Soal Dan Jawaban Turunan Trigonometri

PERTEMUAN 7 TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI, TURUNAN TINGKAT TINGGI DAN DIFFERENSIAL IMPLISIT 1. Turun Turunan an Fung Fungsi si Trig Trigono onome metri tri Rumus : a.

f (x) = sin x

-----

f” (x)

= cos x

b.

f (x) = sin (ax)

-----

f” (x)

= a cos (ax)

c.

f (x) = cos x

-----

f” (x)

= - sin x

d.

f (x) = cos (ax ) -----

f” (x)

= - a sin (ax)

e.

f (x) = tan x

-----

f” (x)

= sec2 x

f.

f (x) = cot x

-----

f” (x)

= - cosec 2 x

Contoh : Tentukan turunannya : a. Dx ( x3 sin x ) = ? Jawab : Misal U = x3

--- U’ = 3x 2

Dx ( x3 sin x ) = U’V + UV’ = (3x 2) sin x + x3 (cosx) = x2 (3 sinx + x cos x)

V = sin x ---  V’ = cos x

b. Dx ( sin 3x + cos 5x ) = ? Jawab : c.

Dx ( sin 3x + cos 5x ) = 3 cos 3x - 5 sin 5x

Dx ( 3 sin x - 2 cos x ) = ? Jawab : Dx ( 3 sin x - 2 cos x ) = 3 cos x + 2 sin x

d.

Dx tan x = ?

Jawab : Dx tan x = D x

Misal : U = sin sin x ---  U’ = cos x

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Rini Anggraini MM. Ir.

KALKULUS I

1

V = cos x ---  V’ = - sin x

Dx tan x = D x

=

Dx

=

=

=

=

=

e. Dx (3 sin 2x) = ? Jawab : Dx (3 sin 2x) = 3 ( 2 ) cos 2x = 6 cos 2x

SOAL – SOAL : Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut ini : 1. y = 2x sin x

2.

y = sin 4x + 5x2 - 6


11. 11. y

= sin x. cosx cosx

12. y

=


KALKULUS I

2

3.

y

= sin x + 2 cos x

13. y

=

4.

y

=

14. y

=

5.

y

= ( 3x2 + 5 ) cos x

15. y =

6. y

= 2 sin x + 3 cos x

16. 16. y = sin 2 x

7. y

= sin2 x +

8. y

= sec x = 1 / cos x

9.

cos2 x

y =

10. y

= x2 cos x

17. y = 1 - cos 2 x

18. 18. y = csc x = 1 / sin x

19. y =

20. y =

2. Turu Turuna nan n Tingk Tingkat at Ting Tinggi gi Operasi Operasi pendife pendiferens rensiala ialan n mengamb mengambilil sebuah sebuah fungsi fungsi f dan mengha menghasilka silkan n sebuah sebuah fungsi fungsi baru baru f’. Jika Jika f’ kita kita difere diferens nsial ialka kan, n, kita kita masih masih tetap tetap meng mengha hasil silkan kan fung fungsi si lain, lain, yang yang dinyatakan oleh f’’ (dibaca f dua aksen) dan disebut turunan kedua dari f. Pada gilirannya ia boleh boleh didifere didiferensia nsialkan lkan lagi, lagi, dengan dengan demikian demikian mengasi mengasilkan lkan f’’’, yang disebut turunan turunan ketiga dari f. Contoh : f (x) = 2x3 - 4x2 + 7x - 8



KALKULUS I

3

Maka : f’(x) = 6x2 - 8x + 7 f’’ (x) = 12x - 8 f’’’ (x) = 12 f’’’’ (x) = 0 Karena turunan fungsi nol adalah nol, maka semua turunan tingkat yang lebih tinggi dari f akan akan nol. nol. Conto Contoh h peng penggu guna naan an turun turunan an tingka tingkatt tingg tinggii adala adalah h perhi perhitun tunga gan n meng mengen enai ai kecepatan, percepatan, dan masalah benda jatuh. Contoh : 1.

Sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya s memenuhi persamaan s = 2t 2 - 12t + 8 , dengan s diukur dalam sentimeter dan t dalam t dalam detik dengan t a. b. c.

0. Tentukan :

kece kecepa pata tan n bend benda a bila bilama mana na t = 1 dan dan t = 6 Kapan kecepatannya = 0 Kapan kecepatannya positif

Jawab : a. Kecep cepatan = v (t) adalah turunan pertama dari fungsi s sehingga : v (t) = ds/dt = 4t - 12 v (1) = 4 (1) - 12 = - 8 cm / det v (6) = 4 (6) - 12 = 12 cm / det b.

Kecepatan = 0 -----  4t - 12 = 0 4t = 12 t = 3 Jadi kecepatan = 0 pada saat t = 3

c.

Kecepatan Kecepatan positif -----  4t - 12 > 0 4t > 12 t > 3 Jadi kecepatan positif pada saat t > 3



KALKULUS I

4

Keterangan : Pada contoh diatas, jika t = 0 dan t = 3, kecepatan negative --  benda bergerak ke kiri ( mundur mundur ). Pada Pada saat t = 3 ia “diperlam “diperlambat” bat” ke kecep kecepatan atan nol, nol, kemudi kemudian an mulai mulai bergerak ke kanan bila kecepatannya positif. Jadi , kecepata kecepatan n negativ negative e berpada berpadanan nan dengan dengan bergerak bergerak ke arah berkurangn berkurangnya ya s, kecepatan positif berpadanan dengan bergerak ke arah bertambahnya s.

2.

Hitung Hitung percep percepatan atan dari dari persama persamaan an s pada pada contoh contoh 1 diatas. diatas. Jawab :

Percepatan = a =

Jadi :

=

v =

= 4t - 12

a =

= 4

Ini berarti bahwa kecepatan pada suatu tingkat yang tetap sebesar 4 cm / detik, yang kita tuliskan sebagai 4 cm / detik / detik 3.

Sebuah titik bergerak bergerak sepanjang sepanjang garis koordinat koordinat mendatar mendatar sedemikian sedemikian sehingga sehingga posisinya pada saat t dinyatakan oleh : s = t3 - 12t2 + 36t - 30 s diukur dalam desimeter dan t dalam detik a. b. c. d.

Kapa Kapan n kece kecepa pata tan n0 Kapa Kapan n kec kecep epata atan n pos positi itif f Kapan Kapan titik titik bergerak bergerak mundur mundur (yakn (yaknii ke kiri) Kapa Kapan n perc percep epata atan n posi positif tif

Jawab : a. V = ds / dt = 0



KALKULUS I

5

3t2 - 24t + 36 = 0 3 (t2 - 8t + 12) = 0 3 (t - 6) (t - 2 ) = 0

----  t = 6 dan t = 2

Jadi kecepatan = 0 pada t = 6 dan t = 2 b.

v > 0 bilamana bilamana (t - 6)(t - 2) > 0 ----  penyelesaian bentuk ketaksamaan ini adala adalah h deng dengan an melaku melakuka kan n pemer pemeriks iksaa aan n pada pada bebe beberap rapa a titik titik uji uji (liha (lihatt bab bab ketaksamaan), dan diperoleh t < 2 atau t > 6 atau dalam notasi selang (-∞,2) U (6,∞)

c.

Titi Titik k berg berger erak ak ke kiri kiri bila bilama mana na v < 0, yait yaitu u bila bilama mana na ( t - 6 )(t )(t - 2 ) < 0. Ketaksamaan ini mempunyai penyelesaian berupa selang ( 2 , 6 )

d.

a = dv/d dv/dtt = 6t - 24 > 0 6(t - 4) > 0 t > 0 Jadi percepatan > 0 bilamana a > 0

4. (Contoh mengenai mengenai benda benda jatuh). jatuh). Dari puncak puncak sebuah sebuah gedung gedung setinggi setinggi 160 dm, dm, sebuah sebuah bola dilempar ke atas dengan kecepatan awal 64 dm / detik. Apabila s = - 16t 2 + v 0 t 0t + s0 , maka : a. Kapan Kapan ia ia mencap mencapai ai ketin ketinggia ggian n maksim maksimum um b. Berap Berapa a ketin ketingg ggian ian maksi maksimum mumnya nya c. Kapa Kapan n ia membe membentu nturr tan tanah ah d. Dengan Dengan laju berapa berapa ia ia memben membentur tur tanah tanah e. Berap Berapa a kecep kecepata atann nnya ya pada pada t = 2 Jawab : Misal t = 0 berpadanan dengan saat pada waktu bola dilempar. Maka s0 = 160 dan v 0 0 = 64, sehingga : s = - 16 t2 + 64 t + 160 v = ds/dt = - 32 t + 64 a = dv/dt = - 32 a. Bola mencapai mencapai ketinggian ketinggian maksimum pada waktu kecepatannya kecepatannya = 0, 0, maka maka : - 32 t + 64 = 0 t = 64 / 32 = 2 detik



KALKULUS I

6

b.

Pada t = 2 -- -  s = - 16 (2) 2 + 64 (2) + 160 = 224 dm

c. Bola Bola memben membentur tur tanah tanah pada pada waktu waktu s = 0

- 16 t2 + 64 t + 160 = 0 Jika persamaan diatas kita bagi dengan – 16 kemudian menggunakan rumus abc, maka diperoleh : t2 - 4 t - 10 = 0

t =

=

=

=

2 ±

Yang dipakai adalah jawaban yang positif. Jadi bola membentur tanah pada t = 2 ± = 5,74 detik d.

Pada t = 2 ±

---  v = - 32 (2 ±

) + 64 = - 119,73.

Jadi bola membentur tanah pada laju 119, 73 dm / detik e. Percepatan Percepatan selalu selalu – 32 dm / detik/ detik/ detik. detik. Ini adalah percepatan percepatan gravitasi gravitasi dekat dekat permukaan laut.

SOAL – SOAL : Cari d3y / dt 3 dari fungsi berikut :



KALKULUS I

7

1. y = x3 + 3x2 + 6x

2. y

= x5 + x4

3. y = ( 3x + 5 )3

4. y

= ( 3 - 5x )5

5. y = sin sin ( 7x) 7x)

6. y

= sin sin (x3) (x3)

7.

8. y

=

y =

Dalam soal 9 - 14, sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat mendatar menurut rumus s = f (t), dengan s adalah jarak berarah dari titik asal, dalam dm dan t dalam detik. Dalam tiap kasus jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut : a. b. c. d.

Berapa Berapa v (t) dan a (t), (t), kecepata kecepatan n dan percep percepatan atan pada pada saat saat t Bilamana Bilamana benda benda bergerak bergerak ke kanan kanan Bilama Bilamana na ben benda da berg bergera erak k ke kiri kiri Bilama Bilamana na perce percepa patan tan neg negati ative ve

9. S = 12t - 2t 2t 2 10.S = t 3 - 6t2 11.S = t3 - 9t2 + 24t 12.S = 2t 3 - 6t + 5 13.S = t 2 + 16/t , t > 0 14.S = t + 4/t, t > 0 15.Sebuah benda yang dilemparkan langsung ke atas berada pada ketinggian s = - 16t2 + 48t + 256 dm setelah t detik. a. b. c. d.

Berap Berapa a kece kecepa pata tan n awa awalny lnya a Bilamana Bilamana benda benda mencap mencapai ai ketingg ketinggian ian maksim maksimum um Berap Berapa a tingg tinggii maks maksimu imumny mnya a Bilam Bilaman ana a benda benda membe membentu nturr tanah tanah

3. Dife Difere rens nsia iall Impli Implisi sitt Apabila kita kita diminta mencari kemiringan kemiringan garis garis singgung singgung dari persamaan persamaan y 3 + 7y = x3, maka yang kita cari adalah dy/dx pada titik yang ditunjuk , missal di (2,1). Caranya adalah dengan mendiferensialkan kedua ruas dari persamaan tersebut terhadap x dan samakan hasil-hasilnya. Maka akan kita peroleh :



KALKULUS I

8

3y2 .

= 3x2

+ 7

( 3y2 + 7 )

= 3x2

=

Pada ( 2, 1) maka

=

=

=

Contoh lain : a.

Cari Cari dy/d dy/dx x jika jika 4x2y - 3y = x 3 - 1 dengan metode eksplisit dan implisit Jawab : Metode eksplisit

: 4x 2y - 3y = x 3 - 1 y (4x2 - 3) = x 3 - 1

y

=

=

=

Metode implisit : 4x2y - 3y = x 3 - 1

4x2 .


+ y . 8x - 3

= 3x 2


KALKULUS I

9

( 4x2 - 3 )

= 3x2 - 8xy

=

Jika harga

y

=

*)

dimasukkan pada * ), maka :

=

=

=

=

SOAL – SOAL : Cari Dxy menggunakan pendiferensialan implisit : 1. y2 - x2 = 1 2. 9x2 + 4y = 36

3. xy = 1

4. x2 + α2y2 = 4α2, dengan α suatu konstanta

5. xy2 = x - 8



KALKULUS I

10

6. x2 + 2x2y + 3xy = 0

7. 4x3 + 7xy2 = 2y3

8. x2y = 1 + y 2x

9. xy + sin (xy (xy) = 1

10. 10. cos cos (xy (xy2) = y2 + x



KALKULUS I

11

Soal Dan Jawaban Turunan Trigonometri

Recommend Documents