UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
STATI LIMITE D’ESERCIZIO Con le verifiche allo stato limite di esercizio ci occupiamo di ciò che accade per carichi usuali. Per questo motivo i carichi permanenti sono considerati nel loro valore caratteristico Gk , mentre per i carichi variabili si considerano tre possibili combinazioni: n
∑= ψ Q
- COMBINAZIONE RARA
G K + Q K ,1 +
- COMBINAZIONE FREQUENTE
G K + ψ 1Q K ,1 +
- COMBINAZIONE QUASI PERMANENTE
0
K ,i
i 2
n
∑= ψ Q 2
K ,i
i 2
G K +
n
∑= ψ Q 2
K ,i
i 1
Essendo Ψ2 < Ψ1 < Ψ0 le tre condizioni corrispondono a carichi via via più bassi e quindi con maggiore probabilità di presenza.
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
STATI LIMITE D’ESERCIZIO Nel cemento armato abbiamo tre stati limite di esercizio. • STATO LIMITE DI FESSURAZIONE • STATO LIMITE DI TENSIONI DI ESERCIZIO • STATO LIMITE DI DEFORMAZIONE
In ogni caso si ipotizza una relazione σ – ε lineare elastica in quanto siamo lontani dal comportamento ultimo. Semplici criteri progettuali possono garantire un buon comportamento della struttura agli SLE.
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
CLASSI DI ESPOSIZIONE AMBIENTALE Nelle verifiche per lo stato limite di tensioni di esercizio e in quelle allo stato limite di fessurazione si fa riferimento a diverse classi di esposizione ambientale. La normativa italiana distingue in ambiente poco, mediamente o molto aggressivo senza però fornire ulteriori dettagli. L’ EC2, invece, al prospetto 4.1 prevede 5 classi di esposizione: • CLASSE 1: AMBIENTE SECCO (interni di abitazioni o uffici) • CLASSE 2: AMBIENTE UMIDO(esterno di una abitazione, interno di cucine…) •2a: SENZA GELO •2b: CON GELO • CLASSE 3: AMBIENTE UMIDO CON GELO E SALINITÀ (per ritardare il gelo) • CLASSE 4: AMBIENTE UMIDO CON SALINITÀ MARINA •2a: SENZA GELO •2b: CON GELO (mari freddi del nord) • CLASSE 5: AMBIENTE CHIMICAMENTE AGGRESSIVO
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
STATO LIMITE DI FESSURAZIONE Prima dell’applicazione dei carichi la trave è integra, e quindi nel 1° stadio; dopo raggiunge il 2° stadio con un passaggio brusco per la sezione ma graduale per la trave. CASO I: CASO II: ε
ε
+
Al primo stadio: σ=
N A c + nA s
Trovo Nfes quando
σ=− σ = f ct ,k
N fess = f ct ,k ( A c + nA s )
M y I
Con I inerzia della sezione omogenizzata
Trovo Mfes quando M fes =
I f cf ,k y
σ = f cf ,k
con f cf ,k
= 1.2f ct ,k
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
MOMENTO DI DECOMPRESSIONE Presenza contemporanea di N<0 ed M. Sia N=costante; facciamo crescere linearmente M
Al primo stadio vale il principio di sovrapposizione degli effetti. σ=
-
+
= +
σN
σM
Per M=0 la sezione è tutta compressa, se aumento M arrivo ad un valore per cui la tensione al lembo inferiore è nulla. Parliamo quindi di MOMENTO DI DECOMPRESSIONE. Se incremento ancora M arrivo ad un valore per cui la tensione al lembo inferiore è pari a f cf,k . Parliamo quindi di MOMENTO DI FESSURAZIONE
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
DOMINI M-N La presenza contemporanea di pressione e flessione porta ad avere: Se pongo σ=0 trovo, fissato N, il momento di decompressione; Se pongo σ=f cfk trovo, fissato N, il momento di fessurazione.
Sezione interamente compressa Sezione parzializzata ma non fessurata
σ=
N M y − A I
M
N
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
ESEMPIO APPLICATIVO q f catena
L
q = 50 kNm-1 q = 35 kNm-1 q = 24 kNm-1 L = 10 m f=3m
SLU SLE rara SLE quasi permanente Rck = 25 Mpa FeB 44K
Forza di trazione nella catena: H = 208.3 kN H = 145.8 kN H = 100.0 kN
Catena realizzata con una sezione 20 x 20 armata con 4Φ14 VERIFICA SLU: NRD=A s·f yd = 4 x 1.54 x 373.9 x 10-1 = 230.3 kN > 208.3 kN FESSURAZIONE: n= Es/Ec =206000/28500 = 7.23 fctk =1.62 Mpa Nfes = f ctk (A +nA ) = 1.62 (400 + 7.23 x 6.16) x 10-1 = 72 kN
qL 2 H = 8f
SLU SLE rara SLE quasi permanente
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
ESEMPIO APPLICATIVO La sollecitazione è uguale in tutte le sezioni Immediatamente prima della fessurazione:
Si fessura la sezione in cui il cls è più debole σc= f ctk = 1.62 Mpa σs= n·σc= 11.7 MPa
Immediatamente dopo la fessurazione, nella sezione che si è fessurata: σc= 0 σs= Nfes /As= 116.9 MPa σc
σs
In corrispondenza della fessura il cls non reagisce e la forza assiale di trazione è trasmessa dall’armatura (II stadio)
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
ESEMPIO APPLICATIVO L’armatura tende ad allungarsi e, allontanandosi dalla fessura, per aderenza si ha trasmissione delle tensioni f b tra acciaio e calcestruzzo. L’ acciaio si scarica mentre il cls va in trazione. Indicata con Ac,eff l’area di cls coinvolta, ad una distanza ∆x dalla fessura si ha: σc A c ,eff = f bk ∆x ∑ πφ Essendo Σπφ il perimetro delle barre A s ρ = si trova: Ponendo A c ,eff
f bk σc
σc= 0 σs= 116.9 MPa
f bk ∆x f bk ∆x n πφ2 / 4 4f bk ∆x A s 4f bk ∆x n πφ = = = = ρ A c ,eff A c ,eff A c ,eff φ / 4 φ φ
La tensione σc ritorna al valore f ctk ad una distanza L dalla fessura, ottenuta da: L
L =
σc
1 f ctk φ 4 f bk ρ
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
FESSURE SUCCESSIVE Sotto uno sforzo assiale che cresce di pochissimo si formano altre fessure. Ciascuna sarà a distanza non inferiore a 2L e non superiore a L. Poiché in corrispondenza della fessura l’armatura si allunga, è importante che questa rimanga in campo elastico dopo l’incremento di tensione che la riguarda in seguito alla fessurazione della sezione. L’ EC2 sulla base di questi ragionamenti e di risultati sperimentali indica come distanza media tra due fessure, espressa in mm, la quantità: S Rm = 50 + 0.25k 1k 2
φ ρ
Con:
ρ=
A s A c ,eff
e Ac,eff =2.5xcxb
2.5c b
K 1 traduce il rapporto tra f ctk e f bk ; k 2 tiene conto della sollecitazione; 50 traduce i risultati sperimentali. Infatti: k 1= 0.8 per barre ad aderenza migliorata k 1= 1.6 per barre lisce k 2= 0.5 per struttura inflessa k 2= 1.0 per struttura tesa Per sollecitazioni intermedie k = ( + )/(2 ) con deformazioni di trazione agli estremi della
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
AMPIEZZA DELLE FESSURE In modo semplificato, cioè trascurando le tensioni trasmesse per aderenza, nel tratto di lunghezza Srm l’armatura si allunga mentre il cls tra le fessure è scarico. L’ampiezza tra le fessure è quindi la differenza tra l’allungamento delle barre e il non allungamento del cls. L1 L2
L1
L2
∆L
Indicando con σs la tensione nell’acciaio dopo la formazione della fessura si ha: E quindi l’ampiezza della fessura sarebbe:
W
= ε s S rm
ε s =
σ s E s
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
AMPIEZZA DELLE FESSURE N
Fino a quando il calcestruzzo non si è fessurato la deformazione dell’acciaio e quella del calcestruzzo sono entrambe pari a:
I stadio II stadio
ε s 1 = ε c 1 =
ε
Superato lo sforzo normale di fessurazione, invece, si avrebbe:
Nel ragionamento ideale, quindi, avrei un salto brusco. Nel caso dell’esempio precedente: εc=εs εs-εc=0 I stadio: εs=0.57x10-4 εc=0 II stadio: εs=5.67x10-4 Valore medio nel tratto L: εsm=3.12x10-4 εcm=0.28x10-4 εsm- εcm =2.84x10-4
N E c ( A c + nA s )
εs 2 =
εc 2 = 0
N
N E s A s
I stadio II stadio
Nfes ε
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
AMPIEZZA DELLE FESSURE In questo modo viene trascurato il TENSION STIFFENING cioè il contributo della porzione di calcestruzzo tra le fessure che continua a lavorare a trazione. Bisogna quindi considerare le deformazioni in termini medi: βε1 Il calcestruzzo si allunga mediamente di: εs1+(1-β)(εs2- εs1)= εs2-β(εs2- εs1) L’acciaio di: L
εcm εsm
Dopo la fessurazione:
Infatti prima della fessurazione: N c = A c εc 1E c = A c εs 1E c ;
N c = β A c εc 1E c ;
N s = A s εs 1E s
N s = A s ε sm E s
Infatti dall’uguaglianza tra lo sforzo normale immediatamente prima e dopo la fessurazione si ha: A c εc 1E c + A s εs 1E s = βεc 1 A c E c + A s εsm E s
εsm =
A s εs 1E s + A c εc 1E c (1 − β ) A ε E = εs 1 + (1 − β) c c 1 c E s A s E s A s
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
AMPIEZZA DELLE FESSURE Sommando e sottraendo E A s sεs1 si trova: ε ( A + nA s )E c N A c εc 1E c + A s εs 1E s − A s εs 1E s = εs 1 + (1 − β ) s 1 c − εs 1 E s A s E s A s N N N ε ε ; ε s 2 = ε s 1 = ε sm = ε s 1 + (1 − β ) s 1 s 2 − ε s 1 = ε s 1 + (1 − β )[ε s 2 − ε s 1 ] troviamo: E s A s E c ( A c + nA s ) ε s 1 εsm = εs 1 + (1 − β)
Ma poiché:
Quindi superato Nfes, l’acciaio si allunga ulteriormente di (1-β)(εs2- εs1). Poi, al crescere di N il comportamento tende asintoticamente a quello del secondo stadio perché il contributo del calcestruzzo diviene sempre meno rilevante e si ha: N ∆ε = β[ε s 2 (N fes ) − ε s 1 (N fes )] fes N Se indico con εs1(N) ed εs2(N) le deformazioni che si avrebbero al primo e secondo stadio nell’acciaio sotto lo sforzo normale N trovo che: N e quindi: [εs 2 (N fes ) − εs 1 (N fes )] = [εs 2 (N ) − εs 1 (N )] fes N ∆ε = β[ε (N ) − ε (N )] fes
2
N
N
I stadio
II stadio
∆ε
Nfes β(εs2- εs1)
(1-β)(εs2- εs1)
ε
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
AMPIEZZA DELLE FESSURE Sotto l’azione di un generico sforzo normale N>Nfes si ha:
N ε sm = ε s 2 − ∆ ε = ε s 2 − β[ε s 2 (N ) − ε s 1 (N )] fes N 2 N N εcm = βε s 1 (N fes ) fes = βε s 1 (N ) fes N N
L’ampiezza delle fessure è pari alla differenza tra l’allungamento dell’acciaio e quello del calcestruzzo: 2 2 2 2 N fes N fes N fes N fes W m = S rm ε s 2 − βε s 2 + βε s 1 − βε s 1 = S rm ε s 2 1 − β N N N N
σ s σ sr 2 W m = S rm 1 − β E s σ
La normativa dice che l’ampiezza media delle fessure è: σs σsr 2 W m = S rm 1 − β1β2 E s σ
Esprimendo l’ampiezza media delle fessure in termini di tensioni si ha il vantaggio di poter utilizzare la stessa relazione anche per elementi inflessi. 2 = 1 per carichi di breve durata (comb rara); 1 = 1 per barre ad aderenza migliorata; 2 = 0.5 per carichi di lunga durata (q.perm) o ciclici. 1 = 0.5 per barre lisce. L’ AMPIEZZA CARATTERISTICA delle fessure è: k = β W m con
= 1.7 per fessurazione indotta da carichi o da deformazione impedita per sezioni con
2
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
LIMITI DI NORMATIVA La normativa italiana agli stati limite fornisce indicazioni sulle ampiezze massime delle fessure. L’eurocodice, invece, dice che l’ampiezza delle fessure deve essere stabilita dal committente. In mancanza di precise prescrizioni si ritiene accettabile una ampiezza, per edifici in ambiente di classe W k <= 0 .3mm di esposizione 2-4: Questo limite, che può essere ampliato per ambienti di classe 1, è facilmente soddisfatto se si rispettano alcune indicazioni costruttive: EVITARE LO SNERVAMENTO DELL’ARMATURA SUBITO DOPO LA FESSURAZIONE σ A A s ≥ c c Quindi, per sollecitazioni di trazione si ha: N c=σc Ac σ s essendo Ac l’area di σ A calcestruzzo teso A s ≥ c c per sollecitazioni di flessione si ha: N c=σc Ac /2 In generale si può quindi dire che: La normativa pone:
A s ≥
σ A A s ≥ c c K c σs
K c Kf ct ,eff A c ,teso
σs
2 σ s
con Kc coeff. che tiene conto della sollecitazione Dove Kc = 1 per trazione; Kc = 0.4 per flessione.
K = 0.5;1 tiene conto delle deformazioni impresse. Noi consideriamo 1 a vantaggio di sicurezza. Il NAD pone s= 0.9f yk L’eurocodice pone f ct,eff = 3 MPa
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
ALTRE INDICAZIONI PROGETTUALI L’ampiezza delle fessure dipende non solo dalla deformazione dell’armatura ma anche dalla distanza φ media tra le fessure: S Rm = 50 + 0.25k 1k 2 ρ Se uso, a parità di area di acciaio, ferri di diametro maggiore aumenta S rm e quindi Wk È PREFERIBILE UTILIZZARE BARRE DI DIAMETRO PIÙ PICCOLO L’ eurocodice al punto 4.4.2.3 riporta una tabella in cui entrando con la tensione nell’armatura dopo la fessurazione trovo limiti sui diametri massimi e sulle distanze tra le barre per avere W< 0.3 mm Tensioni ottenute nell’armatura con la combinazione di carico QUASI PERMANENTE Nel caso di flessione posso ottenere in prima approssimazione la tensione nell’armatura come: M fes σs =
0.9dA s
Altri limiti sono imposti per le staffe.
σs
φ max (mm)
d max (mm) fless Traz
c.a.
c.a.p
160 Mpa
32
25
300
200
200 Mpa
25
16
250
150
240 Mpa
20
12
200
125
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
STATO LIMITE DI DEFORMAZIONE La deformazione deve essere limitata per motivi funzionali e per evitare lesioni nei tramezzi. Consideriamo una trave appoggiata appoggiata. Il primo problema è definire l’inerzia della trave. Se q suppongo armatura costante ho comunque inerzia 4 variabile perché dove M
∆ f ≤
L
250 L
per combinazione di carico quasi permanente
500 per incrementi di carico
Questi limiti sono raddoppiati per gli sbalzi.
Se la verifica non è soddisfatta bisogna operare in modo rigoroso. Nell’appendice l’EC suggerisce di valutare una media pesata tra le frecce in condizioni limite (con il peso fornito dal tension stiffening).
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
STATO LIMITE DI DEFORMAZIONE Dalle limitazioni sulla freccia si possono trovare indicazioni sul valore del rapporto L/h. Studi statistici hanno permesso di trovare in funzione del grado di vincolo e della sollecitazione nel calcestruzzo i valori di L/h che, se rispettati, permettono di evitare la verifica La distinzione tra calcestruzzo poco o molto sollecitato è fatta mediante la percentuale di armatura presente e serve perché nel secondo caso la freccia aumenta per effetti viscosi. SCHEMA STRUTTURALE
CLS POCO SOLLECITATO
CLS MOLTO SOLLECITATO
As/(bd)=0.005
As/(bd)=0.015
L ≤ 10 h
L ≤ h
L ≤ 25 h L ≤ 32 h L
≤ 35
7
L ≤ 18 h L ≤ 23 h L
≤ 25
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
S.L. TENSIONI DI ESERCIZIO Tensioni elevate nelle strutture in cemento armato comportano diversi problemi: 1.
Il calcestruzzo ha deformazioni viscose pari a circa 2-3 volte quelle elastiche. Tensioni forti incrementano tali deformazioni e nono si potrebbe più tener conto di queste negli stati limite di deformazioni. 2. Tensioni forti causano fessurazioni nel calcestruzzo per compressione. 3. Tensioni forti nelle armature causano lesioni in queste. Nella verifica delle sezioni il comportamento è quello nel II stadio e il NAD fissa n = 15 VISCOSITÀ: combinazione di carico QUASI PERMANENTE σc ≤ 0 .45f ck Classe 1 – 2: σc ≤ 0 .40 f ck Classe 3 – 4: FESSURAZIONE PER COMPRESSIONE: combinazione di carico RARA σc ≤ 0 .60 f ck Classe 1 – 2: σc ≤ 0 .50 f ck Classe 3 – 4: σs ≤ 0.70f yk TENSIONE NELLE ARMATURE: combinazione di carico RARA N.B. Limiti imposti dal NAD che ha abbassato quelli proposti nell’ eurocodice.
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
NECESSITÀ DELLA VERIFICA I carichi per le verifiche alle T.A. sono analoghi a quelli per le verifiche d’esercizio (combinazione rara con un solo carico variabile); mentre nella combinazione di carico frequente e quasi permanente si hanno carichi minori. σ ≤ σ = 8 .5MPa
c c I limiti alla T.A. per calcestruzzo Rck 25Mpa e acciaio FeB44K sono: σ s ≤ σs = ...MPa Mentre per i medesimi materiali agli S.L.E. si ha: σc ≤ 0 .50 f ck = 0 .5 ⋅ 20 .75 = 10 .37 MPa cls combinazione rara: σc ≤ 0 .40 f ck = 0 .4 ⋅ 20 .75 = 8 .3MPa cls comb. quasi permanente: σ s ≤ 0 .70 f yk = 0 .7 ⋅ 430 = 301 MPa acciaio combinazione rara:
Se trascuro l’armatura in compressione S.L.U. e T.A. danno gli stessi risultati quindi poiché i limiti agli S.L.E. sono maggiori di quelli alle T.A. la verifica è automaticamente soddisfatta. Se invece ho considerato una forte armatura compressa la verifica va fatta. Allo S.L.U. la normativa prevede la possibilità di ridistribuzione. Poiché ciò non è consentito agli S.L.E. posso avere verifiche più gravose in alcune sezioni. L’ EC in una nota diceva che le verifiche alle tensioni di esercizio potevano non essere fatte anche per progetti con piccole ridistribuzioni perché i limiti erano maggiori. Questo non è previsto nel NAD