolm ogorov-Sm irnov. En cualquiera de am bos casos, para probar la uniform idad de los núm eros d e un conjunto r. es necesario form ular las siguientes hipótesis: H ¿ r ¡ ~ U ( 0,1) H y í¡ no son uniform es Vfeamos a continuación cóm o fun cio na cada una de estas pruebas. 2 4.3.1 Prueba Chi-cuadrada La prueba Chi-cuadrada busca d eterm inar si los núm eros del conjunto r¡ se distribuyen uniform em ente en el intervalo (0,1). Para llevar a cabo esta prueba e s necesario d ivid ir el intervalo (0,1) en m subintervalos,en donde es recom end able m = Vñ. Posteriorm ente se clasifica cada núm ero pseudo aleatorio del conjunto r.e n los m intervalos. A la cantidad de núm eros r¡ que se clasifican en cada intervalo se le deno m ina frecuencia observada (0 ; ), y a la cantidad de núm eros r¡ que se espera en co n trar en cada intervalo se le llam a fre­ cuencia esperada (E ); teó ricam en te, la r¡ es igual n/m . A partir de los valores de Oj y E¡ se determ ina el estadístico m ediante la ecuación o m ( E .- Q ) E I; Si el valor del estadístico A^es m e n o r al valor de tablas de X 2 a m_ v entonces no se puede rechazar q ue el conjunto de núm eros r¡ sigue una distribución uniform e. En caso contrario, se rech aza q ue r¡ sigue una distribución uniform e. Ejem plo 2.13 Realizar la prueba Chi-cuadrada a los siguientes 100 núm eros de un conjunto r,c o n un n i­ vel de confianza de 95 po r ciento.

34

0.347

0.832

0 .9 6 6

0 .4 7 2

0 .7 9 7

0.101

0 .6 9 6

0 .9 6 6

0 .4 0 4

0.603

0.993

0 37 1

0 .7 2 9

0 .0 6 7

0 .1 8 9

0.977

0 .8 4 3

0 .5 6 2

0 .5 4 9

0.992

0.674

0.628

0 .0 5 5

0 .4 9 4

0 .4 9 4

0.235

0 .1 7 8

0 .7 7 5

0 .7 9 7

0.252

0.426

0.054

0 .0 2 2

0 .7 4 2

0 .6 7 4

0.898

0.641

0 .6 7 4

0.821

0.19

0.46

0.224

0 .9 9

0 .7 8 6

0 .3 9 3

0.461

0.011

0 .9 7 7

0 .2 4 6

0.881

0.189

0.753

0 .7 3

0 .7 9 7

0 .2 9 2

0.876

0 .7 0 7

0 .5 6 2

0 .5 6 2

0.821

0.112

0.191

0 .5 8 4

0347

0 .4 2 6

0.057

0 .8 1 9

0 .3 0 3

0 .4 0 4

0.64

0.37

0314

0.731

0 .7 4 2

0313

0.472

0.641

0 .9 4 4

0.28

0.663

0.909

0.764

0 .9 9 9

0 .3 0 3

0 .7 1 8

0.933

0 .0 5 6

0 .4 1 5

0 .8 1 9

0.444

0.178

0.516

0 .4 3 7

0393

0 .2 6 8

0.123

0 .9 4 5

0527

0 .4 5 9

0.652

2 4 .3 Pru eb as d e un ifo rm id a d |

Antes de proceder, es recom endable crear una tab la sim ilar a la tab la 2.1, e n donde se resum en los pasos q ue deben llevarse a cabo en la prueba Chi-cuadrada. Tabla 2.1 Cálculos para la prueba Chi-cuadrada Intervalo

iEr O }2 OT

E¡ = — 1 m

E¡

[0.00-0.10)

7

10

0.9

[0.10-0.20)

9

10

0.1

[0.20-0.30)

8

10

0.4

[0.30-0.40)

9

10

0.1

[0.40-0.50)

14

10

1.6

[0.50-0.60)

7

10

0.9

[0.60-0.70)

11

10

0.1

[0.70-0.80)

14

10

1.6

[0.80-0.90)

9

10

0.1

[0.90-1.00)

12

10

0.4

10 (E . - o y El estadístico x \ - 2 r¡ — ~£~'— = 6-2 es m enor al estadístico correspondiente de

la Chi-cuadrada ^ Q5 g= 16.9. En consecuencia, no se pu ed e rechazar que los n úm e ro s r. siguen una distribución uniform e. 2.4.3.2 Prueba Kolm ogorov-Sm lrnov Propuesta por Kolm ogorov y Sm irnov, ésta es una prueba estad ística q u e tam b ién nos sirve para determ inar si un conjunto r¡ cum ple la propiedad de uniform idad. Es recom en­ d ab le ap licarla en co n ju n to s r¡ pequeños, p o r e je m p lo , n < 20. El p ro ced im ien to es el siguiente: 1. O rdenar de m enor a m ayor los núm eros del co n ju n to r¡ .

2

D eterm inar los valores de: D+, Dr y D con las siguientes ecuaciones: D * = m, áx á x ¡j{ i --r r,l .} 1 <¿ :/
| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

D* = m áx i r - -— - ] i
Ejem plo 2.14 Realizar la prueba Kolgom orov-Sm irnov, co n un nivel de confianza de 90% , al siguiente conjunto r¡ de 10 núm eros: r = {0 .9 7 ,0 .1 1 ,0 .6 5 ,0 .2 6 ,0 .9 8 ,0 .0 3 ,0 .1 3 ,0 .8 9 ,0 .2 1 ,0 .6 9 } El nivel de confianza de 90% im plica a = 10% .O rdenando los n úm ero s r¡ de m e n o r a mayor, la secuencia es: Q03

0.11

0.13

0.21

0.26

0.65

0.69

0.89

0.97

0 .9 8

Para determ inar los valores de EP,[>- y D es recom endable realizar una tabla com o la siguiente:

Tabla 2.2 Cálculos de la prueba Kolm ogorov-Sm irnov 3

8

1

i_ n

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

r¡

0.03

0.11

0.13

0.21

0.26

0.65

0.69

0.89

0.97

0.98

/'-1 n

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

0.07

0.09

0.17

0.19

0.24

-0 .0 5

0.01

-0 .0 9

-0 .0 7

0.02

-0 .0 4

0.02

-0 .0 4

0.02

0.02

0.70

0.68

0.98

1.04

0.96

D

1.04

n D+

36

2

/

4

I

■

10 0.24

D-

1.04

6

’

9 10

2 4 .4 Pru eb as d e in d e p e n d en cia | :

De acuerdo con la tabla de valores para la prueba Kolmogorov-Smirnov, el valor crítico D01010 correspondiente a n = 10 es D01010 = 0.368, que resulta m e n o r al valor D = 1.04; por lo tanto, se concluye que los núm eros del conjunto r¡ no se distribuyen uniform em ente.

2 .4 .4 P rueb as d e ind ep end encia Recuerde q ue las dos propiedades m ás im portantes que deben satisfacer los núm eros de un conjunto r¡ son uniform idad e independencia. En la sección anterior com entam os las pruebas q ue buscan determ inar si los núm eros del conjunto r¡ son uniform es. A continua­ ción hablarem os de las pruebas estadísticas que tratan de corroborar si los núm eros en el intervalo ( 0, 1 ) son independientes o, en o tras palabras, si parecen pseudo aleatorios. Para p robar la independencia de los núm eros de un conjunto r. primero e s preciso form ular las siguientes hipótesis: H0:lo s núm eros del co n ju n to r¡ son independientes H y los núm eros del conjunto r¡ no son independientes 2.4.4.1 Prueba d e corridas arrib a y ab ajo El procedim iento de esta prueba consiste en determ inar una secuencia de núm eros (S) que sólo contiene unos y ce ro s,d e acuerdo co n una com paración e n tre r¡ y r.^ .Posterior­ m ente se determ ina el núm ero de corridas observadas, CQ (una corrida se identifica com o la cantidad de unos o ceros consecutivos). Luego se calcula el valor esperado, la varianza del núm ero de corridas y el estadístico Z0, m ediante las ecuaciones:

Mco

3

2 _ 16n - 29 a c_ -o ~ 90 Co ~ M r Co Si el estadístico ZQe s m ayor q ue el valor crítico de Z ^ se co ncluye q ue los núm eros del conjunto r¡ no son independientes. D e lo contrario no se puede rechazar que el co n ­ junto de r¡ sea independiente. Considere el siguiente conjunto r¡ de 21 núm eros: r¡ = {0 .8 9 ,0 .2 6 ,0 .0 1 ,0 .9 8 ,0 .1 3 ,0 .1 2 ,0 .6 9 ,0 .1 1 ,0 .0 5 ,0 .6 5 , 0 .2 1 ,0 .0 4 ,0 .0 3 ,0 .1 1 ,0 .0 7 ,0 .9 7 ,0 .2 7 ,0 .1 2 ,0 .9 5 ,0 .0 2 ,0 .0 6 } La secuencia de unos y ceros se construye de esta m anera: se coloca un cero si el n ú ­ mero r¡ es m enor q ue o igual al núm ero r¡ anterior; en caso de ser m ayor que el núm ero r¡ anterior, se po n e un uno. Considerando la secuencia de los 21 núm eros del conjunto r. que se dio arriba, la secuencia de unos y ceros es: S = {0 ,0 ,1 ,0,0 ,1 ,0 ,0 ,1 ,0 ,0,0 ,1 ,0,1 ,0 ,0 ,1,0 ,1 } 37

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

O bserve q ue la secuencia S contiene n - 1 núm eros, en este caso 20. Esto se d ebe a que el prim er núm ero r¡ = 0 .8 9 no tie n e núm ero anterior co n el cual com pararlo. R ecu er­ de q ue una co rrida se form a con unos consecutivos o ceros consecutivos. Por ejem plo los prim eros dos ceros de la secuencia form an la prim er corrida, la cual se dice q ue tien e una longitud de dos;el tercer núm ero de la secuencia, uno, form a la segunda corrida con longi­ tud de u n o ;d esp u és siguen dos ceros, los cuales fo rm an la tercera corrida con longitud de dos;después sigue un uno, el cual fo rm a la cuarta co rrida con longitud de uno, etc.Siguiendo el proceso anterior se determ ina q ue el núm ero de corridas de la secuencia es C0 = 14. Ejem plo 2.15 Realizar la prueba de co rrid as arriba y abajo con un nivel de aceptación de 95% al siguien­ te conjunto de núm eros r¡:

034

0.83

0.96

0 .4 7

0 .7 9

0.99

0.37

0.72

0 .0 6

0 .1 8

0.67

062

0.05

0 .4 9

0 .5 9

0.42

0.05

0.02

0 .7 4

0 .6 7

0.46

0.22

0.99

0 .7 8

039

0.18

0.75

0.73

0 .7 9

0 .2 9

0.11

0.19

0.58

034

0 .4 2

037

0.31

0.73

0 .7 4

0.21

Realizarem os la asignación de u no s y ceros po r renglón (o fila). Por lo tanto, la secu en ­ cia S es:

S = {1 ,1,0,1,1,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0} Obteniéndose un valor de CQ = 24, y a = 5% . A continuación se presentan los cálculo s c o ­ rrespondientes al valor esperado y a la varianza del núm ero de corridas: _ 2 n - \ _ 2 (4 0 )- 1 . Mr

26.333

, _ ,16n - 29 _ 16(40) - 29 _ 6 788 c° 90 90 C0 -M c0 Zo=

°S ,

1 6 (4 0 )- 2 9 6.788

Com o el estadístico Z0 es m e n o r q ue el valor de tab la d e la norm al están d ar para Za/2 = Z 5%/2 = 1.96, se co ncluye q ue no se pu ed e rechazar que los núm eros del conjunto r. son independientes. Es decir, de acuerdo con esta prueba, los núm eros son aptos para usarse en sim ulación. Z 4 .4 .2 Prueba d e corridas arrib a y ab ajo d e la m edia S procedim iento de esta prueba consiste en determ inar una secuencia de unos y ceros, de acuerdo co n una com paración en tre los núm eros del conjunto r. y 0.5. Posteriorm ente 38

2 4 .4 Pru eb as d e in d ep en d en cia

se determ ina el núm ero de corridas observadas, CQ, y los valores de nQy n y CQ es el n ú ­ mero de corridas en la secuencia, determ inado de la m ism a m anera q ue en la prueba de corridas arriba y ab ajo ; n0 es igual a la cantidad de ceros en la secuencia, y n } es igual a la cantidad de unos en la secuencia, cum pliéndose q ue n Q + n } = n . (Recuerde q ue una co­ rrida se identifica com o la cantidad de unos o ceros consecutivos.) Luego se calcu la el va­ lor esperado, la varianza del núm ero de co rrid as y el estadístico Z0 con las siguientes ecuaciones:

o

n

2

= 2n0n ,(2 n 0n 1- n ) c°

Z„ =

n * ( n - 1) C0 - M r

Si el estadístico Z0 está fuera del intervalo: - z a s z0 s z ai se concluye q ue los núm eros 2

2

del conjunto r¡ no son independientes. D e lo contrario no se puede rechazar que el co n ­ junto de r¡ es independiente. Considere la siguiente secuencia de 10 núm eros de un conjunto r¡: r¡ = {0 .6 7 ,0 .6 2 ,0 .0 5 ,0 .4 9 ,0 .5 9 ,0 .4 2 ,0 .0 5 ,0 .0 2 ,0 .7 4 ,0 .6 7 } La secu encia de u no s y ceros se construye de la sigu ien te m anera: se asigna un uno si el núm ero r¡ es m ayor q ue o igual a 0.5. En caso contrario se asignará un cero. Sig uien­ do esta regla, la secuencia de u no s y ceros es: S = {1 ,1 ,0 ,0,1 ,0 ,0,0 ,1 ,1 } El núm ero de corridas se determ ina de la m ism a m anera q ue en la prueba de corridas arriba y abajo. En este caso se tien e q ue el núm ero de corridas de la secuencia S es CQ = 5. Por otra parte, la secuencia tie n e 5 ceros y 5 unos, así q ue n Q= 5 y n 1 = 5. Ejem plo 2.16 Realizar la prueba de corridas arriba y abajo, con un nivel de aceptación de 95% , al si­ guiente conjunto de núm eros r¡:

0 .8 0 9

0.042

0.432

0 .5 3 8

0 .2 2 5

0.88

0.688

0.772

0 .0 3 6

0 .8 5 4

0 .3 9 7

0.268

0.821

0 .8 9 7

0 .0 7

0.721

0.087

035

0 .7 7 9

0 .4 8 2

0 .1 3 6

0.855

0.453

0 .1 9 7

0 .4 4 4

0 .7 9 9

0.809

0.691

0 .5 4 5

0 .8 5 7

0 .6 9 2

0.055

0.348

0373

0 .4 3 6

0.29

0.015

0.834

0 .5 9 9

0 .7 2 4

0 .5 6 4

0.709

0.946

0 .7 5 4

0 .6 7 7

0 .1 2 8

0.012

0.498

0 .6

0 .9 1 3

39

C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o ale ato rio s

Construiremos la secuencia de unos y ceros por renglón quedando de la siguiente manera: S = {1,0 ,0 ,1,0 ,1 ,1,1 ,0 ,1 ,0,0 ,1 ,1,0 ,1 ,0,0,1 ,0 ,0,1 ,0 ,0,0, 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 1 A partir de la secuencia anterior se determ ina q ue hay 21 corridas, 23 ceros y 27 unos. Por lo tan to, CQ = 21, /70 = 23 y /i, = 27. A continuación se presentan los cálculo s del valor esperado y de la varianza del núm ero de corridas: * W o ^

n

+1 =

2 (23) (27)

,

2

50

2

= 2n0r?,(2n0n , - n ) = 2 (23) (27) [2 (23) (27) - 50] = 12Q8542 c°

n 2(n - 1 )

2 o= — r f — 0 °c0

(50)2( 5 0 - 1)

= 21 ~ 2 5 3 4 = 1 2484146 12.08542

Como el valor d e Z 0 cae dentro del intervalo -1 .9 6 s Z 0 = -1 .2 4 8 4 1 4 6 2; 1.96, se dice que no se pu ed e rechazar que los núm eros del conjunto r; son independientes con un n i­ vel de confianza de 95% . D e acuerdo con esta prueba, el conjunto de n úm e ro s r¡ se pue­ de u sa re n un estudio de sim ulación. Z 4 .4 .3 Prueba póker Esta prueba consiste en visualizar el núm ero r¡ con cinco decim ales (com o si fuera una m a ­ no del juego de póker, con 5 cartas), y clasificarlo como: to d o s diferentes (TD ), e xactam e n ­ te un par (1P), dos pares (2P), una tercia (T), una tercia y un par (TP), póker (P) y quintilla (Q). Por ejem plo, si /. = 0.69651 se le clasifica com o par, porque hay dos núm eros 6. Ahora bien, considerem os el caso de r. = 0.13031, el cual d ebe clasificarse com o dos pares (dos núm eros 1 y dos n úm e ro s 3). Finalm ente, r¡= 0.98898 d ebe clasificarse com o una tercia y un par, p orque hay tre s n úm ero s 8 y dos n úm e ro s 9. La prueba p ó ker se pu ed e realizar a n úm ero s r¡ co n tres, cu atro y cinco d ecim ales. Para r¡ co n tre s d ecim ales sólo h ay tres categorías de clasificación: todos diferentes (TD ), un par (1P) y una tercia (T). Cuando se ODnsideran r¡ con cuatro decimales se cuenta con cinco opciones para clasificar los números: todos diferentes (TD ), exactam ente un par (1P), dos pares (2P), una tercia (T) y póker (P).

Tabla 2.3 Prueba póker para núm eros con tre s decim ales Categoría

40

Probabilidad

Ei

Todos diferentes (TD)

0.72

0.72/7

Exactam ente un p ar (1P)

0.27

0.27/7

Tercia (T)

0.01

0.01/7

2 4 .4 Pru eb as d e in d e p e n d en cia | :

Tabla 2 .4 Prueba póker para núm eros con cuatro decim ales Categoría

Probabilidad

Ei

Todos diferentes (TD)

0.5040

0.5040n

Exactam ente un par (1P)

0.4320

0.4320/1

Dos pares (2P)

0.0270

0.0270n

Tercia (T)

0.0360

0.0360n

Póker (P)

0.0010

0.0010 n

Tabla 2.5 Prueba póker para núm eros con cinco decim ales Categoría

Probabilidad

Ei

Todos d iferentes (TD)

0.3024

0.3024n

Exactam ente un par (1P)

0.5040

0.5040/1

Dos pares (2P)

0.1080

0.1080/1

Una tercia y un p ar (TP)

0.0090

0.0090n

Tercia (T)

0.0720

0.0720n

Póker (P)

0.0045

0.0045n

Q uintilla (Q)

0.0001

0.0001 n

Las tab las 2.3 a 2.5 presentan la probabilidad esperada para cada una de las categorías de clasificación de esta prueba para conjuntos r¡ que contienen n núm eros con 3 ,4 y 5 deci­ males. La prueba póker requiere el estadístico de la distribución Chi-cuadrada x 2 a 6 para n ú ­ m eros con cinco d ecim ales,*^ 4 para núm eros con cuatro decim ales y x 2 a 2 P ara O m e r o s con tre s decim ales. x 2 Q6 tien e 6 grados de libertad, debido a q ue los núm eros se clasifican en siete categorías o clases: to d o s diferentes, exactam ente un par, d o s pares, una tercia y un par, una tercia, póker y quintilla. El procedim iento de la prueba consiste en: a) D eterm inar la categoría de cada núm ero del co n ju n to r¡. b) Contabilizar los núm eros r¡ de la m ism a categoría o clase para obtener la frecu en ­ cia observada (O.). 41

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

c) Calcular el estadístico de la prueba -

con la ecuación

(E-O f £.

donde E¡ es la frecu encia esp erad a de núm eros r¡ en cada categoría, y m representa la ca n ­ tidad de categorías o clases en las q ue se clasificaron los núm eros r¡, siendo m = 7, m = 5 y m = 3 los núm eros de categorías para la prueba póker con cinco, cuatro y tre s d ecim a­ les, respectivam ente. Por últim o: d) Com parar el estadístico de x 2 Qcon X 2 a/n_} • Si x l es m enor q ue ^ m 1 , se d ice q u e no se puede rechazar la indep end encia de los n ú ­ m eros del conjunto r . En caso contrario la independencia de los núm eros del conjunto r¡ se rechaza.

Ejem plo 2.17 Realizar la prueba póker, con un nivel de aceptación de 9 5 % ,a los siguientes 30 núm eros entre cero y uno, con cinco decim ales.

0.06141

0 .72484

0 .9 4 1 0 7

0 .56766

0.14411

0 .8 7 6 4 8

0 .81792

0 .48999

0 .1 8 5 9 0

0 .06060

0 .11223

0 .6 4 7 9 4

0 .52953

0 .50502

0 .3 0 4 4 4

0 .70688

0 .25357

031555

0 .04127

0 .67347

0 .2 8 1 0 3

0 .99367

0 .44598

0 .7 3 9 9 7

0 .27813

0 .62182

0 .8 2 5 7 8

0 .85923

0 .51483

0 .0 9 0 9 9

Primero clasificam os cada núm ero del conjunto r¡, asignándole las claves q ue se m encionaron antes. El resultado es el q ue se m uestra e n la tab la 2.6:

Tabla 2.6 Gasificación de los núm eros de un conjunto r.,d e acuerdo con la prueba póker

42

0.06141

1P

0.72484

1P

0.94107

TD

0.56766

T

0.14411

TP

0.87648

1P

0.81792

TD

0.48999

T

0.18590

TD

0.06060

TP

0.11223

2P

0.64794

1P

0.52953

1P

0.50502

2P

0.30444

T

0.70688

1P

0.25357

1P

0.31555

T

0.04127

TD

0.67347

1P

0.28103

TD

0.99367

1P

0.44598

1P

0.73997

2P

0.27813

TD

0.62182

1P

0.82578

1P

0.85923

TD

0.51483

TD

0.09099

TP

2 4 .4 Pru eb as d e in d ep en d en cia

Para seguir con la prueba se recom ienda hacer una tabla com o la siguiente:

Tabla 2.7 Cálculos de la prueba póker (É/-0/>2

Categorías

*/ Todos diferentes (TD)

8

(0.3024) (30) = 9.072

0.12667

Exactam ente un par (1P)

12

(0.5040)(30) = 15.12

0.64380

Dos pares (2P)

3

(0.1080) (30) = 3.24

0.01777

Una Tercia y un Par (TP)

3

(0.0090) (30) = 0.27

Tercia (T )

4

(0.0720)(30) = 2.16

1.56740

Póker (P)

0

(0.0045)(30) = 0.135

0.135

Q uintilla (Q)

0

(0.0001 )(30) = 0.003

0.003

El estadístico

27.6033

7 (£ - O )2 2- v = 30.0969 es m ayor q ue el estadístico correspondiente E:

de la Chi-cuadrada: 56 = 12.59. En consecuencia, se rechaza q ue los núm eros del co n ­ junto r. son independientes. 2.4.4.4 Prueba d e series Esta prueba consiste en com parar los núm eros con el propósito de corroborar la in dep en ­ dencia en tre núm eros consecutivos. Las hipótesis básicas son: Independientes H ,: r¡ ~ D ependientes Ho:r¡

~

La prueba funciona de esta m anera: se inicia creando una gráfica de dispersión entre los núm eros co nsecu tivo s (r., r .+1); posteriorm ente se d ivid e la gráfica en m casillas, com o se m uestra en la fig ura 2.3, siendo m el valor entero m ás cercano a V n que perm ita fo rm ar de preferencia, aunque no necesariam ente, una m atriz cuadrada. Enseguida se determ ina la frecu encia observada 0 ;., contabilizando el núm ero de puntos en cada casilla y su correspondiente frecuencia esp erad a f , , d e acuerdo co n E¡ = (n - 1)/m, dond e n - 1 e s el núm ero total de pares ordenados o p u nto s en la gráfica. Se m (E. - O )2 procede en to n ces a calcular el error o estadístico de prueba A'q = — £-----;finalm en te, si el valor del e rro r es m e n o r q ue o igual al estadístico d e tab las x l m_v n © podem os re­ chazar la hipótesis de indep end encia entre núm eros consecutivos. 43

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

Figura 2.3 Gráfica de dispersión: Primer paso de la prueba de series

Ejem plo 2.18 Realizar la prueba de series a los siguientes 30 núm eros, co n un nivel de confianza de 95 por ciento.

0 .8 7 2

0 .9 5 0

0343

0 .0 5 8

0.384

0 .2 1 9

0.041

0.036

0 .2 1 3

0.946

0 .5 7 0

0 .8 4 2

0.706

0 .8 0 9

0.300

0 .6 1 8

0 .1 5 2

0.462

0 .0 0 5

0.203

0.291

0.151

0.596

0 .4 4 3

0.868

0 .9 1 3

0.511

0.586

0 .6 0 8

0.879

Para em pezar, generam os la gráfica de dispersión (vea la fig ura 2.4) co n la secuencia de los 29 pares ordenados (x,y) = (r .,r +1) siguientes:

(^ ,^= (0.872,0.219) {r2, r j = (0.219,0.570)

(^= (0 .5 7 0 ,0 .6 1 8 ) (r4, rs) = (0.618,0.291)

( r ,; ,^ (0.291,0.913) (^>=(0.913,0.950) ••• ('28,'29>= (0-203,0.868) =

44

(0-868,0.879)

2 4 .4 Pru eb as d e in d e p e n d en cia | :

Figura 2.4 Gráfica de dispersión del ejemplo 2.18 En la tabla 2.8 se presenta el resto del procedim iento: se co ntab iliza el núm ero de puntos en cada casilla 0 ;., y se calcula la frecuencia esperada E¡ de acuerdo con E¡ = 29/9; en la últim a colum na se presenta el cálculo del estadístico de prueba m ( E ¡ - 0 ¿ 2 _ 9 ( 3 . 2 2 - Op E;

¿S

3.22

Tabla 2.8 Cálculos de la prueba de series rv f t _ O .l2 Intervalo /

O. 1

1

3

3.22

0.015

2

3

3.22

0.015

3

5

3.22

0.984

4

3

3.22

0.015

5

6

3.22

2400

6

1

3.22

1.530

7

5

3.22

0.984

8

1

3.22

1.530

9

2

3.22

0.462

Total

29

29

7.935

El valor de tab las y*

E. - n ~ 1 1 m 9

= 15.507 es m ayor q ue el error total de 7.935, po r lo cual no

0 .0 5 ,8

podem os rech azar la hipótesis de independencia. 45

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

Z 4 .4 .5 Prueba d e huecos Esta prueba co n siste en com parar los núm eros co n el propósito de verificar el tam año del "hueco" q ue e xiste en tre ocurrencias sucesivas de un núm ero. Las hipótesis fu n d am en ­ tales son: H0:r . ~ Independientes H y í¡ ~ Dependientes La prueba se inicia definiendo un intervalo de prueba (a,/3), d ond e (a,/3) e (0,1 ^pos­ teriorm ente se co nstru ye una secuencia de u no s y ceros de esta m anera: se asigna un uno si el r. pertenece al intervalo (a ,/3), y un 0 si no pertenece a dicho intervalo. Por ejem plo, si se define un intervalo (a,/3) = (0 .6 ,0 .7 ) y se tie n e la m uestra de 10 núm eros r¡ = {0 .6 7 ,0 .6 2 ,0 .0 5 ,0 .4 9 ,0 .5 9 ,0 .4 2 ,0 .6 4 ,0 .0 6 ,0 .7 4 ,0 .6 7 }, se asignará un uno si el r¡ está entre 0.6 y 0.7; en caso contrario se asignará un cero. Si­ guiendo la regla anterior, la secuencia binaria es: S = { 1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,0 ,0 ,1 } El tam año de hueco / se define com o el núm ero de ceros existentes entre u no s co n ­ secutivos. En el caso de la secuencia de nuestro ejem plo tenem o s h = 3 huecos, el prim e­ ro de tam año 0, el segundo de tam año 4 y el tercero de tam año 2 de acuerdo con: 5 = 1 ^ ,0 0 0 ^ 1 ,0 0 ,1 l

0

4

2

A partir del conjunto anterior se determ ina la frecu encia observada 0 ¿,co n ta b iliza n ­ do el núm ero de ocurrencias de cada tam año de hueco y su correspondiente frecuencia esperada £ ,,d e acuerdo con E¡ = [h){¡3 - a)(1 - Q3 - a ))', donde h es el núm ero total de hue­ cas en la m uestra. La frecuencia del últim o intervalo se pu ed e calcular m ediante la dife­ rencia en tre el total y la sum a de las frecu encias esperadas de los intervalos anteriores. Un resum en de estos cálculos se m uestra en la sigu ien te tabla: Tabla 2.9 Frecuencias observadas y esperadas en la prueba de huecos

46

Tam año d el hueco i

Oi

E¡ = (/i)(/3 — «)(/? — a)' E¡ = (3)(0.7 - 0.6)(1 - (0.7 - 0.6)Y

0

1

(3)(0.1)(0.9)°

0.3

1

0

(3)(0.1)(0.9)1

0.27

2

1

(3)(0.1)(0.9)2

0.243

3

0

(3)(0.1)(0.9)3

0.2187

4

1

(3)(0.1)(0.9)4

0.1968

^5

0

(3)(0.9)5

1.7715

Total

h=3

h=3

h=3

2 4 .4 Pru eb as d e ind ep end encU

m ( E - o ¡r = J. o“A E, ;P ° r último, si e ste valor e s m enor q ue o igual al estadístico de tab las X ¿Qjn_ y>no podem os re­ chazar la hipótesis de la independencia en tre los núm eros. Se procede entonces a calcular el error o estadístico de prueba X

Ejem plo 2.19 Realizar la prueba de huecos a los siguientes 30 núm eros, co n un nivel de co n fian za de 95% para el intervalo {a, fi) = (0 .8,1 .0 ). 0 .8 7 2

0 .9 5 0

0343

0 .0 5 8

0 .3 8 4

0 .2 1 9

0.041

0.036

0 .2 1 3

0 .9 4 6

0 .5 7 0

0 .8 4 2

0.706

0 .8 0 9

0300

0 .6 1 8

0 .1 5 2

0.462

0 .0 0 5

0 .2 0 3

0.291

0.151

0.596

0 .4 4 3

0 .8 6 8

0 .9 1 3

0.511

0.586

0 .6 0 8

0 .8 7 9

Tom ando los núm eros po r renglón (o fila) y teniendo en cuen ta el intervalo (0.8,1.0), la secuencia de unos y ceros es: S = { 1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,1 } Calculando los huecos de la m uestra, tenem os: S = \ 1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,1 \ I

~

' ------------------------V -----------------------

0

7

^

v

1

1

10

T

0

3

El núm ero de ocurrencias de cada tam año de hueco 0 (.,su correspondiente frecu en ­ cia esperada E¡ y el cálculo del estadístico de prueba se m uestran en la tabla 2.10. Tabla 2.10 Ejem plo de la prueba de huecos Tam año del hu eco /

V '- o j2

°/

E. = [ h m a ))Y E , = (7)(0^)(0.8)#

0

2

1.4

0.2571

1

2

1.12

0.6914

2

0

0.896

0.896

3

1

0.7168

0.1119

4

0

0.5734

0.5734

^5

2

7(0.8)5 = 2.2938

0.0376

Total

h=7

h=7

2.5675

E,

47

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

Ya q ue el estadístico de prueba tico de tab las X 2 a Jtl_-\ = A'ooss = ^ cia en tre los núm eros.

^----- = 2.5675 es m enor q ue el estadís­ ^ podem os rechazar la hipótesis d e independen­

2.5 Problem as 1. D eterm ine el ciclo o periodo d e vida de los siguientes generadores congruenciales. a) xM = (21xf. + 15) m o d (31) con xQ = 21 b) xí+1 = (13x¡ + 9) m od(128) con Xq = 7 c) x¡+] = (17*;) m od(31) con *0 = 23 d) xM =(121 + x¡) m o d (256) con xQ= 17 e) x/+1 = (21x.+ 1 5 ^ ) m o d (64) con * 0 = 21

y

x 1 = 43

2 Program e en una hoja de cálculo la serie congruencial x.+1 = (553 + 121 xy) m od(177) con x0 = 23, y haga lo q ue se indica. a) D eterm ine el ciclo o periodo de vida. b) Realice las pruebas de m edia, varianza y uniform idad. 3. Programe en una hoja de cálculo la generación autom ática de núm eros pseudo aleato­ rios con el m étodo de cuadrados m edios.G enere una m uestra de 50 núm eros con la se­ milla 5 7 35 ,y determ ine con un nivel de aceptación de 90% si son uniformes entre 0 y 1. 4. Realice las pruebas de m edia, varianza y uniform idad a los 50 núm eros de la tab la si­ guiente, co n un nivel de aceptación de 95 po r ciento.

0.8 7 97

03884

0.6 2 89

0.8 7 50

0.5 9 99

0.8589

0.9 9 96

0.2 4 15

03808

0.9 6 06

0.9 8 48

03469

0.7 9 77

0.5 8 44

0.8 1 47

0.6431

0.7 3 87

0.5 6 13

0.0 3 18

0.7401

0.4 5 57

0.1 5 92

0.8 5 36

0.8 8 46

03410

0.1492

0.8681

0.5291

03188

0.5 9 92

0.9 1 70

0.2 2 04

0.5991

0.5461

0.5 7 39

03254

0.0 8 56

0.2 2 58

0.4 6 03

0.5 0 27

0.8 3 76

0.6 2 35

03681

0.2 0 88

0.1 5 25

0.2006

0.4 7 20

0.4 2 72

0.6 3 60

0.0 9 54

5. G en ere la secuencia de aleatorios del generador congruencial xí+1 = (71 x¡) m od(357) con x0 = 167 y efectúe lo q u e se indica: a) Realice la prueba de co rrid as arriba y abajo. b) Realice la prueba de corridas arriba y abajo de la m edia. 6. D eterm ine si la sigu ien te lista de 100 n úm e ro s de 2 dígitos tie n e una distribución u n i­ fórm e con un nivel de aceptación de 90 po r ciento.

48

2 5 Pro b lem as | '

0.78

0 .9 8

0 .2 4

0.73

0.43

0.16

0 .7 8

0 .4 7

0.18

0.55

0.04

0 .2 9

0 .6 8

0.77

0.16

0.03

0 .7 9

0 .2 2

037

0.80

0.96

0 .2 6

0.91

0.55

0.75

0.55

0 .6 4

039

0.53

0.45

0.61

0 .1 4

038

0.12

0.40

0.74

0 .7 8

0 .9 8

0.27

0.60

0.43

0 .6 7

0 .6 2

032

0.53

0.54

0 .2 4

0 .2 9

0.18

0.08

0.82

0 .9 4

0 .1 9

0.98

0.41

1.00

0 .7 4

0 .9 2

0.14

0.43

0.83

0 .8 8

0 .1 8

0.21

0.50

0.13

0 .4 3

0 .6 9

0.08

0.12

0.22

0 .5 0

0 .1 6

0.11

0.18

0.89

0 .8 0

0 .4 2

0.29

0.87

0.83

0 .7 9

0 .6 5

0.28

0.78

0.49

036

0 .8 6

0.87

0.64

0.51

0 .0 7

0 .1 8

0.94

0.50

0.22

0 .6 6

0.91

0.48

0.24

7. Utilice la prueba de póker con nivel de aceptación de 95% para com probar la hipóte­ sis de q ue los núm eros de la sigu ien te lista son aleatorios.

0.5 6 32

0.2 3 96

0.5 5 83

0.8 0 50

0.4166

0.5 4 54

0.5491

0.5 5 93

0.7 7 25

0.2 3 26

0.1 0 20

0.4 7 08

0.5 6 90

0.3 8 02

0.8224

0.6 8 66

0.7 0 98

0.9 3 52

0.1 3 88

0.4 5 35

0.0 9 45

0.1 3 57

0.9191

0.1 5 03

0.1645

0.9 7 70

0.1301

0.1 1 00

0.2 5 23

0.4 4 39

0.9 4 99

0.9 4 15

0.7 4 13

0.9 3 35

0.0805

0.8 2 95

0.4 5 75

0.1 8 63

0.5 5 04

0.8 9 26

0.9 0 35

0.1 1 33

0.1 1 15

0.8761

0.0007

0.6 2 22

0.4 6 05

0.0 6 88

0.9 1 64

0.3 4 82

0.9 4 19

0.3 8 02

0.8 7 65

0.5 3 40

0.6593

0.8 2 66

0.5 9 32

0.4 2 77

0.9 1 62

0.7 3 00

0.0 9 27

0.4691

0.5 7 36

0.5 6 15

0.1909

0.2 1 43

0.2 6 72

0.7 6 84

03218

0.4 7 65

0.5581

0.0 8 88

0.3 9 69

0.0151

0.8605

0.9 6 15

0.7 7 52

0.0461

0.1 1 22

0.7 5 59

0.4251

0.7 3 27

0.871

0.4 4 45

0.8864

0.6 3 84

0.6 6 07

0.2 8 92

0.8 9 05

0.5 1 26

0.7 1 84

0.0 5 12

0.5 9 82

03277

0.0407

0.2 6 68

0.5 5 57

0.8 1 39

03261

0.7 9 49

0.2 2 63

0.1 4 55

0.5 0 83

0.6 1 06

0.7605

0.9 7 88

0.0 2 04

0.6 0 06

0.1 4 52

0.1 2 34

8. Determ ine, m ediante las pruebas de independencia (corridas arriba y abajo, corridas arriba y abajo de la m edia, de póker, de series o de huecos) si los 100 núm eros de la tabla son pseudo aleatorios co n un nivel de aceptación de 90 po r ciento.

0.78

0 .9 8

0 .2 4

0.73

0.43

0.16

0 .7 8

0 .4 7

0.18

0.55

0.04

0 .2 9

0 .6 8

0.77

0.16

0.03

0 .7 9

0 .2 2

037

0.80

0.96

0 .2 6

0.91

0.55

0.75

0.55

0 .6 4

039

0.53

0.45

0.61

0 .1 4

038

0.12

0.40

0.74

0 .7 8

0 .9 8

0.27

0.60

0.43

0 .6 7

0 .6 2

0.32

0.53

0.54

034

0 .2 9

0.18

0.08

0.82

0 .9 4

0 .1 9

0.98

0.41

1.00

0 .7 4

0 .9 2

0.14

0.43

0.83

0 .8 8

0 .1 8

0.21

0.50

0.13

0 .4 3

0 .6 9

0.08

0.12

0.22

0 .5 0

0 .1 6

0.11

0.18

0.89

0 .8 0

0 .4 2

0.29

0.87

0.83

0 .7 9

0 .6 5

0.28

0.78

0.49

036

0 .8 6

0.87

0.64

0.51

0 .0 7

0 .1 8

0.94

0.50

0.22

0 .6 6

0.91

0.48

0.24

49

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

9. Abra el directorio telefónico en la prim era página de la letra D y seleccio ne los ú lti­ m os 5 dígitos de los prim eros 50 núm eros telefónicos. D eterm ine si esta selección es aleatoria con un nivel de aceptación de 95% ; utilice para ello las pruebas de corridas arrib a y abajo, arriba y abajo de la m edia, y póker. 10. D eterm ine co n la prueba de corridas arriba y abajo si los 50 núm eros de la tab la son independientes con un nivel de aceptación de 90 po r ciento. 0.6069

0.5 3 16

0.0 5 29

0.4131

0.2991

0.6 8 48

0.8291

0.1 2 33

0.2 4 97

0.9481

0.4411

0.8 1 95

03521

0.8 0 68

0.1 0 62

0.5 3 84

0.9287

0.7 9 54

0.7271

0.5 7 39

0.4029

0.2 5 49

0.1 0 03

0.5 5 23

0.1 8 97

0.8 7 25

0.4439

0.6 0 56

0.8 3 10

0.4 7 09

0.1926

0.0 2 66

0.5 6 96

0.7 5 04

0.8 5 42

0.6 0 45

0.2269

0.7 9 70

03738

0.1 2 84

0.6367

0.9 5 43

0.5 3 85

0.2 5 74

0.2 3 96

0.3 4 68

0.4105

0.5 1 43

0.2 0 14

0.9 9 00

11. D eterm ine, con la prueba de corridas arriba y abajo de la m edia, si los 50 núm eros de la tabla son independientes co n un nivel de aceptación de 90 po r ciento. 0.6351

0.0 2 72

0.0 2 27

0.3 8 27

0.0 6 59

0.3 6 83

0.2270

0.7 3 23

0.4 0 88

0.2 1 39

0.4271

0.4 8 55

0.2 0 28

0.1 6 18

0.5 3 36

0.7 3 78

03670

0.6 6 37

0.1 8 64

0.6 7 34

0.9498

0.9 3 23

0.0 2 65

0.4 6 96

0.7 7 30

0.9 6 70

0.7500

0.5 2 59

0.5 2 69

0.5 4 06

0.3641

0.0 3 56

0.2181

0.0 8 66

0.6 0 85

0.4 4 68

0.0539

0.9311

03128

0.1 5 62

0.8559

0.7 2 80

0.7 7 89

0.1 7 46

0.6 6 37

0.0 6 87

0.5494

0.1 5 04

0.8 3 97

0.2 9 95

12. Utilice la prueba de series para determ inar si los 50 núm eros de la tabla son in dep en ­ dientes con un nivel de aceptación de 90 po r ciento. 0.5 8 58

0.8 8 63

0.8 3 78

03203

0.4 1 15

0.2 7 10

0.9238

0.1 9 59

0.9 2 68

0.6 7 02

0.6 2 13

0.4 3 60

0.6 2 79

0.8 4 15

0.5 7 86

0.0 5 43

0.3567

0.1 6 55

0.3 3 80

0.8 0 80

0.1931

0.0 8 43

0.9 1 52

0.6 0 93

0.7 5 87

0.4 5 15

03203

0.5 1 39

0.7 0 70

0.9 1 23

0.1 2 42

0.8 8 26

0.9921

0.8 5 23

0.6 7 23

0.8 5 40

0.4722

0.4781

0.2101

0.1 6 80

0.8 6 58

0.4 0 28

0.6 1 36

0.8 7 20

0.1 1 26

0.5 8 57

0.9172

0.8 9 43

0.8 0 95

0.6 4 08

13. G enere en una hoja de cálculo 200 núm eros aleatorios en una m ism a colum na, u san ­ do la fun ció n predeterm inada ALEATORIO (o RAND). Copie estos valores y ubíquelos e n la siguiente co lum na, pero desfasándolos una posición. Copie el últim o de los va­ lores en el lugar q ue q ued ó vacío al principio, y haga una gráfica de relación X = Y . ¿Se observa q ue los datos están uniform em ente dispersos? 14. O btenga la m edia y la varianza de los datos del problem a 12. ¿Son exactam ente los m ism os q ue para una distribución uniform e entre cero y uno? ¿A q ué atribuye esta diferencia? 15. Un m étodo m ultiplicativo m ixto genera 19 500 núm eros de 3 dígitos, de los cuales 13 821 tien en todos sus dígitos diferentes, 5 4 64 pares y 215 tercias. Calcule el error respecto de las frecu encias esperadas bajo la prueba póker. 50

2 5 Pro b lem as | '

16. Un m étodo congruencial genera 71 500 núm eros de 4 dígitos, de los cuales 3 500 se clasifican com o 2 pares. Calcule el error de e ste evento respecto de su frecu encia es­ perada bajo la prueba poker. 17. Al realizar la prueba poker a 50 núm eros aleatorios de 4 dígitos, el resultado del error total es de 11.07. ¿Aceptaría la hipótesis de indep end encia con nivel de aceptación de 95 por ciento? 18. Al realizar la prueba poker a / c a n tid a d de núm eros aleatorios de 6 dígitos,el resulta­ do del error total es de 15.51. ¿Aceptaría la hipótesis de independencia con nivel de aceptación de 95 po r ciento? 19. Un m étodo congruencial genera 357 500 n úm e ro s de 6 dígitos, de los cuales 17 500 se clasifican com o 2 pares. Calcule el error de este evento respecto de su frecuencia esperada bajo la prueba póker. 20. ¿Cuáles de las aseveraciones siguientes son correctas? a) La prueba póker requiere núm eros aleatorios de 5 dígitos. b) Si acepto q ue los núm eros son uniform es (0,1), no necesito hacer la prueba de m edia = ^ y de varianza = c) Si acepto la prueba de series los núm eros no co ntienen ciclo s o tend encias. d) Si acepto la prueba de m edia = - y la de varianza = — , entonces los núm eros son uniform es (0,1). 21. La sigu ien te tabla m uestra los resultados de la prueba de series después de clasificar los núm eros en tre 0 y 1. 92

85

90

93

88

98

93

90

96

91

86

88

100

85

84

81

a) Calcule el error total existen te (C) entre lo real y lo teórico. b) ¿Existe evidencia estadística de falta de indep end encia de la secuencia de núm e­ ros con un nivel de 90% de aceptación? 22. Calcule la cantidad m ínim a y m áxim a de corridas q ue deben existir e n una secuencia de 17 000 núm eros para concluir q ue son núm eros aleatorios co n un nivel de confian­ za de 95 por ciento. 23. G en ere 100 núm eros pseudo aleatorios usando cualq uier hoja de cálculo, y realice las pruebas de corridas, uniform idad e independencia. ¿Bajo este análisis es posible c o n ­ siderar que el generador de núm eros aleatorios q ue tie n e la hoja de cálculo usada es confiable? 51

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

24. La siguiente tabla m uestra los resultados de la prueba de huecos co n pués de clasificar los núm eros uniform es. Tamaño del hueco

Frecuencia observada

0

5

1

4

2

3

3

3

>3

25

Total

40

a = 0.1 des­

a) Calcule el error total existente entre lo real y lo teórico. b) ¿Se pu ed e considerar que esta m uestra e s pseudo aleatoria con un nivel de acep­ tación de 90 por ciento? 25. D eterm ine, m ediante la prueba de h ueco s,co n a = 0.5 y a = 0.8, si los 50 núm eros de la tabla son independientes con un nivel de aceptación de 90 po r ciento.

0.5858

0.8 8 63

0.8 3 78

0.3 2 03

0.4 1 15

0.2 7 10

0.9238

0.1 9 59

0.9 2 68

0.6 7 02

0.6213

0.4 3 60

0.6 2 79

0.8 4 15

0.5 7 86

0.0 5 43

0.3567

0.1 6 55

03380

0.8 0 80

0.1931

0.0 8 43

0.9 1 52

0.6 0 93

0.7 5 87

0.4 5 15

03203

0.5 1 39

0.7 0 70

0.9 1 23

0.1242

0.8 8 26

0.9921

0.8 5 23

0.6 7 23

0.8 5 40

0.4722

0.4781

0.2101

0.1 6 80

0.8658

0.4 0 28

0.6 1 36

0.8 7 20

0.1 1 26

0.5 8 57

0.9172

0.8 9 43

0.8 0 95

0.6 4 08

Referencias 111 Banks, J., Carson, J.S ., N elson, B .L y Nicol, D.M.: Discrete-Event System Sim ulation, 4a. ed. Prentice Hall, N .J. (2005). 121 Blum, L , Blum , M. y Shub, M.: A Sim ple Unpredictable Pseudo-random Num ber Generator, SIAM J. Com put, vol. 15, n úm . 2: pp. 364-383 (1986). l3] Law, A. M. y Kelton, W. D.: Sim ulation M odeling and Analysis, 3a. ed., McGraw-Hill (2000). [4] L'Ecuyer, P.: Uniform Random Number Generation,Ann. O f Operations Research, 5 3:77-120 (1994b). 151 Lehm er, D. H.: Proceedings o fth e Secon d Sym posium on Large-Scale Digital Com puting M achinery, Harvard University Press, Cam bridge, M A .(1 951).

52

CAPÍTULO 3

VARIABLES ALEATORIAS

3.1

Definición de variable aleatoria

3 .2

Tip o s de variables aleatorias

3 .3

Determ inación del tipo de distribución de un conjunto de datos

3 .4

3 .3 .1

Prueba Chi-cuadrada

3 .3 .2

Prueba de Kolm ogorov-Sm irnov

3 .3 .3

Prueba de Anderson-Darling

3 .3 .4

Ajuste de datos con Stat: :Fit

Generación de variables aleatorias 3 .4 .1

Método de la transfo rm ad a inversa

3 .4 .2

Método de convolución

3 .4 .3

Método de com posición

3 .4 .4

Método de transform ación directa

3 .5

Expresiones co m u nes de algunos generadores de variables aleatorias

3 .6

Problem as

[ C a p ítu lo 3 V ariables aleato rias

3.1 D efinición d e v ariab le aleato ria A lo largo de los capítulos anteriores hem os m encionado q ue un m odelo de sim ulación p erm ite log rar un m ejo r entendim iento de p rácticam en te cualq uier sistem a. Para ello resulta indispensable o b tener la m ejo r aproxim ación a la realidad, lo cual se consigue componiendo el m odelo a base de variables aleatorias que interactúen entre sí. Pero, ¿cómo podemos d eterm inar q ué tipo de distribución tie n e una variable aleatoria? ¿Cóm o pode­ m os usarla en el m odelo, una vez q ue conocem os su distribución asociada? En este c a p í­ tulo com entarem os los m étodos y herram ientas q ue pueden dar contestación a estas interrogantes clave para la generación del modelo. Podem os decir q ue las variables aleatorias son aquellas que tien en un co m p o rta­ miento probabilístico en la realidad. Por ejem plo, el núm ero de clientes q ue llegan cada hora a un banco d epend e del m om ento del día, del d ía de la sem ana y de otros factores: por lo general, la afluencia de clientes será m ayor al m ediodía q ue m u y tem prano po r la m añana; la dem anda será m ás alta el viernes q ue el m iércoles; h abrá m ás clientes un día de pago q ue un día norm al, etc. Dadas e sta s características, las variables aleatorias deben cum plir reglas de distribución de probabilidad com o éstas: • • • •

la sum a de las probabilidades asociadas a to d o s los valores posibles de la variable aleatoria x es uno. La probabilidad de q ue un posible valor de la variables x se presente siem p re es mayor q ue o igual a cero. El valor esperado de la distribución de la variable aleatoria es la m edia de la m is­ ma, la cual a su vez estim a la verdadera m edia de la población. Si la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria está definida por m ás de un parámetro, dichos parám etros pueden obtenerse m ediante un e sti­ mador no sesgado. Por ejem plo, la varianza de la población a 2 puede ser estim ada usando la varianza de una m uestra q ue es s 2. D e la m ism a m anera, la desviación es­ tándar de la población, a , puede estim arse m ediante la desviación estándar de la m uestra s.

3.2 T ip o s d e v a ria b le s aleato rias ft)dem os diferenciar las variables aleatorias de acuerdo con el tipo de valores aleatorios que representan. Por ejem plo, si habláram os del núm ero de clientes q ue solicitan cierto servicio en un periodo de tiem po determ inado, podríam os en co n trar valores tales com o 0, 1 ,2 ,..., n ,e s decir, un com portam iento com o el q ue presentan las distrib uciones de pro­ babilidad discretas. Por otro lado, si habláram os del tiem p o que tarda en ser atendida una persona, nuestra investigación tal vez arrojaría resultados com o 1.54 m inutos, 0.028 horas o 1.37 días, e s decir, un com portam iento sim ilar al de las distribuciones de probabilidad continuas.Considerando lo anterior po dem os diferenciar e n tre variables aleatorias discre­ tas y variables aleatorias continuas.

54

3.2 T ip o s d e variables ale a to ria s |

Variables aleatorias discretas. Este tipo de variables deben cum p lir con estos pará­ metros: P {x) > 0 cc l

p' = 1

P (o < x < b) = ^ p i = Pa + . . . + Pb

Algunas distribuciones discretas de probabilidad son la uniform e discreta, la de Bernoulli, la hipergeom étrica, la de Poisson y la binom ial (vea la fig ura 3.1). Podem os asociar a estas u otras distribuciones de probabilidad el com portam iento de una variable aleatoria. Por ejem plo, si nuestro propósito al analizar un m uestreo de calidad consiste en decidir si la pieza bajo inspección es buena o no, estam o s realizando un experim ento con dos posibles resultados: la pieza es buena o la pieza es mala. Este tipo de com portam iento está asocia­ do a una distribución de Bernoulli. Por otro lado, si lo que querem os es m odelar el núm ero de usuarios q ue llam arán a un teléfono de atención a clientes, el tipo de com portam ien­ to pu ed e llegar a parecerse a una distribución d e Poisson. Incluso podría o currir q ue el com portam iento de la variable no se pareciera a otras distribuciones de probabilidad co ­ nocidas. Si é ste fuera el caso, es perfectam ente válido usar una distribución em pírica que se ajuste a las cond icio nes reales de probabilidad. Esta distribución puede ser una ecua­ ción o una sum a de térm ino s que cum plan co n las condiciones necesarias para ser co nsi­ deradas una distribución de probabilidad.

D istrib u ció n b in o m ial (A/ = 5, p = 0 .5 ) P ix )

0.35

0.17

0.00 0 .0

l

l 1.0

l 2.0

3.0

4 .0

5.0

Figura 3.1 Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta

Variables aleatorias continuas. Este tipo de variables se representan m ediante una ecuación q ue se conoce com o función de densidad de probabilidad. D ada esta condición, cam biam os el uso de la sum atoria po r la de una integral para co no cer la función acum u­ lada de la variable aleatoria. Por lo tanto, las variables aleatorias continuas deben cum plir b s siguientes parám etros: 55

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

P [x )> 0 P {x = a) = 0 co | f(x ) = 1 -c o

P {a < x < b ) = P { a < x < b ) =

f(x )

Entre las distribuciones de probabilidad tenem o s la uniform e co ntinu a, la e xp o n en ­ cial, la norm al, la de W eibull, la Chi-cuadrada y la de Erlang (vea la fig ura 3.2). Al igual que en el caso de las distribuciones discretas, algunos procesos pueden ser asociados a cier­ tas distribuciones.

D istrib u ció n 2-Erlang co n m edia 10

0 .0

1.0

Z0

x

3.0

4 .0

5.0 x1 0'

Figura 3.2 Distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua

Por ejem plo, es posible q ue el tiem p o de llegada de cada clie n te a un sistem a tenga una distribución de probabilidad m u y sem ejante a una exponencial, o que el tiem po que le to m a a un operario realizar una serie de tareas se com porte de m anera m u y sim ilar a la dispersión q ue presenta una distribución norm al. Sin em bargo, debem os hacer notar que este tipo de distribuciones tien en sus desventajas, dado q u e el rango de valores posibles im plica q ue e xiste la posibilidad de te n er tiem p o s infinitos de llegada de clientes o tie m ­ pos de ensam ble infinitos, situaciones lejanas a la realidad. Por fortuna, es m u y poco pro­ bable d e se presenten e ste tipo de eventos, aunque el anal ista d e la sim ulación d ebe estar consciente de cóm o pueden im pactar valores com o los descritos en los resultados del modelo. En las siguientes secciones revisarem os algunas herram ientas útiles para lograr ese objetivo.

3.3 D eterm inación del tipo de distribución de un conjunto de datos La distribución de probabilidad de los datos históricos puede determ inarse m ediante las pruebas Chi-cuadrada, de Kolm ogorov-Sm irnov y de Anderson-Darling. En esta sección se 56

3.3.1 Pru eb a C h n cu a d ra d a | :

revisarán los procedim ientos de cada una de estas pruebas, a sí com o la form a de realizar­ las a través de S ta t :Fit, una herram ienta com plem entaria d e ProModel.

3.3.1 Prueba Chi-cuadrada Se trata de una prueba de hipótesis a partir de datos, basada en el cálculo de un valor lla­ m ado estadístico de prueba, al cual suele com parársele con un valor conocido com o valor crítico, m ism o q ue se obtiene, generalm ente, de tablas estadísticas. El procedim iento ge­ neral de la prueba es: 1. O btener al m eno s 30 datos de la variable aleatoria a analizar. 2. Calcular la m edia y varianza de los datos. 3. Crear un histogram a de m = V i? intervalos, y obtener la frecu encia observada en cada intervalo Or 4. Establecer exp lícitam ente la hipótesis nula, proponiendo una distribución de pro­ babilidad q ue se ajuste a la form a del histogram a. 5. Calcular la frecuencia esperada, £ .,a partir de la función de probabilidad propuesta. 6. Calcular el estadístico de prueba:

/=!

i

7. D efinir el nivel de significancia de la prueba, a , y determ inar el valor crítico de la prueba, X am_k_} (k es el núm ero de parám etros estim ado s en la distribución pro­ puesta). 8. Com parar el estadístico de prueba con el valor crítico. Si el estadístico de prueba es m enor q ue el valor crítico no se pu ed e rechazar la hipótesis nula. Ejem plo 3.1 Éstos son los datos del núm ero de autom óviles que entran a una gasolinera cada hora:

14

7

13

16

16

13

14

17

15

16

13

15

10

15

16

14

12

17

14

12

13

20

8

17

19

11

12

17

9

18

20

10

18

15

13

16

24

18

16

18

12

14

20

15

10

13

21

23

15

18

Determ inar la distribución de probabilidad con un nivel de significancia a de 5 po r ciento. El histogram a (vea la fig ura 3.3) de los n = 50 datos, considerando m = 11 intervalos, la m edia m uestral de 15.04 y la varianza m uestral de 13.14, perm iten establecer la siguien­ te hipótesis: Hq: Poisson (A = 15) autom óviles/hora H } : Otra distribución 57

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

H istogram a

12

£ A utom óviles/h

Figura 3.3 Histograma de frecuencias de la llegada de automóviles a la gasolinera

Com enzam os po r calcular la probabilidad de cada intervalo a partir de la fun ció n de probabilidad de Poisson:

x —0 ,1 ,2 ,

i e x p -1 5

p (x ) = ^

—

x = 0 ,1 ,2 ,

Por ejem plo, para el intervalo 8-9 ic8p -15 p ( x = 8 ,9 ) =

1*;9p-15 = 0 .0 5 1 9

Enseguida calculam os la frecu encia esperada en cada intervalo, m ultiplicando la pro­ babilidad p {x ) por el total de datos de la m uestra: E¡ = n p {x) E¡ = 5 0 p (x )

Y luego estim am os el estadístico de prueba:

c= ^ ¿ i

( f - O , ) 2= (0.9001 - 1)2 + (2 .5 9 2 6 - 2 )2 + E¡ 0.9001 2 .5 9 2 6

+ (0 .3 0 9 2 - O)2 = , ?8 4 8 0.3092

A partir de los cálculos anteriores se o btien e la tab la 3.1. 58

3.3.2 Pru eb a d e Ko lm o g o ro v-S m irn o v J '

Tabla 3.1 Cálculos para la prueba Chi-cuadrada Intervalo

O,

p [x )

E ¡ = 50*p(x)

c

0-7

1

0.0180

0.9001

0.0111

8-9

2

0.0519

2.5926

0.1354

10-11

4

0.1149

5.7449

0.5300

12-13

10

0.1785

8.9233

0.1299

14-15

11

0.2049

10.2436

0.0559

16-17

10

0.1808

9.0385

0.1023

18-19

6

0.1264

6.3180

0.0160

20-21

4

0.0717

3.5837

0.0483

22-23

1

0.0336

1.6821

0.2766

24-25

1

0.0133

0.6640

0.1700

25-8

0

0.0062

0.3092

0.3092

1

50

1.78481

Total

50

El valor del estadístico de prueba, c = 1.7848, com parado con el valor de tablas crítico, * 0.05, 11-0-1 = 18.307, indica q ue no podem os rechazar la hipótesis de q ue la variable alea­ toria se com porta de acuerdo con una distribución de Poisson, con una m edia de 15 auto­ m óviles/hora.

3 .3.2 Prueba d e Kolm ogorov-Sm irnov Desarrollada en la década de los tre in ta del siglo XX,esta prueba perm ite — al igual q ue la prueba Chi-cuadrada— d eterm inar la distribución de probabilidad de una serie de datos. Una lim itante de la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov estriba en q ue solam ente se puede aplicar al análisis de variables co ntinu as. El procedim iento general de la prueba es: 1. O btener al m eno s 30 datos de la variable aleatoria a analizar. 2. Calcular la m edia y la varianza de los datos. 3. Crear un histogram a de m = V n intervalos, y obtener la frecu encia observada en cada intervalo Or 4. Calcular la probabilidad observada en cada intervalo PO¡ = O.Jn,e s to es, dividir la frecuencia observada Of. entre el núm ero total de datos, n. 5. Acum ular las probabilidades PO¡ para obtener la probabilidad observada hasta el 59

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

i-ésim o intervalo, POA. 6. Establecer explícitam ente la hipótesis nula, proponiendo una distrib ució n de pro­ babilidad q ue se ajuste a la form a del histogram a. 7. Calcular la probabilidad esperada acum ulada para cada intervalo, PEA¡t a partir de la fun ció n d e probabilidad propuesta. 8. Calcular el estadístico de prueba: C = m áx \PEA¡- POA¡\

i = 1 ,2 ,3 ,

...,m

9. D efinir el nivel de significancia de la prueba a , y d eterm inar el valor crítico de la prueba, Daji (consulte la tabla de valores críticos de la prueba de Kolm ogorovS m irn o ve n la sección de apéndices). 10. Com parar el estadístico de prueba con el valor crítico. Si el estadístico de prueba es m enor q u e el valor crítico no se pu ed e rechazar la hipótesis nula. Ejem plo 3.2 Un estudio del com portam iento del tiem p o entre roturas de cierto filam ento, m edido en m inutos/rotura, se m uestra a continuación: 433

1.61

2.16

Z88

0.70

0.44

139

Z15

8.59

736

9.97

7.86

5.49

0.98

4.52

Z12

4 .4 4

0 .8 2

6.96

3.04

2.81

14.39

3.44

9.92

4.38

8.04

Z18

6 .1 9

4.48

9.66

434

1.76

230

5.24

11.65

10.92

1Z16

6 .6 0

0.85

4.82

136

333

6.58

1.45

8.42

3.69

Z44

0 .2 8

1.90

2.89

Determ inar la distribución de probabilidad con un nivel de significancia a- de 5 po r ciento. El histogram a (vea la fig ura 3.4) de los n = 50 datos con m = 8 intervalos, la m edia m uestral de 4.7336 y la varianza m uestral de 12.1991 perm iten estim ar un parám etro de form a de 1.38 y un parám etro de escala de 5.19, y establecer la hipótesis: Hq: W eibull (**= 1 .3 8 ,/3 = 5.19) m inutos/rotura H y Otra distribución

H istogram a

.a c


n 2-4

4 -6

6 -8

8-10

M inutos/roturas

60

10-12

12-14

14-»

Figura 3.4 Histograma de frecuencias del tiem po entre roturas

3.3.2 Pru eb a d e Ko lm o g o ro v-S m irn o v J '

Iniciam os el procedim iento calculando la probabilidad observada en cada intervalo: n0 =_ ^ °, = _ °, = _ Í1 f 12 2 13 ?9 6 6 2 1 I1! 1 n 50 150' 5 0 ' 5 0 ' 5 0 ' 5 0 ' 5 0 ' 5 0 ' 50J para después calcu lar la probabilidad observada acum ulada hasta el intervalo /. S o ,. S o , . _ (1 f1 2 25 34 4 0 4 6 4 8 4 9 501 P° A = „ - 50 _ 1 5 0 ' 5 0 ' 5 0 ' 5 0 ' 5 0 ' 5 0 ' 5 0 ' 50 J

n ,-n n {a 2 4 ' a 5 0 .......... 1}

Posteriorm ente calculam os la probabilidad esperada acum ulada de cada intervalo PEA¡ a partir de la fun ció n de probabilidad acum ulada deW eibull: F {x ) = j

dx

F [x ) = 1 - e-[p)a I

F {x ) = 1

x

\13B

9)

Por ejem plo, para el intervalo co n el lím ite superior de 8: PEAa = F (x ) = 1 - e - ls ig )1*6 = 0.8375 Por últim o, calculam os el estadístico de prueba c = m áx |POA¡ - PFA\ = m áx {|0 .2 4 - 0.23531, |0.50 - 0 .5 0 2 5 1,. . . , |1 - 11} = 0.0375 A partir de los cálculos anteriores se o btien e la tab la 3.2: Tabla 3.2 Cálculos para la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov Intervalo

O.

PO.

POA¡

PEA¡

0-2

12

0.24

0.24

0.23526

0.0047

2-4

13

0.26

0.50

0.50247

0.0025

4-6

9

0.18

0.68

0.70523

0.0252

6-8

6

0.12

0.80

0.83747

0.0375

8-10

6

0.12

0.92

0.91559

0.0044

10-12

2

0.04

0.96

0.95839

0.0016

12-14

1

0.02

0.98

0.98042

0.0004

14-8

1

0.02

1.00

1

0.0000

Total

50

c

0.0375

1

\P O A .-P EA .\

61

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

El valor del estadístico de prueba, c = 0.0375, com parado con el valor de tab la s crític°,D q o 5 50 = 0.1923, indica q ue no podem os rechazar la hipótesis de q ue la variable alea­ toria se com porta de acuerdo con una distribución de W eibull con parám etro de escala 5.19 y parám etro de fo rm a 1.38.

3.3.3 Prueba d e A nderson-D arling Dada a co n o ce r en 1954, esta prueba tie n e com o propósito co rro b o rar si una m uestra de variables aleatorias pro viene de una población con una distribución de probabilidad específica. En realidad se tra ta de una m odificación de la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov, aunque tiene la virtud de detectar las discrepancias en los extrem os de las distribuciones. La principal desventaja de la prueba de A nderson-D arling estriba en q ue es necesario calcular los valores críticos para cada distribución. La prueba es m u y sensible en los extre­ m os de la distribución, po r lo q ue d ebe ser usada co n m ucho cuidado en distribuciones con lím ite inferior acotado, y no es confiable para distribuciones de tipo de discreto. Ac­ tualm ente es posible encontrar tablas de valores crítico s para las distribuciones norm al, lognorm al, exponencial, log-logística, de W eibull y valor extrem o tipo I. El procedim iento general de la prueba es: 1. 2. 3. 4. 5.

O b tener n datos de la variable aleatoria a analizar. Calcular la m edia y la varianza de los datos. i = 1 ,2 , .. . , n O rganizar los datos en fo rm a ascendente: Y¡ O rdenar los datos en form a d escend ente: Yn+} _¡ i = 1 , 2 , . . n Establecer explícitam ente la hipótesis nula, proponiendo una distribución de pro­ babilidad. 6 . Calcular la probabilidad esperada acum ulada para cada núm ero Y¡, P EA iY J, y la probabilidad esperada acum ulada para cada n ú m e ro ,PEA{Yn^} y),a partir de la fu n ­ ción de probabilidad propuesta. 7. Calcular el estadístico de prueba:

A2 = -

n + l ^ ( 2 i - : ) [ : n P E A ( Y i) + 1n(1 - PEA (yn+1_ ; ) ] n ¡m 1

8. A justar el estadístico de prueba de acuerdo co n la distribución de probabilidad

propuesta. 9. D efinir el nivel de significancia de la prueba a ,y d eterm inar su valor crítico ,a ^ ív e a la tab la 3.3). 10. Com parar el estadístico de prueba con el valor crítico. Si el estadístico de prueba es m enor q ue el valor crítico no se pu ed e rechazar la hipótesis nula.

62

3.3.3 Pru eb a d e A n d erso n-D arling |

Tabla 3 .3 Estadísticos de prueba y valores críticos para la prueba de Anderson-Darling Valores críticos a Estadístico d e prueba ajustado

Distribución

0.1

0 .0 5

0.025

0.001

1.933

2.492

3.070

3.857

Normal

0.632

0.751

0.870

1.029

Exponencial

1.070

1.326

1.587

1.943

0.637

0.757

0.877

1.038

0.563

0.660

0.769

0.906

Parámetros cono cidos n > 5

*

4

4

)

D eW eibull

4

+ s 4 )

Log-logística

4

+ *

4

Ejem plo 3.3 Los siguientes son los datos de un estudio del tiem po de atención a los clien tes e n una florería, m edido en m inutos/cliente: 9.400

8.620

9.346

13323

7.112

13.466

5.764

8.974

9.831

10.056

7.445

6.619

9.260

6 .7 7 5

8 .3 0 6

5.633

8.864

13.944

8.952

9.355

10.489

6306

12.685

11.078

6 .9 5 7

9.532

9.192

11.731

11350

14.389

12.553

8.045

9.829

11.804

9.274

12.190

10.270

14.751

9.237

6 .5 1 5

12397

8.453

9.628

13.838

9.935

7.827

9.269

8.690

11.515

8 .5 2 7

Determ inar la distribución de probabilidad con un nivel de significancia a de 5 po r ciento. El histogram a (vea la fig ura 3.5) de los n = 50 datos, considerando m = 10 intervalos, la m edia m uestral de 9.786 y la varianza m uestraI de 5.414 perm iten establecer la siguien­ te hipótesis nula: Hq: N orm al (1//¿ = 10, < 7 = 2.0) m inutos/cliente H y: Otra distribución En la tab la 3.4 se m uestran los resultados de los cálculo s de cada uno de los pasos del procedim iento siguiente: • • • •

En la colum na C1 se ordenaron los datos Y¡ i = 1 ,2 , .. . , 30 en fo rm a ascendente. En la co lu m n a C 2 se organizaron los datos V'30+1+í / = 1 , 2 , . . . , 30 en fo rm a des­ cendente. En la colum na C 3 se calcula la variable auxiliar 2 - 1 / = 1,2, ...,3 0 del estadístico de prueba. En las colum nas C4 y C5 se calcula la probabilidad esperada acum ulada para cada núm ero Y.: PEA iYJ de la colum na C1, y el com plem ento de la probabilidad espe­ rada acum ulada para cada núm ero Yn + }¡: 1 - P E A {Y ^ _ ¡) de la co lum na C2 a par63

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

H istogram a

n M inutos/cliente

Figura 3.5 Histograma de frecuencias del tiempo de servicio en la florería

tir de la fun ció n de probabilidad propuesta, q ue en este ejem plo es una norm al ( 10 , 2 ).

Tom ando, por ejem plo, el renglón /' = 7 co n Y7 = 7.8266 de la co lu m n a C1 y Y2A = 10.0562 de la co lum na C2, y estandarizando am bos valores zfe7=

7 .8 2 6 6 - 1 0

, = -1.0867

1 0 .0 5 6 2 - 1 0 z ,=24 = --------- 2---------- = 0 0 2 8 1

se en cu en tra la probabilidad acum ulad a en la tab la norm al estánd ar. D e esta fo rm a te­ nem os una PEA? = 0.1385 para z = -1 .0 8 6 7 y, para z = 0.0285 una PEA24 = 0.5112 y 1 PEA2A = 0.4888. En las co lum nas C 6 ,C 7 y C 8 se desglosan los cálculos del estadístico de prueba:

A2 n-

n im,

A2 n-

1 30 30 + — S (2/ - l ) [ l n P W ( / ,) + ln(1 - P£A (/n+1_ ¡ ) ] áUi - 1

Al

30 + 30

4 2 3 9 9 ~ 3 - 1 8 1 2 ] + ( 3 ) [ —4 . 0 6 9 2 - 3 .1 8 1 2 ]+ ...+

(5 9 )[- 0 .0 4 2 4 - 0.0 14 6 ]] A2 n = 2.825724 Una vez calculado el estadístico de prueba es necesario ajustarlo de acuerdo con la tabla 3.3. En este caso, com o tenem o s n > 5 no se requ iere ajuste. 64

3.3.3 Pru eb a d e A n d erso n-D arling |

Finalm ente, al com parar el estadístico de prueba A 2 = 2.825724 con el valor crítico de la prueba con el nivel de significancia seleccionado, aoos ^ = 2 .492 (vea la tab la 3.3, en donde se dan los valores críticos de a), se rechaza la hipótesis HQ. Tabla 3 .4 Cálculos de la hipótesis inicial en la prueba de Anderson-Darling C1

C2

C3

C4

1

Yi

Y30+\-¡

2/-,

P E A (Y )

1

5.63282

13.4663

1

0 .0 1 4 4 9 6

0.0 4 15

-4 .2 3 3 9

-3 .1 8 1 2

-7.4151

2

5.76414

13.4663

3

0 .01709

0.0 1 45

-4 .0 6 9 2

-3 .1 8 1 2

-2 1 .7 5 1 3

3

5.76414

133229

5

0 .01709

0.0 4 83

-4 .0 6 9 2

-3.0301

-3 5 .4 9 6 7

4

6 .95686

126853

7

0 .0 6 4 0 5 8

0.0 8 97

-2 .7 4 8 0

-2 .4 1 1 4

-3 6 .1 1 5 2

5

7.11163

12.19

9

0 .0 7 4 3 4 3

0.1 3 68

-2.5991

-1 .9 8 9 6

-4 1.2 97 7

6

7.11163

10.2697

11

0 .0 7 4 3 4 3

0.4 4 64

-2.5991

-0 .8 0 6 6

-3 7 .4 6 2 5

7

7.8266

10.0562

13

0 .1 3 8 5 8 5

0.4 8 88

-1 .9 7 6 3

-0 .7 1 5 8

-3 4 .2 7 3 2

8

8 .30552

9.93504

15

0.198431

0.5 1 30

-1 .1 6 7 3

-0 .6 6 7 6

-3 4 .5 8 3 6

9

8 .61959

9.83097

17

0 .2 4 5 0 3 3

0.5 3 37

-1 .4 0 6 4

-0 .6 2 8 0

-3 5 .7 6 7 6

10

8 .86415

9.82943

19

0345033

0.5 3 40

-1 35 51

-0 .6 2 7 4

-3 6 .6 7 5 5

11

8.97359

9.62768

21

0303903

0.5 7 38

-1 .1 9 1 0

-0 .5 5 5 4

-3 6 .6 7 5 5

12

9.1919

9.53164

23

0343089

0.5 9 26

-1 .0 6 9 8

-0 .5 2 3 3

-3 6 .6 3 9 9

13

9.25952

939954

25

0355602

0.6 1 80

-1 .0 3 3 9

-0 .4 8 1 3

-3 7 .8 8 0 3

14

9.26901

934602

27

0357372

0.6 2 82

-1 .0 2 9 0

-0 .4 6 5 0

-4 0.3 36 2

15

9.27425

934602

29

0 .58348

0.6 2 82

-1 .0 2 6 2

-0 .4 6 5 0

-4 3.2 45 0

16

934602

9.27425

31

0371838

0.6 4 17

-0 .9 8 9 3

-0 .4 4 3 7

-4 4.4 23 3

17

9.34602

9.26901

33

0371838

0.6 4 26

-0 .9 8 9 3

-0 .4 4 2 2

-47.2391

18

939954

9.25952

35

0 .3 8 2

0.6 4 44

-0 .9 6 2 3

-0 .4 3 9 4

-4 9.0 62 0

19

9.53164

9.1919

37

0 .4 0 7 4 2 2

0.6 5 69

-0 .8 9 7 9

-0 .4 2 0 2

-48.7701

20

9.62768

8 .97359

39

0.426161

0.6961

-0 .8 5 2 9

-0 .3 6 2 3

-4 7 3 9 30

21

9 .82943

8 .86415

41

0 .4 6 6 0 1 8

0.7 1 50

-0 .7 6 3 5

-0 3355

-4 5.0 61 7

22

9.83097

8 .61959

43

0 .4 6 6 3 2 3

0.7 5 50

-0 .7 6 2 9

-0.2811

-4 4.8 90 2

9.93504

23

C5

C6 L N (C A )

O L N (C 5 )

C8 (C 3 )*((C 6 )+ C (7 ))

8 .30552

45

0 .4 8 7 0 4 5

0.8 0 16

-0 .7 1 9 4

-0 .2 2 1 2

-4 23 2 63

24

10.0562

7.8266

47

0 .5 1 1 2 1 6

0.8 6 14

-0 .6 7 1 0

-0 .1 4 9 2

-3 8 .5 4 6 7

25

10.2697

7.11163

49

0 .5 5 3 6 3 6

0.9 2 57

-0 .5 9 1 2

-0 .0 7 7 3

-3 2 .7 5 6 5

26

12.19

7.11163

51

0 .8 6 3 2 4 7

0.9 2 57

-0.1471

-0 .0 7 7 3

-1 1 .4 3 9 6

27

12.6853

6 .95686

53

0 .9 1 0 3 0 6

0.9 3 59

-0 .0 9 4 0

-0 .0 6 6 2

-8 .4 8 9 4

28

133229

5.76414

55

0 .9 5 1 6 8 9

0.9 8 29

-0 .0 4 9 5

-0 .0 1 7 2

-3 .6 7 1 5

29

13.4663

5.76414

57

0 .9 5 8 4 6 4

0.9 8 29

-0 .0 4 2 4

-0 .0 1 7 2

-3 .4 0 0 7

30

13.4663

5.63282

59

0 .9 5 8 4 6 4

0.9 8 55

-0 .0 4 2 4

-0 .0 1 4 6

-3 .3 6 4 5

Replanteando una nueva hipótesis: Hq: N orm al (1//x = 9.604, a = 2.0) m inutos/cliente H y Otra distribución 65

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

En la tab la 3.5 se presenta el resum en de resultados de cada uno de los pasos del pro­ cedim iento; la m odificación se ve reflejada en los cálculos de las probabilidades esp era­ das acum uladas. Por ejem plo, para el renglón /' = 7 ten e m o s ahora:

7.8266 - 9.604 ^ noo^ = -0.8887 zl=/ . , = -------- o 1 0 .0 5 6 2 -9 .6 0 4 ^ 24 = ---------z----------= 0.2261

Con estos valores se encuentra la probabilidad esperada acum ulada en la tabla n o r­ mal estándar: a z = -0.8887 le corresponde PEA? = 0.18707, y a z = 0.2261 PEA24 = 0.5894 y 1 - P E A 24 = 0.4106. Calculando de nuevo el estadístico de prueba: 1 n + - 2 ( 2 Í - 1 ) [ ln P M ( y ;) + ln(1 - P£^(yn+1 _ ,) ] " ¡- i

A l..

30

Al

30 + ^ 2 ( 2' /■1

Al

30 + — ( 1 ) [ - 3.749 - 3.6218] + ( 3 ) [ - 3.5961 - 3.6218] + . . . +

1 )['n P£^(y.) + ln(1 - P M (/ n+1_ ¡ ) ]

(5 9 )[-0 .0 2 7 1 - 0.0 23 8 ]] An = 1.3516 U na vez calculado el estadístico de prueba, es necesario ajustarlo de acuerdo con la tabla 3.3. En e ste caso, com o tenem o s n > 5, no se requiere ajuste. Por últim o, al com parar el estadístico de prueba A 2 n = 1.3516 co n el valor crítico con el nivel de significancia seleccionado, a 00530 = 2.492 (tabla 3.3 de valores críticos d e a ), ve­ mos q ue no se pu ed e rechazar la hipótesis HQ.

Tabla 3.5 Cálculos de la segunda hipótesis en la prueba de Anderson-Darling C1

C2

O

C4

2m

P E A {Y )

C5

C6

C7

C8

¿M C 4 )

L N (C 5 )

(Q )* ((C 6 ) + a 7 ) )

1

*i

1

5.63282

13.4663

1

0.02354

0.0 2 67

-3.7491

-3 .6 2 1 8

-7 3709

2

5.76414

13.4663

3

0.02743

0.0 2 67

-3.5961

-3 .6 2 1 8

-2 1 .6 5 3 5

3

5.76414

133229

5

0.02743

0.0 3 15

-3.5961

-3 .4 5 8 3

-3 5 .2 7 1 8

4

6 .95686

12.6853

7

0.09282

0.0 6 17

-2377 1

-2 .7 8 5 4

-3 6 .1 3 7 5

(Continúa) 66

3.3.4 A ju ste d e d a to s co n S ta t: :Fit |

Tabla 3.5 (Continuación) 5

7.11163

12.19

9

0.10634

0.0 9 80

-2.2411

-2 3227

-4 1.0 74 3

03696

-2.2411

-0 .9 9 5 2

-3 5 .5 9 9 7

6

7.11163

10.2697

11

0.10634

7

7.8266

10.0562

13

0.18707

0.4 1 06

-1 .6 7 6 3

-0 .8 9 0 2

-3 3 3 6 4 1

8

830552

9.93504

15

0.25808

0.4 3 43

-1 3545

-0.8341

-3 2 .8 2 8 2

9

8 .61959

9.83097

17

031128

0.4 5 48

-1.1671

-0 .7 8 7 8

-3 3 .2 3 3 2

10

8 .86415

9.82943

19

035571

0.4551

-1 .0 3 3 6

-0 .7 8 7 2

-34.5951

11

8.97359

9.62768

21

037629

0.4 9 53

-0 .9 7 7 4

-0 .7 0 2 6

-3 5 .2 8 0 2

12

9.1919

9.53164

23

0.41837

0.5 1 44

-0 .8 7 1 4

-0 .6 6 4 7

-3 5 .3 2 9 6

13

9.25952

939954

25

0.43161

0.5 4 07

-0 .8 4 0 2

-0 .6 1 4 8

-3 6 .3 7 6 8

14

9.26901

934602

27

0.43348

0.5 5 13

-0 .8 3 5 9

-0 .5 9 5 4

-3 8 .6 4 6 0

15

9.27425

934602

29

0.43451

0.5 5 13

-0 .8 3 3 5

-0 .5 9 5 4

-4 1 .4 3 9 9

16

9.34602

9.27425

31

0.44867

0.5 6 55

-0 .8 0 1 5

-0.5701

-4 2 .5 1 7 3

17

934602

9.26901

33

0.44867

0.5 6 65

-0 .8 0 1 5

-0 .5 6 8 2

-4 5.2 00 4

18

939954

9.25952

35

0.45927

0.5 6 84

-0.7781

-0 .5 6 5 0

-47.0071

19

9.53164

9.1919

37

0.48556

0.5 8 16

-0 .7 2 2 5

-0 .5 4 1 9

-4 6.7 81 7

20

9.62768

8 .97359

39

0.50471

0.6 2 37

-0 .6 8 3 8

-0.4721

-4 5 .0 7 7 7

21

9.82943

8 .86415

41

0.54486

0.6 4 43

-0 .6 0 7 2

-0 .4 3 9 6

-4 2.9 20 0

22

9.83097

8 .61959

43

0.54516

0.6 8 87

-0 .6 0 6 7

-0 3729

-42.1221

23

9 .93504

830552

45

0.56572

0.7 4 19

-0 .5 6 9 7

-0 .2 9 8 5

-3 9 .0 6 7 7

24

10.0562

7.8266

47

0.58943

0.8 1 29

-0 .5 2 8 6

-0.2071

-3 4 .5 7 8 3

25

10.2697

7.11163

49

0.63037

0.8 9 37

-0 .4 6 1 5

-0 .1 1 2 4

-2 8 .1 2 0 5

26

12.19

7.11163

51

0.90199

0.8 9 37

-0.1031

-0 .1 1 2 4

-1 0 .9 9 4 6

27

12.6853

6 .95686

53

0.93829

0.9 0 72

-0 .0 6 3 7

-0 .0 9 7 4

-8 .5 3 8 5

28

133229

5.76414

55

0.96852

0.9 7 26

-0 .0 3 2 0

-0 .0 2 7 8

-3 .2 8 9 2

29

13.4663

5.76414

57

0.97326

0.9 7 26

-0.0271

-0 .0 2 7 8

-3.1301

30

13.4663

5.63282

59

0.97326

0.9 7 65

-0.0271

-0 .0 2 3 8

-3 .0 0 4 2

______

3 .3.4 A juste d e d ato s con Stat: :Fit La herram ienta Stat: :Fit de ProModel se utiliza para analizar y determ inar el tipo de distribu­ ción de probabilidad de un conjunto de datos. Esta utilería perm ite comparar los resultados entre varias distribuciones analizadas m ediante una calificación. Entre sus procedim ientos em plea las pruebas Chi-cuadrada; de Kolm ogorov-Sm irnov y de Anderson-Darling. Ade­ más calcula los parám etros apropiados para cada tipo de distribución,e incluye información estadística adicional com o m edia, m oda, valor m ínim o, valor m áxim o y varianza, entre otros datos. Stat: :R t se puede ejecutar desde la pantalla de inicio de ProModel, o bien desde el com ando Stat: :Fit del m enú Tools (vea la fig ura 3.6).

67

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

ins.t< 3ll m o d p l p<3ckc3QE>

www.prom odPl.com

£ > lm R u n n p r

Figura 3.6 Pantalla de inicio de ProModel

Una vez q ue co m ien ce a ejecutarse el com ando Stat: :Fit, haga c lic en el icono de la hoja en blanco de la barra d e herram ientas Estándar para abrir un nuevo docum ento (tam bién pu ed e abrir el m enú File y hacer c lic en New). Enseguida se desplegará una ven ­ tana con el nom bre Data Table (vea la fig ura 3.7), en la que deberá introducir los datos de la variable a analizar, ya sea utilizando el teclado o m ediante los com andos Copiar y Pegar (Copy / Paste) para llevar dichos datos desde otra aplicación, com o puede ser Excel o el Bloc de notas de W indow s.

S t a t ::F it - D o c u m e n tl F ile

E d it

In p u t

S ta b s tK S

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R t

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U t ilit ie s

V ie * v

\M ndow

H e lp

e

D o c u m e n tl: D a ta T a b le

In te rv o ls

1

P o in is :

Figura 3.7 Introduzca los datos de la variable que desea analizar en esta ventana de Stat: :Fit

Una vez introducida la inform ación es posible seleccionar una serie de opciones de análisis estadístico, e n tre e lla s las de estad ística d escriptiva y las de p rueb as de bondad de ajuste, de las cuales nos ocuparem os en los siguientes ejem plos. 68

3.3.4. A ju ste d e d a to s co n S ta t: :Fit |

Ejem plo 3.4 Los datos del núm ero de autom óviles q ue entran a una gasolinera por hora son:

14

7

13

16

16

13

15

17

15

16

13

15

10

15

16

14

12

17

14

12

13

20

8

17

19

11

12

17

9

18

20

10

18

15

13

16

24

18

16

18

12

14

20

15

10

13

21

23

15

18

D eterm inar la distribución de probabilidad co n un nivel de significancia a de 5 por ciento. Después de introducir estos datos e n Stat: :Fit, despliegue el m enú Statistlcs y selec­ cione el com ando Descriptlve. Enseguida aparecerá una nueva ventana con el nom bre de Descriptive Statistics, en d ond e se m uestra el resum en estadístico de la variable (vea la figura 3.8).

S t a t ::F it

D o c u i" c r .t 1

File Ed.t !np S S - Jlc to l ¿ « l j ' d

íá

& y ( j|l

Documerv

1

i) e u . --------------■>"a 5

In t e r v a ls :

VVíndow Meto

P o in t s :

x

X

»

E l

L .

a

D o c u m e n t l : D e s c r ip t iv e S ta tis t ic s

50

d e s c rip tiv e

u

s ta tis tic s

14

d a t a p o in ts

50

7.

m ín im u m

7.

3

13.

m á x im u m

24.

4

16.

m ean

1 5 .0 4

5

16.

m e d ia n

15.

6

13.

m odc

13.

7

14.

s ta n d a rd

17

v a ria n c e

1 3 .1 4 1 2

15.

c o c ttic ie n t o f v a r ia tio n

2 4 .1 0 2 9 0 .1 3 4 6 5 1

¡2

9 10

16

sk e w n e ss

111

13.

k u r t o s is

12

15.

13

10.

1 4 ____________ 1 L.

d e v ia t io n

n

3 .6 2 5 0 8

0 .1 2 1 9 8 2

Figura 3.8 Ventana de resultados estadísticos de Stat: :Fit

Para d eterm inar el tipo de distribución de probabilidad de los d ato s,seleccio ne el c o ­ m ando AutoFit del m enú Fit en la pantalla principal de Stat: :Fit. A continuación se des­ plegará un cuadro diálogo sim ilar al q ue se ilustra e n la fig ura 3.9, e n el cual se tie n e que seleccio n ar el tipo d e distrib ució n q ue se desea probar, si dicha d istrib ució n e s no aco ­ tada en am bos extrem os (unbounded), o si el lím ite inferior está acotado; en e ste últim o caso se pu ed e aceptar la propuesta de q ue la cota del lím ite inferior sea el dato m ás pe­ queño de la m uestra (low er b o u n d ),o seleccionar explícitam ente otro valor com o lím ite inferior (assigned bound). Para este ejem plo seleccionam os una distribución de tipo dis­ creto: cfiscrete d istrib u tio n sy a q ue los datos de la variable aleatoria [autom óviles/hora] tienen esa característica. 69

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

Auto::Fit

c o n íin u o u s d is trib u to r a •

d is c r e t e d s t r f o u t o n s

T h e D is tr ib u to r ) I s

OK

•

l o v -e r b o u r d

Cancel

Hefc»

Figura 3.9 Este cuadro de diálogo permite seleccionar el tipo de variable aleatoria

Haga clic en el botón OK para que el proceso de ajuste se lleve a cabo. El resultado se desplegará en la ventana A utom atic Fitting, dond e se describen las distrib uciones de probabilidad analizadas, su posición de acuerdo con el ajuste, y si los datos siguen o no al­ guna de las distribuciones. En la fig ura 3.10 se observa el resultado del an álisis de ajuste del ejem plo, el cual nos indica q ue no se pu ed e rechazar la hipótesis de q ue los datos pro­ vengan de cualq uiera de dos distribuciones, Binom ial, co n N = 104 y p = 0.145, o de Poisson, con m edia 15.0 (esta últim a coincide con el resultado que obtuvim os en el ejem plo 3.1 m ediante la prueba de bondad de ajuste Chi-cuadrada).

A u t o ::F ¡l o f D is trib u t io n s

d is t rib u t io n

ra n k

a c c c p ta n c c

d o n o t n íje c t d o n o t r e jc c t

Figura 3.10 Ventana de resultados del análisis de la variable aleatoria

Haga clic con el ratón en cualquiera de las dos distrib uciones (vea la fig ura 3.10); e n ­ seguida se desplegará el h isto g ram aq u e se ilustra en la fig ura 3.11, presentándole un histogram a: las barras azules representan la frecuencia observada de los datos; la línea roja indica la frecu encia esperada de la distribución teórica.

70

3.3.4. A ju ste d e d a to s co n S ta t: :Fit |

El form ato del histogram a puede ser m odificado m ediante el com ando Graphics sty le del m enú Graphics (esta o pció n solam ente está disponible cuando se tie n e activa la ventana Com parison G raph; vea la fig ura 3.11).

Figura 3.11 Histog ramas teórico y real de la variable aleatoria

Ejem plo 3.5 Éstos son los datos de un estudio del tiem p o de atención a los clientes en una florería, m e­ dido en m inutos/cliente:

9.400

& 620

9346

13323

7.112

13.466

5.764

8 .9 7 4

9.831

10.056

7.445

6 .6 1 9

9.260

6.775

8.306

5.633

8 .8 6 4

13.944

8.952

9355

10.489

6 .3 0 6

12.685

11.078

6.957

9.532

9.192

11.731

11350

14.389

12353

8 .0 4 5

9.829

11.804

9.274

12.190

10.270

14.751

9.237

6.515

12397

8 .4 5 3

9.628

13.838

9.935

7.827

9.269

8 .6 9 0

11315

8.527

D eterm inar la distribución de probabilidad con un nivel de significancia a de 5 por ciento. Dadas las características de la variable aleatoria a analizar, al desplegarse el cuadro de diálogo A u to ::F it (vea la figura 3.9) debem o s activar la opción continuous distributions. El resum en de resultados q ue se ilustra en la figura 3.12 indica que la m uestra puede pro­ venir de cualq uiera de las cuatro distribuciones listadas, resultado q ue coincide co n el análisis ejem plificado previam ente en la prueba de Anderson-Darling acerca de la norm a­ lidad de los datos. En la ventana Com parison Graph puede com pararse la fo rm a de la distribución nor­ mal (verde) y lognorm al (roja) propuestas po r Stat: :Fit, y la diferencia respecto del histo­ gram a de frecuencias de la m uestra.

71

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

O o c u m e m í: D e w il p ll v e S t* 0

d e r.c n p t ¿ v e s t a l i s b " I O o m m u n l/ : A u tc m a tlc f llt ln g n iin im u m

5 .6 3 3

m á x im u m

1 4 .7 5 1

m ean

H ./ 8 6 0 ?

m e d ia n

0 .3 5 0 5

m ode

9 .1 3 2

A u t o ::F it o l D is tr ib u t io n s

d lo t r ib u lio n

ra n k

• c c e p la n c c

2 .3 2 6 7 4

L o g n o r m a l| -3 .1 . 2 .5 4 .0 .1 7 9 )

100

d a n o l re|e cl

v o ilo n c c

6 .4 1 3 / 2

T r i a n g u l a r l o . 1 5 . 5 . 9 .2 1 |

5 7 .2

d o n a l irje c t

c o e lt ic ie n l o f v a iia lio n

2 3 .7 / 6 2

N o i m a l ( 0 . / 0 . 2 .3 |

3 6 .7

sk rw n rs s

0 .3 2 2 5 3

U n H o r m | 5 . 6 3 . 1 4 .8 )

1 .2

d o n o l r e je c l

E x p o n e n t i a l | 5 . 6 3 . 4 .1 5 )

1 .6 3 e -0 0 2

r e je c l

s ta n d a rd d e v ia b a n

k u rt o s lt

3 .4

j

0 .6 7 2 2 4 1 j

d o n o l ic je c l

Figura 3.12 Resumen del análisis de la variable aleatoria del ejemplo 3.5

G en eració n d e v a ria b le s aleato ria s La variabilidad de eventos y actividades se representa a través d e fu n cio n e s de densidad para fenó m enos continuos, y m ediante distrib uciones de probabilidad para fenóm enos de tipo discreto. La sim ulación de estos eventos o activid ades se realiza con la ayuda de la generación de variables aleatorias. Los principales m étodos para generar las variables aleatorias son: • • • • •

Método Método Método Método Método

de la transfo rm ad a inversa. de convolución. de com posición. de la transform ación directa. de aceptación y rechazo.

En las siguientes secciones se describirán los prim eros cuatro m étodos;el lector intere­ sado en el método de aceptación y rechazo puede consultar la bibliografía recomendada.

3.4.1 M étodo d e la transform ad a inversa 0 m étodo de la transfo rm ad a inversa pu ed e utilizarse para sim ular variables aleatorias o^ntinuas, lo cual se logra m ediante la fun ció n acum ulada f{x ) y la generación de núm e­ ros pseudoaleatorios r¡ ~ U{0 ,1 ). El m étodo consiste en: 1. 2. 3. 4.

72

D efinir la fun ció n de densidad F {x ) q u e represente la variable a m odelar. Calcular la fun ció n acum ulada F{x). D espejar la variable aleatoria x y obtener la fun ció n acum ulada inversa F{x)~} . G enerar las variables aleatorias x, sustituyendo valores co n núm eros pseudoalea­ torios r¡ ~ U {0 ,1) en la fun ció n acum ulada inversa.

3.4.1 M éto d o d e la tran sfo rm ad a inversa |

El método de la transfo rm ad a inversa tam bién pu ed e em plearse para sim ular varia­ bles aleatorias de tipo discreto, com o en las distribuciones de Poisson, de Bernoulli, binom ial, geom étrica, discreta general, etc. La generación se lleva a cabo a través de la probabilidad acum ulada P{x) y la generación de núm eros pseudoaleatorios r¡ ~ U[0 ,1 ). El método consiste en: 1. Calcular to d o s los valores de la distribución de probabilidad p {x ) de la variable a modelar. 2. Calcular to d o s los valores de la distribución acum ulada P {x). 3. G enerar núm eros pseudoaleatorios r¡ ~ U{0 ,1 ). 4. Com parar con el valor de P{x) y determ inar q ué valor de x corresponde a P {x). En la fig ura 3.13 se m uestra gráficam ente la m etodología para g en erar variables alea­ torias continuas:

Figura 3.13

Esquematización del método de la transformada inversa para variables continuas

Por su parte, la fig ura 3.14 m uestra de m anera gráfica la m etodología para generar variables aleatorias discretas.

D istribución d e probabilidad

p(x)

D istribución acu m u la d a

PM 1.2

n n n

1

0.8

r , ----------------------------------

0.6

0.4 0 .2

-

0 . i l . . . . \J I

0 1

I

I

2

3

.I . . I . . I . . I . . I . . 4 5 6 7 8

______________________

Figura 3.14

Esquematización del método de la transformada inversa para variables discretas 73

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

Distribución uniform e A partir de la función de densidad de las variables aleatorias uniform es en tre a y b, f[x ) = —^— a < x < b b- a se o b tien e la función acum ulada F(x) = í -r^— d x J b - a

=

b- a

a< x< b

Igualando la función acum ulada F {x ) con el núm ero pseudoaleatorio r¡ ~ U{0 ,1 ), y despe­ jando x se obtiene:

x. = o + (b-a)F(x). x = o + (b - o )r .

Ejem plo 3.6 La tem peratura de una estufa se com porta uniform em ente dentro del rango de 95 a 100°C. Una lista de núm eros pseudoaleatorios y la ecuación x¡= 95 + 5r¡ nos perm iten m o ­ delar el com portam iento de la variable aleatoria q ue sim ula la tem peratura de la estufa (vea la tabla 3.6).

Tabla 3.6 Sim ulación de las tem peraturas de una estufa M edición

r¡

Tem peratura °C

1

0.48

97.40

2

0.82

99.10

3

0.69

98.45

4

0.67

98.35

5

0.00

95.00

Distribución exponencial A partir de la fun ció n de densidad de las variables aleatorias exponenciales co n m edia 1/A, f{x ) = Ae_Ax

para

x> 0

se o btien e la función acum ulada F(x) = J \e~Á’ d x 0 74

=

1 - e_A'

para

x >0

3.4.1 M éto d o d e la tran sfo rm ad a inversa |

Igualando la función acum ulada F {x ) con el núm ero pseudoaleatorio r¡ ~ 1/(0,1), y despejando x se obtiene: X; = - i ln(1 - F { x ) .)

x¡ = ~ \

ln(1 -r¡)

Ejem plo 3.7 Los datos históricos del tiem po de servicio en la caja de un banco se com portan de form a exponencial con m edia de 3 m inutos/cliente. U na lista de núm eros pseudoaleatorios r¡ ~ U{0 ,1 ) y la ecuación generadora exponencial x¡ = -3ln(1 - r¡) nos perm iten sim ular el com portam iento de la variable aleatoria (vea la tabla 3.7).

Tabla 3.7 Sim ulación del tiem p o de servicio en la caja de un banco Tiem po d e servicio (mln)

Cliente -

1

0.64

3.06

2

0.83

5.31

3

0.03

0.09

4

0.50

207

5

0.21

0.70

Distribución d e Bernoulli A partir de la distribución de probabilidad de las variables aleatorias de Bernoulli con m edia p (x ) = p V - p ) ' - x

para

x = 0,1

se calculan las probabilidades para x = 0 y x = 1, para obtener X

0

1

P(X)

1-p

P

Acum ulando los valores de p [x ) se obtiene: X

0

1

P(X)

1-p

1

75

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

Generando núm eros pseudoaleatorios r. ~ 1/(0,1) se aplica la regla:

*/ =

si

r . e ( 0 ,1 - p )

x =0

si

r¡ e (1 - p , 1)

x= 1

Ejem plo 3.8 Los datos históricos sobre la frecuencia de paros de cierta m áquina m uestran q ue existe una probabilidad de 0.2 de q ue ésta fa lle ( x = 1), y de 0.8 de q ue no fa lle ( x = 0) en un día determ inado. G enerar una secu encia aleatoria q ue sim ule este com portam iento. A partir d e la distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Bernoulli con m edia 0.8, P (x) = (O ^ ÍO .S )1-*

para

x = 0,1

se calculan las probabilidades puntuales y las acum uladas para x = 0 y x = l , y s e obtienen los datos ilustrados en la tab la 3.8: Tabla 3.8 Cálculo de las probabilidades acum uladas de las fallas de la m áquina del ejem plo 3.8 X

0

1

P(X)

0.8

0.2

P[X)

0.8

1

La regla para generar esta variable aleatoria estaría dada por: si

r¡ e ( 0 - 0 ,8 )

x= 0

si

r. e ( 0 .8 - 1 )

x =1

*/ = Con una lista de números pseudoaleatorios r ~ l/(0 ,1) y la regla anteriores posible sim u­ lar el comportam iento de las fallas de la m áquina a lo largo del tiempo, considerando que: • •

siel núm ero pseudoaleatorio es m enor q ue 0. 8, la m áquina no fallará, y siel núm ero pseudoaleatorio es m ayor q ue 0.8, o currirá la falla (vea la tabla 3.9).

Tabla 3.9 Sim ulación de las fallas de la m áquina

76

Día

r¡

*/

Evento: la m áquina

1

0.453

0

no falla

2

0.823

1

falla

3

0.034

0

no falla

4

0.503

0

no falla

5

0.891

1

falla

3.4.1 M éto d o d e la tran sfo rm ad a inversa |

Ejem plo 3.9 El núm ero de piezas q ue entran a un sistem a de producción sigue una distribución de Poisson con m edia de 2 piezas/h. Sim ular el com portam iento de la llegada de las piezas al sistem a. A p a rtir de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson con m edia 2,

p
para

x = 0 - 1' 2' 3' -

7xe~2 p { x ) = ——

para

x = 0 , 1 ,2 ,3 ,...

se calculan las probabilidades puntuales y las acum uladas para x = 0 , 1 , 2, . . . , y se obtie­ nen los datos de la tab la 3.10. Tabla 3.10 Cálculo de las probabilidades acum uladas para el ejem plo 3.9 X

p (x )

P [x )

0

0.1353

0.1353

1

0.2706

0.4060

2

0.2706

0.6766

3

0.1804

0.8571

4

0.0902

0.9473

5

0.0360

0.9834

6

0.0120

0.9954

7

0.0034

0.9989

8

0.0008

0.9997

9

0.0001

0.9999

0.00003

0.9999

10

La regla para generar esta variable aleatoria estaría dada por: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

si si si si si si si si si si

'/ 6 'i6 r/ e '/ 6 r¡ e r/ e '/ 6 ri e ri e f; e

(0 - 0 .1 3 5 3 ) (0 .1 3 5 3 -0 .4 0 6 0 ) (0.4060 - 0.6766) (0 .6 7 6 6 -0 .8 5 7 2 ) (0.8571 - 0 .9 4 7 3 ) (0.9473 - 0.9834) (0 .9 8 3 4 -0 .9 9 5 4 ) (0 .9 9 5 4 -0 .9 9 8 9 ) (0 .9 9 8 9 -0 .9 9 9 7 ) (0.9997 - 0.9999) 77

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

Con una lista de n úm e ro s pseudoaleatorios r¡ ~ 1/(0,1) y la regla a n te rio r es posible sim ular la llegada de las piezas al sistem a de producción, con los resultados consignados en la tabla 3.11. Tabla 3.11 Sim ulación de la llegada de piezas al sistema, con variables aleatorias de Poisson Hora

r¡

Plezas/h

1

0.6754

2

2

0.0234

0

3

0.7892

3

4

0.5134

2

5

0.3331

1

Ejem plo 3.10 La tabla siguiente m uestra la dem anda diaria de cepillos dentales en un superm ercado. Simular el comportam iento de la demanda mediante el método de la transform ada inversa. Día

1

2

3

4

5

6

7

8

9

D em anda

1

2

2

1

3

0

3

1

3

A partir de la inform ación histórica se calculan las probabilidades p u n tu ales y las acum uladas para x = 0 ,1 ,2 ,3 (vea la tabla 3.12). Tabla 3.12 Cálculo de las probabilidades acum uladas para el ejem plo 3.10 x

p {x )

P [x )

0

0.1111

0.1111

1

0.2222

0.3333

2

0.3333

0.6666

3

0.3333

1

La regla para generar esta variable aleatoria estaría dada por: 0 1 *; = 2 .3

si si si si

' i 6 (0 - 0 .1 1 1 1 ) ri e (0.1111 - 0 .3 3 3 3 ) ri G (0.3333 - 0.6666) (0 .6 6 6 6 - 1)

Con una lista de n úm e ro s pseud o aleato rio s r¡ ~ U{0 ,1 ) y la regla a n te rio r es posible sim ular la dem anda diaria de cepillos dentales, tal com o se m uestra en la tab la 3.13. 78

1 4 .2 M éto d o d e co n v o lu ció n |

Tabla 3 .1 3 Sim ulación de la dem anda de cepillos dentales

D ía

D em anda diaria

1

, 0.213

2

0.345

2

3

0.021

0

4

0.987

3

5

0.543

2

1

3.4.2 M étodo d e convolución En algunas distribuciones de probabilidad la variable aleatoria a sim ular, Y, pu ed e gene­ rarse m ediante la sum a de o tras variables aleatorias X de m anera m ás rápida q ue a través de otros m étodos. Entonces, el m étodo de convolución se pu ed e expresar com o: Y = X} + X 2 + . . . + X k Las variables aleatorias d e cuatro de las distrib uciones m ás conocidas (de Erlang, n o r­ mal, binom ial y de Poisson) pueden ser generadas a través de este m étodo, com o se verá a continuación. Distribución de Erlang La variable aleatoria /(-Erlang con m ed ia 1/A puede producirse a partir de la generación de k variables exponenciales con m edia 1/k\\ Y = X } + X 2+ ... + X 4 y = ~¡cAln(1 - r , ) - /cAln(1 ~ r2>~ — “ ¿ Y=

ln(1 - r *)

[ln(1 - r ,) + ln(1 - r2) + . . . + ln(1 - rkj]

V '= - ¿ [ 'r » ( (1 - r , )(1

. . . (1 - '* ) ) ]

y = - ¿ [ |n ( ( 1 - ' , ) ( 1 - ' 2 ) -

( 1 - '* ) ) ]

In lld - r ,.) 1=1 Ejem plo 3.11 El tiem p o de proceso de cierta pieza sigue una distribución 3-Erlang con m edia 1/A de 8 m inutos/pieza. Una lista de núm eros pseudoaleatorios r¡ ~ U{0 ,1 ) y la ecuación de gene79

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

ración de núm eros Erlang perm ite o b tener la tabla 3.14, q ue indica el com portam iento de la variable aleatoria.

y=F/?. = _ f /= 1 y = - f l n [ ( 1 -/■ ,)(!- / ^ ( I - r * ) ]

Tabla 3 .1 4 Sim ulación del tiem p o de proceso para el ejem plo 3.11

Pieza

Tiem po d e proceso (min/pza)

1

1 - '/ 0.28

1 - '/ 0.52

0.64

6.328

2

0.96

0.37

0.83

3.257

3

0.04

0.12

0.03

23.588

4

0.35

0.44

0.50

6.837

5

0.77

0.09

0.21

11.279

!

Distribución norm al La variable aleatoria norm al co n m edia //, y desviación estándar a puede generarse u san ­ do el teorem a del lím ite central: Y = X , + X2 + . . . + X k ~ N i k ^ k r f Al su stituir X. por núm eros pseudoaleatorios r¡, se obtiene: V' = r 1 + r2 + . . . + rk~ N[k \ ' k j

Y = r } + r2 + . . . + ru ~ N^y >

2

)

~M 6, ^

Y = Z = (r1 + r 2 + . . . + r u ) - 6 ~ N (0 ,1) 12

x-ix

N (0 ,1)

Despejando X,te n e m o s que 12

x= N t=

80

(r) - 6

a+

1 4 .2 M éto d o d e co n v o lu ció n |

Ejem plo 3.12 El volum en de líquido de un refresco sigue una distribución normal con m edia de 12 o n ­ zas y desviación estándar de 0 .4 onzas. G enerar 5 variables aleatorias con esta distribución para sim ular el proceso de llenado. 12 N; =

- e (T+ fA 7=1

N; =

(0 .4)+ 12

Tabla 3.15 Sim ulación del volum en de llenado de refrescos (ejem plo 3.12) 12

Volum en (onzas)

1

6.21

& - 6 /=1 0.21

2

5.34

-0 .6 6

11.736

3

6.03

0.03

12.012

4

6.97

0.97

12.038

5

4.81

-1 .1 9

11.524

Botella

/=1

12.084

Distribución binom ial La variable aleatoria binom ial con parám etros N y p puede ser generada a través de la su­ m a de N variables aleatorias con distribución de Bem oulli co n parám etro p. Y = B ¡ = BE] + B E 2 + .. . + BE n ~ BI{N,p) Ejem plo 3.13 Al inspeccionar lotes de tam año N = 5, la probabilidad de q ue una pieza sea defectuosa es 0.03. Sim ular el proceso de inspección para determ inar el núm ero de piezas defectuo­ sas por lote. Este proceso sigue una distribución binom ial con N = 5 y p = 0 .0 3 , y será sim ulado m ediante la generación de variables aleatorias de Bernoulli con p = 0.03, de acuerdo con el procedim iento señalado en la sección anterior, d ond e BE¡ = 0 representa una pieza en buen estado y BEj = 1 una pieza defectuosa. (O bserve los resultados en la tab la 3.16.) 0

si

r. e (0 - 0.97)

1

si

r¡ e (0 .9 7 - 1 )

BE ,.=

B¡ = 6 f 1 + BE2 + . . . + BES 81

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

Tabla 3.16 Sim ulación del sistem a de inspección del ejem plo 3.13

Lote

Piezas defectuosas

1

ri 0.49

“ i 0

r2 0.32

BE2 0

r3 0.15

B E3 0

, 0.01

B£« 0

0.45

“ s 0

2

0.11

0

0.85

0

0.93

0

0.99

1

0.61

0

1

3

0.57

0

0.92

0

0.84

0

0.74

0

0.82

0

0

4

0.62

0

0.01

0

0.68

0

0.98

1

0.99

1

2

5

0.34

0

0.98

1

0.99

1

0.02

0

0.98

1

3

0

3.4.3 M étodo d e com posición 0 m étodo de com posición — conocido tam bién com o m étodo m ixto— perm ite generar variables aleatorias x cuando éstas provienen de una fun ció n de densidad f x que puede expresarse com o la com binación co nvexa de m distribuciones de probabilidad fí{x ). En ­ tonces, la com binación convexa se pu ed e expresar com o: m fM

f¡(x)lA(x)

donde: si 1

si

X

$ A

Algunas de las distribuciones m ás conocidas q ue pueden expresarse com o una co m ­ binación convexa son: triangular, de Laplace y trapezoidal. El procedim iento general de generación es el siguiente: 1. Calcular la probabilidad de cada una de las distrib uciones f¡(x). 2 Asegurar q ue cada fun ció n f.(x) sea función de densidad. 3. Obtener, m ediante el m étodo de la transform ada inversa, las expresiones para ge­ nerar variables aleatorias de cada una de las distrib uciones f¡{x). 4. G enerar un núm ero pseudoaleatorio r¡ que perm ita definir el valor d e lA{x). 5. Seleccionar la función generadora correspondiente a la fun ció n f.(x). 6. G enerar un segundo núm ero pseudoaleatorio r¡ y sustituirlo en la función g enera­ dora anterior para o b tener Y.

82

3.4.3 M éto d o d e co m p o sició n |

Distribución triangular A partir de la fun ció n de densidad triangular

2 {x - o ) (6 - a ) ( c - a)

a< x< c

f(x ) = 2 (6 - x ) (6 - a ) { b - c )

c < x < ,b

calcular la probabilidad de cada uno de los segm entos de la función

rc

2( x - 0 )

Ja (6 - a ) ( c - a ) dX pM = rb

2 (6 - x )

Jc(6-o)(6(c - a )

c ) dX

a < x< c

(6 - a ) pM = (b-c) (6 - a)

c< x< b

Ya q ue los segm entos po r separado no son fun cio nes de densidad, se ajustan divi­ diendo por su correspondiente p {x). 2 (x — a )

(b — a )

2 (x - a )

(6 - o )(c -

a ) (c - a )

(c - a ) 2

2(6 - x )

(6 - a )

2 (6 - x )

a< x< c f(x ) = (6 - a )(b -

c< x< b

c ) ( 6 ^ 7 ) “ (6 - c )’

Expresando la fun ció n com o una com binación convexa se obtiene: m 2 H x ) = ^ i ím /am = 2 /=! /=!

f(X)=

>c^

bM

83

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

donde: 0

si

x e A

1

si

* £ A

/„(*>= Prim ero integram os para aplicar el m étodo de la transform ada inversa a cada seg­ mento de la función:

2 { X ~ Ü) d x = { x ~ 0)2

a< x< c

c - o ) 2 F(x) = (b

-

(b

- c )2

dx= 1 -

x y C < X < b

Luego, despejando x y sustituyendo r¡ en F{x) obtenem os:

a + (c - a ) V r ¡ x= b

-

(b - c ) V r ^

Por ú ltim o , al expresar la ecuación an terio r in cluyend o la fun ció n in d icad o ra lA{x) tenem os que: (c - o ) a + (c - a ) V r ¡

51

x=

¡b = á )

(c - a ) b

-

( b

- c)

51

'l*

(b - a )

Ejem plo 3.14 Generar una m uestra de 5 variables aleatorias con distribución triangular a partir de los parámetros: valor m ínim o 5, m oda 10 y valor m áxim o 20. (c - a ) a + (c - a ) V r ¡ 51

x= b

-

(,b - c ) V w

{b = 7 T )

(c - q)

; si

' j *

Sustituyendo <7= 5 ,c = 1 0 y b = 20 obtenem os: 84

( b - a )

3.4.4 M étodo d e transfo rm ació n d ire c ta |

si

5 + (5 ) V Í ) X =

20

-

( io ) V T ^ .

SI

Al generar una secuencia de núm eros pseudoaleatorios se obtiene la secuencia de variables triangulares q ue se lista en la tabla 3.17:

Tabla 3.17 Sim ulación de variables aleatorias triangulares x = 5 + 5 V r¡ Variable 1

ri 0.231

r/ 0.456

2

0.421

3

sí

r . < 0.33

x =20- 1 0 V l- r / si

íj > 0.33

8.37

-

0 .967

-

18.18

0.853

0 .982

-

18.65

4

0.048

0.134

6.83

-

5

0.675

0.536

-

13.18

3 .4.4 M étodo d e transform ación directa Utilizado para generar variables aleatorias norm ales, este m étodo se basa en el teorem a de Pitágoras. En la fig ura 3.15 se m uestra la relación e n tre las variables involucradas en él.

Figura 3.15 Generación de variables aleatorias z ~ N(0,1)

Geom étricam ente, z 2 = h sen 0 z2 =

V z]

+ z \ sen 0 85

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

La sum a de v variables aleatorias norm ales estándar sigue una distribución Chi-cua­ drada con v grados de libertad:

z 2 = V * v = 2sen 6 La función de densidad de una variable aleatoria Chi-cuadrada con 2 grad os de li­ bertad es la m ism a de una distribución exponencial co n m edia igual a 2. En co n secu e n ­ cia, usando la ecuación obtenida po r el m étodo de la transfo rm ad a inversa para generar variables aleatorias exponenciales, y sustituyéndola en la ecuación anterior se obtiene: z 2 = V - 2 ln (1 - rf-)sen 6 Se generan valores aleatorios uniform es del ángulo 6 entre 0 y 2 k m ediante el m éto ­ do de la transform ada inversa: 0= a + b { b - a)r. 0 = (2 jr)rj Y sustituyendo obtenem os: z 2 = V - 2 ln (1 - r/)sen(27rr.) Para cualquier variable aleatoria norm al N, = N -¡x (T Al despejar N y sustituir el valor de z previam ente desarrollado, se llega a la expresión final para la generación de variables aleatorias norm ales: N¡ = [ ( V - 2ln(1 - r¡) )s e n (2 jn p ]c r+ /t Este procedim iento iniciarse tam bién a través de la generación de la variable aleato­ ria z v lo cual d ará lugar a la ecuación final N. = [ ( V - 2 l n ( 1 - r¡) )cos(2Trrj )]
3.5 Exp re sio n e s co m u n e s d e alguno s g enerad o res d e variab le s ale a to ria s |

De m anera q ue si producim os los núm eros pseudoaleatorios uniform es 0.43 y 0.75, el volum en del líquido generado para alguna de las botellas sería: N .=

[( V - 2ln(1 -

0.4 3) )sen(277(0.75))] (0.4) + 12 = 11.575 onzas

3.5 E x p re sio n e s co m u nes d e alg u n o s g en erad o res de v a ria b le s aleato ria s En la tabla 3.18 se presentan los generadores de variables aleatorias de las distribuciones de probabilidad m ás usuales.

Tabla 3.18 Generadores de variables aleatorias Distribución

Generador

Parám etros

Uniform e

U. = a + ( b - a)r¡

a = Lím ite inferior de la distribución uniform e. b = Lím ite superior de la distribución uniform e, r = Núm ero aleatorio con distribución uniform e e n tre 0 y 1.

U,

Triangular a + V ( b - a ) ( c - a)r¡

T,

(c - a ) S' T ,= b - V ( b - a )(b - c ) ( 1 - r¡) ic ~ a )

51 Triangular a + (c - a ) V r ¡

T>

(c - a ) 51

T ¡= { b -

(b - c ) V 1 - r¡ ic ~ a )

51 0 >

a = Lím ite inferior de la distribución triangular. c = Moda de la distribución triangular. b = Lím ite superior de la distribución triangular. a = Lím ite inferior de la distribución triangular. c = M oda de la distribución triangular. b = Lím ite superior de la distribución triangular.

{b-a) (Continúa) 87

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

Tabla 3.18 (Continuación) D istribución

Generador

Parám etros Z - Núm eros aleatorios con distribución normal estándar. n = G rados de libertad.

X1

Erlang ER,

1/A = Valor esperado. k = Parámetro de form a.

Normal

= M edia de la distribución normal < j- Desviación estándar d e la distribución normal.

N,

N .= [(V - 2 ln ( 1 - r¡) ]cos{2irr.)\
Normal ",

12 N¡= y ¡ f ¡ ) - 6

o -+ n

Exponencial f/

W eibull W;

Gamm a G/

E, = - J l n ( 1 - r , )

W i= r + ^ V - ln ( 1 - r ;)

G, = - ¿ I n l l O - r.) KA i=\

/¿ = M edia de la distribución normal. a = Desviación estándar d e la distribución norm al. 1/A = M edia de la distribución exponencial. P = Parámetro d e escala. a = Parámetro de form a. y = Parám etro de localización. 1/A = Valor esperado. k - Parám etro de form a.

(Continúa) 88

3.5 Exp re sio n e s co m u n e s d e alguno s g enerad o res d e variab le s ale a to ria s |

Tabla 3.18 (Continuación) Distribución

G en erad or

Lognormal LN.

Parám etros //, = Valor esperado. a 2 = Varianza.

LN¡ = en­ dónele:

w *-(^-«H,n(i+?)r+ ('" V si

r¡ e (0,1 - p )

x =0

Lsi

r¡ e (1 - p , 1)

x= 1

Bi

Poisson p,

-03 II

Binomial

J*

BE.=

ÍM *

Bernoulli BE,

+o J

Inicialización. H acer N = 0 , T = ‘\ y generar un aleato­ rio rr Paso /: Calcular T ' = (T)[r¡)

p = Probabilidad de o cu rren cia del evento x = 1. 1 - p = Probabilidad de ocurrencia del evento. BEj - Núm eros aleatorios con distribución de Bernoulli. N = Núm ero del evento m áxim o de la distribución binom ial. p = Probabilidad de éxito de la distribución binom ial que se involucra al generar los Bernoulli. A = Media de la distribución d e Poisson. N = Contador. T = Contador.

Paso 2 : Si la T ' = > e_A,e n to n c e s hacer N = N + ‘\, T = T , calcular o tro r¡ y regresar al paso 1. Si V < e ~x,e n to n c e s la variable generada está dada por: P . = N. Para generar la sigu ien te variable de Poisson, regresar a la fa se de inicialización.

89

[ C a p ítu lo 3 V ariables aleato rias

3.6 Problem as 1. Utilice la prueba Chi-cuadrada para determ inar, con un nivel de confianza de 90%, qué tipo de distribución siguen los datos.

1 7 .3 9 2

8 .1 1 0

4 .0 7 8

3 .1 5 1

3 .5 2 8

2 .4 4 0

5 .9 2 4

3 .4 6 1

2 .0 5 2

1 0 .3 6 9

3 .6 9 0

1 0 .8 7 0

4 .7 9 3

2 .4 9 8

0 .5 6 9

8 .2 8 1

0 .1 5 4

5 .9 5 9

3 .3 8 4

1 2 .8 7 7

1 3 .6 0 2

5 .2 4 4

1 6 .6 7 7

5 .9 7 7

4 .3 1 3

4 .7 6 7

2 .3 8 1

6 .4 4 3

1 .3 9 2

1 .5 7 8

8 .1 1 5

4 .8 9 1

6 .7 2 0

7 .7 2 8

2 .7 1 7

1 0 .4 5 1

5 .9 0 1

0 .8 1 8

7 .0 8 8

2 .6 3 7

4 .7 1 4

3 .0 3 2

1 .4 9 5

1 5 .7 3 3

7 .7 6 8

2 .3 3 3

7 .8 2 2

3 .7 0 8

6 .4 1 2

1 .2 9 0

3 .9 5 7

5 .2 8 5

7 .0 9 4

3 .0 7 8

1 .2 6 4

2 .6 3 0

1 0 .1 7 7

2 .1 5 5

2 .9 4 5

7 .5 5 2

1 1 .0 9 4

4 .7 7 2

7 .2 8 1

1 4 .3 4 4

1 9 .8 6 7

0 .1 1 9

2 .0 7 2

1 .4 8 6

3 .7 9 1

4 .2 1 4

1 .6 1 1

1 .7 8 1

1 .5 3 0

3 .2 8 0

4 .3 0 1

0 .2 0 2

7 .4 8 9

1 .4 2 2

1 .4 5 3

0 .0 2 2

6 .0 0 1

9 .2 6 9

8 .4 7 7

3 .0 4 3

0 .8 7 7

6 .9 6 6

2 .1 0 3

1 .8 1 6

0 .4 3 3

2 .5 4 7

0 .8 4 3

1 .1 8 2

8 .1 2 1

2 .0 0 7

1 .3 9 5

4 .6 6 1

7 .3 7 8

5 .3 0 0

1 7 .0 6 6

1 2 .1 7 1

2. A partir de la prueba Chi-cuadrada determ ine, co n un nivel de confianza de 90% , q ué tipo de distribución siguen los datos.

1 8 .7 9 9

1 4 .8 8 9

2 0 .9 7 7

2 5 .1 0 6

2 4 .7 9 3

2 6 .9 3 3

1 1 .2 6 6

1 9 .0 6 3

2 4 .3 8 0

1 5 .6 5 3

1 7 .2 3 9

1 3 .2 3 8

1 2 .6 1 2

1 6 .0 8 9

1 6 .9 0 6

1 1 .5 2 8

1 7 .7 2 8

1 8 .3 8 4

2 0 .5 3 9

1 8 .5 3 8

1 8 .6 9 2

1 8 .5 1 9

2 5 .3 7 1

1 9 .6 5 9

1 9 .2 5 5

1 7 .9 4 7

2 7 .8 8 9

2 3 .4 6 3

2 9 .5 0 3

1 7 .3 8 0

2 6 .6 4 6

1 3 .5 5 0

2 2 .1 5 6

2 3 .6 0 9

2 7 .6 7 6

1 9 .6 6 2

1 7 .9 0 5

2 2 .7 0 1

1 8 .4 7 5

2 3 .0 3 0

1 4 .2 2 3

1 6 .6 1 1

1 3 .9 1 4

1 8 .5 4 8

1 9 .8 7 0

2 0 .1 1 2

1 8 .7 0 9

2 8 .7 7 8

1 3 .0 3 0

1 7 .0 5 4

9 .6 9 0

2 5 .7 9 1

1 4 .8 8 1

1 7 .3 8 6

2 3 .0 3 1

2 1 .8 6 7

2 3 .4 9 8

2 2 .3 8 3

1 4 .5 1 3

1 5 .5 3 7

2 2 .7 7 6

2 1 .2 9 1

1 6 .2 4 1

1 9 .0 3 6

2 0 .5 2 6

2 2 .2 3 1

2 0 .5 5 5

1 6 .3 5 6

2 7 .5 3 9

2 1 .9 4 9

2 0 .2 8 9

2 3 .3 1 9

2 3 .4 4 8

1 7 .4 5 4

1 6 .3 0 7

2 4 .4 4 5

1 5 .1 9 5

1 3 .7 6 4

2 2 .8 4 5

2 2 .5 5 4

2 B .8 2 3

2 5 .7 7 5

2 5 .2 1 6

2 0 .4 5 2

2 0 .0 0 8

2 1 .8 1 5

1 9 .8 9 8

1 5 .7 8 1

1 2 .9 0 1

2 3 .3 1 3

2 1 .7 7 7

2 2 .4 7 2

2 0 .8 5 4

1 5 .8 9 2

2 4 .9 5 3

1 8 .7 5 5

1 6 .6 4 0

1 6 .7 1 5

1 8 .2 8 4

1 8 .1 8 7

3. D eterm ine,con un nivel de confianza de 90% , qué tipo de distribución siguen los d a­ tos; utilice la prueba Chi-cuadrada.

90

1 2 .6 5 6

1 1 .6 6 4

1 1 .8 5 5

1 1 .3 9 9

1 1 .8 4 5

9 .7 6 6

1 1 .8 6 6

1 0 .6 7 1

1 2 .1 5 7

1 3 .3 1 7

1 1 .3 8 1

1 1 .2 5 2

1 2 .1 4 6

1 1 .7 6 9

1 1 .7 9 2

1 3 .5 7 7

1 2 .0 3 8

1 1 .8 5 4

1 2 .5 0 3 1 3 .8 3 0

1 1 .3 6 9

1 3 .2 7 1

1 1 .9 8 5

1 1 .9 3 6

1 3 .6 1 0

1 2 .3 6 3

1 2 .4 3 7

1 1 .7 6 5

1 2 .6 8 3

1 1 .9 3 1

1 1 .2 6 4

1 0 .9 0 2

1 2 .2 0 4

1 1 .0 1 9

1 3 .9 4 0

1 1 .8 7 3

1 0 .4 1 2

1 1 .6 6 5

1 2 .9 5 7

1 1 .6 1 7

1 1 .3 4 6

1 0 .6 3 4

1 2 .3 1 6

1 1 .8 3 6

1 2 .5 7 1

1 1 .3 6 3

1 1 .6 5 4

1 2 .2 8 6

1 1 .6 6 9

1 2 .2 1 2

9 .5 2 6

1 1 .9 3 1

1 2 .2 4 7

1 4 .1 1 6

1 0 .4 7 5

1 0 .4 4 1

9 .6 9 5

1 3 .1 7 2

1 4 .3 7 4

1 1 .6 1 0

1 0 .9 9 9

1 2 .5 4 8

1 2 .6 5 9

1 1 .1 4 8

1 2 .8 0 9

1 2 .6 6 0

1 1 .7 9 3

1 0 .4 5 2

1 3 .0 1 3

1 2 .7 6 3

1 1 .6 5 0

1 1 .3 0 9

1 2 .8 6 3

1 2 .3 4 7

1 2 .5 5 6

1 4 .0 8 6

1 2 .2 7 3

1 0 .8 9 3

1 2 .4 8 0

1 0 .7 7 1

1 2 .5 6 6

1 1 .8 4 3

1 2 .2 9 9

1 2 .3 5 7

1 2 .1 3 1

1 1 .7 2 8

1 0 .6 5 3

1 4 .1 2 1

1 3 .5 9 8

1 3 .0 4 9

1 0 .5 2 2

1 0 .8 8 3

1 2 .5 3 3

1 2 .0 7 4

1 1 .9 9 1

1 2 .1 6 1

1 0 .1 1 8

1 1 .7 4 3

1 1 .0 6 2

1 1 .0 0 2

3.6 Pro b lem as | '

4. Em p lee la prueba Chi-cuadrada para determ inar, con un nivel de confianza de 95%, qué tipo de distribución siguen los datos.Com pruebe co n la herram ienta S ta t::F it de ProModel.

1 .6 7 9

1 .1 8 7

0 .2 3 4

1 .7 8 0

1 .4 5 8

2 .6 2 8

0 .5 0 4

0 .9 5 1

1 .3 8 3

0 .5 6 1

0 .4 9 4

4 .9 2 3

0 .6 3 5

0 .5 0 4

2 .6 0 6

0 .3 8 2

1 .3 8 0

2 .7 0 0

0 .4 8 6 0 .4 6 8

2 .7 7 1

3 .1 4 1

1 .0 1 9

2 .5 1 6

1 .1 8 2

2 .2 5 8

0 .1 6 1

8 .0 5 5

0 .4 6 4

2 .3 1 2

2 .3 2 7

0 .7 6 1

1 .8 7 6

1 .5 0 6

2 .4 5 1

0 .8 3 1

5 .7 1 5

0 .6 9 9

1 .4 5 0

3 .5 8 2

0 .6 8 4

3 .1 9 2

1 .4 2 7

0 .5 1 8

2 .1 9 8

0 .9 2 2

1 .5 9 7

2 .6 6 0

2 .9 3 3

4 .5 1 8

0 .9 0 4

0 .5 9 8

0 .0 8 1

2 .7 5 6

0 .1 5 1

1 .6 6 2

0 .2 2 3

0 .5 3 1

1 .2 2 9

0 .3 4 7

1 .2 2 8

0 .2 3 5

2 .0 6 0

1 .1 8 2

0 .2 8 0

7 .8 6 0

0 .6 6 4

2 .8 9 8

2 .8 1 5

0 .1 2 1

2 .2 9 4

2 .0 8 7

1 .4 2 4

1 .5 2 5

0 .7 5 4

7 .1 4 5

0 .7 5 4

1 .9 6 2

1 .6 1 3

0 .0 0 3

1 .3 3 7

3 .3 9 9

1 .6 3 9

3 .5 9 1

2 .3 9 3

0 .4 1 2

3 .2 5 8

0 .2 5 6

1 .4 1 9

0 .1 5 6

2 .7 7 5

0 .3 5 5

0 .0 4 6

1 .2 4 3

0 .7 7 6

0 .5 8 5

0 .6 6 7

0 .1 2 3

1 .2 0 2

6 .9 8 5

5. D eterm ine, con un nivel de confianza de 95% , q ué tipo de distribución siguen los da­ tos; em plee la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov.

1 2 .5 6 1

2 .6 9 5

1 2 .0 8 2

1 0 .3 3 5

1 3 .2 6 0

2 .5 4 9

4 .5 9 4

2 .5 0 0

2 4 .9 3 0

7 .8 0 5

8 .3 2 2

7 .4 2 2

1 1 .1 4 3

2 0 .5 9 9

7 .5 0 8

4 .3 6 7

1 .5 4 4

3 .7 0 6

8 .1 8 5

1 4 .4 0 5

4 .0 5 7

1 5 .5 8 4

9 .0 4 9

6 .2 6 5

1 0 .6 6 3

1 0 .2 5 7

1 1 .4 7 5

4 .6 8 8

1 6 .2 5 6

4 .6 8 8

1 1 .9 6 3

5 .5 9 9

1 9 .2 0 4

1 .7 8 4

2 5 .9 9 8

1 2 .2 9 9

1 0 .3 1 7

3 .7 7 9

1 8 .9 9 3

7 .4 1 9

1 5 .1 5 4

9 .5 7 9

8 .4 2 3

6 .9 3 4

2 .0 0 5

1 3 .2 3 4

5 .5 4 2

5 .2 7 1

1 2 .8 3 1

8 .2 3 1

1 5 .3 3 0

7 .9 5 8

7 .1 0 3

1 6 .1 3 4

0 .1 8 9

1 0 .1 6 5

1 4 .6 2 4

1 5 .6 9 6

1 0 .2 1 2

0 .8 9 1

3 .1 8 6

9 .0 5 1

1 1 .1 1 8

4 .4 4 9

1 7 .9 0 1

1 5 .4 9 7

6 .6 4 5

5 .0 7 8

1 1 .5 5 5

3 .7 2 4

2 1 .5 0 0

7 .1 6 0

1 3 .5 2 8

3 .3 7 2

1 5 .3 3 4

7 .6 0 3

3 1 .0 6 6

1 .9 9 2

2 1 .1 2 7

1 0 .7 8 4

3 .6 4 3

2 7 .3 3 4

3 .1 7 8

1 .3 1 3

1 0 .9 6 2

6 .9 3 6

3 .1 4 0

1 6 .8 7 7

1 9 .1 7 1

6 .6 2 0

3 .7 7 5

1 6 .6 7 5

1 .3 6 8

1 7 .5 8 3

1 .6 6 9

1 1 .1 5 7

1 6 .4 3 2

2 .8 3 1

7 .8 4 4

1 0 .7 4 5

6. Determ ine,con un nivel de confianza de 90% , qué tipo de distribución siguen los datos; em plee la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov. Com pruebe con la herram ienta Stat: :Fit de ProModel.

2 2 .0 2 9

2 1 .0 7 3

1 8 .4 3 6

1 7 .5 7 4

1 6 .2 5 7

1 3 .3 4 5

2 2 .8 6 3

1 2 .8 4 6

1 5 .5 5 7

1 6 .5 2 6

2 0 .1 6 9

2 3 .4 7 9

2 6 .8 5 3

1 8 .3 3 8

2 3 .2 1 7

1 5 .4 9 5

1 7 .4 0 3

2 2 .6 7 1

1 7 .4 6 9

1 8 .4 8 9

1 5 .9 0 7

2 0 .3 4 6

1 9 .2 0 9

2 .6 9 0

2 0 .2 3 2

2 1 .4 1 1

2 1 .1 0 7

1 4 .2 3 8

2 0 .0 9 8

1 9 .8 8 1

2 1 .8 7 8

2 2 .2 0 8

9 .7 8 4

2 1 .4 2 7

1 4 .5 8 1

2 3 .5 2 3

1 9 .6 7 0

1 6 .0 2 1

1 8 .1 0 7

1 3 .3 1 5

1 0 .2 7 9

1 9 .3 0 1

2 3 .7 8 7

1 5 .3 0 5

2 1 .1 7 0

1 6 .1 5 5

2 2 .8 8 0

2 0 .7 7 4

1 4 .2 5 5

1 2 .4 7 8

1 6 .0 3 2

2 4 .0 7 6

1 6 .4 6 3

2 1 .1 5 1

1 4 .8 1 7

1 4 .7 0 2

2 7 .0 1 4

1 2 .1 6 5

1 6 .5 9 7

2 1 .4 0 4

1 8 .8 2 5

1 9 .3 6 4

1 8 .5 1 5

1 4 .2 4 0

2 4 .1 5 4

1 9 .9 1 6

1 6 .2 3 8

2 0 .7 9 5

2 5 .9 2 4

1 8 .8 7 4

1 7 .5 3 2

1 6 .7 1 3

1 6 .6 7 7

1 8 .7 3 9

1 4 .2 0 6

1 9 .5 0 1

1 8 .5 9 0

1 8 .5 8 7

1 9 .9 2 9

2 5 .3 5 4

1 2 .8 5 8

1 6 .4 5 2

1 7 .4 8 7

2 2 .6 5 8

2 2 .2 4 0

1 7 .4 7 1

1 6 .5 3 7

2 3 .9 6 0

1 4 .4 1 7

1 8 .3 3 8

2 8 .5 0 1

1 6 .9 3 9

1 7 .9 2 6

2 4 .4 7 7

1 7 .6 7 3

2 2 .4 2 2

1 3 .3 7 3

2 1 .9 7 1

2 0 .5 4 9

2 4 .5 0 9

91

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

7. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tipo de distribución siguen los d a­ tos usando la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov.Com pruebe con Stat: :Fit.

4 .5 4 8

3 .1 3 6

5 .3 6 6

1 .9 7 9

6 .0 9 7

3 .8 2 3

5 .5 2 0

4 .2 0 3

4 .9 7 2

8 .4 2 9

3 2 4 2

4 .7 0 5

5 .9 1 9

5 .5 3 0

6 .8 9 1

5 .9 9 7

6 .6 4 0

6 .3 7 6

6 .8 6 0

5 .9 9 1

6 .3 0 3

6 .4 7 6

8 .5 0 3

3 .8 6 3

1 .7 3 8

2 .9 1 3

5 .1 7 1

6 .8 5 6

5 .6 6 5

3 .3 9 6

5 .2 2 5

5 .9 6 6

4 .7 4 3

7 .2 2 8

6 .0 3 0

6 .1 8 4

7 .6 0 0

5 .7 1 6

5 .7 8 1

4 .4 6 5

5 .3 0 7

8 .5 4 6

6 .0 9 3

4 .7 2 0

5 .7 7 1

4 .5 2 1

3 .7 1 5

5 .3 6 8

1 .8 7 1

1 .6 2 9

6 .5 3 6

8 .4 4 1

3 .8 2 2

6 .1 7 6

5 .0 5 9

5 .3 2 5

6 .4 7 6

4 .2 2 9

5 .6 1 9

4 .0 6 2

4 .7 6 9

4 .4 8 4

2 .9 3 8

6 .4 5 9

3 .0 8 3

6 .1 9 9

2 .5 9 0

7 .4 0 7

7 .0 0 1

8 .5 0 1

3 .1 5 4

3 .5 4 6

6 .3 1 6

4 .3 6 4

8 .9 8 6

4 .1 9 5

2 .9 5 2

3 .5 9 0

7 .3 5 6

6 .2 6 9

5 .4 2 7

3 .4 3 1

6 .5 3 2

6 .1 0 1

2 .6 2 5

4 .4 6 3

7 .9 0 0

3 .7 1 5

4 .8 8 1

7 .4 1 0

3 .4 0 4

5 .7 6 9

2 .9 1 7

6 .7 3 9

7 .0 4 9

5 .7 4 3

5 .4 4 8

3 .9 5 8

6 .6 3 2

7 .0 3 6

8. U tilice la prueba de Anderson-Darling para determ inar, con un nivel de confianza de 90%, q ué tipo de distribución siguen los datos.Com pruebe con Stat: :Fit.

-0 .0 5 6

1.219

-1.631

1.583

1.472

-1 .4 1 3

0 .0 6 6

-0 .4 2 3

-0 .1 7 4

-1 .1 3 9

1.510

0 .8 9 0

0 .8 8 9

0 .8 2 4

0.627

-0 .6 1 8

-1 .4 2 5

0.061

0.700

-0 .0 7 8

-2 .0 6 7

-0 .8 6 0

-1 3 5 3

1.905

-0 .9 6 5

1.542

0 .2 7 0

2293

-0.889

0 .0 9 9

-0 .8 6 9

1.733

-0 .2 0 4

-0 .1 1 2

0.017

-1 .1 5 2

0 .5 1 2

2324

0.654

-1.281

-1 .2 9 3

0365

0 .4 3 6

-0 .5 5 9

0.880

-0 .9 3 0

0.121

0 .5 9 5

0.597

-0 .1 8 5

-1 .0 1 8

0 .2 8 3

1.672

-0 .2 8 9

-1 3 4 3

-0 .4 1 8

1317

0 .2 4 9

0.937

-0 .6 7 0

-1 3 2 2

-0 .2 9 6

-1 .6 3 8

1.970

-0.541

1.567

-1 .7 1 7

0 .1 2 5

-0.608

1.027

2.295

-0 .9 5 2

0.431

2.210

-0 .4 7 7

0 .9 1 3

-0 .6 9 7

-0 .1 4 5

-1 .0 8 8

0 .1 3 7

-1 .1 0 8

-0.281

0 .5 6 4

0 .6 8 3

-0.691

0 .0 1 0

-0 .4 2 9

-1 .4 2 0

-0 .0 7 0

1.517

0.095

-0 .1 0 4

1.240

-0 .3 5 4

-1 3 2 5

1.077

0 .2 0 0

-0 .9 5 9

-0 .1 4 4

-1 .1 6 9

9. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tipo de distribución siguen los d a­ tos; utilice la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov.

92

7 .9 8 2

4 0 .1 2 2

5 .8 6 2

2 1 .9 2 0

7 .9 0 2

1 0 .8 2 4

2 2 .2 5 8

1 3 .3 4 3

1 1 .0 4 5

1 8 .9 5 1

1 2 .3 4 8

8 .7 2 5

1 1 .5 3 6

1 0 .1 8 7

1 1 .4 4 2

1 3 .3 9 6

1 3 .0 7 0

1 3 .6 6 8

2 3 .6 0 3 7 .9 5 4

6 .3 6 1

6 .4 0 5

3 4 .4 5 0

2 4 .9 5 6

5 .4 4 2

1 2 .9 9 6

5 .0 7 3

1 3 .6 2 0

1 1 .0 2 0

1 1 .7 2 9 1 1 .7 1 3

3 .3 8 2

1 4 .3 8 7

1 0 .0 3 7

5 .4 8 1

2 .9 6 9

7 .5 0 3

4 .1 5 9

2 3 .4 6 6

5 .2 1 9

3 7 .1 3 4

2 1 .0 9 9

9 .0 2 1

6 .0 8 0

9 .0 5 3

5 .1 7 8

1 8 .7 0 0

9 .0 5 6

6 .6 4 7

5 .7 6 7

1 7 .6 8 4

8 .8 1 4

2 2 .9 3 9

2 .4 9 1

1 0 .1 2 3

3 .2 4 4

9 .4 3 3

1 1 .7 7 4

3 .2 7 1

1 0 .3 9 0

6 .8 3 9

7 .0 7 3

1 0 .7 0 8

2 5 .2 3 7

7 .5 6 8

1 .1 5 2

8 .0 5 9

2 6 .3 9 9

2 9 .2 8 5

2 2 .3 5 0

3 .2 7 4

7 .3 2 5

1 0 .0 4 6

9 .8 8 8

1 3 .7 9 8

1 5 .2 5 5

2 0 .5 0 7

1 1 .1 4 7

1 9 .6 9 1

7 .7 1 1

2 2 .8 3 6

1 1 .8 1 1

1 4 .6 5 0

2 .8 9 8

2 0 .0 4 1

1 0 .2 2 8

9 .5 5 3

1 9 .8 7 0

8 .5 2 0

2 6 .1 8 2

1 2 .4 2 7

1 4 .4 3 2

2 4 .6 9 9

6 .8 4 8

7 .1 9 7

1 2 .1 5 6

1 .6 7 4

8 .5 8 2

1 6 .2 9 3

1 6 .1 2 6

3.6 Pro b lem as | '

10. A partir de la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov, determ ine con un nivel de confianza de 90% q ué tipo de distribución siguen los datos.

5 .0 9 1

1 1 .3 1 9

3 .2 7 4

3 .3 6 6

1 2 .2 3 3

5 .7 2 5

9 .1 8 6

8 .2 3 2

6 .5 4 5

6 .4 8 1

6 .7 5 2

1 0 .6 4 0

7 .2 4 2

2 .9 1 0

8 .3 9 1

2 .2 8 8

4 .5 8 2

6 .1 1 4

9 .9 6 5

1 0 .6 4 3

1 1 .5 8 4

1 3 .3 3 3

1 0 .0 8 1

1 1 .8 9 2

1 4 .5 4 2

9 .8 5 1

1 1 .0 8 8

6 .3 0 1

5 .3 5 0

3 .4 6 5

9 .5 9 5

1 3 .7 8 4

4 .8 6 7

3 .1 7 1

7 .7 8 2

5 .6 8 2

9 .5 8 7

1 2 .5 1 9

9 .9 6 4

1 .2 9 8

7 .5 5 6

8 .1 2 0

6 .4 5 1

1 0 .2 6 3

5 .3 6 7

3 .0 5 9

6 .3 4 1

3 .6 1 3

3 .0 6 8

7 .2 9 1 5 .1 4 7

4 1 7 9

1 0 .0 3 5

5 .5 9 9

5 .5 8 2

4 .8 3 6

8 .6 6 3

6 .9 7 5

8 .4 4 1

2 .0 6 4

1 3 .4 7 0

1 .5 1 2

1 1 .3 1 7

9 .7 9 9

7 .8 2 5

9 .4 6 4

7 .7 9 9

6 .9 2 9

8 .9 1 5

8 .0 0 7

9 .7 1 0

5 .2 5 9

8 .0 8 6

4 .1 4 1

2 .9 7 2

1 4 .5 7 5

2 .2 4 8

6 .5 6 5

1 3 .4 1 8

5 .2 3 8

1 4 .1 3 5

5 .9 3 7

2 .9 5 4

9 .2 6 4

1 4 .9 7 0

6 .7 4 2

5 .5 5 1

5 .3 1 3

6 .3 4 8

5 .7 2 3

1 2 .4 3 6

8 .1 5 3

5 .4 1 8

4 .0 2 8

6 .5 1 5

9 .4 7 4

6 .8 1 7

1 0 .1 9 0

4 .9 6 1

1 3 .2 6 3

11. D eterm ine,co n un nivel de confianza de 90% , qué tipo de distribución siguen los da­ tos; utilice la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov. 1338 1.198 1.852 3.050 1.003 0 .2 8 6 2.283 0 .3 8 8 0 .0 9 5 0 .2 6 5

0.530 0.049 1.426 4.688 0.460 1.581 0.774 0.429 2.267 2.032

0 .5 8 0 0 .2 9 4 1.586 4 .1 1 7 1.645 0395 0 .4 8 3 2.156 1355 7.487

0.102 3.661 0.664 2350 2342 3.986 0.852 4.276 2.859 2.852

0 .2 8 5 3.072 6 .0 3 2 2.954 3.983 2.416 4342 0371 0 .7 9 9 0 .0 4 0

0.725 5.193 0.093 0.883 1.517 0.577 0.064 4.520 4.718 1.860

5.567 0329 3.856 1.790 0 .6 9 5 0 .6 1 7 0 .2 9 9 0 .4 0 8 8 .6 6 4 0 .7 1 6

6.773 2.721 1.779 3.847 3.564 1.494 0.214 0.113 0339 3351

0.101 0.988 1.729 Z659 0.573 0.468 3.294 0.240 1.892 0.493

5.549 0 .7 1 6 1.456 3.622 0 .2 0 4 1.037 0345 2.923 1.262 0 .2 6 9

12. D eterm ine,co n un nivel de confianza de 95% , qué tipo de distribución siguen los da­ tos; em p lee la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov.Com pruebe con Stat: :Fit.

2 6 .7 3 9

2 2 .6 0 7

1 9 .5 8 4

1 8 .3 9 0

1 9 .8 2 5

2 3 .2 7 9

2 3 .2 0 6

1 9 .3 5 1

1 5 2 4 0

1 5 .7 9 2

2 3 .3 9 6

2 8 .5 5 3

2 4 .4 4 9

2 4 .3 6 4

1 9 .2 0 0

2 1 .2 6 5

1 6 .9 0 5

2 7 .3 1 3

1 8 .0 9 7

2 0 .2 3 3

2 1 .3 2 6

1 5 .1 3 8

2 1 .1 5 0

2 2 .1 0 5

2 5 .7 7 5

2 2 .1 3 7

2 7 .5 1 4

1 5 .7 6 6

2 2 .0 2 9

2 5 .1 6 4

1 7 .5 3 9

1 9 .9 2 1

2 2 .2 1 6

1 5 .6 2 5

1 6 .1 6 8

2 9 .7 6 9

1 8 .1 5 8

1 8 2 9 3

1 5 .8 5 8

2 5 .1 1 1

2 6 .4 2 1

1 8 .0 4 4

2 5 .7 4 4

1 9 .7 4 3

2 4 .5 2 5

1 8 .1 1 2

2 6 .2 5 9

1 9 .4 6 6

2 6 2 7 6

2 5 .9 4 8

2 0 .9 3 1

1 8 .5 6 2

2 6 .7 1 4

2 5 .2 7 5

2 4 .5 8 0

2 2 .0 9 0

1 9 .6 0 8

1 5 .4 4 7

2 9 .6 3 1

2 8 .8 2 1

2 8 .0 1 3

2 6 .6 9 3

2 9 .7 5 1

2 2 .1 8 9

2 0 .8 0 7

2 7 .3 3 9

2 2 .5 5 6

2 4 .0 6 9

1 5 .7 2 4

2 1 .6 1 4

2 5 .5 7 0

1 8 .7 4 6

1 6 .8 1 8

2 9 .1 2 2

2 7 .1 9 0

2 6 .9 1 5

2 6 .8 4 4

1 9 .5 7 3

2 6 .8 5 3

1 7 .0 5 3

2 2 .5 1 8

1 8 .8 8 3

2 6 .1 2 8

2 4 .0 0 7

2 8 .1 2 7

2 5 .2 1 3

1 9 .9 6 4

2 7 .1 4 1

2 5 .4 5 8

2 6 .0 6 0

2 9 .7 9 1

1 7 .8 9 0

1 5 .5 1 5

2 4 .9 8 5

1 7 .7 1 7

1 9 .0 6 3

2 9 .9 8 6

2 4 .0 7 4

2 3 .5 1 7

2 0 .7 3 3

93

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

13. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tipo de distribución siguen los d a­ tos usando la prueba de Anderson-Darling. Com pruebe con Stat: :Fit.

7 .7 1 7

7 .9 7 1

5 2 6 1

5 .9 9 4

7 2 1 5

6 .1 0 0

6 .8 7 6

7 .5 1 4

6 .4 0 9

6 .3 7 7

6 .1 5 5

7 .5 1 2

7 .9 3 6

7 .9 6 0

6 .1 5 7

5 .7 9 6

7 .5 7 9

6 .4 5 0

6 .6 7 9 6 .7 1 9

6 .1 5 0

5 .9 8 3

5 .0 9 1

7 .4 9 2

6 .9 7 4

5 .3 8 6

6 .3 4 7

5 .0 5 3

5 .1 2 9

5 .9 2 2

6 .1 7 4

5 .9 6 2

5 .1 5 3

6 .8 3 8

5 .7 4 1

5 .4 7 8

5 .4 7 1

7 .7 4 5

5 .0 5 7

5 .5 4 8

7 .8 1 4

6 .2 3 8

7 .4 8 4

6 .1 5 0

7 .5 6 1

7 .7 3 4

5 .5 9 5

7 .5 8 7

5 2 3 5

7 .8 7 2

7 .3 5 4

5 .8 2 6

5 .8 5 8

5 .3 1 6

7 .0 8 1

6 .4 7 6

7 .3 9 4

5 .3 0 4

5 .1 7 5

6 .4 9 9

7 .9 9 0

5 .7 9 3

5 .0 5 7

5 2 4 5

6 2 4 6

7 .5 3 8

7 .3 1 4

5 .9 0 9

6 2 1 5

6 .9 4 9

7 .4 9 5

6 .0 0 4

7 .3 7 4

7 .0 7 1

5 .5 4 9

6 .9 3 2

6 2 6 2

5 .5 3 1

6 .3 5 5

5 2 7 1

5 .0 2 1

6 .8 0 0

7 .3 2 2

7 .8 4 0

5 .5 4 7

5 .6 0 1

6 .5 2 4

6 .1 6 9

5 .4 8 4

6 .8 2 3

6 .3 5 1

6 .4 3 8

7 .7 6 0

7 .7 7 1

7 .1 1 8

5 .5 0 0

5 .9 0 1

5 .1 0 4

7 .6 3 3

6 .0 7 4

14. Utilice la prueba Chi-cuadrada para determ inar, con un nivel de confianza de 95%, qué tipo de distribución siguen los datos. Com pruebe con Stat: :Fit.

9 1 .9 1 7

7 3 .1 0 5

8 2 .1 8 7

7 6 .7 5 3

8 8 .3 7 1

6 5 2 7 2

8 6 .1 6 2

6 8 .1 4 7

6 9 .9 3 3

7 6 2 4 8

7 7 .5 8 8

6 6 .8 3 2

9 6 .9 3 7

6 0 .1 9 7

8 8 .4 3 1

7 3 .4 9 5

9 7 .5 8 0

6 1 .7 7 1

7 7 .0 2 4

7 6 2 7 6

9 6 .0 0 2

9 0 .8 5 4

8 8 .8 1 9

9 3 .5 3 5

7 9 .0 0 7

7 7 .3 8 8

9 6 .8 9 3

9 7 .3 0 5

7 0 .6 8 4

7 2 .5 3 7

6 3 .4 7 9

7 3 .7 1 1

7 6 .1 5 9

8 2 .4 1 6

6 3 .7 6 6

9 6 .5 9 4

7 5 .7 3 4

6 0 .6 5 9

9 3 .2 0 0

7 0 .5 6 9

€ 2 .6 8 6

8 6 .0 6 0

7 9 .5 6 0

9 9 .8 1 3

8 1 .9 3 1

9 1 .5 4 0

8 1 .0 5 7

9 8 .7 8 3

6 2 .8 4 9

9 0 .6 9 7

7 1 .6 8 0

8 1 .1 4 9

9 7 .4 9 1

6 8 .1 8 0

9 5 .0 7 6

6 3 .1 8 5

7 5 .4 2 5

8 0 .1 5 0

6 8 .1 8 1

9 7 .8 4 4

8 6 .4 7 8

9 1 .0 5 1

9 5 .8 8 2

9 5 .8 0 4

6 2 .6 1 4

9 2 .9 7 8

9 7 .9 2 6

6 9 .7 1 6

7 0 2 0 5

7 3 .8 6 4

£ 9 .3 6 0

9 7 .8 9 1

8 3 .9 4 5

6 0 .7 4 7

7 5 .7 3 4

8 3 .7 0 4

9 3 .6 4 5

8 4 .3 6 6

6 4 .3 1 0

8 6 .9 5 0

9 5 .1 8 1

9 1 .3 2 5

7 2 .5 5 0

6 3 .3 9 1

9 6 .8 2 9

9 0 .1 0 8

7 5 .1 0 7

6 8 .7 7 5

9 2 2 2 9

7 7 .1 4 8

9 0 .5 9 1

8 3 .5 3 7

9 1 2 6 2

6 9 2 3 5

6 9 .3 4 6

7 4 .4 7 3

8 0 .0 4 2

6 8 .5 1 0

6 3 .4 9 9

8 9 .6 0 7

15. D eterm ine,con un nivel de confianza de 90% , qué tipo de distribución siguen los d a­ tos. Em p lee la prueba Chi-cuadrada y com pruebe con Stat: :Fit.

94

4 .1 4 2

5 .0 8 0

4 .9 5 1

3 .0 2 8

3 .0 4 6

3 .4 4 9

4 .9 0 7

2 .7 8 2

1 .8 1 0

4 .3 4 4

1 .6 8 9

3 .0 4 9

4 .1 1 1

6 .7 6 7

2 .3 3 0

3 .4 0 8

2 .1 7 1

5 .3 3 7

6 .3 8 5

2 .9 4 9

3 .7 9 6

2 .9 1 2

3 .8 2 0

5 .4 4 4

3 2 0 8

2 2 2 5

3 .9 0 3

5 .3 2 9

4 .8 7 9

3 .5 7 2

2 .7 4 4

3 .7 8 6

2 .8 4 8

4 .3 4 7

3 .3 4 7

4 .3 9 8

5 .8 1 3

5 .6 1 7

2 .1 7 3

2 .3 6 9

4 .1 2 3

2 .6 4 9

4 .0 7 5

4 .3 3 9

2 .8 0 4

3 2 9 2

4 .3 7 5

5 .2 4 6

1 .3 4 0

2 .3 7 0

2 .0 7 6

3 .7 2 4

5 .1 8 7

3 .7 7 5

1 .4 4 3

4 .0 9 8

2 .9 1 9

4 .0 4 3

1 .6 7 7

3 .5 0 1

3 .1 3 7

1 .8 0 6

4 .9 6 8

2 .3 7 0

3 .0 0 9

3 .9 6 4

4 .0 5 7

4 .0 3 5

2 .4 9 9

3 2 0 0

3 .9 8 3

4 .1 0 2

4 .5 7 4

5 .3 3 1

3 .3 0 9

3 .3 5 1

3 .7 2 2

6 .4 3 0

3 .5 8 7

5 .0 0 6

1 .5 5 6

4 .9 9 3

4 .3 2 8

2 .7 4 9

4 .3 7 4

3 .0 1 8

4 .6 0 6

2 .6 8 2

4 .8 7 0

2 .7 2 7

3 .8 9 9

5 .8 2 8

1 .8 7 4

1 .3 1 6

3 .3 6 1

2 .6 3 9

2 2 4 6

4 .4 6 3

4 .1 6 4

6 .3 5 1

3.6 Pro b lem as | '

16. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tipo de distribución siguen los da­ tos; utilice la prueba de A nderson-D arling.Com pruebe con Stat: :Fit.

1 9 8 .9 1 2

1 9 3 .4 9 6

1 9 8 .1 6 9

1 8 6 .5 5 3

1 8 6 .6 9 9

1 8 9 .4 8 5

1 9 7 .9 1 6

1 8 4 .5 4 8

1 7 6 .6 1 3

1 8 6 .7 2 0

1 7 5 .6 2 5

1 9 3 .3 1 9

2 0 8 .6 5 2

1 8 0 .8 6 1

1 8 9 .2 3 4

1 7 9 .5 6 4

2 0 0 .4 0 1

2 0 6 .4 5 2

1 9 4 .6 6 6 1 8 5 .9 1 3

1 8 5 .6 1 5

1 9 1 .5 0 0

1 9 1 .6 4 3

2 0 1 .0 1 7

1 8 7 .9 0 8

1 8 0 .0 0 2

1 9 2 .1 1 8

2 0 0 .3 5 3

1 9 7 .7 5 5

1 9 0 .2 1 0

1 9 1 .4 4 5

1 8 4 .2 4 3

1 8 5 .0 8 9

1 9 4 .6 8 6

1 8 8 .8 4 5

1 9 4 .9 7 9

2 0 3 .1 4 9

2 0 2 .0 1 4

1 7 9 .5 7 6

1 8 1 .1 7 5

1 8 3 .4 6 3

1 9 3 .3 8 8

1 9 3 .1 1 2

1 9 4 .6 3 8

1 8 4 .7 3 0

1 8 8 .4 8 4

1 9 4 .8 4 7

1 9 9 .8 7 1

1 7 2 .7 7 3

1 8 1 .1 8 9

1 9 1 .0 8 8

1 7 8 .7 8 1

1 9 9 .5 3 4

1 9 1 .3 8 2

1 7 3 .6 1 8

1 9 3 .2 4 4

1 8 5 .6 6 5

1 9 2 .9 2 7

1 7 5 .5 2 4

1 8 9 .7 9 5

1 7 6 .5 8 3

1 8 7 .3 9 6

1 9 8 .2 6 7

1 8 1 .1 8 3

1 8 6 .4 0 6

1 9 2 .4 7 3

1 9 3 .0 0 6

1 9 2 .8 8 1

1 8 2 .2 4 1

1 8 7 .8 5 0

1 9 3 .2 6 7

1 9 2 .5 8 1

1 9 5 .9 9 1

2 0 0 .3 6 4

1 8 8 .5 9 7

1 8 8 .8 7 0

1 9 1 .0 7 7

2 0 6 .7 0 8

1 9 0 .2 9 2

1 9 8 .4 8 9

1 9 8 .4 1 4

1 7 4 .5 4 0

1 9 4 .5 7 5

1 8 4 .2 8 3

1 9 4 .8 4 2

1 8 6 .4 7 6

1 9 6 .1 7 6

1 8 3 .7 3 0

1 9 7 .7 0 0

1 8 4 .0 9 7

2 0 3 .2 3 1

1 9 2 .0 9 9

1 7 7 .1 4 0

1 7 2 .5 8 2

1 8 8 .9 3 9

1 8 3 .3 8 6

1 8 0 .1 7 4

1 9 5 .3 5 5

1 9 3 .6 2 6

2 0 6 .2 5 5

17. D eterm ine,con un nivel de confianza de 90% , qué tipo de distribución siguen los da­ tos. Em p lee la prueba Chi-cuadrada y co m p rueb e con Stat: :Fit.

1 7 .2 6 4

1 8 .1 2 9

1 5 .2 3 5

1 5 .2 8 1

1 6 .1 6 2

1 8 .0 8 9

1 4 .6 0 1

1 2 .0 9 1

1 7 .5 1 6

1 2 .2 5 8

1 4 .9 3 8

1 7 .2 2 3

1 9 .7 8 7

1 3 .4 3 5

1 6 .0 8 2

1 3 .0 2 5

1 8 .4 8 2

1 9 .4 3 9

1 5 .0 3 2

1 0 .8 1 6

1 6 .7 5 1

1 6 .8 0 5

1 8 .5 8 0

1 5 .6 6 3

1 3 .1 6 3

1 6 .9 3 0

1 8 .4 7 5

1 8 .0 6 4

1 6 .3 9 0

1 5 .9 8 9

1 4 .2 5 7

1 4 .7 7 2

1 7 .5 2 0

1 5 .9 5 9

1 7 .5 7 9

1 8 .9 1 7

1 8 .7 3 7

1 3 .0 2 8

1 3 .5 3 4

1 4 .2 3 3

1 6 .6 5 1

1 7 .1 7 5

1 7 .5 1 0

1 4 .6 5 8

1 5 .8 4 5

1 7 .5 5 2

1 8 .3 9 8

1 0 .8 7 7

1 3 .5 3 8

1 3 .2 1 7

1 2 .0 8 2

1 8 .3 4 5

1 6 .7 3 3

1 1 .1 4 4

1 7 .2 0 6

1 4 .9 5 4

1 7 .1 3 1

1 1 .7 4 7

1 6 .2 6 0

1 7 .6 5 2

1 7 .2 1 1

1 8 .1 4 5

1 3 .5 3 6

1 5 .1 8 8

1 7 .0 2 0

1 7 .1 5 0

1 7 .1 2 0

1 3 .8 7 1

1 5 .6 4 5

1 7 .2 9 3

1 8 .1 6 8

1 7 .7 7 0

1 8 .4 7 6

1 5 .8 8 1

1 5 .9 6 7

1 6 .6 4 8

1 9 .4 8 0

1 6 .4 1 6

1 8 .1 8 0

1 9 .4 0 8

1 8 .9 3 0

1 7 .4 9 7

1 4 .5 1 7

1 7 .5 5 1

1 5 .2 1 0

1 7 .8 0 3

1 4 .3 4 2

1 8 .0 5 5

1 4 .4 5 8

1 5 .2 8 7

1 7 .2 6 4

1 1 .7 7 9

1 6 .7 6 6

1 4 .5 0 4

1 7 .2 3 9

1 2 .7 7 7

1 5 .5 0 1

1 7 .0 4 7

1 1 .4 3 6

1 6 .9 2 5

18. Utilice la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov para determ inar, con un nivel de confianza de 90% , qué tipo de distribución siguen los d ato s.C o m pruebe con Stat: :Fit.

2 .8 6 5

4 .4 1 9

3 .6 8 1

6 .5 0 2

1 .1 4 1

2 .7 7 3

2 .2 9 9

4 .5 8 9

7 .1 4 2

1 .7 8 3

2 .3 3 6

2 .2 0 1

1 .1 8 6

3 .6 1 0

0 .7 5 3

2 .6 5 3

3 .5 7 4

3 .5 8 8

3 .1 2 8

3 .1 0 0

3 .4 2 0

1 .1 2 3

3 .2 6 4

2 .2 1 9

1 .9 6 2

2 .9 1 5

4 .2 8 2

4 .8 3 5

3 .0 5 7

1 .0 0 0

1 .2 4 2

3 .7 2 5

4 .3 1 7

1 .6 9 4

3 .2 8 6

3 .6 9 8

3 .2 0 8

1 .6 2 8

3 .7 0 4

1 .0 2 0

3 .1 1 7

1 .2 8 3

3 .8 2 1

0 .9 4 3

1 .7 1 3

4 .7 1 5

1 .7 4 0

2 .7 6 9

2 .8 7 7

3 .9 5 6

1 .9 0 4

3 .1 4 4

3 .5 4 1

1 .4 9 4

6 .9 8 3

1 .6 4 9

4 .0 2 0

1 .4 7 5

1 .8 0 2

1 .5 6 9

1 .3 0 4

2 .1 5 1

2 .9 5 3

1 .0 6 0

7 .8 0 0

7 .6 2 1

2 .8 7 2

1 .4 7 4

2 .1 8 0

2 .3 9 5

5 .6 3 2

2 .9 4 1

2 .2 7 4

1 .8 4 1

1 .6 5 1

4 .0 0 9

2 .5 4 0

2 .6 6 9

1 .5 3 9

1 .9 1 7

2 .2 8 5

4 .5 7 9

3 .6 3 1

6 .5 7 4

1 .9 4 1

3 .2 5 5

1 .3 7 2

2 .2 8 4

4 .4 9 9

4 .0 3 7

2 .8 1 9

3 .4 7 0

3 .1 5 8

2 .1 9 4

1 .5 2 4

2 .1 0 5

2 .8 0 6

4 .8 1 9

1 .9 4 6

3 .1 9 7

95

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

19. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tipo de distribución siguen los d a­ tos usando la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov. Com pruebe con Stat: :Fit.

1 7 4 .8 4 7

4 0 2 .1 7 4

2 8 2 .1 4 3

8 5 9 .2 5 2

3 6 .1 4 6

1 6 4 .4 2 8

1 1 6 .1 9 5

4 3 2 .9 1 5

1 0 3 4 .5 0 0

7 3 .8 3 0

1 1 9 .6 0 9

1 0 7 .2 7 9

3 8 .2 6 9

2 7 1 .7 6 8

2 1 .4 0 0

1 5 1 .4 2 1

2 6 6 .4 9 6

2 6 8 .6 2 1

2 0 6 .5 1 8

2 0 3 .0 1 6

2 4 4 .8 7 4

3 5 .3 3 7

2 2 3 .9 3 6

1 0 8 .8 7 8

8 7 .3 1 6

1 8 0 .7 0 1

3 7 8 .2 0 3

4 7 9 .5 8 7

1 9 7 .6 4 7

3 0 .0 9 4

4 0 .9 7 3

2 8 8 .7 6 1

3 8 4 .3 6 5

6 7 .6 5 0

2 2 6 .8 1 9

2 8 4 .6 6 4

2 1 6 .7 6 7

6 3 .2 2 9

2 8 5 .5 2 5

3 0 .9 1 1

2 0 5 .0 8 5

4 3 .0 4 8

3 0 3 .2 2 0

2 7 .8 6 3

6 8 .9 5 9

4 5 6 .5 0 7

7 0 .8 2 6

1 6 4 .0 1 5

1 7 6 .2 9 7

3 2 4 .2 9 8

8 2 .8 4 2

2 0 8 .4 8 1

2 6 1 .8 5 8

5 4 .8 0 9

9 8 9 .3 0 0

6 4 .6 2 5

3 3 4 .5 6 0

5 3 .7 1 9

7 5 .1 8 8

5 9 .4 4 4

4 4 .1 4 8

1 0 2 .9 0 5

1 8 5 .1 6 1

3 2 .5 7 3

1 2 3 1 .8 6 0

1 1 7 6 .4 6 0

1 7 5 .6 6 7

5 3 .6 3 2

1 0 5 .4 5 0

1 2 5 .1 6 4

6 4 7 .1 7 4

1 8 3 .7 4 7

1 1 3 .8 7 0

7 8 .0 9 2

6 4 .7 3 1

3 3 2 .8 8 9

1 3 9 .5 9 5

1 5 3 .1 2 0

5 7 .5 6 6

8 3 .7 8 1

1 1 4 .9 1 1

4 3 1 .1 3 8

2 7 4 .8 6 4

8 7 7 .9 4 6

8 5 .6 6 8

2 2 2 .8 1 5

4 7 .8 2 2

1 1 4 .7 5 4

4 1 6 .5 3 3

3 3 7 .3 4 4

1 6 9 .6 0 9

2 5 1 .8 4 4

2 1 0 .3 6 9

1 0 6 .6 7 1

5 6 .6 5 1

9 8 .9 8 4

1 6 8 .1 2 7

4 7 6 .3 9 7

8 6 .0 8 2

2 1 5 .3 2 0

20. A partir de la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov, determ ine con un nivel de confianza de 90% q ué tipo de distribución siguen los d ato s.C o m pruebe con Stat: :Fit.

0 .4 8 8

0 .1 1 6

0 .7 3 1

0 .0 9 4

0 .6 8 4

0 .0 9 3

0 .3 6 8

0 .0 9 0

0 .7 6 1

0 .4 2 0

0 .9 9 5

0 .9 0 8

0 .1 8 3

0 .1 4 6

0 .6 3 3

0 .5 6 7

0 .0 5 8

0 .5 0 7

0 .7 8 0

0 .1 3 9

0 .0 8 8

0 .3 8 2

0 .7 0 7

0 .4 1 3

0 .5 8 1

0 .2 5 4

0 .4 4 0

0 .4 4 7

0 .2 5 1

0 .8 7 0

0 .1 4 9

0 .4 2 7

0 .7 4 3

0 .4 3 4

0 .2 6 0

0 .7 3 8

0 .3 0 0

0 .3 0 2

0 .3 1 4

0 .4 2 3

0 .7 3 1

0 .3 1 3

0 .9 0 8

0 .8 4 5

0 .9 3 7

0 .6 0 7

0 .0 2 5

0 .3 0 2

0 .6 0 8

0 .0 7 8

0 .5 9 1

0 .7 8 1

0 .8 5 0

0 .0 4 8

0 .5 8 0

0 .3 4 6

0 .7 2 3

0 .7 8 7

0 .5 3 5

0 .6 1 0

0 .7 4 5

0 .0 0 5

0 .2 5 6

0 .8 4 5

0 .4 4 5

0 .7 7 7

0 .8 9 6

0 .2 4 5

0 .3 3 5

0 .1 9 4

0 .3 0 7

0 .6 9 2

0 .9 0 5

0 .0 4 6

0 .1 2 8

0 .7 6 6

0 .3 6 6

0 .5 1 3

0 .3 0 2

0 .8 3 3

0 .0 8 4

0 .0 8 0

0 .1 6 0

0 .0 2 8

0 .7 1 4

0 .4 5 4

0 .9 1 3

0 .6 6 6

0 .2 1 3

0 .3 7 3

0 .9 6 7

0 .2 8 0

0 .3 3 3

0 .5 3 1

0 .2 8 5

0 .5 0 4

0 .8 3 7

0 .6 8 1

0 .2 0 9

0 .6 2 6

21. D eterm ine, co n un nivel de confianza de 90% , si la variable aleatoria representada por la sigu ien te tabla de frecu encia sigue una distribución exponencial con m edia 1.

In t e r v a lo

F re c u e n c ia

0-1

29

1-2

18

2-3

18

3-4

12

4-5

8

5-6

3

6-7

2

7-8

5

8-9

3

9-10

0

10-?

96

2

3.6 Pro b lem as | '

22. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tipo de distribución siguen los da­ tos; em p lee la prueba de Anderson-Darling y com pruebe con Stat: :Fit.

In t e r v a lo

F r e c u e n c ia

-?-12

3

1 2 0 -1 2 5

4

1 2 5 -1 3 .0

3

13.0-13.5

6

13.5-14.0

8

14.0-14.5

15

14.5-15.0

12

15.0-1 5 3

13

15.5-16.0

7

16.0-16.5

16

16.5-17.0

7

17.0-?

6

23. D eterm ine, con un nivel de confianza de 95% , qué tipo de distribución siguen los da­ tos. Utilice la prueba Chi-cuadrada.

Histogram a Frecuencia 1614 1210864 2-

0

0-

5? K

8

Intervalo s

24. D eterm ine,con un nivel de confianza de 90% , qué tipo de distribución siguen los da­ tos; em p lee la prueba Chi-cuadrada.

97

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

Histogram a Frecuencia

Intervalo s

25. Utilice la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov para determ inar co n un nivel de confianza de 95% q ué tipo de distribución siguen los datos.

4

5

3

5

5

4

3

2

4

3

4

6

4

3

5

2

2

3

3

4

4

4

3

3

3

2

2

3

2

3

3

4

5

2

3

4

3

3

5

3

2

5

3

4

4

1

4

5

4

5

7

2

4

4

2

4

1

5

4

4

5

5

5

2

4

4

5

4

4

1

6

4

6

6

2

4

4

2

2

2

3

3

2

5

3

5

1

3

2

4

1

2

5

2

3

1

5

3

2

5

26. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tipo de distribución siguen los d a­ tos usando la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov.

1 0 0 1 1 0 1 1 1 0

98

0 0 0 0 0 1 2 0 0 0

0 0 1 1 1 1 0 1 0 0

1 1 0 2 2 0 1 2 0 1

0 0 0 1 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1 1 1 0 1 0 2

0 0 0 0 1 2 1 2 0 1

0 0 1 0 0 1 0 1 1 0

0 0 1 0 1 0 1 0 0 0

3 .6 P r o b l e m a s

|

'

27. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tipo de distribución siguen los da­ tos; use la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov y com pruebe con Stat: :Fit.

5

3

2

4

6

4

3

2

2

3

2

4

6

2

8

6

3

3

0 3

11

5

9

3

7

4

7

2

7

3

4

7

7

3

3

4

8

4

2

7

5

4

5

3

6

4

4

3

1

3

1

4

5

4

6

2

5

5

4

8

7

6

4

6

4

5

4

2

2

5

4

5

5

2

4

2

3

6

3

5

4

5

4

6

2

5

7

5

4

6

5

7

3

7

0

4

5

7

5

11

28. D eterm ine,co n un nivel de confianza de 90% , qué tipo de distribución siguen los da­ tos. Use la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov y com pruebe con la herram ienta Stat: :Fit.

10

9

8

10

9

8

13

10

16

13

14

15

11

6

12

10

5

10

9

12

8

7

8

9

10

8

10

5

3

13

9

12

15

7

5

9

14

12

11

10

4

12

13

7

7

7

18

5

9

10

12

11

14

9

13

14

10

10

10

15

9

14

11

5

11

2

10

15

4

15

11

8

5

9

11

11

7

10

13

5

9

9

8

4

9

8

13

12

15

15

7

9

13

10

11

6

9

10

15

7

29. A partir de la prueba Chi-cuadrada, determ ine co n un nivel de confianza de 90% qué tipo de distribución siguen los datos.

2

1

2

0

1

1

2

1

0

1

1

2

2

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

2

2

0

0

2

1

0

2

0

0

1

2

1

0

0

2

2 0

1

1

1

1

2

1

1

1

2

2

0

3

2

0

0

1

2

1

1

1

2

3

0

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

2

0

0

0

3

1

0

1

0

1

0

1

1

2

3

2

1

2

0

0

1

1

0

0

2

0

30. D eterm ine,co n un nivel de confianza de 90% , qué tipo de distribución siguen los da­ tos; em p lee la prueba Chi-cuadrada.

99

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

0

0

0

0 0

0

1

1 0

1 0

0

1 0

0

0 1 0 0 0

0 0

0

0

0

0

1 0

1 0

1 0

1 0

1

0 0

0 0

1 0

1

0

0 0

0 1

1 0

0

1 0

1 0

1 0

0

1 0 0

0

0

0 0

1 0

0

0

0

0 0

1 0

1 0 0

1

0

0 0

1 0 0

1 0

1

0

1 0

1 0

0

0

0

0

0 0

0 0

1

31. D eterm ine,con un nivel de confianza de 95% , qué tipo de distribución siguen los d a­ tos; em p lee la prueba Chi-cuadrada.

8

8

6

6

4

7

5

4

6

6

8

8

5

4

6

5

4

4

6

4

6

8

6

8

7

5

4

6

5

6

7

5

8

7

6

8

5

5

4

7

6

8

8

5

6

7

4

4

7

6

4

5

6

5

8

4

5

8

4

8

6

5

7

4

7

8

8

4

5

4

5

7

6

6

5

5

6

5

5

5

5

6

6

5

8

4

8

5

6

7

4

4

4

4

7

7

8

8

5

7

32. Utilice la prueba Chi-cuadrada para determ inar, con un nivel de confianza de 95%, qué tipo de distribución siguen los d ato s.C o m pruebe con Stat: :Fit.

1

2

0

1

2

1

0

0

1

2

1

1

1

1

2

0

2

2

2 1

1

1

2

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

0

2

0

1

2

0

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

2

0

0

0

2

0

1

2

0

0

0

1

1

0

0

1

0

2

0

2

2

1

0

1

2

1

2

1

0

2

2

0

1

3

1

2

0

1

1

1

0

1

0

0

1

1

2

2

33. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tipo de distribución siguen los d a­ tos. Utilice la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov y com pruebe con Stat: :Fit.

100

4

5

4

4

4

4

5

4

5

3

5

5

4

4

3

5

5

4

4

5

3

3

4

5

3

5

4

4

4

5

3

5

5

5

5

3

5

5

3

3

5

5

4

5

4

5

5

4

4

4

4

4

5

3

3

3

5

4

5

4

5

5

5

3

5

3

5

4

4

4

3

4

4

5

3

3

4

2

5

5

3

4

3

4

3

5

3

5

5

3

5

5

3

4

4

4

5

5

5

4

3 .6 P r o b l e m a s

|

'

34. D eterm ine, con un nivel de confianza de 95% , qué tipo de distribución siguen los da­ tos; em p lee la prueba Chi-cuadrada y com pruebe con Stat: :Fit.

X

F re c u e n c ia

0

11

1

29

2

31

3

14

4

9

5-?

6

35. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tipo de distribución siguen los da­ tos; use la prueba Chi-cuadrada. Com pruebe con Stat: :Fit.

0

1

0

2

2

1

0

2

5

0

6

0

0

0

3

1

4

0

0

2

1

2

1

0

1

4

0

0

0

1

2

2

2

0

1

0

0

0

4

3

0

1

0

0

2

1

0

0

9

3

4

2

0

1

8

0

2

0

6

1

1

1

0

3

2

0

0

0

3

1

0

5

0

0

1

1

1

0

1

0

7

0

0

2

0

2

0

2

0

2

0

0

5

9

1

2

4

0

0

0

36. Em p lee la prueba Chi-cuadrada para determ inar, con un nivel de confianza de 90%, qué tipo de distribución siguen los datos.

X

F re c u e n c ia

0

21

1

17

2

14

3

9

4

8

5

6

6

6

7

1

8

4

9

4

10

1

11

0

12

1

13

2

14-?

6

101

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

37. D eterm ine, co n un nivel de confianza de 90% , si los datos se distribuyen de acuerdo con una distribución binom ial co n N = 10 y p = 0.5.

Histograma Frecuencia

38. D eterm ine, co n un nivel de confianza de 90% , si los datos se distribuyen de acuerdo con una distribución uniform e discreta (1-6).

39. G enere, m ed ian te el m étodo de la transfo rm ad a inversa, 100 n úm e ro s aleatorios para la siguiente distribución de probabilidad.

P M = |(|)

para

x = 1 ,2 ,3 ,...

40. Obtenga, co n el m étodo de la transform ada inversa, la expresión m atem ática para ge­ nerar variables aleatorias q ue sigan las fun cio nes de densidad indicadas. x — a) f{x ) = ^ e 10

102

para

x >0

3 .6 P r o b l e m a s

b) f { x) = 3 6 x2 e_12x>

c)

f { x) = 4 x 3e~xA

para

para

|

'

x >0

x >0

41. Genere, co n el m étodo de la transfo rm ad a inversa, variables aleatorias con densidad f{x) usando los núm eros aleatorios 0 .6 4 2 ,0 .2 2 5 ,0 .1 3 4 ,0 .1 7 6 ,0 .9 5 4 y 0.245.

3/4

0< x< 1

1/4

1
f { x) =

42. O btenga el valor de la variable aleatoria que se generaría m ediante el m étodo de com posición al utilizar los núm eros aleatorios 0.5623 y 0.9825 co n la función de den­ sidad siguiente:

3/4

0< x< 1

1/4

15x^ 2

f(x) =

43. G en ere 100 variables aleatorias para las siguientes distribuciones de probabilidad; utilice el m étodo de la transform ada inversa.

a)

f(x ) = < * - 4 )2

para

0 < x <10

b) f [ x) = |

para

2
c)f{x) = Z

para

0< x< 2

44. G enere 50 variables aleatorias para las siguientes distribuciones de p ro b ab ilid ad ;em ­ plee el m étodo de la transfo rm ad a inversa.

a) f ( x ) =

para

1 < x < 3.828

b)fM = ¡

para

7 < x < 13

c ) /(x) = | x

para

1 < x < 1.527

103

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

45. Obtenga la expresión para generar variables aleatorias con distribución de probabilidad.

f(x )= ^ (x + 1 )2 28

para

- 2 < x< 2

46. D eterm ine los valores de X para los núm eros aleatorios 0.2456,0.7867,0.9845,0.2345 y 0.6735, dado q ue X es una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad. 1 -f{x)= ± e5

para

x< 0

47. Utilizando cualquier hoja de cálculo, g enere 100 variables aleatorias a) b) c) d)

exponencialm ente distribuidas co n A = 3. norm alm ente distribuidas con m e d ia 10 y varianza 4. uniform em ente distribuidas con lím ite inferior igual a 10 y límite superior igual a 30. triangularm ente distribuidas con lím ite inferior = 5, valor m ás probable = 10 y lí­ mite superio r = 15. e) con distribución binom ial y parám etros N = 5, p = 0.3, q = 0.7. f) con distribución de Poisson, con A = 3.

Com pruebe co n Stat: :Fit si las variables aleatorias generadas siguen la distribución de probabilidad q ue se esperaría de ellas.

Referencias 111 Azarang, M. y García, E., Sim ulación y Análisis d e M odelos Estocásticos, 1a. ed., McGraw-Flill (1996). [2] Banks, J ., Carson, J.S., Nelson, B .L y Nicol, D.M., Discrete-Event System Sim ulation, 4a. ed., Prentice Hall N .J. (2005). 131 Law, A.M. y Kelton, W.D., Sim ulation M odeling a n d Analysis, 3a. ed., McGraw-Hill (2000).

104

CAPÍTULO 4

SIMULACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS

4.1

Verificación y validación de los m odelos de sim ulación 4.1.1

4.2

Sim ulaciones no term inales o de estado estable 4.2.1

4.3

Sim ulaciones term inales Longitud de las réplicas

M odelos de sim ulación 4.3.1

M odelos de una línea de esp era co n un servidor

4 .3 .2

Modelo de un proceso de ensam ble e inspección

4.3.3

Modelo de un sistem a de inventarios

4 .4

Selección de len gu ajes de sim ulación

4.5

Problem as

105

[ C a p ítu lo 4 Sim ulació n d e variables aleatorias

4.1 Verificación y v a lid a ció n d e los m odelos d e sim ulación Gracias al avance tecnológico, en la actualidad existen en el m ercado aplicaciones con interfases g ráficas tan poderosas q ue perm iten a m uchos usuarios co n in clinacio n es té c ­ nicas desarrollar m odelos e n el área de la sim ulación. Por desgracia, en general dichos usuarios aprenden a usar el lenguaje relacionado y m anejan algunos d e los conceptos bá­ sicos, pero ponen m u y poca atención al análisis correcto de los resultados. Así, m uchos estudios son interpretados de m anera errónea y e s m u y probable que conduzcan, en co n ­ secuencia, a m alas decisiones. Entre otras, el fenóm eno q ue acabam os de describir o curre po r razones co m o éstas: en prim er lugar, el falso sentido de seguridad q ue desarrolla el usuario por el sim ple hecho de conocer el lenguaje utilizado en el área; la facilidad de uso del softw are de sim ulación actual y su capacidad para desarrollar gráficos y anim aciones y, sobre todo, la dificultad im plícita en el análisis estadístico de la inform ación. Es m u y com ún encontrar personas que después de sim ular un sistem a estocástico aseguran de m anera bastante ingenua que el resultado de la variable de respuesta es un valor único — por ejem plo, que el núm ero de piezas que se acum ulan ante una m áquina e stá n sólo el prom edio de la variable— d e ja n ­ do de lado un com pleto análisis estadístico de dicha variable. Para evitar q ue el lector se convierta en uno de eso s usuarios, a continuación se discutirán los aspectos m ínim os que deben cuidarse en el análisis de las variables de salida. Para em pezar debem os distinguir dos categorías en tre los m odelos de sim ulación: m odelos de categoría term inal y m odelos no term inales o de estado estable. A co ntinu a­ ción se explica esta clasificación con m ás detalle.

4.1.1 Sim u lacio n es term in ales Los m odelos de tipo term inal tien en com o característica principal la o currencia de un evento que da por term inad a la sim ulación. Un ejem plo sería el siguiente: digam os que nos interesa conocer el tiem p o q ue llevaría procesar un lo te de 10 piezas,el tiem p o reque­ rido para vender 100 periódicos, o el núm ero de clientes q ue se atiende en una cafetería entre las 8:00 y 9:00 a.m . El análisis estadístico recom endado para este tipo de sim ulacio ­ nes involucra la utilización de intervalos de confianza y la determ inación de la d istribu­ ción de probabilidad de la variable de salida. 4 1.1.1 Intervalos d e confianza Debido a la naturaleza aleatoria de los resultados de este tipo de m odelos, es necesario determ inar su distribución de probabilidad y su intervalo de confianza en las diferentes réplicas. En la sección 3.3 del capítulo anterior se discute cóm o obtener la distribución de probabilidad de una variable aleatoria; po r lo tanto, aq u í nos ocuparem os de los in terva­ los de confianza. Si la variable aleatoria sigue una distribución norm al, el intervalo de confianza está dado por: IC = x ~ y T (*0/2,r-1)

106

'

X +

(*0/2,^

4.1.1 Sim ulacio nes te rm in a le s | '

En caso de q ue la variable aleatoria siga otro tipo de distribución, el intervalo de co n ­ fianza es relativam ente m ás amplio, y se calcula com o:

IC = | x -

X

V ra /2

'

+

" ' V r a j2

En am bas ecuaciones: r = Número de réplicas a = Nivel de rechazo

' /=1

,1/2

Ejem plo 4.1 Los resultados de 10 réplicas de la sim ulación de un sistem a de inventario prom edio en un alm acén son 1 9 0 .3 ,1 8 4 .2 ,1 8 2 .4 ,1 9 5 .6 ,1 9 3 .2 ,1 9 0 .5 ,1 9 1 .7 ,1 8 8 .5 ,1 8 9 .3 ,1 8 8 .4 . D eterm i­ nar el intervalo de confianza con un nivel de aceptación de 95 po r ciento. La m edia y la desviación estándar de la m uestra son: x = 189.41 s = 3.916 Bajo la prem isa de q ue el inventario prom edio sigue una distribución norm al, el in ­ tervalo de confianza se calcularía de la siguiente form a: IC = V r IC = 189.41 - ^ H ( í a„25,9> -

189-4 1 + y =

(W

IC = 189.41 - ^ 4 ^ (2.685)

189.41 +

(2.685)

Vio

Vio —

,

'

Vio

IC = [186.08 - 192.73] piezas prom edio en el alm acén Si la variable aleatoria no fuera norm al, o si la suposición de norm alidad se conside­ rara inadecuada, el intervalo de confianza se calcularía así: IC = x -

x + V r í/ 2

'

V ra /2 _

107

[ C a p ítu lo 4 Sim ulació n d e variables aleatorias

3.916 IC = 189.41 - — , = V i 0 (0 .0 2 5 )

. '

3.916 189.41 + ’ V i 0(0 .0 25 ) .

IC = [181.57 - 197.24] piezas prom edio en el alm acén En consecuencia, si la variable aleatoria sigue una distribución norm al y realizam os 100 réplicas del experim ento, esperam os q ue el resultado de 95% de las m ism as se e n ­ cuentre en tre 186.08 y 192.73, a diferencia de lo q ue ocurriría en una variable no norm al, en donde tras 100 réplicas del experim ento esperam os que 95% de ellas se encuentren entre 181.57 y 197.24, lo cual im plica m ucho m eno s exactitud. Ejem plo 4.2 Un cliente ha solicitado la entrega de un pedido de 100 artículos. Como analistas, deseam os conocer un valor estim ado del tiem p o prom edio de en treg a del pedido, y un intervalo de confianza co n un nivel de 90 po r ciento. Toda vez q ue este problem a exig e una sim ulación de tipo term inal, debem os desa­ rrollar un m odelo y realizar suficientes réplicas independientes para o b tener la d istribu­ ción de probabilidad y el intervalo de confianza que nos interesan. Con este propósito realizam os 30 réplicas, obteniendo los siguientes resultados del tiem p o de entrega del producto, m edido en días transcurridos desde la form ulación del pedido. 9.57

4.81

733

5.72

7.90

12.03

630

5.83

839

9.74

6.55

2.92

10.65

7.85

8.04

4 .6 0

10.20

737

632

7.08

4.69

6.77

4.85

5.72

9.75

633

8 .3 5

8.89

5.83

3.77

En la fig ura 4.1 se m uestran el histogram a del tiem po de entrega y el resultado de la prueba de bondad de ajuste. f(x)

D istribución p erso nalizad a

0.50

0 .6

0 .8

1.0

N orm al (7 .1 4 ,2 .1 2 )

1.4x10'

Figura 4.1 Histograma de las réplicas del modelo de tiem po de entrega del producto (ejemplo 4.2)

Tom ando en cuen ta la evidencia estadística de norm alidad, así co m o la m edia y la des­ viación estándar de la m uestra, calculam os el intervalo de confianza: x = 7.14 s = 2.12 108

4 2 .1 Lo n g itu d d e las ré p licas |

I C= 7 .1 4 -

V 3Ó (í“owo) ' 7'14 + V i o
IC = 77.14 .1 4 - —4 = (1.697) V30

7.14 + -^ t = (1 .6 9 7 ) V30

I C= [6.46 - 7 .7 9 ] días

4.2

Sim u lacio n es no term in ales o d e e sta d o estab le A diferencia de los m odelos anteriores, las sim ulaciones no term inales o de estado esta­ ble no involucran una ocurrencia en el tiem p o en q ue tengan que finalizar. Por ejem plo, si deseáram os co no cer el núm ero de m áq uinas q ue deben instalarse en un sistem a de producción cuya operación tie n e q ue m antenerse activa co ntinu am en te durante tod o el año, podríam os m odelar el sistem a hasta q ue la variable de in terés llegara a un estado es­ table. En este caso surge la necesidad de determ inar la longitud de la corrida para asegurar la estabilización de los resultados del m odelo. Veam os cóm o satisfacer d icho requisito.

4.2.1 Longitud d e la s rép licas Para que el resultado de una variable aleatoria llegue al estado estable en una sim ulación no te rm in a le s necesario garantizar q ue la longitud de la réplica, n ,se a lo suficientem ente grande para q ue la variación e n tre réplicas no difiera de cierta exactitud, e , el 100(1 - a ) % de las veces. En caso de norm alidad el tam año de corrida de la sim ulación se calcula com o:

Ejem plo 4.3 D eterm inar la longitud de la réplica para estim ar, dentro de un rango de ±2, el valor de una variable normal con desviación estándar 4 y un nivel de aceptación de 5 po r ciento. Solución:

n = 16

109

[ C a p ítu lo 4 Sim ulació n d e variables aleatorias

Figura 4.2 Com portam iento del promedio de la variable aleatoria normal con seis réplicas; exactitud deseada de 1a

La fig ura 4 .2 representa los resultados de la sim ulación de seis réplicas in dep end ien ­ tes de longitud n = 1 6 de una variable aleatoria co n distribución norm al y desviación es­ tándar 4. Como puede ver, los resultados finales d e la variable aleatoria se encuentran dentro de la exactitud deseada. Dado el nivel de aceptación de 5% , si realizáram os 100 ré­ plicas cabría esperar q ue cinco de ellas estarían fuera de la exactitud deseada. Si se tien e la certeza de norm alidad pero se desconoce el valor de la desviación es­ tándar, será necesario realizar una corrida inicial de tam año r i para d eterm inar un estim a­ dor de la desviación. En este caso la longitud de la réplica se determ ina m ediante

n= (í< W -i> ) Ejem plo 4.4 Se realizó una corrida inicial de tam año n ' = 10 para estim ar la desviación estándar s = 13.21 de una v a ria b le norm al. D eterm in ar la lo n gitu d de la réplica para estim ar el va lo r m e­ dio dentro de un rango d e ±0.3 con un nivel de aceptación de 90 po r ciento. Solución (vea la fig ura 4.3):

n=( í r

(lW

)

= ((44-03)(2.262))2 = 9 920.83

n = 9 920 Cuando se desconoce el tipo de distribución de la variable aleatoria a sim ular o bien la suposición de norm alidad no existe, e s preciso hacer uso del teorem a de Tcheb ycheff para calcular la longitud de la réplica. En este caso se utiliza 110

4 2 .1 Lo n g itu d d e las ré p licas |

Réplica d e lo n g itu d 9920

105 103 101

99

Figura 4.3

97 95 1

1001

2001

3001

4001

5001

6001

7001

8001

9001

Com portam iento del prom edio de la variable aleatoria norm al;exactitud deseada de 0.045o-

Ejem plo 4.5 Supongam os q u e la suposición de norm alidad del ejem plo anterior no es válida, y co n si­ derem os la m ism a inform ación con n' = 1 0 y s = 13.21.La longitud de la réplica para estim ar el valor de la variable dentro de un rango de ±0.3 con un nivel de aceptación de 90% es:

n = 19 390 Este resultado concuerda con el concepto expuesto en el ejem plo 4.1: para d istribu­ ciones diferentes, aun con los m ism os rangos deseados, los requerim ientos de sim ulación cam bian, en este caso respecto de la n. A hora bien, veam o s q ué sucede al m om ento de sim ular la variable aleatoria expo nencial. La fig ura 4 .4 m uestra el com portam iento promeRéplica d e lo n g itu d 9920

Figura 4.4 Com portam iento del prom edio de la variable aleatoria exponencial; exactitud lograda d e 0.063 o-

111

[ C a p ítu lo 4 Sim ulació n d e variables aleatorias

dio de la variable; a pesar de haberla sim ulado en 9 920 ocasiones, dicha variable está le­ jos de lograr la exactitud q ue se observa en la figura 4.3, en d ond e la variable sim ulada sigue una distribución norm al. Para q ue el com portam iento de la variable llegue a la zo ­ na de estabilización con la exactitud deseada de 0.045o-,es preciso generar 19 390 varia­ bles exp o n enciales (al sim ular solam ente 9 920 variables exponenciales la exactitud es de 0.063o-).

Ejem plo 4.6 Determ inar la longitud de la réplica para estim ar, dentro de un rango de ±0.5 con un n i­ vel de aceptación de 90% , el valor prom edio de una variable co n a = 8. Se desconoce la distribución de probabilidad de la variable. Solución:

Ejem plo 4.7 Determ inar la longitud de la réplica, de m anera q ue el estim ado del valor prom edio de una variable con distribución de W eibull y desviación estándar o no difiera en m ás de 1/4 de la desviación estándar, con un nivel de rechazo de 5 po r ciento. Solución:

En la fig ura 4.5 se m uestran los resultados de 10 réplicas de longitud 3 2 0 ;cada una repre­ senta el prom edio m óvil de una variable aleatoria de W eibull co n crde 1.6. D e acuerdo con los cálculos del ejem plo, esta longitud de la réplica debería asegurar la estabilización de la variable aleatoria — lo cual aparentem ente ocurre, según la gráfica— ,c o n una exacti­ tud de 0.25cr.Los resultados confirm an los cálcu lo s,ya q ue el valor final de las réplicas es­ tuvieron e n tre 54.41 y 54.57. La diferencia de 0.16 eq uivale a una exactitud relativa a la desviación estándar de apenas 0.1 a. 112

4.3.1 M odelo d e un a línea d e esp era co n un se rvid o r

10 réplicas d e va ria b le s ale ato rias W eibull va lo res fin ale s m ín im o 54.41, m á x im o 54.57

Figura 4.5 Com portam iento del prom edio de la variable aleatoria d e W eibuII; exactitud deseada de 0.25o-

4.3

M odelos d e sim ulación Con el propósito de dar una idea de cóm o desarrollar un m odelo de sim ulación y de qué m anera em p lear los co nceptos expuesto s a lo largo del presente capítulo, a continuación se presentan algunos ejem plos program ados en un program a de h o ja de cálculo.

4.3.1 M odelo d e una línea d e espera con un servid o r Ejem plo 4.8 El tiem po que transcurre en tre la llegada de ciertas piezas a una estación de inspección sigue una distribución exponencial co n m edia de 5 m inutos/pieza. El proceso está a car­ go de un operario, y la duración de la inspección sigue una distribución norm al co n m e­ dia de 4 .0 y desviación estándar de 0.5 m inutos/pieza. Calcular el tiem p o prom edio de perm anencia de las piezas en el proceso de inspección. Para solucionar el problem a anterior se debe: 1.

Construir una tabla de eventos en la que se describa la relación e n tre las variables involucradas en el proceso. Para la construcción de dicha tabla es preciso identifi­ car los elem entos q ue se listan a continuación. Variable d e estado

Tiem po en el sistem a d e inspección (7)

Entidades

Piezas

Eventos

Tiem po de llegada (2) Fin de la inspección (5)

Evento secundario

Inicio de la inspección (3)

A ctividades

Tiem po e n tre llegadas (1) Tiem po de inspección (4)

113

[ C a p ítu lo 4 Sim ulació n d e variables aleatorias

Los núm eros en tre paréntesis indican la co lum na q ue ocupa cada elem ento en las ta ­ blas 4.1 y 4.2. 2.

D efinir las relaciones lógico-m atem áticas entre los elem entos; en la tab la 4.1 se describen, por ejem plo, las siguientes relaciones: a)

b) c)

d)

e) f) g)

h)

El tiem po entre llegadas es una variable aleatoria, sim ulada utilizando el ge­ nerador R A N D () o A LEA TO R IO () de la hoja de cálculo de Excel y la función generadora de variables exp o n enciales E¡ = - 5 ln (l - r¡). El evento tiem po de llegada de la pieza co rrespo nde al valor acum ulado de la co lum na (1). Tom ando en cu e n ta q ue solam ente existe un operario encargado de la tarea, el inicio de la inspección puede o currir cuando la pieza entra al sistem a, en c a ­ so de q ue el operario esté ocioso (2 ),o bien cuando term ina de inspeccionar la pieza anterior (5). El tiem po de inspección es una variable aleatoria norm al con m e d ia 4 y des­ viación estándar 0.5, generada m e d ian te la función interna norm al a cu m u ­ lada inversa (NORMINV o DISTNORMINV) y com o probabilidad el generador de núm eros aleatorios R A N D () o A LEA TO RIO (). El fin de la inspección se calcula sum ando el tiem p o de inspección (4) al tiem ­ po de inicio de la inspección (3). La variable tiem po en inspección se calcula, finalm ente,co m o la diferencia en ­ tre el tiem p o de llegada (2) y el fin de la inspección (5). Si bien no fo rm a parte del objetivo del ejem plo, tam bién es posible d eterm i­ nar el tiem po de espera de una pieza antes de ser inspeccionada, ya q ue es igual a la diferencia entre el tiem p o de inicio de inspección (3) y el tiem po de llegada de la pieza (2). Esta últim a co lu m n a p erm ite calcular el tiem po prom edio de inspección c o ­ mo prom edio m ó vil: cada vez q ue una nueva pieza e s sim ulada, el tiem po prom edio de inspección se recalcula.

Tabla 4.1 Relación entre los even to s y actividades involucradas en el proceso (ejem plo 4.8) C

3

P ie z a

D

E

F

T ie m p o e n tre

T ie m p o d e

I n i c i o d e la

lle g a d a s

lle g a d a

in s p e c c ió n

(1 )

(2 )

(3 )

G

H

1

F i n d e la T i e m p o d e in s p e c c ió n

in s p e c c ió n

( 4 ) __________________

(5 )

J

K

T ie m p o e n

T ie m p o

T ie m p o p ro m e d io

in s p e c c ió n

e n e s p e ra

e n in s p e c c ió n

_______( 6 )

(S )

4 5

1

6

2

= 5 * L N (1 -R A N D Q )

7

3

= 5 " L N (1 -R A N D ())' = D 7 + E 6

8

4

= 5 * L N ( 1 -R A N D Q ) | = D 8 + -E 7

= M A X (E 8 ,H 7 )

|= 5 * L N < 1 - R A N D 0 )

3.

114

= D 5

-E 5

= D 6 + E 5

= M A X (E 6 ,H 5 )

= N O R M I N V ( R A N D ( ) , 4 ,0 .5 )

= F5 + G 5

= H 5 -E 5

= F 5 -E 5

= A V E R A G E ( $ l$ 5 :1 5 )

= N O R M IN V (R A N D Q , 4 ,0 5 )

= F6 + G 6

= H 6 -E 6

= F 6 -E 6

= A V E R A G E ( $ 1$ 5 : 1 6 )

= M A X ( E 7 , H 6 ) ¡ = N O R M I N V ( R A N D ( ) , 4 ,0 .5 )

= F7 + G 7

= H 7 -E 7

= F 7 -E 7

= A V E R A G E < $ I$ 5 :1 7 )

= F 8 + G 8

= H 8 -E 8

= F 8 -E 8

= A V E R A G E ( S 1$ 5 : 1 8 )

= N O R M I N V ( R A N D ( ) , 4 ,0 .5 )

Una vez definidas las relaciones se sim ula el proceso, teniendo cuidado de q ue el tam año de la réplica o experim ento sea lo suficientem ente grande para asegurar la estabilidad del resultado fin al. La réplica cuyos resultados se ilustran en la tabla

4.3.1 M odelo d e un a línea d e esp era co n un se rvid o r

4.2 se realizó co n 1 500 p iezas; la inform ación nos indica q ue el tiem p o prom edio de esp era e s de 15.05 m inutos/pieza. Adem ás de este resultado, la co lum na 8 per­ m ite visualizar la estabilización del sistem a m ediante una gráfica de líneas. Tabla 4 .2 Sim ulación del proceso de inspección (en una h o ja de cálculo de Excel)

Fin d e la inspección (5)

Tiem p o en inspección (6)

Tiem po en espera (7)

Tiem po prom edio en inspección (8)

4.03 4.77 3.97 3.71 3.10 2.64 4.34 4.16 4.41 4.14

8.84 13.61 17.59 21.30 24.40 27.04 31.38 35.54 39.95 44.09

4.03 6.02 6.27 6.59 7.10 9.56 12.05 15.28 15.03 13.15

0.00 1.25 2.30 2.88 4.00 6.91 7.71 11.12 10.63 9.01

4.03 5.02 5.44 5.73 6.00 6.59 737 8.36 9.10 9.51

...

...

...

...

...

...

7390.99 7394.66 7399.11 7403.43 7407.09 7410.57

3.68 4.45 4.32 3.66 3.48 4.57

7394.66 7399.11 7403.43 7407.09 7410.57 7415.15

13.70 16.69 19.45 21.13 24.23 26.94

10.02 12.24 15.13 17.47 20.75 2237

15.02 15.02 15.03 15.03 15.04 15.05

Pieza

Tiem po entre llegadas (1)

Tiem po d e llegada (2)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4.82 2.77 3.72 3.39 2.59 0.19 1.85 0.93 4.65 6.02

4.82 7.59 1132 14.71 17.30 17.49 1933 20.26 24.92 30.94

4.82 8.84 13.61 17.59 21 30 24.40 27.04 31 38 35.54 39.95

...

...

...

1495 1496 1497 1498 1499 1500

0.04 1.46 1.56 1.98 0.37 1.86

7380.97 7382.42 7383.99 7385.97 7386.34 7388.20

Inicio de la Tiem p o de inspección inspección (3) (4)

La gráfica de estabilización q ue se obtuvo a partir de la co lum na 8 (Tiem po p ro m e­ dio en inspección) se m uestra en la fig ura 4.6. D icha gráfica nos indica q ue el tam año de la réplica es lo suficientem ente grande para asegurar la convergencia del resultado. Cabe señalar q ue esta gráfica de estabilización corresponde a una réplica diferente a la de la ta ­ bla de eventos.

115

[ C a p ítu lo 4 Sim ulació n d e variables aleatorias

Al trabajar con procesos d ond e se involucran varia bles, actividades y eventos aleato­ rios, las variables de estado o variables de respuesta serán, en consecuencia, aleatorias. La fig ura4 .7 m uestra las gráficas de estabilización de 5 diferentes réplicas del m ism o m ode­ lo. Si bien la estabilización está asegurada, el resultado final nunca e s el m ism o ;e s e vid en ­ te q ue replicar el experim ento d ebe ser una práctica com ún en cualquier sim ulación.

G ráficas d e e sta b iliza ció n R é p lic a !• • • R é p lic a 2

R é p lic a 3

R é p lic a 4

R é p lic a 5

F ig u ra 4.7

Gráficas de estabilización de 5 réplicas independientes

P ie z a s

Al replicar el experim ento 50 veces se obtienen los resultados q ue se listan en la ta ­ bla 4.3. Para com prender el com portam iento de la variable es necesario analizar estad ís­ ticam ente esta inform ación.

Tabla 4.3 Resultados de 50 réplicas del experim ento 10.44 12.63 11.06 12.01 13.49 10.57 10.97 13.75 12.97 12.36

11.53 15.22 10.22 11.30 12.52 10.47 10.41 11.88 12.34 11.63

14.58 10.66 17.09 12.55 11.55 10.05 11.66 15.09 11.21 10.19

11.43 12.00 14.62 12.25 11.73 11.85 10.48 10.12 13.17 11.56

14.27 10.23 13.90 16.34 15.31 13.12 10.59 9.69 13.66 10.59

El análisis estadístico de la réplicas — realizado en e ste caso con la herram ienta Stat: :Fit de ProM odel— perm ite concluir, a través de una p rueb a de bondad de ajuste, q ue el tie m ­ po prom edio de espera en el proceso de inspección sigue una distribución de Erlang con los siguientes parám etros: localización 9, fo rm a 3 y escala 1.06 (vea la fig ura 4 .8 ); además tenem os los siguientes estadísticos básicos: • • 116

Media: 12.18 m inutos/pieza. Desviación estándar: 1.76 m inutos/pieza.

4.3.2 M odelo d e un p ro ce so d e e n s a m b le e in sp e cció n |

• • • • •

Intervalo de confianza co n 1 - a = 0.95: [11.66,12.69] m inutos/pieza. Valor m ínim o en la m uestra: 9.69 m inutos/pieza. Valor m áxim o en la m uestra: 17.09 m inutos/pieza. Coeficiente de asim etría (skew ness): 0.08177. Cu rto sis:-0 .0 71 .

T ie m p o

p ro m e d io d e e s p e ra

Figura 4.8 0 .8

1 .0

1 .2

1 .4

1 .6

1 .8 x 1 0 '

E r la n g < 9 ,3 ,lQ 6 )

Histograma de las réplicas (obtenido con Stat: :Fit)

4.3.2 M odelo d e un p ro ceso d e ensam ble e inspección Ejem plo 4.9 D os barras m etálicas de diferente longitud son unidas m ediante un proceso de soldadu­ ra para form ar una barra de m ayor longitud. La longitud del prim er tipo de barra sigue una distribución uniform e entre 45 y 55 cm . La longitud del segundo tipo de barra sigue una distribución 4-Erlang con m e d ia de 30 cm . Las especificaciones del producto final son de 80±10 cm . D eterm inar el porcentaje de barras fuera de especificación. Para la solución del ejem plo se requiere: •

Identificación de los elem entos:

V ariable d e estado

Cantidad d e barras fuera d e especificación

Entid ades

Barras

Evento

Com paración co n tra especificaciones 0: Dentro de especificaciones 1: Fuera de especificaciones

A ctividades

M edición de la longitud de la barra 1 M edición de la longitud de la barra 2 Soldadura de las barras 1 y 2

117

[ C a p ítu lo 4 Sim ulació n d e variables aleatorias

•

Construcción de la tabla de eventos.

Tabla 4 .4 Relación entre los elem ento s (ejem plo 4.9) C

D

E

F

G

H

L o n g itu d b a rra 1

L o n g itu d b a rra 2

L o n g itu d to ta l

fc m )

(c m )

(c m )

Ei

Es

E s t a d o d e la b a r r a

e s p e c ific a c io n e s

(2 )

(3 )

(4 )

(5 )

(6 )

(7 )

1

J

f to b a b ilid a d d e

E n s a m b le

(1 )

!

__n c i c c

e s ta r fu e ra d e

= IF (F 6 < G 6 ,1 ,IF (F 6 > H 6 ,1 ,0 ))

= S U M ($ I $ 5 :I6 )/ C 6

H 3 0 / 4 )* L N (R A N D ()

=D 7+E7

70

90

= IF (F 7 < G 7 ,1 ,IF (F 7 > H 7 ,1 ,0 ))

= S U M ($ I $ 5 :I7 )/ C 7

H 3 Q / 4 )»L N (R A N D 0

=D 8+E8

70

90

= IF (F 8 < G 8 ,1 ,IF (F 8 > H 8 ,1 ,0 ))

= S U M ( $1 $ 5 : t 8 ) / C 8 |

o

70

90

a

i !

= S U M ($ I$ 5 ;I5 )/ C 5

=D 6+E6

11

= IF (F S < G 5 ,1 ,I F (F 5 > H 5 ,1 ,0 ))

= -(3 0 / 4 )-L N (R A N D < )

! i/i

90

= (5 5 -4 5 )* R A N D O + 4 5

!

/u

2

¥

H 3 0 / 4 )* L N (R A N D Q

m

N 5 5 -4 5 T R A N D Q 4 4 5

¥

1

La tabla 4 .4 m uestra la relación m atem ática entre las diferentes variables o elem en ­ tos del sistem a; fu e desarrollada en una hoja de cálculo y el significado de cada colum na es el siguiente: 1. La longitud de la barra 1 es una variable aleatoria con distribución uniform e en tre 45 y 50 cm . Fue sim ulada con el generador R A N D () o A LEA TO RIO () de la hoja de cálculo, y CON la ecuación generadora de variables unifo rm es U¡ = a + {b - a)r¡. 2 La longitud de la barra 2 es una variable aleatoria sim ulada con la función R A N D () o 40 rr ALEATO RIO (), y CON la ecuación generadora de eventos Erlan g :ER. = - — ln( f Ir.) 3 ¡=i 3. Longitud to ta l: Esta colum na representa el proceso de soldadura, y se o btien e su­ m ando las lo ngitudes de las barras pequeñas de las co lum nas (1) y (2). 4. La v a ria b le E i sim ula el lím ite inferior de las especificaciones. 5. La variable Es sim ula el lím ite superio r de las especificaciones. 6. Se asigna el atributo de calidad a cada pieza, denom inado Estado de la barra, m e­ diante la com paración de la longitud total de la barra y los lím ites de especifica­ ción. 7. Para determ inar la Probabilidad de estar fuera de especificaciones se divide el núm e­ ro de piezas defectuosas entre el núm ero de piezas totales. Esto perm ite obtener la probabilidad com o prom edio m óvil, de m anera q ue cada vez q ue es sim ulado un nuevo ensam ble la probabilidad se recalcula. •

Sim ulación de sistem a.

Una réplica con los resultados num éricos de las ecuaciones de la tabla 4 .4 se m u es­ tra en la tab la 4.5. A partir de la inform ación de la variable aleatoria Estado de la barra (colum na 6) y m ediante una prueba de bondad de ajuste, e s posible dem ostrar q ue esa variable sigue una distribución de probabilidad de Bernoulli con m edia 0.5. 118

4.3.2 M odelo d e un p ro ce so d e e n s a m b le e in sp e cció n |

Tabla 4.5 Sim ulación del proceso (en Excel)

E nsam ble

Longitud

Lo n g itu d

L o n g itu d

barra 1 [cm]

barra 2 [cm]

to ta l [cm]

Ei

(1)

(2)

(3)

Es

E sta d o d e la barra

P ro b a b ilid a d

(4)

(5)

(6)

(7)

1 2

47.25

22.50

69.75

70.00

90.00

1.00

1.00

48.65

43.32

91.96

70.00

90.00

1.00

1.00

3

53.59

16.32

69.92

70.00

90.00

1.00

1.00

4

47.79

35.74

83.53

70.00

90.00

0.00

0.75

5

52.08

25.62

77.70

70.00

90.00

0.00

0.60

6

51.93

37.48

89.41

70.00

90.00

0.00

0.50

7

51.31

19.86

71.17

70.00

90.00

0.00

0.43

8

53.17

39.58

92.75

70.00

90.00

1.00

0.50

9

45.58

32.53

78.11

70.00

90.00

0.00

0.44

10 ...

49.10 ...

25.01 ...

74.12 ...

70.00 ...

90.00 ...

0.00 ...

0.40 ...

995

46.83

12.19

59.02

70.00

90.00

1.00

0.50

996

54.31

8.04

62.35

70.00

90.00

1.00

0.50

997

52.36

16.18

68.54

70.00

90.00

1.00

0.50

998

49.32

48.40

97.72

70.00

90.00

1.00

0.50

999

51.30

6.82

58.11

70.00

90.00

1.00

0.50

1000

49.88

38.76

88.64

70.00

90.00

0.00

0.50

•

Construcción de la gráfica de estabilización.

La gráfica de estabilización (vea la fig ura 4.9) de la inform ación de la Probabilidad (co­ lum na 7) de la tabla 4.5 p erm ite visualizar q ue la réplica e n tra a la zona de estado estable después de 200 ensam bles, y se m an tiene oscilando alrededor de 0.5 hasta el final de la sim ulación. Ésta nos p erm ite co m p ro b ar visu alm e n te q ue el experim ento tie n e las di­ m ensiones suficientes para asegurar la convergencia del resultado.

G ráfica d e e stab iliza ció n

Figura 4.9 G ráfica d e e s ta b iliz a ció n de la p ro b a b ilid a d d e q u e 201

401

601

801

1001 E n s a m b le s

una barra e sté fu e ra de e sp e c ific a c io n e s

119

[ C a p ítu lo 4 Sim ulació n d e variables aleatorias

•

Réplicas.

Al replicar el experim ento 4 2 veces, m odificando sólo la secuencia de núm eros pseu­ do aleatorios, se obtienen los resultados de la tab la 4.6.

Tabla 4.6 Resultados de 4 2 réplicas del experim ento 0.50 0.52 0.50 0.51 0.51

0.49 0.51 0.53 0.51 0.46

0.50 0.48 0.53 0.52 0.50

0.51 0.49 0.51 0.51 0.52

0.50 0.51 0.49 0.52 0.52

0.54 0.54 0.49 0.50 0.51

0.52 0.54

0.49 0.54

0.50 0.49

0.50 0.50

0.50 0.51

0.53 0.53

•

Análisis estadístico de la variable de estado:

El análisis del resultado de las réplicas de la tabla 4 .6 — realizado con ayuda de la he­ rram ienta S ta t::F itd e ProM odel— perm ite concluida través de una prueba de bondad de ajuste, q ue la Probabilidad de que un ensam ble e sté fuera de especificaciones sigue una dis­ tribución de Erlang con estos parám etros: localización, 0, fo rm a 31.5, y escala, 0 .517 (vea la figura 4.10).

P (Fuera d e e sp e cifica cio n e s) 0 .4 0 r

0.20

0.00 0.46

0 .4 8

0 .5 0

W e ib u ll (0 ,3 1 .5 ,0 .5 1 7 )

0 .5 2

0.54

Figura 4.10 Histograma de las réplicas (obtenido con Stat: :Fit)

Adem ás, la variable de respuesta tien e los siguientes estadísticos: • • • • • 120

Media: 0.509. Desviación estándar: 0.0175. Intervalo de confianza con 1 - a = 0.95: [0.504,0.514] m inutos/pieza. Valor m ínim o en la m uestra: 0.46. Válor m áxim o en la m uestra: 0.54.

4 .3 .3 M odelo d e un sistem a d e in ve n tario s | _ j

• •

Coeficiente de asim etría: -0.124. Cu rtosis: 0.014.

4.3.3 M odelo d e un sistem a d e inventarios Ejem plo 4.10 La dem anda de azúcar en una tien d a sigue una distribución exponencial con m edia de 100 kg/día. El dueño de la tien d a revisa el inventario cada 7 días, y hace un pedido a la planta igual a la capacidad de la bodega m eno s la cantidad de azúcar que tien e disponi­ ble en e se m o m ento ; la entrega e s inm ediata. La dem anda no surtida po r falta de existen ­ cias representa ven tas perdidas. La capacidad de alm acen am iento de la bodega es de 700 kg. El costo de ordenar es de $1 000/orden. El costo de faltante es de $ 6/k g y el costo de llevar el inventario es de $1/kg. D eterm inar el com portam iento del inventario a lo lar­ go del tiem p o y el costo prom edio/día para un horizonte de dos m eses. Para la solución del ejem plo se requiere: •

Identificación de los elem entos:

Variable d e estado

Inventario en el alm acén

Entidades

Clientes

Evento

Dem anda Ventas Entrega de m aterial po r parte del proveedor

Actividades

•

Cálculo d e los costos

Construcción de la tabla de eventos.

Tabla 4.7 Tablas de eventos para el ejem plo 4.10 9

B

C

D

E

F

G

In v e n ta rio 10

D ía

E n t r e g a s d e l p r o v e e d o r ________

i i

0

700

12

= B 1 1+1

= IF (M O D (B 1 2 ,7 )= 0 ,7 0 0 -G 1 1 ,0 )

13

= 812+1

= IF (M O D (B 1 3 ,7 )= 0 ,7 0 0 -G 1 2 ,0 )

14 15

in ic ia l =C11

D e m a n d a ____________

V e n ta s

In v e n ta rio fin a l

= -1 0 0 * L N (1 -R A N D O )

= IF (D 1 1 > = E 1 1 ,E 1 1 ,D 1 1 )

1= M A X (0 ,$ D 1 1 -S E 1 1 )

1 =G 11+C 12

= -1 0 0 * L N < 1 -R A N D ())

= IF (D 1 2 > = E 1 2 ,E 1 2 ,D 1 2 )

= M A X (0 ,$ D 1 2 -S E 1 2)

=G 12+C 13

= -1 0 0 * L N (1 -R A N D {))

= IF {D 1 3 > = E 1 3 ,E 1 3 ,D 1 3 )

= M A X (0 ,$ D 1 3 -$ E 1 3 )

= 813+1

= t F (M O D (B 1 4 ,7 )= Q ,7 0 0 -G 1 3 ,0 )j = < 5 1 3 + C 1 4

^ 1 0 0 » L N (1 -R A N P 0 )

= IF (D 1 4 > = E 1 4 ,E 1 4 ,D 1 4 )

= M A X (0 ,$ D 1 4 -$ E 1 4 )

=B14+1

= IF (M O D (B 1 5 ,7 )= 0 ,7 0 0 -G 1 4 ,0 )

= -1 0 0 * L N (1 -R A N D {))

= I F ( D 1 S > = E 1 5
= M A X (0 ,$ D 1 5 -S E 1 5)

=G 14+C 15

(a) Relación entre los elem entos 121

'

[ C a p ítu lo 4 Sim ulació n d e variables aleatorias

9

H

J

K

L

C o s t o d e f a lt a n t e

C o s to to ta l

C o s to p ro m e d io

1

C o s t o d e lle v a r 10

C o s to d e o rd e n a r

in v e n ta rio

11

= I F ( M O D (B 1 1 ,7 )= 0 ,1 0 0 0 ,0 )

= 1 * (D 1 1 + G 1 1 )/ 2

= IF (D 1 1 < = E 1 1 ,6 * (E 1 1 -D 1 1 ),0 )

= S U M (J 1 1 :L 1 1 )

= A V E R A G E ($ M $ 1 1

[1 2

= IF (M O D (B 1 2 ,7 )= 0 ^ 1 0 0 0 , 0 )

= 1 #(D 1 2 + G 1 2 )/ 2

= I F ( D 1 2 < = E l 2 ,6 * (E l 2 -D 1 2 ) , 0 )

= S U M f J 1 2 :L 1 2 )

= A V E R A G E ($ M $ 1 1 M I 2)

= I F ( M O D (B 1 3 ,7 )= 0 ,1 0 0 0 ,0 )

= l* (D 1 3 + G !3 )/ 2

= IF (D 1 3 < = E 1 3 ,6 * (E 1 3 -D 1 3 ), 0 )

= S U M (J 1 3 :L 1 3 )

= A V E R A G E ($ M $ 1 1 M 1 3 )

14

= I F ( M O D (B 1 4 ,7 )= 0 ,1 0 0 0 ,0 )

= l* (D 1 4 -K j1 4 )/ 2

= IF (D 1 4 < = E 1 4 ,6 * (E 1 4 -D 1 4 ), 0 )

= S U M (J 1 4 :L 1 4 )

= A V E R A G E ($ M $ 1 1 M 1 4 )

15

= IF (M O D (B 1 5 ,7 ) = 0 ,1 0 0 0 ,0 )

= 1 * (D l5 + O l5 )/ 2

= IF (D 1 5 < = E 1 5 ,6 * (E 1 5 -D 1 5 ), 0 )

= S U M (J 1 5 :L 1 5 )

= A V E R A G E ($ M $ 1 1 M 1 5 )

m

u

)

«

(b ) R e la c ió n e n t r e lo s c o s to s

Las tablas 4.7(a) y 4.7(b) m uestran la relación m atem ática entre las d iferentes varia­ bles o elem entos del sistem a; la tabla está desarrollada en un program a de hoja de cálcu ­ lo, y el significado de cada co lum na es el siguiente: • •

• •

B: Contador de los Días transcurridos. C: En esta co lum na se sim ulan las Entregas de m aterial: cada siete días se restable­ ce el inventario en un nivel de 700 kg. Los valores se calculan com o la d iferencia en ­ tre la Capacidad del alm acén y el Inventario final del día anterior. El uso de la función residuo o m ódulo (MOD) perm ite co ntrolar q ue la entrega se realice cada vez que el Día (colum na B) sea m últiplo de siete. D: El Inventario a l inicio del día se calcula sum ando el Inventario final del día ante­ rior y las Entregas de m aterial po r parte del proveedor. E: La D em anda es una variable aleatoria con distribución exponencial y m e d ia de 100 kg. Se sim ula m ediante el generador RAND( )o ALEATORIO() de la hoja de cálcu ­ lo y la ecuación generadora £, = - 7 ln (1 - r¡)

A

• • • • •

• •

122

F: Las Ventas representan la cantidad q ue le fu e entregada al cliente, y se calcula como el valor m ínim o en tre el Inventario a l inicio del día y la Demanda. G : El Inventario a l final del día se calcula restando las Ventas (colum na F) del Inven­ tario inicial del día (colum na D), verificando previam ente q ue no exista faltante. H : En esta co lu m n a la fun ció n residuo o m ódulo (MOD) perm ite increm entar en $1 000 el Costo de ordenar cada v e z q ue llegue una orden a la tienda. I: Se calcula el inventario prom edio d urante el día, y el resultado se m ultiplica por $ 1 /kg. J : En caso de no cub rir la Dem anda, el Costo de faltante se calcula m ultiplicando la dem anda no surtida en ese día po r el costo de faltante por unidad, q ue en el ejem ­ plo e s de $ 6/kg. K : El Costo to ta l se determ ina m ediante la sum a de las co lum nas Costos de inven­ tario, Faltante y Ordenar. L: La form a de calcular esta co lum na perm ite te n e r el Costo to ta l com o prom edio móvil: cad a vez q ue se sim u la un nuevo día, el costo se recalcula. Con esta co lum ­ na se analiza la estabilidad de la variable inventario prom edio.

4 .3 .3 M odelo d e un sistem a d e in ve n tario s | _ j

•

Sim ulación de sistema:

La tabla 4.8 m uestra q ue los resultados es una réplica de 14 días de la sim ulación del sistema, utilizando las ecuaciones de las tablas 4.7(a) y 4.7(b). Tabla 4.8 Tabla de eventos del sistem a de inventarios (realizada en Excel) Entregas

C o sto d e

del

A ve n ta rio

Oía

p ro veed o r

inicial

D em anda

Ventas

0

700.00

A v e n ta rio

C o sto d e

llevar

C o sto d e

Costo

C o sto

fin al

o rd e n ar

inven tario

feltan te

to tal

p rom edio

1 000 .00

700.00

181.23

181.23

518.77

609 .39

1 60939

1 609 .39

1

518.77

29.40

29.40

48937

504.07

504.07

1 056 .73

2

489 .37

205.65

205.65

283.72

386.55

386.55

83333

3

283.72

112.36

11236

17136

227.54

227.54

681 .89

4

17136

107.42

107.42

6 3.9 4

117.65

117.65

569.04

5

6 3.9 4

77.26

6 3.9 4

0 .0 0

31.97

79.96

111.93

492 .85

6

0 .0 0

43.34

0.00

0 .0 0

0.00

260.06

260.06

459 .60

700.00

42.02

4 2.0 2

657 .98

1 678 .99

612 .02

8

657 .98

1 2136

12136

536.61

59730

59730

61038

9

536.61

83.89

8 3.8 9

452 .73

494 .67

494 .67

598.81

10

45273

13931

139.21

313.52

383.12

383.12

579.20

11

313.52

185.00

185.00

128.51

221.01

221.01

549.36

12

128.51

46.62

4 6.6 2

8 1.8 9

105.20

105.20

515.19

13

8 1.8 9

329.79

329.79

0 .0 0

40.94

1 52837

587.56

700.00

150.99

150.99

549.01

1 624.51

656 .69

7

14

700.00

700.00

•

1 000 .00

678 .99

1 000 .00

1 487 .43

624.51

Resultados:

La fig ura 4.11 m uestra el com portam iento del inventario al inicio del día (colum na C) a lo largo del tiem po, para el periodo sim ulado de 60 días.

C o m p o rtam ie n to d e l in v e n tario 700 600 500 400 300 200

-

100 -

01

8

15

2 2

29

36

43

50

57

Días

Figura 4.11 Simulación del sistema de inventarios (realizada en Excel) 123

[ C a p ítu lo 4 Sim ulació n d e variables aleatorias

El análisis del costo promedio de operación de la tienda incluye prim eram ente las g rá­ ficas de estado estable (figura 4.12) de cinco réplicas independientes d e los resultados de la tabla 4.8. El resultado nos perm ite observar la convergencia del costo respecto del tiem po.

Los valores finales del costo de operación de estas cinco réplicas son 592.55,527.45, 5 0 6 .1 3 ,6 0 5 .5 9 y 597.85. Con esta in fo rm ació n calcu lam o s un v a lo r pro m ed io de 565.9 y una desviación están d ar de 4 5 .7 . D ebido a q ue esta inform ación es in su ficien te para dem ostrar la norm alidad de los datos, el cálculo del intervalo de confianza con un nivel de significancia de 90% se realiza m ediante el teo rem a d eTch eb ych eff: IC = x V ñ ¡2 IC = 5 6 5 .9 -

'

x + " ' V r ^ j2 _

45.7 V ( 5 ) ( 0 .0 5 )

565.9 +

45.7

V (5)(0.05).

IC = [474.49 -6 5 7 .3 3 ] $/día

4.4 Selecció n d e len g u ajes d e sim u lació n En un principio, los program as de sim ulación se elab oraban utilizando algún lenguaje de propósito general, como ASSEM BLER, FORTRAN, ALGOL o LP/1. A partir de la década de 1960 hacen su aparición los lenguajes específicos para sim ulación q ue perm iten a analis­ tas y program adores desarrollar m odelos de una fo rm a m ás rápida, g racias a m ódulos es­ tandarizados. En aquella ép o ca surgieron lenguajes com o GPSS, GASP, SIMSCRIPT, SLAM, SIMAN y SSED. En la últim a década del siglo pasado la aparición de las interfases gráficas revolucionan el campo de las aplicaciones en esta área, y ocasionaron el nacim iento de los sim u lado res, con los cuales se ha facilitado enorm em ente la program ación de los m odelos. En el terreno práctico, es im portante utilizar la aplicación q ue m ejo r se adecúe al t i­ po de sistem a a sim ular, ya que de la selección del lenguaje o sim ulador d ependerá el 124

4 .4 Selección d e le n g u aje s d e sim u lació n |

tiem po de desarrollo del m odelo de sim ulación. Las o pciones van desde las h ojas de cálculo, lenguajes de tipo general (com o Visual Basic, C++ o FORTRAN), lenguajes especí­ ficos d e sim ulación (com o GPSS, SLAM , SIMAN, SIMSCRIPT, GAS y SSED), hasta sim uladores específicam ente desarrollados para diferentes objetivos (com o SIMPROCESS, ProModel, W itness,Taylor II y Crystal Ball). En la actualidad la selección del lenguaje o sim ulador depende de los siguientes fac­ tores: 1. Los m ercados prim arios a los q ue atenderá la sim ulación, así com o las aplicaciones típ ic a s en q ue se le u tilizará, po r e je m p lo : a d m in istració n estratég ica, logística, telecom unicaciones, m anufactura, sistem as m ilitares, sistem as de salud, m anejo de m ateriales, análisis de riesgo, sim ulación continua o discreta, etcétera. 2. Requerim ientos de eq uip o ,co m o plataform a o sistem a operativo, m em oria RAM y utilización de disco duro. 3. Capacidad de construcción y program ación del m odelo a través de iconos o m e­ diante procesos de tipo "arrastrar y colocar" {drag and drop), así com o acceso a pro­ gram ación estándar. A este respecto tam bién es im po rtante co nsiderar el tiem po y la velocidad en la detección de errores, así com o la posibilidad de re utilizar par­ tes de código, objetos o plantillas (tem plates). 4. Inclusión de herram ientas com plem entarias para la realización de pruebas de bondad de ajuste en fo rm a autom ática, el análisis de las variables de respuesta, la posibili­ dad de crear diseño de experim entos y la optim ización del sistem a sim ulado. 5. La animación del sistema, considerando aspectos com o velocidad, uso de diferentes vistas,facilidad de exportación, com patibilidad co n otras aplicaciones y la posibili­ dad de poder prescindir del uso de la anim ación. 6. El costo y el tipo de licencia otorgada, así com o el soporte técnico y la facilidad de entrenam iento y uso de m anuales y ayudas en línea. 7. Otras consideraciones, co m o la capacidad de em paquetam iento de los m odelos, la distribución a otros usuarios, y la capacidad que tenga la com pañía para actualizar su producto. Algunas aplicaciones en el área de sim ulación disponibles actualm ente en el m ercado son: Analytica

AnyLogic 5.0

Arena

AutoMod

Crystal Ball

DecisionPro

eM-Plant

Enterprise D ynam ics 5.0

DecisionScript

Extend

Factory Explorer

FirstSTEP D esigner

Flexsim

GAUSS

GoldSim

GPSS

MAST

Micro Saint

M ystrategy

NAG SMP Library

125

[ C a p ítu lo 4 Sim ulació n d e variables aleatorias

PASION Sim ulation

PIMSS System

ProcessModel

ProModel

Proplanner Man ufactu ring Process M anagem ent Softw are

ProVision

Reso u rce M anager

SAIL

SansGUI M odeling and Sim ulation Environm ent

SAS Softw are

Show Flow

SIGMA

SIMPROCESS

SIMUL8

SLIM

Supply Chain Builder

VisSim

Visual Sim ulation Environm ent

W itness

4.5 Problem as 1. En un restaurante de com ida rápida se venden ham burguesas a $6 cada una, con un costo de producción po r unidad de $3.5. Al realizar un estudio se ha encontrado que la dem anda po r hora en este local se distribuye de acuerdo con la siguiente función de probabilidad:

D em anda Probabilidades

0

1

2

3

4

5

6

0.10

0.15

0.25

0.20

0.15

0.08

0.07

Sim ule la utilidad prom edio por hora q ue se obtendría en 100 ho ras de trabajo. Realice 5 corridas y construya la g ráfica de estabilización de la utilidad prom edio p a­ ra cada corrida, incluyendo su respectivo intervalo de confianza a 95 po r ciento. ¿Con­ sidera q ue las conclusiones obtenidas son estadísticam ente válidas? ¿Por qué? ¿Cuál e s la diferencia de co ncluir usando los intervalo s de confianza de cad a réplica y em ­ plear el intervalo de confianza global para las 5 réplicas? 2 D espués de realizar una sim ulación de 5 réplicas se obtuvieron los siguientes valores en estado estable para el nivel de ingresos prom edio m ensual de una com pañía: 1 236,1 324,1 289,1 302 y 1 265. D eterm ine el intervalo de confianza para establecer el verdadero valor del nivel de ingresos prom edio m ensual de la com pañía. 3. A un operario le llegan ciertas piezas para que las inspeccione; la revisión se desarrolla de acuerdo con la distribución de tiem p o f = 3 r S i el operario recib e un lote de 10 126

4 5 Pro b lem as | :

piezas, sim ule cuánto tiem p o tardará en revisar el lote. Utilice los siguientes núm eros aleatorios: 0.6251, 0.5948, 0.6674, 0.2807, 0.9359, 0.1655, 0.1189, 0.7857, 0.4783, 0.9987. 4. Se tien e un proceso de fabricación de refrigeradores. La dem anda diaria de este pro­ ducto está norm alm ente distribuida. La dem anda prom edio e s de 80 refrigeradores por día, con una desviación estándar de 10 refrigeradores diarios. Se desea saber cuál es la m ejor política de producción, considerando 60, 70, 80, 90 y 100 refrigeradores por día. El co sto po r faltante es de $8/refrigerador po r día, y el costo de te n e r un refri­ gerador en el inventario es de $5/refrigerador po r día. a) Se le pide realizar 5 corridas de 100 días para cada política. b) Obtenga el costo prom edio po r día de cada política, y un intervalo de confianza para ese prom edio diario. c) D eterm ine,con base en sus resultados, cuál de las políticas seleccionadas es la que debe im plem entar la em presa. 5. Un cilindro con diám etro será insertado en un agujero con diám etro xr Si x } sigue una distribución norm al con m edia de 1.5 cm y varianza de 0.0016, y x2 una d istribu­ ció n 2-Erlang y una m edia de 2.5 c m ,sim u le en una hoja de cálculo la inserción de 500 cilindros y determ ine m ediante el estim ador la probabilidad de q ue haya interferencia (es decir, q ue cilindro pequeño no en tre en el agujero). 6. Una barra de longitud x } será unida m ediante soldadura a otra de longitud x 2. Si x} si­ gue una distribución normal con m edia de 30 cm y varianza de 0.81, y x 2 una distri­ bución Erlang con k = 2 y una m edia de 15 cm , sim ule la soldadura de 3 00 barras, tom ando en cuen ta q ue la especificación superior de diseño es d e 50 cm . Tam bién determ ine el estim ador de la probabilidad de q ue una barra esté fuera de especifi­ cación. 7. Un proceso consta de 2 etapas: la prim era tie n e una duración de t} m inutos y la se­ gunda dura t2 m inutos. Si t1 sigue una distribución normal con m edia de 30 m in y va­ rianza de 10 m in, y t2 una distribución 3-Erlang y una m edia de 20 m in, y si el tiem po máximo de producción perm itido de este proceso es de 55 m in, sim ule en una hoja de cálculo la producción de 1 000 piezas y estim e la probabilidad de q ue una pieza consum a m ás tiem po del perm itido. 8 Un tirador de flecha se encuentra entrenando para las próxim as olim piadas. El blan­ co a q ue le dispara consiste en un cuadrado de 10 cm x 10 cm . Un equipo de investi­ gadores m idió el com portam iento histórico de su pulso, y llegaron a la conclusión de q ue la desviación de cada disparo respecto del centro es norm al (
[ C a p ítu lo 4 Sim ulació n d e variables aleatorias

9. En el cierre de la novena entrada del 7o ju e g o del Clásico de Otoño en el Yankee Stadium , Kevin Brow n, lanzador de los Padres de San Diego, se en fren ta a Chili Davis, b a­ teador del equipo contrario. Los Padres de San Diego m antienen una m ínim a ventaja de 1 a 0. Con casa llena, 2 o uts y 1 bola en la cuen ta del bateador, Davis recib e la se­ ñal de esperar. El árbitro ha estado m anteniendo una zona d e strike de 4 0 cm x 40 cm. Estadísticam ente, Kevin B ro w n lanza la pelota respecto del centro de la zona de stri­ ke co n una desviación norm al (cr = 10) cm en el eje "y "y uniform e(-30, +30) en el eje "x^Simule en una hoja de cálculo hasta q ue el bateador q ued e elim inado, y calcule: a) El porcentaje de strikes al sim ular sólo una réplica. b) El intervalo de confianza a un nivel de 95% de la distancia entre el punto po r d o n ­ de pasó el lanzam iento y el centro de la zona de strike, usando 100 réplicas. Nota: Con 3 strikes (strike = lanzam iento en la zona de 4 0 x 40) acum ulados, el batea­ dor pierde; co n 4 bolas (bola = lanzam iento fuera de la zona) el bateador gana. 10. La llegada de clientes a un banco con 2 cajeras y una fila tien e una distribución de Poisson con m edia de 4 0 personas/h. Sim ule en una hoja de cálculo este proceso d u ­ rante 8 h y determ ine el tiem po prom edio en el sistem a, sabiendo q u e el proceso de servicio e s exponencial con m edia 4 .4 m inutos/cliente. 11. Se tie n e un proceso al cual llegan piezas con una distribución de probabilidad. Estas piezas pasan po r un proceso de inspecció n d ond e un operario las revisa, tard and o 6 ± 2 m inutos po r pieza. El porcentaje de rechazos q ue se tien e es de 15%, y las piezas defectuosas son elim inadas. Asum iendo que el inspector siem pre tie n e piezas dispo­ nibles para revisar, sim ule e ste sistem a d urante 100 piezas. a ) Realice 5 corridas y determ ine, po r m edio de un intervalo de confianza, el valor prom edio de piezas defectuosas q ue se generarán en el sistem a. b) ¿Considera q ue los resultados o b ten id o s de la sim ulación son confiables? ¿Por qué? 12. A un centro de m aquinado llegan diversas piezas para ser procesadas. Cada pieza se trabaja bajo los siguientes tiem p o s: 30% tarda 2 m in ;co n distribución expo nencial, el 35% tarda 3 ± 1 m in ; 20% tarda 4 min. D e m anera constante, 15% se distribuye de acuerdo con una distribución norm al con m edia de 5 m in, y con una desviación es­ tánd ar de 1 min. Por otra parte, 5% del total de las piezas m aquinadas son retiradas com o producto no conform e, y enviad as al área de reproceso. a ) Sim ule el sistem a hasta obtener 100 piezas buenas. b) Realice 5 replicas y calcule un intervalo de confianza para el tiem po necesario p a­ ra com pletar las 100 piezas. c ) ¿Considera q ue los resultados obtenido s en el inciso c tienen validez? En caso de que no los considere válidos, ¿qué sugiere para m ejorar sus conclusiones? 13. Un cam ión de reparto tarda 30 ± 10 m inutos en ser cargado, 20 ± 5 m inutos en ser descargado y 4 0 m inutos con distribución exponencial en trasladarse, ya sea de su base al lugar de entrega, o del lugar de entrega a su base. a) Sim ule el sistem a po r 10 horas y realice 5 replicas. 128

4 .5 Pro b lem as | '

b) Calcule un intervalo de confianza para el núm ero de viajes que se pueden hacer en un día. c) Sólo hay espacio para cargar un cam ión a la vez. Si la em presa necesita realizar al m enos 10 entregas po r día, ¿qué recom endaciones daría para lograrlo? Justifiq ue su respuesta y establezca sus supuestos. 14. A una estación de gasolina q ue cu e n ta con una sola bom ba llegan clientes a una ta­ sa de 10 po r hora co n distribución exponencial. Esto s clientes son atendidos po r el operador de la bom ba, q ue les da el servicio y les cobra. El tiem p o de servicio se dis­ trib uye exponencialm ente con m edia de 4 m inutos por cliente. a) D eterm ine el núm ero prom edio de clien tes en el sistema. b) D eterm ine el porcentaje del tiem p o que el operador está ocupado. c) D eterm ine el tiem p o prom edio de perm anencia en la fila. 15. Por un proceso de co ntro l de calidad pasan cajas de m anera co nstante, para inspec­ cionar al azar cierto núm ero de productos de una caja seleccionada tam bién arbitra­ riam ente. La probabilidad de seleccionar una caja para inspección es de 30% ; de las cajas q ue se revisan, en 50% de los casos se revisa sólo un producto, e n 30% 2 produc­ tos y en el 20% restante 3 productos. Se sabe q ue la probabilidad de q ue una caja contenga uno o m ás productos defectuosos es de 2% , y q ue la probabilidad (en por­ centaje) de que este producto sea encontrado d urante la inspección es de (10 X nú­ mero de productos inspeccionados). a) Sim ule 100 cajas q ue pasan por el proceso de control de calidad. b) D eterm ine el núm ero de cajas q ue contendrán productos defectuosos al ser ins­ peccionadas. c ) D eterm ine cuántas cajas co n productos defectuosos no fueron detectadas. Si el costo de q ue una caja con productos defectuosos salga al m ercado es de $20/caja, determ ine el costo total en el q ue se incurriría.

129

CAPÍTULO 5

SIMULACIÓN CON PROMODEL

5.1

Introducción al uso de ProModel

5.2

Elem entos básicos

5.3

Estructura de program ación en ProModel

5 .4

Construcción de un m odelo 5.4.1

Modelo M /M /l de líneas de espera

5.4.2

M ejoram iento visual del m odelo

5.4.3

Modelado de un sistem a q ue incluye m ás de un proceso

5.4 .4

Inclusión de gráficos de fondo en el m odelo

5.5

Caso integrador

5.6

Problem as

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

5.1 Introducción al uso d e ProM odel ProModel es uno de los paquetes de softw are co m ercial para sim ulación m ás usados en el m ercado. Cuenta con herram ientas de análisis y diseño que, unidas a la anim ación de los m odelos bajo estudio, perm iten al analista conocer m ejo r el problem a y alcanzar re­ sultados m ás confiables respecto de las decisiones a tom ar. Básicam ente, este producto se en fo ca a procesos de fabricación de uno o varios pro­ ductos, líneas de en sam b le y de transform ación, entre otros. La m ism a com pañía de desa­ rrollo ofrece o tros paquetes, com o MedModel y ServiceM odel, diseñados para sim ulación de sistem as m édicos y de servicios, respectivam ente. Sin em bargo, aunque no es su espe­ cialidad, podem os realizar buenas sim ulaciones de operaciones de servicio usando Pro­ Model, tal com o se verá a lo largo de este capítulo. Para conocer las noticias m ás recientes sobre nuevos productos y casos de aplica­ ción, visite la página Web http://www.prom odel.com , la cual tam bién pone a su disposición dem os de sus artículos e inform ación referente a los m ism os.

5.2 Elem en to s b ásico s En ProModel podem os distinguir una serie de m ódulos q ue perm iten al analista hacer un estudio m ás com pleto sobre el m odelo q ue q uiere sim ular. Cada uno de estos m ódulos cuenta con herram ientas de trabajo q ue hacen de ProModel uno de los m ejo res paque­ tes de sim ulación q ue existen en el m ercado. A continuación darem os una breve descrip­ ción d e cada uno de ellos. ProM odel. & el área de trabajo donde se definirán el m odelo y todos sus com ponentes. En este m ódulo se program a todo lo q ue tie n e q ue ver co n las relaciones en tre las varia­ bles del m odelo, tanto contadores com o relaciones lógicas, flujos, actividades y ciclos de producción, po r ejem plo. Editor gráfico. El ed ito r gráfico de ProModel cu e n ta con una serie de bibliotecas que perm iten dar una m ejo r presentación visual a los m odelos realizados. Adem ás cu e n ta con la capacidad de im portar y crear las im ágenes necesarias para representar con m ayor pro­ piedad el problem a a sim ular. Incluso pueden im portarse d ibujos hechos con algún so ft­ ware para dicho propósito. Resultados. ProModel cuenta con una interfaz de resultados q ue facilita la adm inistra­ ción, el m anejo y el análisis d e la inform ación. En e ste m ódulo se pueden ver los re sulta­ dos de to d as las variables del m odelo. A lg un as d e ellas se reportan de m anera autom ática, y otras se obtienen bajo solicitud expresa del analista. Adem ás, el m ódulo perm ite la interacción con program as de hoja de cálculo, com o Excel. Stat: :Fit. El software incluye una herram ienta estadística llam ada Stat::Fit (algunas de cuyas funciones se com entaron ya en el capítulo 3), q ue p erm ite hacer pruebas de bo n ­ dad de aju ste sobre datos m uestra, produciendo inform ación m u y im po rtante para d eter­ m inar las distrib uciones aso ciad as a las variables aleato rias del m odelo. Adem ás, constituye una gran ayuda si se desconoce cóm o alim entar distribuciones com plejas de la biblioteca de ProM odel en el m odelo de sim ulación.

132

5.4.1 M odelo M/M/1 d e líneas d e e s p era |~~|

Editor d e tu rn o s. El ed ito r de tu rn o s p erm ite asignar tu rn o s de trabajo a los elem entos del m odelo que lo requieran, po r ejem plo, descansos program ados, com o el tiem p o de com ida. Sim runner. Ésta e s una herram ienta m u y útil en el análisis posterior del m odelo. Con ella se pueden diseñar experim entos destinados a conocer el impacto de factores críticos que se generan a partir de la variación en los valores de las variables aleatorias seleccionadas para ello. Asim ism o, perm ite discernir cuál e s la m ejo r com binación de factores para obtener el m áxim o beneficio al m ejorar un proceso. Referencias y Ayuda. Estos m ódulos de ProM odel facilitan el uso y la program ación del software.

5.3 Estru ctu ra d e p ro g ram ación en ProM odel En ProM odel, la program ación para la sim ulación constituye sólo una parte del proceso de construcción del m odelo ya que, com o se ha m encionado, el software tam bién cuen ta con diversas herram ientas — d e anim ación, po r ejem plo — q ue el analista d ebe aprender a m anejar para obtener los m ejores resultados. A fin de ayu d a rle a lo g rar una co m prensió n integral acerca del uso de ProM odel, en este cap ítulo u tilizare m o s vario s e je m p lo s q ue nos llevarán de lo m ás sim p le a lo m ás com plejo. A pesar de lo anterior, esta obra no pretende cub rir de m anera exhaustiva todos y cada uno de los e le m e n to s q ue com ponen el producto. Si desea o b tener m ás d etalles respecto de su fu n cio n a m ie n to , le re co m end am o s co nsu ltar los m a n u a le s de referencia q u e acom p añ an al paquete.

5.4 Construcción d e un m odelo En esta sección com enzarem os nuestro análisis de algunas de las instrucciones de pro­ gram ación del paquete. Para em pezar, com entarem os algunos m odelos básicos de líneas de espera.

5.4.1 M odelo M/M/1 d e lín eas d e espera Un m odelo sencillo de líneas de espera podría describirse co m o aquel en d ond e el tiem ­ po en tre llegadas y el tiem po de servicio son exponenciales. Considerarem os que el o r­ den de atención (clientes en espera de algún servicio, piezas involucradas e n un proceso de ensam ble, etc.) sigue la estructura "prim ero q ue llega, prim ero en recibir atención" Por otro lado, darem os po r sentado q ue tanto la capacidad de clientes (o piezas) que puede haber en el sistem a analizado en un tiem po determ inado com o la población q ue pue­ de requerir del servicio, son infinitas. Ejem plo 5.1 Una prensa cuen ta co n un sistem a autom atizado de carga y descarga de piezas. Al siste­ m a llegan piezas de diferentes características cada 5 m inutos, con distribución exp o n e n ­ cial. La prensa tarda 4 m inutos, tam bién co n distribución exponencial, e n te rm in a r su 133

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

trabajo con cada pieza, considerando carga, proceso y descarga. Asum iendo q ue se pue­ de ten er cualquier cantidad de piezas esperando a ser procesadas, sim ular el proceso por 100 días. Un prim er análisis del problem a nos perm ite ver q ue nuestro sistem a incluye diferentes elem entos a considerar. D ebem os su po n er q ue las piezas llegan a una fila de espera, des­ pués son procesadas e n la prensa y abandonan, po r últim o, el área de trabajo con destino hacia algún otro alm acén y/o proceso. Dado que lo q ue ocurra con ellas al salir de la p ren ­ sa no nos interesa de m om ento, el sistem a bajo análisis concluye cuando se term inan las piezas en la prensa. Una vez identificados e sto s detalles, procederem os a realizar la pro­ gram ación para sim ular el proceso en ProModel. El prim er paso, po r supuesto, consiste en ejecutar el softw are para com enzar a tra ­ bajar en la definición del sistem a q ue deseam os m odelar. Una vez q ue se despliegue la ventana del program a, em pezarem os po r construir las localizaciones, e s decir, una repre­ sentación de todos aquellos lugares físicos d ond e las piezas serán trabajadas o esperarán su turno para ser procesadas. En este caso el sistem a cuen ta sólo con una fila o alm acén tem poral, y co n la prensa en d ond e se realizará el trab ajo . Para d e fin ir d ich as lo ca liza ­ ciones, ab ra el m enú Build y haga clic en el com ando Lo catio n s,com o se m uestra en la figura 5.1.

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Figura 5.1

El com ando Locations del m enú Build nos perm ite com enzar a crear h s localizaciones para nuestro m odelo

Adem ás de Locations, el m enú Build agrupa to d o s los com andos referentes a la co ns­ trucción de elem entos dentro del diseño de nuestro sistem a: Entities (entidades), Path N etw orks (rutas de m ovim iento de los recursos o entidades), Resources (recursos), Arrlvals (llegadas de en tid ad es al sistem a) y Processing (la program ación de la sim ulación en sí m ism a),entre otros. {Nota: Al igual q ue m uchos otros program as, ProModel ofrece la posibilidad de acceder a sus com andos tanto a través de los m e n ú sco m o m ediante m éto d os abreviados de te cla ­ do. Para co no cer dichos m étodos, abra cualq uiera de los m e n ú s y observe la referencia a 134

5.4.1 M odelo M/M/1 d e líneas d e e s p era |~~|

las teclas correspondientes a la derecha de cada com ando [vea la fig ura 5.1]. Por ejem plo, para ejecutar el com ando Locations oprim a sim ultáneam ente las teclas Ctrl y L.)

Una vez q ue ejecu te el com ando Locations aparecerán tre s ventanas en la pantalla: Loca­ tions, Graphics y Layout (vea la fig ura 5.2). En la prim era definirem os las características de las localizaciones y en la segunda las de los gráficos; la tercera ventana co nstituye el área en donde determ inarem os la configuración general del m odelo. Gracias a la interfaz gráfica del program a, para definir cada una de las localizaciones podem os proceder de dos m aneras. La prim era consiste en escribir d irectam ente en los cam pos de la ventana Locations la inform ación correspondiente a cada localización: nom bre, capacidad de atención, núm ero de unidades, estado, reglas y dem ás datos rela­ cionados. La otra es m ás intuitiva y aprovecha los botones del área Graphics y la caracte­ rística de "arrastrar y co lo car"EI procedim iento e s com o sigue: •

•

•

Haga clic en uno de los ico no s del área G raphics y, sin soltar el botón del ratón, arrástrelo hasta la ventana Layout y libere el botón. D e esta m anera h abrá creado una nueva localización. El icono correspondiente tendrá un nom bre preasignado en el cam po Ñ am e de la ve n tan a Lo catio ns. Para ca m b ia r el nom bre, sim plem en te selecciónelo y escriba. Para quitar la selección del icono actu al, sólo elija un nuevo icono y repita la operación. Para señalar los lugares a d ond e querem os q ue lleguen las entidades, haga c lic en el icono predefinido de localización (un círculo rojo con una equis blanca j j T ) y, sin soltar el botón del ratón, arrástrelo hasta la posición deseada en la ventana Layout. Para agregar texto a las localizaciones, haga c lic en el botón de texto de la ventana G raphics (Ao). Este texto pu ed e editarse con sólo hacer d oble c lic sobre él.

Aunque para este prim er ejem plo no es necesario, se puede alim entar el m odelo con m ás inform ación respecto de las localizaciones; po r ejem plo, su capacidad de atenció n a entidades, el núm ero de localizaciones iguales, si se tom arán en cuen ta los tiem p o s de descom postura, etcétera. {Nota: Es im po rtante señalar q ue los gráficos únicam ente constituyen un elem ento visual de apoyo, y no la sim ulación en sí mism a.) En el caso particular de nuestro ejem plo, debem o s co nsiderar q ue to d a pieza q ue llegue puede esp erar a ser atendida. Para ello definirem os una localización a la q u e llam arem os "fila" y le asignarem os una capacidad infinita en el cam po Cap. escribiendo infinite,o sim ­ plem ente inf, para cada localización. Si po r alguna razón deseáram os cam biar el icono de una localización,todo lo q ue hay que hacer es: • • •

Seleccionar la fila en q ue reside dentro de la ventana Locations. O prim ir la tecla Supr (o Delete). D esm arcar la casilla de verificación New de la ventana G raphics y seleccio n ar el nuevo icono. 135

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

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Figura 5.2

Definición d e localizaciones en ProModel

Otra posibilidad consiste en hacer clic con el botón derecho del ratón en el icono que define la localización en la ventana Layout.Enseguida aparecerá un m enú co ntextu al con ODmandos para editar o elim inar la localización y borrar, incluso, to d a la inform ación refe­ rente a ella. Por ejem plo, si selecciona el com ando Edit G rap hic podrá m odificar el tam a ­ ño y color del icono seleccionado, pero no la localización en sí m ism a. Para usar un gráfico diferente que identifique la localización, tendrá que borrar el actual y rem plazado po r el nuevo. (/Vota:Si olvida desm arcar la casilla de verificación New de la ventana Graphics, al reali­ zar cualq uiera de las acciones anteriores estará creando m ás localizaciones de las n ecesa­ rias [en el caso d e nuestro ejem plo, dos]. Para elim inar aquellas q ue no le sean útiles, seleccione la fila apropiada en la ventana Locations, abra el m enú Edit y haga clic en el com ando Delete.) Para continuar, definirem os la localización q ue representará la prensa. Igual q ue antes, se­ leccione un icono cualq uiera en la ventana Graphics. Gracias a la in terfaz gráfica de Pro­ Model pu ed e anexar una posición sobre el icono, de m anera que "se vea" q ue la pieza llega a la prensa; para ello, em plee el botón I H - U na vez concluidas estas definiciones prelim inares, la ventana Layout podría lu cir co m o se ilustra en la fig ura 5.3. 136

5.4.1 M odelo M/M/1 d e líneas d e e s p era |~~|

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Figura 5.B

Definición de localizaciones en Layout

Una vez definida la configuración del proceso, pasarem os a definir la entidad que re­ presentará la pieza en proceso. Para ello: •

Abra el m enú B uild y haga clic en el com ando Entities. Una vez más, en la panta­ lla aparecerán tre s ventanas: Entítíes, Entity Graphics y Layo ut,cuyo propósito es m u y sim ilar al de sus eq uivalen tes en el caso de la definición de localizaciones.

Tanto la definición de entidades com o su edición se lleva a cabo m ediante procedi­ m ientos parecidos a los q ue se realizaron co n las localizaciones. Es posible m odificar el gráfico seleccionado para cam biar sus dim ensiones y su color, y definir, com o se describe a continuación, varios gráficos para una m ism a entidad: •

D esm arque la casilla de verificación New de la ventana Entity G rap hics.En seg ui­ da aparecerán n uevo s lugares para definir m ás ico no s q ue identifican la m ism a en ­ tid ad ; una vez seleccionado el icono, su pantalla será sim ilar a la q ue se ilustra en la fig ura 5.4.

(Nota: Al igual q ue e n el caso de las localizaciones, si m an tiene m arcada la casilla de veri­ ficación N ew definirá nuevas en tid ades co n cada selección de ¡cono q ue haga.) 137

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

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Figura 5.4

Definición d e entidades

Una vez definidas las entidades determ inarem os su frecu encia de llegadas a nuestro m o­ delo. Para ello: •

Abra el m enú Build y haga c lic en el com ando Arrivals. A continuación se desple­ gará la ven tan a A rriv a ls (vea la fig u ra 5.5). En ella d efinirem o s la fre cu e n cia de llegadas para nuestra pieza.

P io M u d n l

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Figura 5.5

•

138

Definición de llegadas de la entidad al sistema

Para seleccionar la entidad oprim a el botón Entity. Luego especifique a q ué locali­ zación llegará la entidad; en este caso será a una localización llam ada "fila": haga

5.4.1 M odelo M/M/1 d e líneas d e e s p era |~~|

• • •

•

d ic en el botón Location para que se desplieguen tod as las localizaciones q ue de­ finim os previam ente. Ahora determ ine, en la co lum na Q ty Each ,cuántas piezas llegarán cada vez q ue se cum pla el tiem p o e n tre llegadas;en este caso determ inam os una (1) a la vez. Prosiga su trabajo, especificando esta vez el tiem p o de ocurrencia del prim er e ve n ­ to de llegada en la co lum na First Tíme. En la co lu m n a O ccurrences debe indicarse el núm ero de repeticiones del evento de llegada. En e ste caso especifique infinite (o sim plem en te inf), lo cual im plica que se adm itirá un núm ero infinito de eventos de llegada. En la co lu m n a de Freq u ency especifique la distribución del tiem p o en tre llegadas; en este caso m anejarem os un valor exponencial con m edia de 5 m inutos: e(5) min.

{Nota: Si desea conocer las opciones predeterm inadas de las distribuciones de probabili­ dad q ue ofrece ProModel, despliegue la ayuda del program a haciendo clic en el m enú H elp,co nsu lte el tem a Functions y elija la opción Probabilíty Distributions.) Finalm ente com pletarem os nuestro m odelo definiendo la lógica de la sim ulación; para ello abra el m enú Buíld y elija Processing. En esta ocasión se desplegarán dos ventanas en las q ue program arem os de m anera secuencial el proceso q ue sigue la pieza en el sis­ tem a: Process y Routing for. En la prim era definirem os las operaciones q ue se harán so­ bre la entidad, y en la segunda indicarem os la ruta secuencial e n el proceso. Al analizar una vez m ás el ejem plo, verá q ue po dem os dividir el proceso en los siguientes pasos: 1. La pieza llega a la fila para esperar su turno de procesam iento. Cuando se cum pla la condición sobre el estado de la prensa, la pieza abandonará la fila y seguirá su ruta hacia la localización "prensa" 2. La pieza llega a la prensa, donde se le procesa d urante un tiem p o prom edio de 4 m inutos,con distribución exponencial. Una vez term inado el proceso en la prensa, la pieza abandona esta localización; su sigu ien te paso es salir del sistema. Cada uno de estos pasos deberá program arse de m anera independiente, es decir, en un registro separado. Em pezarem os po r definir la llegada de las piezas a la fila. Para ello: •

•

Seleccione la entidad correspondiente en la ventana Processing, ya sea haciendo clic en el botón Entity o escribiendo d irectam ente el nom bre de la entidad en el cam po de dicha co lum na. Para program ar la localización de llegada de la entidad (en este caso la localización llam ada "fila"), haga clic en el botón Location; debajo se desplegarán tod as las lo­ calizaciones definidas.

Dado que en esta localización la pieza sólo espera a q ue la prensa e sté disponible, no se program a nada en la co lum na O peration. A continuación definirem os la ruta de sali­ da en la ventana Routing f o r •

En este caso la entidad de salida es n uevam ente la pieza, por lo q ue ése es el n o m ­ bre q ue escribim os e n la co lum na Output. 139

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

• •

•

0 destino de la pieza es la prensa, así q ue seleccionam os dicha localización en la colum na Destínation. La siguiente co lum na, Rule, indica la regla de m ovim iento; el valor predeterm ina­ do aq u í es FIRST 1,1o q ue significa q ue la entidad avanzará tan pronto se te n g a ca­ pacidad disponible en la localización de destino. La últim a colum na, Move Logic, determ ina el m ovim iento lógico de salida; e n es­ te caso dejarem os en blanco el cam po. Una vez co m pletad a, la prim era línea de program ación deberá quedar com o se ilustra en la fig ura 5.6.

Figura 5 .6

Definición d e la primera línea de program ación

Para continuar es preciso definir el proceso q ue se llevará a cabo con la pieza en la prensa. Una vez más, com enzarem os po r establecer q ue la entidad cuyo co m po rtam ien­ to nos interesa es la pieza, q ue la localización en la que se encuentra es la prensa y q ue el proceso ocupa un tiem po específico de esta localización: 4 m inutos prom edio con distri­ bución expo nencial. Para conocer los co m and o s de program ación necesarios para espe­ cificar lo anterior, haga clic en el botón O peratíon de la ventana Process. Enseguida se desplegará la ventana O peration (vea la fig ura 5.7), en d ond e se escribirá la lógica del proceso.

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Com pilar

Construir lógica

Figura 5 .7 La ventana O peration permite program ar las operaciones

140

5.4.1 M odelo M/M/1 d e líneas d e e s p era |~~|

•

Haga clic en el icono de m artillo para com enzar la construcción lógica. Al hacerlo se abrirá otra ventana, q u e contiene todos los com andos de program ación existentes.

ProModel hará una sugerencia de com andos q ue podrían resultar útiles. Al colocar el cursor del ratón sobre cada uno de ellos se m ostrará una sugerencia en pantalla con una breve descripción de su utilización. El com ando q ue pu ed e ser de utilidad en nuestro caso e s WAIT, q ue im plica una es­ pera de la entidad en cierto m om ento (por ejem plo, para realizar una operación).Toda vez que querem os m anejar un tiem p o exponencial de 4 m inutos, la instrucción co m p leta se­ rá WAIT E(4) mln. La sintaxis general del com ando e s la siguiente: WAIT
Figura 5.8

Definición de la segunda línea de programación

O bserve que, al definir el segundo registro, la ventana de la ruta de salida em pieza de cero. Esto significa q ue la ventana de program ación nos perm ite ver los procesos de las piezas de m anera secuencial, aunque la ventana correspondiente a la ruta de salida del proceso sólo m ostrará la program ación correspondiente a la línea seleccionada en la ven ­ tana del procesam iento. Finalizada la program ación, nos q ued a po r definir el tiem po de sim ulación. Para ello: •

Abra el m enú Sim ulation y haga c lic en el com ando Options. Enseguida se abrirá la ventana correspondiente, e n cuyo cam po Run hours escribirem os 100 day. En el cam po N um ber of R eplications podem os determ inar el núm ero de veces que deseam os co rrer el m odelo, es decir el núm ero de replicas. En e ste caso sólo reque­ rirem os de una repetición.

El m odelo está term inad o . Para ejecutarlo, lo único q ue tie n e q ue hacer es desplegar el m enú Sim ulation y hacer clic en el com ando Save & Run. Una vez q ue esté co rriénd o ­ se la sim ulación, podrá — si así lo desea— ajustar su velocidad co n la barra q ue aparece en la parte superior de la ventana, o can celar la anim ación m ediante el com ando Animation O ff del m enú Options. 141

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

Al term in ar la sim ulación de los 100 días se desplegará un cuadro de m ensaje confir­ m ando la finalización del tiem p o program ado. Si desea ver los resultados, haga clic e n el botón Yes (estos resultados pueden com pararse con los que se o b tien en teóricam ente m ediante las ecuaciones m atem áticas de líneas de espera para un m odelo M/M/1). Ense­ guida se abrirá una ventana co n varias fichas q ue m uestran los resultados estadísticos de la sim ulación (vea la fig ura 5.9). Los datos pueden leerse y graficarse de inm ediato con las herram ientas q ue ofrece ProModel, o guardarse en archivos con form ato de Excel para personalizarlos posteriorm ente. En am bos casos podrem os encontrar la sigu ien te infor­ mación relevante (las cifras pueden variar dependiendo de los núm eros aleatorios que haya utilizado d urante la sim ulación).

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Figura 5.9

Reporte de datos generales d el m odelo (ficha General)

Ficha General Los datos q ue despliega esta ficha indican q ué archivo se usó para o b tener los resultados, así co m o la fecha y hora en la que se realizó la sim ulación. Ficha Locations En esta sección (vea la fig ura 5.10) se presenta la información de cada una de las localizacio­ nes, las horas simuladas, su capacidad (en este caso la capacidad infinita se representa con 999999), el núm ero total d e entidades q ue entraron durante la sim ulación, el tiem po prome­ dio de estancia de las en tid ades en cad a localizació n, el núm ero prom edio de piezas, el núm ero m áxim o de entidades, el núm ero actual de en tid ades al m om ento de fin alizar la simulación y el porcentaje de utilización de cada una de las localizaciones.Tam bién se pue­ den re visar las estad ísticas in d ep en d ien tes de cad a localización con capacidad unitaria — com o la prensa— y de aquellas que tienen capacidad m ayor a uno — com o la de la fila.

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Figura 5.10 142

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Reporte estadístico de las localizaciones (ficha Locations)

5.4.1 M odelo M/M/1 d e líneas d e e s p era |~~|

La ficha Locations tam bién incluye inform ación respecto de los parám etros de un sis­ tem a de líneas de espera, com o: la utilización de la prensa (P), q ue e s un porcentaje de la operación; el núm ero prom edio de clientes en el sistem a (L), q ue es el Avg Contents de la fila m ás el Avg Contents de la prensa; el núm ero prom edio de clientes en la fila (Lq), que es el Avg Contents de la fila; el tiem po promedio de perm anencia en el sistema (W ),q u e es la sum a de los Avg tim e p er Entry de la fila y de la prensa, y el tiem po prom edio de perm anencia en la fila (W q), q ue es ú nicam en te el tiem p o de la fila. Si com param os estos resultados con los teóricos, verem os q ue son m u y sim ilares (vea la tab la 5.1). La diferencia puede deberse a q ue la sim ulación no ha llegado a estado esta­ ble, o a la variabilidad natural del modelo. En cualquier caso, e s recom end able graficar la variable o variables de respuesta q ue se desea comparar.

Tabla 5.1 Com paración entre los resultados teóricos y los obtenidos m ediante sim ulación

Parám etro

Resultado teórico

Resultado d e la sim ulación

L

4 piezas

3.83 p ie za s1

Lq

3.2 piezas

3.04 piezas

W

20 m inutos

19.35 m inutos

Wq

16 m inutos

15.35 m inutos

P

80%

79.28%

1 fe la sum a d e piezas d e a m b a s lo calizacio nes; lo m ism o su ce d e e n e l caso d el tie m p o to ta l d e p e rm a n e n cia e n e l siste m a .

Fichas Locations States Single/Tank y Locations States Multi En la prim era de estas fichas se presenta la inform ación de las localizaciones que tienen capacidad de uno (conocidas com o de capacidad unitaria), y la segunda la de aquellas que pueden contener m ás de una entidad a la vez d urante la sim ulación (denom inadas de m ulticapacidad; vea las fig u ras 5.11 y 5.12). En nuestro ejem plo tenem o s una de cada tipo: la localización "fila" tie n e capacidad infinita, m ientras q ue la localización "prensa" tie­ n e capacidad de uno. En esta sección del reporte podem os encontrar inform ación referente al porcentaje de tiem p o vacío, parcialm ente ocupado, lleno y no disponible respecto del tiem po dispo­ nible para cada localización con capacidad m ayor a uno. En e ste caso, la localización "fila" se encuentra 37.29% del tiem p o vacía, 6 2 7 1 % del tiem po con al m enos una pieza y nunca llena ni no disponible, pues le asignam os capacidad infinita y no se program aron eventos q ue lim itaran el acceso y/o salida d e las e n tid a d e s a esta lo calizació n. Por otro lado, la localización "prensa" es de capacidad unitaria, así que el reporte inform a el porcentaje de tiem po q ue la prensa estuvo procesando alguna pieza (79.28% del tiem p o ), el porcentaje de tiem po dedicado a actividades de preparación (en este ejem plo no existen), el porcen­ taje de tiem p o q ue la prensa estuvo inactiva debido a q ue no había piezas q ue procesar, 143

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

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Figura 5.11

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0.00

Reporte de localizaciones con capacidad unitaria (es decir,

con capacidad para una sola entidad)

1' | T 1

e ¡e m p lo 3 _ 1 .id b

&

t a > .e Ü

I G e n e ra l

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SU

L o c a tio n s

O u tp u t V ie w e r 3 D R

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Ñ a m e

[R e p o it

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j L o c a t io n S ta le s

L o c a tio n

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V ie w s : | L o c a tio n S t a te s S in g le /T a n k

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R eso u r

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S c h e d u le d T im e (M IN )


. .

Z

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O c C u p ,e d

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6 2 .7 1

0 .0 0

D m lm

'

lila

Figura 5.12

1 4 4 0 0 0 .0 0

3 7 .2 9

0 .0 0

Reporte de localizaciones con m ulticapacidad (es decir,

con capacidad para varias entidades)

el porcentaje de tiem p o q ue la localización espera a q ue un recurso u otra entidad lle­ guen para iniciar el proceso (por ejem plo, en las situaciones e n q ue hay ensam bles o cuando la prensa requiere de un dado especial para procesar la pieza), el porcentaje de tiempo en que la localización no está realizando trabajo alguno — ya que la capacidad de su localización destino está llena— , y finalm ente el porcentaje de tiem po en el q ue la locali­ zación se encuentra no disponible. Ficha Failed Arrivals Esta ficha (vea la fig ura 5.13) lista las entidades de cada m odelo, e indica si alguna de ellas no pudo en trar al sistem a en la localización definida en A rriv als.Esto pu ed e suceder, por ejem plo, cuando la localización de llegada tie n e una capacidad finita. Si ésta se com pleta y una entidad desea o cu p ar un espacio en la localización, al no poder encontrarlo es des­ truida y elim inada del sistem a. Esta inform ación es útil, po r ejem plo, cuando se analizan sistemas de líneas de esp era co n capacidad fin ita y se desea saber el porcentaje de clie n ­ tes q ue no pudieron ser atendidos. 144

5.4.1 M odelo M/M/1 d e líneas d e e s p era |~~|

r|T1 e¡emplo3_l Jdb - Output Viewei 3DR - | 33

F ile

V ie w

T o o ls

B G e n e ra l

W in d o w

U

L o c a tio n s

I

H e lp

Ét-ÉC'

L o c a tio n S t a t e s Multi

Failed Airivals for e¡emplo3_1 Entity Ñame

Location Ñame

P ie z a

fila

Figura 5.13

Total Failed

Estadística de entidades no ingresadas (Ficha Failed Arrivals)

0 .0 0

Ficha Entity A ctivity Esta ficha del reporte refleja las estadísticas de cada entidad definida en el m odelo. Como se observa en la fig ura 5.14, en este caso sólo tenem o s la entidad llam ada "pieza"La infor­ m ación reportada es la entidad, el total de entidades q ue salieron del sistem a (en este ejem plo 28521), las entidades que se encuentran en el sistem a al fin alizar la sim ulación (3), el tiem po prom edio de perm anencia en el sistem a (19.36 m inutos, q u e e s el m ism o q ue se inform a en la ficha Locations), el tiem po prom edio q ue la entidad pasó en un tras­ lado o m ovim iento de una localización a otra (m ism o que no se program ó en nuestro m o ­ delo), el tiem po prom edio q ue la entidad esp era a otra entidad para un ensam ble o a un recurso para ser procesada o transportada (por ejem plo, po r un m ontacargas), el tiem po prom edio que se encuentra en procesam iento o viajando en un transpo rtad or y, final­ m ente, el tiem p o q ue no pu ed e a va n za r d ebido a q ue la lo calizació n destino está to ­ talm ente ocupada (15.36 m inutos, el tiem po prom edio de espera en la fila).

[X

c jc «n p lo 3 _ 1

id b - O u tp u t V ie w e i

3DR - [ R e p o i l

lo i e je m p lo 3 _ 1 |

U u n u £ G ene*al

Lccabons

i f c * l_ *

L c c a b o n S ie t e s M u t i

13 -vi

Vewi |

0

L c c a b o n S to te s S r g W T j r k

«undefned v*w> R e s o iic e s

R e s a j t c c S ie t e s

N o d e E n trte s

F a ifc d A i n v e 's

[ E n l i l y Acbvi

E n t it y A c l i v i l y l o i e je m p lo 3 _ 1

Nam c P ie z a

To ta l

C u n e n ! Q t y In

A v g Tú n e In

A v g T im e In M o v e

A v g T im e W a ll F o i

A v g T i m e In

A v g T im e

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S y ste m

S y s te m (M IN )

L o g ic (M IN )

R e s (M IN )

O p e t o lio n (M I N )

O lo c k e d (M IN )

1 9 .3 6

0 00

0 00

4 .0 0

15 36

2 8 5 2 1 .0 0

Figura 5.14

3 00

Estadísticas de la actividad d e las entidades en el sistema (ficha En tity Activity)

Ficha Entity States En esta ficha del repo rte (vea la figura 5.15) podem os encontrar un resum en de los datos de la ficha En tity Activity, pero en térm inos porcentuales. Por ejem plo, com o en este caso la entidad "pieza" pasa sólo 4 m inutos en operación, el repo rte indica q ue pasó 20.68% del tiem po total de perm anencia en el sistem a (19.36 m inutos), m ientras q ue estuvo bloquea­ da para co n tin u ar su cam ino a la localización destino el tiem po restante, 15.36 m inutos (es decir, 79.32% del tiem p o total). 145

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

'["l e¡em plo3_1 .id b - O utp ut V ie w e r 3 D R - [R e p o rt fo r e ¡em plo3_1 ] U

F ile

V ie w

T o é is

W in d o w

H e lp

m u m ¿neral

L o c a tio n s

Views:

3

L o c a tio n S t a t e s Multi

undefinei

L o c a tio n S t a t e s S in g le / T a n k

R eso u

E n tity S t a t e s for eiem p lo3_1

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In M ove Lo g ic 0 .0 0

%

W a it Fo r Res

X

0 .0 0

In O p e ratio n

X

B lo c k e d

2 0 .6 8

7 9 .3 2

Figura 5.15 Estadística porcentual de la actividad de las entidades (ficha Entity States)

5.4.2 M ejoram iento visual del m odelo ProModel perm ite in crem en tar la capacidad visual del m odelo m ediante un conjunto de herram ientas específicas para dicho propósito. En esta sección hablarem os sobre cóm o utilizarlas, basándonos una vez m ás en el m odelo q ue se co nstru yó para el ejem plo 5.1. Ejem plo 5.2 Nuestro trabajo en esta sección se basará en el ejem plo 5.1, aunque le harem os algunas m o d ificacio nes con el o b jetivo de m e jo ra r su p resen tació n al m om ento de e je c u ta r la sim ulación. Adem ás, tra tare m o s de o b te n e r in fo rm ació n re le va n te para el to m a d o r de decisiones y/o para el program ador del modelo. Para com enzar, determ inarem os la cantidad de piezas q ue h ay en el alm acén en c u a l­ quier m om ento dado. Esto se pu ed e hacer de dos form as: • •

• • •

146

Abra el m enú Build y haga c lic en el com ando Locatíons. En la ventana Graphics, haga c lic en el icono predeterm inado para la fun ció n de contabilización de entidades en una localización ( 0 0 ). (Es im po rtante resaltar que debe desm arcar la casilla de verificación New para pod er integrar e ste co ntador a la localización q ue deseem os editar.) Vaya a la colum na Cap. del registro de la localización q ue desea m odificar (en este caso "fila"), y cam b ie su capacidad a 50. Seleccione los iconos correspondientes en la ventana Graphics, com o se m uestra en la fig ura 5.16. /p re g u e una barra q ue ilustre la capacidad utilizada del total (es po r eso q ue c a m ­ biam os la capacidad de la localización a 50; si la hubiéram os m antenido en infinito no aparecería registro alguno en la barra). Para ello em plearem os el icono prede­ term inado, la barra de color azul q ue se en cu entra debajo del icono 00 en la ven ­ tana Graphics. Si al m om ento de co lo car la barra de capacidad n o v e la escala, abra el m enú V iew y haga clic en el com ando Refresh Layout para actualizar la vista del modelo. Al hacerlo su pantalla deberá lu cir com o se ilustra e n la fig ura 5.16.

5.4.2 M ejoram ien to v isu a l d el m o delo |

£4.

Y*~

H*.

view

P re n s a

oooooo

Figura 5.16

Determ inación d e la cantidad de piezas en una localización

La o tra m anera de llevar a cabo este procedim iento consiste en utilizar una variable e igualarla al com ando predeterm inado CONTENTS(fí/a) para contabilizar los contenidos de las localizaciones. Para agregar el núm ero de piezas procesadas utilizarem os una variable. Para ello: •

Abra el m enú Build, haga c lic en el subm enú M ore Elem ents y elija Variables (global). Enseguida se desplegará en pantalla la ventana de definición de varia­ bles, m ism a que se ilustra en la fig ura 5.17.

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to ta le s p re n s a

*

-

Figura 5.17

La ventana Variables (global) nos servirá para d efinir las variables del m odelo

147

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

Nuestro propósito e s definir los parám etros de la variable pzas_to t. Para ello: • • • •

FM

Colóquese en el prim er cam po (ID) y m odifique el nom bre de la variable. Cam bie al cam po de la segunda co lum na (Type) para definir el tipo de variable, que pu ed e ser en te ra (integer) o real; en este caso la variable e s entera. En el cam po de la siguiente colum na, Inicial Valué, determ ine co m o 0 el valor ini­ cial de la variable. Toda vez que queremos que el icono de esta variable aparezca en la simulación, haga clic en la co lum na Icón y después haga clic n uevam ente en el lugar en d ond e quie­ re q ue aparezca el co n tad o r (vea la fig ura 5.18).

V * .

Figura 5.18

lo «

w * * »

H *

Determinación de los parámetros de la variable que contabiliza piezas totales

El siguiente paso consiste en especificar q ue la variable cam b ie cada vez q ue entre una pieza a la prensa. Esto se logra programando esta acción com o una operación que se ejecu ­ tará al m om ento de que la pieza term ine de ser procesada en la prensa. Para lograrlo: •

148

Elija el com ando Processing del m enú B u lld .E n este caso añadirem os la in stru c­ ción p zas_to t = ENTRIES(Prensa) en el segundo registro de la program ación, que

5.4.2 M ejoram ien to v isu a l d el m o delo |

corresponde al proceso q ue se realiza en la localización "prensa" Esta línea de pro­ gram ación hará q ue cada vez q ue una pieza term in e su proceso de 4 m inutos con distribución exponencial en la p re n sa se contabilice com o una pieza term inad a. La program ación deberá quedar com o se m uestra en la fig ura 5.19.

Prensa

Iré

1

>n

Figura 5.19

Uso de la instrucción ENTRIES()

Si corriéram os la sim ulación en este m om ento, podríam os ver q ue tanto el contador com o la barra reflejan la cantidad de piezas q ue se encuentran en un m om ento d eterm i­ nado en el alm acén definido en la sim ulación. Sin duda el m odelo ya sim ula el problem a que estam os ejem plificando, a pesar de q ue lo único q ue hem os hecho e s agregar un par de gráficos q ue hagan m ás en te n d ib le lo q ue pasa. La segunda m o d ificació n q ue h arem o s co n sistirá en cam b iar el tie m p o d e sim u­ lación, de m anera q ue su ejecución no sea m u y larga. Suponga q ue q uerem o s cam biar la duración del m odelo a sólo 30 días. Para ello: •

D espliegue el m enú Sim ulation y haga clic e n el com ando Options, com o se m uestra en la fig ura 5.20. 149

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

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Figura 5.20

•

Acceso a las opciones de la sim ulación

A co ntinu ació n se abrirá el cuadro de diálogo Sim ulation O ptions (vea la figura 5.21), en donde es posible m od ificar varias opciones de la sim ulación. Por lo p ro n ­ to, cam bie el valor del cuadro de texto Run hours a 30 days y haga clic en OK.

¡m u la t io n

E

O p tio n s

Output Path

Biowse

c< n o d e l 2 0 0 1 \ o u Ip i

Ctock Precisión Define run length by Time Only

F WeekV Time

F Celendai Dale

r Waimup Penod

M odifique a q uí el tiem p o de sim ulación

f Run hours:

Output Reporting

F Disable Time Series

(• Standard F gaich Mean

F Penodc

Indica una sola réplica

Number ol Retficalions

Reo

OK

Cancel

Help

r~ Disable Anmation F Disable £ost

Figura 5.21 El cuadro de diálogo

T Pause al Slart

Simulation Options

f~ Disney Noles

permite determ inar diversos parám etros de la sim ulación

Una interrogante im po rtante para el to m ad o r de decisiones e s si las variables del m o ­ delo están en estado estable o todavía se encuentran en un estado transitorio. Como se mencionó en el capítulo anterior, si querem os evitar la variabilidad q ue ofrecen los re su l­ tados del estado transitorio, e s necesario que nuestras soluciones se basen en las estadís­ ticas del estado estable. Una opción de m u cha utilidad para obtener estadísticas estables, consiste en definir un tiem p o transitorio o de preparación (w arm up) dentro del m odelo. Como probable­ m ente recordará, la gráfica de estabilización que m encionam os en capítulos anteriores nos m uestra q ue los valores de las variables de respuesta en el estado transitorio suelen describir una alta variabilidad. Para evitar que el efecto de esta variación se diluya y po d a­ mos obtener respuestas estables, es necesario contar con m ayor tiem po de ejecución. De­ finir un periodo de warm up im plica ejecutar el m odelo d urante cierto tiem po, después del cual las estadísticas regresarán a cero. Gracias a ello se elim inarán los registros correspon­ dientes a las variables de respuesta en el estado transitorio, y se conservará únicam ente 150

5.4.2 M ejoram ien to v isu a l d el m o delo |

el valor final de las variables de respuesta, lo cual im plica m enos tiem p o de sim ulación y, por consiguiente, m e n o r inversión de tiem po de com putadora y m enor costo. Esto es m uy útil en casos en los que el sistem a se encuentra vacío en el arranque. Si se da un tiem po transitorio m ientras el sistem a se llena, ese tiem p o sería el q ue colocaríam os de warm up. Le sugerim os colocar un tiem p o de un día para com parar resultados entre los m odelos con y sin tiem po transitorio. La sim ulación term inará cuando se cum plan 31 días: uno transitorio que no será tom ado en cu e n ta al generar las estadísticas, y 30 q ue sí aportarán datos para obtener los prom edios fin ales de las variables de respuesta. Ahora nos falta co lo car algún elem ento q ue m uestre la utilización de la prensa en to ­ do m om ento. Esto nos servirá para determ inar si la variable de respuesta q ue deseam os conocer — la utilización del equipo— se encuentra en estado estable o aún en estado transitorio.Con dicho propósito incluirem os lo que se conoce com o un gráfico dinám ico. Para construirlo: •

•

Corra la sim ulación y, m ientras ésta se encuentra en ejecución, abra el m enú Infor­ m ation y haga c lic en el com ando D yn am ic Plot. Al realizar esta selección apare­ cerá una ventana con las diferentes estadísticas q ue ProModel recopila de m anera autom ática. Com o en este caso deseam os vincular el gráfico dinám ico con una localización, ha­ ga c lic en el botón Locations. Luego seleccio ne la localización "prensa" y d eterm i­ n e la estadística del porcentaje de utilización (Utilization % ). La gráfica resultante puede ser m odificada tal com o si se tratara de un gráfico de Excel.

Si desea guardar el gráfico dinám ico para utilizarlo en futuras ocasiones, agréguelo a la configuración de esta m anera: •

D espliegue el m enú Inform ation, abra el subm enú D yn am ic Plot y haga c lic en el com ando Conflgurations. En ese m om ento aparecerá una ventana en la que po­ drá asignar un n o m b re al gráfico q ue acaba de crear, y guardarlo para em plearlo en alguna oportunidad posterior (por ejem plo, nos será útil en la solución del ejem plo 5.2). La sintaxis general del gráfico dinám ico es la siguiente: DYNPLOT "nom bre del gráfico dinám ico"

Una vez guardado el gráfico dinám ico pod rem os activarlo al inicio de la sim ulación. Para ello m odificarem os lo que se co no ce co m o lógica inicial del m odelo: •

Abra el m enú Build y elija el com ando General Inform ation.Enseguida se desple­ gará en su pantalla el cuadro de diálogo correspondiente (vea la fig ura 5.22).

Este cuadro de diálogo nos perm ite acceder a una opción para co lo car notas q ue id enti­ fiquen el m odelo. (Para crearlas, haga c lic en el botón Model Notes, y para activarlas, des­ pliegue el cuadro de diálogo Sim ulation O ptions [Sim ulation/Options] y m arque la casilla de verificación D isplay Notes.) El cuadro de diálogo m uestra adem ás la ruta de la biblioteca de gráficos q ue actual­ m ente se está usando en el m odelo, y perm ite definir las unidades de tiem p o y distancia. 151

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

□

G e n e ra l In lo im a lio n

lite: f G ra p h c ü b a r/ .

M o d e l E jo te s

| C A P r o g r a m F ¡ l e s 'P i c M o d e l \ G I ¡ b \ P f i O M O D S . G L B

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U n tís I m e U n ís

-

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In íia lie a t c n L o g c .

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T e i m i n a l c n L o g ic ..

^Davs

Figura 5.22 QK

C á rc e l

det

El cu ad ro de diálogo General Information

Finalm ente, en él podem os especificar eventos o características iniciales y finales del m o ­ delo. Por ejem p lo ,es posible desplegar un m ensaje de advertencia que anuncie el inicio o el térm ino de la sim ulación. Sin em bargo, po r el m om ento sólo activarem os el gráfico dinám ico al com ienzo de la sim ulación. Siga e sto s pasos: •

Haga c lic en el botón Initialízatíon Logic para desplegar la ventana de program a­ ción co rrespo n diente (vea la fig ura 5.23).

Esta ventana e s sim ilar a la de O peration (vea la fig ura 5.7). En ella co lo carem o s la ins­ trucción DYN PLO T"nom bredel gráfico"Una vez introducida la in stru cció n ,cierre la ven ­ tana. Si ejecuta en este m om ento la sim ulación, el gráfico dinám ico aparecerá desde el inicio, m ostrando su periodo transitorio y perm itiendo observar si la variable graficada es­ tá estable o no. D urante la ejecución es posible que el gráfico oculte la sim ulación de nuestro siste­ ma. Para evitarlo podríam os m odificar el tam año del gráfico, aunque con ello sacrificaría­ m os su calidad. O tra solución consiste en definir una vista donde el sistem a se m uestre alineado hacia el lado contrario a d ond e aparece el gráfico dinám ico. Para lograrlo: •

Primero dim ensionarem os el sistem a actual. Abra el m enú View y haga clic en el com ando Views.

Initialization L o g ic

Figura 5.23 \fentana de program ación

_] L in e : 2

152

para la lógica inicial del m odelo

5.4.2 M ejoram ien to v isu a l d el m o delo |

• •

•

Enseguida haga clic en la opción A dd del cuadro de diálogo q ue aparece. Escriba un nom bre específico para la vista, y haga clic e n OK. Ahora el botón Set Vlew del m enú V iew está disponible para seleccionar la vista q ue acaba de definir. Haga clic en él. Para desplegar la vista, abra el m enú Vlew , elija el subm enú V lew s y haga clic en el nom bre de la vista q ue definió en el paso anterior. Otra o pció n es ejecutar la vista m ediante el m étodo abreviado de teclado q ue aparece al lado de su nom bre, el cual se co m p o n e de la tecla Ctrl y un núm ero q ue corresponde al núm ero de la vis­ ta, en este caso Ctrl+1.

Dado q ue la vista deberá ser activada al inicio de la sim ulación, regrese a la ventana Initializatíon Logic y escriba,en el siguiente renglón después de la instrucción del gráfi­ co dinám ico: VIEW "nom bre d e la vista". D e esta m anera la vista se activará al com ienzo de la sim ulación, al igual q ue el gráfico dinám ico. El resultado de estas acciones podría verse com o se ilustra en la fig ura 5.24. La sintaxis general de la instrucción VIEW es: VIEW "nom bre d e la vista"

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T ir e ( W d M i

Figura 5.24

Ejem plo 5.2 term inado

Como pudim os ver en este ejem plo, increm entar el potencial gráfico de nuestro m o­ delo es relativam ente sencillo. Pero las herram ientas de ProM odel no sólo están destina­ das a m ejorar la interpretación visual del m o d elo ;tam bién nos perm iten integrar m uchos otros elem entos con propósitos distintos, po r ejem plo: la tasa de descom posturas de un 153

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

equipo, el tiem p o q ue tarda en reparase, la probable generación de piezas defectuosas en el proceso, los niveles de retrabajo o de utilización de los recursos, etc.Evid en tem en te, e n ­ tre m ás apegado a la realidad queram os que resulte nuestro m odelo, m ás cantidad de ajustes tend rem o s q ue hacer; ésta e s la razón po r la q ue un buen m odelo de sim ulación toma tiempo en ser construido. No obstante, es preciso tom aren cuenta, en todo momento, que de nada sirve un m odelo gráficam ente perfecto si no se tien en bu eno s datos estadís­ ticos de entrada.

5.4.3 M odelado d e un sistem a q u e in clu ye m ás d e un proceso Ejem plo 5.3 A un sistem a arriban 2 tip o s de piezas. La prim era es un engrane q ue llega a una estación de rectificado d ond e se procesa po r 3±1 m inutos; la distribución de probabilidad asocia­ da a las llegadas de e ste engrane a la fila de la rectificadora es una distribución normal con tiem p o prom edio de 13 m inu to s y desviación estándar de 2 m inutos. La segunda pie­ za es una placa de m etal q ue llega a una prensa co n una distribución de probabilidad e x ­ ponencial co n m edia de 12 m inutos. La prensa procesa un engrane cada 3 m inutos con distribución exponencial. Al term inar sus procesos iniciales, cad a una de estas piezas p a­ sa a un proceso autom ático de lavado q ue perm ite lim piar 2 piezas a la vez de m anera in ­ dependiente; este proceso, con distribución constante, tarda 10 m inutos. Finalm ente, las piezas son em pacadas e n una estación q ue cu e n ta con 2 operadores, cada uno de los c u a ­ les em paca un engrane en 5±1 m inuto y una placa en 7±2 m inutos. Se sabe q ue los tie m ­ pos de transporte en tre las estaciones es de 3 m inutos con distribución exponencial. No hay alm acenes en tre cada proceso: sólo se tie n e espacio para 30 piezas antes de la p ren ­ sa y 30 antes de la rectificadora. Asum a q ue cada día de trabajo es de 8 horas. Sim ule es­ te sistem a por 4 0 días, indicando el m om ento en q ue se inicia y se te rm in a la sim ulación. Esquem atízación inicial d el m odelo Antes de com enzar a definir el m odelo en ProModel, es conveniente analizar el problem a. 0 prim er paso consiste en esquem atizar el sistem a, com o se m uestra en la fig ura 5.25. Definición d e localizaciones Recordem os q ue el m odelado en ProModel co m ienza po r la definición de las localizacio­ nes físicas de nuestros procesos, en e ste caso: 1. La fila de llegada para la rectificadora, con capacidad para 30 piezas. 2. La fila de llegada para la p rensa,co n capacidad para 30 piezas. 3. El proceso de rectificado, con capacidad para una pieza. 4. El proceso de prensado, con capacidad para una pieza. 5. El proceso de lim pieza, con capacidad para lim piar dos piezas de m anera in dep en ­ diente. 6. El proceso de em paque, en el q ue participan dos operadores independientes. 154

5.4.3 M od elado d e un siste m a q u e incluye m ás d e un p ro ce so |

U n ifo rm e (5,1) e n g ra n e Engrane

U nifo rm e (3,1) R ectificado

C o n sta n te 10

U n ifo rm e (7,2) placa

Lim pieza

Em p aq ue

Fila

t e r m a l (13,2) Tran sp o rte e n tre estacio n e s e x p o n e n cia l (3) Exp o n e n cial (3) Placa

t e h a y inventario s Prensa

Fila E xp o n e n cia l (12)

Figura 5.25

Esquema del sistema a m odelar en el ejem p lo 5.3

En este m odelo aparece un nuevo tipo de localización, ya q ue debem os definir filas de entrada. En m uchos sistem as se tien en bandas o transportadores q ue se encargan de desplazar las piezas de un proceso a o tro ;en otros casos, co m o el de las in stitucio nes ban­ cadas, hay solam ente una fila, d ond e cada cliente espera a ser atendido. ProModel perm i­ te sim ular estos detalles. Por ejem plo, para definir una fila: • •

Abra el m enú B uild y elija Locations. Seleccione el icono q ue parece una escalera horizontal ([ m i ) en la ventana G ra­ p h ic s^ haga clic en la posición de la ventana Layout donde q uiere q ue aparezca la fi la de rectificado. Si m u eve el curso r del ratón al realizar este procedim iento, una flecha indicará q ue está definiendo la fila; coloqúese en el lugar donde q uiere que term in e la fila y haga d oble clic. Es im po rtante m encionar q ue si sólo hace un clic en la posición final, seguirá construyendo la m ism a fila ;e sta característica es m uy útil para definir en una sola localización bandas o transportadores que pasen por tod a la planta o po r varios procesos.

Podría o currir q ue al definir nuestra fila el icono apareciera com o una banda de rodi­ llos m ás que com o una fila; sin em bargo, es im po rtante q u e el m odelo sepa q ue se ha de­ finido una fila y no una banda, pues al m om ento de la sim ulación tra ta cada elem ento de m anera diferente. Le recom endam os q ue co nsu lte la ayuda de ProM odel para conocer to ­ das las características q ue se pueden asignar a una fila y a una banda. Por lo pronto, una buena fo rm a de asegurarse de q ue la localización es una fila (queue) y no una banda (conveyor), haga d oble c lic e n ella desde la ventana La yo u t;enseguida se desplegará el cuadro de diálogo Conveyor / Q u eue (vea la fig ura 5.26), e n donde adem ás, podrá co n ­ trolar varias características de la localización: 155

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

Figura 5.26 Definición de las características de una fila

• •

• •

•

Asegúrese de q ue esté m arcada la casilla de verificación de la opción Queue. R ecuerd e q ue el icono es sólo una rep resentació n visual, a sí q u e p u e d e decidir, en la sección Style, si el icono aparecerá sólido (Solid), com o banda de rodillos (Roller) o sólo com o una línea (Line). Si desea que el icono no aparezca al m om ento de ejecutar la sim ulación, m arque la casilla de verificación de la opción Invisible During Sim ulation. Además de estas características, el cuadro de diálogo perm ite definir otras, com o el color de borde y de relleno del icono (m ediante los bo to nes Border Color y Fill Color) y su longitud (Length),en metros. Al term in ar de definir las características de la fila de rectificado, haga clic en el bo­ tón OK.

Repita el procedim iento para d eterm inar la localización de la prensa. (Recuerde que ambas filas tienen una capacidad de 30 piezas solamente.) Luego defina la prensa y la recti­ ficadora de la m ism a m anera q ue definim os otros procesos en los ejem plos anteriores. A continuación d efinirem os la lavadora, seleccionando para ello el icono q ue desee­ mos q ue la represente. Para una m ejor visualización, coloque 2 iconos de posicionam iento sobre el icono que representará a la lavadora (recuerde q ue ésta tie n e capacidad de lim ­ piar dos piezas a la vez y de m anera independiente). Por últim o, defina los operadores de ensam ble. D e acuerdo con la descripción, en el proceso participan d o s operadores q ue realizan la m ism a operación, pero de m anera in ­ dependiente. O bserve que, en el caso de la lavadora, un m ism o equipo tie n e capacidad para realizar 2 procesos de lavado, m ientras que ahora tenem o s dos operarios q ue reali­ zan la m ism a operación de em paque. Para definir esto en el m odelo podem os proceder de dos m aneras. La prim era consiste en especificar a cada operador de em paque com o una nueva localización;sin em bargo, a 156

5.4.3 M od elado d e un siste m a q u e incluye m ás d e un p ro ce so |

nivel de program ación tendrem os q ue determ inar rutas de entrada y salida para cada uno de ellos. La segunda opción e s m ás práctica: se trata de establecer q ue el proceso de e n ­ sam ble tie n e 2 unidades de capacidad, una po r cada operador. Para lograrlo: •

D efina una operación de em p aq u e y, al term inar, co lo q u e un 2 en la co lum na Units de la ventana Locations. D espués d e aceptar este cam bio aparecerá una segunda localización, idéntica a la q ue definim os originalm ente.

Si desea cam biar de posición dicha localización, hágalo; esto no afectará el modelo. Es im portante m encionar q ue si la definición del proceso im plica m ás de un icono, es po­ sible m o ver todos los iconos de esa localización a la vez si se tom an de la línea punteada q ue aparece en su contorno. Esta m anera de definir localizaciones ig uales facilita la program ación y p erm ite se­ guirlas tratan d o de m an era in d ep e n d ie n te , lo cual resulta m u y ú til cu an d o querem os simular, por ejem plo, un banco con 10 cajeros q ue realizan las m ism as operaciones. Al term inar estas definiciones, el m odelo se verá com o se m uestra en la fig ura 5.27.

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Definición de localizaciones para el ejemplo 53

O b serve que, au n q u e las filas aparecen com o lín e a s en el m odelo, e n la ve n tan a Lo­ cations siem pre lucirán com o bandas de rodillos. 157

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

Definición d e entidades 0 sigu ien te paso en ia construcción d e nuestro m odelo será la definición de las en tid a­ des. Para ello es necesario desplegar la ventana apropiada m ediante el com ando Entities del m enú Buüd.En este problem a será necesario definir dos entidades: una q ue represen­ te el engrane y otra que represente la placa. Com enzarem os po r definir el engrane seleccionando el gráfico para dicho propósito. Como se m encionó e n el ejem plo 5.1, para m ejorar el aspecto visual po dem os agregar una segunda gráfica. Después repetim os el m ism o proceso para la placa.O bserve q ue en la parte inferior de la ventana G raphics aparecen unas dim ensiones bajo el concepto Cónveyor O n ly :e stá s dim ensiones son las que to m aría la pieza si entrara a alguna locali­ zación definida com o banda y no com o fila. Uno de los pro blem as q ue podrían presentar­ se al m om ento de sim ular el m odelo, es q ue estas dim ensiones sean dem asiado grandes, lo q ue ocasionaría q ue las piezas no pudieran ser contenidas en la banda. Al m om ento de definir el m odelo es im po rtante considerar que el sim ulador tom ará en cuen ta las d im en ­ siones físicas de las piezas definidas en la opción Conveyor O n ly en caso de entrar a una banda; sin em bargo, las ignorará cuando en tre n a una fila. Definición d e llegadas El sigu ien te paso en la construcción del m odelo es la definición de los arribos o llegadas de las piezas al sistem a; para ello, abra el m enú Build y haga c lic en el com ando Arrivals. Al especificar los parám etros, recuerde q ue las llegadas de los engranes tienen d istri­ bución norm al con m edia de 13 m inu to s y desviación estándar de 2 m inutos, m ientras q ue las de las p lacas tie n e n d istrib ució n e xp o n encial con m e d ia d e 12 m inutos. U na vez d efinid as am b as llegad as, la ven tan a A rrivals deberá lu cir com o se m uestra en la figura 5.28.

Figura 5.28

Definición de llegadas de las entidades (ejem plo 5.3)

Definición del proceso: uso d e la opción View Text A continuación definirem os la lógica de procesam iento de la sim ulación. Para ello ejecu ­ te el com ando Processing del m enú Build. Para program ar las operaciones y rutas de am bas entidades (engranes y placas), pro­ cederem os com o se indicó en el ejem plo 5.1, pero prim ero es co nveniente te n e r un es­ quem a del proceso secuencial de cada una de ellas. Es en este tipo de situaciones donde herram ientas com o los diagram as de operación resultan útiles para realizar una p ro gra­ m ación m ás eficiente. Recuerde q ue el tiem p o de transporte e n tre procesos es de 3 m inutos, co n d istribu­ ción exponencial. Por lo tanto, en cada ruta q ue im plique m ovim iento de un proceso a 158

5.4.3 M od elado d e un siste m a q u e incluye m ás d e un p ro ce so |

otro será necesario program ar ia instrucción m o vefo r E(3) en la co lum na Move Logic de la ventana Routing. La sintaxis general de esta instrucción es: M OVE FO R , donde el tiem p o pu ed e ser una constante, una distribución de probabilidad, una variable o un atributo num érico. Para ilustrar la programación de am bas piezas en este modelo, em plearem os una op­ ción de ProModel que perm ite visualizar la m ayor parte de la inform ación. Siga estos pasos: •

Abra el m enú File y haga c lic en el com ando View T e x t. Enseguida se desplegará en la pantalla to d a la inform ación q ue h em o s incluido hasta el m om ento e n el m o ­ delo. Esto e s m u y útil, sobre tod o en problem as en los que se requiere m u cha pro­ gram ación. En la fig ura 5.29 se m uestra la parte correspondiente al procesam iento q ue desplegará el com ando V iew T e x tT o m e está inform ación com o referencia pa­ ra verificar si ha program ado la secuencia de los procesos y las rutas de m anera adecuada.

O bserve q ue en este ejem plo hem os utilizado el com ando GRAPHIC #, m ism o que perm ite cam biar la gráfica de la entidad po r otra determ inada al m om ento de definir las entidades. El sím bolo # representa la posición q ue tie n e la gráfica dentro de la lista de grá­ ficos definidos para esta entidad. Vea tam bién có m o se usa la instrucción M OVE FO R en cada caso dond e se requiere un transp o rte de un proceso a otro. Finalm ente, observe que se program aron prim ero las tra ye cto ria s del e n g ran e y p o sterio rm en te las de la placa. ProModel perm ite definir cualquier proceso y ruta sin im portar el orden cronológico. Sin em bargo, co n el propósito de lograr una m ejor lectura de la program ación, se recom ien­ da proceder com o se m uestra en este ejem plo. D e esta m anera, si po r algún m otivo fuera necesario m odificar la program ación, será m ás sencillo insertar y elim inar líneas para darle un orden secuencial a la sintaxis de nuestro modelo.

*

»*

P roce ssin g P rocess E n tity

L ocation

Engrane Engrane Engrane

F ila _ re ctifica d o ra R ect i f ica d ora la v a d ora

Engrane p la ca p la ca p la ca

Em paque F ila _ p re n sa Prensa la v a d ora

p la ca

Em paque

Figura 5.29

O p era tion w a it u < 3 ,l> w a it 10 G ra p h ic 2 w a it u < 5 ,l> w a i t E< 3 > w a it 15 G ra p h ic 2 w a it u < 7 ,2 >

R ou tin g H lk

Output

D e stin a tion

R u le

Move

L og ic

1 1

Engrane Engrane

R e ctifica d o ra la v a d ora

F IR S T 1 F IR S T 1

mov e

fo r

E< 3 >

1 1 1 1

Engrane Engrane p la ca p la ca

Enpaque EX I T Prensa la v a d ora

FIRST FIRST FIRST F IR S T

1 1 1 1

move

fo r

E< 3 >

mov e

fo r

E< 3 >

1

p la ca

Enpaque

PIRST 1

move

fo r

E< 3 >

1

p la ca

EX IT

FIRST 1

Instrucciones d e procesam iento del ejem p lo 5.3

159

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

Uso d e la instrucción DISPLAY A partir de los pasos que hem os seguido hasta e ste m om ento, el m odelo deberá poder ejecutarse sin problem as. Sin em bargo, aún no hem os incluido el m ensaje de inicio y de fin de la sim ulación q ue se nos pidió. Para hacerlo: • •

Abra el m enú Build y haga c lic en el com ando G eneral Inform ation para desple­ gar el cuadro de diálogo correspondiente (vea la fig ura 5.22). Haga clic en el botón Initllization Logic y, en la ventana q ue aparece, escriba la ins­ trucción DISPLAY "Inicio de la Sim ulació n".Esta instrucción desplegará una ven ­ tana de m ensaje q ue detendrá la sim ulación hasta q u e hagam os clic en uno de los botones incluid os en ella: si hacem os c lic en Cancel, la sim ulación no se ejecutará; si hacem os clic en O K la sim ulación com enzará.

U na v e z q ue haya program ado el m e nsaje de inicio, deberá hacer lo propio con el m ensaje de finalización de la sim ulación. • •

Vuelva a desplegar el cuadro de diálogo General Inform ation,y ahora haga clic en el botón Term ination Logic. Cuando se abra la ventana Term ination Logic, coloque n uevam ente el com ando DISPLAY, pero esta vez con un m ensaje de finalización de la sim ulación. (Recuerde colocar el texto en tre com illas dobles.)

La instrucción DISPLAY es m u y útil para program ar m ensajes de alerta dentro de la sim ulación, o para realizar interacción con el usuario del m odelo. Sin em bargo, tie n e el in ­ conveniente de que detiene la sim ulación, po r lo que e s im portante utilizarla únicam ente cuando el m ensaje sea relevante. Por otro lado, si el program ador desea colocar co m en ­ tarios dentro de la program ación, puede hacerlo en los espacios reservados para las notas del modelo. Adem ás, si se considera necesario, es posible usar com entarios en la p ro gra­ mación de las operaciones y rutas de las entidades, usando cualquiera d e las siguientes opciones al com ienzo del renglón: // texto de un solo renglón # texto de un solo renglón I* texto en varios reng lo nes */. En este caso es necesario definir el inicio del co ­ m entario y la finalización del m ism o; e s po r ello q ue se utilizan dos sím bolos La sintaxis general de la instrucción DISPLAY es: DISPLAY “ m ensaje”{, < expres¡ó n >}, Nuestro m odelo se encuentra casi term inado. Sólo nos falta incluir el tiem po q ue de­ seam os sim ular el sistema. Definición del tiem po d e sim ulación En el p lan team ien to del p ro blem a se estab leció q ue cada d ía tie n e 8 ho ras h áb ile s de trabajo.Tam bién se e stip u ló q ue el m o d elo del sistem a abarcaría 4 0 días, po r lo q ue el 160

5.4.3 M od elado d e un siste m a q u e incluye m ás d e un p ro ce so |

tiem po total de sim ulación será de 320 horas. Dé los pasos pertinentes para determ inar estos parám etros com o sigue: •

Abra el m enú Sim ulation y haga clic en el com ando O ptions.En el cuadro de diá­ logo q ue se despliega, esp ecifiqu e 320 H r. en el cam po Run H o u rs.Ten g a cuida­ do de no d eterm inar 40 day, porque si lo hace el m odelo sim ulará el sistem a por 4 0 días de 24 ho ras cada uno.

Estam os listos para guardar y ejecutar el m odelo. Abra el m enú Sim ulation y haga clic en el com ando Save & Run. V erifique que el m odelo se ejecu te sin problem as. Entidades que no pudieron entrar al sistem a Una de las problem áticas q ue pueden presentarse al m om ento de m odelar un sistem a, ra­ dica en q ue la capacidad de las localizaciones de llegada resulte insuficiente para recibir todas las piezas q ue llegan al sistem a.Cuando esto ocurre, ProModel g enera, al final de la sim ulación, un m ensaje de advertencia com o el que se ilustra en la fig ura 5.30 (en espa­ ñol, el m ensaje dice:"¿Q uiere ver los resultados? [NOTA: Se presentaron fallas en la llega­ da de en tid ades debido a capacidad insuficiente])."

Simulation Complete

□

13

D oyou want to see the results? (MOTE: There were e n % arrival tailures due to insufficíent capacity)

Yes

No

Figura 5.30 Aviso de llegadas fallidas

En este ejem plo se espera q ue se presente esta situación. Es posible, sin em bargo, que no sea así.Todo depende de la com putadora que se esté m anejando, y tam bién del n ú ­ mero de veces q ue se ejecute la sim ulación, dado que al ejecutarse en repetidas ocasio­ nes, los n úm ero s aleatorios q ue se utilizan para el m odelo cam bian, m odificando a su vez los resultados finales. O bserve q ue el m e nsaje de la fig ura anterior no estipula cuántas entidades no pudie­ ron ser sim uladas. Para conocer el dato preciso, co nsu lte la inform ación de la ficha Faíled Arrivals en el reporte de resultados, d ond e se m ostrará el núm ero de piezas q ue no p u ­ dieron en trar al sistema. En cualq uier caso, a fin de evitar la ocurrencia de este tipo de problem a se sugiere al lector q ue cam bie la capacidad de las filas de entrada. Dicho increm ento no dism inuye de m anera lineal el núm ero de piezas q ue no pudieron ser sim uladas. Incluso si se increm en­ ta 300% la capacidad actual de las filas, el m odelo seguirá presentando entidades q ue no pudieron ser sim uladas. El analista d ebe evaluar si es m ejor ten er filas m ás grandes — q ue ocupan m ás espacio— o m odificar algunos de los procesos, de m anera q ue las piezas puedan flu ir m ejor po r el sistem a. 161

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

5.4.4 Inclusión d e g ráficos d e fo nd o en el m odelo En algunos casos podría ser necesario m odelar procesos sobre un plano real de una p lan ­ ta o de un área de trabajo, en especial con m iras a m ejorar la presentación visual de la sim ulación. En ProM odel esto es p o sib le po r m edio de un cam b io del gráfico de fondo del modelo. Veam os cóm o fun cio na esto en el ejem plo siguiente. Ejem plo 5.4 Tom ando com o base el ejem plo 5.1, m o d ifiq ue el fondo de la sim ulación y ag reg ue un código de colores a la prensa, para saber cuándo está trabajand o y cuándo se encuentra ociosa. Sim ule este sistem a po r 4 0 días. Para comenzar, harem os las m odificaciones pertinentes en las localizaciones: agregar un código de co lo res a la prensa, para identificar sus periodos activos e inactivos: • • • •

Abra el m enú Build y haga c lic en el com ando Locatíons. Seleccionam os el icono de la prensa en la ventana Layout. Desm arque la casilla de verificación de la opción New en la ventana Graphics. Seleccione el icono del punto azul !_•_ en la ventana Graphics, y arrástrelo hasta colocarlo a un lado de la prensa.

El icono cam biará de co lo r autom áticam ente d urante la sim ulación, indicando el es­ tado de la prensa: será azul si está ociosa, verde cuando esté realizando alguna operación y rojo cuando no esté disponible (en e ste caso, cuando se p resen te el even to del m ante­ nim iento preventivo). El siguiente paso consiste en cam biar el fondo de la sim ulación. Podem os hacerlo de dos m aneras; la prim era consiste en m od ificar así el fondo del área de trabajo: • •

Abra el m enú Vlew , elija el subm enú Layout Settín g s,y haga clic en el com ando Background Color (vea la fig ura 5.31). Seleccione el color q ue desee en la ventana q ue se despliega, y haga clic en el bo­ tón O K ;e l cam bio se reflejará de inm ediato en el área de trabajo.

Figura 5.31 162

Siga esta ruta para cam biar el color d e fondo d el área d e trabajo d e la sim ulación

5.4.4 Inclusión d e g rá fico s d e fo n d o e n e l m o d e lo £ '

El otro m étodo para m od ificar el fondo del área de sim u lació n nos perm ite, ade­ más, co lo car una im agen co n fo rm ato BMP, WMF, GIF o PC X . Esto fa cilita la im portación de archivo s de AutoCad, po r ejem plo, perm itiendo trab ajar sobre el plano de una planta real. En este caso es recom endable colocar el fondo antes de com enzar a definir las locali­ zaciones, ya q ue de otra m anera éstas podrían quedar desfasadas de su lugar si se hiciera una m odificación de tam a ñ o al plano, exig iendo invertir m ás tiem p o en su reubicación. Para pod er in se rta r el arch ivo gráfico co m o fondo: •

•¿ K i u M ih I o I

Abra el m enú Build, elija el subm enú Background Graphics, y haga clic en el c o ­ m ando Behind G rid (vea la fig ura 5.32).

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SIT.J**». (Mu

Figura 5.32

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Primer paso para la inserción de una imagen de fondo en el área de trabajo

Enseguida se desplegará en la pantalla una interfaz gráfica q ue nos p erm ite insertar im ágenes de fondo, o incluso diseñar nuestros propios fo nd o s para el área de trabajo (vea la fig ura 5.33). Sin em bargo, en este ejem plo ilustrarem os sólo cóm o insertar una im agen con form ato BMP. Una vez que en tre al área de im portación y generación de im ágenes de fondo: • •

Abra el m enú Edít y elija Im port G raphic. A continuación se desplegará un cuadro de diálogo Open, sim ilar al habitual en los program as de plataform a W indow s. Localice el archivo q ue le interese en la unidad y carpeta de su com putadora en donde esté alm acenado (en ProM odel los form atos predeterm inados para im por­ tación son BMP y WMF, aunque adm ite otros form atos). Selecciónelo y haga clic en el botón OK. El archivo gráfico se abrirá de inm ediato com o fondo de la sim ulación (las im ágenes im portadas g eneralm ente aparecen en la esquina superior izquier­ da del área de trabajo).

En ocasiones el gráfico im portado resulta m u y pequeño, por lo que tendrá que agran­ darlo m anualm ente.Para ello,selecciónelo,coloque el cursor del ratón en una de sus esqui­ nas, haga clic y, sin soltar el botón del ratón, arrastre hasta lograr el tam año deseado. Es im portante señalar que, en el caso de los archivos BMP en particular, un increm ento de ta ­ maño im plica tam bién m ayor distorsión d e la im agen. 163

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

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Figura 5.33

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Im portación de una im agen de fondo a la sim ulación

Una vez com pletada la im portación podríam os ver un fondo com o el q ue se m uestra en la fig ura 5.34. En este caso se colocó un gráfico predeterm inado de W indow s com o fondo del sistem a. Con esto concluim o s las m odificaciones visuales requeridas en el ejem plo 5.4.

5.5 C aso integ rad or Se tien e una línea de em paque a la que llegan piezas cada 2 m inutos con distribución ex­ ponencial. Esta línea cu e n ta con cinco procesos, que se describen a continuación: 1. Recepción d e m ateriales. Cuenta con un espacio ilim itado de alm acenam iento. En este lugar se reciben las piezas q ue llegan al sistem a, y luego éstas pasan a un proceso de lavado. El traslado de las piezas de una estación a otra tarda 3 m inutos con distribución exponencial. 2. Lavado de la pieza. La lavadora tiene capacidad para lim piar 5 piezas a la vez. El tiempo de proceso de cada pieza se distribuye norm alm ente con media de 10 m inu­ tos y desviación estándar de 2 minutos. De aquí pasan a un proceso de pintura, antes del cual llegan a un almacén con capacidad para un máximo de 10 piezas. El tiem po de traslado entre estas estaciones es de 2 m inutos con distribución exponencial. 164

5.5 C a s o in te g ra d o r |

131 L a v o u l

Figura 5.34

El fo n d o d e esta s im u la c ió n u tiliza un a rc h iv o g rá fic o en fo rm a to B M P para m e jo rar

su p re se n ta ció n

3. Pintura. En el área d e pintura se tie n e capacidad para p in tar 3 piezas a la vez. El tiem p o de pintado tie n e una distribución triangular de (4 ,8 ,1 0 ) m inutos. Poste­ rio rm en te las p ie za s pasan a un horno, el cual cu e n ta co n un alm acén q ue tien e capacidad para 10 piezas. El tiem p o de transp o rte entre estos procesos está u nifo r­ m em ente distribuido con lim ite inferior de 2 m inu to s y superior de 5 m inutos. 4. Horno. En el horno se seca la pintura. El horno sólo puede procesar una pieza a la vez. La duración del proceso es de 3 ± 1 m inutos. D e aquí son transpo rtad as a dos m esas de inspección visual. No existe un alm acén entre el horno y las m esas de ins­ pección. El tiem po de transporte en tre estas estaciones es de 2 ± 1 m inutos. 5. Inspección. En cada m esa hay un operario q ue realiza la inspección de 3 e le m e n ­ tos en cada pieza. La revisión de cada elem ento tarda 2 m inutos con distribución exponencial. Al finalizar este proceso, las piezas salen del sistema. Realice lo siguiente: a) b) c) d) e)

sim ule el sistem a po r 90 días de 24 ho ras cada uno; ejecute 3 réplicas de la sim ulación; analice el archivo de resultados del m odelo; obtenga un intervalo de confianza para el núm ero de piezas producidas; determ ine, en una tabla, las utilizaciones de tod as las localizaciones del modelo. 165

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

Análisis del m odelo Cada una de las siguientes preguntas es independiente, y tienen co m o base el m odelo original. Respóndalas con base en el análisis de sus resultados. 1. ¿Dónde se encuentra el cuello de botella de este sistem a? 2 ¿Qué sugerencias haría para m ejorar el sistem a? 3. El hecho de q ue una entidad se encuentre en estado de bloqueo significa q ue la pieza ha term inado sus operaciones en la localización actual pero no pu ed e avanzar a la siguiente, puesto q ue no hay espacio para colocarla. D e acuerdo con esto, ¿con­ sidera q ue es g rave el problem a de bloqueo de las piezas? ¿En q u é localizaciones? ¿Qué se pu ed e hacer para m ejorar la situación? Haga los cam bio s q ue co nsidere necesarios al modelo, y ejecútelo nuevam ente para determ inar la m ejora po rcen ­ tual respecto del núm ero de piezas term inadas. 4. Si pudiera lograr una m ejoría de 10% en el tiem p o de proceso de alguna de las es­ taciones, ¿en cuál de ellas sería y po r qué? 5. ¿Es necesario q ue alguno de los alm acen es sea m ás g rande? ¿Cuál y po r q ué ra ­ zones? 6. ¿Considera necesario co lo car un alm acén entre el horno y las m esas de inspec­ ción? ¿De q ué capacidad? 7. Cada pieza deja una utilidad de $5 y n ing un a de las inversiones debe recuperarse en m ás de 3 m eses. ¿Cuál sería su recom endación si se está analizando la posibili­ dad de com prar otro hom o con la m ism a capacidad y q ue cuesta $ 100 , 000 ? 8. ¿Cuál sería su recom endación si lo q ue se desea com prar e s otra lavadora de la mis­ ma capacidad y con un costo d e $ 1 00 000? 9. ¿Valdría la pena contratar otro operario para la inspección? El costo de esta o pera­ ción e s de $50 000. 10. Con base en su conocim iento del sistem a, haga com binaciones de los incisos a n ­ teriores y trate de obtener la m ayor cantidad de piezas con el m ínim o costo de in ­ versión.

5.6 Problem as 1. A un centro de m aquinado llegan tres diferentes tip o s de piezas. Antes del centro existe un alm acén de producto en proceso, co n capacidad prácticam ente infinita. El tiem po de operación y la tasa de entrada de las piezas son las siguientes:

166

Tipo de pieza

T asa d e entrada (píezas/h)

T iem p o d e m aquinado (m in/pieza)

1

2

3

2

4

5

3

2

10

5.6 Pro b lem as | '

Sim ule este sistem a en ProModel durante 100 horas, y determ ine: a) la utilización del centro de m aquinado. b) núm ero total de piezas producidas. c) tiem po prom edio de espera de las piezas en el alm acén. d) núm ero prom edio de piezas en el alm acén.

2 A un operario de lim pieza le entregan cada hora 60 piezas sim ultáneam ente. El tie m ­ po de lim pieza es de 50 segundos/pieza. Sim ule el proceso anterior d urante 500 h o ­ ras para determ inar: a) la utilización del operario. b) tiem po prom edio de perm anencia de las piezas en todo el proceso. c) tiem po prom edio de espera de las piezas antes de ser lim piadas.

3. Un sistem a de pintura consta de dos procesos en serie: pintura y horneado. El tiem po de pintura es de 10 m inutos/pieza, y el tiem po de horneado es de 6 m inutos/pieza. Para el proceso hay dos pintores y un horno. La tasa de entrada e s de 7 piezas/hora (pieza tipo 1) y de 3 piezas/hora (pieza tipo 2). El tiem p o para m overse de un proceso a otro e s de 30 segundos. Sim ule el sistem a 5 días para determ inar: a) la utilización de cada operación. b) tiem po prom edio de perm anencia de las piezas e n todo el proceso. c) tiem po prom edio de espera de las piezas antes del pintado y antes del horneado.

4. A un centro de copiado llegan tre s tip o s de trabajos. Si un trabajo no pu ed e ser inicia­ do inm ediatam ente, espera en una fila com ún hasta que esté disponible alguna de las tre s copiadoras. El tiem p o de copiado y la tasa de entrada de los trabajos son co­ mo sigue:

Tipo de trabajo

T asa d e entrada (trabajos/h)

Tiem po d e cop iad o (m in/trabajo)

1

4

12

2

8

15

3

16

1

Después del proceso de copiado los trabajos son inspeccionados po r un em pleado en un tiem po de 3 ,6 ,1 0 m inutos para los trab ajos 1 ,2 y 3, respectivam ente. Sim ule el sistem a en ProModel durante 50 horas, y determ ine: o) la utilización del em pleado y de las copiadoras en la situación propuesta. b) núm ero de em pleados y copiadoras m ínim os necesarios para asegurar el flujo constante de los trabajos. 167

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

5. Cierto tipo de pieza e n tra a una línea de producción; el proveedor entrega las piezas en g rupos de 5 cada 10 m inutos. La línea co nsta de 5 operaciones, con una m áquina dedicada a cada operación. Los tiem p o s de proceso son: O peración

1

2

3

4

5

Tiem po (min/pza)

2

1

0.5

0.25

0.125

El tiem p o para m overse e n tre estaciones es de 0.0625 m inutos. La anim ación d ebe in ­ cluir un contador de las piezas producidas. Sim ule en ProM odel el proceso de 1 000 piezas para determ inar: a) tiem po total de sim ulación. b) utilización de cada operación. c) tiem po de espera an tes de la prim era operación. d) % del tiem p o q ue la pieza está bloqueada. 6. A un cajero automático llegan clientes cada 10 minutos con distribución exponencial. El tiem po que tarda cada cliente e n hacer sus m ovim ientos bancarios se distribuye expo ­ nencialm ente con m edia de 4 minutos. Lleve a cabo lo que se indica a continuación: a) Si se desea q ue el cajero no te n g a m ás de 5 clientes haciendo fila en un m o m en ­ to d eterm inado , ¿qué re co m end ació n haría al banco, basánd o se en una sim u ­ lación de una sem ana de 4 0 horas de trabajo? b) Realice un análisis de sensibilidad variando el tiem po prom edio de servicio del c a ­ jero, y determ ine cuál es el tiem po m áxim o q ue un clien te d ebe tardar para q ue la fila de espera no exceda 5 clientes en ningún m om ento. c) Program e un gráfico dinám ico q ue m u estre la utilización del cajero autom ático durante la sim ulación. ¿Qué observaciones pu ed e hacer respecto de la gráfica de estabilización generada? 7. A un centro de copiado llegan clie n te s cada 5 m inutos, con distribución exponencial. A h í son atendidos po r un operario co n un prom edio de servicio de 6 m inutos con dis­ tribución exponencial. Sólo hay espacio para tres personas en la fila ; si llega alguien más, se le envía a otro centro de copiado. Sim ule el sistem a a partir de esta in fo rm a­ ción y determ ine: a) ¿Cuál es el núm ero prom edio de clientes q ue esperan en la fila? b) ¿Cuál es la utilización del centro de copiado? c) Si cada cliente q ue se va le cuesta $5 al centro de copiado, ¿a cuánto asciende la perdida esperada? 8. Un centro de servicio cuen ta con 3 cajeros. Los clientes llegan en prom edio a razón de 60 por hora con distribución de Poisson. El tiem p o prom edio q ue se requ iere p a­ ra atender a un clie n te e s de 2 m inutos con distribución exponencial. Los clientes h a ­ cen una sola fila y no hay lím ite para su longitud. Haga lo siguiente: a) sim ule el sistem a po r 4 0 horas. b) determ ine la utilización de los cajeros. 168

5.6 Pro b lem as | '

c) si el co sto de te n e r a un clie n te h acien d o fila e s de $ 5/clie n te prom edio-hora, determ ine el costo de operación de e ste sistem a. 9. Un banco está diseñando su área de cajas, y d esea d eterm inar cuán tas ventanillas de­ be colocar. Después de hacer un análisis estadístico, la em presa sabe que sus clientes llegan con un tiem po m edio de 3 m inutos co n distribución e xp o n e n cial;asim ism o ,se sabe — a partir de inform ación de o tras sucursales del m ism o banco— q ue cada ca­ jera tarda un tiem po prom edio de 8 m inutos con distribución exponencial en aten­ der a un cliente. La em presa planea utilizar una sola fila d ond e se ubicarían to d o s los clientes, para después pasar a la prim era caja desocupada. Si el costo de ten e r un cajero es de $15 po r hora, y adem ás se sabe q ue po r políti­ ca de la em presa el costo de q ue un cliente esté esperando a ser atendido es de $8/cliente-hora, determ ine: a) el núm ero óptim o de cajero s de acuerdo con el costo. Tom ando en cuen ta este número de cajeros, determ ine tam bién la probabilidad de q ue el sistem a esté va­ cío, la utilización de los cajeros, el tiem p o prom edio en el sistem a, el tiem p o pro­ m edio en la fila y el núm ero prom edio de clientes en el sistem a. b) realice este m ism o análisis considerando q ue cada caja tie n e su propia fila y que las llegadas se distribuyen proporcionalm ente al núm ero de cajas; es decir, las lle­ gadas a cad a fila son iguales al núm ero to tal de llegadas, dividido entre el núm e­ ro de cajas. c) ¿Cuál de los dos m odelos sería m ejo r y a q ué atribuye este resultado? d) ¿Cuál sería el costo de utilizar el m odelo original de una sola fila y evitar, al m ism o tiempo, que 70% de los clientes hagan fila? 10. A un sistem a llegan piezas de acuerdo con una distribución uniform e de entre 4 y 10 minutos. Las piezas son colocadas en un alm acén con capacidad infinita, d ond e espe­ ran a ser inspeccionadas po r un operario. El tiem po de inspección tien e una d istribu­ ción exponencial con m edia de 5 m inutos. D espués de la inspección las piezas pasan a la fila de em paqu e,co n capacidad para 5 piezas. El proceso de em paque está a car­ go d e un operario q ue tarda 8 m inutos con distribución exponencial en em pacar ca­ da pieza. Posteriorm ente las piezas salen del sistema. a) Sim ule el sistem a po r 4 0 horas. b) Identifique dónde se encuentra el cuello de botella. c) G enere vistas para cada uno de los procesos po r separado. d) Increm entar el espacio en el alm acén cu esta $5/sem ana; aum entar 10% la veloci­ dad de em paque cu esta $15/sem ana;el co sto de incluir otro operario para q ue se reduzca el tiem po de em p aq u e a 5 m inutos con distribución e x p o n e n c ia le s de $20/sem ana.Cada unidad producida d eja una utilidad de $0.40 .Con base en esta inform ación, determ ine q ué m ejoras podrían hacerse al sistem a para increm entar su utilidad sem anal. 11. A u n torno llegan barras cada 3 m inu to s con distribución expo nencial. A hí se proce­ san de acuerd o con una distribución norm al con m edia de 5 m inu to s y desviación estándar de 1 m inuto. Posteriorm ente pasan a un proceso de inspección. La capaci­ 169

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

dad del alm acén previo al torno es de 10 piezas. Por otro lado, a una fresadora llegan placas cada 5 ± 1 m inutos. El tiem po de proceso de las placas e n la fresadora se dis­ trib uye triangularm ente (2 ,4 ,7 ). D espués, las placas pasan a inspección. La capacidad del inventario antes de la fresadora e s de 10 piezas. En el proceso de inspección se cuen ta co n espacio disponible para alm acenar 15 piezas, m ientras q ue el tiem po de inspección es de 4 ± 2 m inutos para las barras y de 6 ± 1 para las placas.Tras la ins­ pección, las piezas salen del sistem a. Considere un tiem po de transporte entre e sta ­ ciones de 2 m inutos, con distribución constante. a) Sim ule el sistem a por 4 0 horas para determ inar la capacidad m ínim a de cad a in ­ ventario, de m anera q ue tod as las piezas q u e lleguen al sistem a se procesen y no exista bloqueo po r falta de capacidad. b) ¿Cuál es la diferencia en el núm ero de piezas producidas entre el m odelo original y el m odelo m ejorado? c) Coloque m ensajes de inicio y fin de la sim ulación. d ) Cam bie las gráficas de am bas piezas después de ser procesadas. 12. A una línea de em ergencias m édicas llegan llam adas norm alm ente distribuidas con un tiem p o m edio en tre llam adas de 6 m inutos, y desviación estándar de 1.5 m in u ­ tos. El tiem p o de atención de cada llam ada es de 10 m inutos con distribución expo ­ nencial. Se desea determ inar el núm ero de líneas necesarias para q ue po r lo m enos 80% de los clientes no tenga q ue esp erar a ser atendido. Sim ule el sistem a po r 7 días de 24 horas cada uno para responder las siguientes preguntas. a) ¿Cuántas líneas telefó nicas se necesitan para cum p lir co n la meta? b) Si el costo de cada línea e s de $150/sem ana, ¿cuál e s el costo de operación po r se­ mana? c) ¿Cuál es el costo de incrementar el porcentaje de clientes atendidos sin espera a 90%? d) ¿Cuál sería el núm ero de llam adas en esp era q ue se te n d ría e n el caso a)? ¿Cuál se­ ría en el caso c)? e) Si el costo de cada clien te en línea de espera es de $40/cliente, ¿qué opción sería mejor, o )o c )? 13. A una em presa llegan piezas con m edia de 8 m inutos y distribución expo nencial. Las piezas entran a un alm acén con capacidad para 50 unidades, d ond e esperan a ser procesadas en un torno. A h í son torneados po r 3 m inutos con distribución exp o n en ­ cial. El tiem p o de transportación del alm acén al to rn o tie n e una distribución normal con m edia de 4 m inutos y desviación estándar de 1 m inuto. Posteriorm ente, las piezas son transportadas a una estación de inspección donde se encuentran 2 operarios, cada uno trabajando de m anera independiente. La inspección tarda 6 ± 2 m inutos por pieza. El tiem p o de transp o rte entre el torno y los operarios es de 4 ± 1 m inutos. a) b) c) d)

170

Sim ule el sistem a po r 30 días de 8 horas de trabajo cada uno. Incluya un co ntador y una gráfica de barra para las piezas en el alm acén. Incluya un indicador de actividad para el torno. Realice 3 réplicas y obtenga un intervalo de confianza para el núm ero de piezas que salieron del sistema.

CAPÍTULO 6

INSTRUCCIONES DE PROMODEL

6.1

Uso de la biblioteca de probabilidades

6.2

Recursos

6.3

Paros en los equipos

6.4

Reglas de ruteo

6.5

Ensam bles, acum ulación y agrupam iento de piezas

6.6

Transporte entre estaciones

6.7

Caso integrador

6.8

Problem as

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

6.1 U so d e la b ib lio teca d e p ro b ab ilid ad es La biblioteca de distribuciones de probabilidad de ProModel p erm ite sim ular la variabili­ dad de los procesos. En la tabla 6.1 se listan las distribuciones de probabilidad incluidas en ProM odel y la form a de program ar cada una de ellas. Tabla 6.1 Funciones de probabilidad disponibles e n ProModel D istribución d e probabilidad

Codificación en ProM odel

Parám etros

Beta

B ( l . a , , a ^ a, b)

a ,: form a cr2: form a a: m ínim o b: m áxim o

Binomial

Bl (N, p)

N: intentos p: probabilidad

k-Erlang

E R (/ t,k )

le form a /¿: m edia

Exponencial

E (m)

j i : m edia

Gamm a

G { c t .f i)

cr: form a

/3: escala Geom étrica

GEO (p)

p: probabilidad

Lognormal

L (1 ,/¿,< r2)

//,: m edia

cr2:varianza

-------------------------------------------- - _____________________ ----------------------------

Normal

N (/ 1 , cr)

¡x: m edia cr: desviación

De Poisson

P (/i)

fi: m edia

De Pearson V

P5 (1( a ,/3 )

cr: form a

fi: escala De Pearson VI

P6 (1 , a v a 2, p )

a } : form a cr2: form a f3: escala

Triangular

T (a, b, c)

a: m ínim o c m oda b: m áxim o

Unifom e

U (/¿ ,h r)

ix\ m edia

hr: m edio rango

172

Uniform e discreta

—

a: m ínim o b: m áxim o

De Weibull

W (ct,P)

cr: form a ¡3: escala

6.1 U so d e la b ib lio teca d e p ro b ab ilid ad es |

Ejem plo 6.1 A un proceso llegan tre s d iferentes tip o s de pieza. El proceso consta de dos operaciones en serie: lavado e inspección. Antes de cada operación existen alm acenes de producto en proceso, con capacidad prácticam ente infinita. Se dispone de una lavadora y de dos ins­ pectores en paralelo. Los datos de tiem p o en tre llegadas y tiem p o s de proceso para cada tipo de pieza son los siguientes:

Tiem p o entre llegadas

Tiem po d e proceso (min/pieza)

Pieza

(m in/pieza)

Lavado

A

Exponencial(6)

Uniform e (3 ± 2)

-------------------------------*

Inspección .

1

Normal (8 ,2)

B

Exponencial(9)

3-Erlang (4)

Triangular (3 ,5 ,7 )

C

Exponencial(8)

D e W eibull (0 ,2 ,3 )

D e W eibull (9 ,1 ,4 )

Para em pezar, d efinirem o s las 4 lo calizacio nes, co m o se m uestra en la fig ura 6.1 (recuerde que esto se hace m ediante el com ando Build / Locatíons).

Uso de fun cio nes de probabilidad

Inspección

Figura 6.1 Diseño d el ejem plo 6.1

Ahora determ inarem os las entidades correspondientes a los tres tip o s de piezas (Build / Entitles), y el tiem p o exponencial e n tre llegadas, utilizando para ello la colum na Frequency de la ventana A rrivals (Build / Arrivals), com o se m uestra en la fig ura 6.2. 173

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

Enseguida program arem os las tres d iferentes rutas y cada uno de los tiem p o s de pro­ ceso, utilizando la colum na O peration de la ventana Processing (Build / Processing). La figura 6.3 m uestra parte del proceso y la fo rm a de program ar las distribuciones de p ro ba­ bilidad.

ProModel - EJEMPL04.1.M0D - [Process] File

Edt

View

Z n t i t y ___ P l*2 a _A

Build

Simulation

Output

L ocatzon

Tools

Window

Help

O p era tion .

M m ac«n_l Lavadora

P i*z a _A

\ l m a c e n _2

P iez a _A

In sp ector

Po.eza_5

A lm a cen _l

P±eza_3

Lavadora

P ieza _3

ft.lmacer ._2

Preza_S

In sp ector

P iez a _C

M m acen_l

P iez a _C

Lavadora

P iez a _C

U n actn _;

P iez a _C

In sp ector

/

WAIT U < 3 , 2 )

/ /

WAIT N < 8 , 2)

/ /

WAIT 3 A 4 , 3

WAIT T ( 3 , 5 , 7 ) \ \

WAIT W( 2 , 3 ) \ \

WAIT 9 + W ( 1 , 4 )

Figura 6.3 Programación de las funciones de probabilidad del tiem po de proceso

En caso de q ue no re cu erd e la fo rm a de program ar alg una de las fun cio nes, haga clic en el botón O peration de la ventana Processing para h ace r uso del co nstru cto r de lógica, q ue p erm ite acced er a la ventana de diálogo Logic B u ild e r con sólo h ace r clic en el icono del m artillo. Luego haga c lic en la opción D istrib ution F u n ctio n sd e la sec­ ción Lo g ic E le m e n ts para d esp leg ar las d iferen tes fu n cio n e s de pro b ab ilid ad (vea la figura 6.4).

174

6 2 R ecursos |

Logic Builder Gam m a • R e ti* m a random valu é accordm g to a sa tistica l distnbution

Distiibution Functions A L L fu n d io n s M ays Attnbutes Called D o w rím e s

ConvcreonPuncbona

Beta Bmomial Eriang Exponential Gamma Geometnc In v e rse G a u sa a n Lognormal Normal Pearson5 Pearson6

Figura 6.4

Uso del constructor de lógica para programar funciones d e probabilidad

Para consultar el texto com pleto del program a q ue hem os creado en ProM odel para el ejem plo 6.1; abra el m enú File y elija V íe w T e xt.EI resultado deberá ser sim ilar al que se ilustra en la fig ura 6.5.

6.2 Recursos Los recursos son m ecanism os q ue requieren las entidades para com pletar una operación, y se caracterizan principalm ente po r te n e r una disponibilidad lim itada. En ProModel en ­ contram os dos tipos de recursos: Recursos estáticos. Son aquellos sin una ruta de m ovim iento y que, po r lo tanto, perm a­ necen inm óviles. Se utilizan principalm ente para m odelar recursos necesarios para llevar a cabo una tarea dentro de una localización (por ejem plo, el operador de una m áquina). Tam bién pueden em plearse en m ás de una localización, o bien para m o ver en tid ades de una localización a otra, siem p re y cuando la ausencia de m ovim iento no sea un factor re­ levante en el m odelo.

175

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

F o r i r e t t e d L i s t i n g o í M b d e l: C : \ A r c h i v o a d e p r o g r a a a \ P r d * o d e l\ M b d e l3 \ E J 5 K E L 0 4 .1 .M 3 D

T im e U n i t a : D i3ca n e e U n it a :

K in n x e 3 Feet

L c c a t io n a

Cíame

C ap U n i t 3

S C a ta T ir r e T ir r e T ir r e T ir r e T ra e T±!fj&

A Ir a a c e n _ l IN F 1 le v a d o r a 1 1 A lm a c e n _ 2 in f 1 2 In s p e c t o r 1 In s p e c t o r . 1 1 1 In a p e c t o r . 2 1 1

R u le a S e r ie S e r ie S e r ie S e r ie S e r ie S e r ie

a a a s a a

Coat

O Id e a t , O Id e a t , O Id e a t , O ld e s t , O Id e a t , O Id e a t ,

F ir s t

F n t it ie 3

Ñame

Speeá

P ie s a _ A P ie z a _ 3 P ie z a C

150 ISO

(fp m )

S ta ta

Coat

T im e S e r i e a T im e S e r i e s T ia e S a r is =

150

P r o c e s s in g

P ro c e sa E n t it y

L c c a t io n

P ie z a _ A P ie z a A P ie z a _ Á P ie z a _ A P ie z a _ B P ie z a _ 3 P ie z a _ B P ie z a _ 3 P ie z a _ C P re za ~ C P ie z s _ C P ie z a _ C

A la & c e n _ l Lavad ora A lm a c é n 2 In s p e c t o r ft lt n B c e n _ l L a v a d o ra A lm a c é n 2 In 3 p e c to r A lm a c e n _ l Lavad ora A lm a c é n 2 In a p e c t o r

S o u t in g

C p e r a t ic n

WATT ü < 3 ,2 í WATT N < ñ ,2 > W A II 3 R ( 4 , 3 ) WATT T ( 3 r 5 r 7 ) W A IT W<2,31i WATT 9 + W < l r 4 )

Ji

O u tp u t

D e s t in a t ic n

S u le

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

P ie P ie P ie P ie P ie P ie P ie P ie P ie P ie P ie P ie

L a v a d o ra A lm a c é n 2 In s p e c t o r " K IT L a v a d o ra A lm a c e n _ 2 In s p e c t o r FKTT L a v a d o ra A lm a o e n _2 In s p e c t o r ZXET

F IS S T 1 F IS S T 1 F IS S T 1 f ip s t i F I3 S T 1 f is s t i F IS S T 1 F IS S T 1 F IS S T 1 f is s t i F IS S T 1 F IS S T 1

za_A . z a A_ za_A za JA za 3 za_3 za B za_3 za C za ~ C za_C z a ._ C

Kove Lo g ic

i.

A r r iv a ls

E n t it y

L o c a t i en

P ie z a _ A P ie z a _ 3 P ie z a C

A 3 a n ace n _ 1 1 A lm a c e .ri_ 1 1 A lm a c é n 1 1

Figura 6.5 176

B lk

Q ty Z a c h

F i r 3 t T im e O c c u r r e n c e s F r e q u e n c y 0 0 0

IN F IN F IN F

Sintaxis del programa para el ejem plo 6.1

E {6 ) 3 19) F (8 )

L o g ic

6 2 R ecursos |

Recursos dinám icos. Son aquellos q u e se m ueven a través de una red de rutas (Path Networks). Estos recursos perm iten transpo rtar en tid ades e n tre localizaciones, para m o ­ delar, po r ejem plo, un m ontacargas que m ueve contenedores de una m áquina a un alm a­ cén,© un operario q ue tie n e q ue operar dos o m ás m áquinas; en estos casos, el tiem p o de traslado entre las m áquinas im pacta los resultados del modelo. Las instrucciones m ás co m u nes relacionadas con el uso de un recurso son GET, FREE, USE y MOVE WITH. A nalicem os a continuación dos de las m ás utilizadas. Instrucción G ET La sintaxis general de esta instrucción es: G E T {} {^ p rio rid ad 1 > {,}} {A N D o O R {Canti­ dad} {,< prioridad 1 > {,}}} La instrucción G ET captura un recurso o com binación de recursos, d e acuerdo con cierta prioridad especificada. Si ya se tien e un recurso capturado previam ente, la entidad tratará de capturar un recurso adicional. Ejem plos: G ET H erram ental G ET 1 Operario, 2 ,2 5 G ET Grúa 1,20 AND {G rua2,\0 OR Polipasto,20,70) G ET 2 Cajas, AND (Pegam ento OR Cinta) Instrucción FREE La sintaxis general es: FR EE <{cantidad} recurso 1 > ,... FR EE libera recursos previam ente capturados con las instrucciones GET o JOINTLY GET. Ejem plos: FR EE pallet FR EE Juan, Paco, Luisa FR EE 4 Tornillos, 3 Tuercas FR EE all Ejem plo 6.2 Considere el sistem a de m anufactura q ue se ilustra en la fig ura 6.6, el cual consta de dos procesos en serie: torneado y fresado de barras en las m áq uinas llam adas Lathe y Mili, res­ pectivam ente. El tiem p o de torneado es de 3 m inutos/pieza, y el de fresado es de 2.7 m i­ nutos/pieza. Para operar am bas m áq uinas se ha contratado a un solo operario llam ado M achinist. Las barras esperan antes de cada proceso en alm acenes denom inados Palletl y Pallet2. La tasa de entrada es de 10 piezas/hora. Sim ule el sistem a po r 24 horas para de­ term inar la utilización del equipo y del personal.

177

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

fül Layout

P a lle n

Figura 6.6

L a th e

P a lle t2

Layout del sistema de manufactura (ejemplo 6.2)

Iniciarem os la construcción del m odelo definiendo los siguientes elem entos: •

imi

En la ventana Locatíons (Build / Locations) active la ventana de edición q ue se ilustra en la fig ura 6.7, y defina las localizaciones Lathe, Mili, Pallet 1 y Pallet2.

Locations

Icón

Ñame

4

►

♦

D Ts. . .

1

1

None

M ili

1

1

None

P a lle e l

In f

1

None

P a lle tl

in f

1

Nene

Figura 6.7

•

U n ica

L a-che

1 1

Cap.

Definición de las localizaciones y su capacidad

En la ventana En titie s (Build / Entitíes) defina la en tid ad Barra (vea la fig ura 6.8).

lllll Entities Ñame 3arra

Figura 6.8

•

178

Speed

¡£ p m )

150

\fentana de edición para la definición de la entidad Barra

En la ventana A rrívals (Build / Arrivals) especifique un núm ero infinito de ocurren­ cias para la entidad Barra, con un tiem po entre llegadas de 6 m inutos al Palletl (vea la fig ura 6.9). (Al definir un núm ero de ocurrencias infinito, es necesario q ue el m ode­ lo de simulación se detenga m ediante la determinación de un tiem po de corrida.)

6 2 R ecursos |

Illii A r r i v a l s E n tity ...

1

B arra

P a lle tl

F ig u r a 6 .9

•

L o c a tio n ...

Q ty

each... 1

1

F irst

T im e

D ccurzeneea IN F

0

Frequency 6

M odelado de las llegadas de material

En la ventana Resources (Build / Resources) defina el recurso M achinist y la can­ tidad del recurso q ue se tie n e (vea la fig ura 6.10).

ílllí R e s o u r c e s Icón

t

Naxr.e

O n its

M a ch in ist

F ig u r a 6 .1 0

•

D Ts. .

1

.

H one

S ta te... 3 '/ U n it

S pecs... N o N etW ork.

\fentana de edición para la definición de recursos

En la ventana Processing (Build / Processing), cree la ruta de producción d e las barras a través del to rn o y la fresadora, incluyendo en dichas localizaciones la cap­ tura del recurso co n la instrucción G ET M a ch in ist, y su liberación con la instrucción FR EE M a c h in is t después del tiem p o de proceso. La fig ura 6.11 m uestra una parte de la program ación d e la ruta.

m E n t i t y ___

L o c a tio n ...

Barra

P a lletl

Barra

Lathe

3arra

P a ll«t2

3arr»

M ili

-

□ X

O p e r a tic n ...

j

p lk

AD

O n t p o t ___

Barra

De s t i r . a t

R u le. . .

P a llet2

FIRST 1

30DFREE M a c h i n i s t |

GET M a c h i n i i t

1 ▼

______________

O p e r a tio n

GET M a c h i n i s t KAIT 3 FREI M a c h i n i s t

Pafét2

Une: 1

F i g u r a 6 .1 1

Ruta de producción de las barras

179

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

•

Fbr últim o, abra el m enú Sim ulation y haga c lic e n el com ando Options para des­ plegar el cuadro de diálogo q ue se m uestra en la fig ura 6.12. En el cuadro de texto de este cuadro establezca la longitud de la corrida de sim ulación en 24 horas.

Simulation Options O u tp u t P a th :

|c A p ro m o d 4 \o u tp u t

B ro w se . Q o c k P re c isió n

D e fin e ru n le n g th by:

♦ T im e O n ly I-

C

W e e k ly Tim e

10.001

C a le n d a r D ate

W a im u p Period

Wairn u p

h o u rs :

•

|

R u n h o u rs :

Figura 6.12

’ Seco n d

|2 4

M inute

C

H our

r

D ay

Definición de la duración de la corrida de simulación

Para consultar el resultado de los pasos anteriores, abra el m enú File y haga clic e n el com ando V iew Text. En la fig ura 6.13 h em o s resaltado, m ediante un círculo, el uso de las instrucciones G ET y FREE.

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A ^ ^ «V « v A W V » —V ^ ^ -W «V V » —•W A ^ -.W a*V ^ ✓V V » WV ^ ^ wV ^ A ^ A «V «v A WV Vfc .V ^ A -W «V V » -V W «W vV «V «W «V ^ . . . . . • m- . . . . ... . . ................ . • » <é ... . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . X • . * . . . . . . . . . . .................. . . . . « c . . . . ... X . . . . . . . . . . » ... . . . . . . . . ... .............. . . . .

*

✓V V » «V W wv . . . . . . . . . . ..

L o c a t io n s

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Ñame

cap

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i

i

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..

Ñame

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B a rra

15 0

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Res Ñ am e

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Machi ni s t 1

sta rs

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Ent se a rc h

By unir

None

oldest

P a th

M o t io n

• • • • . . . . «k. . .

Figura 6.13

co st

Empty: 15 o fpm Ful 1:

180

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R e so u rc e s

La programación completa de la simulación (continúa)

150

fp m

6 2 R ecursos |

*

P r o c e s s in g P r o c e s s

E n t 1t y

L o c a t Io n

Barra

p a llen

B a rra

L a th e

O p e r a t io n

\

/ i*

\ M achi n i

G E T

WAIT

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3

Pallet2

B a rra

M ili

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L

e

M

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wait

2 .7

f r

M

e e

a c h i n

i

B lk

o u tp u t

D e s t in a t io r i R u i e

1

Barra

Lathe

FIRST

1

\

\

F R E E M a c h in i s t 1

Barra

R o u t i n g

1

B a rra

1

Barra

p al 1 e t2 M ili

F IR S T

1

FIRST

1

i

B a rra

EXIT

F IR S T

1

¡

st/

■j^s-sírtrtís-^^sríír-^ns-sírtrAir-írrtís-íírrtrstrír x r s í:# ü r t í! r 3 « S !::íí:» s íf f t s * íí3 S S t i* íí! * s S í3 i! S S M *

\

/

Arrivals

Entity

L o c a t i o n Qty each

F i r s t Time o cc u rr en ce s Frequency

Barra

Ballet 1

0

Figura 6.13

1

INF

L og ic

6

La programación completa de la simulación (continuación)

Ejecute el m odelo. O bserve q ue no se presenta ningún tipo de m ovim iento del recur­ so, ya q ue no se trata de un recurso dinám ico. Esto se d ebe a que, al definir el recurso Mach in ist,eI parám etro de la co lum na Specs de la ventana Resources se conservó com o No NetWork (vea la fig ura 6.10). M ás adelante em plearem os recursos en com binación con Path N etw orks para p erm itir la visualización de recursos e n m ovim iento. Finalm ente, revise el reporte de resultados de la sim ulación. Para ello: Abra el O utput y haga clic en el com ando View Statistics. La ventana q ue se desple­ gará será sim ilar a la q ue se m uestra en la fig ura 6.14. Como pu ed e observar, el recurso ha sido utilizado un total de 95% del tiem po, 50% del cual corresponde al torno y 4 5% a la fresadora.

E

I5^~

R e p o rt fo r re c u rs o

G e n e ia l

l« r * o n S la t e i M u b

L o c a lic e s

l o c a l i o n S ta te s S r g W T a n k

R e io u c e i

R e i o u e e S ta te s

N o d -E n ln e s

F a le d A m v a b

,

E rM y A c b v ily

»

Locatíons fo« iccuito

" nm p

E

S c h e d u le d

C a p a c it

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y

T o ta l E n r íe *

A v g lim e E n iy

Peí

Avg

(M IN )

C o n te n í*

M á x im u m C o n t e n *

C un e n C o n e n tt

la t b e

1440 0 0

1 00

241 C0

299

050

IC O

100

M il

144000

1 00

2 4 0 CO

270

0 .4 5

100

000

P rfe tl

H 4 0 00

999999

2 4 1 CO

OCO

0.00

IC O

000

P d lc i2

1440 0 0

993SQ9

2 4 0 CO

O CO

IC O

000

0.00

R e p o rt (o r re c u rs o

Genw al

Locebcns

L o c a to n S ia te iM u h

lo c a b a n S ta le s S in g t e / I a n l

R e iO iic e t

R e i o t x c e S ta te s

N o d s E n tn w

F a le d A m v d b

E rM y A c b v ily ,

j

,

Reeouices loilecuito

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u n ,“

S c h e d u le d

N u m b e i T im e *

A v g lim e P e í

T ím e (M IN )

U te d

U * a g e (M IN )

A v g I une T la v e l l o U ie

(M IN )

A vg

T im e T i a v e l T o P a ik (M I N )

X B lo c k e d

In

T ia v e l

/ ”

M a c h ™ ^ 10C ^ ^ 144Q O j ^ ^ ^ ^ 481C ( ^ ^ ^ ^ ^ 2e ^ ^ ^ ^ ^ ^ Q O C ^ ^ ^ ^ ^ ^ a O ( ^ ^ ^ ^ C ) 0^ ^ Figura 6.14

X

If lili/ a t io n

\

9500 J

fteportede resultados del uso de localizaciones y recursos 181

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

6.3 Paros en los e q u ip o s Un paro provoca que un recurso o localización q ued e inhabilitada para operar, o fuera de servicio. D esde el punto de vista de la sim ulación, un paro puede representar fallas, des­ cansos, m antenim ientos preventivos (en cuyo caso se necesitarán uno o m ás recursos), in ­ terrupciones program adas o cam bios de turno. U na localización puede quedar fuera de servicio en función del tiem p o de sim ulación (Clock), por tiem po de uso (Usage), po r núm ero de entidades procesadas (Entity) o por un cambio en el tipo de entidad a procesar (Setup). Los paros se procesan de m anera inde­ pendiente, po r lo q ue diferentes paros pueden ocurrir sim ultáneam ente en una m ism a lo­ calización (excepto aquellos q ue se deban a cam bios de tipo de entidad). Por su parte, un recurso puede quedar fuera de servicio solam ente en función del tiempo de sim ulación (Clock) o por tiem p o de uso (Usage). Otro m étodo para definir paros por descansos o tu rn o s consiste en utilizar el editor de tu rn o s (Shift Editor). Este procedim iento tie n e la ventaja de p erm itir paros en tod o un cyupo de localizaciones. Para definir un paro en una localización o en un recurso: •

Abra el m enú Build y haga clic en el com ando Locations (o R eso urces,según el caso) para desplegar la ventana de edición q ue se m uestra en la fig ura 6.15 (por su­ puesto, si está definiendo un paro en un recurso, la ventana m ostrará el nom bre Resources en la barra de título).

Illli Locations Icón .

gHjiji

Cap.

Nazr.e

U n ica

D T a . . ................. il Clock...

L ache

1

1

None

M ili

1

1

Non.e

P a lle c l

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1

N one

Setu p ...

P a lle c2

in f

1

None

Called...

E n try ...

Figura 6.15

•

U sag e...

Programación de diferentes tip os d e paro en las localizaciones

Haga clic en el botón leyenda DTs y elija, en el m enú contextual q ue aparece, el t i­ po de paro q ue desea programar. Enseguida se abrirá una ventana de edición sim i­ lar a la q ue se ilustra e n la fig ura 6.16.

Las ventanas de edición de paros co ntienen un conjunto de co lum nas d ond e pode­ m os especificar los valores de los siguientes parámetros: Frequency. Representa el tiem po q ue transcurre en tre paros consecutivos. First tim e. Representa la hora en que ocurre el prim er paro; si se deja en blanco, el pará­ metro to m ará el valo r asignado en el cam po Frequency. 182

6 3 Paros e n los e q u ip o s |

Illíi

Clock downtimes for Lathe F re q u e n e y

600

F i r s t T in té 20

m 0 (n )fx ) P r io r it y 99

S c h e d u le d .. No

. j

L o g ic . . . w a i t 25

D i s a b le No _

-

Figura 6.16

Determinación de parámetros de un paro en una localización

Príority. Representa la prioridad relativa q ue ten d rá el paro. D e m anera predeterm inada, la prioridad e s 99. Si los paros ocurren hasta q ue la entidad que está e n posesión de la lo­ calización sale de ella, el rango de prioridades es de 0 a 99. Si un paro ocurre m ientras la localización está ocupada, interrum piendo el proceso de la entidad, el rango de priorida­ des es de 100 a 999. Scheduled. Perm ite indicar si los paros son program ados o no. Los paros program ados se deducen del tiem po total de sim ulación para el cálculo estadístico de los resultados. List. En caso de te n e r varias unidades de un m ism o recurso, este parám etro p erm ite se­ leccionar el núm ero de la unidad al q ue se aplica el paro. Node. En caso de recursos dinám icos, representa el nodo, dentro de su ruta, d ond e debe esperar el recurso m ientras el paro esté activo. Logic. Perm ite program ar los eventos y actividades q ue ocurren durante el paro. En este campo es posible u tilizar las instrucciones GET, FREE, WAIT, USE, GRAPHIC y JOIN TLY GET. D isable. Perm ite deshabilitar tem po ralm ente el paro, sin te n e r q ue eliminarlo.

Ejem plo 6.3 Considere un sistem a de m anufactura sim ilar al del ejem plo 6.2, con dos m áquinas e n se­ rie para los procesos de torneado y fresado. El tiem po de torneado es de 3 m inutos/pie­ za, y el de fresado es de 2.7 m inutos/pieza. Para operar am bas m áquinas se ha contratado a un solo operario. La tasa de entrada es 10 piezas/hora. El torno tien e una frecu encia de fallas exponencial de 4 00 m inutos, y para su re p a­ ración se necesita un m ecánico. El tiem p o de reparación es de 10 ± 3 m inutos, con dis­ tribución uniform e. El operario de producción descansa 5 m inutos co n distribución exponencial cada 120 m inutos de trabajo. Sim ule el sistem a por 24 horas para determ inar el im pacto de las fallas y los descansos en la utilización del equipo y del personal. Partiendo de los elem entos definidos en el m odelo del ejem plo anterior: • •

Abra el m enú Build y e lija R esources para acceder a la ventana de edición corres­ pondiente (vea la fig ura 6.17). Defina com o recurso al m ecánico q ue hará las reparaciones del torno. En cuanto al recurso M achinist, haga c lic e n el botón DTs para editar sus descansos.

183

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

R e s o u rc e s

Ñame

j

- 'n ic a

M a ch in ist

11

M ecan ice

1

Stacs

D ía . . .

Specs. . .

S e a rch ..

L o g ic ...

? t a ..

üsage

By ü n it

No Networi Non*

0

0

Nor.e

By U nir

No N e t v o r Nor.e

0

0

N otes. . .

HI L Frequency

r i r e t Tim e P r i o r i t y

120 a i n

L iet

L o g i c . .. WATT E ( S

99

D isa b le

a ln

No

---------------------------------------- 1

Figura 6.1 7 •

a

n

Edición de los descansos d e M achinist y adición del recurso M ecánico

Abra la ventana Locations (Build / Locations). Seleccione la localización Lathe (vea la fig ura 6.18), haga c lic en el el botón DTs y luego en Clock (del m enú contextual) para ed itar las fallas del equipo. En este caso la prioridad de 999 p erm ite que la m áquina falle aún teniendo una entidad en proceso. [1] -

L o c a tio n s

Ñame

U n its

Lathe

1

1

C lock ,

Tim e S e i O l d e s t

A

M ili

1

1

None

Tim e S e : O l d e s t

----

P a lle tl

in f

1

None

Tim e S e : O l d e s t

P a lle t2

in f

1

None

Tim e S e : O l d e s t

C lo c k

d o w n tim e s

Frequency 400

fo r

S tats

R u le s. . .

Tim e

N otes. . .

ni -

L a th e

F irst

20

D Ts. . .

□ X

Cap.

P rio rity 999

S ch e d u le d ... No

L o g i c ...

D isa b le

GST K e c a n i c o D n ¿jo

GET M e c á n i c o WAIT U < 1 0 , 3) FRZZ M e c á n i c o

Une: 1

Figura 6.18 184

Ed ición de los descansos de M a c h in is t y uso del recurso M e c á n ic o para hacer la reparación

6.4 Reglas d e ru te o |

•

Abra el reporte de resultados (O utput / View Statistics) para verificar las estadís­ ticas del nuevo recurso M ecán ico,y el im pacto de los paros en las estadísticas de M achinist, Lath e y M ili (vea la fig ura 6.19).

Report for fallasv6 G e n e ia l

Locabcns

L o c a b c n S ie t e s M if li

L o c a lic e S ta te s S in g t e / T a n k

R e s cu tce s

R e s c u i c e S ta te s

N o d e E rtó e s

F a le d A m v a h

E f* ty A c trv * y

«

»

L o c a t i o n s l o i la H a s v 6

S c h c d u lc d

Ndm e

C a p a c it

y

T r n ie (M IN )

T o la l

A v o T im c P e í

E n liie i

E n t .y (M IN )

A v g C o n te n í*

M á x im u m

Cunen!

C o n te n í*

C o n te n í*

la t h e

1440 0 0

1 00

24000

5 .5 4

092

1 00

1 CO

M il

14401»

100

23900

284

0 47

100

IC O

P e lW I

1440 0 0

999999

24100

383

0 84

200

IC O

P a lt ó

1440 0 0

999993

2 3 9 .0 0

000

0 1 »

100

OCO

* U

.

Report for fallasvo G e n cta '

I c c a W 's

L o c a tio n S t a t e s M U t

L o c a tio n S ta te s S m g le / Ia n k :

R esouces

R «c «itc e S ta te s

U o d c E tV ie s

F a lo d A m v a l-

E rtity A c t rv fy

n x «

.

R c s o u i c c s fo r fa lla s v 6

Ñam e

U n íts

S c h c d u lc d

N u m b e r T im e s

A v q T im e P e r

A y o T im e T r a v c l T o

T « n r (M IN |

Used

U i a g e (M IN )

U s e (M IN )

P a rk (M IN )

481 0 0

283

OCO

400

1000

000 000

M achnst

IC O

1 4 4 0 CO

M acaneo

1co

1440 (0

Figura 6.19

A v g T i»

e T ra v c l T o

OCO

Im pacto de los paros en la utilización de los recursos y las localizaciones

6 .4 R eglas d e ruteo La ventana de edición q ue se ilustra en la fig ura 6.20 m uestra una de las herram ientas dis­ ponibles en ProM odel. Rule perm ite gran versatilidad en la creación del proceso al c o n s­ truir las rutas de las entidades. Para desplegar la ventana correspondiente, abra el m enú Build y haga clic en el com ando Processing. ProModel - ULTIMO-1.MOO ooS

Wníon lili Routing for PIEZA1 ® LLEGADA

S n tliy

Operation

PIIZA1

PISZA1

Figura 6.20

Acceso a las reglas d e ruteo

La colum na Rule perm ite seleccionar la condición que se d ebe cum p lir para que una entidad sea transferida desde la localización actual (definida e n la co lum na Location) hasta la localización sigu ien te (definida en la co lum na Destination). Al oprim ir el botón R ule se abre el cuadro de diálogo Routing Rule. En él se puede seleccionar cualquiera de las siguientes reglas de ruteo: First availab le. Selecciona la prim era localización q ue te n g a capacidad disponible. By tu rn . Rota la selección e n tre las localizaciones q ue estén disponibles. If Join Request. Selecciona la localización q ue solicite una entidad para un proceso de unión (requiere el uso de la instrucción JOIN). 185

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

If Send. Selecciona la localización q ue solicite una entidad para un proceso de envío (requiere el uso de la instrucción SEND). Untll Full. Selecciona la localización hasta q ue esté llena. Random . Selecciona aleatoriam ente y en form a u nifo rm e alguna de las localizaciones disponibles. Most A vailable. Selecciona la localización q ue te n g a la m ayor capacidad disponible. If Load Request. Selecciona la localización q ue solicite una entidad para un proceso de carga (requiere el uso de la instrucción LOAD). Longest Unoccupied. Selecciona la localización que te n g a el m ayor tiem po desocupada. If Em pty. Selecciona la localización solam ente cuando está vacía, y continuará seleccio­ nándola hasta q ue esté llena. Probabillty. Selecciona la localización de acuerdo co n un porcentaje asignado. User Condition. Selecciona la localización q ue satisfaga una condición booleana especi­ ficada po r el usuario. Continué. Se m antiene en la localización para realizar operaciones adicionales. As A ltérn ate. Selecciona la localización com o alternativa si está disponible y n ing un a de las reglas anteriores se cum ple. As Backup. Selecciona una localización co m o respaldo si la q ue tie n e preferencia está descom puesta. D ependent. Selecciona una localización solam ente si la ruta inm ediata anterior ya fue ejecutada. Quantlty. Es un cam po adicional q ue p erm ite definir el núm ero de unidades q u e saldrán de esta localización por cada unidad que entre. Esta instrucción se utiliza para procesos de corte y separación. Ejem plo 6.4 0 proceso de m anufactura ilustrado en la fig ura 6.21 consta de 2 tornos y 1 alm acén d on ­ de las piezas esperan antes de ser procesadas. Los tiem p o s de proceso son de 12 y 15 m i­ nutos/pieza en los to rn o s 1 y 2, respectivam ente. La tasa de entrada a este proceso es de 6 piezas/hora co n distribución de Poisson. Sim ule el proceso.

S I Layout - Student Versión

Figura 6.21 Esquematización de un proceso de torneado

186

6.4 Reglas d e ru te o |

•

Para em pezar, d efinirem os las localizaciones Almacén, Torno_ 1y Torno_2 e n la ven ­ tana Locations (Build / Locations). Especifique la capacidad de dichas localizacio­ nes com o se m uestra en la fig ura 6.22.

lllll L o c a t io n s Ic ó n

| lo m o

% % *

O n its

D Ts . . .

l|

:1

1

None

X o rn o _2

1

1

None

A lr .s e en

in f in it e

1

Nene

Figura 6.22

•

Cap.

Mame

Definición d e capacidad de las localizaciones

D efina la entidad Pieza en la ventana En titie s (Build / Entitles), com o se m uestra en la fig ura 6.23.

HUI Entities | Ic ó n

Speed

Ñame

j P ie z a

I

L

Figura 6.23

(fpm )

150

Definición de la entidad

A continuación program arem os las llegadas de la Pieza aI Alm acén. Abra la ventana Arri­ vals (Build / Arrivals) y especifique los parám etros que se m uestran en la fig ura 6.24.

M A rriv a ls E n t i t y ___ P ieza

Figura 6.24

•

L o c a d o r.. .. A lm acén

Q ty e a c h ...|

1

F i r s t . Tim e

0

O ccurrenees INF

Frequency

£ ( 10) rain

Entrada d e m ateria prima (Pieza) a l p unto inicial del proceso (Alm acén)

D espliegue la ventana Processing (Build / Processing) para crear la ruta de pro­ ducción de las piezas a través de cualquiera de los 2 torno s (vea la fig ura 6.25).

187

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

w a ie 12

Figura 6.25

Selección del to rn o donde se procesará la pieza

Como pu ed e ver en la fig ura 6.25, en el cam po Rule ap arece,d e m anera p redeterm i­ nada, el valor FIRST para am bas salidas. En este caso la regla de ruteo indica q ue la pieza deberá m overse al prim er torno que se encuentre disponible. Si am bos están disponibles, el to rn o 1 será la opción elegida. El "1 "a la derecha del prim er FIRST indica el valor del campo Q uantity del cuadro de diálogo Routing R ule (vea la fig ura 6.26). •

Haga clic en el botón Rule de la ventana Routing fo r para desplegar el cuadro de diálogo Routing Rule (figura 6.26), en donde podrá seleccionar alguna de las re­ glas de ruteo para el registro activo, e n e ste caso para Torno_ 1.

Routing Rule I ? S ta it New B lo ck

(Quantity 11

N ew Entity • F iis t Availab le

C M ost Availab le

B y T uin

'

ñandom

If Jo in R e q u e st

C |f L o a d R equ est Lo n g e st U n o ccu p ied

If Send

C |f Empty

T Until Full Probabílity: U se r Conditiorr.

Figura 6.26 Continué (

Seleccione en este cuadro

A Ipin j í p OK

de diálogo la regla de Cancel

Help

transferencia entre bcalizaciones

Por ejem plo si desea cam biar la regla de m anera q ue 30% de las piezas sean proce­ sadas en el to rn o 1 y el resto en el torno 2: •

188

Abra prim ero la ventana Routing Rule para el torno 1, seleccionam os la opción Probabillty, y escriba 0.3 en el cuadro de texto correspondiente. Haga c lic e n OK.

6.4 Reglas d e ru te o |

Repita los pasos anteriores para el torno 2, tenien d o cuidado de q ue la opción Start New B lock esté desm arcada en este caso. Elija Probability y escriba 0.7 en el cam po de texto. La figura 6.27 m uestra parte de este procedim iento.

R o u t in g í o r P ie z a ®

A lm a c é n

M o x l A v o ilo b lr

F * * t A v a l l o b le By T u n

M ondom

II J o in R e q u e s I

II Lo a d R equest

II Scnd

L o n g e t l U n o c c u p ie d

U n lil

FuH

I I ím p ty

P io b a b ilily :

¡0 7 0 0 0 0 0

U s c i C o n d ilio n

F

A s A lló m a le

A s Backup

O K

Figura 6.27

Cancel

D ependeni

H e lp

Selección del torno en función de porcentajes

Podem os seleccionar de m anera sim ilar cualq uier otra regla de ruteo. La sintaxis de program ación del e je m p lo (m an ten ien d o la regla p ro b ab ilística) se m uestra e n la figura 6.28:

F o r a n a t t e d L i s t i n g o f Mod e l : c : \Pr*oMod4\model s \ r u t a s . m o d

9 3

IÍ99 999 99 99" 99 99999999999 •*•999999999999 9999999999999 99 Mi ñ u t e s Feet

Tim e U n its : D istance u n its:

*

Locations

53aiS39a¡!í¡!9a33Sia3ffSS3¡!9a3ai!SaílffS39 9 ffa3ÍÍ!Sai!ÍE33¡!T?8r9l!íií!9SSIi! Ñame

cap

um ts

stats

Torno_l Torno_2

l 1

l i

Tím e s e r ie s o l d e s t . Tim e S e r íe s O ld e s t .

Almacén

In fin ite

1

Time s e r i e s o l d e s t .

Figura 6.28

Rules

SíííS-ífBSÜlSiíKSa

cost

Sintaxis com pleta de la program ación para el ejem plo 6.4 (c o n t i n ú a )

189

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

ü n n ü ttífim

íí-íí ÍÍÍÍ5Í í í * í í íí^rtíSií í i * í í

*•* a

¿ tu

*•**

í?*3ift^íí*5irt-íttí ÍS T S

E n t i t i es

r:

*

Ñame

sp eed

P ie z a

is o

(fp m )

sta ts T im e

co st s e r i es

V A.. V »A V ^ VA ^ " v^ V « V W ^ V »k V " kV » V ^ k A A A A A A A A A A A A A A A A A A ... k k -k k k .kk k .k k^ k C S kW .A k k .k k .V .k k kk k k k kk • . k kA k .^ k kk k k k k -k kAA A AA A •kA k k k kA .kA k k k kA k k -A k kA k k kkA k kA k k ■ k k k kA k k k kA k kk k k kA k k k k .A k k« k k k k k kA k k .A k kA k k k k k kA k k k k k kA k k k kA k k k k .A k kA k k •é •.. « 5 » .W •k « 5 .— .. .»-

P r o c e s s i ng

•f

^ W » k V ^^ k A * ka k Vk * V A« VAA .k VA-AA AA W Ak VAA AV »A A AA AA A AA A AA AAV A AAk ^ A AA A AA A AA A A -A AA A AA A V »A AA A ^A « • ti •• 1 »•• •• é é< •A•• t»é t ti téé t I* tt-•• « éé t ti téé lé é# éé l téa é éé étéé étéé été• » .é éé t ti * éléé étéi* ,a t tétéé é« té é* éti é étété« été» té« éé été* éé éié « ététéé été« éé étt ti

P ro c e ss E n t it y

L o c a t io n o p e r a t io n

P ie z a

A lm a c é n

P ie z a P ie z a

Torn o _i T o rn o _2

■ *o uti n g s i le i

w a .it w a tt

12 is

1 1

o u tp u t P P P P

ie ie ie ie

z z z z

D e s t in a t io n R u le

a a a a

M ove

T o rn o _i T o rn o _2 E X IT

0 .3 0 0 0 0 0 0 .7 0 0 0 0 0 F I R .5 T 1

e x it

f ir s t

l

1

i

A rri val 5

íí

^« Ak * V ^^^^« VAA k éA A AA k ^ A A A-AA AA AA A AA k * V tété•• I*•• •• • »é é• • téé été• »é étéé t i* é é -é té »é éé étés éé é é é .é l« éé é .é éé éé éé éé étéé étéé étéé éé étéé éé éé é .é l té.é é té éi* é étététt é étéé étt é éé éé é .tt téé é étéé éé étéé éé éé éé été«

E n t it y

L o c a t io n

Q ty

P ie z a

A lm a c é n

i

Figura 6.28

each

F ir s t

T im e o c c u r r e n c e s

0

IN F

F re q u e n c y EC1Q 3

L o g ic

m ío

Sintaxis com pleta de la program ación para el ejem plo 6 .4 (c o n t i n u a c i ó n )

6.5 En sa m b les, acu m u lació n y ag ru p a m ien to d e p ie za s Un gran núm ero de procesos de producción incluyen operaciones de separación, e n sa m ­ ble, agrupam iento y unión. A continuación se resum en varias de las fun cio nes q ue ProMo­ del tie n e para m odelar este tipo de procesos. Instrucción ACCUM La instrucción ACCUM, cuya sintaxis general es: ACCUM , retrasa el proceso de las en tid ad e s h asta q ue cierta cantidad del m ism o tip o se haya acum ulado en algún lugar del m odelo. U na vez q ue se han acum ulado, se p erm ite a todas ellas continuar en fo rm a separada. Si la entidad a procesar se define con el parám etro ALL, tod as las entidades, sin im portar su tipo, entran en el proceso de acum ulación. Esta instrucción no conso lida las entidades (vea la fig ura 6.29).

190

6.5 E n s a m b le s ,a c u m u la c ió n y a g ru p a m ie n to d e p ie z a s [ :

Ejem plos: ACCUM 5 ACCUM 10

B File

P ro M o d e l -

Edit

View

a c u m u la r . M O D

B Jd

Sm ulaton

Output

Tools

Wmdow

Help

Proce E n ricy . . .

L c c a c r o n . ..

P iez a

ñlzacer.

P ieza

M aquina

O p era ción . . .

O O a c c u n S D O w a i t 12

a ccu in 5 w a i c 12

Une: 1

A lm a c é n

M a q u in a

Figura 6.29 Ejemplo de un proceso de manufactura de 12 minutos, que inicia cuando se han acumulado 5 piezas en la máquina

Instrucción G RO U P La sintaxis general de esta instrucción es: GRO U P AS , y su propósito e s realizar una unión tem poral de entidades de un m ism o tipo (a m enos que se utilice com o parám etro la palabra A L L ,e n cuyo caso pu ed e u n ir en tid ades de di­ ferente tipo ). Las entidades agrupadas se m antienen en ese estado hasta q ue encuentran una instrucción U N G RO U P. Si se utiliza la o pció n A S , la entidad resultante de la unión puede ten er un nom bre diferente (vea la fig ura 6.30). Ejem plos: GROUP 10 GROUP 10 AS Am igos GROUP PRODO AS Lote

191

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

M

P ro M o d e l -

File

Edit

View

a g r u p a r .M O D

Bu id

Smulabon

Output

Tools

q r o u p 5 aa

Wndow

Help

M a q u in a

lo ca

Maquina

P r o c e s s in g R o u t in g E n t it y

L o c a t io n

O p e r a t io n

P ie z a L o te L o te

R ln a c e n A ln a c e n M a q u in a

g ro u p 5

Figura 6 .3 0

u a it

10

B lk as

O u tp u t

D e s t in a t io n

R u le

M a q u in a EX IT

F IR S T 1 F IR S T 1

lo t e

Ejem plo de un sistema de producción de 10 m inutos/lote, con agrupación previa

de 5 piezas en el alm acén (incluye la sintaxis de program ación com pleta del proceso)

Instrucción UNGROUP La instrucción UNGROUP tie n e la siguiente sintaxis general: UNGROUP 0 objetivo de esta instrucción es separar las entidades agrupadas previam ente con la ins­ trucción GROUP. Las entidades son desagrupadas de acuerdo con el esquem a "prim ero en entrar, prim ero en salir"a m enos q ue se indique lo contrario co n la expresión U FO (vea la fig ura 6.31). Ejemplos: UNGROUP UNGROUP LIFO

192

6.5 E n s a m b le s ,a c u m u la c ió n y a g ru p a m ie n to d e p ie z a s [ :

i

¡ ProM odel - d e sa g ru p a r. MOD File

Edit

View

Build

Simulation

O jtp u t

Tools

lllll Process

Window

1*1

E n tity .

L o c a tio n ..

P iez a

Alrr.a c e n

L ote

A lm a cén

L ote

M a quin a

P iez a

M aquina

□ X

lllll

g r o u p 5 aa

w a it

R o u tin g fo r

Lote $> M aquina

O utpu t. . .

O p era tion .

J a a tin a tion ..

P u le .

lo te

10 u n g r o u p

□DE

■ ( Jp eratio n

E|Bs|©|/»,|á|®|'?l w a it

-

Heto

10 u n g r o u p

Almacén

Maquina

Lme 1

R o u t in g E n t it y

L o c a t io n

O p e r a t io n

P ie z a

A lm a c é n A lm a c é n M a q u in a M a q u in a

g ro u p 5 a s

Lote

L o te P ie z a

Figura 6.31

B lk

O u tp u t

D e s t in a t io n

R u le

Lote

M a q u in a

F IR S T

1

P ie z a

EX IT

F IR S T

1

lo te

w a i t 1 0 u n g ro u p

Ejem plo de un sistema de producción d e 10 m inutos/lote, agrupando previam ente

5 piezas en el alm acén y desagrupando después del proceso

Instrucción COMBINE La sintaxis general de la instrucción es: COMBINE AS Su propósito es realizar una unión definitiva de entidades de un m ism o tipo, a m enos que se utilice com o parám etro la palabra A L L ,e n cuyo caso puede u n ir entidades de d iferen­ te tipo. La entidad resultante m an tie n e el n o m b re y atrib uto s de la últim a entidad co m ­ binada; si se utiliza el parám etro A S, la entidad resultante de la unión pu ed e te n e r un nom bre diferente (vea la fig ura 6.32). Ejem plos: COMBINE 10 COMBINE 50 AS Lote

193

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

B

P ro M o d e l - c o m b in a r . M O D

F ile

E d t

V ie w

B u i 'd

S m u la b o n

O u tp u t

T o o ls

1*1

lllll P ro ce s s £r.~icy. . .

Locación. . .

P iez a

A lm a cé n

ca ja

A lm a cé n

n

H e lp

|_-_ ||_ n J|_ X | M R outing for c a ja

OperaCi.cn. . . com bine

O ucpuc. . .

10 a s c a j a

A lm acén

J e a cin a cio n .. ZXIT

ca ja

R u le ... F IR S T 1

- nx

■ O peratio n jt k

W rx to w

p

.

¿

0

f

Almacén Une i P r o c e s s in g P ro c e ss E n t it y

L o c a t io n O p e r a t io n

P ie z a c a ja

A lm a c é n A lm a c é n

c o m b in e

R o u t in g B lk

O u tp u t

D e s t in a t io n

R u le

1

c a ja

EX IT

F IR S T 1

10 a s c a ja

Figura 6.32 Ejemplo de un sistema de empaque en un almacén, combinando 10 piezas/caja (incluye parte de la sintaxis de programación del modelo)

Instrucción JOIN Con la sintaxis general: JOIN < Entidad a e n sa m b la ra la instrucción JOIN ensam bla entidades de cierto tipo a la entidad actual. Las entidades a ensam blar provienen de otra localización, y se dirigen m ediante la regla de ruteo IF JOIN REQUEST. Una vez ensam bladas, las entidades pierden su identidad y atributos.

Ejemplos: JOIN 24 Refrescos JOIN Varioble_ 7 Cojas Ejem plo 6.5 Como se ilustra en la fig ura 6.33, un operario em paca cajas de 25 piezas cada una. El tie m ­ po de em paque e s e xp o n encial de 1 m inuto. Las tasas de entrada por hora son co n stan ­ tes, de 1 500 en el caso de las piezas, y de 60 en el de las cajas.

194

6.5 E n s a m b le s ,a c u m u la c ió n y a g ru p a m ie n to d e p ie z a s [ :

A 'i P ro M o d el - En sa m b le .M O D - [N o rm a l R u n ] Ip í] File

Simula tío n

Options

Information

Window

In te ra ct

Help

J

-

2168 Alm acén Pieza

Alm acén Caja Operario

I

Figura 6.33 • • • •

Proceso d e em paque para el ejem p lo 6.5

Para com enzar, defina las localizaciones Alm acén_Caja, A lm acén_Pieza y Operario en la ventana Locations (Build / Locations). Especifique las entidades Caja_vacía, C a ja JIe n a y Pieza en la ventana Entities (Build / Entities). En la ventana A rrivals (Build / Arrivals) determ ine las entradas al sistem a, de la Ca­ j o n a d a al Alm acén_Caja, y de la Pieza al Alm acén_Pieza. En la ventana Processing (Build / Processing), cree la ruta de cada tipo de entidad.

Para m o d elar la unión de las entidades son necesarios dos procesos: uno para la en ­ tidad principal, C aja_v^ cía,y otro para la entidad secundaria, Pieza. El prim er proceso se ilustra en la figura 6.34; en él harem os uso de la instrucción JOIN para indicar q ue la en ti­ dad actual, C a ja _va d a , e n la localización Operario solicita 25 entidades Pieza para llevar a cabo la unión. La entidad resultante de este proceso se identifica co m o C a ja JIe n a ,y es e n ­ viada al exterior.

JOIN

25

PiasaOCWAIT

•

O p e r a tio n

A d d R o u tin g

Figura 6.34

Programación de la instrucción JOIN

195

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

El segundo proceso a program ar es para la en tid ad Pieza, y consiste e n m odificar la regla de ruteo hacia la localización Operario. En la figura 6.35 se m uestra cóm o llevarlo a cabo m ediante la selección de la o pció n If Joln Request en el cuadro de diálogo Routing Rule.

Figura 6.35

Programación de la regla de ruteo If Jo in Request

La sintaxis de program ación del ejem plo 6.5 se ilustra e n la fig ura 6.36. Instrucción LOAD La instrucción LOAD, cuya sintaxis general es: LOAD IFF IN , agrupa tem poralm ente entidades de cierto tipo a la entidad actual. Las entidades a agru­ par provienen de o tra localización, y se dirigen m ediante la regla de ruteo If Load Re­ quest. Las entidades agrupadas m antienen su identidad y atributos, y se separan cuando encuentran una instrucción UNLOAD. Ejemplos: LOAD 5 LOAD 10 IFF T ip o > 2 LOAD 2 IFF Peso > 3 IN 5 min LOAD 5 IN 10 min Instrucción UNLOAD La sintaxis general de esta instrucción es: UNLOAD IFF , y su propósito e s perm itir que una entidad descargue o desagrupe otras entidades pre­ viam ente agrupadas po r una instrucción LOAD o GROUP si se cu m p le la condición espe­ cificada. Ejemplos: UNLOAD 10 UNLOAD 2 IFF entityQ = Pieza

196

6.5 E n s a m b le s ,a c u m u la c ió n y a g ru p a m ie n to d e p ie z a s [ :

E je m p lo 6 .6 Un proceso requ iere m o ve r m aterial en co n ten ed o res de un lu g ar a otro. Cada c o n te ­ nedor d ebe llevar 5 piezas. El tiem p o para cargar el contened or es d e 1 m inuto. Los co n ­ tenedores se m ueven a través de una banda transportadora en 30 segundos. Al final de 197

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

este m ovim iento se separan y cada entidad continúa po r separado en bandas tran sp o rta­ doras independientes. Vea la esquem atización de este problem a en la fig ura 6.37.

ProModel - Ejem plo LOAD.MOD - [Norm al R un] |*3

F ie

S m u la ü o n

Op&ons

In fo r m a tio n

W m dow

In te ra c t

H e lp

Banda palléis Almacén de palléis Banda Descarga

Carga

Almacén de p e ; .1 Banda p e sa s

Figura 6 .3 7

Esquematización de la sim ulación d e un proceso de unión y separación d e entidades

Para este ejem plo, antes q ue nada e s necesario definir las siete localizaciones q ue se m uestran en la fig ura 6.37 (alm acén de piezas, alm acén de pallets, carga, banda, banda palets, descarga y banda piezas), las dos entidades q ue se m ueven a través del sistem a {pallet y piezas), y la inform ación sobre la llegada del m aterial al sistema. Estos elem entos y sus características se describen m ás adelante en la sintaxis de program ación del modelo. D e la m ism a fo rm a q ue en el caso de la instrucción JO IN , para lograr la unión o car­ ga se requieren dos procesos: uno para la entidad principal, Pallet, y otro para la entidad secundaria, Piezas. El prim ero de dichos procesos se m uestra en la fig ura 6.38. En él se hace uso de la ins­ trucción LO A D para indicar q ue la entidad actual, Pallet, solicita en la localización Carga 5 entidades para llevar a cabo la unión, incluyendo el tiem po necesario para hacerlo. La en ­ tidad resultante de este proceso es enviada hacia la banda transportadora Banda.

Operation

A d d R o u tin g

Figura 6 .3 8

198

Programación de la instrucción LOAD

6.5 E n s a m b le s ,a c u m u la c ió n y a g ru p a m ie n to d e p ie z a s [ :

El segundo proceso a program ar es para la entidad Piezas, y consiste en m od ificar la regla de ruteo d esd e el A lm acen_de_piezas hacia la localización Carga. La fig ura 6.39 ilus­ tra có m o se lleva esto a cabo m ediante la selección de la opción If Load Request en el cuadro de diálogo Routing Rule.

fo r P ie z a s ® A lm a c e i

Oucput---

D e s t in a c ió n ..

Carga R o u t i n g R u le v

S t a i l N e w B lo c k

g u a n lily f T

N e w I n lit y

F ir s t A v a lla b le B y T u in

Figura 6 .3 9

(

II J o m

'

H S cn d

U rq u e »!

Programación de la regla de ruteo If Load Request

Una vez transportado el Pallet por la banda, se lleva a cabo el proceso de separación o descarga m ediante la instrucción U N LO A D ,d e m anera q ue cad a entidad sea enviada a su siguiente proceso (vea la fig ura 6.40).

MI

lili Process Eneiey...

L o c a t io n .. .

P a lla r

D esca rga

P a lle t

-](□

jjn lo a d

^ / ^ 3 a r .d = _ p a l^ a t s

w a it 30

i

SCO seo

■ Operation

X

1 *

O p e r a tio n .

O u t p a t ____

Pallan

D e s tin a ció n ... S a r .d a

p a lla r a

¡ |- ||P ] [

□ □ □ Q H D D -

Ü j Tools

n x

a

N e w P ro c e s s

A d d

lllll Process

R o u tin g

l 7l

M f n jfx ]

Mil Routing for Piezas © Descarga

O bserve la sintaxis de program ación co m p leta para el m odelo del ejem plo 6.6 e n la figura 6.41.

199

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

F o r r r e t t e d L i s r i n g o f M o d e l: C : \ P ro N b d 4 \2 ro d e l a \ E j a r p i o LOAD. MCD

T im e I * i i r a : D is r a n e e U n ir á :

j.

*

M in u t e 3 Feet

*

L c c a t ic n s

Ñame

Cap

U n ir s S ta ta

A im a c e n _ á a p a l i a r a A lm a c en d e _ p ie z a 3 Banda D e sc a rg a C a rg a 3an d a_p a l l e r 3 B an d a_p . Le z a s

IN F IN IT E 1 IN F IN IT E 1 IN F IN IT B 1 1 1 1 1 IN F IN IT E L IN F IN IT E L

lim e T im e T im e T im e lim e T im e T im e

R u le s S e r ie s S e r ie s S e r ie s S e r ie s S e r ie s S e rre s S e r ie s

O ld e a t , O ld e s t , O ld e s t , O ld e s t , 0 id e 3 t , O ld e s t , O ld e s t ,

C o st 9 9

FTFO * 9

F IF O , F IF O ,

*

E n r ir ia 3

Narre

Sp sed

P ie z a s P a lle t

150 150

(fp m )

S ta ts

C o st

T im e S e r i e s T im e S e r i e s

P r e c e s s in g

*

P r c c e as F n t it y

l o c a t ió n

P a lla r P a lle r P a lle t P a lle r P a lle t P ie z a s P ie z a s P ie z a s

A lm a c é n d a p a l l a r a C a rg a Banda D e sc a rg a B a n d a _ p a lle t s A lm a c é n d a p i e z a s le s c a r g a 3 a n d a _ p ie z a a

R c u t in g

O p e r a t ie n

LOAD 5 IN 1 m in W A IT 30 a e c u n lo a d 5 w a i t 30 a a c

w a i t 30 a e c

3 1 k C u tp u t

Ce a t i n a t i o n

R u le

i 1 1 1 1 1 1 1

C a rg a Banda C e a c a rg a 3a n d a _ p a lle t s EX IT C a rg a 3 a n d a _ p ie z a s F X IT

F IR S T 1 F IR S T 1 F IR S T 1 F IR S T 1 F IR S T 1 LOAD 1 F IR S T 1 F IR S T 1

P a lia r P a lle t P a lle t P a lle t P a lle t P ie z & 3 P ie z a s P ie z a 3

*

A r r iv a ls

F n t it y

L c c a r ie n

Q ty e a c h

F ir s t

P la z a 3 P a lle r

A lm a c é n d e p i e z a s A lm a c é n d e _ p a l l e t s

10 0 0 200

0

Figura 6.41

200

T im e O c c u r r e n c e s F r e q u e n c y 1 1

Sintaxis com pleta de la program ación para el ejem p lo 6.6.

1 1

L o g ic

6.5 E n s a m b le s ,a c u m u la c ió n y a g ru p a m ie n to d e p ie z a s | :

Instrucción SPLIT La sintaxis general de la instrucción SPLIT es: SPLIT AS su propósito es d ivid ir una entidad en varias entidades, y asignar a cada una de ellas (de m anera opcional) un nuevo nom bre. Las entidades resultantes de la división m antienen b s m ism os atributos q ue la entidad original. Ejem plos: SPLIT 10 SPLIT 20 AS Botella SPLIT V ariab le_4 AS Lám inas El uso de esta instrucción se recom ienda solam ente cuando existan operaciones adi­ cionales a las entidades dentro de la localización actual. En caso contrario e s m ejor utili­ zar la estructura de reglas de ruteo que se ilustra en la fig ura 6.42 para definir la cantidad de entidades a separar.

B u le V id r io

«n acen

de v ld r i

V id r io R o u t in g R u le

*

S t a i t N e w B lo c k

Q u a n tity

5

.a y o u t F i ix l A v d ild b le

M o x t A v d Jd b le

New Piocess

B y lu in

Random

Add Routing

I I Jo in R c q u c s t

II lo a d R c q u c s t

II S en d

L o n g e x l U n o c c u p ie d

U n l i l F u ll

II E n p ty

Entity IVtdrio

P io b d b ilit y . U i e i C u n d it io r i

C o n tin u o

Figura 6.42

Separación de entidades m ediante la opción de cantidad disponible en el cuadro

de diálogo Routing Rule

Ejem plo 6.7 A la cortadora de la fig ura 6.43 llegan rollos a una tasa de 5 po r hora. El proceso de corta­ do es de 30 segundos, y de cada rollo se obtienen 10 lám inas, las cuales se envían al si­ guiente proceso a través de una banda transportadora.

201

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

iiiiiiii iiii Salida Entrada Cortadora

Figura 6.43 Proceso d e corte

0 m odelo requiere d e fin ir3 lo calizacio nes:Entrada,co n capacidad in fin ita ;Cortadora,co n capacidad 1, y Salida, co n capacidad infinita. A dem ás,es preciso especificar dos entidades, llam adas Rollo y Lám ina, y las llegadas de rollos al proceso co n un tiem p o e n tre llegadas de 12 m inutos. La descripción co m p leta de los elem entos m encionados se en cu entra en la sintaxis de program ación del modelo, que se presentará m ás adelante. 0 punto im portante de este m odelo se ilustra e n la figura 6.44, y ocurre al crear la ru ­ ta de proceso cuando el Rollo, después de un tiem po de operación de 30 segundos, se transfiere hacia la localización Salida. Es e n el cuadro de diálogo Routing Rule donde de­ term inam os el valor de la variable Q uantity en 10.

R u le

R o llo R o llo R o u t i n g R u le

•

'

C Most A v o t a b e

C By Tum

C

r * JonReojea

C

f Lo a d Reaues»

C

C

Longest U n o c c u a e d

If S e n d

C U rtIF u l

R andom

r f Empty

E n tra d a

Figura 6.44

202

U s o d e l p a r á m e t r o Q u a n t it y p a r a s im u la r p r o c e s o s d e c o r t e y s e p a r a c ió n

6.5 E n s a m b le s ,a c u m u la c ió n y a g ru p a m ie n to d e p ie z a s [ :

La sintaxis de program ación com pleta del ejem plo 6.7 se m uestra en la fig ura 6.45.

3 3

F o r m a t t e d L i s t i n g o f Mo del c : \ A r c h i v o s de programa\ProModel\Models\cortadora.MOD

15 **

:

íf ¡8

a. m i.1AA m « A A A .1■ t e a te it ei't e ■ •il ■ ■ a l iteak «te iteak « t e a l •te kaa t e «te «te t e «v ka«te «te t e «a ka« t e« t e ka« t e «a ka« t e« t e «v kaa t e «te « t e t e «v ka«te «te ka«te «a ka«te «te kaa t e «te t e «v ka«te t e«te •v k «te «te kaa t e «v ka«te «te «v kaa t e «a k t e a a«te a a .«v a « a a a aa a v a a a v«te v aa a v a a a a .«v a « a a a v « a a a a .a a v a a a a .«v a « a a « a -«v a a a a«te a aa a C a v«te a a .« a a a S a a a « a -«v a v a a a v a« a a

Time Units: D i s t a n c e u n i ts : In i t i a l i z a t io n L o g ic :

M i ñ u te s

Feet ANIMATE 5

M Va 'a va « \a k a k t ea k a va t e « t e t ea e a V t e a e a > t e « V t ea t e a 4 V a t e « V • a a a .a a a .t a a .a a a .t a a aa « a a aa a a a a « a « a a a • a« « a a a -a a a > a « aa a > a a a

If

M V»

Locations

II

a t e a V ^ a t e a V a t e a t ea t e a V • • •• • • •• lé . * *• •• « • u . • • • • a » • • «te • • « • « i * •

Ñame

•• i »

• • • » a i i i ite • • la a i « •

sta ts

Time s e r i e s O ld e s t . Time S e r i e s O ld e s t . Time s e r i e s o l d e s t !

in fin ite

i

1

i

salida

in fin ite

i

A m i m i (k ak i. i k >k m . .k m . m . m i A ak m i mk ak A ak 1 .

*

n • • . » a i ia «te • • • • a i • •

u n its

Entrada

ai n

R u le s

n ••

a i ia n • •

ai n n

• • «a a i • •

a i • • a i • • » • a i «a n ••

co st fifo . .

fifo .

mk ak mkak • t e« t e ka«te «te ka«te «te kaate k t e ka«te ki ate ka« t e « te t eate ka« t e «te ka«te ki ate «te k. ate k t eate kaate t e kaate «te ka« t e «v ki ate «te k t e a a a a .«v a « a a .ate a a«te a v«v a a a v«v a v« a aate a a« a a .«v a v«a a aate a v«v a v a v« a a a v«v a a a a -«v a v«a a a a i-«v a v« a i« a a a v«v a v« a a .ate a aate a v«v a a a i-«v a v a a a vvk v. ate a v« a a« a a

3 ííf ííffülflfíííffl Tf’Srlflftííí^fTftflfíítfííTíif Ñame

Speed (fpm)

Rol

1 5 0

l o

•• • • **• a i n

cap

C o rta d o ra

Lamina

ai n

E n t it ie s

S ta t s T im e T im e

1 5 0

"

Cost S e r ie s s e r ie s

a t e -»• k a e a 8 «te ate t e «te ak a k ak .8a t e ak »k t e a t e « k « tv e « tv e .a « te « te « k « t e a » i« k « te « k « te « te « k « t e « k « t e « t e « k « te t e « t e « k ti e a t k a tv e « k te «te k « te « k a t e « t e k a t e « t e te « tv e « k « te k « te a k « t e « ta e k « t e a k « t e «a at » ate a a « aate a a a S a aate •? ak « aa a v a aate a aate a a a. «te a a a a v aate a a i ate a aa a. ate a a a .a a a a i, v a a a a a v v a a a a ite v a a v a a a a a » v a a v a a a a a v v a a v«te a va a a a v v .« a a ie ,« v a a a .« a S a v« v a a v a a a a a a .« v a a v a i.« a a a v a a i«te a v« v a a v v a a a a .« v a a v a » a a

3

P r o c e s s in g

*

( f f

P ro c e ss E n t it y

L o c a t io n

R o llo

E n tra d a

Rol 1o

cortadora

L a m in a

s a lid a

O p e r a t io n

wait

30 sec

R o u t in g

Move L o g i c

E - l I c

O u tp u t

D e s t in a t io n

R u le

l

R o llo

c o rta d o ra

fir s t

1

Lamina

salida

first

io

l

L a m in a

e x it

fir s t

i

i

a te ^ ^ V ^ ^ a k A te k > A a > a k A te a te A « V a V A te .V a te A V a te ^ « V k te A V a te a te a V ^ A te a te a te a > ^ te A te w V k te A V a te A ^ A w V a te ^ « V a te A te a te A a V a te A te a V k k A V a te A a V < te .A k te k te a V k te w te te ^ ^ a te A « V A a V k te a te « V k te .m \te

*

A rrivals

*

a. a . a. a. a. a.a »a . • «.. a. ... a. a. a. a aa a . a. a a a ka aa a.. .. .. a a... .. .a a a .a »a. .. a a.a *.a a. a .a aa a . a. .aa aa »a v.. a t e ak a a.a.. a a— a. .aa aa áa. .. .tea aa aa a -.. .. a a .a a.aa. a a.av aa a.. a aa a.. .. .. a .

Entity

L o c a t i o n Qty each

F i r s t Time o cc u rr en ce s Frequency

Rollo

Entrada

0

Figura 6.45

1

INF

Logic

12 min

Sintaxis general del programa de modelado para el ejemplo 6.7

Como se m encionó anteriorm ente, tam bién e s posible m odelar e ste proceso co n el uso de la instrucción S P L IT . Para hacerlo se deben realizar cam bio s solam ente en la ruta del proceso. En la figura 6.46 se m uestra la parte del program a q ue sufre m odificaciones.

203

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

« z~zz

::z z : r - . r : r

-r-r

zz

:: z r z z

:r ;r

P r o c e s s i ng

•r : r : r

-.r zz

zz

’. r

: r zr

P ro c e ss E n t it y

L o c a c ió n

o p e r a t io n

output

D e s t in a t io n

1

Rollo

cortadora

Rollo

Entrada

R o llo

c o rta d o ra

L ami na L ami na

cortadora

l

L ami na

salida

s a lid a

l

L a m in a

EX I T

Figura 6.46

í í ií

R o u t i ng E lle

30 se c S p lit 10 as

:: z r z r z z z r z z z z z r z z : r : r

R u le

M ove L o g ic

FIRST 1

w a it

L a m in a

FIRST 1 1

F IR S T

Uso de la instrucción SPUT para el ejem plo 6.7

Instrucción ROUTE La sintaxis general de esta instrucción es: ROUTE La instrucción ROU TE envía la entidad hacia el proceso especificado po r el núm ero del bloque. Ejemplos: ROUTE 2 ROUTE Tipo_de_pieza Ejem plo 6.8 Sim ule el proceso de separación de tres tip o s de pieza (vea la fig ura 6.47): 20% de las pie­ zas son de tipo 1; 50% son de tipo 2, y el resto son de tipo 3. El tiem po de transporte es de 3 m inu to s en las bandas de en trada; d e 3 m inu to s en las bandas de salida de las piezas tipo 1 y 3, y de 5 m inutos en la banda de de salida de las piezas tipo 2. El tiem p o entre llegadas al sistem a es de 1 m inuto/pieza, distribuido exponencialm ente.

ProM odel - R u teo . MOD - [N o rm al R u n ] j f T I Pile

S'nulaOon

Options

-I

Informa to n

J

Window

In tera ct

Help

Entrada

Figura 6.47 204

P ro c e s o d e s e p a r a c ió n d e m a t e r ia le s

6.5 E n sa m b le s, acu m u lació n y a g ru p a m ie n to d e piezas [ :

• •

•

D efina las localizaciones Entrada, Separación, Banda_ 1, Ban da_2 y Banda_3 en la ventana Locations (Build / Locations), siguiendo el esquem a de la fig ura 6.47. D efina la entidad Gear en la ventana Entities (Build / Entities), especificando tres form as d iferentes para q ue cada entidad pueda diferenciarse po r su color (revise el procedim iento descrito en el ejem plo 5.3 de la sección 5.4.3). Abra la ventana Attibutes (Build / Attributes) para definir el atributo Ruta que identifique la trayectoria q ue seguirá cada tipo de pieza (vea la fig ura 6.48).

i ProModel F ie

E C it

- Ruteo. MOD

V ie w

B u id

S im u la t io n

O u tp u t

To 6 s

W ndow

H e lp

MI Attributes ID

T y p «...

R u ta

Figura 6.48

•

K*

C la sa iíica tio r..

In teger

Ene

Identificación del atributo RUTA

En la ventana User Distributions (Build / U ser Distributíons), defina una tab la si­ m ilar a la q ue se m uestra en la fig ura 6.49 para d eterm inar la m ezcla de producto donde la variable Tipo_de_pieza tom ará los valores 1 ,2 ,3 , de acuerdo con los po r­ centajes definidos.

Edt

BuW

Sm Uaxn

O u tp jt

T o c fe

W V x to w

~*fc,

XD 7 ip o _ d ._ p i.x a

Type- - -

|

D u c t.s e

C u a u la s iv e . . . Ko

|

l i l i T r th ll-

U>i

T ip < i_ r tr -_ íiÍ0 M P e rc e r.íe g e

|

T a b la . . .

j

D c f ir .c d

■ i■ a u n V a lu é

S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n

Figura 6.49

•

Definición de la distribución de usuario T ip o _d e_p ie za

Haga clic en el botón Logic de la ventana Arrivals (Build / Arrivals) para desple­ gar la ventana Logic y asignar a h í los atributos de cad a pieza (vea la fig ura 6.50). Indique, en la colum na Freq uen cy de la m ism a figura, el tiem p o e n tre llegadas: exponencial con m edia de 1 m inuto/pieza. Al llegar cualq uier pieza se evaluará la función Tipo_de_pieza, y se asigna un valor al atributo RUTA y a la fo rm a de la en ­ tidad (graphic RUTA). Estos valores perm anecerán com o característica de la entidad hasta q ue sea destruida.

205

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

Figura 6 .5 0

•

Asignación de atributos a la entidad

Abra la ventana Processing (Build / Processing) para definir la ruta de la entidad Gear a través de las localizaciones.Tenga cuidado al crear el proceso de separación que se ilustra en la fig ura 6.51; observe q ue en la localización Separación existen tres posibles rutas de salida, identificadas en el cam po B lk como 1 ,2 ,3 . Para lo g rar­ lo es necesario m arcar la casilla de verificación de la opción Start a New B lock en el cuadro de diálogo Routing Rule.

Figura 6 .5 1

Segm ento d e la ruta de la localización Separación

La sintaxis co m p leta de la program ación para el ejem plo 6.8 se m uestra en la fig ura 6.52.

206

6.5 E n s a m b le s ,a c u m u la c ió n y a g ru p a m ie n to d e p ie z a s [ :

u a rtiE s s í ¡ssüffKasüissnsí a iü ü K rtS B S S ííis s íE s s n in s s ü S í ü S K ssn sK n ísssn sK ü sn ssíiS B iíin ssn sB s *

L o c a t io n s

Ñame

cap

units s ta ts

*

Rules

cosí

separación i

i

Time s e r i e s o l d e s t , .

B an d a_i 5 an d a _2

in f in it e

i

IN F IN IT E

i

T im e T im e

Banda_3

in finite

i

Time s e r i e s o l d e s t .

E n tra d a

IN F IN IT E

i

T im e

s e r ie s S e r ie s S e r ie s

o ld e s t . f if o . O ld e s t . F IF O . fifo .

O ld e s t . F IF O :

s-B ísftiísiíiüs-B n ifrts-íEísa ü ís-íEiü s-ítissiíttitK S-B ü iriiííSisís-B ísitR a ie n sisíü En sB iíssitis-itiíS ü íssn n -ffisíií-B rü tsssaíssaíü en is

*

E ntities

*

ü !í!S ;íS E :3 ti!!i5 i!:!!:ír!i5 i!E i!i!P í!E S !!S !!is a E !3 S !tín !ir!s c E its i!is i!íi!3 S 3 !a 5 S !!E 5 5 J3 S !iíiE 5 2 ¡!iB i! Ñame

speed (f p ir Q

stats

cost

Gear

15 0

Time s e r i e s

15

P r o c e s s in g

P ro c e ss

s

R o u t in g

E n t it y

L o c a t io n

o p e r a t io n

B lk

O u tp u t

D e s t in a t io n

G ear G ear

E n tra d a S e p a r a c ió n

w a it 3 RO U TE R U T A

l 1

G ear G ear

s e p a r a c ió n Ean d a_l

R u le f ir s t

M ove

L o g ic

i

F IR S T

1

2

Gear

eanda_2

first

i

b

G ear

B a n d a_3

f ir s t

i

Gear

Banda_i

wait 3

1

Gear

exit

first

i

G ear

B an d a_2

w a it 5

l

G ear

e x it

f ir s t

i

Gear

Banda_3

wait 3

1

Gear

exit

first

i

r S S S E E S S E E S a E E E S E S S E S E E E E n E E E I S I f E E E E E E E E S E E E E E E S E E S E S S S E E E E S E E E E S E E S E S E B n i E E E S S

*

Arrivals

*

E E E S E I E n E S S E E S E E E n E B n E E S E E E E S E E a E n E E E E S E S S E S E E a E S E S a E E a E S S E B E E E E a E S a E E E S B S E B S Í E E

E n t it y

L o c a t io n Q ty

Gear

Entrada

each

F ir s t

1

T im e o c c u r r e n c e s

o

INF

F re q u e n c y

EC l)

L o g ic

RUTA=Típo_de_piezaO g r a p h ic RUTA

* 3 Í íí-íííí ± r t íí* S ííS T t íS * íí

íít ír t ^ s í

*

i í ^ íí -i t íí Í ÍT t íiíít ííi^ S t íí-it r t ít t í

í í - í í í íí? í í í * í í í t t í í í í b r t í t * í > í í ^ í i ^ t í í t * í í tí

A t t r ib u t e s

*

E E E S S I S E E E E S E S E E E n S Í E E E S E E E E E Í E S E n E E E E E E E E E E E E E S E S E E E E B E E E I S S E E E E E S B E E E E B E E E E E E E

ID

Typ®

c ia s s ific a t io n

R u ta

in t e g e r

E n t it y

~E~E^~Eír-E-^~-E"E-E~-íí:~ErT~rí~-E-"~Eírt;E~E-ít~Tír;-E-Er;Er;~E^E-E~Er;E-^r;E-Er:-Er;E-E~~r;~^r;E-Er;-E-írr;^í:T:r:~ —r;~ * U se r D is t r ib u t io n s *

ID

Type

T ip o _ d e _ p ie r a D is c r e t a

Figura 6.52

c u m u la t iv e

P e rc e n ta g e

v a lu é

no

20 50

1 2

30

3

Sintaxis completa de la programación del modelo para el ejemplo 6.8

207

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

6.6 Tran sp o rte en tre estacio n es En ProModel, el m odelado del transporte de entidades a través de un sistem a se lleva a cabo gracias a los recursos dinám icos y a la creación de rutas de transpo rte. El procedi­ miento es el siguiente: • • •

Definir la ruta y sus propiedades en la ventana Path NetWork (Build / Path NetWork). Determ inar el recurso en la ventana Resource (Build / Resource), y asociarlo con la ruta creada previam ente. Program ar en la ventana Processing (Build / Processing) la captura del recurso con la instrucción G E T ,e l uso del recurso con las instrucciones M O VE W IT H o MOV E FO R, y la liberación del recurso con la instrucción FR E E .

Ejem plo 6.9 Al inicio del día entran 100 barriles de 200 litros a un alm acén de m aterial en proceso. Es­ tos barriles deben ser transportados hacia un proceso de inspección, en donde el operario, llamado Casimiro, inspecciona el producto en 5 m inutos con distribución exponencial. De­ bido al tam año de los barriles, un m ontacargas d ebe realizar el m ovim iento del producto desde el alm acén hasta d ond e se en cu entra Casimiro. El tiem po de transporte es de 2 a 3 m inutos con distribución uniform e.O bserve el esquem a del problem a en la fig ura 6.53.

Figura 6.53 Esquem atización del ejem plo 6.9

Tom ando com o base el esquem a de la fig ura 6.53, resulta claro q ue debem os: • • • •

Definir en la ventana Locations (Build / Locations) dos localizaciones: Alm acén y Casimiro. Especificar en la ventana Entities (Build / Entities) la entidad Barril. Definir en la ventana Arrivals (Build / Arrivals) las características de las llegadas del Barril al Almacén. En la ventana Path NetWork (Build / Path NetWork), active una ventana de edi­ ción para especificar la trayectoria por d ond e se m overá el recurso. Al crear la ruta deberá establecer los valores de los siguientes parámetros: Graphic. Perm ite seleccio n ar el color de la trayecto ria, y ésta será visible o no d u ­ rante la sim ulación. Si e s una grúa viajera perm itirá especificar sus colores, la sep a­ ración del p u en te y la representación gráfica.

208

6 .6 T ra n sp o rte e n tre e sta cio n e s | '

Ñam e. Nom bre de la trayectoria. T yp e Set. Perm ite definir la posibilidad de rebasar dentro de la trayectoria. Selec­ cio ne la opción Crane si la trayecto ria es una grúa viajera. T/S. Férm ite determ inar si el m ovim iento e s con base en el tiem po o e n la velocidad. Paths. Perm ite crear y ed itar la trayecto ria y sus nodos. Interfaces. Perm ite asociar los n odos co n las localizaciones. M apping. Perm ite realizar el m apeo de d estinos y rutas. Nodes. Se crean autom áticam ente al crear la trayectoria. Para c re a r la ruta y sus nodos: • •

•

Haga clic en el botón Paths de la ventana Path Networks. Haga c lic con el botón izquierdo del ratón sobre el punto del layout d ond e desee m arcar el inicio de la ru ta. Haga clics sucesivos para d eterm inar cam bios de direc­ ción. Haga clic con el botón derecho del ratón en el punto d ond e quiera fijar un n o ­ do. Si desea seg uir agregando nodos, repita el proceso anterior a partir del últim o nodo q u e haya determ inado (vea la fig ura 6.54). D efina el resto de las características de la trayectoria. Com o e n este ejem plo desea­ m os m over el recurso de acuerdo con el tiem po, active la opción Tim e en la co lu m ­ na T/S y, en la ventana de edición Paths, establezca un tiem p o U (2 .5 ,0.5) en tre el nodo N 1 y N2 en la colum na Time.

ProM odel - E JE M P L 0 4 .3 .M 0 D F iíe

E d it

V ie .\

B u id

S m u la O o n

O u to u t

To o te

W in d o w

M eb

I I I Path Networks

T ra n s p o rte e n tre e s t a c io n e s

A lm acén

Figura 6.54

Haga clic con el botón derecho del ratón

Haga clic con el botón izquierdo

C re a c ió n d e la r u t a d e l m o n t a c a r g a s

209

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

Term inado este proceso, haga clic en el botón In te rfa c e s para ab rir el cuadro de diálogo q ue se m uestra e n la fig ura 6.55. Asocie cada nodo con su localización res­ pectiva: en este caso, asocie el nodo N 1 co n Alm acén, y el nodo N2 con Casimiro.

illii I n t e r f a c e s

[1 1

N c d e

O

Q

l x

l

L o c a c i ó n

▲

A lm acén

U N 2

C a a i i n i r o

Fig u ra 6 .5 5 Registre en este cuadro de diálogo la interfaz entre cada nodo y la ▼

localización asociada

En la fig ura 6.56 vem os finalizado el proceso de creación de la trayectoria. Los c írc u ­ los señalan la aso ciació n;en el layout ésta se identificará m ediante una línea punteada en ­ tre el nodo y la localización.

i ProModel - E JE M P L 0 4 .3 .M 0 D F ile

E d it

V ie w

B u id

S m u 'a t io n

O u tp u t

T o o te

m

A ín d o w

H e b

mu* ■M Transporte en tre estaciones

cf Almacén

Fig u ra 6 .5 6

210

Definición final d e la ruta

Casimiro

6 .6 T ra n sp o rte e n tre e sta cio n e s | '

Para continu ar el m odelado del problem a: •

Abra la ventana Resources (Build / Resources) para esp ecificar el recurso M onta­ cargas y la cantidad de unidades que co n tie n e (vea la fig ura 6.57).

Figura 6.57

•

•

Ctefinición d el recurso M ontacargas

Haga clic en el botón Sp ecs (identificado m ediante un círculo en la fig ura 6.57) pa­ ra asociar el recurso con la ruta. Enseguida se abrirá el cuadro de diálogo Specificatlons (vea la fig ura 6.58), en d ond e deberá seleccionar la ruta por la q ue se m overá el recurso M ontacargas. En este ejem plo, la Ruta tendrá asociado un nodo que será la base del recurso ;tam bién determ inarem os si cuando dicho recurso e s­ té ocioso deberá regresar a ese punto. Asim ism o podem os especificar otras pro­ piedades, co m o velocidad de m ovim iento, aceleración, desaceleración, etc. (En este ejem plo dichos cam pos quedan en blanco, ya q ue el m ovim iento en tre los nodos se definió en función del tiem p o y no en fun ció n de la velocidad.) Abra la ventana Processing (Build / Processing) para crear la ruta considerando tos detalles de la fig ura 6.59, q ue consisten en la captura del recurso en el Almacén, su m ovim iento hacia Casimiro, y su liberación final. 211

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

Specifications N odes P a th NetWork:

H o m e:

r

| NI

Retum Hom e If Idle

r R eso u fc*

-

B re a k : |(none)

d

Motion

C losest R esource r u a s

O ffS h ift: 1(none)

Longest Waiting

.1

i C* L o n a e s l idle

r

C losest Entity

C

M in Attribute

d r

M ax Attribute

OK

Figura 6.58

S p e e d (Empty):

fpm

Sp eed (Full):

fpm

A ccelerate

fpss

D ecelerale

fpss

Pick-up Tim e:

S e co n d s

Deposit Tim e:

S e co n d s

Cancel

Help

Especificaciones d el recurso y su asociación con la ruta

ni - In ®

a r r il ® Almacer

E n t it y .. . B a r r il

-o catio n. .

Almacén

Oporatior.. . . GS7 Montacargas

B a r r il

Casimiro

HAIT E 5>

■ Operalion

□

h -'H GE? Montacargas une

X

Bul*. r ip s i i

Move L o g ic ... MOVE WITK Kont *

E)(DB

■ Move Logic

MOVE H:CH Montacargas THEN FBEE

1

Figura 6.59

D estinació n.. Casimiro

Ourput. B a r r il

Crie i

Segm ento d e la program ación d e la captura, uso y liberación d el recurso dentro

del proceso

La sintaxis de program ación del m odelo para el ejem plo 6.9 se m uestra en la fig ura 6.60.

a

L c c a t ic n s

N arre

C ap U n it s S t a t s

iL lm a e en C a s im ir o

IN F 1 1 1

Figura 6.60 212

j*

R u le s

T im e S e r i e s O l d e s t , T im e S e r i e s O l d e s t .

C o st , .

F ir s t

Sintaxis com pleta del m odelo para el ejem p lo 6.9 (c o n t i n ú a )

6 .6 T ra n sp o rte e n tre e sta cio n e s | '

*

F n t it ie s

Narre

Speed

B a r r il

150

tfp n )

S ta ts

A.

Coat

T im e S e r i e s

P a t h N e t t r o r lia

tr

Narre

Type

T /S

F rc a n

To

B I

D i s t / T im e

R u ta

P a a a in g

T im e

NI

N2

B i

U { 2 .5 ,0 . 5 )

*1

N et

N ode

Ir> c a t i ó n

R a ta

NI N2

A lm a c é n C S 3 im ir c

a

Narre

ü n its

L ic r- ta c a r g a s 1

S ta ts B y U n it

Speed F a c to r

In te rfa c e s

Ai

R e so u rce s

A.

Rea S e a rc h

Bnt S e a r c h P a th

M o t io n

Cost

C íe s e s t O ld e s t R u ta H orre: N I

a

P r o c e s s in g

A.

P ro ce sa

R o u t in g

E n t it y

I r :c a t ió n

O p e ra t i e n

31k

O u tp u t

D e s t i n a t i o n R u le

N ove L c g i

B a r r il

a lm a c é n

G BT K c n t a c a r g a a

1

B a r r il

C a s im ir o

F IR S T 1

MDVZ W ITH K o n ta e a rg IH F N “ R Z F

3 a r r il

C a s i m i r o TIA I T E ( 5 )

1

B a r r il

F X IT

F IR S T 1

<*•

A r r iv a la

*!

E n t it y

L c c a t ic n

Q ty Each.

F ir s t

B a r r il

A lm a c é n

100

0

Figura 6.60

T im e O c c u r r e n c e s F r e q u e n c y

L o g ic

1

Sintaxis com pleta d el m odelo para el ejem p lo 6.9 (c o n t i n u a c i ó n )

213

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

6.7 C aso integ rad or La em presa EH LE,S.A . se dedica a la fabricación y en sam b le de circuitos electró nico s (PCB) para la industria autom otriz, y desea instalar una nueva celda flexib le de m anufactura donde se puedan ensam blar 22 nuevos tip o s de circuitos electrónicos. Las operaciones para fabricar y ensam blar son las siguientes: 1. 2 3. 4. 5. 6. 7. & 9. 10. 11.

Carga de la tarjeta en el contened or (CTC). Lim pieza (Ll). Corte con cizalla (CCZ). Taladrado de orificio s (TO). Copia de patrones (CP). Ataque quím ico (AQ). Deposición electrolítica (DE). Inspección (IN). Inserción de co m p o n entes (IC). Soldadura, lim pieza y pruebas (SLP). Descarga del circuito del contened or (D CQ .

La línea de ensam ble pu ed e trabajar de 1 a 3 turnos en función de la dem anda de los clientes. Los productos se m ueven e n co ntenedores a través de la celda, y cada proceso se lleva a cabo sobre el contenedor. Existe solam ente una banda transportadora po r donde se m ueven los contenedores, de m anera q ue es im posible que uno rebase a otro. A ctu al­ m ente la em presa cuen ta con 350 co ntenedores y desea saber cuántos asignar a la celda para el transp o rte y m anejo de m ateriales. El diagram a 1 m uestra el flujo de la celda.

L im p ie z a D e s ca rg a

C a rg a

------------------------------------

C o rte ------------------------------------

L im p ie z a y

T a la d r a d o ---------------------------------

C o p ia d e

p ru e b a s

p a tró n

In s e r c ió n d e S o ld a d u ra

co m p o n e n te s

In s p e c c ió n

D e p o s ic ió n

A ta q u e

e le c t r o lít ic a

q u ím ic o

------------------ 1

_____1

Diagrama 1

Diagrama de flujo de la línea de fabricación y ensamble

En cada una de las estacio nes solam ente se puede procesar un contenedor a la vez, excepto en Lavado y Lim pieza; adem ás, existen lugares de esp era lim itados de acuerdo con los siguientes parámetros: 214

6 7 C a so integ rad o r |

Cantidad m áxim a d e contenedores perm itidos en la estación Estación

En esp era

En proceso

Carga de la tarjeta en el contened or

4

1

Lim pieza

0

5

Corte co n cizalla

6

1

Taladrado de orificios

0

1

Copia de patrones

0

1

Ataque quím ico

0

1

Deposición electrolítica

9

1

Inspección

0

1

Inserción de com ponentes

0

1

Soldadura

4

1

Lim pieza y pruebas

0

10

Descarga del circuito del contenedor

9

1

En el diagram a 2 se presenta, en form a esquem ática, el proceso de producción, in ­ cluyendo los tiem p o s de proceso y los tiem p o s de transp o rte en cada etapa (todos los tiem pos están en m inutos y po r contenedor). Casi to d o s estos tiem p o s son constantes, ex­ cepto las estaciones m arcadas co n la expresión f (f), ya q ue el tiem po de proceso en esas operaciones d epend e de cada tipo de producto y fam ilia. En algunos casos, com o en el de Taladrado, existen 2 com ponentes de tiem po, uno constante y otro q ue d epend e del pro­ ducto.

Diagrama 2

Tiem pos de proceso y transporte (m inutos/contenedor)

215

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

La celda pu ed e procesar 22 tip o s de productos diferentes, aunque en un program a de producción de un día típico de trabajo se pueden fabricar solam ente e n tre 8 y 12 tipos d stintos de circuitos. Esto se d ebe a la distribución de probabilidad de la dem anda diaria de cada producto. La co lu m n a 2 d e la tab la 6.2 m uestra e sa s d istrib u cio n e s; po r ejem plo, del producto 1 se pueden program ar e n tre 8 y 10 circuito s con distribución u nifo rm e; del Tabla 6.2

Programa de producción y definición de fam ilias Operación

Tipo de circuito

Cantidad a producir p o r d ía U = Uniform e P = Poisson

CTC

ccz

TO

DE

DCC

Fam ilia a la q ue pertenece el circuito 1

U (8-10)

C

A

A

B

C

2

P(12)

A

c

A

A

A

3

P(14)

A

c

A

B

B

4

P(12)

B

c

A

A

B

5

P(12)

B

B

A

A

C

6

U (23-27)

C

B

B

A

B

7

P(4)

B

D

B

A

A

8

U(0-2)

A

A

C

A

A

9

P(8)

A

A

C

A

B

10

U (20-30)

B

A

C

A

C

11

P(5)

C

D

C

A

C

12

P(1)

C

D

C

A

C

13

P(1)

A

C

C

A

A

14

P(13)

A

D

C

A

A

15

P(5)

E

C

A

A

E

D

A

A

16

216

______ U(2-3)___________

A A

E

D

A

A

U(1-2)

A ---------A

C

D

A

A

19

U(0-4)

A

E

D

A

A

20

P(2)

A

E

D

B

A

21

U(2-3)

A

E

D

B

A

22

U(0-3)

A

E

D

A

A

17

P(2)

18

6 7 C a so integ rad o r |

producto 2 se pueden program ar en prom edio 12 circuito s con distribución de Poisson, y así sucesivam ente. El departam ento de Adm inistración de la Producción envía este pro­ gram a a Producción un d ía antes, d e tal m anera q u e Producción acerca el m aterial y lo de­ ja disponible desde el inicio del turno , para com enzar a procesarlo d urante el día. Los circuitos se han agrupado por familias, de acuerdo con su tiempo de proceso en cada etapa. Por ejemplo, según la tabla 6.2, el circuito tipo 1 pertenece a la fam ilia C en el proceso de Carga, a la fam ilia A en el proceso de Corte, a la fam ilia A e n el proceso de Taladrado, a la fam ilia B e n el proceso de Deposición y a la fam ilia C en el proceso de Descarga. Los contenedores están vacíos al inicio de cada tum o, em piezan a cargarse con los di­ ferentes productos y, al finalizar la producción, deben quedar vacíos nuevam ente. En to d o s los casos, la co m p o n ente aleatoria del tiem p o de proceso, f (f), se expre­ sa con una fu n ció n de densidad Erlang con un va lo r esp erad o (t) y un parám etro de form a k, com o se m uestra en la tab la 6.3 para cada una de las fam ilias y procesos. Por ejem plo, to d o s los productos q u e pertenezcan a la fam ilia A en el proceso de Carga te n ­ drán un valor esperado de 7.55 m inutos, co n k = 3, etcétera.

Tabla 6.3

Fam ilias y distribución de probabilidad de los tiem p o s de proceso:/c-Erlang(f) e n m inutos/contenedor O peración

CTC

c cz

TO

DE

DCC

A

A

A

A

A

3-Er(7.55)

2-Er(6.37)

4-Er(3.91)

3-Er(3.12)

1-Er(9.45)

B

B

B

B

B

3-Er(7.70)

2-Er(12.1)

4-Er(6.56)

3-Er(4.44)

4-Er(9.36)

C

C

C

C

2-Er(8.28)

2-Er(6.96)

2-Er(3.64)

2-Er(8.12)

D

D

D

D

3-Er(8.82)

1-Er(2.27)

3-Er(6.15)

4-Er(8.52)

E 2-Er(8.02)

Con el propósito de m odelar correctam ente la celd a y diseñarla tom and o en cuenta todos los factores, se ha decidido in cluir el com portam iento de las fallas y el tiem p o de re­ paración de las estaciones de Lim pieza e Inserción de com ponentes. Las tab las 6 .4 ,6 .5 ,6 .6 y 6.7 m uestran los co m po rtam iento s históricos de m áq uinas sim ilares a las q ue se desea instalar. Las fallas en el resto de los equipos son despreciables. 217

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

Tabla 6 .4

(MTBF) Tiem po en tre fallas en Lim pieza, en m inutos/falla

144.58

16238

156.07

158.88

156.20

159.20

164.52

163.47

162.24

156.55

147.81

160.84

150.95

161.59

162.62

154.24

15531

159.86

16535

160.61

148.81

163.69

156.03

154.46

159.01

159.17

158.80

149.89

152.04

15939

154.93

151.48

151.57

154.49

156.82

163.19

156.67

158.04

161.51

15536

14938

161.79

160.45

160.52

1 5432

159.79

158.38

151.09

159.86

152.91

156.73

156.07

159.80

147.14

157.08

159.91

16132

161.08

153.76

155.70

160.50

161.15

157.82

163.80

160.10

16032

150.71

1 6135

154.19

146.04

154.19

156.13

166.73

150.44

163.32

156.10

167.30

150.09

153.58

157.50

153.25

161.83

158.62

159.87

165.06

16Z57

164.22

157.25

155.42

16031

158.61

163.26

154.16

160.51

158.68

162.83

162.44

161.66

153.06

156.41

154.97

162.96

165.15

155.87

155.02

160.53

161.51

164.42

162.64

157.49

Tabla 6.5

(MTBF) Tiem po en tre fallas en Inserción, en m inutos/falla

39038

340.79

353.86

375.09

387.54

376.53

368.91

364.23

380.81

382.50

352.23

353.55

366.98

387.21

381.95

366.98

372.79

373.68

368.01

37133

334.49

346.45

344.52

384.61

33335

351.04

354.60

350.01

310.28

387.16

36633

379.57

37632

373.21

388.54

356.29

325.38

320.72

346.07

324.70

380.62

379.65

360.09

330.05

387.11

410 .69

352.58

383.61

365.38

358.24

33437

386.09

34736

388.19

347.10

310.49

379.52

33438

353.17

356.86

332.71

358.20

35632

336.09

384.46

349.54

347.12

363.04

357.66

362.61

351.00

406 .17

326.97

311.41

345.02

37839

390.65

333.74

350.43

332.19

373.34

370.81

374.81

387.64

361.44

360.25

384.13

386.91

372.00

343.56

355.54

354.69

368.34

340.94

319.74

377.43

387.61

379.29

32239

383.20

Tabla 6.6

(MTTR) Tiem po de reparación en Lim p ieza,en m inutos/falla

6.28

24.89

5135

10.58

4.91

2936

3.13

4.02

0.69

34.10

4.44

23.85

19.33

36.39

13.50

2.72

8.35

33.61

23.50

3.67

30.66

16.96

4.01

29.91

4Z99

332

8.07

1Z02

24.44

36.41

54.85

3130

23.95

17.92

3.91

10.32

5.25

7.15

24.54

14.78

22.95

7.28

1.30

Z08

10.60

21.08

113.92

24.26

36.74

838

12.06

4 6.0 7

20.42

7.53

Z41

0.89

11.72

532

8.70

6 0.5 5

9.83

15.74

5.23

Z18

19.01

10.24

1.99

0.06

1Z75

4 .5 9

4.51

13.01

9.06

9.68

18.81

3.09

0 .1 7

6.85

15.59

8 .2 4

28.26

7.28

631

1039

4 3.1 0

9.33

4.70

26.90

6.98

6531

17.86

26.64

35.21

0.01

6Z72

7.94

18.47

19.49

20.52

31.61

Tabla 6.7

(MTTR) Tiem po de reparación en Inserción, en m inutos/falla

16.73

16.50

17.67

15.16

17.84

19.15

17.23

1639

16.35

14.68

17.70

16.12

14.94

16.89

17.97

15.91

18.01

1739

17.72

15.97

18.37

1 83 4

18.28

16.29

15.40

16.83

16.92

18.18

16.08

1534

(continúa) 218

6 8 Pro b lem as | '

Tabla 6.7

(continuación)

15.29

15.19

17.19

16.36

16.89

14.87

17.25

17.27

14.97

18.05

16.14

17.09

17.97

1635

1735

17.69

15.86

1636

17.48

16.87

1539

17.82

16.40

17.99

17.26

16.00

16.68

1732

16.28

16.49

18.08

16.98

16.51

16.84

17.40

15.08

1434

1730

16.94

16.77

17.73

17.55

16.71

16.49

16.21

15.81

16.24

18.20

15.94

16.70

17.20

15.24

15.99

16.85

18.57

17.89

15.58

16.11

17.24

15.22

16.66

16.83

16.25

16.00

15.10

14.49

17.79

15.09

16.94

16.84

D entro de la em presa se ha generado una serie de preguntas, ya q ue se vislum bra — en un futuro cercano— un increm ento co nsiderable en la dem anda de productos. Pa­ ra contestar tales interrogantes desarrolle en ProM odel un m odelo de sim ulación estadís­ ticam ente válido, que perm ita determ inar: a) La operación en q ue se presenta un cuello de botella. b) La hora de term inación del program a de producción diario, considerando la varia­ ción en la dem anda de un día para otro, con un nivel de 90% de confianza. c) La cantidad óptim a de contenedores q ue d ebe asignarse a la celda. Es posible ju s­ tificarla m ediante una gráfica donde se relacione el núm ero de contenedores asig­ nados co n tra la producción diaria lograda, observando a partir de q ué punto la producción prácticam ente no se increm enta. d) El inventario prom edio de co ntenedores e n cada operación. e) El tiem p o de perm anencia prom edio de los co ntenedores en cada operación. f) El tiem po prom edio de perm anencia de un contenedor e n la celda de m anufactura.

6.8 Problem as 1. Un inspector recibe siem p re 120 piezas/hora. El tiem po prom edio de inspección es uniforme, en tre 20 y 30 segundos/pieza. Sim ule el sistem a en ProM odel, y calcu le la utilización del inspector y el núm ero m áxim o de piezas acum uladas antes del proce­ so d e inspección. 2. Un cajero autom ático recib e 30 clientes/hora con distribución de Poisson. Existen 5 escenarios posibles:

Escenario

T iem p o prom edio d e servicio (min/cliente)

1

Exponencial con m edia 1.8

2

2-Erlang co n m edia 1.8

3

4-Erlang co n m edia 1.8

4

Normal co n m edia 1.8 y varianza 0.2

5

1.8

219

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

Sim ule el sistem a en ProModel y calcule, para cada escenario: a) la utilización del cajero. b) el núm ero prom edio de clientes e n espera. c) si en todos los casos el tiem p o prom edio de servicio e s el m ism o, ¿a q ué facto r se deben las diferencias (si e s q ue existen)? d) ¿Qué diferencia existe entre el prim ero y el últim o escenarios? 3. A una ferretería con dos d ependientes y una fila llegan 56 clientes/hora con d istribu­ ción de Poisson. El tiem p o de servicio es exponencial co n m edia de 2 m in/cliente. Si­ m ule el sistem a hasta lograr el estado estable y calcule: a) la utilización de los dependientes. b) el tiem po prom edio de espera en la fila. 4. U na tien d a de aparatos electró nico s vende 2 tip o s de m icrocom putadoras: la E-GD y la H-GR. El tiem po e n tre llegadas es exponencial co n m edia de 45 m inutos/cliente. Se trata de una tien d a pequeña, po r lo que solam ente requiere un em pleado para atender a los clientes de acuerdo con un esquem a "prim ero en llegar, prim ero en sa­ lir" 25% de los clientes q ue entran no realizan com pra alguna, y utilizan al em pleado durante 15 m inutos exactam ente; 50% de los clientes q ue entran compran una com pu­ tadora tipo E-GD, y el tiem po q ue les lleva realizar la transacción sigue una distribución uniform e de en tre 31 y 36 m inutos; 25% restante entra a la tienda y com pra la co m p u ­ tadora tipo H-GR. El tiem po q ue se requiere para la venta e n este caso sigue una dis­ tribución exponencial con m edia de 70 m inutos. Sim ule 8 horas y determ ine: a) la utilización del em pleado. b) el tiem po prom edio q ue un cliente tie n e q ue esp erar antes de ser atendido. 5. Un sistem a de producción cuenta con 10 to m o s. El tiem po de operación de cada to r­ no sigue una distribución de probabilidad exponencial co n m edia de 96 horas, des­ pués del cual ocurre una falla y tie n e que ser enviado a m antenim iento. El tiem p o de reparación es exponencial con m edia de 72 horas. El tiem po de traslado de los torno s entre producción y m antenim iento es u nifo rm e,co n parám etros de 60 ± 15 m inutos. Se desea sim ular el sistem a hasta alcanzar el estado estable, con 1 , 2 , 3 , 5 , . . . , 10 m e­ cánico s para d eterm inar en cada caso la utilización de los m ecánicos y el núm ero pro­ m edio de tornos en espera de reparación. 6. La em presa LECA R d isp o n e de 100 telares. El tiem p o de operación de cad a te la r a n ­ te s de q ue ocurra una rotura sigue una d istrib ució n de probabilidad expo nencial, y el te la r se d etien e en esp era de q ue un obrero re p are la rotura y reinicie la o pera­ ción. El tiem p o de reparación es de 2-Erlang con m edia de 5 m inutos. El tiem p o pro­ m edio en tre ro turas d epend e de la ca lid a d del hilo, de acuerdo co n lo s siguientes escenarios:

220

6 8 Pro b lem as | '

Escenario

Calidad d el hilo

Tiem p o prom edio entre roturas (min/rotura)

Optimista

Prim era

40

Promedio

Segunda

20

Pesimista

Dudosa

5

Cree un m odelo de sim ulación para cada escenario, y determ ine el núm ero de obre­ ros q ue deben asignarse a la reparación de roturas con el objetivo de m an tener en operación los telares 95% del tiem po. 7. A una biblioteca llega un prom edio de 52 personas/año con distribución de Poisson, para pedir prestado cierto libro. La persona q ue logra encontrarlo lo regresa en pro­ medio 2 días después, con distribución expo nencial. Las personas que solicitan el li­ bro pero no lo reciben po r estar en préstam o, se van y nun ca regresan. Sim ule el proceso durante un año ,co n 1 ,2 ,3 y 4 ejem plares del libro, y determ ine en cada caso el núm ero esperado de personas q ue podrán leer el libro. 8. A la operación de em pacado de bolsas de detergente entran bolsas a una velocidad de 20 por m inuto. Cuando las bolsas entran al sistem a son colocadas en una banda q ue las transpo rta hasta la m esa de un operario de em paque. El tiem po de transpor­ te en la banda es de 20 segundos/bolsa. Una vez q ue la bolsa llega al final de la ban­ da, cae por gravedad hacia una m esa d ond e se va acum ulando con otras. Un operario tom a las bolsas de la m esa y las introduce en una caja co n capacidad de 30 unidades; el tiem p o q ue le lleva al operario to m ar una bolsa y colocarla dentro de la caja e s de 1 segundo/bolsa. Una vez q ue la caja se llena, el operario la lleva al alm acén de cajas; allí la deja y recoge una caja vacía para repetir el procedim iento de llenado. El tiem po que le tom a en llevar la caja llena y trae r una vacía sigue una distribución e xp o n en ­ cial con m edia de 3 m inutos. Sim ule el sistem a anterior en ProM odel, para obtener la gráfica del núm ero de bol­ sas en la m esa, el núm ero prom edio de bolsas y el tiem po prom edio de espera en la mesa a lo largo del tiem po. 9. A un proceso de troquelado llegan lám inas, de acuerdo con una distribución de Pois­ son con prom edio de 82 lám inas/m in. Se cu e n ta con 7 troqueladoras, cada una de las cuales es capaz de procesar una lám ina en 5 segundos. Hay un alm acén de grandes dim ensiones para m ateria prim a, de m anera q ue to d a s las piezas q ue no puedan ser troqueladas inm ediatam ente podrán esperar ahí. El costo de operación de las m áquinas

221

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

se estim a en $1 O/hora-troqueladora, y el costo de m antener una lámina en inventario se estim a en $0.500/hora-lám ina. Sim ule el sistem a para d eterm inar el inventario pro­ m edio de lám inas y el costo total/hora. 10. A un proceso de troquelado llegan lám inas de acuerdo co n una distribución de Poisso n co n prom edio de 82 lám inas/m in. Se cu e n ta con 7 troqueladoras, cada una de las cuales es capaz de procesar una lám ina en 5 segundos. Hay un alm acén para m ateria prim a con capacidad de 5 lám inas;si una lám ina llega y no pu ed e entrar al proceso o al alm acén de m ateria prim a, d ebe ser enviada a otro lugar de la planta para la reali­ zación del troquelado. El costo de operación de las m áquinas se estim a en $1 O/horatro q u e la d o ra ; el costo d e m a n te n e r una lám in a e n in ven ta rio se estim a en $0.500/hora-lám ina, y el costo de enviar a las lám inas hacia otro lugar es de $0.800 por lám ina. Sim ule el sistem a para d eterm inar el inventario prom edio de lám inas en el alm acén antes de troquelado, y el costo total/hora. 11. A u n centro de m aquinado llegan tre s diferentes tip o s de pieza. A ntes del centro e xis­ te un alm acén de producto e n proceso, co n capacidad prácticam ente infinita. El tie m ­ po de operación y la tasa de entrada de las piezas son las siguientes:

Tipo de pieza

Tasa d e entrada Poisson (piezas/hora)

T iem p o d e m aquinado exponencial (min/pieza)

1

2

3

2

4

5

3

2

10

Sim ule el sistem a en ProM odel durante 100 horas, y determ ine: a) la utilización del centro de m aquinado. b) el núm ero total de piezas producidas. c) el tiem po prom edio de espera de las piezas en el alm acén. d) el núm ero prom edio de piezas en el alm acén. 12. A un operario de lim pieza le entregan cada hora 60 piezas en fo rm a sim ultánea. El tiem po de lim pieza e s uniform e, d e 50 ± 10 segundos/pieza. Sim ule el proceso ante­ rior durante 500 ho ras para determ inar: a) la utilización del operario. b) el tiem po prom edio de perm anencia de las piezas en todo el proceso. c) el tiem po prom edio de espera de las piezas antes de ser lim piadas. 13. Un sistem a de pintura tien e dos procesos e n serie: pintura y horneado. El tiem po de pintura es exponencial, de 10 m inutos/pieza, y el de horneado es triangular (3 ,6 ,1 5 ) m inutos/pieza. Para am bos procesos hay dos pintores y un horno. La tasa de entrada es de 7 piezas/hora en el caso de la pieza tipo 1, y de 3 piezas/hora en el caso de la pieza tipo 2. El tiem p o para m overse de un proceso a otro es de 30 segundos. Sim ule 222

6 8 Pro b lem as | '

el sistem a 5 días para determ inar: a) la utilización de cada operación. b) el tiem po prom edio d e perm anencia de las piezas en todo el proceso. c) el tiem po prom edio de espera de las piezas antes de pintura y antes del horneado. 14. A un cen tro de copiado llegan tre s tip o s de trabajos. Si un trabajo no pu ed e ser inicia­ do inm ediatam ente, espera en una fila com ún hasta que esté disponible alguna de las tres copiadoras con las que cuen ta el centro. El tiem po de copiado y la tasa de en ­ trada de los trabajos son com o siguen:

Tipo d e trabajo

Tasa d e entrada (trabajos/hora)

T iem p o d e copiado (min/trabajo)

1

4

Exponencial (12)

2

Poisson (8)

Normal (15,2)

16

3-Erlang (1)

Después del proceso de copiado los trabajos son inspeccionados po r un em pleado en un tiem p o exponencial con m edia de 3 ,6 ,1 0 m inutos para los trabajos 1 ,2 y 3, res­ pectivam ente. Sim ule el sistem a en ProModel d urante 50 horas, y determ ine: a) la utilización del em pleado y las copiadoras en la situación propuesta. b) el núm ero de em pleados y copiadoras m ínim os necesarios para asegurar el flujo de los trabajos. 15. Un tipo de pieza entra a una línea de producción. El proveedor en treg a en fo rm a ex­ ponencial con m edia de 2 m in/pieza. La línea co nsta de 3 operaciones con una má­ quina en cada operación. Los tiem p o s de proceso son: O peración

1

2

3

Tiem po

Constante

Exponencial

Uniform e

(min/pieza)

(2)

(1)

(0.5 ± 0 .1 )

El tiem p o para m o verse en tre estacio nes e s de 0.0625 m inutos. La anim ació n debe incluir un contador de las piezas producidas. Sim ule e n ProModel el proceso de 500 piezas para determ inar: a) el tiem po total de sim ulación. b) la utilización de cada operación. c) el tiem po de espera antes de la prim era operación. d) % del tiem po q ue la pieza estuvo bloqueada. 16. A un proceso de perforado llegan piezas a partir de las 8:00 a.m. El tiem p o en tre lle­ gadas es exponencial, con m edia de 30 segundos/pieza. La perforación se puede rea­ lizar en cualquiera de las 3 m áquinas existentes; sin em bargo, debido al tam año del transform ador de energía eléctrica, las m áquinas no pueden trabajar sim ultáneam ente. 223

C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

Se ha decidido q ue la producción se realice en la m áquina 1 las prim eras 3 horas del turno, en la m áquina 2 las 3 horas siguientes, y en la m áquina 3 las 2 últim as horas. Por razones de program ación, la m áquina 1 inicia siem p re a las 8:15 a.m . Los tiem p o s de perforado en cada m áquina se m uestran a continuación:

Máquina

Tiem po prom edio d e proceso (segundos/pieza)

1

Exponencial (20)

2

Exponencial (10)

3

U niform e (15 ± 5)

Realice un m odelo e n ProModel para sim ular 30 días de 8 horas cada uno, y obtenga: a) la producción al final de cada uno de los días. b) la distribución de probabilidad de la producción diaria. 17. A una oficina llegan 2 tip o s de clien tes. La tasa de llegadas de los clientes tipo I sigue una distribución uniform e (100-150) m inutos/cliente; la tasa del segundo tipo sigue una distribución constante con m edia de 120 m inutos/cliente.Solam ente existe un servidor, q ue tien e que atender a am bos tip o s de clientes de acuerdo con un esquem a de "pri­ mero en llegar, primero en salir^EI tiem po que tarda en atender a los clientes tipo I sigue una distribución exponencial con m edia de 25 minutos/cliente, m ientras q ue el tiem po d e servicio del segundo tipo de clien tes sigue una distribución 2-Erlang con m ed ia de 35 m inutos/cliente. Sim ule hasta q ue hayan sido atendidos 500 clientes de tipo II y determ ine: a) el tiem po to tal de sim ulación. b) el núm ero de clie n te s tipo I que fuero n atendidos. c) el tiem po prom edio de estancia en la oficina po r cada tipo de cliente. d) el núm ero m áxim o de clie n te s en la oficina. 18. En un banco hay 2 cajas, cada una con su propia fila de tam año infinito: la caja 1 para clien tes "rápidos"con tiem p o de 2 m inutos, y la caja 2 para clientes "lentos"con tie m ­ po de 16.4 m inutos, en am b o s casos co n distribución exponencial. Los clien tes "len­ tos" y "rápidos" llegan de acuerdo co n una función exponencial, co n m edia de 8 y 20 m inutos/cliente, respectivam ente. Algunos días, en particular, solam ente viene a tra ­ bajar 1 cajera q ue tie n e q ue atender am b as filas según la siguiente secuencia cíclica: 5 clien tes "rápidos" y 2 clientes "lentos" El tiem p o para m overse entre las cajas e s de 0.33 m inutos. Sim ule en ProM odel el proceso po r 80 horas, y determ ine: a) el núm ero prom edio de clientes e n espera en cada fila. b) la secuencia ó p tim a de atención para m inim izar el tiem p o prom edio de espera, considerando am bos tipos de clientes. 19. Intercam biado res de calo r entran a u n sistem a de lim pieza en fo rm a expo nencial, con m edia de 5 horas/pieza. El proceso consta de 3 operaciones con una m áquina e n c a ­ da operación. Los tiem p o s de proceso son: 224

6 8 Pro b lem as | '

Operación

Tiem po prom edio d e proceso (horas/pieza)

1

Constante (4.9)

2

Exponencial (4)

3

Uniform e (4.7 ± 0.3)

Se tie n e un m ontacargas para to d o s los m ovim ientos entre estaciones. El tiem p o de traslado entre estaciones es 3-Erlang con m edia de 30 m inutos/intercam biador. La anim ación d ebe in cluir un co ntador de las piezas producidas. I. Sim ule en ProModel el proceso de 500 intercam biadores para determ inar: a) el tiem po total de sim ulación. b) la utilización de cada operación. c) el tiem po de espera antes de la prim era operación. d) % del tiem po q ue la pieza estuvo bloqueada. e) ¿Recom endaría te n e r otro m ontacargas? Ju stifiq u e su respuesta. II. Sim ule el m odelo con un escenario d ond e el m o n tacarg as fa lle en fo rm a e xp o ­ nencial cada 15 ho ras de trabajo y sea reparado con una distribución norm al con m edia de 30 m inu to s y desviación estándar de 5 m inutos. En e ste caso, ¿sería apro­ piado te n e r dos o m ás m ontacargas? Justifiq ue su respuesta. 20. Un prom edio de 10 personas/hora con distribución d e Poisson intentan entrar al jacuzzi de un hotel. En prom edio, cada persona perm anece 20 m inutos con distribución exponencial. En el jacuzzi existen solam ente 6 espacios, po r lo q ue si u na persona lle­ ga y están ocupados todos los lugares, se retira enojado y no regresa. Sim ule el pro­ ceso d urante 100 horas. a) ¿Cuál es la utilización del jacuzzi? b) ¿En prom edio cuántas personas se encuentran en el jacuzzi? c) ¿En prom edio cuántas personas po r hora n o pueden usar el jacuzzi? d) ¿Cuántos lugares debería te n e r el jacuzzi para asegurar q ue 9 5% de las personas que llegan puedan entrar? 21. D eterm ine m ediante ProModel el núm ero de m áquinas q ue requiere un sistem a pa­ ra procesar las piezas, teniendo com o restricción m antener una utilización en tre 60 y 80% . Las piezas llegan de acuerdo co n una distribución de Poisson, co n m edia de 1.5 clientes por m inuto. Cuando una pieza entra y to d a s las m áq uinas están ocupadas, perm anece en una sola fila com ún a las m áquinas. El tiem po de proceso sigue una distribución exponencial co n m edia de 3 m inutos. Incluir dentro de los resultados los valores de la utilización, tiem p o de esp era prom edio y núm ero de piezas prom edio en espera. 22. El diagram a m uestra el proceso y ruta de las piezas dentro de una celd a de m anufac­ tura. Todas las piezas deben entrar y salir de la celda a través de la m áquina de carga 225

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

y descarga (AS/RS). Los números en las flechas dentro del diagrama representan el por­ centaje de flujo que es enviado a otros e q u ip o s; por ejem plo, 10% de lo q ue entra a co rte se envía al AS/RS,85% a escuadre,y 5% a reproceso. Un sistema de control automá­ tico m antiene siempre 10 piezas dentro del sistema. (Observe el diagrama siguiente.)

A S/R S

Corte

Escuadre

1

0.8S 0.05

Reproceso

El tiem p o de proceso en cada operación es: O peración

(m in/píeza)

AS/RS

1.000

CORTE

0.465

ESCUADRE

0.500

REPROCESO

6.666

Sim ule en ProM odel y d eterm in e para cada operación: a) la utilización. b) el núm ero m áxim o de piezas. c) el núm ero prom edio de piezas. 23. En el sistem a cerrado q ue se m uestra en el diagram a se m antienen siem pre 20 piezas en proceso. Cada pieza entra desde una banda principal a través de un robot de tra n s­ ferencia, y d ebe visitar las 2 estaciones d e rectificado antes d e regresar al ro b o t de transferencia para ser enviada de nuevo hacia la línea principal. Las piezas se m ueven a travé s de bandas transportadoras. (O bserve el diagram a siguiente.)

R e c tif ic a d o 1

R e c tif ic a d o 2

R o b o t de transferencia

□

226

□

□ □

□

6 8 Pro b lem as | '

Los tiem p os de producción son:

O peración

Tiem po de proceso (m in/pieza)

Robot

Normal (4,1)

Rectificado 1

Normal (6 ,0.3 )

Rectificado 2

Exp o nencial (4)

Transporte entre estaciones

1

Sim ule d urante 200 horas y determ ine: a) la producción por hora. b) la utilización de las estaciones. c) el inventario prom edio en proceso en cada estación. d) el tiem po prom edio de perm anencia de las piezas en el sistem a cerrado. 24. Cinco cam iones son utilizados para transpo rtar concreto de un lugar a otro. Solam en­ te se tie n e una tolva de carga, y el tiem p o para hacerlo sigue una distribución expo ­ nencial con m edia de 20 m inutos. El tiem p o para transpo rtar el concreto y regresar por m ás m aterial sig u e una d istrib ució n exp o n encial con m edia de 180 m inutos. Sim ule el m ovim iento de los cam iones para contestar: a) en prom edio, ¿cuánto esp era un cam ión en la fila de la tolva? b) ¿qué fracción del tiem p o no se utiliza la tolva? c) si se han program ado 500 viajes, ¿cuánto tiem p o tom ará hacerlos? 25. A un sistem a de producción de la em presa EH YPSA llegan piezas de tipo 1 cada 5 ± 3 minutos, y piezas tipo 2 cada 3 ± 2 m inutos. Las piezas tipo 1 pasan por lim pieza en un tiem p o de 8 ± 3 m in u to s; al salir, 25% d eben lim piarse de nuevo, y el 75% restan­ te sale del sistem a para su venta. Las piezas tipo 2 pasan prim ero po r verificación en un tiem po de 9 ± 3 m inutos, y después por lim pieza en un tiem p o de 3 ± 1 m inutos. Al salir de lim pieza, 5% deben lim piarse de nuevo, y el 95% restante sale del sistem a para su venta. Sim ule el sistem a 1 m es y determ ine el núm ero m ínim o de operarios de verificación y lim pieza q ue perm itan m axim izar la producción por hora. Indique el número de piezas de cada tipo q ue se produjeron d urante el mes. 26. En el hospital HELEED, los pacientes entran a las salas de em erg encia a una tasa Pois­ son con m edia de 4 persona/hora: 80% de los pacientes entran d irectam ente a una de las 5 las salas; el 20% restante son llevados co n una secretaria para un proceso de registro de datos. El tiem p o en registro es de 5 ± 0.5 m inutos/paciente, pasando pos­ terio rm ente a las salas de em ergencia. Se tie n e de guardia a dos m édicos en las salas de em ergencia, y éstos tardan en revisar a los pacientes un tiem p o 3-Erlang con m e­ dia de 30 m inutos/paciente. Después de este tiem p o el paciente es trasladado a otras áreas del hospital, de acuerdo con su estado. 227

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

Realice un m odelo en ProM odel para sim u lar 3 réplicas de 4 8 horas de la situación a n ­ terior y determ inar, con un intervalo de confianza, de 95 por ciento: a) el tiem po prom edio de espera de los pacientes en el proceso de registro. b) el núm ero m áxim o de clientes que estuvieron en todo el hospital. c) la utilización de los m édicos, las salas de em erg encia y la secretaria. 27. C ie rta pieza requiere 2 operaciones: soldadura e n 6 m inutos, y esm erilado en 6.4 m i­ nutos. La llegada de piezas es uniform e en tre 10 y 15 m inutos/pieza. Existen alm ace­ nes de tam año infinito antes de cada operación. Se tie n e solam ente un operario para hacer am bas operaciones, de acuerdo con la siguiente secuencia cíclica: 5 piezas en soldadura y 5 piezas en esm erilado. El tiem p o para m overse e n tre las m áquinas es de 1 m inuto. Sim ule en ProModel el proceso 4 80 horas, y determ ine el tiem p o prom edio de espera de las piezas en los alm acenes an tes de cada operación. 28. U na m áquina em pacadora es alim entada po r dos bandas transportadoras. Por la pri­ m era entran dulces a una razón constante de 2 000 dulces/hora. Por la segunda e n ­ tran bolsas. La m áquina em paca 50 dulces po r bolsa y co lo ca el producto em pacado en una tercera banda, para su transportación hacia el alm acén de producto te rm in a ­ do. El tiem p o total de em paque e s de 20 segundos. La velocidad de las bandas es de 150 pies por m inuto. Cada 3 horas la em pacadora se d etien e para ajuste y lim p ieza;el tiem po para llevar a cabo estas operaciones es exponencial con m edia de 10 m in u ­ tos. M ientras la em pacadora e s ajustada, las bolsas y los dulces siguen entrando al sis­ tem a. Desarrolle un m odelo en ProM odel y determ ine la tasa prom edio de entrada de las bolsas. 29. A la oficina de la SRE llegan clien tes para recibir su pasaporte a una tasa de Poisson con m ed ia de 18 clientes/hora. Al entrar tom an una ficha q ue perm ite atenderlos en el orden de llegada: 90% de los clien tes entran d irectam ente a la sala de espera, y el resto llena prim ero algunas form as en un tiem po uniform e (6 ± 2) m inutos. Existen 2 servidores para atender a los clien tes d e la sala de espera; el tiem p o prom edio de atención es exponencial con m edia de 6 m inutos. La sala de espera dispone de 4 0 sillas. Si un clie n te llega y tod as las sillas están o cu ­ padas, perm anece de pie y se sienta cuando se d eso cu pa alguna de ellas. Cada vez q ue se expiden 10 pasaportes, el servidor deja de atender la fila y c o n ­ d uce a los clientes atendidos a la parte posterior, después de lo cual sigue atend ien­ do la fila; el tiem po e n ir y venir sigue una función exponencial con una m edia de 5 m inutos. Haga un m odelo en ProModel para sim ular durante 8 horas la situación actual, de m anera que, al finalizar la sim ulación, se indique en pantal la los siguientes resultados: a) el tiem po prom edio de espera en la fila. b) el núm ero prom edio de personas sentadas. c) el núm ero prom edio de personas de pie. d) el núm ero m áxim o de personas en la sala de espera. e) la utilización de los servidores.

228

6 8 Pro b lem as | '

30. En la com pañía PESYPINSA, las piezas entran a un proceso de pintura a una tasa de Poisson con m edia de 1.0 piezas/m in. Antes de pintarse, las piezas deben ser pesadas en cualq uiera de las dos básculas existentes: el tiem p o en la báscula es uniform e, de (2 ± 0.5) m inutos. Existe una persona q ue realiza la operación de pintura en 12 m in u ­ tos por pieza, con distribución exponencial. Hay tam bién un pintor de reserva, que entra a proceso cada vez que el núm ero de piezas en el alm acén de producto en proceso e n tre las básculas y la pintura excede de 10, y perm anece trabajando d urante 1 hora, después de lo cual deja de pintar y re­ gresa a su posición d e pintor d e reserva. Haga un m odelo en ProM odel para sim ular durante 8 horas la situación actual, de m anera que, al finalizar la sim ulación, se indique en pantalla: a) el tiem po prom edio de espera en el alm acén de pintura. b) el núm ero m áxim o de piezas q ue se llegaron a acum ular en tod o el sistem a. c) la utilización de la báscula y de los pintores. 31. La em presa M O LG A D ECo. fabrica m oldes y desea sim ular en ProM odel una p arte de su proceso. Los m oldes inicialm ente se encuentran en el alm acén de m ateria prima, en cantidad suficiente para no d etener la producción po r falta de m aterial. La prim e­ ra operación es una lim pieza con chorro de arena, co n duración de 4 m inutos. Ense­ guida, uno de seis inspecto res verifica la dim ensión de los m o ldes; cada inspector tarda 3-Erlang con m edia de 18 m inutos e n la verificación. Posteriorm ente los m oldes son transportados a un horno en lotes de 5, utilizando una grúa viajera. El tiem p o de transporte es de 6 m inutos, y la em presa cuen ta con dos g rú a s para este m o vim ien­ to. En el horno se cargan 4 lotes para iniciar el proceso d e calentam iento ;este tiem po es de 1 hora. Al salir del horno, los m oldes se enfrían al aire libre en 3 ± 1 hora. Una vez term inado el proceso, se em pacan en cajas de 25 m oldes. El tiem po de em p aq u e es trian g u lar de (2 ,3 ,6 ) m inutos/caja, y los m oldes se transpo rtan en co ntened o res de 8 cajas cada uno hasta el área de producto term inado en un AGV. El tiem p o requeri­ do para este m ovim iento es de 10 m inutos. Se trabajan tre s tu rn o s de 8 horas cada uno. M odele la operación durante un m es para: a) d eterm inar la utilización de los equipos, el inventario prom edio en proceso y el tiempo de perm anencia de un m o lde en el sistema. b) detectar problem as y proponer el aum ento o dism inución de recursos. c) determ inar, para la solución propuesta, la utilización de los equipos, el inventario prom edio en proceso y el tiem po de perm anencia de un m olde en el sistem a.

229

AN EXO 1

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

A .1

Distribuciones co ntinuas

A .2

Distribuciones discretas

231

[ | A nexo 1 D istribu cio nes d e pro b ab ilid ad

A.1 D istrib u cio n es co n tin u as D istribución d e Erlang

Codificación Función de densidad

k-Er[M Á ) f{x)=

Para

Distribución acum ulada

f(x ) = i _ r ^

Parámetros

Parám etro de localización: 0 Parámetro de fo rm a: k

)

p a ra

x > 0

Parámetro de escala: \ > 0 A

Rango

[0,=°)

Media ‘ ( i) Varianza ‘ Q

í

fOO

Erlang (0,3,5)

6 .0 0 x 10~2

3.00

0 .0 0

—.—

^ 0. 0

2.0

4 .0 X

232

i 6 .0

i 8 .0 x 1 0 '

A n e xo 1 D istrib u cio nes d e p ro b ab ilid ad | '

D istribución exponencial

Codificación

E( 1 /A )

Función de densidad

Ae-A*

si

x> 0

f(x) = 0

Distribución acum ulada

en otro caso

1 - e_Ax

si

x>

0

F(x) = 0

en otro caso

Parám etros Parámetro de escala: Rango

\ >0 A

[0/ °°)

Media

1 A

Varianza

1 A2 Exp o n e n cial (2)

f(x)

0.50

0.25

0.00 CLO

2.0

4 .0

6 .0

8 .0

10.0

X

233

A nexo 1 D istribu cio nes d e p ro b ab ilid ad

Distribución gam m a

Codificación Función de densidad

G [a ,p ) f(x )~

para

x>0

T {a) Distribución acum ulada

para a no entera F{x) = 1

e -x z /ig { x/f ]'

Parámetros

Parámetro de form a: a Parámetro de escala: /3 > 0

Rango

[0,co)

Media

aP

Várianza

CP* Hx)

para a entera

G a m m a (3 .8 6 ,5 .2 5 )

5.00 x 10~2

2.50

n nn

/ 0 .0

i

i

i

0 .2

0 .4

0 .6 X

234

i

i 0 .8

i 1.0

1.2x1o2

A n e xo 1 D istrib u cio nes d e p ro b ab ilid ad | '

D istribución lognorm al

Codificación Función de densidad

LN{p,
riln a 2 Distribución acum ulada Parám etros

Parámetro de escala: /a Parámetro de form a: a > 0

Rango Media

[0,0=) q/x+o2/!

Varianza

(e " ! - ij e 2'1* " ' «*)

Lo g n o rm al (4 ,0 .7 9 2 )

235

A nexo 1 D istribu cio nes d e pro b ab ilid ad

D istribución norm al

Codificación Función de densidad

N[fiL,
e-(x-/*PA2o-?)

para

xilino-

Distribución acum ulada Parámetros

Parám etro de localización: ¡x Parámetro de escala: a > 0

Rango

( - 00 , 00 )

Media Várianza

termal (10, 2) fW

236

X > ^X)

A n e xo 1 D istrib u cio nes d e p ro b ab ilid ad | '

D istribución trian g u lar ---------------------------Codificación

T [ a , b f c)

Función de densidad

2 { x - a) /1 w \ (b - a ) ( c - o)

ci si

í* xir
2 ( 6 - x) tu \tu \ (b - a )(b - c)

Sl

c
(x ~ a ) 2 . ( b - a ) ( c - a)

Sl

0
f(x) = ,

Distribución acum ulada

' m

=. 1

(b - x ) 2 7L \tu \ ( b - a ) ( b - c)

Parámetros

Parámetro de localización: a Parámetro de escala: b - a Parámetro de fo rm a: c Valor m ínim o: a Valor m áxim o: b Moda: c

Rango

[a,b]

Sl

c^x
Media - (o + b + c) Varianza 1o

(a2 + b 2 + c2 - a b - a c - be) T r ia n g u la r ( 1 , 7 ,3 )

fW 0 .3 5

0 .1 7

0 .0 0 C1.0

2 .0

4 .0

6 .0

i

i

8 .0

1 0 .0

X

237

A nexo 1 D istribu cio nes d e pro b ab ilid ad

D istribución uniform e

Codificación

U [a,b)

Función de densidad

— !— b-a

f(x) = Distribución acum ulada F(x) =

si

a
„0

en otro caso

s0

si

*~ a b-a 1

x
si

a
b
Parám etros

a y b son núm eros reales, co n a < b; Parámetro de localización: a Parámetro de escala: b - a Valor m ínim o: a Valor m áxim o: b

Rango

la,b]

Media \ ( a + b) Varianza

U n if o r m e (5 ,1 0 )

fM 0.20

0.10

i

0.00 02

0 .4

i 0 .6

i

i 0 .8 X

238

i 1 .0

i 1 .2

1 .4 x 1 0 '

A n e xo 1 D istrib u cio nes d e p ro b ab ilid ad | '

D istribución d e W eibull

Codificación Fu n ció n d e d ensid ad

a p - ° {x - y ) * ' e - ( * j f l

f(x) =

0 D istrib u ció n a cu m u lad a

0 P arám etro s

x >0

en o tro caso

l- e 'C V )

f(x) =

si

si

x> 0

en o tro caso

Parám etro d e lo ca liza ció n :

y

Parám etro d e escala: p > 0 Parám etro d e fo rm a : a > 0 R ango

[y,™ )

M edia

y + p T V + a r')

V arian za

/32 m

+ 2 « -l ) - r 2d + « - 1) Weibull (4,2,1)

fM 1.00

0.50

0.00 ' 4. 0

i

4.5

i

i

5.0

5.5

i 6.0

■ — i— i— 6.5

i 7.0

X

239

[ | A nexo 1 D istribu cio nes d e pro b ab ilid ad

A .2 D istrib ucio nes d iscretas D istribución d e B ernoulli

Codificación Distribución de probabilidad

j

PM =

1 -P 0 0 1-p 1

s

II

U-

Distribución acum ulada

BEip)

Rango

{0 ,1 }

Parám etros

p e (0,1)

Media

p

Varia nza

p(1 - p )

si x =0 si x= 1 en otro caso si si si

x< 0 0 1

B ern o ulli (0.7) P W

0.70

[-

0.35

-

0.00 -1

.0

0.0

1.0

i

i

i

i

2.0

3.0

4.0

5.0

X

240

A n e xo 1 D istrib u cio nes d e p ro b ab ilid ad | '

D istribución binom iai

Codificación

BIIN'P)

Distribución de probabilidad P (x ) =

Distribución acum ulada

0

si x = o ' 1' 2......... N otro caso

0

si

x <0

“

° Sx<1

si

X

V

(

1

A/l

F(x) = S

w

-

,

)

,

1 Rango

{0 ,1 ............N]

Parám etros

N

>1

es un núm ero entero

p e (0,1) M edia

N p

Varianza

N p O -p )

Bin o m ial (5,( )-5)

pM 0.35

0.17

nnn -1 .0

i

0 .0

1.0

2.0

3.0

4 .0

5.0

X

241

[ | A nexo 1 D istribu cio nes d e pro b ab ilid ad

D istribución geom étrica

Codificación Distribución de probabilidad Distribución acum ulada

G E ip ) rp (i-p )x p (x ) = ■ { 0

m

s¡

x = o , i , ...

otro caso

f 1 - ( 1 -p)LxJ+i

s¡

x = 0 ,1 , . . .

[ 0

otro caso

=•

Rango

{0 ,1,...}

Parámetros

P 6 (0 ,1)

Media

(1 - P )P " '

Várianza

(1 ~p)p-2 G eo m étrica (0.5)

pM 0.50

-

0.25

i

0.00

-2.10

0 .0

2.0

4 .0 X

242

_i____ .____ ______.__ 6 .0

8 .0

i 10.0

A n e xo 1 D istrib u cio nes d e p ro b ab ilid ad | '

D istribución d e Poisson

Codificación

P( A)

Función de densidad

si

x = 0 ,1 ,2 ,..

P(x) otro caso Distribución acum ulada

si

x <0

F(x) = x> 0

Rango

{0 ,1,...}

Parámetros

A > 0 e s un núm ero entero

Media Varianza Fb isso n (4) PM

243

A nexo 1 D istribu cio nes d e pro b ab ilid ad

D istribución uniform e discreta

Codificación Distribución de probabilidad

U D ihj) 1

p{x) =

7-/+1 o

Distribución acum ulada

x e {/,/ + 1 , . . . , j ]

en otro caso

0 F(x) =

si

si

x
si

¡< x< j

si

X > ]

LxJ-;+i j - i +1 i

Rango

{/,/ + 1

j)

Parámetros

/' y j son núm eros enteros, co n / < j Parámetro de localización: i Parámetro de escala: j - ¡

Media \ V + l) Varianza

U nifo rm e discreta ( 1, 6) PU> 0 .2 0

—

0.10

0.00 0.0

244

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

AN EXO 2

REPORTES ESTADÍSTICOS EN PROMODEL

Anexo 2 Rep ortes e sta d ístic o s e n ProM odel

Los reportes q ue genera ProModel contienen los resultados num éricos de la sim ulación, presentados en un form ato de h o ja de cálculo. El reporte co n tien e la inform ación separada en las siguientes fichas: General R e p o rt f o r e je m p lo 4 .1 General

Locations

Location States Multi

Location States S i n g b / T a n k

Resour 4

y

General foi Ejemplo 4.1

Ñame

Valué

R u n D a te /T im e

21/04/2005 13:22:00

M o d d Path/File \ t : W c h i y o s d e programa^ProModeÍN ModeísSEJEMPLO4 .1 .M 0 D Model Title

En la ficha General se encuentran los datos generales del modelo, com o nom bre, fe­ cha de ejecución y ruta del archivo.

Entity A ctivity R e p o rt f o r e je m p lo 4 . 1 R e s ou rc es

Re s o u rc e States

H o d e E n t rie s

Failed Arrivals

f Entity Activity]

Entity States

< |»

Entity Activity for ejemplo4.1 Ñame

Total Exits

Curient A vg T ime 1n A vg Time In Qty In System Moye System (MIN) Logic (MIN)

Pieza A

0.00

0.00

Pieza B

2216.00

3.00

Pieza C

0.00

0.00

0.00 11.31

0.00

Avg Time Avg Time In A vg Time W ait F 01 Operation B locked R es(M IN ) (MIN) (MIN)

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

0.00

0.00

9.01

2.30

0.00

0.00

Incluye la inform ación q ue se describe a continuación: • • •

246

Total Exlts. Número de en tid ades q ue abandonaron el sistem a. Current Q ty In Sy ste m . Núm ero de en tid ad e s q ue p erm anecen en el sistem a al finalizar la sim ulación. Avg T im e In System (MIN). Tiem po prom edio q ue las entidades perm anecieron en el sistem a sim ulado.

A nexo 2 Rep ortes estad ísticos e n P ro M o d el |

• • • •

Avg Tim e In M ove Logic (M IN).Tiem po prom edio q ue las entidades perm anecie­ ron viajando e n tre las localizaciones. Avg Tim e Wait For Res (MIN). Tiem po prom edio q ue las entidades perm anecie­ ron esperando un recurso u otra entidad. Avg Tim e In O peration (MIN). Tiem po prom edio q ue las entidades perm anecie­ ron en operación o en una banda transportadora. Avg Tim e Blocked (M IN).Tiem po prom edio q ue las entidades perm anecieron es­ perando una localización desocupada.

Entities Costing Esta ficha incluye datos com o los siguientes: • •

Total Cost. Costo total de las entidades. % Total Cost. Porcentaje del costo de una entidad activa respecto del costo total de las entidades.

Entity States By Percentage Report for ejem plo4.1 Loca l ion S l ates M ulti

Local! o n S lal e s S ingle/T a nk

R esour ces

R esource

S la

Entity States for ejemplo4.1 Ñame

X

1n Move Logic

%

Wait For Res

%, In Operation ■ ■—

Pieza A Pieza B Pieza C

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

% Blocked

.1

0.00

0.00

79.70

20.30

0.00

0.00

O frece la siguiente inform ación: • • • •

% In Move Logic. Porcentaje del tiem po q ue las entidades perm anecieron viajan­ do en tre localizaciones. % Wait For Res. Porcentaje del tiem po q ue las entidades perm anecieron esp eran ­ do un recurso u otra entidad. % In O peration. Fbrcentaje del tiem p o prom edio q ue las entidades perm anecie­ ron en operación o en una banda transportadora. % Blocked. Porcentaje del tiem po prom edio q ue las entidades perm anecieron es­ perando una localización desocupada.

247

| Anexo 2 Reportes e sta d ístic o s en ProM odel

Failed A rrival m R e p o r t fo r e je m p lo 4 .1 G en eral

Loca l ions

Loe a tion S tatos M ult i

F a ile d Arrivals: for ejem plo4.1 En tity Ñ am e

L o c a tio n Ñ am e

T o tal Fa ile d

Pieza B

A lm a c é n 1

0.00

Esta ficha ofrece los siguientes datos: • • •

Entity Ñam e. Nom bre de la entidad. Location Ñam e. Localización d ond e ocurre la llegada de la entidad. Failed A rrivals. Nú mero de entidades q ue no entraron a la localización po r falta de capacidad.

Locations Costing R e p o rt fo r d e a e rc o N o d e E n tr ie s

Failed Arrivals

E ntity Actívity

Entity Sietes

Variables

{ Location Costini 4

►

L o c a tio n C o stin g for d e a e rc o

Ñam e

0 peration Cost D ollars

Aislé 1

0.00

0.00

30.89

4.62

30.89

4.62

Aislé 2

0.00

0.00

34.36

5.13

34.36

5.13

Aislé 3

0.00

0.00

45.93

6.86

45.93

6.86

Aislé 4

0.00

0.00

30.04

4.49

30.04

4.49

Aislé 5

0.00

0.00

40.87

6.11

40.87

6.11

Aislé 6

0.00

0.00

26.65

3.98

26.65

3.98

Aislé 7

0.00

0.00

40.10

5.33

40.10

5 .9 9

X O peration

C ost

R e s o u rc e C o st D o lía is

X R e s o u rc e

C o st

T o tal Cost D ollars

X T o tal

Cost

n

Aquí podrá o b tener la inform ación q ue se lista a continuación: • • • • • •

248

Operation Cost. Costo del tiem po de operación. % O peration Cost. Porcentaje del co sto de la localización, respecto de la sum a de los costos de operación. Resource Cost. Costo po r el uso de un recurso q ue opera dentro de la localización. % Resource Cost. Porcentaje del costo de un recurso en la localización, respecto de la sum a de los costos del resto de los recursos. Total Cost. Costo de operación m ás costo del recurso. % Total Cost. Porcentaje del costo to tal de la localización respecto de la sum a de tos costos totales de las localizaciones.

A nexo 2 Rep ortes estad ísticos e n P ro M o d el |

Location States By Percentage (M últiple Capacíty) Ü R ep o rt fo r e je m p lo 4 .1 General

Locations

¡ Location States Muiti!

Location States Single /Tank

Resources

Location States Multi foi ejemplo4.1 Ñame

Scheduled Time [MIN)

X

Empty

Z

Part Occupied

A lm a c é n 1

19200.4 0

82.91

17.09

A lm a c é n 2

19200.4 0

39 .3 8

0.62

%

%

Full

Down

0.00 0.00

0.00 0.00

En esta ficha encontrará los siguientes datos: • • • • •

Scheduled T im e. Porcentaje de tiem p o en operación. % Em pty. Porcentaje de tiem po q ue la localización estuvo vacía. % Partially O ccupied. Porcentaje de tiem p o q ue la localización estuvo parcial­ m ente llena. % Full. Porcentaje de tiem po q u e la localización estuvo llena. % Down. Fbrcentaje de tiem po que la localización estuvo no disponible po r paros no program ados.

Location States By Percentage (Sin g le Capadty/Tank) R ep o rt f o r e je m p lo 4 .1 Locations

Location States Multi

f Locatio n S tate s S ingle/T a n i i

R esources

R esource <

ñ .

Location States Single/Tank for ejemplo4.1 Scheduled Time (MIN)

%

X

X

X

X

Operation

Setup

Idle

Waiting

Blocked

Down

19200.40

46.15

53 .8 5

0.00

lnspector.1

19200.40

41.32

Inspector. 2

19200.40

16.59

Inspector

38400.80

28.95

0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00

wame Lavadora

X

58 .6 9

0.00

83.41

0.00

71 .0 5

0.00

►

Con esta inform ación: Scheduled T im e .Tiem po total program ado. % O peration. Porcentaje de tiem p o q ue la localización estuvo en operación. % Setup. Porcentaje de tiem p o q ue la localización estuvo en preparación. % Idle. Porcentaje de tiem po que la localización estuvo ociosa porfalta de entidades. % W aiting. Porcentaje de tiem p o q ue pasó la entidad esperando un recurso u otra entidad para agruparse, unirse, etcétera. % Blocked. Porcentaje de tiem p o q ue las entidades perm anecieron bloqueadas en la localización. % Down. Porcentaje de tiem po po r paros no program ados. 249

| Anexo 2 Reportes e sta d ístic o s en ProM odel

Locatíons R e p o rt fo r e je m p lo 4 .1 Ge ¡n e ra l

L o c a tio n s

L o c a tio n S t a t e s M ulti

L o c a tio n S t a te s S in g le / T a n k

R e so u rc e s

R e s o u r c e S t a te

4

►1

Lo ca tio n s fo i ejemplc»4.1 ----------------- r-

Schedu led Time (MIN)

Capacita

A lm a c é n 1

1 9 2 0 0 .4 0

9 3 9 9 9 9 .0 0

2 2 1 9 .0 0

L a v a d o ra

1 9 2 0 0 .4 0

1 .0 0

2 2 1 8 .0 0

A lm a c é n 2

1 9 2 0 0 .4 0

9 9 9 9 9 9 .0 0

In s p e c to r. 1

1 9 2 0 0 .4 0

In s p e c to r. 2

1 9 2 0 0 .4 0

In s p e c to r

3 3 4 0 0 .8 0

Ñame

1.00 1.00 2.00

pera

%

A vg Contents:

Máximum Contents

Cunent Contents

Utilization

2 .2 5

0 .2 6

5 .0 0

4 .0 0

0 .4 6

1 .0 0

1.00 1.00

4 6 .1 5

2 2 1 7 .0 0

0 .0 5

0.01

2.00

0 .0 0

0 .0 0

1 5 8 4 .0 0

5.01

0.41

1 .0 0

1.00

4 1 .3 2

6 3 3 .0 0

5 .0 3

0 .1 7

1 .0 0

0 .0 0

1 6 .5 9

2 2 1 7 .0 0

5 .0 2

0 .2 9

2.00

1.00

2 3 .9 5

T o tal

* v9 j ™ e

0 .0 0

La ficha Locations le ofrece esta inform ación: • • • • • • • •

Scheduled T im e (MIN). Tiem po total program ado de la localización. Capacity. Capacidad de la localización. Total Entrles. Total de entidades q ue entraron a la localización. Avg Tim e Per Entry (MIN). Tiem po prom edio de perm anencia en la localización. Avg Contents. Número prom edio de en tid ades en la localización. M áximum Contents. Número m áxim o de en tid ades en la localización en el tran s­ curso de la sim ulación. Current Contents. Número de entidades e n la localización al final de la sim ulación. % Utllization. Porcentaje de utilización.

Logs

Q®S

R e p o r t fo r e je m p lo 4 .1 R e s o u rc e S ta te s

M o d e E n t r ie s

F a ile d A r r iv a ls

E n t it y A c t iv it y

E 4

*

1

L o g s for ej&mplo4.1 .. am e

N um bei O b se rv a tio n s

Mínimum V a lu é

Máximum V a lu é

A vg V a lu é

La ficha Logs da al usuario los datos q ue se listan a continuación: • • • • 250

Number O bservatio ns. Número de en tid ades que ejecutaron la instrucción LOG durante la sim ulación. M ínimum Valué. El m ínim o valor de tiem p o registrado po r la instrucción LOG. M áximum Valué. El m áxim o valor de tiem p o registrado por la instrucción LOG. Avg Valué. El valor prom edio de tiem po registrado po r la instrucción LOG.

A nexo 2 Rep ortes estad ísticos e n P ro M o d el |

Node Enfries 1

R e p o r t f o r e je m p lo 4 .

I R e s o u r c e S ta le s

1

Q

| N o d e E n trie s :

@

f x

Fa ile d A n iv a ls

4

»

N ode E n trie s fo i ejem plo4.1 1 P a th Ñ am e

----- T-v^v.-^.-------Node Ñam e

T o ta l E n trie s

B lo c k e d E ntries

Node Entries presenta estos datos: • • • •

Path Ñam e. N om bre de ia trayectoria. Node Ñam e. Número del nodo. Total Entries. Total de entradas de un recurso a u n nodo. Blocked Entries. Número de veces q ue el nodo estuvo bloqueado por otro recurso.

Resource Costing Report fo r deaerco N o d e E n t r ie s

F a ile d A r r iv a ls

E n tity A c t iv it y

E n tity S t a t e s

V e n a b le s

L o c a t io n C o stin g

jf<

^

R e s o u r c e C o stin g for d e a e rc o

N onU se Usage Cost Cost Dollars

Z Usage T otal Cost Cosí Dolíais

Z T otal Cost

Units

NonUse Cost Dolíais

Filler.1

1 .0 0

0 .8 0

0 .4 5

9 9 .1 8

1 2 .1 0

9 9 .9 8

1 0 .0 4

F ille r.2

1 .0 0

0 .4 5

9 9 .0 8

1 2 .0 9

9 9 .8 8

1 0 .0 3

F ille r.3

1 .0 0

0.00 0.00

0 .4 5

9 8 .8 8

1 2 .0 7

9 9 .8 8

1 0 .0 1

F ille r.4

1 .0 0

0.81

0 .4 6

9 9 .8 3

1 2 .0 9

9 9 .8 3

1 0 .0 2

F ilie r.5

1 .0 0

0 .8 3

0 .4 7

9 9 .1 3

1 2 .1 0

9 9 .8 6

1 0 .0 3

Fillet

5 .0 0

4 .0 4

2 .2 8

4 9 5 .2 9

6 0 .4 5

4 9 3 .3 3

5 0 .1 2

C hecker

1 .0 0

1 1 .3 9

6 .4 4

8 7 .7 9

1 0 .7 1

9 9 .1 8

Ñame

%

9 .9 6 v

Esta ficha indica: • • • • • •

N onUse Cost. Costo atribuible al ocio del recurso. % N onUse Cost. Porcentaje del costo de ocio del recurso respecto de la sum a de los costos de ocio de to d o s los recursos. U sage Cost. Costo po r usar el recurso. % U sage Cost. Porcentaje del costo de utilización del recurso respecto de la sum a de los costos de utilización de todos los recursos. Total Cost. Costo de utilización m ás costo de ocio. % Total Cost. Porcentaje del costo total del recurso respecto de la sum a de los cos­ tos de todos los recursos.

251

| Anexo 2 Reportes e sta d ístic o s en ProM odel

Resource States By Percentage R e p o rt fo r d e a e rco

a

- Üf5<

L o c a t io n S t a t e s S in g le / T a n k

R e so u rc e s

í R e s o u rc e S ta te s;

N o d e E n trie s

F a ile c 4

l l l

R e s o u r c e S t a t e s fo r d e a e ic o S c h e d u le d Tim e (M IN )

X In U se

Filler.1

6 0 0 .0 0

9 8 .6 0

....... 0 .6 0

F ilb t .2

6 0 0 .0 0

9 8 .6 0

F ille r .3

6 0 0 .0 0

9 8 .5 7

F ilb r .4

6 0 0 .0 0

F ille r.5

6 0 0 .0 0

Ñ am e

Filiar C hecker

X T ra v e l X T ra v e l T o

X Id le

£ Down

0 .0 0

0 .8 0

0 .0 0

0 .6 0

0 .0 0

0 .8 0

0 .0 0

0 .6 2

0 .0 0

0 .8 0

0 .0 0

9 8 .6 3

0 .5 7

0 .0 0

0.81

0 .0 0

9 8 .6 0

0 .5 7

0.00

0 .8 3

0.00

3 0 0 0 .0 0

9 8 .6 0

0 .5 9

0.00

0.81

0.00

6 0 0 .0 0

8 5 .1 4

3 .4 7

0.00

1 1 .3 9

0.00

To U se

»

P a rk

Incluye la siguiente inform ación: • • • • • •

Scheduled Tim e (MIN). Tiem po total q ue el recurso fu e program ado para estar disponible. % In U se. Porcentaje de tiem p o que el recurso fu e utilizado. % Travel To U se. Porcentaje de tiem p o q ue el recurso fu e utilizado en m o vim ien­ tos en tre localizaciones. % Travel To Park. Porcentaje de tiem p o que el recurso estuvo viajando a su nodo base. % Id le. Porcentaje de ocio del recurso. % Down. Porcentaje q ue el recurso estuvo no disponible a causa de paros no pro­ gramados.

Resources H

R e p o rt fo r d e a e rco

L o c a tio n S ta te s S in g le /T a n k

* ] } R e s o u rc e s i

R e s o u r c e S ta te s

N o d e E ntr ie s

F a i led A rriv a ls

E n t it y A ci

4

*

R e s o u r c e s fo r d e a e rc o

Ñam e

S c h e d u le d Tim e (M IN )

Num ber T im e s U se d

A v g Tim e Per U sag e (M IN )

A v g Tim e T ia v e l To U s e (M IN )

A y g Tim e % T ra v e l T o B lo c k e d P a r k (M IN ) In T ra v e l

0.00

0.00

99.20 ■

0.00

0.00

99.20

0.00

0.00

99.20 99.19

A» U llllZ allO n

1.00 1.00

600.00

33.00

F ille r.2

600.00

33.00

17.93 17.93

Filler.3

1 .0 0

6 0 0 .0 0

34.00

17.40

Filbr.4

1.00

6 0 0 .0 0

31.00

19.09

0.11 0.11 0.11 0.11

0.00

0.00

Fille r.5

1 .0 0

600.00

31.00

1 9 .0 8

0.11

0.00

0.00

99.17

Filler

5 .0 0

3000.00

1 62.00

1 8 .2 6

0.11

C h e c ...

1 .0 0

600.00

134.00

3.81

0.16

0.00 0.00

0.00 0.00

99.19 88.61

Filler.1

252

U n its

A nexo 2 Rep ortes estad ísticos e n P ro M o d el |

La ficha Resources presenta estos datos: • • • • • • • •

Units. Número de recursos. Scheduled T im e (MIN). Tiem po program ado para utilizar el recurso. N um ber of Tim es Used. Número de ocasiones q ue se utilizó el recurso. Avg Tim e Per U sage (MIN). Tiem po prom edio de utilización del recurso. Avg Tim e Travel To U se (MIN). Tiem po prom edio po r viaje del recurso. Avg Tim e Travel To P ark (MIN). Tiem po prom edio para dirigirse al nodo base. % Blocked In Travel. Porcentaje de tiem po que el recurso estuvo bloqueado al fi­ nal del viaje. % Utilization. Fbrcentaje de utilización del recurso.

Variables EH R e p o r t f o r d e a e r c o 1 E ntity A c t iv it y

0

E ntity S (a te s

¡ V a r ia b le s !

I

L o c a t io n C o stin g

R e s o u r c e C o stin g

®

E n tity D

l ®

4

-

V a ria b le s for d e a e rc o T o tal Change s

A v g Time Per C h a n g e ...

Mínimum V a lu é

Máximum V a lu é

Current V a lu é

In v e n to ry A is lé 1

6 9 .0 0

8 .5 6

2 8 9 1 .0 0

3 6 0 0 .8 0

2 6 8 1 .0 8

3 2 6 1 .0 5

In v e n to ry A ís le 2

86.00

6.88

2 6 7 8 .0 0

3 6 0 0 .8 0

2 6 7 8 .0 8

3 1 3 9 .7 9

Ñam e

Avg V a lu é

In v e n to ry A is lé 3

1 0 8 .0 0

5 .5 0

2 3 3 4 .0 0

3 0 0 0 .0 0

2 3 0 4 .0 0

2 9 8 4 .0 3

In v e n to ry A is lé 4

7 0 .0 0

8 .4 6

2 6 8 3 .0 0

3 6 8 0 .8 0

2 8 3 3 .0 8

3 2 3 4 .8 3

In v e n to ry A is lé 5

1 0 7 .0 0

5 .5 8

2 4 5 7 .0 0

3 6 8 0 .8 0

2 4 5 7 .0 8

3 0 1 9 .4 4

6

6 0 .0 0

9 .9 7

2 3 7 4 .0 0

3 6 0 0 .0 0

2 9 9 2 .0 0

3 2 5 4 .7 4

In v e n to ry A ís le 7

1 1 7 .0 0

512

2 3 0 7 .0 0

3 6 0 0 .0 0

2 3 0 7 .0 8

2 9 3 0 .7 6

In v e n to ry A is lé

►

■

Finalm ente, la ficha Variables ofrece la siguiente inform ación: • • • • • •

Total Changes. Total de cam bios de valor de la variable. A verage T im e Per C h a n g e . El tiem p o pro m ed io e n tre ca m b io s de va lo r de la variable. M ínim um Valué. Valor m ínim o de la variable en el transcurso de la sim ulación. M áxim um Valué. Valor m áxim o de la variable en el transcurso de la sim ulación. Current Valué. Valor de la variable al fin alizar la sim ulación. Avg Valué. Valor prom edio de la variable a lo largo del tiem po.

253

AN EXO 3

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

255

'

| A nexo 3 D istribu cio nes d e pro b ab ilid ad

P ro b ab ilid ad es acu m u lad as para la d istrib u ció n Norm al Estánd ar

0

0.01

0.02

0.03

0 .0 4

0.05

0 .0 6

0.07

0.08

0 .0 9

0.00

0.5000

0.5040

0.5 0 80

0.5120

0.5 1 60

0.5199

0.5 2 39

0.5279

0.5319

0.5 3 59

0.10

0.5398

0.5438

0.5 4 78

0.5517

0.5 5 57

0.5596

0.5636

0.5675

0.5714

0 .5 753J

0.10

0.20 030

0.5793 0.6179

0.5832 0.6217

0.5871 0.6 2 55

0.5910 0.6293

0.5 9 48 0.6331

0.5987 0.6368

0.6 0 26 0.6 4 06

0.6064 0.6443

0.6103 0.6480

0.6141 0.6 5 17

0.20 030

0.40

0.6554

0.6591

0.6 6 28

0.6664

0.6 7 00

0.6736

0.6 7 72

0.6808

0.6844

0.6 8 79

0.40

0.50

0.6915

0.6950

0.6 9 85

0.7019

0.7 0 54

0.7088

0.7 1 23

0.7157

0.7190

0.7 2 24

0.50

0.60

0.7257

0.7291

0.7 3 24

0.7357

0.7 3 89

0.7422

0.7 4 54

0.7486

0.7517

0.7 5 49

0.60

0.70

0.7580

0.7611

0.7642

0.7673

0.7704

0.7734

0.7 7 64

0.7794

0.7823

0.7 8 52

0.70

0.80 0.90

0.7881 0.8159

0.7910 0.8186

0.7939 0.8 2 12

0.7967 0.8238

0.7 9 95 0.8 2 64

0.8023 0.8289

0.8051 0.8 3 15

0.8078 0.8340

0.8106 0.8365

0.8 1 33 0.8 3 89

0.80 0.90

1.00

0.8413

0.8438

0.8461

0.8485

0.8 5 08

0.8531

0.8554

0.8577

0.8599

0.8621

1.00

1.10 1.20

0.8643

0.8665

0.8 6 86

0.8708

0.8 7 29

0.9749

0.8 7 70

0.8790

0.8810

0.8 8 30

1.10

0.8849

0.8869

0.8 8 88

0.8907

0.8925

0.8944

0.8 9 62

0.8980

0.8997

0.9 0 15

1.20

1.30 1.40

0.9032 0.9192

0.9049 0.9207

0.9 0 66 0.9 2 22

0.9082 0.9236

0.9 0 99 0.9251

0.9115 0.9265

0.9131 0.9 2 79

0.9147 0.9292

0.9162 0.9306

0.9 1 77 0.9 3 19

1.30 1.40

1.50

0.9332

0.9345

0.9357

0.9370

0.9 3 82

0.9394

0.9 4 06

0.9419

0.9429

0.9441

1.50

1.60

0.9452

0.9463

0.9474

0.9484

0.9 4 95

0.9505

0.9 5 15

0.9525

0.9535

0.9545

1.60

1.70

0.9554

0.9564

0.9 5 73

0.9582

0.9591

0.9599

0.9 6 08

0.9616

0.9625

0 .9 6 3 3 J

1.70

1.80

0.9641

0.9649

0.9656

0.9664

0.9671

0.9678

0.9 6 86

0.9693

0.9699

0.9706

1.80

1.90 2.00

0.9713 0.9772

0.9719 0.9778

0.9726 0.9 7 83

0.9732 0.9788

0 .9 7 3 8 0.9 7 93

0.9744 0.9798

0.9750 0.9 8 03

0.9756 0.9808

0.9761 0.9812

0.9 7 67 0.9 8 17

1.90 ZOO

Z10

0.9821

0.9826

0.9830

0.9834

0.9 8 38

0.9842

0.9 8 46

0.9850

0.9854

0.9857

Z10

2.20

0.9861

0.9864

0 .9 8 6 8

0.9871

0.9 8 75

0.9878

0.9881

0.9884

0.9887

0.9 8 90

2.20

2.30

0.9893

0.9896

0.9 8 98

0.9901

0.9 9 04

0.9 9 06

0.909

0.9911

0.9913

0.9 9 16

2.30

2.40 2.50

0.9918 0.9938

0.9920 0.9940

0.9922 0.9941

0.9925 0.9943

0.9 9 27 0.9 9 45

0.9929 0.9946

0.9931 0.9 9 48

0.9932 0.9949

0.9934 0.9951

0.9 9 36 0.9 9 52

Z40 2.50

2.60

0.9953

0.9955

0.9 9 56

0.9957

0.9 9 59

0.9960

0.9961

0.9962

0.9963

0.9 9 64

2.60

2.70

0.9965

0.9966

0.9967

0.9968

0.9969

0.9970

0.9971

0.9972

0.9973

0.9 9 74

2.70

2.80

0.9974

0.9975

0.9 9 76

0.9977

0.9 9 77

0.9978

0.9 9 79

0.9979

0.9980

0 .9 9 8 1 1

2.80

2.90

0.9981

0.9982

0.9982

0.9983

0.9984

0.9984

0.9 9 85

0.9985

0.9986

0.9986

2.90

3.00 3.10

0.9987 0.9990

0.9987 0.9991

0.9 9 87 0.9991

0.9988 0.9991

0.9 9 88 0.9 9 92

0.9989 0.9992

0.9 9 89 0.9 9 92

0.9989 0.9992

0.9990 0.9993

0.9 9 90 0 .9 9 9 3 J

3.00 3.10

3.20

0.9993

0.9993

0.9994

0.9994

0.9 9 94

0.9994

0.9 9 94

0.9995

0.9995

0.9 9 95

3.20 3.30

3.30

0.9995

0.9995

0.9 9 95

0.9996

0.9 9 96

0.9996

0.9 9 96

0.9996

0.9996

0.9 9 97

3.40

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9 9 97

0.9997

0.9 9 97

0.9997

0.9997

0.9 9 98

3.40

3.50 3.60

0.9998 0.9998

0.9998 0.9998

0.9 9 98 0.9 9 99

0.9998 0.9999

0.9 9 98 0.9 9 99

0.9998 0.9999

0.9 9 98 0.9 9 99

0.9998 0.9999

0.9998 0.9999

0.9 9 98 0.9 9 99

3.50 -. 3.60

3.70

0.9999

0.9999

0.9 9 99

0.9999

0.9 9 99

0.9999

0.9 9 99

0.9999

0.9999

0 .9 9 9 9 J 3.70

3.80

0.9999

0.9999

0.9 9 99

0.9999

0.9 9 99

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9 9 99

3.90

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

3.90

4.00

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

4.00

Fuen te : Va lores calcu la d o s co n Excel.

256

Z« 0.00

3.80

A n e xo 3 D istrib u cio nes d e p ro b ab ilid ad | '

Valores críticos para la d istrib u ció n f-student

ta

v g a d o s de libertad

*0.10

*0.05

^0025

1 2

3.078

6.314

12.706

1.886

2.920

4.303

3

1.638

2.353

3.182

4

1.533

2.132

2.776

*001 31.821

*0005

*0.001

63.657

3 18.309

6.965

9.925

22327

4.541

5.841

10.215

3.747

4 .6 0 4

7.173

5

1.476

2.015

Z571

3.365

4 .0 3 2

5.893

6

1.440

1.943

2.447

3.143

3.707

5.208

7 8

1.415 1.397

1.895 1.860

2.365 2.306

2.998 2.896

3.499 3.355

4 .7 8 5 4.501

9

1.383

1.833

2.262

2.821

3.250

4 .2 9 7

11

1.372 1.363

1.812 1.796

2.228 2.201

2.764 2.718

3.169 3.106

4 .1 4 4 4 .0 2 5

12 13

1.356

1.782

2.179

2.681

3.055

3.930

1.350

1.771

2.160

2.650

3.012

3.852

14

1.345

1.761

2.145

2.624

2.977

3.787

15

1.341

1.753

2.131

2.602

2.947

3.733

16

1.337

1.746

2.120

2.583

2.921

3.686

17

1.333

1.740

2.110

2.567

2.898

3.646

18 19

1.330 1.328

1.734 1.729

2.101 2.093

2.552 2.539

2.878 2.861

3.610 3.579

20

1.325

1.725

2.086

2.528

2.845

3.552

1.323

1.721

2.080

2.518

2.831

3.527

22

1.321

1.717

2.074

2.508

2.819

3.505

23 24

1.319 1.318

1.714 1.711

2.069 2.064

2.500 2.492

2.807 2.797

3.485 3.467

1316

1.708

2.060

2.485

2.787

3.450

26

1.315

1.706

2.056

2.479

2.779

3.435

27

1.314

1.703

2.052

2.473

2.771

3.421

28

1.313

1.701

2.048

2.467

2.763

3.408

29

1.311 1.310

1.699 1.697

2.045 2.042

2.462 2.457

2.756 2.750

3.396 3.385

40

1.303

1.684

2.021

2.423

2.704

3.307

1.299

1.676

2.009

2.403

2.678

3.261

60

1.296

1.671

2.000

2.390

2.660

3.232

70 80

1.294 1.292

1.667 1.664

1.994 1.990

2.381 2374

2.648 2.639

3.211 3.195

90

1.291

1.662

1.987

2.368

2.632

3.183

100 cc

1.290

1.660

1.984

2.364

2.626

3.174

1.282

1.645

1.960

2.326

2.576

3.090

Fuen fe: f l o r e s calcu la d o s co n Excel.

257

'

| A nexo 3 D istribu cio nes d e pro b ab ilid ad

Valores crítico s para la d istribución X 1

/

K

o

X 2a X 2a v grados d e libertad 1 2 S 4

* 2oo25

*X 0.01

* 0.005

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

4 .6 0 5

5.991

7.378

9.210

10.597

13.816

6.251

7.815

9.348

11.345

12.838

16.266

7.779

9.488

11.143

13.277

14.860

18.467

9.236

11.070

12.833

15.086

16.750

20.515

12.592 14.067

14.449 16.013

16.812 18.475

18.548 20.278

22.458 24.322

8

13.362

15.507

17.535

20.090

21.955

26.124 27.877

9

14.684

16.919

19.023

21.666

23.589

10

15.987

18.307

20.483

23.209

25.188

29.588

11

17.275

19.675

21.920

24.725

26.757

31.264

12

18.549

21.026

23.337

26.217

28.300

32909

19.812

22.362

24.736

27.688

29.819

34.528

14

21.064

23.685

26.119

29.141

31.319

36.123

15

22.307

24.996

27.488

30.578

32.801

37.697

16

23.542

26.296

28.845

32.000

34.267

39.252

17 18

24.769

27.587

30.191

33.409

35.718

40.7 90

25.989

28.869

31.526

34.805

37.156

42312

19

27.204

30.144

32.852

36.191

38.582

43.8 20

20

28.412

31.410

34.170

37.566

39.997

45.3 15

21

29.615

32.671

35.479

38.932

41.401

46.7 97

22

30.813

33.924

36.781

40.2 89

42.7 96

48.2 68

23 24

32.007 33.196

35.172 36.415

38.076 39.364

41.6 38 42.9 80

44.181 45.5 59

49.7 28 51.179

25

34.382

37.652

40.6 46

44.3 14

46.9 28

52.620

26 27 28

35.563 36.741

38.885 40.1 13

41.9 23 43.1 95

45.6 42 46.9 63

48.2 90 49.6 45

54.052 55.476

37.916

41.3 37

44.461

48.2 78

50.993

56.892

29

39.087

42.5 57

45.7 22

49.5 88

52.336

58.301

30

40.2 56

43.7 73

46.9 79

50.892

53.672

59.703 73.402

40

51.805

55.758

59.342

63.691

66.7 66

50

63.1 67

67.5 05

71.420

76.154

79.490

86.661

60

74.397

79.082

83.2 98

88.3 79

91.952

99.607

85.5 27

90.531

95.023

100.425

104.215

112317 124.839

90

m

96.578

101.879

106.629

112.329

116.321

107.565

113.145

118.136

1 24.116

128.299

137.208

118.498

124.342

129.561

135.807

140.169

149.449

P a ra v >

Fuen te : Va lores calcu la d o s co n Excel.

258

0.001

10.645 12.017

55 80 \—

** 0.05

6 7

5

r

y2

*A 0.10

100 u s a r * 5 ,,, = 0 .5 ( Z 0 + V 2 v - 1 ) 2

(c o n t i n ú a )

A n e xo 3 D istrib u cio nes d e p ro b ab ilid ad | '

Valores críticos para la d istrib u ció n X 2 (co n tin u a ció n )

X 2a

X 2o

v g ad o s de lib e r t a d

X A 20.90

* 2o.9S

* 0.975

*X 0.99

n .9 9 5

* 0.999

1 2

0 .0 1 6

0.004

0.001

0.000

0 .0 0 0

0 .0 0 0

0 .2 1 1

0.103

0.051

0 .0 2 0

0 .0 1 0

0 .0 0 2

3

0.584 1.064

0.352 0.711

0.216 0.484

0.115 0.297

0 .0 7 2 0 .2 0 7

0 .0 2 4 0.091

1.610

1.145

0.831

0.554

0.412

0 .2 1 0

2.204

1.635

1.237

0.872

0 .6 7 6

0.381

Z833

2.167

1.690

1.239

0 .9 8 9

0 .5 9 8

3.490

2.733

2.180

1.646

1.344

0 .8 5 7 1.152

4 5 6 7 9

4 .1 6 8

3.325

2.700

2.088

1.735

10

4 .8 6 5

3.940

3.247

2.558

Z156

1.479

11 12

5.578

4.575

3.816

3.053

2.603

1.834

6 .3 0 4

5.226

4.404

3.571

3.074

2.214

7.042

5.892

5.009

4.107

3.565

2.617

14

7.790

6.571

5.629

4.660

4 .0 7 5

3.041

15

8.547

7.261

6.262

5.229

4.601

3.483

16

9.312

7.962

6.908

5.812

5.142

3.942

17 18

10.085

8.672

7.564

6.408

5.697

4 .4 1 6

10.865

9.390

8.231

7.015

6 .2 6 5

4 .9 0 5

19

11.651

10.117

8.907

7.633

6 .8 4 4

5.407

20

12.443

10.851

9.591

8.260

7.434

5.921

21

13.240

11.591

10.283

8.897

8 .0 3 4

6.447

22

14.041

12.338

10.982

9.542

8.643

6 .9 8 3

23

14.848 15.659

13.091 13.848

11.689 12.401

10.196 10.856

9.260 9.886

7.529 8 .0 8 5

25

16.473

14.611

13.120

11.524

10.520

8 .6 4 9

17.292

15.379

13.844

12.198

11.160

9.222

27

18.114

16.151

14.573

12.879

11.808

9.803

28 29

18.939 19.768

16.928 17.708

15.308 16.047

13.565 14.256

12.461 13.121

10.391 10.986

30

20.599

18.493

16.791

14.953

13.787

11.588

40

29.051

26.509

24.433

22.164

20.707

17.916

50

37.689

34.764

32.357

29.707

27.991

24.674

60

46.459

43.1 88

40.4 82

37.485

35.534

31.738

70 80

55.329 64.278

51.739 60.391

48.7 58 57.153

45.4 42 53.540

43.2 75 51.172

39.036 46.5 20

73.291

69.1 26

59.196

54.155

82.358

77.929

65.6 47 74.777

61.7 54

100

70.065

67.3 28

61.9 18

P a ra v

> 100 u s a r X Í , a = 0 .5 ( Z a + V 2 V - 1 ) 2

Fuen fe: Va lores calcu la d o s co n E x c e l

259

A nexo 3 D istribu cio nes d e pro b ab ilid ad

Valores crítico s d e la d istribución F con a = 0.05 G rados d e libertad p ara e l d e n o m in a d o r X

1

2

3

4

5

6

8

9

10

15

20

30

50

100

1

161.45

18.51

10.13

7.71

6.61

5.99

532

5.12

4.96

4 .5 4

4.35

4.17

4 .0 3

3.94

2

199.50

19.00

9.55

6.94

5.79

5.14

4 .4 6

4.26

4.10

3.68

3.49

3.32

3.18

3.09

L0 "O 2 01 E 3 c 13 2 2. "O

3

215.71

19-.16

9.28

6.59

5.41

4.76

4 .0 7

3.86

3.71

3.29

3.10

2.92

2.79

2.70

4

224.58

19.25

9.12

6.39

5.19

4.53

3.84

3.63

3.48

3.06

2.87

2.69

2.56

2.46

5

230.16

19.30

9.01

6.26

5.05

4.39

3.69

3.48

3.33

2.90

2.71

2.53

2.40

231

6

233.99

1933

8 .9 4

6.16

4.95

4.28

3.58

337

3.22

2.79

2.60

2.42

2.29

2.19

8

238.88

19.37

8 .8 5

6.04

4.82

4.15

3.44

3.23

3.07

2.64

2.45

2.27

Z13

2.03

9

240.54

19.38

8.81

6.00

4.77

4.10

3.39

3.18

3.02

2.59

2.39

2.21

2.07

1.97

1

10

241.88

19.40

8 .7 9

5.96

4.74

4.06

335

3.14

2.98

2.54

235

2.16

2.03

1.93


15

245.95

19.43

8 .7 0

5.86

4.62

3.94

3.22

3.01

2.85

2.40

2.20

2.01

1.87

1.77

s ■O

20

248.01

19.45

8 .6 6

5.80

4.56

3.87

3.15

2.94

2.77

2.33

2.12

1.93

1.78

1.68

30

250.10

19.46

8 .6 2

5.75

4.50

3.81

3.08

2.86

2.70

2.25

2.04

1.84

1.69

1.57

50

251.77

19.48

8 .5 8

5.70

4.44

3.75

3.02

2.80

2.64

2.18

1.97

1.76

1.60

1.48

100 253.04

19.49

8 .5 5

5.66

4.41

3.71

2.97

2.76

2.59

2.12

1.91

1.70

1.52

139

2

0

Fuen te :

N&lores calcu la d o s co n ExceL

Valores crítico s d e la d istribución F con a = 0.1 G rados d e libertad p ara e l d e n o m in ad o r X

1

2

5

4

5

6

8

9

10

15

20

30

50

100

1

39.86

8.53

5.54

4.54

4.06

3.78

3.46

3.36

3.29

3.07

2.97

2.88

2.81

Z76

2

4 9.5 0

9.00

5.46

4.32

3.78

3.46

3.11

3.01

Z92

2.70

2.59

Z49

Z 41

2.36

3

53.59

9.16

539

4.19

3.62

3.29

2.92

2.81

Z73

Z49

Z38

2.28

2.20

Z14

4

55.83

9.24

5.34

4.11

3.52

3.18

2.81

Z69

2.61

236

Z25

Z14

Z06

2.00

5

57.24

9.29

5.31

4.05

3.45

3.11

2.73

Z61

Z52

Z27

2.16

Z05

1.97

1.91

6

58.20

9.33

5.28

4.01

3.40

3.05

2.67

Z55

2.46

Z 21

2.09

1.98

1.90

1.83

8

59.44

937

5.25

3.95

3.34

2.98

2.59

2.47

2.38

Z12

2.00

1.88

1.80

1.73

S

9

59.86

938

5.24

3.94

3.32

2.96

2.56

2.44

Z35

Z09

1.96

1.85

1.76

1.69

1

10

6 0.1 9

939

5.23

3.92

3.30

2.94

2.54

2.42

232

Z06

1.94

1.82

1.73

1.66

T¡

15

6 1.2 2

9.42

5.20

3.87

3.24

2.87

2.46

234

2.24

1.97

1.84

1.72

1.63

1.56

20

6 1.7 4

9.44

5.18

3.84

3.21

2.84

2.42

230

2.20

1.92

1.79

1.67

1.57

1.49

30

6Z26

9.46

5.17

3.82

3.17

2.80

2.38

Z25

2.16

1.87

1.74

1.61

1.50

1.42

50

6 2.6 9

9.47

5.15

3.80

3.15

2.77

2.35

2.22

Z12

1.83

1.69

1.55

1.44

135

100

63.01

9.48

5.14

3.78

3.13

Z75

232

Z19

2.09

1.79

1.65

1.51

139

1.29

o T3 2 01 E 3 c 13 m 2 2. "O

ai

s "O 2 0

Fuen te : Va lores calcu la d o s co n Excel.

260

A n e xo 3 D istrib u cio nes d e p ro b ab ilid ad | '

Valores críticos d e la prueba d e Kolm ogorov-Sm irnov v

grados

d e lib ertad 1 2

0 .9 5 0

0.975

^a =O01 0.995

0 .7 7 6

0.842

0.929

3

0 .6 4 2

0.708

0.828

4

0 .5 6 4

0.624

0.733

5

0 .5 1 0

0.565

0.669

6

0 .4 7 0

0.521

0.618

7

0 .4 3 8

0.486

0.577

8

0.411

0.457

0.543

9

0 .3 8 8

0.432

0.514

0 .3 6 8

0.410

0.490

0 .3 5 2

0.391

0.468

10 11

P a ra

=005

-----------------------

12

0338

0375

0.450

13

0 .3 2 5

0.361

0.433

14 15

0 .3 1 4 0 .3 0 4

0.349 0.338

16 17

0 .2 9 5 0 .2 8 6

0328 0.318

18

0 .2 7 8

0.309

0.371

19

0 .2 7 2

0.301

0363

20

0 .2 6 4

0.294

0.356

0.418 0.404 ---------------------- ----------------0.392 0.381

25

0 .2 5 0

0.270

0.320

30

0 .2 2 0

0.240

0.290

35 40

0 .2 1 0 0 .1 9 3

0.230 0.215

0.270 0.258

45

0 .1 8 2

0.203 136

0.243 1.63

va lo re s

m ayores a 35 F u e n te :

132 Ü T

I F

n

r

M assey, F. J . T h e K o l m o g o r o v - S m i r n o v T e s t f o r G o o d n e s s o f F i t ,

T h e Jo u rn a l o f t h e A m erican Statistical A sso c ia tio n .v o l. 4 6 , p p .7 0 (1951).

261

'

| A nexo 3 D istribu cio nes d e pro b ab ilid ad

Estad ístico s de prueba y valo res crítico s para la prueba de A nderson-D arling

Valores críticos a Distribución

Parám etros conocidos n>5

Estadístico de prueba ajustado

0.1

0.05

0.025

0.001

A2 n

1.933

2.492

3.070

3.857

0.632

0.751

0.870

1.029

1.070

1.326

1.587

1.943

0.637

0.757

0.877

1.038

0.563

0.660

0.769

0.906

Normal

< H -5 ) Exponencial

* (’ +s) Weibull ^ ( 1 + = V í) Log-logistica

4 +-vs) F u e n t e : La w , A .M .y

262

Kelto n , W .D . S i m u l a t i o n M o d e i i n g a n d A n a l y s i s , 3 a .e d .( p p .3 6 8 , M cG raw H ill (2000).

A n e xo 3 D istrib u cio nes d e p ro b ab ilid ad | '

Valores d e la función G am m a x

I »

x

r(x )

1.00 1.01

1.0000000 0 .9 9 43 2 59

1.25 1.26

0.9064025 0.9043971

1.02

0 .9 8 88 4 42

1.27

0.9025031

1.03

0 .9 8 35 5 00

1.28

0.9007185

1.04

0 .9 7 84 3 82

1.29

0.8990416

1.05

0 .9 7 35 0 43

1.30

1.06

0 .9 6 87 4 36

131

1.07

0.9641520

132

1.08

0 .9 5 97 2 53

1.33

1.09

0 .9 5 54 5 95

1.34

|

x

I »

X

T (x )

1.50 1.51

0 .8 8 62 2 69 0 .8 8 65 9 17

1.75 1.76

0.9190625 0.9213749

1.52

0 .8 8 70 3 88

1.77

0.9237631

1.53

0 .8 8 75 6 76

1.78

0.9262273

1.54

0.8881777

1.79

0.9287675

0.8974707

1.55

0 .8 8 88 6 83

1.80

0.9313838

0.8960042

1.56

0 .8 8 96 3 92

1.81

0.9340763

0.8946405

1.57

0 .8 9 04 8 97

1.82

0.9368451

0.8933781

1.58

0.8914196

1.83

0.9396904

0.8922155

1.59

0 .8 9 24 2 82

1.84

0.9426124

1.10

0 .9 5 13 5 08

135

0.8911514

1.60

0 .8 9 35 1 53

1.85

0.9456112

1.11

0 .9 4 73 9 55

1.36

0.8901845

1.61

0 .8 9 46 8 06

1.86

0.9486870

1.12

0 .9 4 35 9 02

137

0.8893135

1.62

0 .8 9 59 2 37

1.87

0.9518402

1.13

0 .9 3 99 3 14

1.38

0.8885371

1.63

0 .8 9 72 4 42

1.88

0.9550709

1.14

0.9364161

1.39

0.8878543

1.64

0 .8 9 86 4 20

1.89

0.9583793

1.15

0 .9 3 30 4 09

1.40

0.8872638

1.65

0 .9 0 01 1 68

1.90

0.9617658

1.16

0.9298031

1.41

0.8867647

1.66

0 .9 0 16 6 84

1.91

0.9652307

1.17

0 .9 2 66 9 96

1.42

0.8863558

1.67

0 .9 0 32 9 65

1.92

0.9687743

1.18

0 .9 2 37 2 78

1.43

0.8860362

1.68

0 .9 0 50 0 10

1.93

0.9723969

1.19

0 .9 2 08 8 50

1.44

0.8858051

1.69

0 .9 0 67 8 18

1.94

0.9760989

1.20

0 .9 1 81 6 87

1.45

0.8856614

1.70

0 .9 0 86 3 87

1.95

0.9798807

1.21

0 .9 1 55 7 65

1.46

0.8856043

1.71

0 .9 1 05 7 17

1.96

0.9837425

1.22

0 .9 1 31 0 59

1.47

0.8856331

1.72

0 .9 1 25 8 06

1.97

0.9876850

1.23 1.24

0 .9 1 07 5 49 0.9085211

1.48 1.49

0.8857470 0.8859451

1.73 1.74

0 .9 1 46 6 54 0 .9 1 68 2 60

1.98 1.99

0.9917084 0.9958133

2.00

1.0000000

Valores calcu la d o s a p a rtir d e la ecu ació n d e a p ro x im a c ió n d e Lanczo s Para va lo re s d e x no ta b u la d o s, u sa r la relació n T ( x + 1) = x r ( x ) P a ra

va lo re s natu rales d e x ,u s a r T (x ) = x ( x - 1)!

F u e n t e : A P r e c is ió n A p r o x i m a t i o n o f t h e G a m m a F u n c t i o n , J .

SIAM N o .an a l. ser. B.( v o l . l , p p .68-96 (1964).

263

A nexo 3 D istribu cio nes d e pro b ab ilid ad

P ro b ab ilid ad es acu m u lad as d e la d istrib u ció n Poisson Media X

0 .0 1

0

0.9 9 00

0.9 5 12

0.9 0 48

0.8 1 87

0.7408

0.6 7 03

0.6 0 65

1 2

1.0000

0.9 9 88

0.9 9 53

0.9 8 25

0.9631

0.9 3 84

0.9 0 98

1.0000

0.9 9 98

0.9 9 89

0.9964

0.9921

0.9 8 56

0.9769

1.0000

0.9 9 99

0.9997

0.9 9 92

0.9 9 82

0.9966

1.0000

1.0000

0.9 9 99

0.9 9 98

0.9996

1.0000

1.0000

1.0000

0 .0 5

3

0 .1

4

0.2

0 .3

5

0 .4

0.5

0 .6

0 .7

0 .8

0.5488

0.4 9 66

0.4 4 93

0.4 0 66

0.8781

0.8 4 42

0.8088

0.7 7 25

0.9 6 59

0.9 5 26

0.9371

0.9 9 42

0.9 9 09

0.9 8 65

0.9 9 92

0.9 9 86

0.9 9 77

0.9 9 99

0.9 9 98

0.9 9 97

1.0000

1.0000

1.0000

1 .9

6

0 .9

Media X

1

1.1

1 .2

1.3

0

0.3 6 79

0.3 3 29

0.3 0 12

0.2 7 25

1 2

0 .7 3 58

0.6 9 90

0.6 6 26

0.6 2 68

0.9 1 97

0.9 0 04

0.8 7 95

0.8571

1.4

1.5

1 .6

1 .7

1 .8

0.2466

0.2231

0.2 0 19

0.1827

0.1 6 53

0.1 4 96

0.1 3 53

0.5918

0.5 5 78

0.5 2 49

0.4932

0.4 6 28

0.4 3 37

0.4 0 60

0.8335

0.8 0 88

0.7 8 34

0.7572

0.7 3 06

0.7 0 37

0.6 7 67 0.8571

3

0.9 8 10

0.9 7 43

0.9 6 62

0.9 5 69

0.9463

0.9 3 44

0.9 2 12

0.9068

0.8 9 13

0.8 7 47

4

0.9 9 63

0.9 9 46

0.9 9 23

0.9 8 93

0.9857

0.9 8 14

0.9 7 63

0.9704

0.9 6 36

0.9 5 59

0.9 4 73

5

0.9 9 94

0.9 9 90

0.9 9 85

0.9 9 78

0.9968

0.9 9 55

0.9 9 40

0.9920

0.9 8 96

0.9 8 68

0.9 8 34

6

0.9 9 99

0.9 9 99

0.9 9 97

0.9 9 96

0.9994

0.9991

0.9 9 87

0.9981

0.9 9 74

0.9 9 66

0.9 9 55

7 8

1.000

1.000

1.000

1.000

1.000

1.000

1.000

1.000

0.999

0.999

0.999

1.000

1.000

1.000

X

2 .5

3

3 .5

4

4 .5

0

0.0821

0.0 4 98

0.0 3 02

0.0 1 83

0.0111

0.0 0 06

1 2

0 .2 8 73

0.1991

0.1 3 59

0.0 9 16

0.0611

0.0 4 04

0.0 2 66

0.5 4 38

0.4 2 34

0.3 2 08

0.2381

0.1736

0.1 2 47

0.0 8 84

3

0.7 5 76

0.6 4 72

0.5 3 66

0.4 3 35

0.3423

0.2 6 50

0.2 0 17

4

0.8 9 12

0.8 1 53

0.7 2 54

0.6 2 88

0.5321

0.4 4 05

5

0.9 5 80

0.9161

0.8 5 76

0.7851

0.7029

0.6 1 60

6 7

0.9 8 58 0.996

0.9 6 65 0.988

0.9 3 47 0 .9 7 3

0.8 8 93 0.949

0.8311 0 .9 1 3

8

0.999

0.996

0 .9 9 0

0.979

9

1.000

0.999

0 .9 9 7

0.992

1.000

0 .9 9 9

0.997

0 .9 9 3

1.000

0.999

0 .9 9 8

0 .9 9 5

0.989

0 .9 8 0

0.966

0.947

0.921

1.000

0 .9 9 9

0 .9 9 8

0.996

0.991

0.984

0.973

0.957

1.000

0 .9 9 9

0.998

0 .9 9 6

0.993

0.987

0.978

1.000

0.999

0 .9 9 9

0.997

0.994

0.990

1.000

0 .9 9 9

0.999

0 .9 9 8

0.995

1.000

1000

0.999

0.998

1.000

0.999

Media

10 11 12 13 14 15 16 17 18

Fuente: \& lores calcu la d o s co n E xce l.

264

5.5

6

6 .5

0.0041

0.0025

0.0 0 15

7 0.0 0 09

0.0174

0.0 1 13

0.0 0 73

0.0 0 47

0.0620

0.0 4 30

0.0 2 96

0.0 2 03

0.1512

0.1 1 18

0.0 8 18

0.0591

03575

0.2851

0.2 2 37

0.1 7 30

0.1321

0.5 2 89

0.4457

0.3 6 90

0.3 0 07

0.2 4 14

0.7 6 22 0 .8 6 7

0.6 8 60 0.809

0.6063 0 .7 4 4

0.5 2 65 0.673

0.4 4 97 0.599

0.3 7 82 0.525

0 .9 6 0

0 .9 3 2

0.894

0 .8 4 7

0.792

0.729

0.662

0 .9 8 3

0 .9 6 8

0.946

0 .9 1 6

0.877

0.830

0.776

0 .9 8 6

0.975

0 .9 5 7

0.933

0.901

0.862

* 0.0 0 67

7.5

1.000 [c o n tin ú a )

A n e xo 3 D istrib u cio nes d e p ro b ab ilid ad | '

Probabilid ad es acu m u lad as d e la d istrib u ció n Poisson (co n tin u a ció n ) M edia X

8

10

11

14

0

0.0 0 03

* 0.0001

0.0 0 00

0.0000

0.0 0 00

1 2

0.0 0 30

0.0 0 12

0.0 0 05

0.0002

0.0001

0.0 0 00

0.0 0 00

0.0 1 38

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0.0 0 28

0.0012

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0.0 0 02

0.0001

»

15

16

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18

20

3

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0.0 0 02

0.0001

0.0000

4

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0.0 5 50

0.0 2 93

0.0151

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0.0 0 18

0.0 0 09

0.0 0 04

0.0001

0.0 0 00

5

0.1 9 12

0.1 1 57

0.0671

0.0375

0.0 2 03

0.0 1 07

0.0 0 55

0.0 0 28

0.0 0 14

0.0003

0.0001

6 7

03134 0.453

0.2 0 68 0.324

0.1301 0.220

0.0786 0 .1 4 3

0.0 4 58 0 .0 9 0

0.0 2 59 0.054

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0.0 0 76 0.018

0.0 0 40 0 .0 1 0

0.0010 0.003

0.0 0 03 0.001

8

0.5 9 25

0.4 5 57

0.3 3 28

0.2320

0.1 5 50

0.0 9 98

0.0621

0.0 3 74

0.0 2 20

0.0071

0.0021

9

0.7 1 66

0.5 8 74

0.4 5 79

0.3405

0.2 4 24

0.1 6 58

0.1 0 94

0.0 6 99

0.0 4 33

0.0154

0.0 0 50

10

0.8 1 59

0.7 0 60

0.5 8 30

0.4599

0.3 4 72

0.2 5 17

0.1 7 57

0.1 1 85

0.0 7 74

0.0304

0.0 1 08

11 12

0.8881

0.8 0 30

0.6 9 68

0.5793

0.4 6 16

0.3 5 32

0.2 6 00

0.1 8 48

0.1 2 70

0.0549

0.0 2 14

0.9 3 62

0.8 7 58

0.7 9 16

0.6887

0.5 7 60

0.4631

0.3 5 85

0.2 6 76

0.1931

0.0917

0.0 3 90

13

0.9 6 58

0.9261

0.8 6 45

0.7813

0.6 8 15

0.5 7 30

0.4 6 44

0.3 6 32

0.2 7 45

0.1426

0.0661

14

0.9 8 27

0.9 5 85

0.9 1 65

0.8540

0.7 7 20

0.6751

0.5 7 04

0.4 6 57

03675

0.2081

0.1 0 49

15

0.9 9 18

0.9 7 80

0.9 5 13

0.9074

0.8 4 44

0.7 6 36

0.6 6 94

0.5681

0.4 6 67

0.2867

0.1 5 65

16

0.9 9 63

0.9 8 89

0.9 7 30

0.9441

0.8 9 87

0.8 3 55

0.7 5 59

0.6641

0.5 6 60

0.3751

0.2211

17 18

0.9 9 84 0.9 9 93

0.9 9 47 0.9 9 76

0.9 8 57 0.9 9 28

0.9678 0.9823

0.9 3 70 0.9 6 26

0.8 9 05 0.9 3 02

0.8 2 72 0.8 8 26

0.7 4 89 0.8 1 95

0.6 5 93 0.7 4 23

0.4686 0.5622

0.2 9 70 0.3 8 14

19

0.9 9 97

0.9 9 89

0.9 9 65

0.9907

0.9 7 87

0.9 5 73

0.9 2 35

0.8 7 52

0.8 1 22

0.6509

0.4 7 03

20

0.9 9 99

0.9 9 96

0.9 9 84

0.9953

0.9 8 84

0.9 7 50

0.9521

0.9 1 70

0.8 6 82

0.7307

0.5591

21

1.0000

0.9 9 98

0.9 9 93

0.9977

0.9 9 39

0.9 8 59

0.9 7 12

0.9 4 69

0.9 1 08

0.7991

0.6 4 37

22

0.9 9 99

0.9 9 97

0.9990

0.9 9 70

0.9 9 24

0.9 8 33

0.9 6 73

0.9 4 18

0.8551

0.7 2 06

23 24

1.0000

0.9 9 99 1.0000

0.9995 0.9998

0.9 9 85 0.9 9 93

0.9 9 60 0.9 9 80

0.9 9 07 0.9 9 50

0.9 8 05 0.9 8 88

0.9 6 33 0.9 7 77

0.8989 0.9317

0.7 8 75 0.8 4 32

25

0.9999

0.9 9 97

0.9 9 90

0.9 9 74

0.9 9 38

0.9 8 69

0.9554

0.8 8 78

26

1.0000

0.9 9 99

0.9 9 95

0.9 9 87

0.9 9 67

0.9 9 25

0.9718

0.9221

27

0.9 9 99

0.9 9 98

0.9 9 94

0.9 9 83

0.9 9 59

0.9827

0.9 4 75

28 29

1.0000

0.9 9 99 1.0000

0.9 9 97 0.9 9 99

0.9991 0.9 9 96

0.9 9 78 0.9 9 89

0.9897 0.9941

0.9 6 57 0.9 7 82

30

0.9 9 99

0.9 9 98

0.9 9 94

0.9967

0.9 8 65

31

1.0000

0.9 9 99

0.9 9 97

0.9982

0.9 9 19

1.0000

0.9 9 99

0.9990

0.9 9 53

33

0.9 9 99

0.9995

0.9 9 73

34 35

1.0000

0.9998 0.9999

0.9 9 85 0.9 9 92

36

0.9999

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37

1.0000

32

0.9 9 98

38

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39

0.9 9 99

40

1.0000

Fuen fe: Va lo res calcu la d o s co n E x c e l

265

ÍNDICE A ACCUM (cantidad), 190 Aceptación y rechazo, 72 Actividades, 10 Agrupa m iento, 190 Ajuste d e datos, 67 Aleatorio, 50 Algoritm o congruencial aditivo, 26 congruencial cuad rático,27 congruencial m ultiplicativo, 25 de Blum , B lum y Shub, 28 de cuadrados m edios, 20 de m ultiplicador constante, 22 de productos m edios, 21 lineal, 23 Algoritm os congruenciales no lineales, 27 Análisis de datos, 1 1 de sensibilidad, 12 Anderson-Darling, 56 prueba, 53,62 Arena, 125 Arrivals, 134,138 As Altérnate, 186 As Backup, 186 Atributo, 4 Atributos, 6 Autof it, 69 Autom atic Fitting, 70 AutoMod, 125

B Banks,Carson, Nelson y Nicol, 25 B e rn o u lli,5 5 ,89 Biblioteca d e probabilidades, 172 Binom ial, 5 5 ,8 9 Build, 134 B y turn , 185

c Ciclo, 48 COMBINE (cantidad) AS (nueva entidad), 193 Com posición, 53

CONTENTS, 147 Continué, 186 Continuous distributions, 71 Convergencia, 115 Convolución, 53 Corrida, 8 ,1 1 0 Corridas arriba y abajo, prueba, 3 7 ,3 9 Crystal Bal 1,125 Cuadrados m edios, 21

CH Chi-cuadrada, 3 4 ,3 5 ,5 3 ,5 6 prueba, 3 4 ,5 7

D D. H. Lehmer, 23 Definición, 10 Dependent, 186 Descriptive, 69 Discrete distributions, 69 Discretos, 20 DISPLAY, 160 DISPLAY "mensaje" {(expresión)}, 160 DISTNORMINV, 114 Distribución binom ial, 81 de Bernoulli, 75 de Erlang,79 exponencial, 74 norm al, 80 triangular, 9 ,8 3 uniform e, 19,74 Distribuciones continuas, 231 discretas, 55,231 Docum entación, 13 DYNPLOT, 151 DYNPLOT"nom bre d el gráfico dinám ico" 151

E Editor de turnos, 133 gráfico, 132 Ensam ble e inspección, 117

267

¡ | índice

Ensambles, acum ulación, 190 Entidad, 3 Entidades, 6 Entities, 134 Entity, 138 Entity Activity, 246 Entity Activity, fich a, 145 Entity States, fich a , 145 ENTRIES, 148 Erlang ,56,88 Estado del sistem a, 3 desventajas, 8 estable, 7 transitorio, 7 ventajas, 8 Evento, 3 secundario, 113 (vento s, 6 Exactitud, 111 Excel, 119 Exponencial, 56,88

F

H Hipergeom étrica, 55 Histograma, 57 Hoja de cálculo, 48

i If Em pity, 186 If Join Request, 185 If Load Request, 186 If Send, 186 IFF (condición), 196 IN (tiem po), 196 Independencia, 19,30 Instrucción, 191 Instrucciones ACCUM, 190 COMBINE, 193 FREE, 177 GET, 177 JOIN, 194 LOAD, 196 ROUTE, 204 SPUT, 201 UNGROUP, 192 UNLOAD, 196 Intervalos d e co nfianza, 12,106 Inventario, 121

260 Failed Arrival, 248 fich a, 144 R íe , 68 First available 185 First Ti mes, 139 Fit, 69 Flexsim , 125 FORTRAN, 124 Frecuencia esperada, 34 observada, 34 FREE, 177,208 Frequency, 139 Función de densidad de probabilidad, 55

j JOIN (cantidad) (entidad a ensam blar), 194

G

K

Gam m a, 88 ,2 6 3 GASP, 124 GE, 208 Generación, 10 de variables aleatorias, 72 Generadores de variables aleatorias, 53 General, 246 fich a, 142

Kolmogorov-Smirnov, 3 4 ,5 3 ,5 6 ,2 6 1 prueba, 59

F,

268

GET, 177 GPSS, 124 Gráfica de dispersión, 44 de estabilización, 115 de G antt, 13 GRAPHIC #,159 GROUP (cantidad) AS (nueva entidad), 191

L L'Ecuyer, 18 Lanczos,263 Law, A. M. y Kelton, W . D., 262 Límite central, teorem a, 80

ín d ice |

Lím ites de aceptación, 33 Línea de espera, 113 LOAD (cantidad), 196 Localizaciones, 3 ,6 Location, 249 Locations, 250 fich a, 143 Locations States Si ngle/Tank, fich a , 143 Locations States M ulti, fich a , 143 Locations Costing, 248 Log-logística,62 Log norm al, 6 2 ,8 9 Logs, 250 Longest U noccupied, 186 Longitud de la réplica, 109,110

M M/M/1 de líneas d e espera, 133 Massey, F. J., 261 M edia, 20 de los a leatorios entre 0 y 1,28 Método de com posición, 82 de convolución, 79 de la transform ada inversa, 72 de transform ación directa, 85 M odelo, 10,131 Modelos, 4 continuos, 4 de sim ulación, 113 determ inísticos,5 dinám icos, 5 discretos, 4 estáticos, 5 estocásticos, 5 probabilísticos,5 Módulo (M OD), 122 Most Available, 186 MOVE FOR, 208 (tiem po), 159 MOVE WITH, 208

N Normal, 56 estándar, 256 NORMINV, 114 Number of Replications, 141 Número de corridas, 39 Números pseudo aleatorios, 18

O Occurences, 139

P Par, 40 Paros en los equipos, 182 Path Networks, 134 Fériodo de v id a , 48 Fóisson, 5 5 ,5 7 ,8 9 ,2 6 4 Póker, 40 prueba, 40 Probabilidad esperada acum ulada, 61 distribuciones, 11 Probability, 186 Processing, 134 ProModel, 9 1 ,1 3 1,1 32 Propiedades de los núm eros pseudo aleatorios entre 0 y 1,28 Prueba chi-cuadrada, 3 4 ,5 6 ,5 7 de Anderson-Darling, 53,62 de corridas arriba y abajo, 37,39 de corridas arriba y abajo de la m edia, 38 de huecos, 46 de Kolm ogorov-Sm irnov, 3 5 ,3 6 ,5 9 de m edias, 31 de series, 43 de varianza, 31 póker, 40 de independencia, 37 Pruebas, 19 de uniform idad, 34 estadísticas para los núm eros pseudo aleatorios, 31 Pseudo aleatorios, 78 núm eros, 17,1 8 Pzas_tot=ENTRIES (prensa), 148

Q Qty Each, 139 Quantity, 186 Q uintilla, 40

R fe n d , 50 Random , 186 Recolección y análisis de datos, 11 Recursos, 4 ,1 7 5

269

¡ | índice

Referencias y ayuda, 133 Reglas d e ruteo, 185 Reloj de la sim ulación, 4 Replica o corrida, 6 Réplicas, 12,19 Reportes, 246 Residuo, 122 Resources, 134,252 Resultados, 132 RDUTE (bloque de ruteo), 204 Rule, 185 Run hours, 141

s Semilla, 20 Sensibilidad,análisis, 12 SIMAN, 124 SIMPROCESS, 125,126 Simrunner, 133 SIMSCRIPT, 124 Sim ulación, 1 ,2 ,9 de eventos discretos, 2 reloj, 4 Sim ulaciones no term inales o de estado estable, 109 term inales, 106 Sim ulation, 141 Sistema, 3 ,6 de inventarios, 121 estado del, 6 SLAM, 124 SPUT (cantidad) AS (nueva e ntid ad ), 201 SSED, 124 S ta f:: Fit, 5 3 ,6 7 ,9 1 ,1 3 2 Statistics, 69

T Tabla d e eventos, 113 Taylor, 125 Tchebycheff, teorem a, 110 Teorema del lím ite central, 8 0 Tercia, 40

270

Tools, 67 Transform ación directa, 53 Transformada inversa, 53 Transporte, 208 Triangular, 87 f-Student, 257

u UNGROUP, 192 Uniformidad, 19 UNLOAD (cantidad) IFF (expresión), 196 Until Full, 186 U serC ondition, 186

v O lid a c ió n , 12 O lo r exterm o tip o 1, 62 f r ia b le aleatoria, 54 de respuesta, 9 f r ia b le s , 6,253 aleatorias, 19 continuas, 55 discretas, 55 C r ia n z a , 20 de los núm eros aleatorios, 29 O rifica ció n , 11 y validación, 106 Visual Basic, C++, 125 VIEW, 152 "nombre de la vista" 153 View s, 152 O n Neumann y M etrópolis, 20

w WAIT, 141 (unidades de tiem p o), 141 W eibull, 56,88 Witness, 125,126

X X2, 8 8 ,2 5 8 ,2 5 9

Todos los días surgen nuevos y m ejores desarrollos en el área de la com puta­ ción, los cuales traen consigo innovaciones igualm ente im por-tantes en el te r­ reno de la tom a de decisiones y el diseño de procesos y productos. Una de las tecnologías que mayores perfeccionam ientos ha recibido p o r parte de la com putación es la simulación, concepto que engloba soluciones para m ú lti­ ples p ro p ó s ito s En este lib ro nos ocuparem os de la sim ulación de sistemas, q u e es la parte teórica basada en ecuaciones m atem áticas y estadísticas Este proceso con­ siste en relacionar los diferentes eventos que pueden cam biar el estado de un sistema bajo estudio, p o r m edio de distribu cion es de probabilidad y con­ diciones lógicas del problem a que se esté analizando. Al final del libro se in­ cluye un caso de estudio integrador. Como indica el títu lo, a lo largo del texto se describe el uso de un software comercial diseñado expresamente para la sim ulación: ProModel, del cual se in­ cluye una versión estudiantil en el CD que acompaña al libro.