Sistemas de Un Grado de Libertad

5

SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

5.1 INTRODUCCIÓN Para el estudio de la vibración de sistemas estructurales es necesario necesario hacer uso de algunos conceptos relativos a la respuesta de sistemas de un grado de libertad ( libertad (1 1 GDL) GDL) que son aplicables a sistemas de muchos grados de libertad como son las estructuras de edificios por lo que es imprescindible comenzar por una revisión de estas ideas. La utilidad de un sistema tan simple reside en que permite establecer de manera muy directa y sencilla diversos conceptos útiles en la comprensión de sistemas dinámicos más complejos. Asimismo Asimismo muchas estructuras simples pueden pueden ser represen representadas tadas razona-blemente como razona-blemente como un sistema de 1 GDL. GDL. La solución de sistemas complejos puede obtenerse reduciendo el problema a uno de 1 GDL, GDL, así como ser parte de la solución de problem problemas as con mayor mayor núme número ro de variables variables que que pueden pueden reducirs reducirsee a una combin combinació ación n de sistemas de un GDL. GDL. "Un sistema de un grado de libertad (1 GDL) se define como aquel en que sólo es posible un tipo de movimiento, o sea, la posición del sistema en cualquier instante puede ser definida por la de una sola coordenada " [ Ref. [ Ref. 1 ]  El sistema idealizado de una masa concentrada y un resorte sin peso, aunque sencillo, es una herramienta muy conveniente.



Las [ Ref. # ] # ] indican las referencias bibliográficas listadas al final de cada Capítulo.

2

CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

5.2 MODELOS La viga simplemente apoyada o el pórtico de un piso, que se muestran en la Fig. 5.1 pueden pueden ser represen representado tadoss aproximadamente aproximadamente por un sistema de masa concentrada y resorte con una sola componente de desplazamiento, o sea 1 grado de libertad ( GDL). GDL).

m k

u

m

u

u

m F (t )  F . f (t )

k

u

m

F (t )  F 1. f (t )

Fig. 5.1 Sistemas de un grado g rado de libertad (1 GDL)

Se han desarrollado, inclusive, métodos modernos para el análisis inelástico simplificado de estructuras de edificios en que estos se reducen a sistemas de 1 GDL cuyo resorte presenta características fuerza-deformación inelásticas y multilineales [ Ref. 10 ]. 10 ].

5.3 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO La ecuación diferencial del movimiento de un sistema de 1 GDL GDL puede obtenerse de múltiples maneras: a)

Aplicando la 2da. Ley de Newton F = m.a

b)

Usando el Principio de D'Alembert y aplicando las ecuaciones de equilibrio.

c)

Aplicando los principios de trabajos (desplazamientos) virtuales.

d)

Aplicando el Principio de Hamilton o conservación de la energía del sistema.

En cualquiera de los sistemas mostrados en la Fig. 5.1 se 5.1 se puede apreciar que la masa está sometida a una fuerza F(t) F(t), que varía con el tiempo. El resorte es elástico, así que la fuerza interna es siempre igual al producto de “ k.u ” . Nótese Nótese que no se incluy incluyee el peso ya que u es siempre medido desde la posición neutra tal como se puede ver en la Fig. 5.2 5.2 . En dicha figura se ve que equivale a suponer inicialmente una masa sin peso. La ley de Newton indica que la fuerza resultante es igual a la masa por la aceleración imprimida. O sea: F = m.a m.a

(5.1)

INGENIERÍA SISMORRESISTENTE

3

SECC. 5.3: ECUACIÓN DE MOVIMIENTO

F(t) F(t) - k.u = m.ü m.ü

(5.2)

Normalm Normalment entee es más más conven convenien iente te usar usar el princ principio ipio de D'Ale D'Alemb mbert ert de de acuer acuerdo do al al cual cual el equilibrio dinámico puede ser enforzado en enforzado en cualquier instante añadiendo a las fuerzas externas e internas una fuerza de inercia igual al producto de la masa por la aceleración, m.ü, m.ü, que se opone al movimiento, o sea orientada en el sentido negativo del desplazamiento. De esta forma el equilibrio será: ( Fig. 5.3) 5.3)

k

k

k





uestático

m

u

m

k   mg

Posic Posición ión Neutra Neutra

uestático u dinámico m

F

F (t )  F . f (t )

k (  uest )  mg  F F(t) - k.u - m.ü  0 m.ü  k.u  F(t)  F.f(t) F.f( t) uest  F / k a) Posición de Reposo

b) Equilibrio Estático

c) Equilibrio Dinámico

Fig. 5.2 Diagrama de d e cuerpo libre

ku

u

ku

m

mu 

m

F (t )

u

mu 

F (t )

Fig. 5.3 u es siempre medido desde la posición neutra por ello no se incluye el .................. peso

ó

F(t) F(t) - k.u - m.ü m.ü = 0

(5.3)

m.ü + k.u = F(t) = F.f(t) F.f(t)

(5.4)

2

2

Esta ecuación relaciona la aceleración ü (d u / d t ), ), la fuerza en el resorte, y la fuerza aplicada en cualquier instante en el tiempo. tiempo. Corresponde a una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes. La solución da la respuesta del sistema, o sea, la variación de u con el tiempo. Esta puede ser escrita como Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

4


la suma de la solución general de la ecuación homogénea (segundo miembro cero), que involucra dos constantes de integración, y cualquier solución particular de la ecuación completa o general. Las constantes de integración se determinan imponiendo las condiciones iniciales (desplazamiento u y velocidad du/dt ) en el origen del tiempo t = t o (normalmente t o = 0 ).

5.4 VIBRACIÓN LIBRE Cuando la fuerza F(t) ante el caso de la vibración libre. Esta F(t) es igual a cero estamos ante puede puede producirse producirse debido a ciertas ciertas condicion condiciones es iniciales iniciales ( t=0) t=0) impuestas al sistema que resultan -a pesar de no haber fuerza excitadora- en un impulso inicial que se traduce en una vibración. vibración. La ecuación de movimiento es en este caso una ecuación homogénea cuya solución corresponde a la solución general de la ecuación diferencial. En este caso la solución de:

m.ü  k.u  0 Haciendo  =

es

u = A sen sen

k k t + B cos t m m

(5.5)

k y los desplazamientos y velocidad iniciales: m u ( t = 0) = u 0 u ( t = 0) = u 0

Evaluando las condicione iniciales se consigue:

 u = ( u0 ) sen sen  t + u0 cos  t 

(5.6)


5

SECC. 5.5: RESPUESTA A EXCITACIONES SIMPLES

u uo

Amplitud

uo a) Desplazamiento inicial

u u o Amplitud





u o 

b) Velocidad incial

Fig. 5.4 Vibración libre de un grado de libertad (1 GDL)

La Ec. (5.6) da la respuesta, el desplazamiento, en cualquier instante debido a un desplazamiento inicial, o velocidad, o ambos. Como se observa en la Fig. 5.4 el movimiento es periódico, o sea se repite cada cierto tiempo, o lo que es lo mismo podemos llamarlo armónico con una frecuencia natural o período dados por: Frecuencia natural circular o angular (  ):  =

k m

-1

, radianes/segundo ( s )

(5.7)

Frecuencia natural ( f ):

f =

ω 2π

=

1 2π

k , Hertz ( Hz ) o m ciclos/segundo

(5.8)

m , segundos ( s) k

(5.9)

Período natural ( T ):

T =

1

f

= 2π

5.5 RESPUESTA A EXCITACIONES SIMPLES Es útil analizar la respuesta de un sistema de 1 GDL a algunas excitaciones simples, que tienen una solución analítica, a fin de ganar familiaridad con el comportamiento del sistema y con la influencia del período en la respuesta.

Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

6


La solución de la Ec. (5.4) consta de dos partes: la solución homogénea uh, que corresponde a la solución general de la vibración libre vista en la sección anterior; más la solución particular, u p -que es cualquier solución que satisface la ecuación diferencial- y que por lo general corresponde a una que tiene la misma forma matemática que la función excitadora. u = u p + A sen  t + B cos t Considérese el caso de una fuerza indefinidamente.

aplicada

(5.10) súbitamente y mantenida

En este caso u p = constante. Reemplazando en la ecuación de movimiento u p = F 1 /k (donde lógicamente F 1 es constante). Suponiendo que el sistema está inicialmente en reposo (desplazamiento y velocidad iniciales iguales a cero).

u=

F 1 ( 1 - cos  t ) k

(5.11)

En la Fig. 5.5 se observa la variación de la respuesta con el tiempo. Partiendo de cero, la respuesta alcanzará un máximo de 2 F 1 /k .

F 1

FAD 2

Fig. 5.5 Carga constante. Factor de amplificación dinámica

5.5.1 Factor de Amplificación Dinámica ( FAD ) Una forma conveniente de adimensionar la respuesta consiste en expresarla en términos de un factor de amplificación dinámica, FAD en forma resumida. El FAD es la relación (cociente) entre la respuesta y la deformación (desplazamiento) estática que sería causada por F 1, o sea:

FAD 

F u u u , u est  1   F 1 u estático u est k k

(5.12)

Por consiguiente para el caso anterior, de la fuerza aplicada súbitamente: u máx = 2 u est

(5.13)


SECC. 5.5.1: FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA ( FAD )

7

La fuerza en el resorte será 2 F 1. Para este caso entonces, la variación en el tiempo del FAD será: FAD (t) = 1 - cos  t

y u = u est  FAD (t)

(5.14)

Cualquier fuerza aplicada súbitamente y que se mantiene constante sobre un sistema da como resultado, como máximo una amplificación de 2. (Veremos más adelante sin embargo que cuando la fuerza varía en el tiempo después de su aplicación inicial pueden presentarse amplificaciones mayores). 5.5.1.A) Pulso F ini to .- Si la fuerza mostrada en la Fig. 5.5 es aplicada por un cierto tiempo t d , la solución tiene que obtenerse en dos tramos. Uno hasta que t  t d y otro cuando t > t d. Para el primer caso la solución anterior es aplicable. Pero cuando t > t d ya la fuerza no está actuando y se tiene vibración libre con las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad que habían en el instante t = t d :

F u= 1 ( 1- cos ωt) k

, para t  td (5.15)

F F u= 1 ( 1- cos ω t d )cos ω(t- t d )+ 1 sen  t d sen ( t  t d ) , para t > td (5.16) k k simplificando la Ec. (5.16):

u=

F 1 [ cos  (t - t d ) - cos  t] k

, para t > td (5.17)

El FAD para ambos casos, Ecs. (5.15) y (5.17), con   2 T , son los correspondientes a las Ecs. (5.18) y (5.19), es decir:

FAD = ( 1- cos ωt) t FAD= 1- cos 2π T

, para t  td (5.18)

FAD= cos  (t - t d ) - cos  t

t t FAD = cos 2π( - t d ) - cos 2π T T T

, para t > td (5.19)

Es conveniente adimensionar el parámetro tiempo como se indica en las ecuaciones anteriores, donde T es el período natural. Esto también sirve para enfatizar el hecho que


8


la razón del tiempo de duración a período natural, t d /T -más que el valor real de cualquiera de esas cantidades- es el parámetro importante. De la Ec.(5.11) y de la Fig. 5.5 podemos visualizar que el valor máximo del FAD=2 sólo se alcanzará si t d es igual a T /2 y en este caso no importa cuanto más dure la aplicación de la fuerza puesto que el máximo seguirá siendo 2. Si t d < T / 2, entonces el FAD será < 1. En la Fig. 5.6 se observa la respuesta típica para dos casos de t d. En ambos casos el efecto del período es muy significativo. Veamos a continuación que sucede cuando el periodo es relativamente largo o corto: -

Si el período es relativamente corto , lo cual es característico de un sistema rígido, el sistema responde rápidamente, alcanzando la máxima respuesta antes de que la aplicación de la fuerza se detenga, resultando el FAD > 1. Ello es lógico puesto que antes de que alcance t d ya habrá sobrepasado T/2 y por ende alcanzado el máximo no importando cuanto mas dure la carga.

-

Por otro lado , si el período es relativamente largo, lo cual es característico de un sistema flexible, la respuesta máxima ocurre después de que se ha detenido la fuerza, y el efecto de la misma disminuye, y el FAD < 1.

Fig 5.6 Pulso rectangular finito

5.5.1.B) Carga Rampa .- Lo constituye una carga que varía linealmente hasta alcanzar todo su valor en un tiempo t r (este tipo de carga es otro caso de interés). La respuesta debe ser obtenida en dos etapas, o sea:

u=

F 1 sen  t (t )  kt r

, para t  tr (5.20)


9

SECC. 5.6: EXCITACIÓN SÍSMICA. MOVIMIENTO DE LA BASE

F 1 sen (t - t r ) - sen t u = [1 + ] k  t r

, para t > tr (5.21)

En la Fig. 5.7 se muestran dos casos. Veamos: -

Cuando la relación del tiempo de subida de la fuerza al período es grande ( t r / T = 5 / 2 ), el sistema vibra relativamente rápido y la respuesta simplemente sigue a la curva estática de carga. Por consiguiente la máxima respuesta dinámica difiere muy poco de la respuesta estática a F 1 ( FAD = 1).

-

Por otro lado, si la relación es pequeña ( t r / T = 1 / 4 ) el sistema responde lentamente debido al período largo. Esto resulta en un primer retraso, y después en un " sobrepasar " a la curva estática de carga. La respuesta dinámica es considerablemente mayor que la estática. Esta es una observación importante, ya que los esfuerzos en un sistema resistente son proporcionales al Factor de Amplificación Dinámica.

Fig 5.7 Carga constante con incremento triangular inicial (rampa)

5.6 EXCITACIÓN SÍSMICA. MOVIMIENTO DE LA BASE Un sismo produce un movimiento de la base de apoyo del sistema. En este caso la ecuación del movimiento para el sistema de la Fig. 5.8 es aquella que relaciona la fuerza inercial del sistema m.ü y la fuerza que se produce en el resorte k.y, es decir: m.ü + k.y = 0

(5.22)

donde: ü , es la aceleración absoluta requerida para el cálculo de la fuerza inercial


10


y , es el desplazamiento relativo de la masa con respecto al terreno, o sea la distorsión del resorte requerida para el cálculo de la fuerza producida en el resorte al ocurrir el movimiento en la base de apoyo del sistema. u

y  u  uG

m

m

mu 

m ky

k

luego se cumple :

u( t )  u G ( t )  y( t ) u  uG  y

uG (t )  uGo . f (t ) Fig. 5.8 Sistema de 1 GDL sometido a movimiento de la base


11

SECC. 5.7: AMORTIGUAMIENTO. TIPOS

El movimiento de la base está definido por uG(t). Por facilidad podría descomponerse en una constante arbitraria uGo multiplicada por una función adimensional del tiempo, f(t). Por otro lado los desplazamientos absolutos y relativos se relacionan mediante y = u - uG (ver Fig. 5.8), la cual al ser sustituida en la Ec. (5.22) resulta: m.ü + k.(u - u G ) = 0

(5.23)

m.ü + k.u = - k u Go f(t)

(5.24)

Esta ecuación es idéntica a la Ec. (5.4) en donde F(t) ha sido reemplazada por k.uG(t) o F 1 por k.uGo. Por consiguiente las soluciones analíticas obtenidas para fuerzas aplicadas pueden usarse directamente en este caso. Es interesante analizar los casos límite( Fig. 5.9). Veamos el comportamiento para: -

Sistemas muy flexibles( Fig. 5.9a), en este caso el suelo alcanzará su máximo desplazamiento antes de que la masa tenga tiempo de reaccionar y por consiguiente el desplazamiento relativo máximo será igual al máximo desplazamiento de la base ( ymáx.=uGo). Al mismo tiempo, la aceleración máxima de la masa será muy pequeña comparada con la aceleración de la base.

-

Por otro lado, para sistemas muy rígidos( Fig. 5.9b), la masa simplemente sigue a la base resultando en una aceleración máxima de la masa igual a la máxima aceleración de la base y el desplazamiento relativo es prácticamente cero.

Sistemas Flexibles

m

u 0 uG

k  0

T   u  y máx.  u Go (a)

Sistemas Rígidos

m

m

k  

T  0 u (b) Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

u  uG

12


Fig. 5.9 Casos límites

El desplazamiento relativo es posiblemente la variable más importante ya que es indicativo del esfuerzo en el resorte (o sea la estructura). Es común especificar el movimiento de la base en términos de aceleración más que de desplazamiento, ya que los sismos son precisamente registrados de esta manera. Más aún, la solución en este caso da el desplazamiento relativo en vez de la respuesta del desplazamiento absoluto. Al derivar la expresión que relaciona los desplazamientos relativos y absolutos se obtiene ü = ÿ + ü G la cual al ser sustituida en la ecuación de movimiento (5.22) nos da: m.ÿ + k.y = - m ü G (t) = - m ü Go f(t)

(5.25)

dividiendo entre m: 2

ÿ +  .y = - üG (t) = - ü Go f(t)

(5.26)

La Ec. (5.25) es nuevamente la ecuación de movimiento normalmente usada en que la fuerza aplicada es -m.üG(t), y la incógnita representa un desplazamiento relativo ( y) en vez de uno absoluto. Para el caso de un sismo üG(t) no sigue una función analítica simple y será necesario recurrir a procedimientos de integración numérica para conocer la respuesta del sistema (esto se verá en la Secc. 5.11). Existe una relación importante entre los valores máximos de la aceleración absoluta y el desplazamiento relativo. Observando la Fig. 5.8 y la ecuación de movimiento, Ec..(5.22), es evidente que los valores máximos de m.ü y k.y deben ocurrir simultáneamente. Es decir: m.ümáx + k.ymáx = 0

umáx = -

k .( y ) m máx 2

ümáx = -  .ymáx

(5.27) (5.28) (5.29)

Esta es una expresión general que siempre se cumple excepto cuando hay amortiguamiento en que hay un ligero error . Indica que la fuerza máxima en el resorte puede ser calculada, a partir la fuerza de inercia ( m.ümáx) o de la distorsión del resorte (k.ymáx).

5.7 AMORTIGUAMIENTO. TIPOS En toda la discusión anterior se ha ignorado la presencia del amortiguamiento. La mayoría de las estructuras y suelos presentan amortiguamiento , pequeño en las estructuras, mayor en los suelos. Su efecto, sin embargo, no es importante para respuestas de corta duración, o sea cuando la respuesta máxima ocurre en uno o dos ciclos de vibración. Sin embargo, para respuestas de larga duración que se extienden


13

SECC. 5.7.1: AMORTIGUAMIENTO VISCOSO

por varios ciclos puede ser extremadamente importante. Este es precisamente el caso de las excitaciones sísmicas. El amortiguamiento se manifiesta como una disminución de la amplitud del movimiento en cada ciclo debido a la disipación de energía.

5.7.1 Amortiguamiento Viscoso Matemáticamente la forma más simple de considerar el amortiguamiento corresponde a la existencia de un amortiguador viscoso con una resistencia proporcional a la velocidad de deformación ( Fig. 5.10). La ecuación de movimiento se convierte en:

m.u + c.u + k.u = F(t)

(5.30)

donde c es la constante de amortiguamiento.

uu

c

c

m M

(t ) F F(t)

ccu u.

mu  -Mü M m

(t ) F F(t)

ku ku

k k

Fig 5.10 Sistema de 1 GDL con amortiguamiento viscoso

La solución de la ecuación homogénea es de la forma:

u=e donde:

- βωt

(A sen  Dt + B cos  Dt)

 =

β =

1 2

k ;  D =  1 -  2 m

(5.31) (5.32)

c c cω = = 2mω 2k km

La diferencia entre la frecuencia no amortiguada,  , y la frecuencia amortiguada  D depende de  . Para estructuras normales este valor es pequeño y la diferencia puede ser ignorada. Por ejemplo para  = 0.05 según la Ec. (5.32) se tiene  D = 0.9987  . En la Secc. 5.7.2 se mostrarán expresiones para cuando el movimiento es libre amortiguado. A continuación sólo se mostrarán como es que varía  pero de una


14


manera general para que así se pueda entender con claridad el concepto del mencionado coeficiente de amortiguamiento. Basado en lo dicho en el párrafo anterior se tiene que: -  debe ser < 1: Para que exista la vibración (o sea para que  D sea un número real en las Ec. (5.32)). Ese es el caso de un sistema sub-amortiguado. La respuesta a una perturbación inicial ( Fig. 5.11) todavía será un movimiento armónico pero multiplicado por una exponencial decreciente, e   t , que es el efecto del amortiguamiento. Este tipo de sistemas es el de mayor interés en la dinámica de sistemas sometidos a sismos.

u uo

u o .e   t

u o Fig 5.11 Vibración libre con desplazamiento y amortiguamiento

- Cuando  = 1

u = e- t (A + Bt)

(5.33)

El valor de c en el que ß = 1 se denomina el amortiguamiento crítico por consiguiente el sistema está críticamente amortiguado. No hay vibración ya que de la Ec. (5.32)  D = 0.

- Cuando  > 1

u = e-  t (A senh D ' t + B cos h  D ' t)

(5.34)


SECC. 5.7.1.2: AMORTIGUAMIENTO HISTERÉTICO O ESTRUCTURAL

15

2

 D ' = ω β -1

En este caso el sistema está sobre-amortiguado ( Fig. 5.12). Tampoco habrá movimiento vibratorio. La masa retornará a su posición original monotónicamente con velocidad decreciente.

u uo

Fig 5.12 Sistema sobre amortiguado. No hay vibración

Es conveniente expresar la variable  como una fracción del amortiguamiento crítico:

ccrÍt = 2 k m  =

c ccrÍt

(5.35) (5.36)

Para estructuras el valor equivalente de ß puede estar entre 0,01 y 0,05; para suelos puede alcanzar entre 0,10 y 0,20, o para grandes deformaciones a veces más. En realidad el amortiguamiento viscoso y el concepto de viscosidad están asociados con el comportamiento de los fluídos (o flujo plástico en materiales estructurales). Bajo condiciones normales las estructuras presentan una cantidad insignificante de viscosidad. Las pérdidas de energía bajo movimientos cíclicos se deberán principalmente a la fricción y al comportamiento inelástico (no lineal) de los materiales.

5.7.1.1 Amortiguamiento por Fricción o de Coulomb Este tipo de amortiguamiento se introduce en la ecuación de movimiento, agregando una fuerza de fricción R, con el signo apropiado, dependiendo de la dirección del movimiento.

m.ü + ku ± R = F(t) Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

(5.37)

16


ó

m.ü + ku ± R = 0 (para el caso de vibración libre)

(5.38)

La solución de esta ecuación es un poco más complicada porque es necesario seguir la fuerza de fricción R que depende del signo de la velocidad . Por ejemplo para el caso de un desplazamiento inicial uo cuando t = t o y no hay velocidad inicial, la respuesta sería [ Ref. 2 ] :

 R  T  R   u  (1) n uo  2n  1  cos   t  t o  n    k  2  k   

(5.39)

El movimiento se detendrá cuando t = nT/2 donde n es el entero más pequeño que hace R  kuo /2n+1. En la Fig. 5.13 se muestra esquemáticamente la variación del desplazamiento con el tiempo para este caso.

u uo

R t u  uo  4 k T

uo Fig 5.13 Amortiguamiento por fricción o de Coulomb [ Ref. 3 ]

5.7.1.2 Amortiguamiento Histerético o Estructural La pérdida de energía por el comportamiento nolineal de un resorte con características fuerza-deformación inelásticas resultará, bajo movimientos cíclicos, de la existencia de ciclos de histéresis. ( Fig. 5.14). El área encerrada por cada lazo representa la energía disipada por ciclo. Para introducir este tipo de amortiguamiento en el análisis sería necesario escribir una ecuación de movimiento nolineal de la forma: m.ü + k(u) . u = F(t)

(5.40)

donde k(u) representa la rigidez secante del resorte para el desplazamiento u.


17

SECC. 5.7.1.2: AMORTIGUAMIENTO HISTERÉTICO O ESTRUCTURAL F

F

k

u

a)

F

k

u

b)

k

u

c)

Fig 5.14 Resortes inelásticos

Interpretar las pérdidas histeréticas en la forma de un amortiguamiento equivalente es difícil para el caso de la vibración libre. Por ejemplo, se tiene que: -

Para el resorte elástico-perfectamente plástico, aún si el desplazamiento inicial uo fuera mayor que el desplazamiento de fluencia u y, la respuesta , mostrada en la Fig. 5.15a, permanecería elástica con la masa oscilando entre uo y uo - 2u y sin ninguna pérdida de energía.

-

Para un resorte con características fuerza deformación bilineal, si uo > u y habrá un número finito de ciclos o lazos de histéresis de ancho decreciente y el movimiento se estabilizará eventualmente permaneciendo elástico alrededor de una posición deformada permanentemente. Lo dicho se observa en la Fig. 5.15b.

-

Un comportamiento similar al caso anterior, mostrado el la Fig. 5.15c, puede esperarse para una curva fuerza deformación curvilínea genérica. F

F

uo

a)

u

F

uo

u

b)

u

c)

Fig. 5.15 Comportamiento inelástico

5.7.2 Casos de Amortiguamiento Viscoso y definición del término Decremento Logarítmico. La razón por la cual en la sección anterior no se trataron algunos casos que se desprenden al variar el comportamiento de la fuerza en la Ec. (5.30) es debido a que se pretendía que en dicha sección el lector entienda de manera clara y concisa el significado del Amortiguamiento Viscoso. A continuación presentaremos la vibración libre con amortiguamiento (Secc. 5.7.2.1), definiendo a su vez el término decremento


18


logarítmico (Secc. 5.7.2.1.1); luego, presentaremos la vibración forzada con amortiguamiento, cuando la fuerza es constante (Secc..5.7.2.2).

5.7.2.1 Vibración Libre con Amortiguamiento u

c

mu  cu

m

m ku

k Fig 5.16 Vibración libre amortiguada

Recordando que el amortiguamiento viscoso al ser considerado como una resistencia proporcional a la velocidad de deformación es matemáticamente la forma más simple, procedemos a plantear la ecuación diferencial que define el movimiento del sistema mostrado en la Fig. 5.16 :

mü  cu  ku  0

(5.41)

la solución general supuesta y sus derivadas son:

u  Cer t

(5.42)

u  C r e r t

(5.43)

u  C r 2 e r t

(5.44)

donde C es una constante distinta a la constante c de amortiguamiento. Al reemplazar las Ecs. (5.42), 5.43) y (1.44) en la Ec. (5.41) se tiene: (mr

2

donde:

ó

 cr  k )  Cer t  0

mr 2  cr  k  0 r 2 

c r   2  0 m

(5.45) (5.45a)

(5.45b)


19

SECC. 5.7.2.1: VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO

La Ec. (5.45) nos indica que en realidad la solución general sería la dada por la Ec..(5.46) y no como se supuso (Ec.(5.42)):

u  C 1e r t  C 2 e r t 1

(5.46)

2

donde r 1 y r 2 son las raíces de la Ec. (5.45), en la que la constante C i es distinta de cero ya que se desea una solución distinta de la trivial, desprendiéndose así la Ecs..(5.45a) y (5.45b). Luego al resolver esta última, la cual es una ecuación polinómica de segundo grado, se tiene: 2  c  c      r 1      1   2m  2m    

(5.47)

2  c  c    r 2        1   2m  2m    

(5.48)

reemplazando estas ecuaciones en la Ec. (5.46) y luego factorizandola, se tiene la solución general de la vibración libre amortiguada:

ue

c     t  2 m 

    C e   1 

2  c  1 t    2 m  

En la sección anterior   c 2m  c

 C 2 e

2  c        1 t 2 m    

   

(5.49)

ccrítico fue definido. Entonces según esto,

la Ec..(5.49) quedaría como se muestra en la Ec. (5.49a):

ue

  t

       1  t   1 t    C 2 e  C 1e    2

2

(5.49a)

A continuación veremos las ecuaciones que definen el movimiento de vibración libre amortiguada como resultado del comportamiento de  . a) Sub Amortiguamiento (  <1 , raíces imaginarias)


20


La solución general para la Ec. (5.41) en este caso sería la Ec. (5.46), luego:

u  C 1e r t  C 2 e r t 1

(5.50)

2

pero como  <1 las raíces definidas por las Ec. (5.46) y (5.47) serían imaginarias. Con i 

 1 dichas raíces serían ahora: r 1      i  1   2

(5.51a)

r 2      i  1   2

(5.51b)

siendo entonces ahora la ecuación general de la siguiente forma:

u  e    t C 1eit  (1  )  C 2e it  (1  ) 2 1/ 2

luego, con  D

2 1/ 2

(5.52)

  1   2 , T D  2  D y con las siguientes relaciones de

números complejos:

ei t  cos  D t  i sen  D t

(5.53)

e i t  cos  D t  i sen  D t

(5.54)

D

D

la Ec. (5.52) queda expresada de la siguiente manera:

u  e   t  A cos  Dt  Bsen Dt 

(5.55)

Las constantes A y B de la Ec. (5.55) quedan definidas cuando en ella se evalúan las condiciones iniciales. Veremos que cuando se tiene t o  0 , u  uo y u  uo el movimiento queda definido como se muestra a continuación :

ue

   t

   u o    u o  u o cos  D t    sen D t     D  

(5.56)

Si t o fuese distinto de cero, entonces se tendría:

 

  u o    u o  sen t t       (5.57)  D o   D   

u  e    t t o  u o cos  D t  t o   


21

SECC. 5.7.2.1: VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO

b) Amortiguamiento Crítico (  =1 , raíces iguales) Como  =1 las raíces definidas por las Ecs. (5.47) y (5.48) serían iguales. Es decir :

r  r 1  r 2      

(5.58)

Por consiguiente la forma de la solución general sería:

u  C 1e r t  C 2 t e r t 1

2

(5.59)

reemplazando la Ec. (5.58) en la Ec. (5.59) se tiene ahora:

u  C 1  C 2 t e  t

t o

(5.60)

simplificándo la Ec. (5.60) y evaluando en ella las condiciones iniciales  0 , u  uo y u  uo el movimiento queda definido como se muestra a

continuación:

u  e  t u o  u o   u o  t 

(5.61)

Se debe recordar al lector que habrá movimiento pero éste no será vibratorio ya que  D  0 . c) Sobre Amortiguamiento (  >1, raíces reales) Como  >1 las raíces definidas por las Ec. (5.47) y (5.48) serían reales. Quedando entonces las raíces de la siguiente forma:

r 1        2  1

(5.62)

r 2        2  1

(5.63)

y como para este caso la ecuación que define el movimiento debido a que las raíces son reales y distintas, es :

u  C 1e r t  C 2 e r 1

2 luego, con  D '   

seno y coseno hiperbólico:


2

t

(5.64)

 1 , T D  2  D ' y con las siguientes relaciones del

22


e 't  cos h  D ' t  sen h  D ' t

(5.65)

e  't  cos h  D ' t  sen h  D ' t

(5.66)

D

D

la Ec. (5.64) quedaría expresada como se muestra a continuación:

u  e    t  A cos h  D ' t  Bsen h  D ' t 

(5.67)

Las constantes A y B de la Ec. (5.67) quedan definidas cuando en ella se evaluan las condiciones iniciales t o  0 , u  uo y u  uo . Entonces se tendría:

A  C 1  C 2 B  C 1  C 2

(5.68) (5.69)

donde:

C 1 

uo      2  1 uo





2

2 

 u o      C 2  2

1

 1 u o  2   1

(5.70)

 2

(5.71)

Finalmente se recuerda al lector que tampoco habrá movimiento vibratorio retornando la masa a su posición original monotónicamente con velocidad decreciente como se indico en la sección anterior.

5.7.2.1.1 Decremento Logarítmico ( D.L. ). El decremento logarítmico es el logaritmo neperiano de la relación entre dos picos o amplitudes máximas sucesivas. O sea: u(t  t ) D L . .  Ln (5.72) u(t  t  T D ) donde T D es el periodo natural amortiguado. Para la vibración libre amortiguada y con  <1, ya que este tipo de sistemas sometidos a sismos es el caso de mayor interés, dicho movimiento viene definido por la Ec. (5.56):

ue

   t

   u o    u o  u o cos  D t    sen D t     D  

(5.73)


SECC. 5.7.2.1.1: DECREMENTO LOGARÍTMICO ( D.L. ).

23

Aplicando la definición de decremento logarítmico (D.L.) a la Ec. (5.73) y teniendo en cuenta la Fig. 5.17 se tendrá:

   u    uo   e   t uo cos  Dt   o sen t  D     u( t  t ) D    Ln D L . .  Ln   u( t  t  T D )  uo    uo     ( t T D )  e uo cos  D ( t  T D )    sen D ( t  T D )    D  


24


u T D

u0

u(t  T D )

u(t )

t  T D

t

t

u0 Fig 5.17 Vibración libre amortiguada. Amplitudes sucesivas.

Además, como el seno y coseno son funciones periódicas, con periodo amortiguado T D , tal como se aprecia en la Fig 5.17, la expresión anterior queda reducida de la siguiente manera:

   uo    uo   e uo cos  Dt    sen Dt      e   t  D    Ln    ( t T )  D L . .  Ln   e   uo    uo        ( t T )   e sen t uo cos  Dt     D  D        t

D

D

al seguir simplificando esta última expresión se tiene:

 e    t    T D L . .  Ln    t    T   Lne  e .e 

D

D



la cual finalmente, para el caso de las vibraciones libres amortiguadas y con  <1, queda como sigue:

D L . .    T D Ahora si recordamos que  D

(5.74)

  1   2 , T D  2  D y que para coeficientes

de amortiguamiento pequeño se cumple que:  D

  1   2  

(5.75)

entonces:

T D 

2  D



2 



 T D

 2

(5.76)

luego al reemplazar la Ec. (5.76) en la Ec. (5.74) esta última queda como sigue: INGENIERÍA SISMORRESISTENTE

25

SECC. 5.7.2.2: VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO. FUERZA CONSTANTE ( F1 ).

D L . .  2

(5.77)

A continuación presentamos una tabla en la que se muestra para el acero, concreto y albañilería, y para los suelos, el porcentaje de disminución entre dos picos consecutivos para cada ciclo:



Material

Acero 0,01 – 0,02 Concreto y 0,02 – 0,05 Albañilería Suelos 0,10 – 0,20

D L . .  2

e D.L.

,02  -,04 

1,07 – 1,13

% de disminución entre dos picos consecutivos para cada D.L. ciclo ( 1 / e ) 88 – 93 %

,04  -,10 

1,13 – 1,37

72 – 88 %

,20  -,40 

1,87 – 3,51

28 – 53 %

Por otro lado, si se desea conocer la relación de amplitudes de la primera “ 1 ” (la máxima) con una amplitud genérica “ j ” ¿ Cual sería esta relación ?. Basados en el concepto de decremento logarítmico se podría hallar dicha relación. Sabemos que la Ec. (5.72) se puede rescribir de la manera indicada en la Ec. (5.78): u(t  t ) u(t  t ) D L . .  Ln   e D. L.  e 2 (5.78) u(t  t  T D ) u(t  t  T D ) ahora si le asignamos sub índices a las amplitudes, siendo la mayor “ 1 ”. Entonces la Ec. (5.78) se rescribiría así:

u1  e D. L.  e 2 u2

(5.79)

de manera análoga para amplitudes consecutivas se puede lograr lo siguiente:

u j 1 u1 u2 u3 2 2 2 e , e ,  e , .... ,  e 2 u2 u3 u4 u j multiplicando las “ j-1”relaciones y simplificando, se consigue la relación buscada:

u1 u j  e 2 ( j 1) (5.80) 5.7.2.2 Vibración Forzada con Amortiguamiento. Fuerza constante ( F1 ). u

c

m k

F 1

cu

 mu 

m

ku

Fig 5.18 Vibración forzada amortiguada. Fuerza constante ( F 1 ). Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

F 1

26


F (t )

F 1

t

Fig. 5.19 Fuerza constante ( F 1 ) aplicada al sistema con amortiguamiento.

Considerando el amortiguamiento viscoso de manera similar que en la Secc. 5.7.2.1, solo que en este caso el sistema es forzado, la ecuación diferencial que define el movimiento esquematizado en la Fig. 5.18 estaría dada por:

mü  cu  ku  F 1

(5.81)

la solución general de la Ec. (5.81) sería la suma de la solución homogénea, u h , (igual a la de la Secc. 5.7.2.1, Ec.(5.55)) más la suma de una solución particular, u p , que la satisfaga. Es decir:

u  u h  u p

(5.82)

u h  e    t  A cos  D t  Bsen D t 

(5.83)

u p  F 1 / k

(5.84)

siendo:

y

luego, el movimiento , reemplazando las Ecs. (5.83) y (5.84) en la Ec. (5.82), quedaría definido como sigue:

u  e    t  A cos  D t  Bsen D t  F 1 / k

(5.85)

Las constantes A y B de la Ec. (5.85) quedan definidas cuando en ella se evaluan las condiciones iniciales. Veamos cuando se tiene las siguientes condiciones iniciales t o  0 , u  u o  0 y u  u o  0 , es decir cuando se parte del reposo. Entonces: INGENIERÍA SISMORRESISTENTE

27

SECC. 5.8: VIBRACIONES ARMÓNICAS. F1.sen t.

F 1  B k



B  

u( t  0 )  0     B  A  D



A    .

u( t  0 )  0 

F 1 k

(5.86)

 F 1  D

.

k

(5.87)

Finalmente, al reemplazar las Ec. (5.86) y (5.87) en la Ec. (5.88) se tiene:

 F 1      t   cos  D t   . sen D t  u  .1  e k   D  

(5.88)

La gráfica que representaría a la Ec. (5.88) vendría a ser la Fig 5.20 :

u 2 u est

uest

t

Fig. 5.20 Fuerza constante( F 1 ) aplicada al sistema con amortiguamiento.

5.8 VIBRACIONES ARMÓNICAS. F1.sen t. Pudo bien haberse tratado a los sistemas sometidos a fuerzas dinámicas F(t) de la forma F 1i sen t como un caso particular de los sistemas forzados amortiguados en la Secc..5.7.2, pero por ser las vibraciones armónicas un caso de particular interés, por ello es que se prefirió recién tratarlas en esta sección. Los sistemas sometidos a fuerzas dinámicas F(t) de la forma F 1i sen t corresponden a las excitaciones dinámicas impuestas por máquinas rotatorias con alguna excentricidad (diseño de cimentaciones de máquinas). F 1 , constante al igual que en la sección anterior, será proporcional al peso desbalanceado y  representa la frecuencia circular, o velocidad de la máquina. También es de utilidad para interpretar el caso de sismos en que un movimiento puede


28


ser considerado como la superposición de muchas ondas armónicas de diferentes amplitudes y frecuencias. Considerando la ecuación de movimiento incluyendo amortiguamiento viscoso:

m.u+ c.u + k.u = F 1 sen Ωt

(5.89)

La solución estará constituida por la suma de dos términos, u=uh + u p. La solución de uh es la solución general de la Ec. (5.31). La solución particular u p es de la forma:

 Ω 2  Ω 1- 2  sen t  2 β cos Ωt ω F ω  u p=u p ( t )= 1 . 2 2 k  Ω 2  2 Ω 1- 2  +4 β 2 ω  ω 

(5.90)

Sumando las Ecs. (5.31) y (5.90) se tiene la solución completa:

u= e-   t

 Ω 2  Ω 1- 2  senΩ t  2 β cos Ωt ω F 1  ω  (Acos  D t+B sen D t)+ . 2 2 k  Ω 2  2 Ω 1- 2  +4 β 2 ω  ω 

(5.91)

en la que falta determinar las constantes de integración, lo que se logra imponiendo las condiciones iniciales. Con ello, si u(0) = uo , y u(0)  u O las constantes serían: A = uo - u p(0) (5.92)

B =

1  D

{u o - u p (0)+ β ω [uo -u p (0)]}

Previo al análisis de la Ec. (5.91) es conveniente que ésta sea rescrita de una manera adecuada para así poder identificar la amplitud de la solución particular con facilidad. Rescribiéndola se tiene la Ec. (5.93): 1 F cos  . senΩ t  sen . cos Ωt  u= e-   t (A cos  D t+B sen D t)+ 1 . k  2  2 2 Ω 2 Ω 1- 2  +4 β 2 ω  ω 

......(5.93) Amplitud de la solución particualr INGENIERÍA SISMORRESISTENTE o del movimiento armónico

29

SECC. 5.8: VIBRACIONES ARMÓNICAS. F1.sen t.

donde: 2

2

4 β

Ω ω

2  Ω 2  2 Ω 1- 2  +4 β 2 ω  ω 

2 2



 Ω 2  1- 2   ω  Dicha ecuación escrita de otro modo, Ec. (5.93), nos indica que la solución completa del movimiento esta compuesta de:

u=uVIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUAD A  uVIBRACIÓN ARMÓNICA FORZADA

(5.94)

Recordemos que esta última expresión, Ec. (5.94), o sea, la solución completa de la Ec. (5.89), fue el resultado de sumar las contribuciones ligadas a cada tipo de vibración, o sea el conjunto de las expresiones Ec. (5.91) más la Ec. (5.92). Luego de la Ec. (5.94):

-

El primer término representa un movimiento con la frecuencia natural amortiguada del sistema,  D (recuérdese que para valores de  de interés 2

práctico,  D =  1-  es casi idéntica a   veáse la Secc. 5.7.1 ). La amplitud de este movimiento es una función de las condiciones iniciales pero decae exponencialmente(ver Fig. 5.11). Por consiguiente si hay algo de amortiguamiento en el sistema, después de algún tiempo su contribución a la respuesta total será despreciable. -

El segundo término, que es la solución particular , representa un movimiento armónico con la frecuencia de la fuerza excitadora  . Su amplitud permanecerá con un valor constante igual a:

F 1 u p,máx = . k 

1 2

 1 - Ω2  + 4 β 2  ω 


2

Ω

2

2

ω

(5.95)

30


El primer término de la Ec. (5.91) es también referido como la contribución de la vibración libre a la respuesta mientras que el segundo representa la vibración forzada. Durante el tiempo en que el primer sumando todavía contribuye significativamente al movimiento, se dice que de la solución (Ec. (5.91), la suma de ambos términos representa un movimiento transitorio tal como lo indica la Ec. (5.94). Una vez que esta contribución se ha hecho insignificante, el segundo sumando ( parte forzada de la respuesta) se dice que representa la respuesta estacionaria (permanente) o el estado estacionario de la respuesta, en otras palabras ahora la Ec. (5.94) quedará expresada como sigue:

u  u ESTACIONAR IA  uVIBRACIÓN ARMÓNICA FORZADA

ó

u ESTACIONAR IA=

F 1 1 cos  . senΩ t  sen . cos Ωt  k  2  2 2 Ω 2 Ω 1- 2  +4 β 2 ω  ω 

Luego, esta última ecuación puede expresarse como:

u ESTACIONAR IA  u ESTÁTICO . FAD

(5.96)

donde F 1 / k es el valor de la amplitud si la fuerza se aplicara estáticamente, y el FAD está expresado tal como puede apreciarse en la Fig. 5.21 :

FADmáx =

1

(5.97)

2

2  Ω  2 Ω 1 - 2  + 4 β 2 ω  ω  2

Puede observarse en la Fig. 5.21 lo siguiente: -

Si el sistema es rígido, o cuando los valores de  / son pequeños en que la carga tiene una variación lenta en relación al período natural del sistema, el factor de magnificación ( FAD ) es casi uno y la respuesta es controlada por la rigidez del resorte (la carga puede considerarse como estática).

-

Si el sistema es muy flexible, o cuando los valores de  / son grandes de manera que la carga varía rápidamente en relación al período natural del sistema, éste no tiene tiempo de reaccionar y la aceleración de la masa se acerca a cero de manera que el factor de amplificación ( FAD ) tiene valores menores que la unidad y la respuesta es controlada por la inercia del sistema .


31

SECC. 5.8.1: RESONANCIA. MÁXIMA AMPLIFICACIÓN

-

Hay un rango intermedio, cuando la frecuencia de la excitación está cercana a la del sistema  , donde el factor de amplificación ( FAD ) puede alcanzar valores muy altos. La respuesta en este rango está primariamente controlada por la magnitud del amortiguamiento del sistema. 





   x á m ) D A F (



 







   



  

 









  Fig. 5.21 Factor de amplificación dinámica . Cargas sinusoidales

5.8.1 Resonancia. Máxima Amplificación




32


La condición  =  se refiere normalmente como resonancia. Al reemplazar dicha condición en la Ec. (5.47) se obtiene el factor de amplificación ( FAD ) es 1/2ß y la 2

espueista es “ casi ” la máxima. Puesto que el FADmáximo = 1 /( 2  1 - 2  ) ocurre 2

realmente cuando  =  1 - 2  . Probar lo anterior es muy sencillo, ya que se obtiene al derivar el FAD respecto de  para así poder calcular el FADmáximo  Es decir:

   d  FAD  d  = d  d     

 Ω 2  1 - 2   ω 

   1 0 2  2 2 Ω  + 4 β 2 ω 

luego al despejar el valor de que hace máximo el FAD se tiene: 2

 =  1 - 2 

Valor que al ser reemplazado en la Ec. ( 5.97) da el valor antes mencionado:

FAD MÁXIMO  1 /( 2  1 - 2  2 ) Para amortiguamientos típicos del 5% (  = 0,05) la máxima amplificación es del orden de 10 tal como se puede apreciar en la Fig. 5.21. Además en el diseño de cimentaciones de máquinas normalmente lo deseable es que la frecuencia fundamental de la cimentación esté lo más alejada que sea posible de la frecuencia de operación de la máquina  .

5.9 EXCITACIÓN ARBITRARIA. INTEGRAL DE DUHAMEL La solución particular para la respuesta de un sistema de un grado de libertad sometido a un excitación arbitraria está dada por la integral de Duhamel. Esta puede deducirse considerando la fuerza excitadora, F ( t )  F 1 . f ( t ) , como una serie de pequeños impulsos actuando en un instante  que producen una velocidad inicial, e integrando la respuesta para este caso (velocidad inicial) desde ese instante cualquiera  hasta t .

F 1 t    ( t  ) y p ( t )   f ( ) e sen D ( t   )d     D m 0

(5.98)


SECC. 5.9: EXCITACIÓN ARBITRARIA. INTEGRAL DE DUHAMEL

33

Otra forma de expresar la Ec. (5.98), también conocida como la solución G (  )  F 1 f (  ) / m , luego se tendrá: estacionaria, es haciendo la aceleración sísmica u

y p (t )  

1  D

t

 uG ( ) e 

  ( t  )

sen D ( t   )d 

(5.98a)

0

La integral de Duhamel es llamada también integral de convolución, la cual nos proporciona la respuesta en el dominio del tiempo de un sistema de un solo grado de libertad (1 GDL) correspondiente a la ecuación diferencial en desplazamientos relativos, es decir “ y ”:

y(t )  2   y (t )   2 y(t )  uG (t )

(5.99)

Cabe resaltar que el efecto de las condiciones iniciales no es considerado por la respuesta, debido a que se trata de la solución particular (para mayor información ver [ .Ref. 11 ]). Entonces para tener la solución completa la que incluirá necesariamente las constantes A y B, se hará necesario agregar la solución homogénea uh, es decir, la solución general de la Ec. (5.31) correspondiente a la vibración libre amortiguada. La solución completa es denominada solución general del sistema amortiguado sometido a una acción sísmica compuesta por:

y=e

-   t

 1 t     (t  )  (5.100)   (Acos  D t+B sen D t)    u e sen t d (  )  (  )   G D    D 0 

Solución General de la vibración libre amortiguado o solución transitoria

Solución Particular o estacionaria o permanente

Las mencionadas constantes A y B si toman en cuenta las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad, así como la solución particular evaluada en el tiempo t o inicial. Dicho de otra forma, para cuando el sistema no parta del reposo al aplicarse la G (t ) , la solución completa dada por la Ec. (1.100) es calculada en base a excitación u las condiciones iniciales y(0) = yo , y y( 0 )  y o . Al observar la Ec. (5.100) vemos que si la excitación sísmica se aplica durante un tiempo prolongado, debido al amortiguamiento (por ser pequeño para el caso de las estructuras), desaparece el efecto de la vibración libre, siendo por ella denominada solución transitoria. Quedando de esta manera, la respuesta del sistema reducida al término de vibración forzada ( solución estacionaria ) luego de algún tiempo de iniciado el movimiento. Es a partir de este instante en el que la frecuencia forzada coincide prácticamente con la frecuencia predominante de la excitación ( Newmark y Rosenblueth 1971 ).


34


La integral de Duhamel tiene solución analítica para un grupo muy limitado de funciones que describen la excitación. Por ello para propósitos prácticos, por ejemplo para un terremoto, la integral debe ser evaluada por métodos numéricos. Sin embargo, el procedimiento preferido es aplicar el análisis numérico directamente a la ecuación de movimiento. A continuación veremos los casos cuando se tienen la solución exacta y cuando se emplean soluciones numéricas: i ) Solución Exacta La solución general dada por la Ec. (5.100) puede efectuarse de forma directa al evaluar la solución particular definida por la Integral de Duhamel, o sea haciendo uso de la Ec. (5.98a). Supongamos que se tiene un registro de aceleraciones producto de un G (t ) es sismo, tal como se muestra en la Fig. 5.22. Ahora, si la aceleración sísmica u definida a trozos y además lineal en cada uno de los intervalos de tiempo desiguales es posible realizar un análisis por tramos tal como muestra la Fig. 5.23, ello significaría que la integral de Duhamel posee primitiva y por consiguiente podrá obtenerse la solución analítica de la ecuación del movimiento.

uG (t ) Ver detalle en la Fig. 5.23

t

Fig. 5.22 Registro de aceleraciones producto de un sismo.


35


uG (t )

uG (t i ) uG ( )

uG (t i )  uG (t i 1 )

uG (t i 1) t i 1 

t

t i

t i  t i 1 Fig. 5.23 Función de excitación o Aceleración lineal del registro de la figura anterior.

Suponiendo además que son nulas las condiciones iniciales del sistema, el problema se reduce al cálculo de la primitiva de la integral de Duhamel de la Ec. (5.100). Según Craig 1981; Barbat y Miguel Canet 1994 la integral de Duhamel queda convenientemente expresada si en la Ec. (5.98a) se desarrolla la diferencia de senos, es decir sen D ( t   ) . Finalmente al ordenar cada miembro de manera conveniente dicha ecuación, la Ec..(5.98a), queda expresada como sigue:

-   t e y= ( P (t ) sen D t  Q(t ) cos D t)

 D

(5.101)

donde: t

P (t )   uG ( ) e   cos  D d 

(5.102)

0

t

Q(t )   uG ( ) e   sen D d 

(5.103)

0

De la Fig. 5.23, en el intervalo

(t i-1, t ) i las Ecs. (5.102) y (5.103) quedan redefinidas en el mencionado intervalo de tiempo por las Ecs. (5.104) y (5.105) respectivamente: t i

P (t i )  P (t i 1 )   uG ( ) e   cos  D d  t i 1


(5.104)

36

CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD t i

Q(t i )  Q(t i 1 )   uG ( ) e   sen D d 

(5.105)

t i 1

G (t ) en la Fig. 1.23 esta definido por una recta en dicho y además ya que u intervalo, es expresada como:

 uG (t i )  uG (t i 1 )    t i 1  t i  t i 1  

uG ( )  uG (t i 1 )  

uG ( )  uG (t i 1 )  s   t i 1 

o también:

(5.106)

(5.107)

G (t ) . siendo “ s ” la pendiente de la recta que define u Haciendo uso de la Ec. (5.107), a través de su reemplazo en las Ecs. (5.104) y (5.105), se obtiene al integrar por partes y ordenar de manera adecuada, las Ecs..(5.108) y (5.109) respectivamente:

 e     t  D  2  uG ( )  2 s   sen D  P (t i )  P (t i 1 )   2    uG ( )  s 1  2  cos D    t    i

i 1

.... ( 5.108 )

 e      Q(t i )  Q(t i 1 )   2    uG ( )  s 1  2  2 cos  D  D  uG ( )  2 s   cos  D      

t i t i 1

.... ( 5.109 ) De manera análoga a lo hecho para la obtención de la Ec. (5.100) se consigue (t ) . también la respuesta exacta para la velocidad y (t ) y la aceleración y Luego, siendo

P (t ) y Q(t ) los mismos a los de la Ec. (5.101),al derivar la

integral de Duhamel obtenemos:

y (t )= e-   t ( P (t ) cos  D t  Q(t ) sen Dt)    y(t )

(5.110)

y(t )=   2 y(t )  2   y (t )  uG (t )

(5.111)

Por último, cabe resaltar que en los errores de redondeo se encuentra la única fuente de error. INGENIERÍA SISMORRESISTENTE


37

ii ) Métodos Numéricos Se requiere que la excitación sea discretizada a intervalos de tiempos constantes para poder usar métodos numéricos, puesto que es característico de cada método. Para el cálculo numérico de la respuesta de un grado de libertad ( 1 GDL ) dos grupos de procedimientos numéricos son usados. Al hacer uso del primer grupo de procedimientos numéricos, se refiere a que se integra directamente la Ec. (5.99). En este caso los métodos de Newmark, de Wilson, de las diferencias centrales, etc, son usados con frecuencia(Wilson 1986; Barbat y Miquel Canet 1994). Por otro lado, el segundo grupo requiere de la evaluación de la integral de Duhamel puesto que parte de la resolución de la Ec. (5.100). Los métodos numéricos a diferencia del método exacto, como es lógico, introducen errores debido al proceso de discretización. Por último es de suma importancia el que los intervalos sean lo suficientemente pequeños para así poder asegurar la estabilidad y presición de la respuesta que vendría la representar al correcta discretización de la señal sísmica.

5.10 TIEMPO- HISTORIA El análisis tiempo-historia o análisis numérico es un procedimiento mediante el cual la ecuación diferencial de movimiento se resuelve paso a paso (también llamado así por esa razón) comenzando en el tiempo cero, cuando el desplazamiento y la velocidad son supuestamente conocidos. La escala de tiempo se divide en intervalos discretos, en los que se conoce la aceleración del suelo y se progresa extrapolando sucesivamente el desplazamiento de un intervalo de tiempo al siguiente. Hay muchos métodos para ejecutar este procedimiento [ Ref. 8 ].

5.11 SISMOS, REGISTROS Y ESPECTRO DE RESPUESTA La solicitación sísmica que proviene del evento de un terremoto se cuantifica mediante el registro de las aceleraciones que se producen en el suelo. Este mismo suelo servirá de sustentación a las edificaciones que se cimienten encima y por consiguiente dicho suelo puede volver a estar sometido a movimientos similares. En la costa del Perú los sismos tienen origen tectónico, es decir en el movimiento de las placas que constituyen el fondo del océano y nuestro continente. El movimiento de subducción, o sea de hundimiento de la placa de Nazca bajo la placa Sudamericana, da origen a la mayor cantidad de los sismos registrados. Estas características geofísicas condicionan también la naturaleza de los registros de sismos peruanos.


38


Fig. 5.24 Registro de aceleraciones. Sismo 17 Octubre de 1966, Lima.

En la Fig. 5.24 se muestra el registro de aceleraciones de una de las componentes del sismo del 17 de Octubre de 1966 registrado en el local del Instituto Geofísico del Perú en Lima. Este registro muestra una aceleración máxima del suelo de 0.27g. Como cada terremoto tienen características particulares, sobretodo en cuanto a su contenido de frecuencias se refiere, es útil conocer como amplifica un sismo dado determinadas frecuencias. Recordemos que los edificios tienen frecuencias de vibración propias que pueden ser excitadas mayor o menormente por el sismo si éste trae más energía en dicho rango. Una forma de apreciar el contenido de frecuencias de un sismo , a través de su registro de aceleraciones, es calculando su Espectro de Fourier . Este no es sino una transformada del registro de aceleraciones en una sumatoria de senos y cosenos y luego el cálculo de las máximas amplitudes para una frecuencia dada. Como cubre un rango de frecuencias, al gráfico de estos valores se le denomina " espectro". En la Fig. 5.25 se presenta el espectro de Fourier del mismo sismo del 17 de Octubre del 66 mostrado en la Fig. 5.24.


39

SECC. 5.10: TIEMPO - HISTORIA

Fig. 5.25 Espectro de Fourier. Sismo 17 Octubre de 1966, Lima.

Una herramienta muy útil y común en el análisis dinámico sismorresistente es el espectro de respuesta de un terremoto. Este espectro viene a ser el lugar geométrico de las máximas respuestas de un sistema de 1 GDL sometido a la excitación de un sismo en la base. Dichas respuestas para una frecuencia natural y amortiguamiento especificados puede obtenerse por integración numérica (en el dominio del tiempo o de frecuencias) de la ecuación de movimiento.

ó

m. y + 2 βωM. y + k.y = - m.uG (t)

(5.112a)

y + 2 βω. y + ω2 .y = - uG (t)

(5.112b)

Repitiendo estos cálculos para un juego completo de osciladores con la misma cantidad de amortiguamiento  y para "un espectro" de frecuencias naturales,  , es posible graficar los diferentes parámetros de la respuesta contra la frecuencia o el período. Basados en la Ref. [11] mostraremos como es que se obtiene los Espectros Sísmicos de Respuesta y lo que se obtiene como resultado luego de algunas simplificaciones, es decir los Seudo-Espectros Sísmicos de Respuestas . Sabemos que la solución general de Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

40


la Ec..(5.112a) ó (5.112b) viene dada por la solución particular , o sea la integral de Duhamel o solución permanente, ya que luego de un tiempo relativamente corto la solución transitoria se hace insignificante debido al término exponecial que la acompaña. Lo dicho se confirma al observar la Ec. (5.100). Luego la integral de Duhamel referida a un sistema de 1GDL, función de β , ω y uG , se expresa como sigue:

yGENERAL (t )  y(t )  y p (t )= 

1  D

t

 uG ( ) e 

  (t  )

sen D ( t   )d  (5.113)

0

Integral de Duhamel o solución permanente

al derivar esta última ecuación respecto del tiempo obtendremos la historia de la respuesta en velocidades. Al realizar la derivación se debe tener en cuenta que se esta derivando respecto a “ t ” y no a “  ” (que se considera como constante), por consiguiente sólo los términos que contiene la variable tiempo serán derivados (en este caso serían el producto de la función exponecial por la función seno). Entonces se tendría:

dy 1 t    ( t  )    ( t  )    = u e sen t e (  )    (  )  D cos  D (t   ) d  (5.114)    G D  dt  D 0 ordenado: t 1 t     ( t  ) y (t )=    sen D (t   )d    uG ( )e    (t  ) cos  D (t   )d   uG ( )e

 D

0

0

...... (5.115)

y(t)

finalmente la historia de respuesta en velocidades: t

y (t )=   uG ( )e    (t  ) cos  D (t   )d     y(t )

(5.116)

0

de manera análoga, para poder obtener la respuesta en aceleraciones totales , debemos derivar con respecto del tiempo la Ec. (5.116). Luego: t

y(t )  uG (t )= D  uG ( )e    (t  ) sen D (t   )d     y (t )  (   ) 2 y(t )

(5.117)

0

como es sabido las Ecs. (5.113), (5.116) y (5.117) representan, dado un cierto acelerograma, las respuestas de desplazamiento relativo, velocidad relativa y la aceleración absoluta respectivamente. Sus correspondientes valores máximos de los


41

SECC. 5.11: SISMOS, REGISTROS Y ESPECTRO DE RESPUESTA

“. Espectros ” de desplazamiento relativo, velocidad relativa y aceleración absoluta , funciones de  y  ,estan dados por las Ecs. (5.118), (5.119) y (5.120):

S d ( ,  )  y(t ) máx

(5.118)

S v ( ,  )  y (t ) máx

(5.119)

S a ( ,  )  y(t )  uG (t ) máx

(5.120)

reemplazando las Ecs. (5.113), (5.116) y (5.117) en estas últimas se tiene:

S d ( ,  )  

t

1  D

 uG ( ) e 

  ( t  )

sen D ( t   )d 

0

(5.121)

máx

t

S v ( ,  )    uG ( )e    (t  ) cos  D (t   )d     y(t ) 0

(5.122)

máx

t

S a ( ,  )   D  uG ( )e    (t  ) sen D (t   )d     y (t )  (   ) 2 y(t ) 0

(5.123)

máx

Por practicidad y basados en que  es pequeño para lo que se pretende en Ingeniería Civil (ver tabla al final de la Secc. 5.7.2.1.1)los términos afectados por dicho coeficiente de amortiguamiento pueden eliminarse por ser insignificativos y además, ya que se pretende hallar el valor máximo del espectro de velocidad , se puede intercambiar la función coseno por la del seno sin que ocurran cambios importantes [ Ref. 11 ]. Es preciso mencionar, según Barbat y Miquel 1994, que debido a la aleatoriedad de las aceleraciones del terreno uG , las aproximaciones realizadas a las Ecs. (5.122) y (5.23), resultando las Ecs. (5.125) y (5.26), son válidas en el rango usual de frecuencias que aparecen en el diseño sísmico, dejando de cumplirse, por supuesto, para periodos muy elevados. Finalmente son dichas aproximaciones las que nos permiten definir el término Seudo Espectros de Respuestas. Siendo: el Espectro de desplazamiento Relativo:

S d ( ,  )  

t

1  D

   (t  )   u e sen D ( t   )d  (  )  G 0

(5.124)

máx

el Seudo-Espectro de velocidad Relativa: t

S v ( ,  )    uG ( )e    (t  ) sen D (t   )d  0


máx

(5.125)

42


y el Seudo-Espectro de Aceleración Absoluta: t

S a ( ,  )   D  uG ( )e    (t  ) sen D (t   )d  0

(5.126 ) máx

Las Ecs. (5.125) y (5.126) como puede apreciarse nos permiten calcular en función de S d los Seudo espectros S v y S a . Lo dicho se expresa así:

S v   S d

(5.127 )

S a   2 S d

(5.128 )

Estas dos últimas relaciones dadas por las Ecs. (5.127) y (5.128) pueden ser dibujadas en una misma gráfica mediante el uso de una escala trilogarítmica. Un ejemplo de este tipo de gráfica puede ser visto en la Fig. 5.28. Es necesario remarcar que los Espectro Sísmico de Respuestas, Ecs. (5.113), (5.116) y (5.117), son interesantes solamente desde un punto de vista histórico y teórico. En cambio, en Ingeniería, la gran importancia práctica de los Seudo-Espectros Sísmicos, Ecs..(5.124), (5.125) y (5.126), hacen de ellos herramientas usadas ampliamente en el diseño sísmico de las estructuras. Para simplificar la terminología y debido al gran uso de los Seudo-Espectros, en el campo de la Ingeniería Civil, estos son denominados solamente Espectros. La Ec. (5.124) vista nos indica que un gráfico de ymáx contra frecuencia natural nos da lo que se llama un espectro de respuesta de desplazamiento relativo de un terremoto dado para el amortiguamiento  especificado. En las Fig. 5.26 y 5.27 se presentan los espectros de respuesta de aceleraciones absolutas y desplazamientos relativos para el mismo sismo anterior, en escala aritmética y variando en función de los períodos naturales no amortiguados (recordemos que el período o frecuencia amortiguado y no amortiguado son prácticamente iguales).


43


Fig. 5.26 Espectro de respuesta de aceleraciones

Es importante señalar también que para amortiguamiento cero la máxima 2 aceleración absoluta es - ymáx, o como sólo interesa el valor absoluto, el espectro de 2 aceleraciones puede obtenerse multiplicando el de desplazamientos relativos por  . Por otro lado, para sistemas amortiguados esta relación ya no es válida, pero para los valores de interés de  la diferencia es despreciable, tal como se mencionó anteriormente. La máxima velocidad relativa es también cercana a  veces el máximo desplazamiento relativo, excepto para valores pequeños de  . Luego comúnmente se define: = máx (en t ) de y(t) Espectro de desplazamiento relativo S d ( ,ß)  =  S d ( Espectro de seudo-velocidad relativa S v (  ,ß) ,ß)  2

=  S d ( Espectro de seudo-aceleraciones absolutas S a (  ,ß) ,ß)  Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

44


Fig. 5.27 Espectro de respuesta de desplazamientos

Además también se dijo que a causa de estas relaciones directas entre los tres espectros, es costumbre graficar el espectro de seudo-velocidades como función del período o frecuencia en un papel con escalas logarítmicas triples. De la escalas logarítmicas triples: - Las líneas horizontales corresponden a valores constantes de la seudo-velocidad. - Líneas inclinadas a 45° con pendiente positiva representan valores constantes de la seudo-aceleración. - Líneas inclinadas a 45° con pendiente negativa representan valores constantes del desplazamiento relativo. (si las abscisas son frecuencias las pendientes son inversas).


45


La Fig. 5.28 muestra un espectro graficado usando estas coordenadas logarítmicas. De este único gráfico se pueden leer los valores de los tres efectos para cualquier sistema de un grado de libertad (1 GDL).

Fig. 5.28 Espectro de respuestas de desplazamientos

A continuación haremos una síntesis de lo visto en esta sección. Veamos el sistema G ( t ) ( Fig. 5.29): de 1GDL libre amortiguado sometido a un sismo u u

m

m c

y  u  uG

 mu 

m k . y c. y

k

se cumple :

uG ( t )

u( t )  u G ( t )  y( t ) u  uG  y

u G ( t ) Fig. 5.29 Sistema de 1GDL libre amortiguado sometido a un sismo Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

46


la ecuación de movimiento en coordenadas relativas para el sistema de 1GDL sometido a un sismo sería:

m.u + c. y + k.y = 0 ó escrito de otra manera:

ó

m. y + c. y + k.y = - m.uG (t) y + 2 βω. y + ω2 .y = - uG (t)

Dicho sismo es el que produce un registro de aceleraciones tal como se muestra en la Fig. 5.30:

uG (t )

t

Fig. 5.30 Registro de aceleraciones producto de un sismo.

A su vez el registro de aceleraciones del mencionado sismo produce los Espectros Sísmicos. Aunque en realidad lo que se usa son las simplificaciones de los Espectros, es decir los Seudo- Espectros Sísmicos. Lo dicho se puede apreciar en Fig. 5.31:

y(t )

y máx  S d

y (t )

u(t )  uG (t )  y(t )

y máx  S v

umáx  S a

Fig. 5.31 Registro de aceleraciones producto de un sismo. INGENIERÍA SISMORRESISTENTE

47


Y debido a que hay una relación directa entre los Seudo-Espectros, los cuales representan el lugar geométrico de las Respuestas Máximasde un sistema de 1GDL sometido a un sismo, pueden representarse los tres en una misma gráfica en escala trilogarítmica. Esto es:

S d , S v , S a

S d S v S a

T Periodo Fig. 5.32 Lugar geométrico de las respuestas máximas de un sistema de 1 GDL sometido a un sismo

Finalmente, para culminar con el presente capítulo se hará un breve comentario de la Norma Peruana de Diseño Sismorresistente E-030, en lo que concierne a espectros. El Espectro de Diseño de la Norma es una curva suavizada que resulta de normalizar con respecto a la aceleración máxima de la base los espectros de respuestas de sismos registrados en un determinado lugar (la Normalización se hace usando métodos estadísticos). Dicho de otra manera, todas las curvas que representan a los sismos registrados de una determinada zona se llevan a la máxima aceleración (ver Fig. 5.33). En el caso de la Norma Peruana define 3 zonas al territoio Peruano. Luego para la Zona 3 cooresponde una aceleración de 0,4g , para la Zona 2 cooresponde una aceleración de 0,3g y para la Zona 3 cooresponde una aceleración de 0,15g. En el año 74 en Perú se tuvo 0,20g.

Aceleració n

uG máx

Espectros de respuestas de sismos registradosen el sitio. Espectros de diseño o curva suavizada producto de una normalización hecha con respecto a la aceleración máxima de la base.

Diseño

T


48


Fig. 5.33 Espectros de respuestas de sismos registrados y el espectro de diseño (curva suavizada)


49


El Espectro de Aceleraciones de la Fig. 5.33 llamado Espectro de Pseudo Aceleraciones según Norma Peruana de Diseño Sismorresistente E-030 esta definido por:

S a 

ZUSC g R

Espectro que debe ser empleado para cada una de las dirreciones analizadas. Para el análisis en la dirección vertical podrá usarse un espectro con valores iguales a los 2/3 del espectro empleado para las direcciones horizontales. La descripción de cada término puede ser vista en la Norma la cual se encuentra en el apéndice. Es necesario resaltar que las características del suelo influyen en la traducción de la onda, esto puede verse en la Fig. 5.34:

CS 3 ,50 3,00 2,50

T p  0,4 T  0,9 p

S 3

( S  1,4)

S 2

(S  1,2)

S 1

( S  1,0) T

T p  0,6 Fig. 5.34 Influencia del tipo de sueloen la traducción de la onda.

En la Fig. 5.34, C es el coeficiente de amplificación sísmica. Los demás términos se definen a continuación en la Tabla N°2 correspondiente a la Norma Peruana E-030: Tabla Nº2 Parámetros del Suelo

Tipo de Suelo

Descripción

T p (s)

S

S1

Roca o suelos muy rígidos

0,4

1,0

S2

Suelos intermedios

0,6

1,2

S3

Suelos flexibles o con estratos de gran espesor

0,9

1,4

S4

Condiciones excepcionales

*

*


50


P 5-01) Se tiene un sistema masa-resorte (sin amortiguamiento) de un grado de libertad sometido a la fuerza excitadora F(t) = F1 x f(t). En la figura se muestra la variación de f(t) con el tiempo. Se pide determinar la máxima amplitud de la vibración en el tramo t > td. El tiempo td = 1.0 s . F1 = 1.579 t. El período del sistema es de 1 s y la rigidez K es 157.91 t/m. Debe justificar debidamente su respuesta. F(t)

f(t)

M

1

K t

t

Solución.-

t  t d  Vibración Libre o U U  U o cos t  t d   sen t  t d  

1er Tramo:

U  T 

F 1 1  cos t   1,579 1  cos t   0,01m 1  cos t  157,91 k 2

 1    2  U  0,011  cos 2 t    0,01 x 2  sen 2 t  U

U má x 

U   

2

t d

  U   t d     

t  t d  1 s t  1 s

U  0,011  cos 2   0   0,01 x2  sen 2   0 U

2

 U 

00

U  0

P 5-02) Determine la ecuación de movimiento y el período natural de vibración del sistema de un grado de libertad, compuesto por una viga ( I = 4 000 cm4) con un peso concentrado de 500 kg. y una varilla de 5/8” de diámetro en uno de sus extremos, tal como se muestra en la figura 3. Ambos elementos son de acero (E = 2 100 000 kg/cm2 ). La viga se puede considerar sin masa.

L = 3m

L = 4m


51

PROBLEMAS

Solución .-

Modelo:

5"

 

P  500kg P 500kg kg  s 2  0.51 m  g 981cm cm 2 s

8

A  1.98cm2 m m

EI EA K  K VIGA  K CABLE  3 3  L h 3 x 2100000 x4000 2100000 x1.98  K  3 40 0

30 0

kg cm Luego la ecuaciónde movimiento: mu  ku  F (t ) 0.51u   14253.7u  F 1 f (t ) Por lo tantoel período: K  39 3.7  13860 14253.7

T  2

0.51 m  2 14253.7 K T



T  0.03 8 s

P 5-03) 8m

4m

Cuba Fuste

3m

15m

Se tiene un tanque elevado como el que se muestra en la figura adjunta. Se desea calcular su periodo natural de vibración para una excitación sísmica. Suponga que todos los espesores son de 20cm. La cuba y el fuste son cilíndricos. Si se lo somete a una fuerza bruscamente aplicada de 20 t. calcular cuál es el máximo desplazamiento que puede producirse. Usted debe modelar la masa y la rigidez a considerar, explique sus criterios. (E = 230 000 kg/cm2 ). Solución.-

Lo que se desea calculares el U máx teoría concluimos que:

F U má x  2 1 K

con F 1  20t

Del modelo entonces debemos calcular:


debido a

una fuerza aplicada súbitamente. Luego de la

52


EI K  3 3 h 4 4  ( De  Di )  (34  2.6 4 ) I   64 Entonces:

K 

Mod



64

3 x2300000 x1.733 3

15

I  1.733m 4 m



K  3542.8

t m

-Tapa y fondo -Muros -Fuste -Agua

15m

Luego el desplazamiento máximo: U má x  2

20

x100  1.13cm

3542.8

e=0.20m Vista de Planta del Fuste

Para el cálculo del periodo:

m K

T  2

Di

Calculando “m=P/g”

De

Peso de la Tapa y Fondo: Muros: Fuste: Agua:

 48.255t  42.344t (8  0.2) (4  2 x0.2) x 2.4 x0.2 (3  0.2) (15 / 2) x 2.4 x0.2  31.667t 2 ( (8  0.2 x 2) / 4) x(4  2 x0.2) x1  163.313t ( 8 2 / 4) x0.2 x2.4 x 2

P = 285.579 t

t  s 2 m  29.111 m Por lo tanto:

T  2

29.11 3542.8



T  0.57 s

P 5-04) Calcular Sa: aceleraciones absolutas. Para un movimiento en la base definido por:

G  ao sen( 2  t ) cm / s 2 U Duración indefinida. Graficar solamente para un rango del periodo entre 0 y 2 segundos. (Considerar   5% y la solución permanente o estacionaria) Solución.-

  2   y   2 y De la forma y

  (100 sen(2 t ))  100 sen(2 t )  a sen t  U G G [ forma conocida ]


53

PROBLEMAS

Solución permane ymáx nte:

y 

aG 2



ymá x 

1 (1  r )

2 2

aG  2

 (2  r )

1 (1  r )

2 2

 (2  r )

2

  t   ) , r  sen ( 2 2

 S d

ymáx  S d  Sa   2 S d S a 



relación de espectros para   5%

aG (1  r 2 )2  (2  r ) 2

 2 rad / s ,   2 / T ,  r   /   (2 ) /(2 / T )  T

Reemplazando:   0.05

aG  100 cm / s 2 ,



aG

S a 

(1  r 2 ) 2

T (s) 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

 (2  r ) 2 Sa (cm/s 2 ) 100 106.63 133.04 225.29 1000 175.54 79.43 48.31 33.26

Sa (cm/s2) 1200 1000 800 600 400 200 0 0


0.5

1

1.5

2

Sistemas de Un Grado de Libertad

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