PERSAMAAN GARIS SINGGUNG DISUA DIS UATU TU TIT TITIK IK PADA KURV KURVA A h f(x+h)-f(x)
Q(x+h,f(x+h)) g
Gradien Garis singgung kurva di titik P adalah f ' (x) Limit P(X,f(X)) h 0
x
x+h
f(x h) f(x) h
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG DISUA DIS UATU TU TIT TITIK IK PADA KURV KURVA A h f(x+h)-f(x)
Q(x+h,f(x+h)) g
Gradien Garis singgung kurva di titik P adalah f ' (x) Limit P(X,f(X)) h 0
x
x+h
f(x h) f(x) h
RINGKASAN MATERI 1.
Gradien Garis Singgung di titik P(x,y) adalah f ' ( x) Limit h 0
2.
f ( x h) - f(x)
m
h Persamaan Garis singgung di titik P(x P( x1 , y1 ) dengan
gradiennya m adalah : y - y1 m ( x x1 ) 3.
Jika garis saling tegak lurus maka m 1 .m 2 1
4.
Jika garisnya sejajar maka m 1 m 2
CONTOH SOAL 1 Tentukan persamaan garis singgung di titik (3,9) pada kurva y x2 SOLUSINYA: y x2 y' 2x pada titik (3,9),maka y' (3) 2.3 6 m persamaan garis singgung di (3,9) adalah : y - y1 m( x - x1 ) y - 9 6(x - 3) y y
6x - 18 9 6x - 9
CONTOH SOAL 2 2. Tentu' kan persamaan garis singgung di titik 1,5 pada kurva y 3x 2 2 Solusi : y 3x 2x y 6x 2 2
'
y ' 1 6.1 2 8 Persamaan garis singgung di 1,5 adalah y 5 8 x 1 y 8 x 8 5 y 8 x 3
AKTIVITAS SISWA
1.
Carilah persamaan garis singgung pada kurva berikut : a.
y x 2 - 3x - 40, .di (1,-42)
b.
y x 3 - 2x 2 4, di (2,4)
FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN
1.
2.
Sifat-sifat suatu fungsi dapat diselidiki dengan menggunakan turunan. Syarat fungsi naik dalam suatu interval tertentu yaitu Fungsi dikatakan naik jika seiring pertambahan nilai x ke kanan,maka nilai f(x) bertambah.atau f ‘(x)>0 Syarat fungsi turun yaitu jika seiring pertambahan nilai x kekanan,maka nilai f(x) berkurang.atau f ‘(x)<0
SKETSA FUNGSI NAIK DAN TURUN
y=f(x) y=f(x)
f(x1 )
f(x2 )
x2
x1 Fungsi Naik (a)
f(x1 )
f(x2 )
x2
x1
Fungsi Turun (b)
CONTOH 1 Biaya total produksi x unit barang diberikan dengan C(x)
2
x3 5x 2 50x 10.Tentuka n biaya Marjinalny a.
5 Apakah biaya Marjinalny a naik atau turun seiring dengan
penambahan produksi barangnya?
J AWABANNYA Biaya Marjinal M(x) c' (x)
Jadi M(x)
2 5 6 5 6
.3x2 5.2x 50 x2 10 x 50 x2 10 x 50 . Kemudian untuk menentukan
5 bahw a biaya marjinal naik atau turun seiring dengan penambahan barang yaitu apakah M' (x) 0; M' (x) 0, untuk x 0 : ternyata 6
M(x)
5
M' (x) 2.
x2 10 x 50 . 6
5 12
x 10 x 10 Karena x 0 maka M' (x)akan selalu lebih besar dari 0
5 sehingga Biaya Marjinal akan naik seiring dengan penambahan
produksi barang
CONTOH 2 Tentukan interval agar fungsi f(x) x3 f(x) x3
3 2
3 2
x2 naik atau turun.
x2 f ' (x) 3x 2 3 x
3x(x- 1) x 0 atau x 1 Gambar garis bilangan dan selidiki nilai f ' (x)di titik x -1, x f ' (-1) 3(-1)2 3(1 ) 6 0 (Positif) 1 1 1 3 6 3 f ' ( ) 3( )2 3( ) - 0 (Negatif) 2 2 2 4 4 4 f ' (2) 3(2)2 3(2 ) 12 6 6 0 (Positif) - - -
+ + + 0
Jadi f(x) x 3
3
+ + + 1
x2 naik pada interval x 0 dan x 1 dan
2 Turun pada interval 0
1
1 2
, dan x 2
AKTIVITAS SISWA 1.
Tentukan interval agar fungsi- fungsi berikut naik atau turun a).
f(x) x 3 3x 2
b).
f x x3 - 3x 5
J AWABAN
f(x) x 3x f' (x) 3x 6x 3
2
2
Syarat fungsi naik f' (x) 0 3x 6x 0 2
3x(x - 2) 0 x 0 atau x 2 selidika nilai f' (x) di x -1, x 1 dan x 3 f' (-1) f' (1) f' (3)
SKETSA GRAFIK DENGAN UJI TURUNAN DENGAN UJI TURUNAN PERTAMA Syaratnya : 1.
Bentuk Dasar (Linear atau kuadrat)
2.
Titik potong dengan sumbu - sumbu koordinat
3.
Interval definisi fungsi
4.
Interval fungsi naik atau turun
5.
Titik Stasioner.
CONTOH a. b. c.
Carilah titik stasioner untuk fungsi y x3 6x 2 15x 2 Tentukan Jenis dari titik titik stasioner yang diperoleh dari a Buatlah sketsa grafiknya.
JAWAB: a.
y x3 6x 2 15x 2 y' 3x 2 12 x 15 . Syarat titik stasioner y' 0 3x 2 12 x 15 . 0 3(x 5)(x- 1) 0 (x 5)(x- 1) 0 x 5 atau x 1 Jik a x -5 maka y (-5)3 6.(-5)2 - 15.(-5)- 2 y 98 Jik a x 1 maka y (1)3 6.(1)2 - 15.(1) - 2 y -10 Jad i titik - titik stasionern ya adalah (-5,98) dan(1,-10)
B.
LANJUTAN
Untuk menentukan jenis titik stasioner, maka kita pakai titik uji disebelah kiri dan kanan titik stasioner. Misalnya kita pilih x -6, x 0, dan x 2 sebagai sampel masukan kedalam fungsi turunan. x -6 maka y' 21 0 x 0 maka y' -15 dan x 2 maka y' 21 0 masukkan hasilnya dalam tabel turunan.
TABEL TURUNAN X
-6
-5
0
1
2
Y’
+
0
-
0
+
Kemiringan
/
-
\
-
/
Dengan demikian (-5,98) adalah titik balik maksimum dan (1,-10) adalah titik balik minimum.
C.
LANJUTAN
Untuk mengsketsa grafik fungsi y x3 6x 2 - 15x - 2 dibutuhkan beberapa titik lagi 1.
Titik potong dengan sumbu x maka y 0 x3 6x 2 - 15x - 2 0 (x - 2)(x2 8x 1) 0 x 2 atau x 8x 1 0 2
x 2 atau x -4 15 (Pakai rumus ABC) x 2, atau x -0,127, atau x - 7,873 Jadi titik potong dengan sumbu x, adalah (2,0),(-0,127,0) dan (-7,873,0)
C
LANJUTAN
Titik potong dengan sumbu y maka x=0 Y=-2 Jadi titik potong dengan sumbu y adalah (0,-2) Dari tabel turunan dapat disimpulkan bahwa: Grafik naik pada selang (-~,-5)dan(1,~) dan turun Pada interval selang (-5,1)
LANJUTAN SKETSA GRAFIK (-5,98)
Y
y x3 6x 2 - 15x - 2 (-7,873,0)
(-0,127,0)
(2,0)
(0,-2)
(1,-10)
X
AKTIVITAS SISWA Misalkan y x3 - x2 - x 4 a. b.
Tentukan y' dan faktorkan bentuk kuadrat yang di dapat. Tentukan nilai x yang memenuhi y' (x) 0 dan nilai y yang bersesuaia n.
c.
Klasifikas ikan jenis nilai stasioner sebagai maksimum, minimum, atau titik belok dengan menggunaka n tabel turunan.
d.
Gambar grafiknya dengan bantuan beberapa titik lain.
y x x x 4 y 3 x 2 x 1 3
2
'
dari : y ' 3 x 2 2 x 1 dengan menggunaka n rumus ABC : x
- b b 2 - 4ac 2ac
2
Mari kita cek masing - masing nilai : a 3, b 2, dan c - 1 kita masukkan ke dalam rumus:
b b 2 4ac
2 2 2 4.3. 1 x 2ac 2.3. 1 2 4 12 2 16 x 6 6 2 1 2 16 2 4 jadi nilai x1 6 3 6 6 2 16 2 4 6 nilai x 2 1 6 6 6
SKETSA GRAFIK DENGAN UJI TURUNAN KEDUA CONTOH :
a.
Tentukan dan klasifikas ikan semua titik stasioner pada grafik y x x 4
b.
3
Buatlah sketsa grafik y x x dengan 4
3
memanfaatk an informasi dari a
TURUNAN/ DIFERENSIAL
DEFINISI TURUNAN
Turunan dari y f(x) terhadap x didefinisikan dengan : f(x h) - f(x) lim y f (x) h0 dx h dy
1
1
RUMUS-RUMUS TURUNAN Turunan pertama dari f(x) 4x 2 3x adalah... A. (2 x - 4) (2x 8) D. (4x - 3) (4x2 3x)2 3 2 B. (2 - 4x) (2x 3) 3 C. (4x - 3) (4x2 - 3x)3 2
E. (4x
-1 3) (4x2 - 3x) 2
2
RUMUS-RUMUS TURUNAN 4. f(x) U.V maka f 1(x) U1.V U.V1 U 5. f(x) V
1V - U.V1 U maka f 1(x) V2
SOAL KE-1 2
1
Jika f(x) = 3x + 4 maka nilai f (x) yang mungkin adalah …. 2
A. 3x
C. 9x
B. 6x
D. 10x
2
E. 12x 2
PEMBAHASAN
2
f(x) = 3x + 4 1
f (x) = 6x
AW WABAN SOAL KE-1 J A 2
1
Jika f(x) = 3x + 4 maka nilai f (x) yang mungkin adalah …. 2
A. 3x
C. 9x
B. 6x
D. 10x
2
E. 12x 2
SOAL KE-2 Nilai turunan pertama dari: 2
2
f(x) = 2(x) + 12x – 8x + 4 adalah … 2
A. x – 8x + 5 2
B. 2x – 24x – 24x – – 2 2
C. 2x + 24x – 24x – 1 1
2
D. 6x + 24x + 8 2
E. 6x + 24x – 24x – 8 8
PEMBAHASAN
3
3
f(x) = 2x + 12x – 8x + 4 1
2
f (x) = 6x + 24x – 8
AW WABAN SOAL KE-2 J A Nilai turunan pertama dari: 2
2
f(x) = 2(x) + 12x – 8x + 4 adalah … 2
A. x – 8x + 5 2
B. 2x – 24x – 24x – – 2 2
C. 2x + 24x – 24x – 1 1
2
D. 6x + 24x + 8 2
E. 6x + 24x – 24x – 8 8
SOAL KE-3 Turunan Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1) Adalah … A. 24x + 5
D. 12x – 12x – 5 5
B. 24x – 24x – 5
E. 12x – 12x – 10 10
C. 12x + 5
PEMBAHASAN
f(x) = (3x-2)(4x+1) 1
2
f (x) = 12x + 3x – 8x – 2 2
f(x) = 12x – 5x – 2 1
f (x) = 24x – 5
J AWABAN SOAL KE-3 Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1) Adalah … A. 24x + 5
D. 12x – 5
B. 24x – 5
E. 12x – 10
C. 12x + 5
SOAL KE- 4 2 6 -1 Nilai f (x) dari f(x) x 2x adalah... 3 1
5
A. 2x 2x
5
-1
5
-2
D. 4x 2x
5
B. 2x 2x
-1
5
-1
C. 4x 2x
E. 4x 2x
PEMBAHASAN
2 6 1 f(x) x 2x 3 2 6 -1 1 1 1 2 (-1).x f (x) 6. x 3
f 1(x) 4x5 - 2x - 2
J AWABAN SOAL KE- 4 2 6 Nilai f (x) dari f(x) x 2x - 1 adalah... 3 1
A. 2x 5 2x 5
B. 2x 2x
D. 4x5 2x - 1 -1
C. 4x 5 2x - 1
5
E. 4x 2x
-2
SOAL KE- 5 Turunan ke - 1 dari y x 6 3 adalah ... A. 3 x B. 3x
2
C. 3 x 2 2
D. 3x 3
E. 3 x 1
PEMBAHASAN
6
y x 3 yx
6
2
3
3
yx 3 1
y 3x
2
J AWABAN SOAL KE- 5 6
Turunan ke - 1 dari y x 3 adalah ... A. 3 x
C. 3 x 2
B. 3x 2
D. 3x 2 3
E. 3 x 1
SOAL KE- 6 3
1
Jika f(x) = (2x – 1) maka nilai f (x) adalah … 2
D. 24x – 12x + 6
2
E. 24x – 24x + 6
A. 12x – 3x + 12 B. 12x – 6x – 3 2
C. 12x – 6x + 3
2
2
PEMBAHASAN f(x)
3
= (2x – 1)
1
2
1
2
f (x) = 3(2x – 1) (2) f (x) = 6(2x – 1) 1
f (x) = 6(2x – 1)(2x – 1) 1
2
f (x) = 6(4x – 4x+1) 1
2
f (x) = 24x – 24x + 6
J AWABAN SOAL KE- 6 3
1
Jika f(x) = (2x – 1) maka nilai f (x) adalah … 2
D. 24x – 12x + 6
2
E. 24x – 24x + 6
A. 12x – 3x + 12 B. 12x – 6x – 3 2
C. 12x – 6x + 3
2
2
SOAL KE- 7 2
Turunan pertama dari f(x) = (5x – 1)
2
adalah … 3
A. 20x – 20x 3
B. 100x – 10x 3
C. 100x – 20x
4
2
D. 5x – 10x + 1 4
2
E. 25x – 10x + 1
PEMBAHASAN f(x) 1
2
= (5x – 1)
3
2
f (x) = 2(5x – 1) (10x) 1
2
f (x) = 20x (5x – 1) 1
3
f (x) = 100x – 20x
J AWABAN SOAL KE- 7 2
Turunan pertama dari f(x) = (5x – 1)
2
adalah … 3
A. 20x – 20x 3
B. 100x – 10x 3
C. 100x – 20x
4
2
D. 5x – 10x + 1 4
2
E. 25x – 10x + 1
SOAL KE- 8 Turunan pertama dari f(x) 4x 2 3x adalah... A. (2 x - 4) (2x 8) D. (4x - 3) (4x2 3x)2 3 2 B. (2 - 4x) (2x 3) 3 C. (4x - 3) (4x2 - 3x)3 2
E. (4x
-1 3) (4x2 - 3x) 2
2
PEMBAHASAN 2
f(x) 4x 3x 1 2 f(x) (4x 3x)2 1 1 1 f (x) (4x 2 3x) 2 (8x 3) 2 1 3 f 1(x) (4x )(4x 2 3x) 2 2
J AWABAN SOAL KE- 8 Turunan pertama dari f(x) 4x 2 3x adalah... 2 A. ( x - 4) (2x 8) 3 2 B. ( - 4x) (2x 3) 3 3 C. (4x - ) (4x 2 - 3x)3 2
3 D. (4x - ) (4x 2 3x)2 2 E. (4x
1 3 ) (4x 2 - 3x) 2 -
2
SOAL KE- 9 Turunan pertama dari 2
f(x) = (3x – 6x) (x + 2) adalah … 2
A. 3x – 12
D. 9x – 12
2
2
B. 6x – 12 2
C. 6x + 12
2
E. 9x + 12
PEMBAHASAN f(x)
2
= (3x – 6x) (x + 2)
Cara 1: 2
Misal : U
= 3x – 6x 1
U
= 6x – 6
V
=x+2
1
V
=1
