Soal Dan Pembahasan Identitas Trigonometri

Soal dan Pembahasan Identitas Trigonometri (1-5) Posted on June 2, 2013 by @Rudolph_BL in Kalkulus Kalkulus,, Trigonometri XI IPA. IPA. 1. Nilai dari cos²15° + cos²35° + cos²55° + co s²75° adalah... Penyelesaian: 

Soal dengan bentuk seperti ini dapat dikerjakan dengan rumus Kuadran I. Dimana:

sin α = cos (90-α) atau cos α = sin (90-α). 

Penyelesaiannya juga bisa menggunakan identitas trigonometri. Dimana:

sin²α + cos²α = 1 Jadi, cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75° = cos²15° + cos²75° + cos²35° + cos²55° = cos²(90-75)° + cos²75° + cos²(90-55)° + cos²55° = sin²75° + cos²75° + sin²55° + cos²55° = 1 + 1 = 2 -------> (identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1)

2. Jika sin(x-600)° = cos(x-450)° maka nilai dari tanx adalah... Penyelesaian: 

Penyetaraan antara sisi kiri dan sisi kanan. Menggun akan aturan Kuadran I (seperti pada soal nomor 1).

sin(x + α) = cos (x + α) sin(x + α) = sin (90 - (x + α))  

Setelah sisi kiri dan kanan sama, nah bisa ditentukan nilai x nya. Setelah nilai x di dapat, baru deh  dihitung nilai tanx nya

Jadi, sin(x-600)° = cos(x-450)° sin(x-600)° = sin(90 - (x-450))° sin(x-600)° = sin(540 - x)° x - 600° = 540° - x 2x = 540° + 600° x = 1140°/2 = 570°

tan x = tan 570° = tan (360 + 210)° = tan 210° = tan (180 + 30)° -----> Kuadran III

= tan 30° = 1/3 √3 (bernilai + karena tangen pada kuadran III bernilai positif).

3. Diketahui sinx + cosx = -1/5. Maka nilai dari sin2x adalah... Penyelesaian: Identitas Trigonometri yang berpengaruh pada soal ini yakni:

sin²α + cos²α = 1 dan aturan sudut rangkap. Jadi, sinx + cosx = -1/5 (sinx + cosx)² = (-1/5)² -----> (Kuadratkan kedua ruas.) sin²x + 2sinxcosx + cos²x = 1/25 sin²x + cos²x + 2sinxcosx = 1/25

1 + 2sinxcosx = 1/25 -----> (Identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1) 2sinxcosx = 1/25 - 1 2sinxcosx = 1/25 - 25/25 2sinxcosx = -24/25 sin2x = -24/25 (aturan sudut rangkap sin2x = 2sinxcosx).

4. Diketahui sinα.cosα = 8/25. Maka nilai dari 1/sinα - 1/cosα adalah... Penyelesaian:  

Karena berbentuk pecahan maka samakan dulu penyebutnya. Identitas trigonometri yg berlaku pada soal ini adalah sin²α + cos²α = 1



Perhatikan pembahasannya pada gambar di bawah ini.

Jadi, nilai dari 1/sinα - 1/cosα adalah 1 7/8. 5. Nilai tanx dari persamaan cos2x - 3sinx - 1 = 0 adalah... Penyelesaian: 

Karena berbentuk persamaan maka unsur trigonometrinya mesti disamakan/disetarakan.



Menggunakan aturan sudut rangkap cos2α. Dimana:

cos2α = cos²α -sin²α atau cos2α = 2cos²α - 1 atau cos2α = 1 - 2sin²α 

Setelah nilai x di dapat, kemudian dilanjutkan penentuan tanx nya.

Jadi, cos2x - 3sinx - 1 = 0 cos2x - 3sinx = 1 (1 - 2sin²x) - 3sinx = 1 (mengubah cos2x yang sesuai dengan -3sinx sehingga persamaan dapat dikerjakan karena  bervariabel sama yakni sinx). (1 - 2sin²x) - 3sinx = 1 -2sin²x - 3sinx = 1 - 1 -2sin²x - 3sinx = 0 sinx(-2sinx - 3) = 0 sinx = 0 atau -2sinx - 3 = 0 sin x = 0 atau sinx = -3/2 x = 0° (sinx = -3/2 tidak memenuhi) maka nilai tan x = tan 0° = 0

Soal dan Pembahasan Persamaan Trigonometri (1-4) Posted on July 2, 2013 by @Rudolph_BL in Kalkulus, Trigonometri XI IPA.

1.

Penyelesaian:

2.

Penyelesaian:

a. b. Mencari nilai maksimum/minimum sebuah fungsi f(x), dapat dilakukan dengan menurunkan fungsi kemudian mencari nilai x untuk f'(x) = 0 [stationer] lalu mensubtitusikan nilai x tersebut ke fungsi awal f(x).

3.

Penyelesaian:

4.

Penyelesaian:

Soal Nomor 1

Turunkan fungsi berikut:

y = 5 sin x Pembahasan

y = 5 sin x y' = 5 cos x Soal Nomor 2

Diberikan fungsi f(x) = 3 cos x π

Tentukan nilai dari f ' ( /2). Pembahasan

Perhatikan rumus turunan untuk fungsi trigonometri berikut ini:

f(x) = 3 cos x f '(x) = 3 (−sin x) f '(x) = −3 sin x π

Untuk x = /2 diperoleh nilai f '(x) π

π

f '( /2) = −3 sin ( /2) = −3 (1) = −3 Soal Nomor 3

Tentukan turunan pertama dari y = −4 sin x Pembahasan

y = −4 sin x y' = −4 cos x Soal Nomor 4

Diberikan y = −2 cos x. Tentukan y' Pembahasan

y = −2 cos x y' = −2 (−sin x) y' = 2 sin x Soal Nomor 5

Tentukan y' dari y = 4 sin x + 5 cos x Pembahasan

y = 4 sin x + 5 cos x y' = 4 (cos x) + 5 (−sin x) y ' = 4 cos x − 5 sin x Soal Nomor 6

Tentukan turunan dari y = 5 cos x − 3 sin x Pembahasan

y = 5 cos x − 3 sin x y' = 5 (−sin x) − 3 (cos x) y' = −5 sin x − cos x Soal Nomor 7

Tentukan turunan dari: y = sin (2x + 5) Pembahasan

Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk y = sin (2x + 5) y ' = cos (2x + 5) ⋅ 2 ↑

Angka 2 diperoleh dari menurunkan 2x + 5 y' = 2 cos (2x + 5) Soal Nomor 8

Tentukan turunan dari y = cos (3x −1) Pembahasan

Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk y = cos (3x − 1)

y ' = − sin (3x −1) ⋅ 3 ↑

Angka 3 diperoleh dari menurunkan 3x − 1 Hasil akhirnya adalah y' = − 3 sin (3x − 1) Soal Nomor 9

Tentukan turunan dari: 2

y = sin (2x −1) Pembahasan

Turunan berantai: 2

y = sin (2x −1) y' = 2 sin

2−1

(2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2

y' = 2 sin (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2 y' = 4 sin (2x −1) cos (2x −1) Soal Nomor 10 3

Diketahui f(x) = sin  (3 – 2x) Turunan pertama fungsi f adalah f ' maka f '(x) =.... 2

A. 6 sin  (3 – 2x) cos (3 – 2x) 2

B. 3 sin  (3 – 2x) cos (3 – 2x) 2

C. –2 sin  (3 – 2x) cos (3 – 2x) D. –6 sin (3 – 2x) cos (6 – 4x) E. – 3 sin (3 – 2x) sin (6 – 4x) (Soal Ebtanas 2000) Pembahasan 3

f(x) = sin  (3 – 2x) 3

Turunkan sin  nya, Turunkan sin (3 – 2x) nya, Turunkan (3 – 2x) nya, Hasilnya dikalikan semua seperti ini: 3

f(x) = sin  (3 – 2x) 2

f ' (x) = 3 sin (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) ⋅ − 2 2

f ' (x) = −6 sin (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) Sampai sini sudah selesai, namun di pilihan belum terlihat, diotak-atik lagi pakai bentuk sin 2θ = 2 sin θ cos θ

2

f ' (x) = −6 sin (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ sin (3 – 2x) ⋅ cos (3 − 2x) f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ cos (3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x) |_____________________| ↓ sin 2 (3 − 2x) f ' (x) = −3 sin 2(3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x) f ' (x) = −3 sin (6 – 4x) sin (3 − 2x) atau: f ' (x) = −3 sin (3 − 2x) sin (6 – 4x) Soal Nomor 11 2

Diketahui fungsi f(x) = sin (2x + 3) dan turunan dari f adalah f ′. Maka f ′(x) = … A. 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3) B. 2 sin (2x + 3) cos (2x + 3) C. sin (2x + 3) cos (2x + 3) D. –2 sin (2x + 3) cos (2x + 3) E. –4 sin (2x + 3) cos (2x + 3) (Ebtanas 1998) Pembahasan

Turunan berantai 2

f(x) = sin  (2x + 3) 2

Turunkan sin  nya, Turunkan sin (2x + 3) nya, Turunkan (2x + 3) nya. f '(x) = 2 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3) ⋅ 2 f '(x) = 4 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3)