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PROF. ALICIA E. GIRÓN REYES
I.E. “ANTONIO RAIMONDI“ -UÑA
DE GATO
TERCER GRADO DE SECUNDARIA ZARUMILLA - PERÚ
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Historia Los sistemas de ecuaciones lineales lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, volumen, sin que tuvieran tuvieran relación con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos: 1/4 anchura + longitud = 7 manos longitud + anchura = 10 10 manos Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30. Para comprobarlo utilizaban un método parecido parecido al de eliminación. En En notación, sería: y + 4x = 28 y + x = 10 Restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18, es decir: x = 6 e y = 4 . También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática. Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Diophante resuelve resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de d e ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal. Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas problemas y no ecuaciones. Utilizó Utilizó ya un álgebra sincopada como hemos señalado anteriormente. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos encontramos en la resolución de ecuaciones por Diophante Diophante es que carece de un método general y utiliza en cada problema métodos a veces excesivamente ingeniosos. Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan llegan a obtener métodos generales generales de resolución, sino que que resuelven tipos especiales especiales de ecuaciones. El libro "El libro "El arte matemático", matemático", de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver resolver sistemas de ecuaciones lineales. lineales. Uno de dichos problemas equivale equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones ecuaciones lineales por por dicho método matricial.
Un sistema de ecuaciones lineales con tres variables tiene la forma general siguiente:
Recuerda
11,, 22,, 33,, 1 , 2 , 3,
"" "" ""
3
21 21 1 1 2 2 3333
donde:
,,
La solución de este sistema es la terna ordenada de números reales. Puede ser resuelto por los siguientes métodos: a) Por reducción c) Por igualación b) Por d) Por determinantes o por el método de sustitución Cramer
MÉTODO DE REDUCCIÓN Según sean las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, este puede ser:
I) INCOMPATIBLE Si no admite solución.
II) COMPATIBLE Si admite solución (o soluciones). En este caso distinguiremos:
Determinado:
Si tiene solución única.
Indeterminado: tiene soluciones.
Si infinitas
Se elimina una de las incógnitas tomando de dos en dos las ecuaciones. Esto nos permite formar un sistema de dos ecuaciones con las otras incógnitas que se resuelve por cualquier de los métodos conocidos. Ejemplo:
1. Resolver el sistema:
Solución:
Enumeramos cada ecuación:
… (1) … (2) … (3)
Sumo las ecuaciones (1) y (2), para eliminar z:
(a)
Reemplazando en (a):
Reemplazando en (1):
Sumo las ecuaciones (1) y (3), para eliminar z:
(b)
Luego, la solución es
Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones (a) y (b):
Ahora te toca a ti! 2. Resolver:
3. Resolver:
Rpta.
4
4. Resolver:
5. Resolver:
5
6. Resolver:
7. Resolver:
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Se despeja una incógnita de una de las ecuaciones y se sustituyen en los otros dos para obtener un sistema de dos ecuaciones con las otras incógnitas que se resuelve por cualquiera de los métodos conocidos. Ejemplo:
632 632) (
1. Resolver:
……(1) ……(2) ……(3)
Solución:
De la ecuación (3), despejamos “y”.
…………..(4)
Sustituimos el valor de (4) en (1):
...(5)
Sustituimos el valor de (4) en (2):
632) (
...(6)
6
Despejamos “z” de la ecuación (6):
Reemplazamos el valor de “x” hallado en la ecuación (7):
….(7)
Reemplazamos el valor de “z” hallado en la ecuación (4):
Reemplazamos (7) en (5):
632 4
El conjunto solución del sistema es:
Ahora te toca a ti
2. Resolver:
3. Resolver:
7
4. Resolver:
6. Resolver:
5. Resolver:
7. Resolver:
8
MÉTODO DE IGUALACIÓN Se despeja una incógnita de las tres ecuaciones y se igualan sus valores dos a dos, quedando un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. Ejemplo: 1. Resolver el sistema:
……(1) ……(2) ……(3)
Solución:
En cada una de las ecuaciones dadas, despejamos la incógnita “x”
12 } Igualamos las ecuaciones (I) y (III):
Sustituimos el valor de “y” en la ecuación (a):
……..(a)
Igualamos las ecuaciones (II) y (III):
……..(b)
Reemplazamos el valor de “z” en la ecuación (a):
Reemplazamos los valores de “y” y “z” en la ecuación (1):
Igualamos las ecuaciones (I) y (II):
Luego el conjunto solución del sistema es:
……..(c)
9
Ahora te toca a ti
2. Resolver:
4. Resolver:
3. Resolver:
5. Resolver:
10
6. Resolver:
7. Resolver:
RECORDEMOS EL DESARROLLO DEL DETERMINANTE DE TERCER ORDEN
Se desarrolla aplicando la regla de Sarrus que consiste en repetir las dos primeras filas debajo de la tercera fila o las dos primeras columnas a la derecha de la tercera columna, para luego operar como se indica en los ejemplos siguientes: 1. En este ejemplo vamos a repetir las dos primeras filas. (-4)(6)(1) = -24
| |
(-1)(2)(5) = -10 (-3)(3)(4) = -36 -70 (5)(6)(-3) = -90 (4)(2)(-4) = -32 (1)(3)(-1) = -3 -125
Luego se resta: resultado inferior – resultado superior
||||
11
2. En este ejemplo vamos a repetir las dos primeras columnas.
| |
5
3 4
1
(1)(6)(-4) = -24 (2)(-1)(5) = -10 (-3)(4)(3) = -36 -70 6
Luego se resta: resultado inferior – resultado superior
||||
2 (-4)(4)(2) = -32 (3)(-1)(1) = -3 (5)(6)(-3) = -90 -125
MÉTODO DE DETERMINANTES O POR EL MÉTODO DE CRAMER Supongamos el sistema de ecuaciones lineales con coeficientes literales.
21 21 12 1 2 3333
Por determinantes obtenemos:
x=
;
y=
;
z=
Ejemplo:
1. Resolver:
Solución:
Por el método de Cramer obtenemos: ( recuerda que debemos aplicar el método de Sarrus en el numerador y el denominador)
11 12 12 23 122 121 121
A) x=
, luego:
12
- Para el numerador:
=
- Para el denominador:
11 23 11 12 231 12 112 121
Luego:
B) y=
, luego:
- Para el numerador:
=
- Para el denominador, se utiliza el mismo valor encontrado con anterioridad (1)
21 23 12 11 231 12 2 12 121
Luego:
C) z=
, luego:
- Para el numerador:
=
- Para el denominador, se utiliza el mismo valor encontrado con anterioridad (1) Luego:
31
Finalmente el conjunto solución del sistema es:
}
13
AHORA TE TOCA A TI
2. Resolver:
14
3. Resolver:
2
15
4. Resolver:
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PROBLEMAS CON SI STEMA DE ECUACIONES LI NEALE S CON TRES VARIABL ES
1. La suma de tres números es 19, la suma de los dos primeros es 16 y la suma de los dos últimos es 12. Hallar los números. Solución: Sean los tres números: x, y, z. Del enunciado, obtenemos:
} Sumamos miembro ecuaciones (2) y (3):
a
miembro
ó
……….(4)
las
Reemplazamos el valor de “y” en (2):
Reemplazamos el valor de “y” en (3):
Los números pedidos son:
2. La suma de tres números es 32, la suma de los dos primeros es igual al tercero y la semisuma del primero con el tercero es igual al segundo aumentado en 1. ¿Cuáles son los números? Solución:
Reemplazamos (2) en (1):
De la ecuación (3) obtenemos:
Reemplazamos (4) en (2):
Reemplazamos los valores de “y”, “z” en (1):
Reemplazamos (1) en (4):
Sean los tres números: a, b, c Del enunciado, obtenemos:
} Reemplazamos el valor de
Los números pedidos son:
3. La suma de los tres dígitos de un número es
12. La suma del dígito de las centenas y el dígito de las decenas exceden al dígito de las unidades en 4 y la suma del dígito de las centenas y el dígito de las unidades exceden al dígito de las decenas en 4. Hallar el número. Solución: Sea el número de tres dígitos = , donde: u = unidades d = decenas c = centenas Del enunciado, planteamos las siguientes ecuaciones:
̅
̅ Sumamos miembro ecuaciones (2) y (3):
a
miembro
las
Reemplazamos los valores de “c” en (2):
Reemplazamos los valores de “c” y “d” en (1):
El número pedido es:
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Resolver por el método de reducción: 1.
}} }} } }} }} } } } }} } }} }} } a. b. c. d. e.
2.
a. b. c. d. e.
3.
a. b. c. d. e.
6.
a. b. c. d. e.
Resolver por el método de igualación: 7.
a. b. c. d. e.
8.
a. b. c. d. e.
Resolver por el método de sustitución: 4.
a. b. c. d. e.
5.
}} }} } }} }} } }} }} } }} } } } }} }} } a. b. c. d. e.
Nivel 1
9.
a. b. c. d. e.
18
2, √
Nivel 2
Resolver por el método de Cramer: 10.
}} }} } }} }} } }} }} } 2 2 2, a. b. c. d. e.
11.
15. Si:
16. Si:
}} }} } 5 2 2 2,
es:
Nivel 3
13. Si:
14. Si:
es:
12 56 34 24 1 1 {2 2
El valor de a. 9 b. c. d. e.
a. b. c. d. e.
El valor de a. b. c. d. e.
El conjunto solución, es: a. b. c. d. e.
a. b. c. d. e.
12.
El valor de a. b. c. d. e.
es:
17. La suma de tres números es 36, la suma de los dos primeros es 21 y la suma de los dos últimos es 24. Hallar el doble del mayor de dichos números. a. b. c. d. e.
18. Luisa tiene S/.1560 en 36 billetes de S/.20; S/.50 y S/.100. Si el número de billetes de S/.50 es el doble del
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número de billetes de S/.100, ¿cuántos billetes de S/.20 tiene Luisa? a. b. c. d. e. 19. De los tres ángulos de un triángulo ABC, el ángulo A excede en 30° al ángulo B, y este excede en 30° al ángulo C. ¿Qué clase de triángulo es el triángulo ABC? a. b. c. d. e.
20. Alicia repartió 20 soles entre 20 niños, de modo que el que tenía 3 años recibió 3 soles, el que tenía dos años recibió 2 soles y el que tenía medio año, 0,5 soles. La diferencia entre el número de niños de 2 años y el número de niños de 3 años es: a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. -1
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