INTEGERS SOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMA/MA 2016-03-16
α
α
Defnisi : Untuk
bilangan real .
didefniskan sebagai bilangan bulat α
terbesar yang kurang dari atau sama dengan n=
α ,
n ≤ α < n + 1
. Dan untuk tanda
{ } = − = −n α
α
α
α
, karena Karena α
n ≤ α < n + 1
. Kemudian
0 < α − n < 1 α
, maka
α
= α + {α }
, kita mendapatkan
− 1 < n ≤ α
.
α ≤ α < α + 1 . Seingga
dan
− 1 < α ≤ α .
!"nt": 10
=3
32
sebab
•
< 10 < 4 2
3<
10
<4
,
.
π •
#arga Karena
pada lingkaran senilai dengan
− 4 < −π < −3
3 < π < 4
π = 3 , maka
.
− π = −4 , maka
.
$ada %lg"ritma $embagian, kita memiliki
0 ≤ r < m dan a = q × m + r ⇒ a = q + r m m r 0 ≤ <1 m
q
maka
= a m
.
maka
1
25
∑ k k =1
1. &entukanla nilai dari
.
$enyelesaian: 25
∑ k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... +
24
k =1
+
25
.
= 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + ... + 5 = 1 × 3 + 2 × 5 + 3 × 7 + 4 × 9 + 5 = 3 + 10 + 21 + 36 + 5 = 75
.
.
atau
= 5 + ∑ k ( 2k + 1) = 5 + ∑ ( 2k 2 + k ) 4
4
k =1
k =1
. 4 × 5 × 9 4 × 5 = 5 + 2∑ k 2 + ∑ k = 5 + 2 + = 5 + 60 + 10 = 75 6 2 k =1 k =1 4
4
.
Catatan Rumus : n
∑ k = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 12 n( n + 1) k =1
.
•
n
∑ k
2
= 12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ... + n 2 =
k =1
1 6
n( n + 1)( 2 n + 1)
.
•
n
∑ k
3
2
= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n 3
3
3
3
k =1
3
1 = n( n + 1) 2
•
.
n
∑ ( 2k ) = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n( n + 1) k =1
.
•
n
∑ ( 2k − 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + ( 2n − 1) = n
2
k =1
.
•
x
2. 'ika
= (3 −
2
)
3
x = ..... , maka
2
$enyelesaian:
(3 − 2 )
3
= 3 3 − 3. 3 2 .
2 + 3.3. 2
2
−
2
3
= 27 − 27
2
+ 9. 2 − 2
2
= 45 − 29
2
.
≈ 45 − 29.(1,4) ≈ 45 − 40,6 ≈ 4,4 . Seingga
x
= (3 −
2
) = 4,4... = 4 3
.
3. &entukanla nilai dari $enyelesaian:
25 = 25 1
25 = 12 2 25 = 8 3 25 = 6 4 25 = 5 5 25 = 4 6 25 = 3 7
.
.
.
.
.
.
25 + 25 + 25 + 25 + ... + 25 1 2 3 4 25
25 = 3 8 25 = 2 9 25 = 2 10 25 = 2 11 25 = 2 12
.
.
.
.
.
.
Selan(utnya untuk
25 13
. sampai dengan Seingga asilnya adala:
25 + 12 + 8 + 6 + 5 + 4 + 2 × 3 + 4 × 2 + 13 × 1 = 87
). &entukanla nilai dari
25 25
sama dengan 1.
.
25 + 2 25 + 3 25 + 4 25 + ... + 25 25 1 2 3 4 25
. 3
$enyelesaian: Dengan memperatikan penyelesaian pada *". sebelumnya kita mendapatkan 25 + 2(12 ) + 3( 8) + 4( 6 ) + 5( 5) + 6( 4 ) + ( 7 + 8 )( 3 ) + ( 9 + 10 + 11 + 12 )( 2 )
+ (13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25)(1) = 25 + 24 + 24 + 24 + 25 + 24 + 45 + 84 + 247 = 522 A =
1
+
+
2
3
+
4
+ ... +
. .
2017
+. 'ika
, maka nilai
A
adala .
$enyelesaian: 43
∑
k ( 2k + 1) + ( 2017 − 1936 + 1) × 44 =3608 + 2
k =1
43
∑
43
k 2
k =1
+ ∑ k k =1
. 43 × 44 × 87 43 × 44 = 3608 + 2 = 3608 + 54868 + 946 = 59422 + 6 2
x = 1 +
1 2
1
+
3
1
+
4
1
+ ... +
x
2017
6. 'ika
, maka nilai
$enyelesaian: $eratikanla baa
( (
m
−
.
m −1
)(
m
+
m −1
dan
m +1 −
m
)(
m +1 +
m
adala .
) =1 ) =1 .
Serta 2017 = 44,911
. dan (uga tabel berikut m
−
m −1 =
1 m
+
m −1
>
1 m
+
m +1 −
m
m
=
1 m +1 +
m
<
1 m
+
. m
−
m − 1 >
1
. m +1 −
2 m
.
m
m
<
1 2 m
. )
2 m
−2
1
m −1 >
2 m +1 − 2 m
m
1
<
m
. 2 2
−2
.
1
1>
2 2
2
−2
1
1<
1
. 2 3−2 2
.
1
>
2 3−2 2
3
1
<
2
. 2 4
−2
3
.
1
>
2 4
4
−2
3
1
<
3
.
.
seterusnya. 2 2017
−2
dan 2016
seterusnya.
1
>
2 2017
2017
. --------------------------------------2 2017
−2
1
1>
1
+
2
3
1
<
2016
2016
. ---------------------------------------
1
+ ... +
−2
dan
2 2017
2017
−2
1<
1 1
1
+
2
+ ... +
1 2017
. 2 2017
1
− 2 +1 > 1+
2
1
+
3
.
1
+ ... +
2 2017
2017
− 2 < 1+
1 2
+
1 3
+ ... +
1 2017
. 2 2017
1
−1 > 1 +
1
+
2
3
1
+ ... +
. 87,822 < 1 +
2017
. 88,822 > 1 +
1 2
+
1 3
+ ... +
1 2
+
1 3
+ ... +
1 2017
.
1 2017
. . Seingga. 87,822 < 1 +
1 2
x = 1 +
+
1
1
+
2
3
+
1
1
+ ... +
4 maka 1 + ... + 3
2017
< 88,822
= 87 2017 1
.
x = 87 'adi, nilai
.
+
x =
1 2013
+
1
+
2014
1 1 2015
+
1 2016
+
1
x
2017
/. 'ika
, maka nilai
adala .
$enyelesaian: Karena 1 2013 1 2013
+
+
1 2013 1 2014
+
+
1 1 2013 1 1 2015
1
+
2013 1
+
2016
+
+
1
<
1
+
2013 2013 dan 1
<
1
2017
2017
1
+
2014
+
1
+
2017
1 1 2015 1 1 2017
+
+
1 2016 1 2017
+
+
1 2017 1 2017
.
maka, 2013 5
<
1 2013
+
1 2014
+
1 1 2015
+
1 2016
<
1
+
2017 5
2017
.
402,6 < x < 403,4
.
. uktikanla baa
. uktikanla baa
1 x + x + 2 = 2 x
.
1 2 3 4 x + x + 5 + x + 5 + x + 5 + x + 5 = 5 x
.
α
10.
45 S"rt7ist 118 Diberikan
x 2
= 1991x + 1
akar p"siti9 dari persamaan
m
. Untuk bilangan asli
n
dan
didefnisikan
m * n = mn + α m α n
. p, q
uktikan baa untuk 11.
dan
r
( p * q ) * r = p * ( q * r ) , berlaku
;b.5k<=uktikan baa untuk
n + n + 2 + n + 4 = n + n + 3 3 6 6 2 6
n ∈ Z n > 0
,
. berlaku
.
6
12.
uktikan baa untuk
x ∈ R
,
n ∈ Z
berlaku
1 2 3 n − 1 = nx x + x + + x + + x + + ... + x + n n n n 13.
;b.5k<=&un(ukkan baa untuk
n + 1 + n + 2 + n + 4 + n + 8 + ... = n 2 4 8 16
.
n ∈ Z n > 0
,
berlaku
. 2017!
1).
&entukanla banyaknya 9akt"r 2 pada 2017!
1+.
&entukanla banyaknya 9akt"r 3 pada 2017!
16.
&entukanla banyaknya 9akt"r ) pada 2017!
1/.
&entukanla banyaknya 9akt"r + pada 2017!
1.
&entukanla banyaknya 9akt"r 6 pada 2017!
1. 20.
&entukanla banyaknya 9akt"r / pada &entukanla banyaknya bilangan asli antara 1 dan 201/ n
n
seingga 21.
abis dibagi "le a
&entukanla nilai a + b
+ { c} = 9,9
.
, (ika
.
{b} + b + c = 12,5
.
a + {b} + c = 13 .
x 22.
OSK 20078 'ika
didefniskan sebagai bilangan bulat terbesar
x
yang kurang dari atau sama dengan
, maka nilai
3 − 5
2
adala .
$enyelesaian :
3− 5
2
= 1,73... − 2,23... 2 = − 0,5 2 = − 0,5 × − 0,5 = ( − 1) × ( − 1) = 1 .
/
x
x
23.
OSK 20038 Untuk setiap bilangan real
. dan
didefniskan x
sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan
4,9 = 4 Sebagai >"nt" x
7 = 7 dan
=9
seingga
x
. 'ika
.
y
dan
bilangan real
= 12
y
dan
, maka nilai terke>il yang mungkin
y − x di>apai "le
adala .
$enyelesaian : $eratikan baa x
= 9 ⇒ 81 ≤ x < 100
xmaksimum = 99,999...
dan ini berartti nilai y
.
= 12 ⇒ 144 ≤ y < 169 , maka
y − x min imum = y min imum − xmaksimum = 144 − 99,999... = 44,...... = 44 . 2).
OSK 20028 Diberikan A =
12 1
+
22 3
+
32 5
+ ... +
10012 2001
. B
=
2
1
3
+
2
2
5
+
3
2
7
+ ... +
2
1001
2003
.
A − B &entukanla nilai dari
2+.
A − B dan
.
&entukanla semua penyelesaian dari
m + m + m = m 2 3 5 n
26. !anada 1/8 &un(ukkan baa untuk semua p"siti9 berlaku n
+
n +1
=
4n + 1
=
4n + 2
=
.
bilangan bulat
4n + 3
.
n
2/. 4ran 168 &un(ukkan baa untuk berlaku
bilangan bulat p"siti9
n
+
n +1
+
n+2
=
9n + 8
. 55, $r"blem 1)10, Seung-'in ang8 &un(ukkan baa untuk
2.
n
semua 3
bilangan bulat p"siti9 berlaku
n + 3 n +1
=
3
8n + 3
. !an. 5at. S">. *"tes, $r"blem $11, 5i?ly en>@e8 &un(ukkan
2.
n
baa untuk semua 3
n
+ 3 n +1 + 3 n + 2 =
bilangan bulat p"siti9 berlaku 3
27 n + 26
. 30. &aian 18 &un(ukkan baa untuk semua bulat p"siti9 berlaku FPB(m, n) = m + n − mn + 2
m
n
dan
bilangan
m −1
∑ knm k =0
. %55, $r"blem 103)6, DaAid D"ster8 &un(ukkan baa untuk
31.
m
semua
bilangan prima berlaku
k 3 ( m − 1)( m − 2)( m − 3) ∑ = 4 k =1 m m −1
. m
32. K"rea 20008 5isalkan &un(ukkan baa
bilangan prima dalam bentuk
4k + 1
.
2i 2 i 2 m − 1 − 2 = ∑ m m i =1 2 m −1
. 33. 4## pp.1)28 5isalkan &un(ukkan baa k
∑ i =1
im
=
m2
m = 4k + 1
adala bilangan prima.
−1
12
. 3). !BUC, $r"blem 2321, DaAid D"ster8 5isalkan baa
n≥2
, tun(ukkan
n2 n n2 ∑k 2 k = k ∑ = n +1 k 2
n
. 3+. %$5 1328 &entukan (umla bilangan bulat berbeda dari 9ungsi f ( x) = x
5 + 2 x + x + 3 x + 4 x 3
0 ≤ x ≤ 100
untuk bilangan real dalam batas
. 3 20053 2003 2003 × 2004 − 2004 × 2005
36.
&entukanla nilai untuk
x dengan x
adala bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan
.
$enyelesaian : 5isalkan
m = 2004
, maka
( m + 1) − ( m − 1) = ( m + 1) − ( m − 1) ( m − 1) × m m × ( m + 1) ( m − 1) × m × ( m + 1) 3
(m =
3
4
4
.
4
16m + 4m + 6m + 4m + 1) − ( m − 4m + 6m 2 − 4m + 1) 8m 3 + 8m = 3 =8+ 3 ( m − 1) × m × ( m + 1) m −m m −m 3
2
4
3
. Seingga
8 + 16m = 8 m 3 − m
.
2005 3 20033 2003 × 2004 − 2004 × 2005 = 8 'adi, nilai
.
x 3/.
Diketaui
adala bilangan bulat terbesar yang kurang dari
x . x = 68
x
atau sama dengan
. 'ika
y . y = 109 dan
, maka nilai
x . y − x + y adala . 10
$enyelesaian : Karena
x . x = 68
y . y = 109 dan
x ≤ x .x
, maka
y ≤ y . y
2
2
dan
.
y ≤ 109
x ≤ 68 2
2
.
.
y = 10
x = 8 . Selan(utnya
.
x = 68 = 8,5 x = 8 x
y = 109 = 10,9 y = 10 y
2
2
dan Seingga nilai untuk
.
x . y − x + y = 8 × 10 − 19 = 61 .
x 3.
Diketaui n"tasi
didefnisikan sebagai bilangan bulat
x = x − { x}
x
terbesar yang kurang dari atau sama dengan
dan
x { x} = 2014 x
x
&entukanla semua bilangan real 3.
yang memenui
=
.
n
OSP 20108 &entukan bilangan asli
1 1 x. + . x x x
.
seingga persamaan
n
x
n +1
memiliki tepat 2010 s"lusi real p"siti9 dengan x
adala bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan adala . $enyelesaian : x
x
)0. OSP 20058 Untuk sembarang bilangan real , n"tasi menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama x
dengan . 'ika persamaan akan lebi besar dari .
x + 3
= x +
x − x
3
, maka nilai
tidak 11
x
)1.
OSK 20138 &entukanla semua nilai
yang memenui
x + x = 5 persamaan
.
$enyelesaian :
x = x = x
x •
'ika
bulat, maka nilai
. 5
x + x = 5 ⇔ x + x = 5 ⇔ 2 x = 5 ⇔ x = 2 Seingga
.
x
#al ini tidak mungkin karena
bulat.
x = x + 1
x •
'ika tidak bulat yang mungkin8, maka berlaku seingga
,
x + x = 5 ⇔ x + x + 1 = 5 ⇔ 2 x = 4 ⇔ x = 2 ⇔ 2 < x < 3 . x
'adi nilai )2.
yang memenui persamaan adala
2< x<3
.
OSN 20038 &entukanla semua s"lusi bilangan real dari 2
2
⌊ x ⌋ + ⌈ x ⌉ =2003 .
$enyelesaian : x
x •
'ika
2
2
bulat, maka
E
⌈ x ⌉
, seingga
x + x = 2003 ⇔ 2 x = 2003 ⇔ x = 2003 2 2
2
2
2
(elas tidak mungkin 8 x •
'ika
2
bulat ini yang mungkin8, maka berlaku 2
atau x 2
+
⌈ x ⌉
x 2
−
x
2
⌈ x ⌉
=
x2
+1
=1 seingga
+ 1 = 2003 ⇔ 2 x 2 = 2002 ⇔
x 2
= 1001 ⇔ 1001 < x 2 < 1002 .
12
⇔
1001 < x < 1002
−
1002 < x < − 1001
atau 1001 < x
x
'adi s"lusi real
.
<
−
1002
adala
1002
1001
atau
)3. OMITS 20128 Diberikan persamaan 9ungsi tangga sebagai berikut:
2012
k 2012
=
2012 +
.
x 'ika
didefniskan sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang dari x
k
atau sama dengan serta untuk memenui sebanyak .
k
bilangan bulat, maka nilai
yang
$enyelesaian : 2012 = 44,...
4ngat baa Dikarenakan
2012
.
=
44,... =
k 2012
2012 +
44,...
k + 2012 ⇔
k ⇔ k = 0 2012 2012
, maka 44
44,... =
44,...
k + 2012
.
k k 6 ,... 6 ,... ⇔ = + = 6,... + 2012 2012
6=6+
.
k
Seingga untuk nilai , 2011.
bilangan bulat yang memenui adala 0, 1, 2,
k
'adi, nilai )).
bilangan bulat ada sebanyak 2012 bilangan.
OSN 20058 &un(ukkan baa anya aka nada tepat satu s"lusi
m = 2005 2005
m−
yang memenui
.
$enyelesaian: 13
Alternatif 1:
'elas
m > 2005
Dan untuk
. Untuk
m > 2006
m = 2006
2006 = 2005 2005
2006 −
, maka diper"le
misalkan sa(a
m = 2007
2007 = 2006 ≠ 2005 2005
.
, maka kita akan
2007 −
mendapatkan
.
%lternati9 2: %lternati9 3: a 2 a3
a1
)+.
OSN 2008 'ika diberikan barisan bilangan asli :
,
,
a1 + 1 a 2 + 1 a3 + 1 a = a = a = ... 2 3 4
a1 > 1
dengan
,
dan
.
an a ≤ 1 n+1 uktikanla baa
n
untuk setiap bilangan asli
.
x )6.
Diketaui
menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang
x = x − { x}
x
dari atau sama dengan
{ a − } = {a } 1
2
dan
a
. 'ika untuk bilangan p"siti9 2 < a 2
<3
a 12
, memiliki si9at dan , maka nilai dari adala . )/. $erkalian akar F akar tidak real dari persamaan x 4
− 4 x 3 + 6 x 2 − 4 x = 2015
p
p
adala
− 144 a −1
. *ilai
adala .
60 2014 7 ).
'umla 201) digit terakir dari
adala .
1)
x
x
).
OSP . 8 'ika pada bilangan real
,
menyatakan bilangan
x
x
bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan dan menyatakan bilangan bulat terke>il yang lebi dari atau sama dengan 2 x − 3 x + x = 0
x
, maka bilangan real yang memenui x 2
+0.
adala .
− 19 x + 88 = 0
'ika
x
, tentukanla semua nilai
yang memenui
$enyelesaian : x 2
− 19 x + 88 = 0 ⇒ x 2 = 19 x − 88
Diketaui
x
, seingga
>0
.
2 2 x < x 2 ⇔ x < 19 x − 88 ⇔ x 2 − 19 x + 88 < 0 ⇔ 8 < x < 11
Karena
.
x = 9 •
'ika
x 2
, maka x 2
= 19.9 − 88 = 171 − 88 = 83
.
> x ⇔ 83 > 81 ⇔ x 2 = 83 ⇔ x = 2
83
Seingga untuk
.
x = 10 •
'ika
x 2
, maka x
2
= 19.10 − 88 = 190 − 88 = 102
.
> x ⇔ 102 > 100 ⇔ x = 102 ⇔ x = 2
2
102
Seingga untuk
. 83
x
'adi nilia +1.
yang memenui adala
102
dan
.
OMITS 20128 &entukanla banyaknya s"lusi real dari 4 x 2
− 40 x + 51 = 0 .
$enyelesaian: 4 x 2
− 40 x + 51 = 0 ⇒ x 2 = 10 x −
Diketaui
51 4
, seingga
x > 0
.
51 3 17 2 2 x < x 2 ⇔ x < 10 x − 4 ⇔ 4 x 2 − 40 x + 51 < 0 ⇔ 2 < x < 2
Karena
. x 2
x = 1 •
'ika
, maka
= 10.1 −
51 4
= 10 − 12,75 = −2,75 . 1+
x 2 •
Seingga untuk
tidak mungkin8. x 2
x = 2 •
> x 2 ⇔ −2,75 > 1
'ika
= 10.2 −
51 4
= 20 − 12,75 = 7,25
, maka
.
x 2
> x ⇔ 7,25 > 4 ⇔ x 2 = 7,25 ⇔ x = 2
7,25
Seingga untuk
. x 2
x = 3 •
'ika
= 10.3 −
51 4
= 30 − 12,75 = 17,25
, maka x
. 2
> x ⇔ 17,25 > 9 ⇔ x = 17,25 ⇔ x = 2
2
Seingga untuk
. x 2
x = 4 •
'ika
17, 25
= 10.4 −
51 4
= 40 − 12,75 = 27,25
, maka
.
x 2
> x 2 ⇔ 27,25 > 16 ⇔ x 2 = 27,25 ⇔ x =
27,25
Seingga untuk
. x 2
x = 5 •
'ika
= 10.5 − 51 = 50 − 12,75 = 37,25 4
, maka
.
x 2
> x ⇔ 37,25 > 25 ⇔ x 2 = 37,25 ⇔ x = 2
37,25
Seingga untuk
. x 2
x = 6 •
'ika
= 10.6 −
51 4
= 60 − 12,75 = 47,25
, maka x
. 2
> x ⇔ 47,25 > 36 ⇔ x = 47,25 ⇔ x = 2
2
47,25
Seingga untuk
. x 2
x = 7 •
'ika
= 10.7 − 51 = 70 − 12,75 = 57,25 4
, maka x 2
.
> x 2 ⇔ 57,25 > 49 ⇔ x 2 = 57,25 ⇔ x =
57,25
Seingga untuk
. x 2
x = 8 •
'ika
= 10.8 −
51 4
= 80 − 12,75 = 67,25
, maka x 2
.
> x 2 ⇔ 67,25 > 64 ⇔ x 2 = 67,25 ⇔ x =
Seingga untuk
•
'ika
. x 2
x = 9 , maka
67,25
= 10.9 −
51 4
= 90 − 12,75 = 77,25 .
16
x 2
> x 2 ⇔ 77,25 > 81
Seingga untuk 'adi ada / s"lusi real. +2.
tidak mungkin8.
'ika
DA!TAR P"STAKA
1. #ermant", ;ddy. 2010. Kumpulan Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Indonesia 9 Tahun Penyelenggaraan OSN . engkulu: S5% + engkulu. 2. 4dris, 5uammad, 4bnu Busdi. 201+. angkah A!al Meraih Medali "mas Olimpiade Matematika SMA. andung: Grama Hidya. 3. Sembiring, Sua, Sukin" Suparmin. 201+. Pena "mas OSN Matematika SMA. andung: Grama Hidya. ). Setiaan, &edy, #ilman Iaturraman, ;di Kusnaedi, %. 5argana. 200/. 123 +45
Seri Olimpiade Matematika Al#a$ar
Soal % &a!a$. andung:
Grama Hidya. +. ambang S. 2012. Materi' Soal dan Penyelesaian Olimpiade Matematika Tingkat SMA(MA. 'akarta: $&. ina $restasi 4nsani. 6. Jandendriess>e, $eter, #"("" 7ee. 200/. Pro$lems in "lementary Num$er Theory .
1/
