SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MATRIK Salah satu persamaan yang sangat penting dalam matematika adalah persamaan linier, yaitu yaitu suatu persamaan variable-variabel berpangkat berpangkat satu. Dalam bagian ini akan dijelaskan bagaimana kita dapat menyelesaikan atau memecahkan sistem persamaan linier dengan menggunakan metoda matrik. Diharapkan mahasiswa mampu menyelesaikan atau memecahkan soal-soal sistem persamaan linier (SPL) dengan metoda matrik tersebut. Semes Semesta ta pembicar pembicar aan tentang tentang persamaan persamaan l i ni er dan matr i k meli mel i puti si stem tem per per samaan amaan l in ier, matr i k, eli mi nasi nasi Gauss Gauss dan dan eli min asi asi Gauss Gauss Jordan, operasi operasi hitung matrik, matrik transpos dan matrik invers, determinan, serta ekspansi kofakt or dan atur atur an Cramer Cramer .
A. Sistem Persamaan Linear
Dalam ilmu matematika kita mengenal berbagai jenis persamaan. Bentuk persamaan:
( ) )
disebut dengan persamaan pangkat tiga. Pemecahannya Pemecahannya dapat menggunakan limit atau differensial. Sedangkan bentuk persamaan
disebut
dengan persamaan
kuadrat. Pemecahannya dapat menggunakan pemfaktoran atau dengan rumus ABC. Secara aljabar, sebuah garis yang berada pada bidang xy dapat dinyatakan dalam bentuk
Persamaan seperti ini dinamakan persamaan linier dengan variabel (peubah) x dan y. Selanjutnya secara umum didefinisikan persamaan linier dalam n variabel, (xi, x2,……xn ) seperti
b adalah konstanta-konstanta konstanta-konstanta rill
dimana a1, a 2 ,a n dan
Contoh 1 Beberapa persamaan linier:
y = Dapat kita lihat bahwa persamaan linier tidak melibatkan hasil kali atau akar variable, tidak juga melibatkan variabel fungsi trigonometrik, fungsi logaritma, atau fungsi eksponensial. Beberapa persamaan berikut bukanlah persamaan linier
√ Bentuk persamaan-persamaan berikut:
disebut dengan sistem persamaan linear simultan. Penyelesaian persamaan jenis ini dapat dilakukan dengan metode substitusi, matriks, eliminasi, invers, dan determinan. Setiap metode itu akan memberikan hasil yang sama untuk setiap variabel. Pada bab ini pembahasan difokuskan pada penyelesaian persamaan simultan dengan metode matriks dan determinan
B. Matrik
Matrik adalah sederetan bilangan berbentuk segi empat yang dibatasi oleh sepasang kurung, yang biasanya merupakan ungkapan koefisien dari satu atau beberapa persamaan linear atau sistem persamaan linier (SPL). Matrik diungkapkan dengan huruf kapital, seperti [A]. Sistem Persamaan Linier di atas dapat diungkapkan dalam bentuk matrik
sebagai berikut:
[A] adalah matrik koefisien variable atau disebut juga matrik yang diperbesar dari variable peubah SPL, [V] adalah matrik variable dan [H] matrik hasil SPL. Angka-angka yang ada dalam matrik tersebut dinamakan entri atau elemen. Ukuran suatu matrik selalu diucapkan dalam bentuk m x n , dimana m adalah jumlah baris dan n adalah banyaknya kolom. Jika m = n maka berarti matrik itu adalah matrik bujur sangkar (n x n) . Matrik digunakan untuk menyelesaikan SPL dengan penerapan operasi baris elementer (OBE) atau eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss Jordan. Tetapi jika SPL yang ada hanya terdiri dari dua baris persamaan linier, maka pemecahan yang paling sederhana adalah dengan eliminasi dan subtitusi. Contoh 2. Tentukan pemecahan dari SPL berikut.
Untuk eliminasi sederhana ini, dilakukan dengan mengalikan salah satu persamaan dengan suatu angka tertentu, sehingga salah satu variabelnya dapat saling menghilangkan dan selanjutnya dilakukan subtitusi secara bergantian. Untuk jelasnya perhatikan sebagai berikut.
….. …. 11Y = 33
(-)
x3 x2
Berarti Y = 3 Dengan mensubtitusikan nilai Y = 3 ke sembarang persamaan di atas, misalnya:
maka harga X = 2 Berikut contoh SPL yang terdiri atas 4 persamaan linier dan 3 variabel
SPL dapat diungkapkan dalam bentuk matriks koefisien berikut:
Atau
Dimana
Yaitu: A adalah matriks koefisien berordo m x n . adalah vektor kolom berordo n x 1 dari bilangan tak x diketahui (variabel). b adalah vektor kolom berordo mx 1 dari konstanta.
Atau bisa juga dinyatakan dalam bentuk matriks Augmente d (matriks lengkap) yaitu matriks yang terdiri dari koefisien-koefisien x dan nilai b .
SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 4 variabel
Bentuk matriks koefisien
Bentuk matriks Augmented (matriks lengkap)
≠ 0, persamaan tersebut disebut sebagai sistem persamaan linier Bila matriks b
nonhomogen, sebaliknya, bila matriks b = 0, disebut sebagai sistem persamaan linier homogen. Ada 3 hal penting yang dapat dijumpai pada persamaan di atas, yaitu: 1. m > n ( jumlah persamaan lebih besar dari pada jumlah variable) 2. m < n ( jumlah persamaan lebih kecil dari pada jumlah variable) 3. m = n ( jumlah persamaan sama dengan jumlah variable) Pada kasus ini ada tiga kemungkinan yang bisa terjadi, yaitu: 1.
sistem mempunyai solusi unik (tunggal, hanya ada satu solusi)
2.
sistem tidak mempunyai solusi (inkonsisten)
3.
sistem mempunyai banyak solusi
Sebagai gambaran akan dijelaskan secara grafik, bagaimana bentuk grafik dari SPL yang mempunyai solusi tunggal, SPL yang tidak mempunyai solusi (inkonsisten) dan SPL yang mempunyai solusi banyak. Tinjau 3 buah SPL berikut: 1.
2.
3.
Gambar grafik dari ketiga SPL tersebut adalah :
Tugas : Perhatikan sebuah dinding berbentuk balok yang diletakkan di atas tanah. Bisa anda bayangkan batas-batas balok tersebut dipengaruhi oleh tiga faktor suhu, yaitu suhu udara, suhu air dan suhu dari tanah tempat balok itu berada. Diagram berikut menggambarkan keadaan tersebut.
Bilangan-bilangan tersebut mewakili suhu-suhu batas balok dalam derajat celcius. Seorang ilmuwan tertarik untuk mengetahui distribusi suhu tersebut dalam balok selama periode waktu tertentu sehingga dia bisa menentukan tegangan termal yang mempengaruhi balok tersebut. Misalkan suhu-suhu tersebut berada di daerah perbatasan balok yang dijaga konstan selama periode waktu tertentu, maka suhu di dalam balok akan mencapai kesetimbangan setelah melewati beberapa waktu tertentu. Carilah berapa nilai suhu pada balok apabila balok tersebut dibagi atas 4 bagian (4 titik tinjauan)
