a
1. Mis Misalk alkan Jawab: a x
10
−1
+
x
10
b x
10
−1
+
x
b x
10
=
+3
+ 2 ( 10 −1)( 10 x + 2) . Berapakah nilai a – b? x
=
2 ∙ 10
2 ∙ 10
x
+3
x
+ 2 (10 −1)( 10 x + 2)
( a +b ) ∙ 10 x +(2 a −b ) = ( 10 x − 1)( 10 x + 2) ( a + b ) ∙ 10 x + ( 2 a −b ) =2 ∙ 10 x + 3
Akibatnya,
Jadi, a + b = 2 dan 2a – b = 3 sehingga didapat a =
5
1
3 , b =
3
,
4
atau a – b =
3
.
2. Wati, !an, dan Budi "e"ulai "e"ulai per#alanan se#auh 1$$ k". k". Wati Wati dan !an pergi pergi "engg "engguna unaka kan n sepeda sepeda "%t%r "%t%r dengan dengan ke&epat e&epatan an rata'r rata'rata ata 2( k")# k")#a" a",, seda sedang ngka kan n Bu Budi di ber# ber#al alan an deng dengan an ke&ep e&epat atan an rata rata'r 'rat ata a ( k")#a" k")#a".. *etela *etelah h #arak #arak terten tertentu, tu, !an !an turun turun dari dari sepeda sepeda "%t%r "%t%r dan "ulai ber#alan dengan ke&epatan ( k")#a", sedangkan Wati ke"bali lagi untuk "en#e"put Budi dan "engantarkannya ke te"pat tu#uan, tepat bersa"aan dengan datangnya !an di te"pat tersebut. Berapa #a" la"a per#alanan tersebut? tersebut? Jawab: Misalkan setelah t #a" !an dan Wati sa"pai di , dan Budi tiba di , "aka25 t + 5 t 1=100 → 5 t + t 1= 20
/10 5 t + 5 t 2+ 25 t 2= AC = 25 t → 30 t 2=20 t → t 2=
2 3
t
/20 Waktu yang diperlukan Wati dari ke dan B = !aktu yang diperlukan !an
dari
ke
B,
t 2 + t 3=t 1
sehingga
../30 er#alanan Budi dari A ke B adalah 5 t + 5 t 2+ 25 t 3=100
t + t 2 + 5 t 3 = 20
/0 ari /20 dan /0, didapat 2
t + t + 5 t 3 =20 3
5
at atau
.................... ............................./(0 ........./(0
3
t + 5 t 3=20
B
ari /10, A /20, dan /30, didapat2
17
t + t 3=20 −5 t 3
atau
3
t + t 3= 20
/40 ari /(0 dan /40 didapatkan t = 3, akibatnya dari /10 didapatkan t 1 =5. Jadi, !aktu dari A ke B adalah 3 + ( = 5 #a". 3. *egitiga AB adalah segitiga sa"a sisi dengan pan#ang sisi 1 satuan. Melalui B, dibuat garis yang tegak lurus B. 6aris tersebut berp%t%ngan dengan perpan#angan garis A di titik . Berapakah pan#ang B? Jawab: *udut AB = ∠BA
sin120
= o
1
BD =
o
120 , dan ∠AB =
=
BD
2
o
30
,
o
30 .
AB o
sin 30
√ 3 1
o
60 , #adi ∠AB =
∙ 1=√ 3
2
. 7ntuk "enentukan !akilnya dala" &abang lari 11$ " ga!ang putra, sebuah *M7 "engadakan seleksi yang diikuti ( %rang sis!a. ala" seleksi tersebut diadakan 3 kali l%"ba, pelari ter&epat diberi nilai (, sedangkan peringkat diba!ahnya berturut'turut "endapat nilai 3, 2, 1, 1. 8idak ada dua pelari yang "ene"pati peringkat yang sa"a. Jika pe"enang seleksi diberikan kepada yang nilai t%talnya paling tinggi pada ketiga l%"ba, nilai terendah yang "ungkin di&apai %leh pe"enang adalah. . . Jawab: Misalkan nilai t%tal yang diper%leh setiap sis!a adalah A, B, , dan dengan A 36
adalah
5
≠
≠C ≠ D ≠ E dan
B
A + B + C + D + E =36. 9ata'rata nilai
=7,2 . Misalkan nilai dari pe"enang adalah A, "aka A ≥ 8.
Jadi, nilai yang "ungkin di&apai pe"enang adalah 5, :, 1$, . . ., 1(. Jika A = 5, "aka B + C + D + E =28 , dan tidak "ungkin B, , , ≤ ;.
(. Jika > $ dan Jawab:
x +
1
1
= 7 , "aka x 5+ 5 adalah. . . x x 2
x 2
x +
2
1
(¿ ¿ 2 + 2 ) − 2=7 1 = 7 x + =3 x 2 , "aka , sehingga didapat x x 1 2 x + 2 =¿ 1
x
x
(¿ ¿ 3 +
3
1
( )
) −3 x +
3
x
1
3
x +
x
3
1
x
=¿
= 2; – : = 15 Jadi, 1
5
x +
x
5
(
= x 3 +
1 3
x
)(
2
x +
1
x
2
)( ) − x +
1
x
= /150 . /;0 – 3 = 123 4. iberikan persegi pan#ang 9*. 8itik @ terletak di dala" 9* sede"ikian hingga sehingga @ = 3 &", @ = 12 &", dan @* = 11 &". an#ang @9 adalah. . . Jawab:
*
8arik M "elalui @ se#a#ar *. 9 Misalkan M = , M = y. 2 2 2 2 2 =12 − y atau 9− x =144 − y 2 ...... 3 − x ...../10 2
2
11 − x@=¿
2
− y 2 atau 121− x 2=¿ 2− y 2 ./20
ari persa"aan /10 dan /20, didapat
¿2−144 atau @9 = 14 &".
112 =
;. ilai
C
M
8
o
sin 75
− cos8 75o adalah. . .
Jawab: sin
(¿ ¿ 4 75o + cos4 75o)( sin4 75o −cos4 75 o) o o 8 8 sin 75 −cos 75 =¿
o
2
sin 75 o
4
sin 75
+ cos4 75o
=
+ cos 2 75o ¿ ¿ ¿ 1
= 1 −¿
−1
=1 o
4
sin 75
8 2
1
o
2
o
2
o
2
o
√ 3
=
() 8
7
=
"e"enuhi
8
o
2
7
− cos8 75o
5. eDnisikan
=
150
= Jadi, o
7
∙ / sin2 75o−cos 2 75 o ¿
= &%s
8
o
= / sin 75 +cos 75 ¿( sin 75 −cos 75 )
−cos 4 75o
=1
sin 75
2
2
sin 150
16
1
/ 2 √ 3 ¿
√ 3
a∗b =a + b + 1 , untuk se"ua bilangan bulat a, b. Jika p a∗ p =a untuk setiap bilangan bulat a, "aka p = .
Jawab:
ari deDnisi
a∗b =a + b + 1 , "aka
a∗ p =a + p + 1=a , akibatnya p = '1.
/p disebut unsur kesatuan dari %perasi
¿ diatas0
:. iketahui a + ( a + 1 )+ ( a + 2 ) + … + 50 =1.139 Jika a bilangan bulat p%sitiE, "aka a = Jawab: Misalkan banyak suku = n, "aka a + ( a + 1 )+ ( a + 2 ) + … +( a + ( n−1 ) )+ 50=1.139 a + ( a + 1 )+ ( a + 2 ) + … + ( a + ( n −1 ) )=1.139 −50 a + ( a + 1 ) + ( a + 2 ) + … +( a + ( n−1 ) )=1.089
na + 1 + 2 + 3 + … + ( n−1 ) =1.089 na +
1 2
( n −1 ) n =1.089
2 na= 2.178 + n− n
2
a= a= a=
2.178 + n− n 2n 2.178 −( n
2
−n )
2n 2.178 2n
Farena a=
2
2.178
=
2n
n
1
2
2
− +
a bilangan bulat p%sitiE, "aka n harus bilangan gan#il
n
1
2
2
− +
18 ∙ 11 ∙ 11 2∙9
9
1
2
2
− + =117
1$.
ai= ( 1,2,..,9 ) .
Jadi, a
(¿ ¿ 1 + a2 + … + an ) n−1 n− 2 N =10 ∙ a1 + 10 ∙ a2 + … + an= 6 ¿ n− 1
/ 10
=
−6 ¿ a 1+( 10n−2−6 ) a2 −5 an
=
$
. / ¿ ¿ Farena
a1 terke&il = 1 dan
a1 terbesar = :
¿ ¿ 0 tak "ungkin dipenuhi
7ntuk i = 1, 2, . , : "aka persa"aan untuk N ≥ 3 Jika
n =2 "aka persa"aan /
¿ ¿ adalah
N = 4 a1 −5 a2=0
ersa"aan ini dipenuhi untuk
a1=5 dan
a2= 4.
Jadi, N =( 10 ) ( 5 ) + 4= 54 Bila
n = 1 "aka persa"aan / ¿ ¿ adalah '( a1 = $ atau
ini tak "ungkin sebab
a1 harus bilangan asli.
Jadi, hi"punan bilangan asli N adalah (. 2.009
11.
ilai dari
∑= FPB ( k , 7 ) k 1
adalah. . .
a1= 0.
M
y
G
B
A Jawab:
Bilangan dari 1 sa"pai 2.$$: yang habis dibagi ; ada 1 bilangan, yaitu ;, 1, 21, , 25;. *edangkan bilangan dari 1 sa"pai 2.$$: yang tidak habis dibagi ; akan "e"punyai GB 1. Jadi nilai dari 2.009
∑= FPB ( k , 7 )= (2.009−41 ) + 287 =2.255 k 1
12. ada sebuah trapeHiu" dengan tinggi , kedua diag%nalnya saling tegak lurus. Jika pan#ang salah satu dari diag%nal tersebut adalah (, berapakah luas trapeHiu" tersebut? Jawab:
Misalkan = , A = y, M = a, B = ( •
•
ari ∆ BDE , "aka B = 3 ari ∆ BDF , "aka G = 3
erhatikan 2
∆ AMD dan
2
2
∆ BMA
2
AD − DM = AB − BM
( 16 + y ) −a = ( y + 3 ) −( 5− a ) 2
2
2
2
2 2 2 2 → 16 + y −a = y + 6 y + 9− 25 + 10 a−a
→ 6 y + 10 a =32 → 3 y + 5 a =16
.........../10 erhatikan ∆CMD dan 2
2
2
∆CMB
2
DC − DM =BC − BM
x −a = (3 − x ) + 16−( 5 − a ) 2
2
2
2
2
2
2
2
→ x − a =9 −6 x + x + 16 −25 + 10 a −a → 6 x = 10 a
→ 3 x =5 a ....
......./20
ari /10 dan /20, diper%leh 3 ../30 Iuas trapeHiu" L=
1 2
+
3y
=
14
( 4 ) ( x + y +3 )
¿ 2 x + 2 y +6 ¿ 2 ( 3 x +3 y ) + 6 3
*ubstitusikan nilai dari persa"aan /30, "aka L=
13.
2 3
( 16 ) +6 = 50 3
Jika a dan b bilangan bulat sehingga
√ 2.010 + 2 √ 2.009 "erupakan
2 s%lusi persa"aan x + ax + b=0, "aka nilai a+b adalah. . .
Jawab:
√ 2.010 + 2 √ 2.009 =√ 2.009 + 1 −a ± √ a2− 4 b
2
ari x + ax + b= 0 , "aka
−a ± √ a2− 4 b 2
2
. Jadi,
= √ 2.009+ 1
−a± √ a2 −4 b =2 √ 2.009+ 2 Farena a, b adalah bilangan bulat, "aka haruslah
√ a − 4 b =2 √ 2.009 =√ 4 ( 2.009 ) diper%leh b =−2.008 . 2
Jadi,
atau
a
2
a =−2
dan
− 4 b = 4 ( 2.009 ) . Akibatnya,
a + b =−2.010 .
1. Berapakah sekurang'kurangnya titik yang harus dia"bil dari sebuah persegi dengan pan#ang sisi 2, agar di#a"in senantiasa tera"bil dua 1
titik yang #arak antara keduanya tidak lebih dari
2
√ 2 ?
Jawab: 1
Jarak dua titik adalah
2
√ 2 dan "erupakan pan#ang diag%nal yang
1
sisinya
2
. Berarti persegi yang pan#ang sisinya 2 di#adikan 14 buah 1
persegi yang sisinya
2
. Agar dapat di#a"in senantiasa tera"bil dua
1
titik yang #arak antara keduanya tidak lebih dari
2
√ 2 , "aka harus
ada sebuah titik lain yang dite"patkan se&ara a&ak pada 14 buah persegi. Jadi, banyak "ini"al titik adalah 1;. 1(.
Misalkan " dan n dua bilangan asli yang "e"enuhi
2
2
−2.003= n
,
berapakah "n? Jawab:
2
−2.003= n2 2
2
−n = 2.003 atau
( −n ) ( + n ) =2.003 Farena 2.$$3 bilangan pri"a, "aka −n =1 dan
+ n=2.003
Akibatnya, " = 1.$$2 dan n = 1.$$1 ∙ n =( 1.002 ) ( 1.001 )=1.003 .002
Jadi
14.
Jika a, b adalah bilangan asli dan a ≤ b sehingga
√ 3 + √ a √ 4 + √ b adalah
bilangan rasi%nal, "aka pasangan /a, b0 adalah . . . Jawab: √ 3 + √ a Misalkan = √ 4 + √ b dengan bilangan rasi%nal. b 2 + √ ¿
¿ P ¿ b
2 + √ ¿
¿ ¿
P
2
¿
P ( 4 + b + 4 √ b )=3 + a + 2 √ 3 a 2
2 2 P ( 4 + b )−( 3 + a )¿+[ 4 P √ b −2 √ 3 ]= 0
Mengingat a, b adalah bilangan asli dan bilangan rasi%nal, "aka 2 2 P ( 4 + b ) −( 3 + a )=0 dan 4 P √ b− 2 √ 3 =0 engan "engeli"inasi P
2
dari kedua persa"aan diatas, diper%leh 3 +a 4+ b
= √
3a
√ 4 b
√ 4 b ( 3 + a )= √ 3 a ( 4 + b )
4 b ( 9 +6 a + a
2
)= 3 a ( 16 + 8 b + b ) 2
2
36 b + 4 a b =48 a + 3 ab
2
12 ( 3 b −4 a ) + ab ( 4 a −3 b )= 0
/ 4 a−3 b ¿ ( ab −12)= 0 Akibatnya, ab = 12 karena ab =12 , "aka
ari
4 a− 3 b ≠ 0
a =12, b =1, ataua = 6, b =2, ataua =4, b =3
ari pasangan a, b diatas, yang "e"enuhi adalah /a, b0 = /12, 10 1;.
!,",#
Jika 1+ !
+
1 + "
1 −! 1− "
+
adalah akar'akar persa"aan
3
x − x − 1= 0 , tentukan
1 + # 1− #
Jawab:
ari x − x −1= 0 → x ( x + 1 ) ( x −1 )=1 3
1
x −1= x ( x + 1 ) 1− x =
−1 x ( x + 1 )
Jadi, 1+ x
x − 1
=− x ( x + 1 )2 ¿− x 3 −2 x 2− x , karena x 3− x −1= 0 ¿− x −1−2 x2 − x =−2 x 2−2 x −1
Akibatnya, 1+ !
+
1 + "
1 −! 1− "
+
1 + #
=−2 ( ! 2 + " 2 +# 2 )−2 ( ! + " + # ) −3
1− #
¿− 2 [ ( ! + " +# )2−2 ( !" + !# + "# ) ]−2 ( ! + " + # )−3 ¿− 2 [ 0 −2 (−1 ) ]− 0−3 ¿−7 15. engan "engk%"binasikan ketiga !arna yaitu "erah, kuning dan biru terbentuk !arna'!arna lain. Misalkan terdapat ( kaleng &at !arna "erah, ( kaleng &at !arna kuning, dan ( kaleng &at !arna biru dan Budi b%leh "e"ilih kaleng "anapun untuk "en&a"purkan !arna serta se"ua &at dala" sebuah kaleng harus dipakai se"ua, ada berapa pilihan !arna yang dihasilkan? Jawab:
Misalkan perbandingan !arna yang dipakai adalah "erah - kuning biru = - y - H engan , y, H = $, 1, 2, 3, , ( /10Jika - y - H = 1 - 1 - 1 "aka ada 1 !arna yang dihasilkan. /20Jika hanya 2 !arna yang di&a"pur dengan perbandingan sa"a, = $, y - H = 1 - 1, "aka ada 1 !arna.
y ≠ $ , "aka ada 12 !arna yang dapat
dihasilkan yaitu dengan perbandingan 1 - 2 - 3, 1 - 2 - , 1 - 2 - (, 1 3 - 2, 1 - 3 - , 1 - 3 - (, 1 - - 2, 1 - - 3, 1 - - (, 1 - ( - 2, 1 - ( - 3 dan 1 - ( - . engan &ara yang sa"a #ika = 2, 3, dan (. Jadi, banyak !arna yang dihasilkan #ika perbandingannya berbeda ada (/120 = 4$ !arna. ari /10, /20, /30, dan /0, "aka banyak !arna yang dihasilkan ada 1 + 3 + 4$ + 4$ = 12 !arna 1:. %na "enyusun li"a buah persegi yang k%s%ng "en#adi sebuah bangun datar. 8idak ada persegi yang "enindihi persegi lainnya. Jika luas bangun yang diper%leh d%na adalah 2(
%
2
, keliling bangunan
tersebut paling sedikit adalah. . . .&" Jawab: Farena tidak b%leh ada persegi yang "enindih persegi lainnya dan "e"punyai keliling terke&il, "aka keli"a persegi tersebut "e"bentuk segie"pat seperti pada ga"bar. Farena luas 2( persegi adalah ; &".
Jadi, keliling terke&ilnya adalah & =( 12 ) ( 7 )= 84 %
%
2
, "aka sisi
2$. Bilangan asli 1, 2, 3, , n dituliskan dipapan tulis, ke"udian salah satu bilangan dihapus. 9ata'rata arit"atika bilangan yang tertinggal 35
adalah
7 17
. Bilangan
n yang "e"ungkinkan ini ter#adi adalah. . .
Jawab: ' =1 + 2 + 3 + … + n dan p adalah bilangan yang dihapus dengan
Misalkan 1 ≤ p≤n ,
"aka 1
2
' =1 + 2 + 3 + … + n = n 2
1
+ n. 2
35
Bila p dihapus, rata'ratanya 1 2
n
2
7 17
. Jadi,
1
+ n − p 2
=35
n−1
7 17
→n
2
+ n−2 p = ( n−1 )
[
70 +
14 17
] n dan
ari bentuk persa"aan terakhir, dan "engingat n − 1 kelipatan dari 1;. Jadi,
asli, "aka haruslah n − 1 ∈ {17, 34,51,68, … . }
[
n + n −2 p = ( n −1 ) 70 + 2
ari
14 17
]
[
→ n ( n + 1 ) −( n − 1 ) 70 +
14 17
]=
2 p
•
7ntuk
n −1=17,34, (an 51 , "enghasilkan p negatiKe.
•
7ntuk
n −1=68 atau 69, "aka
( 68 ) ( 70 )−68 Jadi, bilangan
[
70 +
14 17
]=
p=7.
2 p diper%leh
n yang "e"ungkinkan adalah
n =68.
3 ∙1 ∑= (1.004 k )
1.004
21.
k
ilai dari
k 0
adalah . . Jawab:
() ()
()
()
( a + b)n= n an + n a n−1 ∙ b + n a n−2 ∙ b2 + … + n bn o
1
n
2
n
()
¿ ∑ n an−k bk k = 0
k
engan "enga"bil a = 3, b = 1, dan n = 1.$$ "aka 3 ∑= (1.004 k )
1.004
k 0
1.004 − k
1.004
∙ k = (3 + 1 )
p bilangan
= 22.
2
2.008
Misalkan N "enyatakan hi"punan se"ua bilangan bulat p%sitiE
dan
{ |
) = n ∈ N
2.009
n
+2
n +1
| } ∈ N
Banyak hi"punan bagian dari * adalah. . . Jawab: 2.009
n
+2
A"bil x ∈ ) , "aka x = n + 1 x =
¿
n
n
2.009
dan x bilangan asli
+2
n +1 2.009
+1
n +1
+
1
n +1
¿ ( n2.008− n2.007+ n2.006−… + 1 ) +
1
n +1 1
Farena n bilangan asli, "aka
n + 1 bukan bilangan asli. Akibatnya,
x *. Jadi, * "erupakan hi"punan k%s%ng. Berarti banyak hi"punan
bagian dari * ada 1 buah, yaitu * sendiri. 23. ada bagian kanan 1$$L 8erdapat digit $ sebanyak. . . Jawab: 1$$L = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 100 = / 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 10 ¿( 11 ∙ 12 ∙ … ∙ 20 ) … ( 91 ∙ 92 ∙ …∙ 100 ) igit $ diper%leh dari perkalian digit 2 dan ( atau perkalian dengan 1$ ari perkalian 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 10 terdapat 2 digit $. ari perkalian ari perkalian
11 ∙ 12 ∙ …∙ 20 terdapat 2 digit $. 91 ∙ 92 ∙ … ∙ 100
terdapat 3 digit $
Akibatnya, banyak digit $ dari 1$$L Ada 21 digit. 2.
Bilangan pri"a p yang "e"enuhi
sebanyak. . . Jawab:
( 2 p −1 )2+( 3 p )2= 6 p , "aka 2 2 7ntuk p=2 diper%leh ( 2 p −1 ) + ( 3 p ) > 6 p ari
( 2 p −1 )2+( 3 p )2= 6 p ada
7ntuk p=3,5,7, … diper%leh
( 2 p −1 )2+ ( 3 p )2 < 6 p
ni berarti tidak ada bilangan pri"a yang dapat "e"enuhi persa"aan
( 2 p −1 )2+ ( 3 p )2 =6 p . Jadi, banyak bilangan pri"a ada $ buah. /tidak ada0 Jika x 1 , x 2 , … , x 2009 bilangan real, "aka nilai terke&il &%s
2(.
x 1 sin x2+ cos x 2 sin x3+ … + cos x 2.009 sin x1 adalah. . .
Jawab: cos x 1 sin x2=
1
cos x 2 sin x 3=
1
cos x 3 sin x 4 =
1
2
2
[ sin ( x + x ) −sin ( x − x ) ] 1
2
1
2
[ sin ( x + x )−sin ( x − x ) ] 2
3
2
3
[sin ( x + x )−sin ( x − x ) ] 3
2
4
3
4
⋮
cos x 2.008 sin x 2.009= cos x 2.009 sin x 1=
1 2
1 2
[ sin ( x
[ sin ( x
2.008
2.009
+ x 2.009 )− sin ( x 2.008− x 2.009 ) ]
+ x 1 ) −sin ( x 2.009− x1 ) ]
Akibatnya, &%s x 1 sin x 2+ cos x 2 sin x 3+ … + cos x 2.009 sin x 1
sin
(¿ x i+ x i+1 ) 2.008
¿ ∑ = i 1
¿
sin
(¿ xi − xi +1) 2.008
¿ ∑ = i 1
¿
1
¿ ¿ 2
sin (¿ x i− x i+1 ) 2.008
sin
(¿ xi + x i+1 )− ∑ ¿ i=1
2.008
1 ¿+ [ sin ( x ∑ 2 = i 1
2.009
+ x 1 ) −sin ( x2.009 − x 1 ) ] 1
¿ ¿ 2
Agar nilai &%s x 1 sin x2+ cos x 2 sin x3+ … + cos x 2.009 sin x1 terke&il, "aka haruslah sin / x i+ x i+ 1 ¿=−1 and sin / x i− x i+ 1 ¿= 1 untuk setiap i =1,2,3, . . . . , 2008 dan sin / x 2.009+ x 1 ¿=−1 sin / x 2.009 − x1 ¿=1
Akibatnya, nilai &%s x 1 sin x 2+ cos x 2 sin x 3+ … + cos x 2.009 sin x 1 adalah 1 2
1
(−2008 −2.008 ) + (−1 −1 )=−2.009 2
8entukan bilangan bulat p%sitiE n terke&il agar
24.
√ n− √ n −1 < 0,01.
Jawab:
√ n− √ n −1=√ n −√ n−1 1
Jadi,
√ n + √ n −1
(
)
1 √ n + √ n −1 = √ n + √ n −1 √ n + √ n−1
< 0,01 atau √ n + √ n−1 > 100
Mengingat bah!a
√ 2.500=50, "aka
√ 2.500 + √ 2.501> 100 Jadi, n terke&il adalah 2.($1. 2;.
u1 ,u 2 , u3 , … , u n dengan
iketahui barisan n ≥ 2. Jika
' 1.492=1.865 dan
un=u n−1− un−2 untuk
' 1.865 =1.492 , tentukan
' 1.492+1865 L /
' n =u 1 + u 2 + u 3 + … + u n ¿
Jawab:
ari
un=u n− 1−un− 2 "aka
•
u3=u 2− u1
•
u4 =u3− u 2=u2−u1 − u2=−u1
•
u5=u 4− u 3=−u1−u2 + u1=−u2
•
u6=u 5− u4 =−u2 + u1
•
u7=u 6− u5 =−u 2+ u 1+ u 2=u1
Jadi, •
un "erupakan barisan pri%dik dengan peri%de 4. Akibatnya, u1.492=u4 dan
' 1.492=' 4
= 2 u2−u1 =1.865 •
u1.865=u5 dan
/10
' 1.865= '5
=
u2−u1 =1.492 ..
/20 ari /10 dan /20 diper%leh u2=373 , #adi ' 1.492+ 1865 =' 3 2 u2
=
= 2/3;30 = ;4
+ 2−4 + 3−4 + 4−4 + … =… −4 −4 −4 −4 1 +3 +5 +7 +…
1
25.
−4
Jawab: Misalkan −4 −4 −4 −4 M =1 + 2 + 3 + 4 + … −4
−4
−4
−4
−4
−4
−4
N =1 + 3 + 5 + 7 + …
Maka −4
M − N = 2 + 4 + 6 + 8 + … atau −4
2
+ 4−4 + 6−4 +8−4 + … 0 N = M −¿ −4
N = M − 2
N = M −
1 16
( 1+ 2− + 3− + … )
M =
4
15 16
4
M
Akibatnya, M 16 = N 15
Jadi, −4
+ 2−4 + 3−4 + 4−4 + … 16 = −4 −4 −4 −4 1 + 3 + 5 + 7 + … 15
1
2:.
6raDk
3
2
x −3 x y =2.007 dan
3
2
y −3 x y =2.008
A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,(anC ( x 3 , y 3 ) . 8entukan nilai dari
berp%t%ngan di titik
( )( )( ) 1−
x 1
y 1
1−
x 2 y 2
1−
x 3 y 3
Jawab: 3 2 x −3 x y =2.007
/10 y
3
−3 x 2 y =2.008
/20
ari persa"aan /10 dan /20, "aka
3 2 3 2 2.$$5/ x −3 x y ¿− 2.007 ( y −3 x y )=0
t =
Misalkan M
x x =ty . Akibatnya, y 3
3
2
3
2
2.$$5/ t y − 3 t y ¿−2.007 ( y −3 x y )= 0
⇒
B 2.008A( t 3 −3 t ) − 2.007 ( 1−3 t 2 )=0 3
⇒ 2.008 t
+ 6.021 t 2 −6.024 t −2.007 =0 3
⇒
2
2.008 t + 6.021 t −6.024 t −2.007 =2.008 ( t −t 1)( t −t 2)( t −t 3 )
engan "enga"bil t = 1, "aka 2.008 ( 1−t 1 )( 1 −t 2) ( 1 −t 3 ) =−2,
berarti
−2
−1
( t −t )( t − t ) ( t −t )= 2.008 = 1.004 1
2
3
Akibatnya,
( )( )( ) 1−
x 1
y 1
1−
x 2 y 2
1−
x 3 y 3
=
−1 1.004
3$. ada segitiga AB, garis'garis berat dari titik sudut B dan titik sudut saling berp%t%ngan tegak lurus. ilai "ini"u" dari &%t B + &%t adalah. . . Jawab:
B dan adalah garis berat, berarti M - M = 2 - 1 dan BM - M = 2-1 Misalkan M = dan M = y "aka tan
B 1=
x 2 y dan tan
B 2=
2 x
tan
y 2 x dan tan
C 2 =
2 y
•
C 1 =
•
tan B = tan / B 1+ B2 ¿
•
tan B 1+ tan B 2
=
1− tan B1 B2
2 y
2 x
=
x y
y x
=
x x + 2 y y ¿ x x 1− ∙ 2 y y •
cot B =
2 y
2
− x2
=
3 xy 2 y
2
− x 2
3 xy
../10 •
tan = tan / C 1 + C 2 ¿ tan C 1 + tan C 2
=
1− tan C 1 C 2
y y + 2 x x 3 xy ¿ = 2 2 y y 2 x − y ∙ 1− 2 x x •
cot C =
2 x
2
− y 2
3 xy
../20 •
B + cot C = ¿
2 y
2
− x 2
3 xy
+
2 x
2
− y2 x 2+ y2 =
3 xy cot ¿
2
3 xy 3 xy
√ x 2 y 2=
2 3
2
Akibatnya, nilai "ini"u" dari &%t B + &%t adalah
3
