Solucion Examen Final 2013

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA EXAMEN FINAL DE CALCULO VECTORIAL -02-08-2013

 Apreciado estudiante, hoy que finaliza la actividad académica en esta materia dele gracias a Dios por por haberle permitido cursarla, por las oportunidad que se presentaron presentaron durante el desarrollo de la misma para aprenderla y pasarla, y sobre todo dele gracias  por tener una familia que cree en usted y esta dispuesta di spuesta a realizar los sacrificios que sean necesarios con el fin de que usted u sted sea un buen profesional.

1. La temperatura en un punto cualquiera ( x , y ) de la misma esta dada por la la expresión

        

. Una hormiga que esta sobre la placa

camina alrededor de una circunferencia que tiene 5 centímetros de radio y cuyo centro se encuentra localizado en el origen del plano cartesiano. Determine las temperaturas máxima y mínima que encuentra la hormiga en su recorrido.

SOLUCION EXAMEN CALCULO VECTORIAL

Página 1

Como la hormiga se encuentra desplazándose en la circunferencia de radio 5, se tiene que esta limitada a recorrer un trayecto dada por

    

. Y como la temperatura en

               

cualquier punto de la placa es

, obtenemos:

Función Objeto: Restricción:

 Aplicando los multiplicadores de Lagrange, se tiene

                                                                             SOLUCION EXAMEN CALCULO VECTORIAL

Página 2

                                 √       √   √                                 √    √       (√ √ )  (√ ) (√ )(√ ) (√ ) (√ √ )       (√ √ )  (√ ) (√ )(√ ) (√ ) (√ √ )        (√ √ )  (√ ) (√ )(√ ) (√ ) (√ √ )        ) ) )(√  ) (√  ) (√ √   (√  (√    (√ √ )     

Siendo

Siendo

SOLUCION EXAMEN CALCULO VECTORIAL

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2. Cual es el área máxima de una paralelogramo que se puede inscribir una circunferencia de radio 1

              

                                                    √   √    SOLUCION EXAMEN CALCULO VECTORIAL

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3.

Determine el volumen del solido acotado por la superficie

  

, el plano xy, y sobre la región comprendida entre las curvas

        

.

Graficamos las curvas con el fin de encontrar los limites de integración

Las curvas describen dos áreas para la primera se tiene

                     

Para la segunda área se tiene

SOLUCION EXAMEN CALCULO VECTORIAL

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Siendo el volumen

       ∫ ∫ (  ) ∫ ∫ (  )             ∫ ∫ (  )  ∫                      ∫ *           +

     

   

              ∫ ∫ (  )  ∫                         ∫ *            +  

  

     4. A) Determine los puntos máximos y mínimos de la superficie

  f  ( x, y )  4 x 2  6 xy  5 y 2  20 x  26 y Encontramos las primeras derivadas parciales

f x   8x   6y   20 f y   6x   10 y   26 Igualamos las derivadas a cero y resolvemos el sistema resultante

0  8x   6y   20 0  6x   10y   26 Con lo que

x  1; y   2

SOLUCION EXAMEN CALCULO VECTORIAL

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Encontramos las segundas derivadas

f xx   8

f xy   6

f yy   10

Evaluamos las segundas derivadas

f xx (1,2)  8

f yy (1,2)  10

f xy  (1,2)  6

Encontramos el discriminante

D   f xx  f yy    f xy  

2

D   810   6  80  36  44 2

Analizamos los signos de las segundas derivadas y el discriminante

Como

D   0;f xx   0

f (1,2)  4  12  20  20  52  68

Luego el punto

1,2,68 

es un mínimo.

B) evalúe las siguientes integrales

 f (x , y )dydx  R 

A)

 si

f (x , y )  16 x ,0  x   3 2 ;0  y   9  4x 

2

          |     ∫ ∫   ∫     ∫      SOLUCION EXAMEN CALCULO VECTORIAL

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B)

f (x , y )

 2x 

2

x 

 3y ;

R  :0



x 

 1:

0 

y 

 3

          ∫ ∫     ∫ ∫  √   ∫           ∫ ∫      ∫            ∫ ∫      ∫              ∫ ∫      *     + 

5)

Evaluar la integral doble



2

x   y 

e 

2

dydx  donde R es la región del

R 

plano limitada por el eje de las equis, y positivo, y la curva

   

Dibujamos la región de integración

SOLUCION EXAMEN CALCULO VECTORIAL

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Los límites de integración en coordenadas rectangulares son

√

     

Y en coordenadas polares son

        Luego la integral en coordenadas polares es:

   ∫∫    ∫ ∫              ∫∫      ∫ *  +  ∫ *  +        []     ∫∫    [  ]∫   [ ]         ∫∫      

SOLUCION EXAMEN CALCULO VECTORIAL

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