Introducción Para el presente proyecto de análisis y diseño de un Sistema de control, hemos optado por realizar un prototipo de un brazo robótico, el cual está constituido por una serie de Servomotores Servomotores distribuidos estratégica y mecánicamente mecánicamente para lograr un funcionamiento funcionamiento óptimo. El principal componente a enfocarse y obtener su función de transferencia es el Servomotor, puesto ue este es el component principal de ue produce el cambio de estado en la planta. !ebido a ue la planta cuenta con multiples grados de libertada"# grados de libertad$ , se realizó el cálculo del servo ue controla el primer movimiento, ya ue, la función de transferencia es muy similar para los demás grados de libertad en los debidos pares tribológicos de la planta "brazo robótico$. En especial elegimos este proyecto, puesto ue nos pareció una forma factible de demostrar la función de transferencia de una forma realista y controlada por medio de uns Sistema de control.
%os materiales utilizados listados a continuación& • • • • •
!' Servomotor "()**#+ o-er o-er Pro$ Servo amplificador "P($ /uente de poder +egulada"+PS$ 0112 Potenciometro "P3$ Placa 4rduino (ega
Especificaciones del Servmotor& Specifications 5 eight& 66 g 5 !imension& 71.8 9 0*.8 9 7:.* mm appro9. 5 Stall torue& *.7 ;gf $, 00 ;gf$ 5 3perating speed& 1.08 s?#1@ "7.= >$, 1.07 s?#1@ "# >$ 5 3perating voltage& 7.= > a 8.: > 5 +unning 'urrent 611 m4 A 5 Stall 'urrent :.6 4 "#>$ 5 !ead band -idth& 6 Bs 5 Stable and shoc; proof double ball bearing design 5 emperature emperature range& 1 @' A 7.= > a 8.: > A *11 m4 "#>$ double ball bearing design 66 @' > CD6> +ev C 711revpmin 'orriente C 1.6 4 %os valores reales, medidos y calculados, para este motor son& F C#G01HI J C.110I= "valor muy baKo, puesto ue la friccLon es muy baKa,aire y soporte$ 2 C0?* + CI.I 2M % C.11*:* Nenry !onde la + y la % fueron medidas con multimetro directamente del motor. %a J al ser simplemente aire y un poco de fricción de los soportes se consideró un valor valor baKo.
Principio operativo del Servomotor
On motor de corriente continua se utiliza en un sistema de control donde se reuiere una cantidad apreciable de potencia en el eKe . %os motores de corriente continua están bien controlados con armadura de campo fiKo , o un campo controlado con corriente de fluKo inducido fiKo. (otores de corriente continua utilizados en el instrumento emplean un campo de imán permanente fiKo, y la señal de control se aplica a los terminales del inducido. Tm = KmΦfia ( I )
4demás del par de torsión cuando conductor se mueve en el campo magnético , se genera tensión a través de sus terminales ue se opone al fluKo de corriente y por lo tanto llama como >olver emf denota como eb A eb = KmΦωm ( II )
Esta fuerza contraelectromotriz es directamente proporcional a la velocidad del eKe m . %as ecuaciones "$ y " $para formar la ecuación básica del dc servo y el funcionamiento del motor. 4ntes de comenzar a emplear los cálculos es necesario obtener valores ue serán necesarios , para obtener la función de transferencia final
Velocidad =360∗V ( rpm)
K =
K =
Voltaje Revoluciones∗amperaje 6 V
( 60 Rpm) ( 0.9 A )
1
= ó 0.1111111 9
%a variable F se cálcula con la siguiente formula&
()
J = M ∗
r
2
2
( )
J =( 1.2 kg )∗
( .1 m ) 2
2
,
−3
J =6 10
Desarrollo Función de Transferencia de un Servomotor DC Parte Electromecánica magen0 &Esuema cómo está constiuido un servomotor, fuente& https&??---.pantechsolutions.net?images?stories?;:Htutorials?transferHfunctionHofHdcH servoHmotor.Kpg
'ondiciones en el servo, suponiendo ue& 0$%a corriente inducida en el servo, permanence constante :$ Si Qf R . /luKo producido es proporcional a la corriente de campo . !f = Kf ∗ If
I$ El par es proporcional al producto de fluKo y corriente de armadura . Tm ! Ia
Tm= K !
Ia = K " Kf If Ia
Tm= Km Kf If
donde :
Km= K
Ia =constant e
4plicando ley de 2irchhoff al circuito anterior podemos obtener ue& # fdif + Rf If =ef dt
4hora el par del eKe m se utiliza para la carga de la conducción contra la inercia y el par de fricción. 2 d $m d$m Tm=Jm + %m 2 dt "$ d t 2
2
d $m d &uer'ade i nercia= Jm (ue es similar a m 2 dt d t 2
2
d $m d &uer'ade fricci ó n = %m similar a % 2 dt d t
Aplicando Laplace a las ecuaciones I,II y III, podemos obtener lo siguiente: Tm ( s )= Km Kf If ( s ) )f ( s )=( *#f + Rf ) If ( s ) Tm ( s )= Jms 2 m( s )+ %ms 2 m ( s )
Tm ( s )=
Km Kf ) ( * ) ( *#f + Rf )
Tm ( s )=
1/ 9( 6 v )
( 0.00929 +3.3 )
= 0.2014
Eliminar f"s$ a partir de las ecuaciones " 7 $ y " 6 $ de entrada C Ef " S$ Salida C :m desplazamiento rotacional " S $
(*
2
Jm + *%m ) $m ( * )=¿
KmKf )f ( s ) ( *#f + Rf )
Función de Transferencia= $m ( * ) kmKf = 2 )f ( * ) ( Jm * + s%m)( R f + s#f )
¿
kmKf ( sRf %m )( 1 + sTm )( Rf + s#f )
$m ( * ) )f ( * )
Ʈ m= Ʈ f =
Jm =tiempo constante del servo %m
#f =tiempo constante del campo Rf
Parte del Armasón del Servo motor, para obtener en conjunto la Función de transferencia nal Suponiendo que: 0$ i$ /lu9 es directamente proporcional a la corriente a través del devanado de campo .
Qm C 2f Si C constante :$ par producido es proporcional al producto de fluKo y la corriente de inducido . C 2m Q a C 2m 2f f a :$ fuerza contraelectromotriz es directamente proporcional a la velocidad del eKe m , como fundente Q es constante. d$ ( t ) asωn = dt
Eb = kbωmd! = "bs#ms! H4plicando ley de 2irchhoff al armasón del circuito )a ( * )= )b ( * )+ Ia ( * ) [ Ra + s#a ] Ia ( * )=
)a ( * )− )b ( s ) Ra + *#a
Ia ( * )=
)a ( * )− Kb *$m( s ) Ra + *#a
A+ora Tm = Km Kf If Ia
Sustitutendo el valor de a, dada anteriormente "para eliminar términos semeKantes$ )a− Kb *$m ( * ) A+ora Tm = Km Kf If { } Ra + s#a
Arduino microcontrolad
Km Kf If )d KmKf IfKbs$m ( s ) = + ( Jm s 2+ s%m ) $m ( Ra + s#a) ( Ra + s#a )
Km Kf
If Km Kf If Kb s + Km s2 + s%m )a ( * )= ( Ra + s#a ) ( Ra+ s#a )
$m ( * ) Km =1+ ,sKb )a ( s ) sRa%m ( 1+ sTm )( 1+ sTa )
¿
- ( *) 1 + - ( * ) . ( * )
#a Ta = Ra
Ta =
0.00929 . 3.3
=0.00309666666
$alor de tm obtenido anteriormente - ( * )=
Km sRa%m ( s + 1 tm)( s + sta )
/inalmente para obtener la función de transferencia a emplear , sustituimos todos los datos para obtener la forma final. 1
- ( * )=
9
s ( 3.3 .00138 1 ) ( s + 1 tm ) ( s + sta )
4l realizar la simplificación, podemos obtener ue nuestra función de transferencia uedarLa de la siguiente forma.
- ( * )=
24.3985 * ( s + 0.20145308 )( s + 0.0030966 ) redondeando
- ( * )=
24.4 * ( s + 0.20145308 )( s + 0.0030966 )
Ona vez aplicada las respectivas operaciones parar obtener la fracciones parciales de la función de transferencia se llegó a lo siguiente - ( * )=
0.015221026
*
+
0.975012381
−
0.014987228
( * + 0.201453081) ( * + .0030966 )
Cálculo de la Estabilidad de la Función de Transferencia - ( * )=
24.4 * ( s + 0.20145308 )( s + 0.0030966 )
!ebido a ue la solución caracterLstica ya se encuentra factorizada, procederemos a obtener las raLces del sistema para ver su estabilidad. * 1= 0
* 2=−0.20145308
* 3=−0.0030966
4l ver las raLces podemos ver ue se encuentran en el eKe +eal Qegativo , por lo tanto podemos afirmar ue su comportamiento será estable.
4plicando %aplace nversa a la func de transferencia, para analisar el comportamiento en el dominio del tiempo. − 1
ʆ
{
- ( *) =
0.015221026
*
+
0.975012381
−
0.014987228
( * +0.201453081 ) ( * + .0030966 )
}
− 0.201453081 t
g ( t )= 0.975012381 e
−0.0149872268 e−0.0030966 t + 0.015221026
!ado ue para el análisis , es posible sustituir t cómo 0? % "tao$, para realizar el análisis del comportamiento dependiendo en el tiempo.
)omportamiento de la función de Transferencia (
&'(
&'&(
4 partir de los valores, tanto tabulados como graficados podemos obtener diferentes parámetros para interpretar el comportamiento de la respuesta transistoria. iempo de retardo"d$C I % ó .I t iempo de levantamiento"r$C 0I ó 0.I t iempo de 4sentamiento" s$C 08 % o 0.8 t
Transformación de Orden superior a segundo Orden por medio de !"# equivalente - ( * )=
24.4 * ( s + 0.20145308 )( s + 0.0030966 )
!ebido a ue la solución caracterLstica ya se encuentra factorizada, procederemos a obtener las raLces del sistema para ver su estabilidad. * 1= 0
* 2=−0.20145308
* 3=−0.0030966
Podemos ver ue seleccionaremos dos polos dominantes" s: y sI$ , no tomando en cuenta S0. T obtener estos parámetros a partir de la ecuación caracterLstica de :do orden. /e( ( * ) =
2
24.4
(* 2 + .20454968 * + .000623819607528)
2
Ϣ n =24.4 −−1 Ϣ n =Ϣ n=4.9396
2
Ϣ n 0e( ( * ) = 2 + Ϣ n2 * + 2 ƭ Ϣ n*
2ƭ
Ϣ n* = .20454968 H*
ƭ =
0.20454968 2 ( 4.9396 )
=0.042023277
1
0.042023277
1
Ϣ d =Ϣ n ( 1− ƭ ) = 4.9396 ( 1− 0.042023277 2 2
tp =
+C
) =4.93523651
2 2
2 2 = =.636563 Ϣ d 4.935236
3 =∈∗ωn =( 0.042023277 )∗( 4.9396 ) C:.1868=08* −1
4 = tan
tr =
ts=
( ) ( ωd 3
tan
−1 4.93523651
207578179
)
= 1.172654744
2 − 4 2 −1.528760671 = =0.326799329 Ϣ d 4.93523651 4 2.07578179
=1.9269 segundos −−1 2
ts=
3 2.07578179
=1.4452 segundos −−1 5
Error En Estado Estacionario 1
Kp= lim ( *∗ ) ( s ) ) ess = s10
s 1 +- ( s )
lim 24.4
kp =
s10
s ( s + 0.20145308 )( s + 0.0030966 )
24 5
= = 5
Para sistemas donde la /unción de transferencia cuenta con un Polo localizado en "1,1$, el sistema toma un valor de ess, muy apro9imado, dependiendo las condiciones, puesto ue un numero natural divido entre 1 matemáticamente tiende a infinito ,
ess=
1 1 +5
=0
5 +1 C
5 ,
1
5
=0
$ugar de %áices &'v(Evans) 0$ !eterminar los lugares en el eKe real * 2=−0.20145308 * 3=−0.0030966 :$ * 1=0 I$ Encontrar lugares geométricos"4sintotas$ nHmCI p − ' ( 0−.20145308 −.0030966 ) = =¿ 7$ 3 n −m
∑
∑
6$ 'álculo de los ángulos ( 2 k + 1 ) $ 1=60 6 $k =180 6 n− m
$ 2=180 6
#$ 4plicando criterio de +outh s2/ 2( 2&
&'&&&./-0( 1
( &'/&3431 .0 &'&&&./0(1 &
& &
2
Puntos de cruces
&
* +¿ &'&&&./-0(1=&
* 1, * 2=7 0.02497636
&
−0.068183226
$ 3=300 6
Diagrama de *ode - ( s )=
- ( 0 )=
24.4
s ( s + 0.20145308 )( s + 0.0030966 )
24.4
s ( s + 0.20145308 )( s + 0.0030966 )
Polos
* 1= 0
8 1 =0
* 2=0.20145308
8 2 =−0.20145308
* 3=0.0030966
8 3 =−0.0030966
5 ¿ 20log ( 24.4 )= 27.7 :1%og" final? nicial$
:1%og"H1.:1076I1=?H1.11I1*##$CI#.:#6
Conclusión 4l realizar el proyecto pudimos observar ue, para llevar a cabo los cálculos de forma óptima es necesario tener una noción por lo menos básica de de las prodiedades del elemento o planta a controlar. %os cálculos teóricos son basados en datos obtenidos mediante fabricante y medidos, fueron empleados para poder llegar a la función de transferencia, mediante un análisis minusioso y detallado de las ecuaciones establecidas, de cierta forma al comparar los análisis del sistema de control se pudo enclarecer el hecho de ue la parte práctica es indispensable para poder comprender la parte teórica, y visceversa. 4demás, pudimos observar ue para llevar a cabo la continuidad de los temas es necesario dominar los temas consecuentes, para poder avanzar en el desarrollo de los cálculos, por tal motivo es importante tener un dominio de todos los subtemas del análisis de control.
'omo conclusión general , podemos decir ue es importante el análisis de control, para poder comprender el comportamiento de mUltiples y diversos sistemas, tales como plantas mecánicas y?circuitos , gracias a estos análisis ue se han llevado a lo largo de la historia del control, es posible ue contemos con diversos avances tecnológicos ue han beneficiado en gran medida a la población humana, haciendo más sencillas los procedimientos, tanto para personas ordinarias como para las empresas, de manera general podemos concluir , ue el dominio de control trae mUltiples beneficios en diversos ámbitos.
Oniversidad 4utonoma de JaKa california /acultad de ngenieria y Qegocios ecate
+eporte&Proyecto /inal 'ontrol 'lasico 'esar )utiérrez Jáez
ntegrantes& 4rmando 4costa 3rduño 4rturo Jracamontes %erma Qestor Nerrera Nernandez gnacio 'astañeda Nernandez
8H!iciembreH:106
