SISTEM PERSAMAAN LINIER
A. Pengertian Sistem Persamaan Persamaan Linier (SPL)
Suatu persamaan linier dalam n variable
adalah persamaan yang
dapat ditulis sebagai :
dengan koefisien-koefisien
(1)
dan konstanta b berupa scalar real.
Perhatikan bahwa semua variable pada suatu persamaan linier berpangkat satu serta bukan merupakan argument bagi fungsi-fungsi transenden seperti fungsi trigonomatri, eksponensial, atau logaritmik.
Berikut adalah contoh persamaan-persamaan linier dan tak linier : 1.
2. y = 2x – 5z 5z – 4 ,
, ( persamaan linier )
( persamaan linier )
3. 3y + 5x 2 – 7z = 9, (persamaan tak linier, x2 : kuadrat ) 4. sin y – x = 0 ,
( persamaan tak linier, sin y : fungsi trigonometri )
Penyelesaian atau vektor jawab persamaan linier (1) adalah niali variabelvariabel
yang memenuhi (1) bila nilai-nilai tersebut disubstitusikan
kedalam persamaan tersebut. Contoh :
x = (
adalah penyelesaian atau vektor jawab bagi
persamaan linier
: Bentuk umum suatu system persamaan linier yang terdiri dari m persamaan Defenisi : Bentuk
{
dan n variabel adalah :
dengan
(2)
, i = 1, 2, 3, …, m, j = 1, 2, 3, … ; n berupa konstanta, sedangkan x dan b sedangkan x j i i
merupakan variabel. Besaran
disebut koefisien x j pada persamaan ke – i dan besaran bi disebut nilai
i. sisi kanan persamaan ke – i.
B. Menyatakan SPL dengan notasi matriks
Sistem persamaan linier pada persamaan (2) dapat dinyatakan dalam notasi matriks sebagai berikut : Ax = b
atau
(3)
Matriks Amxn disebut matriks koefisien dari SPL, sedangkan x dan b adalah vektorvektor kolom masing-masing berordo n x 1 dan m x 1. Bentuk SPL (3) juga dapat dinyatakan dengan notasi matriks yang lebih ringkas
seperti berikut :
Matriks baru ini disebut Matriks gandeng/matriks diperbesar (augmented matrix). Matriks ini memegang peranan penting dalam penentuan penyelesaian suatu system persamaan linier. Contoh : Sistem persamaan linier berikut, bentuk kedalam matriks diperbesar.
x + 2y – 5z = 2 2x – 3y + 4z = 4 4x + y - 6z = 8
adalah
C. Sistem persamaan linier homogen dan tak homogen
Perhatikan sistem persamaan linier Ax = b, 1. Jika b = 0 maka SPL tersebut disebut SPL Homogen. 2. Jika b = 0 maka SPL tersebut disebut SPL Tak Homogen. dimana notasi 0 menyatakan vektor nol (vektor yang semua entrinya bernilai nol )
Contoh SPL Homogen dan Tak homogen :
1. SPL Tak homogen : x + 2y – 5z = 2 2x – 3y + 4z = 0 4x + 4y - 6z = 8 2. SPL Homogen
: x + 2y – 5z = 0 2x – 3y + 4z = 0 4x + 4y - 6z = 0
D. Kekonsistenan Sistem Persamaan Linier
Sistem persamaan linier yang tidak memiliki penyelesaian dikatakan t ak konsisten, dan sebaliknya dikatakan k onsisten dengan salah satu kemungkinan
berikut : 1. Memiliki penyelesaian tunggal, 2. Memiliki banyak (tak hingga) penyelesaian. Untuk memberikan gambaran tentang kekonsistenan suatu SPL, perhatikan contoh kasus SPL dua variabel berikut :
1.
x + 2y = 5
2.
2x + 4y = 8
x + 2y = 5 2x + 3y = 8
3.
x + 2y = 5 2x + 4y = 10
Bila persamaan kedua dari SPL (1) dikalikan ½, akan diperoleh x + 2y = 4 yang merupakan kontradiksi dengan persamaan pertama. Dengan demikian SPL tersebut adalah SPL tak konsisten sehingga tidak memiliki penyelesaian.
Dengan melakukan substitusi pada SPL (2) akan diperoleh penyelesaian tunggal dengan x = 1 dan y = 2. Jadi SPL (2) merupakan SPL konsisten dengan penyelesaian tunggal.
Bila persamaan ke dua pada SPL (3) dikalikan ½ akan diperoleh x + 2y = 5 yang sama dengan persamaan pertama, dimana penyelesaian persamaan tersebut sama dengan penyelesaian persamaan pertama yaitu x = 5 – 2y. Ada banyak penyelesaian yang memenuhi, misalnya y = 0 maka x = 5, atau y = 1 maka
x = 3 dan seterusnya, atau secara umum y = r maka x = 5 – 2r dengan r Dengan demikian SPL tersebut adalah
.
SPL konsisten dengan banyak
penyelesaian.
Jika digambarkan dalam koordinat xy dan misalkan grafik persamaan pertama adalah garis
serta persamaan kedua garis
gambar yang dapat terjadi, yaitu : y
, maka terdapat tiga kemungkinan
y
x
a
y
x
b
x
c
(a) Kedua garis sejajar, menunjukan bahwa kedua persamaan linier te rsebut tidak memiliki penyelesaian. (b) Kedua garis berpotongan pada satu titik, menunjukan bahwa kedua persamaan linier tersebut mempunyai penyelesaian tunggal . (c) Kedua garis berimpit, menunjukan bahwa kedua persamaan lihier tersebut mempunyai banyak penyelesaian.
Teorema : Suatu Sistem Persaman Linier Ax = b, dengan Amxn dikatakan konsisten
jika dan hanya jika pangkat/rank
matriks A sama dengan pangkat matriks
gandengnya, yaitu r (A) = r(A b). Selanjutnya, dalam hal SPL tersebut konsisten dan jika : 1. r(A) = n maka SPL tersebut mempunyai penyelesaian tunggal. 2. r(A) < n maka SPL tersebut mempunyai banyak penyelesaian.
Contoh 1 :
Tulislah SPL berikut kedalam perkalian matriks Ax = b, kemudian periksa kekonsistenan dan ketunggalan penyelesaiannya.
1)
x + 2y + z = 1
3) x + 2y – 5z = 2
2x – y + z = 2
2x – 3y + 4z = 4
4x + 3y + 3z = 4
4x + y – 6z = 8
2x - y + 3z = 5
2) p + 2q – 5r = 2 2p - 3q + 4r = 4 4p + q – 6r = 9
Penyelesaian :
1.
Sistem persamaan linier yang diberikan mempunyai matriks koefisien A4x3 dan dapat ditulis seperti berikut :
Dengan melakukan operasi baris dasar terhadap matriks gandeng (A b) akan diperoleh :
Terlihat dari matriks terakhir bahwa r(A) = r(A b) = 3 dan r(A) = n = 3, ini artinya SPL tersebut konsisten dengan penyelesaian tunggal.
2.
Sistem persamaan linier yang diberikan mempunyai matriks koefisien A3x3 dan
dapat ditulis sebagai berikut :
( )() Dengan melakukan serangkaian operasi baris dasar (OBD) terhadap matriks gandeng (A b) akan diperoleh :
( ) ( ) ( ) Karena r(A) = 2 dan r(A b) = 3 atau r(A) = r(A b) maka SPL tersebut adalah SPL yang tak konsisten.
3. Sistem persamaan linier yang diberikan mempunyai matriks koefisien A3x3 dan dapat ditulis seperti berikut :
( )() Dengan melakukan serangkaian operasi baris dasar (OBD) terhadap matriks gandeng (A b) akan diperoleh :
( ) ( ) ( ) Terlihat dari matriks terakhir bahwa r(A) = r(A
dan r(A) < n , berarti SPL b) = 2
tersebut adalah SPL Konsisten yang memiliki banyak penyelesaian dengan n – parameter. r(A)
Contoh 2 : Tentukan nilai-nilai a) Tidak konsisten,
yang membuat SPL berikut :
b) Konsisten dan mempunyai penyelesaian tungal, c) Konsisten dan mempunyai banyak penyelesaian.
x + 2y -
3z = -2
3x - y + 4x + y + ( Jawab :
5z = 2 z=
Jika SPL tersebut dituliskan dalam bentuk matriks gandeng dan kemudian dilakukan serangkaian Operasi Baris Dasar, maka akan diperoleh :
( ) ( ) ( ) a) SPL tidak konsisten bila r(A) = r(A berarti
dan
, yaitu bila r(A) = 2 dan r(A b)
. Ini b) = 3
. Jadi haruslah
b) SPL konsisten dan mempunyai penyelesaian tunggal bila r(A) = r(A . Ini berarti bahwa r(A) = 3
. Akibatnya
dan
c) SPL konsisten dan mempunyai banyak penyelesaian bila r(A) = r(A . Ini berarti bahwa r(A) = 2 dan r(A b) = 2 sehingga r(A) < 3 Jadi haruslah
dan b)
dan b) dan
PENDALAMAN MATERI
KEKONSISTENAN SISTEM PERSAMAAN LINIER 1. Periksa kekonsistenan dan ketunggalan solusi dari SPL berikut : a) 2x + y – 2z + 3w = 1
c) k + 2l – 2m + 3n = 2
3x + 2y – z + 2w = 4
2k + 4l – 3m + 4n = 5
3x + 2y + 3z – 3w = 5
5k + 10l – 8m + 11n = 12
b) p + 2q – 3r = 4 p + 3q + r = 11 3 p + 5q – 4r = 13
2 p + 6q + 2r = 22 2. Tentukan
agar SPL berikut Konsisten : x – 3y + 2z = 4
2x + y – z = 1 3x – 2y + z = 3. Tentukan p sehingga SPL berikut : a) Tidak konsisten,
b) Konsisten dan mempunyai penyelesaian tunggal, c) Konsisten dan mempunyai banyak penyelesaian. x + y + z = 1 1) p
2)
x + p y + z = 1
k + 2l + p m=1 2k + p l + 8m = 3
x + y + p z = 1 4. Diketahui sistem persamaan linier
x + y + 2z x
+ z = b
2x + y + 3z
= a
= c
Tunjukan bahwa SPL tersebut konsisten jika c = a + b. 5. Untuk nilai
berapakah SPL berikut tidak mempunyai penyelesaian ?
mempunyai tepat satu penyelesaian ? mempunyai banyak penyelesaian ? p + 2q – 3p -
q+
3r =
4
4p + q + (
5r =
=
2
.
E. Menentukan penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian suatu system persamaan linier yang konsisten. Disini hanya akan dibahas secara singkat tiga metode, yaitu : 1. Metode eliminasi Gauss ( Gauss - Jordan), 2. Metode matriks Invers, dan 3. Metode Cremer. Berikut penjelasan singkat dari ketiga metode dalam menentukan penyelesaian SPL : 1. Metode eliminasi Gauss Prinsif dasar metode eliminasi Gauss dalam menentukan penyelesaian suatu SPL Ax = b adalah dengan mengubah SPL semula menjadi SPL baru yang
lebih
mudah
diselesaikan.
Caranya
adalah
dengan
menerapkan
serangkaian Operasi Baris Dasar ( yang sudah dibahas sebelumnya) terhadap matriks diperbesar/matriks gandeng (A b) hingga berubah menjadi suatu . matri ks eselon bar is Penerapan ketiga operasi baris dasar terhadap matriks gandeng (A bukan hanya tak mengubah pangkat/rank matriks,
tetapi
b)
juga dapat
menghasilkan suatu SPL yang setara (memiliki penyelesaian yang sama) dengan SPL semula dengan bentuk yang lebih mudah diselesaikan. Serangkaian operasi baris dasar terhadap matiks gandeng hingga diperoleh suatu matriks eselon baris disebut dengan metode eliminasi Gauss. Bila matriks eselon baris ini dilanjutkan dengan serangkaian operasi baris dasar lagi hingga diperoleh suatu matriks baru yakni matriks eselon baris tereduksi, maka proses ini disebut dengan metode Gauss – Jordan. Contoh :
( )
( )
Kedua matriks diatas merupakan matriks eselon baris, dan dua di bawah merupakan matriks eselon baris tereduksi.
( )
Dari kedua contoh di atas, tampak sebuah matriks dalam eselon baris mempunyai nol di bawah setiap utama 1, sedangkan sebuah matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi mempunyai nol baik di bawah maupun di atas setiap utama 1.
