Soal 2 (Minimalisasi) Sebuah toko “TO MING SE” menyediakan dua merk pupuk, yaitu Standard dan Super.
Setiap jenis mengandung campuran bahan nitrogen dan fosfat f osfat dalam jumlah tertentu.
Jenis Standar Super
Kandungan Bahan Kimia Nitrogen (kg/sak) 2
Fosfat (kg/sag)
4
3
4
Seorang petani membutuhkan paling sedikit 16 kg nitrogen dan 24 kg fosfat untuk lahan pertaniannya. Harga pupuk Standar dan Super masing-masing $3 dan $6. Petani tersebut ingin mengetahui berapa sak masingmasing jenis pupuk harus dibeli agar total harga pupuk mencapai minimum dan kebutuhan pupuk pupuk untuk lahannya terpenuhi. t erpenuhi. Jawab :
1. Variabel X1 = Standar X2 = Super 2. Fungsi Tujuan
Zmin = 6X1 + 3X2 3. Fungsi Kendala a. 2X1 + 4X2 ≥ 16 b. 4X1 + 3X2 ≥ 24 X1 , X2 ≥ 0 4. Grafik a. 2X1 + 4X2 ≥ 16 X1 = 0 , X2 = 4 X2 = 0 , X1 = 8 b. 4X1 + 3X2 ≥ 24
X1 = 0 , X2 = 8 X2 = 0 , X1 = 6 (a) 2X1 + 4X2 ≥ 16 | x 3 (b) 4X1 + 3X2 ≥ 24 _ | x 4 6X1 + 12X2 ≥ 48 16X1 + 12X2 ≥ 96 _ -10X1 = - 48 X1 = 4,8
Subtitusi X1 kedalam (a) (a) 2X1 + 4X2 ≥ 16 2(4,8) + 4X2 ≥ 16 9,6 + 4X2 = 16 4X2 = 16-9,6 X2 = 1,6
Zmin = 6X1 + 3X2 Z = 6.(4,8) + 3.(1,6) = $138.24
Sebuah toko “MAKMUR JAYA” menyediakan dua merk pupuk, yaitu Standard dan Super. Setiap jenis mengandung campuran bahan nitrogen dan fosfat dalam jumlah tertentu. Seorang petani membutuhkan paling sedikit 16 kg nitrogen dan 24 kg fosfat untuk lahan pertaniannya. Harga pupuk Standar dan Super masingmasing 3000 dan 6000. Petani tersebut ingin mengetahui berapa sak masing-masing jenis pupuk harus dibeli agar total harga pupuk mencapai minimum dan kebutuhan pupuk untuk lahannya terpenuhi? Perumusan Model (Formulasi) Matematis : Fungsi Tujuan : Standart = A ; Super = B Z mak = 3000 A + 6000 B Fungsi Kendala : Kendala BB II dan BB II Nitrogen = A; Fosfat = B 1) 2 A + 4 B = 16 2) 4 A + 3 B = 24 Penyelesaian : 2A + 4B = 16 x 2 ( 4A + 8B = 32 4A + 3B = 24 x 1 ( 4A + 3B = 24 ------------------- 5B = 8 ; B = 1,6 Jika B = 1,6 maka 2A + 4(1,6) =16 ( 2A = 16 – 6,4 = 9,6 A = 4,8 Besarnya Z mak = 3000 (4,8) + 6000 (1,6) = 24.000,merk pupuk standart super BAHAN YANG TERSEDIA
nitrogen
fosfat
VAR
2 4 16kg
4 3 24kg
Rp 3000 Rp 6000
X1 X2
2. Persamaan matematis suatu program linier adalah sebagai berikut : Minimasi : Z = 6X1 + 7,5X2 Dengan pembatas : 7X1 + 3X2 ≥ 210 6X1 + 12X2 ≥ 180 4X2 ≥ 120 X1, X2 ≥ 0 Carilah harga X1 dan X2 ?
JAWABAN Pada kasus ini kita akan menggunakan metode simplex M (BIG – M), hal ini dikarenakan pada kasus ini pertidk samaan pembatasnya menggunakan ≥ (lebih dari sama dengan).
Persamaan Tujuan : Z - 6x 1 - 7,5X2 - 0S1 - 0S2 - 0S3 = 0 Baris 0 Persamaan Kendala : 7x1 + 3x2 - S1 +A1 = 210 Baris 1 6x1 + 12x2 - S2 +A2 = 180 Baris 2 4x2 - S3 + A3 = 120 Baris 3 Bagi kendala pertidaksamaan jenis ≤, maka
variabel slack ditambahkan untuk menghabiskan sumber
daya yang digunakan dalam kendala. Cara ini tidak dapat diterapkan pada kendala pertidaksamaan jenis ≥ dan kendala persamaan (=) persamaan diatas diperoleh karena tanda ≥ harus mengurangi
variable surplus. Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar ditempatkan pada A 1, A 2, dan A3 sehingga fungsi tujuannya menjadi : Z = 6x1 + 7,5X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + MA1 + MA2 + MA3 Table simplex awal dibentuk dengan A 1, A2, dan A3 sebagai variable basis, seperti table berikut : Basis
X1
X2
S1
S2
S3
A1
A2
A3
NK
RASIO
Z
13M-6
19M-7,5
-M
-M
-M
0
0
0
510M
A1
7
3
-1
0
0
1
0
0
210
210 : 3 = 70
A2
6
12
0
-1
0
0
1
0
180
180 : 12 = 15
A3
0
4
0
0
-1
0
0
1
120
120 : 4 = 30
Dari table diatas kita ketahui bahwa semua BFS belum optimal. Hal ini dikarenakan seluruh NBV masih mempunyai koefisien yang berharga positif. Oleh karena itu Untuk x2 terpilih sebagai entry variable karena x2 memiliki nilai koefisien positif yang paling besar, dan A3 menjadi Leaving Variable. Dan yang akan menjadi pivot adalah baris 2 karena memiliki rasio paling kecil. Langkah-langkah ERO Iterasi Pertama :
ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 1 pada baris 2 ½ x1 + x2 - 1/12 S2 +1/12 A2 = 15 ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 0 Z = 9/4 x1 + 0S1 + 15/24 S2 + 0S3 + MA1 + [ M - 15/24]A2 + MA3 + 112,5 ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 1 11
/2 x1 + ¼ S2 + A1 - 1/4 A2= 165
ERO 4 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 3
1
1
-2x1 + /3 S2 - S3 - /3 A2 + A3 = 60 Konversi bentuk standard iterasi Pertama :
Z = 9/4 x1 + 0S1 + 15/24 S2 + 0S3 + MA1 + [ M - 15/24]A2 + MA3 + 112,5 11
/2 x1 + ¼ S2 + A1 - 1/4 A2 = 165
-2x1 + 1/3 S2 - S3 - 1/3 A2 + A3 = 60 ½ x1 + x2 - 1/12 S2 +1/12 A2 = 15 Tabel Iterasi Pertama Basis
X1
X2
S1
Z
- /2M-6
0
0
0
0
13
11
/2
A1 A3
-2
0
0
X2
½
1
0
S2
S3
A1
-M
0
0
1
/3
-1
0
/12
0
0
7
15
/12 - /24 1
/4
1 -1
A2
A3
NK
RASIO
/24 - M
0
225M – 112,5
*
0
165
165 : 5,5 = 30
/3
1
60
*
/12
0
15
15 : 0,5 = 30
1
1
- /4 -1 1
Pada fungsi tujuan masih terdapat variable dengan nilai koefisien positif, oleh karena itu lakukan iterasi kedua. Langkah-langkah ERO Iterasi Kedua:
ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 1 pada baris 1 x1 + 1/22 S2 + 2/11A1 - 1/22 A2 = 30 ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 0 pada baris 0 Z = 0S1 + 0,725 S2 + 0S3 + MA1 -0,4A1 + [ M – 0,725]A2 + MA3 + 180 ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 0 pada baris 2 0.5 A2 = 0 ERO 4 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 0 pada baris 3 0,39 S2 - S3 +0,36A1 + 0,21 A2 + A3 = 120 Konversi bentuk standard iterasi kedua :
Z = 0S1 + 0,725 S2 + 0S3 + [M -0,4]A1 + [ M – 0,725]A2 + MA3 + 180 1
2
1
x1 + /22 S2 + /11A1 - /22 A2 = 30 0.5 A2 = 0 0,39 S2 - S3 + 0,36A1 + 0,21 A2 + A3 = 120 Tabel Iterasi Kedua Basis
X1
X2
S1
S2
S3
A1
A2
A3
NK
Z
0
0
0
-0,725
0
-M+0,4
- /2M+0,725
M
-180
x1
1
0
0
A3
0
0
X2
0
0
1
/22
0
0
0
0
0,39
2
1
1
/11
- /22
0
30
0
0
½
0
0
-1
0,36
0,21
1
120
Iterasi kedua adalah optimum karena koefisien pada persamaan Z semuanya non positif, dengan
x1 = 30, x2 = 120 dan z=-180. 3. PT Unilever bermaksud membuat 2 jenis sabun, yakni sabun bubuk dan sabun batang. Untuk itu dibutuhkan 2 macam zat kimia, yakni A dan B. jumlah zat kimia yang tersedia adalah A=200Kg dan B=360Kg. Untuk membuat 1Kg sabun bubuk diperlukan 2 Kg A dan 6 Kg B. untuk membuat 1 Kg sabun batang diperlukan 5 Kg A dan 3 Kg B. bila keuntungan yang akan diperoleh setiap membuat 1Kg sabun
bubuk = $3 sedangkan setiap 1 Kg sabun batang = $2, berapa Kg jumah sabun bubuk dan sabun batang yang sebaiknya dibuat ?
JAWABAN Pemodelan matematika : Maksimumkan : Z = 3x1 + 2x2 Pembatas : 2x 1 + 5x2 = 200 6x1 + 3x2 = 360 Persamaan Tujuan : Z - 3x 1 - 2x2 = 0 Baris 0 Persamaan Kendala : 2x1 + 5x2 + A1 = 200 Baris 1 6x1 + 3x2 + A2 = 360 Baris 2 Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar ditempatkan pada A 1, A 2, dan A3 sehingga fungsi tujuannya menjadi : Z = 3x1 - 2X2 + MA1 + MA2 Basis
x1
x2
A1
A2
NK
Rasio
Z
8M-3
8M+2
0
0
560M
A1
2
5
1
0
200
200:5=40
A2
6
3
0
1
360
360:3=120
Dari table diatas kita ketahui bahwa semua BFS belum optimal. Hal ini dikarenakan belum seluruhnya NBV mempunyai koefisien yang berharga positif. Oleh karena itu Untuk x2terpilih sebagai entry variable karena x2 memiliki nilai koefisien negatif, dan A1 menjadi Leaving Variable. Dan yang akan menjadi pivot adalah baris 1 karena memiliki rasio paling kecil. Langkah-langkah ERO Iterasi Pertama :
ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 1 pada baris 1 0,4x1 + x2 + 0,2A1 = 40 ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 0 Z = 3,8x1 + [M-0,4]A1 + MA2 - 80 ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 2 4,8x1 – 0,6A1 + A2 = 240 Konversi bentuk standard iterasi pertama :
Z = 3,8x1 + [M-0,4]A1 + MA2 - 80 0,4x1 + x2 + 0,2A1 = 40 4,8x1 – 0,6A1 + A2 = 240 Basis
x1
x2
A1
A2
NK
Z
4,8M-3,8
0
0,4-0,4M
0
240M+80
X2
0,4
1
0,2
0
40
A2
4,8
0
0,6
1
240
Rasio
Iterasi pertama adalah optimum karena koefisien pada persamaan Z semuanya positif, dengan x1 =
40, x2 = 240 dan z=240M+80.
BAB I Pendahuluan A. Latar Belakang
Dunia usaha dewasa ini semakin pesat, ditandai dengan banyaknya perusahaan yang bermunculan dengan berbagai macam usaha bahkan dengan usaha sejenis sehingga persaingan yang terjadi diantara pengusaha semakin ketat. Pada dasarnya setiap perusahaan baik perusahaan besar maupun perusahaan kecil bertujuan untuk mencari keuntungan yang sebesar – besarnya dalam menjalankan kegiatan perusahaan, lebih – lebih dalam era globalisasi sekarang ini., maka setiap organisasi dalam dunia bisnis dituntut untu k senantiasa memanfaatkan sumberdaya yang dimiliki seoptimal mungkin. Ketatnya persaingan pada perusahaan yang memproduksi produk yang sejenis akan membuat perusahaan tersebut terpacu untuk menciptakan inovasi – inovasi yang lebih menarik dan beragam serta selektif dalam kualitas produk yang diproduksi. Oleh karena itu, perusahaan dituntut untuk semakin tanggap dalam melihat apa yang diinginkan konsumen. Hal – hal yang perlu perusahaan perhatikan didalam faktor – faktor produksi yang ada seperti kulit, penjahitan, finishing. Faktor – faktor produksi ini tersedia dalam jumlah terbatas sehingga pengalokasiannya harus direncanakan sebaik mungkin. Perusahaan harus merencanakan dan mengelola perusahaannya dengan baik agar perusahaan dapat memperoleh hasil yang baik dengan memanfaatkan sumberdaya. sumberdaya yang terbatas secara efektif dan efisien serta tercapainya tujuan perusahaan. Dalam penelitian ini, menitik beratkan pada masalah penentuan kombinasi produk yang paling tepat di suatu perusahaan, dalam hal ini adalah perusahaan Cemerlang, sehingga dapat memberikan keuntungan yang maksimal kepada perusahaan tersebut, selain itu juga manajemen perusahaan harus dapat menggunakan kapasitas produksi sebaik baiknya agar dapat memenuhi kebutuhan – kebutuhan konsumen, maka dengan demikian laba atau keuntungan yang optimal dapat ditentukan oleh kombinasi produsen sesuai dengan kapasitas yang ada dalam perusahaan.Sebab dengan mengetahui seberapa besar produksi yang harus dihasilkan dalam kombinasi produk maka perusahaan dapat merencanakan laba yang akan diperolehnya.
Bab II Dasar teori Metode simplex digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi yang melibatkan tiga variabel atau lebih yang tidak dapat diselesaikan oleh metode grafik. Metode simpleks adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang memiliki lebih dari dua variabel. Metode simpleks didefinisakan sebagai cara menyelesaikan permasalan yang memiliki variabel keputusan minimal dua dengan menggunalkan alat bantu tabel. Metode simpleks dibedakan menjadi dua yaitu, metode simpleks maksimasi untuk mencari keuntungan maksimal dan metode simpleks minimasi untuk mencari biaa minimal. A. Permasalahan
Contoh Kasus Perusahaan “CEMERLANG” merupakan perusahaan yang memproduksi dompet, tas,
dan tas punggung, untuk membuat 1 dompet diperlukan 2 meter kulit dan 3 jam proses penjahitan, sedangkan untuk membuat 1 tas diperlukan 3 meter kulit dan 1 jam finishing dan untuk membuat tas punggung diperlukan penjahitan selama 2 jam dan finishing selama 5 jam. Dalam satu hari kerja di sediakan 1000 meter kulit, 2100 jam penjahitan, dan 1500 jam finishing. Jika dijual, setiap 1 dompet menghasilkan keuntungan sebesar 50 sedang untuk tas menghasilkan keuntungan 20 dan tas punggung menghasilkan keuntungan sebesar 30. Ringkasan data perusahaan “CEMERLANG” ada pada tabel berikut:
Kebutuhan Sumber Daya per unit Sumber daya
Kapasitas
Dompet
Tas
Tas punggung
(x1)
(x2)
(x3)
Kulit (meter)
2
3
0
1000
Penjahitan (jam)
3
0
2
2100
Finishing (jam)
0
1
5
1500
Harga Jual ($)
50
20
30
Harian
Berapa jumlah kombinasi antara dompet, tas, dan tas punggung yang harus di produksi oleh perusahaan “CEMERLANG”untuk memperoleh keuntungan yang paling
maksimal?
B.
Penyelesaian
a. Dengan Manual Untuk menyelesaikan masalah optimasi dengan metode simplex ini terlebih dahulu kita rumuskan fungsi tujuan dan kendala-kendalanya.
fungsi tujuan : Z = 50x 1 + 20x2 + 30x3. Fungsi batasan 2x1 + 3x2 ≤ 1000 3x1 + 2x3 ≤ 2100 x2 + 5x3 ≤ 1500
Untuk menyelesaikan masalah di atas dilakukan langkah-langkah dibawah ini : 1. Mengubah fungsi tujuan. Z - 50x1 - 20x2 - 30x3 = 0 2. Mengubah fungsi batasan 2x1 + 3x2 + 0x3 + S1 = 1000 3x1 + 3x2 + 2x3 + S2= 2100 3x1 + x2 + 5x3 + S3 = 1500
3. Masukkan setiap koefisien variabel ke dalam tabel simplex. Sehingga : Variabel Dasar Z S1 S2
x1 -50 2 3
x2 -20 3 0
x3 -30 0 2
S1 0 1 0
S2 0 0 1
S3 0 0 0
Nilai Kanan 0 1000 2100
S3
0
1
5
0
0
1
1500
Nilai Indeks
4. Menentukan kolom kunci. Lihat baris Z lihat nilai yang terkecil. Pada contoh di atas nilai negatif yang tebesar adalah -50 pada kolom X1 jadi,kolom X1 adalah kolom kunci sehingga : Variabel Dasar Z S1 S2 S3
x1
x2
x3
S1
S2
S3
Nilai Kanan
-50 2 3
-20 3 0
-30 0 2
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 1000 2100
0
1
5
0
0
1
1500
Kolom kunci 5. Menentukan Baris Kunci (BK) Baris kunci diketahui dari nilai indeks yang terkecil =500 =700
Indeks
Jadi nilai terkecil adalah 500, sehingga baris kuncinya ada pada S 1. Variabel Dasar Z S1 S2 S3 Angka
Nilai
Nilai
0 0 0
Kanan 0 1000 2100
indeks 0 500 700
1
1500
x1
x2
x3
S1
S2
S3
-50 2 3
-20 3 0
-30 0 2
0 1 0
0 0 1
0
1
5
0
0
→baris kunci
tak terhingga
Kolom kunci
kunci
6. Mencari angka Kunci Angka kunci diperoleh dari perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci. Jadi angka kunci diperoleh adalah 2 7. Membuat Baris Baru Kunci (BBK) Karena nilai kunci berada pada kolom x 1, maka baris S 1 kita ubah namanya menjadi x 1, dan nilai-nilai pada baris S 1 kita ubah pula dengan cara membagi nilai baris dengan angka kunci.
Sehingga
:
Maka kita mendapat nilai baris kunci yang baru (baris x 1) : Variabel Dasar Z x1 S2
x1
x2
x3
S1
S2
S3
Nilai Kanan
1
1,5
0
0,5
0
0
500
Nilai indeks
S3 8. Mencari baris baru selain baris kunci (BK) Baris baru : baris lama – (angka kolom kunci X nilai baru baris kunci) Misalnya :
Pada baris Z lama :
Variabel Dasar
x1
x2
x3
S1
S2
S3
Nilai Kanan
Z
-50
-20
-30
0
0
0
0
Nilai Indeks
x1 S2 S3 Sedangkan baris kunci yang baru :
Variabel Dasar Z x1 S2
x1
x2
x3
S1
S2
S3
Nilai Kanan
1
1,5
0
0,5
0
0
500
S3 Sehingga baris Z yang baru : x1 = (-50) – ((-50) X 1) = -50 + 50 = 0 x2 = (-20) – ((-50) X 1,5) = 55 x3 = (-30) –((-50) X 0) = -30 S1 = 0 – ((-50) X 0,5) = 25 S2 = 0 – ((-50) X 0) = 0 S3= 0 – ((-50) X 0) = 0 Nilai kanan baru = 0 – ((-50) X 500) = 25000 Untuk baris S2, angka kolom kuncinya adalah 3. Sehingga baris S2 baru : x1 = 3 – (3 X 1) = 0 x2 = 0 – (3 X 1,5) = -4,5 x3 = 2 – (3 X 0) = 2 S1= 0 – (3 X 0,5) = -1,5 S2 = 1 – (3 X 0) = 1 S3 = 0 – (3 X 0) = 0 Nilai kanan baru = 2100 – (3 X 500) = 600 Untuk baris S3, angka kolom kuncinya adalah 0. Sehingga baris S3 baru : x1 = 0 – (0 X 1) = 0 x2 = 1 – (0 X 1,5) = 1 x3 = 5 – (0 X 0) = 5 S1 = 0 – (0 X 0,5) = 0 S2 = 0 – (0 X 0) = 0 S3 = 1 – (0 X 0) = 1 Nilai kanan baru = 1500 – (0 X 500) = 1500
9. Masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam tabel simplex yang baru. Variabel Dasar Z
x1 0
x2 55
x3 -30
S1 25
S2 0
S3 0
Nilai Kanan 25000
Nilai Indeks
x1 S2
1 0
1,5 -4,5
0 2
0,5 -1,5
0 1
0 0
500 600
S3
0
1
5
0
0
1
1500
10. Perhatikan kembali tabel di atas, bila pada baris Z masih ada variabel yang bernilai negatif, maka fungsi tujuan belum maksimal. Sehingga untuk menghilangkan nilai negatif kita ulangi lagi langkah-langkah sebelumnya. Ini kita lakukan terus-menerus hingga tiada variabel Z yang negatif.
Variabel
Nilai
Nilai
0
Kanan 25000
0
0
500
-1,5
1
0
600
Indeks -83,333 Tidak terdefinisi 300
0
0
1
1500
300
x1
x2
x3
S1
S2
S3
0
55
-30
25
0
x1
1
1,5
0
0,5
S2
0
-4,5
2
S3
0
1
5
Dasar Z
→ baris kunci
Menentukan baris kunci :
Baris kunci dipilih S 3 Nilai baris kunci yang baru (x 3) dihitung dengan membagi semua angka baris kunci dengan angka kunci Baris x 3 baru :
Nilai baris kunci yang baru :
Variabel Dasar
x1
x2
x3
S1
S2
S3
Nilai Kanan
0
0,2
1
0
0
0,2
300
Z x1 S2 x3 Baris Z lama : 0
55
-30
25
0
0
25000
↓ Angka kolom kunci = -30
Baris Z baru : 0
61
0
25
0
6
34000
1
1,5
0
0,5
0
0
500
Baris x1 lama :
↓ Angka kolom kunci = 0
Baris x1 baru : 1
1,5
0
0,5
0
0
500
0
-4,5
2
-1,5
1
0
600
-0,4
0
Baris S2 lama :
↓ Angka kolom kunci = 2
Baris S2 baru : 0
-4,9
0
-1,5
1
Sehingga tabel simplex yang baru : Variabel Dasar Z x1 S2
x1 0 1 0
x2 61 1,5 -4,9
x3 0 0 0
S1 25 0,5 -1,5
S2 0 0 1
S3 6 0 -0,4
Nilai Kanan 34000 500 0
x3
0,2
0,2
1
0
0
0,2
300
Nilai Indeks
Perhatikan tabel di atas! Karena seluruh variabel pada fungsi Z sudah bernilai positif, maka fungsi kita sudah maksimal.
Sehingga dapat kita simpulkan bahwa untuk memperoleh hasil maksimum, perusahaan harus memproduksi : x1 = 500 unit x2 = 0 x3 = 300 unit Z = 50 x1 + 20 x2 + 30 x3 Z = 50(500) + 20(0) + 30(300) Z = 34000 Sehingga perusahaan Cemerlang harus memproduksi 500 dompet dan 300 tas punggung agar mencapai keuntungan yang maksimal yaitu Rp. 340.000.000
b. Dengan POM FOR WINDOW
BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa program linier programming digunakan sebagai alat bantu dalam pengambilan keputusan untuk memaksimalkan laba. Dari kasus diatas dapat disimpulkan bahwwa perusahaan Cemerlang harus memproduksi
500 dompet dan 300 tas punggung agar mencapai keuntungan yang maksimal yaitu Rp. 340.000.000
B. Saran Penulis menyadari tentang penyusunan makalah, tentu masih banyak kesalahan dan kekurangannya, karena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya rujukan atau referensi yang ada hubungannya dengan judul makalah ini. Penulis banyak berharap para pembaca yang budiman sudi kiranya memberikan kritik dan saran yang membangun kepada penulis demi sempurnanya makalah ini dan penulisan makalah di kesempatan-kesempatan berikutnya. Semoga makalah ini berguna bagi penulis pada khususnya juga para pembaca yang budiman pada umumnya.
ISTILAH-ISTILAH DALAM METODE SIMPLEKS Iterasi : tahapan perhitungan dimana nilai dari perhitungan tersebut tergantung pada nilai tabel hasil perhitungan sebelumnya. Variabel basis : variable yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada table awal simpleks, variable basis merupakan variable slack (jika fungsi kendala menggunakan tanda ≤) atau variable surplus (bila fungsi kendala menggunakan tanda ≥) atau variable buatan (bila fungsi kendala menggunakan tanda =). Variabel non basis : variable yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminology umum, jml variable non basis selalu sama dg derajad bebas dalam system persamaan. Variabel slack : variable yg ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=). Penambahan variable ini terjd pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variable slack berfungsi sbg variable basis. Variabel surplus : variable yg dikurangkan dari model matematik kendala utk mengkonversi pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=).Penambahan variable ini terjd pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variable surplus ini tidak dapat berfungsi sbg variable basis. Variabel buatan : variable yg ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sbg variable basis awal. Penambahan variable ini terjd pd tahap inisialisasi. Variabel ini hrs bernilai 0 pd solusi optimal krn pd kenyataannyavariabel ini tdk ada. Variabel ini hanya ada di atas kertas. Variabel masuk : variable yg terpilih utk menjd variable basis pd iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu di antara variable non basis pd setiap iterasi. Variabel ini pd iterasi berikutnya akan bernilai positif. Variabel keluar : variable yg keluar dari variable basis pd iterasi berikutnya dan digantikan oleh variable masuk. Variabel keluar dipilih satu di antara variabel basis pd setiap iterasi dan akan bernilai 0 pd iterasi berikutnya. Kolom pivot (kolom kerja) : kolom yg memuat variable masuk. Koefisien pd kolom ini akan mjd pembagi nilai kanan utk menentukan baris pivot (baris kerja). Baris pivot (baris kerja) : adalah salah satu baris di antara variable basis yg memuat variable keluar. Elemen pivot (elemen kerja) : elemen yg terletak pd perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan mjd dasar perhitungan utk tabel simpleks berikutnya. Nilai sebelah kanan : nilai sumberdaya pembatas yg masih tersedia pada tabel awal simpleks. Solusi : nilai sebelah kanan yang menunjukkan nilai optimal dari Z pada iterasi terakhir.
BENTUK BAKU MODEL MATEMATIS Sebelum melakukan perhitungan iterative untuk menentukan solusi optimal, langkah pertama adalah mengubah bentuk umum linear programming ke dalam bentuk baku simpleks terlebih dahulu. Bentuk baku dalam metode simpleks tidak hanya mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama dengan, tapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variabel basis awal. Variabel basis awal menunjukkan kondisi sebelum ada aktivitas yang dilakukan dan variabel keputusan masih bernilai 0. Ada beberapa hal yg hrs diperhatikan dlm membuat bentuk baku/standar, yaitu : 1. fungsi kendala dg pertidaksamaan ≤ dlm bentuk umum, dirubah mjd persamaan (=) dg menambahkan satu variable slack. 2. fungsi kendala dg pertidaksamaan ≥ dlm bentuk umum, dirubah mjd persamaan (=) dg mengurangkan satu variable surplus. 3. fungsi kendala dg persamaan (=) dlm bentuk umum, ditambahkan satu variable buatan (artificial variable).
LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN DG METODE SIMPLEKS
Dalam menyelesaikan masalah linear programming, dilakukan perhitungan iterasi dengan menggunakan table. Tabel awal yang dibuat berdasarkan model baku matematika yang ada dinamakan Tabel Awal Simpleks selanjutnya dilakukan perhitungan iterasi. Tahap-tahap yang ada yaitu : 1. membuat bentuk baku model matematik. 2. membuat table awal simpleks berdasarkan bentuk baku yang sudah ada. 3. memeriksa kelayakan table awal dg melihat nilai kanan. Bila ada yg bernilai negatif maka tidak layak diselesaikan. 4. menentukan kolom pivot dg cara sebagai berikut : a. bila fungsi tujuannya maksimisasi maka pilih kolom dg nilai negatif terbesar. b. bila fungsi tujuannya minimalisasi maka pilih kolom dg nilai positif terkecil. c. bila nilai-nilai tersebut jumlahnya lebih dari satu, pilih sembarang. Bila kolom pivot ditarik ke atas maka akan ditemukan variabel keluar. 1. menentukan baris pivot dg melihat hasil bagi nilai solusi dg nilai kolom pivot yg bersesuaian. Pilih yg mempunyai nilai bagi terkecil. Bila baris pivot ditarik ke kiri maka akan diperoleh variabel keluar. 2. menentukan elemen pivot dg mencari perpotongan kolom pivot dan baris pivot. 3. lakukan perhitungan-perhitungan untuk membuat iterasi selanjutnya. 4. memeriksa keoptimalan dengan melihat nilai koefisien fungsi tujuan di mana : a. bila maksimisasi maka nilai solusi sudah positif atau nol. b. bila minimisasi maka nilai solusi sudah negatif atau nol.
CONTOH 1
Pemilik perusahaan kayu yang memproduksi kursi dan meja mempunyai tenaga kerja dan persediaan kayu. Tenaga kerja dan persediaan kayu yang ada masing-masing sebanyak 450 orang perjam dan 400 board feet . Untuk membuat 1 kursi diperlukan kayu sebanyak 5 board feet dan 10 orang/jam serta menghasilkan keuntungan Rp 45 ribu. Untuk membuat 1 meja diperlukan 20 board feet dan 15 orang/jam serta menghasilkan keuntungan Rp 80 ribu. Berapa banyak meja dan kursi harus diproduksi agar jumlah keuntungan yang ingin diperoleh maksimum. Perumusan masalah -
variable keputusan, X1 = jumlah kursi dan X2 = jumlah meja
-
fungsi tujuan, maksimum Z = 45X1 + 80X2
-
fungsi kendala, 5X1 + 20X2 ≤ 400 ............ kayu 10X1 + 15X2 ≤ 450 .......... tenaga kerja X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 ................ non negatif Bentuk baku fungsi tujuan :
-
maksimum Z - 45X1 - 80X2 - 0S1 - 0S2 = 0
Bentuk baku fungsi kendala -
5X1 + 20X2 + S1 = 400 ……………….. kayu
-
10X1 + 15X2 + S2 = 450 ………………. tenaga kerja
-
X1, X2, S1, S2 ≥ 0 ………………………………………. non negatif Tabel Awal Simpleks Variabel Basis
X1
X2
S1
S2
RHS
Z
-45
-80
0
0
0
S1
5
20
1
0
400
S2
Variabel
10
15
0
1
450
X1
X2
S1
S2
RHS
Rasio
Z
-45
-80
0
0
0
-
S1
5
20
1
0
400
400/20 = 20
S2
10
15
0
1
450
450/15 = 30
X1
X2
S1
S2
RHS
Ket
-25
0
4
0
1600
Baris awal ini + (baris
Basis
Tabel iterasi 1 Variabel Basis Z
pivotx80) X2
5/20
1
1/20
0/20
20
Baris awal ini/20
S2
6,25
0
-3/4
1
150
Baris awal ini – (baris pivotx15)
Variabel
X1
X2
S1
S2
RHS
Rasio
Z
-25
0
4
0
1600
X2
5/20
1
1/20
0/20
20
20/0,25 = 80
S2
6,25
0
-3/4
1
150
150/6,25 = 24
X1
X2
S1
S2
RHS
Ket
0
0
1
4
2200
Baris ini + (baris
Basis
Tabel iterasi 2 Variabel Basis Z
pivotx25) X2
0
1
0,08
-0,04
14
Baris ini – (baris pivotx5/20)
X1
1
0
-0,12
0,16
24
Baris ini/6,25
Pada Tabel iterasi 2 dapat dilihat bahwa nilai Z sdh tidak ada yg negative shg sudah optimal. Dari table tsb dpt dibaca : 1.
Nilai optimal (nilai maksimum tujuan) Z = 2200
2.
Nilai solusi X1 = 24
3.
Nilai solusi X2 = 14
4.
Tidak ada sumber daya yg tersisa
5.
Harga bayangan utk S1 = 1
6.
Harga bayangan utk S2 = 4, mjd prioritas utk ditambah.
