SOLUCION SOLUCION DE MECANICA MECANICA DE FLUIDOS FUNAMENTOS FUNAMENTOS Y APLICACIONE APLICACIONES S ( YUNUS A.ÇENGEL,JOHN M. CIMBALA) CINEMÁTICA CINEMÁTICA DE FLUIDOS FLUIDOS ( CAPITULO CUATRO) EJERCICIO 4.1. ¿Qué significa la palabra cinemática ? Explique qué abarca el estudio de la cinemática de fluidos . SOLUCIÓN: CINEMATICA, significa: El estudio del movimiento. La cinemática cinemática de fluid fluidos os es el estudio de cómo fluyen los fluid fluidos os y cómo describir el movimiento del fluido. La cinemática cinemática de fluid fluidos os se ocupa de describir el movimiento movimiento de los fluidos sin considerar (o incluso comprender) comprender) las fuerzas fuerzas y los momentos que causan el movimiento.. movimiento.. EJERCICIO 4.2. Considere el flujo estacionario de agua por una boquilla axialmente simétrica de una manguera de jardín ( Fig. P4-2). A lo largo de la línea central de la boquilla , la magnitud de la velocidad del agua aumenta de uentrada hasta usalida , como se muestra en la figura . Las mediciones revelan que la magnitud de la velocidad del agua en la línea central aumenta en forma parabólica a lo largo de la boquilla . Escriba una ecuación para la magnitud de la velocidad en la línea central , u (x), con base en los parámetros que se dan enseguida , desde x 0 hasta x L.
SOLUCIÓN: u a b x c 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . A Tenemos dos condiciones de contorno, a saber, en x 0, u u entrada y en x L, u u salida . Ecuacion A se satisface estableciendo c 0, a u entrada y b Ecuacion A se convierte: u
u entrada
u salida u entrada L 2
x 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . B
Al verificar la ecuacion B, donde don de x
0
u salida u entrada L2
.
EJERCICIO 4.3. Considere el siguiente campo bidimensional estacionario de velocidad: ¿Existe un punto de estancamiento en este campo de flujo ? Si es así, ¿ dónde está?. SOLUCIÓN: En un punto de estancamiento tanto u como v deben ser iguales a cero. En cualquier punto x, y en el campo de flujo, las compone componentes ntes de velocidad u y v se obtienen de ECUACIÓN INICIAL Componentes de velocidad: u v
0. 5 1. 2 x 2. 0 1. 2 y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Punto de estancamiento: 0 x 0 y
0. 5 1. 2 x 0.4167. 2. 0 1. 2 y 667 . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . 2 1. 66
SI ,hay un punto de estancamiento; su ubicacion es : x 0.417, y 1.67 EJERCICIO 4.4. Considere el siguiente campo bidimensional estacionario de velocidad:
¿Existe un punto de estancamiento en este campo de flujo ? Si es así, ¿ dónde está?. SOLUCIÓN: Campo bidimensional estacionario de velocidad: V u, v a 2 b cx 2 i 2cby 2 c 2 xy j Componentes de velocidad: u a 2 b cx 2 v 2cby 2 c 2 xy Punto de estancamiento: 0 a 2 b cx 2 x v y
ba c
2cby 2 c 2 xy
0
Entonces, sí, hay un punto de estancamiento; su ubicación es x bca , y 0 Si el flujo fuera tridimensional, tendríamos que establecer w determinar la ubicación del punto de estancamiento.
0 también para
EJERCICIO 4.3. Considere el siguiente campo bidimensional estacionario de velocidad: ¿Existe un punto de estancamiento en este campo de flujo ? Si es así, ¿ dónde está?. SOLUCIÓN: En un punto de estancamiento tanto u como v deben ser iguales a cero. En cualquier punto x, y en el campo de flujo, las compone componentes ntes de velocidad u y v se obtienen de ECUACIÓN INICIAL Componentes de velocidad: u v
0. 5 1. 2 x 2. 0 1. 2 y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Punto de estancamiento: 0 x 0 y
0. 5 1. 2 x 0.4167. 2. 0 1. 2 y 667 . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . 2 1. 66
SI ,hay un punto de estancamiento; su ubicacion es : x 0.417, y 1.67 EJERCICIO 4.4. Considere el siguiente campo bidimensional estacionario de velocidad:
¿Existe un punto de estancamiento en este campo de flujo ? Si es así, ¿ dónde está?. SOLUCIÓN: Campo bidimensional estacionario de velocidad: V u, v a 2 b cx 2 i 2cby 2 c 2 xy j Componentes de velocidad: u a 2 b cx 2 v 2cby 2 c 2 xy Punto de estancamiento: 0 a 2 b cx 2 x v y
ba c
2cby 2 c 2 xy
0
Entonces, sí, hay un punto de estancamiento; su ubicación es x bca , y 0 Si el flujo fuera tridimensional, tendríamos que establecer w determinar la ubicación del punto de estancamiento.
0 también para
DESCRIPCIONES LAGRANGIANA Y EULERIANA EJERCICIO 4.5C. ¿Cuál es la descripción lagrangiana del movimiento de fluidos ? SOLUCIÓN: En la descripción lagrangiana del movimiento del fluido, Siguen partículas fluidas individuales como elementos fluidos compuestos de una masa de fluido fija e identificable. Es similar al de estudiar bolas de billar y otros objetos sólidos en física. EJERCICIO 4.6. El método lagrangiano del análisis del flujo de fluidos ¿ es más semejante al estudio de un sistema o al de un volumen de control ? Explíquelo . SOLUCIÓN: El método de Lagrangian Es más similar al análisis del sistema (osea análisis análisis del sistema sistema cerrado). cerrado). En ambos casos, seguimos una masa de identidad fija a medida que se mueve en un flujo. En un análisis análisis de volumen de control, control, por otro lado, la masa se mueve dentro y fuera del volumen de control, y no seguimos ningún trozo particular de fluido. En su lugar, analizamos cualquier fluido que se encuentre dentro del volumen de control en ese momento. De hecho, el análisis Lagrangiano Lagrangiano es el mismo que el análisis del sistema en el límit límite, e, ya que el tamaño del sistema se reduce a un punto. EJERCICIO 4.7C. ¿ Cuál es la descripción euleriana del movimiento de fluidos ? ¿En qué difiere de la descripción lagrangiana ? SOLUCIÓN: ¿Cuál es la descripción euleriana del movimiento de fluidos ? En la descripción euleriana del movimiento del fluido, Nos ocupamos de variables de campo, como velocidad, presión, temperatura, etc., como funciones de espacio y tiempo dentro de un dominio de flujo o volumen de control. En contraste con el método lagrangiano, el fluido fluye dentro y fuera del dominio de flujo euleriano, y no hacemos un seguimiento del movimiento de partículas de fluido particulares identificables. ¿En qué difiere de la descripción lagrangiana ? El método euleriano de estudiar estudiar el movimiento movimiento del fluido no es tan "natural" como el método lagrangiano, ya que las leyes fundamentale fundam entaless de conservación conservación se aplican a las partículas partículas en movimiento, no a los campos.
EJERCICIO 4.8C. Se coloca una sonda estacionaria estacionaria en el flujo de un fluido fluido y se mide la presión y la temperatura como funciones del tiempo en un lugar del flujo (Fig. P4-8C). ¿ Ésta es una medición lagrangiana o una euleriana ? Explíquelo . SOLUCIÓN: Debido a que la sonda está fija en el espacio y el fluido fluye alrededor de ella, no estamos siguiendo partículas individuales de fluido a medida que se mueven. En cambio, estamos midien midiendo do una variable variable de campo en una ubicación particular particular en el espacio. Por lo tanto, esta es una medida euleriana. Si una sonda neutralmente flotante se moviera con el flujo, sus resultados serían medidas lagrangianas, siguiendo a las partículas de fluido. EJERCICIO 4.9C. Una diminuta sonda electrónica de presión , neutralmente flotante, se libera dentro del tubo de admisión de una bomba de agua y transmite 2 000 lecturas de presión por segundo conforme pasa por dicha bomba . ¿ Ésta es una medición lagrangiana o una euleriana ? Explíquelo . SOLUCIÓN: Dado que la sonda se mueve con el flujo y flota de forma neutral, seguimos las partículas partículas individuales individuales de fluido fluido a medida que se mueven a través de la bomba. Por lo tanto,, esta es una medida lagrangiana. tanto lagrangiana. En cambio, la sonda se fijara fijara en una ubicación en el flujo, sus resultados serían mediciones eulerianas. EJERCICIO 4.10C. Unos meteorólogos lanzan un globo meteorológico hacia la atmósfera. Cuando el globo alcanza una altitud en donde es neutralmente flotante , transmite información acerca de las condiciones del tiempo hacia las estaciones de monitoreo en tierra (Fig. P4-10C). ¿ Ésta es una medición lagrangiana o una euleriana? Explíquelo .
SOLUCIÓN: Como el globo meteorológico meteorológico se mueve con el aire y flota de forma neutral, estamos estamos siguiendo "partículas fluidas" individuales a medida que se mueven a través de la atmósfera. Por lo tanto, esta es una medida lagrangiana. lagrangiana. Tenga en cuenta que en este caso la "partícula fluida" es enorme y puede seguir las
características generales del flujo; obviamente, el globo no puede seguir las fluctuaciones turbulentas a pequeña escala en la atmósfera. Cuando los instrumentos instrumentos de monitoreo del clima se montan en el techo de un edificio, los resultados son mediciones eulerianas.
EJERCICIO 4.11C. A menudo se puede ver una sonda estática estática de Pitot que sobresale por la parte inferior de un avión ( Fig. P4-11C). Conforme el avión vuela , la sonda mide la velocidad relativa del viento . ¿ Ésta es una medición lagrangiana o una euleriana? Explíquelo .
SOLUCIÓN: En relación con el avión, la sonda está fija y el aire fluye alrededor alrededor de ella. No estamos siguiendo partículas individuales de fluidos a medida que se mueven. En cambio, estamos midien midiendo do una variable variable de campo en una ubicación particular particular en el espacio en relación con el avión en movimiento. Por lo tanto, esta es una medida euleriana. El avión se está moviend moviendo, o, pero no se mueve con el flujo. EJERCICIO 4.12C. El método euleriano del análisis del flujo de fluidos ¿ es más semejante al estudio de un sistema o al de un volumen de control ? Explíquelo . SOLUCIÓN: El método de Euler es más similar al análisis de volumen de control. En ambos casos, la masa se mueve dentro y fuera del dominio de flujo o volumen de control, y no seguimos ningún trozo particular de fluido. En su lugar, analizamos cualquier fluido que se encuentre dentro del volumen de control en ese momento. De hecho, el análisis de Euler es el mismo que el análisis de volumen de control excepto que el análisis de Euler se aplica generalmente generalmente a volúmenes infinitesimales y ecuaciones diferenciales de flujo de fluido, mientras que el análisis de volumen de control generalmente se refiere a volúmenes finitos y ecuaciones integrales de flujo de fluido.
EJERCICIO 4.13C. Defina un campo estacionario de flujo en el marco de referencia euleriano. En un flujo estacionario de este tipo , ¿ es posible para una partícula de fluido experimentar una aceleración diferente de cero ? SOLUCIÓN: Un campo de flujo se define como constante en el marco de referencia de Euler cuando las propiedades en cualquier punto del campo de flujo no cambian con respecto al tiempo. En un campo de flujo de este tipo, las partículas de fluido individuales pueden experimentar una aceleración distinta de cero; la respuesta a la pregunta es sí. Aunque la velocidad no es una función del tiempo en un campo de flujo constante, su derivada total con respecto al tiempo a dV / dt no es necesariamente cero ya que la aceleración se compone de una parte local (inestable) que es cero y una parte advectiva que no es necesariamente cero EJERCICIO 4.14C. Haga una lista de al menos otros tres nombres para la derivada material y escriba una breve explicación acerca de por qué cada nombre es apropiado. SOLUCIÓN: La derivada material también se llama derivada total, derivado de partícula, derivado de Euler, derivado de Lagrange y derivado sustancial. "Total" es apropiado porque la derivada material incluye tanto partes locales (inestables) como convectivas. La "partícula" es apropiada porque hace hincapié en que la derivada material es una que sigue a las partículas de fluido a medida que se mueven en el campo de flujo. "Eulerian" es apropiado ya que la derivada material se usa para transformar de lagrangiano a marcos de referencia eulerianos. "Lagrangiano" es apropiado ya que la derivada material se usa para transformar de lagrangiano a marcos de referencia eulerianos. "Sustancial" no es tan claro como un término para la derivada material, y no estamos seguros de su origen. Todos estos nombres enfatizan que estamos siguiendo una partícula fluida a medida que se mueve a través de un campo de flujo. EJERCICIO 4.15. Considere el flujo bidimensional , incompresible y estacionario por un ducto convergente (Fig. P4-15). Un sencillo campo aproximado de velocidad para este flujo es:
donde U0 es la velocidad horizontal en x 0. Note que en esta ecuación se ignoran los efectos viscosos a lo largo de las paredes, pero es una aproximación razonable para toda la gran parte del campo de flujo. Calcule la aceleración material para las partículas de fluido que pasan por este ducto. Dé su respuesta de dos maneras: 1) como las componentes ax y ay y de la aceleración y 2) como el vector aceleración a .
SOLUCIÓN: El campo de velocidad es: V u, v U O bx i byj Los componentes del campo de aceleración se obtienen a partir de su definición (la aceleración del material) en coordenadas cartesianas: a x ut u xu v yu w zu 0 U O bx b by0 0 a y vt u xv v yv w zv 0 U O bx 0 byb 0 Componentes de aceleración de materiales: a x a y
bU 0 bx b 2 y
En términos de vector, vector de aceleración de material: a
bU 0 bx i b 2 yj
Para positivos x y b , las partículas de fluido se aceleran en la dirección x positiva. Aunque este flujo es estable, todavía hay un campo de aceleración distinto de cero EJERCICIO 4.16. Se modela el flujo en un ducto convergente mediante el campo bidimensional y estacionario de velocidad del problema 4 -15. El campo de presión se da por :
donde P 0 es la presión en x 0. Genere una expresión para la razón de cambio de la presión siguiendo una partícula de fluido. SOLUCIÓN: Se modela el flujo en un ducto convergente mediante el campo bidimensional y estacionario de velocidad del problema (4.15) El campo de presión se da por: P P 0 2 2U 0 bx b 2 x 2 y 2 donde P 0 es la presión en x 0. Genere una expresión para la razón de cambio de la presión siguiendo una partícula de fluido. Campo de presión: P P 0 2 2U 0 bx b 2 x 2 y 2 . Por definición, la derivada del material, cuando se aplica a presión, produce la tasa de cambio de presión después de una partícula fluida.
P u P v P w zP t x y P P u x v y
DP Dt DP Dt
U 0 bx U 0 b b 2 x byb 2 y
En la ecua. 2 se simplifica a la siguiente velocidad de cambio de presión después de una partícula de fluido: DP 2 2 3 2 2 U 0 b 2 U 0 b x b y x Dt
EJERCICIO 4.17. Se da un campo bidimensional , incompresible y estacionario de velocidad por las siguientes componentes en el plano xy : Calcule el campo de aceleración (encuentre expresiones para las componentes ax y ay), de la aceleración, y calcule la aceleración en el punto (x, y) (-2, 3). SOLUCIÓN: Se da un campo bidimensional, incompresible y estacionario de velocidad por las Componentes en el plano xy : u v
1. 1 2. 8 x 0.65 y 0.98 2. 1 x 2. 8 y
Calcule el campo de aceleración (encuentre expresiones para las componentes ax y ay ), de la aceleración, y calcule la aceleración en el punto x, y 2, 3 Los componentes de velocidad: u v
1. 1 2. 8 x 0.65 y 0.98 2. 1 x 2. 8 y
En coordenadas cartesianas: a x
a x a y
a y
a x
u u u v u w zu t x y
0 1. 1 2. 8 x 0.65 y2. 8 0.98 2. 1 x 2. 8 y0.65 0 v u v v v w zv t x y 0 1. 1 2. 8 x 0.65 y2. 1 0.98 2. 1 x 2. 8 y2. 8 0
3.717 6.475 x
5.054 6.475 y En el punto x, y 2, 3, Componentes de aceleración en 2, 3 : a x 9.233 9.23 a y
a y
14.371
14.4
EJERCICIO 4.18. Se da un campo bidimensional , incompresible y estacionario de velocidad por las siguientes componentes en el plano xy :
Calcule el campo de aceleración (encuentre expresiones para las componentes ax y ay) de la aceleración, y calcule la aceleración en el punto (x, y) (1, 2). SOLUCIÓN: Componentes de velocidad: u v
0.20 1. 3 x 0.85 y
0.50 0.95 x 1. 3 y En coordenadas cartesianas:
a x
a x a y
a y
u u u v u w zu t x y
0 0.20 1. 3 x 0.85 y1. 3 0.50 0.95 x 1. 3 y0.85 0 v u v v v w zv t x y 0 0.20 1. 3 x 0.85 y0.95 0.50 0.95 x 1. 3 y1. 3 0
En la ecua. 2 se simplifica a los componentes de aceleración: a x 0.165 2. 4975 x a y
0.84 2. 4975 y
Componentes de aceleraciónen 1, 2 : a x
2.3325
a y
5.835
2.33
5.84
EJERCICIO 4.19. Para el campo de velocidad del problema 4 -2, calcule la aceleración del fluido a lo largo de la línea central de la boquilla como función de x y los parámetros dados. SOLUCIÓN: En el problema 4. 2 encontramos que a lo largo de la línea central. *Velocidad a lo largo de la línea central de la boquilla:
u
u entrada
u salida u entrada L 2
x2
....a
Aceleración a lo largo de la línea central de la boquilla: u u u u u v w t x y z u a x u x
a x
.....b
El primer término en Ecua. b es cero porque el flujo es constante. Sustituimos Ecua. a para obtener. Aceleración a lo largo de la línea central de la boquilla: a x
a x
u xu
u entrada
2u entrada
u salida u entrada
u salida u entrada L 2
L 2
x 2
x 2 2
u salida u entrada
u salida u entrada 2 L 4
L 2
x
x3
EJERCICIO 4.20. Considere el flujo estacionario en el difusor de un túnel de
viento ( Fig. P4-20). A lo largo de la línea central del difusor , la magnitud de la velocidad del aire disminuye de uentrada hasta usalida como se muestra en la figura . Las mediciones revelan que la magnitud de la velocidad del aire en la línea central decrece en forma parabólica a lo largo del difusor . Escriba una ecuación para la magnitud de la velocidad en la línea central , u (x), basada en los parámetros que se dan enseguida, desde x 0 hasta x L.
———
SOLUCIÓN: Una ecuación general para una parábola en x es: *Ecuación parabólica general: u a b x c 2 Tenemos dos condiciones de contorno, a saber, en x 0, u u entrada y en x u u salida . configuración c 0, a u entrada y b u salida Lu2 entrada . Por lo tanto,
L,
Velocidad parabólica : u
u entrada
u salida u entrada L 2
x2
EJERCICIO 4.21. Para el campo de velocidad del problema 4 -20, calcule la aceleración del fluido a lo largo de la línea central del difusor como función de x y los parámetros dados. Para L 2.0 m , u entrada 30.0 m /s, y u salida 5.0 m /s, calcule la aceleración en x 0 y x 1.0 m . SOLUCIÓN: En el problema anterior, a lo largo de la línea central. *Velocidad a lo largo de la línea central del difusor: u u u u entrada salida 2 entrada x 2 ............(1) L Aceleración a lo largo de la línea central del difusor: u u u v u w zu t x y a x u xu
a x
Sustituimos Ecua. 1 para obtener:
a x
u xu
a x
u entrada
2u entrada
u salida u entrada L
u salida u entrada L
2
x 2 2
2
x 2
u salida u entrada L 2
u salida u entrada 2 L 4
x
x3
Aceleración a lo largo de la línea central del difusor en x a x x
0
a x x
1. 0m
0:
1. 0m:
0
Aceleración a lo largo de la línea central del difusor en x a x x
1. 0m
230.0m / s
25.0m / s 2.0m 2
1. 0m 2
2
25.0m / s 2.0m 4
1. 0m 3
297m / s 2
PATRONES DE FLUJO Y VISUALIZACION DEL FLUJO EJERCICIO 4.22C. ¿ Cuál es la definición de línea de corriente ? ¿ Qué indican las líneas de corriente? SOLUCIÓN: Una línea de flujo es una curva que está en todas partes tangente al vector de velocidad local instantáneo. Indica la dirección instantánea del movimiento del fluido en todo el campo de flujo. Si un campo de flujo es estable, las líneas de corriente, las líneas de trayectoria y las líneas de rayas son idénticas. EJERCICIO 4.23. Se modela el flujo en un ducto convergente (Fig. P4-15) mediante el campo bidimensional y estacionario de velocidad del problema 4 -15. Genere una expresión analítica para las líneas de corriente del flujo . SOLUCIÓN: El campo de velocidad constante y bidimensional del problema 4.15 es : Campo de velocidad: V u, v U 0 bx i byj .......................(a) Entonces en el plano x y : dy dx linescorriente uv . .................................(b) Sustituimos los componentes u y v de Ecua. a en Ecua. b y para obtener : dy dx
by U 0 bx
Por separacion de variables: dy dx by U 0 bx b1 lnby b1 lnU 0 bx b1 ln C 1 Ecuación para líneas de corriente: y
C U 0 bx
EJERCICIO 4.24E. Se modela el flujo en un ducto convergente mediante el campo bidimensional y estacionario de velocidad del problema 4 -15. Para el caso en el que U0 5.0 ft /s y b 4 .6 s -1, trace la gráfica de varias líneas de corriente, desde x 0 ft
hasta 5 ft y y -3 ft hasta 3 ft. Cerciórese de mostrar la dirección de las líneas de corriente. SOLUCIÓN: U 0 05.0 b 4. 6s 1
En el plano x y : y
C U 0 bx
La dirección del flujo se encuentra calculando u y v en algún punto en el campo de flujo. Elegimos x 1 pie , y 1 pie. En este punto u 9. 6 pies / s y v 4. 6 pies / s. La dirección de la velocidad en este punto es obviamente a la derecha inferior. Esto establece la dirección de todos los optimiza Las flechas en la Fig. 1 indican la dirección del flujo.
EJERCICIO4.25C. Considere lavisualización del flujo sobre un cono de 12 º de la figura P4-25C .¿ Se están viendo líneas de corriente , detraz a,de trayectoria o línea fluida?Explíquelo.
SOLUCIÓN: Como se muestra en la imagen es una instantánea de las rayas de tinte en el agua, cada línea muestra el historial de tinte que fue introducido anteriormente desde un puerto en el cuerpo. Por lo tanto, estas son líneas de rayas. Dado que el flujo parece ser constante, estas líneas punteadas son lo mismo que las líneas de ruta y las líneas de corriente. Se supone que el tinte sigue el flujo del agua. Si el tinte es de casi la misma densidad que el agua,esta es una suposición razonable. EJERCICIO 4.26C Una ruta es la ruta real recorrida por una partícula de fluido individual durante un período de tiempo . Esto indica la ruta exacta a lo largo de la cual una partícula fluida viaja desde su
punto de partida hasta su punto final . A diferencia de las líneas de corriente , las trayectorias no son instantáneos , sino que implican un período de tiempo finito . Si un campo de flujo es estable, las líneas de corriente, las líneas de trayectoria y las líneas de rayas son idénticas. EJERCICIO 4.27C Una línea de rayas es el lugar de las partículas de fluido que han pasado de forma secuencial a través de un punto prescrito en el flujo . Las rayas son muy diferentes a líneas de flujo. Las líneas de corriente son curvas instantáneas, en todas partes tangentes a la velocidad local , mientras que las rayas se producen durante un período de tiempo finito . En un flujo inestable , las rayas se distorsionan y luego retiene las características de esa forma distorsionada incluso cuando el campo de flujo cambia, mientras que las líneas de corriente cambian instantáneamente con el campo de flujo . EJERCICIO 4.28C Como la imagen es una instantánea de las rayas de tinte en el agua, cada línea muestra el historial de tinte que fue introducido anteriormente desde un puerto en el cuerpo . Por lo tanto, estas son líneas de rayas. Como el flujo parece inestable , estos las líneas de rayas no son lo mismo que las líneas de ruta o las líneas de corriente. Se supone que el tinte sigue el flujo del agua . Si el tinte es de casi la misma densidad que el agua , esta es una suposición razonable . EJERCICIO 4.29C Como la imagen es una instantánea de las rayas de humo en el aire, cada línea muestra el historial de humo que fue introducido anteriormente desde el cable de humo . Por lo tanto, estas son líneas de rayas.Dado que el flujo parece inestable, estas líneas punteadas no son lo mismo que las líneas de ruta o las líneas de corriente . Se supone que el humo sigue el flujo del aire . Si el humo es neutralmente flotante, este es un suposición razonable . En realidad, el humo se eleva un poco ya que está caliente; sin embargo, las velocidades de aire son lo suficientemente altas como para que el efecto es insignificante. EJERCICIO 4.30C Como la imagen es una exposición temporal de burbujas de aire en el agua , Cada línea blanca muestra el camino de una burbuja de aire individual . Por lo tanto , estas son las líneas de acción. Dado que el flujo externo ( partes superior e inferior de la foto ) parece ser constante,
estas líneas de acción son las mismas que las líneas de trazos y las líneas de corriente. Se supone que las burbujas de aire siguen el flujo del agua . Si las burbujas son lo suficientemente pequeñas , esta es una suposición razonable . EJERCICIO 4.31C¿Cuál es la definición de línea fluida ? ¿ Cómo se puedenproducir líneas fluidas en un canal de agua ? Nombre una aplicación en donde las líneas fluidas sean más útiles que las de traza. Solución Debemos definir la línea de tiempo y discutir cómo se pueden producir las líneas de tiempo en un canal de agua. También estamos a describe una aplicación donde los plazos son más útiles que las líneas en línea. Análisis Una línea de tiempo es un conjunto de partículas de fluido adyacentes que se marcaron en el mismo instante de tiempo. Líneas de tiempo se puede producir en un flujo de agua mediante el uso de un cable de burbuja de hidrógeno. También hay técnicas en las que una reacción química es iniciada aplicando corriente al cable, cambiando el color del fluido a lo largo del cable. Las líneas de tiempo son más útiles que las rayas cuando se debe visualizar la uniformidad de un flujo. Otra aplicación es visualizar el perfil de velocidad de una capa límite o un flujo de canal. EJERCICIO 4-32C Considere una rebanada de sección transversal que atraviesa un arreglo de tubos de un intercambiador de calor ( Fig. P4-32C). Para la información deseada, elija cuál clase de gráfica de visualización del flujo ( gráfica vectorial o gráfica de contornos) sería la más apropiada y explique por qué . a) Se debe visualizar la ubicación de la magnitud máxima de la velocidad del fluido. b) Se debe visualizar la separación del flujo en la parte posterior de los tubos . c) Se debe visualizar el campo de temperatura en todo el plano . d) Se debe visualizar la distribución de la componente de la vorticidad normal al plano.
Solución Para cada caso, debemos decidir si una trama de vector o una trama de contorno es la más adecuada, y estamos para explica nuestra elección. Análisis En general, los diagramas de contorno son los más apropiados para escalares, mientras que los
diagramas de vectores son necesarios cuando los vectores son para ser visualizado (a) Un diagrama de velocidad de contorno es el más apropiado ya que la velocidad del fluido es escalar. (b) Un gráfico vectorial de vectores de velocidad mostraría claramente dónde se separa el flujo. Alternativamente, un contorno de vorticidad la gráfica de vorticidad normal al plano también mostraría claramente la región de separación. (c) Un gráfico de contorno de la temperatura es el más apropiado ya que la temperatura es escalar. (d) Un diagrama de contorno de este componente de vorticidad es el más apropiado ya que un componente de un vector es un escalar
EJERCICIO 4-33 Considere el siguiente campo de velocidad bidimensional , incompresible y estacionario:
Genere una expresión analítica para las líneas de corriente del flujo y trace varias de estas líneas en el cuadrante superior derecho , desde x 0 hasta 5 y y0 hasta 6. Genere una expresión analítica para las líneas de corriente del flujo y trace varias de estas líneas en el cuadrante superior derecho , desde x 0 hasta 5 y y0 hasta 6. Solución 2. 0 1. 2 y 0 0. 5 1. 2 xi 2. 0 1. 2 y j
V 0. 5 1. 2 x V u
0. 5 1. 2 x
2. 0 1. 2 y las lines de corriente sera v
u dx
v dy
dx u
dx u
dy v
dy v
0.83333ln x 0.41667 0.83333ln y 1.
la linea de corrirnte sera: y 1.20.521.2 x 1.667
6667 c
y
10
5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-5
-10
EJERCICIO4-34 Considere el campo de velocidad bidimensional , incompresible y estacionario del problema 4 -33. Genere una gráfica de los vectores de velocidad en el cuadrante superior derecho, desde x 0 hasta 5 y y 0 hasta 6.
y
10
5
-5
-4
-3
-2
-1
1 -5
-10
2
3
4
5
x
EJERCICIO4-35 Considere el campo de velocidad bidimensional , incompresible y estacionario del problema 4 -33. Genere una gráfica vectorial del campo de aceleración en el cuadrante superior derecho , desde x 0 hasta 5 y y 0 hasta 6. aceleracion
2. 0 1. 2 y 0 0. 5 1. 2 xi 2. 0 1. 2 y j
V 0. 5 1. 2 x V u
0. 5 1. 2 x
v
2. 0 1. 2 y
w
0
componentes de la aceleracion u t v a y t a x ut a y vt
a x
u x v u x u u x v u x u
u y v v y u v y v v y v
a x
1.
44 x 0. 6
a y
1.
44 y 2. 4
a x a y
u z v w z u 1. 44 x 0. 6 w z v 1. 44 y 2. 4 w z w
1.
44 x 0. 6 1. 44 y 2. 4
EJERCICIO 4-36 Se da un campo de velocidad bidimensional , incompresible y estacionario por
Donde las coordenadas x y y están en m y la magnitud de la velocidad está en m/s. a) Determine si existen puntos de estancamiento en este flujo y , si es así, ¿ dónde están? b) Trace una gráfica de los vectores de velocidad en varios lugares en el cuadrante superior derecho, para x 0 m hasta 4 m y y 0 m hasta 4 m; describa cualitativamente el campo de flujo. Solución Para el campo de velocidad dado, la (s) ubicación (es) de los puntos de estancamiento se determinarán. Varias velocidades los vectores se esbozarán y se describirá el campo de velocidad. V 1 2. 5 x y 0. 5 1. 5 x 2. 5 y u v
1 2. 5 x y 0. 5 1. 5 x 2. 5 y
punto de estancamiento sera 1 2. 5 x y 0 0. 5 1. 5 x 2. 5 y
0
0.421m : y 0.0526m aceleracion V 0. 5 1. 2 x 2. 0 1. 2 y 0 V 0. 5 1. 2 xi 2. 0 1. 2 y j x
u
1 2. 5 x y
v
0. 5 1. 5 x 2. 5 y
w
0
componentes de la aceleracion u u u v u w zu 4. 75 x 2. 0 t x y a y vt u xv v yv w zv 4. 75 y 0.25
a x
x y
a x
4.
75 x 2. 0
a y
4.
75 y 0.25
2 3
a x
11.
5
a y
14.0
(b) Los componentes x e y de la velocidad se calculan a partir de la ecuación. 1 para varias (x, y) ubicaciones en el rango especificado. Por ejemplo, en el punto (x 2 m, y 3 m), u 9.00 m / s y v -11 m / s. La magnitud de la velocidad (el velocidad) en ese punto
es 14.21 m / s. En este y en una variedad de otros lugares, el vector de velocidad se construye a partir de sus dos componentes, los resultados de que se muestran en la Fig. 1. El flujo se puede describir como girando hacia la izquierda, acelerando el flujo desde la parte superior izquierda a la inferior derecho. El punto de estancamiento de la Parte (a) no se encuentra en la parte superior derecha Cuadrante, y por lo tanto no aparece en el boceto. EJERCICIO 4-37 Considere el campo de velocidad bidimensional , incompresible y estacionario del problema 4 -36. a) Calcule la aceleración material en el punto ( x 2 m, y 3m). Respuestas: ax 11.5 m /s2, ay 14.0 m /s2 b) Trace una gráfica de los vectores aceleración material en el mismo arreglo de valores x y y que en el problema 4-36. V 0. 5 1. 2 x 2. 0 1. 2 y 0 V 0. 5 1. 2 xi 2. 0 1. 2 y j u
1 2. 5 x y
v
0. 5 1. 5 x 2. 5 y
w
0
componentes de la aceleracion u u u u 4. 75 x 2. 0 t u x v y w z a y vt u xv v yv w zv 4. 75 y 0.25
a x
x y
a x
4.
75 x 2. 0
a y
4.
75 y 0.25
2 3
a x
11.
a y
14.0
5
EJERCICIO 4-38 El campo de velocidad para la rotación de cuerpo sólido en el plano rθ ( Fig. P4-38) se da por : Donde v es la magnitud de la velocidad angular ( apunta en la dirección z ). Para el caso con v 1.0 s 1, trace una gráfica decontornos de la magnitud de la velocidad (rapidez). Específicamente, trace las curvas de magnitud constante de la velocidad V 0.5, 1 .0, 1 .5, 2 .0 y 2.5 m /s. Cerciórese de indicar estas magnitudes en su gráfica .
Para un campo de velocidad dado, debemos trazar una gráfica de contorno de magnitud de velocidad a cinco valores de velocidad dados. Supuestos 1 El flujo es constante. 2 El flujo es bidimensional en el plano r-θ. Análisis Como uθ 0, y como ω es positivo, la velocidad es igual a la magnitud del componente of de la velocidad, V
2
u 2r u 2
/ u / wr
Por lo tanto, las curvas de nivel de velocidad constante son simplemente círculos de radio constante dada por Línea de contorno de velocidad constante: r
V w
Trazamos un círculo a un radio de 2.0 m y repetimos este simple cálculo para los otros cuatro valores de V. Trazamos los contornos en la Fig. 1. La velocidad aumenta
linealmente desde el centro de rotación (el origen).
EJERCICIO 4-39 El campo de velocidad para un vórtice lineal en el plano r θ (Fig. P4-39) se da por:
Donde K es la intensidad del vórtice lineal . Para el caso con K 1.0 m2 /s, trace una gráfica de contornos de la magnitud de la velocidad ( rapidez). Específicamente, trace las curvas de magnitud constante de la velocidad V 0.5, 1.0, 1 .5, 2 .0 y 2.5 m /s. Asegúrese de indicar estas magnitudes en su gráfica. solucion Para un campo de velocidad dado, debemos trazar una gráfica de contorno de magnitud de velocidad a cinco valores de velocidad dados. Supuestos 1 El flujo es constante. 2 El flujo es bidimensional en el plano r-θ. Análisis Como ur 0, y como K es positivo, la velocidad es igual a la magnitud del componente of de la velocidad, V
2
u 2r u 2
/ u /
k r
Por lo tanto, las curvas de nivel de velocidad constante son simplemente círculos de radio constante dada por Línea de contorno de velocidad constante: r V k Trazamos un círculo a un radio de 0.5 m y repetimos este simple cálculo para los otros cuatro valores de V. Trazamos los contornos en la Fig. 1. La velocidad aumenta
linealmente desde el centro de rotación (el origen).
EJERCICIO 4-40 E l campo de velocidad para una fuente lineal en el plano rθ (Fig. P4-40) se da por :
Donde m es la intensidad de la fuente lineal . Para el caso con m /(2p) _ 1.0 m2 /s, trace una gráfica de contornos de la magnitud de la velocidad ( rapidez). Específicamente, trace las curvas de magnitud constante de la velocidad V 0.5, 1 .0, 1.5, 2.0 y 2.5 m /s. Asegúrese de indicar estas magnitudes en su gráfica.
Para un campo de velocidad dado, debemos trazar una gráfica de contorno de magnitud de velocidad a cinco valores de velocidad dados. Supuestos 1 El flujo es constante. 2 El flujo es bidimensional en el plano r-θ. Análisis Como ur 0, y como K es positivo, la velocidad es igual a la magnitud del componente of de la velocidad, V P or
2
u 2r u 2
/ u r /
m 2r
lo tanto, las curvas de nivel de velocidad constante son simplemente círculos de radio constante dada por Línea de contorno de velocidad constante : r 2mV
T razamos un círculo a un radio de 0.5 m y repetimos este simple cálculo para los otros
cuatro valores de V. Trazamos los contornos en la Fig. 1. La velocidad aumenta linealmente desde el centro de rotación (el origen).
Movimiento y deformación de los elementos de fluidos EJERCICIO 4-41C Nombre y describa con brevedad los cuatro tipos fundamentales de movimiento o deformación de las partículas de fluido Solución Debemos nombrar y describir los cuatro tipos fundamentales de movimiento o deformación de las partículas de fluido. Análisis 1. Traducción: una partícula fluida se mueve de un lugar a otro. 2. Rotación: una partícula fluida gira alrededor de un eje atravesado por la partícula. 3. Cepa lineal o deformación extensional: una partícula fluida se estira en una dirección tal que un segmento de línea en ese la dirección se alarga en algún momento posterior. 4. Cepa de corte: una partícula fluida se distorsiona de tal manera que dos líneas a través de la partícula fluida que son inicialmente perpendiculares no son perpendiculares en algún momento posterior. EJERCICIO 4-42 Se modela el flujo en un ducto convergente ( Fig. P4-15) mediante el campo bidimensional y estacionario de velocidad del problema 4 -15. ¿ Éste es un campo rotacional o irrotacional ? Muestre el procedimiento . Solución Para un campo de velocidad dado, debemos determinar si el flujo es rotatorio o irrotacional. Análisis El campo de velocidad es V u, v U 0 bx i byj Por definición, el flujo es rotativo si la vorticidad no es cero. Entonces, calculamos la vorticidad. En un flujo 2-D en el plano x-y, el único componente distinto de cero de la vorticidad está en la dirección z, es decir ζ z, Componente de vorticidad en la dirección z:
ζ z, xu
v y
0 0
0
Como la vorticidad es cero,este flujoes irrotacional .
EJERCICIO 4-43 Se modela el flujo en un ducto convergente mediante el campo bidimensional y estacionario de velocidad del problema 4 -15. Una partícula de fluido (A) está ubicada sobre el eje x en x xA en el instante t 0
(Fig. P4 43). En algún instante ulterior t , la partícula de fluido se ha movido corriente abajo con el flujo hasta una nueva ubicación x xA, como se muestra en la figura. Puesto que el flujo es simétrico respecto del eje x , la partícula de fluido permanece sobre este eje en todo instante . Genere una expresión analítica para la ubicación x de la partícula de fluido en algún instante arbitrario t , en términos de su ubicación inicial xA y las constantes U0 y b. En otras palabras , desarrolle una expresión para xA. ( Sugerencia: se sabe que u dx partícula/dt cuando sigue una partícula de fluido . Obtenga u, separe variables e integre .) Solución Para un campo de velocidad dado, debemos generar una ecuación para la ubicación x de una partícula fluida a lo largo del eje x como una función de tiempo. Campo de velocidad: V u, v U 0 bx i byj . . . . 1 Comenzamos con la definición de u siguiendo una partícula fluida, dx x componente de la velocidad de una partícula fluida: parti u U 0 bx parti . . . . . . . 2 dt donde te hemos sustituido de la ecuación 1. Reorganizamos y separamos variables, eliminando el subíndice de "partículas" para dx conveniencia, dt . . . . . . . . . 3 U 0 bx z Rendimiento de integración lnU 0 bx t b1 ln C 1 . . . . . . . . 4 b d onde hemos establecido la constante de integración como el logaritmo natural de alguna constante C1, con una constante al frente en orden para simplificar el álgebra. Cuando recordamos que ln ab lna lnb , Eq. 4 simplifica a lnC 1 U 0 bx
t
a partir del cual U 0 bx C 2 e bt . . . . . . . . . . . . 5 donde C 2 es una nueva constante definida por conveniencia. Ahora conectamos la condición inicial conocida de que en t 0, x xA para encontrar C2 constante en Eq. 5. Después de un poco de álgebra, Ubicación x de la partícula fluida en el tiempo t : x x A b1 U 0 bx e bt U 0 .
EJERCICIO 4-44 Se modela el flujo en un ducto convergente por el campo bidimensional y estacionario de velocidad del problema 4 -15. Puesto que el flujo es simétrico respecto del eje x, el segmento rectilíneo AB a lo largo del eje x permanece sobre este eje, pero se estira, de la longitud j hasta la longitud j j conforme fluye a lo largo de la línea central del canal ( Fig. P4-44). Genere una expresión analítica para el cambio en la longitud del segmento rectilíneo , j. ( Sugerencia: use el resultado del problema 4-43.)
Solución Para un campo de velocidad dado, debemos generar una ecuación para el cambio en la longitud de un segmento de línea en movimiento con el flujo a lo largo del eje x. Ubicación de la partícula A en el tiempo t: x A b1 U 0 bx A e bt U 0 . . . . . . . . . . . . . . 1 Ubicación de la partícula B en el tiempo t: x B b1 U 0 bx B e bt U 0 . . . . . . . . . . . . . . 2 Como longitud ξ xB xA y longitud ξ Δξ xB xA , escribimos una expresión para Δξ, ambio en la longitud del segmento de línea:
Δξ
x B x A x B x A
b1 U 0 bx A e bt U 0 b1 U 0 bx B e bt U 0 x B x A
x A x B e bt 1 Δξ
x A x B e bt 1
EJERCICIO 4-45 Con los resultados del problema 4 -44 y la definición fundamental de la razón de deformación lineal ( la razón de incremento de la longitud por unidad de longitud ), desarrolle una expresión para esa razón en la dirección x ( xx ) de las partículas de fluido localizadas sobre la línea central del canal . Compare su
resultado con la expresión general para xx en términos del campo de velocidad ; es decir , xx u / x. ( Sugerencia: tome el límite conforme el tiempo t 0. Puede ser que necesite un desarrollo truncado en serie para e bt Solución Al examinar el aumento en la longitud de un segmento de línea a lo largo del eje de un conducto convergente, debemos genere una ecuación para la velocidad de deformación lineal en la dirección xy compare con la ecuación exacta dada en este capítulo. Cambio en la longitud del segmento de línea: Δξ x A x B e bt 1 . . . . . . . 1 La definición fundamental de la tasa de deformación lineal es la tasa de aumento en la longitud de un segmento de línea por unidad de longitud de la línea segmento. Para el caso que nos ocupa, Velocidad de deformación lineal en dirección x: x x e bt 1 d d B x B A x A e bt 1 . . . . 3 xx dt dt En el límite como t 0, aplicamos los primeros dos términos de la expansión de la serie para e bt , e bt
1 bt
bt 2 . . . . 2!
1 bt . . . . . . 4
Velocidad de deformación lineal en la dirección y:
xx xx
1 t
1 bt 1
u x
b
b
EJERCICIO 4-46 Se modela el flujo en un ducto convergente por el campo bidimensional y estacionario de velocidad del problema 4 -15. Una partícula de fluido (A) está ubicada en x xAy, y yA en el instante t 0 ( Fig. P4-46). En algún instante ulterior t, la partícula de fluido se ha desplazado corriente abajo con el flujo hasta una nueva ubicación x xA, y yA, como se muestra en la figura. Genere una expresión analítica para la ubicación y de la partícula de fluido en algún instante arbitrario t, en términos de su ubicación inicial yA y la constante b . En otras palabras , desarrolle una expresión para yA ( Sugerencia: se sabe que v dypartícula / dt cuando sigue una partícula de fluido . Sustituya la ecuación para v , separe variables e integre)
solucion Campo de velocidad: V u, v dy parti v bx parti dt dx bx
U 0 bx i byj . . . . 1
dt . . . . . . . . . 3
ln y bt ln C 1 . . . . . . . . 4 Rendimiento de integración donde hemos establecido la constante de integración como el logaritmo natural de alguna constante C1, con una constante al frente en orden para simplificar el álgebra. Cuando recordamos que ln ab lna lnb , Eq. 4 simplifica a lnC 2 y t bt a partir del cual y C 2 e . . . . . . . . . . . . 5 donde C 2 es una nueva constante definida por conveniencia. Ahora conectamos la condición inicial conocida de que en t 0, x xA para encontrar C2 constante en Eq. 5. Después de un poco de álgebra, Ubicación y de la partícula fluida en el tiempo t : y y A . C 2 e bt
EJERCICIO 4-44 Se modela el flujo en un ducto convergente por el campo bidimensional y estacionario de velocidad del problema 4 -15. Puesto que el flujo es simétrico respecto del eje x, el segmento rectilíneo AB a lo largo del eje x permanece sobre este eje, pero se estira, de la longitud j hasta la longitud j j conforme fluye a lo largo de la línea central del canal ( Fig. P4-44). Genere una expresión analítica para el cambio en la longitud del segmento rectilíneo , j. ( Sugerencia: use el resultado del problema 4-43.)
Solución P ara un campo de velocidad dado, debemos generar una ecuación para el cambio en la longitud de un segmento de línea en movimiento con el flujo a lo largo del eje x. Ubicación de la partícula A en el tiempo t: x A b1 U 0 bx A e bt U 0 . . . . . . . . . . . . . . 1 Ubicación de la partícula B en el tiempo t: x B b1 U 0 bx B e bt U 0 . . . . . . . . . . . . . . 2 Como longitud ξ xB xA y longitud ξ Δξ xB xA , escribimos una expresión para Δξ, ambio en la longitud del segmento de línea:
Δξ
x B x A x B x A
b1 U 0 bx A e bt U 0 b1 U 0 bx B e bt U 0 x B x A
x A x B e bt 1 Δξ
x A x B e bt 1
EJERCICIO 4-47 Se modela el flujo en un ducto convergente mediante el campo bidimensional y estacionario de velocidad del problema 4 -15. A medida que el segmento rectilíneo vertical AB se desplaza corriente abajo, se contrae de la longitud h hasta la longitud h h como se muestra en la figura P4 -47. Genere una expresión analítica para el cambio en la longitud del segmento rectilíneo , h . Note que el cambio en la longitud h , es negativo. ( Sugerencia: use el resultado del problema 4 -46 )
Solución Para un campo de velocidad dado, debemos generar una ecuación para el cambio en la longitud de un segmento de línea en el y dirección. bt y A . y A e . . . . . . . . . . 1 Ubicación de la partícula A en el tiempo t: bt Ubicación de la partícula B en el tiempo t: y B . y B e . . . . . . . . . . 2 Dado que la longitud η y B y A y la longitud η Δη y B y A , escribimos una expresión para Δη, Cambio en la longitud del segmento de línea: bt y e bt y y Δη y B y A y B y A y B e A B A bt 1 Δη y B y A e
EJERCICIO 4-48 Use los resultados del problema 4 -47 y la definición fundamental de la razón de deformación lineal ( la razón de incremento de la longitud por unidad de longitud ), desarrolle una expresión para esa razón en la dirección y yy de las partículas de fluido que se mueven corriente abajo del canal . Compare su resultado con la expresión general para yy en términos del campo de velocidad ; es decir , xx u / x.. ( Sugerencia: tome el límite conforme el tiempo t 0. Puede ser que necesite un desarrollo truncado en serie para e bt Solución Al examinar el aumento en la longitud de un segmento de línea a medida que se mueve por un conducto convergente, debemos genere una ecuación para la velocidad de deformación lineal en la dirección y y compárela con la ecuación exacta dada en este capítulo. Δη y B y A e bt 1 . . . . 1 La definición fundamental de la tasa de deformación lineal es la tasa de aumento en la longitud de un segmento de línea por unidad de longitud de la línea segmento. Para el caso que nos ocupa, y y e bt 1 d d B y B A y A e bt 1 . . . . 3 yy dt dt En el límite como t 0, aplicamos los primeros dos términos de la expansión de la serie
para e bt , e bt
1 bt
bt 2 . . . . 2!
1 bt . . . . . . 4
Velocidad de deformación lineal en la dirección y:
yy yy
1 t
1 bt 1
v y
b
b
EJERCICIO 4-49 Modele el flujo en un ducto convergente mediante el campo bidimensional y estacionario de velocidad del problema 4 -15. Para el caso en el que U 0 5. 0 ft / s y b 4. 6s 1 , considere una partícula inicialmente cuadrada de fluido con dimensiones de las aristas de 0. 5 ft y con centro en x 0. 5 ft y y 1. 0 ft y t 0 (Fig. P4-49I). Calcule con todo cuidado en dónde estará la partícula de fluido y cómo se vera en el instante t 0. 2s más tarde, y trace la gráfica correspondiente . Haga un comentario acerca de la distorsión de esa partícula ( Sugerencia: use los resultados de los problemas 4-43 y 4-46.)
Solución Para un campo de velocidad dado y una partícula de fluido inicialmente cuadrada, debemos calcular y trazar su ubicación y forma después de un período de tiempo dado. Análisis calcule la ubicación de cualquier punto en la partícula fluida después del tiempo transcurrido hora. Elegimos 6 puntos a lo largo de cada borde de la partícula de fluido, y graficamos su x y y ubicaciones en t 0 y en t 0. 2s. Por ejemplo, el punto en la parte inferior la esquina izquierda de la partícula está inicialmente en x 0.25 pies e y 0.75 pies en t 0. En t 0. 2s, x-ubicación de la esquina inferior izquierda de la partícula de fluido en el momento t 0. 2s: 1 x 4.61/ 5. 0 ft / s 4.61/ s0.25 ft e 4.61/ s0.2s 5. 0 ft / s 2.268 ft s y-ubicación de la esquina inferior izquierda de la partícula de fluido en el momento
t 0. 2s: y
0.75 ft e 4.61/ s0.2s
0.2989 ft
Repetimos los cálculos anteriores en todos los puntos a lo largo de los bordes de la partículas fluidas, y trazar sus posiciones inicial y final en la figura 1 como puntos. Finalmente, conectamos los puntos para dibujar la forma de la partícula fluida. Está despejado de los resultados que la partícula fluida se contrae en la dirección y se extiende en la dirección x. Sin embargo, no cizalla ni rota: EJERCICIO 4-50E Con base en los resultados del problema 4 -49, verifique que el campo de flujo en el ducto convergente de verdad es incompresible . Solución Al analizar la forma de una partícula fluida, debemos verificar que el campo de flujo dado sea incompresible. Dado que el flujo es bidimensional, suponemos que la unidad de profundidad (1 pie) en la dirección z (en la página en el figura). En el problema anterior, calculamos las ubicaciones inicial y final de varios puntos en el perímetro de un inicialmente partícula fluida cuadrada. En t 0, el volumen de partícula es Volumen de la partícula fluida en t 0s : V 0.50 ft 0.50 ft 1. 0 ft
0.25 ft 3
En t 0. 2s, la esquina inferior izquierda de la partícula de fluido se ha movido a x 2.2679 pies, y 0.29889 pies, y la esquina superior derecha se ha movido a x 3.5225 pies, y 0.49815 pies. Dado que la partícula fluida permanece rectangular, podemos calcular la partícula fluida volumen desde estas dos ubicaciones de esquina, Volumen de partículas de fluido en t 0. 2s: V 3.5225 pies 2.2679 pies0.49815 pies 0.29889 pies1 Por lo tanto, para al menos cuatro dígitos significativos, el volumen de la partícula fluida no ha cambiado, y el flujo es por lo tanto incompresible EJERCICIO 61. SOLUCION: A) La velocidad de rotación en coordenadas cartesianas: w z 21 xv yu Ángulo β en el tiempo t dt: bdydt arctan arctan bdt bdt dy el ángulo promedio de rotación de los dos segmentos de línea (bordes inferior e izquierdo) en el momento t dt es APR 21 0 2b dt Por lo tanto, la tasa de rotación promedio durante el intervalo de tiempo dt es: Velocidad de rotación en el plano x-y:
w z
d APR dt
1 dt
2b dt
2b RESPUESTA
B) Tasa de rotación: w z 21 xv yu 21 0 b
2b
1
RESPUESTA
2
Ambos métodos para obtener la tasa de rotación concuerdan (Ecuación 1 y Ecuación 2). lo que indica una rotación en el sentido de las agujas del reloj alrededor del eje z
EJERCICIO 62: A) Como la velocidad de rotación no es cero, significa que el flujo ES ROTATIVO. d APR 1 w z 2b dt 2b 0 dt dt B) La vorticidad se define como el doble de la velocidad de rotación, o el doble de la velocidad angular. En la dirección z, Componente de vorticidad: La vorticidad es negativa, lo que indica la rotación en Z 2 Z 2 2b b setido horario alrededor del eje z EJERCICIO 63: El flujo es incompresible y bidimensional Para el flujo en el plano xy, debemos mostrar que: Tasa de rotación w w z 21 xv yu Ángulo de rotación promedio: a b 2
el punto A se mueve una distancia derecha: u xu dx dt arriba: v xv dx dt el punto B se mueve una distancia derecha: u
u y
dy dt
arriba: v yv dy dt a la distancia dx a la derecha del punto P, la distancia horizontal desde el punto P’ al punto A’. en el tiempo t2 dx xu dxdt
el punto A está en el mismo nivel vertical que el punto P en el tiempo t1. Por lo tanto, la distancia vertical desde el punto P ’al punto A’ en el tiempo t2.
v dxdt x
el punto B está ubicado a una distancia dy verticalmente por encima del punto P en el tiempo t1. por lo tanto la distancia horizontal desde el punto P ’al punto B’ en el tiempo t2. yu dydt Distancia vertical desde el punto P ’al punto B’ en el tiempo t2 dy yv dydt
Ángulo α a en términos de componentes de velocidad a
v dxdt x dx xu dxdt
tan 1
v dxdt x
tan 1
dx
tan 1
v dt x
v dt x
ángulo α b en términos de componentes de velocidad b
yu dydt
tan 1
dy v dydt
v dydt y
tan 1
dy
y
tan 1 yu dt yu dt
Ángulo de rotación promedio a b 2
yu la velocidad promedio de rotación (velocidad angular) del elemento fluido. sobre el punto P en el plano x-y se convierte
1 2
z
v dt yu dt x
a b 2
1 2
d dt
dt 2
v x
v x
u y
EJERCICIO 64: Velocidad de deformación lineal en dirección x xx
u dx
el punto A se mueve una distancia derecha: u xu dx dt arriba: v xv dx dt Como el punto A está inicialmente a la distancia dx a la derecha del punto P su posición a la derecha del punto P ’en el momento posterior t2 es dx xu dxdt
Distancia vertical desde el punto P ’al punto A’ en el tiempo t2 v dxdt x
Velocidad de deformación lineal en la dirección x a medida que la línea PA cambia a P ’A’ xx
d dt
dx xu dxdt dx
dx
d dt
u dt x
u x
EJERCICIO 65: Tasa de deformación por cizallamiento en el plano xy: xx
1 2
u v y x
la velocidad de deformación por cizallamiento en el punto P para líneas inicialmente.
perpendiculares en las direcciones xey es d xy 21 dt ab el punto A se mueve una distancia derecha u xu dx dt arriba v xv dx dt el punto B se mueve una distancia derecha u
u y
dy dt
arriba v yv dy dt Distancia horizontal desde el punto P ’al punto A’ en el tiempo t2: dx xu dxdt
Distancia vertical desde el punto P ’al punto A’ en el tiempo t2: v dxdt x
Horizontal distance from point P ’ to point B ’ at time t2:
yu dydt Distancia vertical desde el punto P ’al punto B’ en el tiempo t2: dy yv dydt
Ángulo α a en términos de componentes de velocidad: a tan 1
v dxdt x dx xu dxdt
v dxdt x
tan 1
dx
tan 1
v dt x
v dt x
Ángulo α b en términos de componentes de velocidad b
tan 1
yu dydt
yv dydt
tan 1
dy v dydt
dy
y
tan 1
yu dt yu dt
Ángulo α ab en el tiempo t2 en términos de componentes de velocidad:
a 2 yu dt xv dt Velocidad de deformación por cizallamiento, inicialmente líneas perpendiculares en las ab
b 2
direcciones x e y: d xy 21 dt ab 21
d dt
2
u dt xv dt 2 y
1 2
u v y x
EJERCICIO 66: Velocidad de deformación volumétrica en el plano x-y: 1 dV V dt
xx yy
u u x y
0
Velocidad de deformación lineal en la dirección y:
xu 2. 5 1s . EJERCICIO 67: xy
v y
velocidad angular
1min 60s
rot 360 min
2 k 37.70k rot
rad / s
Vorticidad: 2 2 x37.70k rad / s 75.4k
rad / s
EJERCICIO 68: velocidad angular k 2 55.4 27.7k 2 Tasa de rotación 60s rot n 27 rad s 1min 2rad n
rad / s
rot 265 min
265rpm
265rpm
EJERCICIO 69: Componente de velocidad angular en dirección z: z
V rim rim
2.6m / s 0.35m
/ s 7.429rad
Componente z de la vorticidad: z
2 z
27.429rad / s
/ s 14.86rad
15.0rad / s EJERCICIO 70C: La vorticidad es una medida de la rotación de una partícula fluida. Si una partícula gira, su vorticidad no es cero. Matemáticamente, el vector de vorticidad es el doble del vector de velocidad angular. Si la vorticidad es cero, el flujo se llama irrotacional. EJERCICIO 71: Para una deformación dada de una partícula de fluido en una dirección, debemos calcular su deformación en la otra dirección. 1 El flujo es incompresible. 2 El flujo es bidimensional en el plano x-y. Como el flujo es incompresible y bidimensional, el área del elemento fluido debe permanecer constante (la tasa de deformación volumétrica debe ser cero en un flujo incompresible). El área de la partícula de fluido original es a2. Por lo tanto, la dimensión vertical de la partícula de fluido en el momento posterior debe ser z
a2 2a
.
a 2
EJERCICIO 72: calculamos el cambio porcentual en la densidad del fluido para una partícula fluida que sufre una deformación bidimensional. 1 El flujo es bidimensional en el plano x-y El área de la partícula de fluido original es a 2 . Suponiendo que la masa de la partícula fluida es my su dimensión en la dirección z es también a, la densidad inicial es ρ
m V
m a3
A medida que la partícula se mueve y se deforma, su masa debe permanecer constante. Si su dimensión en la dirección z permanece igual a a, la densidad en el momento posterior es. Densidad en el momento posterior m V
1.013
m 1.06a 0.931a a m a3
1.013
m a3
Comparado con la densidad original, la densidad se ha incrementado en aproximadamente 1.3% . EJERCICIO 73: El campo de velocidad es V u, v, w 3. 0 2. 0 x y i 2. 0 x 2. 0 y j 0. 5 xyk Vector de vorticidad en coordenadas cartesianas yw zv i zu xw j xv yu k Sustituimos los componentes de velocidad. u 3. 0 2. 0 x y v 2. 0 x 2. 0 y w
0. 5 xy
Vector de vorticidad: 0. 5 x 0 i 0 0. 5 y j 2. 0 1k 0. 5 xi 0. 5 y j 3. 0k
0. 5 xi 0. 5 y j 3. 0k
La vorticidad no es cero, lo que implica que este campo de flujo es rotatorio . EJERCICIO 74: Debemos determinar si el flujo es rotativo, y si es así calcular el componente z de la vorticidad 1 El flujo es constante. 2 El flujo es incompresible. 3 El flujo es bidimensional en el plano x-y.. Campo de velocidad, flujo Couette:. y V u, v V h i 0 j. componente z de la vorticidad:
x
v x
x
u y
0
V h
V h
V h
Como la vorticidad no es cero, este flujo es rotativo. Además, la vorticidad es negativa, lo que implica que las partículas giran en el sentido horario La vorticidad es constante en cada ubicación en este flujo
EJERCICIO 75: Para el campo de velocidad dado para el flujo de Couette, debemos calcular las velocidades de deformación lineales bidimensionales y la velocidad de deformación por cizalladura. 1 El flujo es constante. 2 El flujo es incompresible. 3 El flujo es bidimensional en el plano x-y. Las velocidades de deformación lineal en la dirección xy en la dirección y son Tasas de deformación lineal u x v yy y
xx
0 0
Tasa de deformación xy
xy
u v y x
1 2
1 2
V 0 h
V 2h
V 2h
Las partículas de fluido en este flujo tienen una velocidad de deformación por cizallamiento distinta de cero. Como las velocidades de deformación lineal son cero, las partículas de fluido se deforman (cortante), pero no se estiran ni en dirección horizontal ni en dirección vertical. EJERCICIO 76: Para el campo de velocidad de flujo de Couette, debemos formar el tensor de velocidad de deformación 2D y determinar si los ejes xey son los principales 1 El flujo es constante 2 El flujo es incompresible 3 El flujo es bidimensional en el plano x-y Tensor de velocidad de deformación 2D: Utilizamos las tasas de deformación lineal y la tasa de deformación por cizallamiento del problema anterior para generar el tensor ij
xx xy yx yy
0
V 2h
V 2h
0
Tenga en cuenta que por simetría ε yx
ε xy .
Si los ejes xey fueran los ejes principales, las diagonales de ε ij no serían cero, y las diagonales descendentes serían cero. Aquí tenemos el caso opuesto, por lo que los ejes xey no son ejes principales. EJERCICIO 77C: a) FALSO: La afirmación es al revés, ya que las leyes de conservación se producen naturalmente en la forma del sistema. b) FALSO: El RTT se puede aplicar a cualquier volumen de control, fijo, en movimiento o deformado. c) VERDADERO: El RTT tiene un término inestable y se puede aplicar a problemas inestables. d) VERDADERO: La extensa propiedad B (o su forma intensiva b) en el RTT puede ser cualquier propiedad del fluido: escalar, vector o incluso tensor. EJERCICIO 78: Para el caso en que B sist es la masa m de un sistema, debemos usar el RTT para derivar la ecuación de conservación de masa para un volumen de control. La forma general del teorema de transporte de Reynolds viene dada por: dB sist dt
CV bdV CS bV
d dt
n dA. . . . . . . 1
Configurar B sist m significa que b mm 1. Conectando estos y dm 0 en Ec. 1: dt Conservación de masa para un volumen de control: 0
d dt
CV bdV CS bV
n dA. . . . . . . 2
La Ec. 2 es general y se aplica a cualquier volumen de control: fijo, en movimiento o incluso deformado. EJERCICIO 79: Para el caso en que B sist es el momento lineal mV de un sistema, debemos usar el RTT para derivar el ecuación de conservación del momento lineal para un volumen de control. Analizando la segunda ley de Newton para un sistema:
F m a
m dV dt
d mV sist . . . . . . . 1 dt
Ajuste B sist mV significa que b mV m V . Conectando estos y Ec. 1 en la ecuación de los rendimientos del problema anterior:
F
d mV sist dt
d dt
CV VdV CS bV
n dA
O simplemente: Conservación del impulso lineal para un volumen de control:
F
d dt
CV VdV CS b V
n dA. . . . . . 2
La Ecuación 2 es general y se aplica a cualquier volumen de control: fijo, en movimiento o incluso deformado. EJERCICIO 80:
Para el caso en que B sist es el momento angular H de un sistema, debemos usar el RTT para derivar la ecuación de conservación del momento angular para un volumen de control. La conservación del momento angular se expresa como Conservación del momento angular para un sistema:
M
d H sist . . . . . . 1 dt
Ajuste B sist H significa que b r mV / m r V , teniendo en cuenta que m constante para un sistema. Conectando estos y Ecuación 1 en la ecuación de los rendimientos del problema 4-78
M
d H sist dt
d dt
CV r V dV CS r V V
n dA
o simplemente Conservación del momento angular para un volumen de control:
M
d dt
CV r V dV CS r V V
n dA. . . . . . 2
Ec. 2 es general y se aplica a cualquier volumen de control: fijo, en movimiento o incluso deformado. EJERCICIO 81 F t debe evaluarse a partir de la expresión dada. F t
d dt
Bt x x At e 2 x dx. . . . . . 1
2
Podríamos intentar integrar primero y luego diferenciar, pero podemos usar el teorema 1-D de Leibnitz. 2 Aquí,G x, t e 2 x (G no es una función del tiempo en este ejemplo simple). bt Bt . Así, Los límites de integración son a t At y b dG F t dt dx db Gb, t da Ga, t . . . . . . 2 dt dt a 2 2 2b Ae 2a 0 Be o 2 2 F t Be 2b Ae 2a
EJERCICIO 82 Debemos determinar si el flujo es rotativo y, de ser así, calcular el componente z de la vorticidad. Supuestos: El flujo es constante. El flujo es incompresible. El flujo es bidimensional en el plano x-y. Los componentes de velocidad están dados por: Componentes de velocidad, flujo Poiseuille 2-D: 1 dP u 2 y 2 hy . . . . . . v 0. . . . . . 1 dx
Si la vorticidad no es cero, el flujo es rotativo. Entonces, calculamos el componente z de vorticidad, componente z de vorticidad: 1 dP 1 dP dv du z dx 2 y h 2 2 y h. . . . . . 2 0 2 dx dy dx Como la vorticidad no es cero, este flujo es rotativo. Además, en la mitad inferior del flujo ( y h /2) la vorticidad es negativa (obsérvese que dP es negativo). Por lo tanto, las partículas dx giran en el sentido de las agujas del reloj en la mitad inferior del flujo. De forma similar, las partículas giran en el sentido contrario a las agujas del reloj en la mitad superior del flujo. La vorticidad varía linealmente a través del canal.
EJERCICIO 83 Para el campo de velocidad dado para el flujo Poiseuille 2-D, debemos calcular las velocidades de deformación lineales bidimensionales y la velocidad de deformación por cizalladura. Supuestos: El flujo es constante. El flujo es incompresible. El flujo es bidimensional en el plano x-y. Las tasas de deformación lineal en la dirección xy en la dirección y son: Tasas de deformación lineal: xx
du dx
0. . . . . . yy
dv dy
0. . . . . . 1
La tasa de deformación por cizallamiento en el plano x-y es la tasa de deformación por esfuerzo cortante: 1 dP 1 dP dv xy 21 du 21 2 2 y h 0 4 2 y h. . . . . . 2 dy dx dx dx Las partículas de fluido en este flujo tienen una velocidad de deformación por cizallamiento distinta de cero. Dado que las velocidades de deformación lineal son cero, las partículas de fluido se deforman (cortante), pero no se estiran ni en la dirección horizontal ni en la vertical.
EJERCICIO 84 Combine sus resultados del problema 4-83 para formar el tensor bidimensional de razones de deformación eij en el plano xy ,
ij
xx xy
yx yy
Los ejes x y y ?son ejes principales? Solución
ij
0
xx xy
yx yy
1 dP 4 dx
2 y h
1 dP 4 dx
2 y h 0
Por simetría ε yx ε xy . Si los ejes xey fueran los ejes principales, las diagonales de εij no serían cero, y las diagonales off sería cero. Aquí tenemos el caso opuesto, por lo que los ejes x e y no son ejes principales. EJERCICIO 85 Para un campo de velocidad dado, debemos trazar varias trayectorias para las partículas de fluido liberadas desde varias ubicaciones y durante un período de tiempo específico. El flujo es constante. El flujo es incompresible. El flujo es bidimensional en el plano x-y. Propiedades para agua a 40° C , μ 6.53 10 4 kg / m s . Análisis Como el flujo es estable, las líneas de acceso, las líneas de corriente y las líneas de trazos son líneas rectas horizontales. Simplemente necesitamos integrar el componente de velocidad u con respecto al tiempo durante el período de tiempo especificado. El componente de velocidad horizontal es: 1 dP u 2 y 2 hy . . . . . . A dx y y y y y y y
0.0002, 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 0.0012 0.0014
Integramos: x x
x incial 1 dP 2 dx 6 2
7611 10 y
t t
final inicial
10
udt 0
y 2 hy 10s
0
1 dP 2 dx
y 2 hy dt . . . . . . B
1/ 2 6.53 10 4 230 y 2 0. 0016 y 10
2817.
8 y 1.
Sustituimos los valores dados de yy los valores de μ y dP / dx en ecuación B para calcular la posición final x de cada línea de ruta. 2817. 8 y 1. 7611 10 6 y 2 x y
5 4 3 2 1
-5
-4
-3
-2
-1
1 -1
2
3
4
5
x
-2 -3 -4 -5
0, solución es: 0.001 6,0
2817. 8 y 1. 7611 10 6 y 2
Por lo tanto la
EJERCICIO 86 Para un campo de velocidad dado, debemos trazar varias trayectorias para las partículas de fluido liberadas desde varias ubicaciones y durante un período de tiempo específico. El flujo es constante El flujo es incompresible El flujo es bidimensional en el plano x-y Propiedades para agua a 40° C , μ 6.53 10 4 kg / m s Análisis Como el flujo es estable, las líneas de acceso, las líneas de corriente y las líneas de trazos son líneas rectas horizontales. Simplemente necesitamos integrar el componente de velocidad u con respecto al tiempo durante el período de tiempo especificado. El componente de velocidad horizontal es: 1 dP u 2 y 2 hy . . . . . . 2 dx y y y y
0.0002, 0.0004 0.0006 0.0008
y y y
0.001 0.0012 0.0014
Integramos: x
x incial
t t
final inicial
x
1 dP 2 dx 6 2
10
udt 0 0
y 2 hy 10s
1 dP 2 dx
y 2 hy dt . . . . . . 2
1/ 2 6.53 10 4 230 y 2 0. 0016 y 10
2817.
8 y 1.
7611 10 y
Sustituimos los valores dados de y y los valores de μ y dP / dx en Eq. 2 para calcular la posición final x de la primera partícula de colorante liberada de cada línea de rayas. La última partícula de colorante liberada está en x xstart 0, porque no ha tenido la oportunidad de ir a ninguna parte. Conectamos los puntos de inicio y final para trazar las líneas de rayas 2817. 8 y 1. 7611 10 6 y 2 x y
5 4 3 2 1
-5
-4
-3
-2
-1
1 -1
2
3
4
5
x
-2 -3 -4 -5
EJERCICIO 87 Para un campo de velocidad dado, debemos trazar varias trayectorias para las partículas de fluido liberadas desde varias ubicaciones y durante un período de tiempo específico. Supuestos El flujo es constante El flujo es incompresible. El flujo es bidimensional en el plano x-y. Propiedades para agua a 40° C , μ 6.53 10 4 kg / m s . Análisis Como el flujo es estable, las líneas de acceso, las líneas de corriente y las líneas de trazos son líneas rectas horizontales. Simplemente necesitamos integrar el
componente de velocidad u con respecto al tiempo durante el período de tiempo especificado. El componente de velocidad horizontal es: 1 dP u 2 y 2 hy . . . . . . 2 dx y y y y y y y
0.0002, 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 0.0012 0.0014
En el problema anterior generamos líneas de rayas en t 10 s. Imagine que el colorante en la fuente se corta de repente en ese momento, pero las rayas se observan 2 segundos más tarde, en t 12 s. Las rayas de tinte no se estirarán más, sino que simplemente se moverán a la misma velocidad horizontal durante 2 segundos más. En cada ubicación y, las ubicaciones x de la primera y última partícula de tinte son por lo tanto 1ra partícula de tinte de la línea de rayas: x
1 dP 2 dx 6 2
y 2 hy 12s
1/ 2 6.53 10 4 230 y 2 0. 0016 y 12
3381.
3 y 2.
1133 10 y x 3381. 3 y 2. 1133 10 6 y 2
ultima partícula de tinte de la línea de rayas: 1 dP x 2 y 2 hy 2s 1/ 2 6.53 10 4 230 y 2 0.0016 y 2 563. 55 y 3. dx 5222 10 5 y 2 563. 55 y 3. 5222 10 5 y 2 -5
-4
-3
-2
-1
0
y -1e+7
-2e+7
-3e+7
-4e+7
-5e+7
1
2
3
4
x
5
EJERCICIO 88 Para un campo de velocidad dado, debemos comparar líneas de rayas en dos momentos diferentes y comentar sobre la velocidad de deformación lineal en la dirección x. Supuestos El flujo es constante. El flujo es incompresible. El flujo es bidimensional en el plano x-y. Propiedades para agua a 40oC, μ 6.53 10^ 4 kg / m s . Al comparar los resultados de los dos problemas anteriores, vemos que las líneas de rayas no se han extendido en absoluto, simplemente se han sentido aguas abajo. Por lo tanto, en base a la definición fundamental de velocidad de deformación lineal, es cero: lineal xx
0
EJERCICIO 89 Para un campo de velocidad dado, debemos trazar varias líneas de tiempo a una hora específica. Las líneas de tiempo son creadas por burbujas de hidrógeno liberadas desde un cable vertical en x 0. Supuestos 1 El flujo es constante. 2 El flujo es incompresible. 3 El flujo es bidimensional en el plano x-y. Propiedades para agua a 40oC, μ 6.53 10 4 kg / m s . Análisis Como el flujo es estable, las líneas de trayectoria, líneas de corriente y línea de trazos son líneas rectas horizontales, pero las líneas de tiempo son completamente diferentes de las demás. Para simular una línea de tiempo, integramos la componente de velocidad u con respecto al tiempo durante el período de tiempo especificado desde t 0 hasta t tender. Introducimos las burbujas en x 0 y en muchos valores de y (utilizamos 50 en nuestra simulación) . Al conectar estas x ubicaciones con una línea, simulamos una línea de tiempo. El componente de velocidad horizontal es: 1 dP u 2 y 2 hy dx Integramos para encontrar la posición x en la línea de tiempo en t final t final t final 1 dP x x incial udt 0 2 y 2 hy dt . . . . . . 2 dx 0 t inicial
x
1 dP 2 dx
y
2
hy t final
EJERCICIO 90 Debemos determinar si el flujo es rotativo y, de ser así, calcular el componente of de la vorticidad. Supuestos 1 El flujo es constante. 2 El flujo es incompresible. 3 El flujo es axisimétrico sobre el eje x. Análisis Los componentes de velocidad están dados por 1 dP u 4 r 2 R 2 . . . . . . u r 0. . . . . . u 0 dx Si la vorticidad no es cero, el flujo es rotativo. Entonces, calculamos el componente of de la vorticidad, θ -componente de vorticidad: r 1 dP r dP du 2r 2 du 0 4 dx dz dr dx Como la vorticidad no es cero, este flujo es rotatorio. La vorticidad es positiva ya que dP / dx es negativo. En este sistema de coordenadas, la vorticidad positiva es en sentido antihorario con respecto a la dirección positiva θ. Esto concuerda con nuestra intuición ya que en la mitad superior del flujo, θ señala fuera de la página, y la rotación es en sentido antihorario. De manera similar, en la mitad inferior del flujo, θ apunta a la página, y la rotación es en el sentido de las agujas del reloj.
EJERCICIO 91 Para el campo de velocidad dado para el flujo de Poiseuille axisimétrico, debemos calcular las tasas de deformación lineal y la velocidad de deformación por cizallamiento. Supuestos El flujo es constante. El flujo es incompresible. El flujo es axisimétrico sobre el eje x. Las tasas de deformación lineal en la dirección xy en la dirección r son: Tasas de deformación lineal: xx
du dx
0. . . . . . rr
du r dx
0
Por lo tanto, no existe una velocidad de deformación lineal en la dirección x ni en la dirección r. La velocidad de deformación por cizallamiento en el plano x-r es Tasa de deformación de corte:
xr
r 1 du du 2 dx dr
1 1 dP 0 4 2 dx
2r
r dP 4 dx
Las partículas de fluido en este flujo tienen una velocidad de deformación por cizallamiento distinta de cero.
EJERCICIO 92 Para el campo de velocidad de flujo Poiseuille axisimétrico debemos formar el tensor de velocidad de deformación axisimétrica y determinar si los ejes x y r son ejes principales. Supuestos 1 El flujo es constante 2 El flujo es incompresible 3 El flujo es axisimétrico sobre el eje x. Análisis El tensor de velocidad de deformación axisimétrica, ε ij, es ij
rr rx
xr xx
Utilizamos las tasas de deformación lineal y la tasa de deformación por cizallamiento del problema anterior para generar el tensor, Tensor de velocidad de deformación axisimétrica: ij
r dP 4 dx
0
rr rx
xr xx
r dP 4 dx
0
Tenga en cuenta que por simetría ε rx ε xr. Si los ejes x y r fueran ejes principales, las diagonales de ε ij no serían cero, y las diagonales off serían cero. Aquí tenemos el caso opuesto, por lo que los ejes x y r no son ejes principales.
EJERCICIO 93 Debemos determinar la ubicación del punto (s) de estancamiento en un campo de velocidad dado. Supuestos 1 El flujo es constante 2 El flujo es bidimensional en el plano x-y. Análisis Los componentes de velocidad son: x componente de velocidad: u
x 2 y 2 b 2
VX L
x
4
2 x
2 2
y
2 x
. . . . . . 1
2 2
b y 4 2 y 2 b 2 b 4
y y componente de velocidad: v
VX
x 2 y 2 b 2
L
x 4 2 x 2 v 2 2 x 2 b 2 v 4 2 y 2 b 2 b 4
. . . . . . 2
Tanto u como v deben ser cero en un punto de estancamiento.
De la ecuación 1, puede ser cero solo cuando x 0. De la ecuación 2, v puede ser cero cuando y 0 o cuando x 2 y 2 -b 2 0. Combinando el primero con el resultado de la ecuación. 1, vemos que hay un punto de estancamiento en (x, y) (0,0), es decir, en el origen, Punto de estancamiento: u 0. . y. . v 0 (x,y)(0,0) Combinando este último con el resultado de la Ecuación 1, parece haber otro punto de estancamiento en (x, y) (0, b). Sin embargo, en ese lugar, Ecuación 2 se convierte y componente de velocidad v
VX x 2 y 2 b 2 0 L b 4 2b 4 b 4 0
Este punto resulta ser un punto de singularidad en el flujo Por lo tanto, la ubicación (0, b) no es un punto de estancamiento
EJERCICIO 94 Gráfico vectorial de velocidad para el aspiradora; la escala factor para los vectores de velocidad se muestra en la leyenda. x e y los valores están en metros. los la entrada del aspirador está al punto x 0, y 0.02 m. Del gráfico vectorial de velocidad se desprende claramente cómo el aire es succionado por la aspiradora desde todas las direcciones. También vemos que no hay flujo a través del piso. EJERCICIO 95 Debemos calcular la velocidad del aire a lo largo del piso debido a una aspiradora y encontrar la ubicación de velocidad máxima. Supuestos 1 El flujo es constante. 2 El flujo es bidimensional en el plano x-y. En el piso, y 0. Estableciendo y 0 en Eq. 2 del problema 4-93 muestra que v 0, como se esperaba, sin flujo a través del piso. Estableciendo y 0 en Eq. 1 del problema 4-93 resulta en la velocidad a lo largo del piso, velocidad en el piso: u
x 2 b 2 L x 2 x 2 b 2 b 4
Vx
4
Vx L x 2 b 2
Encontramos que la velocidad máxima es la diferenciación de Eq. 1 y estableciendo el resultado a cero, Velocidad máxima en el piso: 1 1 du V b 2 x 2 6 4 2 2 4 6 b V 5 b x b x x 0 2 L L 4 2 2 4 2 2 2 dx b 2b x x
b x
Encontramos que Ecuación 2 tiene soluciones en x b y x -b. Está en x b y x -b donde esperamos el mejor rendimiento. En el origen, directamente debajo de la entrada del aspirador, el flujo está estancado.
Por lo tanto, a pesar de nuestra intuición, la aspiradora funcionará mal directamente debajo de la entrada.
EJERCICIO 96 Para una expresión dada para u, debemos encontrar una expresión para v tal que el campo de flujo sea incompresible. u a b x c 2 Supuestos El flujo es constante El flujo es bidimensional en el plano x-y El componente x de la velocidad se da como Para que el campo de flujo sea incompresible, la tasa de deformación volumétrica debe ser cero,Velocidad de deformación volumétrica: x componente de velocidad: u a b x c 2 . . . . . 1 Para que el campo de flujo sea incompresible, la tasa de deformación volumétrica debe ser cero, Velocidad de deformación volumétrica: 1 DV du dv dw dw son dos dimendsiones xx yy zz 0. . . . . 2. . . . 0 V Dt dx dy dz dz Esto nos da una condición necesaria para v, Condición necesaria para v dv du dx dy Sustituimos Eq. 1 en Ecuación 3 e integrar para resolver v du dv 2b x c dx dy Expresión para v: dv v dy dy 2b / x c dy f x Debemos agregar una función arbitraria de x en lugar de una simple constante de integración, ya que esta es una integración parcial con respecto a y. v es una función de x e y. El resultado de la integración es Para v: v 2b x c y f x Discusión Verificamos conectando Ecs. 1 y 4 en la ecuación 2, Velocidad de deformación volumétrica: 1 DV du dv 2b x c 2 b x c 0 V Dt dx dy Dado que la tasa de deformación volumétrica es cero para cualquier función f (x) Eqs. 1 y 4 representan un campo de flujo incompresible.
EJERCICIO 97
Para un campo de velocidad dado, debemos determinar si el flujo es rotativo o irrotacional. Supuestos El flujo es constante El flujo es bidimensional en el plano rθ. Análisis Los componentes de velocidad para el flujo sobre un cilindro circular de radio r son 2 2 u r V cos 1 a2 . . . . . . u V sin 1 a2 . . . . . . 1 r r Como se supone que el flujo es bidimensional en el plano rθ, el único componente distinto de cero de la vorticidad está en la dirección z. En coordenadas cilíndricas, componente de vorticidad en la dirección z: 2 u r V cos 1 a2 r
1 r
V sin 1
u
z
r
1 r 2
a2 r 2 du r d 2 2
d ru dr 2 Vr sin 12 a r
1
2 Va 2 cos
1 a 2 r 2 r 2
V r 2
1 a 2 r 2
r 2 a 2 r 2 0 Por lo tanto, dado que la vorticidad es cero en todas partes, este flujo es irrotacional. r
sin
EJERCICIO 98 Para un campo de velocidad dado, debemos encontrar la ubicación del punto de estancamiento. Supuestos El flujo es constante. El flujo es bidimensional en el plano rθ. Análisis El punto de estancamiento ocurre cuando ambas componentes de la velocidad son cero. Establecemos ur 0 y u θ 0 en ecuacion 1 del problema anterior, 2 2 u r V cos 1 a2 0. . . . . . u V sin 1 a2 0. . . . . . 1 r r La segunda parte de la condición u θ en la ecuacion 1 es obviamente imposible ya que el radio del cilindro a es un número real. Por lo tanto, sen θ 0, lo que significa que θ 0 o o 180 o . Estamos restringidos a la mitad izquierda del flujo (x 0); por lo tanto, elegimos θ 180 o . Ahora miramos la condición ur en ecuacion 1. A θ 180 o , cos θ 1, y así concluimos que r debe ser igual a
EJERCICIO 99 Para una función de flujo dada, debemos generar una ecuación para líneas de corriente, y luego trazar varias
líneas de corriente en la mitad superior del campo de flujo. 1 El flujo es constante. 2 El flujo es bidimensional en el plano rθ. (a) La función de transmisión es:
V sin 1
a2 r 2
Primero multiplicamos ambos lados de Ecuación 1 por r, y luego resuelve la ecuación cuadrática para r usando la regla cuadrática. Esto nos da una ecuación para r como una función de θ, con ψ, a, y V como parámetros, Ecuación para una línea de corriente: r
2 4a 2 V 2 sin 2 2V sin
(b) Para el caso particular en el que V 1.00 m / sy el radio del cilindro a 10.0 cm, elegimos varios valores de ψ en Ecuación 2, y trazar líneas de corriente en la mitad superior del flujo (Fig. 1). Cada valor de ψ corresponde a una aerodinámica única.
EJERCICIO 100 Considere el campo de flujo del problema 4 -97 (flujo sobre un cilindro circular ). Calcule las dos razones de deformación lineal en el plano r ; es decir , calcule rr y . Comente si los segmentos lineales de fluido se estiran ( o contraen) en este campo de flujo. ( Sugerencia: el tensor de razones de deformación en coordenadas cilíndricas se da en el problema 4 -91).
Solución Para un campo de velocidad dado, debemos calcular las tasas de deformación lineal εrr y ε θθ en el plano rθ. Supuestos 1 El flujo es constante. 2 El flujo es bidimensional en el plano rθ. Análisis Reemplazamos la ecuación del problema 4-97 con la del problema 4-91, Velocidad de deformación lineal en dirección r rr
du r dr
2V cos
a2 r 3
Velocidad de deformación lineal en dirección : a2 1r du u r 2V cos 3 d r Las velocidades de deformación lineal no son cero, lo que implica que los segmentos de la línea de fluido se estiran (o contraen) a medida que se mueven en el campo de flujo. EJERCICIO 101 Con base en sus resultados del problema 4 -100, analice si el flujo es compresible o incompresible . Respuesta: el flujo es incompresible SOLUCIÓN Debemos analizar si el campo de flujo del problema anterior es incompresible o
