SOLUCIÓN AL TALLER DE MATEMATICAS APLICADAS PARA INGENIEROS QUIMICOS 1.
Con los datos del diagrama siguiente (donde los porcentajes están dados en fracción másica), encuentre los posibles valores de las corrientes M1, M2, M3 y M4.
( ) [( ()] [( ()()]
M1
MIXER
M2
M3
( ) ( ()()
M4
( ) ( (()()
De acuerdo al diagrama de flujo, la unidad de proceso corresponde a un mezclador o tanque de mezclado en donde las corrientes M1, M2 y M3 confluyen a la unidad para precisamente mezclarse y salir del proceso en un flujo unificado, llamado M4. Así, los grados de libertad del proceso son lo s siguientes: GL: 4 Incógnitas (M1, M2, M3 y M4) – 3 Balances (E, M, W) – 1 Base de cálculo = 0 De los grados de libertad concluimos que el sistema está completamente especificado y para poder resolverlo tomamos una base de cálculo, como las composiciones de los flujos están dadas en fracciones másicas, entonces dicha base de cálculo será 100 Kg/h y corresponderá a M4, que al realizar el balance total del proceso es la suma de las tres corrientes restantes. Los balances son los siguientes: Balance de Etanol: (E): M4 (0.58) = M1 (0.83) + M2 (0) + M3 (0.55) Balance de Metanol: (M): M4 (0.21) = M1 (0) + M2 (0.61) + M3 (0.24) Balance de Agua: (W): M4 (0.21) = M1 (0.17) + M2 (0.39) + M3 (0.21) Balance Total: M4 = M1 + M2 + M3 Así obtenemos un sistema de ecuaciones 3x3, ya que al hacer los cálculos del flujo M4, obtenemos dos matrices, una llamada I, la cual corresponde a las incógnitas (los flujos) y otra llamada M, que corresponde a la suma de las composiciones másicas de cada especie.
Para poder hallar las soluciones este sistema lineal de ecuaciones, procedemos a colocar estas matrices en la hoja de cálculo de Excel, y luego de eso seleccionamos un conjunto de celdas 1x3, y en fx escribimos el siguiente código: fx = mmult (minversa (Matriz I); Matriz M) Esta codificación nos permite hallar la inversa de la matriz I, y al tiempo multiplicarla con la matriz M, pero antes de hacer realizar ese calculo, una vez se termino de escribir el respectivo código, se presionan las teclas Control + Shift + Enter . Así, como resultados, obtenemos como respuestas de M1, M2 y M3 de:
M1 M2 M3
Flujo (Kg/h) 19,0140845 4,22535211 76,7605634
Estos flujos sumados corresponden al propuesto en nuestra base de cálculo que es de 100Kg/h.
2.
Un granjero desea preparar una formula alimenticia para engordar ganado. Dispone de maíz, desperdicio, alfalfa y cebada; cada uno con ciertas unidades de ingredientes nutritivos. Determine de acuerdo con la tabla a continuación:
INGREDIENTES (Kg) Carbohidratos Proteínas Vitaminas Celulosa Costos ($)
MAIZ 80 28 20 50 18
DESPERDICIO 15 72 20 10 5
ALFALFA 35 57 12 20 7
CEBADA 60 25 20 60 20
REQUERIMIENTO DIARIO (Kg/día) 230 180 80 160 ----
a.
Los kilogramos (Kg) necesarios de cada material par a satisfacer un requerimiento diario.
b.
El costo de la mezcla.
En este problema podemos ver que inmediatamente esta planteado un sistema de ecuaciones lineales, el cual ordenaremos de la siguiente manera:
Donde I es la matriz que contiene las incógnitas que procederemos a hallar a continuación y R es la matriz que posee los valores totales y deseados del requerimiento diario (Kg/día) por cada ingrediente, es decir, las composiciones de dichos ingredientes por día. Al igual que en el ejercicio 1, procedemos a seleccionar un conjunto de celdas, que serán la matriz solución, en este caso de 1x4 y escribimos en fx : fx = mmult (minversa (Matriz I); Matriz R) Así, al final de la codificación haciendo la combinación de teclado de Control + Shift + Enter , obtenemos los valores diarios necesarios para cumplir con el requerimiento diario de la granja: Ingredientes Maíz Desperdicios Alfalfa
Cantidad (Kg) 1,85246657 1,03181189 0,61779622
Cebada
0,7450438
Para realizar el cálculo de los costos totales, introducimos en la hoja de cálculo de Excel la siguiente codificación: fx = (Maíz*18)+ (Desperdicios*5)+ (Alfalfa*7)+ (Cebada*20) Obteniendo un costo total de $ 57,7289073 pesos, así resolviendo todas las incógnitas propuestas en el ejercicio.
