Caracas, 17-02-2013 SOLUCIÓN DEL PRIMER EXAMEN DE MATEMÁTICAS VII ENE-MAR 2013-BLOQUE A 1) (13 puntos) Considere la función real f(x):
1 7 ( x 7),7 x 0, f ( x) 1,0 x 1, 2 x,1 x 2, 0, x (, 7 (2, ), a) (6 puntos) Calcule
(x) f gen Como f es continua, su derivada generalizada es igual a su derivada clásica:
f (x)
1 7 ,7 x 0, ( x) 1,0 x 1, f gen 1,1 x 2, 0, x (,7) (2, ),
(x) f gen Luego la segunda derivada generalizada de f es:
1 1 ( x) 0 ( 0) 7 ( x) (0 ) ( x) (1 0)1 ( x) (0 (1)) 2 ( x), f gen 7 7 1 1 ( x) ( x 7) ( x) ( x 1) ( x 2) f gen 7 7 b) (6 puntos) Calcule el valor de la integral:
f ( x)sen(ax)dx,a .
Si a=0:
f ( x) sen(ax)dx
f ( x)sen(0)dx 0
a 0, Se tiene: ( sen(ax)) a cos(ax), ( sen(ax)) a 2 sen(ax) sen(ax)
( sen(ax)) a2
Luego usando la definición de una Distribución regular f, donde la función:
sen(ax) C (),
f ( x)sen(ax)dx
f ( x), sen(ax) f ( x),
( sen(ax)) de a2
1 f ( x), ( sen(ax)) , Justificac ión : T , T , , C , a2
1
f ( x)sen(ax)dx a
2
( x), sen(ax) , Justificac ión : T ( n ) , (1) ( n ) T , ( n ) , n 1,2,... f gen
1 1 1 1 ( x), sen(ax) 2 f gen ( x 7) ( x) ( x 1) ( x 2), sen(ax) , de : 1)a) 2 7 a a 7
Evaluando la función sen(ax) en los puntos centrados de Dirac, se tiene:
I
1 1 [ sen(7a) sen(a) sen(2a)] 2 7
f ( x)sen(ax)dx a
I
1 1 [ sen(7a) sen(a) sen(2a)] a2 7
2) (12 puntos) Exprese la función generalizada
1 x 2 ( x) Como combinación del funcional de Dirac y sus derivadas. Solución: Por definición de Distribuciones:
1 x 2 ( x), ( x), 1 x 2 , D(), Justificac ión : TS , S , T , 1 ( x), ( 1 x 2 )) , (), Justificac ión : T ( n ) , (1) ( n ) T , ( n ) ,
Al calcular las derivadas de la función generalizada dada, se tiene:
[ 1 x 2 ( x)]
[ 1 x 2 ( x)]
[ 1 x 2 ( x)]
x 1 x
2
( x) 1 x 2 ( x)()
1 x2 2x ( x) ( x) 1 x 2 ( x)() 2 2 2 (1 x ) 1 x
3x 1 x 2 3 1 x2 3x ( x ) ( x) ( x) 1 x 2 ( x)( ) 2 3 2 2 2 (1 x ) (1 x ) 1 x
Usando esta última expresión en:
()
Se tiene:
1 x 2 ( x), 1 ( x), ( 1 x 2 )) ( x),
3x 1 x 2 3 1 x2 3x ( x ) ( x) ( x) 1 x 2 ( x) 2 3 2 2 2 (1 x ) (1 x ) 1 x
Evaluando el funcional del lado derecho del producto interno, en x=0, se tiene:
1 x 2 ( x), 3 (0) (0) ( x),3 ( x) ( x) ( Aplicación del Funcional de Dirac) 3 ( x) ( x), ( x) , Justificac ión : T ( n ) , (1) ( n ) T , ( n ) , n 1,2,.. 1 x 2 ( x) 3 ( x) ( x)
3) Halle la solución causal de la ecuación:
ty (t ) y 4ty (t ) 0; y (0) 3, y (0) 0, t , Solución: Sea v(t)=h(t)y(t), para reemplazar el PVI 4) por una sola ED en sentido distribucional, “y” es la solución del PVI dado e:
y C 2 ,0yC 2 0, , Se tiene:
v gen (t ) h(t ) y (t ) y (0) (t ) h(t ) y (t ) 3 (t ), (t ) h(t ) y (t ) y (0) (t ) y (0) (t ) h(t ) y (t ) 3 (t ), , v gen
Aplicando la ED
(t ) v(t ) 4tv (t ) th(t ) y (t ) 3t (t ) h(t ) y (t ) 3 (t ) 4th(t ) y(t ), tvgen
Luego:
(t ) v(t ) 4tv (t ) h(t )[ty (t ) y (t ) 4ty (t )] 3t (t ) 3 (t ), tvgen 3t (t ) 3 (t ), (1)
Aplicando directamente la T.L. a (1), se tiene:
( z 2V ( z )) zV ( z ) 4V ( z ) L(3t (t )) L(3 (t )) 3(1)( L( (t )) 3 3 3 0, ()
Justificación:
11) L( f gen (t )) z n F ( z ), n 0,1,2,... ( n)
20) L(t n f (t )) (1) n F ( n) ( z), n 0,1,2,... Luego:
( z 2V ( z )) zV ( z ) 4V ( z ) 2 zV ( z ) z 2V ( z ) zV ( z ) 4V ( z ) 0, de() V ( z ) z 2 , V ( z) z 4
Al integrar ambos lados de esta última igualdad, se tiene:
1 1 ln( z 2 4) c1 ln V ( z ) ln( z 2 4) c1 ln V ( z ) z 2 4 c1 2 2 c1 e A A V ( z) v(t ) Ah (t ) J 0 (2t ) y (t ) 3J 0 (2t ), con : J 0 (0) 1, z2 4 z2 4 z2 4 ya que : y (0) 3, Esta es la Función de Bessel ln V ( z )
4 ) ( 1 2 p u n to s ) D e t e r m i n e l a s f u n ci o n e s c a u sa l e s f ( t ) y k( t ) , q ue s a t i s fa c e n :
a)( f g )(t ) h(t 1) cos(t 1)h(t 1), donde : g (t ) sen(t )h(t ), Aplicando Transformada de Laplace en a):
L( f g )(t ) L(h(t 1)) L(cos(t 1)h(t 1)), LT es Lineal , ez ez z ez 2 z z 1 z ( z 2 1) 1 , donde : g (t ) sen(t )h(t ), L( g (t )) 2 , z 1 z e z ( z 2 1) e z 1 e L( f (t )) F ( z ) f ( t ) L ( ) h(t 1) z z z ( z 2 1) L( f (t )).L( g (t ))
b)( f k )(t ) (t 1)
Aplicando Transformada de Laplace en b):
L( f k )(t ) L( (t 1)) L( 1(t )), L( f (t )).L(k (t )) ze z L(k (t )) K ( z )
z 2ez z 2 k (t ) L1 ( z 2 ) (t ) e z
Justificaciones:
3) L(h(t a))
e az z
14) L( a (t )) z ne az , n 0,1,2,... ( n)
17) L( f (t ) g (t )) F ( z)G( z)
