1. A
M
B
P
H ) AM MB T ) 2 PM PA PB
1) PM PA AM 2) PM PB MB 2 PM PA PB AM MB 2 PM PA PB MB MB 2 PM PA PB
(3) AM MB
2. A
P
M
B
H ) 2 PM PB PA T ) AM MB
1) PM AM PA 2) PM PB MB 2 PM AM PB PA MB ( H )2 PM PB PA PB PA AM PB PA MB PB PB PA PA AM MB AM MB AM MB 3. A
B
C
H ) AB T)
7 BC 5
BC ? AC
(1) AC AB BC BC ? AC BC AB BC BC 7 BC BC 5 BC 7 BC 5 BC 5 BC 12 BC 5 5 12
( 2)
(1) en (2) ( H ) AB
7 BC en (2) 5
4. A
B
C
D
H ) BC T)
3 AB 4 4 AB BC 3 (2) AC AB BC (1) BC
AC ? BC (1)en(2) (3)
4 BC BC 3 7 AC BC 3 (2)en(3) AC
7 BC 3 BC 7 3
3 AB 4
AC ? BC
5. Dados los puntos colineales A, B y C. Si las longitudes AB y BC son proporcionales a los números 9 y 5 respectivamente, y AC=504u. Calcular AB. C
B
A
AB 9 BC 5 AC 504u T ) AB ? H)
AB 9 BC 5 5 BC AB 9 (2) AC AB AC (3) AC 504u (1)en(2) 5 AC AB AB 9 14 AC AB 9 (2)en(3) 14 AB 504u 9 AB 324u (1)
6. Dados los puntos colineales A, B, C y D. Si BD-AB=2BC. Demostrar que AC=CD A
B
C
D
H ) BD AB 2 BC T ) AC CD
(1) AC AB BC (2) CD BD CD (3) BD AB 2 BC BD AB BC BC BD BC AB BC (1) y (2) en (3) CD AC 7. A
B
C
D
H ) AB BD AC T ) CD 2 AB
(1) AB BD AC (2) AB AD BD (3) AB AC BC (4) CD AD AB BC (1) en (4) CD AD ( BD AC) BC CD AD BD AC BC (1) y (2) en (4) CD AB AB CD 2 AB 8. A
B
C
M
D
H ) AM AB AC AB BC AM MD T ) CD 2 AC
(1) AM AB AC (2) AB BC (3) AM MD (4) AM AC CM (5) AC AB BC (6) CD CM MD (3) en (6) CD CM AM (1) en (6) CD CM AB AC CD AB AC CM (4) en (6) CD AB AM (1) en (5) CD AB AB AC (2) en (6) CD AB BC AC (5) en (6) CD AC AC CD 2 AC
9. A
B
C
D
E
F
H ) CD 2 AB 3 BF CE 2 T ) DE 2 EF
DE CE CD 2 BF CD 3 2 BF 3CD DE 3 3DE BF BF CD CD CD DE
3DE BC DE EF BC DE EF CD 3DE BC DE EF BC DE EF 2 AB 3DE 2 DE 2 EF 2 BC 2 AB 3DE 2 DE 2 EF 2 AB 2 AB DE 2 EF 10. Dados los puntos colineales A, R, C, P, y D tales que; AP=PD, AR=PC, Y RC=20. Calcular AD.
H ) AP PD AR PC RC 20 T ) AD ? RC RP PC
RC RP AR RC AP AD AP PD AD RC RC AD 20 20 AD 40 11. A
B
C
D
H ) AC BD 14 AD 11 T ) BC ?
(1) AC BD 14 BD 14 AC (2) AD 11 (3) AD AC CD (4) BC BD CD (1) en (4) BC 14 AC CD BC 14 ( AC CD ) (3) en (4) BC 14 AD (2) en ( 4) BC 14 11 BC 3 12. Si en el gráfico: CD=2AB. Demostrar que: AC B
A
C
BD BC 2 D
(1) CD 2 AB (2) BD AD AB (3) AC AD CD (4) AC AB BC 2 AC AD AB CD BC (1) en (4) 2 AC AD AB 2 AB BC 2 AC AD AB AB AB BC (2) en (4) 2 AC BD BC AC
BD BC 2
13. Dados los puntos colineales A, B, C, y D. Si AD=24u. CD=8u, y
H ) AD 24u CD 8u AB 3 BC T ) BC ?
AB 3 . Calcular BC. BC
BC AD AB CD BC AD 3BC CD BC 24 3BC 8 4 BC 16 16 BC 4 BC 4 14. Dados los puntos colineales consecutivos Q, A, B y P tales que: QA=20m, BP=40m, y QB y AP están en la razón 4/5. Calcular AB.
H ) QA 20 BP 40 QB 4 AP 5 T ) AB ? QA AB 4 AB BP 5 5(QA AB) 4( AB BP) 5(20 AB) 4( AB 40) 100 5 AB 4 AB 160 AB 60 15. A
B
C
D
BC CD DE 2 3 4 DE BC 2. T ) CD ? H ) AB
E
CD DE 3 4 4 DE CD 3 BC CD ( 2) 2 3 2 BC CD 3 (3) DE BC 2 (1)
(1) y (2) en (3) 4 2 CD CD 2 3 3 4CD 2CD 6 2CD 6 6 CD 2 CD 3 16. Dados los puntos colineales A, B, C, D, E y F. Si AB=BD, BC=CE, DE=EF y BD-EF=6u. Calcular CD. 17. Dados los puntos colineales A, B, C, D y E. Si BC=3AB, 18. Dados los puntos colineales A, B, C, D y E. Si
CD 1 AC 4 DE y . Encontrar BC 3 CE 9 BC
BD 2 , DE AB 6, AE 40 y BD 10 . Calcular CE 5
CD. 19.
H) Q
A
P
B
AP AQ PB QB PB 3420u BQ 16074u
T ) AP ? 20.
H) Q
A
P
B
AP AQ PB QB AB 792u PQ 247u
T ) AQ ? 21.
H) A
P
B
Q
AP AQ PB QB PB BQ 28u BQ PB 7u
T ) AB ? (1) PB BQ 28u (2) BQ PB 7u PB BQ 7 (2) en (1) ( BQ 7) BQ 28u BQ 2 7 BQ 28 BQ
b b 2 4ac 2a
(7) (7) 2 4(1)(28) 2(1) BQ 9,84u BQ
PB BQ 7 PB 9,84 7 PB 2,84 AP AQ PB QB AB BP AB BQ PB BQ AB 2,84 AB 9,84 2,84 9,84 9,84( AB 2,84) 2,84( AB 9,84) 9,84 AB 27,95 2,84 AB 27,95 7 AB 55,9 AB 8u 22. A
23.
P
B
Q
AP AQ PB QB 2 AQ PB T ) AB PQ H)
A
P
Q
B
AP AQ PB QB 2 AP AQ T ) AB 2 AP PQ H)
24.
A
P
Q
B
H ) AP BQ PB AQ AP PQ 20 u AP PQ 20
T ) PB ?
PB PQ PB PB 20 PB AQ AP PQ AQ AP AP AQ 20 20 AQ 40 AP BQ PB AQ 20(20 PB) 40PB 400 20PB 40PB 60PB 400 400 60 PB 6,66u PB
25.
A
P
Q
B
H ) AP BQ PB AQ AP BQ 8u
T ) PB ?
26.
Q
A
P
B
H ) AP BQ PB AQ
T ) PB
2 AB 3
AQ AB
AB BC . Demostrar que AD BD
27. En una recta se toman los puntos A, B, C y D de manera que:
BC
AB BD AB BD
Q
A
H ) AP BQ PB AQ A
B
A
B
A
B
P
B
T ) AB
2 PB QB BQ PB
C
C
C
D
D
1 1 1 AB AC AD T ) AB 2 BC BD
D
3 AC 7 4CD 3 AD T ) BD 7
H)
H ) BC
E
AB DE AD EB T ) AD EB H)
P
Q
R
S
PQ SR PR SQ T ) PR QS H)
A
B
C
D
H ) AB BC DE EF AD 10u CF 8u A
E
F
T ) BE ?
P
H ) AB BC CD
B
C
T ) PB
PD 2 AP 3
D
A
B
C
D
H ) BC CD
BD 2 T ) AC AB AD 4 37. En una recta se ubican los puntos colineales A, B, C, D, E, y F . Si: AB BC, CE EF, y AD DF , Demostrar que CD EF BC. 2
A
H)
C
B
AC BE CE AD
D
E
T ) AC 2 CE 2 BC DE AB CD
A
C
B
H ) AB BD CE EF
E
D
F
T ) BE ?
AC 10u DF 14u A
B
M
C
H ) BM MC T ) AB2 AC 2 2( AM 2 BM 2 )
A
B
C
D
H ) BC DC AB a AC m AD b (b a) 2 T) m ab 4
A
B
H 1 ) AB CD 2 AD BC T1 ) A
H)
H2
2 1 3 AB AD AC B
1 1 1 AB BD BC
C
1 7 8 AD AB AC
T2 AB CD 7 BC AD C
D
T ) AB BD BC AD
D
A
B
C
D
3 BD 7 7 AC 3 AD T ) AB 4 H ) BC
45. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, E, y F , de modo que: BE sabiendo que AC BD CE DF 39u.
5 AF. Calcular 8
