Ejercicios Resueltos Probabilidad 1) Una compañía de seguros clasifica a los conductores en tres categorías, A: conductor ejemplar, B: conductor normal, C: conductor peligroso. Según la compañía del total de los 100.000 asegurados con que cuenta en este ramo, 5.000 pertenecen a la primera categoría, 20.000 a la segunda y 75.000 a la tercera. Las probabilidades de accidente para cada una de las diferentes categorías son iguales, respectivamente a: 1%, 8%, y 20%. A partir de lo anterior se pide: Conductor ejemplar: E Conductor normal: N Conductor peligroso: P
P(E)= 0,05 P(N)= 0,2 P(P)= 0,75
|
P(A/E)=0,01 P(A/E)=0,01 P(A/N)=0,08 P(A/P)=0,2
a) La probabilidad de que un asegurado de l a compañía sufra un accidente. P A PE P A / E PN P A / N PP P A / P P A 0,05 0,01 0,2 0,08 0,75 0,2 0,0005 0,016 0,15 0,1665 b) La probabilidad de que ocurrido un accidente, en este se haya visto implicado un conductor ejemplar. PE / A
PE A P A
PE P A / E P A
0,0005
0,1665
0,003003003
c) La probabilidad de que ocurrido un accidente en este no se haya visto implicado un conductor normal.
1 PN / A PE / A PP / A
PN / A
PN A PN P A / N 0,016 0,09609 P A P A 0,1665
0,90391 1 PN / A 1 0,09609 A partir de la primera expresión la solución es la l a siguiente: PP / A
PP A PP P A / P 0,15 0,9009009 P A P A 0,1665
Y a partir de la segunda expresión:
PP / A
PP A PP P A / P 0,15 0,9009009 P A P A 0,1665
PE / A PP / A 0,003003003 0,9009009 0,9039039
2) Una empresa dispone de tres fábricas A, B y C, que producen un cierto artículo. Se sabe que la fábrica A produce el 30 % de la cantidad total de dicho artículo, la fábrica B produce otro 30 % y la C el 40 % restante. También se sabe que el 2 % de la producción de A, el 3 % de la de B y el 5 % de la de C es de-fectuoso. A partir de la información anterior se pide: Producción de A: Producción de B: Producción de C:
P(A)=0,3 P(B)=0,3 P(C)=0,4
Producción defectuosa de (A): Producción defectuosa de (B): Producción defectuosa de (c):
P(D/A)=0,02 P(D/B)=0,03 P(D/C)=0,05
a) Obtener la probabilidad de que una pieza sea defectuosa. PD P A PD / A PB PD / B PC PD / CPD 0,3 0,02 0,3 0,03 0,4 0,05 0,0,35 b) Si la pieza es defectuosa, ¿Cual es la probabilidad de que provenga de la fábrica B? PB D PB PD / B 0,3 0,03 0,09 0,2571 PB / D PD PD 0,035 0,035
3) Una empresa dispone de tres factorías que producen 1.000, 2.000 y 5.000 productos respectivamente. La proporción de productos que no superan el control de calidad es de 0,01; 0,02 y 0,03 respectivamente. Calcular: Factoría A
Factoría B
Factoría C
Proporción de productos que no supera el control de calidad (P(NCa))
0,01
0,02
0,03
Proporción de productos que supera el control de calidad(P(Ca))
0,99
0,98
0,97
1.000
2.000
5.000
1.000/8.000
2.000/8.000
5.000/8.000
Producción Proporción de la producción
a) La probabilidad de que un producto de l a empresa no supere el control de calidad. PNCa P A PNCa / A P B PNCa / B PC PNCa / C PNCa
1.000 8.000
0,01
2.000 8.000
0,02
5.000 8.000
0,03 0,00125 0,005 0,01875 0,025
b) Si se observa un producto y supera el control de calidad. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la tercera factoría? PC / Ca
PC Ca PCa
PC PCa / C PCa
0,625 0,97 0,6025 0,62179487 0,975 0,975
PCa P A PCa / A PB PCa / B PC PCa / C PCa
1.000 8.000
0,99
2.000 8.000
0,98
5.000 8.000
0,97 0,12375 0,2455 0,60625 0,975
c) Respecto al apartado anterior. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya sido fabricado en la tercera factoría?
1 PC / Ca 1 0,62179487 0,37820513 4) Una gasolinera recibe su producto de tres refinerías distintas A, B y C, el número de litros recibidos mensualmente de cada una de ellas es respectivamente: 400.000, 800.000 y 1.200.000 litros. La proporción de la producción que está por debajo de las especificaciones de octanaje es respectivamente para cada una de las tres refinerías la siguiente: 0,03, 0,04 y 0,05. A: 400.000 P(A)=400.000/2.400.000=1/6 B: 800.000 P(B)=800.000/2.400.000=1/3 C: 1.200.000 P(C)=1.200.000/2.400.000=1/2
P(O/A)=0,03 P(O/B)=0,04 P(O/C)=0,05
Donde O representa: Bajo octanaje. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la gasolina sea de bajo octanaje? PO P A PO / A PB PO / B PC PO / C PO
1 6
1
1
3
2
0,03 0,04 0,05 0,043
b) ¿Cuál es la probabilidad de que si la gasolina es de bajo octanaje provenga de la refinería A P A / O
P A O P A PO / A 1 6 0,03 0,1153 PO PO 0,043
c) ¿Cuál es la probabilidad de que si la gasolina es de bajo octanaje no provenga de la refinería C? PC / O
PC O PO
PC PO / C PO
1 2 0,05 0,5769 0,043
0,4231 1 PC / O 1 0,5769
5) En una Universidad los porcentajes de alumnos matriculados son los siguientes: Matemáticas 10%, Física 5%, Química 15%, Historia 30% y Filosofía 40%. Se sabe además que los porcentajes de alumnos que están inscritos en el servicio de deportes es el siguiente Matemáticas 10%, Física 5%, Química 20%, Historia 10% y Filosofía 5%. Se considera que las tres primeras titulaciones corresponden a Ciencias y las restantes a humanidades. A partir de estos datos calcular: P(Matemáticas=M)= 0,1; P(Física=F)= 0,05; P(Química=Q)= 0,1; P(Historia=H)=0,05; P(Filosofía=Fi)=0,05 P(Deportes/Matemáticas=D/M)= 0,1; P(Deportes/Física=D/F)= 0,05 P(Deportes/Química=D/Q)= 0,2 ; P(Deportes/Historia=D/H)=0,1 P(Deportes/Filosofía=D/Fi)=0,05
a) La probabilidad de que tomado un alumno al azar este inscrito en el servicio de deportes. 5
PD PD / E PE 0,1 0,1 0,05 0,05 0,15 0,2 0,3 0,1 0,04 0,05 0,01 0,0025 0,03 i 1
0,03 0,02 0,0925 b) La probabilidad de que elegido un alumno al azar que está inscrito en el servicio de deportes estudie Matemáticas. PMatematicas / Deportes
PD / M PM PD
0,1 0,1
0,0925
0,1081
c) La probabilidad de que elegido un alumno al azar que esta inscrito en el servicio de deportes, no estudie humanidades.
PHumanidades PHistoria PFilosofia NH = No humanidades PNH / D 1 PH / D 1 P(Historia / D PFilosofia / D 1 0,3243 0,2162 1 0,5405 0,4595
PM / D 0,1081 0,05 0,05 PF / D 0,027 0,0925 0,15 0,2 0,3243 1 PQ / D 0,0925 0,3 0,1 PH / D 0,3243 0,0925 0,4 0,05 PFi / D 0,0,2162 0,0925
6) En una facultad de economía se imparten cuatro titulaciones: Economía, Administración de empresas, Política y Sociología y Ciencias actuariales. Los porcentajes de alumnos matriculados en cada titulación y de aquellos que tienen empleo fijo se recogen en la siguiente tabla: Economía Administración Política y de Empresas Sociología
Calcular:
Ciencias Actuariales
% de alumnos matriculados
20
30
40
10
% de alumnos con empleo fijo (E)
10
15
5
20
P(Ec)=0,2 ; P(E/Ec)=0,1;
P(Ad)=0,3; P(E/Ad)=0,15;
P(Pol)=0,4; P(E/Pol)=0,05;
P(Ac)=0,1; P(E/Ac)=0,2
a) La probabilidad de que un alumno seleccionado al azar tenga empleo fijo. PE PEc PE / Ec P Ad PE / Ad PPol PE / Pol P Ac PE / Ac PE 0,2 0,1 0,3 0,15 0,4 0,05 0,1 0,2 0,02 0,045 0,02 0,02 0,105 b) La probabilidad de que un alumno seleccionado al azar no tenga empleo fijo.
PNE 1 PE 1 0,105 0,8905 PNE P Ec PNE / Ec P Ad PNE / Ad PPol PNE / Pol P Ac P NE / Ac PNE 0,2 0,9 0,3 0,85 0,4 0,95 0,1 0,8 0,18 0,255 0,38 0,08 0,8905 c) Las probabilidades de que sabido que un alumno tiene empleo, pertenezca a cada una de las diferentes titulaciones. PE / Ec PEc
PEc / E
PE PE / Ad P Ad
P Ad / E
P Ac / E
PE PE / Ac P Ac
0,1 0,2
0,105
0,15 0,3
0,105
PE
0,2 0,1
PE PE / Pol PPol
PPol / E
0,1905
0,4285
0,1905 0,105 0,05 0,04 0,1905 0,105
7) En un experimento se disponen de tres urnas con la misma probabilidad de ser seleccionadas. La primera urna contiene 3 bolas rojas, 2 negras y 4 verdes. La segunda contiene 4 bolas rojas, 4 negras y 2 verdes. Y la tercera contiene 6 bolas rojas, 2 negras y 3 azules. Se pide:
3 9 3 Rojas 1 2 Urna 1 2 Negras 3 9 4 4 Verdes 9 4 10 4 Rojas 1 4 Selecciónde urna Urna 2 4 Negras 3 10 2 2 Verdes 10 6 11 6 Rojas 1 2 Urna 3 2 Negras 3 11 3 3 Verdes 11 a) Probabilidad de que extraída una bola negra provenga de la urna 2. 1 4 PN / U 2 PU 2 3 10 PU 2 / N 2 PN / U1 PU1 PN / U 2 PU 2 PN / U 3 PU 3 1 2 1 4 1 2
3 9 4
796
30
2.970
11.880 23.880
3 10
3 11
4 27
4
30 30
2
33
0,49748744
b) Se seleccionan 2 bolas al azar de una misma urna, sin reemplazo, siendo la primera bola negra y la segunda roja. ¿Cual es la probabilidad de que la urna seleccionada sea la urna 3? PN R / U 3 PU 3 PU 3 / N R Con reemplazo PN R / U1 PU1 PN R / U 2 PU 2 PN R / U 3 PU 3 1 2 6 3 11 10 1 2 3 1 4 4 1 2 6 3 9 8 3 10 9 3 11 10
12
6
216
16
330
270
12
330
0,036363636 0,0277 0,059259 0,0363636
0,294679
c) Se seleccionan dos bolas al azar de una misma urna, con reemplazo, siendo la primera verde y la segunda roja. ¿Cual es la probabilidad de que provengan de la urna 1? PU1 / V R Sin reemplazo
PV R / U1 PU1 PV R / U1 PU1 PV R / U 2 PU 2 PV R / U 3 PU 3
1 4 3 3 9 9 1 4 3 1 2 4 1 6 0 3 9 9 3 10 10 3 11
12
0,049382716 0,049382716 243 0,649350 8 12 0 , 076049382 0 , 049382716 0 , 02 6 0 0 300 243
d) ¿Cual es la probabilidad de obtener bola roja?
1 3 1 4 1 6 1 1.266 0,426262 PR PU1 PR / U1 PU 2 PR / U 2 PU3 PR / U 3 3 9 3 10 3 11 3 990 8) Se realiza un experimento en el cual se lanza un dado, si aparece un numero i mpar se selecciona la primera de tres urnas que contiene 2 bolas rojas, 4 bolas negras y 4 bolas verdes, si aparece un numero par y primo se selecciona otra urna que contiene 3 bolas rojas, 2 bolas negras y 5 bolas verdes, en otro caso se selecciona una tercera urna que contiene 4 bolas rojas, 5 bolas negras y 1 bola verde. Se pide:
a) Probabilidad de que extraída una bola negra, provenga de la urna 1.
b) Se seleccionan dos bolas al azar de una misma urna sin reemplazo, siendo la primera roja y la segunda verde. ¿Cual es la probabilidad de que la urna seleccionada sea la tercera?
c) Se seleccionan dos bolas al azar de una misma urna con reemplazo, siendo la primera verde y la segunda negra ¿Cual es la probabilidad de que l a urna seleccionada sea la segunda?
d) ¿Cual es la probabilidad de obtener bola verde?
9) Una empresa distribuye productos agrícolas, ganaderos y pesqueros, para la alimentación. Su calidad puede ser de primera o no. Las probabilidades de que un artículo agrario, ganadero o pesquero, sea de primera calidad son respectivamente 0,6, 0,5 y 0,7. Las proporciones de productos agrícolas, ganaderos y pesqueros son del 45%, 35%, y 20% respectivamente. Se pide: Calcular las probabilidades de que un producto de primera calidad de la empresa sea: agrario, ganadero o pesquero. A= Agrario G= Ganadero P= Pesquero
P(A)= 0,45 P(G)= 0,35 P(P)= 0,2
C= 1ª calidad P(C/A)= 0,6 P(C/G)= 0,5 P(C/P)= 0,7
PC P A PC / A PG PC / G PP PC / P 0,45 0,6 0,35 0,5 0,2 0,7 0,5850 P A / C
PG / C
PP / C
PC / A P A PC PC / G PG PC PC / P PP PC
0,6 0,45 0,4615 0,5850
0,5 0,35 0,2991 0,5850 0,7 0,2
0,5850
0,2393
10) Sean tres urnas con las siguientes composiciones de bolas blancas y negras: Urna 1: 3 bolas blancas 2 bolas negras Urna 2: 4 bolas blancas 2 bolas negras Urna 3: 1 bola blancas 2 bolas negras
3 5 3 Blancas 1 Urna 1 3 2 2 Negras 5 4 6 4 Blancas 1 Selección de urna Urna 2 2 3 2 Negras 6 1 3 1 Blanca 1 Urna 3 3 2 2 Negras 3 a) Calcular la probabilidad de obtener bola blanca. 1 3 1 4 1 1 3 4 1 8 PB PU1 PB / U1 PU2 PB / U2 PU3 PB / U3 0,53 3 5 3 6 3 3 15 18 9 15 b) Probabilidad de que una bola negra extraída proceda de l a segunda urna. 2 1 2 PN / U 2 PU 2 5 6 3 18 0,2380 PU 2 / N 63 63 PN / U1 PU1 PN / U 2 PU 2 PN / U 3 PU 3 21 135 135 1 2 1 2 1 2 2 2 2 7 0,46 PN PU1 PN / U1 PU 2 PN / U 2 PU 3 PN / U 3 3 5 3 6 3 3 15 18 9 15
11) Suponga que existen dos urnas: U1 y U2. La U1 contiene dos bolas rojas y una verde, en tanto que U2 contiene una bola roja y dos verdes. a) Se elige una urna al azar y después se eli ge al azar una bola de esa urna. La bola es roja. ¿Cuál es la probabilidad de que la urna seleccionada haya sido la urna U1?) 2 1 2 PN / U1 PU1 2 3 2 PU1 / R 6 PN / U1 PU1 P N / U 2 PU 2 P N / U 3 P U 3 2 1 1 1 1 3 3 2 3 2 2 b) Se elige una urna al azar y después se seleccionan dos bolas también al azar (sin reemplazo) de esa urna. La primera bola es roja y la segunda verde. ¿Cuál es la probabilidad de que la urna seleccionada haya sido la U1? 1 2 1 1 PR1 V2 / U1 PU1 1 2 3 2 PU1 / R1 V2 6 2 2 PR1 V2 / U1 PU1 PR1 V2 / U2 PU2 1 2 1 1 1 1 6 2 3 2 2 3 12) Con referencia al problema 11: a) Suponga que se elige una urna al azar y después se seleccionan también al azar dos bolas (sin reemplazo) de esa urna. Ambas bolas son rojas. ¿Cuál es la probabilidad de que la urna seleccionada haya sido la U1? 1 2 1 1 PR 1 R 2 / U1 PU1 2 3 2 PU1 / R 1 R 2 6 1 PR 1 R 2 / U1 PU1 PR 1 R 2 / U 2 PU 2 2 1 1 1 1 1 0 3 2 2 3 2 6 b) Suponga que se elige al azar una urna y después se extraen de ella dos bolas también al azar, pero la primera bola seleccionada se devuelve a la urna antes de extraer la segunda. Ambas bolas son rojas. ¿Cuál es la probabilidad de que la urna seleccionada haya sido la U1?
2 2 1 4 PR 1 R 2 / U1 PU1 4 3 3 2 PU1 / R 1 R 2 18 4 1 PR 1 R 2 / U1 PU1 PR 1 R 2 / U 2 PU 2 2 2 1 1 1 1 5 3 3 2 3 3 2 18 18 13) El ochenta por ciento de material de vinilo que se recibe del vendedor A es de calidad excepcional, en tanto que sólo un cincuenta por ciento de material del vendedor B es de calidad excepcional. Sin embargo, la capacidad de fabricación del vendedor A es limitada y, por esa razón, sólo cuarenta por ciento del vinilo que la empresa adquiere proviene de este vendedor. El sesenta por ciento restante se compra al vendedor B. Se inspecciona un embarque de vinilo que acaba de llegar y se encuentra que es de excepcional calidad. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del vendedor A? P A / E
PE / A P A 0,8 0,4 0,32 0,5161 PE / A P A PE / B PB 0,8 0,4 0,5 0,6 0,62
14) Se fabrica gasolina en tres refinerías con niveles diarios de producción de 400.000, 800.000 y 1.200.000 litros, respectivamente. La proporción de la producción que está por debajo de las especificaciones de octanaje en las tres refinerías es 0,03, 0,05 y 0,04, respectivamente; se determina que una pipa transportadora de gasolina lleva gasolina que se encuentra por debajo de las especificaciones de octanaje y, por lo tanto, la gasolina se devuelve para su mejor refinación. Determine la probabilidad de que la pipa haya sido llenada en cada una de las tres refinerías. a) Sin hacer referencia a la información de que el embarque está por debajo de las especificaciones de octanaje.
P A
400.000 1 2.400.000 6
PB
800.000 1 2.400.000 3
PC
1.200.000 1 2.400.000 2
b) Dado que se tiene la información adicional de que el envío está por debajo de las especificaciones de octanaje. 1 P A / O
1 6
PB / O
1 6
PC / O
1 6
6 1
0,03 0,12
1
0,03 0,05 0,04 3 1
3 1
2
0,05 1
0,4
0,03 0,05 0,04 3 1 2 1
2
0,04 1
0,48
0,03 0,05 0,04 3
2
15) Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de tres diferentes fabricantes B1, B2 y B3. El 50% del total se compra a B1 mientras que a B2 y B3 se l es compra un 25% a cada uno. El porcentaje de circuitos defectuosos para B1, B2 y B3 es respectivamente del 5, 10 y 12%. Si los circuitos se almacenan en la planta sin importar quien fue el proveedor. Proveedor B1
Proveedor B2
Proveedor B3
Probabilidad de compra
P(B1)=0,5
P(B2)=0,25
P(B3)=0,25
Probabilidad defectuoso
P(D/B1)=0,05
P(D/B2)=0,1
P(D/B 3)=0,12
P(ND/B1)=0,95
P(ND/B2)=0,90
P(ND/B3)=0,88
Probabilidad no defectuoso
a) Determinar la probabilidad de que una unidad armada en la planta contenga un circuito defectuoso. PD PB1 PD / B1 PB 2 PD / B 2 PB 3 PD / U3 0,5 0,05 0,25 01 0,25 0,12 0,025 0,025 0,03 0,08
b) Si un circuito no está defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido vendido por el proveedor B2?) PND PB1 PND / B1 PB 2 PND / B 2 PB 3 PND / U 3 0,5 0,95 0,25 0,9 0,25 0,88 0,475 0,225 0,2 0,92
PND / B 2 PB 2 0,225 0,2445 PND 0,92
PB 2 / ND
16) Un determinado índice de cotización bursátil recoge la evolución de 100 empresas, distinguiéndolas por su producto: tecnológico o tradicional y por su rentabilidad: caída superior al 5% o cualquier otra situación. En la siguiente tabla se recoge el comportamiento de tales empresas: Concepto
Valores tecnológicos Valores tradicionales Total
Caída acción > 5% Otra situación Total VT= Valor tecnológico
30 40 70 VR=Valor tradicional
20 10 30
50 50 100
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un valor haya caído mas de un 5 %? (0,5) 3 2 P5% PVT P5% / VT1 PVR P5% / VR 0,7 0,3 0,5 7 3 b) ¿Cuál es la probabilidad de que si ha caído más de un 5 % el valor sea tecnológico? 3 0,7 P5% VT P5% / VT PVT 7 0,3 PVT / 5% 0,6 P5% 0,5 0,5 0,5 c) ¿Cuál es la probabilidad de que si el valor es tradicional haya caído más del 5 %? 2 0,5 PVR 5% PVR / 5% P5% 5 0,2 P5% / VR 0,66 PVR 0,3 0,3 0,3 17) Una asociación de consumidores encarga un estudio sobre los hábitos de compra de los habitantes de su ciudad, para dicho estudio se toma una muestra de 600 individuos obte-niéndose los siguientes resultados, en función del número de compras realizadas por semana y el tipo de comercio seleccionado. 1 vez 2 veces 3 veces Pequeño comercio Supermercado Gran Superficie Total
60 120 60 240
60 30 30 120
30 90 15 135
Más de tres veces 60 45 0 105
Total 210 285 105 600
a) Calcular la probabilidad de que seleccionado un individuo al azar este efectúe sus compras más de tres veces por semana.
P 3 veces PPequeño Comercio P 3 veces/Pequeño Comercio PSupermercado P 3 veces/Supermercado PGran Superficie P 3 veces/Gran Superficie 0,35
60 210
0,475
45 285
0,175 0 0,1 0,075 0 0,175
b) Calcular la probabilidad de que seleccionado un individuo al azar este efectúe sus compras en un pequeño comercio. PPequeño Comercio P1 v ez PPequeño Comercio/1 v ez P2 veces PPequeño Comercio/2 veces P3 veces PPequeño Comercio/3 veces P 3 veces PPequeño Comercio/ 3 veces 0,4
60 240
0,2
60 120
0,225
30 135
0,175
60 105
0,1 0,1 0,05 0,1 0,35
c) Calcular la probabilidad de que seleccionado un individuo al azar, que compra tres veces por semana, lo haga en un supermercado. 90 0,475 P3 veces/ Supermercado PSupermercado 285 90 2 PSupermercado / 3 veces P3 veces 0,225 135 3 d) Calcular la probabilidad de que seleccionado un individuo al azar, que compra en un pequeño comercio, lo haga dos veces por semana.
P2 veces/ Pequeño Comercio
PPequeño Comercio / 2 veces P2 veces PPequeño Comercio
0,2
60
120 0,285714285 0,35
18) En una determinada Administración pública existen 400 empleados, que están divididos en 5 grupos (A, B, C, D y E) según su nivel de estudios. También se sabe que el número de horas trabajadas solo puede ser de 35 o 40 horas. La información anterior se recoge en la siguiente tabla: Grupo Numero de empleados % empleados con 40 horas/semana
A 40 70 %
B 80 50 %
C 60 40 %
D 60 40%
E 160 20%
A partir de la información anterior se pide, calcular: a) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado trabaje 40 horas/semana? P40 horas P A P40 horas / A PB P40 horas / B PC P40 horas / C PD P40 horas / D
PE P40 horas / E 0,1 0,7 0,2 0,5 0,15 0,4 0,15 0,4 0,4 0,2 0,37 b) Si un empleado trabaja 40 horas/semana ¿Cual es la probabilidad de pertenezca al grupo B? PB P40 horas/B 0,2 0,5 PB / 40 horas 0,2703 P40 horas 0,37 c) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado trabaje 35 horas por semana? P35 horas 1 P40 horas 1 0,37 0,63
