Sistema de coordenadas Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualqui er punto de un espacio espacio euclí deo o más generalmente variedad diferenciable. Al sistema de coordenadas también se l e llam a ejes de c o o r d e n a d a s o e j e s c a r t e s i a n o s. s. E l e j e h o r i z o n t a l s e l l a m a e j e X o e j e d e a b s c i s a s. s. E l e j e v e r t i c a l s e l l a m a e j e Y o e j e d e o r d e n a d a s. s. E l p u n t o O, d o n d e s e c o r t a n l o s d o s e j e s , e s e l o r i g e n d e c o o r d e n a d a s. s. L a s c o o r d e n a d a s d e u n p u n t o c u a l q u i e r a P s e r e p r e s e n t a n p o r ( ( x , y ) .
En física se usan normalmente s istemas de coordenadas ortogonales. Un sistema de referencia viene dado por un punto de referencia u origen y una base vectorial ortonormal, ortonormal, quedando así definidos los ejes coordenados. Ejemplo de sistemas de coordenadas Un sistema de coordenadas p ermite "etiquetar" los puntos de una variedad diferenciable mediante un conjunto de n-tuplas. Los casos más s encillos de sistemas de c oordenadas se definen s obre el espacio espacio euclídeo o "espacio plano", aunque también es posible c onstruirlos sobre variedades c oncurvatura. Un n-dimensional se representa como un par ordenado sistema de coordenadas sobre una variedad formado por un dominio y una aplicación diferenciable a un conjunto abierto de , éste último conjunto contiene los posibles valores de las coordenadas, que obviamente serán números reales Sistema de coordenadas cartesianas
Artículo principal: Coordenadas cartesianas
En un espacio euc lídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional tridimensional (análogamente en se pueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto ( A) es igual igual a la proyecci proyección ón ortogo ortogonal nal del vecto vectorr de posición posición de dicho dicho punto punto ( determinado:
) sobre sobre un eje
Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y un un versor ( ) tal que: que:
, cuyo módulo es
.
x_\text{A} = {\text{OA} \cdot \mathbf {i} \over |\text{OA}| \cdot |\mathbf{i}|} = El valor de la coordenadax de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto sobre el eje x .
Asi pues la coordenadas se establecen como las reglas de las matematicas unicas, dando asi la necesidad neces idad de utili zarlas zarl as y saber que los ejes X y Y respect ivamente ivam ente no tienen nad a que ver con las coordenadas y son ya descartadas de la grafica.
Sistema de coordenadas polares
Artículo principal: Coordenadas polares
El sistema de coordenadas polares es un sistema d e coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano s e determina por un ángulo ángulo y una distancia. Sistema de coordenadas cilíndricas
Significado de las coordenadas cilíndricas. Artículo principal: Coordenadas ci líndricas El sistema de coordenadas cilíndricas se usa para representar los puntos de un espacio euclí deo tridimensional. R esulta especialmente útil en pr oblemas con simetría axial. Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares del plano euclídeo, al que se añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el eje Z y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje X y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la t ercera es la coordenada z que determina la altura del cilindro. Sistema de coordenadas esféricas
Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usan en espacios euclídeos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto. Coordenadas geográficas
Este tipo de coordenadas cartográficas, subtipo de las coordenadas esféricas, se usa para definir puntos sobre una superficie esférica. Hay varios tipos de coordenadas geográficas. El sistema más clásico y conocido es el que emplea la latitud y la longitud, que pueden mostrase en los siguientes formatos: y y y
DD --- Decimal Degree (Grados Polares): ej. 49.500-123.500 49.500-123.500 DM --- Degree:Minute (Grados:Minutos): ej. 49:30.0-123:30.0 DMS -- Degree:Minute:Second (Grados:Minutos:Segundos): (Grados:Minutos:Segundos): ej. 49:30:00-123:30:00 49:30:00-123:30:00
También se puede definir las coordenadas de un punto de la superficie de la Tierra, utilizando una proyección cartográfica. El sistema de coordenadas cartográficas proyectadas más habitual es el sistema de coordenadas UT M. Coordenadas curvilíneas generales Artículo principal: Coordenadas curvilíneas
Un sistema de coordenadas curvilíneos es la forma más general de parametrizar o etiquetar los puntos de un espacio localmente euclídeo o variedad diferenciable (globalmente el espacio puede ser euclídeo pero no necesariamente). Si tenemos un espacio localmente euclídeo M de dimensión m, podemos construir un sistema de coordenadas curvilíneo local en torno a un punto p siempre a partir de cualquier
difeomorfismo que cumpla:
Para cualquier punto q cercano a p se definen sus coordenadas curvilíneas:
Si el espacio localmente euclídeo tiene la estructura de variedad de Riemann se pueden clas ificar a ciertos sistemas de coordenadas curvilí neas en sistema de coordenadas ortogonales y cuando es sistema de coordenadas ortonormales. Las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas son casos particulares de sistemas de coordenadas ortogonales sobre el espacio euclídeo
.
Coordenadas curvilíneas ortogonales Artículo principal: Coordenadas ortogonales
Un sistema de coordenadas c urvilíneas se llam a ortogonal cuando el tensor métrico expresado en esas coordenadas tiene una forma diagonal. Cuando eso sucede muchas de l as fórmulas del cálcul o vectorial diferencial se pueden escribir de forma particularmente simple en esas coordenadas, pudiéndose aprovechar ese hecho cuando exist e por ejemplo simetría axial, esférica o de otro tip o fácilmente representable en esas coordenadas curvilíneas ortogonales. Las coordenadas esféricas y cilíndricas son casos particulares de coordenadas curvilíneas ortogonales. Cambios de coordenadas En la resolución de problemas físicos y matemáticos es común la estrategia del cambio de coordenadas. En esencia un cambio de coordenadas supone cambiar las variables de las que depende el problema, a otras coordenadas diferentes en las que el problema puede tener una forma equivalent e pero más simple, que permite encontrar la solución con mayor facilidad. Más formalmente un cambio de c oordendas puede puede representarse por un difeomorfismo o aplicación biyectiva y diferenciable (con inversa inversa también diferenciable) diferenciable) entre entre dos conjuntos de , aquí aquí llamados llamados y :
Este cambio de variable permite por ejemplo reescribir integrales del siguiente modo:
Donde:
representa la función que pretende integrarse expresada en las viejas y las nuevas coordendas. es el jacobiano del cambio de coorden adas. es el dominio de integración expresado en las viejas y las nuevas coordenadas. Para transformar o reescribir ecuaciones diferenciales en términos de las nuevas coordenadas se usan las leyes d e tranformación tensorial:
Origen de coordenadas
Origen de un sist ema bidimensional de coordenadas cartesianas. El origen de coordenadas es el punto de referencia de un sistema de coordenadas. En este punto, el valor de todas las coordenadas d el sistema es nulo. Sin embargo, en algunos sist emas de coordenadas no es necesario establecer nulas todas las coordenadas. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas esféricas es suficiente con establecer el radio nulo ( = 0), siendo indiferentes los valores de latitud y longitud. En un sistema de coordenadas cartesianas, cartesianas, el origen es el punto en que los ej es del sistema se cortan. http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas