SISTEMAS ECUACIONES LINEALES Generalidades de los sistemas de ecuaciones lineales Sea n 2 N: Llamamos ecuación lineal en las n variables x1 ; x2 ; ; xn De…nition 1 Sea y coe…cientes reales a cualquier ecuación de la forma
a1 x1 + a2 x2 + + an xn = b
(1)
donde ai ; i = 1; 1 ; ; n: son números reales.
Una n tupla de números reales reales (s1 ; s2 ; ; sn ) se denomina una solución de la ecuación (1) si satisface a dicha ecuación, esto es, a1 s1 + a2 s2 + + an sn = b es decir, al reemplazar a las incognitas x1 ; x2 ; ; xn por los números s1 ; s2 ; ; sn ; respectivamente, y efectuar las operaciones indicadas a la izquierda, obtenemos una igualdad. De…nition 2 Sean m; n 2 N: Llamamos sistema de ecuaciones lineales (S.E.L) de tamaño m n; en las n variables x1 ; x2 ; ; xn a cualquier conjunto de m ecuaciones lineales en las n variables x1 ; x2 ; ; xn . Es Esto to es, un S.E. S.E.L L de tama tamaño ño m n tiene la forma
.. .
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 .. .
(2)
.. .
am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm donde aij ; i = 1; ; m ; j = 1; 1 ; ; n son números reales.
Si en cada una de las ecuaciones del S.E.L (2) ; se cumple que bi = 0; decimos que el sistema es homogéneo. En otro caso se dice quees no homogéneo. Una n tupla de números reales reales (s1 ; s2 ; ; sn ) se denomina una solución del sistema (2) si es solución de cada una de las ecuaciones en el sistema, esto es,
.. .
a11 s1 + a12 s2 + + a1n sn = b1 a21 s1 + a22 s2 + + a2n sn = b2 .. .
.. .
am1 s1 + am2s2 + + amn sn = bm El conjunto de todas las soluciones de un S.E.L se le llama conjunto solución del sistema. Si el conjunto solución solución de un S.E.L es no vacio, decimos decimos que el sistema sistema es consistente , y en otro caso se dice que es inconsistente . El sistema (2) también puede ser escrito como ! ! A x = b
1
(3)
donde
0 BB B A=B B@
a21 .. .
a22 .. .
...
a2 j .. .
.. .
a2n .. .
ai1 .. .
ai2 .. .
aij .. .
: ...
ain .. .
am1 am2
amj : amn
1 CC CC ; CA
0x BB x B . ! x = B .. B@ .. .
1 2
xn
1 CC CC CA
y
0 BB ! B b =B B@
b1 b2 .. . .. . bm
1 CC CC CA
La ecuación (3) se denomina forma matricial del sistema (2), la matriz A se denomina matriz de coe…cientes y la matriz (A j b) se conoce como matriz ampliada de sistema. Si (s1 ; s2 ; ; sn ) es una solución del sistema Ax = b decimos que (s1 ; s2 ; ; sn ) es una solución particular del sistema. Sistemas equivalentes De…nition 3 Dos sistemas de ecuaciones lineales con n variables se denominan equivalentes si y sólo si tienen el mismo conjunto solución. Proposición. Un sistema de ecuaciones lineales dado es equivalente al sistema de ecua-
ciones lineales obtenido aplicando sobre él, cualquiera de las operaciones descritas a continuación 1. Multiplicar ambos miembros de cualquier ecuación por un número real no nulo. 2. Intercambiar dos ecuaciones cualesquiera. 3. Adicionar a una ecuación un múltiplo escalar de otra. Además, aplicar una de estas operaciones sobre un S.E.L es equivalente a aplicar la misma operación sobre las correspondientes …las de la matriz ampliada. Demostración (Ejercicio). Algoritmo para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
La proposicipon anterior nos provee de un algoritmo que nos permite determinar si un S.E.L dado es o no consistente, y en caso de serlo nos permite obtener el conjunto solución del mismo. Este algoritmo consiste en lo siguiente: 1. Escribimos la matriz ampliada del sistema. 2. Aplicamos operaciones elementales sobre las …las de la matriz ampliada, hasta obtener la forma escalonada o escalonada reducida de la matriz de coe…cientes. 3. Decidimos acerca de la existencia o no de soluciones, atendiendo a lo siguiente: a. Si la matriz obtenida en (2) tiene una …la de la forma
0
0 0 j r
concluimos que el sistema no tiene solución. 2
;
r6 =0
b. Si no existe …la de la forma dada arriba concluimos que el sistema es consistente, y procedemos a determinar el conjunto solución. Ejemplos Obtenga el conjunto solución del sistema de ecuaciones dado en cada caso 1. Un sistema con única solución . 2x + y + 3z = 9 x y + z = 8 3y + 3z = 3 Solución
0 2 @ 1 0
1 3 1 1 3 3
9 1 0 1 8 A 3 ! @ 20
8 1 9 A 3 0 1 1 1 8 1 @ 2 1 3 9 A (1) ! 0 1 01 3 13 83 1 @ 0 1 5 25 A (2) + ! 0 3 3 3 0 1 1 1 8 1 @ 0 1 5 25 A (1) ! 0 1 00 43 3 17 13 (3) + @ 0 1 5 25 A ! 0 0 18 78 0 1 0 4 17 1 @ 0 1 5 25 A (1=18) ! 0 0 1 13=3 0 1 0 4 1=3 1 (5) + @ 0 1 0 10=3 A ! 0 0 1 13=3 F12
1 1 1 3 3 3
F1
F1
F2
F2
F2
F3
(1)F2 +F1
F3
F3
F2
(4)F3 +F1
El sistema tiene única solución, la cual viene dada 2. Un sistema con in…nitas soluciones
El conjunto solución del sistema es S = f(1=3; 10=3; 13=3)g : 2. x + y + 2z 5w = 3 2x + 5y z 9w = 3 2x + y z + 3w = 11 x 3y + 2z + 7w = 5 Solución
3
La matriz ampliada es
01 BB 2 @2
1 2 5 5 1 9 1 1 3 1 3 2 7
3 3 11 5
1 C CA
3 1 9 C 17 CA 8 0 1 1 2 5 3 1 BB 0 1 5 13 17 CC ! @ 0 3 5 1 9 A 0 4 0 12 8 0 1 1 2 5 3 1 B 0 1 5 13 17 C B C (1) ! @ 0 3 5 1 9 A 0 4 0 12 8 0 1 0 3 8 14 1 (1) + ! B 0 1 5 13 17 C B C (3) + ! @ 0 0 20 40 60 A (4) + 0 0 20 40 60 ! 0 1 1 0 3 8 14 BB 0 1 5 13 17 CC (1) + ! @ 0 0 20 40 60 A 0 0 0 0 0 0 1 0 3 8 14 1 17 C B 0 1 5 13 B C (1=20) ! @ 0 0 1 2 3 A 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 5 1 2 C (5) + B 0 1 0 3 ! B @ 0 0 1 2 3 CA (3) + ! 0 0 0 0 0
(2) F1 + F2 ! (2) F1 + F3 ! (1) F1 + F4 !
01 BB 0 @0
1 2 5 3 5 1 1 5 13 0 4 0 12
F23
F2
F2
F1
F2
F3
F2
F3
F4
F4
F3
F3
F3
F0
F1
La última matriz nos permite a…rmar que el sistema dado inicialmente se redujo al siguiente sistema x + 2w = 5 y 3w = 2 z 2w = 3 Al despejar x; y;z de las ecuación de arriba, obtenemos x = 2w + 5 y = 3w + 2 z = 2w + 3 Como la variable w es libre, entonces puede tomar cualquier valor, digamos w = t; t 2 R entonces x = 2t + 5 y = 3t + 2 z = 2t + 3 4
Por tanto, una solución (x ; y ; z ; w) está dada por (x ; y ; z ; w) = (2t + 5; 3t + 2; 2t + 3; t) = (5; 2; 3; 0) + t (2; 3; 2; 1) y el conjunto solución del sistema dado es S = f(5; 2; 3; 0) + t (2; 3; 2; 1) : t 2 Rg En este caso, el sistema tiene in…nitas soluciones. 3. Un sistema inconsistente x + y + 2z 5w = 3 2x + 5y z 9w = 3 2x + y z + 3w = 11 x 3y + 2z + 7w = 4 Solución La matriz ampliada de este sistema es,
3 1 3 C 11 CA 4
01 BB 2 @2
1 2 5 5 1 9 1 1 3 1 3 2 7
Al aplicar operaciones elementales, obtenemos la matriz
01 BB 0 @0
0 1 0 0 0
0 2 0 3 1 2 0 0
5 1 2 C 3 CA 1
La última …la de esta matriz nos indica que el sistema no tiene soluciones, por tanto es inconsistente. Teorema. Sean m; n 2 N con m < n y A una matriz de tamaño m n: Si el sistema ! ! A x = b es consistente, entonces tiene in…nitas soluciones. Esto es, si un sistema de ecuaciones lineales con más variables que ecuaciones tiene, al menos, una solución, entonces tiene in…nitas soluciones. Sistemas homogéneos
Recuerede que un sistema homogéneo es de la forma ! ! A x = 0 Teorema. Todo sistema homogéneo tiene solución.
Demostración. 5
Sean m; n 2 N y A una matriz de tamaño m n: Dado que ! ! A0R = 0R n
m
entonces el vector nulo de Rn es una solución del sistema homogéneo dado. ! Teorema. Si x p es una solución del sistema ! ! A x = b y! x h es cualquier solución del sistema ! ! A x = 0 ! entonces y es cualquier otra solución del sistema no homogéneo si y sólo si tiene la forma ! ! ! y = xh+ xp Demostración. ! =)) Supongamos que y es cualquier solución del sistema no homogéneo, esto es, ! ! A y = b ahora, por hipótesis se tiene que por tanto,
! ! A xp = b ! ! A y = A xp
de donde se sigue que,
! ! ! A ( y x p) = 0
! ! ! por consiguiente, y x p es una solución del sistema homogéneo. Luego, existe x h tal que ! ! ! y xp = xh de donde obtenemos que
! ! ! y = xp+ xh
! ! (=) Si x p es una solución particular del sistema no homogéneo y x h es una solución del sistema homogéneo asociado, entonces ! ! ! ! ! ! ! A ( xp+ x h ) = A x p + A xh = b + 0 = b ! por tanto, ! xp+ x h es solución del sistema no homogéneo.
6
Ejercicios.
1. Obtenga el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones a. x 2y + 3z = 11
4x + y z = 4 2x y + 3z = 10 b. x + 2y z + 3w = 4
3x + 6y 3z + 9w = 12 c.
x+ y z = 0 4x y + 5z = 0 2x+ y 2z = 0 3x + 2y 6z = 0
2. Dado el sistema 2x y = 5 4x 2y = t a. Determine un valor de t de modo que el sistema tenga solución única b. Determine un valor de t de modo que el sistema no tenga solución
3. Determine todos los valores de a de modo que los sistemas resultantes a) tenga solución ínica, b) In…nitas soluciones y c) no tenga solución. a. x + y
z=2 x + 2y + z=3 x + y + (a2 5) z = a
b. x +
y+ z=2 2x + 3y + 2z = 5 2x + 3y + (a2 1) z = a + 1
c. x +
y =5 x + (a2 8) y = a
4. Determine una ecuación que relacione a; b y c de modo que el sistema lineal x + 2y 3z = a 2x + 3y + 3z = b 5x + 9y 6z = c sea consistente para cualesquiera a; b y c que satisfagan dicha ecuación. 5. Resuelva cada uno de los siguientes problemas a. Determine el polinomio cuadrático que interpole los puntos (1; 2) ; (3; 3) y (5; 8)
7
b. Determine el polinomio cuadrático que interpole los puntos (1; 5) ; (2; 12) y (3; 44) c. Construya un sistema de ecuaciones lineales para determinar un polinomio cuadrático
p (x) = ax2 + bx + c que satisfaga las condiciones p (1) = f (1) ; p (1) = f (1) y p (1) = f (1) ; donde f (x) = xex 1 : 0
0
00
00
d. Construya un sistema de ecuaciones lineales para determinar un polinomio cuadrático
p (x) = ax2 + bx + c que satisfaga las condiciones p (0) = f (0) ; p (0) = f (0) y p (0) = f (0) ; donde f (x) = e2x : 0
0
00
00
e. Un ebanista fabrica sillas, mesas para café y mesas para comedor. El tiempo en
minutos de lijado, de pintura y de barnizado de cada mueble se dan en la siguiente tabla El centro de lijado está disponible 3:5 horas a la semana, el de pintura 6 horas a la semana y el de barnizado 6:5 horas. ¿Cuántos unidades de cada mueble pueden fabricarse por semana de modo que las mesas de trabajo se utilicen en toda su capacidad? 10x + 6y + 12z = 210 12x + 8y + 12z = 360 15x + 12y + 18z = 390 6. Sean u y v soluciones del sistema lineal homogéneo ! ! A x = 0 a. Demuestre que u + v es una solución b. Demuestre que u v es una solución c. Demuestre que ru es una solución, para cualquier númerop real r: d. Demuestre que ru + sv es una solución, para cualquiera números reales r y s:
7. Demuestre que si u y v son soluciones del sistema lineal no homogéneo ! ! A x = b entonces u v es una solución para el sistema lineal homogéneo asociado, Ax = 0 8. Sea A una matriz cuadradda de tamaño n n: Demuestre que el sistema lineal homogéneo ! ! A x = 0 tiene solución única si y sólo si A es invertible. 8
9. Sea A una matriz cuadradda de tamaño n n: Demuestre que si el sistema lineal no homogéneo ! ! A x = b tiene una solución, entonces tiene in…nitas soluciones si y sólo si A es no invertible. 10. Cali…que de verdadero o falso cada una de las siguientes a…rmaciones, según el caso y justi…que adecuadamente sus respuestas !
! ! a. Si A es invertible y A x = 0 ; entonces x = 0: b. Todo sistema lineal homogéneo con más ecuaciones que variable tiene in…nitas solu-
ciones
!
!
! ! c. Si el sistema A x = 0 ; tiene única solución, entonces el sistema A x = b tiene única solución d. Si un sistema tiene más variable que ecuaciones, entonces es equivalente a un sistema
con variables libres.
9
