IE: 88013 “ELEAZAR GUZMÁN BARRÓN” LA VICTORIA - CHIMBOTE
SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES Así como para medir longitudes se requiere de unidades de medidas como el metro, la pulgada, el pie, etc. Los ángulos se pueden medir en infinitas unidades de medida, dependiendo del sistema creado, entre estas unidades las más utilizadas son el grado sexagesimal, el grado centesimal y el radian, los cuales son unidades de medida del sistema sexagesimal (inglés), sistema centesimal (francés) y sistema radial (circular), respectivamente. La medida de ángulos en grados es ampliamente usada en ingeniería y en las ciencias físicas, principalmente en astronomía, navegación y topografía. El método más corriente de localizar una estrella, o un punto en la superficie de la Tierra, es utilizar su distancia angular en grados, minutos y segundos a ciertos puntos o líneas de referencia fijadas. Las posiciones en la superficie de la Tierra se miden en grados de latitud norte o sur del ecuador y grados de longitud este u oeste del meridiano principal, que normalmente es el meridiano q ue pasa por Greenwich en Inglaterra. En ciertas ramas de las matemáticas avanzadas, en particular aquéllas que incluyen cálculos, los ángulos se miden habitualmente en radianes (rad). En 360° hay 2p rad, o unos 6,28 rad. En el ejército, los ángulos se miden generalmente en milésimas, especialmente para la localización de objetivos de artillería. Una milésima es la medida del ángulo central formado por un arco que es 1/6.400 del círculo. Una milésima equivale a 0,05625° y, aproximadamente, 0,001 radianes.
Latitud y longitud Nombre de las coordenadas utilizadas para indicar la posición de un punto sobre la superficie terrestre. La latitud (en amarillo) es la distancia angular del punto en cuestión al Ecuador, medida a lo largo de su meridiano (en rojo). La longitud (en verde) es la distancia angular entre el meridiano del punto y el meridiano de Greenwich medida a lo largo del Ecuador. (Meridiano: Meridiano: semicírculo que va de polo a polo. Ecuador: Ecuador: círculo máximo que equidista de los polos de la Tierra.)
Aproximadamente Aproximadamente en el año 1000 a.C. los babilonios extienden a los círculos celestes la Llamado también sistema inglés, es aquel sistema cuya división del día en 360 partes, y cada una de estas unidad de medida es el "grado sexagesimal" ( ) que es partes le llaman grado sexagesimal. Y a la cuarta igual a la 360 va parte de 1 vuelta (una circunferencia). parte le corresponden 90 grados sexagesimales, que se denota por 90º. Equivalencias:
Sistema Sexagesimal (S):
1 vuelta = 360° 1° = 60’ 60’ 1’ = 60” 60” 1° =3600” =3600”
PROF. FREYDER LUIS CHERO CASTRO
Ahora bien como los babilonios utilizan el sistema de numeración de base 60, dividen el grado en 60 partes iguales y a cada una de estas partes la denomina minuto y se nota por 1'. Cada minuto lo subdividen a su vez en 60 segundos y cada una de estas subdivisiones lo denotaron por 1''. Así pues, tenemos tenemos que un ángulo ángulo recto mide 90º; 90º; 1º= 60' y 1'= 60''.
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Sistema Centesimal (C): Llamado también sistema francés, es aquel que tiene como unidad de medida angular el grado centesimal (g), que es igual a la 400 va parte del ángulo de una vuelta.
Para una vuelta
Para media vuelta:
S
:
360
S 180
Equivalencias:
C 400
C 200
R 2
R
1 vuelta = 400 g 1 g = 100 min 1 min = 100 seg 1 g = 10000 seg La medida de ángulos centesimal se adoptó con el sistema métrico decimal. El ángulo completo de 360º en el sistema sexagesimal se divide en 400 partes iguales y un ángulo recto en 100, se denota por 100 g. Y le llaman gradian. A su vez cada grado centesimal (gradian) se divide en 100 partes iguales que son los minutos, se denota por 1m y cada minuto se subdivide en 100 segundos que lo denotaremos por 1s.
Sistema Radial (R): Llamado también sistema circular, es aquel sistema que tiene por unidad de medida el (Radian), que es el ángulo en el centro de una circunferencia cuya longitud de arco es igual a la longitud del radio de la circunferencia.
ALGUNAS DEDUCCIONES: DEDUCCIONES:
S
9
C
S
10
180 R
OTRAS EQUIVALENCIAS: Existen fórmulas para hacer transformaciones de minutos o segundos sexagesimales al sistema centesimal y viceversa.
m
27
n
Donde:
50
m = número de minutos sexagesimales n = número de minutos centesimales
p 81
q
Donde:
250
p = número de segundos sexagesimales q = número de segundos centesimales CONVERSIONES DENTRO DE UN MISMO SISTEMA A) Para el sistema sexagesimal: X3600 X60
∘
X60
”
’
360º = 400g =2 Equivalencia que nos permite pasar de un sistema de medida a otro.
200 R
Luego: 1 vuelta < > 2 rad.
Por lo que podemos escribir:
C
÷ 60
÷ 60 ÷ 3600 3600
B) Para el sistema Centesimal: X10000
RELACION ENTRE LOS TRES SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES:
X100
g
X100 m
s
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1. Convertir 28,24° a grados, minutos y segundos sexagesimales. Sol. - Separamos la parte entera: 28°
Sol.
- La parte decimal restante 0,24° se convierte a minutos: 0,24(60) = 14,40' y separamos la parte entera 14'
- La parte decimal restante 0,40' se convierte a segundos: 0,40(60) = 24”
1.
109230” 3600
Se divide entre 60
1230” 120 30”
a) 10 g
b) 10°
d) 72 g
rad es equivalente a: c) 20 g
d) 9 g
3. Calcular la tercera tercera medida del ángulo ángulo de un triángulo, sabiendo que dos de ellos son: 40 g y
rad a)114°
b) 130°
4. Halla:
10
c) rad
d) 102 g
rad 80
g
20
en
grados
sexagesimales a)110°
b) 90°
5. Simplificar: a)63° 6.
- La parte decimal restante 0,125g se convierte a minutos: 0,125(100) = 12,5m y separamos la parte entera 12m
4. Convertir 54° a grados centesimales y a radianes Sol. a. 54° a grados centesimales:
c) 90 g
b) 2/5 rad
Rpta: 30° 20' 30”
- La parte decimal restante 0,5m se convierte a segundos: 0,5(100) = 50s - Rpta: 25g 12m 50s
3600 20'
3. Convertir 25,125g a grados, minutos y segundos centesimales. Sol: - Separamos la parte entera: 25g
2. La medida angular
10800 30° 1230” -
PRACTICANDO La medida angular 72° es equivalente e quivalente a: a) 80 g
- Rpta : 28° 14' 24” 2. Convertir 109230” a grados, minutos y segundos sexagesimales. Sol. - Se divide entre 3600
4
c) 80º
rad 40 g
b) 47°
d) 70º
18
c) rad
d) 92 g
Si la suma de dos ángulos es 80 g y su diferencia es rad. ¿El ángulo mayor es?
a) 45º 7.
c) rad
d) 27 g
Los ángulos internos de un triángulo se encuentran en progresión aritmética. Hallar el ángulo intermedio en radianes a) rad b) rad c) rad d)
8.
b)
Hallar el mayor de tres ángulos sexagesimales, sabiendo que la suma del primero con el segundo