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Calculo 1_Ingeniería
SESIÓN 3 Funciones Reales de Variable Real – Modelos funcionales 3
1. Sobre
el
f ( x) 2
x
mismo
plano cartesiano, y g ( x) log log 2 x .
bosquejar
la
gráfica
de
las
funciones
Solución: Tabulando las funciones f y g x
-3 -2 -1 0 1
x
2
0.125 0.25 0.5 1 2
x
1 2 4 ½ ¼
log 2 x
0 1 2 -1 -2 f
g
1
1
x
1
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2. Hallar el dominio, rango y esbozar la gráfica de la función: log( x 2) , si 1 x 8 f ( x) x 8 , si 8 x 17 Solución:
f 1 ( x) logx 2 ; si 1 x 8
El Dominio de f 1 es: Df 1 1;8 Para Hallar el Rango de f 1 partimos del dominio de f 1 1 x 8 1 2 x 2 8 2 Sumando 2 en la desigualdad 1 x 2 10 Tomando logaritmos log1 logx 2 log10 0 f 1 ( x) 1 Observamos que la función está entre 0 y 1. Luego el rango de f 1 será R f 1 0;1
f 2 x x 8 ; si 8 x 17
El Dominio de f 2 es: Df 2 8;17 Para Hallar el Rango de f 2 partimos del dominio de f 2 Restando 8 en la desigualdad Tomando la raíz cuadrada Multiplicando por -1
8 x 17 8 8 x 8 17 8 0 x 8 9 0 x 8 9 0 x 8 3
3 x 8 0 Luego el rango de f 2 será: Rf 2 3;0
Por tanto el dominio de f es la unión de los dominios de f 1 y f 2 2
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D f D f 1 D f 2
D f 1;8 8;17
Y el rango de f es la unión de los rangos de f 1 y f 2 R f R f 1 R f 2 R f 3;0 0;1
1
f 1
1
17
8
f 2
3
3. La siguiente gráfica, representa el comportamiento de las funciones: x x x f ( x) 8 ; g ( x) 4 ; h( x) 2
y
f ( x)
g ( x) h( x)
16
c
a
b
x
a) Calcule a b c .d
Solución: a) f x 8 x g x 4 x h x 2
x
3
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Del gráfico observamos que: f c 16 ;
g a 16 y h b 16
Luego como f x 8 x , entonces f c 8c 16 log 8c log 16 c log 8 log16
log16 log8 4 c 3 c
Además g x 4 x y g a 16 , entonces
4a 42 a2 También h x 2 x y h b 16 , entonces g a 4a 16
2b 24 b4
hb 2b 16
Finalmente: a b c 2 4
4 3
2 3
x 4. La ecuación de oferta de un fabricante es P 28 log 5 donde x es el número de 100 unidades y P es el precio por unidad. ¿A qué precio el fabricante ofrecerá 700 unidades?
Solución: x Dada la ecuación de la oferta P 28 log 5 debemos hallar P cuando x 700 100 Sustituyendo:
P 28 log 5
700
100
P 28 log12 29.08
Respuesta: El fabricante ofrece 700 unidades a un precio de S/. 29.08 4
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I 5. La función nivel de intensidad de sonido, está dada por: I 10 log , donde se mide I 0 en decibeles (dB), I (watt/m 2) es la intensidad dada, I 0 la intensidad de referencia (I 0=10-12 watt/m2). Calcule la diferencia del nivel de intensidad de sonido de un murmullo ordinario (I=10-10 watt/m2) y la de un tráfico urbano intenso (I=10-3 watt/m2).
Solución: Sustituyendo I o 1012 la función nivel de intensidad de sonido, está dada por:
I 12 10 Calcule la diferencia entre la intensidad de sonido de un murmullo ordinario y la de un tráfico urbano intenso I 10 log
B 10
10
1010 103 B 10 10 log 1012 10 log 1012 2 9 10log10 10log10 2(10) log10 9(10) log10 20 90 70 3
Respuesta: La diferencia entre la intensidad de sonido de un murmullo ordinario y la de un tráfico urbano intenso es de 70 dB. 6. Los biólogos han determinado que cuando se dispone de suficiente espacio y nutrientes, el número de bacterias en un cultivo crece exponencialmente. Suponga que inicialmente hay 2000 bacterias en cierto cultivo y que 20 minutos después hay 6000 bacterias. A) Determine la función exponencial. B) ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de una hora? C) ¿En cuánto tiempo la población será de 18 000 bacterias?
Solución: a) Sea el modelo de crecimiento exponencial Qt Q0 e kt
Dónde: Q(0) Q0 k: constante de crecimiento t : tiempo Como inicialmente hay 2000 bacterias, entonces: Q0 Q 0 2000 Luego, el modelo de crecimiento exponencial quedará: 5
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Ya que 20 minutos después hay 6000 bacterias, entonces Q 20 6000 luego sustituyendo en el modelo tenemos, 2000e20k 6000 20k e 3 Tomando logaritmo natural, ln e20k ln 3 20k ln e ln 3 20 k ln (3) k 0.05
Sustituyendo k en el modelo de crecimiento quedaría: Qt 2000e 0.05t
b) Al cabo de 1 hora, es decir t 60 minutos habrá: Q60 2000e 0.05( 60) Q60 40171.1
Respuesta: Aproximadamente el cabo de 1 hora, habrá 40171 bacterias. c) Halle “t”, cuando Q 18000 , para ello sustituir en el modelo de crecimiento exponencial, 18000 2000e0.05t 9 e 0.05t ln(9) ln(e0.05t ) ln(9) 0.05t
t 43.9
La población será de 18000 bacterias aproximadamente en 44 minutos.
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7. Un empresario multimillonario quiere comprar un terreno a costas de Florida. El dibujo abajo ilustra el terreno a comprar que está delimitado por una curva, que representa la playa: y
1 f ( x) log 3 x 4 1 TERRENO
x
PLAYA
a) Calcule el área del terreno que el empresario va a comprar. b) Si cada m2 de área tiene un costo de 0,01 millones de soles, calcular el costo del terreno a comprar.
Solución: a) Observamos que el área del terreno es de forma triangular, donde la base es la distancia del punto 1 hasta el punto 4 (3 unidades), y la altura es la distancia desde el eje x hasta f (4). Hallemos primero, 1 f 4 log 3 1.26 4 Luego el área del terreno que el empresario va a comprar será: Área
31.26 2
1.89m 2
b) El costo del terreno que va a comprar el empresario, lo calculamos multiplicando el costo del m2 por el área. Luego Costo 1.890.01 0.0189 millones
8. Si un objeto que está a una temperatura dada se saca a la intemperie, el objeto se calienta si la temperatura ambiente es mayor y se enfría en el caso contrario. La ley del enfriamiento de Newton, que explica el cambio de temperatura del cuerpo es: T Q Cekt
Donde T es la temperatura del objeto después de un tiempo, t, medido en minutos, Q es la temperatura a la intemperie, C y k son constantes que dependen de las características del 7
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objeto y de su temperatura inicial. Si para una taza de café C = 80 y k = – 0.069315, ¿cuánto tiempo hay que esperar para que el café esté a 60° C si la temperatura ambiente es de 20° C?
Solución: La ecuación que da el cambio de temperatura de un cuerpo, está dada por la ley del enfriamiento de Newton, es decir T Q Cekt Se convierte esta ecuación a la forma logarítmica, T Q C T Q
e kt
ln e C T Q ln kt ln e C T Q kt ln …………..(*) C ln
kt
Se necesita que el café este a 60° si la temperatura ambiente es de 20° C, entonces: T = 60 y Q = 20, además el valor de las constantes son C = 80 y k = – 0.069315, sustituyendo estos valores en la ecuación (*), Tenemos:
60 20 0.069315t ln 80 40 0.069315 t ln 80 0.069315 t 0.69315 t 10
Respuesta: Hay que esperar 10 minutos para que el café esté a 60°
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9. El desplazamiento de una masa suspendida por un resorte está modelado por la función y 10 sen 4 t
Donde y se mide en pulgadas y t en segundos (vea figura).
a) Encuentre la amplitud, periodo y frecuencia del movimiento de la masa. b) Trace una gráfica del desplazamiento de la masa.
Solución: Para la función seno en general tenemos, f ( x) A sen B x C D
Donde: A: amplitud T : período, dada por la ecuación T
2 B
F : Frecuencia, dada por la ecuación F
B 2
C : traslación horizontal D: traslación vertical
a) Tenemos la función y 10 sen 4 t , luego: Amplitud = 10 pulgadas Período: T
2 4
Frecuencia: F
1
s 2
B 2
4 2
2 ciclos por segundo (Hz )
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b) Gráfica:
10
y 10 sen 4 t
_
1
1
0
3
2
t
2
2
10 _
10. Hallar en cada una de las funciones dadas, la amplitud, el periodo, desplazamiento horizontal y desplazamiento vertical. a) f ( x) 0.5 sen(2 x)
b) f ( x) 10 cos(4 x ) 2 4
Solución: a)
Amplitud: A = 0,5 Período: T
2 2
1
No hay desplazamiento horizontal ni vertical
0.5
0.5
1
0.5
10
Departamento de Ciencias b)
f ( x) 10 cos(4 x
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)2
Primero escribimos la función en la forma: f ( x) 10 cos 4( x
16
)2
Por lo tanto tenemos: Amplitud = 10 Período =
2 4
2
Traslación horizontal =
6
(a la derecha)
Traslación vertical = 2 (hacia abajo) Para graficar la función dada sabemos que y cos x , tiene período 2 , entonces la función f ( x) 10 cos 4( x
4 x
16
) 2 pasará por un período completo a medida que
2 varíe de 0 a 2 .
16
Inicio de Período 4 x 0 16 x
16
Fin de Período 4 x 2 16 x
9 16
9 Entonces graficamos un período sobre el intervalo ; 16 16
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10 8
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amplitud 10
9
16
16
12 período
2
12